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Problemas Selectos de PreCálculo
Book · June 2012
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3 authors, including:
Rafael Pantoja Rangel
University of Guadalajara
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Curso de inducción
Problemas Selectos de
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PreCálculo
Rafael Pantoja Rangel
Coordinador
Leopoldo Castillo Figueroa
José Luis Ortega García
Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán
 Departamento de Ciencias BásicasSistema Nacional de Institutos Tecnológicos
Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán
Cuerpo académico:
Enseñanza de las Matemáticas con tecnologías
Problemas Selectos de PreCálculo
	
  
COLABORADORES
Academia de Ciencias Básicas del lTCG
Alejandro Tobías Hernández
Vicente Requena Tirado 
Ángel Enrique Arellano Fabián
Víctor Hugo Rentería Palomares
Alberto González Murillo
Rafael Pantoja Rangel 
Herman Cancino Moreno
Ricardo Rodríguez Retolaza
Jesús Enrique Gómez Peralta
Gabriel Cancino Murillo
José Luis Ortega García
Leopoldo Castillo Figueroa
Karla Liliana Puga Nathal
Rafael Catzim Alcaráz 
Marco Antonio Guzmán Solano
Cristian Omar Vargas González
Natalia Cisneros Aguilar
Ignacio Moya Esquivel
 
Cuerpo Académico en Formación 
“Enseñanza de las Matemáticas con 
Tecnologías”
Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán
Leopoldo Castillo Figueroa
Enrique Gómez Peralta
Karla Liliana Puga Nathal
Cuerpo Académico Consolidado
“Matemática Educativa Avanzada”
Universidad de Guadalajara
Ricardo Ulloa Azpeitia
Elena D. Nesterova
Cuerpo Académico en Formación 
“Matemática Educativa”
Universidad Autónoma de Nayarit
María Inés Ortega Árcega
Maestría en Enseñanza de las 
Matemáticas
Universidad de Guadalajara
Zazil-Ha González Gaxiola
Diana Carolina Cordero Franco
Marisol Ramírez Castellanos
DIRECTORIO
José Roberto Gudiño Venegas
Director
Guillermo de Anda Rodríguez 
Subdirector académico
José Luís Ortega García
Jefe del Departamento de Ciencias 
Básicas
Editores
Rafael Pantoja Rangel (Coordinador)
Leopoldo Castillo Figueroa
José Luis Ortega García
	
  
	
  
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. GUZMÁN
Departamento de Ciencias Básicas
Problemas Selectos de PreCálculo 
para el 
CURSO DE INDUCCIÓN 
que presenta la 
Academia de Ciencias Básicas 
y el 
Cuerpo Académico:
“Enseñanza de las Matemáticas con Tecnologías”
Editores
Rafael Pantoja Rangel
(Coordinador)
Leopoldo Castillo Figueroa
José Luis Ortega García
Ciudad Guzmán, Jalisco, Junio de 2012
Primera edición en español 2012. 
D..R. © Departamento de Ciencias Básicas, 
Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán, DGEST. 
S9P, Domicilio ITCG. Av. Tecnológico 100. Ciudad 
Guzmán. Jalisco. México. 
Impreso y hecho en México. 
Queda prohibida la reproducción total o parcial 
del contenido de la presente obra, sin contar 
previamente con la autorización expresa y por 
escrito del titular en los términos de la Ley Federal 
de Derechos de Autor, y en su caso, de los 
tratados Internacionales aplicables. La persona 
que infrinja esta disposición se hará acreedora a 
las sanciones legales correspondientes.
Este libro es producto del apoyo recibido para 
el proyecto “La resolución de problemas y 
el aprendizaje colaborativo en la generación 
de competencias matemáticas en alumnos 
seleccionados para ingresar al ITCG”. CLAVE: 
4242-11P de la Dirección de Estudios de 
Posgrado e Investigación de la Dirección General 
de Educación Superior Tecnológica.
 
Digitalización en el Departamento de Ciencias 
Básicas del instituto Tecnológico de Ciudad 
Guzmán, México/Junio de 2012. 
ISBN 978-607-8072-54-5
Amaya Ediciones S de RL de CV
Enrique Díaz de León 514-2 Colonia Americana
CP 44170 Guadalajara Jalisco México
informes@amayaediciones.mx
www.amayaediciones.mx
Presentación
CAPÍTULO 1: MARCO CONTEXTUAL
Rafael Pantoja Rangel, Leopoldo Castillo Figueroa 
 Introducción 
 Contexto 
 Objetivos 
 Metas 
CAPÍTULO 2: MARCO CONCEPTUAL 
Karla Liliana Puga Nathal, José Luis Ortega García 
 Definiciones y conceptos incluidos en el texto 
 Mapa conceptual 
CAPÍTULO 3: MARCO TEÓRICO 
Elena D. Nesterova y María Luisa Cruz Díaz
 Elementos teóricos 
 Innovación educativa 
 La computadora y las TIC en la educación 
 Aprendizaje Basado en problemas (ABP) 
 El aprendizaje significativo 
 Teoría de representación semiótica de Raymond Duval 
CAPÍTULO 4: MARCO METODOLÓGICO 
Ricardo Ulloa Azpeitia
 Diseño instruccional 
CAPÍTULO 5: COMPETENCIAS 
Ricardo Ulloa Azpeitia
 Competencias 
CONTENIDO
7
11
12
15
19
20
21
22
32
35
36
36
40
48
53
58
63
64
95
96
Problemas Selectos de PreCálculo
6
CAPÍTULO 6: CRONOGRAMA DE LAS SESIONES
Academia de Ciencias Básicas del ITCG 
 Introducción 
 Metas instruccionales 
 Planificación 
 Procedimientos 
 Diseño de materiales 
 Características del curso taller de inducción 
 Cronograma de las sesiones 
SECUENCIA DIDÁCTICA 1: NÚMEROS REALES 
Alberto González Murillo
Rafael Pantoja Rangel
SECUENCIA DIDÁCTICA 2: FRACCIONES 
Zazil-Ha González Gaxiola
Diana Carolina Cordero Franco 
SECUENCIA DIDÁCTICA 3: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 
Leopoldo Castillo Figueroa
Enrique Gómez Peralta
SECUENCIA DIDÁCTICA 4: ECUACIONES LINEALES 
Víctor Hugo Rentería Palomares
Herman Cancino Moreno
SECUENCIA DIDÁCTICA 5: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS 
VARIABLES 
Marisol Ramírez Castellanos
Marco Antonio Guzmán Solano
SECUENCIA DIDÁCTICA 6: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 
María Inés Ortega Árcega
Natalia Cisneros Aguilar
SECUENCIA DIDÁCTICA 7: EL CÍRCULO 
Cristian Omar Vargas González
Rafael Catzim Alcaráz
Bibliografía 
Anexo A. Examen Pretest 
Anexo A. Examen Postest 
105
106
106
107
107
109
109
111
123
143
159
169
193
217
251
269
275
275
Problemas Selectos de PreCálculo
7
Joven estudiante de nuevo ingreso: El Departamento y la Academia de Ciencias Básicas te da la más cordial de las bienvenidas al Instituto Tecnológico de Cd. 
Guzmán.Los materiales que encontrarás aquí están desarrollados con sustento en 
el modelo educativo por competencias, para que obtengas los aprendizajes 
matemáticos basados en la solución de problemas junto con el trabajo colaborativo 
de tus compañeros(as) y maestro(a). Se tratarán temas que son conocidos por 
ti y que tienen el propósito de facilitarte el tránsito por los diversos cursos de 
Matemáticas que se ofertan en nuestra institución, como son: Cálculo Diferencial, 
Cálculo Integral, Análisis Vectorial y Ecuaciones Diferenciales.
Los temas que trataremos aquí están pensados y desarrollados en competencias 
y donde los aprendizajes adquiridos por el estudiante, serán a través de la solución 
de problemas, trabajando con grupos o equipos de trabajo colaborativos, con la 
finalidad de que el conocimiento se socialice y pueda darse en la interacción entre 
pares con mayor facilidad y calidad.
Al igual que todos los aspirantes a ingresar a una institución de nivel superior, 
los alumnos(as) que pretenden cursar una carrera en el Instituto Tecnológico 
de Ciudad Guzmán, han cursado y acreditado las asignaturas de matemáticas 
incluidas en el plan de estudios de las instituciones de nivel medio superior, en 
cuyos contenidos se basa el examen que se aplica a nivel nacional en el proceso de 
selección de aspirantes en el Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos (SNIT). 
En esta ocasión se propone trabajar en el rediseño del curso del taller, en el que 
el alumno(a) será el actor principal en la propuesta didáctica, enfocado a que 
Presentación
Problemas Selectos de PreCálculo
8
construya su conocimiento a través de actividades académicas diseñadas por el 
profesor(a) y que serán plasmadas en secuencias didácticas, cuya característica 
fundamental será promover el aprendizaje y auto aprendizaje a través del método 
de resolución de problemas y el aprendizaje colaborativo tendiente a generar en 
el estudiante las competencias matemáticas requeridas para aprender cálculo 
diferencial; se espera que también adquiera el hábito del estudio cotidiano, la 
organización de su tiempo, de estudio y se responsabilice de su formación.
Justificación
El nuevo modelo educativo de la Dirección General de Educación Superior 
Tecnológica (DGEST) propone las competencias como eje central de la actividad 
escolar, porque, tal parece que existe un desfasamiento entre la vida cotidiana 
y las matemáticas, debido en gran parte a que los actores de la enseñanza no 
han sabido direccionar sus instrucciones hacia un aprendizaje, en el que se 
relacione bidireccionalmente la aplicación de la matemática en la vida diaria y en 
el entorno social, dentro del aula, espacio en el que sólo se presentan ejercicios 
de matemáticas desprovistos totalmente del contexto social, en el que se pondrá 
en juego el conocimiento del futuro profesionista. Ejemplo de ello es cuando se le 
pide al estudiante factorizar la expresión x2 -9 , ejercicio totalmente desprovisto 
de su entorno, y que genera cuestionamientos como: ¿En qué contexto de la vida 
cotidiana puedo aplicar este conocimiento matemático?, más aún, ¿en dónde lo 
puedo aplicar? y ¿qué tipo de problema social puede sustentar la solución?
Las interrogantes planteadas son una justificación de la incursión del 
modelo de competencias en el sistema educativo, ya que la forma de enseñar 
matemáticas de manera algorítmica, ha sido un fracaso, así que el planteamiento 
de nuevas estrategias de enseñanza para lograr un mejor aprendizaje, surgen 
como una alternativa educativa, entre ellos, el Aprendizaje Basado en Problemas 
(Resolución de Problemas), método que sustenta el curso de inducción para los 
alumnos(as) aceptados a ingresar al ITCG, propuesto en forma conjunta por la 
Academia de Ciencias Básicas e Ingeniería y por el Departamento de Ciencias 
Básica y la Academia de Ciencias Básicas del ITGC, con la finalidad de tratar, por 
un lado, de que el estudiante se apropie de los contenidos de precálculo previos 
para aprender cálculo diferencial, y por el otro, de ayudarlo a que adquiera 
habilidades y capacidades necesarias para lograr un mejor desempeño en el ITCG. 
En Ulloa (2009) se encuentra la figura alusiva a la relación entre el conocimiento, 
las habilidades y capacidades, que son la directriz del modelo educativo adoptado 
por la DGEST.
Problemas Selectos de PreCálculo
9
Características del curso taller de inducción
La modalidad a desarrollar es la de curso taller, cuyas características fundamentales 
son que:
El alumno(a) es el centro de atención, es decir, desarrolla la actividad propuesta, 
ya sea en forma individual o en grupo. Los grupos de trabajo estarán conformados 
de tres alumnos(as) seleccionados en forma aleatoria.
Al inicio de la sesión el profesor(a) plantea la actividad, indicando el tiempo que 
el estudiante tiene para dar la solución, para que posteriormente un alumno(a) 
o equipo lo explique por algún medio, ya sea pizarrón, en forma verbal o escrita.
El asesor(a) asume el papel de instructor(a), cuya principal actividad será 
atender y asesorar de forma personalizada a cada uno de los equipos que conforman 
el grupo, tratando de evitar, hasta donde sea posible, la clase conferencia.
El profesor(a) estará pendiente de que todos los alumnos(as) estén trabajando, 
además de contestar dudas a cada uno de los equipos, así como sugerir algunas 
alternativas para la solución del problema en cuestión.
Al final de cada sesión el instructor indicará las actividades extraclase que el 
alumno deberá realizar.
A partir de la segunda sesión, se inicia con el planteamiento de dudas generadas 
por las actividades desarrolladas, para después retomar la metodología.
Academia de Ciencias Básicas
Y recuerda
¡Tu futuro lo construyes Tú!
Capacidades
Procesos 
mentales que 
intervienen 
en la organi-
zación y reor-
ganización 
de conceptos 
y/o objetos 
materiales
Situaciones o 
experiencias 
de aprendizaje 
apropiadas
Conocimiento
Habilidades
Aportación de 
información 
técnico-prácti-
ca específica
Figura. Diferencia entre capacidad y habilidad
Problemas Selectos de PreCálculo
10
Problemas Selectos de PreCálculo
11
 
 
CAPÍTULO 1 
 
Marco Contextual 
 
 
 
 
 
 
 
Leopoldo Castillo Figueroa 
Cuerpo Académico “Enseñanza de las Matemáticas con 
Tecnología” 
Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán. DGEST. SEP 
Rafael Pantoja Rangel 
Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán. DGEST. SEP 
Cuerpo Académico Consolidado “Matemática Educativa 
Avanzada” 
CUCEI. Universidad de Guadalajara 
Problemas Selectos de PreCálculo
12
Introducción 
 
Las necesidades de la sociedad actual, no son las mismas que las de 
tiempos pasados. Hasta hace algunos años la educación estaba 
basada en el paradigma de la enseñanza centrada en el papel del 
docente, en transferir una gran cantidad de conocimientos, lo que ha 
dado como resultado, conocimiento en trozos y sin relación con el 
entorno del estudiante. En tal modelo educativo, existe poca 
cooperación y el aprendizaje es individual; el desarrollo de talento y 
habilidades es escaso; el alumno simplemente se limita a escuchar 
las indicaciones y exposición del profesor, en ocasiones, para 
resolver algún problema, sólo repite procedimientos que previamente 
le mostró. 
 
En la actualidad, en todos los niveles del sistema educativo 
nacional, existen cambios, sobresale el desplazamiento del 
paradigma tradicional de enseñanza, por el de aprendizaje integral, 
involucrado en el modelo basado en competencias, con el que se 
busca no sólo generar saberes relacionados a los contenidos 
científicos, sino además, actitudes y valores, por ejemplo, vinculados 
a aspectos culturales y sociales, en suma, se orienta a que los 
jóvenes adquieran habilidades y conocimientos que les resulten útiles 
para desarrollarse como personas y actores en la sociedad. 
 
Se espera además, ofrecer una educación de calidad, que de 
acuerdo a lo planteado por la UNESCO, es aquella que mejora las 
competencias cognitivas ypromueve actitudes y valores que se 
consideran imprescindibles para formar buenos ciudadanos, es decir, 
que proporcione lo requerido en el aspecto cognoscitivo, por un lado 
y por el otro, que atienda el lado práctico, el aprendizaje de saberes 
que le sean útiles durante su vida profesional y personal. Para lograr 
lo anterior, se requiere no solamente de recursos financieros y 
materiales para invertirlos en las escuelas, sino también una buena 
cantidad de profesores motivados y competentes profesionalmente 
(Poblete y Díaz, 2003). 
Problemas Selectos de PreCálculo
13
 
En México, alrededor de los ochentas se inició la 
modernización educativa y descentralización con la que se ha 
pretendido lograr la excelencia académica, la calidad, la eficiencia y 
la modernización de la educación. Se pretendió dirigir a las 
Instituciones de Educación Superior (IES) para cambiar sus 
contenidos educativos y procesos formativos. El programa de 
modernización de educación en el país y la política educativa de 
mejoramiento de la calidad en la educación superior, se enfocan en 
la evaluación permanente del proceso educativo, en la búsqueda de 
competitividad, en los criterios para el financiamiento, en la 
vinculación con el sector social y productivo, así como en la 
reorientación de las políticas educativas. 
 
Los ejes estratégicos para lograr un modelo educativo real se 
sustentan en varios aspectos: las evaluaciones externas, el rediseño 
de los currículos de carreras y posgrados, con criterios de calidad, 
todos ellos relacionados con la formación integral de los estudiantes. 
La estrategia básica para el nuevo modelo académico lo constituye el 
modelo de diseño curricular que se implantó para ofrecer nuevas 
posibilidades formativas, que respondan a las demandas sociales y 
necesidades del sector productivo. 
 
Se propuso que el currículo integre como elementos 
fundamentales la flexibilidad e innovación, con soporte en las 
competencias profesionales, que se concrete en el aula a través de 
un proceso educativo centrado en el aprendizaje y no en la 
enseñanza, apoyado en las Tecnologías de la Información y la 
Comunicación (TIC). 
 
La reforma académica con base en el modelo de 
competencias debería ser ya una realidad, al menos en el esquema 
actual de las instancias dependientes de la Dirección General de 
Educación Superior Tecnológica (DGEST), pero en un alto 
porcentaje de instituciones prevalece el modelo tradicional de 
Problemas Selectos de PreCálculo
14
enseñanza, centrado en la clase conferencia, con una interacción 
estudiante-profesor tendiente a cero, basada en la repetición y 
desarrollo de algoritmos, en lugar de propiciar el aprendizaje con 
estrategias como la resolución de problemas y el aprendizaje 
colaborativo, pilares para la promoción de las competencias en el 
estudiante, objetivo central del texto que se presenta. 
 
El trabajo aquí presentado, se sustenta en la propuesta de 
enseñanza basada en el método de aprendizaje colaborativo y 
resolución de problemas, ABP (Aprendizaje Basado en Problemas), 
que implica usar problemas abiertos-cerrados y una organización 
más compleja. Se busca que el alumno sea actor protagonista en el 
proceso educativo, que desarrolle las actividades propuestas por el 
profesor. Las nuevas tareas a realizar por parte del docente son, 
entre otras: 
 
• Seleccionar los contenidos, en este caso temas selectos de 
precálculo, 
• Planear y elaborar el diseño de las actividades en el aula y 
fuera de ella, 
• Monitorear el desarrollo de tales actividades, con el fin de 
sustentar con bases sólidas si la propuesta funciona para 
producir aprendizajes o no. 
 
La actividad de los alumnos es elemento fundamental, porque 
su actitud, su puntualidad, su honestidad, su entrega, su participación 
y su motivación para el desempeño en el aula, tienen gran influencia 
en sus resultados de aprendizaje. 
 
En la planeación estratégica, se sugiere que el profesor utilice 
técnicas de enseñanza para fortalecer las competencias 
matemáticas, mediante la solución de problemas selectos de temas 
de precálculo, incluidos en un cuaderno de trabajo, el empleo de 
videos explicativos ubicados en las redes sociales como promotores 
Problemas Selectos de PreCálculo
15
de los conocimientos previos y el trabajo en el centro de cómputo con 
software de matemáticas. 
 
Para el diseño instruccional cuyos contenidos son temas de 
precálculo se uso el modelo de Dick & Carey (2005), con apoyo en el 
uso de las TIC. Se incluyen como elemento motivador, para propiciar 
un ambiente de aprendizaje porque, como sugieren Howson y Kahen 
(1990), las TIC propician, entre otras cosas, la interactividad y la 
comunicación entre los actores de la enseñanza y aprendizaje de las 
matemáticas, en otras palabras, los ambientes para aprendizaje 
soportados con materiales elaborados con las TIC, brindan la 
posibilidad de reorganizar los cursos y los métodos de enseñanza 
(UNESCO, 1998), que coincide con lo que afirman Guàrdia y Sangrà 
(2006) que el meollo de la estructura de los medios y materiales 
(digitales o no) se fundamente en alguna de las teorías modernas del 
conocimiento, tal como aprendizaje significativo (Ballester, 2002) o el 
aprendizaje colaborativo. 
 
En el diseño instruccional se indica el empleo de los medios y 
materiales siguientes: 
 
• Cuaderno de trabajo en el que se describen las actividades 
que desarrollarán durante el desarrollo de las sesiones, 
• Videos digitales explicativos que el alumno consultará antes 
de cada tema y con los que se propiciará realimentar los 
conocimientos previos, antes de la discusión del tema en el 
aula y 
• Actividades con WinPlot para visualización y cálculo numérico. 
 
Contexto 
 
En el ITCG, como institución líder en la educación superior de la 
región sur de Jalisco de la República Mexicana, existe preocupación 
por la mejora de los métodos para la enseñanza de las matemáticas. 
Problemas Selectos de PreCálculo
16
Se tienen presentes los problemas de enseñanza y aprendizaje, 
reflejados en la falta de interés y motivación, aunados a los altos 
índices de deserción y reprobación en el área de matemáticas. Entre 
las situaciones problema identificadas en las instituciones de nivel 
superior, se tiene la relacionada con la elaboración de propuestas 
metodológicas, para generar las competencias matemáticas, 
señaladas en los documentos de la reforma educativa de la DGEST. 
 
Al analizar la situación escolar de los cursos del Área de 
Ciencias Básicas (ACB), se observa que en los dos primeros ciclos 
es donde se presenta mayor índice de deserción y rezago, que 
aumenta al desarrollar Unidades de Aprendizaje (UA) tales como 
Fundamentos de Mecánica Clásica, Cálculo Diferencial, Física 
Ondulatoria, Ecuaciones Diferenciales, Desarrollo de Habilidades del 
Pensamiento y Química Básica. (ACB, 2009). En Pantoja (2001), 
Rodríguez (2005) y Ortega (2006) se presentan resultados de 
diversas propuestas para un curso de inducción dirigido a mejorar la 
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. 
 
La inclusión de medios y materiales en los diferentes cursos 
de matemáticas no se ha dado en forma masiva y se ha quedado en 
sólo algunos casos particulares, situación que no es normal para una 
época en la que las TIC y teorías del conocimiento actuales, son 
precursoras de avances sustanciales en las distintas áreas del 
conocimiento. Echenique desde 1994 sugiere elaborar material 
audiovisual que complemente el material escrito utilizado en el aula, 
que ilustre situaciones que de otra manera resultan difíciles de 
describir, como es el caso de la utilización de video digital y el 
programa Winplot que se utilizarán en esta investigación. 
 
Con el uso de los medios y materiales incluidos en el diseño 
instruccional, según la teoría cognoscitiva (Ausubel, 1983; Ballester, 
2002), se pretende propiciar aprendizajes potencialmente 
significativos. En el desarrollo de este texto, con los mediosy 
materiales elaborados se busca generar situaciones significativas 
Problemas Selectos de PreCálculo
17
para los estudiantes. Se planea que mediante las actividades 
diseñadas, incorporen los conocimientos de precálculo a su 
estructura cognitiva. 
 
Los estudiantes a atender, se encuentran en una etapa de 
desarrollo que les permite interactuar entre ellos, como propone 
Núñez (2002) en su enfoque de representaciones múltiples para los 
diversos problemas de matemáticas, simbólica, numérica, gráfica o 
textual. Cuando interactúan con tales interpretaciones, se acercan 
más a la intuición, lo que permite darle significado a los desarrollos 
algorítmicos. 
 
Entre las ventajas de usar las TIC para generar las distintas 
representaciones, destacan la interactividad, la visualización y la 
velocidad de cálculo. Para De Azevedo y Laurino (2000) el uso de la 
tecnología para reproducir la enseñanza tradicional es subutilizar su 
potencial, así que proponen tomar en cuenta las experiencias, la 
diversidad de contextos, los intereses y talentos de los alumnos. 
 
Martínez, Montero y Pedrosa (2001) afirman que el software 
de matemáticas se orienta al cálculo simbólico, la visualización por 
medio de gráficas, a la representación de un objeto matemático en 
formas diferentes, a la expresión de la interrelación entre diferentes 
objetos matemáticos, por ejemplo, la relación entre áreas y 
tangentes, a utilizar la heurística para el planteo de conjeturas y/o la 
comprensión de conceptos, al modelado de situaciones y al 
desarrollo de habilidades metacognitivas. 
 
Todas esas son situaciones que se espera reflejar en el 
material propuesto; se destaca el trabajo conceptual sobre el trabajo 
operativo, con la finalidad de que los alumno se apropien de los 
conocimientos requeridos para el subsecuente aprendizaje del 
cálculo. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
18
Aspecto importante es la visualización matemática, sobre todo 
en el acercamiento gráfico, pues es importante observar el 
comportamiento de las gráficas. Zimmermann y Cunningham (1991) 
definen la visualización matemática como el proceso de formar 
imágenes, ya sea mentalmente, con lápiz y papel o con ayuda de los 
medios y materiales, y utilizar estas imágenes de manera efectiva 
para el descubrimiento y la comprensión matemática. 
 
Cantoral y Montiel (2001) señalan que conviene un primer 
acercamiento visual a la gráfica de una función o a la figura alusiva al 
problema en cuestión, porque existe una fuerte correlación entre la 
habilidad para procesar información visual con la capacidad de 
analizar información analítica relevante, particularmente en el campo 
del cálculo y el análisis matemático. Recomiendan que previo al 
estudio del cálculo, se adquieran habilidades que posibiliten la 
conexión entre el lenguaje algebraico, el lenguaje gráfico y el 
acercamiento numérico. 
 
La percepción de los autores es que el bajo aprovechamiento 
del tema se genera por los deficientes conocimiento que los 
alumnos tienen de Álgebra, Trigonometría, Geometría y Geometría 
Analítica, pues se anteponen los métodos algorítmicos y repetitivos, 
sobre la búsqueda de la conexión entre sus distintas 
representaciones (Hitt, 2003). En el trabajo de academia se ha 
planteado que los alumnos establezcan relaciones entre las 
diferentes representaciones en un problema determinado: visual 
(gráfica), numérica (tabular) y analítica (algebraica). 
 
Con la inclusión de programas de cómputo de matemáticas en 
el proceso educativo (Derive ®, Maple®, Mathematica®, Cabrí®, 
Winplot, Geogebra,), se ha propiciado que alumnos y profesores se 
apoyen para adquirir aprendizaje de las matemáticas a través de la 
exploración, ya que permite el acercamiento a algunos conceptos 
matemáticos por medio de sus formas de representación, ya sean 
éstas verbales, simbólicas, icónicas, gráficas o numéricas. 
Problemas Selectos de PreCálculo
19
Algunos criterios para incluir el proceso de visualización en el 
aprendizaje de precálculo son: 
 
• El proceso de visualización se sugiere realizarlo de manera 
individual y colaborativa, porque por las características de los 
individuos, una misma imagen es analizada de diferente forma 
o simplemente no tienen una misma habilidad para generarla, 
pero en la discusión con los compañeros, suelen generar 
observaciones interesantes. 
• La forma de almacenar o recordar gráficas es distinta en las 
personas y por lo tanto es diferente la forma de interpretarlas. 
• La preferencia por los procedimientos algebraicos y visuales 
no son las mismas en cada estudiante. 
 
Los equipos de cómputo actuales (memoria suficiente y 
velocidad de procesamiento increíble) han permitido el desarrollo de 
ambientes gráficos, que aunados a la facilidad para procesar audio, 
video y rutas de navegación, han dado como resultado, la 
proliferación de programas multimedia. Esta variante tecnológica le 
agrega color, audio, sonido, hipervínculos y toda clase de recursos 
gráficos, lo que conduce a una modificación drástica del ambiente de 
trabajo a los usuarios. También facilita el ingreso de información 
gráfica en las aulas escolares y en los hogares, que es lo que se 
pretende ofertar mediante los videos digitales explicativos, que se 
pretende propicien conocimiento previo para aminorar los errores en 
la solución de problemas. 
 
 
Objetivos 
 
1. Apoyar la generación y/o actualizar los conocimientos de 
precálculo de los alumnos. 
2. Apoyar el desarrollo de competencias a través de actividades 
matemáticas sustentadas en el método de solución de problemas. 
Problemas Selectos de PreCálculo
20
3. Homogenizar las habilidades y los conocimientos previos de los 
estudiantes con sustento en el trabajo cooperativo, así como el 
colaborativo. 
 
Metas 
 
1. Presentar un diseño instruccional con actividades en la que se 
emplea el programa WinPlot 
2. Incluir videos digitales y diseñar actividades relacionadas con los 
contenidos incluidos. 
3. Disponer el cuaderno de trabajo para sistematizar el trabajo de 
los estudiantes. 
4. Diseñar actividades para el trabajo colaborativo en el aula y 
extraclase. 
5. Clasificar y definir la evaluación de las competencias matemáticas 
pertinentes a los contenidos de precálculo. 
Problemas Selectos de PreCálculo
21
CAPÍTULO 2 
 
Marco Conceptual 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Karla Liliana Puga Nathal 
Cuerpo Académico en Formación “ Enseñanza de las 
Matemáticas con Tecnología” 
Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán. DGEST. SEP 
José Luis Ortega García 
Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán. DGEST. SEP 
Problemas Selectos de PreCálculo
22
Definiciones y conceptos incluidos en el texto 
 
Con la finalidad de hacer amena la lectura y facilitarle una 
consulta rápida de los conceptos no comunes integrados en el texto, 
se describe una lista sustancial a continuación: 
 
Actitudes. Perseverancia, flexibilidad en la búsqueda de solución de 
problemas, disposición al trabajo colaborativo, apertura y 
disposición para la innovación en las representaciones 
gráficas. 
Actividad Docente Tradicional. Trabajo del profesor que consiste 
en exponer a modo de conferencia, el contenido de un 
programa educativo con el auxilio de herramientas como gis, 
acetatos, pizarrón y con la idea de que el conocimiento se 
transmite. 
Actividades de aprendizaje. Para que los alumnos entren en un 
funcionamiento el profesor debe prever y diseñar un conjunto 
de actividades, fundamentalmente dirigidas a que los alumnos 
aprendan a realizar un trabajo independiente (leer y analizar 
las lecturas y bibliografía recomendada, resolver problemas, 
realizar búsqueda de la información complementaría, etc.), 
comunicar los resultados, analizar sus errores y corregirlos, 
asumir responsabilidades en el proceso y en su evaluación, 
reflexionar sobre el nivel de sus logros. 
Ambientes de aprendizaje. Es un espacio físico o en línea diseñado 
por el profesor, buscando que los alumnos logren habilidades, 
valoresy aprendizajes que puedan trascender a aplicaciones 
de la vida cotidiana. Los ambientes de aprendizaje se 
entienden como el clima propicio que se crea para atender a 
los sujetos que aprenden, en el que se consideran tanto los 
espacios físicos o virtuales, como las condiciones que 
estimulen las actividades de pensamiento de dichos sujetos, 
esta conformado por un conjunto de elementos tales como el 
Problemas Selectos de PreCálculo
23
aula, materiales instruccionales, interacción profesor-
estudiantes, estudiantes-estudiantes, material manipulable 
que facilite el aprendizaje. 
Andamiaje. (scaffolding) Metáfora de Jerome Bruner basada en la 
Zona de Desarrollo Próximo de Vigotsky, que permite explicar 
la función tutorial de soporte o establecimiento de puentes 
cognitivos que cubre el docente con sus alumnos. Implica que 
las intervenciones tutoriales del profesor deben mantener una 
relación inversa con el nivel de competencia en la tarea de 
aprendizaje manifestado por el alumno, de manera tal que el 
control sobre el aprendizaje sea cedido y traspasado 
progresivamente del docente hacia el alumno. (Díaz Barriga 
Arceo, F. 2002, p. 427). 
Aprendizaje colaborativo: en esta investigación se interpreta como 
la forma en la que los alumnos adquieren los aprendizajes 
esperados por medio del empleo de estrategias de trabajo 
colaborativo. 
Aprendizaje cooperativo. Es el empleo didáctico de grupos 
reducidos en los que los alumnos trabajan juntos para 
maximizar su propio aprendizaje y el de los demás. (D. W. 
Johnson, R. T. Johnson y E. J. Holubec. 1999). La 
cooperación consiste en trabajar juntos para alcanzar 
objetivos comunes. En una situación cooperativa, los 
individuos procuran obtener resultados que sean beneficiosos 
para ellos mismos y para todos los demás miembros del 
grupo. El aprendizaje cooperativo es el empleo didáctico de 
grupos reducidos en los que los alumnos trabajan juntos para 
maximizar su propio aprendizaje y el de los demás. (Jonson, 
D.W. (2004, p. 13) 
Aprendizaje de conceptos. Adquisición de los significados de los 
conceptos nuevos mediante un proceso de descubrimiento 
semi-inductivo de sus atributos de criterio a partir de 
ejemplares múltiples particulares del concepto. Desde la 
Problemas Selectos de PreCálculo
24
perspectiva representacional, son procesos de abstracción o 
selección de las propiedades esenciales de un objeto respecto 
de las secundarias. Según conductistas es un proceso de 
generalización primario al que se asocia una respuesta 
común. La teoría de información asimila el aprendizaje del 
concepto con un proceso de toma de decisión típico de la 
actividad resolutoria de problemas. 
Aprendizaje mecánico. Se produce cuando no existen subsunsores 
adecuados, de tal forma que la nueva información es 
almacenada arbitrariamente, sin interactuar con 
conocimientos pre-existentes, un ejemplo de ello sería el 
simple aprendizaje de fórmulas en física, esta nueva 
información es incorporada a la estructura cognitiva de 
manera literal y arbitraria puesto que consta de puras 
asociaciones arbitrarias. El aprendizaje mecánico puede ser 
necesario en algunos casos, por ejemplo en la fase inicial de 
un nuevo cuerpo de conocimientos, cuando no existen 
conceptos relevantes con los cuales pueda interactuar, en 
todo caso el aprendizaje significativo debe ser preferido, pues, 
este facilita la adquisición de significados, la retención y la 
transferencia de lo aprendido. (W. Palomino 2004). 
Aprendizaje por descubrimiento. Método de Bruner en el que los 
estudiantes trabajan solos para descubrir principios básicos. 
El trabajo de Bruner resalta la importancia de comprender la 
estructura de la materia que va a estudiarse, la necesidad de 
aprendizaje activo como la base de la verdadera comprensión 
y el valor del razonamiento inductivo en el aprendizaje. 
(Woolfolk, 1999, p. 338) 
Aprendizaje significativo. Es aquel que conduce a la creación de 
estructuras de conocimiento mediante la relación sustantiva 
entre la nueva información y las ideas previas de los 
estudiantes. Ocurre cuando la información nueva por 
aprender se relaciona con la información previa ya existente 
Problemas Selectos de PreCálculo
25
en la estructura cognitiva del alumno de forma no arbitraria ni 
al pie de la letra; para llevarlo a cabo debe existir una 
disposición favorable del aprendiz, así como significación 
lógica en los contenidos o materiales de aprendizaje. (Díaz 
Barriga Arceo, F., p. 39, 428). 
Asimilación. Por asimilación entendemos el proceso mediante el 
cual “la nueva información es vinculada con aspectos 
relevantes y pre existentes en la estructura cognoscitiva, 
proceso en que se modifica la información recientemente 
adquirida y la estructura pre existente” (AUSUBEL; 1983:71), 
al respecto Ausubel recalca: Este proceso de interacción 
modifica tanto el significado de la nueva información como el 
significado del concepto o proposición al cual está afianzada. ( 
Ausubel, 1983.120). (W. Palomino 2004). 
Competencia específica. Son los requisitos cognitivos previos, que 
una persona puede disponer para actuar de manera efectiva 
en un área de contenido específica, pero que puede tener 
distintos niveles de concreción, estas competencias exigen un 
aprendizaje de largo plazo, amplia experiencia, profundo 
conocimiento del tema. Son aquellas que se relacionan y 
muestran en cada área temática. Rico y Lupiáñez (2008). 
Competencia general. Son habilidades y capacidades cognitivas 
que incluyen todos los recursos mentales que emplea una 
persona para dominar tareas en diferentes campos, adquirir el 
conocimiento necesario para expresar y comunicar y obtener 
una buena realización. Rico y Lupiáñez (2008). 
Competencia matemática. Para el estudio de PISA (Programme for 
International Student Assessment, es decir, Programa para la 
Evaluación Internacional de Alumnos), es la capacidad 
individual para identificar y comprender el papel que 
desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios bien 
fundados, utilizar las matemáticas y comprometerse con ellas, 
y satisfacer las necesidades de la vida personal como 
Problemas Selectos de PreCálculo
26
ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo. Cuando el 
alumno en sus relaciones con el mundo natural y social y su 
vida cotidiana, se enfrentan el razonamiento cuantitativo o 
espacial u otras nociones matemáticas que ayudan a 
clarificar, formular y resolver problemas se dice que adquirido 
tiene competencia matemática. Rico y Lupiáñez (2008). 
Competencia. Capacidad para movilizar varios recursos cognitivos 
para ser frente a un tipo de situación, dichos recursos 
cognitivos incluyen conocimientos, técnicas, habilidades, 
aptitudes, entre otros que son movilizados por la competencia 
considerada para enfrentar una situación generalmente 
inédita, Implica: 
Competencias Matemáticas. La capacidad que tiene una persona 
para integrar sus conocimientos, habilidades, actitudes y 
valores aplicándolos en la solución de problemas, para esta 
investigación específicamente problemas de la vida cotidiana 
que se modelen en una ecuación lineal de una variable. 
Competencias profesionales integrales. Se entiende a la 
articulación compleja de un conjunto de saberes teóricos, 
metodológicos, técnicos y axiológicos que son puestos en 
juego para la intervención de la realidad en situaciones 
concretas que implican toma de decisiones y que se 
manifiestan como habilidades y destrezas específicas de alta 
complejidad. 
Comportamiento de función. Es un argumento que establece 
relaciones entre los conceptos (dominio, límite, continuidad, 
asíntotas, extremos, concavidad, entre otros) que caracterizan 
el estado de la función para unos determinados valores del 
argumento y la forma de su gráfica en los puntos 
correspondientes a estos valores. 
Concepto. En términos generales, es una regla que permite que una 
determinada clase de cosas puedan ser diferenciadas de otras 
Problemas Selectosde PreCálculo
27
y relacionadas entre sí. Una definición del concepto, adaptada 
para los estudios psicológicos y didácticos, en la cual incluye 
no solo las propiedades invariantes que dan sentido al 
concepto, sino también las situaciones y los significantes 
asociados al mismo. 
Conocimiento previo. Es la estructura de conocimiento que Ausubel 
llama “concepto subsumidor o (subsunzor)” o, simplemente 
subsumidor, existente en la estructura de quien aprende. El 
subsumidor es por tanto, un concepto, una idea, una 
proposición ya existente en la estructura capaz de servir de 
“anclaje” para la nueva información de modo que ésta 
adquiera, de esta manera, significados para el individuo 
(Moreira, 2000). 
Conocimientos esperados. a partir de la aplicación de teoremas 
construirá conocimientos matemáticos. Construye diferentes 
estrategias para la solución de los problemas; comprende e 
interpreta y aplica conceptos propios de matemáticas 
extrapolizandolos en su vida cotidiana. 
Constructivismo. (Driscoll, M., Psichology of learning for intruction, 
Allyn and Bacon 1994, p.67) Teoría que basa la adquisición 
del conocimiento en una construcción progresiva de 
representaciones mentales. Esta representación puede ser 
activa, pragmática y operacional o bien discursiva, teórica o 
simbólica. 
Constructivismo. Surge como una corriente epistemológica, 
preocupada por discernir los problemas de la formación del 
conocimiento en el ser humano. Destaca la convicción de que 
el conocimiento se construye activamente por sujetos 
cognoscentes, no se recibe pasivamente del ambiente. 
Cuaderno de trabajo. Material de apoyo que el alumno utiliza dentro 
y fuera del aula y, que al menos, incluye los siguientes 
apartados: presentación, objetivo, instrucciones de uso, 
Problemas Selectos de PreCálculo
28
ejercicios integrales, solución a los ejercicios, guía de 
referencia y glosario. 
Diseño instruccional. Un proceso intelectual que analiza las 
necesidades de aprendizaje de los estudiantes y define 
características sistemáticas para construir "opciones" 
estructuradas dirigidas a atender esas necesidades. 
Enseñanza tradicional. Es el método de enseñanza donde el 
profesor, siempre toma el rol activo en este modelo. El 
profesor es el “transmisor” del conocimiento (o de la 
información), el único evaluador y el único en decidir el qué y 
el cómo del proceso educativo en general. Por consiguiente, 
el alumno reacciona de manera pasiva. El rol del estudiante 
es el de “receptor” del conocimiento o de la información y no 
tiene y no tiene decisión en la evaluación o en el proceso 
educativo general. 
Entendimiento. Se defina como la facultad intelectual de conocer. 
Entrevista. Es una conversación entre dos o más personas, en la 
cual uno es el que pregunta (entrevistador). Estas personas 
dialogan con arreglo a ciertos esquemas o pautas de un 
problema o cuestión determinada, teniendo un propósito 
profesional. Presupone la existencia de personas y la 
posibilidad de interacción verbal dentro de un proceso de 
acción recíproca. Como técnica de recolección va desde la 
interrogación estandarizada hasta la conversación libre, en 
ambos casos se recurre a una guía que puede ser un 
formulario o esquema de cuestiones que han de orientar la 
conversación. 
Estrategia de enseñanza. Procedimientos y arreglos que los 
agentes de enseñanza (docentes) utilizan de forma flexible 
para promover la mayor cantidad y calidad de los 
aprendizajes en los alumnos. 
Problemas Selectos de PreCálculo
29
Estrategia didáctica. Conjunto de técnicas de enseñanza y de 
aprendizaje. 
Habilidades. Destreza en el uso, manipulación y aplicación de los 
instrumentos propios de las competencias genéricas y 
específicas del curso a través de resolución de problemas. 
Solución de problemas reales o simulados, habilidad para 
innovar nuevas ideas u objetos que contribuyen a fortalecer el 
pensamiento lógico matemático espacial. 
Interpretación. Acción y efecto de explicar dando un sentido 
determinado a las palabras, actitudes, acciones, etc. 
Ludomatemáticas. Este término se emplea para designar al 
conjunto de actividades lúdicas enfocadas al proceso de 
enseñanza – aprendizaje de las matemáticas. En ocasiones el 
término suele ser controversial, ya que el juego como tal, es 
considerado como una actividad que se realiza sencillamente 
para pasar el tiempo o con el objetivo de entretenerse o 
divertirse. Sin embargo, los juegos pueden emplearse como 
recurso educativo, para diversión y además, desarrollar 
diversas capacidades (intelectuales, psicomotoras, físicas, 
etc.) de los estudiantes sin que éstos pierdan la motivación. 
Mediación. Uso del lenguaje u otro signo o instrumento, que 
intercede entre un estímulo y su respuesta asociativa, tales 
como un símbolo, una fórmula, un nudo en el dedo o una 
palabra, entre otros. 
Obstáculo didáctico. Es una limitante o deficiencia que proviene de 
un problema de enseñanza. 
Obstáculo epistemológico. Es una deficiencia que proviene de 
aplicar a un conocimiento nuevo, nociones y reglas adquiridas 
en un conocimiento anterior. Para Piaget la representación 
constituye la capacidad para evocar a partir de un signo o 
imagen simbólica, el objeto ausente o la acción no realizada. 
La representación comienza cuando hay simultáneamente 
Estrategia didáctica. Conjunto de técnicas de enseñanza y de 
aprendizaje. 
Habilidades. Destreza en el uso, manipulación y aplicación de los 
instrumentos propios de las competencias genéricas y 
específicas del curso a través de resolución de problemas. 
Solución de problemas reales o simulados, habilidad para 
innovar nuevas ideas u objetos que contribuyen a fortalecer el 
pensamiento lógico matemático espacial. 
Interpretación. Acción y efecto de explicar dando un sentido 
determinado a las palabras, actitudes, acciones, etc. 
Ludomatemáticas. Este término se emplea para designar al 
conjunto de actividades lúdicas enfocadas al proceso de 
enseñanza – aprendizaje de las matemáticas. En ocasiones el 
término suele ser controversial, ya que el juego como tal, es 
considerado como una actividad que se realiza sencillamente 
para pasar el tiempo o con el objetivo de entretenerse o 
divertirse. Sin embargo, los juegos pueden emplearse como 
recurso educativo, para diversión y además, desarrollar 
diversas capacidades (intelectuales, psicomotoras, físicas, 
etc.) de los estudiantes sin que éstos pierdan la motivación. 
Mediación. Uso del lenguaje u otro signo o instrumento, que 
intercede entre un estímulo y su respuesta asociativa, tales 
como un símbolo, una fórmula, un nudo en el dedo o una 
palabra, entre otros. 
Obstáculo didáctico. Es una limitante o deficiencia que proviene de 
un problema de enseñanza. 
Obstáculo epistemológico. Es una deficiencia que proviene de 
aplicar a un conocimiento nuevo, nociones y reglas adquiridas 
en un conocimiento anterior. Para Piaget la representación 
constituye la capacidad para evocar a partir de un signo o 
imagen simbólica, el objeto ausente o la acción no realizada. 
La representación comienza cuando hay simultáneamente 
Problemas Selectos de PreCálculo
30
diferenciación y coordinación entre significantes y 
significados. 
Razonado. Para hacer frente a la incertidumbre, el manejo de la 
incertidumbre en un mundo cambiante en lo social, lo político 
y lo laboral dentro de una sociedad globalizada y en continuo 
cambio (Tobon, 2002). 
Recursos en línea. Es la información seleccionada o diseñada por el 
docente a la cual los alumnos tienen acceso a través de 
Internet y les sirve para fortalecer y recordar los temas vistos 
en clase. 
Registro de representaciones. Uno de los diferentes modos en que 
pueden tener lugar las representaciones, a saber: analítico – 
simbólico, visual, etc. El concepto de representación se toma 
como equivalente a señal externa que muestra y hace 
presente un concepto matemático, también como signo con el 
que los sujetos piensan las matemáticas e, incluso,como 
aquellas imágenes mentales con los que la mente trabaja 
sobre ideas matemáticas. Las representaciones matemáticas 
se han entendido como todas aquellas herramientas que 
hacen presentes los conceptos y procedimientos matemáticos 
con las cuales los sujetos particulares abordan e interactúan 
con el conocimiento matemático (Rico, 2000). 
Representaciones semióticas. Representaciones relativas a los 
modos de producción, de funcionamiento y recepción de los 
diferentes sistemas de signos de comunicación entre los 
individuos o colectividades. 
Significado. Contenido diferenciado y agudamente articulado de 
conciencia que se desarrolla como un producto del 
aprendizaje simbólico significativo o que puede ser evocado 
por un símbolo o grupo de símbolos después de que los 
últimos han estado relacionados de manera sustancial y no 
arbitraria con la estructura cognoscitiva. 
Problemas Selectos de PreCálculo
31
Significados de la fracción. Comúnmente la fracción es entendida 
como la parte que se toma de cierta unidad, pero también 
emplea otros significados. 
Situación didáctica. Conjunto de relaciones establecidas entre un 
alumno, un medio y un proceso educativo, la cual tiene como 
finalidad que el alumno se apropie o construya un 
conocimiento. 
Software. Instrucciones para una computadora. Una serie de 
instrucciones que realizan una tarea en particular se llama 
programa o programa de software. El software de sistemas se 
compone de programas de control, incluyendo el sistema 
operativo, software de comunicaciones y administrador de 
base de datos. (Freedman, Alan. Diccionario de Computación, 
1993, p.717) 
Teoría del significado. Es una teoría de la comprensión; esto es, 
aquello de lo que una teoría del significado tiene que dar 
cuenta es lo que alguien conoce cuando domina el lenguaje, 
esto es, cuando conoce los significados de las expresiones y 
oraciones del lenguaje (Dummett, 1981). 
Transferencia. Es cuando un conocimiento adquirido en cierto 
contexto se establece de forma explícita en un contexto 
diferente de aquél en que fue aprendido. 
Tutorial. (Freedman, Alan. Diccionario de Computación, 1993, p.800) 
Libro de instrucciones o programa que guía al usuario a través 
de una secuencia predeterminada de pasos con el fin de 
aprender un producto. Contrástese con documentation, la 
cual, aunque es de naturaleza destructiva, tiende a agrupar 
por categoría las características y funciones. 
Valores. Disposición y responsabilidad para el trabajo en equipo. 
Visualización matemática. Es una herramienta útil y necesaria para 
el aprendizaje de las matemáticas. Los procesos visuales 
involucran el pensamiento figurativo y al operacional, por lo 
Problemas Selectos de PreCálculo
32
que podemos considerar a este proceso un preludio a la 
abstracción de conceptos (Hitt, 1992) que permitirá formar 
modelos de una situación. La visualización va más allá de la 
simple percepción y permite apoyar la formación de imágenes 
conceptuales (Hitt, Chávez, 1992). 
Visualización. El proceso de producir y de utilizar representaciones 
geométricas o gráficas de los conceptos matemáticos, 
principios o problemas; estas representaciones son generadas 
por medio de un dibujo hecho a mano o con la ayuda de algún 
instrumento (Zimmermann y Cunningham, 1991). Acción de 
interpretar un contenido en el que se privilegia la 
representación visual sobre el analítico – simbólica. 
WinPlot. Es un software caracterizado como libre, graficador de 
funciones de propósito general que permite dibujar y animar 
curvas y líneas que representan funciones matemáticas en 
una variedad de formatos. 
Zona de desarrollo próximo. Permite establecer la existencia de un 
límite inferior dado por el nivel de ejecución que logra el 
alumno que trabaja independientemente y sin ayuda; mientras 
que existe un límite superior al que el alumno puede acceder 
de forma progresiva con ayuda de un docente capacitado o un 
compañero más avanzado, (mediador). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
33
involucran el pensamiento figurativo y al operacional, por lo 
que podemos considerar a este proceso un preludio a la 
abstracción de conceptos (Hitt, 1992) que permitirá formar 
modelos de una situación. La visualización va más allá de la 
simple percepción y permite apoyar la formación de imágenes 
conceptuales (Hitt, Chávez, 1992). 
Visualización. El proceso de producir y de utilizar representaciones 
geométricas o gráficas de los conceptos matemáticos, 
principios o problemas; estas representaciones son generadas 
por medio de un dibujo hecho a mano o con la ayuda de algún 
instrumento (Zimmermann y Cunningham, 1991). Acción de 
interpretar un contenido en el que se privilegia la 
representación visual sobre el analítico – simbólica. 
WinPlot. Es un software caracterizado como libre, graficador de 
funciones de propósito general que permite dibujar y animar 
curvas y líneas que representan funciones matemáticas en 
una variedad de formatos. 
Zona de desarrollo próximo. Permite establecer la existencia de un 
límite inferior dado por el nivel de ejecución que logra el 
alumno que trabaja independientemente y sin ayuda; mientras 
que existe un límite superior al que el alumno puede acceder 
de forma progresiva con ayuda de un docente capacitado o un 
compañero más avanzado, (mediador). 
 
Mapa conceptual 
Diseño Instruccional
• Actividades
• Cuestionarios
Profesor
Propuesta
metodológica Alumno
Competencias
generadasMateriales
• Videos digitales
• Cuaderno de trabajo
Estrategias para aprender 
colaborativamente
• Tamaño del grupo
• Actividades en grupo
• Cuestionarios para el
Diseña
Diseña
Diseña
Sustenta
Sustenta
Sustenta Conocimiento
Interacciona
Problemas Selectos de PreCálculo
34
Problemas Selectos de PreCálculo
35
Capítulo 3 
 
Marco Teórico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elena D. Nesterova 
Cuerpo Académico Consolidado “Matemática Educativa 
Avanzada” 
CUCEI. Universidad de Guadalajara 
María Luisa Cruz Díaz 
Escuela Preparatoria 6 
Universidad de Guadalajara 
Problemas Selectos de PreCálculo
36
Elementos teóricos 
 
La propuesta didáctica se sustenta en seis directrices: 
 
a) Innovación educativa, 
b) Las TIC en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, 
c) Resolución de problemas, 
d) El aprendizaje significativo, 
e) Las representaciones Semióticas de Duval, y 
f) Diseño instruccional. 
 
Se menciona que el aprendizaje significativo y las 
representaciones semióticas de Duval será el punto medular del 
marco teórico de la propuesta y sobre dichas corrientes 
cognoscitivistas se diseñaron los materiales y se generaron las 
actividades de aprendizaje que desarrollan en las diez sesiones 
planeadas para el curso de inducción. 
 
Innovación educativa 
 
Las instituciones educativas son testigos de la aparición de las TIC 
en el siglo XXI, lo que ha provocado cambios importantes en el 
sistema educativo y que ha propiciado un transformación sustancial 
en la forma de instruir, porque ha sido tal impacto que ninguna 
institución educativa, de los distintos niveles, han quedado al margen 
de la innovación educativa, concepto que en este trabajo se entiende 
como el proceso de formación y producción cultural en todas las 
áreas del conocimiento humano, ligado a la creatividad, lo que 
implica el reconocimiento de un problema, la identificación de formas 
de resolverlo, la toma de decisiones y la instrumentación de las 
acciones para lograrlo. 
 
Es un cambio en la práctica escolar, tendiente a direccionar los 
procesos que respondan de la mejor manera a los requerimientos 
formativos de la sociedad, lo que implica que los actores de la 
Problemas Selectos de PreCálculo
37
enseñanza y aprendizaje se deben capacitar y actualizar, para poder 
enfrentar los retos que emergen de esta nueva forma de adquirir 
conocimiento, como es el soporte brindado por las TIC. 
 
En los albores del siglo XXI la comunicación, en función de la 
ciencia y la tecnología, seha innovado, ya sea por la telefonía 
celular, la video conferencia, los Ipod, el video digital o un simple 
mensaje electrónico. Así que los actores de la educación, son los 
primeros que requieren adquirir una cultura y una alfabetización 
informática selectiva (Bautista, 1994 b), porque es tan amplio el 
abanico de los avances científicos y tecnológicos, que, en primer 
lugar, la formación adquirida por el profesor en el uso de las TIC es 
muy pobre, en segundo lugar, porque los estudiantes tienen ciertas 
habilidades para el manejo de estas nuevas herramientas, pero no 
las encausan a lograr aprendizaje de los contenidos escolares, y por 
último, los administradores, que carecen en muchas ocasiones del 
conocimiento de lo que se puede hacer por la educación con las TIC 
y se niegan a dotar de equipos modernos a los laboratorios. 
 
La capacitación y actualización de los actores debe ser 
permanente, como en el caso del profesor, al incluir las TIC en su 
práctica docente, debe adquirir la habilidad para usar, por ejemplo, 
adecuadamente los ordenadores en la enseñanza, porque existen 
investigaciones que demuestran que favorece el desarrollo de las 
capacidades de los alumnos, colaboran en su aprendizaje, en 
interpretar información y en resolver problemas. 
 
Se pretende que con la innovación educativa, el rol del 
docente tradicional que imparte clases magistrales, cerrado y rígido, 
se trasforme al de un tutor, coordinador y facilitador, que ayude a sus 
estudiantes a incrementar su capacidad de reflexión y análisis, 
cambiar de actitud, desarrollar el ingenio y aumentar posibilidad de 
resolver problemas con las herramientas del conocimiento, además 
de promover que sean responsables de su propio aprendizaje. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
38
Se incluye el uso de la computadora como un ambiente de 
aprendizaje, con la finalidad de mejorar el desempeño académico de 
los alumnos, mediante la visualización de videos digitales 
explicativos y la manipulación del programa WinPlot, y así 
aprovechar al máximo los beneficios que proporciona esta 
herramienta para apoyar al aprendizaje, tendiente a que se cumplan, 
en lo posible, los objetivos educativos planteados en los programas 
educativos vigentes. Por lo tanto, se requiere que el alumno disponga 
de conocimientos básicos del uso y manejo de la computadora, para 
evitar que tenga dificultad al interaccionar con el WinPlot y los videos 
digitales incluidos en un DVD. 
 
En el caso de los videos digitales, se integra texto, video, 
sonido, gráficas, figuras y animaciones para los contenidos de 
matemáticas seleccionados. Los videos en formato digital 
incrementan la motivación, son auténticos, promueven el aprendizaje 
e inspiran habilidades de pensamiento superior, y se pueden 
consultar en un lector de DVD de computadora o de hogar, 
generando una interacción con el estudiante de manera sencilla. Por 
la disponibilidad de material didáctico en las redes sociales se han 
seleccionado videos que tratan los temas incluidos en los contenidos 
del curso de inducción, que se pretende sean analizados por los 
alumnos en actividades dentro y fuera del aula, como una opción 
alternativa de asesoría. 
 
Como parte de un proyecto multimedia (Pimentel, 1999), se 
integraron videos digitales para los contenidos de áreas de figuras 
geométricas, elaborados por los cuerpos académicos “Enseñanza de 
las Matemáticas con tecnología” del ITCG, “Matemática educativa 
Avanzada” de la Universidad de Guadalajara y Matemática Educativa 
de la Universidad Autónoma de Nayarit, en el que participaron 
equipos interdisciplinarios de profesores de la asignatura (Druin y 
Solomon, 1996), ya que para generar un proyecto multimedia, se 
requieren diseñadores gráficos, especialistas en sonido digital, 
creadores de animaciones por computadora, especialistas en video y 
Problemas Selectos de PreCálculo
39
audio digital, profesores del área de interés, técnicos en el manejo de 
las nuevas tecnologías e investigadores. Este equipo de trabajo en 
conjunto construye el guión y la estructura computacional de los 
contenidos temáticos que se incluyeron, a los que se denominan 
guionistas y desarrolladores. 
 
A los especialistas en los contenidos matemáticos, se les 
identifica como los guionistas, cuyas funciones son: 
 
• analizar los temas a desarrollar, 
• proponer la secuencia de la presentación, 
• seleccionar los problemas, ejercicios y ejemplos, 
• elaborar los instrumentos de evaluación y las gráficas o videos a 
incluir en la opción multimedia. 
 
El guionista tiene la responsabilidad de garantizar que lo 
tratado en los contenidos, se apoye en fuentes confiables y que 
tengan un fundamento sólido en teorías actuales del conocimiento. 
 
El otro grupo de colaboradores son los especialistas en 
programación con experiencia en el trabajo de computación, 
conocidos como los desarrolladores, quienes además de ser capaces 
de instalar y dar mantenimiento al equipo, realizan las siguientes 
actividades: 
 
• Proponer al guionista la plataforma de trabajo en la que se 
desarrollará el multimedia, 
• Interpretar lo propuesto por el guionista y transcribirlo al 
lenguaje de programación elegido, 
• Seleccionar las rutas de navegación, la presentación, el 
diseño gráfico, las formas de interactuar, la elaboración de la 
ayuda, la generación de las animaciones y la digitalización de 
video. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
40
La computadora y las TIC en la educación 
 
Las TIC son un adelanto científico y tecnológico de invaluable 
riqueza, porque han sido, son y serán precursoras de grandes 
cambios en todos los sectores integrantes de la sociedad como lo 
son el industrial y el educativo, por mencionar solo dos. El dispositivo 
que ha sido elemento sólido en la revolución educativa en esta era 
electrónica ha sido el computador electrónico, que por sus 
propiedades y versatilidad, prácticamente se ha integrado a todos los 
sectores, desde el familiar hasta el científico. 
 
Características de la computadora como la velocidad de 
procesamiento y su capacidad para almacenar información, se han 
visto incrementadas constantemente en beneficio del usuario, más 
aún, sus bondades se han visto fortalecidas por la integración de los 
distintos periféricos que facilitan la tarea del diseño de medios y 
materiales digitales, como la pizarra electrónica, los monitores de alta 
resolución, el servicio de internet inalámbrico, el DVD, la memoria 
USB, los discos duros externos, el bluetooth, las Ipod, las Tablet, 
entre otros, que propician comunicación síncrona y asíncrona, la 
elaboración de programas multimedia o de software especializado de 
matemáticas. 
 
Con respecto de la elaboración de software, se han creado 
sistemas computacionales que abarcan bases de datos, 
graficadores, simuladores, procesadores de texto y sistemas 
específicos, que son utilizados de manera exitosa en la: 
 
• Empresa: se orientan a tareas como elaborar un simple 
informe, manipular una base de datos, elaborar un 
memorándum o controlar procesos industriales; 
• Comunidad científica: se emplea para reducir el tiempo de 
cálculo, así como para diseñar, modelar y simular prototipos; 
• Educación: porque su aplicación y/o utilización se ha reducido 
Problemas Selectos de PreCálculo
41
a la administración y al apoyo de carreras como informática y 
ciencias computacionales. 
 
En este sentido se pregunta: ¿En qué medida la computadora 
es un buen apoyo para el proceso docente? Actualmente, las 
instituciones de nivel superior han implantado diversas acciones para 
lograr la modernización que exige la época actual, entre ellas: 
 
• Actualización docente. 
• Reacondicionar los laboratorios. 
• Creación de centros de cómputo. 
• Actualización y revisión continua del curriculum. 
• Renovación y acondicionamiento de los centros de información. 
 
De las acciones mencionadas, todas se relacionan directa o 
indirectamente con la computadora. La actualizacióndel personal 
docente ha incluido cursos sobre computación, dirigidos al uso de 
tutoriales de paquetes específicos o como una herramienta; 
 
• Al reacondicionar los laboratorios se han incluido tutoriales, 
simuladores, graficadores que requieren de equipo de computo; 
• La creación de laboratorios de computo se ha dado en todos los 
niveles del sistema educativo nacional, pero ha tenido más 
influencia en los niveles medio superior y superior; 
• Los centros de información (bibliotecas), poco a poco se han 
automatizado y su modernización comprende desde leer una 
ficha bibliográfica, consultar información en un CDROM o DVD, 
hasta adquirir información de bases de datos nacionales e 
internacionales. 
 
En lo que respecta a la actualización curricular en el área de 
Matemáticas, las instituciones de nivel superior (DGEST y 
Universidad de Guadalajara) en su más reciente revisión, incluyeron 
el uso de software en un gran número de asignaturas de las 
Problemas Selectos de PreCálculo
42
diferentes áreas del conocimiento (Cálculo, Ecuaciones 
Diferenciales, Algebra Lineal, Probabilidad y Estadística y Métodos 
Numéricos). Entre los sistemas computacionales comerciales se 
mencionan el DERIVE, MATHCAD, MATHEMATICA, SPSS, 
STATHGRAPHICS, CABRI GEOMETRY, MAPLE, AUTOCAD, 
MATHLAB y software de autoría libre (Villalpando, 2011) como 
WinPlot y Geogebra. 
 
Así pues, de esta invasión de software comercial y libre de 
matemáticas, se desprenden los cuestionamientos siguientes: 
 
• ¿Cómo se ha dado la introducción del computador en la 
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas? 
• ¿La incursión en el aula fue la novedad? 
• ¿Fue la modernización? 
 
Una de las posibilidades de la incursión masiva de la 
computadora fue la modernización del sistema educativo nacional, 
situación que me lleva a otro bloque de preguntas: 
 
• ¿Bajo qué bases? 
• ¿En qué teorías del conocimiento se ha fundamentado su 
incursión? 
• ¿Qué método de enseñanza es el adecuado? 
• ¿Cuáles son las condiciones para introducir el software de 
matemáticas en el aula? 
 
Se sabe de los problemas ancestrales de la enseñanza y el 
aprendizaje de las matemáticas en todos los niveles, en los diversos 
temas, como el lenguaje aritmético y algebraico, el concepto de 
función, de límite, de derivada e integral. Ahora, aunado a esto, se 
introducen las TIC en el aula, sin importar la forma en cómo se 
empleará y cuáles son los objetivos a lograr. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
43
El hecho de que los actores de la enseñanza y aprendizaje de 
las matemáticas, eviten planificar cómo introducir el computador en el 
aula es preocupante, porque grupos especialistas en el área 
relacionada con la docencia e investigación de la matemática 
educativa (educación matemática o enseñanza de las matemáticas, o 
didáctica de las Matemáticas), sugieren que la introducción de las 
TIC en el aula no sea arbitraria y sin planificar. Uno de estos grupos 
especialistas es el Grupo Internacional de Psicología de Educación 
Matemática (PME). 
 
El PME es un grupo de investigadores, fundado en 1976 en el 
Congreso Internacional sobre Educación Matemática (ICME3) en 
Karlsruhe, Alemania, cuyos objetivos de la organización son 
promover: 
 
• Contactos internacionales y el intercambio de información 
científica en el campo de la educación matemática; 
• Estimular la investigación interdisciplinaria en la zona 
mencionada; 
• Una comprensión más profunda y más correcta de la psicología y 
otros aspectos de la enseñanza y el aprendizaje de matemáticas 
y las consecuencias de los mismos. 
 
En el PME se da la bienvenida a todos los que están 
interesados en cómo los estudiantes aprenden matemáticas, cómo 
los instructores enseñan las matemáticas y cómo los matemáticos, 
profesores y estudiantes hacen matemáticas. La creación de la PME 
y las reuniones periódicas anuales, se han convertido en un foro en 
el que trabajos referentes a la educación matemática se presentan. 
 
Inicialmente las áreas de matemáticas que se incluyeron en la 
PME fueron los números, las fracciones, la geometría, las 
operaciones aritméticas, el uso de símbolos y los ambientes 
computacionales. Posteriormente, las líneas de investigación en 
Problemas Selectos de PreCálculo
44
educación matemática se han extendido a conceptos de matemática 
avanzada como lo son funciones, límites, continuidad, el problema 
del infinito, derivación, integración, ecuaciones diferenciales y 
probabilidad y estadística. 
 
El avance de las investigaciones en los distintos campos de la 
educación matemática, ha sido fructífera y continuamente se dan a 
conocer investigaciones realizadas en diversos temas, diferentes 
niveles, en ambientes distintos y con variadas metodologías, con 
resultados diferentes por ser distintos los objetivos, las hipótesis y los 
contextos, pero las conclusiones de las investigaciones no se 
contraponen unas a otras, por el contrario, cada día el campo de la 
Educación Matemática se ha visto enriquecida con los productos de 
tales estudios. Ejemplo de esto, son los diversos términos que son 
propios ya de este campo de reciente creación: imagen conceptual y 
definición del concepto, campo conceptual, intuiciones primarias y 
secundarias, visualización y semiótica, entre otros. 
 
El estudio de diversos temas bajo ambientes computacionales, 
ha sido una de las líneas que ha captado el interés por parte de los 
investigadores. Los resultados obtenidos en algunas ocasiones son 
alentadores y en otras simplemente irrelevantes, lo que se interpreta 
que la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas bajo 
ambientes con las TIC tienen problemas en su fundamentación y 
estructura; entendiendo fundamentación, como el conjunto de 
objetivos bien definidos sobre cómo resolver los problemas 
generados en un determinado tema de matemáticas, y estructura 
como la metodología que se sigue para la solución del problema. 
 
Esta situación ha propiciado que el uso de la computadora en 
la enseñanza y el aprendizaje de la matemática, en todos los niveles 
de instrucción, se consolide como una línea de investigación, con 
tendencias a generar estrategias que permitan evaluar, hasta que 
punto un ambiente de aprendizaje apoyado con las TIC mejora el 
conocimiento matemático, porque como afirma Fischben, "el uso de 
Problemas Selectos de PreCálculo
45
la computadora en el proceso instruccional tiene limitaciones. Si 
estas no son entendidas, la computadora representa un problema 
real. Desafortunadamente, y me gustaría enfatizar este punto 
especialmente, somos testigos hoy en día de la penetración de la 
computadora en todos los niveles de instrucción, sin una seria 
investigación básica y sin un intento sistemático para evaluar sus 
efectos didácticos y psicológicos". 
 
Ya desde desde finales del siglo XX, John G. Kemeny (1986) 
en su artículo "Software for the classroom " sugiere cómo se usar la 
computadora en la educación: 
 
1. Que el profesor utilice los paquetes comerciales adecuando los 
objetivos del curso en cuestión. Esto trae como consecuencia que 
el profesor en su labor docente genere estrategias como: 
 
a) Explorar el potencial del paquete. 
b) Determinar la viabilidad de su posible uso. 
c) Estructurar la clase por medio de la computadora y algún 
dispositivo de las TIC. 
d) Llevar a cabo la experimentación. 
e) Medir si la computadora mejora el proceso de enseñanza y 
aprendizaje. 
 
2. Que el profesor en conjunto con los estudiantes elabore los 
programas que se requieren, orientándolos a cubrir los objetivos 
del curso. Elegir esta estrategia trae varias situaciones paralelas 
como: 
 
a) Competir con una compañía que dedica tiempo y recursos 
financieros y para elaborar un sistema computacional. 
b) El tiempo que tiene asignado el curso, no permite a los 
estudiantes y al profesor elaborar sus programas, debido en 
gran parte a que generalmente los contenidos son amplios y 
es poco el tiempo para cubrirlos.Problemas Selectos de PreCálculo
46
c) Los lenguajes de programación están en continua revisión y 
actualización, lo que ocasiona que en un tiempo 
relativamente corto, nuevas versiones salen al mercado, lo 
que obliga al usuario a permanecer en constante 
actualización de programación e incluso se llega a la 
necesidad de adquirir nuevo equipo donde se pueda ejecutar 
el lenguaje. Por otra parte, esta carrera de nuevas versiones 
de lenguajes de programación vs. actualización ocasiona 
problemas a los profesores y a los alumnos sobre sí el curso 
en cuestión es de programación o de Matemáticas. 
 
3. Otra de las formas en la que el computador se ha introducido en 
el aula, es la elección de un libro de texto que contemple 
software. En este caso se corre el riesgo de que el texto no cubra 
el curso ni los objetivos en su totalidad, debido a que cada 
institución elabora el curriculum de las carreras ofertadas, 
selecciona los contenidos de sus cursos para su contexto, de tal 
forma que el tratar de adecuar necesidades y objetivos a un texto 
determinado puede ser contraproducente debido a que la 
bibliografía se actualiza continuamente y nuevos textos salen al 
mercado. 
 
La tendencia es que el profesor use las TIC para fortalecer 
propuestas didácticas y que el alumno adquiera conocimiento en el 
contenido seleccionado, en particular para este proyecto, temas 
selectos de precálculo, en donde su participación sea la relevante, 
comparada con la del profesor, inclusive, en las actividades 
extraclase planteadas consulte, solucione los ejercicios, intente 
demostraciones y que se examine por medio de un generador 
aleatorio de exámenes. Con la propuesta se pretende que: 
 
• el alumno sea responsable (situación que debido a la sociedad y 
a la época actual es difícil de lograr), y que deje el papel estático 
que asume en sus responsabilidades, a cambio de apropiarse del 
papel dinámico que se requiere. 
Problemas Selectos de PreCálculo
47
• los profesores que imparten la asignatura propicien el trabajo en 
equipo, con la finalidad de estructurar el programa, las actividades 
para aprendizaje y la información de consulta, en suma, dejar de 
lado la improvisación. 
• la institución en su papel de formadora de gente preparada, 
construir centros de cómputo acondicionados para dar el servicio 
que requiere la asignatura, lo que es difícil pero no imposible. 
 
Por otra parte, el software que se elabore para cursar 
determinada asignatura, se organizará de acuerdo a los objetivos y 
normas establecidas en las instituciones y al menos tendrá las 
siguientes características, de acuerdo al concepto de interacción de 
los sistemas computacionales: 
 
• el software permitirá la interacción del alumno con la 
computadora. 
• cada tema deberá estar explicado en varias pantallas, con sus 
gráficas, ayudas y ejemplos, al menos. 
• en cada lección que tome el estudiante, el software tendrá una 
sección para preguntas y consultas de dudas. 
• en cada tema el alumno se examinará y se le negará el 
acceso al siguiente nivel siguiente si no acredita su examen 
parcial. 
• el alumno solicitará al profesor el permiso para acreditar la 
asignatura de manera virtual. 
 
Los involucrados en el uso de las TIC en la enseñanza de las 
matemáticas se dan cuenta de que conforme pasa el tiempo, que la 
tecnología informática avanza a pasos agigantados, por ejemplo, las 
nuevas calculadoras del mercado, disponen de dispositivos 
electrónicos conocidos como sensores, que trabajan en tiempo real y 
muestran las gráficas y los datos en pantalla, situación que a finales 
del siglo XX parecería nunca se podría visualizar. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
48
Esta situación es motivo de preocupación para los que están 
inmersos en el campo de la educación, y que hace necesario 
plantear y replantear continuamente las estrategias sobre cómo usar 
las TIC en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, que para 
concluir cito la frase de A. Kemeny "si no usas la computadora en el 
salón de clases, privas a tus estudiantes de una maravillosa 
herramienta pedagógica y no los preparas para el mundo real", que 
se podría sustituir por la frase “si no usas las TIC en el aula, privas a 
tus estudiantes de maravillosas herramientas didácticas y no los 
preparas para el mundo real”. 
 
Bajo el marco descrito, el interés por usar la computadora y las 
TIC en el aula es una realidad, situación que no se puede generalizar 
en todas las instituciones, pero que en el curso de inducción se ha 
incluido el software WinPlot, el video digital explicativo integrado en 
el DVD, con la finalidad de aprovechar las bondades, pero la 
experiencia indica que con el paso del tiempo, la inercia de las 
instituciones, los grupos numerosos que atienden y la deficiente 
capacitación y actualización del docente, que entre otras situaciones, 
hace difícil que los profesores se transformen en el investigador que 
requiere el sistema educativo nacional, en particular, en el proceso 
enseñanza de las aprendizaje de las matemáticas en ambientes de 
aprendizaje soportados con la computadora y las TIC. 
 
Aprendizaje Basado en problemas (ABP) 
 
El ABP es un enfoque didáctico basado en el principio de usar 
problemas de la vida cotidiana, de corte abierto o cerrado, como 
punto de partida para la adquisición, integración y transferencia de 
nuevos conocimientos, en el que sugiere que los alumnos trabajan 
en grupo colaborativo. 
 
La solución de problemas ha ocupado un lugar importante en 
el desarrollo de la matemática. En las últimas décadas, esta actividad 
ha sido considerada como elemento central en la enseñanza de los 
Problemas Selectos de PreCálculo
49
curso de matemáticas a todos los niveles educativos, porque se 
considera un elemento preponderante para complementar el trabajo 
algorítmico que se ha realizado por años en el aula, donde el devenir 
diario es, por ejemplo, factoriza la expresión 2 3 2x x+ + o simplifica la 
fracción 
2 3 2
2
x x
x
+ +
+
, ejercicios en el que se sobrepone el algoritmo 
sobre los acercamientos analítico, gráfico o numérico. 
 
El interés por incluir la resolución de problemas en la 
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas no es reciente, ya que 
en la National Council Teacher of Mathematics (NCTM) los sugiere y 
las universidades americanas lo integraron a sus currículos, al igual 
que en otros países del mundo, los contenidos de la currícula de 
matemáticas en los diversos niveles educativos, están planteados 
con el enfoque en la solución de problemas. 
 
Puig y Cerdán (1996) señalan que se tiene conocimiento de 
diversos problemas alrededor del año 3000 a. c., en la tablillas 
elaboradas por la cultura babilónica, en los que se pone énfasis en el 
intento de comprender la naturaleza de los procesos que se ponen 
en juego, situación que se busca generar en los alumnos, que se 
involucren en el desarrollo de alguna actividad matemática 
relacionada con su contexto. 
 
Ya Comenius (1592-1670), señalaba que la función del 
profesor es diseñar actividades para enseñar y que el alumno es 
aprender, pero no de manera arbitraria, sino de una forma 
organizada, metodológica, porque como se comenta, les daba a los 
alumnos un dibujo donde mostraba una situación, y les decía: 
“mañana traigan lo que ven por escrito en alemán, checo y latín. 
Pero, —decían los alumnos — no sabemos ninguna gramática y la 
repuesta de Comenius era: ese es problema de ustedes, tienen que 
ir a buscarla y aplicarla”. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
50
El ABP se desarrolló con el objetivo de mejorar la calidad de la 
educación médica, al cambiar la orientación de un currículum que se 
basaba en una colección de temas y exposiciones del maestro, a uno 
más integrado y organizado, sustentado en problemas de la vida 
cotidiana y donde concurren las diferentes áreas del conocimiento 
que se ponen en juego para dar solución al problema. El ABP en la 
actualidad es utilizado en la educación superioren muy diversas 
áreas del conocimiento (DIDE, 2003), en particular en matemáticas. 
 
En sus inicios, el ABP tuvo una pobre evidencia como 
metodología de enseñanza (Norman y Schmidt, 1992), lo que ya ha 
cambiado en la época actual, pero hay evidencia de que su 
aplicación en el aula, mejora en general, las habilidades para 
encontrar la solución de problemas de cualquier área y se afirma 
que esta metodología podría inicialmente reducir los niveles de 
aprendizaje, pero al mismo tiempo crear un incremento en la 
retención del conocimiento por varios años, porque mejora: 
 
• la transferencia de conceptos a la solución de nuevos 
problemas, 
• el interés intrínseco en el tema planteado 
• las habilidades del aprendizaje independiente. 
• el trabajo colaborativo 
 
El ABP es un método efectivo para mejorar las habilidades 
(Cataldi y Lage, 2003) con la premisa de que cuando existe una 
interacción adecuada entre la información y entre los actores del 
proceso educativo, los alumnos suelen sentirse satisfechos con lo 
aprendido. El ABP propicia en los alumnos la confianza de poner en 
juego sus habilidades resolutivas de problemas y los desafía para 
que se transformen en autodidactas, en generadores un aprendizaje 
independiente. 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
51
El uso del ABP se fundamenta en (Barrel, 1999): 
 
• El procesamiento de la información en los niveles superiores, tal 
como se da en la resolución de situaciones problemáticas, el 
pensamiento crítico, las estrategias de indagación y la reflexión 
sobre la práctica conducen a una compresión más profunda, una 
retención y transferencia superiores de la información y los 
conceptos (Bransford y Stein 1986). 
• Un aprendizaje más duradero se genera cuando las personas 
usan la información de manera significativa (Marzano, 1997). 
• Las metas centrales de la educación son la retención, la 
compresión y el uso o la aplicación de la información, los 
conceptos, las ideas, los principios y las habilidades (Perkins et 
al., 1990). 
• Los alumnos en el aula muestran un incremento significativo en el 
uso de estrategias para la resolución de problemas y obtienen 
tanta información, y muchas veces más, que los alumnos en 
clases tradicionales (Stepien, 1993). 
 
 
Las instituciones de educación superior en los últimos años, 
han adoptado el ABP como uno de los métodos más efectivos para el 
proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, debido a la 
amplia variabilidad de aplicaciones, las condiciones, montaje, 
prácticas en las diferentes instituciones y el pequeño número de 
participantes. Algunas de las razones que justifican su empleo en la 
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas son: 
 
• el entendimiento de las matemáticas con respecto a una situación 
de la vida cotidiana surge de las interacciones con el medio 
ambiente. 
• el conflicto cognitivo que emerge del enfrentamiento del 
estudiante con cada problema es una situación que estimula el 
aprendizaje. 
Problemas Selectos de PreCálculo
52
• el conocimiento es un proceso social, es decir, se promueve el 
trabajo colaborativo. 
• el profesor se transforma en un facilitador del aprendizaje, en un 
tutor, en el que los alumnos se apoyan para auxiliarse para 
determinar la solución del problema planteado. 
• las actividades se centran en el estudiante, con lo que promueve 
un aprendizaje significativo, se desarrollan habilidades y 
competencias indispensables para su buen desarrollo de su 
entorno profesional en un futuro. 
 
Las actividades diseñadas para el trabajo en el aula y fuera de 
ella, se orientan al trabajo colaborativo, acciones que el profesor 
debe coordinar para asegurarse que alumnos se involucren en el 
proceso de resolución de los problemas incluidos en el diseño 
instruccional: cuaderno de trabajo, antología, artículos, videos, 
software, objetos para aprendizaje, referencias bibliográficas y bases 
de datos, entre otros. 
 
La evaluación es un punto crítico en el ABP, ya que difiere de 
la evaluación tradicional, porque existen otros parámetros a valorar 
que en un examen basado en el desarrollo de algoritmos, como son 
la participación, la puntualidad, la opinión, la descripción del 
problema en palabras, la generación del reporte, la obtención del 
modelo, la fase investigativa, la autoevaluación, la evaluación del 
coequipero y el trabajo con las TIC, entre otras. 
 
El ABP tiene como mecanismos principales: 
 
• Utilizar estrategias de razonamiento para combinar y sintetizar 
datos/información en una o más hipótesis explicativas del 
problema o situación. 
• Identificar necesidades de aprendizaje (incluidos conocimiento y 
habilidades). 
Problemas Selectos de PreCálculo
53
• A partir del conocimiento obtenido, identificar los principios y 
conceptos que puedan aplicarse a otros problemas/situaciones 
(Branda, s/f). 
 
Para la propuesta se seleccionaron los siguientes principios 
sobre los que se sustentó la inclusión de la solución del método del 
ABP en el proyecto: 
 
• Facilitar la comprensión de nuevos conocimientos; 
• Promover el aprendizaje autónomo; 
• Promover la disposición afectiva y a motivación de los alumnos, 
indispensables para lograr aprendizajes significativos. 
• Aprender es un proceso constructivo, dinámico y no receptivo. 
• Propiciar el aprendizaje mediante la colaboración de los 
miembros del grupo. 
• Los profesores son facilitadores o guías. 
 
El aprendizaje significativo 
 
Se sabe que el proceso de aprendizaje no es idéntico para todos los 
seres humanos, quienes se introducen en situaciones de aprendizaje 
con estilos diferentes. Asociado con el estilo de aprendizaje se han 
creado teorías sobre cómo las personas aprenden, o más 
específicamente, sobre cómo aprenden mejor. (Woolfolk, 1999, pp. 
27- 43, 44 – 50 y 338 - 345). 
 
Los ambientes de aprendizaje que operan de acuerdo a una 
teoría y que difieran del estilo de aprendizaje preferido por un 
estudiante, se rechazarán o habrá resistencia por parte de él, por lo 
que sugiere que el grupo colaborativo involucrado en una 
investigación educativa, debe seleccionar, de entre todas las 
corrientes existentes, aquella que potencialmente produzca un 
aprendizaje a largo plazo o significativo. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
54
En la actualidad existen teorías del conocimiento que se han 
empleado como soporte teórico de trabajos de investigación en la 
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, entre ellas: el 
constructivismo de Piaget, el aprendizaje significativo de Ausubel, el 
Experiential Learning de Kolb y el constructivismo social de Vigotski, 
entre otros. 
 
La base teórica seleccionada para el proyecto es la Teoría 
Cognoscitiva en la que se afirma que para aprender es necesario 
construir el nuevo conocimiento a partir de las ideas previas del 
alumno. Desde esta perspectiva, el aprendizaje es un proceso de 
contraste, de modificación de los esquemas del conocimiento, de 
equilibrio, de conflicto y de nuevo equilibrio otra vez (Ballester, 2002, 
p. 16). Según Ausubel, Novak y Hanesian “el mismo proceso de 
adquirir información produce una modificación tanto en la información 
adquirida como en el aspecto específico de la estructura cognoscitiva 
con la cual aquella está vinculada”. (Ausubel, Novak y Hanesian, 
1983, p. 14). 
 
Para que se logre un aprendizaje a largo plazo se debe 
presentar la información de manera coherente y no arbitraria, para 
que el alumno construya de manera sólida los conceptos en cuestión 
y los relacione entre sí, para formar una red de conocimientos. Para 
el logro de un aprendizaje significativo de los contenidos de 
matemáticas propuestos, se buscó que los medios y materiales 
seleccionado o elaborados tuvieran el carácter de potencialmente 
significativos. 
 
Las actividades integradas en el cuaderno de trabajo y 
fortalecidas con el programa WinPlot, los videos digitales explicativos 
se entiende que son potencialmente significativos y su valor radica 
principalmenteen el hecho de que son el complemento de un 
programa de enseñanza planeado a detalle, en otras palabras, de un 
diseño instruccional. Los videos digitales explicativos presentan al 
estudiante ejemplos ilustrativos e interesantes relacionados con el 
Problemas Selectos de PreCálculo
55
conocimiento en cuestión, fomentan el aprendizaje, a la vez que se 
pretende motiven y generen el interés por aprender en los alumnos. 
 
Como apoyo para el alumno y directriz del curso, se indica en 
el diseño instruccional a detalle las actividades, coherentes, 
específicas y de trabajo colaborativo (Salinas, 2000), que el alumno 
realizará tendiente a lograr un aprendizaje significativo. 
 
La teoría del aprendizaje significativo de Ausubel (1983), se ha 
seleccionado para el desarrollo de la propuesta didáctica del curso 
de inducción, ya que sus principios son coherentes con el objetivo de 
la propuesta, además de que constituye un sólido fundamento teórico 
que favorece al proceso educativo. Ausubel afirma que el aprendizaje 
del alumno depende de la estructura cognitiva previa que posee, eje 
central para relacionar la nueva información con la existente. En el 
proceso de aprendizaje, es importante conocer la estructura cognitiva 
previa que el alumnos posee, pero no en función de averiguar la 
cantidad de información que manipula, sino cuales son los conceptos 
y proposiciones que opera relacionados con el nuevo conocimiento. 
 
Este principio de conocimientos previos es muy importante 
para Ausubel (1983, p. 95) ya que afirma “si tuviese que reducir toda 
la psicología educativa a un sólo principio, enunciaría este: El factor 
más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya 
sabe. Averígüese esto y enséñese consecuentemente”. Dicho 
principio es un marco de referencia para el diseño de la propuesta, 
porque permite conocer la organización de la estructura cognitiva del 
estudiante, para lograr una mejor orientación de la labor educativa, y 
evitar que inicie su aprendizaje con la “mente en blanco” o que 
comience de “cero”, pues los estudiantes tienen una serie de 
experiencias y conocimientos, que pueden ser aprovechados en su 
beneficio. 
 
Un aprendizaje es significativo cuando los contenidos son 
relacionados de modo no arbitrario y sustancial (no al pie de la letra) 
Problemas Selectos de PreCálculo
56
con lo que el alumno ya sabe. Por relación sustancial y no arbitraria 
se debe entender que las ideas se relacionan con algún aspecto 
existente específicamente relevante de la estructura cognoscitiva del 
alumno, como una imagen, un símbolo ya significativo, un concepto o 
una proposición (Ausubel; 1983, p. 18). 
 
En el proceso educativo del curso de inducción, es importante 
considerar lo que el individuo ya sabe y que se establezca una 
relación con aquello que debe aprender. Este proceso tiene lugar 
cuando el estudiante tiene en su estructura cognitiva conceptos, que 
se identificaron al resolver los ejercicios planteados en los textos de 
Álgebra, Geometría, Trigonometría y Geometría Analítica más 
recomendados en las instituciones de nivel medio superior. En 
función de estos prerrequisitos, se elaboró el examen de diagnóstico 
que se aplica en la primera sesión del curso de inducción a todos los 
alumnos aceptados a ingresar al ITCG. 
 
El aprendizaje significativo ocurre cuando una nueva 
información “se conecta” con un concepto relevante (“subsunsor”) 
pre-existente en la estructura cognitiva, lo que implica que las nuevas 
ideas, conceptos y proposiciones pueden ser aprendidos 
significativamente en la medida en que otras ideas, conceptos o 
proposiciones relevantes estén adecuadamente claras y disponibles 
en la estructura cognitiva del individuo y que funcionen como un 
punto de “anclaje” a las primeras. En el curso se pretende provocar 
un aprendizaje significativo cuando la información nueva se “conecte” 
con los “subsunsores” de la estructura cognitiva como pueden ser 
sus diferentes representaciones: analítica, gráfica, numérica o visual. 
 
La característica más importante del aprendizaje significativo 
es cuando se produce una interacción entre los conocimientos más 
relevantes de la estructura cognitiva y las nuevas informaciones (no 
es una simple asociación), de tal modo que éstas adquieran un 
significado y son integradas a la estructura cognitiva favoreciendo la 
Problemas Selectos de PreCálculo
57
diferenciación, evolución y estabilidad de los subsunsores pre-
existentes y consecuentemente de toda la estructura cognitiva. 
 
La condición para que un aprendizaje sea potencialmente 
significativo es que la nueva información interactúe con la estructura 
cognitiva previa y que exista una disposición para ello del que 
aprende (en este caso el alumno), esto implica que el aprendizaje por 
descubrimiento no necesariamente es significativo y que el 
aprendizaje por recepción sea obligatoriamente mecánico. Tanto uno 
como el otro puede ser significativo o mecánico, dependiendo de la 
manera como la nueva información es almacenada en la estructura 
cognitiva. 
 
El material que se propone en este caso es el uso del software 
WinPlot, los videos digitales explicativos y el cuaderno de trabajo, los 
cuales son considerados potencialmente significativos, dado que su 
diseño tiene un significado lógico para su entendimiento y uso, lo 
cual se puede relacionar de forma sencilla con la estructura cognitiva 
del estudiante. 
 
El alumno debe dejar a un lado la acción de memorizar 
arbitraria y literalmente el contenido y así evitar que el proceso de 
aprendizaje y sus resultados sean algorítmicos; de manera inversa, 
sin importar lo significativo de la disposición del alumno, ni el 
proceso, ni el resultado serán significativos, si el material no es 
potencialmente significativo, y si no es relacionable con su estructura 
cognitiva. 
 
En la propuesta se desarrolla una alternativa didáctica en que 
los medios y materiales empleados actúan como un puente 
conceptual entre el conocimiento previo y el nuevo conocimiento. Se 
tiene como organizadores de avance a las siguientes formas: 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
58
• Analogías entre la nueva información y lo que ya conoce el 
estudiante, que en este caso son los conocimientos de 
matemáticas del bachillerato. 
• Definición de conceptos y generalizaciones de la nueva 
información. 
 
El diseño del cuaderno de trabajo se estructuró de manera 
secuenciada y organizada para facilitar al estudiante su uso. Se 
presenta para cada tema, los conceptos subsumidores con el objeto 
de que el alumno logre aplicarlos en casos particulares. Los videos 
digitales y el cuaderno de trabajo actúan como organizadores de 
avance de tipo expositivo ya que proveen al estudiante un primer 
acercamiento hacia los nuevos conceptos. También actúan como 
organizadores de tipo comparativo porque presentan al estudiante un 
panorama general de la información incluida en el estudio. Además, 
en el momento en que el estudiante lee la introducción y analiza los 
problemas se activan en su mente los esquemas ya existentes 
(conocimiento previo). 
 
Otro aspecto en el que se manifiestan los organizadores de 
avance son los actividades de aprendizaje, dado que destacan las 
relaciones entre las ideas que se van a presentar a continuación, 
esto es, el alumno al interactuar con la secuencia didáctica, soluciona 
los problemas, que son las acciones que se utilizan para propiciar la 
discusión en el aula con los compañeros y con el profesor. 
 
Teoría de representación semiótica de Raymond Duval 
 
La otra perspectiva teórica que sustentó la propuesta es la 
teoría de registros de representación semiótica de Raymond Duval 
(1998). Bajo este marco de referencia teórico se le da sentido a la 
importancia que tiene en la solución de un problema de matemáticas 
el planteamiento analítico, numérico, visual y gráfico. En la 
propuesta aquí planteada se sostiene que las diferentes 
Problemas Selectos dePreCálculo
59
representaciones de los conceptos matemáticos son fundamentales 
para su comprensión, porque en el campo de la matemática 
educativa se han dedicado esfuerzos para precisar el concepto de 
representación y analizar el papel que desempeñan en el 
razonamiento de los alumnos (Duval, 1998, 2002; Hitt, 1998, 2002; 
Kaput, 1998). 
 
En una situación de aprendizaje, las representaciones forman 
parte de los elementos que se estructuran en la interacción entre el 
sujeto y el objeto-concepto que se forma. Pluvinage (1998) afirma 
que existen tres tipos de objetos en relación con sus diferencias 
ontológicas: objetos físicos, culturales y matemáticos. El triángulo 
significante-significado-referente sólo es relevante para los objetos 
físicos, los demás objetos necesitan otros esquemas semánticos. Los 
objetos matemáticos son aquellos donde ningún objeto real se puede 
considerar como un representante perfecto. Se necesitan por lo 
menos dos representaciones diferentes (lenguaje natural, algebraico-
simbólico, gráfico-geométrico, numérico, etc.) para tener una idea de 
dicho objeto (Sandoval y Díaz Barriga, 2002; Duval, 1998). 
 
Una particularidad que tienen las matemáticas es que para 
hablar de un objeto, sólo se puede hacer a través de alguna de sus 
representaciones, pues no se puede tener acceso directo a ellos 
mediante la percepción. En este sentido, se requiere de una 
representación que permita realizar una serie de actividades 
cognitivas, mediante las cuales, el estudiante se aproxima a dicho 
objeto. Pero para generar una comprensión matemática, se hace 
necesario que el individuo pueda diferenciar que la representación no 
agota al objeto matemático (Duval, 1998). 
 
Un mismo objeto puede tener diferentes representaciones y 
cada representación, según Duval (1998, p. 185) es parcial 
cognitivamente con respecto a lo que el objeto representa, esto es, 
cada sistema de representación puede resaltar características 
diferentes de un objeto matemático. En la manera como un objeto se 
Problemas Selectos de PreCálculo
60
representa en matemáticas permite manipular y procesar cada una 
de esas representaciones, de forma tal que los distintos modos de 
representación expresan, a su vez, las propiedades y relaciones 
estructurales entre los conceptos, lo que significa que cada sistema 
de representación permite ver una faceta diferente del objeto 
matemático a estudiar y pone de manifiesto algunas de sus 
propiedades. Duval (1998) establece que dado que cada 
representación es parcial con respecto a lo que representa, se debe 
considerar como absolutamente necesaria, la interacción entre 
diferentes registros de representación del objeto matemático para la 
formación del concepto. 
 
Según Duval (1998, p. 186) la comprensión (integradora) de 
un contenido conceptual, reposa en la coordinación de al menos dos 
registros de representación, y esta coordinación se manifiesta por la 
rapidez y la espontaneidad de la actividad cognitiva de conversión. 
 
Como lo plantean Lupiáñez y Moreno (2001, p. 294) “la 
construcción de un concepto matemático es un proceso en 
permanente desarrollo, por lo que el nivel de objetividad con el que lo 
entendemos es sólo transitorio. Nunca se posee plenamente el 
concepto”. En otras palabras, cada individuo enriquece sus 
conceptos en la medida que se le presentan nuevas facetas de 
estos. 
 
Para Hitt (1998) la construcción de conceptos se realiza 
mediante tareas que implican la utilización de diferentes sistemas de 
representación y que promueven la articulación coherente entre 
representaciones, libre de contradicciones. Como lo señalan 
Lupiáñez y Moreno (2001, p. 291) los sistemas de representación y 
las representaciones semióticas constituyen la clave para entender la 
construcción del conocimiento matemático de los estudiantes. Las 
representaciones no solamente son necesarias para fines de 
comunicación, sino que son igualmente esenciales para la actividad 
cognitiva del pensamiento (Duval, 1998). 
Problemas Selectos de PreCálculo
61
 
La coordinación entre diferentes registros de representación 
semiótica está relacionada con la comprensión y con las dificultades 
del aprendizaje conceptual. Muchos de los obstáculos encontrados 
por los alumnos en diferentes tópicos matemáticos pueden ser 
descritos y explicados por una falta de coordinación de registros de 
representación. Confundir los objetos matemáticos con su 
representación provoca una falta de comprensión, y los 
conocimientos así adquiridos, permanecen como representaciones 
que no sugieren tratamiento alguno y por lo tanto son poco útiles 
fuera del contexto donde se adquirieron (Duval, 1998). 
 
Se pretende en el curso de inducción que el alumno transite 
libremente, pero guiado por las actividades de aprendizaje, en los 
diferentes registros semióticos: 
 
 
Numérico
Analítico
Visual
gráfico
Problemarios
Cuestionarios
WinPlot
Videos
Problemas Selectos de PreCálculo
62
Problemas Selectos de PreCálculo
63
CAPÍTULO 4 
 
Marco Metodológico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ricardo Ulloa Azpeitia 
Cuerpo Académico Consolidado “Matemática Educativa 
Avanzada” 
CUCEI. Universidad de Guadalajara 
Problemas Selectos de PreCálculo
64
Diseño Instruccional 
 
El proceso de instrucción ha incluido, tradicionalmente, al 
instructor, estudiantes y al libro de texto (aunque frecuentemente 
este último no se usa1). Los contenidos a ser aprendidos se tenían 
en el texto y era responsabilidad del instructor "enseñar ese 
contenido" a los estudiantes. La labor del maestro podría 
interpretarse como extraer el contenido del texto y ponerlo dentro de 
las cabezas de sus alumnos, de manera que pudiesen recuperar la 
información para contestar un examen. Con este modelo, la manera 
de mejorar la instrucción es mejorar al instructor (i.e. exigir al 
instructor que obtenga más conocimiento y que aprenda más 
métodos para impartírselo a sus pupilos). 
 
 Una visión contemporánea de instrucción la considerá como un 
proceso sistemático en el que cada componente (i.e. profesor, 
estudiantes, materiales y ambiente de aprendizaje) es crucial para 
producir el aprendizaje. Esta es la visión que se tiene en este trabajo 
y se sugiere que el proceso de diseño de lo que realmente pasará en 
el aula, lo que puede ser la traducción del programa oficial en las 
acciones concretas que desarrollarán en el aula, es trascendente 
para los resultados de aprendizaje. Posiblemente esa planeación, 
que se entenderá como diseño instruccional, es una actividad 
descuidada en el medio. 
 
¿Qué es Diseño Instruccional? Se espera que al finalizar este 
módulo, cada participante reescriba una definición propia que 
concuerde con lo que, para entonces, considere que significa. La 
siguiente es una propuesta: 
 
 
1Ulloa A., R. (1991). Factores en la enseñanza aprendizaje de las matemáticas, Tesis de 
Maestría. CINVESTAV. 
Problemas Selectos de PreCálculo
65
Un proceso intelectual que analiza las necesidades de 
aprendizaje de los estudiantes y define características 
sistemáticas para construir "opciones" estructuradas dirigidas a 
atender esas necesidades. 
 
- Considérese esta definición.- Un proceso proporciona una 
estructura sistemática para ayudar a tomar decisiones sobre el propio 
diseño-. Realmente no se puede decir que existan buenos o malos 
diseños; sin embargo, algunos pueden ser más apropiados en ciertos 
contextos, con ciertos contenidos y con ciertos alumnos. 
 
 A continuación, se presentan otras definiciones de diseño 
instruccional, ofrecidas por expertos, con base en sus experiencias e 
investigaciones: 
 
 1. El Desarrollo de Sistemas de Instrucción (DSI) es un proceso 
para decidir qué enseñar y cómo enseñarlo. (Dick, 1993, p 12). 
 
 2. La ciencia de crear especificaciones detalladas para el 
desarrollo, evaluación y mantenimiento de situaciones que faciliten el 
aprendizaje, tanto de pequeñas como grandesunidades de 
contenido (Richey, 1986, p. 9). 
 
 3. El Diseño de Sistemas de Instrucción es el proceso 
sistemático de planificación de sistemas de instrucción, mientras que 
el desarrollo instruccional es el proceso de implementaciòn de los 
planes. Juntas, estas dos funciones son componentes de lo que se 
considera una tecnología instruccional (la aplicación sistemática de la 
teoría y otro conocimiento organizado a la tarea del diseño y 
desarrollo instruccional) (Gagnè, Briggs & Wagner, 1992, p.20). 
 
4. Como proceso, es el desarrollo sistemático de 
especificaciones de instrucción usando teoría sobre aprendizaje e 
instrucción para asegurar la calidad de la instrucción. Como área de 
Problemas Selectos de PreCálculo
66
estudio, es la rama del conocimiento relacionada con la investigación 
y la teoría sobre especificaciones para la instrucción y los procesos 
para desarrollar esas especificaciones (Seels & Glasgow, 1990, p. 4). 
 
 5. El proceso sistemático de traducir los principios de 
aprendizaje e instrucción en planes para actividades y materiales 
instruccionales (Smith &Ragan, 1993, p. 2). 
 
 La mayoría de las definiciones mencionan "sistemas" o 
"sistemático". Un sistema es básicamente un conjunto de partes que 
dependen unas de otras. Cada parte puede ser vista como un 
subsistema cuyos productos influyen en los demás subsistemas. El 
proceso de sistemas puede ser visto como una forma estructurada 
de considerar todas sus partes. ¿Cuáles son los beneficios para el 
diseño instruccional desde el enfoque de sistemas? 
 
 Si se piensa en el diseño instruccional como un sistema, 
entonces se trata de asegurar que se construyan diseños que tomen 
en cuenta todas las partes relevantes. Sin embargo, esta no es una 
tarea fácil si se consideran los componentes necesarios para cubrir 
las necesidades que presentan contenidos, contexto y estudiantes. 
 
Ejercicio.- Antes de continuar, se le pide que haga un bosquejo 
de lo que implica para Ud. el proceso de diseño instruccional, 
describa lo que incluye cada etapa. 
 
Fases del Diseño Instruccional 
 
Existen diferentes modelos para guiar el proceso de diseño 
instruccional, la mayoría incluye tres tipos principales de actividades: 
Análisis, Diseño y Evaluación. El Análisis ayuda a descubrir qué 
necesita hacerse, cuáles son las necesidades reales del estudiante, 
el impacto de realidades relevantes, tales como problemas, 
contenidos y contextos, y cómo generar metas que definan y dirijan 
las actividades subsecuentes de diseño. El Diseño atiende a esas 
Problemas Selectos de PreCálculo
67
metas. La Evaluación monitorea si las necesidades han sido 
cubiertas al diseñar el programa y después de su aplicación. 
 
Existen diferentes modelos que presentan variaciones en su 
estructura, pero de manera general, pueden identificarse las etapas 
mencionadas. Enseguida se comentan elementos que influyen en el 
proceso de diseño instruccional. 
 
 
Figura. Diseño Instruccional tradicional 
 
Creencias 
 
Muchas veces se aborda el estudio de modelos de diseño 
instruccional, suponiendo que se conocen muchas cosas, por 
ejemplo, que se tienen claras cuáles son las creencias y qué se 
necesita para continuar. El comprender las propias creencias ayuda 
cuando se diseña, pues puede darse cuenta si avanza, o no, en la 
dirección deseada. 
 
Se requiere tener claro qué se cree que es el aprendizaje, cómo 
ocurre y cómo puede propiciarse. ¿Por qué enfatizar sus creencias? 
Sin una comprensión personal sería muy difícil diseñar opciones 
instruccionales significativas. Escribir las propias creencias y tenerlas 
presentes, permitirán contrastarlas a lo largo de este módulo, de 
Problemas Selectos de PreCálculo
68
manera que pueda corroborarlas, adaptarlas o modificarlas. Se pide 
que responda las siguientes cuestiones: 
 
1. ¿Son sus creencias respecto al aprendizaje válidas con lo que 
sabemos sobre el aprendizaje o bien son diferentes del 
conocimiento comúnmente aceptado? 
2. ¿Sus puntos de vista son claros y consistentes entre sí, o tiene 
una revoltura que necesita desenredar? 
3. ¿Puede agrupar sus ideas para resumirlas y hacerlas 
manejables? 
4. ¿Puede explicar y justificar sus creencias a sus colegas? 
 
 Quizá piense ¿y, qué importa lo anterior? Importa, pues todo lo 
que diseñe estará basado en lo que Ud. crea. 
 
 Las creencias sobre aprendizaje son un conjunto de asunciones 
personales que describen cómo se piensa y percibe el aprendizaje, la 
formación escolar y la educación. Una clara comprensión de sus 
creencias sobre el aprendizaje, define cómo es que le gustaría a Ud. 
abordar los problemas instruccionales, particularmente en el contexto 
de situaciones reales, donde los valores y creencias sobre la 
escuela, sistemas productivos y grupos sociales, deben ser tomados 
en cuenta. 
 
 Es posible que sus creencias sean un tanto inconsistentes, poco 
claras, incompletas y quizá, inapropiadas para resolver sus 
problemas instruccionales. En parte, esto es debido a que es difícil 
entendernos nosotros mismos. Requiere arriesgarse a ver dentro de 
uno y eso es algo incómodo. Pero, sin examinar sus creencias y 
valores ¿cómo puede saber si son consistentes, completas y 
apropiadas para la tarea? Las respuestas a estas preguntas ayudan 
a establecer el clima, la cultura y finalmente, la efectividad de su plan 
de diseño instruccional. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
69
 Escribir es una de las mejores maneras de darse cuenta de sus 
creencias, abierta y honestamente. Al escribir puede refinar y 
clarificar sus pensamientos y ese escrito puede usarse para 
comunicar a otros la amplitud de sus creencias. El proceso de 
escritura puede sugerir cambios inmediatos o, teniendo tiempo para 
reflexionar, puede sugerir modificaciones a lo largo del proceso. 
 
A continuación se presenta un bosquejo de la teoría, 
posiblemente, más influyente respecto al aprendizaje, con la 
intención de que pueda contrastar críticamente sus propias 
posiciones. 
 
Herramientas de diseño 
 
 Existen tres tipos principales de herramientas: modelos, 
herramientas conceptuales procedurales y pericia. Se hará énfasis 
en el primer tipo y posteriormente se abordarán los otros dos. 
 
Modelos. Los modelos pueden ayudar a comprender todo el rango 
de la existencia humana, a clarificar formas de conocer, de relacionar 
y de ser. Esta concepción puede parecer muy ambiciosa pero si se 
considera que es imposible conocer completamente la realidad, sólo 
representaciones de ella, entonces los modelos son cruciales. 
 
1. Los modelos proporcionan formas de conocer 
 ... al representar la realidad 
2. Los modelos proporcionan formas de relacionar 
 ... al comunicar ideas 
3. Los modelos proporcionan formas de ser 
 ... al revelar lo que está oculto 
 
 Los modelos pueden ayudar en el diseño de opciones de 
aprendizaje de tres maneras. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
70
Como representación de la realidad. Los modelos ayudan a 
comprender nuestro mundo al representar la realidad. Esta es la 
concepción tradicional de un modelo, la representación de algo. Los 
modelos pueden ser usados para analizar las características de 
cualquier cosa, explicar cómo trabaja o predecir su comportamiento. 
Estas son formas de conocer. Si un modelo puede probar que es 
confiable, los diseñadores tienen una base para predecir su 
comportamiento. Los modelos confiables dan luz verde a los 
fabricantes de objetos que el modelo simula. Algunos modelos 
instruccionales también tienen ese potencial: que siempre que se 
implementen, se obtendrán los logros deseados. Estos son modelos 
prescriptivos. ¿Qué tan prescriptivos son sus logros? depende de 
qué tan bien se puedan identificar los ingredientes cruciales de 
diseño que influencian un logro, los requerimientos específicos para 
llegar a las metas de aprendizaje previstas y en qué medida puede 
controlarse la implementación de lascaracterísticas de su diseño. 
 
Como comunicación de ideas. Otra función importante de los 
modelos es que comunican a otros las ideas sobre cómo se percibe 
el mundo. Si no fuese necesario comunicarse, no se necesitarían 
modelos, pero debe tenerse en mente que todo el proceso de 
enseñanza aprendizaje es comunicación. Estas representaciones 
pueden tomar una forma física, una maqueta, una representación 
visual de un concepto, una estructura verbal o una representación 
matemática. Estos modelos proporcionan formas de relacionar. 
Ayudan a tener sentido sobre el mundo y a compartir las ideas sobre 
él. 
 
Como develador de lo que está oculto. Los modelos también 
tienen la capacidad de descubrir lo que alguna vez estuvo oculto, 
invisible o desapercibido. Pueden ayudar a revelar lo que creemos 
sobre nosotros mismos como humanos, y más específicamente, 
cuáles son nuestros puntos de vista sobre el aprendizaje. Cuando se 
le pida describir su modelo preliminar de diseño, se quiere que 
Problemas Selectos de PreCálculo
71
represente su modelo mental de lo que piensa que es el diseño 
instruccional. 
 
Abuso de modelos. Un abuso o mal uso de un modelo es que, 
después que es adoptado, se tiende a tenerle mucha confianza y se 
omite modificarlo cuando un cambio es obligado. Un modelo puede 
necesitar ser revisado si falla o es inútil. 
 
Modelos de Diseño Instruccional (MDI) 
 
Los Modelos de Diseño Instruccional guían la construcción 
sistemática de "planes para el aprendizaje". Estos modelos describen 
el proceso, mediante el cual, son desarrollados y evaluados los 
planes para el aprendizaje, y pueden ser influenciados por sus 
creencias sobre teorías del aprendizaje. 
 
En el enfoque de sistemas se atiende más que a las entidades 
del sistema, a las relaciones de las partes al todo. El reto para 
aprender (y enseñar) diseño instruccional es comprender las 
relaciones entre las fases del diseño y cómo afectan al proceso 
global. Podemos aclarar las partes del todo, cada una de las fases 
del proceso de diseño, pero el aprendizaje se origina de entender el 
diseño global. Este aprendizaje puede darse mejor, desarrollando un 
proyecto de diseño. 
 
Otra característica de los sistemas complejos es que una 
pequeña causa puede tener un gran efecto. Esto se ve mejor, 
cuando se implementan los diseños instruccionales y la realidad lo 
supera, como cuando no existe un salón disponible o no se tienen 
recursos, -no es raro que falte gis y pizarrones decentes-. El tener un 
diseño flexible es útil, pero hay cosas minúsculas que pueden tener 
un gran impacto en el proceso global y no aparecen, hasta que se 
prueba el diseño (recuerde el dicho "Una mariposa aleteando en 
Sudamérica, puede originar un huracán en Canadá). 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
72
Clasificación de diseños 
 
Existen diversos intentos de comparar la gran variedad de 
modelos de diseño instruccional, recientemente Edmonds, Branch & 
Mukherjee (1994) identificaron seis categorías: 1. Por el tipo de 
orientación, 2. Por el tipo de conocimiento, 3. Por el nivel de pericia, 
4. Por la orientación de sistemas, 5. Por el contexto instruccional y 6. 
Por el nivel instruccional. Estas clasificaciones pueden ayudar a 
determinar, cuál modelo es apropiado para sus necesidades. 
 
Por el tipo de orientación se distinguen modelos como 
descriptivos o prescriptivos. Si su intención es describir un ambiente 
de aprendizaje y ver cómo afecta el problema instruccional, entonces 
el modelo es descriptivo. Si su propósito es indicar cambios en el 
ambiente de aprendizaje a fin de obtener ciertos logros, entonces el 
modelo es prescriptivo. 
 
Por el tipo de conocimiento pueden ser procedurales o 
declarativos. Los primeros, presentan ejemplos, prácticas con 
retroalimentación correctiva y evaluación con referencia a un criterio. 
Los declarativos, incluyen analogías, enseñanza por descubrimiento 
y evaluación con respecto a una norma. 
 
Por el nivel de pericia, si son apropiados para novatos, 
intermedios o expertos. Generalmente usan procedimientos 
algorítmicos, paso a paso, tales como el de Dick & Carey (1985) para 
novatos, y otros que incorporan experiencia de expertos, heurísticas 
e intuición, como el modelo de Wedman y Tessmer (1991). 
 
Los novatos suelen concentrarse en un modelo, mientras que 
otros, más experimentados, suelen escoger entre varios. Su elección 
sobre cuál usar, puede ser basada en la intuición de que alguno 
pueda serle más útil. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
73
El grado en que un modelo adopta un enfoque de sistemas lo 
distingue como rígido, cuando identifica problemas y tiene como 
meta las soluciones, o flexible, cuando no contempla la complejidad 
del mundo como algo que pueda ser reducido a sistemas. 
En cuanto al contexto instruccional, un modelo diseñado para un 
contexto, puede no ser apropiado para otro. 
 
Respecto al nivel instruccional se tiene, desde divisiones 
curriculares, tales como el diseño de unidades, módulos, lecciones y 
cursos, hasta niveles para grandes audiencias, como las 
necesidades de instituciones o compañías o aún, audiencias 
nacionales. 
Consideremos ahora, algunos ejemplos de modelos, antes de 
iniciar el diseño del curso particular. 
 
El Modelo de Dick & Carey, 1985. La ventaja de este modelo es 
que proporciona detalles para poner en acción la teoría detrás del 
modelo. Es sistemático y procedural, un modelo paso a paso, lo que 
puede resultar atractivo para novatos. Este modelo también es 
prescriptivo, el ambiente de aprendizaje es descrito por medio de 
metas como punto de partida. 
 
 
Figura 3. Modelo de Diseño Instruccional de Dick and Carey 
Problemas Selectos de PreCálculo
74
Herramientas conceptuales y procedurales 
 
En adición al potencial representacional, comunicativo y 
revelador de los modelos, el campo del diseño instruccional puede 
aprovechar estas herramientas para diseñar características 
apropiadas de diseño. 
 
Herramientas Conceptuales. Estas ayudan a formar y dar 
significado a las ideas. Son necesarias porque, aunque los conceptos 
pueden ser compartidos, cada uno tiene una comprensión única de lo 
que algo significa. Además, suele ocurrir (particularmente en 
matemáticas) que la comprensión conceptual de unidades previas, 
ayude a la comprensión de las posteriores. 
 
 Las tareas de autoevaluación QQQ (Qué sabía, Qué quiere 
aprender, Qué aprendió) al final de cada sesión, son una herramienta 
conceptual. 
 
Herramientas procedurales. Son procedimientos, técnicas o 
métodos para completar una labor particular de diseño, tal como 
análisis de tareas, selección de medios, diseño y evaluación. Más 
que discutirlas, se presentarán ejemplos a lo largo del módulo. 
 
Diseño de Expertos. Pensar el diseño, tiene que ver con 
comprender los principios del diseño, mientras que hacer el diseño, 
es la trasferencia de esta comprensión a la práctica, el saber cuándo 
usar qué principios y cómo hacer mejor uso de ellos. Como suele 
decirse, no puede enseñarse a diseñar, pero puede aprenderse y 
puede tutorearse. Como el investigar, el diseñar puede aprenderse 
por novatos haciéndolo. 
 
Debe reflexionarse que el diseño instruccional puede ser 
afectado por elementos externos, tales como los padres de los 
alumnos, otros profesores, los administradores, los intereses 
económicos e institucionales, en fin, por todos aquellos que pudieran 
Problemas Selectos de PreCálculo
75
tener algo que decir sobre el diseño y la forma de desarrollarlo. Debe 
tenerse la capacidad de saber qué herramientas usar y cuándo, de 
examinar cuidadosamente el impacto en el medio político 
institucional y considerar a los académicamente influyentes. 
 
Para este módulo se eligió emplear el modelo de Dick & Carey, a 
continuación se describen sus componentes, considere el diagrama 
presentado previamente. 
 
El Modelo de Dick & Carey 
 
Identificar una meta instruccional. El primer paso es determinar lo 
que se quiere que puedanhacer los estudiantes, al terminar la 
instrucción. La definición de la meta puede derivarse de una lista de 
metas; de un examen de necesidades con respecto a un currículum; 
de la experiencia sobre las dificultades de aprendizaje de los 
alumnos en el salón; del análisis hecho por alguien, que ya haya 
hecho esa labor; o desde algún requerimiento para una nueva 
instrucción, como en el caso de la modificación de los currícula. 
 
Hacer un análisis instruccional. Después de identificar la meta, se 
determinará qué tipo de aprendizaje es requerido por el estudiante. 
La meta será analizada para identificar las capacidades 
subordinadas que deben ser aprendidas y algún procedimiento que 
deba seguirse para aprender un proceso particular. El resultado de 
este análisis puede presentarse como una tabla o diagrama que 
muestre las capacidades requeridas y las relaciones entre ellas. 
 
Identificar capacidades iniciales y características. Además de 
identificar las capacidades subordinadas y los procedimientos que 
deben incluirse en la instrucción, será necesario identificar las 
capacidades que los estudiantes deben tener antes de iniciar la 
instrucción. No se trata de hacer un listado de todas las cosas que 
los alumnos pueden hacer, sino de identificar las capacidades 
específicas que deben ser capaces de emplear a fin de iniciar. 
Problemas Selectos de PreCálculo
76
También es importante identificar cualesquier características de los 
estudiantes que puedan ser importantes de considerar en el diseño 
de las actividades instruccionales. 
 
Escribir objetivos. Con base en el análisis y definición de las 
capacidades iniciales, se escribirán definiciones específicas de lo que 
serán capaces de hacer los estudiantes al terminar la instrucción. 
Estas definiciones, derivadas de las capacidades identificadas en el 
análisis instruccional, identificarán las capacidades a ser aprendidas, 
las condiciones bajo las cuales, las capacidades serán exhibidas y 
los criterios para decidir si se lograron. 
 
Desarrollar preguntas para exámenes con respecto a un criterio. 
Con base en los objetivos escritos, se desarrollarán preguntas de 
examen que incluyan y midan las capacidades previstas de los 
estudiantes. Debe ponerse énfasis en relacionar la clase de logro 
prevista en los objetivos, con lo que las preguntas piden. 
 
Desarrollar una estrategia instruccional. Con la información de los 
pasos anteriores se decidirá la estrategia a usar en la instrucción. La 
estrategia incluirá secciones sobre actividades preinstruccionales, 
presentación de información, práctica y retroalimentación, 
evaluaciones y actividades de seguimiento. La estrategia se basará 
en resultados recientes de investigación sobre aprendizaje, 
conocimiento actual sobre el proceso, el contenido a considerar y las 
características de los estudiantes. Estas características son usadas 
para desarrollar o seleccionar materiales didácticos, o para 
desarrollar una estrategia para propiciar un aprendizaje interactivo en 
el salón. 
 
Desarrollar y/o seleccionar la instrucción. En este paso se usará 
la estrategia instruccional para producir la instrucción. Usualmente se 
incluye un manual para el estudiante, materiales didácticos, 
exámenes y una guía para el instructor. La decisión sobre desarrollar 
materiales originales, dependerá del tipo de aprendizaje a producir, la 
Problemas Selectos de PreCálculo
77
disponibilidad de materiales relevantes ya existentes y los recursos 
disponibles para desarrollar nuevos materiales. Se definirán criterios 
para seleccionar entre los ya existentes. 
 
Diseño y aplicación de la evaluación formativa. Después de 
completar el borrador del plan de instrucción, se aplica una serie de 
evaluaciones para obtener información sobre cómo mejorarla. Los 
tres tipos de evaluación formativa se conocen como evaluación uno-
a-uno, evaluación en pequeños grupos y evaluación de campo. Cada 
tipo de evaluación proporciona al diseñador un diferente tipo de 
información que puede ser usada para mejorar la instrucción. 
 
Revisar la instrucción. El paso final (primero de un ciclo repetitivo) 
es revisar la instrucción. La información de la evaluación formativa es 
sumarizada e interpretada, para intentar descubrir las dificultades 
encontradas por los estudiantes en el logro de los objetivos, y para 
relacionar estas dificultades con deficiencias específicas en la 
instrucción. La línea que conecta el cuadro en el diagrama del 
modelo, titulado "Revisar Instrucción", indica que la información 
desde la evaluación formativa no se usa, simplemente, para revisar 
la instrucción misma, sino para reexaminar la validez del análisis 
instruccional y las suposiciones sobre las capacidades iniciales y las 
características de los estudiantes. Es necesario revisar las 
definiciones de los objetivos y las preguntas de las pruebas, a la luz 
de la información obtenida. La estrategia instruccional es examinada 
y finalmente, toda ella es incorporada a una revisión de la instrucción, 
a fin de construir una herramienta más efectiva. 
 
Hacer evaluación sumaria. Aunque la evaluación sumaria (o 
Sumativa) es la culminación de la evaluación de la efectividad de la 
instrucción, generalmente no es parte del proceso de diseño. Es una 
evaluación del valor absoluto o relativo de la instrucción, sólo se da 
después de que la instrucción ha sido evaluada formativamente y ha 
sido suficientemente revisada para cumplir las normas del diseñador. 
Puesto que usualmente la evaluación sumativa no involucra al 
Problemas Selectos de PreCálculo
78
diseñador de la instrucción, sino que la hace un evaluador 
independiente, esta componente no se considera per se, una parte 
integral del proceso de diseño instruccional. 
 
Debe quedar claro que éste no es un modelo de diseño 
curricular. Diseñar un currículum implica muchos más pasos antes de 
identificar las metas de instrucción. Algunas de esas técnicas son 
conocidas como evaluación de necesidades y análisis de empleos. El 
modelo aquí descrito se intenta usar en el punto en que el instructor 
es capaz de identificar una meta instruccional específica. El modelo 
es usado en proyectos de diseño curricular después de que las 
metas instruccionales han sido definidas. 
 
¿Por qué usar el enfoque de sistemas? 
 
Pocos de los estudios de investigación formal que aparecen en la 
literatura abordan la cuestión de la efectividad del enfoque de 
sistemas. Se ha hecho mucha investigación sobre las partes 
componentes del modelo, pero es extremadamente difícil hacer 
estudios rigurosos sobre el modelo total. Los pocos estudios 
publicados tienden a apoyar fuertemente el enfoque . El apoyo 
primario viene de diseñadores que han usado el proceso y han 
documentado su éxito con los estudiantes. 
 
 Parece que existen un cierto número de razones para que los 
enfoques sistemáticos al diseño instruccional sean efectivos. La 
primera es el enfoque, de inicio, en lo que el estudiante debe saber o 
ser capaz de hacer cuando la instrucción termine. Sin esta precisa 
definición, los subsecuentes pasos de planeación e implementación 
pueden resultar poco claros e inefectivos. 
 
 Una segunda razón es el cuidadoso vínculo entre cada 
componente, especialmente la relación entre la estrategia 
instruccional y los logros de aprendizaje deseados. La instrucción es 
específicamente dirigida a las capacidades y conocimiento a ser 
Problemas Selectos de PreCálculo
79
enseñado, y suministra las condiciones apropiadas para la obtención 
de esos logros. Dicho de otra manera, la instrucción no consiste de 
un rango de actividades de las cuales sólo algunas puedan ser 
relacionadas con lo que debe aprender. 
 
 La tercera y quizá más importante razón para el éxito del 
enfoque de sistemas es que se trata de un proceso empírico y 
replicable. La instrucción no es diseñada para impartirse una sola 
vez, sino para usarse tantas veces como sea posible. Debido a que 
es "reusable", vale la pena el tiempoy esfuerzo de evaluarla y 
revisarla. En el proceso de diseño sistemático de instrucción, se 
recoge información para determinar qué parte de la instrucción no 
está funcionando y se revisa hasta que trabaje. 
 
¿Cuál es el formato básico de la instrucción diseñada 
sistemáticamente? 
 
Cuando se usa el enfoque de sistemas, casi siempre existe la 
creación de alguna forma de material instruccional. Inicialmente estos 
materiales fueron conocidos como instrucción programada. Al 
cambiar el formato se denominaron paquetes de actividades de 
aprendizaje y módulos. Se tiende a usar el último término o 
simplemente decir instrucción. Un módulo es una unidad de 
instrucción impresa auto contenida, que abarca un tema integrado, 
proporciona información a los estudiantes para adquirir o examinar 
conocimientos y capacidades específicas, y constituye un 
componente del currículum total. Si bien, los módulos impresos son 
aún muy populares como formato de instrucción, más y más 
diseñadores están escogiendo usar computadoras como mecanismo 
para impartir, al menos una parte de su instrucción. 
 
La mayor parte de los diseñadores pueden estar de acuerdo con 
la definición dada de módulo, pero pueden diferir en algunas 
características, por ejemplo la cantidad de tiempo necesaria para que 
los alumnos estudien un módulo puede variar de una a quince horas. 
Problemas Selectos de PreCálculo
80
Algunos insisten en que los módulos deben incluir al menos dos 
alternativas sobre presentaciones conceptuales de los materiales 
instruccionales para responder a las diferencias individuales. Otros 
pueden considerar que tales alternativas no son necesarias. 
 
En suma, algunos instructores pueden argumentar que un 
módulo debería ser estrictamente auto contenido. Esto es, un 
estudiante debería ser capaz de lograr todos los objetivos 
establecidos para el módulo sin interactuar con el instructor u otros 
individuos. Otros instructores incluyen en el diseño del módulo la 
participación de pares, instructores y gente externa a fin de involucrar 
al estudiante en una variedad de actividades interactivas. 
 
Muchos instructores aún difieren en si los estudiantes deben ser 
informados de los mayores objetivos de un módulo. Algunos insisten 
en que los estudiantes reciban definiciones precisas de los objetivos, 
mientras que otros argumentan que los objetivos deben ser 
reescritos a un nivel más apropiado para el alumno, o que los 
objetivos sean omitidos. 
 
En consideración de lo anterior, ¿cómo puede reconocerse un 
módulo? En su forma más simple, puede ser una definición para los 
estudiantes que establece qué es lo que están por aprender y cómo 
serán examinados. Proporciona materiales instruccionales impresos 
o en computadora, así como algunos ejercicios de práctica. También 
puede incluirse una auto evaluación que pudiera usarse antes de 
presentar un examen final. 
 
El módulo más complejo puede contener todos los puntos 
anteriores e incorporar un conjunto de materiales alternativos, de los 
cuales pudiera escoger el estudiante el más apropiado. Opciones 
tales como audio o video digital podrían incluirse. Además el 
estudiante puede ir al laboratorio a realizar un experimento o salir del 
salón a obtener información. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
81
Modelos de Enseñanza 
El modelo más apropiado depende de la tarea, 
lo que significa que no existe formato único 
que pueda servir para todo propósito 
-Donald Norman (1993) Things That Make Us Smart 
 
Como en casi todos los aspectos relacionados con la enseñanza, 
lo que se hace como profesor está altamente influenciado por 
experiencias pasadas y por la forma en que actuaron los profesores 
que se tuvieron. Igualmente influyen las propias creencias. Antes de 
continuar responda las siguientes cuestiones: 
 
1. Escriba qué representa para Ud. un modelo de enseñanza 
 
2. Describa algunas características de los ambientes de enseñanza 
y aprendizaje que le tocaron a Ud. como estudiante 
 
3. ¿Tiene Ud. en mente algún modelo de enseñanza cuando 
desarrolla su práctica docente? 
 
4. Mencione cuáles de sus principios de aprendizaje tienen más 
influencia en su elección de un modelo de enseñanza. 
 
¿Qué es un modelo de enseñanza? Según Gunter, Estes & 
Schwab (1990), "un modelo de instrucción es un procedimiento paso-
a-paso que dirige hacia el logro de aprendizajes" (p. 67). Otra 
definición semejante se tiene en Joyce, Weil & Showers (1992): "Un 
modelo de enseñanza es un plan o patrón que se usa para diseñar 
enseñanza presencial en salones o establecimientos tutoriales y para 
conformar materiales instruccionales. Cada modelo guía, conforme 
se diseña la instrucción, para ayudar a los estudiantes a obtener 
varios objetivos" (p. 4) 
 
¿Por qué considerar modelos de enseñanza? Estos modelos 
permiten un arreglo de estrategias de instrucción que son apropiadas 
Problemas Selectos de PreCálculo
82
para las metas de aprendizaje que se establecen en el análisis de 
necesidades. La mayoría de los modelos consideran objetivos 
cognitivos, pero también muchos objetivos afectivos, tales como la 
participación y el sentimiento de éxito. En sentido amplio, los 
modelos amplifican y energizan las habilidades de los profesores 
para impartir instrucción. Los modelos de enseñanza proporcionan 
una base teórica, respaldada por la investigación sobre lo que 
funciona en los salones de clase. 
 
Marcos de referencia para modelos de enseñanza 
 
Por supuesto que existe más de una manera de enseñar, y 
considerar modelos de enseñanza abre muchas posibilidades de 
abordar los problemas de instrucción. Así para la pregunta ¿Qué 
modelo usar? la respuesta es -el modelo que concuerde con sus 
objetivos de aprendizaje y las limitaciones contextuales-. Si su meta 
es enseñar capacidades básicas, hechos y conocimiento, entonces la 
mejor opción es el modelo de instrucción directa, modelo inapropiado 
si entre sus metas tiene propiciar pensamiento creativo y solución de 
problemas. 
 
Familias de modelos. Joyce, Weil & Showers (1992) organizan los 
modelos de enseñanza en función de cuatro familias "que comparten 
orientaciones hacia cómo aprenden los seres humanos". Cada 
familia posee una base teórica que explica por qué pueden obtenerse 
metas particulares y una base desde la investigación que aclara 
cómo funcionan esos modelos. 
 
Familia Social. Esta familia se construye sobre los procesos sociales 
involucrados en el aprendizaje en equipo. Incluyen varias formas de 
aprendizaje cooperativo, investigación grupal y role playing. 
 
Familia del Procesamiento de la Información. Los modelos de 
esta familia intentan mejorar las diferentes clases de capacidades 
intelectuales, tales como la creatividad y la solución de problemas. 
Problemas Selectos de PreCálculo
83
 
La Familia Personal. Toman en cuenta a la persona individual y el 
desarrollo de un ser integrado, una persona que acepta que uno 
tiene sentimientos y que el cambio sobre la vida es inevitable. Estos 
modelos dirigen al estudiante a obtener mayor salud mental y 
emocional al mejorar el concepto de sí mismo, su auto confianza y el 
valor de los sentimientos entre la gente. Estos modelos también 
aceptan la idea de que los estudiantes pueden tener algo que decir 
sobre sus necesidades de aprendizaje y consecuentemente, toman 
responsabilidad de su propio aprendizaje. 
 
La Familia Conductista. Estos modelos tienen una amplia variedad 
de aplicaciones pero comparten una característica, que los 
estudiantes tienen la habilidad de cambiar su comportamiento con 
base en los cambios del medio ambiente. Entre los modelos de 
enseñanza de este tipo se incluyen: aquellos que distinguen 
planificación de secuencias instruccionales; la instrucción directa 
que incluye interacciones entre estudiantes y maestros, tales como el 
modelaje, el reforzamiento, la retroalimentación y el comportamiento 
guiado; el aprendizaje mediante simulaciones; y la supervisión 
contingente o "que elcomportamiento es influenciado por las 
consecuencias que sigan". 
 
La Familia Integrativa. Algunos autores citan la necesidad de 
incorporar, a veces, características de otros modelos si es que sirven 
a los propósitos establecidos para la instrucción. De hecho, los 
profesores incorporan aspectos de muchos modelos diferentes 
durante sus clases: los alumnos trabajan en equipos, el profesor 
hace presentación de nuevos temas o procesos, observa el 
comportamiento de los estudiantes, los alumnos observan y modelan 
el comportamiento del profesor (y de cada uno de ellos), se realizan 
búsquedas individuales o en equipo y discusiones en clase, etc. Los 
modelos de esta familia integran características de otros, así como 
aspectos integrativos, tales como una conjunción de instrucción y 
evaluación a través del uso de actividades o tareas globales. 
Problemas Selectos de PreCálculo
84
 
Una actividad global es un conjunto de tareas y actividades que 
incluyen mucho del contexto global del mundo real alrededor de las 
tareas. Frecuentemente se plantean actividades, como resolver 
problemas, para que el estudiante busque la solución pero sin una 
oportunidad para el alumno de establecer la meta de la actividad de 
modo que tal acción carece de una motivación significativa para el 
estudiante. 
 
Cada una de las familias está asentada en teorías particulares, 
mientras que la familia integrativa pretende un marco teórico socio 
cultural en el que los procesos intelectuales superiores son 
propiciados a través de la interacción social y actividades 
significativas en un contexto cultural. 
 
Perfiles de los Modelos de Enseñanza 
 
Para mayor información al respecto pueden consultarse las obras 
de Joyce, Weil and Showers (1992) y el de Gunter, Estes y Schwab 
(1990) aquí se perfilarán sólo algunos modelos. 
 
Instrucción Directa (Conductista) Este modelo es apropiado 
para la enseñanza de capacidades básicas. Se caracteriza porque la 
instrucción es dividida en porciones manejables; los estudiantes 
practican, los profesores observan su desempeño y proporcionan 
retroalimentación hasta que se domina el tema. Este modelo es 
conocido como la clase conferencia, quizá el más conocido de todos. 
Requiere: 
 
1. Revisar lo que se ha aprendido. 
2. Decir a los estudiantes qué se considerará en la presente clase. 
3. Presentar el nuevo material. 
4. Provocar una práctica guiada a través de preguntas y 
retroalimentación correctiva. 
5. Proporcionar práctica independiente dentro y fuera del aula. 
Problemas Selectos de PreCálculo
85
6. Revisar la práctica y proporcionar retroalimentación correctiva 
 
 El modelo de instrucción directa puede ser incorporado en 
muchos otros modelos, particularmente en el paso 3, que es donde 
se ofrece la conferencia. 
 
El Modelo de discusión en clase (Integrativo). La discusión en 
clase permite al profesor saber lo que piensan los estudiantes y una 
forma de conocer sus áreas de inseguridad. Para sacar provecho de 
este modelo los estudiantes deben entender que se trata de un 
modelo constructivo. "Lo que dices revela lo que sabes". Muchos 
alumnos se dan cuenta de esto y evitan participar en las discusiones. 
Pero a la larga, darse cuenta de "lo que no sabes" es igualmente 
valioso. Desafortunadamente, las investigaciones muestran que muy 
pocos maestros (en nivel medio, 1 %) requieren a los estudiantes 
algo más que pensamiento superficial. 
 
 Además de guiar la planeación y selección de preguntas para 
las discusiones en clase, el modelo guía al profesor en la conducción 
de las interacciones durante la discusión. Implica los siguientes 
pasos: 
 
1. Leer el material y preparar preguntas. 
2. Agrupar las preguntas básicas y las de seguimiento. 
3. Introducir a la clase el modelo de discusión. 
4. Conducir la discusión. 
5. Revisar los procesos y resumir las observaciones de los 
estudiantes. 
 
El primer paso ayuda a plantear preguntas que provoquen 
pensar. Las preguntas factuales pueden ser respondidas señalando 
en un libro, una pregunta interpretativa pide traducir lo qué significa el 
texto, y preguntas evaluativas requieren que los estudiantes hagan 
juicios de valor y relacionen el significado del texto con la relevancia 
que tiene para ellos. 
Problemas Selectos de PreCálculo
86
 
El segundo paso es comparar ideas, reacciones y cuestiones con 
un co-lider (de ser posible), y agrupar las preguntas, para identificar 
las básicas que planteen un tema y las de seguimiento, que 
desarrollen las ideas detrás de la pregunta básica. El agrupar enfoca 
la discusión y permite a los estudiantes cubrir a profundidad una 
pregunta básica. La clave, sin embargo, es saber cuándo desviarse 
de las preguntas preparadas. 
 
El tercer paso es asignar la lectura, algo de la cual pudiera 
hacerse en clase. Pida a los estudiantes preparar preguntas para 
discusión y déles tiempo suficiente para releer el material antes de la 
discusión. 
 
Conducir una discusión efectiva, paso 4, requiere que el profesor 
mantenga un papel no directivo, particularmente en el peso que se 
da a preguntas que parecen más correctas que otras. Todas las 
preguntas deben ser consideradas. Se estimula a los estudiantes a 
ofrecer sus opiniones sobre respuestas, así como a escuchar 
atentamente las opiniones de otros. Una discusión constructiva 
significa creer que cada quien tiene un diferente marco de referencia 
para pensar y motivaciones únicas respecto al tema, y que todos 
tienen el derecho a expresar sus puntos de vista y cuestionar los de 
otros. 
 
Finalmente, en el paso 5, los estudiantes son animados a revisar 
los puntos principales discutidos y resumir lo que fue dicho en la 
discusión. 
 
El modelo de Grupos Cooperativos (Integrativo). Este tiende a 
crear un ambiente de aprendizaje donde la gente aprenda a trabajar 
en equipo para lograr sus objetivos. Puede usarse para suplementar 
otras formas de instrucción al dar a los estudiantes la oportunidad de 
enseñarse uno a otro, de discutir o poner en práctica capacidades o 
Problemas Selectos de PreCálculo
87
información presentada por el instructor. Incluye las siguientes 
características: 
 
Interdependencia 
 
 Hundirse o nadar 
juntos 
Interacción uno-a-
uno 
 Los alumnos se 
ayudan uno a otro 
Consideración 
Individual 
 
 
 
El desempeño 
individual es 
evaluado y 
compartido 
Capacidades 
Sociales 
 
 
 
Los grupos 
necesitan 
capacidades 
sociales para 
funcionar 
Procesamiento 
Social 
 
 
 
El grupo reflexiona 
sobre el qué y el 
cómo de lo que 
hacen 
 
La interdependencia en un grupo de trabajo cooperativo requiere 
entre otras cosas: una meta clara y común, entendida por todos los 
miembros; una compartición de los recursos y una división de tareas 
con la asignación de roles complementarios. El profesor debe 
estimular al grupo a establecer su propia identidad y permitir que el 
grupo establezca competencia con otros grupos. Con 
interdependencia, la evaluación representa que cada miembro del 
grupo reciba la misma calificación cuando el grupo alcance sus 
metas. 
 
La interacción uno-a-uno anima a los alumnos a apoyarse y 
ayudarse uno a otro, con el deseo de intercambiar recursos, de 
manera que cada uno tenga acceso a la información de los otros, se 
dé retroalimentación y se cuestionen las conclusiones de cada uno. 
Problemas Selectos de PreCálculo
88
 
Aunque cada alumno recibe la misma calificación, se puede 
diseñar hacer una consideración individual. Una forma es definir 
grupos pequeños y rotar la asignación de tareas, tal como asignar a 
uno como líder del grupo, a otro como secretario y cambiar las 
asignaciones periódicamente, a manera de dar a cada integrante 
responsabilidades y experiencias compartidas que también sirven 
como base de reflexión. En esencia, cada elemento enseña a los 
otros lo que aprendieron de sus responsabilidades. Dependiendo del 
propósito del grupo, la evaluación puede ser desde observaciones, 
exámenes individuales o a travésdel dialogo. 
 
Los grupos necesitan capacidades sociales para funcionar. Estas 
capacidades no son intuitivas. Cuando decida emplear la opción de 
grupos cooperativos se requiere hacer notar a los alumnos 
características como las mencionadas. Uno de los puntos en este 
modelo es asegurar que cada uno de los elementos de un grupo 
ponga su mejor esfuerzo, consideración crítica cuando se califica 
como grupo, no individualmente. 
 
Se ha insistido en la importancia de la reflexión grupal. Los 
diseñadores pueden incluirla recomendando a los estudiantes que 
describan cuáles acciones fueron útiles y cuáles lo contrario, y 
estimulando a los estudiantes a tomar decisiones sobre cuáles 
deberían continuarse o cambiarse. 
 
Obtención de conceptos (Procesamiento de la Información). 
Según Taba (1971) los conceptos son maneras de dar sentido a todo 
lo que percibimos y experimentamos en el mundo. Los conceptos 
son ideas o abstracciones que se forman, basadas en la 
categorización de semejanzas de observaciones que caracterizan la 
idea o abstracción. 
 
Los niños tienen una tendencia natural a formar conceptos, pero 
no todos poseen ciertos conceptos o poseen conceptos correctos. 
Problemas Selectos de PreCálculo
89
Este modelo dirige a los estudiantes a seleccionar los atributos 
esenciales de los conceptos. El rasgo más importante del modelo es 
la categorización. Para analizar el significado de un concepto, los 
estudiantes definen el concepto y determinan sus atributos 
esenciales. Los beneficios del modelo están en que se dirige hacia la 
obtención de logros de aprendizaje sobre comprensión, comparación, 
discriminación y recuerdo. Los primeros tres pasos del modelo, 
listados enseguida, se realizan antes de la instrucción. 
 
Antes de la instrucción: 
 
1. Seleccionar y definir el concepto. 
2. Seleccionar atributos del concepto. 
3. Desarrollar ejemplos positivos y negativos. 
 
Durante la instrucción: 
 
4. Introducir a los estudiantes al proceso. 
5. Presentar ejemplos y listar los atributos. 
6. Hacer que los estudiantes escriban su propia definición del 
concepto. 
7. Discutir el proceso. 
 
Antes de la instrucción se selecciona y define el concepto a 
lograr. Hágase estas cuestiones: ¿el concepto es apropiado y es 
enseñable? ¿es clara su definición? ¿son identificables los atributos? 
El segundo paso antes de la instrucción es seleccionar atributos 
importantes o identificar características del concepto. Pregúntese: 
¿cuáles son las cualidades esenciales del concepto? El tercer paso 
antes de la instrucción es identificar ejemplos positivos y negativos 
del concepto para señalar el posible rango de concepciones de los 
estudiantes. ¿Contienen los ejemplos positivos todos los atributos 
esenciales? 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
90
Los demás pasos tienen lugar durante la instrucción. Enseguida 
se introduce a los estudiantes al modelo y se dedica suficiente 
tiempo para explicar el proceso. Luego se muestran los ejemplos del 
concepto a los estudiantes. Debe recordarse listar los atributos 
positivos y negativos en columnas separadas. Los ejemplos suelen 
tacharse cuando no contienen el atributo. La lista de negativos se 
tiene para enfatizar las cualidades de la lista de positivos. También 
debería preguntarse si se ha instruido a los estudiantes a usar los 
atributos positivos en su definición. Pídase a los estudiantes escribir 
su propia definición del concepto. Después, se propicia una discusión 
para ayudar a los estudiantes a entender cómo se ha llegado a la 
definición. 
 
Investigación Grupal (Social). Este modelo combina indagación 
con interacción social. Enfatiza un proceso democrático donde el 
logro no puede ser enteramente predecible. Se trata de un ambiente 
de aprendizaje basado en la experiencia donde el profesor es parte 
del proceso democrático; como resultado, el profesor proporciona un 
orden social a la estructura y cultura del medio, pero el grupo como 
un todo se involucra en la negociación y solución del problema. 
 
El primer paso del modelo contempla enfrentar a los estudiantes 
con una situación problemática y que compartan sus reacciones 
hacia el problema. Los estudiantes deben desarrollar su propio 
enfoque para estudiar y atacar el problema. En el tercer paso los 
estudiantes analizan sus avances y continúan el ciclo. En resumen: 
 
1. Los estudiantes enfrentan y reaccionan ante una situación 
problemática. 
2. Formulan un enfoque para resolver el problema. 
3. Analizan sus avances y resultados. 
 
El modelo requiere flexibilidad del profesor y tiempo para que los 
estudiantes se adapten a este cambio en la cultura tradicional 
centrada en el profesor. Como consecuencia, igual que en otros 
Problemas Selectos de PreCálculo
91
modelos que presentan cambios en la cultura del salón, se necesita 
un cuidadoso diseño que ayude a los estudiantes en este cambio. 
 
La enseñanza como desempeño asistido (Integrativo). Un modelo 
socio cultural considera el aprendizaje como una mezcla de 
funcionamiento mental en contextos sociales y culturales. Mucho del 
ímpetu de esta corriente viene de la visión de algunos investigadores 
de que han sido ignoradas las dimensiones social, cultural e histórica 
del cómo uno piensa. Se tienen tres principios ligados a este modelo 
(1) Las necesidades de aprendizaje son desarrollistas en el sentido 
de que cambian con el tiempo, y que debemos poner atención a sus 
orígenes en los individuos y en cómo este aprendizaje ha sido 
transformado; (2) los orígenes del aprendizaje están en la actividad 
social; y (3) que la actividad intelectual es modelada y definida por 
herramientas humanas, tal como el discurso (definido aquí como el 
lenguaje de uso particular). 
 
Poner estas ideas a trabajar en un modelo instruccional requiere 
que dos características sean brevemente relatadas, ya que son 
centrales al modelo. La primera es que la evaluación continua o 
dinámica del aprendizaje puede desarrollarse mediante la 
identificación del espacio de aprendizaje en que se encuentran los 
estudiantes, expresado por la Zona de Desarrollo Próximo de 
Vygotsky. Esta zona puede visualizarse como un espacio de 
aprendizaje a través del cual viaja el estudiante, moviéndose hacia 
adelante, pero ocasionalmente reculando. La segunda característica 
es el rango de respuestas instruccionales a las necesidades del 
estudiante en este espacio. Los pasos en este modelo son: 
 
1. Identificar el "espacio de aprendizaje" del estudiante. Usar la 
Zona de Desarrollo próximo 
 
2. Determinar las respuestas instruccionales. Usar los Medios de 
Desempeño asistido 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
92
Retroalimentación o supervisión contingente es el uso de 
reforzamiento para ayudar al profesor en la obtención de los logros 
deseados. Los medios de desempeño asistido son frecuentemente 
interdependientes. Por ejemplo, las acciones del instructor también 
pueden reforzarse mediante supervisión contingente. No es 
suficiente modelar el comportamiento deseado si carece del 
reforzamiento adecuado. 
 
La retroalimentación también está ligada al modelaje y 
reforzamiento de comportamientos, y es una cualidad esencial de 
dialogo entre el estudiante y la asistencia más capacitada. En este 
modelo, el reconocer y tomar en cuenta las creencias y experiencias 
del estudiante ayudan al profesor a construir sobre el modelaje y el 
reforzamiento, y da al profesor una imagen clara de las necesidades 
del estudiante. Esto es un ejemplo de cómo los medios de 
desempeño asistido retroalimentan la evaluación dinámica del 
espacio de aprendizaje de alguien, de dónde está en la Zona. 
 
Instrucción es un medio de asignar y explicar tareas, y observar 
las acciones resultantes. Estos medios de asistencia se conectan con 
el cuestionamiento y con la estructuración cognitiva. El 
cuestionamiento puede usarse para evaluar a los estudiantes y 
ayudar al profesor; puede tomar tanto formas verbales como escritas 
a través de participaciónformal e informal en clase, en interacciones 
grupales y en las respuestas al trabajo escrito o en otros 
desempeños. 
 
Gallimore y Tharp (1990) dividieron la estructuración cognitiva en 
dos tipos: Las del Tipo I explican, mientras que las del Tipo II 
proveen actividades. Ejemplos de estructuras explicativas incluyen 
resúmenes, acetatos de retroproyector, sumarios o puntos clave. 
Estas pueden provenir tanto del profesor como del estudiante. Por 
ejemplo, los profesores pueden usar mapas conceptuales para 
representar jerarquías y relaciones de las partes componentes de un 
concepto, pero también pueden ser usadas por los estudiantes para 
Problemas Selectos de PreCálculo
93
representar lo que entienden de las relaciones conceptuales. Las 
estructuras del Tipo II incluyen demostraciones y proyectos. 
 
Se ha añadido el apartado sobre reflexión a la lista original de 
Gallimore y Tharp. La reflexión es un medio distinto de asistir 
mutuamente y evaluar a los estudiantes. Está ligada a otras formas 
de asistencia. El cuestionamiento y la retroalimentación son 
inherentes al dialogo y al requerimiento reflexivo que proporcionan el 
sugerir, clarificar, impulsar y detallar. 
 
Enseñar en la Zona significa que los profesores deben repensar 
qué es lo que han hecho antes. No es suficiente pensar que uno 
puede conectar lo que hacía antes con este marco de referencia y 
lograr todo su potencial. El considerar las necesidades de los 
estudiantes, casi seguramente requerirá una reestructuración de 
actividades para reflejar objetivos centrados en el estudiante. El 
propósito de la Zona es un marco de referencia del espacio de 
aprendizaje que permita a los profesores señalar dónde se 
encuentran los estudiantes en el espacio, y consecuentemente, 
dónde necesitan estar en términos de instrucción. Este señalamiento 
o identificación es basado en hacer observaciones del 
comportamiento del estudiante, entablar dialogo con los alumnos y 
evaluar su desempeño en tareas. 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
94
Problemas Selectos de PreCálculo
95
CAPÍTULO 5 
 
Competencias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ricardo Ulloa Azpeitia 
Cuerpo Académico Consolidado “Matemática Educativa 
Avanzada” 
CUCEI. Universidad de Guadalajara 
Problemas Selectos de PreCálculo
96
Competencias 
 
La solución de problemas es probablemente el principal motivo 
para estudiar cualquier ciencia; en particular, los que conciernen al 
ámbito de matemáticas requieren de los estudiantes para enfrentarlos, 
el desarrollo de competencias específicas, cuya importancia es 
trascendente, dado el papel que tiene tal materia como herramienta 
de casi todas las demás incluidas en los planes de estudio. 
 
En términos del objetivo buscado con este material, -propiciar la 
formación de competencias para resolver problemas-, es pertinente 
aclarar la visión que se tiene de ellas y la forma en que sustentan la 
visión que da lugar a las actividades propuestas. Otro factor que 
influye en esta clarificación es la disposición institucional, a nivel del 
país, de adoptar el enfoque dirigido a la formación de competencias 
en todos los niveles educativos. 
 
Estructura de una competencia 
 
Se observa que una persona posee una competencia cuando 
puede integrar un conjunto de capacidades y habilidades con 
elementos afectivos, i.e., actitudes y valores. En términos prácticos, 
una habilidad solo puede constatarse cuando es puesta en acción, lo 
que suele implicar formas de evaluación diferentes a las tradicionales. 
 
Existe una distinción entre capacidades y habilidades que 
depende del grado de madurez que adquieren los estudiantes al 
ponerlas en práctica en su entorno cotidiano. Desde esa perspectiva 
es obvio que todos inician la construcción de nuevas competencias 
con base en sus conocimientos previos, ninguno empieza en cero, 
cualquiera posee habilidades o destrezas, producto de sus 
experiencias. 
 
Capacidades (o destrezas). 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
97
Competencias 
 
La solución de problemas es probablemente el principal motivo 
para estudiar cualquier ciencia; en particular, los que conciernen al 
ámbito de matemáticas requieren de los estudiantes para enfrentarlos, 
el desarrollo de competencias específicas, cuya importancia es 
trascendente, dado el papel que tiene tal materia como herramienta 
de casi todas las demás incluidas en los planes de estudio. 
 
En términos del objetivo buscado con este material, -propiciar la 
formación de competencias para resolver problemas-, es pertinente 
aclarar la visión que se tiene de ellas y la forma en que sustentan la 
visión que da lugar a las actividades propuestas. Otro factor que 
influye en esta clarificación es la disposición institucional, a nivel del 
país, de adoptar el enfoque dirigido a la formación de competencias 
en todos los niveles educativos. 
 
Estructura de una competencia 
 
Se observa que una persona posee una competencia cuando 
puede integrar un conjunto de capacidades y habilidades con 
elementos afectivos, i.e., actitudes y valores. En términos prácticos, 
una habilidad solo puede constatarse cuando es puesta en acción, lo 
que suele implicar formas de evaluación diferentes a las tradicionales. 
 
Existe una distinción entre capacidades y habilidades que 
depende del grado de madurez que adquieren los estudiantes al 
ponerlas en práctica en su entorno cotidiano. Desde esa perspectiva 
es obvio que todos inician la construcción de nuevas competencias 
con base en sus conocimientos previos, ninguno empieza en cero, 
cualquiera posee habilidades o destrezas, producto de sus 
experiencias. 
 
Capacidades (o destrezas). 
 
Las capacidades, también identificables como destrezas, se 
refieren a procedimientos rutinarios, que se realizan de manera casi 
autómata, usualmente de la misma forma en cualquier situación. Para 
aplicarlas los sujetos no requieren reflexionar profundamente. 
 
Habilidades (o estratégias). 
 
Se ponen de manifiesto las habilidades cuando se enfrentan retos 
ligados a situaciones novedosas o problemas que resultan originales, 
para lo que no es suficiente el mero concurso de las capacidades 
dominadas, implican una cierta interpretación del contexto que se 
enfrenta y no se aplican siempre de la misma manera. Para los 
estudiantes, construir una habilidad implica integrar conocimientos 
nuevos y/o previos de manera distinta a como rutinariamente los 
emplearon, así como ambientes de aprendizaje adecuados. 
 
Se observa que poner repetidamente en acción una habilidad, 
puede encapsular los elementos constitutivos para dar lugar a una 
capacidad, lo que es notorio cuando situaciones o problemas que 
fueron novedosos, devienen rutinarios para el estudiante. Un ejemplo 
clásico se observa cuando una persona aprende a manejar un 
vehículo. Requiere ciertas capacidades, por ejemplo, de coordinación, 
de fuerza física, de percepción, etc., además conocer y entender el 
significado de las señales de tránsito, las reglas que controlan el 
tráfico, etc. 
 
Durante las primeras sesiones, la conducción es tímida y poco 
sistemática, se buscan los pedales, se resuelven las complicaciones 
que se presentan poniendo en juego la habilidad que el entrenamiento 
previo contribuyó a desarrollar. Sin embargo, después de un tiempo 
razonable se conduce de manera casi automática, i.e., la habilidad fue 
encapsulada como una capacidad. En la figura 2 se ilustra el proceso. 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
98
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. Diferencia entre capacidad y habilidad. 
 
En términos cognitivos, una habilidad es semejante a una 
competencia, pero cuando se hace referencia a está, se incluyen 
además, aspectos afectivos, actitudes y valores, que imponen un 
carácter más complejo a su formación y a su evaluación. Notar que 
una competencia puede involucrar la puesta en acción de una sola 
habilidad o bien, de varias, así como capacidades. La figura 3 muestra 
esa concepción. 
 
Competencia.Figura 3. Integración de competencias. 
 
Es posible ubicar diferentes referencias históricas de la presencia 
del concepto de competencia, tan antiguas como en textos de la 
Capacidades: 
Procesos mentales, 
relativamente 
automáticos, que 
intervienen en la 
organización y 
reorganización de 
conceptos y/o 
objetos materiales 
Ambientes: 
Situaciones o 
experiencias 
de 
aprendizaje 
apropiadas 
Conocimientos 
Pertinentes 
Habilidades: 
Empleo de 
información 
técnica y 
práctica, 
específica al 
planteo y 
solución de 
problemas 
nuevos 
+ + 
Capacidades
Procesos menta-
les relativamente 
automáticos que 
intervienen en 
la organización 
y reorganización 
de conceptos y/o 
objetos mate-
riales
Ambientes:
Situaciones o 
experiencias 
de aprendizaje 
apropiadas
Conocimiento
pertinentes
Habilidades
Empleo de 
información 
técnica y 
práctica, 
específica 
al planteo y 
solución de 
problemas 
nuevos
Problemas Selectos de PreCálculo
99
psicología de las facultades del siglo XVII (Chomsky, 1972). También 
se encuentran diferentes definiciones del concepto, Wextera (2004) 
sugiere que una competencia implica la habilidad de manejar 
situaciones complejas. Otra es: estructura de atributos 
interrelacionados (tales como destrezas, habilidades, conocimientos, 
etc.) necesarios para el desempeño en situaciones particulares. 
 
La Organización Internacional del Trabajo (OIT) define el 
concepto de "Competencia Profesional" como la idoneidad para 
realizar una tarea o desempeñar un puesto de trabajo eficazmente por 
poseer las calificaciones requeridas para ello. 
 
En un documento originado en la Universidad de Deusto (2006), 
titulado Normas y orientaciones para la elaboración de programas y 
guías de aprendizaje, se define competencia como “el buen 
desempeño en contextos diversos y auténticos basado en la 
integración y la activación de conocimientos, normas, técnicas, 
procedimientos, habilidades y destrezas, actitudes y valores”. 
Gráficamente: 
Problemas Selectos de PreCálculo
100
 
Figura 4. El concepto de competencia en la UD (en Villa y Villa, 
2007). 
 
De manera simplificada, puede decirse que una competencia es 
una estructura cognoscitiva que permite comportamientos 
particulares. Es factible que alguna competencia implique solamente 
una habilidad, otras aglutinan más de alguna, además de 
capacidades, pero también involucran actitudes y valores, por lo que 
implican más que los meros conocimientos, para que puedan ser 
manifestadas apropiadamente, lo que acarrea un cierto nivel 
metacognitivo 
Problemas Selectos de PreCálculo
101
 
Clasificaciones de competencias 
 
Existen diferentes maneras de clasificar las competencias, una de 
las más extendidas incluye: básicas, genéricas y específicas (Tobon, 
2008). 
 
Básicas. 
 
Esenciales para vivir en sociedad y desenvolverse en cualquier 
ámbito laboral. Constituyen la base sobre las que se construyen todas 
las demás, se forman en nivel básico y medio. Posibilitan analizar, 
comprender y resolver problemas de la vida cotidiana. Son un eje 
central en el procesamiento de la información de cualquier tipo. 
 
Ejemplos: 
• Comunicativa 
• Matemática 
• Autogestión de proyecto ético de vida 
• Manejo de las nuevas TIC’s 
• Adaptación a nuevos entornos 
• Liderazgo 
 
Genéricas. 
 
Comunes a varias ocupaciones o profesiones. 
 
Ejemplos: 
• Emprendimiento 
• Gestión de recursos 
• Trabajo en equipo 
• Gestión de información 
• Resolución de problemas 
• Planificación del trabajo 
Problemas Selectos de PreCálculo
102
 
Específicas. 
 
• Particulares de una ocupación o profesión 
• Tienen alto grado de especialización. 
 
Normas de Competencia Laboral. 
 
Las clasifican en: 
• Básicas. Comunes a todo tipo de campo ocupacional y son 
apoyo a todas las demás. 
• Obligatorias, comunes a los puestos de trabajo de un campo 
ocupacional. 
• Optativas, específicas a un puesto de trabajo. 
• Adicionales, corresponden a funciones muy especializadas. 
 
Competencias vocacionales y profesionales. 
 
En nivel superior se usan instrumentos para evaluar las 
competencias para determinar la admisión a cursar diferentes 
profesiones. Los exámenes de competencia para las profesiones 
legales tienen supervisión oficial en muchos países. 
 
Godino, y Batanero (2008) sugieren para el caso de las 
matemáticas: 
 
1. Competencias referidas al diseño e implementación de procesos de 
estudio matemático: 
 
 Seleccionar y reelaborar los problemas matemáticos idóneos 
para los alumnos de los distintos niveles, usando los recursos 
lingüísticos y medios apropiados en cada circunstancia. 
 Definir, enunciar y justificar los conceptos, procedimientos y 
propiedades matemáticas, teniendo en cuenta las nociones 
previas necesarias y los procesos implicados en su generación. 
Problemas Selectos de PreCálculo
103
 Implementar configuraciones didácticas que permitan 
identificar y resolver los conflictos semióticos en la interacción 
didáctica y optimizar el aprendizaje matemático de los 
alumnos. 
 Reconocer el sistema de normas sociales y disciplinares que 
restringen y posibilitan el desarrollo de los procesos de estudio 
matemático y aportan explicaciones plausibles de los 
fenómenos didácticos. 
 
2. Competencias referidas a conocimientos didácticos específicos y 
valoración de la idoneidad didáctica: 
 
 Conocer las aportaciones de la Didáctica de la Matemática a la 
enseñanza y aprendizaje de los bloques de contenidos y 
procesos matemáticos tratados en educación primaria 
(secundaria), y referidas a: desarrollo histórico (desde una 
perspectiva epistemológica) de los contenidos a enseñar, 
orientaciones curriculares, etapas de aprendizaje, tipos de 
errores y dificultades, patrones de interacción didáctica y sus 
efectos en el aprendizaje, uso de recursos tecnológicos y 
materiales manipulativos, propuestas de enseñanza 
experimentadas previamente, instrumentos de evaluación, etc. 
Estos conocimientos le van a permitir reconstruir un significado 
de referencia matemática y didáctica para los procesos de 
estudio pretendidos o implementados, y en consecuencia emitir 
un juicio valorativo sobre los mismos que oriente el incremento 
de la idoneidad didáctica de tales procesos 
 Valorar la idoneidad didáctica de los procesos de estudio 
planificados o implementados en sus distintas dimensiones 
(epistémica, cognitiva, afectiva, interaccional, mediacional y 
ecológica). Esta competencia supone para el profesor el 
desarrollo de una actitud positiva hacia la enseñanza de las 
matemáticas, de modo que valore tanto su papel formativo 
como su utilidad en la educación de los ciudadanos y 
profesionales. 
Problemas Selectos de PreCálculo
104
 
Competencias generales y especializadas del profesor de 
matemáticas propuestas por Poblete y Díaz (2003): 
 
a) Competencias generales: 
 
 Habilidad para innovar, indagar y crear en el proceso de 
enseñanza-aprendizaje de la matemática. 
 Capacidad para propiciar un ambiente favorable para el 
aprendizaje de la matemática. 
 Capacidad para enfrentar la diversidad socio-cultural en el 
proceso didáctico-matemático. 
 Capacidad de trabajo colaborativo y en equipo en el quehacer 
profesional. 
 Capacidad de autocrítica en su rol como educador y profesor 
de matemática. 
 Habilidad para aplicar conocimientos disciplinarios. 
 Capacidad para lograr una adaptación, actualización y una 
proyección como profesor de matemática. 
 Capacidad para desarrollar una formación ética en el 
estudiante. 
 
b) Competencias específicas 
 
 Habilidad para planificar acciones didácticas en matemáticas. 
 Capacidad para asumir nuevas exigencias curriculares, 
metodológicas y tecnológicas. 
 Capacidad para utilizar diversas estrategias de enseñanza. 
 Habilidad para comprender, identificar y aplicar teorías del 
aprendizaje en matemáticas. 
 Habilidad para favorecer el aprendizaje por resolución de 
problemas en matemática, por investigación y métodos activos. Habilidad para seguir, desarrollar y exponer un razonamiento 
matemático. 
 Habilidad para exponer ideas matemáticas. 
 Habilidad para conectar áreas de desarrollo de la matemática y 
si relación con otras disciplinas. 
 Capacidad para utilizar formas actualizadas en evaluación. 
 Capacidad para generar proyectos de desarrollo o 
mejoramiento de la enseñanza de la matemática a nivel local, 
regional o nacional. 
 
La pregunta que naturalmente surge al respecto, es ¿cómo 
propiciar la construcción de competencias? 
 
Tal respuesta no cabe en una receta sencilla, dada la diversidad 
de posibilidades, es menester contar con un abanico de recursos para 
emplear según sea pertinente. Dada la circunstancia de solo evaluar 
la presencia de competencias cuando son puestas en práctica, la 
manera lógica de proceder es involucrar a los estudiantes en 
actividades de aprendizaje, en ambientes adecuados, que 
representen una oportunidad para desarrollarlas. 
 
De lo anterior resalta la conveniencia de pugnar por materiales 
como el presente, con los que se intenta tal objetivo. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
105
CAPÍTULO 6 
 
Cronograma del Curso de 
Inducción de Matemáticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Academia de Ciencias Básicas 
Departamento de Ciencias Básicas 
Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán 
Problemas Selectos de PreCálculo
106
Introducción 
 
En lo que respecta a este proyecto, la forma de organizar la 
propuesta tendiente a analizar los procesos de enseñanza y 
aprendizaje del curso de inducción, que ocurrirán durante el 
desarrollo de las diez sesiones planeadas, es con el modelo de 
diseño instruccional de Dick and Carey (2005), que se sustenta en 
diez actividades a desarrollar. 
 
Como se ha señalado a través de la descripción del estudio, 
los contenidos son tópicos selectos de precálculo, mismos que se 
han integrado en las siete secuencias didácticas elaboradas por 
profesores de la ACB, que se aplican durante el desarrollo del curso. 
En esto radica la importancia del resideño del curso de inducción, 
porque con el diseño instruccional elaborado, se pretende propiciar 
una forma alternativa de aprendizaje de los conocimientos previos 
para el curso de cálculo diferencial. 
 
Se presenta a continuación la propuesta de Modelo de Diseño 
Instruccional de Dick y Carey para el curso de inducción: 
 
Metas instruccionales 
 
1. Elaborar un manual del programa WinPlot que permita al 
estudiante operarlo para graficar y analizar las funciones en 
los ejercicios propuestos. 
2. Producir y seleccionar videos digitales con los contenidos 
seleccionados para el curso de inducción. 
3. Realizar el diseño instruccional. 
4. Elaborar de un cuaderno de trabajo con los materiales 
diseñados y elaborados para la propuesta. 
5. Elaborar los instrumentos de evaluación, examen de 
diagnóstico y post-test, para evaluar el aprendizaje de los 
alumnos. 
Problemas Selectos de PreCálculo
107
6. Mejorar el desempeño académico de los estudiantes en el 
aprendizaje de tópicos selectos de precálculo. 
 
Planificación 
 
El diseño general del curso de inducción se sintetiza en las 
siguientes etapas: 
 
a. Revisar los contenidos de precálculo y seleccionar los que se 
tratarán en el curso de inducción. 
b. Seleccionar y/o diseñar los videos digitales explicativos DVD’s 
con la teoría previa de los contenidos de precálculo 
seleccionados. 
c. Realizar el diseño instruccional de la propuesta metodológica. 
d. Elaborar el cuaderno de trabajo. 
e. Elaborar los instrumentos de control y evaluación. 
f. Realizar la experimentación. 
g. Análisis de la información, resultados y conclusiones. 
h. Elaboración del reporte final. 
 
Procedimientos 
 
Por la importancia de los conocimientos previos que se 
requieren para el aprendizaje del cálculo diferencial, la investigación 
inició con la revisión de la bibliografía más empleada en la 
enseñanza del cálculo y solución de ejercicios de las primeras 
unidades de números reales, funciones, límites y derivadas, con la 
finalidad de identificar los temas o subtemas de precálculo inmersos 
en la solución de tales ejercicios, con la intención de ser mas 
asertivos en la identificación y verificación de tales conocimientos 
previos, tendiente a generar el instrumento para la evaluación 
diagnóstica, lo cual tiene tres objetivos: 
 
1. Identificar los conocimientos previos que el alumno debe 
poseer, 
Problemas Selectos de PreCálculo
108
2. Obtener ideas sobre cómo elaborar los materiales y 
actividades empleadas en el diseño instruccional y, 
3. Seleccionar y/o crear problemas que se emplearán en los 
problemarios del cuaderno de trabajo. 
 
La revisión de información sobre la enseñanza de los temas 
de precálculo seleccionados en relación a la Teoría Cognoscitiva, se 
hizo con la finalidad de identificar las características que permitan 
diseñar las actividades, instrumentos de control y de evaluación. 
 
En la elaboración y/o selección de los materiales con las TIC 
(videos digitales y manual para uso de WinPlot) se apoyó con 
alumnos de la carrera de ingeniería en sistemas computacionales, 
por la opción de residencias profesionales. 
 
En el caso del DVD, se elaboraron archivos con el programa 
Power Point de Microsoft Office 2007 que contienen las gráficas que 
apoyan la visualización para el aprendizaje de los temas 
seleccionados de precálculo, y así tener la opción de guardar el 
archivo como imágenes en formato JPEG, las cuales se utilizaron 
para crear un video en formato MPEG y AVI con el programa 
STUDIO PLUS. El guión de los videos se elaboró por un experto de 
matemáticas, quien se auxilió con el software libre AUDACITY, que 
opera en el ambiente Windows y permite grabar, copiar, mezclar 
archivos o guardar el archivo en distintos formatos, entre otras 
funciones. 
 
Para el desarrollo de la propuesta de investigación se 
programaron diez sesiones de 3 horas, para ajustarse a lo asignado 
por la administración para el curso de inducción para el trabajo en 
grupo colaborativo en el aula y una serie de problemas y ejercicios 
para el trabajo fuera del aula. Las secuencias didácticas se describen 
en capítulos posteriores. 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
109
 
Diseño de materiales 
 
Los materiales generados y/o seleccionados para la propuesta 
son: 
 
• Cuaderno de trabajo. Contiene las actividades que el alumno 
contestará, lápiz y papel, en el aula y fuera de ella, de acuerdo a 
lo señalado en el cronograma de actividades. 
• Videos digitales explicativos. Estos videos explicativos son un 
auxiliar del alumno en los temas de matemáticas como es 
despejar una variable o solucionar una ecuación lineal o 
cuadrática. Algunos son elaborados por la ACB y otros fueron 
seleccionados de internet de los sitios conocidos como redes 
sociales. 
• Evaluación diagnóstica. Se diseñó un cuestionario sobre los 
contenidos de los conocimientos que los alumnos poseen al inicio 
del curso de inducción enriquecido con problemas, como un 
preámbulo para el curso de inducción. 
• Tutorial de WinPlot para uso específico del estudio. Contiene 
información para su descarga e instalación en su computadora, 
descripción sobre el uso de comandos y menús para graficar 
funciones y analizar su comportamiento. 
• Post-test. Examen de conocimientos que se aplica al final de la 
experimentación a los grupos experimental y de control. 
• Encuesta. Instrumento para evaluar la opinión de los alumnos 
con respecto a las secuencias didácticas, medios y materiales y 
la propuesta didáctica del curso de inducción. 
 
Características del curso taller de inducción 
 
La modalidad a desarrollar es la de curso taller, cuyas 
características son: 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
110
 Se evita la clase conferencia, 
 El alumno es el centro de atención, es decir, desarrolla la 
actividad propuesta en grupo colaborativo integrados de tres a 
cinco alumnos. 
 Al inicio de la sesión el profesor propone la actividad,indica el 
tiempo que el estudiante tiene para dar la solución, para que 
posteriormente un grupo colaborativo lo explique por algún medio 
en el pizarrón verbal y entregará un reporte por escrito. 
 El asesor asume el papel de instructor, cuya principal actividad 
será atender de forma personalizada a los GC que conforman el 
grupo. 
 El profesor estará pendiente de que todos los alumnos trabajen 
en las secuencias didácticas y responderá las dudas a cada uno 
de los GC y en su caso, sugerir alternativas para la solución del 
problema en cuestión. 
 Al final de cada sesión el instructor indicará las actividades 
extraclase que el alumno deberá realizar. 
 A partir de la segunda sesión, se inicia con el planteamiento de 
dudas generadas por las actividades desarrolladas en el aula y 
extraclase, para después retomar la metodología. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
111
Cronograma de las sesiones 
 
SESIÓN 1 
SECUENCIA 1: Números Reales 
No Actividad del docente Actividad del alumno Tiempo. Minutos 
1 Bienvenida, presentación del maestro. 10 
2 APLICACIÓN DE EXAMEN PRETEST 55 
RECESO 15 
3 Entrega del material Presentación de cada uno 
de los alumnos. 
20 
4 • Solicitar la lectura de la 
presentación en forma 
grupal. 
• Coordinar sesión de 
preguntas y respuestas 
Participación en la lectura. 10 
 
 
5 
5 Conformación de grupos 
colaborativos y su forma de 
trabajo. 
 10 
6 Secuencia didáctica 1: 
Números reales 
(competencias a desarrollar) 
página 93. 
 10 
7 Indicar realización del 
problema 1 y 2 de la página 
94. 
Contestar el problema 1 y 
2 de la página 94 y 
comentar las respuestas en 
GC. 
30 
8 Indicar la lectura de la página 
96 y resolver el problema 3 de 
la página 97. 
Hacer lectura página 96 y 
revolver problema 3 página 
97. 
15 
9 Dar instrucciones: investigar 
clasificación de los números 
(números complejos). Hacer 
lectura de las páginas 97 a la 
 Extra 
Clase 
Problemas Selectos de PreCálculo
112
102 y realizar las 
investigaciones del problema 
7 de la página 101 y “para 
investigar” de la página 102. 
 
SESIÓN 2 
SECUENCIA 1: Números Reales 
No. Actividad del docente Actividad del alumno Tiempo. Minutos 
1 Discutir en GC los temas 
investigados, contestar y 
sacar conclusiones de las 
páginas 97 a la 102 de la 
actividad extra clase de la 
sesión anterior. 
40 
2 Aclarar dudas en forma 
general. 
 30 
RECESO 15 
3 Indicar que se resuelvan los 
problemas 10 al 19 de las 
páginas 103 y 104. 
Resolver los problemas 10 
al 19 de las páginas 103 y 
104. 
95 
4 Indicar la realización de la 
“Línea del Tiempo” página 
38 y de “Actividad en 
internet” de la página 40. 
Solicitar que traigan un 
recibo de la luz, teléfono o 
estado de cuenta bancario, 
para el trabajo en la 
actividad problema 1, 
página 39. 
Extra 
clase 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
113
SESIÓN 3 
SECUENCIA 2: Fracciones 
No. Actividad del docente Actividad del alumno Tiempo. Minutos 
1 Secuencia didáctica 2: 
Fracciones (competencias a 
desarrollar) página 36. 
 10 
2 Indicar la lectura de la página 
37 a 40. 
Lectura páginas 37 y 40. 10 
3 Contestar preguntas de la 
página 38 a la 40, sin 
tomar en cuenta la “Línea 
del tiempo”. 
45 
RECESO 15 
4 Indicar que se realicen las 
lecturas de los links de las 
páginas 46 y 47. 
 Extra 
Clase 
5 Indicar la realización de los 
problemas del 3 al 7, páginas 
40 a la 42. 
Resolución de problema 3 
Resolución de problema 4 
Resolución de problema 6 
Resolución de problema 7 
20 
20 
15 
5 
6 Sugerir problemas del 9 al 18 
página 43, terminándolos en 
casa. 
Resolver problemas 
sugeridos. 
Clase 
(40 min) 
y Extra 
Clase 
7 Indicar investigación sobre: 
sistema de ejes coordenados, 
distancia entre dos puntos, 
concepto de recta, pendiente 
de una recta, las ecuaciones 
de la recta, definición y 
concepto de ángulo. 
 Extra 
Clase 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
114
SESIÓN 4 
SECUENCIA 3: Distancia entre dos puntos 
No. Actividad del docente Actividad del alumno Tiempo. Minutos 
1 Secuencia didáctica 3: 
Distancia entre dos puntos 
(competencias a 
desarrollar) página 118. 
 10 
2 
 
En GC comentar y obtener 
conclusiones sobre lo 
investigado en la actividad 
extra clase de la sesión 
anterior. 
25 
3 Indicar la solución de los 
problemas y actividades de 
las páginas 119 a la 122. 
Resolver problemas y 
actividades de las páginas 
119 a la 122. 
60 
 RECESO 15 
4 Coordinar la presentación 
de los GC. 
Exposición de alguno de los 
problemas por grupo 
colaborativo. 
70 
 
SESIÓN 5 
SECUENCIA 4: Ecuaciones lineales 
No Actividad del docente Actividad del alumno Tiempo. Minutos 
1 Asesoría y/o aclaración de 
dudas de las actividades extra 
clase de la sesión 4. 
Discusión en GC de las 
actividades extra clase 
de la sesión 4. 
30 
2 Secuencia didáctica 4: 
Ecuaciones lineales 
(competencias a desarrollar). 
 10 
3 Dar la instrucción de la lectura 
del problema 1. 
Resolver primeros dos 
puntos del problema 1 
5 
Problemas Selectos de PreCálculo
115
de la página 46. 
4 Dar la instrucción de la lectura 
de la actividad 1. 
Hacer la lectura de la 
actividad 1. 
5 
5 Completar la tabla del 
problema 2. 
30 
6 Comentario sobre la 
pregunta del problema 
2. 
5 
RECESO 15 
7 Hacer la lectura 
¿Sabías qué? De la 
página 48. 
10 
8 Realizar investigación y 
hacer reporte de la 
página 50. 
Extra 
Clase 
9 Resolver Actividad 2 y 
problema 4, 5, 6 , 7 y 8 
paginas 51 – 53. 
30 
10 Resolver problema 12 y 
14. 
40 
11 Indicar la realización de 
actividades 1 y 2 de las páginas 
60, 61 y el problema 1 de la 
página 62. 
 Extra 
Clase 
12 Consultar los videos 
cuyos links se 
encuentran en la página 
66. 
Extra 
Clase 
 
 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
116
SESIÓN 6 
SECUENCIA 5: Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables 
No. Actividad del docente Actividad del alumno Tiempo. Minutos 
1 Asesoría y/o aclaración de dudas 
de las actividades extra clase de 
la sesión 2. 
Discusión en GC de 
las actividades extra 
clase de la sesión 2. 
30 
2 Secuencia didáctica 5: Sistemas 
de ecuaciones lineales con dos 
variables (competencias a 
desarrollar). 
 10 
3 Retomar actividad 1, 2 páginas 
60-61 y problema 1 página 62. 
 15 
4 Orientar a los alumnos sobre el 
problema 2 de la página 62 y 63, 
e indicar el desarrollo de la 
actividad 3. 
Solucionar el 
problema 3 página 63 
en GC. 
20 
 RECESO 15 
5 Indicar la lectura de las páginas 
64-67. 
Realizar lectura 
páginas 64-67. 
25 
6 Resolver problemas 4 
y 5 páginas 67 y 68. 
65 
7 Indicar la realización de los 
problemas y actividades de las 
páginas 68-71 (actividades 6-9 y 
problemas 6-15). 
 Extra 
Clase 
8 Consultar los videos 
cuyos links se 
encuentran en las 
páginas 75 y 76. 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
117
SESIÓN 7 
SECUENCIA 6: Ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas 
No. Actividad del docente Actividad del alumno Tiempo. Minutos 
1 Asesoría y/o aclaración de dudas 
de las actividades extra clase de 
la sesión 3. 
Discusión en GC de 
las actividades extra 
clase de la sesión 3. 
 
40 
2 Secuencia didáctica 6: 
Ecuaciones de segundo grado o 
ecuaciones cuadráticas 
(competencias a desarrollar). 
 10 
3 Solucionar problema 1 
en GC. 
10 
 RECESO 15 
4 Apoyar al alumno en la 
comprensión de los ejemplos del 
2 al 7. 
Hacer lectura y 
análisis de las páginas 
74-80. 
50 
5 Comentar y 
reflexionar en GC el 
problema 3 y 4 de la 
página 81. 
20 
6 Indicar investigación de la 
página 82 y sugerir la 
investigación de las propiedades 
(parámetros) de la parábola. 
 Extra 
Clase 
7 Indicar la elaboración de las 
gráficas de las curvas de la 
página 85 de forma tradicional. 
Elaborar las gráficas 
de las curvas de la 
página 85 de forma 
tradicional. 
 
35 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
118
SESIÓN 8 
SECUENCIA 6: Ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas 
No. Actividaddel docente Actividad del alumno Tiempo. Minutos 
1 Proyectar gráficas de las 
curvas de la página 85. 
Comparar en GC las 
gráficas de las curvas de 
la página 85. 
15 
2 Explicar un ejemplo de 
obtención de parámetros de 
la parábola. 
Completar la tabla de 
página 85. 
60 
 RECESO 15 
3 Resolver los problemas 12 
al 19 de las páginas 89 y 
90. 
30 
4 Orientar a los GC en las 
soluciones del problema 20 
página 90. 
 15 
5 Completar la tabla del 
problema página 90. 
45 
6 Lectura y solución de las 
páginas 108 a la 112. 
Extra 
Clase 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
119
SESIÓN 9 
SECUENCIA 7: El Círculo 
No. Actividad del docente Actividad del alumno Tiempo. Minutos 
1 Secuencia didáctica 7: 
El círculo 
(competencias a 
desarrollar) 
 10 
2 En GC discusión, comentarios 
y conclusiones sobre el 
problema 1, página 108. 
7 
3 En GC discusión, comentarios 
y conclusiones sobre el 
problema 2, página 108. 
15 
4 En GC discusión, comentarios 
y conclusiones sobre el 
problema 3, página 109. 
7 
5 En GC discusión, comentarios 
y conclusiones sobre el 
problema 4, página 109 y 110. 
20 
 RECESO 15 
6 En GC discusión, comentarios 
y conclusiones sobre el 
problema 5, página 110. 
(incisos b y e) 
30 
7 En GC discusión, comentarios 
y conclusiones sobre el 
problema 6, página 111 y 112. 
(incisos a, b, c, g) 
30 
8 Indicar la realización 
del problema 14 de la 
página 113. 
Resolver problema 14 25 
9 Exposición del GC sobre la 
solución del problema 14 
15 
Problemas Selectos de PreCálculo
120
 
 SESIÓN 10 
SECUENCIA 7: El Círculo 
No. Actividad del docente Actividad del alumno Tiempo. Minutos 
1 Indicar la realización del 
problema 17 de la página 
115. 
Resolver problema 17. 20 
2 Exposición del GC sobre 
la solución del problema 
17. 
15 
 RECESO 30 
3 APLICACIÓN DE 
EXAMEN POSTEST 
 60 
 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
121
SECUENCIAS
DIDÁCTICAS
Problemas Selectos de PreCálculo
123
SECUENCIA DIDÁCTICA 
 
1 
 
NÚMEROS REALES 
 
 
 
 
Colaboración de: 
Alberto González Murillo 
Departamento de Ciencias Básicas 
Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán 
Rafael Pantoja Rangel 
Investigador del Departamento de Ciencias Básicas 
Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán y del 
Departamento de Matemáticas 
Universidad de Guadalajara 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
124
 
Números reales 
 
Unidades de competencia 
 
• Identificar las propiedades de números reales a través del análisis 
de actividades planteadas para su aplicación a situaciones de la 
vida cotidiana. 
• Utilizar la resolución de problemas y el trabajo colaborativo como 
estrategia metodológica para el aprendizaje de los números 
reales y sus propiedades. 
 
Saber conocer 
 
 Los números decimales y su expansión finita, periódica y no 
periódica. 
 Reconocimiento de los números reales. 
 Las propiedades de los números reales. 
 El orden de las operaciones. 
 
Saber hacer 
 
 Realiza operaciones aritméticas con números naturales, enteros, 
fracciones y decimales. 
 Usa la calculadora como herramienta de exploración de 
resultados. 
 Establece significados y propiedades de las diferentes 
representaciones de números. 
 Investiga en Internet. 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
125
 
Saber ser 
 
 Aporta puntos de vista con argumentos que demuestren 
conocimiento del tema y apertura. 
 Asume una actitud constructiva y de colaboración activa en la 
resolución de problemas cotidianos que involucren los números 
reales. 
 
Medios y materiales 
• Calculadora 
• Computadora 
• Programa Excel 
• Internet 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
126
 
Problema 1. La familia González le compra la leche diariamente a 
Don Epifanio. La medida del litro de leche que utiliza Don Epifanio 
tiene forma cilíndrica. Si la medida del litro estuviera disponible en 
forma cilíndrica y paralelepípedo, ¿Cuál recipiente elegirías para que 
la cantidad de leche fuera la correcta? Si la medida del litro se llena 
completamente, la cantidad de leche que representa ¿Es un número 
racional o irracional? Justifica tus respuestas. 
 
 
 
Problema 2. La tabla adjunta contiene información relacionada con 
los alumnos que cursaron la materia de Cálculo Diferencial en las 
distintas especialidades del ITCG en el año 2011. Completa los 
espacios que faltan en la tabla. Se puede usar calculadora. Por 
ejemplo, en Ingeniería Eléctrica ( ) ( )17PA = 100% = 0.5 100% = 50%
34
 . 
Especialidad 
Alumn
os 
Inscrit
os 
Alumnos 
aprobad
os 
Aprobación Reprobación 
% Decimal 
Fracciona
rio % Decimal 
Fracciona
rio 
Mecánica 86 45 
 
 47.67% 
 
 
 
 
Electrónica 120 75 62.50% 
 
 
 
 
 
 
Informática 128 89 
 
 30.47% 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
127
 
Eléctrica 34 17 50% 
 
 
 
 
Sistemas 98 64 0.5 
 
 
 
 
Gestión 
Empresarial 135 117 
 
 0.1333 
 
 
 
Ambiental 82 54 65.85% 
 
 
 
 
 
 
Arquitectura 160 175 
 
 
 
 
 
• ¿Cuál es la especialidad donde existe más índice de 
reprobación? 
• ¿Cuál es la especialidad donde existe más índice de aprobación? 
• Discute con tu Grupo Colaborativo (GC) a que se puede atribuir 
estos porcentajes. 
• Discute con tu grupo si los porcentajes de reprobación se deben 
a: 
1. Qué no les gustan las matemáticas: 
 Si No 
a. Completamente de acuerdo 
b. De acuerdo 
c. No influye 
d. En desacuerdo 
e. Completamente en desacuerdo 
Escribe las conclusiones de tu GC: 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
128
 
2. A la pobre formación matemática en el bachillerato. 
 Si No 
a. Completamente de acuerdo 
b. De acuerdo 
c. No influye 
d. En desacuerdo 
e. Completamente en desacuerdo 
 
Escribe las conclusiones de tu GC: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
129
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notación 
 
Las fracciones 
periódicas se llegan 
a representar con 
una pequeña raya 
sobre el número o 
números que se 
repiten 
periódicamente, por 
ejemplo: 
, 
 y 
 
Los números fraccionarios se 
caracterizan por tener un desarrollo 
decimal cuya expresión puede ser: 
§ Finita: la parte decimal tiene un 
número finito de cifras. Ejemplo: 
 
§ Periódica pura: toda la parte decimal 
se repite indefinidamente. Ejemplo: 
 
§ Periódica mixta: Tiene la 
característica de que el periodo se 
inicia a partir de un número finito de 
cifras. Ejemplo: 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
130
 
En el problema 2 se utilizaron sólo números naturales, fracciones y 
porcentajes, que están escritos en el sistema decimal, es decir, para 
representarlos se utiliza la base diez, por ejemplo: 
2 1 0 1 2345.87=3x10 +4x10 +5x10 +8x10 7 10x− −+ 
 
Para convertir cantidades fraccionarias a decimales se efectúa la 
división correspondiente por el algoritmo de Euclides, pero en la 
actualidad con la ayuda de la calculadora se obtienen las divisiones 
correspondientes, que puede ser una expresión finita, infinita 
periódica pura y mixta e infinita no periódica. 
 
1 0.5
2
= ,
 
3 0.6
5
= ,
 
2 0.66666...
3
= ,
 
5 0.8333333...
6
=
 
 
Problema 3. Completa la tabla y selecciona el decimal a que 
clasificación corresponde. 
 Expresión 
decimal 
finita 
Expresión 
infinita 
periódica 
pura 
Expresión 
infinita no 
periódica 
mixta 
Expresión 
infinita no 
periódica 
7
17
= 
15 3
7 11
+ =
 
 
5 1 4
7 3 9
+ + =
 
 
1 3 4 3
2 7 5 2
3 6
4 7
⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ =
⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
131
 
2 =
 
 
311
5
+ =
 
 
3ln(5) 2
7
e+ + + =
 
 
 
Conversiónde cantidades decimales a números fraccionarios 
 
Para convertir un número en notación decimal periódico a notación 
de fracción se realizan las siguientes etapas: 
 
1. Para números decimales finitos. 
a. Escribe el decimal dividido por 1. 
b. Multiplicar numerador y denominador por 10 veces el 
número de decimales. 
c. Simplificar la fracción. 
 
Por ejemplo: 0.75 0.75(100) 75 3
1 100 100 4
= = =
 
 
2. Para números decimales periódicos, se ejemplifica con el caso 
particular de 0.77777777... = 0.7 
a. Asigna a = 0.77777777...
b
 
b. Multiplicar por 10, ya que su periodo es un decimal: 
a10 = 7.777777...
b
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
c. Restar la expresión matemática del apartado (b) a la 
expresión decimal de (a). 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
132
 
a10 = 7.777777...
b
a =0.7777777777
b
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
a9 = 7
b
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
d. Se despeja x, que es la fracción buscada: 
 
a 7 = 
b 9 .
 
 
Problema 4. Representa las cantidades indicadas en notación de 
base 10. ¿A qué número racional equivalen? 
a. 
Número Fracción 
• 0.2345 
 
 
• 2341.21 
 
 
• 12.3333333 
 
 
• 54321.32 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
133
 
• 0.3434343434 
 
 
• 0.983214234509871 
 
 
• 0.123451234512345....=0.12345 
 
 
• 1.178317831783.... =1.1783 
 
 
 
 
b. Aproxima los números siguientes con la calculadora y 
discute con tus compañeros(as) de grupo colaborativo 
(GC) los cuestionamientos planteados: 
 
• e 
 
 
• π 
 
 
• 2 
 
 
• 
2
3 3 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
134
 
 ¿Los números que se observan en la pantalla de la calculadora 
son números racionales? 
 
 
 
 
 Analiza, argumenta y afirma o niega si son periódicos. 
 
 
 
 ¿Cómo clasificarías estos números? 
 
 
 
 
Problema 5. Karl Friederich Gauss (30/04/1777 – 23/02/1855) a 
temprana edad (alrededor de los 9 años) logró hallar la forma de 
sumar los primeros 100 números naturales sin contar con la 
calculadora, es decir, 1 2 3 ... 100 ?+ + + + = ¿Cómo lo harías? Consulta 
en internet la vida de Gauss. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
135
 
 Discute con tu grupo colaborativo la forma de cómo lo hizo Gauss 
y reflexiona sobre lo siguiente: 
o ¿Qué cantidad se obtiene al sumar los 1000, 1000000, 
89892993993939 números naturales? 
o Las cantidades obtenidas ¿cómo las clasificas?, ¿son 
números naturales?, ¿son números racionales?, o ¿números 
irracionales? 
o Con tu GC, encuentren la fórmula para determinar la suma 
de los primeros n números naturales. 
 
Problema 6. Selecciona una hoja cuadrada, dóblala por mitad y 
córtala sobre la línea del doblez. ¿Cuál es el área de una de las 
mitades? Una de las mitades dóblala por mitad y córtala de nuevo. 
¿Cuál es el área de una de estas segundas mitades? Sigue el 
proceso y discute con tu GC si en algún momento el proceso finaliza. 
 
 ¿Cuál es la suma de las áreas que cortaste?, ¿el resultado lo 
puedes considerar como un número irracional? Explica. 
 Escribe la expresión matemática que representa este proceso. 
 Si todas las partes que cortaste las ubicas una encima de la otra, 
¿De qué altura es la pirámide que se forma? 
 
 De nuevo, con ayuda de tu calculadora, encuentra la suma 
1 1 1 1 ...
2 4 8 16
+ + + + + para los 10, 100, 1000, 10 000 términos de la 
expresión. 
 
 El resultado de cada una de las sumas, ¿lo consideras como 
número racional o irracional?. Explica. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
136
 
 ¿La expansión decimal es periódica? ¿Lo puedes ubicar en la 
recta real? 
 
 
 Si sumaras todos los números de acuerdo a la expresión 
1 1 1 1 ...
2 4 8 16
+ + + + + , ¿el resultado es un número finito o infinito? 
 
 
 ¿Encuentras similitudes entre esta suma y el papel recortado 
como se indica en el enunciado del problema? 
 
 
 
 
Problema 7. Investiga sobre los temas siguientes: 
 Números primos. ¿Existe una fórmula para encontrar números 
primos? 
 El número π . Con tu GC consulta el video EL NÚMERO π y 
elabora un resumen. 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
137
 
 El número e y su relación con los logaritmos naturales y elabora 
un resumen. 
 La razón dorada (Número de oro), su origen y relación con la vida 
cotidiana y elabora un resumen. 
 
Problema 8. Realiza las siguientes operaciones: 
a) Sin calculadora: 
 -22-(-12)-3+(-5)+6-(-7) -8+4= 
 
31 2 5
27 3 9
⎛ ⎞− + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
2 2
3 2 33 3
2 3 2
1 4
23 2
5
−
+
−⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
+
−
 
b) Con calculadora: 
 
23
2 7
π
+ − = 
 
3
5 22 1 2 3
2 8
e+ − + − = 
 
3 2
3
− = 
 
Discute con tus compañeros(as) de GC, los cuestionamientos 
siguientes: 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
138
 
 
 ¿El resultado que se observa en la pantalla de la 
calculadora es el valor exacto de las operaciones? 
 ¿Cuál es el valor exacto de 
3 1
4 3
− , 1002 , 60
1
3 ,
20π , e ,
π , 5 , 3 7 ,
1 5
2
+
? 
 ¿Es un número finito? o ¿es infinito? 
 ¿Son números racionales o irracionales? 
 
Problema 9. Proporciona al menos cinco números que correspondan 
a cada una de las categorías señaladas en la siguiente tabla: 
 
Número Escribe aquí los números 
Natural 
Entero 
Fracción 
Racional 
Irracional 
Real 
 
 
¿Los números reales se
aplican a la vida cotidiana?
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
139
 
Para investigar 
 
• Investiga con tus compañeros(as) del GC, las propiedades de los 
números y su representación en la recta real: 
o Racionales 
o Irracionales 
 
• Encuentra el resultado de sumar los 10, 144, 1034, 99974, 
123476, 19234513 términos de la expresión
 
2 2 21 2 3 ... ...n+ + + + + 
 
Con tu GC trabaja en lo siguiente: 
 
 Los resultados obtenidos cómo los puedes considerar, ¿cómo 
números finitos o infinitos? 
 Los resultados obtenidos son números racionales o irracionales. 
 Encontrar una forma gráfica o una fórmula con la que se pueda 
calcular todas las sumas. 
Problema 10. Una calle que mide 80 m de largo y 6 m de ancho está 
pavimentada por 12 000 adoquines, ¿cuántos adoquines se 
necesitan para pavimentar otra calle de 60 m de largo por 4 m de 
ancho? 
 
Problema 11. Cinco piratas se repartieron las monedas de un cofre. 
El Manco recibió 1
8
 del total; Garfio recibió 1
6
 de lo que quedaba; el 
Tuerto recibió 1
7
 de lo que quedaba; la Muerte 1
5
 de lo que quedaba, 
y finalmente, Barba negra 1
4
de lo que quedaba. ¿Cuántos piratas 
recibieron la misma cantidad de monedas? 
 
Para investigar 
 
• Investiga con tus compañeros(as) del GC, las propiedades de los 
números y su representación en la recta real: 
o Racionales 
o Irracionales 
 
• Encuentra el resultado de sumar los 10, 144, 1034, 99974, 
123476, 19234513 términos de la expresión
 
2 2 21 2 3 ... ...n+ + + + + 
 
Con tu GC trabaja en lo siguiente: 
 
 Los resultados obtenidos cómo los puedes considerar, ¿cómo 
números finitos o infinitos? 
 Los resultados obtenidos son números racionales o irracionales. 
 Encontrar una forma gráfica o una fórmula con la que se pueda 
calcular todas las sumas. 
Problema 10. Una calle que mide 80 m de largo y 6 m de ancho está 
pavimentada por 12 000 adoquines, ¿cuántos adoquines se 
necesitan para pavimentar otra calle de 60 m de largo por 4 m de 
ancho? 
 
Problema 11. Cinco piratas se repartieron las monedas de un cofre. 
El Manco recibió 1
8
 del total; Garfio recibió 1
6
 de lo que quedaba; el 
Tuerto recibió 1
7
 de lo que quedaba; la Muerte 1
5
 de lo que quedaba, 
y finalmente, Barba negra 1
4
de lo que quedaba. ¿Cuántos piratas 
recibieron la misma cantidad de monedas? 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
140
 
Problema 12. Determina el menor entero positivo 𝑛𝑛 talque 10! − 1 
sea un múltiplo de 63 
 
Problema 13. Encuentra el menor entero positivo tal que el producto 
de sus dígitos es 18 900. 
 
Problema 14. Un astronauta sobre la superficie lunar experimentaría 
una pérdida de peso debido a la menor gravedad de nuestro satélite, 
su peso lunar sería 1
6
 de su peso sobre la tierra. ¿Cuál sería su 
peso lunar si en la tierra pesa 98 Kg? Exprese su resultado en 
kilogramos y de ser posible en forma porcentual. 
 
Problema 15. Encuentra el valor de 1 12 2
2 2 2 2
+ + +
+ −
. 
 
Problema 16. En el siguiente arreglo de números el 14 se encuentra 
en la novena casilla blanca de la lista. ¿En qué casilla se encuentra 
el número 2009? 
 
 
1 
 
 
2 3 4 
 
 
5 6 7 8 9 
 10 11 12 13 14 15 16 
… … … … … … … 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
141
 
Problema 17. Experimenta con la expresión 2 41n n− + para poder 
determinar qué valores de n generan números primos. 
 
 
Problema 18. Un barril está lleno de agua. Una operación consiste 
en vaciar la mitad de su contenido y añadir un litro de agua. Si 
después de repetir esta operación siete veces queda en el barril 3 
litros de agua. ¿Cuántos litros de agua había inicialmente en el 
barril? 
 
Problema 19. Encuentra 5 enteros positivos consecutivos con la 
siguiente propiedad: la suma de los cuadrados de los dos números 
más grandes es igual a la suma de los cuadrados de los otros tres 
números. 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
142
Problemas Selectos de PreCálculo
143
 
SECUENCIA DIDÁCTICA 
 
2 
 
FRACCIONES 
 
 
 
 
 
Colaboración de: 
Zazil-Ha González Gaxiola 
Diana Carolina Cordero Franco 
Maestría en Enseñanza de las Matemáticas 
CUCEI, Universidad de Guadalajara 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
144
 
Fracciones 
 
Unidades de competencia 
 
• Construir e interpretar modelos aritméticos para resolver 
situaciones concernientes a la vida cotidiana. 
• Identificar datos numéricos en tablas, gráficas, mapas, 
diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas 
para traducirlos al lenguaje aritmético. 
• Construir el concepto de fracciones para realizar operaciones 
aritméticas en situaciones de su contexto. 
 
Saber conocer 
 
• Los números naturales y sus operaciones 
• Obtención e interpretación de situaciones diversas usando los 
números naturales. 
 
Saber hacer 
 
• Describir las diferentes interpretaciones de los números 
fraccionarios y racionales para utilizarlos en la solución de 
problemas matemáticos. 
• Usar la calculadora como herramienta para la exploración de 
resultados. 
• Investiga y trabaja en equipo para planear la solución de 
problemas que involucran fracciones en la vida cotidiana. 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
145
 
Saber ser 
 
• Compartir la información y las reflexiones para llegar a una 
conclusión grupal de las actividades desarrolladas. 
• Aporta puntos de vista con argumentos para demostrar 
conocimiento del tema y apertura. 
• Asume una actitud constructiva y de participación activa para 
el trabajo colaborativo en la resolución de problemas 
cotidianos. 
• Aprecia la utilidad de expresar matemáticamente 
regularidades y patrones en situaciones de la vida cotidiana. 
• Promueve el diálogo como mecanismo para la solución de 
conflictos. 
 
Medios y Materiales 
 
• Calculadora 
• Internet 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
146
 
¿Sabías que? La aritmética es la reina y la esclava de las 
matemáticas. 
Esta singular descripción de la grandeza y utilidad de la aritmética se 
inspira en una frase del famoso matemático alemán Karl 
F. Gauss, quien vivió en los siglos XVIII y XIX. La 
aritmética (del lat. arithmetĭcus, y este del gr. 
ἀριθµητικός,1 ἀριθµός = número) es la rama de la 
matemática cuyo objeto de estudio son los números y 
las operaciones elementales hechas con ellos: suma, 
resta, multiplicación y división. 
 
Anécdota: Se cuenta que a los dos años de estar en la 
escuela, durante la clase de Aritmética, el profesor propuso el 
problema de sumar los números de una progresión aritmética. Gauss 
halló la respuesta correcta casi inmediatamente diciendo «Ligget se'» 
('ya está'). Al acabar la hora se comprobaron las soluciones y se vio 
que la solución de Gauss era correcta, mientras que no lo eran 
muchas de las de sus compañeros(as). 
1 2 3 4 5 .... 100 ?+ + + + + + = 
Investiga en internet o en libros de álgebra, cuál fue el método que 
utilizó Gauss para solucionar el problema planteado. 
 
¿Sabes de donde se origina fracción? 
 
Fracturas. 
 
En diferentes ciencias las fracturas se definen de la siguiente forma. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
147
 
 
• Medicina. Si se aplica más presión sobre 
un hueso de la que puede soportar, éste se 
partirá o se romperá. Una ruptura de 
cualquier tamaño se denomina fractura. 
 
• Geología. Fractura tectónica también 
llamada litoclasa, que es una grieta del 
terreno producida por fuerzas tectónicas. 
 
 
• Ingeniería. Es la rotura frágil de cualquier 
elemento resistente. 
 
 
 
• Tecnología. Fractura digital se dice que 
ésta supone una línea divisoria entre las 
personas que usan las nuevas tecnologías 
y aquellas que no tienen acceso o no 
saben cómo utilizarlas. 
 
 
Existen sinónimos en matemáticas para la palabra fractura. ¿Cuáles? 
• _____________________ 
• _____________________ 
• _____________________ 
• _____________________ 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
148
 
En matemáticas, ¿Qué significa fractura?, ¿Cuál imagen y concepto 
se relaciona con los anteriores de las otras ciencias? 
 
Imagen Definición 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Línea del Tiempo 
Instrucciones: Completa la siguiente línea del tiempo sobre el uso de 
las fracciones a través de las distintas culturas y después contesta lo 
que se te pide. 
Puedes investigar en diferentes fuentes, autores o internet, entre 
otros. 
 
 
Desde tu punto de vista, ¿Cuáles fueron las razones por las que se 
empezaron a utilizar las fracciones en las distintas culturas? 
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_____ 
La	
  forma	
  en	
  la	
  
que	
  las	
  
u.lizaban	
  era	
  
1/n.	
  
Los	
  
egipcios	
  
____________
____________
____________	
  
_________
_______	
  
____________
____________
____________	
  
_________
________	
  
____________
____________
____________	
  
_________
_________	
  
____________
____________
____________	
  
_________
_________	
  
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
149
 
¿Actualmente para que son útiles las fracciones en tu contexto? 
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_____ 
 
Problema 1. Redacta un problema que utilices información real 
(ejemplo: costo de la electricidad, telefonía, gastos en comida, etc.) 
en el cual utilices por lo menos dos operaciones con fracciones y 
anota los procedimientos que sugieres seguir. 
 
Redacción del 
Problema 
Tipo de 
Operaciones 
Tipo de 
Método 
Solución o 
soluciones 
 
 
 
 
 
 
Problema 2. Conversiones entre fracciones, decimales y 
porcentaje. En la Licenciatura de Gastronomía se presentan los 
ingredientes de las recetas para la elaboración de los alimentos de 
tres formas: como fracción, decimal o porcentaje por lo que los 
estudiantes constantemente realizan conversiones entre ellas para 
lograr el sabor deseado. 
 
Fracción Decimales Porcentaje 
1/9 de azúcar 
 
 
 
 
75 % de leche 
condensada 
 0.660 gramos 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
150
 
 
21
12
 de pan integral 
 
 
 
50% ml de agua 
1
5
 de una taza de 
arroz 
 
 
 
 2.5 pzas. De 
calabaza0.250 kg de 
camarones 
 
 
 
 
 30% gr de crema 
 
¿Por qué representan las mismas cantidades, las expresiones del 
mismo renglón? 
 
 
_______________________________________________________
___________ 
 
_______________________________________________________
___________ 
 
¿Cuáles son los procedimientos que hiciste para comprobar que 
sean equivalentes? 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
151
 
_______________________________________________________
___________ 
 
Actividad en internet: Consulta en internet los siguientes sitios, en 
los que encontrarás conocimiento relacionado con las fracciones. 
• http://www.desarrollomultimedia.cl/digitales_html/oda_html/tipo
ResolucionProblemas/3/index.html 
• http://ntic.educacion.es/w3//recursos/primaria/matematicas/fra
cciones/menu.html 
 
Describe lo que encontraste en los sitios consultados y lo que 
consideraste interesante. Si consultaste algún otro sitio, escribe la 
dirección. 
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_ 
 
Problema 3. Quiebra-Cabezas 
La fuente ubicada en la glorieta que se encuentra frente 
a la Normal de Jalisco utilizaba agua potable y tratada. 
Con su restauración y las propuestas en Guadalajara 
por una ciudad ecología se estableció que solamente 1
9
 
de la capacidad puede ser potable y el resto se 
completará con agua tratada, de la cual 1
3
 será de agua 
reciclada de lluvias. La fuente requiere 12 000 litros para su 
funcionamiento óptimo. 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
152
 
¿Cuál es la cantidad de agua tratada que se debe utilizar? 
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_____ 
 
¿Cuáles operaciones matemáticas puedes realizar para conocer las 
cantidades necesarias de cada tipo de agua? 
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_____ 
 
 
 
Problema 4. Para la construcción de un aula de usos 
múltiples se requiere solicitar el material necesario 
pero no se puede pedir más de lo que se utilizará, por 
lo que se debe de dar el dato exacto de cada material. 
Los ingenieros les dieron estos datos a las secretarias: 
Para el concreto se necesita grava, arena, cemento, 
agua. Por cada ¾ de un costal de cemento 1/32 es de 
grava, 2/32 de arena y el resto es de agua. 
Se necesitarán 13 costales de cemento para su 
construcción. 
 
¿Cuáles son las fracciones que representan a cada material? 
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_____ 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
153
 
¿Cuáles son las cantidades que se necesitan para elaborar el 
concreto? 
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_____ 
 
Problema 5. Contexto histórico y mitológico 
Epigrama de Sócrates a Pitágoras (Requena, A, 
2006). Pitágoras afortunado, vástago de las Musas 
del Helicon, dime cuántos en tu morada se dedican 
gozosamente a la ciencia practicar. — Te 
responderé Polícrates: por la belleza matemática la 
mitad se interesa; sobre la naturaleza inmortal una 
cuarta parte se vuelca; en total silencio una séptima 
se dedica a las voces eternas del alma; hay tres 
mujeres, Teano la mejor. De las Pieridas son las palabras que yo 
pronuncio. 
Para tu conocimiento: 
Las Musas son hijas de Zeus. Mencionadas por Homero, será 
Hesiodo quien les da el carácter de inspiradoras de las artes. 
• Las Musas de cada disciplina son: Clio (historia), 
Euterpe(música), Talía (comedia), Melpómene (tragedia), 
Terpsícore (danza), Erato (poesía erótica, gozosa, anacreóntica), 
Calíope (elocuencia), Polimnia (lírica), Urania (astronomía). 
• El Helicón es el monte griego donde vivían las Musas. 
• Pieridas es un sinónimo de Musas. 
• Polícrates fue tirano de Samos, lugar de origen de Pitágoras. 
• Pitágoras es un personaje histórico y una figura mítica. En el siglo 
V a.C. fue fundador de una escuela-secta que contó con el apoyo 
de algunos tiranos de la Magna Grecia. La formación iniciática se 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
154
 
atribuye a los egipcios. Para los pitagóricos todo es número, 
creen en la trasmigración de las almas, y atribuyen todos sus 
logros al maestro. La escuela ejerce una gran influencia en 
Platón. Pitágoras está asociado a su famoso teorema sobre el 
triángulo rectángulo, a la música y a los términos filosofía y 
matemáticas. 
• Teano estuvo casada con Pitágoras en su vejez. Pese al carácter 
aristocrático y mistérico de la escuela pitagórica, en ella no había 
discriminación de sexo tal como pone de manifiesto el epigrama. 
Teano será la primera mujer en la ciencia con nombre propio. 
 
Solución: 
La suma de 1
2
, 1
4
 y 1
7
es 25
28
. La diferencia a 1 da 3
28
 que es la 
fracción de mujeres. Como hay 3, el total de pitagóricos es 28. 
Tenemos entonces 14 matemáticos, 7 físicos, 4 místicos y 3 sabias. 
 
Conclusión: La escuela está formada por 28 personas. 
 
Problema 6. Entre mi hermano y yo, Zeto, pesamos veinte minas. Si 
tomas la tercera parte de mi peso, y la cuarta de Anfión, juntándolos 
el peso de nuestra madre tendrás, seis minas en total. ¿Cuál es el 
peso de mi hermano y mio? 
 
Problema 7. Un viejo cuento ruso desafía al escuchar afirmando 
cosas inverosímiles acerca de una peculiar venta de huevos crudos 
realizada por una campesina, quien, sin romper ninguno, se quedó al 
final con un huevo luego de vender al primer cliente la mitad de todos 
los que llevaba más medio huevo y, más tarde, a una segunda 
persona, la mitad de los que quedaron de la primera venta más 
medio huevo. ¿Podría alguien hacer algo similar al vender la misma 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
155
 
forma cachorritos y mitades de ellos y entregarlos vivos?, ¿Es 
aritméticamente posible tal cosa?, ¿Podría ayudarte el álgebra a 
responder esto? 
 
Problema 8. EL PAPIRO RHIND 
(http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/papiro_rhind.htm 
En 1858 el egiptólogo escocés A. 
Henry Rhind visitó Egipto por motivos 
de salud (padecía tuberculosis) y 
compró en Luxor el papiro que 
actualmente se conoce como papiro 
Rhind o de Ahmes, encontrado en las 
ruinas de un antiguo edificio de Tebas. 
Rhind murió 5 años después de la 
compra y el papiro fue a parar al 
Museo Británico. Desgraciadamente en 
esa época gran parte del papiro se 
había perdido, aunque 50 años 
después se encontraron muchos 
fragmentos en los almacenes de la 
Sociedad histórica de Nueva York. 
Actualmente se encuentra en el Museo 
Británico de Londres. Comienza con la frase "Cálculo exacto para 
entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los 
oscuros secretos y misterios" 
 
El papiro mide unos 6 metros de largo y 33 cm de ancho. Representa 
la mejor fuente de información sobre matemática egipcia que se 
conoce. Escrito en hierático, consta de 87 problemas y su resolución. 
Nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas, fracciones, 
cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
156
 
reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica. Fue 
escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en el año 1650 a. c. a 
partir de escritos de 200 años de antigüedad, según reivindica el 
propio Ahmes al principio del texto, aunque nos resulta imposible 
saber qué partes correspondena estos textos anteriores y cuáles no. 
 
Se conoce muy poco sobre el objetivo del papiro. Se ha indicado que 
podría ser un documento con claras intenciones pedagógicas, o un 
cuaderno de notas de un alumno. Para nosotros representa una guía 
de las matemáticas del Antiguo Egipto, pues es el mejor texto escrito 
en el que se revelan los conocimientos matemáticos. En el papiro 
aparecen algunos errores, importantes en algunos casos, que 
pueden deberse al hecho de haber sido copiados de textos 
anteriores. Aunque en la resolución de los problemas aparecen 
métodos de cálculo basados en prueba y error, sin formulación y 
muchas veces tomados de las propias experiencias de los escribas, 
representa una fuente de información valiosísima. 
 
En cuanto al autor, poco se conoce de él. Por su escritura parece 
que Ahmes no era un simple escriba, pero se desconocen los 
detalles de su educación. Los problemas siguientes están incluidos 
en el Papiro de RHIND. 
 
Problema 9. Dividir cien panes entre cinco hombres, de modo que 
las porciones que reciban estén en progresión aritmética y que la 
séptima parte de la suma de las tres mayores sea igual a la suma de 
las dos porciones menores. 
 
Problema 10. Repartir 6 barras de pan entre 10 hombres. 
 
Problema 11. Repartir 9 barras de pan entre 10 hombres. 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
157
 
 
Problema 12. Multiplica 1/2 + 1/14 por 1+1/2+1/4 
 
Problema 13: Debe multiplicarse 1/28 por (1 + 1/2 + 1/4). 
 
Problema 14. Multiplica 1/16 + 1/112 por 1 + 1/2 + 1/4 
 
Problema 15: Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/15 para 
obtener la unidad. 
 
Problema 16. Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/30 para 
obtener 1 
 
Problema 17. Completa 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45 hasta 2/3 
 
Problema 18. El cociente de dos enteros es -32. El divisor es -8, 
¿Cuál es el otro entero? 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
158
Problemas Selectos de PreCálculo
159
 
SECUENCIA DIDÁCTICA 
 
3 
 
DISTANCIA ENTRE DOS 
PUNTOS 
 
 
 
 
Colaboración de: 
Leopoldo Castillo Figueroa 
Enrique Gómez Peralta 
Profesores del Departamento de Ciencias Básicas 
Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
160
 
Distancia entre dos puntos 
 
Unidades de competencia 
 
• Calcular la distancia entre puntos para su aplicación a problemas 
de la vida cotidiana. 
• Argumenta la solución de problemas con el lenguaje verbal, 
matemático y el uso de las tecnologías para su interpretación en 
la vida cotidiana. 
• Identifica y aplica los elementos básicos de la distancia entre dos 
puntos para la solución de situaciones en la vida cotidiana. 
 
Saber conocer 
 
• Calcula la distancia involucrada en el problema para su solución. 
• Conoce el Teorema de Pitágoras para su aplicación en el cálculo 
de la distancia entre dos puntos. 
• Opera los números reales para aplicarlos a problemas 
relacionados con distancia y el entorno. 
• Manipula software del área de matemáticas para hacer cálculo en 
problemas relacionados con la distancia entre dos puntos. 
 
Saber hacer 
 
• Aplica la fórmula de distancia entre dos puntos para la solución de 
problemas de la vida cotidiana. 
• Utiliza con precisión procedimientos de cálculo, fórmulas y 
algoritmos para la resolución de problemas que involucra la 
distancia entre dos puntos. 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
161
 
• Planea y resuelve problemas para aplicarlos a situaciones de la 
vida cotidiana. 
 
Saber ser 
 
• Participa activamente en la realización de ejercicios como en la 
resolución de problemas. 
• Aporta puntos de vista personales con apertura y considera los de 
las otras personas. 
• Propone maneras creativas de solucionar problemas 
matemáticos. 
• Procura la honestidad al darse la oportunidad de reconocer qué 
tanto sabe del tema. 
 
Materiales: 
• Calculadora 
• Winplot 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
162
 
Problema 1. En el fondo de la cañada limitada por dos montañas 
como se muestra en la figura se pretende instalar una bomba de 
agua y llevar este preciado líquido a la cumbre de las dos montañas 
como se muestra; cabe mencionar que se caracterizan las montañas 
por ser un terreno escarpado y difícil de medir con exactitud, se 
requiere encontrar: 
a. La cantidad en metros de tubo a comprar. 
b. El costo de la inversión si se sabe que existen tubos de cobre, 
galvanizado y de PVC. 
c. Suponiendo que se desea poner una derivación en la tubería 
BC ubicada aproximadamente a ¾ de manto friático. ¿Cuáles 
serian las coordenadas de dicho punto? 
d. Si te solicitaran que esa conexión la ubicaras a ¾ de pulgada 
del tubo BC partiendo del punto C. 
e. ¿Cuánto costará la obra? 
 
 
 
 
C 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
163
 
Problema 2. 
a. Traza en una hoja blanca o cuadriculada preferentemente, un 
plano cartesiano, ubica los ejes de las ordenadas, de las abscisas 
y el origen. 
b. Finalmente enumera los cuadrantes I, II, III y IV. 
c. Localiza en el plano cartesiano los siguientes puntos: 
a. abscisa igual a 3 y ordenada igual -5. 
b. ordenada igual a 7 y abscisa igual a -2. 
c. abscisa igual a −1
4
 y ordenada igual 
7
3
 
d. ordenada igual a π− y abscisa igual a −3.1416 . 
e. ordenada igual a e y abscisa igual a 5 . 
f. − − − −1 2 3 4(2,4), ( 2,4), ( 2, 4), (2, 4)P P P P . 
g. En el WinPlot traza todos los puntos de los incisos a-f. 
 
 
 
h. Completa la tabla siguiente: 
PREGUNTAS RESPUESTAS 
A que se le llama plano 
cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
¿Cuáles son las 
coordenadas de la 
proyección de (2,5) sobre el 
eje “x” y sobre el eje “y”? 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
164
 
¿Cuál es la distancia del eje 
“x” al punto (1,3)? 
 
 
 
En que cuadrante un punto 
cuya abscisa es negativa y 
cuya ordenada es positiva, 
negativas. 
 
Qué valor tiene la abscisa 
de un punto que esta sobre 
el eje “y”. 
 
 
Actividad 1. 
 
a. Con tu Grupo Colaborativo (GC) planteen y discutan la suma y 
resta de segmentos de recta que aquí se te plantean. 
 
 
 
b. Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas. 
a. AC= AB + BC 
b. AC-BC = AB 
c. AC + 2 BC = 3 AB 
 
Problema 3. Se requiere colocar una malla ciclónica para cercar el 
terreno y cuyas coordenadas en el plano cartesiano se señalan en la 
figura: 
a. ¿Cuánta malla se requiere comprar? 
b. En el negocio A el metro de malla es un 20 % más caro que en el 
negocio B, pero la malla es 10 cm menos altura que la del 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
165
 
negocio A. El costo del metro lineal de malla en el negocio A es 
de $ 185 y de altura tiene 2 metros. 
c. ¿En qué negocio se sugiere comprar la malla al consumidor? 
 
 
Actividad 2. 
 
Encontrar la distancia de C(3,-2) a D(-3,7) 
 
Encuentra finalmente las coordenadas de los puntos: A, B y 
C, que se muestran en la figura que aparece en el siguiente 
plano cartesiano. 
 
Actividad 3. Investiga, discute y elabora un reporte con tus 
compañeros(as) del grupo colaborativo acerca de las aplicaciones 
que le puedes dar al uso del plano cartesiano en tu entorno y de su 
utilidad. 
 
Problema 4. Se desea saber la ecuación de la trayectoria del tiro que 
en línea recta y a ras de césped fue lanzado por un jugador de fut bol 
desde el punto de coordenadas (-12, 22) y (42,18) como se muestra 
en la figura, calcúlese además el ángulo que este forma con la 
horizontal. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
166
 
 
 
 
Problema 5. 
a. Se desea encontrar la distancia del sol a la tierra en cierta 
fecha de invierno. Las coordenadas cartesianas se indican a 
continuación: 
Coordenadas del sol S (-123.4 x 106 , 0 ) 
Coordenadas de la tierra T (289 x106 , 86 x106 ) 
 
b. Encontrar además la distancia del origen a la tierra. 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
167
 
 
Problema 6. En la vidacotidiana el plano cartesiano tiene la función 
de ubicar al individuo en un lugar determinado, al tomar como 
referencia el origen coordenado como un punto de referencia. Se 
tiene conocimiento que la ubicación de la oficina de correos de la 
ciudad se ubica a 5 cuadras hacia el este y 6 cuadras hacia el norte, 
tomando como referente u origen la iglesia catedral. Considérese 
además la longitud de las cuadras del mismo tamaño, 
a. Dibuje la ubicación del correo en el plano cartesiano por medio 
de su pareja ordenada correspondiente. 
b. ¿A qué distancia en línea recta se encuentra el correo de la 
catedral de la ciudad? 
c. ¿Cuál será la pendiente de esa recta? 
d. ¿Cuál será la ecuación de la misma? 
 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
168
 
Actividad 4. 
 
• Compartir con los demás equipos colaborativamente la forma en 
que resolvieron la actividad. Hagan sugerencias y/o planteen 
preguntas para que cada equipo mejore sus resultados. 
• Presentar la actividad realizada a todo el grupo y discutir sobre el 
aprendizaje que lograron en la solución del problema 
• Escribir un reporte sobre la actividad que realizaste con tu grupo 
Colaborativo. 
• Escribe tus comentarios sobre la actividad que realizaste con tu 
equipo colaborativo y compartan con los demás equipos la forma 
en que resolvieron la presente actividad. Hagan sugerencias y/o 
planteen preguntas para que cada equipo mejore sus resultados, 
interpretaciones y apreciaciones. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
169
 
SECUENCIA DIDÁCTICA 
 
4 
 
ECUACIONES LINEALES 
 
 
 
 
 
Colaboración de: 
Víctor Hugo Rentería Palomares 
Herman Cancino Moreno 
Profesores del Departamento de Ciencias Básicas 
Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
170
 
Ecuaciones lineales 
 
Unidades de competencia 
 
• Construir e interpretar modelos aritméticos, algebraicos y gráficos 
para representar y resolver situaciones concernientes a la vida 
cotidiana con magnitudes constantes y variables. 
• Identificar una ecuación lineal en situaciones cotidianas para 
modelar matemáticamente e interpretar el resultado. 
 
Saber conocer 
 
• Análisis y realización de situaciones empleando ecuaciones 
lineales 
• Relación entre ecuaciones y funciones lineales. 
• Identificación de una ecuación lineal y su solución. 
 
Saber hacer 
 
 Aprender a solucionar una ecuación lineal para modelar una 
situación de la vida cotidiana. 
 Describe el comportamiento de una variable para su 
interpretación en un problema matemático. 
 Valora la aplicabilidad de las ecuaciones lineales para representar 
y resolver diversos problemas de su entorno. 
 Usa la calculadora como herramienta para la exploración de 
resultados y visualizar su representación gráfica. 
 
Saber ser 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
171
 
Ecuaciones lineales 
 
Unidades de competencia 
 
• Construir e interpretar modelos aritméticos, algebraicos y gráficos 
para representar y resolver situaciones concernientes a la vida 
cotidiana con magnitudes constantes y variables. 
• Identificar una ecuación lineal en situaciones cotidianas para 
modelar matemáticamente e interpretar el resultado. 
 
Saber conocer 
 
• Análisis y realización de situaciones empleando ecuaciones 
lineales 
• Relación entre ecuaciones y funciones lineales. 
• Identificación de una ecuación lineal y su solución. 
 
Saber hacer 
 
 Aprender a solucionar una ecuación lineal para modelar una 
situación de la vida cotidiana. 
 Describe el comportamiento de una variable para su 
interpretación en un problema matemático. 
 Valora la aplicabilidad de las ecuaciones lineales para representar 
y resolver diversos problemas de su entorno. 
 Usa la calculadora como herramienta para la exploración de 
resultados y visualizar su representación gráfica. 
 
Saber ser 
 
 
 Aporta puntos de vista con argumentos para demostrar el 
conocimiento del tema y apertura. 
 Asume una actitud constructiva y de participación activa para 
el trabajo en equipo en la resolución de problemas. 
 Aprecia la utilidad de expresar matemáticamente 
regularidades y patrones para su interpretación en la solución 
de un problema. 
 Promueve el diálogo como mecanismo para la solución de 
conflictos en el trabajo colaborativo. 
 
Medios y Materiales 
 
• DVD de videos 
• Programa WinPlot 
• Internet 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
172
 
Problema 1. La ida al cine. 
Un grupo de 6 amigos consigue una tarjeta de descuento para las 
entradas a cierto cine, por lo que se reúnen y van juntos a ver una 
película que les interesa mucho. Uno de ellos es quien hace la 
compra de los boletos en la taquilla, donde paga un total de $192.00. 
Ahora él debe calcular el costo de la entrada de cada uno de los 
amigos para cobrárselas (Maffey, 2006). 
 Intenta resolver el problema y comenta tu experiencia con el 
grupo y juntos lleguen a una conclusión sobre el procedimiento 
más eficaz para llegar a la expresión matemática que represente 
el problema. 
 ¿La expresión matemática que encontraste es una ecuación, una 
igualdad o una identidad? 
 Investiga en un libro de álgebra si es correcto el procedimiento 
que plantearon para resolver la ecuación y anota en tu cuaderno 
las coincidencias. 
Actividad 1. Despeje de variables en expresiones algebraicas. 
 
 
Despejar la incógnita o variable de una ecuación, consiste en una 
serie de operaciones matemáticas que se aplica a la ecuación con el 
fin de que la incógnita quede “sola” en cualquiera de los miembros de 
la ecuación. Para poder realizar un despeje es necesario mover 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
173
 
todos los términos conocidos de la ecuación a uno de los miembros 
de la ecuación, y todos los términos que contengan incógnitas al 
miembro restante. Es importante saber que al mover un término 
desde un miembro de la ecuación al otro, pasa efectuando la 
operación contraria. Es decir, si el término está en el primer miembro 
de la ecuación restando y deseas pasarlo al segundo miembro, 
debes pasarlo sumando. En el caso de que al terminar de despejar la 
incógnita, el término quede expresado en forma de producto, ya sea 
2x, 10x, 15x o algo por el estilo, simplemente se despeja la incógnita. 
 
Analiza los siguientes videos: 
 
• http://www.youtube.com/watch?v=_ort
HvWpqVc&p=0E7A59066D5D69A0 
Video explicativo de 
despeje de incógnitas o 
variables de fórmulas 
• http://www.youtube.com/watch?v=yDU
FL-eSSGU&feature=related 
Video explicativo de 
solución de ecuaciones 
cuadráticas de la forma 
2ax b= , 2 0ax b+ = 
• http://www.youtube.com/watch?v=GUe
AGER_Wqk&feature=related 
Video explicativo de 
despeje de incógnitas o 
variables de fórmulas: 
Parte 1. 
• http://www.youtube.com/watch?v=kQO
xqL29-NU&feature=related 
Video explicativo de 
despeje de incógnitas o 
variables de fórmulas: 
Parte 2. 
 
En esta actividad se trata de que el estudiante despeje las distintas 
variables que aparecen en la expresión matemática. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
174
 
 
Problema 2. Las expresiones algebraicas de la Tabla 1 relacionan 
elementos de la Física, como son velocidad, distancia, tiempo, 
aceleración, velocidad angular, potencia, aceleración de la gravedad, 
fuerza centrífuga, periodo, temperatura, frecuencia y trabajo, entre 
otras. Despeja la variable que se pide en cada ejercicio. 
 
Tabla 1 
Fórmulas que relacionan variables con sus ecuaciones. 
1. 
t
dv = 
Despejen t (tiempo en 
segundos). 
 2. gtvv f += 0 , 
Despejen g 
(Aceleración de la 
gravedad m/s2). 
 
3. 0
2
fv vh t
+⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Despejen v0 (Velocidad 
inicial m/s). 
 
4. 
1
2
v at= , Despejen 
a (aceleración). 
 
5. 2v gh= , 
despejen h (altura). 
 6. Fuerza centrífuga 
2m rf
y
ω
= , despejen 
m (masa). 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica175
 
7. Movimiento pendular 
g
lt π= , 
despejen l (longitud). 
 
8. Potencia 
t
WP = , 
Despejen W (trabajo 
en julios). 
 
9. Rotación P Mω= , 
Despejen M 
(Momento de la fuerza 
en Nm). 
 10. Trabajo 
21
2
W Jω= , 
Despeja J (Momento 
de inercia). 
 
11. Cantidad de calor 
Q cm t= Δ , 
despeje tΔ 
(diferencia de 
temperatura). 
 12. Grados 
centígrados 
( )32
9
5
−= FC , 
despejen F (grados 
Farenheit). 
 
13. Ley de Gay Lussac 
0
11
273
V V t⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
despejen t (tiempo). 
 14. Estado de los 
gases 
nRTPV = , despejen 
n 
(Cantidad de moles). 
 
 
¿Cuáles de las ecuaciones corresponde a una ecuación de primer 
grado? 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
176
 
¿Sabías que? 
 
 
 
Desde tiempos remotos, el genio de Euclides trató la igualdad y 
algunas de las propiedades desde el punto de vista de la geometría, 
en lo que hoy en día se conoce como álgebra geométrica; De las 
cinco nociones de Euclides relacionadas con la igualdad, la primeras 
tres son familiares para todos, es decir, que efectivamente están de 
acuerdo con nuestra experiencia, a saber: 
 
1) Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí, 
2) Si cantidades iguales son sumadas a cantidades iguales las 
sumas son iguales, 
3) Si cantidades iguales son restadas a cantidades iguales, las 
restas son iguales, 
4) Las figuras que coinciden entre sí son iguales, 
5) El todo es mayor que las partes. 
 
En la actualidad, una igualdad matemática es la expresión en que 
dos cantidades son equivalentes y cumplen las siguientes reglas: 
a) Reflexiva: x = x 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
177
 
b) Simétrica: Si x = y entonces y = x. 
c) Transitiva: Si x = y, y = z entonces x = z. 
Las igualdades pueden ser de dos tipos: 
1) Condicionales, comúnmente llamadas Ecuaciones, que sólo se 
cumplen para determinados valores de las variables incluidas en 
la ecuación, por ejemplo, si 3x = 6, la igualdad solo se cumple 
para x=2. Ver Tabla 2. 
2) Identidades: Esta igualdad se cumple para cualquier valor de las 
variables incluidas en la expresión matemática, por ejemplo, 
2 2(2x + 3) = 4x +12x+9 es una identidad algebraica que se cumple 
para todos los valores de la variable x. 
 
 
 
A continuación se definen algunos términos que se utilizan en esta 
secuencia didáctica: 
 
Ecuación. Como se señaló anteriormente, una ecuación es una 
igualdad matemática que puede incluir una o más variables y que 
sólo es válida para ciertos valores de la (s) incógnita (s). Por ejemplo 
en la Tabla 2 se presentan diversas ecuaciones algebraicas que 
tienen una o varias variables y que son de distinto grado. 
 
 
b) Simétrica: Si x = y entonces y = x. 
c) Transitiva: Si x = y, y = z entonces x = z. 
Las igualdades pueden ser de dos tipos: 
1) Condicionales, comúnmente llamadas Ecuaciones, que sólo se 
cumplen para determinados valores de las variables incluidas en 
la ecuación, por ejemplo, si 3x = 6, la igualdad solo se cumple 
para x=2. Ver Tabla 2. 
2) Identidades: Esta igualdad se cumple para cualquier valor de las 
variables incluidas en la expresión matemática, por ejemplo, 
2 2(2x + 3) = 4x +12x+9 es una identidad algebraica que se cumple 
para todos los valores de la variable x. 
 
 
 
A continuación se definen algunos términos que se utilizan en esta 
secuencia didáctica: 
 
Ecuación. Como se señaló anteriormente, una ecuación es una 
igualdad matemática que puede incluir una o más variables y que 
sólo es válida para ciertos valores de la (s) incógnita (s). Por ejemplo 
en la Tabla 2 se presentan diversas ecuaciones algebraicas que 
tienen una o varias variables y que son de distinto grado. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
178
 
Resolver una ecuación. Es encontrar el valor o los valores de las 
incógnitas que satisfacen la ecuación. Estos valores son conocidos 
como Raíces o Ceros de la ecuación y son los valores de las 
incógnitas que al ser sustituidos en lugar de las incógnitas, 
convierten la ecuación en identidad. Por ejemplo, la ecuación 
2x - 3 = 3x + 2 tiene por solución x=-5 ya que al sustituir este valor se 
obtiene una identidad. 
2x - 3 = 3x + 2 
2 · (-5) - 3 = 3 · (-5) + 2 
- 10 -3 = -15 + 2 
-13=-13 
 
Tabla 2 
Ejemplos de ecuaciones 
 
Ecuación Grado y variables 
7x + 3 = 2x -2 Ecuación de primer grado (llamada también 
Ecuación Lineal) con una variable. 
25x - 4 = -2x + x Ecuación de segundo grado (llamada también 
Ecuación cuadrática) con una variable 
3 2x + 3 = 2x -2x Ecuación de tercer grado (llamada también 
Ecuación Cúbica) con una variable 
3 4-3x + 3 = x -5 Ecuación de cuarto grado con una variable 
5x + 3 = 2y + x 
y + 3 = 2y -2x 
Sistema de ecuaciones lineales de dos 
ecuaciones con dos variables 
5x + 3y = x+ y-5π Una ecuación de lineal con dos variables 
 
 Con tu Grupo Colaborativo (GC), investigar, y hacer un reporte 
sobre: 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
179
 
o Los tipos de ecuaciones matemáticas. 
o La aportación de Euclides a las matemáticas. 
o ¿Qué tipo de problemas solucionaban los griegos? 
o La historia del Teorema Fundamental del Álgebra. 
 
¿Sabías que? 
 
 
En la vida habitual o cotidiana se suelen presentar problemas que 
por lo regular para resolverlos se recurre a un planteamiento 
matemático, que tiende a ser representado por una ecuación 
matemática, lo que no es una novedad, ya que desde la antigüedad 
se han planteado ecuaciones para solucionar problemas de la vida 
cotidiana, como los encontrados en Tablillas de la cultura Babilonia, 
en la que unas 300 tablillas se relacionan con las matemáticas, con 
problemas sobre cuentas diarias, contratos, áreas, préstamos de 
interés simple y compuesto, además del cálculo como 
multiplicaciones, de recíprocos, de cuadrados, de cubos, etc. 
Consultar el sitio 
http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/babilonia/babilon.htm. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
180
 
El problema siguiente es la traducción al español de una de las 
tablillas. Trata de solucionarlo con tu GC: 
 
Problema 3. “Un área está formada por dos regiones cuadrangulares 
cuya suma es 1000 unidades cuadradas. La longitud de los lados de 
una de los cuadrados tiene 10 unidades menos que los 2/3 de la 
longitud del lado del otro cuadrado. ¿Cuántas unidades miden los 
lados del los cuadrados?” Exprese su respuesta en notación 
babilónica. 
http://es.scribd.com/doc/36212883/RESOLUCION-DE-ECUACIONES 
 
Actividad 2: La ecuación lineal. 
 
Ecuaciones lineales en una variable. Son aquellas donde sólo 
aparece una variable elevada al exponente 1. Puede usarse 
cualquier letra para denotar la incógnita y los coeficientes son 
números reales. 
 
Por ejemplo en el problema 1 se tiene que: 
 
Precio por persona * número de personas = precio por noche 
P * 5 = 1650.00 
p = 1650/5 = 330.00. 
 
Conclusión: Carolina y sus amigos deben pagar 330.00 pesos cada 
uno por noche. 
 
** Recuerda, es importante que al obtener el resultado evalúes si 
es lógico o no, y llegues a la conclusión final. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
181
 
Se espera que el lector intuya que la ecuación lineal puede tener una 
expresión algebraica distinta para cada problema, inclusive en 
ocasiones para el mismo problema, y para encontrar la solución se 
utilizan las mismas reglas, pero para cada ecuación, el orden en 
que se aplica depende de varios factores, entre ellos la lógica 
del aprendiz, la forma de la ecuación o el tipo de problema, entre 
otros. 
 
A partir del problema planteado se obtiene una ecuación en la que se 
sugiere quitar paréntesis, quitar denominadores, agrupar los términos 
en x en un miembro y los términos independientes en el otro, reducir 
los términos semejantes y despejar la incógnita. 
 
En tus palabras, ¿qué significa despejar una variable? 
______________________________________________________________________________________________________________
______________________ 
Problema 4. Carolina y 4 amigos más, irán de visita a Mazamitla, y 
planean quedarse 2 noches en las Cabañas San Carlos, que ofrece 
una cabaña para 5 personas por $1650.00 pesos por noche. 
• Describe cómo calcularían lo que se tiene que pagar por 
noche. 
__________________________________________________
_________ 
__________________________________________________
_________ 
__________________________________________________
_________ 
 
 
 
 
Se espera que el lector intuya que la ecuación lineal puede tener una 
expresión algebraica distinta para cada problema, inclusive en 
ocasiones para el mismo problema, y para encontrar la solución se 
utilizan las mismas reglas, pero para cada ecuación, el orden en 
que se aplica depende de varios factores, entre ellos la lógica 
del aprendiz, la forma de la ecuación o el tipo de problema, entre 
otros. 
 
A partir del problema planteado se obtiene una ecuación en la que se 
sugiere quitar paréntesis, quitar denominadores, agrupar los términos 
en x en un miembro y los términos independientes en el otro, reducir 
los términos semejantes y despejar la incógnita. 
 
En tus palabras, ¿qué significa despejar una variable? 
_______________________________________________________
_______________________________________________________
______________________ 
Problema 4. Carolina y 4 amigos más, irán de visita a Mazamitla, y 
planean quedarse 2 noches en las Cabañas San Carlos, que ofrece 
una cabaña para 5 personas por $1650.00 pesos por noche. 
• Describe cómo calcularían lo que se tiene que pagar por 
noche. 
__________________________________________________
_________ 
__________________________________________________
_________ 
__________________________________________________
_________ 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
182
 
• Investiga con tu equipo: 
o Las expresiones de las preguntas anteriores son una 
identidad, igualdad o ecuación 
__________________________________ 
 
o Con tu equipo, discutan y formen una definición para 
“ecuación”. 
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_____________________________________________ 
 
Sabías que… 
 
Para llegar al actual proceso de resolución de 
la ecuación ax + b = c han pasado más de 
3.000 años. 
Los egipcios dejaron en sus papiros (sobre 
todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de 
Moscú -1.850 a, de C.-) una multitud de 
problemas matemáticos resueltos. La mayoría 
de ellos son de tipo aritmético y respondían a 
situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, se encuentra 
que son del tipo algebraico, pues no se refiere a ningún objeto 
concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución 
realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy 
resolvemos dichas ecuaciones. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
183
 
Actividad 3. En equipo, busquen información confiable sobre los 
inicios del álgebra, y realicen una exposición. Pueden realizar 
presentaciones en PowerPoint de Microsoft Office, videos, 
exposiciones con materiales físicos, etc. 
 
Problema 5. Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhind 
responde al problema siguiente: "Un montón y un séptimo del mismo 
es igual a 24". Elige cuál es la notación algebraica que representa 
esa ecuación: 
) 7 24
1) 24
7
) 7 24
a m m
b m m
c m m
+ =
+ =
− =
 
 
Actividad 4. Con tu equipo, busquen ejemplos de problemas de 
ecuaciones lineales de la antigüedad. 
 
Problema 6. En una escuela primaria se planea llevar a los 
estudiantes a un viaje escolar hacia Guanajuato. Además de los 
gastos de transporte, hotel y comida, se les pide que lleven 25% del 
costo del viaje extra, para utilizar en compras extras que pudieran 
querer, o en caso de emergencias. 
 
En total les piden $2900.00 pesos, ¿cuál fue el costo real del viaje 
(sin contar el extra)? 
• ¿Cuál es la incógnita para este problema? 
________________________________________ 
 
• ¿Qué letra usarás para nombrarla? 
_____________________________________________ 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
184
 
 
• ¿Cómo calcularías el precio del viaje sin contar el costo extra? 
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
______________________ 
• Escribe la ecuación que representa el problema y resuélvela. 
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
______________________ 
 
Problema 7. De un juego de cartas se sacan cierto número de cartas 
y 3 más; después se saca la mitad de lo que quedó. Si aún quedan 
10 cartas, ¿Cuántas cartas se sacaron la segunda vez? 
 
Problema 8. En un espectáculo, el mago realiza el siguiente truco: 
• Piensa en un número 
• Súmale 15 
• Multiplica el resultado por 3 
• A eso réstale 9 
• Ahora divídelo entre 3 
• Réstale 8 
• Dime cuál es el resultado obtenido y te diré el número que 
pensaste. 
• El espectador responde: 32 
• El mago de inmediato afirma: el número que pensaste fue 28. 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
185
 
¿Cómo lo hizo? Completa el cuadro: 
 
Traducción del 
lenguaje natural al 
lenguaje matemático 
Piensa en un número 
Súmale 15 
Multiplica el resultado 
por 3 
A eso réstale 9 
Ahora divídelo entre 
3 
Réstale 8 
El espectador 
responde: 
 
n 
n+15 
Escribe la expresión 
de la ecuación 
correspondiente 
 
 
Resuelve la ecuación 
 
 
 
 
Verifica tu resultado 
 
 
 
Problema 9. El lunes pasado Susana recibió su cheque quincenal. 
25% de su pago lo designó al pago de la renta. La sexta parte de lo 
que quedaba lo utilizó para el pago de agua, luz y teléfono. El 40% 
del resto lo utilizó para surtir su despensa. Una cuarta parte de lo que 
le queda lo usó para poner gasolina a su carro. Si le quedaron 
$2250.00 pesos. ¿Cuánto recibe Susana a la quincena? 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
186
 
Problema 10. Por ejemplo, una de las ecuaciones lineales de primer 
grado es el epigrama algebraico planteado para conocer la edad del 
matemático Diofanto (Investiga quien fue Diofanto): 
 
Fue muchacho 1/6 de su vida, su barba creció 
luego 1/12 más, se casó 1/7 después, tuvo un hijo 
cinco años más tarde, que vivió la mitad de la edad 
de su padre, el cual murió cuatro años después de 
su hijo. ¿Cuál es la ecuación que representa el 
problema? y por consecuencia ¿a qué edad murió 
Diofanto? 
 
Problema 11. En una escuela de nivel medio, los profesores de la 
academia de inglés, determinan que para que todos los alumnos 
cuenten con sus libros de texto a tiempo para que nadie se atrase en 
la clase; se comprarán todos los libros juntos a la editorial que los 
produce, y con la finalidad de contar con fondos para adquirir ciertos 
materiales didácticos, se incrementará en un 20% el precio de la 
compra. Se determina que el precio final es de $127.00. ¿Cuál es el 
costo original de los libros? 
• Por principio, ¿Cuál es la incógnita? _____________________ 
• Designemos usando una letra ___________ 
• ¿Cómo calcula el profesor el precio de venta de cada libro? 
________________________ 
• ¿Recuerdas cómo se calcula el porcentaje de una cantidad? 
Exprésalo usando la letra que tenemos para designar el costo de 
cada libro. ___________________________ 
• Escribe ahora usando la expresión anterior, la forma en que se 
calculó el precio de venta de cada libro. ____________________. 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
187• La expresión anterior debe ser igual a uno de nuestros datos, con 
lo que formaríamos una ecuación de primer grado, por favor 
escríbela. ______________________________ 
 
Problema 12. Durante las vacaciones de verano, Carlos decide 
trabajar en el negocio de paquetería “RAPIPACK” del cual es 
gerente su papá. Aprovechando que Carlos es estudiante de 
Ingeniería, se le encomienda le encomienda que ayude a encontrar 
la forma más rápida y que ayude a reducir el gasto de combustible 
para hacer el intercambio diario de paquetes entre Cd. Guzmán y el 
centro de distribución regional de Guadalajara. 
 
Cada uno de los vehículos de paquetería sale al mismo tiempo de su 
ciudad y viajan uno hacia el otro hasta encontrarse. Una vez que se 
encuentran en el camino, proceden a hacer el intercambio de 
paquetes y regresar a sus sucursales. 
 
Si la separación entre las sucursales de Cd. Guzmán y el centro de 
distribución de Guadalajara es de 146.5 Km y las camionetas de 
carga viajan aproximadamente a 80 km/h y 95 km/h respectivamente: 
a) ¿Cuál es el tiempo en horas que les toma a las camionetas 
encontrarse en la carretera? 
b) ¿Cuál es el recorrido total que hace cada una de las 
camionetas por ir a intercambiar la paquetería y regresar hasta 
su sucursal? 
c) Si el consumo aproximado de gasolina de la camioneta de la 
sucursal Cd. Guzmán es de 6 km x litro y el de la camioneta 
del centro de distribución de Guadalajara es de 7.5 km x litro, 
¿cuál de las dos camionetas consume más gasolina para 
hacer la entrega? 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
188
 
d) El precio actual de la gasolina es de $ 9.24 pesos por litro, 
¿Cuánto cuesta enviar cada una de las camionetas al punto 
de intercambio de paquetes? 
e) ¿Saldría más económico enviar alguna de las camionetas 
completamente hasta la otra sucursal a hacer la entrega y 
recoger los paquetes en vez de encontrarse en un punto 
intermedio? ¿Cuál de las dos camionetas haría menos gasto? 
¿Cuál realizaría la entrega más rápida? 
f) En base a los resultados que obtuviste, ¿qué opción le 
recomendarías al gerente para economizar gastos y tiempo? 
 
 Hacer un reporte al gerente de paquetería “RAPIPACK”. 
 Consulta en internet el video que explica la solución de una 
ecuación lineal. 
http://www.youtube.com/watch?v=ZjXnaWrauFE&NR=1&feature=fvw
p. 
 Consulta el sitio http://www.aaamatematicas.com/equ.htm y explora el 
simulador para resolver ecuaciones. Extraído el miércoles 20 de 
julio de 2011. 
 
Problema 13. Relaciona las siguientes columnas. 
a. Es la expresión de que dos 
cantidades o expresiones 
algebraicas tienen el 
mismo valor. Ejemplo: 
a=b+c. 
b. Es una igualdad en la que 
hay una o varias 
cantidades desconocidas 
llamadas incógnitas y que 
sólo se verifica o es 
( ) Resolver una ecuación 
( ) Raíz o solución de una 
ecuación 
( ) Grado 1 
( ) Grado 2 
( ) Igualdad 
( ) Ecuación 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
189
 
verdadera para 
determinados valores de 
las incógnitas. 
c. Son los valores de las 
incognitas que verifican o 
satisfacen la ecuación, es 
decir que sustituidos en 
lugar de las incognitas, 
convierten la ecuación en 
identidad. 
d. Grado de una ecuación 
lineal. 
e. Es encontrar sus raices , o 
sea el valor o los valores 
de las incognitas que 
satisfacen la ecuación. 
 
Problema 14. El Ing. Víctor Ramírez, recién egresado de la carrera 
de Ingeniería Industrial del Tecnológico de Cd. Guzmán, acaba de 
ser contratado para trabajar en la planta ensambladora de autos 
Volkswagen en Puebla. Después de dos semanas de entrenamiento, 
le es encomendada la tarea de determinar cuál sería el tiempo total 
de armado de un lote de 20 Jettas de 5ª generación, si las tres líneas 
de ensamble disponibles (cada una con diferente arquitectura, 
duración y costos de producción) trabajaran al mismo tiempo. A la 
línea 1, que es la más moderna y robotizada, le toma 5 horas 
ensamblar un lote de 20 Jettas, a la Línea 2 le toma 6 horas y la 
tercera línea, que es la más antigua, tarda 12 hrs. en ensamblar la 
misma cantidad de autos. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
190
 
a) ¿Cuánto tardarían en ensamblar el mismo lote de 20 Jettas si las 
tres líneas trabajaran al mismo tiempo? 
b) Los gastos de producción de las líneas de ensamble 1,2 y 3 para 
el lote de 20 autos son respectivamente $280, 000, $325, 000 y 
$310, 000, ¿Cuál sería el costo total de producción de trabajar las 
3 líneas de ensamble al mismo tiempo para el ensamble de un 
solo lote? 
c) ¿Cuál sería el tiempo de ensamble de un lote de 20 Jettas en 
caso de que la línea de ensamble 3 se cerrará para su 
mantenimiento y solo trabajarán la línea 1 y la línea 2? 
d) ¿Cuál sería el costo de operación de trabajar de esta forma (línea 
1 y línea 2)? 
e) Según los datos obtenidos, consideras que sería más eficiente 
cerrar definitivamente la línea de ensamble 3 y trabajar solo con 
la línea 1 y 2? Qué propuesta presentarías? 
 
Problema 15. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de 
cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad 
del hijo? 
 
Problema 16. Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 
54. ¿Cuál es el número? 
 
Problema 17. La base de un rectángulo es doble que su altura. 
¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm? 
 
Problema 18. En una reunión hay doble número de mujeres que de 
hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. 
¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 
96 personas? Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
191
 
Reponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. 
Calcula la capacidad del bidón. 
 
Problema 19. 
a. Pablo acaba de ingresar a una empresa, pero de una 
quincena sólo trabajó 13 días y su cheque fue de $ 4800.00, y 
le han informado que por los dos días le descontaron el 20% 
de su sueldo, el desea conocer cuánto será su sueldo 
quincenal. 
b. Pablo ha cumplido 3 años en la misma empresa y ya no 
recuerda cuál fue el sueldo mensual que percibía cuando 
inicio a trabajar. Revisando sus nóminas observa que 
actualmente percibe 19,200 y su jefe le ayuda indicándole que 
gana un 60% más del sueldo inicial. Ayudemos a Pablo a 
encontrar la ecuación lineal de una variable que le permitirá 
resolver su problema. 
 
Problema 20. Juan tiene 12 monedas más que Enrique y entre 
ambos tienen 78. ¿Cuántas monedas tiene Enrique? 
 
Problema 21. El sueldo semanal de Manuel lo distribuye de la 
siguiente manera, la mitad en alimentos y habitación la cuarta parte 
en ropa, la sexta parte en diversiones y los $300 restantes los ahorra. 
¿De cuánto era el sueldo de Manuel? 
 
Problema 22. Un grupo de 4 amigos adquieren un acuario para 
adornar su oficina. Una persona hace la compra y quiere cobrarles a 
cada uno su parte. Si en total fueron $2600. ¿Cuánto le toca pagar a 
cada amigo? 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
192
Problemas Selectos de PreCálculo
193
 
SECUENCIA DIDÁCTICA 
 
5 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES 
LINEALES CON DOS 
VARIABLES 
 
 
 
Colaboración de: 
Marisol Ramírez Castellanos 
Estudiante de la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas 
CUCEI, Universidad de Guadalajara 
Marco Antonio Guzmán Solano 
Profesor del Departamento de Ciencias Básicas 
Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
194
 
Sistemas de ecuaciones lineales con dos 
variables 
Unidades de competencia 
 
• Construir el modelo matemático de situaciones concernientes a la 
vida cotidiana relacionadas con los sistemas lineales de dos 
ecuaciones con dos incógnitas para determinar su solución e 
interpretar los resultados. 
• Identificar datos en el planteamiento de problemas descritos en 
forma retórica, representados por tablas, gráficas, mapas o 
diagramas, provenientes de situaciones cotidianaspara plantear y 
solucionar sistemas lineales de dos ecuaciones con dos 
incógnitas. 
• Valora la aplicabilidad de los sistemas lineales de dos ecuaciones 
con dos incógnitas para representar y resolver diversos 
problemas de su entorno. 
 
Saber conocer 
 
• La ecuación lineal, su solución y representación gráfica para 
aplicarlo a la solución de un sistema lineal de dos ecuaciones con 
dos incógnitas. 
• Propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales de 2×2. 
• La interpretación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales de 
2×2 para su aplicación en la resolución de problemas. 
• Identificar los elementos dados y por determinar, en un problema 
planteado o de una situación cotidiana para obtener el modelo 
matemático. 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
195
 
Saber hacer 
 
• Identifica los elementos de un sistema de ecuaciones lineales de 
2×2 para plantear su solución. 
• Plantea un sistema de ecuaciones lineales de 2×2 para resolver el 
problema. 
• Compara los métodos de resolución para elegir el más eficiente 
para resolver el problema. 
• Analiza las características de un sistema de ecuaciones y sus 
gráficas para determinar su tipo de solución. 
• Describe verbalmente el procedimiento empleado para plantear el 
sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, hallar su 
solución e interpretar los resultados. 
• Construye ideas y argumentos relativos a la solución de sistemas 
de ecuaciones 2X2 para su aplicación en situaciones de la vida 
cotidiana. 
• Usa la tecnología como herramienta para la exploración de 
solución e interpretación de resultados. 
 
Saber ser 
 
• Participa activamente en su equipo colaborativo en el 
planteamiento y solución de las actividades propuestas. 
• Promueve el respeto, la tolerancia, igualdad, puntualidad, 
honestidad, responsabilidad en él y entre sus compañeros(as). 
• Aporta puntos de vista personales y está atento a los de sus 
compañeros(as) para reflexionar sobre sus procesos de 
aprendizaje. 
• Elabora escritos sobre lo que se pide en las actividades para 
ponerlo a consideración del grupo. 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
196
 
• Aporta puntos de vista con argumentos para demostrar su 
conocimiento del tema y apertura. 
• Asume una actitud constructiva y de participación activa para 
hallar la solución de problemas cotidianos trabajados en equipo. 
• Promueve el diálogo como mecanismo para la solución de 
conflictos. 
 
Medios y Materiales 
 
• Calculadora. 
• Lápiz, papel. 
• Computadora con acceso a internet. 
• Regla. 
• Software WinPlot, Geogebra y Algebrator. 
• Objeto para aprendizaje de ecuaciones lineales 
“ODA_MA1_B3_3.2.1.html. 
• DVD de videos. 
• Internet. 
 
Actividad 1. De manera individual vas a dividir en tres partes una 
hoja de tu cuaderno, y en el encabezado de cada división escribirás 
lo que se muestra en la tabla siguiente: 
 
Hoja C-Q-A. 
Las primeras dos letras corresponden a las primeras dos partes de tu 
hoja. Ahora, contesta las dos preguntas. 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
197
 
• Aporta puntos de vista con argumentos para demostrar su 
conocimiento del tema y apertura. 
• Asume una actitud constructiva y de participación activa para 
hallar la solución de problemas cotidianos trabajados en equipo. 
• Promueve el diálogo como mecanismo para la solución de 
conflictos. 
 
Medios y Materiales 
 
• Calculadora. 
• Lápiz, papel. 
• Computadora con acceso a internet. 
• Regla. 
• Software WinPlot, Geogebra y Algebrator. 
• Objeto para aprendizaje de ecuaciones lineales 
“ODA_MA1_B3_3.2.1.html. 
• DVD de videos. 
• Internet. 
 
Actividad 1. De manera individual vas a dividir en tres partes una 
hoja de tu cuaderno, y en el encabezado de cada división escribirás 
lo que se muestra en la tabla siguiente: 
 
Hoja C-Q-A. 
Las primeras dos letras corresponden a las primeras dos partes de tu 
hoja. Ahora, contesta las dos preguntas. 
 
¿Qué sé de 
ecuaciones lineales? 
¿Qué quiero aprender 
de ecuaciones 
lineales? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con tu Grupo Colaborativo (GC) comenta tus respuestas y escucha 
las de tus compañeros(as), en una hoja a parte escriban lo que todos 
saben de ecuaciones y en otra lo que quieren aprender. 
 
Actividad 2. 
a. Ingresa al sitio http://matematicas-
venegas.blogspot.mx/2011/01/matematicas-i.html en la opción 
ODA_MA1_B3_3.2.1.html y contesta lo que se te pide con tu GC. 
 
b. De forma individual contesta lo siguiente: ¿Qué se te dificultó de 
la actividad? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
198
 
c. ¿Qué te pareció interesante? 
 
 
 
 
_______________________________________________________
___________ 
 
d. Copia cada pantalla de tu trabajo del ODA, haz un archivo con 
éstas y guárdalo como ODA_#EC 
 
e. Ahora, en la última parte de tu hoja C-Q-A, vas a escribir: ¿Qué 
aprendí de ecuaciones lineales? Que corresponde a la letra A. 
Puede quedarte de la siguiente manera: 
 
¿Qué sé de 
ecuaciones lineales? 
¿Qué quiero aprender 
de ecuaciones 
lineales? 
Qué aprendí de 
ecuaciones 
lineales? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
199
 
f. En GC compartan sus resultados y hagan un reporte para 
presentar ante el grupo. 
 
Problema 1. Los babilonios resolvieron varios 
problemas y en una tablilla se encontró lo siguiente: 
Un cuarto de la anchura más una longitud es igual a 
siete manos, y una longitud más una anchura son 
igual a diez manos. 
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-
01/secciones/historia.html 
 
Con tu GC resuelvan el problema. Comparen su 
procedimiento con el utilizado por los babilonios (lo 
pueden encontrar en la dirección electrónica anterior) y escriban sus 
conclusiones al respecto. 
 
¿Crees que haya una forma más sencilla de resolverlo? Si conoces 
alguna otra forma escríbela: 
 
 
De acuerdo a lo que investigaste: ¿Cómo se le llama a lo que 
solucionaron los babilonios? 
 
Presenta tus resultados al grupo y comprueba tus resultados en 
Algebrator. 
 
¿Sabías qué? 
 
En las culturas antiguas se trataron problemas 
relacionados con la solución de sistemas lineales de 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
200
 
dos ecuaciones lineales de dos incógnitas, como el problema 2 
relativo a la matemática griega. 
 
Problema 2. La Cultura griega. Las mil estateras que tengo, a mis 
dos hijos dejo en herencia. La quinta parte de lo dado a mi legítimo 
hijo sobrepasa en diez la cuarta parte de la suma que debe recaer en 
mi otro hijo. 
 
Información complementaria del problema: 
 
La estatera, el dracma y la mina son monedas y unidades de peso 
alejandrinas. La estatera era de oro o de plata. El dracma era de 
plata, y pesaba entre 2 y 4 gramos. La mina era de mayor valor, y 
equivalía a 100 dracmas. 
 
Solución algebraica: 
 
x : herencia del legítimo. 
y : herencia del bastardo. 
 
Sistema de ecuaciones generado por el problema: 
x + y = 1000 
1 1 x =10 + y
5 4
 
De la primera ecuación se despeja una de las variables, en este caso 
x, de donde queda: 
x = 1000 - y 
ahora se sustituye en la segunda 
( )1 1 1000 - y =10 + y
5 4
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
201
 
se manipula algebraicamente la ecuación y se obtiene 
1 1 y =10 -200
5 4
⎛ ⎞− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
9 3800 y =-190 y = 
20 9
− ⇒ 
de aquí se obtiene la solución. 5200x = 
9
, 3800y =
9
 
 
Problema 3. Juan compró una computadora y una televisión lcd por 
$ 14,000.00 pesos y los vendió por $ 15,800.00 pesos. ¿Cuánto le 
costó cada objeto, si sabe que en la venta de la computadora ganó el 
10% y en la venta de la televisión ganó el 15 %? 
 
 
 
Actividad 3. Con tu GC discute las distintas formas de solucionar un 
sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. 
 
Definición. Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas 
está conformado por dos ecuaciones lineales que se representa 
matemáticamentecomo: 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
202
 
1 1 1 Ecuación 1a x b y c+ = (I) 
 2 2 2 Ecuación 2a x b y c+ = 
donde 1 1 1 2 2 2, , c , , , c a b a b son números reales. 
 
Definición Se le llama solución de un sistema lineal a conjunto de 
valores 1 1, y yx x= = que satisfacen simultáneamente las 
ecuaciones que conforman que integran el sistema lineal. Todo 
sistema lineal puede tener una solución, solución múltiple y ninguna 
solución. 
 
 
 Sistema 
compatible 
determinado. 
Tiene una 
sola 
solución. 
Gráficamente la 
solución es el 
punto de corte de 
las dos rectas. 
Tipos de 
sistemas 
 
Sistema 
compatible 
indeterminado. 
El sistema 
tiene infinitas 
soluciones. 
Gráficamente 
obtenemos dos 
rectas 
coincidentes. 
Cualquier punto de 
la recta es 
solución. 
 Sistema 
incompatible 
No tiene 
solución. 
Gráficamente 
obtenemos dos 
rectas paralelas. 
 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
203
 
Sistemas equivalentes 
 
Por lo general, en los textos de álgebra se integran tres tipos de 
métodos de solución, cuyas bases teóricas son las mismas, que se 
conocen como: 
 
• Método de sustitución 
• Método de igualación 
• Método de reducción 
• Determinantes 
• Eliminación Gaussiana 
 
Criterios de equivalencia 
 
a. Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les 
suma o se les resta una misma expresión, el sistema 
resultante es equivalente. 
b. Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las 
ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el 
sistema resultante es equivalente. 
c. Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra 
ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es 
equivalente al dado. 
d. Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que 
resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente 
multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro 
sistema equivalente al primero. 
e. Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el 
orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente. 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
204
 
Resolución de sistemas de ecuaciones 
 
Método de sustitución 
 
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra 
ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita. 
3. Se resuelve la ecuación. 
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que 
aparecía la incógnita despejada. 
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. 
 
Método de igualación 
 
1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 
2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una 
ecuación con una incógnita. 
3. Se resuelve la ecuación. 
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos 
expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. 
 
Método de eliminación (Reducción) 
 
1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los 
números que convenga. 
2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 
3. Se resuelve la ecuación resultante. 
4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones 
iniciales y se resuelve. 
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
205
 
En la vida cotidiana las aplicaciones de los sistemas de n 
ecuaciones lineales son bastas, porque su uso va desde las 
aplicaciones a la empresa, hasta problemas de una ciencia en 
particular. 
 
Método Descripción 
Sustitución Despejar una variable de una ecuación y sustituirla 
en la otra ecuación, y luego se soluciona ecuación 
lineal de una variable. 
Igualación Despejar de ambas ecuaciones la misma 
incógnita, luego se igualan y se soluciona la 
ecuación lineal de una variable 
Eliminación o 
reducción 
Se busca que los coeficientes de una de las 
variables sean iguales, pero de signo contrario, 
para que mediante una operación de suma entre 
ecuaciones se elimine y se solucione la ecuación 
en una variable resultante. 
Gráfico Una ecuación lineal con dos variables se 
representa en el plano cartesiano como una línea 
recta, así que las opciones de solución y no 
solución de tal sistema lineal, se interpreta de 
acuerdo a: 
• La intersección de las rectas  Una solución 
• Una sola recta  Solución múltiple 
• Dos rectas paralelas  Ninguna solución 
Determinantes Se parte de la definición de determinante de 2 filas 
y 2 columnas, para hallar las incógnitas, mediante 
el procedimiento de Cramer. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
206
 
Actividad 4. Consulta los videos indicados en la tabla siguiente, en 
los que puedes recordar los distintos métodos de solución de un 
sistema de ecuaciones lineales. 
 
Videos explicativos de solución de ecuaciones de dos ecuaciones con dos 
incógnitas o variables 
http://www.youtube.com/watch?v=_ortHvWpqVc&p=0E7A59066D5D69A0 
http://www.youtube.com/watch?v=7wKiydmq1n4 
http://www.youtube.com/watch?v=s5CWYFhyrV4&feature=related 
http://www.youtube.com/watch?v=mWkHlsY5-A0&feature=related Gráfico 
http://www.youtube.com/watch?v=ZPh7F8Nl5Jk&feature=related Sustitución 
http://www.youtube.com/watch?v=ojcQygkEMYo&feature=relmfu Igualación 
http://www.youtube.com/watch?v=j873-AxSajU&feature=relmfu Cramer 
http://www.youtube.com/watch?v=yb-OxliKNmI&feature=related Reducción 
http://www.youtube.com/watch?v=2gvmMOgCZOM&feature=related Reducción 
http://www.youtube.com/watch?v=TrrC_jciMxY&feature=related Suma y 
resta 
http://www.youtube.com/watch?v=oljf76g1d-A&feature=related Suma y 
resta 
http://www.youtube.com/watch?v=j2qadMPRjFQ&feature=related Suma y 
resta 
 
Para investigar: ¿En qué fenómenos se pueden representar 
situaciones físicas mediante el uso de ecuaciones? 
 
Sistemas de ecuaciones lineales en la antigüedad. 
 
Artículo tomado del sitio en internet: 
http://www.cipri.info/resources/HIST-Sistemas_de_ecuaciones_lineales.pdf 
(SINTETIZAR) 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
207
 
Para investigar: ¿En qué fenómenos se pueden representar 
situaciones físicas mediante el uso de ecuaciones? 
 
Sistemas de ecuaciones lineales en la antigüedad. 
 
Artículo tomado del sitio en internet: 
http://www.cipri.info/resources/HIST-Sistemas_de_ecuaciones_lineales.pdf 
(SINTETIZAR) 
 
Las culturas babilonia, egipcia, 
griega e hindú incluían en su 
acervo de conocimientos 
problemas de matemáticas, 
entre los que se incluyen 
sistemas de ecuaciones de 
dos ecuaciones con dos 
incógnitas, en los que 
relacionaban situaciones de la 
vida cotidiana de longitudes, 
áreas y volúmenes. En las 
tablillas de arcilla se han detectado diversos problemas, como el 
siguiente: 
 
1 anchura + longitud = 7 manos
4
 
 longitud + anchura = 10 manos 
 
El papiro de Rhind (1650 A. C.) y el papiro de Moscú (1850 A. C.) 
son dos joyas que nos legaron los egipcios, en los que se plasman 
distintos problemas de matemáticas, la mayoría de aritmética, y el 
resto de una incipiente álgebra. Es importante aclarar que no se 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
208
 
manipulan las ecuaciones como hoy en día, porque se carecía de un 
lenguaje algebraico, y los problemas tratados se relacionan con 
situaciones concretas de la vida cotidiana y la solución se describe 
en su lenguaje común. 
 
El caso de los griegos, su aportación, como es conocido por los 
interesados en la matemática fue geométrica, ya que los problemas 
los solucionaban con argumentos geométricos y se incluyeron en el 
libro Los Elementos de Euclides. 
 
Muy posterior a los elementos de Euclides, Diofanto soluciona 
distintos tipos de ecuaciones, en un lenguaje conocido como 
Sincopado, una extraña mezcla entre símbolos y lenguaje común. 
Esta aportación de Diofanto a la matemática fue el cimientodel 
lenguaje simbólico, que aunque sus métodos de solución no 
muestran una generalización, su planteamiento de solución es muy 
parecido a las reglas actuales de la solución de ecuaciones 
algebraicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
209
 
Problema 4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones 
lineales de 2×2, elige el método adecuado para cada sistema, 
justifica tu elección y tus procedimientos, obtén las gráficas (puedes 
auxiliarte de WINPLOT o GEOGEBRA) y comprueba tus resultados. 
Apóyate en tu GC para realizar la actividad. 
 
 
x = 3y 
2x + 2y = 16 
 
3x − 2y = 8 
y + x = 6 
4x − y = 11 
2x + 3y = 37 
 
3x-2y=-1 
-6x+4y=3 
x + y = 58 
2x + 4y = 168 
 
12
3
t w+ = 
3 4 5t w− = 
2t + 3w = 5 
4t + 6w = 10 
 
0t wπ + = 
1.24 2.71 5.4t w− = 
y − 5x = 8 
y − 5x = 3 
 
4.1x − 0.23y = 11.23 
2.2x + 3.3y = 37.1 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
210
 
Actividad 5. La siguiente es la gráfica de un sistema de ecuaciones, 
obtén con tu GC el sistema de ecuaciones que corresponda con ésta, 
y un problema que se resuelve con el sistema que plantearon. 
 
 
 
Elabora un reporte con el trabajo anterior, incluye en éste qué se les 
dificultó, cómo es que obtuvieron el sistema, y cómo hicieron para 
redactar el problema. 
 
Problema 5. En PROLEA se procesa crema y jugo, cada uno de 
estos productos debe procesarse por dos máquinas. Cada unidad de 
crema necesita tres horas de procesamiento en la máquina de 
centrifugado y dos horas en la máquina de pasteurizado; mientras 
que cada unidad de jugo necesita una hora en la máquina de 
centrifugado y una hora y media en la máquina de pasteurizado. Si la 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
211
 
máquina de centrifugado está disponible al mes por 300 horas y la 
máquina de pasteurizado por 250 horas, ¿Cuántas unidades de 
crema y cuántas de jugo se obtienen en PROLEA al mes? ¿Cuál es 
la ganancia de cada producto por unidad? 
Justifica y argumenta tus procedimientos y tu resultado. 
 
Actividad 6. Completa tu hoja C-Q-A con la pregunta ¿Qué aprendí 
de sistemas de ecuaciones lineales? 
Elabora un reporte con las conclusiones de la actividad con tu EC. 
 
Problema 6. En PROLEA se envasaron 300 litros de leche en 120 
botellas de dos y cinco litros ¿Cuántas botellas de cada clase se 
utilizaron? 
 
Problema 7. Cinépolis La Gran Plaza recaudó $37,026 en una 
función. Si el costo del boleto para la sala normal es de $43 y para la 
sala 3D es de $62 por persona, y se vendieron 721 boletos, 
¿Cuántos boletos para sala 3D y cuántos para sala normal se 
vendieron? 
 
Problema 8. En una reunión familiar en el parque, mi papá compró 
unos paquetes de sabritas y otros de rancheritos y gastó $87, mi tío 
compró la misma cantidad de paquetes de sabritas y de rancheritos y 
el pagó $261 ¿Cuántos paquetes compraron de cada tipo de papas? 
¿Por qué el tío pagó más? 
 
Problema 9. A mi hermano y mi primo les dieron dinero mis papás, 
entre los dos juntaron $60, luego ellos triplicaron cada uno su dinero, 
se juntaron y entre los dos tuvieron $90, ¿Cuánto dinero le dieron mis 
papás a cada uno? 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
212
 
Actividad 7. En este momento elaborarás otra hoja pero en ésta 
escribirás las siguientes preguntas: ¿Qué sé de sistema de 
ecuaciones lineales? ¿Qué quiero aprender de sistema de 
ecuaciones lineales? Y contéstalas de manera individual. 
Comparte tus respuestas con tu EC y haz un reporte sobre lo que 
concluyeron. 
 
Actividad 8. Sección Sherlock Holmes y su ayudante principal. Se le 
encomendó a Sherlock Holmes una investigación importante, tiene 
que averiguar qué es un sistema de ecuaciones, cuáles son los 
métodos de solución, y cuántos tipos de solución se pueden tener; 
pero como él estaba trabajando en otra investigación le encargó a su 
ayudante (tu GC) que lo investigara y le entregara un reporte, 
además le dijera cuál era el más sencillo y cuál el más eficiente, y 
bajo qué condiciones. 
 
Actividad 9. Plantea los sistemas de ecuaciones de los problemas 
de la Actividad 5 y obtén sus gráficas, luego responde las siguientes 
preguntas: 
 
a. ¿Cómo son los coeficientes de los sistemas de 
ecuaciones, por cada problema? 
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_________________ 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
213
 
b. ¿Cómo es la gráfica de cada sistema de ecuaciones? 
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_________________ 
 
c. ¿Qué relación encuentras entre cada sistema de 
ecuaciones y su respectiva gráfica? 
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_________________ 
 
Investigar: 
 Las ecuaciones diofantinas 
 El método para solucionar sistemas de ecuaciones lineales de los 
chinos. 
 
Problema 10. El señor José Cardoso es el nuevo administrador de 
una granja de animales ubicada en frente del Tecnológico de Cd. 
Guzmán. Dentro de las primeras actividades que tiene que realizar 
está la compra de collares y correas antivirales que se tienen que 
colocar a los cerdos y pavos de la granja, debido a una rara epidemia 
que afecta la salud de los animales. En los datos estadísticos de la 
granja no se cuenta con la cantidad de cerdos y de pavos que hay en 
total, sin embargo existe registro que hay un total de 58 cabezas y 
168 patas de esos dos tipos de animales. Como las correas y 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
214
 
collares son de distintos tamaños, don José Saturnino debe saber 
cuántos cerdos y cuantos pavos hay, para poder comprar esos 
accesorios antivirales. También el administrador desea saber el 
porcentaje del total de cada tipo de animal que hay (cerdos y pavos) 
con el fin de llevar un control estadístico. 
 
Otra de las actividades que don José Saturnino debe hacer es el de 
renovar el contrato con los proveedores de alimentos para los 
animales. Sabe que lo cerdos comen 3.5 kg de alimento al día y los 
pavos 0.5 kg cada uno y tiene dos proveedores que le ofrecen 
distintos precios en los costales de alimento. El proveedor 1 le vende 
a $ 70 pesos el costal de alimento para cerdo y $ 58 pesos el de 
alimento para pavo, cada costal de 50 kg. El proveedor 2 le vende a 
$ 65 pesos el costal de alimento para cerdo y $ 60 pesos el de 
alimento para pavo, cada costal de 55 kg. ¿Cuántos kilos de alimento 
necesita por cada tipo de animal (cerdos y pavos) y con cuál de los 
dos proveedores le conviene comprar sabiendo que su análisis lo 
hará por mes? 
 
Investigar: 
• ¿Qué es la temperatura? 
• La conversión entre dos escalas de temperatura Celcius y 
Farenheit se logra mediante un sistema de ecuaciones lineales. 
¿Cuáles son? 
 
Problema 11. En una pequeña granja en El Fresnito municipio de 
Zapotlán el Grande Jalisco se produce leche que se consume en la 
misma localidad, que tiene una población de 800 personas 
aproximadamente y se han llegado a envasar 300 litros de leche. Si 
el encargado de la granja tiene la intensión de envasar esa misma 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
215
 
cantidad de leche (300 litros) en 120 botellas de dos y cinco litros, 
que son con las que él cuenta en ese momento: 
a) ¿Cuántas botellas de cada clase debeutilizar para envasar 
esos litros de leche? 
b) ¿Cuál será su ganancia si vende todas las botellas sabiendo 
que la de 2 litros cuesta $ 21.50 pesos y la de 5 litros cuesta $ 
33 pesos? 
c) Si cada semana el encargado de la granja obtuviera la misma 
ganancia del inciso anterior, ¿cuánto tiempo se tardaría en 
reunir $ 31000 pesos para comprar un equipo de ordeño a 
base de bomba rotaria con la que se puede ordeñar dos vacas 
a la vez? 
 
Problemas 12. ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su 
perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura? 
 
Problemas 13. Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble 
del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú me das seis pesos 
tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno? 
 
Problemas 14. La cifra de las decenas de un número de dos cifras 
es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le 
restamos 27 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de 
sus cifras. ¿Cuál es ese número? 
 
Problemas 15. En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por 
nuestro buen comportamiento dos bolígrafos a cada chica y un 
cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos 
chicos y cuántas chicas están en mi clase? 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
216
Problemas Selectos de PreCálculo
217
 
SECUENCIA DIDÁCTICA 
 
6 
 
ECUACIONES DE SEGUNDO 
GRADO 
 
 
 
 
 
 
Colaboración de: 
María Inés Ortega Árcega 
Profesora del Área de Ciencias Básicas 
Universidad Autónoma de Nayarit 
Natalia Cisneros Aguilar 
 Profesora del Departamento de Ciencias Básicas 
Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
218
 
Ecuaciones de segundo grado o ecuaciones 
cuadráticas 
Unidades de competencia 
 
• Resolver problemas que involucren ecuaciones cuadráticas 
provenientes de situaciones de la vida cotidiana para que 
relacione la matemática con su entorno. 
• Utilizar la resolución de problemas y el trabajo colaborativo como 
estrategia metodológica para el aprendizaje de la solución de la 
ecuación cuadrática. 
 
Saber conocer 
 
 Reconocimiento de los números reales para su aplicación a 
problemas que involucren ecuaciones cuadráticas. 
 Conocer la solución de ecuaciones para aplicarlas a problemas 
relacionados con la vida cotidiana. 
 Manipular la computadora y el software de matemáticas para 
relacionar la gráfica y la solución de una ecuación de segundo 
grado. 
 
Saber hacer 
 
 Solucionar ecuaciones de segundo para aplicarlas a problemas 
relacionados con su entorno. 
 Reconocer los distintos tipos de factorización para solucionar una 
ecuación de segundo grado. 
 Usa el software o calculadora para graficar la función cuadrática y 
ubicar las raíces reales en el plano cartesiano. 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
219
 
 Establece significados y propiedades de las diferentes tipos de 
solución que tiene una ecuación de segundo grado. 
 Investiga en Internet los diferentes recursos tecnológicos para la 
solución de la ecuación cuadrática. 
 
Saber ser 
 
 Interacciona colaborativamente para dar solución a problemas 
relacionados con las ecuaciones cuadráticas. 
 Aporta puntos de vista con argumentos para demostrar su 
conocimiento sobre el tema. 
 Asume una actitud constructiva y de colaboración activa en las 
distintas tareas relacionadas con la solución de problemas 
matemáticos de su entorno. 
 
Medios y Materiales 
 
• DVD de videos 
• Programa WinPlot 
• Internet 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
220
 
Problema 1. Para cercar un terreno rectangular de 750 m² se han 
utilizado 110 m de malla ciclónica. Calcula las dimensiones de la 
finca. ¿Cuánto costó circular el terreno? 
 
 
 
 
 
 
Actividad 1. Con tu Grupo Colaborativo (GC) discute los métodos de 
solución de ecuaciones cuadráticas. 
 
Definición y clasificación de ecuaciones de segundo grado 
2 0, con a 0ax bx c+ + = ≠ 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
221
 
 
 
 
Con tu GC analiza los siguientes video analiza los videos explicativos 
que se han descargado de las redes sociales de internet. Son para 
que te auxilies en el desarrollo de este tema. 
 
2
2
2
0
0
0
ax b
ax bx
ax bx c
⎧ + =
⎪
+ =⎨
⎪ + + =⎩
 
Tipos de ecuaciones cuadráticas 
(segundo grado) - YouTube.flv 
Se explica los tipos de 
ecuaciones cuadráticas 
Ecuación Segundo Grado 
Incompleta – You Tube.flv 
Se explica cómo se soluciona 
una ecuación cuadrática 
incompleta del tipo 2ax b= , 
2 0ax b+ = 
Ecuaciones cuadráticas V 
(Ejercicios) – YouTube.flv 
Se explica cómo se soluciona 
una ecuación cuadrática 
incompleta del tipo 2 0ax bx+ = , 
Método por despeje para Se explica la forma de despejar la 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
222
 
ecuaciones de segundo grado 
puras - YouTube.flv 
variable en una ecuación 
cuadrática 
Resolver ecuaciones cuadráticas. 
Factorización – YouTube.flv 
Se explica la solución de una 
ecuación cuadrática con 
factorización. 
Solución de una ecuación 
cuadrática – YouTube.flv 
Se explica la forma de utilizar la 
fórmula general para solucionar 
una ecuación cuadrática 
Problema con Ecuación 
Cuadrática – YouTube.flv 
Se muestra un problema de 
áreas con la ecuación cuadrática. 
Ejercicios con fórmula general – 
YouTube.flv 
Se explica la forma de utilizar la 
fórmula general para solucionar 
una ecuación cuadrática 
Numero_dOro.flv Se explica la razón dorada o 
número de oro 
Numero_dOro2.flv Se explica la razón dorada o 
número de oro 
 
Ejemplo 1. Hallar la magnitud del lado de un terreno si un lado es el 
triple de la magnitud del otro 
lado y su área es de 192 m2. 
))(( AlturabaseArea = 
(3x)(x) 192= 
o bien 
1923 2 =x 
La ecuación resultante es de 
segundo grado, que en la 
literatura sobre el tema, se 
conoce como incompleta, porque el coeficiente del término lineal es 
cero, ie, b=0. Así que la solución para la ecuación: 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
223
 
2 0ax b+ =  
1
2
2
bx
b ax
a bx
a
⎧ −
=⎪− ⎪
= = ⎨
−⎪ = −⎪⎩
 
así pues, 
64
3
1922 ==x 
de donde 
864 ±=±=x 
de las dos soluciones 1 8x = , 2 8x = − , se descarta la negativa por ser 
un problema de áreas. 
 
Así, las dimensiones del terreno son: 
Base = 3(8) metros = 24 metros 
Altura = 8 metros 
 
Problema 2. El papiro de Berlín contiene el problema “el área de un 
cuadrado es 100 y es igual a la de dos cuadrados más pequeños. El 
lado de un cuadrado es ½ + ¼ del lado del otro 
cuadrado. Hallar los lados de los cuadrados. 
http://www.multilingualarchive.com/ma/enwiki/es/B
erlin_Papyrus#cite_note-0 
 
Papiro de Berlin. El papiro 6619 de Berlín, 
conocido comúnmente como Papiro de Berlín es 
un documento antiguo egipcio del Reino medio 
que fue encontrado en la tierra antigua del entierro de Saqqara en el 
siglo XIX antes de Cristo. El papiro contiene conocimiento 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
224
 
matemático y médico egipcio antiguo, incluyendo la primera 
documentación sabida referente a métodos de prueba del embarazo, 
y es así parte de los papiros médicos. 
 
Sabias qué: 
 
Galileo Galilei descubrió que la trayectoria que tiene 
un proyectil es una parábola y es debido a la acción 
de la fuerza de gravedad. 
 
Ejemplo 2. La ecuación que determina la posición 
de un cuerpo que se deja caer o se lanza 
verticalmente desde una altura 0y , con una 
velocidad inicial 0v es 
0 0
1y - gt² v t y
2
= + + 
Supongamos que el cuerpo es una bola de acero y que se deja caer 
desde una altura de 30 metros, ¿En qué tiempo la bola pasará por 
las alturas de 18, 15 y 12 metros? ¿En qué tiempo toca la bola de 
acero el suelo? 
 
Por las condiciones del problema, se sitúa el sistema de referencia 
en la base de la torre, por lo tanto 0 30 y m= , 0 0 
mv
s
= y 
29.82 
mg
seg
= 
0 0
1y - gt² v t y
2
= + +Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
225
 
 
a) Se realizan los cálculos para y = 18 
30 (0)t (9.82)t² 0.5- 18 ++= 
 4.91t²- 30-18 = 
 4.91t²- 12 - = 
se despeja la variable 
 2.4439 
4.91
12t² == 
la solución es: 
5633.1 2.4439 t =±= 
 
Solución: La bola de acero para a los 1.5633 seg. por la altura de 18 
m. 
 
b) Se realizan los cálculos para y = 15 
 15304.91t² −= 
se despeja la variable 
 3.054 
4.91
15t² == 
la solución es: 
7478.1 3.054 t =±= 
Solución: La bola de acero para a los 1.7478 seg. por la altura de 15 
m. 
 
c) Se realizan los cálculos para y = 12 
 12304.91t² −= 
se despeja la variable 
 3.6659 
4.91
18t² == 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
226
 
9146.13.6659 t =±= 
Solución: La bola de acero para a los 1.9146 seg. en la altura de 12 
m. 
 
d) Se realizan los cálculos para y = 0 
304.91t² = 
se despeja la variable 
 6.1099 
4.91
30t² == 
4718.26.1099 t =±= 
 
Solución: La bola de acero toca el suelo a los 2.4718 seg. 
 
Ejemplo 3. Encontrar el perímetro (metros) y el área (metros2) del 
triángulo mostrado en la figura. 
 
En este caso, ya se proporciona la figura 
del problema, así que se procede a aplicar 
el Teorema de Pitágoras 2 2 2a + b = c y 
la ecuación a la que se llega es: 
 
222 ) 5 -(2x 4) -(x ) 3 (x =++ 
 
se desarrolla cada binomio al cuadrado 
 
25 20x - 4x 16 8x - x 9 6x x 222 +=++++ 
al simplificar queda la expresión: 
 0 18x x2- 2 =+ 
X-4 
X+3 
2x-5 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
227
 
La ecuación resultante se conoce como incompleta, porque el 
término independiente es igual a cero, c=o. En este caso la solución 
se realiza por medio de la factorización por factor común ( ) 0x ax b+ =
. 
 
Para solucionar la ecuación ( ) 0x ax b+ = se utiliza la propiedad: Si el 
producto de dos números es igual a cero, entonces uno de los dos (o 
los dos) tiene que ser cero, en notación algebraica se representa 
como: 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
⇒=
0
0
0
q
p
pq , de donde se obtiene para este caso 
particular: 
 
Ahora se factoriza la ecuación 
09) -(x 2x - = 
de donde se plantea que 
1
2
2 0 x =0 
9 0 9
x
x x
− = ⇒⎧
⎨
− = ⇒ =⎩
 
la solución a la ecuación es: 0 x1 = y 9 x2 = . Dado que el contexto 
del problema es geométrico, la solución es el valor 9x = . Así con 
este valor el triángulo queda con los valores de 12 m y 5 m en los 
catetos y con 13 metros en la hipotenusa. Para el 
área se aplica la fórmula 
2
))(( alturabase , donde la 
base es un cateto y la altura es el otro, es decir: 
 
12 m
5 m
13 m
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
228
 
2( )( ) (12 )(5 ) 30 
2 2
base altura m mÁrea m= = = 
 
El perímetro del triángulo es igual a la suma de las magnitudes de los 
dos catetos más la magnitud de la hipotenusa, es decir: 
 
Perímetro = (12 + 5 + 13) m = 30 m 
 
Las Ecuaciones de segundo grado completas 2 0ax bx c+ + = , 
a 0≠ tienen por solución: 
 
2 4
2
b b acx
a
− ± −
= 
A la expresión 2=b - 4ac Δ se le conoce como el discriminante de la 
ecuación cuadrática y permite averiguar el número de soluciones y 
se distinguen tres casos: 
 
a. Caso 1: b2 − 4ac > 0  La ecuación tiene dos soluciones reales y 
distintas. 
 
b. Caso 2: b2 − 4ac = 0  La ecuación tiene una solución doble real. 
 
c. Caso 3: b2 − 4ac < 0  La ecuación tiene dos soluciones 
complejas o imaginarias. 
Ejemplo 4: Solucionar la ecuación 2 5 6 0x x− + = . 
 
Se identifica que a=1, b=-5, c=6 y se sustituye en la fórmula 
general: 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
229
 
2( 5) ( 5) 4(1)(6) 5 1
2(1) 2
x
− − ± − − ±
= = 
así las soluciones son: 
1 3x =
 
2 2x = 
 
La ecuación se escribe como: 2 5 6 ( 3)( 2)x x x x− + = − − 
 
Ejemplo 5: 
22 3 3 0x x+ + = 
 
Se identifica que a=2, b=7, c=3 y se sustituye en la fórmula 
general: 
 
𝑥𝑥 =
−7± 7! − 4 ∙ 2 ∙ 3
4 =
−7± 49− 24
4 =
−7± 25
4 =
−7± 5
4 
Así las soluciones son: 
  𝑥𝑥!!
!!
!
= !!
!
 y 𝑥𝑥!!
!!"
!
= −3 
La ecuación se escribe como: 22 7 3 (2 1)( 3)x x x x+ + = + + 
Ejemplo 6: 2𝑥𝑥! − 5𝑥𝑥 + 1 = 0 
 
Se identifica que a=2, b=-5, c=1 y se sustituye en la fórmula 
general: 
 
𝑥𝑥 =
5± (−5)! − 4 ∙ 2 ∙ 1
4 =
5± 25− 8
4 =
5± 13
4 = 
Así las soluciones son: 
  𝑥𝑥!!
!! !"
!
 y 𝑥𝑥!!
!! !"
!
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
230
 
La ecuación se escribe como: 
2
1 2
5+ 13 5- 132 5 1 ( )( ) x- x-
4 4
x x x x x x
⎛ ⎞⎛ ⎞
− + = − − = ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
 
Ejemplo 7: 𝑥𝑥! + 3𝑥𝑥 + 5 = 0 
 
Se identifica que a=1, b=3, c=5 y se sustituye en la fórmula 
general: 
 
𝑥𝑥 =
−3± (3)! − 4 ∙ 1 ∙ 5
2 =
−3± 9− 20
2 =
−3± −11
2 = 
así las soluciones son: 
  𝑥𝑥!!
!!! !!!
!
 y 𝑥𝑥!!
!!! !!!
!
 
La ecuación se escribe como: 
2
1 2
-3+ -11 -3- -112 5 1 ( )( ) x- x-
2 2
x x x x x x
⎛ ⎞⎛ ⎞
− + = − − = ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 Discute con tu GC, el tipo de número que son las soluciones que 
se hallaron en ejemplos 5, 6 y 7. 
 ¿Conoces el tipo de números que resultan en la solución del 
ejemplo 7? 
 Aproxima las soluciones del ejemplo 3 con tu calculadora. 
¿Cuáles son los valores exactos? 
 
 
______________________________
______________________________
____________
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
231
 
¿Sabías que? 
 
 
Problema 3. La razón dorada o número de oro es uno de los 
resultados de donde se obtiene una ecuación cuadrática, a partir del 
problema de dividir un segmento en media y extrema razón o más 
bien, en términos de proporciones: la longitud total del segmento a + 
b es al segmento a como el segmento a es al segmento b. En forma 
matemática: 
  a b aa b
+
= 
 Soluciona la ecuación 
a b a
a b
+
= y demuestra que la razón 
dorada es 
1 5
2
a
b
−
= 
 Discute con tu GC sobre la importancia de la razón dorada en la 
vida cotidiana. 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
232
 
 Porque los griegos no toman en cuenta el término 
1 5
2
a
b
−
= de 
la solución de la ecuación cuadrática. 
 
Problema 4. Una traducción de una tabla Babilónica, preservada en 
el Museo Británico dice lo siguiente: 4 es la largura y 5 la diagonal. 
¿Qué es la anchura? Su tamaño no es conocido. 4 veces 4 es 16. 5 
veces 5 es 25. Si se toma 16 de 25 queda 9. ¿Cuántas veces tomaré 
en orden a 9? 3 veces 3 es 9. 3 es la anchura". Este problema de los 
babilonios se basa en el teorema de Pitágoras porque: 
 
Los babilonios tenían diversos métodos de repetición para 
encontrar la raíz cuadrada de un número aunque estos métodos eran 
muy complejos. 
 
 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
233
 
Para investigar: Relación entre la ecuación cuadrática 
y la parábola. 
 
 
 La expresión matemática para la curva denominada parábola 
es 2 , a 0y ax bx c= + + ≠ y representa el lugar geométrico de los 
puntos (x, y) que distan de un punto llamado foco y una recta llamada 
directriz (Ver Figura 1). Por el alcance de la secuencia sólo se tratará 
la parábola vertical y sin tomar en consideración los parámetros que 
la caracterizan. 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
234
 
 
Figura 1. Gráfica de la parábola 
 
Las soluciones reales de la ecuación cuadrática 
2 0, a 0ax bx c+ + = ≠ son los puntos donde la gráfica de la 
parábola cruza al eje de las abscisas, conocido como el eje X del 
plano cartesiano. En función del valor del coeficiente del térmico 
cuadrático y de las soluciones de la ecuación cuadrática, la gráfica 
de la parábola puede tener las siguientes posiciones en el plano 
cartesiano: 
 
 
La parábola cruza al eje X La parábola toca al eje X: La parábola no cruza al 
−15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
−15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
−13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
235
 
dos veces: a >0 y dos 
raíces reales 
a >0 y una raíz real y 
repetida 
eje X: a >0 y dos raíces 
complejas conjugadas 
 
La parábola cruza al eje X 
dos veces: a < 0 y dos 
raíces reales 
La parábola toca al eje X: 
a < 0 y una raíz real y 
repetida 
La parábola no cruza al 
eje X: a < 0 y dos 
raíces complejas 
conjugadas 
 
Programa WINPLOT. 
 
La gráfica de una parábola se visualiza con la mayoría de programas 
de cómputo de matemáticas, entre ellos el WINPLOT, que es el que 
sugiere se utilice en esta secuencia didáctica por varias razones, 
entre ellas su fácil manejo y es libre y el usuario lo puede descargar 
del varios sitios de internet. A continuación se explica cómo graficar 
la función cuadrática: 
 
1. Localizar el archivo winplot.exe y con doble clic se activa el menú 
principal. 
2. Seleccionar la opción de trabajo en dos dimensiones o en el plano 
cartesiano con la selección de las opciones Ventana  2-dim 
3. Aparece el menú de la opción de trabajar en dos dimensiones 
como aparece en la Figura 2 y 3. 
 
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
236
 
 
Figura 2. Menú principal 
del WinPlot 
Figura 3. Menú principal de la opción 2-
Dim 
 
4. Seleccionar la opción Ecua  Explicita y aparece en pantalla 
espacio para introducir la expresión de la función f(x), modificar el 
color y el ancho de lápiz de la gráfica y otras opciones. 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
237
 
 
Figura 4. Ventana para escribir la expresión de la función. 
5. En el inventario, el usuario tiene la opción de elaborar una Tabla, 
editar u ocultar una gráfica y otros elementos del menú no menos 
interesante, que el lector debe explorar. 
 
 
Figura 4. Ventana para escribir la expresión de la función. 
5. En el inventario, el usuario tiene la opción de elaborar una Tabla, 
editar u ocultar una gráfica y otros elementos del menú no menos 
interesante, que el lector debe explorar. 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
238
 
 
Figura 5. Ventana del inventario. 
 
Problema 5. En los siguientes ejercicios obtén la gráfica de la 
parábola en la forma 2 , a 0y ax bx c= + + ≠ con el WinPlot e 
investiga los parámetros que se piden en la tabla. 
 
Ecuación dada Gráfica Vértice Foco L. Recto Raíces 
2 8 0x y− − = 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 12 36 2x x y− + = 
 
 
 
 
Nombre del archivo
Ecuación cuadrática
Menu de la gráfica
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
239
 
 
 
 
 
2 6 16 57 0x x y+ + − = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 4 4 12 24x x y+ + = + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 4 3x x y+ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
240
 
Problema 6. El vértice de un arco parabólico invertido se encuentra a 
una altura de 6 m y 8 m de base, hallar la altura de un punto que se 
encuentra situado a 3 m del centro del arco. 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
241
 
Problema 7. El Arco parabólico se encuentra ubicado en la Plaza 
de Armas, fue diseñado por técnicos alemanes y donado al país. Por 
la forma que posee, se creía erróneamente que pertenecía y 
dibujaba la trayectoria de una bala; pero la verdadera razón de su 
forma se relaciona profunda y únicamente con la de la misma Plaza, 
que no es cuadrada ni circular como muchas otras. Mide 18 m de 
altura, está íntegramente construida de piedra de cantería de color 
rosáceo. Se levanta en honor a los héroes de la Guerra del Pacífico, 
Miguel Grau y Francisco Bolognesi, cuyas enormes estatuas huecas 
de bronce, ubicadas a los pies del arco, pertenecen a la fundición de 
Campayola de Lima. 
http://www.mpfn.gob.pe/distritos/tacna/turismo.php 
Hallar: 
• la ecuación si la distancia entre los pilares es de 12.3 m y su 
altura es de 14 metros. 
• Las coordenadas de su vértice. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
242
 
 
 
Problema 8. Suponiendo que los cables principales del puente 
conocido como “Golden Gate” de la ciudad de San Francisco, 
California tienen la forma de un arco parabólico, obtenga su ecuación 
a partir de los datos siguientes: 
a. Las cúspides de las torres están a 160 m sobre el punto más 
bajo del puente 
b. El tamaño de las torres es de 227 m del nivel del mar. 
c. La distancia entre las torres es de 1280 m. 
d. La altura entre el puente y el río es de 67 m. 
e. Cuanto cable se utilizó. 
f. Si cada x metros se ubica un tirante vertical, cuántos son al 
total. 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
243
 
g. Cuánto se tarda un automóvil en cruzar el puente 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
244
 
 
 
Problema 9. Con la regla graduada aproxima los datos del puente 
parabólico que se muestra en la fotografía y determina la ecuación 
de la parábola que rige al puente. 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
245
 
 
 
Problema 10. El señor “Bigotes” dueño de una pequeña cafetería en 
frente del Tecnológico de Cd. Guzmán ha deleitado a los jóvenes 
estudiantes con exquisitas comidas durante mucho tiempo. El terreno 
actual donde se encuentra la cafetería se lo renta a un adinerado 
habitante de Zapotiltic, Jal. que lamentablemente falleció y como 
herencia le dejó a “Bigotes” un terreno rectangular con un perímetro 
de 100 m cuya área es de 576 m2. El terreno actual de la cafetería es 
parte del terreno heredado a “Bigotes” y éste necesita saber las 
dimensiones del rectángulo para construir una cafetería más grande 
y hacer la distribución de la misma. Si “Bigotes” sabe que el terreno 
de la cafetería y el terreno heredado tienen en común la esquina 
izquierda de la entrada de la misma y que el frente es el lado más 
largo… 
• ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que Bigotes heredó? 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
246
 
• Bosqueja un croquis del actual terreno de la cafetería y el terreno 
heredado. 
• Si “Bigotes” contrata a un maestro albañil y a un ayudante para 
que le construyan una barda alrededor del terreno heredado y 
ambas personas cobran $ 300 pesos diarios ($200 el maestro 
albañil y $100 el ayudante), cuanto se gastará en total si el albañil 
y el ayudante durarán 3 semanas en terminar la barda. 
• ¿Cuál sería el costo que Bigotes pagaría si se añadiera otro 
ayudante más a las otras dos personas, sabiendo que el tiempo 
de construcción disminuiría, aunque pague $100 pesos más 
diarios por el nuevo ayudante? Considere que las actividades del 
trabajo de construcción se dividen equitativamente entre todos los 
trabajadores. 
• Si se estuviera en periodo de vacaciones y faltaran dos semanas 
para regresar a clases, ¿tendría Bigotes bardeado su nuevo 
terreno a tiempo antes de iniciar clases de acuerdo a lo que 
duraría la construcción con la cantidad de trabajadores del punto 
anterior? 
 
Problema 11. Un videoclub está especializado en películas de tres 
tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que: El 60% de las 
películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% 
del total de las películas. El 20% de las infantiles más el 60% de las 
del oeste más del 60% de las de terror al representan la mitad del 
total de las películas. Hay 100 películas más del oeste que de 
infantiles. Halla el número de películas de cada tipo. 
 
Problema 12. La suma de dosnúmeros es 5 y su producto es −84. 
Halla dichos números. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
247
 
Problema 13. Los tres lados de un triángulo rectángulo son 
proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado 
sabiendo que el área del triángulo es 24 m². 
 
Problema 14. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de 
ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la 
anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m². 
 
Problema 15. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del 
cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de 
Pedro. 
 
Problema 16. El cuadrado de cierto número más tres veces el mismo 
número, es igual a diez; ¿de qué número se trata? 
 
Problema 17. Encuentra dos números cuya suma sea igual a 21 y 
cuyo producto sea 104. 
 
Problema 18. Un número excede a otro en 17 unidades; si sabemos 
que el producto de ambos es 434, ¿cuáles son dichos números? 
 
Problema 19. La suma de un número y su inverso multiplicativo es 2; 
¿cuál es ese número? 
 
Problema 20. Completa las siguientes tablas. 
 
Ecuación Tipo: 
completa 
 o 
incomplet
a 
Coeficient
e del 
término 
cuadrático 
Coeficient
e del 
término 
lineal 
Término 
constant
e 
Raíce
s 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
248
 
xx 62 = 
26)13)(13( =+− xx
 
 
023 2 =+ xx 
xx 4214 2 = 
23 4 7 0x x− + = 
72 2 =x 
26 2 =+ xx 
0273 2 =−x 
23 95 0
2 5
x x− + = 
 
xx 232 =+ 
03522 =−+ xx 
962 −= xx 
042 =+ xx 
xx 1594 2 =+ 
3 3( )( ) 3
2 2
x x− + = 
 
2 4 3 0
3
x x− + = 
 
2 7xπ = 
2 273 0
5
x − = 
 
2 3 2x xπ+ = 
( 3)( 3) 3x x− + =
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
249
 
 
Investigar 
 
En tu comunidad localiza algún arco parabólico y encuentra su 
ecuación. 
 
 ¿Qué función tiene el arco parabólico? 
 Consulta en internet el sitio 
http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuaciones-cuadraticas-
solucionador.html 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
250
Problemas Selectos de PreCálculo
251
 
SECUENCIA DIDÁCTICA 
 
7 
 
EL CÍRCULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Colaboración de: 
Cristian Omar Vargas González 
Rafael Catzim Alcaráz 
Profesores del Departamento de Ciencias Básicas 
Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
252
 
EL CÍRCULO 
 
Unidades de competencia 
 
 Modela situaciones reales que incluyan al círculo para su 
interpretación en el contexto. 
 Interpreta tablas, gráficas, figuras y expresiones simbólicas o 
numéricas para relacionarlas con la solución de problemas que 
involucran al círculo. 
 
Saber conocer 
 
 Identifica los elementos asociados al círculo: área, circunferencia, 
radio, tangente, cuerda, diámetro, arco y ángulo para su 
aplicación a problemas resultantes del contexto. 
 Utiliza formas adecuadas de representación para interpretar el 
propósito y naturaleza de la situación relacionada con el círculo. 
 
Saber hacer 
 
 Identifica los elementos básicos del círculo para aplicarlos en 
problemas resultantes de su entorno. 
 Utiliza con precisión procedimientos de cálculo, fórmulas y 
algoritmos para la resolución de problemas relacionados con el 
círculo. 
 Descubre la presencia de los principales elementos geométricos 
del círculo en situaciones problema para utilizarlos en la solución. 
 Argumenta con acercamientos numérico, gráfico o analítico, 
mediante el lenguaje verbal, matemático y con el uso de las 
tecnologías de la información y la comunicación para relacionar 
los problemas de su entorno cotidiano y los modelos matemático. s.
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
253
 
Saber ser 
 
 Participa activamente con su grupo colaborativo para plantear y 
solucionar problemas relacionados con el círculo. 
 Promueve los valores de respeto, igualdad, puntualidad y 
honestidad entre sus compañeros(as) de grupo colaborativo para 
lograr resultados positivos en su aprendizaje individual. 
 Propicia un diálogo verbal sustentado durante el desarrollo de las 
actividades de aprendizaje propuestas para determinar la solución 
del problema planteado. 
 Elabora reportes escritos en conjunto con su grupo colaborativo 
de acuerdo a las normas y formatos establecidos para que 
desarrolle su capacidad de redacción de escritos científicos y 
coloquiales. 
 Es responsable de su propio aprendizaje y del aprendizaje de los 
integrantes de su grupo colaborativo para promover su desarrollo 
personal y el de sus compañeros(as). 
 Propone maneras creativas de solucionar problemas relacionados 
con el círculo para generar ideas con pensamientos convergentes 
y divergentes. 
 
Materiales: 
• Regla graduada 
• Calculadora 
• Cordel 
• Escuadra 
• Transportador 
• Compás 
 
Problema 1. Con tu grupo colaborativo completa la tabla siguiente y 
clasifica los polígonos regulares e irregulares. 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
254
 
 
Figura Lados Forma 
Perímetr
o 
Áre
a 
Suma 
de los 
ángulos 
interiore
s 
Tipo de 
polígon
o 
 
Triángulo 
 3 
 
 
 
 
 
 
 
Cuadriláte
ro 
 
4 
 
 
 
Pentágono 
 5 
 
 
 
Hexágono 
 6 
 
 
 
Octágono 8 
 
 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
255
 
• ¿Cuál es el polígono de mayor número de lados que conoces? 
________________________ 
 
• ¿Cuántos lados tiene el polígono que mencionaste? 
_________________________________ 
 
Problema 2. En la Figura 1 se muestra el terreno propiedad del 
ITCG. Con tu GC calcula: 
• El perímetro. 
• El área. 
• Los ángulos interiores. 
• Describe la figura geométrica que representa el terreno. 
• ¿Cuál es la diferencia entre el área reportada por CORET? 
• ¿Cuál es el error que calculaste comparado con el encontrado 
con tus compañeros(as)? 
• 
 
Figura 1. Maqueta a escala del terreno en el que se encuentra el 
ITCG 
 
Problema 3. En el problema 14 del Papiro de Moscú, se encuentra 
descrito el ejemplo de encontrar el volumen de una pirámide 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
256
 
truncada, de lados 2 y 4 en la base superior e inferior 
respectivamente. Con tu GC interpretar este resultado y compararlo 
con la fórmula actual del volumen de una pirámide truncada. 
 
 
Figura 2. Problema 14 del papiro de 
Moscú, obtenido de la dirección 
http://www.egiptologia.org/ciencia/matematica
s/papiro_moscu.htm el 27 de Enero de 
2012. 
Transcripción del papiro 
de Moscú: 
• Elevar al cuadrado 2 
y 4 
• Multiplicar 2 por 4 
• Sumar los resultados 
anteriores. 
• Multiplicar el 
resultado anterior 
por un tercio de 6. 
• El resultado es 56 
El escriba finaliza 
diciendo "Ves, es 56; lo 
has calculado. 
 
 
El círculo en tu entorno de vida cotidiana 
 
 
Figura 3. Ejemplo de situaciones de la vida cotidiana donde aparece 
el círculo. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
257
 
Problema 4. 
a. Hacer una lista de objetos que identifiques en tu entorno y 
que incluyan en su forma física al círculo. Con esta 
actividad se pretende propiciar la reflexión de que el círculo 
está inmerso en tu vida cotidiana. 
Objetos y/o materiales 
En tu casa En tu escuela En la calle 
 
 
 
 
 
 
b. Con tu GC calcular el perímetro, el área y/o el volumen de 
los objetos/materiales que seleccionaste. En la tabla 
siguiente concentra los cálculos y dibuja o en su caso, 
inserta la foto del objeto en cuestión. Te puedes auxiliar de 
la calculadora, una regla graduada o un cordel para la 
calcular y/o aproximar los datos que se requieren. 
Argumenta. 
 
Objeto/Materi
al Circunferencia Área Volumen 
 Exacto 
Aproximad
o 
Calculador
Exact
o 
Aproximad
o 
Calculador
Exact
o 
Aproximad
o 
Calculador
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
258a a a 
La circunferencia 
de la llanta del 
carro 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 5. 
a. Calcula con ayuda de tu GC, el área sombreada de las figuras 
siguientes. 
 
 
 
(a) (b) (c) (d) (e) 
 
A= 
 
 
 
 
 
 
A= 
 
A= 
 
A= 
 
A= 
 
Problema 4. 
a. Hacer una lista de objetos que identifiques en tu entorno y 
que incluyan en su forma física al círculo. Con esta 
actividad se pretende propiciar la reflexión de que el círculo 
está inmerso en tu vida cotidiana. 
Objetos y/o materiales 
En tu casa En tu escuela En la calle 
 
 
 
 
 
 
b. Con tu GC calcular el perímetro, el área y/o el volumen de 
los objetos/materiales que seleccionaste. En la tabla 
siguiente concentra los cálculos y dibuja o en su caso, 
inserta la foto del objeto en cuestión. Te puedes auxiliar de 
la calculadora, una regla graduada o un cordel para la 
calcular y/o aproximar los datos que se requieren. 
Argumenta. 
 
Objeto/Materi
al Circunferencia Área Volumen 
 Exacto 
Aproximad
o 
Calculador
Exact
o 
Aproximad
o 
Calculador
Exact
o 
Aproximad
o 
Calculador
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
259
 
b. Describe a que problemas te enfrentaste al intentar calcular el 
área. 
 
Problema 6. 
a. Problema 48 del Papiro de Rhind. Calcula el área del cuadrado 
circunscrito al círculo. ¿Qué tan aproximada es el cálculo del área 
del círculo? Ahora dibuja un cuadrado inscrito al círculo y calcula 
su área. Compara el área de cuadrado inscrito con la del 
cuadrado circunscrito (Figura 4). ¿Cuál se aproxima más al área 
del círculo? 
b. Ahora duplica el número de lados, ¿a qué número se aproxima el 
área de los polígonos regulares 
 
 
 
Figura 4. Cuadrado circunscrito al círculo 
 
c. Cálculo del área del círculo por la cultura Babilonia 
Los babilonios aproximaron el área del círculo de radio 1 con 
el hexágono inscrito como se muestra en la figura 5. Calcula el 
porcentaje de error de los babilonios. 
 
 
Figura 5. Imagen alusiva al problema, tomada del libro Papiro de 
Rhin 
 
d. Cálculo del área del círculo por la cultura egipcia. 
 El problema 50 del papiro de Ahmes utiliza este método para 
obtener la superficie de un círculo de acuerdo con la norma de que el 
área es igual al cuadrado de 8
9 
del diámetro del círculo
( )2
28
9
área diámetro ⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
= . ¿Cuál es el error porcentual de esta 
aproximación? 
• Compara los valores de los cálculos babilonios y egipcios con lo 
que arroja tu calculadora para el valor de π . 
• Redacta con los compañeros(as) de tu GC las conclusiones 
acerca del área del círculo y su relación con el número π 
e. Con tus compañeros de GC discute los relacionado a la historia 
del número π en el video de la Universidad de California, USA y 
traducido por el Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de 
Chapala. 
f. Investiga, discute y elabora un reporte con tus compañeros(as) 
de grupo colaborativo, sobre el procedimiento que utilizó el genio 
griego Arquímedes para calcular el área de un círculo de radio la 
unidad. 
g. En una hoja dibuja tres círculos de diferente tamaño, mide su 
diámetro, su circunferencia y su área. Con ayuda de la 
calculadora halla los cocientes: 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
260
 
Figura 5. Imagen alusiva al problema, tomada del libro Papiro de 
Rhin 
 
d. Cálculo del área del círculo por la cultura egipcia. 
 El problema 50 del papiro de Ahmes utiliza este método para 
obtener la superficie de un círculo de acuerdo con la norma de que el 
área es igual al cuadrado de 8
9 
del diámetro del círculo
( )2
28
9
área diámetro ⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
= . ¿Cuál es el error porcentual de esta 
aproximación? 
• Compara los valores de los cálculos babilonios y egipcios con lo 
que arroja tu calculadora para el valor de π . 
• Redacta con los compañeros(as) de tu GC las conclusiones 
acerca del área del círculo y su relación con el número π 
e. Con tus compañeros de GC discute los relacionado a la historia 
del número π en el video de la Universidad de California, USA y 
traducido por el Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de 
Chapala. 
f. Investiga, discute y elabora un reporte con tus compañeros(as) 
de grupo colaborativo, sobre el procedimiento que utilizó el genio 
griego Arquímedes para calcular el área de un círculo de radio la 
unidad. 
g. En una hoja dibuja tres círculos de diferente tamaño, mide su 
diámetro, su circunferencia y su área. Con ayuda de la 
calculadora halla los cocientes: 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
261
 
• 2
área del círculo
radio 
 
• longitud de la circunferencia
diámetro de la circunferencia
 
Arquímedes de 
Siracusa 
 
 
 
Radi
o 
Circunferen
cia 
Áre
a 
longitud de la circunferencia
diámetro de la circunferencia
 
2
área del círculo
radio
 
Círcul
o 1 
 
Círcul
o 2 
 
Círcul
o 3 
 
 
• ¿Qué procedimiento utilizaste para poder determinar dicha área? 
____________________________________________________
___________ 
 
 
• ¿Identificaste el número que arrojan las divisiones calculadas? 
SI (___) NO (___) 
• ¿Cuántos decimales tienen correcto los números?, ¿Cómo 
puedes mejorar la aproximación? 
 
Radio Circunferencia Área longitud de la circunferenciadiámetro de la circunferencia
área de círculo
radio2
Círculo 1
Círculo 2
Círculo 3
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
262
 
_______________________________________________________
__________ 
 
_______________________________________________________
___________ 
 
Problema 11. Discute con tus compañeros(as) si es posible construir 
un recipiente cilíndrico que pueda medir tres litros exactamente. 
Escribe las conclusiones de tu grupo colaborativo. 
 
 
Actividades extraclase: 
 Analizar el video de la historia de π . 
 Investigar en Internet las diferentes formas de cómo se aproxima 
el número π . 
 Elabora un reporte de la actividad que realizaste con tu grupo 
colaborativo. 
 
Problema 12. En el siglo III (A. C.), Eratóstenes calculó el perímetro 
de la circunferencia de la Tierra. Descubrió que, en cierta época del 
año y al mediodía, mientras en la ciudad de Siena los rayos del sol 
llegaban perpendiculares, en la población de Alejandría, formaban un 
ángulo de 7°12´ al sur con relación a la vertical. Siena se ubicaba a 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
263
 
5000 estadios (1 estadio = 158.6m) al sur de Alejandría. ¿Qué tan 
exacto es el cálculo de Eratóstenes? 
a) Escribe la información que te proporciona el problema. 
b) Hacer una discusión en el grupo colaborativo sobre los resultados 
logrados en el planteamiento de solución del problema. 
c) Organizar la información en una presentación en Power Point 
para la explicación a todo el grupo. 
 
Problema 13. Pablo desea competir en el torneo de Bicicrós de Cd. 
Guzmán, Jalisco y para ello, se ha preparado y adquirido habilidades 
así como también ha hecho fitness anaeróbico, resistencia y fuerza 
muscular, además de los aspectos psicológicos. Él sabe que tendrá 
mayor posibilidad de estar dentro de la competencia si su materia 
prima, su bicicleta, cuenta con llantas de 26 - 1 5/8 - 1 3/8. Si la 
bicicleta con la que cuenta ahora posee rayos de 25 cm de longitud: 
a) ¿Cuál es el tamaño de la llanta de la bicicleta que posee? 
b) ¿Son ideales las llantas de la bicicleta de Pablo para el torneo de 
Mountain Bike Cross? 
c) ¿Es posible que Pablo esté dentro de los primeros lugares con el 
transporte que posee? Argumenta. 
 Compartan con los demás GC, la forma cómo resolvieron la 
actividad. Hagan sugerencias y/o planteen preguntas para que 
cada equipo mejore sus resultados. 
 Presenten su trabajo a todo el grupo y comenten qué aprendizaje 
les generó el problema. 
Problema 14. La etiqueta de un envase cilíndrico de mermelada 
tiene las siguientes dimensiones: 18.85 cm de alto por 5 cm de 
ancho.Si esta etiqueta rodea al envase cubriendo 3/4 partes de su 
longitud: 
 
5000 estadios (1 estadio = 158.6m) al sur de Alejandría. ¿Qué tan 
exacto es el cálculo de Eratóstenes? 
a) Escribe la información que te proporciona el problema. 
b) Hacer una discusión en el grupo colaborativo sobre los resultados 
logrados en el planteamiento de solución del problema. 
c) Organizar la información en una presentación en Power Point 
para la explicación a todo el grupo. 
 
Problema 13. Pablo desea competir en el torneo de Bicicrós de Cd. 
Guzmán, Jalisco y para ello, se ha preparado y adquirido habilidades 
así como también ha hecho fitness anaeróbico, resistencia y fuerza 
muscular, además de los aspectos psicológicos. Él sabe que tendrá 
mayor posibilidad de estar dentro de la competencia si su materia 
prima, su bicicleta, cuenta con llantas de 26 - 1 5/8 - 1 3/8. Si la 
bicicleta con la que cuenta ahora posee rayos de 25 cm de longitud: 
a) ¿Cuál es el tamaño de la llanta de la bicicleta que posee? 
b) ¿Son ideales las llantas de la bicicleta de Pablo para el torneo de 
Mountain Bike Cross? 
c) ¿Es posible que Pablo esté dentro de los primeros lugares con el 
transporte que posee? Argumenta. 
 Compartan con los demás GC, la forma cómo resolvieron la 
actividad. Hagan sugerencias y/o planteen preguntas para que 
cada equipo mejore sus resultados. 
 Presenten su trabajo a todo el grupo y comenten qué aprendizaje 
les generó el problema. 
Problema 14. La etiqueta de un envase cilíndrico de mermelada 
tiene las siguientes dimensiones: 18.85 cm de alto por 5 cm de 
ancho. Si esta etiqueta rodea al envase cubriendo 3/4 partes de su 
longitud: 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
264
 
a) Para cualquier plano perpendicular a su altura, ¿Cuál será la 
distancia de cualquier punto de la periferia del envase hasta el 
centro de éste? 
b) ¿Cuál será el volumen del frasco si se sabe sabiendo que para 
calcularlo se emplea la superficie de la base circular por la altura 
y conociendo que la altura es de 10 cm? 
 
Cierre de la Actividad. 
 
 Compartan con los demás equipos la forma en que resolvieron la 
actividad. Hagan sugerencias y/o planteen preguntas para que 
cada equipo mejore sus resultados. 
 Presenten su trabajo a todo el grupo y comenten qué aprendizaje 
les generó el problema. 
 
Problema 15 
a) El Sr. Francisco es propietario de un salón de fiestas y desea 
cambiar su mobiliario buscando mayor comodidad para los 
usuarios. En un segmento del área de mesas estima atender a 
256 personas. El diseño de la mesa que ha seleccionado es la 
mesa redonda con capacidad para que se sienten ocho personas 
alrededor de la misma. Según la experiencia del Sr. Francisco 
estima que el espacio lineal que ocupa cada persona en el 
perímetro de la mesa redonda es de 50 cm. ¿Cuánto mide el 
diámetro de la mesa? 
b) El material que se utiliza para la cubierta de las mesas redondas 
es la melanina, material hecho de fibras de madera y formica, y lo 
compran en tablones 15 mm de grueso por 1.83 m de ancho por 
2.75 m. de largo con un valor de $ 397.00 por unidad. ¿Cuánto es 
el material que se ocupa en total? y ¿Cuál será el costo total? 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
265
 
c) Hacer una comparación del material desperdiciado si las mesas 
son circulares o si se decide hacerlas en forma de octágono. 
d) ¿De qué tamaño será el local para que las 256 personas sean 
ubicadas cómodamente? 
e) ¿Qué forma de local le sugieres al Sr. Francisco para el tipo de 
mobiliario? 
 
Para investigar 
Averigua acerca de lo que son las latitudes y 
longitudes de la Tierra 
Escribe el reporte de la investigación. 
_________________________________________ 
_________________________________________ 
_________________________________________ 
_________________________________________ 
_________________________________________ 
 
Problema 16. En el sitio Traza tu ruta de la Secretaría de 
Comunicación y Transporte, con dirección 
http://aplicaciones4.sct.gob.mx/sibuac_internet/ControllerUI?action=c
mdSolRutas, se señala que la distancia entre Ciudad Guzmán, 
Jalisco y Manzanillo, Colima es de 181 km. ¿Cuál es la diferencia 
entre la distancia señalada en línea recta y la del arco sobre el globo 
terráqueo que une a ambas ciudades. Sugerencia: Ubica las 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
266
 
ciudades en el globo terráqueo tomando en cuenta que el mundo se 
divide en latitudes y longitudes. 
 
 
 
a) ¿Qué tipo de datos necesitas conocer antes de resolver el 
problema? 
b) ¿Cómo puedes traducir esta realidad en una estructura 
matemática? 
c) ¿Cuáles serán las codificaciones que haces a la estructura 
diseñada en el inciso a? 
d) ¿Qué cálculos harás para lograr determinar la distancia entre las 
dos ciudades? 
Cierre de la Actividad 
 Compartan con los demás equipos la forma en que resolvieron la 
actividad. Hagan sugerencias y/o planteen preguntas para que 
cada equipo mejore sus resultados. 
 Presenten su trabajo a todo el grupo y comenten qué aprendizaje 
les generó el problema. 
 
 
ciudades en el globo terráqueo tomando en cuenta que el mundo se 
divide en latitudes y longitudes. 
 
 
 
a) ¿Qué tipo de datos necesitas conocer antes de resolver el 
problema? 
b) ¿Cómo puedes traducir esta realidad en una estructura 
matemática? 
c) ¿Cuáles serán las codificaciones que haces a la estructura 
diseñada en el inciso a? 
d) ¿Qué cálculos harás para lograr determinar la distancia entre las 
dos ciudades? 
Cierre de la Actividad 
 Compartan con los demás equipos la forma en que resolvieron la 
actividad. Hagan sugerencias y/o planteen preguntas para que 
cada equipo mejore sus resultados. 
 Presenten su trabajo a todo el grupo y comenten qué aprendizaje 
les generó el problema. 
 
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
267
 
Problema 17. Un servicio sismológico de Baja California, detectó un 
sismo con origen en la Cd. de Mexicali a 5 km este y 3 km sur del 
centro de la ciudad con un radio de 4 km a la redonda. 
a) ¿Cuál es el área afectada? 
b) ¿El sismo afectó a la ciudad de Mexicali? Argumente y en su caso 
determínelo. 
 
Problema 18. Un laboratorio espacial gira alrededor de la tierra a 
una altitud de 380 millas. Cuando un astronauta mira al horizonte de 
la tierra, el ángulo θ que se forma es de 65.8 grados. 
a) Calcula el radio de la tierra. 
b) Si el centro de la tierra se fija en el punto C(2, 3), ¿cuál es la 
ecuación de la tierra, si ésta se considera circular? 
 
Problema 19. La órbita de la tierra alrededor del sol y la órbita de la 
luna alrededor de la tierra son aproximadamente círculos de radio 
1.5x10 a la 8 km y 3.8x10 a la 5 km, respectivamente, con el sol en el 
centro de la órbita de la tierra y la tierra en el centro de la órbita de la 
luna. Si se ubica al sol en el origen de un sistema cartesiano: 
a) ¿Cuál es la ecuación de la órbita de la luna? 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
268
Problemas Selectos de PreCálculo
269
 
Bibliografía 
 
Ausubel J.P., Novack J.D., Hanesian H. (1993), Psicología educativa (6a. imp.), 
México: Trillas. 
Ballester, A (2002) El aprendizaje significativo. Cómo hacer el aprendizaje 
significativo en el aula. Depósito Legal: PM 1838-2002. España, Disponible 
en línea http://www.cibereduca.com/aprendizaje/LIBRO.pdf, 16-02-05. 
Barrel, J. (1999): Aprendizaje basado en Problemas, un enfoque investigativo. 
Buenos Aires, Editorial Manantial 
Bautista, A. (1994), Las nuevas Tecnologías en la Capacitación Docente, 
Aprendizaje Visor, Madrid, España. 
Bereiter, C. y Scardamalia, M. (1989), International learning as goal of instruction. 
En Resnick L.B. (ed.) Knowing, learning and instruction, NJ: LEA. 
Bransford, J. D., y Stein, B. S. (1986): Solución ideal de problemas. Guía para 
mejor pensar, aprender y crear. Barcelona, Labor. 
Cantoral, R. y Montiel, G. (2001): Funciones: Visualización y Pensamiento 
Matemático. PrenticeHall & Pearson Edución, México. 
Cataldi Z. y Lage F., 2003. Estructuras de Datos Estáticas en Pascal. Recopilación 
de los Algoritmos Fundamentales. Autores: ISBN 987-43-5979-X. Facultad 
de Ingeniería, UBA. 
Chomsky, N. (1972). Lingüística cartesiana. Madrid: Gredos. 
Cooper, James. (1996. Winter). “Cooperative Learning and College Teaching 
Newsletter”. 
De Azevedo y Laurino (2000). Mathematikos: Dispuesto a aprender. Recuperado 
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http://www.nied.unicamp.br/oea/pub/livro3/espanhol/capitulo10.pdf 
Díaz Barriga, F. y Hernández, G. (1998). Estrategias de enseñanza para la 
promoción de aprendizajes significativos. Estrategias docentes para un 
aprendizaje significativo. Una Interpretación constructivista. México, 
McGraw-Hill pp. 69-112. 
Bibliografía
Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
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Problemas Selectos de PreCálculo • Secuencia didáctica
274
Problemas Selectos de PreCálculo
275
 
Anexo A 
Examen Pretest 
Academia de Ciencias Básicas 
Nombre _________________________ Especialidad: _____________________ 
 
Fecha: ___/___/___/ Tiempo Máximo: 1 Hora 
 
I. Relaciona la columna del enunciado con la columna de la representación 
matemática. 
 
a) Un número aumentado en n unidades (____) 
x
3
 
b) El triple de un número disminuido en k unidades (____) x + n 
c) La tercera parte de un número (____) 2m+1-2m+3 
d) La quinta parte de diferencia entre un número y 8 (____) 4x 
e) El cuadrado de lo que vale el kilo de carne menos dos séptimos 
 
(____) ( )
2n+n+1+n+2 
f) Un número excede en 10 unidades a otro (____) a=b+10 
g) La diferencia de dos números impares consecutivos (____) 3x – k 
h) La suma de tres números consecutivos al cuadrado 
 
(____) 
2 2c
7
− 
i) Número de ruedas necesarias para fabricar x coches. 
 
(____) 
m-8
5
 
 
II. Subraya la opción que represente la notación algebraica del enunciado de 
cada pregunta: 
 
1. La suma de un número, su doble y su triple es 42. 
a. x + y + z = 42 
Problemas Selectos de PreCálculo
276
 
b. x + 2x + 3x = 42 
c. 
x xx + + = 42
2 3
 
d. x + x + 2 + x + 3 = 42 
2. La mitad de un número. 
a. x² 
b. 2x 
c. x+x 
d. 
x
2
 
3. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los 
catetoss 
a. c² = a + b 
b. c² = a² – b² 
c. c² = a² b² 
d. c² = a² + b² 
4. El doble producto de dos números. 
a. x – 2y 
b. -2xy 
c. 2x – y 
d. 2xy 
 
5. El promedio de tres números. 
a. 3(x + y + z) 
b. 
(x + y + z)
3
 
c. x + 2y + 3z 
d. 
(x - y - z)
3
 
6. El triple de la diferencia de dos números. 
a. 3(a – b) 
b. 3a – b 
c. a – 3b 
d. (a – b)³ 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
277
 
7. La suma de dos números cualesquiera. 
a. g / f 
b. g – f 
c. gf 
d. g + f 
 
III. Escribir en lenguaje español con letra de molde, la descripción de las 
siguientes expresiones matemáticas. 
 
4x 
 
3(a+3 ) 
 
 
2+1 
 
 
1
x+3 
 
 
3
2
yx 
 
2x + y = 
1 
 
 
x> 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
278
 
IV. Solucionar los siguientes problemas: 
1. Cinco piratas se repartieron las monedas de un cofre. El Manco recibió !
!
 
del total; Garfio recibió !
!
 de lo que quedaba; el Tuerto recibió !
!
 de lo que 
quedaba; la Muerte !
!
 de lo que quedaba, y finalmente, Barba negra !
!
 de lo 
que quedaba. ¿Cuántos piratas recibieron la misma cantidad de monedas? 
2. En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres 
y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 
11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa? (fracciones y 
ecuaciones lineales). 
Problemas Selectos de PreCálculo
279
 
Anexo B 
Examen Postest 
Academia de Ciencias Básicas 
Nombre _________________________ Especialidad: _____________________ 
 
Fecha: ___/___/___/ Tiempo Máximo: 1 Hora 
 
I. Relaciona la columna del enunciado con la columna de la representación 
matemática. 
 
a. El doble de un número (___) 1 10
x
− 
b. El doble de un número aumentado en 
5 
(___) 2n+2n+2+2n+4=46 
c. La cuarta parte de un número 
aumentado en p 
(___) 3
5
n
n
+
−
 
d. Tres veces la producción de leche 
más 5 litros 
(___) m
4
p+ 
e. Un tercio de la distancia menos el 
cuadrado de tres kilómetros 
(___) (2m+1)-(2m+3) 
f. La suma de tres números pares 
consecutivos es sesenta y seis 
(___) 3L+5 
g. La diferencia de dos números 
impares consecutivos 
(___) 2x + 5 
h. El recíproco de un número 
disminuido en diez unidades 
(___) 2d 3
3
− 
i. El numerador de una fracción se 
aumenta en 3 y el denominador de 
disminuye en 5 
(___) 
2x 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
280
 
II. Subraya la opción que represente la notación algebraica del enunciado de 
cada pregunta: 
1. La suma de tres números consecutivos es 61. 
a. x + x + x = 61 
b. a + y + z = 61 
c. x + 2x + 3x = 61 
d. x + x + 1 + x + 2 = 61 
2. El recíproco de un número. 
a. x 
b. 1
x
 
c. 2x 
d. x + 1 
3. El cociente de la suma entre la diferencia de dos cantidades. 
a. (a + b) – (a – b) 
b. (a + b)(a – b) 
c. (a + b) + (a – b) 
d. (a + b) / (a – b) 
4. En una granja hay pollos y cerdos, en total son 45 animales. 
a. 2x + y = 45 
b. xy = 45 
c. x / y = 45 
d. x + y = 45 
5. El área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la 
altura. 
a. A = 2(b +h) 
b. b +hA = 
2
 
Problemas Selectos de PreCálculo
281
 
c. b -hA = 
2
 
d. bhA = 
2
 
6. El perímetro de un cuadrado. 
a. P = 4a 
b. P = 4a² 
c. P = a2 
d. P = 4 – a 
7. El cuadrado del producto de tres números cualesquiera. 
a. 2(abc)² 
b. (abc)² 
c. (2abc)² 
d. (abc)4 
III. Escribir en lenguaje español con letra de molde, la descripción de las 
siguientes expresiones matemáticas. 
2+1x 
5x
3
− 
 
2(a+b ) 
3b - c 
2+4x 
x< 2 
 
 
2x = 1+ y 
 
 
 
 
Problemas Selectos de PreCálculo
282
 
V. Solucionar los siguientes problemas: 
1. Un servicio sismológico de Baja California, detectó un sismo con origen 
en la Cd. de Mexicali a 5 km este y 3 km sur del centro de la ciudad con 
un radio de 4 km a la redonda. ¿Cuál es el área afectada? Calcule la 
distancia entre el centro de la ciudad y el epicentro. ¿El sismo afectó el 
centro de la ciudad de Mexicali? Argumente y en su caso determínelo. 
2. Para circular con malla “ciclón” una finca rectangular de 750 m² de área, 
se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca. 
Encontrar: 
a. El costo de la obra si se conoce que existen en el mercado los 
siguientes tipos de mallas, determínense los costos y elegir la 
opción que más convenga. 
• Malla1 costo por metro lineal $91.50. Descuento por 
compra Global16.5% 
• Malla 2 costo por metro lineal: $ 122.00 Descuento por 
compra Global 12.3 % 
• Malla 3 costo por metro lineal: $ 118.00 Descuento por 
Compra 11.22% 
b. ¿Se Podrá Circular con la malla “ciclón” adquirida un terreno 
circular de un perímetro mayor que 110 metros 
 
 
 
 
 
 
Problemas selectos de Precálculo
para el Curso de inducción
Instituto Tecnológico de Ciudad Guzmán
Tiro: 200 ejemplares
Ciudad Guzmán, Jalisco, México
Junio de 2012
View publication stats
https://www.researchgate.net/publication/309457939