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Gerente editorial
Daniel Arroyo
Jefa de contenidos editoriales
Verónica Lombardo
Jefe del área de Matemática
Gabriel H. Lagoa
Editora
Yanina Sousa
Editing
Belén Boscaroli
Autores
Aperturas: Pablo Amster
¿Para qué sirve?: Laura Pezzatti
Roxana Abálsamo
Adriana Berio
Silvana Mastucci
Nora Quirós
Fernando De Rossi
Corrector de estilo
Gabriel Valeiras
Coordinadora del área
de Marcas y derechos
Amorina Scalercio
Jefe del departamento de Arte y diseño
Lucas Frontera Schällibaum
Diseñadoras de maqueta
Patricia Cabezas
Laura Porta
Diagramación
Alberto G. Scotti y Pablo Alarcón para Cerúleo
Ilustrador
Pablo Zerda
Fotografías
Archivo de imágenes de Grupo Macmillan
Thinkstock
Gerente de Producción editorial
Carlos Rodríguez
Matemática 3. Fotoactivados / Roxana Abálsamo ... [et.al.]. - 1a ed. - San
Isidro: Puerto de Palos, 2013.
256 p.: il.; 28 x 20 cm - (Activados)
ISBN 978-987-547-529-8
1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. I. Abálsamo, Roxana
CDD 510.712
© Editorial Puerto de Palos S.A., 2013.
Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan.
Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Internet: www.puertodepalos.com.ar
Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.
Impreso en Argentina.
Printed in Argentina.
ISBN 978-987-547-529-8
La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por
el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto.
No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la
transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante
fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor.
Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.
Primera edición.
Esta obra se terminó de imprimir en febrero de 2013, en los talleres de F P Compañía Impresora, Beruti 1560,
Florida, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Gerente editorial
Daniel Arroyo
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Verónica Lombardo
Jefe del área de Matemática
Gabriel H. Lagoa
Editora
Yanina Sousa
Editing
Belén Boscaroli
Autores
Aperturas: Pablo Amster
¿Para qué sirve?: Laura Pezzatti
Roxana Abálsamo
Adriana Berio
Silvana Mastucci
Nora Quirós
Fernando De Rossi
Corrector de estilo
Gabriel Valeiras
Coordinadora del área
de Marcas y derechos
Amorina Scalercio
Jefe del departamento de Arte y diseño
Lucas Frontera Schällibaum
Diseñadoras de maqueta
Patricia Cabezas
Laura Porta
Diagramación
Alberto G. Scotti y Pablo Alarcón para Cerúleo
Ilustrador
Pablo Zerda
Fotografías
Archivo de imágenes de Grupo Macmillan
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Gerente de Preprensa y Producción editorial
Carlos Rodríguez
Matemática 4 ¿Para qué sirve? / Adriana Beatriz Berio... [et.al.]. - 1a ed. -
Boulogne: Puerto de Palos, 2013.
256 p.: il.; 28x20 cm. - (Activados)
ISBN 978-987-547-579-3
1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. I. Berio, Adriana Beatriz
CDD 510.712
© Editorial Puerto de Palos S.A., 2013.
Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan.
Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Internet: www.puertodepalos.com.ar
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Impreso en Argentina.
Printed in Argentina.
ISBN 978-987-547-579-3
La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por
el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto.
No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la
transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante
fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor.
Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.
Primera edición.
Esta obra se terminó de imprimir en octubre de 2013, en los talleres de F P Compañía Impresora,
Beruti 1560, Florida, provincia de Buenos Aires, Argentina.
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Daniel Arroyo
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Aperturas: Pablo Amster
¿Para qué sirve?: Laura Pezzatti
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Matemática 4: ¿para qué sirve?: versión para el docente / Roxana Abálsamo ...
[et.al.]. - 1a ed. - Boulogne: Puerto de Palos, 2013.
256 p.: il.; 28x20 cm. - (Activados)
ISBN 978-987-547-582-3
1. Matemática. 2. Guía Docente. I. Abálsamo, Roxana
CDD 371.1
© Editorial Puerto de Palos S.A., 2013.
Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan.
Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Internet: www.puertodepalos.com.ar
Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.
Impreso en Argentina.
Printed in Argentina.
ISBN 978-987-547-582-3
La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por
el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto.
No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la
transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante
fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor.
Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.
Primera edición.
Esta obra se terminó de imprimir en octubre de 2013, en los talleres de F P Compañía Impresora,
Beruti 1560, Florida, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de
XXX actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas.
En formato binarizado, la sección ¿Para que sirve? conecta la matemática con la
vida cotidiana a través de una pregunta que surge constantemente en el aula.
Apertura: en esta sección, Pablo
Amster, especialista en el área de la
matemática, ofrece textos
relacionados con la historia y
evolución del pensamiento
matemático.
En el cuadro de
contenidos aparecen los
temas numerados para su
fácil identificación.
InfoActiva: presenta
definiciones, clasificaciones,
procedimientos básicos y
ejemplos de cada contenido
que facilitan la comprensión.
Conector: invita
a repasar conceptos
explicados en
páginas anteriores.
Test de
comprensión:
incluye preguntas
básicas que
permiten evaluar la
Mira Foco
Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de
681 actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas.
En formato binarizado, la sección ¿Para que sirve? conecta la matemática con la
vida cotidiana a través de una pregunta que surge constantemente en el aula.
Apertura: en esta sección, Pablo
Amster, especialista en el área de la
matemática, ofrece textos relacionados
con la historia y evolución del
pensamiento matemático.
En el cuadro de
contenidos aparecen los
temas numerados para su
fácil identificación.
InfoActiva: presenta
definiciones, clasificaciones,
procedimientos básicos y
ejemplos de cada contenido
que facilitan la comprensión.
Conector: invita a
repasar conceptos
explicados en páginas
anteriores.
Conexión a
¿Para qué sirve?
Actividades: para cada tema
se proponen distintasactividades
que están organizadas de manera
secuencial.
menteACTIVA: propone
situaciones problemáticas con un
mayor nivel de complejidad.
Integración: incluye más
actividades para resolver en el
cuaderno.
Autoevaluación: propone
más actividades para que cada
alumno pueda evaluar los
conocimientos adquiridos
durante el capítulo.
Trabajos prácticos:
incluyen más actividades para
practicar los temas del
capítulo.
¿Para qué sirve?: en esta sección, Laura
Pezzatti, especialista en el área de la matemática,
ofrece una serie de textos que conectan los contenidos
de los capítulos con la vida cotidiana y otras
disciplinas con el objetivo de responder a la pregunta
inicial que se plantea.
¿Para qué sirve?
Actividades: para cada tema
se proponen distintas actividades
que están organizadas de manera
secuencial.
menteACTIVA:
propone situaciones
problemáticas con
un mayor nivel de
complejidad.
Integración: incluye más actividades para
resolver en el cuaderno.
Autoevaluación: propone más actividades
para que cada alumno pueda evaluar los
conocimientos adquiridos durante el capítulo.
¿Para qué sirve?: en esta
sección, Laura Pezzatti, especialista en
el área de la matemática, ofrece una
serie de textos que conectan los
contenidos de los capítulos con la vida
cotidiana y otras disciplinas con el
objetivo de responder a la pregunta
inicial que se plantea.
¿Para qué sirve?
Test de comprensión: incluye
preguntas básicas que permiten
evaluar la comprensión de la teoría
y revisar errores comunes.
Capítulo 1: NÚMEROS REALES ..................... 9
1. Números reales. .................................. 10
2. Números racionales. ........................... 12
3. Operaciones con números racionales. 14
Integración .......................................... 18
4. Módulo de un número real. ............... 20
5. Ecuaciones. ......................................... 22
6. Inecuaciones. ...................................... 24
Integración .......................................... 26
Autoevaluación .................................... 28
Capítulo 2: NÚMEROS IRRACIONALES ....... 29
7. Propiedades de la potenciación y
la radicación. ...................................... 30
8. Números irracionales. ......................... 32
9. Radicales. Adición y sustracción. ....... 34
10. Multiplicación y división de radicales. .. 36
11. Operaciones combinadas. .................. 38
12. Racionalización de denominadores. ... 42
Integración .......................................... 46
13. Sucesiones. ......................................... 48
14. Sucesiones aritméticas. ...................... 50
15. Sucesiones geométricas. .................... 52
Integración .......................................... 54
Autoevaluación .................................... 56
Capítulo 3: FUNCIONES ............................. 57
16. Funciones. ........................................... 58
17. Análisis de funciones I. ...................... 60
18. Análisis de funciones II. ..................... 62
Integración .......................................... 66
19. Función lineal. .................................... 68
20. Distancia entre dos puntos. ............... 70
21. Ecuación de la recta. .......................... 74
22. Función módulo. ................................. 78
Integración .......................................... 80
Autoevaluación .................................... 82
Capítulo 4: FUNCIÓN CUADRÁTICA ............ 83
23. Función cuadrática. ............................ 84
24. Raíces de una función cuadrática.
Discriminante. ..................................... 86
25. Distintas expresiones de la función
cuadrática. .......................................... 88
26. Gráfico de una función cuadrática. .... 92
Integración .......................................... 96
27. Ecuaciones de segundo grado. .......... 98
28. La parábola como lugar geométrico. 102
29. Ecuación de la parábola. ................. 104
Integración ........................................ 106
Autoevaluación .................................. 108
Capítulo 5: POLINOMIOS ......................... 109
30. Polinomios. Características. ............... 110
31. Suma y resta de polinomios. ............ 112
32. Multiplicación de polinomios. ........... 114
Integración ......................................... 118
33. División de polinomios. ................... 120
34. La regla de Ruffini. Teorema
del resto. .......................................... 122
35. Raíces de un polinomio. .................. 124
36. Operaciones combinadas. ................ 126
Integración ........................................ 130
Autoevaluación .................................. 132
Índice generalÍndice general
Capítulo 1: NÚMEROS REALES ..................... 9
1. Números reales. .................................. 10
2. Números racionales. ........................... 12
3. Operaciones con números racionales. 14
Integración .......................................... 18
4. Módulo de un número real. ............... 20
5. Ecuaciones. ......................................... 22
6. Inecuaciones. ...................................... 24
Integración .......................................... 26
Autoevaluación .................................... 28
Capítulo 2: NÚMEROS IRRACIONALES ....... 29
7. Propiedades de la potenciación y
la radicación. ...................................... 30
8. Números irracionales. ......................... 32
9. Radicales. Adición y sustracción. ....... 34
10. Multiplicación y división de radicales. .. 36
11. Operaciones combinadas. .................. 38
12. Racionalización de denominadores. ... 42
Integración .......................................... 46
13. Sucesiones. ......................................... 48
14. Sucesiones aritméticas. ...................... 50
15. Sucesiones geométricas. .................... 52
Integración .......................................... 54
Autoevaluación .................................... 56
Capítulo 3: FUNCIONES ............................. 57
16. Funciones. ........................................... 58
17. Análisis de funciones I. ...................... 60
18. Análisis de funciones II. ..................... 62
Integración .......................................... 66
19. Función lineal. .................................... 68
20. Distancia entre dos puntos. ............... 70
21. Ecuación de la recta. .......................... 74
22. Función módulo. ................................. 78
Integración .......................................... 80
Autoevaluación .................................... 82
Capítulo 4: FUNCIÓN CUADRÁTICA ............ 83
23. Función cuadrática. ............................ 84
24. Raíces de una función cuadrática.
Discriminante. ..................................... 86
25. Distintas expresiones de la función
cuadrática. .......................................... 88
26. Gráfico de una función cuadrática. .... 92
Integración .......................................... 96
27. Ecuaciones de segundo grado. .......... 98
28. La parábola como lugar geométrico. 102
29. Ecuación de la parábola. ................. 104
Integración ........................................ 106
Autoevaluación .................................. 108
Capítulo 5: POLINOMIOS ......................... 109
30. Polinomios. Características. ............... 110
31. Suma y resta de polinomios. ............ 112
32. Multiplicación de polinomios. ........... 114
Integración ......................................... 118
33. División de polinomios. ................... 120
34. La regla de Ruffini. Teorema
del resto. .......................................... 122
35. Raíces de un polinomio. .................. 124
36. Operaciones combinadas................. 126
Integración ........................................ 130
Autoevaluación .................................. 132
Capítulo 6: FACTORIZACIÓN DE
POLINOMIOS ................................... 133
37. Factor común y factor común
por grupos. ....................................... 134
38. Trinomio cuadrado perfecto y
cuatrinomio cubo perfecto. .............. 136
39. Suma y resta de potencias de
igual exponente. ............................... 138
40. Teorema de Gauss. ........................... 140
Integración ........................................ 142
41. Casos combinados de factoreo. ....... 144
42. Ecuaciones de grado mayor a dos. . 148
43. Estudio de funciones polinómicas. .. 150
Integración ........................................ 154
44. Expresiones algebraicas
fraccionarias. ..................................... 156
45. Operaciones con expresiones
algebraicas fraccionarias. ................. 158
46. Ecuaciones con expresiones
algebraicas fraccionarias. ................. 162
Integración ........................................ 166
Autoevaluación .................................. 168
Capítulo 7: SISTEMAS DE ECUACIONES ... 169
47. Sistemas de ecuaciones lineales.
Método gráfico. ................................ 170
48. Resolución de sistemas de
ecuaciones I. ..................................... 172
49. Resolución de sistemas de
ecuaciones II. .................................... 176
50. Sistemas de ecuaciones mixtos. ...... 178
Integración ........................................ 182
Autoevaluación .................................. 184
Capítulo 8: GEOMETRÍA Y
FIGURAS PLANAS .............................. 185
51. Teorema de Thales. .......................... 186
52. Aplicaciones del teorema de Thales. 188
53. Semejanza de triángulos. ................. 192
Integración ........................................ 196
54. Trigonometría. .................................. 198
55. Cálculo de razones trigonométricas. 200
56. Resolución de triángulos rectángulos. 202
57. Teoremas del seno y del coseno. .... 204
58. Resolución de triángulos
oblicuángulos. ............................................. 206
Integración ........................................ 210
Autoevaluación .................................. 212
Capítulo 9: PROBABILIDAD Y
ESTADÍSTICA ..................................... 213
59. Combinatoria. ................................... 214
60. Binomio de Newton. Triángulo
de Pascal. ......................................... 218
61. Probabilidad. .................................... 220
62. Probabilidad condicional. ................. 222
Integración ........................................ 224
Autoevaluación .................................. 226
Control de resultados ............................... 227
¿Para qué sirve?¿Para qué sirve?
Capítulo 6: FACTORIZACIÓN DE
POLINOMIOS ................................... 133
37. Factor común y factor común
por grupos. ....................................... 134
38. Trinomio cuadrado perfecto y
cuatrinomio cubo perfecto. .............. 136
39. Suma y resta de potencias de
igual exponente. ............................... 138
40. Teorema de Gauss. ........................... 140
Integración ........................................ 142
41. Casos combinados de factoreo. ....... 144
42. Ecuaciones de grado mayor a dos. .... 148
43. Estudio de funciones polinómicas. ..... 150
Integración ........................................ 154
44. Expresiones algebraicas
fraccionarias. ..................................... 156
45. Operaciones con expresiones
algebraicas fraccionarias. ................. 158
46. Ecuaciones con expresiones
algebraicas fraccionarias. ................. 162
Integración ........................................ 166
Autoevaluación .................................. 168
Capítulo 7: SISTEMAS DE ECUACIONES ... 169
47. Sistemas de ecuaciones lineales.
Método gráfico. ................................ 170
48. Resolución de sistemas de
ecuaciones I. ..................................... 172
49. Resolución de sistemas de
ecuaciones II. .................................... 176
50. Sistemas de ecuaciones mixtos. ...... 178
Integración ........................................ 182
Autoevaluación .................................. 184
Capítulo 8: SEMEJANZA
Y TRIGONOMETRÍA ...................................... 185
51. Teorema de Thales. .......................... 186
52. Aplicaciones del teorema de Thales. ... 188
53. Semejanza de triángulos. ................. 192
Integración ........................................ 196
54. Trigonometría. .................................. 198
55. Cálculo de razones trigonométricas. .... 200
56. Resolución de triángulos
rectángulos. ....................................... 202
57. Teoremas del seno y del coseno. .... 204
58. Resolución de triángulos
oblicuángulos. ............................................. 206
Integración ........................................ 210
Autoevaluación .................................. 212
Capítulo 9: COMBINATORIA
Y PROBABILIDAD ......................................... 213
59. Combinatoria. ................................... 214
60. Binomio de Newton. Triángulo
de Pascal. ......................................... 218
61. Probabilidad. .................................... 220
62. Probabilidad condicional. ................. 222
Integración ........................................ 224
Autoevaluación .................................. 226
Control de resultados ............................... 227
Números reales
Contenidos
1. Números reales.
2. Números racionales.
3. Operaciones con números
racionales.
4. Módulo de un número real.
5. Ecuaciones.
6. Inecuaciones.
ca
p
ít
u
lo1
Los números racionales aparecen en los primeros textos matemáticos de la
historia. Se encuentran presentes en las tablillas babilónicas y en el célebre
papiro egipcio de Ahmes, escrito hacia 1650 a. C. Allí se detallan las opera-
ciones con fracciones, que los egipcios escribían como sumas de fracciones
de numerador igual a 1; estos desarrollos no son únicos. Es un hecho nota-
ble que los números racionales se puedan representar siempre de esa forma,
y más notable aún que lo supieran ya los antiguos egipcios. Por ejemplo, el
1 también se puede pensar como 1 __ 2 +
1 __ 3 +
1 __ 6 .
En aquellos tiempos, la notación era muy diferente a la actual. La barra de
fracción, que separa el numerador del denominador, fue introducida recién
en el siglo XIII por Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. Por
su parte, las fracciones decimales tuvieron que esperar hasta el siglo XVI,
cuando el belga Simon Stevin ideó la forma de calcular empleando décimas,
centésimas, etc., aunque todavía faltaba para llegar a la notación actual: en
su sistema un número como 37 654 ______ 1 000 se escribía 37(0)6(1)5(2)4(3).
1. Lean atentamente y resuelvan.
a. ¿Por qué son tan importantes los números racionales?
b. Representen las siguientes fracciones utilizando el método egipcio.
5 __ 4
3 __ 5
4 __ 9
a. Respuesta abierta. b. 5 __ 4 =
1 __ 2 +
1 __ 3 +
1 __ 4 +
1 __ 6
3 __ 5 =
1 __ 2 +
1 ___ 10 =
1 __ 3 +
1 __ 5 +
1 ___ 15
4 __ 9 =
1 __ 3 +
1 __ 9
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Números reales
Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como el cociente entre dos núme-
ros enteros.
Existen dos maneras de escribir un mismo número racional: como fracción o en forma decimal; una
y otra designan exactamente al mismo número. La expresión decimal de un número racional tiene un
número finito de cifras decimales, o es periódica.
34 ___ 9 = 3,777... = 3,7 –13 ___ 4 = –3,25
17 ___ 6 = 2,8333... 2,83
Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como un cociente entre dos
números enteros, por tener infinitas cifras decimales no periódicas.
Todas las raíces no exactas de base entera son números irracionales.
__
5 = 2,236067... 3
__
6 = 1,817120... 4
___
21 = 2,140695...
Hay números irracionales que se determinan a partir de una ley de formación.
2,246810... –0,12223242... 5,1122334455... 14,0123456...
El conjunto de los números reales ( ) está formado por los números racionales ( ) y los irracionales ( ).
Los números reales se grafican sobre una recta denominada recta real. A un punto de la misma se
le asigna el 0, se elige un segmento unidad y se ubican los números restantes. A cada número real le
corresponde un punto de la recta y viceversa.
–1 – 1 __ 2 0
1 __ 8 1
Intervalos reales
Se denomina intervalo real a toda semirrecta o segmento de la recta real.
Algebraicamente se designa un intervalo por sus extremos encerrados entre paréntesis o corchetes:
paréntesis, si los extremos no están incluidos (intervalo abierto);
corchetes, si se incluyen los extremos (intervalo cerrado).
A = x ∈ ∧ –3 ≤ x ≤ 1 = [–3;1] E = x ∈ ∧ x ≥ 3,5 = [3,5;+∞)
–3 1
[ ]
3,5
[
B = x ∈ 4 < x < 7 = (4;7) F = x ∈ ∧ x > –6 = (–6;+∞)
4 7
( )
–6
(
C = x ∈ –5 ≤ x < 0 = [–5;0) G = x ∈ ∧ x ≤ 1 = (–∞;1]
–5 0
[ )
1
]
D = x ∈ –4 < x ≤ –1 = (–4;–1] H = x ∈ ∧ x < – 1 __ 2 = ( –∞;– 1 __ 2 )
–4 –1
( ]
)
– 1 __ 2
INFOACTIVA ¿Para qué sirve?PÁGINA 2
Test de comprensión
1 ACTIVIDADES Números reales
Test de comprensión
1. Coloquen una X donde corresponda.
Número Naturales Enteros Racionales Irracionales Reales
–4
1 __ 3
__
5
__
9
1,34
2. Representen cada uno de los siguientes intervalos en la recta numérica.
a. ( –2;3 ) c. [ 1 __ 3 ; 1 __ 2 ]
b. ( –5;
__
5 ] d. [– 3
___
27 ; 3
___
27 )
3. Escriban el intervalo real correspondiente en los siguientes casos.
a. x ∈ ∧ x ≥ –3 = d. x ∈ ∧ –3,5 < x < 0 =
b. x ∈ ∧ –1 ≤ x < 7 = e. x ∈ ∧ –1,2 < x ≤ 1,2 =
c. x ∈ ∧ x ≠ 3 = f. x ∈ ∧ x ≤ –2 ∧ x > 1 =
4. Expresen de tres formas distintas los intervalos que se indican a continuación.
a. Todos los números reales mayores o iguales que –3 y menores que 2.
b. Todos los números reales mayores o iguales que –5.
c. Todos los números menores que –3 o mayores o iguales que 2.
d. Todos los números reales mayores que –2 y menores o iguales que –1.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Todo número que tiene infinitas cifras decimales ¿es irracional?
b. ¿Cuál es la diferencia entre (2;3) y [2;3]?
Test de comprensión
11
a. No, los números periódicos son racionales. b. El primer intervalo no incluye los extremos y el segundo, sí.
X X X
X X
X X
X X X X
X X
[–3;+∞) (–3,5;0)
[–1;7) (–1,2;1,2]
(–∞;3) ∪ (3;+∞) (–∞;–2] ∪ (1;+∞)
x ∈ ∧ –3 ≤ x < 2 = [–3;2)
x ∈ ∧ x ≥ –5 = [–5;+∞)
x ∈ ∧ x < –3 ∨ x ≥ 2 = (–∞;–3) ∪ [2;+∞)
x ∈ ∧ –2 < x ≤ –1 = (–2;–1]
( )
–2 3
( ]
–5
__
5
[ ]
1 __ 3
1 __ 2
[ )
–
3
___
27
3
___
27
[ )
–3 2
[
–5
( ]
–2 –1
) [
–3 2
12
111098765432
Números racionales
Al efectuar la división no exacta de dos números enteros, puede suceder que:
el resto de la división sea cero; en ese caso el cociente es una expresión decimal con un número
finito de cifras decimales (expresiones decimales finitas).
5 __ 2 = 5 : 2 = 2,5
9 ___ 12 = 9 : 12 = 0,75 –
12 ___ 10 = –12 : 10 = –1,2
el resto nunca se anule; necesariamente se repite y al repetirse también lo hacen las cifras deci-
males del cociente, determinando el período (expresiones decimales periódicas).
2 __ 3 = 2 : 3 = 0,6 –
10 ___ 11 = –10 : 11 = –0,
90 16 ___ 15 = 16 : 15 = 1,06
Para transformar una expresión decimal periódica en fracción, se escribe en el numerador de la misma
el número decimal, sin la coma, menos la parte no periódica y en el denominador, tantos 9 como cifras
decimales periódicas tenga la expresión, seguidos de tantos ceros como cifras decimales no periódicas
contenga.
3,2 = 32 – 3 ______ 9 =
29 ___ 9 3,
15 = 315 – 3 _______ 99 =
312 ____ 99 =
104 ____ 33 –15,83 = –
1 583 – 158 ___________ 90 = –
1425 _____ 90 = –
95 ___ 6
Aproximación
Cuando se trabaja con números que tienen muchas o infinitas cifras decimales, se realizan aproxi-
maciones cometiendo un pequeño error que es aceptado por razones de orden práctico.
Para calcular el promedio final de las calificaciones de un alumno en una asignatura determinada,
se suman las notas obtenidas en los tres trimestres y se las divide por 3.
Los promedios finales se aproximan por redondeo a dos decimales.
Asignatura 1.° trimestre 2.° trimestre 3.° trimestre Promedio final
Lengua 5 8 7 6,67
Historia 7 7 8 7,33
Para aproximar por redondeo se considera la cifra siguiente a la última que se va a dejar; si es mayor
o igual que 5, se suma uno a dicha última cifra y si es menor, se deja igual.
5 + 8 + 7 ________ 3 =
20 ___ 3 = 6,6666... ≅ 6,67 (ε < 0,01)
7 + 7 + 8 ________ 3 =
22 ___ 3 = 7,3333... ≅ 7,33 (ε < 0,01)
Otra manera de aproximar es por truncamiento, que consiste en eliminar directamente las cifras que
no desean considerarse.
__
5 = 2,236067... ≅ 2,23 (ε < 0,01) e = 2,7182818... ≅ 2,7182 (ε < 0,0001)
Error
El valor más probable es el promedio de los valores obtenidos.
_
x =
x
1
+ x
2
+ ... + x
n
______________ n
Se denomina error absoluto ( ε a ) al módulo de la diferencia entre el valor
de cada medición ( x i ) y el valor más probable (x x ). ε a = | x i –
_
x |
El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor más probable. ε
r
=
ε
a
__
_
x
El error porcentual es el error relativo multiplicado por 100. ε
%
= ε
r
. 100
INFOACTIVA
1
¿Para qué sirve?
PÁGINA 3
13
Test de comprensión
5. Completen para obtener números racionales periódicos. Escriban la expresión decimal correspondiente.
a. 12 _____ = b. _____ 7 = c.
2 _____ = d. _____ 3 =
6. Rodeen con color las expresiones equivalentes en cada caso.
a. 233 ____ 100 2,33 2,3 0,233 2,033
b. 1 __ 9 1,11 0, 1 0,1 1,11
c. 2 __ 5
4 ___ 10 4 0,4 2,5
7. Escriban como fracción irreducible los siguientes números.
a. 3,2 = c. 1,24 = e. 1,15 =
g. 5,36 =
b. 0,3 = d. 1,6 = f. 0,09 =
h. 4,26 =
8. Completen las siguientes tablas.
a. 23,1456 b.
__
8
Error Truncamiento Redondeo Error Truncamiento Redondeo
ε < 0,1 ε < 0,1
ε < 0,01 ε < 0,01
ε < 0,001 ε < 0,001
9. Calculen el error porcentual de cada una de las siguientes aproximaciones por redondeo.
a.
__
5 , ε < 0,001 b. 15 ___ 7 , ε < 0,01
10. Lean atentamente y respondan.
Pablo tiene que repartir con sus tres socios los $3 000 de la ganancia de la semana. Para calcular
cuánto dinero le corresponde a cada uno, realiza las siguientes operaciones.
1 __ 3 = 0,333… 0,33 . $3 000 = $990 cada uno.
¿Es correcto esto? ¿Por qué?
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Siempre es importante trabajar con la expresión decimal exacta de un número?
b. ¿La expresión 3,2 es equivalente a 3 __ 2 ?
2 ACTIVIDADES Números racionales. Operaciones.
a. Depende del contexto que se esté trabajando. b. No, es equivalente a 29 ___ 9 .
12 5
6 3
Hay infinitas posibilidades.
16 31 52 59
5 25 45 11
3 5 1 64
10 3 11 15
23,1 23,1 2,8 2,8
23,14 23,15 2,82 2,83
23,145 23,146 2,828 2,828
0,003 0,1333
No, le corresponden $1 000 a cada uno, porque al haber trabajado con la expresión decimal periódica
truncada, no se repartió el dinero en su totalidad.
14
Operaciones con números racionales
Una operación donde aparecenexpresiones decimales periódicas conviene resolverla en forma frac-
cionaria, respetando la jerarquía de las operaciones y sus propiedades.
15 ___ 4
. 0,26 + 5 –1 –
_____
0,25 = 1. Se escriben como fracción las expresiones decimales.
15 ___ 4
. 24 ___ 90 +
1 __ 5 –
____
25 ____ 100 = 2. Se simplifica cuando sea posible.
15 ___ 4
. 4 ___ 15 +
1 __ 5 –
5 ___ 10 = 3. Se resuelven las potencias y raíces.
1 + 1 __ 5 –
1 __ 2 =
7 ___ 10 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
Luego, las sumas y restas.
Si aparecen paréntesis, corchetes y llaves, se deben resolver primero las operaciones que estos
encierran.
0,08 . [ ( 1 __ 2 ) 4 . 3
__
8 +
___
25 ___ 64 ] – 0,26 = 8 ___ 90 . ( 1 ___ 16 . 2 + 5 __ 8 ) – 24 ___ 90
= 4 ___ 45
. ( 1 __ 8 + 5 __ 8 ) – 4 ___ 15
= 4 ___ 45
. 3 __ 4 –
4 ___ 15 =
= 1 ___ 15 –
4 ___ 15 = –
1 __ 5
Si el cálculo está expresado como fracción, se deben resolver el numerador y el denominador por
separado y luego, obtener el cociente correspondiente.
0,03 . 5 _______
0,1
+
3
_______
0,5 – 3 __ 8 ________
2 –3 =
3 ____ 100
. 5
________
1 __ 9
+
3
_______
5 ___ 10 –
3 __ 8 ________
( 1 __ 2 )
3
( 2 __ 5 + 0,3 . 9 __ 2 ) : 0,6 _____________
________
0,21 + 1 – ( 5 __ 2 )
2
=
( 2 __ 5 + 3 __ 9 . 9 __ 2 ) : 2 __ 3 _____________
_______
21 ____ 100 + 1 – ( 5 __ 2 )
2
=
3 ___ 20 ____
1 __ 9
+
3
__
1 __ 8 ____
1 __ 8
=
( 2 __ 5 + 3 __ 2 ) : 2 __ 3 ___________
____
121 ____ 100 – ( 5 __ 2 )
2
= 3 ___ 20 :
1 __ 9 +
1 __ 2 :
1 __ 8 =
19 ___ 10 :
2 __ 3 _______
11 ___ 10 –
25 ___ 4
= 27 ___ 20 + 4 =
57 ___ 20 _____
– 103 ____ 20
= 107 ____ 20 =
57 ___ 20
. ( – 20 ____ 103 )
= – 57 ____ 103
INFOACTIVA
12111098765432
15
Test de comprensión
3 ACTIVIDADES Operaciones con números racionales
11. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
a. 3 __ 5
. 15 – 1,2 . ( –0,5 ) = f. ( 0,54 . 3 __ 7 ) . 1 __ 7 – ( 0,24 + 3 __ 5 + 0,26 ) =
b. 5 __ 3 :
15 ___ 9 + 0,3 : 0,5 = g. ( 0,18 + 0,21 ) : ( 0,2 + 0,05 ) + 0,3 =
c. ( 0,583 – 0,3 : 1 __ 2 ) . 1,2 = h. ( 0,35 : 0,15 + 1 __ 4 ) . ( 0,002 : 0,007 + 1 ) =
d. ( 3 – 1 __ 5 : 0,7 ) . ( 15 ___ 4 . 0,2 ) = i. – ( 0,4 . 11 __ 8 + 2 ) + ( 0,2 + 1,1 ) . 3,5 =
e. – ( 3 __ 5 + 0,09 : 0,03 ) – 0,5 : 0,125 = j. [ 2 . 0,2 + (–10 + 3,75) : 3 __ 2 ] : 0,3 =
12. Resuelvan.
a. 0,2 2 = e.
____
2,7 =
b. 2,3 –3 = f.
___
0,4 =
c. 0,3 2 = g.
______
0,009 =
d. 1,6 3 = h. 3
______
0,064 =
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Al resolver una operación, ¿por qué conviene escribir las expresiones decimales periódicas
como fracción?
b. Las expresiones decimales periódicas, ¿cumplen con las propiedades de los números naturales?
a. Porque así se tienen en cuenta todos sus decimales. b. Sí, cumplen con las mismas propiedades.
29 ___ 3 –
97 ___ 90
8 __ 5
16 ___ 9
– 1 ___ 50
93 ___ 28
95 ___ 42
37 ___ 18
– 38 ___ 5 –
113 ___ 10
4 ___ 81
5 __ 3
27 ____ 343
2 __ 3
9 ____ 100
1 ___ 10
125 ____ 27
2 __ 5
16
3 ACTIVIDADES Operaciones con números racionales
13. Escriban el cálculo combinado que responde a cada pregunta y resuelvan.
a. ¿Cuál es la mitad de la quinta parte de veinte?
b. ¿Cuál es el inverso del triple de 0,3?
c. ¿Cuál es el triple de 0,2 aumentado en 0, 1?
d. ¿Cuál es el doble de 0,07 disminuido en 1 __ 2 ?
14. Encuentren el error en la resolución de los siguientes cálculos, si es que lo hay. Luego, resuél-
vanlos correctamente.
a. – 0,3 2 + (0,5 + 0,3) . 5 = b.
_________
2,5 + 0,2 .
____________
2 . 0,7 + 0,2 2 + 0,03 =
– ( 1 __ 3 )
2
+ 0,8 . 5 =
______
23 ___ 9 +
2 __ 9
.
______
7 __ 5 +
1 ___ 25 +
3 ___ 90 =
– 1 __ 9 + 4 =
37 ___ 9 1,6
. 6 __ 5 +
3 ___ 90 =
61 ___ 30
15. Resuelvan.
a.
________________
0,04 . 10 __ 8 – 0,015
__________________
0,2
= c.
5
_______________
0,24 + 3 __ 5 + 0,15
_________________
_______
0,027
=
b. 0,2 + 1, 1 ________
0,6
+
0,4 . 3,5
_______
0,3
= d.
3
________________________
(0,7 + 0,3) 5 . (2,7 : 10) . 0,1 –1
_________________________
(2,9 : 7) 3
=
20 . 1 __ 5 : 2 = 2
( 1 __ 3 . 3 )
–1
= 1
3 . 0,2 + 0, 1 = 7 __ 9
2 . 0,07 – 1 __ 2 = –
31 ___ 90
En el segundo término, se toma 0,3 como 0,3 al
resolver la sustracción.
El cálculo está resuelto correctamente.
9 ___ 10 6
20 ___ 3
343 ____ 90
17
16. Marquen las opciones correctas.
a. ( 0,6 . 3
___
125 ____ 8 + 0,1 ) : 1,75 = 32 ___ 35 8 __ 7 14 ___ 5
b. ( 1,6 + 0,1 ) 2 : 8 __ 9 =
113 ___ 36
32 ___ 9 3,6125
c.
10 ___ 9 + 0,2 ________
1 __ 3
+ 0,3 2 =
5 __ 3
37 ___ 9
4 __ 3
d.
________
0,20 . 11 __ 5 – ( 0,3 – 1 )
0 = 0 –0,33 – 1 __ 3
e. ( 0,35 + 1 __ 9 ) : 0,05 + 3 __ 2 = – 99 ___ 10 99 ___ 10 9 ___ 10
17. Resuelvan los siguientes cálculos combinados.
a. 3
_________
2 – 1,992 + 7 __ 3 – ( 0,45 .
___
121 + 0,3 ) = e. 0,6 2 + 0,05 . [ ( 3
___
1 ____ 125 )
2
. 5 __ 9 + 0,3 ]
–1
=
b. [ 2,02 – ( 0,2 – 0,17 + 1,3 – 2 ) ] : 3
______
0,008 = f. 0,
18 . 1,1
_________
( 3 __ 2 + 2,5 )
2
+ 0,1 =
c.
____
__
1 ___ 81 + ( 0,2 – 1,03 ) : 0,01 = g.
_____________________
( 0,6 + 0,32 + 1 __ 6 ) : 0,02
_______________________
0,23 + 53 ___ 30
=
d.
_________
1,4 + 0,04 +
_________________
( 1,5 – 1,2 ) : ( 1 – 1 __ 3 ) – ( 0,03 _____ 0,5 )
–1
= h.
_______
0,04 . 1 __ 4
. [0, 9 – (0,03 + 0, 1)]
__________________________
( 3
_____________
0,14 – 1 __ 2
. 0,03 )
–1
=
3 ACTIVIDADES Operaciones con números racionales
X
X
X
X
X
– 14 ___ 5
173 ____ 288
40 ___ 3
9 ___ 80
– 218 ____ 3
7 __ 2
– 113 ___ 10
77 _____ 1 800
18
INTEGRACIÓN
18. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según
corresponda. Expliquen las respuestas.
Todo número...
a. ... natural es un número entero.
b. ... entero es un número natural.
c. ... real es un número natural.
d. ... irracional es un número real.
e. ... irracional es un número racional.
19. Hallen el valor de x en cada caso e indiquen
a qué conjunto numérico pertenece la solución.
a. c. Perímetro = x
2,3 cm
1 __ 3 cm
7 cm
5 cm
x
b. d. Área = x
4 cm
x
3 cm
__
2 cm
5 cm
20. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según
pertenece (∈) o no (∉) al intervalo.
a. 2 ∈ (2;5]
b. 2 ∈ [2;5]
c. 5 ∉ (2;5]
d. 5 ∉ (2;5)
e. 0 ∈ (–5;–1)
f. –3 ∈ [–3;2]
21. Representen los siguientes intervalos en la
recta numérica.
a. x ∈ ∧ –3 < x < 5
b. x ∈ x ≤ –1 ∧ x > 1 __ 5
c. x ∈ ∧ 1 __ 3 < x ≤
7 __ 2
d. x ∈ ∧ x ≥ 5
22. Respondan.
a. ¿Cuántos números naturales, incluido el cero,
se encuentran en el intervalo (–2;4]? ¿Y núme-
ros enteros?
b. ¿Cuántos números reales se encuentran en elintervalo [–2;–1]?
23. Escriban el intervalo indicado en cada caso.
Luego, represéntenlo en la recta numérica.
a. Todos los números reales mayores o iguales
que 5.
b. Todos los números reales mayores que 3 y
menores o iguales que 8.
c. Todos los números reales menores o iguales
que 3
___
34 .
d. Todos los números reales mayores que – 1 __ 2 y
menores que 3.
e. Todos los números reales mayores o iguales
que – 7 __ 5 y menores o iguales que 0
f. Todos los números reales mayores que 0.
24. Representen de dos maneras distintas los
siguientes intervalos.
a. [2;3)
b. (–∞; –5] ∪ (7; +∞)
c. [–2; +∞)
d. (–∞;–1] ∪ [2;+∞)
25. Escriban los intervalos representados en
cada recta.
a.
3 5
) [
b.
–3 5
( )
c.
1
(
d.
–2 3
[ )
e.
–4 2
] [
f.
–8 –1
( ]
V
F
F
V
F
P = 79 ___ 15 , , .
x =
___
74 cm, y .
x = 5 cm, , , , .
A = 5 .
__
2 , y .
F V
V F
F V
Solución a cargo del alumno.
5 números naturales. 6 números enteros.
Hay infinitos números reales.
[5;+∞)
(3;8]
(–∞; 3
___
34 ]
( – 1 __ 2 ;3 )
[– 7 __ 5 ; 0 ]
(0;+∞)
x ∈ ∧ –2 ≤ x < 3
x ∈ ∧ x ≤ –5 ∨ x > 7
x ∈ ∧ x ≥ –2
x ∈ ∧ x ≤ –1 ∨ x ≥ 2
Recta numérica a cargo del alumno.
(–∞;3) ∪ [5;+∞)
(–3; 5)
(1; +∞)
[–2; 3)
(–∞;–4] ∪ [2;+∞)
(–8; –1]
19
1*2*3
CONTENIDOS
26. Escriban la expresión decimal de cada una
de las siguientes fracciones. Clasifíquenlas.
a. 3 __ 2 = e.
1 __ 9 =
b. 7 ___ 28 = f.
5 __ 9 =
c. 1 ___ 15 = g.
12 ___ 5 =
d. 3 ___ 16 = h.
15 ___ 9 =
27. Completen el siguiente cuadro realizando
una aproximación por truncamiento.
Número 1,345
__
6 2 __ 3
3
__
7
ε < 0,1
ε < 0,01
ε < 0,001
ε < 0,0001
28. Completen el siguiente cuadro realizando
una aproximación por redondeo.
Número 2,345
__
7 2 __ 9
3
__
3
ε < 0,1
ε < 0,01
ε < 0,001
ε < 0,0001
29. Calculen el error porcentual de cada una de
las siguientes aproximaciones por redondeo con
ε < 0,01.
a. 113 ___ 9 c.
__
7 e.
__
2
b.
__
5 d. 5 __ 7 f.
4 __ 7
30. Aproximen por redondeo a los milésimos el
número 25 ___ 14 e indiquen los errores.
a. ε
a
b. ε
r
c. ε
%
31. Lean atentamente, escriban el cálculo en
cada caso y resuelvan.
a. El doble de la tercera parte de 15, aumenta-
do en la raíz cuadrada del doble de 9 __ 8 .
b. La diferencia entre un cuarto de 16 ___ 9 y las tres
quintas partes de 25.
c. La raíz cuadrada de la suma entre un quinto
de cinco y el producto de 36 ___ 5 y
10 ___ 9 .
d. El cociente entre el cuadrado de la diferen-
cia entre un tercio y tres quintos, y cinco
medios elevado a menos uno.
e. La raíz cúbica de la diferencia entre uno y
siete octavos, disminuida en el doble de la raíz
cuadrada de 2,7.
f. La diferencia entre el cociente de la raíz cua-
drada de 81 ___ 16 y la raíz cuarta de
81 ___ 16 , y el doble
de cinco cuartos.
32. Resuelvan las siguientes operaciones combi-
nadas.
a. –3 . 3,2 + ( 1 __ 5 – 1 __ 3 ) =
b. ( 9 __ 7 . 0,25 – 5 __ 7 ) .
___
121 =
c. ( 0,6 + 0,02 – 1 ___ 20 . 2,2 ) : 1,4 =
d. 0,4 . 3,3 + 0,2 + 0,3 2 + 0,2 =
e. ( 0,2 + 0,5 ) . 1,5 1 –1 + 1 __ 3 + 0,7 : 1,5 =
f. [ 11 – ( 0,5 : 0,1 + 3,3 + 0,2 ) ] 2 =
g. [ – 5 __ 3 . ( 0,5 – 0,2 + 1 ___ 10 . 3,3 : 1,6 ) + 1 ] – 0,7 =
h. ( –0,3 + 2 . 0,5 ) – ( 0,09 + 0,2 ) . 1 ___ 29 + 0, 1 =
i. [ 0,5 : 5,9 : ( 0,7 – 0,3 ) + 1 ] : ( – 1 __ 2 ) =
j.
________________
( 6,19 – 5,29 ) . 0,1
___________________
0,07 – 0,13 . 9 + 1
=
k.
[ ( 1 __ 4 ) 2 . 4
___
16 + 5 __ 8 ] . 0,08
____________________
0,26 =
l.
–0,2 + ( 1,3 – 0,3 ) : ( – 1 __ 6 )
_____________________
1,3 : 0,83 – 0,2 . 9 __ 5
=
1
capítulo
1,5 E.D.F. 0, 1 E.D.P.
0,25 E.D.F. 0,5, E.D.P.
0,06, E.D.P. 2,4 E.D.F.
0,1875, E.D.F. 1,6, E.D.P.
0,03538 0,1606 0,2979
0,1758 0,6 0,25
25 ___ 14 ≅ 1,786
a. |1,786 – 25 ___ 14 | b. ε r = |
1,786 – 25 ___ 14 | __________
25 ___ 14
c. ε
%
= |1,786 –
25 ___ 14 | __________
25 ___ 14
. 100
23 ___ 2
– 131 ___ 9
3
8 ___ 45
– 17 ___ 6
–1
– 49 ___ 5
– 30 ___ 7
2 __ 5
17 ___ 9
4 __ 3
9
– 11 ___ 18
0,8
– 29 ___ 12
– 27 ___ 11
1 __ 4
–5
1,3 2,4 0,6 1,9
1,34 2,44 0,66 1,91
1,345 2,449 0,666 1,912
1,3455 2,4494 0,6666 1,9129
2,3 2,6 0,2 1,4
2,35 2,65 0,22 1,44
2,346 2,646 0,222 1,442
1,3456 2,6458 0,2222 1,4422
20
Módulo de un número real
El módulo o valor absoluto de un número real es su distancia al cero sobre la recta real. Para todo
número real x, su módulo se expresa: |x|.
∀x ∈ : |x| = { x si x ≥ 0 –x si x < 0
|3| = 3 |–5| = –(–5)
–5 0 3
|–5| = 5 |3| = 3
Propiedades del módulo
|x| ≥ 0 | 2 __ 3 | = 2 __ 3 |0| = 0 |–15,7| = 15,7
|x| = |–x| |4,03| = |–4,03| |247| = |–247|
= –(–4,03) = 4,03 = –(–247) = 247
|x + y| ≤ |x| + |y| |3,2 + 5| ≤ |3,2| + |5| |8,9 + (–6)| ≤ |8,9| + |–6|
|8,2| ≤ 3,2 + 5 |2,9| ≤ 8,9 + 6
8,2 ≤ 8,2 2,9 ≤ 14,6
|x . y| = |x| . |y| |4 . (–3)| = |4| . |–3| |–2,4 . 1,95| = |–2,4| . |1,95|
|–12| = 4 . 3 |–4,68| = 2,4 . 1,95
12 = 12 4,68 = 4,68
Para entender mejor las propiedades que siguen, se representan los siguientes intervalos reales.
–a 0 a
()( )
x < –a –a < x < a x > a
|x| > a ∧ a > 0 ⇒ x > a ∨ x < –a ⇒ x ∈ (–∞;–a) ∪ (a;+∞)
–a 0 a
()
|x| > a
|x| > 8 ∧ 8 > 0 ⇒ x > 8 ∨ x < –8 |x| ≥ 4,1 ∧ 4,1 > 0 ⇒ x ≥ 4,1 ∨ x ≤ –4,1
⇒ x ∈ (–∞;–8) ∪ (8;+∞) ⇒ x ∈ (–∞;–4,1] ∪ [4,1;+∞)
|x| < a ∧ a > 0 ⇒ –a < x < a ⇒ x ∈ (–a;a)
–a 0 a
( )
|x| < a
|x| < 3 ∧ 3 > 0 ⇒ –3 < x < 3 |x| ≤ 2 __ 5 ∧
2 __ 5 > 0 ⇒ –
2 __ 5 ≤ x ≤
2 __ 5
⇒ x ∈ (–3;3) ⇒ x ∈ [ – 2 __ 5 ; 2 __ 5 ]
INFOACTIVA
131211109876543
21
Test de comprensión
33. Calculen los siguientes módulos.
a. |–3| = d. |–a| = g. |3 . (–2)| =
b. |–20| = e. |3 – 5| = h. |–12 : 6| =
c. |a| = f. |5 + 7| = i. |3 . (–5) – 8| =
34. Completen con <, > o =, según corresponda.
a. |–45| |45| c. |a + 3| |a| + |3| e. |x| . |–2| |x| . (–2)
b. –3 |3| d. |–2 + 5| |–2| + |5| f. |5 . (–3)| |5| . |–3|
35. Escriban el conjunto solución.
a. |x| = 3 c. |x| 2 e. |x| > 2,3
b. |x| = –5 d. |x| 3 f. |x| < 0, 1
36. Resuelvan los siguientes cálculos.
a. | –3 + 1 __ 3 | : 0,6 + 3
_______
| –0,125 | = c.
3
______
0,008 – | –2,3 + 2,5 |
___________________
|
____
0,64 – 3 |
=
b. |–3 + 0,2| – | –
__
1 __ 4 | – 1 – 0,2 ______ 0,2 = d.
| 1, 5 – 1, 2 – 3 |
_____________
0,6
=
37. Representen sobre la recta numérica los conjuntos de números que se indican a continuación.
a. |x| = 3 __ 5 e. x < 0 ∧ |x| > 7
b. |x| ≥ a f. |x| < 4 ∧ x > 9
c. |x| ≤ 4 ∧ x ≥ 4 g. |x| > 2 ∨ x = 0
d. |x| > 2 ∧ x < 3 h. |x| < 6 ∨ x = 2
4 ACTIVIDADES Módulo de un número real
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Dos números opuestos ¿tienen el mismo módulo?
b. ¿Cuál es el signo del valor del módulo del cociente entre un número positivo y otro negativo?
a. Sí, porque ambos se ubican a la misma distancia del cero en la recta numérica. b. El resultado es positivo.
3 a, si a > 0 6
20 2 2
a, si a > 0 12 23
= < >
< < =
S = {–3;3} [–2;2] ( –∞;– 7 __ 3 ) ∪ ( 7 __ 3 ;+∞ )
Absurdo. (–∞;–3] ∪ [3;+∞) ( – 1 __ 9 ; 1 __ 9 )
9 __ 2 0
– 13 ___ 10 4
x x –7
–a a ø
4 –2 0 2
–2 0 2 3 –6 6
] [
) (
( )) ( )
)
22
Ecuaciones
Una identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor de la/s variable/s.
h + h = 2h m + n = n + m cn + dn = (c + d) . n 3,5x + 2 – x + 0,4 = –0,6x + 1,3
Unaecuación es una igualdad que se verifica para uno, algunos o ningún valor de la/s variable/s.
x + 3 = 0 8 – 2x = 0 x + 5 = x – 2 a + 2b + c = 0 9 + x = 4 – 2 x 2 – 8
Resolver una ecuación es encontrar, si existen, el o los valores de las variables que verifican la
igualdad planteada. Dichos valores determinan el conjunto solución de la ecuación.
Una ecuación de primer grado o lineal es aquella cuya forma general es: ax + b = 0, siendo a y b
números reales y a ≠ 0.
–6 . ( x – 1 __ 3 ) = ( – 4 __ 5 x + 2 ) : 1 __ 2 3x – 2 + 2 . ( 1 __ 3 x + 1 __ 4 ) = x – 4 __ 3 . (x – 4)
–6x + 2 = – 8 __ 5 x + 4 3x – 2 +
2 __ 3 x +
1 __ 2 = x –
4 __ 3 x + 4
–6x + 8 __ 5 x = 4 – 2
11 ___ 3 x –
3 __ 2 = –
1 __ 3 x + 4
– 22 ___ 5 x = 2 4x =
11 ___ 2
x = – 5 ___ 11 x =
11 ___ 8
Ecuaciones con módulo
Para resolver ecuaciones lineales en las que aparecen módulos que incluyen la incógnita, se deben
tener presentes tanto la definición de este concepto como sus propiedades.
|x + 5| = 8 Se elimina el módulo, aplicando la definición.
x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ –5 ∨ x + 5 < 0 ⇒ x < –5
x + 5 = 8 ⇒ x = 3 ∨ –x – 5 = 8 ⇒ x = –10
–5 0 3
[
–10 –5 0
)
Solución = {–10; 3}
2 . |2 – 3x| + 5 = x + 9 Se elimina el módulo, aplicando la definición.
2 – 3x ≥ 0 ⇒ x ≤ 2 __ 3 ∨ 2 – 3x < 0 ⇒ x >
2 __ 3
2 . (2 – 3x) + 5 = x + 9 ∨ 2 . (–2 + 3x) + 5 = x + 9
4 – 6x + 5 = x + 9 –4 + 6x + 5 = x + 9
–7x = 0 5x = 8
x = 0 x = 8 __ 5
0 2 __ 3 1
]
0 2 __ 3 1
8 __ 5
(
Solución = {0; 8}
INFOACTIVA
1413121110987654
23
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿La solución de la ecuación –3x = 15 es x = 18?
b. ¿Es cierto que en |x – 5| = –2 el valor de x es igual a 3?
38. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuáles ecuaciones tienen infinitas soluciones?
7a + 2a = 9a 7a + 2a = 9 7 + 2a = 9a 7 + 2a = 9
b. ¿Cuáles ecuaciones tienen solución única?
8 – |x| = |x| b . 1 __ 2 = b + 0,6 2a – b = –b + 2a |a| + 2 = 5
c. ¿Cuáles ecuaciones no tienen solución?
x + 5 = 1,7 – x x – 0,2 = x + 1 __ 5 –x +
3 __ 7 = 2x + 1 2 . (x – 4) = x – 4
39. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a. 5 __ 3 x + 8,2 = 10 –
5 __ 6 x d. 2,4
. ( – 5 __ 11 + 3x ) = 1,5 . ( – 3 __ 7 x + 1 )
b. 2,6 + 5,2 = –x + 7 __ 8 x e. x – ( 2x + 0,32 ) – 3x =
1 __ 9 + 9x
c. 1,8 + 0,3x – 1 __ 3 = –0,7x f. –0,4
. ( 2,8 – 0,4 ) + 7 ___ 15 x = ( 0,3x – 0,3 _________ –15 ) . (–13)
40. Resuelvan las siguientes ecuaciones con módulos.
a. | x + 5 | = 2,5 c. 0,25 . | –3x + 4 | = 7 __ 4 x
b. | 2x – 1 | = 0,5 d. 2 . | 1 __ 2 x – 0,25 | = 2x – 3 __ 4
41. Planteen las ecuaciones y resuelvan.
a. El quíntuplo del módulo del siguiente del tercio
de un número es igual a dos.
b. La cuarta parte de la suma entre un número y
su anterior es igual al siguiente de su triple.
5 ACTIVIDADES Ecuaciones
a. No, es –5. b. No, porque el módulo de un número real es siempre positivo.
X
X
X
x = 18 ___ 25 x =
1 __ 3
x = – 944 ____ 15 –
1 ___ 30
x = – 7 __ 5 x =
10 ___ 3
x = –2,5; x = –7,5 x = 2 __ 5
x = 7 __ 9 ; x =
2 __ 9 x =
5 ___ 12
5 . | 1 __ 3 x + 1 | = 2; x = – 9 __ 5 ; x = – 21 ___ 5 1 __ 4 . (x + x – 1) = 3x + 1; x = – 1 __ 2
24
Inecuaciones
Las desigualdades que contienen variables se llaman inecuaciones.
Resolver una inecuación es encontrar todos los valores de la incógnita que la verifican, y el con-
junto solución es un intervalo real o el conjunto vacío.
Una inecuación se resuelve como una ecuación, salvo en el caso en que se divida o se multiplique
a ambos miembros por un número negativo, lo que invierte el sentido de la desigualdad.
–5x > 7 – 2 __ 5 x ≤ –4 –2x < 9 –
3 __ 4 x ≥ –2
–5x : (–5) < 7 : (–5) – 2 __ 5 x : ( – 2 __ 5 ) ≥ –4 : ( – 2 __ 5 ) –2x : (–2) > 9 : (–2) – 3 __ 4 x : (– 3 __ 4 ) ≤ –2 : (– 3 __ 4 )
x < – 7 __ 5 x ≥ 10 x > –
9 __ 2 x ≤
8 __ 3
S = ( –∞;– 7 __ 5 ) S = [10;+∞) S = ( – 9 __ 2 ;+∞ ) S = ( –∞; 8 __ 3 ]
Inecuaciones con módulo
|3x – 5| < 4 Debe eliminarse el módulo, aplicando la definición.
3x – 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5 __ 3 ∨ 3x – 5 < 0 ⇒ x <
5 __ 3
3x – 5 < 4 ⇒ x < 3 ∨ –3x + 5 < 4 ⇒ x > 1 __ 3
x ≥ 5 __ 3 ∧ x < 3 ⇒
5 __ 3 ≤ x < 3 x <
5 __ 3 ∧ x >
1 __ 3 ⇒
1 __ 3 < x <
5 __ 3
0 1 5 __ 3 2 3
[ ) [ 5 __ 3 ;3 )
0 1 _ 3 1
5
__ 3 2 3
( ) ( 1 __ 3 ; 5 __ 3 )
La solución es la unión de los intervalos: S = ( 1 __ 3 ; 5 __ 3 ) ∪ [ 5 __ 3 ;3 ) = ( 1 __ 3 ;3 )
0 1 _ 3 1 2 3
( )
4 . |x + 3| – 1 > 1 – x Debe eliminarse el módulo, aplicando la definición.
x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ –3 ∨ x + 3 < 0 ⇒ x < –3
4 . (x + 3) – 1 > 1 – x ∨ 4 . (–x – 3) – 1 > 1 – x
4x + 12 – 1 > 1 – x –4x – 12 – 1 > 1 – x
5x > –10 ⇒ x > –2 –3x > 14 ⇒ x < – 14 ___ 3
x ≥ –3 ∧ x > –2 ⇒ x > –2 x < –3 ∧ x > – 14 ___ 3 ⇒ x < –
14 ___ 3
–6 –5 –4 –3 –2 –1
[ ( ( –2;+∞)
–6 –5 – 14 __ 3 –4 –3 –2 –1
) ) ( –∞;– 14 ___ 3 )
La solución es la unión de los intervalos: S = ( –∞;– 14 ___ 3 ) ∪ ( –2;+∞ )
–6 –5 – 14 __ 3 –4 –3 –2 –1
) (
INFOACTIVA
15141312111098765
25
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que la solución de la inecuación –5x ≤ 20 es x ≥ –4?
b. ¿La inecuación |x – 3| < 4 tiene como solución todos valores que se encuentran entre –1 ≤ x ≤ 7?
42. Marquen las opciones correctas.
a. La solución de – x __ 5
. (–4) ≤ –20 es: (–∞;–25) (–∞;–25] (–25;+∞) [–25;+∞)
b. La solución de |4x – 2| < 4 es: [ 1 __ 2 ; 3 __ 2 ) ( – 1 __ 2 ; 1 __ 2 ) ( – 1 __ 2 ; 3 __ 2 ) ( – 1 __ 2 ; 3 __ 2 ]
c. La solución de 2 . |x – 6| > 4 es: [4;8] (8;+∞) (–∞;4) (–∞;4) ∪ (8;+∞)
43. Resuelvan las siguientes inecuaciones y escriban el conjunto solución.
a. 0,6x – 1 __ 9 ≥ –
5 ___ 18 d. –0,3
. ( 1 __ 3 x – 5 ___ 12 ) ≤ 0,3x
b. 7 __ 6 x – 3,2 <
9
__ 2 x e.
4,1x + 8,4
_________ 2x ≤ 0,9
c. 1 __ 2 x + 5,07 – x > 5,57 f.
–3x _____ x – 1 < 2,8
44. Resuelvan las siguientes inecuaciones con módulo y escriban el conjunto solución.
a. 6 . |x – 2| ≤ 8x c. 4 . (x + 1) < |x – 3| + 4x
b. |–5| . |2x – 3| ≥ 10 d. 3 . |4x – 1| > 10x
45. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. El módulo del anterior del triple de un
número es menor que el módulo de menos
cinco.
b. La tercera parte del siguiente de un número
es mayor que la suma entre dicho número y su
doble.
6 ACTIVIDADES Inecuaciones
a. Sí, al pasar el –5 dividiendo cambia el sentido de la desigualdad. b. No, no se deben considerar los extremos.
X
X
X
S = [ – 1 __ 4 ;+∞ ) S = [ 15 ___ 52 ;+∞ )
S = ( – 29 ___ 30 ;+∞ ) S = [–4;0 )
S = ( –∞;–1 ) S = (–∞; 26 ___ 53 ) ∪ ( 1;+∞ )
S = [ 6 __ 7 ;+∞ ) S = (–∞;–1) ∪ (7;+∞)
S = ( –∞; 1 __ 2 ] ∪ [ 5 __ 2 ;+∞ ) S = ( –∞; 3 ___ 22 ) ∪ ( 3 __ 2 ;+∞ )
|3x – 1| < |–5|; S = ( – 4 __ 3 ;2 ) 1 __ 3 . (x + 1) ≥ x + 2x; S = ( –∞; 1 __ 8 )
26
INTEGRACIÓN
46. Calculen los siguientes módulos.
a. |–15| = e. |–3 . 20| =
b. |–29| = f. |10 : (–2)| =
c. |45| = g. |2 + 4 . 3| =
d. |–1 – 5| = h. |12 : (–6) + 1| =
47. Respondan.
La distancia de un número a cero es 5. ¿Cuáles son
los números que cumplen con esa condición?
48. Escriban el conjunto de valores que verifican
las siguientes igualdades.
a. |x| = 23 c. |x| = 0
b. |x| = –4 d. |x| = 7
49. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. La tercera parte de la diferencia entre el doble
de un número y su mitad es igual al doble del
cuadrado de tres. ¿Cuál es ese número?
b. El anterior de la mitad de un númeroes igual
al doble del mismo. ¿Cuál es dicho número?
c. La suma de dos números consecutivos es
igual al triple del siguiente de dicho número.
¿Cuáles son esos números?
d. La diferencia entre el triple de un número y
su quinta parte, es igual al doble de seis
quintos.
50. Resuelvan las ecuaciones.
a. 0,7 . (x + 1) = 0,2 + 0,7
b. –2x + 3 _______ 3 +
x __ 6 = 2x
c. 5 __ 2 x + 0,3 =
3x + 1 ______ 2 +
0,2x
____ 4
d. 7 – 8x ______ 6 +
2x – 2 ______ 3 =
–10x + 1 ________ 3
e. 2,1 x + 1 __ 4 x – 3
. ( 1 __ 9 x – 1 __ 6 ) = 6 –2 x
51. Escriban en lenguaje coloquial.
a. 2 . (0,5 + x) = x + 1
b. 1 __ 4
. ( 1 __ 3 x – 1 ) = 5x – 2
c. |x + 5| : 2 = |–16|
d. 3 . 1 __ 2 = 3
. | 2x – 1 __ 2 |
52. Resuelvan las siguientes ecuaciones con
módulo.
a. |x| + 5 = 12 e. |x + 4| = 2
b. |x| + 4 = 12 f. 1 __ 3
. |x + 1| = 2
c. –2 . |x| + 1 = –11 g. 3 . |x – 3| + 1 = 7
d. 0,2 – |x| = 0 h. –2 . |x –1| – 3 = –15
53. Escriban el conjunto representado como
ecuación o inecuación con módulo.
a.
–3 3
b.
–5 5
[ ]
c.
–1 1
) (
54. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. El módulo de la diferencia entre un número
y cinco es siete. ¿Cuál es dicho número?
b. El doble del módulo de la suma de un núme-
ro y cuatro es doce. ¿Cuál es dicho número?
c. La tercera parte del módulo de la suma
entre un número y uno es uno. ¿Cuál es dicho
número?
d. El triple del módulo de la suma entre siete y
un número es nueve. ¿Cuál es dicho número?
55. Calculen todos los números que verifican las
siguientes igualdades.
a. |x| + 4 = 5 d. 5 __ 3 + 0,2 – |x| = 1
b. 2 __ 3
. |x| – 2 = 3 e. |x + 4| = 3
c. 5 __ 2 – |x| = 4 f. 2 + 3 . |x + 1| =
5 __ 2
56. Unan cada ecuación con su conjunto solución.
a. |x – 4| = 2 {0;8}
b. |2x – 4| = 2 {2;6}
c. 2 . |x – 4| = 2 {3;5}
d. |x – 4| : 2 = 2 {1;3}
15 60
29 5
45 14
6 1
–5 y 5
S = {–23; 23} S = {0}
Absurdo. S = {–7; 7}
Solución a cargo del alumno.
x = 13 ___ 70
x = 2 __ 5
x = 3 ___ 17
x = – 1 ___ 16
x = – 1 __ 4
Solución a cargo del alumno.
S = {–7;7} S = {–6;–2}
S = {–8;8} S = {–7;5}
S = {–6;6} S = {1;5}
S = {– 1 __ 5 ; 1 __ 5 } S = {–5;7}
|x| = 3
|x| ≤ 5
|x| > 1
a. –2;12 b. –10;2 c. –4;2 d. –10;–4
S = {–1;1} S = {– 8 __ 9 ;– 8 __ 9 }
S = {– 15 ___ 2 ; 15 ___ 2 } S = {–7;–1}
S = ∅ S = {– 7 __ 6 ;– 5 __ 6 }
27
4*5*6
CONTENIDOS
57. Escriban el conjunto solución de las siguien-
tes inecuaciones.
a. |x| > 3 d. |x – 2| < 4
b. |x| ≤
__
7 e. 2 . |x – 3| ≥ 8
c. |x + 1| > 2 f. 1 __ 3 . |x + 4| ≤ 2
58. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según
corresponda.
a. Una ecuación es una igualdad que se verifica
para todos los valores de la variable.
b. Toda ecuación lineal es de la forma
ax + b = 0.
c. En la ecuación |2x – 7| = –3, el valor de
x es 2.
d. El conjunto solución de una inecuación siem-
pre es un intervalo real.
e. Cuando se multiplican ambos miembros de
una desigualdad por un número negativo, la
desigualdad no cambia su sentido.
59. Escriban la expresión con módulo que
corresponde a cada representación.
a.
–3 3
) (
b.
0 1 __ 3
[ )
c.
–2 2 4
d.
–a a
[ ]
60. Escriban en lenguaje simbólico y obtengan
el conjunto solución.
a. La quinta parte del anterior de un número es
mayor o igual que el doble de dicho número.
b. El siguiente del triple de un número es menor
que dicho número aumentado en dos novenos.
c. El doble del módulo de la tercera parte de un
número disminuido en nueve es menor que siete.
61. Unan cada inecuación con su conjunto solución.
a. 2 . (x – 1) 3 < 16 x > 2
b. –2 . (x – 1) 3 > 16 x < 3
c. [2 . (x + 1)] 3 > 8 x > 0
d. [–2 . (x + 1)] 3 < –8 x > –1
62. Marquen las opciones correctas.
a. El doble del módulo del siguiente de un
número es menor que su triple.
2 . |x + 1| < 3x |2x + 1| < 3x
|2 . (x + 1)| < 3x |2x| + 1 < 3x
b. El módulo del anterior de la mitad de un
número es mayor que su doble.
| 1 __ 2 . (x – 1) | ≥ 2x 1 __ 2 . | x – 1 | ≥ 2x
| 1 __ 2 x – 1 | ≥ 2x | 1 __ 2 . x| – 1 ≥ 2x
63. Resuelvan las inecuaciones con módulo.
a. 5 + |3x – 4| ≤ 12 – 4x
b. 3 – (2x – 8) + 5 > |–x – 4| . |–3|
c. 2 . (2x – 6) < |3x – 7| + 3
d. 4 . |2x + 5| + 3 ≥ 1 __ 2 . (4x + 6)
e. 6 + |2x + 3| – 4x > 5x + 1
f. |7x – 4| + 8 ≤ 2 . (x – 6) + 10
g. 2x + |2x + 3| ≥ –3 . (x + 2)
h. 7 . |x + 2| – 10 < 3x + 2
i. 3 . |–x + 3| + 2x ≤ –2x + 7
j. | 1 __ 3 x – 5 | + 8 ≤ 2 __ 3 x + 10
64. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es el conjunto solución de…
a. … 1 ___ 12
. |–5x + 2,6| > 0,16?
( 2 ___ 15 ;+∞ ) ( –∞; 2 ___ 15 ) ∪ ( 14 ___ 15 ;+∞ )
( –∞; 14 ___ 15 ) ( 2 ___ 15 ; 14 ___ 15 )
b. … 2x + 2 – 5 . (x – 3) ≤ x – 8?
[ 25 ___ 4 ;+∞ ) ( –∞; 25 ___ 4 )
( 25 ___ 5 ;+∞ ) ( –∞; 25 ___ 4 ]
1
capítulo
Solución a cargo del alumno.
F
V
F
F
F
|x| > 3
|x| < 1 __ 3 ∧ x 0
|x| = 2 ∨ x > 4
|x| ≤ a
a. 1 __ 5
. (x – 1) ≥ 2x; S = ( –∞;– 1 __ 9 ] b. 3x + 1 < x + 0,2;
S = ( –∞;– 7 ___ 18 ) c. 2 . | 1 __ 3 x – 9 | < 7; S = (16,5;37,5)
X
X
S = ( –∞; 11 __ 7 ]
S = ( –28; 4 __ 5 )
S = (–∞;8)
S =
S = ( –∞; 8 __ 7 )
S = ∅
S = [– 9 __ 7 ;+∞)
S = (–2,6;–0,5)
S = ( –∞;–2 ]
S = [ –3;+∞ )
X
X
AUTOEVALUACIÓN
28
1
capítulo
Marquen las opciones correctas
65. ¿Cuál es el intervalo que corresponde en cada caso?
a. x ∈ ∧ –2 < x < 2
(–∞;–2) ∪ (2;+∞) (–2;2) {–2;2} Ninguna de las anteriores.
b. x ∈ ∧ x < –3 ∨ x > 5
(–∞;–3) ∪ (5;+∞) [–3;5) (–∞;–3] ∪ [5;+∞) Ninguna de las anteriores.
c. x ∈ ∧ x = –4 ∨ x > 3
(–4;3) {–4;3} (–4;+∞) Ninguna de las anteriores.
66. ¿Cuál es el error porcentual de
___
15 por redondeo con ε < 0,001?
a. 0,000429 b. 0,429 c. 0,000000429
67. ¿Cuál es el resultado de cada cálculo?
a.
1 _________
3
__
8 .
____
100
. 0,
20
________________
(0,
25 – 0,
30) . 2,1
21 ___ 2 –
2 ___ 21
2 ___ 21
b. 3 . |x| + 2 = 5 {–1;1} (–1;1) [–1;1]
c. 5 + 2 . |x + 1| = 15 {4} {–6;4} {–6}
68. ¿Cuál es la ecuación que corresponde a cada problema?
a. La mitad del siguiente de un número es igual a su doble, aumentado en la tercera parte de 30.
¿Cuál es el número?
1 __ 2
. 2x + 1 = 2x + 1 __ 3
. 30 1 __ 2 x + 1 = 2x + 3 . 30
1 __ 2
. (x + 1) = 2x + 1 __ 3
. 30
b. El anterior de la tercera parte de un número es igual a la raíz cuadrada del producto entre dieci-
séis y el cuadrado del desconocido.
1 __ 3
. (x – 1) =
____
16 x 2 1 __ 3
. x – 1 =
____
16 x 2 1 __ 3 x – 1
2 =
___
16 x 2
69. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación?
|–2| . | 1 __ 2 x – 0,3 | 1,3
a. (–∞;2] b. [–0,6;+∞) c. [–0,6;2] d. (–∞;2] ∪ [–0,6;+∞)
X
X
X
X
X
X
X
X x = – 19 ___ 3
X S = ∅
X
Números irracionales
Contenidos
7. Propiedades de la
potenciación y la
radicación.
8. Números irracionales.
9. Radicales. Adición y
sustracción.
10. Multiplicación y división de
radicales.
11. Operaciones combinadas.
12. Racionalización de
denominadores.
13. Sucesiones.
14. Sucesiones aritméticas.
15. Sucesiones geométricas.
ca
p
ít
u
lo2
En la historia matemática hay una leyenda que ha atravesado los siglos: la del
descubrimiento de los irracionales por parte de los pitagóricos.
Se cuenta que Pitágoras, el célebre filósofo de la antigua Grecia, tenía la idea
de que todo en el universo está basado en los números. Y los números eran, para
él, enteros o fracciones de enteros. Sin embargo, uno de sus discípulos encontró
una magnitud que no podía escribirse como fracción de enteros: esto era terrible,
pues conmovía toda una visión del mundo. Y la magnitud en cuestión no era otra
que la diagonal del cuadrado, cuyo cálculo procede deun teorema que lleva jus-
tamente el nombre de Pitágoras, aunque era conocido mil años antes por los
babilonios. Si el lado del cuadrado mide 1, el cuadrado de su diagonal tiene que
valer 1 2 + 1 2 = 2; de esta forma, la diagonal mide la raíz cuadrada de 2.
Se cuenta que los pitagóricos, avergonzados, no quisieron revelar a nadie el
secreto de su hallazgo; otra leyenda va más allá y afirma que a quien dio a cono-
cer tal secreto lo arrojaron por la borda de un navío. No se cree que esto sea
cierto aunque, de alguna forma, deja entrever que los pitagóricos se vieron un
tanto “desbordados” por los acontecimientos.
1. Lean atentamente y resuelvan.
a. ¿Cómo se diferencian los números racionales de los irracionales?
b. Además de
__
2 , ¿qué otros números irracionales conocen?
a. Porque los números irracionales no se pueden escribir como fracción de enteros.
b. Por ejemplo, los más “famosos” son π, la constante e y el número de oro (φ).
6
30
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Propiedades de la potenciación y la radicación
Propiedades de la potenciación
Potencia de exponente cero. a 0 = 1 ⇔ a ≠ 0
Potencia de exponente negativo. a –n = 1 __ a n ⇔ a ≠ 0
Potencia de otra potencia. ( a n ) m = a n . m
Producto de potencias de igual base. a n . a m = a n + m
Cociente de potencias de igual base. a
n
___ a m = a
n – m ⇔ a ≠ 0
Distributividad respecto de la multiplicación. (a . b) n = a n . b n
Distributividad respecto de la división. ( a __ b )
n
= a
n
__ b n ⇔ b ≠ 0
Propiedades de la radicación
La radicación se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario: n
__
a p = a
p
__ n
__
6 = 6
1 __ 2 3
__
5 = 5
1 __ 3 4
__
x 3 = x
3 __ 4 3
__
1 __
x 7
= x –
7 __ 3
Las propiedades de la radicación son análogas con las de la potenciación.
Raíz de raíz.
n
___
m
__
a = ( a 1 __ m )
1 __ n = a
1 ____ n.m = m.n
__
a
Distributividad respecto de la multiplicación.
n
_____
a . b = (a . b)
1 __ n = a
1 __ n . b
1 __ n = n
__
a .
n
__
b
Distributividad respecto de la división. n
__
a __ b = (
a __ b )
1 __ n = a
1 __ n ___
b
1 __ n
=
n
__
a
____
n
__
b
⇔ b ≠ 0
Simplificación de índices. n
___
a m = a
m __ n = a
m:r ___ n:r = n:r
___
a m:r ⇔ r ≠ 0 ∧ a > 0
6
___
5 3 = 3
__
5 4
___
64 = 4
___
2 6 =
___
2 3 10
___
81 = 10
___
3 4 = 5
___
3 2
Eliminación del radical. n
__
a n = a ⇔ n es impar ∨ n
__
a n = |a| ⇔ n es par
___
49 =
___
7 2 = |7| = 7 4
___
81 = 4
___
3 4 = |3| = 3 5
___
32 = 5
___
2 5 = 2 3
___
–8 = 3
_____
(–2) 3 = –2
Amplificación de índices. n
___
a m = a
m __ n = a
m.p
____ n.p =
n.p
____
a m.p ⇔ p ≠ 0 ∧ a > 0
__
3 = 2 . 2
____
3 1 . 2 = 4
___
3 2 = 4
__
9 5
__
4 = 5 . 3
____
2 2 . 3 = 15
___
2 6 = 15
___
64 6
__
x 3 = 6 . 4
___
x 3 . 4 = 24
___
x 12
INFOACTIVA
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que ( 3 __ 4 )
– 2
= ( – 4 __ 3 )
2
?
b. ¿Es correcto decir que
3
__
a 3 = |a|?
Test de comprensión
7 ACTIVIDADES Propiedades de la potenciación y la radicación
1. Marquen las respuestas correctas.
a. (ab) –5 : (ab) 2 . a = a –2 b –3 a –6 b –7 a –7 b –7 a –8 b –7
b.
____
a 4 b 5 .
____
a 2 b = a 6 b 6 a 4 b 3 a 3 b 3 a b 2
c.
__
a .
__
b . a
3 __ 2 : b 4 = a 2 b
– 7 __ 2 a 2 b
7 __ 2 a 2 b –
9
__ 2 a 2 b
9
__ 2
d.
__
a .
3
__
b .
_____
a . b . a –4 = a –3 b
5 __ 6 a 5 b
5 __ 6 a –3 b –
1 __ 6 a 5 b –
1 __ 6
2. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas.
a. 3 –2 = 1 __ 9 d. 2 . 2
0 : 2 –3 = 2 3 g. (2a)
5 = 2 a 5
b. ( 7 2 ) –3 = 7 6 e.
3
___
__
5 = 6
__
5 h.
3
___
25 = 5
2 __ 3
c. 4 –3 : 4 –5 = 4 –8 f.
5
__
9 5 = |9| i. (
2 __ 5 )
– 3 __ 2 = ( – 5 __ 2 )
3 __ 2
3. Expresen como una única potencia aplicando las propiedades.
a. 2 –5 . 2 : 2 –4 = d. (ab)
3 . (ab) –2 = g.
__
6 .
__
6 3 .
__
6 6 =
b. [ (–3) 3 : (–3) –3 ] –2 = e.
__
5 .
3
__
5 2 . 6
__
5 5 = h.
___
ab :
____
a 2 b =
c. (5 . 4) 2 : ( 5 2 . 4) 3 = f.
____
___
64 .
__
2 = i. ( a
–1 b) 5 .
___
ab =
4. Identifiquen el error y resuelvan correctamente.
( 2 4 : 2 . 2 6 ) –3 = ( 2 10 ) –3
= 2 7
5. Resuelvan expresando con un índice común.
a.
3
__
5 .
__
3
_______
6
______
9 . 125
=
b.
4
__
2 . 8
___
81
_______
8
_____
1 296
=
c.
5
__
3 .
__
2
_______
10
__
3 .
__
3
=
d.
3
__
3 .
__
2
_______
12
__
3 . 4
__
2
=
31
a. No, la base de la segunda expresión debe ser positiva. b. No, esto ocurre si el índice y el exponente son pares.
X
X
X
X
V F F
F V V
F V F
2 0 ab 6 5
(–3) –12 5 2 a
– 1 __ 2
5 –4 4 –1 2 2 a –
9 __ 2 b
11 __ 2
( 2 9 ) –3 = (2) –27
6
__
3 __ 5
8
__
1 __ 4
10
___
2
5 __
3 4
12
_____
3 3 . 2 3
7
32
171615141312111088
Números irracionales
Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como el cociente entre dos
números enteros y tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
Como ya se vio, las raíces no exactas de números racionales son números irracionales.
Se denomina radical a la raíz indicada de un número o de una expresión, siempre que esta tenga
solución real.
Representación en la recta numérica
Cada número irracional tiene asociado un punto sobre la recta real.
Para representar ese punto sobre la recta numérica, si el irracional es
de la forma
__
a , se debe recurrir al teorema de Pitágoras: A2 = B2 + C2
B
c
A
Representación de
__
2 .
Se determina sobre la recta un triángulo rectán-
gulo isósceles cuyos catetos midan 1. El valor de
la hipotenusa es:
______
12 + 12 =
__
2
__
2
0 1
__
2 2
Representación de
__
3 .
Se determina sobre la recta un triángulo rectán-
gulo cuyos catetos midan 1 y
__
2 , respectivamente.
El valor de la hipotenusa es:
_______
(
__
2 ) 2 +12 =
__
3
0 1
__
2
__
3 2
__
2
__
3
Representación de
__
5 .
Se determina sobre la recta un triángulo rectán-
gulo cuyos catetos midan 1 y 2, respectivamente.
El valor de la hipotenusa es:
______
12 + 22 =
__
5
0 1 2
__
5 3
__
5
De este modo se puede representar cualquier raíz cuadrada de un número natural, siempre que se
elijan convenientemente los catetos del triángulo rectángulo.
INFOACTIVA
33
Test de comprensión
6. Marquen las opciones correctas.
a. Los números que son irracionales.
–
__
3 –
__
4 π
___
–2
b. Las operaciones cuyos resultados son números irracionales.
__
2 .
___
18
__
5 + 1 –
__
2 +
__
3 –
__
9 + 1 __ 2
7. Representen los números √
__
6 ; √
__
8 ; – √
__
2 en la recta numérica.
8. Representen en la recta numérica los siguientes números, usandouna escala de 1 cm.
a.
__
3
___ 2 d. –
__
2 + 2
b.
__
5 – 1 e.
__
2 +
__
3
c. –2 .
__
3 f. –2 .
__
5 +
__
2
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide
__
6 , si uno de los catetos mide 1 cm, ¿cuánto
debe medir el otro cateto?
b. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 1 cm y 4 cm, ¿la medida de la hipotenusa corres-
ponde a un número racional o irracional?
8 ACTIVIDADES Números irracionales
a. El otro cateto debe medir
__
5 cm. b. Racional, se representa
_____
9 cm = 3 cm.
X X
X X X
Solución a cargo del alumno.
–4 –3 –2 –1 0 1
__
2 2 3 4 5
–
__
2
__
6
__
6
__
8
__
8
__
2
8
34
Radicales. Adición y sustracción
Extracción de factores de un radical
Existen factores, dentro de un radical, que pueden ser extraídos si el exponente de los mismos es
mayor o a lo sumo igual que el índice de la raíz. Para ello deben aplicarse las propiedades de la poten-
ciación y radicación.
3
_____
16 x 8 = 3
______
2 4 x 6 x 2 = 3
________
2 3 . 2 x 6 x 2 = 3
___
2 3 . 3
__
2 . 3
__
x 6 . 3
__
x 2 = 2 . 3
__
2 . x 2 . 3
__
x 2 = 2 x 2 . 3 √
____
2 x 2
_______
63 x 6 y z 5 =
__________
3 2 . 7 x 6 y z 4 z =
___
3 2 .
__
7 .
__
x 6 .
__
y .
__
z 4 .
__
z = 3 .
__
7 . x 3 .
__
y . z 2 .
__
z = 3 x 3 z 2 . √
____
7yz
4
______
729 ____ 625 m
5 = 4
_____
3
6 ___
5 4
m 5 =
4
___
3 4 . 4
___
3 2 _________
4
___
5 4
. 4
___
m 4 . 4
__
m = 3 __
5
m .
4
√
___
9m
_____
343 a
2 ______ b 3 =
_____
7
3 . a 2 _____
b 3
=
___
7 2 .
__
7 .
__
a 2 ____________
__
b 2 .
__
b
= 7 .
__
7 . a _______
b .
__
b
= 7a ___
b
. √
__
7
__ b
Radicales semejantes
Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y el mismo radicando.
Términos con radicales semejantes:
– 5
__
3 y 5
__
3 ; –2 . 3
__
2 y 4 . 3
__
2 ; 3 .
4
__
x3 y –8 .
4
__
x3 .
Términos con radicales no semejantes:
– 3
__
7 y
__
7 ; 5 .
__
3 y 7 .
__
2 ; –4 . 4
__
3 y 9 . 3
__
4 .
Adición y sustracción de radicales
Solo es posible sumar o restar términos que contienen radicales semejantes.
6 .
__
3 + 4 .
__
3 –
__
3 = (6 + 4 – 1) .
__
3 = 9 . √
__
3
5 .
__
6 – 9 .
__
2 + 3 .
__
6 + 4 .
__
2 = (5 + 3) .
__
6 + (–9 + 4) .
__
2 = 8 . √
__
6 – 5 . √
__
2
Existen casos en los cuales ciertos radicales son semejantes luego de llevarlos a su mínima expresión.
3 .
__
3 – 5 .
____
243 + 7 .
___
27 – 8 .
___
75 = 3 .
__
3 – 5 .
___
3 4 .
__
3 + 7 .
___
3 2 .
__
3 – 8 .
___
5 2 .
__
3
= 3 .
__
3 – 45 .
__
3 + 21 .
__
3 – 40 .
__
3
= (3 – 45 + 21 – 40) .
__
3
= –61 . √
__
3
4 .
__
2 – 6 . 4
___
49 – 8 .
__
8 +
___
63 = 4 .
__
2 – 6 . 4
___
7 2 – 8 .
___
2 2 .
__
2 +
___
3 2 .
__
7
= 4 .
__
2 – 6 .
__
7 – 8 . 2 .
__
2 + 3 .
__
7
= 4 .
__
2 – 6 .
__
7 – 16
__
2 + 3 .
__
7
= (4 – 16) .
__
2 + (–6 + 3) .
__
7
= –12 . √
__
2 – 3 . √
__
7
INFOACTIVA
1817161514131211109
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que
3
__
2 8 = 4 . 3
__
4 ? ¿Por qué?
b. ¿Por qué
__
3 y 3
__
3 no son semejantes?
35
Test de comprensión
9 ACTIVIDADES Radicales. Adición y sustracción
9. Extraigan los factores del radical.
a.
___
32 = f.
_____
27 c
5 ____ 343 =
b. 3
_____
0,125 = g. 4
_________
81 a
4 b 8 c 12 _________
2 401 c 4
=
c.
____
64 a 3 = h. 5
________
32 a
6 b 8 _______
729 b 3 c 3 =
d.
3
________
2 401 b 5 c = i.
_________
128 a
5 b 9 c 10 __________
9b c 11
=
e.
4
_______
234 a 3 b 7 = j. 3
_________
512 a
2 b 3 c 4 _________
125 d 5
=
10. Marquen las opciones correctas.
¿Cuáles de los siguientes radicales son semejantes a 3
__
2 ?
a. 3
___
–2 b. 5 . 3
___
64 c. –2 . 3
____
128 d. 3 .
6
__
2 2
11. Resuelvan las siguientes sumas y restas.
a. –3 .
__
5 – 7 .
__
5 + 2 .
__
5 =
b. 2 .
__
2 + 5 .
__
2 –
__
2 =
c. –
__
3 +
__
3 – 5 .
__
3 =
d. 2 .
__
b – 3 .
__
a – 2 .
__
b –
__
a =
e. 5 .
__
a – 6 .
__
b –
__
b =
12. Resuelvan las siguientes sumas algebraicas.
a.
__
5 +
__
8 –
___
32 = d. –3 .
__
1 __ 2 – 5
.
___
1 ___ 32 +
__
1 __ 8 =
b. 3 .
__
7 – 3 .
___
28 +
___
63 = e.
___
54 +
___
12 –
__
6 =
c. –4 .
___
1 ___ 27 +
__
1 __ 3 – 2
.
____
1 ____ 243 = f.
___
20 + 3 .
__
8 – 5 .
__
5 =
a. Sí, al aplicar propiedades se obtiene
3
__
2 8 =
3
________
2 3 . 2 3 . 2 2 =
3
__
2 3 .
3
__
2 3 .
3
__
2 2 = 4 .
3
__
2 2 = 4 . 3
__
4 . b. Porque para que
sean semejantes el índice y el radicando deben ser iguales.
4 .
__
2 3 __ 7 c
2 .
___
3c ___ 7
0,5 3 __ 7 a b
2 c 2
8a .
__
a 2 __ 3 ab
. 5
___
a ___
3 c 3
7 b 3 .
3
____
7 b 2 c 2 3 a 2 b 4 .
___
2a ___ c
3b .
4
_____
3 a 3 b 3 8bc ____
5d
.
3
___
a
2 c ___
d 2
X X
–8 .
__
5
6 .
__
2
–5 .
__
3
–4 .
__
a
5 .
__
a – 7 .
__
b
__
5 – 2 .
__
2 – 15 ___ 4
.
__
1 __ 2
0 2 .
__
6 + 2 .
__
3
– 5 __ 9
.
__
1 __ 3 –3 .
__
5 + 6 .
__
2
9
36
Multiplicación y división de radicales
Para efectuar cualquier multiplicación o división de radicales, estos deben tener el mismo índice.
La operatoria con radicales cumple con las siguientes propiedades.
Propiedad distributiva de la multiplicación y división respecto de la suma y resta.
a . (b ± c) = (b ± c) . a = ab ± ac (b ± c) : a = b : a ± c : a
__
3 . (
__
3 +
___
27 ) =
__
3 .
__
3 +
__
3 .
___
27 =
__
9 +
___
81 = 3 + 9 = 12
(
____
125 –
___
20 ) :
__
5 =
____
125 :
__
5 –
___
20 :
__
5 =
___
25 –
__
4 = 5 – 2 = 3
Cuadrado de un binomio y diferencia de cuadrados.
(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 (a + b) . (a – b) = a 2 – b 2
(
__
2 –
__
3 ) 2 = (
__
2 ) 2 – 2 .
__
2 .
__
3 + (
__
3 ) 2 = 2 – 2 .
__
6 + 3 = 5 – 2 .
__
6
(
___
10 +
__
7 ) . (
___
10 –
__
7 ) = (
___
10 ) 2 – (
__
7 ) 2 = 10 – 7 = 3
Multiplicación y división de radicales de distinto índice
Para que los índices de dos o más radicales sean iguales, se debe calcular el mcm de los índices
de los radicales dados, obteniéndose así el mínimo común índice.
4
__
a 2 y 6
__
x mcm(4;6) = 12, ambos radicales deben tener índice 12.
4
__
a 2 =4 . 3
___
a 2 . 3 = 12
__
a 6 y 6
__
x = 6 . 2
___
x 1 . 2 = 12
__
x 2
Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice, se los debe reducir a mínimo común índice y
luego aplicar las propiedades recíprocas de las distributivas de la radicación respecto de la multiplica-
ción y división.
n
_
a . n
__
b . n
_
c . ... . n
__
d = n
_________
a . b . c . ... . d ∧
n
_
a ___
n
__
b
= n
__
a __ b con b ≠ 0
__
5 . 3
__
5 = 2 . 3
____
5 1 . 3 . 3 . 2
____
5 1 . 2 = 6
___
5 3 . 6
___
5 2 = 6
_____
5 3 . 5 2 = 6
___
5 5
3
__
a 2 . 4
__
a 3 = 3 . 4
___
a 2 . 4 . 4 . 3
____
a 3 . 3 = 12
__
a 8 . 12
__
a 9 = 12
_____
a 8 . a 9 = 12
___
a 17 = 12
______
a 12 . a 5 = a . 12
__
a 5
4
___
7 3 ____
6
___
7 5
=
4 . 3
____
7 3 . 3 _______
6 . 2
____
7 5 . 2
=
12
___
7 9 ______
12
___
7 10
= 12
____
7
9 ___
7 10
= 12
__
1 __ 7
4
__
b 3 ____
5
__
b 2
=
4 . 5
____
b 3 . 5 _______
5 . 4
____
b 2 . 4
=
20
___
b 15 _____
20
__
b 8
= 20
___
b
15 ___
b 8
= 20
__
b 7
INFOACTIVA
19181716151413121110
37
Test de comprensión
13. Resuelvan las siguientes operaciones.
a.
__
3 . (
__
5 + 2 .
__
5 ) = d. (
__
5 +
___
27 ) . (
__
5 –
___
27 ) =
b.
__
2 . (
___
32 –
____
128 ) = e. (
__
7 +
__
8 ) :
__
3 =
c. (
__
7 –
__
3 ) 2 = f. (
____
a 5 b –
___
a b 3 ) :
__
a =
14. Reduzcan a un índice común.
a.
__
3 3 y 4
__
3 c.
3
__
a 2 y
5
__
b 4
b. 3
__
5 2 y
__
5 d.
7
____
a 2 b 3 y
___
5c
15. Reduzcan a un índice común y resuelvan las siguientes multiplicaciones y divisiones.
a.
___
2x .
3
___
2 x 2 = d. 3
___
4 y 2 : 4
____
8x y =
b.
__
x .
4
___
3 x 2 . 8
__
x = e.
___
5x :
5
__
x 4 =
c. 5
___
xy . 4
____
x 3 y 2 = f. 3
______
27 x 2 y 3 : 9
____
3 y 2 x =
10 ACTIVIDADES Multiplicación y división de radicales
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que (
__
2 –
__
3 ) 2 = (
__
2 ) 2 – (
__
3 ) 2 ?
b. ¿Es correcto decir que
__
2 . 3
__
5
_______
6
__
7
es lo mismo que 6
____
2 . 5 ____ 7 ?
a. No, la primera expresión resuelta da 5 – 2 .
__
6 y la segunda –1. b. No, porque si bien 6 es el índice común,
no fue aplicada correctamente la propiedad en el radicando.
3 .
___
15 –22
–8
__
7 __ 3 + 2 .
__
2 __ 3
10 – 2 .
___
21 ( a 2 – b) .
__
b
4
__
3 6 y 4
__
3
15
___
a 10 y
15
___
b 12
6
__
5 4 y
6
__
5 3
14
____
a 4 b 6 y
14
____
5 7 c 7
x .
6
____
2 5 x
12
___
y 5
___
2 x 3
x . 8
___
9x
10
___
5
5 __
x 3
20
_____
x 19 y 14 9
______
3 8 y 7 x 5
1010
38
Operaciones combinadas
Para resolver un cálculo combinando con radicales, se deben seguir estos pasos, teniendo en cuen-
ta la jerarquía de las operaciones y sus propiedades.
__
2 .
__
2 .
__
8 + ( 5 .
__
6 – 7 .
__
8 ) .
__
3 =
_______
2 . 2 . 8 + 5 .
__
6 .
__
3 – 7 .
__
8 .
__
3 =
___
32 + 5 .
___
18 – 7 .
___
24 =
___
2 5 + 5 .
_____
2 . 3 2 – 7 .
_____
3 . 2 3 =
___
2 4 .
__
2 + 5 .
__
2 .
___
3 2 – 7 .
__
3 .
___
2 2 .
__
2 =
2 2 .
__
2 + 5 . 3 .
__
2 – 7 . 2 .
__
3 .
__
2 =
4 .
__
2 + 15 .
__
2 – 14 .
__
6 =
19 .
__
2 – 14 .
__
6 =
1. Se separa en términos.
2. Se resuelve cada término respetando la
jerarquía de las operaciones.
3. Se escriben los radicales en su mínima expre-
sión.
4. Se resuelven las sumas y restas entre los
radicales semejantes.
__
3 . 3
__
9 _______
4
__
3
–
_______
3 .
___
27 . 3
__
9 + (
__
5 –
__
3 ) 2 =
__
3 . 3
___
3 2 ________
4
__
3
–
__
3 . 4
___
3 3 . 3
___
3 2 + (
__
5 –
__
3 ) . (
__
5 –
__
3 ) =
2 . 6
____
3 1 . 6 . 3 . 4
____
3 2 . 4 ____________
4 . 3
____
3 1 . 3
– 2 . 6
____
3 1 . 6 . 4 . 3
____
3 3 . 3 . 3 . 4
____
3 2 . 4 + (
__
5 ) 2 – 2 .
__
5 .
__
3 + (
__
3 ) 2 =
12
______
3
6 . 3 8 ______
3 3
– 12
_________
3 6 . 3 9 . 3 8 + 5 – 2 .
____
5 . 3 + 3 =
12
____
3
14 ___
3 3
– 12
___
3 23 – 2 .
___
15 + 8 =
12
___
3 11 – 3 . 12
___
3 11 – 2 .
___
15 + 8 = –2 . 12 √
___
3 11 – 2 . √
___
15 + 8
Si en el cálculo aparecen letras, o números y letras, se procede de la misma forma.
3
_______
3
__
x 2 .
__
x ________
__
x . 6
__
x 5
+ 3
___
9x : 6
___
3x =
3
____________
3 . 2
___
x 2 . 2 . 2 . 3
___
x 1 . 3 ______________
2 . 3
___
x 1 . 3 . 6
__
x 5
+ 3 . 2
______
3 2 . 2 . x 2 : 6
___
3x
=
3
______
6
_____
x 4 . x 3 ________
6
_____
x 3 . x 5
+ 6
_________
3 4 . x 2 : (3x)
=
18
__
x 7 ____
6
__
x 8
+ 6
____________
( 3 4 : 3) . ( x 2 : x)
=
18
__
x 7 ______
6
_____
x 6 . x 2
+ 6
____
3 3 . x
= 1 __ x .
18
__
x 7 _______
6 . 3
____
x 2 . 3
+ 6
____
3 3 . x
= 1 __ x .
18
__
x
7 __
x 6
+ 6
____
3 3 . x = 1 __ x .
18
√
__
x +
6
√
____
3 3 . x
20191817161514131211
INFOACTIVA
Para repasar las
operaciones con
radicales pueden
volver a las
páginas 34 y 36.
39
Test de comprensión
16. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
a. (
____
448 +
____
125 ) .
__
7 = i.
__
3 . ( 4 . 3
__
7 5 + 5 .
__
3 3 ) =
b.
__
3 . (
____
176 –
___
27 ) = j.
____
175 + (
__
2 + 3 . 3
__
2 ) .
__
2 =
c. ( 3
____
297 + 3
___
56 ) . 3
__
7 = k. (
__
6 – 5 .
__
3 ) .
__
3 +
___
50 =
d. 4
__
6 . ( 4
___
32 – 4
____
243 ) = l.
__
2 .
__
8 – ( 7 .
__
5 – 2 .
__
3 ) : ( 4 .
__
3 ) =
e. (
___
18 –
___
48 ) :
__
5 = m.
__
3 . (
__
5 – 2 .
__
3 ) + (5 .
__
3 +
__
5 ) .
__
5 =
f. ( 3 .
____
128 – 5 .
____
512 ) :
__
2 3 = n.
__
8 . (
____
242 –
___
27 ) –
___
24 =
g. ( 5 . 3
____
297 – 2 . 3
____
189 ) : ( 3 . 3
__
2 ) = ñ. –
___
10 3 :
__
2 3 +
__
2 . (
___10 + 5 . 3
__
7 ) =
h. ( –5 . 4
____
486 + 2 . 4
___
96 ) : ( 1 __ 2 .
4
__
3 ) = o. –
__
2 .
__
3 :
__
3 + (
__
6 – 2 .
___
21 ) :
__
3 =
11 ACTIVIDADES Operaciones combinadas
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es correcto decir que
__
2 +
__
2 .
__
5 = 2 .
___
10 ?
b. El cálculo
_______
3 .
___
27 , ¿puede expresarse como ( 3 + 3 3 __ 2 )
1 __ 2 ?
a. No, para resolver se debe tener en cuenta la jerarquía de las operaciones. b. No, es 3
5 __ 4 o
4
__
3 5 .
56 + 5 .
___
35 28 .
6
_____
3 3 . 7 4 + 45
4 .
___
33 – 9 2 + 5 .
__
7 + 3 .
6
__
2 5
3 . 3
___
77 + 2 . 3
___
49 8 .
__
2 – 15
2 . 4
___
12 – 3 . 4
___
18 9 __ 2 –
7 __ 4
.
__
5 __ 3
3 .
__
2 __ 5 + 4
.
__
3 __ 5 6 .
___
15 – 1
– 28 44 – 8 .
__
6
5 .
3
___
11 __ 2 – 2
.
3
__
7 __ 2 –3 .
__
5 + 5 . 6
____
392
– 22 . 4
__
2 –2 .
__
7
40
11 ACTIVIDADES Operaciones combinadas
17. Expresen en lenguaje simbólico y luego resuelvan.
a. El cuadrado de la suma entre la raíz cuadrada de quince y la raíz cuarta de cincuenta.
b. El cociente entre la diferencia de la raíz cuadrada de ocho y el triple de la raíz cuadrada de
cuatro, y la raíz cuadrada de dos.
c. El producto entre la suma del doble de la raíz cúbica de cinco y tres y su diferencia.
d. El cuadrado del producto entre la suma de la raíz cuadrada de siete y la raíz cuadrada de veintiuno,
y la raíz cuadrada de tres.
e. El cubo de la diferencia entre el producto de la raíz cuadrada de tres y la raíz cuadrada de dos,
y el triple de la raíz cuadrada de seis.
18. Hallen el perímetro y el área de las figuras sombreadas.
a. b.
__
3 + 2
__
2
3 .
__
5
(
___
15 + 4
___
50 ) 2 = 15 + 10 . 4
___
18 + 5 .
__
2
(
__
8 – 3 .
__
4 ) :
__
2 = 2 – 3 .
__
2
( 2 . 3
__
5 + 3 ) . ( 2 . 3
__
5 – 3 ) = 4 . 3
___
25 – 9
[ (
__
7 +
___
21 ) .
__
3 ] 2 = 84 + 42 .
__
3
(
__
3 .
__
2 – 3 .
__
6 ) 3 = –48 .
__
6
Perímetro = 4 . (
__
2 +
__
3 ) ; Superficie = 5 + 4 .
__
3 Perímetro = 15 + 3 .
__
5 ; Superficie = 45 ___ 2
41
19. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
a.
___
72 –
___
98 +
______
2 .
___
32 –
__
2 .
4
____
128
_________
3
___
64
= e. 1 +
__
3
_______ 6 + ( 1 +
__
3 ) 2 –
____
675 _________
__
3 .
___
12 =
b. ( 3 –
__
7 ) 2 +
____
343 . 3
_____
2 401
____________
6
_____
2 401
–
__
7 . (
__
7 – 2 ) = f.
__
2 . 3
____
–27 +
__
2 5 .
________
__
8 –
__
2 –
___
75
________
__
5 .
___
27
– 4 .
4
__
2 3 =
c. ( 2 + 5 .
__
3 ) . ( 1 –
__
3 ) –
___
27 .
__
3
________
4
__
9
+ (
__
3 +
__
7 ) 2 = g. 1 __ 3 .
___
9 ___ 25 +
__
2 _______
__
2 –
__
3
. 1 ________
__
2 +
__
3
–
__
8 .
___
16 =
d. (
__
2 –
__
6 ) 2 – (
__
6 +
__
2 ) 2 +
____
162 .
___
24
__________
____
324
= h. (
___
10 –
__
2 ) . (
__
5 +
__
2 ) – (
__
2 –
__
5 ) 2 – 5 .
__
6
___
__
3
=
20. Relacionen una expresión de la primera columna con la correspondiente de la segunda.
a. (
_____
a – 1 + 1 ) 2 = a – 2
b. (
_____
a – 1 – 1 ) 2 = a + 2 – 2 .
_____
a + 1
c. (
_____
a + 1 + 1 ) 2 = a
d. (
_____
a + 1 – 1 ) 2 = a + 2 .
_____
a – 1
e. (
_____
a – 1 – 1 ) . (
_____
a – 1 + 1 ) = a + 2 + 2 .
_____
a + 1
f. (
_____
a + 1 – 1 ) . (
_____
a + 1 + 1 ) = a – 2 .
_____
a – 1
11 ACTIVIDADES Operaciones combinadas
¿Cuál es el resultado de
___________
3 .
______
3 .
__
3 ?
menteACTIVA
–
__
2 + 2 .
4
__
2 3 –
4
__
2 25 ___ 6 –
1 __ 3
.
__
3
9 – 4 .
__
7 + 49 . 6
__
7 –3 .
__
2 – 1 __ 3
.
__
5
2 .
___
21 – 3 1 __ 5 – 9 .
__
2
–6 .
__
3 2 .
__
5 +
___
10 –9
8
__
3 7 o 3
7 __ 8
11
42
Racionalización de denominadores
Racionalizar el denominador de una fracción es transformarlo en un número racional; por lo tanto,
siempre que en el mismo aparezcan radicales irracionales, se debe hallar una fracción equivalente a la
dada con denominador racional.
Primer caso: en el denominador hay un único radical con índice igual a 2.
Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe amplificar por la misma raíz que tiene el denominador.
1 ___
__
5
1 ___
__
5 =
1 ___
__
5
.
__
5 ___
__
5
=
__
5 ____
___
5 2
= √
__
5 ___
5
Segundo caso: en el denominador hay un único radical con índice mayor que 2.
Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe amplificar por una raíz que tenga el mismo índi-
ce que la raíz del denominador, cuyo radicando tenga los mismos factores, pero con exponente igual a
la diferencia entre el índice y el exponente dado.
3 ____
5
___
2 2
3 ____
5
___
2 2
= 3 ____
5
___
2 2
.
5
___
2 3 ____
5
___
2 3
= 3 .
5
___
2 3 ______
5
_____
2 2 . 2 3
= 3 .
5
__
8 _____
5
___
2 5
= 3 .
5
√
__
8
______
2
4 _____
4
____
a 3 b 2
4 ______
4
____
a 3 b 2
= 4 _____
4
____
a 3 b 2
.
4
___
a b 2 _____
4
___
a b 2
= 4 .
4
___
a b 2 ________
4
_______
a 3 b 2 a b 2
= 4 .
4
___
a b 2 _______
4
____
a 4 b 4
= 4 .
4
√
___
a b 2 ______
ab
Tercer caso: el denominador es una suma o resta de uno o dos radicales de índice 2.
Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe aplicar el producto de una suma de dos términos
por su diferencia.
(a + b) . (a – b) = a 2 – b 2
7 ________
__
3 –
__
5 =
7 ________
__
3 –
__
5
.
__
3 +
__
5 ________
__
3 +
__
5
__
3 – 1 ______
5 –
__
6 =
__
3 – 1 _______
5 –
__
6
. 5 +
__
6 _______
5 +
__
6
=
7 . (
__
3 +
__
5 )
__________________
(
__
3 –
__
5 ) . (
__
3 +
__
5 )
=
( __ 3 – 1 ) . ( 5 + __ 6 )
_______________
( 5 –
__
6 ) . ( 5 +
__
6 )
=
7 . (
__
3 +
__
5 )
____________
(
__
3 ) 2 – (
__
5 ) 2
= 5 .
__
3 +
__
3 .
__
6 – 5 –
__
6 ______________________
5 2 – (
__
6 ) 2
=
7 . (
__
3 +
__
5 )
____________ 3 – 5 =
5 .
__
3 +
___
18 – 5 –
__
6 __________________ 25 – 6
=
7 . (
__
3 +
__
5 )
___________ –2 =
5 .
__
3 + 3 .
__
2 – 5 –
__
6 ____________________ 19= – 7 __ 2
. (
__
3 +
__
5 ) = 5 ___
19
. √
__
3 + 3 ___
19
. √
__
2 – 5 ___
19
– 1 ___
19
. √
__
6
= – 7 __
2
. √
__
3 – 7 __
2
. √
__
5
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
INFOACTIVA
43
12 ACTIVIDADES Racionalización de denominadores
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es correcto decir que la expresión
___
x –1 (con x > 0) debe racionalizarse?
b. ¿Cómo se racionaliza la expresión 1 ________
__
2 –
__
5
?
Test de comprensión
21. Marquen las opciones correctas.
¿En cuáles de las siguientes expresiones no se racionaliza el denominador?
a. (
__
2 ) –1 b. ( 1 ___ __ 2 )
–1
c. x _____
___
__
x d.
1 ____
___
16
22. Unan con flechas cada expresión con la racionalización correspondiente.
a. 3 ____
6
__
4 5
= 3 __ 2
. 3
__
2
b. 3 ____
__
2 3
= 3 __ 4
. 3
__
2
c. 3 ___
3
__
4
= 3 __ 4
.
__
2
23. Racionalicen las siguientes expresiones.
a. 1 ___
__
7
= g. 1 ____
3
__
5 4
=
b. – 5 ___
__
3
= h. 8 .
__
2
______
4
__
2
=
c. 12x ____
___
2x = i.
– 2 ______
___
__
3
=
d. 3a ____
___
3a
= j. 7 +
__
3
_______
7 .
__
3
=
e. 5b ______
7 .
___
3b
= k. 7 ________
3 . 6
____
7 2 a 3
=
f. 9 ___
3
__
2
= l.
__
5
______
5
____
81 b 4
=
a. Sí, porque es 1 ___
__
x . b. Se debe multiplicar el numerador y el denominador por
__
2 +
__
5 .
X X
__
7 ___ 7
3
___
25 ____ 25
– 5 .
__
3 _____ 3 8 .
4
__
2
6 .
___
2x – 2 __ 3
. 4
___
27
___
3a
__
3 ___ 3 +
1 __ 7
5 ___ 21
.
___
3b
6
____
7 4 a 3 _____ 3a
9 __ 2
. 3
__
4
10
________
28 125 b 2 __________
3b
44
24. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál de las siguientes expresiones racionaliza a...
a. ...
__
3
___
__
5
?
__
3
___
__
3
__
3 ___
__
5
__
5 ___
__
3
__
5 ___
__
5
b. ... 1 _______
__
2 + 1
? 1 _______
__
2 – 1
__
2 – 1 ______
__
2 – 1
1 ______
__
2 + 1
__
2 + 1 ______
__
2 + 1
c. ...
__
3
________
__
2 +
__
7
?
__
2 –
__
7
_________
__
2 –
__
7
__
2 +
__
7
_________
__
2 –
__
7
1 ________
__
2 –
__
7
1 ________
__
2 +
__
7
25. Relacionen cada cálculo con su resultado.
a.
__
5 + 5 _______
__
5 + 2
= 15 – 7 .
__
5
b.
__
5 – 5
_______
__
5 + 2
= –5 – 3 .
__
5
c.
__
5 + 5
_______
__
5 – 2
= 3 .
__
5 – 5
d.
__
5 – 5
_______
__
5 – 2
= 15 + 7 .
__
5
26. Racionalicen las siguientes expresiones.
a. 1 _______
__
2 + 3
= e. 10 –
__
5
________
5 +
__
5
=
b. –7 _______
5 –
__
3 = f.
–3
_________
__
11 –
__
7
=
c.
__
2 _______
__
2 – 5
= g.
__
3 –
__
8
_________
___
12 –
__
2
=
d. –5 _________
__
10 –
__
3
= h. 8 .
__
3 _________
5 + 2 .
__
3
=
12 ACTIVIDADES Racionalización de denominadores
X
X
X
3 –
__
2 11 __ 4 –
3 __ 4
.
__
5
– 35 ___ 22 –
7 ___ 22
.
__
3 – 3 __ 4
.
__
11 – 3 __ 4
.
__
7
– 2 ___ 23 –
5 ___ 23
.
__
2 1 __ 5 –
3 ___ 10
.
__
6
– 5 __ 7
.
___
10 – 5 __ 7
.
__
3 – 48 ___ 13 +
40 ___ 13
.
__
6
45
27. Racionalicen las siguientes operaciones.
a. 2 +
__
3
_______
__
3 – 1
= h. –2 _________
__
5 –
___
2y
=
b. 7 + 2 .
__
3
_________
2 .
__
2 – 1
= i. 1 ________
3
______
__
8 – 1
=
c. 5 .
__
2
__________
3 .
__
3 +
__
2
= j.
________
__
6 +
__
2
_________
________
__
6 –
__
2
=
d.
__
2 +
___
16
_________
__
2 –
___
16
= k.
________
__
7 +
__
2
_________
________
__
7 –
__
2
=
e.
__
3 – 1
____________
2 .
___
27 –
__
2 = l.
a – 1 _______
______
a 3 + a
=
f.
__
11 ___________
2 .
__
11 –
___
13
= m. 1 –
__
a
______
__
a – 1 =
g.
_______
5 +
__
5
________
_______
5 –
__
5
= n. 1 ___________
______
a 2 + 2 – 5
=
12 ACTIVIDADES Racionalización de denominadores
3 __ 2
.
__
3 + 5 __ 2
–2 .
__
5 – 2 .
___
2y
______________ 5 – 2y
2 .
__
2 + 4 __ 7
.
__
6 + 2 __ 7
.
__
3 + 1
3
__________
49
__
8 + 49 ___________ 7
3 __ 5
.
__
6 – 2 __ 5
__
6 ___ 2 +
__
2 ___ 2
– 9 __ 7 –
4 __ 7 .
__
2
___
10 +
___
35 _________ 5
18 –
__
2 – 6 .
__
3 +
__
6 ___________________ 106
(a – 1) .
______
a 3 + a
______________
a 3 + a
22 +
____
143 __________ 31
–1
__
5 ___ 2 +
1 __ 2
______
a 2 + 2 + 5 __________
a 2 – 23
46
INTEGRACIÓN
28. Escriban la mínima expresión aplicando las
propiedades.
a. ( 5 –2 : 5 –5 ) 2 : 5 7 = e.
__
7 .
___
14 .
__
2 3 =
b. ( 8 2 ) 7 : ( 8 3 : 8 7 ) –1 = f. 5
____
c 2 d 3 .
____
c 8 d 2 =
c. ( a 3 ) 4 : ( a –2 . a –5 ) –2 = g. 7
___
a
14 ___
a 21
:
___
a
4 __
a 8
=
d. ( b __ c )
4
. ( b __ c 2 )
–1
= h.
___
15 . 3
__
5 ________
6
______
1 ___ 33
. 5 –1
=
29. Marquen las opciones correctas.
¿A cuál de las siguientes expresiones equiva-
le ( ab )
2 __ 3 ?
3
___
a b 2 3
_____
(ab) 2
___
a b 3
_____
(ab) 3
30. Indiquen V (Verdadero) o F (Falso).
Expliquen las respuestas.
a. b
5 __ 3 =
5
__
b 3
b. a . a . b = 2ab
c.
__
a __ b =
__
a :
__
b
d. ( b . b 3 ) 3 = b 9
e.
__
a 2 = |a|
f. b 5 . b 2 = b 10
31. Representen en la recta numérica.
a. –
__
7 + 2 d. 2 .
__
5 – 3 .
__
3
b.
__
6 – 1 e.
__
11
c. 3 +
__
2 f. –
__
11 + 2
32. Piensen y resuelvan.
Para representar
__
2 en la recta numérica, se
comienza por 2 catetos cuyas medidas son 1. Para
representar
__
3 , por dos catetos que miden 1 y
__
2 ;
y para representar
__
5 , por dos catetos que son 1 y
2. ¿Cuáles son las medidas de los catetos que debe-
rían considerar para representar
__
11 ;
___
37 ;
___
56 ?
33. Extraigan los factores fuera del radical.
a.
____
512 = f. 3
______
16 x 2 y 5 =
b. 3
_____
2 187 = g. 3
______
27 x
3 z 4 ______ 256 y 5 =
c. 4
_______
3 125 a 5 = h. 5
_____4 __ 5
.
x 8 y
___
x y 6
=
d. 5
____
x 7 y 9 = i.
_____
2 __ 9
. a ___ a 12 =
e.
____
a
3 b 4 ____
c 5 d
= j. 4
________
243 a
10 b 2 ________
3 a 2 b 10
=
34. Calculen el perímetro de cada figura.
a.
2 .
__
2
__
3
b.
2 .
__
3
___
27
__
3
35. Resuelvan las siguientes sumas algebraicas.
a. –
___
45 +
___
20 – 7 .
__
5 =
b.
___
48 – 5 .
___
12 +
___
27 =
c. –
___
54 +
___
24 – 3 .
____
2 . 3 =
d. –
____
169 –
___
99 +
____
275 =
e.
___
52 – 2 .
___
117 +
____
578 =
f. – 3
___
56 –
____
175 +
___
112 =
g. 3
___
88 – 3
__
11 + 3
__
8 =
h.
___
98 –
___
112 –
___
28 =
i. 3
___
16 ___ 54 +
3
____
250 – 1 __ 2
. 3
__
2 =
j. –
___
54 –
___
24 + 3 __ 2
.
__
6 =
36. Sabiendo que A = √
__
3 + 5 y B = 2 . √
__
3 – 1.
a. A + B = d. 3A – 5B =
b. 2A – B = e. –4A – B =
c. –A + B = f. –2A + 3B =
5 –1 28
8 10 c 2 d
a –2 a
b
3 __
c 2
15
X
F
F
V
F
V
F
Solución a cargo del alumno.
__
11 , 1 y
___
10
___
37 , 1 y 6
___
56 , 1 y
___
55
2 4 .
__
2 2y . 3
______
2 x 2 . y 2
3 2 . 3
__
3 3xz ____ 4y
. 3
____
z ___
4 y 2
5a . 4
___
5a x __ y
.
5
_____
4 __ 5
. x 2
xy . 5
_____
x 2 . y 4 1 ___ 3 a 5
.
__
2 __ a
a b
2 ___
c 2
.
___
a ___
cd
3 a
2 ___
b 2
2 .
__
5 + 2 .
__
2
6 .
__
3 +
__
6
–8 .
__
5
–3 .
__
3
–4 .
__
6
–13 + 2 .
__
11
–4 .
___
13 + 17 .
__
2
–2 . 3
__
7 –
__
7
3
__
11 + 2
7 .
__
2 – 6 .
__
7
2 __ 3 +
9 __ 2
.
3
__
2
– 7 __ 2
.
__
6
3 .
__
3 + 4 –7 .
__
3 + 20
11 –6 .
__
3 – 19
__
3 – 6 –13 + 4 .
__
3
47
7*8*9*10*11*12
CONTENIDOS
37. Calculen el área de cada figura.
a.
__
3
__
2 + 1
b.
__
6
38. Resuelvan los siguientes cuadrados.
a. (
__
5 –
__
8 ) 2 = d. (
___
21 – 7 .
__
7 ) 2 =
b. (
__
2 + 4
__
5 ) 2 = e. ( 2 .
__
3 + 5 .
___
15 ) 2 =
c. (
___
12 – 3
___
15 ) 2 = f. ( 4 . 3
__
5 + 3 . 3
__
2 ) 2 =
39. Resuelvan teniendo en cuenta que A = √
__
3 + 2,
B = √
__
3 + 5, C = 5 – √
__
3 y D = 2 – √
__
3 .
a. (B – A) . C c. C . D + B : A e. (D – C) : A + B 2
b. (B + C) : D d. (B . C) – D 2 f. (A + B) : D – C
40. Resuelvan expresando como índice común.
a.
__
x .
__
y
______
__
xz = d.
6
____
x 5 y 9 : 3
_____
x 5 y 2 z 3 =
b.
___
xy . 3
__
y 2
________
6
____
x 5 y 9
= e.
__
x 5 . 4
__
x
_______
__
x 7
=
c. 4
_____
(xyz) 2 . 5
___
xyz = f.
__
x . 3
__
x
______
4
__
x 7
=
41. Resuelvan las siguientes operaciones.
a.
3
___
ab .
3
____
2ab .
3
___
a b 2 =
b.
__
a 3 .
___
a b 2 .
_____
a 3 b 2 c =
c.
______
a 2 b 5 c 3 .
_____
a b 2 c 4 :
___
ab =
d.
4
____
a 4 c 5 .
______
a 2 b 7 c 4 :
5
_____
a 3 b c 2 =
e.
______
a 3 b 5 c 6 .
4
____
a 7 b 9 _____________
4
____
abc
=
f.
_____
a b 3 c 4 .
______
a 2 b 7 c 5 _____________
4
___
a 2 b .
___
b 5 c
=
g.
__
a .
__
b .
__
c . 3
__
a _____________
3
__
b . 4
__
c .
__
c 3
=
42. Racionalicen las siguientes expresiones.
a. – 14 ___
__
7
= j. 7 _____
4
___
2 x 2
=
b. 18 ____
___
50
= k.
x 2 .
__
y
______
4
_____
45xy
=
c. 2 .
__
3
______
__
6
= l.
4
___
ab
_________
8
_______
9 a 3 b 7 c 2
=
d.
3
__
5
___
__
5
= m. 5 ________
4 –
___
10
=
e. – 7 ____
___
27
= n. a ________
__
a – 6a =
f. 9 ______
8 .
__
6
= o.
__
5
_________
3 .
__
7 +
__
5
=
g. 6 ____
3
___
24
= p.
__
5 –
__
6
________
__
6 –
__
5
=
h. 7 ___
5
__
4
= q. – 2 .
__
2 _________
_______
__
5 +
__
7
=
i. – 5 ____
6
__
x 4
= r. – 4 x
2 + x ________
4
__
x +
___
2x
=
43. Unan cada expresión con su resultado.
a.
__
2 + 7 _______
__
2 + 3
= 19 ___ 7 +
4 __ 7
.
__
2
b.
__
2 + 7
_______
__
2 – 3
= 19 ___ 7 –
4 __ 7
.
__
2
c.
__
2 – 7
_______
__
2 + 3
= – 23 ___ 7 –
10 ___ 7
.
__
2
d.
__
2 – 7
_______
__
2 – 3
= – 23 ___ 7 +
10 ___ 7
.
__
2
44. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál de las siguientes expresiones racionaliza
a (
__
5 –
__
11 ) –1 ?
a.
__
5 –
__
11
_________
__
5 –
__
11
c.
__
5 +
__
11
_________
__
5 +
__
11
b.
__
5 –
__
11
_________
__
5 +
__
11
d.
__
5 +
__
11
_________
__
5 –
__
11
45. Traduzcan al lenguaje simbólico y racionali-
cen las expresiones obtenidas.
a. El cociente entre la raíz cúbica de tres y la
suma de la raíz cuadrada de trece y tres.
b. La razón entre el cuadrado de la raíz cuarta
de dos y la raíz cuadrada de sesenta y tres.
c. El cociente entre la diferencia de la raíz cuadra-
da de ciento sesenta y la raíz cuadrada de dos-
cientos cincuenta, y la raíz cuadrada de cinco.
d. El inverso de la suma entre el triple de la raíz
cuadrada de 7 y la raíz cuadrada de 54.
2
capítulo
__
6 +
__
3 _______ 2
3
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
ab .
3
___
2b
a 3 b 2 .
___
ac
a b 3 c 3 .
__
c
a b 3 c 2 .
20
______
a 8 b 6 c 17
a 3 b 4 c 2 .
4
____
b 2 c 3
a b 2 c 4 .
4
__
b
c –1 .
12
_______
a 10 b 2 c –3
–2 .
__
7 7 .
4
___
8 x 2 _______ 2x
9 __ 5
.
__
2 x ___ 15
. 4
________
3 2 . 5 3 x 3 y
__
2
8
________
3 6 a 7 b 3 c 6 _________
3abc
6
__
5 10 ___ 3 +
5 __ 6
.
___
10
– 7 __ 9
.
__
3
__
a + 6a ________ 1 – 36a
3 ___ 16
.
__
6 3 .
___
35 – 5 __________ 58
3
__
9 –1
7 __ 2 .
5
__
8
–2 .
_______
__
7 –
__
5
– 5 .
6
__
x 2 _____ x
(
___
2x – 4
__
x ) . (
__
x + 2x )
X
a.
3
__
3 ________
___
13 + 3
b.
4
__
2 2 ____
___
63
c.
____
160 –
____
250 ___________
__
5
d. ( 3 .
__
7 +
___
54 ) –1
12
48
Sucesiones
Una sucesión es un conjunto ordenado de números, uno a continuación del otro.
N = {1; 2; 3; 4; 5; 6; ... } El conjunto de los números naturales es una sucesión de infinitos elementos.
Se denomina término a cada uno de los elementos de la sucesión.1; 4; 9; 16; 25; 36; ... ; n2
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
n
En algunas sucesiones se puede encontrar un término general a n (término enésimo) que es la fór-
mula de un término cualquiera en función del lugar que ocupa.
En la sucesión 1; 4; 9; 16; 25; 36; ..., el término general de la sucesión es a n = n
2 .
Si se conoce el término general, se puede hallar la sucesión o cualquier término de la misma, reem-
plazando en forma consecutiva los números naturales en el valor n del término general.
Si el término general de una sucesión es a n =
1 __ n , entonces la sucesión será: 1;
1 __ 2 ;
1 __ 3 ;
1 __ 4 ;
1 __ 5 ;
1 __ 6 ; ...;
1 __ n
Por lo tanto, una sucesión es una función que le asigna a todo número natural un número real. f: →
Sucesiones aritméticas
Se denomina sucesión aritmética a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene suman-
do al anterior un número constante r llamado razón aritmética.
6; 12; 18; 24; 30; ... Sucesión aritmética con r = 6.
6 + 6 12 + 6 18 + 6 24 + 6
Para que una sucesión sea aritmética, debe verificarse que: a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = ... = a n – a n – 1 = r
Sucesiones geométricas
Se denomina sucesión geométrica a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene multi-
plicando el anterior por un número constante q llamado razón geométrica.
2; –4; 8; –16; 32; ... Sucesión geométrica con q = –2.
2 . (–2) –4 . (–2) 8 . (–2) –16 . (–2)
Para que una sucesión sea geométrica, debe verificarse que:
a
2
__ a
1
=
a
3
__ a
2
= ... =
a
n
____ a
n – 1
= q ⇔ q ≠ 0
INFOACTIVA
22212019181716151413
¿Para qué sirve?
PÁGINA 4
49
Test de comprensión
46. Escriban los cinco primeros términos de cada una de las sucesiones, a partir del término general.
a. a
n
= 3n + 2 c. a
n
= 2 __ 3 n + 1
b. a
n
= 2 . (n – 1) d. a
n
= 2 n 2 – 1
47. Escriban los siguientes tres términos en cada sucesión.
a. 5; 7; 9; 11; c. 8; 13; 21; 34;
b. 300; 150; 75; 75 ___ 2 ; d. 2; 2 .
3
__
3 ; 2 . 3
__
9 ; 6;
48. Rodeen con color el término general de cada sucesión.
a. –1; 1; 3; 5… 2n – 3 n + 1 3n – 2
b. – 1 __ 3 ;
1 __ 3 ; 1;
5 __ 3 …
2 __ 3 n + 1 –
1 __ 3 n
2 __ 3 n – 1
49. Indiquen si las siguientes sucesiones son aritméticas o geométricas y calculen la razón.
a. 7; 9; 11; 13; 15; ... e. 7; – 7 __ 2 ;
7 __ 4 ; –
7 __ 8 ;
7 ___ 16 ; ...
b. 8; –24; 72; –216; 648; ... f. 1 __ 2 ; –
5 __ 2 ; –
11 __ 2 ; –
17 ___ 2 ; –
23 ___ 2 ; ...
c. 8; 3; –2; –7; –12; ... g. 6; –6; 6; –6; ...
d.
__
2 ; 2; 2 .
__
2 ; 4; 4 .
__
2 ; ... h. 9; 6; 3; 0; –3; –6; ...
50. Propongan un ejemplo del término general de acuerdo con el tipo de sucesión indicada y escri-
ban los tres primeros términos en cada caso.
a. Sucesión aritmética.
b. Sucesión geométrica.
13 ACTIVIDADES Sucesiones
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En una sucesión aritmética, ¿cada término es mayor que el anterior?
b. En una sucesión geométrica, el cociente entre un término y su anterior ¿es siempre el mismo?
a. No siempre. Si la razón es un número negativo, el anterior será mayor. b. Sí, es la condición de sucesión geométrica.
5; 8; 11; 14; 17; ... 5 __ 3 ;
7 __ 3 ; 3;
11 __ 3 ;
13 ___ 3 ; ...
0; 2; 4; 6; 8; ... 1; 7; 17; 31; 49; ...
13; 15; 17; ... 55; 89; 144; ...
75 ___ 4 ;
75 ___ 8 ;
75 ___ 16 ; ... 6 .
3
__
3 ; 6 . 3
__
9 ; 18; ...
Aritmética, razón 2. Geométrica, razón – 1 __ 2 .
Geométrica, razón –3. Aritmética, razón –3.
Aritmética, razón –5. Geométrica, razón –1.
Geométrica, razón
__
2 . Aritmética, razón –3.
La solución no es única, por ejemplo n + 4. Los tres primeros términos son 5; 6; 7.
La solución no es única, por ejemplo n . (–3). Los tres primeros términos son –5; –10; –15.
13
50
Sucesiones aritméticas
En una sucesión aritmética cada término se obtiene sumándole al anterior un valor constante r.
a 1 = a 1 + 0r
a 2 = a 1 + 1r
a 3 = a 2 + r = a 1 + r + r = a 1 + 2r
a 4 = a 3 + r = a 1 + r + r + r = a 1 + 3r
a n = a n – 1 + r = a 1 + r + r + ... + r = a 1 + (n – 1) . r
n – 1 veces
Para calcular un término determinado de una sucesión aritmética conociendo dos términos conse-
cutivos, se deben seguir estos pasos.
Calculen a 6 en una sucesión en la cual a 1 = –2 y a 2 = 7.
r = a 2 – a 1 ⇒ r = 7 – (–2) ⇒ r = 7 + 2 ⇒ r = 9 1. Se halla la razón.
a 6 = a 1 + (6 – 1) . r ⇒ a 6 = –2 + (6 – 1) . 9 ⇒ a 6 = –2 + 5 . 9 ⇒ a 6 = 43 2. Se calcula el término.
La razón es igual a la diferencia entre dos términos consecutivos: r = a
k
– a
k – 1
∧ k ∈ N – {1}
Para calcular un término determinado de una sucesión aritmética conociendo otro término y la
razón, se deben seguir estos pasos.
Calculen a 4 si a 10 = 35 y r = 8.
Se considera a a 4 como primer término ( a 4 → a 1 ) y a a 10 , por lo tanto, como séptimo ( a 10 → a 7 ).
a n = a 1 + (n – 1) . r ⇒ a 7 = a 1 + (7 – 1) . r ⇒ 35 = a 1 + 6 . 8 ⇒ a 1 = 35 – 48 ⇒ a 1 = –13 → a 4 = –13
Para calcular el número de términos de una sucesión aritmética, se deben seguir estos pasos.
Calculen el número de términos de la sucesión aritmática, sabiendo que a 1 = 8; a 2 = 20; …; a n = 140.
r = a 2 – a 1 ⇒ r = 20 – 8 ⇒ r = 12
a n = a 1 + (n – 1) . r ⇒ 140 = 8 + (n – 1) . 12 ⇒ 132 = (n – 1) . 12 ⇒ 11 = n – 1 ⇒ n = 12
Suma de los términos de una sucesión aritmética
La suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética se obtiene de la siguiente manera.
a
1
a
2
a
3
... a
n–2
a
n–1
a
n
a
1
+ 2r + a
n
– 2r = a 1 + a n
a
1
+ r + a
n
– r = a 1 + a n
a 1 + a n
Para calcular la suma de los términos de una sucesión aritmética se deben conocer el primer tér-
mino, el último y la cantidad de términos.
Calculen la suma de todos los números pares comprendidos entre 42 y 120, inclusive.
120 = 42 + 2 . (n – 1) ⇒ 78 = 2 . (n – 1) ⇒ 39 = n – 1 ⇒ n = 40
S n = (42 + 120) .
40 ___ 2 ⇒ S n = 162 . 20 ⇒ S n = 3 240
INFOACTIVA
23222120191817161514
El término general a n es: a n = a 1 + (n – 1) . r
La suma de los n primeros términos es: S n =
( a 1 + a n ) . n
___________ 2
51
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si se conocen los términos a
2
y a
6
de una sucesión aritmética, ¿cómo se puede averiguar la razón?
b. El término a
6
de una sucesión aritmética, ¿puede ser mayor que a
20
?
51. Calculen los 3 primeros términos de una sucesión aritmética que cumpla con las siguientes condiciones.
a. La razón es 3 y su primer término, 4. b. Su primer término es 10 y el segundo, 8.
52. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es la razón en una sucesión aritmética de 40 términos que comienza con 10 y termina en 244?
r = 3 r = 6 r =
1 __ 6
53. Resuelvan de dos formas diferentes y respondan.
a. ¿Cuál es el primer elemento de una sucesión aritmética, si el quinto es 7 y su razón es 2?
b. ¿Cuál es el tercer término de una sucesión aritmética, si su razón es –3?
54. Lean atentamente y respondan.
a. En una sucesión aritmética el primer término es 15; el último, 110 y su razón, 5. ¿Cuántos térmi-
nos tiene? ¿Y si su razón fuera 10?
b. En una sucesión aritmética la razón es –3, el segundo elemento es 4 y el último, –26. ¿Cuántos
términos tiene?
55. Respondan.
a. ¿Cuál es la suma de los primeros 20 números pares?
b. ¿Cuál es la suma de los 10 primeros múltiplos de 11 que siguen a 83?
56. Lean atentamente y respondan.
¿Cuáles son las amplitudes de los ángulos de un triángulo rectángulo si se sabe que están en suce-
sión aritmética?14 ACTIVIDADES Sucesiones aritméticas
a. Sí, se despeja r en la fórmula a
n
= a
1
+ (n – 1) . r, y se consideran a
2
→ a
1
y a
6
→ a
n
. b. Sí, pueden ser decrecientes.
4, 7, 10 10, 8, 6
X
a
1
= –1
No es posible hallar el tercer elemento conociendo solo la razón.
Tiene 20 términos. No es posible una sucesión aritmética que cumpla con estas condiciones.
Tiene 12 términos.
420
1 375
30, 60 y 90
14
52
Sucesiones geométricas
En una sucesión geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor constante q.
a
1
= a
1
. q 0
a
2
= a
1
. q 1
a
3
= a
2
. q = a
1
. q . q = a
1
. q 2
a
4
= a
3
. q = a
1
. q 2 . q = a
1
. q 3
a
n
= a
n – 1
. q = a
1
. q . q . q . q . ... . q
n – 1 veces
Para calcular un término determinado de una sucesión geométrica conociendo dos términos con-
secutivos, se deben seguir estos pasos.
Calculen a 6 en una sucesión geométrica en la cual a 1 = 5 y a 2 = 15.
q =
a 2 __ a 1
⇒ q = 15 ___ 5 ⇒ q = 3 1. Se halla la razón.
a 6 = a 1 . q
6 – 1 ⇒ a 6 = 5 . 3
5 ⇒ a 6 = 5 . 243 ⇒ a 6 = 1 215 2. Se calcula el término.
La razón es igual al cociente entre dos términos consecutivos: q =
a
k
____ a
k – 1
∧ k ∈ – {1}
Para calcular un término determinado de una sucesión geométrica conociendo otro término y la
razón, se deben seguir estos pasos.
Calculen a 3 si a 7 = 192 y q = 2.
Se considera a a 3 como primer término ( a 3 → a 1 ) y a a 7 , por lo tanto, como quinto ( a 7 → a 5 ).
a n = a 1 . q
n – 1 ⇒ a 5 = a 1 . 2
5 – 1 ⇒ 192 = a 1 . 2
4 ⇒ 192 = a 1 . 16 ⇒ a 1 =
192 ____ 16 ⇒ a 1 = 12 → a 3 = 12
Para calcular el número de términos de una sucesión geométrica, se deben seguir estos pasos.
Calculen el número de términos de la sucesión geométrica, sabiendo que a 1 =
2 __ 3 ; a 2 =
1 __ 2 ; ...; a n =
243 ______ 2 048 .
q =
a 2 __ a 1
⇒ q =
1 __ 2 __
2 __ 3
⇒ q = 3 __ 4
a n = a 1 . q
n – 1 ⇒ 243 ______ 2 048 =
2 __ 3 . ( 3 __ 4 )
n – 1 ⇒ 729 ______ 4 096 = ( 3 __ 4 )
n – 1 ⇒ ( 3 __ 4 )
6 = ( 3 __ 4 )
n – 1 ⇒ n – 1 = 6 ⇒ n = 7
Suma de los términos de una sucesión geométrica
La suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica se obtiene de la siguiente manera.
Dada: S
n
= a
1
+ a
1
. q + a
1
. q 2 + a
1
. q 3 + ... + a
1
. q n – 1 (1)
S
n
. q = a
1
. q + a
1
. q 2 + a
1
. q 3 + ... + a
1
. q n – 1 + a
1
. q n (2) Se multiplican ambos
– S
n
= a
1
+ a
1
. q + a
1
. q 2 + a
1
. q 3 + ... + a
1
. q n – 1 (1) miembros de (1) por q.
S
n
. q – S
n
= – a
1
+ a
1
. q n Se resuelve (2) – (1).
S
n
. q – S
n
= – a
1
+ a
1
. q n ⇒ S
n
. (q – 1) = a
1
. ( –1 + q n ) ⇒ S n = a 1 .
q n – 1
______
q – 1
∧ q ≠ 1
INFOACTIVA
24232221201918171615
El término general a n es: a n = a 1 . q
n – 1
53
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En una sucesión geométrica, si un término es positivo y el sucesor es negativo, ¿qué signo le
corresponde al siguiente término?
b. Si se conocen la razón y la suma de los términos de una sucesión geométrica, ¿qué dato se
puede averiguar?
57. Hallen los 3 primeros términos de una sucesión geométrica que cumpla con las condiciones indicadas.
a. La razón sea 5 y su primer término, –2. b. Su primer término, –12 y le sigue –3.
58. Respondan.
En una sucesión geométrica...
a. ... el octavo término es –640 y su razón es –2. ¿Cuál es el primer elemento?
b. ... el primer elemento es 1, el último es 243 y su razón es 3. ¿Cuántos términos tiene?
c. ... la razón es 2, su primer elemento es 3 y el último, 1 436. ¿Cuántos términos tiene?
d. ... a
4
=
__
7 y a
5
= 2 .
__
7 . ¿Cuál es la razón?
59. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es la razón en una sucesión geométrica de 12 términos que comienza con 1 __ 8 y termina en 256?
r = 1 __ 2 r = –2 r = 2
60. Calculen la suma de los cinco primeros términos en cada caso.
a. Sucesión geométrica donde a
1
= 129 y la razón es 3.
b. Sucesión geométrica cuyos primeros dos términos son 2 y 6.
61. Lean atentamente y respondan.
Martín decide repartir una determinada cantidad de dinero entre sus cinco hijos, dándole a cada uno
el doble de lo que le dio al anterior. Si comienza repartiéndole $45 al más pequeño, ¿cuánto dinero
repartió entre sus hijos?
15 ACTIVIDADES Sucesiones geométricas
Le corresponde un número positivo porque su razón tiene que ser negativa para pasar de un término positivo a
otro negativo. b. Se puede averiguar el primer término de la sucesión.
–2; –10; –50 –12; –3; – 3 __ 4
a. a
1
= 5
Tiene 6 términos.
No existe sucesión geométrica con estas condiciones.
La razón es 2.
X
15 609
242
$1 395
10
54
INTEGRACIÓN
62. Escriban los tres términos que siguen en
cada sucesión. Luego, indiquen si se trata de
una sucesión aritmética o geométrica.
a. 4; 9; 14; ... d. 20, 10; 5; ...
b. 5; 15; 45; ... e. 6; 16 ___ 3 ;
14 ___ 3 ; 4; ...
c. 5; 6; 4; 7; 3; ... f. 9 __ 2 ;
15 ___ 2 ;
21 ___ 2 ;
27 ___ 2 ; ...
63. Escriban los cuatro primeros términos de
cada una de las siguientes sucesiones, teniendo
en cuenta el término general.
a. a
n
= 3n + 2 d. a
n
=
__
n
b. a
n
= 3n e. a
n
= 1 – 1 __ 2 n
c. a
n
= 2n – 1 f. a
n
= 1 __ 5
. (n – 2)
64. Resuelvan.
a. Escriban el término general de una sucesión
aritmética y sus tres primeros términos.
b. Escriban el término general de una sucesión
geométrica y sus tres primeros términos.
65. Hallen el término general de la sucesión
aritmética o geométrica que represente lo indica-
do en cada caso.
a. Una sucesión de números pares.
b. Una sucesión de números impares.
c. Una sucesión de números primos.
66. Resuelvan.
¿Cuál es el término general que permite obtener
cada uno de los términos de la sucesión ?
a. 3 __ 2 ; 2;
5 __ 2 ; 3;
7 __ 2 … c. 4;
5 __ 2 ; 2;
7 __ 4 ;
8 __ 5 …
b. 3 __ 2 ; 1;
3 __ 4 ;
3 __ 5 ; 0,5… d. 5; 7; 9; 11; 13…
67. Calculen teniendo en cuenta que se trata de
sucesiones aritméticas.
a. El valor de n, sabiendo que el primer término
es 15, la razón es –3 y el último término es –57.
b. El valor de a
8
, sabiendo que la razón es 12 y
el tercer término es 5.
68. Resuelvan teniendo en cuenta el concepto de
múltiplo.
a. ¿Cuántos múltiplos de tres hay entre 9 y 225?
b. ¿Cuántos múltiplos de siete hay entre 7 y 1 680?
69. Calculen la cantidad de términos en cada caso.
En una sucesión aritmética...
a. ... cuyos primer y último elementos son 135
y 20, respectivamente y su razón es –5.
b. ... su razón es 7, el primer elemento es 40 y
el último, 25.
c. ... el primer elemento es 20, el último es –67
y la razón es –3.
70. Respondan.
a. ¿Cuál es el cuarto término de una sucesión
aritmética, si el primero es 5 y la razón, 7?
b. ¿Cuál es el primer término de una sucesión
aritmética, si el sexto es 40 y su razón es 3?
c. ¿Cuál es el noveno término de una sucesión
geométrica, si el primero es 9 y el segundo, 12?
d. ¿Cuál es el segundo término de una sucesión
geométrica, si el décimo es 7 __ 4 y la razón es
1 __ 6 ?
71. Respondan.
a. Si en una sucesión aritmética el primer térmi-
no es –67 y la razón es –3, ¿qué lugar ocupa el
término cuyo valor es –16?
b. Si en una sucesión aritmética el primer tér-
mino es 6 y la razón es 1 __ 2 , ¿qué lugar ocupa el
término cuyo valor es 12?
c. Si en una sucesión geométrica el primer tér-
mino es 2 y la razón es 3, ¿qué lugar ocupa el
término cuyo valor es 4 374?
d. Si en una sucesión geométrica el primer tér-
mino es – 1 __5 y la razón es 5, ¿qué lugar ocupa el
término cuyo valor es –125?
72. Respondan.
En la sucesión aritmética 4; 19; 34; 49; 64, ¿cuán-
tos términos hay que agrupar para que la suma
sea 715?
Solución a cargo del alumno.
5; 8; 11; 14 1;
__
2 ;
__
3 ; 2
3; 9; 27; 81 1 __ 2 ; 0; –
1 __ 2 ; –1
1; 3; 5; 7 – 1 __ 5 ; 0;
1 __ 5 ;
2 __ 5
Solución a cargo del alumno.
a. a
n
= 2n b. a
n
= 2n – 1 c. No existe.
Solución a cargo del alumno.
n = 25
a
8
= 65
a. Hay 73 números. b. Hay 240 números.
24
No es posible esta sucesión.
30
a. a
4
= 26 b. a
1
= 25 c. a
9
= 33 d. a
2
= 2 268
No es posible.
Lugar 13.
Lugar 8.
Lugar 5.
Hay que sumar 10 términos.
55
13*14*15
CONTENIDOS
73. Resuelvan.
a. Calculen la suma de los 20 primeros múlti-
plos naturales de 5 comenzando por 35.
b. ¿Cuál es la suma de los primeros diez térmi-
nos de la sucesión aritmética 12; 7; 2; –3…?
74. Resuelvan.
Las longitudes de los lados de un triángulo, cuyo
perímetro es 99 cm, forman parte de una suce-
sión aritmética.
a. ¿Cuánto mide cada uno de los lados del
triángulo?
b. ¿Existe una única solución? ¿Por qué?
75. Resuelvan.
a. Escriban una sucesión geométrica cuya razón
sea 2 y su primer término, 5.
b. Escriban el término general que corresponde
a la sucesión de a.
76. Calculen sabiendo que son sucesiones
geométricas.
a. a
1
y S
4
, siendo a
4
= 4 ___ 25 y q =
1 __ 5 .
b. a
4
y S
5
, siendo a
1
= 50 y q = 1 __ 2 .
77. Calculen la razón en cada caso, sabiendo
que se trata de sucesiones geométricas.
a. El primer término es 25 y el quinto es 1 ___ 25 .
b. El tercer término es 117 y el sexto es 3159.
c. El primer término es –4 y el quinto es –484.
78. Respondan.
a. Sabiendo que a
1
= 3 y a
5
= 768 y que se
trata de una sucesión geométrica, ¿cuál es la
suma de los primeros seis términos?
b. En la sucesión geométrica cuyo primer térmi-
no es 5 y la razón es 2, ¿cuál es la suma de
los ocho primeros términos?
c. ¿Cuál es la suma de los primeros cinco térmi-
nos de la sucesión geométrica cuyos cuarto y
quinto términos son 1 __ 5 y
1 ___ 10 , respectivamente?
79. Lean atentamente y respondan.
Una alumna de la escuela decide repartir carame-
los a sus 20 compañeros siguiendo el orden de la
lista, de la siguiente forma: al primer compañero le
da 40 caramelos y al siguiente 2 menos.
a. ¿Cuántos caramelos le regaló al compañero
número 20?
b. ¿Cuántos caramelos repartió en total?
c. Si al primer compañero le compartiera 35 cara-
melos, ¿cuántos le corresponderían al compañero
número 20?
80. Lean atentamente y respondan.
La profesora Laura quiere formar a los alumnos de su
escuela de una forma muy especial, para participar
de la jornada de Educación Física. En la primera fila
iría solamente un alumno; en la segunda, dos; en la
tercera, tres, y así sucesivamente. La idea es que los
estudiantes formen un triángulo.
a. ¿Cuántos alumnos participan para formar
un triángulo de cinco filas?
b. ¿Cuántos alumnos participan para formar un
triángulo de veinte filas?
c. La relación que existe entre las filas de estos
triángulos ¿es una sucesión aritmética o
geométrica?
81. Resuelvan.
Malena y Guadalupe están organizando el cum-
pleaños de Lola. El primer día deciden comenzar
a preparar las invitaciones, cumpliendo con la
consigna de que a partir del día siguiente cada una
de ellas invita a dos personas. Esas dos personas al
día siguiente invitan a dos amigos cada una, y así
sucesivamente.
a. ¿Cuántos invitados habrá al finalizar la sema-
na contando a Malena y a Guadalupe?
b. ¿Cuántos días tendrán que transcurrir para
que en la fiesta haya 32 personas?
82. Escriban el enunciado de un problema cuya
respuesta sea a 3 = 5.
2
capítulo
a. 1 650 b. –105
Por ejemplo, 20 cm; 33 cm y 46 cm.
Existen varias soluciones, depende que número se
toma como primer elemento de esta terna.
5; 10; 20; 40
5 . 2 n – 1
a. a
1
= 20 y S
4
= 624 ____ 25 . b. a4 =
25 ___ 4 y S5 =
375 ____ 4 .
a. 1 __ 5 b. 3 c. 3
a. 4 095 _____ 1 024 b. 1 280 c.
31 ___ 10
2 números.
420
No es posible cumplir con la condición indicada.
15 alumnos.
210 alumnos.
Es una sucesión aritmética.
a. 128 invitados. b. 5 días.
Existen infinitas soluciones, una puede ser: Hallen a
3
si a
1
= 1 y la razón es 2.
AUTOEVALUACIÓN
56
2
capítulo
Marquen las opciones correctas
83. ¿Cuál de los siguientes números es irracional?
a.
___
–4 b.
__
4 c. –
__
4 d. 3
__
4
84. ¿Cuáles de las siguientes expresiones es equivalente a ( a 2 . b 5 ) –3 . (ab) 2 ?
a. a –28 . b 2 b. a –19 . b 2 c. a 3 . b –13 d. a 23 . b 2
85. ¿Cuál es el resultado de 2 – (– √
__
8 ) . √
__
3 ?
a. 2 .
__
3 + 2 .
__
6 b. 2 .
__
3 – 2 .
__
6 c. 2 + 2 .
__
6 d. 2 – 2 .
__
6
86. ¿Cuál es la expresión en lenguaje coloquial que traduce a
3
__________
________
5
_______
__
2 + 2 ?
a. La raíz cuadrada de la raíz cúbica de la raíz quinta de la suma entre la raíz cuadrada de dos y dos.
b. La raíz quinta de la raíz cuadrada de la raíz cúbica de la suma entre la raíz cuadrada de dos y dos.
c. La raíz cúbica de la raíz cuadrada de la raíz quinta de la suma entre la raíz cuadrada de dos y dos.
d. La raíz cúbica de la raíz cuadrada de la raíz quinta de la suma entre la raíz cúbica de dos y dos.
87. ¿Cuál es el resultado de √
__
x ___ √
__
y ?
a.
__
x b. x __ y c.
__
x ___ y d.
___
xy
___ y
88. ¿Cuál es el resultado que se obtiene al racionalizar √
__
2 + √
__
5 _________
√
__
2 – √
__
5
?
a. – 7 __ 3 –
2 __ 3
.
___
10 b. 7 __ 3 +
2 __ 3
.
___
10 c. – 7 __ 3 +
2 __ 3
.
___
10 d. 7 __ 3 –
2 __ 3
.
___
10
89. ¿Cuál es el término general de la sucesión – 9 __ 5 ; –
8 __ 5 ; –
7 __ 5 ; –
6 __ 5 ?
a.
1 __ 5
. n – 2 b. 5n –
1 __ 5 c.
1 __ 5
. n
90. ¿Cuál es la razón de la sucesión aritmética de 20 términos que comienza en 12 y termina en –45?
a. r = 3 b. r = –3 c. r = –2
91. ¿Cuántos términos tiene una sucesión geométrica si su razón es 3; su primer elemento, 1 ____ 243 y el
último término, 19 683?
a. 3 b. 81 c. 15
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Funciones
Contenidos
16. Funciones.
17. Análisis de funciones I.
18. Análisis de funciones II.
19. Función lineal.
20. Distancia entre dos puntos.
21. Ecuación de la recta.
22. Función módulo.
ca
p
ít
u
lo3
¿Cuándo nace el concepto de función? En la matemática babilónica, ya
aparecían tablas de cuadrados y cubos de números naturales. Más tarde, los
griegos calcularon valores de distintas funciones como las cuerdas de círculos
determinadas por distintos ángulos. Pero esta es una mirada moderna de la
matemática antigua: en realidad, hizo falta que pasaran muchos siglos para
que se entendieran las funciones como relaciones entre conjuntos. Y en el
camino hubo dificultades. En el siglo XVII, Galileo, ya anciano y casi ciego,
observó que precisamente la misma tabla de cuadrados perfectos que habían
descripto los antiguos traía aparejada un hecho inquietante: ¿cómo pueden
ponerse en correspondencia los números naturales y sus cuadrados siendo
que los primeros son muchos más?
Esta aparente paradoja se resolvió mucho tiempo después, pero las fun-
ciones siguieron su recorrido y, en 1748, otro sabio llamado Euler introdujo la
idea de “expresión analítica”, que sirve para pensar muchísimas funciones a
partir de fórmulas. Como Galileo, también Euler terminó sus días ciego, aun-
que eso no le impidió tener una visión extraordinaria en casi todas las ramas
de la matemática.
1. Lean atentamente y resuelvan.
a. ¿Cuál fue el aporte que realizó Euler?¿Por qué creen que fue tan importante?
b. Escriban algunos ejemplos de funciones aplicadas a situaciones de la vida
cotidiana.
a. El aporte que realizó Euler fue la idea de “expresión analítica”. Su aporte sirve para
pensar muchísimas funciones a partir de fórmulas y así, poder analizarlas en profundidad.
b. Por ejemplo, el tiempo que tarda en llenarse una pileta en función de la cantidad de
agua que vierte la canilla.
15
58
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Funciones
Una función es una relación entre dos variables en la cual a cada valor de la primera (independien-
te) le corresponde un único valor de la segunda (dependiente).
Dominio y codominio de una función
El conjunto dominio ( D
f
) de la función está formado por los valores que puede tomar la variable inde-
pendiente. El conjunto codominio está formado por todos los valores que puede tomar la variable depen-
diente. El conjunto imagen ( I
m
) es un subconjunto del codominio formado por los valores que toma la función.
La imagen de x a través de la función f se denota con la expresión y = f(x).
f: A → B es función de A en B ⇔ ∀ x ∈ A ∃! y ∈ B / y = f(x)
(∀: para todo; ∃!: existe un único)
La representación gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos (x;y) de → para los
cuales (x;y) es un par ordenado de f.
y = x 2 + 2x + 1
x y
–3 4
–2 1
–1 0
0 1
1 4
D f = I m = (0;+∞)
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1 0 1 2
(–3;4)
y = x 2 + 2x + 1
y
x
Clasificación de las funciones
INFOACTIVA
–3 0 5
y
x
4
–2
f : [–3;5] → [–2;4]
–3 0 7
y
x
5
–3
f : [–3;7] → [–3;5]
A
B
C
Una función es inyectiva si y
solo si a elementos distintos del
dominio les corresponden imá-
genes distintas en el codominio.
Una función es sobreyectiva
si y solo si a todo elemento del
codominio le corresponde una
preimagen en el dominio.
Una función es biyectiva si y
solo si es inyectiva y sobreyec-
tiva a la vez.
–4 0 6
6
4
–1
–2
y
x
f : [–4;6] → [–2;6]
¿Para qué sirve?
PÁGINA 5
Test de comprensión
16 ACTIVIDADES Funciones
Test de comprensión
1. Marquen con una X los gráficos que representan funciones de A → B, A = [–1;4] y B = [–2;3].
Expliquen la respuesta.
a. b. c.
0 1
y
x
1
0 1
y
x
1
0 1
y
x
1
2. Completen la tabla de valores y grafiquen cada una de las siguientes funciones.
a. f(x): → /f(x) = 2x + 1
x f(x)
b. g(x): → /g(x) = 2x + 1
x g(x)
3. Clasifiquen las siguientes funciones definidas de → en inyectivas, biyectivas y sobreyectivas.
a. b. c.
–3 –1 0 3 5
y
x
4
–2
–3 –1 0 3 5
y
x
4
–2
–3 –1 0 3 5
y
x
3
–3
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Una relación en la cual dos elementos distintos del dominio tienen la misma imagen ¿es función?
b. ¿Qué valores puede tomar x para que se pueda resolver f(x) =
_____
x – 3 ?
Test de comprensión
59
a. Sí. b. No, x ≥ 3.
X
a. Hay elementos del dominio sin imagen. b. Es función. c. Hay elementos del dominio que tienen más de una imagen.
–1 –1
0 1
1 3
1 3
2 5
3 7
Solución gráfica a cargo del alumno.
Biyectiva No inyectiva - No sobreyectiva No inyectiva - Sobreyectiva
60
26252423222120191817
Análisis de funciones I
Intersección con los ejes
La ordenada al origen es el punto de intersección de la gráfica con el eje y; vale decir que f(0) = c.
Los ceros o raíces de una función son las abscisas de los puntos de intersección de la gráfica y el eje x;
vale decir que f(x) = 0. Para determinar la raíz, hay que plantear y resolver una ecuación (procedimiento
analítico).
f(x) = – 3 __ 5 x + 2
0 = – 3 __ 5 x + 2
–2 = – 3 __ 5 x
–2 : ( – 3 __ 5 ) = x
10 ___ 3 = x
3
2
1
–1
y
–2 –1 0 1 2 3 4 x
2
444444444
Teorema de Bolzano
Si una función f(x) es continua en un intervalo de su dominio, y tiene distinto signo en los extremos
del mismo, entonces la función tiene por lo menos una raíz real en ese intervalo.
f(a) < 0 f(b) > 0 } ⇒ f( x 1 ) = 0 ∧ x 1 ∈ (a;b)
f(b) > 0 f(c) < 0 } ⇒ f( x 2 ) = 0 ∧ x 2 ∈ (b;c)
Como consecuencia del teorema anterior, entre
dos raíces reales consecutivas la función adopta
solo valores positivos o negativos.
x
1
b x
2
a c
x
y
f(b)
f(c)
f(a)
Conjuntos de positividad y negatividad de una función
El conjunto de positividad está formado por todos los valores del dominio para los cuales la función
es positiva.
C + = x ∈ D
f
∧ f(x) > 0
El conjunto de negatividad está formado por todos los valores del dominio para los cuales la función
es negativa.
C – = x ∈ D
f
∧ f(x) < 0
Los conjuntos de positividad y negatividad quedan
determinados por las raíces reales de la función.
C + = (a;b) ∪ (c;+∞)
C – = (–∞;a) ∪ (b;c)
a d
Intervalo de positividad
Intervalo de negatividad
b e c
x
y
bbbbb ccccccccccccccc
INFOACTIVA
16
61
Test de comprensión
4. Completen la tabla.
Función f(x) = 3x – 1 g(x) = x 2 – 4 h(x) = 3 __ 2 x –
1 __ 4 k(x) = (x – 3)
2
Intersección con el eje x
Intersección con el eje y
5. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es el intervalo que verifica el teorema de Bolzano en cada caso?
a. De una función f(x) sabemos que f(–4) = 0, f(1) = 0, f(5) = 0, f(0) > 0 y f(2) < 0.
[–5;0] [3;6] [–3;3]
b. Dada la función f(x) = 3x + 1
[–2;–1] [–2;2] [0;2]
c. Dada la función f(x) = (x – 4) . (x + 3)
[–4;–3] [5;7] [0;5]
6. Indiquen, en cada caso, los ceros, la ordenada al origen, los intervalos de positividad y negatividad.
a. b. c.
y
–4 –2 0 2 4 6
y
x
2
–2
–4 –2 0 2 4 6
y
x
2
–2
22222
4 4 4
–4 –2 0 2 4 6 x
4
2
–2
4444444444444444444
Ord. al origen = Ord. al origen = Ord. al origen =
Raíces = Raíces = Raíces =
C + = C
+ = C
+ =
C – = C
– = C
– =
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si solo se sabe que f(0) = 2, ¿se puede afirmar que la función f es negativa en todo su dominio?
b. Si la función g(x) verifica que g(3) = 0 y g(5) = 8, ¿el intervalo de positividad es C + = (3;+∞)?
17 ACTIVIDADES Análisis de funciones I
a. No, faltan datos para conocer la negatividad en el resto del dominio. b. No, faltan datos para asegurarlo.
1 __ 3 2 y –2
1 __ 6 3
–1 –4 – 1 __ 4 9
X
X
X
(0;0) (0;1) (0;4)
(–3;0); (0;0); (3;0) (1;0); (5;0) (–3;0); (3;0)
(–3;0) ∪ (0;3) (–∞;1) ∪ (5;+∞) (–3;3)
(∞;–3) ∪ (3;+∞) (1;5) (–∞;–3) ∪ (3;+∞)
62
Análisis de funciones II
Funciones pares e impares
Existen condiciones de simetría que facilitan la representación gráfica de ciertas funciones.
Una función es par cuando su gráfica es simétrica respecto del eje y.
f(x) es par ⇔ f(x) = f(–x)
f(x) = x 2
f(–x) = (–x) 2 = x 2
f(x) = f(–x)
La gráfica de la función f(x) = x 2 es simétrica
respecto del eje de las ordenadas; se dice
entonces que es una función par.
y
–4 –2 0 2 4 6 x
4
2
–2
f(1) = f(–1)
f(2) = f(–2)
Una función es impar cuando su gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas.
f(x) es impar ⇔ f(x) = –f(–x)
f(x) = x 3
f(–x) = (–x) 3 = (–x) 2 . (–x) = – x 3
f(x) = –f(–x)
La gráfica de la función f(x) = x 3 es simétrica
respecto del origen de coordenadas; se dice
entonces que es una función impar.
x
4
2
–2
–4
y
–4 –2 0 2 4
Si una función no es par ni impar, se dice que
no tiene paridad.
Crecimiento y decrecimiento de una función
Una función f(x) es creciente, en un cierto intervalo de su dominio, cuando al aumentar los valores
que adopta la variable independiente, también aumentan los valores de sus imágenes.
f(x) es creciente ⇔ x
2
> x
1
⇒ f ( x 2 ) > f ( x 1 )
f(x) = x 2 es creciente en el intervalo (0;+∞), pues: x 2 = 3 > x 1 = 1 ⇒ f(3) = 9 > f(1) = 1
Una función f(x) es decreciente, en un cierto intervalo de su dominio, cuando al aumentar los valo-
res que adopta la variable independiente, disminuyen los valores de sus imágenes.f(x) es decreciente ⇔ x
2
> x
1
⇒ f ( x 2 ) < f ( x 1 )
f(x) = x 2 es decreciente en el intervalo (–∞;0), pues: x 2 = –1 > x 1 = –2 ⇒ f(–1) = 1 < f(–2) = 4
Máximos y mínimos de una función
En el punto en que la gráfica pasa de ser creciente a ser decreciente, existe un máximo relativo.
En el punto en que la gráfica pasa de ser decreciente a ser creciente, existe un mínimo relativo.
Una función puede tener más de un máximo o mínimo relativo.
INFOACTIVA
2726252423222120191817
63
Test de comprensión
18 ACTIVIDADES Análisis de funciones II
7. Determinen analíticamente si las siguientes funciones son pares o impares.
a. f(x) = 3 x 2 d. k(x) = x 2 + 2
b. g(x) = 3x e. l(x) = 3 x 4
c. h(x) = – x 3 f. m(x) = x 2 + x
8. Unan con flechas, cuando sea posible, teniendo en cuenta que f(x) = – x 2 + 2 y g(x) = 2 x 3 .
a. f(x) + g(x) b. f(x) . g(x) c. 2 . f(x) d. g(x) + g(x) e. g 2 (x) f. f(x) . f(x)
PAR IMPAR
9. Identifiquen si los siguientes gráficos corresponden a funciones pares o impares.
a. c.
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
1
–1
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
1
–1
b. d.
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
1
–1
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
2
1
–1
–2
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. La función y = 3x – 2 ¿es par o impar?
b. Si una función es creciente en el intervalo (2;3), ¿existe un máximo en x = 3?
a. No tiene paridad; b. No necesariamente.
Par. Par.
Impar. Par.
Impar. Ni par, ni impar.
Impar Par
Impar Par
64
18 ACTIVIDADES Análisis de funciones II
10. Observen los gráficos y completen.
a. d.
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
4
2
–2
–1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 x
y
–2
–4
–6
Int. de crecimiento = Int. de crecimiento =
Int. de decrecimiento = Int. decrecimiento =
Máximos = Máximos =
Mínimos = Mínimos =
b. e.
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
2
–2
–4
–1 0 1 2 3 4 5 x
y
2
–2
–4
Int. de crecimiento = Int. de crecimiento =
Int. de decrecimiento = Int. decrecimiento =
Máximos = Máximos =
Mínimos = Mínimos =
c. f.
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
10
–10
–3 –2 –1 0 1 2 3 X
y
2
1
–1
Int. de crecimiento = Int. de crecimiento =
Int. de decrecimiento = Int. decrecimiento =
Máximos = Máximos =
Mínimos = Mínimos =
(–∞;0) ∪ (2;+∞) No tiene.
(0;2)
(0;4) No tiene.
(2;0) No tiene.
(–∞;0) ∪ (2;+∞) (–∞;3)
(0;2) (3;+∞)
(0;0) (3;3)
(2;–4) No tiene.
(–2;0,5) ∪ (3;+∞)
No tiene. (–∞;2) ∪ (0,5;3)
No tiene. ( 0,5;f(0,5) )
No tiene. (–2;0) y (3;0)
65
y
2
1
–1
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 x
11. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), teniendo en cuenta el gráfico.
a. La función crece en el (–∞;2).
b. La función tiene un máximo en (–3;2).
c. En el intervalo (–2;+∞) la función es decreciente.
d. La función decrece en el intervalo (–3;+∞).
e. La función crece solo en el intervalo (–4;–2).
12. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si el intervalo de crecimiento de una función es (–∞;3) entonces, ¿la función decrece en el inter-
valo (3;+∞)?
b. Si en una función el intervalo de decrecimiento es (–∞;t) y el de crecimiento es (t;+∞), entonces
en el punto de abscisa t ¿hay un mínimo relativo?
13. Realicen el gráfico de una función que cumpla con las siguientes características y respondan.
f(x): → C + = (–2;1) Intervalo de crecimiento = (–∞;–1)
Imagen: (–∞;3) C – = (–∞;–2) ∪ (1;+∞) Intervalo de decrecimiento = (–1;+∞)
a. ¿Cuál es el máximo?
b. ¿Cuál es la ordenada al origen?
c. ¿Cuántas raíces tiene? ¿Cuáles son?
18 ACTIVIDADES Análisis de funciones II
F
V
V
V
F
Puede decrecer o ser constante, o decrecer en otro intervalo.
Sí, porque a la izquierda de la abscisa t la gráfica decrece y a su derecha, crece.
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
Gráfico a cargo del alumno.
66
INTEGRACIÓN
14. Escriban la fórmula de la función que cumple
con lo pedido en cada caso.
a. A cada número real le asigna su doble.
b. A cada número entero le asigna el anterior
de su triple.
c. A cada número real le asigna el triple de su
cuadrado.
15. Indiquen el dominio y la imagen para cada
uno de los siguientes gráficos.
a.
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
15
10
5
–5
–10
–15
b.
–1 0 1 2 3 4 5 x
y
1
–1
–2
c.
y
–1
–2
–3
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 x
d.
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
3
2
1
–1
–2
–3
16. Escriban la imagen que corresponde en cada
caso, teniendo en cuenta el gráfico. Luego, clasi-
fiquen las funciones.
a. f(x): →
b. g(x): → +
c. h(x): + → +
y
–2 –1 0 1 2 x
4
2
–2
17. Representen la función que cumpla con las
condiciones indicadas en cada caso, teniendo en
cuenta los conjuntos A = [–3;2] y B = [–1;4].
a. f(x): A → B/f(x) es creciente en el [–3;0) y es
decreciente en (0;2].
b. f(x): A → B/f(x) no sea inyectiva, pero sí
sobreyectiva.
c. f(x): A → B/f(x) tenga dos máximos.
18. Respondan y expliquen las respuestas.
a. La función f(x) = x 3 – 3x + 4, ¿tiene al menos
una raíz en el intervalo (–2;0)?
b. La función f(x) = 2 x 3 – x – 7, ¿tiene al
menos una raíz en el intervalo (0;2)?
c. Para una función continua f(x) se cumple
que f(–3) < 0 y f(–2) > 0, entonces ¿en el inter-
valo (–3;–2) existe por lo menos una raíz?
19. Indiquen, en cada caso, los intervalos de
positividad y negatividad sabiendo que se trata
de una función f(x) continua.
a. Los únicos ceros de la función f(x) son x = –5
y x = 1, además f(–6) = 3, f(0) = –1 y f(2) = 4.
b. Los únicos ceros de la función g(x) son x = –3,
x = 2 y x = 4, además g(–4) = 2, g(0) = 3,
g(3) = –2 y g(5) = 3.
c. Los únicos ceros de la función h(x) son x = –3
y x = 2, además h(–4) < 0, h(0) < 0 y h(3) > 0.
a. y = 2x b. y = 3x – 1 c. y = 3 x 2
D
f
= ; Im
f
=
D
f
= ; Im
f
= (–∞;1]
D
f
= ; Im
f
= [–3;+∞)
D
f
= ; Im
f
= [–2;2]
Solución a cargo
del alumno.
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
a. C + = (–∞;–5) ∪ (1;+∞), C – = (–5;1)
b. C + = (–∞;–3) ∪ (–3;2) ∪ (4;+∞), C – = (2;4)
c. C + = (2;∞), C – = (–∞;–3) ∪ (–3;2)
67
16*17*18
CONTENIDOS
20. Resuelvan teniendo en cuenta el gráfico.
–1 0 1 2 3 4 5 6 x
y
4
2
–2
–4
a. Clasifiquen la función definida de → .
b. Redefinan el dominio y el codominio para
que sea biyectiva, en caso de ser necesario.
c. Intervalos de positividad y de negatividad.
d. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
e. Máximos y mínimos, si los hubiera.
21. Indiquen la información solicitada para cada
uno de los siguientes gráficos.
Raíces.
Ordenada al origen.
Intervalos de positividad y de negatividad.
Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
Máximos y mínimos.
Imagen.
a. f(x) = – 1 __ 2
. (x + 4) 2 + 2
y
2
–2
–4
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 x
b. h(x) = (x + 2) 2 . (x –2) 2
y
6
5
4
3
2
–1 –3 –2 –1 0 1 2 3 x
22. Marquen las opciones correctas.
Teniendo en cuenta el siguiente gráfico...
y
1
–1
–2
–3
–4
–5
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
a. ... ¿cuál es el intervalo de crecimiento?
(–∞;2) ∪ (–4;2) (–4;–2) ∪ (0;2)
(–∞;–2) ∪ (0;2) (–∞;2)
b. … ¿cuál es el intervalo de decrecimiento?
(–2;0) ∪ (0;2) (–2;0) ∪ (2;+∞)
(–2;+∞) (–2;2)
c. ... es una función:
par. sin paridad.
impar.
d. ... ¿cuál es el conjunto de negatividad?
0
–
0
+ –
e. ... ¿cuál es la imagen?
0
–
0
+ –
f. ... ¿cuál o cuáles son los máximos?
(–2;0) (0;–4)
(0;–2) (2;0)
g. ... la función definida de →
0
– es:
inyectiva.
no inyectiva, no sobreyectiva.
no inyectiva, sobreyectiva.
biyectiva.
3
capítulo
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
X
X
X
X
X
X
X
X
68
Función lineal
Se llama función lineal a aquella cuya fórmula es y = mx + b.
Los números m y b reciben el nombre de pendientey ordenada al origen, respectivamente.
Ecuación explícita de la recta: y = mx + b
Pendiente Ordenada al origen
La representación gráfica de una función lineal es una recta.
La pendiente de una recta es el cociente entre la variación
de la variable dependiente (Δy) y la variación de la variable
independiente (Δx) de cualquier punto de la misma.
m =
Δy
___ Δx =
y
2
– y
1
______ x
2
– x
1
La ordenada al origen es el valor donde la recta
corta al eje y.
f(0) = b
y
2
y
1
b
y
0 x
1
x
2
x
Δy
Δx
El valor de la pendiente determina que una función lineal sea creciente, constante o decreciente.
yy
–4 –2 0 2 4 6 x
4
3
2
1
–1
–2
m < 0
Decreciente
–4 –2 0 2 4 6 x
4
3
2
1
–1
–2
m = 0
Constante
y
–4 –2 0 2 4 6 x
4
3
2
1
–1
–2
m > 0
Creciente
y
Representación gráfica de una función lineal dada de forma explícita
Para graficar una función lineal, se debe marcar la ordenada al origen (b) y, a partir de ella, repre-
sentar un par de valores cuyo cociente sea igual al valor de la pendiente (m).
4
3
2
1
y
2
y = 2 __ 3 x + 1
m =
Δy
___ Δx =
2 __ 3 b = 1
3
–2 0 3 6 x
4
3
2
1
y
3
y = – 3 __ 2 x + 4
m =
Δy
___ Δx = –
3 __ 2 b = 4
2
–2 0 3 6 x
INFOACTIVA
2827262524232221201918
¿Para qué sirve?
PÁGINA 6
69
Test de comprensión
23. Grafiquen las siguientes funciones lineales dadas en forma explícita.
a. y = 3x – 5
b. y = – 1 __ 4 x + 2
c. y = –5x – 1
d. y = 1 __ 2 x +
3 __ 2
24. Escriban la ecuación de una recta que cumpla con las condiciones indicadas en cada caso.
a. Es una función decreciente y tiene la misma ordenada al origen que y = 3x – 2.
b. Tiene una raíz positiva y es creciente.
c. Pasa por el origen de coordenadas y su pendiente es la misma que 2x – 4y = 1
d. Es una función constante cuya ordenada al origen es 3.
25. Calculen la pendiente de cada recta.
a. La recta R pasa por los puntos a = (–2;–3) y
b = (1;0).
c. La recta T pasa por los puntos e = (–5;–2) y
f = (–3;–7).
b. La recta S pasa por los puntos c = (–1;3) y
d = (2;–4).
d. La recta U pasa por los puntos g = (–1;4) y
h = (–5;–2).
19 ACTIVIDADES Función lineal
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. La ecuación explícita de la recta que corta al eje y en 3 y tiene pendiente 2, ¿es y = 3x + 2?
b. Las funciones de la forma f(x) = mx + b, con m > 0 y b cualquier valor real, ¿siempre son cre-
cientes?
a. No, la ecuación es y = 2x + 3. b. Sí.
Solución a cargo del alumno.
Por ejemplo, y = –x – 2
Por ejemplo, y = 3x – 2
Por ejemplo, y = 1 __ 2 x
Por ejemplo, y = 3
1 – 5 __ 2
– 7 __ 3
3 __ 2
70
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que tiene a dichos puntos por extremos.
Para calcular la distancia entre dos puntos se aplica el teorema de Pitágoras.
Sean los puntos a = ( x
1
; y
1
) y b = ( x
2
; y
2
).
ab 2 = ac 2 + bc 2 ⇒ ab =
________
ac 2 + bc 2
D
(a;b)
=
__________________
( x 2 – x 1 )
2 + ( y 2 – y 1 )
2
b
a c
y
2
– y
1
x
2
– x
1
x
1
x
2
x
y
2
y
1
y
La distancia entre a y b es:
x
1
x
2
a = (–2;2) ∧ b = (4;3)
y
1
y
2
D (a;b) =
__________________
[4 – (–2)] 2 + (3 – 2) 2
D (a;b) =
_______
6 2 + 1 2 =
___
37
y
–2 0 4 x
4
3
2
1
a
b
Distancia de un punto a una recta
La distancia de una recta a un punto que no pertenece a la misma es la longitud del segmento
perpendicular a la recta que tiene por extremos a un punto de la misma y al punto considerado.
La distancia de un punto p = ( x
1
; y
1
) a una recta.
R: Ax + By + C = 0 está dada por la siguiente fórmula:
D
(R;p)
= | A x 1 + B y 1 + C ____________
_______
A 2 + B 2
|
R
p
x
1
x
y
1
y
Distancia del punto a = (3;1) a la recta R: y = 1 __ 2 x + 3.
R: y – 1 __ 2 x – 3 = 0 ⇒ R: –x + 2y – 6 = 0
D (R;a) = | –1 . 3 + 2 . 1 – 6 _____________ _________ (–1) 2 + 2 2 |
D (R;a) = | –3 + 2 – 6 _________ __ 5 | = 3,13
5
4
3
2
1
–1
y
R: –x + 2y – 6 = 0
p
x
1
y
1
–1 0 1 2 3 4 x
INFOACTIVA
2928272625242322212019
¿Para qué sirve?
PÁGINA 7
71
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cómo se expresa la fórmula de distancia de cualquier punto al origen de coordenadas?
b. ¿Qué información se puede obtener de la siguiente expresión? D
(R,a)
= | 3 . 2 + 1 . (–3) – 2 _______________
______
3 2 + 1 2
|
26. Calculen la distancia entre los puntos dados.
a. m = (–3;1) y t = (0;4) e. v = ( –3;– 4 __ 3 ) y w = (1;–6)
b. p = (–2;–3) y q = (1;2) f. k = (–2;5) y l = ( 3 __ 5 ;7 )
c. r = ( 1 __ 2 ;5 ) y s = ( 7 __ 2 ;1 ) g. n = (–4;0) y o = (0;–2)
d. t = (3;3) y u = (2;–4) h. p = (–1;5) y r = ( 6; 5 __ 4 )
27. Ubiquen los puntos m = (2;5) y t = (4;2) en un par de ejes cartesianos y resuelvan.
a. Calculen la D
(m,t)
.
b. Indiquen los puntos q y r, del segundo cuadrante, que verifiquen que D
(m,t)
= D
(q,r)
.
c. Dado el punto h = (0;–4), encuentren el punto j que cumpla D
(m,t)
= D
(h,j)
.
d. Las respuestas en los ítems b. y c. ¿son únicas?
20ACTIVIDADES Distancia entre dos puntos
a. Si p = ( x
1
; x
2
),
_________
( x
1
) 2 + ( x
2
) 2 b. La distancia desde la recta 3x + y – 2 = 0 al punto (2;–3).
3 .
__
2 2 __ 3
.
___
85
___
34
____
269 _____ 5
5 2 .
__
5
5 .
__
2
_____
1009 ______ 4
Solución a cargo del alumno.
___
13
q = (–4;2); r = (–2;5)
Por ejemplo, (2;–1).
No, hay infinitas respuestas.
72
28. Calculen la distancia del punto p a la recta M, en cada caso.
a. p = (–2;3) y M: 3x – 2y + 4 = 0 d. p = (3;–2) y M: y = 2x – 4
b. p = (–2;–4) y M: x + 3y – 1 = 0 e. p = (1;–3) y M: y – 2 = 0
c. p = (1;3) y M: x + 1 = 0 f. p = (0;–2) y M: y = 3x + 2
29. Representen en un sistema de ejes cartesianos y calculen el perímetro de cada figura en forma exacta.
a. Triángulo abc, siendo a = (–3;2), b = (0;3) y c = (–1;0).
b. Paralelogramo mrtq, siendo m = (–1;–2), r = (0;1), t = (4;1) y q = (3;–2).
20ACTIVIDADES Distancia entre dos puntos
8 .
___
13 ______ 13
4 __ 5
.
__
5
3 __ 2
.
___
10 5
2 2 __ 5
.
___
10
2 . (
___
10 +
__
2 )
Solución a cargo del alumno.
8 + 2 .
___
10
Solución a cargo del alumno.
73
30. Calculen analíticamente la distancia entre las rectas dadas y grafíquenlas en un sistema de ejes
cartesianos.
a. A: y = 3x – 2 y B: y = 3x + 5
b. C: y = –x + 2 y D: y = –x + 1
c. E: y – 2 = 2x y F: (y – 1) = 2 . (x + 3)
d. G: (y – 1) = –2 . (x – 3) y H: y = –3x – 2
20ACTIVIDADES Distancia entre dos puntos
Dada la función f(x) = –2x – 4 y dos puntos de la gráfica, tales que f(a) = 0 y f(0) = b,
calculen la distancia entre a y b.
menteACTIVA
7 ___ 10
.
___
10
__
2 ___ 2
__
5
6 __ 5
.
___
10
Solución a cargo del alumno.
2 .
__
5
74
Ecuación de la recta
Toda ecuación de la forma x __ m +
y
__ n = 1 representa una recta
en forma segmentaria.
Los denominadores m y n representan la raíz y la ordenada
al origen, respectivamente.
y
x
n
m
ordenada al origen
x __ m +
y
__ n = 1
abscisa al origen
Para pasar de la ecuación explícita a la segmentaria, se procede de la siguiente manera.
Dada la recta y = 2x – 3 ⇒ 2x – y = 3
2x – y
_____ 3 =
3 __ 3 ⇒
2x ___ 3 +
y
___ –3 = 1 ⇒
x ___3 __ 2
+ y ___ –3 = 1
Para representar gráficamente una función lineal en forma
segmentaria, se determinan sobre los ejes las intersecciones con
la recta y luego se traza la misma.
1
–1
–2
–3
y
2
x ___
3 __ 2
+
y
___ –3 = 1
y = 2x – 3 1
–1 0 1 2 3 x
Ecuación de una recta, dadas la pendiente y un punto de la misma
Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dada su pendiente
(m) y un punto perteneciente a la misma ( x
1
; y
1
).
y – y
1
= m . (x – x
1
)
La ecuación explícita de una recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto (1;3).
y – 3 = 2 . (x – 1) ⇒ y – 3 = 2x – 2 ⇒ y = 2x – 2 + 3 ⇒ y = 2x + 1
Ecuación de una recta dados dos puntos de la misma
Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dados dos puntos
pertenecientes a ella ( x
1
; y
1
) y ( x
2
; y
2
).
y – y 1
______
y 2 – y 1
=
x – x 1
______
x 2 – x 1
La ecuación explícita de una recta que pasa por los puntos (2;1) y (5;3) es:
(2;1) y (5;3) y – 1 _____ 3 – 1 =
x – 2 _____ 5 – 2 ⇒
y – 1
_____ 2 =
x – 2 _____ 3 ⇒ y – 1 = ( 1 __ 3 x – 2 __ 3 ) . 2 ⇒ y = 2 __ 3 x – 4 __ 3 + 1 ⇒ y = 2 __ 3 x – 1 __ 3
x
1
y
1
x
2
y
2
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales.
M: y = a
1
x + b
1
∧ P: y = a
2
x + b
2
∧ M // P ⇔ a
1
= a
2
Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si y solo si sus pendientes son inversas y opuestas.
S: y= a
1
x + b
1
∧ N: y = a
2
x + b
2
∧ S ⊥ N ⇔ a
1
= – 1 __ a
2
INFOACTIVA
3029282726252423222120
75
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Todas las rectas pueden expresarse en forma segmentaria?
b. ¿Por cuáles puntos pasa la recta de ecuación x – 3 _____ –3 =
y – 1
_____ 2 – 1 ?
31. Escriban en forma segmentaria y explícita la ecuación de cada una de las rectas graficadas.
a. c.
–3 –2 –1 0 1 2 3 X
y
6
5
4
3
2
1
–1
–2
y
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–1 0 1 2 3 4 5 X
Forma segmentaria: Forma segmentaria:
Forma explícita: Forma explícita:
b. d.
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 X
y
1
–1
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 X
y
1
–1
Forma segmentaria: Forma segmentaria:
Forma explícita: Forma explícita:
32. Escriban las ecuaciones de las rectas indicadas.
Función f(x) g(x) h(x) k(x)
Pendiente 3 –2 1 __ 4 –
3 __ 2
Punto (2;6) ( –1;– 1 __ 2 ) (0;–2) (0;0)
Ecuación explícita
Ecuación segmentaria
21 ACTIVIDADES Ecuación de la recta
a. No, las que pasan por el origen no pueden expresarse en forma segmentaria. b. Por los puntos (3;1) y (0;2).
x __ 2 +
y
__ 4 = 1
x __ 4 +
y ___ –4 = 1
y = 4 – 2x y = –4 + x
x ___ –3 +
y
__ 1 = 1
x ___ –3 +
y
__ –1 = 1
y = 1 + 1 __ 3 x y = –
1 __ 3 x – 1
y – 6 = 3 . (x – 2)
y = 3x
y + 1 __ 2 = –2 . (x + 1)
y = –2x – 5 __ 2
y + 2 = 1 __ 4 x
y = 1 __ 4 x – 2
y = – 3 __ 2 x
No tiene x ____
– 5 __ 4
+
y
____
– 5 __ 2
= 1 x __ 8 +
y
___ –2 = 1 No tiene
76
33. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál es el valor de la ordenada al origen de la recta x __ 4 +
y
___ –2 = 1?
4 2 –2
1 __ 4
b. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta y – 1 = –3 . (x + 2)?
–1 –3 2 –2
c. ¿Cuál es la abscisa al origen de la recta x __ 2 +
y
__ 3 = 1?
–3 2 1 –6
d. ¿Por cuál de los siguentes puntos pasa la recta de ecuación y – 3 = – 1 __ 2
. (x + 2)?
(–3;2) ( –
1 __ 2 ;0 ) (–3;–2) ( 3; –
1 __ 2 )
e. ¿Cuál es la ecuación en forma explícita de la recta x – 2 _____ 3 =
y – 4
_____ 5 ?
y = 1 __ 3 x – 4 y = x – 2 y =
5 __ 3 x +
2 __ 3 y = 3x + 5
34. Coloquen < o > según corresponda a las ecuaciones de la forma x __ a +
y
__ b = 1 de las rectas graficadas.
a. b. c.
y
x
y
x
y
x
a 0 b 0 a 0 b 0 a 0 b 0
35. Escriban la ecuación de la recta que pasa por los puntos indicados.
a. m = (2;–1) y t = (1;–2) c. s = (0;3) y t = (–1;2)
b. q = (–3;–2) y r = (–1;2) d. u = (1;–2) y p = (3;1)
21 ACTIVIDADES Ecuación de la recta
X
X
X
X
X
> < < > < <
y = x – 3 y = x + 3
y = 2x + 4 y = 3 __ 2 x –
7 __ 2
77
36. Escriban // o ⊥ según corresponda.
a. 3y = x (y + 1) = –3 . (x – 1) e. x ___ –6 +
y
__ 4 = 1 (y + 1) =
2 __ 3
. (x – 3)
b. y – 1 = 2 __ 3 x y = –
3 __ 2 x – 1 f. (y + 1) = 2 . (x – 3)
x ___
1 __ 2
+
y
__ –1 = 1
c. y = 3x – 1 y – 2 = 3 . (x + 1) g. y – 4 = –3 . (x + 1) y = 1 __ 3 x + 7
d. y = –x x __ 2 +
y
___ –2 = 1 h.
1 __ 2 y +
3 __ 4 x = 1 y – 5 =
2 __ 3
. (x – 6)
37. Escriban en forma segmentaria las ecuaciones de las rectas.
a. La recta M pasa por los puntos (2;3) y (–1;0).
b. La recta T es paralela a M y pasa por el punto (–3;1).
c. La recta R es perpendicular a T y pasa por el punto (–3;0).
38. Completen la tabla teniendo en cuenta el punto indicado.
Ecuación de la
recta
Punto
a Recta paralela que pasa por a
Recta perpendicular que pasa
por a
y = 3x + 2 (4;1)
– 1 __ 3 x – y – 3 = 0 (2;0)
y = 5x (–2;–1)
x __ 2 =
y + 3
_____ 8 (6;–2)
–y + 1 = 1 __ 3 x (–3;1)
21 ACTIVIDADES Ecuación de la recta
Ubiquen en un sistema de ejes cartesianos los puntos a = (–2,1), b = (3;2) y c = (1;–2) y
calculen el área del triángulo abc de dos maneras diferentes.
menteACTIVA
⊥ //
⊥ //
// ⊥
⊥ ⊥
x __ –1 + y = 1
x ___ –4 +
y
__ 4 = 1
x ___ –3 +
y
___ –3 = 1
y = 3x – 11 y = – 1 __ 3 x +
7 __ 3
y = – 1 __ 3 x +
2 __ 3 y = 3x – 6
y = 5x + 9 y = – 1 __ 5 x –
7 __ 5
y = 4x – 26 y = – 1 __ 4 x –
1 __ 2
y = – 1 __ 3 x y = 3x + 10
Área = 9 unidades cuadradas
21
78
Función módulo
Se define la función módulo o valor absoluto como:
f(x) = |x| = { x si x ≥ 0 –x si x < 0
f: R → R 0
+
y
1
–1
–3 –2 –1 0 1 2 3 X
Funciones de la forma f(x) = |x + c|
y
2
1
–3 –2 –1 0 1 2 3 X
y
2
1
–3 –2 –1 0 1 2 3 X
Si c > 0, la función |x| queda desplazada c uni-
dades hacia la izquierda.
f(x) = |x + 1|
Si c < 0, la función |x| queda desplazada
|c| unidades hacia la derecha.
f(x) = |x – 2|
Funciones de la forma f(x) = |x| + b
y
2
1
–3 –2 –1 0 1 2 3 X
y
–1
–2
–3 –2 –1 0 1 2 3 X
Si b > 0, la función |x| queda desplazada b uni-
dades hacia arriba.
f(x) = |x| + 1
Si b < 0, la función |x| queda desplazada
|b| unidades hacia abajo.
f(x) = |x| – 2
Para graficar ciertas funciones, se deben redefinir las mismas aplicando la definición de valor absoluto.
f(x) = –2 . |2x – 2| + 3
2x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 2x – 2 < 0 ⇒ x < 1
f(x) = –2 . (2x – 2) + 3 = –4x + 4 + 3 f(x) = –2 . (–2x + 2) + 3 = 4x – 4 + 3
f(x) = –4x + 7 ⇔ x ≥ 1 f(x) = 4x – 1 ⇔ x < 1
f(x) = {–4x + 7 si x ≥ 1 4x – 1 si x < 1
y
3
1
–1
–3 –2 –1 0 1 2 3 X
INFOACTIVA
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
79
22ACTIVIDADES Función módulo
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. La función y = |x| definida de → ¿es inyectiva? ¿Y sobreyectiva?
b. La función y = –2 . |x – 3| + 4, ¿tiene un máximo o un mínimo en su vértice? ¿Qué coordenadas tiene?
Test de comprensión
39. Grafiquen en un mismo sistema de ejes cartesianos los siguientes grupos de funciones.
a. f(x) = |x| h(x) = |x + 2| b. m(x) = |x| o(x) = |x – 3|
g(x) = |x| + 2 i(x) = 2 . |x| n(x) = |x| – 3 p(x) = –3 . |x|
40. Representen las siguientes funciones en un sistema de ejes cartesianos.
a. f(x) = –|x + 3|
b. g(x) = |2x – 2| + 1
c. h(x) = |x + 1| + 3
41. Observen los gráficos, analicen los desplazamientos y escriban la fórmula correspondiente.
a. b.
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 Xy
3
2
1
–1
–2
–3
–3 –2 –1 0 1 2 3 X
y
3
2
1
–1
–2
–3
a. No es inyectiva ni sobreyectiva. b. Un máximo. (3;4)
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
f(x) = |x|
f(x) = |x| + 2
f(x) = 2 . |x|
f(x) = |x + 2|
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
f(x) = |x|
f(x) = |x| – 3
f(x) = |x – 3|
f(x) = –3 . |x|
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
f(x) = –|x + 3|
g(x) = |2x – 2| + 1
h(x) = –|x + 1| + 3
y = |x + 4| – 2 y = –2 . |x| + 1
80
INTEGRACIÓN
42. Escriban las ecuaciones de las siguientes
rectas en forma explícita y segmentaria. Luego,
calculen la distancia de cada una de las rectas al
punto (–3;–2).
a.
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
b.
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
c.
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
3
2
1
–1
43. Calculen la distancia entre la ordenada al origen
y la raíz de cada una de las siguientes rectas.
a. y = 1 __ 2 x – 4 d. y = – x – 5
b. y = –2x + 1 __ 3 e. y – 2 = 3 . (x + 1)
c. y = 4x f. y + 1 __ 2 = –
1 __ 2
. (x – 2)
44. Resuelvan lo pedido en cada caso.
a.
y
–2 –1 0 1 2 3 4 x
2
1
–1
–2
–3
m
t
r
Ecuación de la recta mr.
Distancia D (t,mr) .
Distancia D
(m;r)
.
Área del triángulo mrt.
b.
y
–2 –1 0 1 2 3 4 x
4
3
2
1
–1
f
i
h
g
Ecuación de la recta fg.
Distancia D (h,fg) .
Distancia D
(f;g)
.
Área del paralelogramo fghi.
45. Resuelvan.
Un triángulo queda determinado por la recta
2x – 3y + 1 = 0 y los ejes coordenados. ¿Cuánto
mide el perímetro y el área del triángulo?
y = 2x + 3;
__
5
y = –2x + 1;
__
5
y = –3x – 1;
___
10
a. 4 .
__
5 b.
__
5 ___ 6 c. 0 d. 5 .
__
2 e. 5 .
___
10 ___ 3 f.
__
5 ___ 2
y = 4 __ 3 x –
1 __ 3
14 ___ 5
5
7 u2
y = 3 __ 2 x + 3
5 .
___
13 ______ 13
___
13
5 u2
P =
___
13 +5 ______ 6 unidades; A =
1 ___ 12 unidades cuadradas.
81
19*20*21*22
CONTENIDOS
46. Escriban la ecuación de la recta en forma
explícita, en cada caso.
a. La recta M que pasa por los puntos a = (–3;2)
y b = (1;0).
b. La pendiente de N es 3 y pasa por el punto
c = (0;–2).
c. La recta P es perpendicular a 2x + 3y – 1 = 0
y pasa por el punto d = (1;2).
d. La recta R es paralela a (y – 2) = 1 __ 2
. (x + 2)
y pasa por el punto e = (–2;0).
e. La recta S tiene la misma ordenada al origen
que x ___ –3 +
y
__ 2 = 1 y pasa por f = (–3;–2).
47. Resuelvan en cada caso, teniendo en cuenta
los puntos a = (1;2), b = (3;–4) y c = (6;3).
a. La ecuación en forma segmentaria de la
recta que pasa por b y c.
b. La ecuación de la recta perpendicular a bc,
que pasa por a.
c. La D (a;bc ) .
d. El perímetro del triángulo abc.
e. El área del triángulo abc.
f. La distancia del punto c al eje x.
48. Observen el gráfico de f(x) = –|2x + 3| + 5
y resuelvan.
a. Intersecciones con los ejes.
b. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
c. Intervalos de positividad y negatividad.
d. Máximo o mínimo.
e. Imagen.
f. Dominio y codominio para que sea biyectiva.
y
–4 –3 –2 –1 0 1 2 x
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
49. Escriban las fórmulas de las siguientes fun-
ciones, a partir del gráfico de f(x) = |x|.
a. Se traslada c unidades a la derecha.
b. Se traslada d unidades hacia arriba.
c. Se traslada f unidades hacia abajo y k uni-
dades hacia la derecha.
d. Se traslada h unidades hacia abajo.
50. Escriban la fórmula de cada uno de los
siguientes gráficos, teniendo en cuenta que son
corrimientos de la función f(x) = |x|. Luego, indi-
quen los intervalos de crecimiento, de decreci-
miento, positividad y negatividad.
a.
y
–4 –3 –2 –1 0 1 2 x
4
3
2
1
–1
b.
y
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
3
2
1
–1
c.
y
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
3
2
1
–1
3
capítulo
M: y = – 1 __ 2 x +
1 __ 2
N: y = 3x – 2
P: y = 3 __ 2 x +
1 __ 2
R: y = 1 __ 2 x + 1
S: y = 4 __ 3 x + 2
x ___
33 ___ 7
+
y
___ –11 = 1
y = – 3 __ 7 x +
17 ___ 7
16 .
___
58 ____ 29
2 .
___
10 +
___
58 +
___
26
16 u 2
3
a. Raíces: –4 y 1, ord. al origen 2 b. C = (–∞;–1,5),
D = (–1,5;+∞) c. C + = (–4;1), C – =(–∞;–4) ∪ (1;+∞)
d. Máx = (–1,5;5) e. (–∞;5] f. [–1,5;+∞)→(–∞;5]
a. f(x) = |x – c|; b. f(x) = |x| + d; c. f(x) = |x – k| – f;
d. f(x) = |x| – h
y = |x + 2|, C = (–2;+∞), D = (–∞;–2)
C – = no tiene, C + = (–∞;–2) ∪ (–2;+∞)
y = –|x| + 3, D = (0;+∞), C = (–∞;0) C + = (–3,3),
C – = (–∞;–3) ∪ (3;+∞)
y = |x – 1| + 1, C = (1;+∞), D = (–∞;1)
C – = no tiene, C + =
AUTOEVALUACIÓN
82
3
capítulo
Marquen las opciones correctas
51. ¿Cuál es la imagen de la función y = (x – 3) 2 ?
a. b. + c. [0;+∞) d. (1;+∞)
52. ¿Cuál es la imagen de la función y = |x – 2| – 3?
a. [3;+∞) b. (–∞;3] c. [–3;+∞) d. (–∞;–3]
53. ¿En cuál intervalo es creciente la función y = |x| – 4?
a. (–∞;0) b. (0;+∞) c. (–∞;–4) d. (–4;+∞)
54. ¿En cuál intervalo es negativa la función y = |x – 3|?
a. (–∞;3) b. (–∞;–3) c. (3;+∞) d. Ninguna de las anteriores.
55. ¿Cuál es la pendiente de la recta (y – 4) = –2 . (x – 1)?
a. 2 b. –2 c. –4 d. 1
56. ¿Cuál es la distancia aproximada desde el punto a = (2;0) a la recta x ___ –2 +
y
__ 3 = 1?
a. –3,33 b. 9,23 c. –9,23 d. 3,33
57. Dada la función y – 1 = 2 . (x + 1), ¿cuál de las siguientes rectas es paralela?
a. y = 2x b. y = –2x c. y = x d. y = –x
58. El cuadrado abcd tiene dos vértices ubicados en a = (1;0) y b = (2;3); ¿cuál es su perímetro?
a.
___
10 b. 10 c. 4 .
___
10 d. Ninguna de las anteriores.
X
X
X
X
X
X
X
X
Función cuadrática
Contenidos
23. Función cuadrática.
24. Raíces de una función
cuadrática. Discriminante.
25. Distintas expresiones de la
función cuadrática.
26. Gráfico de una función
cuadrática.
27. Ecuaciones de segundo
grado.
28. La parábola como lugar
geométrico.
29. Ecuación de la parábola.
ca
p
ít
u
lo4
Durante el período helenístico se dio un avance fundamental en la historia
de la matemática. Al cabo de varios siglos, esta se transformó por fin en una
disciplina independiente de la filosofía.
Grandes sabios contribuyeron a esto, como Euclides y Arquímedes. Este
último también desarrolló de manera notable un aspecto de la matemática
hasta entonces poco explorado por los griegos: las aplicaciones prácticas a
problemas concretos. Sin embargo hay un tercer personaje, no tan famoso,
pero no por eso menos importante. Hablamos de Apolonio de Perga, en cuyo
tratado sobre las cónicas introdujo un término que se sigue usando en la
actualidad: la parábola. Se trata de una curva que ya era conocida siglos
atrás, aunque fue Apolonio el primero en estudiarla en profundidad y describir
una propiedad geométrica que todavía se emplea para la construcción de
objetos de gran utilidad, como antenas satelitales o colectores solares.
1. Lean atentamente y resuelvan.
a. ¿Qué cambio fundamental se produjo en el período helenístico?
b. ¿Qué objetos conocen que tengan forma de parábola?
a. En el período helenístico, la matemática pasó a ser una disciplina independiente de la
filosofía y comenzó a aplicársela a problemas concretos.
b. Por ejemplo, las antenas parabólicas y los faros de los autos, entre otros.
22
84
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Función cuadrática
INFOACTIVA
A la función polinómica de segundo grado f(x) = a x 2 + bx + c, siendo a, b, c números reales y a ≠ 0,
se la denomina función cuadrática.
Los términos de la función reciben los siguientes nombres: y = a x 2 + bx + c.
Término Término Término
cuadrático lineal independiente
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.
Funciones de la forma y = a x 2 . Funciones de la forma: y = x 2 + c.
x
4
2
–2
–4
y
–4 –2 0 2 4
y = x2y = –x2
y = 1 __ 3 x
2
x
7
5
3
1
–1
–3
y
–4 –2 0 2 4
y = x2 – 3
y = x2 + 3
y = x2
a > 0 → La parábola “va” hacia arriba. c > 0 → La gráfica se desplaza hacia arriba.
a < 0 → La parábola “va” hacia abajo. c > 0 → La gráfica se desplaza hacia abajo.
0 < |a| < 1 → La parábola se abre.
|a| > 1 → La parábola se cierra.
Funciones de la forma y = a x 2 + bx.
x–6 –4 –2 0 2 4 6
6
4
2
–2
–4
–6
y
y = – 1 __ 2 x
2 – 2x
y = 1 __ 2 x
2 + 2x
y = x2
x–6 –4 –2 0 2 4 6
6
4
2
–2
–4
–6
y
y = – 1 __ 2 x
2 + 2x
y = 1 __ 2 x
2 – 2x
y = x2
Si a y b tienen el mismo signo, la gráfica Si a y b tienen distinto signo, la gráfica
se desplaza hacia la izquierda. se desplaza hacia la derecha.
¿Para qué sirve?
PÁGINA 8
Test de comprensión
23ACTIVIDADES Función cuadrática
Test de comprensión
1. Escriban <, > o = según corresponda, sabiendo que los gráficos corresponden a funciones cuadráticas.
a. De la forma y = a x 2 d. De la forma y = a x 2 + c
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
1
–1
–2
–3
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
3
2
1
–1
a 0 b 0 c 0 a 0 b 0 c 0
b. De la forma y = a x 2 e. De la forma y = a x 2 + bx
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
3
2
1
–1
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
3
2
1
–1
a 0 b 0 c 0 a 0 b 0 c 0
c. De la forma y = a x 2 + c f. De la forma y = a x 2 + bx
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
2
–2
–4
–6
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
1
–1
–2
–3
a 0 b 0 c 0 a 0 b 0 c 0
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En la gráfica de la función y = –2 x 2 , ¿el vértice representa un máximo o un mínimo?
b. Las gráficas de las funciones y = 2 x 2 – x e y = –2 x 2 + x, ¿se desplazan ambas hacia la derecha?
Test de comprensión
85
a. Un máximo, ya que a < 0. b. Sí, hacia la derecha, porque los signos de a y b en ambos casos son distintos.
< = = < = >
> = = > > =
> = < < > =
86
33323130292827262524
Raíces de una función cuadrática. Discriminante
INFOACTIVA
Las raíces de una parábola, y = a x 2 + bx + c, se calculan mediante la fórmula:
x
1,2
= –b ±
________
b 2 – 4ac
______________ 2a
Calculen en forma analítica las raíces de la función y = x 2 – x – 6.
a = 1; b = –1; c = –6 x 1,2 =
–(–1) ±
_______________
(–1) 2 – 4 . 1 . (–6)
_______________________ 2 . 1 =
1 ±
___
25 _______ 2 =
1 ± 5 _____ 2 = { 1 + 5 _____ 2 ⇒ x 1 = 3 1 – 5 _____ 2 ⇒ x 2 = –2
Al radicando b 2 – 4ac se lo llama discriminante, ya que el valor del mismo sirve para discriminar la
naturaleza de las raíces (se lo simboliza con la letra griega Δ, delta).
Δ = b 2 – 4ac
Si Δ > 0 ⇒ Raíces reales distintas.
Si Δ = 0 ⇒ Raíces reales iguales.
Si Δ < 0 ⇒ Raíces no reales.
Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0
x
1
x
2 x
y
La gráfica tiene dos puntos
de intersección con el eje x.
x
1
= x
2 x
y
La gráfica tiene un punto de
intersección con el eje x.
x
y
La gráfica no tiene puntos de
intersección con el eje x.
y = – x 2 – x + 2 y = x 2 + 4x + 4 y = x 2 + 2x + 3
Δ = (–1) 2 – 4 . (–1) . 2 = 9 Δ = 4 2 – 4 . 1 . 4 = 0 Δ = 2 2 – 4 . 1 . 3 = –8
x–3 –2 –1 0 1 2
3
2
1
–1
–2
–3
y
x
1
x
2
x –4 –3 –2 –1 0 1
5
4
3
2
1
–1
y
x
1
= x
2
x –4 –3 –2 –1 0 1
5
4
3
2
1
–1
y
23
87
Test de comprensión
2. Marquen una X donde corresponda.
Ecuación
Discriminante Tipo de raíces
> 0 = 0 < 0 Reales distintas Reales iguales No reales
x 2 +5x – 14 = 0
x 2 + 10x + 29 = 0
x 2 – 6x + 4 = 0
x 2 + 2x + 1 = 0
1 __ 3 x
2 – 2x + 3 = 0
3. Calculen en forma analítica las raíces de las siguientes funciones.
a. y = 4 x 2 – 4x + 1 d. y = x 2 – 6x + 9
b. y = x 2 + 2 .
__
5 x – 1 e. y = 1 __ 2 x
2 – x + 2
c. y = x 2 – 2x + 17 f. y = x 2 + 2x – 2
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. La ecuación x 2 – 2x + 1 = 0, ¿tiene raíces reales? ¿Cómo son esas raíces?
b. Si las raíces de una ecuación cuadrática no son reales, ¿la gráfica corta al eje x?
24 ACTIVIDADES Raíces de una función cuadrática. Discriminante
a. Sí. Iguales. b. No.
X X
X X
X X
X X
X X
x
1
= x
2
= 1 __ 2 x 1 = x 2 = 3
x
1
=
__
5 +
__
6 ; x
2
=
__
5 –
__
6
Raíces no reales.
Raíces no reales. x
1
= 1 +
__
3 ; x
2
= 1 –
__
3
88
Distintas expresiones de la función cuadrática
INFOACTIVA
La función cuadrática puede ser expresada de distintas maneras.
POLINÓMICA
f(x) = a x 2 + bx + c
Se desarrolla el cuadrado
de un binomio.
Se aplica la propiedad
distributiva.
Se buscan las raíces.
Se busca el vértice.
Las raíces x
1
y x
2
de una ecuación de segundo grado (a x 2 + bx + c) y los coeficientes a, b y c de su
forma polinómica se relacionan de la siguiente manera:
x 1 + x 2 = –
b __ a x 1 . x 2 =
c __ a
a x 2 + bx + c = 0 ⇒ a x
2 ___ a +
bx ___ a +
c __ a = 0 ⇒ x 2 +
bx ___ a +
c __ a = 0
Reconstruyan la ecuación de segundo grado cuyas raíces son x 1 = –
3 __ 2 y x 2 =
1 __ 4 .
x 1 + x 2 = –
b __ a ⇒ –
3 __ 2 +
1 __ 4 = –
b __ a ⇒ –
5 __ 4 = –
b __ a ⇒
b __ a =
5 __ 4
x 1 . x 2 =
c __ a ⇒ –
3 __ 2
. 1 __ 4 =
c __ a ⇒
c __ a = –
3 __ 8
} ⇒ x 2 + 5 __ 4 x – 3 __ 8
3433323130292827262524
CANÓNICA
f(x) = a . (x – x
v
) 2 + y
v
El vértice y el eje de simetría se reconocen con
facilidad.
x–6 –4 –2 0 2 4 6
8
6
4
2
–2
–4
y
eje de simetría
eje de simetría
y = (x – 2)2 + 3
y = – 1 __ 2
. (x + 2)2 + 5
v = (–2;5)
x = 2
x = –2
y 1 = –
1 __ 2
. (x + 2) 2 + 5 = – 1 __ 2 x
2 – 2x + 3
Canónica Polinómica
y 2 = (x – 2)
2 + 3 = x 2 – 4x + 7
Canónica Polinómica
FACTORIZADA
f(x) = a . (x – x
1
) . (x – x
2
)
Las raíces se identifican en forma inmediata.
x–6 –4 –2 0 2 4 6
8
6
4
2
–2
–4
y
y = 2 . (x + 1) . (x + 3)
y = – 1 __ 2 x
. (x – 5)
x
1
= –3
x
2
= –1
x
1
= 0
x
2
= 5
y 1 = –
1 __ 2
. (x + 2) . (x + 5) = – 1 __ 2 x
2 – 7 __ 2 x – 5
Factorizada Polinómica
y 2 = 2 . (x – 1) . (x – 3) = 2 x
2 – 8x + 6
Factorizada Polinómica
89
Test de comprensión
25ACTIVIDADES Distintas expresiones de la función cuadrática
4. Escriban en forma canónica la función cuadrática que corresponde en cada caso.
a. El vértice se encuentra en el punto (3;–2) y el coeficiente principal es –1.
b. El vértice de la función es el punto (–3;–1) y pasa por el punto (1;1).
5. Escriban en forma factorizada la función cuadrática que corresponde en cada caso.
a. Las raíces de la función son x
1
= –3 y x
2
= 1, y el coeficiente principal es –2.
b. Pasa por los puntos (2;0), (3;0) y (–1;2).
6. Completen la siguiente tabla.
Forma factorizada Forma polinómica Forma canónica
y = –(x – 2) . (x + 2)
y = 2x 2 + 4x – 6
y = (x + 3) 2
y = 1 __ 2
. (x – 4) 2 – 8
7. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál es el vértice de la función y = 2 . (x + 3) 2 – 4?
(3;–4) (2;–4) (–3;–4) (–2;–4)
b. ¿Cuales son las raíces de la función y = x 2 + x – 6?
x 1 = 2 y x 2 = 3 x 1 = 2 y x 2 = –3 x 1 = –2 y x 2 = 3 x 1 = –2 y x 2 = –3
c. ¿Cuáles son las raíces de la función y = 1 __ 3
. (x – 6) 2 ?
x 1 = 6 y x 2 =
1 __ 3 x 1 = –6 y x 2 =
1 __ 3 x 1 = 6 y x 2 = –6 x 1 = 6 y x 2 = 6
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la función y = –2 . (x – 3) 2 – 2?
b. En la función y = (x + 3) . (x + 1), ¿la abscisa del vértice es 2?
a. El punto (3;–2). b. No; es –2, ya que es el valor medio entre las raíces.
y = –(x – 3) 2 – 2
y = 1 __ 8
. (x + 3) 2 – 1
y = –2 . (x + 3). (x – 1)
y = 1 __ 6
. (x – 2) . (x – 3)
y = –x 2 + 4 y = –x 2 + 4
y = 2 . (x – 1) . (x + 3) y = 2 . (x + 1) 2 – 8
y = x 2 + 6x + 9 y = (x + 3) 2
y = 1 __ 2 x
. (x – 8) y = 1 __ 2 x
2 – 4x
X
X
X
90
25ACTIVIDADES Distintas expresiones de la función cuadrática
8. Completen con la letra que identifica al gráfico que corresponde a cada función.
Gráfico A Gráfico B Gráfico C
–1 0 1 2 3 4 x
y
6
4
2
–2
y
1
–1
–2
–3
–1 0 1 2 3 4 x
y
2
1
–1
–2
–2 –1 0 1 2 x
a. y = – (x – 1) . (x – 3) c. y = (x – 2) 2 + 1 e. y = – (x – 2) 2 + 1
b. y = (x + 2) . (x – 1) d. y = x 2 – 4x + 5 f. y = x 2 + x – 2
9. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), según corresponda. Expliquen las respuestas.
El vértice de f(x) = a . (x – h) 2 + k coincide con una de las raíces de g(x) = a . (x – x
1
) . (x – x
2
), entonces...
a. ... la función f(x) tiene dos raíces iguales.
b. ... la función f(x) es positiva en todo su dominio, menos en x = h.
c. ... el vértice de f(x) es (h;0).
d. ... si x
1
< 0 y x
2
< 0, entonces h > 0.
10. Escriban en forma polinómica cada una de las siguientes funciones cuadráticas.
a. Tiene por raíces a x
1
= –2 y a x
2
= –3, y pasa por el punto (0;6).
b. Pasa por los puntos (0;0), (4;0) y (2;–4).
c. El vértice es el punto (0;–2) y una de las raíces es x
1
= –1.
d. La ordenada al origen es 5 y sus raíces son x
1
= –1 y x
2
= 1.
B A B
C A C
V
F Podría ser negativa,
depende del signo de a.
V
F Debe ser negativo.
y = x 2 + 5x + 6
y = x 2 – 4x
y = 2x 2 – 2
y = – 5x 2 + 5
91
11. Reconstruyan la ecuación de segundo grado que corresponde en cada caso.
a. x
1
= 2 y x
2
= –3 c. x
1
= –1 y x
2
= 0
b. x
1
= 2 y x
2
= –1 d. x
1
= 2 y x
2
= 5
12. Escriban las funciones cuadráticas en la forma indicada.
a. c.
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 x
y
2
1
–1
–2
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 x
y
2
–2
–4
–6
Forma canónica: Forma factorizada:
Forma polinómica: Forma polinómica:
b. d.
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 x
y
2
–2
–4
–6
–1 0 1 2 3 4 5 x
y
1
–1
–2
–3
Forma factorizada: Forma canónica:
Forma polinómica: Forma polinómica:
25ACTIVIDADES Distintas expresiones de la función cuadrática
Una compañía de telefonía celular, de acuerdo con un estudio de mercado, sabe que
el ingreso mensual de la empresa cuando la tarifa es de x pesos mensuales está
dado por la función f(x) = –600x . (x – 300), donde 0 < x < 300.
a. ¿Cuál debe ser la tarifa mensual para que el ingreso sea máximo? ¿Cuál es ese
ingreso?
b. ¿A partir de qué tarifa mensual la empresa comienza a tener pérdidas?
menteACTIVA
x 2 + x – 6 = 0 x 2 + x = 0
x 2 – x – 2 = 0 x 2 – 7x + 10 = 0
y = (x + 3) 2 – 2 y = –x . (x + 3)
y = x 2 + 6x + 7 y = – x 2 – 3x
y = (x + 3) . (x – 1) y = –(x – 2) 2
y = x 2 + 2x – 3 y = – x 2 + 2x – 4
a. $150, $13 500 000 b. A partir de $300.
92
Gráfico de una función cuadrática
INFOACTIVA
Para realizar el gráfico de una parábola, f(x) = a x 2 + bx + c, se deben calcular los elementos de la
misma y luego, representarla.
Raíces de la parábola.
Son los puntos de intersección de la gráfica y el eje x, vale decir que f(x) = 0.
x
1,2
= –b ±
________
b 2 – 4ac
______________ 2a
Vértice de la parábola.
x
v
=
x
1
+ x
2
_______ 2 o x v = –
b ___ 2a y v = f( x v )
Las coordenadas del vértice son: V = ( x v ;f( x v )).
Eje de simetría.
Es la recta que tiene por ecuación x = x v .
x
y
Ej
e
de
s
im
et
ría
Vértice
Punto
simétrico
Raíz
x
2
Ordenada
al origen
Raíz
x
1
Ordenada al origen.
Es el punto de intersección de la gráfica con el eje y, vale decir que f(0) = c.
Punto simétrico a la ordenada al origen con respecto al eje de simetría.
Representen la función f(x) teniendo en cuenta los elementos de la parábola.
f(x) = x 2 – 2x – 3 ⇒ a = 1 ∧ b = –2 ∧ c = –3
Raíces:
x 1 ; x 2 =
–(–2) ±
_______________
(–2) 2 – 4 . 1 . (–3)
_______________________ 2 . 1
= 2 ±
______
4 + 12 ___________ 2
= 2 ±
___
16 _______ 2
= 2 ± 4 _____ 2
x 1 =
2 + 4 _____ 2 = 3 x 2 =
2 – 4 _____ 2 = –1
Vértice:
x v =
–(–2)
_____ 2 . 1 x v = 1
y v = 1
2 – 2 . 1 – 3 y v = –4
V = (1;–4)
x–6 –4 –2 0 2 4 6
6
4
2
–2
–4
–6
y
Ej
e
de
s
im
et
ría
Raíz
x
2
= –1
Raíz
x
1
= 3
Ordenada al origen
(0;–3)
x = 1
y = x 2 – 2x – 3
Punto simétrico
(2;–3)
Vértice
(1;–4)
Eje de simetría: x = 1 Ordenada al origen: (0;–3) Punto simétrico: (2;–3)
3534333231302928272625
93
Test de comprensión
13. Observen los gráficos y completen.
a.
Raíces:
Vértice:
Eje de simetría:
Ordenada al origen:
Intervalo de crecimiento:
Intervalo de decrecimiento:
y
4
3
2
1
–
–1
–2 –1 0 1 2 3 x
b.
Raíces:
Vértice:
Eje de simetría:
Ordenada al origen:
Intervalo de crecimiento:
Intervalo de decrecimiento:
y
4
3
2
1
–
–1
–1 0 1 2 3 4 x
c.
Raíces:
Vértice:
Eje de simetría:
Ordenada al origen:
Intervalo de crecimiento:
Intervalo de decrecimiento:
–1 0 1 2 3 4 x
y
1
–1
–2
–3
–4
26ACTIVIDADES Gráfico de una función cuadrática
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En una función cuadrática, ¿cuál es el punto en el que la parábola pasa de ser creciente a ser
decreciente o viceversa?
b. Si las raíces de una función cuadrática son iguales, ¿cuál es el valor de la abscisa del vértice?
a. El vértice, sea máximo o mínimo, se encuentra en el cambio de crecimiento. b. El mismo valor que el de las raíces.
(–2;0) y (2;0)
(0;4)
x = 0
(0;4)
(–∞;0)
(0;+∞)
(0;0) y (4;0)
(2;4)
x = 2
(0;0)
(–∞;2)
(2;+∞)
(–1;0) y (3;0)
(1;–4)
x = 1
(0;–3)
(1;+∞)
(–∞;1)
94
14. Realicen el gráfico aproximado de cada una de las siguientes funciones y escriban los datos indi-
cados en cada caso.
a. y = x 2 + 2x – 3
Raíces:
Vértice:
Eje de simetría:
Ordenada al origen:
Punto simétrico:
Intervalo de crecimiento:
Intervalo de decrecimiento:
b. y = (x – 3) 2 – 1
Raíces:
Vértice:
Eje de simetría:
Ordenada al origen:
Punto simétrico:
Intervalo de crecimiento:
Intervalo de decrecimiento:
c. y = (x – 3) . (x + 2)
Raíces:
Vértice:
Eje de simetría:
Ordenada al origen:
Punto simétrico:
Intervalo de crecimiento:
Intervalo de decrecimiento:
26ACTIVIDADES Gráfico de una función cuadrática
(–3;0) y (1;0)
(–1;–4)
x = –1
(0;–3)
(–2;–3)
(–1;–∞)
(–∞;–1)
(2;0) y (4;0)
(3;–1)
x = 3
(0;8)
(6;8)
(3;+∞)
(–∞;3)
(–2;0) y (3;0)
( 1 __ 2 ;– 25 ___ 4 )
x = 1 __ 2
(0;–6)
(1;–6)
(–∞;0,5)
(0,5;+∞)
y
1
–1
–2
–3
–4
–4 –3 –2 –1 0 1 x
y
4
3
2
1
–
–1
–1 0 1 2 3 4 x
y
2
–2
–4
–6
–8
–2 –1 0 1 2 3 x
95
15. Completen con la letra que identifica al gráfico correspondiente, sabiendo que las gráficas repre-
sentan funciones de la forma y = ax 2 + bx + c.
Gráfico A Gráfico B
–2 –1 0 1 2 3 4 x
y
4
3
2
1
–1
–2 –1 0 1 2 3 4 x
y
2
1
–1
–2
a. El discriminante negativo. c. a > 0 y b > 0
b. El vértice es un máximo. d. Tiene raíces reales.
16. Marquen las opciones correctas.
a. En la función y = 2 . (x – 2) 2 + 1... c. En la función y = x 2 – 3x...
... el vértice es el punto (2;–1). ... la ordenada al origen coincide con una raíz.
... las raíces no son reales. ... el eje de simetría es x =
1 __ 2 .
... la ordenada al origen es el punto (0;1). ... la imagen es (0;+∞).
... el intervalo de crecimiento es (2;+∞) ... una raíz es x = 3.
b. En la función y = 1 __ 2
. (x – 3) . (x + 4)... d. En la función y = 1 __ 2 x
2 + 2x + 2...
... el eje de simetría es x = –
1 __ 2 . ... las raícesson reales e iguales.
... el intervalo de crecimiento es (–∞;–
1 __ 2 ). ... el vértice es (–2;0).
... las raíces son x 1 = 3 y x 2 = –4. ... el intervalo de crecimiento es (–2;∞).
... la imagen de 2 es 3. ... la ordenada al origen es 2.
26ACTIVIDADES Gráfico de una función cuadrática
Martín juega al básquet. En un entrenamiento, lanza la pelota de modo tal que sigue
la trayectoria descripta por la función f(x) = – x 2 + 5x + 6, donde x representa el tiem-
po en segundos y f(x) la altura a la que se encuentra la pelota en m.
a. Realicen el gráfico correspondiente.
b. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?
c. ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en tocar nuevamente el piso?
d. ¿Desde qué altura lanza Martín la pelota?
menteACTIVA
A A
B B
X
X
X X
X X
X
X X
X
a. Solución a cargo del alumno. b. 12,25 m c. 6 seg d. Desde los 6 m.
96
INTEGRACIÓN
17. Respondan.
a. Si la gráfica de una parábola crece en el
intervalo (–∞;3), ¿cuál es el eje de simetría?
b. Si el eje de simetría de una parábola es
x = 2, ¿cuál punto es el simétrico de (1;3)?
c. Si las raíces de una función cuadrática son
x
1
= –1 y x
2
= 4, ¿cuál es la abscisa del vértice?
d. Si una función cuadrática decrece en el inter-
valo (–∞;3), ¿cuál es el intervalo de crecimiento?
e. Las parábolas, ¿siempre cortan al eje y?
18. Marquen las opciones correctas. Luego,
escriban en forma factorizada cada una de las
funciones marcadas.
¿Cuáles de las siguientes funciones tienen raíces
reales distintas?
a. y = 2x 2 – 3x + 1 d. y = 2x 2 + 7x + 3
b. y = x 2 – 8x + 2 e. y = 4x 2 + 3x – 1
c. y = –x 2 + x – 3 f. y = x 2 + 6x + 9
19. Calculen el valor de t para que cada una de las
siguientes funciones tenga sus raíces iguales.
a. y = x 2 + 4x + t c. y = x 2 – tx + 16
b. y = 9x 2 – tx + 1x d. y = tx 2 + 6x + 9
20. Calculen el valor de k, teniendo en cuenta
las condiciones indicadas en cada caso.
a. Una raíz de la función y = 3x 2 – 10x + k es 3.
b. Las raíces de la función y = –3x 2 – 2x + k
no son reales.
c. Las raíces de la función y = –x 2 + 2x – k son
iguales.
d. Las raíces de la función y = 2x 2 – kx + 2 son
reales.
21. Escriban las funciones en forma canónica e
indiquen las coordenadas del vértice.
a. y = x . (x + 3) d y = –3 . (x – 1) . (x + 1)
b. y = 2 . (x – 1) . (x + 2) e. y = –(x – 3) . (x + 1)
c. y = (x + 3) . (x – 3) f. y = 1 __ 2
. (x – 2) . (x + 4)
22. Escriban la fórmula de una función cuadráti-
ca que cumpla con las condiciones indicadas en
cada caso.
a. Las raíces son reales y distintas.
b. El eje de simetría sea x = 2.
c. Las raíces coinciden con el vértice.
d. El discriminante es negativo.
e. Una raíz es cero.
f. Una raíz coincide con la ordenada al origen.
23. Escriban la función correspondiente a cada
gráfico en forma polinómica.
a.
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
2
1
–1
–2
b.
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
2
1
–1
–2
c.
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
4
3
2
1
a. x = 3, b. (3;3), c. x = 3 __ 2 , d. (3;+∞), e. Sí.
X X
X
Solución a cargo del alumno.
a. 4, b. 6 y –6, c. 8 y –8, d. 1 y –1
a. k = 3 b. k < – 1 __ 3 c. k = 1 d. k (–∞;4] [4;+∞)
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
y = 4 __ 9 x
2 – 4 __ 9 x –
8 __ 9
y = – 8 __ 9 x
2 – 8 __ 9 x +
16 ___ 9
y = x 2 + 4x + 4
97
23*24*25*26
CONTENIDOS
24. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es la función que corresponde a cada gráfico?
a.
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
6
4
2
–1
y = (x – 2) . (x + 3)
y = x . (x + 3)
y = – (x – 2) . (x + 3)
b.
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
2
1
–1
–2
y = 2x 2 + x – 1
y = 2x 2 – x – 1
y = –2x 2 – x – 1
c.
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 x
y
2
–2
–4
–6
y = (x + 3) 2
y = – (x + 3) 2
y = – (x – 3) 2
25. Grafiquen las siguientes funciones e indi-
quen en cada caso las raíces, el vértice, el eje de
simetría, la ordenada al origen, la imagen y los
intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
a. y = –x 2 + 9 d. y = – (x + 3) 2 + 2
b. y = (x + 2) 2 e. y = x 2 + 2x
c. y = x 2 – 4x f. y = 1 __ 2
. (x – 2) . (x + 1)
26. Resuelvan.
a. Realicen el gráfico aproximado de una función
cuadrática, sabiendo que sus raíces son x
1
= (1;0)
y x
2
= (3;0) y la ordenada al origen es positiva.
b. ¿Cuántas funciones cumplen con lo pedido?
c. ¿La función graficada tiene un máximo o un
mínimo?
27. Reconstruyan las ecuaciones cuadráticas a
partir de sus raíces.
a. x
1
= –2 y x
2
= 4
b. x
1
=
__
2 y x
2
= –
__
2
c. x
1
= 1 +
__
3 y x
2
= 1 –
__
3
d. x
1
= 0 y x
2
= – 1 __ 2
e. x
1
= 6 y x
2
= 4
f. x
1
= 3 __ 2 y x 2 = 3
g. x
1
= –2 +
__
3 y x
2
= –2 –
__
3
h. x
1
= – 3 __ 4 y x 2 = 0
28. Resuelvan.
Escriban la forma polinómica y la forma facto-
rizada de una función cuadrática sabiendo que
tiene una raíz en x = 8 y alcanza un mínimo en el
punto (6;–12).
29. Marquen con las opciones correctas.
Dada la función y = (x – 3) 2 + 2.
a. ¿Cuál es el eje de simetría?
x = 3 x = 2 x = –3
b. ¿En qué intervalo crece?
(3;+∞) (–3;+∞) (–∞;3)
c. ¿Cuál es la ordenada al origen?
(0;3) (0;2) (0;11)
4
capítulo
X
X
X
Solución a cargo del alumno.
a. Solución a cargo del alumno. b. Infinitas. c. Mínimo.
x 2 – 2x – 8 = 0
x 2 – 2 = 0
x 2 – 2x – 2 = 0
2x 2 + x = 0
x 2 – 10x + 24 = 0
2x 2 – 9x + 9 = 0
x 2 + 4x + 1 = 0
4x 2 + 3x = 0
a. y = 3x 2 – 36x + 96 b. y = 3 . (x – 4) . (x – 8)
X
X
X
98
Ecuaciones de segundo grado
La forma general de las ecuaciones de segundo grado es:
a x 2 + bx + c = 0 ∧ a ∈ ∧ b ∈ ∧ c ∈ ∧ a ≠ 0
Ecuaciones incompletas
Si b = 0, la ecuación de segundo grado es incompleta de la forma a x 2 + c = 0.
Para resolver este tipo de ecuaciones, se despeja el valor de la x teniendo en cuenta que
__
x 2 = |x|.
x 2 – 16 = 0 –3 x 2 + 27 = 0 1 __ 5 x
2 – 5 = 0
x 2 = 16 –3 x 2 = –27 1 __ 5 x
2 = 5
__
x 2 =
___
16 x 2 = 9 x 2 = 25
|x| = 4
__
x 2 =
__
9
__
x 2 =
___
25
x 1 = 4 ∧ x 2 = –4 |x| = 3 |x| = 5
x 1 = 3 ∧ x 2 = –3 x 1 = 5 ∧ x 2 = –5
Si c = 0, la ecuación de segundo grado es incompleta de la forma a x 2 + bx = 0.
Para resolver este tipo de ecuaciones, se debe tener en cuenta que m . n = 0 ⇒ m = 0 ∨ n = 0.
x 2 – 2x = 0 –5 x 2 + x = 0
x . (x – 2) = 0 x . (–5x + 1) = 0
{ x 1 = 0 x 2 – 2 = 0 ⇒ x 2 = 2 { x 1 = 0 –5 x 2 + 1 = 0 ⇒ x 2 = 1 __ 5
Ecuaciones completas
Si la ecuación es completa, o sea que ninguno de sus coeficiente es igual a cero, los valores de x que
la satisfacen se encuentran aplicando una fórmula en la cual estos intervienen.
a x 2 + bx + c = 0 ⇒ x 1 ,2 =
–b ±
________
b 2 – 4ac
______________ 2a
2 x 2 + x – 3 = 0 ⇒ a = 2 ∧ b = 1 ∧ c = –3
x 1, 2 =
–1 ±
_____________
1 2 – 4 . 2 . (–3)
__________________ 2 . 2 =
–1 ±
______
1 + 24 ___________ 4 =
–1 ± 5 ______ 4 ⇒ x 1 =
–1 + 5 ______ 4 = 1 ∧ x 2 =
–1 – 5 ______ 4 = –
3 __ 2
2 x 2 + 4x + 2 ⇒ a = 2 ∧ b = 4 ∧ c = 2
x 1, 2 =
–4 ±
__________
4 2 – 4 . 2 . 2 ________________ 2 . 2 =
–4 ±
________
16 – 16 _____________ 4 =
–4 ± 0 ______ 4 ⇒ x 1 = x 2 = –1
INFOACTIVA
3635343332313029282726
99
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. La ecuación x 2 + 9 = 0 ¿tiene soluciones reales?
b. La ecuación x 2 + 2x + 1 = 0, ¿cuántas soluciones tiene?
30. Resuelvan las siguientes ecuaciones incompletas.
a. 2x 2 – 50 = 0 g. 4 __ 3 x
2 – 2 __ 3 x = 0
b. x 2 + 49 = 0 h. x 2 – 9 = 0
c. 2x 2 = 3x 2 + 36 i. –x 2 + 1 = 0
d. 3x 2 + 2x = 0 j. 1 __ 2 x
2 – 8 = 0
e. –x 2 – 1 __ 2 x = 0 k. –2x
2 – 1 __ 2 x = 0
f. x 2 = –4x l. 1 __ 2 x
2 – 4x = 0
27 ACTIVIDADES Ecuaciones de segundo grado
a. Raíces no reales. b. Una doble, x
1
= x
2
= –1.
x
1
=5; x
2
= –5 x
1
= 0; x
2
= 1 __ 2
La solución no es real. x
1
= 3; x
2
= –3
La solución no es real. x
1
= 1; x
2
= –1
x
1
= 0; x
2
= – 2 __ 3 x 1 = 4 y x 2 = –4
x
1
= 0; x
2
= – 1 __ 2 x 1 = 0 y x 2 = –
1 __ 4
x = 0; x = –4 x = 0; x = 8
100
31. Planteen la ecuación y respondan.
a. La diferencia entre un número y la mitad de su cuadrado es igual a 0. ¿De qué número se trata?
b. La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos da por resultado 613. ¿Cuáles
son esos números?
c. Si al multiplicar dos números pares consecutivos, se obtiene 1 088, ¿qué números se multiplicaron?
d. El anterior del doble del cuadrado de un número es igual a 7. ¿Cuál es el número?
e. En un cuadrado, la diagonal mide 3 cm más que el lado. ¿Cuánto mide la diagonal? ¿Cuál es el área?
f. ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado mide 5 cm menos que la diagonal?
32. Calculen el perímetro de las figuras sabiendo que el área de cada una es igual a 14 cm 2 .
a. c.
x
x + 5 cm
x – 1 cm
x – 1 cm
b. d.
x
x 7x
27 ACTIVIDADES Ecuaciones de segundo grado
x – 1 __ 2 x
2 = 0; 0 y 2
x 2 + (x + 1) 2 = 613; 17 y 18
2n . (2n + 2) = 1 088; 34 y 32
2 x 2 – 1 = 7; 2 y –2
(l + 3) 2 = 2l; d = 10,24 cm; área = 52,46 cm 2
d 2 = 2 . (d – 5) 2 ; área = 145,71 cm 2
18 cm 20,85 cm
4 .
___
14 cm 20 .
__
2 cm
101
33. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a. x 2 + x – 6 = 0 f.
____
x+ 2 = x – 3
b. x 2 – 2x – 3 = 0 g.
__________
x 2 + 3x + 7 = 5
c. x + x 2 + 1 = 0 h. –3 . (x + 1) 2 + 12 = 0
d. 2x 2 – 8x + 9 = 0 i. 2x . (x – 1) – 3 = x – 3x – 2
e. (x + 2) 2 = x + 2 j. (x + 3) . (6x – 3) + 5 . (9 – 7x) = 22
34. Calculen el valor de k conociendo el valor de una de las raíces de la ecuación.
a. x = 2 es raíz de x 2 – 3x + k = 0 b. x = 3 es raíz de x 2 – kx + 6 = 0
27 ACTIVIDADES Ecuaciones de segundo grado
Calculen el perímetro de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus
lados son números pares consecutivos.
menteACTIVA
2 y –3 7 +
___
21 _______ 2
3 y –1 3 y –6
No son reales. –3 y 1
No son reales.
__
2 ___ 2 y –
__
2 ___ 2
–1 y –2 No son reales.
2 5
x 2 + (x + 2) 2 = (x + 4) 2 . Los lados miden 6, 8 y 10 unidades. Perímetro = 24 unidades.
102
3736353433323130
La parábola como lugar geométrico
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos que están a igual distancia de un punto fijo
llamado foco y una recta fija denominada directriz.
Para construir una parábola dados un foco (f ) y una directriz (D), se pueden seguir estos pasos.
1. Se traza una recta A per-
pendicular a D, que pase por f.
2. Se traza una recta B para-
lela a D entre f y D de modo
que su distancia a f sea menor
o igual que la distancia a D.
3. Con centro en f, se traza
una circunferencia de radio
igual a la distancia entre D y B.
fA
D
fA
D B
fA
D B
4. Se marcan los puntos de
intersección entre la circunfe-
rencia y la recta B.
5. Se repiten los pasos del
2 al 4, considerando cada vez
una recta paralela a D distinta
a B.
6. Se unen los puntos de
intersección entre las rectas y
las circunferencias, obteniendo
así la parábola.
fA
D B
fA
D B
B’’
B’’’B’
fA
D
El vértice de la parábola se encuentra en A en el punto medio entre f y D.
INFOACTIVA
292827
103
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Qué elemento de la parábola es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco?
b. ¿El foco puede pertenecer a la directriz?
35. Construyan la parábola con los datos indicados en cada caso.
a. c.
D
D
b. d.
D
D
28ACTIVIDADES La parábola como lugar geométrico
f
f
f
f
a. El eje de simetría de la parábola; b. No, porque no habría puntos que equidisten de ambos.
28
104
Ecuación de la parábola
Para obtener la ecuación general de una parábola, se elige el sistema de coordenadas de modo que el
vértice tenga coordenadas v = (0;0), y que el eje de simetría coincida con alguno de los ejes de coordenadas.
Si el eje de simetría es el eje x, el foco f = (p;0) y la directriz (D) x = –p, donde p ∈ ∧ p ≠ 0,
la ecuación de la parábola es x =
y2
___ 4p .
|p| es la distancia entre el vértice y el foco o entre el vértice y la directriz.
Si p > 0, el foco
está a la derecha de
la directriz y la pará-
bola tiene sus ramas
hacia la derecha.
x
y
p
D: x = –p
v = (0;0)
f = (p;0)
Si p < 0, el foco
está a la izquierda de
la directriz y la pará-
bola tiene sus ramas
hacia la izquierda.
x
y
p
D: x = pv = (0;0)
f = (–p;0)
Si el eje de simetría es el eje y, el foco f = (0;p) y la directriz (D) y = –p, donde p ∈ ∧ p ≠ 0,
la ecuación de la parábola es y = x
2
___ 4p .
Si p > 0, el foco
está arriba de la
directriz y la parábola
tiene sus ramas hacia
arriba. x
y
p
D: x = –p
v = (0;0)
f = (p;0)
Si p < 0, el foco
está debajo de la
directriz y la parábola
tiene sus ramas hacia
abajo.
x
y
p
D: x = –p
v = (0;0)
f = (–p;0)
Para obtener la ecuación de la parábola conociendo el foco y la directriz se pueden seguir estos pasos.
Obtengan la ecuación de la parábola sabiendo que f = (–3;0) y D: x = 3.
Ecuación general de la parábola: x = y
2
___ 4p Distancia del foco al vértice v = (0;0) es 3 |p| = 3.
p < 0 porque la parábola tiene las ramas hacia la izquierda p = –3
La ecuación de la parábola es: x = y
2
____ –12
Para obtener el foco y la directriz de una parábola conociendo su ecuación, se pueden seguir estos pasos.
Obtengan el foco (f) y la directriz (D) de la parábola y = 3 x 2 .
y = x
2
___ 4p ∧ y = 3 x
2 x
2
___ 4p = 3x
2 ⇒ x
2
__
x2
= 3 . 4p ⇒ 1 = 12p ⇒ p = 1 ___ 12
La parábola tiene sus ramas hacia arriba, porque p > 0.
f = ( 0; 1 ___ 12 ) y la directriz es la recta y = – 1 ___ 12 .
INFOACTIVA
29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
105
29ACTIVIDADES Ecuación de la parábola
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En la ecuación x =
y 2
___ 20 , ¿cuáles son las coordenadas del foco?
b. ¿Cuál es el eje de la parábola 6y = x 2 ?
Test de comprensión
36. Escriban la ecuación de la directriz y de la parábola en cada uno de los siguientes casos.
a. f = (2;0) c. f = (0;4)
b. f = (0;–5) d. f = (–4;0)
37. Escriban en cada caso las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.
a. x 2 = 3y c. x 2 = –7y
b. y 2 = 1 __ 2 x d. y
2 = – 3 __ 2 x
38. Completen la tabla.
Ecuación Foco Directriz Sentido de las ramas
x 2 = 2y
( 3 __ 2 ;0 )
y = 3 __ 8
9x + 2 y 2 = 0
y = – 5 __ 3
a. f(5;0) b. El eje y.
D: x = –2, y 2 = 8x D: y = –4, x 2 = 16y
D: y = 5, x 2 = –20y D: x = 4, y 2 = –16x
p = 3 __ 4 , f = ( 0; 3 __ 4 ) , D: y = – 3 __ 4 p = – 7 __ 4 , f = ( 0;– 7 __ 4 ) , D: y = 7 __ 4
p = 1 __ 8 ; f = ( 1 __ 8 ;0 ) ; D: x = – 1 __ 8 p = – 3 __ 8 ; f = ( – 3 __ 8 ;0 ) ; D: x = 3 __ 8
( 0; 1 __ 2 ) y = –
1 __ 2 hacia arriba
6x = y 2 x = – 3 __ 2 hacia la derecha
–2 x 2 = 3y ( 0;– 3 __ 8 ) hacia abajo
( – 9 __ 8 ;0 ) x =
9
__ 8 hacia la izquierda
20y = 3 x 2 ( 0; 5 __ 3 ) hacia arriba
106
INTEGRACIÓN
39. Resuelvan las siguientes ecuaciones cuadrá-
ticas incompletas.
a. 4x 2 – 3x = 0 g. 6 x 2 – 12 = 0
b. 3x 2 – 48 = 0 h. 4 x 2 = x 2 + 9
c. –8 + x 2 = 0 i. 9x – 5 x 2 = 0
d. 3x 2 – 2x = 0 j. –7 x 2 + 12 = 2 . (1 – x 2 )
e. x + x 2 = 0 k. 10x + 5 x 2 = 13x
f. x 2 – x = 0 l. 4 . (4 x2 – 4) = 4
40. Planteen y resuelvan los siguientes problemas.
a. La diferencia entre el cuadrado de un núme-
ro natural y el cuadrado de su mitad es 192.
¿Cuál es el número?
b. La suma de los cuadrados de dos números
positivos consecutivos es 313. ¿Cuáles son esos
números?
c. Los lados de un rectángulo miden 4 cm y 7 cm,
respectivamente. ¿En cuánto se deben disminuir
los lados para que el área disminuya 10 cm 2 ?
d. Un número más 5 veces su raíz cuadrada da
por resultado 126. ¿De qué número se trata?
e. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuya
diagonal mide 8 cm?
f. En un triángulo rectángulo, las medidas de
los lados son tres números consecutivos.
¿Cuánto mide cada lado? ¿Cuál es el área? ¿Y el
perímetro?
g. La suma de dos números es cero y su pro-
ducto, –4. ¿Cuáles son esos números?
h. En un número de dos cifras la suma de las
mismas es 7 y la suma de sus cuadrados es 29.
¿Cuál es el número?
i. Al multiplicar dos números se obtiene 405 y
al sumarlos, 42. ¿De qué números se trata?
41. Marquen las opciones correctas.
Al doble de un número se lo disminuye en 6, se le
calcula el cuadrado y se le resta 4, obteniendo 0.
¿Qué números cumplen con esta condición?
a. –2 c. 2 e. –4
b. 4 d. –16 f. 16
42. Resuelvan.
a. x 2 + 7x + 10 = 0
b. 2x 2 – 6x – 80 = 0
c. 1 __ 2 x
2 + 4x + 5 = 0
d. x 2 – 5x + 4 = 0
e. 2x 2 + 3 .
__
3 x + 3 = 0
f. x 2 + 2x + 2 = 0
g. x 2 + 36 – 12x + x 2 = 20
h. (x + 5) 2 = 50 – (x – 5) 2
i. (2x + 1) 2 – (2x + 2) = 1
j. x . (4 – x) = 5
k. (3x – 2) 2 : 4 – 1 __ 2
. (3x + 2) 2 = –8
l. x 2 – 2x – 8 = 0
m. 3x . (x – 1) + 2x = 4 . (x – 3) 2
n.
______
2x + 1 = x – 1
43. Grafiquen las parábolas teniendo en cuenta
los datos.
a. {f = (3;0) D: x = 1 c. {f = (–2;0) D: x = 4
b. {f = (0;–2) D: y = 2 d. {f = (0;5) D: y = 2
44. Escriban en cada caso el foco (f) y la ecua-
ción de la directriz (D).
a. 6y = x 2 e. y = – 1 __ 4 x
2
b. –9y = x 2 f. y = 1 __ 6 x
2
c. y 2 = 4x g. x = – y 2
d. –6x = y 2 h. x = – 1 __ 2 y
2
45. Escriban la ecuación de cada una de las
siguientes parábolas a partir del foco, sabiendo
que tienen vértice en el origen de coordenadas.
a. f = (2;0) e. f = (0;–2)
b. f = ( – 1 __ 2 ;0 ) f. f = (–3;0)
c. f = (0;4) g. f = ( 2 __ 3 ;0 )
d. f = ( 0:– 1 __ 3 ) h. f = ( 0; 3 __ 4 )
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
X
X
(2x – 6) 2 – 4 = 0
5 y – 2
–5 y 8
__
6 – 4 y –
__
6 – 4
4 y 1
–
__
3 y –
__
3 ___ 2
Raíces no reales.
4 y 2
0
1 __ 2 y – 1
Raíces no reales.
2 __ 3 y –
14 ___ 3
4 y –2
23 ___ 2 ±
____
385 _____ 2
4
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
a. 8x = y 2 b. –2x = y 2 c. 16y = x 2 d. 4y = –3 x 2
e. –8y = x 2 f. –12x = y 2 g. 8x = 3 y 2 h. 3y = x 2
107
27*28*29
CONTENIDOS
46. Marquen las opciones correctas.
a. Si el punto ( 3 __ 4 ;3 ) pertenece a la parábola
cuya directriz es x = –3, ¿cuál de los siguientes
puntos también pertenece a la parábola?
( – 3 __ 4 ;3 ) ( 3 __ 4 ;–3 )
( 3; 3 __ 4 ) ( –3; 3 __ 4 )
b. Si el foco de una parábola es el punto (–3;0),
¿cuál es la ecuación de la directriz?
y = 3 x = 3
y = –3 x = –3
c. La directriz de una parábola tiene por ecua-
ción x = –3. ¿Cuál es la distancia entre el foco
y la directriz?
3 6
–3 –6
d. ¿Cuál es el sentido de las ramas de la pará-
bola y 2 = –8x?
Hacia arriba. Hacia la izquierda.
Hacia abajo. Hacia la derecha.
e. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene foco
en ( 0; 1 ___ 32 ) y directriz y = – 1 ___ 32 ?
y =
x 2 __ 8 x = 8 y
2
y = –8 x 2 y = 8 x 2
47. Escriban la ecuación de la parábola teniendo
en cuenta la directriz y sabiendo que el vértice
está en el origen de coordenadas.
a. D: y = – 1 __ 2 e. D: x = –
1 __ 2
b. D: y = 3 f. D: y = –1
c. D: x = 3 __ 4 g. D: x = 4
d. D: x = –6 h. D: y = 3 __ 4
48. Escriban la ecuación de la parábola en cada
caso, sabiendo que el punto indicado pertenece
a la misma. Luego, averigüen el foco y la ecua-
ción de la directriz.
a. p = (1;4)
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
3
2
1
b. p = (–1;–3)
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
–1
–2
–3
c. p = ( – 1 __ 2 ;1 )
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
2
1
–1
–2
d. p = (5;–1)
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
2
1
–1
–2
4
capítulo
X
X
X
X
X
a. 2y = 2x 2 b. –12y = x 2 c. –3x = y 2 d. 24x = y 2
e. 2x = y 2 f. 4y = x 2 g. –16x = y 2 h. –3y = x 2
y = 4x 2
y = –3x 2
x = – 1 __ 2 y
2
x = 5y 2
AUTOEVALUACIÓN
108
4
capítulo
Marquen las opciones correctas
49. ¿Cómo se clasifican las raíces de la función y = x 2 + 6x + 9?
a. Reales distintas. b. Reales iguales. c. No reales.
50. Teniendo en cuenta la función y = –3 . (x + 2) 2 – 1, ¿cuáles de los siguientes puntos correspon-
den al vértice?
a. (–3;–1) b. (–3;1) c. (2;–1) d. (–2;–1)
51. En la función y = (x – 3) . (x – 5), ¿cuál es la ecuación que corresponde al eje de simetría?
a. x = 3 b. x = 5 c. x = 4 d. x = –4
52. ¿Cuál es la ecuación que corresponde a la función graficada?
a. y = (x + 2)
2 + 2
b. y = (x – 2)
2 + 2
c. y = (x – 2)
2
d. y = (x + 2)
2 –3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
2
1
–1
53. Si el vértice de una función cuadrática tiene coordenadas (–3;2), ¿cuál es la ecuación del eje de
simetría?
a. x = –3 b. x = 3 c. x = 2 d. x = –2
54. ¿Cuál de los siguientes puntos corresponde al foco de la parábola 4y = x 2 ?
a. (0;1) b. (0;–1) c. (1;0) d. (–1;0)
55. ¿Cuál es la directriz de la parábola –2x = y 2 ?
a. y =
1 __ 2 b. y = –
1 __ 2 c. x =
1 __ 2 d. x = –
1 __ 2
56. ¿Cuál es la función que representa los puntos que equidistan del f = (0;–2) y de la D: y = 2?
a. 2y = 2x 2 b. –2y = x 2 c. 8y = x 2 d. –8y = x 2
X
X
X
X
X
X
X
X
Polinomios
Contenidos
30. Polinomios. Características.
31. Suma y resta de
polinomios.
32. Multiplicación de
polinomios.
33. División de polinomios.
34. La regla de Ruffini.
Teorema del resto.
35. Raíces de un polinomio.
36. Operaciones combinadas.
ca
p
ít
u
lo5
La búsqueda de raíces de polinomios de primer y segundo grado es casi
tan antigua como la escritura. Con mayor o menor claridad, los métodos apa-
recen explicados ya en las tablillas babilónicas, pero la ecuación cúbica es
más difícil y tuvo que esperar mucho más tiempo. Se cuenta que fue resuelta
por un matemático de Bologna llamado Del Ferro en 1506, pero sus escritos
nunca fueron encontrados.
En 1539 Tartaglia, italiano también, reveló sus propios métodos a Cardano,
quien juró no darlos a conocer y, por supuesto, no cumplió. Más tarde, Cardano
atribuyó el descubrimiento original a Del Ferro, calificándolo de “una hazaña
realmente hermosa y admirable”.
El hallazgo, por sí solo, no parece tan descomunal. Sin embargo, el resto
de la cita nos ayuda a entender el porqué de tanta admiración: “Este arte,
verdadero regalo de los dioses, que supera toda sutileza humana posible y
el esplendor de todo ingenio mortal, es una prueba del valor de las inteligen-
cias, y es tan maravillosa que quien la haya logrado puede creer que ya nada
le ha de ser imposible”.
1. Lean atentamente y respondan.
a. ¿Qué forma de calcular las raíces de un polinomio cuadrático conocen?
¿Qué método habrán usado los babilonios?
b. ¿Están de acuerdo con lo que dice Cardano? Después de resolver algo,
¿alguna vez sintieron que “ya nada les ha de ser imposible”?
a. Por ejemplo, la fórmula resolvente. Los babilonios no tenían una fórmula sino que empleaban
el método de completar cuadrados. Se sugiere que los alumnos busquen información.
b. Respuesta abierta. Sin duda, resolver un problema difícil es un gran incentivo para pensar otros
aun más difíciles, pero la misma historia de los polinomiosmostraría, apenas un par de siglos más
tarde, que algunos problemas son verdaderamente imposibles.
29
110
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
Polinomios. Características
Una expresión algebraica es una combinación cualquiera y finita de números, de letras, o de números
y letras, ligados entre sí con la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
3x + 2 4 4x 5 + 6x 3 – 1 __ 4 x
2 +
___
2x x
6 – 10 _______
x 2
Los números son los coeficientes, y las letras, las variables o indeterminadas.
Si la variable no está afectada por una raíz o como divisor, las expresiones algebraicas son enteras
y se denominan polinomios. De los ejemplos anteriores, los dos últimos no son polinomios.
Clasificación de los polinomios
Según la cantidad de términos, un polinomio se denomina:
monomio, si tiene un solo término trinomio, si tiene tres términos
2 __ 5 x
3 ; 2x + 5 – x 4 ;
binomio, si tiene dos términos cuatrinomio, si tiene cuatro términos
5x 2 – 4; 6x 4 + 8x 3 – 5 + x 8 .
Los términos que tienen la misma variable y exponente son semejantes.
Los términos 10x 3 , 2x 3 y –4x 3 son semejantes.
Se denomina grado al mayor exponente que tiene la variable de los términos con coeficientes no nulos.
P(x) = 6x + x 2 – 7x 5 ; grado: 5 Q(x) = 10 – x 3 + x; grado: 3 T(x) = 7; grado: 0
Se llama coeficiente principal al que multiplica a la variable de mayor exponente.
S(x) = –x + 2x 4 – 5x 3 ; coeficiente principal: 2 T(x) = – x 6 – 8x + x 4 ; coeficiente principal: –1
Al polinomio cuyo coeficiente principal es 1, se lo denomina normalizado.
Un polinomio está ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o decreciente res-
pecto de los exponentes de la variable.
F(x) = 2x 4 + x 3 – 2 __ 5 x
2 – 1 __ 3 x + 5 G(x) = 7 + x + 3x
2 – 3 __ 2 x
3 H(x) = x 5 + 2x 2 – 7
Un polinomio está completo si tiene todas las potencias decrecientes del grado.
R(x) = 2x 4 – x 3 + x 2 – 8x + 7; está completo. Q(x) = x 4 – 2 __ 5 x
2 +9; está incompleto.
Para completar un polinomio, se agregan los términos que faltan con coeficiente cero.
M(x) = 2x 5 + x 3 – 8 = 2x 5 + 0x 4 + x 3 + 0x 2 + 0x – 8
N(x) = 8x 4 + 3x 2 = 8x 4 + 0x 3 + 3x 2 + 0x + 0
O(x) = x 5 – 9 = x 5 + 0x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 0x – 9
INFOACTIVA ¿Para qué sirve?PÁGINA 9
Test de comprensión
30ACTIVIDADES Polinomios. Características
Test de comprensión
1. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas es un polinomio?
8 x 2 – 3 x –4 3
___
2x + x 3
__
5 . x 3 + 5 –1 3x + 6 ______ x 2
b. ¿Cuál es el polinomio de mayor grado?
3x + 5 x 2 –5 – 2 x 5 6 x 2 – 4 x 3 8 x 4 – 9
c. ¿Cuál es el coeficiente principal de 4 x 5 – 3 – x 6 + 8?
–1 1 4 6
d. ¿Cuál polinomio se encuentra normalizado?
x 3 – x 4 –x + 1 –x + 3 x 2 3 x 2 + x 3
2. Completen.
Polinomio Clasificación Completo y ordenado Grado Coef. principal
Término
indep.
8 x 2 – 6x – 3 x 3
12 x 6 – 2 – 5 x 6
5 x 2 + x – 2 x 4 – 7
x 2 + 3 x 3 – 5 x 2 – 3 x 3
2x – x 4 + 5
x 2 +
__
5 x – 3 x 3
– x 2 + 3 + x 2 + 2 x 5
3. Escriban un polinomio que cumpla con las condiciones dadas.
a. Un trinomio de grado 3, cuyo coeficiente principal sea 2 y el término independiente, –4.
b. Un binomio de grado 4, normalizado, cuyo término independiente sea 3.
c. Un polinomio completo de grado 2, con coeficiente principal –3 y término independiente, –8.
4. Normalicen los siguientes polinomios.
a. –3 x 2 + 5 x 3 – 10 b. – x 4 + 3 x 2 – 7x c. 2 __ 3 –
1 __ 6 x
2 + x
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. El grado del polinomio 3 x 4 – 5 x 3 + 8, ¿es 3?
b. El polinomio 4 x 2 + 3 x 2 – x + 9, ¿es un trinomio?
Test de comprensión
111
a. No, 3 es el coeficiente principal, el grado es 4. b. Sí, porque 4 x 2 + 3 x 2 = 7 x 2 , entonces quedaría 7 x 2 – x + 9.
X
X
X
X
Trinomio –3 x 3 + 8 x 2 – 6x + 0 3 –3 0
Binomio 7 x 6 + 0 x 5 + 0 x 4 + 0 x 2 + 0x – 2 6 7 –2
Cuatrinomio –2 x 4 + 0 x 3 + 5 x 2 + x – 7 4 –2 –7
Monomio –4 x 2 + 0x + 0 2 –4 0
Trinomio – x 4 + 0 x 3 + 0 x 2 + 2x + 5 4 –1 5
Trinomio –3 x 3 + x 2 +
__
5 x + 0 3 –3 0
Trinomio 2 x 5 + 0 x 4 + 0 x 3 + 0 x 2 + 0x + 3 5 2 3
Solución a cargo del alumno. Por ejemplo, 2 x 3 + 3 x 2 – 4
Solución a cargo del alumno. Por ejemplo, x 4 + 3
Solución a cargo del alumno. –3 x 2 + 2x – 8
( – 3 __ 5 x 2 + x 3 – 2 ) : 5 –1 . ( x 4 – 3 x 2 + 7x) –6 . (–4 + x 2 – 6x)
112
40393837363534333231
Suma y resta de polinomios
La suma de varios monomios semejantes es otro monomio semejante al dado, cuyo coeficiente es
la suma de los coeficientes de los monomios dados.
6x 3 + x 3 + 5x 3 = 12x 3 5x 4 + 2x 4 + 1 __ 2 x
4 = 15 ___ 2 x
4 x + x + x + x = 4x
Para restar dos monomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
P(x) = 4x 6 ∧ Q(x) = –2x 6 ⇒ P(x) – Q(x) = 4x 6 – (–2x 6 ) = 4x 6 + 2x 6 = 6x 6
Reducir un polinomio es sumar o restar sus términos semejantes.
2x 4 + 3x + x 4 – x = 3x 4 + 2x –4x 3 + x 5 – 2 __ 3 x
4 + 2x 4 + 6x 3 = x 5 + 4 __ 3 x
4 + 2x 3
Para sumar varios polinomios entre sí, se completan y ordenan, luego se encolumnan sus términos
semejantes y se suman.
Dados: {P(x) = –3 + 2x 2 + 5x 3 – x 4 Q(x) = –9x 3 + 2x 2 – 4x + 5 Dados: {R(x) = 3x
2 + 2x – 1
T(x) = –x + 5 – 4x 2
P(x) + Q(x) R(x) + T(x)
– x 4 + 5x 3 + 2x 2 + 0x – 3 3x 2 + 2x – 1
+ + 0x 4 – 9x 3 + 2x 2 – 4x + 5 + – 4x 2 – x + 5
————————————— ———————
P(x) + Q(x) = – x 4 – 4x 3 + 4x 2 – 4x + 2 R(x) + T(x) = – x 2 + x + 4
Para restar dos polinomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
Dados: {M(x) = 2x 2 – x + 2 N(x) = 3 x 2 – 1 Dados: {A(x) = 3x – 2x 2 –
1 __ 5 x
3 + 6
B(x) = – 3x 2 + 5x + 4x 4 + 3
M(x) – N(x) A(x) – B(x)
2x 2 – x + 2 0x 4 – 1 __ 5 x
3 – 2x 2 + 3x + 6
+ –3 x 2 + 0x + 1 + – 4x 4 + 0x 3 + 3x 2 – 5x – 3
——————— —————————————
M(x) – N(x) = – x 2 – x + 3 A(x) – B(x) = – 4x 4 – 1 __ 5 x
3 + x 2 – 2x + 3
Para resolver una suma algebraica de polinomios, se opera en el orden en que aparecen los términos.
Dados P(x) = 5x 2 + 3x – 2; Q(x) = – 6x 2 – 4x + 5 y R(x) = 3 x 2 + x – 7
P(x) + Q(x) + R(x) P(x) + Q(x) – R(x)
5x 2 + 3x – 2 5x 2 + 3x – 2
+ – 6x 2 – 4x + 5 + – 6x 2 – 4x + 5
3 x 2 + x – 7 –3 x 2 – x + 7
——————— ————————
P(x) + Q(x) + R(x) = 2 x 2 + 0x – 4 P(x) + Q(x) – R(x) = –4x 4 – 2x + 10
INFOACTIVA
30
113
Test de comprensión
5. Resuelvan las siguientes sumas algebraicas reduciendo a la mínima expresión.
a. x 4 – 3 x 4 – 2 x 4 + 8 x 4 = c. 0,6 x 3 + 1 __ 2 x
3 – 7 __ 3 x
3 =
b.
___
48 x 2 –
___
27 x 2 –
___
12 x 2 = d. – 1 __ 2 x +
3 __ 5 x –
1 __ 3 x =
6. Tengan en cuenta los siguientes polinomios y resuelvan.
A(x) = –5 x 2 + x – 3 B(x) = x 2 + 2 x 4 + 2 C(x) = 2 x 3 – x + 1
a. A(x) + B(x) = d. A(x) – B(x) =
b. A(x) + C(x) = e. B(x) – A(x) =
c. B(x) – C(x) = f. C(x) – B(x) =
7. Resuelvan las siguientes sumas algebraicas de polinomios.
P(x) = –5 x 2 + 3x – 4 x 3 – 1 Q(x) = – x 3 + 1 R(x) = 7x + 5 – 3 x 2 S(x) = 2 – 4 x 2 + 5 x 4 – x 3
a. P(x) – Q(x) – S(x) = d. [R(x) – Q(x)] + [P(x) – S(x)] =
b. P(x) – [Q(x) – S(x)] = e. – [R(x) + S(x) – Q(x)] + P(x) =
c. Q(x) – [R(x) + P(x)] = f. [P(x) + Q(x)] – [R(x) – S(x)] =
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es correcto decir que 7 x 5 + 2 x 5 = 9 x 10 ?
b. Para resolver P(x) – Q(x), ¿se debe sumar el opuesto del polinomio Q(x) al polinomio P(x)?
31 ACTIVIDADES Suma y resta de polinomios
a. No, porquela parte literal debe ser x 5 . b. Sí, P(x) – Q(x) = P(x) + [–Q(x)].
4 x 4 – 7 __ 6 x
3
–
__
3 x 2 – 7 ___ 30 x
2 x 4 – 4 x 2 + x – 1 –2 x 4 – 6 x 2 + x – 5
2 x 3 – 5 x 2 – 2 2 x 4 + 6 x 2 – x + 5
2 x 4 – 2 x 3 + x 2 + x + 1 –2 x 4 + 2 x 3 – x 2 – x – 1
–5 x 4 – 2 x 3 – x 2 + 3x – 4 –5 x 4 – 2 x 3 – 4 x 2 + 10x + 1
5 x 4 – 4 x 3 – 9 x 2 + 3x –5 x 4 – 4 x 3 + 2 x 2 – 4x – 7
3 x 3 + 8 x 2 – 10x – 3 5 x 4 – 6 x 3 – 6 x 2 – 4x –3
114
Multiplicación de polinomios
Para multiplicar dos monomios, se deben multiplicar los
coeficientes y las indeterminadas entre sí, aplicando la regla
de los signos y las propiedades de la potenciación.
5x . 3x = 15x 2 7x 4 . (–5x 4 ) = –35x 8 –6x 3 . 3x = –18x 4 –5x 5 . (–8x 7 ) = 40x 12
Para multiplicar un polinomio por un monomio, se aplica la
propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma
y la resta.
–5x . ( –x 3 + 4x 2 – 2 __ 3 x + 6 ) = –5x . (–x 3 ) – 5x . 4x 2 – 5x . ( – 2 __ 3 x ) – 5x . 6 = 5x 4 – 20x 3 + 10 ___ 3 x 2 – 30x
Para multiplicar dos polinomios, se aplica la propiedad
distributiva, efectuando luego la multiplicación de monomios.
Calcular el producto entre P(x) = x 2 – 4x + 3 y Q(x) = 5x 2 – x.
P(x) . Q(x) = ( x 2 – 4x + 3) . ( 5x 2 – x)
= x 2 . 5x 2 + x 2 . (–x) – 4x . 5x 2 – 4x . (–x) + 3 . 5x 2 + 3 . (–x)
= 5x 4 – x 3 – 20x 3 + 4x 2 + 15x 2 – 3x
P(x) . Q(x) = 5x 4 – 21x 3 + 19x 2 – 3x
Potencia de un monomio
Para resolver la potencia de un monomio, se debe aplicar
la propiedad distributiva de la potenciación respecto de la
multiplicación y la potencia de otra potencia.
(4x) 3 = 4 3 . x 3 = 64x 3 (–2x 3 ) 2 = (–2) 2 . (x 3 ) 2 = 4x 6 ( – 3 __ 5 x 7 )
3 = ( – 3 __ 5 )
3 . ( x 7 ) 3 = – 27 ____ 125 x
21
Cuadrado de un binomio
Al resolver el cuadrado de un binomio, se obtiene un trinomio cuadrado perfecto.
(a + b) 2 = (a + b) . (a + b) = aa + ab + ba + bb = a 2 + 2ab + b 2
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Cuadrado de Trinomio
un binomio cuadrado perfecto
(x – 3) 2 = x 2 + 2 . x . (–3) + 3 2 = x 2 – 6x + 9
Cubo de un binomio
Al resolver al cubo un binomio, se obtiene un cuatrinomio cubo perfecto.
(a + b) 3 = (a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b) 2 . (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 ) . (a + b)
(a + b) 3 = a 2 . a + a 2 . b + 2aba + 2abb + b 2 . a + b 2 . b = a 3 + a 2 b + 2 a 2 b + 2ab 2 + b 2 a + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Cubo de Cuatrinomio
un binomio cubo perfecto
(5 + x) 3 = 5 3 + 3 . 5 . x 2 + 3 . 5 2 . x + x 3 = 125 + 15x 2 + 75x + x 3
4140393837363534333231
INFOACTIVA
x n . x m = x n+m
a . (b ± c) = a . b ± a . c
(a + b) . (c + d) = ac + ad + bc + bd
(a . b) n = a n . b n ∧ (x n ) m = x m . n
115
Test de comprensión
32ACTIVIDADES Multiplicación de polinomios
8. Resuelvan las siguientes multiplicaciones de monomios.
a. –3 x 3 . (–9 x 2 ) = c. – 2 __ 5 x
2 . (–5x) . ( – 1 __ 2 x 3 ) =
b. 1 __ 3 x
5 . (–6x) = d. 0,3 x . ( – 2 __ 3 x 2 )
2
=
9. Apliquen propiedades y resuelvan.
a. (–5 x 3 ) . ( – 1 __ 5 x ) . x = d. (x – 5) . (x – 5) . (x + 5) =
b. (2 x 2 ) 4 . (2 x 2 ) 3 . 2 x 2 = e. (x – 2) . (x + 2) . x =
c. (3 x 5 ) 2 . 3 x 5 + x 15 = f. (x – 1) . (x – 1) . x
2 =
10. Resuelvan las siguientes multiplicaciones.
a. (5 x 2 + 3x – 4) . (–7x) = c. –3 x 3 . ( –x + 1 __ 9 x 2 – 1 ___ 27 ) =
b. 1 __ 2 x
. ( x 3 – 4 __ 3 x + 8 ) = d. 2 __ 5 x 2 . ( 25x – 15 ___ 2 x 3 + 5 x 2 ) =
11. Resuelvan las siguientes multiplicaciones de binomios.
a. (4 x 3 – 2) . (4 x 3 + 2) = c. ( 1 __ 2 x – 3 ) . ( 1 __ 2 x + 3 ) =
b. (2 x 2 + 5) . (2 x 2 + 5) = d. ( 1 __ 4 x 2 – 2 ) . ( 1 __ 4 x 2 – 2 ) =
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierta la igualdad (a – b) 2 = a 2 – b 2 ?
b. ¿Es correcto decir que 4x 3 . (–5 x 3 ) = –20 x 3 ?
a. No, porque la potencia no es distributiva respecto de la resta. b. No, porque al aplicar las propiedades de
potencias de igual base los exponentes se suman.
27 x 5 – x 6
–2 x 6 4 ___ 27 x
5
x 5 x 3 – 25x – 5x 2 + 125
256 x 16 x 3 – 4x
28 x 15 x 3 – 2 x 2 + x
–35 x 3 – 21 x 2 + 28x 3 x 4 – 1 __ 3 x
5 + 1 __ 9 x
3
1 __ 2 x
4 – 2 __ 3 x
2 + 4x 10 x 3 – 3 x 5 + 2 x 4
16 x 6 – 4 1 __ 4 x
2 – 9
4 x 4 + 20 x 2 + 25 1 ___ 16 x
4 – x 2 + 4
116
32ACTIVIDADES Multiplicación de polinomios
12. Tengan en cuenta los polinomios y resuelvan.
P(x) = 2 x 2 + x – 5 Q(x) = 4 x 2 + 3x – x 4 + 4 + 2 x 3 R(x) = x 3 – x S(x) = –x – 2 x 3 + 8 – x 2
a. P(x) . R(x) = d. R(x) . S(x) =
b. Q(x) . P(x) = e. R(x) . Q(x) =
c. S(x) . P(x) = f. S(x) . Q(x) =
13. Resuelvan los siguientes cuadrados y cubos de binomios.
a. ( a 2 + 3) 2 =
b. (–5 + b 3 ) 2 =
c. (–c – 2) 2 =
d. (a + 3) 3 =
e. (4 – b) 3 =
f. (2 c 2 + 4) 3 =
14. Unan cada expresión con su resultado.
a. (a + b) 2 a 2 + 2ab + b 2
b. (a – b) 2 a 3 – 3 a 2 b + 3a b 2 – b 3
c. (–a + b) 2 – a 2 + 2ab – b 2
d. (–a – b) 2 a 3 + 3 a 2 b + 3a b 2 + b 3
e. (a + b) 3 a 2 – 2ab – b 2
f. (–a – b) 3 – a 3 – 3 a 2 b – 3a b 2 – b 3
g. (–a + b) 3 a 2 – 2ab + b 2
h. (a – b) 3 – a 3 + 3 a 2 b – 3a b 2 + b 3
2 x 5 + x 4 – 7 x 3 – x 2 +5x –2 x 6 – x 5 + x 4 + 9 x 3 + x 2 – 8x
–2 x 6 + 3 x 5 + 15 x 4 + 0 x 3 – 9 x 2 – 11x – 20 – x 7 + 2 x 6 + 5 x 5 + x 4 – 3 x 2 – 4x
–4 x 5 – 4 x 4 + 7 x 3 + 20 x 2 + 13x – 40 2 x 7 – 3 x 6 – 9 x 5 – 20 x 4 + x 3 + 25 x 2 + 20x + 32
a 4 + 6 a 2 + 9
25 – 10 b 3 + b 6
c 2 + 4c + 4
a 3 + 9 a 2 + 27a + 27
64 – 48b + 12 b 2 – b 3
8 c 6 + 48 c 4 + 96 c 2 + 64
117
15. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas.
a. (x + y) 3 = (x + y) 2 . (x + y) d. (x – y) 3 = (x – y) 2 . (x + y)
b. (x – y) 2 = (x – y) . (x + y) e. ( x 2 + y 4 ) 3 = x 6 + 3 x 4 y 4 + 3 x 2 y 8 + y 12
c. ( x 2 + y) 2 = ( x 2 – y) . ( x 2 + y) f. (x – y 2 ) 2 = x 2 – y 4
16. Calculen el perímetro y el área de cada figura y escríbanlo en su mínima expresión.
a. Recángulo. c. Cuadrado.
3x2 – 5 2x
2 . (x + 1)
b. Triángulo isósceles. d. Rombo.
x2
6x
4x
32ACTIVIDADES Multiplicación de polinomios
Dado un paralelepípedo con las siguientes dimensiones, calculen las expresiones del volu-
men, el área y la longitud total de las aristas.
2x
3x
5x
menteACTIVA
V F (x – y) 2 . (x – y)
F (x – y) . (x – y) V
F ( x 2 + y) . ( x 2 + y) F x 2 – 2x y 2 + y 4
Perímetro = 8x + 4; Área = 4 x 2 + 4x Perímetro = 12 x 2 –20; Área = 9 x 4 – 30 x 2 + 25
Perímetro = 2 .
__
3 . x 2 , Área =
__
3 ___ 3 x
4 Perímetro = 4 .
___
13 x; Área = 12 x 2
Volumen = 30 x 3
Área = 62 x 2
Longitud total de las aristas = 40x
118
INTEGRACIÓN
17. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuáles de los siguientes son polinomios
normalizados?
1 – x
3 1 __ 2 x
4 + 6
x 2 + x 5 3x + x
2
b. ¿Cuáles expresiones son monomios?
– 1 __ 4 x
3 – 4 x 3 5 x 2 + 3x
–3 x 2 + 1 7 x 4 – x 5 + x 5
c. ¿Cuáles expresiones son polinomios?
__
2 x + 5 0,6 x –1 – 3
___
2x – 8 x
2 __ x – 2
18. Escriban el grado y el coeficiente principal
de cada polinomio.
a. –3x + 7 x 2 – 3 + x 3 c. 4 x 2 – 3 x 5 + 7 + 8 x 3
b. –7x + x 2 – 5 d. 3x + 5x – 2
19. Resuelvan las sumas y restas de monomios.
a. 3 x 2 + 7 x 2 – 8 x 2 + x 2 =
b. –5 x 8 – x 8 + 1 __ 2x
8 – 3 __ 4 x
8 =
c. 0,3x + 3x + 1,2x – 4x =
d. 7 __ 8 x
3 – 1 __ 4 x
3 + 1,5 x 3 =
e. –
___
50 x 4 –
___
18 x 4 +
__
8 x 4 =
f. –
___
54 x 5 +
____
150 x 5 –
__
6 x 5 =
20. Reduzcan los siguientes polinomios.
a. 8 x 2 – 3 x 3 + x – 5 x 2 – x 3
b. x + 7 x 2 – 3x + 9 – 5x
c. 12 x 4 – x 5 + x 3 + x 5 – 9 x 4
d. 6 x 2 + 3x + 5 – 7 x 2 + 2 – x
e. –3 x 3 + 5 x 2 – x 3 – 4 x 2 – 2 x 3
21. Completen y ordenen los polinomios cuando
sea necesario.
a. 5 x 4 – 3 x 3 + 2 x 2 – x 5 + x
b. 7 x 3 + 8 x 2 – 9x + 2
c. 4 – 2x + 4 x 2 – 3 x 3
d. 3 x 3 + 2 x 2 – 6x
22. Dados los siguientes polinomios, resuelvan
las sumas y restas. Luego, indiquen el grado de
cada uno de los polinomios dados y de los
resultados de las operaciones.
M(x) = 5 x 2 + x 3 – 2 R(x) = – x 4 – x + 3
N(x) = – x 3 + 5 S(x) = x 2 – x + 2
a. M(x) + N(x) = f. N(x) – M(x) =
b. R(x) + S(x) = g. S(x) – M(x) =
c. N(x) + R(x) = h. S(x) – R(x) =
d. M(x) + S(x) = i. R(x) + R(x) =
e. R(x) – N(x) = j. R(x) – S(x) =
23. Resuelvan las sumas algebraicas, teniendo
en cuenta los polinomios dados.
A(x) = x 4 – 2 x 3 + 5 – x
B(x) = – x 2 + x – 2
C(x) = – x 4 – 2 x 3 + x – 3
D(x) = 2 x 3 – x – x 2
a. D(x) – [A(x) – B(x)] =
b. A(x) + [C(x) + D(x)] =
c. B(x) – [A(x) + C(x)] =
d. [D(x) + B(x)] – C(x) =
e. [A(x) + B(x)] – [C(x) + D(x)] =
f. [A(x) – C(x)] + [B(x) – D(x)] =
g. – [A(x) – D(x) – B(x)] – [C(x) + B(x)] =
h. [A(x) + C(x) – B(x)] – [D(x) – B(x)] =
24. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál de las expresiones equivale a (a 4 – b 2 ) 2 ?
a 8 – b 4 a 8 – 2 a 4 b 2 + b 4
a 6 – b 4 a 6 – 2 a 4 b 2 + b 4
b. ¿Cuál es el producto de (2x 2 + 1) . 2x 3 ?
4x 5 + 2x 3 4x 6 + 2x 3
2x 2 + 2x 3 6x 8
c. ¿Cuál es el producto de (x – 1) . (x + 1)?
x 2 + 2x + 1 x 2 + 1
x 2 – 2x + 1 x 2 – 1
X X
X
X
X
X
a. 3; 1 b. 2; 1 c. 5; –3 d. 1; 8
3 x 2
– 25 ___ 4 x
8
– 5 __ 9 x
17 ___ 8 x
3
–6 .
__
2 x 4
__
6 x 5
3 x 2 – 4 x 3 + x
7 x 2 – 7x + 9
3 x 4 + x 3
– x 2 + 2x + 7
–6 x 3 + x 2
– x 5 + 5 x 4 – 3 x 3 + 2 x 2 + x + 0
Está completo y ordenado.
–3 x 3 + 4 x 2 – 2x + 4
3 x 3 + 2 x 2 – 6x + 0
Solución a cargo del alumno.
– x 4 + 4 x 3 – 2 x 2 + x – 7
–2 x 3 – x 2 – x + 2
4 x 3 – x 2 + x – 4
x 4 + 4 x 3 – 2 x 2 – x + 1
2 x 4 – 2 x 3 + 6
2 x 4 – 2 x 3 + 6
g. 6 x 3 – x 2 – x – 2 h. –6 x 3 + x 2 + x + 2
X
X
X
119
30*31*32
CONTENIDOS
25. Resuelvan.
¿Cuál es el valor de a para que la multiplicación
entre...
a. ... (x 2 + ax – 1) y (x + 2), dé por resultado
(x 3 + 5x 2 + 5x – 2)?
b. ... (x – 3) y (3x 3 + ax 2 – 5), dé por resultado
(3x 4 – 27x 2 – 5x + 15)?
c. ... (x 4 – 2x 3 + 3ax 2 – xa) y (x – 1), dé por
resultado (x 5 – 3x 4 – 13x 3 + 20x 2 – 5x)?
26. Escriban el polinomio reducido que expresa
el perímetro de cada figura.
a.
d
b
c
a
___
ad = 3x 2 + 4x – 5
__
ab = 2x 2 – 3x + 2
b.
d
m
b
c
a
___
ad = 2x 2 + x – 2
___
am = x
__
dc = 3x 2
c. c
ba
___
ab = 5x 2 + 8
__
bc = 3x 2 + 2x – 4
27. Tengan en cuenta los siguientes polinomios
y resuelvan.
A(x) = x 2 + 4x – 12 B(x) = –x 2 + x + 3
C(x) = x 2 + 2 D(x) = –x + 5
a. A . B = f. D . D =
b. B . C = g. (–A) . A =
c. C . D = h. C . A =
d. D . A = i. B . C . D =
e. B . (–D) = j. (C . D) 2 =
28. Escriban el polinomio reducido que expresa
el área de cada figura.
a.
d
o
b
c
a
___
ab = 2x + 1
___
do = 3x – 2
b.
d
b
ca
__
ac = 5x – 1
___
bd = 3x + 2
c.
d
o
b
c
a
__
cd = 5x 2 + 2
___
do = 2x
___
ao = 3x – 1
d.
c
o
ba
___
ab = x + 2
__
co = 4x – 1
29. Resuelvan las operaciones combinadas.
a. (3x + 1) . (2x + 2) – (6x 2 + 4) =
b. (5x – 3) . (2x – 3) + 2 . (–5x 2 –7) =
c. 3x 2 . (2x 2 + 3) + (–x 3 + 7) =
d. (–2x 3 ) . (x 2 – x) – 3 . (x 5 – x 4 ) + x 2 =
e. –8x 3 . (–x + 2) + (x 2 – 1) + 16x 3 =
f. (3x 2 + x) . (3x 2 – x) – 3x . ( x 3 + 1 __ 3 ) + (x 2 + x) =
g. (4x + 2) 2 + (4x – 2) 2 =
h. (x 2 – 1) 3 + (x – 1) 3 =
5
capítulo
a. a = 3 b. a = 9 c. a = –5
10x 2 + 2x – 6
10x 2 + 4x – 4
11x 2 + 4x
a. –x 4 – 3x 3 + 19x 2 – 36 b. –x 4 + x 3 + x 2 + 2x + 6
c. –x 3 + 5x 2 – 2x + 10 d. –x 3 + x 2 + 32x – 60
e. –x 3 + 6x 2 – 8x – 15 f. x 2 – 10x + 25
g. –x 4 – 8x 3 + 8x 2 + 96x – 144 h. x 4 + 4x 3 – 10x 2 + 8x – 24
i. x 5 – 6x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 4x + 30
j. x 6 – 10x 5 + 29x 4 – 40x 3 + 104x 2 – 40x + 100
Área: 6x 2 – x – 2
Área: 7,5x 2 + 3,5x – 1
Área: 10 x 3 + 6 x 2 + 2x
Área: 2x 2 + 3,5x – 1
a. 8x – 2 b. –21x – 5 c. 6x 4 + 9x 2 – x 3 + 7
d. –5x 5 + 5x 4 + x 2 e. 8x 4 + x 2 – 1 f. 6x 4 g. 32x 2 + 8
h. x 6 – 3x 4 + x 3 + 6 x 2 – 3x – 2
120
División de polinomios
Para dividir dos monomios, se deben dividir los coeficientes y las indeterminadas entre sí, aplicando
la regla de los signos y las propiedades de la potenciación.
x m : x n = x m – n
(10 x 3 ) : (5x) = (10 : 5)( x 3 : x) = 2 x 2 (–10 x 8 ) : (3 x 5 ) = (–10 : 3) ( x 8 : x 5 ) = – 10 ___ 3 x
3
Para dividir un polinomio por un monomio, se aplica la propiedad distributiva.
(a ± b) : c = a : c ± b : c
(12 x 6 + 36 x 4 – 6 x 3 + 42x) : (–6x) = 12 : (–6) ( x 6 : x) + 36 : (–6) ( x 4 : x) – 6 : (–6) ( x 3 : x) + 42 : (–6) (x : x)
= –2 x 5 – 6 x 3 + x 2 – 7
Para dividir dos polinomios, se deben cumplir las siguientes condiciones.
El grado del polinomio dividendo debe ser mayor o igual que el grado del polinomio divisor.
El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado en forma decreciente.
El polinomio divisor debe estar ordenado en forma decreciente.
Dividendo Divisor
P(x) Q(x)
P(x) = C(x) . Q(x) + R(x)
R(x) C(x)
Resto Cociente
Dados {P(x) = 2x – 5 + 4 x 4 Q(x) = –2x + x 2 hallar P(x) : Q(x).
El dividendo debe estar completo y ordenado: P(x) = 4 x 4 + 0 x 3 – 10 x 2 + 0x – 5
El divisor debe estar ordenado: Q(x) = x 2 – 2x
4 x 4 + 0 x 3 – 10 x 2 + 0x – 5 x 2 – 2x
4 x 2 . ( x 2 – 2x) –(4 x 4 – 8 x 3 ) 4 x 2 + 8x + 6 Cociente: C(x)
——————
0 x 4 + 8 x 3 – 10 x 2
8x . ( x 2 – 2x) –(8 x 3 – 16 x 2 ) 4 x 4 : x 2 = 4 x 2
—————————
0 x 3 + 6 x 2 + 0 x 8 x
3
: x
2
= 8x
6 . ( x 2 – 2x) –(6 x 2 – 12x) 6 x 2 : x 2 = 6
—————————
0 x 2 + 12x – 5
Resto: R(x)
Se termina la cuenta porque el grado es menor que el grado del divisor.
C(x) = 4 x 2 + 8x + 6 R(x) = 12x – 5
INFOACTIVA
4241403938373635343332
121
Test de comprensión
30. Resuelvan las siguientes divisiones entre monomios.
a. ( – 5 __ 3 x 6 ) : 10 ___ 3 x 4 = c. ( – 1 __ 4 x 3 ) : 2x =
b. ( –27x 8 ) : ( – 9 __ 2 x 3 ) = d. 3 ___ 16 x 9 : ( – 1 __ 4 x 8 ) =
31. Resuelvan las siguientes divisiones.
a. (15x 7 + 20x 5 – 10x 2 ) : (5x 2 ) =
b. ( –3 x 5 + 6x 3 – 2 __ 5 x 2 ) : ( – 1 __ 2 x ) =
c. ( 2 __ 3 x 9 – 0,6 x 7 + 4 __ 5 x 5 ) : ( – 1 __ 3 x 3 ) =
d. (12x 8 – 8x 7 + 16x 5 – x 4 ) : (–8x 4 ) =
32. Calculen el cociente y el resto de las siguientes divisiones.
a. ( 2x 3 – 10x 2 + 8x – 6) : (2x – 1) = c. (– 5x 3 + 3x 2 – x + 1) : ( x 2 + 2) =
b. ( 3x 4 + 12x 2 – 9x – 3) : (x 2 + x) = d. ( 12x 7 – 10x 5 + 8x 4 – 4x 2 ) : ( x 3 + x 2 ) =
33. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál es el cociente de ( – 1 __ 4 x 3 ) : ( – 3 __ 4 x ) ?
1 __ 3 x
2 1 __ 3 x
3 1 __ 3 x
4
b. ¿Cuál es el cociente de (16x 4 – 12x 3 + 8x 2 – 20x) : (4x)?
4x4 – 3x 3 + 2x 2 – 5x 4x 3 – 3x 2 + 2x – 5 4x 3 – 3x 2 + 2x – 5x
c. ¿Cuál es el resto de la división (x 3 + 1) : (x 2 + 1)?
x – 1 –x + 1 x + 1
33ACTIVIDADES División de polinomios
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si se aplica la propiedad distributiva en la división (4x 3 – x) : (2x), ¿el resultado es 2x 2 – 1 __ 2 x?
b. En una división de polinomios, ¿cómo se debe ordenar el polinomio dividendo?
a. No, porque x : x da por resultado 1, lo correcto es 2x 2 – 1 __ 2 . b. Se debe ordenar en forma decreciente.
– 1 __ 2 x
2 – 1 __ 8 x
2
6x 5 – 3 __ 4 x
3x 5 + 4x 3 – 2
6x 4 – 12x 2 + 4 __ 5 x
–2x 6 + 2x 4 – 12 ___ 5 x
2
– 3 __ 2 x
4 + x 3 – 2x + 1 __ 8
Cociente: x 2 – 9 __ 2 x +
7 __ 4 , Resto: –
17 ___ 4 Cociente: –5x + 3, Resto: 9x – 5
Cociente: 3x 2 – 3x + 15, Resto: –24x – 3 Cociente: 12x 4 – 12x 3 + 2x 2 + 6x – 6, Resto: 2x 2
X
X
X
122
La regla de Ruffini. Teorema del resto
La regla de Ruffini es un método práctico que se utiliza para dividir un polinomio P(x) por otro cuya
forma sea x + a.
Dados P(x) = 2 x 3 + 3x – 1 y Q(x) = x + 2 hallar P(x) : Q(x), aplicando la regla de Ruffini.
El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado.
Se escriben alineados los coeficientes del dividendo.
El coeficiente principal se “baja” sin ser modificado;
luego se lo multiplica por el opuesto del término indepen-
diente del divisor y se suma con el segundo coeficiente; así
sucesivamente hasta llegar al resto.
Los números que se obtienen son los coeficientes del
cociente y el último valor es el resto.
El polinomio cociente es un grado menor que el polino-
mio dividendo.
(3 x 3 – 2 x 2 – 2) : (x – 1) (– x 5 + 12 x 3 – 15 x 2 – 16) : (x + 4)
3 x 3 – 2 x 2 + 0x – 2 Dividendo – x 5 + 0 x 4 + 12 x 3 – 15 x 2 + 0x – 16 Dividendo
3 –2 0 –2 –1 0 12 –15 0 –16
1 3 1 1 –4 4 –16 16 –4 16
3 1 1 –1 –1 4 –4 1 –4 0
Cociente 3 x 2 + 1x + 1 Cociente – x 4 + 4 x 3 – 4 x 2 + x – 4
Resto –1 Resto 0
Teorema del resto
El resto de la división de un polinomio por otro de la forma x + a es el valor que resulta de reem-
plazar la variable del dividendo por el valor opuesto al término independiente del divisor.
Dados P(x) = 3 x 3 – 2 x 2 – 2 y Q(x) = x – 1 Dados P(x) = – x 5 + 12 x 3 – 15 x 2 – 16 y Q(x) = x + 4
El resto de la división P(x) : Q(x) se obtiene: El resto de la división P(x) : Q(x) se obtiene:
P(1) = 3 . (1) 3 – 2 . (1) 2 – 2 P(–4) = –(–4) 5 + 12 . (–4) 3 – 15 . (–4) 2 – 16
P(1) = 3 – 2 – 2 = –1 P(–4) = 1024 – 768 – 240 – 16 = 0
El resto de la división es –1. El resto de la división es 0.
INFOACTIVA
4342414039383736353433
Dividendo Divisor
2 x 3 + 0 x 2 + 3x – 1 x + 2
2 0 3 –1 Cálculos auxiliares
(–2) . 2 = –4
+ (–2) . (–4) = 8
(–2) . 11 = –22
–2 –4 8 –22
2 –4 11 –23
C(x) = 2 x 2 – 4x + 11 R(x) = –23
Cociente Resto
123
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cómo debe ser el polinomio divisor para poder aplicar la regla de Ruffini?
b. Para aplicar la regla de Ruffini, ¿el dividendo debe estar ordenado, sin importar si está completo?
34. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál es el resto de la división (–x 3 – 4x + 5) : (x – 2)?
–9 –7 1 21
b. ¿Cuál de las siguientes divisiones es exacta?
(x 3 – 1) : (x + 1) (x 3 – 1) : (x – 1) (x 3 – 2) : (x + 2) (x 3 – 2) : (x – 2)
35. Resuelvan usando la regla de Ruffini y verifiquen usando el teorema del resto.
a. (5x 3 – 2x 2 + x – 3) : (x + 1) = d. (2 x 4 – 4x 2 + x – 8) : (x – 2) =
b. (x 5 – 3x 3 + 4x 2 – x + 2) : (x – 1) = e. ( x 6 + 4x 5 – 7x 3 – 3) : (x + 1) =
c. (x 3 – x 2 – 12x + 12) : (x – 1) = f. (–2x 5 – 4x 3 – x 2 – 80) : (x + 2) =
36. Calculen el resto de las siguientes divisiones aplicando el teorema correspondiente.
a. (–x 5 – 3x 3 + 4x + 7) : (x – 3) = c. ( 4 x 5 – 3 x 4 – 2 x 3 + 1 __ 2 x – 1 ) : (x – 2) =
b. (2x 6 – x 3 + x 2 – 3) : (x + 1) = d. (–5 x 8 + 3 x 2 – x + 6) : (x – 1) =
34 ACTIVIDADES La regla de Ruffini. Teorema del resto
a. Debe tener la forma x ± a. b. No, el dividendo debe estar completo y ordenado en forma decreciente.
X
X
Cociente: 5x 2 – 7x + 8, Resto: –11 Cociente: 2x 3 + 4x 2 + 4x + 9, Resto: 10
Cociente: x 4 + x 3 – 2x 2 + 2x + 1, Resto: 3 Cociente: x 5 + 3x 4 – 3x 3 – 4x 2 + 4x – 4, Resto: 1
Cociente: x 2 – 12, Resto: 0 Cociente: –2x 4 + 4x 3 – 12x 2 + 23x – 46, Resto: 12
–305 64
1 3
124
Raíces de un polinomio
Una función de la forma f(x) = a
n
x n + a
n – 1
x n – 1 + ... + a
2
x 2 + a
1
x + a
0
, siendo n un número natural
y a
n
, a
n – 1
, ..., a
2
, a
1
, a
0
, números reales, es una función polinómica.
Si a n ≠ 0, entonces la función es de grado n.
El dominio de las funciones polinómicas es el conjunto de los números reales.
Las funciones polinómicas son continuas.
Función Grado
5 x 4 + 2 x 3 – 3 x 2 + 4x – 10 Cuatro
9 x 3 – 4 Tres
5x + 4 Uno
46 Cero
Se llama orden de multiplicidad de una raíz a la cantidad de veces que esa raíz se repite como tal.
Para determinar el comportamiento de una función polinómica respecto del eje x (eje de las absci-
sas), se debe conocer la forma factorizada del polinomio, f(x) = a
n
. ( x – x 1 ) . ( x – x 2 ) ... ( x – x n – 1 ) . ( x – x n ),
y determinar el orden de multiplicidad de sus raíces.
INFOACTIVA
Si el orden de multiplicidad de la raíz es par,
la gráfica de la función toca el eje x, pero no lo
atraviesa.
x
y
Raíz de orden par
f(x) = (x – 2) 2
x = 2 es una raíz de orden par.
La gráfica toca el eje x y “rebota”.
y
x –1 0 1 2 3 4 5 6
4
3
2
1
x = 2 Raíz de orden par
Si el orden de multiplicidad de la raíz es
impar, la gráfica de la función atraviesa el eje x.
x
y
Raíz de orden impar
f(x) = (x + 1) 3
x = –1 es una raíz de orden impar.
La gráfica atraviesa el eje de abscisas y lo
“corta”.
y
x –3 –2 –1 0 1 2 3 4
2
1
–1
–2
x = –1 Raíz de
orden impar
4443424140393837363534
125
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si el orden de la multiplicidad de la raíz es par, ¿la gráfica de la función atraviesa al eje x?
b. Para que dos polinomios sean divisibles, ¿cuál debe ser el resto de la división entre ellos?
37. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál de las gráficas corresponde a la función indicada en cada caso?
a. f(x) = (x – 2) . (x + 4) 2 . (x + 3) 2
–4 –3 2
y
x –4 –3 2
y
x –4 –3 2
y
x
b. g(x) = x . (x – 1) 2 . (x + 2)
–2 1
y
x –2 1
y
x –2 1
y
x
38. Indiquen en cada gráfico cuáles son las raíces y el orden de multiplicidad de las mismas.
a. c.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y
x
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y
x
b. d.
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y
x
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y
x
35ACTIVIDADES Raíces de un polinomio
a. No, la gráfica rebota. b. Cero.
X
X
Raíces: –4, –2, 0, 1, 3 Raíces: –3, –2, 0, 3
Orden de multiplicidad: Impar: –4, –2, 0; Par: 1, 3 Orden de multiplicidad: Impar: –2, 0, 3; Par: –3
Raíces: –5, –3, 3, 4 Raíces: –3, –2, 0, 3
Orden de multiplicidad: Impar: –3, 3; Par: –5, 4 Orden de multiplicidad: Impar: –2, 0, 3; Par: –3
35
126
Operaciones combinadas
Para resolver operaciones combinadas entre polinomios, se deben tener en cuenta los mismos pro-
cedimientos y propiedades que con los números reales. Resuelvan como cálculos auxiliares las opera-
ciones más complejas.
Dados { P(x) = x 3 – 125 Q(x) = x 2 + 5x + 25 R(x) = x 2 + 3x – 1 calculen P(x) : Q(x) – 2 . R(x).
( x 3 – 125) : ( x 2 + 5x + 25) – 2 . ( x 2 + 3x – 1) =
(x – 5) – 2. ( x 2 + 3x – 1) =
x – 5 – 2 x 2 – 6x + 2 =
= –2 x 2 – 5x – 3
Cálculos auxiliares
x 3 + 0 x 2 + 0x – 125 x 2 + 5x + 25
–( x 3 + 5 x 2 + 25x) x – 5 Cociente—————————————
0 x 3 – 5 x 2 – 25x – 125
–(–5 x 2 – 25x – 125)
—————————————
0 x 2 + 0x + 0
/
Siempre que sea posible, se deben cancelar los términos opuestos para simplificar las operaciones.
Dados { P(x) = x + 2 Q(x) = x – 3 R(x) = x 2 – 2x + 1 calculen P(x) . Q(x) – R(x).
(x + 2) . (x – 3) – ( x 2 – 2x + 1) =
( x 2 – 3x + 2x – 6) – ( x 2 – 2x + 1) =
x 2 – x – 6 – x 2 + 2x – 1 =
= x – 7
En algunos casos, aparecen divisiones que pueden resolverse utilizando la regla de Ruffini.
Dados {P(x) = x 3 – 2 x 2 + x + 4 Q(x) = x + 1 calculen P(x) : Q(x) – [Q(x)] 2 .
( x 3 – 2 x 2 + x + 4) : (x + 1) – (x + 1 ) 2 =
( x 2 – 3x + 4) – ( x 2 + 2 . x . 1 + 1 2 ) =
( x 2 – 3x + 4) – ( x 2 + 2x + 1) =
x 2 – 3x + 4 – x 2 – 2x – 1 =
= –5x + 3
Cálculos auxiliares
P(x) : Q(x) = ( x 3 – 2 x 2 + x + 4) : (x + 1)
1 –2 1 4
–1 –1 3 –4
1 –3 4 0
Cociente: x 2 – 3x + 4
INFOACTIVA
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Para repasar las
operaciones de
polinomios
pueden volver a
las páginas 112,
114, 120 y 122.
127
36 ACTIVIDADES Operaciones combinadas
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que 2x + 2x . (x + 2) = 4x . (x + 2)?
b. La suma (x + 1) 2 + (x + 1) 2 , ¿se puede escribir como [ (x + 1) 2 ] ] 2 ?
Test de comprensión
39. Resuelvan las siguientes operaciones.
a. 4x . (x 5 – x 3 + 2x) + 3x 4 – 5x 6 = f. –(x 6 – 5x 4 + 2x) . 2x – 2x . (x + x 3 ) =
b. –x . (3x 6 + 8x 9 – x) – (3x 2 – 5x 10 ) = g. 7 . (x 2 + x 3 ) – 3x . (x + 2x 2 ) – 8x 3 =
c. –5x . (4x 3 + 3x 2 ) + 3x 2 . (7x + x 2 ) = h. –2x . (x 3 – x 4 + 5x) – 4x 2 . (x 2 + 3x) + 6x 4 =
d. 4x 2 . (x 3 – x 2 + x) – 3x . (–x 4 + x) = i. –(x 3 + 3x 2 – 5x + 4) + (x 3 – 1) . 5x + 3x 2 =
e. (x + 4) . (x 2 – 5) – x . (x 3 – x 2 + 1) = j. ( 1 __ 5 x + x 2 ) . (5x – 1) – ( 1 __ 5 x – 2 ) . 5x =
40. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es el resultado de cada uno de los siguientes cálculos combinados entre polinomios?
a. (x – 4) 2 + 3x =
x 2 – 5x + 16 x 2 – 8x + 16 x 2 + 3x – 16 x 2 + 11x + 16
b. 4x . (x 2 – x + 2) – 4x 3 + x 2 =
8x 3 – 3x 2 + 8x –3x 2 + 8x 3x 2 – 8x –8x 2 + 8
c. (x + 3) 2 – (x – 3) 2 =
2x 2 + 18 x 2 + 12x 2x 2 12x
a. No, porque no se respetaron los términos. b. No, se puede escribir como 2 . (x + 1) 2 .
–x 6 – x 4 + 8x 2 –12x 7 + 10x 5 – 6x 2 – 2x 4
–3x 7 – 3x 10 – 2x 2 4x 2 – 7x 3
–17x 4 + 6x 3 2x 5 – 10x 2 – 12x 3
7x 5 – 4x 4 + 4x 3 – 3x 2 5x 4 – x 3 – 4
–x 4 + 2x 3 + 4x 2 – 6x – 20 5x 3 – 2x 2 + 49 ___ 5 x
X
X
X
128
41. Resuelvan las siguientes operaciones.
a. (x 2 + x 3 ) 2 – (x 3 – 1) : (x – 1) = e. ( 1 __ 8 x 3 + 27 ) : ( 1 __ 2 x + 3 ) – ( 9 – 1 __ 4 x 2 ) =
b. –3 . ( x 2 – 4x) + (x 3 + 5x 2 + 2x – 8) : (x + 2) = f. ( 1 __ 2 x + 1 __ 4 ) . (2x 2 + 2) – ( x 2 + 9 __ 2 x + 2 ) : (x + 4) =
c. (x 2 – 2x) 2 + (x 3 + x – 1) . 3x = g. ( 3 __ 2 x – 1 __ 3 )
2
+ ( x 2 – 1 ___ 16 ) : ( x – 1 __ 4 ) =
d. (x 4 – 16) : (x + 2) – (x – 4) 2 = h. 5x . (x 3 + 2x – 1) + (4 x 3 + 7x 2 – 5x – 6) : (x – 1) =
42. Encuentren el valor de a, b y c para que se cumpla la siguiente igualdad.
–2x 5 + 4x 4 + 37x 3 – 37x 2 – 6x + 7 = (ax + bx 2 + c) . (x 3 – 5x 2 + 1)
43. Tengan en cuenta los siguientes polinomios y resuelvan.
A(x) = x 4 – 2x 2 + x B(x) = x – 1 C(x) = x 2 – 2x – 4 D(x) = x 3 + x + 2
a. [ B(x) ] 2 – A(x) = c. A(x) : B(x) + D(x) =
b. D(x) + [ C(x) ] 2 = d. C(x) . D(x) – B(x) . A(x) =
36ACTIVIDADES Operaciones combinadas
x 6 + 2x 5 + x 4 – x 2 – x – 1 1 __ 2 x
2 – 3 __ 2 x
–2x 2 + 15x – 4 x 3 + 1 __ 2 x
2
4x 4 – 4x 3 + 7x 2 – 3x 9 __ 4 x
2 + 13 ___ 36
x 3 – 3x 2 + 12x – 24 5x 4 + 14x 2 + 6x + 6
a = –6; b = –2; c = 7
–x 4 + 3x 2 – 3x + 1 2x 3 + x 2 + 2
x 4 – 3x 3 – 4x 2 + 17x + 18 –x 4 – x 3 – 3x 2 – 7x – 8
129
44. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
a. (–x 3 + 8) : (x – 2) – (x + 1) 2 = e. ( 1 __ 2 x 3 + 1 __ 4 )
2
+ (x – 2x 2 ) . x 4 – ( x 5 + 1 __ 6 ) =
b. (3x – 1) 3 + (2x + 4) 2 = f. ( 1 __ 4 x 3 + x 2 – x – 28 ) : ( 1 __ 4 x 2 + 2x + 7 ) + x 2 – 16 =
c. (x 4 – 3x 3 + x 2 ) : x 2 – (5x 2 – 2x) 2 = g. 5x 2 . (2x 2 – 4x 3 ) 2 + (x 2 + 2x) 3 + 80x 7 =
d. [ (3x 2 ) 3 . ( – 1 ___ 27 x ) . (–3x) 2 ] : x 6 + (x 2 + 2) 2 = h. (x 5 – 2x 4 + 3x 2 + 2x + 8) : (x 2 + 2) – (x 3 – 4) =
45. Resuelvan teniendo en cuenta los siguientes polinomios.
A(x) = x 2 + 2 B(x) = x 3 – 1 C(x) = x – 1 D(x) = x 3 + x 2 – 2
a. B(x) : C(x) + A(x) = c. [2 . A(x) . 3 . B(x)] + D(x) – B(x) =
b. [ 1 __ 5 . D(x) – B(x) ] . C(x) = d. [ B(x) ] 2 . C(x) + D(x) =
36ACTIVIDADES Operaciones combinadas
Se tiene un cuerpo formado por dos cubos unidos entre sí
con la longitud de las aristas indicadas en el gráfico. ¿Cuál
es el polinomio que expresa el volumen de dicho cuerpo?
x + 2
x + 1
menteACTIVA
–2x 2 – 4x – 5 – 7 __ 4 x
6 + 1 __ 4 x
3 – 29 ____ 192
27x 3 – 23x 2 + 25x + 15 x 2 + x – 20
–25x 4 + 20x 3 – 3x 2 – 3x + 1 80x 8 + 21x 6 + 6x 5 + 12x 4 + 8x 3
x 4 – 9 x 3 + 4x 2 + 4 –2x 2 + x + 8
2x 2 + x + 3 6x 5 + 12x 3 – 5x 2 – 13
– 4 __ 5 x
4 + x 3 – 1 __ 5 x
2 + 3 __ 5 x –
3 __ 5 x
7 – x 6 – 2x 4 + 3x 3 + x 2 + x – 3
Volumen = 2x 3 + 9x 2 + 15x + 9
130
INTEGRACIÓN
46. Resuelvan la división de los monomios.
a. ( 25 ___ 4 x 7 ) : ( 10 ___ 8 x 4 ) = e. ( 17 ___ 5 x 9 ) : ( 51 ___ 4 x 3 ) =
b. ( 7 __ 9 x 17 ) : ( 27 ___ 21 x 12 ) = f. ( 121 ____ 136 x 12 ) : ( 11 ___ 34 x 12 ) =
c. ( 12 ___ 5 x 4 ) : ( 10 ___ 24 x 3 ) = g. ( 58 ___ 7 x 7 ) : ( 116 ____ 343 x 6 ) =
d. ( 13 ___ 2 x 8 ) : ( 26 ___ 3 x 6 ) = h. ( 1 __ 4 x 13 ) : ( 3 ___ 10 x 10 ) =
47. Resuelvan las siguientes divisiones.
a. ( 1 __ 3 x 5 + 8x 4 – 2 __ 9 x 2 + x ) : ( 2 __ 3 x ) =
b. ( 7,2 x 4 + 2 __ 3 x 3 – 5x 2 ) : ( 1 __ 5 x ) =
c. ( 0,5 x 5 – 0,5x 3 + 0, 05 x ) : ( 1 ___ 10 x ) =
d. ( 7x 6 + 21x 7 – 1 __ 3 x 5 ) : ( 3x 4 ) =
e. ( 2 __ 7 x 8 – 1 __ 2 x 6 + 0,4 x 4 ) : ( 1 __ 2 x 2 ) =
f. ( x 7 – 1 __ 4 x 6 + 0, 25 x 4 – 1 __ 5 x 3 ) : ( 0,2x 3 ) =
g. ( – 2x 5 + 4x 6 – 7 __ 2 x 7 – 8x 3 ) : ( 1 __ 3 x 2 ) =
h. ( – x 6 – x 5 + 2x 3 – 1 __ 8 x 2 ) : ( 8 __ 3 x ) =
48. Resuelvan e indiquen el cociente y el resto
de cada división.
a. (6 x 5 + 3x 4 – 9) : ( 3x 2 ) =
b. ( 1 __ 5 x 4 – 8 __ 5 x 3 + 7 __ 5 x – 5) : (5 x 3 ) =
c. (–10 x 7 – 8x 5 + 4x 7 – x) : (2x 2 + 1) =
d. ( 12x 3 + x 2 – 5x + 3) : (3x – 2) =
e. (5 x 6 – 20 + 4x 7 – 15x – 6x 4 ) : ( 5x 3 – 1) =
f. (12 x 5 – 4x 3 + 16) : (4 x 2 + 2) =
g. (15 x 7 – 3x 5 – 12x 4 – 18x) : (3x 3 – x 2 + 1) =
h. (x 6 + x 3 – x 2 + 1) : (x 4 – x 2 + 1) =
49. Escriban la expresión que representa el perí-
metro y el área de la siguiente figura.
___
ao =
___
ob
___
ab = 2x + 2 cm
o
a
b
50. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según
corresponda.
a. La sumade dos polinomios de grado 2
siempre da como resultado otro polinomio de
grado 2.
b. El producto de dos polinomios de grado 3
siempre da por resultado otro polinomio de
grado 9.
c. El opuesto de un polinomio se obtiene mul-
tiplicando el polinomio por (–1).
d. En un polinomio, si el orden de multiplici-
dad de una raíz es impar, la gráfica atraviesa el
eje x.
e. Un polinomio de grado 5 tiene 5 raíces.
f. Si un polinomio tiene 2 raíces de orden par,
el polinomio tiene grado 2.
g. Dos polinomios son divisibles si su resto es
el polinomio nulo.
51. Calculen el valor de a para que P(x) sea
divisible por Q(x).
a. P(x) = x 6 – x 5 + ax 3 + 2; Q(x) = x – 1
b. P(x) = x 3 – ax 2 + x – 5; Q(x) = x + 1
c. P(x) = 3x 4 + 2x 2 – 2a 2 ; Q(x) = x – a
d. P(x) = x 4 – ax 3 – 2x 2 – 1; Q(x) = x + 2
e. P(x) = x 5 + ax – 4; Q(x) = x – 2
f. P(x) = ax 3 + 8; Q(x) = x – 2
g. P(x) = –ax 3 + x 4 + 1; Q(x) = x – 1
h. P(x) = 1 __ 3 x
3 + 2 __ 9 x
2 + ax – 11; Q(x) = x + 3
i. P(x) = ax 3 + 8x – 48; Q(x) = x – 2
j. P(x) = 9x 4 – 1 __ 3 x
2 + x + a; Q(x) = x – 3
5x 3 4 ___ 15 x
6
49 ___ 81 x
5 11 __ 4
144 ____ 25 x
49 ___ 2 x
3 __ 4 x
2 5 __ 6 x
3
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
Perímetro: 16x + 16;
Área: 8x 2 + 16x + 8
F
F
V
V
V
F
V
a. a = –2; b. a = –7; c. a = 0; d. a = – 7 __ 8 ; e. a = –14;
f. a = –1; g. a = 2; h. a = –6; i. a = 4; j. a = –729
131
33*34*35*36
CONTENIDOS
52. Escriban el orden de multiplicidad de las raí-
ces de cada uno de los siguientes gráficos.
a.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y
x
b.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y
x
c.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x
d.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x
e.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y
x
f.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y
x
53. Calculen el resto en cada caso, sin resolver
las divisiones.
a. (–5 x 2 + x – 2) : (x – 3) =
b. ( x 3 – x 2 + 1) : (x + 4) =
c. ( 3 __ 4 x 4 + 1 __ 4 x 3 – x 2 + x ) : ( x – 1 __ 2 ) =
d. ( 0,3 x 2 – 1 __ 6 x 3 + 2 ) : (x + 6) =
54. Encuentren, en cada caso, el valor de a tenien-
do en cuenta que P(x) y Q(x) son divisibles.
P(x) Q(x) Resto
x 3 – ax + 1 x + 5 6
– x 4 + x 2 – x x + a –1
4x 5 – 8 x + 2 a
– x 3 + 5x 2 + 10x – 2 x – a 48
55. Resuelvan las operaciones combinadas.
a. ( x 2 – 1) 2 + (4 x 3 – 5x + 2 x 2 – 1) =
b. (4 x 2 ) 3 – (x 2 – 3) 2 + (x 2 + 9) =
c. – ( x 3 ) 2 + ( x 3 + 1) 2 – ( x 2 + 1) =
d. 3 . ( x 2 + 2x – 3) – (3 x 2 – 9) + 6 x 2 =
e. ( x 2 – 1) 2 + ( x 2 + 1) 2 – 2 =
f. ( x 2 + x + 1) 2 – ( x 4 + 3 x 2 + 1) =
g. (x – x 2 ) . (3 x 2 + x – 5) + (– x 2 + 5x – 3 x 4 ) =
h. ( x 3 – 1) . (x + 2 x 2 ) . x – 2 . (– x 3 + x 6 ) =
i. (4 x 2 + 1) . 3x – 2 . (x + 1) 2 =
j. ( x 3 + 8) : (x + 2) + (x – 4) 2 =
k. ( x 2 – x + 1) . (x 3 – 1) : (x – 1) =
l. ( x 5 + 4x 3 – 2x 2 + 3x – 6) : ( x 2 + 3) + (– x 3 – 1) =
m. [ –3x . ( 1 ___ 27 x 2 ) . (–2x) : 1 __ 9 x ] + (x + 1) 3 =
n. ( x 3 + 5x 2 –x) . x + 3 . (x 2 – 1) 2 – 5x 3 =
o. ( x 6 – 2x 4 + x 2 ) : 2x 2 + ( x + 1 __ 2 )
2
. (– 1 __ 2 x 2 ) =
p. ( x 2 – 7x + 12) . (x + 1) – x . (x 2 + 6x) – x 4 =
5
capítulo
Orden par = 0, 2. Orden impar = –2
Orden par = 2. Orden impar = –3, –2, 0
Orden impar = –1, 1, 3
Orden par = –1, 1
Orden par = –1, 1, 4. Orden impar = 3
Orden par = –1, 1. Orden impar = 0
a. r = –44; b. r = –79; c. r = 21 ___ 64 ; d. r = 50
a = 26; a = –1; a = –136; a = 5; ±
___
10
Solución a cargo del alumno.
AUTOEVALUACIÓN
132
5
capítulo
Marquen las opciones correctas
56. ¿Cuál de los siguientes polinomios tiene grado 5, término independiente igual a 3 y coeficiente
principal 2?
a. 5x 2 + x 4 – 6x + 3 b. 3x 5 + x 4 – 6x + 2 c. 2x 3 + x 4 – 6x + 5 d. 2x 5 + x 4 – 6x + 3
57. ¿Cuál de las siguientes gráficas puede representar una función polinómica de grado 6?
a. c. y
x
y
x
b. d. y
x
y
x
58. ¿Cuál es el resto de la división entre (3 x 6 + 5x 4 – 2x 3 – x 2 – 10) y (x + 2)?
a. –274 b. –242 c. 242 d. 274
59. ¿Cuál es el valor de a para que al dividir (– x 4 + 2x 3 + 4x 2 + ax + 6) y (x + 3), el resto sea –78?
a. –5 b. –3 c. 3 d. 5
60. ¿Cuál de los siguientes polinomios es divisible por (x + 4)?
a. –x – x 5 + 5x 2 – 8 b. –5x + 3x 3 – x 2 + 40 c. – x 4 – 3x 3 + x 2 + 48 d. x 2 – 2 x 3 – x + 12
61. Si x 3 + ax 2 – bx + 1 __ 8 = ( x + 1 __ 2 )
3
, ¿cuáles son los valores de a y b?
a. a = – 3 __ 2 y b = –
3 __ 4 b. a =
3 __ 2 y b = –
3 __ 4 c. a = –
3 __ 2 y b =
3 __ 4 d. a =
3 __ 2 y b =
3 __ 4
62. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa la función x 2 . (x – 2) 4 . (x + 2) . (x + 3) 5?
a. b. c. d.
y
x
y
x
y
x
y
x
X
X
X
X
X
X
X
Factorización de polinomios
Contenidos
37. Factor común y factor común por grupos.
38. Trinomio cuadrado perfecto y cuatrinomio
cubo perfecto.
39. Suma y resta de potencias de igual
exponente.
40. Teorema de Gauss.
41. Casos combinados de factoreo.
42. Ecuaciones de grado mayor a dos.
43. Estudio de funciones polinómicas.
44. Expresiones algebraicas fraccionarias.
45. Operaciones con expresiones algebraicas
fraccionarias.
46. Ecuaciones con expresiones algebraicas
fraccionarias.
ca
p
ít
u
lo6
A fines del siglo XVIII y comienzos del XIX vivió en Italia
un personaje cuyo nombre es conocido por cualquiera que
haya atravesado el colegio secundario. Nos referimos a Ruffini,
autor de la famosa regla para la división de polinomios.
Sin embargo, la fama es a veces injusta: en realidad, el
mayor hallazgo de Ruffini pasa casi desapercibido para quie-
nes no son matemáticos. Se trata de responder a una simple
pregunta: ¿hay alguna fórmula que permita encontrar las
raíces de cualquier polinomio? La respuesta es notable: no
existe una fórmula general para encontrar raíces de polino-
mios de grado mayor que 4. La demostración de Ruffini no
era del todo correcta, pero más tarde fue corregida y publi-
cada por el noruego Abel, en 1826. Desde entonces, la teoría
de ecuaciones algebraicas no volvió a ser la misma.
1. Lean atentamente y respondan.
a. El polinomio x 5 – x tiene 3 raíces que se pueden encontrar factorizándolo.
¿Contradice esto el resultado demostrado por Ruffini y por Abel?
b. ¿Por qué creen que la teoría de ecuaciones algebraicas “no volvió a ser la
misma”?
a. No; porque se refiere a la posibilidad de encontrar una fórmula general, pero eso no quiere decir
que no se puedan resolver ciertos polinomios específicos. b. Respuesta abierta. Más allá de la
importancia particular de la demostración de Ruffini y de Abel, en matemática son muy inte-
resantes (y en general difíciles) los teoremas que muestran alguna imposibilidad.
36
134
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
Factor común y factor común por grupos
Factorizar un polinomio de n términos es expresarlo como un producto de polinomios primos.
Factor común
Para factorizar un polinomio a través del factor común, se debe recordar la propiedad distributiva
de la multiplicación respecto de la suma o de la resta.
a . (b ± c) = a . b ± a . c (el factor a se repite en ambos términos)
Para extraer el factor común, se debe proceder de manera inversa: a . b ± a . c = a . (b ± c)
Primero, se debe reconocer cuál es el factor que se encuentra repetido en cada término y luego,
para encontrar el factor que va entre paréntesis, se divide cada término por el factor común.
El factor común puede ser la variable del polinomio, elevada a la menor potencia, y/o el dcm de
todos los coeficientes del mismo.
Factoricen el polinomio P(x) = 6x 2 – 3x, extrayendo el factor común.
P(x) = 3x . 2x – 3x . 1 3x esel factor común de los dos términos.
P(x) = 3x . (2x – 1) Expresión factoreada de P(x) a través del factor común.
6x
2 ____ 3x
3x ___ 3x Dentro del paréntesis va lo que resulta de dividir cada término por 3x.
Factoricen el polinomio Q(x).
Q(x) = –15x 6 – 12x 5 + 6x 3 = –5 . 3x 3 . x 3 – 4 . 3x 3 . x 2 + 2 . 3x 3 = 3x 3 . (–5x 3 – 4x 2 + 2)
Para normalizar un polinomio, se debe sacar como factor común el coeficiente principal.
R(x) = 3x 2 – 1 __ 2 = 3
. ( 3 x 2 ____ 3 –
1 __ 2 __ 3 ) = 3 . ( x 2 – 1 __ 6 )
Polinomio normalizado
Factor común por grupos
En algunos casos el factor común por grupos se puede aplicar a polinomios que no tienen un factor
común en todos sus términos.
Factoricen el polinomio S(x) = 4x 3 – 2 x 2 + 6x – 3, mediante el factor común por grupos.
S(x) = (4x 3 – 2 x 2 ) + (6x – 3) Se forman grupos de términos, de forma tal que en cada
uno de ellos haya un factor común.
2x 2 3
S(x) = 2x 2 . (2x – 1) + 3 . (2x – 1) En cada término debe aparecer el mismo factor para poder
extraerlo nuevamente como factor común.
S(x) = ( 2x 2 + 3) (2x – 1) Al sacar nuevamente factor común, la expresión queda
factorizada a través del factor común por grupos.
Factoricen el polinomio Q(x).
Q(x) = x 6 + 2x 5 + x 4 + 2x 3 + 2x + 4 = ( x 6 + 2x 5 ) + ( x 4 + 2x 3 ) + (2x + 4)
= x 5 . (x + 2) + x 3 . (x + 2) + 2 . (x + 2)
Q(x) = ( x 5 + x 3 + 2) . (x + 2)
INFOACTIVA ¿Para qué sirve?PÁGINA 10
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En P(x) = 6 x 3 – 15x 2 + 3x = 3x . (2x 2 – 5x), ¿se extrajo correctamente el factor común?
b. En todo polinomio, ¿se puede aplicar factor común por grupos?
Test de comprensión
37 ACTIVIDADES Factor común y factor común por grupos
Test de comprensión
1. Marquen las opciones correctas.
En cada caso, ¿cuáles expresiones son equivalentes a las dadas?
a. x 8 – x 2 = b. x 5 – 2x 2 + x = c. x 4 . ( x 2 – 3x + 1) = d. x 3 . ( x 2 – 3x + 2) =
x 2 . ( x 4 – x ) x . ( x
4 – 2x + 1) 2x
6 – 4x 5 + 2x 4 3x
5 – 9x 4 + 6x 3
x 2 . ( x 6 – 1) x
5 . (– 2x 3 + x 4 ) x
6 – 3x 5 + x 4 x
6 – 3x 3 + 2x 3
x 8 . (1 – x 6 ) x
5 . (x – 2x –3 + x) x
8 – 3x 4 + x 4 x
5 – 3x 4 + x 3
2. Extraigan factor común.
a. 6x 5 – 6x 4 + 2x 3 = d. – 2 __ 9 x
7 – 7 ___ 15 x
4 + 1 __ 3 x
3
b. 9 __ 4 x
9 + 3x 8 – 15 ___ 2 x
5 e. 3x 5 – 3 __ 5 x + 6
c. – 2 __ 9 x
2 – 1 ___ 15 x –
2 __ 3 f. –
21 ___ 10 x
6 – 35 ___ 6
3. Extraigan factor común por grupos en los siguientes polinomios.
a. x 4 – x 3 + 2x – 2 =
b. x 5 – 3x 3 – 2x 2 + 6 =
c. x 3 – 2x 2 – x + 2 =
4. Marquen las respuestas correctas.
a. ¿Cuáles de las siguientes expresiones corres-
ponden al área del rectángulo?
3 . (x – 3)
x + 4
(3x – 9) . (x + 4)
3 . (x – 3) . (x + 4)
4x – 5
b. ¿Cuáles de las siguientes expresiones corres-
ponden al volumen del prisma?
6x
x – 2
3x – 5
x . (5x + 11)
x . (2x – 4) . (3x + 15)
6x . (x – 2) . (3x – 5)
Test de comprensión
135
a. No, P(x) = 3x . (2 x 2 – 3x + 1). b. No, se deben poder agrupar términos con factores comunes.
X
X X
X
6x 3 . ( x 2 – x + 1 __ 3 ) – 2 __ 9 x 3 . ( x 4 + 21 ___ 10 x – 3 __ 2 )
9 __ 4 x
5 . ( x 4 + 4 __ 3 x 3 – 10 ___ 3 ) 3 . ( x 5 – 1 __ 5 x + 2 )
– 2 __ 9
. ( x 2 + 3 ___ 10 x + 3 ) – 21 ___ 10 . ( x 6 + 25 ___ 9 )
(x – 1) . ( x 3 + 2)
( x 2 – 3) . ( x 3 – 2)
( x 2 – 1) . (x – 2)
X
X
X
37
136
47464544434241403938
x 2 ± 2ax + a 2 = (x ± a) 2 Cuadrado de un binomio:
expresión factorizada del
trinomio cuadrado perfecto.
Trinomio cuadrado perfecto:
Es el desarrollo del cuadrado del binomio.
x 2 ± 2ax + a 2 = (x ± a) . (x ± a) = (x ± a) 2
P(x) = x 2 + 10x + 25 = x 2 + 2 . x . 5 + 5 2 = (x + 5) 2
x 5
Q(x) = x 2 – 6x + 9 = x 2 – 2 . x . 3 + 3 2 = (x – 3) 2
x 3
R(x) = x 2 + 12x + 16 = x 2 + 2 . x . 6 + 4 2
6 ≠ 4
x 4
No es trinomio cuadrado perfecto.
x2
ax
a
x
x
a a2
ax
(x + a) 2 = x 2 + ax + ax + a 2
= x 2 + 2ax + a 2
a2
(x – a)2 a . (x – a)
a . (x – a)
x
x
x – a a
x – a
(x – a) 2 = x 2 – a . (x – a) – a . (x – a) – a 2
= x 2 – ax + a 2 – ax + a 2 – a 2
= x 2 – 2ax + a 2
Trinomio cuadrado perfecto y cuatrinomio cubo perfecto
INFOACTIVA
Cuatrinomio cubo perfecto
x 3 + 3a x 2 + 3 a 2 x + a 3 = (x + a) 3 Cubo de un binomio: expresión
factorizada del cuatrinomio cubo perfecto.
Cuatrinomio cubo perfecto: es el desarrollo del cubo del binomio.
x 3 ± 3a x 2 + 3 a 2 x ± a 3 = (x ± a) . (x ± a) . (x ± a) = (x ± a) 3 Expresión factorizada
(x + a) 3 = (x + a) . (x + a) . (x + a) (x – a) 3 = (x – a) . (x – a) . (x – a)
= ( x 2 + 2ax + a 2 ) . (x + a) = ( x 2 – 2ax + a 2 ) . (x – a)
= x 3 + 3ax 2 + 3 a 2 x + a 3 = x 3 – 3ax 2 + 3 a 2 x – a 3
T(x) = x 3 + 3 x 2 + 3x + 1 = x 3 + 3 . x 2 . 1 + 3 . x . 1 2 + 1 3 = (x + 1) 3
x 1
K(x) = x 3 – 6 x 2 + 12x – 8 = x 3 – 3 . x 2 . 2 + 3 . x . 2 2 – 2 3 = (x – 2) 3
x 2
M(x) = x 3 + 4 x 2 + 8x + 8 = x 3 + 3 . x 2 . 2 + 3 . x . 2 2 + 2 3
6 ≠ 4 12 ≠ 8
x 2
No es cuatrinomio cubo perfecto.
137
Test de comprensión
5. Completen con el valor que corresponde para que resulte un trinomio cuadrado perfecto.
a. x 2 + x + 9 b. x
2 – 20x + 25 c. 9x 2 – 12x + d. 4x
2 + x + 9
6. Desarrollen las siguientes expresiones.
a. (2x – 4) 2 =
b. ( 1 __ 2 x – 5)
2
=
c. ( x 3 – 2) 2 =
d. (x + 6) 3 =
e. ( 3 __ 2 x – 2)
3
=
f. ( x 5 – 2x) 3 =
7. Expresen cada trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un binomio.
a. x 2 – 10x + 25 c. 1 __ 9 x
10 + 1 __ 3 x
5 + 1 __ 4
b. 9x 2 – 12x + 4 d. x 6 + 4x 4 + 4x 2
8. Expresen cada cuatrinomio cuadrado perfecto como el cubo de un binomio.
a. x 3 – 9x 2 + 27x – 27 c. 1 __ 8 x
6 + 3 __ 4 x
4 + 3 __ 2 x
2 + 1
b. 8x 3 + 36x 2 + 54x + 27 d. 27x 6 – 81x 5 + 81x 4 – 27x 3
9. Escriban la expresión más sencilla que permita calcular el área de la figura.
1
x + 1
x
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. El producto de (x + 6) . (x – 6), ¿es equivalente a un trinomio cuadrado perfecto?
b. ¿El cubo de un binomio es equivalente al cuatrinomio cubo perfecto?
38ACTIVIDADES Trinomio cuadrado perfecto y cuatrinomio cubo perfecto
a. No, porque los dos factores tienen que ser iguales. b. Sí, es la misma expresión factorizada.
6 4 4 12
4 x 2 – 16x + 16
1 __ 4 x
2 – 5x + 25
x 6 – 4 x 3 + 4
x 3 + 18 x 2 + 108x + 216
27 ___ 8 x
3 – 27 ___ 2 x
2 + 18x – 8
x 15 – 6 x 11 + 12 x 7 – 8 x 3
(x – 5) 2 ( 1 __ 3 x 5 + 1 __ 2 )
2
(3x – 2) 2 (x 3 + 2x) 2
(x – 3) 3 ( 1 __ 2 x 2 + 1)
3
(2x + 3) 3 (3x 2 – 3x) 3
Área = (x + 1) 2
38
138
Suma y resta de potencias de igual exponente.
Para un polinomio de la forma P(x) = x n ± a n existen cuatro posibilidades.
P(x) = x n ± a n ∧ n es par P(x) = x n ± a n ∧ n es impar
Factoricen el polinomio P(x) = x 4 – 81 = x 4 – 3 4 .
Se buscan las raíces de P(x): x 4 – 81 = 0 ⇒ |x| = 4
___
81 ⇒ |x| = 3 ⇒ x 1 = 3 ∧ x 2 = –3
Por el teorema del resto: P(3) = 0 ⇒ (x – 3) es divisor de P(x).
P(–3) = 0 ⇒ (x + 3) es divisor de P(x).
Se aplica la regla de Ruffini con las raíces halladas, las veces que sea posible.
( x 4 – 81) : (x – 3) = x 3 + 3 x 2 + 9x + 27 ( x 3 + 3 x 2 + 9x + 27) : (x + 3) = x 2 + 9
1 0 0 0 –81 1 3 9 27
3 3 9 27 81 –3 –3 0 –27
1 3 9 27 0 1 0 9 0
P(x) = x 4 – 81
= ( x 3 + 3 x 2 + 9x + 27) . (x – 3)
= ( x 2 + 9) . (x + 3) . (x – 3)
Q(x) = x 4 + 81 notiene raíces reales.
R(x) = x 5 – 32 = x 5 – 2 5 S(x) = x 3 + 64 = x 3 + 4 3
Se buscan las raíces de P(x): Se buscan las raíces de S(x):
x 5 – 32 = 0 ⇒ x = 2 x 3 + 64 = 0 ⇒ x = –4
Por el teorema del resto: Por el teorema del resto:
R(2) = 0 ⇒ (x – 2) es divisor de R(x). S(–4) = 0 ⇒ (x + 4) es divisor de S(x).
Se resuelve por la regla de Ruffini R(x) : (x – 2) Se resuelve por la regla de Ruffini S(x) : (x + 4)
R(x) = (x – 2) . ( x 4 + 2 x 3 + 4 x 2 + 8x + 16) S(x) = x 3 + 64 = (x + 4) . ( x 2 – 4x + 16)
Resumiendo:
P(x) = x n ± a n Divisor/es
n impar
x n + a n (x + a)
x n – a n (x – a)
n par
x n – a n (x + a) ∧ (x – a)
x n + a n No tiene divisores de la forma (x ± a).
Diferencia de cuadrados
P(x) = x 2 – 4 = x 2 – 2 2 = (x – 2) . (x + 2)
R(x) = x 4 – 64 = ( x 2 ) 2 – 8 2 = ( x 2 – 8) . ( x 2 + 8) P(x) = x 2 – a 2 = (x – a) . (x + a)
R(x) = x 6 – 16 = ( x 3 ) 2 – 4 2 = ( x 3 – 4) . ( x 3 + 4)
INFOACTIVA
48474645444342414039
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Las expresiones (x – y) 2 y (x 2 – y 2 ) ¿son equivalentes?
b. Uno de los posibles divisores del polinomio x 4 + 16 ¿es (x – 2)?
139
Test de comprensión
39ACTIVIDADES Suma y resta de potencias de igual exponente
10. Factoricen las siguientes sumas y restas de potencias de igual exponente.
a. x 5 – 32 = e. x 9 + 1 =
b. x 12 + 1 = f. x 6 + 729 =
c. x 4 – 81 = g. x 3 – 64 =
d. x 7 + 2 187 = h. x 8 – 256 =
11. Escriban cada expresión como diferencia de cuadrados, siempre que sea posible.
a. x 2 – 9 = d. 4x 2 – 25 =
b. 100 x 4 – 256 = e. x 6 – 1 ___ 36 =
c. 9x 2 – 5 = f. x 2 + 25 =
12. Calculen la medida de cada una de las aristas del prisma.
Volumen = 3x 2 – 12
3 cm
a. No, la primera es el cuadrado de un binomio y la segunda, la diferencia de dos expresiones al cuadrado.
b. No, porque un polinomio de la forma x n + a n con n par no tiene divisores de la forma x a.
(x – 2) . ( x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x + 16) (x + 1) . ( x 2 – x + 1) . ( x 6 – x 3 + 1)
No tiene raíces reales. No tiene raíces reales.
(x – 3) . (x + 3) . ( x 2 + 9) (x – 4) . ( x 2 + 4x + 16)
(x + 3) . ( x 6 – 3x 5 + 9x 4 – 27x 3 + 81x 2 – 243x + 729) (x – 2) . (x + 2) . ( x 2 + 4) . ( x 4 + 16)
(x – 3) . (x + 3) (2x – 5) . (2x + 5)
(10x2 – 16) . (10x2 + 16) ( x 3 – 1 __ 6 ) . ( x 3 + 1 __ 6 )
(3x –
__
5 ) . (3x +
__
5 ) No es diferencia de cuadrados.
Una de las aristas mide x – 2 cm y la otra, x + 2 cm.
39
140
Teorema de Gauss
Si el polinomio P(x), de grado n, con coeficientes enteros y término independiente no nulo, admite
una raíz racional
p
__ q (fracción irreducible), entonces p es divisor del término independiente y q lo es del
coeficiente principal.
Para hallar las raíces racionales de P(x) = a x n + b x n – 1 + c x n – 2 + ... + d:
se buscan los divisores del término independiente y del coeficiente principal;
se buscan las posibles raíces:
p
__ q
→ ___ →
Divisores del término independiente.
Divisores del coeficiente principal.
Todo polinomio P(x), de grado n, de n raíces reales, puede factorizarse como:
P(x) = a . (x – x 1 ) . (x – x 2 ) . (x – x 3 ) . ... . (x – x n )
Siendo a el coeficiente principal de P(x) y x
1
; x
2
; ... ; x
n
sus raíces reales.
Hallen las raíces del polinomio P(x) = 2 x 3 – 7 x 2 + 2x + 3.
Divisores del término independiente, (–3): ±1, ±3
Divisores del coeficiente principal, (2): ±1, ±2
Posibles raíces
p
__ q :
x
1
= ±1; x
2
= ± 1 __ 2 ; x 3 = ±3; x 4 = ±
3 __ 2
Se especializa el polinomio P(x) por las posibles raíces ( x n es raíz si P( x n ) = 0).
P(1) = 0 ⇒ x 1 = 1 es raíz.
P(– 1 __ 2 ) = 0 ⇒ x 2 = –
1 __ 2 es raíz.
P(–3) = 0 ⇒ x 3 = –3 es raíz.
P(x) = 2 x 3 – 7 x 2 + 2x + 3 ⇒ P(x) = 2 . (x – 1) . (x + 1 __ 2 ) . (x + 3)
Un polinomio P(x) tiene una raíz múltiple si al descomponerlo en función de sus raíces hay factores
iguales; el orden de multiplicidad de la misma está dado por el exponente del factor.
Polinomio factorizado Raíces Multiplicidad
P(x) = 2 . (x – 1) . ( x + 1 __ 2 ) . (x + 3) x 1 = 1 ∧ x 2 = – 1 __ 2 ∧ x 3 = –3 Tres raíces simples.
P(x) = (x – 1) 2 = (x – 1) . (x – 1) x
1
= x
2
= 1 Una raíz doble.
P(x) = (x + 2) 3 = (x + 2) . (x + 2) . (x + 2) x
1
= x
2
= x
3
= –2 Una raíz triple.
P(x) = (x – 2) 2 . (x + 1) 3 x
1
= x
2
= 2 ∧ x
3
= x
4
= x
5
= –1 2, raíz doble y –1, raíz triple.
P(x) = x 3 . (x + 3) = x . x . x . (x + 3) x
1
= x
2
= x
3
= 0 ∧ x
4
= –3 0, raíz triple y –3, raíz simple.
INFOACTIVA
49484746454443424140
141
Test de comprensión
13. Escriban las posibles raíces de los polinomios.
a. x 3 + 3x 2 – 10x – 24 =
b. –3x 3 + 9x 2 + 99x – 105 =
c. –4x 4 + 2x 3 – 2x + 1 =
d. 5x 4 – 20x 3 – 90x 2 – 100x – 35 =
14. Calculen las posibles raíces de los polinomios. Luego, especialícenlos para hallar las raíces.
a. x 3 + 2 x 2 – x – 2 c. 3x 3 – 12x 2 + 15x – 6
b. x 3 – 7x + 6 d. 2x 3 + 14x 2 + 30x + 18
15. Hallen las raíces de los siguientes polinomios y factorícenlos.
a. x 3 + 2x 2 – 5x – 6 = d. 3x 3 – 9x 2 – 30x + 72 =
b. x 3 – 4x 2 – 3x + 18 = e. 5x 3 + 25x 2 – 125x – 625 =
c. 2x 4 + 10x 3 + 12x 2 – 8x – 16 = f. –2x 4 – 10x 3 – 18x 2 – 14x – 4 =
40 ACTIVIDADES Teorema de Gauss
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuál es el coeficiente principal y el término independiente en x n + b x n – 1 + … + d?
b. Si un polinomio es de grado n, su mínima expresión factorizada ¿es el producto de n factores?
a. El coeficiente principal es 1 y el término independiente es d. b. No, depende de si las raíces son simples o múltiples.
1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
1; 1 __
3
; 5 __
3
; 7 __
3
; 3; 5; 7; 35 ___
3
; 15; 21; 35; 105
1 __
4
; 1 __ 2 ; 1
1 __ 5 ; 1;
7 __ 5 ; 5; 7; 35.
2; 1; raíces: x = –2; x = 1 1; 1 __
3
; 2 __
3
; 2; 3; 6; raíces: x = 1 (doble) y x = 2
6; 3; 2; 1; raíces: x = –3; x = 2; x = 1 1; 1 __ 2 ;
3 __ 2 ; 2; 3;
9 __ 2 ; 6; 9; 18;
raíces: x = –1; x = –3 (doble)
(x – 2) . (x + 3) . (x + 1) 3 . (x – 2) . (x – 4) . (x + 3)
(x – 3) 2 . (x + 2) 5 . (x – 5) . (x + 5) 2
(x – 1) . (x + 2) 3 –2 . (x + 1) 3 . (x + 2)
142
INTEGRACIÓN
16. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según
corresponda.
a. x 3 . (x – 3) = x 3 – 3x
b. x 3 . ( x 2 – 2x + 1) = x 5 – 2x 3 + 1
c. x 4 . ( x 2 – 3x + 1) = x 6 – 3x 5 + x 4
d. 3 __ 2
. ( x 2 – 2 __ 3 + 5x
4 ) = 3 __ 2 x
2 – 15 ___ 2 x
4
e. 3 __ 2
. ( x 2 – 2 __ 3 + 5x
4 ) = 3 __ 2 x
2 – 1 + 15 ___ 2 x
4
f. – 1 __ 3 x
2 . ( 1 __ 2 x 2 + 1 __ 3 x – 2 ) = – 1 __ 2 x 4 – 1 __ 9 x 3 + 2 __ 3 x 2
17. Extraigan factor común.
a. 3x 5 – 6x 3 + 3x 2 =
b. 3 __ 2 x
5 – 3 ___ 10 x
4 + 9 __ 2 x
3 =
c. –2x 4 + 2x 2 – 4x =
d. 1 __ 3 x
7 – 1 __ 9 x
6 – 5 __ 3 x
3 + 2 __ 3 x
2 =
e. 3 __ 2 x
3 – 3x + 21 ___ 2 =
f. – 3 ___ 10 x
7 + 6 __ 5 x
6 + 1 __ 5 x
3 =
g. 3 __ 4 +
21 ___ 10 x
2 – 3 __ 2 x
3 =
h. – 2 ___ 15 x
4 + 6 ___ 35 x
3 + 2 __ 5 x
2 =
18. Extraigan factor común por grupos.
a. 2x 4 – 4x 3 + 3x – 6 =
b. 3 __ 2 x
6 – 3x 5 – 2x + 4 =
c. x 5 – 2x 4 – 2x 3 + 4x 2 =
d. 3x 3 – 2x 2 – 9x + 6 =
e. 6 x 3 + 5 x 2 + 48x + 40 =
f. 2 x 5 + 4 x 3 – x 2 – 2 =
g. 4 x 7 – 12 x 5 + 3 x 2 – 9 =
19. Desarrollen las siguientes expresiones.
a. (2x – 3) 2 = f. (3x – 2) 3 =
b. (– 2x 2 + 5) 2 = g.( – 1 __ 3 x 2 – 1 )
3
=
c. ( 1 __ 3 – 1 __ 2 x )
2
= h. ( 2 – 1 __ 2 x 3 )
3
=
d. ( 2x + 1 __ 3 )
2
= i. ( x 2 + 2 x 3 ) 3 =
e. ( 3 __ 5 x 2 – 1 __ 4 )
2
= j. (5 – x 2 ) 3 =
20. Completen con = o ≠ según corresponda.
a. (3x – 2) 2 9x 2 – 4
b. (5x – 2) 2 25x 2 – 20x + 4
c. (–2x + 1) 2 –4x 2 – 4x +1
d. (x – 1) 3 x 3 – 3x 2 +3x + 1
e. (2x – 2) 3 x 3
f. ( 3x 2 – 1) 3 27x 5 – 27x 4 + 9x 2 +1
21. Escriban la expresión factorizada.
a. 9x 2 – 6x + 1 =
b. 1 __ 9 x
2 – 4 __ 3 x + 4 =
c. 9 x 4 + 12 x 2 + 4 =
d. 1 __ 9 x
4 + 4 __ 3 x
2 + 4 =
e. 1 __ 4 x
6 – 2 x 3 + 4 =
f. 1 __ 9 x
6 – 2x 4 + 9x 2 =
g. x 3 – 15x 2 + 75x – 125 =
h. –8x 3 + 36x 2 – 54x + 27 =
i. – 1 __ 8 x
6 – 3 __ 2 x
4 – 6x 2 – 8 =
j. –x 6 + x 5 – 1 __ 3 x
4 + 1 ___ 27 x
3 =
k. –8 x 9 + 12 x 6 – 6 x 3 + 1 =
l. – x 6 + 3 __ 7 x
5 – 3 ___ 49 x
4 + 1 ____ 343 x
3 =
22. Completen para que las expresiones resulten
equivalentes.
a. 3x 3 – 2x 2 = . ( x –
2 __ 3 )
b. 4x 2 + 12x +9 = ( + )
2
c. x 4 + x 3 – 2x – 2 = (x + 1) . ( – )
d. x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = ( + )
3
e. x 6 – 4x 3 + = (x 3 + 2) 2
f. 6 x 3 + 3 x 2 = . ( 2x + )
g. 3 x 5 + 30 x 3 + 75x = . ( + )
2
F
F
V
F
V
F
3x 2 . (x 3 – 2x +1)
3 __ 2 x
3 . ( x 2 – 1 __ 5 x + 3 )
–2x . (x 3 – x + 2)
– 1 __ 3 x
2 . ( –x 5 + 1 __ 3 x 4 + 5 x 3 – 2 )
3 __ 2
. (x 3 – 2x + 7)
– 3 __ 5 x
3 . ( 1 __ 2 x 4 – 2x 3 – 1 __ 3 )
3 __ 2
. ( 1 __ 2 + 7 __ 5 x 2 – x 3 )
2 __ 5 x
2 . ( – 1 __ 3 x 2 + 3 __ 7 x + 1 )
(x – 2) . (2 x 3 + 3)
(x – 2) . ( 3 __ 2 x 5 – 2 )
( x 4 – 2 x 2 ) . (x – 2)
(3x – 2) . ( x 2 – 3)
(6x + 5) . (8 + x 2 )
(2 x 3 – 1) . ( x 2 + 2)
(4 x 5 + 3) . ( x 2 – 3)
Solución a cargo del alumno.
≠
=
≠
=
≠
≠
(–3x + 1) 2
( 1 __ 3 x – 2 )
2
(3 x 2 + 2) 2
( – 1 __ 3 x 2 – 2 )
2
( 1 __ 2 x 3 – 2 )
2
( –3x + 1 __ 3 x 3 )
2
(x – 5) 3
(–2x + 3) 3
( – 1 __ 2 x 2 – 2 )
3
( 1 __ 3 x – x 2 )
3
(–2 x 3 + 1) 3
( 1 __ 7 x – x 2 )
3
3x 2
2x 3
x 3 2
x 1
4
3 x 2 1
3x x 2 5
143
37*38*39*40
CONTENIDOS
23. Escriban la expresión más simple que indi-
que el volumen de cada uno de los cuerpos,
teniendo en cuenta los datos.
a.
5 cm
(x – 3) cm
(x – 3) cm
b.
x2 – 3x + 9
x – 3
3
24. Factoricen las siguientes sumas y restas de
potencias de igual exponente.
a. x 4 – 81 = e. x 5 – 32 =
b. x 6 – 1 = f. x 5 + 32 =
c. x 4 + 8 = g. x 8 + 1 =
d. x 3 – 8 = h. x 2 + 1 =
25. Resuelvan aplicando la diferencia de cuadra-
dos, siempre que sea posible.
a. x 2 – 121 = d. 9x 2 – 4 =
b. x 5 – 25 = e. 9x 4 – 25 =
c. x 6 – 6 = f. 1 __ 9 x
6 – 4 =
26. Escriban las posibles raíces de cada uno de
los siguientes polinomios mediante el teorema de
Gauss. Luego, verifiquen cuáles son las raíces de
cada polinomio.
a. x 3 – 2x 2 – 5x + 3
b. x 5 – 3x 2 – 4
c. 3x 5 – 2x 2 + 3x – 1
d. –2x 7 – 3x 2 + 3
e. –5x 5 – 4x 2 – 3x + 5
f. x 6 – 4x 2 – 3x + 2
g. 4x 5 – x 3 – 2x 2 + 2
h. –3x 3 – 2x +1
27. Hallen las raíces de cada polinomio y escrí-
banlos en forma factorizada.
a. x 3 – 19x + 30 =
b. x 4 + 3x 3 – 3x 2 – 7x + 6 =
c. x 3 – 9x 2 + 24x – 20 =
d. 3x 4 – 9x 3 + 9x 2 – 3x =
e. x 4 – x 3 – 6x 2 =
f. 3x 4 – 12x 3 – 54x 2 – 60x – 21 =
28. Hallen las raíces de cada polinomio y escrí-
banlos en forma factorizada.
a. 2 . (x – 3) . (x – 2) . (x + 1) =
b. –3 . (x + 1) 3 . ( x – 1 __ 5 ) =
c. – (x – 3) . (x + 7) 2 =
d. x 3 . (x – 6) =
e. – ( x + 1 __ 4 )
2
. (x + 0,75) 3 =
f. (x – 5) 4 =
29. Indiquen el grado de multiplicidad de las raí-
ces de los siguientes polinomios.
a. x 3 – x 2 – 8x + 12 =
b. x 5 – 4 x 4 + 4 x 3 =
c. x 4 – 9 x 2 + 4x + 12 =
d. x 4 – 10 x 2 + 9 =
e. x 3 – 3 x 2 + 9x =
30. Marquen las opciones correctas.
Dado el polinomio P(x) = x 4 – 3x 3 – 8x 2 + 12x,
¿cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?
a. Tiene una raíz en x = 0.
b. Tiene una raíz en x = 12.
c. Tiene una raíz en x = –3.
d. Tiene dos raíces simples.
e. Tiene una raíz triple.
f. Tiene una raíz doble en x = –2.
g. Tiene una raíz doble en x = 2.
6
capítulo
v = 5 . (x – 3) 2
v = 3 . ( x 3 – 27)
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
X
X
40
144
Casos combinados de factoreo
En algunos polinomios se deben aplicar varias veces los distintos casos de factorización.
Siempre que sea posible se debe extraer factor común, y luego, se estudia si algunos de los factores
se pueden seguir descomponiendo en nuevos factores.
Factor común x 2
P(x) = 2 x 4 + 2 x 3 + x 2 = x 2 . ( x 2 + 2x + 1) = x 2 . (x + 1) 2
Trinomio cuadrado perfecto
Factor común 27
Q(x) = 27 x 3 – 1 = 27 . ( x 3 – 1 ___ 27 ) = 27 . (x – 1 __ 3 ) . ( x 2 + 1 __ 3 x + 1 __ 9 )
Resta de potencias de igual exponente
Se analiza si es posible extraer factor común por grupos, y luego, se estudia si algunos de los
factores se pueden seguir descomponiendo en nuevos factores.
Factor común por grupos
R(x) = x 3 + 3 x 2 – 4x – 12 = x 2 . (x + 3) – 4 . (x + 3) = (x + 3) . ( x 2 – 4) = (x + 3) . (x – 2) . (x + 2)
Diferencia de cuadrados
Se puede también aplicar el teorema de Gauss.
Factor común –3 Trinomio cuadrado perfecto
S(x) = –3 x 3 + 15 x 2 – 24x + 12 = –3 . ( x 3 – 5 x 2 + 8x – 4) = –3 . (x – 1) . ( x 2 – 4x + 4) = –3 . (x – 1) . (x – 2) 2
Teorema de Gauss
Se encuentra una raíz de x 3 + 5 x 2 – 8x + 4.
S(1) = 0 y se aplica la regla de Ruffini con el divisor (x – 1).
1 –5 8 –4
1 1 –4 4
1 –4 4 0
x 3 – 5 x 2 + 8x – 4 = (x – 1) . ( x 2 – 4x + 4)
INFOACTIVA
50494847464544434241
Para repasar los
casos de factoreo
pueden volver a
las páginas 134,
136, 138 y 140.
145
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Cuando hay que factorear un polinomio, ¿siempre se puede aplicar más de un caso?
b. Cuando se factoriza un polinomio, ¿se debe respetar un orden al aplicar los distintos casos?
31. Indiquen el caso de factoreo aplicado en cada paso.
a. 3x 3 – 12x 2 + 12x c. 2x 4 – 6x 3 – 5x – 15
3x . (x 2 – 4x + 4) 2x 3 . (x – 3) – 5 . (x – 3)
3x . (x – 2) 2 (x – 3) . ( 2x 3 – 5)
b. x 3 – 5x 2 – 9x + 45 d. 2x 3 – 18x 2 + 54x – 54
x 2 . (x – 5) – 9 . (x – 5) 2 . (x 3 – 9x 2 + 27x – 27)
(x – 5) . (x 2 – 9) 2 . (x – 3) 3
(x – 5) . (x – 3) . (x + 3)
32. Observen el procedimiento realizado para hallar la factorización de cada polinomio e indiquen si
está resuelto correctamente. En caso contrario, escriban la factorización correspondiente.
a. x 3 – x 2 – 4x +4 d. x 4 – x 3 – x – 1
x 2 . (x – 1) – 4 . (x – 1) x 3 . (x – 1) – (x – 1)
( x 2 – 4) . (x – 1) (x – 1) . ( x 3 – 1)
(x – 2) . (x + 2) . (x – 1)
b. 2x 2 + 18 e. x 6 – x 5 + x 4 – x 3
2 . ( x 2 + 9) x 3 . ( x 3 – x 2 + x – 1)
2 . (x – 3) . (x + 3) x 3 . (x + 1) 3
c. x 3 – 4x 2 + 4x f. 2x 5 + 4x 4 + 2x 3
x . (x 2 – 4x + 4) 2x 3 . ( x 2 + 2x + 1)
x . (x – 2) 2 2x 3 . (x + 1) 2
41 ACTIVIDADES Casos combinados de factoreo
a. No, depende del polinomio. b. No, no es necesario respetar un orden.
Factor común. Factor común por grupos.
Trinomio cuadrado perfecto. Factor común.
Factor común por grupos. Factor común.
Factor común. Cuatrinomio cubo perfecto.Diferencia de cuadrados.
Correcto. Incorrecto. No se puede aplicar factor común
por grupos.
x 3 . (x – 1) – (x + 1)
Incorrecto. La expresión (x 2 + 9) no es diferencia Incorrecto. En el resultado, el binomio del cubo
de cuadrados. tiene que ser de la diferencia.
Correcto. Correcto.
146
41 ACTIVIDADES Casos combinados de factoreo
33. Escriban los siguientes polinomios en forma factorizada.
a. A(x) = x 3 – x 2 + 3 __ 2 x –
3 __ 2 f. F(x) = x
4 – 3x 3 – 2x 2 + 7x – 3
b. B(x) = 2x 3 – 50x g. G(x) = 2x 6 – 16x 3
c. C(x) = 2x 5 – 2 ___ 27 x
2 h. H(x) = 5 __ 3 x
4 + 10 ___ 3 x
3 – 25 ___ 3 x
2 – 10x
d. D(x) = 3x 3 – 12x 2 + 15x – 6 i. I(x) = x 3 + 3x 2 + 4x + 12
e. E(x) = 3x 3 + 12x 2 – 9x – 54 j. J(x) = x 5 + 4x 4 + 4x 3 – x 2 – 4x – 4
A(x) = (x – 1) . ( x 2 + 3 __ 2 ) F(x) = ( x 3 – 2x + 1) . (x – 3)
B(x) = 2x . (x – 5) . (x + 5) G(x) = 2 x 3 . (x – 2) . ( x 2 + 2x + 4)
C(x) = 2 x 2 . ( x – 1 __ 3 ) . ( x 2 + 1 __ 3 x + 1 __ 9 ) H(x) = 5 __ 3 x . (x – 2) . (x + 3) . (x + 1)
D(x) = 3 . (x – 2) . (x – 1) 2 I(x) = ( x 2 + 4) . (x + 3)
E(x) = 3 . (x – 2) . (x + 3) 2 J(x) = (x – 1) . ( x 2 + x + 1) . (x + 2) 2
147
34. Resuelvan teniendo en cuenta el polinomio P(x) = x 4 – 5x 3 + 7x 2 – 3x.
a. Factoricen el polinomio P(x).
b. Indiquen las raíces y el grado de multiplicidad de cada una.
35. Completen para que se cumpla la igualdad e indiquen el caso de factoreo usado.
a. x 5 – 4x 3 = x 3 . ( )
= x 3 . ( ) . ( )
b. 2x 3 + 2x 2 – 16x – 24 = 2 . ( )
= 2 . (x – 3) . ( )
= 2 . (x – 3) . ( )
2
c. x 4 + 10x 3 + 24x 2 – 32x – 128 = (x – 2) . ( )
= (x – 2) . ( )
3
d. 3x 5 – 9x 4 – 147x 3 + 441x 2 = 3x 2 . ( )
= 3x 2 . (x – 3) . ( )
= 3x 2 . (x – 3) . ( ) . ( )
e. x 4 + 5x 3 + 5x 2 + 3x + 18 = (x + 3) . ( )
= (x + 3) . ( ) . ( )
= ( )
2
. ( )
36. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es la factorización de cada uno de los siguientes polinomios?
a. x 4 – 9x 2 = x 2 . (x – 3) . (x + 3) x 4 . (1 – 9x) x 2 . ( x 2 – 81)
b. x 5 + 6x 4 + 9x 3 = x . (x + 3)
2 x 3 . (x + 3) 2 x 3 . ( x 2 + 9)
c. 2x 3 + 4x 2 – 6x = (x 2 – 2) . (x + 3) 2x . ( x 2 + 2x + 6) 2x . (x – 1) . (x + 3)
d. x 3 – 7x – 6 = x . ( x 2 – 7) (x – 3) . (x + 2) . (x + 1) (x + 3) . (x – 2) . (x + 1)
e. x 5 + 3 x 4 – 4 x 2 = x 2 . (x + 2)
2 . (x – 1) x 2 . (x + 2)
2 . (x + 1) x 2 . (x – 2)
2 . (x – 1)
41 ACTIVIDADES Casos combinados de factoreo
P(x) = x . (x – 3) . (x – 1) 2
Raíces = {0; 1; 3}; x = 0 y x = 3, raíces simples; x = 1, raíz doble.
x 2 – 4 Factor común.
x – 2 x + 2 Diferencia de cuadrados.
x 3 + x 2 – 8x – 12 Factor común.
x 2 + 4x + 4 Gauss. Regla de Ruffini.
x + 2 Trinomio cuadrado perfecto.
x 3 + 12 x 2 + 48x + 64 Gauss. Regla de Ruffini.
x + 4 Cuatrinomio cubo perfecto.
x 3 – 3 x 2 – 49x + 147 Factor común.
x 2 – 49 Gauss. Regla de Ruffini.
x – 7 x + 7 Diferencia de cuadrados.
x 3 + 2 x 2 – x + 6 Gauss. Regla de Ruffini
x + 3 x 2 – x + 2
x + 3 x 2 – x + 2 Gauss. Regla de Ruffini
X
X
X
X
X
41
148
Ecuaciones de grado mayor a dos
Para encontrar el o los valores de x para los cuales P(x) = –9, siendo P(x) = x 3 – x 2 – 9x, se debe
plantear la ecuación: x 3 – x 2 – 9x = –9.
Para resolver este tipo de ecuaciones, se pueden seguir estos pasos.
x 3 – x 2 – 9x + 9 = 0 1. Se iguala a cero el polinomio.
( x 3 – x 2 ) – (9x – 9) = 0 2. Se factoriza el polinomio resultante.
x 2 . (x – 1) – 9 . (x – 1) = 0
( x 2 – 9) . (x – 1) = 0
(x – 3) . (x + 3) . (x – 1) = 0 3. Se aplica la ley de nulidad del producto.
a . b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
x – 3 = 0 ∨ x + 3 = 0 ∨ x – 1 = 0
x = 3 ∨ x = –3 ∨ x = 1
Las raíces de P(x) = x 3 – x 2 – 9x + 9 son x 1 = 3, x 2 = –3 y x 3 = 1.
Para verificar las soluciones, se reemplazan los valores de x en P(x):
Se debe verificar que P( x
n
) = x 3 – x 2 – 9x = –9
P(3) = 3 3 – 3 2 – 9 . 3 P(–3) = (–3) 3 – (–3) 2 – 9 . (–3) P(1) = 1 3 – 1 2 – 9 . 1
P(3) = 27 – 9 – 27 P(–3) = –27 – 9 + 27 P(1) = 1 – 1 – 9
P(3) = –9 P(–3) = –9 P(1) = –9
Por lo tanto: S = {–3;3;1}
Hallen x, tal que P(x) = 1. Hallen x, tal que Q(x) = –1.
P(x) = x 3 – x 2 + x Q(x) = x 3 – x – 1
x 3 – x 2 + x = 1 x 3 – x – 1 = –1
x 3 – x 2 + x – 1 = 0 x 3 – x – 1 + 1 = 0
( x 3 – x 2 )+ (x – 1) = 0 x . ( x 2 – 1) = 0
x 2 . (x – 1) + (x – 1) = 0 x . (x – 1) . (x + 1) = 0
( x 2 + 1) . (x – 1) = 0
x 2 + 1 = 0 ∨ x – 1 = 0 x = 0 ∨ x – 1 = 0 ∨ x + 1 = 0
∅ x = 1 x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = – 1
Verificación: Verificación:
P(1) = 1 3 – 1 2 + 1 Q(0) = 0 3 – 0 – 1
P(1) = 1 – 1 + 1 ⇒ P(1) = 1 Q(1) = 1 3 – 1 – 1 = –1
La solución es S = {1} Q(–1) = (–1) 3 – (–1) – 1 = –1
La solución es S = {–1;0;1}
INFOACTIVA
51504948474645444342
149
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Para resolver la ecuación (x – 1) + (x – 2) = 0, ¿se debe igualar cada paréntesis a 0?
b. Si al resolver una ecuación se obtiene que x = a, para verificarlo, ¿se debe calcular P(a) o P(x) = a?
37. Indiquen cuáles son las raíces de los polinomios dados.
a. P(x) = 2 . (x – 4) . (x + 1) d. S(x) = x . (x – 3)
b. Q(x) = –5 . (x – 5) . (x + 3) . (x – 2) e. T(x) = (x – 3) 2 . (x + 1)
c. R(x) = ( x – 1 __ 4 ) . (x – 2) f. U(x) = (x – 2) 3 . (x + 3) 3
38. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a. x 3 + 4x 2 – 3x = 18 d. 5x 2 + 6x + 2= – x 3 – 2x – 2
b. 5x 3 – 15 ___ 2 x
2 + 10x = 4x 3 – x – 15 ___ 2 e. 5x
4 – 2x 3 – 3x 2 = 5x 4 – 3x 3 + 4x 2 – 15x + 9
c. 13x 2 – 50x = x 3 – 3x – 35 f. x 3 – 2 __ 3 x
2 = 1 ___ 12 . (x – 1)
39. Resuelvan teniendo en cuenta los datos.
a. Hallen el valor de x, tal que P(x) = 2 y P(x) = x 3 – 3x.
b. Si Q(x) = x 3 – x 2 – 9x + 15, ¿cuál es el valor de x tal que Q(x) = 6?
42 ACTIVIDADES Ecuaciones de grado mayor a dos
a. No, la ley de nulidad del producto no se cumple en la suma b. Se debe calcular P(a).
S = {–1;4} S = {0;3}
S = {–3;2;5} S = {–1;3}
S = { 1 __ 4 ;2 } S = {–3;2}
S = {–3;2} S = {–2;–1}
S = { – 1 __ 2 ;3;5 } S = {1;3}
S = {–5;1;7} S = { – 1 __ 3 ; 1 __ 2 }
S = {–1;2}
S = {–3; 1;3}
42
150
Estudio de funciones polinómicas
Para realizar el gráfico aproximado de una función polinómica se debe:
Hallar la ordenada al origen, la que está determinada por el término independiente y es el punto (0; a
0
).
Factorizar el polinomio.
Las raíces indican las intersecciones con el eje x.
El orden de multiplicidad de las raíces indica que la gráfica
- rebota, si es par o
- atraviesa el eje x, si es impar.
Hallar los conjuntos de positividad y negatividad, para lo cual se buscan valores del dominio entre
dos raíces consecutivas para determinar si la función es positiva o negativa en ese intervalo.
Realicen el gráfico aproximado de la función f(x) = 1 __ 2 x
4 – 2 x 3 + x 2 + 2x – 3 __ 2
Ordenada al origen:
(0;– 3 __ 2 )
Factorización del polinomio:
f(x) = 1 __ 2 . (x + 1) . (x – 1)
2 . (x – 3)
Intersecciones con el eje x :
x 1 = –1 ∧ x 2 = 1 ∧ x 3 = 3
x–3 –2 –1 0 1 2 3 4
y
y = 1 __ 2 x
4 – 2x3 + x2 + 2x – 3 __ 2
Raíz
x
1
= –1
3
2
1
–1
–2
Raíz
x
2
= 1
Raíz
x
3
= 3
Ordenada al origen
( 0;– 3 __ 2 ) Orden de multiplicidad:
x 1 = –1; raíz impar ⇒ La gráfica atraviesa el eje x.
x 2 = 1; raíz par ⇒ La gráfica rebota en el eje x.
x 3 = 3; raíz impar ⇒ La gráfica atraviesa el eje x.
Conjunto de positividad y negatividad:
f(–2) = 1 __ 2 . (–2)
4 –2 . (–2) 3 + (–2) 2 + 2 . (–2) – 3 __ 2 =
45 ___ 2
∀x : x ∈ (–∞;–1) ⇒ f(x) > 0
f(0) = – 3 __ 2
∀x : x ∈ (–1;1) ⇒ f(x) < 0
f(2) = 1 __ 2 . 2
4 – 2 . 2 3 + 2 2 + 2 . 2 – 3 __ 2 = –
3 __ 2
∀x : x ∈ (1;3) ⇒ f(x) < 0
f(4) = 1 __ 2 . 4
4 – 2 . 4 3 + 4 2 + 2 . 4 – 3 __ 2 =
45 ___ 2
∀x : x ∈ (3;+∞) ⇒ f(x) > 0
C + = (–∞;–1) ∪ (3;+∞)
C – = (–1;1) ∪ (1;3)
INFOACTIVA
43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
151
43 ACTIVIDADES Estudio de funciones polinómicas
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuál es el valor de la imagen en P(a) si a es raíz del polinomio?
b. ¿El conjunto de negatividad está formado por los valores de y negativos?
Test de comprensión
40. Escriban la letra del gráfico que corresponde a cada función.
a. 3 . (x – 2) . (x + 1) . (x – 1) c. (x + 2) . (x – 1) . (x + 3)
b. –3 . (x – 2) . (x + 1) . (x – 1) d. (x – 2) . (x + 1) . (x – 1)
GRÁFICO A GRÁFICO C
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
GRÁFICO B GRÁFICO D
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
41. Realicen el gráfico aproximado de las siguientes funciones polinómicas.
a. P(x) = x 3 + x 2 – x – 1 b. Q(x) = x 3 – 2x 2 – x + 2
a. Es y = 0. b. No, el conjunto de negatividad está formado por los valores de x que tienen imagen negativa.
B D
C A
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x
y
2
1
–1
–2
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x
y
2
1
–1
–2
152
42. Realicen un gráfico aproximado de las siguientes funciones polinómicas a partir de sus elementos.
a. y = x 3 + 6x 2 – x – 30
Ordenada al origen:
Raíces y orden de multiplicidad:
Conjunto de positividad:
Conjunto de negatividad:
b. y = x 3 – x 2 – 8x + 12
Ordenada al origen:
Raíces y orden de multiplicidad:
Conjunto de positividad:
Conjunto de negatividad:
c. y = x 4 + 5x 3
Ordenada al origen:
Raíces y orden de multiplicidad:
Conjunto de positividad:
Conjunto de negatividad:
d. y = x 3 + x 2 – 16x – 16
Ordenada al origen:
Raíces y orden de multiplicidad:
Conjunto de positividad:
Conjunto de negatividad:
43 ACTIVIDADES Estudio de funciones polinómicas
Ordenada al origen (0;–30)
Raíces = {–5;–3;2}; todas las raíces son simples.
C + = (–5;–3) ∪ (2;+∞)
C – = (–∞;–5) ∪ (–3;2)
Ordenada al origen (0;12)
Raíces = {–3;2}; x = –3, raíz simple y x = 2, raíz doble.
C + = (–3;2) ∪ (2;+∞)
C – = (–∞;–3)
Ordenada al origen (0;0)
Raíces = {–5;0}; x = 0, raíz triple y x = –5, raíz simple.
C + = (–∞;–5) ∪ (0;+∞)
C – = (–5;0)
Ordenada al origen (0;–16)
Raíces = {–4;–1; 4}; todas las raíces son simples.
C + = (–4;–1) ∪ (4;+∞)
C – = (–∞;–4) ∪ (–1;4) Solución a cargo del alumno.
153
43. Escriban la función polinómica de grado tres que corresponde a cada gráfico.
a. c.
–2 –1 0 1 2 3 4 x
y
8
4
–4
–8
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
6
–6
–12
–18
b. d.
y
24
18
12
6
–6
–12
–18
–24
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
y
6
–6
–12
–18
44. Completen la tabla.
Polinomio Raíces Conjunto depositividad
Conjunto de
negatividad
x3 – 3x2 – 10x
x3 + x2 – 8x – 12
–x3 – 3x2 + 6x + 8
x4 – 2x3 – 3x2
x4 – 8x2 + 16
43 ACTIVIDADES Estudio de funciones polinómicas
Escriban la fórmula de una función polinómica de grado cuatro, en la cual el conjunto de
positividad sea vacío y represéntenla en un sistema de ejes cartesianos.
menteACTIVA
y = (x – 4) . (x – 2) . (x + 1) y = (x – 3) . (x + 2) 2
y = 3 . (x – 2) . (x + 3) . (x + 1) y = –2 . (x + 3) . (x – 1) 2
y = – x 4
x
1
= 0; x
2
= –2; x
3
= 5 (–2;0) ∪ (5;∞) (–∞;–2) ∪ (0;5)
x
1
= 3; x
2
= –2 (3;∞) (–∞;–2) ∪ (–2;3)
x
1
= –4; x
2
= –1; x
3
= 2 (–∞;–4) ∪ (–1;2) (–4;–1) ∪ (2;∞)
x
1
= –1; x
2
= 0; x
3
= 3 (–∞;–1) ∪ (3;∞) (–1;0) ∪ (0;3)
x
1
= 2; x
2
= –2 (–∞;–2) ∪ (–2;2) ∪ (2;∞) ∅
21
154
INTEGRACIÓN
45. Marquen las opciones correctas.
¿Cuáles factorizaciones corresponden a cada
polinomio?
a. 2x 3 – 12x 2 + 18x
2x . (x + 3)
2 2x . (x – 3)
2
2x . (x
2 – 9) 2x
2 . (x – 3)
b. x 4 – x 3 + x 2 – x
(x
3 + x) . (x – 1) x . (x
2 + 1) . (x – 1)
x . (x
3 – x 2 – x) x . (x + 1) . (x
2 – 1)
c. x 5 – 3x 4 + 3x 3 – x 2
(x – 1)
2 . x 2 (x – 1)
3 . x
x 2 . (x – 1)
3 (x – 1) . x
3
d. x 4 – 2x 3 + 3x – 6
( x 3 – 3) . (x – 2) (x + 3) . (x – 2)
( x 3 + 3) . (x – 2) (x + 3)
2 . (x – 2)
46. Escriban las raíces de cada polinomio.
a. P(x) = –3 . (x – 1) . (x + 3)
b. Q(x) = – 1 __ 2
. ( x – 1 __ 2 ) . (x + 1) 2
c. R(x) = ( x – 1 __ 2 )
2
. ( x + 1 __ 2 ) . (x + 1)
d. S(x) = 1 __ 3
. (x – 3) . ( x + 1 __ 5 ) . (x – 2)
e. T(x) = 2 . (x + 3) 5
f. U(x) = x . (x + 6) . (x – 7)
g. V(x) = 3 . ( x – 1 __ 3 ) . (x – 1) . (x – 6)
h. W(x) = 13 . (x – 8) . ( x 2 – 4)
47. Expresen en forma factorizada los siguientes
polinomios.
a. P
1
(x) = x 3 – 9x 2 + 11x + 21
b. P
2
(x) = x 4 + x 3 – 6x 2
c. P
3
(x) = x 3 – x 2 – 100x + 100
d. P
4
(x) = x 4 + 4x 3 + 4x 2
e. P
5
(x) = 3x 3 – 12x 2 – 33x – 18
f. P
6
(x) = x 4 + 2x 3 – 11x 2 – 12x + 36
g. P
7
(x) = – x 5 + 8x 4 – 16x 3
h. P
8
(x) = 2x 3 – 10x 2 – 48x
48. Calculen los valores de x teniendo en cuenta
las condiciones pedidas en cada caso.
a. P(x) = 5 y P(x) = x 3 + 3x 2 – 13x – 10.
b. Q(x) = –3 y Q(x) = x 3 + 3 x 2 + x.
c. R(x) = 5 y R(x) = x 3 – 2x 2 + x + 3.
49. Marquen las opciones correctas.
a. P(x) = 7 . (x – 3) . (x + 1) . (x + 2) 3
Tiene una raíz en x = 3.
Tiene una raíz en x = –3.
Tiene una raíz en x = –7.
Tiene dos raíces simples.
Tiene una raíz triple.
Tiene una raíz doble.
Es un polinomio de grado cinco.
b. Q(x) = x 3 . (x + 1) . (x – 5)
Tiene una raíz en x = 1.
Tiene una raíz en x = –1.
Tiene una raíz en x = 0.
Tiene dos raíces simples.
Tiene una raíz triple.
Tiene una raíz doble.
Es un polinomio de grado cinco.
50. Resuelvan las siguientes ecuaciones polinó-
micas y verifiquen los resultados obtenidos.
a. x 5 + x 3 + 2x 2 – 3x – 9 = x 5 + 2x – 3
b. –2x 4 – 2x 3 – 29x 2 – 40x + 32 = –3x 4 + 2x + 32
c. –2x 3 + 6x 2 – 3x + 23 = – 3x 3 + 2x 2 – 5
d. 4x 3 – 7x 2 + 9x – 2 = 3x 3 – x 2 – 2
e. –2x 4 – 7x 3 – 7x 2 + 7x – 5 = –3x 4 – 2x 2 + 5
51. Escriban la función polinómica que cumple
con las siguientes condiciones.
C+ = (–4;–2) ∪ (1;3)
C– = (–∞;–4) ∪ (–2;1) ∪ (3;+∞)
P(2) = 10
X
X X
X
X
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
a. S = {–5; –1; 3} b. S = {–3} c. S = {2}
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Solución a cargo del alumno.
P(x) = – 5 ___ 12
. (x + 4) . (x + 2) . (x – 1) . (x + 3)
155
41*42*43
CONTENIDOS
52. Escriban la letra del gráfico que corresponde
a cada función.
a. (x – 3) . (x + 1) 2
b. (x – 3) 2 . (x + 1)
c. 2x . (x – 4) . (x + 1)
d. –2x . (x – 4) . (x + 1)
GRÁFICO A
–4 –2 0 2 4 x
y
–26,5
GRÁFICO B
–4 –2 0 2 4
y
4
–4
x
GRÁFICO C
–4 –2 0 2 4
y
17,25
–17,25
x
GRÁFICO D
–4 –2 0 2 4 x
y
–26,5
53. Indiquen la ordenada al origen, las raíces, su
multiplicidad, una expresión factorizada del poli-
nomio y los conjuntos de positividad y de negati-
vidad para cada una de las siguientes funciones.
a.
–3 0 2 x
y
8
–8
b.
–4 –3 0 1 2 x
y
–18
54. Escriban la función polinómica que cumple
con las condiciones indicadas en cada caso.
a. Raíz doble en x = –2 y triple en x = 0 y
ordenada al origen (0;0).
b. Raíces dobles en x = 5 y x = –3, raíz triple
en x = 4 y ordenada al origen (0;20).
c. Raíces dobles en x = 3 y x = 5, ordenada al
origen (0;15).
d. Raíces x = 1, x = –10, x = –2 y ordenada al
origen (0;40).
55. Grafiquen aproximadamente las siguientes
funciones polinómicas. Indiquen en cadacaso la
ordenada al origen, las raíces, el orden de multi-
plicidad y los conjuntos de positividad y de
negatividad.
a. y = 2x 3 – 2x 2 – 50x + 50
b. y = x 4 – 7x 3 + 9x 2 + 27x – 54
c. y = x 4 – 2x 3
d. y = x 3 + 4x 2 – 3x – 18
6
capítulo
B
C
A
D
Ordenada al origen: 8
Raíces: x = –2 (impar);
x = 2 (par).
P(x) = (x + 2) . (x – 2) 2
C + = (–2;2) ∪ (2;+∞)
C – = (–∞;–2)
Ordenada al origen: –18
Raíces:
x = –3 (par);
x = 1 (par).
P(x) = (x + 3) 2 . (x – 1) 2 ;
C + = ; C – = (–∞;–3) ∪ (–3;1) ∪ (1;+∞)
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
43
156
Expresiones algebraicas fraccionarias
Dados dos polinomios P(x) y Q(x), tal que Q(x) sea distinto de cero, se denomina expresión alge-
braica fraccionaria a toda expresión de la forma
P(x)
____
Q(x)
.
5 _____ x 2 – x ∀x : x ≠ 0 ∧ x ≠ 1
2x + 3 _________ x 2 – 6x + 9 ∀x : x ≠ 3
3 x
2 – 5 _______ 2x + 1 ∀x : x ≠ –
1 __ 2
1 _____ x 4 + 2
Una expresión algebraica es irreducible si no existen en ella factores comunes al numerador y al
denominador.
x _____ x – 2 ∀x : x ≠ 3 Expresión irreducible
x
2 – x __________ x 3 + x 2 – 2x =
x . (x – 1)
___________ x . ( x 2 + x – 2) =
x . (x – 1)
______________ x . (x – 1) . (x + 2) ∀x : x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 ∧ x ≠ –2 Expresión reducible
Factores comunes al numerador y al denominador.
Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias
Para simplificar una expresión algebraica fraccionaria, se debe factorizar el numerador y el denomi-
nador, y cancelar los factores comunes en ambos; se obtiene así una expresión irreducible equivalente
a la original.
x
2 – x – 6 ________ x 2 – 3x =
(x – 3) . (x + 2)
____________ x . (x – 3) =
x + 2 _____ x ∀x : x ≠ 3 ∧ x ≠ 0
x
2 – 3x + 2 _____________ x 3 – x 2 – 4x + 4 =
(x – 2) . (x – 1)
__________________ (x + 2) . (x – 2) . (x – 1) =
1 _____ x + 2 ∀x : x ≠ ±2 ∧ x ≠ 1
x
2 – 9 _____ x – 3 =
(x + 3) . (x – 3)
____________ (x – 3) = x + 3 ∀x : x ≠ 3
Al simplificar, se deben identificar los valores de x que anulan el denominador.
Algunas fracciones algebraicas resultan equivalentes a expresiones algebraicas enteras.
El objeto de simplificar es reducir la expresión y poder efectuar operaciones en forma más sencilla.
INFOACTIVA
44 45 46 47 48 49 50 51 52 53
Para repasar la
factorización de
polinomios
pueden volver a
las páginas 134,
136, 138 y 140.
157
44 ACTIVIDADES Expresiones algebraicas fraccionarias
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Todas las expresiones algebraicas racionales se pueden simplificar?
b. Los valores que no puede tomar x, ¿se calculan en la expresión simplificada?
Test de comprensión
56. Marquen las opciones correctas.
¿Cuáles de las siguientes son expresiones algebraicas fraccionarias?
a. ( x 3 – 2) : x 3 c. 2x
3 – 4x + 895 e. 3x – 2
b.
x – 3 _____ x + 1 d.
5 __ x f.
2x + 1 ______ 2
57. Indiquen los valores que no puede tomar x en cada caso.
a. x – 3 _____ x + 5 c.
x 3 – 3
______ x
b. x + 5 ___________ 2 x 2 – 2x – 4 d.
x 2 – x – 6
_______________ x 3 + x 2 – 17x + 15
58. Unan con una flecha las expresiones equivalentes.
a. x
3 – 2x 2 – 3x
___________ x 2 + 2x – 15 x + 1
b. 3x
2 – 12
_______________ x 3 – 5x 2 + 8x – 4
3 __ 5
c. x
4 – x 3 – 7x 2 + x + 6
__________________ x 3 – 2x 2 – 5x + 6
x . (x + 1)
________ x + 5
d. 3x
2 – 9x
________ 5 x 2 – 15x
x 3 _______________
5 . (x – 3) . (x + 7)
e. x
4 – 7 x 3
_____________________ 5 x 3 – 15x 2 – 245x + 735
3 . (x + 2)
_____________
(x – 2) . (x – 1)
59. Simplifiquen las siguientes fracciones algebraicas.
a. 2x
3 – 8x 2 + 2x + 12
__________________ 3 x 3 + 6x 2 – 27x – 54 c.
x 4 – 2x 3 – 5x + 10
________________ x 5 – 7x 4 + 10x 3
b. x
3 + 2x 2 – 4x + 1
_______________ x 3 – 4x 2 + 2x + 1 d.
x 2 – 9
________ 2x 2 + 6x
a. No, no todas son reducibles. b. No, se deben averiguar en la expresión sin simplificar.
X
X X
∀ x : x ≠ –5 ∀ x : x ≠ 0
∀ x : x ≠ –1 ∧ x ≠ 2 ∀ x : x ≠ –5 ∧ x ≠ 1 ∧ x ≠ 3
2 . (x + 1) . (x – 2)
_______________
3 . (x + 3) . (x + 2)
x
3 – 5 _________
x 3 . (x – 5)
x
2 + 3x – 1 __________
x 2 – 3x – 1
x – 3 _____ 2x
44
158
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
Multiplicación
El resultado de multiplicar dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica fraccionaria cuyo
numerador y denominador son el producto de las expresiones dadas.
P(x)
____
Q(x)
.
R(x)
____
S(x)
=
P(x) . R(x)
_________
Q(x) . S(x)
x + 2 ______ 2 x 2 – x
. x
2 _____
x 2 – 4
= x + 2 _________ x . (2x – 1)
. x
2 ____________ (x + 2) . (x – 2) =
x _____________ (2x – 1) . (x – 2)
Se factorizan los numeradores y denominadores, se simplifica y luego se opera.
División
El resultado de dividir dos expresiones algebraicas fraccionarias es otra expresión que se obtiene
multiplicando la primera expresión por la recíproca de la segunda.
P(x)
____
Q(x)
:
R(x)
____
S(x)
=
P(x)
____
Q(x)
.
S(x)
____
R(x)
x + 3 ______ x 2 + 2x :
x _____ x + 2 =
x + 3 ________ x . (x + 2)
. x + 2 _____ x =
x + 3 _____ x 2
Tanto en la multiplicación como en la división, se debe simplificar siempre que sea posible.
Adición y sustracción
Si las expresiones tienen igual denominador, se suman o restan sus numeradores según corresponda.
2x _____ x + 4 +
6 _____ x + 4 =
2x + 6 ______ x + 4 =
2 . (x + 3)
________ x + 4
3 _____ x – 1 –
3x – 1 ______ x – 1 =
3 – (3x – 1)
__________ x – 1 =
3 – 3x + 1 _________ x – 1 =
–3x + 4 _______ x – 1
Para expresiones de distinto denominador, estas se deben transformar en otras, equivalentes a las
dadas, que tengan el mismo denominador.
Este denominador (denominador común) es el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores
de las expresiones originales y se obtiene multiplicando los factores comunes y no comunes con su
mayor exponente.
x + 8 _____ x 2 – 4 +
2 _____ x + 2 =
x + 8 ____________ (x – 2) . (x + 2) +
2 _____ x + 2 =
x + 8 ____________ (x – 2) . (x + 2) +
2 . (x – 2)
____________ (x + 2) . (x – 2) =
x + 8 + 2x – 4 ____________ (x + 2) . (x – 2) =
3x + 4 ____________ (x + 2) . (x – 2)
x + 5 ____________ x 2 + 10x + 25 –
x + 4 _______ x 2 – 16 =
x + 5 _______ (x + 5) 2 –
x + 4 ____________ (x + 4) . (x – 4) =
1 _____ x + 5 –
1 _____ x – 4 =
x – 4 – x – 5 ____________ (x + 5) . (x – 4) = –
9 ____________ (x + 5) . (x – 4)
Para resolver las operaciones combinadas entre expresiones algebraicas fraccionarias se debe tener en
cuenta la simplificación, multiplicación, división, suma y resta de expresiones algebraicas fraccionarias.
Para resolver una operación combinada, se pueden seguir estos pasos.
x 2 – x . (x – 1) – (2x + 3)
____________________
x + 3 _______
(x + 1) 2
: 4 _____ x + 1
= x
2 – x 2 + x – 2x – 3 ________________
x + 3 _______
(x + 1) 2
. x + 1 _____ 4
1. Se separan los términos y se efectúan las operaciones
indicadas en cada uno de ellos.
= –x – 3 ________
x + 3 ________
4 . (x + 1)
2. Se opera entre las expresiones semejantes.
= –(x + 3) .
4 . (x + 1)
________ x + 3 = –4 . (x + 1) 3. Se simplifica siempre que sea posible.
∀x : x ≠ –3 ∧ x ≠ –1 4. Se indican las condiciones de posibilidad.
INFOACTIVA
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
159
45 ACTIVIDADES Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En la expresión x
2 – 1 ______ x 3 + x 2 =
–1 ___ x 3 , ¿se simplificó correctamente?
b. ¿Es cierto que x _____ x – 2 +
3 _____ x – 2 =
x + 3 ________
2 . (x – 2)
?
Test de comprensión
60. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es el resultado de cada una de las siguientes operaciones?
a. x
3 _____ x – 1 .
x 2 – 1 ______ x 3 – x 2
x . (x + 1)
________ x – 1 x
3
x 3 – 1 _______
(x – 1) 2
b.
(x – 2) 2
_______ x 2 + 3x .
x 3 + 3x 2
_______ x 2 – 4
x . (x – 2) _________
x + 2
x 3 x
c. x
2 – 3x ________ 3 x 3 – 12x :
x 2 + 2x _______ x – 2 –
2 x 2 ___ 9
x – 3 _________
3x . (x + 2)
1 __ 3
. x
d. x
5 – x 3 ______ x 3 – x 2 :
x 2 – 3x __________ x 2 – 2x – 3 x
3 . (x + 1) x 3 . (2x – 3) (x + 1)
2
61. Efectúen las siguientes multiplicaciones.
a. x
4 – 2 x 3 _______
x 2 – 4
.
x . (x + 2)
__________ x 2 + 4x + 4 c.
x 3 + 2 x 2 – 3x
________________ x 3 – 4x 2 – 7x + 10
. x
6 + 2x 5 _______
x 3 + 3x 2
b. x
5 + 32 _______ x – 1
. x
2 – 1 ____________________
x 4 – 2 x 3 + 4 x 2 – 8x +16
d. 2x
3 – 2 ___________ 4x 2 + 4x – 8
. x
3 + 5x 2 + 5x – 2
________________ x 5 – x 2
62. Efectúen las siguientes divisiones.
a. x
3 + x 2 – 6x
_____________ x 6 + 3x 5 – 10x 4 :
x 3 + 3x 2 – 9x – 27
________________ x – 25 c.
x 3 – 3x 2 + 4
___________________ x 4 + x 3 – 3x 2 – 5x – 2
: x
3 – 5x 2 + 4x + 4
________________ x 3 – 3x + 2
b. x
3 – 6x 2 + 11x – 6
________________ x 2 – x – 6
: x
3 + 2x 2 – 13x + 10
_________________ x 3 + x 2 – 25x – 25 d.
x 5 – x 2 ___________ x 3 – x 2 – 6x :
x 2 – 2x + 1 __________ x 3 – 3x 2
xxxxxxxx
xxxxxxx2222222
a. No, no se puede simplificar si hay sumas o restas en el numerador o denominador. b. No; si las expresiones
tienen igual denominador, se suman o se restan sus numeradores y el denominador no varía.
X
X
X
X
x
4 _____ x + 2
x 4 _____ x – 5
(x + 2) . (x + 1) x
2 + 3x – 1 __________
2x 2 . (x – 1)
x – 25 _______________________
x 3 . (x + 5) . (x + 3) . (x – 3)
x
3 – 3x + 2 __________________
(x + 1) 2 . ( x 2 – 3x – 2)
(x + 1) . (x – 5)
_____________ x + 2
x 3 . ( x 2 + x + 1)
_____________
(x + 2) . (x – 1)
160
63. Resuelvan las siguientes operaciones con igual denominador.
a. x ______ 3x + 9 +
3 ______ 3x + 9 = c.
6x ______ 2x – 5 –
15 ______ 2x – 5 =
b. 5x – 9 ______ x + 1 +
4x – 3 ______ x + 1 = d.
x 4 ______ x 2 – 3 –
3x 2
______ x 2 – 3 =
64. Completen las siguientes sumas y restas para obtener el resultado indicado.
a. 3x – 1 ______ x + 2 +
2x + 1 _____________ = 5x _____ x + 2
b. 3x _____________ + 5x _____________ = 8x _____ x + 1
c. 2x + 1 _____________ – 5x ___ 2x =
–3x + 1 _______ 2x
d. x
2 + 1 _____________ + _____________ x – 3 =
x 2 – 3x + 1 __________ x – 3
e. 3 x
2 – 7x _____________ – _____________ x 2 – 3 =
–7x ______
x 2 – 3
f. x
4 – 3
_____________ – x
4 – 8 _____________ = 5 _______ 5 x 3 – 3
65. Resuelvan las siguientes operaciones.
a. 2x ______ 3x + 3 +
4 _____ x + 1 –
5x + 1 ______ x 2 – 1 = d. 2x + 1 +
2 _____ x + 5 –
x + 3 _______ x 2 – 25 =
b. – 3 __ x –
x + 1 _____ x 3 +
2 _____ x + 2 = e.
2x _____ x + 2 +
3x + 1 ______ 3x + 6 –
2 _____ x – 5 =
c. 3x ________
x . (x + 1)
+ x – 1 _____ x + 1 –
2x ______ 3x + 3 = f.
2x _____ x – 3 –
5x + 1 ______ x + 2 + 2 =
45 ACTIVIDADES Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
1 __ 3 3
3 . (3x – 4)
_________ x + 1 x
2
–3x
x + 2 x – 3
3x 2
x + 1 x + 1 x 2 – 3
2x 5x 3 – 3 5 x 3 – 3
2x
2 – 5x – 15 ____________
3 . ( x 2 – 1)
2x
3 + x 2 – 49x – 38 _________________
x 2 – 25
– x
3 – 7x 2 – 3x – 2 ________________
x 3 . (x + 2)
9x
2 – 50x – 17 _______________
3 . (x + 2) . (x – 5)
x + 6 ________
3 . (x + 1)
– x
2 + 16x – 9 _____________
(x + 2) . (x – 3)
161
66. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
a. x + 3x – 1 ________
2 . (x + 3)
. x
2 + x – 6
__________ x – 1 = e.
(x + 2)
2
_______ x + 3
_________
x
3 + 8 ______
x 2 – 9
+ ( x 2 – 5) : ( x 2 – 2x + 4) =
b. 4 – x
2 ______ 2x – 4
. 3x + 6 ______ x – 2 +
x 2 + x – 3
__________ x – 3 = f.
3 x
2 – 3x – 6 ___________
x 2 – 9
____________
2 x
2 + 8x + 6 ___________
x 2 + 2x – 15
+ 3 x
2 + 3x – 6 ___________
x 2 – 9
. x
2 – 2x – 3 __________ x – 1 =
c. 1 –
2 x
2 – 4x – 6 ___________ x + 2 ____________
x
2 + 4x + 3 ___________ 2
= g. x – 3 _______________ x 3 + 5 x 2 + 7x + 2 :
x + 1 __________ x 2 + 3x + 1 +
(x + 1) 2
_________ x 2 – x – 6
__________
x + 1 _____ x – 3
=
d.
x – 1 ______
x 2 – 4
_______
x + 1 _____ x + 2
+
2x – 4 ______ x ________ x – 2 = h.
x – 1 __________ x 2 + 4x + 3
___________
1 _____ x + 2
+ x – 3 _____ x + 1 :
x 2 + 5x + 6
____________ x 2 + 7x + 10 =
45 ACTIVIDADES Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
5 x
2 – 9x + 2 ___________
2 . (x – 1)
2 x
2 – x – 11 __________
x 2 – 2x + 4
– x 3 – 5x 2 + 14x + 48 ___________________
2 . (x – 2) . (x – 3)
3 x
3 + 21 x 2 + 42x – 12 ___________________
(x + 3) 2
x
2 + x + 18 __________
x 2 + 5x + 6
x
2 + 3x – 2 _____________
(x + 2) . (x + 1)
3x – 4 ________
x . (x – 2)
2 x
2 + 3x – 17 ____________
x 2 + 4x + 3
45
162
Ecuaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
Dados dos polinomios P(x) y Q(x) tales que Q(x) no sea nulo, se denomina ecuación fraccionaria a
toda expresión del tipo
P(x)
____
Q(x)
= 0.
Resolver una ecuación fraccionaria es encontrar las raíces del numerador P(x) que no anulen al
denominador Q(x). Si alguna de las raíces del numerador es igual a alguna de las raíces del denomina-
dor, esta debe ser descartada, ya que no es solución de la ecuación planteada.
Luego, se deben verificar en la ecuación original los valores de x hallados.
2 _____
x – 2
– 3 ______
x 2 – 2x
= 1 – 10 ___
x
+ 25 ___
x 2
+ 1 = 0
∀x : x ≠ 0 ∧ x ≠ 2 ∀x : x ≠ 0
2 _____ x – 2 –
3 ________ x . (x – 2) = 1 –
10x ____ x 2 +
25 ___ x 2 +
x 2 __
x 2
= 0
2x ________ x . (x – 2) –
3 ________ x . (x – 2) = 1
– 10x + 25 + x 2 ______________
x 2
= 0
2x – 3 = x . (x – 2) –10x + 25 + x 2 = 0
2x – 3 = x 2 – 2x (x – 5) 2 = 0
– x 2 + 4x – 3 = 0 |x – 5| = 0
x 1 = 1 ∧ x 2 = 3 x = 5
1
_____
x – 1
+ 2 _____
x + 1
= x
2 – 5
_____
x 2 – 1
9 _____
x + 1
– 4 = 0
∀x : x ≠ 1 ∧ x ≠ –1 ∀x : x ≠ –1
x + 1 ____________ (x – 1) . (x + 1) +
2 . (x – 1)
____________ (x – 1) . (x + 1) =
x 2 – 5 _____
x 2 – 1
9 _____ x + 1 –
4 . (x + 1)
________ x + 1 = 0
x + 1 + 2x – 2 ____________ (x – 1) . (x + 1) =
x 2 – 5 _____
x 2 – 1
9 _____ x + 1–
4x + 4 ______ x + 1 = 0
x + 1 + 2x – 2 = x 2 – 5 9 – (4x + 4) __________ x + 1 = 0
– x 2 + 3x + 4 = 0 9 – 4x – 4 _________ x + 1 = 0
x = –3 ±
_____________
3 2 – 4 . (–1) . 4
__________________ 2 . (–1) 5 – 4x = 0
x = –3 ±
______
9 + 16 ____________ –2 =
–3 ± 5 ______ –2 –4x = –5
x 2 =
–3 – 5 ______ –2 = 4 ∧ x 1 =
–3 + 5 ______ –2 = –1 x =
5 __ 4
No es un valor posible.
INFOACTIVA
46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
163
46 ACTIVIDADES Ecuaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuál es el valor de x en la expresión 1 _____ x – 1 =
x _____ x – 1 ?
b. Si Q(a) = 0, ¿se puede asegurar que x = a es raíz de la expresión fraccionaria
P(x)
____
Q(x)
?
Test de comprensión
67. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es la solución de cada una de las siguientes ecuaciones?
a. 2 _____ x – 3 +
1 _____ x + 3 –
5 _____ x – 3 = 0 x = 9 x = 3 x = 6
b. 2 __ x 2 +
1 ___ 3x =
2 __ x x = 0 x =
6 __ 5 x = 2
c. 2 _____ x – 2 +
2 ______ x 2 – 4 =
x + 3 ______ x 2 – 4 x = 2 x = –3 x = –4
d. x
2 __ 2 –
x 2 _____ x + 1 = 0 x = 1 x = –1 x = 0
68. Indiquen los valores que no puede tomar la variable y resuelvan las ecuaciones.
a. x + 3 _____ x =
3 __ 2 e.
x + 2 _____ x – 3 +
x _____ x + 3 =
x . (x – 3)
________ x 2 – 9
b. 2x – 1 ______ 2x = 0 f.
x _____ x + 3 –
x _____ x – 2 = 0
c. x + 5 _____ 3x =
2 __ 5 g.
x + 5 _____ x + 1 –
x 2 + 3
______ x 2 – 1 =
x – 2 _____ x 2 – 1
d. x – 5 _____ x + 7 –
x _____ x – 2 = 0 h.
1 _____ x + 1 +
x + 6 _____ x – 3 =
x 2 + 2 __________ x 2 – 2x – 3
a. No tiene solución. b. No, porque Q(x) no puede anularse.
X
X
X
X X
∀x : x ≠ 0; x = 6 ∀x : x ≠ –3 x ≠ 3; x = –2
∀x : x ≠ 0; x = 1 __ 2 ∀x : x ≠ –3 x ≠ 2; x = 0
∀x : x ≠ 0; x = 25 ∀x : x ≠ ±1; x = 2
∀x : x ≠ –7 x ≠ 2; x = 5 __ 7 ∀x : x ≠ –1 x ≠ 3; x = –
1 __ 8
164
69. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a. x + 1 _____ x + 2 –
x – 2 _____ x – 3 = 0 f.
x 2 – 4x + 3
___________ x 2 + x – 2 +
2x + 4 __________ x 2 + 5x + 6 =
2x – 1 ______ x + 2
b. 1 _____ x – 1 –
x _________
x 2 + x + 1
= 5 _____
x 3 – 1
g. x
2 + x __________ x 2 + 8x + 7 –
2x – 3 ______ x + 7 =
2x – 6 ___________ x 2 + 4x – 21
c. 14x – 4 _______ 2x – 2 – 3 =
4x + 53 _______ x + 5 h.
x 2 ______ x 2 – 9 +
2 _____ x – 3 –
7x _______ 7x + 21 = 0
d. 2x – 1 ______ x – 2 +
3x + 2 ______ 6x + 4 :
1 ___ 2x = 0 i.
x 2 – 5x
___________ x 3 – 6 x 2 + 5x –
2 x 3 + 2 x 2 – 12x _____________ x 3 – 7x + 6 =
2x . (1 – x)
_________ x 2 – 1
e. x
4 – 2x ______ x 3 – 2 – x =
2 ______ x 3 – 2 j.
x – 3 __________ x 2 – 4x + 4 –
3 _____ x – 2 =
5x + 1 __________ x 2 – 4x + 4
46 ACTIVIDADES Ecuaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
x = 1 __ 2
x = –1
x = 2 x = 1
x = 6 x = – 6 __ 5
x = ± 1 x = 1 __ 3
x = 2 __ 7
165
70. Observen las resoluciones de las siguientes ecuaciones y marquen los errores que encuentren.
Luego, resuélvanlas correctamente.
a. x + 3 _______
x 2 + 3x
+ 2x ___
x 2
= 2 x
2 _______
x 2 + 3x
x + 3 _________
x . (x + 3)
+ 2x . (x + 3) _________
x 2
= 2 x
2 ________
x . (x + 3)
x + 3 + 2x 2 + 3x = 2x 2
4x + 3 = 0
x = – 3 __ 4
b. 3 _____
x 2 + 1
+ 5 _____ x – 1 =
2 _____ x – 1
3 . (x – 1) + 5 . (x + 1)
___________________
(x + 1) . (x – 1)
= 2 _____ x – 1
3 . (x – 1) + 5 . (x + 1) = 2 . (x + 1)
3x – 3 + 5x + 5 = 2x + 2
8x – 2x =2 + 3 – 5
6x = 0
x = 0
71. Resuelvan.
En la ecuación 5x + 3 ______ x – 1 +
ax _____ x + 1 =
13x – 3 _______ x 2 – 1 , ¿qué valores puede tomar a para que se cumplan las condicio-
nes indicadas en cada caso?
a. Que la solución de la ecuación sea –1.
b. Que la solución de la ecuación sea –2.
c. Que la ecuación no tenga solución.
46 ACTIVIDADES Ecuaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
Si x = –2 anula el numerador de la ecuación x
2 + 5x + 6
__________ x + 2 = 0, ¿se puede decir que x = –2
es una solución?
menteACTIVA
Falta multiplicar el denominador del segundo término por (x + 3).
El común denominador es incorrecto.
No es posible, –1 no pertenece al dominio de la ecuación.
a = –6
a = –5
El valor x = –2 no es solución a la ecuación porque no pertenece al dominio.
166
INTEGRACIÓN
72. Marquen las opciones correctas.
¿Cuáles de las siguientes son expresiones alge-
braicas fraccionarias?
a. ( x 3 – 2) . x
b. ( x 5 – 3x) . (x – 1)
–1
c. 2x –2 . (x + 1)
d. 5x 3 – 3 –1 . x
73. Escriban los valores que puede tomar la
variable en cada caso.
a. x – 2 _____ x + 3 d.
x 2 – 2x + 1 __________________ x 3 – 15 x 2 + 64x – 49
b. x – 1 ______ x 2 – 9 e.
5 x 5 + 3 x 2 + 2 ____________ 4 x 2 + 9
c. x
3 – 3x
__________ x 3 + x 2 – 6x f.
x 2 + 5x + 6
___________ x 2 – 3x – 10
74. Simplifiquen las siguientes expresiones alge-
braicas; indiquen los valores que no puede tomar
la variable en cada caso.
a. 2 x
2 – 4x – 6 ___________ x 2 + 2x – 15 =
b. 3 x
2 – 18x + 15 _________________ 2 x 3 – 10 x 2 – 2x + 10 =
c. –2 x
3 + 14x – 12
______________ x 2 + x – 6 =
d. –5 x
3 + 25 x 2 – 35x + 15
_____________________ x 3 – 3x + 2 =
e. x
4 – 3 x 3 – 6 x 2 + 28x – 24
_______________________ x 3 + 5 x 2 + 6x =
f. x
3 – 3 x 2 + 4
_______________ x 4 + 3 x 3 – x 2 – 3x =
g. x
4 – 5 x 3 – 2x 2 + 11x – 5
____________________ x 4 + 3 x 3 – 2 x 2 – 5x + 3 =
h. x
3 – 4 x 2 – 3x + 18
________________ x 3 + x 2 – 8x – 12 =
i. x
3 + 3 x 2 – 10x
______________ x 4 + 7 x 3 + 10 x 2 =
j. x
4 – 5 x 2 + 4
____________________ x 4 + 2 x 3 – 3 x 2 – 4x + 4 =
k. x
2 – 7x – 30
____________ x 3 – 10 x 2 =
75. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es la mínima expresión que corresponde a
cada una de las siguientes expresiones algebrai-
cas fraccionarias?
a. 2 x
2 + 5x + 3 _____________________ x 4 + 4 x 3 + 7 x 2 + 6x + 2
2 . ( x + 3 __ 2 )
_________ x + 1
2 . ( x – 3 __ 2 )
__________________
(x + 1) . ( x 2 + 2x + 2)
Ninguna de las anteriores.
b. 6 x
3 + 7 x 2 – 11x – 2 ___________________ 12 x 3 + 38 x 2 + 30x + 4 =
x – 1 ________
2 . (x + 1)
x – 1 _________
2 . ( x + 1 __ 6 )
Ninguna de las anteriores.
76. Resuelvan las siguientes multiplicaciones.
a. x
2 – 3x _________
x 2 – x – 6
. x – 1 _____ x =
b. x
3 – 5 x 2 + 9x – 9
________________ 2 x 2 – 10x + 12
. x – 1 __________ x 2 + 4x – 5 =
c. x
3 – 3 x 2 + 4
_____________ 2 x 3 – 10 x 2 + 12x
. 4x – 20 _______ x 2 – 1 =
d. 3 x
4 + 9 x 3 – 3x – 9 ________________
2 x 2 – 10x + 12
. 4 x
4 – 8 x 3 ________ x 3 – 1 =
e. x
3 – x 2 – 3x + 3
______________ 3 x 2 – 12x + 9
. 3 x
2 – 9x
________ 7 x 2 – 21 =
f. 3 x
3 + 24 x 2 + 15x – 150 ____________________ x 3 – x 2 – 8x + 12
. x
3 + 3 x 2 _______ x – 5 =
77. Resuelvan las siguientes divisiones.
a. 3 x
2 + 6x – 45 ____________ x 2 + 7x + 10
: x
3 + 4 x 2
___________ 3 x 2 + 3x – 6 =
b. x
3 + x – 6
____________ x 3 + 3 x 2 – 10x
: x + 3_____________ x 5 + 4 x 4 – 5 x 3 =
c. x
3 – 4 x 2 – 28x – 32
__________________ x 3 – 13 x 2 + 40x
: x + 2 __________ x 2 + x – 30 =
d. x
2 + x – 6
___________ x 2 + 5x + 6 :
x 2 + x – 6 _________
x 2 – 4
=
e. x
3 – 125
_______ x 2 – 25 :
5 x 4 + 25 x 3 + 125 x 2 ________________
5 x 3 + 25 x 2
=
f. x
3 + x 2 – 8x –12
______________ x 2 + 3x – 10 :
x 3 – x 2 – 6x
________________ x 3 + 8 x 2 + 5x – 50 =
X
X
Solución a cargo del alumno.
2 . (x + 1)
________ x + 5
3 ________
2 . (x + 1)
–2 . (x – 1)
–5 . (x – 3)
_________ x + 2
(x – 2) 3
________
x . (x + 2)
(x – 2) 2
_______________
x . (x – 1) . (x + 3)
x – 5 _____ x + 3
x – 3 _____ x + 2
x – 2 ________
x . (x + 2)
(x – 2) . (x + 1)
_____________
(x + 2) . (x – 1)
x + 3 _____
x 2
X
X
x – 1 _____ x + 2
x
2 – 2x + 3 _______________
2 . (x – 2) . (x + 5)
2 . (x – 5) . (x – 2)
________________
x . (x – 3) . (x – 1)
6 x 3 . (x + 3)
__________
x – 3
x __ 7
3 . ( x + 5) 2 . x 2
_____________
(x – 2) . (x – 5)
9 . (x – 3) . (x – 1)
_______________
x 2 . (x + 4)
x 2 . (x – 1)
(x + 2) . (x + 6)
_____________ x
x – 2 _____ x – 3
1
x
2 + x – 6
_________
x 2 – 4
167
44*45*46
CONTENIDOS
78. Resuelvan e indiquen los valores que no
puede tomar la variable.
a. x
2 + x – 6
__________ x 2 + 4x + 3
. x
2 – 1 _________ x 2 – x – 2 =
b. x
4 + 2 x 3 _______ x 3 – 4x
. x
2 – 5x + 6
___________ x 3 – 3 x 2 =
c. x
5 + 2 x 4 – 15 x 3
_____________ x 2 – 8x + 15 :
x 3 – 3 x 2 _____________ x 5 + 2 x 4 – 35 x 3 =
d. 3 x
2 – 27x + 42 _____________
x 2 – 5 __ 3 x –
2 __ 3
: 5x – 35 ___________
x 3 – 8 __ 3 x
2 – x
=
79. Resuelvan las siguientes sumas y restas con
igual denominador.
a. x + 2 _____ x – 3 +
5x 2 + 3
_______ x – 3 =
b. x ______ x 2 – 4 +
2 ______ x 2 – 4 =
c. 2 x
3 __________ x 2 + 4x + 4 +
5x + 3 __________ x 2 + 4x + 4 =
d. 2x + 3 ______ 3x – 2 –
x + 1 ______ 3x – 2 =
e. 2x + 3 _________ x 2 + x – 1 –
x 2 – 5
_________ x 2 + x – 1 =
f. x
3 – 6x – 2
__________ x 2 + x – 6 –
x 4 – x 3 _________ x 2 + x – 6 =
80. Resuelvan las siguientes sumas y restas con
distinto denominador.
a. 2 _____ x + 3 +
x _____ x – 2 =
b. 2 _____ x + 1 –
3x + 1 __________ x 2 + 3x + 2 =
c. 2x _____ x + 3 +
3 _____ x – 3 –
x + 1 ______ x 2 – 9 =
d. 2x __________ x 2 + 4x + 4 +
3x + 5 ______ x 2 – 4 =
e. x
2 – 2x _________ x 2 + x – 6 –
x 3 _______ x 2 + 3x =
f. 3 __________ x 2 + 6x + 9 +
x ______ x 2 – 9 –
x 2 __________ x 2 – 6x + 9 =
g. 3 x
2 _______ x 2 + 5x –
2x + 1 _______ x 3 + 2 x 2 +
x ___________ x 2 + 7x + 10 =
h. 2 _______ 6 x 2 + x +
x – 1 _______ 6 x 3 + x 2 –
x + 2 ___________ 6 x 2 + 7x + 1 =
81. Escriban una suma o una resta entre expre-
siones algebraicas racionales, cuya simplificación
dé el resultado indicado en cada caso.
a. x – 1 _____ x + 3
b. x
2 + 3x – 1
__________ x + 5
c.
x 4 + 2
______ x – 1
d. 1 _____ x + 6
e. x – 3
f. x
5 – 2x + 1 __________ x + 3
82. Resuelvan los siguientes cálculos combinados.
a. 2 _____ x + 3 +
x 3 + 2 x 2 – 14x – 3
________________ x 2 – x – 2
. 2x + 2 ________________ x 3 + 8 x 2 + 16x + 3 =
b. 3 x
2 – 2x – 5 ____________ 6 x 2 + 8x – 30
. x + 3 _____ x – 1 –
3 ______ 2x – 6 =
c. x
2 + 3x + 2
____________ x 3 + 4 x 2 + 3x –
(x + 2) 2
__________ x 2 + 6x + 9 + 2x =
d. 3 x
3 + 8 x 2 – 33 + 10 _________________ x 3 + 3 x 2 – 10x –
2 x
3 + x 2 – 6x – 3 _______________ x 3 – 3 x 2 + 3x – 1
________________
x
2 – 3 __________
x 2 – 2x + 1
=
e. 3 x
2 + 5x – 2 _____________ 3 x 3 – 10 x 2 + 3x +
x
2 + 5x – 3
_________________ x 3 + 5 x 2 – 9x – 45
___________________
x
3 + 4 x 2 – 8x + 3 ________________
x 3 + 6 x 2 + 3x – 10
=
f. x
2 – x __________ x 3 – 3 x 2 – 4 +
x
4 + x 3 _______ x 3 – 3 x 2
________________
x
3 + 5 x 2 + 8x + 4 _______________
x 2 – 5x + 6
=
g. x
5 – 25 x 3
_____________ x 5 – 3 x 4 – 10 x 3 –
x
3 – 5 x 2 – 6x
____________ x 2 – 4x – 12
_____________
x
2 – 8x + 15 ___________
x 2 – x – 6
=
83. Resuelvan las siguientes ecuaciones, indi-
quen los valores que no puede tomar la variable
y verifiquen los resultados obtenidos.
a. 2x – 3 ______ x + 1 – x =
–2 x 2 – 5x + 4 ____________ x + 1
b. 2 _____ x – 5 –
3 _____ x + 5 = 0
c. 2x + 1 ______ x – 3 +
1 __ x =
2 x 2 + 10x – 5 ____________ x 2 – 9
d. x – 2 _____ x – 3 +
x + 3 _____ x + 2 = 2
e. 3 x
3 + 7 _______ x 2 – 9 +
x 2 _____ x + 3 =
x + 1 _____ x – 3
f. x + 5 __________ x 2 + 4x + 4 +
x – 3 _____ x + 2 = 1
6
capítulo
x – 1 _____ x + 1
1
x 4 . (x – 5) . (x + 7)
________________ x + 3
3x . (x – 3)
5 x
2 + x + 5 __________ x – 3
1 _____ x – 2
2 x
3 + 5x + 3 ___________
x 2 + 4x + 4
x + 2 ______ 3x – 2
– x
2 + 2x + 8 ___________
x 2 + x – 1
– x
4 + 2 x 3 – 6x – 2 ________________
x 2 + x – 6
x
2 + 5x – 4 _____________
(x + 3) . (x – 2)
–x + 3 __________
x 2 + 3x + 2
2 x 2 – 4x + 8 ___________
x 2 – 9
5 x
2 + 7x + 10 _______________
x 3 + 2 x 2 – 4x – 8
– x
4 + 3 x 3 – 2 x 2 _____________
x 3 + x 2 – 6x
– x
4 – 5 x 3 – 6 x 2 – 27x + 27 _______________________
x 4 – 18 x 2 + 81
3 x
4 + 7 x 3 – 2 x 2 – 11x – 5 _____________________
x 4 + 7 x 3 + 10 x 2
– x
3 + x 2 + 2x – 1 ______________
6 x 4 + 7 x 3 + x 2
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
x = –7, x = 1
x = 25
x = 1 __ 2
x = ±1
x = ±2
AUTOEVALUACIÓN
168
6
capítulo
Marquen las opciones correctas
84. ¿Cuál es la expresión factorizada del siguiente polinomio?
P(x) = x 6 + 2x 5 + x 4 – 8x 3 – 16x 2 – 8x
a. x . (x – 8) . (x + 1)
2 b. x . ( x 3 – 8) . (x + 1)
2 c. x 3 . (x – 8) . (x + 1)
2
85. En la ecuación x 4 + 5x 3 – 12x 2 + 2 = 3x 3 – x 4 + 2, ¿cuál es el conjunto solución?
a. S = {–3;2} b. S = {–2;3;0} c. S = {–3;0;2}
86. Dada la función polinómica P(x) = x 3 – 2x 2 – 5x + 6,...
a. ... ¿cuál es la ordenada al origen?
(0;6) (6;0) (0;–6)
b. ... ¿cuáles son las raíces?
{–3;–2;1} {–2;–1;3} {–2;3;1}
c. ... ¿cuál es el conjunto de positividad?
C + = (1;2) ∪ (3;+∞) C
+ = (–2;1) ∪ (3;+∞) C
+ = (–∞;1) ∪ (3;+∞)
d. ... ¿cuál es el gráfico que le corresponde?
–4 –2 0 2 4
6
2
–2
y
x
2
–2 x–4 –2 0 2 4
y
6
2
–2 x–4 –2 0 2 4
y
87. ¿Cuál de las expresiones se obtiene al simplificar la siguiente expresión algebraica fraccionaria?
x
5 – 4 x 4 + 16 x 2 – 16x
__________________ x 4 + 3 x 3 – 10 x 2
a.
(x – 2) . ( x 2 – 4)
______________ x b.
(x – 2) 2
_______ x c.
(x – 2) . ( x 2 – 4)
______________
x . (x + 5)
88. ¿Cuál es la solución a la ecuación 3 _____ x – 3 +
2 _____ x + 3 = 0?
a. x =
3 __ 5 b. x = –
3 __ 5 c. x = –
5 __ 3
X
X
X
X
X
X
X
X
Sistemas de ecuaciones
Contenidos
47. Sistemas de ecuacioneslineales. Método gráfico.
48. Resolución de sistemas de
ecuaciones I.
49. Resolución de sistemas de
ecuaciones II.
50. Sistemas de ecuaciones
mixtos.
ca
p
ít
u
lo7
La matemática de la antigua Grecia consistía, principalmente, en lo que hoy
es apenas una de sus ramas: la geometría. Otras áreas fueron desarrolladas,
pero siempre pensadas como auxiliares a aquella que constituía su verdadero
interés. Mucho tiempo después de la conquista romana, vivió en Alejandría el
célebre Diofanto, quien desarrolló la disciplina que más tarde perfeccionarían
los árabes: el álgebra. Su obra ha perdurado durante siglos y contiene, entre
otras cosas, los elementos básicos sobre sistemas de ecuaciones lineales. Pero
lo más curioso es que muy poco se sabe de él, excepto la edad en que murió,
expresada justamente como la solución de una ecuación lineal.
Su niñez, dice el epitafio, ocupó la sexta parte de su vida; transcurrió una
doceava parte más hasta que tuvo barba. Luego pasó una séptima parte hasta
que se casó y cinco años más tarde tuvo un niño, que vivió en total la mitad
de años que su padre. Diofanto le sobrevivió y lo lloró durante cuatro años.
1. Lean atentamente y respondan.
a. ¿Qué edad tenía Diofanto cuando murió? ¿Cómo la calcularon?
b. ¿Se les ocurre alguna situación parecida a la de Diofanto que se pueda
resolver por medio de una ecuación o un sistema de ecuaciones lineales?
a. x __ 6 +
x ___ 12 +
x __ 7 + 5 +
x __ 2 + 4 = x ⇒ x = 84. Diofanto tenía 84 años. Se planteó la ecuación lineal
a partir de los datos del problema. b. Respuesta abierta. Por ejemplo, un problema con las eda-
des de padres e hijos: “Hace 4 años, la edad de Pedro era el triple que la de su hijo y dentro de
6 años será el doble. Calculen las edades de Pedro y su hijo.” Pedro, 34 años y su hijo, 14 años.
46
170
47 48 49 50 51 52 53 54 55 56
Sistemas de ecuaciones lineales. Método gráfico
Un sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas cada
una representa dos rectas en el plano, y resolverlo es hallar la intersección de ambas (conjunto solución).
{ax + by = c dx + ey = f
Dos rectas en un plano pueden ser incidentes (tienen un punto en común) o paralelas (no tienen
ningún punto en común o son coincidentes).
Los sistemas se clasifican en compatibles e incompatibles, según tengan o no solución; los sistemas
compatibles pueden ser determinados o indeterminados, según tenga una o infinitas soluciones.
Rectas incidentes Rectas paralelas
R
1
∩ R
2
= {( x
1
; y
2
)} R
1
∩ R
2
= R
1
= R
2
R
1
∩ R
2
= ∅
Determinado Indeterminado Sistema incompatible
(solución única) (infinitas soluciones) (no tiene solución)
Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales
Para resolver gráficamente un sistema de ecuaciones, se deben representar ambas rectas en un mismo
sistemas de ejes y hallar la intersección de ambas.
{3x + y = –1 x + 2y = 3 ⇒ { y 1 = –3x – 1 y 2 = – 1 __ 2 x + 3 __ 2 {
x – 1 __ 3 y = 2 3x – y = –1
⇒ { y 1 = 3x – 6 y 2 = 3x + 1
S = {(–1;2)} S = ∅
y
3
2
1
–1
–2
–2 –1 0 1 2 3 4 x
y = –3x – 1
y = – 1__ 2 x +
3__ 2
(–1;2)
y
2
–2
–4
–6
–2 –1 0 1 2 3 4 x
y = 3x + 1 y = 3x – 6
Sistema compatible determinado Sistema incompatible
INFOACTIVA
y
0 x
R
1
y
y
1
x
1
x
R
1
R
2
y
0 x
R
2
R
1
0
¿Para qué sirve?
PÁGINA 11
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si dos rectas son coincidentes, ¿cuántos puntos tienen en común?
b. Un sistema incompatible ¿tiene infinitas soluciones?
47 ACTIVIDADES Sistemas de ecuaciones lineales. Método gráfico
Test de comprensión
1. Marquen las opciones correctas.
Teniendo en cuenta el sistema {2x + y = 6 y – 9 = ax , ¿cuál debe ser el valor de a para que el sistema sea
incompatible?
a. 2 b. –2 c. 1 __ 2
2. Resuelvan gráficamente y clasifiquen cada uno de los siguientes sistemas.
a. {y = x + 2 y – 1 = 1 __ 2 x c. {
– 1 __ 2 x + y = 1 x + 2 = 2y
S = S =
b. {y – 2 __ 5 x = 1 2x – 5y = 10 d. {2x – 3y = – 9 y + x = –2
S = S =
Test de comprensión
171
a. Infinitos puntos. b. No, no tiene solución.
X
{(–2;0)} Infinitas soluciones
Sistema compatible determinado. Sistema compatible indeterminado.
∅ {(–3;1)}
Sistema incompatible. Sistema compatible determinado.
y
3
2
1
–2 0 1 x
y = x + 2
y –1 = x + 1 __ 2
(–2;0)
y
3
2
1
–2 0 1 x
y = 1 __ 2 x + 1
y
3
2
1
–1
–2
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 x
y = 2 __ 3 x + 3y = –x – 2
(–3;1)
y
3
2
1
–1
–2
–2 0 1 5 x
y – 2 __ 5 x = 1
2x – 5y = 10
172
57565554535251504948
Resolución de sistemas de ecuaciones I
Para resolver analíticamente un sistema de ecuaciones, existen varios métodos. Todos ellos permiten
obtener el mismo resultado, y la utilización de uno u otro dependerá de cómo está planteado el sis-
tema original.
Método de sustitución
Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones, y luego reemplazarla en la otra ecuación.
{2x + 4y = 2 (a) 3x – 2y = 9 (b) ⇒ (a) x = 1 – 2y 1. Se despeja x en la ecuación (a).
3 . (1 – 2y) – 2y = 9 2. Se reemplaza la x por “1 – 2y” en la
ecuación (b).
3 – 6y – 2y = 9 ⇒ 3 – 8y = 9 ⇒ –8y = 6 ⇒ y = – 3 __
4
3. Se resuelve, obteniendo el valor de y.
2x + 4 . ( – 3 __ 4 ) = 2 ⇒ 2x – 3 = 2 ⇒ x = 5 __ 2 4. Se reemplaza el valor de y, en cualquiera
de las dos ecuaciones, y se calcula el de x.
S = { ( 5 __ 2 ;– 3 __ 4 ) } 5. Se escribe el conjunto solución.
Método de igualación
Se debe despejar en ambas ecuaciones la misma incógnita y luego, igualar las ecuaciones obtenidas.
{2x – 2y = 3 __ 2 (a) 3x + y = 5 __ 4 (b)
(a): –2y = 3 __ 2 – 2x ⇒ y = x –
3 __ 4 (b) y =
5 __ 4 – 3x 1. Se despeja y de ambas ecuaciones.
x – 3 __ 4 =
5 __ 4 – 3x ⇒ 4x = 2 ⇒ x =
1
__
2
2. Se igualan ambas ecuaciones y se calcula
el valor de x.
2 . 1 __ 2 – 2y =
3 __ 2 ⇒ –2y =
1 __ 2 ⇒ y = –
1
__
4
3. Se reemplaza el valor de x obtenido, en
cualquiera de las ecuaciones, y se calcula el de y.
S = { ( 1 __ 2 ;– 1 __ 4 ) } 4. Se escribe el conjunto solución.
Métodos de reducción por sumas y restas
Se igualan los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones multiplicando los dos
miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan
ambas ecuaciones para eliminarla.
{5x – 2y = 2 2x – 4y = 8 ⇒ {(5x – 2y) . 2 = 2 . 2 2x + 4y = 8 1. Se igualan los coeficientes de y.
{10x – 4y = 4 2x + 4y = 8 +
12x = 12
2. Se suman las ecuaciones, miembro a miembro.
12x = 12 ⇒ x = 1 3. Luego, se calcula el valor de x.
2 . 1 + 4y = 8 ⇒ 4y = 6 ⇒ y = 3 __
2
4. Se reemplaza el valor de x obtenido, en cualquiera de
las dos ecuaciones, y se calcula el de y.
S = { ( 1; 3 __ 2 ) } 5. Se escribe el conjunto solución.
INFOACTIVA
47
173
Test de comprensión
3. Resuelvan los siguientes sistemas por el método de igualación y escriban el conjunto solución.
a. {2x – 9y = 11 4x + y = 3 c. {2 . (x + 3) – 3 = y + 3 _____ 2 x – 4 _____ 2 – 2y – 1 ______ 4 = – ( 1 __ 2 ) –2
b. {x – 1 __ 3 y = –0,2 y – 2 = 3x d. {3 . ( x + 2 __ 3 ) – 3 . ( y – 1 __ 4 ) = – 1 __ 4 2 . (x + y) – 4 __ 5 = 3 __ 2 y + 1 ___ 15
4. Resuelvan los siguientes sistemas por el método de sustitución y escriban el conjunto solución.
a. {y – 4 __ 3 = 2x 1 __ 3 x + y = –1 c. {– 3 __ 2 . (x – 4y) = –4 6y + 5x _______ 10 – 1 __ 3 = – 2 __ 5 y
b. {–x + 5y = –6 2x + 10 + y = 0 d. { 1 __ 4 x – 4x – 3 ______ 2 =y 5 – 3x ______ 2 – y = –2
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En el método de sustitución, ¿se reemplaza siempre la misma incógnita?
b. Si un sistema tiene solución vacía, gráficamente ¿se obtienen rectas paralelas?
48 ACTIVIDADES Resolución de sistemas de ecuaciones I
a. No, se puede reemplazar cualquier incógnita. b. Sí.
S = {(1;–1)} S = { ( 1 __ 2 ;5 ) }
S = ∅ S = { ( 11 ___ 75 ; 86 ___ 75 ) }
S = { ( –1;– 2 __ 3 ) } S = { ( 52 ___ 33 ;– 3 __ 11 ) }
S = {(–4;–2)} S = { ( –12; 45 ___ 2 ) }
174
48 ACTIVIDADES Resolución de sistemas de ecuaciones I
5. Resuelvan los siguientes sistemas por el método de sumas y restas y escriban el conjunto solución.
a. {3x – 2y = 4 4y – 5 = 3x c. {2 + 3x = 5 __ 8 y –4x + 7 ___ 12 y + 16 ___ 3 = 0
b. { 3 __ 4 x = – 1 __ 2 – 3 __ 2 y 1 + 1 __ 4 x = – 1 __ 6 y d. {
5 __ 3 x – 1 = 2y
3 __ 2 + 3y =
5 __ 2 x
6. Resuelvan los siguientes sistemas por el método más conveniente y escriban el conjunto solución.
a. {2 . (y – 3) + 5x = y + 1 4 . (y – 1) – 1 = 3y – 2x c. { 2x – 1 ______ 2 = 4y – 3 __ 2 1 __ 5 . (y + 3) = x + 6 _____ 10
b. { x + 2 _____ 4 + 7 __ 2 = y + 3 3 __ 4 x = 1 – y – 3 _____ 3 d. {y + 1 __ 2 . (x – 2) – 1 __ 4 . (3x + 1) = 0 1 __ 6 x – 2 . ( y – 9 __ 2 ) = 4y + 3 __ 2
S = {(6;7)} S = {(6;32)}
S = { ( – 17 ___ 3 ; 5 __ 2 ) } Infinitas soluciones.
S = { ( 2 __ 3 ; 11 __ 3 ) } S = { ( 1; 1 __ 2 ) }
S = { ( 2; 3 __ 2 ) } S = { ( 0; 5 __ 4 ) }
175
7. Resuelvan los siguientes problemas planteando previamente el sistema de ecuaciones correspondiente.
a. Valentina pagó $58,10 por tres paquetes de pastillas y siete alfajores. Camila pagó $57,70 por
seis paquetes de las mismas pastillas y cinco alfajores iguales. ¿Cuánto cuesta cada paquete de
pastillas y cada alfajor?
b. Laura tiene cuatro años menos que la mitad de la edad que tiene su papá. Hace siete años, el
papá tenía el triple de la edad de Laura. ¿Cuántos años tiene cada uno en la actualidad?
c. Francisco y Pedro fueron a tomar un helado. Antes de salir de su casa, Francisco tenía $50 más
que Pedro. Cada uno se compró un cucurucho que costó $20. Si después de pagar los helados, a
Francisco le quedó el doble del dinero que tenía Pedro, ¿cuánto tenía cada uno antes de salir?
d. La diferencia entre el doble de un número y la tercera parte de otro es igual a 25. Además, la
suma entre la tercera parte del anterior del primer número y el anterior del doble del segundo es 46.
¿Cuáles son los números?
8. Calculen el perímetro del paralelogramo abcd.
b
cd
a
48 ACTIVIDADES Resolución de sistemas de ecuaciones I
Un micro salió de Mar del Plata a 120 km/h. Tres horas antes, salió otro micro de la
misma terminal y con el mismo destino que el anterior, a 90 km/h. Si ambos micros
circulan a velocidad constante, ...
a. ... ¿cuánto tiempo tardarán en encontrarse?
b. ... ¿a qué distancia de Mar del Plata se encontrarán?
menteACTIVA
__
bc = 3 __ 5
.
___
ab + 6,9 cm
3 .
___
ab –
__
bc = 13,50 cm
{3p + 7a = 58,10 6p + 5a = 57,70 Cada alfajor cuesta $6,50 y cada paquete de pastillas, $4,20.
{l = 1 __ 2 p – 4 3 . (l – 7) = p – 7 Laura tiene 22 años y su papá, 52 años.
{f = p + 50 f – 20 = 2 . (p – 20) Francisco tenía $120 y Pedro, $70.
{2x – 1 __ 3 y = 25 1 __ 3 . (x – 1) + 2y – 1 = 46 Los números son 16 y 21.
___
ab = 8,5 cm;
__
bc = 12 cm.
El perímetro es de 41 cm.
{e = 120t e = 90 . (t + 3)
a. Se encontrarán a las 9 h.
b. Se encuentran a 1 080 km.
176
Resolución de sistemas de ecuaciones II
El valor del determinante de una matriz cuadrada de orden 2 es la diferencia entre el producto de
los elementos de la diagonal marcada con verde y los elementos de la diagonal marcada con naranja.
A
2x2
= ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) ⇒ |A| = |
a
11
a
12
a
21
a
22
| = a 11 . a 22 – a 21 . a 12
|A| = | 5 2 –7 –3 | = 5 . (–3) – (–7) . 2 = –15 + 14 = –1
La regla de Cramer es un método para resolver, mediante el uso de determinantes, sistemas de
ecuaciones cuadrados, es decir, que contengan el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.
El procedimiento se explica para un sistema de 2 x 2 y de manera análoga se resuelve cualquier
sistema cuadrado de n x n.
Para resolver un sistema { a 1 x + b 1 y = c 1 a
2
x + b
2
y = c
2
se deben realizar dos procedimientos.
1. Se hallan los valores de los siguientes determinantes.
Δ = | a 1 b 1 a
2
b
2
| Δ x = | c 1 b 1 c
2
b
2
| Δ y = | a 1 c 1 a 2 c 2 |
Determinante general
Se forma con los coefi-
cientes de las incógnitas.
Determinante en x
Se reemplazan en Δ los coe-
ficientes de x por los térmi-
nos independientes.
Determinante en y
Se reemplazan en Δ los coe-
ficientes de y por los térmi-
nos independientes.
2. Se calculan los valores de las incógnitas.
x =
Δ
x
__ Δ ∧ y =
Δ
y
__ Δ
Resuelvan el sistema {4x – 2y = 6 –2x + 6y = 2
Δ = | 4 –2 –2 6 | ⇒ Δ = 20 Δ x = | 6 –2 2 6 | ⇒ Δ x = 40 Δ y = | 4 6 –2 2 | ⇒ Δ y = 20
x =
Δ x __ Δ =
40 ___ 20 ⇒ x = 2 y =
Δ y
__ Δ =
20 ___ 20 ⇒ y = 1 S = {(2;1)}
La clasificación de un sistema se establece de acuerdo con los valores de los determinantes.
Sistema compatible
determinado
Sistema compatible
indeterminado Sistema incompatible
Δ ≠ 0 Δ = 0 ∧ Δ
x
= Δ
y
= 0 Δ = 0 ∧ (Δ
x
≠ 0 ∨ Δ
y
≠ 0)
INFOACTIVA
5857565554535251504948
177
Test de comprensión
49 ACTIVIDADES Resolución de sistemas de ecuaciones II
9. Resuelvan los siguientes sistemas por la regla de Cramer y clasifíquenlos.
a. { 3x – 8y = 2 –2x + 4y = 1 d. { 1 __ 2 x – 4y = 12 y = 1 __ 3 . (1 + x)
b. { 2 __ 5 x – 2 = –4y 10y + 1 __ 2 x = 5 e. { 3 . (3x – 1) = –2y 3x + y = 2
c. { 7 __ 3 x + 2y = 6 6y – 3 + 7x = 0 f. { 6y + 1 = 9x 3x – 1 __ 3 = 2y
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En un sistema de ecuaciones, ¿el determinante general puede ser 0?
b. En un determinante, si un coeficiente es cero, ¿el determinante es cero?
a. Sí, pero el sistema no será determinado. b. No necesariamente.
S = { ( –4;– 7 __ 4 ) } S = {(–16;–5)}
Sistema compatible determinado. Sistema compatible determinado.
S = { ( 0; 1 __ 2 ) } S = { ( – 1 __ 3 ;3 ) }
Sistema compatible determinado. Sistema compatible determinado.
S = ∅ Infinitas soluciones.
Sistema incompatible. Sistema compatible indeterminado.
178
Sistemas de ecuaciones mixtos
Resolver analíticamente un sistema de ecuaciones significa encontrar los valores de las incógnitas
que verifican simultáneamente las ecuaciones del sistema.
Resolver gráficamente un sistema de ecuaciones significa encontrar los puntos de intersección de
ambas gráficas.
En los casos en que el sistema esté formado al menos por una ecuación de segundo grado, se puede
reconocer cuántas soluciones tiene el mismo analizando el discriminante de la ecuación cuadrática que
surge al resolver el sistema por el método de igualación o sustitución.
Δ > 0
Dos puntos de
intersección.
Δ = 0
Un punto de intersección.
Δ < 0
Ningún punto de
intersección.
Sistema formado
por una recta y una
parábola.
{y = mx + d y = a x 2 + bx + c x
y
La recta es secante a la
parábola.
x
y
La recta es tangente a la
parábola.
x
yLa recta es exterior a la
parábola.
Sistema formado
por dos parábolas.
{y = a x 2 + bx + c y = d x 2 + ex + f
x
y
x
y
x
y
Resuelvan los siguientes sistemas.
a. {y = 4x + 2 y = –2 x 2 – 2x + 10
4x + 2 = –2 x 2 – 2x + 10
2 x 2 + 6x – 8 = 0 ⇒ x 1 = –4 ∧ x 2 = 1
La recta es secante a la parábola en los pun-
tos (–4; –14) y (1; 6).
b. {y = 9 x 2 + 6x + 3 y = 3 x 2 + 3x – 12
6 x 2 + 3x + 15 = 0 ⇒ No tiene raíces
reales.
Las parábolas no se cortan.
INFOACTIVA
5958575655545352515049
179
Test de comprensión
10. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es la solución al siguiente sistema?
{y = 1 __ 3 x 2 + x + 1 y = –x – 2 a. (–3;–2) b. (–3;1) c. (3;–1) d. (1;–3)
11. Completen con <, > o =, según corresponda.
a. c. e.
x
y
x
y
x
y
0 0 0
b. d. f.
x
y
x
y
x
y
0 0 0
12. Marquen las opciones correctas.
Si a < 0, b < 0 y c > 0, ¿cuál de los gráficos corresponde al sistema?
{y = a x 2 + c y = bx
a. b. c. d.
x
y
x
y
x
y
x
y
50ACTIVIDADES Sistemas de ecuaciones mixtos
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Un sistema de ecuaciones mixto, ¿puede resolverse mediante la regla de Cramer?
b. ¿Una parábola y una recta se pueden intersecar en más de dos puntos?
a. No. b. No.
X
< > =
= < >
X
180
13. Resuelvan los sistemas en forma gráfica y analítica e indiquen el conjunto solución.
a. { y = x 2 – 2x – 3 y – 1 = x d. {y = – 1 __ 2 . (x – 3) . (x + 2) 3 __ 4 x + y = 5
b. {y = (x + 1) . (x – 3) y + x = – 1 e. {y = 1 __ 2 . (x – 3) 2 + 1 –4y = (x + 1) . (x + 5)
c. { 1 __ 3 y = x . ( 1 __ 2 x – 1 ) y = 3 . (x – 2) f. {y = x 2 + 5x + 6 y = – x 2 + 2x + 8
50ACTIVIDADES Sistemas de ecuaciones mixtos
S = {(–1;0), (4;5)} S = ∅
S = {(–1;0),(2;–3)} S = ∅
c. S = {(2;0)} S = { ( 1 __ 2 ; 35 ___ 4 ) ,(–2;0) }
y
5
4
–4
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x
(–1;0)
(4;5)
y
1
–1
–3
–4
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x
(–1;0)
(2;–3)
y
5
3
–2
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x1—
2
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x
(2;0)
y
–1
–3
–6
y
6
5
1
–1
–2
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x
11—
2
5–—
4
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x
y
9
6
0,25
1 35(—;——) 2 4
3–—
2
181
14. Resuelvan los siguientes problemas.
a. La altura de un rectángulo mide el doble que su base. Si se aumenta 2 cm la base y se dis-
minuye 3 cm la altura, su área es de 165 cm 2 . ¿Cuáles son las nuevas dimensiones del rectángulo?
b. El producto de dos números es igual a 168. Si uno de ellos es 8 unidades mayor que la mitad
del otro, ¿cuáles son esos números?
15. Lean atentamente y resuelvan.
Marcelo y Carlos tienen un puesto de panchos cada uno en distintos puntos de una ciudad. La ganan-
cia de Marcelo en miles de pesos en un fin de semana está dada por la función M(x) = – x 2 + 6x, y la
de Carlos por la función C(x) = 2x, siendo x la cantidad en cientos de panchos vendidos.
a. Grafiquen M(x) y C(x) en un mismo par de ejes cartesianos.
b. ¿Cuáles son las restricciones que deben realizar para que el sistema tenga sentido?
c. ¿Cuántos panchos tiene que vender cada
uno para que las ganancias de ambos sean
las mismas? ¿Cuáles son los montos?
d. ¿Cuántos panchos tiene que vender Marcelo
para que sus ganancias sean mayores que las
de Carlos?
50ACTIVIDADES Sistemas de ecuaciones mixtos
Encuentren los valores de x para los cuales en el sistema { y 1 = – 1 __ 2 x 2 + 3x + 7 __ 2 y
2
= 3 __ 2 x –
3 __ 2
se cumple que:
a. y
1
(x) > y
2
(x) b. y
1
(x) < y
2
(x)
menteACTIVA
{h = 2b (b + 2) . (h – 3) = 165 Las nuevas dimensiones del rectángulo son 11 cm y 15 cm.
{x . y = 168 x = 1 __ 2 y + 8 Los números son 12 y 14.
x ≥ 0 y x ∈
400 panchos y $8 000 de ganancias.
Mayor que cero y menor o igual que 400 panchos.
a. (–2;5) b. (–∞;–2) ∪ (5;+∞)
y
9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
(4;8)
M(x)
Panchos (cientos)
G
an
an
ci
as
e
n
m
ile
s
de
$
182
INTEGRACIÓN
16. Resuelvan gráfica y analíticamente los siste-
mas y luego clasifíquenlos.
a. {0,6 x – y = 1 1 __ 5 x – 3 = y b. {
y + 3 __ 4 x = 1 x = –3 . (y – 2)
17. Resuelvan los sistemas por el método que
crean más conveniente y luego clasifíquenlos.
a. {–y + 3 __ 4 x = 1 1 __ 3 y = –x + 1
b. { 2 –1 . (x – 1 __ 2 ) = y – 2 2x + 8 = 4y
c. {0,6x – y + 2 = 0 3x – 10 = 5y – 20
d. { x + 2y _______ 2 = 3 + 4y x – y = – 1 __ 3 . (–2 + y)
e. { y – 2 _____ x + 2 = –3 x – 5 . (x – 0,3y) = 1 __ 2 y + 1
f. { 1 – 3y ______ 2 + 1 __ 2 . (x – 2) = 12 5x + 4 ______ 3 – 6 + y _____ 2 = 4
18. Hallen el valor de k para que el sistema
cumpla con las condiciones indicadas en cada
caso.
{kx + 3y = 1 2x + 9y
a. Compatible determinado.
b. Compatible indeterminado.
c. Incompatible.
19. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), teniendo
en cuenta el siguiente sistema.
{x + y = 5 –x – b = y
a. Si b = 1, el sistema no tiene solución.
b. Si b = –5, el sistema no tiene solución.
c. Si b = –5, el sistema tiene infinitas solu-
ciones.
d. Si b ≠ 5, el sistema tiene una única solu-
ción.
20. Hallen el valor de a para que la solución del
sistema sea (–1;–1).
{x + ay = 1 __ 2 4x + y = –5
21. Resuelvan los siguientes problemas.
a. La diferencia entre un número y el doble del
anterior de otro es igual a cuatro. Además, la
diferencia entre el cuádruplo del segundo y el
triple del primero es seis. ¿Cuáles son esos
números?
b. Gastón juntó $64,50 en monedas de $2 y de
$0,50. Si tiene cuatro monedas de $0,50
menos que el triple de monedas de $2, ¿cuán-
tas monedas de cada valor tiene?
c. Encuentren la ecuación general de la recta
que pasa por los puntos ( – 1 __ 2 ;– 5 __ 2 ) y ( 2 __ 3 ;– 1 __ 6 ) .
d. Si al numerador de una fracción se le suma una
unidad y al denominador se le restan tres uni-
dades, se obtiene una fracción equivalente a 2.
Además, se sabe que el numerador es 19 uni-
dades menor que el triple del denominador.
¿Cuál es la fracción original?
e. La razón entre el siguiente de un número y
el anterior de otro es 7 ___ 10 . A su vez, la razón
entre el doble del primer número y el siguiente
del segundo es 1. ¿Cuáles son los números?
f. Calculen las amplitudes de los ángulos interiores
del trapecio isósceles abcd.
^
d = 3 __ 5 ̂ a + 68°
b
cd
a
22. Hallen el valor de c de modo que el sistema
cumpla con las condiciones indicadas.
{3 x 2 + 2x + c = y y = –4x – 1
a. Tenga dos soluciones.
b. Tenga una única solución.
c. No tenga solución.
a. S = {(–5;–4)} S.C.D. b. S = { ( – 12 ___ 5 ; 14 ___ 5 ) } S.C.D.
a. k ≠ 2 __ 3 b. k =
2 __ 3 c. No existe k.
V
F
V
F
a = – 3 __ 2
–10 y –6.
b. 19 monedas de $2 y 53 de $0,50 c. y = 2x – 3 __ 2
d. 17 ___ 12 e. 6 y 11 f. ̂ a = ̂ b = 70° y ̂ d = ̂ c = 110°
c < 2
c = 2
c > 2
S = { ( 16 ___ 15 ;– 1 __ 5 ) } S.C.D.
S = ∅ S.I.
Infinitas soluciones.
S.C.I.
S = {(0;–1)} S.C.D.
S = { ( – 34 ___ 45 ; 26 ___ 15 ) } S.C.D.
S = {(1;–8)} S.C.D.
183
47*48*49*50
CONTENIDOS
23. Resuelvan analítica y gráficamente los siste-
mas y escriban el conjunto solución.
a. {y + 3 = x . (x – 2) x – y = –7
b. {x = 1 __ 4 y y = –2x . (x – 2)
c. {y = (x – 3) 2 y = 1 __ 4 x 2
d. {y = – 3 __ 2 . ( x 2 – 2x – 2) y = –x + 3
e. {y = – x 2 – 8x – 12 y = x 2 – 6x + 5
f. { 1 __ 2 x . (x – 6) = y y + 2x = 4
24. Resuelvan teniendo en cuenta el siguiente
sistema.
{y = 3 __ 2 x + b y = a x 2 + 2x + 1
a. Encuentren el valor de a y de b, sabiendo
que el sistema se interseca en (–4;–3).
b. ¿Hay otro punto de intersección? ¿Cuál?
25. Hallen el valor de b para que las parábolas
del siguientesistema sean tangentes.
{y = – x 2 + 6x – 9 y = 2 . (x – b) 2
26. Encuentren la intersección de la parábola de
vértice (2;–8) y una de sus raíces es (–2;0) con
la recta que pasa por los puntos (4;–6) y (8;–5).
27. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es el intervalo que corresponde para que el
sistema tenga dos soluciones?
{y = 1 __ 4 x 2 – 1 __ 2 x + c y = 1 __ 2 . (3x – 4)
a. c ∈ (–2;+∞)
b. c ∈ (2;+∞)
c. c ∈ (–∞;2)
d. c ∈ (–∞;–2)
28. Hallen el valor de b y de c para que el sis-
tema cumpla con las condiciones indicadas.
{y = – x 2 – 2x + c y = –2x + b
a. Se intersecan en el punto (2;–5).
b. ¿Existe otro punto de intersección? ¿Cuál?
c. Grafiquen ambas funciones.
29. Resuelvan.
a. Encuentren la función cuadrática que tiene
por raíces a x
1
= –
__
5 y x
2
=
__
5 y pasa por el
punto (–3;4).
b. Encuentren la ecuación de la recta que pasa
por los puntos ( – 1 __ 3 ;–2 ) y (2;5).
c. Hallen analítica y gráficamente los puntos de
intersección de ambas funciones.
30. Resuelvan.
a. Desde un árbol se desprende una fruta con
una trayectoria que se describe mediante la
función y = – 5 __ 3 x
2 + 15 metros, donde x está
dada en segundos. En el mismo momento un
ave comienza a volar hacia la fruta, con una
trayectoria que se describe mediante la función
y = 4,16 x. ¿En qué instante y a qué altura se
encuentra el ave con la fruta?
b. Encuentren dos pares de números tales que la
diferencia entre el primero y el segundo es –10, y
además, el segundo número es igual al produc-
to entre el primero y la diferencia entre el
doble del primero y siete.
c. Martín lanzó una pelota con una trayectoria que
se describe mediante la función y = – 3 __ 4 x
. (x – 8).
Simultáneamente, su hermano lanza otra pelota
cuya trayectoria se describe por la fórmula
y = 0,75x + 4,5. Ambas trayectorias están
dadas en metros y x en segundos.
Grafiquen en un mismo par de ejes ambas
trayectorias.
¿En qué instante y a qué altura se chocan las
pelotas?
7
capítulo
a. a = 1 __ 4 y b = 3 b. Sí, el (2;6).
b = 3
Los puntos son ( 1 __ 2 ;– 55 ___ 3 ) y (4;–6).
X
a. b = –1 y c = 3 b. (–2;3)
a. y = x 2 – 5 b. y = 3x – 1 c. S = {(–1;–4),(4;11)}
2 segundos, 8,33 m
b. {x – y = –10 y = x . (2x – 7) Los pares de números son 5, 15 y –1, 9.
c. Se intersecan en el segundo 1, a 5,25 m y en el
segundo 6, a 9 m.
S = {(–2;5),(5;12)}
S = {(0;0)}
S = {(6;9),(2;1)}
S = { (0;3), ( 8 __ 3 ; 1 __ 3 ) }
S = ∅
S = {(–2;8),(4;–4)}
AUTOEVALUACIÓN
184
7
capítulo
Marquen las opciones correctas
31. En {4x + y = 3 1 __ 2 y = ax + 1 , ¿cuál debe ser el valor de a para que el sistema sea incompatible?
a. –2 b. 2 c. 1 __ 2 d. Ninguna de las anteriores.
32. ¿Cuál es la ecuación que completa el sistema con x + 3y ______ 2 =
3 __ 4
. (x – 2) para que tenga infinitas
soluciones?
a. – 1 __ 2 x + 3y = 3 c.
1 __ 2 x – 3 = –3y
b. – 1 __ 2 x + 3
. (y + 1) = 0 d. Ninguna de las anteriores.
33. ¿Cuál es la solución del siguiente sistema?
{ 3x + 5 ______ 4 = 1 __ 2 . (y + x) –x + 3 ______ 2 – y – 2 _____ 3 = 2 __ 3
a. (1;3) b. (3;1) c. (–1;–3) d. Ninguna de las anteriores.
34. Para el cumpleaños de 15 años de Paula, su papá alquiló remises y camionetas para trasladar a
los invitados a la fiesta. Los remises podían transportar hasta 4 personas cada uno y las camionetas
hasta 7 personas cada una. Fueron trasladadas 111 personas y alquiló 21 vehículos en total. Si todos
ellos fueron completos, ¿cuántos vehículos de cada tipo alquiló?
a. 9 remises y 12 camionetas. c. 12 remises y 9 camionetas.
b. 11 remises y 10 camionetas. d. Ninguna de las anteriores.
35. ¿Cuál es el conjunto solución del siguiente sistema?
{y = 2 . (x – 4) 3y = x 2 – 15
a. (–2;3) b. (3;2) c. (–3;2) d. (3;–2)
X
X
X
X
X
Semejanza y trigonometría
Contenidos
51. Teorema de Thales.
52. Aplicaciones del teorema de
Thales.
53. Semejanza de triángulos.
54. Trigonometría.
55. Cálculo de razones
trigonométricas.
56. Resolución de triángulos
rectángulos.
57. Teoremas del seno y del coseno.
58. Resolución de triángulos
oblicuángulos.
ca
p
ít
u
lo8
Imaginemos que viajamos a Egipto y, deslumbrados por las célebres pirámi-
des, queremos conocer su altura. El folleto turístico no tiene ese dato y el came-
llo que nos trajo tampoco parece muy dispuesto a ayudarnos. ¿Cómo hacemos?
El problema se simplifica mucho si somos uno de los Siete Sabios de
Grecia; precisamente aquel que es hoy considerado el padre de la geometría.
Nos referimos a Thales de Mileto, quien logró su cometido valiéndose de una
vara clavada en forma perpendicular en el suelo. En efecto, la razón entre las
alturas de la vara y de la pirámide tiene que ser la misma que hay entre las
longitudes de sus respectivas sombras. Cuenta la leyenda que el sabio resol-
vió el problema de este modo literalmente asombroso, haciendo uso del
teorema que hoy lleva su nombre. Si bien no fue Thales el primero en descu-
brir estas relaciones fundamentales para la semejanza de triángulos, le cabe
el mérito enorme de haberlas sistematizado y explicado de manera racional.
1. Lean atentamente y resuelvan.
a. ¿Cómo se usa el teorema de Thales en el procedimiento descripto en la historia?
b. Más allá de que no tenga pirámides... ¿se podrá usar este método para
medir alturas en un planeta como el de El Principito?
a. Al ser los rayos del sol paralelos entre sí, la altura a de la pirámide dividida por la longitud b de
su sombra debe ser igual al cociente entre una vara de longitud c ubicada perpendicular al suelo y
la longitud d de su sombra. El valor de a se obtiene calculando b . c ____ d . b. No, no serviría medir la
sombra proyectada sobre el suelo, porque al ser tan chico el planeta, su curvatura incide en
los cálculos. En un planeta grande como la Tierra, la curvatura es despreciable si los objetos
están relativamente cerca entre sí.
50
186
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
Teorema de Thales
Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, la razón entre las medidas de
los segmentos determinados en una de ellas es igual a la razón entre las medidas de los segmen-
tos correspondientes determinados en la otra.
A // B // C
D y E transversales.
___
ab ___
__
bc
=
___
de
___
__
ef
Al
___
ab le corresponde el
___
de en la otra transversal.
Se dice entonces que son segmentos correspondientes.
b
a
cC
D E
B
A
e
d
f
Como consecuencia del teorema de Thales, toda recta paralela al lado de un triángulo que interse-
que a los otros dos lados o a sus prolongaciones determina sobre ellos, segmentos proporcionales.
R // S
b
Sa
c
m
n R
b
S
a
c
m
n
R
b Sa
c
m n
R
__
ac
___
___
mc =
__
bc
___
__
nc
___
ma
___
__
ac =
___
nb
___
__
bc
__
ac
___
__
cn =
__
bc
___
___
cm
Calculen la longitud del
__
ap .
R // S,
__
ac = 5 cm,
__
bc = 5,5 cm,
__
qc = 4,4 cm
__
ac ___
__
pc =
__
bc ___
__
qc
__
ap =
__
ac –
__
pc
5 cm _____ __ pc =
5,5 cm ______ 4,4 cm
__
ap = 5 cm – 4 cm
5 cm . 4,4 cm =
__
pc . 5,5 cm
__
ap = 1 cm
22 cm
2 _______ 5,5 cm =
__
pc
b
Sa
c
p
q R
4 cm =
__
pc
INFOACTIVA ¿Para qué sirve?PÁGINA 12
Test de comprensión
51 ACTIVIDADES Teorema de Thales
Test de comprensión
1. Calculen el valor de las incógnitas y la longitud de cada segmento.
a. A // B // C c. A // B // C // D
a
b
cd
e
f
A
B
C
a e
f
g
h
A
B
C
D
b
c
d
__
ac = 12 cm
___
de = (x – 1) cm
___
ab = 2,5 cm
__
fg = ( 3 __ 2 x + 2 ) cm
___
ab = 5 cm
__
ef = (x + 3) cm
___
bd = 12 cm
___
gh = (2x – 0,5) cm
__
ef = (5,5 – x)cm
b.
___
ad //
___
be //
__
cf d. A // B
a d
b e
c f d e
c
baA
B
___
ab = (6 +
__
x ) cm
___
de =
__
x cm
__
ac = (x –
__
5 ) cm
__
cd =
__
5 cm
__
bc =
__
x cm
__
df = 6 cm
__
bc = 2 cm
__
ce = x cm
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cómo se expresa simbólicamente “6 es a 9 como 12 es a 18”?
b. Si al aplicar el teorema de Thales se determina que 5,5 cm ______ 3 cm =
6,6 cm
______
___
ab
, ¿
___
ab mide 12,1 cm?
Test de comprensión
187
a. 6 __ 9 =
12 ___ 18 b. No, mide 3,6 cm.
x = 11 cm;
___
de = 10 cm;
__
ef = 14 cm x = 3 cm;
__
ef = 2,5 cm;
__
fg = 6,5 cm;
___
gh = 5,5 cm
x = 18 cm;
___
ab = (6 + 3 .
__
2 ) cm;
__
bc = 3 .
__
2 cm; x = (5 .
__
5 + 10) cm;
__
ac = (4 .
__
5 + 10) cm;
___
de = 3 .
__
2 cm;
__
ef = (6 – 3 .
__
2 ) cm
__
ce = (5 .
__
5 + 10) cm
188
61605958575655545352
Aplicaciones del teorema de Thales
A partir del teorema de Thales, se puede dividir un segmento ab (de cualquier medida), por ejemplo,
en cuatro segmentos congruentes.
o
a b
o
a b
R
1. Se traza una semirrecta con origen en a.
2. Se marcan sobre la semirrecta cuatro seg-
mentos congruentes (de cualquier medida).
3. Se traza la recta R determinada por o y b.
4. Se trazan rectas paralelas a R que pasen por
los otros puntos que se marcaron sobre
___
›
ao .
También se puede dividir un segmento en dos partes conociendo la razón entre esas partes.
Para dividir el segmento ab en dos partes cuya razón sea 1 __ 3 , pueden seguir estos pasos.
___
ap
___
___
pb
= 1 __ 3 o
a b
o
a b
p
R
1. Se traza una semirrecta con origen en a.
2. Se marcan sobre la semirrecta cuatro segmen-
tos congruentes (de cualquier medida).
3. Se traza la recta R determinada por o y b.
4. Se traza la recta paralela a R que pasa por el
primer punto marcado sobre
___
›
ao y se determina p
en
___
ab .
En la siguiente proporción
___
de es cuarto proporcional.
Para construir el cuarto proporcional, conociendo las medidas de los otros tres segmentos, pueden
seguir estos pasos.
___
ab ___
__
bc
=
___
ad
___
___
de
a b c
a b c
d
e
1. Se trazan dos semirrectas con el origen en
común.
2. Se marcan sobre una de las semirrectas dos
de los segmentos (
___
ab y
__
bc ) .
3. Sobre la otra semirrecta se marca el tercer
segmento (
___
ad ) a partir del origen.
4. Se traza la recta determinada por d y b y luego,
la paralela que pasa por c.
En la siguiente proporción
___
de es tercero proporcional.
___
ab ___
__
bc
=
___
ad
___
___
de
, siendo
__
bc =
___
ad .
a b c
e
d
INFOACTIVA
51
189
Test de comprensión
2. Dividan los siguientes segmentos, según lo indicado.
a. En 3 segmentos congruentes. c. En 4 segmentos congruentes.
a b
e f
b. En 5 segmentos congruentes. d. En 7 segmentos congruentes.
c d
g h
3. Tracen un segmento de 11 cm y divídanlo en 3 partes, de modo tal que cada segmento sea el
doble del anterior.
a b
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Se puede dividir cualquier segmento en segmentos congruentes?
b. Para construir el tercero proporcional, ¿se deben conocer tres segmentos de distintas medidas?
52ACTIVIDADES Aplicaciones del teorema de Thales
a. Sí. b. No, dos de ellos deben tener la misma medida.
190
52ACTIVIDADES Aplicaciones del teorema de Thales
4. Resuelvan.
a. Tracen un segmento de 8 cm y divídanlo en dos, de modo tal que su razón sea 2 __ 5 .
b. Tracen un segmento de 9,5 cm y divídanlo en dos, de modo tal que su razón sea 3 __ 4 .
c. Tracen un segmento de 6 cm y divídanlo en dos, de modo tal que su razón sea 5 __ 2 .
d. Tracen un segmento de 9 cm y divídanlo en dos, de modo tal que la medida de uno de ellos
sea el 20% de la medida del otro.
a b
2 cm
5 cm
a b
a b
a b
191
5. Tracen el segmento cuarto proporcional y luego calculen la longitud del mismo.
a.
___
ab = 2,5 cm;
__
bc = 4 cm;
___
ad = 1,5 cm c.
___
mn = 2 cm;
___
no = 3,5 cm;
___
mp = 2,5 cm
b.
__
rs = 2,5 cm;
__
st = 3,5 cm;
__
ru = 3 cm d.
__
xy = 5 cm;
__
yz = 2 cm;
__
xv = 2,5 cm
6. Dibujen el segmento tercero proporcional y luego calculen la medida del mismo.
a.
___
ab = 1,5 cm;
__
bc = 3 cm c.
___
de = 5 cm;
__
ef = 2 cm
b.
___
mn = 4,5 cm;
___
no = 1,5 cm d.
___
pq = 3 cm;
__
qr = 2,5 cm
52ACTIVIDADES Aplicaciones del teorema de Thales
a cb
1,5 cm
2,4 cm
4 cm2,5 cm m on
2,5 cm
4,375 cm
3,5 cm2 cm
p
q
x zy
2,5 cm
1 cm
2 cm5 cm
v
u
a cb
3 cm
2,25 cm
d
4 cm 3 cm
e
d fe
2 cm
0,8 cm
2 cm5 cm
g
h
r ts
3 cm
4,2 cm
3,5 cm2,5 cm
u
m on
1,5 cm
0,5 cm
p
4,5 cm 1,5 cm
q
p rq
2,5 cm
1,79 cm
2,5 cm3,5 cm
s
t
192
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes cuando los lados correspondientes son proporcionales y los ángulos comprendidos, congruentes.
En los triángulos semejantes, los lados correspondien-
tes se oponen a ángulos congruentes.
̂ c = ̂ o , entonces
___
ab se corresponde con
___
mn .
̂ a = ̂ m ,
__
bc se corresponde con
___
no .
^
b = ̂ n ,
__
ca se corresponde con
___
om .
a
b
c
o
n
m
abc ~ mno ̂ a = ̂ m ;
^
b = ̂ n ; ̂ c = ̂ o
___
ab
___
___
mn =
__
bc
___
___
no =
__
ca
___
___
om
La constante que se obtiene al dividir las medidas de los lados correspondientes se denomina razón
de semejanza.
Criterios de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes
si tienen sus tres lados
respectivamente proporcionales
(LLL).
M // N
a
r
b
c
s
M
N
___
ab
___
__
ar =
__
ac ___
__
as =
__
bc
___
__
rs
abc ∼ ars
Dos triángulos son semejantes
si tienen dos ángulos
respectivamente congruentes
(AA).
a
b
c
f
e
g
̂ a = ̂ e ̂ c = ̂ g
abc ∼ efg
Dos triángulos son semejantes si
tienen dos lados respectivamente
proporcionales y el ángulo
comprendido entre ellos
congruente (LAL).
A // B
e
a
d
c
b
A
B
A // B
α
β
__
ec ___
__
cb
=
__
cd
___
__
ca ̂ α =
^
β
abc ∼ cde
Se llama base media al segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo.
En todo triángulo, una base media es paralela al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud de dicho lado.
___
mn es base media del abc.
mn // ab ∧ 2 .
___
mn =
___
ab
abc ∼ cmn
__
ac ___
___
mc =
__
bc
___
__
nc =
___
ab
___
___
mn
c
n
ba
m
INFOACTIVA
6261605958575655545352
193
Test de comprensión
53ACTIVIDADES Semejanza de triángulos
7. Unan con una flecha los triángulos semejantes.
a. e.
a
c
b
87° 35°
a
c b
48°
b. f.
c
a b
7,5 cm6 cm
9 cm
c
a
b
8,6 cm
10,4 cm
15,4 cm
c. g.
a
c
b
66°
a
c
b
58°
35°
d. h.c
a b
5,2 cm7,7 cm
4,3 cm
c
a b
2,5 cm2 cm
3 cm
8. Indiquen en cada caso si abc y def son semejantes. En caso de serlo, escriban el criterio utilizado.
a. ̂ a = 36° 50’
^
d = 64° 50’ c.
__
ac = 3,5 cm
__
df = 7 cm
^
b = 78° 20’ ̂ f = 36° 50’
__
bc = 6 cm
__
ef = 3 cm
̂ c = 65° ̂ f = 65°
b.
___
ab = 7,5 cm
___
de = 14 cm d.
___
ab = 4,5 cm
___
de = 13,5 cm
__
bc = 8 cm
__
ef = 16 cm
__
bc = 3 cm
__
ef = 9 cm
^
b = 70° ̂ e = 70°
__
ac = 9 cm
__
df = 27 cm
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Todos los triángulos rectángulos son semejantes?
b. Los triángulos congruentes ¿sonsemejantes?
a. No. b. Sí.
Sí, por AA. No.
No. Sí, por LLL.
194
9. Indiquen en cada caso si los triángulos son semejantes. Luego, escriban los ángulos congruentes
y los lados correspondientes.
a. abc y ced d. abc y dbc
___
ac //
__
be
a
c b
e
d
a
d c
b
̂ a y
__
bc y ̂ c y
__
bc y
c^ b a y
___
ab y a
^
b c y
__
ac y
__
ac y
___
ab y
b. ade y abc e. acf y abe
___
de base media
a
e
c
b
d
a e
d
c
b
f
̂ a y
___
ab y ̂ a y
__
ac y
^
b y
__
bc y ̂ c y
__
cf y
̂ c y
__
ac y a
^
f c y
__
af y
c. abc y def f. abe y cde
___
›
bd es bisectriz de ^ b c
d f
e
a b
8 cm10 cm
12 cm 9 cm
15 cm
6 cm
a
b
c
d
e
̂ a y
___
ab y ̂ a y
___
ab y
^
b y
__
bc y b ̂ e a y
___
be y
̂ c y
__
ac y a
^
b e y
__
ae y
53ACTIVIDADES Semejanza de triángulos
Sí, por AA. Sí, por AA.
d ̂be
___
ed ̂c
__
dc
d ̂eb
___
be b ̂dc
__
bc
___
db
__
db
Sí, por AA. Sí por AA.
̂a
___
ad ̂d
__
ae
a ̂de
__
de ̂e
__
be
â ed
__
ae a ̂be
___
ab
Sí, por LLL. Sí por AA.
̂e
___
de ̂d
__
cd
̂d
___
__
df d ̂ec
__
ec
̂f
__
ef e ̂cd
___
ed
195
10. Calculen el valor de x e y, sabiendo que los triángulos son semejantes.
a.
___
bd //
__
ae
__
cd //
___
be d.
a
b
c
d
e a
c d
f
e
b
___
cd = (6x – 2,5) cm
___
ab = 5 cm
__
ac = ( 12 ___ 5 x + 2 ) cm
__
df = 12 cm
__
be = (x + 6,5) cm
__
cb = 9,25 cm
___
ab = (3,6x + 1) cm
___
de = (5x – 3,5) cm
__
ae = (2y – 3,8) cm
__
bd = (3x – 1,25) cm
__
bc = (4,5y – 8,4) cm
__
ef = 15 cm
b.
___
vu base media e.
__
ac //
__
df y
___
cb //
__
fe
r
v
t
u
s a d e b
f
c
__
rs = (4x – 3 .
__
5 ) cm
__
rt =(3y – 3,4) cm
___
ab = (7x – 3) cm
__
bc = (1,3 y + 2) cm
___
vu = ( x +
__
5
___ 2 ) cm
__
rv = (x .
__
5 – 6) cm
__
df = ( 7 __ 5 x + 12 ___ 5 ) cm
__
fe = 10,8 cm
__
ac = ( 5 __ 3 x + 6 ) cm
c.
___
ab //
___
de f.
___
de base media
a b
d e
c
a b
ed
c
___
ab = (4x + 1,6 ) cm
__
bc = 2,7x cm
___
de = (2x + 6,3 ) cm
___
ad = ( x + 11 __ 3 ) cm
__
ac = (2x + 5,3 ) cm
__
ce = 4,8 cm
___
ab = (7x + 9,6 ) cm
__
ac = (y + 2,5) cm
__
cd = (3y + 2,4) cm
___
de = 6 cm
53ACTIVIDADES Semejanza de triángulos
x = 3,5 cm; y = 4,4 cm x = 2,5 cm; y = 3,2 cm
x = 2 .
__
5 cm; y = 3,8 cm x = 3 cm; y = 12 cm
x = 10 ___ 3 cm; y =
2 __ 5 cm x = 1 cm; y = 6,83 cm
196
INTEGRACIÓN
11. Calculen el valor de las incógnitas y la medida
de cada segmento.
a.
__
ae //
__
bf //
__
cg //
___
dh
c
b
a e
f
g
hd
___
ab = 4 cm
__
ef = 2,4 cm
___
cd = ( y – 4,5 ) cm
___
eg = ( 3x – 1,2 ) cm
__
ac = ( 2,5x + 7 __ 2 ) cm
___
gh = (x – 0,8 ) cm
b.
___
bc //
___
de
b
d
a
e
cq
p
___
ad = ( 3,5x – 4 ) cm
__
ec
= 7,2 cm___
ab = 4x
___
ap = ( 2y – x ) cm
__
ae = 12 cm
___
pq = ( x + 0,8 ) cm
12. Tracen los segmentos indicados en la carpeta
y divídanlos según corresponda.
a. Un segmento de 5 cm dividido en seis seg-
mentos congruentes.
b. Un segmento de 6 cm dividido en cuatro
segmentos congruentes.
13. Tracen en sus carpetas un segmento de 7 cm
y divídanlo en tres partes, de modo que cada seg-
mento consecutivo sea la mitad del anterior.
14. Tracen los segmentos indicados en la carpeta
y ubiquen el punto p, según corresponda.
a.
___
ab = 6,5 cm, donde
___
ap es la mitad de
___
pb .
b.
__
cd = 5,5 cm, donde
__
cp es el triple de
___
pd .
c.
__
ef = 7 cm, donde
___
ep es las 3 __ 5 partes de
__
pf .
15. Obtengan en cada caso el tercero proporcio-
nal, analítica y gráficamente.
a.
___
ab = 6 cm;
__
bc = 4 cm
b.
___
mn = 9 cm;
___
no = 4,5 cm
c.
___
pq = 5,5 cm;
__
qr = 6 cm
d.
__
fg = 7 cm;
___
gh = 5 cm
16. Obtengan en cada caso el cuarto proporcional,
analítica y gráficamente.
a.
___
ab = 4 cm;
__
bc = 3 cm;
___
ad = 5,5 cm
b.
__
rs = 3 cm;
__
st = 7 cm;
__
ru = 4,5 cm
c.
___
mn = 5,5 cm;
___
no = 3,5 cm;
___
mp = 4 cm
d.
___
de = 8 cm;
__
ef = 4 cm;
___
dg = 5 cm
17. Resuelvan.
a. En un determinado momento del día, una
persona proyecta una sombra de 60 cm. En el
mismo instante, una casa que mide 7,20 m de
altura, proyecta una sombra de 2,70 m. ¿Cuál
es la altura de la persona?
b. Para colgar una piñata, se colocaron dos
alambres de pared a pared, como lo indica la
figura. La distancia entre c y d es 50 cm más
que la distancia entre a y b. ¿Cuál es la longi-
tud del alambre entre los puntos a y e?
ab // cd
a b
e
dc
3 m
4,5 m 4 . cd – 2,5 m
18. Indiquen si las rectas A, B y C son paralelas,
teniendo en cuenta los datos, la figura de análi-
sis y el teorema de Thales.
___
ab = 6,3 cm
___
de = 7,2 cm
__
bc = 4,8 cm
__
ef = 9,45 cm
c fC
b eB
a dA
x = 2,2 cm
y = 9,5 cm
__
ac = 9 cm
___
bd = 5 cm
___
eg = 5,4 cm
___
gh = 1,3 cm
x = 4 cm
y = 6 cm
__
ac = 16 cm
___
ab = 10 cm
___
pq = 4,8 cm
___
ap = 8 cm
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
a. 2,6 cm b. 2,25 cm c. 6,
54 cm d. 3,57 cm
a.
___
de = 4,125 cm b.
__
uz = 10,5 cm c.
___
pq = 2,
54 cm
d.
___
gh = 2,5 cm
a. 1,60 m b. 3,83 m
No son paralelas.
197
51*52*53
CONTENIDOS
19. Calculen la medida de los lados que faltan
para que los triángulos sean semejantes.
a.
p
r
s
q
o
15 cm9 cm
10 cm
b.
43° 43°31°
106°
10,8 cm
4,5 cm7 cm8,4 cm
ad f
e
c
b
20. Demuestren que los tres triángulos son
semejantes, sabiendo que la figura está formada
por tres triángulos y un rectángulo.
a
q
b
rcdp
21. Demuestren que los triángulos edf y afc son
semejantes. Escriban las razones de los lados.
Expliquen las respuestas.
___
ed base media
e
b
d
c
f
a
22. Determinen si los triángulos son semejantes.
Expliquen las respuestas.
65°
65°
3x cm
x – 3 cm
2x – 5 cm
x – 2 cm
x + 4 cmx cm
d
a c
b
f
e
Perímetro de abc = 24 cm
23. Calculen los lados desconocidos, sabiendo
que la razón de semejanza entre los triángulos
abc y mnp es 4 __ 3 .
a c
b
n
m p
10 cm 11,25 cm
24. Calculen el valor de las incógnitas y la medida
de cada segmento sabiendo que los triángulos son
semejantes.
a.
b
c
d
ea
___
ab =
__
5 cm
___
de = 4 cm
__
bc = x
__
ae = 3 .
__
5 cm
__
cd = 4 .
__
5 cm
b.
b
c
d
e
a
___
ab = ( 2y + 4 .
__
3 ) cm
___
ed = 6 .
__
2 cm
___
ad = ( x +
__
2 ) cm
__
ec = ( 1 __ 2 y +
__
3 ) cm
25. Resuelvan.
a. Un mástil de 6,5 m de altura proyecta una
sombra de 5 m. Calculen la altura de otro más-
til que en ese mismo momento proyecta una
sombra de 3 m.
b. Alan mide 1,65 m y su hermana mide 20 cm
menos que él. A cierta hora del día, ambos
están en el parque de espaldas al sol y Alan
proyecta una sombra de 90 cm. ¿Cuánto mide
la sombra que proyecta su hermana?
8
capítulo
a.
___
pq =
___
oq = 6 cm b.
__
df = 16,8 cm;
__
bc = 5,4 cm
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
x = 4 cm;
__
bc ___
__
df
= 8 __ 2 = 4;
__
ac ___
___
de
= 12 ___ 3 = 4;
___
ab ___
__
ef
= 4 __ 1 = 4
Por lo tanto son semejantes.
__
bc = 8,44 cm; ___ mn = 13,3cm; ___ mp = 9 cm
Solución a cargo del alumno.
a. El mástil mide 3,9 m. b. La sombra mide 0,79 m.
198
Trigonometría
En un triángulo rectángulo, cada cateto recibe un nombre según el ángulo agudo que se considere.
a
β
b
c
cateto adyacente a
^
β
cateto opuesto
a
^
β
a
α
b
c
cateto adyacente
a ̂ α
cateto opuesto a ̂ α
Si se consideran los triángulos rectángulos aor y abc, se pueden formar las siguientes razones
con las longitudes de los lados.
En aor En abc
__
or __
__
ar = 0,8
__
bc ___
__
ac = 0,8
__
ao ___
__
ar = 0,6
__
ab ___
__
ac = 0,6
__
or ___
__
ao = 1,3
__
bc ___
__
ab
= 1,3
12 cm
c
boa
r
R
20
c
m
10
c
m 8 cm
6 cm
T
16 cm
α
Las razones que se formaron con las medidas de los lados dependen únicamente del ángulo ^ α .
Razones trigonométricas
Se llaman razones trigonométricas a las que relacionan las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo con los ángulos agudos del mismo.
Las razones trigonométricas se definen de la siguiente manera:
Seno de un ángulo.
Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
sen ̂ α = cateto opuesto ______________ hipotenusa ⇒ sen ̂ α =
__
bc
___
__
ac ∧ sen
^
β =
___
ab
___
__
ac
Coseno de un ángulo.
Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
cos ̂ α = cateto adyacente _______________ hipotenusa ⇒ cos ̂ α =
___
ab
___
__
ac ∧ cos
^
β =
__
bc
___
__
ac
Tangente de un ángulo.
Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
tg ̂ α = cateto opuesto _______________ cateto adyacente ⇒ tg ̂ α =
__
bc
___
___
ab
∧ tg ^ β =
___
ab
___
__
bc
a α b
c
cateto
opuesto
cateto adyacente
hipotenusa
β
INFOACTIVA
62616059585756555453
¿Para qué sirve?
PÁGINA 13
199
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. El valor del seno de un ángulo, ¿puede valer más de 1?
b. ¿Es cierto que tg ̂ α = sen ̂ α ______
cos ̂ α
?
26. Completen teniendo en cuenta el triángulo abc.
a.
A es el cateto adyacente al ángulo .
A es el cateto opuesto al ángulo .
B es el cateto adyacente al ángulo .
B es el cateto opuesto al ángulo .
c
A
bCa
B
b. Escriban las razones trigonométricas.
sen ̂ a = cosec ̂ a = sen
^
b =
cosec
^
b =
cos ̂ a = sec ̂ a = cos
^
b = sec
^
b =
tg ̂ a = cotg ̂ a = tg
^
b = cotg
^
b =
27. Calculen las razones trigonométricas en los siguientes triángulos.
a.
sen ̂ α = sen ^ β =
cos ̂ α = cos ^ β =
tg ̂ α = tg ^ β =
cotg ̂ α = cotg ^ β =
sec ̂ α = sec ^ β =
α
β
a
c
b
10 cm
6 cm cosec ̂ α = cosec ^ β =
b.
sen ̂ α = sen ^ β =
cos ̂ α = cos ^ β =
tg ̂ α = tg ^ β =
cotg ̂ α = cotg ^ β =
sec ̂ α = sec ^ β =
α
β
c b
a
5 cm
8 cm
cosec ̂ α = cosec ^ β =
54 ACTIVIDADES Trigonometría
a. No, porque la hipotenusa siempre es mayor que los catetos.
b
a
a
b
A C B C
C A C B
B C A C
C B C A
A B B A
B A A B
0,6 0,8
0,8 0,6
0,75 1,3
1,3 0,75
1,25 1,6
1,6 1,25
0,848 0,53
0,53 0,848
1,6 0,625
0,625 1,6
1,8868 0,17925
1,17925 1,8868
b. Sí. sen ̂ α _____
cos ̂ α
=
cat. opuesto
___________ hipotenusa
_____________
cat. adyacente
_____________
hipotenusa
=
cat. opuesto
_____________ cat. adyacente = tg ̂ α
200
Cálculo de razones trigonométricas
Cálculo de razones trigonométricas con calculadora
Si se conoce el ángulo y se quiere hallar el valor de la razón trigonométrica, se deben seguir estos
pasos.
sen 30° = 0,5 → →→→→ sin 3 0 =
cos 52° 45’ ≅ 0,762 → →→→→ cos 5 2 °’’’ 4 5 °’’’ =
tg 110° 55’ 8’’ ≅ –1,415 → →→→→ tan 1 1 0 °’’’ 5 5 °’’’ 8 °’’’ =
Si se conoce la razón trigonométrica y se quiere saber a qué ángulo corresponde, se deben seguir
estos pasos.
sen x = 0,41 ⇒ x ≅ 14° 28’ 39’’ → →→→→ SHIFT T sin 0 . 4 1 = SHIFT T °’’’
cos x = –0,514 ⇒ x ≅ 118° 33’ 18’’ → →→→→ SHIFT T cos (–) 0 . 5 4 1 = SHIFT T °’’’
tg x = 1,839 ⇒ x ≅ 55° 32’ 12’’ → →→→→ SHIFT T tan 1 . 8 3 9 = SHIFT T °’’’
Cálculo de razones trigonométricas para ángulos particulares
sen 0° = 0 cos 0° = 1 tg 0° = 0
sen 30° = 1 __ 2 cos 30° =
__
3 __ 2 tg 30° =
__
3 __ 3
sen 45° =
__
2 __ 2 cos 45° =
__
2 __ 2 tg 45° = 1
sen 60° =
__
3 __ 2 cos 60° =
1 __ 2 tg 60° =
__
3
sen 90° = 1 cos 90° = 0 tg 90° = No existe
Relación entre la tangente trigonométrica y la pendiente de una recta
La inclinación de una recta es el ángulo que forma el eje x con dicha recta, y su pendiente es la
tangente trigonométrica de su inclinación.
La recta que pasa por los puntos (0;1) y (5;4)
está representada en el siguiente gráfico.
Para averiguar la pendiente, se debe calcular la tg ̂ α .
Como ̂ α = ̂ a , se puede calcular tg ̂ a = 3 __ 5 = 0,6
Para calcular ̂ α , se puede utilizar la calculadora.
tg ̂ α = 0,6 ⇒ ̂ α ≅ 30° 57’ 50’’
La inclinación de esta recta es 30° 57’ 50’’
y su pendiente es 0,6.
–2 –1 0 1 2 3 4 5 x
y
4
3
2
1
–1
α 5 – 0 = 5
4 – 1 = 3
a
b
INFOACTIVA
626160595857565554
201
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Las razones trigonométricas, ¿se pueden aplicar a cualquier triángulo?
b. ¿Es cierto que en cualquier triángulo rectángulo se cumple que la tg 45° = 1?
28. Calculen las siguientes razones trigonométricas.
^ α sen ^ α cos ^ α tg ^ α cosec ^ α sec ^ α cotg ^ α
65°
83° 40’ 36”
16° 2”
29. Calculen el valor del ángulo α utilizando la calculadora.
a. c. e.
sen ^ α ^ α cos ^ α ^ α tg ^ α ^ α
0,82904 0,34202 2,34678
0,96771 0,93287 5,67128
0,72901 0,52467 6,72345
b. d. f.
cosec ^ α ^ α sec ^ α ^ α cotg ^ α ^ α
1,49448 4,69321 0,67451
1,00474 1,17918 0,26048
3,87562 2,39651 2,06553
30. Resuelvan teniendo en cuenta los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos particulares.
a. sen 30° – cos 60° + 2 . tg 45° = c. 2 . sen 45° + (1 – cos 45°)
2
________________________ sen 30° =
b. sen 60° – sen 90° + tg 30° = d. 1 + tg 2 30° – cos 2 30° + 3 . sen 60° _______ cos 60° +
2 __ 5 . tg 60° =
31. Encuentren los ángulos de inclinación de cada recta.
a. b.
^ α =
^ α =
–2 –1 0 1 2 3 4 5 x
y
5
4
3
2
1
–1
–2 –1 0 1 2 3 4 5 x
y
4
3
2
1
–1
–2
55ACTIVIDADES Cálculo de razones trigonométricas
a. No, tienen que ser triángulos rectángulos. b. Sí, porque el sen 45° = cos 45° por ser triángulo isósceles.
0,9063 0,42262 2,1445 1,10338 2,3662 0,46630
0,99392 0,11014 9,02419 1,00612 9,07943 0,11081
0,27565 0,96126 0,28676 3,62783 1,0403 3,48729
56° 70° 66° 55’ 13”
75° 24’ 21° 6’ 47” 79° 59’
46° 48’ 12” 58° 21’ 14” 81° 32’ 25”
42° 77° 41’ 51” 56°
84° 25’ 56” 32° 75° 24’
14° 57’ 10” 65° 20’ 15” 25° 50’
2 3
5 __ 6
.
__
3 – 1 7 ___ 12 +
17 ___ 5
.
__
3
26° 33’ 54” 38° 39’ 35”
55
202
Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo rectángulo significa hallar las medidas de los tres lados y de los ángulos
agudos a partir de ciertos datos, usando las razones trigonométricas, el teorema de Pitágoras y la suma
de ángulos interiores de un triángulo.
Para resolver un triángulo rectángulo, como el ángulo recto ya está determinado, se debe conocer
al menos el valor de uno de sus ángulos agudos y un lado, o el valor de dos de sus lados.
Dados un ángulo agudo y uno de sus lados.
ángulo agudo y cateto ángulo agudo e hipotenusa
Para calcular el ángulo ̂ b , debe aplicarse lapropiedad de los ángulos agudos.
̂ c + ^ b = 90° ̂ b = 90° – ̂ c ̂ b = 90° – 34° ̂ b = 56°
Para calcular el lado
__
ac , se debe recurrir a una razón trigonométrica que
relacione los dos datos con el lado.
cos ̂ c =
__
ac ___
__
bc
__
ac =
__
bc . cos ̂ c
__
ac = 3,5 cm . cos 34°
__
ac ≅ 3,5 cm . 0,83
__
ac ≅ 2,902 cm
c
a b
34°
3,5 cm
Para calcular el lado
__
ab , se razona de la misma manera.
sen ̂ c =
__
ab ___
__
bc
__
ab =
__
bc . sen ̂ c
__
ab = 3,5 cm . sen 34°
__
ab ≅ 3,5 cm . 0,56 ⇒
__
ab ≅ 1,96 cm
Dados dos de sus lados.
dos catetos cateto e hipotenusa
Para calcular el lado df, debe aplicarse el teorema de Pitágoras.
__
ef 2 =
__
de 2 +
__
df 2
__
df =
_______
__
ef 2 –
__
de 2
__
df =
_________________
(30 cm)2 – (18 cm)2
__
df =
_________________
900 cm2 – 324 cm2
__
df = 24 cm
f
d e
30 cm
18 cm
Para calcular el ángulo ̂ f , se debe recurrir a una razón trigonométrica que relacione los dos datos con
el ángulo.
sen ̂ f =
__
de ___
__
ef
sen ̂ f = 18 cm ______ 30 cm sen ̂ f = 0,6 ̂ f ≅ 36° 52’ 12’’
Para calcular el ángulo ̂ e , debe razonarse de la misma manera.
cos ̂ e =
__
de ___
__
ef
cos ̂ e = 18 cm ______ 30 cm cos ̂ e = 0,6 ̂ e ≅ 53° 7’ 48’’
Se puede verificar que: ̂ e + ̂ f = 53° 7’ 48’’ + 36° 52’ 12’’ = 90°
INFOACTIVA
56 57 58 59 60 61 62
Para repasar el
cálculo de razones
trigonométricas
con calculadora
pueden volver a la
página 200.
203
56ACTIVIDADES Resolución de triángulos rectángulos
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si solo se conoce un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, ¿se puede calcular la medida del
cateto opuesto a este ángulo?
b. Si se conocen los catetos de un triángulo rectángulo y un ángulo agudo, ¿qué razón trigonomé-
trica se puede aplicar?
Test de comprensión
32. Calculen y completen.
a. d.
a
40°
6 cm
c
b
48°
36°
10 cm c
by
x
a
d
̂ a =
___
ab = x = y =
__
ac =
b. e.
a c
b
2 .
__
3 cm
30°
a
c
b
d
y
x
z =
__
bc
6 cm50°
118°
^
b =
__
bc = x = z =
__
ac = y =
c. f.
a
c
b
7 cm
12 cm
b
c d
z
a 3 cm y
x
f a
30°
55°
2 cm
8,15 cm
̂ a =
___
ab = x = z =
̂ c = y =
33. Resuelvan.
a. Calculen la altura de un triángulo isósceles cuya base mide 12 cm y el ángulo opuesto a la
misma mide 50°.
b. Manuel observa una paloma situada en la punta de un poste con un ángulo de elevación de 35°
desde el suelo. Si Manuel está ubicado a 15 m del poste, ¿cuál es la altura del mismo?
12,87 cm.
La altura del poste es de 10,50 m.
50°
60°
35° 41’ 7” 5,2 cm
11,28 cm
7,83 cm
6 cm
54° 18’ 53” 0,64 cm
17,56 cm
5,03 cm
6,93 cm
9,75 cm 2,86 cm
7,45 cm
6,69 cm 4,37 cm
a. No, se debe conocer también la medida de otro lado. b. La tangente.
204
Teoremas del seno y del coseno
Teorema del seno
En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
___
ab ______
sen ̂ c
=
__
ac
______
sen
^
b
=
__
bc
______
sen ̂ a
c
a b
Para calcular los lados
__
ab y
__
bc , se aplica el teorema del seno.
42 cm ________ sen 135º =
__
ab ______ sen 8º ⇒
__
ab ≅ 8,27 cm
42 cm ________ sen 135º =
__
bc _______ sen 37º ⇒
__
bc ≅ 35,75 cm
8°
135°
37°
c
a b
Teorema del coseno
El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del
producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman.
___
ab 2 =
__
bc 2 +
__
ac 2 – 2 .
__
bc .
__
ac . cos ̂ c
__
bc 2 =
___
ab 2 +
__
ac 2 – 2 .
___
ab .
__
ac . cos ̂ a
__
ac 2 =
__
bc 2 +
___
ab 2 – 2 .
__
bc .
___
ab . cos
^
b
ba
c
Para calcular el lado
__
ef , se aplica el teorema del coseno.
__
ef 2 =
__
df 2 +
__
de 2 – 2 .
__
df .
__
de . cos ̂ d
__
ef 2 ≅ 36 cm2 + 196 cm2 – 2 . 6 cm . 14 cm . 0,695
__
ef 2 ≅ 115,24 cm2 ⇒
__
ef ≅ 10,73 cm
d
e
f
46°
6 cm
14 cm
El teorema de Pitágoras es un caso particular del teorema del coseno.
__
bc 2 =
___
ab 2 +
__
ac 2 – 2 .
___
ab .
__
ac . cos ̂ a
__
bc 2 =
___
ab 2 +
__
ac 2 – 2 .
___
ab .
__
ac . cos 90°
__
bc 2 =
___
ab 2 +
__
ac 2
ba
c
INFOACTIVA
62616059585756
42 cm
205
Test de comprensión
34. Calculen y completen.
a. d.
a
c
b
130°
15 cm
12 cm
a
c
b
35°
15 cm
10 cm
̂ a =
__
ac = ̂ a =
__
ac =
̂ c =
^
b =
b. e.
a
c
b
43° 28°
7,5 cm
a
b
c
110°
27°
9,5 cm
̂ c =
__
bc = ̂ a =
__
bc =
___
ab =
___
ab =
c. f.
c
a b10 cm
6 cm5 cm
a
b c14 cm
135°
22°
^ a =
^
b = ̂ c =
__
ac =
^ c =
___
ab =
57 ACTIVIDADES Teoremas del seno y del coseno
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Los teoremas del seno y del coseno, ¿se pueden aplicar en un triángulo rectángulo?
b. Si se conoce un ángulo y dos lados cualquiera de un triángulo, ¿se puede aplicar el teorema del seno?
a. Sí. b. No siempre, uno de los lados tiene que ser el lado opuesto al ángulo.
27° 57’ 57” 24,50 cm 22° 28’ 53” 22,05 cm
22° 2’ 3” 122° 31’ 7”
109° 10,90 cm 43° 6,89 cm
15,11 cm 4,59 cm
27° 7’ 36” 22° 19’ 54” 23° 26,43 cm
130° 32’ 30” 14,60 cm
57
206
Resolución de triángulos oblicuángulos
Un triángulo es oblicuángulo cuando ninguno de sus ángulos interiores es recto, y resolverlo es
hallar el valor de sus tres ángulos y sus tres lados. Para ello hay que aplicar los teoremas del seno,
del coseno y la propiedad de la suma de los ángulos interiores, que es igual a 180°.
Siempre que sea posible, se deben utilizar los datos y no los resultados obtenidos.
Se pueden presentar distintos casos.
Dos lados y el ángulo comprendido Un lado y dos ángulos
Los tres lados Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
Para resolver un triángulo oblicuángulo dados dos lados y el ángulo comprendido, se pueden seguir
estos pasos.
1. Se aplica el teorema del coseno para calcular el lado gh.
__
gh 2 = (28 cm)2 + (22 cm)2 – 2 . 28 cm . 22 cm . cos 85°
__
gh 2 ≅ 784 cm2 + 484 cm2 – 107,376 cm2
__
gh ≅ 34,07 cm
85°
22 cm28 cm
g h
i
2. Se aplica el teorema del seno para averiguar los ángulos ^ g y ̂ h.
22 cm ______
sen ̂ g
= 37,08 cm _________ sen 85° ⇒ sen ̂ g ≅
22 cm . sen 85° _____________ 34,07 cm ⇒ ̂ g ≅ 40° 2’
28 cm ______
sen ̂ h
= 37,08 cm _________ sen 85° ⇒ sen ̂ h ≅
28 cm . sen 85° _____________ 34,07 cm ⇒ ̂ h ≅ 54° 52’
Para verificar los resultados obtenidos, se puede utilizar la propiedad de la suma de los ángulos
interiores de un triángulo.
INFOACTIVA
58 59 60 61 62
207
58ACTIVIDADES Resolución de triángulos oblicuángulos
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Para poder averiguar los ángulos interiores de un triángulo obtusángulo, ¿qué datos se
deben conocer?
b. Si se conocen los ángulos interiores de un triángulo obtusángulo, ¿se pueden averiguar
sus lados?
Test de comprensión
35. Calculen la longitud de las diagonales del paralelogramo.
35° 8 cm
14 cmm
n
q
p
36. Calculen la longitud de los lados iguales del trapecio isósceles, de la base menor y la amplitud
del p ̂ s q.
65°
15 cm
16 cm
q r
sp
37. Calculen las medidas de x e y.
120°
30°
10 .
__
3 cm
6 .
__
3 cm
y
x
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