MATEMATICA-FINANCIERA_CICLO-III (1)

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III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 MATEMÁTICA FINANCIERA 
 
III CICLO 
Cuaderno de Trabajo 
Formamos los Profesionales 
que el mundo exige 
 
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PRESENTACIÓN 
En una época de globalización y de alta competitividad como lo es el cambiante mundo 
moderno, es necesario estar al tanto de los diversos aspectos que forman parte de 
nuestro entorno. No sólo en el tema económico, también en el aspecto político, 
jurídico, social y cultural. Al estar mejor informado, el joven profesional podrá tomar 
mejores decisiones, ya que entiende cómo le afectan los cambios en el entorno. El 
manejar y entender eficientemente la información es uno de los principales 
argumentos que facilita la toma de decisiones en el mundo actual, y es un factor clave 
para el éxito en la vida. 
 
La motivación principal para el desarrollo e implementación de estos cuadernos de 
trabajo es permitir que nuestros docentes y estudiantes posean una herramienta 
uniforme, que los asista de manera eficiente en su proceso de enseñanza- aprendizaje. 
La Universidad de la Integración de las Américas (UNIDA) cumple de esta manera con 
la finalidad de apoyar y colaborar con nuestros estudiantes, por medio de la 
implementación de este moderno sistema de ayuda al aprendizaje, único en el 
Paraguay. 
 
El pensar en cómo brindar un mejor servicio a nuestros estudiantes es nuestro 
principal motor. Acompañarlos en su proceso de enseñanza aprendizaje es una 
obligación y un reto en sí mismo. El estudiante de UNIDA ya es por sí un estudiante 
sobresaliente, el cual exige y demanda lo mejor de sus docentes y del valioso equipo 
que los acompaña día a día en esta apasionante tarea que es participar en la formación 
de los futuros líderes del Paraguay del siglo XXI. 
 
 
UNIDA. 
 
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UNIVERSIDAD DE LA INTEGRACIÓN DE LAS AMÉRICAS 
LA VISIÓN 
"Es ser reconocida como una Institución de referencia en el escenario educativo 
regional, proporcionando a la sociedad, profesionales de excelencia con valores éticos 
y capacidades para integrarse a equipos multidisciplinarios e internacionales." 
 
LA MISIÓN 
"Promover la Educación Superior en todos los niveles formando profesionales capaces 
de contribuir para el desarrollo social y económico de la región y del país, buscando 
siempre la mejoría en la enseñanza, la viabilidad financiera y la satisfacción de sus 
alumnos, así como la producción de conocimiento a través de las investigaciones y 
servicios de extensión a la comunidad." 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Índice Pág. 
UNIDAD I 
EL INTERÉS SIMPLE 11 
TEMA 1: INTERÉS SIMPLE 13 
TEMA 2: EL MONTO O EL VALOR FUTURO 20 
TEMA 3: AMORTIZACIÓN A INTERÉS SIMPLE O PAGOS PARCIALES 23 
TEMA 4: EL DESCUENTO 24 
TEMA 5: INTERÉS COMPUESTO. DESCUENTO COMPUESTO. 29 
TEMA 6: AV1 EXÁMENES PARCIALES 44 
 
---------------------------------------- 
UNIDAD II 
ANUALIDADES O RENTAS 45 
TEMA 7: ANUALIDADES O TEORIAS DE LA RENTA 46 
TEMA 8: VALOR DE LA ANUALIDAD O RENTA 51 
---------------------------------------- 
UNIDAD III 
AMORTIZACIÓN Y FONDO DE AMORTIZACIÓN 55 
TEMA 9: AMORTIZACIÓN 57 
TEMA 10: RETROALIMENTACIÓN 62 
----------------------------------------- 
UNIDAD IV 
APLICACIONES 63 
TEMA 11: INVERSIONES: BONOS, OBLIGACIONES Y ACCIONES 64 
TEMA 12: VALORES 65 
TEMA 13: AV2 EXÁMENES PARCIALES 71 
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TEMA 14: DEDRECIACIÓN Y AGOTAMIENTO 72 
TEMA 15: RENTAS VITALICIAS 80 
TEMA 16: SEGUROS DE VIDA 88 
TEMA 17: PF EXÁMENES FINALES 94 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA FINANCIERA 
 
COMPETENCIA 
• Reconocer y comprender los conceptos fundamentales, fórmulas y procedimientos de 
aplicación de los modelos matemáticos descriptivos pertinentes. 
 
CAPACIDADES 
• Identifica las características y cálculos propios a los intereses simple y compuesto. 
• Reconocer y comprender los conceptos fundamentales, fórmulas y procedimientos de 
aplicación de los modelos matemáticos descriptivos pertinentes. 
• Identifica las posibilidades de amortizaciones, así como la empleabilidad práctica de las 
mismas. 
• Reconocer los conceptos, métodos, fórmulas y procedimientos de los modelos matemático-
financieros descriptivos, aplicar eficazmente y valorar la importancia del uso y aplicaciones 
de este conocimiento en el mundo financiero. 
 
ACTITUDES 
• Demuestra responsabilidad en la investigación y el trabajo en equipo. 
• Practica la puntualidad en el horario de clases, la realización de trabajos en equipo e 
individuales asignadas por el docente. 
• Asume responsabilidad, respeto por los demás y creatividad cuando trabaja en equipo e 
individual. 
• Demuestra una actitud proactiva, asertiva, orden y respeto a los docentes en el desarrollo 
de las sesiones de aprendizaje. 
 
 
 
 
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UNIDAD I 
EL INTERÉS 
CAPACIDAD 
• Identifica las características y cálculos propios a los intereses simple y compuesto. 
CONTENIDOS PROCEDIMENTALES 
• Formaliza y expresa con propiedad los conceptos teóricos sobre el interés en el tiempo. 
• Calcula el valor de las capitalizaciones y actualizaciones, así como los descuentos. 
• Identifica y aplica las variables de cálculo en las amortizaciones. 
• Distingue a través de casos las diferentes situaciones de descuento que se puedan 
presentar. 
• Realiza los cálculos pertinentes al interés compuesto. 
CONTENIDOS CONCEPTUALES 
TEMA 1: EL INTERÉS SIMPLE 
TEMA 2: EL MONTO O VALOR FUTURO 
TEMA 3: AMORTIZACIÓN A INTERÉS SIMPLE O PAGOS PARCIALES 
TEMA 4: EL DESCUENTO 
TEMA 5: INTERÉS COMPUESTO. DESCUENTO COMPUESTO 
TEMA 6: AV1 EXÁMENES PARCIALES 
 
 
 
 
 
 
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DIAGRAMA DE CONTENIDOS 
 
 
 
 
EL 
INTERÉS 
 
ANUALIDADES 
O 
RENTAS 
 
AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE 
AMORTIZACIÓN 
 
 
APLICACIONES 
 
MATEMÁTICA FINANCIERA 
 
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SEMANA 1, UNIDAD I 
TEMA 1: INTERÉS SIMPLE 
Introducción 
Si arrendamos un bien inmueble valorizado en Gs. 90.000.000 –casa, oficina o tienda 
comercial-, pagamos por el derecho de ocupación un alquiler de Gs. 12.000.000 fijado 
por lapsos de tiempo medidos por meses, trimestres, semestres o años. (Para el caso 
es anual.) 
Si pedimos un préstamo a un banco de Gs. 90.000.000 también pagamos una cierta 
suma de dinero por el alquiler del dinero prestado -digamos que sean Gs. 12.000.000 
anuales- a este producto que pagamos se le llama interés. 
 
Entonces los inversionistas en bienes raíces tienen su dinero invertido en inmuebles y 
la remuneraciónde su inversión se le llama alquiler, mientras que el beneficio de los 
capitales que prestan o alquilan las entidades del sistema financiero se llama interés, 
es decir tanto el alquiler como el interés son producto de capitales invertidos. 
 
Definiciones del Interés que la literatura de la especialidad refiere: 
Definición 1.- Se llama interés a la ganancia o utilidad producida por un préstamo, 
depósito o inversión mediante una operación ya sea comercial bancaria o financiera. 
(Fernando Dávila Atencio). 
 Definición 2.- Interés es el pago por el uso del dinero ajeno. También puede decirse 
que interés es el dinero que produce un capital al invertirlo, al otorgarlo en préstamo o 
al pagarlo por la adquisición de bienes y servicios en operaciones crediticias. (José Luis 
Villalobos). 
 
Definición 3.- El interés es el precio a pagar por disponer de un capital y que depende 
en gran medida de los siguientes factores: 
• Del beneficio económico o social a obtener con la utilización de dicho capital, 
• Del tiempo de la operación, a mayor tiempo mayor interés aunque la tasa de 
interés permanezca invariable, 
• De la seguridad sobre el buen fin de la inversión, y del respaldo de la persona que 
solicita el crédito. Se supone que a mayor riesgo debe corresponder una mayor 
tasa de interés y viceversa, 
• De la situación del mercado de dinero. Una mayor demanda sobre la oferta 
presionará a un incremento de la tasa de interés, o a elegir entre aquellos 
demandantes de capital que presenten menor riesgo potencial. 
• De otras variables de carácter económico, político, social, etc. (Carlos Aliaga 
Valdez). 
 
Definición 4.- El interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero 
tomado en préstamo. (Lincoyán Portus Govinden). 
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Definición 5.- Podemos definir el interés como la ganancia generada por un capital 
invertido en forma productiva. (Jorge Valencia de la L.). 
 
Definición 6.- El interés es la renta que se paga por el uso del dinero (Robert y Hellen 
Cissell). 
 
Definición 7.- Remuneración que un prestatario paga a un prestamista por la 
utilización del dinero. (Banco Central de Reserva del Perú). 
 
Definición 8.- Interés es la cantidad que se paga por el uso del dinero que se pide 
prestado. (Loyce C. Gossage, Ed. D.) 
 
Existen en la literatura del curso muchas otras definiciones acerca del tema del interés, 
he consignado solo ocho de ellas, de autores nacionales y extranjeros y en conclusión 
notamos que todos definen el interés como remuneración, suma de dinero que se 
paga, ganancia generada por el dinero invertido, etc., todas están en lo cierto, unas 
más completas y complejas que otras, pero en resumen encierran lo mismo. 
 
El interés definido desde un punto de vista utilitario presenta dos situaciones: 
Punto de vista del prestamista.- Para un prestamista, es el dinero que cobra por los 
créditos, colocaciones o inversiones que hace. 
Punto de vista del prestatario.- Para un prestatario, el interés es el dinero que paga por 
el dinero que recibe o toma en calidad de préstamo. 
 
En la práctica el interés se calcula básicamente en función de los siguientes factores: el 
Capital o Principal o Stock inicial de efectivo, la tasa de interés y el tiempo o plazo; 
complementariamente a estos factores se debe tomar en cuenta el riesgo que cada 
operación en particular acarrea, también las variables económicas, políticas y sociales, 
que se dan en el entorno operacional, todas hacen que la tasa de interés y los plazos 
varíen. 
 
Definición de los factores que determinan el Interés: 
El Capital o Principal o Stock Inicial de Efectivo ( P ), es la suma prestada, colocada, 
invertida o recibida en una operación con interés, este puede estar dado en moneda 
nacional o en moneda extranjera. También se le llama valor actual o valor presente o 
valor líquido o volumen monetario o dinero, etc. 
La Tasa de Interés (i), es el índice o indicador del costo o precio del dinero en una 
economía en particular. Se dice que cada país tiene un diferente espectro de tasas de 
interés - entendiéndose como tal, aquel que se constituye por todos los valores que la 
tasa de interés puede asumir en un momento determinado en operaciones financieras 
pasivas y activas -. 
 
La tasa de interés se enuncia o expresa como tanto por ciento (%), pero se le trabaja 
ecuacionalmente a tanto por uno en las fórmulas financieras,-valor que obtiene 
simple-mente desplazando coma decimal dos lugares a la izquierda y quitando el 
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símbolo % -. Algunos autores citan la importancia de la tasa de interés por ser un 
indicador de la salud económica de un país y por su utilidad en Planificación 
económica. 
 
El Tiempo o Plazo (t), es el factor que refiere el periodo durante el cual el prestatario 
estará en posesión de todo o parte del dinero prestado. Cuando el tiempo de un 
problema es expresado por una fracción de año, se manejará mediante una fracción 
a/b en donde el numerador “a” expresará el número de meses o días citados en el 
caso-problema y el denominador “b” dependerá de la expresión que contenga el 
numerador, si son meses el denominador será 12 y si son días será 360. 
Interés Simple ( I ).- Su modelo matemático simplemente lo define como el producto 
de los factores Capital o Principal ( P ), la Tasa de interés ( i ) y el tiempo ( t ). En esta 
operación el capital o principal permanece constante durante el plazo de la operación. 
 
Interés Simple = Capital o Principal x Tasa de Interés x tiempo 
I = P . i . t 
 
Esta fórmula o modelo matemático nos refiere que el interés es directamente 
proporcional al capital, tasa de interés y el tiempo o plazo. 
 
Ejemplo 1: Una pareja compra una casa, financiada con un préstamo de Gs. 
50.000.000 a la tasa del 15% de interés simple. El plazo total del préstamo es de 10 
años. 
a) ¿Cuál será el interés a pagarse durante todo el plazo?, 
b) ¿Cuál es el interés vencido del primer trimestre? y 
c) ¿Cuál es el interés vencido de los primeros 45 días? 
Factores: 
I =? P = Gs. 50.000.000 i = 15% o 0,15 
t
1 
=10 años t
2 
= 3 meses t
3 
= 45días 
 
Rpta. Este problema tiene tres respuestas 
 I
1 
= 50.000 x 0,15 x 10 = Gs. 75.000 
Que corresponde al plazo total de la deuda que es de 10 años 
I
2 
= 50.000 x 0,15 x 3/12 = Gs. 1.875.000 
Que corresponde a la segunda interrogante, por un tiempo de 3 meses. 
I
3 
= 50.000 x 0,15 x 45/360 = Gs 937,50 
Y esta última que corresponde al interés vencido por 45 días. 
 
Como se aprecia en el desarrollo del ejercicio los factores capital y tasa de interés se 
mantienen constantes, siendo el factor tiempo el elemento que particularmente ha 
variado para que se note su modo operativo o de trabajo en cada caso. 
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Ejemplo 2: Juan Alegre recibió un préstamo de $35 000,00 al 18% para invertirlos en 
un negocio. ¿Cuánto pagará por un año al prestamista por concepto de interés? 
Factores: I =? P = Gs. 35.000 i = 18% o 0,18 t = 1 año 
I = 35.000 x 0,18 x 1 = Gs. 6.300 
 
Rpta. El Sr. Juan Alegre pagó al prestamista $6 300 por concepto de intereses. 
Si el plazo fuera por dos años. Al final de dicho plazo el interés devengado será: 
I = 35.000 x 0,18 x 2 = Gs. 12.600 
 
Al final de una n - ésimo año el total de intereses devengados será de: 
I = 35 000 x 0,18 x n 
 
Para que la ecuación funcione los factores tasa de interés y tiempo deben ser 
homogéneos, es decir si la tasa de interés es anual, el tiempo de la operación deberá 
ser expresado en años. Si la tasa fuera mensual, el tiempo habrá de citarse en meses. 
 
Las aplicaciones fundamentales del interés simple se tienen en las cuentas de ahorro, 
los certificados de depósito, las cuentas a plazo, las letras de cambio, los pagarés,etc. 
 
Determinación de los factores Capital o Principal, Tasa de interés y Tiempo o Plazo: 
Cuando se conoce tres elementos de la ecuación del interés es posible determinar el 
cuarto factor a partir de las siguientes ecuaciones: 
 
Capital = 
tiempoxerésdeTasa
SimpleInterés
int
 Tasa de Interés = 
tiempoxCapital
SimpleInterés
 
 
Tiempo = 
InterésdeTasaxCapital
SimpleInterés
 
 
Problemas de aplicación 
1. ¿Qué inversión fue la que produjo en 2 años un interés de S/.34 566,00 si la tasa 
de interés de la operación era del 24%? 
Factores: P= ? I = Gs. 34.566.000 i = 24% o 0,24 t = 2 años 
P = 
224,0
56634
x
 = Gs. 72.012.050 
 
2. ¿Cuál fue el crédito que se otorgó si se pagó Gs. 22.222.222 dólares americanos 
por concepto de intereses al cabo de 9 meses si la tasa de interés que se acordó 
fue de 17,5%? 
Factores: P = ? I = U.S. Gs. 22.222.222 i = 17,5% o 0,175 t = 9 meses 
P = 
12/9175,0
22,22222
x
 = Gs. 169.312,15 
 
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3. ¿A qué tasa de interés anual tendrá que colocarse un capital de S/.23 456,78 para 
que en el plazo de 30 meses produzca S/. 12 345,67? 
Factores: I = Gs. 12.345,67 P = Gs. 23.456,78 t = 30 meses i = ? 
 
i = 
12/3078,45623
67,34512
x
 = 0,210526252964 ó 21,05% 
 
4. ¿Durante qué plazo deberá colocarse Gs. 11.222,33 para que al 9,6% anual 
produzca un interés de Gs. 3.232,03? 
Factores: I = Gs. 3.232,03 P = Gs. 11.222,33 i = 9,6% o 0,096 t = ? 
 
t = 
096,033,22211
03,2323
x
 = 3 años 
 
Si el resultado de un problema de cálculo de tiempo fuera fraccionario se multiplicará 
dicha fracción por 360 días y obtendrá el número de días al que se aplicará el 
redondeo correspondiente. 
¿Determinar el plazo de inversión necesario para que un capital de $678 901, sea 
remunerado con un interés de: Gs. 144.500, si la tasa que rige la operación es del 
14,4%? 
Factores: I = Gs. 144.500 P = 678 901 i = 14,4% o 0,144 t = ? 
 
t = 
144,0901678
500144
x
 = 1,478083288 años 
 
Para convertirlo a días multiplicamos el resultado por 360 y tenemos: 
t = 1,478083288 x 360 = 532,1099836 o 532 días 
 
5. Una persona colocó la cuarta parte de su capital al 36% anual durante 4 meses y el 
resto al 24% por un año. Si por la primera inversión cobró Gs. 84.000.000 de 
intereses. ¿Cuánto cobró de interés por el resto? ¿Cuál era su capital? ¿Qué suma 
invirtió en cada caso? ¿Cuánto recibió de intereses en total? 
 
Rpta. Primera: ¿Cuánto invirtió en el primer caso? 
Como colocó la cuarta parte de su capital este será igual a P/4=? El interés que recibió 
por dicha inversión fue de Gs. 84.000 = I; tiempo de inversión t
1 
= 4 ms. La tasa de 
interés fue del: 36% Luego tenemos 
 
P/4 = 
36,012/4
84000
x
 = Gs. 700.000 
 
El capital total invertido P =? P/4 = Gs. 700.000 P =700.000 x 4 = S/. 2.800.000 
El resto invertido o segunda inversión: 2.800.000 – 700.000 = Gs. 2.100.000 
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Interés rentado por la segunda inversión: I = 2.100.000 x 0,24 x 1 = Gs. 504.000 
Cobró en total por intereses: 84.000 + 504.000 = Gs. 588.000 
Calcular los intereses rentados por Gs. 25.000, Gs. 33.500 y Gs. 44.750 durante 45, 57 y 
73 días respectivamente a la tasa del 9%. Como es la misma tasa de interés se puede 
aplicar el método de los números mercantiles o numerales y tenemos 
I =[25.000x0.09x45/360]+[33.500x0.09x57/360]+[44.750x0.09x73/360]= 
I = 281,25 + 477,375 + 816,6875 = $ 1 575,31 
Si multiplicamos 0,09 x 360 el denominador Δ = 4.000 que sería el número mercantil o 
numeral que corresponde y el interés rentado será I = Gs. 1.575,31 
 
ACTIVIDAD APLICATIVA 
 
INTERÉS SIMPLE 
Objetivo: 
Verificar la comprensión acerca de los elementos del interés simple 
Autoevaluación: dadas las características prácticas e instrumentales del curso, a 
continuación se formulan ejercicios de comprobación de los diferentes puntos 
dictados: 
1. Determinar el interés moratorio cobrado a una letra de cambio no pagada a su 
vencimiento, si su valor nominal es de Gs. 4.567,89 si es cancelada el día de hoy 14 
de marzo de 2008 sabiendo que venció el 04 de diciembre de 2007 si se cobra una 
tasa de interés del 33%. (año bisiesto) 
 
2. Hallar el capital prestado en una operación que liquidó por concepto de intereses 
Gs. 2.222,22 entre el 15 de octubre de 2007 y el día de hoy 14 de marzo de 2008 si 
la tasa de interés que se aplicó fue del 18,5%. 
 
3. ¿A qué tasa de interés se prestaron Gs. 25.000,00 si se paga por concepto de 
intereses Gs. 1.234,56 entre el 20 de septiembre del 2006 y el 28 de febrero del 
2008?(año bisiesto) 
 
4. ¿Cuál fue el plazo de inversión de un principal de US$83.444,55 si se liquidaron 
intereses por la suma de US$12.345,67, a la tasa de 12,75%? (año bisiesto) 
 
5. Determinar el interés simple que produce un capital de Gs. 6.000.000 en 90 días, 
colocando al 8% de interés anual. 
 
6. Sabiendo que Josué invierte Gs. 5.000.000 y al termino de un año recibe 
Gs. 5.176. 400 por su inversión. Determine la tasa de interés anual. 
 
7. Esteban deposita cierto capital, a interés simple, durante 1 año, 6meses y 9 dias. 
Genera un interés de US$ 6.1400. Determina el capital primitivo, si la tasa de 
interés anual es del 10%. 
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8. Teresa invierte ahora US$ 3.500 en una cooperativa que paga intereses del 38% 
anual. En cuantos días tendrá US$ 4.300? 
 
 
 
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SEMANA 2, UNIDAD I 
TEMA 2: EL MONTO O VALOR FUTURO 
Cuando los intereses producidos por un capital determinado se suman a éste, la 
cantidad que se obtiene se llama monto, factor que denotaremos por la letra S 
mayúscula. 
Es decir 
S = P + I ( 
1 
) 
Si reemplazamos en ( 
1 
) al factor I por sus factores que lo determinan nos queda: 
S=P + P.i.t 
Como observamos el factor P se repite en el miembro de la derecha de la igualdad lo 
factorizamos y nos queda: 
S = P [1 + i. t], 
Que es la fórmula ( 
2 
) para calcular el monto de una obligación sin pasar por el cálculo 
previo del interés. 
 
Problema de aplicación 1: 
Una persona solicita un préstamo de Gs. 25.000.000 al 18% anual durante 56 días. 
¿Cuánto deberá pagar al vencer el plazo? 
Factores I = ? S = ? P = Gs. 25.000.000 i = 18% o 0.18 t = 56 días 
 
Podemos obtener el resultado de dos maneras: 
1ra. Calculando primero el interés y lo sumamos al capital prestado 
I = 25.000 x 0,18 x 56/360 = 700,00 
Interés que sumamos al capital y nos queda 
S = 25.000 + 700 = 25 700. 
La segunda opción es directa y aplicamos la fórmula ( 
2 
) 
Aplicando la fórmula del monto obtenemos: 
S = 25.000 [1+ (0,18) x (56/360)]= 25.700 
El monto se utiliza para valuar instrumentos financieros en el corto plazo a interés 
simple, tales como letras de cambio, pagarés, intereses moratorios y compensatorios 
por plazos relativamente cortos, etc. 
 
Valor presente de una deuda a interés simple. 
Es aquel valor que tiene un instrumento financiero en una fecha anterior a la de su 
vencimiento. La fórmula de determinación del valor presente la obtenemos 
despejando el factor capital de la ecuación de monto 
P = [ ]ti
S
.1+
 Fórmula ( 3 ) 
 
 
 
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Problema de aplicación 2: 
1. Determinar el valor presente de una letra de cambio que tiene un valor de 
vencimiento de $ 23 456,67 que se vende 75 días antes de su vencimiento a la tasa 
del 24% de interés anual 
Factores: P = ? S = $23 456,67 i = 24% o 0,24 t = 75 dias 
 
Aplicando la fórmula ( 3 ) 
P = 
)360/7524,01(
67,45623
x+
 = Gs. 22.339,69 
 
2. ¿Cuánto se pagó por un pagaré cuyo valor de vencimiento era de Gs. 333.333,33, 
que se vendió faltando 100 días para su vencimientoa la tasa de 27.5% y luego 
nuevamente faltando 45 días a la tasa de 33%? 
Parte 1 Factores: P
1 
= ? S = Gs. 333.333,33 i = 27,5% o 0,275 t = 100 días 
P1 = )360/100275,01(
33,333333
x+
 = Gs. 309.677,416258 
 
Parte 2 Factores: P
2 
= ? S= Gs. 333.333,33 i = 33% o 0,33 t = 45 días 
P2 = )360/4533,01(
33,333333
x+
 = Gs. 320.128,05 
 
ACTIVIDAD APLICATIVA 
MONTO A INTERÉS SIMPLE Y VALOR PRESENTE 
Objetivo: 
Verificar la comprensión acerca de los elementos del monto y el valor presente 
Autoevaluación: Dadas las características prácticas e instrumentales del curso, a 
continuación se formulan ejercicios de comprobación de los diferentes puntos 
dictados: 
1. Determinar el monto o valor de vencimiento o valor futuro anotado en una letra 
de cambio que se emitió al financiar una venta de US$34 123,45 a la tasa del 21% 
de interés entre el día de hoy 14 de marzo de 2005 sabiendo que su vencimiento 
es el 04 de diciembre de 2005. 
 
2. Hallar el capital prestado en una operación que se liquidó con pagaré de US$56. 
789,12 entre el 04 de octubre de 2004 y el día 29 de septiembre de 2005 si la tasa 
de interés que se aplicó fue del 14,25%. 
 
3. Determinar el valor presente de una letra de cambio de US$ 50.000,00 que se 
vendió a la tasa del 21% de interés el día de hoy 11 de abril de 2005 sabiendo que 
su vencimiento es el 04 de septiembre de 2005. 
 
4. Determine el interés sobre un préstamo de Gs. 3.500.000 realizado el 4 de 
febrero con vencimiento el 19 de mayo si la tasa de interés es el 8%?. 
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5. Pablo consigue un préstamo por valor de U$S 3.000 a dos años 7 meses de 
plazo con una tasa de interés simple bimestral del 3%. Cuánto pagará al final de 
los dos años por el préstamo recibido?. 
 
6. Néstor prestó Gs. 200.000 el 18 de febrero de 2010 con intereses al 12,5%. Esta 
deuda debe ser liquidada el 24 de diciembre de 2010. Cuánto dinero devolverá 
en la fecha de vencimiento? 
 
7. Cuál es el valor actual de un televisor que se paga con un enganche o anticipo 
del 30% y un documento a 3 meses con valor nominal de Gs. 1.200.000 e 
interés anual del 22%?. 
 
8. Nicolás desea adquirir una computadora, cuyo precio de contado es de Gs. 8 
000.000. A plazo en 6 cuotas, la empresa que vende recarga el 3% mensual con 
tasa de interés directa. Calcula la cuota mensual que debe abonar. 
 
9. Calcula los intereses que producirá un capital de Gs. 1.000.000 colocados a 
interés simple durante dos años, 5 meses y 20 días, si la tasa es 20% anual 
durante el primer año y 36% anual durante el resto de la operación. 
 
10. Se coloca un capital por dos años. El primer año al 20% anual de interés simple 
y el segundo año al 30% de interés simple. A los nueve meses se aporta una 
cantidad de dinero igual a los intereses ganados hasta la fecha. Determina el 
capital inicial, si el monto final a los dos años es de Gs. 425.625 
 
11. Colocaron Gs. 5.000.000 a interés simple durante dos años. El primer año al 
24% anual y el segundo al 30 % anual. A los 15 meses se retiró una cantidad de 
dinero igual al 10% del monto acumulado hasta los seis primeros meses. 
Calcular el monto constituido al final de los dos años. 
 
12. Le ofrecen a un inversionista un galpón en una zona industrial por Gs. 100.000 
000. Su asesor de bienes raíces estima que podría venderlo dentro de dos años 
en Gs. 126.000.000 debido a que la zona industrial está en expansión. Por otro 
lado su banco le garantiza el 20% de interés simple anual con un riesgo bajo. 
Invertiría en el galpón el inversionista? 
 
 
 
 
 
 
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SEMANA 3, UNIDAD I 
TEMA 3: AMORTIZACIÓN A INTERÉS SIMPLE O PAGOS PARCIALES 
 En el desarrollo de este tema trata de aplicaciones del interés simple a través de casos 
prácticos respecto al tratamiento que reciben las amortizaciones que se hacen a 
deudas en términos del interés simple. Tratará de Casos como el de la regla de los 
Estados Unidos de Norteamérica (USAR) y Regla Comercial o del Comerciante o 
Merchant Ruler (MR). 
En el desarrollo en si el alumno aplicará lo aprendido en los dos primeros temas 
estudiados ya que a través de una rutina para cada regla se determinará saldos 
pendientes de pago, luego de haber sido amortizadas las deudas respectivas. 
El enfoque es práctico en base a casos. 
Por ejemplo: 
La Empresa de Inversiones A & B S.A. obtuvo un préstamo de $ 4’500 000,00 el 28 de 
abril del 2003 con vencimiento al 02 de abril del 2008, a la tasa del 20% de interés. 
Entre las partes se acuerda la aceptación de amortizaciones proponiendo el deudor el 
siguiente calendario de amortizaciones: 
1ra. El 23 de abril del 2004 importe Gs. 1.400.000 
2do.El 20 de Octubre del 2004 importe Gs. 600.000 
3ro.El 17 de abril del 2005 importe Gs. 800.000 
4to.El 10 de Octubre del 2005 importe Gs. 900.000 
5to.El 9 de Mayo del 2006 importe Gs. 750.000 
6to.El 30 de septiembre del 2006 importe Gs. 850.000 
7mo.El 14 de febrero del 2007 importe Gs. 1.000.000 Si las amortizaciones 
fueron tratadas por las reglas en estudio, determinar su saldo en la fecha de 
vencimiento. 
En este caso el alumno a través de una práctica dirigida resuelve en aula el problema 
previa referencia del profesor acerca de los pasos a seguir en cada caso. En la práctica 
al aplicarse los conocimientos el alumno resolverá dos situaciones totalmente 
diferentes es decir las respuestas de la aplicación de ambas reglas reporta resultados 
diferentes, aunque en ambas situaciones los procesos que se siguen son lógicos. 
Adicionalmente se propone para el mismo caso la aplicación de la M.R. 
 
ACTIVIDAD APLICATIVA 
AMORTIZACIÓN A INTERÉS SIMPLE 
Se propone a los alumnos la práctica intensiva en sus casas de problemas que se 
entregarán por escrito, para su correspondiente desarrollo. 
 
AUTOEVALUACIÓN 
El Informe por escrito respectivo lo tendrá que presentar en la clase siguiente y será 
anotado en el registro su cumplimiento o no, como factor de referencia para una 
evaluación en parte subjetiva por parte del profesor. 
 
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SEMANA 4, UNIDAD I 
TEMA 4: EL DESCUENTO 
En el desarrollo de este tema se hace un enfoque inicial, respecto a los puntos de vista 
existentes para el tratamiento o estudio del descuento: el punto de vista del hombre 
de la calle y punto de vista financiero o bancario. 
El hombre común lo relaciona con aspectos de la compra venta de bienes y servicios y 
para él, la palabra descuento la interpreta como una rebaja sustantiva que se aplica o 
deduce de un precio conocido o precio de lista de bien de capital artículo o servicio 
que se concede por alguna razón causa motivo o circunstancia. Y en estos casos los 
descuentos se clasifican en: 
Únicos y 
Sucesivos, En Serie o En Cadena o Eslabonados 
 
Al respecto, se dice tal como lo refiere su expresión descuento único aquel que se 
deduce directamente si esta expresado por una cantidad o previa cuantificación 
también se deduce del precio de lista o precio marcado de un bien artículo servicio 
 
Ejemplo 1. Un producto que vale Gs. 120.000 le aplican un descuento de Gs. 20.000 
luego por él pagaré Gs. 100.000. 
 
Ejemplo 2. Una tienda hace descuento de temporada del 25% a sus productos en 
general. ¿Si una persona compra Gs. 360.000 de ellos, el valor líquido a pagar será? 
Para ello previamente tengo que cuantificar el interés es decir determino el 25% de 
360 que es 90, por tanto el valor líquido a pagar por la compra con el descuento único 
del 25% es de 360 – 90 = Gs. 270.000 
 
Respecto a los descuentos sucesivos en serie o en cadena estos tienen que cumplir las 
siguientes propiedades: 1ra. No se pueden sumar dado que su deducción o aplicación 
es uno por uno a saldos insolutos,aunque después veremos que se pueden convertir a 
una tasa única equivalente (T.U.E.) cuya fórmula empírica dice lo siguiente: 
 
TUE = 1 - [ (1 – i
1
) (1 – i
2
)...........(1 – i
n
) ] 
 
Luego para aplicarlos en sí se les deduce uno por uno. 
 
Ejemplo 3: La Empresa Avícola Santa Ángela ofrece descuentos del 20% + 12% + 8% + 
2,5% a sus compradores mayoristas de huevos, por compras mayores de S/. 50 000,00. 
Si la Tienda Comercial Central hace una compra de Gs. 75000.000. ¿Cuánto pagará por 
su compra finalmente si se favorece con los descuentos antes referidos? 
Rpta. 
Valor Original de la compra: Gs. 75.000 
Menos el 1er. Descuento del 20% Gs. 15.000 
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Saldo después de deducir 1er. Dcto Gs. 60.000 
Menos el 2do. Descuento del 12% Gs. 7.200 
Saldo después de deducir el 2do. Dcto. Gs. 52.800 
Menos el 3er. Descuento del 8% Gs. 4.224 
Saldo después de deducir el 3er. Dcto. Gs. 48.576 
Menos el 4to. Descuento del 2,5% Gs. 1.214 
Por ser el último descuento por deducir 
Se le llama Saldo a pagar o valor líquido Gs. 47.361,60 
Resultado que también se podría obtener si aplicamos la TUE, es decir si convertimos 
las 4 tasas de descuento en una tasa única equivalente aplicando la fórmula a la 
siguiente información: 
 
Si d
1
= 20% o 0,2; d
2
= 12% o 0,12; d
3
= 8% o 0,08 y d
4
= 0,025 
TUE = 1 - [ (1- 0,2)(1-0,12)(1-0,08)(1-0,025)] = 0,368512 
Luego si el valor bruto de la compra es de Gs. 75.000 y a este le deducimos el 
36,8512% de descuento único tendré un valor líquido a pagar por la compra de : 
75.000 – (0,368512 x 75 000) = 75.000 – 27.638,40 = Gs. 47.361,60 
 
 
ACTIVIDAD APLICATIVA 
El Descuento Comercial 
Objetivo: 
Verificar la comprensión acerca de los elementos del descuento comercial 
Se propone a los alumnos la práctica intensiva en sus casas de problemas que se 
entregarán por escrito, para su correspondiente desarrollo. 
 
AUTOEVALUACIÓN 
Resolver los siguientes problemas: 
1. Determinar el valor líquido a pagar en los siguientes casos: 
a.- Un aceite para autos se vende a Gs. 67,50 el galón y por una promoción se hace 
un descuento de Gs. 15,00. 
b.- Una tienda vende sus artículos de verano con un descuento del 35%, si una 
persona hace una compra de Gs. 980.000 y se beneficia con el descuento antes 
referido. 
2.- Tiendas Quality por fin de temporada vende todos los artículos de temporada con 
descuentos sucesivos del 25% +18% + 10%. Para un comprador de dichos artículos 
por la suma de Gs. 3.333,33. Deduciendo los descuentos uno por uno y aplicando la 
TUE 
3.- La Distribuidora de Alimentos S.A. ofrece a sus compradores de dulces importados 
descuentos del 17,5% + 12,5% + 7,5% + 4,5%. Si la Tienda PUN DUN GUN EIRL, hace 
una compra por la suma de Gs. 123.456,78, de los artículos antes mencionados, 
Deduciendo los descuentos uno por uno y aplicando la TUE. 
4.- Determinar la TUE para los siguientes descuentos sucesivos: 
a.- 20% + 20% 
b.- 25,5% + 15,4% + 5,6% 
Material exclusivo para los alumnos de la UNIDA. Prohibida su reproducción Página 26 
 
c.- 30,75% + 20,25% + 10,875% 
d.- 7,375% + 5,125% + 3,250% + 1,625% 
 
EL DESCUENTO COMERCIAL 
 
En el mundo financiero las operaciones comerciales se realizan a través del crédito y el 
pago se efectúa mediante documentos o instrumentos comerciales que son los 
llamados documentos de crédito, tal es el caso de las letras de cambio, los pagarés, 
obligaciones financieras, etc., que tienen el valor de pago referido en su contenido. En 
estos instrumentos, la persona deudora al aceptarlos adquiere el compromiso de pago 
dentro de un tiempo determinado. El acreedor que recibe estos documentos no tiene 
necesidad de esperar a su vencimiento para hacerlos efectivos o líquidos, ya que 
puede cobrarlos antes en la institución bancaria con la que maneje sus operaciones 
financieras, lógico será que al venderlos recibirá una suma menor que la consignada en 
los documentos, ya que la entidad financiera le descontará los días de anticipación o 
días que faltan para vencimiento. Esa diferencia valuada a partir del valor registrado en 
el documento constituye el Descuento Financiero o Bancario o Simple, es un interés 
sustractivo o adelantado o negativo. 
Su fórmula o modelo matemático simplemente define al Descuento Simple o Bancario 
o Financiero y denota por la letra mayúscula D como el producto de los factores Monto 
o valor de vencimiento o Valor Futuro (S), la tasa de interés cobrada por adelantado a 
la que se llama tasa de descuento denotada por la letra (d) y el tiempo de anticipación 
al vencimiento por el que se practica la operación. 
Descuento Simple = Monto o Valor de Vencimiento o Valor Futuro x Tasa de Descuento 
x Tiempo 
D = S . d . t 
 
También se utiliza con frecuencia la fórmula del valor líquido: 
Valor Líquido P = Monto o Valor de Vencimiento Valor Futuro menos 
 
Descuento Simple 
P = S – D 
 
Si reemplazamos D por los factores que lo determinan nos queda: 
P = S – S.d.t 
 
Como vemos el factor monto se repite, por ello factorizamos y nos queda: 
P = S (1 – d . t) 
 
Problema de aplicación: Una letra de cambio de valor de vencimiento Gs. 22.500 va a 
ser vendida el día de hoy en el Banco Interamericano de Finanzas, cuando faltaban 60 
días para el vencimiento si el banco aplica una tasa de descuento del 25%. ¿Cuál será la 
retención o descuento practicado por el banco al documento, y cuál será el valor 
líquido abonado por dicho instrumento? 
Factores: D = ? VF = Gs. 22.500 d = 25% o 0,25 t = 60 días 
Material exclusivo para los alumnos de la UNIDA. Prohibida su reproducción Página 27 
 
Aplicando la fórmula del Descuento tenemos: 
D = 22.500 x 0,25 x 60/360 = Gs. 937,50 
 
Para determinar el valor líquido aplicamos: 
P = 22.500 – 937,5 = Gs. 21.562,50 
 
También si queremos obtener directamente el valor líquido sin pasar por el cálculo 
previo del Descuento aplicamos la ecuación respectiva y tenemos: 
P = 22.500 [1 – (0,25) (60/360)] = Gs. 21.562,50 
 
Problema de aplicación 1: 
Un pagaré de valor de vencimiento $27 850,00 va a ser vendido el día de hoy en el 
Banco Interbank, cuando faltaban 180 días para el vencimiento si el banco aplica una 
tasa de descuento del 27,75%. ¿Cuál será la retención o descuento practicado por el 
banco al documento, y cuál será el valor líquido abonado por dicho instrumento? 
Factores: D = ? VF = Gs. 27.850,00 d = 27,75% o 0,2775 t = 180 días 
Rpta. 
Aplicando la fórmula del Descuento tenemos: 
D = 27.850 x 0,2775 x 180/360 = Gs. 3864,1875 
Para determinar el valor líquido aplicamos: 
P = 27.850 – 3864,1875 = Gs. 23.985,8125 
También si queremos obtener directamente el valor líquido sin pasar por el cálculo 
previo del Descuento aplicamos la ecuación respectiva y tenemos: 
P = 27.850 [1 – (0,2775) (180/360)] = Gs. 23.985,8125 
 
Problema de aplicación 2: 
Una obligación financiera paga a su vencimiento Gs. 360.000 va a ser vendida el día de 
hoy al Scotianbank, cuando faltan 540 días para el vencimiento si el banco aplica una 
tasa de descuento del 14,5%. ¿Cuál será la retención o descuento practicado por el 
banco al documento, y cuál será el valor líquido abonado por dicho instrumento? 
Factores: D = ? VF = Gs. 27.850 d = 14,5% o 0,25 t = 540 días 
Aplicando la fórmula del Descuento tenemos: 
D = 360.000 x 0,145 x 540/360 = Gs. 78.300,00 
Para determinar el valor líquido aplicamos: 
P = 360.000 – 78.300 = Gs. 281.700,00 
También si queremos obtener directamente el valor líquido sin pasar por el cálculo 
previo del Descuento aplicamos la ecuación respectiva y tenemos: 
P = 360.000 [1 – (0,145) (540/360)] = Gs. 281.700,00 
 
Problema de aplicación 3: 
Determinar el valor de vencimiento de una letra de cambio si con ella se consigue un 
financiamiento de $2’250 500,00 documentos que va a ser emitido el día de hoy 
siendo su vencimiento programado a 5 años si el banco aplica unatasa de descuento 
del 7,5%. 
Factores: S=? P = $2’250 500,00 d = 7,5% o 0,075 t = 5, años 
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Para determinar el valor futuro aplicamos su fórmula de determinación: 
S = [ ]).(1 td
P
−
 
P = [ ])5)(075,0(1
500250'2
−
 = Gs. 1.406.562,50 
 
 
 
ACTIVIDAD APLICATIVA 
DESCUENTO BANCARIO O FINANCIERO 
Objetivo: 
Verificar la comprensión acerca de los elementos del descuento bancario o financiero. 
Se propone a los alumnos la práctica intensiva en sus casas de problemas que se 
entregarán por escrito, para su correspondiente desarrollo. 
 
AUTOEVALUACIÓN 
Resolver los siguientes problemas: 
1.- Hallar el valor líquido pagado por una obligación financiera que paga al vencimiento 
Gs. 250.000,00 Si se descuenta a la tasa del 21%, entre el 19 de marzo del 2006 y el 20 
de junio del 2008.- Un proyecto de inversión requiere de Gs. 2.000.000 en efectivo 
para su ejecución dinero que sólo se consigue utilizando una línea de crédito de 
descuento de pagarés autorizada en el Banco y en la que se cobra el 9,875% de 
descuento a un plazo de 5 años. 
 
El Informe por escrito respectivo lo tendrá que presentar en la clase siguiente y será 
anotado en el registro su cumplimiento o no, como factor de referencia para una 
evaluación en parte subjetiva por parte del profesor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material exclusivo para los alumnos de la UNIDA. Prohibida su reproducción Página 29 
 
SEMANA 5, UNIDAD I 
TEMA 5: INTERÉS COMPUESTO. DESCUENTO COMPUESTO 
INTERÉS COMPUESTO 
El interés compuesto simplemente es la aplicación reiterada del interés de tipo simple 
a un capital que crece a unidades constantes de tiempo llamados periodos de 
conversión, capitalización o interés, por efecto de sumarse el interés al capital. En 
términos más sencillos el interés compuesto es la operación que consiste en sumar el 
interés al capital periódicamente, formando cada vez un nuevo capital. Este hecho de 
sumarse el interés al capital luego de un periodo o unidad de tiempo se conoce como 
capitalización del interés. 
 
Ejercicios de aplicación 
1.- Calcular la suma que se obtendría, al término de 3 años, si invertimos $150,000.00 
al 18% capitalizando los intereses semestralmente, aplicando la definición de interés 
compuesto dada inicialmente que dice que el interés compuesto es la aplicación 
reiterada del interés simple...... y también si la inversión se realizara a interés simple a 
la misma tasa del 18% 
Aplicando la definición el procedimiento sería: 
Capital Inicial o al comienzo del plazo Gs. 150.000 
Interés simple del 1er.semestre I = 150,000.00 x 0.18 x 6/12 = Gs. 13.500 
Capital al comienzo del Segundo semestre Gs. 163.500 
Interés simple del 2do.semestre I = 163,500.00 x 0.18 x 6/12 = Gs. 14.715 
Capital al comienzo del Tercer semestre Gs. 178.215 
Interés simple del 3er.semestre I = 178,215.00x 0.18 x 6/12 = Gs. 16.039 
Y así hasta concluir el plazo tenemos la tabla demostrativa siguiente: 
 
Tabla de Acumulación de Intereses 
Semestre Capital al Comienzo. Interés del semestre Capital al término de cada 
semestre de cada semestre 
 Capital Intereses Capital e intereses 
1 150.000 13.500 163.500 
2 163.500 14.715 178.215 
3 178.215 16.039 194.254 
4 194.254 17.482 211.737 
5 211.737 19.056 230.793 
6 230.793 20.771 251.565 
 
 
 
 
 
Material exclusivo para los alumnos de la UNIDA. Prohibida su reproducción Página 30 
 
TOTAL INTERESES ACUMULADOS 101 565,02 
En la tabla de acumulación de intereses se observa en la columna Capital al término 
del semestre, que al concluir el plazo de 6 semestres (3 años) la suma acumulada del 
capital más los intereses capitalizados semestre a semestre es de $251 565,02 y se 
conoce como Monto Compuesto. Si calculamos la diferencia entre el Monto 
Compuesto y el Capital invertido inicialmente obtenemos el Interés Compuesto para 
nuestro ejemplo obtiene un valor de: 
251.565,02 – 150.000,00 = Gs. 101.565,02. 
El proceso descriptivo de estimación o cálculo anotado líneas arriba es conocido como 
Método Largo o Método demostrativo del proceso de cálculo del Monto Compuesto, 
aplicable a situaciones o problemas de muy corto plazo. 
Ahora si la operación anotada como ejemplo se hubiera realizado a interés simple, el 
monto o valor futuro a este tipo de interés al final de los 3 años de inversión sería de: 
(aplicando la ecuación de monto simple) 
 
S = P [ 1 + t . i ] = 150 000 [1+(3)(0,18) ] = $ 231.000 
 
Comparando el resultado operativo del Monto Simple con el Monto Compuesto o 
Valor Futuro S observamos que existe una diferencia de Gs. 20.565,02 que en la 
práctica viene a ser el interés generado por el propio interés. 
 
Cuando el plazo de una operación es largo, determina un número grande de periodos 
de capitalización y hace que el método largo antes desarrollado sea prácticamente 
imposible de aplicar por lo trabajoso de su aplicación unitaria, es en esos casos que se 
recurre a la aplicación de una ecuación o fórmula que simplifique dicho proceso de 
cálculo, dándose entonces el Método Corto, del que desarrollaremos la deducción de 
su ecuación previo tratamiento de los factores vinculados a él. 
 
Definiciones previas de los factores vinculados al interés compuesto. 
Capitalización: Proceso por el cual el interés generado en una unidad de tiempo se 
agrega o añade o suma al capital. 
Periodo de conversión o de capitalización o de interés (p
c
): es el tiempo o plazo que 
se mide o transcurre entre dos cómputos sucesivos de interés. 
Frecuencia de conversión o de capitalización o de interés (f
c
): es el número de veces 
por año que el interés se capitaliza o añade o suma al capital. 
Entre el periodo y la frecuencia de conversión existe una directa correspondencia, es 
decir a cada periodo de conversión o de capitalización le corresponde una frecuencia 
determinada, siendo los periodos más usados los siguientes: 
Periodo de conversión (p
c
) Frecuencia (f
c
) 
Anual 1 
Semestral 2 
Cuatrimestral 3 
Trimestral 4 
Bimestral 6 
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Cada 45 días 8 
Mensual 12 
Cada 21 días 17,14 
Quincenal 24 
Semanal 51,43 
Diario 360 
 
Tasa de Interés: En problemas de interés compuesto, la tasa de interés presenta 3 
valores llamados: Tasa Nominal ( TNj ó j ), Tasa efectiva por periodo de conversión, 
capitalización o interés (TEPI ó i ) y Tasa efectiva anual ( TEA ). 
 
La primera expresión es la tasa nominal, que denotaremos por la letra “j” minúscula o 
las siglas TNj, en la mayoría de operaciones financieras se acostumbra a mencionar la 
tasa anual de interés, -el valor de dicha expresión se cumple sólo en el caso de que la 
capitalización sea anual- y va acompañada de la frecuencia de conversión 
capitalización o de interés (f
c
) y es a partir de esos datos que se determina la segunda 
expresión llamada tasa efectiva por periodo, (esta se define como aquella tasa que 
efectivamente gana un capital prestado o invertido por periodo de conversión 
capitalización o interés) la que denotaremos por la letra “i” minúscula, 
 
Para obtener el valor de esta tasa efectiva por periodo bastará con dividir la tasa 
nominal entre la frecuencia de conversión, así por ejemplo si una operación se lleva a 
cabo a la tasa del 18% capitalizable bimestralmente el valor de la tasa efectiva por 
periodo será: 
i = 18%/6 = 3% 
Que se interpreta como que la operación gana o cobra o paga el 3% efectivo cada 
bimestre, porque la tasa nominal j es igual al 18%, la frecuencia de conversión que le 
corresponde a un intervalo bimestral es 6. 
 
La tercera expresión es la tasa efectiva anual, la definimos como aquella tasa que 
efectivamentegana un capital en un año de inversión (es decir siempre que dejemos 
que el interés producido se capitalice durante un año). En la actualidad un dispositivo 
legal obliga a las entidades financieras a comunicar a sus clientes la tasa efectiva anual 
que cobran en sus operaciones así como las comisiones por cuota, portes y cargos por 
seguros al inicio de las operaciones. 
 
Tiempo: En problemas de interés compuesto el tiempo se trabaja bajo la forma de 
unidades de tiempo que marcan el ritmo del proceso de capitalización siendo estas 
llamadas periodos de conversión o de capitalización o de interés. Entonces el tiempo o 
plazo deberá ser expresado por un número "n" de periodos de conversión, que se 
obtiene multiplicando el tiempo en años o fracción de año por la frecuencia de 
conversión, o de capitalización o de interés. 
 
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Ejemplo 1: Una transacción económica se realiza a un plazo de 3 años a la tasa de 
interés del 21% capitalizable mensualmente. ¿Cuántas capitalizaciones de interés se 
realizarán durante ese plazo? 
Rpta. Para calcular dicho número, primero vemos qué frecuencia de capitalización le 
corresponde a un periodo capitalización mensual y observamos que es 12, luego 
aplicamos la fórmula para calcular n y tenemos: n = 3 años x 12 = 36 
 
Monto Compuesto o Valor Futuro Interés Compuesto 
 
Proceso de deducción de su Fórmula de Cálculo o Método Corto. 
Si un capital VP es colocado a la tasa de interés i por periodo de capitalización, el 
Monto Compuesto o Valor Futuro VF a interés compuesto al final de un número n de 
periodos de capitalización teóricamente nos describirá la siguiente expresión: 
 
Periodo Capital al Intereses generados Capital e intereses al 
 Inicio del periodo en el periodo término de cada periodo 
 1 VP VPi VP + VPi = VP(1+i) 
 2 VP(1+ i) VP(1+ i)i VP(1+ i)+VP(1+ i)i = VP(1+i)
2 
 
 3 VP(1+ i)
2 
VP(1+ i)
2
i VP(1+ i)
2
+VP(1+ i)
2
i = VP(1+i)
3 
 
 . . . . . . . . . . . . 
 n VP(1 + i)
n-1 
VP(1 + i)
n-1 
i VP(1+ i)
n-1
+VP(1 + i)
n-1
i = VP(1 +i)
n 
 
 
Luego tenemos la fórmula de cálculo del Monto compuesto o Valor Futuro a Interés 
Compuesto: 
VF = VP( 1 + i )
n
, en donde 
VF = Monto Compuesto o Valor Futuro a Interés Compuesto o Valor de Vencimiento 
VP = Capital o Capital Inicial 
 (1 + i)
n 
= Factor de Simple de Capitalización de la Unidad Monetaria o factor simple de 
capitalización FSC siglas que corresponden a la hoja de cálculo Excel. 
 
Los valores del factor simple de capitalización de la unidad monetaria (1 + i)
n 
se pueden 
determinar por multiplicación sucesiva, utilizando tablas financieras pre elaboradas, 
logaritmos, por la fórmula del binomio de Newton o calculadoras con funciones. Se 
podrá utilizar las tablas financieras si ellas registran los valores que estamos 
trabajando de "i", sino se recurrirá a la utilización de calculadoras científicas que 
tienen tanto logaritmos como exponentes. 
 
Problemas de aplicación 1: 
1.- Calcular los montos compuestos resultantes de invertir Gs. 50, Gs. 9.000 y Gs. 360 
000 a la tasa del 14% capitalizable trimestralmente al cabo de 5 años. 
Rpta. Factores: VP
1
=$50 VP
2
=Gs. 9.000 VP
3
=Gs. 360.000 
j = 14% p
c 
= trimestral f
c 
= 4 i = 14%/4 = 3,5% o 0,035 
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t = 5 años n = 5 x 4 = 20 VF
1 
= ? VF 
2 
=? VF
3 
=? 
VF
1 
= 50 (1 + 0,035)
20 
= 50 x 1,98978886347 = Gs. 99,4894431735 ≅ $99,49 
VF
2 
= 9.000 (1 + 0,035)
20 
= 9.000 x 1,98978886347 ≅ $17 908,10 
VF
3 
= 360.000 (1 + 0,035)
20 
= 360.000 x 1,98978886347 ≅ $716 323,99 
2.- Se invierten S/.12 000 nuevos soles durante 3 años a la tasa del 18% capitalizable o 
convertible bimestralmente. Determinar el Monto Compuesto, Interés Compuesto y la 
Tasa efectiva anual. Rpta. VP = S/.12 000 j = 18% p
c = Bimestral fc = 6 i = 18%/6 = 3% t 
=3años 
n =3x6 = 18 
Aplicando la fórmula tendremos: 
VF = 12.000(1+ 0,03)
18 
= Gs. 20.429,20 
I
c 
= 20.419,20 – 12.000 = Gs. 8.429,20 
TEA = (1 + i)
fc 
– 1 = (1 + 0,03)
6 
– 1 = 0,19405229653 o ≅19,41% 
 
3.- Se invierten $147 500 dólares americanos durante 30 meses a la tasa del 14,4% 
capitalizable o convertible mensualmente. Determinar el Monto Compuesto, Interés 
Compuesto y la Tasa efectiva anual. 
Rpta. VP = S/.147 500 j = 14,4% p
c 
= mensual f
c 
= 12 i = 14,4%/12 = 1,2% 
t =30 meses n = 30/12 x 12 = 30 
Aplicando la fórmula tendremos: 
VF = 147.500 (1+ 0,012)
30 
= Gs. 210.963,54 
I
c 
= 210.963,54 – 147.500 = Gs. 63.463,54 
TEA = (1 + i)
fc 
– 1 = (1 + 0,012)
12 
– 1 = 0,15389462418 o ≅15,39% 
 
4.- Calcular los montos compuestos resultantes de invertir $66,888 a la tasa del 12% 
capitalizable semestralmente, trimestralmente, bimestralmente, mensualmente y 
quincenalmente al cabo de 4 años. 
Rpta. Factores: VP
1-2-3-4 y 5 
= $66 888 j
1-2-3-4 y 5 
= 12% 
p
c1
= semestral f
c1 
=2 i
1 
= 12%/2 = 6% t
1 
= 4 años n
1 
= 4x2 = 8 VF
1 
= ? 
p
c2
= trimestral f
c2 
=4 i
2 
= 12%/4 = 3% t
2 
= 4 años n
2 
= 4x4 = 16 VF
2 
= ? 
p
c3
= bimestral f
c3 
=6 i
3 
= 12%/6 = 2% t
3 
= 4 años n
3 
= 4x6 = 24 VF
3 
= ? 
p
c4
= mensual f
c4 
=12 i
4 
= 12%/12 = 1% t
4 
= 4 años n
4 
= 4x12 = 48 VF
4 
= ? 
p
c5
= quincenal f
c5 
=24 i
5 
= 12%/24 = 0.5% t 
5 
=4 años n
5 
= 4x24 = 96 VF
5 
= ? 
VF
1 
= 66.888 (1 + 0,06)
8 
= 66.888 x 1,59384807453 = $106 609,31 
VF
2 
= 66.888 (1 + 0,03)
16 
= 66.888 x 1,6047064391 = $107 335,60 
VF
3 
= 66.888 (1 + 0,02)
24 
= 66.888 x 1,60843724948 = $107 585,15 
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VF
4 
= 66.888 (1 + 0,01)
48 
= 66.888 x 1,61222607768 = $107 838,58 
VF
5 
= 66.888 (1 + 0,005)
96 
= 66.888 x 1,61414270846 = $107 966,78 
Tasas Equivalentes. 
Se dice que dos tasas anuales de interés con diferentes períodos de conversión son 
equivalentes si producen el mismo interés compuesto al término del año. 
 
Ejercicios de aplicación 
1. Hallar el monto compuesto o valor futuro de una unidad monetaria al final de un 
año a las tasas: 
Caso 1: 8% capitalizable trimestralmente 
Caso 2: 8,243216% capitalizable anualmente. 
Caso 1: VF = VP(1+i)
n 
= 1(1+ 0,08/4)
4 
= 1,08243216 
Caso 2: VF = VP(1+i)
1 
= 1(1 + 0,08243216)
1 
= 1,08243216 
Al obtener resultados similares podemos concluir que las tasas del 8% capitalizable 
trimestralmente y 8,243216 capitalizable anualmente, son equivalentes. 
 
2. Hallar la tasa que capitalizada anualmente es equivalente a la tasa nominal del 
18% capitalizable o convertible bimestralmente 
1+i = (1 +0,18/6)
6
 
i = (1 +0,03)
6 
– 1 
i = 0,19405229653 o sea 19,41% 
 
Determinar la tasa nominal j convertible mensualmente equivalente a la tasa efectiva 
anual del 12%. 
1 + j/12 = (1,12)
1/12
 
j = 12 [(1,12)
1/12 
– 1 ] 
j = 0,1138655148 ó 11,39% 
 
3. Determinar el tiempo necesario para que una inversión de Gs. 22.222 colocados a 
la tasa del 9,6% capitalizable bimestralmente se triplique es decir se acumule un 
monto compuesto o valor futuro de Gs. 66.666. 
Rpta. Datos: VP = Gs. 22.222; VF = Gs. 66.666; i = 9,6%/6 = 0,016 
A partir de la ecuación general del monto compuesto: VF = VP(1+ i)
n 
igualamos factores 
66.666 = 22.222 (1+0,016)
n 
 
(1 + 0,016)
n 
= 66.666/22.222 = 3 
 
Luego utilizando logaritmos despejo n: 
n log (1,016) = log 3 
 
Luego n = log 3 /log 1,016 = 69,21112097 x 60 = 4.152,667258 = 4 153 días aprox. 
 
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También se puede convertir a años dividiendo el resultado entre 360: 
4152,667258/360 =11,53518683 años y la fracción a la derecha de la parte entera 
multiplicarla por 12 y obtendremos los meses adicionales:0,53518683 x12= 6,422241933 meses y la fracción a la derecha de la parte entera 
multiplicarla por 30 y obtendremos los días que directamente redondearemos: 
0,422241933 x 30= 12,667258 ≅ 13 días. 
 
Ejercicios de aplicación 
1. Obtener los factores: Capital o principal, tasa nominal, periodo de conversión 
capitalización o interés, frecuencia de conversión, tasa efectiva por periodo, tiempo 
y número de periodos de conversión capitalización o interés y determinar el monto 
compuesto, interés compuesto y tasa efectiva anual para los siguientes problemas. 
a.- Una inversión de 80.000 dólares a la tasa del 14% capitalizable trimestralmente 
durante 27 meses 
b.- Un crédito de 45.678,00 dólares a la tasa de 12,6% capitalizable mensualmente 
durante 900 días. 
c.- Una persona apertura una cuenta plazo con un depósito inicial de Gs. 7.500,00 
cuentas que pagan un interés del 18% capitalizable diariamente durante 1.000 días. 
 
2. Un contrato de crédito hipotecario que financia el 80% del valor de una propiedad 
avaluada en Gs.120.000 a la tasa del 17,1% de interés capitalizable mensualmente 
a un plazo de 12 años. Determinar el valor futuro del contrato 
Rpta. Primero calculo el 80% de 120.000 = 96.000 (Capital Financiado) = P 
 
 Luego aplico la fórmula del Valor Futuro a mis factores predeterminados 
VF= 96.000(1+ 0,01425)
144 
=96.000(7,671536544)= Gs. 736.467,5083 
 
3. Una persona invirtió en una cuenta de ahorros Gs. 33.333 dólares la que pagaba 
un interés del 8,4% capitalizable mensualmente al cabo de 3 años de inversión, la 
tasa de interés fue bajada al 7,8% con capitalización quincenal, tasa que duró 18 
meses al término de dicho plazo bajó al 7,2% capitalizable bimestralmente. Si a la 
fecha han transcurrido 30 meses del último cambio de la tasa de interés ¿Cuánto 
habrá acumulado en la cuenta? 
 Rpta. 
VF = 33.333 (1+0,084/12)
36
(1+0,078/24)
36
(1+0,072)
15
= Gs. 57.593,4497 
VF = 33.333(1,285467023)(1,123906189)(1,195935307) ≅ Gs. 57.593,45 
 
4. Hallar la tasa nominal j, convertible mensualmente equivalente a la tasa efectiva 
anual del 12,9%. 
 Rpta. 
[1+(j/12)]
12 
= 1.129 traslado el exponente del miembro de la izquierda al de la derecha 
y tendremos: 1+(j/12) = (1,129)
1/12 
despejando j tenemos 
j = 12[(1,129)
1/12 
– 1] = 12[1,010162313 – 1]= 0,1219477546 
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j = 12,19477546% ≅ 12,19% 
 
5. Hallar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal del 18% capitalizable o 
convertible trimestralmente. 
 Rpta. 
1+ i = [1+ (0,18/4)]
4 
despejando i 
tenemos i = (1+0,045)
4 
– 1 = 0,1925186006 
luego i ≅ 19,25%. 
 
6. Determinar el plazo necesario para que una inversión de Gs. 34.567,89 invertidos 
a la tasa del 18% capitalizable o convertible diariamente determine un monto 
compuesto o valor futuro de Gs. 100.000,00. Rpta. 
Factores: P =34.567; F = 100.000; i = 0,18/360 = 0,0005 Reemplazamos en la ecuación 
general de cálculo del valor futuro 100.000 = 34 567 (1 + 0,0005)
n 
 
2,892932566 = (1,0005)
n 
utilizando logaritmos despejamos el exponente “n” 
n log (1,0005) = log 2,892932566 n = log 2,892932566/log 1,0005 = 
n = 2 125,072524 periodos y dado que la capitalización es diaria la respuesta será n = 2 
125 días. 
 
ACTIVIDAD APLICATIVA 
INTERÉS COMPUESTO 
Objetivo: 
Verificar la comprensión acerca de los elementos del interés compuesto. 
Se propone a los alumnos la práctica intensiva en sus casas de problemas que se 
entregarán por escrito, para su correspondiente desarrollo. 
AUTOEVALUACIÓN 
Resolver los siguientes problemas: 
 
1. Determinar el plazo necesario para que una inversión de Gs. 23.456 genere un 
monto compuesto de Gs. 44.444 si se paga un interés del 21% capitalizable o 
convertible mensualmente. La respuesta la das tú. 
 
2. Determinar el plazo de inversión para que un principal de Gs. 15.750 determine un 
monto compuesto o valor futuro de Gs. 43.210 estando invertido a la tasa del 24% 
capitalizable bimestralmente. La respuesta la das tú. 
 
3. El día en que nació su primogénito, sus padres depositaron a su nombre, Gs. 4.800 
dólares en una cuenta de ahorro que paga el 6% capitalizable trimestralmente. 
¿De cuánto dispondrá el hijo cuando cumpla los 21 años? 
 
4. Calcular el monto compuesto o valor futuro de una inversión de Gs. 42.000 a la 
tasa del 9% si la capitalización es: anual, semestral, trimestral, bimestral y 
mensual. Las respuestas las das tú. 
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Ley del Crecimiento Orgánico 
El modelo matemático que describe el interés compuesto o ley del interés compuesto 
se le llama también ley del crecimiento orgánico cuando es aplicada por los 
investigadores a todo fenómeno de la naturaleza, la ciencia, el campo comercial o 
mundo empresarial que se modifique en proporción constante, para ello el operador 
del modelo debe tener suficiente experiencia para su uso, porque debe trasladar al 
futuro tasas o porcentajes de variación que tuvieron vigencia en el pasado, haciendo 
las adecuaciones respectivas en las variables que opere 
 
a) La población de una determinada ciudad aumentó entre los años 1979 y 1999 a la 
tasa del 3,87% anual aproximadamente y el censo de dicha ciudad de 1999 dio una 
población de 567.890 habitantes. ¿Cuál será la población previsible de dicha 
ciudad para los años 2005 y 2010 suponiendo que continuara vigente la misma 
tasa de crecimiento poblacional? 
 Rpta. Factores: 
Caso 1 VP = 567 890, i = 0,0387 y n
1999-2005 
= 6 años F
2005 
= ? 
VF
2005 
= 567 890(1 + 0,0387)
6 
≅ 713 190 habitantes 
Caso 2 P = 567 890, i = 0,0387 y n
1999-2010 
= 11 años F
2010 
= ? 
 VF
2010 
= 567.890(1 + 0,0387)
11 
≅ 862.295 habitantes 
 
b) Las utilidades de una empresa han crecido entre 1980 y 1998 a razón del 12,5% 
anual aproximadamente. Si las utilidades del año 1998 fueron de Gs. 444.444,44 
¿Cuáles serían las utilidades proyectadas de esa empresa para los años: 2000, 
2001 y 2002, si continuara vigente dicha tasa de crecimiento? 
 Rpta. 
VF
2000 
= 444.444,44 (1 + 0,125)
2 
= Gs. 562.499,99 
VF
2001 
= 444.444,44 (1 + 0,125)
3 
= Gs. 632.812,49 
VF
2002 
= 444.444,44 (1 + 0,125)
4 
= Gs. 711.914,06 
AUTOEVALUACIÓN 
1. En un establecimiento comercial las ventas se han venido incrementando de 
manera constante año a año a la tasa de 6,75% anual. Si volumen de las ventas en 
1998 fue de Gs. 376.450,00 ¿Cuál será el volumen estimado para el año 1999, 
2000, 2001, 2002, 2003 y 2004, respectivamente? 
 
2. Durante el periodo 1980 – 1997, el dividendo anual pagado por acción común de 
la empresa Grafica B & H S.A. aumentaron a razón del 7,75% anual 
aproximadamente. Si dicho beneficio fue de Gs. 144,89 para 1997. ¿Qué dividendo 
o beneficio anual puede estimarse para el año 1999, 2000 y 2001? 
 
 
 
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Valor Actual, Presente o Líquido de una deuda a Interés Compuesto. 
Se define como aquel capital o principal P tal que, el monto compuesto o valor futuro a 
una fecha establecida sea igual a la cantidad dada o referida en el presente. La fórmula 
de cálculo la obtenemos despejando el factor capital o principal P a partir de la 
ecuación de monto compuesto o valor futuro a interés compuesto F. 
VP = VF / (1+ i)
n
, cociente que se puede expresar como producto empleando el 
exponente negativo: VP = VF (1+ i)
-n 
 
En donde 
VP = Valor actual, presente o líquido de una deuda a interés compuesto 
VF = Monto Compuesto o Valor futuro a interés compuesto. 
(1 + i)
-n 
= Factor del Valor actual, presente o líquido de la unidad monetaria, o Factor 
Simple de Actualización compuesto FSA
i;n
, en donde i es la tasa efectiva por periodo y n 
el número de periodos. Este factor en problemas de seguros (matemática actuarial) se 
representa por el símbolo v
n
,cuyos valores se encuentran en tablas financieras como 
valor actual de la unidad monetaria. 
El valor actual presente o líquido es uno de los instrumentos más útiles y poderosos 
del análisis económico, porque permite al analista financiero determinar el valor que 
tienen en el momento actual las cantidades que han de pagarse en el futuro. 
 
Problemas de aplicación. 
a) Determinar el valor presente de una deuda de $18.000 dólares americanos a 
pagarse dentro de 5 años siendo la tasa del 8% capitalizable trimestralmente. 
Rpta. VF = $18.000; j =8%; p
c 
= trimestral; f
c 
= 4; i = 0,08/4 =0,02; t =5 años; n = 5x4 = 20 
Aplicando la fórmula: VP = 18.000(1 + 0,02)
-20 
= 18.000 x 0,6729713331 
VP = 12.113,484 redondeando ≅ Gs. 12.113,48 
 
b) Una letra de cambio vence en 4 años 7 meses, siendo su valor de vencimiento de 
$7.500 dólares americanos. ¿Cuál es su valor presente o actual, si la tasa a la que se 
calcula éste es del 9% capitalizable bimestralmente? 
Rpta. Para dar respuesta a este problema analizaremos el hecho de que los periodos 
de capitalización no son un número entero por lo tanto deberemos utilizar un número 
tal que comprenda o incluya dicho plazo. En ese caso sería 4 años 8 meses que es el 
tiempo que más se aproxima o mínimo necesario y aplicamos la fórmula: 
VP = 7.500(1+0,015)
-28 
= 7.500 x 0,6590992494 = $4 943,24437 
Como en el plazo nos hemos excedido un mes aplicamos interés simple por ese mes: 
4.943,24437 x 0,09 x 1/12 = Gs. 37,07433278 
El valor actual lo obtenemos sumando VP + el interés simple antes calculado: 
VP = 4,943.24437 + 37.07433278 = Gs. 4.980,318703 ≅ Gs. 4.980,2 
 
c) Una persona desea adquirir una obra de arte y le presentan dos formas de pago: la 
primera pagando 12.000 dólares al contado y la segunda pagando una cuota inicial 
de 4.000 dólares y 10.000 más en 30 meses. Si esta persona puede invertir su 
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dinero al 7,2% capitalizado trimestralmente. ¿Cuál de las dos ofertas es más 
conveniente y porqué? 
 
Para dar respuesta a éste problema calculemos el valor actual de los 10.000 dólares a 
pagar en 30 meses al 7,2% capitalizable trimestralmente: 
VP = 10.000 ( 1 + 0,018 )
-10 
= 10.000 x 0,8366083984 
VP = 8.366,083984 ≅ Gs. 8.366,08 
Ahora analizaremos resultados: Si sumamos este valor presente calculado a la cuota 
inicial dada tendremos: 4.000 + 8.366,08 = Gs. 12.366,08 
Por tanto pagando al contado la persona ahorra 366.08 dólares valuados al momento 
actual o presente. Es decir la primera opción es la mejor. 
 
d) ¿Qué capital será necesario para saldar una deuda de Gs. 65.750,00 el 31 de 
diciembre del año 2010, si el préstamo tuvo lugar el 16 de enero del año 2007, a la 
tasa del 18% capitalizable diariamente? 
Debemos utilizar el tiempo exacto, en el mes de enero 31-16 
Rpta Factores: VF = 65,750 
i= 0,18/360 = 0,0005 
n = (1080/360) x360 = 1080 
 
Luego VP = 65 750 ( 1 + 0,0005)-1489 = Gs. 31.235,2021. 
 
e) Determinar el capital necesario para cancelar anticipadamente un pagaré el día de 
hoy, sabiendo que vence dentro 18 meses si nos otorgan un beneficio de 
reducción de la tasa de interés del 21% capitalizable mensualmente, si el valor de 
vencimiento o valor nominal de dicho documento es de $445.566 
Rpta. Factores: VF = 445.566 i = 0,21/12 = 0,0175 n = 18/12 x 12 = 18 
Luego: VP = 445.566 (1+0,0175)
-18 
= Gs. 326.056,2 
 
 
ACTIVIDAD APLICATIVA 
INTERÉS COMPUESTO 
a) Las ventas de la compañía XYZ crecen mensualmente a una tasa constante del 
2,375%, si las ventas de diciembre de 2007 de la empresa fueron de: US$ 
678.901,23 Cuáles serán las ventas esperadas o probables para Diciembre del 
2008; Octubre del 2005; Marzo del 2010 y Julio del 2012, siempre que la tasa de 
incremento de las ventas se mantenga constante. 
 
b) Vendí un pagaré de US$ 45.789,01 cuando faltaban 882 días para su vencimiento a 
la tasa del 24% efectivo anual que procedía de la capitalización semanal de los 
intereses. 162 días después de la operación anterior el pagaré fue nuevamente 
vendido a la tasa del 27% capitalizable quincenalmente; 180 días después de la 
operación anterior lo vendieron nuevamente a la tasa del 19% efectivo anual que 
Material exclusivo para los alumnos de la UNIDA. Prohibida su reproducción Página 40 
 
procedía de la capitalización cada 45 de los intereses. Faltando 330 días para el 
vencimiento fue finalmente vendido a la tasa del 25% con capitalización cada 21 
días. Cuánto pagó cada uno por el documento. 
 
 
DESCUENTO COMPUESTO 
El descuento compuesto bancario es una operación que consiste, en la aplicación 
sucesiva del descuento simple al valor nominal o valor del vencimiento o valor futuro 
del instrumento o documento que se descuenta por unidades temporales o periodos 
de tiempo preestablecidos, obteniendo sucesivamente también valores líquidos 
durante el plazo u horizonte temporal de la operación. 
Cálculo del valor actual, presente o líquido a descuento compuesto bancario: 
VP
1 
= VF – VFd = VF ( 1 – d ) 
VP
2 
= VP
1 
– VP
1
d = VP
1 
(1 – d) = VF (1 – d ) (1 – d) = VF ( 1 – d )
2
 
VP
3 
= VP
2 
– VP
2
d = VP
2 
(1 – d) = VF (1 – d )
2 
(1 – d) = VF ( 1 – d )
3 
 
. . . . . . . . . . 
 
VP
n 
= VP
n-1 
– VP
n-1
d = VP
n-1
(1 – d) = VF(1 – d )
n-1
(1 – d) = VF ( 1 – d )
n 
 
 
Finalmente tenemos: 
VP = VF (1 – d )
n
 
VP = Valor Actual, presente o líquido a descuento compuesto bancario 
VF = Valor Futuro o Monto compuesto o Valor nominal o Valor de vencimiento 
(1 – d)
n 
= Factor del descuento de la unidad monetaria. 
 
Problemas de aplicación 
1.- El 31 de agosto de 2000, el Banco Santander aceptó descontar una letra de cambio 
de su cliente la empresa Transportes Altursa S.A. de valor de vencimiento US$ 8.800,00 
que vence en 120 días. ¿Cuál fue el valor líquido que recibió la empresa en dicha fecha 
si la tasa nominal del descuento aplicada fue del 42%, con periodo bancario de 
descuento de 30 días? 
Rpta. Factores: VF = US$ 8.800,00 n = 4 d = 0,42/12 = 0,035 P= ? 
VP = 8.800,00 (1 – 0,035)
4 
= S/.7 631,184006 
8800 1 − �
0.42
12
�
120
360𝑥𝑥12
 
 VP = S/.7 631,18 
2.- Si la empresa deseara conocer el importe de los descuentos mensuales generados 
con respecto a la letra de cambio, elabore una tabla demostrativa del proceso del 
descuento aplicado a dicho documento. 
 Fecha Días Valor Actual Descuento Descuento 
 Líquido mensual acumulado 
29 –12 0 8.800,00 0 0,00 
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29 – 11 30 8.492,00 308,00 308,00 
30 – 10 60 8.194,78 297,22 605,22 
30 – 09 90 7.907,96 286,82 892,04 
 31 – 08 120 7.631,18 276,78 1.168,82 
 
3.- Un pagaré de valor nominal US$ 13.750,00 es descontado por un banco 4 meses 
antes de su vencimiento aplicando una tasa de interés adelantado del 21% con 
capitalización mensual ¿Cuánto deberá pagarse para cancelarlo 3 meses antes de su 
vencimiento? 
Rpta. Factores: VP = ? VF=US$ 13.750,00 n = 3 d = 0,21/12 = 0,0175 
VP = 13.750 (1 – 0,0175)
3 
= US$ 13.040,68412 
VP = US$ 13.040,68 
 
Modelo matemático para el cálculo del Descuento Compuesto Bancario 
Sabemos por el descuento que D = VF – VP como VP = VF (1 – d)
n 
, entonces 
D = VF – VF (1 – d)
n 
, Factorizando VF 
D = VF [ 1 – (1 – d )
n 
] 
 
4.- Determine el descuento compuesto bancario de una letra de cambio de valor de 
vencimiento US$ 25.000.00 si vence en 60 días, si es descontada a la tasa del 48% 
nominal anual con periodo de descuento mensual. 
Rpta. Factores: VF =US$ 25.000,00 n = 2 d = 0,48/12 = 0,04 D = ? 
D = 25.000,00 [ 1 – ( 1 – 0,04 )
2 
] 
D = US$ 1.960,00 
 
Cálculo del Valor Nominal o Valor de Vencimiento o Valor Futuro de un documento a 
descontar. 
Hay casosen los cuales sabemos el importe o cantidad de dinero que necesitamos y 
que conseguimos por vía del descuento compuesto bancario de documentos y nuestra 
pregunta es ¿Cuál sería el importe de documento a suscribir en dicho caso si este es 
descontado? En ese caso y a partir de la ecuación del valor líquido VP despejo el factor 
valor de vencimiento VF y nos queda: 
VF = VP (1 – d )
-n 
 
5. La empresa constructora Graña y Montero S.A. requiere para la ejecución de un 
proyecto a 120 días de capital de US$. 250.000,00, por ello utiliza su línea de 
crédito de descuento de pagarés. Determine el valor nominal o de vencimiento del 
instrumento a descontar a ese plazo, si la tasa de descuento que se aplica a la 
operación es del 54% con periodo de descuento bancario quincenal? 
Rpta. VP = US$ 250.000,00 n = 8 d = 0,54/24 = 0,0225 F = ? 
VF = 250.000 (1 – 0,0225 )
-8 
= Gs. 299.920,3126 
VF = US$ 299.920,31 
 
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Problema de aplicación 
1. La empresa El Gallo Ronco SAC, requiere de Gs. 250.000 para la ejecución de un 
proyecto de inversión a ejecutarse en los próximos tres años, si el dinero es 
conseguido descontando un pagaré a la tasa del 18% ¿Cuál será el importe del 
documento a emitirse por concepto de dicho crédito? 
 
Descuento compuesto bancario unitario o devengado en cada periodo de descuento 
D
z. 
 
Es posible calcular el descuento compuesto bancario unitario o devengado por cada 
periodo de descuento. Para un periodo z cualquiera, dicho descuento D
z 
lo calculamos 
con la fórmula que deducimos a continuación: 
 
Para z El Descuento El Valor Actual ó Líquido 
 
z = 1 D
1 
= VF d P
1 
= VF – VF d = VF (1 – d) 
z = 2 D
2 
= VF (1 – d) d P
2 
= VF(1 – d) – VF(1 – d)d = VF (1 – d)
2 
 
z = 3 D
3 
=VF (1 – d)
2
d P
3 
= VF(1 – d)
2
- VF(1 – d)
2
d = VF (1 – d)
3 
z = n D
n 
= VF (1 – d)
n-1
d P
n 
= VF ( 1 – d )
n 
 
z = 250 000 (1 – 0.18)3 
z= 137842 
 
2. Una letra de cambio de valor nominal Gs. 33.500 con fecha de vencimiento 15 de 
diciembre de 2002, fue descontada por un banco faltando 150 días para su 
vencimiento y se le aplicó una tasa anual de descuento del 54% con periodo de 
descuento mensual. Calcule el valor líquido y el descuento realizado en cada 
periodo de 30 días. 
 
Fecha Días Valor Actual Descuento Descuento 
 o líquido Mensual Acumulado 
15 – 12 0 33.500,00 0,00 0,00 
15 – 11 30 31.992,50 1.507,50 1.507,50 
16 – 10 60 30.552,84 1.439,66 2.947,16 
16 – 09 90 29.177,96 1.374,88 4.322,04 
17 – 08 120 27.864,95 1.313,01 5.635,05 
18 – 07 150 26.611,03 1.253,92 6.888,97 
Cálculo Del valor presente o líquido: VP = VF (1 – d )
n 
 
VP = 33.500.00 ( 1 – 0,045 )
5 
= GS. 26.611,03 
 
Cálculo de los descuentos periódicos: D = VFd (1 – d)
z-1 
 
 
Para z = 1 D
1 
= 33.500,00 x 0,045 ( 1 – 0,045)
1-1 
= 1.507,50 
Material exclusivo para los alumnos de la UNIDA. Prohibida su reproducción Página 43 
 
Para z = 2 D
2 
= 33.500,00 x 0,045 ( 1 – 0,045)
2-1 
= 1.439,66 
Para z = 3 D
3 
= 33.500,00 x 0,045 ( 1 – 0.045)
3-1 
= 1.374,88 
Para z = 4 D
4 
= 33.500,00 x 0,045 ( 1 – 0.045)
4-1 
= 1.313,01 
Para z = 5 D
5 
= 33.500,00 x 0,045 ( 1 – 0.045)
5-1 
= 1.253,92 
 
 
ACTIVIDAD APLICATIVA 
DESCUENTO COMPUESTO 
Objetivo: 
Verificar la comprensión acerca de los elementos del descuento comercial 
Se propone a los alumnos la práctica intensiva en sus casas de problemas que se 
entregarán por escrito, para su correspondiente desarrollo. 
 
AUTOEVALUACIÓN 
Resolver los siguientes problemas: 
 
1.- Hallar el valor de una letra de cambio de Gs. 7.890,12 que fue vendida el día de hoy 
(17/04/2005) sabiendo que vence el 07 /04/ 2007, a la tasa de descuento del 22,5 % 
deducible diariamente. 
 
2.- Un proyecto de inversión requiere de Gs. 750.000 para su ejecución, dicho dinero 
se puede conseguir descontando una obligación financiera de valor desconocido 
que será descontada a la tasa del 20% capitalizable mensualmente. Sabiendo que 
fue descontado 27 meses. 
 
3. Determinar el valor actual de un documento de Gs 1.000.000 que se descuenta al 
5% de interés anual compuesto, dos años antes de su vencimiento. 
 
4. Determinar el descuento que sufre un documento de Gs. 5.000.000, 3 años antes de 
su vencimiento, al 18% de interés anual compuesto. 
 
5. ¿Cuánto tiempo antes de su vencimiento fue descontado un documento de U$S 52. 
500 que sufrió un descuento de U$S 2.500 al 5% anual de interés compuesto? 
 
 
 
 
 
 
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SEMANA 6, UNIDAD I 
TEMA AV1: EXÁMENES PARCIALES 
EXAMEN FECHA 
AV1 
AV1E 
 
 
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UNIDAD II 
ANUALIDADES O RENTAS 
CAPACIDAD 
• Reconocer y comprender los conceptos fundamentales, fórmulas y procedimientos de 
aplicación de los modelos matemáticos descriptivos pertinentes 
CONTENIDOS PROCEDIMENTALES 
• Calcula el valor futuro y el valor actual de las anualidades vencidas, anticipadas y diferidas. 
• Comprende cómo están inversamente relacionados el valor actual y la tasa de interés 
Cuando una aumenta la otra disminuye. 
CONTENIDOS CONCEPTUALES 
TEMA 7: ANUALIDADES, INTRODUCCIÓN, DEFINICIONES 
TEMA 8: ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ANTICIPADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SEMANA 7, UNIDAD II 
TEMA 7: ANUALIDADES O TEORIA DE LA RENTA 
La palabra anualidad se utiliza por costumbre que tiene su origen en los pagos que se 
hacían anualmente. En el mundo de las finanzas la palabra anualidad no significa pagos 
anuales sino pagos a intervalos iguales. 
En particular en la matemática financiera se utiliza esta palabra con un concepto más 
amplio, para referirse al sistema de pagos de cantidades fijas a periodos de tiempo 
iguales, que no solamente pueden ser anuales, sino de cualquier otra magnitud. Son 
ejemplos de anualidades: los sueldos, los pagos que hacemos por servicios públicos, 
los programas de créditos pagaderos a plazos, las pensiones universitarias, las 
pensiones de jubilación etc. 
Definición.- 
Una anualidad es una serie o sucesión de pagos, depósitos o retiros periódicos de 
cantidades iguales con interés compuesto. 
Definición de factores vinculados con las Anualidades o Rentas. 
Tiempo o Plazo de la Anualidad o Renta.- Es el tiempo que transcurre entre las fechas 
de inicio o comienzo del periodo y vencimiento o término del último. 
Intervalo o Periodo de Pago o Periodo de Renta.- Es el tiempo medido o fijado entre 
dos pagos sucesivos de la anualidad o renta. 
Pago Periódico de la Anualidad o Renta.- Es el importe o valor de cada uno de los 
pagos, depósitos o retiros que se hacen. 
Renta Anual.- Resulta de la suma de todos los pagos hechos durante un año. 
Tasa Interés de la Anualidad o Renta.- Es la tasa pactada o acordada por las partes que 
regirá para la anualidad o renta. Puede ser nominal o efectiva. 
Ejemplo de la identificación de los factores de las Anualidades o Rentas. 
Una persona adquiere un equipo DVD mediante un contrato de compra-venta a plazos 
en una tienda de electrodomésticos, a un plazo de 2 años por el que pagará Gs. 36.000 
mensuales, cuotas que han sido financiadas a la tasa del 36% efectivo anual. Los 
factores de la Anualidad o Renta son: 
Tiempo o plazo de la anualidad: 2 años 
Intervalo de Pago: Es de un mes o Mensual 
Pago Periódico: Gs. 36.000 
Renta Anual: Gs. 432.000 
La tasa de interés efectiva anual es del 36% de la que se deduce la 
Material exclusivo para los alumnos de la UNIDA. Prohibida sureproducción Página 47 
 
TEM i = (1+0,36)
1/12
- 1 
 
 
Clasificación de las Anualidades o Rentas. 
 
Las anualidades o rentas se clasifican según el tiempo o fechas extremas del plazo en: 
Anualidades Ciertas y 
Anualidades Eventuales, Contingentes o Aleatorias 
Anualidades Ciertas son aquellas cuyas fechas de inicio y término se conocen 
perfectamente por estar claramente establecidas en la documentación vinculada con 
la operación. Por ejemplo el día 01 de septiembre de 2007 se adquiere un equipo de 
sonido con un contrato de crédito que establece el pago de una cuota inicial de Gs. 
50.000 y 18 cuotas mensuales de Gs. 50.000, contrato que vence 01 de Marzo del año 
2009. 
 
Anualidades Eventuales, Contingentes o Aleatorias, son aquellas en las que la fecha 
de inicio o la de término de la anualidad o ambas se desconocen, ya que dependen de 
un suceso previsible del que las fechas antes referidas, no pueden prefijarse. Ejemplo: 
Las pensiones de viudez que otorga la seguridad social, son anualidades que se pagan 
al fallecimiento del titular asegurado, fecha imposible de prefijar, esta pensión 
concluye al fallecimiento de la viuda que la percibe, cuya fecha de deceso también sólo 
Dios sabe cuándo ocurrirá. 
 
Anualidades o Rentas Perpetuas o Perpetuidades, son una variación de las 
anualidades ciertas, en las que la duración del pago en teoría es ilimitada. Ejemplo. La 
Fundación XXX, concede anualmente una beca de estudios – por cinco años - pagadera 
mensualmente, para estudiantes brillantes de escasos recursos económicos, para ello 
la fundación ha hecho un depósito en la empresa aseguradora El Pacífico, de tal 
magnitud que los intereses que este depósito genera permitirán cubrir a perpetuidad 
los derechos académicos de los becarios, durante los cinco años de estudios, la 
aseguradora que actúa como fideicomisario cumpliendo con el encargo de la 
fundación, entregará mensualmente a la entidad educativa los derechos pertinentes. 
 
Según la forma de ejecución de los pagos de renta o pagos periódicos, las anualidades 
o rentas se clasifican en: 
Anualidades o Rentas Ordinarias o Vencidas o Post pagables y Anualidades Anticipadas 
o Pre pagables. 
 
Anualidades o Rentas Ordinarias o Vencidas o Post pagables, son aquellas en las que 
el pago periódico o pago de la renta se efectúa al final del intervalo de pago. Ejemplo 
de este tipo de anualidad lo tenemos en los pagos de los servicios públicos de agua, 
luz, o teléfono, que se pagan de manera vencida. 
 
Anualidades Anticipadas o Pre pagables, son aquellas en las que el pago periódico se 
efectúa al principio del periodo de pago. Ejemplo los contratos de alquiler de 
Material exclusivo para los alumnos de la UNIDA. Prohibida su reproducción Página 48 
 
inmobiliario, en los que se establece que la merced conductiva del inmueble o renta 
mensual o mensualidad se abonará a principio de cada mes. 
 
Según la fecha de ejecución del primer pago de la renta o anualidad se clasifican en: 
Anualidades Inmediatas y 
Anualidades Diferidas 
 
Anualidades inmediatas, son aquellas cuyo primer pago se realiza en el primer periodo 
de pago, no interesando si es al principio o término del intervalo de pago. 
Anualidades Diferidas, son aquellas cuyo primer pago periódico se efectúa algunos 
periodos después de que se suscribe el plazo de la anualidad o renta. Ejemplo: los 
contratos de ventas a plazo de Sagafalabella con pagos diferidos que permite a sus 
clientes diferir los pagos desde uno hasta seis meses – claro que tiene un alto costo 
financiero, otro ejemplo lo constituyen aquellas agencias de viaje como Hada Tours y 
Nuevo Mundo que se promocionan sus ventas con el slogan viaje ahora y pague 
después, en las que la oferta permite al beneficiario pagar su crédito viajero 90 días o 
tres meses después de haber viajado. 
 
Según la concordancia entre los intervalos de pago y el periodo de capitalización las 
anualidades o rentas se clasifican en: 
Anualidad Simple y 
Anualidad General 
 
Anualidad Simple, es aquella en la que los intervalos de pago y el periodo de 
capitalización de los intereses son iguales. Ejemplo: contratos de alquiler de oficinas 
comerciales con pagos trimestrales a una tasa de interés capitalizable trimestralmente 
 
Anualidad General, es aquella en la que los intervalos de pago y el periodo de 
capitalización de los intereses no son iguales. Ejemplo: Una renta semestral a una tasa 
de interés anual ó una renta trimestral a una tasa de interés mensual. 
 
 
ANUALIDAD SIMPLE CIERTA ORDINARIA O VENCIDA 
El valor presente de una anualidad es aquel capital denotado por VP que con sus 
intereses compuestos en el tiempo o plazo de la anualidad proporcionará un valor 
futuro equivalente al de la anualidad. 
VP
n 
= R 
i
i n−+− )1(1
 
 
En donde: VP
n 
= Es el valor presente de una anualidad de n pagos 
R = Es el importe del pago periódico de la anualidad 
i
i n−+− )1(1
 = Factor de Actualización de la serie de pagos FAS
i;n 
ya desarrollado. 
 
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Ejercicios de aplicación 
 
1. Una persona alquila una propiedad por 5 años por la que le pagarán una renta 
mensual de Gs. 450.000. Si conviene con su inquilino que le abone el importe de dicho 
contrato el día de hoy, ofreciéndole una compensación a la tasa del 24% de interés 
capitalizable mensualmente. Determine el valor presente del contrato. 
Rpta. 
Factores R= Gs. 450.000 j =24% p = Mensual, fc = 12; i = 24%/12 = 2% 
 t = 5 años n = 5 x 12 = 60 
Aplicando la fórmula del valor presente tenemos: 
VP
60 
= 450.000 x 
02,0
)02,01(1 60−+−
= 450.000 x 34,76088668 =Gs. 156.423,99 
 
2. Un automóvil se vende con una cuota inicial de Gs. 7.500 y 48 cuotas mensuales de 
Gs. 777. Si el crédito automotriz cobra un interés del 17,4% con capitalización mensual, 
hallar el valor al contado del vehículo. 
Rpta. 
Factores: R = Gs. 777 j = 17,4% p
c 
= mensual f
c 
= 12 i = 17,4/12 = 1,45% 
t = 48 meses n = 48/12 x 12 = 48 Cuota Inicial = Gs. 7.500 
Valor al Contado = Cuota Inicial + Valor presente de la cuotas 
Entonces tengo que hallar el valor presente de las 48 cuotas y sumarlas a la cuota 
inicial para determinarlo: 
VP
48 
= 777 x 
0145,0
)0145,01(1 48−+−
= 777 x 34,40871624 = Gs. 26.735,57 
 
Luego el Precio al Contado del vehículo será: 
V.C. = 7.500,00 + 26.735,57 = Gs. 34.235,57 
 
3. Una persona desea comprar una renta de Gs. 5.500,00 pagadera trimestralmente, 
durante los siguientes 10 años. Hallar el costo de la renta o anualidad si estos fondos 
son remunerados con una tasa del 9% capitalizable trimestralmente. 
Rpta. Factores: R = Gs. 5.500 j = 9% p
c 
= trimestral f
c 
= 4 i = 9%/4 = 2,25% 
t = 10 años n = 10 x 4 = 40 
VP
40 
= 5.500,00 x 
0225,0
)0225,01(1 40−+−
 = 5.500,00 x 26,19352221= Gs. 144.064,37 
 
ACTIVIDAD APLICATIVA 
Anualidades o Rentas 
Objetivo: 
Verificar la comprensión acerca de los elementos de las Anualidades o Rentas 
Se propone a los alumnos la práctica intensiva en sus casas de problemas que se 
entregarán por escrito, para su correspondiente desarrollo. 
 
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AUTOEVALUACIÓN 
Resolver los siguientes problemas: 
1.- Determinar el monto y valor presente de contrato de alquiler por el que se paga Gs. 
2750 mensuales si el contrato es por 5 años, y la tasa que rige la operación es del 
12,5% efectiva anual 
 
2.- Una persona deposita Gs. 75.000 semanales durante 18 años en un banco que 
paga el 5% efectivo anual. Cuánto tendrá acumulado en su cuenta al cabo de dicho 
plazo. 
 
3.- Determinar la depósito bimestral que se tiene que hacer para disponer de Gs. 2000. 
000 dentro de 8 años si la tasa que paga la entidad que los recibe es del 7,5% efectiva 
anual. 
 
4.- Hallar la pensión de jubilación que recibirá de su AFP un afiliado si su cuenta 
personal de capitalización ha acumulado Gs. 1.111.111 y sele ha estimado una 
supervivencia probable de 25 años y la cuenta gana el 6,6% efectiva anual. 
 
5.- Un automóvil es financiado por un banco al 70% en un programa de crédito 
automotriz pagadero en 4 años a la tasa del 7,5% efectiva anual, siendo su costo de 
Gs.35.000. Hallar la cuota mensual que lo paga 
 
6.- Una persona aportó a su AFP Gs. 225.000 mensuales durante 44 años y 8 meses, al 
cabo de los cuales se jubiló y le han estimado una supervivencia probable de 30años. 
Cuál será su pensión de jubilación si el fondo constituido con sus aportaciones gana el 
6% efectivo anual. 
 
7.- Determinar la cantidad que debe aportase durante los próximos 20 años 
mensualmente a un fondo de retiro si se quiere recibir una pensión bimestral de Gs. 10 
000.- si estos fondos ganan en la actualidad una tasa efectiva anual del 5,5%. 
 
8.- Un TV de plasma es vendido en programa de crédito electrodoméstico a la tasa de 
30% efectivo anual y es pagadero en 3 años sin inicial y pagándose por él cuotas 
mensuales de Gs. 333.000. Hallar el valor al contado del aparato 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SEMANA 8, UNIDAD II 
TEMA 8: VALOR DE LA ANUALIDAD O RENTAS 
El valor de una anualidad o renta puede ser calculado al final o vencimiento de su 
plazo, a dicho cálculo se le denomina monto o valor futuro y en este caso lo pagos 
periódicos se capitalizan y el valor de una anualidad o renta calculado al inicio o 
principio de su plazo se llama valor presente o valor actual siendo en este caso que los 
pagos periódicos son descontados. También el valor de una anualidad o renta puede 
ser calculado en posiciones intermedias de su tiempo o plazo que da lugar al cálculo 
del monto o valor futuro parcial, cuando se refiere al cálculo de la parte vencida de la 
anualidad y valor presente o actual parcial, cuando dicho cálculo se refiere a la parte 
de los pagos que faltan por vencer de la anualidad o renta. 
 
Cálculo del Monto o Valor Futuro de las Anualidades Simples Ciertas Ordinarias e 
Inmediata 
El monto o valor futuro de una anualidad de este tipo es el capital acumulado 
correspondiente todos los pagos periódicos y todos los intereses generados por éstos, 
al término del plazo o mejor dicho, es la suma de todos los montos compuestos 
determinados por los pagos periódicos hechos a la anualidad o renta. 
 
En la práctica es el caso que más se presenta en lo que se refiere al cálculo del valor de 
las anualidades. 
 
A partir de una ecuación de equivalencia financiera y tomando como fecha de 
referencia la fecha de vencimiento del plazo, el monto o valor futuro F de esta 
anualidad la obtenemos de la siguiente manera: 
 
Momento Actual Vencimiento del Plazo 
 
0 R
1 
R
2 
R
3 ,,,,,,,,,,, 
R
n-2 
R
n-1 
R
n 
→ VF’
n 
= VR(1 + i)
0 
 
 ------------ → VF’
n-1 
= VR(1 + i)
1 
 
 -------------------------- → VF’
n-2 
=VR(1 + i)
2
 
 ------------------------------------ →VF’ 
3 
= VR(1 + i)
n-3 
 
 ------------------------------------------------------ → VF’
2 
= VR(1 + i)
n-2 
 
------------------------------------------------------------------- → VF’
1 
= VR(1 + i)
n-1 
 
→VF = ? 
 
Utilizando un procedimiento que nos presenta de manera inversa el orden de los 
pagos periódicos realizados observamos en el gráfico que cada pago periódico de la 
anualidad esta impuesto a interés compuesto por n números de periodos diferentes. El 
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primero R
1 
estará durante n -1 periodos, el segundo R
2 
durante n – 2, el tercero R
3 
durante n – 3, el antepenúltimo durante 2 periodos, el penúltimo durante 1 período y 
el último pago por coincidir con la fecha de vencimiento del plazo no devenga interés 
por lo que teóricamente le hemos puesto al FSC exponente 0. 
 
Luego el monto o valor futuro de la anualidad o renta simple cierta ordinaria e 
inmediata será igual a la suma de los montos compuestos parciales o valores futuros 
parciales a interés compuesto generados por cada pago computados al vencimiento 
del plazo. 
 
VF
n 
= R(1 + i)
n-1 
+ R(1 + i)
n-2 
+ R(1 + i)
n-3 
+..........+ R(1 + i)
2 
+ R(1 + i)
1 
+ R(1 + i)
0 
 
 
Si invertimos el orden de la progresión anterior nos queda: 
 
VF
n 
= R + R(1 + i)
1 
+ R(1 + i)
2 
+...................+ R(1 + i)
n -3 
+ R(1 + i)
n -2 
+ R(1 + i)
n -1 
 
 
En conclusión tenemos que el monto o valor futuro de la anualidad VF
n 
es igual a la 
suma de los términos de una progresión geométrica cuyo primer término a
1 
es R, su 
razón r es (1 + i), la que obtenemos aplicando la ecuación de la suma de los n primeros 
términos de una progresión geométrica (S
n 
). 
 S
n 
= a
1 
(r
n 
– 1) 
r - 1 r ≠ 1 
Luego basados en esa fórmula y adecuando a la nomenclatura o términos de las 
anualidades tenemos que: 
VFn = R 
[ ]
)1(
1)1(
ii
i n
+
−+ 
 
Finalmente nos queda la siguiente ecuación: 
 VF
n 
= R 
i
i n 1)1( −+
 
 
El término encerrado entre corchetes se le llama Factor de Capitalización de la Serie 
(FCS) o también Factor de Capitalización de la Renta Unitaria o también Factor del 
Valor Futuro de la Anualidad o Renta, el mismo que se lee: “El Factor de Capitalización 
de una Serie a una tasa i efectiva por periodo y por un número n de periodos de 
capitalización transforma una serie uniforme de pagos periódicos en un valor futuro 
VF
n
”. 
 
 
 
Ejemplo de aplicación: 
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Una persona deposita en una cuenta de ahorros Gs. 75.000 anuales durante 6 años. 
¿Cuánto habrá acumulado en la cuenta si percibió una tasa efectiva anual del 9%? 
 Para R = Gs. 75.000 i = 0,09 y n = 6 
Para desarrollarlo utilizaremos un diagrama de flujo y tendremos: 
 
7 500 7 500 7 500 7 500 7 500 7 500 
 R
1 
R
2 
R
3 
R
4 
R
5 
R
6 
 
 --------→VF
6 
= 75.000 (1 + 0,09)
0 
= 75.000 
 ---------------→VF
5 
= 75.000(1 + 0,09)
1 
= 8.175 
 -----------------------→VF
4 
= 7.5000(1 + 0,09)
2 
= 8.910 
 ---------------------------------→ VF
3 
= 75.000(1 + 0,09)
3 
= 9.712 
 ---------------------------------------→VF
2 
= 7.5000 (1 + 0,09)
4 
= 10.586 
 ----------------------------------------------→VF
1 
=7.5000 (1 + 0,09)
5 
= 11.539 
Si sumamos los montos compuestos calculados VF
1
+VF
2
+VF
3
+VF
4
+VF
5
+VF
6 
obtenemos 
el Valor Futuro o Monto de la Anualidad VF = Gs. 56.425 
 
Observamos que cada uno de los pagos periódicos ha sido multiplicado por su FSC, 
obteniendo montos compuestos parciales a partir de cada pago periódico. En la 
práctica este método de cálculo empleado se llama método largo para el cálculo del 
monto o valor futuro de una anualidad o renta, que es un método demostrativo de su 
concepto. Utilizable cuando el número de pagos de la anualidad es relativamente 
corto, y poco útil por lo largo y tedioso que sería aplicarlo a un número de pagos 
periódicos bastante grande. En reemplazo de esta forma de determinación utilizamos 
la ecuación directa de estimación. 
 
Aplicando la ecuación del Valor Futuro o Monto de la Anualidad o Renta y obtenemos: 
VF
6 
= 75.000 
09,0
1)09,01( 6 −+
 = 75.000 x 7,523334565 = Gs. 56.425,01 
Un trabajador de la empresa X, ha aportado a la AFP Nueva Vida, Gs. 45.000 mensuales 
durante 20 años. ¿Cuánto tendrá acumulado a la fecha si en ese lapso la tasa de 
interés pagada era del 14,4% capitalizable mensualmente? 
Rpta. R= S/.450,00j = 14,4% i = 14,4%/12 = 1,2% t = 20 años n = 20x12 = 240 
 
Aplicando la fórmula: 
VF
240 
= 450 
012,0
1)012,01( 240 −+
 = 450 x 1 375,957165 = Gs. 619.180,72 
 
 
 
 
Cálculo de monto posterior al término de una anualidad o renta 
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Hay casos en los cuales el monto acumulado por una anualidad, continúa invertido 
generando intereses en ese caso dicho interés se calcula en términos de interés 
compuesto. 
 
Ejemplo.- Una persona deposita Gs. 25.000 al final de cada quincena durante 6 años 
en una cuenta que paga una tasa del 14.4% capitalizable mensualmente. Si no realiza 
mas depósitos determine el valor acumulado en la cuenta, 18 meses después de haber 
efectuado el último depósito. 
 
Rpta. 
Factores: R =Gs. 25.000 j = 14,4% i = 14,4%/24= 0,6% t = 6 años n = 6 x 24= 144 
 
Luego 
VF
144 
= 25.000 
006,0
1)006,01( 144 −+
= Gs. 56.938,12 
 
Este monto determinado se convertirá en el principal que capitalizará intereses 
durante 18 meses más a partir de los siguientes factores: 
 
VP = Gs. 56.938,12 i = 0,006 t = 18 meses n = 18/12 x 24 = 36 
VF = 56.938,12 (1 + 0,006)
36 
= Gs. 70.620,44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNIDAD III 
AMORTIZACIÓN Y FONDO DE AMORTIZACIÓN 
CAPACIDAD 
• Identifica las posibilidades de amortizaciones, así como la empleabilidad práctica 
de las mismas. 
CONTENIDOS PROCEDIMENTALES 
• Desarrolla y evalúa cuadros de amortización o fondos de amortización. 
• Analiza la amortización desde sus diferentes métodos 
• Desarrolla y describe las formas de construir fondos. 
CONTENIDOS CONCEPTUALES 
TEMA 9: AMORTIZACIÓN 
TEMA 10: RETROALIMENTACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DIAGRAMA DE CONTENIDOS UNIDAD III 
 
 
 
 
 
AMORTIZACIÓN 
 
APLICACIONES 
 
FONDO DE 
AMORTIZACIÓN 
 
 
 
AMORTIZACIÓN Y FONDO DE 
AMORTIZACIÓN 
 
 
APLICACIONES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SEMANA 9, UNIDAD III 
TEMA 9: AMORTIZACIÓN 
La palabra amortizar tiene dos conceptos uno financiero y otro contable. 
El concepto financiero, parte de la palabra amortizar ( derivada de la expresión a 
l’mort de origen francés que significa a la muerte) se usa para llamar así al proceso 
financiero por el cual se reduce progresivamente (llegándose a cancelar) el volumen de 
una deuda y sus intereses, por intermedio de pagos iguales o diferentes a intervalos de 
tiempo iguales o distintos que pueden iniciarse al recibir el crédito(anticipados), al 
vencimiento de cada periodo de pago (vencidos)o después de cierto plazo pactado 
(diferidos). 
 
Contablemente, se entiende como el proceso que consiste en disminuir el valor de un 
activo, cargando este importe a gastos. 
 
La amortización es una de las más grandes aplicaciones de las anualidades en las 
operaciones financieras de retorno o devolución de un crédito. 
Existen diferentes sistemas de amortización y en ellos a su vez existen muchas 
variantes que dependen de la cuantía y de la frecuencia de los pagos, en todo, caso el 
interés simple o compuesto devengado se determina en base al saldo pendiente de 
pago en el momento de hacerse la amortización. La Amortización a interés simple la 
vimos en el capítulo Nº2, ahora sólo trataremos aquellas amortizaciones que devengan 
interés compuesto. Es importante denotar que los pagos periódicos de una 
amortización se fraccionan en dos partes una para cubrir los intereses y el saldo o 
diferencia para amortizar el principal de la deuda o capital vivo de la misma. 
 
Sistemas o Clases de Amortización 
En base a la relación existente entre la amortización y los intereses de los pagos 
periódicos se tiene los siguientes sistemas o clases de amortización 
 
Amortización Gradual. Es un sistema por cuotas de valor constante, con intereses 
sobre saldos. En este sistema los pagos son iguales y se hacen a periodos de tiempo 
iguales. A medida que la deuda se va amortizando la cuota capital se incrementa 
geométricamente con una razón (1 + i) cuyo importe es similar al decremento de la 
cuota interés. Conocido como Sistema Francés de amortización es el de uso más 
generalizado y de mayor aplicación en el campo financiero. 
 
Amortización Constante. Este sistema mantiene un valor igual para la amortización –
cuota capital– para cada periodo, por lo que el pago periódico se hace variable 
decreciente, al ser menor la cuota interés. Conocido como Sistema Alemán de 
Amortización. En aplicación de este sistema es fácil calcular el saldo pendiente de pago 
en cualquier momento, particularmente útil cuando se hace refinanciamiento o se 
desea cancelar la deuda mediante un pago único antes del vencimiento del plazo. 
 
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Amortización por cuotas incrementadas. Este sistema consiste en incrementar cada 
cierto tiempo el pago periódico. En la práctica es una aplicación de las anualidades 
variables, presentándose sistemas de amortización con variación uniforme o con 
gradiente aritmético, el sistema en el que los pagos periódicos crecen 
geométricamente o con gradiente geométrico y el sistema en el que las cuotas se 
incrementan usando un índice o indicador de referencia calculado por una entidad 
pública de reconocido prestigio tal es el caso del índice inflacionario o el índice de 
precios al consumidor o algún otro que nos obligue a aumentar el valor de las cuotas 
de una manera variable. 
 
Amortización por cuotas decrecientes. En este caso los modelos matemáticos son 
similares a los del sistema anterior, con la diferencia de que los factores de variación 
son negativos. 
 
Cálculo del Valor de las amortizaciones 
Se presentan dos casos importantes: 
• Determinar el importe de los pagos periódicos; 
• Hallar el número de pagos necesarios para amortizar una deuda. 
 
Cuadros de Amortización 
Se denomina así a la ordenación en columnas de cada uno de los elementos notables 
del desarrollo de un préstamo: Número de Períodos; Servicio de la deuda o pago 
periódico de la amortización; Cuotas interés; Cuotas capital; Deuda extinguida después 
de cada período y Saldos sucesivos. 
 
Por ejemplo del Caso de Amortización Gradual: 
Construir un cuadro de amortización para un préstamo de Gs. 1.500.000 pagadero en 5 
años a la tasa del 7% efectivo anual. 
Rpta. 
Para desarrollarlo primero aplicamos nuestra fórmula de cálculo del pago periódico de 
una anualidad cuando se conoce su valor presente. 
R = 1.500.000 x FAS 
0.07 : 5 
= Gs. 365.836,04167 
 
 N°C Pago Periódico Cuota Interés Cuota Capital Deuda Extinguida Saldos Suc. 
 0 ------------------ ---------------- ---------------- --------------------- 1.500.000 
 1 365.836,04 105.000,00 260.836,04 260.835,04 1.239.163,96 
 2 365.836,04 86.741,48 279.094,56 539.930,60 960.069,40 
 3 365.836,04 67.204,86 298.631,18 838.561,78 661.438,22 
 4 365.836,04 46.300,68 319.535,36 1.158.097,14 341.902,86 
 5 365.836,06 23.933,20 341.902,86 1.500.000,00 -------------- 
 1.829.180,22 329.180,22 1.500.000,00 
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En conclusión observamos lo siguiente: 
La suma de las cuotas capital es igual al importe del préstamo. 
La suma de todos los pagos periódicos es igual a la suma de todas las cuotas interés y 
las cuotas capital. 
En el último pago periódico notamos que tiene un valor 2 centavos mayor que los 
cuatro anteriores debido a que hemos redondeado elpago periódico al centavo más 
próximo. 
 
Problemas 
Una deuda de Gs. 800.000 se debe amortizar en 5 años con pagos anuales iguales al 
9% efectivo sobre los saldos. Determinar el valor de cada cuota y elaborar una tabla o 
cuadro de amortización para dicha deuda 
 
Ejemplo: Caso del Sistema de Amortización Constante 
 
Una deuda de Gs. 360.000,00 debe cancelarse mediante 4 pagos semestrales vencidos 
iguales más intereses al 18% capitalizable semestralmente, aplicando el sistema de 
amortización indicado elabore una tabla o cuadro de amortización para dicho caso. 
Rpta. 
La cuota capital la obtenemos simplemente dividiendo el importe de la deuda entre el 
número de pagos es decir 360.000/4 = 90 000 y a ella se le suma el interés del 9% 
efectivo determinado a partir del Saldo Sucesivo (Saldo del periodo anterior de la 
deuda) para el primer periodo será 9% de 360.000 que es igual a 32.400 y así 
sucesivamente y se elabora el cuadro respectivo. 
 
La Tabla o cuadro de amortización es el siguiente: 
N°C Pago Periódico Cuota interés Cuota Capital Deuda Extinguida Saldo Suc. 
 0 ------------------ ---------------- ---------------- -------------------- 360.000 
 1 122.400 32.400 90.000 90.000 270.000 
 2 114.300 24.300 90.000 180.000 180.000 
 3 106.200 16.200 90.000 270.000 90.000 
 4 98.100 8.100 90.000 360.000 ---------- 
 - 441.000 81.000 360.000 
 
Cuadro de Amortización de deudas correspondientes a Anualidades Generales. 
Para construirlo debemos considerar cada intervalo de pago como un período a la tasa 
efectiva de interés correspondiente a ese intervalo 
 
Por ejemplo 
Construir el cuadro de amortización en cuatro pagos anuales iguales para una deuda 
de Gs. 700.000 al 6% capitalizable semestralmente. 
También en este caso aplicamos la fórmula para determinar el pago periódico en el 
que incluimos la equivalencia de una tasa de interés capitalizable semestralmente a 
una tasa anual sabiendo que la tasa efectiva por semestre es 6%/2 = 3% y también 
 
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i = (1 + 0,03)
2 
– 1 = 0,0609 efectiva anual 
R = 
4)0609,1(1
0609,000,000700
−−
x = Gs. 202.430,53 
 
 
La Tabla o Cuadro de amortización es el siguiente: 
 
 N°C Pago Periódico Cuota Interés Cuota capital Deuda Extinguida Saldo Suc 
 0 ----------------- ---------------- --------------- ----------------- 700.000,00 
 1 202.430,53 42.630,00 159.800,53 159.800,53 540.199,47 
 2 202.430,53 32.898,15 169.532,38 329.332,91 370.667,09 
 3 202.430,53 22.573,63 179.856,90 509.189,81 190.810,19 
 4 202.430,53 11.620,34 190.810,19 700.000,00 -------------- 
 809.722,12 109.722,12 700.000,00 
 
Amortización a tasas variables 
Es poco común pero es factible pactarse un crédito en el que se establecen tasas de 
interés que varíen de un período a otro en función del comportamiento de la 
economía en donde se practique la operación. En este caso el procedimiento es 
simplemente producto del raciocinio y analogía de fórmulas aplicadas en el caso de la 
amortización con tasa uniforme. 
Por ejemplo: 
Un préstamo de Gs. 500.000, se debe amortizar en 4 cuotas anuales de Gs. 50000; Gs. 
100.000; Gs. 150.000 y Gs. 200.000 a las tasas del 9%, 7%, 12% y 15% respectivamente. 
Construir un Cuadro de Amortización para este caso. 
Rpta. 
La tabla o cuadro de Amortización es el siguiente: 
 
N°C Pago Period. Tasa Int. Cuota Ints Cuota capital Deuda Extinguida. Saldo Suc. 
0 --------------- ---------- ------------ ---------------- -------------------- 500.000 
1 95.000 0,09 45.000 50.000 50.000 450.000 
2 131.500 0,07 31.500 100.000 150.000 350.000 
3 192.000 0,12 42.000 150.000 300.000 200.000 
4 230.000 0,15 30.000 200.000 500.000 ----------- 
 648.500 148.500 500.000 
 
Para este tipo de operaciones se suele establecer con anticipación las cuotas capital o 
los pagos periódicos. 
 
 
Ejercicios de aplicación 
1. Construir el cuadro de amortización o tabla del servicio de la deuda con cuota 
constante, para un préstamo de Gs. 10.000.000 que debe cancelarse en 5 años , a 
la tasa de interés del 8% anual. 
 
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2. Construir el cuadro de amortización con cuota constante, de la deuda 
correspondiente a un préstamo de Gs. 800.000 que se debe cancelar en 6 
semestres a contar de la fecha en que se recibe dicho préstamo. Se sabe que la 
tasa de interés semestral es el 5% y que los dos primeros semestres se pagarán 
solamente los intereses. 
 
3. Una deuda de Gs. 6.000.000 es amortizada mediante el sistema francés, a la tasa 
del 7% de interés anual. Determinar el saldo después del 5° pago, sabiendo que la 
operación tiene una duración de 8 años. 
 
4. Una deuda de Gs. 4.500.000 se paga mediante 10 semestralidades constantes al 
5% de interés semestral. Inmediatamente después de efectuado el 6° pago, se 
extiende el plazo total de reembolso en 3 semestres más respecto a lo inicialmente 
pactado. Calcular la nueva semestralidad constante, sabiendo que la tasa de 
interés es 6% semestral desde el momento de la renegociación. 
 
5. Un préstamo se amortiza según el sistema alemán, presenta saldos de Gs. 
1.040.000 y Gs. 650.000 inmediatamente después de pagada la segunda y quinta 
cuota, respectivamente. Calcula el valor del préstamo. 
 
6. Un préstamo de Gs. 10.000.000 se debe amortizar según el sistema alemán 
(amortización real constante) en las siguientes condiciones: 
a) Duración del préstamo 10 años. 
b) Tasa de interés anual 12 % durante los dos primeros años, y 12,5% durante los 
8 años siguientes. 
c) Durante los dos primeros años se desembolsarán solamente en concepto de 
intereses. 
Construir la tabla del servicio de la deuda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SEMANA 10, UNIDAD III 
TEMA 10: RETROALIMENTACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNIDAD IV 
APLICACIONES 
CAPACIDAD 
• Reconocer los conceptos, métodos, fórmulas y procedimientos de los modelos 
matemático-financieros descriptivos, aplicar eficazmente y valorar la importancia 
del uso y aplicaciones de este conocimiento en el mundo financiero. 
CONTENIDOS PROCEDIMENTALES 
• Calcula el valor de los bonos, acciones, obligaciones financieras, es decir de todo 
tipo de título o valor que se le proponga. 
• Reconoce las distintas posibilidades de rentas. 
• Aplica el modelo de cálculo acorde al tipo de renta. 
• Desarrolla y describe los seguros de vida y otras para entender que es una inversión 
y no un gasto. 
• Calcula y analiza los indicadores de tasa interna de retorno y valor presente neto. 
• Describe las informaciones básicas que los entes deben presentar a las entidades 
financieras, los pasos a seguir y la administración de las líneas de créditos 
obtenidas. 
CONTENIDOS CONCEPTUALES 
TEMA 11: INVERSIONES: BONOS, OBLIGACIONES Y ACCIONES. 
TEMA 12: LOS VALORES 
TEMA 13: AV2 EXÁMENES PARCIALES 
TEMA 14: DEPRECIACIÓN Y AGOTAMIENTO 
TEMA 15: RENTAS VITALICIAS 
TEMA 16: SEGUROS DE VIDA 
TEMA 17: EXAMEN FINAL 
 
 
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SEMANA 11, UNIDAD IV 
TEMA 11: INVERSIONES: BONOS, OBLIGACIONES Y ACCIONES 
En muchas ocasiones las empresas del sector público y privado requieren de capitales, 
para lo cual necesitan de la participación de inversionistas, que lo quieran suministrar, 
para hacer atractiva la inversión, ofrecen muy buenos intereses a través de sus tasas 
de interés. En algunos casos, o mejor dicho para algunas inversiones además ofrecen el 
reintegro de su inversión en plazos que son prefijados, ofreciéndoles ganancias de 
capital que son la diferencia entre lo que paga y lo que le devuelven al inversionista 
por los títulos – valores en los que invirtió. 
 
Otro tipo de beneficio lo constituyen los dividendos del ejercicio, los mismos que son 
pagados por las empresas o sociedades a sus accionistas o poseedores de estos títulos 
que fueron emitidos por la empresa, que dan lugar a las ganancias o pérdidas que 
estas declaran para un determinado periodo – o ejercicio-. 
 
Cada país a través de su Bolsa de Valores efectúa las transacciones de los diferentes 
títulos que en ese mercado se ofertan, tales como bonos de diferentes empresas 
emisoras y de diferentes denominaciones, obligaciones, acciones, etc. 
En el mercado financiero los instrumentos más importantes para conseguir dinero de 
los inversionistas lo constituyen los Bonos, las Obligaciones y las Acciones. 
Antiguamente la diferencia entre un bono y una obligación residía en que los bonos 
eran exclusivamente emitidos por el gobierno o dependencias autorizadas, y las 
obligaciones son emitidas por alguna empresa privada autorizada. En la actualidad 
tanto el Estado como Inversionistas privados pueden emitir bonos y obligaciones. 
Para los bonos existen muchos nombres que dependen del propósito para los que son 
emitidos. La obligaciones suelen ser llamadas convertibles, subordinadas, indexadas, 
con rendimiento capitalizable, pero mayormente se conocen las obligaciones 
hipotecarias -aquellas que cuentan con una garantía real consistente en un hipoteca 
sobre bienes inmuebles que son propiedad de la empresa emisora- Existen otras 
obligaciones no hipotecarias que son garantizadas por el prestigio y solvencia del ente 
emisor. Las obligaciones pueden ser nominadas o nominales o registradas si en el texto 
de la misma aparece el nombre del comprador y carecen de valor para otra persona 
que no sea aquella cuyo nombre está inscrito o registrado y son innominadas o 
anónimas o al portador o no registradas cuando no incluyen el nombre del comprador. 
Factores determinantes de un bono u obligación: 
Fechas: Se dice que existen tres fechas importantes a mencionar: 
Fecha de emisión: definida como aquella que la empresa prestataria emite o coloca en 
el mercado de valores sus bonos u obligaciones. 
Fecha de redención o vencimiento: aquella en que el organismo emisor se 
compromete a reintegrar el capital que prestaron los inversionistas. 
Fecha de compraventa: es aquella en la que el documento es negociado, revendido o 
transferido a un tercero, operación que se realiza entre las dos fechas anteriores. 
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SEMANA 12, UNIDAD IV 
TEMA 12: VALORES 
Todo título o valor de inversión se sustenta en ellos y estos valores básicamente son: 
Valor Nominal o Denominación o Valor de Emisión (V.N.) es el valor consignado en el 
documento, que expresa el capital o principal que percibe el emisor, salvo que sea 
colocado a descuento. Por lo general son valores de 1, 10, 100 o múltiplos de 10. 
Valor de Redención V.R: es el valor que el emisor devuelve al inversionista o 
comprador del título al término del plazo es decir en la fecha de redención y este valor 
puede ser: 
• A la Par si se redime a un valor igual al de su emisión o nominal. 
• Con Premio o con Prima, si se redime a un valor mayor que su valor nominal y 
• Con Descuento, si se redime a un valor menor que su valor de emisión o nominal. 
 
Por ejemplo cuando se dice que un bono denominado a Gs. 100.000 se redime a 110, 
se interpreta como que el valor de redención será de Gs. 110.000 que quiere decir que 
por cada mil dólares que se invierta se estará recibiendo Gs. 110.000 a la fecha de 
redención y se dice que estos bonos se redimen con prima o con premio. Si el valor de 
redención fuese Gs. 95.000 se dice que este bono se redime con descuento a 95. 
 
Para efectos de estudio también interesa el Valor de Compraventa (V.CV.) que se 
presenta cuando el bono es transferido en una fecha entre la fecha de emisión y la de 
redención y este también puede ser: a la par, con descuento o con prima, valor que 
depende si se vende a un precio que es igual, mayor o menor que el precio de 
redención del bono. 
 
La inversión en bonos y obligaciones determinan rendimientos en intereses y 
ganancias de inversión. Los rendimientos en intereses son regularmente a interés de 
tipo simple porque se liquidan cada ejercicio y se expresan por la letra “i”. Las 
ganancias de inversión se obtienen a partir de una tasa de interés capitalizable un 
número de veces al año y es la que el inversionista determina al invertir en estos 
títulos y se expresan por la letra “r”. 
 
Los Bonos u obligaciones, son sustentados por un documento cuyo contenido o texto 
indican la razón social de la empresa que los emite, el valor nominal, la fecha de 
redención, la tasa de interés que pagan expresados por “i”, las fechas de pagos de 
intereses a veces expresados en cupones seriados adheridos al cuerpo del documento 
o impresos en el reverso del título, el total de bonos o títulos emitidos, nombre del 
comprador si son nominados y algunas cláusulas adicionales respecto a las condiciones 
para redimir el anticipadamente el título. 
 
Para un comprador de bonos y obligaciones es importante determinar la suma que 
tiene que invertir para que ella le reporte el beneficio esperado. Este beneficio 
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dependerá de las tasas de interés que produzcan los cupones “i” y del rendimiento “r” 
del título u obligación que está adquiriendo. Como el beneficio de los cupones no 
puede cambiarse porque dependen directamente de la empresa emisora, en cambio 
las ganancias por la inversión si pueden variarse y establecerse de común acuerdo 
entre las partes, aunque siempre predomina el valor ofertado por el comprador. Estas 
operaciones se hacen casi siempre con la presencia de una persona entendida en la 
materia – un agente de una sociedad corredora de valores - y estas se pueden realizar 
en una fecha de pago de cupón o pago de intereses o entre fechas de cupones, es decir 
una fecha intermedia o mejor dicho no coincide con el vencimiento de cupón alguno. 
 
Para determinar el Valor de una Obligación o Bono, incluyendo los intereses 
refrendados por cupones seriados, contamos un número de períodos antes de su 
redención se aplica la suma de dos factores: 
 
Primero: El valor presente a interés compuesto del valor de redención de documento 
V.R. en base al tiempo o plazo –periodos- que transcurre entre la fecha de 
compraventa y la fecha de redención del título. 
A la tasa de beneficio i / f
c 
 
 
Segundo: El valor presente de una anualidad de n pagos, en donde el pago periódico R 
es el importe de cada pago de intereses o cupón a la tasa de interés anual o si el 
interés se paga fraccionado en base al número de periodos respectivo. 
Valor de una 
Obligación o = P(1 + i)
-n 
+ R
c
nfc
fi
fi
/
)/1(1 −+−
 
 Bono 
 
Ejercicio de Aplicación 
Encontrar el valor de compraventa de un bono de valor nominal $500,00 que se emitió 
a la par y se colocó en la bolsa de valores a la tasa del 48% anual pagadero 
trimestralmente. Suponiendo que se transfiera 4 años antes de su redención y que se 
desea un beneficio del 36% anual capitalizable tambiéntrimestralmente para su 
comprador. 
Rpta. 
Factores: P = Gs. 50.000 (Valor del Bono) i = 0,48 Tasa de rendimiento capitalizable 
trimestralmente; fc = 4 por trimestral i / fc = 0,48 / 4 = 0,12 t = 4 años n = 4 x 4 = 16 
 
Primero determinamos los intereses por cada cupón 
R = 500 x 0,48/4 = 60,00 
 
Además: 
r = 36% p = trimestral fc = 4 r / f
c 
= 0,36 / 4 = 0,09 t = 4años n = 4x4=16 
Valor pagado = 500,00 (1+ 0,09)
-16 
+ 60 
09,0
)09,01(1 16−+−
 
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Valor pagado = 125,93 + 498,75= Gs. 624,68 
La Corporación Financiera de Desarrollo emitió bonos tipo E de Gs. 10.000 que 
devengan un interés del 24% capitalizable cada 4 meses y vencen a la par en 10 años. 
Determinar su valor el día de hoy 01 de mayo fecha de pago de intereses cuando ya 
han transcurrido de su emisión 7 cuadrimestres de un total de 30 – incluido el 
presente y se desea ganar un interés por la compra del 30% también con la misma 
capitalización anotada 
Rpta. 
Factores: V.N. = 10.000.00 i = 0,24; f
c
= 3; i / f
c 
= 0,24 / 3 = 0,08; n = 30 – 7 =23 
Determinamos los intereses por cupón: R = 10.000 x 0,24 / 3 = 800,00 
Además r = 0,30 p = cuatrimestral; f
c 
= 3; r / f
c 
= 0,30 / 3 = 0,10 n = 30 – 7 = 23 
V.CV. =10.000,00(1+0,1) 
-23 
+ 800 
1,0
)1,01(1 23−+−
 =1.116,78 + 7 106,57 = GS. 8.223,35 
 
¿Cuál es la tasa de interés que ofrece COFIDE en el problema anterior por sus bonos si 
el valor de compraventa el 1ro de mayo de este año es de Gs. 8.550,00 y que 
exactamente falta para su redención 23 cuadrimestres? 
Entonces planteamos la siguiente ecuación 
Para determinar el valor de la tasa de interés “i “necesitamos primero el valor de los 
intereses por cupón R que determinaremos en base al número de cuadrimestres que 
faltan para la redención que son 23 
8.550,00 = 10.000,00 (1+ 0,1) 
–23 
+ R 
1,0
)1,01(1 23−+−
= 
 8.550,00 = 1.116,78 + R (8,883218422) 
De donde 
R = 
883218422,8
78,116100,5508 −
 = 836,7710493 
 
Sabemos que R = VN ( i / f
c
) entonces 
836,7710493 = 10 000 (i/3) 
 i = 0,2510313148 
 
Resultado se interpreta como que COFIDE colocó sus bonos tipo E a una tasa 
aproximada del 25,1% de interés simple anual, de tal forma que el 1ro. de mayo se 
negociaron a Gs. 8.550,00 ¿Cuál es el valor de una obligación hipotecaria de valor 
nominal Gs. 25.000,00 con intereses del 27% pagaderos en cupones bimestrales si se 
venden 18 meses antes de su vencimiento y se ofrece al inversionista un beneficio en 
la operación del 30% capitalizable trimestralmente? 
 
Rpta. 
Primero determinamos la tasa compuesta bimestralmente r equivalente a una tasa del 
30% capitalizable trimestralmente con la siguiente ecuación: 
(1 + r / 6)
6 
= (1 + 0,30/4) 
4 
 
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1 + r / 6 = ( 1 + 0,075) 
4/6 
 
de donde r / 6 = 1,049394965 - 1 = 0,049393965 
r = 0,2963697907 
 
Los otros factores son: VN =V.R.= 25.000,00 valor de la obligación en la fecha de 
redención, de lo contrario es igual al valor nominal del título; “i” = 0,27 la tasa de 
interés simple pagadera bimestralmente; f
c 
= 6 número de cupones que se cobran por 
año o frecuencia de conversión; t = 18 meses tiempo antes de su redención; n = (18/12 
x 6) = 9 número de cupones pendientes de cobranza al momento de hacer la 
compraventa. 
 
El Valor de cada cupón es: R = 25.000,00 x 0,27/6 = $1 125,00 
Por lo que el valor de compraventa será: 
V.CV. = 25 000,00 ( 1+ 0,049393965) 
–9 
+ 1 125,00 
049393965,0
)049393965,01(1 9−+−
= 
V.CV. = 16.199,17691 + 4.400,41155 = Gs. 20.599,58846 
 
V.CV. = GS. 20.599,59 
 
Como, este resultado es menor que el valor de redención se interpreta que se está 
comprando a descuento que es la diferencia entre las dos cantidades es decir 
Descuento = 25.000,00 – 20.599,59 = Gs. 4.400,41/25.000 = 0,176 o 17,6% de 
descuento o que se están vendiendo a 100 – 17,6 = 82,4 
 
Una persona compró un lote de 12 obligaciones en Gs. 1.890,00 faltando 5 años para 
su redención ¿Cuál es valor nominal y cuál será su beneficio por su inversión si el 
rendimiento es del 28% nominal trimestral y el tipo de interés al que se colocó la 
emisión fue del 19,2% simple anual con cupones pagaderos también trimestralmente 
Rpta. 
Factores: Valor de cada obligación: Gs. 1.890,00 / 12 = Gs. 157,50 = VN 
La tasa nominal r = 28% pagadera trimestralmente; 
fc= 4 Frecuencia de conversión 
r = 28% / 4 = 7% tasa efectiva por trimestre 
t = 5 años tiempo entre la compraventa y su redención; 
n = 20 cupones que faltan cobrar, 
i = 19,2% tasa de interés de los cupones trimestrales 
Entonces desconocemos V.R. el valor de redención del documento y por tanto también 
el pago trimestral por concepto de intereses teóricamente sería igual a 
R = VR(0,192 / 4) = P(0,048). a continuación aplicamos la ecuación: 
157,50 = V.N. (1 + 0,07) 
–20 
+ V.N. (0,0480) 
07,0
)07,01(1 20−+−
= 
157,50 = V.N.(0,2584190028) + V.N. (0,5085126838) 
157,50 = V.N.(0,7669316866) 
 V.N. = 205,3637928 
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Resultado que se interpreta como que el valor de redención y emisión de las 
obligaciones en mención fue de Gs. 205,36. Luego los intereses que cobrará dicha 
persona por cupón será R = 205,36 (0,048) = $ 9,86 y las Utilidades o beneficios por su 
inversión y por obligación U = 205,3637928 + 20(9,86) – 157,5 = Gs. 245,06 por cada 
una, por las doce se multiplicará: 245,06 x 12 = Gs. 2.940,76. 
 
Una empresa azucarera emite obligaciones con un valor nominal de GS. 250,00 
redimibles a 130 (Con premio) a un plazo de 10 años, los intereses que se pagan son 
del 24% anual mediante cupones semestrales. ¿Cuál es el precio a pagarse por cada 
obligación 3 años después de haberse emitido si se desea un rendimiento en la 
operación 36% capitalizable semestralmente? Calcular los intereses que gana el 
inversionista y elaborar un cuadro de acumulación de descuento correspondiente 
 
Rpta. I Parte 
Por que se redimen a 130, el valor de redención es 30% mayor que el de emisión esto 
es: V.R. = 250,00 x 1,3 = Gs. 325,00 
El Valor de cada cupón semestral lo obtenemos así: R = 250,00 x 0,24/2 = Gs. 30,00 
Este valor lo calculamos en base al valor nominal y no al de redención. 
La tasa de rendimiento que se desea es r = 36% capitalizable semestralmente. Que nos 
da una tasa efectiva por semestre r / 2 = 36%/ 2= 18% o 0,18. Siendo el plazo de 10 – 3 
= 7 años que faltan para el vencimiento quedándonos 14 cupones por cobrar aplicando 
la ecuación de compraventa tenemos: 
V.CV. = 325,00( 1 + 0,18 ) 
–14 
+ 30,00 
18,0
)18,01(1 14−+−
 = 
V.CV. = 32,0284011 + 150,2418456 = 182,2702467 = Gs. 182,27 
 
El Descuento con el que se adquiere la obligación es 325,00 – 182,27 = $142,73 
 
Rpta. II Parte 
Intereses o Utilidad que obtiene el inversionista, que en la práctica son la diferencia 
entre el valor de redención más los intereses de los cupones y el precio de 
compraventa. 
Intereses o Utilidad de la operación = 325 + 14 (30) – 182,27 = $562,73 
 
Rpta. III Parte 
El Cuadro de Acumulación del descuento, el mismo que se inicializa con el valor de 
compraventa para el periodo 0, a continuación se obtiene el rendimiento por la tasa 
efectiva por semestre que es del 18% es decir 
 
Interés efectivo por el 1er. Semestre = 187,27 x 0,36 /2 = 33,7086 
Período Intereses Int. /Cupón Diferencia Valor Contable 
 0 ------------------- --------------- ------------------ 182,270246700 
 
 1 32,808644406 30,00 2,808644406 185,078891106 
 2 33,314200399 30,00 3,314200399 188,393091499 
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 3 33,910756467 30,00 3,910756467 192,3038479694 34,614692622 30,00 4,614692622 196,918540522 
 5 35,445337294 30,00 5,445337294 202,363877794 
 6 36,425498003 30,00 6,425498003 208,789375703 
 7 37,582087627 30,00 7,582087627 216,371463326 
 8 38,946863399 30,00 8,946863399 225,318326699 
 9 40,557298806 30,00 10,557298806 235,875625406 
 10 42,457612573 30,00 12,457612573 248,333237973 
 11 44,699982822 30,00 14,699982822 263,033220722 
 12 47,345979730 30,00 17,345979730 280,379200430 
 13 50,468256077 30,00 20,468256077 300,847456477 
 14 54,152542166 30,00 24,152542166 324,999999857 
 
Ejercicio desarrollado en parte y para completar: 
Un bono de US$ 150,00 de valor nominal y cupones de US$ 11,25 pagaderos 
trimestralmente se transfiere 3 años antes de su redención 
a) Obtener la tasa de interés a la que fue colocada la emisión. 
b) El valor de compraventa si se quiere un rendimiento del 38% capitalizable 
trimestralmente. 
c) La Utilidad o Intereses para quien adquiere un bono. 
d) El descuento con el que se compra
e) Elaborar un cuadro de acumulación del descuento para el caso en mención. 
 
Rpta. 
a) Para obtener la tasa de interés se despeja i de la ecuación siguiente: 
11,25 = 150 ( i / 4) de donde i = 11,25 x4 / 150 = 0,3 o 30% 
Rpta. 
b) El valor de compraventa se obtiene sustituyendo valores en su ecuación 
Valor Nominal V.N. = US$150; r / 4 = 0,38 / 4 = 0,095 R = US$11,25 
t = 3 años n = 3 x 4 = 12 
luego: 
V.CV. = 150 (1+ 0,095) 
–12 
+ 11,25 
095,0
)095,01(1 12−+−
 =$129,0484818 = $129,05 
c) La Utilidad o Intereses del Comprador 
U= 150 +12(11,25) –129,05 = US$155,95 
d) Descuento 
D = 150 – 129,0484818 = US$20,9515182 
e) El Cuadro a manera de práctica lo haces tú. 
 
 
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SEMANA 13, UNIDAD X 
TEMA AV2: EXÁMENES PARCIALES 
EXAMEN FECHA 
AV2 
AV2E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SEMANA 14, UNIDAD IV 
TEMA 14: DEPRECIACIÓN Y AGOTAMIENTO 
El valor de los activos –llámense: edificios, transportes, maquinaria, equipos, etc.- 
disminuye con el tiempo ya sea por el deterioro propio causado por el uso que se les 
da, o por los avances técnicos que pueden determinar su obsolescencia o operación o 
uso antieconómico -salvo los terrenos-, la cuantificación de dicha pérdida de valor se 
determina por procesos de depreciación. 
 
Toda empresa dedicada la fabricación de bienes y servicios debe considerar 
seriamente la formulación de provisiones por concepto de depreciación tanto para 
establecer sus costos operativos y de servicios, como para poder afrontar los 
problemas financieros y de descapitalización que pudieran presentarse al término de la 
vida útil de sus activos. 
 
Definición. 
La depreciación es la pérdida de valor – no recuperada con el mantenimiento - que 
sufre un activo fijo y tangible como consecuencia de su uso, deterioro y obsolescencia. 
 
Factores que participan en el proceso de depreciación de un activo: 
 
Vida Útil (V.U.), o llamada también duración probable de un activo, es el tiempo 
supuesto que se le asigna al activo como referencia para ser depreciado, este puede 
ser estimado en base al criterio de expertos, por asignación propia de los fabricantes 
de las maquinarias y equipos y para ello se le puede medir por un número puntual de 
años, o un número de horas de operación o de servicio o un número específico de 
unidades de producción. En particular este factor, es determinante para las diferentes 
clases o métodos para depreciar. 
 
Costo Original (C.O), es el valor o precio que se ha pagado para adquirir el activo, este 
viene refrendado en la factura de compra, si es un activo autofabricado como edificios, 
instalaciones de fábrica será el valor declarado en su declaratoria de fábrica y si es un 
activo de segunda mano será valorizado a su precio de adquisición o por tasadores 
especializados que le asignarán un valor. 
 
Valor Residual o Valor de Rescate (V.R.) o Valor de Deshecho (V.D.) o Valor de 
Salvamento (V.S.), es el valor que tiene un activo al término de su vida útil y este 
puede ser positivo, negativo o nulo. Es positivo si al momento de darle de baja dicho 
activo tiene un valor reventa en el mercado ya sea como activo útil –operativo- o como 
chatarra -al peso-. 
Ej. Un automóvil con 10 años de uso, y que está totalmente depreciado encuentra en 
el mercado un precio de reventa entre US$1,000 y US$2,000, dependiendo de la 
condición en la que se encuentre. Claro, que si está totalmente deteriorado también lo 
podrán vender pero al peso, en ese caso su valor baja apreciablemente, dependiendo 
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de la oferta del comprador que seguro la canibalizará –es decir tratará de sacar las 
partes utilizables para comercializarlos como autopartes de segunda mano. 
Es negativo si es que ese activo para darle de baja hay que efectuar algún gasto 
adicional por tal motivo. 
Ejemplo: Una vieja casona no la quieren comprar más que a precio de terreno limpio 
razón por la que el propietario para poder venderlo como tal, debe disponer la 
demolición de la misma que tiene un costo de aproximado Gs. 10.000 
Es nulo, si el activo al término de su vida útil es un total y absoluto desperdicio, es decir 
en la práctica no vale nada, sólo para botar a la basura. Ejemplo Una computadora 
afectada por un incendio. 
 
Depreciación Total (D.T.), es el valor total en el que se deprecia un activo, en la 
práctica resulta de la diferencia entre el Costo Original y el Valor de Salvamento o 
Residual es decir C.O. – V.S. 
 
Cargo por Concepto de Depreciación (C.D.) o Provisiones por Depreciación (P.D.), es 
la cantidad en la que se deprecia o disminuye el valor contable de un activo en un 
ejercicio determinado. Es decir es aquella suma que deducimos de utilidades y que 
corresponden a la disminución que afecta al valor contable del activo. La 
determinación de los C.D. responde a los métodos para depreciar que se utilizan. En la 
empresa moderna los cargos por concepto de depreciación suelen invertirse en títulos, 
efectos financieros u otras inversiones para constituir un fondo aplicable a la 
sustitución del activo, aunque la práctica más común consiste en utilizar los fondos 
recobrados, en las operaciones propias de la empresa, particularmente para adquirir 
bienes de capital de necesidad para la actividad empresarial que desarrollan, es decir 
son una fuente de fondos muy importante para cubrir objetivos específicos, la 
inversión de estos fondos en nuevos activos, permiten obtener una más alta 
rentabilidad que si se hubieran invertido como ya anotamos líneas arriba en títulos y 
efectos financieros. 
 
Depreciación Acumulada (D.A.) o Fondo de Depreciación (F.D.). Este factor resulta de 
la suma de los cargos por concepto de depreciación o provisiones de depreciación que 
se efectúan año a año. La cantidad acumulada en este fondo al término de su vida útil 
deberá ser igual a la Depreciación Total y la misma sumada al valor de salvamento será 
igual al Costo Original. 
 
Valor Contable (V.C.) o Valor en Libros (V.L.). Es el valor que se le asigna 
particularmente al activo en los libros de contabilidad de la empresa, en la práctica es 
el valor que tiene el activo al final de cualquier año luego de depreciarse. Al inicio 
llamado año 0 o mejor dicho cuando el activo es registrado o ingresa como patrimonio 
de la empresa, este valor es igual al costo original y en el último año de vida útil será 
igual al valor de salvamento o valor residual. 
 
Agotamiento.- Es la pérdidaprogresiva de un activo por reducción de la cantidad 
aprovechable del mismo. Tal es el caso de minas y pozos petroleros que luego de 
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explotarse van disminuyendo por la operación extractiva a la que se le somete hasta 
agotarse. Este tipo de activos llamados agotables no pueden reemplazarse. 
 
Obsolescencia o Desuso. Esto ocurre cuando un activo por el desarrollo tecnológico, 
nuevos inventos o por su alto costo operativo no resulta rentable o antieconómica su 
utilización. 
 
Métodos para determinar la depreciación: 
Método Uniforme o de la Línea Recta o Lineal. 
Este método se basa en el hecho de que los cargos por depreciación anual son del 
mismo importe para todos los años de vida útil del activo. En la práctica comercial el 
Cargo Anual por Concepto de Depreciación (C.D.) se determina dividiendo la diferencia 
entre el Costo Original (C.O.) del activo y el Valor de Salvamento (V.S.) o el Valor 
Residual (V.R.), diferencia que en la práctica es igual a la Depreciación Total (D.T.) 
entre los Años de Vida Útil (V.U.) del activo. Es decir: 
C.D. = 
..
..
..
....
UV
TD
UV
SVOC
=
− 
 
 
Ejercicio de aplicación. 
La Compañía de Inversiones Palacio Real S.A. compró una mezcladora de concreto 
valorizada según factura en GS. 17.500.000, la misma a la que se le ha estimado una 
vida útil de 6 años y un valor de salvamento de Gs. 2.500.000. Utilizando el Método 
Uniforme o de la Línea Recta, obtener el Cargo Anual por Concepto de Depreciación y 
construir un cuadro demostrativo del proceso de depreciación de dicho activo. 
 
Rpta. 
Factores: C.O. GS. 17.500.000 V.S. GS. 2.500.000 V.U. 6 años C.D. = ? 
 
C.D. = 
6
500250017 − = GS. 2.500.000 
 
 
Resultado se interpreta como que la mezcladora de concreto, disminuirá su valor en 
Gs. 2.500.000 cada uno de los 6 años que estará en servicio. Siendo el cuadro 
demostrativo del proceso de depreciación de dicho activo el siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 V.U. C.D. D.A. V.C. ó V.L. 
 Vida Útil Cargo por Depreciación Depreciación acumulada Valor en Libros 
 0 -------------------------------- --------------------------------- 17 500,00 
 1 2.500.000 2.500.000 15.000.000 
 2 2.500.000 5.000.000 12.500.000 
 3 2.500.000 7.500.000 10.000.000 
 4 2.500.000 10.000.000 7.500.000 
 5 2.500.000 12.500.000 5.000.000 
 6 2.500.000 15.000.000 2.500.000 
 
Método de las Unidades de Producción u Operación 
Este método es una variación del método uniforme que se aplica a determinados 
activos cuya vida útil es expresada en unidades de producción u operación tales como 
horas, kilómetros o millas recorridas, etc. En estos casos primero tendremos que 
determinar el Cargo Anual por Concepto de Depreciación por unidad de producción u 
operación y luego en función del uso operación o producción que se le haya 
controlado al activo por ejercicio se multiplicará el cargo antes estimado por las 
unidades de producción u operación ocurridas, como se verá en el ejercicio de 
aplicación a continuación. 
 
Un Sistema Integrado de Cómputo tiene un costo original de Gs. 265.000, un valor de 
Salvamento de Gs. 25.000 y tiene una vida útil estimada por sus fabricantes de 40,000 
horas de operación. Con esa información determine el Cargo por Hora de Operación y 
luego estime los cargos anuales por concepto de depreciación si dicho activo operó en 
el 1er. Año 8,500 horas; el 2do. Año 7,750 horas; el 3er. Año 8,250 horas; el 4to. Año 
7,500 horas y el 5to. Año 8,000 horas y construya una tabla descriptiva del proceso de 
la depreciación de dicho activo 
 
Rpta. 
Factores: C.O.= GS. 265.000 V.S. =25.000 D.T. = 240.000 V.U. = 40.000 horas 
 
C.D/
hora de Operación 
= 
00040
000240
00040
00025000265
=
−
= $6,00 
 
 V. U. C. D. D.A. o F.D. V.C. o V. L. 
 0 ----------------------------------- --------------- 265.000,00 
 1 8 500 x 6,00 = Gs. 51.000,00 51.000,00 214.000,00 
 2 7 750 x 6,00 = GS. 46.500,00 97.500,00 167.500,00 
 3 8 250 x 6,00 = GS. 49.500,00 147.000,00 118.000,00 
 4 7 500 x 6,00 = GS. 45.000,00 192.000,00 73.000,00 
 5 8 000 x 6,00 = GS. 48.000,00 240.000,00 25.000,00 
 
Método de la Suma de los Dígitos de los Años de Vida Útil del activo. 
Es un método clasificado como acelerado de depreciación porque los Cargos Anuales 
por concepto de Depreciación son considerados variables decrecientes ya que en los 
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primeros años son mayores que en los últimos. Para determinar los C.D. bastará con 
multiplicar la Depreciación Total por una fracción a/b, en donde el denominador b, 
resulta de la suma de sucesión de números que van desde la unidad hasta el número 
de años de vida útil asignada al activo, respecto al numerador a, este representa el año 
en el sentido inverso en el que se está aplicando la depreciación. Entonces para un 
activo con 8 años de vida útil el valor del denominador b será igual b = 
1+2+3+4+5+6+7+8 = 36 y para el numerador a, de la misma fracción se reordenará la 
sucesión de manera inversa es decir, para la primera fracción será 8, para la segunda 
será 7 y así sucesivamente hasta el octava fracción en donde al valor de a será igual a 1 
o la unidad. 
 
Ejercicio de aplicación de este método. 
La Inversiones La Ponderosa S.A. adquirió una retroexcavadora a GS. 320.000,00, 
máquina que tiene un valor residual o de salvamento estimado en el 15% de Costo 
original y una vida útil de 9 años. Con esa información elabore una tabla demostrativa 
del proceso de depreciación de dicho activo sabiendo que se le aplica el método en 
estudio. 
Rpta. 
Factores: C.O. = GS. 320.000 V.S. =15% de Gs. 320.000 = GS. 48.000 
D.T. = Gs. 320.000 – Gs. 48.000 = GS. 272.000 V.U. = 9 años 
Valor del Denominador b de la fracción a/b = 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 
 
 V.U. C.D. D.A. o F.D. V.C. o V. L. 
 0 ------------------------------------- ---------------- 320.000,00 
 1 9/45 x 272.000 = 54.400,00 54.400,00 265.600,00 
 2 8/45 x 272.000 = 48.355,56 102.755,56 217.244,44 
 3 7/45 x 272.000 = 42.311,11 145.066,67 174.933,33 
 4 6/45 x 272.000 = 36.266,67 181.333,34 138.666,66 
 5 5/45 x 272.000 = 30.222,22 211.555,56 108.444,44 
 6 4/45 x 272.000 = 24.177,78 235.733,34 84.266,66 
 7 3/45 x 272.000 = 18.133,33 253.866,67 66.133,33 
 8 2/45 x 272.000 = 12.088,89 265.955,56 54.044,44 
 9 1/45 x 272.000 = 6.044,44 272.000,00 48. 000,00 
 
Método de la Tasa o Porcentaje Fijo del Saldo Decreciente o Variación Geométrica 
Es otro método acelerado de depreciación en el que el Cargo Anual por Concepto de 
Depreciación es efectivamente una tasa o porcentaje fijo del Valor en Libros o Valor 
Contable del activo del año precedente, en la práctica los C.D. son variables 
decrecientes, es decir los C.D. de los primeros años son de mayor cantidad que los de 
los últimos. 
 
La Tasa o porcentaje fijo d se obtiene a partir de la siguiente expresión: 
 
Tasa o Porcentaje Fijo “d” = 1 – 
originalCostoSalvamentodeValorn
 
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Ejercicio de Aplicación 
Aplicando el método en estudio –tasa o porcentaje fijo del saldo decreciente- 
determinar primero dicha tasa y con ella elaborar una tabla demostrativa del proceso 
de depreciación de un equipo profesional de sonido y video adquirido a Gs. 320.000 al 
que se le estima una duración probable de 6 años –según fabricantes- y un valor 
residual o de salvamento de Gs. 400.000. 
 
Rpta. 
Factores: C.O. = Gs. 320.000 V.S. = Gs. 400.000 D.T. = 280.000 V.U. = 6 años 
 
Determinación de la Tasa o Porcentaje fijo d = 1 – 
6
√4,000/32,000 = 0.2928932188 
 
V.U. C.D. D.A. o F.D. V.L. o V.C. 
 0 --------------------------------------------------- --------------- 32.000,00 
 1 0.2928932188 x 32.000,00 = 9.372,58 9.372,58 22.627,42 
 2 0.2928932188 x 22.627,42 = 6.627,42 16.000,00 16.000,00 
 3 0.2928932188 x 16.000,00 = 4.686,29 20.686,29 11.313,71 
 4 0.2928932188 x 11.313,71 = 3.313,71 24.000,00 8.000,00 
 5 0.2928932188 x 8.000,00 = 2.343,15 26.343,15 5.656,85 
 6 0.2928932188 x 5.656,85 = 1.656,85 28.000,00 4.000,00 
 
Método de Depreciación por Fondo de Amortización 
A este método se le considera una variación también del método lineal o uniforme ya 
que el Cargo Anual por Concepto de Depreciación es una cantidad igual para todos los 
años de vida útil del activo, con la diferencia de que estos cargos son depositados en 
un fondo que paga intereses, los mismos que son agregados al cargo anual fijo 
conforme el fondo los va produciendo, generándose un nuevo o verdadero cargo neto 
por depreciación variable creciente para cada año por los incrementos del fondo año a 
año. 
Para determinar el cargo anual fijo por concepto de depreciación recurrimos a la 
fórmula del pago periódico de una anualidad simple cierta ordinaria o vencida e 
inmediata, cuando conocemos el monto o valor futuro de la anualidad, en la que 
adecuamos terminología de la depreciación a ella. 
 
Haciendo el Pago Periódico R, igual al Cargo Anual por Concepto de Depreciación C.D., 
el Costo Original menos el Valor de Salvamento que es igual a la Depreciación Total la 
hacemos igual al Monto o Valor Futuro de una Anualidad, la tasa de interés que rinde 
el fondo igual a la tasa de interés de la anualidad y la vida útil del activo igual al tiempo 
de la anualidad de ahí nos queda la siguiente expresión 
 
C.D. = 
1)1(
...
1)1(
.)...(
−+
=
−+
−
nn i
iTD
i
iSVOC
 
 
 
 
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Ejercicio de Aplicación 
Se compró una bomba de agua que costo US$7,500 la misma que tiene una vida útil 
estimada por sus fabricantes de 7 años y al cabo de los cuales su valor de salvamento 
es de 500.00, determine el cargo anual fijo por concepto de depreciación para dicho 
activo, y elabore una tabla demostrativa del proceso de depreciación sabiendo que los 
cargos por ese concepto son depositados en una cuenta de ahorros que paga el 9.6% 
efectivo anual. 
Rpta. 
Factores: C.O.=US$7,500; V.S.=US$500,00; D.T.=$7,000; V.U.=7 años; i=9,6% 
C.D. = 
1)096,01(
096,0)5005007(
7 −+
−
 = US$746,96 
 
 Intereses del Fondo 
V.U. C.D. al 9,6% Verdadera Deprec. D.A. o F.D. V.C. o V. L. 
0 ---------- ---------------- -------------------- ----------- 7.500,00 
1 746,96 0 746,96 746,96 6.753,04 
2 746,96 71,71 818,67 1.565,63 5.934,37 
3 746,96 150,30 897,26 2.462,88 5.037,12 
4 746,96 236,44 983,40 3.446,28 4.053,72 
5 746,96 330,84 1.077,80 4.524,08 2.975,92 
6 746,96 434,31 1.181,27 5.705,35 1.794,65 
 7 746,96 547,71 1.294,67(5)* 7,000,00 500,00 
 
 (5)*ajuste por exceso 
$0.02 debido al redondeo del C.D. 
La diferencia de 0,02 en exceso se origina en las aproximaciones de cálculo y se ajusta 
en libros contables al efectuar el último cargo anual por concepto de depreciación. 
 
Método de Depreciación con Intereses sobre la Inversión. 
En términos financieros, los capitales invertidos en activos productivos deben generar 
un interés o rédito, como cualquier inversión de dinero, a partir de este concepto 
muchos empresarios determinan que los ingresos del negocio provean de fondos tanto 
para la depreciación como para pagar los intereses sobre la inversión. El interés a 
cobrarse no deberá necesariamente ser igual al interés producido por el fondo para 
depreciación. 
 
En la práctica este método es una ampliación del Método de Depreciación por Fondo 
de Amortización que consiste en que el capital invertido-o- prestado para la compra 
del activo, es remunerado de manera aparte en favor del inversionista generando un 
mayor gasto por parte de la empresa, es decir a partir de los Cargos Anuales por 
Concepto de Depreciación resultantes de la suma del cargo fijo calculado por el 
método, más los intereses del Fondo para Depreciación o Depreciación Acumulada y 
más el interés sobre la inversión calculado a partir del valor en libros del año 
precedente, como se verá descriptivamente en el ejercicio de aplicación a 
continuación. 
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Ejercicio de aplicación del Método en estudio. 
Una máquina envasadora para una línea de producción de productos alimenticios 
determinó la inversión de Gs.330.000, a la que se le ha estimado un vida útil de 8 años 
y un valor de salvamento de Gs. 500.000, sabiendo que los cargos anuales por 
concepto de depreciación son depositados en una cuenta a plazo que es remunerada a 
la tasa del 8,4% y que el inversionista cobre el 12,5% de intereses anuales sobre su 
inversión. Con esta información elabore un cuadro demostrativo del proceso de 
depreciación para dicho activo en el que se muestre los intereses del Fondo para 
depreciación o Depreciación acumulada y los intereses sobre la inversión que cobra el 
inversionista. 
Rpta. 
Factores: C.O.=Gs. 330.000; V.S.=Gs. 500.000; D.T.=Gs. 280.000; V.U.=8 años 
Intereses pagados al Fondo para Depreciación= 8,4% 
Intereses abonados al inversionista Capitalista que prestó el dinero = 12,5% 
Cálculo del Cargo Anual Fijo con aplicación de la fórmula 
C.D. = 
1)084,01(
084,0)000500033(
8 −+
− x
 = Gs. 2.594,63 
8, 4% 12,5% 
V.U. C.D. Int. F.D. Verd. C.D. F.D. o D.A. V.C. o V.L. Int.al Inv. Verd.Gast. 
0 ----------- ----------- ----------- ------------- 330.000 ------------ ------------ 
1 2.594,63 0 2.594,63 2.594,63 30.405,37 4.125,00 6.719,63 
2 2.594,63 217,95 2.812,58 5.407,21 27.592,79 3.800,67 6.613,25 
3 2.594,63 454,21 3.048,84 8.456,05 24.543,95 3.449,10 6.497,94 
4 2.594,63 710,31 3.304,94 11.760,99 21.239,01 3.067,99 6.372,93 
5 2.594,63 987,92 3.582,55 15.343,54 17.656,46 2.654,88 6.237,43 
6 2.594,63 1.288,86 3.883,49 19.227,03 13772,97 2.207,06 6.090,55 
7 2.594,63 1.615,07 4.209,70 23.436,73 9.563,27 1.721,63 5.931,32 
8 2.594,63 1.968,69 4.563,32 28.000,05* 5.000,00 1.195,41 5.758,73 
*ajuste por exceso $0,05 
Como se puede apreciar en la tabla en la columna del fondo para depreciación o 
depreciación acumulada enel último cargo hay exceso de $0.05 producido por 
redondeos en los cálculos, el mismo que deberá ajustarse en dicho último cargo de 
dicha columna. 
 
Agotamiento y Recuperación de la Inversión en Bienes Agotables. 
Por la definición entendemos por bienes agotables, aquellos activos que pierden su 
valor luego de un determinado tiempo de explotación al reducirse la cantidad materia 
o bien explotado aprovechable del mismo, como decíamos en las definiciones es el 
caso de las minas y pozos petroleros. 
En estos casos para recuperar la inversión es necesario efectuar reservas que se 
acumulen en un fondo de amortización.
 
 
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SEMANA 15, UNIDAD IV 
TEMA 15: RENTAS VITALICIAS 
El curso hasta ahora desarrollado, ha considerado capitales únicos y rentas o 
anualidades cuyos términos eran de vencimiento seguro. A continuación trataré de 
casos que presentan el azar como factor adicional, situaciones ligadas a la 
aleatoriedad, contingencia o eventualidad, por cuanto se vinculan con la duración de 
vida de una persona. 
 
Tablas de Mortalidad 
Si partimos de un grupo de jóvenes de 18 años que desean conformar un fondo del 
cual recibirán Gs. 100.000 para constituir una empresa todos los que continúen con 
vida dentro de 25 años ¿Qué capital deberá colocar cada uno, en el fondo común en el 
momento actual? Para contestar a esta interrogante necesitaríamos preestablecer 
cuántas personas del grupo original seguirán vivos dentro de 25 años. Es imposible 
predecir quién morirá en los próximos 25 años, sin embargo con la ayuda de tablas de 
mortalidad es posible predecir aproximadamente cuántas personas morirán en un 
determinado lapso de tiempo. 
 
Una tabla de mortalidad es el instrumento básico para el trabajo del Actuario de 
Seguros de Vida, en ella las compañías de seguros han anotado la estadística de la 
marcha a través de la vida de un determinado número de personas tomadas como 
base, registrando el número de personas vivas y fallecidas a cada edad de vida. 
 
Los continuos avances de la Medicina Humana y la Biología, que conllevan a aumentar 
más rápidamente la esperanza de vida ha determinado que las tablas de mortalidad 
queden anticuadas al cabo de cierto tiempo, debiéndose sustituir por otras más 
recientes. 
 
Para efectos de estandarizar el material de trabajo de nuestros estudios utilizaremos la 
“1958 Commissioners Standard Ordinary Mortality Table” conocida como la “1958 CSO 
Table”, la misma que se convirtió en la tabla modelo para muchos estados de EE.UU. 
desde el 1º de Enero de 1966. En esta tabla se muestra que los valores referidos a 
mujeres de 15 años en adelante son los mismos que para varones de 3 años más 
jóvenes. En situaciones específicas, las anualidades y los seguros pueden basarse en 
diferentes tablas de mortalidad, pero en la práctica que desarrollamos de rentas 
vitalicias y seguros de vida, los principios básicos son los mismos y la tabla que 
usaremos será la misma es decir la “1958 CSO Table”. 
 
El desarrollo de esta tabla se inicia con 10.000.000 de personas vivas a la edad 0. La 
columna l
x
, indica el número de personas vivas a la edad x. La columna d
x 
indica el 
número esperado de fallecimientos antes de llegar los x + 1 años. Luego 70 800 del 
número inicial de vivos a la edad de 0 años, es la cifra que expresa el número esperado 
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de individuos que no llegará al año de edad x + 1. La probabilidad que tiene una 
persona de x años de fallecer en el intervalo de un año se indica por q
x
. Se obtiene 
dividiendo el Nº de fallecimientos a la edad x por el Nº de personas vivas a la edad x. 
En símbolos, q
x
= d
x
/l
x
. Siendo más práctico para efectos de cálculo manejar la tasa de 
muertes por 1000 habitantes que aparece en la tabla en la columna 1 000q
x 
 
 
La edad final de la tabla de mortalidad “1958 CSO Table” significa la edad a la cual no 
hay supervivientes y esta es 100 años para varones y 103 años para mujeres. 
 
¿Cuál es la probabilidad de que un varón de 18 años sobreviva a los 43? De un grupo 
de 120 varones de 18 años ¿Cuál será el número esperado de supervivientes a los 43 
años? 
Rpta. La probabilidad de que un varón de 18 años sobreviva a los 43 es sencillamente 
el cociente del número de supervivientes a los 43 años por el de supervivientes a los 
18. 
2306989
1221359
18
43 =
l
l
 = 0,941937 
De 120 varones de 18 años, el número esperado de supervivientes a los 43 es de 
 
120 x 0,941937 = 113 
 
¿Cuál es la probabilidad de que un varón de 18 años fallezca antes de llegar a los 43 
años? De un grupo de 120 varones de 18 años ¿Cuál es el número esperado de 
fallecimientos antes de llegar a los 43? 
Rpta. La probabilidad de fallecimiento de un varón entre los 18 y 43 años es el número 
de fallecimientos durante ese período dividido por el número de vivos a los 18 años 
 
2306989
12213592306989
18
4318 −=−
l
ll
 = 0,058063 
 
La probabilidad de fallecer hasta los 43 años es 1,000000 – 0,941937= 0,058063 
De los 120 varones de 18 años el número esperado de muertes antes de llegar a los 43 
años será de 120 x 0,058063 = 7 
 
Esperanza de Vida 
Cuando el hombre avanza en su edad a veces se pregunta ¿Cuánto tiempo nos queda 
de vida? Claro está que si tienes 30 años tendrás una vida más larga que si tienes 60. 
Sabemos por la estadística que es posible estimar la esperanza de vida para personas 
de nuestro sexo y edad. En la práctica la esperanza de vida es una estimación 
estadística empleada como índice de comparación de diferentes tablas de mortalidad, 
la misma que tiene la siguiente fórmula: 
1
1
15,0 +
−=
− =+= x
tx
x
x ll
le 
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En donde e
x 
= esperanza de vida a la edad x 
l 
x 
= número de supervivientes a la edad x 
t = índice de sumatoria recorre el conjunto de enteros positivos: 1,2,3,…,–x–1 
 
Edad final de la tabla de mortalidad 
El símbolo _ se utiliza para indicar la sumatoria de términos similares o semejantes. El 
índice t recorre el conjunto de números enteros positivos; 1,2,3,......_ – x –1. Esto se 
interpreta como que si deseamos hallar la esperanza de vida a la edad x, tenemos que 
considerar el número de supervivientes un año más tarde, sumamos el de 
supervivientes dos años más tarde y seguimos hasta concluir con la tabla de 
mortalidad. Esta suma nos da el número total de años de vida futura del grupo 
considerado de personas de edad x. Al dividir esta suma por l
x
, el número de 
supervivientes a la edad x, obtenemos el promedio de años de vida futura para cada 
persona. Esta suma no admite fracciones de año y supone que el tiempo de vida futura 
excederá en medio año al número de años completos, por lo cual sumamos la 
constante 0,5 años para obtener el tiempo completo de vida futura. 
 
Aplicación de la ecuación que nos permite calcular la esperanza de vida. 
Estimar la esperanza de vida para un hombre de 88 años, utilizando la tabla de 
mortalidad “1958 CSO Table”. Reemplazamos x por 88 en la ecuación y leemos en ella 
l
x 
= 741 474. Este número representa el número de varones cuyos años de vida futura 
vamos a calcular. Para t = 1, l
89 
=594 477; para t =2 l
90 
= 468 174; para t = 3 l
91
= 361 365 
y continuamos hasta arribar al último término de la suma que es el que corresponde a 
t = (100 –11 –1 ) = 11. Para t =11, l
99 
= 6 415. Ordenando los resultados tenemos la 
siguiente tabla: 
t 88 + t l 
88 + t
 
 1 89 594.477 
2 90 468.174 
3 91 361.365 
4 92 272.522 
5 93 200.072 
6 94 142.191
 7 95 97.165 
8 96 63.037 
9 97 37.787 
 10 98 19.331 
 11 99 6.415 
11
 
 2.262.566= _ l
88+t
 
 t = 1
 
Sustituimos en la ecuación de la esperanza de vida nuestra sumatoria resultante 
2.262.566 de años de vida futura total, que tenemos que distribuir por promedio entre 
741.474 varones vivos de 88 años 
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e
88 
= 0,5 + 
475741
5662622
 = 0,5 + 3,051435245 = 3,55 
 
Esto significa que la esperanza de vida de un varón de 88 años es de 3,55 años, si no 
basamos en la 1958 CSO Table. El hecho mismo de que la persona pueda vivir más o 
menos que su esperanza de vida sólo el tiempo lo dirá. Para ver resultados relativos a 
mujeres bastará con buscar el valor correspondiente para varones 3 años más jóvenes. 
 
Al fijarse la prima que debe abonar el poseedor de una póliza de seguros, la compañía 
deberá considerar los intereses producidos por la prima recibida al ser éstos invertidos 
por la compañía. Las primas reales de un seguro constan de dos partes: la prima neta y 
el recargo. La prima neta incluye consideraciones acerca de la mortalidad y los 
intereses producidos por la inversión de las primas. El recargo se refiere a los costos de 
inversión y negociación de la compañía, los mismos que son variables de empresa a 
empresa, respecto a los métodos y criterios para su cálculo. 
 
El valor actual de las primas netas a la fecha de contratación deberá ser igual al valor 
presente de todos los beneficios futuros a la misma fecha. 
 
Dotación de Supervivencia 
Es el único pago que debe recibir una persona en particular en determinado momento 
siempre y cuando viva todavía en ese momento. 
 
Para obtener una ecuación que nos permita determinar la dotación de supervivencia 
partimos de un grupo de l
x 
personas de x años de edad que toman la decisión de 
constituir un fondo común del cual se pueda pagar 1 dólar a cada miembro que viva a 
la edad x+n, esa cantidad de dinero necesaria será igual al valor correspondiente a l
x+n 
que figura en la tabla de mortalidad. Como ese dinero no se necesitará hasta dentro de 
un número n de años, solamente debemos aportar en el presente es decir en este 
momento el valor actual o descontado de dicho monto. Si utilizamos la notación 
n
E
x 
para designar la contribución individual al fondo común, el total de primas será de l
x 
. 
n
E
x
, 
Luego actualizando beneficios y planteando una ecuación de valor resulta: 
 
l
x 
. 
n
E
x
, = ( 1 + i )
–n 
l
x+n
 
 
En la práctica actuarial se designa por v al factor (1 + i )
–1 
con lo cual v
n 
= [(1 + i)
-1
] 
n 
y 
modificando la ecuación anterior y despejando 
n
E
x 
obtendremos la fórmula que nos 
permite estimar la prima neta necesaria para abonar una dotación de 1 dólar dentro 
de n años a una persona de x años de edad: 
 
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n
E
x 
= 
x
x
n
l
lv + 
 
Para facilitar la comprensión del tema reduciendo la rutina numérica utilizaremos las 
funciones de conmutación, recurso de todo actuario que le simplifica las fórmulas y 
elimina los cálculos dificultosos. 
 D 
x 
= v
n 
l
x
 
 N 
x 
= D
x 
+D
x + 1
+........+ D
_ –1
 
 C 
x 
= v 
x+1 
d 
x
 
 M
x 
= C
x 
+ C 
x+1 
+ ........+ C
_ –1
 
 
En todas estas funciones se combinan los factores valor presente de la unidad 
monetaria con valores dados por las tablas de mortalidad. Por lo cual en la práctica 
actuarial se deberá generar una tabla de conmutación para cada tasa de interés y cada 
tabla de mortalidad, estas funciones pueden contener hasta más de 100 términos, por 
lo cual se convierten en un instrumento indispensable cuando los cálculos se hacen a 
mano o con calculadora. 
 
Las columnas de conmutación de la Tabla que usamos han sido tomadas del volumen I 
de las tablas monetarias editadas por la Sociedad de Actuarios (U.S.A.) 
 
Y utilizaremos siempre la tasa de interés del 2.5% anual. Si en la fórmula del valor 
presente de una dotación de supervivencia multiplicamos el numerador y 
denominador por v
n
, tenemos 
n
E
x 
= 
x
x
nxnx
v
v
1
1 ++ 
 
Y con el uso de las funciones conmutación la fórmula nos queda: 
 
n
E
x 
=
x
nx
D
D + 
 
En donde x representará la edad de la persona beneficiaria de la dotación, renta o 
seguro de vida en el momento de contratarlo. El significado de n es variable y será 
puntualizado en cada ecuación o fórmula. En este caso en particular se entiende que la 
persona que contrató la dotación la recibirá al término de n años si continúa viviendo. 
Si en un problema nos especifican la edad a la que deberá recibirse la dotación no será 
necesario establecer puntualmente el valor de n porque ella será x + n. 
Por ejemplo ¿Cuál será la prima única que debe pagar un varón de 20 años para recibir 
una dotación de supervivencia $75 000 dentro de 30 años? 
Rpta. Aplicando la ecuación anterior 
 
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75 000 
20
3020
D
D + = 75.000 
0,2658985
7,3245492
 = Gs. 34.416,20 
 
¿Calcule la prima única que debe pagar una mujer de 20 años para recibir una dotación 
de supervivencia de $80 000 a los 60 años? 
 
80.000 
20
4020
D
D + = 80 000 
1,9713836
4,0609841
 = Gs. 24.863,0
 
Si comparamos los resultados obtenidos en los dos ejemplos notamos que el valor de 
la prima única en el caso de la mujer es menor que para el hombre es decir que, a 
mayor tiempo de extensión para el abono de la dotación menor será el costo de la 
prima única. En la práctica estas dotaciones de supervivencia son un ejemplo de lo que 
significa acumular un capital con el beneficio de la supervivencia. En la práctica se 
recibe más de lo que se obtendría por el simple interés; la diferencia la cubre las partes 
corresponden a las personas han muerto sin alcanzar la edad. 
 
Rentas Vitalicias Completas 
Se denomina así a la serie de pagos de igual cuantía provenientes de ejercer el derecho 
que le asiste al asegurado de pólizas de seguros y otras inversiones, cuando no desea 
una dotación de supervivencia. Ahora estos pagos deberán continuar mientras viva la 
persona designada como beneficiario o el rentista. El intervalo de los pagos es a 
convenir. Para resolver problemas de este tipo debemos multiplicar el importe del 
pago por el factor resultante de aplicar las tablas de conmutación a los datos 
 
Rentas vitalicias ordinarias vencidas inmediatas 
Estas constan de términos que empiezan a vencer en el periodo inmediato siguiente el 
mismo que puede ser de un año u otro periodo convenido y continúan durante toda la 
vida. Fundamentamos nuestros cálculos en la hipótesis de que l
x 
personas de x años de 
edad depositan a
x 
unidades monetarias cada una, luego el fondo inicial del
x
a
x
, más los 
intereses debe ser suficiente para pagar 1 unidad monetaria a cada persona integrante 
del fondo cada periodo por todas su vida, 
 
La fórmula de valor para obtener la prima individual cuyo símbolo es a
x 
la obtenemos 
descontando todos los pagos futuros al momento actual. El valor actual del pago a 
efectuar dentro de un periodo es v l 
x+1
, el valor actual del pago del siguiente año será 
v
2
l 
x+2 
y así sucesivamente. 
 
Calculando los equivalentes de todos los capitales en el momento actual y planteando 
una ecuación de valor tendremos 
 
l
x
a
x 
= v l
x+1 
+ v
2
l 
x+2
+..................+v
98 –x 
l
98 
+v 
99-x 
l
99 
 
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El costo individual será 
ax = 
x
xx
xx vvvv
1
11...........11 99
99
98
98
2
2
1
−−
++ ++++ 
 
Para determinar el costo de esta renta Gs. 120.000 para un hombre de 25 años, 
deberíamosdescontar todos los términos anuales desde 26 a 99. Para reducir el 
trabajo de cálculo multiplicamos el numerador y denominador de la ecuación por v
x 
 
 
ax = 
x
x
x
x
x vvvv
1
11.............11 99
99
98
98
2
2
1
1 ++++ +
+
+
+
 
ax = 
x
xx
D
DDDD 999821 ............. ++++ ++ 
ax = 
x
x
D
N 1+ 
En la práctica y utilizando las funciones de conmutación y reemplazamos en fórmula 
los valores de las columnas edad varones para el numerador factor N
x+1 
en donde x + 1 
es igual a 25+1= 26 de donde se lee 134.674.489,6 y en la columna Dx para x = 25 
leemos 5.165.008,0 y el cociente lo multiplicamos por el pago periódico que genera 
renta vitalicia ordinaria vencida inmediata y tenemos 
 
a25 = 0,0081655
6,48967413400012
25
125 =+ x
D
N
 x12 000 = Gs. 312.892,81 
 
Problema de aplicación 
 
¿Cuál es el costo neto de una renta vitalicia inmediata de Gs. 25.000,00 anuales para 
una mujer de 47 años 
Rpta. Esta renta se obtendrá aplicando la fórmula, utilizando las funciones de 
conmutación buscamos en la columna N
x 
el valor de x = 47 +1=48 y en la columna D
x
, x 
= 47 en donde x es la edad de la mujer 
 
a47 = 1,2620683
4,80392758
 x 25 000 = 19,20559635 x 25.000= Gs. 480.139,91 
 
Renta vitalicia completa pre pagable 
Es aquella en la que el primer pago debe hacerse de inmediato es decir al comienzo del 
primer periodo de pago y se continúan efectuando a periodos iguales durante toda la 
vida de la persona. Su símbolo es una a minúscula con diérisis es decir ä
x. 
La diferencia 
entre este tipo de renta y la anterior es que el primer pago periódico se hacen de 
inmediato siendo su ecuación resumida 
 
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ax = 
x
x
D
N
 
Los valores de este tipo de rentas están consignados con las funciones conmutación en 
la tabla respectiva en la columna ä
x
. Si a estos factores ä
x 
les restamos 1 el factor que 
obtenemos será igual al de una renta vitalicia ordinaria o vencida inmediata nótese 
que la diferencia de factores solo está en el subíndice da N
x 
al que no se le suma 1 es 
decir a
x 
= ä
x 
– 1 
 
Ejemplos 
1. Hallar la prima única neta necesaria para obtener una renta vitalicia completa pre 
pagable de GS. 18.000 anuales a favor de un hombre de 40 años. 
 
a40 = 1,7654413
6,88919475
40
40 =
D
N
 x 18.000 = 21.84776922 x 18.000= GS. 393.259,85 
 
Si en el problema anterior la renta vitalicia completa es ordinaria o vencida inmediata 
el valor de la misma se determina aplicando la expresión a
x 
= (ä
x 
– 1)R es decir: 
 
a
x 
= (21,84776922 – 1,00000) 18.000 = Gs. 375.259,85. 
 
2. Un hombre al morir deja a su esposa una póliza de seguro de $100 000.00. Si la 
mujer tiene 55 años y prefiere recibir pagos anuales durante toda su vida, 
cobrando el primero de inmediato ¿cuánto recibirá de inmediato? 
 
Rpta. En este caso conocemos el valor presente de la renta vitalicia pre pagable o 
anticipada, a partir de la cual determinaremos el pago inmediato R 
R ä
55 
= 100 000 despejamos R y tenemos: 
 
R = 
729089,16
000100000100
55
=
ä
 = GS. 5.977,61 
 
3. Una persona sufre un accidente de tránsito que lo imposibilita a trabajar 
recibiendo un indemnización por daños y perjuicios de GS. 480.000,00 Si dicha 
persona invierte lo recibido en constituir una renta vitalicia completa anticipada. 
Determinar la renta anual que recibirá si al sufrir el accidente tenía 38 años 
 
Rpta. R ä
38 
= 480.000,00 R = 480.000 / 22,637726 = 
R = GS. 21.203,54 
 
 
 
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SEMANA 16, UNIDAD IV 
TEMA 16: SEGUROS DE VIDA 
El seguro es el documento, instrumento o contrato en virtud del cual una persona o 
sociedad (el asegurador) asume un riesgo que debe recaer sobre otra persona 
(asegurado) a cambio de una cantidad de dinero llamada prima. En el caso del seguro 
de vida este contrato permite que una persona de ingresos moderados pueda 
proporcionar a su familia una cierta cantidad de dinero en el momento de su muerte. 
 
Las primas brutas de los seguros cubren tanto las muertes acaecidas como los gastos 
de las compañías aseguradoras, es decir una prima bruta estará constituida de la prima 
neta más los recargos que varían de compañía a compañía. En nuestro tratamiento 
sólo determinaremos las primas netas para pólizas de: seguro temporal, de vida 
entera, de vida con pago limitado y dotal. 
 
La prima de un seguro temporal se basa en los beneficios relativos a los fallecimientos 
esperados en un período limitado que puede ser de 5 o 10 años. La prima de esta 
póliza aumenta a medida que aumenta la edad del asegurado; por ello el seguro 
temporal resulta caro a edades que se aproximan a la edad promedio de vida del 
poblador de un determinado país. 
 
Una póliza a prima constante o media tiene un costo inicial mayor que un seguro 
temporal pero la prima no aumenta, constituyéndose ese exceso en una reserva que 
compensa las indemnizaciones ocasionadas por las muertes que ocurran con 
posterioridad. El tipo más simple de póliza a prima constante es el de vida entera, 
conocido como seguro de vida ordinario, cuyo costo de póliza se determina por la edad 
del asegurado en el momento de su contratación, conservándose por el resto de su 
vida la misma prima. 
 
El caso del seguro de vida con pagos limitados indica el hecho de efectuar 
efectivamente pagos durante un cierto número de años, al término de los cuales la 
póliza se considera totalmente pagada para toda la vida del asegurado, por ello es que 
el importe de las primas es superior con relación al seguro de vida entera, porque la 
reserva necesaria debe constituirse en un tiempo menor. 
 
Los seguros dotales proporcionan protección por un número determinado de años, 
(llamados periodos de dotación) al término de los cuales la cobertura termina y si vive 
el asegurado se le hace entrega del valor nominal de la póliza, por ello estas pólizas 
resultan muy caras para periodos de dotación cortos ya que la compañía aseguradora 
deberá determinar una prima suficiente para hacer frente a la certeza de que habrá de 
abonar bien al asegurado o a sus beneficiarios, una cierta cantidad al concluir el 
periodo de dotación. 
 
 
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Prima de una Póliza de Vida Entera con las Funciones de Conmutación 
Suponiendo que una compañía de seguros emite pólizas de una unidad monetaria a l
x 
personas vivas a los x años de edad. Al término del primer año, la compañía deberá 
abonar d
x 
unidades monetarias a los beneficiarios de los fallecidos, al concluir el 2do. 
Año, deberá cancelar d
x+1 
unidades monetarias y así continuar hasta llegar a los d
99 
unidades monetarias. Cada una de las lx personas deberá pagar una prima neta única 
de A
x 
unidades monetarias por su póliza. Luego el producto del número de vivos a los x 
años de edad por la cantidad de la prima neta única a pagar a cada uno de ellos deberá 
ser igual al valor actual de todos los pagos futuros a los beneficiarios de los fallecidos, 
siendo su fórmula de valor desarrollada: 
 
l
x
A
x 
= vd
x 
+v
2
d
x + a 
+ .........+v 
99 – x 
d
98 
+ v 
100 – x 
d
99 
 
 
Despejando A
x 
y multiplicando el numerador y denominador por v
n
, tenemos: 
 
Ax = 
xn
ax
x
x
x
v
dvdvdvdv
1
..................... 99
100
98
9921 ++++ +
++
 
 
Introduciendo las funciones de conmutación el resultado anterior se simplifica 
 
Ax = 
x
xx
D
CCCC 99981 ..................... ++++ + 
 
Ax = 
x
x
D
M
 
La tabla de factores de conmutación registra valores dados de 1000 A
x 
 
 
Ejemplo: 
Hallar la prima neta única de un seguro de vida entera de Gs. 40.000,00 para una 
mujer de 20 años de edad. 
Rpta. A partir de la tabla de factores de conmutación hallamos en las columnas M
x 
y D
x 
para x = 20 y obtenemos aplicando los factores el valor de la prima neta únicacon el 
resultado siguiente: 
40.000 A
20 
= 40.000 x 
1,9713836
477,5458351
 = Gs. 11.500,96 
Utilizando el cociente de M
x 
y D
x 
y multiplicado por 1000 registrado en la tabla de 
factores de conmutación como 1 000 A
x 
A
x 
= 
20
20
D
M
 = 
1,9713836
477,5458351
x 1000= 0,2875240894 x 1 000 = 287,5240894 
 
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Luego la prima neta única de dicho seguro de vida si fuera de $1 000 sería de 
287,5240894 pero como cubre Gs. 40.000,00 costará 40 veces más, es decir: 
40.000A
x 
= 40 x 287,5240894 = Gs. 11.500, 96 
 
El importe de esta prima es un poco elevado para la economía de una joven de 20 
años, por ello muchos jóvenes no pueden contratar un seguro de vida entera mediante 
este pago de la prima neta única. Como el costo de una póliza a prima única es muy 
caro para la mayoría de la gente, el procedimiento común en la actualidad es el de 
efectuar pagos anuales o de mayor frecuencia que pueden llegar hasta mensuales, tal 
como citamos en el ejemplo a continuación: 
La Compañía de Seguros Generales La Positiva emite una póliza de seguro de vida 
entera cuyo capital asegurado es de GS. 100.000,00 para un hombre de 30 años de 
edad. Determinar la prima anual neta. 
 
Rpta. 
Para determinarla la compañía deberá tomar en cuenta que la cantidad que reciba del 
asegurado, dependerá de cuánto viva este. Incluso si un asegurado muere habiendo 
pagado solamente la prima anual, el beneficiario obtendrá el capital asegurado. Los 
beneficios de la póliza por fallecimiento esperados serán los mismos que en caso 
anterior. La prima total esperada para un determinado año será igual al número de 
personas vivas en ese año, multiplicado por la prima anual neta, a la que denotaremos 
por P
x. 
El valor presente de los capitales asegurados deberá ser igual al valor actual de 
las primas esperadas. El hecho que las primas netas sean iguales y se paguen al 
principio de cada año, definen una renta vitalicia completa anticipada o pre pagable 
cuyo valor presente es N
x 
/ D
x, 
en base a una unidad monetaria. 
 
Por tanto el valor actual de las primas es de P
x 
(N
x 
/ D
x
) cantidad que debe ser igual al 
valor presente de los capitales asegurados, que será el mismo que para un seguro de 
vida entera a prima única, es decir M 
x 
/ D 
x, 
Luego 
 
Px 
x
x
x
x
D
M
D
N = 
Px = 
x
x
x
x
D
Mx
N
D
 
Px = 
x
x
N
M
 
 
Ya con la fórmula estamos en condición de dar solución el problema 
 
100.000 P
30 
= 100.000 
30
30
N
M
 = 100.000 
5,742337115
682,5757061
 = Gs. 1.479.63 
 
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Prima de un Seguro Temporal 
Por definición anterior la prima de un seguro temporal aumenta con la edad del 
asegurado, el mismo que se produce cada 5, 10 o 20 años, el mismo que se describe 
como temporal de 5 años, temporal de 10 años y así sucesivamente. La fórmula que 
nos permite determinar la prima neta única, A
x
1
n 
para una póliza temporal de n años 
de una unidad monetaria, a favor del 
x 
individuos de edad x. Las muertes y las primas 
para el periodo que va desde la edad x hasta la x+ n 
 
Beneficio por fallecimiento $1.00 al beneficiario de cada asegurado que fallece 
 
 d 
x 
d
x +1 
d 
x +n –2 
d
x+n –1 
 
]------------]-----------]--------.................---]--------------] 
 
Primas x x + 1 x + 2 x + n –1 x + n Edad de los asegurados 
 
l
x 
A
x
1
n
 
Si llevamos todos los datos a la edad x y planteamos una fórmula tendremos 
 
l
x 
A
x
1
n 
= vd
x 
+ v
2
d
x+1 
+ ..............+ v
n-1 
d
x+n-2 
+ v
n
d
x+n-1 
 
 
Multiplicando por v
n 
e introduciendo las funciones de conmutación tendremos 
 
 C
x
+ C
x+1 
+ ................+ C
x+n –2 
+ C
x+n –1
 
A
x
1
n 
= ------------------------------------------------------ 
 D
x 
 
 
Como M
x 
= C
x
+ C
x+1 
+ ................+ C
x+n –1 
+ C
x+n 
..........+ C
99 
 
 
Y M 
x+n 
= C
x+n 
..........+ C
99 
 
 
Podemos expresar el numerador como M
x 
– M 
x+n 
y nos queda: 
 
 M
x 
– M 
x+n
 
A
x
1
n 
=---------------- 
 D
x
 
Si el pago de una póliza se realiza mediante primas netas anuales P
x
1
n 
dichas primas 
constituirán una renta vitalicia temporal de n años anticipada, siendo su valor presente 
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para una unidad monetaria igual a N
x 
– N 
x+n 
/ D
x 
capital que debe ser igual al valor 
actual de los beneficios por fallecimiento o capitales asegurados que viene a ser el 
mismo que en el caso de la prima única, es decir M
x 
– M 
x+n 
/ D
x. 
Luego igualando dichos 
valores presentes 
 N
x 
– N
x+n 
M
x 
– M 
x+n
 
P
x
1
n 
---------------- = -------------------- 
 D
x 
D
x
 
 
 D
x 
M
x 
– M 
x+n
 
P
x
1
n 
=-------------- x ---------------- 
 N
x 
– N
x+n 
D
x
 
 
 M
x 
– M 
x+n
 
P
x
1
n 
=-------------- 
 N
x 
– N 
x+n
 
 
Ejemplo 
Calcular La prima neta única y la prima neta anual correspondiente a una póliza de 
US$25.000; temporal 10 años para un hombre de 35 años 
 
 M
35 
– M 
45
 
Prima Neta Única = 25.000 A
35
1
10 
= 25.000 -------------------- 
 D
35 
 
 
1.659.440,360 – 1.541.435,368 
= 25 000 ------------------------------------------- = Gs. 746,90 
3.949.851.1 
 
 M
35 
– M
45
 
Prima Neta Anual = 25 000 P
35
1
10 
= 25.000 ----------------- 
 N
35
–N
45 
 
1.659.440,360 – 1 541435,368 
=25.000 --------------------------------------------- = Gs. 84,34 
93.906.839,2 – 58 927 803,4 
 
 
 
 
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Seguro de Vida con pagos limitados 
Es un tipo de póliza que proporciona protección durante toda la vida del asegurado 
aunque este pague primas durante un número t de años. El valor presente de los 
beneficios es el mismo que el de una póliza ordinaria de vida es decir M
x 
/ D
x
. El valor 
presente de las primas neta anual de una póliza de vida de t pagos, lo denotaremos 
por 
t
P
x 
(N
x 
– N
x+1
)/D 
x. . 
Igualando tenemos 
 
 M
x
 
t
P
x 
= --------------- 
 N
x 
– N
x+1
 
 
Hallar la prima neta anual respecto a una póliza de vida de 25 años, de valor Gs. 
18.000, adquirida por una mujer de 28 años 
 M
28 
1.754.288,517 
18.000
25 
P
28 
= 18000 ---------------= 18 000 -------------------------------------=Gs. 332,62 
 N
28 
– N
28+25 
139.839.497,6 – 44.904 190,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SEMANA 17, UNIDAD IV 
TEMA PF: EXAMEN FINAL-PF 
 
EXAMEN FECHA 
PF 
PFE1 
PFE2 
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FUENTES DE INFORMACIÓN 
 
1. Álvarez, A. (2005). Matemáticas financieras. (3a. ed.). Bogotá: Editorial McGraw-Hill 
Interamericana. 
 
2. Blank, P. y Tarquin A. (2006). Ingeniería Económica. (6a. ed.). México: McGraw-Hill 
Interamericana. 
 
3. Meza, J. (2004). Matemáticas financieras aplicadas: uso de las calculadoras financieras y 
Excel. (2a. ed.). Bogotá: ECOE Ediciones. 
 
4. Pastor, G. (2004). Matemáticas financieras. México: EditorialLimusa. 
 
5. Vargas Gonzales, D. (Verificar año es correcto 2010). Manual de matemática financiera. 
Lima: Universidad de San Martín de Porres. Escuela Profesional de Contabilidad y 
Finanzas.