topografía

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CONCEPTOS Y APLICACIONES
TOPOGRAFÍA
MARIO ARTURO RINCÓN VILLALBA
WILSON ERNESTO VARGAS VARGAS
CARLOS JAVIER GONZÁLEZ VERGARA
TOPOGRAFÍA
CONCEPTOS  Y  APL ICACIONES
MARIO  ARTURO  R INCÓN V ILLALBA
WILSON ERNESTO  VARGAS  VARGAS
CARLOS  JAV IER  GONZÁLEZ  V ERGARA
Catalogación en la publicación - Biblioteca Nacional de Colombia
Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio 
sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales.
Impreso y hecho en Colombia - Todos los derechos reservados
Colección: Ingeniería y salud en el trabajo
Área: Ingeniería civil
© Mario Arturo Rincón Villalba
© Wilson Ernesto Vargas Vargas 
© Carlos Javier González Vergara
© Ecoe Ediciones Ltda.
e-mail: info@ecoeediciones.com
www.ecoeediciones.com
Carrera 19 # 63C 32, Tel.: 248 14 49
Bogotá, Colombia
Primera edición: Bogotá, agosto de 2017
ISBN: 978-958-771-506-4
e-ISBN: 978-958-771-507-1 
Dirección editorial: Angélica García Reyes
Corrección de estilo: Laura Lobatón Sanabria
Diagramación: Olga L. Pedraza Rodriguez
Carátula: Andrés Gamba
Impresión: Editorial Buena Semilla
Carrera 28A # 64 A - 34
Rincón Villalba, Mario Arturo
Topografía : conceptos y aplicaciones / Mario Arturo Rincón Villalba, Wilson Ernesto 
Vargas Vargas, Carlos Javier González Vergara. -- 1a. ed. – Bogotá : Ecoe Ediciones, 2017.
380 p. – (Ingeniería y salud en el trabajo. Ingeniería civil)
Incluye bibliografía.
ISBN 978-958-771-506-4 -- 978-958-771-507-1 (e-book)
1. Topografía 2. Ingeniería civil I. Vargas Vargas, Wilson Ernesto II. González Vergara, 
Carlos Javier III. Título IV. Serie
CDD: 526.3 ed. 23  CO-BoBN– a1006773
http://www.ecoeediciones.com/
Capítulo 1. conceptos básicos ..........................................................................1
1.1 Topografía .........................................................................................................1
1.1.1Representación de puntos en topografía.............................................2
1.2 Operaciones topográficas ................................................................................2
1.2.1 Levantamiento  topográfico ...................................................................3
1.2.2Replanteo.................................................................................................3
1.2.3Control ....................................................................................................3
1.3 Tipos de levantamientos ..................................................................................3
1.4 Mediciones en topografía ................................................................................4
1.4.1 Unidades de medición angular.............................................................5
1.4.2Unidades de medida de longitud .........................................................6
1.4.3Unidades de medida de superficie .......................................................8
1.4.4Unidades de medida de volumen.........................................................9
1.5 Redondeo de Números  ................................................................................10
1.6 Exactitud y precisión ....................................................................................11
1.7 Equipos utilizados en Topografía................................................................12
1.7.1Estación total  ......................................................................................12
1.7.2 Trípode  ................................................................................................12
1.7.3 Nivel topográfico .................................................................................13
1.7.4 Mira topográfica ..................................................................................13
1.7.5Prisma ...................................................................................................14
1.7.6 Jalones ...................................................................................................14
1.7.7Cinta métrica .......................................................................................15
1.7.8Plomadas ..............................................................................................15
Capítulo 2. Levantamientos con cinta y brujúla ..................................17
2.1 Levantamiento  con cinta ..............................................................................17
2.1.1Medición de distancias con cinta ......................................................18
2.1.2Medición de ángulos con cinta .........................................................20
2.1.3Cálculo de áreas por figuras geométricas ........................................23
2.1.4 Levantamiento  con cinta método de izquierdas y derechas  ......... 26
2.1.5 Levantamiento  con cinta método de medidas a dos puntos ......... 32
2.2 Levantamiento  con cinta y brújula .............................................................38
2.2.1Ejercicio práctico.................................................................................40
2.3 Ejercicios planteados.....................................................................................48
CONTENIDO
TOPOGRAFÍAVI 
Capítulo 3. ángulos y coordenadas............................................................49
3.1 Ángulos ..........................................................................................................49
3.1.1 Rumbo – Rb .........................................................................................51
3.1.2 Azimut – AZ ........................................................................................51
3.1.3 Ángulo de deflexión............................................................................52
3.2 Coordenadas ..................................................................................................53
3.2.1 Coordenadas  arbitrarias .....................................................................55
3.2.2 Coordenadas  asifinas ..........................................................................56
3.2.3 Coordenadas reales .............................................................................56
3.2.4 Coordenadas Rectangulares ..............................................................56
3.2.5 Coordenadas Polares ..........................................................................57
3.3 Conversión de coordenadas .........................................................................57
3.3.1 Conversión de coordenadas rectangulares  a polares......................57
3.3.2 Conversión de coordenadas polares a rectangulares  .....................61
Capítulo 4. Radiación ........................................................................................63
4.1 Radiación simple  ..........................................................................................63
4.1.1 Definición.............................................................................................63
4.1.2 Aplicaciones .........................................................................................65
4.1.3 Procedimiento en terreno ..................................................................65
4.1.4 Procedimiento en la oficina ...............................................................66
4.1.5 Ejemplo Práctico .................................................................................67
4.1.6 Cálculos ................................................................................................67
4.2 Radiación doble .............................................................................................71
4.2.1 Definición.............................................................................................71
4.2.2 Aplicaciones ........................................................................................72
4.2.3 Ley de senos .........................................................................................724.2.4Metodología .........................................................................................73
4.2.5 Ejemplo.................................................................................................74
4.3 Ejercicios planteados .....................................................................................84
Capítulo 5. Poligonales ....................................................................................87
5.1 Generalidades ................................................................................................87
5.2 Clasificación de las poligonales ...................................................................88
5.2.1 Poligonal abierta ..................................................................................88
5.2.2 Poligonal cerrada.................................................................................89
5.2.3 Poligonal orientada o de azimut directo  .........................................90
5.2.4 Poligonal no orientada .......................................................................91
TABLA DE CONTENIDO VII 
5.3 Ajustes y compensaciones ............................................................................92
5.3.1Error de cierre angular .......................................................................93
5.3.2 Errores de cierre en distancia ............................................................94
5.3.3 Precisión de la poligonal ....................................................................95
5.4 Métodos de ajuste ..........................................................................................95
5.4.1Método de brújula o de Bowditch ....................................................95
5.4.2 Método de tránsito ..............................................................................96
5.4.3Método de Crandall  ...........................................................................96
5.4.4Método de variación de coordenadas...............................................97
5.4.5Ajuste por mínimos cuadrados .........................................................98
Capítulo 6. Poligonal abierta.....................................................................101
6.1 Definición.....................................................................................................101
6.2 Levantamiento: Poligonal abierta método ceros atrás ...........................102
6.2.1Metodología .......................................................................................102
6.2.2 Ejercicio: poligonal abierta por ceros atrás ....................................103
6.3 Poligonal abierta por azimut directo ........................................................106
6.3.1 Metodología .......................................................................................106
6.3.2 Ejercicio Poligonal Abierta por Azimut Directo ...........................108
6.4 Ejercicios planteados...................................................................................112
Capítulo 7. poligonal cerrada ...................................................................113
7.1 Definición.....................................................................................................113
7.2 Aplicaciones .................................................................................................113
7.3 Metodología .................................................................................................113
7.3.1Trabajo de campo ..............................................................................113
7.3.2 Trabajo en oficina ..............................................................................114
7.4 Ejercicio práctico.........................................................................................113
7.4.1 Ajuste de la poligonal por método de brújula ...............................117
7.4.2Ajuste de la poligonal por método de tránsito ..............................121
7.4.3Ajuste de la poligonal por método de Crandall ............................124
7.4.4 Ajuste de la poligonal por método de variación 
de coordenadas por el número de lados ..................................................128
7.4.5 Ajuste de la poligonal por método de variación 
de coordenadas por el perímetro ..............................................................130
7.4.6 Ajuste de la poligonal por método de mínimos cuadrados......... 132
7.4.7 Cálculo de los detalles ......................................................................137
7.5 Ejercicios planteados...................................................................................139
TOPOGRAFÍAVIII 
Capítulo 8 poligonal punto a punto ........................................................141
8.1 Metodología .................................................................................................143
8.1.1 Trabajo de campo ..............................................................................143
8.1.2 Trabajo de oficina ..............................................................................144
8.2 Ejercicio: poligonal abierta por ceros atrás corrigiendo ángulos .......... 145
8.2.1 Cálculos ..............................................................................................147
8.3 Ejercicio: poligonal abierta por ceros atrás corrigiendo Azimuts........ 156
8.3.1 Cálculos ..............................................................................................159
8.4 Poligonal controlada en cada delta ...........................................................167
8.4.1 Aplicaciones y ventajas  ....................................................................168
8.4.2 Metodología .......................................................................................169
8.4.3 Ejercicio práctico...............................................................................170
8.5 Ejercicios planteados ...................................................................................179
Capítulo 9. localización de proyectos ...................................................181
9.1 Tipos de replanteo .......................................................................................182
9.1.1 Replanteo para obras puntuales ......................................................182
9.1.2 Replanteo para obras lineales ..........................................................185
9.1.3 Control vertical..................................................................................189
Capítulo 10. cálculo de áreas .....................................................................193
10.1 Definición ..................................................................................................193
10.2 Métodos de cálculo de áreas ....................................................................194
10.2.1 Método de las figuras geométricas ...............................................195
10.2.2Método de las coordenadas ...........................................................200
10.2.3 Método de la herramienta CAD ...................................................205
10.2.4Método gráfico del planímetro .....................................................209
10.2.5Método gráfico de la malla de puntos ..........................................212
10.2.6 Método gráfico del papel milimetrado.........................................214
Capítulo 11. altimetría conceptos generales .....................................217
11.1 Altimetría  ..................................................................................................217
11.2Altura o cota ..............................................................................................218
11.3Tipos de nivelación  ..................................................................................219
11.4Equipos empleados en nivelación ...........................................................220
11.4.1Teodolito  .........................................................................................22011.4.2Nivel .................................................................................................220
11.4.3Mira  .................................................................................................221
11.4.4 Nivel de mano (nivel Locke)  ........................................................222
TABLA DE CONTENIDO IX 
11.4.5Nivel Abney .....................................................................................222
11.4.6Altímetro ..........................................................................................222
11.4.7 Equipo menor y materiales  ...........................................................223
11.5 Precisión en altimetría .............................................................................223
11.5.1 Error permitido en nivelación ......................................................223
Capítulo 12. nivelación geométrica o diferencial ...........................225
12.1Equipos para nivelación geométrica ......................................................226
12.2Errores en nivelación geométrica ...........................................................226
12.3 Nivelación geométrica simple .................................................................227
12.3.1 Ejemplo Nivelación Geométrica Simple  .....................................228
12.4Nivelación geométrica compuesta ..........................................................229
12.4.1 Procedimiento para nivelaciones geométricas compuestas  ..... 230
12.5 Circuito de nivelación por diferentes cambios......................................231
12.5.1 Ejemplo práctico: Circuito de nivelación 
por diferentes cambios ...............................................................................232
12.5.2 Ejercicio propuesto: Circuito de nivelación
por diferentes cambios ...............................................................................237
12.6Circuito de nivelación por los mismos cambios ...................................238
12.6.1 Ejemplo práctico: Circuito de nivelación por los mismos
cambios ........................................................................................................238
12.6.2 Ejemplo práctico: Circuito de nivelación por los mismos
cambios ........................................................................................................243
Capítulo 13. nivelación trigonométrica ...............................................245
13.1Definición ..................................................................................................245
13.2 Usos  ........................................................................................................246
13.3Metodología ...............................................................................................247
13.3.1 Trabajo en campo............................................................................247
13.3.2 Trabajo en oficina............................................................................247
13.4 Tipos de nivelación trigonométrica........................................................249
13.4.1 Nivelación trigonométrica simple ................................................249
13.4.2Nivelación trigonométrica compuesta .........................................256
13.5Ejercicios propuestos ................................................................................268
Capítulo 14. nivelación de líneas (perfiles) .........................................271
14.1Concepto ....................................................................................................271
14.2Perfil longitudinal .....................................................................................272
14.2.1 Métodos de materialización de ejes ..............................................273
TOPOGRAFÍAX 
14.2.2 Ejemplo práctico .............................................................................276
14.3 Perfiles o secciones transversales  ............................................................280
14.3.1Nivelación de los perfiles transversales ........................................280
14.3.2 Ejemplo práctico .............................................................................284
14.4 Ejercicio propuesto ...................................................................................287
Capítulo 15. modelos digitales de terreno...........................................289
15.1Curvas de nivel ..........................................................................................290
15.1.1 Características  de las curvas de nivel ...........................................291
15.1.2 Equidistancia de las curvas de nivel .............................................291
15.2 Breaklines o divisorias de aguas...............................................................293
15.3 Análisis con Modelos Digitales de Terreno ...........................................296
15.3.1 Interpretación de las curvas  .........................................................296
15.3.2Mapa de pendientes ........................................................................296
15.3.3Mapa de elevaciones  ......................................................................298
15.3.4 Mapa de direcciones de pendiente ...............................................298
15.3.5Mapa de cuencas .............................................................................299
Capítulo 16. Nivelación de superficies ...................................................301
16.1Generalidades ............................................................................................301
16.2 Nivelación por radiación ...................................................................302
16.3 Nivelación por cuadrícula........................................................................314
16.4 Método de nivelación trigonométrica– puntos de quiebre .................324
16.5Ejercicios planteados ................................................................................341
Capítulo 17. movimiento de tierras ..........................................................347
17.1 Concepto ....................................................................................................347
17.2 Método de perfiles consecutivos o secciones transversales  ................348
17.2.1 Diseño de la rasante ........................................................................348
17.2.2 Cálculo del área en la sección transversal ....................................351
17.2.3Cálculo de la cubicación ................................................................358
17.3 Método de las curvas de nivel .................................................................365
Capítulo 18. planos topográficos.............................................................369
18.1 Información en planos topográficos.......................................................375
18.2Elaboración de planos correspondientes 
a levantamientos  topográficos..........................................................................380
Bibliografía ........................................................................................................381
TABLA DE CONTENIDO XI 
ÍND ICE  DE   F IGURAS
Figura 1.1  Representación de puntos .................................................................2
Figura 1.2  Distancias en topografía ....................................................................5
Figura 1.3  Precisión ........................................................................................... 11
Figura 1.4  Estación total ....................................................................................12
Figura 1.5  Trípode...............................................................................................12
Figura 1.6  Nivel ...................................................................................................13
Figura 1.7  Mira ....................................................................................................13Figura 1.8  Prisma ................................................................................................14
Figura 1.9  Jalones ................................................................................................14
Figura 1.10  Cinta ...................................................................................................15
Figura 1.11  Plomada .............................................................................................15
Figura 2.1  Medidas con cinta en terreno plano  .............................................18
Figura 2.2  Medidas seccionadas con cinta en terreno plano ........................18
Figura 2.3  Medidas con cinta en terreno inclinado........................................19
Figura 2.4  Medidas seccionadas con cinta en terreno inclinado ..................20
Figura 2.5  Medidas con cinta en terreno inclinado con obstáculos  ............20
Figura 2.6  Perpendicular con cinta, método del radio  .................................21
Figura 2.7  Perpendicular con cinta, método del triángulo 
rectángulo ..........................................................................................21
Figura 2.8  Perpendicular con escuadras  .........................................................22
Figura 2.9  Fórmula para ángulos con cinta .....................................................22
Figura 2.10a  Carteras de campo: levantamiento  con cinta................................27
Figura 2.10b  Carteras de campo: levantamiento  con cinta................................28
Figura 2.11  Área por figuras geométricas ..........................................................31
Figura 2.12  Distancias izquierdas y derechas  al restaurante ...........................32
Figura 2.13  Distancias al punto 10......................................................................33
Figura 2.14a  Carteras de campo: levantamiento  con cinta, 
método distancias a dos puntos  ....................................................34
Figura 2.14b  Carteras de campo: levantamiento  con cinta, 
método distancias a dos puntos .....................................................35
Figura 2.15a  Ejercicio planteado:  levantamiento con cinta  ..............................36
Figura 2.15b  Ejercicio planteado:  levantamiento con cinta  ..............................37
Figura 2.16  Azimut ...............................................................................................38
Figura 2.17  Rumbo ...............................................................................................39
TOPOGRAFÍAXII 
Figura 2.18a  Carteras  de campo: levantamiento con cinta y brújula  ..............41
Figura 2.18b Carteras  de campo: levantamiento con cinta y brújula  ................42
Figura 2.19  Azimuts tomados en campo ...........................................................45
Figura 2.20  Atracción local de cada línea del polígono  ..................................46
Figura 2.21  Atracción local de cada línea del polígono  ..................................47
Figura 2.22  Ejercicio: Medición con cinta  ........................................................48
Figura 3.1  Ángulo ...............................................................................................50
Figura 3.2  Nomenclatura de los cuadrantes ....................................................50
Figura 3.3  Rumbo ...............................................................................................51
Figura 3.4  Azimut ...............................................................................................52
Figura 3.5  Ángulo de deflexión .........................................................................52
Figura 3.6  Proyecciones cartográficas ..............................................................54
Figura 3.7  Orígenes de las coordenadas planas de Gauss 
en Colombia ......................................................................................55
Figura 3.8  Coordenadas .....................................................................................56
Figura 3.9  Coordenadas polares .......................................................................57
Figura 3.10  Coordenadas rectangulares  a polares ............................................58
Figura 3.11  Definición de cuadrante  en función del signo 
de las diferencias de norte y este ....................................................59
Figura 3.12  Signo del ángulo θ ............................................................................60
Figura 3.13  Coordenadas rectangulares  a polares. ...........................................61
Figura 4.1  Radiación simple de un lote ............................................................64
Figura 4.2  Equipos empleados en levantamientos 
por radiación simple ........................................................................65
Figura 4.3  Imagen del predio a levantar  ..........................................................67
Figura 4.4 a  Cartera  de campo: Levantamiento por radiación sencilla ..........68
Figura 4.4 b  Cartera  de campo: Levantamiento por radiación sencilla ..........69
Figura 4.5  Radiación doble ................................................................................72
Figura 4.6  Ley de senos ......................................................................................72
Figura 4.7  Glorieta a ser levantada  y ubicación de la base medida. .............75
Figura 4.8  Radiación doble en la glorieta ........................................................75
Figura 4.9 A  Cartera  de Campo: radiación desde D2 ........................................76
Figura 4.9 a  Cartera  de Campo: radiación desde D2 y D3. ..............................77
Figura 4.9 C  Cartera  de Campo: radiación desde D3. .......................................78
Figura 4.10  Ángulos del triángulo para el punto 4 ...........................................79
Figura 5.1  Levantamiento  con poligonales ......................................................88
TABLA DE CONTENIDO XIII 
Figura 5.2  Poligonal abierta ...............................................................................89
Figura 5.3  Poligonal de circuito cerrado ..........................................................89
Figura 5.4  Poligonal de línea cerrada ...............................................................90
Figura 5.5  Poligonal orientada ..........................................................................90
Figura 5.6  Poligonal por ceros atrás externos .................................................91
Figura 5.7  Poligonal por ceros atrás  internos ..................................................91
Figura 5.8  Poligonal por deflexiones ................................................................92
Figura 5.9  Ángulos internos de una poligonal ................................................93
Figura 5.10  Ángulos externos de una poligonal ...............................................93
Figura 5.11  Poligonal con brazo interno ............................................................94
Figura 6.1  Poligonal abierta .............................................................................101
Figura 6.2  Cartera de campo ...........................................................................103
Figura 6.3  Cartera de Campo ..........................................................................108
Figura 6.4  Ejercicio planteado: poligonal abierta .........................................112
Figura 7.1a  Ejercicio práctico: poligonal cerrada ...........................................115
Figura 7.1b  Ejercicio práctico: poligonal cerrada ...........................................116
Figura 7.2a  Ejercicio planteado: poligonal cerrada ........................................139
Figura 7.2b  Ejercicio planteado: poligonal cerrada ........................................140
Figura 8.1  Poligonal punto a punto ................................................................141Figura 8.2  Poligonal punto a punto con dos puntos de apoyo ....................142
Figura 8.3  Poligonal punto a punto con tres puntos de apoyo....................142
Figura 8.4  Poligonal punto a punto con cuatro puntos de apoyo ...............143
Figura 8.5a  Ejercicio poligonal punto a punto ................................................145
Figura 8.5b  Ejercicio Poligonal punto a punto ................................................146
Figura 8.6  Ángulos medidos y ángulo proyectado .......................................148
Figura 8.7  Ángulos externos del polígono (incluido el ángulo en 
proyecciones) ..................................................................................149
Figura 8.8a  Ejercicio poligonal punto a punto (para corregir azimuts)  .....157
Figura 8.8b  Ejercicio poligonal punto a punto (para corregir azimuts)  .....158
Figura 8.9  Poligonal controlada en cada delta ..............................................168
Figura 8.10a  Cartera de campo ...........................................................................170
Figura 8.10b  Cartera de campo ...........................................................................171
Figura 8.11a  Cartera de campo ...........................................................................179
Figura 8.11b  Cartera de campo ...........................................................................180
Figura 9.1  Planta de bodega ............................................................................183
TOPOGRAFÍAXIV 
Figura 9.2  Tramo vial .......................................................................................186
Figura 9.3  Tramo vial para control vertical ...................................................190
Figura 10.1  Unidades de área ............................................................................194
Figura 10.2  Área a levantar ................................................................................196
Figura 10.3  División del terreno en figuras geométricas ...............................197
Figura 10.4 a Cartera  de campo: Levantamiento  con cinta ..............................198
Figura 10.4 b Cartera  de campo: Levantamiento  con cinta ..............................199
Figura 10.5  Coordenadas de la edificación - Numeración de puntos ..........201
Figura 10.6  Poligonal que une los puntos de la edificación 
de la figura 10.5 ..............................................................................205
Figura 10.7  Comado AREA en la barra de comandos ...................................206
Figura 10.8  Comando AREA, opción Object, selección del polígono .........206
Figura 10.9  Área del polígono ...........................................................................207
Figura 10.10  Selección de puntos del polígono bajo el comando AREA .......207
Figura 10.11  Área del polígono ...........................................................................208
Figura 10.12  Comando LIST ...............................................................................208
Figura 10.13  Área de la poligonal con el comando LIST .................................209
Figura 10.14  Planímetro rodante ........................................................................210
Figura 10.15  Ubicación de los brazos del planímetro ......................................210
Figura 10.16  Recorrido para el cálculo del área por planímetro polar ..........211
Figura 10.17  Cálculo del área por planímetro rodante ....................................212
Figura 10.18  Malla de puntos ..............................................................................212
Figura 10.19  Área por malla de puntos ..............................................................213
Figura 10.20  Conteo de puntos en el área ..........................................................214
Figura 10.21  Diferentes ubicaciones de la malla sobre el área ........................214
Figura 10.22  Área con papel milimetrado .........................................................215
Figura 10.23  Posiciones diferentes para el conteo de puntos ..........................215
Figura 11.1  Cota o altura....................................................................................218
Figura 11.2  Teodolito..........................................................................................220
Figura 11.3  Nivel .................................................................................................221
Figura 11.4  Mira ..................................................................................................221
Figura 11.5  Nivel Locke......................................................................................222
Figura 11.6  Nivel Abney .....................................................................................222
Figura 11.7  Altímetro .........................................................................................223
Figura 12.1  Nivelación geométrica simple.......................................................227
TABLA DE CONTENIDO XV 
Figura 12.2  Cartera de campo: nivelación geométrica simple ......................228
Figura 12.3  Nivelación geométrica compuesta ...............................................230
Figura 12.4a  Ejercicio. Circuito de nivelación 
por diferentes cambios...................................................................232
Figura 12.4b  Ejercicio. Circuito de nivelación 
por diferentes cambios...................................................................233
Figura 12.5  Ejercicio propuesto. Circuito de nivelación 
por diferentes cambios...................................................................237
Figura 12.6a  Ejercicio. Circuito de nivelación por los mismos cambios .......238
Figura 12.6b  Ejercicio. Circuito de nivelación por los mismos cambios .......239
Figura 12.7  Ejercicio. Circuito de nivelación por los mismos cambios .......243
Figura 13.1  Diagrama general de la nivelación trigonométrica....................246
Figura 13.2  Ángulo cenital mayor a 90 grados................................................248
Figura 13.3a  Cartera de campo ...........................................................................250
Figura 13.3b  Cartera de campo  ..........................................................................251
Figura 13.4a  Cartera de campo  ..........................................................................258
Figura 13.4b  Cartera de campo  ..........................................................................259
Figura 13.4c  Cartera de campo  ..........................................................................260
Figura 13.4d  Cartera de campo ...........................................................................261
Figura 13.5 a  Ejercicio propuesto. Cartera de campo  ......................................268
Figura 13.5 b  Ejercicio propuesto. Cartera de campo  ......................................269
Figura 14.1  Perfil topográfico ............................................................................271
Figura 14.2  Tipo de perfiles ...............................................................................272
Figura 14.3  Materialización del eje por distancias fijas..................................273
Figura 14.4  Materialización del eje por puntos de quiebre ...........................274
Figura 14.5  Problemas en el método de distancias fijas .................................275
Figura 14.6  Materialización del eje por método mixto ..................................275
Figura 14.7  Cartera de campo. Nivelación perfil 1 .........................................276
Figura 14.8  Cartera de campo. Nivelación perfil 2 .........................................277
Figura 14.9  Dibujo perfil escala 1:1 ..................................................................279
Figura 14.10  Perfil escala  a décupla ....................................................................280Figura 14.11  Escuadra óptica ..............................................................................281
Figura 14.12  Escuadra de agrimensor ................................................................281
Figura 14.13  Trazo de perpendiculares  en línea recta ......................................282
Figura 14.14  Trazo de perpendiculares  en las curvas .......................................282
Figura 14.15  Nivelación de secciones transversales ..........................................283
TOPOGRAFÍAXVI 
Figura 14.16  Nivelación de secciones transversales  con cambios...................283
Figura 14.17  Cartera  de campo de nivelación de secciones ............................284
Figura 14.18  Sección transversal .........................................................................286
Figura 14.19  Nivelación de un perfil ..................................................................287
Figura 14.20  Nivelación secciones transversales ...............................................288
Figura 15.1  Modelo digital del terreno .............................................................289
Figura 15.2  Curvas de nivel de un modelo digital del terreno ......................290
Figura 15.3  Curvas de nivel de un modelo digital del terreno ......................292
Figura 15.4  Curvas de nivel sobre un vía sin aplicar breaklines ....................293
Figura 15.5  Líneas de triangulación o interpolación sin breaklines .............294
Figura 15.6  Líneas de triangulación o interpolación con breaklines ............295
Figura 15.7  Curvas de nivel sobre un vía aplicando breaklines.....................295
Figura 15.8  Curvas de nivel en corrientes de agua y en filos de montaña  ..296
Figura 15.9  Mapa de pendientes  ......................................................................297
Figura 15.10  Mapa de elevaciones  .....................................................................298
Figura 15.11  Mapa de direcciones de pendiente ..............................................299
Figura 15.12  Mapa de cuencas ............................................................................299
Figura 16.1  Radiación. Ubicación de las visuales ...........................................302
Figura 16.2  Materialización de puntos de quiebre..........................................303
Figura 16.3  Medición de ángulos y distancias.................................................303
Figura 16.4 a Cartera  de la radiación ..................................................................304
Figura 16.4 b Cartera  de la radiación ..................................................................305
Figura 16.5  Cartera  de la nivelación .................................................................307
Figura 16.6  Interpolación entre los puntos 21 - 22.........................................310
Figura 16.7  Ubicación de las cotas cerradas ....................................................313
Figura 16.8  Plano topográfico ...........................................................................313
Figura 16.9  Terreno a nivelar .............................................................................314
Figura 16.10  Coordenadas de la cuadrícula ......................................................315
Figura 16.11  Cuadrícula y equipo para nivelación ...........................................316
Figura 16.12  Dimensiones de una cuadrícula ...................................................320
Figura 16.13  Líneas y diagonales de la cuadrícula ............................................321
Figura 16.14  Ubicación de puntos para curvas de nivel 
en la cuadrícula...............................................................................323
Figura 16.15  Trazado de las curvas de nivel ......................................................323
Figura 16.16a Cartera  de campo  ..........................................................................325
TABLA DE CONTENIDO XVII 
Figura 16.16b Cartera de campo  ..........................................................................326
Figura 16.16c Cartera de campo  ..........................................................................327
Figura 16.17  Cartera de nivelación .....................................................................328
Figura 16.18  Ubicación de los puntos por coordenadas 
y generación de los triángulos ......................................................337
Figura 16.19  Creación de la superficie en Civil 3D ..........................................338
Figura 16.20  Creación de los puntos en la plataforma Civil 3D .....................338
Figura 16.21  Definición de la superficie por puntos 
en la plataforma Civil 3D ..............................................................339
Figura 16.22  Puntos en la plataforma Civil 3D .................................................339
Figura 16.23  Modelo Digital de Terreno - MDT 
en la plataforma Civil 3D ..............................................................340
Figura 16.24a Nivelación de un terreno por radiación ......................................341
Figura 16.24b Nivelación de un terreno por radiación ......................................342
Figura 16.25a Nivelación de terrenos por puntos de quiebre ...........................344
Figura 16.25b Nivelación de terrenos por puntos de quiebre ...........................345
Figura 17.1  Perfil y diseño .................................................................................348
Figura 17.2  Sección transversal  típica ..............................................................350
Figura 17.3  Trazo de la rasante  en la sección transversal  ..............................350
Figura 17.4  Área del diseño en la sección transversal ....................................351
Figura 17.5  Puntos de la sección transversal ...................................................352
Figura 17.6  Área por método de cartera de chaflanes ....................................352
Figura 17.7  Multiplicaciones de la regla de cruces .........................................353
Figura 17.8  Puntos sección transversal  mixta .................................................354
Figura 17.9  Área por método de cartera de chaflanes. 
Sección mixta ..................................................................................354
Figura 17.10  Multiplicaciones de la regla de cruces .........................................355
Figura 17.11  Origen cartesiano ...........................................................................356
Figura 17.12  Multiplicaciones de coordenadas .................................................357
Figura 17.13  Área en CAD...................................................................................357
Figura 17.14  Sólido entre  secciones transversales  ............................................358
Figura 17.15  Prismoide en corte .........................................................................359
Figura 17.16  Prismoide en relleno ......................................................................359
Figura 17.17  Piramoide  .......................................................................................360
Figura 17.18  Tronco de piramoide .....................................................................361
Figura 17.19  Sección especial ..............................................................................362
TOPOGRAFÍAXVIII 
Figura 17.20  Volumen en secciones. Ejemplo ...................................................363
Figura 17.21  Área entre curvas de nivel .............................................................365
Figura 17.22  Perfil de la zona de proyecto .........................................................365
Figura 17.23  Zonas de corte y relleno ................................................................366
Figura 18.1  Formato pliego (medidas en milímetros) ...................................371
Figura 18.2  Formatomedio pliego (medidas en milímetros) .......................371
Figura 18.3  Formato A1 (medidas en milímetros) .........................................372
Figura 18.4  Formato A2 (medidas en milímetros) .........................................373
Figura 18.5  Grilla de coordenadas  ...................................................................375
Figura 18.6  Cuadrícula perfil longitudinal  .....................................................376
Figura 18.7  Cuadrícula  secciones transversales  .............................................377
Figura 18.8  Norte dibujada en la planta de un plano 
topográfico  .....................................................................................377
Figura 18.9  Escalas gráficas  ..............................................................................378
Figura 18.10a Convenciones topográficas ...........................................................379
Figura 18.10b Convenciones topográficas ...........................................................379
ÍND ICE  DE  TABLAS
Tabla 2.1  Ángulos del polígono .........................................................................29
Tabla 2.2  Ángulos corregidos .............................................................................29
Tabla 2.3  Promedio de las distancias horizontales  .........................................30
Tabla 2.4  Cálculo del área por figuras geométricas .........................................31
Tabla 2.5  Cálculo de ángulos..............................................................................43
Tabla 2.6  Corrección de ángulos .......................................................................44
Tabla 3.1  Determinación del valor del Azimut ................................................59
Tabla 4.1  Determinación de los azimuts y proyecciones 
de los detalles ......................................................................................70
Tabla 4.2  Ángulos internos de los triángulos y distancia 
desde D2 a los detalles .......................................................................80
Tabla 4.3  Azimuts proyecciones y coordenadas del levantamiento ..............82
Tabla 4.4  Ejercicio planteado de radiación sencilla.........................................84
Tabla 4.5  Ejercicio planteado de Radiación doble. ..........................................85
Tabla 6.1  Coordenadas  base .............................................................................104
Tabla 6.2  Cálculo de azimut de la poligonal  .................................................104
Tabla 6.3  Cálculo de proyecciones de la poligonal ........................................105
TABLA DE CONTENIDO XIX 
Tabla 6.4  Cálculo de coordenadas de la poligonal ........................................105
Tabla 6.5  Cálculo de coordenadas de los detalles ..........................................106
Tabla 6.6  Coordenadas base .............................................................................109
Tabla 6.7  Cálculo de azimut de la poligonal  .................................................109
Tabla 6.8  Cálculo de proyecciones de la poligonal ........................................110
Tabla 6.9  Cálculo de coordenadas de la poligonal ........................................110
Tabla 6.10  Cálculo de coordenadas de los detalles ..........................................111
Tabla 8.1  Coordenadas de los puntos de amarre inicial ...............................147
Tabla 8.2  Coordenadas de los puntos de amarre final  .................................147
Tabla 8.3  Ángulos del polígono cerrado .........................................................149
Tabla 8.4  Ángulos corregidos ..........................................................................150
Tabla 8.5  Azimuts de la poligonal ...................................................................151
Tabla 8.6  Proyecciones de la poligonal  ..........................................................151
Tabla 8.7  Proyecciones corregidas ..................................................................153
Tabla 8.9  Coordenadas de la poligonal ..........................................................154
Tabla 8.10  Azimut de los detalles.......................................................................154
Tabla 8.11  Proyecciones de los detalles .............................................................155
Tabla 8.12  Cálculo de coordenadas de detalles ................................................155
Tabla 8.13  Coordenadas de los puntos de amarre inicial ...............................159
Tabla 8.14  Coordenadas de los puntos de amarre final  .................................159
Tabla 8.15  Ángulos del polígono cerrado .........................................................160
Tabla 8.16  Azimuts corregidos ...........................................................................161
Tabla 8.17  Proyecciones de la poligonal  ..........................................................161
Tabla 8.18  Proyecciones corregidas ..................................................................163
Tabla 8.19  Coordenadas de la poligonal ..........................................................164
Tabla 8.20  Azimut de los detalles.......................................................................164
Tabla 8.21  Proyecciones de los detalles  ............................................................165
Tabla 8.22  Cálculo de coordenadas detalles .....................................................166
Tabla 8.23  Corrección de ángulos .....................................................................172
Tabla 8.24  Cálculo de Azimuts ..........................................................................173
Tabla 8.25  Cálculo de proyecciones ..................................................................174
Tabla 8.26  Corrección de proyecciones ............................................................175
Tabla 8.27  Coordenadas de la poligonal ...........................................................176
Tabla 8.28  Precisiones de cada lado ..................................................................177
Tabla 8.29  Coordenadas de los detalles ............................................................178
TOPOGRAFÍAXX 
Tabla 9.1  Deltas materializados en campo .....................................................183
Tabla 9.2  Coordenadas de los ejes de construcción ......................................184
Tabla 9.3  Distancias y azimuts calculados ......................................................184
Tabla 9.4  Coordenadas punto de amarre  .......................................................186
Tabla 9.5  Coordenadas del eje y los chaflanes  del tramo  ............................187
Tabla 9.6  Datos replanteo desde GPS-1  .........................................................188
Tabla 9.7  Datos replanteo desde D2 ................................................................189
Tabla 9.8  Control vertical  ................................................................................191
Tabla 10.1  Cálculo del área por figuras geométricas .......................................195
Tabla 10.2  División en figuras geométricas ......................................................197
Tabla 10.3  División en figuras geométricas ......................................................200
Tabla 10.4  Coordenadas de los puntos .............................................................202
Tabla 10.5  Cálculos discriminados del primer método ..................................202
Tabla 10.6  Cálculos discriminados del segundo método ...............................204
Tabla 10.7  Cálculo del área por planímetro rodante .......................................211
Tabla 10.8  Cálculo del área por malla de puntos .............................................213
Tabla 10.9  Número de cuadros ..........................................................................216
Tabla11.1  Tipos de nivelación ...........................................................................219
Tabla 11.2  Constante  por clase de nivelación ..................................................224
Tabla 11.3  Errores permitidos por clase de nivelación ...................................224
Tabla 12.1  Cálculos nivelación geométrica simple ..........................................229
Tabla 12.2  Nivelación de cambios del circuito de nivelación.........................234
Tabla 12.3  Cálculos de distancias ......................................................................234
Tabla 12.4  Ajuste del circuito .............................................................................235
Tabla 12.5  Cotas de los detalles  .........................................................................236
Tabla 12.6  Chequeo y ajuste del circuito ..........................................................241
Tabla 12.7  Cálculo de las cotas de los detalles  .................................................242
Tabla 13.1  Datos de campo cálculo nivelación simple....................................252
Tabla 13.2  Cálculo de desniveles y cotas de los puntos ..................................254
Tabla 13.3  Cálculo de coordenadas - Radiación simple .................................255
Tabla 13.4  Ajuste de la poligonal cerrada .........................................................263
Tabla 13.5  Cálculo de desniveles y cotas de los deltas ....................................266
Tabla 14.1  Lecturas a los cambios ......................................................................278
Tabla 14.2  Chequeo y Ajuste de Traslado  de cotas ..........................................278
Tabla 14.3  Cálculo cotas del eje .........................................................................278
TABLA DE CONTENIDO XXI 
Tabla 14.4  Cotas de eje longitudinal..................................................................285
Tabla 14.5  Cartera de cálculo de cotas de la sección transversal ...................286
Tabla 15.1  Equidistancia sugerida según la escala del plano .........................292
Tabla 15.2  Áreas para tipo de terreno  ..............................................................297
Tabla 16.1  Cálculo de coordenadas ...................................................................306
Tabla 16.2  Cálculo de la nivelación ...................................................................308
Tabla 16.3  Interpolación de las línea de visual – IV = 0.5 m .........................310
Tabla 16.4  Cálculo de la nivelación ...................................................................316
Tabla 16.5  Interpolación de un cuadro de la cuadrícula ................................322
Tabla 16.6  Ajuste de la poligonal. Cálculo de coordenadas ...........................329
Tabla 16.7  Coordenadas de los detalles y nube de puntos .............................331
Tabla 16.8a Coordenadas y cotas – Tablas 13.4 y 13.5 ......................................334
Tabla 16.8b Coordenadas y cotas – Tablas 13.4 y 13.5 ......................................334
Tabla 16.8c Coordenadas y cotas – Tablas 13.4 y 13.5 ......................................334
Tabla 16.9  Nivelación Trigonométrica ..............................................................334
Tabla 16.10 Nivelación de un terreno por cuadrícula .......................................343
Tabla 17.1  Cotas del Diseño ...............................................................................349
Tabla 17.2  Datos para el área por método de cartera 
de chaflanes .......................................................................................353
Tabla 17.3  Cálculo del área por método de cartera 
de chaflanes .......................................................................................353
Tabla 17.4  Datos para el área por método de cartera  de chaflanes. 
Sección mixta....................................................................................355
Tabla 17.5  Coordenadas de los puntos de la sección ......................................356
Tabla 17.6  Cálculo del área por método de coordenadas ...............................357
Tabla 17.7  Áreas de las secciones. Ejemplo  .....................................................363
Tabla 17.8  Cálculo del volumen. Ejemplo  .......................................................364
Tabla 17.9  Áreas entre las curvas de nivel ........................................................367
Tabla 17.10 Cálculo de las diferencias de altura. Relleno .................................367
Tabla 17.11 Cálculo de las diferencias de altura. Corte ....................................368
Tabla 17.12 Cálculo volumen de relleno .............................................................368
Tabla 17.13 Cálculo volumen de corte ................................................................368
Tabla 18.1  Derivaciones de un pliego................................................................370
Tabla 18.2  Formatos DIN ...................................................................................372
Tabla 18.3  Equivalencias de las escalas  topográficas  ......................................374
1.1 Topografía
Tradicionalmente  la topografía se ha definido como una ciencia aplicada,  en-cargada de determinar  la  posición relativa  de puntos sobre la Tierra y la re-
presentación en un plano de una porción de la superficie terrestre.
En un sentido más general,  se puede definir como la disciplina que abarca  todos 
los métodos para reunir  información de partes  físicas de la Tierra,  tales  como el 
relieve,  los  litorales,  los cauces  de corrientes  hídricas,  entre  otros, usando para 
ello los métodos clásicos de medición en terreno,  la fotogrametría y los Sensores 
Remotos.
Si se  analiza  la  palabra  topografía desglosándola  del  griego topo- topos (lugar/
región/sitio) y  -grafía  graphe (descripción), Topografía  significaría  el  arte  o la 
técnica que se encarga  de la descripción detallada  de la  superficie de un terreno 
en una determinada  región o lugar.
Una definición muy acertada  es: topografía es la ciencia por medio de la cual  se 
establecen  las  posiciones de puntos situados sobre la superficie  terrestre,  encima 
y debajo  de  ella;  para  lo  cual  se  realizan  mediciones  de  distancias,  ángulos  y 
elevaciones.
CAP Í TULO  1
CONCEPTOS  BÁS ICOS
TOPOGRAFÍA2 
1.1.1 Representación de puntos en topografía
Un punto en el espacio puede representarse  en 3D o en 2D, a través de los sistemas 
cartesianos  tridimensionales y bidimensionales respectivamente. 
En 3D o sistema cartesiano tridimensional:
•  XP: Proyección Este de P.
•  YP: Proyección Norte de P.
•  ZP: Cota o altitud de P.
FIGURA1.1 Representación de puntos
Z(Cota)
Zp
Yp
Xp
X (Este)
Y (Norte)
Punto 3D (X, Y, Z)
Punto 2D (X, Y)
1.2 Operaciones topográficas
En los métodos topográficos de medición en terreno no se considera la verdadera 
forma  de  la  Tierra,  solo  se  utilizan modelos  aproximados  a  la  realidad,  entre 
las  prescindencias  esta  se  considera plana,  la  dirección de la  plomada entre  dos 
puntos  sería paralela  y los  trabajos  se desarrollan  en  extensiones  relativamente 
pequeñas. Las actividades  topográficas se pueden clasificar  en: el  levantamiento, 
el replanteo y el control.
CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS 3 
1.2.1 Levantamiento topográfico
Conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar la posición de puntos 
en el espacio y su representación en un plano, el conjunto de operaciones incluye:
•  Selección del método de levantamiento. 
•  Elección del equipo a utilizar.
•  Identificar y ubicar posibles vértices de apoyo. 
•  Realización de mediciones en terreno. 
•  Cálculo y procesamiento de datos. 
•  Elaboración de planos. 
1.2.2 Replanteo
Una  vez  realizado  el  levantamiento  y  teniendo  como  resultado  un  plano 
topográfico, los ingenieros o planificadoresrealizan proyectos sobre ellos que hay 
que materializar  en  el  terreno,  por  lo tanto,  la  operación de  replanteo  consiste 
en volver a terreno a ubicar cada uno de los elementos geométricos previamente 
definidos  en  el  proyecto.  Esta  operación  contempla  un  replanteo  en  tres 
dimensiones, Norte, Este y Cota.
1.2.3 Control
Conjunto de operaciones cuya finalidad  es constatar  o fiscalizar  en el terreno  la 
materialización de las obras de ingeniería.
1.3 Tipos de levantamientos
Dentro de los levantamientos  topográficos se encuentran:
• Levantamiento de terrenos en general: tiene por objeto marcar  linderos o 
localizarlos, medir y dividir superficies, ubicar terrenos  en planos generales 
ligando con levantamientos  anteriores o proyectar obras y construcciones.
• Topografía para vías de comunicación: sirve  para  estudiar  y  construir 
caminos, ferrocarriles,  canales,  líneas de transmisión, acueductos, etc.
• Topografía de minas: tiene por objeto fijar y controlar la posición de trabajos 
subterráneos y relacionarlos con las obras superficiales.
• Levantamientos catastrales: normalmente  se  trata  de  levantamientos 
urbanos o rurales, con el propósito de localizar los linderos de las propiedades 
(agrícolas, mineras,  acuicultura,  derechos de agua, etc.) y las construcciones 
que contienen, para conocer sus detalles,  su extensión, su valor, los derechos 
TOPOGRAFÍA4 
de propiedad y transmisión, con la finalidad principal de que el estado pueda 
recaudar  los impuestos respectivos.
• Levantamientos hidrográficos: levantamientos  relacionados  con  la  defini-
ción de deslindes de playas de mar,  ríos, lagos, embalses y otros cuerpos de 
agua, así como con  la configuración e irregularidades  de sus profundidades 
(batimetría), utilizando instrumental topográfico clásico en la determinación 
planimetría  y  sofisticados  instrumentos  electrónicos  para  determinar  sus 
profundidades. Las finalidades pueden ir desde la delimitación de sus playas 
para uso público, pasando por la navegación, hasta el estudio de sedimentos 
y el dragado de sus fondos.
• Levantamientos de ingeniería: incluye los trabajos  topográficos requeridos 
antes,  durante y después del término o cierre de los proyectos de ingeniería. 
Un  plano  topográfico  resultante  de  un  levantamiento  que  entregue  la 
configuración  del  terreno  más  la  incipiente  concepción  mental  de  algún 
proyecto de ingeniería son las materias  primas más elementales  y suficientes 
para  que  un  ingeniero  comience  a  plasmar  en  el  plano  su  proyecto. 
Posteriormente  necesitará  materializar  cada  uno  de  sus  elementos  en  el 
terreno  (operación de replanteo) y alguna institución de fiscalización  tendrá 
la  facultad  para  verificar  si  lo  materializado  efectivamente  corresponde 
a  lo  proyectado  (control  topográfico),  de  ahí  la  importancia  que  tiene  la 
topografía para los estudiantes de ingeniería en el desarrollo u orientación de 
sus potencialidades ingenieriles.
• Levantamientos aéreos: se hacen  por medio de la  fotografía, generalmente 
desde aviones y/o drones, y se usan como auxiliares muy valiosos de todas las 
otras  clases  de levantamientos.  La fotogrametría  se dedica especialmente  al 
estudio de estos trabajos.
1.4 Mediciones en topografía
La medición es la técnica mediante la cual asignamos un número a una propiedad 
física, como resultado de comparar dicha propiedad con otra similar tomada como 
patrón,  la  cual  se  adopta  como unidad. La medida de una  superficie da  lugar a 
dos cantidades diferentes  si se emplean distintas unidades de medida. Así, surgió 
la necesidad de establecer  una unidad de medida única para  cada magnitud, de 
modo que la información fuese fácilmente comprendida por todos.
Los levantamientos  topográficos se basan en la medición de distancias y ángulos. 
Las  distancias  pueden  ser:  horizontales,  que  son  las  medidas  principales  en 
planimetría; verticales, que se utilizan para establecer  las diferencias de nivel; y las 
inclinadas, mediciones sobre la superficie terrestre.
En topografía, cuando se hacen mediciones lineales, es importante tener claridad 
en los siguientes conceptos:
CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS 5 
• Distancia Natural:distancia entre dos puntos siguiendo el relieve del terreno.
• Distancia Geométrica: longitud  del  segmento  de  recta  que  une  los  dos 
puntos, también se denomina distancia inclinada.
• Distancia Reducida: distancia  medida  sobre  el  plano  horizontal,  también 
denominada distancia horizontal.
FIGURA1.2 Distancias en topografía
Di
st
an
cia
 n
at
ur
al
Di
sta
nc
ia 
ge
om
ét
ric
a
Distancia reducida 
A
B
Los ángulos que se miden en topografía son horizontales y verticales. Los ángulos 
horizontales permiten determinar la ubicación de los detalles en coordenadas Xy Y, 
mientras que los verticales se utilizan para determinar diferencias de cota o altura.
1.4.1 Unidades de medición angular
Los círculos horizontales y verticales en los equipos vienen generalmente graduados 
en los sistemas angulares sexagesimales o centesimales, sin embargo algunos equipos 
para el uso militar pueden también venir graduados en el sistema de milésimas.
1.4.1.1 Sistema sexagesimal (MODE DEG) 
•  1 Círculo horizontal o vertical graduado = 360° grados sexagesimales.
•  1° = 60´ (minutos sexagesimales).
•  1´ = 60˝ (segundos sexagesimales).
TOPOGRAFÍA6 
Las cantidades expresadas  en este sistema deben sumarse o restarse por separado, 
los grados, los minutos y segundos. Es importante que los usuarios de calculadoras 
aprendan  a  usarlas,  seleccionando  apropiadamente  el  sistema  de  medición 
de  ángulos,  en  este  caso Mode DEG,  así  como  también  conocer  el  proceso de 
conversión  de  mediciones  angulares,  expresadas  en  formato  de  fracciones  de 
grados sexagesimales,  a formatos de grados, minutos, segundos sexagesimales.
1.4.1.2 Sistema centesimal (MODE GRA)
•  1 Círculo horizontal o vertical = 400 g.
•  1 g = 100 c (minutos centesimales).
•  1 c = 100 cc (segundos centesimales).
Las operaciones  aritméticas  se  efectúan  exactamente  igual que el  común de  las 
operaciones usadas en el sistema decimal.
1.4.1.3 Sistema en radianes (MODE RAD)
En este sistema de  unidades angulares  trabajan  los computadores,  luego al  usar 
algún lenguaje de programación debe conocerse la equivalencia entre los sistemas: 
•  2 π radianes = 360 ° (Sistema sexagesimal).
•  2 π radianes = 400 g (Sistema centesimal).
1.4.1.4 Sistema en milésimas
En  este  sistema  de  graduación  se  han  fabricado  algunas  brújulas  geológicas  e 
instrumentales  de artillería.
•  1 Círculo horizontal = 6.400- (milésimas).
•  1/4 Círculo horizontal = 1.600- (milésimas).
•  1/64 Círculo horizontal = 100- (milésimas).
1.4.2 Unidades de medida de longitud
Una  unidad  de  longitud  es  una  cantidad  estandarizada,  por  convención,  de 
distancia. La longitud es una magnitud fundamental creada para medir la distancia 
entre dos puntos. Existen diversos sistemas de unidades para esta magnitud física; 
los más comúnmente usados son el Sistema Internacional de Unidades y el sistema 
anglosajón de unidades.
CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS 7 
1.4.2.1 Sistema Internacional de Unidades 
En el Sistema Internacional  de Unidades (SI) la unidad fundamental  de longitud 
es el metro, definido como la distancia que recorre la  luz en el vacío durante  un 
intervalo de 1/299.792.458 de segundo. El símbolo del metro es «m».
Múltiplos y submúltiplos del metro
Utilizando los prefijos del  Sistema  Internacional, es  posible definir unidades de 
longitud que son múltiplos o submúltiplos del metro. A continuación se enlistan 
los múltiplos  y  submúltiplos  del  metro,  aceptados  dentro  del  SI,  junto  con  su 
símbolo y su equivalencia en metros, en notación científica y decimal. 
•  Múltiplos del metro:
» Yottametro (Ym): 1024 metros = 1 000 000 000 000 000 000 000 000metros
» Zettametro (Zm): 1021 metros = 1 000 000 000 000 000 000 000 metros
» Exámetro (Em): 1018 metros = 1 000 000 000 000 000 000 metros
» Petámetro (Pm): 1015 metros = 1 000 000 000 000 000 metros
» Terámetro (Tm):  1012 metros = 1 000 000 000 000 metros
» Gigámetro (Gm): 109 metros = 1 000 000 000 metros
» Megámetro (Mm): 106 metros = 1 000 000 metros
» Kilómetro (km): 103 metros = 1 000 metros
» Hectómetro (hm): 102 metros = 100 metros
» Decámetro (dam): 101 metros = 10 metros
•  Submúltiplos del metro:
» Decímetro (dm): 10-1 metros = 0,1 metros
» Centímetro (cm): 10-2 metros = 0,01 metros
» Milímetro (mm): 10-3 metros = 0,001 metros
» Micrómetro (µm): 10-6 metros = 0,000 001 metros
» Nanómetro (nm): 10-9 metros = 0,000 000 001 metros
» Picómetro (pm): 10-12 metros = 0,000 000 000 001 metros
» Femtómetro (fm): 10-15 metros = 0,000 000 000 000 001 metros
» Attómetro (am): 10-18 metros = 0,000 000 000 000 000 001 metros
» Zeptómetro (zm): 10-21 metros = 0,000 000 000 000 000 000 001 metros
» Yoctómetro (ym): 10-24 metros = 0,000 000 000 000 000 000 000 001 metros
TOPOGRAFÍA8 
1.4.2.2 Sistema anglosajón de unidades 
El sistema para medir longitudes en los Estados Unidos se basa en la pulgada, el pie, 
la yarda y la milla. Cada una de estas unidades tiene dos definiciones ligeramente 
distintas, lo que ocasiona que existan dos diferentes sistemas de medición.
Una pulgada de medida internacional mide exactamente 25,4 mm (por definición), 
mientras  que una pulgada  de agrimensor de Estados Unidos se define para  que 
39,37 pulgadas sean exactamente  un metro. Para la mayoría de las aplicaciones, la 
diferencia es insignificante (aproximadamente  3 mm por cada milla). La medida 
internacional  se utiliza en la mayoría de las aplicaciones para topografía.
Las medidas de topografía emplean una definición más antigua, que se usó antes 
de que los Estados Unidos adoptaran la medida internacional:
•  1 mil = 25,4 µm (micrómetros)
•  1 pulgada (in) = 1 000 miles = 2,54 cm
•  1 pie (ft) = 12 in = 30,48 cm
•  1 yarda (yd) = 3 ft = 36 in = 91,44 cm
•  1 rod (rd) = 5,5 yd = 16,5 ft = 198 in = 5,0292 m
•  1 cadena (ch) = 4 rd = 22 yd = 66 st = 792 in = 20,1168 m
•  1 furlong (fur) = 10 ch = 40 rd = 220 yd = 660 ft = 7.920 in = 201,168 m
•  1 milla (mi) = 8 fur = 80 ch= 320 rd = 1.760 yd = 5.280 st = 63.360 
in = 1.609,344 m = 1,609347 km (agricultura)
•  1 legua = 3 mi = 24 fur = 240 ch = 960 rd = 5.280 yd = 15.840 st = 190.080 
in = 4.828,032 m = 4,828032 km
A veces,  con  fines  de  topografía,  se  utilizan  las  unidades  conocidas  como  las 
medidas  de  cadena  de  Gunther (o medidas  de  cadena  del  agrimensor).  Estas 
unidades se definen a continuación:
•  1 link (li) = 7,92 in = 0,001 fur = 201, ena (unidad de longitud)
•  Para medir profundidades del mar, se utilizan los fathoms (braza):
•  1 braza  = 6 st = 2 yd= 72 in = 1,8288 m
1.4.3 Unidades de medida de superficie
Las  unidades  de  superficie  son  medidas  utilizadas  para  medir  superficies  con 
una  determinada  área,  se utiliza el m² en el Sistema  Internacional  de Unidades. 
Igualmente, se puede utilizar el sistema anglosajón de unidades.
CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS 9 
1.4.3.1 Sistema Internacional de Unidades 
Unidad básica:
Metro cuadrado.
Múltiplos:
•  Decámetro cuadrado o Área.
•  Hectómetro cuadrado o Hectárea.
•  Kilómetro cuadrado.
Submúltiplos:
•  Decímetro cuadrado.
•  Centímetro cuadrado.
•  Milímetro cuadrado.
1.4.3.2 Sistema anglosajón de unidades
Las unidades de superficie en EE.UU. se basan en la yarda cuadrada (sq, yd o yd²).
•  1 pulgada cuadrada (sq in o in²) = 6,4516 cm²
•  1 pie cuadrado (sq st o st²) = 144 in² = 929,0304 cm²
•  1 yarda cuadrada (sq yd o yd²) = 9 st² = 1.296 in² = 0,83612736 m²
•  1 rod cuadrado (sq rd o ‘’rd²)
•  1 rood = 40 rd² = 1.210 yd² = 10.890 st² = 1.568.160 in² = 1.011,7141056 m²
•  1 acre (ac) = 4 roods = 160 rd² = 4.840 yd² = 43.560 st² = 6.272.640 
in² = 4.046,8564224 m²
•  1 homestead = 160 ac = 640 roods = 25.600 rd² = 774.400 yd² = 6.969.600 
st² = 1.003.622.400 in² = 647.497,027584 m²
•  1 milla cuadrada (sq mi o mi²) = 4 homesteads = 640 ac = 2.560 
roods = 102.400 rd² = 3.097.600 yd² = 27.878.400 st² = 4.014.489.600 
in² = 2,589988110336 km²
•  1 legua cuadrada = 9 mi² = 36 homesteads = 5.760 ac = 23.040 
roods = 921.600 rd² = 27.878.400 yd² = 250.905.600 st² = 36.130.406.400 
in² = 23,309892993024 km²
1.4.4 Unidades de medida de volumen
Existen  multitud  de  unidades  de  volumen  que  se  utilizan  dependiendo  del 
contexto o de la  finalidad de la medición. En los ámbitos académicos o técnicos 
se  suelen  emplear  el  metro  y  sus  derivados.  Para  expresar  el  volumen  de 
sustancias líquidas o gaseosas, e incluso para mercancías a granel, se suele recurrir 
TOPOGRAFÍA10 
a la capacidad del recipiente que lo contiene, medida en litros y sus derivados. En 
ocasiones,  cuando  la densidad del  material  es  constante  y conocida, se pueden 
expresar  las cantidades por su equivalente en peso en lugar de volumen.
1.4.4.1 Sistema Internacional de Unidades
En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de volumen es el metro cúbico 
(m3). Algunos de los múltiplos y submúltiplos usuales  del metro cúbico son los 
siguientes:
Múltiplos
•  Kilómetro cúbico = 109 m3.
•  Hectómetro cúbico = 106 m3.
•  Decámetro cúbico = 103 m3
Submúltiplos
•  Decímetro cúbico = 10-3m3
•  Centímetro cúbico = 10-6m3
•  Milímetro cúbico = 10-9m3
La unidad más utilizada para medir el volumen de líquidos o recipientes es el litro. 
El litro está admitido en el S.I. aunque estrictamente no forma parte de él. 
1.4.4.2 Sistema anglosajón de unidades
Las  unidades  de  volumen  en  el  sistema  anglosajón  de  unidades  se derivan  de 
las  respectivas  unidades  de  longitud,  como la  pulgada  cúbica, el  pie cúbico,  la 
yarda cúbica, el acre-pie o la milla cúbica. Para medir el volumen de líquidos, las 
unidades de capacidad más extendidas son el barril, el galón y la pinta, y en menor 
medida la onza líquida, el cuarto, el gill, el mínimo o el escrúpulo líquido. 
1.5 Redondeo de Números 
Consiste en suprimir, de una respuesta numérica, uno o más dígitos para que tenga 
solamente  los que sean significativos o necesarios en los cálculos subsecuentes.
Existen tres normas básicas para el redondeo de números:
1. Cuando el número por eliminar sea menor que 5 se escribe el número sin este 
dígito: 65,89436 redondeado a tres decimales será 65,894. Este procedimiento 
se conoce como truncar número.
2. Cuando el número a eliminar es igual a 5 se redondea al número par siguiente, 
ejemplo 54,6675 será 54,668; así 54,6685.
CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS 11 
3. Cuando el digito es mayor que 5 se redondea al siguiente número. Así 29,5789 
será 29,579. Esto se conoce como aproximar número.
Como  una  medida  práctica,  cuando  se  haga  una  secuencia  de  operaciones 
aritméticas,  se  recomienda  no  redondear  números  en  los  cálculos  intermedios, 
sólo al momento de entregar la respuesta, debido a que en el redondeo se pueden 
llegar a perder décimas significativas.
1.6 Exactitud y precisión
Exactitud es el grado de proximidad que se tiene en una medición al verdadero 
valor de su magnitud. En términos estadísticos, la exactitud está relacionada con el 
sesgo de una estimación, cuanto menor es el sesgo más exacta es una estimación.
Precisión  es  lo  contrario  a  dispersión de  las  observaciones.  Explica  qué  tanto 
difiere una serie de mediciones de otra, que se toman bajo las mismas condiciones. 
En  una  serie  de mediciones  de  una  misma magnitud,  si  los  valores  obtenidos 
son muy cercanos,  se puede concluir que la  precisión de la medición es alta. En 
topografía se puede hablar de precisión más no de exactitud, ya que por las leyes 
de la probabilidad nunca se conoce el verdadero valor de una medida.
En la figura 1.3 se presentan  algunos  ejemplos de estos dos términos, en (a)los 
resultados  son precisos pero no exactos, en (b) los resultados  no son precisos ni 
exactos y en (c) los resultados son tanto precisos como exactos.
FIGURA 1.3 Precisión
(a)  (b)  (c)
TOPOGRAFÍA12 
1.7 Equipos utilizados en Topografía
1.7.1 Estación total 
Se  denomina  estación  total  a  un  aparato  electro-óptico,  cuyo  funcionamiento 
se  apoya  en  la  tecnología  electrónica.  Consiste  en  la  incorporación  de  un 
distanciómetro y un microprocesador a un teodolito electrónico.
FIGURA 1.4 Estación total
1.7.2 Trípode 
Se denomina trípode a un armazón que cuenta con tres pies y que se utiliza como 
sostén de diversos equipos topográficos.
FIGURA1.5 Trípode
CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS 13 
1.7.3 Nivel topográfico
El  nivel  topográfico,  también  llamado  nivel  óptico  o  equialtímetro,  es  un 
instrumento que tiene como finalidad la medición de desniveles entre puntos que 
se hallan  a  distintas  alturas  o el  traslado  de cotas  de un  punto conocido a  otro 
desconocido.
FIGURA 1.6 Nivel
1.7.4 Mira topográfica
En  topografía,  una  estadía  o mira estadimétrica,  también  llamado  estadal  en 
Latinoamérica,  es una  regla graduada  que permite mediante un nivel topográ-
fico, medir desniveles, es decir, diferencias de altura. Con una mira, también se 
pueden medir distancias con métodos trigonométricos.
FIGURA 1.7 Mira
TOPOGRAFÍA14 
1.7.5 Prisma
Son espejos formando un triedro que reflejan la señal emitida por el distanciométro. 
Se montan sobre los jalones y pueden llevar una señal de puntería.
FIGURA 1.8 Prisma
1.7.6 Jalones
Un  jalón  o  baliza  es  un  accesorio  para  realizar  mediciones  con  instrumentos 
topográficos, originalmente era  una vara  larga  de madera, de sección cilíndrica, 
donde se monta un prismático en la parte superior, y rematada por un regatón de 
acero en la parte inferior, por donde se clava en el terreno.
En  la  actualidad,  se  fabrican  en  aluminio, chapa  de  acero  o fibra de  vidrio en 
tramos  de  1,50  m.  o  1,00  m.  de  largo,  enchufables  mediante  los  regatones  o 
roscables  entre sí para conformar un jalón de mayor altura y permitir una mejor 
visibilidad en zonas boscosas o con fuertes desniveles.
Algunos se encuentran  pintados (los de acero) o conformados (los de fibra de vi-
drio) con franjas alternadas  generalmente  de color rojo y blanco de 25 cm de longi-
tud para que el observador pueda tener mayor visibilidad del objetivo.
FIGURA 1.9 Jalones
CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS 15 
1.7.7 Cinta métrica
Una cinta métrica o un flexómetro es un instrumento de medida que consiste en 
una cinta flexible graduada y que se puede enrollar, haciendo que el transporte sea 
más fácil. También con ella se pueden medir líneas y superficies curvas.
FIGURA 1.10 Cinta
1.7.8 Plomadas
Una plomada es una pesa de plomo normalmente, pero puede ser hecha  de cual-
quier otro metal  de  forma  cilíndrica o prismática.  Su parte  inferior  es  de  forma 
cónica que, gracias a la cuerda de la que pende, marca una línea vertical; de hecho 
la vertical se define por este instrumento.
FIGURA 1.11 Plomada
2.1 Levantamiento con cinta
Es  el  levantamiento  topográfico  (planimétrico)  de  cualquier  tipo de terreno, en  el  cual  la  toma de  información en  campo  (medición de distancias  hori-
zontales)  se  realiza  con  una  cinta métrica  y  con equipo menor  (plomadas,  es-
tacas,  puntillas,  etc.),  con el  objetivo de  representar  cada  una  de  los elementos 
que componen el terreno en mención, para posteriormente realizar el cálculo de 
distancias, áreas y demás magnitudes según el requerimiento del proyecto. El le-
vantamiento con cinta es un levantamiento  tradicional que se emplea cuando no 
se tienen equipos para medición de ángulos y distancias.
Es necesario  tener en cuenta que el  levantamiento  con cinta no brinda una gran 
precisión ya que los ángulos se miden de forma indirecta o con equipos elementales 
como la escuadra de agrimensor, por lo anterior se recalca  la necesidad de que las 
mediciones realizadas  sean de muy buena calidad y se recomienda realizar varias 
repeticiones de cada medida. 
El  levantamiento  con  cinta  es  empleado  en  levantamientos  arquitectónicos. 
Cuando  el  terreno  es muy  grande,  se  recomienda  realizar  las  mediciones  con 
equipos electrónicos  ya que con cinta  el procedimiento será más  dispendioso y 
con mayores posibilidades de cometer errores.
CAP Í TULO  2
LEVANTAMIENTOS  CON 
CINTA Y  BRUJÚLA
TOPOGRAFÍA18 TOPOGRAFÍA18 
2.1.1 Medición de distancias con cinta
Para  todo tipo de levantamiento  topográfico se hace necesario medir distancias 
entre  diferentes  elementos  o  puntos  de  apoyo  o  guías.  Las  medidas  que  se 
realizan  pueden ser de distancias horizontales, verticales  y/o inclinadas,  para un 
levantamiento  con cinta  se deben medir las  distancias  horizontales,  ya que con 
estas  es  que  se  realiza  la  representación  planimétrica  de  terrenos  o  elementos 
encontrados en estos. Las medidas se deben realizar  con muy buena técnica y así 
minimizar los errores correspondientes.
a) Cuando  el  terreno  es  totalmente  plano y no  existe vegetación  u otra  clase 
de  obstáculos  que  impidan  realizar  la  medición,  se  debe  colocar  la  cinta 
directamente  sobre  los  puntos materializados  (la  cinta  debe  estar  paralela 
al  terreno y garantizando  en todo momento la horizontalidad), tensionar  la 
cinta  de manera  adecuada  y con plena  comunicación y coordinación entre 
los cadeneros (ayudantes  de topografía); tal como se ilustra en la figura 2.1., 
la persona que está en el punto cero de la cinta debe garantizar que dicho cero 
coincida con el punto materializado cuando la otra persona tensione y realice 
la  medida.  Para  una  buena  técnica,  al  inicio es  importante  realizar  varias 
series de mediciones que permitan comprobar la precisión de los datos.
FIGURA 2.1 Medidas con cinta en terreno plano 
b) Si las distancias a medir son de una magnitud considerable (superan la longitud 
de la cinta), se deben realizar mediciones parciales o seccionadas tal como se 
presenta  en la figura 2.2. Se debe garantizar que los puntos intermedios estén 
alineados según la dirección de los puntos iniciales o globales a medir. 
FIGURA 2.2 Medidas seccionadas con cinta en terreno plano 
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 19 19 
c) Para terrenos inclinados (ondulados, montañosos o escarpados),  si no existe 
vegetación u otra clase de obstáculos que impidan realizar la medición se debe 
colocar  la cinta directamente sobre el punto más alto y proyectar por medio 
de una plomada el punto más bajo (ver figura 2.3). Se recomienda realizar las 
medidas de arriba hacia abajo, ya que la persona que está en el punto cero de 
la cinta (punto más alto) puede controlar  dicha posición con mayor firmeza 
y  la  otra  persona  tensionará  la  cinta y  realizará  la  medición respectiva.  Se 
debe intentar que la cinta este totalmente horizontal, dicha situación se puede 
realizar  por medio de niveles de mano  (Nivel Locke  o Nivel Abney) que se 
pueden colocar sobre la cinta o con ayuda de otra persona que se encuentre 
con una vista perpendicular  a la  dirección de la medida a  realizar. Cuando 
los cadeneros o ayudantes de topografía tienen una buena experiencia logran 
de manera muy acertada  verificar  la horizontalidad de la cinta  sin ayuda de 
terceros o de equipos adicionales. 
FIGURA 2.3 Medidas con cinta en terreno inclinado
d) Si la longitud de la cinta métrica no alcanza  o si la diferencia de nivel impide 
realizar  la medición directa entre  los dos puntos, se deben realizar medidas 
seccionadas  o  por  tramos,  tal  como  se  muestra  en  la  figura  2.4.  Se  debe 
garantizar  que los puntos intermedios estén alineados según la dirección de 
los puntos iniciales o globales a medir. La altura de la  plomada nunca debe 
superar la altura de los ojos del cadenero,así se evitarán errores de proyección 
vertical del punto.
TOPOGRAFÍA20 TOPOGRAFÍA20 
FIGURA 2.4 Medidas seccionadas con cinta en terreno inclinado
e) Cuando  existan  elementos  como  vegetación,  construcciones  o  cualquier 
otro  tipo de  elemento  que  impidan  realizar  la  medida  colocando  la  cinta 
directamente  sobre alguno  de los dos puntos, se debe utilizar plomadas  en 
ambos extremos (ver figura 2.5).
FIGURA 2.5 Medidas con cinta en terreno inclinado con obstáculos 
2.1.2 Medición de ángulos con cinta 
Para varios tipos de levantamientos  topográficos se hace necesario medir ángulos 
de elementos encontrados en el terreno o de vértices de polígonos o intersecciones 
de alineamientos materializados en campo. 
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 21 21 
2.1.2.1 Perpendiculares con cinta 
a) Método del radio. Para  trazar  una perpendicular  a un  alineamiento  (línea 
visual directa entre el punto A y el punto B, figura 2.6) desde el punto (P) se 
mide la distancia (d) tanto en dirección a A como en dirección a B, realizando 
la correspondiente materialización  de los dos puntos. Desde los dos puntos 
materializados, de forma simultánea, se mide una distancia R la cual debe ser 
mayor a  la  distancia  (d), dónde  se  intersequen  dichas mediciones estará  la 
perpendicular al punto P. 
FIGURA 2.6 Perpendicular con cinta, método del radio 
D1D1
d d
P
B
RR
A
b) Método del triángulo rectángulo. Consiste  en  formar  un  triángulo  en 
campo  con  un  ángulo  recto,  midiendo  simultáneamente  distancias  con 
longitudes de 3, 4 y 5 metros, múltiplos o submúltiplos de dichos valores, tal 
como se relaciona en la figura 2.7. Se debe garantizar  que uno de los catetos 
del triángulo coincida con el correspondiente alineamiento. 
FIGURA 2.7 Perpendicular con cinta, método del triángulo rectángulo
BA
P3
4
5
B
P
5
4
3
c) Con escala de agrimensor o escala óptica. Se ubica el equipo en  el punto 
(P), se da  visual  hacia  uno de  los  extremos  del  alineamiento  para,  de  esta 
forma, tender  la visual perpendicular (ver figura 2.8). Se debe garantizar  que 
el equipo utilizado este nivelado en el momento de tomar las visuales.
TOPOGRAFÍA22 TOPOGRAFÍA22 
FIGURA 2.8 Perpendicular con escuadras 
BA
P
2.1.2.2 Medición de cualquier ángulo con cinta
Se requiere  medir el  ángulo  formado  en  el  punto D2  tal  como se  ilustra  en  la 
figura  2.9, para  lo cual,  en términos generales,  se  realiza  lo siguiente:  desde D2 
en dirección al D1 se mide la  distancia R (entre más grande sea el valor de R se 
van a obtener mejores resultados),  se materializa  el punto p1; se mide la misma 
distancia R desde D2 en dirección a D3, se materializa el punto p2; finalmente  se 
mide la distancia p1 a p2. 
FIGURA 2.9 Fórmula para ángulos con cinta
D2
D1
D3
p1
p2
R
R
α/2
α
c/
2
c
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 23 23 
En oficina, se calcula el respectivo ángulo así: 
Sen
C
R
α
2
2=
Sen
C
R
α
2 2
=
α
2 2
1=




-
Sen
C
R
α = 









-
2
2
1
* Sen
C
R
Dónde:
α = Ángulo a medir. 
C = Cuerda (distancia p1 a p2).
R = Distancia medida desde D2 en dirección a D1 y en dirección a D3. 
2.1.3 Cálculo de áreas por figuras geométricas
En  levantamientos  topográficos  muchas  veces  para  el  cálculo  de  áreas  y 
elaboración de planos se divide el terreno en figuras geométricas que se asemejen 
a la forma del terreno; básicamente se utilizan el triángulo, cuadrado, rectángulo, 
círculo  y  trapecio.  A  continuación,  se  relacionan  las  fórmulas  para  el  cálculo 
correspondiente: 
• Cuadrado: A = L * L
• Rectángulo: A = B * H
TOPOGRAFÍA24 TOPOGRAFÍA24 
• Círculo: A = π * R
2
• Triángulo:
» Se conocen la base (B) y la altura  (H):  A
B H
=
*
2
» Se conocen dos lados (a,b) y el ángulo (α) formado entre ellos: 
A
a b sen
=
* * α
2
» Se conocen los tres lados: A S S a S b S c= − − −( ( )( )( )) ; S
a b c
=
+ +
2
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 25 25 
» Se conocen dos ángulos y el  lado entre  ellos: ϕ = 180 – (α + β)
b
sen
c
senβ ϕ
=
Área
c sen sen
2sen(180 - (α+β))
=
2 β α
::::
::::
b
c sen
sen
=
. β
ϕ
sen
h
b
α = h bsen= α
h
csen
sen
sen=
β
ϕ
α
Área
c h
=
*
2
• Trapecio: A
B B
H=
+1 2
2
*
TOPOGRAFÍA26 TOPOGRAFÍA26 
Donde: 
» A = Área en m2 del trapecio. 
» B
1
= Base mayor. 
» B
2
= Base menor. 
» H = Altura.
2.1.4 Levantamiento con cinta método de izquierdas y derechas 
2.1.4.1 Procedimiento de Campo
•  Reconocimiento de la zona a levantar  y dibujar el croquis respectivo.
•  Cuando  la  zona  tiene  forma regular  se divide en  figuras  geométricas,  a  las 
cuales  se  les miden las  distancias  de cada  lado (2  a  4 veces)  y los ángulos, 
necesarios para determinar  el área y hacer  la representación  gráfica a escala. 
•  Si la forma del terreno es irregular se materializa un polígono que se asemeje, 
en la medida de lo posible, a la forma o linderos del terreno, dicho polígono 
debe abarcar  todo o la mayor parte del terreno; a dicho polígono se le miden 
las  distancias  y  ángulos  internos  respectivos  según  lo  relacionado  en  los 
numerales 2.1.1 y 2.1.2; para mejorar la precisión del método dichas distancias 
se deben medir varias veces y calcular con los promedios respectivos.
•  Los detalles  o puntos que representan  los accidentes  naturales  o artificiales 
(obras civiles) del terreno y que quedan por fuera o por dentro del polígono 
se levantan o toman por el método de izquierdas y/o derechas, el cual consiste 
en  medir distancias  perpendiculares  a  los  alineamientos  que  componen el 
polígono. 
2.1.4.2 Procedimiento de Oficina
De acuerdo a las mediciones realizadas en campo, se calculan y ajustan los ángulos 
internos  del polígono de  acuerdo a la  sumatoria  teórica, y se  calcula  el área  del 
polígono; para  lo cual  se deben promediar  las distancias  (como ya se mencionó 
se recomienda medir las distancias varias veces para corroborar que las medidas 
están adecuadamente realizadas) y corregir los ángulos de acuerdo a la sumatoria 
teórica del polígono efectuado. Finalmente  de acuerdo a  las figuras  geométricas 
que se formaron en la toma de izquierdas y derechas, se realiza el cálculo de área de 
cada una de ellas, para que se pueda determinar el área total del terreno sumando 
o restando las áreas  individuales al área del polígono según el caso. 
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 27 27 
2.1.4.3 Ejercicio práctico 
FIGURA 2.10A Carteras de campo: levantamiento con cinta
TOPOGRAFÍA28 TOPOGRAFÍA28 
FIGURA2.10B Carteras de campo: levantamiento con cinta
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 29 29 
Cálculos
El levantamiento  se realizó materializando  un polígono de  4 lados conformado 
por los  deltas  o puntos D1, D2, D3 y D4, inicialmente  se  calculan  los  ángulos 
internos (con una aproximación al segundo) para cada uno de los 4 deltas.
•  Cálculo de ángulos internos: 
•  Fórmula:  α =










-
2
2
1
* Sen
C
R
•  C = cuerda
•  R = radio
TABLA 2.1 Ángulos del polígono
Ángulo No. Valor
1 84º 45 11”
2 75º 09 52”
3 104º 23 23”
4 94º 48 02”
•  Corrección de ángulos: 
TABLA 2.2 Ángulos corregidos
Ángulo No. Valor Corrección
Ángulo corre-
gido
1 84º 45 11” 0º13 23” 84º 58 34”
2 75º 09 52” 0º13 23” 75º 23 15”
3 104º 23 23” 0º13 23” 104º 36 46”
4 94º 48 02” 0º13 23” 95º 01 25”
Sumatoria 359° 06 28” 0° 53 32” 360° 00 00”
•  El error en ángulo es igual a la sumatoria teórica de ángulos  internos de un 
polígono cerrado,  es decir ((n-2)*180), menos la  sumatoria obtenida con la 
medición de cuerdas y radios.
» ∑ Teórica = (n-2)* 180 = 360°
» ∑ Obtenida = 359° 06 28”
» Error Angular = ∑ Teórica - ∑ Obtenida
» Error Angular = 0° 53 32”
TOPOGRAFÍA30 TOPOGRAFÍA30 
En la medición de ángulos  con cinta por el método de radios y cuerda  el error 
máximo  permisible es  de  30  minutos  porángulo.  Es  decir,  para  este  ejemplo 
serian 120 minutos = 2 grados, por lo cual se determina que se ha cumplido con 
la especificación.
La corrección es igual al error en ángulo dividido en el número de ángulos.
•  Corrección = Error en ángulo / n = 0º13 23”
•  n = número de ángulos 
Como la sumatoria obtenida es menor a la teórica, la corrección se le suma a cada 
ángulo, como se relaciona en la tabla 2.2.
•  Promedio de distancias:
Se promedian las distancias para cada lado del polígono
TABLA 2.3 Promedio de las distancias horizontales 
∆ Punto Distancia 1 Distancia 2 Promedio
D1 D2 86.861 86.855 86.858
D2 D3 71.794 71.792 71.793
D3 D4 61.592 61.594 61.593
D4 D1 69.386 69.382 69.384
•  Cálculo de áreas:
De acuerdo con la información tomada en campo, se divide la zona en figuras 
geométricas (figura 2.11) y se calcula el área total levantada. Para presentar el 
cálculo de forma organizada, la información se consigna como se muestra en 
la tabla 2.4. 
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 31 31 
FIGURA 2.11 Área por figuras geométricas
Parqueadero
D4
D1 D2
D3
19
4
2
3
4
TABLA 2.4 Cálculo del área por figuras geométricas
No. Elementos Fórmula Área (m2)
1
a = 86.858
b = 69.384
α = 84º 58 34”
 =
 ∗  ∗  ∝
2
3001.702
2
a = 71.793
b = 61.593
α = 104º 36 46”
 =
 ∗  ∗  ∝
2
2139.455
3
b = 71.793
h = 27.558  = (
 ∗ ℎ
2 )
989.236
4
b = 61.593
h = 19.089  = (
 ∗ ℎ
2 )
587.874
Área total del terreno 
(m2) 6718.267
Con los cálculos realizados, se realiza del plano correspondiente del terreno, sobre 
dicho plano se puede calcular  el área restaurante,  el cual se dibuja por medio de 
las izquierdas y derechas tomadas en campo tal como se presenta en la figura 2.12 
(puntos 1, 2, 3, 5, 7,8); también podrán tomarse algunas medidas adicionales  en 
terreno para calcular  su área.
TOPOGRAFÍA32 TOPOGRAFÍA32 
FIGURA2.12 Distancias izquierdas y derechas al restaurante
2.1.5 Levantamiento con cinta método de medidas a dos 
puntos
2.1.5.1 Procedimiento de campo
•  Reconocimiento de la zona a levantar  y dibujar el croquis respectivo. 
•  Materializar  dos puntos que sean intervisibles entre  si y que se pueda medir 
la distancia entre los mismos por medio de la cinta métrica, en lo posible que 
desde estos dos punto se vean todos y cada uno de los detalles  del terreno a 
levantar  ya que estos dos puntos serán la base del levantamiento. 
•  No  importa si  los puntos  quedan por fuera  o dentro del terreno,  se deben 
ubicar  buscando  la  forma  que  se  puedan  tomar  las  medidas  con  mayor 
facilidad. 
•  Medir la distancia entre los dos puntos materializados. 
•  Medir la distancia desde cada punto materializado a cada uno de los detalles 
del terreno. 
•  Si desde  los  dos puntos no  se puede ver algún  detalle  se mide la  distancia 
desde cada  uno de los dos puntos a otro punto u otra pareja de puntos, que 
servirán como nueva base. 
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 33 33 
2.1.5.2 Procedimiento de oficina
Se dibujan los dos puntos materializados,  desde cada  uno de estos se miden las 
distancias  respectivas  a  cada  detalle  (se  pueden utilizar  círculos  de  radio igual 
a la  correspondiente  distancia),  ubicando cada  uno de los mismos. En la  figura 
2.13 se puede observar  que, siguiendo la  orientación  determinada  en el  gráfico 
del  levantamiento,  las  2  distancias  medidas  al  punto  10  solo  coinciden  en  un 
punto. Finalmente, sobre el plano se calculan las respectivas áreas de acuerdo a las 
necesidades del proyecto.
FIGURA2.13 Distancias al punto 10
TOPOGRAFÍA34 TOPOGRAFÍA34 
2.1.5.3 Ejercicio práctico
Realice el plano según los datos consignados en las carteras de campo.
FIGURA2.14A Carteras de campo: levantamiento con cinta, método distancias a dos puntos 
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 35 35 
FIGURA 2.14BCarteras de campo: levantamiento con cinta, método distancias a dos puntos
TOPOGRAFÍA36 TOPOGRAFÍA36 
2.1.5.4 Ejercicio planteado
De acuerdo a los datos consignados en las carteras de campo, calcule el área 
del terreno a edificar y realice el plano correspondiente. 
FIGURA 2.15A Ejercicio planteado: levantamiento con cinta 
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 37 37 
FIGURA2.15B Ejercicio planteado: levantamiento con cinta 
TOPOGRAFÍA38 TOPOGRAFÍA38 
2.2 Levantamiento con cinta y brújula
El  levantamiento  con  cinta  y brújula  es  similar  al  levantamiento  con cinta,  sin 
embargo para calcular  los ángulos  se miden los azimuts magnéticos del polígono 
utilizando  la  brújula.  Este  levantamiento  es  utilizado  para  terrenos  de  poca 
extensión y donde no se necesite una gran precisión.
En las áreas  de topografía y de vías las magnitudes de los ángulos  se miden por 
medio de las direcciones de las líneas que salen del respectivo vértice, para medir 
las direcciones se utiliza el azimut y/o el rumbo. 
Azimut: dirección de una línea medida desde la línea de referencia  denominada 
Norte. Se mide en sentido de las manecillas del reloj; su valor se encuentra entre 0º 
y 360º. El azimut se define relacionando su valor angular, por ejemplo una línea de 
azimut 60º indica que la dirección de dicha línea forma un ángulo de 60º medidos 
desde la norte hacia la derecha  tal como se relaciona en la figura 2.16.
FIGURA 2.16 Azimut
Rumbo: ángulo medido a  partir  de  la  línea  Norte  -  Sur,  los  valores  angulares 
estarán  entre 0º y 90º y para su denominación se debe especificar el cuadrante  al 
cual corresponde. 
En  el  primer cuadrante  el  rumbo es  noreste  (NE); en  el  segundo,  sureste  (SE); 
en el  tercero,  suroeste  (SW); y en el cuarto,  noroeste  (NW). En la figura 2.17 se 
presentan  cuatro  líneas  las  cuales  representan  los siguientes rumbos: N 32° E, S 
47° E, S 40° E y N 54° E.
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 39 39 
FIGURA2.17 Rumbo
Brújula: equipo manual que determina las direcciones según los polos magnéticos; 
antes  de la  aparición  de los  teodolitos y las  estaciones  totales,  los topógrafos la 
utilizaban  para  medir  azimuts  y/o rumbos.  La  brújula  consta  básicamente  de 
una  caja  con  un  círculo  graduado  para  medir  rumbos  magnéticos  o  azimuts 
magnéticos. La caja contiene una aguja de acero magnetizada montada sobre un 
pivote, la aguja de la brújula se alinea con el norte magnético. 
Para medir una  dirección con  la  brújula  se  instala  la  brújula  en  un extremo de 
la línea, se  libera el seguro de la aguja  y se dirige la  visual hacia el  otro extremo 
de la línea; antes  de tomar la lectura se debe verificar que la brújula  se encuentre 
nivelada. La brújula se usa para levantamientos de poca precisión o para verificar 
levantamientos ya realizados.
Declinación magnética: ángulo  formado  entre  el  meridiano  magnético  y  el 
meridiano verdadero.  Para  cada  punto  de  la  Tierra  tiene  un  valor  diferente  y 
variable,  ya que el norte magnético varía  inexplicablemente  por cambios en los 
campos magnéticos de esta. Varía en una dirección y luego en otra. La declinación 
se puede presentar hacia el Este o hacia el Oeste de acuerdo a los polos geográficos 
de la tierra.
Atracción local: debido a que la  dirección que toma la aguja  estará alterada  por 
fuerzas  magnéticas  diferentes  al  campo magnético  terrestre  (objetos metálicos, 
de hierro, acero, corrientes  eléctricas  y otros metales)  se presentará  un error en 
las  direcciones tomadas  con la  brújula. Todas  las  direcciones tomadas desde un 
mismo sitio se verán afectadas por un mismo valor de atracción local. Para eliminar 
la atracción  local,  se toman  las direcciones de una línea  en los dos sentidos y la 
diferencia teórica en valores de azimut debe ser 180º.
TOPOGRAFÍA40 TOPOGRAFÍA40 
2.2.1 Ejercicio práctico
2.2.1.1 Trabajo de campo
• Reconocimiento del terreno: se debe identificar el terreno del levanta-
miento y realizar el gráfico o bosquejocorrespondiente.
• Polígono de referencia: materializar  los vértices  de un  polígono tra-
tando de abarcar la mayor parte del terreno. Se recomienda que el po-
lígono siga, en  la medida de  lo posible, el  lindero del  terreno  y así el 
proceso de toma de detalles  será menos dispendioso. 
• Toma de direcciones y medición de distancias del polígono: se miden 
cada  una de las  distancias  del polígono materializado  (se  recomienda 
realizar  varias mediciones, para  los cálculos  se deben utilizar  los pro-
medios matemáticos), con la brújula se toman los respectivos azimuts o 
rumbos, de cada línea del polígono en las dos direcciones.
• Toma de detalles: los  detalles  adicionales,  ya  sea  para  completar  el 
área  total  o  para  georreferenciar  detalles  puntuales,  como  árboles, 
postes, entre otros, se  toman por el método de izquierdas y derechas, 
utilizando la misma metodología relacionada  en el  levantamiento  con 
cinta, numeral 2.1.4.
2.2.1.2 Trabajo de oficina
• Cálculo y ajuste de los ángulos internos: con  base en  los  azimuts  o 
rumbos tomados en campo se calculan  los ángulos  internos  del polí-
gono, los cuales se corrigen de acuerdo a la sumatoria teórica.
• Determinación de la atracción local: sabiendo que la diferencia entre 
azimut y contrazimut debe ser 180°. 
• Ajuste de los azimuts del polígono: con base  en  la  línea  de  menor 
atracción local y los ángulos internos corregidos, se determinan los azi-
muts corregidos o ajustados de las demás líneas del polígono.
• Cálculo de áreas: con base  en el  polígono ajustado  y los datos de  iz-
quierdas  y derechas  determinar  las  áreas  parciales  y las  áreas  totales. 
Los cálculos de áreas  se pueden realizar en el plano correspondiente.
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 41 41 
2.2.1.3 Ejemplo Práctico
FIGURA2.18A Carteras de campo: levantamiento con cinta y brújula 
TOPOGRAFÍA42 TOPOGRAFÍA42 
FIGURA2.18B Carteras de campo: levantamiento con cinta y brújula 
De  acuerdo  a  los  azimuts  de  cada  línea  se  calculan  los  ángulos  internos  del 
polígono.
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 43 43 
TABLA 2.5 Cálculo de ángulos
Delta Punto Azimut Áng. Interno
D. 1
D. 4 37
59
D. 2 338
D. 2
D. 1 160
99
D. 3 61
D. 3
D. 2 240
72
D. 4 168
D. 4
D. 3 346
131
D. 1 215
La sumatoria de ángulos tomados en campo u observados es de 361°00’00”
Los ángulos internos de un polígono cerrado deben cumplir la sumatoria teórica, 
según las siguientes fórmulas:
•  Ángulos internos = (n - 2)*180
•  Ángulos externos= (n + 2) *180
Donde:
•  n = número de vértices o lados del polígono.
•  Error  angular  del  polígono = diferencia  entre  la  sumatoria  de  los  ángulos 
calculados y la sumatoria teórica.
Error angular = ∑ángulos observados - ∑teórica
Este error angular debe ser menor al error permitido para este tipo de levantamiento, 
para este caso el error permitido se determina con la siguiente fórmula:
Error angular permitido = n * p
Donde:
•  n = número de vértices.
•  p = precisión del equipo, en este caso precisión de la brújula,  regularmente 
estas brújulas tienen una precisión de un grado.
Para este caso el error máximo permisible es de 4°.
TOPOGRAFÍA44 TOPOGRAFÍA44 
Ajuste  de  ángulos: después  de verificar  que el  error  se  encuentra  dentro de  los 
parámetros  permisibles  se  ajustan  los  ángulos.  Para  que  ajuste  el  polígono,  la 
corrección debe ser con el signo contrario al del error.
Error angular = 361° - 360° = 1°
Corrección = error angular / n = -1° / 4 = -00° 15’ 
TABLA 2.6 Corrección de ángulos
Delta Punto Azimut Áng. Interno Corrección Áng. Cor.
D. 1
D. 4 37
59 - 00° 15’ 00” 58° 45 00”
D. 2 338
D. 2
D. 1 160
99 - 00° 15’ 00” 98° 45 00”
D. 3 61
D. 3
D. 2 240
72 - 00° 15’ 00” 71° 45’ 00”
D. 4 168
D. 4
D. 3 346
131 - 00° 15’ 00” 130° 45’ 00”
D. 1 215
Atracción local: Para  cada  una  de  las  líneas,  se  tomaron  dos  azimut  uno  en 
cada  dirección,  teóricamente  estas  dos  direcciones  deberían  ser  el  azimut  y  el 
contrazimut de cada línea, es decir, deberían tener una diferencia entre sí de 180°. 
Para calcular  el contrazimut, si el azimut es menor a 180° se le suman 180° y si el 
azimut es mayor a 180° se le resta 180°.
La diferencia  entre  el contrazimut  calculado  con base en la fórmula y el tomado 
en campo se denomina atracción local.
Atracción local (AL) = azimut calculado – azimut tomado en campo
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 45 45 
FIGURA 2.19 Azimuts tomados en campo
En el ejemplo  el azimut de la  línea D. 1 – D2 es de 338°, el contrazimut debería 
ser 158°, como el tomado en campo es 160° la atracción local de la línea es de 2º.
TOPOGRAFÍA46 TOPOGRAFÍA46 
FIGURA 2.20 Atracción local de cada línea del polígono 
Tomar como referencia la línea de menor atracción local y ajustar la totalidad 
de las líneas del polígono según los ángulos corregidos. Se  toma  la  línea  de 
menor atracción  local y se promedian los azimuts y contrazimuts, para tener  los 
azimuts corregidos para el ajuste, con los ángulos corregidos se ajusta el polígono. 
En el ejemplo, el  lado con menor atracción  local es  el comprendido entre  el D2 
y D3  pues presenta  un  valor  de  1°, por lo  tanto  los  azimuts  de  referencia  para 
corregir el polígono son 60°30’00” de D2 a D3 y 240°30’00” de D3 a D2.
El azimut de la línea siguiente será igual al azimut anterior menos el ángulo si se 
avanza  en sentido de las manecillas del reloj y el azimut anterior más el ángulo si 
se avanza  en contra de las manecillas del reloj.
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 47 47 
FIGURA2.21 Atracción local de cada línea del polígono 
Para  el  cálculo  de  áreas  se  realiza  el  mismo  procedimiento  del  capítulo  del 
levantamiento con cinta por el método de izquierdas y derechas.
TOPOGRAFÍA48 TOPOGRAFÍA48 
2.3 Ejercicios planteados
FIGURA 2.22 Ejercicio: Medición con cinta 
3.1 Ángulos 
Emana  del vocablo latino angŭlus, se refiere  a  una figura de la  geometría que se forma a partir de dos rectas que se cortan entre sí sobre una misma super-
ficie; corresponde  también  a  la magnitud  de  abertura  del  espacio  formado por 
dos líneas  que se interceptan  en un mismo vértice. Por definición un ángulo es 
la abertura  entre  dos líneas  que se  cortan, este ángulo está  compuesto por línea 
de referencia,  el  sentido y amplitud  (figura  3.1); en Topografía  estos elementos 
corresponden a:
•  Línea de Referencia : la Norte que puede ser de tres tipos Real, Magnética y 
Arbitraria
•  Sentido:  regularmente  se  toma  el  sentido  de  las  manecillas  del  reloj, 
asumiendo que este sentido es positivo.
•  Amplitud: valor  angular  que  en  este  caso  se  puede tomar  como rumbo  o 
azimut.
Los  sistemas  de  medida  de  los  ángulos  son:  degradianes  (grado,  minuto  y 
segundo), centesimales  (gones) y radianes  (radian). Los ángulos más empleados 
en topografía son el rumbo (R
b
), el azimut (AZ) y el ángulo de deflexión (Δ).
CAP Í TULO  3
ÁNGULOS  
Y  COORDENADAS
TOPOGRAFÍA50 TOPOGRAFÍA50 
En  topografía  se  considera  la  nomenclatura  de  los  cuadrantes  tal  como  se 
representa  en  la  figura  3.2,  ya  que  el  cero  está  en  sentido  hacia  la norte  y  los 
ángulos se miden en sentido horario.
FIGURA3.1 Ángulo
FIGURA3.2 Nomenclatura de los cuadrantes
CAPÍTULO 3: ÁNGULOS Y COORDENADAS 51 51 
3.1.1 Rumbo – Rb
Es el ángulo en cada uno de los cuatro cuadrantes  medido desde la línea Norte – 
Sur hacia el eje Este – Oeste; el valor angular esta entre 0º y 90º, y la nomenclatura 
corresponde a  letras  del cuadrante  y en el centro  el valor del ángulo,  colocando 
primero la letra de la dirección Norte o Sur y luego la de Este u Oeste. En la figura 
3.3 el ángulo θ representa  la magnitud de un rumbo en cada cuadrante.
FIGURA 3.3 Rumbo
Para este caso se tiene: en el primer (I) cuadrante Rb = N 45° E, en el segundo (II) 
cuadranteRb = S 45° E, en el tercer  (III) cuadrante  Rb = S 45° W y en el cuarto 
(IV) cuadrante Rb = N 45° W.
3.1.2 Azimut – AZ
Dirección medida a partir de la línea de referencia Norte, su valor esta entre  0º y 
360º, la  nomenclatura  corresponde solo al  valor angular que se mide en sentido 
horario. En la figura 3.4 el ángulo θ representa  el valor o magnitud de un azimut 
medido en cada cuadrante.
TOPOGRAFÍA52 TOPOGRAFÍA52 
FIGURA 3.4 Azimut
Para  este  caso se  tiene:  en  el  primer  (I) cuadrante  AZ =  45, en  el  segundo (II) 
cuadrante  AZ = 135°, en el tercer  (III) cuadrante  AZ = 215° y en el cuarto (IV) 
cuadrante AZ = 305°.
3.1.3 Ángulo de deflexión
El ángulo de deflexión, también conocido como ángulo de giro, es el ángulo que 
se lee entre la proyección de un alineamiento y la dirección del siguiente. Su valor 
está  entre  0° y 180°, puede ser de derecha  (‘+’) o de izquierda (‘-’). La figura 3.5 
presenta  dos ángulos θ de deflexión.
FIGURA 3.5 Ángulo de deflexión
CAPÍTULO 3: ÁNGULOS Y COORDENADAS 53 53 
3.2 Coordenadas
Las  coordenadas  representan  un  sistema  numérico,  de  letras  o  símbolos, que 
sirven para  determinar  la  ubicación de  un  punto  en  la  Tierra.  Se  definen  dos 
sistemas principales de coordenadas:
• Las coordenadas geográficas: representan  el  planeta  mediante  líneas  que 
dividen la tierra en dos semiesferas  una hacia el este y otra al oeste (180° al 
este y 180° al oeste), conocidas como meridianos, y líneas paralelas al Ecuador, 
conocidas como paralelos, que igualmente dividen el globo terráqueo en dos 
semiesferas una al norte y otra al sur (90° al norte y 90° al sur); el origen del 
sistema corresponde al paralelo que cruza por el ecuador (0°) y al meridiano 
de Greenwich (0°).
•  Las coordenadas planas: representan el globo terráqueo mediante un sistema 
de plano cartesiano x, y el cual puede corresponder a números y letras o más 
comúnmente a un sistema coordenado de Nortes y Estes.
Para determinar  un  sistema de  coordenadas  es  necesario  tener  una  proyección 
cartográfica,  es decir, la representación de la superficie curva del planeta  sobre un 
plano; existen tres tipos de proyecciones: cónica, azimutal o cilíndrica, las cuales 
a su vez pueden ser normal, oblicua o terrestre  (figura 3.6).
Una  proyección es  normal  cuando  el  eje  de  la  figura  coincide  con el  eje  de  la 
Tierra, es oblicua cuando el eje de la figura respecto al eje de la Tierra se encuentra 
en una posición mayor a cero grados y menor a noventa grados, y una proyección 
es transversal  cuando el eje de la figura es ortogonal al eje de la Tierra.
Mercator  Transversal  (TM)  corresponde  a  una  proyección,  presentada  por 
Lambert en 1772, basada  en una solución esférica. En su forma elipsoidal es una 
de las proyecciones más utilizadas en el mundo. Se utiliza en muchos países para 
crear  mapas  topográficos  oficiales.  Con  la  proyección Mercator  Transversal,  la 
mayoría  de meridianos  y  paralelos  son  curvas  complejas.  El meridiano  central 
y los meridianos  situados  a noventa  grados  del meridiano  central,  así como el 
Ecuador, son líneas rectas.
La proyección denominada Mercator Transversal Universal (UTM) corresponde a 
un uso específico de la proyección Mercator Transversal con la  especificación de 
meridianos centrales  y un factor de reducción de escala  de 0.9996 (una reducción 
de 1:2500). Esta es la proyección más empleada  a nivel mundial. Tiene por eje el 
meridiano central,  que se proyecta por medio de una recta dibujada en el plano, 
y el Ecuador, representado por otra recta perpendicular a la anterior. Su origen se 
remonta a la Segunda Guerra Mundial, se requería establecer un sistema único a 
nivel mundial que reuniera condiciones como conformidad, continuidad (mínimo 
número de zonas),  errores de escala  reducidos, sistema de referencia  único para 
todas las zonas, fórmulas generales de transformación,  reducida convergencia de 
meridianos, entre otras.
TOPOGRAFÍA54 TOPOGRAFÍA54 
El sistema Gauss-Krüger  es  un sistema geométrico de referencia  empleado para 
expresar  numéricamente  la  posición  geodésica  de  un  punto  sobre  el  terreno. 
Se  utiliza  un  cilindro  transverso  (Mercator  Transversal)  como  superficie  de 
proyección, donde se define un meridiano central  como lugar de contacto con la 
tierra. El resultado es una proyección conforme que no mantiene las direcciones. 
A lo  largo del meridiano central  no se observan  deformaciones. La proyección 
Gauss-Krüger es empleada actualmente  para las cartas topográficas en Colombia.
El sistema de coordenadas planas de la tierra se basa en una proyección transversal 
cilíndrica  (Mercator  Transversal  Universal)  donde  el  cilindro  toca  la  esfera 
terrestre  a lo largo de un meridiano. Este método divide a la esfera terrestre  en 60 
secciones, cada una de las cuales abarca una franja de 6° de longitud. Las zonas se 
enumeran  comenzando con 1 para zona que cubre los 180 ° E y 174° O. Además 
las zonas se subdividen en filas, con una altura de 8°, a las que se les asigna letras 
de sur a norte, empezando con la letra C a los 80° Sur (ONU, 2002).
Las coordenadas  planas  están conformadas por una serie de líneas verticales (y= 
Norte) y horizontales (x=Este), que al interceptarse forman un reticulado muy útil 
en  la  representación  de pequeñas  áreas  en  escala  grande. La unidad  de medida 
está establecida por el sistema métrico decimal. (IGAC, 1990).
FIGURA3.6 Proyecciones cartográficas
Cónica Azimutal Cilíndrica
Normal
Transversal
Oblicua
Para  Colombia  como origen  de  las  coordenadas  planas  se  toma  el  centro  del 
telescopio  del  observatorio  astronómico  Nacional  el  cual  tiene  coordenadas 
CAPÍTULO 3: ÁNGULOS Y COORDENADAS 55 55 
geográficas: g = 4° 35’ 56.57’’ latitud y l = 74° 04’ 51.30’’ de longitud; para garantizar 
no tener coordenadas negativas se le asignaron coordenadas falsas: X = 1´000 000 
m Y = 1´000 000 m; las  coordenadas  aumentan  X hacia  el norte  y disminuyen 
hacia el sur, y de igual forma Y aumentan hacia el este y disminuyen hacia el oeste. 
Debido a que la proyección es cilíndrica transversal  fue necesario establecer  cinco 
orígenes en estes, tal como lo representa  la figura 3.7.
FIGURA 3.7 Orígenes de las coordenadas planas de Gauss en Colombia
En un levantamiento se pueden establecer las coordenadas planas de tres maneras: 
arbitrarias, asifinas o reales.
3.2.1  Coordenadas arbitrarias
Cuando se definen coordenadas a los vértices o deltas de un levantamiento que no 
están amarradas  a un sistema plano de coordenadas, se debe escoger un valor que 
TOPOGRAFÍA56 TOPOGRAFÍA56 
garantice  que todas  las  coordenadas  de  los detalles  serán  positivas, es  decir, que 
están en el primer cuadrante del plano cartesiano. Un terreno o proyecto levantado 
con coordenadas  arbitrarias  se puede dibujar y permite calcular  áreas,  pero no se 
puede referenciar,  es decir, no se puede ubicar en un espacio real del planeta.
3.2.2  Coordenadas asifinas
Cuando se definen coordenadas a los vértices o deltas de un levantamiento con base 
en una extrapolación de valores de coordenadas planas de una cartografía existentes, 
el levantamiento se ajusta a la cartografía origen de las coordenadas asifinas.
3.2.3 Coordenadas reales
Hoy en día es el sistema más empleado en levantamientos topográficos de proyectos 
de infraestructura;  se toma como base del levantamiento al menos un par de puntos 
(mojones) georreferenciados,  cuyas coordenadas son planas de Gauss o acimutales 
de algún lugar especial, por ejemplo Bogotá. Un terreno o proyecto levantado con 
coordenadas reales permite calcular áreas,  se puede dibujar y referenciar, es decir se 
puede ubicar en un espacio real del planeta, continente, país o ciudad.
3.2.4  Coordenadas rectangulares
Las  coordenadas  corresponden  a  las  proyecciones  cartesianas  x,  y o N, E de  un 
punto cualquiera con relacióna un origen de referencia  por el cual cruzan  los dos 
ejes ortogonales del plano cartesiano.  La figura 3.8 presenta  los puntos A y B, y la 
proyección de sus coordenadas rectangulares  xA o EA, yA o NA y xB o EB, yB o NB.
FIGURA 3.8 Coordenadas
CAPÍTULO 3: ÁNGULOS Y COORDENADAS 57 57 
3.2.5 Coordenadas polares
Aritméticamente  las  coordenadas  polares  definen  la  ubicación  de  un  punto 
respecto  del  origen de  un  plano mediante  dos  elementos:  la  distancia  entre  el 
origen del plano y el punto conocido como polo, y el ángulo (θ) medido desde la 
línea de referencia,  que será la Norte, y una línea imaginaria proyectada hacia el 
punto que se desea localizar.
En topografía el origen del plano está simbolizado por un punto de coordenadas 
rectangulares  conocidas (N y E), el polo equivale a la distancia  “d” entre  los dos 
puntos y el ángulo (θ) se mide a partir del eje vertical o Norte, con base en él se 
determina  la  dirección o Azimut entre  los dos puntos. La figura 3.9 presenta:  el 
punto A de coordenadas rectangulares  conocidas x
A
o E
A
, y
A
o N
A
y el punto B cuya 
ubicación está definida por la distancia d y el ángulo θ medido contra la vertical 
que pasa por el punto A.
FIGURA 3.9 Coordenadas polares
3.3  Conversión de coordenadas
3.3.1 Conversión de coordenadas rectangulares a polares
Para determinar  la distancia d y la dirección o azimut AZ entre  dos puntos A y B
(definir las coordenadas  polares entre A y B) se basa en el teorema de Pitágoras: el 
área del cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de 
las áreas de los cuadrados de los catetos del triángulo; en este caso la hipotenusa del 
TOPOGRAFÍA58 TOPOGRAFÍA58 
triángulo rectángulo corresponde a la distancia entre los puntos A y B, y los catetos 
corresponden a la diferencia entre las coordenadas Norte y Este de los puntosA y B.
Con base en la figura 3.10 se tiene:
ΔN = N
B
- N
A 
y ΔE = E
B
- E
A
(3.1)
Por Pitágoras:
d
2
= ΔN
2
+ ΔE
2 (3.2)
d N E= Δ + Δ2 22 (3.3)
FIGURA3.10 Coordenadas rectangulares a polares
La dirección se define en función del ángulo θ:
tan(θ) = 
Δ
Δ
E
N
(3.4)
θ = arctan
Δ
Δ




E
N
(3.5)
CAPÍTULO 3: ÁNGULOS Y COORDENADAS 59 59 
El ángulo θ tiene un valor comprendido entre 0º y 90º, mientras que un azimut se 
define con un valor entre 0º y 360º, por lo que es necesario determinar la dirección 
o cuadrante  en la cual se encuentra θ y, con base en este, establecer  el valor de la 
dirección que corresponde al azimut.
Este cuadrante  se define  en  función de  los  signos de las  ΔN y ΔE, tal  como lo 
presenta la figura 3.11.
FIGURA 3.11 Definición de cuadrante en función del signo de las diferencias de norte y este
De acuerdo  con  el  cuadrante  y  con  el  signo  del  ángulo  θ, producto  de  la  razón 
algebraica de la diferencia de estes ΔE sobre la diferencia de nortes ΔN, presentado 
en la figura 3.11, se regla el valor de la dirección o azimut, tal como se consigna en 
la tabla 3.1
TABLA 3.1 Determinación del valor del Azimut
CUADRANTE SIGNO DE θ AZIMUT
I + θ Az = θ
II -θ Az= 180 + (− θ)
III + θ Az = 180 + (+ θ)
IV -θ Az = 360 + (− θ)
TOPOGRAFÍA60 TOPOGRAFÍA60 
A diferencia del cálculo de la distancia d, en la cuantificación del azimut es muy 
importante el orden de los sumandos al determinar  la diferencia de Norte y Este, 
por lo cual  siempre se  restará  de las  coordenadas  del  punto de destino (visado)
de  las  coordenadas  del  punto de  origen -armado, es  decir:  si se desea  hallar  la 
dirección de A hacia B:
FIGURA 3.12 Signo del ángulo θ
Az entonces N N N y E E E
A
B
E A E A
- -: :Δ = Δ = (3.6)
Al contrario para determinar la dirección de B hacia A:
Az entonces N N N
A
B
A
-:Δ =
BB A B
y E E E-:Δ = (3.7)
CAPÍTULO 3: ÁNGULOS Y COORDENADAS 61 61 
3.3.2 Conversión de coordenadas polares a rectangulares 
Para obtener  las  coordenadas  planas  o rectangulares  entre  dos puntos A y B es 
necesario contar con las coordenadas de alguno de los puntos A y B, y la distancia 
y  dirección  (Azimut)  del  punto  de  coordenadas  conocidas  al  de  coordenadas 
desconocidas.
La distancia d y la dirección Az corresponden a las coordenadas polares entre los 
puntos A y B.
FIGURA3.13 Coordenadas rectangulares a polares
De acuerdo con la figura 3.13 se tiene:
N
B
= N
A
+ ΔN (3.8)
E
B
= E
A
+ ΔE (3.9)
Donde las proyecciones ∆N y ∆E corresponden a los catetos  del  triángulo AcB, la 
hipotenusa a la distancia d y θ el ángulo adyacente a la proyección norte, por tanto:
ΔN = d * cosθ y ΔE = d * senθ
Como se observa en la parte derecha de la figura 3.13, es necesario tener en cuenta 
que tanto la  proyección norte ΔN como la proyección este ΔE deben restarse  de 
las coordenadas del punto A, para determinar las coordenadas del punto B. 
TOPOGRAFÍA62 TOPOGRAFÍA62 
Ahora bien, si el cálculo se realiza con el azimut determinado en función del ángulo 
θ, tal como se estableció en  la tabla 3.1, el producto de la distancia por el seno o el 
coseno del azimut dará  directamente  el valor de  la proyección (∆N o ∆E), con lo 
cual su valor se suma algebraicamente a la coordenada del punto base A.
ΔN = d * cosAz y ΔE = d * sen Az  (3.10)
Las coordenadas de B se determinan así:
N
B
= N
A
+ ΔN y E
B
= E
A
+ ΔE
N
B
= N
A
+ d * cos Az y E
B
= E
A
+ d * sen Az (3.11)
4.1 Radiación simple 
4.1.1 Definición
Es  el método más  fácil  para  realizar  el  levantamiento  de  un  lote pequeño  e igualmente  es el más utilizado para realizar  la  toma de detalles  de una poli-
gonal abierta o cerrada  desde cada uno de sus deltas,  con el fin de obtener todos 
los datos de coordenadas  y elaborar  el Modelo Digital del Terreno  - MDT. Para 
su ejecución se debe seleccionar  un delta  o centro de radiación, preferiblemente 
de coordenadas  conocidas, desde el cual  se medirán  las distancias  y direcciones 
(azimuts) hacia  cada  uno de  los diferentes  puntos (vértices,  detalles,  puntos de 
quiebre) a definir en el levantamiento.
CAP Í TULO  4
RADIACIÓN
TOPOGRAFÍA64 TOPOGRAFÍA64 
FIGURA4.1 Radiación simple de un lote
La figura 4.1 presenta el esquema básico de un levantamiento por radiación, en la 
que se observa que se debe materializar el delta, vértice o centro de radiación “C”, 
y sobre  este punto armar,  centrar  y nivelar  el  equipo. Desde el vértice  se deben 
visualizar  todos y cada  uno de los puntos o deltas que conforman el polígono a 
levantar  (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10), así como los detalles  del levantamiento .Con 
el  equipo instalado  en  el  delta  se da  visual  a  la  norte, que puede  ser  arbitraria 
(fijando la visual en un objeto que no sea susceptible de sufrir un desplazamiento) 
o real  si es tomada entre  dos puntos  de coordenadas  conocidas,  en este  caso se 
podrá establecer  el azimut real de cada uno de los vértices del polígono. 
De igual manera  en la figura 4.1 se aprecia que es necesario medir tanto el ángulo 
entre  la norte y la dirección de cada  vértice del polígono o detalle  ( ), como 
la distancia desde el centro de radiación a cada vértice del polígono o detalle  del 
lote ( ).
Para  realizar  el  levantamiento  de  radiación se  emplea  desde un teodolito, hasta 
una estación total, la figura 4.2 presenta una imagen de estos equipos.
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN 65 65 
FIGURA 4.2 Equipos empleados en levantamientos por radiación simple
4.1.2 Aplicaciones
La radiación  simple  es  el  procedimiento  topográfico más sencillo  y eficaz  para 
levantar  el  detalle  de  un  área  circundante  al  vértice  de  radiación.  Se  combina 
con  las  poligonales  cerradas  para  el  levantamiento  de  detalles  desde  cada  uno 
de los vértices de la poligonal, lo que lo convierte en uno de los procedimientos 
topográfico más empleados. Cabe resaltar que, con la utilización de los equipos de 
medición electrónica, la medición de distancias  se ha simplificado y hace de este 
levantamiento un procedimiento muy versátil.4.1.3 Procedimiento en terreno
Lo primero  a  ejecutar  en  el  campo es  realizar  un  recorrido o  reconocimiento 
del terreno  con el  fin de  establecer  los  puntos o detalles  que se deben levantar, 
la  planeación  de  las  labores del terreno  y elaborar  un bosquejo del terreno  que 
incluya la identificación de los detalles  para programar  los trabajos y orientar los 
trabajos de oficina.
Identificados los detalles y los puntos del terreno a ser levantados, se materializa el 
vértice, delta o punto de armado del equipo. Desde el vértice se realiza la radiación 
a todos los puntos y detalles;  en consecuencia  el delta debe materializarse  en un 
punto más o menos central  al levantamiento  y asegurar  la visual desde el delta a 
todos y cada uno de los puntos y detalles.
Sobre  el  delta  materializado  se  arma,  centra  y  nivela  el  equipo,  se  da  visual 
a  la  norte  (magnética,  arbitraria  o  real)  y  se  encera  el  equipo para  establecer 
ceros en  el  limbo horizontal (0° 00’ 00’’). Con la  visual sobre  la norte,  se suelta 
el movimiento horizontal  y  se da  inicio al  barrido  de  los ángulos  horizontales 
TOPOGRAFÍA66 TOPOGRAFÍA66 
empezando  por el  primer detalle;  ubicado el  detalle  se  fija  el  plato horizontal, 
se ajusta  con el movimiento lento y se procede a dar  lectura  del valor del ángulo 
horizontal  y a medir  la  distancia  desde el  vértice  de armada  hasta  el  punto del 
detalle. El procedimiento se repite hasta registrar  el ángulo y la distancia de todos 
los detalles requeridos para la representación del terreno. Los ángulos y distancias 
se registran  en la cartera  de campo.
Al finalizar,  se  vuelve  a dar  visual al  punto que materializó  el primer detalle  o la 
norte y se lee el ángulo horizontal observado en el equipo, con el fin de verificar el 
error  angular  “e” generado  por posibles movimientos o desnivelación  del  equipo 
durante  la medición, error que no debe superar  la precisión angular  del equipo, de 
suceder esto deberá verificar la nivelación y centrado del equipo sobre el delta y re-
petir la lectura de los ángulos. El error de cierre angular se determina como:
e = α – α’  (4.1)
Donde:
•  e =  Error de cierre.
•  α = Primera lectura al Norte de referencia o primer detalle.
•  α’ = Segunda lectura al Norte de referencia o primer detalle.
Al levantar  los detalles  en el terreno y con el fin de dibujarlos en la oficina es im-
portante tener en cuenta:
•  Un punto (árbol, señal de tránsito, poste, entre otros) se define con un punto 
y  se  identifican  las  características  del  objeto  en  las  observaciones  (altura, 
ancho, diámetro).
•  Una  línea (cerca, muro, canal,  recta  de una  calle,  entre otros) se define con 
dos puntos, uno al principio y otro al final.
•  Una  curva  (bordillo de  la  esquina  de  una  calle,  curva  de  una  carretera  o 
ferrocarril,  meandro de un río) se define con tres puntos, uno al comienzo, 
otro en el centro y otro al final.
4.1.4 Procedimiento en la oficina
Se  revisa  que  el  error  angular  esté  dentro  del  error  permitido  y  se  procede  a 
calcular los azimuts, las proyecciones y las coordenadas de cada uno de los detalles 
o puntos del levantamiento, así como las áreas que se requiera determinar.
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN 67 67 
4.1.5 Ejemplo Práctico
Se desea  levantar un estadio de béisbol para calcular  el área de la grama y 
realizar  trabajos de mantenimiento. La figura 4.3 presenta  una imagen del 
estadio y las figuras 4.4 a y 4.4 b contienen la cartera  de campo del  levan-
tamiento.
FIGURA4.3 Imagen del predio a levantar
4.1.6 Cálculos
4.1.6.1 Cálculo de proyecciones
Como la norte fue arbitraria, los ángulos observados corresponden directamente 
a los azimuts, con los cuales se establecen  las proyecciones ∆N y ∆E, de cada uno 
de los detalles,  para ello se precede a convertir las  coordenadas polares  tomadas 
en campo (azimut y distancia)  en las proyecciones cartesianas  ∆N y ∆E. En caso 
que la norte se establezca  con base en puntos de coordenadas conocidas se deberá 
determinar  el  azimut de esta  dirección y deberá  calcularse  el  azimut hacia cada 
detalle como el azimut hacia la norte más el ángulo observado.
TOPOGRAFÍA68 TOPOGRAFÍA68 
FIGURA 4.4 A Cartera de campo: Levantamiento por radiación sencilla
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN 69 69 
FIGURA 4.4 B Cartera de campo: Levantamiento por radiación sencilla
Teniendo  en  cuenta  que  para  este  levantamiento  se  armó  el  equipo en D
1
y  se 
dio visual en ceros a  la parte  izquierda de las  torres de iluminación del estadio, 
estableciendo una norte arbitraria,  las coordenadas  del delta son arbitrarias pero 
su valor debe evitar que los cálculos arrojen  coordenadas negativas.
Coordenadas de D
1
N = 1000.000; E = 2000.000
TOPOGRAFÍA70 TOPOGRAFÍA70 
4.1.6.2 Cálculo de coordenadas
Las coordenadas de los puntos o detalles se determinan con base en las ecuaciones 
3.8 y 3.9, y las proyecciones, con la ecuación 3.10,  los resultados  se consignan en 
la tabla 4.1. 
N
B
= N
A
+ ΔN (3.8)
E
B
= E
A
+ ΔE (3.9)
ΔN = d * cosAz y ΔE = d * sen Az  (3.10)
TABLA 4.1 Determinación de los azimuts y proyecciones de los detalles
∆ Θ AZIMUT DIST. PROYECCIONES COORDENADAS Θ
NS EW NORTE ESTE
D1 N 0 ° 0 ‘ 0 ‘’       1 000.000 2 000.000 D1
  1 2 ° 24 ‘ 1 ‘’ 60.249 60.196 2.523 1 060.196 2 002.523 1
  2 6 ° 48 ‘ 30 ‘’ 60.140 59.716 7.130 1 059.716 2 007.130 2
  3 10 ° 51 ‘ 7 ‘’ 60.038 58.964 11.303 1 058.964 2 011.303 3
  4 18 ° 16 ‘ 14 ‘’ 59.374 56.381 18.614 1 056.381 2 018.614 4
  5 27 ° 2 ‘ 18 ‘’ 57.413 51.138 26.099 1 051.138 2 026.099 5
  6 82 ° 48 ‘ 27 ‘’ 63.116 7.902 62.619 1 007.902 2 062.619 6
  7 86 ° 49 ‘ 22 ‘’ 64.231 3.560 64.132 1 003.560 2 064.132 7
  8 97 ° 20 ‘ 46 ‘’ 52.263 -6.682 51.834 993.318 2 051.834 8
  9 135 ° 9 ‘ 46 ‘’ 49.209 -34.895 34.697 965.105 2 034.697 9
  10 142 ° 29 ‘ 53 ‘’ 43.714 -34.680 26.613 965.320 2 026.613 10
  11 157 ° 16 ‘ 59 ‘’ 44.994 -41.504 17.376 958.496 2 017.376 11
  12 173 ° 59 ‘ 17 ‘’ 64.397 -64.043 6.745 935.957 2 006.745 12
  13 174 ° 23 ‘ 37 ‘’ 10.703 -10.652 1.046 989.348 2 001.046 13
  14 178 ° 56 ‘ 32 ‘’ 54.855 -54.846 1.013 945.154 2 001.013 14
  15 181 ° 3 ‘ 28 ‘’ 19.572 -19.569 -0.361 980.431 1 999.639 15
  16 182 ° 31 ‘ 44 ‘’ 40.032 -39.993 -1.766 960.007 1 998.234 16
  17 183 ° 28 ‘ 25 ‘’ 57.962 -57.856 -3.512 942.144 1 996.488 17
  18 184 ° 26 ‘ 31 ‘’ 68.700 -68.494 -5.321 931.506 1 994.679 18
  19 187 ° 22 ‘ 34 ‘’ 54.668 -54.216 -7.018 945.784 1 992.982 19
  20 193 ° 33 ‘ 13 ‘’ 63.168 -61.409 -14.804 938.591 1 985.196 20
  21 209 ° 47 ‘ 56 ‘’ 42.891 -37.220 -21.315 962.780 1 978.685 21
  22 224 ° 39 ‘ 19 ‘’ 39.671 -28.220 -27.882 971.780 1 972.118 22
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN 71 71 
∆ Θ AZIMUT DIST. PROYECCIONES COORDENADAS Θ
  23 231 ° 55 ‘ 5 ‘’ 46.123 -28.448 -36.305 971.552 1 963.695 23
  24 274 ° 8 ‘ 27 ‘’ 48.062 3.470 -47.937 1 003.470 1 952.063 24
  25 285 ° 55 ‘ 16 ‘’ 61.526 16.877 -59.166 1 016.877 1 940.834 25
  26 299 ° 5 ‘ 26 ‘’ 62.092 30.189 -54.259 1 030.189 1 945.741 26
  27 331 ° 20 ‘ 27 ‘’ 58.616 51.435 -28.112 1 051.435 1 971.888 27
  28 346 ° 55 ‘ 7 ‘’ 60.656 59.082 -13.729 1 059.082 1 986.271 28
4.2 Radiación doble
4.2.1 Definición
Recibe también los nombres de base media e intersección de visuales.El método se 
basa en la ejecución de dos radiaciones sencillas, evitando con ello la medición de 
distancias, desde los extremos de una línea o base medida que corresponderán  a 
los vértices o deltas de las radiaciones, hacia los detalles o punto del levantamiento. 
La única distancia que se mide en el terreno es la de la base medida. En el primer 
vértice o delta se establecerá  la norte  (arbitraria, magnética o real)  y se barrerán 
los ángulos  a cada  uno de los  detalles;  posteriormente,  se  arma  el equipo en  el 
segundo vértice y, con ceros en la  visual al primer delta,  se barren  los ángulos a 
todos los detalles.
Con  los  ángulos  medidos  encada  delta  y  con  la  distancia  de  la  base  medida
se  generan  unos  triángulos,  mediante  los  cuales  se  determinan  en  oficina  las 
distancias a cada detalle, empleando el teorema de los senos.
La figura 4.5 presenta  el esquema gráfico básico de este  tipo de levantamiento, 
como se observa, se establecen  como vértices dos deltas o centros de radiación 
“D
2
y D
3
”,  sobre  los  cuales  se  centra  y nivela  el  aparato.  Estos  puntos  deben 
tener  la particularidad  de permitir la visual a  todos y cada uno de los vértices 
o detalles  que conforman el polígono a levantar  (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 y 20 para el ejemplo), con el equipo instalado en el 
vértice uno D
2
se da visual al mojón denominado D
1
; en este caso la norte es real 
ya que la visual se fija desde D
2
a otro punto de coordenadas conocidas D
1
; por 
lo que se tiene el  azimut real desde D
2
hacia D
1
. Posteriormente con el  equipo 
centrado, armado y nivelado en el vértice dos D
3
se da visual a D
2
y se barren los 
ángulos hacia cada uno de los vértices del polígono.
La distancia ( ) debe ser medida en el terreno.
TOPOGRAFÍA72 TOPOGRAFÍA72 
4.2.2 Aplicaciones 
La radiación doble es  empleada  en  el  levantamiento  de  terrenos  que presentan 
una  gran dificultad para  acceder  con medidas directas hacia  sus vértices o para 
emplear otro método topográfico de levantamiento.
FIGURA 4.5 Radiación doble
4.2.3 Ley de senos
En un triángulo  cualquiera  existe  una  igualdad  entre  las  proporciones  de  cada 
lado  y el seno  de los ángulos  opuestos a  dicho lado,  tal  como se presenta  en  la 
figura 4.6.
FIGURA4.6 Ley de senos
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN 73 73 
4.2.4Metodología
4.2.4.1 Actividades en terreno
Como siempre, la primera labor es realizar un reconocimiento del terreno con el 
fin de identificar los puntos, detalles  o vértices, planificar  las labores de terreno y 
ejecutar un bosquejo que ayude a programar los trabajos.
Una vez identificados los detalles del terreno que van a ser levantados, se procede 
a ubicar y materializar  los deltas D
2
y D
3, que conforman  los extremos de la base 
medida, sobre los cuales  se centra,  arma y nivela el equipo para  radiar  todos los 
detalles. Estos puntos deben ser intervisibles, permitir la medición de la distancia 
entre  ellos  y  tener  visibilidad  a  todos  y  cada  uno  de  los  detalles  del  terreno. 
Los deltas D
2
y D
3
pueden estar  ubicados dentro o fuera  de la  zona de trabajo, 
preferiblemente afuera, su separación no debe ser pequeña con relación al tamaño 
del terreno a levantar, mínimo un quinto de la mayor distancia de éste. De igual 
forma, es recomendable buscar una ubicación de manera tal que los ángulos leídos 
a los detalles no sean muy agudos, porque esto afecta  la precisión de los cálculos.
Materializada  la base medida se arma, centra y nivela el equipo en el primer delta 
D
2
, enseguida, con el limbo horizontal en ceros (0° 00’ 00’’) se da visual al mojón 
D
1
. Definida  la  línea  de referencia,  se  suelta  el círculo  horizontal y se da  visual 
al  punto D
3
,  se  registra  el  valor  del  ángulo  y  se mide  la  distancia  entre  deltas. 
La precisión en distancia debe ser mayor a 1:5000; por eso es  necesario realizar 
como mínimo tres mediciones, para  establecer  como valor final  el promedio de 
las medidas tomadas.
A continuación se barre el ángulo en sentido horario a cada detalle. Para el primer 
punto  se busca  la  visual  del  detalle,  se fija  el  plato  horizontal,  se  ajusta  con  el 
movimiento lento buscando el hilo de la plomada y se procede a leer el valor del 
ángulo, que debe ser registrado en la cartera  de campo. A continuación se repite 
el  procedimiento anterior  para  el  segundo  detalle  y  así  sucesivamente  hasta  el 
último detalle,  al igual que en la  radiación simple se repite la  primera medición 
para chequear que el equipo no se haya desnivelado o movido.
En seguida se traslada  el equipo al segundo delta (D
3
), se arma, centra y nivela el 
equipo, se da visual al delta D
2
y se acomoda en ceros el equipo (0° 00’ 00’’ ceros 
atrás),  se  sueltan  los ceros  y se barre el  ángulo en  sentido horario, buscando  el 
primer detalle  leído desde D
2
; siguiendo el mismo procedimiento, se fija el plato 
horizontal, se ajusta  con el movimiento lento hasta ajustar  el retículo con el hilo 
de la plomada  y se procede a leer  el valor del ángulo, valor que se registra en la 
cartera de campo. Se repite el procedimiento anterior para el segundo detalle y así 
sucesivamente hasta el último detalle. 
Se debe  ser  cuidadoso en  el  orden de  barrido de  los  detalles  desde D
3
,  ya  que 
estos deben ser tomados en estricto orden, tal como fueron observados desde D
2
, 
TOPOGRAFÍA74 TOPOGRAFÍA74 
de  lo contrario  no podrá  ser  calculada  la  distancia.  Al  finalizar  las  mediciones 
angulares  en D
3
, se vuelve a dar visual a D
2
para verificar que el equipo está bien 
centrado, armado y nivelado.
4.2.4.2 Actividades en la oficina
Con  el fin  de facilitar  los  cálculos  de  oficina y siempre que sea posible se debe 
prestar atención a las siguientes recomendaciones:
•  Preferiblemente  la línea  o base medida formada por los dos deltas, D
2
y D
3
, 
debe estar ubicada fuera del terreno.
•  La norte, meridiano de referencia  o brazo de armado debe establecerse  por 
fuera y a la izquierda del terreno.
•  D
3
debe quedar a la derecha de D
2
.
Entre la base medida y cada detalle  del levantamiento  se conforma un triángulo, 
del cual  se conoce un lado (la base medida o distancia  entre D
2 y 
D
3
) y,  con base 
en  los  ángulos  leídos desde  los  vértices,  se  establecen  los  ángulos  internos  del 
triángulo. Con el  lado conocido y los ángulos  internos  del triángulo se aplica  el 
teorema de los senos para determinar la distancia del delta D
2
a cada punto.
Si existente  detalles  o vértices a la  izquierda de la norte o por debajo de la  línea 
D
1
y D
2
, se deben ajustar  los ángulos para poder aplicar el teorema de los senos.
4.2.5 Ejemplo
Se desea realizar el  levantamiento de la parte central de la glorieta presentada  en 
la figura 4.7. Debido al manejo del tránsito y la poca probabilidad de cerrar  la glo-
rieta se decide realizar una base medida en el separador del acceso norte y desde 
allí radiar  los puntos de la glorieta.
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN 75 75 
FIGURA4.7 Glorieta a ser levantada y ubicación de la base medida
La figura 4.8 presenta  la radiación tomada en el terreno y las figuras 4.9 a, 4.9 b y 
4.9 c la cartera de campo.
FIGURA 4.8 Radiación doble en la glorieta
TOPOGRAFÍA76 TOPOGRAFÍA76 
4.2.5.1 Determinación de ángulos y distancias
La distancia de la base medidacorresponde al promedio de las 4 medidas tomadas 
en el terreno:
d3
2
= 70.001 + 70.002 + 69.999 + 69.998 = 70.000 m
FIGURA 4.9 A Cartera de Campo: radiación desde D2
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN 77 77 
FIGURA 4.9 B Cartera de Campo: radiación desde D2 y D3
TOPOGRAFÍA78 TOPOGRAFÍA78 
FIGURA 4.9 C Cartera de Campo: radiación desde D3
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN 79 79 
Para cada punto se determina un triángulo en el cual uno de sus lados es la base 
medida, empleando los ángulos medidos en el terreno y el teorema de senos, se 
calculan los ángulos internos del triángulo y la distancia desde D
2
a cada punto, la 
cual se necesita para determinar  las proyecciones y calcular  las  coordenadas. La 
figura 4.10 presenta un ejemplo con los datos del punto 4.
FIGURA 4.10 Ángulos del triángulo para el punto 4
Para el detalle No. 4 se determinan los ángulos  y  de 
la siguiente manera:
Una vez determinados los ángulos internos del triángulo, se determina la distan-
cia del vértice D
2
al punto 4 aplicando el teorema de los senos:
TOPOGRAFÍA80 TOPOGRAFÍA80 
La  tabla  4.2 contiene los cálculos  de  ángulos y distancias  para  cada  detalle,  con 
base en el procedimientoanterior:
TABLA 4.2 Ángulos internos de los triángulos y distancia desde D2 a los detalles
PUNTO OD2D3 D2D3O D2OD3 DIST D2O
1 100 ° 37 ‘ 36 ‘’ 41 ° 48 ‘ 10 ‘’ 37 ° 34 ‘ 14 ‘’ 76.524
2 99 ° 01 ‘ 10 ‘’ 41 ° 6 ‘ 09 ‘’ 39 ° 52 ‘ 41 ‘’ 71.774
3 97 ° 41 ‘ 16 ‘’ 44 ° 48 ‘ 09 ‘’ 37 ° 30 ‘ 35 ‘’ 81.010
4 97 ° 33 ‘ 18 ‘’ 31 ° 14 ‘ 51 ‘’ 51 ° 11 ‘ 51 ‘’ 46.594
5 82 ° 55 ‘ 01 ‘’ 48 ° 53 ‘ 07 ‘’ 48 ° 11 ‘ 52 ‘’ 70.746
6 82 ° 29 ‘ 24 ‘’ 52 ° 45 ‘ 36 ‘’ 44 ° 45 ‘ 00 ‘’ 79.157
7 75 ° 48 ‘ 21 ‘’ 71 ° 19 ‘ 20 ‘’ 32 ° 52 ‘ 19 ‘’ 122.177
8 74 ° 50 ‘ 24 ‘’ 73 ° 07 ‘ 50 ‘’ 32 ° 01 ‘ 46 ‘’ 126.307
9 72 ° 54 ‘ 60 ‘’ 68 ° 01 ‘ 58 ‘’ 39 ° 03 ‘ 02 ‘’ 103.043
10 71 ° 29 ‘ 55 ‘’ 75 ° 40 ‘ 00 ‘’ 32 ° 50 ‘ 05 ‘’ 125.081
11 68 ° 18 ‘ 55 ‘’ 72 ° 27 ‘ 30 ‘’ 39 ° 13 ‘ 35 ‘’ 105.544
12 58 ° 49 ‘ 12 ‘’ 50 ° 03 ‘ 44 ‘’ 71 ° 07 ‘ 04 ‘’ 56.725
13 53 ° 46 ‘ 49 ‘’ 41 ° 41 ‘ 26 ‘’ 84 ° 31 ‘ 45 ‘’ 46.771
14 52 ° 14 ‘ 40 ‘’ 82 ° 09 ‘ 17 ‘’ 45 ° 36 ‘ 03 ‘’ 97.056
15 51 ° 39 ‘ 45 ‘’ 56 ° 29 ‘ 53 ‘’ 71 ° 50 ‘ 22 ‘’ 61.431
16 48 ° 45 ‘ 47 ‘’ 80 ° 47 ‘ 31 ‘’ 50 ° 26 ‘ 42 ‘’ 89.620
17 43 ° 40 ‘ 56 ‘’ 97 ° 20 ‘ 30 ‘’ 38 ° 58 ‘ 34 ‘’ 110.376
18 39 ° 58 ‘ 41 ‘’ 98 ° 29 ‘ 01 ‘’ 41 ° 32 ‘ 18 ‘’ 104.406
19 39 ° 19 ‘ 16 ‘’ 100 ° 20 ‘ 39 ‘’ 40 ° 20 ‘ 05 ‘’ 106.392
20 36 ° 13 ‘ 54 ‘’ 40 ° 49 ‘ 16 ‘’ 102 ° 56 ‘ 50 ‘’ 46.953
21 36 ° 13 ‘ 54 ‘’ 34 ° 03 ‘ 05 ‘’ 109 ° 43 ‘ 01 ‘’ 41.637
22 29 ° 20 ‘ 49 ‘’ 87 ° 23 ‘ 15 ‘’ 63 ° 15 ‘ 56 ‘’ 78.297
Determinadas  las  distancias  del delta D
2
a  los  detalles  se procede  a calcular  las 
coordenadas  de  cada  punto  o detalle,  para  lo cual  se debe  establecer  el  azimut 
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN 81 81 
del delta D
2
a cada  detalle.  Para  este ejemplo  la norte no fue arbitraria  sino que 
se  estableció  con  base  en  dos puntos  de  coordenadas  conocidas D
1
y D
2
;  para 
determinar el azimut de D
2
hacia D
1
empleamos la ecuación 4.5 y la tabla 4.1.
Coordenadas de D
1
N = 582.243; E = 1396.120.
Coordenadas de D
2
N = 610.201; E = 1353.977
Con base en la ecuación 3.6:
ΔN = N
D1
– N
D2
y  ΔE = E
D1
– E
D2
ΔN = 582.243 – 610.201  y  ΔE = 1396.120 – 1353.977
ΔN = –27.958  y  ΔE = 42.143
Por lo tanto el ángulo θ está en el segundo cuadrante y de acuerdo con la tabla 3.1 
se resta θ de 180°.
Con base en la ecuación 3.5:
θ = arctan  (ΔE / ΔN)
θ = arctan  (42.143 / –27.958) = –56° 26’ 22’’ 
Según lo establecido en la tabla 3.1:
= 180 + (–θ) = 180 + (–56° 26’ 22’’) = 123° 33’ 38’’
Con el  azimut  de D
2
hacia D
1
y los ángulos  observados de D
2
a  cada  detalle  se 
obtienen los azimuts de cada punto; con los azimuts y las distancias de D
2
a cada 
detalle se calculan las proyecciones y las coordenadas con base en el procedimiento 
explicado en el capítulo 3; los resultados se presentan  en la tabla 4.3.
TOPOGRAFÍA82 TOPOGRAFÍA82 
T
A
B
L
A
4
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A
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CAPÍTULO 4: RADIACIÓN 83 83 
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TOPOGRAFÍA84 TOPOGRAFÍA84 
4.3 Ejercicios planteados
Para los datos consignados en la tabla 4.4, realice  la radiación sencilla.
TABLA 4.4 Ejercicio planteado de radiación sencilla
∆ PUNTO AZIMUT DIST Observación
D N 0 ° 0 ‘ 0 ‘’   Cost izq torre ilumi
  1 14 ° 8 ‘ 29 ‘’ 39.689 Punto de quiebre
  2 41 ° 25 ‘ 16 ‘’ 51.541 Punto de quiebre
  3 48 ° 54 ‘ 16 ‘’ 126.018 Punto de quiebre
  4 65 ° 4 ‘ 37 ‘’ 38.097 Punto de quiebre
  5 72 ° 25 ‘ 56 ‘’ 103.446 Punto de quiebre
  6 89 ° 5 ‘ 37 ‘’ 132.005 Punto de quiebre
  7 102 ° 14 ‘ 9 ‘’ 16.522 Punto de quiebre
  8 143 ° 28 ‘ 9 ‘’ 33.092 Punto de quiebre
  9 167 ° 32 ‘ 9 ‘’ 45.195 Punto de quiebre
  10 181 ° 2 ‘ 9 ‘’ 52.834 Punto de quiebre
  11 193 ° 15 ‘ 9 ‘’ 72.482 Punto de quiebre
  12 215 ° 14 ‘ 9 ‘’ 77.207 Punto de quiebre
  13 223 ° 26 ‘ 15 ‘’ 10.125 Punto de quiebre
  14 237 ° 54 ‘ 15 ‘’ 28.307 Punto de quiebre
  15 249 ° 25 ‘ 15 ‘’ 48.164 Punto de quiebre
  16 254 ° 45 ‘ 15 ‘’ 58.085 Punto de quiebre
  17 280 ° 38 ‘ 15 ‘’ 89.564 Punto de quiebre
  18 280 ° 26 ‘ 15 ‘’ 104.978 Punto de quiebre
  19 295 ° 36 ‘ 16 ‘’ 23.298 Punto de quiebre
  20 308 ° 37 ‘ 16 ‘’ 39.949 Punto de quiebre
  21 315 ° 36 ‘ 18 ‘’ 60.813 Punto de quiebre
  22 340 ° 36 ‘ 16 ‘’ 88.780 Punto de quiebre
Para los datos consignados en la tabla 4.5, realice  la radiación doble.
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN 85 85 
TABLA 4.5 Ejercicio planteado de radiación doble
∆ Θ Ángulo observado Observación ∆ Θ
Ángulo 
observado
D2 D1 0 ° 0 ‘ 0 ‘’ Mojón D3 D2 0 °
  D3 70 ° 19 ‘ 36 ‘’ Mojón   1 240 °
  1 109 ° 33 ‘ 37 ‘’ casa   2 242 °
  2 114 ° 2 ‘ 27 ‘’ casa   3 257 °
  3 115 ° 41 ‘ 10 ‘’ casa   4 254 °
  4 119 ° 14 ‘ 32 ‘’ casa   5 277 °
  5 136 ° 31 ‘ 24 ‘’ casa   6 280 °
  6 136 ° 38 ‘ 32 ‘’ casa   7 269 °
  7 137 ° 26 ‘ 22 ‘’ casa   8 272 °
  8 137 ° 28 ‘ 41 ‘’ casa   9 281 °
  9 146 ° 16 ‘ 8 ‘’ casa   10 286 °
  10 147 ° 44 ‘ 40 ‘’ casa   11 30 °
  11 302 ° 15 ‘ 44 ‘’ camino   12 47 °
  12 323 ° 8 ‘ 45 ‘’ camino   13 57 °
  13 336 ° 51 ‘ 34 ‘’ camino   14 64 °
  14 348 ° 44 ‘ 35 ‘’ camino   15 71 °
  15 6 ° 27 ‘ 39 ‘’ camino   16 93 °
  16 25 ° 25 ‘ 21 ‘’ camino   17 112 °
  17 32 ° 32 ‘ 0 ‘’ camino   19 126 °
  18 36 ° 38 ‘ 59 ‘’ camino
Distancia  D2 - D3 42.249   NORTE ESTE
    42.243   1744.320 1847.724
    42.7491741.280 1872.697
    42.414  
5.1 Generalidades
Cuando un terreno presenta  una gran  extensión o existen  impedimentos que no  permiten  tener  la  visibilidad necesaria,  se  emplea  un  levantamiento  de 
control o poligonal. El cual consiste  en trazar  un polígono que siga aproximada-
mente  los límites del terreno  y,  desde  los puntos que conforman  este  polígono, 
se toman los detalles  faltantes  para  la perfecta  determinación del terreno que se 
desea conocer.
Los puntos que definen  los extremos de las líneas que conforman la poligonal se 
denominan estaciones o deltas; la distancia que existe entre esos puntos sucesivos, 
medida  sobre  la  poligonal,  se  determina  por medición directa con  cinta  o un 
equipo MED (medición electrónica de distancias) y de igual manera  en cada uno 
de  estos  deltas  se miden  los  ángulos  en  el  punto  desde  el  vértice  anterior  y  el 
siguiente. La figura 5.1 es un levantamiento de una construcción apoyado en una 
poligonal.
CAP Í TULO  5
POL IGONALES
TOPOGRAFÍA88 TOPOGRAFÍA88 
FIGURA 5.1 Levantamiento con poligonales
CT20
CT21
3
2
8
1
D1
6
5
D2
5.2 Clasificación de las poligonales
Las  poligonales  se  pueden  clasificar  según  los  puntos  de  partida  y  llegada  en 
abiertas  y  cerradas.  Según  la  orientación  angular,  las  poligonales  se  pueden 
clasificar  en orientadas o de azimut directo y no orientadas. 
5.2.1 Poligonal abierta
Poligonal que consta de una  serie de líneas  unidas que no regresan  al punto de 
partida ni cierran en algún punto con igual o mayor precisión. Estas poligonales 
se originan en una estación o punto de coordenadas  conocidas y termina en una 
estación de coordenadas desconocidas.
En este tipo de poligonales no es posible verificar los datos obtenidos en campo, ya 
que no se posee suficiente información para ello. Para minimizar los errores que se 
comenten en este tipo de levantamiento poligonal, se recomienda la redundancia 
de  información,  es  decir,  cada  dato debe  ser  tomado  tres  o cuatro  veces,  para 
obtener una mayor precisión; la medición de ángulos debe hacerse por repetición.
Las poligonales abiertas pueden ser usadas en levantamientos para vías terrestres. 
A pesar  de las  precauciones,  la  poligonal abierta  no  es recomendada  ya  que se 
considera riesgosa pues no se puede comparar sus coordenadas  de cierre con las 
de algún punto de coordenadas conocidas.
CAPÍTULO 5: POLIGONALES 89 89 
FIGURA 5.2 Poligonal abierta
CT21
CT20
D1
D2
D3
5.2.2 Poligonal cerrada
Pueden utilizarse  en  el  establecimiento de la  red  de control  para  edificación de 
unidades habitacionales,  determinación  de perímetros,  etc.  Se clasifican  en  dos 
tipos: 
De circuito cerrado. Comienza en una estación dada, con coordenadas conocidas, 
recorre un determinado trayecto y finalmente vuelve al punto de partida.
Un ejemplo de poligonal cerrada en circuito es el levantamiento de los linderos de 
una determinada extensión de terreno o propiedad, ya que muestra la forma de un 
polígono; una poligonal de circuito, que empieza y termina en un punto de posición 
horizontal conocido, proporciona la posibilidad de revisar internamente los ángulos 
y los errores en las distancias.
FIGURA 5.3 Poligonal de circuito cerrado
CT21
CT20
D3
D2
D1
TOPOGRAFÍA90 TOPOGRAFÍA90 
De línea cerrada o poligonal punto a punto. Convergen en un punto diferente 
al de partida con coordenadas  conocidas, las cuales  se pueden comparar  con las 
coordenadas de cierre. Las poligonales de línea cerrada tienen las mismas ventajas 
sobre  la  poligonal  de  circuito cerrado,  ya  que en  esta  se pueden  descubrir  los 
errores en los ángulos y en distancias.
FIGURA 5.4 Poligonal de línea cerrada
CT21
CT20
CT45
CT44
D1
D2
D3
5.2.3 Poligonal orientada o de azimut directo 
El  instrumento  está  orientado  en  cada  uno  de  los  puntos  o  estaciones  que 
componen la poligonal. Consiste en estacionar la poligonal en el punto de inicio y 
se orienta para conocer el azimut de una de las direcciones, seguidamente se visa al 
punto delante sobre el cual se hacen las medidas de los ángulos y de las distancias 
necesarias para así poder situar dicho punto por medio de una radiación. 
Al estar  el  aparato  orientado,  la  lectura  acimutal  que  se haga  adelante  será  el 
nuevo azimut de tal dirección. Después de trasladar  el aparato al punto adelante 
de  la  dirección  de  referencia  será  el  contrazimut,  ya  que  el  azimut  de  esa 
dirección ya es conocido.
FIGURA 5.5 Poligonal orientada
N
N
N
N
CT21
CT20
D3
D2
D1
CAPÍTULO 5: POLIGONALES 91 91 
5.2.4 Poligonal no orientada
En este  caso no es  necesario  llevar  el  instrumento  orientado,  se estaciona  en  el 
punto de inicio de la poligonal y con la lectura angular cualquiera se visa al punto 
de amarre y después se realiza la observación completa sobre el siguiente delta.
Esta tipo de poligonal se puede clasificar  en dos tipologías de acuerdo a la forma 
de tomar los ángulos:
a) Ceros atrás
Colocar ceros en el punto inmediatamente  anterior y leer al punto inmedia-
tamente siguiente, como se muestra en la figura 5.6.
FIGURA 5.6 Poligonal por ceros atrás externos
CT21
CT20
D1
D2
D3
Como se siguió la numeración de los deltas en sentido de las manecillas  del reloj 
los ángulos  leídos son los ángulos  externos del polígono, si se sigue la dirección 
contraria a las manecillas del reloj se determinan los ángulos internos del polígono, 
como se muestra en la figura 5.7.
FIGURA 5.7 Poligonal por ceros atrás internos
CT21
CT20
D1
D2
D3
TOPOGRAFÍA92 TOPOGRAFÍA92 
b) Deflexiones
El  ángulo de  deflexión es  el  ángulo  formado  entre  la  proyección de  la  línea 
anterior  y  la  siguiente  línea,  estos ángulos  son utilizados cuando  se  realizan 
trabajos de diseños viales de localización directa, como lo muestra la figura 5.8.
FIGURA 5.8 Poligonal por deflexiones
CT21
CT20
D1
D2
D3
5.3 Ajustes y compensaciones
En  los  trabajos  de  campo  se  realizan  más  mediciones  que  las  estrictamente 
necesarias para el cálculo de las magnitudes que se pretenden determinar.
La repetición de observaciones, además de aumentar la precisión de las magnitudes 
medidas, permite analizar  su fiabilidad y desechar  las defectuosas o groseras. Una 
vez validadas, según la teoría de errores clásica, es preciso corregirlas  con base en 
los planteamientos matemáticos que las relacionen.
Al conjunto de  observaciones, tanto  las  necesarias  como las  sobreabundantes  o 
redundantes,  se les relaciona mediante expresiones matemáticas deducidas de las 
propias observaciones  o de las  condiciones geométricas  que deben  cumplir los 
elementos medidos, lo que constituye el fundamento  de los métodos de ajuste  y 
compensación.
Como paso previo al ajuste de las observaciones que se realizan,  es necesario una 
estimación de su precisión, para  finalmente  elegir el procedimiento de compen-
sación más adecuado, acorde con la bondad de los datos obtenidos. Estos pueden 
ser métodos rigurosos o métodos expeditos o aproximados.
A continuación se presentan algunos de los métodos expeditos más comunes en el 
ajuste de poligonales topográficas y posteriormente el método riguroso.
CAPÍTULO 5: POLIGONALES 93 93 
5.3.1 Error de cierre angular
Para determinar  el error de cierre angular  en una poligonal ha de compararse  la 
geometría teórica del polígono contra  la observada en campo, he aquí el análisis 
de varios casos en particular:
FIGURA5.9 Ángulos internos de una poligonal
CT21
CT20
D1
D2
D3
En caso de que los puntos de apoyo estén por fuera de la poligonal y el trazo de 
los deltas  se realice en sentido contrario a la dirección de las manecillas del reloj, 
entonces  la sumatoria teórica de los ángulos internos para este caso será igual a:
∑teo = (n – 2) * 180° + 360
Donde n = número de vértices de la poligonal.
FIGURA 5.10 Ángulos externos de una poligonal
CT21CT20
D1
D2
D2
D3
TOPOGRAFÍA94 TOPOGRAFÍA94 
Ahora ha de analizarse  el caso en que  los ángulos que se hayan medido sean los 
exteriores,  ya  que  los  deltas  se  materializaron  en  sentido de  las  manecillas  del 
reloj, el cálculo de la sumatoria teórica será igual a:
∑teo = (n + 2) * 180°
Si el brazo de apoyo esta por dentro del polígono las sumatorias cambian, por eso 
se  recomienda hacer  el gráfico y determinar  los ángulos  leídos para  determinar 
la  sumatoria  teórica  de  los  ángulos,  el  ejemplo  del  brazo  interno  con  ángulos 
externos se presenta en la figura 5.11.
FIGURA5.11 Poligonal con brazo interno
CT21
CT20
D1
D2
D3
5.3.2 Errores de cierre en distancia
Para una poligonal cerrada es claro que, si todas las distancias y ángulos se midiesen 
perfectamente,  la suma algebraica  de las proyecciones de todos sus lados debería 
ser  igual a  cero. Como las  mediciones no son  perfectas  y  existen errores  entre 
distancias y ángulos, las condiciones antes mencionadas rara vez se presentan. Las 
magnitudes en que tales condiciones no se cumplen se denominan error de cierre 
de la proyección Norte-Sur y error de cierre en la proyección Este-Oeste. Sus valores 
se calculan  sumando algebraicamente  las proyecciones NS e EW.
El  error  de cierre  en  proyecciones  puede  calcularse  fácilmente  por la  ecuación 
siguiente:
e
dist
= √

(ΔPNS2 + ΔPEW2)
CAPÍTULO 5: POLIGONALES 95 95 
5.3.3 Precisión de la poligonal
Para  comprobar si la  poligonal cierra en distancia hay que calcular  la  precisión. 
Según  los  estándares  que se  trabajan  profesionalmente,  esta  precisión  debe ser 
mayor a 10.000 si las distancias se tomaron con cinta o 20.000 si se tomaron con 
equipos electrónicos,  para  lo  cual  es  necesario  determinar  el  perímetro  de  la 
poligonal o suma de distancias.
P = (∑dist / e
dist
)
5.4 Métodos de ajuste
5.4.1 Método de brújula o de Bowditch
Este método también es  conocido como el método de compás. Consiste  en  un 
reparto proporcional a la longitud de los lados, acumulando más error a los lados 
más largos y menos a los lados más cortos de cada uno de los puntos; este método 
está en función al perímetro, por consiguiente se le da más peso a la distancia que 
a los ángulos.
A continuación se describirá el procedimiento para efectuar este ajuste:
•  Inicialmente se comparan  los ángulos  teóricos y los ángulos observados del 
polígono con el error máximo tolerable.
•  Se corrigen los ángulos distribuyendo el error angular,  dividiendo este entre 
el número de ángulos observados.
•  Se procede a realizar  la corrida de azimuts para cada línea.
•  En seguida, se realiza el cálculo de las proyecciones NS y EW respectivamente.
•  Se determina los errores en la PNS y la PEW, con las siguientes fórmulas:
ΔPNS = ∑PNS
ΔPEW = ∑PEW
∑dist = ∑DISTANCIAS
•  Para realizar las correcciones de las proyecciones, es preciso aplicar la relación 
de proporcionalidad repartiendo el error de acuerdo a las longitudes de cada 
lado, las correcciones se acumularan  para cada tramo.
Corr
PNS
= (dist
acumulada
* ΔPNS) / ∑dist
Corr
PEW
= (dist
acumlada
* ΔPEW) / ∑dist
TOPOGRAFÍA96 TOPOGRAFÍA96 
5.4.2 Método de tránsito
La regla  de Tránsito  se basa en la suposición de que los errores  son accidentales 
y  que  las  mediciones  angulares  son  más  precisas  que  las  mediciones  lineales, 
por  lo tanto  este método da  mayor peso  a  los ángulos  que  a  las  distancias.  Es 
recomendable  ajustar  por este método cuando se toman datos con cinta métrica, 
ya  que siempre  van  a  cambiar  las  longitudes  pero nunca  sus  lados;  cuando  los 
azimuts están cercanos  a 0º, 90º, 180º y 270º no se recomienda usar este método 
ya que la corrección puede ser máxima o muy mínima.
Al  igual que en  el método anterior  (de brújula),  se  inicia comparando ángulos 
teóricos y ángulos observados, para repartir proporcionalmente  el error angular 
a cada uno de los vértices de la poligonal y así corregir angularmente  el polígono, 
se calculan  azimut y proyecciones NS y WE para cada línea.
Para  calcular  la  corrección  de  las  proyecciones  se  calcula  un  delta  norte-sur 
conocido como n y un delta este-oeste  conocido como e, en este caso se utilizará 
el ejemplo del polígono de 3 lados:
n = ∑ |PNS|
e = ∑ |PEW|
Donde:
•  n = Sumatoria de las proyecciones N-S.
•  e = Sumatoria de las proyecciones E-W.
Se  determinan  las  correcciones  correspondientes  a  las  proyecciones  con  las 
siguientes fórmulas, teniendo en cuenta que los valores se calculan  de una forma 
acumulativa.
Corr
PNS
= (∑|PNS|
acumulada
* ΔPNS) / n 
Corr
PEW
= (∑|PEW|
acumulada
* ΔPEW) / e
A los valores obtenidos se les suman o restan  las proyecciones calculadas, para así 
poder calcular  las coordenadas respectivas a cada uno de los puntos.
5.4.3 Método de Crandall 
Procedimiento sistemático  de ajuste,  cuya aplicación  es muy similar a la  regla  del 
tránsito. Este método es particularmente  aplicable  en poligonales cuyos ángulos se 
midieron con mayor precisión que las distancias;  es decir, se le da más peso a los 
ángulos que a las distancias. Se emplea cuando no se necesita que cambien los azi-
muts calculados, así que solo se conservan las direcciones del polígono; los azimuts 
CAPÍTULO 5: POLIGONALES 97 97 
se calculan  dos veces:  la primera, al principio de la poligonal, para  determinar  los 
errores que se deben compensar, y la segunda, al final, cuando ya se han calculado 
las coordenadas correspondientes a los puntos. Se calcula la poligonal sin ajustar los 
ángulos observados.
Para  calcular  las  correcciones  de las  proyecciones  se  aplican  las  siguientes  tres 
fórmulas:
F1 = (PNS * PEW) / dist
F2 = PNS2 / dist
F3 = PEW
2
/ dist
Seguidamente y de acuerdo a los valores obtenidos, se aplican las fórmulas A y B 
que corresponde a coeficientes de variación:
B=
(ΔPNS * ∑F1)– (ΔPEW * ∑F2)
(ΔF3 * ∑F2)– (∑F1)2
A=
(ΔPNS * ∑F1)– (ΔPNS * ∑F3)
(ΔF3 * ∑F)– (∑F1)2
Teniendo el valor de los coeficientes A y B de las anteriores  fórmulas  se procede 
a  calcular  las  correcciones  para  las  proyecciones  NS  y EW  con  las  siguientes 
ecuaciones:
CorrPNS = (A * F2) + (B * F1)
CorrPEW = (A * F1) + (B * F3)
Posteriormente, el valor obtenido en las correcciones se suma algebraicamente  al 
valor inicial de la proyección NS, EW.
Finalmente, para el cálculo de nortes y estes de los puntos, se suman algebraica y 
acumulativamente  las proyecciones calculadas  y ya corregidas en todo el proceso 
de compensación de la poligonal.
5.4.4 Método de variación de coordenadas
Este método se  utiliza  cuando  las  coordenadas  que  se  tienen  son  tomadas  en 
campo y cuando no se hace un cierre angular, ya que este método no lo necesita, 
en este procedimiento topográfico se le da más peso a los ángulos  registrados en 
TOPOGRAFÍA98 TOPOGRAFÍA98 
campo que a  las  distancias.  Este procedimiento puede aplicarse  proporcional  al 
número de lados o proporcional con respecto al perímetro, el procedimiento para 
compensar por este método es el presentado a continuación:
Se debe calcular la poligonal sin ajustar los ángulos. Con las proyecciones NS y EW 
obtenidas y aún no corregidas se calculan  las coordenadas de forma algebraica.
Los deltas PNS y PEW se dividen de acuerdo al número de lados y se registra de 
forma acumulada para  los puntos que se desean compensar o se realiza el cálculo 
dándole peso a la distancia, como en el método de brújula.
coor
N
= ΔPNS / l
coor
E
= ΔPEW / l
Donde: l = Número de lados de la poligonal.
Por último, a cada una de las coordenadas calculadas  anteriormente  se les suman 
algebraicamente  las  proyecciones  corregidas,  obteniéndose  así  las  coordenadas 
correspondientes a cada uno de los puntos.
5.4.5 Ajuste por mínimos cuadrados
Procedimiento de ajuste de observaciones donde el valor más cercano al valor real 
es el mínimo en la sumatoria de los cuadrados de las desviaciones:∑ (PV2) = mínimo
Condiciones de aplicación:
•  Eliminar todos los errores sistemáticos de los datos a ajustar.
•  La distribución de errores aleatorios debe ser normal.
•  Redundancia de información (más observaciones que incógnitas).
Hay dos formas de ajustar  por mínimos cuadrados: la primera es por ecuaciones 
de  condición (medición directa)  y  la  segunda  es  por  ecuaciones  paramétricas 
(mediciones indirectas).
Para  calcular  la  poligonal  por  mínimos  cuadrados  usando  ecuaciones  de 
condición, se realizará  el siguiente procedimiento:
•  Realizar el cálculo  aproximado de la poligonal, sin ajustar  los ángulos ni las 
proyecciones.
•  Determinar los errores de cierre en PNS y PEW. 
•  Determinar  el  cierre  angular  comparando  geometrías  y  expresando  el 
resultado  en radianes.
•  Realizar cuadro de diferencias finitas.
CAPÍTULO 5: POLIGONALES 99 99 
•  Realizar matriz de derivadas parciales  inicial sin ponderar.
•  Realizar ponderación en ángulos y distancias. 
•  Precisión en distancia del equipo: 0.030m.
•  Precisión angular del equipo: 5”.
Kdist = √2 / error permitido
Kang = 206264.8 / p seg
•  Posteriormente se divide cada casilla por el peso correspondiente. 
•  Se procede luego a realizar  las operaciones matriciales correspondientes a un 
ajuste normal por mínimos cuadrados.
Matriz AT (Transpuesta de A)
Matriz A*AT
Matriz (A*AT)-1
Matriz (A*AT)-1*K
Matriz ((A*AT)-1*K)*AT
•  Ahora se realiza el cambio de variable dividiendo por el peso respectivo.
Para los ángulos, que son las primeras  cuatro filas, se divide por Kang y luego se 
convierte a grados sexagesimales multiplicando cada valor angular por 180° / π, y 
finalmente las distancias que corresponden a las tres filas siguientes por Kdistpara 
obtener la matriz de ajuste.
6.1 Definición
Es un polígono que se materializa  en campo; el cual empieza en un punto de-terminado  y  termina  en  un  punto  totalmente  diferente.  La  realización  de 
levantamientos topográficos utilizando poligonales abiertas solo sirve para levan-
tamientos de muy poca precisión; ya que no se podrán determinar errores y reali-
zar los ajustes o correcciones respectivas. 
FIGURA 6.1 Poligonal abierta
Delta 1
Delta 2
Delta 3
Delta final
Punto 
referencia
CAP Í TULO  6
POL IGONAL  AB IER TA
TOPOGRAFÍA102 TOPOGRAFÍA102 
6.2 Levantamiento: Poligonal abierta método ceros atrás
6.2.1Metodología
6.2.1.1 Trabajo de campo
•  Dependiendo  de  las  especificaciones  del  proyecto,  definir  el  tipo  de 
coordenadas a utilizar (arbitrarias, asifinas o reales).
•  Elaborar el bosquejo o gráfico del terreno u obra a levantar.
•  Materializar  o verificar la existencia de los puntos de amarre (punto inicial y 
punto de referencia).
•  Armar el equipo en el punto inicial, visar al punto de referencia  y colocar el 
ángulo  respectivo (cero grados, si se va a realizar el  levantamiento por ceros 
atrás, o el azimut entre los dos puntos, si se hace por azimut directo). 
•  Con  base  en  los  dos  puntos  de  apoyo, uno  para  coordenadas  y  otro  para 
determinar  el azimut u orientación de la poligonal, se traslada  la coordenada 
a cada uno de los puntos de la poligonal.
•  El procedimiento anterior  se realiza  determinando  el ángulo,  comprendido 
entre  el punto o delta  anterior y el inmediatamente  siguiente, y la distancia 
entre  los mismos.
•  Para  cada armada se centra y localiza el equipo sobre el delta,  se coloca cero 
en el punto anterior y se mide el ángulo al delta siguiente, se mide la distancia 
y,  luego, se realiza  este mismo procedimiento para cada uno de los detalles, 
numerándolos de forma consecutiva  para todo el  levantamiento  y anotando 
el tipo del mismo.
6.2.1.2 Trabajo de oficina
•  Se  calcula  el  azimut  inicial  (azimut  desde  el  punto  inicial  hasta  el  punto 
referencia), según las coordenadas de los puntos.
•  Se calculan  los azimuts de las líneas de la poligonal y de los deltas a cada uno 
de los detalles del  levantamiento.
•  Se calculan las proyecciones de los deltas de la poligonal. 
•  Se calculan las proyecciones de los detalles, desde el delta que fueron tomados. 
•  Se calculan las coordenadas de todos y cada uno de los deltas. 
•  Con  las  coordenadas  de  cada  delta  y  las  proyecciones  de  cada  detalle,  se 
calculan  las coordenadas de los detalles. 
•  Se realiza el plano correspondiente.
•  Se calculan  las  áreas  parciales  y/o totales  de cada  uno de los elementos  que 
componen el levantamiento. 
CAPÍTULO 6: POLIGONAL ABIERTA 103 103 
6.2.2 Ejercicio: poligonal abierta por ceros atrás
FIGURA6.2 Cartera de campo
TOPOGRAFÍA104 TOPOGRAFÍA104 
6.2.2.1 Cálculos
6.2.2.1.1 Cálculo de azimut inicial 
Con las coordenadas  de los puntos inicial y de referencia,  se calcula el azimut de 
CD5 a CD6.
TABLA 6.1 Coordenadas base
Punto Norte Este
CD5 1079.719 1023.984
CD6 1097.002 1004.429
DN = N
CD – 6
– N
CD – 5
= 17.283
DE = E
CD – 6
– E
CD – 5
= –19.555 
θ = Tan 
-1
| (DE / DN) | = 19.555 / 17.283 = 48° 31’ 45’’
Como DN es positivo y DE es negativo, el azimut está en el cuarto cuadrante. Luego, 
Az = 360 – θ = 311° 28’ 15’’
6.2.2.1.2 Cálculo de los azimuts de la poligonal sin detalles
Con  el azimut  inicial y los  ángulos  tomados  en campo,  se calculan  los azimuts 
de todas y cada una de las  líneas de la  poligonal. Al azimut inicial se le suma el 
primer ángulo y se obtiene el azimut de la primera línea de la poligonal, de ahí en 
adelante se calcula cada contrazimut y se suma cada ángulo según corresponda. Si 
el valor calculado es mayor a 360 grados hay que restar 360 grados.
El contrazimut,  el  azimut que se toma en el  sentido contrario, se  calcula  con  la 
siguiente norma: si el azimut es menor de 180°, a tal  valor se le suma 180, y si es 
mayor de 180°, se le resta 180.
TABLA 6.2 Cálculo de azimut de la poligonal 
DELTA PUNTO
ÁNG. OBSER. AZIMUT
G M S G M S
CD5 CD6 0 0 0 311 28 15
  D. 1 66 33 22 18 01 37
D. 1 CD5 0 0 0 198 01 37
  D. 2 256 22 00 94 23 37
D. 2 D. 1 0 0 0 274 23 37
  D. 3 54 06 34 328 30 11
CAPÍTULO 6: POLIGONAL ABIERTA 105 105 
6.2.2.1.3 Proyecciones de la poligonal 
Con los azimuts de cada línea de la poligonal y la distancia respectiva, se calculan 
cada una de las proyecciones, usando las siguientes fórmulas:
PN = cos Az * Distancia
PE = sen Az * Distancia
TABLA 6.3 Cálculo de proyecciones de la poligonal
DELTA PUNTO
ÁNG. OBSER. AZIMUT
DISTANCIA
PROYECCIONES
G M G M NS EW
CD5 CD6 0 0 0 311 28 15
D. 1 66 33 22 18 01 37 14.540 13.826 4.500
D. 1 CD5 0 0 0 198 01 37
D. 2 256 22 00 94 23 37 31.589 -2.420 31.496
D. 2 D. 1 0 0 0 274 23 37
D. 3 54 06 34 328 30 11 27.161 23.159 -14.190
6.2.2.1.4 Coordenadas de los deltas o vértices de la poligonal
Según  las  proyecciones  calculadas  y  las  coordenadas  del  punto  inicial  (CD5), 
se  calculan  las  coordenadas  de  todos  y  cada  uno  de  los  deltas  o  vértices.  Las 
coordenadas serán acumulativas según el delta anterior. 
TABLA 6.4 Cálculo de coordenadas de la poligonal
DELTA PUNTO
PROYECCIONES COORDENADAS
PUNTO
NS EW N E
CD5 CD6 1079.719 1023.984 CD5
D. 1 13.826 4.500
D. 1 CD5 1093.545 1028.484 D. 1
D. 2 -2.420 31.496
D. 2 D. 1 1091.125 1059.980 D. 2
D. 3 23.159 -14.190
1114.284 1045.790 D. 3
TOPOGRAFÍA106 TOPOGRAFÍA106 
6.2.2.1.5 Coordenadas de los detalles
Las  coordenadas  de los detalles  se  calculan  con  las  coordenadas  de cada vértice 
o delta, dependiendo desde donde se hayan tomado cada uno de estos, se calcula 
el  azimut  del  delta  o vértice  a  los  detalles  correspondientes,  con  las  distancias 
se  calculan  las  proyecciones. A las  coordenadas  del  delta  correspondiente  se  le 
suman las proyecciones según el detalle a calcular.
TABLA 6.5 Cálculo de coordenadas de los detalles
DELTA PUNTO
ÁNG. OBSER. AZIMUT
DIST.
G M S G M S
D. 1 CD5 0 0 0 198 01 37
1 246 22 31 84 24 08 6.108
2 275 04 53 113 06 30 15.927
D. 3 D2 0 0 0 148 30 11
3 32453 14 113 23 25 3.939
4 336 06 34 124 36 45 14.806
PROYECCIONES COORDENADAS
PUNTO
NS EW N E
1093.545 1028.484 D. 1
0.595 6.078 1094.140 1034.562 1
-6.251 14.649 1087.294 1043.133 2
1114.284 1045.790 D. 3
-1.564 3.615 1112.720 1049.405 3
-8.410 12.186 1105.874 1057.976 4
Con las coordenadas de los detalles se realiza el plano correspondiente (tema que 
se explica en el capítulo 18). 
6.3 Poligonal abierta por azimut directo
6.3.1 Metodología
6.3.1.1 Trabajo de campo
•  Dependiendo  de  las  especificaciones  del  proyecto,  definir  el  tipo  de 
coordenadas a utilizar (arbitrarias, asifinas o reales).
•  Determinar  (materializar  o  verificar  existencia)  los  puntos:  inicial  y  de 
referencia,  para  realizar  el  levantamiento.  Para  este  tipo de  levantamientos, 
CAPÍTULO 6: POLIGONAL ABIERTA 107 107 
previamente se debe haber calculado el azimut entre los dos puntos de amarre 
de la poligonal. 
•  Realizar el bosquejo o gráfico del terreno que se requiere levantar, este gráfico 
se puede realizar totalmente o por partes a medida que se vaya avanzando en 
el trabajo de campo.
•  Se establecen  y localizan  los  puntos de  la  poligonal, los  cuales  deben estar 
estratégicamente  ubicados para  trasladar  las  coordenadas  y determinar  los 
detalles  necesarios del levantamiento.
•  Se arma  el  equipo en  el  punto inicial,  se  visa  hacia  el  punto  de  referencia 
(en el círculo horizontal se coloca el azimut existente entre  esos dos puntos), 
se miden los azimuts  y distancias  al  delta  número 1  y a los  detalles  que se 
puedan tomar.
•  Se arma el equipo en el delta número 1, se visa al punto inicial (en el círculo 
horizontal se coloca el azimut existente entre esos dos puntos), se miden los 
azimuts y distancias  al delta número 2 y a los detalles  que se puedan  tomar. 
Este procedimiento se repite en cada delta hasta  terminar el levantamiento. 
6.3.1.2 Trabajo de oficina
•  Se calcula  el azimut inicial, desde  el punto inicial hasta  el punto referencia, 
según las coordenadas de dichos puntos.
•  Se calculan  los azimuts de las líneas de la poligonal y de los deltas a cada uno 
de los detalles del levantamiento.
•  Se calculan  las proyecciones de los deltas de la poligonal.
•  Se calculan  las  proyecciones de los detalles,  según desde el delta que fueron 
tomados. 
•  Se calculan  las coordenadas de todos y cada uno de los deltas. 
•  Con  las  coordenadas  de  cada  delta  y  las  proyecciones  de  los  detalles,  se 
calculan las coordenadas de estos, según la delta desde donde fueron tomados. 
•  Se realiza el plano correspondiente.
•  Se calculan  las  áreas parciales  y/o totales de cada  uno de los elementos  que 
componen el levantamiento. 
TOPOGRAFÍA108 TOPOGRAFÍA108 
6.3.2 Ejercicio Poligonal Abierta por Azimut Directo
FIGURA6.3 Cartera de Campo
CAPÍTULO 6: POLIGONAL ABIERTA 109 109 
6.3.2.1 Cálculos
6.3.2.1.1 Cálculo de azimut inicial 
Con las coordenadas de los puntos inicial y de referencia,  se calcula  el azimut de 
GPS-1 a GPS-2.
TABLA 6.6 Coordenadas base
Punto Norte Este
GPS-1 978.194 3701.287
GPS-2 926.855 3760.530
DN = N
GPS – 2 
– N
GPS – 1
= – 51.339
DE = E
GPS – 2
– E
GPS – 1
= 59.243
θ = Tan 
– 1
|DE / DN| = 19.555 / 17.283 = 48° 31’ 45’’
Como DN es negativo y DE es positivo, el azimut está  en el segundo cuadrante. 
Luego,
Az = 180 – θ = 311° 28’ 15’’
6.3.2.1.2 Cálculo de los azimuts de la poligonal sin detalles
Con el azimut inicial instalado en el círculo horizontal del equipo directamente, se 
leen los azimuts hacia el próximo lado de la poligonal y hacia los detalles tomados 
desde cada delta.  Es decir, son los mismos azimuts consignados en la  cartera  de 
campo.
TABLA 6.7 Cálculo de azimut de la poligonal 
DELTA PUNTO
AZIMUT
G M S
GPS-1 GPS-2 130 54 42
D. 1 43 08 31
D. 1 GPS-1 223 08 31
D. 2 115 15 24
D. 2 D. 1 295 15 24
D. 3 214 49 53
TOPOGRAFÍA110 TOPOGRAFÍA110 
6.3.2.1.3 Proyecciones de la poligonal 
Con los azimuts de cada línea de la poligonal y la distancia  respectiva, se calcula 
cada una de las proyecciones, usando las siguientes fórmulas:
PN = cos Az * Distancia 
PE = sen Az’ * Distancia
TABLA 6.8 Cálculo de proyecciones de la poligonal
DELTA PUNTO
AZIMUT
DISTANCIA
PROYECCIONES
G M NS EW
GPS-1 GPS-2 130 54 42
D. 1 43 08 31 72.148 52.644 49.335
D. 1 GPS-1 223 08 31
D. 2 115 15 24 79.602 -33.964 71.992
D. 2 D. 1 295 15 24
D. 3 214 49 53 31.705 -26.025 -18.109
6.3.2.1.4 Coordenadas de los deltas o vértices de la poligonal
Según  las  proyecciones  calculadas  y  las  coordenadas  del  punto  inicial  (CD5), 
se  calculan  las  coordenadas  de  todos y  cada  uno  de  los  deltas  o  vértices.  Las 
coordenadas serán acumulativas según el delta anterior. 
TABLA 6.9 Cálculo de coordenadas de la poligonal
DELTA PUNTO
PROYECCIONES COORDENADAS
PUNTO
NS EW N E
GPS-1 GPS-2 978.194 3701.287 GPS-1
D. 1 52.644 49.335
D. 1 GPS-1 1030.838 3750.622 D. 1
D. 2 -33.964 71.992
D. 2 D. 1 996.874 3822.614 D. 2
D. 3 -26.025 -18.109
970.849 3804.505 D. 3
6.3.2.1.5 Coordenadas de los detalles 
Las coordenadas de los detalles se calculan  con las coordenadas de cada vértice o 
delta, dependiendo desde donde se haya tomado cada uno de estos; con el azimut 
del delta o vértice, los detalles correspondientes; con las distancias se calculan  las 
proyecciones. A las coordenadas del delta correspondiente se le suman las proyec-
ciones según el detalle a calcular.
CAPÍTULO 6: POLIGONAL ABIERTA 111 111 
TABLA 6.10 Cálculo de coordenadas de los detalles
D
E
L
T
A
P
U
N
T
O
A
Z
IM
U
T
D
IS
T
.
P
R
O
Y
E
C
C
IO
N
E
S
C
O
O
R
D
E
N
A
D
A
S
P
U
N
T
O
G
M
S
N
S
E
W
N
E
G
P
S
-1
G
P
S
-2
1
3
0
5
4
4
2
9
7
8
.1
9
4
3
7
0
1
.2
8
7
G
P
S
-1
1
3
3
4
1
4
4
1
6
.0
4
7
1
3
.3
5
1
8
.9
0
3
9
9
1
.5
4
5
3
7
1
0
.1
9
1
2
1
0
5
2
1
8
1
8
.5
4
8
1
8
.2
1
5
3
.4
9
8
9
9
6
.4
0
9
3
7
0
4
.7
8
5
2
3
6
3
5
5
9
2
5
.4
3
8
2
5
.2
6
9
2
.9
2
4
1
0
0
3
.4
6
3
3
7
0
4
.2
1
1
3
D
. 
1
G
P
S
-1
2
2
3
0
8
3
1
0
0
1
0
3
0
.8
3
8
3
7
5
0
.6
2
2
D
. 
1
4
2
2
0
2
8
1
6
.7
9
4
1
6
.7
8
0
.6
8
6
1
0
4
7
.6
1
8
3
7
5
1
.3
0
8
4
D
. 
2
D
. 
1
2
9
5
1
5
2
4
0
0
9
9
6
.8
7
4
3
8
2
2
.6
1
4
D
. 
2
5
7
5
1
0
0
9
8
.9
7
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2
.2
9
8
8
.6
7
8
9
9
9
.1
7
2
3
8
3
1
.2
9
2
5
D
. 
3
D
. 
2
3
4
4
9
5
3
0
0
9
7
0
.8
4
9
3
8
0
4
.5
0
5
D
. 
3
6
1
0
4
0
3
1
7
1
9
.8
6
8
-4
.8
2
5
1
9
.2
7
3
9
6
6
.0
2
4
3
8
2
3
.7
7
8
6
7
1
2
5
4
1
5
4
1
8
.0
6
2
-1
0
.5
3
9
1
4
.6
6
8
9
6
0
.3
1
3
8
1
9
.1
7
3
7
8
1
4
6
5
4
5
9
1
3
.2
7
3
-1
1
.1
2
1
7
.2
4
5
9
5
9
.7
2
8
3
8
1
1
.7
5
8
TOPOGRAFÍA112 TOPOGRAFÍA112 
6.4 Ejercicio planteado
FIGURA 6.4 Ejercicio planteado: poligonal abierta
7.1 Definición
Como se definió en  el  capítulo cinco,  es  una  poligonal  que comienza  en  un vértice y llega  al mismo vértice, con  la cual  se puede determinar  cierres  en 
ángulo y distancia, para el ejemplo se desarrollará  una poligonal Cerrada Método 
Ceros Atrás.
7.2 Aplicaciones
Levantamientos topográficos para todo tipo de terrenos. Es la poligonal más usada 
en los diferentes trabajos topográficos, ya que permite trasladar  las coordenadas y 
poder obtener errores de cierre, tanto en ángulo como en distancia.
7.3 Metodología
7.3.1 Trabajo de campo
•  Reconocimiento del  terreno,  inicialmente se  recorre  el terreno  y se hace  el 
gráfico correspondiente; se puede realizar por partes a medida que se avanza 
en  el  terreno  o se puede  realizar  de manera  total,  lo  anterior  depende  del 
tamaño y características  del terreno.
•  Se instala el equipo en el punto de inicio (punto con coordenadas conocidas), 
se visa al punto de amarre  (punto con coordenadas  conocidas), se coloca en 
CAP Í TULO  7
POL IGONAL  CERR ADA
TOPOGRAFÍA114 TOPOGRAFÍA114 
el círculo horizontal del equipo 0°0000”, se lee el ángulo y se mide la distancia 
al  delta  1  (la localización de  cada  delta  debe serla adecuada,  es decir  cada 
delta deber ser intervisible con el anterior y el siguiente y debe permitir tomar 
la mayor cantidad de detalles),  para tomar los detalles  y poder avanzar  en el 
terreno.  Se procede  luego a medir  los ángulos y las  distancias  a  los detalles 
que se puedan tomar desde el punto de inicio.
•  Se lleva el equipo al delta 1, se visa el punto de inicio y se coloca en el círculo 
horizontal  del equipo 0°0000”, se mide la distancia y el  ángulo al  delta 2 (la 
localización del delta 2 debe ser la adecuada), para tomar los detalles y seguir 
avanzando en el terreno. Se procede luego a medir los ángulos y las distancias 
a los detalles  que se puedan tomar desde ahí.
•  Este  procedimiento  se  repite  en  cada  delta,  teniendo  en  cuenta  que  la 
poligonal no se cruce y que no quede ningún detalle sin tomar.
•  Finalmente  se arma  nuevamente  el equipo en el punto de inicio y se visa al 
último delta, se coloca en el círculo horizontal del equipo 0°0000” y se mide 
el ángulo al punto de amarre.
7.3.2 Trabajo en oficina
Se recomienda calcular primero la poligonal y después calcular los detalles, con el 
objeto de tener mayor orden y no tener  la posibilidad de cometer errores, ya que 
la poligonal es la única que se acostumbra ajustar.
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA 115 115 
7.4 Ejercicio práctico
FIGURA7.1A Ejercicio práctico: poligonal cerrada
TOPOGRAFÍA116 TOPOGRAFÍA116 
FIGURA 7.1B Ejercicio práctico: poligonal cerrada
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA 117 117 
7.4.1 Ajuste de la poligonal por método de brújula
•  Tomar los ángulos observados de la poligonal:
Delta Punto Ángulo
CT 21 CT 20  
  D. 1 236° 45’ 56’’
D. 1 CT 21  
  D. 2 281° 36’ 48’’
D. 2 D. 1  
  CT21 306° 32’ 51’’
CT 21 D. 2  
  CT 20 75° 04’ 45’’
•  Determinar  la  sumatoria  observada,  sumar  los  ángulos  observados  de  la 
poligonal:
∑ obs 900° 00’ 20’’
•  Determinar la sumatoria teórica de la poligonal, con los ángulos externos es:
∑teo = (n + 2) * 180
Donde: n = Número de vértices
∑ teo 900° 00’ 00’’
•  Determinar el error angular:
e 
ang
= ∑obs - ∑teo 
e ang 0° 00’ 20’’
•  Comparar con el error permitido: 
e 
per
= 15 seg * n
Donde: n = Número de vértices
e per 0° 00’ 26’’
Como el error angular  es menor al error permitido, es posible ajustar la poligonal. 
En caso contrario, es necesario regresar  a campo a repetir la toma de ángulos de 
la poligonal.
TOPOGRAFÍA118 TOPOGRAFÍA118 
•  Como  se  puede  ajustar,  calcular  la  corrección  para  cada  ángulo,  con  la 
siguiente fórmula:
coor 
ang
= e
ang
/ z
Donde: z = Número de ángulos leídos.
Para este caso son tres vértices y se leyeron cuatro ángulos:
Coor ang - 0° 00’ 05’’
El signo de la corrección es el signo contrario de error,  para este caso el error es 
positivo la corrección debe ser negativa.
•  Con base en las correcciones se ajustan los ángulos:
Delta Punto Áng. Cor. Áng. Áng. Cor.
CT 21 CT 20  
  D. 1 236° 45’ 56’’ - 0° 00’ 05’’ 236° 45’ 51’’
D. 1 CT 21  
  D. 2 281° 36’ 48’’ - 0° 00’ 05’’ 281° 36’ 43’’
D. 2 D. 1  
  CT 21 306° 32’ 51’’ - 0° 00’ 05’’ 306° 32’ 46’’
CT 21 D. 2  
  CT 20 75° 04’ 45’’ - 0° 00’ 05’’ 75° 04’ 40’’
        900° 00’ 00’’
La sumatoria de los ángulos corregidos debe ser la sumatoria teórica.
•  Con base en las coordenadas se determina el azimut de la línea base, en este 
caso de CT21 a CT20.
PUNTO N E
CT 20 1148.983 2160.644
CT 21 1115.933 2161.421
AN 33.050  
AE -0.777  
Θ -1.347 - 1° 20’ 48’’
Azimut 358.653 358° 39’ 12’’
•  Con base  en el azimut de partida  se realiza  el cálculo  de todos los azimuts, 
igual que la poligonal abierta, con la diferencia que se inicia en el azimut de 
CT 21 al CT 20 y se llega al mismo azimut de partida.
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA 119 119 
Delta Punto Áng. Cor. Áng. Áng. Cor. Azimut
CT 21 CT 20 358° 39’ 12’’
D.1 236° 45’ 56’’ - 0° 00’ 05’’ 236° 45’ 51’’ 235° 25’ 03’’
D.1 CT 21 55° 25’ 03’’
D. 2 281° 36’ 48’’ - 0° 00’ 05’’ 281° 36’ 43’’ 337° 01’ 46’’
D. 2 D. 1 157° 01’ 46’’
CT 21 306° 32’ 51’’ - 0° 00’ 05’’ 306° 32’ 46’’ 103° 34’ 32’’
CT 21 D. 2 283° 34’ 32’’
CT 20 75° 04’ 45’’ - 0° 00’ 05’’ 75° 04’ 40’’ 358° 39’ 12’’
Con  base  en  los  azimuts  y  las  distancias  de  determinan  las  proyecciones 
(PNS) y (PEW).
Delta Punto Azimut Dist.
Proyecciones
NS EW
CT 21 CT 20 358° 39’ 12’’
D. 1 235° 25’ 03’’ 70.811 -40.192 -58.299
D. 1 CT 21 55° 25’ 03’’
D. 2 337° 01’ 46’’ 65.651 60.445 -25.621
D. 2 D. 1 157° 01’ 46’’
CT 21 103° 34’ 32’’ 86.345 -20.267 83.933
CT 21 D. 2 283° 34’ 32’’
CT 20 358° 39’ 12’’
•  La  sumatoria  algebraica  de  las  proyecciones  debe ser  cero  en  condiciones 
teóricas, para  obtener  el  error de estas  se debe determinar  los deltas  de las 
proyecciones, que son la suma algebraica  de la misma.
ΔPNS -0.014
ΔPEW 0.012
•  Con base en estos deltas  se determina el error en distancia:
e dist 0.019
•  Calcular  la precisión de la poligonal:
P = ∑dist / e
dist
∑ dist 222.8070
P 11872.120
TOPOGRAFÍA120 TOPOGRAFÍA120 
•  Como  este  ejemplo  era  con  cinta,  es  posible ajustarlo.  De  lo  contrario  se 
tendría que regresar  a campo a tomar nuevamente las distancias. Para ajustar 
las proyecciones, se realiza proporcional a la distancia aplicando las siguientes 
fórmulas:
Corr
PNS
= (dist
acumulada 
* ΔPNS) / ∑dist
Corr
PEW
= (dist
acumulada 
* ΔPEW) / ∑dist
Delta Punto Dist.
Proyecciones Dist. Corr. Acum.
NS EW Acum. NS EW
CT 21 CT 20
D.1 70.811 -40.192 -58.299 70.811 0.004 -0.004
D.1 CT 21
D.2 65.651 60.445 -25.621 136.462 0.009 -0.008
D. 2 D. 1
CT21 86.345 -20.267 83.933 222.807 0.014 -0.012
CT 21 D. 2
CT 20
De  igual manera  la  corrección  debe  tener  el  signo contrario  del  error  de  cada 
proyección.
•  Se  debe  calcular  la  corrección  para  cada  lado  del  polígono,  restando  las 
correcciones acumuladas.
Delta Punto Dist.
Proyecciones Dist. Coor. Acum. Coor.
NS EW Acum. NS EW NS EW
CT 21 CT 20
D.1 70.811 -40.192 -58.299 70.811 0.004 -0.004 0.004 -0.004
D.1 CT 21
D. 2 65.651 60.445 -25.621 136.462 0.009 -0.008 0.005 -0.004
D. 2 D. 1
CT21 86.345 -20.267 83.933 222.807 0.014 -0.012 0.005 -0.004
CT 21 D. 2
CT 20
0.014 -0.012
La  sumatoria  de  las  correcciones  debe  ser  el  mismo delta,  pero  con  el  signo 
contrario.
•  Con base en las correcciones se ajustan  las  proyecciones realizando  la suma 
algebraica. 
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA 121 121 
Delta Punto Dist.
Proyecciones Coor. Proy. Coor.
NS EW NS EW NS EW
CT 21 CT 20
D.1 70.811 -40.192 -58.299 0.004 -0.004 -40.187 -58.303
D.1 CT 21
D.2 65.651 60.445 -25.621 0.004 -0.004 60.449 -25.625
D. 2 D. 1
CT21 86.345 -20.267 83.933 0.005 -0.004 -20.262 83.928
CT 21 D. 2
CT 20
0.014 -0.012 0.000 0.000
La sumatoria algebraica de las proyecciones corregidas debe ser cero.
•  Con las proyecciones corregidas; desde el punto de amarre  en coordenadas, 
es decir desde el CT 21, se calculan  las coordenadas de los puntos de manera 
acumulativa y al final se debe llegar a las mismas coordenadas.
Delta Punto Dist.
Proy. Coor. Coordenadas
Punto
NS EW N E
CT 21 CT 20       1115.933 2161.421 CT 21
  D. 1 70.811 -40.187 -58.303  
D. 1 CT 21       1075.746 2103.118 D. 1
  D. 2 65.651 60.449 -25.625  
D. 2 D. 1       1136.195 2077.493 D. 2
  CT21 86.345 -20.262 83.928  
CT 21 D. 2       1115.933 2161.421 CT 21
  CT 20  
      0.000 0.000  
7.4.2 Ajuste de la poligonal por método de tránsito
•  Se sigue el mismo procedimiento de ajuste  de ángulos,  cálculo  de azimut y 
proyecciones del procedimiento del ajuste por el método de brújula.
TOPOGRAFÍA122 TOPOGRAFÍA122 
D
el
ta
P
u
n
to
Á
n
g
.
C
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Á
n
g
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3
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4
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2
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2
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2
2
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° 
3
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4
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0
0
’ 0
5
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2
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3
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4
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3
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° 
0
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4
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1
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3
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1
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9
0
0
° 
0
0
’ 
0
0
’’
 
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA 123 123 
•  Se determinan  los deltas de las proyecciones, que son la suma algebraica  de 
las PNS y la PEW.
ΔPNS -0.014
ΔPEW 0.012
•  Como este método consiste  en  darle  peso a  las  proyecciones,  se  calcula  la 
sumatoria de las proyecciones en valor absoluto, con las siguientes fórmulas:
n = ∑|PNS|
e = ∑|PEW|
n 120.904
e 167.853
•  El ajuste de las proyecciones se realiza con las siguientes fórmulas:
CorrPNS = (∑|PNS|acumulada * ΔPNS) / n
CorrPEW = (∑|PEW|acumulada * ΔPEW) / e
•  De igual manera  se calcula  de forma acumulada y se restan  las correcciones 
acumuladas para obtener la corrección para cada lado.
Delta Punto Dist.
Proyecciones Coor.
NS EW NS EW
CT 21 CT 20  
  D. 1 70.811 -40.192 -58.299 0.005 -0.004
D. 1 CT 21  
  D. 2 65.651 60.445 -25.621 0.007 -0.002
D. 2 D. 1  
  CT21 86.345 -20.267 83.933 0.002 -0.006
CT 21 D. 2  
  CT 20  
0.014 -0.012
•  Con base en las  correcciones se ajustan  las proyecciones realizando  la suma 
algebraica.
TOPOGRAFÍA124 TOPOGRAFÍA124 
Delta Punto Dist.
Proyecciones Coor. Proy. Coor.
NS EW NS EW NS EW
CT 21 CT 20  
  D.1 70.811 -40.192 -58.299 0.005 -0.004 -40.187 -58.304
D.1 CT 21  
  D. 2 65.651 60.445 -25.621 0.007 -0.002 60.452 -25.623
D. 2 D. 1  
  CT21 86.345 -20.267 83.933 0.002 -0.006 -20.265 83.926
CT 21 D. 2  
  CT 20  
0.014 -0.012 0.000 0.000
La sumatoria algebraica de las proyecciones corregidas debe ser cero.
•  Con las  proyecciones corregidas,  desde el punto de amarre  en coordenadas 
(CT 21), se calculan  las coordenadas de los puntos de manera  acumulativa y 
al final se debe llegar a las mismas coordenadas.
Delta Punto Dist.
Proy. Coor. Coordenadas
Punto
NS EW N E
CT 21 CT 20       1115.933 2161.421 CT 21
  D. 1 70.811 -40.187 -58.304  
D. 1 CT 21       1075.746 2103.117 D. 1
  D. 2 65.651 60.452 -25.623  
D. 2 D. 1       1136.198 2077.495 D. 2
  CT21 86.345 -20.265 83.926  
CT 21 D. 2       1115.933 2161.421 CT 21
  CT 20  
0.000 0.000
7.4.3 Ajuste de la poligonal por método de Crandall
•  Con los ángulos observados se realiza  la corrida de los azimuts, sin realizar 
ningún ajuste.
Delta Punto Áng. Azimut
CT 21 CT 20   358° 39’ 12’’
  D. 1 236° 45’ 56’’ 235° 25’ 08’’
D. 1 CT 21   55° 25’ 08’’
  D. 2 281° 36’ 48’’ 337° 01’ 56’’
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA 125 125 
Delta Punto Áng. Azimut
D. 2 D. 1   157° 01’ 56’’
  CT21 306° 32’ 51’’ 103° 34’ 47’’
CT 21 D. 2   283° 34’ 47’’
  CT 20 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’
•  Con los azimuts y las distancias se determinan las proyecciones: 
Delta Punto Áng. Azimut Dist.
Proyecciones
NS EW
CT 21 CT 20   358° 39’ 12’’  
  D. 1 236° 45’ 56’’ 235° 25’ 08’’ 70.811 -40.190 -58.300
D. 1 CT 21   55° 25’ 08’’  
  D. 2 281° 36’ 48’’ 337° 01’ 56’’ 65.651 60.446 -25.618
D. 2 D. 1   157° 01’ 56’’  
  CT21 306° 32’ 51’’ 103° 34’ 47’’ 86.345 -20.273 83.931
CT 21 D. 2   283° 34’ 47’’  
  CT 20 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’  
•  Para cada uno de los lados se debe calcular las siguientes variables:
F1 = (PNS * PEW) / dist
F2 = (PNS)2 / dist
F3 = (PEW)2 / dist
Delta Punto
Proyecciones F1 F2 F3
NS EW  
CT 21 CT 20  
  D. 1 -40.190 -58.300 33.090 22.811 48.000
D. 1 CT 21  
  D. 2 60.446 -25.618 -23.587 55.654 9.997
D. 2 D. 1  
  CT21 -20.273 83.931 -19.707 4.760 81.585
CT 21 D. 2  
  CT 20  
TOPOGRAFÍA126 TOPOGRAFÍA126 
•  Se determinan  los deltas de las proyecciones, que son la suma algebraica de 
las PNS y la PEW:
ΔPNS -0.018
ΔPEW 0.013
•  Se determina la sumatoria algebraica  de las tres variables.
Delta Punto
Proyecciones F1 F2 F3
NS EW  
CT 21 CT 20  
  D. 1 -40.190 -58.300 33.090 22.811 48.000
D. 1 CT 21  
  D. 2 60.446 -25.618 -23.587 55.654 9.997
D. 2 D. 1  
  CT21 -20.273 83.931 -19.707 4.760 81.585
CT 21 D. 2  
  CT 20  
-10.204 83.226 139.581
•  Se calculan las dos constantes de ajuste con las siguientes fórmulas:
B=
(ΔPNS * ∑F1) – (ΔPEW * ∑F2)
(ΔF3 * ∑F2) – (∑F1)2
A=
(ΔPWE * ∑F1) – (ΔPNS * ∑F3)
(ΔF3 * ∑F2) – (∑F1)2
A 0.000201
B -0.000078
•  Se calcula el ajuste para cada lado del polígono, con las siguientes fórmulas:
CorrPNS = (A * F2) + (B * F1)
CorrPEW = (A * F1) + (B * F3)
•  Las  variables  F  se  van  acumulando  de  forma  algebraica  para  obtener  las 
correcciones  acumuladas  y al  final se restan  las  acumuladas para  obtener el 
ajuste  para cada lado.
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA 127 127 
Delta Punto
Proyecciones F1 F2 F3 Coor.
NS EW       NS EW
CT 21 CT 20  
  D. 1 -40.190 -58.300 33.090 22.811 48.000 0.002 0.003
D. 1 CT 21  
  D. 2 60.446 -25.618 -23.587 55.654 9.997 0.009 -0.006
D. 2 D. 1  
  CT21 -20.273 83.931 -19.707 4.760 81.585 0.006 -0.010
CT 21 D. 2  
  CT 20  
-10.204 83.226 139.581 0.018 -0.013
•  Con base en las  correcciones se ajustan  las proyecciones realizando  la suma 
algebraica.
Delta Punto
F1 F2 F3 Coor. Proy. Coor.
NS EW NS EW
CT 21 CT 20
D. 1 33.090 22.811 48.000 0.002 0.003 -40.188 -58.297
D. 1 CT 21
D. 2 -23.587 55.654 9.997 0.009 -0.006 60.456 -25.624
D. 2 D. 1
CT21 -19.707 4.760 81.585 0.006 -0.010 -20.267 83.921
CT 21 D. 2
CT 20
-10.204 83.226 139.581 0.018 -0.013 0.000 0.000
La sumatoria algebraica de las proyecciones corregidas debe ser cero.
•  Con las proyecciones corregidas, desde el punto amarre  en coordenadas (CT 
21)  se  calculan  las  coordenadas  de  los  puntos de manera  acumulativa  y al 
final se debe llegar a las mismas coordenadas.
Delta Punto
Proy. Corr. Coordenadas
Punto
NS EW N E
CT 21 CT 20     1115.933 2161.421 CT 21
  D. 1 -40.188 -58.297  
D. 1 CT 21     1075.745 2103.124 D. 1
  D. 2 60.456 -25.624  
D. 2 D. 1     1136.200 2077.500 D. 2
  CT21 -20.267 83.921  
TOPOGRAFÍA128 TOPOGRAFÍA128 
Delta Punto
Proy. Corr. Coordenadas
Punto
NS EW N E
CT 21 D. 2     1115.933 2161.421 CT 21
  CT 20  
0.000 0.000
7.4.4 Ajuste de la poligonal por método de variación de 
coordenadas por el número de lados
•  Con los ángulos observados se realiza  la corrida de los azimuts, sin realizar 
ningún ajuste.
Delta Punto Áng. Azimut
CT 21 CT 20   358° 39’ 12’’
  D. 1 236° 45’ 56’’ 235° 25’ 08’’
D. 1 CT 21   55° 25’ 08’’
  D. 2 281° 36’ 48’’ 337° 01’ 56’’
D. 2 D. 1   157° 01’ 56’’
  CT21 306° 32’ 51’’ 103° 34’ 47’’
CT 21 D. 2   283° 34’ 47’’
  CT 20 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’
•  Con los azimuts y las distancias se determinan las proyecciones: 
Delta Punto Áng. Azimut Dist.
Proyecciones
NS EW
CT 21 CT 20   358° 39’ 12’’  
  D. 1 236° 45’ 56’’ 235° 25’ 08’’ 70.811 -40.190 -58.300
D. 1 CT 21   55° 25’ 08’’  
  D. 2 281° 36’ 48’’ 337° 01’ 56’’ 65.651 60.446 -25.618
D. 2 D. 1   157° 01’ 56’’  
  CT21 306° 32’ 51’’ 103° 34’ 47’’ 86.345 -20.273 83.931
CT 21 D. 2   283° 34’ 47’’  
  CT 20 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’  
•  Con las proyecciones se determinan las coordenadas de manera  acumulativa, 
sin realizar ningún ajuste  a las proyecciones.
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA 129 129 
Delta Punto Áng. Azimut Dist.
Proyecciones Coordenadas
NS EW N E
CT 21 CT 20   358° 39’ 12’’       1115.933 2161.421
  D. 1 236° 45’ 56’’ 235° 25’ 08’’ 70.811 -40.190 -58.300  
D. 1 CT 21   55° 25’ 08’’       1075.743 2103.121
  D. 2 281° 36’ 48’’ 337° 01’ 56’’ 65.651 60.446 -25.618  
D. 2 D. 1   157° 01’ 56’’       1136.189 2077.503
  CT21 306° 32’ 51’’ 103° 34’ 47’’ 86.345 -20.273 83.931  
CT 21 D. 2   283° 34’ 47’’       1115.915 2161.434
  CT 20 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’  
•  Se determinan  los deltas de las proyecciones, que son la sumaalgebraica  de 
PNS y PEW, o en este caso restar  a la última coordenada, la primera.
ΔPNS -0.018
ΔPEW 0.013
•  Se determina la corrección para las coordenadas, con las siguientes fórmulas:
Coor
N
= ΔPNS / l
Coor
E
= ΔPEW / l
•  Donde: l = Número de lados de la poligonal
Coor N 0.0058
Coor E -0.0043
La corrección debe tener el signo contrario al delta de cada proyección.
•  Como la coordenadas  ya están acumuladas,  la corrección es proporcional, o 
sea, una vez al primero, dos veces al segundo y tres veces al tercero:
Delta Punto Azimut Dist.
Coordenadas Coor.
N E N E
CT 21 CT 20 358° 39’ 12’’   1115.933 2161.421  
  D. 1 235° 25’ 08’’ 70.811  
D. 1 CT 21 55° 25’ 08’’   1075.743 2103.121 0.006 -0.004
  D. 2 337° 01’ 56’’ 65.651  
D. 2 D. 1 157° 01’ 56’’   1136.189 2077.503 0.012 -0.009
  CT21 103° 34’ 47’’ 86.345  
CT 21 D. 2 283° 34’ 47’’   1115.915 2161.434 0.018 -0.013
  CT 20 358° 39’ 32’’  
TOPOGRAFÍA130 TOPOGRAFÍA130 
•  Con  las  coordenadas  y  las  correcciones  se  obtienen  las  coordenadas 
corregidas, realizando la suma de forma algebraica.
Delta Punto Azimut Dist.
Coordenadas
N E
CT 21 CT 20 358° 39’ 12’’   1115.933 2161.421
  D. 1 235° 25’ 08’’ 70.811  
D. 1 CT 21 55° 25’ 08’’   1075.743 2103.121
  D. 2 337° 01’ 56’’ 65.651  
D. 2 D. 1 157° 01’ 56’’   1136.189 2077.503
  CT21 103° 34’ 47’’ 86.345  
CT 21 D. 2 283° 34’ 47’’   1115.915 2161.434
  CT 20 358° 39’ 32’’  
Coordenadas Coordenadas Corr.
Punto
N E N E
    1115.933 2161.421 CT 21
 
0.006 -0.004 1075.748 2103.116 D. 1
 
0.012 -0.009 1136.201 2077.494 D. 2
 
0.018 -0.013 1115.933 2161.421 CT 21
 
7.4.5 Ajuste de la poligonal por método de variación de 
coordenadas por el perímetro
•  Con los ángulos observados se realiza  la corrida de los azimuts, sin realizar 
ningún ajuste.
Delta Punto Áng. Azimut
CT 21 CT 20   358° 39’ 12’’
  D. 1 236° 45’ 56’’ 235° 25’ 08’’
D. 1 CT 21   55° 25’ 08’’
  D. 2 281° 36’ 48’’ 337° 01’ 56’’
D. 2 D. 1   157° 01’ 56’’
  CT21 306° 32’ 51’’ 103° 34’ 47’’
CT 21 D. 2   283° 34’ 47’’
  CT 20 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA 131 131 
•  Con los azimuts y las distancias se determinan las proyecciones.
Delta Punto Áng. Azimut Dist.
Proyecciones
NS EW
CT 21 CT 20   358° 39’ 12’’  
  D. 1 236° 45’ 56’’ 235° 25’ 08’’ 70.811 -40.190 -58.300
D. 1 CT 21   55° 25’ 08’’  
  D. 2 281° 36’ 48’’ 337° 01’ 56’’ 65.651 60.446 -25.618
D. 2 D. 1   157° 01’ 56’’  
  CT21 306° 32’ 51’’ 103° 34’ 47’’ 86.345 -20.273 83.931
CT 21 D. 2   283° 34’ 47’’  
  CT 20 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’  
•  Con las proyecciones se determinan las coordenadas de manera acumulativa, 
sin realizar ningún ajuste a las proyecciones.
Delta Punto Áng. Azimut Dist.
Proyecciones Coordenadas
NS EW N E
CT 21 CT 20   358° 39’ 12’’       1115.933 2161.421
  D. 1 236° 45’ 56’’ 235° 25’ 08’’ 70.811 -40.190 -58.300  
D. 1 CT 21   55° 25’ 08’’       1075.743 2103.121
  D. 2 281° 36’ 48’’ 337° 01’ 56’’ 65.651 60.446 -25.618  
D. 2 D. 1   157° 01’ 56’’       1136.189 2077.503
  CT21 306° 32’ 51’’ 103° 34’ 47’’ 86.345 -20.273 83.931  
CT 21 D. 2   283° 34’ 47’’       1115.915 2161.434
  CT 20 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’  
•  Se determinan  los deltas de las proyecciones, que son la suma algebraica  de 
las PNS y la PEW, o, en este caso, restar  a la última coordenada, la primera.
ΔPNS -0.018
ΔPEW 0.013
•  Se determina la corrección para las coordenadas, con las siguientes fórmulas:
Coor
N
= (dist
acumulada
* ΔPNS) / ∑dist
Coor
E
= (dist
acumulada
* ΔPEW) / ∑dist
•  Como las coordenadas también tienen un carácter acumulativo la corrección 
se aplica directamente.
TOPOGRAFÍA132 TOPOGRAFÍA132 
Delta Punto
Proyecciones Coordenadas Coor.
NS EW N E N E
CT 21 CT 20     1115.933 2161.421  
  D. 1 -40.190 -58.300  
D. 1 CT 21     1075.743 2103.121 0.006 -0.004
  D. 2 60.446 -25.618  
D. 2 D. 1     1136.189 2077.503 0.011 -0.008
  CT21 -20.273 83.931  
CT 21 D. 2     1115.915 2161.434 0.018 -0.013
  CT 20  
•  Con  las  coordenadas  y  las  correcciones  se  obtienen  las  coordenadas 
corregidas, realizando la suma de forma algebraica.
Delta Punto
Coordenadas Coor. Coordenadas Corr.
Punto
N E N E N E
CT 21 CT 20 1115.933 2161.421     1115.933 2161.421 CT 21
  D. 1  
D. 1 CT 21 1075.743 2103.121 0.006 -0.004 1075.748 2103.117 D. 1
  D. 2  
D. 2 D. 1 1136.189 2077.503 0.011 -0.008 1136.200 2077.495 D. 2
  CT21  
CT 21 D. 2 1115.915 2161.434 0.018 -0.013 1115.933 2161.421 CT 21
  CT 20  
7.4.6 Ajuste de la poligonal por método de mínimos cuadrados
•  Con los ángulos observados se realiza  la corrida de los azimuts, sin realizar 
ningún ajuste.
Delta Punto Áng. Azimut
CT 21 CT 20   358° 39’ 12’’
  D. 1 236° 45’ 56’’ 235° 25’ 08’’
D. 1 CT 21   55° 25’ 08’’
  D. 2 281° 36’ 48’’ 337° 01’ 56’’
D. 2 D. 1   157° 01’ 56’’
  CT21 306° 32’ 51’’ 103° 34’ 47’’
CT 21 D. 2   283° 34’ 47’’
  CT 20 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA 133 133 
•  Con los azimuts y las distancias se determinan las proyecciones. 
Delta Punto Áng. Azimut Dist.
Proyecciones
NS EW
CT 21 CT 20   358° 39’ 12’’  
  D. 1 236° 45’ 56’’ 235° 25’ 08’’ 70.811 -40.190 -58.300
D. 1 CT 21   55° 25’ 08’’  
  D. 2 281° 36’ 48’’ 337° 01’ 56’’ 65.651 60.446 -25.618
D. 2 D. 1   157° 01’ 56’’  
  CT21 306° 32’ 51’’ 103° 34’ 47’’ 86.345 -20.273 83.931
CT 21 D. 2   283° 34’ 47’’  
  CT 20 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’  
•  Con las proyecciones se determinan las coordenadas de manera acumulativa, 
sin realizar ningún ajuste a las proyecciones.
Delta Punto Áng. Azimut Dist.
Proyecciones Coordenadas
NS EW N E
CT 21 CT 20   358° 39’ 12’’       1115.933 2161.421
  D. 1 236° 45’ 56’’ 235° 25’ 08’’ 70.811 -40.190 -58.300  
D. 1 CT 21   55° 25’ 08’’       1075.743 2103.121
  D. 2 281° 36’ 48’’ 337° 01’ 56’’ 65.651 60.446 -25.618  
D. 2 D. 1   157° 01’ 56’’       1136.189 2077.503
  CT21 306° 32’ 51’’ 103° 34’ 47’’ 86.345 -20.273 83.931  
CT 21 D. 2   283° 34’ 47’’       1115.915 2161.434
  CT 20 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’  
•  Se determinan  los deltas de las proyecciones, que son la suma algebraica  de 
las PNS y la PEW, o en este caso restar la primera a la última coordenada.
ΔPNS -0.018
ΔPEW 0.013
•  Se calcula las sumatoria acumulada de las proyecciones de manera algebraica 
y los senos y cosenos del azimut de cada línea.
Delta Punto Azimut Dist.
Proyecciones
NS EW
CT 21 CT 20 358° 39’ 12’’  
  D. 1 235° 25’ 08’’ 70.811 -40.190 -58.300
TOPOGRAFÍA134 TOPOGRAFÍA134 
Delta Punto Azimut Dist.
Proyecciones
NS EW
D. 1 CT 21 55° 25’ 08’’  
  D. 2 337° 01’ 56’’ 65.651 60.446 -25.618
D. 2 D. 1 157° 01’ 56’’  
  CT21 103° 34’ 47’’ 86.345 -20.273 83.931
CT 21 D. 2 283° 34’ 47’’  
  CT 20 358° 39’ 32’’  
DNS DEW cos Az sen Az
 
-40.190 -58.300 -0.56757378 -0.82332254
 
20.256 -83.918 0.92072377 -0.39021499
 
-0.018 0.013 -0.23479642 0.97204457
•  Se estructura la matriz de cálculo. En la primera línea, uno (1) para los ángulos 
a ajustar y cero (0) para  las distancias a ajustar;  en la segunda y tercera  línea, 
para  los  cuatro  primeros,  los  deltas  de  proyecciones,  y  las  tres  finales,  los 
senos y cosenos de los azimuts.
Línea 1 Línea 2 Línea 3 Línea 4 Línea 1 Línea 2 Línea 3
O 1 1 1 1 0 0 0
DNS -40.190 20.256 -0.018 0 -0.5676 0.9207 -0.2348
DEW -58.300 -83.918 0.013 0 -0.8233 -0.3902 0.9720
•  Se  ordena  la  matriz  de  errores,  en  ángulo  (expresada  en  radianes)  y  en 
proyecciones.
k
e ang 0.000096963
ΔPNS -0.018
ΔPEW 0.013
•  Se determinan las constantes de cálculo con las siguientes fórmulas:
Kdist = √2 / error permitido
•  Donde el error permitido se toma como 0.03.
Kang = 206264.8 / p seg
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA 135 135 
•  Donde p seg es la precisión del equipo en segundos. 
K dist 47.140
K ang 41252.960
•  Se dividen las cuatro primeras columnas por la K de ángulos y las tres finales 
por la K de distancias, a la cual denominamos la matriz A:
Línea 1 Línea 2 Línea 3 Línea 4Línea 1 Línea 2 Línea 3
O 0.000024 0.000024 0.000024 0.000024 0.000000 0.000000 0.000000
DNS -0.000974 0.000491 0.000000 0.000000 -0.012040 0.019532 -0.004981
DEW -0.001413 -0.002034 0.000000 0.000000 -0.017465 -0.008278 0.020620
•  Se determina la matriz transpuesta  de A, AT: 
0.000024 -0.000974 -0.001413
0.000024 0.000491 -0.002034
0.000024 0.000000 0.000000
0.000024 0.000000 0.000000
0.000000 -0.012040 -0.017465
0.000000 0.019532 -0.008278
0.000000 -0.004981 0.020620
•  Se multiplica la matriz A por la matriz transpuesta,  (A * AT):
0.000000002 -0.000000012 -0.000000084
-0.000000012 0.000552441 -0.000053719
-0.000000084 -0.000053719 0.000804885
•  Se determina el inverso de la matriz anterior,  (A * AT)-1: 
427127258.4 13463.94299 45242.15324
13463.94299 1822.397103 123.0278422
45242.15324 123.0278422 1255.322124
•  Se multiplica la matriz K por la matriz inversa, (A * AT)-1 * K:
41762.68023
-29.05027912
18.41345213
TOPOGRAFÍA136 TOPOGRAFÍA136 
•  Se  multiplica  la  matriz  anterior  por  la  matriz  A  transpuesta, 
A
T * ((A * AT)-1 * K): 
1.014635431
0.960634416
1.012374064
1.012355967
0.028170423
-0.719816762
0.524381854
•  Dividir cada valor por la constante;  los cuatro primeros, por la K distancia; y 
los tres últimos, por la K distancia; los cuatro primeros ajustes en ángulo y los 
tres finales ajuste en distancia.
0.000024595
0.000023286
0.000024541
0.000024540
0.001
-0.015
0.011
•  El ajuste en ángulo esta expresado en radianes, se transforma en centesimales:
0.000024595 0.001409216 0° 00’ 05’’
0.000023286 0.001334215 0° 00’ 05’’
0.000024541 0.001406075 0° 00’ 05’’
0.000024540 0.00140605 0° 00’ 05’’
0.001
-0.015
0.011
•  Con base en estos ajustes  que se deben restar,  se recalcula  la poligonal:
Delta Punto Áng. Azimut Dist.
Proyecciones Coordenadas
NS EW N E
CT 21 CT 20   358° 39’ 12’’       1115.933 2161.421
  D. 1 236° 45’ 51’’ 235° 25’ 03’’ 70.810 -40.192 -58.299  
D. 1 CT 21   55° 25’ 03’’       1075.741 2103.122
  D. 2 281° 36’ 43’’ 337° 01’ 46’’ 65.666 60.459 -25.627  
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA 137 137 
Delta Punto Áng. Azimut Dist.
Proyecciones Coordenadas
NS EW N E
D. 2 D. 1   157° 01’ 46’’       1136.201 2077.495
  CT21 306° 32’ 46’’ 103° 34’ 32’’ 86.334 -20.265 83.922  
CT 21 D. 2   283° 34’ 32’’       1115.936 2161.417
  CT 20 75° 04’ 40’’ 358° 39’ 12’’  
•  Como se  puede  observar  no  se  ajustó  totalmente,  es  necesario  hacer  otra 
corrida del ajuste con los nuevos datos y el resultado del segundo ajuste es:
-0.00167164 -0.000000041 -0.00000232 0° 00’ 00’’
0.00825135 0.000000200 0.00001146 0° 00’ 00’’
-0.003289471 -0.000000080 -0.00000457 0° 00’ 00’’
-0.003290239 -0.000000080 -0.00000457 0° 00’ 00’’
0.020003383 0.000
0.132239616 0.003
-0.116981405 -0.002
•  Con estos nuevos ajustes el resultado de la poligonal es:
Delta Punto Áng. Azimut Dist.
Proyecciones Coordenadas
NS EW N E
CT 21 CT 20   358° 39’ 12’’       1115.933 2161.421
  D. 1 236° 45’ 51’’ 235° 25’ 03’’ 70.810 -40.191 -58.298  
D. 1 CT 21   55° 25’ 03’’       1075.742 2103.123
  D. 2 281° 36’ 43’’ 337° 01’ 46’’ 65.663 60.457 -25.626  
D. 2 D. 1   157° 01’ 46’’       1136.198 2077.497
  CT21 306° 32’ 46’’ 103° 34’ 32’’ 86.336 -20.265 83.924  
CT 21 D. 2   283° 34’ 32’’       1115.933 2161.421
  CT 20 75° 04’ 40’’ 358° 39’ 12’’  
7.4.7 Cálculo de los detalles
Amarrados  a  cualquiera  de  los  ajustes  de la  poligonal,  se  calculan  los  detalles. 
Para  lo cual  se  toma el azimut  y las  coordenadas  de cada  uno de  los puntos de 
radiación.
TOPOGRAFÍA138 TOPOGRAFÍA138 
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8
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA 139 139 
7.5 Ejercicio planteado
FIGURA7.2A Ejercicio planteado: poligonal cerrada
TOPOGRAFÍA140 TOPOGRAFÍA140 
FIGURA 7.2B Ejercicio planteado: poligonal cerrada
La poligonal punto a punto es un polígono geométricamente abierto, ya que se inicia en un punto materializado  en campo y tiene coordenadas  conocidas, y 
se termina en otro punto distinto, también de coordenadas conocidas. Esta poli-
gonal se puede corregir y ajustar,  ya que es analíticamente  es cerrada.
Para este método se debe trabajar  con coordenadas reales, además se recomienda 
que los puntos de apoyo sean de la misma red GPS, para que así se puedan alcanzar 
las precisiones requeridas. 
FIGURA 8.1 Poligonal punto a punto
Referencia final
Punto final
Punto inicial
Referencia inicial
D1
D2
CAP Í TULO  8
POL IGONAL  
PUNTO  A  PUNTO
TOPOGRAFÍA142 TOPOGRAFÍA142 
En la realización de levantamientos topográficos utilizando el método de poligonal 
punto a  punto,  se pueden presentar  varios casos  que determinan  los puntos  de 
apoyo o coordenadas conocidas.
Con dos puntos de apoyo: se necesitan solo dos puntos de coordenadas conocidas, 
el  punto inicial y el  final,  la  línea  que forman  esos  dos puntos hace  parte  de  la 
poligonal como se ilustra en la figura 8.2.
FIGURA8.2 Poligonal punto a punto con dos puntos de apoyo
Ángulos externos Ángulos internos
Punto final
Punto final
Punto inicial
Punto inicial
D1
D1
D2
D2
D3
Con tres puntos de apoyo: es necesario  que en  campo se  encuentren  3 puntos 
materializados  con  coordenadas  conocidas,  este  tipo  de  poligonal  se  realiza 
cuando al  terminar  de tomar  los detalles  del  levantamiento  desde  el delta  final, 
por  temas  de  tiempo  y  costos,  resulta  más  sencillo  terminar  en  un  punto  de 
coordenadas conocidas diferente al punto inicial y/o el de amarre, ver figura 8.3. 
FIGURA8.3 Poligonal punto a punto con tres puntos de apoyo
Punto final
Punto final
Punto inicial
Amarre
Amarre y cierre
Punto inicial
D1
D1
D2
D2
D3
D3
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 143 143 
Con cuatro puntos de apoyo: se  necesitan  cuatro  puntos  de  coordenadas 
conocidas,  el  punto inicial, punto  de  amarre,  punto final  y punto  de  cierre,  tal 
como se presenta  en la figura 8.4. Este tipo de poligonal tiene una gran aplicación 
en proyectos lineales, donde se avanza por un corredor específico y se hace muy 
difícil regresar al punto inicial para realizar una poligonal cerrada. 
FIGURA8.4 Poligonal punto a punto con cuatro puntos de apoyo
Punto final
Cierre
Punto inicial
Amarre
D1
D2
D3
D4
D5
8.1 Metodología
8.1.1 Trabajo de campo
•  Elaborar el bosquejo o gráfico del terreno u obra a levantar. 
•  Materializar  o verificar la existencia de los puntos de amarre  (punto inicial y 
punto de referencia). 
•  Armar el equipo en el punto inicial, visar al punto de referencia y colocar el 
ángulo respectivo (cero grados, si se va a realizar el levantamiento por ceros 
atrás,o el azimut entre  los dos puntos, si se hace por azimut directo). 
•  Con  base  en  los  dos puntos  de  apoyo, uno  para  coordenadas  y  otro para 
determinar el azimut u orientación de la poligonal, se traslada  la coordenada 
a cada uno de los deltas  de la poligonal, para  lo cual  se determina el ángulo 
comprendido  entre  el  delta  anterior  y  el  inmediatamente  siguiente,  y  la 
distancia entre los mismos.
•  Para cada armada se centra y localiza el equipo sobre el delta, se coloca cero 
en el punto anterior, se mide el ángulo al delta siguiente y se mide la distancia, 
luego  se  realiza  este  mismo procedimiento para  cada  uno  de  los  detalles, 
numerándolos de forma consecutiva para todo el levantamiento  y anotando 
el tipo del mismo.
•  El procedimiento anterior se realiza para todos y cada uno de los deltas de la 
poligonal. 
•  Cuando se arme el equipo en el último delta se visa al delta anterior y se mide 
ángulo y distancia hasta el punto final.
•  Se arma  equipo en  el  punto  final  de  visa  al  delta  final  y  se mide ángulo y 
distancia hasta el punto de cierre. 
TOPOGRAFÍA144 TOPOGRAFÍA144 
8.1.2 Trabajo de oficina
•  Se calcula el azimut inicial, desde el punto inicial hasta el punto de referencia, 
según las coordenadas de dichos puntos.
•  Se realiza la sumatoria de ángulos de la poligonal, se ajustan o corrigen dichos 
ángulos (se puede utilizar cualquiera de los métodos explicados en el capítulo 
7. Poligonal cerrada).
•  Se calculan  los azimuts de las líneas de la poligonal y de los deltas a cada uno 
de los detalles del  levantamiento.
•  Se calculan las proyecciones de los deltas de la poligonal. 
•  Calcular  la precisión de la poligonal y verificar que se cumple con la precisión 
requerida según el tipo de proyecto.
•  Se  ajustan  y  corrigen  las  proyecciones  de  la  poligonal  (se  puede  utilizar 
cualquiera de los métodos explicados en el capítulo 7. Poligonal cerrada).
•  Se calculan  las proyecciones de los detalles,  según desde el delta que fueron 
tomados. 
•  Calcular  las coordenadas de todos y cada uno de los deltas. 
•  Con  las  coordenadas  de  cada  delta  y  las  proyecciones  de  cada  detalle,  se 
calculan  las coordenadas de los detalles. 
•  Se realiza el plano correspondiente.
•  Se calculan  las  áreas  parciales  y/o totales  de cada  uno de los elementos  que 
componen el levantamiento.
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 145 145 
8.2 Ejercicio: poligonal abierta por ceros atrás corrigiendo 
ángulos
FIGURA8.5A Ejercicio poligonal punto a punto
TOPOGRAFÍA146 TOPOGRAFÍA146 
FIGURA8.5B Ejercicio Poligonal punto a punto
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 147 147 
8.2.1 Cálculos
8.2.1.1 Azimut inicial
Con  las  coordenadas  del  punto  inicial  y  el  punto  de  amarre  se  determina  el 
azimut, a  las  coordenadas  del  punto de amarre  se  le restan  las  coordenadas  del 
punto inicial así: 
TABLA 8.1 Coordenadas de los puntos de amarre inicial
Punto Norte Este Observación
CD 10 950.072 7628.728 Punto Inicial
CD 11 1195.785 7458.199 Punto de Amarre
DN = N
CD11
– N
CD10
= 245.713
DE = E
CD11
– E
CD10
= –170.529
De acuerdo  a  los signos  el  azimut  se  encuentra  en  el  cuarto  cuadrante,  por lo 
tanto, el azimut es:
Az = 360 – θ 
Tan θ = [DE] / [DN] = 170.529 / 245.713 = 34° 45’ 45’’
θ = 34° 45’ 45’’
Az = 360 – θ = 325° 14’ 15’’
8.2.1.2 Azimut de llegada
Con base  en las  coordenadas  del  punto final  y del  punto de cierre  se  calcula  el 
azimut final así: 
TABLA 8.2 Coordenadas de los puntos de amarre final 
Punto Norte Este Observación
CD 14 881.272 8504.330 Punto Final
CD 15 1077.842 9009.359 Punto de Cierre
DN = N
CD15
– N
CD14
= 196.570
DE = E
CD15
– E
CD14
= 505.029 
TOPOGRAFÍA148 TOPOGRAFÍA148 
De acuerdo  a los  signos, el azimut  se  encuentra  en  el  primer cuadrante,  por lo 
tanto, el azimut es:
Az = θ
Tanθ = [DE] / [DN] = 505.029 / 196.570 = 68° 43’ 58’’
θ = 68° 43’ 58’’
Az = 360 = θ = 68° 43’ 58’’
8.2.1.3 Cálculo del ángulo proyectado para formar un polígono cerrado
Con el objeto de formar un polígono cerrado y poder realizar el ajuste de ángulos 
(ya  que  en  campo  se  midieron ángulos  y no  azimuts),  se  determina  el  ángulo 
proyectado  con  los  azimuts  de  las  líneas  de  referencia.  Cabe  anotar  que  para 
aplicar  este método es necesario que las líneas de azimut inicial y azimut final se 
intersequen sin cruzar  la poligonal, tal como se presenta en la figura 8.6. 
FIGURA 8.6 Ángulos medidos y ángulo proyectado
CD11
CD10
CD14
CD15
D1
D2
94°4´24"
218°04´29"
233°54´58"
235°14´15"
68°43´58"
97°25´47"
En la figura 8.6 se puede observar  que para  que el polígono quede cerrado  con 
todos sus ángulos  externos,  se debe calcular  el  ángulo proyectado  y sumar 180 
grados  a  cada  uno  de los  ángulos  medidos en  el  punto  inicial (CD 10)  y en  el 
punto final (CD 11), ver figura 8.7.
El ángulo proyectado será 325°14´15” - 68°43´58” = 256°30´17”
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 149 149 
FIGURA8.7 Ángulos externos del polígono (incluido el ángulo en proyecciones)
CD11
CD10
CD14
CD15
D1
D2
94°4´24"
218°04´29"
233°54´58"
256°30´17"
180°00´00"
180°00´00"
97°25´47"
Los ángulos completos para el polígono cerrados son:
TABLA 8.3 Ángulos del polígono cerrado
Delta Punto Áng. Obsv. Observaciones
CD 10 CD 11 0°00’00”
  D_ 1 94°04’24”
D_ 1 CD 10 0°00’00”
  D2 218°04’29”
D_ 2 D_ 1 0°00’00”
  CD_ 14 233°54’58”
CD_ 14 D_ 2 0°00’00”
CD_ 15 97°25’47”
256°30’17” ÁNG. PROYECTADO
CD_10 ÁNG. PROY 0°00’00”
  CD_ 11 180°00’00” COMPLEMENTO
CD_ 14 CD_ 15 0°00’00”
8.2.1.4 Ajuste de los ángulos observados
Con los ángulos anteriores se determina el error en ángulo, ya que es un polígono 
cerrado, se ajusta  solo repartiendo  el error  en los ángulos medidos en campo, el 
ángulo proyectado y los complementos no se pueden corregir ya que son ángulos 
teóricos. 
TOPOGRAFÍA150 TOPOGRAFÍA150 
TABLA 8.4 Ángulos corregidos 
Delta Punto Áng. Obsv. Coor. Áng. Corr.
CD 10 CD 11 0°00’00” 0°00’00”
  D_ 1 94°04’24” 00°00’01” 94°04’24”
D_ 1 CD 10 0°00’00” 0°00’00”
  D2 218°04’29” 00°00’01” 218°04’29”
D_ 2 D_ 1 0°00’00” 0°00’00”
  CD_ 14 233°54’58” 00°00’02” 233°54’58”
CD_ 14 D_ 2 0°00’00” 0°00’00”
CD_ 15 97°25’47” 00°00’01” 97°25’47”
256°30’17” 256°30’17”
CD_10 ÁNG. PROY 0°00’00” 0°00’00”
  CD_ 11 180°00’00” 180°00’00”
CD_ 14 CD_ 15 0°00’00” 0°00’00”
ÁNG. PROY 180°00’00” 180°00’00”
Sumatoria Obs. 1259°59’55”
Sumatoria Teo 1260°00’00”
Error Angular 00°00’05”
Coor. Angular 00°00’01”
8.2.1.5 Azimuts de los lados de la poligonal 
Con base en el azimut inicial (azimut de CD 10 a CD 11) y los ángulos corregidos, 
se calculan  los azimuts de los demás lados de la poligonal. El azimut anterior más 
el ángulo observado es el azimut de la siguiente línea, exceptuando que si se pasa 
de 360, hay que restarle  360.
El contrazimut o azimut en el sentido contrario se calcula según la siguiente premisa: 
si el azimut es menor de 180 se le suma 180 y si es mayor de 180 se le resta 180.
Se debe terminar  con el azimut de llegada  calculado  con las  coordenadas  de los 
puntos (azimut de CD 14 a CD 15), pues los ángulos fueron ajustados.
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 151 151 
TABLA 8.5 Azimuts de la poligonal 
Delta Punto Áng. Corr. Azimut
CD 10 CD 11 325°14’15”
  D_ 1 94°04’25” 59°18’40”
D_ 1 CD 10 239°18’40”
  D2 218°04’30” 97°23’10”
D_ 2 D_ 1 277°23’10”
  CD_ 14 233°55’00” 151°18’10”
CD_ 14 D_ 2 331°18’10”
CD_ 15 97°25’48” 68°43’58”
8.2.1.6 Proyecciones de la poligonal
Con las distancias de los lados de la poligonal y el azimut entre  estos, se calculan 
las proyecciones, para  lo cual se usan  las siguientes fórmulas:
Proyecciones – NS = Distancia * cos Az
Proyecciones – EW = Distancia * sen Az
Como las  distancias  de la  poligonal  se  tomaron en  las  dos direcciones, se debe 
promediar los dos valores respectivos.
TABLA 8.6 Proyecciones de la poligonalDelta Punto Azimut Dist. Proy. N-S Proy. E-W
CD 10 CD 11 325°14’15”
  D_ 1 59°18’40” 385.156 196.574 331.215
D_ 1 CD 10 239°18’40”
  D2 97°23’10” 433.185 -55.688 429.591
D_ 2 D_ 1 277°23’10”
  CD_ 14 151°18’10” 239.038 -209.677 114.781
CD_ 14 D_ 2 331°18’10”
CD_ 15 68°43’58”
TOPOGRAFÍA152 TOPOGRAFÍA152 
8.2.1.7 Ajuste de las proyecciones de la poligonal
Debido  a  que  la  poligonal  comienza  en  un  punto  y  termina  en  otro  punto 
diferente  es abierta geométricamente,  por lo tanto  la suma teórica algebraica  de 
las  proyecciones no  será  cero;  será  la  diferencia  de  coordenadas  entre  el punto 
final (CD 14) y el punto inicial (CD 10). 
•  Diferencia de proyecciones por coordenadas:
NS
por coordenadas
= 881.272 – 950.072 = –68.800
EW
por coordenadas 
= 8504.330 – 7682.728 = 875.602
•  Suma de proyecciones calculada  con los azimuts y distancias:
NS
Obs
= –68.791
EW
Obs
= 875.587
•  Determinación de errores:
ΔNS = NS
por coordenada 
– NS
Obs
= –68.800 – (–68.791) = 0.009
ΔEW = EW
por coordenada 
– EWObs = 875.602 – 875.587 = 0.015
•  Error en distancia: diferencia en distancia para cerrar  la poligonal.
e
d
= √(ΔNS2 + ΔEW2)
e
d
= √(0.009
2
+ 0.015
2
)
e
d
= 0.01749
Donde: 
» e
d
= Error en la distancia. 
» ΔNS = Error de proyecciones norte. 
» ΔEW =Error de proyecciones este. 
•  Precisión (P): Determina el grado de confiabilidad de la poligonal. 
Se expresa  1: P,  significa que en P metros  se está  cometiendo un error de 1 
metro. Se recomienda que la precisión para  levantamientos  topográficos sea 
mayor a 1: 10000, aunque dicho parámetro cambia según las especificaciones 
de cada proyecto. 
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 153 153 
P = ∑dist / e
d
P = 1057.379 / 0.01749 = 60456
P = 1: 60456
En caso de que la precisión no cumpla con lo requerido en las especificaciones 
o pliego de  condiciones  del  respectivo proyecto  se debe  volver  a  campo y 
realizar nuevamente  la toma de mediciones.
El cálculo de correcciones de las proyecciones se realiza de la misma manera que 
una poligonal cerrada, es decir, se puede utilizar cualquier método relacionado en 
el capítulo 5, para este caso se utilizará  el método de brújula o de Bowditch. Para 
este método las correcciones de las proyecciones se realizan  según la relación de 
proporcionalidad repartiendo el error de acuerdo a las longitudes de cada lado.
Corr
PNS
= (dist
acumulada
* ΔPNS) / ∑dist
Corr
PEW
= (dist
acumlada
* ΔPEW) / ∑dist
A la corrección se le debe restar las correcciones acumuladas de los lados anteriores 
según corresponda.
TABLA 8.7 Proyecciones corregidas 
    Proyecciones  Correcciones  Proy. Corregidas
Delta Punto N-S E-W N-S E-W N-S E-W
CD 10 CD 11  
  D_ 1 196.574 331.215 -0.003 -0.006 196.571 331.209
D_ 1 CD 10  
  D2 -55.688 429.591 -0.004 -0.006 -55.692 429.585
D_ 2 D_ 1  
  CD_ 14 -209.677 114.781 -0.002 -0.003 -209.679 114.778
CD_ 14 D_ 2  
  CD_ 15  
8.2.1.8 Coordenadas de los deltas de la poligonal
Con las coordenadas del punto inicial (CD 10) y las proyecciones de cada lado se 
calculan  las coordenadas  de todos y cada uno de los deltas  de la poligonal, hasta 
llegar al punto final (CD 14), las coordenadas se van acumulando en cada delta.
TOPOGRAFÍA154 TOPOGRAFÍA154 
TABLA 8.9 Coordenadas de la poligonal 
Delta Punto
Proy. Corregidas Coordenadas
Punto
N-S E-W Norte Este 
CD 10 CD 11     950.072 7628.728 CD 10
  D_ 1 196.571 331.209 1146.643 7959.937 D_ 1
D_ 1 CD 10  
  D_ 2 -55.692 429.585 1090.951 8389.522 D_ 2
D_ 2 D_ 1  
  CD_ 14 -209.679 114.778 881.272 8504.300 CD_ 14
CD_ 14 D_ 2  
  CD_ 15  
8.2.1.9 Coordenadas de los detalles
Con base en las coordenadas de cada delta y los azimuts del delta correspondiente a 
los detalles, se calcula en los azimuts de las líneas de la poligonal y las coordenadas 
calculadas  de los vértices.  Se calculan  las  coordenadas  de  los detalles,  teniendo 
en  cuenta  que es  un cálculo  por radiación;  se deben calcular  las  direcciones  de 
acuerdo a las líneas de la poligonal.
8.2.1.10 Azimut de los detalles 
Al azimut de cada delta al delta o vértice anterior se le suma el ángulo tomado a cada 
detalle según corresponda, si el valor se pasa de 360 grados se le restan 360 grados.
TABLA 8.10 Azimut de los detalles
Delta Punto
Áng. 
Obsv.
Azimut
D_1  CD_ 10 0°00’00” 239°18´40 
  1 123°48´50 3°7´30 
  2 137°42´34 17°1´14 
  3 173°46´48 53°5´27 
D_2 D_1  0°0´0 277°23´10 
  4 19°30´7 296°53´17 
  5 57°21´16 334°44´25 
  6 70°17´49 347°40´59 
  7 166°49´30 84°12´39 
  8 149°3´51 66°27´1 
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 155 155 
Delta Punto
Áng. 
Obsv.
Azimut
CD_ 14 D_2 0°0´0 331°18´10 
  9 69°45´34 41°3´44 
  10 75°1´45 46°19´55 
TABLA 8.11 Proyecciones de los detalles
Proyecciones
Delta Punto Azimut Dist. Pn Pe
D_1  CD_ 10 239°18´40   
  1 3°7´30  329.84 329.350 17.981
  2 17°1´14  61.441 58.750 17.985
  3 53°5´27  97.829 58.751 78.223
D_2 D_1  277°23´10   
  4 296°53´17  393.972 178.173 -351.380
  5 334°44´25  197.014 178.176 -84.069
  6 347°40´59  394.102 385.031 -84.070
  7 84°12´39  83.567 8.429 83.141
  8 66°27´1  177.797 71.038 162.989
CD_ 14 D_2 331°18´10   
  9 41°3´44  110.883 83.605 72.837
  10 46°19´55  212.137 146.476 153.450
TABLA 8.12 Cálculo de coordenadas de detalles
Proyecciones Coordenadas
Punto
Delta Punto Pn Pe Norte Este
D_1  CD_ 10     1146.643 7959.937 D_1 
  1 329.350 17.981 1475.993 7977.918 1
  2 58.750 17.985 1205.393 7977.922 2
  3 58.751 78.223 1205.394 8038.160 3
D_2 D_1      1090.951 8389.522 D_2
  4 178.173 -351.380 1269.124 8038.142 4
  5 178.176 -84.069 1269.127 8305.453 5
  6 385.031 -84.070 1475.982 8305.452 6
  7 8.429 83.141 1099.380 8472.663 7
TOPOGRAFÍA156 TOPOGRAFÍA156 
Proyecciones Coordenadas
Punto
Delta Punto Pn Pe Norte Este
  8 71.038 162.989 1161.989 8552.511 8
CD_ 14 D_2     881.272 8504.300 CD_14
  9 83.605 72.837 964.877 8577.137 9
  10 146.476 153.450 1027.748 8657.750 10
8.3 Ejercicio: poligonal abierta por ceros atrás corrigiendo 
Azimuts
Si al prolongar las líneas de los azimuts de referencia de amarre y de cierre, se corta 
la poligonal realizada,  la metodología de calcular  el ángulo prolongado y ajustar 
los ángulos de un polígono cerrado no se puede aplicar. Entonces el cálculo de la 
poligonal se realiza de la siguiente manera: 
Con el  azimut inicial (azimut del  punto de inicial al  punto de referencia  inicial 
“calculado  con  las  coordenadas”)  y  los  ángulos  observados,  se  calculan  los 
azimuts de todas las líneas de la poligonal. Con base en ellos, se calcula y ajusta  la 
poligonal, y se calculan las coordenadas de los detalles.
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 157 157 
FIGURA8.8A Ejercicio poligonal punto a punto (para corregir azimuts) 
TOPOGRAFÍA158 TOPOGRAFÍA158 
FIGURA 8.8B Ejercicio poligonal punto a punto (para corregir azimuts) 
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 159 159 
8.3.1 Cálculos
8.3.1.1 Azimut inicial
Con las  coordenadas  del punto inicial y el punto de amarre  se determina el azi-
mut, a las coordenadas del punto de amarre se le restan las coordenadas del punto 
inicial así: 
TABLA 8.13 Coordenadas de los puntos de amarre inicial
Punto Norte Este Observación
CD6 742.483 21765.664 Punto Inicial
CD5 670.641 21520.342 Punto de Amarre
DN = N
CD5
– N
CD6
= –71.842
DE = E
CD5
– E
CD6
= –2445.322
De acuerdo a los signos el azimut se encuentra  en el tercer cuadrante, por lo tanto, 
el azimut es:
Az = 180 + θ 
Tan θ = [DE] / [DN] = 245.322 / 71.842 
θ = 73° 40’ 39’’
Az = 180 + θ = 253° 40’ 39’’
8.3.1.2 Azimut de llegada 
Con base  en las  coordenadas  del  punto final  y del  punto de cierre  se  calcula  el 
azimut final así: 
TABLA 8.14 Coordenadas de los puntos de amarre final 
Punto Norte Este Observación
CD 8 1258.438 22870.923 Punto Final
CD 9 1064.940 23155.676 Punto de Cierre
DN = N
CD9
– N
CD8
= –193.498
DE = E
CD9
– E
CD8
= 284.753
TOPOGRAFÍA160 TOPOGRAFÍA160 
Deacuerdo a los signos el  azimut se encuentra  en  el segundo cuadrante,  por lo 
tanto, el azimut es:
Az = 180 – θ 
Tan θ = [DE] / [DN] = 284.753/ 193.498
θ = 55° 48’ 10’’
Az = 180 – θ = 124° 11’ 50’’
8.3.1.3 Cálculo de azimuts de la poligonal
Al azimut inicial se le suma el primer ángulo y se obtiene el azimut de la primera 
línea de la poligonal. Se calcula  el contrazimut y se suma el siguiente ángulo para 
calcular el azimut de la línea dos de la poligonal. Se repite el mismo procedimiento 
hasta  llegar al azimut de los puntos de amarre final.
TABLA 8.15 Ángulos del polígono cerrado
Delta Punto Áng. Obsv. Azimut
CD_6 CD_ 5 0°00’00” 253°40´39 
  D_1  151°31´6 45°11´44 
D_1  CD_6 0°00’00” 225°11´44 
  D_2 257°5´1 122°16´45 
D_2 D_1  0°00’00” 302°16´45 
  CD_8 80°56´3 23°12´48 
CD_8 D_2 0°0´0 203°12´48 
  CD_9 280°58´48 124°11´36 
8.3.1.4 Ajuste de los azimuts 
Se compara el azimut final de la poligonal, calculado con los ángulos observados, 
con el azimut obtenido por medio de las coordenadas de los puntos de amarre. 
El error en azimut es: 
Azimut de CD 8 a CD 9 (calculado por coordenadas)  - Azimut de CD 8 a CD 9 
(calculado con los ángulos tomados en campo)
124°11´50” - 124°11´36” = 0°00´14”
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 161 161 
Las correcciones de azimut para cada lado: 
Error en Azimut / número de ángulos
Dicha corrección es acumulativa tal como se presenta en la tabla 8.16.
TABLA 8.16 Azimuts corregidos
Delta Punto
Ángulo 
obsv.
Azimut Corrección
Azimut 
Corregido
CD_6 CD_ 5 0°00’00” 253°40´39
D_1 151°31´6 45°11´44 0 0 3 45°11´47
D_1 CD_6 0°00’00” 225°11´44 225°11´47
D_2 257°5´1 122°16´45 0 0 7 122°16´52
D_2 D_1 0°00’00” 302°16´45 302°16´52
CD_8 80°56´3 23°12´48 0 0 10 23°12´58
CD_8 D_2 0°0´0 203°12´48 203°12´58
CD_9 280°58´48 124°11´36 0 0 14 124°11´50
8.3.1.5 Proyecciones de la poligonal 
Con las distancias de los lados de la poligonal y el azimut entre  estos, se calculan 
las proyecciones, para  lo cual se usan  las siguientes fórmulas:
Proyecciones – NS = Distancia * cos Az
Proyecciones – EW = Distancia * sen Az
Como las  distancias  de la  poligonal  se  tomaron en  las  dos direcciones, se debe 
promediar los dos valores respectivos.
TABLA 8.17 Proyecciones de la poligonal 
Proyecciones
Delta Punto
Azimut 
corregido
Dist. Pn Pe
CD_6 CD_ 5  
  D_1  45°11´47 510.996 360.087 362.567
D_1  CD_6 225°11´47  
  D_2 122°16´52 628.971 -335.919 531.755
D_2 D_1  302°16´52  
  CD_8 23°12´58 535.133 491.800 210.952
TOPOGRAFÍA162 TOPOGRAFÍA162 
Proyecciones
Delta Punto
Azimut 
corregido
Dist. Pn Pe
CD_8 D_2 203°12´58  
  CD_9 124°11´50  
8.3.1.6 Ajuste de las proyecciones de la poligonal
Debido a que la  poligonal comienza en un punto y termina en otro diferente,  es 
abierta geométricamente, por lo tanto la suma teórica algebraica de las proyeccio-
nes no será cero; será la diferencia de coordenadas entre el punto final (CD 8) y el 
punto inicial (CD6).
•  Diferencia de proyecciones por coordenadas:
NS
por coordenadas
= 1258.438 – 742.483 = 515.955
EW
por coordenadas
= 22870.923 – 21765.664 = 1105.259
•  Suma de proyecciones calculada  con los azimuts y distancias:
NS
Obs
= 515.967
EW
Obs
= 1105.273
•  Determinación de errores: 
ΔNS = NS
por coordenada 
– NS
Obs
= 515.955 – 515.967 = –0.012
ΔEW = EW
por coordenada 
– EWObs = 1105.259 – 1105.273 = –0.014
•  Error en distancia: diferencia en distancia para cerrar  la poligonal.
e
d
= √(ΔNS2 + ΔEW2)
e
d
= √((–0.012)2 + (–0.014)2)
e
d
= 0.018439
Donde: 
» e
d
= Error en la distancia. 
» ΔNS = Error de proyecciones norte. 
» ΔEW = Error de proyecciones este. 
•  Precisión (P): Determina el grado de confiabilidad de la poligonal.
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 163 163 
Se expresa  1: P,  significa que en P metros  se  está cometiendo un error de 1 
metro. Se recomienda que la precisión para  levantamientos  topográficos sea 
mayor a 1: 10000, aunque dicho parámetro cambia según las especificaciones 
de cada proyecto.
P = ∑dist / e
d
P = 1675.100 / 0.018439 = 90845.490
P = 1: 60446
En caso de que la precisión no cumpla con lo requerido en las especificaciones 
o pliego de  condiciones  del  respectivo proyecto  se debe  volver  a  campo y 
realizar nuevamente  la toma de mediciones.
El cálculo de correcciones de las proyecciones se realiza de la misma manera que 
una  poligonal cerrada,  es  decir  se puede utilizar  cualquier método relacionado 
en el capítulo 5, para este caso se utilizará el método de brújula o de Bowditch, el 
cual es muy fácil de aplicar. Para este método las correcciones de las proyecciones 
se realizan  según la relación de proporcionalidad repartiendo el error de acuerdo 
a las longitudes de cada lado.
Corr
PNS
= (dist
acumulada
* ΔPNS) / ∑dist
Corr
PEW
= (dist
acumlada
* ΔPEW) / ∑dist
A la corrección se le debe restar las correcciones acumuladas de los lados anteriores 
según corresponda.
TABLA 8.18 Proyecciones corregidas 
Proyecciones Correcciones Proy. Corregidas
Delta Punto Pn Pe Pn Pe Pn Pe
CD_6 CD_ 5  
  D_1  360.087 362.567 -0.004 -0.004 360.083 362.563
D_1  CD_6  
  D_2 -335.919 531.755 -0.004 -0.005 -335.923 531.750
D_2 D_1   
  CD_8 491.800 210.952 -0.004 -0.004 491.796 210.948
CD_8 D_2  
  CD_9  
TOPOGRAFÍA164 TOPOGRAFÍA164 
8.3.1.7 Coordenadas de los deltas de la poligonal
Con las coordenadas  del punto inicial (CD6) y las proyecciones de cada lado, se 
calculan  las coordenadas  de todos y cada uno de los deltas de la poligonal, hasta 
llegar al punto final (CD 8), las coordenadas se van acumulando en cada delta.
TABLA 8.19 Coordenadas de la poligonal 
Proy. Corregidas Coordenadas
Punto
Delta Punto Pn Pe Norte Este
CD_6 CD_ 5     742.483 21765.664 CD_6
  D_1  360.083 362.563 1102.566 22128.227 D_1 
D_1  CD_6  
  D_2 -335.923 531.750 766.643 22659.976 D_2
D_2 D_1   
  CD_8 491.796 210.948 1258.438 22870.924 CD_8
CD_8 D_2  
  CD_9  
8.3.1.8 Coordenadas de los detalles
Con base en las coordenadas de cada delta y los azimuts del delta correspondiente 
a los detalles, se calculan los azimuts de las líneas de la poligonal y las coordenadas 
calculadas  de los vértices.  Se calculan  las  coordenadas  de  los detalles,  teniendo 
en  cuenta  que es  un cálculo  por radiación;  se deben calcular  las  direcciones de 
acuerdo a las líneas de la poligonal.
8.3.1.9 Azimut de los detalles
Al azimut de cada delta al delta o vértice anterior se le suma el ángulo tomado a cada 
detalle según corresponda, si el valor se pasa de 360 grados se le restan 360 grados.
TABLA 8.20 Azimut de los detalles
Delta Punto Áng. Obsv. Azimut
CD_6  CD_ 5 0°00’00” 253°40´38 
  1 230°55´2 124°35´40 
  2 224°58´39 118°39´17 
D_1 CD_6  0°0´0 225°11´47 
  3 18°56´26 244°8´13 
  4 21°14´42 246°26´29 
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 165 165 
Delta Punto Áng. Obsv. Azimut
  5 327°41´24 192°53´11 
  6 9°52´25 235°4´12 
  7 5°31´13 230°43´0 
  8 334°1´8 199°12´55 
D_2 D_1 0°0´0 302°16´52 
  9 349°22´8 291°39´0 
  10 342°55´2 285°11´54 
  11 348°8´43 290°25´35 
  12 36°3´58 338°20´50 
  13 354°40´57 296°57´49 
  14 353°0´32 295°17´24 
  15 2°50´1 305°6´53 
  16 27°0´45 329°17´37 
CD_8  D_2 0°0´0 203°12´58 
  17 38°54´17 242°7´15 
  18 43°7´17 246°20´15 
  19 28°48´28 232°1´26 
  20 29°32´45 232°45´43 
  21 345°39´19 188°52´17 
  22 282°36´39 125°49´37 
  23 338°28´49 181°41´47 
  24 273°8´7 116°21´5 
TABLA 8.21 Proyecciones de los detalles 
Proyecciones
Delta Punto Azimut Dist. Pn Pe
CD_6  CD_ 5 253°40´38   
  1 124°35´40  63.295 -35.937 52.104
  2 118°39´17  92.231 -44.228 80.935
D_1 CD_6  225°11´47   
  3 244°8´13  191.343 -83.467 -172.178
  4 246°26´29  125.857 -50.303 -115.367
  5 192°53´11  54.107 -52.744 -12.067
TOPOGRAFÍA166 TOPOGRAFÍA166 
Proyecciones
Delta Punto Azimut Dist. Pn Pe
  6 235°4´12  187.775 -107.515 -153.948
  7 230°43´0  120.059 -76.016 -92.929
  8 199°12´55  84.537 -79.827 -27.823
D_2 D_1 302°16´52   
  9 291°39´0  316.124 116.631-293.823
  10 285°11´54  168.588 44.198 -162.691
  11 290°25´35  109.958 38.376 -103.044
  12 338°20´50  101.903 94.713 -37.600
  13 296°57´49  306.612 139.026 -273.281
  14 295°17´24  171.589 73.303 -155.143
  15 305°6´53  122.41 70.413 -100.131
  16 329°17´37  125.997 108.332 -64.339
CD_8  D_2 203°12´58    0.000 0.000
  17 242°7´15  182.696 -85.430 -161.492
  18 246°20´15  128.923 -51.743 -118.084
  19 232°1´26  184.015 -113.230 -145.053
  20 232°45´43  127.707 -77.279 -101.671
  21 188°52´17  69.969 -69.132 -10.791
  22 125°49´37  179.095 -104.832 145.208
  23 181°41´47  40.072 -40.054 -1.186
  24 116°21´5  171.112 -75.953 153.331
TABLA 8.22 Cálculo de coordenadas detalles
Proyecciones Coordenadas
Punto
Delta Punto Pn Pe Norte Este
CD_6  CD_ 5     742.483 21765.664 CD_6
  1 -35.937 52.104 706.546 21817.768 1
  2 -44.228 80.935 698.255 21846.599 2
D_1 CD_6      1102.566 22128.227 D_1
  3 -83.467 -172.178 1019.098 21956.048  
  4 -50.303 -115.367 1052.263 22012.859 4
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 167 167 
Proyecciones Coordenadas
Punto
Delta Punto Pn Pe Norte Este
  5 -52.744 -12.067 1049.821 22116.159 5
  6 -107.515 -153.948 995.051 21974.278 6
  7 -76.016 -92.929 1026.550 22035.298 7
  8 -79.827 -27.823 1022.738 22100.404 8
D_2 D_1     766.643 22659.976 D_2
  9 116.631 -293.823 883.273 22366.154 9
  10 44.198 -162.691 810.841 22497.285 10
  11 38.376 -103.044 805.019 22556.932 11
  12 94.713 -37.600 861.355 22622.376 12
  13 139.026 -273.281 905.669 22386.695 13
  14 73.303 -155.143 839.946 22504.833 14
  15 70.413 -100.131 837.055 22559.845 15
  16 108.332 -64.339 874.975 22595.638 16
CD_8  D_2 0.000 0.000 1258.4383 22870.924 CD_8
  17 -85.430 -161.492 1173.009 22709.432 17
  18 -51.743 -118.084 1206.696 22752.840 18
  19 -113.230 -145.053 1145.208 22725.871 19
  20 -77.279 -101.671 1181.160 22769.253 20
  21 -69.132 -10.791 1189.306 22860.133 21
  22 -104.832 145.208 1153.606 23016.132 22
  23 -40.054 -1.186 1218.384 22869.738 23
  24 -75.953 153.331 1182.485 23024.255 24
8.4 Poligonal controlada en cada delta
Consiste  en realizar  una poligonal  por el método de ceros atrás, donde en cada 
delta  se  miden  las  distancias  y  ángulos  hacia  atrás  y  hacia  adelante,  como  se 
presenta en la figura 8.9.
TOPOGRAFÍA168 TOPOGRAFÍA168 
FIGURA8.9 Poligonal controlada en cada delta
Punto de cierre
Punto inicial
Referencia inicial
D1
D2
D2
El punto de cierre se debe materializar  de la misma forma que se hizo con cada 
uno de los demás  deltas  (podrá ser uno de los detalles  que se tomen dentro del 
levantamiento), en este punto no se armará el equipo pero si sirve para medir los 
ángulos finales desde el último delta. 
8.4.1 Aplicaciones y ventajas 
La poligonal controlada en cada delta tiene gran aplicación en proyectos lineales, 
por  ejemplo,  cuando  se  realizan  levantamientos  topográficos  de  verificación, 
replanteo,  mejoramiento,  reconstrucción,  para  vías,  ferrocarriles,  poliductos, 
etc. Por medio de esta se puede aprovechar el corredor existente para mejorar  los 
tiempos y costos del proyecto. 
A continuación se relacionan  las principales  ventajas  de la poligonal controlada 
en cada delta  frente  a otros levantamientos  como la poligonal cerrada y la punto 
a punto:
•  Verificación  de  los  dos  ángulos  medidos  en  campo para  cada  uno  de  los 
deltas, ya que deben sumar 360 grados.
•  Minimización de errores en medidas de distancias, ya que estás se miden en 
los dos sentidos. 
•  Cuando se miden los ángulos y distancias hacia atrás,  se puede verificar que 
no se hayan dejado de tomar algunos detalles  y/o se pueden rectificar  datos 
de cualquier detalle. 
•  Cálculo y verificación de precisiones de cada uno de los lados de la poligonal, 
los que ayudaran  a que el  levantamiento  alcance  en todos y cada uno de los 
sectores del mismo, según las especificaciones requeridas.
•  Solo se necesitan dos puntos de amarre con coordenadas conocidas.
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 169 169 
8.4.2 Metodología
8.4.2.1 Trabajo de campo 
•  Elaborar el bosquejo o gráfico del terreno u obra a levantar. 
•  Materializar  o verificar la existencia de los puntos de amarre  (punto inicial y 
punto de referencia). 
•  Armar el equipo en el punto inicial, visar al punto de referencia,  se mide la 
distancia  entre  los dos puntos (no es  obligatorio medir  la  distancia pero se 
recomienda; de  esta manera  se podrá verificar  la  distancia  teórica entre  los 
dos puntos de coordenadas  conocidas) y colocar el ángulo  respectivo (cero 
grados, si se va a realizar  el  levantamiento por ceros atrás, o el azimut entre 
los dos  puntos, si se hace  por azimut directo). Medir  el ángulo  y distancia 
hacia el Delta número 1, así como los ángulos y las distancias hacia cada uno 
de los  detalles  que se puedan  tomar  con esta  armada.  Colocar  cero grados 
visando hacia el Delta 1 y medir el ángulo hacia el punto de referencia. 
•  El procedimiento anterior  se  repite  en  todos  y  cada  uno de  los  deltas  (se 
miden ángulo y distancia hacia adelante y ángulo y distancia hacia atrás). 
•  Finalmente se arma el equipo en el último delta (el último delta se determina 
teniendo en cuenta que desde allí se pueda finalizar con la toma de detalles), 
se miden ángulo y distancia hacia el punto de  cierre, se  coloca cero grados 
visando al punto de cierre y se toma ángulo y distancia hacia el delta anterior.
8.4.2.2 Trabajo de oficina 
•  Se calcula  el azimut inicial, desde  el punto inicial hasta  el punto referencia, 
según las coordenadas de dichos puntos.
•  Se realiza  la sumatoria de ángulos en cada delta, se ajustan  o corrigen dichos 
ángulos.
•  Se calculan  los azimuts de las líneas de la poligonal y de los deltas a cada uno 
de los detalles del levantamiento.
•  Se calculan las proyecciones de los deltas de la poligonal (como las distancias 
se tomaron en los dos sentidos se deben realizar los cálculos con el promedio 
de las mismas).
•  Calcular  la precisión de cada lado de poligonal y verificar que se cumple con 
la precisión requerida según el tipo de proyecto. 
•  Se  ajustan  y  corrigen  las  proyecciones  de  la  poligonal  (se  puede  utilizar 
cualquiera de los métodos explicados en el capítulo 7. Poligonal cerrada).
•  Se calculan las proyecciones de los detalles, desde el delta que fueron tomados. 
•  Calcular  las coordenadas de todos y cada uno de los deltas. 
TOPOGRAFÍA170 TOPOGRAFÍA170 
•  Con  las  coordenadas  de  cada  delta  y  las  proyecciones  de  cada  detalle,  se 
calculan  las coordenadas de los detalles. 
•  Se realiza el plano correspondiente.
•  Se calculan  las  áreas  parciales  y/o totales  de cada  uno de los elementos  que 
componen el levantamiento.
8.4.3 Ejercicio práctico
FIGURA8.10A Cartera de campo
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 171 171 
FIGURA 8.10B Cartera de campo
TOPOGRAFÍA172 TOPOGRAFÍA172 
8.4.3.1 Corrección de los ángulos de los lados de la poligonal 
Se deben  organizar  y sumar  los dos  ángulos  leídos en  todos y cada  uno de  los 
deltas de la poligonal, la suma teórica de dichos ángulos debe ser 360 grados.
∑teórica = 360°
El error en ángulo para cada delta es 360 menos la sumatoria de los dos ángulos. 
La corrección es el error en ángulo para cada delta dividido en 2.
TABLA 8.23 Corrección de ángulos
Delta Punto
Áng. 
Obsv.
Error Corrección 
Áng. 
Corregidos 
GPS-1 GPS-2 0°00’00”
(-0°00´08”)
 
  D_1  263°48´44 (-0°00´04”) 263°48´40
GPS-1 D_1  0°00’00”  
  GPS-2 96°11´24 (-0°00´04”) 96°11´20
D_1  GPS-1 0°00’00”
(0°00´08”)
 
  D_2 274°48´5 (0°00´04”) 274°48´9
D_1  D_2 0°0´0  
  GPS-1 85°11´47 (0°00´04”) 85°11´51
D_2 D_1  0°00’00”
(-0°00´06”)
 
  D_3 253°32´1 (-0°00´03”) 253°31´58
D_2 D_3 0°00’00”  
  D_1  106°28´5 (-0°00´03”) 106°28´2
D_3 D_2 0°00’00”
(-0°00´08”)
 
  P.CI 152°42´58 (-0°00´04”) 152°42´54
D_3 P.CI 0°0´0  
  D_2 207°17´10 (-0°00´04”) 207°17´6
8.4.3.2Cálculo del azimut inicial
Con  las  coordenadas  se  calcula  el  azimut  desde  el  punto  inicial hasta  el  punto 
de  amarre.  Es  decir,  se  realiza  la  conversión  de  coordenadas  rectangulares  a 
coordenadas polares.
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 173 173 
Pto Norte Este
GPS1 2125.823 35530.785
GPS2 2014.238 35512.299
Azimut de GPS1 a GPS2 = 189°24´24”
8.4.3.3 Cálculo de azimuts 
Con los ángulos corregidos se calculan  los azimuts de los lados de la poligonal.
TABLA 8.24 Cálculo de Azimuts
Delta Punto Áng. Corregidos  Azimut
GPS-1 GPS-2   189°24´24 
  D_1  263°48´40 93°13´4 
GPS-1 D_1    93°13´4 
  GPS-2 96°11´20 189°24´24 
D_1  GPS-1   273°13´4 
  D_2 274°48´9 188°1´13 
D_1  D_2   188°1´13 
  GPS-1 85°11´51 273°13´4 
D_2 D_1    8°1´13 
  D_3 253°31´58 261°33´11 
D_2 D_3   261°33´11 
  D_1  106°28´2 8°1´13 
D_3 D_2   81°33´11 
  P.CI 152°42´54 234°16´5 
D_3 P.CI   234°16´5 
  D_2 207°17´6 81°33´15 
8.4.3.4 Cálculo de las proyecciones
PNS = d * cosAz 
PEW = d * senAz
Donde: 
•  PNS =  Proyección norte – sur. 
•  PEW =  Proyección este – oeste. 
•  d =  Distancia. 
•  Az =  Azimut. 
TOPOGRAFÍA174 TOPOGRAFÍA174 
Se debe calcular  con el promedio de las distancias. 
TABLA 8.25 Cálculo de proyecciones
Proyecciones
Delta Punto Azimut Dist. Pn Pe
GPS-1 GPS-2 189°24´24   
  D_1  93°13´4  168.318 -9.448 168.053
GPS-1 D_1  93°13´4  168.328 -9.448 168.063
  GPS-2 189°24´24   
D_1  GPS-1 273°13´4   
  D_2 188°1´13  156.466 -154.936 -21.831
D_1  D_2 188°1´13  156.472 -154.942 -21.831
  GPS-1 273°13´4   
D_2 D_1  8°1´13   
  D_3 261°33´11  154.14 -22.642 -152.468
D_2 D_3 261°33´11  154.132 -22.641 -152.460
  D_1  8°1´13   
D_3 D_2 81°33´11   
  P.CI 234°16´5   
D_3 P.CI 234°16´5   
  D_2 81°33´15   
8.4.3.5 Corrección de las proyecciones 
El error se calcula  con las siguientes fórmulas:
ΔNS = ERROR proyN entre D1 y D2 = proyN (D1aD2) + proyN (D2aD1) 
ΔEW = ERROR proyE entre D1 y D2 = proyE (D1aD2) + proyE (D2aD1)
De forma similar para cada uno de los otros lados de la poligonal.
Las  correcciones  se  realizaran  usando  el método de  la  regla  de  la  brújula  o de 
Bowditch; en el cual se corrigen las proyecciones ortogonales en proporción a las 
longitudes. Se utilizan las siguientes fórmulas:
• Corrección proyección Norte entre D1 y D2 = Error proyección Norte  * 
((promedio de  las  distancias  medidas  de  D1 a  D2)  / (distancia  promedio 
medida de D1 a D2 + distancia promedio medida de D2 a D1))
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 175 175 
• Corrección proyección Este entre D1 y D2 =  Error  proyección  Este  * 
((promedio de  las  distancias  medidas  de D1  a  D2) /  (distancia  promedio 
medida de D1 a D2 + distancia promedio medida de D2 a D1))
• Corrección proyección Norte entre D2 y D1 = Error  proyección Norte * 
((promedio de  las  distancias  medidas  de D2  a  D1) /  (distancia  promedio 
medida de D1 a D2 + distancia promedio medida de D2 a D1))
• Corrección proyección Este entre D2 y D1 =  Error  proyección  Este* 
((promedio de  las  distancias  medidas  de D2  a  D1) /  (distancia  promedio 
medida de D1 a D2 + distancia promedio medida de D2 a D1))
De forma similar para cada uno de los otros lados de la poligonal.
TABLA 8.26 Corrección de proyecciones
Proyecciones Error Correcc.
Proy. 
Corregidas
Delta Punto Pn Pe Pn Pe Pn Pe Pn Pe
GPS-1 GPS-2  
  D_1  -9.448 168.053
0.000 -0.010 0.000 -0.005 -9.448 168.058
GPS-1 D_1  -9.448 168.063
  GPS-2  
D_1  GPS-1  
  D_2 -154.936 -21.831
0.006 0.000 0.003 0.000 -154.939 -21.831
D_1  D_2 -154.942 -21.831
  GPS-1  
D_2 D_1   
  D_3 -22.642 -152.468
-0.001 -0.008 -0.001 -0.004 -22.642 -152.464
D_2 D_3 -22.641 -152.460
  D_1   
D_3 D_2  
  P.CI  
D_3 P.CI  
  D_2  
8.4.3.6 Coordenadas 
Finalmente  se  determinan  las  coordenadas  de  cada  delta  partiendo  de  las 
coordenadas del punto de inicio. A las coordenadas del punto de inicio se le suman 
las primeras proyecciones y se obtienen las coordenadas del primer delta, con las 
coordenadas  de ese delta  se obtienen las  del  siguiente delta  y así sucesivamente 
hasta finalizar la poligonal.
TOPOGRAFÍA176 TOPOGRAFÍA176 
TABLA 8.27 Coordenadas de la poligonal
Proy. Corregidas Coordenadas
Punto
Delta Punto Pn Pe Norte Este
GPS-1 GPS-2     2125.823 35530.785 GPS1
  D_1 
-9.448 168.058 2116.375 35698.843 D_1 
GPS-1 D_1 
  GPS-2  
D_1  GPS-1  
  D_2
-154.939 -21.831 1961.437 35677.011 D_2
D_1  D_2
  GPS-1  
D_2 D_1   
  D_3
-22.642 -152.464 1938.795 35524.547 D_3
D_2 D_3
  D_1   
D_3 D_2  
  P.CI  
D_3 P.CI  
  D_2  
8.4.3.7 Datos estadísticos de la poligonal
Los datos estadísticos de la poligonal se deben calcular  y plasmar  por escrito, ya 
que son el comprobante de que las  especificaciones requeridas  se han cumplido, 
los datos que se deben presentar son: 
•  Error en ángulo vs. Error máximo permisible (ya se calculó).
•  Error  en  distancia  para  cada  lado  de  la  poligonal  (como  se  mencionó 
anteriormente  esta  es  una  ventaja  de  este  tipo de  levantamiento,  ya  que  se 
pueden calcular  las precisiones para cada lado de la poligonal, lo que garantiza 
que en todos los sectores se obtendrá una excelente precisión). Es la diferencia 
en  distancia  para  cerrar  cada  lado de  la  poligonal y calcula  por medio de  la 
siguiente fórmula:
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 177 177 
Donde: 
» ΔNS2 = Error en proyecciones norte – sur.
» ΔEW2 = Error en proyecciones este – oeste.
•  Precisión de cada uno de los lados de la poligonal (P):
P = Promedio de las dos distancias medias para cada lado / error en distancia
TABLA 8.28 Precisiones de cada lado
Error
Error 
en distancia
Precisión
Delta Punto Pn Pe  
GPS-1 GPS-2  
  D_1 
0.000 -0.010 0.010 33717.758
GPS-1 D_1 
  GPS-2  
D_1  GPS-1  
  D_2
0.006 0.000 0.006 52671.519
D_1  D_2
  GPS-1  
D_2 D_1   
  D_3
-0.001 -0.008 0.008 38534.000
D_2 D_3
  D_1   
8.4.3.8 Cálculo de detalles
Las coordenadas de todos y cada uno de los detalles se calcula con las coordenadas 
del respectivo delta desde donde fueron tomados, así:
TOPOGRAFÍA178 TOPOGRAFÍA178 
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6
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 179 179 
8.5 Ejercicio planteado
FIGURA 8.11A Cartera de campo
TOPOGRAFÍA180 TOPOGRAFÍA180 
FIGURA 8.11BCartera de campo
La  construcción  de proyectos  de  ingeniería  (edificaciones,  vías, minas,  obras de drenaje,  embalses, aeropuertos,  toneles, puentes,  tuberías, vías férreas,  ca-
nales, plantas  de tratamiento,  etc.), inicia con la  localización y/o materialización 
de puntos, ejes y/o elementos  de la infraestructura  a construir, según los diseños 
correspondientes; dicha localización se denomina replanteo.En otras palabras,  el replanteo  consiste en determinar en campo la ubicación y/o 
elevación  de los elementos que se van a construir sobre el terreno natural  o sobre 
otro elemento construido, según los diseños realizados. Dependiendo del tipo de 
proyecto, se puede ubicar y/o materializar cada punto según su posición exacta  o 
en un sitio cercano que permita, por medio de proyecciones, ubicar en el proceso 
de construcción adecuadamente  los componentes o elementos del proyecto.
Por medio de métodos topográficos, para todo tipo de proyecto de construcción, 
es necesario materializar y georreferenciar  puntos de control, teniendo como base 
placas  con coordenadas  que estén cerca  de la zona de trabajo; dichos puntos de 
control se deben ubicar en sitios estratégicos y convenientes para posteriormente 
realizar el proceso de localización del proyecto de forma precisa y eficiente.
Es importante mencionar  que los equipos de topografía (estaciones  totales) hoy 
en día tienen el módulo de replanteo, el cual ayuda a que los procesos de campo 
sean más precisos y eficientes. 
CAP Í TULO  9
LOCAL IZACIÓN  
DE  PROYECTOS
TOPOGRAFÍA182 TOPOGRAFÍA182 
En la localización de proyectos es necesario realizar el control horizontal y vertical 
de las estructuras que se van a desarrollar  en el proyecto, de la siguiente manera: 
•  Para el control horizontal: se verifica la ubicación, posición y dimensiones de 
cada uno de los elementos que componen la infraestructura.
•  Para  el  control  vertical:  se  verifica  la  cota  o  diferencia  de  altura  de  las 
estructuras  con respecto a un nivel de referencia. 
•  El control de alineación vertical: se verifica que las estructuras u obras que se 
construyan queden plomadas adecuadamente. 
9.1 Tipos de replanteo
9.1.1 Replanteo para obras puntuales
•  Se determinan  los puntos o ejes  necesarios para desarrollar  adecuadamente 
el  proceso de construcción  del proyecto.  Según los  planos de diseños y los 
cálculos del proyecto, se relacionan  las coordenadas de esos puntos o ejes.
•  Se realiza el cálculo de distancias y ángulos o azimuts a dichos puntos desde 
los  puntos  de  amarre  (puntos  materializados  en  campo,  los  cuales  tienen 
coordenadas conocidas) que se encuentren cerca a los ejes o puntos a localizar. 
•  Se arma el equipo en el respectivo punto de amarre,  se visa al otro punto de 
amarre (se coloca en el círculo horizontal el azimut correspondiente, se busca 
el  azimut a cada  punto y se mide la  distancia  correspondiente).  Se repite el 
procedimiento para todos y cada uno de los puntos o ejes de construcción.
•  Después  de  localizar  los  diferentes  puntos  o  ejes  de  construcción,  se  debe 
verificar  en  campo  que  las  distancias  y  los  ángulos  correspondan,  según 
el  diseño  de  la  construcción  y  su  ubicación,  a  elementos  ya  construidos. 
Dependiendo  de  la  forma  del  elemento  a  construir  se  pueden  desarrollar 
varias  actividades en  campo para comprobar que lo que se  está localizando 
corresponda  a  los  planos  de  diseño,  como verificar  las  perpendiculares  o 
ángulos  que deben  formar  las  diferentes  líneas  de referencia  de  los puntos 
materializados  en  campo, medir diagonales  para  construcciones  cuadradas 
o rectangulares. 
•  Debido a  que en  el proceso de construcción  es posible que algunos puntos 
localizados  y  materializados  se  puedan  destruir,  se  recomienda  dejar 
referencias  en  campo de dichos puntos  por fuera  de la  zona de  trabajo del 
proyecto,  para  poder  localizarlos  nuevamente  de  forma  rápida.  En  campo 
se deben establecer  líneas  base o de trazo para  los ejes de la construcción  y 
prolongar estas  líneas  fuera del área de trabajo colocando puntos para poder 
replantear  o ubicar  cualquier  punto  de  la  obra, que  en  alguna  etapa  de  la 
construcción haya sido removido o destruido.
CAPÍTULO 9: LOCALIZACIÓN DE PROYECTOS (REPLANTEO) 183 183 
9.1.1.1 Ejercicio: Replanteo de una obra puntual
En  la  figura  9.1  se  presenta  el  diseño  de  una  bodega,  para  su  construcción  es 
necesario  realizar  el  replanteo  de los  ejes  de construcción  y su proyección  (por 
medio de estacas materializadas  en campo) hacia  la  parte  externa  de la zona de 
trabajo, para que en caso de que sean destruidos en alguna etapa del proyecto, se 
puedan replantear nuevamente. 
FIGURA9.1 Planta de bodega
Como se observa en la figura 9.1, se tienen materializados los deltas relacionados 
en la tabla 9.1, desde los cuales se realizará  el replanteo.
TABLA 9.1 Deltas materializados en campo
Delta Norte Este
D5 2126.908 4927.216
D6 2136.034 5085.147
D7 2023.658 5031.258
TOPOGRAFÍA184 TOPOGRAFÍA184 
En la tabla 9.2 se presentan  las coordenadas de los ejes de construcción, según los 
planos de diseño.
TABLA 9.2 Coordenadas de los ejes de construcción
Pto. o Eje Norte Este
A1 100140 101180
A2 100140 101220
B2 100110 101220
B3 100110 101250
C2 100080 101220
C3 100080 101250
D1 100050 101180
D2 100050 101220
De  acuerdo  a  la  ubicación  de  los  deltas,  las  características  de  diseño  y  las 
condiciones  de  visibilidad,  se  establece  desde  cuál  delta  es  más  favorable 
localizar  cada  uno de los ejes. Desde el delta 5 se  localizará  el eje A1, desde el 
delta  6 se  localizarán  los ejes  A2, B2 y B3, y desde el delta 7 se  localizarán  los 
ejes C2, C3, D1, D2.
Se calculan las distancias y azimuts respectivos así: desde el delta 2 al eje A1, desde 
el delta 3 a los ejes A2, B2, B3 y desde el delta 4 a los ejes C2, C3, D, D2. Tal  como 
se presenta  en la tabla 9.3. Dichas distancias y azimuts se medirán en campo para 
localizar  los diferentes puntos o elementos de la construcción.
También  se pueden ubicar  algunos  ejes  o puntos  faltantes  midiendo 90 grados 
desde algún eje ya replanteado y las distancias respectivas. 
TABLA 9.3 Distancias y azimuts calculados
Delta 
(punto de control)
Delta o Punto 
(intersección de ejes)
Distancia Azimut
D5 D6 86° 41’34”
A1 54.383 76° 04’12”
D6 D5 266° 41’34”
A2 65.268 273° 29’01”
B2 70.156 248° 13’03”
B3 43.379 233° 28’19”
D7 D6 25°37’11”
C2 57.456 348° 42’01”
CAPÍTULO 9: LOCALIZACIÓN DE PROYECTOS (REPLANTEO) 185 185 
Delta 
(punto de control)
Delta o Punto 
(intersección de ejes)
Distancia Azimut
C3 59.377 18° 23’58”
D1 57.631 297° 11’57”
D2 28.647 336° 51’33”
Para localizar el eje A1 se arma el equipo en D5, se visa a D6, se coloca en el círculo 
horizontal del equipo el valor del azimut entre estos dos deltas, que para esta caso 
es 86° 41’34”, se gira el circulo horizontal del equipo hasta encontrar el azimut del 
D5 al eje A1. El cual es 76° 04’12”, en esa dirección se mide 54.383 metros. 
Para localizar  los ejes A2, B2, B3 se arma el equipo en D6, se visa a D5, se coloca 
el azimut, que es 266°41’34”, y se gira el telescopio hasta encontrar  los respectivos 
azimuts, se miden cada una de las distancias, según lo relacionado en la tabla 9.3.
Para  localizar  los  ejes  C2, C3, D1, D2 se  arma  el  equipo en  D7, se  visa  a D6, 
se  coloca el  azimut, que es  25°37’11”, y se  gira el  telescopio hasta  encontrar  los 
respectivos azimuts, se miden cada una de las distancias, según lo relacionado en 
la tabla 9.3.
9.1.2 Replanteo para obras lineales
•  Calcular  las  coordenadas  del  eje,  bordes  y/o  chaflanes  según  el  tipo  de 
proyecto y su abscisado correspondiente.
•  Determinar  los  puntos  de  amarre  (puntos  materializados  en  campo  que 
tienen coordenadas  conocidas) que se  van a utilizar para  la  localización de 
cada punto. 
•  Calcular  distancias  y ángulos o azimuts a dichos puntos desde los puntos de 
amarre  que se encuentren  cerca a los ejes o puntos a localizar.
•  Se arma  el  equipo en  el  respectivo punto  de  amarre,  se  visa  a  otro punto 
de amarre  (se coloca en el círculo horizontal el azimut correspondiente),  se 
busca el azimut a cada punto y se mide la distanciacorrespondiente.
•  Después  de  localizar  cada  punto  del  eje  del  proyecto  se  debe  verificar  en 
campo que  la  distancia  a  la  abscisa  anterior  corresponda  (si es  en  recta  la 
distancia  medida debe corresponder  la  diferencia  de  abscisas entre  los  dos 
puntos; si es en curva la distancia debe corresponder a la cuerda calculada).
•  Debido a  que en  el proceso de construcción es  posible que algunos  puntos 
localizados  y  materializados  se  puedan  destruir,  se  recomienda  dejar  o 
materializar  referencias  en campo de dichos puntos por fuera  de la  zona de 
trabajo del proyecto, para poder localizarlos nuevamente de forma rápida.
TOPOGRAFÍA186 TOPOGRAFÍA186 
9.1.1.1 Ejercicio: Replanteo de una obra puntual 
Se tomara como ejemplo un proyecto vial; en la figura 9.2 se presenta un tramo de 
la misma, el cual se requiere replantear  para su construcción.
FIGURA9.2 Tramo vial
En la tabla 9.4 se presentan  los datos de los puntos de amarre que se materializaron 
en el levantamiento  topográfico del corredor del proyecto.
TABLA 9.4 Coordenadas punto de amarre 
Delta Norte Este
GPS-1 623099.457 1046558.144
D2 623173.439 1046500.588
De los cálculos del proyecto se tomaron las coordenadas del eje y de los chaflanes 
de los primeros 70 metros, las cuales se relacionan en la tabla 9.5 
CAPÍTULO 9: LOCALIZACIÓN DE PROYECTOS (REPLANTEO) 187 187 
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TOPOGRAFÍA188 TOPOGRAFÍA188 
Según la ubicación y características  de los puntos de amarre, las características  del 
terreno  y las  condiciones de visibilidad, se ha determinado que desde el GPS-1 
se replanteará  el eje y chaflanes  desde la abscisa K0+000 hasta la abscisa K0+050, 
el  resto  se  replantea  desde  el  D2. Los  correspondientes  cálculos  de  azimuts  y 
distancias se presentan  en las tablas 9.6 y 9.7.
TABLA 9.6 Datos replanteo desde GPS-1 
Del Punto Obsv. Distancia Azimut
Gps-1  
  D2 Delta 93.734 322°7´4´´
  0+000.00 Chaflán I 20.986 270°58´19´´
  0+000.00 Eje 16.331 279°0´28´´
  0+000.00 Chaflán D 12.426 291°57´4´´
  0+010.00 Chaflán I 26.837 290°38´57´´
  0+010.00 Eje 23.378 299°55´54´´
  0+010.00 Chaflán D 20.859 311°10´21´´
  0+019.64 Chaflán I 34.339 302°5´19´´
  0+019.64 Eje 31.709 310°8´29´´
  0+019.64 Chaflán D 29.901 318°50´9´´
  0+020.00 Chaflán I 34.642 302°25´4´´
  0+020.00 Eje 32.036 310°25´15´´
  0+020.00 Chaflán D 30.252 318°59´58´´
  0+030.00 Chaflán I 43.409 309°47´19´´
  0+030.00 Eje 41.286 316°24´26´´
  0+030.00 Chaflán D 39.459 325°46´20´´
  0+040.00 Chaflán I 52.681 315°0´49´´
  0+040.00 Eje 50.733 320°30´47´´
  0+040.00 Chaflán D 48.648 330°17´50´´
  0+050.00 Chaflán I 62.164 319°17´32´´
  0+050.00 Eje 60.188 323°52´46´´
  0+050.00 Chaflán D 57.381 334°34´15´´
CAPÍTULO 9: LOCALIZACIÓN DE PROYECTOS (REPLANTEO) 189 189 
Se arma  el  equipo en GPS-1, se  visa  a D2 se  coloca  en  el  círculo  horizontal  el 
azimut respectivo 322°7´4´´, se gira el anteojo  hasta encontrar  cada azimut y se 
mide la distancia respectiva según los valores consignados en la tabla 9.6.
TABLA 9.7 Datos replanteo desde D2
Del Punto Obsv. Distancia Azimut
D2  
  GPS-1 Delta 93.734 142°7´4´´
  0+056.64 Chaflán I 25.225 142°48´2´´
  0+056.64 Eje 27.839 132°52´13´´
  0+056.64 Chaflán D 35.489 117°39´11´´
  0+060.00 Chaflán I 21.320 142°23´2´´
  0+060.00 Eje 25.181 128°24´59´´
  0+060.00 Chaflán D 34.142 113°17´3´´
  0+070.00 Chaflán I 13.897 116°19´51´´
  0+070.00 Eje 19.331 107°15´7´´
  0+070.00 Chaflán D 30.881 99°4´11´´
Se arma  el equipo en D2, se  visa a GPS-1, se  coloca en  el  círculo horizontal  el 
azimut respectivo 142°7´4´´, se gira el anteojo  hasta encontrar  cada azimut y se 
mide la distancia respectiva según los valores consignados en la tabla 9.7.
9.1.3 Control vertical
•  Calcular  o extraer de las memorias de cálculos del proyecto, las cotas de cada 
uno de los puntos o elementos que se han materializado en campo, según el 
replanteo horizontal.
•  Establecer  en  campo  el  punto  de  amarre  vertical  (punto materializado  en 
campo al cual se le conozca su cota “preferiblemente cota geométrica”).
•  Armar el nivel de precisión en un sitio desde el cual se pueda realizar  (Vista 
+) al  punto  de  amarre  vertical  y (Vista  intermedia)  a  cada  punto  o eje  del 
proyecto.  La  diferencia  de  nivel  entre  el  punto  de  amarre  vertical  y  cada 
punto será la resta aritmética entre la (Vista +) y la (Vista –). Si las diferencias 
de nivel entre el punto de amarre o control vertical y los puntos del proyectos 
son muy grandes, se realiza en nivelación compuesta.
•  Cerca de cada punto se debe colocar una estaca (estaca  testigo) en la cual se 
indique el valor que se debe rellenar  o cortar sobre el terreno para  llegar a la 
cota del diseño del proyecto. 
TOPOGRAFÍA190 TOPOGRAFÍA190 
9.1.3.1 Ejercicio: Control vertical 
Se realiza el control vertical del eje  del tramo de vía tomado como ejemplo en el 
ejercicio de replanteo de obra lineal, como se relaciona en la figura 9.3. Se realiza-
rá desde el punto GPS-1 el cual tiene una cota de 768.615.
FIGURA 9.3 Tramo vial para control vertical
Se realiza  la nivelación  geométrica desde el GPS-1, estableciendo  de esta  forma 
la cota del terreno en cada abscisa, se calcula  el valor de la cota de trabajo el cual 
será la resta entre el valor de la subrasante para cada abscisa (datos tomados de los 
cálculos  del proyecto) y el valor de la  cota de terreno; tal  como se presenta  en la 
tabla 9.8. Finalmente se coloca una estaca testigo cerca de cada abscisa indicando 
el valor que se debe cortar o rellenar en dicho sitio (si la cota de trabajo es negativa 
se debe cortar, caso contrario se debe rellenar).
CAPÍTULO 9: LOCALIZACIÓN DE PROYECTOS (REPLANTEO) 191 191 
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10.1 Definición
El  concepto del área  como medida que define el tamaño  de un contorno que conforma  una  figura  geométrica  proviene  de  la  antigüedad.  En  el  antiguo 
Egipto, a causa de la crecida anual de río Nilo que inundaba los campos producti-
vos, aflora la necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer 
sus límites; para solucionar esta necesidad,  los egipcios inventaron la  geometría, 
tal como se describe en el libro de Heródoto: Historias volumen II.
La palabra área proviene del latín regio, se refiere  a un espacio de tierra compren-
dido entre  ciertos  límites, es  decir, es la  superficie o región comprendida  en un 
polígono, esta se expresa en unidades de medida superficiales de tres maneras:
•  Metros cuadrados  (m²): la medida más común del sistema internacional  de 
medidas.
•  Hectárea (ha) o hectómetros cuadrados (hm2): proviene del prefijo hecto-, del 
griego ἑκατόν (hekatón) que significa cien. Es una medida equivalente a 100 
áreas o a 10 000 m2.
•  Fanegada  (no tienen  abreviatura  oficial, puede usarse  fa o fg): su nombre 
real  es  Fanega,  también  recibe  en  algunos  lugares  la  denominación  de 
Hanega o Hanegada; proviene del árabe faddãn, que significa lo que un par 
de bueyes pueden arar en un día. Es una unidad de medida de la metrología 
CAP Í TULO  10
CÁLCULO DE  ÁREAS
TOPOGRAFÍA194 TOPOGRAFÍA194 
tradicional  española,  antes  de  instituirse  el  Sistema  Métrico  Decimal; 
corresponde a una unidad de superficie agraria que equivale a 10 000 varas 
cuadradas,  576  estales  cuadrados  o  64.596  áreas.  En  Colombia  es  muy 
utilizada  especialmente  en los departamentos  de Boyacá, Cundinamarca  y 
Valle  del Cauca; equivale a 6 400 m2.
Para  mejor  entendimiento  e  interpretación  de  los  planos  y  cálculos  de  un 
levantamiento  topográfico es aconsejable  presentar  el área  con las  tres unidades 
antes descritas.
FIGURA10.1 Unidades de área
1 m2
1m x 1m 80m x 80m 
6400m2
100m x 100m 
10000m2
1 fg
1 ha
10.2 Métodos de cálculo de áreas
El  área  de  un  levantamiento  topográfico puede  determinarse  utilizando  varias 
metodologías  de  acuerdo  con  el  tipo  de  levantamiento  y  las  medidas  que  se 
planifican realizar en el terreno; estas metodologías pueden ser:
•  División  del  terreno  en  figuras  geométricas  (aplicado  especialmente  a 
levantamiento  con cinta).
•  Por coordenadas (levantamiento con teodolito y estación total).
•  Dibujo asistido por computador.
Cuando  se  requiere  establecer  valores  de  áreas  sobre  cartografía,  mapas  o  la 
cartografía o el plano de un levantamiento,  se puede lograr con cualquiera de los 
siguientes métodos:
•  Conteo de cuadros (malla de puntos, papel milimetrado o cuadriculado).
•  Planímetro.
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS 195 195 
10.2.1 Método de las figuras geométricas
Para la  utilización de esta metodología es necesario planificar  el seccionamiento 
del terreno en figuras geométricas conocidas, con el fin de medir en el terreno las 
suficientes  distancias  y ángulos, que permitan determinar  el área  de cada  figura 
en la oficina.
La figura más  utilizada para  determinar  el  área  de  un  polígono es  el  triángulo, 
método que fue propuesto por primera vez por el griego Antifón hacia el año 430 
a. C. El área de figuras curvas presenta mayor dificultad.
La tabla 10.1 presenta  un resumen de las fórmulas más comunes para determinar 
el área de las principales figuras geométricas:
TABLA 10.1 Cálculo del área por figuras geométricas
Nombre Definición Figura Términos Fórmula
Cuadrado
Polígono de cuatro 
lados (cuadrilátero) 
los cuales forman 
ángulos de 90°.
d
L
L L = Lado 
d= Diagonal
A = L²
A = d2 /2
Paralelogramo
Cuadrilátero, el 
cual tiene sus lados 
opuestos iguales y 
paralelos.
a
b
b= Base 
a= Altura
A = b*a
Rectángulo
Paralelogramo, cuyos 
cuatro lados forman 
ángulos rectos. h
b
b= Base 
h= Altura
A = b*h
Rombo
Cuadrilátero, el cual 
sus dos diagonales 
se cruzan en ángulo 
de 90°.
d D
D= Base 
Mayor 
d= Base 
Menor
A = (D * d)/2
Trapecio
Cuadrilátero, que 
tiene dos de sus lados 
paralelos y los otros 
dos lados no.
h
b
B
B= Base 
Mayor 
b= Base 
Menor 
h= Altura
A = ((B + b)/ 
2) * h
Círculo
Lugar geométrico 
donde todos los pun-
tos que conforman 
esta figura, equidistan 
de un punto llamado 
centro.
r
r= Radio A= Π * r²
TOPOGRAFÍA196 TOPOGRAFÍA196 
Nombre Definición Figura Términos Fórmula
Triángulo
Porción del plano 
limitada por tres 
segmentos de recta.
Cuando se conoce la 
base y altura. h
b
b= Base 
h= Altura
A = (b * h) / 2
Cuando se conocen 
dos lados y el ángulo 
que forman.
b
b
c
β = Ángulo 
b, c =Lados
A = (b * b * 
Senβ) / 2
Cuando se conocen 
los tres lados.
a b
c
a, b, c = Lados
S = (a + b + 
c) / 2
A = √(S(S – a)
(S – b)(S – c))
Lo primero es delimitar el terreno con un polígono para poderlo dividir, la figura 
10.2  presenta  un  polígono sobre un  terreno  que va  a  ser  levantado.  Cuando  el 
terreno  presenta  alineamientos  que no  son uniformes,  se  traza  el  alineamiento 
adaptándolo al lindero del terreno,  tratando de compensar el área que se excluye 
con  la  que se  incluye.  El polígono que demarca  el  terreno  se divide en  figuras 
geométricas  conocidas, regularmente  triángulos y rectángulos,  ya que con otras 
figuras no se tiene la certeza de tener los ángulos rectos.
FIGURA 10.2 Área a levantar
Fuente
Zona 
verde
Ca
rm
in
o 
en
 a
do
qu
ín
Zona 
verde
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS 197 197 
La figura 10.3  presenta  el polígono seccionado en  figuras  geométricas.  La  tabla 
10.2 consigna el  cálculo del  área de cada  figura y el área  total del polígono, que 
corresponde a la suma de las áreas de todas las figuras geométricas.
FIGURA10.3 División del terreno en figuras geométricas
TABLA 10.2 División en figuras geométricas
No. Figura Elementos No. Figura Elementos
1 h
b1
b
b1 = base 1 
b2 = base 2, 
h = altura
3 r r = radio
2 h
b1
b
b1 = base 1 
b = base 2, 
h = altura
4
h
b b = base, 
h = altura
Con este planeamiento se toman las medidas en el terreno, los radios y las cuerdas 
para establecer  los ángulos  en los deltas;  las figuras  10.4 a y 10.4 b presentan  la 
cartera  de  campo. Realizando  los cálculos  de acuerdo  con el  procedimiento del 
capítulo 2. Levantamiento  con cinta, se determinan  los elementos  de las  figuras 
geométricas, los resultados se presentan en la tabla 10.3.
1
3
4
2
TOPOGRAFÍA198 TOPOGRAFÍA198 
FIGURA 10.4 A Cartera de campo: Levantamiento con cinta
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS 199 199 
FIGURA 10.4 B Cartera de campo: Levantamiento con cinta
TOPOGRAFÍA200 TOPOGRAFÍA200 
TABLA 10.3 División en figuras geométricas
No. Figura Elementos Fórmula Resultado
1 h
b1
b
b
1
= 28.862
b
2
= 40.805
h= 10.796
A = (b
1
+ b
2
) * (h / 2) 376.062
2 h
b1
b
b
1
= 42.689
b
2
= 28.862
h= 12.282
A = (b
1
+ b
2
) * (h / 2) 439.395
3 r r = 3.30 A = π * r
2 34.212
4
h
b
b= 29.065
h= 4.7
A = b * h 136.607
Área del polígono 
Área de la fuente 
Área del camino 
Área de la zona verde
815.457 m2 
34.212 m2 
136.607 m2 
644.639 m2
10.2.2 Método de las coordenadas
Esta metodología permite determinar el área de un polígono cualquiera empleando 
las  coordenadas  norte y este  de los vértices  del polígono, para  lo cual  se utiliza 
cualquiera de los dos procedimientos siguientes:
•  El  área  de  un  polígono es  igual  a  un medio del  valor  absoluto  de  la  resta 
de la  sumatoria del producto de norte-i por este-i+1, menos  la sumatoria del 
producto de este-i por norte-i+1:A=
n n
i=1 i=1
* ∑(Ni * E i+1) + ∑(Ei * Ni+1)
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS 201 201 
•  El área de un polígono es igual a un medio del valor absoluto de la sumatoria 
del producto entre de la resta de la norte-i menos la norte-i+1, por la suma de 
este-i menos este- i+1:
A=
n n
i=1 i=1
* ∑[(Ni - Ni+1) + ∑(Ei + Ni+1)]
Donde:
» A  =  área del polígono.
» N  =  coordenada norte.
» E  =  coordenada este.
» n  =  número de vértices del polígono del área.
Para  aplicar  cualquiera  de los métodos basta  con numerar  los vértices  del polí-
gono, preferiblemente  en  sentido horario, y organizar  las  coordenadas  de estos 
puntos en dos columnas, repetir el primer vértice y efectuar  la operación.
Ejemplo práctico
La figura 10.5 presenta la imagen de una edificación que fue levantada por 
una poligonal cerrada  y de la cual se calcularon  las coordenadas de sus lin-
deros,  los cuales  corresponden  a los puntos señalados  en  la imagen (tabla 
10.4); se desea determinar el área construida.
FIGURA 10.5 Coordenadas de la edificación - Numeración de puntos
TOPOGRAFÍA202 TOPOGRAFÍA202 
TABLA 10.4 Coordenadas de los puntos
Punto Norte Este Punto Norte Este
1 2809.361 3081.690 14 2902.944 3134.685
2 2798.610 3052.112 15 2900.139 3135.504
3 2877.017 3023.612 16 2893.534 3113.587
4 2900.456 3088.093 17 2891.144 3114.455
5 2905.838 3086.137 18 2886.310 3112.196
6 2914.622 3110.301 19 2882.699 3102.261
7 2909.239 3112.258 20 2884.954 3097.425
8 2932.045 3174.999 21 2887.344 3096.556
9 2853.638 3203.499 22 2879.652 3075.394
10 2842.217 3172.079 23 2880.876 3074.949
11 2856.750 3166.796 24 2869.917 3044.800
12 2862.911 3183.745 25 2819.104 3063.270
13 2913.711 3165.280 26 2823.881 3076.412
1 2809.361 3081.690
•  Empleando el primer método se obtiene:
A =  ½ * |∑ [(N
1
* E
2
) + (N
2
* E
3
) +.. + (N
27
* E
1
)] - ∑ [(E
1
* N
2
) 
+ (E
2
* N
3
) +...+ (E
27
* N
1
)]|
A =  ½ * |∑ [(2809.361 * 3052.112) + (2798.610 * 3023.612) +...+ 
(2823.881 * 3081.690)] - ∑ [(3081.690 * 2798.610) + (3052.112 
* 2877.017) +...+ (3076.412 * 2809.361)]|
A =  ½ * |241 242 360.624 – 241 231 638.037| = 5 361.294 m2
A =  0.838 fa  A = 0.536 ha
La tabla 10.5 presenta los cálculos de este método. 
TABLA 10.5 Cálculos discriminados del primer método
Punto Norte Este (N
i
* E
i+1
) (E
i
* E
i+1
)
1 2809.361 3081.690
2 2798.610 3052.112 8 574 485.544 8 624 446.743
3 2877.017 3023.612 8 461 910.477 8 780 979.566
4 2900.456 3088.093 8 884 497.230 8 769 852.055
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS 203 203 
Punto Norte Este (N
i
* E
i+1
) (E
i
* E
i+1
)
5 2905.838 3086.137 8 951 202.165 8 973 499.785
6 2914.622 3110.301 9 038 031.770 8 994 921.304
7 2909.239 3112.258 9 071 053.848 9 048 608.971
8 2932.045 3174.999 9 236 830.625 9 125 279.335
9 2853.638 3203.499 9 392 804.105 9 060 297.193
10 2842.217 3172.079 9 051 964.285 9 105 039.529
11 2856.750 3166.796 9 000 720.509 9 061 837.064
12 2862.911 3183.745 9 095 165.055 9 066 255.450
13 2913.711 3165.280 9 061 915.849 9 276 511.819
14 2902.944 3134.685 9 133 563.433 9 188 630.242
15 2900.139 3135.504 9 102 190.445 9 091 019.494
16 2893.534 3113.587 9 029 832.082 9 072 687.239
17 2891.144 3114.455 9 011 783.837 9 001 826.617
18 2886.310 3112.196 8 997 805.614 8 989 285.011
19 2882.699 3102.261 8 954 088.765 8 971 524.366
20 2884.954 3097.425 8 928 945.456 8 949 879.617
21 2887.344 3096.556 8 933 421.245 8 943 332.067
22 2879.652 3075.394 8 879 719.836 8 917 003.304
23 2880.876 3074.949 8 854 781.232 8 859 827.574
24 2869.917 3044.800 8 771 689.483 8 824 847.220
25 2819.104 3063.270 8 791 328.888 8 583 607.949
26 2823.881 3076.412 8 672 725.196 8 650 309.740
27 2809.361 3081.690 8 702 325.351 8 642 750.488
1 2809.361 3081.690 8 657 578.295 8 657 578.295
∑ 241 242 360.624 241 231 638.037
Área 
5 361.294 m2
0.838 fa
0.536 ha
•  Empleando el segundo método se obtiene:
A =  ½ * |∑ [(N
1
– N
2
) * (E
1
+ E
2
) + (N
2
– N
3
) * (E
2
+ E
3
) +...+ (N
27
– 
N
1
) * (E
27
+ E
1
)]|
TOPOGRAFÍA204 TOPOGRAFÍA204 
A =  ½ * |∑ [(2809.361 – 2798.610) * (3081.690 + 3052.112) + 
(2798.110 – 2877.017) * (3052.112 + 3023.612) +...+ (2823.881 
– 3809.361) * (3076.412 + 3081.690)]|
A =  ½ * |10 722.587| = 5 361.294 m2
A =  0.838 fa  A = 0.536 ha
La tabla 10.6 presenta los cálculos de este método. 
TABLA 10.6 Cálculos discriminados del segundo método
Punto Norte Este (N
i
– N
i+1
) (E
i
– E
i+1
)  (N
i
– N
i+1
) * (E
i
– E
i+1
)
1 2809.361 3081.690  
2 2798.610 3052.112 10.751 6 133.802 65945.118
3 2877.017 3023.612 -78.407 6 075.724 -476380.538
4 2900.456 3088.093 -23.438 6 111.705 -143248.594
5 2905.838 3086.137 -5.383 6 174.230 -33234.645
6 2914.622 3110.301 -8.784 6 196.438 -54426.411
7 2909.239 3112.258 5.383 6 222.559 33494.788
8 2932.045 3174.999 -22.806 6 287.257 -143387.172
9 2853.638 3203.499 78.407 6 378.498 500119.546
10 2842.217 3172.079 11.421 6 375.578 72816.115
11 2856.750 3166.796 -14.534 6 338.875 -92126.035
12 2862.911 3183.745 -6.161 6 350.541 -39125.049
13 2913.711 3165.280 -50.799 6 349.025 -322526.041
14 2902.944 3134.685 10.767 6 299.965 67829.830
15 2900.139 3135.504 2.805 6 270.188 17589.759
16 2893.534 3113.587 6.604 6 249.090 41269.615
17 2891.144 3114.455 2.390 6 228.042 14888.134
18 2886.310 3112.196 4.834 6 226.651 30096.518
19 2882.699 3102.261 3.611 6 214.457 22441.025
20 2884.954 3097.425 -2.254 6 199.686 -13975.953
21 2887.344 3096.556 -2.390 6 193.982 -14806.093
22 2879.652 3075.394 7.692 6 171.950 47477.109
23 2880.876 3074.949 -1.224 6 150.343 -7529.249
24 2869.917 3044.800 10.959 6 119.748 67066.323
25 2819.104 3063.270 50.812 6 108.069 310365.655
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS 205 205 
Punto Norte Este (N
i
– N
i+1
) (E
i
– E
i+1
)  (N
i
– N
i+1
) * (E
i
– E
i+1
)
26 2823.881 3076.412 -4.777 6 139.681 -29328.643
1 2809.361 3081.690 14.520 6 158.101 89417.474
∑ 10 722.587
Área 
5 361.294 m2
0.838 fa
0.536 ha
Independiente del método que se emplee el resultado debe ser el mismo.
10.2.3 Método de la herramienta CAD
Con la aparición de las herramientas  computacionales de dibujo, se encontró un 
método muy aproximado para la determinación de las áreas de un levantamiento 
topográfico o parte  de  este;  toda  vez  que en  una  plataforma  CAD el  dibujo  se 
realiza en el modelo (model) a escala  1:1, representando  la realidad, y se escala  en 
el plano (Layout) para su impresión y presentación.
Existen diversos  procedimientos para  determinar  un  área  en CAD,  se  indican 
algunos de ellos:
•  Comando AREA, por object:
El procedimiento consiste en realizar  sobre el dibujo una poligonal que 
una  los puntos que encierran  el área  que se desea determinar,  la  figura 
10.6  presenta  la  poligonal  que  une  los  puntos  de  la  figura  10.5  en  la 
plataforma  CAD.
FIGURA10.6 Poligonal que une los puntos de la edificación de la figura 10.5 
TOPOGRAFÍA206 TOPOGRAFÍA206 
Posteriormente  se  digita  el  comando AREA en  la  barra  de  comandos  de 
AutoCAD,  tal  como se  presenta  en  la  figura  10.7,  se  selecciona  la  opción 
Object y se pica sobre cualquier punto de la poligonal (figura 10.8).
FIGURA10.7 Comado AREA en la barra de comandos
FIGURA 10.8 Comando AREA, opción Object, selección del polígono
En ese momento en la barra de comandos de AutoCAD se presenta  el área y 
el perímetro del polígono seleccionado, que para el ejemplo corresponden a 
5361.287 m2 y 715.810 m, respectivamente  (figura 10.9).
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS 207 207 
FIGURA 10.9 Área del polígono
•  Comando AREA:
Teniendo  los  puntos  que conforman  los  vértices  del  polígono, se digita  el 
comando  AREA y  se  van  seleccionando  los  puntos,  preferiblemente  en 
sentido horario,  como lo  presenta  la  figura  10.10.  Al  seleccionar  el  último 
punto se da Enter y se obtiene el valor del área y el perímetro del polígono, 
como se observa en la figura 10.11.
FIGURA10.10 Selección de puntos del polígonobajo el comando AREA
TOPOGRAFÍA208 TOPOGRAFÍA208 
FIGURA 10.11 Área del polígono
•  Comando LIST:
El procedimiento consiste en realizar sobre el dibujo una poligonal que una los 
puntos que encierran el área que se desea determinar, la figura 10.6 presenta  la 
poligonal que une los puntos de la figura 10.5 en la plataforma CAD.
Posteriormente se digita el comando LISTen la barra de comandos de AutoCAD, 
tal como se presenta en la figura 10.12, se selecciona el objeto o poligonal y se da 
Enter, en ese momento se despliega una ventana de texto auxiliar que presenta 
el área, el perímetro y las coordenadas de los vértices del polígono como se pre-
senta en la figura 10.13. Si son muchos los vértices del polígono, con el comando 
Enter se van desplegando las diferentes páginas de la ventana auxiliar de texto.
FIGURA 10.12 Comando LIST
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS 209 209 
FIGURA 10.13 Área de la poligonal con el comando LIST
10.2.4 Método gráfico del planímetro
Cuando  se  deseaba  medir  áreas  sobre  un  plano  o  cartografía,  una  de  las 
herramientas más utilizada  fue el planímetro. Este puede ser  polar o rodante,  la 
figura 10.14 presenta un planímetro rodante.
TOPOGRAFÍA210 TOPOGRAFÍA210 
FIGURA10.14 Planímetro rodante
Los planímetros polares disponen de un punto fijo, lo que genera que la superficie, 
a la que se le quiera determinar  el área,  este  limitada por el tamaño del brazo del 
instrumento,  cuando  la superficie  sea más grande habrá que dividirla en partes, 
determinarlas  por  separado  y  al  finalizar  sumarlas  todas;  con  el  planímetro 
rodante no se presenta esta limitante.
El planímetro da la opción de manejar tanto el sistema internacional de unidades 
como el  sistema  anglosajón.  Por lo  que se pueden establecer  áreas  en m², cm², 
km², para el caso en Colombia.
Al  iniciar  la  medición  se  debe  evitar  que  los  brazos  del  planímetro  queden 
formando  ángulos próximos a  0° o 180  °, se recomienda  iniciar con un  ángulo 
cercano  a  los  90  °  (figura 10.15), marcar  el  punto  de  inicio, sobre  el  borde del 
polígono y realizar  el  recorrido en  el sentido de las manecillas  del  reloj  (Figura 
10.16), hasta cerrar  en el punto de inicio.
FIGURA10.15 Ubicación de los brazos del planímetro
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS 211 211 
FIGURA 10.16 Recorrido para el cálculo del área por planímetro polar
Los  planímetros  electrónicos  permiten  ingresar  la  escala  del  plano,  para  que 
el  equipo directamente  arroje  el  área;  los  más  antiguos  o mecánicos  tienen  la 
necesidad  de determinar  el  factor  de escala,  para  lo cual  sobre  la cartografía  se 
mide  un  decímetro  cuadrado  varias  veces  y  se  estable  el  factor  de  escala  que 
convierte la lectura del planímetro en la escala  correspondiente. Como se indicó, 
se realiza una marca en la cartografía y con el brazo del visor se recorre en sentido 
horario el borde del polígono; la lectura del área debe realizarse  al menos en tres 
ocasiones para  promediar  el valor.  La figura  10.17  y la  tabla  10.7  presentan  un 
ejemplo.
TABLA 10.7 Cálculo del área por planímetro rodante
Observación Área
1 61 383.2
2 61 384.1
3 61 383.7
Promedio 61 383.7
Área m2 61 383.7
Área (ha) 6.14
Área (fa) 9.59
TOPOGRAFÍA212 TOPOGRAFÍA212 
FIGURA 10.17 Cálculo del área por planímetro rodante
Hoy en día la manera más empleada para determinar  el área de una cartografía, 
por su sencillez y rapidez, consiste en escanear  la cartografía o la parte que de ella 
se necesita, insertarla en un dibujo de la plataforma CAD, escalarla  y referenciarla, 
para  luego determinar su área con el método antes descrito.
10.2.5 Método gráfico de la malla de puntos
En  este  método se  elabora,  sobre  un  papel  transparente,  una malla  de  puntos 
ortogonales  equidistantes entre  sí. Se ubica el papel  transparente  sobre el área  a 
medir y se  contabilizan  los puntos  que se ubican dentro de esta,  conociendo el 
área aferente  a cada punto y de acuerdo con la escala  del mapa  se calcula  el área. 
Se recomienda que los puntos estén separados de 0.5 a 1.0 cm (ver figura 10.18).
FIGURA 10.18 Malla de puntos
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS 213 213 
La plantilla  se coloca sobre el mapa y se contabilizan los puntos que están dentro 
del área,  si se encuentran  puntos en el  límite del área se contabiliza como medio 
punto. La figura 10.19 presenta un ejemplo en el que se tiene la cartografía a escala 
1:1000 de la plaza Real de Tunja,  sobre ella se delimita el área a medir y se coloca 
el papel transparente  con la malla de puntos.
Se procede a contabilizar  los puntos dentro del área,  con la recomendación antes 
indicada:
•  Puntos completos:  118
•  Medios puntos:  15
•  Área afrente del punto  1 cm2
De acuerdo a la escala  1 cm es  igual a  10 m, por lo tanto  el área  aferente  a un 
punto es 100 m2
Total área: 118 x 100 + 15 x 0.5 x 100 = 12 550 m2, 1.96 fa, 1.26 ha
TABLA 10.8 Cálculo del área por malla de puntos
Elemento y fórmula Resultado
Espaciamiento (d) 10 m²
Área entre puntos (Ap = d²) 100 m²
Número de Puntos 125.5
Área (Af = N*Ap) 12 550 m²
1.225 ha
1.96 fa
FIGURA10.19 Área por malla de puntos
TOPOGRAFÍA214 TOPOGRAFÍA214 
El procedimiento  de  la  medición de  puntos  se  repite  por  lo menos  tres  veces 
rotando la malla  de puntos sobre el área de la figura y, finalmente,  se promedian 
los puntos o los valores de las áreas.
FIGURA 10.20 Conteo de puntos en el área
FIGURA 10.21 Diferentes ubicaciones de la malla sobre el área
10.2.6 Método gráfico del papel milimetrado
En  esta  metodología  se  emplea  un  papel  milimetrado  transparente  o  se  debe 
dibujar a escala  sobre un papel bond milimetrado. El método se basa en contar el 
número de cuadros, de 1mm x 1mm o 5 mm x 5 mm o 1cm x 1cm, de acuerdo a la 
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS 215 215 
precisión que se quiera lograr, a menor tamaño del cuadro mejor será la precisión 
del área a determinar.
FIGURA 10.22 Área con papel milimetrado
De manera  análoga  al  método  de  la  malla  de  puntos,  se  debe  ubicar  el  papel 
milimetrado o dibujar el área sobre éste en tres posiciones diferentes (figura 10.23); 
en cada una de ellas se contara el número de cuadros. Se procede a contar los cuadros 
completos que están dentro de la figura de área y los cuadros incompletos se cuentan 
como medio cuadro; por aproximación los cuadros incompletos que sean menores 
que medio cuadro se pueden compensar para completar cuadros completos.
FIGURA 10.23 Posiciones diferentes para el conteo de puntos
TOPOGRAFÍA216 TOPOGRAFÍA216 
Para  el ejemplo de la figura 10.23, se cuentan  los cuadros de 1 por 1 milímetros 
y se  ajustan  con respecto a  la  escala  del dibujo, que para  este caso  es  1:2000;  la 
tabla  10.19 presenta  los cuadros  determinados  por cada  posición; con  lo que se 
determina el área.
•  Promedio de cuadros:  1507
•  Área de cada cuadro:  1 mm2
•  Escala:  1:2000
De acuerdo a la escala 1 mm es igual a 2 m, por lo tanto el área aferente a un punto 
es 4 m2.
Total área: 1507 x 4 = 6028 m2, 0.942 fa, 0.603 ha
TABLA 10.9 Número de cuadros
OBSERVACIONES N
1 1508
2 1501
3 1512
Promedio 1507
11.1 Altimetría 
La altimetría (también  llamada hipsometría)  es  el  área  de  la Topografía  que calcula  la coordenada vertical (cota o altura) de los puntos en el terreno o de 
una construcción con respecto a una superficie de referencia o un plano de com-
paración. Para calcular  las cotas de los puntos se utilizará un método topográfico 
denominado Nivelación. 
Con la altimetría se consigue representar  el relieve del terreno. Otras aplicaciones 
muy comunes son:
1. En  proyectos  de  infraestructura  vial  y  proyectos  lineales  de  drenaje  como 
acueductos y alcantarillados,  en los cuales es necesario conocer las diferentes 
alturas de los puntos para determinar pendientes.
2. Para la localización de obras civiles que necesitan una cota oaltura planteada, 
como tanques de almacenamiento para acueductos por gravedad.
3. En el cálculo de movimientos de tierra.
4. Para  la  determinación  y  cálculos  de  obras  de  drenaje  y  determinación  de 
dirección de la escorrentía.
5. La elaboración de mapas o planos donde representen  el terreno.
CAP Í TULO  11
ALTIMETR ÍA  CONCEPTOS  
GENERALES
TOPOGRAFÍA218 TOPOGRAFÍA218 
En general  para cualquier  obra de infraestructura  es necesario conocer,  además 
de  la  posición de  los puntos,  la  altura  o cota,  ya que gran  parte  del  cálculo  del 
costo de la obra depende de este componente, como el movimiento de material  o 
las dimensiones reales del material, entre otros.
11.2 Altura o cota
La altura es la distancia vertical  referida a  un origen determinado, considerado 
como nivel cero, para el que se suele tomar el nivel medio del mar. En geografía, 
la  altitud  es  la  distancia  vertical  de  un  punto  de la  Tierra  respecto  al  nivel del 
mar, llamada  también elevación sobre el nivel medio del mar. La altura, también, 
indica  la distancia vertical  existente  entre dos puntos de la  superficie  terrestre  y 
el nivel de vuelo, que es la altitud según la presión estándar  medida mediante un 
altímetro.
La cota es  una  distancia  vertical  medida  con  base  en  un  plano  de  referencia 
arbitrario.  En  arquitectura  es  muy  utilizada,  ya  que  se  toma  como  plano  de 
referencia  la placa del primer piso, con lo cual es más fácil la interpretación de los 
planos, ver figura 11.1.
FIGURA 11.1 Cota o altura
C
o
ta
A
lt
u
ra
Plano
arbitrario
mnmm
Según la organización internacional Permanent Service for Mean Sea Level el nivel 
medio del mar (Mean Sea Level, MSL) se define como el  nivel promedio de  las 
aguas  tranquilas  del  mar  durante  un  periodo determinado  de  tiempo (meses, 
años), de tal forma que los efectos provocados periódicamente por mareas  y por 
otras causas  frecuentes  como las olas queden compensados. 
Para determinar el nivel medio del mar se utilizan aparatos especiales denominados 
mareógrafos,  que miden el  nivel de  forma  instantánea  y continua  en  un  punto 
específico de la costa.
CAPÍTULO 11: ALTIMETRÍA CONCEPTOS GENERALES 219 219 
El nivel medio del mar  se  toma como cero  altimétrico,  al  cual  se  referencia  la 
red de nivelación nacional. En Colombia el Datum está  ubicado en un mojón en 
Buenaventura  y tiene una altura de 0.000 m.
A partir  del Datum se  ha  densificado  una  red  de  puntos  de  altura  conocida 
por los  principales  corredores  viales  del  país, materializados  en  incrustaciones 
horizontales o mojones. La entidad encargada de realizar este trabajo es el Instituto 
Geográfico Agustín Codazzi (IGAC).
11.3 Tipos de nivelación 
La nivelación es el término que engloba los procedimientos para  determinar las 
alturas  o cotas  de  puntos,  a  partir  de  un  punto  de  referencia,  o  las  diferencias 
existentes entre ellos. Existen varios tipos de nivelación de acuerdo al método y al 
equipo utilizado, como se relaciona en la tabla 11.1.
TABLA 11.1 Tipos de nivelación
Métodos Metodología Equipo
1 Directos
Cinta Cinta métrica
Geométrica Nivel y mira
2 Indirectos
Trigonométrica Teodolito y mira
Barométrica Barómetro
Nivelación con cinta: determina la distancia vertical directamente con una cinta 
métrica. En este procedimiento se debe garantizar  la verticalidad del instrumento. 
Se utiliza para  determinar profundidades de pozos o en medición de distancias 
en construcciones.
Nivelación barométrica: se fundamenta  en la relación entre la altura y la presión 
atmosférica.  A  mayor  altura  menor  es  la  presión,  una  pulgada  de  mercurio 
corresponde  a  1000  pies  de  elevación.  Este método  consiste  en  determinar  la 
distancia vertical a partir de la comparación de las alturas dadas por un altímetro, 
su apreciación es de 10 m, por lo cual no se considera una nivelación topográfica.
Nivelación geométrica: se determina la  distancia vertical directamente,  a través 
de la medición de alturas  desde un nivel de precisión y sobre una regla  llamada 
mira.  La  nivelación  geométrica  ofrece  precisiones  milimétricas  y  es  la  más 
utilizada en trabajos topográficos en proyectos de ingeniería. 
Nivelación trigonométrica: determina  la distancia vertical entre dos puntos con 
base en el ángulo vertical y la distancia horizontal o inclinada; el ángulo puede ser 
de elevación o depresión, dependiendo de la posición del punto observado, arriba 
TOPOGRAFÍA220 TOPOGRAFÍA220 
o abajo del plano horizontal. La precisión de esta nivelación es centimétrica  y es 
utilizada en estudios de prefactibilidad. 
La nivelación geométrica y la trigonométrica son las más utilizadas por lo cual se 
desarrollaran  al detalle más adelante.
11.4 Equipos empleados en nivelación
11.4.1 Teodolito 
El  teodolito  es  un  instrumento  de medición mecánico-óptico universal,  es  un 
telescopio montado sobre un trípode y con dos círculos graduados, uno vertical y 
otro horizontal, con los que se miden los ángulos verticales y horizontales, el cual 
tiene una precisión elevada. Con herramientas  auxiliares  puede medir distancias 
y desniveles. 
FIGURA11.2 Teodolito
En la  actualidad  se utiliza  la  estación  total  que es  una  versión mejorada  de un 
teodolito  que,  además  de  medir  ángulos  verticales  y  horizontales,  permite  la 
medición remota de distancias, facilitando los procedimientos. 
11.4.2 Nivel 
El nivel  topográfico es un instrumento utilizado para  la medición de desniveles 
entre puntos  que se hallan  a distintas  alturas  o el traslado  de cotas de un punto 
conocido a otro desconocido, pueden ser manuales o automáticos.
El nivel consta de un anteojo similar al del teodolito con un retículo estadimétrico, 
para  apuntar,  y  un nivel  de  burbuja,  que  permite  mantener  la  horizontalidad 
CAPÍTULO 11: ALTIMETRÍA CONCEPTOS GENERALES 221 221 
del  eje  óptico del  anteojo.  Ambos están  unidos  de manera  que si  el  nivel  está 
desnivelado, el eje del anteojo  no mantiene  una perfecta  horizontalidad, pero al 
nivelar el primero, el eje óptico también se horizontaliza.
FIGURA 11.3 Nivel
11.4.3 Mira 
Es una regla graduada  en metros, decímetros y centímetros fabricada en madera 
o metal. Tiene una altura de 4 o 5 metros, constituida por tramos plegables para 
facilitar el transporte  y almacenamiento.
FIGURA 11.4 Mira
En este momento se esta ulilizando el nivel electrónico acampañado de mira con 
código de barras para no leer el equipo sino que este realiza  la lectura.
TOPOGRAFÍA222 TOPOGRAFÍA222 
11.4.4 Nivel de mano (nivel Locke) 
Nivel pequeño tubular sujeto a un ocular de unos 12 cm, a través del cual se puede 
observar simultáneamente  el reflejo de la burbuja del nivel y la señal de la mira u 
objetivo que se esté visando.
FIGURA 11.5 Nivel Locke
11.4.5 Nivel Abney
El Abney es  un nivel tubular  sujeto a un nonio graduado, con el  cual es  posible 
poner un grado de inclinación para trazar  pendientes  tanto  en porcentaje  como 
en ángulo. Al igual que el nivel Locke,  la imagen de la  burbuja se refleja  por un 
prisma sobre el campo visual del ocular. 
FIGURA 11.6 Nivel Abney
11.4.6 Altímetro
Un altímetro es un instrumento de medición que indica la diferencia de altitud entre 
el punto donde se encuentra  localizado y un punto de referencia;  habitualmente 
se utiliza para  conocer  la  altura  sobre el  nivel del mar.  Su  funcionamiento  está 
basado en la relación entre presión y altitud.
CAPÍTULO 11: ALTIMETRÍA CONCEPTOS GENERALES 223 223 
FIGURA 11.7 Altímetro
11.4.7 Equipo menor y materiales 
Las comisiones de topografía deben contar con un equipo menor compuesto por: 
plomadas, maceta,  machete,  cinta,  estacas,  puntillas,  pintura,  plásticos. Equipo 
que fue descrito en los conceptos básicos de planimetría.
11.5 Precisión en altimetría
Cuando se repite un proceso o se automatiza, se puede producirun aumento de la 
precisión, esto se debe a que con dicha automatización se disminuyen los errores 
manuales  o su  corrección  inmediata. La  precisión se  refiere  a  la  dispersión del 
conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto 
menor es la dispersión mayor la precisión.
11.5.1 Error permitido en nivelación
Para  todos  los  trabajos  topográficos  de  nivelación  es  necesario  establecer  un 
margen de error o error permitido que permita tener un rango de precisión de los 
levantamientos altimétricos.
Estos  estándares  los  han  desarrollado  diferentes  entidades  e  institutos  de 
investigación en topografía, para  levantamientos de poca precisión se utiliza:
(11.1)
Donde:
•  c = Error de cierre permitido en mm.
•  n = Número de armadas del equipo.
Cuando  se  realizan  traslados  o  circuitos  de  nivelación  donde  se  determina  la 
distancia nivelada,  la Federal Geodetic Control Subcommittee (FGCS) estableció 
la siguiente fórmula:
(11.2)
TOPOGRAFÍA224 TOPOGRAFÍA224 
Donde:
•  c = Error de cierre permitido en mm.
•  m = Una constante.
•  K = La distancia nivelada en kilómetros.
Esta constante está dada de acuerdo a la clase de nivelación, según se describe en 
la tabla 11.2.
TABLA 11.2 Constante por clase de nivelación
Clase Orden M
I 1 4
I 2 6
I 3 12
II 1 5
II 2 8
II 3 12
Para  estudios  topográficos se  trabaja  con  una m de  12,  que corresponde  a una 
nivelación geodésica de tercer orden, según la tabla 11.2: nivelación de clase I de 
tercer orden.
De igual manera, con base en esta formulación se han establecido unos parámetros 
que reúnen, adicional a la clase de nivelación, la longitud máxima de las visuales y 
la apreciación de la lectura. Tal y como se aprecia en la tabla 11.3.
TABLA 11.3 Errores permitidos por clase de nivelación
Clase 
de nivelación
Long. 
Máxima Visual (M)
Aproximación 
de la Lectura (Mm)
Constante
Poca precisión 300 50 95
Ordinaria 150 5 24
Precisión 100 1 12
Geodésica 
de 2do. orden
100 0.1 8
Geodésica 
de 1er. orden
100 0.01 4
Cuando se trabaja con circuitos de nivelación, donde la nivelación y contra nivelación 
se realizan por los mismos cambios, se ha establecido como error máximo permitido 
3 mm, para el chequeo de comparaciones entre los dos recorridos.
Consiste en la  determinación de cotas o diferencias de nivel mediante  la me-dición directa en campo de distancias verticales, este tipo de nivelación es la 
más recomendada para el desarrollo o levantamientos  altimétricos y para realizar 
controles en obras civiles por el alto grado de precisión que brinda.
La  nivelación  geométrica  o  diferencial  tiene  varias  aplicaciones  en  el  diseño, 
construcción,  control  y operación de  diferentes  proyectos  de ingeniería,  se  usa 
principalmente  para  nivelación  de  ejes  o  perfiles  longitudinales,  secciones  o 
perfiles  transversales,  control  e  instalación  de  tuberías,  control  e  instalación 
infraestructuras  de obras civiles en general. 
Cuando se  realiza  una nivelación geométrica  se puede presentar  que los puntos 
o detalles  a  nivelar  estén  alineados,  entonces  tomara  el  nombre  de  nivelación 
geométrica longitudinal; o que los puntos estén ubicados en diferentes direcciones 
y se denominará nivelación geométrica radial. 
Los resultados  de  cualquier  tipo de nivelación será  la determinación  de cotas  o 
alturas sobre el nivel del mar, con lo que se pueden calcular las diferencias de nivel 
entre dos o más puntos específicos.
CAP Í TULO  12
NIVELACIÓN  
GEOMÉTR ICA  O 
D IFERENCIAL
TOPOGRAFÍA226 TOPOGRAFÍA226 
12.1 Equipos para nivelación geométrica
Para  el  desarrollo  de  una  nivelación  geométrica  se  necesitan  básicamente  dos 
equipos el nivel de precisión y la mira topográfica, dichos elementos se describieron 
detalladamente  en el capítulo 11. Altimetría conceptos generales del presente texto, 
con el propósito de recordar esos conceptos a continuación se presenta una breve 
descripción: 
Nivel de precisión: equipo que presenta  o permite  tomar  visuales horizontales, 
con enfoque de anteojo según la respectiva distancia.
Mira topográfica: regletas  demarcadas  con distanciamientos  de un  centímetro 
o de un milímetro, es de anotar  que las  lecturas  o mediciones se deben realizar 
siempre al milímetro, es decir, si la mira esta  demarcada  al centímetro,  el  lector 
o  profesional  de  campo  según  su  apreciación  debe  aproximar  las  lecturas  al 
milímetro, para lo cual se recomienda realizar lecturas de los tres hilos o retículos 
que presenta el equipo como son: lectura en el hilo superior (Ls), lectura en el hilo 
medio (Lm) y lectura  en el  hilo inferior (Li). Los cálculos  se deben realizar  con 
la lectura  del hilo medio, pero para cada  punto tomado es imperativo realizar  la 
comprobación de que el promedio de las  lecturas de hilo superior e hilo inferior 
se iguala a la lectura del hilo medio + ó - un milímetro.
Es importante anotar  que se ha observado que cuando el profesional de campo 
ha adquirido bastante  experiencia en nivelaciones geométricas, tiende a realizar 
únicamente  la lectura del hilo medio; con lo cual se presenta ahorro en tiempo de 
ejecución, pero se puede perder la precisión del levantamiento  altimétrico.
12.2 Errores en nivelación geométrica
Básicamente  se pueden presentar  tres  tipos o fuentes de  error  en  el  proceso de 
ejecución de las nivelaciones geométricas: 
Personales: errores que se cometen por procedimientos inadecuados del personal 
que toma la información en campo, entre los cuales se pueden presentar:  lecturas 
erróneas de mira, enfoque defectuoso al antojo del equipo, error en la verticalidad 
de la mira, movimientos inadecuados en la mira o trípode en la  toma de datos. 
Para minimizar este tipo de errores se debe brindar una adecuada capacitación al 
personal de comisión de campo, lo mismo que el director o coordinador de dicha 
comisión debe verificar un adecuado desarrollo de los procesos necesarios. 
Naturales: errores  que  se presentan  por características  de  la naturaleza,  medio 
ambiente,  clima,  lluvias  y/o  características  del  terreno  donde  se  desarrolla  el 
proyecto; tales como: la curvatura  terrestre,  cambios de temperatura  que puedan 
generar  fenómenos  de reverberación  de aire y/o dilatación de  elementos  de  los 
equipos utilizados, movimientos  en  la  superficie  terrestre  que  puedan  generar 
asentamientos u otro tipo de variaciones de nivel.
CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL 227 227 
Instrumentales: descalibración de equipo (nivel y/o trípode), desgastes en la mira 
que dificulten  la  realización  adecuada  de las  lecturas,  para  minimizar este  tipo 
de errores  periódicamente  se deben realizar mantenimientos  y calibraciones  de 
todos los equipos así como comprobaciones en campo del buen funcionamiento 
de los mismos. 
En términos generales  para minimizar la  posibilidad de  cometer  errores  en  los 
procesos de nivelación geométrica se recomienda: 
•  Antes de realizar cada lectura se debe comprobar que la burbuja del nivel este 
centrada  adecuadamente,  para  que se  garantice  que el equipo este  nivelado 
adecuadamente.
•  Garantizar  la verticalidad de la mira utilizando equipos adicionales  como el 
ojo de pollo.
•  Realizar un enfoque adecuado sobre la mira de acuerdo a la distancia  entre 
el nivel y la mira. 
•  No  realizar  lecturas  muy  altas  en  la  mira,  entre  más  alta  quede  la  lectura 
mayor es la probabilidad de error, por falta de verticalidad de la misma.
•  No realizar lecturas a distancias muy largas para evitar errores por curvatura 
terrestre.
•  Verificar  los tres hilos en campo.
•  Antes de terminar el trabajo de campo verificar que se han tomado todas las 
lecturas.
•  Realizar el chequeo de cartera de campo antes de abandonar el sitio de trabajo.
12.3 Nivelación geométrica simple
FIGURA 12.1 Nivelación geométrica simpleSe usa  para terrenos  donde las  diferencias  de nivel no superan  los 4 o 5 metros 
que son  las  magnitudes  a  las  cuales  regularmente  se  han  construido  las  miras 
topográficas,  ya  que  desde  una  sola  posición del  equipo (nivel  topográfico de 
precisión) se realizan  todas las lecturas necesarias.
TOPOGRAFÍA228 TOPOGRAFÍA228 
El procedimiento de campo consiste en armar el nivel en un punto o sitio desde 
donde se pueda tomar la vista atrás o vista más (V+) sobre la mira ubicado en el 
punto materializado con cota conocida (BM o NP) y luego girando el anteojo se 
puedan tomar todas las lecturas o vistas intermedias (Vi) a todos y cada uno de los 
puntos que se necesiten nivelar, para realizar  los cálculos se utilizan dos fórmulas:
Altura Instrumental (Ai) = Cota del BM o NP + Vista más (V+) 
Cota de cada punto = Altura Instrumental (Ai) – Vista intermedia 
a cada punto (Vi)
12.3.1 Ejemplo Nivelación Geométrica Simple 
FIGURA 12.2 Cartera de campo: nivelación geométrica simple
CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL 229 229 
Cálculos
De acuerdo a las  dos fórmulas relacionadas  se calcula  la nivelación. Tal  como se 
presenta en la tabla 12.1
TABLA 12.1 Cálculos nivelación geométrica simple
Pto. V+ Vi Alt. Inst. Cota Observaciones
NP10 1.425   2690.639 2689.214 Placa
1   1.685   2688.954 Estaca
2   2.568   2688.071 Estaca
3   3.658   2686.981 Estaca
4   3.124   2687.515 Estaca
12.4 Nivelación geométrica compuesta
Nivelación geométrica  realizada  ubicando el  nivel en  diferentes  posiciones, con 
vistas  atrás  y  delante  del  BM o NP y a  los  cambios, y  vistas  intermedias  a  los 
puntos a nivelar. Es decir, se va trasladando  la cota desde el BM hasta cada punto.
Esta  nivelación  se  usa  cuando  desde  una  sola  posición del  nivel  no  se  puede 
observar la mira ubicada en todos y cada uno de los puntos que se necesita nivelar, 
o sea, en terrenos con visuales muy largas,  con diferencias de nivel considerables 
que no permitan realizar una nivelación geométrica simple o cuando no existe la 
visibilidad de todos los puntos desde una sola posición del nivel. 
Es necesario  realizar  la  nivelación  y  la  respectiva  contranivelación  para  poder 
verificar que se cumplen las especificaciones requeridas según el tipo de proyecto.
La contranivelación  es el proceso mediante el cual  se lleva  la nivelación hasta  el 
punto de inicio (es decir iniciar la nivelación en un punto de cota conocida (BM) 
y terminar en ese mismo punto). Cuando se realiza nivelación y contranivelación 
se denomina un circuito de nivelación.
Se  pueden  realizar  circuitos  de  nivelación  por  diferentes  cambios  o  por  los 
mismos cambios. Se  recomienda  por los mismos cambios, ya  que este método 
permite realizar  revisiones  y comprobaciones  en  cualquier  sector  parcial  de  la 
nivelación, mientras que la nivelación por diferentes cambios solo permite realizar 
evaluaciones de los resultados finales de la nivelación.
Para  terrenos  de  gran  extensión,  se  recomienda  realizar  varios  circuitos,  es 
decir, sectorizar  en tramos máximos de 2 kilómetros  y realizar  un circuito para 
cada  sector.  Lo anterior  debido a  que se  puede verificar,  controlar  y/o realizar 
correcciones de manera más sencilla y organizada. 
TOPOGRAFÍA230 TOPOGRAFÍA230 
Las fórmulas de cálculo para las nivelaciones compuestas básicamente son:
•  Altura instrumental  = Cota + (V+)
•  Cota para los cambios = altura  instrumental – (V-)
•  Cota para los puntos = altura instrumental  – (Vi)
FIGURA 12.3 Nivelación geométrica compuesta
12.4.1 Procedimiento para nivelaciones geométricas 
compuestas 
•  Reconocer el terreno para planeación del trabajo de campo y definición de la 
metodología a utilizar. 
•  Ubicar y nivelar el equipo (nivel de precisión) en un sitio desde donde se pueda 
tomar la (V+) a la mira ubicada en el BM o NP y desde donde se puedan tomar 
la (Vi) a la mayor cantidad posible de puntos o detalles.
•  Tomar  la lectura de (V+).
•  Realizar  las  (Vi) a los puntos o detalles  que se puedan visualizar desde este 
punto.
•  Materializar  un punto  que se usara  como cambio No 1  (C#1) al  cual  se  le 
toma la lectura de mira, vista adelante  o vista menos (V-).
•  Trasladar  el nivel a un sitio desde donde se pueda realizar  la vista atrás  (V+) 
al C#1, realizar dicha vista.
•  Tomar  lecturas, vistas intermedias (Vi), a los puntos a nivelar que se puedan 
visualizar desde esta posición.
•  De  ser  necesario,  materializar  más  cambios  repitiendo  el  procedimiento 
escrito para el cambio 1 (C#1); es decir ubicar un punto de cambio 2 (C#2)M, 
dar vista menos (V-) a dicho cambio y continuar la nivelación hasta finalizar 
la nivelación (se recuerda que se debe llegar de nuevo al punto inicial o BM).
•  Realizar  la vista menos (V-) al BM para cerrar  la nivelación. 
CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL 231 231 
12.5 Circuito de nivelación por diferentes cambios
De acuerdo al  procedimiento relacionado anteriormente  se realiza  la nivelación 
de los  diferentes  puntos por medio de  una  nivelación  geométrica  compuesta  y 
después por medio de otra ruta,  es decir por cambios diferentes,  se desarrolla  la 
contranivelación; que como ya se había indicado consiste en realizar una nivelación 
desde el punto final hasta el punto de inicio o BM, como se llega al punto inicial la 
diferencia de nivel teórica debe ser igual a cero (0); por lo que se deben establecer 
las precisiones y aplicar las correcciones según las especificaciones del proyecto.
Para  un  circuito de  nivelaciones  por diferentes  cambios  es  necesario,  para  los 
puntos de cambio, realizar  las  lecturas  de mira con  los tres hilos del  equipo: Ls 
(hilo superior), Lm (hilo medio) y Li (hilo inferior). 
También se podría y se recomendaría tomar los tres hilos para cada punto o detalle, 
pero aumentaría  los tiempos del trabajo de campo, por lo que en la actualidad ese 
proceso casi nunca se realiza.
TOPOGRAFÍA232 TOPOGRAFÍA232 
12.5.1 Ejemplo práctico: Circuito de nivelación 
por diferentes cambios
FIGURA12.4A Ejercicio. Circuito de nivelación por diferentes cambios
CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL 233 233 
FIGURA 12.4BEjercicio. Circuito de nivelación por diferentes cambios
TOPOGRAFÍA234 TOPOGRAFÍA234 
Cálculos 
Inicialmente se calcula la nivelación compuesta de los cambios. 
TABLA 12.2 Nivelación de cambios del circuito de nivelación
Pto. V+ Alt. Inst. Vi V- Cota Observaciones
BM-1 1.856 2582.206     2580.350 Placa
C1 2.314 2583.266   1.254 2580.952 Estaca
C2 0.895 2581.503   2.658 2580.608 Estaca
C3 2.254 2582.901   0.856 2580.647 Estaca
BM-1       2.546 2580.355 Placa
El error del circuito de nivelación es la cota inicial o base del cálculo (cota del BM) 
– La cota final del BM calculada  en el circuito.
Para este ejemplo 2580.350 – 2580.355 = -0.005
Para realizar  las correcciones se debe establecer  la distancia total nivelada. Como 
al BM y a  todos y cada uno de los cambios se le  tomaron las  lecturas  de los tres 
hilos,  por medio  de  taquimetría  (la  fórmula  para  el  cálculo  de  distancia  por 
taquimetría es D (distancia horizontal)  = (Ls ¨lectura hilo superior¨ – Li ¨lectura 
hilo inferior)*100), se calculan  las distancias entre cambios y la distancia total.
TABLA 12.3 Cálculos de distancias
De A
V+ V- Dist. 
Total
Dist. 
Acum.Ls Li Dist Ls Li Dist
BM-1 C#1 1.958 1.755 20.3 1.455 1.052 40.3 60.600 60.600
C#1 C#2 2.471 2.157 31.4 2.925 2.390 53.5 84.900 145.500
C#2 C#3 1.071 0.720 35.1 1.025 0.686 33.9 69.000 214.500
C#3 BM 10 2.338 2.17 16.8 2.689 2.402 28.7 45.500 260.000
Se debe verificar que el error cumple con las especificaciones del proyecto, según lo 
relacionado en el capítulo 11. Altimetría conceptos generales,  para lo cual se tiene: 
CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL 235 235 
Donde:
•  c = Error de cierre permitido en mm.
•  m = Unaconstante.
•  K = La distancia nivelada en kilómetros.
La  constante  utilizada  será  de  12,  pues  es  la  recomendada  para  proyectos 
topográficos.
Se comprueba que el error de 5 milímetros este dentro del parámetro permisible, 
de lo contrario se debe repetir el trabajo de campo. 
Las  cotas  de  los  cambios  se  corrigen  proporcionalmente  según  la  distancia 
acumulada de nivelación, es decir mediante la fórmula: 
Corrección = (error de la nivelación * distancia acumulada) 
/ (distancia total)
TABLA 12.4 Ajuste del circuito
Pto. Cota Corrección Cota Corregida
BM-1 2580.350   2580.350
C1 2580.952 -0.001 2580.951
C2 2580.608 -0.003 2580.605
C3 2580.647 -0.004 2580.643
BM-1 2580.355 -0.005 2580.350
Finalmente  las  cotas  de  los detalles  se  calculan  con  las  cotas  corregidas  de  los 
cambios, tal como se presenta en la tabla 12.5.
TOPOGRAFÍA236 TOPOGRAFÍA236 
TABLA 12.5 Cotas de los detalles 
Pto. V+ Alt. Inst. Vi Cota Observaciones
BM-1 1.856 2582.206   2580.350 Placa
1     1.685 2580.521 Construcc.
2     1.682 2580.524 Construcc.
C1 2.314 2583.265   2580.951 Estaca
3     2.744 2580.521 Construcc.
C2 0.895 2581.500   2580.605 Estaca
4     0.975 2580.525 Construcc.
8     1.985 2579.515 Bodega
9     1.982 2579.518 Bodega
C3 2.254 2582.897   2580.643 Estaca
5     2.381 2580.516 Construcc.
6     2.374 2580.523 Construcc.
7     3.381 2579.516 Bodega
10     3.388 2579.509 Bodega
CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL 237 237 
12.5.2 Ejercicio propuesto: Circuito de nivelación 
por diferentes cambios
FIGURA12.5 Ejercicio propuesto. Circuito de nivelación por diferentes cambios
TOPOGRAFÍA238 TOPOGRAFÍA238 
12.6 Circuito de nivelación por los mismos cambios
En la  realización  de un  circuito de nivelación,  la  contranivelación  se desarrolla 
por los mismos cambios utilizados para la nivelación. Este método es el más acon-
sejable para nivelaciones geométricas compuestas, ya que se podrán realizar veri-
ficaciones en todos y cada uno de los sectores de la nivelación y así, en caso de ser 
necesario, poder realizar  las correcciones pertinentes de forma precisa y eficiente.
12.6.1 Ejemplo práctico: Circuito de nivelación por los mismos 
cambios
FIGURA 12.6A Ejercicio. Circuito de nivelación por los mismos cambios
CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL 239 239 
FIGURA12.6B Ejercicio. Circuito de nivelación por los mismos cambios
En la contranivelación no se tomaron los detalles, no sería necesario; aunque si se 
tomaran se podrían comprobar las cotas de todos y cada uno de estos.
TOPOGRAFÍA240 TOPOGRAFÍA240 
Cálculos 
Los cálculos y ajustes  del circuito de nivelación se presentan  en la tabla 12.6;  los 
cuales en términos generales  son: 
•  Con las  (V+) y las (V-) del NP y de los cambios, se  calcula  la  diferencia de 
nivel  entre  los dos  puntos consecutivos,  tanto  en  la  nivelación como en  la 
contranivelación.
•  Con las diferencias de nivel, se realiza el chequeo de cada diferencia de nivel, 
dicho chequeo no debe superar los tres milímetros es decir 0.003 metros, caso 
contrario  se debe ir a campo y repetir  las  cuatro medidas correspondientes 
para cada chequeo que quede por fuera del parámetro.
•  Se calcula  el promedio de diferencias de nivel, para  lo cual se deben cambiar 
los signos de la diferencia de nivel de la contranivelación según las diferencias 
la nivelación, es  decir, si las  diferencias  de nivel  en la  contranivelación  dan 
negativas se deben tomar positivas y viceversa.
•  Con  las  diferencias  de nivel promediadas se  calculan  las  cotas ajustadas  de 
cada cambio. 
CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL 241 241 
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9
3
.1
4
2
 
 
 
 
2
.8
2
0
 
 
-2
.8
1
7
0
.0
0
3
2
.8
1
9
1
5
2
1
.0
2
5
C
4
C
4
 
0
.5
6
4
 
0
.3
2
5
 
TOPOGRAFÍA242 TOPOGRAFÍA242 
Finalmente, con las cotas ajustadas  se realiza el cálculo de todos y cada uno de los 
detalles  de la nivelación, como se relaciona  en la tabla 12.7.
TABLA 12.7 Cálculo de las cotas de los detalles
Pto. V+ Alt. Inst. Vi Cota Obser.
C1 3.215 1516.038   1512.823  
K0+000     3.286 1512.752 Vía
K0+010     2.884 1513.154 Vía
K0+020     2.489 1513.549 Vía
K0+030     2.079 1513.959 Vía
K0+040     1.682 1514.356 Vía
K0+050     1.278 1514.760 Vía
K0+060     0.969 1515.069 Vía
C2 3.458 1518.731   1515.273  
K0+070     3.258 1515.473 Vía
K0+080     2.854 1515.877 Vía
K0+090     2.449 1516.282 Vía
K0+100     2.051 1516.680 Vía
K0+110     1.653 1517.078 Vía
K0+120     1.247 1517.484 Vía
K0+130     0.852 1517.879 Vía
K0+140     0.446 1518.285 Vía
C3 3.384 1521.591   1518.207  
K0+150     2.905 1518.686 Vía
K0+160     2.511 1519.080 Vía
K0+170     2.102 1519.489 Vía
K0+180     1.710 1519.881 Vía
K0+190     1.322 1520.269 Vía
K0+200     0.927 1520.664 Vía
CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL 243 243 
12.6.2 Ejercicio práctico: Circuito de nivelación por los mismos 
cambios
FIGURA 12.7 Ejercicio. Circuito de nivelación por los mismos cambios
13.1 Definición
El objetivo de la nivelación trigonométrica es establecer  la diferencia  de nivel (DN) que existe entre dos puntos, a través de la medición de un ángulo verti-
cal o cenital (AV) y la distancia horizontal (DH) o la distancia inclinada (DI), para 
determinar la distancia vertical (DV) entre la altura del equipo y el prisma o mira; 
distancia vertical, que al ser afectada por la altura  instrumental (HI) y la altura del 
prisma (Ho), permite obtener el desnivel.
La figura 13.1 presenta  el diagrama básico de la nivelación trigonométrica; como 
se observa, el desnivel entre  los puntos C y D corresponde a DN. Este permitirá 
determinar  la  cota  del  punto D con  base  en  la  cota  del  punto  C,  sumando 
algebraicamente  la cota de C al valor del desnivel DN.
Cota D = Cota C + DN  (13.1)
El valor del desnivel se determina mediante la suma y resta de alturas, partiendo 
de la cota del punto sobre el cual se arma el equipo (C). Es importante visualizar 
el triángulo rectángulo  ijk, que se genera  entre  la altura  del equipo, la altura  del 
prisma o punto de visual y la proyección al horizonte de la visual del equipo. En 
este  triángulo  la hipotenusa  es la distancia  inclinada  (DI) entre  el telescopio del 
equipo y el prisma  (ik), el cateto  ( ij ) es la distancia horizontal (DH) y el cateto 
(jk) es la distancia vertical (DV). El valor del desnivel corresponderá a:
DN = HI + (±DV) – Ho  (13.2)
CAP Í TULO  13
NIVELACIÓN  
TR IGONOMÉTR ICA
TOPOGRAFÍA246 TOPOGRAFÍA246 
Por lo tanto:
Cota D = Cota C + HI + (±DV) – Ho  (13.3) 
FIGURA 13.1 Diagrama general de la nivelación trigonométrica
13.2 Usos
La  nivelación  trigonométrica  ha  encontrado  su  principal  uso  en  la  obtención 
de  información para  generación  de modelos digitales  de terreno  – MDT –. Al 
sumarse  al procedimiento de radiaciones  simples, que se ejecutan en los vértices 
o deltas de una poligonal cerrada  o punto a punto,  cuyo objeto es  establecer  las 
coordenadas  norte  y  este  de  los  puntos.  La  nivelación  trigonométrica  permite 
determinar  la  cota de éstos, complementando  así la  información requerida para 
la generación del modelo.
A  diferencia  de  la  nivelación  geométrica,  la  trigonométrica  permite  ejecutar 
medicionesentre puntos con grandes diferencias  de nivel, toda vez que la visual 
no es  horizontal;  resaltando  que a  la  fecha  no existe un  criterio claro  del error 
permitido en  la  nivelación  trigonométrica  y  que  el  desfase  del  ángulo  vertical 
respecto de la horizontal genera un error por aproximación. Por ello la nivelación 
geométrica  brinda  una  mayor  precisión,  puesto  que  las  distancias  verticales 
se  miden  directamente  y  las  variables  de  errores  son  inferiores  que  las  de  la 
trigonométrica.
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 247 247 
13.3 Metodología
Teniendo en cuenta la figura 13.1, el proceso de campo para realizar  la nivelación 
trigonométrica del punto D es el siguiente:
13.3.1 Trabajo en campo
•  El punto de armado Cdebe tener una cota conocida, bien sea que corresponda 
a  un BM o que se  determine  por  nivelación  geométrica  o  trigonométrica 
desde un punto de cota conocida.
•  Se arma, centra y nivela el equipo (tránsito o estación total) en el punto C.
•  Se establece  la  altura  instrumental  (Hi): este  proceso no es muy preciso ya 
que se realiza empleando el flexómetro.
•  Se sitúa la mira o el prisma (estación total) en el punto D, que es al que se le 
quiere establecer  la cota.
•  Se estaciona la visual en la mira o en el prisma y se determina la altura del ob-
jeto (Ho), en el primer caso será la lectura media realizada sobre la mira, por 
lo que se recomienda dirigir la visual en una medida cerrada;  en el segundo 
caso se establece la altura del prisma bien sea directamente en el bastón si este 
está graduado o con la ayuda de un flexómetro.
•  Manteniendo  la  visual anterior,  se mide el  ángulo vertical del equipo (AV), 
también llamado ángulo cenital.
•  Se mide  la  distancia  horizontal  (DH)  o distancia  inclinada  (DI) entre  el 
equipo y el respectivo objeto.
13.3.2 Trabajo en oficina
Se determina la diferencia de nivel DN, la distancia vertical DV y la cota del punto D.
De la ecuación 13.2 se sabe que el desnivel (DN) es igual a: 
DN = HI + (±DV) – Ho  (13.2)
En  la  Figura  13.1  se  visualiza  el  triángulo  rectángulo  ijk con  el  cual  se puede 
determinar:
Cot (AV) = DV / DH
DV = DH * Cot (AV)
DV = DH / Tan (AV)  (13.4)
TOPOGRAFÍA248 TOPOGRAFÍA248 
De otra parte:
Cos (AV) = DV / DI
DV = DI * Cos (AV)  (13.5)
La DV debe ser positiva si la  visual del equipo está  por encima del horizonte, es 
decir, cuando  el  ángulo cenital  es menor  a  90 grados,  tal  como se  ilustra  en  la 
figura  13.1, y debe ser negativa  cuando  la  visual del  equipo está  por debajo del 
horizonte,  es  decir, cuando  el  ángulo cenital  es mayor  a  90 grados  tal  como se 
presenta  en  la figura  13.2. Debido a  las  características  de  las  funciones  coseno 
y  tangente,  el  coseno  y la  tangente  del  ángulo  vertical  mayor  a  90  grados  será 
negativo y se obtiene directamente el signo de DV.
La cota del punto (D) se establece  con la ecuación 13.3:
Cota D = Cota C + HI + (±DV) – Ho  (13.3) 
Remplazando DV se obtiene:
Cota D = Cota C + HI + (DH / Tan (AV)) – Ho  (13.6) 
Cota D = Cota C + HI + DI * Cos (AV) – Ho  (13.7) 
FIGURA13.2 Ángulo cenital mayor a 90 grados
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 249 249 
13.4 Tipos de nivelación trigonométrica
La nivelación trigonométrica puede ser simple si se realiza desde un solo punto o 
compuesta si se requiere más de un punto para realizarla.
13.4.1 Nivelación trigonométrica simple
El procedimiento  radica  en realizar  la nivelación  trigonométrica desde  un  solo 
delta o estación. Como solo tiene una armada no es posible determinar errores, es 
análogo al levantamiento por radiación simple; para calcular la nivelación se debe 
tomar el ángulo vertical, la altura  instrumental y la altura del objeto.
13.4.1.1. Ejemplo de nivelación trigonométrica simple
Se  desea  verificar  la  ubicación  de  una  vivienda,  con  el  fin  de  determinar  el 
volumen de material a excavar  o rellenar para nivelar el terreno en el cual va a ser 
construida.
Para  ello, mediante una  radiación  simple, desde  un delta  arbitrario  se ubican 
los muros exteriores de  la vivienda y, mediante una nivelación  trigonométrica 
simple,  se  establecen  las  cotas  de  terreno,  para  determinar  posteriormente  el 
modelo de la superficie sobre la que se construirá la casa. La figura 13.3 presenta 
los datos de la cartera  de campo.
TOPOGRAFÍA250 TOPOGRAFÍA250 
FIGURA 13.3A Cartera de campo
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 251 251 
FIGURA13.3B Cartera de campo 
La norte  se  toma arbitrariamente  contra  una torre  de energía  que hay cerca  de 
la finca,  visible desde D2, a la  cual  se le  asignan coordenadas  arbitrarias  1000N, 
1000E.  Los  datos  para  determinar  la  cota  de  puntos,  mediante  la  nivelación 
trigonométrica, se presentan en la tabla 13.1.
TOPOGRAFÍA252 TOPOGRAFÍA252 
TABLA 13.1 Datos de campo cálculo nivelación simple
DELTA PUNTO DISTANCIA
ÁNG. 
VERTICAL
Hi Ho
D
2
N   0 ° 0 ‘ 0 ‘’ 1.495 1.72
  1 11.684 98 ° 39 ‘ 44 ‘’   1.72
  2 9.485 89 ° 09 ‘ 02 ‘’   1.72
  3 9.878 87 ° 37 ‘ 24 ‘’   1.72
  4 14.495 84 ° 24 ‘ 32 ‘’   1.72
  5 13.133 80 ° 18 ‘ 59 ‘’   1.72
  6 14.004 80 ° 42 ‘ 47 ‘’   1.72
  7 14.848 80 ° 13 ‘ 17 ‘’   1.72
  8 14.965 79 ° 19 ‘ 02 ‘’   1.72
  9 14.580 79 ° 05 ‘ 55 ‘’   1.72
  10 14.896 79 ° 00 ‘ 20 ‘’   1.72
  11 23.091 80 ° 34 ‘ 30 ‘’   1.72
  12 25.526 79 ° 08 ‘ 48 ‘’   1.72
  13 18.365 80 ° 15 ‘ 07 ‘’   1.72
  14 16.142 79 ° 09 ‘ 47 ‘’   1.72
  15 14.149 79 ° 15 ‘ 46 ‘’   1.72
  16 12.653 78 ° 12 ‘ 52 ‘’   1.72
  17 10.259 77 ° 54 ‘ 07 ‘’   1.72
  18 14.033 80 ° 41 ‘ 17 ‘’   1.72
  19 12.690 82 ° 25 ‘ 39 ‘’   1.72
  20 8.188 79 ° 41 ‘ 12 ‘’   1.72
  21 8.568 78 ° 48 ‘ 58 ‘’   1.72
  22 6.683 78 ° 59 ‘ 02 ‘’   1.72
  23 6.340 87 ° 07 ‘ 10 ‘’   1.72
  24 9.092 84 ° 44 ‘ 47 ‘’   1.72
  25 12.566 88 ° 53 ‘ 32 ‘’   1.72
  26 10.354 95 ° 21 ‘ 07 ‘’   1.72
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 253 253 
DELTA PUNTO DISTANCIA
ÁNG. 
VERTICAL
Hi Ho
  27 12.316 94 ° 24 ‘ 56 ‘’   1.72
  28 12.992 91 ° 18 ‘ 34 ‘’   1.72
  29 17.836 93 ° 11 ‘ 12 ‘’   1.72
  30 18.188 97 ° 04 ‘ 48 ‘’   1.72
  31 13.733 97 ° 31 ‘ 58 ‘’   1.72
  32 14.184 98 ° 11 ‘ 18 ‘’   1.72
  33 10.985 98 ° 36 ‘ 12 ‘’   1.72
Teniendo  en  cuenta  que en  terreno  se midió la  distancia horizontal,  el  primer 
paso consiste  en  calcular  la  distancia vertical  (DV) del  desnivel  vertical  (DN) y 
posteriormente la cota de cada punto, para lo que se emplean las ecuaciones 13.2, 
13.4 y 13.6; los resultados se consignan en la tabla 13.2.
DN = HI + (±DV) – Ho  (13.2)
DV = DH / Tan (AV)  (13.4)
Cota D = Cota C + HI + (DH / Tan (AV)) – Ho  (13.6) 
Por ejemplo, para el punto 9 se tienen los siguientes cálculos:
DV = DH / Tan (AV) = 14.580 / Tan (79° 05’55’’) = 2.808 m
DN = HI + (±DV) – Ho = 1.495 + 2.808 – 1.720 = +2.580 m
Cota 9 = Cota D2 + HI + (DH / Tan (AV)) – Ho 
= 1064.389 + 1.495 + 2.808 – 1.72 = 1066.972m
En este caso DV es positivo, es decir el punto es más alto que el delta.
Por ejemplo, para el punto 32 se tienen los siguientes cálculos:
DV = DH / Tan (AV) = 14.184 / Tan (98° 11’18’’) = –2.041 m
DN = HI + (±DV) – Ho = 1.495 – 2.041 – 1.720 = –2.266 m
TOPOGRAFÍA254 TOPOGRAFÍA254 
Cota 32 = Cota D2 + HI + (DH / Tan (AV)) – Ho 
= 1064.389 + 1.495 – 2.041 – 1.72 = 1062.123m
En este caso DV es negativo, es decir el punto es más bajo que el delta.
TABLA 13.2 Cálculo de desniveles y cotas de los puntos
Delta Punto Distancia
ÁNg. 
Vertical
Hi Ho Dv Cota
D
2
N   0 ° 0 ‘ 0 ‘’ 1.495 1.72   1064.389
  1 11.684 98 ° 39 ‘ 44 ‘’   1.72 -1.780 1062.384
  2 9.485 89 ° 9 ‘ 2 ‘’   1.72 0.141 1064.305
  3 9.878 87 ° 37 ‘ 24 ‘’   1.72 0.410 1064.574
  4 14.495 84 ° 24 ‘ 32 ‘’   1.72 1.419 1065.583
  5 13.133 80 ° 18 ‘ 59 ‘’   1.72 2.241 1066.405
  6 14.004 80 ° 42 ‘ 47 ‘’   1.72 2.290 1066.454
  7 14.848 80 ° 13 ‘ 17 ‘’   1.72 2.559 1066.723
  8 14.965 79 ° 19 ‘ 2 ‘’   1.722.823 1066.987
  9 14.580 79 ° 5 ‘ 55 ‘’   1.72 2.808 1066.972
  10 14.896 79 ° 0 ‘ 20 ‘’   1.72 2.894 1067.058
  11 23.091 80 ° 34 ‘ 30 ‘’   1.72 3.833 1067.997
  12 25.526 79 ° 8 ‘ 48 ‘’   1.72 4.894 1069.058
  13 18.365 80 ° 15 ‘ 7 ‘’   1.72 3.155 1067.319
  14 16.142 79 ° 9 ‘ 47 ‘’   1.72 3.090 1067.254
  15 14.149 79 ° 15 ‘ 46 ‘’   1.72 2.683 1066.847
  16 12.653 78 ° 12 ‘ 52 ‘’   1.72 2.640 1066.804
  17 10.259 77 ° 54 ‘ 7 ‘’   1.72 2.199 1066.363
  18 14.033 80 ° 41 ‘ 17 ‘’   1.72 2.301 1066.465
  19 12.690 82 ° 25 ‘ 39 ‘’   1.72 1.687 1065.851
  20 8.188 79 ° 41 ‘ 12 ‘’   1.72 1.490 1065.654
  21 8.568 78 ° 48 ‘ 58 ‘’   1.72 1.694 1065.858
  22 6.683 78 ° 59 ‘ 2 ‘’   1.72 1.301 1065.465
  23 6.340 87 ° 7 ‘ 10 ‘’   1.72 0.319 1064.483
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 255 255 
Delta Punto Distancia
ÁNg. 
Vertical
Hi Ho Dv Cota
  24 9.092 84 ° 44 ‘ 47 ‘’   1.72 0.836 1065.000
  25 12.566 88 ° 53 ‘ 32 ‘’   1.72 0.243 1064.407
  26 10.354 95 ° 21 ‘ 7 ‘’   1.72 -0.970 1063.194
  27 12.316 94 ° 24 ‘ 56 ‘’   1.72 -0.951 1063.213
  28 12.992 91 ° 18 ‘ 34 ‘’   1.72 -0.297 1063.867
  29 17.836 93 ° 11 ‘ 12 ‘’   1.72 -0.993 1063.171
  30 18.188 97 ° 4 ‘ 48 ‘’   1.72 -2.259 1061.905
  31 13.733 97 ° 31 ‘ 58 ‘’   1.72 -1.816 1062.348
  32 14.184 98 ° 11 ‘ 18 ‘’   1.72 -2.041 1062.123
  33 10.985 98 ° 36 ‘ 12 ‘’   1.72 -1.662 1062.502
– Fuente: elaboración propia –
Con la distancia y el ángulo horizontal  de cada  punto o detalle  se determina  la 
posición o coordenadas  (Norte y Este), empleando la metodología de radiación 
simple. Como la norte es arbitraria, el ángulo observado es el azimut directo. Con 
las coordenadas  y la cota se  realizará  el modelo digital del terreno – MDT, para 
determinar  los volúmenes de excavación. La  tabla 13.3 presenta  los datos de las 
coordenadas.
TABLA 13.3 Cálculo de coordenadas - Radiación simple
Delta Punto Azimut Dist. Ns Ew Norte Este
D
2
N 0 ° 0 ‘ 0 ‘’       1000.000 1000.000
  1 2 ° 27 ‘ 46 ‘’ 11.684 11.673 0.502 1011.673 1000.502
  2 82 ° 31 ‘ 43 ‘’ 9.485 1.233 9.404 1001.233 1009.404
  3 87 ° 28 ‘ 54 ‘’ 9.878 0.434 9.868 1000.434 1009.868
  4 108 ° 05 ‘ 59 ‘’ 14.495 -4.503 13.778 995.497 1013.778
  5 144 ° 46 ‘ 56 ‘’ 13.133 -10.729 7.574 989.271 1007.574
  6 144 ° 09 ‘ 35 ‘’ 14.004 -11.352 8.200 988.648 1008.200
  7 150 ° 43 ‘ 09 ‘’ 14.848 -12.951 7.262 987.049 1007.262
  8 159 ° 27 ‘ 56 ‘’ 14.965 -14.014 5.249 985.986 1005.249
  9 160 ° 12 ‘ 17 ‘’ 14.580 -13.718 4.938 986.282 1004.938
TOPOGRAFÍA256 TOPOGRAFÍA256 
Delta Punto Azimut Dist. Ns Ew Norte Este
  10 163 ° 06 ‘ 51 ‘’ 14.896 -14.254 4.327 985.746 1004.327
  11 152 ° 32 ‘ 34 ‘’ 23.091 -20.490 10.647 979.510 1010.647
  12 166 ° 22 ‘ 46 ‘’ 25.526 -24.808 6.011 975.192 1006.011
  13 181 ° 38 ‘ 39 ‘’ 18.365 -18.357 -0.527 981.643 999.473
  14 172 ° 20 ‘ 26 ‘’ 16.142 -15.998 2.151 984.002 1002.151
  15 179 ° 21 ‘ 43 ‘’ 14.149 -14.148 0.158 985.852 1000.158
  16 170 ° 03 ‘ 07 ‘’ 12.653 -12.463 2.186 987.537 1002.186
  17 182 ° 30 ‘ 42 ‘’ 10.259 -10.249 -0.450 989.751 999.550
  18 198 ° 01 ‘ 09 ‘’ 14.033 -13.345 -4.341 986.655 995.659
  19 218 ° 39 ‘ 4 ‘’ 12.690 -9.910 -7.926 990.090 992.074
  20 212 ° 34 ‘ 37 ‘’ 8.188 -6.900 -4.409 993.100 995.591
  21 201 ° 05 ‘ 37 ‘’ 8.568 -7.994 -3.084 992.006 996.916
  22 184 ° 30 ‘ 07 ‘’ 6.683 -6.662 -0.525 993.338 999.475
  23 257 ° 56 ‘ 11 ‘’ 6.340 -1.325 -6.200 998.675 993.800
  24 241 ° 50 ‘ 10 ‘’ 9.092 -4.291 -8.016 995.709 991.984
  25 276 ° 47 ‘ 16 ‘’ 12.566 1.485 -12.478 1001.485 987.522
  26 326 ° 42 ‘ 11 ‘’ 10.354 8.654 -5.684 1008.654 994.316
  27 317 ° 43 ‘ 59 ‘’ 12.316 9.114 -8.284 1009.114 991.716
  28 295 ° 54 ‘ 47 ‘’ 12.992 5.678 -11.686 1005.678 988.314
  29 302 ° 07 ‘ 44 ‘’ 17.836 9.486 -15.104 1009.486 984.896
  30 334 ° 21 ‘ 46 ‘’ 18.188 16.397 -7.869 1016.397 992.131
  31 341 ° 26 ‘ 56 ‘’ 13.733 13.019 -4.369 1013.019 995.631
  32 345 ° 33 ‘ 00 ‘’ 14.184 13.735 -3.539 1013.735 996.461
  33 357 ° 55 ‘ 36 ‘’ 10.985 10.978 -0.397 1010.978 999.603
– Fuente: elaboración propia –
13.4.2 Nivelación trigonométrica compuesta
La  nivelación  trigonométrica  compuesta  es  un  procedimiento  que  permite 
determinar las diferencias de nivel o desniveles (DN) y las distancias verticales (DV) 
a lo largo de un polígono, es decir, partiendo de un punto y regresando  al mismo. 
El procedimiento es análogo  al  utilizado en  el  traslado  de una poligonal cerrada; 
en el cual, adicional al ángulo y la distancia horizontal, se toma en cada delta de la 
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 257 257 
poligonal el ángulo vertical  (AV) y la altura  instrumental  (Hi), igualmente en cada 
detalle se debe establecer  la altura del prisma o de la mira (Ho).
En la nivelación trigonométrica  compuesta, al terminar  el proceso en el mismo 
punto de partida (la misma altura o cota), la sumatoria algebraica de los desniveles 
(DN) debe ser cero (teóricamente), de no serlo, el resultado corresponde al error 
de la nivelación (e
niv
). 
e
niv
= ∑DN
i 
(13.8)
No está bien definido cuál es el error permitido en una nivelación trigonométrica, 
por lo que se recomienda utilizar el siguiente valor:
e
perm
= 0.03 * n (13.9)
Un procedimiento para  realizar  la  corrección  de  los desniveles  (DN),  si este  es 
permisible, es  establecer  las  correcciones  (C
niv
) en  cada  vértice  de  la  poligonal, 
dando el peso a la distancia acumulada en la nivelación.
i-1
j=1
C
niv i
= - ∑Cniv j-eniv i* dist acumulada
∑ distancia 
(13.10)
Donde:
•  e
niv
= Error de nivelación (se toma con signo contrario).
•  dist
acumulada
= Distancia acumulada hasta el punto i.
•  ∑
distancia
= Distancia total de la poligonal.
• 
i-1
j=1
- ∑Cniv j = Correcciones de nivelación acumuladas hasta el delta  j, 
anterior al delta  i.
•  C
niv i
= Corrección de nivelación en el delta i.
13.4.2.1 Ejemplo práctico de nivelación compuesta
Se desea levantar  un área destinada a una conectante vial, para  lo cual se trazó 
en el  terreno  una  poligonal  con  6 deltas  y  se  realizó  la  toma de  información 
para  una  nivelación  compuesta;  adicionalmente,  en  cada  uno de  los  vértices 
se realizó  una radiación con  toma de datos para  una nivelación  trigonometría 
simple y con esto poder realizar el modelo digital del terreno – MDT. Las figuras 
13.4 a, 13.4 b, 13.4 c y 13.4 d presentan  la cartera de campo de la nivelación.
TOPOGRAFÍA258 TOPOGRAFÍA258 
FIGURA 13.4A Cartera de campo 
– Fuente: elaboración propia –.
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 259 259 
FIGURA13.4B Cartera de campo 
– Fuente: elaboración propia –.
TOPOGRAFÍA260 TOPOGRAFÍA260 
FIGURA13.4C Cartera de campo 
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 261 261 
FIGURA13.4D Cartera de campo
– Fuente: elaboración propia –.
TOPOGRAFÍA262 TOPOGRAFÍA262 
Lo primero es realizar el ajuste planimétrico de la poligonal, tal como se describe 
en  el  capítulo  7. Poligonal  cerrada,  con  el  fin  de  establecer  el  error  angular,  la 
corrección  angular,  el  error  en  distancia,  la  precisión  y  las  coordenadas  de  los 
deltas de la poligonal; la tabla 13.4 presenta  estos resultados.
Para  la nivelación trigonométrica  de la  poligonal, se determinan  primero DN y 
DV con base en las ecuaciones 13.2 y 13.4; los resultados  se consignan en la tabla 
13.5. Una vez determinados todos los desniveles,  se procede a realizar  la suma y 
verificar  si esta  es nula o tienen algún  valor que equivale al error  de nivelación. 
De existir error se verifica que sea igual o menor al error permisible, en tal  caso, 
se determinan  las  correcciones de  cada  desnivel  con base  en la  ecuación 13.10. 
Determinadas las correcciones se ajustan  los desniveles y con ellos se determinan 
las cotas de cada delta de la poligonal. 
La cota final debe ser la misma cota de inicio ya que pertenece al primer delta de la 
poligonal. A continuación se describen los cálculos para el delta 4 de la poligonal 
D4, la tabla13.4 presenta la totalidad de los cálculos.
Por ejemplo, para el delta 4 se tienen los siguientes cálculos:
DV = DH / Tan (AV) = 71.726 / Tan (90° 51’08’’) = – 1.067 m
DN = HI + (±DV) – Ho = 1.487 – 1.067 – 1.680 = –1.260 m
Determinados todos los desniveles, se establece la sumatoria que equivale al error 
de la nivelación:
e
niv
= ∑DN = 9.457 + 8.782 – 1.260 – 2.115 + 0 – 15.024 = –0.160 m
El error permisible será:
e
perm
= 0.03 * 6 = 0.180 m
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 263 263 
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CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 267 267 
Como  el  error  de  la  nivelación  es  menor  al  error  permisible,  se  procede  a 
determinar las correcciones de los desniveles, para el delta 4 corresponde a:
i-1
j=1
C
niv i
= - ∑Cniv j-eniv i* dist acumulada
∑ distancia 
C
niv D4 
= ((– (–0.16) * 158.153) / 315.810) – 0.021 + 0.023 = 0.036
Desnivel corregido en delta 4:
DN
corr
= DN
4
+ C
niv D4
= –1.260 + 0.036 = –1.224
La cota de delta 4 será:
Cota D4 = Cota D3 + DN
corr 
= 2704.059 – 1.224 = 2702.835 m
TOPOGRAFÍA268 TOPOGRAFÍA268 
13.5 Ejercicio propuesto
FIGURA 13.5 A Ejercicio propuesto. Cartera de campo 
– Fuente: elaboración propia –
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 269 269 
FIGURA 13.5 B Ejercicio propuesto. Cartera de campo 
– Fuente: elaboración propia –
14.1 Concepto
La nivelación de una línea en topografía se denomina perfil topográfico o corte topográfico, el cual es una representación del relieve del terreno que se obtiene 
cortando longitudinal o transversalmente  el terreno natural.
Una de las aplicaciones más importantes de los perfiles o secciones verticales es en 
la construcción de obras  lineales, que regularmente  son de gran longitud y poca 
anchura, por ejemplo carreteras, alcantarillados y oleoductos. 
FIGURA14.1 Perfil topográfico
CAP Í TULO  14
NIVELACIÓN  DE   L ÍNEAS  
(PERF ILES )
TOPOGRAFÍA272 TOPOGRAFÍA272 
Para  determinar  la  altura  o  cota  de  los  puntos  sobre  la  superficie,  se  realiza 
una  nivelación a partir  de un BM de cota  conocida sobre los puntos de la  línea 
materializada  en campo, que puede ser recta  o curva, dependiendo del proyecto. 
La precisión del perfil dependerá del método utilizado de nivelación.
Los perfiles  pueden  ser  1)  siguiendo la  dirección del  recorrido del  proyecto, el 
cual  se denomina perfil  longitudinal, o 2)  un plano  tangente  a  la  dirección del 
recorrido del proyecto, el cual se denomina perfil transversal  o sección transversal.
FIGURA 14.2 Tipo de perfiles
14.2 Perfil longitudinal
Este  tipo de  perfil  se  genera  especialmente  en  proyectos  lineales  (vías, canales, 
líneas  de  conducción)  y  sirve  para  representar  la  superficie  del  terreno, 
generalmente,  sobre el eje de la franja dispuesta para el desarrollo del proyecto. El 
eje debe ser materializado y ‘abscisado’ previamente, ya que sobre éstos puntos se 
realiza  la nivelación. 
CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES) 273 273 
Los datos utilizados para elaborar un perfil son de gran importancia, bien sea por 
que se utilicen como insumos para  proyectar  diseños o porque son el  resultado 
de  un  proyecto materializado  en  campo.  Por  lo tanto,  la  toma  de  información 
requiere de mucha precisión. 
14.2.1 Métodos de materialización de ejes
Existen tres métodos para  la materialización de los ejes de apoyo y la elaboración 
de perfiles longitudinales y transversales: 
•  Con distancias fijas.
•  Con puntos de quiebre.
•  Mixto.
1. Distancias fijas
El método de distancias fijas  se basa  en materializar  puntos en  una misma 
dirección a una distancia determinada, apoyado en equipo topográfico. Para 
proyectos de  infraestructura  generalmente  se utilizan 5, 10  o 20 metros,  la 
distancia dependeráde la precisión que se requiera del perfil. No importarán 
los  cambios  de  pendiente,  ya  que  solo  se  nivelarán  los  puntos  que  se 
materializan, ver figura 14.3.
FIGURA14.3 Materialización del eje por distancias fijas
TOPOGRAFÍA274 TOPOGRAFÍA274 
2 Puntos de quiebre
Este  método  consiste  en  nivelar  sobre  el  eje  únicamente  los  cambios  de 
pendiente del terreno, como se observa en la figura 14.4. Es un método en el 
cual la precisión del perfil dependerá de cuántos puntos se tomen sobre el eje 
y de la apreciación de la persona que vaya colocando estos. 
No  es  un método muy utilizado, ya  que  implica  contar  con personal  muy 
capacitado y con criterio para materializar estos cambios de pendiente.
FIGURA14.4 Materialización del eje por puntos de quiebre
3 Mixto
Este  es el método más utilizado. Es una combinación de la materialización 
por distancias  fijas  con  los puntos de  quiebre que presenta  el  terreno,  para 
que el perfil quede más aproximado a la forma real del terreno.
El problema de las  distancias fijas es que en medio de las dos estacas  puede 
cambiar el perfil y si no se complementa la información, se obviarían detalles 
necesarios  en este tipo de levantamiento.  En la figura 14.5 se muestra  como 
un canal no es considerado, ya que las estacas  del eje quedan antes y después 
del canal, lo que resulta  indispensable para trazar una rasante,  por ejemplo. 
CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES) 275 275 
Entonces  para  complementar  el  perfil  se  toman  los  puntos  de  quiebre  del 
canal  y los puntos de cambio de pendiente entre  los puntos materializados, 
como se muestra en la figura 14.6.
FIGURA14.5 Problemas en el método de distancias fijas
– Fuente: elaboración propia –
FIGURA 14.6 Materialización del eje por método mixto
TOPOGRAFÍA276 TOPOGRAFÍA276 
Una  vez materializado  el eje  se procede a nivelar,  siguiendo el proceso descrito 
en el capítulo 12. Nivelación geométrica; con éste proceso se extiende una red de 
nivelación  a lo  largo del eje,  tomando como vistas  intermedias  las  abscisas  que 
lo forman. Lo recomendable  es realizar una nivelación compuesta, dependiendo 
de la  longitud y la  pendiente  del tramo y una  contranivelación  por los mismos 
cambios, para obtener las cotas ajustadas  en cada abscisa. 
14.2.2 Ejemplo práctico
A continuación se presenta un ejemplo de cómo registrar  la información de campo.
FIGURA 14.7 Cartera de campo. Nivelación perfil 1
CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES) 277 277 
FIGURA14.8 Cartera de campo. Nivelación perfil 2
Una vez levantada  la información se procede a chequear el traslado de la cota con 
los datos de las Vistas (+) y Vistas (–) leídas a los cambios, según el procedimiento 
descrito en el capítulo 9. Nivelación geométrica.
TOPOGRAFÍA278 TOPOGRAFÍA278 
TABLA 14.1 Lecturas a los cambios
  Nivelación Contranivelación
PUNTO V+ V- DIF. NIV. V+ V- DIF. NIV.
BM-105 2.664       3.627  
C#1 2.654 0.885   1.846 3.452  
C#2   1.783   2.579  
Este procedimiento de chequeo por diferencias de nivel entre  cambios permite 
conocer si el error cometido, tanto en la nivelación como en la contranivelación, 
está  dentro de los  rangos permitidos, de ser  así se hace  el  ajuste  de  la cota en 
cada cambio. 
TABLA 14.2 Chequeo y Ajuste de Traslado de cotas
  Nivelación Contranivelación  
PUNTO V+ V-
DIF. 
NIV.
V+ V-
DIF. 
NIV.
CHEQUEO
DIF. 
PROM.
COTA
BM-105 2.664       3.627       2667.893
C#1 2.654 0.885 1.779 1.846 3.452 -1.781 -0.002 1.780 2669.673
C#2   1.783 0.871 2.579   -0.873 -0.002 0.872 2670.545
Una vez ajustadas  las  cotas de los cambios, se calculan  las cotas de la nivelación 
del perfil. Por medio de nivelaciones simples a partir de las cotas ajustadas  de los 
cambios, en  la  tabla  14.3  se muestra  el  cálculo  completo  de las  cotas  del  perfil 
longitudinal.
TABLA 14.3 Cálculo cotas del eje
Punto V+ Alt. Inst. Vi Cota
BM-105 2.664 2670.557   2667.893
K0+000     4.093 2666.464
K0+010     3.870 2666.687
K0+020     2.977 2667.580
K0+030     2.754 2667.803
CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES) 279 279 
Punto V+ Alt. Inst. Vi Cota
K0+040     1.827 2668.730
 
C#1 2.654 2672.327   2669.673
K0+050     3.103 2669.224
K0+060     2.011 2670.316
K0+070     1.269 2671.058
K0+080     1.812 2670.515
 
C#2 2.579 2673.124   2670.545
K0+090     2.392 2670.732
K0+100     1.427 2671.697
K0+100.43     1.090 2672.034
Con las  distancias  y las cotas calculadas  del eje se dibuja el perfil, en el eje X las 
distancias o abscisas y en el eje Y las alturas o cotas.
Estos perfiles suelen dibujarse exagerando la escala  vertical 10 veces, que común-
mente  se denomina  escala  décupla.  Esta  exageración  se  realiza  principalmente 
cuando las diferencias de nivel del eje son pequeñas, con lo cual permitirá obser-
var de mejor manera  esta representación.
A continuación se presenta el perfil dibujado a las dos escalas, a escala 1:1, o sea que 
la escala vertical es igual a la escala  horizontal (figura 14.9) y a escala 1:10, décupla, 
donde la escala vertical es 10 veces mayor que la escala horizontal (figura 14.10).
FIGURA 14.9 Dibujo perfil escala 1:1
TOPOGRAFÍA280 TOPOGRAFÍA280 
FIGURA 14.10 Perfil escala a décupla
14.3 Perfiles o secciones transversales 
Los perfiles transversales  son los tomados en sentido normal o perpendicular al eje 
o alineamiento.  El método para obtener una  sección transversal  es similar al apli-
cado para obtener un perfil longitudinal.
14.3.1 Nivelación de los perfiles transversales
Con base en los puntos (abscisas) del eje longitudinal se trazan líneas perpendicu-
lares a izquierda y derecha de cada punto, para tomar la información correspon-
diente a los puntos de quiebre del terreno y conformar así los perfiles o secciones 
transversales.  Estas perpendiculares  se trazan con dos equipos principalmente:
•  La escuadra óptica es un equipo con prismas que permite trazar visuales a 90 
grados con ayuda de los jalones  (figura 14.11).
CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES) 281 281 
FIGURA 14.11 Escuadra óptica
•  La escuadra de agrimensor tiene el mismo funcionamiento de la  escuadra 
óptica, es un cubo de madera con ranuras  perpendiculares  en el medio, que 
permiten trazar estas mismas visuales (figura 14.12).
FIGURA14.12 Escuadra de agrimensor
TOPOGRAFÍA282 TOPOGRAFÍA282 
Estas perpendiculares  siempre se deben trazar con base en el punto siguiente, 
si el  alineamiento es  recto solo se debe colocar  la  escuadra  sobre un punto 
y  alinearlo  con el  siguiente  para  trazar  la  perpendicular,  como lo  indica  la 
figura 14.13.
FIGURA 14.13 Trazo de perpendiculares en línea recta
En una  curva,  al  principio de  esta  se traza  la  perpendicular  con base  en  la 
dirección del  PI o de un  punto  sobre  el  alineamiento,  para  que  la  sección 
quede perpendicular al alineamiento. Sobre la curva se toma la perpendicular 
con base en el siguiente punto de la misma, ver figura 14.14.
FIGURA 14.14 Trazo de perpendiculares en las curvas
Los datos de  las  secciones  se  toman  con apoyo de  niveles de mano  (como 
el  Locke,  que  permite  trazar  visuales  paralelas  al  horizonte)  y  una  mira 
topográfica. La distancia de la sección, a lado y lado del eje, dependerá de las 
especificaciones del proyecto y de las condiciones propias de la topografía.
CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES) 283 283 
En los últimos tiempos, se han realizado las secciones con niveles de precisión, el 
procedimiento de campo es igual que con los niveles de mano, la única diferencia es 
que el equipo no se arma sobre el eje materializado, sino que la altura instrumental 
se determina con una vista más (V+) sobre el punto del eje materializado.
Las  secciones  se  toman  con  base  en  los  alineamientos  o  ejes  longitudinales 
materializados, trazados con la escuadra óptica o de agrimensor, por el método de 
puntos de quiebre, o sea, colocandola mira en los puntos de cambio de pendiente 
del perfil transversal,  como se indica en la figura 14.15, para cada  punto se toma 
la distancia desde el eje y la lectura de la mira.
FIGURA14.15 Nivelación de secciones transversales
Izquierdas Eje Derechas
Si la pendiente es muy fuerte, en  la sección es posible colocar puntos de cambio y 
calcularlo como si fuera una nivelación compuesta, como lo muestra la figura 14.16.
FIGURA 14.16 Nivelación de secciones transversales con cambios
Izquierdas Eje Derechas
TOPOGRAFÍA284 TOPOGRAFÍA284 
14.3.2 Ejemplo práctico 
A continuación se presenta  un ejemplo de cómo registrar  la información de 
campo.
FIGURA14.17 Cartera de campo de nivelación de secciones
CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES) 285 285 
Los datos registrados en la fila inferior corresponden a las distancias tomadas desde 
el eje hasta cada punto sobre la sección y los datos de la fila superior corresponden 
a las lecturas de la mira. Nótese igualmente  que sobre la distancia  cero del eje se 
ha registrado  en todas  las  abscisas  el mismo valor (1,55), éste  corresponde  a la 
altura  señalada en el jalón para apoyar el nivel de mano, que como se indicó hace 
las veces de V+. 
La sección transversal  se toma perpendicular  al eje longitudinal, por lo tanto, el 
primer paso  es nivelar  el  eje  con nivel de  precisión para  tener  como apoyo los 
puntos materializados de las abscisas.
Para  este ejemplo,  las  secciones están  amarradas  el eje  longitudinal del ejemplo 
anterior,  por tal  razón  las  cotas  de las  tres  abscisas, a  las  cuales  se les  realizó  la 
sección transversal,  se presentan  en la tabla 14.4.
TABLA 14.4 Cotas de eje longitudinal
PUNTO COTA
K0+000 2666.464
K0+010 2666.687
K0+020 2667.580
K0+030 2667.803
K0+040 2668.730
K0+050 2669.224
K0+060 2670.316
K0+070 2671.058
K0+080 2670.515
K0+090 2670.732
K0+100 2671.697
K0+100.43 2672.034
Para  el cálculo de las  cotas en cada  sección, se toma  la cota de la abscisa del eje 
longitudinal, se le suma la altura a la cual se encuentra el nivel de mano (V+), para 
encontrar  la altura  instrumental, y a esta se le resta cada una de las lecturas sobre 
los puntos. En la tabla 14.5 se muestra el cálculo de las cotas.
TOPOGRAFÍA286 TOPOGRAFÍA286 
TABLA 14.5 Cartera de cálculo de cotas de la sección transversal
Abscisa Izquierda Eje Derecha
K0+000
2666.954 2666.764 2666.464 2666.114 2665.814
1.06 1.25 1.55 1.90 2.20
-15.00 -6.90 0.00 8.50 15.00
    2668.01  
K0+050
2670.304 2669.624 2669.224 2668.594 2668.484
0.47 1.15 1.55 2.18 2.29
-15.00 -6.90 0.00 6.67 15.00
    2670.77  
K0+100
2672.127 2671.487 2671.697 2671.147 2670.597
1.12 1.76 1.55 2.10 2.65
-15.00 -7.50 0.00 9.10 15.00
    2673.25  
Una vez se obtienen las  cotas, el paso siguiente es el dibujo de las secciones. Las 
cuales se dibujan a una sola escala  tanto horizontal como vertical (figura 14.18).
FIGURA14.18 Sección transversal
CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES) 287 287 
14.4 Ejercicio propuesto
FIGURA 14.19 Nivelación de un perfil
TOPOGRAFÍA288 TOPOGRAFÍA288 
FIGURA 14.20 Nivelación secciones transversales
El DTM (modelo digital del  terreno)  es  la  representación  gráfica  de la  topo-grafía  o relieve de  un terreno  sobre un sistema de  referencia  (regularmente 
un sistema de coordenadas); es importante relacionar dos conceptos relacionados 
con los DTM así: 
•  Modelo Digital de Elevaciones (MDE): representa  las cotas del terreno sobre 
un sistema de referencia específico.
•  Modelo Digital  de  Superficies  (MDS):  representa  la  superficie  del  terreno 
junto con los elementos encontrados en el mismo. 
FIGURA15.1 Modelo digital del terreno
CAP Í TULO  15
MODELOS  DIG ITALES  
DE  TERRENO
TOPOGRAFÍA290 TOPOGRAFÍA290 
Los modelos digitales de terreno son indispensables en el desarrollo de las obras civiles, 
ya que,  por medio de  estos,  se realizan  los análisis  y cálculos  referentes  al  trazado 
de perfiles  longitudinales  y transversales,  de volúmenes  de  excavación  y/o relleno, 
modelación  de  escorrentías  superficiales,  visualizaciones  en  3D,  geomorfología, 
diseño de infraestructuras,  agricultura, sistemas de transporte,  entre otros.
15.1 Curvas de nivel
En topografía el relieve de un terreno o de una superficie se representa mediante 
la  utilización de  curvas de nivel,  estas  son las  líneas  que unen  puntos que con-
tengan  la misma  cota o altura  sobre  el  nivel del mar. De manera  ilustrativa,  se 
puede decir que si un terreno se intersecara con un plano horizontal, se formarían 
las  curvas de nivel. Aunque  las técnicas  de sombreado proporcionan una mejor 
imagen visual de los terrenos,  en las cuales mediante el uso de diferentes colores 
se representan  los diferentes  tipos de terreno que se  localizacen  en una área de-
terminada; para proyectos topograficos las curvas de nivel son más apropiadas, ya 
que permiten trabajar  con una gran cantidad de información y se podrán realizar 
calculos de áreas y volumenes
La  elaboración  de  curvas  de  nivel  sobre  un  plano  requiere  las  3  coordenadas 
(norte, este y cota) de cada punto o detalle  del terreno y de las  construcciones o 
elementos  artificiales  encontrados  en el mismo, para  lo cual  se pueden desarro-
llar diferentes procesos topográficos, como los presentados en los capítulos sobre 
nivelación trigonometría y de superficies. De igual forma, para  la generación de 
modelos digitales existen muchos programas para computador los cuales median-
te modelos TIN realizan triangulaciones para la generación de curvas de nivel que 
usan diferentes metodologías. 
FIGURA15.2 Curvas de nivel de un modelo digital del terreno
CAPÍTULO 15: MODELOS DIGITALES DE TERRENO 291 291 
15.1.1 Características de las curvas de nivel
En la figura 15.2 se aprecian varias características  de las curvas de nivel, entre las 
cuales se tiene: 
•  Las curvas de nivel no se interceptan entre sí (las cuevas serian un excepción 
de esta característica).
•  Las  curvas de  nivel  son  líneas  cerradas  (ya  sea por  fuera  o por  dentro del 
plano correspondiente).
•  La pendiente entre los puntos que se ubiquen dentro de una misma curva de 
nivel será cero.
•  Entre más montañoso sea  el  terreno, más cerca  estarán  las  curvas de  nivel 
entre sí; al contrario, si las curvas de nivel están más separadas,  indica que el 
terreno tiene pendientes mas suaves o de menor valor
•  Las montañas  y/o depresiones  se representan  por medio de curvas de nivel 
concéntricas.
•  La pendiente máxima de un terreno se encuentra  en dirección perpendicular 
a las curvas de nivel.
•  Los  terrenos  accidentados  o  con  quiebres  significativos  se  representan 
mediante curvas de nivel irregulares.
15.1.2 Equidistancia de las curvas de nivel
La equidistancia es  el  intervalo vertical  que tienen  las  curvas  de nivel,  es decir, 
la  diferencia  de altitud  entre  dos curvas de  nivel  consecutivas.  En los planos,  a 
las curvas de nivel se les debe colocar el valor de la cota (se debe tener en cuenta 
que, para  no  saturar  los  planos  y  lograr  un  adecuado  análisis  de  los mismos, 
solo se relaciona  el valor en las  curvas  índices o maestras  que regularmente  van 
cada cinco curvas de nivel, tal como se presenta en la figura 15.3) y las curvas de 
nivel índices o maestras  deben tener un color más oscuro que las demás curvas. 
Dependiendo de la escala  y cobertura del plano puede suceder que el valor de las 
cotas se deba indicar varias veces sobre la misma línea o curva de nivel.
TOPOGRAFÍA292 TOPOGRAFÍA292 
FIGURA 15.3 Curvas de nivel de un modelo digital del terreno
En la  tabla 15.1 se  relacionan  los valores  de equidistancia usados regularmente, 
según la escala a la que se realiza un plano. 
TABLA 15.1 Equidistancia sugerida según la escala del plano
Escala Equidistancia (metros)
1: 50 0.005
1: 100 0.1
1: 200 0.2
1: 500 0.5
1: 1000 1
1: 20002
1: 5000 5
1: 10000 10
CAPÍTULO 15: MODELOS DIGITALES DE TERRENO 293 293 
15.2 Breaklineso divisorias de aguas
Son líneas de quiebre o divisorias de aguas utilizada en los DTM con el objeto de 
lograr una adecuada  representación de las superficies  correspondientes al  sector 
o terreno que se esté trabajando.
Las  breaklines se  deben  realizar  o  aplicar  en  objetos o  accidentes  lineales  que 
representen un cambio en las formas de las curvas de nivel, tales como bordes de 
vía, patas  y cabezas  de taludes,  bordes de corrientes  de  aguas, cunetas,  canales, 
muros, construcciones, disipadores de energía, entre otros.
A continuación  se presenta  un  caso  de aplicación  de  las breaklines, para  poder 
brindar una explicación detallada del tema:
•  En la figura 15.4 se  ilustran  las curvas de nivel de un terreno,  el  cual con-
tiene  una  vía. Se puede apreciar  que sobre  la  vía se  generaron  curvas  de 
nivel de forma inadecuada, ya que forman un vértice y, además, una misma 
curva de nivel  sale  y entra  varias  veces a  la zona de  la vía. Lo anterior  se 
debe a la no aplicación de breaklines. 
FIGURA15.4 Curvas de nivel sobre un vía sin aplicar breaklines
•  Teniendo en cuenta que las curvas de nivel se generan  realizando interpola-
ciones, esto es, triangulaciones  entre  los puntos tomados en campo con sus 
respectivas coordenadas norte, este y cota (tal como se explicará en el capítulo 
16. Nivelación de superficies), el problema –las curvas de nivel no representen 
la forma de la superficie de la vía– radica en que, al no aplicar breaklines, se 
TOPOGRAFÍA294 TOPOGRAFÍA294 
realizan  interpolaciones  entre  puntos que están  por fuera  de los  bordes de 
la  vía a uno y otro costado de la misma, por ello,  las líneas de triangulación 
atraviesan  la vía, tal como se presenta  en la figura 15.5. 
FIGURA 15.5 Líneas de triangulación o interpolación sin breaklines
•  Al aplicar las breaklines, las triangulaciones sobre la zona de la vía se realizan 
solo entre  los bordes de la misma (figura 15.6). Para  aplicar  breaklines con 
ayuda de herramientas  computacionales se deben realizar 3D Polys sobre las 
líneas de la vía, cuneta, canal, bordes de ríos, bordes de quebradas, talud, etc., 
uniendo los nodos de los puntos correspondientes,  según el sostware que se 
esté utilizando. 
CAPÍTULO 15: MODELOS DIGITALES DE TERRENO 295 295 
FIGURA 15.6 Líneas de triangulación o interpolación con breaklines
•  En la figura 15.7 se presentan  las curvas de nivel de forma adecuada sobre la 
superficie de la  vía. Obsérvese que las  curvas de nivel se desarrollan  casi de 
forma perpendicular a la dirección de la vía, lo que dependerá de la pendiente 
de la misma.
FIGURA 15.7 Curvas de nivel sobre un vía aplicando breaklines
TOPOGRAFÍA296 TOPOGRAFÍA296 
15.3 Análisis con Modelos Digitales de Terreno
15.3.1 Interpretación de las curvas 
Por medio de las curvas de nivel se pueden interpretar varias características  de las 
formas del terreno que representan,  por ejemplo: 
En  las  corrientes  de  agua  las  curvas de  nivel  se representan  apuntando  hacia 
un  vértice  (la  forma  de  vértice  normalmente  es  puntiaguda);  es  importante 
indicar  que  los  valores  de  las  cotas  de  las  curvas  de  nivel  disminuyen  en 
el  sentido  contrario  de  los  vértices,  el  agua  correrá  en  dirección  contraria  al 
vértice  de  las  curvas.  Los filos de  las montañas,  al  igual  que el  caso  anterior, 
están determinados  por curvas de nivel que apuntan  hacia un vértice, pero los 
valores de las curvas de nivel disminuyen en el sentido de los vértices (estos son 
un poco más redondeados), ver figura 15.8.
FIGURA15.8 Curvas de nivel en corrientes de agua y en filos de montaña 
15.3.2 Mapa de pendientes
Mapa  donde  se  representan  los  diferentes  grados  o  valores  de pendiente  que 
tiene un terreno,  por medio de este  se determina el tipo de terreno (plano, on-
dulado, montañoso o  escarpado).  En muchos  proyectos de  infraestructura  es 
necesario determinar el tipo de terreno, puesto que este definirá algunas  carac-
terísticas del proyecto. El mapa, mediante colores, presenta  las áreas de terreno 
con pendientes semejantes  (según los intervalos definidos), la sumatoria de ma-
yor valor de áreas  semejantes  determinará el tipo de terreno. 
CAPÍTULO 15: MODELOS DIGITALES DE TERRENO 297 297 
En  la  figura  15.9  se  presenta  un mapa  de  pendientes,  el  cual  arrojó  los  datos 
presentados en la tabla 15.2.
TABLA 15.2 Áreas para tipo de terreno 
Tipo de Terreno Pendiente Máxima (%) Pendiente Mínima (%) Área (m2)
Plano 0 8.8 145145
Ondulado 8.8 23 360141
Montañoso 23 97.9 586917
Escarpado 97.9 2690
FIGURA 15.9 Mapa de pendientes 
Por lo cual, se establece que el terreno es montañoso, pues es el tipo de terreno que 
presenta mayor área  (586917 m2) entre las cuatro categorías.
TOPOGRAFÍA298 TOPOGRAFÍA298 
15.3.3 Mapa de elevaciones 
El mapa de  elevaciones  muestra  gráficamente  las  zonas  o áreas  con altitudes  o 
cotas semejantes, de acuerdo a los rangos que se hayan definido. En la figura 15.10 
se presenta  un mapa de elevaciones donde se definieron 4 rangos de elevaciones, 
conforme  a  las  cotas  del  terreno  representadas  en  las  curvas  de  nivel,  el  color 
oscuro corresponde a las zonas más altas y el color más claro a las zonas más bajas.
El  mapa  de  elevaciones  tiene  diferentes  usos,  entre  los  que  se  encuentra  la 
planeación de vuelos para procesos cartográficos, rutas, estudios forestales, zonas 
de agricultura, etc. 
FIGURA 15.10 Mapa de elevaciones 
15.3.4 Mapa de direcciones de pendiente
Este mapa muestra  o indica mediante  flechas  las  direcciones  de  las  pendientes 
más fuertes o críticas en los diferentes sectores existentes de un terreno,  tal como 
se  ilustra  en  la  figura  15.11.  El mapa  de  direcciones  de  pendiente  se  aplica  en 
estudios  geológicos, de estabilidad  y erosión, forestales,  de planeación  de  rutas, 
entre otros.
CAPÍTULO 15: MODELOS DIGITALES DE TERRENO 299 299 
FIGURA15.11 Mapa de direcciones de pendiente 
15.3.5 Mapa de cuencas
En el mapa de cuencas se delimitan las áreas de drenaje  según las depresiones que 
presente  el  relieve del  terreno,  tal  como se  ilustra en  la figura  15.12. Este mapa 
tiene varias aplicaciones en estudios y proyectos hidrológicos, y diseño de obras 
de drenaje.
FIGURA 15.12 Mapa de cuencas
16.1 Generalidades
En general un plano topográfico representa  el terreno sobre el cual se ha reali-zado un levantamiento  topográfico para un proyecto determinado; esta  grá-
fica debe presentar  las  curvas de nivel que representan  el relieve del  terreno. Es 
por ello que, en el trabajo de campo de las  diferentes metodologías ya descritas, 
se  toma la  información de  coordenadas  nortes  y estes  (planimetría),  y de cotas 
(altimetría), mediante las cuales cada punto puede representarse  en un plano car-
tesiano x, y, z. Con la  triangulación de estos puntos se realizan curvas de nivel a 
intervalos definidos –equidistancias o intervalo vertical- que permiten esquema-
tizar el terreno mediante un modelo digital –MDT.
Al tomar la  información para  la nivelación de una superficie se puede ubicar en 
el terreno  los puntos con un valor de altura cerrada  (cota cerrada),  pero lo más 
práctico es realizar  una nivelación de puntos de quiebre, distancias fijas o nubes 
de puntos, cuyas alturas  no coinciden con cotas  exactas,  puesto que permitirán 
definir la ubicación de estas para el dibujo de las curvas de nivel.
Para  realizar  la  nivelación  de  un  terreno  existen  diferentes  metodologías,  las 
cuales  se aplican de acuerdo a las características  del terreno, como el tamaño de 
la superficie, el tipo de relieve, la escala del mapa, la equidistancia entre las curvas 
de nivel, el equipo disponible y las especificaciones  del proyecto. Las principales 
metodologías se exponen a continuación.CAP Í TULO  16
NIVELACIÓN  
DE  SUPERF ICIES
TOPOGRAFÍA302 TOPOGRAFÍA302 
16.2 Nivelación por radiación
Esta metodología se utiliza cuando el terreno es  pequeño y relativamente  plano 
o con pendientes  suaves, ya que la idea es realizar  la nivelación desde un mismo 
punto. Es la base del método de nube de puntos en una nivelación trigonométrica. 
El procedimiento es el siguiente:
•  Se determina un punto interno –delta- en el terreno, desde el cual se pueda 
visualizar toda el área a nivelar.
•  A partir del delta se visan líneas con diferente dirección que cubran la mayor 
cantidad de área a representar (figura 16.1), sobre estas líneas se toman puntos 
bien sea equidistantes o bien de quiebre o bien de ambos tipos (mixtos), los 
cuales  se materializan  con estacas  y se  enumeran  para  no tener  errores  en 
campo (figura 16.2).
•  Se establece una norte real o arbitraria.
•  Se miden ángulos  a  cada  una  de  las visuales  y distancias  desde  el delta  a 
cada  uno de los puntos de cada segmento de línea, como se representa  en 
la figura 16.3.
FIGURA16.1 Radiación. Ubicación de las visuales
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES 303 303 
FIGURA 16.2 Materialización de puntos de quiebre
•  Realizada  la  radiación,  se  procede  a  ejecutar  la  nivelación  geométrica  de 
todos los puntos con base en un punto de cota conocida, puede ser el delta. 
Las figuras 16.4 a y 16.4 b presentan  la cartera de campo de planimetría  y la 
figura 16.5 la cartera de altimetría.
•  En la oficina se calculan las coordenadas y las cotas de cada uno de los puntos, 
tal como se presenta en las tablas 16.1 y 16.2.
FIGURA 16.3 Medición de ángulos y distancias
TOPOGRAFÍA304 TOPOGRAFÍA304 
FIGURA 16.4 A Cartera de la radiación
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES 305 305 
FIGURA 16.4 B Cartera de la radiación
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2
0
8
3
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4
2
9
7
0
.5
1
7
2
2
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES 307 307 
FIGURA16.5 Cartera de la nivelación
TOPOGRAFÍA308 TOPOGRAFÍA308 
TABLA 16.2 Cálculo de la nivelación
Δ V (+)
Altura
Instrumental
V(i) Cota
D 2.986 2784.805   2781.819
1     2.891 2781.914
2     3.008 2781.797
3     2.875 2781.930
4     2.964 2781.841
5     4.525 2780.280
6     4.982 2779.823
7     2.758 2782.047
8     1.457 2783.348
9     0.874 2783.931
10     1.245 2783.560
11     2.369 2782.436
12     2.619 2782.186
13     2.697 2782.108
14     1.854 2782.951
15     0.798 2784.007
16     1.348 2783.457
17     2.354 2782.451
18     2.753 2782.052
19     2.754 2782.051
20     1.583 2783.222
21     1.247 2783.558
22     2.438 2782.367
Para poder realizar el plano con las curvas de nivel es necesario interpolar en cada 
línea  las cotas  redondas  que se encuentran  entre  los puntos de cotas conocidas; 
posteriormente  empalmar  los  puntos  con  igual  altura  y trazar  así  las  líneas  de 
nivel. Como ejemplo se explica  la interpolación de la última visual que parte del 
delta D y llega al  punto 22, pasando por los puntos: 19, 20 y 21; definiendo para 
ello una equidistancia o intervalo vertical de 0.5 m.
•  Desde D a 19:
∇D = 2781.819, ∇19 = 2782.051, distancia-d- = 23.298 m
Entre D y 19 se encuentra la siguiente cota redonda: CR=2782.0, ubicada a la 
distancia x desde D.
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES 309 309 
x= * d = * 23.298 = 18.176m
(∇R –∇R) 
(∇R –∇R)
(2782.0– 2781.819) 
(2782.051– 2781.819)
•  Desde 19 a 20:
∇19 = 2782.051, ∇20 = 2783.222, distancia-d- = 16.651 m
Entre 19 y 20 se encuentra las siguientes cotas redondas: CR=2782.5 y 2783.0, 
ubicadas, cada una, a la distancia x desde 19.
x= * d = * 16.651 = 13.494m
(∇R –∇19) 
(∇20 –∇19)
(2783.0– 2782.051) 
(2783.222 – 2782.051)
x= * d = * 16.651 = 6.348m
(∇R –∇19) 
(∇20 –∇19)
(2782.5– 2782.051) 
(2783.222 – 2782.051)
•  Desde 20 a 21:
∇20 = 2783.222, ∇21 = 2783.558, distancia-d- = 20.864 m
Entre  20 y  21  se  encuentra  la  siguiente  cota  redonda:  2783.5,  ubicada a  la 
distancia x desde 20.
x= * d = * 20.864 = 17.262m
(∇R –∇20) 
(∇21 –∇20)
(2783.5– 2783.222) 
(2783.558 – 2783.222)
•  Desde 21 a 22:
∇21 = 2783.558, ∇22 = 2782.367, distancia-d- = 27.967 m
Entre  21 y 22 se  encuentran  las  siguientes cotas redondas:  2783.5, 2783.0 y 
2782.5, ubicadas a la distancia x desde 21.
x= * d = * 27.967 = 1.362m
(∇R –∇21) 
(∇22 –∇21)
(2783.5– 2783.558) 
(2782.367 – 2783.558)
x= * d = * 27.967 = 13.103m
(∇R –∇21) 
(∇22 –∇21)
(2783.0– 2783.558) 
(2782.367 – 2783.558)
x= * d = * 27.967 = 24.844m
(∇R –∇21) 
(∇22 –∇21)
(2782.5– 2783.558) 
(2782.367 – 2783.558)
La figura 16.6 presenta  un gráfico con la interpolación entre los puntos 21 y 22.
TOPOGRAFÍA310 TOPOGRAFÍA310 
FIGURA 16.6 Interpolación entre los puntos 21 - 22
Mediante este procedimiento se interpolan  todas las líneas  de la  radiación entre 
los diferentes puntos, resultados  que se presentan  en la  tabla 16.3, con lo cual se 
obtiene la ubicación de las cotas cerradas  (figura 16.7) y se puede trazar  el plano 
de curvas de nivel como se presenta en la figura 16.8.
TABLA 16.3 Interpolación de las línea de visual – IV = 0.5 m
Línea 1
PUNTO D 1  
DISTANCIA 0 39.689  
COTA 2781.819 2781.914  
DE A D-1 2781.819       2781.914
DIST. 
DESDE
39.689 0       39.689
Línea 2
PUNTO D 2 3  
DISTANCIA 0 51.541 74.477  
COTA 2781.819 2781.797 2781.93  
DE A D-2 2781.819       2781.797
DIST. 
DESDE
51.541 0       51.541
DE A 2-3 2781.797       2781.93
DIST. DESDE 74.477 0       74.477
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES311 311 
Línea 3
PUNTO D 4 5 6  
DISTANCIA 0 38.097 65.349 28.559  
COTA 2781.819 2781.841 2780.28 2779.823  
DE A D-4 2781.819       2781.841
DIST. DESDE 38.097 0       38.097
DE A 4-5 2781.841 2781.5 2781 2780.5 2780.28
DIST. DESDE 65.349 0 14.275 35.207 56.139 65.349
DE A 5-6 2780.28 2780     2779.823
DIST. DESDE 28.559 0 17.498     28.559
Línea 4
PUNTO D 7 8 9 10 11 12
DISTANCIA 0 16.522 16.57 12.103 7.639 19.648 4.725
COTA 2781.819 2782.047 2783.348 2783.931 2783.56 2782.436 2782.186
DE A D-7 2781.819 2782     2782.047
DIST. DESDE 16.522 0 13.116     16.522
DE A 7-8 2782.047 2782.5 2783   2783.348
DIST. DESDE 16.57 0 5.770 12.138   16.57
DE A 8-9 2783.348 2783.5     2783.931
DIST. DESDE 12.103 0 3.155     12.103
DE A 9-10 2783.931       2783.56
DIST. DESDE 7.639 0       7.639
DE A 10-11 2783.56 2783 2782.5   2782.436
DIST. DESDE 19.648 0 9.789 18.529   19.648
DE A 11-12 2782.436       2782.186
DIST. DESDE 4.725 0       4.725
Línea 5
PUNTO D 13 14 15 16 17 18
DISTANCIA 0 10.125 18.182 19.857 9.921 31.479 15.414
COTA 2781.819 2782.108 2782.951 2784.007 2783.457 2782.451 2782.052
DE A D-13 2781.819 2782     2782.108
DIST. DESDE 10.125 0 6.341     10.125
DE A 13-14 2782.108 2782.5     2782.951
DIST. DESDE 18.182 0 8.455     18.182
TOPOGRAFÍA312 TOPOGRAFÍA312 
DE A 14-15 2782.951 2783 2783.5 2784 2784.007
DIST. DESDE 19.857 0 0.921 10.323 19.725 19.857
DE A 15-16 2784.007 2783.5     2783.457
DIST. DESDE 9.921 0 9.145     9.921
DE A 16-17 2783.457 2783 2782.5   2782.451
DIST. DESDE 31.479 0 14.300 29.946   31.479
DE A 17-18 2782.451       2782.052
DIST. DESDE 15.414 0       15.414
Línea 6
PUNTO D 19 20 21 22  
DISTANCIA 0 23.298 16.651 20.864 27.967  
COTA 2781.819 2782.051 2783.222 2783.558 2782.367  
DE A D-19 2781.819 2782     2782.051
DIST. DESDE 23.298 0 18.176     23.298
DE A 19-20 2782.051 2782.5 2783   2783.222
DIST. DESDE 16.651 0 6.385 13.494   16.651
DE A 20-21 2783.222 2783.5     2783.558
DIST. DESDE 20.864 0 17.262     20.864
DE A 21-22 2783.558 2783.5 2783 2782.5 2782.367
DIST. DESDE 27.967 0 1.362 13.103 24.844 27.967
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES 313 313 
FIGURA16.7 Ubicación de las cotas cerradas
FIGURA16.8 Plano topográfico
TOPOGRAFÍA314 TOPOGRAFÍA314 
16.3 Nivelación por cuadrícula
Esta metodología se realiza  cuando el terreno  es de mayor extensión y presenta 
diferencias de nivel considerables. Para ejecutarla  se procede a elaborar una cua-
drícula dentro del terreno, cuyos puntos se materializan  con estacas  a distancias 
equidistantes, que pueden ser  5, 10 o 20 metros  (entre menor  sea la distancia  se 
obtiene una mayor precisión); esta cuadrícula se nivela geométricamente y poste-
riormente se interpolan las curvas entre los puntos de esta, por cada arista de ella 
y al menos una diagonal.
Ejemplo práctico:
La figura 16.9 presenta la cuadrícula materializada sobre un terreno de gran 
pendiente, con equidistancia de 10 metros. Se materializa una primera línea 
con estacas cada 10 metros, preferiblemente sobre el lindero que cubra toda 
la extensión del terreno; desde cada  estaca  se levanta  una perpendicular y 
se materializan todos los puntos de la cuadrícula.
FIGURA16.9 Terreno a nivelar
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES 315 315 
La cuadrícula  se define mediante un sistema de coordenadas alfanumérico como 
se representa  en la figura 16.10. En el terreno se materializa el punto A1, se fija la 
visual paralela  al lindero del predio y se marca la abscisa cada 10 m (equidistancia 
de  la  cuadrícula),  de  esta  manera  se  obtienen  los  14  puntos  numerados 
secuencialmente  desde A hasta N; a continuación, en cada punto se arma, centra 
y nivela el equipo (estación o tránsito), se levanta una perpendicular (90°) a través 
del predio y se materializan  los puntos requeridos para cubrir el área del predio.
FIGURA16.10 Coordenadas de la cuadrícula
Una  vez  materializada  la  cuadrícula,  se  procede  a  nivelar  cada  punto  de  la 
cuadrícula por medio de una nivelación geométrica, ver figura 16.11. La nivelación 
debe complementarse  con su correspondiente  contranivelación, como se explicó 
en el capítulo 12. Nivelación geométrica.
TOPOGRAFÍA316 TOPOGRAFÍA316 
FIGURA 16.11 Cuadrícula y equipo para nivelación
Para  este ejemplo fue necesario hacer una nivelación geométrica compuesta con 
contranivelación debido al relieve del predio. La nivelación parte y regresa al NP – 
9, cuya cota es 2718.387 m. s. n. m; la tabla 16.4 presenta los datos de la nivelación.
TABLA 16.4 Cálculo de la nivelación
P V(+) A Inst. V(i) V(-) Cota
NP-9 0.054 2718.441     2718.387
A 1     0.232   2718.209
B 1     0.894   2717.547
C 1     1.947   2716.494
D 1     2.528   2715.913
E 1     3.449   2714.992
F 1     4.358   2714.083
A 2     4.723   2713.718
B 2     4.227   2714.214
C#1 0.143 2713.606   4.978 2713.463
G 1     0.289   2713.317
C 2     0.464   2713.142
D 2     1.961   2711.645
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES 317 317 
P V(+) A Inst. V(i) V(-) Cota
E 2     3.677   2709.929
F 2     4.564   2709.042
G 2     4.904   2708.702
H 1     1.383   2712.223
I 1     1.842   2711.764
J 1     2.557   2711.049
K 1     2.606   2711.000
L 1     1.771   2711.835
M 1     4.192   2709.414
C#2 0.063 2708.685   4.984 2708.622
N 1     1.792   2706.893
H 2     1.078   2707.607
I 2     2.986   2705.699
J 2     3.612   2705.073
K 2     2.386   2706.299
L 2     1.694   2706.991
M 2     2.890   2705.795
N 2     1.761   2706.924
A 3     1.761   2706.924
B 3     1.476   2707.209
C 3     1.968   2706.717
D 3     4.158   2704.527
C#3 0.178 2703.879   4.984 2703.701
E 3     0.898   2 702.981
F 3     1.802   2 702.077
G 3     2.471   2 701.408
H 3     3.130   2 700.749
I 3     3.334   2 700.545
J 3     4.553   2 699.326
K 3     4.933   2 698.946
L 3     4.224   2 699.655
M 3     2.781   2 701.098
N 3     1.768   2 702.111
A 4     4.977   2 698.902
B 4     4.423   2 699.456
C 4     4.508   2 699.371
C#4 0.082 2698.992   4.969 2698.91
TOPOGRAFÍA318 TOPOGRAFÍA318 
P V(+) A Inst. V(i) V(-) Cota
D 4     2.170   2 696.822
E 4     2.104   2 696.888
F 4     3.118   2 695.874
G 4     4.485   2 694.507
M 4     3.999   2 694.993
N 4     2.336   2 696.656
C#5 0.108 2694.302   4.798 2694.194
H 4     0.728   2 693.574
I 4     0.372   2 693.930
J 4     1.152   2 693.150
K 4     0.392   2 693.910
L 4     0.992   2 693.310
A 5     1.392   2 692.910
B 5     1.374   2 692.928
C 5     1.287   2 693.015
D 5     1.848   2 692.454
E 5     2.684   2 691.618
F 5     3.959   2 690.343
C#6 0.328 2689.725   4.905 2689.397
G 5     0.984   2 688.741
H 5     1.720   2 688.005
I 5     2.004   2 687.721
J 5     1.258   2 688.467
K 5     0.560   2 689.165
L 5     2.643   2 687.082
M 5     1.354   2 688.371
N 5     0.074   2 689.651
A 6     1.140   2 688.585
B 6     2.802   2 686.923
C 6     3.108   2 686.617
D 6     2.831   2 686.894
E 6     2.629   2 687.096
F 6     2.765   2 686.960
G 6     4.831   2 684.894
C#7 0.182 2684.937   4.970 2684.755
H 6     2.287   2 682.650
I 6     2.941   2 681.996
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES 319 319 
P V(+) A Inst. V(i) V(-) Cota
J 6     2.510   2 682.427
K 6     2.290   2 682.647
L 6     3.539   2 681.398
M 6     3.456   2 681.481
N 6     3.669   2 681.268
A 7     0.846   2 684.091
B 7     1.883   2 683.054
C 7     3.456   2 681.481
D 7     3.063   2 681.874
E 7     3.259   2 681.678
F 7     4.000   2 680.937
G 7     4.770   2 680.167
C#8 0.154 2680.267   4.824 2680.113
H 7     0.764   2 679.503
I 7     2.383   2 677.884
J 7     3.680   2 676.587
A 8     4.559   2 675.708
B 8     4.206   2 676.061
C 8     3.498   2 676.769
D 8     3.678   2 676.589
E 8     3.314   2 676.953
F 8     3.743   2 676.524
En seguida,  se  realiza  la  interpolación  entre  las  cuatro  líneas  de cada  cuadro y 
una de las  dos diagonales,  como se muestra  en  la figura 16.12. La  interpolación 
serealiza  mediante  una  regresión  lineal  o  semejanza  de  triángulos,  como  se 
explicó anteriormente. Como parte del ejemplo se presenta  la interpolación de la 
cuadrícula en la figura 16.12, para lo cual se define un intervalo vertical de 2 m. La 
figura 16.13 presenta el trazo de segmentos y diagonales de parte de la cuadrícula.
TOPOGRAFÍA320 TOPOGRAFÍA320 
FIGURA16.12 Dimensiones de una cuadrícula
•  Desde C4 a D4: 
∇C4 = 2699.371, ∇D4 = 2696.822, distancia-d- = 10 m
Entre C4 y D4 se encuentra la siguiente cota redonda: CR=2698, ubicada a la 
distancia x desde C4.
•  Desde C5 a C4:
∇
C5
= 2693.015, ∇
C4
= 2699.371, distancia-d- = 10 m
Entre C5 y C4 se encuentra  las siguientes cotas redondas: CR =2798, 2796 y 
2794, ubicadas, cada una, a la distancia x desde C5.
•  Desde C5 a D5:
∇
C5
= 2693.015, ∇
D5
= 2692.454, distancia-d- = 10 m
Entre C5 y D5 no se encuentra ninguna cota redonda.
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES 321 321 
•  Desde D5 a D4:
∇D5 = 2692.454, ∇D4 = 2696.822, distancia-d- = 10 m
Entre D5 y D4 se  encuentra  la  siguiente  cota  redonda:  2796,  ubicada  a  la 
distancia x desde D5.
•  Desde C4 a D5:
∇C4 = 2699.371, ∇D5 = 2692.454, distancia-d- = 10 m
Entre C4 y D5 se encuentra  las siguientes cotas redondas: CR =2798, 2796 y 
2794, ubicadas, cada una, a la distancia x desde C4.
FIGURA 16.13 Líneas y diagonales de la cuadrícula
TOPOGRAFÍA322 TOPOGRAFÍA322 
La tabla 16.5 presenta las interpolaciones tabuladas para  la cuadrícula anterior.
TABLA 16.5 Interpolación de un cuadro de la cuadrícula
10
 
C5 2693.015
 
 
2692.454 D5
 
 
10 10
 
14.14214
 C4 2699.371 2696.822 D4
 
  10  
DE A C5-C4 2693.015 2694 2696 2698 2699.371
DIST. DESDE 10 0 1.550 4.696 7.843 10
DE A C5-D5 2693.015 2692 2692.454
DIST. DESDE 10 0 18.093 10
DE A C4-D4 2699.371 2698 2696.822
DIST. DESDE 10 0 5.379 10
DE A C4-D5 2699.371 2698 2696 2694 2692.454
DIST. DESDE 14.14214 0 2.803 6.892 10.981 14.14214
DE A D5-D4 2692.454 2694 2696 2696.822
DIST. DESDE 10 0 3.539 8.118 10
Una vez interpoladas  las líneas de todos los cuadros de las cuadrículas, se ubican 
en cada cuadro las cotas redondas, como lo muestra la figura 16.14; con el conjunto 
de todos los cuadros se trazan las curvas de nivel, como lo presenta la figura 16.15.
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES 323 323 
FIGURA 16.14 Ubicación de puntos para curvas de nivel en la cuadrícula
FIGURA 16.15 Trazado de las curvas de nivel
TOPOGRAFÍA324 TOPOGRAFÍA324 
16.4 Método de nivelación trigonométrica 
– puntos de quiebre
En la actualidad es el método más empleado para la toma de información en campo 
requerida  para  generar  un MDT. En  general,  con  la nivelación  trigonométrica 
se  levantan  los  puntos  de  quiebre  del  terreno  y  aquellos  puntos  o  líneas  que 
conforman  obras  civiles que yacen  sobre  éste  (canales,  bordillos, borde de  vía, 
entre otros), cuya información mejora el MDT.
Como  se  detalló  en  el  capítulo  13.  Nivelación  trigonométrica,  mediante  esta 
metodología se toman, para  cada punto, el ángulo horizontal, el ángulo vertical, 
la distancia horizontal,  la altura  instrumental  y la altura del prisma, con el fin de 
determinar las coordenadas norte y este que definen la ubicación del punto (plano 
x, y) y la cota que define su altura  (plano z).
Levantados  los  puntos  del  terreno  se dibujan  en  un  plano,  de acuerdo  con sus 
coordenadas  y  sus  respectivas  cotas,  se unen  los  puntos  formando  triángulos. 
Sobre cada  arista  de  cada  triángulo  se  interpolan  las  cotas  cerradas,  conforme 
al  intervalo vertical  definido mediante  una proporcionalidad directa,  y, una vez 
definida  su  ubicación, se  empalman  para  conformar  las  curvas  de  nivel  y,  por 
ende, el MDT.
Ejemplo práctico
Las figuras 16.16 a, 16.16 b y 16.16 c presentan  las carteras de campo de un 
levantamiento de un predio para realizar una construcción.
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES 325 325 
FIGURA16.16A Cartera de campo 
TOPOGRAFÍA326 TOPOGRAFÍA326 
FIGURA16.16B Cartera de campo 
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES 327 327 
FIGURA 16.16 C Cartera de campo 
El  levantamiento  consiste  en  una  poligonal  cerrada  por  ceros  atrás,  con brazo 
interno y recorrido anti-horario. Desde cada vertice se tomaron diferentes puntos 
de quiebre en  el terreno,  a  los  cuales  se  les  leyó el  ángulo horizontal, el  ángulo 
vertical,  la  distancia horizontal,  la  altura  del prisma y la  altura  de la estación;  se 
realizó una nivelación geométrica compuesta para obtener las cotas de los vértices 
de la poligonal, con base en el NP-9.
TOPOGRAFÍA328 TOPOGRAFÍA328 
FIGURA 16.17 Cartera de nivelación
La tabla 16.6 presenta  el ajuste de la poligonal cerrada, la tabla 16.7 presenta el cál-
culo de coordenadas para la nube de puntos, la tablas 16.8 a, b y c presentan el ajuste 
de  la nivelación geométrica y la tabla 16.9 presenta  la nivelación geométrica de la 
nube de puntos del terreno; todo de acuerdo con los procedimientos antes vistos.
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES 329 329 
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      100 390.885 102 654.313 D2
0.001 -40.036 0.277 100 350.849 102 654.590 D3
 
0.001 -0.902 35.780 100 349.948 102 690.370 D4
 
0.001 43.961 -1.091 100 393.909 102 689.279 D5
 
0.001 -3.024 -34.966 100 390.885 102 654.313 D2
 
 
0.004 0.000 0.000  
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES 331 331 
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54
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88
10
03
78
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10
26
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3
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