Introducción al Analisis Matematico

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INTRODUCCION A L 
ANALISIS 
MATEMATICO
LOGICA Y CONJUNTOS 
NUMEROS REALES
GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL 
INDUCCION MATEMATICA - SUMATORIAS
A .Venero 3.
IN T R O D U C C IO N
A l
A N A L I S I S M A T E M A T I C O
J. ARMANDO VENERO BALDEON
LICENCIADO EN MATEMATICAS 
FACULTAD DE CIENCIAS 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA 
ESTUDIOS DE MAGISTER EN MATEMATICAS 
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU
EDICION REVISADA
LIMA 1995 PERU
INTRODUCCION AL 
ANALISIS MATEMATICO
A V E N E R O B.
Iapreso en el Perú Printed in Perú
Prohibida la reproducción parcial o total, por cualquier medio o método, 
de este libro sin la autorización legal del autor:
REPRESENTACIONES GEMAR 
LIMA - PERD.
PROLOGO
Este libro esti dirigido a la formación del'razonamiento cien 
tífico de ios alumnos del primer iñu de las carreras de Ciencias e Ingeniería, 
y coi sta de dos partea :
1. Los fundamentos del Análisia Matemático : Lógica, Conjuntoa, Números 
Realea, Valor Absoluto, Máximo Entero, Conjuntos Acotados, Inducción 
Matemática y Sumatorias.
2. La G EOM ETR IA A N AL IT IC A V E C T O R IA L en el Plano y en el Espacio.
En la presentación del texto se ha puesto un interéa muy 
particular en el enfoque intuitivo y geométrico, sin dejar de lado el auficien 
te rigor que se requiere a eate nivel del aprendizaje de las Matemáticas Su­
periores. Se ha complementado la parte teórica - práctica del texto con Se­
ries de F roblei as Propuestos, los cuales tienen su Clave de Respuestas in­
mediata mente al final de cada serie.
Los Capítulos 1 y 2 que tratan de LA S PR OPOSIC IO ­
NES LOG ICA S y L A T E O R IA DE CO N JU N T O S resptrtil imente, siendo sen 
cilloa, son imprescindibles en cualquier eatudio organizado de las Ciencias o 
las Humanidades. Ambos temas e„t¿n reladonadoa de tal forma que se pue­
de considerar a cualquier de ellos como imagen del otro, y son expueatos 
como complemento a lo que ya se conoce deade loa estudios aecundarios.
El Capítulo 3, titulado LOS NUM EROS REALES, estudia 
al Sistema de los Númeroa denominados REALES en lo que se refiere a aus 
axiomas y propiedi lea; requiere un conocimiento básico del Algebra Elemen 
tal, y está orientado a presentar la*i i icnicL para resolver ECUACIONES e 
IN EC U A CIO N ES , laa que taubien incluyen R A D IC A LE S . En este Capitulo, 
se incluye el estudio del V A LO R A B S O L U T O y del M AXIM O EN TE R O cin
plementada con una regular cantidad de Ejercicios y Problemas resueltos, 
una parte de los cuales fueron tomadas en prácticas y exámenes en la UNI­
VERSIDAD N A C IO N A L D E INGENIERIA, y otra parte son inédito!
A partir del Capítulo 4 que estudia a lo V EC TOR ES , y 
hasta el Capítulo 8 , se trata al tema de la GEOM ETRIA AN ALITICA M O­
DERNA en el Plano, desde un enfoque V E C T O R IA L ; esto permite ei tudiar 
las R E C T A S , CIRCU NFERENCIAS Y C O N IC A S en una forma elegante y sen 
cilla.
En el Capítulo 9 se extienden los conceptos anterior«., en 
el Plano a la G EOM ETR IA AN ALITIC A V E C T O R IA L EN EL ESPACIO .
El libro termini con un Capítulo referente a la técnic:i de ka 
INDUCCION M ATEM ATICA y a las SU M ATO R IA S .
- i
Siendo el objetivo inmeUirto de este texto el de conseguir u- 
na sóliJa fon :acií n lógico-matemática, desarrollando al mismo tiempo el aspee
to intuitivo en esti *rea con el material aquí tratado el alumno estará prepa 
rado pan. acceder al ANALISIS M A TE M A TIC O en lo que al C A LC U LO DI­
FERENCIAL se refiere.
Aprovecho estas líneas finales pa^a agradecer muy sln^en - 
n.ente a mis colé ge» de las diferentes Universidades en las que he enseñado,
por haberme ayudn ‘o con sua sugerencias para la elaboración de este texto.
J . A R M A N D O V EN ER O B .
GONtTEKIOO
CAPITULO 1. LOGICA
1 Proposición Lógica
2 Conectivos Lógicos : Disyunción, Conjunción, Negación, Condl 
clona1 y Blcondlclonal. Proposiciones Compuestas
3 Tautología y Contradicción. Implicación Lógica y Equivalencia 
Lógica. Proposiciones Equivalentes
4 Leyes del Algebra de Proposiciones
5 Razonamiento Lógico. Argumentos VSlIdos. Métodos de Demostra­
ción
CAPITULO 2. CONJUNTOS
1 Conjuntos y Cuantlflcadores. Intervalos. Negación con Cuantl- 
flcadores
2 Subconjuntos. Conjunto Unitario, Conjunto Vacio, Conjunto 
Universal. Conjuntos Iguales
3 Operaciones entre Conjuntos : Unión, Intersección, Complemen
to. Diferencia, Diferencia Simétrica. Representación Griflca 
en Diagramas de Venn
4 Leyes del Algebra de Conjuntos
5 Propiedades Adicionales
6 El Conjunto Potencia
7 Número de Elementos de un Conjunto A : n(A)
1
1
6
7
13
19
25
28
30
36
40
43
i
CAPITULO 3. LOS NUMEROS RFAt.ES
1 El Sistema de los Números Reales
2 Ecuaci ' es Lineales y Cuadráticas. Método de Completar 
Cuadrados
3 La RelaclOh de Orden. Desigualdades Linea.es y Cuadráticas. 
GeneralIzacICn. Regla de los Signos
4 Regla Gráfica de los Signos para resolv̂ i Inecuaciones.
Método práctico
5 Propiedades de las Raíces de la EcuaciOn de 2° Grado : 
a*2 + bx + c ■ 0
6 Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales
7 VALOR ABSOLUTO. Propiedades. Teoremas relativos a las Ecua
clones e Inecuaciones con Valor Absoluto
B MA'IMO ENTERO. Prpledades
9 CONJUNTOS ACOTALOS. Cota Superior, Cota Inferior. El SUPRE
MO y el INFIMO de un conjunto de mineros Reales. El Máximo 
y el Minino de un conjunto de nún..ros Reales
CAPITULO «i. VECTORES EN EL PLANO
1 Introducción
2 El Sistema de Coordenadas Cartesianas. DISTANCIA entre dos
Puntos en el Plano
3 El Algebra Vectorial Bldlmenslonal
4 Representación Geométrica de los "ectores
5 Paralelismo de Vectores
6 Longitud 6 NORIA de un Vector. Víctores Unitarios
7 Angulo de Inclinación de un Vector en el Plano
B Ortogonalldad y Producto Escalar. Desigualdad de Cauchy-
Srhwarz
9 Combinación Lineal de Vectores. Independencia Lineal de un
conjunto de Vectores. Propie ades de los Ve itores Unitarios 
Ortogonales
10 Angulo entre Vectores,
11 Proyección Ortogonal. Componentes Ortogonales
48 
54 
56 
. 62
67
. 72
. 89
. 110
. 120
. . )3d
. . 138
. . 140
141 
. . 150
. . 153
. . 156
.. 160
. . 172
. . 1B6
. . 188
CAPITULO 5. EL PLANO EUCLIDIANO
1 El Plano Euclidiano. LA RECTA. Ecuación Vectorial de la Recta 203
2 Ecuaciones Paramétricas de una Recta 204
3 Forma Simétrica de la EcuaclOn de una Recta 207
4 Ecuación Normal y Ecuación General de una Recta 207
5 Distancia de un Punto a una Recta 209
6 Proyección Ortogonal de un Vector sobre una Recta 211
7 Segmento de Recta .. 212
8 División de un Segmento en una Razón dada, m:n . 213
9 Angulo de Inclinación de una Recta 223
ID Pendiente de una Recta .. 224
11 Paralelismo y Ortogonalldad de Rectas .. 226
12 Intersección de Rectas. La REGLA DE CRAMER 234
13 Angulo entre Rectas •• 241
CAPITULO 6. GRAFICAS DE ECUACIONES
1 Introducción 263
2 Criterios para graficar Ecuaciones: Interceptos con Los Ejes, 
Extensión, Simetrías. Asíntotas 264
3 Ecuaciones Factorizables .. 269
4 Problemas sobre Lugares Geométricos 270
5 LA CIRCUNFERENCIA. La Ecuación de Id Circunferencia 279
6 Condición de TANGENCIA. Método Vectorial para hallar Rectas 
Tangentes y Puntos de Tangencia a una Circunferencia 291
7 Rectas Tangentes a la Curva definida por la Ecuación General 
de 2o Grado : A*2 + 6xy * Cy2 * D* ♦ ly * F - 0 301
8 Familias de Circunferencias .. 308
CAPITULO 7. TRANSFORMACION DE COORDENADAS
1 Fórmulas de Transformación de Coordenadas : Traslación y
RotaciOn de Ejes .. 319
2 Transformación de las Coordenadas de un PUNTO, y de un VECTOR
D1RECC10NAL de una Recta .. 325
ItiVioducclôn at Anâtlici Hafemlttco
CAPITULO 8 LAS SECCIONES CONICAS
1 Introducción .. 336
2 LA PARABOLA. Propiedades. Rectas Tangentes .. 338
3 LA ELIPSE. Propiedades. Rectas Tangentes .. 369
4 LA HIPERBOLA. Propiedades. Rectas Tangentes .. 402
5 LA ECUACION GENERAL DE 2° GRADO. Diagonalización .. 437
CAPITULO 9 GEOMETRIA ANALITICA EN «3
1 PUNTOS y VECTOkES en el Espacio .. 468
2 El PRODUCTOVECTORIAL en R3. Propiedades
El Triple Producto Escalar .. 471
3 RECTAS en el Espacio. Intersección de Rectas en el Espacio .. 475
4 PLANOS en el Espacio. Ecuación NCRMhL y Ecuación GENERAL 
de un Plano. Intersección de Planos. Intersección de una
Recta y un Plano. Distancia de un Punto a un Plano .. 478
CAPITULO 10 INDUCCION MATEMATICA Y SUMA^ORIAS
1 El Primer Principio de Inducción Matemática .. 493
2 El Segundo Principio de Inducción Matemática .. 501
3 SUHATORIAS , Cambio de Indices. Aplicaciones.
PROGRESIONES GEOMETRICAS (P.G.) . Suma de una P.G. .. 512
4 Suma de una Progresión Geométrica con Infinitos Términos .. 543
5 PRODUCTOS. Factorial. Propiedad Telescópica .. 552
6 NUMEROS COMBINATORIOS ó COEFICIENTES BINOMIALES .. 560
7 EL Teorema del Binomio de Newton. Triángulo de Pascal
El Término General Tk+1 . .. 567
______________________________________________________________________________________________________- 1 - —
1 ____________________________
LOGICA
1 PROPOSICION LOGICA
Se llama ast a toda expresión que puede cali­
ficarse bien como verdadera (V) 6 bien como falsa (F) y sin ambigüedad.
En general, las proposiciones lógicas serán denotadas con letras minúsculas
Pi Qi r* •••
EJEMPLOS DE PROPOSICIONES LOGICAS:
p : 4 ♦ 3 « 6 .. (F)
q : La ciudad de Trujlllo es la capital de La Libertad .. (V)
EJEMPLOS DE EXPRESIONES QUE NO SON PROPOSICIONES LOGICAS:
a) ¡Buenos dtasl b) a + z « * c) i Cómo estás ?
respecto a estas expresiones vemos que no es posible Indicar si les corres - 
ponde un valor de verdadero o de falso.
2 CONECTIVOS LOGICOS
a) LA DISYUNCION " p v q * [se lee " p o q ' ] .- Es una propo 
slclón formada por las proposiciones p y q , relaciona­
das por la palabra "o" (en el sentido inclusivo: y/o ), definida por la 
condición: 1 p v q ' es FALSA Gnlcamentt» en el caso en que ambas p y q
son FALSAS ; en cualquier otro caso es Verdadera. Su tabla de verdad es:
p v q EJEMPLO:
p v q
8 es menor que 7 ... (F)
6 es mayor que 2 ... (V)
8 es menor que 7 o
6 es mayor que 2 ... (V)
•2* Introducción al Análisis Matemático
b) CONJUNCION (se lee ’ p y q ‘ )
Es una nueva proposición que se define de tal 
■añera que resulta Verdadera (V) finitamente en el caso en que p y q son om 
11¿ Vmdadz/uu , y en todos los demSs casos es Falsa (F). Su tabla de verdad
p q p - q EJEMPLO
V V V p : 1512 es múltiplo de 3 .. (V)
V F F q : 5 + 2 - 10 .. (F)
F V F p ~ q : 1512 es múltiplo de 3
F F F 5 + 2- 1 0 .. (F)
NEGACION * ^P ’ Es una proposición que cambia el valor de
la proposición p , y cuya tabla de ver-
es
P •'•P
Se lee: " Es falso que p "
V
F
F
V
" No es cierto que p ■
■ No n ■ .
d) CONDI 1QNAL * p •* q * (Se leo " SI p entonces q " ) .-
Es aquella proposición que es Falsa únĵ 
camente cuando la proposición p (llamada ANTECEDENTE) es Verdadera (V) y 
la proposición q (llamada CONSECUENTF) es Falsa (F). Su tabla de verdad 
es
También se lee:
Implica q 
solamente sí q
es una condición suficiente para q 
es una condición necesaria para p 
a menos que ■>» p 
Es suficiente que p para que q 
Es necesario que q para que p .
OBSERVACIONES:
Según las dos últimas filas basta que el antecedente p sea falso (F) pa
•a que la condicional sea vrrdadeia (V), independientemente del valor de
la proposición q .
Según las filas Ira. y 3ra. basta que el consecuente q sea verdadero
(V) para que la condicional sea verdadera (V).
Cap.1 Lógica 3
- SegGn la Gltlma fila, si tanto p coipg q son falsas, la condicional re 
sulta verdadera.
EJEMPLO.- Explique porqué tienen los valores verltatlvos Indicados:
a) 2 + 3 - 6 + 5 < 6 .. (V)
b) 3 - 1 - 4 + 27 < 2* .. (V)
c) 5 es un nGmero primo ♦ 51 es par .. (F)
PROBLEMA.- Utilizar las palabras " si .. entonces " para expresar de o- 
tra rnaiera la siguiente proposición:
* Yo no me presento al examen de HatemStlcas a menos que lo posterguen una 
semana " .
SOLUCION.- Senn p : Yo no ne presento al examen de HatemStlcas
q : No postergarSn el examen de HatemStlcas una semana
La proposición dada en el enunctado del problema corresponde por lo tanto a:
* q a menos que ^p ", la cual se simboliza precisamente como: p ♦ q .
SegGn esto se tiene el enunciado equivalente siguiente:
* Sl̂ no postergan el exarr >n de HatemStlcas una semana entonces yo no me 
presei.to a dicho examen ".
e) BICONDICI3NAL p ♦* q [Se lee " p y tolo ti q * ]
Es aquella proposición que es verdadera 
en el caso en que ambas p y q tienen el mismo valor (ambas verdade­
ras ó ambas falsis), y que es falsa (F) si p y q tienen valores vert 
tativos contrarios. Su tabla de verdad correspondiente es como sigue:
También se lee :
* p si y solamente si q *
■ p es una condición necesaria y suficlen 
te para q "
PROPOSICIONES COMPUESTAS ,- Utilizando los conectivos lógicos se pue
de combinar cualquier nGmero finito de 
proposiciones para obtener otras cuyos valores verltatlvos pueden se1* cono­
cidos construyendo sus tablas de verdad en las que se deLen Indicar los va­
lores resultantes para todas las combinaciones posibles de valores de las 
proposiciones componentes.
I
p q p *-*■ q
v v v
v F F
F V F
F F V
A - Introducción al Análisis Matemático
Por ejemplo, para la proposlcífin [(^p) v q) ♦ (r ~ p)
p q r -\,p ('p)vq r - P [('»- p) v q ] - (r » p)
V V V F V V V
V V F F V F F
V F » F F V V
V F F F F F V
F V » V V F F
F V F V V F F
F F V V V F F
F F F V V F F
EJERCICIO.- Sean p : 8 es un número par ; q : 8 es el producto de
dos nCmeros enteros. Traducir en símbolos caoa una 
de las siguientes proposiciones:
a) 8 es un nGmero par'o es un producto de dos enteros.
b) 8 es impar y es un producto de dos enteros.
c) 8 es un núnero par y un producto de dos enteros o es un nGmero impar
y no un producto de dos nGmeros enteros.
SOLUCION.- a) p v q ; b) { ̂ p) - q ; c) (p « q) v [(•>- p) - ('»-q)] .
PROBLEMA.- Sean p, q, r tres proposiciones tales que p es verdadera,
q es falsa, y r es falsa. Indicar cuSles de las siguientes
proposiciones son verdaderas: a) (p v q) v r ;
b) [(p -q) v (('v-p) - ̂q)] « [í(^p) - q) v ((-»- q) ~ p)] ;
c) (^p) v (q - r) ¡ d) (( ̂ pi v ->.q) - (p v -»-r) . |qv r).
SOLUCION.- a) (p v „) v r
* ♦ +
(V v F) v F
+ +
' V v F
*
V (verdadera)
b) Como estS formada por dos corchetes unidos por una ~ , y como el pri­
mero de ellos (a la izquierda) es falso (F) entonces toda la proposi -
cifin ser! falsa (F) , independientemente del valor de la proposición que
queda a la derecha.
Cap.1 Lógica 5-
c) es Falsa, pues {•»> p) v (q - r) = F v F = F
d) es Falsa, análogo a (b), pues (q v r) resuHa falsa.
PROBLEMA.- Simplificar la siguiente propos'ciCn:
( V í > / 2 - 1 > 0 ) + >V« v (l/ft < 1//1 — -1 < 0)]
SOLUCION.- Analizando el valor de V i > /2 , vemcs que ^ ■ 22' * - 2*^2
■ J i , y por lo tanto V 4 > /2 es FALSA, asi como también te­
nemos que 1/^4 < 1//3 es FALSA, sin embargo ^2 > ̂ 4 es VERDADERA pues 
í significa > 0 • . Asi, equivalentemente se tiene que
(F ~ V) -■ [ V v (F *♦ V)]
F
y sc;0n una observación respecto a las CONDICIONALES, basta que el anteceden 
te sea FALSO ¿orno en este caso, para que toda la condicional sea VERDADERA;
lo cual se pmde verificar completando lo demás si se desea.
JERARQUIA DE LOS CONECTIVOS LOGICOS
Cuando en una proposición compuesta se tie­
nen varios conectivos ISglcos, las operaciones se realizan luego de colocar 
los paréntesis adecuadamente.
PROBLEMA.- Sean p, q, r, s, ji proposiciones lCglcas. SI el valor de 
verdad de las siguientes proposiciones (a) y (b) es FALSA:
a) [t{p - q) - r ] - (s - r) . b) ( ̂ p) v q
i CuSl es el valor de verdad de (r) y (d) ? :
c) [(n + p) * ^r ] ♦ p , d) s ♦ {p *-*• n)
SOLUCION.- Analizando por partes: que la condicional (a) sea FALSA quie­
re decir que:
M p ♦ q) ♦ r es » .. (*) y que s ~ r es F .. (**) ;
y como |i p) v q es F por (b), entonces p es V y q es F , lue­
go p ♦ q es F . Entonces, de (*) : •»-(p ♦ q) es V , y por lo
tanto r es ¥ . Luego, de (**) : s resulta ser F , ya que ^r es F.
Asimismo, la condicional (d) resulta también ser VERDADúRA puessu ante 
cederte s es FALSO .
NCtese que aquí no fue necesario conocer el valor verltatlvo de n .
-6- Introducción al Análisis Matemático
3 TAUTOLOGIA Y CONTRADICCION .-
A toda proposicifin simple o compuesta que es siem­
pre VERDADERA para cualquier comblnacifin de valores de verdad de sus compo
nentes se le llama TAUTOLOGIA, y se le denota por una V .
A toda proposlcifin que toma el valor de FALSA para
todas sus combinaciones, sé le llama CONTRADICCION y se le denota por F .
EJEMPLOS.- La proposicifin [((* p) v q)~ vq ) + ' p es una TAUTOLO-
IMPLICACION LOGICA Y EQUIVALENCIA LOGICA .-
Se llama IMPLICACION LOGICA (6 simplemente IMPLICA 
CION) a toda condicional p -*■ q que sea una TAUTOLOGIA, y en tal caso
a la condicional se le denota por p = > q . Por ejemplo, tenemos:
['(■'■ p) v q) « ■»> q ) = > •»- p , ya tabla de verdad ya se ha dado.
Se llama EQI’IVALENCIA LOGICA (6 simplemente EQUIVA
LENCIA) a toda bicondicional p «-*■ q que sea una TAUTOLOGIA, « notSn 
dose en tal caso, p «=* q . EJEMPLD: p > (p v q) «— > p :
p q p v q P « (p v q) P * (p v q) ♦+ p
V V V V V
V F V V V
F V V F V
F F F F V
Cap.1 Lógica -7-
PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES
Dos proposiciones p y q son EQUIVALENTES (6 LO­
GICAMENTE EQUIVALENTES) si sus tablas de verdad son idénticas. En tal caso, 
se denota p = q . Por ejemplo, (p -► q) y ( ''-q) -» ( “'■p) son E 
QUIVALENTES, puesto que sus tablas de verdad son ioénticas como podemos ver:
p q •tq •up p — q (•t q) -* ( -up)
V V F F V V Por lo tanto.
V F V F F F p -► q = ( ̂ q) — ( ̂ p)
F V F V V V
F F V V V V
idíntÁJU.u
NOTA .- Esta equivalencia es muy Importante en lo que respecta a demostra­
ciones de teoremas y resultados, pues es el fundamento del llama­
do METODO DE DEMOSTRACION POR REDUCCION AL ABSURDO 6 MíTODO POR CONTRADIC­
CION, que es una forma Indirecta de demostración, y que ilustraremos mSs ade­
lante en este capitulo.
LE ICES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Son equivalencias lógicas que las presentamos a continua -
ción, y cuya demostración es muy fScil construyendo sus tablas de verdad.
la. p v p = p Ib. P “ P = P
2a. p v q i q v p 2b. p _ q = q ~ p
3a. (p v q) v r 5 (p v q) v r 3b. (p - q) - r 5 p - (q - r)
4a. p v |q * r) M p v q) * (p v r), 4b. P * (q V r) : (p • q) V (p
5a. p v F = p 5b. P ~ F = F
6a. p v V = V 6b. p - V s p
7a. pv('p) = V 7b. p » ( -x-p) = F
8a. ^ p 5 p 8b. •»-V = F , -v-F = V
9c.
9b.
M p v q) = ( -v-p) ~ ('»-q) 
M p *> q) £ ( ̂ -p) v (iq)
LEYES DE DE MORGAN
Como es vSlidü reemplazar una proposición por su equiva­
lente sin alterar el resultado, estas leyes ayudan a simplificar el problema 
que se estS tratando de resolver.
Con este fin presentamos a continuación una LISTA ADICIO 
NAL DE EQUIVALENCIAS LOGICAS muy GUI:
Introducción al Análisis Matemático
1A. p ♦ q = (' p) vq , 2A. p + q = ( -uq) + (t p)
3A. p ' (p v q) = p , 4A. p v (p * q) = P
5A. p q s (p -* q) « (q *• p) .
6A. p q E (p » q) v [(^ p) - ( 'v-q)] .
PROBLEMA.- Simplificar las siguientes expresiones utilizando las Leyes 
del Algebra Proposicional 6 la LISTA ADICIONAL :
a) ' [ ’•(p-q) ♦ ’■q) v q
b) [((^p) - q ) + (r - '»-r )] - *tq
SOLUCION.- a) ■». [*»« (p q) ♦ “»-q ] v q
= ''-['»'(Mp - q)) v ■»> q ] v q 1A.
= ^[(p - q) v ^ q ] v q tía.
= [t(p ~ q) ~ q)] v q 9a.
: t(1'P “ 'q) * q] V q 9b.
= q v [ q - (tp v ^q) 2a, 2b.
5 q 4A.
b) [((^p) - q ) * (r - 'l-r )] - tq
= [((^p) « q ) * F ] « " > . q 7b.
= [('»•(('>. p) - q )) v F ] - -»-q 1A.
= [(p v '»-q) v F ] ~ •».q 9b.
= ÍP v ■>. q ) ~ q 5a.
= '»-q 2b, 3a.
PROIILEMA .- Demostrar que la siguiente proposición es una TAUTOLOGIA, u- 
tilizando las LEYES 6 la LISTA ADICIONAL:
[(pv ^ q ) - q] * p
= •t[(p v i q ) ~ q ] v p 1A.
i [Mi» v 'q)] v (^q) v p 9b.
= [t*1- p) - q] V (”'• q) v p 9a.
= [('»' p) - q ] v (p v •»- q ) 2a.
= [(■v-p) ~ q ] y (-v- [(-v-p) - q ] ) 9b.
= V (TAUTULOGIA) 7a.
NOTA Este método es mSs prSctico que el de las tablas de verdad.
PRO bLEM A Determinar si es que las proposiciones (a) y (b) son Equl̂ 
valentes:
Cap.1 Lógica -9-
a) p - (r v -i- q ) , b) (q - * p ) » (( ̂ r) * (tp)) .
SOLUCION.- METODO 1 Debemos verificar que las tablas de verdad de (a)
y (b) son idénticas :
íA íaíajixu
METODO Z Simplificando: a) p ♦ (r v •v-q) = (^p) v (r v 'tq) ..(1)
b) (q ■* tp) v r -*• ■'-p)
= t(^q) v (■'-p)] v ^r) v -»-p]
= ( ^q) v (^p) v (r v ~ p)
= ('‘-q) v [(^ p) v (^p)] v r
= (^q) v (^p) v r = (tp) v (r v -̂q) ..(Z)
y siendo (1) y (2) Iguales, entonces (a) = (b) .
PROBLEMA .■ Hallar el valor verltatlvo de la proposición:
t(p ♦ «l) r ] — ► [ p (q «-► r)] .. (o)
sabiendo que [(p ■* q) * r ] *- [ p ♦ (q ♦ r)] es FALSO .
SOLUCION.- Del dato se tiene que solo puede ocurrir (a) 6 (b) :
a) (p - q) * r : V y p ♦ (q ■* r) : F
b) (p - q) - r : F y p ■* (q ■* r) : V
De (a): p ♦ (q ■* r) : F entonces p) v (■'•q) v r : F- ,
de lo cual: ^ p , •*. q , r : F , y por lo tanto, p, q : V y r : F
(*)
pero (p -* q) ■* r : V abiuAjlo, pues por (*) (p ■» q) ■* r : F.
Luego, (a) no se cumple, de modo que solamente se cumple (b), del cual: 
p - * q : V y r : F , d e donde puede ocurrir que:
bl) p. q : V , r : F entonces p -* (q ■» r) : F (abíuAdo)
10- Introducción al Análisis Matemático
b2) p, q : F , r : F entonces p -»■ (q ■» r) : V
b3) p : F , q : V , r : F entonces p * (q -* r) : V
así vemos que para b2 y b3 la proposicifin (a) resulta VERDADERA.
NOTA.- MSs aOn, se puede comprobar que (a) es una TAUTOLOGIA, mediante la 
tabla de verdad.
SERIE i)E EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Demostrar las Leyes del Algebra de Proposiciones.
2. Demostrar las proposiciones de la LISTA ADICIONAL.
3. Demostrar que las siguientes Condicionales son IMP! ICACIONES LOGICAS:
a) P = > P
b) [(p - q) - (q - r)] (p - r) (TRANSITIVIDAD)
c) -v,p = » (p ♦ q)
d) [(p - q) - '»•q ] ==> ^ p ; 9) (p - q) = * (p v q)
e) P ==* (p v q) h) (p - q) ==> (p ♦♦ q)
f) (p - q) ==* p i) (p --*■ q) =•■ (p ♦ q)
4. FVmostrar que son EQUIVALENCIAS LOGICAS las bicondicionales siguientes:
a) (p -* q) e= > (tp) v q
b) (p --•* q) < = » (p + q) - (q - P)
c) (p - q) v i? < = > P d) (p v
e) %(p * q) «==> [ p * ' q ]
Demostrar que: a) M p + q) = p ̂( tq)
b) F-»p = V ; p -*• F = t p ; p -*■ V s V
O (p + q) = [(p v q) ♦+ q ]
d) (p ♦ q) = [(p ~ q) ♦+ q ]
6. Dadas las proposiciones I) M p ~ q) "*♦ [ p v ^q ]
II) -x-(p + q) -n- [ p v -iq ]
III) M p ♦+ q) ♦♦ Í^P *-*■ ^q) . 
indicar cuSl (es) es (son) una CONTRADICCION (F) .
7. ¿La proposiciCn M p -► q) - (q ♦ ^r) es equivalente a cuSl (es)
de las siguientes proposiciones 7 :
a) p - (p v ^rl-l-tq) b) p ~ ( t.q) ~ [> (q - r)]
c) (p - -v-q) v [(p - i r) - ‘‘•q ] .
8. ¿ Alguna de las siguientes proposiciones es una Tautología 7 :
Cap.1 Lógica
a) i [(t (p v q)) ■* <1 ] ♦♦ (p * q)
b) ''-[(■'•p) — ► q ] *— (p q)
c) t {(p ~ q) v [ p - ( -»-p v q ) ] > *-* (p + ■».q )
9. Simplificar: [(^ p) « q ■* (r ~ r )] ~ (^q) .
10. Simplificar: [( ̂ q ♦ ■»•?)♦ (^p ♦ q )] * (p ~ q)
11. ¿De las siguientes proposiciones cuSles son Equivalentes entre sT ? :
a) Es necesario que Juan no estudie en la UNI para que Luis viva en el 
RTmac.
b) No es cierto que Luis viva en el RTmac y que Juan estudie en la UNI.
c) Luis no vive en el RTmac y Juan no estudia en la UNI.
12. ¿CuSles de las siguientes proposiciones son Tautologías? :
a) [(p v tq) - q ] -* p ; b) [(p - q) v q ] *+ q
c) [{*̂ p) ̂ (q v ■». r )] ♦+ [(q - ■». p) v M p v r)]
13. De la falsedad de: (p -*■ ^q) v ( "Mr s ) , deducir el valor de
verdad de :
a) [ vp ~ -wj ] v (■». q)
b) [(^ r v q) ~ q ] <-► [( '»-q v r) - s ]
c) lp *r) ♦ [(pvq) »■iq]
14. Si se sabe que (p » qí y (q ♦ t) son Falsas, ¿cuSles de las s±
guientes proposiciones son Verdaderas ? :
a) ( t p v t j v s ; b) •''[p~('''qv'»«p)]
c) [(■»>?) v (q ~ -»-t)] ♦+ [(p + q) « ■>. (q - t)]
15. ¿CuSl (es) de las siguientes proposiciones es equivalente a : “ Ei nece
tatúo paga* I/. 5 D00 y ttA mít joven pana ¿ngH&taK al baitt * ? ,
a) No Ingresar al baile o pagar I/. 5 000 , y ser mis joven.
I b) Pagar I/. 5 000 o ser mis joven , y no ingresar al baile.
I c) PagarI/. 5 000 y ser mSs joven o no ingresar al baile.
16. Si la pro?osici6n: (q ~ •>. p) [lp <■> r) v t ] es Falsa, hallar el
valor de verdad le:
a) '»-[('k'P v ■»> q) -*■ (r v ^t)]
b) (t q « '»-r) v [(^ t) - (p v q)]
c) (^p - t ) + (■'• q + r )
17. Demostrar que las tres proposiciones siguientes son Equivalentes :
a) ■». [(q v •>. p ) v ( q ~ t r v i . p l ) ]
t
12- Lóqica
b) (p - -x-q) » v (p v % r) )
c) ~ C(~q) - (^p)3 - [ q - ^(p * r)]
18.- La proposiclfin (p v q) ♦-* (r ~ s) es verdadera. Teniendo r y s va 
lores de verdad opuestos, ¿ cujíes son verdaderas? :
a) [(tp ~ ^q) v (r ~ s)] ~ p es Verdadera.
b) [ M p v q) » (r v s)] v t^p - q) es Falsa.
c) [(•'•r ~ •».s) < (pv r)] « i/(r ~ s) es Verdadera.
19. ¿CuSles son EQUIVALENCIAS LOGICAS ? :
a) t(q ♦ •'•p) « lq»p)
b) [('»'P « '»< q) v i<q ] ♦♦ •>. [(p v q) « q ]
c) -t(p * q) *-* [(pvq)» i q ]
20. SI p * q se define por (*».p ~ i<q) , entonces M p *-► q) ¿a
cuSl es equivalente 7 :
a) [(^p)t q ] v Iq *p) . b) [(•». p) + q ] v [(i. q) + p ]
c) [(•'■p) + (~ q)D v (p + q)
21. ¿CuSles de las siguientes proposiciones:
a) i/(p - <tq - ^r) b) (p ̂ ^ q) v r
c) (r v q) ~ o. ( <tr ~ q) . d) ( i-p) v q v r
son equivalentes a: (p ■* q) ■* r ? .
22. Si p + q significa * ni p y ni q * , ¿cuáles de las siguientes
proposiciones son TAUTOLOGÍA!" 7 :
a) {p + q) + (q + p) *-»■ (p - q) . b) M p - q) (p + q)
c) (p + q) ** M p v q) .
23. ¿CuSntas F y cuántas V tiene el resultado de la tabla de verdad de
“x-[(p ~ q) ■* ^r ] ~ (s v *'<s) después de simplificarla 7 .
24. Dada la proposición
z : [ÍP * q) * (P v (q * r))] * l q * (p»r)] ,
a) Indicar valores de p y r tales que si q es F entonces z es F .
b) Indicar valores de p y r tales que si q es V entonces z es V .
25. Escribir la negacSOn de cada una de las proposiciones siguientes:
a) El no es rico, pero es feliz.
b) El no es pobre ni es feliz.
c) El es bajo pero Sgll.
d) Ni Juan ni Carlos viajarán a Huaraz a fin de mes.
Cap.1 Lógica -13-
e) El tiene un compSs o una regla.
f) Ambos equipos Alianza y la U IrSn a la Copa Libertadores.
g) SI Juan llega a tiempo con los documentos, entonces ambos Carlos y
Pedro podrSn Inscribirse en la Universidad.
26. Si p, q, r, s, t, w son proposiciones tales que
a) (p ~ t rJL ** (s ■* w) es verdadera,
b) (i-w ♦ *»-s) es falsa
hallar el valor de vendad de las siguientes proposiciones:
c) (p * q) v r v s d) (s -*-» ■* (r v ■'•p)
e) [ t ■* (w v o. p)] - <l(p ■* r)
RPTA: w : F , s : V , r : V , p : F , d e donde (c) y (d)
son verdaderas, mientras que (e) es falsa.
27. Expresar la siguiente proposici6n compuesta de otra forma, utilizando
Gnlcarente los símbolos •>< y + : (p«q) v (rvs) .
r.PTA: (p ■* -tq) •* [{ -tr) ■* s ] .
28. Simplificar la expresión:
V» > /í - -8 < 0 - J2. > V k v [ 1/ ̂ < 1//2 +- 8 > 0 ] .
29. S'n usar tabeas de verdad determinar si las siguientes proposiciones
son Ifiglcamente equivalentes entre sT :
[('*) * ('''*)] v [ t + {•»- w)] y m * [(^ t) v s ].
1.5 RAZONAMIENTO LOGICO. ARGUMENTOS VALIDOS
Un ARGUMENTO LOGICO (6 simplemente un ARGUMEN 
TO) es una condicional de la forma:
ÍPj ~ p2 - ... - pk) - q (*)
donde las proposiciones Pj. p2......p^ son Humadas PREMISAS, y
originan como consecuencia otra proposición q llamada CONCLUSION.
A) El Argumento (*) recibe el nombre de ARGUMENTO VALIDO si dicha condi­
cional es una TAUTOLOGIA. Es decir, si
(Pj A ^ •" ~ P|̂) ~ 9
B) Si el Argumento (*) es FALSO, entonces se tiene la llamada FALACIA.
TEOREMA SI el Argumento (*) es VALIDO, y las premisas Pj, p2. ... ,
Pj, , son verdaderas entonces la CONCLUSION q es correcta (V).
14- Introducción al Análisis Matemático
PRUEBA.- Siendo el argumento vílldo entonces la condicional (*) es una
TAUTOLOGIA (V), en la que (Pj - p2 - ... *■ p̂ ) es verdade 
ra (V), pues cada p^ lo es, de donde la única posibilidad para q es que 
sea verdadera (pues si fuese FALSA, la condicional (*) serla falsa y el ar 
guinento (*) no serta VALIDO).
OBaERVACION Un argumento no se modifica si es que una o varias de las
proposiciones p̂ , p2> ... , p^ , q se reemplaza por 
otra u otras que sean EQUIVALENTES.
NOTACION Un arguirvnto Pj ~ p2 ~ ... ~ p̂ * q también se de
nota en la forma:
Pl
f>2
f>k
q
PROBLEMA.- Demostrar que el siguiente argurento es VALIDO : p
p - q
q
SOLUCION.- Por deflnicISn, se debe demostrar que la condicional 
[ p (p ■* q)] ♦ q es siempre verdadera (V) :
i i- [ p - (p - q)] v q = ^ [ p - ( i - p v q ) ] v q 
i ■v[(p»i.p)v(p.q)]vq = F v (p - q)] v q
= ’•t p *q ] » q = ('p v '■ql v q
= (’-P) V ( 4 V q) s -op v V 5 V (TAUTOLOGIA).
EJEMPLO.- En un Ejercicio propuesto se presente la propiedad TRANSITIVA: 
(p ■* q) ■» (q ■* r) ==> (p ♦ r) . Por lo tanto, el sigui­
ente argumento es VALIDO : P ♦ q
q ♦ r 
P * r
PROBLEMA.- Para cada conjunto dado de premisas, encontrar una CONCLUSION 
adecuada de manera que el argumento sea VALIDO :
a) p -► -w) , r -► q ; b) p -► M) , r -► p , q .
Cap.1 Lógica -15-
SOLUCION.- De las implicaciones conocidas vemos que en :
a) SI r ■* q la reemplazaras por su equivalente (^q ■* ^ r) entonces 
se obtiene que. por la propleoad TRANSITIVA :
(p ♦ ^q) - ('»•q * ^ r) = > (p ■* i-r) .
b) Análogamente, por corarjtatlvidad se tiene que:
= [(r ■* p) -> (p ■* ~ q)] - q = » (r ■» ^q) - q 
= q - (q -► >x,r) = > i«r , por el problema anterior.
En resumen, s han halladc las siguientes conclusiones correctas para:
a) p ■* •»« r , b) ^r .
METODOS DE DEMOSTRACION
Cu indo se demuestra que un argumento en la 
forma Pj ~ P2 ~ ~ P̂ ■* q •• (I)
es una ‘' OTOLOGIA, se dice que se ha empleado un METODO DIRECTO DE DEMOSTRA­
CION.
SI ahora consideramos la negad6n de la conclusICn q y de alguna de las 
premisas Pj , p2 , ... pk , digamos de pk , y se forma el argumento
[ÍPj ~ P2 ~ ••• ^ Pk_j ) '■ ( * ’*'Pfc (JI)
veremos que este Gltlmo argumento (II) es equivalente a (I) :
(II) s -».[(pj « p2 ~ ... - pk_j ) - ^ q ] v (~ pk)
= [^(Pj - P2 - ... - P|j_j ) v ~(~q)3 v (^Pk)
= ̂ (pj - ... - pk_j) v (~pk) v q 5 -o(p1 * ... - pjj . pk) v q
— (Pj * ... A Pk) ■* Q .. (I)
DEFINICION.- Cuando ¿e de¿ea demoitXM la validjr di (I) mando ¿u {ofuna 
equivalente (II) ¿e dice que ¿t ¿¿tí empleando el METODO 
INDIRECTO 6 METODO POR REDUCCION AL ABSURDO. Note, que e¿te 
mltodo coniiite. en conildeAaA. ahofia como una pA.en¿ia a la negaciSn de ta con 
cluiiSn, e¿ decJiH. a (a. q) y tuaXa de ln¿exiA. (viudamente) ta nega-
ciSn de alguna de tai pnemiiai (en el cooo antejiion, te tnatl de ¿niefUA.:
* pk ) coniideAando tai demSi puopoticlonei veJidadenai.
PROBLEMA.- Verifique la validez de ]os siguientes argumentos. Usar prime­
ro un m&todo directo y luego un nEtodo Indirecto.
-16- Introducción al Análisis Matemático
a) p ■* q b) q ■* p
r -> *>»q q v s
P
SOLUCION.- METODO DIRECTO :
a) (p * q) - (r ■» •»- q) ♦ (p -► ^r)
= (p -» q) « (q -» r) ■* (p ♦ ^ r) = V , por la propiedad
TRANSITIVA.
t>) (q ♦ p) * |q » s) - (*»-*) * p = (^q v p) - (q * ^s) - p
= (p ~ q ~ s) -» p = M q ~ (•». s) ~ d) v p
= <x, (q ~ o. s) v (■v p) » p = i- (q ^ i. s) v V s V
METODO INDIRECTO . #j Demostraremos la validez de: p ■* q
M p ■* o.r)
M r ■* ^q)
= (p ♦ q) '*• (p ■* 'L r) ■* 'x* (r -* ^ q)
= ^ (p ■* q) v (p ■* •»< r) v •»« (r ■* •»« q)
= % [(p •> q) > (r % q)] v (p -» % r)
= ^ [(p * q) » (q ♦ ^ r)] v (p * ^ r)
= (p ■* q) * (q ■* '*,r) -*■ (p i- r) = V (TAUTOLOGIA)
b) Demostraremos que la siguiente condicional es una Tautología:
[(q * p) - (~p) - (~ s)] - M q ’v s)
= [(tq v p) ~ (t p) ~ (^s)] -► * (q v s)
= [[(-x-q « * p) v (p - i-p)] - (i-s)] * •». (q v s)
= [[(^ q - ^ p ) v F] ^ i-s ] ■* ^ (q v s)
5 ('X/q)~(^p)~('ts)+''<(qvs) = ' ( q v p v s ) - * '(qvs)
= q v p v s v M q v s) = p v [(q v s) v M q v s)] = p v V = V .
PROBLEMA DE APLICACION.- Sea n un entero positivo. Demostrar que:
si nz es par, entonces n es par .
SOLUCION.- Sean p : n2 es par , q : n es par . Se desea demos
trar que: p = » q , pero en fomto Indirecta por REDUC­
CION AL ABSURDO, es decir, demostraremos que: (•»« q) =^* (•»■p) , para lo
cual, aitwUmoicomo PREMISA a ¿a. NEGACION de q :
(a. q) : n es Impar
Cap.1 Lógica -17
entonces n - 2k + 1 para algún entero k i 0 . y por lo tanto : 
n2 - 4k2 + 4k ♦ 1 - 2(2k2 ♦ 2k) ♦ 1 - 2 kj + 1 .
donde k| > 2k2 ♦ 2k es un entero . lo que Indica que n2 es IMPAR .
Asi, hemos llegado a Inferir la NEGACION de p :
•»< p n2 es Impar , con lo cual el problema queda resuelto.
PROBLEMA DE APLICACION Demostrar que no existe nlngGn número racio­
nal q “ — , n , n enteros prlros enn
tre si (es decir, que no tienen factores enteros comunes, excepto el 1) , 
tal que: q2 ■ 2 . (0 equivalentemente, que Jz no e¿ nacional).
SOLUCION Supongamos que (lo contrario) la negaclfin de la tesis se
cumplr, es decir, que q2 ■ 2 , para algún racional q
tal que q - 5 , con n t n enteros primos entre si . Entonces ,
n
q2 ■ 2 =*► (m/n’2 - 2 = > (*) m2 « 2n2 = > m2 es par
«i también es par (por el problema anterior) • 2kj , pa 
ra algún entero kj = * en ( •) . 4k2 « 2n2
= > n2 es par n es par (por el problema anterior)
n - 2kz > para algún k2 entero ; resultando asi que 
m y n tienen al número 2 cono factor común, cont/uuUtUejido (negando) la 
hlpfitesls acerca de m y n de no tener factores co.,tunes distintos de 1 .
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Verifique la validez de los siguientes Argumentos:
a) p - q b) p « (p * q) d) r + tq
**-P -» q (p » q) ♦ r p + q
r ■* s i-r -» s
s p ■* s
(p ~ q) * (r - s) d) p
(t q) v (* s) (•*. p v •*•$)-► [( *»<p) » (^r)]
p) v (■»< q) s
SUG: Algunos se prueban mejor por el m&todo indirecto.
Sea n un número itero. Demostrar que si n2 es múltiplo de 3 , en­
tonces n también es múltiplo de 3 .
-18- Introducción al Análisis Matemático
SUG: n no múltiplo de 3 equivale a que n ■ 3k+l 6 n • 3k + 2, para
k entero, y en ambos casos resulta que n2 no es mGltlplo de 3 .
3. Sea n un entero, demostrar que si n es múltiplo de 5 entonces n es
múltiplo de 5 .
4. Sea n un entero, den>ostrar que si n es mOltlplo de 6 entonces n es
.núltiplo de 6 .
SUG: m es múltiplo de 6 si y solo si m es múltiplo de 2 y múltiplo
de 3 a la vez.
5. Sea n un entero, demostrar que si n3 es múltiplo de 2 entonces n es 
múltiplo de 2 .
6. Demostrar que no existe ningún número racional q tal que q2 ■ 3 .
7. Derostrar que no existe ningún número racional q tal que q3 • 2 .
CLAVE DE RESPUESTAS (SERIE DE LA PAG. 10)
6. III , 7. Todas , , 8. Solamente (c) , 9. •».q ,
10. i/q . 11. Solo (a) y (b) , 12. Todos , 13. a) F. b) F ,
13. c) V , 14. Todas . 15. Solo (c) , 16. a) F, b) V, c) V ,
18. Solo (c) , 19. Solo (b) y (c) , 20. Solo (b) , 21. Solo (b),
22. Solo (a) y (c) , 23. IV y 7F , 24. a) p , r : V , b) p, r: V
25. a) El es rico o no es feliz.
b) El es pobre o es feliz.
c) El no es bajo o no es Sgll.
d) Al menos uno Juan o Carlos viajarSn a Pitra a fin de mes.
e) El no tiene ni un compís ni una regla.
f) Al menos uno de los ecuipos Alianza o la U no IrS a la Copa Liber­
tadores.
g) Juan no llegarS a tiempo con los documentos y en tal caso, al menos 
uno Carlos o Pedro no podrí Inscribirse en la Universidad.
28. V , 29. SI son Lógicamente Equivalentes.
- 19 -
2 Conjuntos
1 CONJUNTOS Y CUANTIFICADORES
Se entiende por CONJUNTO a una colección, agrupa 
c16n o reunión de objetos o ELEMENTOS , y que puede ser determlnadc ya sea 
por EXTENSION : cuando sus elementos estSn Indicados explícitamente entre
llaves, o por COMPRENSION : cuando existe una oropledad o condición que 
es común a todos estos elementos, de tal manera que al considerar cualquier 
objeto existente se pueda establecer sin ambigüedad si es o no elerento de 
tal crlecclón.
NOTACION Para representar a los conjuntos generalmente se utilizan le 
tras mayúsculas A, B, X, etc. y para representar a sus e-
lementos se usan letras minúsculas a. b, x. etc. Si el conjunto A con­
siste de los elementos 1, 3, 5, 7, se puede representar :
a) Por extensión : A » {1, 3, 5, 7 }
b) Por comprensión: A » (x/ (x - 1) (x - 3) (x - 5)(x - 7) » 0 }
6 sino A « { x : (x - l)(x - 3){x - 5){x - 7) * 0 }
y se lee " A es Igual al conjunto de los x tales que
(x — l)(x — 3l(x - 5){x — 7) - 0 ."
Si un objeto x es elemento de un conjunto A se dice que " x PERTENECE al
conjunto A " 6 que " x ESTÁ en el conjunto A " , y se denota x c A . 
En casb contrario, se denotarS x A . En el caso del conjunto A que 
acabamos de presentar: 7 c A , pero 4 i A .
Es Importante saber que un conjunto mismo puede ser también 
elemento de algún otro conjunto. Por ejemplo, si A « { { 0 } , { 2 } , { 6 } }
y B ■ { 0 } , entonces 0 e B , B c A y 0 A .
CONJUNTOS NUMERICOS r.ARACTERISTICOS
|N * { 1, 2, 3, ... > (naturales); Z “ l.» -2, -1, 0, 1, 2, .. } enteros
Q ■ { -jj- : m, n e Z , n ¿ 0 } (racionales) ;
I - { x / x tiene represent, decimal Infinita no periódica } Irracionales
R * G U I (números regles)
-20- Introducción al Análisis Matemático
C - { x + ¿y / x, y e R } donde i ■ /-I (nOmeros complejos)
Z+ - { Enteros Positivos } ■ { 1. 2. 3, ... }
Z~* { Enteros Negativos } * { ... , -3, -2, -1 }
Z+ - Z + U (0} • { 0. 1, 2. 3. ... }
- Z' U {0} - { .... -3. -2. -1. 0 }
Análogamente se tiene Q , R . Q . I . R . Qq . Qq . Iq . Iq . 1^ . 1^ •
INTERVALOS
A) INTERVALO CERRADO . [a. b] - { x e R / a < x < b } donde
st se Incluyen los extremos a y b .
B) INTERVALO ABIERTO . <a, b> - { x e R / a < x < b } donde
no se Incluyen los extremos i ni b.
C) INTERVALOS SEMI ABIERTOS : [a. b> « { x e R / a < x < b }
<a, b] ■ í x t R / a < x < b }
[a. b]
a
<». b>
b R
a
[a. b>
b R
a
<a. b]
b R
a b R
RAYOS : <*. »> - { x c R / x > a }
[». "> - { X E R 
<a.
/
” >
x > a }
m
a
[a. ->
R
a R
Qap.2 Conjuntos -21-
e) x e R / x < b } , ( - » . b ] » ( * t í / x < b }
o----------------------
b R
____________ <--.b] _____________________
b R
NOTACION R » >
NOTA [a, b ] - { a } U <a. b > U {b } .
CUANTÍFICADORES : EXISTENCIA!. Y UNIVERSAL
Aquí presentamos dos nuevas proposicio­
nes relacionadas con ciertas expresiones p(x) a las que se les denomina
FUNCIONES PtOPOSICIONALES, y que se convierten en pnopo¿lc¿one¿ ¿Sg¿a~i cuan
do la variable x toma un valor en particular.
EJEMPLOS DE FUNCIONFS PROPOSICIONALES : p(x) : x ♦ 1 - 2
q(x) : x es estudiante de la UNI
Note que: si x ■ 1 , p(x) es verdadera .
s1 x - 2 , p(x) es falsa
y si en q(x) Ud. amigo lector, reemplaza x por su nombre, enton­
ces q(x) resulta una proposición 16c lea.
Para los conjuntos A ■ { 1. 2, 3, ... } , B ■ { 3, 6, 9, ... } , y
las funciones proposlclonales
p(x) : x es un nOmero natural par
q(x) : x es un nOmero negativo
r(x) : x es un mGItlplo entero de 3 ,
se tiene que la proposición:
■ EXISTE (por lo menos) UN ELEMENTO x c A TAL QUE p(x) ES CIERTO " .
simbolizada por " 3 x c A / p(x) * , m ulta VEÍWAVIKÁ púa tal
x e A puede ser x ■ 4 ; mientras que la proposición:
* EXISTE (por lo menos) UN ELEMENTO x e A TAL QUE q(x) ES CIERTO " ,
simbolizada por “ 3 x c A / q(x) ■ , Keiutta FALSA putu ningún
elemento x de A ti negativo.
Para el conjunto B ■ {3, 6, 9, ... } , li proposición:
■ PARA TODO x e B , r(x) se cumple * = " ¥ x c B , r(x) * ,
-22-
KUutXa VEKDHDIRA . como se puede verificar directamente, pues todo elemen­
to de B es mGltiplo entero de 3 ; mientras que la proposición:
* IARA TODO x e B , p(x) se cumple " = * ¥ x c B , p(x) "
e¿ FALSA , pues no todo elemento de B es par (ya que existe en B al menos
el número 3 que no es par. además de 9, 15. 21, etc., claro).
OTRA NOTACION .- [ ¥ x c B . r(x) ] = [ ¥ x e B : r(x) ] .
A los símbolos 3 y V se les llama CUANTIFICADOR EXISTENCIAL 
y CUANTIFICADOR UNIVERSAL, respectivamente.
NEGACION CON CUANTIFICAD-iRES Negar el hecho que exista un x en
A tal que p(x) se rump>la, equivale 
a afirmar que ningGn elemento x de A satisface la condición p(x) , es de 
clr que: pam todo x en A, M S B CUMPLE p(x) . Simbólicamente,
■»- [ 3 X E A / p(x) ] = ¥ x E A , 1- p(x) .
Análogamente, se puede demostrar de lo anterior tsue:
i- [ ¥ x t A , p(x) ] = 3 x e A / *»> p(x) .
EJEMPLO.- Indicar el valor de verdad de las siguientes preposicionespara 
el conjunto Z+ “ { 1, 2, 3, } y negarlas simbólicamente:
a) ¥ x e Z* , x2 -6x + 5 » 0 , b) 3 x e Z* / x2 -6x + 5 ■ 0 .
SOLUCION.- Como la ecuaciGn dada x2 -6x + 5 ■ 0 ■ (x-l)(x-5) tiene las
soluciones x ■ 1 , x - 5 , ambas en Z* , entonces
(a) es FALSA, pues para que sea verdadera, la ecuaciGn deberTa cumplirse 
pcma todoi toi ínteAOi poiitivoi de Z+ y eso no es cierto pues sola­
mente se cumple para x ■ 1 y x ■ 5 .
(b) es VERDADERA, pues existen hasta dos soluciones x » 1 y x » 5 en 
Z + , y solo hubiese bastado con una de las soluciones.
Las negaciones correspondientes son :
a) M ¥ x e Z + . x2 - 6x ♦ 5 * 0 ) 5 3 x e Z* / t (x2 - 6x + 5 - 0 )
= 3 x e Z+ / x2 - 6x + 5 t 0 .
la cual es VERDAOERA, pues tGmese x * 2 e I* en particular.
b) M 3 x e Z+ / x2 - 6x + 5 * D ) = ¥ x e Z * , M x 2 - 6x + 5 « 0 )
5 ¥ x e 1+ . x2 - 6x + 5 f 0 ,
la cual es FALSA, pues para x • 1 : x2 - 6x + 5 si es Igual a 0 .
PROBLEMA.- Simplificar y negar la siguí snte proposición compuesta:
" Todos los números enteros son Impares y existen números reales Irraciona­
les, si existe algún nSmero entero par; sí, y solo si, hay algún número 
real Irracional o cualquier número ertero es un número Impar, si cada nú­
mero real es un número racional " .
SOLUCION.- Denotamos por: p : V x c Z , x es Impar
q: l u í / x es Irracional
y vemos que p ; ^ x c Z / x es par
q : ¥ x c IR , x es racional 
asi, la proposición original se puede expresar como 
[(p - q) ♦ p ] *-*■ [(q v p) ♦ -tq ] 
y que al simplificar se obtiene:
= [ P » (p * q)] ♦+ (q v q v p) = p « pv q
= [ P + (P v q)] » [(q v p) + p ]
= [(^p) v (p v q)] * [( 'q * 'p) v p ] = » » [ V » (p v tq)]
= p v ( tq)
de donde tenemos que la negación corresponde a: ( *»<p) q , cuya traduc­
ción es: * Bx-iitín númeAOi entvwi xuiti y exiittn núme/un Ktalu h í ú .
nal&i “ .
PROBLEMA .- Sea A - { 1, 2, 3 } , determinar el valor de verdad de ca
da una de las proposiciones siguientes, asi como Indicar sus 
negaciones :
Cap.2 __________________________________________________ Conjuntos_ ~ 23 -
a) ¥ x c A , ¥ y c H , x2 * 3y < 12
b) ¥ i c . A , J i y c A / x2 + 3y < 12
c) 3 x c A / ¥ y c A , x2 ♦ 3y < lz
d) 3 x t A / 3 y c A / x2 ♦ 3y < 12
SOLUCION.- ■»- [ x2 ♦ 3y < 12 ] 5 [ *2 +
a) F , b) F , c) V , d) V -
Las negaciones correspondientes son:
a) 3 x e A / nt[ •¥ y e A , x2 ♦ 3y
= 3 x e A / 3 y e A / x2 + 3y >
b) 3 x e A / ¥ 0 e A, x2 ♦ 3y > 12
c) ¥ x c A, 3 j e A / x2 *3 > 12
d) ¥ x c . A , ¥ y c . A , x2 + 3y > 12
luego
-24-
SER1E DE EJERCICIOS PROPUESTOS (2.1)
1. Negar las siguientes proposiciones, para el conjunto Z :
a) ¥ x e Z , x + 1 > x ; b) 3 x e Z / x2 + l » 0
c) 3 x e Z / x2 « x ; d) V x e Z , x2 - 1 > 0
2. Determinar el valor de verdad de cada una de las proposiciones, didas en 
el problena anterior (1).
3. Negar las siguientes proposiciones:
a) V x e A, } s e * / [ * qU) ]
b) 3 x e A / 3 j e B / p(x) - q(jí)
c) 3- * e C / ¥ y e B . p(x) v i. q(y)
4. Demostrar que
■>.[ ¥ x t A , p(x) - q(x) ] = 3 x e A / p(x) - tq(x) .
5. Negar cada una 4e las siguientes propos 1 clone.'
a) V x e A , J j e B / ¥ z e C . p(x,y,z)
b) 3 x i A / 3 í £ I / t p(*) * ]
c) [ 3 II e A / Jli p(y) ] - ¥ x e A , q(x) v r(x) .
d) Todos los americanos citSn locos.
e) Hay al meros una persona que es feliz todo el tiempo.
f) Todos los hombres son hor?atos o algún hombre es un ladrSn.
g) SI el nGmero x es menor que 12 , entonces hay un número real y 
tal que x2 * y2 - 144 e¿ positivo.
6. Demostrar que la afirmación: " Para todo enteru positivo n , la expre
slfin n2 - n + 41 siempre es un nGmero primo ", es falsa con un con­
trae jempl o.
7. Indicar la verdad o falsedad de
a) V x e R. , V y c P. , (-tf)(-x) - xy * xy > 0
b) 3 x e R / (-l)(x) » 0 , c) ¥ x c R , x2/x « x .
8. Dado M - { 1, 2, 3, 4, 5 } , ¿cuSles son verdaderas? :
a) 3 x e M / x ♦ 3 < 10 ; b) ¥ x e M , 3 y t M/ x*y < 7
c) - V x e M , x + 3 < 8 ; d) 3 x e M / x+3 > 6.
9. Dadas las p-oposlclones:
a) [ 3 x e W / x + 2 « 5 ] ■* [ •¥ x e W , x2 > x ]
b) [ V a e Z , - 8 < 0 ] v [ 3 x e Z / -x - x ]
c) 3 x e IR / /-x e R .
Cap. 2 Conjuntos - 25
¿cuáles son los valores de verdad de sus negaciones en ese orden?
10. ¿Cuál de las siguientes proposiciones corresponde a la negación de :
* Para todo entero r , existe un entero a tal que si (ar) es par, 
entonces (a + l)r es par * ?:
a) 3 r e Z / ¥ a e Z , a r y (a + l)r son impares
b) 3 r c Z / ¥ a c Z , a r e s Impar y (a + l)r es par
c) 3 r e Z / ¥ a c Z , a r e s par y (a ♦ l)r es Impar
d) 3 r c Z / ¥ a c Z , a r e s Impar o (a + l)r es par.
11. ¿Cuál de las siguientes proposiciones sobre Q (racionales) correspo£
de a la negación de: * Para todo nOmero racional r existe un nGmero
entero p tal que p < r < p * 1 ? :
a) 3 r t Q / ¥ p e Z . p+1 > p > r
b) 3 r e Q / ¥ p e Z , p < p+1 < r
c) 3 » " e Q / ¥ p E Z , p £ r v p + 1 < r
d) 3 r e Q / V p t Z , p > r v p + 1 < r .
2 SUBCONJUNTOS
Se dice que un conjunto A es un SUBC0NJUNT0 de un
conjunto B , 6 que A a t i ¿nttuZdo en B , si todo elemento de A es tan-
blCn elemento del conjunto B , denotándose en tal caso: A c B . Ver
la Figura 1 en la página siguiente. Es decir, simbólicamente,
A c B «— *• [ ¥ x e A . x c A -=■»• x c B ]
Esta deflnlclSn simbólica Indica el canino a seguir cuando se desea «taños - 
trar que A c B . De la definición se sigue que es suficiente que un 
elemento del conjunto A no esté en B para que A no tta iubconjunto dt B ; 
en tal caso se denota A <$. B .
En el caso en que A c B , si B tuviese uno 6 más 
elementos que no pertenecen al conjunto A , entonces se dice que A ES UN 
SUBC0NJUNT0 PROPIO DE B .
EJEMPLO 1 SI A » { 2, 4 } y B * { 1, 2, 3, 4 ) entonces A c B , 
pues por simple Inspección vemos que todo elemento de A es tambICn elemen­
to de B .
EJEMPLO 2 Para cualquier conjunto A se tiene A C A , pues ¥ x c A .
la ¿mpLLcacidn x c A = > x c A es VERDADERA. [ ya que p = > p es
-26- Introducción al Análisis Matemático
una TAUTOLOGIA ]. 
A c B A 4 B A 4 B
lo elemento.
Conjunto Vacío o Nulo Es aquel conjunto que no tiene ningCn elemen 
to. Se le denota por .y es tí Incluido
en cualquier conjunto, es decir,
♦ c A , paAa todo conjunto A .
CoNJLN'm JNIVERSAL Denotado por O , es aquel conjunto que contiene
a todos los elementos que se estSn considerando 
en un estudio o contexto particular.
EJEMPLO___3 SI A ■ {2 } y B» {{2 }} , entonces las proposiciones
1) 2 t A 2) A e B 3) {2} ¿ A
4) 2 t B 5 ) A £ B 6) A f B
son todas verdaderas.
EJEMPLO 4 Demostrar la Propiedad Transitiva de la Inclusifin de Conjun-
tos: A c B - B c C
Se desea probar que: V x e A , x e A
V x e A , x c A = > x e B
X E B » X E C
A c C
= » x e C .
(pues A c B )
(pues B c c ) ,
En efecto.
y por lo tanto, x e A 
las proposiciones lSgicas:
— > x e C por la Propia ■’ad Transitiva de
(p - q) - (q * r) ==> (p + r) .
Demostrar que: ♦ c A , pana r.ualqwLtn. conjunto A .
En efecto, se quiere probar que la ¿mpLLcacLSn :
(x e ♦) =*■ (x e A) es verdadera , pero
EJEMPLO 5
esto es cierto pues el antecedente (x c ♦ ) es FALSA , ya gue el corjunto 
vacio no tiene elementos, y en tal caso la impl1cac16n resulta verdadera.
Cap. 2 Conjuntos -27-
EJEMPLO 6 SI los conjuntos {3a + b-9 , 4a} y { 4 , 5a + 2b }
son unitarios, probar que {6a+ b, 2b + 8a-3 } es unitario.
Siendo unitarios los dos conjuntos, entonces:
3a + b - 9 ■ 4a - 5a + 2b » 4 a ■ -2 y b ■ 7 ,
y con estos valores vemos que { 6a + b , 2b + 8a-3 } » {-5,-5 } * { -5 } 
resultando por lo tanto unitario.
EJIMPLO 7 Demostrar que la proposición A # B es equivalente a de
clr que: ■ Exiite un eJuftnto a e A tal que a i B ■.
SOLUCION: A £ B
a c A
*»<{ a c A 
a e A
a c B) 
= • a c B) 
a i B
= <b(A c B)
= •>-( V a e A.
= 3 a e A /
= 3 a e A /
usando el Ejercicio [5a] , pSg. 10 .
CONJUNTOS IGUALES Dos conjuntos A y B son IGUALES si A c B
y B c A . Es decir,
A - B < = > [ A C B - B c A ]
Por ejemplo, dados los conjuntos A « { I, 2 } , B * { 1, 2, 1 } mediante la Definición previa se demuestra que A » B , pues todo elemento de A
es elemento de B y todo elemento de B es también elemento de A ; por lo
tanto B tizne, ¿clámente do¿ elemento*. Asi que un conjunto no varia si
sus elementos repltentes se consideran una sola vez.
EJEMPLO 8 Sean A - { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } . B - { 2, 4. 6, 8 } , 
C - { 3, 5. 7, 9 } . D - { 3, 4, 5 } y E - { 3, 5 > . 
¿CuSl de estos conjuntos puede ser Igual a X si se dan las siguientes con 
dlclones 7: l ) X c A y X < * C 3 ) X C C y X < Í A
2 ) X C 0 y X < £ B 4 ) X y 6 son dfsjuntos .
RPTA: (1) X puede ser A, B 6 D ; (2) X puede ser D D E ;
-28- Introducci&n al Análisis Matemático
(3) X no puede ser nli.guno ; (4) X puttL ser C 6 E .
3 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 
UNI^N DE DOS CONJUNTOS: A U B
Es el conjunto formado por la reu- 
nifin Je todos los elementos de A y por todos los elementos J‘_ B :
A U B ■ ( i £ U / x e A v x e B }
donde “ v " es el conectivo lfigico de disyuiii^Jn, y que se lee " o " .
EJEMPLO K- Dados A • { 1, 3, 5, ... } , B « { 2, 4, 6, ... } entonces
A U B ■ H , puesto que se puede expresar como sigue:
A » { x e W / xes Impar } > B ■ { x e N / xes par }
= * A U B - { x e H / x e s impar o x es par } » K
INTERSECCION DE DOS CONJUNTOS: A n B
Es el conjunto formado por todos 
aquellos elei.entos comunes a ambos conjuntos A y B ; es decir,
A f l B ' t x c ü / x e A « x e B }
donde “ ~ " es el crnertlvo lfiglco de conjanc-iín , y que se lee " y " .
EJEMPLO 2.- Dados A ■ { x e H / xes múltiplo de 3 ) , B > { ieII/
x es múltiplo de 5 } , entontas AflB •{ x e N / xes
múltiplo de 15 } , pues por extensión:
A - { 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... } y B - { 5, 10, 15, 20. 25, 30, ... } .
SI la intersección de dos conjuntos A y B es vacía (es
decir, A n B « ♦ ) entom es se dlcc que A y B son D1SJUNT0S .
-üWPLE.tcNT'J D- UN CONJUNTO: A' Ó CA Ó AC .- Es aquel
Formado por todos los elementos del Uni­
verso que no pertenecen al conjunto A :
A‘ • { x e U / x ¿ A } , 6 también A1 » { x e U / t(x c A) }
donde “ *»< “ es el símbolo de la negacifin lógica.
Por ejemplo, si A « , 6] U {8} , A1 ■ < 6, 8 /> U < 8, •»> .
DIFERENCIA DE DOS CONJUNTOS: A - B EstS constituido por los e
Cap. 2 Conjuntos -29-
lementos Jel conjunto A que. no r nXjjn "«.rt ai conjunto B ; es decir,
A - B - { x e U / x e A y x B }
A este conjunto A - B también se le denota por B .
La siguiente Igualdad respecto a A-B es bastante Gtll en la práctica.
PROBLEMA 1 Demostrar que: A - B ■ A fl B'
La demostración se realizar! por Doble Inclusión (definición 
de IGUALDAD de Conjuntos) :
a) A-B c A n B‘ : ¥ x e A-B ,
x e A-B = > x c A » x t B =*■ x e A y x e B*
= » X E A n B‘ [definición de INTERSECCION ]
Por lo tanto, A -3 c A fl B' .
b) A P B’ c A-B : V x e A fl B' ,
x e A fl B' = » t e A * x e B' =*► x e A ~ x i B
=s> x e A-B [definición de A-B ]
Por lo tanto, A fl B' c A-B .
De (a) y (b) resulta que: A - B ■ A fl B'
EJEMPLO__3 SI A - <4, 10] . B - [6, 16> : A - B - <4, 6> .
DIFERENCIA SIMETRICA : A A B .- Es el conjunto formado por la reu
nlOn de aquellos elementos que so
lamente pertenecen al conjunto A y no a B , y por los que solamente perte­
necen al conjunto B (y no al conjunto A):
A á B - (A - B) U (B - A) .
EJEMPLO 4 Si A - { 2, 3. 4, 5, 6, 7 } y B - { 1, 4, 6. 7, 9 } en-
tonces A - B « {2, 3, 5 } , B - A - { 1, 9 } ,
y por lo tanto A A B * (A - B) U (B - A) « { 1, 2, 3, 5, 9 } .
REPRESENTACION GRAFICA EN DIAGRAMAS DE VENN
Estos diagramas sor Gtlles para verificar grSflca - 
mente ciertas propiedades de las OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS como las que 
presentaremos en la pSgina siguiente, y que se pueden demostrar formalmente, 
utilizando las Leyes del Algebra dt Proposiciones LOgicas.
30-
La zona sombreada representa al conjunto indicado
( i J ¡fcJÍ
A U B a n b A1
Al conjunto A-B también se le llama el COMPLEMENTO DE B RESPECTO AL 
CONJUNTO A .
A-B A A B
ÍJ LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS •
la. A l) A ■ A Ib. A n A - A
2a. A U B • B U A 2b. a n b - b n a
3a. A U (B U C) > (A U B) U C 3b. a n (b n c) - (a n b) n c
4a. A U (B n C) • (A II B) n (A U C) 4b. A n (B II c) - (a n b) u (a n
5a. A U ♦ - A 5b. a n ♦ ■ ♦
6a. A U U - U 6b. a n o - a
7a. A U A' - ü 7b. a n A' - *
8a. (A*)' - A 8b. u* - * . *■ - u
9a.
9b.
{A U B)1 « A’ n B‘ 
(A fl B) ‘ - A' UB'
| LEYES de DE MORGAN
En seguida demostraremos las Leyes [4a.] y [9a.] •
PROBLEMA 2 Demostrar que: A U (B (1 C) » (A 11 B) (1 (A 11 C) .
a) A U (B n C) c (A U B) fl (A U C) : V x e A U (B n C) ,
x e A U (B D C) = » x e \ v x E (B n c)
= ► * E A V (x E B - X E C)
= » (x E A V X 6 B) ~ (x E A V X E C)
[pues p v (q ~ r) = (p V q) - (p v r) ]
Cap. 2 Conjuntos -31-
= > ( e (A U B) . x c (A U C) — o x e (A U B) n (A U C)
b) (A U B) n (A U C) C A ü (B n C) : « i e (AIIB)n(AUC) ,
x e (A U B) fl (A U C) -**> x t (A U B) . x e (AUC)
= > ( i c A » x e B ) ~ ( x e A » x e C)
==» (x e A) v (x c B » X e C)
[pues (p*q)* (pvr) = p v (q . r) ]
= * (x e A) v (x c B (1 C) = > x c A U (B n C)
AsT, de (a) y (b) por doble InrluslOn: A U (B P C) • (A U B) P (A U C).
PROBLEMA 3 Demostrar la LEY de DE HORCON [9a.]: (A U B)1 - A' n B‘.
a) (A U B)' c A'flB' : ¥ x e {A U B)1 ,
x e (A U B)‘ ■=> x i A U B = » i. (x e A U B )
==» •». {x c A v x e B) = > [ -v. (x e A)] ~ [ -t(x e B)]
[pues i.{p v q) 5 (*».p) ~ (tq) ] . = > x i A « x 4 B
= » x e A' « x e B' = => x e A' n B' .
b) A1 n B' c (A U B)1 : ¥ x e A' P B' ,
x e A' (1 B' = > x e A' ~ x e B1 
= > x 4 A - x t B = > t M * e *)] ~ [^ (* e B)]
= » *>-(x e A v x e B) [pues (tp) - (‘»•q) = *»> (p v q) ]
= * ^ (x e A U B) = » x i A U B =*■ x e (A U B)' .
Asi. (a) y (b), por doble Inclusión: (A U B)' * A* P B' .
PROBLEMA 4 Utilizando las Le;-es del Algebra de Conjuntos y la DIcEREff- 
CIA, demostrar que:
(A-B) U (B-A) - (A U B) - (A O B) .
SOLUCION.- (A-B) U (B-A) - (A P B1) ü (B P A’)
- [(A P B1) U B ] P [(A O B*) U A1 ]
- (A U B) P (B* U B) P (A U A1) P (B1 U A*)
- (A U B) P U P U P (B‘ U A1)
“ (A U B) P (A1 U B‘)
* (A U B) P (A P B)1 .. [Ley de De Morgan 9a.]
- (A U B) - (A P B) .
PROBLEMA 5 Demostrar que : a) A c A U B , b) A P B e A ,
-32- Corjuntos Cap. 2
c) A U (6 - A) - A U 6
SOLUCION a) •¥ x e A , x e A **=> x e A v x e 6
[pues p > P v q es una tautología ] p o x e A U B .
Por lo tanto. A c A U 6 .
b) ¥ x e A n B , x e A fl B = » (x e A) « (x c B)
*=»■ (x c A) , [pues p ~ q = » p ]
Por lo tanto, AflB c A .
c) A U (B-A) - A U (B 0 A1) - (A U B) n (A U A') • (A U B) n U • A U B .
PROBLEMA 6 Demostrar que: a) A c B t : A U B ■ B
b) A c B «= > A n B - A .
SOLUCION .- Recordando que: p *-*• q = (p •* q) ~ (q p) ,
a) ( ) 1) A U B c B : « i c t U B , x e A v x e B
= > x e B v x e B [por la hipótesis: A c B ]
=» x c B [pues p v p = p ] . Asi, A U B c B .
11) B <- A U B : Ver la parte (a) del PROBLEMA 5 .
Por lo tanto, de (1) y (11): A U 6 • B .
( <==» ) A c B : V x e A , x c A — > x c A v x e B
[pues p > p v q ] , : x e A U B • B [por la
hipótesis A U B • B ] = > x e B . Asi, A c B .
b) { ) 1) A O B c A : V x c A O B ,
x e A fl B x e A ~ x e B — > x c A
[pues p «■> q = » p ]., Asi, A fl B c A .
11) A c: A fl B : ¥ x c A .
x c A = > (x c A) ~ (x e A) , [pues p 5 p ~ p ]
=^> (x e A) ~ (x e B) , [pues A c B ]
= » x c A n B . Asi, A c A n B .
Por lo tanto, de (1) y (11): A fl B ■ A .
( < = ) A c B : -V x c A , x c A <-■-» x c A ~ x e B
[pues por hipótesis, A fl B * A ]
= > x C B
[pues p * q = » <1 ] • Asi, A c B .
Cap. 2 Conjuntos -33-
PROBLEMA 7 Demostrar que: A-B C (A-C) U (C-B) .
a-b - a n b' - a n b’ n (c* u c) * [a n b' n c1 ] u [a n b1 n c ] c
c (A n C1) U (C n B') - (A-C) U (C-B) .. per PROBL. [5b.] .
PROBLEMA L Demostrar que: (A U B U C) - (A fl B D C) ■
- (A A B) U (B A C) .
SOLUCION.- Desde que: (A U B U C) - (A n B íl C) -
- [(A-C) U (A-B) U (B-A)] U [(C-A) U (B-C) U (C-B)] - 
y empleando dos veces los PROBLEMAS [7] y [6] en ese orden:
- [(A-B) U (B-A] U [(B-C) U (C-B] • (A A B) U (B A C) .PROBLEMA 9 Demostrar: a) A U (A fl B) - A 1
----------- ' ' V LEVES Vi ABSORCION
b) A ft (A U B) - A /
SOLUCION.
a) x e A U (A (1 B) f : x c A v (x e A - x c B )
c = * x c A [pues P v (p * q) = p ] .
b) x e A D (A U B) g ¡ x e A » (x e A v x c B )
»— * x c A [pues p > (p « q) = p ] .
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
1. I La proposición x 4 A fl B' .a cuSl es equivalente ? :
a ) x ¿ A y x ¿ B b ) x c A C x ¿ B
c) * c B-A d ) x c B 6 x i K .
2. { [(A U 8‘) fl (A O B)] U (A fl B1) } U (C-A) es igual a:
a) A fl B b) A U B c) A U C d) A fl C
3. I A culi es equivalente x 4 B U (A D C) ? :
a) x t f B ~ ( x ¿ A ~ x C)
b) x 4 B U , v x i B U C
c) (x i B » x e A) v (x i B x e C)
4. Dados ¡ - { x c M / x - (k2 - 1)/2 , k c H },
B • { x c M / x2 - 8x } .
C - { x c M / x2 - 32x +192 - O } .
hallar el conjunto (B - A) fl C .
-34- Con juntos Cap. 2
5. La regifin sombreada corresponde a:
a) (A n B) U (B n C)
b) (A U C) - (A n B n C)
c) [(a u c) n b] - (A n b n c)
d) (a n c) u [(a n b) - (b n cj]
6. SI A c B y AflC ■ ♦ , simplificar:
[A U (B - C)] n [B U (C - A)] .
7. De las siguientes afirmaciones:
a) x t B fl (A - C) b) x 4 B v x 4 (A - C)
c) x c B' v x c A* v x e C d) x c (A n I)1 . u C
¿cuSles son equivalentes a: x c (¡ [ P fl (A — C)] ?
B. La proposición: x 4 [jtAíl B) , ¿a cuál es equivalente ? :
a) x t (D - A) ~ x 4 (D - B)
b) x t (D - A) v t i (D - B)
c) x c D ~ ( x ¿ A v x ¿ B )
9. SI A. B y C son conjuntos, entonces: x ¿ (A(l B1) II C = >
a) (x t A v x c B ) ~ x c C ,
b) x c (C-A) v x e (6 II C) ,
c) x e (A1 U B) - C* .
¿ CuSl es el correspondiente ?
10. De las siguientes proposiciones acerca de conjuntos, indicar cuSles son 
verdaderas:
a) V A, 3 B y C / H P C ■ ♦ - ( B U C ) - A
b) 3 C / -VA, A fl C ■ C
c) V A , V B , A II (B n A) • A
11. La parte sombi'eóda del diagrama ,
i a qué conjunto corresponde ? :
a) C - [(A-B) fl (B-A)]
b) C - [(A-B) U (B-A)]
c) [C fl (A-B)'] f> (B-A)
d) [C fl (B-A)1 ] fl (A-B)
Cap. 2 Conjuntos
12. ¿A cuSl corresponde la reglfin sombreada?
a) [B- (A O C)] U [(A fl C) - B]
b) [(B-A) O (B-C)] U [(A n C)-B]
c) [b1 n (a n c)] u [(b-a) n (b-c)]
13. SI Mn es el conjunto de nGmeros naturales múltiplos de n , hallar :
a) m2 n «3 c) h2 n h} n m6
b) m7 n Me d) M m n m n
14. ¿CuSles corresponden a la regifin sombreada? :
a) (C - A) U (C - B) U [(A n B) - C ]
b) [ C - (A n B)] U [(A n B) - C ]
c) [(B - A) U (A - B)] O C
15. i Cuáles corresponden a la refi6n sombreada? :
a) [(C - D) - (A O B)] U [(D - C) - (A n B)]
b) [(C U D) - (C O D)] - (A n B)
c) [(c u d)] - [(a n b) u (c n d)]
16. íCuSl corresponde a la reglón
sombreada ?
a) (A - B) U [(B n C) - A ]
b) [ c - (A n b)] u [(b n c)-(An b)]
c) [(a n b)-c] u [(b n O - ( a n b)]
d) [(A n c) u (B n c)]- (A n b)
17. ¿Cu31 de los siguientes diagramas corresponde a la situación en que los 
conjuntos a, P, X, Y, Z, satisfacen:
p c x' n y1 , z c x n y , m n (y - x) ■ * $ ?
18. Hallar una fórmula para A D B mediante las operaciones de unión y 
complemento solamente.
19. Sea D el conjunto de nGmeros enteros de tres cifras, y sean E0> Ej y 
E2 subconjuntos cuyos elementos son números naturales una por lo menos 
de cuyas cifras es 0, 1 y 2 respec. Hallar D D E0 fl Ej D E2 -
20. Demostrar que: a) A c B
b) A c B
u n A c M n B 
M U A c M U B V conjunto M.
a)
b)
c)
d)
PRUEBA.-
PROPIEDADES ADICIONALES
U conjunto universalA =■ A1 = 
A C A 1 =
A U B ■ ♦ 
A y B = c
u - * .
A “ $
=> A 1 $ - B * $
=• A C C ̂ B c C
Cap. 2 Conjuntos - 37-
SOLUCION: a) { =«■ ) A - A' =-*► A n A - A* II A — > A - 0
=*> A* ■ U (- .i , por h1p6*es1s)
=a» U - ♦
* /
( <*= ) Como ♦ c A c u - l ♦ =©• A - ♦
=*»■ A' ■ u - ♦ [por hipótesis]
1 ■=* A * A' * ♦
b) A C A * = > A n A* - A ==» <t> - A .
c) í ♦ c A c A U B ■ I -— / A ■ ♦
A U B ■ « ==» -I - f
$ c B c: A U B - <t =f> B - 4
(A * $) - (B » ♦ )
d) i A c A II B ■ C A c C
A U B - C ==» -I - ==»
l B c: A U B - C B c C
PROBLEMA 1 Demostrar que: A* fl B » A D B = > B » ♦ .
s o l u c i o n : (a * n b) n a - (a n b) n a
=*• * ■ A n B * A' n B .. (a)
Luego, B . (A U A') n B - (A n B) U (A* n B) - 0 U 0 - * .
PROBLEMA Z Demostrar que:
a) (A - B) - C - A - (B U C)
b) (A U B) - C - (A-C) U (B-C)
c) A - (B n C) - (A-B) n (A-C) .
SOLUCION: a) (A - B) - C - (A D B‘) fl C* = A fl (B U C)1 « A - (B U C)
b) (A II B) - C ■ (A U B) n C ■ (A n C*) U (B n C')
» (A - C) U (B - C)
c) a - (b n c) - a n (b n c ) ' - a n (b1 u c1)
- (A n B1) U (A n V ) - (A - B) U (A - C)
PROBLEMA 3 Demostrar que: A O B * ♦ «==> A c: b'
SOLUCION: A > A D (B U B*) - (A O B) U (A fl B')
- ♦ U (A n B*) ■= A n B’ C B1 . Por lo ..
38 Conjuntos Cap. 2
tar to : A c B' .
( < = , : A e B' = > A fl B c B' n B - *
==> [ <t> c (A 11 B)] - [(» (1 B) c <(. ]
=*■ (A n B) = *
PROBLEMA. _ Lerostrar que: a) A & B' - B = > B c A
b) A A B * $ <— > A * B
SOLUCION:
a) A A B' - (A • B*) U (B* - A) - (A fl B) U (B1 fl A1) = >
B * (A IB) II (B1 P A') .. por hipfitesis. AuemSs,
b - b n b *= [(A n b) u (b1 n a 1)] n b
- (a n b n b) u (a * n b* n b) • (a n b) u * > a n b
Y como A D B c A , entonces:
B - A O B c A = » B <= A .
b) A A B - ♦ « = » (A - B) U (B - A) - $
<==> A — B “ ♦ ~ B - A — 4> , de [5.a], p. 36
«==> a n b' * ♦ - d n a1 « $
« = » (A C B) - (B C A) . por el [PROB. 3] ,
c = > A * B .
PROBLEMA 5 Utilizando propiedades adecuadas, demostrar que:
D c (A A B) ===>
D = (A U B) - [(A - D) U (B - D) U (A n B)] .
SOLUCION:
Utilizaremos las siguientes propiedades:
1) M c N <=*• M - M O N
2) M c N « = < M n N' - <t>
3) (M - N) - P « M - (N U P)
4) (M U N) - P - (M - P) U (N - P) , as! que ..
De la hip6tesis, de (2), y de: A A B • (A U B) - (A n B) c A U B
D c (A A B) c A U B = » (A A B) fl (A U B)' - * ... (5) .
Cap. 2 Conjuntos — ¿9
I /
(A £ B) 0 D • [(A £ 6) O D ] U $ .. v' 1J
[(A £ B) fl D ] U [(A £ 6) 0 (A ti 6)’ ] .. por [5]
(A £ B) D [ D U ([ A U B ]‘ )] , t Ley [4b.]
(A A B) D [(A U B) n D1 ]
[(A U B) - (A 0 B)] - [(A U B) - D ]
(A U B) - [(A fl B) U ( [A U B] - D ) ] \ .. por [31
(A U B) - [(A 0 B) U (A - D) U (B - D) ] .. por [4]
que es lo que queríamos demostrar.
PROBLEMA 6 Dados dos subconjuntos A y B de unluniverso U , ¿ cuSl
de los siguientes enunciados es verda<fero ? :
a) B* - (A - B) => A U B = > A i * v B f <P
b) {A A B)1 - (A1 A B1) = > A - ♦ - B * U .
SOLUCION:
a) Simplificando, B* - (A - B) - (B U A)1 => (A U B) «==»
(A U B) O (A U B) - 4 c=*. A II B * í
==• A ■ ♦ - B » ♦
Por lo tanto, la proposición (a) es FALSA.
b) Simplificando. A1 £ B1 - (A1 -B1) U (B* -A1) - (A1 fl B) U (B* fl A)
- (A-B) U (B-A) - A £ B =©•
\ £ B > A* A B‘ - (AAB)* .. por hipótesis.
Sea M « A A B , entonces: M » M‘ ==• M» H (I H * M1 U M « U
==» M - M’ - U' - * ==* U » <t> = >
A “ $ - B * $ ■ U . Luego, (b) es VERDADERO.
SERIE DE PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Demostrar cada una de las LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS, utilizando 
las correspondientes Leyes del Algebra de Proposiciones LOgicas.
2. Demostrar qje: a) A c B <=^> B' c A' . SUG: p ■* q = '*q ■» "'■p
b) A‘ A B - A = > A C B , c) M c A ~ M c B = > H c (A fl B)
d) A c B =*■ A U (B-A) - B . e) (B-A) fl A - ♦ .
40 Conjuntos Cap. 2
I A fl B - ♦ ==» B O A 1 « B , g) A c B «==> A-B - ♦
h) ( n B' ■ ♦ • ==» A c B
1) fi' O B c (C -A)1 = » B c A
j) A - Cx B = * A A B - X .
3. SI A » ' n + n 8 , 2m - 2n + 4 } es un conjunto unitario, B ■
{ x / x - mk , k c Z ) , C * { x / x * nk , k e Z ) , hallar
(B1 U C)-‘ . SUG: Pruebe Que n * 3 , m - 5 .
4. Sean a , b c l , A y B conjuntos tales que B f ♦ , A U B es
unitario, A - a2 <• 2b , b2 + 1 } y A II B ■ t a + 4d , b + 1 - 3a }
hallar A fl B . SUG: Pruebe qye: a « + (b - 1) .
5. SI A - { a e Z / a5 + 4a ■ 5a3 > y
B » { a e A / 3 b e Z / a « b2 }
hallar el complemento de B con respecto a A . Es decir, A-B .
SUG: Note que todo elemento de B es aquel elemento de A que es el
cuadrado de algún número entero. Pruebe que B - { 0 , 1 } .
6. Demuestre que: ♦ - M ■ ♦ , para cualquier conjunto M .
7. Demostrarque: A fl (B A C) ■ (A fl B) A (A fl C) .
8. Se define la operaclfin * entre conjuntos tal que. A * B > A1 D B1
¿cuSles son verdaderas? :
a) A * A - A1 c) (A * B) * (A * B) - A U B
b) (A * A) * (B * B) - A fl B , d) A * (B * C) - (A * B) * C
9. Demostrar que: a) { a } « { b , c > a > b * c .
b) { { a } , { a , b > } - { { c } , { c , d } }
«==> [(a « b) ~ (c « d)] .
6 CONJUNTO POTENCIA : P (Ai , 2 a
Dado un conjunto A , se llama CONJUNTO POTENCIA de A al 
conjunto formado por todos los SUBCONJUNTOS VE A . Se le denota por :
P (A) - { X / X c A >
Es decir, X c P (A) «==> X c A .
Cap. 2 Conjuntos 41
EJEMPLO 1 S1 A * { 1, 2 } entonces { 1 > c A
<1^ P(A) ■ ( ♦ , i n , (2), {’t,
- t ♦ . { 1 >. { 2 ) . A >
NOTA.- 1) Al conjunto P(A) tamllén se le llama CON^JNTO DE PAIyLS de A.
2) Se demuestra que si un conjunto A es finitcly t1eru rf elementos 
entonces P(A) tiene 2n elementos, razfn\por la ci»I también
A
se le denota por 2" . - -
PROBLEMA 1 Si A - { ♦ , { ♦ } } , encontrar P(A)/T 
SOLUCION.- P( A) - { * , { ♦ } , { { ♦ > > . A }
PROBLEMA 2 Demostrar que A c B F = > P(A) cf P(B)
SOLUCION.- La demostrac16n consta de dos partes'
a) ¿i c B = > P(A) c P(B) : sea X e P(A) í=a X c A
como A c B (hlpfit ) =*> X c B (prop. transitiva de c )
==» X c P(B) [def. de P(B)] . De donde se tiene P(A) c P(B) .
b) P(A) c P(B) = > A c B : Sea * e A = > { x } c A
= » t x } c P{A) ==. { x } c P(B) , [hlpfit.: P(A) c P(B) ] ,
= : t x } c B = > x c B . AsT, A c: B .
PROBLEMA 3 Demostrar que: P(A) U P(B) c P(A U B) .
SOLUCION.- Sea X e P(A) U P(B) ==> X c P(A) v X c P(B)
=*■ X C A v X c B
==> ¥ x e A , x e A U B ==» X c A U B ==> X e P(A U B)
Por lo tanto. P(A) U P(B) c P(A U B) .
PROBLEMA 4 Sea { i, b, c ) c Z - t -1, 1 > . SI se tiene que
M » t (a + b *■ c) / { a2 *■ b2 - 5 , -3 , -4a >» {b-2c-8, a2+ 4 } } ,
hallar P( M U { -x / x c M ~ -x2 e M }) .
SOLUCION.-
Del dato: a, b y c son enteros diferentes de 1 y de -1 .
En M se ve que -3 no puede ser Igual a: a2 + 4 . Luego,
-3 - b - 2c - 8 ==» b - 2c - 5 ... (a )
AsT, tenemos que „ ,
t a2 + b2 - 5 . -3 , -4a > = t -3 , a2 * 4 > .. (*)
<»z Conj untos Cap. 2
Aho.: -4a no pued ser -3 [ello darfa: a » 3/4 4 L ] = »
-4a ■ a2 + 4 ===* (a + 2)2 » 0 = > a * -2 . La Igual­
dad (*) ie convierte en: { b2 - 1, -3 , 8 } ■ { -3 , 8 } , y como el
conjunto de la derechc debe tener sfilo dos elementos, entonces: 
b ' - l > - 3 6 b2 - 1 ■ 8 , de modo que,
1) SI b2 -1 ■ entonces b2 • -2 (absurdo)
11) SI b2 - 1 ■ 8 entonces b2 « 9 = ► b * í 3 ==»
{ SI b • 3 entonces c « (b - 5)/2 » -1 (descartado)
SI b ■ -3 entonces c * (b-5)/2 ■ -4
Luego, a * -2, b « -3 , c » -4 , a + b + c - -9 ==» M * { -9 >
pues H est? formado por los elementos de la forma (a + b + c) .
Como x « - 9 e H y -x2 “ - 81 i M , entonces { -x / x e M »
- x2 e H > * ♦ lo cual Implica que :
P ( H II { -x / ( E l i - - x2 e H } ) • P (M) - P({-9>)
- { ♦ . { -9 > >.
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Encontrar P(A) donde A * { “ , a , { ♦ } } .
2. Demuestre que: P(A fl B) - P(A) n P(B) .
3. Dar un ejeciplo de dos conjuntos A y B en los cuales se vea que:
P(A U B) P(A) U P(B) .
4. ¿ En qué caso se cumplfc que A <= P(A) ? .
5. Si A - ♦ , encontrar P [ P (A) ] .
6. Dados los conjuntos A* { x c M / x3 - 2x2 - 5x + 6 * 0 } ,
B- { x e IN/ 2x2 - 7x + 3 » 0 } y C * { 2 , 3 } .
SI D • (A-B) II C , hallar el nGmero de elementos de P(D) .
7. SI A - { a . » , { * ) } y B - { { * } . { { * } } } .
¿cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? :
a) A U B - (A B) - { a , ♦ , { { ♦ > > > .
Cap. 2 Conjuntos 43
b) El número de elementos de P(A) es 8 .
c) P(A) fl P(B) - { ♦ . { { ♦ } > > •
7 NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
Dados dos conjuntos FINITOS y DISJUNTÍ ' A y B se de­
fine el número de elementos de la unifin A U B como :
n[A U B] ■ n [A] + n[B] , con \ fl B • $ --(1)
l
La relacifin conjuntlsta: A > (A - 8) U (A fl B) , en/donde se puede com
probar que los conjuntos (A - B) y (A fl 8) son DISJl.'NTOS , entonces
n [A] » n [ A - B ] + n [ A fl 8 ] .. (2)
Y en el caso en que A y B sean cuaZzsqiUeA. conjuntoi ¿¿nltoi aA.b-üt’uvu.oi 
(no necesariamente disjuntos) , entonces
A U 8 * 8 U (A - B) , donde B y (A - B) ¿on (Liijantoi ,
= > n[A U B] • n [B] + n [ A - B ]
■ n [B] + n [A] - n [ A fl 8 ] .. debido a (2).
Es decir,
n[A II B] * n [A] + n [B] - n [ A fl B ] .
AdemSs, siendo A U B * (A - B) U (A fl B) U (8-A) una unlfin de tres
conjuntos disjuntos entre sf, teneros que :
n[A II B] » n [ A - B ] + n [ A fl B ] + n [ B - A ]
que en la prSctlca es la relar.ifin mis utilizada, pues equivale a representar
44 Conjuntos Cap. 2
la unlfin A J B en un diagrama ae Venn en zona diijuntxu coito : 
x » i' [ A - 8 ]
n ‘ A fl 8] 
n [ B - A ]
PROBLEMA l Un club deportivo tiene 48 jugadores de fGtbol, 25 de 
bSsket y 30 de béisbol. Si el total de jugadores es 68 
y solo 6 de ellos figuran en los tres deportes,
a) ¿CuSntos figuran en exactamente un deporte ?
b) ¿CuSntos figuran en exactamente dos deportes?
SOLUCION: datos: a + d + e + g 48 del diagrama de Venn ,
b + e+ f + g ■ 25 
c + d + f + g • 30 
a + b + c + d + e + f + g 
g ■ 6
68
Asf, el nGmero total de jugadores 
que figuran en exactamente un de­
porte es:
* « a + b + c
y el de los que figuran en exacta 
mente dos deportes es:
d + e + f Sumando las tres primeras e- 
cuaclones de los datos, se
obtiene:
x + Zy + 3g ■ 103 =
y de la cuarta ecuacifin : x + y
= > x - 39
x * Zy * 85 
68 - g - 62 
y = 23 .
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
Cap. 2 Conjuntos 45
1. Demuestre que si A . B y C son conjuntos finitos, entonces
n(A U B U C) - n(A) + n(B) + n(C) - n(A (IB) - n(A n C)
- n(B fl C) + n(A fl B O C) .
1 I
2. En cierto Instituto de Ciencias Administrativas, se requiere que todos 
los estudiantes del último ciclo cursen MatemSticas, Contabilidad 6 E-
I
conomló. SI se sabe que de 600 de estos estudiantes: 400 cursan Mate
míticas, 30b Contabilidad, 250 Economía, 240 EconomTa y MatemSticas, 
90 Contabilidad y MatemSticas y 50 Contabilidad y Economía. ¿CuSntos 
cursan las tres materias ?
3. S1 A es un conjunto que t'ene 8n elementos, B un conjunto que tie­
ne 5n elementos, y se sabe que los dos tienen 2n - 1 elementos en co­
mún, hallar la suma del número de elementos que tienen :
a) (A n B) fl (A - B) b) (AUB)n(A-B) .
4. Siendo n un número natural, y A ■ { n2 / 0 < n < 4 } , B ■
{2n-5 / 2 < n < 6 } y C « { n2 - (n3/n) + 1 / 0 < n < 6 },
determinar por extensifin cada uno de estos conjuntos.
5. Dados tres conjuntos A , B y C con n , 3n y n -1 elemertos res - 
pectlvamente. Si A y B tienen n/2 elementos cor~jnes, A y C tie 
nen n/4 , y C y B tienen 2 . Si hay un único elemento común a los 
tres conjuntos, hallar el número de elementos de
[(A U B) - (A n 8)] - C .
6. ¿ CuSntos de los 2 000 alumnos estSn Inscritos en Química pero no en
Física sabiendo que: 1050 estSn Inscritos en Química, 750 en Física,
650 en Química y MatemSticas, 350 en Ffslca y Química, 300 en Materró 
ticas y Física, 1150 en MatemSticas, 200 llevan las tres materias 7
7. Una agencia de Turismo realiza una encuesta entre 5 D00 personas para 
ver las preferencias en materia de viajes a Cuzco, Iquitos y Trujillo:
2 400 personas desean viajar por lo menos al Cuzco, 3 000 por lo menos 
a Trujillo, 2100 por lo menos a Iquitos, 1000 a Trujillo e Iquitos, 
800 al Cuzco y a Iquitos, 1500 a Trujillo y al Cuzco, y 500 estSn 
dispuestas a realizar las tres excursiones. Se pregunta :
a) ¿ CuSntas Indicaron que no realizarSn ningún viaje 7
b) i CuSntas no mostraron Interés por el viaje a Iquitos 7
c) L CuSntas desean hacer dos excursiones siempre que ninguna sea al
46 Conj jntos Cap. 2
Cuzco ?
d) ¿ CuSntas estín dispuestas a realizar exactamente dos viajes dlferen
tes ?
e) ¿ CuSntas viajarían al Cuzco si y solo si no lo harían a ¡quitos ni
a Trujlllo 1
B. El registro central de la UNI proporcione los siguientes datos acerca 
de 2 000 estudiantes 1050 llevan Química, 1150 MatemStlcas,750 
Física, 650 Química y MatemStlcas., 350 Física y Química, 300 MatemS 
ticas y Física, y 200 los tres cursos. Dttermlnar el nGmero de alum­
nos Inscritos en :
a) Química pero no Física , b) Exactamente en dos de los tres cursos.
c) SCo en uno de los tres cursos.
d) En ninguno de los tres cursos.
e) Química si y solo si estS inscrito en Física.
SLIG: p *—► q = (•'«p v q) ~ (•'«q v p)
= (p * q) v ('»»p * ~q) 5 (p - q) v ~(p v q) .
f) Física siempre que se haya Inscrito en HatemSticas.
SUG: ntM1 U F] - n [F] + n [H* ] - n [ F n H1 ] .
9. En una fiesta para 100 niños, una gran canasta de caramelos estS sus­
pendida del techo. Cada caramelo estS envuelto en pdpel de color rojo, 
blanco o azul. Al final de la fiesta se rompe la canasta y los niños se 
abalanzan sobre los carame'os. Luego se les pregunta a los i.iños qué tj[ 
pos de dulces tienen, con los siguientes resultados:
40 niños tienen uno rojo (cada uno), 60 tienen uno azul, 70 tienen
uno blanco, 20 uno rojo y uno nzul, 25 uno rojo y uno blanco, y
30 uno azul y uno blanco. El investigador olvldfi preguntar si ĉ da 
niño tenia al menos un caramelo.
a) ¿ CuSntos niños tenían un caramelo de cade color 7
b) ¿ CuSntos no cogieron nlngGn caramelo 7
SUG: SI c ■ ns de niños con solamente caramelos rojos.
f ■ n2 de niños con caramelos azules y rojos pero no
blancos.
g • ns de niños con caramelos de cada color, 
h * n£ de niños quj no cogieron nlngGn caramelo.
Pruebe que: g t h . 5 .. (i) , c + f • 15 .. (2) y
Cap. 2 Conjuntos 47
f + g - 20 .. (3) . de donde g < 5 de (1). f < 15 cíe (2),
y g > 5 de (2) y (3).
10. Demostrar que: B e P (A) = > A A B « A-B .
Clave de Re s p u e s t a s:
SECCION DE LA PAG. [24] : 1.a) 3 x e Z / x + 1 < x ; l.b) V x e Z ,
x2 +1 * 0 ; l.c) V x £ Z , x2 i x ; l.d) 3 x £ Z / x2 - 1 < 0 .
2. VFVF en ese orden 3^) 3 x e A / í y e A , p(x,y) '̂'*q(y) ;
3. b) ¥ x e A. V y e B, ^p(x) v-^q(y) ; c) ¥ x £ C, 3 y e B/ ~p(x) - q(y) ;
5. a) J x e A / V y £ B , 3 z E C / ^ p(x,y,z)
b) ¥ x e A, V y £ B, p(x) - ^ q(x,y) ; c| (¥ y e A, p(y)) v ( J x e
A / ^q(x) - ^r(x)). d) Existe al menos un americano que no estS
loco. e) Todas las personas son Infelices en algGn momento.
f) Hay al menos un hombre deshonesto y nlngGn hombre es ladrfin.
g) x < 12, y para todo real y se cumple: x2 + y2 - 144 < 0 .
6. n ■ 41 ; 7.a) F , b) V , c) F ; 8. Las cuatro ; 9. VFF ;
10. (c) ; 11. (d) .
SECCION DE LA PAG. T331 : 1 S61o (d) ; 2. S61o (c) ; 3. S61o (b) ;
4. 8 ; 5. S61o (c) ; 6. (B-C) ; 7. (a), (b) y (c) ; 8. Sfilo (a) ;
9. Todas ; 10. Todas: a) V para B * ♦ , C ■ A ; b) V para C ■ ♦ ;
c) V ; 11. (b) ; 12. (b) y (c) ; 13.a) M6 ; b) ; c) Hr , don
de r - m.c.m. (m, n) ; 14. Todas i 15. Todas ; 16 S61o (c) ;
17. S61o (c) ; 18. (A1 UB')' ; 19. { 102, 120, 201, 210 } .
SLCCION DE LA PAG |~39] : 3. B fl C • { ... , -15, 0, 15, ... } - { x /
x » 15k , k £ Z ) ; 4. A (1 B » { 10 } , se descarta la soluclfin a ■
b - 1 pues da A - { ̂ } ; A U B * { y } M ; 5. { -1, -2, 2 }
8. (a), (b) y (c) .
SECCION DE LA PAG. [42" : 3. A - { 1 } . B - { 2 > ; 4. A - ♦ , 6
A - { ♦ ) ; 5. {*.{*},{{♦}}.{♦.{*}}}; 6. 8 ; 7. Las tres
SECCION DE LA PAG. f45] : 2. 30 ; 3. 6n +1 ; 4. A - { 1, 4, 9 ),
B - { 1, 3, 5 ) , C - { 1 ) ; 5. lln/4 ; 6. 700 ;
7. a) 300 , b) 2 900 , c) 500 , d) 1800 , e) 2 900 ,
8. a) 700 , c) 950 , d) 150 , e) 900 , f) 1150 .
9. a) 5 , b) 0 .
48
3
LOS NUMEROS REALES
l SISTEMA DE LOS NUMEROS REAlES
Es un ronjunto IR con dos ope 
raciones: „urna y muttipticacUón, y una relación de Orden “ < “ que se
lee " menor que “ , y que satisface los siguientes axiomas:
a + b c IR (LEY DE CLAUSURA)
a ♦ b ■= b + a (LEY CONMUTATIVA)
(a + b)+ c = a + (b + c) (LEY ASOCIATIVA)
A4. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO NEUTRO ADIIT/0:
Existe un elemento y s61o uno denotado per “ 0 “ , tal que:
V a c IR : a + 0 » a = 0 + a.
A5. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO INVERSO ADITIVO:
Para cada a e IR . existe un elemento y sólo uno denotado por “ -a " , 
que satisface la siguiente relación: + . q „ j_aj + a
Al. V a, b £ IR 
A2. Va, b e IR 
A3 V a, b, c £ IR
MI. V a, b £ IR ab e IR (LEV DE CLAUSURA)
M2. Va, b e R ab ■= ba (LEY CONMUTATIVA)
M3. Va , b, c e IR : (ab)c = a(bc) (LEY ASOCIATIVA)
M4. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO:
Existe un elemento y sólo uno denotado por a 1 " , * (¡ Aente de 0
tal que: a • 1 - a = 1 - a
M5. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL INVERSO MULTIPLICATIVO:
Para cada a t 0 en IR, existe un elemento y solamente uno en R , de
notado por a-1 , tal que: a - a-1 » 1 « a*1 a
D. AXIOMAS DE DISTRIBUTIVIDAD:
Va, b, c e IR: a(b + c) * ab + ac’ ’ v ' LEYES DISTRIBUTIVAS
(a + b)c = ac + be
01. Dados a y b en R, entonces una y ¿oto una de tai s ¡.gtu.ii.ntet lela-
cionet te cimple: a < b > a = b, ó b < a (LEY DE TRICOTOMIA)
Cap.3 Numeros R o ales -49-
02. Si a < b y b < c entonces a < c (LEY TRANSITIVA)
03. Si a < b entonces a + c < b + c , -V c e IP .
04. Si a < b y 0 < c , entonces ac < be .
5. AXIOMA DEL SUPREMO (AXIOMA DE LA MINIMA COTA SUPERIOR).- Todo conjun­
to no vacio de núirjros reales, acotado superiornente, tiene una MINIMA 
COTA SUPERIOR (6 SUPREMO) ’n IR .
1.1 NOTA.- Al elemento a”1 también se le denota: 1/a 6 ^ .
De estos 16 axiomas del Sistema de los Números Reales, los cinco 
primeros se refieren a la SUMA 6 ADICION , los siguientes cinco a la MULH 
PLICACION, el axioma D relaciona ambas operaciones de Suma y Multiplicación 
y los axiomas 01, 02, 03 y 04 se refieren a la RELACION DE ORDEN < .
1.2 OBSERVACIONES.- De estos axijmas se deduce que IR contiene a IN ,
Z y Q , es decir, a los números racionales en
general:
1. De M4 se tiene la existencia del número 1 en R .
2. De ffl se tiene que 1 + 1 = 2 e IR, 2 + 1 = 3 c F. Asi, IN c: IR .
3. De A4 se tiene la existencia del 0 (cero) en O .
4. DE A5 resulta: -1, -2, -3, ... son números reales, con lo que:
Z = { ... . -2 , -1 , 0 . 1 , 2 , 3 , ... } c IR .
5. Para cada entero m c IR, m f 0, se tiene que m~1 e IR , o sea 1/m
c IR, y por MI se tiene que' n - (1/m) = (n/m) c IR , para todo en
tero n, m, m f 0. Y como todo racional es de la forma q = n/m , se
concluye que Q c: IR .
Adem3s, desde el axioma Al hasta el axioma 0 se puede verifi - 
car que los números racionales los satisfacen; sin embargo, sería imposible 
demostrar que los números irracionales como /3 0 J 5 son también números 
reales, a menos que utilicemos el Axioma S 0 AXIOMA DEL SUPREMO. De aquí 
la importancia de este axioma en el AnSlisis MatemStico.
La correspondencia entre los números reales y los puntos sobre y 
na recta, puede ser usada para ilustrar geométricamente la relación de orden
< : la relación a < b establece que al graficar en una recta el núme
ro a se encuentra a la izquierda de b .
a b c
IR
50- N'jmeros Reales Cap. 3
Con la ayuda de estos axiomas demostraremos algunas propiedades de los núme­
ros reales.
Demostrar que : - 0
-0 - (-0) + 0 - 0
0 .
demostrar que b 
A4
Pr o b l e m a 3
Si a + b * a , 
b ■ 0 + t>
* [(-a) + a ] + b
* (-a) + (a + b)
* (-a) + a - 0
Demostrar que: a - 0 ■ 0 .
a - 0 * a ■ 0 + 0
■ a ■ 0 + [a - 0 + (- a - 0)]
* [a.O + a.0] + {- a - 0)
■ a - (0 + 0) + (- a ■ 0)
■ a • 0 + (- a • 0) = 0
por A4 y A5 respect. 
0 .
AS
A3
hipCtesis y A5
A4 
A5 
A3 
D
A4 y A5 .
M4
M3
A5 y M2 
Probl. anterior.
PROBLEMA 4 .- Demostrar que: -a * (-1) . a .
a + (-l)a • 1.a + (-l)a
= [ 1 + (-1) ]a
= 0.a = a.O 
= 0 .
y como por A5 el inverso aditivo de a es único con la 
condición que a + (-a) * 0 , entonces: -a ■ (-l)-a
PROBLEMA 5 V a, b e « : a(-b) * - (at>) = (-a)b :
a(-b) = a [(-1)b ] Probl. anterior
= T a.(-l) ] b = [{-1 )a ] b M3 y HZ
- (-1)(ab) M3
* - (ób) Probl. anterior.
En forma análoga se puede probar que: (-a)b (ab) (EJERCICIO).
PROBLEMA 6.- ¥ a e IR : - ( - a ) = a :
Denotando por b = -a , como b e IR , entonces
Cap. 3 Números Reales 51
t * a " ( - a ) + a “ 0 A5
lo que Implica que como para cada b e IR , existe un único elemento 11 -b 11
tal que: b ♦ (-b) - 0 .entonces , . (_b) > es decir:
PROBLEMA 7 .- V a, b e IR : (-a)(-b) - ab
Con los dos problemas anteriores,
(-a){-b) - - (a) (-b) - -[-(ab)] = ab .
PROBLEMA 8 .- Probar que l”1 ■ 1 Es decir, que el inverso multiplica
tivo de 1 es el mismo 1 .
En efecto. j-1 . j-1 j M4
* 1 , M5 pues a”1, a ■ 1
PROBLEMA 9 .- Si a t O , demostrar que: a”1 i 0 .
Como a i 0 , entonces existe a-1 por M5 tal que
a - a-1 ■ 1 , y si fuese a-1 - 0 entonces
1 * a . a"1 ■ a.O » 0 ===> 1 = 0 (ABSURDO),
pues por h4 : 1 ^ 0 . Por lo tanto, a-1 i 0 .
PROBLEMA 10 .- Si a f 0 , entonces (a-1)”1 * * •
Denotando por b ■ a'1 , se tiene que:
b . a ■ (a-1) . a * 1 .. M5
y como el Inverso multiplicativo de b es Ciico tal que 
b . b_1 ■ 1 entonces a = b-1 = (a-1)"1 .
1.3 Te o re m a .-
ab * 0 < ■ [ ( a * 0 ) v ( b = 0 ) ]
PRUEBA: ( = » ) Para a , existen solamente dos posibilidades:
a = 0 6 a f 0
i) Si a = 0 , el teorema estarla probado,
ii) Si a t 0 , entonces, análogamente :
b = 0 con lo que el teorema estarla probado,
b ¥ 0 el cual veremos que no puede ocurrir
52 Números Reales Cap. 3
pues a f 0 ==> a'1 t 0 , así que de la hipótesis: = *
ab - 0 ==» (a-1, a), b - a"1. 0 ==» í.b - 0 -- > b « 0
lo cual es absurdo , pues b t 0 .
( « = ) SI a * 0 entonces ab • O.b ■ 0 ,
¿si b - 0 entonces ab * a.O * 0
1.4 NOTA.- Este teorema previo es muy Importante en lo que respecta a la
resolucifin de ecuaciones, como veremos más adelante.
PROBLEMA ll SI a+b • a+c entonces b = c .
En efecto, a + b ■ a + c = >
(-a) + (a+b) ■ (-a) + {a + c)
=©■ [(-a) + a ] + b » [(-a) + a ] + c .. A3
==» 0 + b - 0 + c ==» b = c .. A5 y A4 .
PROBLEMA 12 .- SI ac ■ be y c t O entonces a ■ b . Pues
i) SI a ■ 0 = » be = 0 = » b ■ 0 (pues c + 0)
por el TEOREMA [1.3]. Luego, a ■ b * 0 .
11) S1 a f 0 = » como c f 0: ac t 0, luego
be i 0 , ademas, existe c'1 f 0 , y por lo tanto:
ac ■ be = > (ac) c“1 » (be) c’1 = » a(cc_1) = bfee'1) .. M3
a.l ■ b.l a = b .. M5 y H4 respec.
1.5 DEFINICION .- (RESTA) : V a , b e IR: a - b - a + (-b)
1.6 DEFINICION .- (DIVISION): V a. b e IR , b i 0 : - - a • b'1
b
También se denota - « a/b .
b
1.7 OBSERVACION Desde que no se ha definido el inverso multiplicati­
vo del 0 (cero) en los axiomas de IR , entonces es
por tal razOn que la DIVISION POR CERO NO ESTA DEFI-
DA .
PROBLEMA 13 .- Demostrar que: -a - b = - (a + b)
Sea c * (a + b) , entonces
c + (-a - b) * (a + b) + (-a-b) « (a + b) + (-a) + (-b) Definic.
- a + [ b + (-a)] + (-b) A3
Cap. 3 Números Reales 53
■ a ♦ [{-a) ♦ b ] ♦ (-b)
■ [ a ♦ (-a)] + [ b + (-bj]
0 + 0 « 0 
y como el inverso aditivo de c es único , entonces : 
{-a - b) « -c - - (a + b) .
PROBLEMA 14 .- SI ab i 0 , probar que: (ab)-1 *
En efecto, sea c * ab : 
c(*_1b_1) - (ab){a-1 b_1) - a (ba'1) b'1
A2
A3
A5 y A4 ,
a’1, h"1 b-1. a"1
a (a'1 6) b'1 (aa*1)(b b-1)
- 1 . 1 - 1
y como el inverso multiplicativo de c t 0 es único por M5
.-1 ».-1
M3
M2 y M3 
M5 y M4 , 
entonces
-1 a - V 1 Es decir, 
PROBLEMA 15 .- Demostrar que:
(ab)-1
i + £ 
b d
a ‘ b 
ad ♦ cb
bd
Como b i 0 y d t 0 ,
^ ^ = ab"1 + cd*1 « (ab-1). 1 + (cd-1)- 1
- (ab"1)(dd~1) + (cd-1)(bb_1)
= (ad)(b"1d_1) + (cb)(d-1 b-1)
= (ad)(bd)-1 + (cb)(bd)_1
(ad + cb)(bd)-1 ad + cb 
bd
DEF. y M4 
M5
M3 y M2 
Probi, anterior
Ax. D y DEF.
PROBLEMA 16 V a t o en R : (-a)-1 - - a-1
Sea b = -a , entonces 
b(-a J) = (-a)(-a_1) = a • a-1 - 1
y por la unicidad en M5 : b {- a-1) = 1
1 - (-a’1) ' -'-1 -
Probi. [15]
.-1
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS En base a los axiomas, demostrar:
1. a-(b-c) - (a-b) + c ; 2. * - * = 0
3. a2 - b2 - (a + b)(a - b) ; 4. a (b - c) = ab - ac
5. b /< 0 y d /< 0 : ad = be
6. (a/b)(c/d) - (ac)/(bd) si bí f 0 .
54 Números Keiles Cap. 3
7. (a/b)/(c/d) = (ad)/(bc) , si bcd f 0 -
8. a/(-b) - (-a)/b = - (a/b) , si b i 0 .
9. TEOREMA FUNDAMENTAL OE LAS ECUACIONES LINEALFS: Sean a, b, * e IR ,
con a i 0: a* + b - 0 < ■ ¡> * • - ba*1 c~ * = - b/a
2 ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS
La resolucifin de cualquier ecuaciGn lineal a* + b
1 O es una aplicación directa del EJERCICIO PROPUESTO [9] previo.
a) 2x + 1 = O « = > * = - 1/2
b) 3x + 8 = x - 2 <=»• (-*) + 3x + 8 = (-x) + x - 2 «==»
2* + B = -2 «==> 2x = -10 «=*■ x = -5 .
c) 2x + 3 = 2x + 5 «=^> (-2x) + 2x + 3 = (-2x) ♦ 2x + 5
«==s> 3 = 5 (ABSURDO) . Como 3 = 5 es FAL
SO, independientemente de x , la ecuación dada no es satisfecha para nin­
gún x e IR .
La resolución de ECUACIONES CUADRATICAS ax2 + bx + c = O 
con a t O , puede realizarse de dos maneras: FACTORIZANDO ó COMPLETAN­
DO CUADRADOS, ambos métodos basados en los siguientes dos Teoremas, el prí 
mero de los cuales ya fue demostrado.
2.1 TEOREMA ab - 0 «==> a = 0 v b = 0 .
2.2 TEOREMA .- a2 = b2 <̂ =í> [ a = b v a = -b ]
2.3 NOTACION : a = i b 5 (a = b ) v ( a = -b).
PRUEBA DE [2.2] : a2 = b2 <=^- a2 - b2 = 0
<•— — (a-b)(a + b) = 0 « s >
a - b = 0 v a + b = 0 [por TEOR. 2.1 ]
<==> (a = b) v (a = -b )
Debido a la NOTACION [2.3], el TEOREMA [2.2] también se expresa así: 
a2 = b2 «==> a = i b
2Por EJEMPLO, resolveremos la ecuación: x - 7x + 10 = 0 :
x2 - 7x + 10 = 0 « = * (x - 2)(x - 5) = 0
(x - 2) = D v (x - 5) = 0
x = 2 v x = 5 .
A continuación analizaremos el METODO DE COMPLETAR CUADRADOS.
Cap. 3 Números Reales 55
2.H METODO DE COMPLETAR CUADRADOS
Cuando no se puede factorlzar en forma sencilla como en el ejemplo anterior 
entonces se debe tratar de formar el CUADRADl OE UN BINOMIO.
En este método se trata de convertir la expresión
en una de la forma
(x ♦ a) ♦ d
donde a y d pueden tomar valores negativos. De las expresiones
x2 +' 2(a)x ♦ a2 - (x ♦ a)2
x2 - 2(a)x ♦ a2 - (x - a/2
vemos que debe formarse el sumando 2(a)x en cualquiera de los dos casos.
Por ejemplo, x2 - 6x - 11 « (x2 - 6x ) - 11
- (x2 - 2(3)x ) - 11
- (x2 - 2(3)x ♦ 32 - 32 ) - 11
- (x - 3)2 - 9 - 11 - (x - 3)2 - 20
Note que 2ax « 6x y que se le ha sumado y restado a2 * 9 para no alte
rar el resultado, y por lo tanto
x2 - 6x - 11 - 0 «=s> (x-3)2 - 20 - 0 < = > (x-3)2 - 20 - (/2Ó)2
•e=̂ > x - 3 » i /20 - i 2/1 x - 3 í 2/5
x - 3 ♦ 2/5 v x - 3 - 2/5
EJEMPLO Resolver la ecuaclfir: x2 ♦ 8x - 8 ■ 0 .
SOLUCION.- 2a » 8 = » a • 4 ; luego , x2 + 8x f 8 : :
x2 + 8x + 42 - 8 ♦ 42 «==» (x + 4)2 » 8 + 16 - 24 - (2/6)2
<-=» x 4 - i 2/6
x « -4 ♦ 2/6 v x - -4 - 2/6 .
EJEMPLO Resolver la ecuac16n: x2 - 5x - 36 ■ 0 .
SULUCION.- 2a • 5 — a * 5/2 ; luego, x2 - 5x * 36 « = »
x2 - 5x ♦ (5/2)2 - 36 + (5/2)2
(X- l)2 - 36* » - ií» - ( ± V
2 4 4 2
* " 2 " í T : * “ 9 v x " ~4
[También pudo habe-se factorizado: x2 - 5x - 36 - (x - 9)(x + 4) ■ 0 ]
56 Números Reales CaD.3
Ej e m p l o 3x2 + 4* - i » o < = * • 3 [ x 2 + ( 4 / 3 ) * ] - i < =
*2 +2<§)x+ | | - I — (x. f)2 - 1 * =
* l + £ L < = > 1 + £ L -2 1 /?
X 3 ” " 3 * ” ” 3 ' 3 3
Ejemplo x3 + x2 - 2» - o «==» x(x2 ♦ x - 2) - o «==>
x(x + 2)(x-l) » 0 <— => [ x = O v (x + 2)(x-l) * 0]
<— > (x - 0) v (x » -2) v (x = 1)
Luego, el Conjunto Solución es: { -2, 0, 1 } .
Ej e r c i c i o s Pr o p u e s t o s .-
1. Mediante factorizaciCn, resolver las siguientes ecuaciones:
a) 2X - 11« + 2 8 - 0 d) 2x2 ♦ x - 1 - 0
b) X2 + 4x - 4 5 - 0 e) 3x2 - 6x ♦ 3 - 0
c) x2 - 4x - 2 1 - 0 f) 3-t2 + x - 10 - 0
2. Resolver, completando cuadrados :
a) X2 - 6x + 6 - 0 e) 5x2 ♦ 4x - 1 ■ 0
b) X2 ♦ 5x - 5 - 0 f) 2x2 - 2x - 1 ■ 0
c) 2X + 2x - 4 - 0 g) 16x2 + 24x + 5 m 0
di 2x:2 - 6x - 1 - 0 h) 3x3 ♦ 2X - lOx X 0
Clave de Re s p u e s t a s .-
i. a) { 4. 7 ) b) { ■- 9 , 5 } , c) { 7, -3 > , d) { 1/2 .
e) { i } , f) í 5/3 . -2 >
2. a) X * 3 i ñ , b) x - (-5 + 3/ 5 )/2 • c) X a -i i /T
d) X = (3 í /ñj/2 , e) í -■5, 1 > . f) X * 1 + ✓ 3 ,
g) { -5/4 , -1/4 } , h) { 0 , 5/3 , -2 > .
3 RELACION DE ORDEN. DESIGUALDADES LINEALES Y CUADRATICAS.
3.1 De f i n i c i o n e s
1. Un número a e R se llama POSITIVO si 0 < a
2. Un número a e IR se llama NEGATIVO si a < 0
Cap.3 Núme-os Reales 57
3. La relaclfin > "MAYOR QUE" se define: a > b «=*• b < a .
4. La relaciSn < "MENOR 0 IGUAL" se define:
a < b < •» [( a < b ) v ( a > b ) ]
5. La relacifin >‘‘MAYOR 0 IGUAI se define como:
a > b <=*- [(a > b ) v (a = b)j
6. La cadena: a < b < c = ( a < b ) « ( b < c ) .
7. La cadena: a < b < c = ( a < b ) ~ ( b < c ) .
3.2 PROBLEMA. - Hallar B = { x e IR / x < 2 «==> * < 8 }.
Como p q = [(^p) v q ] - [(^q) v p ]
= (p - q) v [ M p v q)] ;
Sean p: * < 2 , q: * < 8 , entonces p ■?► q E
= ( x < 2 ~ x < 8) v [ M * < 2 v * < 8)]
5 x e ( <-»>, 2> fl (-«». 8> ) v [ M * e 2> v x e <-»>, 3> )]
E X E <-“> , 2> V (x E <-»> , 2> ' - X E <-«■> , 8> ' )
= x E <-» , 2> V (x E [ 2, »> ~ X E [8, =>> )
E X E -̂«*> , 2> V X E [ 2, D [8, =>>
E X E <-=> , 2> V X E [ 8, «°> E X E (-<» , 2 > U [ 8, * B .
3.3 TEOREMA.- Si a < b - c < d = > a+c < b + a
En efecto, a < b = » a + c < b + c .. (03)
c < d = > b + c < b + d .. (03)
y por la LEY TRANSITIVA se concluye que: a + c < b + d .. (02)
3.4 TEOREMA.- a < b :• -a > -b .
PRUEBA: ( =»• ) a < b = > (-a) + a < (-a) + b (03)
=*• 0 < (-a) + b (A5)
= * 0 + (-b) < (-a) + b+(-b) (03)
= * -b < -a + [b + (-b)] = > -b < -a (A5)
( < = ) Es análoga. (EJERCICIO) .
Interpretando este TeorPma, si se cambia de signo a ambos miembros de una 
desigualdad, ésta cambia de sentido.
3.5 TEOR2MA Si a > b y c < 0 -> ac < be
58 Números Reales Cap.3
PRUEBA.- (-c) > 0 . a > b 
-(-ca) < -(-cb) =por TEOR:
TEOREMA.- 
PRUEBA.-
» (-c)a > (-c)b
» -(ca) > -(cb)
ca < cb .
Si a t 0 , entonces
Si a i 0, entonces 
i) a > 0 = >
ii) a < 0 = >
i > 0 .
a > 0 6 a < 0
a.a > a.O = >
a.a > a.O =*•
luego
> 0 .
> 0 .
TEOREMA.- Si
{
0 < a < b
0 < c < d
c = 0 
c > 0
PRUEBA.- i) Si 
i i) Si
y como b > 0 
entonces por la Ley Transitiva
NOTA.
= » ac < bd
=s> ac * 0 =s>
=> ac < be
= * be < bd 
02 se concluye que
ac < bd
.. (04) 
.. (04)
ac < bd
Esto que ocurre con la multiplicación no ¿e cumple, en gtnznaX. pan
la divisiön: í 4 < 6
i 1 < 2
< «
TEOREMA. - i) Si 
ii) Si
PRUEBA.-
s 1 
si
i) 
a 
a 
ii) 
si a 
si a
(a
> 0 
< 0 
(a 
> 0 
< 0
a y b tienen el mismo signo =
a y b tienen signos diferentes =
0) v (a < 0 - b
==■ ab > a.O = 0
= > ab > a.O * 0
(a < 0 b
ab < a.O = 0
ba < b.O = 0
> 0 - b >
„ b > 0 =
~ b < 0 =
> 0 ~ b < 0)
„ b < 0 ==s
- b > 0 ==¡
< 0)
> 0)
4 < 3
(ABSURDO)
ab > 0 . 
ab < 0 .
entonces 
ab > 0 
ab > 0 . 
entonces 
ab < 0 
ab < 0 .
TEOxCnA - Sean a y b números reales, entonces
i) ab > 0 ==*■ a y b tienen el mismo signo,
ii) ab < 0 = » a y b tienen signos diferentes.
PRUEBA.- i) Si a y b tuvieran signos diferentes entonces ab < 0 
lo cual serla una contradicción. Por lo tanto, a y b tie 
nen el mismo signo. La prueba de (ii) es análoga. Resumiendo tenemos*
Cap.3 Números Reales -59-
3.11 La Regla de lo s Signos
I) ab > 0 :• a y b tienen el mismo signo
II) ab < 0 <==> a y b tienen signos opuestos
3.12 PROBLEMA.- Probar que a”1 tiene el mismo signo que a :
2
Como 1 ■ 1 • 1 * 1 > 0 (por el probl. anterior), y
a • a-1 ■ 1 > 0 entonces a y a_t tienen el mismo signo. -
3.13 Problema.- s¿ a y b & m t n ti mÍÁmo 6¿gno y
a < b = > a-1 > b-1 .
Sabemos que: ab > 0 = > (ab)'1 > 0 = » a'1 b-1 > 0 .
y como a < d : ,-1.-1» „ í. - K - I il.
(a b ) a < ( a b ) b
= = > (a_1a) b-1 < a ' ^ b ^ b )
= = » 1 - b'1 < a-1. 1 = s > b'1 < a'1 .
3.14 TEOREMA I : Si a > 0 y b > 0 , entonces
2 2a > b a > b
( < = ) S i a > b y b > 0 , entonces
li) Si b = 0 = s > a > 0 = > • a2 > 0 = > • a2 > b2 « 0
lii) Si b > 0 = s > a > 0 (por TRANSITIVIDAü) = s >
2 2
a.a > b.a > b.b ==»• a > b
{==»• ) i) Si b = 0 y a2 > b2 = 0 = > a t 0 , y romo a i 0:
a > 0 = b (TRICOTOMIA),
ii) Si b > 0 y a2 > b2 > 0 ===*• a > 0 = »
a2 - b2 > 0 = ■ > (a - b)(a + b) > 0 = >
a - b y a + b tienen el mismo signo, y como a + b > 0 , 
(pues a > 0 y b > 0) = > a - b > 0 = > a > b .
4x + 7 > 6x - 11
4x + 7 - 6x - 7 > 6 x - l l - 6 x - 7 ■?► -2x > -IB
x < 9 . Que más directamente, pudo hallarse:
3.15 Ej e m p l o . -
60 Números Reales Cap. 3
Los siguientes dos teoremas son fundamentales para la resoluciGn de inecua­
ciones cuadráticas.
Te o r e m a 11 .- SI b i 0 .
a2 > b <==»
entonces
[ a > Sb 6 a < - / b ]
Si a > 0 
Si a < 0 
(-a)2 =
: a2 
: (-a) 
a2 > b
> b « ( /b )2 
> 0 y
- (/b)2 C=*
c ■ i a > / b
(-a) > /b <
TEOR. 3.14 
= > a < -J b
Te o r e m a III Si b > 0 , 
a2 < b «==*
entonces 
[(-/b < a) y (a < /'b ) ]
3.16
3.17
PRUEBA: a > 0 6 a < 0 :
i) Si a > 0 y b > 0 = » a + /b > 0 y
a2 < b = ( /b)2 <==> a2 - (/ b)2 < 0 < -=• (a-/b)(a+/b) < 0
••• ■?► a - /b y a + / b tienen signos diferentes,
(y como a + /b > 0 ) a - / b < 0 ~ a + / b > 0 « >
a < /b ~ a > -/b - /b < a ~ a < /b .
i 1) Si a < 0 y b > 0 ===»• (-a) > 0 y (-a) + /b > 0 :
(-a)2 = a2 < b = ( /b)2 «==> (-a)2 - ( /b)2 < 0 < = *
(-a - /b)(-a + / b) < 0 <— => (a + /b)(a - »'b) < 0
<=*• a+ /b ~ a- /b tienen signos diferentes ,
(y como a - / b < 0 ) «==> a - / b < 0 ~ a + / b > 0
-• a < / b - a > - / b > - / b < a < >'b
3.18 NOTA .- Los TEOREMAS I, II y III se convierten en otros teoremas
vSlidos al reemplazar donde aparezca el símbolo < por el
símbolo < , así como donde aparezca > por >
3.19 Ej e m p l o . - <2 - x - 6 •> o < = » x2 - x + | - ^ - 6 > o
ó . . i < - m —
x > 3 o x < -2 «==> x E <-»>, -2> U <3, =>> = CONJUNTO SOLUCION.
3.20 Ejemplo.- x2 - 9x + 18 < o « = > x2 - 9x < -18 < = >
Cap. 3 Números Reales 61
¿ . 9x + il < .ib + iL ( x . l ) 2 « » ^
4 4 2 4
- /9/4 < x - - < < = > -- < x - ^ < ? «=*.
2 2 2 2
3 < x < 6 «=^> x e <3, 6> - C.S. (CONJUNTO SOLUCION)
3.2i Ejemplo.- x2 - x - 20 >0 <=*• x2 - x + | > 20 + |
« (X . I ) 2 > II ^ x - i > i v x - 4I < - ’
2 4 2 2 2 2
x > 5 v x < -4 > x e <-»> , -4] U [5, ■»)> .
En el siguiente problema, analice con cuidado cada una de las situaciones 
que se presentan.
3.22 Ej e r c i c i o .- Resolver Indicando el Conjunto Soluclfin C.S. de :
a) x2 > 0 D x2 ♦ 1 > 0
b) x2 > 0 j) (x ♦ 6)2 + 1 > 0
c) x2 < 0 k) U - 5)2 + 4 < 0
d) x2 < 0 1) (x ♦ 8)2 ♦ 4 < 0
e) (x - 3)2 > 0 m) x2 + 1 < 0
f) (x - 3)2 > 0 n) (x ♦ 4)2 < -7
g) (x - 4)2 i 0 o) (x + 4)2 + 7 < 0
h) (x - 4)2 < 0 p) x2 < -6
SOLUCION: Sabemos por un Teorema que a2 > 0 . V a e R , y
que si c > 0 entonces
a2 + c > c > 0 , V a e R = * a2 + c > 0 . V a e R
a) x2 > 0 «==> x e C.S. - R = <- «■> , “>>
c) x2 < 0 «=s> 2 „ x ■ 0 pues x2 nunca es < 0 <=*> x
b) x2 > 0 <==> x i* 0 «==> x e IR - { 0 } = C.S.
d) x2 < 0 es FALSA, pues x2 > 0 , V X E IR . Así, C.S. = d>
e) (x - 3)2 > 0 es VALIDO V x e R - C.S.
f) (x- 3)2 > 0 <=s> x- 3 f 0 « = > x f 3
(*)
< = ■ x e rc - { 3 ) » c . s .
g) (x-4)2 < 0 «==> x E { 4 } = c . s .
h) (x-4)2 < 0 es FALSA para todo x real. Luego, C.S. = $ .
i) x2 + 1 > 0 es VERDADERA para todo x real. Así, C.S. = IR .
j) (n*6)2 > 0. V x t R , = ► (x + 6)2 + 1 i 1 > 0 , V x e R = C.S.
62 Números Reales Cap. 3
k) (x-5)2 + 4 < 0 no tiene solución real por (*). Asi, C.S. * $ .
1) (x + 8)2 + 4 < 0 no tiene solucICn real por (*). Asf, C.S. ■ $ .
m) x2 + 1 < 0 = » C.S. - ♦ . n) C.S. = <t> . o) C.S. - <t>
p) C.S. ■ <f .
3.23
En efecto
3.24 EJERCICIO.- Hallar el menor número real M tal que :
6 + 6x - x2 < M PARA TODO x REAL
6 + 6x - x2 = 15 - (x - 3)2 < 15 PARA TODO x REAL , (pues
-(x - 3)2 < 0 < = > (x - 3)2 > O , para todo x real). Luego, M - 15 .
Lo interesante en este Ejercicio es que CUALQUIERA QUE SEA EL VALOR VE x ,
2 2se tiene que 6 + 6x - x ■ 15 - (x-3) < 15 ; aunque también será cier
to que, PARA CUALQUIER x REAL , se tendrá con mayor razCn que:
6 + 6x - x2 - 15 - (x - 3)2 < 16 (6 18 , 19 , 20 , etc. )
peAo, eX MENOR de Lot númeAct, ntaJLej¡ a la deAícha que Acutú, (¡acen taX cc..dU ■
tUón deJ. EjtAcJ.cÁ.0 : M - 15 .
3.25 EJERCICIO.- Hallar el mayor número real m tal que :
m < x2 - 4x + 31 PARA TODO x REAL .
Como x2 - 4x + 31 * (x-2)2 + 27 i 27 V x REAL , entonces por su - 
puesto que la expresiCn también será mayor que 26.9 , 26.4 , 25 , 20 ,
etc. p e A o , ti MAVOR de ¿cdot z¿tc¿ númeAoi que ¿ax¿¿(ace ti pn.cble.ma <u,
m - 27 .
*4 REGLA GRAFICA DE LOS SIGNOS PARA RESOLVER INECUACIONES
Supongamos que una cierta inecuación se reduce a la(x - 4)(x - 6) > 0 "=— ¡»
forma: [(x - 4) > 0 « (x - 6) > 0 ]
V [(x- 4) < 0 - (x^ 6) < 0 ]
[ x > 4 ~ x > 6 ]
[ x < 4 - x < 6 ]
Cap. 3 Números Real es 63
* e [<4, «°> n < 6, «°> ] u [<-•», 4> n (-», 6> ] 
x e ^6, U , 4)> <==> * e . 4> U ^6,
= c . s .
Una REGLA GRAFICA equivalente al orocesi anterior consiste en lo siguiente:
1. Se hallan las raíces de cada factor lineal y se les ordena en forma cre­
ciente: en este caso 4 y 6 . Estos valores reciben el nombre de PUN 
TOS CRITICOS.
2. Se trazan rectas paralelas [en las que se indicarán por zonas los signos
de cada factor], una por cada factor lineal, y otra adicional para el
signo del producto de ambos factores.
3. En cada factor (x-a) , a la djrecha de a se coloca el signo (+)
pues: x > a <— =• (x-a) > 0 , y a la izquierda de a se
coloca (-) :
+ + +
x - 4
* - 6
(x - 4)!* - 6)
Por lo tanto : 
(x - 4)(* - 6) 
(x - 4)(x - 6) 
(x - 4) (x - 6)
x e 4^ U ̂ 6, ■»>
x e [4, 6] 
x e 4] U [6,
4.1 Ob s e r v a c ió n Los factores siempre deben escribirse en la forma : 
(x - a) 6 (x + a) .
Este método se basa en el hecho que : 
(+)(-) - (-) . (+)(+) * (+) (-)(-) ■ (+)
y se reduce a multiplicar signos.
4.2 Eje m p lo Resolver x* - 4x - 21 2 0
4x - 21 = (x - 7)(x +3) 2 0.
Los puntos críticos o raíces son : -3 y 7
64 Números Reales Cap. 3
Hor lo tarto : (x - 7)(* +3) > 0
x + 3 
x - 7
(x ♦ 3)(«t - 7)
x e <- -3] U [7,
4.3 GENERALIZACION.- Este método se extiende a cualquier número finito
de factores lineales, asi como también a cualquier 
número f'nito de productos y/o cocientes de factores lineales, puesto que muj 
tiplicar dos signos da el mismo resultado que dividirlos.
3 24.4 EJEMPLO.- Resolveremos la inecuaci&n x - 3* - lOx + 24 < 0 :
Factorizando por Ruffini: (x - 2)íx - 4)(x + 3) < 0 , en
donde como vemos las ralees son -3, 2 y 4. Trazaremos tres rectas, una pa­
ra cada factor y una cuarta recta para el triple producto:
+ + + + +
(x + 3)
(x - 2)
(x - 4)
(x + 3)(x - 2)(x - 4)
Note que los signos se alternan, y que el signo QUE ESTA MÁS A LA DERECHA 
SIEMPRE ES EL SIGNO POSITIVO (+) . Debido al enunciado del Ejemplo, vemos 
que debemos elegir las regiones correspondientes a los signos negativos (-) :
(x + 3)(x -•2)(x - 4) < 0
4.5 Ejemplo.- - 5x + 6
X2 + X
> o
x e <- “ , -3> U <2, 4> * C.S. 
(x - 3){x - 2)
cuyos puntos críticos son: 
x -7 2
- 42
-7, 2, 3 y 6 
3 6
{x + 7){x - 6)
> 0
Luego:
(x - 2)
(x - 3)
(x + 7)
(x - 6)
(x - 3)(x - 2) 
(x+7)(x-6)
Csp.3 Números Reales 65
Note que en la soluclfin no deben Incluirse a * ■ 6 ni a x - -7 , pues 
anulan al denominador, y la dlvlslfin entre cero no está definida. Para este
Ejercicio propuesto aquí, basta con elegir las reglones con los SIGNOS POSI-
TIV0S‘ CONJUNTO SOLUCION: x e <-■» , -7> U [2, 3] U <6, »>
4.6 EJEMPLO.- Al resolver x(5-x) , „ ,
— u • • i / •
x + 9
el factor 5-* deDe previamente ser transformado en *-5 :
— — — — i 0 [se multipUcfi ambos miembros de (*) por -1 ]. Los v + g
factores son x= x-0 , x- 5, y x + 9 , y las
raíces son en orden creciente: -9 , 0 , y 5 . Verifique que el CONJUNTO
SOLUCION es C.S. = (-9, 0] U [5, donde se ha excluido a x = -9
pues anula al denominador.
H.7 METODO PRACTICO PARA RESOLVER INECUACIONES .-
El método que sigue es más práctico que el ante 
rior y se utiliza para resolver inecuaciones con productos y cocientes de 
las formas:
( x i a 1) ( x i a 2) . . . (x t ap)
6 (x i a j ) ( x i a2) . . . ( x í a n) 
( x i b 1) ( x í b 2) . . . ( x ± bm)
> 0 , donde los a¿ y los
i 0 , b¿ son todos
< 0 , tíi entm.ií.
< 0 ,
4.8 NOTA.- En lugar de (x í a¿) puede estar (ex i a_¿) PERO CON
c > 0 , así cono tamDién en (x í b¿) .
4.9 METODO.- Se hallan TOPOS LOS PUNTOS CRITICOS o fiaZctu de cada fac­
tor (x i a_¿) y (x ! b¿) , ordenándolos en forma crecien 
te, y colocando entre ellos los signos ( + ) y (-) ALTERNAD1 méUTí , comen­
zando de la DEKCCHA y SIEMPRE CON EL SIGNO (+) . Ello indicará que la ex 
presifin original será :
i) > 0 (POSITIVA) en los INTERVALOS ABIERTOS donde aparecen los (+) .
■u.) < 0 (NEGATIVA) en los INTERVALOS ABIERTOS donde aparecen los (-) .
V si fuese i 0 6 < 0 entonces los intervalos abiertos se cierran SO
LAMENTE EN AQUELLOS PUNTOS CRITICOS QUE NO ANULAN AL PEN0MINAP0R. Por ejem 
P'°- (x - 5){x - 2)
(x + l ) ( x - 9)
cuyos puntos críticos son: -1 , 2 , 5 y 9
66 Números Reales Cap. 3
-1
©
alternadamente
ertonces la expresión dada por lo tanto será:
a) > 0 , V x e <-» , -1> U <2, 5> U <9, »>
b) > 0 . V X E <-» , -1> U [2l 5] U <9, »>
c) < 0 , V X E <-1. 2> U <5, 9>
d) < 0 , V X E <-1. 2] U [5, 9 >
4.10 Ej e m p l o .- x3 - 9x2 + 26x - 24 < 0 «==s> factorizando :
(x - 2)(x - 3)(x - 4) < 0 , cuyos puntos críticos
son: 2 , 3 , + 4 0 ==> x e <-» . 2> U <3, 4> = C.S.
4.11 Ej e m p l o .- x > (1/x) « = > x - - >0 «==í>
X
x2 -
X 1 > o — (** 1>(*- 1) i 0 , Raíces: -1, 0, 1
X * ~v ®
■ x e C.S. (Conjunto Solución) = [-1, 0^ U [1, .
4.12 Ej e m p l o .- Para resolver: -x3 * x2 * Z2x - 40 _
x(x + 7)
multiplicamos por (-■1) para cambiar el sentido de la desigualdad :
(x-- 2)(x - 4)(x + 5) 
x(x + 7)
< 0 , Raíces: -7, -5, 0, 2, 4 q
x e C.S. = <-=>, -7> U [-5, 0> U [2, 4] .
4.13 NOTA.- Para los casos especiales se emplea tan solo algo de observa­
ción. En cualquier caso, TENER EL CUIDADO de NO INCLUIR EN 
LA SOLUCION AQUELLA RAIZ QUE ANULE EL DENOMINADOR.
(x-2)(x-4)2 < 0
(x + 3)(x-7)
4.14 EJEMPLO.- Resolver: a)
SOLUCION:
(a)
a) x / -3 ~ x / 7 
x - 2
(x + 3)(x - 7)
< 0
b) U ~ 1)?(X~ 3) í 0 
(x - 4) (x + 5)
y como (x - 4)2 > 0 , V x e IR , 
RAICES: -3 , 2 , 7 ©
x e C.S. = <-» , -3> U [2, 7> .
Cap. 3 Números Reales 67
b) Como (x-4) > 0 . V x c R , pero por estar en el denominador debe
ser x t 4 ; así, se tiene que: , lU
■ , - 0 * * * 4 *(x + 5)
(cuyas rafees son: -5 , 1 , 3 0 ) <— * e ^-5, 1] U [3, - { 4 }
Por lo tanto, el Conjunto Solución es: <C“5, 1] U [3, 4> U ̂ 4, .
4.15 EJEMPLO.- Resolver:
b) {*♦!)(* - ZY
(x - 2)(x ♦ l)(x - 3) 
SOLUCION:
a)
a)
> 0 , c)
x + 1
x3 + 8x2 + 14x + 12
< 0
(x - 3) > 0 -
(x + 1)
(x + 6)(x + 2x + 2) 
x + f 
x + 6
x e <-6, -1> - C.S.
< 0
(x + l)(x - 2)
(xM)
(x + 6)[(** 1.) * 1 ]
< 0
< 0 , pues [(x+1) ♦ 1 ] > 1 > 0 , V x e R
b) ‘ "■i > 0 i CUIDADO ! : pero, para x t 2 y x t -1 ,
x - 3
(pues x = 2 , x = -1 anulaban al denominador original) < 
x E <-», 2] U <3, ■»> - { -1, 2 } - <-», -1> U <-1, 2> U <3, »> .
c) Como (x- 3)2 > 0 , ¥ x e R -{3 } , ó x ¿ 3 ,
(x - 3)
> 0 [
1 > 0 x t 3 ]
(x + l)(x - 2) ~ (x + l)(x - 2)
(x + l)(x- 2) > 0 - x t 3 « = » x e <-», -1> U <2, »> - {3 } .
5 PROPIEDADES DE LAS RAICES DE LA ECUACION CUADRATICA .-
Io) Sean rj y r2 las raíces de la ecuación | x2 + bx + c = 0 j. en­
tonces se puede expresar: x2 + bx ♦ c = (x - rt)(x - r2) , ¥ x c IR
+ bx + c ■ x - (rt + r2)x + (»̂ rj) ,
identificando
coeficientes:
La suma de las raíces es igual al coeficiente de x con el signo cam 
biado ; y el producto de éstas es igual al término independiente c.
68 Números Reales Cap. 3
2°) En cambio, si r, y r2 son las raíces de: ax + bx + c « 0
con a / 0, tenemos que:
- b/a - c/a
5.1 EJEMPLO.- Sea k t 0 ; si las raíces de: kx2 + 2kx + 5 - 0 ..{*)
hallaremos el cuadrado de dicha raíz. Como (*) es equi­
valente a: x2 + 2x + (5/k) * 0 , y como rt ■ r2 “ r entonces
rj + r2 • - 2 , rtr2 = (5/k) =s> 2r = -2 - r2 = (5/k)
= > r - -1 , k “ 5 . Luego, r2 « 1 .
5.2 EJEMPLO.- Hallar el valor de k para que la ecuación 3x2 + kx + 2 =
0 , tenga su Conjunto Solución de la forma ( r, 3r } .
SOLUCION. sfen(j0 r y 3r las raíces: r + 3r ■ k/3 ~ (r)(3r) « 2/3
= > 4r » k/3 - r2 - 2/9 ==> r = + /2/3 = > k ■ 12r » í 4/2 .
5.3 Pr o p i e d a d e s Ad i c i o n a l e s .- Co m p l e t a n d o c u a d r a d o s :
2 . b ,2 4ac - b2ax + bx + c » a(x + — ) + -------- .. {*)
2a 4a
y sea A - b2 - 4ac el DISCRIMINANTE de (*).
1) Si A = b2 - 4ac > 0 , ax2 + bx + c - a[(x+ — )2 - * ] - 0
Za 4a la)
x + ± + J^- _______ '
2a 2a = » x = _L [ _b + / b 2 - 4ac ] .. (**)
2a
■l) Si A > 0 , existen dos raícesreales distintas dadas por (**) ,
una para cada signo.
■U.) Si A = 0 , hay una sola raíz real (doble): r. ■ r, * x = - —
1 2 2a
en cuyo caso (*) resulta un CUADRADO PERFECTO.
2 22) Si a > 0 y A ■ b - 4ac < 0 , entonces 4ac - b > 0 , y
a(x + — )2 + (4aC ~ b2) > 0 , ¡ V x e IR !
2a 4a
«==s> ax2 + bx + c > 0 , i V x e I R I . e n tal caso
no cxXiíf nenguna laZz nzaZ.
5.4 RESjMlN.- Analizando solamente el DISCRIMINANTE A = b2 - 4ac :
Cap. 3 Números Reales 69
2o). a < 0 :• No Existen Raíces reales. Además, de (a) :
i) a > 0 ~ a < 0 a*2 + bx + c > 0 ¡ V x c R !
jul) a < 0 - a < 0 <— =• ax2 + bx + c < 0 ¡ -V x e R !
5.5 EJERCICIO.- Hallar k , para que la ecuación dada admita dos solu­
ciones iguales en R : (k+l)x2 - 2(k-l)x ♦ k « 0 :
Para tener tal condición, debe ser a » 0 :
4(k - l)2 - 4(k + 1) - 0 -12k + 4 - 0 « = > k = 1/3 .
5.6 EJERCICIO.- Hallar el conjunto de valores de k para el cual la e-
cuación: kx2 + 8x + 4 « 0 no tenga rafees reales :
Como debe ser a < 0 : 64 - 16k < 0 <— k > 4
<==* k e <4, ®>
5.7 EJERCICIO.- ¿Cuál es la ecuación cuadrática cuyas raíces son -3 y
5 ? SOLUCION: Sean * -3 , r̂ * 5 , enton
ces (x - rj)(x - r2) * 0 «=*• x2 - 2x - 15 » 0 .
5.8 EJERCICIO.- Si Xj y X2 son las raíces de: ax2 + bx + c = 0 ,
2 2hallar uoa expresión para: Xj + x̂ .
2 2 2Como Xj + x ■ (Xj + x2) - 2xjX2 , y de la ecuación dada:
Xj ♦ x2 = -b/a . xtx2 - c/a ^ 2 + 2i b^ . 2( c }
1 2 a2 a
5.9 Ej e r c i c i o .- Resolver: a) -x = - , b) -x > -x x
2
a) -i + x * 0 <— > * * 1 * 0 , x f 0 <=^> x2 + 1 = 0 , x ¿ 0
lo cual es absurdo. Luego, CONJUNTO SOLUCION = $ .
b) - X > - •:--:• - + X < 0 < :■ -— — - < 0 ' t.X X X
x < 0 . Asi, CONJUNTO SOLUCION = < - » , 0 > .
5.10 EJERCICIO.- ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
2
1) Si A = { a e R / para cualquier x e IR : ax + a = a }=s> A‘ = $
2) A = { x e Q / 10x2 = 13x + 3 ) es un conjunto unitario o B =
{ x e R -{ 0 ) / - x = x_1 } es un conjunto vacio.
2
3) Si x e R y A = { a c R / 4x - 2ax + 3 + a es un trinomio cuadra
IQ Números Reales Cap. 3
do perfecto } ==> A c { a e Z / a3 + 24 = 6a2 + 4a ) .
SOLUCION: 7
1) Como ax + a = a debe ser independiente de x entonces
a(x + a - 1) = 0 = * a = 0 v a - 1 - x =s> a = 0 = >
A= {0} , A* - R - { 0 ) f $ . Luego, (1) es FALSA.
2) Como 10x2 = 13x + 3 (2x-3)(5x+l) ■ 0 = > A -
{ 3/2, -1/5 ) , y como -x = x"1 Jio tiene soluciCn real, entonces
B = $ Per lo tanto, (2) es VERDADERA , pues es una disyunciCn, y la 
primera proposición es FALSA y la segunda es VERDADERA.
3) Debe cumplirse que 4x2 - 2ax + 3 + a = (2x + b)2 lo que equivale a
tener dos raíces iguales, y ello ocurre siempre que A = 0 <*=>
4a2 - 16(3 +a) = 4(a-6)(a + 2) = 0 « = * a = 6 v a = -2 .
AdemSs, a3 + 24 = 6a2 + 4a ■■■■'• a * -2, 2, 6 = >
A = { -2, 6 } c B - { -2, 2, 6 } Asi, (3) es VERDADERA.
5.11 EJERCICIO.- Resolver: a) (x-5)(x-3) i (x-4)(x-3)
b) (x - 5)(x - 2) < (x + 3)(x + 1)
c) (x - 3)(2x + 1) > (x + 2){4 - x) , d) 2x2 + 9x + 4 < x2 + 7x + 12
e) (3x + 5)(x + 2) < (x - 3) (x + 4) , f) (2x-3)(x + l) > (x + 5)(x-2) .
SOLUCION:
------- a) NO SE DEBE CANCELAR ZL FACTOR (x-3) SINO MAS BIEN :
(a) < = > (x - 5 )(x - 3) - (x - 4)(x - 3) < 0 
(x - 3) [ X -5 -X + 4 ] < 0 < = > -(x-3) < 0 <==* x e [3, »>
NOTA: Como (x-3) podría ser negativo, cancelarlo equivale a múltipla
plicar ambos miembros por l/(x-3) que también es negativo y e- 
11o haría cambiar de sentido la desigualdad en tal caso. Estos
problemas se evitan trabajando como se hizo en (a) .
(b) < = • x2 - 7x + 10 < x2 + 4x + 3 <=s x > 7/11 : C.S.
(c) < = > 3x2 -llx+5 > 0 «=*> [ x - (11/6) J2 > (61/36) <==*
( K - 11 > ^ ) v ( x - ± ± < - ) < = >6 6 6 6
x e . u - ^ ] u t , - > = c . s .
6 6
(d) « = » x2 » 2x - 8 < 0 < = í> (x + 4)(x - 2) < 0 «=*> x e <2. 4>
(e) < = 2x2 + 12x + 22 = 2(x + 3)2 + 4 < 0 (ABSURDO) , Conjunto Soluc.: <t>
(f) >s=> x2 - 4x + 7 > 0 < = » {x - 2)2 + 3 > 0 , V x e IR = C.S.
Cap.3 Números Reales 71
5.12 Ejercicio.- Resolver: a) ^ < — —
x - 1 * - 1
b) - 7 7 7 c) 3/ *2 - 1 £ 0
SOLUCION:
a) AQUI NO SE DEBE CANCELAR A LA EXPRESION (*-1) : y mas bien ,
< o < = > — — > 0 < = > x - 1 > 0 o = >
' x - 1 k. - 1 » - 1
* > 1 •' !■ * E C.S. = (1, “ )
b) Como x2 + 1 > 0 , PARA TODO * REAL , entonces se puede pasar al
ier miembro multiplicando, sin que cambie el sentido de la desigualdad:
¿ ± k -2 < 0 «==> 1 * : 3» r - x) < 0
2* - 1 2x - 1
< ^ > x e <-« , l/2> U [1, 3] = C.S.
c) Como es una raíz cúbica, la expresiCn completa tiene el mismo signo que
la cantidad subradical :
' V - 1 < 0 «=*> x‘ - 1 < 0
X 2 < 1 <==> X E [-1, 1] .
5.13 EJERCICIO.- Demostrar que si x > 0 , y > 0 , entonces
a) xy = 1 =*■ x + y > 2
b) [ xy = 1 ~ x + y = 2 ] «:■ ■ x » y • 1 .
SOLUCION.-
a) 0 < ( /x - /y ) 2 < = » x + y > 2 / xy , y como xy = 1 (dato):
==> x + y > 2 .
b) ( = > ) x + y = 2 = • x + I = 2 , pues xy = 1 = »
(x - l)2 = 0 , x ¿ 0 =:• x = 1 , y = 1 .
( < = ) Obvio.
5.14 EJERCICIO.- Demostrar que si x > 0, y > 0, z > 0, entonces
a) xyz = 1 =s> x + y + z i 3 .
b) [ xyz = 1 ~ x + i/+z = 3 ] =s> x = y - z = 1
SOLUCION.- Emplearemos el Ejercicio anterior :
a) al) Si al menos uno de ellos es 1 , digamos z = 1 , entonces
xy = 1 = > x ♦ y > 2 = > x + y * z > 2 + 1 = 3 .
72 Números Reales Cap. 3
a2) SI todos son diferentes de 1 , existe uno que es mayor que 1 y 
otro que es menor que 1 . Sea * < 1 , y > 1 , w = xy > 0 , en
tonces: (y- l)(x- 1) < 0 , de donde * + y - xy > 1 .. (*)
Además, wz = 1 =í> w + z > 2 .. (**)
(pues w + z = 2 implicarla que w = z * 1 , lo cual es absurdo) 
Luego, * + y + z = (w+z) + x+ i/-w
= (w + z) + x + i/ - xy > 2 + 1 - 3 , por
(*) y (**). Así, tenemos que: x + y + z > 3 .
b) ( =*■ ) Si al menos uno de ellos es 1 , el problema anterior implica 
que todos son iguales a 1 .
Si todos son diferentes de 1 , entonces por la solución (a2):
x + y + z > 3 (que contradice el dato x + y + z = 3) lo
cual es un ABSURDO.
( ) Obvio.
6 ECUACIONES E INECUACIONES CON RADICALES
Cuando una ecuación o inecuación contiene una expresión
con un radical par como : _ ,
/A , / a , etc.
para que las soluciones de la ecuación o inecuación original sean válidas, 
debe resolverse antes la condición que: A > 0
cuyo Conjunto Solución constituirá el UNIVERSO U dentro del cual se ha de
resolver la ecuación o inecuación dada.
Debe observarse que /T" quiere decir + //T , y si
se desea la raíz cuadrada negativa se deberá escribir explícitamente -/~A.
Es decir, ^ V x > 0 . /x > 0 .
b) /x = 0 «=^> x = 0 .
6.1 EJEMPLO.- Resolveremos en R , completando cuadrados:
x + 3 / x - 1 = 11 Establecemos primero el UNIVER-
SO Al : x - 1 i 0 < — > x i 1 . Luego, U = [ 1, (*)
Ahora resolvemos:
x + 3 /x - 1 = 11 « = > (x- 1) +3 /x- 1 - 10 = 0 <
« = > ( /x- 1 + 5)( /x- 1 - 2) - 0
Cap. 3 Números Reales 73
[ / x - 1 = -5 (absurdo} v / x - 1 = 2 ] * - 1 » 4
s=^> x - 5 , y cono 5 e l) » [1, entonces la solución x * 5
es válida.
6.2 Te o r e m a .
PRUEBA.- 
tenemos que:
D < x < y •• 0 < /x < /y .
2 ̂ l2Por el TEOREMA: 
D < x < y «=
a > 0, b > D : a
0 < (/l)2 < ( /y ,
< b «==> a < b 
==> 0 í /x < /{/
6.3 Te o r e m a .- i)
¿i)
0 < x < y
0 < x < y
0 < /x < 
0 < /x <
Jy
/y
6.4 EJERCICIO.- Demostrar que: /x + Jy = 0 <=?
( =*■ ) 0 < Vx < /x + /]/ = 0 = > 0 < /7 < 0
g » x = 0 . Aderas, /i/ * /x + /{/ = 0 
c :> y - 0 .
0 - (/ = 0 . 
=s> /x = 0 
/¡f - 0
( < = ) Obvio. 
6.5 Te o r e m a . - A) Si n es un entero positivo PAR :
al) ^7 > 0 «=^> x > 0
a2) ^ 7 = 0 «=^> x = 0
a3) Vx 5 n/ y <■■■-> 0 < x < y
B) Si n es un entero positivo IMPAR :
% > 0bl)
b2) /x < 0
b3) "/x < n/y
Las proposiciones (bl) y (b2) indican que /x TIENC EL MISMO SIGNO que 
x si es que n es IMPAR . Todos estos resultados nos han de servir pa­
ra la resolución de ecuaciones e inecuaciones que involucren estas expresio­
nes.
6.6 NOTA. - Cuando en una expresión existen varios (k) radicales, se cal­
culan los Universos Relativos Ut, U2, ... , Uk para cada
radical, y el UNIVERSO GENERAL serS:u = ut n u2 n n ut
6.7 Te o r e m a .- i)
¿i)
/a + / b > 0 
.1 + /b < 0
a > 0 - b > 0 .
a = 0 - d = 0 .
74 Números Reales Cap. 3
6.8 EJERCICIO.- Resolver: a) * * + 3 > -1 d) / x - 4 < 0
b) / x + ~S > 0 e) /x + 1 > 0
c) /x - 3 < 0 f) /* + 3 > -1
SOLUCION:
a) Como / x + 3 > -1 es válida PAR« TODO x tal que: x e U: x + 3 i 0
entonces U = L-3, «°> , y el CONJUNTO SOLUCION es C.S. - U = [-3, «■>
b) Para / x + 5 > 0 , U * [-5, . AdemSs, /x”+ 5 > 0 «= >
x + 5 > 0 «— 1> x e <̂ -5, «— 1> C.S. * <̂ -5, D U » ^-5, »̂ >
c) / x - 3 < 0 tiene U * [3, , y como 0 < / x - 3 < 0 = >
x - 3 » 0 = » x = 3 e U . Así, C.S. * {3 } , ó x - 3 .
d) J x - 4 < 0 (absurdo). Conj. Sol. = ♦ .
e) /x+ 1 > 0 es VERDAOERO PARA TODO x e U * [-1, «■> . Luego,
C.S. * [-1, ■ U .
f) Jx + 3 > -1 también es válida PARA ÍODO x e U = [-3, * C.S.
6.9 Ej e r c i c i o .- Resolver:
a) /4 - x < ,'l2 d) - / x - 2 > 0
) / x + 1 + /2 - x > -2 e) /x2 - 4x + 3 5 /x2 - 7x + 12
c) /x - 5 > 1 f) / I T T + /2 ~ = 2 .
SOLUCION:
a) /4 - x < /Í2 < = > 4 - x < 12 SIEMPRE QUE x e U = <-» , 4]
y que 4 - x < 12 «=s> x > -B <■■■-:► x e <-8, *>)> _ Así,
C.S. = <-8, «>> n U » <-8, fl <-«> , 4] = <-B, 4] .
b) Universos Relativos: Uj: x+1 > 0 , U2: 2-x > 0 , U = U¡ fl U2
= r-1, fl <-«. ,2] ■ [-1, 2] , y como la suma de dos " positivos “
es siempre mayor que un "negativo” :
/ x ¿ 1 + / 2 - x > -2 es VALIDA PARA T000 x e U = [-1, 2] = C.S.
c) Universo U : x - 5 i 0 =»• U = [5, , donde / x - 5 > 1
< =• x - 5 >1 (elevando al cuadr.) ■: — x e (6, . Así,
C.S. = <6, »> n U = <6, n [5. «■> = <6. »> .
d) - /x - 2 > 0 « — / x - 2 < 0 (absurdo) =■* C.S. = <P
f) Universos Relativos: Up x+2 > 0 , U2: 2-x > 0 , U = Uj fl U2
= [-2, n (-«> , 2] * [-2, 2] . Ahora, en este Universo efectuare
mos las uperaciones algebraicas convenientes :
.
Cap. 3 Números Reales 75
/x + 2 + /2-x = 2 = > 2 /x+2 /2- x » 0
/x + 2 = 0 v /2-x = 0 — =-> x = -2 v x * 2
{ -2. 2 } c U = [-2. 2] ==*■ C.S = { -2, 2 } .
e) Universos Relativos:
Uj: x2 - 4x + 3 > 0 Uj = <-«» , 1] U [3, «■>
U2: x2 - 7x + 12 > 0 = > U2 - <-» , 3] U [4, »>
U = Uj D u2 * <-“> , 1] U { 3 } U [4, «■> . Y así,
/ (x - 3)(x - 1) < /(x-4)(x-3~) ==> (x - 3)(x - 1) <
~ x e U ==> (x-3)(3) < 0 - x e U = > x
Por lo tanto, C.S. = U fl <-«. , 3] = <-«> , i] U { 3 }
6.10 Ej e r c i c i o .- I) Resolver: /x + 2 + /2-x = 1 .
2) Demostrar que: a2 + /"b = 0 a = 0
SUG: a2 = /a* .
3) Demostrar que: a2 + b2 = 0 « — a = 0
6.11 EJERCICIO.- Sea a > 0 . El Conjunto Solución de:
/x + 4a - /x + 2a - 1 = 1
I) tiene un solo elemento x e .
II) tiene dos números reales distintos.
III) tiene un solo elemento x e [0, .
IV) no se puede determinar exactamente.
¿ Cuál de tales afirmaciones es verdadera ? .
SOLUCION.- Hallando el Universo U :
x > -4a - x + 2a - 1 > 0 « = > x > -4a ~ x > 1
/x + 4a - / x + 2a - 1 = 1 «==> / x + 4a = 1 + / . x
a = / x + 2a - 1 «=^> a2 = x + 2a - 1
( x = a2 + 1 - 2a > 1 - 2a (*)
x = (a - 1) > 0 > -4a
Luego, x resulta ser elemento de U . Por le tanto, x = (a
y así solamente la alternativa (III) es la VFRDADERA.
6.12 EJERCICIO.- Demostrar que:
. Y como
(x - 4)(x - 3)
< 3 ~ x e U
RPTA: $ .
 ̂ b = 0 .
b = 0 .
- 2a ..(*) ; 
+ 2a - 1
- I)2 > 0 ,
76- Nümeros Reales Cap.3
i.) x > 0, y > 0, x > y , = * x > /x2 - y2 .
ÁÁ.) x < 0 < y = » x-1 '< 0 < y~l .
SOLUCION:
¿) x > y > 0 ==► x2 > y2 = > (x2 - y2) > 0 .. (*)
x2 < x2 + y2 = > 0 < x2 - y2 < x2 .. (**)
= > / x 2 - y2 < x
iÁ.) EJERCICIO. SUG: Va se demostró que a t 0 tiene el mismo signo
que a-1 . AdemSs,
x < 0 < y <=s> x < 0 ~ y > 0 .
6.13 EJERCICIO.- Si a > O , z = ax2 + x(l - 2a) + a , hallar el
conjunto de valores de a tal que: z > 0 , PftRA
TODO x REAL .
SOLUCION- Como flj[2 + x(!_2a) + a , o NO DEBE TENER SOLUCIONES REALES
y como a > O entonces debe ser A < 0 (A * Discriminan
te). Es decir, (1 . 2a)2 . 4(J2 < 0 « = * 4a - 1 > 0
«==• a e < 1/4, “ >
Por lo tanto, l a e R / z > 0 , PARA TODO x REAL } = <1/4 , <=> .
6.14 EJERCICIO.- Hallar todos los valores reales de a para los cuales:
2»2 . ax ̂1
-1 < — ;--------- < 3 , PARA TODO x REAL
x + 2x + 2
SOLUCION: 2
Sea z = ^ ---— -- - » donde x2 + 2x + 2 * (x+1)2 + 1
x + 2x + 2
entonces -1 < z < 3 e = » z > -1 - z < 3 .. (*)
Como x2 + 2x + 2 = (x+ l)2 + 1 > 0 , PARA TODO x REAL , entonces
¿ ) z > -1 « » 2x2 - ax + 1 > -[(x+1)2 + 1 ] <=> 3x2 + (2 - a)x + 3 >0
lo quí debe cumptcue PARA TODO x REAL , y elto ccuAAe &í A < 0 :
A = (2 - a)2 - 36 = (2 - a - 6)(2 - a + 6) < 0 «==» (a + 4)(a-8) < 0
<=> a e <-4, 8 > . 
U.) z < 3 <=s- x +(6 + a)x + 5 > 0 , V x e IR
«=> A = (a + 6)2 - 20 < 0 a e <-6 - 2 /5 , -6 + 2/5 > .
Ahora, intersectamos las soluciones de U) con (<x) por (*) , y así :
Cap. 3 Números Reales 77
C.S. = CONJUNTO SOLUCION: a e <-4, -6 + 2/5 > .
PROBLEMA 1} SI a > 0, b > 0, demostrar que /ab < 3
2) SI { a, b, x } c IR+ , a f b , demostrar
a + xque ---- estí situado entre 1 y a/b .
b + x
. x2 + 3x + 2 x - 2
3) Resolver: ------------ <
x - 2 x + 2
SOLUCION.-
1) Como ( / a - / b ) 2 > 0 ==> 2 / ab < (a + b) = > / ab < a. * b
2
2) i) a > b > 0 = > (a/b) > 1 , entonres debemos demostrar que:
1 < [(a + x)/(b + x)] < (a/b) :
x > 0 =©• (a + x) > (b + x) > x > 0 =»■ > 1 ..(*)
b + x
además, a > b > 0 y x > 0 = » xa > xb
xa + ab > xb + ab =í> a(b + x) > b(a + x)
— b + x b
asi, de (*) y (**): 1 < [(a+ x)/(b+ x)] < a/b , en este caso.
i i) 0 < a < b =©• 0 < (a/b) < 1 , ertonces debemos demostrar
a a + x , rr. . . ,que - < ---- < 1 [Ejercicio].
b b + x
3) -*2 - 3* * 2 . !Ljl1 < o « * 12> < o
x - 2 x + 2 (x- 2)(x + 2)
[(x + 2)2 + 8 ] < 0 x
(x - 2)(x + 2) (x - 2)(x + 2)
x e < - » , -2> U <0, 2>
PROBLEMA Resolver: V x2 - 1 (x - l)2(x3 - 13x +12) ^
-------- -------- t— ó---- í------------ - 0 ” ' '
(x + 4) (x3 + Bx2 + 4x - 48)
SOLUCION.- Como -1 tiene el mismo signo que x2 - 1 , y (x + 4)3
tiene el mismo signe que (x + 4) , entonces (*) es equiva-
lente a: («2 - 1)(* - 1)2 [(* - 1)(X + 4)(x - 3)] > 0 ^
(x + 4) [(x - 2)(x + 6)(x + 4)]
(x + l ) ( x - ! ) * ( , - 3 ) , Q t x f _ 4 _
(* + 4)(x - 2)(x + 6)
78 Números Reales Cap. 3
[ --- (* * 1)(* ~ 3)--- > 0 v x - 1 ] . x i -4
(x + 4)(x - 2)(x + 6)
siendo los puntos críticos: -6 , -4 , -1 , 2 , 3 + ; luego
x e <-6. -4> U [-1, 2> U [3, °>> - C.S.
PROBLEMA . - Resolver: (x + 1}*(x + ¿) ‘y—
£ 0
V x + 7 (x-8)3(x3 -8)(x2 - 14X + 4B) (*)
SOLUCION.- Los radicales pares proporcionarán el Universo U :
B - x > 0 - x + 7 > 0 «==s> x < 8 - x > -7 . Asi, U - <-7, 8]
[ no se incluye x * -7 pues anula al denominador ] ; además, como los
radicales pares son no negativos, entonces (*) es equivalente a:
3 — T , . V,/ x + 5 (x + 1) (x + 2) 7(x - 4)(x - 3) < Q
(x - 8)4(x2 + 2x + 4)(x - 2)(x - 6)
donde V T y V~b tienen el mismo signo que A y B respect. :
(x + 5)(x + l)4(x + 2)(x - 4}{x - 3) _ . ..- v » X E U
(x - 2)(x - 8)4 [(x + l)2 + 3](x - 6)
^ (x + 5)(x * 2)(x - 4)(x - 3) £ 0 y x . x f B i x e M
(x - 6)(x - 2)
y siendo los puntos críticos: -5 , -2 , 2 , 3 , 4 , 6 + :
«==> x e ( [ ( [-5, -2] U <2, 3] U [4, 6> ) U { -1} ] n U ) - { 8 }
< = * x e [-5. -2] U { -1 } U <2, 3] U [4, 6> - C.S.
TEOREMA . - i ) /a < b «=^> a > 0 - [ b > 0 ~ a < b2 ]
¿ó) / a > b í V o
y b < o
Este teorema es fScil de probar considerando. b < 0 , b * 0, b > 0 .
OBSERVACIONES.- a) La condición a > 0 proporciona el Universo U.
b) Estos teoremas tienen sus análogos cuando se reempla 
za, donde aparezca, : > por > , Quedando invariables a > 0 y b > 0.
Cap. 3 Números Reales 79
PROBlEMA.- Resolver la 1necuac16n : / x 2 + 4* < 5* - 1 .
SOLUCION.- a * x2 + 4x , b ■ 5x - 1 , /a < b . Usando e
ü : a > 0 <==» *(x + 4) > 0 -s=¡- U - <-■» , -4] t
b » 5* - 1 > 0 < = » x > 1/5 c— => x e<l/5, “ )>
a < b2 «==> x2 + 4x < (5x-l)2 - 25x2 - lOx + 1
<=0 24x2 - 14x + 1 » (2x - l)(12x - 1) > O
« = » x e 1/12> U <1/2, »>
Luego. C.S. « U fl (*) fl (**) - <1/2, - > .
PROBLEMA.- Resolver la 1necuaci6n : / 6x + 1 > 2x - 3
SOLUCION.- Utilizando el TEOR. (11): a = 6x+l , b - 2x- :
_ a > O -
/a > b <— r
[ b < O v (b > O ̂ a
Universo U: a = 6x + l > 0 =*- U - <-1/6 , °>> ,
b < O «==» 2x - 3 < 0 «=^> x e <- “ , 3/2 >
b > O «==> 2x - 3 > 0 «==?> x e [3/2, «■>
a > b2 6x + 1 > (2x - 3)2 «==?> 4x2 - 18x + B <
(2x - l)(2x - 8) < O «==?> x e <1/2, 4 >
C.S. - U fi [ <-» , 3/2> U ( [3/2, » > fl <1/2, 4> ) ]
C.S. - [-1/6, » > fl ( <- » . 3/2 > U [3/2, 4 > ) « [-1/6, 4>
PROBLEMA.- Resolver: o
/ x - x - ^ (x - 5)
SOLUCION.- Como x2 - x - 2 - (x-2)(x + l) > O
2 - / x + 4
O
x e <- " , -1] L
/x2 - x - 2 - 2
U : --— ■ — > 0 , (y como x + 4 > O : )
2 - /x + 4
«=*> x e ( <-» , -1] U [ 2 , ®> ) fl [-4, » > -
( /x2 - x- 2 - 2 > O - 2 - /x + 4 > O ) .. (1)
( / x2 - x - 2 - 2 < O - 2 - / x + 4 < O ) .. (ii)
donde /x2 - x - 2 > 2 c— :> x2 - x - 2 > 4 < = >
x2 - x - 6 = (x - 3){x + 2) > O «=^> x e < - » , -2] U [3, “>>
TEOR.(1) 
[O, “ >
•• (*).
(**).
> b2 )]
O
Luego,
[2. «■> ,
(*)
• • (a)
BO Numeros Reales Cap. 3
2 - / x + 4 > 0 < ' /x + 4 < 2 <— =» x + 4 < 4 «==>
x < 0 «=— > x e <-°> , 0> ... ... ... (6)
Análogamente, / x2 - x - 2 i 2 < = > x e [-2, 3] ... (y)
/x + 4 > 2 « = » x e <0, ... (6)
Por lo tanto, i) : ( a ) n ( 6 ) : x e <- «> , -2]
(y ) n (5) : x e <0, 3]
(*) : ( % U (¿¿) : x e <-«■ , -2] U <0, 3] ==*>
u = (<-», .1] u [2, »> ) n [-4, »> n (<-», -2] U<0, 3] )
= ( [-4, -1] U [2, «■> } n ( <-«■, -2] U <0, 3] ) = [-4, -2] U [2, 3] .
AdemSs, x e U = > -4 S x í 3 =-> -9 S x - 5 í -2 ;
de aquí observamos que el 2S miembro en el enunciado: (x-5) es siempre
negativo dentro del Universo U hallado, y como una raíz positiva no puede 
ser negativa entonces la inecuación original es vSlida PARA TODO x e U .
Por lo tanto, en este caso: C.S. = U = [-4, -2] U [2, 3] .
22. EJERCICIO.- Resolver: / y 2 - \4y + 13 < y * 1 .
SOLUCION: = y2 . Uy + u = (y . 13)(y _ X) f b = y + 1 ,
a > o y e <-=> , 1] U [13,
b > 0 < = > y + 1 > 0 < = > y e <-1,
a < b2 •• — "• y2 - 14y +13 < (y2 + 2y + 1)
< = > I6y > 12 < = > y e <3/4.
Como la inecuación original es de la forma /a < b , entonces la forma e 
quivalente es por (-0 del TEOREMA [Pag. 78] :
[ a i 0 ~ b > 0 ~ a < b2 ] < = > (intersectando los tres):
y e ( 1] U [13, »> ) n <-1, n <3/4, <==>
y e <3/4, 1] U [13, »> = C.S.
23. Ejercicio.- Resolver: / y2 - Uy + 13 > y - 3 .
SOLUCION: Corresponde al TEOREMA [Pág. 78] : /a i b «— 1>
a > 0 ~ [ b < 0 v ( b > 0 « a 2 b2 )] .
Verificar que: C.S. = <-“> , 1 ] .
24. EJERCICIO.- Expresar el conjunto A mediante intervalos :
A = ( y e IR / y = * 3> — - , -2 < x < 0 } .
x - 2
Cap. 3 Números Reales 61
SOLUCION: ... x2 * 3« - 1 ^ 2̂ _ (y_ 3)x + (2y. 1} - 0
x - 2
«=^> x - { y - 3 í / y 2 - Uy + 13 )/2
y como -2 < * £ 0 , se debe reso1ver:
-2 < =- - — < 0 «=> -(i/+l) < í /y 1 - U y * 13 < 3 -y
2 •• (*)
[ a v b ] , donde :
a : -{y* 1) < / y 2 - 14y + 13 < 3 - y
b : -(y* 1) < - / y2 - Hy + 13 < 3 - y
es decir, para cada signo en el radical <Je (*) , se reúnen los resultados.
Note que (a) equivale a la intersección de las soluciones de la inecuación:
-(!/ + 1) < /y2 - 14i/ + 13 con las de / y 2 - 14i/ + 13 < 3 - y .
Se procede en forma similar para (b) . Luego, utilizando el método anterior 
se obtiene que : (verificar)
a : y e ( <-«■ , 1] U [13, »> ) fl [1/2 , 1 ] = [1/2,1]
b : y e ( < 3/4 , 1] U [13, «■> ) n <-», 1 ] = < 3/4 , 1 ] ,
y por lo tanto, A = [1/2,1],
24. EJERCICIO.- Expresar mediante intervalos al conjunto
A = { 16 * / -5 < x < -3 } .
OX
SOLUCION: 2,
(16-*_) c = > x + 6xi/ - 16 - 0
6x
-5 < x < -3 , se debe resolver:
x - (S y i / 36i/2 + 64 )/2
x - (-3i/ í / 9i/2 + 16 ) ,
-5 < -3i/ 1 / 91/2 + 16 < -3
y como
3i/ - 5 < i / 9i/2 + 16 < 3i/ - 3 .. (*) < [ a v b ] (una
letra para cada signo) , donde . 3y. b K / 9¡/2 + 16 < 3^.3
b : 3y - 5 < - / Sy2 + 16 < 3y - 3 .
Verifique que:
(a) «: IR fl $ * $ ,
(b) «=0 y e <-». 3/10> O <-7/18, » > = <-■! ,
C.S.: (a) v (b) : y e <-7/18, 3/10> . Luego, A = <-7/18, 3/10> .
82 Números Reales Cap. 3
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS.-
1. Demostrar que no existe ningún número real a tal que:
t í a PARA TODO x REAL .
2. Dem. que a < b < 0 = > 0 < 1/a2 < 1/b2 .
3. Dem. que * > 1 =^> 1 < x < x2
4. Dem. que 0 < t < 1 ■ ■ .• 0 < x2 < x < 1
5. Dem. que si x es un número real tal que 0 £ x < h , para todo h
> 0 , entonces x = 0 .
6. Dem. que: -i) a > b b - a < 0
•oc) a i b < 1 =
c3 d3 j
7. Oem. que 0 < d < c = > - - - > d (c - d)
a - 1 b - 1
3 d3
3 " 3
, c* d4 t
8. Dem. que 0 £ d < c = » d (c - d) < — - — < c (c - d) -
4 4
9. Resolver:
a) — > 6 d) (x2 + 2)(x2 - 4) < 0
x - 5
b) 3X*1 > -(x - 4) e) (x - l)(2x2 - 12x + 19) < 0
c) -4 £ -2x + 3 < 4 f) 3x3 - 9x2 + llx < 5
10. Hallar el menor número real M tal que, PARA TODO x REAL :
a) 4 + 6x - 3x2 £ M c) - x2 £ M
b) 4x - Zx2 < M d) -x2+ 4x - 10 £ M
11. Hallar el mayor número real m tal que, PARA TODO x REAL :
a) m í 2x2 - 4x + 2 c) m £ x(x - Z) - 3
b) m £ x2 - lOx + 32 d) m £ 1 - 6x + x2
a3 - b3
12. Dem. que: 0 < a < b < c = ■ — ------ - < a + b + c
3c(b - a)
SUG: Pruebe que: (a + b)(3c + a) + 3c2 + b2 > 0 .
a 3b b2
13. Dem. que: 0 < a £ b < = » - + — £ —r + 3
b a a
SUG: (b - a)3 > 0 « = • (b - a) 2 0 .
14. Si x es un número real cuya representación decimal comienza como sigue
a) x = 2.3476 ... b) x = - 5.3254 ...
dar un intervalo cerrado de longitud 10 que contenga a x .
Cap. 3 Números Reales 83
15. SI 2.3 < a < 2.4 , 4 < b < 6 , hallar cotas para:
1) a + b , ii) a - b , 111) ab , 1v) a/b .
16. Resolver:
a) 6 - 2x < 3x-9 < 2x-6 , c) l - x < 2 x - 2 < x + 8
b) 6 - 2x < 3x- 9 < 2x- 6 , d) 0 < x-1 < 3x-15
17. Resolver: 2
x - 1
a) * * 1 > 0 , e) 2x4 < 2x2
(2x2 - Bx + B)(x +_3^ > f) 1 L Í Í > 3
(x + 6) ' x + 1 '
, (2x2 - 8x + 8)(x + 3) , 3
c) ------------------ - < 0 , g) x < x
(x + 6)
d) + 3) > 0 > h) _ l ________ 2
(x+6) x + 4 x + 5
18. a) ¿ Es x + x + x > x para todas las x ?. ¿ Para todas las
x > 0 ? .
b) Resolver: [(x - l)2 + 2 ]_1 < 1 .
19. Hallar el conjunto de valores de k para que la ecuación x2 + kx - 2
= 0 tenga aos raíces, una de las cuales es 1 .
20. Si { r, s ) , con r > s , es el conjunto solución de la ecuación
2
15x - 22x + 8 » 0 , hallar la ecuación cuadrática cuyo conjunto solu
ción es { 1/r , -1/s } .
21. Hallar el conjunto de valores de k para los que x tome valores rea­
les en la ecuación: x2 + 3k + 1 ■ (k + 2)x .
22. Hallar la suma de las raíces de la ecuación:
/ 2x + 3 + /T x ~ "2 - / 2x + 1 = /5x .
23. Hallar los valores de m para que la siguiente ecuación no tenga solu­
ciones reales:
(m + 5)j + 3mx - 4(m - 5) = 0
24. Si a > 0 es tal que / x + 4a , /x + 2a - 1 son números rea­
les, hallar el conjunto solución de: _____ _________
/x + 4a - /x + 2a - 1 * 1 .
25. Si a e IR* a -b e IR+ , ¿ cuáles son verdaderas ? :
i) 1/b < 1/a iii) (b3/a) - b2 < 0
ii) b(b - a) > D iv) a2 < b2 .
26. Hallar el complemento del conjunto solución de la inecuación :
84 Números Reales Cap. 3
a) (1 -■ x)(-X-^-2i < 0 , b) x <
(x + 4)2 x + 1
27. ¿ Cuáles son verdaderas ? : i) ^ ( 3 a e IR / (-l)-a = 0 )
ii) ¥ a , b e R , a < b =*■ a2 < b2
i i i) ̂(V a, b e R , a < b ==» 1/a > 1/b )
iv) V a . b E R ^ c ^ O : b < a = > be < ac .
28. Hallar los valores de m tales que la raíz de la ecuación - = — — —
x x + m
sea mayor que 2.
29. ¿ CuSles de las siguientes afirmaciones son verdaderas ? :
i) Si a < b y c > 0 entonces ac < be .
ii) a > b =í> b+c < a + c, V c real .
i i i) a < b = > a < 2b , V a , b reales.
30. Resolver: 3x3 . M 2 + 63x . 54 ----
a) — — --- > 0 , d) / x - 5 < 1
3x + 15
b) — -— e < 1/4 , 2 ] , e) ---- — > /x + 1
2x + 3 N /t . !
x2 1c) ---- + 4 > x + 10 , f) — --- > /x - 1
* ' 2 /x + 1
31. Hallar las raíces de: /1 - 5x + /l - x ■ 2 .
32. Hallar el conjunto de valores de m para que la ecuación siguiente:
x2 - 15x - m(2x - 8) = 0 tenga raíces reales iguales.
33. Si r y s son las raíces de la ecuación 6 + (1/x) = x , hallar
el valor de A = 2(r + s)/(rs) .
34. Hallar k para que la ecuación (k+1);2 - 2(k + l)x + k = 0 admi­
ta dos solucionesreales iguales.
35. kesolver:
aj 3 < 6 d) (x2 - x-2)(6x2 - x - 1) < 0
x + 2 ” x + 5 , , 2
e) (x- l)(2x - 12x + 19) < 0
b) — > 6 ____
* - 5 f) /x - 1 < 0 .
c) (x + 2)(x + 10)(x + 2) > 0 .
36. Resolver: a) (x2 + 7)(x2 + 25)(x2 - 4)(x2 + 3) > 0
b) (x2 + 2)2 (x2 + 5x - 6)(x - 1) < 0
c) (x2 - 16)2 (x2 + 4)(x + 3)(x - 2) > 0
Cap. 3 Números Reales 85
d) (x3 - 8)(x2 + 4x - 5)(x2 - 16) < 0
37. Resolver: x2 + 8x + 24 x + 2 *2 + 2
a) Ï 8 , d) ---- > -- 5—
x + 2 x - 2 x2
.. . 3x + 1 1 . x3 - 2 x3 - 4b) 4 > ----- Î - , c) -z--- > ---
x x x + 1 x + 2
38. Resolver: ^ (4x + 2)2 (x2 + 2)3(2x - 8)9 . „
*> Tö < ®(x + lj2 (2x + 5)
b) (x2 - 4x - 12)(x2 - x - 12) < 0
(x2 - 9)(x2 - 4)
, 2x x ̂ x - 1 x2 + 8 _ 5x - 8c) ---- - ---- > ---- . d) ----- > -----
x + 1 x - 1 ' x x + 4 5
e) (x2 - 2x T 4)5 (1 - x,3 (2 ̂x)6 ^ o
(2x + l)(x + 4)x4
,, x4 - 2x3 - x2 - 4x - 6f ) ------------------- < 0
x3 - 4x2 + x - 4
, D - . . x2 - 2x x + 8 . x + 4 2x + 339. Resolver : a) ------ < ---- d) ---- < -----
x - 4 2 x - 2 2
3x2 - 4 , . , 4 2x2 - 3x + 3 1
b) - X + 6 e) (x - 2)(2x + 3) > - 2
C) LJLi > _ £ _
x + 4 x - 2
40. Expresar en términos de intervalos el conjunto A :
A = { z = * / x e <-1, 1> }
x* + 1
SUG: Evalúe por separado los z para x e <-1, 0> U { 0 } U <0, 1^ .
41. Resolver: 7_____ -------- , 7,_____ .
/27 - x V x2 - 14x - 15 (x - 2)b V x + 8 (x - 3)5
U/ x + 9 (x2 + 7x - 8) (x - 27)3 (x3 - 27)
a) £ 0 , b) > 0 , c) < 0 , d) > 0 ; indicando
en cada caso el Universo U proveniente de los radicales pares.
42. Resolver:
y 625 - x2 ¥*? - 4 (x + 4)8 (x2 - l)2
x3 - 2x2 - x + 2
86 Números Reales Cap. 3
a) < 0 , b) > 0 . c) < 0 , d) > 0 
43. Resolver:
/ 32 - 
/ x + 2
« / W * A
- ?x
5 - x
> /x ,
> 0 ,
f) /x + /x - 2 > 0
x + 3 _ ' ^ x- 1
d) /x2 - 6x + 5 + /x2 - 7x + 10 < 0
e) /x2 - 6x + 5 + /x2 - 7x + 10 > 0
44. Resolver:
y E > o
* x- 1 / x+ 3
a)
x - 3x - 4
5 - /l6 - x2
2x - 29
b)
3x - 4
/2I - / x 2 - 4
7 7 T 3x - 4
/2Í - / x 2 - 4
> 0
45. Expresar el conjunto A mediante intervalos:
y e R / y = x2/(x- 1) , -1 < x < 1 }a) A =
b) A =
c) A =
d) A =
e) A =
8x - 2x¿ 
2x - 1
x2 - 4
/ X E [1, 4> }
/ x E [-3, 0 > }
/ x E <2, 4> }
/ x e [-3, -2> U <2, 4> }
46. Demostrar que si x > 0 , y > 0 , z > 0 , entonces
SUG: [x/y){y/z)[z/x) = 1 , y un Problema resuelto (PSg. 71)
47. Resolver: 2 4 5x - x + x - x> ,-------+9
(1 - x2)(l - x) (1 - x)2 (1 + x)
Cap. 3 Números Reales 87
SUG: Pasar todo al primer miembro y factorizar.
48. Dado el sistema: y- x2-2x-15 , y m m(x + 5) ; si y • 9 satis­
face el sistema, hallar la suma de los posibles valores de m .
49. Hallar los valores de k para los que x tome valores reales en:
t2 + (3k + 1) - (k + 2)x .
50. Dada la ecuación ax2 + bx + c ■ 0 , demostrar que:
a) SI la suma de sus ralees es Igual a su producto, entonces b + c ■ 0
b) Si una raíz es la negativa de la otra, entonces b ■ 0 .
2
c) Si una raíz es el doble de la otra, entonces: 2b ■ 9ac .
51. Hallar los valores de m para los que el conjunto solución de la si -
guíente ecuación no esté contenido en R :
(m + 5)x2 + 3mx - 4(m — 5) = 0
2
52. Sean r y s las ralees reales de la ecuación ax + bx + c ■ 0 ,
2 2con r < s . Hallar el valor de r - s .
SUG: x = ( -a i /a2 ̂- 4ac ) /(2a) , y donde £ corresponde al sig­
no (+), y ^ corresponde al signo (-) .
2
53. Si las ralees de: x + mx + n • 0 son las reciprocas de las de( la
2ecuación 4x + 8x - 5 « 0 , hallar el producto mn .
CLAVE DE RESPUESTAS
9. a) <5, 6> b) <0, 1> U <3, -> . c) [-1/2 . 7/2] ,
d) <-2, zy e) O • (complet. cuadrados), f) <-«■>, 1̂
10. a) M - 7 , b) M = Z , c) M - 0 . d) M - -6
11. a) m • 0 , b) m « 7 , c) m • -4 , d) m ■ -8
14.a) [2.3476 , 2.3477 ], b) [-5.3255 . -5.3254 ]
15. i i 1) (2.3)(4) < ab < (2.4)(6) . 1v) (2.3)/6 < a/b < (2.4)/4 ,
16. a) x - 3 , b) « , c) [1. 10> , d) [7, «■>
17. a) <1, »> , b) <-«■ . -6> U <-3. 2> U <2, ->
c) <-6, -3> , d) < — , -6> U [-3, »> , e) <-1, 1> - { 0 },
f) [-2. -1> . g) < — , -1] U [0, 1] , h) <-5, -4> U <-3, »>
18. a) NO, SÍ ; b) IR , 19. k • 1 , x2 « -2
20. 8x2 + 2x - 15 - 0 , 21. A > 0 : <-», 0] U [8, »>
22. x * 3 , 23. A < 0 : <-4, 4> . 24. x = (a - l)2
25. a, b y c . 26. <-2, 1> U { -4 } . b) <-3. -1] U <2, »>
88 Números Reales Cap. 3
27. (c) solamente . 28. <5/2, ■»> , 29. (a) y (b) solamente ,
30. a) < — . -5>U [2, »> . b) [-1. 5/2> , c) <2, 3> .
d) [5. 6> , e) <1. 2> , f) [0, 2> .
31. x = 0 , 32. A = 0 , m e { 3 , 5 } , 33. A - 12 , 34. k » 1/3
35. a) <-5, -2>U [1, »> . b) <5, 6> , c) <-10, »> - {-2 } ,
d) <-l,-l/3> U <1/2, 2> , e) <-», 1> , f) x - 1 .
36. a) <-», -2> U <2, ■»> , b) <-», -í] uH } >
c) <-■», -4> U <-4, -3> U <2. 4> U < 4 , « > , d.)
37.a) <-2, <*> , b) <■«, 0>U<1, ■> . c) <-2, 0> U < 0, ■»> ,
d) <2, “> ; 38. a) <-5/2, 4> - { -1 . -1/2) ,
38. b) <2, 3>U<4, 6> , c) < — , -1> U <0, 1> . d) <-4, 6] ,
e) <-», -4> U { -2 } U <-1/2, 0> U <0, 1] . f) < — , -1] U [3, 4>
39. a) <— , 4> , b) < — , 6> , c) < — , -4> U [1/2, 2> ,
d) <-2, 2> U <7/2, «■> , e) <-», -3/2> U <0, 7/6> U <2, »>
40. A = <-1/2, 0> U < 0 ) U <0, 1/2> - <-1/2 , 1/2> .
41. a) [-1, 1> U { 2 } U [15, 27>
a) ( <-9, -1] U <1. 15]) - {3,-8}
c) <-1, 1> U<15, 27>
d) ( <-9. -1> U<1, 15> ) - { 2.3,-*}
42. a) [-25, -2] U <-1, 1> U { 25 )
b) ( {-25 ) U [-2, -1> U <1. 25] U { -4 } ) - { 2 }
c) ( <-25. -2> U <-1, 1> ) - {-4 )
d) ( <-2, -1> U < 1, 25 > ) — {2 }
43. a) [0, 4] , b) <T-3, 1> U [4, 5] . c) <-3, 1> U [4, 5] ,
d) x * 5 , e) <->», 1] U < 5, ■»> , f) [2, »>
44. a) [-4, -1] U { 4 ) , b) <-5, -2] U [4, 5> ,
c) <-5, -2] U [4, 5> .
45. a) A = <— , 0] , bj A - <0, fe] , c) A = [-5/3, »>
d) A - <0, 3> . e) A - [-5/3, 0> U <0, 3> .
47. <-» . -1 - /3> U <-1 +/3, 1> U <1, 2> U<2, «> .
48. 1DP/11 , 49. k e <-“ , 0] U [8, » > , 51. m e <-4, 4> .
52. -{1/a) / a 2 - 4ac , 53. (32/25) .
54. Sean a > 0 , b > 0 , I “ < 7 » -— — )> t ♦ . Probar que /Z e I .
N b a + b '
ib cuál de los dos extremos de I está Jz más próximo ?
Cap. 3 Números Reales 89
7. VALOR ABSOLUTO
Dentro del Sistema le los Números Reales se define
el VALOR ABSOLUTO de un número real x como sigue :
, si x > 0
Aquí se ha demostrado que un valor absoluto |x | a¡ mpne. > 0 (nun­
ca resulta un valor negativo.)
PRUEBA.- (1) Ya fue demostrado.
(2) ( = > ) Con la hipótesis | x | « 0 , supongamos que x f 0 , enton
ces: x > 0 6 x < 0 ,
■i) si x > 0 ==»■ |x | ■ x > 0 | x | > 0 (absurdo)
■U) si x < 0 = > | x | ■ - x >0 = ■ | x | > 0 (absurdo) >
luego, la suposición x f 0 no procede, y por lo tanto x • 0 .
( « = ) Si x » 0 entonces |x| ■ 0 por definición .
CJEMPL2?.- a) |3 | - 3 , |0| - 0 ,
b) | -5 | “ -(-5) [pues -5 < 0 ] » 5 .
A continuación presentaremos algunas propiedades del VALOR ABSOLU 
TO , y que serán muy útiles en la resolución de problemas.
si x - 0 
s1 x < 0
De la última linea se tiene que
t < 0 < = > - x > 0 = » 1* 1“ - x > 0
Además, x > 0 =s> | x | « x ==» | x | > 0
x ■ 0 | x | * 0 (por definición)
- (1) 
. ( 2) 
- (3)
DEFINICION EQUIVALEN
TEOREMA.- 1) | x | > 0 , V x c I R
2) | x | - 0 «==» x = 0
( x , si x > 0
- x , si x < 0
V x c IR
Propi papes del Va l o r Ab s uLuto
9C Numeros Reales Cap.3
I) |-*l * 1*1 • 2) I** 1 ■ M U I
2') | x2 | * x2 (pues x2 > 0 , paJUL todo x e R )
3) SI b > 0 , 1*1 - b < = * x » i b .
4) 1*1 - \ y \ «=*■ x - i y [<--— ■• x • y v x - - y ]
5) 1*1 2 * - 1*1 * -x , V x c R .
6) 1 * + y 1 i 1*1 * \ y \ .. DESIGUALDAD TRIANGULAR.
7)
oAlN<✓) [ a < z - ( -a ) £ z ] = • I a | <
8)
A|1M 1*1 - H |
P R U E B A 1) Considere los casos: x > 0 , x ■ 0 , t < 0 .
2) i) x > 0, y > 0 = ► xy > 0 =*• \xy\- xy • (x)(y) = |t| | y\
11) x > 0 , y < 0 ==> xy < 0 = * \xy\- -(*!/) - (x)(-y) = |x| | y\
111) t < 0, y > 0 ; 1v) x < 0 , y < 0 . [EJERCICIOS]
3) Dado b > 0 , ( -==> ) i) SI x > 0 , entonces |x| » x , luego
| x | - b = » x » b , 
v if) Si x < 0 , entonces |x| • -x , luego
| x | = b ==» -x = b =s> x « -b .
( < = ) 1) Si x * b > 0 = » | x | = b ,
v ii) Si x » -b < 0 =s> | x| « -x = b .
4) Como 1 x | > 0 . |y| > 0 , entonces1 * 1 * \y\ « = * l * l 2 - U I 2 1 * 1 1 * 1 - \y\\y\
de [2]: |xx| = \yy\ <*=* |x2| - | y2 \
-:> x2 * y2 <-=-> x « ± y .
5) a) Si x > 0 ==► -x < 0 = » I x I - x ~ |x| > 0 > -x
= » | x | > x ~ | x | > -x .
b) Si x < 0 = > -x > 0 ==► | x 1 » -x - | x | > 0 > x
= > 1 x | > -x - | x | > x .
6) | x + y |2 - (x + y)2 (de [2']) * x2 + 2xy * y2
< x2 + 2 ¡ xy | + y2 « | x|2 + 2 |x||y | + \y |2
- (1*1 + \ y \ ) 2
= > |x + y|2 < (|x| + \y\ )2 = > I x + ¡/1 < |x| + |i/| ,
por el TEOREMA I (píg. 59) y la NOTA de la pSgina 60.
Cap.3 Números Reales 91
7) Demostraremos que si z > 0 , entonces
( a i z ~ -a í z ) = > |a| i z :
i) si a > 0 , | a | = a y z > a = |a[ = » z > |a |
o ii) si a < 0 , |a | « -a y z > -a = |a| ==> z > {a |
8) | x| = | y + (x- y) | < | y | + | x - y \ .. por [6]
==* 1*1 - líl S | x - y | .. (a )
\y\ = | x + (y-x) | < | x | + | y - x | - |x| + | x - y | = >
Ifril- |x| < | x - y | = » -( 1 x | - | y | ) < | x - y \ .. (6)
3e (a) , ( B ) y [7] : | | x | - | y | | < | x - y \ .
APLICACION DE LAS PROPIEDADES.-
PROBLEMA.- Demostrar que: * < y < z ==> \y\ < |x| + |z| .
SOLUCION.- ) < z < |z | < |z | + | x | = > y < |z| + | x| .. (a)
-z < -y < -x < | X | < |x | + |z 1 =s> -y < |x| + |z | (6)
así, de (a) , (6) y [7] : \y\ < |x| + |z|
PROBLEMA.- Demostrar que: V x e R - {O } : I x + * I - ̂ ■
SOLUCION: a) Si x > 0 , entonces 1/x > 0 , x + (1/x) > 0 .. (*)
(/x - -4 )2 > 0 < = • t - 2 + i > 0 <==> x + i > 2
/x x x
« = > | x + ^ | > 2 , por (*)
b) Si x < 0 = > -x > 0 , 1/x < O , x (1/x) < 0 .. (**)
( « )2 > o o = * (-x) - 2 * » ■ o «= *
/-x i-x;
_(x + I) > 2 <=s> | x + I | > 2 , por (**)
Por lo tanto, V x e R - { 0 } : |x + (1/x) | > 2 .
PROBLEMA.- Demostrar que: |x| + \ y\ = 0 «=» x = 0 - y - X) .
SOLUCION: ( < = ) Obvio.
( ==» ) |x| + \y\ ■= 0 = > 0 < |x| = -\y\ < 0 (*)
= > 0 < \x | < 0 = » | x| = 0 ==» x = 0 =^=» y = 0 .
PROBLEMA.- ¿CuSles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? :
92 Números Reales Cap. 3
a) { x , y ) c R . | x | + | y | * I * + V I c==5, *•/ - 0
b) { a , b } c R - { 0 } . j —
--- > 0 « = > ab < 0
b
SOLUCION:
«) I* I + \y I * I * + y I (1*1 + Ivl )2 * (*+ y ) 2
« = » x2 * 2 \ x\\y \ + y 2 = x2 + 2xy + y2
«==*• 2 |x| \y | = 2 xy «= » |xy| = xy
xy = | xy | > 0 . Por lo tanto (a) es verdadera.
b) -=• > o -34 b > o « = ~ - ( n )b > o
b bz
( Va )b < 0 < = > V a 2 ( Va b) < ( V a 2 )• 0 » 0 <-=» ab < 0
Por lo tanto, también (b) es verdadera.
PROBLEMA.- Demostrar que:
1) | x | < r PARA TOVO r > 0 = > x » 0
2) { a, b, c, d } c R
==» a4 + b4 + c’ + d4 > 4 1 abcd |
SOLUCION:
1) Supongamos que x i- 0 , entonces | x| > 0 , luego | x|/2 > 0 . Como
el dato afirma que "PARA T000 r > 0 , | x| < r " , entonces es­
to también se cumpliré en particular para r- = |x|/2 > 0 con lo que 
resulta que 0 < | x| < r •«=» |x| < |x|/Z <==> 2 < 1 ,
lo cual es un ABSURDO. Asi, la suposicifin no procede; luego: x = 0 .
2) Puesto que ( |x| - \y\ )2 > 0 « = • x2 + y2 > Z\xy\ , V x, y (*)
i) haciendo x = a2 , y * b2 en (*): a** + b“* > Z|a2b2|
ii) análogamente resulta que : c* + d** > Z|c2d2|
«=> a4 + b4 + c4 + d4 > 2[(ab)2 ♦ (cd)2] > 2 [ Z | (ab)(cd)| ]
(en la 2da. desigualdad hicimos en (*): x = ab, y « cd ) .
Por lo tanto, a4 + b4 + c4 + d4 > 4 |abcd | .
PROBLEMA.- Demostrar que:
a) { x , </ } c R , x2 * y2 = 1 = > \ x + y | < /2
b) { a, b, c ) c IR - { 0 } =
SUG: Utilizar la propiedad: |x + (1/*)| > 2 , V x i 0 (*)
I be I + |ac I+ 1^ 1 >
1 a 1 1 b 1 ' c 1
Cap. 3 Números Reales 93
SOLUCION: a) Cono (x-y)2 i 0 , entonces 2xy < x ’ + y2
2xy < 1 . por el dato. AdemSs:
| * + y}2 - (x + y)2 ■ x2 + 2*y + y2 “ 1 f Ixy < 1 + 1 - 2 
| x + y |2 < 2 ==» | * + y | < /2 .
b) La expresifin S de la Izquierda se convierte sucesivamente en:
| b K | f i * m Al+ |b| 2 + I f l ■ • ( 1 )
l ' U l í i - m > * I t I * |d 2 * l ? l .. (2)
i - i « l 5 H 5 1 > * í ¡ » |a|2 ♦ 1 * 1 - ■ 0 )
Sumando las tres desigualdades:
3S > 2( |a| + |b| + |c| ) + S > 2 |a * b + c| + S
= > 2S > 2 |a + b + c | = » S > | a + b + c | .
PROBLEMA.- Si a. b y c son números reales distintos de cero, demos -
trar que: g 1 1 1
| a| + |b| + |c | ‘ M + jb] +
SOLUCION: Previamente se tiene que: V * , y t 0 :
( 1*1 + \y\ )( 7^7 + T~7 ) “ 2 + I*, I + I ~\ - 4 • usando el hecho
1*1 \y\ ' y 1 1
que |z + (1/z) | > 2 , para todo z / 0 . Luego,
( M + IM+lcIM-j^j- + + 1~F ) ■
(|-l*|b|)( ~ + i ) + ( + j^| ) + ( + \*\ ) + i >
|a| |b| Ia I I c | |b| |c|
> 4 + 2 + 2 + l » 9 . Por lo tanto,
9 1 1 1+ -- +
M + |b|+|c| Ia I |b| I c |
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS.-
1. Demostrar que: a) | a/b | « |a|/|b| c) | a - b | * | b - a |
b) I U I - |b|| < |a + b| , d) | a - b | < | a| + | b|
e) |a - b | < t b = > | a| > (1 - t)| b| . donde 0 < t < 1
f) |a - c| < |a - b| + |b - c | + |c| .
94 Números Reales Cap. 3
2. Oemostrar que: | |x | - \y | | < / \ x2 -
SUG: Probar: | |x| - | y \ | < | y - x | ~ | |x| - \y\] <|i/+x|
3. Probar que: a) | a| + | b| « |a - b | <— > ab < 0
b) | a| + | b| > 2 /faj" /|b[
4. Dados los números reales a, b, c, demostrar que:
(| a | + |b| + |c| )( a2 + b2 + c2) i 9 |aLc|
SUG: i) SI alguno de ellos es cero, la relacifin se cumple.
il) Si a, b y c son todos diferentes de cero, entonces abe f
0. Utilizar el Problema resuelto de la pSgina anterior y el
hecho que: a2 + c2 > 2 |ac| , a2 + b2 > 2 |ab| ,
b2 + c2 > 2 |be | = > a2 + b2 + c2 > |ab| + | ac | + J tc| .
7.1 TEOREMAS RELATIVOS A ECUACIONES E INECUACIONES.-
(2) ( =*> ) |x| > 0 ~ |x| < b ==* 0 < |x | < b ==* b > 0 ;
AaemSs, de .a Propiedad [5] y del dato |x| < b
x < | x | £ b ~ -x < | x | < b ==i> x < b ~ - x < b
-- > x < b ~ x > -b ---> -b < x < b .
( < = ) De los datos y la Propiedad [7] : b > x ~ -b < x ==>
x < b ~ -x < b = » | x | < b , pues b > 0 .
(3) ( = & ) Por TRIC010MIA: x > 0 6 x < 0 :
¿) SI x i 0 , entonces: |x | i b = > x i b ,
6 íá.) sí x < 0 : - x » | x | i b =*■ -x > b ==> x < -b
( « = ) Para x > 0 , y del dato: -completar-
[ x > b ] , y como | x| = x =s- |*| > b .
El CASO: x < 0 queda como EJERCICIO para el estudiante.
Cap .3 Números Reales 95
2 . 2 x < y7.2 Teorema.- |x| < |</| «==*
7.3 NOTA.- De estos dos TEOREMAS se obtienen resultados análogos como:
TEOREMA II . l) 1V 2 2 x < y ..
2) 1* 1 < b « [ b > 0 ~ ( -b < x < b )]
3) |x| > b « [ (. x > b ) v ( x < -b ) ]
7.4 NOTA.- Recordemos que en estos dos TEOREMAS, cada vez que aparece:
í ) un símbolo v indicará UNION de las correspondientes
soluciones, mientras que:
¿i) un símbolo ~ indicará INTERSECCION.
7.5 COROLARIO. Para todo x REAL : 
Pues si fuese:
/ ? - 1*7
se cometerían muchos errores como por ejem­
plo / (-2)2 = -2 , lo cual es un ABSURDO, pues se está indicando expH
citamente la raíz positiva como se había indicado anteriormente, ye -
lio se consigue con el Valor Absoluto.
APLICACIONES DEL TEOREMA I (l)
7.6 EJERCICIO.- Resolver: a) I 2x - 3 I = 15 , b) | 3* - 12 | - 0 ,
c) | 6x + 3 | = | 18 + x | , d) | x + 1| * -4
e) |2x - 3 | = |5 - 2x |
SOLUCION:
a) 2x - 3 = i 15 <=*> ( 2x - 3 - 15 ) v ( 2x - 3 = -15 )
« = » x = 9 v x = -6
b) | 3x - 121 = 0 ■ = > 3x - 12 = 0 «= > x = 4
c) | 6x + 3 | = | 18 + x | 6x + 3 = i (18 + x) e = o
6x + 3 = 18 + x v 6x + 3 = -(18 + x) <=*■ x e { 3 , - 3 } .
d) Como un valor absoluto nunca puede ¿eA negativo , entonces no hay solu­
ción. Luego, C.S. = $ .
e) | 2x - 3 | = | 5 - 2x | <==• 2x - 3 = i (5 - 2x) <= •
2x - 3 « 5 - 2x v 2x - 3 ' -(5 - 2x) <=•
[ ( x = 2 ) v ( -3 = -5 FALSO )] x = 2 .
-96- Nümeros Reales Cap. 3
7.7 EJERCICIO.- Resolver:
a) | 2* + 9 1 * x - 1 . c) | 4x - 23 | ■ x - t .
b) | x + 6| - 2x + 6 , d) | 2x - 3 | - 5 - 2x .
SOLUCION:
a) |2x + 9| ■ x - 1 [ x-1 > 0 « { 2x + 9 - i (x - 1) )]
<==• [ x > 1 - ( x — 10 v x - -8/3 )]
* e [1. “> O (-10. -8/3 } - 4> (NO HAY SOLUCION)
b) |x + 6| = 2x + 6 <— > [2x + 6 i 0 ~ x + 6 * ± (2x + 6) ]
< = > [ x > - 3 ~ ( x * 0 v x ■ - 4 ) ]
> = > x e [-3, “> fl { -4 . 0 } - {0} <= > x - 0 .
c) | 4x - 23 | - x - 2 « = > [ x - 2 > 0 » 4x - 23 - ± (x - 2) ]<̂ =̂ > [ x > 2 - ( x « 7 v * - 5 ) ]
'■ x e [2, fl { 5, 7 } * { 5 , 7 } <— => x =■ 5 v x ■ 7 .
d) |2x-3| - 5-2* [ 5-2x > 0 - 2x - 3 - i (5 - 2») ]
* £ 5/2 » [ * - 2 v (-3 - -5 FALSO)]
x c <-“ . 5/2] O { 2 } <==• x - 2 .
7.8 NOTA Como se puede observar en estos problemas del tipo: | a| • b,
la condicifin b > 0 proporciona precisamente el Universo 
U con el que se intersectan al final las soluciones halla­
das al efectuar las operaciones subsiguientes.
2 I 2 i
7.9 Ejercicio.- si a1 - { x e r / — -— I - -■ ~ 161 }
* - 2 I x - 4
hallar A - A’ .
SOLUCION: Universo U: x _ 4 > o - x ¿ 2 ==> U - <4, ■»>
: x-4 ■ |x-4|, y por lo tanto, en U :
(x - 4)(x + 4) | x + 4 | =*> x2 - | x — 21 | x + 41
* - 2 I I x - 4
[ y como -4 < 2 < 4 < x =«> x-2 > 0 , x + 4 > 0] <— >
x2 - (x-2)(x + 4) < = » x2 « x2 + 2x - 8 <=s> x = 4 , pero
como x ■ 4 4 U , entonces NO HAY SOLUCION REAL. Luego,
A 1 * ♦ , A « R , y A - A 1 * A f l A « A = R * .
7.10 EJERCICIO.- Resolver: | X + ® J < 6 .
Cap.3 Números Reales 97
SOLUCION: -6 < x + - < 6 « « -6 < x + - - * + - < 6
X X X
x2 - 6x 8 _ .> 0 - --------- < 0x x
(x + 4)(x + 2) > 0 ̂ (» - 4)(x - 2) < 0
X ~ X
* e ([-4, -2] U <0. <■>> ) n ( <-» , 0> U [2. 4] )
* e [-4, -2] U [2, 4] = C.S.
7.11 EJERCICIO.- Demostrar que: ¥ x e IR - {0} : | x + | > 2 .
SOLUCION: , , ,
x + - > 2 <=s> x + - > 2 v x + - < -2
I X ■ X X
x2 + 2x + 1> 0 v ---- — -- < 0
X X
— i U L Ü f > o v <» ^ l)2 < o
X X
«=s> { -̂ > 0 v x ' l ) v Í - ^ Í O v x = -1 )
<=:> x e < 0, <=> U . 0> < 1 x e IR - { 0 } .
APLICACIONES DE LOS TEOREMAS 1-2 Y I1-2 :
1-2): |x | í b < = > b > 0 - - b í x í b .
11-2): |x | < b «==> b > 0 * - b < x < b .
En 1-2 la condición b » 0 [asf como en I1-2: b > 0 ] proporciona
el UNIVERSO U con el que se intersectarSn al final las soluciones de la 
relación -b < x < b [ y en el caso de 11-2: -b < x < b ] .
7.12 EJERCICIO.- Resolver:
\ I * + 1 I * ' 2a) --- - < --- - . b)I x - 2 I x + 3
x - 16 
x - 3
+ 8<* * *) « o
9 - x2
SOLUCION:
a) U : > 0 «==s> U * <-», -3> U <2, »> .
x + 3 x N
Resolviendo por separado las desigualdades de la cadena
x ~ 2 x + 1 x - 2- ( ---- ) < ---- < ( ---- ) , e intersectSndolas
x + 3 x - 2 x + 3
98 Números Reales Cap. 3
se obtienen los x tales que:
x e ( <-», -3> ü <2. -> ) fl ( -3> U < 1/8 . 2> ) - <-«> . -3>
Luego, C.S. * <-■» , -3^ (11)« <(-■» , -3> .
*>) En forma equivalente se tiene : 
8(x ♦ 4)U : i 0
(x - 3)(x + 3) 
Observando la inecuaciCn dada: 
1 (x - 4)(x + 4) I < 
x - 3 |
y como x e U =
x2 - 16 t 8(x + 4)
x - 3 ' x2 - 9
x e U - [-4, -3> U <3, »>
__80 + 4)
(x - 3)(x + 3)
x + 4 > 0
(*)
x - 4 
x - 3
8
(x - 3)(x + 3)
por lo tanto, para x e U :
x * - 4
8 8
(x - 3)(x + 3) x - 3 (x- 3)(x + 3)
y resolviendo la cadena de desigualdades se obtiene:
-t)
x¿ -x- ‘
(x - 3)(x + 3)
> 0 [ «-
(x - 3)(x + 3)
-4
> 0
* E < - . -3> U [ ] U <3, ->
j L - < 0 (x - 5)(x + 4) < 0 (x-5)
(x - 3)(x + 3) (x - 3)(x + 3) (x - 3)(x + 3)
[ pues x e U ] v * - . 4 xe -3>U<3, 5]
Por lo tanto, C.S. *= U) D (¿¿) n U ■= [-4, -3> U<3, 5] .
i 0
APLICACIONES DE LOS TEOREMAS 1-3 Y I1-3 :
1-3): |x | > b
11-3): | X I > b
[ x > b v
[ x > b v
x < -b ] .
x < -b ] .
En 1-3 se resuelven las desigualdades x > b y x < -b , y la solu
ci6n general corresponderá a la UNION de ambas. Para el caso II-3 se pro 
cede análogamente.
Cap. 3 Números Reales 99
7.13 Ej e r c i c i o.- Resolver:
a) | x + 6 1 > 2* - 3 . b) | x2 - 4 | > -2* + 4 .
SOLUCION:
(a) «=» (x + 6) > 2x - 3 v (x + 6) < -(2x-3)
x e <-«, 9> U <-». - O - <-“ .9> = C.S. /
(b) x2 -4 > (-2x + 4) v < x2 - 4) < -(-2x + 4) 
x2 + 2x - 8 > 0 v x2 - 2x < 0 
(x + 4)(x - 2) > 0 v x(x - 2) < 0
x e ( <-“ . -4] U [2. -> ) U [0, 2] 
x e > -4 ] U [0, 1 C.S.
7.14 Ej e r c i c i o.- Probar que: I x - 1 I < 2 = » 0 < | 2x - 3 | < 5 .
SOLUCION: | x j | < 2 = * .2 < * - l < 2 =s> -1 < x < 3
==» -2 < 2x < 6 ==» -5 < 2x - 3 < 3 .. (a)
=s> 0 < | 2x-3| < 5
En efecto, pues de (a ) : 2x - 3 < 3 < 5 = > 2x - 3 < 5 .. (1)
AdemSs, de (a): -5 < 2x-3 =s> -(2x-3) < 5 .. (2)
De (1), (2) y de : x < a y -x < a = > |x | < a ,
resulta que 0 < | 2x - 3 | < 5 .
En general, con este mismo procedimiento se prueba el siguiente Teorema.
7.15 Te o r e m a.
a < x < b 0 < | x | < max { |a | , | b | }
donde max I r, s ) ■ el mayor (6 igual) valur entre r y s . Así, 
max { 3 , -5 } * 3 , nax { - 6 , - 6 } = -6 .
X 1x1
7.16 Ejercicio.- Resolver: a) -- ---- > 0 . b) -i— !- < o ,
| x | - 6 x - 5
I - 1.1
SOLUCION:
(a) <=—> [ x > 0 ~ | x | > 6 ] v [ x < 0 ~ | x | < 6 ]
x e { <0, D ( <-=>, -6> U <6, <»)> ) } U ( <-=>, 0> fl <-6, 6> ) 
« = * x e <-6, 0> U <6. -> - C.S.
100 Números Reales Cap. 3
b) | x | > 0 , ¥ x e R - { 0 } , por lo tanto: lxl < Q
x - 5
x - 5 < 0 - x j1 0 <==>
x < 5 x i 0 <==• x e , 0 } U < 0, 5 ̂ .
c) |3x - x2| - |x|
< 0 f( I3x - x2 | < | x] - j x | > 4) 
}( |3x - x2 | > | x| - | x| < 4 )1*1 - «
-j como | a | < | b | < — a2 < b2 , entonces
i) | 3x - x2| < ¡x| « = > (3x - x2)2 < x2
(3x - x2)2 - x2 < 0 <s=> x2(x - 2)(x - 4) < 0 < = *
(x - 2)(x -4) < 0 - x ^ 0 « = » x e <2, 4> ;
1i) | 3x - x2| > | x | x e . 0> U <0, 2> U <4, <»> ;
Por lo tanto, (*) es equivalente a que:
x e {<2. 4> O ( <-■» , -4> U <4, »> ) } U {(<-» , 0> U <0, 2> U
<4, ■»> ) fl <-4, 4> } * <-4, 0> U <0. 2> - C.S.
PROBLEMA.- Hallar en términos de Intervalos el conjunto
X 1*1S - { x e R / -- -— > 0 « = > < 0 ) .
| x | - 6 x - 5
SOLUCION.- Sean
x Ix I
A - { x e R / -- -— > 0 } . B = { x e R / -J-!- < 0 } ,
|xl - 6 x - 5
los que en el problema anterior ya fueron calculados como:
A • <-6, 0> U <6. » > , B» <-» . 0> U <0, 5>
y sean p(x) : x e A , q(x) : x e B , entonces S se puede
expresar como: S = t x e R / p(x) «=s> q(x) } . Además,
p q = (p — q) ~ (q — ► p) = (p « q) v ( ̂ p ~ ^q)
donde p(x) : x t f A = x e A' * -6] U [0, 6]
q(x) : xt fB = x e B' * {0} U [5, . Luego,
p(x) <= > q(x) = x e A D B v x e A* (IB'
= x e <-6. 0> U {.0} U [5. 6] - S
PROBLEMA.- Empleando Intervalos expresar el conjunto:
A = { x e D / |x - 2|2 - 2 |x - 2| - 15 > 0 } .
SOLUCION.- Factoriz.: ( |x - 2|- 5)( |x - 2| + 3) > 0
|x - 2| > 5
Cap. 3 Números Reales 101
(pues I* - 2| +3 >0 . PARA TODO x REAL )
x - 2 > 5 v * — 2 < -5 <=—> x e <-*», -3> U <7, “)> « A .
7.19 EJERCICIO.- Resolveremos: |x-4|-|x-2| < | * - 1 | (*jj
Considerando (*) en los siguientes Universos parcta- 
ês: a) * e Uj - 1> ==> * < 1 < 2 < 4 , entonces : ^
(*) < = > -{* - 4) + (* - 2) < -(*-1) « = • * e <-■», -1] .
SoluciCn (a): Uj fl <-■», -1] ■ , -1] .
b) x e U2 • [ 1 . 2 > = » 1 S * < 2 < 4 , entonces: t
(*) <— > -(x-4) + (x-2) < x-1 « = » x e [3, ■=>
SoluciCn (b): U2 O [3, * 4>
c) * e U3 = [2, 4> = > Solucjjjn (c): [7/3, 4>
d) * e U4 ■ [4, =>> = » SoluciCn (d): [4,
Verificar (c) y (d). Por lo tanto, el CONJUNTO SOLUCION corresponde 
a: x e (a) v ( b ) v (c) v (d)
x e <-» , -1 ] U [ 7/3 , »> - C^S.
TEOREMA III ,
1) a | > | b | (a + b)(a - b) > 0
2) a | < | b | « = > (a + b)(a - b) < 0
La prueba se sigue de: Ia| > | b| a2 > b2 <=
2=̂> a - b2 > 0
7.20 Ej e r c i c i o.- Si A - { x e R / |x2 -3x -6| > 1 6 + *| }
B ■= { x e R / ||x -1| + x | > /-X } .
hallar A1 U B' :
Empleando el TEOREMA III (1) , expresaremos A mediante intervalos :
| x2 - 3x - 6 | > x + 6 | =* (x2 - 2x) (x2 - 4x - 12) > 0 <=
x(x - 2)(x - 6)(x + 2) > 0 * e _A_= -2> U <0, 2> U <6,
CALCULO DE B : Universo U : -x i 0 =s> U = , 0] : luego,
■V x e U , x < 0 = > x - 1 < -l < 0 = ¡> | x - 11 = 1 - x ,
I I X - 1 | + X | > /-X <------------- > | 1 - X + X | > /-X < = > 1 > /-X
< = ■ 1 > -x < = > x > -1 . Asi, B - <(-1, n U = <-1, 0]
Por lo tanto. A* U B' = (A n B)* = 4>' * R = <-=> , “>> .
102 Números Reales Cap. 3
7.21 Ej e r c i c i o .- Resolver: ----- > ---- .. (*)
I 2x - 1 | I x - 2
SOLUCION:
(*) es equivalente a: |5(x-2)| > |2x-l| , pero, para x. t ^ , 2 ;
pues todo valor absoluto es no negativo. Asi, por el TEOREMA III :
' 5x - 10 | > | 2x - 1 | (7x - U)(3x - 9) > 0
' x- ll)(x- 3) > 0 X E <-» , 11/7] U [3, »>
Por lo tanto, C.S. = ( <-«> , 11/7 ] U [ 3, « ° ^ ) - { ^ , 2 )
“ <-" • \ > u < i* n /7 J U [3, -> .
7.22 Ej e r c i c i o .- Resolveremos | x* - 101 < |x2 |2 + 8x2
Como | x2 |2 + 8x2 > 0 , PARA TODO x REAL , entonces
| x2 |2 + 8x2 ■ | t* + flx2 | . As!, la inecuación original es equi­
valente a: |x4 . 10| < | x4 + 8x21 «=> (2x4 + 8x2 -10)(-10-8x7) < 0
(x* + 4x2 -5)(4x2 + 5) > 0 (x2 + 5}(x2 - l)(4x2 + 5) > 0
< = > x2 - 1 > 0 x2 > 1 [ x > 1 v x < -1 ]
•:--••• x e , -1 ] U [ 1, °°> ■ C.S.
7.23 Ej e r c i c i o .- rtesolver:
t 12 + A T T > 0
/ |x + 2| + 1 |x — 11 +4|x + 2| + 1 |x — 11 +4
La desigualdad es del tipo: V T + /b > 0 <— •• [ a i 0 ~ b >0]
Hallaremos A = { x / a > 0 } , B ■ { x / b > 0 } , y la solución
general corresponderé a A fl B :
B : 9 - x > 0 « = » x < 9 B = <-» , 9 ]
x| |x| - 11 - 12 | | x - 11 - 3 |A; a > 0 <=> —L!_!-- !---- > U ---- !---- .. (*)
| x+2| + 1 | x- 1| +4
11 k - 1 I - 3 | < [ » l l - l - ' l - 18 II I - 1 ' * - 1 ..
1 1 |x + 2| + 1
Universo U: x|[x|-l|-12 > 0 < = o x | |x| - 11 > 12 ( donde
x = 0 no es solución) - x > 0 - |x-l|> — — — x e
x
x - 1 > (12/x)
-(12/x) ]
f x- 1 > (1
E < * ’ ” > “ [ v l x - 1 < - (
Cap. 3 Números Reales 103
Como
<
xz - « - 12 > O
xl - « + 12
( pues xz - x ♦ 12 - (x - |)2 ♦ ^ > O . ¥ x e R )
Por lo tanto» para x > O :
| x - 1 | > ^ «==> x e fl [4,«d > - [4. co> - U
Ahora, x e ü ■ [4,co> = » x > 4 > l > 0 > - 2 , entonces
(«, (x . 4) <
(x ♦ 3)
s : (x - 4) < (x2 - x - 12) , pues x ♦ 3 > O en U T
<==» (x - 4) < (x - 4)(x ♦ 3) e : (x - 4){x ♦ 2) > O
<=■=> * e ( <-» , -2] ü [4,cb> ) 0 ü - [4.»> • A
Soiuclón General : AflB • [4, 9]
PROBLEMA .- Expresar en términos de Intervalos el conjunto definido por
< O
(x - 4)(x + 3) > „
X
- I
r
/
í x - 2
|x- 21 ♦ 1 
í il e R / y
|x - 2| ♦ 1 '
1) Sea xe Sj ■ <-*» , 2> : |x - 2| - 2 - x , x < 2 ,
x c R }
(*)
x - 2 < O
(**) 
< O
- 3 - x — x ■ f f r < 2 • * r í#) ■ ” y ♦ i
« = » y c <-1, 0> . Por lo tanto Aj - <-1, 0> .
11) Sea u Sj ■ [2,«»> : | x - 2 1 * x - 2 , x > 2
» ■ 7 T T * ■ f r \ >- 2 P°r <**>• 7 ? T
<=-— > y e [O, O . Por lo tanto Aj ■ [O, 1>
Luego. Id soluclOn es A - Aj U A2 - <-1, 1> .
PROBLEMA Expresar en términos 4e Intervalos el conjunto definido por
* ' { j e R / y m | x2 - 4 | , x e <-4, 5> }
SOLUCION .- x e <-4, 5> = > O < x2 < 25 = > -4 < x2 - 4 < 21
O < | x2 - 4 | < 21 O < y » | x2 - 4 | < 21 A - [0. 21>.
Propiedades del VALOR ABSOLUTO (Adicionales)
Dado a > 0 , las relaciones siguientes :
104 Números Reales Cap. 3
*.) z e [-a, a] « = > |z | < a
■U) z t <-a, a] c [-a. a]
¿U) z e [-a, a> c [-a, a]
-tu) z e <-a. 0> U <0, a> c <-a, a>
'nplican las siguiente;: propiedades:
1, ¥ a > 0 : -a < z < a =s> | z | < a
2) ¥ a > 0 : -a £ z < a =s> | z| £ a
3) V a > 0 : 0 < |z| < a = > | z| < a
SI |a | i | b | , y si | b | • max { | a| , | b| } , entonces
como J, a| < | b | , las relaciones
-|b 1 < ( b < z < a ) < | a | < | b | < |b|
-1 b 1 < -| a| £ (a < z < b) £|b|
se seguirán cumpliendo si es que DENTRO DE LOS PARENTESIS se reemplaza < 
por £ en uno de los dos símbolos < 6 en ambos.
A partir de estas relaciones se tienen las siguientes propiedades:
Si |a | < IM es decir, |b| -
I) a < z < b = * 1* < ]b|
II) b < z < a ==» 1* < M
III) a < z < b ==» 1* £ 1 b |
IV) b £ z < a ==» 1* i |b|
V) a < z < b ==» 1* < |b|
VI) b < z < i ==> 1* < |b|
B) Si a y b tienen signos diferentes, entonces
a < z < b = í> 0 £ z2 < max { |a |2 , |b|2 } ,
con las debidas modificaciones para cuando aparece el símbolo > .
C) V b > 0 : z < b ==>
OAl
ÍNN
0)
OV* z < b ==* z2 > b2
E)
OVja> b < z — z2 > 0
7.27 Ej e m p l o s .- 1) -8 < z < -6 ==> 1 z 1 < 8
2) -3 £ Z < 4 = > |z| < 4
3) 2 £ Z < 5 = > 2 £ |z| < 5
4) -10 £ Z < -3 = > 3 < |z| £ 10
5) -9 < z < 4 = >
ooVI
CNNJVIo
6) -5 £ Z < 6 ==> 0 £ z2 < 36
7) z < 2 = ~ z2 2 0
8) z > -6 =^> z2 2 0
Cap. 3 Números Reales 105
9)
10)
z < -7 =
-5 < z < 4
z¿ > 49
> 0 < z* < 25
7.28 EJERCICIO.- Expresar en términos de intervalos el conjunto
/ x e <-3, 3 ] ) .
I x - 2
A = { 1 + --
SOLUCION:
y-1 =
A = { y / r n
x - 2 i- -L-
x + 4
<• 1 ---
x + 4
1 £ y x Av X
-5 < 1- -J- < 1
x + 4 7
y-1 e [0, 5>
I x + 4
x- 2 I 
x + 4
/
I <
.. (*) . Como -3 < x < 3
-i- < 1 < = ^ -6 < 
x + 4
0 < 1
x + 4
y e [ 1, 6> = A .
7.29 EJERCICIO.- Expresar A mediante intervalos:
< 5
< A
x + 4 _ 7
=> (*)
* ■ ' 1̂ X E < 1, 4 ] } .
SOLUCION: Para la expresión y = | x2 - 4 | / | 2x | , resolveremos el pro­
blema separando el intervalo < 1, 4] en 2 partes, una tal 
que y > 0 y la otra para y < 0 . Al final reuniremos a.nbos resulta- 
dos para y : x2. 4 (x-2)(x + 2) >
> 0 > 0
2x x
X E [-2, 0> U [2, »> .
Análogamente: (x2 - 4)/(2v ) < 0 « = > x e <-“ , -2> U < 0, 2> .
Por lo tanto, separando < 1 . 4 ] * <1, U [2, 4] :
i) V x e <1, 2> : (x2 - 4)/(2x) < 0 , entonces y= -(--- -)
2x
< = > x2 + 2xi/ -4 = 0 < = » 1 < x = - y t /y 2 + 4 < 2 ,
y que al resolver para y se obtiene y e < 0 , 3/2> .
ii) ¥ x e [2, 4] : (x2 -4)/(2x) > 0 , entonces y - 1
-----=> x2 - 2xy -4 = 0 < » 2 < x = ¡/ + / y2 + 4 < 4 ,
y que al resolver para y se obtiene: y e [0, 3/2] . (Verificar)
Por lo tanto, A * < 0 , 3/2> U [0, 3/2] = [0, 3/2] .
2x
7.30 PROPIEDADES ADICIONALES .-
Es fScil demostrar que
106 Números Reales Cap. 3
[ - |a| < x < ¡b| - - 1 c| < y < |d| ] = - m < (xy) < M
donde M = max { |ac | , | bd | } , (verticalmente)
m *= mUt { -1 ad | , -1 be | } , (en cruz)
Y en caso de aparecer el símbolo < en algún lugar, entonces en (*]
'ruebar. con los extremos para ver si deben incluirse o no.
7 30 Ej e m p l o s.-
1) [ -3 * x < 5 - -4 < y < 6 ] ==» -20 < xy <30
pues -20 ■ min { -18 , -20 } , y 30 » max { 30 , 12 }
t1 extremo 30 no se Incluye i>ues ello se harta para x « 5 
y - 6 , pero este último valor no estS incluido en los datos.
2) [ -6 < x < 4 - -7 < y < 6 ] = > -36 < xy <42
3) [ -1 < x < 1 ~ -5 < y < 4 ] = > -5 < xy < 5
4) [ -8 < x í 4 - -6 < y í 5 ] = > -40 < xy <48
Asimismo, también se puede demostrar que:
II) [ 0 < x < | b | ~ — | c 1 < y < | d | ] = » - | be | < xy
III) [ |a¡ < x < | b | - -|c | < y < |d| J = > -|bc | < xy
IV) L |a| < x < | b | -| c| < y < -| dy = > - |bc | < xy
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS.-
1. Resolver: a) |x-2| » 5, b) | x2 - 2/2 x + 2 | » 18
c) | x + 4 | « 2x - 6 . I xjj I . 3
d) | 3x - 1 | - | Fx - 15 | I x + 4 I
e) | x+3| - I 2x + 3 1 h) I I - -
f) I x - 4 | - | x + 2 | 1 X‘ 1
i) I |*f - 1 | - x | « x j) | x - 2 | • - |x|2 + 4
2. Resolver: a) |x _ 2 | < l f e) |2x. 3| < |x + 6|
b) |2x + 3| < 5 f) 1 < 12x + 5 I < 9
c) |6-3x| < 2 7 g) 2 < |x-6| < 12
d) |2x - 5| > 3 h) |x2 + 2x - 4| > 4
i) 1 ^ 1 * 1
SUG: (i) « = * I 2x - 5 I > | x - 4 | « x ¿ 4
--(*)
se
Además 
y para
< N I
< I bd I 
< -|ad I
Cap. 3 Números Reales 107
1 3 1 < I _ L i
1 4x+ 1 1 * + 1 í
3. Resolver:
a) |x+8| < |x-6 | e)
b) | 3x | > 112-3*1 x
c) | 3x + 4 | < x f) | — I > 1
d) | 3x - 9 | < x + 1 | 4 - 6x | 1
9) > —x + 3 I “ 2 /
SUG: (e) 13(x + 1) | < | 4x+11 - x t -1 . x i -1/4 ..
J
/
Resolver: a) 13x3 - 2x2 - 7*-2 | > | x3 + 6x2 - 9x - 14 |
b) 110 - 3x ♦ x21 i 1*2 ♦ x - 6 |
c) 1x - 6 | - 1* " 31 < |*-1 |
d) [|x-l| + x - 2| ]■[ 11 - x | - 12 - x | ] < ✓ ’
e) 12x2 + x - 1 < | 2x2 - x - 11 .
Resolver: a) I x - 212 > 4 , b) 1 < |2x-3| < 3x
c) 11 x ♦ 11 - l*l| ♦ |2x- 3 1 > 2x ♦ 4
d)
r ¿ i
> - . SUG: (d) 
2 --
«=*■ | 2x + 6 | > | 2x - 6 |
e)
x2 - 6x + 7 1 c 2 
x- 1 1 < x - 1 0 |l*l - 1 *-3|| < 1-
Resolver: * \ _ x2 - 4 < x + 10
#) 1
OHtrt 2
k\ x2 - 4 < lì . x-1 ^ 2xb)
x + 3 | * 2 |x-¿| ' x+2
Resolver:
A1 < 11Ä r\ I 3|x| - x I f 1
-c + 4 _ x- 6
W 1 X + 1 1 X + 1
b)
1 x - 61
> -1 d)
| x |3 - 4x2 - 4 | x | +16
6-|x| 1*1 ♦ 1
e) / t x + 2 | -3 + / b- 1 4-x | > 0
f) A = { x e IR / ; v- - > 2 = > — < 0 }
| x | - 3 x - 4
g) I x - 3 |3 + 2(x-3)2 - 5 |x - 3| - 6 $ Q
(x + 2)2 - 21x + 2 | - 24
h) /|x-l| - 1 + A - | x- 1 | < / 2 | x - 11 +5
108 Números Reales Cap. 3
i) [ /|x- 1| -3 - A - |x-4 | ][/|x- 1| -3 + A-|x-4|] < |x|- 6 
j) |1* + 4| + (* + 5) | > /-x - 5 . k) 1> — 
X
Demostrar que: a) X 1
b) X 1
c) 1*
d) 1*
e) 0
% f) 0
g) | x- 1 1 < 4 = ~
h) 0 < l X - 1 | < 4
1) |x + 4 | < 2 —
j) 0 < | x + 4 | < 2
1 1 - IM I
1*1 < 7 
| 3x - 51 < 20
6 < x + 4 < 8
I < -1- < I
8 " x + 4 “ 6
1
4x + 6
< 5 = > I x- 1 | < 5
3 | < 1 I SI -
1
l I < ±
✓ x + 4 7 1 35
1 2 1 3
2 + /x + 4 7 1 < 35
- ± 1 < 11
9 1 18
1 1
1 < 44x + 6
9. Hallar el conjunto H sabiendo que H' « A' - (A’ fl B) , donde
A » { a e R / R e s e l CONJ. SOLUC. de: axZ -6x + a2 > 2ax-3x2 -l}
„ , . , | x2 - 2x - 481 [ I *2 - 2* I - |*-12| ] _ ,
B » { x e R / -------------------------------- < 0 I
I x — 2 | - 6
í k + 4b10. SI ̂ x e R / ax + b > x2 } - { x e R / |
hallar la constante A . SUG: Complete cuadrados en: ax + b > x2 .
11. Hallar la Intersección A O B de los siguientes dos conjuntos:
I 1 •
i
l - L - l < 11 x + 1 1 X 2 + 2 x + 1 1X 2 ,
2+1 J x 1
12. Expresar el siguiente conjunto A mediante intervalos:
A - { y e R / y » |(16 - x2)/(6x)| , -5 < x < -3 } .
Cap. J Numeros Reales 109
13. SI a y b tienen signos diferentes , probar que
a < x < b =5> 0 < x2 < míx { | a |2 , | b |2 }
CLAVE DE RESPUESTAS (P5g. 106)
1. a) * e (-3, 7 ) ¡ b) x e { 4 /2 , - 2 / 2 } , c) x » 10 solame/te
í) > t ( 2 , 7 } ¡ e) « e t 0 , -2 ) ; f) x « 1 solamente
g) x e { -2 , -5 } ; h) x e { 2 , 2 /f - 2 }
i) x e { /2 í 1 . 1 } ; j) i-1, Z > ,
2. a) <1 . 3> ; b) <-4. 1> . c) [-7. 11] , d) . 1] U [ V. “>
e) <-1, 9> , f) <-7. -3]U[-2. 2> ; g) <-6, 4> \i óá. 18>
h) . -4> U <-2, 0> U <2, -> ; 1) <-» , 1] U [3. 4>^U <4. »>
3. a) <-»,-l] ; b) <2, »> ; c) $ ; d) <2. 5>
e) <-® , -1> U <-1, -4/7]U[2, ®> ; f) <- - , 0> ü <0, l/2>
g) <-» , -3> U <-3. 5/13]U[ 1. ®>
4. a) <-» , -2> U <3. ®> . b) C«. “ > . c) . -2] U [ 10/3, ->
d) <-» . -1] U [3.->, e) <— , - /2/2> U <0, /f/2>
5. a) <- «° , O ] U [4, “ > , b) [3, “ > , c) <-«• . 0> ,
d) [0, 3>U<3, ->, e) < 1, 3>U<3, 5> , f)
6. a) [-6, 6] ; b) [-1, »> . c) <-2, (5 - /73 )/3]
7. a) <6, -> , b) <-6, 6> . c) <-1/4, l/2> ,d) <-®, -4] U [-2, 2]U[4, ®>
e) [1, 9] . f) A - [-3. 4> . g) <-8, 1]U<4, 5] ,
h) [-3, 0]U [2, 5] . i) [4. 7] , j) <-6.-5] ,
k) Si x < 0 , se cumple para x i -1 : < - “ . -1> U<-1, 0>
S i x > 0 : i) 0 < x < 1 , 6 11) x > l , pues x f 1 :
i) x2 + x - 1 > 0 « = » x e < ( /5 - l)/2, 1>
ii) x2 - x + 1 > 0 e ~ x e < 1, '»y . Por lo tanto, C.S. -
<-» , -1>U<-1, 0>U<{/5 - l)/2, 1> U<1, »>
9. A : V x e IR : (a + 3)x2 - 2(a + 3)x + (a2 + 1) >0
[ (a + 3 - 0) y (a2 + 1 > 0) ] v [ (a + 3 > 0) y (D1SCRIM. A < 0) ];
A = [-3, -1> U<2, ®> , B - {-6} U <-4, -3]U[4, 8> ; M = A U B .
10. A = a2 ; 11. A =<-», -1>U<-1. -1/2 > . B •<-«•, 0> .
A fl B - <- ® , -1> U <-1, -l/2>
12. A * [0, 7/18>
- 110 - Máximo Entero Cap. 3
8 MAXIMO ENTERO
El MAXIMO ENTERO de un número real x , denotado
por I x 1 , es et HAVOR de todoi to¿ númeAoi en
teAoi MENORES, o IGUALES a X :
[[ x I * max l de todos los enteros n tales que n < x }
-2.9 - 1.1 - 0.1 0.9 2»
-4 -3 -2 -1 1
3.2 4.9
17 . 1 I. í. I I ! 1 I
Para calcular este número, se ubican los enteros que se encuentran a la iz­
quierda de x (6 que coincidan con éste, en caso de ser x un entero), y el 
MAYOR de todos ellos es precisamente I x J . As!, por ejemplo,
I 4.9 1 - 4 1 2 1 *
I 3.2 I - 3 [[-0.1 1 ■
II-1.1 I - -2 I -2.9 I ■
I 0.9 1 = 0 I - 4 ] ] “
I n/2 1 * 1 II -/Í2 J tal como en la figura
— t— 
-3-4 -/l2
de donde vemos que H * J toma siempre valores enteros, y si x se en­
cuentra entre dos enteros consecutivos como en figura siguiente
entonces
n x
O----------------
n+1
I x 1 » n <==> n < x < n + 1
c = * x e [n, n + 1>
n 0 Z
-3 , s1 x e [-3, -2>
H x I = -2 , si x e [-2, -1 >
-1 , si X E [-1, 0>
Cap. 3 Números Reales 111
0 , si « £ [0, 1>
II x I ■ 1 > si x e ti. 2>
2 , si x e [2, 3>
8.1 PROPIEDADES DEl MAXIMO ENTERO
1) O I e Z
2) Df«l . n f' ■! [ n c Z ~ n < x < n + l ]
3) O I < * < (11*1 + 1) . PARA TODO x REAL
4) 0 5 x - ttgjt ]) < 1 , PARA TODO x REAL
5) II * XI - x <*=■> x c Z
6) E H x D D - I*]) .
8.2 EJERCICIO.- Resolver: a) I x - U - 4
b) E 1*1 - 2x I - 0 
SOLUCION: a) Haciendo z ■ x-1 :
d x - 1 I - 4 <^=> 4 < * -1 < 5 « = * 5 < * < 6
•»=> * e [5, 6> » C.S
b) d |x| - 2x 1 “ 0 <==> 0 < | x| - 2x < 1
« = » 2x < | *| < 1 + 2x
« = * x e <-1/3, 0] , resolviendo la -ajena
8.3 Ej e r c i c i o.- Resolver:
a) IT ~ X 3) - 2 . b) II ------- I - 0
x 2/x - 1
SOLUCION: c ,
(a) « = * 2 < < 3 •*=«> 5 < - < 6x *
* e < 5/6 , 1 ]
(b) <==> 0 < — ^ — < 1 
2 / x - 1
< = * x t ( { 0 ) U < 1/4. -> ) n [o, 1/4 > - { 0 }
<==> x = 0 (única soluclfin)
8.4 Ej e r c i c i o .- Resolver:
a) I 2x-l I « -3 c) I x2 -2x-3 1 • 1/2
b) E /* + 1 ]) - -1 d) E x2 * 2x - 3 ]) - 0
112 Máxi.no Entero Cap. 3
SOLUCION: (a) -4 < 2* - 1 < -3 -3 < 2x < -2
* e [-3/2, -1>
b) CONJUNTO SOLUCION - 4> . pues ✓* > 0 , ¥ x e U « [0. «> .
=-> / x + 1 > 1 = * tt /t + I J > 1 , ¥ x e U ,
y así [[ /* +1 I nunca seri Igual a -1 .
c) Como todo ([ • ]] es un VALOR ENTERO, entonces la ecuacl&n
H x2 - 2x - 3 ]] • 1/2 no tiene solucifin.
d) I x2 -2x-3 I - 0 - > 0 < x2 -2x-3 < I
0 < (x-I)2 -4 < 1 s > 4 < (x-1)2 < 5
x — 1 e <-/5. -2] U [2. /5> <==» x E < 1 - / 5 . -1] U [3, 1+ /'«> >
8.5 Te o r e m a.- Para todo n e Z : II *•* n I ■ II* I + n .
PRUEBA: Sea d x 1 « k . k e Z . k < x < k + 1 = *
k + n < x< n < (k ♦ 1) + n • (k + n) +1 k‘ < X + n < k‘ + 1
donde k1 - k + n e Z = > E x + n I - k‘ - k + n » I* ]] + n .
8.6 Te o r e m a.- Para todo n e Z :
1) I* i £ n « x < n+1
2) I* i < n x < n
3) II* i > n X > n
4) 11*1 > n II *B > n + 1 X > n+1
PRUEBA: Puesto que para todu x e R , existe un único entero k e Z tal
que x e [k, k + l> y |[i] ■ k < x < k+1 .. (*)
entonces,
1) { = > ) k ■ [[*1 S n - (*) =s> x - 1 < k < n ■=>
x- 1 < n = » x < n+ 1 .
( « = ) x < n +1 =s> B[ x ]] — n S I x l < n (Ex]] < n
2) ( «==> ) Para cualesquiera dos enteros k y n se tiene que:
k < n t : k+1 < n , y por lo tanto :
I x 1 < n < = > I x l < n-1 . y de (1) :
¡ * ; x < (n-1) + 1 ¡ ; x < n .
3) ( = » ) De la hipótesis y (*): n < [ x j • k < * =*► x > n .
( )«==< ) Si x i n entonces existe un enteró k > n tal que
k + 1 > x > k ==> II x ]] « k > n = » ([ x I > n .
Cap. 3 Máximo Entero 113
8.7 EJERCICIO.- Demostrar que: l[2xj - 2 1 x ]] • 0 5 1.
SOLUCION: jea [[ x ]] » k e Z , k < x < k +1
x e [k. k + {I/2)> U [ k + (1/2) . k + l> .
i) SI x e [k, k+(l/2)> entonces II x]] • k ; ademSs ,
k < x < k + (1/2) 2k < 2x < 2k + l =*• [[2x1 - 2k .
Luego. [[2x]]-2[[xJ • (2k) - (2k) « 0 .
t¿) SI x e [k+(l/2), k + 1) ent ces [[x] ■ k ; ademSs ,
k ♦ (1/21 < x < k + 1 ==» 2k + l < 2x < 2k + 2 =*•
[[2x1 “ 2k + 1 . Luego, [[ 2x I - 2 [[ x I « (2k + l) - 2(¿) - 1 .
Por lo tanto.
12x1 - 2 [[ x I C:
8.8 EJERCICIO.- Demostrar que:
II 3xJ
si x e [ k , k + ff/2)> 
si x e [ k ♦ (1/2) . k ♦ 1 >
x e [0, 1/3 > 
x e [1/3, 2/3 > 
x e [2/3, 1> 
x e [1, 4/3 >
La prutfca queda como Ejercicio.
8.9 EJERCICIO.- Demostrar que para todo entero n e Z : 
n < a n < [ s j < a
SOLUCION: por defiricifin. [[ a ]] es el mayor de todos los enteros n ta
les que n < a . Es decir,
[[ a I » max { n c E Z / n„ < a } > n = > ([al > n = >
n < [[aj < i . AdemSs, n < [[ a ]] < a ■=> n < a .
8.10 Ej e r c i c i o.- Resolver:
b) |[-x 1 < 0
a) [[ -x 1 > 0 
. x < 0
ir-x i
SOLUCION: Puesto que [[ -x ]] es un NUMERO ENTERO , entonces
114 Números Reales Cap. 3
a) I - * I > 0 « = > [[ -x I > 1 -x > 1 x < -1
<=s x e . -1 ] .. por [3], píg. 112 .
b) I - x I < 0 <=*=> -x < 0 <==> x > 0 «=» x e <0. .
< o ¡ : (1) v (11) , donde:
II -*I
1) x < 0 - ll-xl > 0 1= ^ i c ( • ■ , 0) » x e <- <»> . -1J
¿por [a] ) x E <- «■> . 0> D <- “ , -1] -1]
11) x > 0 « I- xI < 0 <■=-- x e <0. * > ~ x e <0, «■>>
< => X E <0. ®> ,
SOLUCION (c) : (1) » (11) : x t < - ■ , -1] U <0, • ) .
PROBLEMA ■- Expresar el conjunto S mediante interv¿1os:
S « { x E IR / * < 0 s1 | x | > x }
S0LUC )N: Sean
A - { x e R / rc * < 0 }, 8 ■ { x c J / I* I > « )
En el problema «nterlorya fue calculado A como A » <-«> , -1] U <0, 
CALCULO DE 8 : | x | > x x < 0 v [ x > 0 ~ | x | > x ]
«==> x < 0 v ( x > x ) «==> x e ■> , 0^ U ♦ - ® , 0> ■ 8
Ahora, sean p(x) : x c A , q(x) : x e 8 , entonce.
S « { x e R / p(x) si q(x) ) - { x e IR / q(x) -► p(x) }
- { x e R / ['v-q(x)] v p(x) ) » { x c R / x c B* U A }
« 8‘ U A « [0, “ > U ( <- °> • -1 1 U <0, »> )
“ <- “ . -1 ] U [ 0, «■> .
x ♦ I x|
PROBlEMA Resolver la 1necuac16n: ----------- < 2 .. (a)
-------- 1*1 -
SOLUCION: (a) ^ j j j j L Ü l l < 0 (*j
1*1 - 1 * 1
a) Para x e [0, <»> ■ Ax , (*) se convierte en :
< o ____ 1 , 1 < o .
x - l x l x - I x l
Cap.B Números Reales 115
y coa» [[<]]< x • ¥ x e R . y H x l - x , ¥ x e Z , entonces
- - < 0 [[ x 3 < 0 - x i Z «=»•
* - 1 * 1 x < 1 . x e > - Z
SOLUCION (a): x e <-“ . I> n (R-Z) D At « [0. I> fl (R - Z) « <0, I>
b) Para x e A2 » 0^ x < 0 , | x| » - x :
[[ x I < x =o> [[*1 + * í 2x < 0 ‘ = > [[ x I ♦ x < 0 ,
M x e 0> . Asi, de (a) :
— < 2 < ^ > 0 < 2 
-(* + 11*1)
lo cual es VERDADERO . PARA TODO x e Az • <-• , 0> .
SOLUCION TOTAL : (a) v (b) : x e <-“ , 0> U <0, 1>-».
8.13 EJERCICIO.- Resolver: H / x - H x II ]] » o .
SOLUCION. £omo o < x - f f x l < I . - ¥ x e R . entonces
[[ /x - [I x 1 I - 0 <==> 0 < /x - I x l < 1 «=» 0 < x-ffxl <1
lo cual es VERDADERO, pjra todo x REAL. Asi, C.. » R .
8.14 EJERCICIO.- Encontrar el conjunto de valores que puele tomar:
II 1 . si x e <-2. I ] .
SOLUCION: SI x e <-2, 1 ] . entonces -2 < x < 1
-1 < -x < 2 < = > 1 < 2 - x < 4 <-=» - < ^— 5 < 2 ==*
2 2
[[ --- - ]] » 0 6 1 . Ademís ,
2
I 1 - 0 si | < < I « x e < 0. I]
I 1 - 1 si I < < 2 x e <-2. 0] .
8.15 Ejercicio.- Resolver: II 3* * 2 l < .
x - 1 3
SOLUCION: Equivalentemente,
„■ 3x + 2 „ , . 3x ♦ 2 , 5[[ ----— J] < 4 , y como ----— ■ 3 + ---- , entonces
X - I X - I X - 1
116 Máximo Entero Cap. 3
II II - 3 * |T — II < 4 « = * & -5- I < 1 < = ~X - 1 X - 1 X - 1
-5- < 2 (por el TEOREMA [8.6] (1) ) *■ < 0 «=#►
x- I x- 1
> 0 x e < — . I> U < 7/2, -> - C.S.
x - 1
8.16 EJERCICIO«- Resolver: [[3x1 “ x + 2 .
SOLUCION: u : x + 2 e Z ( <s=» x e Z ) .. (a)
Luego, U » Z (Universo) . dentro del cual resolvemos:
([3x]] “ x + 2 < = > x + 2 < 3x < (x ♦ 2) +1 - x e Z
«==> x > I - x < 3/2 - x e Z
<*=> x e [1. 3/2> n Z * { 1 ) ■ C.S.
Por lo tanto, x ■ 1 es la Cnica solución.
OTRO METODO.-
[[ 3x 1 * x + 2 r * x + 2 » n e Z - n < 3x < n + 1
(y como x * n-2:) n < 3n-6< n + 1 c
2n > 6 - 2n < 7 «==» 3 < n < 7/2 , n e Z
==> n ■ 3 ==> x » n-2 « 1 = > x » 1 .
8.17 EJERCICIO.- Resolver: 1 * 1 > */2 .
SOLUCION: ^ x j > ^ ^ [0. 1 > (i porqu6 ?)
¿i) x e [1, “ y = » x e [n, n + l> , n > 1 , n e Z
= > 1 * 1 ■ » * ; e [ i . .. (*)
n+1 , ___ . , ,y como — — £ n ¡ ' n > 1 , n e Z , entonces cono es
tamos en los n > 1 , de (*) :
í < ül i < n * ([ x 1 « | < I x l , ¥ x e [1. ->
x
jLLL) x e , 0^ : x < - pues x es negativo .. (**) .
Pero x > [[ x 1 > ^ =^> * > f (Contradicción)
Luego, Solución (¿¿c) : ♦ .
Por lo tanto, de (-i), (¿t) y (<-c¿) : SOLUCION GENERAL: x e [1, .
Cap. 3 Números Reales 117
8.19 EJERCICIO.- Resolver: a) n; x2 - 8 i > i . c) II x2 J < 8
b) [[ x2 - 1 I < 22/9 .
SOLUCION: Por ser el MAXIMO ENTERO un entero, entonces :
a) I x2 - « I > 1/3 « = * [[ x2 - 8 I >1 « = » x2 - 8 >1
<=*• x2 > 9 > x e <-*. -3 ] U [ 3. «■> - C.S.
b) II x2 - 1 I < 22/9 « = * I x2 - 1 1 < 3 x2 - 1 < 3
<=*• x2 < 4 « = * x t <-2. 2> - C.S.
8.20 EJERCICIO.- Expresar A cono combinación de Intervalos:
A - 1 x2 |[ 3x-l 1 / x c <0. 1> }
SOLUCION: x c U - < 0 . 1> :
0 < x < 1 > 0 < 3x < 3 «==» -1 < 3x-I < 2
I 3x-l I e { -1. 0. 1 }
a) fl[ 3x- 1 IJ - -1 a i a x c [0, 1/3 > (resolver) . y qje Inter-
sectando con U : H 3x-l ]] - -I . ¥ x c <0. 1/3 >
x2 1 3 x-1 ]] - -x2 e <-1/9. 0> , V x c <0, l/3> ... (a)
b) IE 3x — 1 ]] — 0 s : x c [1/3, 2/3 y (resoler) , y que 1n -
tersectando con U: I 3x - 1 ]] » 0 . ¥ x c [1/3 . 2/3 > — =>
x2 l[3x-II - 0 c { 0 J . ¥ x c [1/3, 2/3 > ... (B)
c) H 3x-l ]] - 1 c ■ ií x c [2/3, 1^ (resolver)
x2 C 3x- 1 1 - x2 e [4/9. 1> ... (y)
De (a). (B) y (y): x2 l[3x-l]] c <-1/9, 0] U [4/9. 1>
= * A - <-1/9. 0] U [4/9. 1> .
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS.-
1. Demostrar que: a) ff-x ]] - - II x ]] x e Z
b) H -x I - - H x J - 1 ¡ : x </ Z
c) I x ♦ IIxI I « 2(1x1
d) E x + y l > IIxI ♦ Ilyl
118 Máximo Entero Cap. 3
-e) a < b = =s> II a 1 í 1 * 1
2. Resolver: a) ff2*-ll ■ -1 , d) ([ x_ *— J - 0 ,
2/* - 1
b) II 1 - 2 e) 1 1 3 * U - 2* + 2
c) E 3* I « 2* + 2 . SUG (c): 2* + 2 - n e Z
3. Resolver:
a) ^ "*J ' 2 > 0 b) 3 < 0
6 - | I * I 3 - II *2 I
4. Hallar el conjunto de valores que puede tomar: ?* ♦ 5 „
11 * + 3 U *
para * en: a) [0. 6] b) [-17/6. 0] .
5. Htlljr el conjunto de valores que puede tomar: n- * n
i I , *|*| + 1
para * e a) , 3> . b) <-« , -1/10> .
6. Demostr r que: 1*1-2
a) I — — — I ■ -1 . para * c <-1. 1>
b) 1*1 i /ll*3 l
SUG: I*3 I « n <==> n < *3 < n + 1
*=> V ñ < * < |* |
7. Demostrar qu¿ si n e Z+ , entonces
a) H n * I - n H * ] ] c { 0 . 1 . 2 , .... n - l > .
P ( P * 1) V
b) I n * ] ] - n l I * I - p < = * * e [ k + - , k ♦ — -—
donde p ■ 0. 1. Z, 3 , ... , n-1 , para todo k c Z .
8. Resolver:
a) I »*-1 1 > 0 c) I*2 - 1 J < 0
b) c *2 - 1 B > 0 d) ü *2 - 4 I < 0
9. Resolver: . í»
a) II ̂ I < 2
b) I *2 -4*-2 I < 19/2 ...
Cap. 3 Números Reales 119 -
10. Resolver:
a) (I x + 1 I > |x| , f) I x 2 ]| < 8 ,
b) 2 d x J ♦ H x - 5 U > 7/2
d) E x2 - 2|x | - 16 1 > 50/7 e) | [[ 2x J - 1 | < 3
11. Expresar el conjunto A como combinat:iCn de Intervalos :
hallar A' A (BUA).
CLAVE DE RESPUESTAS
2. a) [0, 1/2> , b) [5/7, 8/9> . c) x - " , x - 5/2 ;
d) ( [0, l/4> U [1, »> ) D <1/4, 4> - [1. 4>
e) x - 2 , x - 5/2 ; 3. a) <-« , -2] U [7, - > ,
3. b) <-~ , -2] U [2. 3> U <9, -> ; 4. a) { 1 ) ,
4. b) { -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 ) - [-4, 5/3] D Z .
5. a) { 0, 1, 2, 3, 4 ) . b) { 0, 1, 2, 3 )
8. a) <-«, -1] U [1, -> . b) <-=> . -/2] U [ /2 . - >
c) <-/2 , /2 > , d) <-2, 2> .
9. a) <-~, 0> U< 5/ 6, ® > . b) <-2, 6 >
c) <-“ , -3> U [2, - > , d) <2, 3> .
10. a) [0. » > , b) [3. »> , c) [1, 229/4> ,
d) < — , -6] U [6, »> . e) [-1/2, 2> , f) <-3, 3> .
11. A - <-2, -1> U { 0 } U <0, 3> U { 3 >
12. Universo para A : U » [-7, -2] = » A » [ -7 , - ] ;
A - { x2 - H | x - l | t 2 1 + E x I / x e <0, 2] }
12. Si A - { x e R / / 1 2x- 1 | - 13x + 6 | < ✓ | 4x - 2 | - |x-8|' }
B - ( x e R / I I • 0 1
4
120 El Supremo Cap. 3
9. CONJUNTOS ACOTADOS
Existen conjuntos de números reales cuyos elementos 
tienen la característica de no «ex mayoxu que un cUeAto valon. conitante. , 
tal cooo ocurrí! con los elementos del conjunto
A » <-“ , 6>
con utipecXo al valox conitante 7 , por ejemplo ; como se ve en la figura.
9.1 DEFINICION.- Se llama COTA SUPERIOR de un conjunto A de nGmeros
reales a todo número real c tal que
x < c , ¥ x c A .
Es decir, cuu’ouler número que sea mayor 6 igual que todos los elementos de
A , se llama COTA SUPEKJOK DE A .
Cuando A tiene alguna cota superior, se dice que el 
Conjunto A u t i ACOTADO SUPERIORMENTE. Para Ilustrar estas definiciones , 
ti mareros el conjunto A • <-« , 6) y una de sus cotas superiores c ■
7 .
COTAS SUPERIORES DE A
A ----------------------- *■
i O --------- 1--------- 1-------
* 6 7 8 IR
r
Notantes que cualqwitAa de lo¿ númviot hw JIxa wyoKU qus. 6 , e inclino 6 , 
es también cota superior de A , en particular c " 6.5 , c - 7 , c - 8 ,
De todas estas cotas superiores de A , el número 6 la mino* , co
mo ser! demostrado luego.
9.2 DEFINICION.- i la menor de las cotas superiores de un conjunto A
de números reales, acotado superiormente, se le lla­
ma SUPREMO (6 U1IJ1UA COTA SUPERIOR) de A , y se 
denota tup (A) .
9.3 Obse rvaciones.-
1) El supremo de A es tanblEn una cota superior del conjunto A .
2) Esta menor cota superior esti caracterizada por la condiclfin siguiente 
que es equivalente a la DeflnicICn dada:
I c B ¿upuvno de A c— a ¥ x c A , y para toda cota superiorc’ ae A, se tiene: x < c < c*.
Cap. 3 El Supremo 121
3) El supremo de un conjunto A, si existe, no u neceiafUamejite un elemen­
to de A , como es el caso de A « <-<» , 6^ cuyo supremo (que es .1
gual a 6) no pertenece al conjunto dado A .
La existencia del SUPREMO para conjuntos acotados su­
periormente esti asegurada por el siguiente axioma, con el cual completamos 
el SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES en lo que a sus propiedades respecta.
AXIOMA DEL SiPREUO 6 AXIOMA DE LA MINIMA COTA SUPERIOR .-
Todo conjunto A de números reales, no vacio y acotado 
superiormente, tiene una mínima cota. tupt/Uo/L en IR .
9.4 EJERCICIO.- Demostrar que si A - . 6> entonces ¿up A » 6.
La prueba seri hecha por neducciSn al abiuJido :
Supongamos que 6 no es la menor cota superior de A, entonces se puede ase
gurar que existe una cota suptrlor c- de' A tal que c < 6 . y puesto
*,ue c + 6 , , c + 6 ___ .c < — — < 6 , tomando *’ - — — = » c < *' < 6 .. (*)
de donde *' e A ■ , 6} . Pero siendo c i ota tupejiion de A , de­
berla tenerse x' < c , contradiciendo a (*). La suposición resulta ab­
surda, y por lo tdn¿o, efectivamente: 6 » ¿upiemo de A » aup (A) .
9.5 DEFINICION.- Se llana COTA INFIRIO); de un conjunto A de 
números reales a todo nCrero real c tal que
x > c , V x e A
9.6 EJEMPLO.- SI a » [4, 9> entonces c • 1 es una cota ¿n£e- 
iUox de A .
SI para un conjunto A existe alguna cota Inferior, entonces se di­
ce que A estí ACOTADO 1KTEK10RUEKTE , en cuyo caso siempre es posible en 
contrar ta mayo* de. ta¿ cota¿ ¿niejUenti a la que se le denomina como el 
INFIMO DE A 6 también LA HAVOR COTA INFERIOR VE A . y se le denota 
por ¿ni (A) .
122- E1 Supremo Cap. 3
9.7 NOTA.- El INFIMO de. un conjunto A está caracterizada por la con* 
dlción:
c • INFIMO de A «==s> -V x c A , y para toda cota Inferior
c* de A , se tiene que:
c' < c < * .
Con respecto al intimo de un conjunto de números reales, 
se pueden hacer observaciones análogas al iupiaru , con» por ejemplo, que 
eJL INFIMO puede no í v l eJt~~wjvtc d't conjunto dado .
Además, cono consecuencia del AXIOMA PEL SUPREMO se puede
demostrar que:
"SI A es un conjnnto no vacio de números reales, 
acotado *n£vUo/unente. , entonces A posee una 
MAXIMA COTA INFERIOS (6 INFIMO} en IR .
9.8 EJEMPLO.- El coijunto A • [-1, 8> está acotado superiormente
por f I número 9 e inferior-mente por -2 . Además, la
IÁA.VO COTA INFERIOR es -1 , y la MENOK COTA SUPERIOR 
es G . Por lo tanto,
sup (A) » 8 , Inf (A) » -1 .
En este caso vemos que: sup (A) i A , pero
Inf (A) c A .
Cuando jara un conjunto A , resulta que sup A e A entonces al 
SUPREMO DE A se le llana el MAXIMO DE A , y si el inf A e A , enton­
ces al INFIMO DE A tantlén se le llama el MINIMO DE A .
9.9 DEFINICION.- Se dice que un conjunto A es AC0TIPO si A está
a la vez acotado superiormente e inferiormente.
9.10 Ej e m p l o .- El conjunto A » <2, 6 > U [50, 60] es ACOTAPO , y
sup (A) » 6D , Inf (AJ * 2 .
9.11 Ejemplo.- El conjunto <-“> , -2 ] u < 3 , -> no está acotado
ni Inferiormente ni superiormente.
A continuación presentaremos el inmortante PRINCIPIO ARQUIMEDIAND.
Cap.3 El Supremo -123-
9.12 Pri ncipio Ar q ui m e di a n o
S¿ x te un núme'LO nxat potÁXLvo entónete exZile 
un ntmtAsi NATURAL n„ tal que
10 < — < * 
no
(6 equivalentemente, tal que n0 x > 1 . )
r*?UEBA.- Suponiendo lo contrario, se tiene que nx < 1 , V n c M .
luego, el conjunto A * { nx / n c M } esti acotado supe - 
rl orinen te al menos por c » 1 , y por el Axioma del Su.piuyr' el conjunto 
A posee una MENOR COTA SUPERIOR c en R , que satisfice la condición
nx < c < 1 , - V n c M
pero siendo x > 0 entonces c-x < c , y por- lo tanto c-x no
puede ser cota superior de A , ya que c es ta mero*, de todm elOu. Lúe
go, existe un elemento de A : de la forma ntjx , con m^ c N . tal
que
c-x < n^x < c ... *)
(pues si esto no fuese cierto, se tendría que: n x < c - x , -V nx t A
= * c-x serla cota superior de A , lo cual es falso ) . Entonces
(*) = * c < («íj +1) x c < mx , con n ■ («i| +1) c H ,
lo cual es un absurdo, pues Siendo c • sup \\) , deberla tenerse que 
mx < c .
De esta manera, el Principio queda probado, por reducción al absurdo.
9.13 EJEMPLO.- Probar que el conjunto A » { x / x • — , n c M }n
es acotado.
SOLUCION: Encontraremos ademSs, el Supremo y el Infimo de A , ubican­
do los elementos de A en una recta:
Para x « - , n e H : tomo - V n c M ,n
n > 1 ==* 0 < x - i < 1 (*)n '
y conforme n crece, los elementos de A van acumulSndose a la derecha del
124 El Supremo Cap. 3
numere 0 acercándosele pero sin coincidir con 0 para ningún n e M . De 
esta observación vemos que:
sup (A) - 1 ( e A ) , Inf (A) - D { i A ) .
PRUEBA FORMAL % QUE Inf (A) - D :
De (*) se v16 que 0 es una COTA INFERIOR ; si no fuese la MAYOR exis
ti ría otra cota Inferior c mayor que 0 , y por el Principio Arqulmedlano
se tiene que existiría un núî ero n„ c K tal que ^ < _1_ <
"o
lo cual es absurdo, pues — e A y siendo c cota Inferior de A de -
"o
bería cumplírs«. que: j
, c < — , generSndose una contradicción.
"o
De esta manera, 1nf (A) • D .
9.14 EJERCICIO.- SI a y B son dos conjuntos de números reales, no
vacíos y acotados superiormente, tales que A c B , 
probar que:
iup A < tup B .
SOLUCION. jean a m ¡ up ̂ f m sup b t entonces ¥ x e B, * < b
y como A c B , se tiene que M x e A, * c A = » * e B
* < b ,
lo que Implica que b es una cota inferior de A . Luego,
-V x e A : * < a < b , pues a es una cota superior de A , y es
ademis la MENOR de todas las cotas superiores de A .
Asi, hemos demostrado que: a < b , es decir, que: sup A < sup B.
9.15 Ej e r c i c i o .- Encontrar el SUPREMO y el INFIMO de
i 3 + 2n , « i
A - 1 T T Ü ' " I
SOLUCION: Empleando el ALGORITMO DE 0IVISI0N:
3 + 2n 2n + 3 2n - 3 + 6 , , r 1 ,---- > ------ -- - ------- • -i . 6 [ --- ]
3 - 2n 2n - 3 2n - 3 2n - 3
y la última expresifin (entre corchetes) se acerca al valor 0 conforme n 
aumenta ilimitadamente, de manera que los elementos de A se van acumulando
Cap. 3 El Supremo 125
alrededor de -1 de la siguiente nanera:
n - 2 n ■ 3 n » 4 
l l
,n * 1
-4-H
-7 -3 11
5
- 1 0 1
De esta representación grSflca podemos ubicar al SUPREMO (A) • 5 , y al
INFIMO (A) * -7 Como ambos son elemento? de A (en este caso particu­
lar), entonces MAX (A) ■ 5 . MIN (A) • -7 .
9.16
Vearos a continuación otra caracterización del
TEOREMA.- Sea A c R , A t ♦ , y acotado superior­
mente. Entonces
1) ¥ * c A , x < c ,
c - SUPREMO VE A < = > 2) * c > D , 3 - * 0 c A
tal que
c - e < *0 < c .
(«xnétrlcamente, esto significa que PAR« CUAL­
QUIER distancia, e > 0 qu< se considere, por mis pequefid que sea, i.nton 
ces entre los puntos c - e y c ¿iempte u po*> .< It halLaji un ciernen -
to xc (al menos uno) del conjunto A . Este elemento x0 de A puede 
coincidir con c .
i----- e ---- i
c - e c
i i
----------------- ------ o-----*— ------•-------- ---------
x x„ e A
PRUEBA ( = & ) SI c * SUPREMO de A , entonces c también es una cota 
superior de A : ¥ x e A , x < c ...(*)
126 El Supremo Cap. 3
además (por reducclfin al absurdo) supongamos que 3 e > 0 /
V x e A , x < c - e , esto Implicarla que
c - e serla una cota superior de A, lo cual es absurdo pues c es ta
menoJi de todat tai cota* ¿uptAÁjon.eJ> y porque c - e < c .
Por lo tanto, como la suposlclfin original resulte FALSA, ello quiere decir 
que:
V c > 0 , 3 *0 c A / c - e < * o y x„ < c . por (*) .
no u la mtnoK cota hupvUon dt A , entonces sea c* - sup (A) , 
cuya existencia esti asegurada por el AXIOMA DEL SUPREMO, y sien­
do c' la menor de las cotas superiores de A , entonces c* < c
Por (2) , dado e ■ c - c' > 0 en particular, entonces ex1¿ 
te (al meno. ) un elemento x0 e A tal que
c* - e < *0 < c* = ► c-(c-c') < x0 < c
lo cual es atsurdo, pues x„ < c' , por {**) . Como se ha ge­
nerado una contradicción, entonces la suposlclfin hecha no procede, 
y por lo tanto. c si viene a ser la MENOR COTA SUPERIOR VE A .
) (1) implica que c es una cota superior de A . Supongamos que c
V - te A , x < c* < c .. (**)
9.17 TEOREMA.- Sea A c R , A ¿ , y acotado Inferlormen
te, y c un número real. Entonces
1) * x e A , x > c ,
c • INFIMO VE A «=«<• 2) ¥ c > 0 , 3 x„ e A
tal que:
c < Xo < c + e
e
c
H--------- O—
x,, e A c + e x e A
Cap. 3 El Supremo 127
9.18 De f i n i c i ó n.- 1} Se llama MAXIMO DE A . y se denota wax (A)
al Supremo de A cuando éste es elemento de A .
2) Se llama MINIMO DE A . y se denota mcn (A)
al Infimo de A cuando Sste es elemento de A .
Es decir.
c ■ m x (A) * sup (A) 
c ■ min (A) * Inf (A)
c c A 
c c A
9.19 EJEMPLOS.- a) Dado el Intervalo A » < 2, 6] entonces
sup (A) * 6 * nax (A) , pues 6 e A ,
Inf (A) • 2 . A no tiene MINIMO pues 2 i A
b) Dado el conjunto B ■ [2, 4> U } se tiene:
sup (B) “ max (B) • B , pues 8 e A ,
Inf (B) • mln (B) » 2 , puf.* 2 e A .
9
9.20 EJERCICIO.- Determinar el Supremo y el ínfimo, si existen, de
a)
b)
c)
d) 
e)
A
B
C
D
{ x c R / 
í * e R /
x - 4x - 12 < 0 } 
-x2 + 2x-2 > 0 }
{ x - 4x - 12 / 
{ x2 - 4x - 12 /
« e R - <-« 
x e <-5, 3]
•> )
}
SOLUCION 
a)
E - { x e [-4, 6> / x - 4x - 21 < 0 }
o : A ” < - 2 , 6> . Luego,
b)
c)
d)
(x-l)2 + l < 0
B
x2 - 4x - 12 • (x - 6)(x + 2) < 0 
sup (A) - 6 , Inf (A) - -2 .
-x2 + 2x - 2 > 0 «=—*> x2 - 2x + 2 < 0
[que no tiene soluciones reales] o :
Coa» B es vacTo. no tiene sentido hablar ni del supremo ni del Infl 
mo.
x2 - 4x - 12 - (x - 2)2 - 16 > -16 , ¥ x e R • <-“ ,“ > ;
luego, C • [-16, . Asi, sup (C) no existe, Inf (C) - -16.
x c <-5, 3] ^ -5 < x < 3
0 < (x-2)2 < 49 <
-7 < (x - 2) < 1 
-16 < (x-2)2-16 < 33
Cuno x2-4x-12 » (x-2)2 -16 entonces D» [-16, 33>
128 El Supremo Cap. 3
Luego, sup (D) - 33 , Inf (D) ■ -16
e) Siendo x2 -4x-21 - (x-7)(x + 3) < 0 «=*> xc [-3,7],
entonces E « í x e [-4, 6> / x c [-3, 7] }
E - [-4, 6> fl [ -3, 7]
E - [-3. 6>
Luego, sup (E) ■ 6 , Inf (E) • -3 .
9.21 TEOREMA.- SI a > O, b > O, deir-strar que existe un entero po­
sitivo n e M tal que 0 < b < na .
(Ver el Ejercicio Propuesto [9] ).
9.22 Pr i n c i p i a üel Bu e n Or d e n a m i e n t o.-
Todo cc.'junto no vacio de nCmeros naturales posee 
un menor i'lement}, en dicho conjunto.
Por ejemplo, sea S - { enteros positivos múltiplos de 4 y 6 a la vez >
- { 12 . 24. 36 . ... }
entonces 12 • menor elemento de S , 12 e S .
9.23 TEOREMA .- Para cualquier x e R . existe un Gnlco entero n
u ' ql*e n < x < n + 1 .
(Este Teorema taablén es llamado el TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL 
MAXIMO ENTE310 DE UN NUMERO REAL ).
PRUEBA;
a) Existe p. q e Z tal que p < x < q . En efecto,
- si x > 0 : haciendo a » 1 en el Teorema [9.21] existe un en­
tero positivo q tal que: p ■ 0 < x < q .. (*)
- si x • 0 : sea p » -1 . q » 1 . entonces p < x < q .
- si x < 0 : (-x) > 0 . y por (*) existe un entero positivo al
que denotamos por (-p) tai que
0 < (-x) < (-p) < = > p < x < q - 0 .
b) Sea S > { ■ c 3 / x < p + m } . entonces S i ♦ , pues 
m » q - p c S ya que p < x < p + m * p + (q - p) » q ;
Por el Principio del Buer Ordenamiento [9.22] se concluye que el con-
Cap. 3 El Supremo 129
junto S tiene un pienor elemento n0 en S , es decir:
* < p + n0 .. (a )
y pera cualquier entero n e M : ■ < n0 -- > m ¿ S , y por
lo tanto p + n < x Inclusive para n » nc - 1 
== > p + (n0 - 1) < x .. (6)
Sea n + 1 ■ p + nc . entonces, de (a) y (B) :
n < x < n +1
La prueba de la unicidad se deja cono Ejercicio.
9.24 Teorema ( existencia de un racional entre dos reales )
Para cualquier par de números reales a y tales
que a < b , existe r e Q (raciorjl) tal
que:
a < r < b .
PRUEBA *----- ■ El Principio Arquimedlano implica que (como b-a > 0) :
O < ̂ < (b-a) , para algún n e M .. (*)
Por el Teorema anterior, existe un nterc m e Z tal que:
m < an < m+1 - < a < (a)n n
=*■ -— - < a + - < a + (b - a ) « b , por (*)n n
in+1 i \= * a < --- < b ... por (a)n
y como (m+l)/n es un númeio naxUonat , elegimos r * («i+l)/n , con 
lo que concluye la prueba.
9.25 Ej e r c i c i o .-
I) Sin utilizar extracción de raíces, hallar:
a) un número real x entre /!3 y /TT .
b) un número entero x tal que -5 /3 < x < -3 / ? .
c) un número racional q entre /ltT y /TT .
II) Mostrar mediante un cortraejemplo que la siguiente afirmación es falsa 
"Si c es una cota superior de A c R , A t ♦ , entonces 2c
130 El Supremo Cap. 3
es también una cota surerior de A * .
SOLUCION: I) :
a) Sea x - ( /1Ó + ✓lí )/2 = * /ló < -x < /lí , x c R
b) -5 ✓! < x < -3 /2 =*> 3 ñ < -x < 5 /3 = * IB < x2 < 75 .
2
entonces si se elige x como cualquiera de los cuadrados perfectos en 
tre 18 y 75 cono
*2 - (-x]2 - 25. 36. 49 6 64 =*• -x - 5. 6. 7 G 8 .
luego. x e C.S. ■ { -5. -6. -7. -8 > .
c) Como para todo a < b en R : a < d * b < b ..(*).
considerando a « 10 . b ■ 11 , y repitiendo (*) :
10 < (10 + lJ)/2 < 11 — > 10 < 21/2 < 11
= » 10 ' [ 10 + ( 21/ 2 ) 3/2 < 21/2 < 11
— i* 10 < U/4 < 11
«=» 10 < [ 10 + (41/4) 3/2 < 41/4 < 11
— i* 10 < 81/8 < 11 10 < — < 11
16
ñero — < < 11 » , donde 169 es un cuadrado perfec.
^ 16 16 16
— 10 < i ® < 11 = ~ /lo < i? < /Tí .
16 4
Por lo tanto, una solución para q es q * 13/4 .
II) Sea A • { -6 , -5 . -4 ) entonces c - sup A - -4 . 2c - -8 .
y cono -8 es menor que cualquier elemento de A . entonces 2c (* -B)
no puede ser una cota superior de A .
9.26 Ej e r c i c i o .- Sea 3n + 4 - (-i)n+2 n . ,* ,
A » { --------5— ------ / n e Z+ }
n + (-l)n +1
Demostrar que A está acotado, y hallar (Inf A + sup A) .
SOLUCION: A - At U Aj , donde Aj es la parte de A correspondiente
a n Impar , n e Z+ . y A2 corresponde a n par . n e Z+ .
Para A1 : n e { 1, 3,5, 7, ... } , los elementos de A son:
3n + 4 + n a j 4 8 , si n 1 1------- • 4 + — ■
n n 16/3 , si n » 3
Cap. 3 El Supremo 131
• 24/5 , si n ■ 5
y cuando n crece en forma Impar Ilimitadamente, la expresifin 4 + (4/n) 
se acerca a 4 en forma decreciente, sin tocarlo. Luego, sup Aj * 8 e 
y Inf ■ 4 i .
Para A2 : n e { 2, 4, 6, ... } , los elementos de A son:
3n + 4 - n 2(n + 2) _ A ̂ „ , _ . , ,------- ■ — ---- - » 2 , constante V n e { 2, 4, 6, .. >
n + 2 n + 2
= & A2 » { 2 > . Luego sup A2 M 2 , Inf A2 * 2 . Asi,
sup (A) - inax { sup (Aj) , sup (A2) > - max { 8, 2 } * 8
Inf (A) - mui { Inf (Aj) , Inf (A2) } « min { 4 . ' 2 } = 2
Asi, hemos demostrado que A está acotado, y además: Inf A + sup A - 10.
9.27 TEOREMA.- Sea A un conjunto acotado. SI denotamos por kA al
conjunto kA ■ { kx / x e A } , demostrar que:
a) k < 0 = > sup (kA) ■ k Inf (A) , Inf (kA) « k sup (A) .
b) k > 0 = > sup (kA) » k sup (A) , Inf (kA) » k Inf (A) .
PRUEBA: (b) es anSloga a (a), y quedará como Ejercicio,
a) Sea c * inf (A) , entonces
¿) c £ x , V x e A ( = » c es una cota inferior de A )
¿l) Para todo c > 0 , :1ste un elemento x„ e A tal qi-e-
c < x„ < c + e
Como k < 0 , entonces : (¿) ==> kc * kx , V x c A ,
=a» kc es una cota superior de kA .
Sea d « kc , entonces kA está acotado superiormente por d .
Solo falta probar que: d • sup ikA) : en efecto,
(¿t) ===*► si e > 0 , enton-es para c' » c/(-k) > 0 existe
un x„ e A tal que: c < x„ < c + e1
«=*• c < x„ < c - (e/k)
«=s> kc > kxr > kc - e . pues k < 0
«==> d-e < (kxc) < d
Es decir, que dado c > 0 , existe un elemento de kA: kxc , tal
132 El Supremo Cap. 3
que d - e < kx„ £ d
Por lo tanto. sup (kA) « d * kc ■ k [ Inf A] , para k < 0 .
De esta misma forma también se pu^de probar que: para k < 0 .
Inf (kfl) = k sup (A)
9.28 COROLARIO.- Sea A un conjunto acotado. Definimos el conjunto
B - { -x / x e A } . Entonces,
sup (B) ■ - inf (A) , inf B * - sup (B) .
SOLUCION: Hacer k = -1 en (a) del TEOREMA [9.27] previo.
9.29 Ejercicio.- sí a - { x E r / 151x- 31 < /9-x2 (x + 2)2 } .
demostrar que existen el supremo y el Infimo de A , 
tales que:
-2 £ inf A £ sup A £ 3 .
SOLUCION: Universo U: 9-x2 > 0 = > U - [-3, 3] . Luego,
-3 < x < 3 x-3 > 0 y -1 £ x + 2 < 5
entonces ----- ----- ,
15(3-x) < /9 - x2 (x + 2)z £ /9-x2 (25)
3(3-x) < 5 / 9 - x2 < 5/9 =s- (3-x) < 5
= > x > -2 . Asi, considerando el Universo U , y la última desî
gualdad,tenemos que - 2 < x < 3 , V x c A
' :• -2 £ Inf A £ sup A £ 3 ,
pues -2 es una cota inferior de A , y el inf A es la mayor. Asimismo,
3 es una ccta superior de A , y el sup A es la menor. Note que no ha
sido necesario conocer exactamente los valores del Infimo ni del supremo 
de A .
9.30 EJERCICIO.- I) Sea E - { ¡ n E Z+ J . deoiortrar
que E estS acotado, y hallar: inf A y sup A.
2) Sea A * Q D <0, 3/5 y . Hemostrar que A es un conjunto no vacío
y acotado, que inf (A) ■ 0 , y que | sup (A) | « 5 .
SOLUCION:
1) n e Z + : haciendo z ■ I n/3 ])/n , como n/3 > 0
Cap. 3 El SupreniO 133
z • - - - - > 0 . ¥ n e Z* ,n
y además, cono para n * l 6 n * 2 : z * ^ ^ « 0 (¿?)n
entonces Inf (E) » 0 .
Asimismo, para n - 3 k , 3k ♦ 1 6 3k + 2 , k c Z+ U {0 }
« = > ^ - k , k+ i 6 k+ | , k e Z +
3 3 3
<==> H n/3 I » k .
Por lo tanto, 0 < — -— < — -— < — » - , ¥ k > 1
3k ♦ 2 3k ♦ 1 3k 3
=s> 0 < z » E-E/11 < I , ¥ n c Z+ ,
n 3
y como para n • 3k - múltiplo de 3 , z coinc.de con 1/3 entonces 
sup (E) • 1/3 . Luego, E resulta ser un conjunto acotado.
2) x c A - Q D <0, ^ 5 ^ <— ■> 0 < x < ^ 5 - x racional :
a) inf (A) » 0 : del dato c * 0 es una cota inferior. Sea
0 < c < ^ 5 , entonces por un teorema, entre
0 y c > 0 existe un racional r tal qui
0 < r < e < V 5 = r e A
Se ha probado asi que para cualquier c > 0 , existe r c A 
tal que 0 < r < 0+e •r̂ c « Inf (A) » 0
b) sup (A) ■ Vi : del dato c * ^ 5 es una cota superior.
3— 3—Sea 0 < e < /5 , entonces entre los números ( /5 ) - c
y ^5 existe un neuUotutl r’ tal que:
0 < 3/5 - e < r* < 3/5 =s» r' e A .
Es decir, ¥ e > 0 , EXISTE r‘ e A tal que
^5 - e < r' < Vi = » sup (A) - 3/5 . .. (*)
Como x « 1 es un númvuo KacÁjonal , y 0 < 1 < ̂ 5 (i?) , entonces
x « 1 e A . Asi resulta que A f ♦ (no vacio). Y de (*): |sup A|3 >5.
- 134- E1 Supremo Cap. 3
9.31 EJERCICIO.- Si b < 0 < a , y si definimos el conjunto H:
M » { x c R / b>lx~2b| > 0 } .
x- a
hallar, s1 existen, 1nf K y sup M .
Com V x E R . I x - 2b I > 0 , y como b < 0 . entonces
|lC' 2b* > 0 « = > [ — > 0 v x - 2b ]
x - a x - a
« = » [ — < 0 v x - 2b ]
x - a
« = » x c [0. a> U { 2b ) » H 
De aquí, tenemos que: sup M ■ a , inf M » 2b (¿porqué?) .
9.32 EJERCICIO.- SI existen, hallar el Supr-uhu y el Infimo de
A * { 4xt - t2 / 3 x < t < x ) con x < 0 .
SOLUCION: x está fijo (constante) en R" : x < 0 . Denotamos
z» 4xt-t2 - - (t2 - 4xt) » - (t - 2x)2 + 4x2 .. (a)
Además, 3x < t < x < = > x < t-2x < -x
« = » 0 < (t-2x)2 < x2 -x2 < - (t - 2x)2 < 0
« = » 3x2 < 4x2 - (t - 2x)2 < 4x2 z c <3x2. 4x2 ] - A
Luego, 1nf A > 3x2 i A [lo que Implica que A no tiene MINIMO ],
sup A • 4x2 • n u (A) , [ para t * 2x ] .
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS .-
1. SI A y B son dos conjuntos no vacíos y acotados inferlormente tales
que A c B . probar que: inf B 5 Inf A .
2. SI A y B son dos conjuntos acotados y diijuntoi , probar que:
a) sup (A U B) > mar { sup A , sup B } (el mayor de los supremos)
b) inf (A U B) « min { inf A , inf B } (el menor de los Infimos)
c) sup (A n B) < ¿ni { sup A , sup B }
d) inf (A n B) i ¿up { inf A , inf B } .
Cap. 3 El Supremo 135
3. Dar un ejemplo de dos conjuntos A y B , mediante intervalos tales que
Inf (A n B) > sup { inf A , inf B }
4. Dar un ejemplo de dos conjuntos A y B , tales que:
sup (A n B) < inf { sup A , sup B } .
5. Dado el conjunto A cuyos elementos tienen la forma:
n2 _+ n + 2 __-- , si n c Z , y — — , si n e Z
n + Z n
probar que A no tiene Supremo y que inf (A) - -0.125 .
6. Encontrar el Supremo y el Infimo de cada un de los conjuntos:
. . eos nn „ r 6 + *n , » ,A - { -— / n e M } , B « { — — / n e W }
n + 2 2 - 7n
asi como de A A B .
(-l)n7. Sea S « { 2 + — — / n e N } , determinar si S es acota -
n’
do. Hallar inf A y sup A , si existen .
8. Hallar el Supremo y el Infimo de los conjuntos:
* / 1_6n / .. i o i 6(-l)n + 8n , „ ,A - { --- - / n e H } , B - { — — ------ / n e N } .
3n + 4 2n ♦ 8
9. Si a > 0 , b > 0 . dtii-jstrar que existe un entero positivo n
tai que 0 < b < na .
SUG: Aplicar el Principio Arqulmediano para x • (a/b) > 0 .
10. Si A - { — 3— / ÜjJ E Z+ }
4 ♦ (-l)n+2 - 3n 2
calcular, si existe, Inf A y sup A .
SUG: ^-5 * k e Z* =s- n - 2k * 3 . k e Z +
= * n í r par > 5 ==s> n E { 5 , 7 , 9 , ... }
11. Dados A » { x c R / - - - < 0 ) , C - ( x e R / — > 0 }
x2 - 9 2 - x
y B = { x e R / / ----------- + 2 > 0 } , hallar, si exis
/ (x f 2)(4 - x)
136 El Supremo Cap.3
ten, el Suprei o y el Infimo del conjunto 0 • (A - B*) (1 C .
12. SI A es un conjunto de números reales, no vacio, y acotado Inferior -
mente tal que A c <-*» ,0 > y B ■ { x2 / x e A } , denos 
trar que B está acotado superiormente, y que: S(jp m
SUG: Siendo c * Inf A , elegir e* - /c^ - e - c , para el ca -
so: 0 < e < c2 .
13. Dado el conjunto A . { I _ ( l)n (3n* 1 ) / n c Z* }
2 n + 1
determinar si A estS acotado. En caso afirmativo, hallar el Supremo 
y el Infimo de A .
14. Encontrar tres números enteros n tales que: 12/2 < n < 11/3 ,
sin utilizar extracclfin u ratees cuadradas.
3 . 3 ——
15. Hallar dos nümeros racionales q tales que: /20 < q < /21 ,
sin utilizar extraccifin de raíces cúbicas.
16. Hallar el Supremo y el Infimo, si existen, del conjunto:
A » { t2 - 2tx - 2x2 / -x < t < 2x } , con x c R * .
SUG: x estS fijo (constante) en R * , y t esti rarlando :
t2 - 2tx - 2x2 • (t - x)2 - 3x2 c [-3x2 , x2> .
17. Sea A un conjunto de nümeros reales, no vacto, acotado superiormente,
y sea k un número real fijo. Si B * { -i + k / a c A } , demos 
trar que: í ) B tiene Infimo
¿i) inf B * (- sup A) ♦ k
18. Sean A y B conjuntos de números reales positivos, acotados superior­
mente, y C ■ { z / z • x-y x e A , y c B } . Demostrar 
que C esti acotado superiormente, y que sup C • (sup A)(sup B) .
19. Sea n c Z+ - { -3 } . ¿Existe un mínimo valor de n tal que:
— S — sen — ? . En caso afirmativo, hallarlo, 
n + 3 4 3
20. Sea A un conjunto no vacio y acotado de números reales tal que :
Inf A > sup A . Dadas las proposiciones siguientes , ¿ cuáles son
verdaderas 7 :
a) Inf A i A 6 sup A es una cota inferior de A .
Cap. 3 El Supremo 137
b) A no tiene elemento mSxImo y A tiene un solo elei lento.
SUG: Pruebe que Inf A ■ sup A , y que A es unitario.
21. SI A * { x e R / |x- | < 5b } f hallar sup A, si existe.
asi como inf A .
b I5! I 2 ' ' ' 2
Clave de Respuestas
3. A * [2. 3] U [5. 7] , B ■ <4. 6>
4. A « [2. 4> U <6. 8> . B - <3. 5]
6. sup A - 1/4 . Inf A * -1/3 . sup B ■■ -4/7 . inf B • -2 .
sup (A A B) - 1/4 . inf (A A B) - -2 •
pues, en este caso: A A B - A U B .
7. Inf A ■ 1 * min A , sup A • 17/8 • max A .
8. sup B - 4 . Inf B » 0.2 , >up A - -5/7 . Inf A - -2 .
10. sup A - -19/12, Inf A - -2 .
11. sup D » 2 , Inf D * 1 .
13. Inf A « -5/2 » mili A . sup A * 7/2 4 A
14. n £ { 17. IB. 19 }
15. q c { 11/4 . 87/32 } •
16. sup A - x2 i A . inf A - -3n2 c A [ para t - x ] .
19. St existe tal n : n » 2 .
OCSI A » { Xo } , conjunto unitario, a) Verdadera . b) Falsa .
21. A » <-9b/2 . llb/2 > * ■■ :• Inf A « • 3b/? » sup iA • llb/2
Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q
138 Introducción al Análisis Matemático
4
VECTORES EN EL PLANO
1. INTRODUCCION.-
Este capitulo trata acerca de los VECTORES y describe las - 
operaciones entre ellos. Históricamente, la adición vectorial fue diseñada - 
con el fin de poder trabajar con la composición y resolución de fuerzas y ve­
locidades.
La regla del PARALELOGRAMO para vectores fue dictada por la re­
gla del paralelogramo para fuerzas y velocidades en el campo de la MECANICA.
Aquí se presentan ademí.» varias Ilustraciones que indican cóno 
el Algebra Vectorial puede resolver muchas situaciones geométricas.
2. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS (6 RECTANGULARES)
Este sistema esti constituido por un plano y dos coplas de la - 
recta real R , perpendiculares entre si, llamadas EJES Dt COORDENADAS X y
Y respectivamente. El punto de Intersección de estos dos ejes es denominado 
EL ORIGEN DE COORDENADAS , y coincide con el número ctfio enambos ejes.
A cada punto P de este plano se le asocia un par ordenado de -
números reates P ■ (x, y) donde Y i
ambos números x como y estSn y ■ # P' (*, yi
ubicadas en los ejes X y Y , 1i
respectivamente, tal como in­ i
dica la figura adyacente. 0 X X
Vectores 139
Al número x se le llama la fvUmtAa. componente. 6 abiC sL&a del punto P, y al 
valor de y se le llama la ¿egunda componente, a ordenada de P .
2.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Dados dos puntos Pj • (t¡, yj) y P2 ■ (*2. se def n̂e 
datanwi d[Pj, P2] entre Px y P2 por la siguiente relación pitagórica :
d[Pj, P2 ] » / (4 - l)2 ♦ (6 - 2)2 » /9 + 16 - 5
2.3 EJEMPLO .- SI Pj » (-3. 2) y Pj - (1, -5) , entonces
d[P r P2 ] - / [ I - (-J)]2 * [(-5) - 2 ] 2
/ 42 + (—7)2 - / 16 + 49
/65
140 Vectores Cap.1»
2.4 PROPIEDADES DE LA DISTANCIA
W la deflnicifin de ¡Ua& mcml se tfene que
*) dtPj. P2 ] > 0
f') d [ p2* pi ̂ * d[P|» Pj J (Propiedad Conmutativa)
c) Para cualquier punto P3 del plano se satisface la siguiente propiedad 
denominida la DESIGUALDAD TRIANGULAR :
rf[Pj. P2 ] í dt Pt. P3 ] + «Í[P3 . P2 ]
Esta propiedad (c) serí demostrada mis adelante, en la secclfin 8.21.
d) rf C Pt. P2 ] * 0 c = o pi M p2 •
La verificación de las propiedades (a) . (b) y (d) dejamos como ejercicio
para ei estudiante.
3. ALGEBRA VECTORIAL BIDIMENSIONAL
Recordemos que el Producto Cartesiano R x R es el 
conjunto de pares ordenados de números reales ; es decir.
R x R - { (x. ¡f) / x e R y y c R }
donde la IGUALDAD DE PARES ORDENADOS se define de la siguiente manera.
(a , b ) » (c . d ) «==» a - c y b ■ d
A los el“ entos ríe R x R se les llama PUMOS .
A continuación presentamos dos operaciones entre Puntos de R x R .
3.1 DEFINICION. (SUMA DE PUNTOS DE R x R ).- Dados dos puntos:
a • (â , a2) . b « (bj, b2) , se define la suma + b como el par ordena­
do
5 + b - (at ♦ bj . a2 + b2 )
Cap.'f Vectores 141
3.2 DEFINICION (MULTIPLICACION DE UN PUNTO POR UN NUMERO).-
Dados i ■ (íj, a2) y r c R , se define el producto ra como sigue.
r á ■ (raj , ra2 ) e R x R .
3.3 EJEMPLO Si i - (3. 5) . b - (6. -2) . hallar 2 1 + 4b .
2í ♦ 4b - 2(3, U ♦ 4(6, -2)
» (2x3, 2x5) * (4x6, 4 x (-2) )
- ( 6 , 10 ) + ( 24 , -8 )
- ( 6 + 24 . 10 + (-8) ) - ( 30 , 2 )
3.4 DEFINICION (ESPACIO VECTORIAL BIPIMENSIONAL F 2 ) •- Al pro­
ducto cartesiano R x R junto con las dos operaciones definidas previamente 
se le llama ESPACIO VECTORIAL BIDIMENSIONAL REAL R2 , y sus elemertos (6 
puntos} a ■ (aj, a2) ahora reciben ül nombre de VECTORES .
3.5 TEOREMA Sean £ * (bj, a2) , b * (bj, b¿) , c » (Cj, c2) v».cto- 
res de R , y sean r y s nCmeros reales , entonces se cumplen las si­
guientes propiedades
Aj : a + b e R2 (Clausura)
A? : a + b ■ b ♦ a (Conmutativa)
A3 : (i + b) + c • i + (b + c) (Asociativa)
A. : Existe un UNICO elemento 6 ■ (0, 0) c IR2 llamado el ORIGEN 6 elemento
cero (6 nulo) de R tal que a + 0 11 a .
A este elemento umbién se le llama VECTOR NULO.
Ag : Para cadr vector £ ■ (â , a2) de R2 existe un UNICO vector denotado
por -i en R2 tal que _
a + (-i) « 0
donde -i * í"aj» es ^ ama °̂ OPUESTO de a , 6 también el IN­
VERSO ADITIVO de i .
Mj : ra cR2
: l.i ■ £ , donde 1 e¡ el número real uno .
Dj : (r + s) i ■ r i ♦ s 5
D, : r (a + b) ■ r i + r b
142 Vecrores Cap. 4
D3 : r(s¡) • (rs)¡
PRUEBA. Probarenos la propiedad A^ . Todas las drmás se prueban en forma a- 
níloga, utilizando los axiomas de los números reales en cada componente. 
Considerando el vector 5 » (0, 0), para todo vector a • (t^ a2) se tle- 
ne que
5 + 0 * (aj, a2) + (0, 0) - {dj + 0. a2 + 0)
" ^*1’ a2* " *
pues para todo xcIR: * + 0 • x que es el axioma A^ de los núme­
ros reales. AdemSs, este vector 0 es el único con esta propiedad, pues si
— 2 
existiese otro vector b * (bj. b2) en IR tal que
— * mt v 2a + b * a para todo vector a de R
entonces tonando en particular ¡ ■ 6 resultarla que
Ó + b - Ó .es decir que b ■ 6 necesariamente ;
por lo cual tenenos que el vector 5 es el único con dicha propiedad A4 .
3.6 DEFINICION (RESTA DE VECTORES). Para todo par de vectores i
2 - -
y b de R se define la resta a - b corno el vector
a - b » a ♦ (-b)
lo que equivale a restar las componentes respectivas.
3.7 EJEMPLO SI 5 ■ (3. -6) . b • (4. -2) entonces
i - b - ¡ + (-b) - (3 . -6) + (-4. 2) - (3 - 4. -6 + 2)
• (-1. -4) .
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Si i • (2. -3). b - (5. 4). £ . (3. 1). pc - (1. -1) y Pj -
(4. 3) , encontrar
a) a + b b) a - b
c) 3i ♦ 4b d) x , si íS ♦ a » 3b
e) Pc + 2(Pj - Pc) f) (Pc + Pj)/2
Cap. k Vectores 143
g) Pc + tá , para t ■ 0, í 1 , ! 2 , i 3 .
2. Demuestre que si t t 0 entonces s i + t x • b tiene la única
solución x • b - sSí
3. Resolver para el vector Incógnita x :
a) 2(0,3) ♦ 8 x - (1,-6) c) 3 [ ¡¡ - (8,-2)] - 6(7,0)
b) -3(1, 3) + 2x • 5(0, -2) + 4x .
4. En cada una de las siguientes relaciones indicar, si existe, el número 
real r que satisface
a) (3,-2) - r (6, 4) b) (3,-2) - r (-6. 4)
c) r(4. 2) + 3(4, -2) » ¿(6, -3)
d) 2r(4, 6) + 3(-2, 4) - 2(-3, 6) + 4r(2, 3)
5. Hallar los pares de nDneros reales r y s tales que
a) r(3, -2) ♦ s(6, 4) - 5 ; d) r(5, 1) + s(3, 5) • (5, 5)
b) r(3, -2) + s(6, -4) - Ó -, e) r(4, 3) + s(-2, 6) « (4, -57)
c) r(8, -2) + s(-12, 3) - 5 ; f) r(3, -l) ♦ s(-6, 2) - (2, 2)
6. Determinar la abscisa del punto N sabiendo que su ordenada es Igual a 4 
y que su distancia al punto N > (1, -2) es igual a 10 unidades.
7. Compruebe s1 los siguientes triángulas son isfisceles y/o rectSngulos, 
siendo sus vértices:
a) (-3, 4) . (4, 3) y (0. 0) ; b) (-4, -2) , (-3, 5) y (0, 1)
8. Encontrar en el eje de ordenadas un punto que diste 5 unidades del pun­
to P - (-3, 1) .
g. Hallar en el eje de ordenadas un punto equidistante del origen de coorde­
nadas y de (3, -5) .
10. Encontrar en el eje de las abscisas un punto equidistante de los puntos 
P - (-1, 0) y Q - (7, -4) .
Clave de Re s puestas
1. a) (7, 1) c) (26, 7) d) i - (13, 15) .
3. a) (1/18, -12/8) 4. a) No existe r ; b) r • -1/2 ; c) r - 0 ;
144 Vectores Cap.*»
d) Cualquier número real r satisface esta relación.
5. a) r ■ s * 0 ; b) Todos los r y s tales que r + 2s * 0 .
c) Todos los r y s tales que 2r - 3s - 0 .
d) r » 5/11 . s • 10/11 ; e) c * -3 , s - -8 ; 6. 9 6 7 ;
7. a) Isósceles y rectSngulc ; b) isósceles y rectSngulr ;
8. (0. 5) ó (0. -3) ; 9. (0. -17/5) ; 10. (4. 0) .
k REPRESENTACION GEOMETRICA DE LOS VECTORES
Todo vector i • (â , a2) puede ser representado geométri­
camente por una flecha . de la siguiente manera :
Se eligí. <un punto cualquiera P0 a partir del cual se procede primero 
a un desplazamiento paralelo al eje X en una iiótancMt. <LL/Ugj.da at ,
es decir, hacia la derecha si at > 0 ó hacia la izquierda si es
que íj < 0. Luego se continúa con un desplazamiento paralelo al eje
Y en una diitancia düUeidt a2 , es decir, hacia arriba si a2 > 0 
ó hacia abaju si a2 < 0 .
Oe esta manera se ubica al punto de 1 Vegada Pj . La flecha trazada par
tiendo de P„ y que termina en Pj es la que va a representar al vec­
tor a .
La siguiente figura corresponde a la representación del vector £ * (â . a2) 
para el caso en que a} > 0 y a2 > 0 .
Cap. 4 Vectores 145
Cada vector puede ser representad« por muchas flechas, dependiendo del 
punto de partida (lo cual darí lugar a un diferente punto de llegada) tal co­
mo lo Indican las flechas de la figura 1 todas las cuales representan al mis 
mo vector ¡ * (â . a2) .
Es asi que cada flecha determina un Gnlco vector ¡ al cual se le pue 
de representar en cualquier parte del plano siempre que la misma flecha haya 
sido desplazada de su primera posIcICn 4-út habexU. efectuado ninguna ¡wtcu ¿S
Por esta razén es que a los vectores también se les llama VECTORES LI­
BRES. Ademls, a cada punto del plano se le puede asociar una únlct flecha que 
partlendc del ORIGEN llega hasta dicho punto ; tal es el caso del punto R. 
Asi, los puntos del plano también representan vectores, los que son denomina­
dos RADIO VECTOkES.
4.1 SUMA DE VECTORES
Dados i • (flj, a2) y b ■ (bj,b2) entonces el vector su­
ma á + b - (aj + bj , a2 + b2 ) puede ser representado como siguíí
Se ronsldera un punto de pertlda P0 cualquiera. La flecha que represen
ta al vector a se traza de3.de P0 hasta ubicar al punto de llegada Pj
en la forma descrita anteriormente.
A partir de P} se traza la flecha que representar} al vector b ubican 
do de esta nunera al punto de llegada P2 .
SI desde P„ hasta Pj se traza una sola flecha, ésta representarS al ..
vector a + b , pues tendrá un desplazamiento horizontal total de a} +
bj unidades , y un desplazamiento vertical total de a2 + b2 unidades.
146 Vectores Cap. 4
La misma flecha que une PQ con P2 y que representa al vector S + b pu­
do haber sido construida dibujando primero la flecha que representa al vector 
} , y a continuación la del vector i dando lugar a la relacICn conmutati­
va a ♦ b * b + i asi como a la relaciCn conocida como REGLA DEL PARA
LELOGRAMO tal como se ilustra en la Figura 3.
4.2 MULTIPLICACION (GRAFICA) DE UN VECTOR POR UN NUMERO REAL
Dado un número real r . también llamado un z&caltvi, y un 
vector a « (alt a2) entonces el vector
ra » (raj. ra2)
el cual se dice que es el vector r vece¿ á , 6 que es un múltiplo di a ,
puede ser representado corno en las figuras siguientes :
En particular el vector -5 » (-«j» -a2) es representado por una 
flecha del mismo tamaflo que el vector á pero dirigido en sentido contrario.
0 X
Cap.** Vectores 147
*1.3 RESTA DE VECTORES
Dados los vectores á y b . 
la sta i - b ■ a + (-b) re­
sulta ser la sum del vector á con 
el vector -b y estS representada 
en la figura adyacente.
0 X
4.4 NOTA.- Si se considera una flecha que part¿ de un punto P„ y lie 
ga hasta Pj para representar al vector á y si además se 
consideran a los puntos P0 y Pj como radio vectores entonces, por lo ante 
r.ormei.te expuesto, tenemos que
5 - Pj - P„ = t Pj * Po + 5
Esto quiere decir que para conocer analíticamente el punto de llegada Pj de 
un vector a teniendo como dato el punto de partida P„ , se toma al punto 
P„ como radio vector y se le suma el vector a .
Es por esta razún que en el curso de Física es común representar a 
un vector mediante sus puntos de partida y de llegada en la forma
Además, cada punto P es Identificado con el radio vector OP que parte 
del origen.
148 Vectores Cap. k
4.5 EJEMPLO.- Para encontrar el punto de llegada de la flecha que represen
ta al vector a * (2, 4) sabiendo que el punto de apoyo (6
punto de partida) es el punto P » (-1. 2) proceden», co"d sigue
=*► Pj * P0 + á - (-1.2) + (2.4) - (1. 6)pi - po
4.6 PROBLEMA.- Probar qub si PQ » (*Q, y0) y Pj * (Xj, i/j) entonces el
punto medio M del segmento que va desde P0 hasta Pj es
igual a : H - | fe, + V •
SOLUCION Puesto que el vector ra tiene longitud |r| vjces el vector a
entonces, si a » Pc Pj » Pj - P„ y H ■ Punto Hedió entre PQ y Pj .
1 -
2 3 
H 
N
4.7 PROBLEMA.- Para todo punto B del plano . demostrar que
AC - ÁB + BC 
dor le A y C son puntos del plano.
4.8 PROBLEMA.- Sea ABC un trISngulo y P, Q y R los puntos meOlos de 
sus lados. SI M es un punto Interior del trISngulo, probar que
KA + MB + MC - MP + MQ + MR A
SOLUCION Como datos tenemos 
pH - i BA • | (A - B)
QB - | CB . | (B - C)
RC - i AC - - (C - A)
2 2
Cap.*t Vectores 149
Por lo tanto 
MA + MB + MC *
« A - M + B - M + C - M
- (A - P) ♦ (P - M) ♦ (B - Q) + (Q - M) + (C - R) + (R - H)
- PA + MP + QB + MQ + RC + MR - PA + QB + RC + MP + MQ + MR
* j ( A - B ) + | (B - C) + | ( C - A ) * M P + MQ + M R « MP + MQ + MR .
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Probar que AB + BC + CD • AD .
2. Si P, Q, R son los vértices de un triángulo, probar que PQ + QR +
+ RO - 6 .
3. Ilustrar gráficamente lasui a ♦ b ♦ c * 0 .
4. Sea á > (2, -1), i = (3, -3); una flecha que representa al vector v«
2á - 4b tiene corno punto terminal (5, 5). Hallar el punto inicial.
5. Muestre analítica y grSficamente que existen números r y s que satis­
facen la relacifin c ■ r¡ + sb donde
a) á ■ (5, 1) , b - (3, 5) , c « (5, 4)
b) i - (2, -1), b - (3. 2) . £ ■ (5, 2)
6. Desde el punto A • (-3, 1) se ha trazado un segmento al punto B * (4,
-2). ¿ Hasta qué punto es necesario piolongarlo en la misma direccifin pa 
ra que se duplique su longitud ?.
7. Del punto A - (0, -1) se traza un segmento al punto B • (-4, 3). ¿ Has 
ta qué punto es necesario prolongarlo en la misma direccifin para que se 
triplique su longitud ?
8. Hállense los puntos simétricos respecto al origen de coordenadas de los
puntos a) (3, 4) , b) (-6. 3)
Clave de Respuestas
4. (13, -5) 6. (11. -5) 7. (-12, 11)
8. a) (-3. -4) b) (6, -3) .
f
150 Vectores Cap. 4
5 PARALELISMO DE VECTORES
Dado un vector i , su múltiplo r á es un vector que
indica la misma dirección que el vector á si r >0, e indica la dirección
opuesta si r <0 , donde la dirección estS dada por la inclinación del vec­
tor con respecto al eje horizontal X .
Al representarlos geoi §tr1 cántente, los tres vectores resultan paralelos entre 
sf, lo cual sugiere la siguiente definición analítica.
5.1 DEFINICION .-
1) Jos vectores £ y b no nulos TIENEN LA MISMA DIRECCION (es decir, el
mismo sentido) si i es un múltiplo positivo de b , o sea, si
á * r b para algún r >0
2) Dos vectores £ y b no nulos TIENEN Dir.ECCIONES OPUESTAS (sentidos o-
puestos) si a es un múlt'plo negativo de b :
i • rb para algún r <0
5.2 DEFINICION Do' vectores £ y b son PARALELOS (y se de.iota
£ // b ) si uno de ellos es un múltiplo real del otro. Es decir,
a // b s — t [ a * sb ó b » ti , para algún s
ó t e R )
5.3 NOTA.- E1 vector 0 se considera paralelo a cualquier vector £
pues Ó » 0. £ , donde 0 es el cero real .
5.4 EJEMPLO.- Los vectores i ■ (1, -4) y b ■ (-2, 8) son paralelos:
b * (-2, 8) ■ -2(1, -4) « (-2) í ; mas aún, por ser
Cap. 4 Vectores 1S1
b un múltiplo negativo de a , entonces á y b tienen direcciones opues­
tas.
SOLUCION Los vectores á ■ (4. 4) y b - (2, 1) no son paralelos,
Kjes si asi lo fuese existiría un número r tal que
a » (4. 4) = rb - r (2, 1) * (2r, r)
y de la igualdad de las primeras y de las segundas componentes se tiene que
4 « 2r y 4 ■ r , respectivamente, es decir, r * 2 y r = 4 simultSnea
mente para el mismo r , lo cual es absurdo.
5.6 PROBLEMA.- Dados los puntos A ■ (-4, -1) , B = (3, 2) y C *
(2, -2) , hallar un punto D cuyas componentes son positivas de manera que 
cuadrilStero ABCD sea un paralelogramo.
SOLUCION Existen tres posibilidades para el punto D según la grSflca , 
puede ser Dj 6 D2 también , pero como las componentes de D deben ser 
positivas elegimos el que se encuentra en el primer cuadrante.
Y como ABCD debe ser un cuadrilStero entonces el vector ü ■ BD debe ser 
igual al vector AC , el cual viene a ser una traslación del vector ü ; lúe
9°l BD - AC ==> D - B - C - A
asi que D - B + C - A - (3. 2) ♦ (2, -2) - (-4, -1) - (9, 1)
S.7 PROBLEMA.- Dado un cuadrilStero ABCD se construyen los puntos me
dios M, N, P, Q de los Tados del cuadrilStero. Demostrar que MNPQ es un 
paralelogramo.
SOLUCION Según la figura demostraremos que
152 Vectores Cap.1*
- | (BC ♦ CD)
- ± (BA ♦ AD)
- i BA ♦ ¿ ÁD
- MA ♦ AQ - MQ
La prueba de (b) es análoga.
5.B EJERCICIO.- SI A y B son dos puntos cualesquiera del plano, 
demostrar que BA * - AB .
SOLUCION. BA - A - B • - (B - A) - - ÁB .
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar el valor de n , si existe, para que el vector (1. m) sea para 
lelo a : a) (2,6), b) (3,-2), c) (4,6). d) (0,2).
2. Dddos los puntos A • (2, 5) . B - (9, 2) . C - (-3, 4), encontrar un
punto D de tal manera que ABCD sea un pa ra1elogramo.(Tres soluciones)
3. SI a y b son paralelos a c probar que 5 y b son paralelos entre
sí.
4. SI d ■ b ♦ c y sí b // c , probar que d es paralelo a á si y so­
lo si c es paralelo a a .
5. SI á - (a . a2) y b * (2, -4)/3 tienen direcciones opuestas y si
í2 ♦ a2 ■ 25 , hallar a2 - Sj .
6. Si el vector á ■ (1, IB) es expresado como á ■ x ♦ y donde x H b, 
y // c y si b - (-1, 4) , c - (2m, 3m) , hallar el vector x .
7. Sea el triángulo ABCtal que AB ♦ BD * (1/3) AC . Si DS // AB , in­
dicar cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas :
I) SD- ¿CB ♦ BA - i
II) DS - (1/3) AB
III) BD - ̂ AC - | DS
CA
A D C
Cap. ‘ t Vectores '53
Clave de Re s p u e s t a s.-
1. a) m - 3 , b) m • -2/3 . c) ai - 3/2 . d) m no existe ;
2. (-10. 7). (14, 3), (4. 1) ; 5. 3 ✓! ;
6. x • (-3. 12) . si m t 0 ; 7. I) V . II) F . III) V .
6. LONGITUD 6 NORMA DE UN VECTOR
Dado el vector á * (a¿, a2) se define la LONGITUD DEL VECTOR á y se 
le denota por |a| al nCmero :
|á| - /aj + a*
A este nCmero | £ | también se 1« 
llama NORMA DEL VECTOR i .
6.1 Ej e mp l o s .-
1) Si ¡ • (3, -4) entonces |S| ■ i (-4)2 ■ 5 .
2) SI á ■ (D, 0) entonces |£| • D .
3) Sea a ■ (a., a,), sí a f D entonces |S| t O pues si á f (0. 0) en
2 2 "" tonces â f 0 6 sino a2 f 0. luego ax + a2 > 0 y por lo tanto
|á| » /aj + a2 > 0 = » |á| t 0 .
6.2 NOTA. Dados dos puntos P̂ » (*j, y^) y P2 » (*2, y^) en el plano
2
n i entonces sq tiene que:
I P1P2 I * * C PI. P2 ] ■
En efecto,
I P1P2 I * h*2 * V H - »1* I " /<*2_Jtl)2 + *»2 "»I** ‘ Pl- P2]
6.3 TEOREMA (PROPIEDADES DE LA NORMA DE UN VECTOR).-
. • 2
Dados los vectores a , b c R , y r c R . entonces
1) |¡ | > 0 . I*) |¡| * 0 « = * i - 6 .
2) | r 5 | - I r| | 5 J . |-5| = |5|
154 Vectores Cap.4
3) |5 + b| < |a| + Ib | DESIGUALDAD TRIANGULAR
PRUEBA. (1) Se sigue de la deflnicifin y del ejemplo (3).
(2) Co»o rá - (raj, ra2) p®ra ¡ ■ (a^ a2) :
|rá| - / (raj)2 ♦ (ra2)2 • /r2 (a2 + a2 )
• /? ~ . /aj + a2 ■ | r|. |a |
(3) La desigualdad Triangular serS demostrada posteriormente en base a la De
{Igualdad de Cauchy-Schwarz.
6.4 EJEMPLO Dado el vector á ■ (4, -3), la longitud del vector 3i es
13a| * 315) M 3 / 42 + (-3)2 * 3/25 * 15
y la longitud del vector (-35) es :
1-35| - |(-3)S| - ¡-3).|5| - 3/25 - 15
6.5 PROBLEMA Encontrar el valor de t para el cual el valor de |5| es
mínimo donde 5 » (2 - 3s, 1 - 4s) .
SOLUCION
|5|2 - (2 - 3s)2 + (1 - 4s)2 - 25s2 - 20s + 5
- 25[s2 - (4/5)s + 1/5]- 25[(s - 2/5)2 + 1/25]
i¡ i - s / u - f ? * i
2
En el radical, la erpreslfin (s - 2/5) siendo un cuadrado es siempre mayor
o Igual que cero, siendo ceAo su valor mínimo el cual ocurrir! para s “ 7/5. 
El vector correspondiente es 5 * (4/5, -3/5) y el valor de |5| es 1.
6.6 VECTORES UNITARIOS
Un vector ü es UNITARIO si su longitud es Igual a 1, es decir, si |ü|» 1.
Por ejemplo, el vector ü ■ ^ (-4, 3) es unitario pues
|ü| ■ if (-«• 3)1 ■ 3)1 ■ | / i * « ) 2 + 32 ‘ I ^ ‘ 1
SI 5 f n el vector unitario G que tiene la HISMA DIRECCION que el vector 
5 tiene la forma :
Cap.** Vectores 155
¡i - — ■ 
l'l Ia I
y el vector unitario v con 
DIRECCION OPUESTA al vector 
a tiene la forma :
áv ------
H
En la figura adyacente, i * (4, 3) y |á| ■ 5 , por lo tanto ü ■ ^ (4, 3)
y el opuesto v « - i (4, 3) - (-4/5,-3/5) .
Si ü es un vector unitario con una dirección dada, cualquier vec
tor (unitario ó no) que tiene la misma dirección que u tiene la forma k ü
con k > 0 (es decir, es un múltiplo positivo de ü), y su longitud coincide 
con el número k .
6.7 EJEMPLO Dado el vector i » (12, -5) encontraremos el vector unita 
rio ü que tiene la misma dirección que á , asi como el vector unitario v 
que toma la dirección opuesta a i,; como
|á | « /l22 + (-5)2
ü * ñ / | 5 | - (12, -5) « ( ^ , ̂ -);
/169 - 13 ,
i
13 ' 13’
entonces
á . 12 5.
* ---- “ ( " — , — )
la I 13 13
6,B NOTA.- Los vectores unitarios que siguen las mismas direcciones de
los semiejes positivos X+ y Y+ se les representa por 1 ■
(1, D) y J ■ (0, 1) , respectivamente.
AdemaS, todo vector á ■ (â , a?) se puede expresar en términos de los vecto-
Yres *. y j en la forma : 
5 * aji ♦ a2 j ■
Por ejemplo,
(5, 9) • 5* ♦ 9J
(®1’ a2>
6.9 PROBLEMA.- En el segmento AB donde A • (-2, 2) y B ■ (6, 8) 
encontrar un punto P que distt 4 unidades dt punto A y un punto Q que
¿56 Vectores Cap. 4
diste 5 unidades del punto B .
SI ü es el vector 
unitario que tiene la misma direc­
ción que AB ■ B - A ■ (8, 6)
donde |AB| ■ 10 unidades, entonces 
los puntos P y Q segün la grí- 
flca son :
P « A + 4 ü
Q - B - 5 u
y como ü * AB / | AB | * ^ (8, 6) ■
P - A + 4 ü - (-2, 2) ♦ 4 (4/5,
Q ■ B - 5Ü ■ (6, 8) - 5(4/5,
(4/3, 3/5) entonaces
3/5) - (6/5, 22/5) 
3/5) - (2, 5)
7 ANGULO DE INCLINACION DE UN VECTOR EN EL PLANO
SI se considera un vicXei unLUuúo u * (u^ u2) y su represen­
tación como radio vector, el Sngulo B formadc por el vector ü y el eje X 
cono en la figura donde B es medido a partir del semieje positivo de las X 
en ¿¿nt'do ant¿he»UL\¿o. En este caso 
se puede expresar a Uj y u2 en 
funclfin de 6 como sigue :
Uj ■ eos 6 
u2 > sen 6
y por lo tanto el vector ü como
(eos 6, sen 6)
Esto Indica que para cada vector unitario (u
u2) existe un único Sngulo 6 ,(0 < 6 < 2» ), tal que ú
1 *
(eos 6, sen 6)
A este Sngulo 6 se le llama ANGULO DE INCLINACION DE ü. AdemSs, todo vec 
tor i M se puede representar como
» * 1*1- ¡4- 6 á * - | a | (- p-¡)
U a |
Cap.** Vectores 157
Asi, si se tiene la ecuación: a ■ kw , donde |w | « 1 y k eR, en­
tonces |®| = 1 k w | = | k | = > k = ± | a | (dos soluciones) .
Pero, si se elige al vector ¡I = (eos 0, sen 0) como el vecton. uniXa/Uo con 
la. m¿&ma icte .cifn que I entcnces
5 = | i | ü « = => i = | a | (eos 0, sen0)
En esta situación, al Sngulo 0 se le llama el ANGULO DE INCLINACION del
vector no nulo a .
7.1 NOTA De la definición anterior se sigue que si se tiene á = kw don­
de w es un vector unitario en la misma dirección que á, ento.ices k = |a | 
es la solución y es la única solución.
7.2 PROBLEMA.- Si á - (alf a2) , |¡| - 3 , y a ^ - 2 ,
hallar el vector á .
SOLUCION
V a2 = 2 — * al ' Za2
á = (dj, a2) » (2a2, a2) - a2(2, 1)
i * (/la,) ^ donde w = (2, 1)/ /5 es unitario.
2 / 5
/S a2 = ± |5[ = ± 3 
==> a2 = ± 3 / / T = > at ■= ± 6//~5 .
Por lo tanto existen dos soluciones posibles para á :
i = (6, 3) /V T y á ■ (-6. -3///T
7.3 PROBLEMA.- Hallar el seno del Sngulo de inclinación 6 del vector
l ■= (8, -15) .
SOLUCION Como |í| = 17, el vector á puede expresarse como
a = 17(8>17, -15/17) ó á - -17(-8/l7, 15/17)
pero para conocer el Angulo de IncLinacíón 6 de á se considera solamente la
representación con el signo + es decir :
5 * + | i| (eos 6, serB) con el coeficiente + |á |
Por lo tanto (eos 8, sen 6) » (8/17, -15/17) — >
- + 17 .________
sen 0 = -15/17
158 Vectores Cap. 4
S'tfIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
1. SI á * (íj, *2) , |á) ■ 2, a ,’a2 » 4, hallar á (dos sol'jclones)
2. Un vector á tiene longitud 5 y el punto de apoyo en (1, -1). Encon­
trar el vector i si la abscisa del punto terminal es 4.
3. Probar que si P t Pj entonces los puntos que trisecan al segmento que 
va de P a P. tienen la formaO 1
(P„ ♦ 2Pj)/3 y (2P0 + PjJ/3
4. En el siguiente exSgono . ¿guiar de lado Igual a 5, Indique qué vectores -
son Iguales y tr.r «nt.re la suma de todos los vectores de la figura en for
ma geométrica y en forma analítica.
X
5. SI L, Ht N son puntos medios de los segmentos BC, CA y AB respectlvamen 
te y Q es un punto cualquiera demuestre que
a) QA + QB + QC - QL+QH+Q*¡
b) A L + B M + C N - 6
6. Conociendo los vértices adyacentes de un paralelogramo A > (2, 0),
B - (-3, 3) y el punto de Intersección de sus diagonales Q • (-1. 0) 
hallar los otros dos vértices.
7. Hallar los vértices de un triSngulo, sabiendo que los puntos medios de - 
sus lados son M - (-1. 7)/2, N - (-3. -4)/2, P - (4, 3)/2 .
B. Hallar la longitud de la mediana del lrdo PQ en el triSngulo cuyos vér­
tices son P ■ (3. 7), Q ■ (-4, 0) y R * (1, -4).
9. El segmento cuyos extremos son A - (-2, 3) y B ■ (4, -1) estS dividi­
do en tres partes iguales. Halle los pur.tos de trisección .
10. El segmento cuyos extremos son A « (3, 2) y B * (18, 7) estS dividido 
ef; cinco partes iguales. Halle los puntos de división.
11. Demuestre que la linea media de dos lados de un triSngulo es paralela al 
tercer lado.
Cap.** Vectores 159
12. Un av16n se dirige al NE a 720 km/h (su velocidad >-elativa alaire) .
El viento estS soplando hacia el sur a 120 km/h. La velocidad v^ del -
avión con respecto a tierra es la suma (resultante) de los dos vectores -
anteriores. Determinar v-j. grSfica y analíticamente.
Encuentre su iuLp¿déz , es decir |v̂ | .
13. Si 5 * (m, 2m), b // á , á - b * Í2m, p) y |á - b| » 20 , calcular
| b| dorde m f 0.
14. En la figura, si q = ¡ + b + c determinar q sabiendo que la segunda
componente de q es cero, |Í>| * 20,
|S | - 10 /2 , y que la primera com
ponente de c es igual a 20.
Asumir que sen 37° - 3/5.
15. Se tienen los vectores ¡ » r p , 
b = tq , c * (-3, 2 /3); cal­
cular | b 1 si
c ■ r p + t q
16. En la figura, si P es un punto tal 
que el Srea del triángulo o es cin­
co veces el Srea del triángulo P , 
calcular |P| .
17. Encontrar el coseno y el seno del ángulo de inclinacifin de los vectores:
a) (-2, 3) b) (1, 1) c) (1, 6)
d) (4, 1) e) (-8. 6) f) (3. -4)
9) (D. -3) h) (4, 2) i) (-15, -8)
18. Dados los vectores ü * (a, -b) , v * (2b, c) , ü + v « (1, 1) , si
ü // v calcular ab/c.
19. Hallar la longitud de la suma de los vectores unitarios u y v si ü 
tiene la misma direccifin que ¡ * (4, -3) y v tiene la direccifin núes
Y
V b a /
3 7 ^ \
0 X
160 Vectores Cap.4»
ta a la de (-5, 0).
20. Sean a y a dos vectores *1e f2 tales que o es el vector opue ;to
de < . Si b tiene el mismo sentido que el vector c • (-1/3. 1/4) y
|á| * 5 . determinar el vector x * 2 b + i .
21. Encontrar el valor mínimo de |a| si á » (3s - 1, s - 2) donde s c R.
22. SI ABCD es un hexSgono regular cuyo lado mide ^21 unidades, determi­
nar
I 5 « + f CF I
Clave de Re s p u e s ta s
I. 5 - ± (8. 2)/ /Í7 ; 2. ¡ » (3. ± <4) ; 3. A - P„ + | P^Pj .
B * po * f ! 4. FA - DC . BC - FE , *uma - (iO. 0) ;
6. C - (-4. 0) . D - (1. -3) ; 7. A - (1. -4) . B - (3. 7) . C - (-4.0)
B. /226/2 ; 10. (6. 3). (9. 4). (12. 5). (15. 6)
II. Si M y N son puntos medios- de AB y AC entonces
MN - N - H - ^ - 5 - - i (C - B) - BC /2 . luego W¡ - ± BC
12. VT - (360/ F . (360/2) - 120) ; 13. | b | - 10 ; 14. q-(14.0);
15. | b | - 5 ; 16. 5/ÍO/3 ; 17. a) eos - -2/ , sen * 3/^13 ;
c) eos - 1//37 . sen - 6//37"; g) eos - 0 . sen - -1 ;
1) eos - -15/17 . sen - -B/17 ; 18. ab/c - -1/2 ;
19. (9. —3)/S ; 20. x - (-4. 3) ; 21. /5/2 .
8 0RT0G0NAL1DAD Y PRODUCTO ESCALAR . EL VECTOR ¡X
La palabra oitogonal es sinónimo de peipemUcuto/i ; si a y 
b son los lados de un paral el ogramo. entonces los vectores à + b y
à - b son sus diagonales. Geométricamente se tiene que ¡ es o.-togonal a
b si las diagonales tienen Igual longitud ; es decir, si es que el parale-
Cap.** Vectores 161
logramo es un rectSngulo como indica la figura que sigue.
8.1 DEFINICION.- Dos vectores a y b son ORTOGONALES ¿Z, si
| i + b | * | á - b |
8.2 NOTACION.- Si á es ortogonal a b se denota a X t
8.3 EJEMPLO. Los vectores á * (2, 1) y b « (3, -6) sor ortogonales en­
tre si , pues siendo a ♦ b » (5, -5) , 5 - b * (-1. 7)
entonces r—------ -
| á ♦ b | - /5 + (-5) - /5Ó
| a - b | » /(-1) ' + 72
De la definición 8.1 de ortogonal1dad de dos vectores i * (â , â ) y 
b = (bj, b2) la condición |a + b| ■ | á - b | es equivalente a
la igualdad:
, 2 -| i * b |2 I 5
(at ♦ bt)2 + (a2 + b2)2 - (aj - bt)2 - (a2 - b2)2 - 0
4albl + 4a2b2 
aibl + ®2b2 (*)
La expresión Sjbj + a2b2 resulta ser de considerable importancia en las
ramas del Algebra, la Geometría y la Física , y en razón de ello recibe un 
nombre especial.
8.4 DEFINICION.- EL PRODUCTO ESCALAR á.b de dos vectores 
a * (aj, ®2) y b * (bj, b2) se define de la si­
guiente manera :
162 Vectores Cap. k
PRODUCTO ESCALAR b » aibi *2b2
8.5 NOTA.- De esta definición se sigue que tZ P/Lodu:£u E¿calan, u un
nümvw Htat y no un vecton . También recibe el nombre de 
Producto Interno .
Puesto que |a + b|2 - | i - b | 2 “ 4 ¡ . b , la condición de
ortogonalIdad (*) puede ahor? ser expresada en términos del Producto Esca­
lar de la siguiente manera :
8.6 TEOREMA.- Dos vectores á y b son ORTOGONALES si y sola­
mente si: á . b » 0 .
Este teorema proporciona un criterio mas sencillo para determinar la or 
togonalldad de vectores como en el caso del Ejemplo 8.3 en que á ■ (2, 1) 
y b » (3, -6), los cuales resultarían ortogonales entre si pues
á . b • (2.1). (3,-6) - 2x3 + 1 x (-6) • 0
mientras que los vectores c ■ (2, 6) y d • (-2, 3) no son ortogonales -
entre si pues ______
c.d - (2.6). (-2,3) - 2 x (-2) + 6x3 - 14 f 0
8.7 EJEMPLO.- Hallar el producto escalar de a • (-4,8) y b * (3,1) :
i.b - (-4,8) . (3,1) - (-4)x3 + 8x1 - -4
8.8 PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR
Dados los vectores 5 * (alt a2) , b - (bj, b2) , c ■ (Cj, c2) y 
el número n.al r se cumple que
1) á . b - b . i (Conmutativo)
2) (r 5 . b) ■ r (a . b)
3) i . (b + c) - 5 . b + i . c (Distributivo)
4) i . á « | i |2 * + a2 > 0 ; á . á ■ 0 <=^> i » 6
Cap. ‘t Vectores 163
5) |á + b|2 - |á|2 + 2i . b + |b |2
6) |a - b| - |a|2 - 2¡.b ♦ |t|2
La demostración de estas propiedades es muy sencilla, de modo que 
solamente haremos las de (2) y (5) ; las demSs se dejan para el lector:
(2): (ri.b) - [ (raj, ra2) . (bj, b2) ]
{rajJbj + («2)b2 - r ( a ^ + a2b2)
- r (5 . b)
(5): Usando la propiedad (4) para el vector (i + b) tenemos que se­
gún (1) y (3) ,
(5 + b) . (i + b) * (i + b). a + (á + b) . b
(I. á + b.a) + (á.b + b . b)
» | á |2 + b.I + á.b + | b|2
* | á |2 + 2 á.b + |b|2
. - 2
y por otro lado: (a + b) . fá + b) » | i + b | (Prop. 4)
De esta forma hemos demostrado la propiedad (5) que se diferencia del cua­
drado de una suma de números rea íes en que el dbblt pfioducXo es el dobL¿ 
producto ucaJtaJi de los vectores á y b .
Sintetizamos las propiedades (5) y (6) en la siguiente fórmula
| á ± b |2 - |á|2 í 2 á.b + |b|2
8.9 TEOREMA DE PITAGORAS.- Dados los vectores £ y b en R2, entonces
5 1 b c ? |a + b|2 » | » |2 + |b|2
PRUEBA.- La demostración es directc pues sabemos que: i 1 b si y solo
s1 á.b « 0 ; luego utilizamos la relación (*).
8. ID EL VECTOR i-J-
Dado el vector á • (â , a2) se construye el vector (-a2* 
el cual puede comprobarse que es ortogonal a a , y tiene la misma longitud; 
su representación grSfica es tal que pareciera que el vector a ha girado
164 Vectores Cap. ‘t
9G~ en sentido antihorario. 
Este vector se denota por :
(-a2. a,)
si es que 5 * (Bj. a2) . 
Note que
(á"L)1 - a
8.11 NOTA.- Obsérvese que fl . á « o para todo vector 5 , tanto
grifica como analíticamente.
8.12 TEOREMA.- Dados los vectores 5 * a2) y b » (bj, ! ,) , ambos
no nulos» entonces:
i es ortogonal a b c ? 5 -*- // b
DEMOSTRACION. Siendo a f 0, por lo menos una de las componentes de a
es diferente de cero. Supongamos que a( f 0 ; luego,
5 JL b < = » 5 . b - Bjbj + «2b2 » 0 <— =*
«= » L- (bj, b2) - ([-a2b2/a, ], b2)
«=*> b- [b2/a1] {-a2. Bj) - [bj/ajJS-1-
e 1 S y b son paralelos
8.13 COROLARIO.- Dados los vectores 5 y b no nulos, entonces
a y b no son paralelos <-=> a . b t 0 6
PRUEBA.- Puesto que el teorema anterior es una equivalencia, entonces
es ortogonal a b (y del mismo modo
bl ' * a2b2 /ai
S'L . b t 0
5 y b rio son paralelos <=* 
que b^ro es ortogonal a i ) i 1 . b t 0 (6 a . b"*■ f 0 ).ri
8.14 PROBLEMA.- Los lados de un triSngulo son los vectores 5 , b y 
a-;k . Si |b | * 3 , 5 . b ■ 4 y |a + b | « 9 ; hallar | á | .
SOLUCION. 81 * | 5 + b |2 ■ |i|2 + 25 . b + | b|2 - |i |2+ 8 + 32
Cap. k Vectores 165
8.15 PROBLEMA.- Encontrar todos los valores reales de x tales que el
vector (x. 2x + 1) sea paralelo a (2x - 1, x + 2).
SOLUCION.- Sean a > (x, 2x + 1), b * (2x - 1, x + 2) ; aplicando el 01U
mo teorema se tiene que: á U b si y solo si 5^". b >0 , donde S"*-»
{-[2x ♦ 1], x) ; entonces
(-[ 2x + 1 ]. x) . (2x - 1. x + 2) ¿ 0 < = >
-[ 2x + 1], x)(2x - 1) + x(x + 2) - 0 <==> 3x2 - 2x - 1 »0
<=*■ (3x + l)(x - 1) - 0 <==> x - -1/3 6 x - 1 .
8.16 PROBLEMA.- Sea el rectángulo A8CD cuyos vértices son A - (-1.6),
B - (2,3). C y D . SI AC // (3.1) . DB J. (-3.1) y
el Srea del rectSngulo es de 36 u2 . hallar los vértices C y D .
SOLUCION.- Considerando el vector unitario ü enla dirección de AB * 
(3, -3) tenemos que
|Á8| - 3/2
¡5 - ÁB/ | AB| - (1.-D//2 
AdemSs, ab ■ 36 , donde 
a - |Á8| - 3/2
b - 36/a - 6 /F
Por lo tanto,
C ■ B + b ü
D * A + bu
= * C - (2, 3) + [6/2U.l)//2] - (8.9)
D - (-1.6) + [6/2(l.l)//2] - (5.12)
8.17 PROBLEMA.- Encontrar los vectores á y b tales que a + £-*■ »
(-1. 5). á + b es ortogonal a (-5. 3). ¡ + b es
paralelo a (1, -1) y i . b + 11 ■ 0 .
SOLUCION.- Sean á - (a^ «2) . b » (b1, b2) . entonces de los datos:
i + b 1 - (-1. 5) ... (1) , (S1 + b) . (-5,3) ■ 0 ... (2)
(á + b) // (1,-1) <=*> (á + b).(l.-l)1 »0
«==» (i + b) . (1. 1) * 0 ... (3)
á . b * - 11 ... (4)
Multiplicando escalarmente la ecuación (1) por el vector b resulta que
166 Vectores Cap. k
bt - 5b2 + 11 (5) [ usando (4) ]
al - b2 * -1 (6) [ usando (1) ]
a2 + bi - 5 (7) [ usando (1) ]
3(b2 + 8j) - 5(bj - a2) (B) [ usando (2) ]
•l + b2 - - (a 2 + b j) . ■ (9) [ usando 0) ]
Resolviendo el sistema se obtiene : - -3 , a2 - 4 , bi-1
Asi, S - (-3, 4) y b - (1. -2)
8.18 PROBLEMA.- En la figura, ABCD es un cuadrado y ABE un trISi.gulo 
equllítero. SI A ■ (4, 9) y B - (12, 3), hallar el
vector DE + CA .
SOLUCION.- Encontraremos los 
puntos C, D y E . El vector u 
en la dirección de A8 es 
ü - AB /1ÁB1
y como A8 * B - A - (8, -6)
y a ■ |A8| - 10 (el lado del cua
drado) entonces h ■ (a/2) /3 
pues el trISngulo EM8 es rectín_ 
guio de 3r* y 60° . De esta ma
ner#: h - 5/3
ü ■ (8.-6)/ | (8,-6) | - ^(8,-6) - (f 
¡r1- * (3/5. 4/5)
C - B + a(-üx ) - B - 10üx ■ (12,3) - 10(3/5,4/5) - (6, -5)
0 - C + a(-ü) » C - 10 ü - (6, -5) - 10(4/5, -3/5) - (-2, 1)
E - M + h( üJ_ ) ■ ^ (A + B) + 5/3 (3/5, 4/5)
- | (16, 12) + (3/3. 4/3) - (8 + 3 /3. 6 + 4 /3)
Luego, DE ■ E - 0 * (10 + 3 / 3 , 5 + 4/3)
CA - A - C - (4, 9) - (6, -5) - (-2, 14)
y DE + CA ■ ( 8 + 3 / 3 , 1 9 + 4^3).
A continuación presentaremos una desigualdad muy Importante en la 
teoría vectorial y que se cumple en cualquier espacio Rn .
Cap.** Vectores 167
8.19 DESIGUALDAD DE CAUCHY - SCHWARZ .-
Para todo par de vectores a y b se tiene la siguiente 
propiedad relacionada al producto escalar llamada la VES1GUALVAV VE CAUCW-
SCHWARZ |--------------------
! |á.b | < |a||b|
Para la demostración de esta desigualdad ver los Problemas Propuestos (6) y 
(8) de esta sección.
Esta desigualdad es equivalente a
- |á 11 b| < i.b < |i||b| I (*)
La igualdad estricta en el lado derecho se satisface si es que a y b son
paralelos y tienen la misma dirección, pues en tal caso se tiene b « r ,
con r > 0 (si es que ninguno de los dos vectores es nulo), asi qu¿
_ _ _ _ 2
a.b * a . (ra ) * r(a.a) * r|a|
■ I r | | i | | i 1 , pues | r |-- r
- | a | | rí | - |á | | b |
La igualdad estricta en el lado Izquierdo se satisface cuando i y b son
paralelos y tienen diAícoionti opuíitai pues en tal caso b “ ra , con
r < 0 , asi que
_ _ . . _ 2
a.b - a . (ra ) * r(a.a) * r|a|
’ - M l » l l » l • Pues | r | - -r
- - | i | |ra| - - I 5 I Ib |
8.20 PROBLEMA.- Hallar un vector unitario a tal que el producto esca 
lar á . (-2. 1) tome su mínimo valor posible.
SOLUCION.- Según la desigualdad (*) si b ■ (-2, 1) , el mínimo valor
que puede tomar a.b es “ - | a | | b |" , que por la discusión anterior se
cumplirá en el único caso en que a // b y si tienen direcciones opuestas; 
y como a debe ser unitario :
á * - b/1 b| por la teoría de vectores unitarios , luege 
¡ = - (-2. l)//5 « (2/ /5 , -1//5 ) .
168 Vectores Cap. k
8.21 Desigualdad Triangular para la DISTANCIA .-
Dados dos puntos Pj y P2 en el plano, para cualquier otro punto 
P se cumple que:
dtP, . P2 ] í d [ f x . P3 ] + d[P3 . P2 ]
De la NOTA (6.2) : 
d[ Pj . P2 ] * ¡ V 2 I - |TIP3 + P¡?2| ... (Prob. 4.7)
i |P|P3 I + I P3P2 I (Deslg. Trlang.)
- d[V x . P3 ] + d[P3 . P2 ]
8.22 PROBLEMA.- Demostrar que todo Sngulo Inscrito en una semicircunfe­
rencia es un Sngulo recto.
SOLUCION.- Consideremos la circunferencia de radio r con centro en el 
origen, y el Sngulo 8PA . Demos­
traremos que PB 1 PA : A
(Lo que es equivalente a que 
PB . PA - 0 )
Puesto que |A | » |0A| - r ,
| P | • |ÓP| - r , B - -Á :
PB . PA - (B - P) . (A - P)
- (-A - P) . (A - P)
* - IM2 + lp|2 " -r2 + r2 - 0 .
B.23 NOTA Según los problemas anteriores se ve que las cuestiones que 
involucran distancias y ortogonalldad pueden ser resueltas 
con freLuencm usando vectores unitarios y el producto ucatax.
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS.-
1. SI a , b y c son vectores tales que: 5 + b + c « 0 , | j | ■ 3 ,
| b | ■ 1 , | c | ■ 4 , calcular el valor de a.b + b.c + c.a.
2. Demuestre que 5 + b y i - b son perpendiculares si y solamente si
|5| ' M .
Cap.4 Vectores 169
3. ¿ Para qué posición relativa de los vectores á , b y c se satisface la
ecuación: (a . c) b ■ (b . c)i ?
4. Demuestre que el vector b(a . c) - c (i . b) es perpendicular a á .
5. Demuestre que el vector b - (a * ) a es ortogonal al vector i .
I»'l2
6. Demuestre que para todo par de vectores a y b : |¿ . b | i | á| | b| ._ „ o
SUG. Puesto que , . - r b | > 0 . pata todo nwnesio r e R . desarro
lie dicho cuadrado para r ■ (a . b)/ | b|2 . en particular .
7. Utilizando el problema (6) demuestre la Desigualdad Triangular para to­
do par de vectores 5 y b: |S + T, | < |¿| + |b| .
SUG. Considere el cuadrado de |á + b | .
8. Demuestre que :
a) (a + b)-*- = á-*- + b-*- d) a-*- . b^- « á . b
b) i . b-*- « - a-*-. b e) (raj-*- ■ r
c) (a-*- )-*- = -a f) | | ¡| - |b | | < | i - b |
9. Demostrar que i) la-*- + b| « |í - b-*-! .
i i) a-*- + b ■ ¿ + b-*- =s> a * b
10. Si a - (-3,5) , b = (2,-3) , hallar la longitud del vector c para:
i) c * (i + b) . (¿ - 2b)b"L 1 i) c « (a . b) b-*- - (5̂ - . b) c
11. Pruebe que er cualquier paralelogramo la suma de los cuadrados de las Ion 
gitudes de las diagonales es igual al doble de la suma de los cuadrados de 
dos lados adyacentes.
_ • • 212. Dados los vectores a , b y p en R determinar los números r y s 
en términos de sus productos escalares de manera tal que el vector
p - ri - sb sea perpendicular a los vectores i y b simultánea­
mente.
13. Sea ABC un triángulo y H la intersección de las alturas que pasan por 
A y B. Probar que la tercera altura también pasa por H, es decir, que 
Hl es perpendicular a A8 .
14. Sea G » ^ (A + B + C) un punto del triángulo ABC y sea P cualquier
puntn, demuestre que
| PA |2 + |PB|2 + | PC|2 - 3 | PG J2 + |GA|2 + |GB|2 + |GC|2
170 Vectores Cap. ‘t
15. SI a y b son vectores en IR2 y tales que 5-*- + b"*- ■ a + b ,
demuestre que |a | « |b| .
16. SI i y b sor vectores paralelos no nulos, y a * (12, 5) es tal que
| a + b | ■ |a | | b| , hallar (a + b)-*- .
17. En la figura. ABCD es un trapecio, el triSngulo ABD es equIlStero, y el
trISngulo BCD es rectSngulo en D y tiene la hipotenusa BC de longitud 
10 /2 unidades. SI el Sngulo BCD mide 37° (considere sen 37° ■ 3/5),
8 - (-2, 4) y D * (4, -2), nallar el vector AC y el vector AH .don 
de M es el punto 
medio de la hipóte 
nusa BC .
A
18. Pruebe que c es paralelo al vector (b-*- . c) a - (i-1- . c) b .
19. Si 5 + b + c » 6 , y I | ■ 2, | b| * 5 . | c| » 6 . calcular i . b .
20. En la figura PQRS es un rombe 
tal que | PQ | * a .
Demuestre que
PR.SQ - 0
21. SI á // (/3, 1) , | ¡| » m , b - i S1 y i + /3 b - 2 (1, ¿3) . 
calcular n* - «i2 .
22. Demostrar que el ¡rea del triSngulo cuyos vértices son los puntos A • 
(*1> y { ) , (*2> y2 ̂ > (*3. V3) puede expresarse en la forma de un deter 
minante cono sigue (eligiendo por supuesto el valor absoluto):
1 *! Vi
1 x2 y2
1 x3 y3
23. Si á + b + c + d ■ 6 , calcular 2 c . d sabiendo que á + b « 6,
Cap. k Vectores 171
|c | - 3 , |d| - 4 .
24. Hallar vectores unitarios i tales que el producto escalar á. (2,-5)
i) tome su mínimo valor , ii) tome su mSximo valor posible.
25. Encontrar todos los valores reales x tales que el vector dado por
(x* - 5x3 + 5x2 - x - 3, 8x - 4) sea paralelo al vector (-3, 4) .
26. Hallar x e IR tal que si A = (x2 - 9, -x) , B = (1 - x, x2 - 8) ,
P = (2x2 - 1, x - 5) y ÁP + 3P8 - (0.0) .
27. Si i es un vectorunitario de R2 . la suma de las componentes de b
es 31 , y el mSximo valor de a . b es 41. Hallar los vectores a y b.
28. Si i y b son vectores no nulos del plano tales que | |a | - |b | | =
|á - b| , probar que £ estS en la misma dirección que b .
29. Si 2 a-*- - b = 2 b-*- - a , demostrar que (a + b) . (á - b) * 0
30. Si i + b * ( |b | , |i | ) , demostrar que 5 es ortogonal a b .
Clave de Re s p u e s t a s.-
1. -13 ; 3. Para todo par de vectores paralelos i y D , y cualquier
vector c del plano ;
13. Sean P , Q y R los pies de las alturas correspondientes a los vértices
A , B y C respeet., luego
H - A + rBC1 | BA - sÁCX - rBC1
H « C - s ÁC 1 J con s - (AB.BC/8C AC1 ),
HC - C - H * 8C + (AB . BC / BC . AC ■*") AC
Luego verifique que HC . AB * 0 sabiendo que
AC1 - (AB * BC)1 - ÁB-1- + BCX . y que 8C± .ÁB « -BC.ÁB1 .
16. b * (12. 5)/12 ó b - (-12. -5)/14 ;
17. A - (1 - 3 /3 . 1 - 3/3 ) . C - (12. 6) , M * (5. 5) .
19. 7/2 ; 21. 132 ; 23. 11/2 ; 24. 1) (-2,5)//29, 11) (2,-5)//29.
25. x e {-1 , 1 , 2 , 3 ) ; 26. El único valor común es x « -2 .
26. Dos soluciones: Ira.: b ■ (40, -9) , a = (40,-9)//1681 .
2da.: b » (-9, 40) . i - (-9,40)// 1681 .
172 Vectores Cap. 4
9 COMBINACION LINEAL DE VECTORES. INDEPENDENCIA LINEAL
Dados dos vectores no nulos y nc paralelos á y b , se tflce 
que el vector c es una COMBINACION LINEAl VE á y b si es que existen 
dos números reales r y s tales que
(*) s b
El hecho de que a y b 
no sean paralelos asegu­
ra geométricamente que se 
pueden construir los vec­
tores r í y l " oe 
tal manera que la suma 
de ambos sea igual a c.
Analíticamente, decir que i y b no sean paralelos equivale 
a que a . ¿ 0 y á-*- . b ¿ 0 (Corolario (8.13) ) y que por lo tanto
se puedan realizar los siguientes cÍIciUmí pcuta conoce*, r y s , a partir 
de la ecuación vectorial (*) c * rá ♦ sb :
1) Multiplicando ambos miembros dt (*) ej¡catajune.n,f poK ti victo*, i-*- :
donde á . a-*- • 0 ,
s
c.a-1 r a . á-*- ♦ s b . a-*- 
s b . c . a 
b . á-1-
2) Multiplicando ucaJtaAmtnte. ambos miembros de (*) por el vector bk-L -
c . b"*- * ra . b-*- ♦ s d .Í
■ r a . b-*"
donde b . bJ 0 .
c . bJ 
á . IJ
De esta manera se obtienen los valores correspondientes de r y s que re­
suelven la ecuación (*) .
9.1 TEOREMA I .- Dados dos vectores no nulos a y b en R' no panaleZoi 
entonces cualquicA. vccXoK c puede expresarse de manera
Cap.1* Vectores 173
única coro c ■ ra ♦ sb , donde los números r y s son calcula­
dos como en la explicación anterior.
9.2 TEOREMA II .-Dados dos vectores no nulos á y b . Si estos vectores
no ion panattlot , entonces :
r á ♦ sb - 5 ~ - r = 0 y s « 0 .
(simultáneamente)
PRUE8A.- Se sigue de los cálculos anteriores tomando en particular el vec 
tor c * 0 .
9.3 DEFINICION .- Cuando dos vectores a y b satisfacen el TEOR. II
se dice que a y b son VECTORES LIDEALMENTE INDE­
PENDIENTES en*.e ¿X .
En forma mas general, se tiene que dos vectores a y b son 
LINEALMENTE "NDEPE JIEWTES si se cumple la siguiente implicación:
rá + sb - 0 = [ r « 0 y s = 0 ]
En caso contrario , se di^e que a y b son LINEALMENTE PEPENDIENTES. Es
decir, si es que se presenta uno de los dos casos siguientes :
i) Si al menos uno de los vectores á ó b es el vector 0 , ó sino
ii) si á y b son paralelos .
9.4 Ejemplos .-
1. Los vectores á - (2. 1) y b * (0, 0) son línealmente dependiente« 
pues uno de los vectores es el vector 0 , en este caso el vector b .
2. Los vectores á * (1, -1) y b * (3, 4) son linealmente inde.ptn<U.tn£t¿ 
pues :
r 5 ♦ s b » 0 = • r (1, -1) ♦ s (3, 4) ■ (0, 0)
r . (G. OM-4.3) , Q
(1,-1).(-4,3)
* , (0, 0).(1, 1) _ Q
(1,1).(-4, 3)
==» [ r « 0 y s * 0 ]
lo cual pudo haberse deducido mSs rápidap» U viendo que 5 y b no son pa-
174 Vectores Cap. 4
ralelos ni nulos, y utilizando el TEOREMA 9.2 .
3. Los vectores á * (-1, 2) y b - (3, -6) NO SON llnealmente indepen-
tUmtti pues ton poAalelet ; en efecto, b • -3 a .
4. El vector 0 es un vector llnealmente dependiente pues es paralelo a 
cualquier vector á .
5. Todo vector no ñuto i por si mismo es un vector llnealmente Independien
te pues rS * 0 =*• r ■ 0 (pues ¡ f 0 ) .
9.5 DEFINICION.- Tres vectores á . b y c son lineatmente indepen­
diente* entre si si es que se cumple la Implicación
ra + sb ♦ te - 0 =*• [ r - 0 , s ■ 0 y t * 0 ]
(st ru 1tíneamente)
En caso contrario, se dice que a , b y c son lineatmente. de.pencU.en 
, es decir, si es que al menos uno de los coeficientes no es cero .
9.6 Co n s e c u e n c i a s de la De f i n i c ió n en el Plano R 2
1) SI al menos uno de los vectores a , b y c es el vector O entonces
los vectores i . b y c son llnealmente dependientes entre si .
2) S1 ninguno de los vectores ¿ , b y c es el vector 0 y si dos de
ellos son paralelos entre si, entonces a , b y c son llnealmente
dependientes entre si . Por ejemplo , si ¡ ■ (2, 1) . b - (4, 2) y 
c ■ (1, 1) . entonces
(*) rS + s b + t c * 0 ==» (2r ♦ 4s ♦ t , r ♦ 2s ♦ t) ■ (0, 0)
Resolviendo este sistema de ecuaciones tenemos que tanto r como t 
deperdtrín del valor de s , el cual puede tomar cualquier valor real: 
r * - 2 s , t * 0 , para cualquier valor s cIR.
De este nodo la ecuación (*) se cumple para infinitas soluciones, ademSs 
de ceros; por ejemplo para s « 1 , r “ - 2 , t “ 0 .
3) Si ninguno de los tres vectores es 0 , y si ningún par de los vectores 
á . b y c son paralelos entre si, entonces se puede expresar cualqule 
ra de ellos (digamos c) como combinación lineal de los otros dos de ma-
2r ♦ 4s + t « 0
r ♦ 2s ♦ t - 0
2r ♦ t * - 4s
r ♦ t » - 2i
Cap. 4 Vectores 175
ñera única c ■ ra ♦ sb de acuerdo al TEOREMA 9.1; ello impli-
ca **"* rá + sb - c - Ó
= » r¿ + sb + t c * 0 con t - -1 [f 0)
y según nuestra última Definición 9.5 esto indica que los vectores á , 
b y c son Liniatmtnti ('¿pe.AdLe.nt ¿ entns. ti. Asi, se tiene la Nota 
siguiente.
9.7 NOTA.- Tres vectores cualesquiera en el Espacio Vectorial R2 son 11̂
nealmente dependientes entre si.
9.8 PROBLEMA.- Indicar si los siguientes conjuntos de vectores son li­
neal mente independientes entre si:
1. 5 - (1, I) . b - (-2. -2) .
2. á • (2, 1) , b - (3, 6) .
3. á « (1, -1) , b - (1, 0) , c - (3, 1).
4. á - (0, 2) . b - (0, 0) .
SOLUCION.-
1. NO SON linealmente independientes pues á es paralelo a b .
2. SÍ SON lin. independientes pues á no es paralelo a b, ni son nulos.
3. Siendo tres vectores en R2 , NO SON linealmente Independientes.
4. NO SON lin. independientes pues b « 0 .
9.9 PROBLEMA.- Dentó ,trai' que las diagonales de un paralelogramo se bise
can entre si. Es decir, que su punto de intersección es 
el punto medio ambas diagonales.
SOLUCION.- Probaremos que 
M « ¿ (A + C) , N - i (B ♦ D)
ó equivalentemente, que
M = A + s AC
(*)
DATOS : AB = DC , BC ■ AD , AB y DA son Linealmente Independien
tes. Igualando los segundos miembros de (*) tenemos que
176 Vectores Cap. 4
=^> (1 - t - s) AB * (s - t)AD ■ 0 , y cono AB y AO son Lln. Indep:
= • 1 - t - s » 0 y s - t - 0 = • s " ^ y 4 “ í •
9.10 PROBLEMA. En el triangulo ABC los puntos H y H trisecan al seg
mente BC. SI
AB - 2rAK + sÑC (*)
calcular el valor de 4r - 3s .
SOLUCION.- De la figura ,
Á B - Á N + Ñ B - A N + 2CN « ÁN - 2ÑC 
Reemplazando esta expresión en (*) se tiene que: AN - 2 NC
AN - 2ÑC - 2rÁÑ + sÑC =*■ (1 - 2r)AN + (-2 - s)NC - 0
= » 1 - 2r ■ 0 y -2 - s - 0
pues AN y NC , siendo no paralelos, son llnealmente Independientes.
Asi resulta que r - 1/2 y s - -2 . Luego 4r - 3s • 8.
9.11 PROBLEMA.- Dados los puntos P • (1, 2) , Q • (2, 5) , R » (5, 8)
y S ■ (9. 10) que forman un trapecio, encontrar los 
puntos M y N sobre las diagonales si se sabe que MN ■ (PS - QR) ,
tal cono en la figura siguiente.
SOLUCION.- MN - i [ (8. 8) - (3, 3) ] « ( § , | ) ... (1)
M - Q ♦ r QS
N - P ♦ tPR *"
De (1) y (2) y puesto que QS * (7, 5) y PR * (4, 6) , entonces
MN • N - H - P - Q ♦ t PR - rQ . es decir
(5/3, 5/3) • (1, 2) - (2. 5) ♦ t(4. 6) - r(7. 5) = *
f (4. 7) - t (4, 6) ♦ r (-7, -5) =*• t - || y r - ^
Reemplazando estos valores en(2) , se obtiene
H • Q ♦ rQS - ^ (94. 185) . N - P + tPR - ± (49, 90) .
Cap. 4 Vectores 177
9.12 PROBLEMA (UNI) Los vértices de un rectángulo ABCD son A « (-2.-6), 
B - (-6.-2). C • (2. 6) y D. AdemSs, E c CD .
F c ÁD . G c BC . ÍG//(l,-3) y FG + FE '(4,14). Encontrar
1) El vértice 0 , 11) Los puntos E , F y G .
F = A + sAD » (-2,-6) + s(B, 8) ... (3) = >
k (1.-3) - re - G - F - (-6,-2) + t (8, 8) - (-2,-6) - s (B, 8)
= > (-4. 4) = (s - t) (8. 8) * k (1,-3)
— k « (-4,4) . (-8,8) _ 2 ̂ s - t - (~4,4) • t3»1) , . I
(1.-3) . (-8.8) ’ (B, 8) . (3,1) *
= » FG - -2 (1,-3) - (-2,6)
FE * (4, 14) - FG * (6, 8) , y usando (2) y (3) :
(6, 8) = FE = E - F * (4,12) ♦ r (4,-4) - s (8, 8) el cual operando
(2,-3) = r (4, -4) ♦ s (-8, -8)
= » r « 3/4 , s * 1/8 y t ■ 3/B pues s - t ■ - 1/4 .
Por lo tanto, reemplazando estos valores en (2) y (1) obtenemos
E * (5, 3) , F - (-1, -5) , G - (-3. 1)
9.13 PROBLEMA Si ABCD es un
del segmento AB , hallar 
6 m - 9 n , si
AH m AC + n MO ... (*)
paralelogramo y M es el punto medio
C
178 Vectores Cap. 4
SOLUCION.- Dato: AB * 2 AM , entonces
ÁM - ÁD + DH - ÁC + C D - M D * ÁC + B A - M D - AC - 2 AM - MD 
==> 3 AM * AC - MD
Y reemplazando en (*) : (AC - MD) * mAC + nAD
= > (m- i)ÁC ♦ (n ♦ i)ÁD - 6
Y coi o AC y AD no pueden ser paralelos, la flltlma ecuación Implica por 1n 
dependencia lineal que
m - * 0 y n ♦ ■ 0 ; 1 uego , 6 m - 9 n » 5 .
9.14 PROPIEDADES DE LOS VECTORES ORTOGONALES UNITARIOS .-
Un caso Interesante de combinación lineal de dos vectores se pre­
senta cuando éstos son vjíLtanXoí y peApentíiciUcuiu tnX\t ti , como es el ca­
so de los vectores i ■ (1. 0) y / * (0, 1) .
En general , si se considera un vector unitario u en lugar del vector i
y el vector ¡j1 en lugar del vector / , entonces el vector
c ■ 3 ü ♦ 2Ü1
viene a ser una combinación 
lineal de los vectores unlta 
ríos ü y ü-*- , cuya repre 
sentación gráfica la tenemos 
en la figura adyacente, don­
de la longitud de c es :
| c | - / 32 + 22 - 13 , por ser la hipotenusa de un trlíngulo rectán
guio cuyos catetos miden 3 y 2 unidades, respectivamente.
Por esta razón , es que en general, si ü es un vector unitario, 
se cumplen las siguientes relaciones :
a) |xü * yû ~ | - / x2 + y2 , b) | x ü - yü*-\ - J x2 + y2
las cuales se demuestran considerando el cuadrado de los primeros miembros , 
que u . u1 » 0 , y que |ü | « | u1 1 * 1 .
Cap.1* Vectores 179
9.15 DEFINICION.- S1 dos vectores á y b son unitarios y ortogonales
entre si, reciben el nombre de VECTORES ORTONORHALES.
9.16 EJEMPLO.- Calcularemos la longitud de los vectores:
3u ♦ 4u 
15 ü - Bl
-5 u ♦ 12 uSi
-35 u - 12 u.11
SOLUCION.- Siendo u un vector unitario 
| 3 u + 4 ü"*" | ■ / 31 ♦ 42 * !
| -5 ¡3 ♦ 12 ü1 1
I *1 
|b| /(-5)2 ♦ 122 
|c| ■ | 15ü - 8 ¡i1 | - J 152 ♦ (-8)2
13
17
donde | u | * 1
| d| - |-35ü - 12 ü1 ! = /(—35)2 ♦ (-12)2 / 13f9 37
9.17 . PROBLEMA.- Encontrar el vector 
TS de la figura.
SOLUCION.- Si ¡j es el vector 
unitario en la dirección del vec­
tor OQ donde Q ■ (-15, 8) , 
entonces :
ü ■ ÓQ/IÓQI - (-15,8)/|(-15,8)|
- (-15,8)/17
Además en el triángulo RST se tendría que TS * 8ü ♦ 6(-¡¡-*-)
8ü - 6Ü1 = (-72, 154)/ 17 , pues ¡J1 » (-8, -15) /17 .
9.18 PROBLEMA.- En la figura, los puntos A * (2, -1), B * (10, 5) y 
C son los vértices del triángulo ABC de área 25 unid? 
Encontrar el vector BH donde 
H es el pie de la altura corres 
pondiente al vértice B .
SOLUCION.-
Si consideramos un vector unitario 
u paralelo al segmento AB , y un 
vector unitario v paralelo al - 
segmento AC , entonces :
180 Vectores Cap. 4
G - AB / 1 Ab | * (8, 6)/10 ■ (4, 3)/5 , donde |AB| -10 ;
y como AR * a ü entonces a ■ | a ü | - 10 ,
■| a b = 2 5 — =► a b ■ 50 - -• b * 5 (del dato del área)
= * AC - aü + bü1 » 10 (4,3)/5 * 5 (-3.4)/5 - (5. 10)
v * ÁC/|AC| - (5, 10)/(5/5) - (1, 2J//5
AdemSs, AB * nv + h (- v -*-) =*► 10 u ■ n v - h v-*- = »
(8,6) ■ n(l,2)//5 - h(-2,l)//5 , que al resolver se obtiene:
n - 4 / 5 . h * 2 /§" . Luego, BH - h v1 *= 2 /5 (1,2)i//5 - (-4, 2).
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS.-
1. Dados £ ■ (1,-1) , b • (1,2) encontrar r y s de tal manera que
c * ra ♦ sb , siendo c el vector:
a) (2,3) , b) (10,-9) , c) (3,-6) . d) (0,0)
2. Dados los vectores a « (x, 2) , b • (3, x) , c « (2, 3) , hallar x,
r y s , donde c - r á + sb, y r » 2 s .
3. Sea c = t á +■ s b , hallar el valor de si c X (á + b) , donde 
¡ = (3.5) y b = (2,2) .
4. Si á , b y c tienen el mismo punto inicial y c ■ sa ♦ tb con
s + t * 1 , y si los puntos terminales son Pj, Pj y P3 , demostrar
que los vectores P ^ y PjP3 son paralelos. Es decir, que Pj , P2 
y P3 son colineales.
5. Sean á , b y c tres vectores con el mismo punto inicial P0 ; si exis
ten números r . s y t diferentes de cero tales que ra ♦ sb +■ te = 0,
donde r + s ♦ t - 1 y si Pj . P2 y P3 son los puntos terminales 
de 5 , b y c respect. , pi uebe que los vectores P ^ y son
paralelos.
6. Demostrar que las mediatrices de un triingulo se intersectan en el mismo 
punto.
7. Sean A , B y C los vértices de un triingulo. Demuestre que las tres
medianas se intersectan en un punto 6 , llamado BARICENTRO , y pruebe
que G es un punto de trisección de cada mediana , y que:
Cap. 4 Vectores 181
6 • i (A + B ♦ C)
SUG.- SI P es el punto Medio del segmento AB , considere el punto 
G como la Intersección de las dos nedianas correspondientes a 
A y B ; luego, para probar que G se encuentra en la tercera media­
na correspondiente a C , deauestre que GC // CP .
8. Los radio vectores de los puntos A , B , C y 0 son i , b , 3á + b ,
y -á + 2b respect. Expresar en términos de á y b los vectores
AB , AD , BC , BD y CÜ . Hallar además los puntos Medios de los seg­
mentos AB , BC , CD y DA asi cono los baricentros de los triángulos 
ABC , ACD y BCD .
9. Si ABC y A'B'C' son dos triángulos con baricentros G y G' respec.. 
probar que AA' ♦ BB' CC‘ ■ 3GG‘ .
10. Dados seis puntos A, B, C, D, E y F , si P, Q, R y S son los ba
ricentros de los triángulos ABC, ABD, DEF y CEF , demuestre que P ,
0 , R y S son los vértices de un paralelogramo.
11. Si A8CD y A'B'C'D1 son dos paralelogramos, demuestre que los puntos
medios de AA' , BB' , C C y DD' son también vértices de un parale- 
gramo.
12. Si Q , G y H son el clrcuncentro. baricentro y el ortocentro(1nter-
s.cclón de las alturas) de un triángulo ABC , demuestre que los vectores 
QG y GH son paralelos y que G triseca a QH.
SUG.- Pruebe que si R es el centro de la circunferencia que pasa por
A, B y C , entonces RH » RA ♦ RB ♦ RC .
13. Suponga que ABCDEF es un hexágono regular Inscrito en una circunferen­
cia de centro Q y radio r . Sea <ÍS • p , BC • q ; expresar en térml 
nos de p y q los vectores CD , DE , EF , FA y también los vectores
QA , Qb , ... , QF . Demuestre que los ortocentros de los triángulos
ABC, BCD, ... , FAB , forman un hexágono regular, y se encuentran sobre
la circunferencia de centro Q y radio 2r .
14. Suponga que Q es el centro de una circunferencia que pasa por A|, A2 
y Aj de radio 1. Si el punto rjj es el punto definido por
QBj » Q«2 * QA3 , demuestre que B̂ es el centro de otra clrcunferen 
cía de radio 1 que pasa por A2 y . Si además otras dos clrcunferen
182 Vectores Cap. 4
cias de radios unitarios y centros 82 y B} son dibujados y que pa­
sen por A3 , Aj y Aj , A2 respect., probar que los tres centros 
8j , 82 y B3 se intersectan en C donde QC - QAj + QA2 + QA3 .
15 Daoos los puntos P • (1,2) . Q ■ (2,5) , R » (5,8) , S ■ (9,10) , que 
forman un trapecio, encontrar dos puntos M y N sobre las diagonales, 
si se sabe que
MN - (PS - QR)/3 
tal como en la figura.
16. En el paralelogramo ABCD , M es punto medio de AB 
Hallar s y t si B
AM « sÁC ♦ tDM
17. En el triangulo ABC se tiene
3 EC - AE ; hallar s y t
E8 • sBA + tBC
18. En el para'elogrrno PC^S de
la ftgnra, N es punto medio. 
Hallar s y t si
PT - sQR + tPH
19. En el triangulo PQR se tiene
que NC // PR y que los seg­
mentos AR y BQ son medianas.
Hallar s y t si se sabe que
RM - sMC + tPQ20. En el paralelogramo ABCD , M
y N son puntos medios. Hallar 
2s - 3t si se sabe que
si
OC SMC + t ND
Cap. 4 Vectores 183
21. En el paralelogramo del Problema (20), si A > (1,1) , B ■ (3,5) y
C ■ (7,7) , hallar P y Q si es que CD • -2 PQ .
22. Demostrar que en cualquier cuadrilítero los segmentos que unen los pun­
tos indios de los lados forman un paralelograro.
23. Demostrar que las tres bisectrices de los Sngulos de un triSngulo se 1n- 
tersectan en un punto.
24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados opues
tos Je un cuadrilítero cualquiera ABCD se bisecan entre si .
25. En el trapecio ABCD , A - ¿0,1) , B > (3,5) , C > (B,7). Si ÁD > 2BC,
y M es el punto medio de CD, R r
hallar P , Q y R si
26. Demostrar que la suma de los cuadrados de las longitudes de las tres me­
dianas de cualquier triSngulo es 3/4 de la suma de los cuadrados di los
tres lados.
27. Pruebe que si a y b son 0RT0N0RMALES , c * ( . . c) i + (b . c) b ,
para todo vector c del plano.
28. La figura ABCD es un paralelogramo. S1 P es el punto medio de BC , 
calcular 4m - 2n ,
AM • 4PQ
BG ■ m BC + n AP .
si
29. La figura ABCD es un paralelogramo. SI BP • . y si
BG ■ m 3C + n AP
calcular mn
30. En el triSngulo ABC se tiene AM • ^ HC 
Si BM - r BA + tBC
B
hallar r - t .
184 Vectores Cap. 4
31. Dado el paralelogramo ABrD , si P, Q, R y S son puntos medios de los 
lados y T es el punto de intersección de QB y PQ hallar 4m + n , 
donde AT * m BD + n QC .
32. En el paralelogramo ABCD
AF = ± AD ; ED 5 BE
Si EF ■ m AD + n AB , 
hallar m + n .
33. En el triángulo ABC , las longitudes de los segmentos BD y DA son 
como 3 y 5 respect.; si
CD - mAB + nÁC (*)
determinar: 8 ■ + 12n .
SUG: BD/3 - DA/5 .
34. Si M y N son puntos de trisección 
del lado BC del triángulo ABC , y
AN - mAC + n A8 
valor de: j j
calcular el
m n
35. En el paralelogramo de la figura 
ÁE - AC . DF • r ÓC
4 2
Si EF » m AB + n AD , 
calcular: m - n .
36. En la figura TP // OX , |0P| - B.
Si OT = mÓP + ft OP .
calcular: m y n . 45
Cap, k Vectores 185
37. En el cuadrilítero ABCD, AE ■ AB/3 , 
ci6n de Cü , y M es punto 
medio de EF . SI AB ■ ^ OC , y
AM « r AB + s AC + t CD , 
calcular: 5r - 4t ♦ 2s .
38. En el trISngulo ABC de la figura, CD es la altura trazada desde el vér 
tice C , y DA es a AB como
2 es a 5. SI
DC - r/B + SBC
calcular: 5r + 3s . D ¡3__
39. La figura adyacente es un octógono regular ABCDEF. SI A • (/2,4/2),
B- ( 5 / 2 , 4 ^ ) . hallar los K -----
vértices C, D, E, F y G . y 
el centro Q del octógono.
r 0\ F „
40. El punto A « (-1, 6) es uno de los vértices del cuadrado ABCD cuyo cen 
tro es el punto E ■ (-3/2, 5/2). Hallar los vértices B, C y D.
Cl ave d e Re s p u e s t a s .-
1. a) r - 1/3 , s * 5/3 , d) r * s ■ 0 ; 2. * » -1/4 , r » B/5 ,
s - 4/5 ; 3. s/t « -25/12 ; 4. P ^ 3 - (1 -tJP^P, + tP¡P2 =*>
P3 - Pj ■ t (P2 - Pj) ==» PjPj " t PjPj (Esto indica que son paralelos).
6. Considere M. N, P puntos medios de BC, AC y AB respect.; se debe 
probar que HQJLBC: Q - P + tÁB - N + rÁC1 . P - ( A + B)/2 ,
N ■ (A + C)/2 ==> t ■ -(CB . AC)/(2 AB1 . AC) , reemplazando t en Q
y luego usando M = (B + C)/2 , verificar que HQ . BC * 0
15. M « (109,180)/33 , N - (164, 235J/33 .
16. s - t - 1/3 ; 17. s ' -1/4 , t - -3/4 ; 18. t - 1 , s - -1/2 .
19. s = -2 , t = 1/3 ; 20. s > 2/5 , t - -4/5 ;
21. P = (?5, 21)/5 , Q = (30. 31)/5
F y G son puntos de trlsec-
186 Vectores Cap. k
25. P ■ (11/3, 15/4). Q - (71/12, 5). R - (16/3, 15/3) .
28. m - -1 . n - -1/2 ; 29. m - 5/8, n - -1/2 ; 30. r - j . t - |
31. 4m + n * -1 , 32. m + n « -5/6 . 33. m • 5/8 , n ■ -1 .
34. (1/m) - (1/n) * 3/2 . 35. m- n« -l /4 , 3b. m - (✓3 + 1)/4 . n-
(/3 -l)/4 , 37. 5r-4t + 2s • 7/6 . 38. 5r+3s - 10 .
39. C-(5/2+4, A / I - 4). D - (5/2 + 4. -4). E-(5/I. -8), F - ( /2.
,-8). G - ( / 2 - 4 . -4), H - ( /2 - 4. 4/T-4), Q - (3/2, 2/2 - 4).
40. B - (2. 2), C - (-2, 1). D - (-5, 3) .
8 8 8 8 8 6 8 8 8 8 8 8 6 8
10, ANGULO ENTRE DOS VECTORES
Sea 8 el Sngulo comprendido entre los vectores no nulos á y
b , se define el COSENO del Sngulo 8:
eos 8 » -r (*)
|b|
Pero, siendo b * r á + s¡^ ,
entonces B.¡ - rS.i ♦
■ r |¡|2
Despejando el valor de r y reemplazando en (*) obtenemos la definición 
equivalente del COSENO DEL ANGULO 6 ENTRE a y b como sigue:
10.1 PROBLEMA.- Si los vectores 5 y b forman un Sngulo de w/3 radia
nes y | ¡| ■ 6 , | b| « 8 , hallar | í - b | .
SOLUCION.- Puesto que eos 6 * (a . b)/ |a | |b | , entonces
a.E * |a 1 |b| cos(ir/3) ■ 6x8x(l/2) » 24 ; luego ,
| á - b|2 = | á |2 - 2 (5 . b) ♦ |b |2 - 36 - 48 + 64 - 52 = ►
| a - b | - /52 > 2 /TJ .
10.2 PROBLEMA.- Calcular el Sngulc 6 entre los vectores i * (4, 2)
Cap. 4 Vectores 187
y b - (-2. 2) .
SOLUCION.- cos6= (5 . b ) /( |5 | |b|) - -4/(2/5 x 2/2) = - /10/10 , y 
6 - arccos(- ^10/10). (Se lee arco cuyo coseno es ...)
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcular el Sngulo 6 entre los vectores
a) ¿ - (4,2) y b - (1,5) , b) a - ( -3,1) y b = (3,-1)
2. Calcular los ángulos Internos del triSngulo cuyos vértices son A « (1,1)
B = (4.6) y C - (6,-3) .
3. Probar que si 5 y b son vectores de Igual longitud entonces el vector
5 ♦ b biseca al Sngulo entre a y b , y que i - b es ortogonal 
al vector a + b .
4. Para dos vectores cualesquiera no nulos 5 y b pruebe que :
a) El vector ( -5- + ) biseca al Sngulo entre i y B .
Ia I I b|
b) Los vectores (-5- + ) y (-5- - ) son ortogonales.
1• 1 |b | | i| |B|
c) Los vectores ( |a |b t | b|S ) bisecan al Sngulo entre i y b.
5. S1 ü y v sor. vectores unitarios, y 6 el Sngulo entre ellos , demos­
trar que sen 6/2 - | ü - v | /2 .
6. El Sngulo entre i y b es 150° , |i | * 3 y |b| * 5 ; calcular
|¡ + B| y |i - b| .
7. ¿Qué condicior?s deben satisfacer ¿ y b para que :
a) | 5 + b| > | a - b| , b) | 5 + b | < | a - b | 7
8. Dado un triSngulo cuyos vértices son A ■ (2,1) , B * (6,4) y C = (-4,9),
hallar el punto de intersección P de la bisectriz del Sngulo A con el 
lado opuesto BC . SUG.- Use el Problema 4(a) y exprese AB como 
combinación lineal de los vectores unitarios en las direcciones de AP y 
PB respectivamente.
9. Los vectores á = (r, s) , b = ( na + r , nb + s) y c = ( -mb + r, ma
♦ s) son no nulos, y mn f 0. Calcular el ángulo que forman los vecto­
- 188- Vectores Cap. 4
res b - a y c - a .
10. Los Sngulos entre los vectores no nulos b y c , c y a , y a y E ,
son a , B y Y respec. , y los vectores ü y v estSn definidos
como: ú ■ (i.c)E - (i. B) I , v - (í.c) B - (b.c) i . Entonces,
demuestre que: si u -L v ■ " eos 8 * eos a eos B eos y .
Cla ve de Re spu e s t a s : i .«) árceos(7// ñ o ) ; 6. |¡ + B|2 -
34 - 15 /3 , | i - B |2 ■ 34 + 15/3 ; 7.a) 5 y B forman un Sngulo agu -
do, b) I y B forman Sngulo obtuso ; 8. P ■ (48, 167)/13 ; 9. 90° .
11. PROYECCiON ORTOGONAL. COMPONENTES.
Ya se ha visto que si a y E son dos vectores no
paralelos y distintos de 0 entonces cualquier vector c e IR2 puede ex­
presarse coi.» combinación LinfaJL de. í y b , es decir que, en este caso, 
siempre se pueden encontrar númejioi Keatu s y t tales que :
c ■ s 5 + t b
SI los vectores son paralelos, ésto no es cierto, como es el caso de 
i - (1, -2) , b - (-2, 4) y c - (3, 3) , donoe
(3, 3) - c - si ♦ tb - s( 1, -2) ♦ t(-2. 4) - (s - 2t. -2s + 4t)
= * 3 - s - 2t .... (1)
3 - -2s + 4t - -2(s - 2t) ___ (2)
De (2) se tiene que s-2t • -3/2 , pero de (1) se tiene s - 2t *3 
lo cual es absurdo.
Veamos el caso particular de un vector b t 0 y a * b como los
•> V | m A
vectores b y b no ¿vn fxvtaiez'i, cualquier vector a c IR puede ex 
presarse como:
5 - s B + t B 1 (*)
- - — O 
s b
Cap. k Vectores 189
Desde que estos vectores sb y t b son o/tfogontUu, el vector sb 
recibe el nombre de PROYECCION ORTOGONAL DEL VECTOR á SOBRE b , 
y se le denota P*- r a .
- i
Análogamente, se tiene que el vector tb
resultara ser la PROYECCION ORTOGONAL de ¿ SOBRE EL VECTOR b 1 , y se
le denotar! por Pr -i i .
b
Según esto tenemos que cuando b f 0 , siempre 
es posible expresar cualquier vectora cono
(Pr £ á ) + (Pr-1 ¡ ) (**)
De la relación (*) resulta que:
pues | b | - | b | . Asi,
a-b
Í B ?
i • b1
Ib
Pr - ¡ 
b
Venos que b y el vector “ Proyección de a sobre b " son paralelos, 
de tal manera que si el ángulo 6 entre ¿ y b es agudo entonces b y el 
vector Pr g i tienen ta miima doiectUón, pero si 6 es obtuso entonces
los vectores b y Pr ̂ i tienen dÍAecc¿one¿ opue¿-ta¿.
1 1 . 1 EJEMPLO.- Si 5 = ( 8 , 1 2 ) y b = ( 4 , 2 ) , entonces el vector
190 Vectores Cap. k
Pr b 8 es: Prb 5
á • b - 
D
I B|
^ («.2) - y (4, 2) . el cual
vemos que es paralelo a b . y tiene su misma dirección, en este caso.
1 1 .2 P R O P IE D A D E S D E L V E C T O R P R O Y E C C IO N O R T O G O N A L
1) La Proyección Ortogonal de una suma de vectores en la dirección de algún 
vector no nulo c es la suma de las Proyecciones Ortogonales:
Pr- (£ + b) (Pr - £) + (Pr - b)
2) La Proyección del vector tá en la dirección de B es igual a t veces 
el vector Proyección de b sobre
Pr - ( tí ) - t ( Pr - i ) .
La prueba de (1) y (2) es spncilla.
1 1 .3 C O M P O N E N T ES De la definición de Pr ¡j a , podemos escribir:
P r B a (i - b) ---- 5" b
|b|2
(á • b) B j
Ib| |b|
y desde que b / | b| es un vector unitario, el coeficiente (a • B) / | b| 
nos proporciona la medida del vector Pr ¡j £ , por lo cual recibe un nombre
especial, el de COMPONENTE de £ EN LA DIRECCION DE b , y se denota por:
La COMPONENTE es un número real, y estS relacionada a la PROYECCION por
Pr B £ « (Cp £ £ ) _
IB |
y es tal que si 6 es el Sngulo entre £ y B entonces:
-Si Cp B £ > 0 : 6 es agudo y Pr ¡j £ tiene la misma dirección que B.
- Si Cp B £ < 0 : 6 es obtuso y Pr g a tiene la dirección opuesta de b.
Si CpB i = 0: £ y b ton o/Uogcnole¿ y Pr ̂ a » 0 .
Cap.1» Vectores 191
Pr. a 
b
T
cp -
Pr
T
Cp.
11.4 PROBLEMA.- SI a - (-6.2). b - (3,4), hallar Cp g a Prb 8 *
SOLUCION.- Cp r i ■ (á • b)/| b | ■ -10/5 * -2 < 0 .
Pr g a - (Cp g i)[ B/|B| ] - -2 (3, 4)/5 - -f (3.4) .
el signo negativo de Cp a Indica que B y Pr i tienen direcciones 
opuestas y que este vector Pr ¡ mide 2 unidades, medidas en la direc­
ción opuesta al vector b (el cual mide 5 unidades).
11.5 PROPIEDADES DE LAS COMPONENTES. -
1) Cp - (S + B) - (Cp - 3) + (Cp - B)
2) Para todo número real r :
La prueba es sencilla. (Ejercicio).
para todo vector c f Ó .
r CpB a
11.6 PROBLEMA.- Hallar una fórmula para el Srea de un paralelogramo, y 
de un triángulo determinados por los vectores a y b .
SOLUCION.- h « | Cp - i l | .
-------------- 7
192 Vectores Cap.1»
Luego, I á ■ b'L| 2 Í | i - b X |
11.7 PROBLEMA.- Hallar el Srea de un polígono cuyos vértices son A
(4,1), B ■ (2,4), C » (-2, 2), D - (-1. -3) y E - (3, -2).
SOLUCION.- A * *1 + a2 + a3
l » C - D - (-i.5) >
b * B - D » (3. 7) •
C ■ A - D » (5. 4) •
d - E - D » (4. 1) »
Ai - i |i. b X | ■ 11 .
A2 * ^ |b •Í X ! ■ 11.5 .
A3 - | |E. d 1 ! m 5.5 .
Por lo tanto, AREA 2B
11.B PROBLEMA.- ABCD es el cuadrilítero tal que E ■ (1, 5) es el pun­
to medio de AB , H • (4, 2) es el punto medio de AD, 
CE es paralelo a (2,3), DE es paralelo a (1,-2), y Pr — CH - (5,5) . 
Encontrar los vértices A, B, C y D.
SOLUCION.- Pr Ch * (5, 5) indica que AB es paralelo a (5, 5)
AB - r (1. 1) . pues (1. 1) // (5, 5) ;
CE // (2.3) ==► E - C - k (2. 3) = > C - (1. 5) - k (2, 3)
H » (4. 2) =*► CÍi - H - C - (4.2) - (1.5) + K(2,3)
CH- (3+ 2k, -3 + 3k)
asi
..(*)
(5,5) - P r - CÍi - (3 + 2k. -3 + 3k) ■ r (1. 1)
AB 2 r
= > 5 = 5k/2 ==» k = 2 y C = (-3, -1) .
Como E - (1, 5) es punto medio de AB :
r (1, 1) « AB - 2ÀÈ = 2 (E - A)
DE // (1,-2) = * E - D = DE = s (1,-2)
Y de 11) y (2): A = (1, 5) + § (1, 1)
D = (1,5) - s (1, -2)
Además, coro H = (4, 2) es punto medio de AD :
(4,2) = (A + D)/2 - (1,5)+ (r/4) (1, 1) - (s/2) (1,-2)
(1)
(2)
(3)
(4)
Cap. 4 Vectoi es 193
= > (12, -12) ■ r(l, 1) + s{-2,4) = > r » 4 , s ■ -4 .
De (3) y (4): A -(3, 7), D » (5.-3) . Y siendo E - (A + B)/2 :
B = 2E - A - (-1, 3) . Asi, A - (3, 7), B = (-1, 3), C = (-3, -1) y D - 
(5,-3).
11.9 PROBLEMA.- Sean i y b vectores no nulos de IR2 y t i 0 . ¿ CuS
les de las siguientes afirmaciones son verdaderas? :
1) P' iíPrjj i) ■ Prb^Prá **) ==> * es Paralel° a b ■*" S |á| ■ |b|.
2) |Cp 5 (5 -1- + b)| < 1 b |
3) [ Pr - (i + b)] • b f D si i • b f 0 y c - Pr - (ti)
c b
4) Pr(tB) (ti) “ PrB ¡ 5) Pr^ti) = Pr(tB) i .
SOLUCION.- 1) S1 Pr - (Pr- ¿5) “ Pr [lPr g ¡*) entonces
(Pr r i) . i (Pr - b) • b
L ~ ; r y* ■ [ — ^ r - r - V b _ _ . .
Ia I |b|2 t (a-b)(a-b) j - _ ̂(i-b)(i-b) (
|i|2 |b|2 |i|2 |b|2
i - b * 0 =*► ¡ I b = » a // b ■*"
6 _ _ _ _ (VERDADERA)
i-b t 0 =*► en (*): i = b = > |i¡ = |b|
2) |Cp5 (i1 + b)| < |b| « = * I(al ^.b)'a| < |b|
Ül 
i I
(VERDADERA, por ser la DESIGUALDAD DE SCHWARZ)
I a * b I - _ _
< |b| « = * Ia - b| < | a || b I
lal
3) Siendo c = Pr¡j (ti) , y i • b i* D , entonces
[ Pr - (i + b) ] ■ b "*■ = [ (a + b^ ' C ] ( E - b X ) -
|E|2
■ - ] (b .B ■*■) - d
M ? |b|2 |c | |b|2
pues b-b = 0 . Así, la proposición dada es FALSA.
4) P r (tB) (ti) = [ í ^ ] ( t b ) = [ ■- 32a-: b2 ] b = t Pr r i
|tb|2 t2 |b|2 b
Luego, la proposición ^(tb) = p r B i , V t / 0 es FALSA,
pues sólo se cumple para t = 1_ .
194 Vectores Cap. 4
5) Pr ¡j (ti/ t ( V 4 > b
I •> 1 
tb
t(i • tb) 
|tb|2
(tb) .. (pues t f 0)
■ t (Pr th • Luego, la Igualdad Pr jj (ti) ■ Pr(t¿) *
es FALSA, pues solamente se cumple para t » 1 .
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS.-
1. Para cada par de vectores i y b calcular la Proyección Ortogonal de i
sobre b , y la Componente de i en la dirección de b . Graflque.
a) ¡-(4.2). b » (1,-2) b) ¡-(-1.2). b - (-4,-2)
c) i - (3. 12), b - (6, -5) .
2. SI b y c son distintos de 0 , demuestre que:
a) S1 b y c son paralelos, entonces Pr^ á - Pr - i .
b) SI b y c tienen la misma dirección: Cp ¡j a • Cp- ¡
c) SI b y c tienen direcciones opuestas: Cp ¡j ¡ - - Cp - ¡ .
3. Demostrar que | ¡ 1 • b | < | i| |b| , donde la Igualdad se cumple si y so 
lo si ¡ y b son ortogonales.
4. Encontrar el vector 
AB de la figura.
Y
- T
/ \ft
/ \\̂ T
1
12
v 1 ,
0 -----------3 5 ------------ x
5. Dados i - (B,6) y b ■ (-2,6), hallar los vectores p y q tales que
p l b , q // b y ¡ = p + q .
6. Si i = (4,-2), b » (-2,6) y w // (-1,4) , hallar w — (a - nb) 1 .
7. Los lados de un triSngulo son los vectores i , b y S + b. Si |¡| ■ 4.
|b| « 6 , y Cp ̂ ¡ * 2 , hallar
B. Hallar Pr g ¡ si Cp g i » -3 y si
ción que b .
9. En el triángulo equilátero ABC de la
fig. M y N trisecan al segmento de 
B a C. Si P = ÁM , Q = ÁN + ÁB 
calcular:
| i + b | .
(1, -1) tiene la misma direc-
CpÁB P |------- B - -
Cap.1* Vectores 195
11. En el hexSgono regular de lado B unidades de la figura, hallar la Pro­
yección Ortogonal de:
a) BD sobre AC
b) ND sobre AM
c) MN sobre MB + BD
d) Pr̂ jp (ÁT + BD - CN)
Dados A * (5, 1), B = (1,2), C ■ (3,6), hallar un punto D en el 
primer cuadrante de abscisa igual a 7 unidades de tal manera que el 
cuadrilátero ABCD tenga un Srea de 25 u2 .
SI i y b son no nulos y {Pr ̂ á) + (Pr - b) » á X + b , pro­
bar nue 111 ■ |b| y que i 1 (¡ - b) .
Hallar el Srea del triángulo cuyos vértices son: a) A = 12, 1), B »
(6, 3), C - (8,-4) ; b) A = (3, 3), B>(4,8), C - (10, 1) .
Hallar el centro de un hexágono regular si A ■ (2,0) y B = (5, 3/3) 
son dos de sus vértices adyacentes. (Dos soluciones).
La figura ABCDEF es una estrella regu 
lar de 6 puntas. Si D = (7, 6-4/3),
E * (3, 6-4/3) , hallar los puntos
A, B, C, F, P, Q, R, S, T, U y el cen 
tro M de la estrella.
17. En el trapecio PQRS , | RQ | = |SP¡ ,
S = (-4, 2), Q = (10, 4), PS ■ PR = 0, 
FVqP PR = (8,8) . Hallar los puntos
A, P, R, y el vector PR .
18. El helado de la figura tiene la crema 
semicircular y el barquillo en forma 
de un triángulo isósceles Si P = 
(-3, 4)//rt , Q= (5,10)//?, encon 
trar el punto R si el área de la f¿ 
gura plana es de (25tt +200)/(2tt) u2.
196 Vectores Cap. 4
19. En el octógono regular de la figura, Q en el centro, A ■ ( /2 , 4/2 ), 
B » (5/2 , 4/2), encontrar:
a) P r ^ G C . b) Prp| EG
c) Cpp¡jJ ÁD . d) P r ^ FH H
e) r, s, m y n tales que:
GC » r GB + s AO
QD - m QC + n AD
20. los vectores a y b son los lados de un paralelogramo. S1 |a | - 6 ,
|a| » 2 1 b| y Cp ¡ » 10/3 . determinar | a - b | .
21. Si i - -2j * Sí , Cp - b ■ -58 , |b | - 29 , hallar Cp jj a .
22. Hallar | i 1 . b | si á - 3b/|b| ♦ 4bi/|b1 | y Cp - ± b - 2 .
23. Un avión vuela en sentido del vector y la velocidad del viento es
100 km/h en el sentido del vector v . Y
Calcular el triple de la componente de 
la velocidad del viento en la dirección 
del aeroplano.
24. SI i - 32 + 4? , b - -5j ♦ l , y
(*, y) - /26 Pr- S , calcular: * - 2y .
25. SI a - (4,-2), Pr¡jX á - (-3,3), Cp g X i > 0 , hallar Cp g á .
26. SI á es un vector que tiene la misma dirección que (1,2), tal que
|a | ■ 50 y b * (-2,-1), calcular Cp a .
27. Los lados de un trlSngulo son a , b y 5-b . SI |í| » 6 , |b|
■ 2 , y | b - a | — 5 , calcular Cp jj a - Cp j b .
2B. Dos lados de un triángulo miden 20 y 36 . La diferencia de las longf~
tudes de los segmentos determinados en el tercer lado por la bisectriz
es 12 . Hallar la mediana del tercer lado.
29. Calcular el Srea del triángulo ABC si se cumple que 0C > r2 0A + (1
- r2) OB , donde 0 < r < 1 .
30. En el paralelogramo ABCD , m (6a6) ■ 60°, B__________ C
|ÁB| = 2 , |ÁD| - 4 . S1
Cap. 4 Vectores 197
31. Dado el trISngulo ABC, demostrar que su ortocentro es el punto:
(B-A)-(C-B) .
D * B + — ----ir— 5----— (C-A)
(A - C) • (C - B)
SUG: 1) BD - BA + sBCX . 2) BD » tÁC 1 , 3) tÁCX • BC - BA ■ ¿C
3Z. Demostrar que: a) SI i y b son vectores no nulos, y si |5| + |b|
< |¡ + b| entonces á es ortogonal a b ̂ .
b) SI a y b son vectores unitarios y paralelos: 15 b| ■ JZ
c) SI á y b son vectores tales que | a | < 1 y | b | < 1 , en­
tonces V t e [0, 1] : | á + t{b - 5) | < 1 .
33. ABCD es un rectángulo tal que E, F » (x + 2, x), G ■ (3 + x, -x), y
H = (6-x, 2 - x) son los puntos medios de AB, BC, CD y DA respectlv;
además, P ■ (3x-Jl, x-4) es el punto de Intersección de las dlagona 
les del cuadrilítero EFGH . Hallar los puntos A, B, C, D y E .
34. SI 5 / 6 y b i 5 , demostrar que: 1) { Pr- i á , P r - b -1"}
b ®
es linealmente dependiente si y solo si { á , b } es 11 realmente depen 
diente.
11) SI i y b son unitarios y ortogonales, entonces V x , y e IR2 : 
x - y - (x - a)(y . á) + (x - b)(y • b)
SUG: x » s + tb ==> s" x - a , t = x-b
y ■ rá * pb ==> r - y - 5 , p = y ■ b
i i i) {a , Pr ̂ i } es linealmente Independiente si y solo si 5 y b 
no son ortogonales.
1v) SI Pr- b es unitario, entonces |b| > 1 .
35. Sean A, B y C los vértices de un triángulo rectángulo isBsceles rec­
to en A. El punto medio de la hipotenusa y el baricentro del ¿ABC 
son respectivamente: D y (-4/3, 29/3) AdemSs. P r ^ AD = (4,3) ,
y la abscisa de A es mayor que la abscisa de C . Hallar A, B y C .
36. Sean A = (-3,2), B y C = (-1, 13) y D los vértices de un rectán­
gulo, tal que AC es una de sus diagonales y AB es ortogonal al vec 
tor (4, -3). Hallar los puntos B y D .
38. Si a es un número racional, A = (a+ 4, a -4), B = (a+ 3, -2a), el
baricentro del triángulo ABC es el origen de coordenadas y el área
del ¿ ABC es de 24 u2, encontrar un vector unitario en la dirección 
del vector (1, a) .
198 Vectores Cap.1»
39. Sea ABCDE el pentSgono irregular de la figura. SI A ■ (1,1), B 
(2. 6), C » (c, 6),^c > 2 .
E - (7, y). P r ^ BC - (9.-6),
i ABC = ) BCD , | ÁB| ■ | CD| ,
ÁÉ| - | DE| , hallar
a) El Srea del triSngulo ABE ,
b) El Srea del triSngulo BCD .
40. Sea el hexSgono regular ABCDEF (en ese orden) tal que NE + ED ■ ^ CD ,
MN // AB y M pertenece al perímetro del hexágono. ¿ Cuáles son verda­
deras ?: a) HB :CB + DN - NE b) NA « 2 (EM - ED) ,
c) MN » EM - | CD + ÁC
41. Dados los vectores a » (k + 2, 2k) y b * (-3, k+1) , determinar los
valores de k para que Pr g á y b tengan direcciones opuestas.
42. Sean los puntos A ■ (1, 1), B - (2,4) y C ■ (5,2). Hallar el punto
P que está en el Interior del triSngulo ABC para que los triángulos 
APB, BPC y APC tengan el mismo Srea.
43. Sea ABCDE un polígono Irregular. Hallar B y C si A » (2,-2), E ■
(4,4), D = (x, 6) , x > 0 , el Srea del polígono mide 50 u2 ,
Pr^| AE // (10, 2). Prg| BA ± (-10,-6), Prp£ BE // (1. 1) , y
Pr EB // (14, -2) .
44. Sea ABC un triSngulo equilátero. SI AB + m HB » nAC , donde H
es el punto de intersección ae las alturas, hallar: (1/m) * (1/n) .
45. ABCD es un cuadrado. E, F y G son 
puntos medios de los lados del cuadra 
do. Si m t 0 , n t 0 , hallar 
(m/n) si:
APj + CP2 = mAB + n BC .
46. ABCD es un cuadrado. Se pide :
a) Hallar r y s si CQ ■ rAE + s DH
b) hallar m y n si AO = m FB + n HQ X
/ \
Cap.íf Vectores 199
47.
48.
Sea ABC un triángulo. SI M - (1,9) y N - (6,2) son los puntos me­
dios de los lados AB y BC respect., AB // (1, 1) y PrAJ¡ AB “ 
(8/5)(3, -1). Hallar los vértices del triángulo.
¿Cuáles son verdaderas 7: a) (Pr- á) 1b P r ^ i 1
b) SI á y b no son paralelos, y mi + nb ■ ri + sb
m * s y n » r .
c) Si r > 0 , entonces
entonces
CpB i a Cpr b 5Í
49. M - (11/2, 7/2), N - (8.6), P - (9/2, 13/2) 
puntos medios de los lados en el trape 
cío AFCD, y |DC|«/lO, hallar A,
B, C y D .
SUG: C - A - (5,5) - ÁC , DB - (7, -1)
==*► |ÁC| - | DB | » 5/F ==>
el trapecio es Isósceles = •
PM 1 PC .
50. ABCDEF es un hexágono regular, M y N 
son puntos medios de ED y BC respect.
0 es el centro del hexágono. S1 
RS ■ mTM + r NB , hallar m y n .
SUG: ÑE - (1/2) EF ,
MÍ - (1/2) ER
- (l/2)( EF + 2 RS ) .
y Q
|¡-b|.51. a) SI a y b son vectores no nulos tales que |a| - |b|
¿qué puede afirmar de a y b 7 . 
b) Lo mismo si |á| - |b| + |a + b| 7 .
Sea ABCD un rectángulo, una de cuyas d1<<goncles tiene por extrenos los
puntos A ■ (3, 4) y C > (9, 16). SI los lados de mayor longitud son 
paralelos al vector (1. 1), encontrar los vórtices B y D .
En el cuadrilátero ABCD : ^ ^ ’
-1) y BC - (-5,7).
Si el área del cuadrilátero es de 
28 u2, y M - (17/2, -1/2) es 
punto medio de AB , hallar los 
puntos A, B, C y D .
52
53
Pr AB (PrÁC AD) f (3*
» (2, 4) son los
200 Vectores Cap.4
54. Sean a y b vectores no paralelos, y e - (eos t) 5 + (sen t} b ,
a) ¿ Para qu£ valores de t es c paralelo al vector á ? .
b) ¿En qué caso c es paralelo al vector i + b ?
55. Sean ü y v dos vectores no nulos. Si w * kv + hu , y el Sngulo en
tre u y x es 15° , hallar el Sngulo entre u y v sabiendo que
k « |ü| . h • |v| .
56. ABC es un triángulo isósceles donde | AB| » | BC | ,
M “ (7, 5) y N » (19. 21) son puntos
r
medios de AB y BC respect., D »
(-6,21), y la altura relativa al 
lado AC del triSngulo ACD mide 
15 unidades. Hallar A, B y C 
empleando la recta mediatrlz del 
segmento MN .
57. Si a f 0 , demostrar que: p * b -
58. ABC es un triángulo equilSterc. R, S, 
son puntos medios de los lados AB,
BC y AC respect. SI
MB - mAB + n SC + FG
hallar m y n .
59. ABCE es un trapecio isósceles, y ABD es un triángulo equilátero. Si
|ÁC| - |AB| , EB X BD y A = (2. 3). c
C - (14, 19) :
a) Hallar ED ♦ CB .
b) Hallar n si
AB * n MB + CB
siendo M punto medio de AD .
D
60. En la figura siguiente, AC = (a, 0) , a > 0 , M es punto medio de
AC , y | BM | = b . Demostrar que:
Cap. 4 Vectores 201
4a2b2 ;(a/2, b)
(a2 + 4b2)2 
SUG: Vea que i // AB
B H
61. En la figura, sea el paralelogramo ABCD de Srea 220 u2,
s1 M i ; i ± § l , £
| MC | 3 | NB| 3
a) ¿ En qué relación divide P
a ND y AM ?
b) Calcular el Srea del A APD .
SUG: P = A + sAM = D + tDN
CLAVE DE RESPUESTAS
I. a) 0 , 0 ; c) (-42/61)(6. -5) , -42/ /61 . 4. (-100, 621)/ 37
5. p = (1, -3), q - (9, 3) ; 6. n = -6/13 ; 7. /76 ; 8. (-3, 3)/'2
9. (10/3)(1, /3) , (32/3. 0) ; 10. s = (1-/3)/(2/2) ,
t » (1 «-/3)/(2/2) .
II. a) (-4, -4/3), b) (-2,2/3), c) (12,-4/3), d) (6,6/3).
12. D » (7, 12), 14. a) 16 u2 ; 15. C = (8, 0) 6 C = (-1, 3/3)
16. M = (5, 6-2/3), 17. A = (111, 57)/16 , P = (13, l)/2,
R * (17, 29)/2 .
18. R - (13, -9)//í ; 19. a) (-4, -4), b) Ó , c) 0 ,
19. d) (4+ 2/2)(-l, 1), e) r - 1 , s - m = n = /2 - 1 ; 20. 525. -/2 ; 26. 8/5(2, 1) ; 27. 5/2 ; 28. / W ; 29. 0 ;
30. p + q - 9 ; 33. x ■= 5 , A = (-3, 0). B = (3, 8), C = (11, 2).
_ D - (5, -6), E = (0, 4).
35. AB = (8, 6), AC = ± (6. -8) = f AC=(-6,8), A = (-9, 31/2),
B = (-1. 43/2), C => (-15, 47/2) .
36. B = A + (6, 8) = (3, 10), D = A + (-4, 3) = (-7. 5)
37. * e { 4 , 2 } ; 38. 3a2 + 7a + 4 = 0 = » a - -1, a = -4/3 ,
ü = (1, -l)//2 , v * (3, -4)/5 .
39. C = (12, 6), D = (13,1), E = (7, -3), a) 17, b) 25 .
, —
202 Vectores Cap.«»
40. a) V , b) F , c) F ; 41. k e <-3/2, 2>
42. P - G - (8/3, 7/3)
43. x - 30 y D - (3D. 6), B-(7,-l), C - (11, 3) .
44. HB « (2/3) MB , M punto medio de AC ,
MB - ÁB - (1/2) AC = > (1/m) + (1/n) - 4/3
45. Pruebe que Á?2 - (2/3) ÁC . Cp“2 - (1/3) CA . ÁP^ - (2/5) AF = »
m ■ -2/15 , n - 1/15 . 46. r * s * -1/2 , m - 2 , n * -2 .
47. A = (-3, 5), B « (5, 13). C - (7. -9) ; 48. a) V , b) F . c) V .
49. A -(2.1). B - (ID, 5). C - (6, 7), D - (3. 6) ; 5D. m - n - 1 ;
51. a) Que i y b son paralelos en la misma dirección
b) Que ¡ y b son paralelos en direcciones opuestas.
52. B - (12, 13). D - (0. 7) .
53. A - (4,1), B - (13, -2), C « (8, 5), D - (5, 4) .
54. a) t * nir ; b) t - (ir/4) + nir , n e Z
55. 3D° , 56. AC - (24, 32), P » (9, 16) punto medio de AC, = >
B - (17, ID), A ’ (-3.0), C - (21, 32) .
58. BM - (1/2) (BA + BC) , SC - (1/2) BC , FG-FM + M G - ^BA + ^MB
==> m - 7/12 , n - -2/3 .
59. | AD | - |ÁB| - 20 , D - A - ÁC1 - (IB,-9) , M - (A + D)/2 ,
B = M + 10/3(3, 4)/5 - (10 + 6/3 , -3 + 8/3) , E - B + DB 1 =
(4-2/3, 14/1 - 11), a) (10 + 8/1. -2D - 6/1 ) , b) n - 2//3
61. a) P divide a ND en la relación de 1 a ID ,
P divide a AM en la relación de 4 a 7 .
b) 4D u2 .
n n n n n n n n n n n n
37. Si i = (2x - 5 , 2 - x) , b - (x - 5 , 4 - x) , y | i - b "*• | = /lo
encontrar el valor de | 2a + b - (i "*■ + 3b"*" ) | .
RPTA: iDos Soluciones) . Como x e { 2 , 4 } , entonces:
Para x = 2 : i = (-1, D) , b • (-3, 2) , y el valor buscado
correspondiente es /145 .
Para x = 4 : i = (3, -2) , b - (-1, 0) , y el valor: 5 .
2D3
5
EL PUVKO EUGLIDIAKO
1 EL PUNO EUCLIDIANO. LA RECTA. ECUACION DE UNA RECTA .-
Se TI ama PLANO EUCLIOIANO ANALITICO al espa -
2
cío vectorial IR , donde: *
(1) A todo elemento { x , y) de IR2 se le llama PUNTO de IR2 .
(2) Dado un conjunto L c ftz , se le llama RECTA si existe un punto P„
2 —
* (*o* !/o) E R y un vecto*. a (diferente de 0), tales que
L - { P = ( x , y) e IR2 / P = P„ + tI , t e IR } .. (*)
(3) La dlitancJji ¿[Pj, P2 ] entre dos puntos Pj y P2 es igual a
la longitud del vector Pj P2 , es decir,
d[Pi. P2 ] = I (P?^) I “ lp2- pl I
1.1 NOTACION.- Por simplicidad, con frecuencia denotaremos a la recta
L dada previamente, como
L = { Pc + ti } (*)
y se dirS que L es LA RECTA QUE PASA POR PG V ES 
PARALELA AL VECTOR a , el cual serS denominado " vec 
toK dín.eccÁ.onaZ " de L .
Al coeficiente t (que puede ser r, s , etc.) se le llama PARAMETRO , y 
a la ecuaciSn de (*) se le conoce como ECUACION VECTORIAL VE LA RECTA L .
204 La Recta Cap. 5
1.2 TEOREMA.- Un punto P pertenecerá a la recta L ti y to*j> ti el 
vector P„ P * P - PD es paralelo al vector a . Es 
decir, si P - P„ = ti , para algún número real t .
Equi va1enteme n te,
P es un punto de la recta L , ti y ¿oto ti i
. . (**)
1.3 EJERCICIO.- Dados los conjuntos:
Lt - { P = (2t + l , -3t + 3) / t E IR }
L2 » { P = (3 - 4r , 6r) / r e R } ,
probar que Lj y L2 representan RECTAS , y que Lj = L2
SOLUCION.- puesto que se puede expresar como
\-l - { P = (1.3) + t(2, -3) / t e R }
L2 = { P = (3. D) + r(-4,6) / r e R } .
entonces Lj y L2 son RECTAS pon. deíinicidn , pues Lt tiene como PUN
T0 DE PASO al punto P„ = (1, 3) y como VECTOR OIRECCIDNAL al vector 
a = (2, -3), y L2 tiene a Qc = (3,0) como PUNTO DE PASO, y al vec
tor b = (-4, 6) como VECTOR DIRECCIONAL.
Ahora probaremos que Lj = L2 .
Cap. 5 La Recta 205
Sea P e Lj : P ■ (1, 3) + t(2, -3) » (1 + Zt, 3 - 3t) , algún te R
y se desea probar que P e L2 • para lo cual, por (**), se debe veri -
car que:
(P - Q0) • b "L - D :
(P-Q0) - b-1 - [ (l + 2t. 3 - 3t) - (3.0) ] - (-6.-4)
- (Zt-2. 3-3t) - (-6.-4)
- (—6) (2t — 2) + (—4) (3 — 3t) - 0 = > Lj c L2 ;
ahora probaremos que L2 c L( : sea Q e L2 : Q * (3-4r, 6r) . pa
ra algún número real r , y para lo cual basta verificar que:
(Q- P„) • 3 * D . (por ** ) ; en efecto,
(Q-P0) . 3 X - [(3 -4r, 6r) - (1,3)]. (3. Z)
- (2 - 4r, 6r - 3) • (3, Z)
(3)(2 - 4r) + (Z)(6r - 3) - D = * L2 c Lt .
Por lo tanto, de estas dos inclusiones: Lj ■ L2 .
1.4 Ob s e r v a c i ó n.- Del ejercicio previo, se deduce que, en la recta
L » { P » P„ + t3 ) ,
en lugar del vector direccional 3 , que es el vec­
tor que le da la inclinación a la recta L con respecto al Eje X , se puede
elegir cualquier vector b t D como vedo*. dlneccional de la misma rec­
ta L siempre que b ¿ea PARALELO al vector 3 , y por lo tanto, la
recta L tendría la representaciSn equivalente siguiente:
L = Í P « P 0 + tb } . dórele b = rS , para algún
número reaf r .
Por esta raz5n, no es tan correcto hablar de Re.cXa¿ dOU.g¿da¿, sino sim­
plemente de RecXai , y no se debe confundir ya sea con el victon. (UxtccÁo 
nal 6 con la Inclinación de. L , que si son conceptos bien establecidos.
Análogamente, el Punto de Paso P„ NO ES UNICO, 
y puede ser reemplazado por cualquier otro punto Q„ , SIEMPRE QUE SEA TAM
206 La Recta Cap. 5
BIEN ELEMENTO VE LA MISMA RECTA L .
2 ECUACIONES PARAMETRICAS DE UNA RECTA
SI un punto P * (x, y) e L , donde
L » { P - P0 + ta } . y donde P0 - (x0, yD) , y i - (alt a2) ,
entonces se tienen las ecuaciones simultáneas:
\
que son denominadas LAS ECUACIONES PARAMETRICAS VE LA RECTA L , con PUN­
TO DE PASD PD = (x0, yD) , y con VECTOF» DIRECCIONAL a - (alt a2) .
Z.l EJEMPLO.- La recta L cuyas ecuaciones paramStrlcas son: 
f x - 1 - t
i y ■ 2
y que puede representarse como:
L ■ { (*, y) * (1 - t, 2) } ■ { (x, y) - (1,2) + t(-l, 0) } ,
tiene como Punto de Paso al punto P„ = (1,2) , y como Vector Direccio-
nal al vector i = (-1,0) , horizontal, y puesto que este vector le da
la inclinacifin a la recta L , ésta resulta ser una Ke.cXa hoiu.zonta¿ , que
pasa por P„ *= (1,2) .
* i = (-1, 0)
(-1,0) 0 1 2 3 X
Cap.5 La Recta 207
3 FORMA SIMETRICA DE LA ECUACION DE UNA RECTA
SI la recta L tiene como Punto de Paso al punto 
PD * (x0, yc) , y como Vector Dlrecclonal a - (a¿, a2) con aj f 0 y
a2 f 0 [es decir que, L no es vertical ni horizontal ] , entonces < 1 par 
de ecuaciones simultáneas: x0 + ta! 
Vo * t a2
es equivalente a:
( - t )
que es denominada LA FORMA SIMETRICA de ta ecuación de ta Ateta L <jup pa­
ia pon. P„ * (x0, ya) , y tizne. VecXon. Viiecc¿onaí a - (a¿, a2) .
3.1 Ej e m p l o .- La ecuación
x + 1 3-y
es equivalente a:
x-(-l) y-3
2 -5
y representa a la recta L que
tiene como punto de paso PD » (-1, 3) y vector dlreccional I * (2, -5) .
H ECUACION NORMAL Y ECUACION GENERAL DE UNA RECTA
Se dice que una RECTA L * { P„ + ta } 
y ur VECTOR ñ no nulo, SON ORTOGONALES si es que y ñ son ortogo­
nales.
208 La Recta Cap.5
A cualquier vector ñ no nulo, ortogonal a L se le llama VECTOR 
NCMMAL a L , y puede ser elegido como el vector
ñ = i ■*" 6 cualquier vector múltiplo de i .
4.1 TEOREMA.- Un punto P pertenecerá a la recta L que tiene como
punto de t>aso P0 y vector normal ñ , SI V SOLO SI el
vector P„ P * P - Pc es ORTOGONAL al vector ñ .
P E L « = ■ (P-P„) . F - 0 .. (*)
A esta última ecuacifin se le conoce como LA ECUACION NORMAL de la *.ecXa L 
quí fxua pon P0 y (e¿ octogonal) tiene vec.ton. normal ñ .
Si consideramos P * (*, y) , ñ - (a, b) , y PG ■ ñ - - c , en
tonces (*) se convierte en:
P - ñ - PD • ñ |------------------------- 1
ax + by * -c = » I a* + b i / + c - 0 I
que es llamada la ECUACION GENERAL de la A.ecta L normal al \1ecX0K
ñ - (a, b) .
Note que el vector ñ = (a, b) está formado por los coeficientes
de las variables * y y , en ese orden.
4.2 EJERCICIO.- Hallar la ecuación Normal y la ecuaci6n Genznal de
la recta L que pasa por los puntosPj * (1, 3) y
P2 = (4, 1) .
SOLUCION: Consideraremos coi.o vector direccional al vector :
5 * V * 2 * P2' P1 = (4* 11 ‘ (1* 3) = (3' 'Z) *
y como vector normal al vector : _ i
n = a-1- = (2, 3) ,
y puesto que un Punto de Paso puede ser cualquier punto de ai \ecta ( Px 6 
P2 ) , entonces elegimos como PG al vector: P„ = P2 = (4, 1) .
Cap.5 La Recta 209
De esta manera se tiene que, para un punto genérico P ■ (x, y) e L ,
(P- P„) • ñ - 0
[ P - (4. 1)] • (2. 3) - 0 ... ECUACION GENERAL DE L,
<■ — *> P . ñ ■ PD • r
(*. y) * (2, 3) - (4,1). (2,3)
Zx + 3y * 11 , 6 sino 2x + 3y - 11 ■ 0 ,
que vienen a ser las ECUACIONES GENERALAS DE LA RECTA L .
4.3 NOTA.- El procedimiento seguido en el Ejercicio previo proporcio- 
ciona un método ripido para hallar la ECUACION GENEkAL de 
una recta L si es que se conoce un punto d i paio PD y
un vícXok nonmal ñ , haciendo: ------------------ 
I P • ñ = P0 • ñ I
5 DISTANCIA DE UN PUNTO Q A UNA RECTA L
Sea (P - P0) • ñ » D la ECUACION NORMAL de L , donde
_ __ 2 
n = (a, b) y P„ • n * -c ; si Q = (Xj, es un punto de IR ,
entonces se tiene que LA TISTAWCIA PE Q A LA RECTA L viene dada por la
relaci6n: rft Q ; l ] = I cP - ( Q - p0) | =
210 La Recta Cap.5
d [ Q ; L ] = | Cp - ( Q - PD) |
I a*i + bi/j + c |
(Q - P0) • ñ 
I " I
Q . ñ - P„ • ñ
I " I 
( * ! • y l ) ; L
que viene a ser la fórmula de LA DISTANCIA DEL PUNTO Q « (x̂ , t/y) 
RECTA L ruya ecuación general estS dada po-
L : ax + by + c * 0
5.1 EJERCICIO.- Hallar la distancia del punto Q = (7, 9) a la 
ta L : 3* + 4i/ - 7 = 0 .
d[Q;L]
Cono Q = (xj, yj) = (7,9) entonces 
|3*1 + 4</l - 7 | | 3(7) + 4(9) - 7 |
J T ~ *
10 unidades.
A LA
rec -
Cap. 5 La Recta 211
6 PROYECCION ORTOGONAL DE UN VECTOR V SOBRE UNA RECTA L
Dado un vector v y una recta L * { P„ + tá } 
la cual tiene vector direccional a f 6 , se define como VECTOR PROYEC­
CION ORTOGONAL DE v SOBRE LA RECTA L , al vector de Proyección Ortogo - 
nal de v sobre cualquier vector direccional i de L .
Se puede ver que el vector 
Pr ̂v es un vectcr PARALELO a la recta L , y no depende del vector
dfreccional a de L que se elija , como veremos en el siguiente Ejemplo.
6.1 Ej e m p l o .- Sea v » (6, 8) , L : 2x - + 4 = 0 la recta cuyo
vector direccional puede tomarse (2. -4) = (4, 2) -6
sino (-2,-1) , £ cualquier múltiplo de (4,2). En ca
so de elegir á ■ (4,2) :
Pr i - =(- 7 ¡ f )5 = i > * 2) ‘ (8*4) •
Ahora, si se eligiese a = (-2,-1) :
Pr - 5 = 5 = - ^ ( . 2,-i) = 8,4),
1*1 5
212 La Recta Cap. 5
y por lo tanto, en cualquiera de los casos: Pr^ v = Pr- v * (8,4) .
7 SEGMENTO I>F RECTA
2
Dados los puntos PQ , Pj e IR , se 
llama SEGMENTO CERRADO [ P0> Pj D al conjunto
[Po. PJ = <P = Po+ t(P!-P0) / te [0,1] }
Al segmento cerrado [Pc, Pj] también se le denota por P0Pj simplemen­
te, y es el segmento de la recta L , comprendido entre Pc y Pj .
Se puede observar que conforme t crece de 0 a 1 , entonces el punto 
P = Pc + t(Pj- P0) se desplaza desde P0 hasta Pj a una velocidad
constante, como en la siguiente figura:
en la que los puntos R, , R2 y Rj dividen al segmento en cuatro partes 
de igual longitud, pues t va tomando valores de 1/4 en 1/4 con la si - 
guiente representación:
Cap. 5 La Recta 213
Ri “ P0 + (1/4)(P!- P„)
R2 - P„ M2/4)(P!- P0)
R3 - P0 + <3/4)(P1 - P0) .
y de esta manera se pueden ubicar 
todos los puntos que dividen a un 
segmento [P0, Pj] en n partes 
de Igual longitud.
7.1 EJERCICIO.- Encontrar los puntos que dividen al segmento AB de ex 
tremos A • (-1, 1) y B » (49, 31) en cinco partes de
Igual longitud:
P e [A. B]
Pk - A + (-)(B-A)
Pj - A + (1/5)(B - A)
P2 - A + (2/5)(B - A)
P3 ■ A + (3/5)(B - A)
P4 * A + (4/5)(B - A)
P * A + t(B - A) 
1, 2, 3 y 4 = *
t e [0, 1] ,
(-1. 1) + (l/5)(50, 30) - (9,7)
(-1, 1) + (2/5)(50, 30) - (19, 13)
(-1, 1) + (3/5)(50. 30) « (29,19)
(-1, 1) + (4/5)(50. 30) - (39, 25)
8 DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA: M:N
Dado el segmento de recta AB , el punto Q de la recta 
L que pasa por A y B y que divide a AB en dos segmentos en la raz6n Je 
m:n (denotada también m/n) con n f 0 , estS definido por la relaciCn:
El punto Q siempre se encontrarS en la recta que pasa por A y B , siem­
pre que m/n f -1 , pero puede estar fuera del segmento AB , como vere­
mos más adelante.
8.1 CASO I: f -1 [es decir, m / -n ]
214 La Recta Cap. 5
De (*) resultan las siguientes formas equivalentes.
AQ « (m/n) QB » (m/n)[QA ♦ AB ] » (m/n)[-AQ + AB ] =
(m + n) AQ - m AB , y coiw AQ * Q - A , AB» B - A ,
A ♦ ( ) ABm + n
forma que puede ser interpretada geométricamente, y de la cual se deduce la 
siguiente, que es muy ütil para el cSlculo explícito del punto Q :
Q - ( — ) A ♦ ( — ) B m + n m + n
8.2 EJERCICIO.- Dados los extremos A -(1.1) y B - (10, 7) del
segmento AB, hallar el punto Q que divide al seg
mentó AB en la raz6n (-2):(-l) .
La raz6n (-2):(-l) es Igual a la razfin 2:1 , y por lo tanto,
hi- 2, n = 1 , n + n - 3 , y
Q - ( — ) A + (-51-) m+n m+n
B 3 (1. 1) ♦ | (10. 7)
(7,5) .
En este caso, Q es un punto del segmento AB . (Ver la figura).
8.3 SUB-CASO 1-1 : SI n y n tienen el mismo signo (ambos positivos 6
ambos negativos), entonces Q resulta un punto interior del segmento
Cap. 5 La Recta ?15
AB .
B.4 SUB-CASO 1-2 : SI m y n tienen signos opuestos, Q resulta ser
un punto exterior al segmento AB (pero siempre den 
tro de la recta que contiene a este segmento), y
Im i- < i .
b) Q estará mis cerca ai punto B si | jj | > 1 .
8.5 EJERCICIO.- Dados los puntos A - (2,2) y B ■ (6,4), hallar el
punto que divide al segmento AB en la raz6n de
2 : (-3) .
SOLUCION.- Para este caso, m ■ 2, n ■ -3, m + n ■ -1, m/n ■ -2/3 ,
Q1 * {i ¡ ^ ] A * ( n+~ñ > B * donde |S| " ! < 1 '
por lo que el punto se encontrar! fuera del segmente AB , pero en el lado
correspondiente al punto A , en la recta que pasa por A y B . Asi»
- "7 A * "7 B " 3A - 2B
- 3(2,2) - 2(6.4) - (-6. -2) .
- (-6. -2) -
8.6 EJERCICIO.- Dados los puntos A » (2.2) y B * (6.4). hallar el
punto Q2 que divide al segmento AB en la raz6n de
í-3):(l) .
SOLUCION.- Para este caso, m = -3. n ■ 1. m + n - -2. m/n - -3 ,
Q2 ( — n■■ ) A ♦ ( — ) B , donde 1^1 » 3 > 1 , m n m+n |n|
por lo que el punto se encontrarS fuera del segmento AB , pero al lado co 
rrespondiente al punto B. AsT,
Q, = -i-A * - B = - - A + - B2 - 2 - 2 2 2
» - ^(2, 2) + | (6. 4) = (B, 5) .
-216- La Recta Cap. 5
n
En (*) resulta: AQ = - QB
Q-A = - (B-Q) = Q - B
= > A = B
lo que indica que el segmento AB consta del único punto A =
B , y donde el punto Q , que se cancela en la penúltima ecua 
cifin, pueae ser cualquier punto del plano y no necesariamente 
Q = A , que por supuesto que también es soluci6n.
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dida: las siguientes rectas:
a) 1-1 pasa por (0, 0) 1 paralela a (2, 2)
b) L2 pasa por (1. 1) > pa"alela a (1. 1)
c) 1-3 pasa por (1. 0) y (2, 1)
d) L4 pasa por (2, 3) y (4, 5)
e) l5 pasa por (0, 3) y paralela a (4. 2)
f) l6 pasa por (2. 4) . paralela a (2. 1)
9) 1-7 pasa por (0, 2) . paralela a (1. 0)
h) L8 pasa por (2, 2 ) y (4, 2)
Cap. 5 La Recta 217
i) L9 : pasa por (-1.2) , paralela a (0,2)
j) L10 : pasa por (-1,0) y (-1,5) .
1.1 Determinar tres puntos sobre cada una de las rectas previas.
1.2 ¿El punto (B, 8) se encuentra en Lj ; en L2 ; en L3 ?
1.3 ¿El punto (-3,3) se encuentra en L5 ; en L6 ; en L7 ?
1.4 Demostrar que Lj - L2 ; Lj « Lfi i Lg f L9 ; Lj n L2 ■ $ ;
Lj fl L3 = { (1/2 , 1/2) } .
1.5 Dar una representación analítica donde sea posible, de las 10 rectas 
y en la forma { (x. mx + b) / x e IR } .
1.6 Encontrar las ecuaciones paramétrlcas de Lj, L2, L3, L4 y L10 .
1.7 Encontrar la Forma Simétrica de las ecuaciones de las 10 rectas, don­
de sea posible.
1.8 Encontrar las ecuaciones normales y generales de las 10 rectas.
2.- Demuestre que [Pc, Pj] es el conjunto de tcdos los puntos P tales
que |P- P0 | ♦ |Pl- *| - | P ^ Pc | .
3.- Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta 8x + lSy >
10 , y que se encuentran a una distanciaIgual a 5 unidades del pun 
to P =■ (2, 3).
4.- Determinar los valores m y n para los cuales la recta de ecuación
(m + 2n - 3) x ♦ (2m - n + 1) y * (6m + 9) = 0 es paralela al Eje de Abs
clsas e intercepta al Eje Y en el punto (0, -3).
5.- Desde el punto (2,-3) se traza una perpendicular a la recta de ecua­
ción: 3x - 4y + 6 ■ 0 . ¿A qué distancia se halla dicha perpendi­
cular del punto (6,8) ?
6.- Si L! : — ¿4/5) x ♦ (3/5) y =■ 0
L2 : -(4/5) x + (3/5) y * 2 /3
y A y B son los puntos de la figu 
ra, hallar d [A ; B] .
7.- Los puntos Pj = (x¡, i/j) y P2 = (x2, y2) de la recta 5x - \2y * 
15 = 0 distan 3 unidades de L : (3, 4) • [(x, y) - (0, 3)] = 0 , ha
llar el valor de Xj + x2 .
218 La Recta Cap. 5
hallar el Srea del paralelogramo
Y
X7 12
de la figuri, si
/ LlLj: P - t(9, 12) , t reai
L2: (4, 10) + s(3,4) , s reai / ^7(6,8) 
/ L3
L3: (a,b) ♦ r(p,q) , r reai
X
A 0
9. Sean L̂ : kx + (k-l)ÿ - 1B ■ 0 , L2: 4x ♦ 3ÿ + 7 ■ 0 , rectas
no verticales. Si kj es el valor de k para el cual Lj // L2 y
k2 el valor de k para el cual Lj es perpendicular a L2 , calcular 
k2 - kj .
10. Hallar el punto Q que divide al segmento AB con A - (1,2), B 3 
(9, 7) , en la razón
a) 2: (-3) , b) 3 : 2 . c) (-12) : (-6)
11. Determinar m y n para que las rectas
Lj : (2,0) + t(m, l) , L2 : (l/n, 0) + s(-2, n) ,
sean coincidentes.
12. Demostrar que la distancia entre las rectas paralelas ax + bÿ + c - 0
y ax + bÿ + c' * 0 , estS dada por la fórmula:
/a2 + b2
13. La recta Lj : (1, 3) + t(2, -6) forma con los ejes coordenados un
triSngulo de Srea At . Si L2 // Lj y forma con los ejes un triSn
guio de Srea A2 tal que (Aj/A2) “ 4 , encontrar la ecuación vec­
torial de L2 .
14. Hallar el valor de k para que los puntos (-1/2, -5/14) , (5/14 ,
, 3/14) y (1/7 , k + (3/14) ) sean colineales.
15. Hallar la ecuación de la recta que estS situada a 6 unidades del ori­
gen, que pasa por (10, 0) y que corta a la parte positiva del Eje Y.
16. Si las bases de un trapecio tienen las ecuaciones 4x - 3y * 10 = 0 ,
8x - 61/ + 30 = 0 , hallar la altura del trapecio.
Cap. 5 La Recta 219
17. Graficar las siguientes ecuaciones en el plano:
a) y ■ |x-2| + 2 c) y » |x + 2 | - 4
b) y - 2x - | 2 - *| * 0 d) 2* - \y\ * |x| - 1
18. Hallar los coeficientes a y b de la ecuaci6n a* + by + 6 ■ 0 de
una recta si debe pasar por los puntos (1,4) y (3, -2).
19. Hallar la distancia entre las rectas 2x + i/ - 10 y 2x + tf+6 * 0 .
20. Hallar la ecuac16n de la recta cuyos puntos equidistan de las rectas pa
ralelas: 12* - 5y * 7 - 0 , 12* - Sy - 2 « 0 .
21. S1 L: (x, y) . (1,2) - 0 . I-! : [ P - (3, 3)] - (-3. -6) - 0 , ha
llar d[L, L^] .
22. Hallar el punto Q que divide al segmento AB con A = (6, 4) , B =
(2, 2) en la raz6n: a) 2 : (-3) , c) 6 : (-4)
b) (-3) : 1 . d) 4 : 4
23. Demostrar que la ecuac16n de la recta que pasa por (Xj, y^) y (x2 ,
y2), puede ser escrita como:
1 X y
det 1 X! «i - 0
1 x2 yi
24. Dadas las ecuaciones Lj : 9i/ + kx ♦ (k - 3) = 0
l2 : y.y + 4x + s = 0 ,
hallar el valor de k + s de manera que Lj y L2 representen la mis­
ma recta si se sabe que k > 0 .
25. Sea A * (2,0), B = (3,3), la base de un triSngulo. Hallar el vértî
ce C sabiendo que se encuentra en el 3er. cuadrante, que el Srea
del triSngulo ABC es de 5 unidades cuadradas, y que la recta que u- 
ne C con el origen forma un Sngulo de 45° con el eje de las absci­
sas.
26. Si Lj * ( PQ + t (a +4, a - 4) / t e I R }
L2 * { PQ + s (1 - 2a, 3a) / s e IR } , son rectas coinciden
tes, hallar el valor de a .
27. Si la distancia entre las rectas Lj = í (a, 5) + t (3, 4) / t e IR }
y L2 = { (4, b) + s (-3,-4) / s e IR } es de 4 unidades, y el
punto (5, b-a) dista 6 unidades de , encontrar (a, b) si
a y b son números reales positivos.
220 La Recta Cap.5
28. Dados los puntos A ■ (1, 1) y B » (9, 7), determinar las coordena­
das de un punto C de la recta L : y - x - 6 , tal que el Sngulo
ACB sea recto . (Dos soluciones)
29. Hallar la Proyección Ortogonal de v ■ (6, -5) en la dirección de la
recta a) L: (*c - 1)/4 » (t/+3)/3
b) L: 3x - y ♦ 6 ■ 0
c) L - { (a.b) + t(-l. 7) / t e R }
d) L: (3. 2) . [(*. tf) - <1, -1)] - 0
30. Demostrar que si A f B entonces el punto Q que divide al segmento
AB en la razón (1) : (1) es el punto medio del segmento.
31. Un vector i tiene longitud 6 unidades. Un vector b tiene la pro­
piedad de que para todo par de escalares * e y , los vectores
xa + yb y 4xá - 9yb , son ortogonales. Calcular las longitudes de
los vectores i y 2a ♦ 3b .
32. Sean [A, B] - ( P - (1,3) + t(5.-2) / t e [0. 1] }
[C. D] - { P - (1,5) ♦ t(5, -2) / t e [0. 2] > . Hallar
la altura del trapecio cuyas bases son AB y CD .
33. En el paralelogramo de la figura. BE - BC/4 . y F es el punto me
dio de AC . „ n
_ _ ^ D 
Si EF » mÁC + nAB , / E
calcular 8m - 12n . . / F
B
34. Sean A, B, C y D vértices de un paralelogramo. en ese orden. Sea
P el punto medio de CD , y X el punto de Intersección de AP y la
diagonal BD . Demostrar que X D -- 7 5-----7 C
divide a AP en la razón 2:1.
i En qué razón X divide a BD ?
SUG: A ♦ C « B ♦ D .
35. Sean A, B. C y D vértices de un
P el punto medio de CD, y Q de
ción de AP y DQ, demostrar que 
X divide a AP en la razón 4:1.
¿ En qué razón divide X a DQ ?
SUG: A + C « B + D .
paralelogramo, en ese orden. Sea 
BC. Si X es punto de intersec -
C
Cap. 5 La Recta 221
36. Sean A. B, C y D los vértices de un paralelogramc. Sea P punto
medio de CD y Q de BC. SI X es la intersección de PQ y la día
gonal BD. Demostrar que X divide 
a BD en la raz6n 1/3. ¿ En qué
razfin divide X a PQ ?
SUG: A ♦ C - B + D .
37. Sean A, B y C vértices de untriSngulo. SI P divide a BC , y
Q a AC en la razfin 2 : 1 , y si X es la Interseccifin de AP y
BQ, demostrar que X divide a AP y BQ en la raz6n 3/1 .
38. Sean A, B y C vértices de un trISngulo. Supfirgase que P y (] di
viden a BC y AC respectivamente en la razfin (1 — k)/k donde 0
< k < 1 . Si X es el punto de interseccifin de AP y BQ, demos­
trar que X divide a AP y BQ en la razfin 1/k .
39. Sean A, B, C y D vértices de un paralelogramo. Sean P, Q, R y
S puntos que diviaen i los segmentos AB, BC, CD y DA respectiva­
mente en la razfin 2/1 . Demos
trar que P. Q, R y S son
vértices de un paralelogramo.
A
40. Sean A, B, C y D , en ese orden, vértices de un cuadrilítero, y se­
an P, Q, R y S los puntos determinados como en el ejercicio ante­
rior. Demostrar que si P, Q, R y S forman un paralelogramo, eiiton 
ces el cuadrilítero original también era un paralelogramo.
41. Sean A, B, C y D vértices de un trapezoide, en ese orden, con base
AB. Sea X el punto de Intersección de las diagonales. Como la recta
que pasa por A y B es paralela a
la recta por C y D, entonces 
DC = rAB donde r > 0 .
Demostrar que X divide a ambas 
diagonales en la razfin 1/r .
42. El vector c se descompone en la suma de dos vectores á y b parale
los a los vectores (4m, -3m) y (-n, 3n) respectivamente, siendo
m , n f 0 . Hallar |á| + |b| , si c * (10, -3) .
222 La Recta Cap. 5
43. La figura ABCD es un paralelogramo, M es punto medio de AD. Si 
AH « m AB + n MC . 
calcular:
2 3
3 * 2
44. Si L es una recta no paralela a los ejes coordenados, y pasa por los 
puntos (2.2), (D, q), (p, D), siendo p f 0, q t 0, hallar el va­
lor de (1/p) + (1/q) .
CLAVE DE RESPUESTAS.-
I.8 : a) x - y m 0 , b) * » y , c) x - 2y + 1 ,
d) 5x - 4y + 2 » D , e) x » Zy - 6 , f) x ■ 2y - 6 , 
g) y - 2 . h) 2y - x » 2 . 1) x » -1 , j) 5x + y • -5 ,
3. 8x + 15y * 146 , 8x + 15y ■ -24 , 4. (m, n) * (7, -2)
5. 49/5 . 6. 2/6 , 7. 51/7 , 8. 2B unid, cuadradas
9. k2 - kj j- -1 , lD.a) (-15,-8) , b) (29/5. 5) , c) (19. 16)/3
II. (», 2n) - (-4, 1) , 12. (1, D) + t (1, -3) , (-1, 0) + t (1.-3)
14. 7k - -1 . 15. 3x + 4y » 30 . 16. h - 1
18. (a.b) - (-18/7, -6/7) , 1?. 16//5 . 2D. 12x - by + (5/2) = 0
21. 9//5 . 22.a) (14,8), b) (0,1). c) (-6,-2), d) (4,3)
24. k + s - 8 , 25. C ■ (8,8) , 26. a - -1
27. a - 6/7, b - 53/21 , 28. C - (1, -5) , C • (10, 4)
2?. a) ¿(4.3) . b) -¿(1.3) . c) (1. -7) , d) (2. -3)
31. | b | » 4 , | 2á + 3b| • 12/2, 32. 15/ /29" , 33. 11 ,
34. x - A + r A P » B + sBD = > r ■ s ■ 2/3 .
X divide a BD en la raz6n 2/1 ;
42. 15 + (2/10 ) . 43. (-11/6) . 44. 1/2 .
Cap. 5 La Recta 223
9 ANGULO DE INCLINACION DE UNA RECTA .-
Dada la recta L ■ { Pc + ti / t e IR } , don
de a es el vector dlrecclonal de L , puede presentarse dos casos:
1°) El ángulo 6 de ¿¡Aclinaciín del vecXofi i pertenece a [0, *> , 6
2°) El ángulo 6 pertenece al Intervalo [* , 2w> .
Y según esto, tenemos la siguiente definición.
9.1 Definición.- Para la recta l - { pd + ti / t E ir } ,
a) Si a tiene ángulo de inclinación 6 e [0, i) , entonces se
dice que 8 es eí ANGULO VE INCLINACION de. L .
b) Si i tiene ángulo de Inclinación 6 c [ r, 2ir> , se dice que
6 - v es el ANGULO VE INCLINACION de L . Es decir, que 6 - *
es el Sngulo de inclinación de -i .
De esta definición se sigue que el ANGULO DE INCLINACION de una recta L
solo varia entre 0 y w radianes .
9.2 TEOREMA.- Dada la recta L = { Pc + ti / t e R } , entonces
el vector i - (a^ a2) tiene el mismo Angulo de i.neJU
naiUfin que la recta L ¿a. y ¿olamente. b*. a2 > 0 .
PRUEBA: Sea ü = (uj, u2) el vector unitario en la misma direcciOn de 5 ,
es decir, i = f a|-ü = (alt a2) , entonces ü tiene el miŝ
224 La Recta Cap. 5
mo Sng- lo de inclinación de L 6¿ y 6otamznte. 6¿ ü - (eos 6 , sen 6) ,
con senB > 0 <===*> i e [O, i) .
9.3 EJERCICIO.- Hallar el coseno del Sngulo de inclinación de cada u- 
na de las siguientes rectas:
a) Lx : (1, 1) + t(-2, 1) c) L3 : (1, 0) + r (-2,-4) .
b) L2 : s (1, -3)
SOLUCION: a) Consideramos el vector direccional de Lt: á « (-2, 1) ■
(at, a2) que por tener a2 = 1 > D , entonces a
tiene el mismo ángulo de inclinación que Lt , y
á - |S|.(-2//5, 1//5) = * cose - -2//1 .
b) Consideramos el vector direccional de L2 : b = (1,-3) = (bj, b2) ,
que por tener b2 » -3 < 0 , se elige -b * (-1, 3) como el vec­
tor que tiene el mismo Sngulo de inclinación de L2 . Lo que implica que
-b » | b | •( -1//Í0, 3//l0) = > cose » -1//10 .
c) Siendo el vector direccional de L3 , c = (-2, -4) - (cj, c2) , y
por tener c2 « -4 < D , se elige al vector -c = (2, 4) como 
el vector direccional de L3 con el mismo Sngulo 6 de inclinación que 
L3 , y por lo tanto,
-c - | c |-( 1//5 . 2//5 ) = » cose - 1//5 .
10 PENDIENTE DE UNA RECTA
Si L es una recta no veAtical L = { Pe ♦ tS } , don
de á = (at, a2) con t 0 , se puede especificar la inclinación de
la recta mediarte un número m que recibe el nombre de PENDIENTE ae la
recta L , y que , si 6 es el inguto de. ¿nct¿nacÁ£n de L , con 6 c
[0, n> . se define como:
PENDIENTE m = tan 6
De modo que si se expresa a * (a1( a2) = aj ( 1 , a2/aj) entonces :
m = tare ■= a2/aj , para la fig. siguiente y la fig. (a) (pSg. 223) 
m = tañe = {-a2)/t~a1) * a2/a! , como er la fig. (b), pSg. 223 .
Cap. 5 La Recta 225
AsT, resulta que si 5 ■ (â , a2) es cualquier ve.cXon di/ieccxonal de. u- 
na kexLta. L no vertical , entonces
m es la PENDIENTE de L m > a2 / â
En particular, si se conocen dos puntos distintos P = (x, y) y P0 =
(*o» Vo) de una recta no vertical L ( x f xc ) , entonces L siyue
la dirección del vector - „ _ , \ i \a « P-Pc - (x-xc , y-yD ) = (alf a2)
y en tal caso:
y - y om » a2 /a, = > m * -----
Esta relación origina otra forma de la ecuación de una recta L no vertical
y - yD - m ( x - x„ )
que es llamada la forma PUNTO - PENDIENTE de la ecuación general de la
recta L que tiene como punto de paso Pc = (xe, yD) , y con pendien­
te m .
10.2 EjERCICl0 .- Determinar la pendiente , y la forma PUNTO - PENDIEN
TE de la ecuac'ón de la recta L = { (3t-2, l + 2t) }
SOLUCION: (x, y) = (3t-2,l + 2t)= (-2, 1) + t (3, 2) = *
yD) 1 i-2* U • a = (3, 2) , m = a2/aj = 2/3
I
226 La Recta Cap. 5
de donde obtenemos la ecuacién de la recta L : y - 1 » {2/3)(x + 2) .
10.1 RELACION ENTRE LA PENDIENTE Y EL VECTOR DIRECCIONAL .
Desde que cualquier múltiplo real del vector á • 
(at, a2) puede ser utilizado como vícXoa. disiecc-conat de la recta no ver­
tical L ■ { P„ + t¡ / te I R } , y como se puede expresar:
á - ax ( 1, a2/aj) « aj ( 1, m)
entonces el vector ( 1 , m) también resulta ser un vector direccional 
de la recta L , siendo m su pendiente .
*
SI L Intercepta al Eje Y en el punto (0, b) , y como el vector
(1, m) ■*" * ( - m , 1) es un vector nonmaí a L , entonces para cual -
quier punto genérico P * (x, y) e L , se tiene que
[(x, y) - (0, b)] - ( -m , 1) * 0 = » (x, y -b ) • (-m. 1) - 0
que viene a ser otra forma de 
la ecuacién general de la rec 
ta L de pendiente m , y 
que pasa por el punto (0, b).
Esta es llamada la:
FORMA Y-INTERCEPTO 
de la ecuacién de la recta L .
11 PARALELISMO Y 0RT0G0NALIDAD DE RECTAS
Dos rectas Lj * { Pc + ti } y L2 = { Qc + sb } son 
PARALELAS si es que los vectores a y b son paralelos .
Si Lj es paralela a L2 > se denotarS Lj // L2 ■
í i . i E j e m p l o . - Las rectas l , = { ( i , 2) ♦ t (4, - 6) }
y L2 - í s (_2, 3) } son paralelas, pues
sus vectores direccionales (4, -6) y (-2, 3) son paralelos .
Cap. 5 La Recta 227
11.2 Ej e m p l o .- Demostrar que si Tas rectas L1 » { P 0 + t 5 } y
*-2 ” { Qo + s } no son paralelas, entonces ¿e. ¿n- 
teAtedian en un único panto R .
SOLUCION: SI Lj L2 , entonces á no es paralelo a b , es decir,
á no es perpendicular a b"*" , y por lo tanto:
a - b f 0 y b . 5 j» 0 (pues á-b"*" - - b • i ̂ )
con esto, probaremos que existe un único punto Q c Ljíl L2 para lo cual
debemos hallar números s' y t' d< manera única tales que:
R ■ Pc + t'á y R ■ Q„ + s'b , o sea Pc - Qc * - t’á + s'b
= * f - -(P0 - Q0). b^ /íi-b1 ) , s' - (P0 - b)
con lo que se prueba que R * P0 + t'á e Lx H L2 .
La solución de este problema también sugiere el método para cal­
cular el punto de intersección de dns rectas no paralelas.
11.3 De f i n i c i ó n .- dos rectas lx » { pc + tá }, l2 = { q„ + sb }
son ORTOGONALES si es que los vectores á y b 
(direccionales) son ortogonales : á • b * 0 .
11.4 Ej e m p l o ,- Las rectas Lx - { (1,2) + t (-2, 1) } y
L2 = { (-1, 1) + s (2, 4) } ion ontogonaZeA
pues sus vectores direccionales á « (-2, 1) y b - (2, 4) son ortogonales: 
(-2, 1) • (2,4) = -4 + 4 - 0 .
11.5 Definición.-
dice que Pc es el 
PUNTO SIMETRICO de Pj 
con respecto a la recta 
L , y viceversa.
Se llama MEDIATRIZ de un segmento [P0, Pj] a 
la recta L que pasa por el punto medio M úel seg­
mento. y que es ortogonal al vector Pc Pj , y se
228 La Recta Cap. 5
11.6 TEOREMA.- Sean Lj y Lj dos rectas con pendientes rij y m2 •
respectivamente, entonces
a) Lj // L2 si y solo si nij ■ m2 .
b) Lj J. L2 ¿a. y 6oto i¿ nij . m2 = - i , siempre que ningu­
na de las rectas sea horizontal ni 
vertical.
PRUEBA: $i |_j y L2 tienen pendientes m^ y m2 , entonces tienen los
vectores direccionales (1, rrij) y (1, m2) respectivamente. AsT.
(1, nij) // (1, m2) (1, Bl)-(1, m2f L = 0
(1, nij) ■ (-m2, 1) = O < = > mt • m2 .
(1, irij) ± (1, m2) «s=> (1, m,̂ ) - (1, m2) - O
1 + mj m2 = O <===*> mi * m2 * - 1 .
11.7 ECUACION SIMETRICA DE UNA RECTA NO VERTICAL
Una recta L no vertical que corta a los Ejes en 
los puntos (a,0) y (O, b) , 
tiene como ecuación:
que es llamada la ECUACION 
SIMETRICA de la recta L .
O
11.8 EjbKCICIO.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por (4,-1), 
y que determina con los ejes coordenados segmentos 
cuya suma algebraica es de 3 unidades.
SOLUCION: Si (a, 0) y (0. b) son los puntos de intersección con los E-
jes, entonces a + b * 3 , y su ecuación es :
x y 4 1
L : - ♦ — = 1 , y cuno (4, -1) e L entonces - - - = 1
a b a b
= > 4b - a = ab = » 4(3-a) - a = a (3-a)
==» a2 - 8a + 12 = (a - 6)(a - 2) = 0 =s> [ a = 6 , d = -3 ] ó
a) Lt // L2
b) Lj X L2
Cap.5 La Recta 229
6 [ a * 2 , b ■ 1 ] .
AsT, existen dos rectas con las condiciones del problema:
(x/6) - (y/3) =■ 1 (x/2) + y - 1
ii.9 Eje r c i c i o.- En la recta que pasa por P ■ (0, -2) y Q ■ (4, 1) , 
determinar un punto A que estí situado a 3 unidades 
de distancia de Q , y que no pertenezca al segmento 
[P. Q] :
Como d[P, Q] “ 5 , el punto A 
debeubicarse tal como en la flgu
ra, y
Q-P 
IQ-PI 5 ’ 5
Q + 3ü
(32/5, 14/5) .
íi.io Ej e r c i c i o.
|H|
Po * 10 (f. j) - (6.8)
L: (x. </)-(3. 4) - (6. 8)-(3, 4)
L : 3* + Hy = 50 .
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
y por lo tanto.
L : (x, y) • ñ = P„ • ñ
Hallar la ecuación de la recta que no corta al ter­
cer cuadrante, que es paralela a la recta Lj :
3x + ty = -8 , y cuya distancia al origen es de 10 unidades.
SOLUCION:
Solo falta el punto de pato , 
pues ñ = (3, 4) es también 
un vector normal a L :
1. Considere las siguientes rectas, tales que:
?30 La Recta Cap. 5
1) Lj pasa por (6, 1), paralela a (1, 1)
2) L2 pasa por (2, 3) y (-3, -2)
3) L3 pasa por (-1,1) y (1,-5)
4) L4 pasa por (2,9) y (7,14)
a) ¿ Qué pares de rectas son paralelas ?
b) Hallar la ecuación general de la recta L que pasa 
es paralela a Lt ; L2 ; L3 ; .
por (2.5) y
c) Encontrar los puntos de intersección de cada recta, con el Eje Y .
d) Encontrar el coseno y el seno del Angulo de inclinación de cada
recta dada .
2. Demostrar que tres puntos Pt , P2 j P3 se encuentran en una misma
recta si y solo si P2 - Pj y P3 - Pt son paralelas.
3. Dada la recta L > { (4, -2) + t (4, 3) } , hallar la ecuación de la
recta L¿ que pasa por (-6,2), perpendicular a L .
4. Dados A = (4, 2) , B ■ (5,4) , hallar la longitud de la proyección
del vector ÁB sobre: u recta 2x + y m 6
b) la recta ortogonal a 2x ♦ y * 6 .
5. Hallar las coordenadas del punto R sobre el segmento PQ tal que
PR “ (3/5) PQ , donde P = (3, 5) y Q - (9,-7) .
6. Hallar el punto simétrico de P ■ (4,6) con respecto a la recta:
L = { (x, y) / x = 3 - 2 t , y = 1 + 2t , t e R }.
7. Determinar el valor (o valores) de k de modo que la distancia de
(-3,2) a la recta 5x - líy * 3 + k » 0 sea de 4 unidades.
8. una recta corta segmentos de longitudes iguales en los ejes coordenados 
y pasa por (3,2) . Hallar su ecuación.
9. Una rerta pasa por (3,5) de modo tal que el segmento de ella, situa­
do entre los ejes coordenados, es dividido por el punto dado en su mi­
tad. Halle su ecuación.
10. Encuentre las rectas que, pasando por (6, 2) , formen con el Eje 0X un 
triSngulo equilátero.
11. Encontrar la ecuación de una recta vertical L que forme con las rec -
tas Lj : x - Zy = - 2 , y L2 : 2x+ $y * 26 , un triSngulo de 30
unidades cuadradas.
Cap. 5 La Recta 231
12. La suma de las longitudes de los segmentos que una recta L determina
sobre los ejes coordenados es igual a 3 unidades. Hallar la ecuación 
general de L . si ésta pasa por (2. 10).
13. Dadas las rectas Lt : -2x + y » 5 . L2 : 4x + 2y - IB , ha?lar la
ecuación general de una recta vertical L que forme con Lx y L2 un
triángulo de Srea 8 unidades cuadradas.
14. Hallar el valor de a tal que la recta ax + (a - 1)y + 1 8 - 0 sea
paralela a la recta 4x + 3y + 7 » 0 .
15. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -5/12 , y que forma
con los semiejes de coordenadas positivas un triSngulo de 15 unidades 
de perímetro.
16. El Sngulo de inclinación de una recta que no pasa por el 2° cuadrante
es de 45°. Hallar su ecuación, si su distancia al origen es 6/2 .
17. Dos rectas Lt y L2 i Lt , pasan por (5,4). SI d[Q, Lj] - d [Q,
L2] - /2 , encontrar las ecuaciones de ambas rectas s1 Q - (4, 1) .
18. Dadas las rectas Lj : (1,2) + t(l,-2) , L2 : (a/3, 2a/3) + sb ;
s1 Lj es ortogonal a L2 , y s1 Lj n L2 H (Eje Y) f 4> , calcular
la constante a .
19. Dadas las rectas paralelas Lt : 4x - f>y + 3 * 0 , L2 : 4x - 6y +
21 » 0 , encontrar la ecuación de la recta cuyos puntos equidistan de
L] y de L2 .
21. Da jas las rectas Lx : (a, a) + tb , L2 : (-1, 2) • (P - PQ) - 0 . Si
L2 pasa por (-3, -2) y si su abscisa en el origen es mayor en dos unî
dades que la de Lt , encontrar el valor de la constante a .
22. Dadas las rectas Lt : (1,2) + t (4, 3) , L2 : (3a, a) + sb ; si
Lt O L2 es un punto del Eje X , y si Lt es ortogonal a L2 , h a ­
llar el valor de a .
23. Sean irij y m2 las pendientes de las rectas que pasan por (5, 2) y
que distan 2/5 unidades del punto (2, 6) , encontrar el valor de
11(mj + m2) .
24. Si el ¿rea del triSnqulo de la fi_
gura es de 12 u2 , si Lj es
ortogonal a L2 , encontrar las 
ecuaciones de Lx y L2 .
232 La Recta Cap.5
25. Calcular el Srea del cuadrilítero limitado por los ejes coordenados y
las rectas Lj : 4* + 3y ■ 12 , L2 : 8x + ij 48 .
26. La suma de las longitudes de los segmentos que una recta determina so­
bre los ejes coordenados es Igual a 10 unidades. Hallar la ecuación 
de la recta, si forma con los semiejes positivos un triSngulo de 12 u- 
nidades cuadradas de Srea y tiene pendiente m < -1 .
27. La recta Lj : 3kx + Sy + k - 2 es paralela a la recta 5* + 3y ■ 7.
Hallar el valor de la constante k .
28. SI la recta que contiene a los puntos A ■ (k,2) y B » (0, 2k) es 
paralela a la recta que contiene a C * (- k, 3) y D * (1, -2k) , ha 
llar el valor de k .
29. Determinar los valores de k para los cuales las rectas ky + (2k-l)x
+ 7 » 0 , (k- \)y + kx m 5 se corten ¿n un punto situado en el eje
de abscisas.
30. Un cuadrado tiene uno de sus lados en la recta 3x - y + 2 • 0 y un
vértice en (1, 1) . Encontrar su Srea.
31. Un rayo de luz va dirigido por la recta 2x - 3y * 12 . Al llegar al
eje de las ordenadas, se refleja en él. Determinar el punto de contac­
to Jel rayo con él, y la ecuación del rayo reflejado.
32. Ha'Mar el punto Q simétrico a (10, 21) respecto a la recta de ecua­
ción 2x + Sy * 38 .
33. ¿CuSntas circunferencias puede encontrar que sean tangentes a las tres
rectas: Lt : x + y ■ 1 , l2 : * - y ■ -1 , L3 : x - 3y = 1 . ? .
9
34. Encontrar el valor de k para que la recta k x + (k+ 1 )y + 2 = 0
sea perpendicular a la recta 3x - 2y + 4 ■ 0 .
35. Hallar la pendiente y el Sngulo de Inclinación de la recta que pasa por 
(2, 3) y es perpendicular a la recta 2x - 7y + 9 = 0 .
36. Hallar la ecuación vectorial de la recta L cuyos puntos se encuentran 
a un tercio de la distancia entre las recta? Lt y L2 donde Lj :
2x - y + 9 = 0 . L2 : 4x - 2y + 6 * 0 , si la distancia es medida
desde la recta L¿ .
37. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el origen de coordena­
das y que cortan a las rectas Lj : 2x - y + 5 = 0 , L2 : 2x - y =
- 10 , determinando segmentos de longitud igual a /10 , y cuyos ex­
tremos se encuentran sobre Lt y L2 respectivamente.
Cap.5 La Recta 233
38. La ecuación 3x - 4ÿ + k(x- 5) + 6 » O , representa una familia de
rectas donde sus miembros se determinan dando valores a k . ¿CuSl de
be ser el valor de b para que la recta y = 3x + b pertenezca a la 
familia de rectas dada? .
39. Dado el segmento AB con extremos A = (2, -2) y B> (6, 2) deternn
nar la ecuación de la recta con pendiente postiva que pasa por el ori -
gen y divide al segmento en dos partes cuyas longitudes están en la re-
ción 5:3.
40. Dados los puntos A * (1,1) y B ■ (9,7) , determinar las coordena­
das de un punto C e L: y = x - 6 tal que el Sngulo AOB sea un
Sngulo recto .
41. Hallar la ecuación de la bisectriz del Sngulo agudo entre las rectas:
a) L! : 3x + 4ÿ = 10 , L2 : 5x - \Zy = 26
b) Lj : 12x - Sy = - 39 , L2 : - 3x + 4ÿ * - 20 .
42. Hallar la ecuación de la bisectriz del Sngulo obtuso entre las rectas:
a) Lj : Bx - lSy ■ 84 , L2 : 7x + 24;/ = - 75
b) Lt : 5x + lZy = 52 , L2 : 24x - 7y = 50 .
43. Dada la recta Lt : 3x - Zy = - 12 , hallar la ecuación de la recta
L2 que es paralela a Lj y
que forma con L| y los ejes 
coordenados un trapecio de 5 
rea igual a 15 unidades cua 
dradas.
SUG: Use x/a * y/b - 1 .
Sean las rectas Lj « { (b2 + a3 - 2 , 3) + t (1 - a2, a) / t e R }
L2 = { (ab, 3b + 5) + s (a - 5, 8 - 3a) / s e IR ) .
encontrar valores de a y b de tal manera que las rectas Lj y L2 
sean coincidentes.
Encontrar la ecuación vectorial de la recta que determina al cortarse 
con los ejes coordenados un segmento cuyo punto medio es (-4, 8) .
Encontrar dos puntos A y B de la recta cuya ecuación es x + y = 8 , 
tales que si C = (6 + 3/3, 2 + 3/3), el triSngulo ABC sea equiláte­
ro.
Dadas las rectas Lj = { (x, y) e IR2 / 2x - y = 5 ) , L2= { C +
44.
45.
46.
47.
234 La Recta Cap.5
+ t (11. 2) } . A ■ (9, 13) e Lj , C - (25. -3), y el punto B de 
Intersección de ambas rectas, encontrar la ecuación vectorial de la rec 
ta L que contiene a la bisectriz del Sngulo ABC .
Cl a v e de Re s p u e s t a s .-
1. a) (1). (2). (4) ; 3. (-6. 2) + t(3.-4) ; 4.a) -3/✓! . b) 4//5
5. R - (33/5. -11/5) ; 6. (-2. 0) ; 7. k c { 88 . - 16 } ;
8. x + y - 5 . 9. 5x + 3i/ - 30 ; 10. Ll: (6,2) + t(l, /3) , L2:
(6, 2) + t(l, - /3 ) ; 11. x - 8 , x - -2 , 14. a » 4 ;
17. Ll: (5, 4) + t(l, 1) , L2 : 7x + y - 39 , 21. a * 1 ,
24. L2: 2x - 3y - 12 . Ll: 3x + Zy * 18 . 27. k = 25/9 .
29. k = 5/17 , 31. (0,-4), Rayo reflejado: (0,-4) + t(3, -2) .
36. (0, 7) + t(l, 2) , 37. Ll: y - x , L2: 7x + 3y - 0 ,
3B. b ■ -39/4 , #jta) (4,-1/2) ♦ t(l, 8) ; la Bisectriz del Sngulo ob­
tuso es (4,-1/2) + t(8, -1) . 42a) (3,-4) + t(-3, 29) ,
43. Zy - 3x - 18 , 44. a - 2, b = 5 , 45. (-4. 8) + t(l, 2) ,
46. A = (9. -1), B - (3, 5) ,
47. B =* (-14/10, -78/10) , LBI : (-7/5, -39/5) + t(4. 3) .
12 INTERSECCION DE RECTAS
Dadas las rectas Lt = { PG + t a )
L2 = ( Oo + s b } , ya se
ha demostrado anetriormente que tlener. un único punto de intersección y 
ioto los vectores direccionales a y b no son paralelos. Es decir, 
si y solo si i • b ■*" t 0 .
SI ñj y ñ2 son vectores normales a Lj y
L2 respectivamente, entonces los vectores direccionales á y b no son pa­
ralelos si y solo si los vectores normales ñj y ñ2 no son paralelos, y 
por lo tanto L{ y L2 tienen un único punto de intersección si y solo si
ñj y ñ2 no son paralelos. Es decir, si y solo si ñt no es ortogonal
a r¡2 ( ñj1 • ñ2 t 0 ) .
12.1 EJEMPLO.- Hallar la intersección de las rectas Lj = { (5,8) + 
t(l, 2) } , y L2 = { (4, 3) + s(l, -1) ) .
Cap. 5 La Recta 235
SOLUCION: La recta Lj no es paralela a L2 , pues (1,2) no es parale
lo a (1, -1). Y si Pe Lj O L2 . entonces
P - (5,8) + t (1, 2) = (4. 3) + s (1. -1)
= > (1.5) - - t (1. 2) + s(l.-l)
= > t . (1. 5)-(l. 1) _ _ 2 s _ (1. 5) • (-2. 1) _
(1, 2)-(l, 1) ‘ U,-l)-(-2,l)
por lo tanto, P ■ (5,8) + (—2)(1.2) ■ (3,4) , y se puede verificar
que (4,3) + s (1,-1) - (4,3) + (-I)(l,-1) * (3,4) también.
OTRO METODO: Siendo ij - (-2,1) , ñ2 = (1,1) los vectores norma­
les de L| y L2 respectivamente, se tiene el sistema:
Lj : -2* + y » - 2
L2 : x + y - 7
el cual tendrS una única solución pues (-2,1) y (1,1) no son parale­
los. Esta única solución (x, y) corresponde precisamente a la intersec­
ción de Lj fl L2 . En efecto, resolviendo dicho sistema, obtenemos:
x - 3 , y = 4 , que son las coordenadas del pun
to P = (3, 4) que hablamos encontrado anteriormente.
12.2 EJERCICIO.- En la figura PQRS es un paralelogramo. El Srea del 
triSngulo PRS mide 6 unidades cuadradas, la recta
236 La Recta Cap. 5
Como (1,-2) e L2 entonces L2 : - x .*y = -3 ,
y siendo Lj : x + y * 13
resolviendo el sistema de ecuaciones ¿■Lmuttín&u obtenemos el punto R =
(8, 5) e Lj (1 Lj . Y como el Srea del triSngulo PRS es igual a:
6 = ab/2 y a = 2 /2 , entonces b ■ 3/2 . Por lo tanto, si
consideradnos el vector unitario ü ■ (-1, l)//2 , de la figura se tiene
que S = R + a ú 1 = (8, 5) + 2/2 (-1.-l)//2 » (6,3)
P= R + bu = (8. 5) + 3/2(-l,l)//2 = (5,8)
Q « P + a(-üX ) - (5,8) + 2/2(1, 1)/ /T ■ (7.10)
La pendiente de la recta L que pasa por S = (6, 3) y Q = (7, 10) es
10-3m = ---» 7 = > (l,m) ' (1,7) es un vector direccional de L
7-6 ,
y (l.m) ■= (-m, 1) es un vector normal de L ,
y como L pasa por S = (6, 3) entonces L : - 7x + y » -7(6) + (3)
= > L : - 7x + y = - 39 .
12.3 LA REGLA DE CRAMER .-
Mediante el uso de los DETERMINANTES se puede cal cu 
lar las coordenadas (x0, yD) del PUNTO DE INTERSECCION DE DOS RECTAS NO PA­
RALELAS dadas. En efecto, dadas las dos rectas, no paralelas,
aj x + bj y = 
a2 x + b2 y =
(*)
(1)
(2)
y por ser no paralelas, se tiene que (at, bj) ■*" • (a2, b2) t 0 
(-bj, a^-faj, b2) + 0 = » ( a ^ - a ^ ) i 0
Así, resolviendo el sistema (*) 
nes de (*) por:
(b2) x 
(-bj) x
para lo cual multiplicamos las ecuacio-
at x + b, y = Cj 
a2 x + b2 y = c2
(a1b2) x + (bjb2) y = c,b2
Cap. 5 La Recta 237
'■1"2 ' 2 1 1 2 “ 2 1x - ----------- , y - ----------- (**)
alb2 ‘ a2bl alb2 ” a2bl
Recordando que se define como DETERMINANTE al número
det "al bi ■ ajb2 - a2bj , ó simplemente al bl
_a2 b2 _ a2 b2
Notamos que las coordenadas , en (**) . del PUNTO DE INTERSECCION de Lj 
y L2 pueden ser expresadas en términos de Determinantes como:
REGLA
DE
CRAMER
C1 bl
C2 b2
a, ct 
a2 C2
al bl 
a2 b2
» y 9
al bl 
a2 b2
que viene a ser la llamada REGLA DE CRAMER para 1? resolución de un par 
de ecuaciones lineales simultáneas en dos variables, con una única solución 
para x e y .
Observe que el denominador es el mismo en ambaí variables. 
Adem8s, los numeradores provienen de reemplazar en el denominador:
- la primera columna por los términos independientes de Lj y L2 , pa 
ra x ,
- y la segunda columna por estos mismos términos independientes, para y.
Por ej»mplo, las coordenadas del punto de intersección de las 
rectas (¿ no paralelas ?)
están dadas por 16
12
3
5
-1 • 
-2 : 
-2 
4
4
-2
3x - 2y = 16
5x + 4ÿ = 12
7¿(4) - 12(-2) 
3(4) - 5(-2)
88
22
= 4
238 La Recta Cap. 5
16
12
-2
4
3(12) - 5(16)
3(4) - 5(—2)
Ve donde, obte.nemo¿
36 - 80 
12 + 10
-44
22
(4. -2) e Ll O L2
NOTA.- Esta REGLA DE CRAMER también se extiende para ecuaciones lineales 
simultáneas de tres variables , mediante DETERMINANTES DE TERCER 
ORDEN , como sigue. Dado el sistemj de tres ecuaciones siguiente 
en la que el Determinante de tercer orden de los coeficientes NO ES 
CERO entonces se cumple que la (única solución) está dada por las 
fórmulas
aj X + bj y + clz s dl •• (1)
a2 x + b2 y + c2 z - d2 (*) •• (2)
a3 * + b3 y + c3 z ■ d3 •• (3)
dl bL C1 al di C1 al bl dl
d2 b2 c2 a 2 d 2 c2 82 b2 d2
d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 d3
al bl C1 ai bi ci ai bi ci
b2 C2 2̂ C2 a2 b2 c2
3̂ 3̂ 3̂ a-j b3 c3 a3 b3 c3
cientes x
Al determinante del denominador (correspondiente a los coefi - 
y , z ) se le denota con el s?i»bolo:
al bl
a2 b2
a3 b3
A =
Recordemos que este determinante de tercer orden se calcula en base a deter­
minantes de segundo orden, como sigue:
al bI cl b2 c2 »1 C1 bl C1
a2 b2 c2 al - a2 + a3
a3 b3 c3 b3 c3 Î
b3 c3 b2 c2
N O T E ESTE SIONO
Cap. 5 La Recta 239
Por ejemplo, dado el sistema de ecuaciones lineales 
el determinante de los coeficientes es igual a:
4x - ty 
3* + y
I - 6 
I 1
- -42 
■ - 4
4 + 1 8
A - 22
42 - 6 I
■ 4 1 I
-42
-4
Por lo tanto.
(-42) - (24) 
22
(-16) - (-126) 
22
-66
22
110
22
-3
Desde que el sistema de ecuaciones dado arriba representa las ecuaciones de 
dos rectas (no paralelas) , entonces la solución del sistema representa el 
PUNTO DE INTERSECCION (x, y) de ambas rectas, es decir,
(* . y) (-3.5) .
Considerando otro ejemplo, dadas las rectas (no paralelas i?) :
- 5x + ly - 
2x - 4y ■
9
12
(*)
para hallar su PUNTO DE INTERSECCION, hallamos la solución del sistema de 
ecuaciones lineales s1mult8neas (*) , mediante la REGLA DF CRAMER :
(-36) - (-84) _ 48
(20) - (14) ‘ 6
(60) - (18) 
(20) - (14)
i? - 7
6
Asi, el punto de Intersección de Lj y L2 es Pc - (*.{/) “ ( B , 7) .
Veamos ahora un ejemplo de cómo calcular la solución de un sis
tema de tres ecuaciones lineales simultáneas que tiene una Gnica solución. 
Esto está asegurado por la condición que el determinante A sea DISTINTO 
DE CERO. Por ejemplo, resolver el sistema de tres incógnitas:
3* + Zy - z ■ 14
x - 4y * 2z - -7
-Zk + y + 3z - -7
(*)
cuyo determinante A de coeficientes es
- 3 (-14) - 1(7) + (-2) (0) - -49 t 0
3 2 - 1
1 -4 2
-2 1 3
Entonces, por la REGLA DE CRAMER, la Gnica solución de (*) estS dado por:
14
-7
-7
2
-4
1
-1
2
3 14(-14) - (-7)(7) ♦ (-7)(0) -147
A -49 -49
3 14 -1
1 -7 2
-2 -7 3 3(-7) - 1(35) + (-2)(21) -98
A -49 -49
3 2 14
1 -4 -7
-2 1 -7 3(35) - l(-28) + (—2)(42) 49
A -49 -49
Asi, la solución del sistema es el punto (x, y, z) • (3, 2, -1) .
En el Capitulo de GEOMETRIA VECTORIALEK EL ESPACIO, veremos que cada una 
de las ecuaciones del sistema (*) de arriba, representa un plano; veremos 
que estos tres planos tienen un Gnlco punto de Intersección (es decir, un 0 
nico punto común) pues su determinante A es DISTINTO DE CERO, y que la 
solución del sistema, dada por las coordenada:, (x, y, z) halladas, represen 
ta precisamente a este PUNTO DE INTERSECCION de los tres planos dados en (*).
Como vemos en este caso extendido a tres dimensiones, la REGLA DE 
CRAMER sigue siendo sumamente Gtll, y conviene siempre tenerla en cuenta.
Cap.5 La Recta 241
13 ANGULO ENTRE RECTAS
De la Trigonometría elemental se tiene que: 
tan (■» - 8) * - tan 6 (1)
tan ( a2 - a . )
tan a2 - tan a|
1 + tan <X| tan a 2
Asi que dadas las rectas L| y L2 no vvatinaZu , con Sngulos de Inclina 
clón 8| y 62 respectivamente, se puede considerar (de la figura adya­
cente) a 8 y (u - 8) como ) ds Sngulos formados por las dos rectas, don 
ae 8 * a 2 ~ a | •
entoncLS
SI m| y m2 son las pendientes de L| y L2 . 
»I » tan oj , m2 “ tan a2 . De la relación (2) se 
tiene ademSs que:
(3)
Y
correspondiente al Sngulo 6 entre y * / Li
Lt y Lj en términos de las res -
peetivas pendientes. Y para el Sn­ \ e /
gulo suplementario u - 8 se tle
ne que it - 8 j* \ /
tan (n - 8) » - tan 8
V \
Por lo tanto, pueden presentarse
las siguientes tres posibilidades:
0
/ \ 1
a) SI tan 8 > 0 entonces 8 es el Sngulo agudo entre L| y L2 .
b) Si tan 8 ■= i oo , entonces 8 « 90° , y asi, Lj X L2 .
c) SI tan 8 < 0 entonces 8 es el Sngulo obtuso entre Lj y L2 .
d) SI tan 8 ■ 0 entonces 8 ■ 0 , y así resulta que L, // L2 -
13.1 REGLA Para evitar confusiones en la fórmula (3) , cuando se co
242 La Recta Cap. 5
nocen aproximadamente las gráficas de las dos rectas, se considera la si 
guíente regla:
St 8 ti el íngulo eiJtie Lj y 
L2 con pendientes mx y m2 , 
se considera al ángulo 6 como 
aquel que está trazado en send 
do ANTIHORARIO . Asi,
ti válida, pana cuax.qiu.2Aa de tot ca
tot de Za {¿guna donde m 2 consitiponde a ta nzcta L2 donde termina et ba 
/m ido del Angulo 6 , y ta pendiente m¡ conAesponde a ta necia Lj donde 
comienza til ba/Uiido del inguai 6 .
13.2 EJERCICIO.- Oadas las rectas Lx : 7x - y ■ 0
L2 : x - y * -2 , hallar
la ecuación de la recta L de pendiente negativa que pasa por Q » (4, -1) ,
y forma con Lj y L2 un triángulo isósceles cuyos lados iguales se encuen
tran en Lt y L2 respectivamente.
SOLUCION:
Lj tiene pendiente 
L2 tiene pendiente
Si m * 
entonces
tan 8¡
pendiente de L
ton 6,
m ■- m t
1 + m r i j
IT) - 7
1 + ( m ) ( 7 )
1 ^ 2 - m
1 + m¿- m
1 - m 
1 + m
Cap. 5 La Recta 243
y coipo 6 e, entonces m - 71 2 
(2m + 1)(m - 2) - 0
2m - 3m - 2 - 0
1 + 7m 1 ♦ » 
y puesto que la pendiente m debe ser 
negativa, tomamos la solución m ■ -1/2 
como la pendiente de la recta L que pasa por Q « (4, -1) . Por lo tanto,
L : y + 1 »
13.3 Observaciones
¡ U - *).
1. Para saber si el Sngulo 6 entre dos rectas no perpendiculares L( ■
{P0 + t á } y L j ^ í Q o + s b } es el Sngulo agudo o el obtuso
en forma analítica, se graflcan los vectores dlreccíonales 5 y b
con relativa aproximación y luego se calcula su producto escalar a * b
y como _ -
a - b
eos 6 - ---- — , entonces
Ü I I M
i) s1 á ■ b > 0
¿1) si i • b < 0
eos e > o = > e e <0. w/2y
6 ti et ángulo agudo. 
eos 6 < 0 = s 6 e ^i/2 ,
= » 6 ti ti Angulo uttuio.
2. Mediante la regla del paralelogramo se puede establecer que si se tienen 
dos vectores a y b de igual longitud, es decir | a| * |b| ,
entonces el vector suma i + b forma con los vectores i y b 
el mismo Sngulo, o sea que corta al Sngulo entre 5 y b en dos
partes iguales, y se dice que 
TRIZ dt loi vtcloHti i y b
a •(a + b)
a + b iigut la. dlntcclln dt la. 8ISEC 
. En efecto.
eos a
1 | i | | 5 + b |
| 5 12 + I . b
| a||i + b|
¡ b |2 * 5-b 
| b | | 5 + b | 
b . (5 + b ) / [ | b| 11 + b | ] eos a,
244 La Recta Cap.5
En la práctica, si se tienen dos vectores cualesquiera no pata 
tifa , y no necesariamente de la misma longitud, entonces para hallar un vec 
tor en la dirección de la BISECTRIZ de a y b lo que se hace es consi­
derar los vectores unitarios
b
|B|
los que por tener la misma Ion 
gitud unitaria, se tiene que 
el vector-suma
a
|5|
b
|BÍ
seguirá la dirección de la B¿ 
SECTRIZ de a y b .
b
|b|
13.4 EJEMPLO.- Dadas las rectas
entonces los vectores 
males, y por lo tanto,
i = (2, -1) c = (-2, 1)
son dos vectores direccionales de
-i asi como b = (1, 1) lo es 
de L2 ■ Al graficar se tiene la 
figura adyacente.
Y como se tiene además que
á ■ b = 1 > 0 entonres 6 es
el ángulo agudo entre Lj y Lz,
c - b = -1 < 0 entonces B es el
* + Zy - 4 =
* - y - 1 =
nj - (1, 2) y ñ2 ■ (1, -1) son sus vectores ñor
13.5 PROBLEMA.- Hallar las ecuaciones generales de las rectas bisectH
es de Lj : 4x - 3y + 10 = 0 , Lz : 7x + y - 20
- 0 , correspondientes al ángulo agudo, y al ángulo obtuso entre Lj y L2- 
SOLUCION.- El punto de intersección es Lj fl L2 = í (2, 6) ) , y
a = (3, 4) y b = (1. -7) son loslos vectores:
Cap. 5 La Recta 245
vectores direccionales de Lj
I ■ b - -25 < 0 
= > f¡ : ángulo obtuso,
y por lo tanto, L' es la 
recta BISECTRIZ correspon 
diente al ángulo obtuso en 
tre Lj y L2 .
13.6 NOTA: La recta L"
BISECTRIZ co 
rrespondiente al ángulo a- 
gudo es siempre
L” ortogonal a L* .
El vector direccional de L'
Además,
7(3. 4) +■ — (1, -7)5 5 / 2- L + —|á| lb|
= (3/2 +1, 4/2 - 7)/(5/2)
6 también, por simplicidad: (3/2 ♦ 1, 4/2 - 7) ,
y como L* debe pasar por (2, 6) e Lj n L2 , entonces
L' : (3/2 + 1, 4/2 - 7) X - (x, y) = (3/2 +1, 4ñ - 7) X • (2. 6)
L' : (-4/2 + 7) x + (3/2 ♦ 1) y = 10/2 + 20
L" correspondiente al ángulo agudo es siempre ortogonal a L' , y pasa por 
(2, 6) , por lo tanto,
LM : (1 + 3/2, 4/2 - 7) - (x, y) > (1 + 3/2, 4 /2 - 7) ■ (2.6)
L“ : (1 + 3/2 )x + (4/2- 1) y = 30/2 - 40 .
13.7 EJERCICIO.- En la figura, Lj 1 L2 , Lj : 4x - 3y = 21 .
{P } = Lj O L2 , la ordenada de P es igual a 1 , y 
la distancia de Q a R es 5/5 . Si el cateto mayor del triángulo PQR
se encuentra en la recta Lj , hallar la ecuación general de L si se sabe
que el área del triángulo es de 25 unidades cuadradas.
SOLUCION: Puesto que P * (xot 1) e Lj = » 4x0 3 ( 1 ) = 2 1
246 La Recta Cap.5
de donde xc * 6 .
Además, n, « (4, -3) es
un vector normal de L
y por lo tanto el vector u 
nitario ü de la figura es
ü - ñ^/ | ñ f 1 
= (3, 4)/5
Y puesto que el área de PQR 
es: ab/2 » 2 5 .. (1)
y c = d[Q; R] - 5/5 ,
2 a2 + b2 
a2 ♦ b2
c
125
a4 - 125a2 + 2 500 
a2 * 25 
a2 - 100
-■ 12)
0 (a2 - 25){a2 - 1Ü0) = 0
a - 5 
a = 10
De las hipótesis del problema resulta que
» b « 10
» b - 5
a * 10 y
de (1) 
de (2)
. Luego,
Q =■ P + 5¡¡ = (6, 1) + 5(-4, 3)/5 = (2, 4)
R « P + 10Ü - (6. 1) + 10(3. 4)/5 - (12. 9) ,
Pendiente de L = m * (9 - 4)/(12 - 2) « 1/2
Ecuación de L : y - 4 = (1/2)(*c - 2) .
13.B PROBLEMA.- Dado P = (x, y) , y las rectas 
L,: (2,3)-[P - (4,5)] = 0
L2: (1.2).[p - (5,4)] = 0 , hallar la ecuación
de la recta L que pasa por L¡ fl L2 e intersecta al Eje X en un punto cu
ya abscisa es igual a dos veces su pendiente. El valor de la pendiente es un
número entero.
SOLUCION.- Sea L : y = mx + b . Además, Lj : 2x + 3y = 23,
L2 : * + Zy = 13 ==» L, fl L2 = { (7, 3) ) .
Comj (7, 3) debe pertenecer a L también, entonces 3 ■ (m)(7) + b
L : y ■ m* + (3 - 7m) que intersecta al Eje X en un punto
(*£>■ yo) donde y0 = 0 . Entonces
xD « (7m - 3)/m , de la ec. de L , y xD = 2m , por hipótesis.
Cap.S La Recta 247
Igualando los segundos miembros se obtiene 2m - (7m - 3)/m -•»
2m2 - 7m + 3 * (2m - l)(m - 3) ■ 0 ==> m ■ 1/2 6 m * 3 .
pero ccmo m debe tomar un valor entero, entonces m - 3 . Por lo tanto, 
L : y - 3x + [3 - 7(3)] ==> L : y - 3x - 18 .
13.9 PROBLEMA,- Hallar el punto Q simétrico a P - (2, 5) respecto 
a la recta L - { (4 - t, -6 + 3t) / t c R } .
SOLUCION.- METODO 1 :
L también se puede expre 
sar
L: (4,-6) + t(-l,3) ,
i ■ (-1,3) es un vector dî 
reccional, yñ - i-1 - (-3,-1) 
un vector normal a L
es
Si u ñ/|ñ|
(-3,-1)/ /10 es
el vector unitario en la misma dirección del vector PQ , y siendo 
L: 3x + y * 6 . . | 3(2) ♦ (5) - 61 5
d[P; L]
/10 ✓ 10 2
1 /10
Q = P + 2(d)ü 
METODO 2.-
(2, 5) + /10 t(-3, -1J//10 ] - (-1. 4) .
Se halla la ecuacifin de la recta L J. L y que pasa por P
■ (2, 5) y luego se encuentra el punto M de intersección de 
L con L*. Este punto resulta ser el punto medio entre P y Q . 0 sea, 
L: 3x + y * 6 ==» L1: - x + 3y - 13 pues tiene normal (-1, 3) y
pasa por P - (2, 5). Resolviendo el sistema se obtiene 
M - (1/2, 9/2) , y como M - (Q + P)/2 — Q ■ 2M - P = >
Q - 2(1/2. 9/2) - (2, 5) = (-1, 4) .
13.10 PROBLEMA.- Pedro tiene que ir desde un punto P ■ (1, 6) hasta
el punto Q ■ (5, 10) pero pasando por el rio para sa
car agua en un cubilete. Si la orilla del rio se encuentra en la recta L:
(1, 2) + t(3, 1) , t e R , ubicar un punto N en la orilla del rio de ma
248 La Recta Cap. 5
ñera que Pedro recorra la mínima distancia.
SOLUCION.- Consideraremos el punto simétrico Q' de Q respecto de la 
recta L' que pasa por P y Q‘. Así, ubicamos el punto ade 
cuado N en la intersección de L con L‘ :
L: x - 3y » -5 .. (1) Y
ü = (1.-3J//T3 , Q
Jfn „ 1 (5) - 3(10) ♦ 5 |
A ü 
/f ̂
d[Q; L] * -----------------
✓ 10
/ 1 \/l »
/ ' ‘ L
- 2 ✓To".
Q' - Q + 2(d[Q; L]) ¡3 * \
= (5,10) + 2(2/T0)(l,-3)//Í0 ^ ^ i \ ' ' \
* (9.-2J . L ^ \
Y como L' pasa por (1,6) y (9,-2)
entonces \
L' : x + v = 7 .. (2) .
Resolviendo (1) y (2) simultáneamente obteremos N e L fl L1 : N = (4, 3).
13.11 DEFINICION.- Si la velocidad v de una partícula es un vector tons
tante, y si la partícula parte del punto PD en el in£
tante t = tD . la posición P de la partícula en el instante t es:
P » P„ ♦ (t - t„) v 
La recta L = { PQ + (t-tQ)v / t e R } es denominada la TRAYECTORIA
DE LA PARTICULA , y al valor |v| se le llama la RAPIDEZ de la partícula.
13.12 EJERCICIO.- La partícula p1 tiene una velocidad Vj ■ (100, 30)
y parte del origen en el instante t = 0 . Una segun­
da partícula p2 tiene una velocidad v2 » (50, -30? y parte del punto (0,
270) en el instante t * 0 .
a) ¿ Donde se intersectan las trayectorias ? b) i Colisionan las partículas?
b) ¿ En qué instante debería partir la partícula pj para chocar con p2 ?
SOLUCION.- tD * 0 para ambas partículas,
Trayectoria de px , Lj : (0, 0) + t(100, 30)
Trayectoria de p2 , L2 : (0,270) + s(50, -30) ,
donde t y s representan el tiempo transcurrido desde que parten las partí 
culas pj y p2 respectivamente. Luego, L1 n L 2 = { Q } , y Q =
Cap. 5 La Recta 249
Q ■ (300. 90) que corres 
ponde a t * 3 seg 
para la partícula p¿ , y 
corresponde a s * 6 seg 
para la partícula p2 . va 
lores que son obtenidos de 
la ecuación 
(0.0) + t(100. 30)
= (0.270) + sy 50.-30) .
y despejando t y s . nor 
lo tanto, las partículas NO 
CHOCAN, y para que esto ocurra Pj debe partir 6 - 3 * 3 segundos después 
que parte p2 i es decir, en el instante tD - 3 seg.
13.13 EJERCICIO.- Dada la recta L: (-4,-10) + 1(5.12) , y el punto
P ■ (7 + 12 /3 , 16 - 5/3 )/2 . hallar dos puntos R
y S en L que formen con P un triSngulo equilátero, y encontrar el área
de dicho triSngulo.
SOLUCION.- Considerando el vector unitario u paralelo a la recta L.
ü = (5. 12)/13 . la ecuación de la recta L resulta ser L: 
12* - 5y « 2 . Por ser el tH 
ángulo PRS equilátero, las 
distancias a y d siendo 
d = d[P, L] , están relacio
nadas por d * a . 3 .
Además, el área del triángulo 
resulta igual a: a x d .
Calculando el valor de d : 
como d * d [P, L] entoji
ces: d *
| [ 12( 7 + 12 /3 )/2 - 5( 16 - 5/3 )/2 ] - 2 [ 
/ i
13/3/2
122 + (-5)2
d[P, L]
Por lo tanto, si 
M * P + dú 
S = M + a ú
==* a ■= d//3 = 13/2 .
M es el pubito medio entre R y S , entonces 
= P + (13/3)/2)(-12, 5)/13 = (7/2. 8)
* (7/2, 8) + (13/2)(5, 12)/13 = (6. 14) .
250 La Recta Cap. 5
R = M - a ú = (7/?, 8) - (13/2)(5, 12),'13 = (1,2)
Asi, el Srea del triángulo PRS resulta: a x d = 169/3/4 .
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS .-
1. El ángulo de inclinación de una recta que no toca al 2° cuadrante es 45°.
Hallar su ecuación si su distancia al origen es de 2/2 unidades.
2. Un triángulo rectángulo tiene un vértice en el origen, un cateto de lon­
gitud 4/2 sobre la recta Lj : t(2, 2) , t e R , y el otro cateto
de longitud 8/2 sobre L2 : s(-l,l) , s e R . Determinar la ecua -
ción de la recta que contiene a la altura relativa a la hipotenusa si su
pendiente es menor que 1 y es mayor que cero.
3. Hallar los valores de a y b si el punto de intersección de las rectas
Lj : a* + (2 - b)y = 23 , L2 : (a-l)x + by = -15 , en el punto (2,-3).
4. Hallar las ecuaciones de las rectas con pendiente 2/3 y que forman con
los ejes coordenados un triángulo de área 32 unidades cuadradas.
5. Hallar las ecuaciones de las rectas con pendiente m • -3/4 , que forman
con los ejes coordenados un triángulo de Srea 24 unidades cuadradas.
6. Hallar la ecuación general de la recta L que pasa por (6, 4), tiene
pendiente mayor que 1 y forma un ángulo de 45° con la recta de ecua­
ción: 2x - by + 5 - 0 .
7. Determinar los valores de r y s para que las ecuaciones 7* - ry =
18 , sx - By - 9r ■ 0 representen la misma recta.
8. Los puntos A * (-2,-1), B = (3,6) y C * (7,2) son los vértices de
un triángulo. Hallar las ecuaciones vectoriales y generales de las rec­
tas que pasan por el vértice 6 y que trisecan al lado opuesto AC .
9. Encontrar la ecuación de la recta L de pendiente negativa que no inter-
secta al tercer cuadrante y que forma con Lj y con L2 un triángulo cu 
yos lados iguales se encuentran en Lj y L2 respectivamente, donde
Lj : x - ly - 10 , L2 : 2x - Zy - 4 ■ 0 . Se sabe además que la
distancia de L al punto Pe Lj fl Lz es 2/5 unidades.
10. La recta Lj forma con las rectas
paralelas Lj y l_2 un ángulo de 
30° y las intersecta en P y Q.
Hallar df P; Q] si:
L! : (3, -4)- [ P - (*.2) ] = 0
L2 : t(4, 3) . t e R .
Cap.5 La Recta 251
11. El área del triángulo ABC de la
L, : 3x - y - 10- , Lj 1 L3 ,
L3 pasa por (2, 6). SI el vér
tice B está en Lj y d[B; Lj]
- 5/10 , hallar la ecuación ge
neral de la recta L2 que pasa
por B y C .
12. Dadas las rectas Lj : 3x + ky + 10 ■ 0 , L2 : (1,3) + s(l,l) ,
L3 : x - 4y + 14 ■ 0 , encontrar el valor de k para que las tres.rec
tas sean cuncurrentes.
13. Una recta L pasa por el punte de intersección de Lj : 2x - 3y ■ 5 ,
L2 : x ► Zy - 13 = 0 . Hallar la ecuación de L si la abscisa del pun­
to de intersección de L con el Eje X es Igual al doble de su pendiente.
14. Los vértices de un triángulo rectángulo CAB. con ángulo recto en A ,
son C = (0,0), B - (12, 5), y el vértice A que se encuentra en la
recta Lt : B + t(3.-2) . Hallar la ecuación de la recta L que contie
ne a la altura correspondiente al vértice A .
15. La abscisa a y la ordenada b de los puntos de Intersección (a,0) y
(O.b) de una recta, con los ejes coordenados, son tales que su producto
es -6 . Hallar la ecuador, de la recta si su pendiente es m » 3 .
16. ¿Cuál es el punto Q » (x, 0) del y
gráfico para que la suma de las A
distancias d[A; Q] y d[Q; B]
sea mínima ? SUG.- Hallar el 
punto B' simétrico a B respee 
to al Eje X y trazar el segmento
de A a B' .
17. La recta Lj pasa por (a, 1) y (3, 2) . La recta L2 pasa por (b, 1)
y (4, 2). SI L, // L2 , hallar el valor de (a - b) .
18. Hallar la pendiente de la recta que forma un ángulo de 45° con la recta
que pasa por (2, -1) y (5, 3).
19. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por (2, 5) y que forman 
un ánqulo de 45° con la recta x - 3y + 6 * 0 .
20. La pendiente de una recta que pasa por A = (3,2) es igual a 3/4. Ha­
llar dos puntos sobre esta recta quü disten 5 unidades de A .
fijura es de 200 unid, cuad., donde
252 La l<ecta Cap. 5
21. La recta L forma un ángulo de 60° con la recta Lj de perdiente 1 .
Hallar la pendiente de L .
22. Hallar las ecuaciones vectoriales de las rectas bisectrices formadas por
las rectas L, : (1,0) + t(2, 1) , L2 : (-2,3) + s(-l. 2) .
23. Determinar el punto Q simétrico al punto (2, 8)respecto a la recta
L : 6x - 4y - 12 .
24. Hallar el área del triángulo formado por las rectas Lj : -5x + ly = 2,
L2 : 4x + y = 38 , L3 : x + 3y = 4 .
25. Los puntos Pj, P2 y P3 son los vértices de un triángulo de área 5
unid. cuad. Si PL = (4,1), P2 - (-3,3) y P3 e L : (1, l)-(x, y) *
0 , hallar el vértice P3 .
26. Encuentre las rectas de pendiente 3 cuya distancia al origen es de
2 /10 unidades.
27. Dadas las rectas Lj : (0, 1) + t(4,n) . L2 : mx - ny = 2 , hallar
m y n si se sabe que amh*s rectas forman 45° entre sí, y que la or­
denada del punto de intersección de Lt con el Eje Y es igual a un ter 
ció de su pendiente.
28. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A = (9, 6) y
corta a las rectas 2x - 3¡/ + 6 “ 0 „ </ - 4 = 0 , en los puntos B
y C respect., de modo que BA = (2/5) BC.
29. A ■ (3, 1), B = (5, 2) y C son los vértices de un triángulo y M = 
(4, 2) es el punto de interstcci6n de sus medianas. Encontrar C .
30. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por (4, -3) y que forma un 
ángulo de 45° con la recta de ecuación 3x - Sy + 9 = 0 .
32. Se lanza un partícula p desde el punto (-2, 5) para que i.ntercepte la
trayectoria rectilínea de otra partícula. Si L : 3x - 4</ + 6 = 0 , y
el movimiento de p es rectilíneo con rapidez constante de 2 unid/seg., 
hallar el mínimo tiempo t en el que p lograría su objetivo.
33. La ordemda en el origen de una recta L es 2 y forma con la recta Lj:
31. Hallar el área del cuadrilátero 
ABCD de la figura, donde Lj 
es la recta de ecuación
y = Zx + 5 
y donde L2 // . -¡ .
X
Cap. 5 La Recta ?53
x - ¡/ + 3 = O , el mismo ángulo que forma la recta x + 3y - 4 = 0 
con la recta 4x - 2y * 5 = 0 . Hallar la ec. vectorial y gener. de L.
34. Un microbio desea observar desde el Eje X a dos de sus amiguitas con án
gulos de observación respeetd del Eje X de igual medida. Si las dos fu­
lanas “viven" en los puntos (-1,4) y (5,2) respect., hallar el pun­
to donde debe ubicarse el afortunado microbio.
35. Hallar las coordenadas del punto de intersección de 1« bisectrices del
triángulo formado por x - 4 ■ 0 , y * 3 , x/4 + y/3 ■ 1 .
36. Entre las rectas que pasan por P * (3, 0) hallar una de manera que el
segmento comprendido entre las rectas Zx - y m Z , x + y + 3- 0, 
sea dividido por la mitad por el puntn P .
37. Hallar el área del trISngulo que forma con los ejes coordenados la bls&c 
triz del menor Sngulo formado por las rectas Lj : 3x - y - 6 « 0 ,
L2 : x — 3y - 6 ■ 0 .
38. Hallar las ecuaciones generales y vectoriales de las rectas que pasan por
(2, 2) y que forman un ángulo de 45° con la recta 4x - %y + 3 * 0 .
(Dos soluciones).
39. Hallar 1 a^ectíá c i o nés~de~lasca te tos de un triángulo rectángulo Isósceles 
conocrenao el vértice del ángulo~Ye^to C * (4, 1) y la ecuación de la 
hipotenusa 3x - y + 5 * 0 .
40. Dada la recta L : (-4,-2) + t(4, 3) , J\el punto (10/3, 1) , ha
llar dos puntos R y S en L que forren :on\P un triángulo eqi'lláte 
ro. \
41. Hcllar el ángulo agudo agudo formado poi las rectas 4x - 9y + 1 ■ 0 .
3x + Zy - 1 - 0 .
42. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 5x - ly + 2 * 0 ,
9x - Zy * 1 * 0 , 4x + Sy - 7 - 0 . Hallar los ángulos internos.
43. Demostrar que la bisectriz de cualquier ángulo de un triángulo divide al
lado opuesto en segrentos proporcionales a los otros dos lados correspon 
dientes a los respectivos segmentos.
44. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos fornidos por las
rectas x + y - 3 ■ 0 , Zx - y * 6 m 0 .
45. Encontrar el Sngulo agudo entre las rectas 3x - 4y + 1 * 0 , 2x - 3y
* 5 .
46. Hallar las ecuaciones de las dos rectas que pasan por (2, 1) y forman
60° con x * ¿y * 3 en forma vectorial.
47. Hallar las ecuaciones de las dos rectas que pasan por (2,1) y forman
254 La Recta Cap. 5
45° con 2x - 3y - 6 .
48. Sean Lj : Aj* + B^y * C( * 0 , L2 : A2x + B2¡/ + C2 • 0 dos rectas
no paralelas. Si k es una constante, la ecuación
representa una familia de rectas. Pruebe que cdda una de estas rectas 
contiene al punto de intersección de Lj y L2 . Este método evita en 
contrar el punto de Lj fl L2 .
49. Si L, : 3* + = B . L2 : 2x + 3y * 5 , usando el Ejercicio ante­
rior, y sin encontrar Lj fl l2 , hallar las ecuaciones de las rectas 
que pasan por este punto de intersección y tales que
a) una pase por (1,3) , b) una sea paralela al Eje Y,
c) una tenga pendiente 4 , d) una sea horizontal.
50. Hallar la ecuación de la recta de pendiente i y que pasa por la inter­
sección de las rectas 4* + 2y = 13 , 3* - 1y + 3 * 0 .
51. Hallar la ecuación de la recta que p¡.sa por la intersección de :
2x - y * 1 , L2 : 3x + Hy ■ 2 , y que es perpendicular a la recta
4x + Sy - 3 , sin calcular Lj O L2 .
52. La ecuación x + y - 2 + k(x - y + 6) * 0 representa una familia de
rectas que pasan todas por un mismo punto. Hallar la suma de coordena­
das de dicho punto.
53. Un rayo de luz corre a lo largo de la recta x - 2y + 5 = 0 hasta lie
gar al espejo cuya ecuación es 3* - 2y + 7 = 0, en el cual se refleja.
Hallar la ecuación de la recta en la que se encuentra el rayo reflejado.
54. Uno de los vértices de un triángulo es A - (3, -1) y la ecuaciones de
la bisectriz y mediana trazadas desde vértices diferentes son respectiva
mente x. - Hy + 10 = 0 , 6x + 10y = 59 . Hallar la pendiente del la­
do que contiene al vértice A y al vértice que está sobre la bisectriz.
55. Hallar la ecuación de la recta que forma un ángulo de 15° con la recta
* - y = 0 sabiendo que pasa por el origen de coordenadas, y que su pen 
diente es la menor posible.
2
56. Dada la familia de rectas 2kx + y + k » 0 , determinar la tangente 
del ángulo agudo que forman las dos rectas de la familia que pasan por 
el punto (1, -8)
57. Tres rectas L,, L2, Lj se intersectan en (-6,4). Si Lj y L2
e) una sea perpendicular a la recta x +
f) una forme un triángulo isósceles con lo inaaos.
Cap. 5 La Recta 255
contienen a los punto? A = (2, 2) y B = (0,0) respect., y L2 es
bisectriz del ángulo fcrmado por Lj y L3 , hallar la pendiente de Lj.
58. Dadas las rectas Lj : 2x - 3y + 6 = 0 , L2 : ÿ - 4 « 0 , y L que
intersecta a Lj en B y a L2 en C . Si L pasa por A * (9, 6),
el cual divide al segmento [B. C] en la raz6n 3 : (-2) , hallar la e 
cuaci&n vectorial de L .
60. Desde el punto A = (9, 1) se traza una pendiente a la recta L : 3x -
2y * I[' = 0 que la corta en B . Tomando AB como base de un triángulo
isósceles cuyo vértice se encuentra en el Eje X, hallar el área de dicho 
triángulo.
61. Una recta con pendiente positiva pasa por P » (1, -21 y forma con
rectas 3x + Hy - 2 = 0 , 4x + 3y + 1 = 0 un triángulo isósceles cu­
yos lados iguales están soLre las rectas dadas. Encontrar la ecuación
de la recta.
62. Hallar los valores de a de manera que las ecuaciones siguientes:
ax + (a - \)y - 2(a + 2) »^0 , 3ax - (3a + \)y - (5a + 5) * 0 represen
ten a dos rectas paralelas: a) no coincidertes, b) coïncidentes
63. Oeterminar la ecuación de la recta que pasa por (1, -1) formando la ba­
se de un triángulo isósceles con las rectas y - 5 , 4x + 3y - 11 * 0,
y sabiendo además que su pendiente es positiva.
64. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por (4, -3) y forma un ángu
lo de 45° con la recta 3x - Sy + 9 ■= 0 .
65. La partícula Pj tiene una velocidad Vj = (12, -5) y parte de' punto
(-100, 150) en el instante t = 0 . Una segunda partícula p2 tiene u 
na velocidad v2 = (8, 6) y parte del punto (-120, -75) en el instan­
te t = 0 . ¿ En qué punto se intersectarán las trayectorias de las dos 
partículas ?
6b. Hallar la ecuación de la recta que está situada a 6 unidades del ori - 
gen, pasa por el punto (10, 0) y corta a la parte positiva del Eje Y.
67. Un vértice de un cuadrado es P * (6,8) y una de sus diagonales está so
bre la recta x + y - 1 = 0 . Hallar el área dtl cuadrado.
68. Determinar la ecuación de la recta con pendiente positiva que pasa por
(0, 1) y forma un ángulo de 45° con la recta 3x + 2y - 1 ■ 0 .
69. Las rectas Lj y L2 son ortogonales y se cortan en el punto B = (4,
2). La recta Lj cortaa Lj en A y a L2 en el punto C cuya
256 La Recta Cap. 5
abscisa es menor que la abscisa de B . El área del triángulo ABC es
de 40 unid. cuad. y D es el punto medio del segmento AC. Si la
proyección del vector BD sobre Lt es (-4, -4) y | BC | = 5/5 ,
a) Hallar la ecuación vectorial de L3 .
b) Hallar la ecuación general de la recta que contiene al segmento BD.
70. El lado del cuadrado OABC mide a unidades. Si el área ael triángulo
OMC es a 1 como el área del trapecio
OABM es a 4 , calcular la pendiente 
de la recta determinada por 0M .
71. Encontrar el ángulo obtuso entre las rectas L, : (-6, 3) + t(3, 1) ,
y l 2 y * 2k + 10 , asi como el punto Pc e L j n L 2
CLAVE DE RESPUESTAS.-
1. {2.-2) + t(l.l) ; 2. s(3,l) ; 3. a - 4 . b ■ 7 .
4. 2x - 3y - i 8 /6 ; 5. x/8 + y/6 - i 1 ; 6. 2x - y * 8 .
7. • r - i 4 . s - i 14 ; 8. Lj : (3.6) + t(1.3) : 3x - y - 3 .
L2 : (3.6) + t(l,-5) : 5x y - 21 .
9. m - -2 . P = (2/3. -4/3) . L : y = -2x + 10 ; 10. d[P; Q] - 8/5 .
U. A - (5.5). B - (20.0), (-3,-19). L2 : (20. 0) +■ t(23. 19)
12. k *= -4 ; 13. L : (1, 0) t(2, 1) . L’ : (6, D) + t(l, 3)
14. (6, 9) + t(-5, 12) ; 15. L : 3x - y - 3/2 , L* : y - 3x - 3/2
16. Q = (3, 0) ; 17. -1 ; 18. m - -7 , m *= 1/7 .
19. L : (2, 5) t(2, -1) , L1 : (2, 5) + t(l, 2) .
20. B = (7. 5). C - (-1, -1) ; 21. -2 - /3 .
22. Lt L2 * {(-1/5. -3/5) }. L : (-1/5, -3/5) ♦ t[(2, 1) i (-1. 2)]
23. (-2. 10) ; 24. 33 unid. cuad. ; 25. P3 - (-5.5), P3 = (-1, 1);
26. Ll : (6,-2) + t(l, 3) . L2 : (-6, 2) + t(l. 3)
27. n - 12 , m * 6 , m = -24 ; 28. B - (-1. 4/3). C - (21/2, 4) ;
29. C - (4.3) ; 30. L : (4,-3) + t(4,-l) , L : (4,-3) + t(l, 4) ;
31. 625/24 ; 32. t (mínimo) = 2 seg.
33. L : (D.2) + t(4,-3), L' : (0.2) ♦ t(-3. 4) ; 34- P * (3.0) ;
35. (7/2, 9/2) ; 36. 8x - y - 24 ; 37. (3/2, -3/2) + t(3, 4)
38. 9x - y = 16 , 39. 2x + y - 7 .
Cap. 5 La Recta 257
40. R = [(32/3 - 24)/5 . (24/3 - 13)/5] ; 41. tan 6 * 35/6 .
44. L: (4, -1) + t(l, 3) , L*: (4,-1) + t(3,-1) ;
45. are eos [18/(5 13)] ;
46. L : (2, 2) + t(l, 5/3 - 8) ; L1 : (2,2) + t(-l, 8 +■ 5/3) ;
47. x ♦.5¡r * 7 , 5x - y = 9 .
49. a) x “ 1 , b) x = 1 , (se anula el coefic. de y )
c) y *= 4x - 3 , d) y • 1 , (anular el coefic. de x ) ,
e) y - 2x - l , f) x + i/'2.
50. (5/2, 3/2) + t(l, 3) ; 51. 55x - M y - 26 ; 52. + 2 ;
53. (-1, 2) + t(18, -1) ; 54. L : (3.-J) t[(10.5) - (3,-1)]. m - |
55. x - /3y - 0 ; 56. 12/31 ; 57. -43/32 ;
58. B * (3/2, 3) , L : C + t AC = * L : (4, 4) + t(5, 2)
59. L : (9, 6) + t(9, 2) ; 60. 13 unid, cuad.; 61. x - y * 3 .
62. a) a « 0 6 a ■ 1/3 ; b) No existen ; 63. 2x - y m 3 .
64. y * 3 - 4(x - 4) ; y + 3 - -(l/4)(x - 4) ;
65. Se Intersectan en (80, 75) ; No chocan ; La partícula Pj debe par -
tlr en el Instante t * 10 seg.
66. 4x + Zy - 30 ; 67. 169 unid. cuad. ; 68. y m 5x + 1 .
69. a) P - (2, 20) +■ t(3, 13) ; b) P - (4. 2) +■ s(13, 3)
70. 2/5 ; 71- 8 * 135° . Pe * (-3. 4) .
m. l RELACION ADICIONAL DE PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Una de las diagonales de un rombo >̂st5 contenida en la recta L1 •
{ (a - 1 , 5a - 6) + t(a - 3, 1) ) y uno de los lados del mismo estS conte
nido en L2 = { (-4a, a - 2) + s(3a, a +■ 1) } . SI a > 0 y M • (3a + 1,
6a) es el punto de Intersección de las diagonales del rombo, encontrar 
los vértices y el área. SUG: (3a+l, 6a) e L1 = » a - 4, M » (13,24).
2. Sean L : (0,2) + t(7,l) , Q = (22, -2) y el triángulo isósceles ABQ
donde A y B pertelecen a L y |AQ | - |BQ | . SI el área de ABQ es
de 50 unid, cuad., hallar los vértices A y B .
SUG: L : -x * ly = 14 , h - 5 /2 .
3. Si L es la recta que pasa por (2k, 3) y es octogonal al vector I ■
(4/k, 3), k f 0, determinar los valores de k tales que el punto (k/2, 
(3k2 + 24)/8) esté en L .
4. Hallar las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados de un rec -
258 La Recta Cap. 5
tángulo, dos de los cuales distan 10/2 unidades del punto Q * (-3,5). 
Los otros dos lados equidistan 5/2 unidades de Q , y el ángulo de in­
clinación de uro de estos últimos lados tiene tangente 1/7 .
5. Dadas las rectas L1 : (3/5, 0) + t(2, k), y L2 : rx - ky - -84, ha­
llar los valores de r < 0 y de k , si las rectas forman un ángulo de
45° , y la abscisa del punto de intersección de L1 con el Eje X es 2/5 
de su pendiente.
6. Dadas las rectas L1 : x + 3y * 5 , L2 : (-1.2) + t(4,3) , y si A
E L1 fl L2, B e L2, C c L1 y tan 6 * 13/16 , donde 6 es el án
guio ABC , hallar B y C donde la ordenada de B es igual a 8 y
la abscisa de C es positiva.
7. Hallar la recta L2 de perdiente entera negativa que no pasa por el ter­
cer cuadrante. Si L3 J. L1 en A, L2 fl L3 ■ { B }, L1 fl L2 ■ { C } .
la abscisa de • A es 3 , L1 : 3* - y - 5 , | BC | ■ 5/10 , y el área
del triángulo ABC es de 60 unidades cuadradas.
8. Sea CAB un triángulo rectángulo en A, C ■ (2, 7) , BC * (-8, 4). Si
P es un punto del segmento BC, y Pr AP * (3, 1) , hallar
a) los vértices A y B , b) la recta que contiene al segmento AP.
9. Sea L una ’-ecta de pendiente negativa, ortogonal a la recta que pasa
por A y B . Si P c L y al Eje X, L es bisectriz de APB , A + B
” (6, 8) y el área del triángulo formado por la recta L con los ejes
es 8 veces el valor absoluto de su pendiente, hallar: a) L ,
b) la recta que pasa por A y B .
10. Sea L una-recta que pasa por el origen 0 con un ángulo de inclina -
ción de 30°. Un cuadrado 0ABC (antihorario) tiene un lado 0A de
longitud k unidades sobre la recta L, A en el primer cuadrante, P
e 0C , el área del triángulo P0A es a 5 como el área del trapecio 
PABC es a 7 , y la diferencia de los catetos del triángulo es /3/3 . 
hallar: a) los vértices del cuadrado, b) la recta que contiene al
segmento PB .
11. Un triángulo isósceles ABC , donde el lado AB es paralelo a (3, 4)
y mide 10 unid., la altura relativa al lado AB mide 15 unid. Deter 
minar la recta que pasa por C y er nara’ela al vector BM . siendo M 
el punto medio de AC , A » (2, 3), y |CB| = |CA| .
12. .Desde (6, -4) se trazan las rectas L1 y L2 con pendientes negati -
vas. El ángulo de inclinación de L1 es mayor que el de L2, la recta
Ccp.5 La Recta 259
L1 determina sobre la parte positiva del Eje Y un segmento de 2 unid.
La recta L2 determina sobre el Eje X un segmento de 38/7 unid. Ha­
llar la recta L que no cruza el 4° cuadrante y que forme con L1 y L2 
un triángulo isósceles con base en L , y de área 15 unid, cuadradas.
13. Sea ABC un triangulo isósceles de lados iguales AC y BC, A * (5. 2),
B 3 (13, 8), L: P„ + ti que contiene a los puntos medios de los la
dos AC y BC, |AC| = 5/5 . Hallar la distancia de Pc ■ (-12, -5/2) a
la recta que contiene al lado BC del triangulo.
14. Las rectas Ll, L2 y L3 determinan un triángulo rectángulo, L1 X L2
en P ■ (4, 1), la bisectriz del ángulo recto corta a L3 en Q ■ (5, 
-6). Si la bisectriz del ángulo que forman PQ y uno de los lados del 
triangulo es L4 : (5,-6) + t(3,4) , determinar el 8rea del triSngulo
formado por las rectas Ll, L2 y L3 .
15. Sean las rectas Ll y L2 ambas de pendiente 12/5 que pasan por (-4,
-3) y (14,9) respect. Sean L3 y L4 paralelas al Eje X tales que P„
* (-17,-3) £ L4, d[L3; L4] - 12, y L3 no corta al tercer cuadran­
te. Las rectas Ll, L2. L3 y L4 forman un cuadrilátero. Si L es otra 
recta de pendiente positiva que pasa por PD tal que forma un triangulo 
isósceles con Ll y L4 cortando en los puntos M y N a las rectas Ll 
y L2 respect., hallar los puntos M y N .
16. Sea ABC un triangulo. El lado AC mide 3/10 unid., y se encuentra
sobre la recta L : * + 3</ - -2 . S1 el ortocentro del triangulo es H
■ (3, 5) y Pr^g BH = (7/5, 1/5) , hallar los vértices de ABC .
MOTA: El ortocentro puede estar ubicado dentro ó fuera del triangulo.
17. El punto P ■ (2, 5) divide al segmento AC en la razón 3 : 2 , y al seg
mentó BD en la razón 2:1. Si BD // (3,-4) , AC // (1,1) , el á-
rea del triangulo ABC es 35 unid, cuad., |PC|/|BP| ■ /2/5 , hallar 
las rectas que contienen a los lados de ABCD.
SUG: | BP | = x ==> | PC | = (/2/5)x.
NOTA: Elegir A a la derecha de P , y B arriba de P .
18. Sea L : x + 31y M 100 . y Q = (17, 17) 4 L . Si A y B son dos puntos en L que forman con Q un triangulo rectángulo AQB recto en Q ,
y donde Pr-^ AB * (10, 14) , hallar los puntos A y B .
AIJ
19. Sea L una recta que pasa por la intersección de Ll : x + 2y - 1 , y
L2 : 5x - 3y = IB , y que forma con los ejes coordenados un triángulo
de área 6 unid. cuad. Hallar la ecuación de la recta L .
260 La Recta Cap. 5
20. El ángulo 6 entre Ll: B + ti , y L2: A + sb satisface tan 6
* 5/7 .SI Ll D L2 = { C } siendo C un punto del cuarto cuadrante,
B ' (0, 4), AC + BC * (5, -25) , y la perdiente de L2 es -1 .
Hallar los puntos A y C .
21. Sea L : (7, 12) + ti . y Q ■ (4, 3) un punto que dista 3/5 unid,
de L . Por Q pasan dos rectas que Intersectan a L en los puntos R
y B - (7, 12) respect.. formando el triangulo Isósceles BQR con ba­
se en L . Si B divide al segmento RD de L en la relación 3:4,
hallar los puntos R y D . MOTA: Un vector dlreccional de L tie­
ne ambas componentes del mismo signo.
22. Demostrar que el área del triángulo formado por la recta L : Q + tá , 
con los ejes coordenados, y donde a ■ (â , a2) , está dado por :
1 (Q ■ iX )2AREA * ----—
2 |aK - a2 |
23. Sea L : P„+ t(i-b) , tal que |0Po| * 9 , 0Po J. (i-b) ,
y s1 Pr.j b * (-3, -4) , |b| * 5 . y |a| - 5 |b| , hallar :
a) L , b) el Srea del triángulo que forma L con los ejes coord,
NOTA: Las componentes de i son negativas, y la recta L corta al se­
mieje positivo de Y . 0 es el origen de coordenadas.
SUG: i - r (3, 4). r < 0 = ► r - -5 .
24. Los puntos A * (6, -6), B, C y D son los vértices de un paralelogra
mo, siendo AB « (1, 7) una de sus diagonales, y Pr AB - AC .
Se toma un punto interno P de? paraleíogramo, de modo que AP * (1, 4) 
y Pr - BP .■ (-3/5) (2, 4) , donde i * (19/9) BC . Hallar la rec-a
ta L que tient como normal al vector PD y que divide al segmento PD
en la razón Je 1:1.
MOTA C se encuentra a la Izquierda y debajo de £ .
25. Sean las rectas Ll : (0, 3) + t(2, 3) , L2 // (-1, 5) , L3 JL Ll
en (2, 6). Hallar a) L2 fl L3 , s1 L2 pasa por (4, 9) ,
b) el ángulo agudo entre Ll y L2 , y el ángulo obtuso entre L2 y L3.
26. Sea la recta L : (1, 2) + t(l, -2), y los puntos Q * (3, 1) y P ■
(2, r) estando P en la recta L . Hallar todas las rectas que pasar
por Q e Intersectan a L de tal manera que los puntos de intersección
Cap. 5 La Recta 261
A y B disten /5 unidades del punto P .
27. Un espejo AB de 4/2 unid, de long. tiene su extremo A en (2, 5).
Si el suplemento del ángulo de inclinación de la recta L que pasa por 
A y B es al complemento del mismo cono 3:1, hallar las trayectorias
de los rayos incidente y reflejado, de un rayo luminoso emitido desde P
“ (4, 5), para que el rayo reflejado llegue al punto C = (9, 6) .
28. En un triángulo ABC rectáng. en B, la hipotenusa de 50 unid, de long.
es dividida en n partes iguales por los puntos Pj, P2, ... , Pn_i-
Calcular: * = | BC + BA + BPj + BP2 + ... + BPn_j |
NOTA n es dato. Además, 1 + 2 + ... ♦ n ■ n(n + l)/2 .
29. Sean A, B, C y D vértices consecutivos de un paralelogramo tomados en
sentido antihorario. Si AD = (-4, 2) es lado del paralelogramo , si 
Pr ̂ AD « (3/13)(1, 5) * AP , donde AC es diagonal del paralelo - 
grano, el área del triángulo PQB es 220/13 unid, cuad., Q es el pie 
de la altura trazada desde B en el triángulo ABC , hallar la recta
que tiene como vector direccional a (BD + AC) y que pasa por el punto
cuyas coordenadas son las componentes del vector (2D - A - C) .
SUG: Tome A ■ (0. 0), D = (-4, 2) .
30. Sean las rectas L1 : (2, -3) + r¡ , L2 : (1, 9) + sb ortogonales
en R = (c, d), c es un entero mayor que 3 . Si el cuadrilátero P0QR
tiene área 71/2 unid, cuad., 0 es el origen, P * (2, -3) y Q = (1,
9), hallar la ecuador. c™= la recta bisectriz del ángulo PRQ .
31. Sea v un vector que sigue la dirección positiva del Eje Y, tal que |v|
* 5 . Sean L1 : x - y + 12 = 0, L2 y L3 rectas con pendientes nij ,
m2 y m3 respect-, de modo que mt > m2 > m^ . Si los ángulos:
«í (v; Ll) = <(L1; L2) = *(L2;L3), hallar:
a) PrL1 v + PrL2 (Pr^ v) + Pr L3 (Pr L2 (prL1 v ) )
b) La ecuación de la recta bisectriz del ángulo agudo entre L1 y L2 
sabiendo que pasa por (a, 6) e L1 D L2 .
CLAVE DE RESPUESTAS
1. A = (-4,7). C > (30,41), B = M + t A C J- e L 2 . B*= (20. 17) .
D = 2M - B = (6. 31) .
2. Q h(-l. 7)/(5/2) i 5/2 (7. l)/(5/2) . A = (14. 4). (28,6).
3. k = i i//3 ; .4. L1 : (11. 7) + t(l, -7). L2: (-17.3) ♦ t(-l,7)
262 La Recta Cap.5
L3, L4 : (-3, 5) i (-1, 7) + t(7, 1)
5. k = 3, r - -15 ; 6. A = (-1, 2). B = (7. 8), C = (5. 0)
7. A e Ll, A « (3,4) e L3: (3,4) + t(3,-l). B = (12,1). C - (7.16),
L2 : (12. 1) + t(l. -3) ;
8. B - (10. 3). A =(4.1). P - (6. 5). L: (4. T) * t(l, 2)
9. a) punto medio de A y B es M ■ (3,4), P * (4,0), L : y + 4* * 16
b) (3, 4) + t(4, 1) , sin necesidad de hallar A y B .
10. L: * - •ñ y « 0, k > 2 /3 . A - (3, /l). B - (3- /3. 3 * / I ) .
C - (- /3, 3). P * (-5/1/6. 5/2)
11. Dos soluciones. Ll: (-7.16) + t(7,l), L2: (17.-2) + t(-l,7)
12. Ll: y - -x + 2, L2: y > -7* + 3B, Q - (6.-4) + 3/5(-l. 2)/ /5 .
Q - (3,2) es punto medio de la base, L : (3, 2) + t(2, 1)
13. 10/5 ; 14. A = 50 un. tuad.; 15. M - (1, 9), N = (19, 21)
16. C « (4, -2), A - (-5, 1), B - (2, 2)
17. *»10, A = (4,7), B * (-1,2), « (-4,13), D - (14,-11)
IB. A - (7, 3), B =■ ¿38. 2), pi,es ÁQ * (10, 14) ; 19. * - 3y - 6
20. C ■ (1,2), A - (0.-1) ; 21. L tiene direccifin (2.1). R - (1. 9).
D - (15,16); 23. a - (-15,-20), 3bj + 4b2 - -25, b - (-3, -4) ,
P0 - (-36/5, 27/5) , b) 675/8 unid. cuad.
24. ÁC 1 BC , d[A; C] - /5 , C - (4,-5). D - (9.0). B - (7.1).
P - (7.2), Pc = P + (l/2> PD - (B,l), L : x + y - 9 .
25. a) (5, 4), b) n/4 , 3 n/4 .
26. r - 0 , A, B - (2,0) ± /5(l,-2)//5 , A - (3,-2), B - (1,2) .
27. R. Inclderte: (4,5) + s(-l,7). R. Reflejado: (2,7) + t(7,-l) ,
pues a * n/4 . 28. BPk » BC + CPk ■ BC + (k/n)CA, A - P„ ,
.. 2B. * * (n + 1)|BMJ , con M = (A + C)/2 , * - 25(n + 1)
29. h > 22/ .'Té , |?Q| - 40//26 , ÁC « (2, 10) - C ,
B - A + DC - (6. 8) . L : (-10, -6) + t(-2, 1)
30. 12c + d - 21 = 50, c = 6, d = -1 ,
LB1 : (6.-1) ♦ t[(-1.2) + (-2.-1)] : (6.-1) + t(-3.1) .
31. W - Pr L1 v « (5/2, 5/2) , í- Pr L2 w * (5/2)(l, 0) ,
d ■ P r ^ : ■= (5/4)(1, -1) de donde w + z + d ■ (25, 5)/4
b) (a, 6) e Ll Í1 L2 , entonces a « -6 . Luego,
LBI : (-6, 6) + t[ /2(1, 0) + (1, 1)] ===»
LBI : (-6, 6) + t( /2 + 1. 1) .
263
6
GRAFICAS
DE
ECUACIONES
1. INTRODUCCION
Se ha visto que las ecuaciones en dos variables,
como
y - 2x * 1
2
pueden ser representadas por gráficas en el plano cartesiano R . En tal ca­
so, se denomina GRAFICA DE LA ECUACION al conjunto de puntos (x, y) 
cuyas coordenadas satisfacen la ecuaci6n dada. (Ver Fig. 1).
Cuando la ecuaci6n proviene de una condici&n geométrica que debe 
ser satisfecha por ciertos puntos (x, y) , entonces a la gráfica de la ecua 
ci6n se le llama EL LUGAR GEOMETRICO (L.G.) de dichos puntos.
Por ejemplo, el Lugar Geométrico de los puntos (x, y) del plano que se 
desplazan de tal manera que se encuentran siempre a igual distancia del Eje 
X que del Eje Y, origina la ecuaci6n siguiente
d[ (*. y) ; x ] - d[ (x, y) ; Y ] =s» \y\ - |x|
= - y * i x ,
cuya gráfica está compuesta por la reuni&n de los puntos correspondientes a 
las dos rectas Lj : y » x , L2 : y ■ -x . pues los Duntnc ¿jn
bas rectas satisfacen la condici6» geométrica dada. (Ver Fig. 2).
264 Gráficas de Ecuaciones Cap.6
Además, no todai tm ecuaciones m do¿ varUable¿ tienen una 'lep'ie - 
2
tentación gii¿ica en el plano R , como por ejempio, la ecuaci6n 
x2 * y 2 - -1
2
no tiene solucionts reales * , y , y por lo tanto no tiene GRAFICA en R .
2. CRITERIOS PARA GRAFICAR ECUACIONES
Cuando se tiene que graficar una ecuaci&n en dos va 
rlables x , y , es conveniente tener en cuenta ciertas consideraciones o cH 
terios preliminares.
2.1 Interceptos con los Ejes Co ordenados
Se ubican los puntos en los que la gráfica debe 1n- 
tersectar a los ejes, para lo cual, si se desea encontrar los interceptos 
con el EJE Y : se hace * = 0 en la ecuac16n y se despejan los valores re
ales correspondientesde y . i para hallar los Interceptos con el EJE X : 
se hace y = 0 en la ecuaci&n y se despejan todos los valores reales corres 
pondientes de x .
Por ejemplo, en la ecuaci6n 4x2 + 9[y - 2)2 = 3 6 ,
- si x » 0 : 0 + 9[y - 2 2 ■ 36 = > y m 0 , y = 4 , y se di­
ce que 0 y 4 son los interceptos con el EJE Y ; y 
2-si y = 0 : 4x + 36 * 36 ==> x » 0 , y se dice que 0 es
el único intercepto con el EJE X .
2.2 EXTENSION
Con esto se quiere indicar un previo análisis de la e
Cap. 6 Gráficas de Ecuaciones 265
cuaci.n para encontrar los Intervalos en los cuales las variables *, y , to 
man valores reales. Por ejemplo, en la ecuación
4x2 + 9(y - 2)2 - 36
si se despeja x de la ecuación, se tiene que
* - i | / # - [y - 2)Z
y como x debe ser un número real entonces a partir del radical debe conside
rarse que _
4 - (y - 2) i 0 lo que implica que -2 i y - 2 i 2 ,
es decir, 0 < y < 4 , o sea todos los valores y c [0, 4] .
Análogamente, despejando x de la ecuación dada, se tiene la condición para 
x : -3 < x < 3 , es decir, todos los valores x e [-3, 3] .
De esta manera, la gráfica estará contenida en la región del plano limitada 
por el siguiente rectángulo, y que determina su extensión en el plano.
2.3 SIMETRIAS
Con frecuencia es útil saber reconocer cuándo la grá 
fica es íOUca respecto a los ejes coordenados y/o al origen. 
Recordemos que si L es una recta y Q un punto cualquiera, entonces se d¿ 
ce que el punto Q* es el iimLOUco de Q con respecto a la recta L si:
¿) L es perpendicular al segmento QQ' , y si
¿i) L intersecta al seg mentó QQ1 en su punto medio H.
En tal caso, la recta L recibe el nombre de EJE DE SIMETRIA de los dos 
puntos Q y Q' .
Se dice además, que dos puntos P y Q ¿on ¿iml&Uco¿ 
w Xaz ¿í , e n >LuptcZo a un punió M , si M es el punto medio del segmento 
PQ . Este punto M recibe el nc«nbre de C3NTRC DE SIMETRIA .
266 Gráficas de Ecuaciones Cap. 6
2.4 SIMETRIA DE UNA CU R V A CON R ESPECTO AL EJE X .-
2.5 SIMETRIA DE U NA CU R V A CON RESPEC TO AL EJE Y
Si le 'uACÁdn de la. cuJiva. NO VARIA cuando se sustf
tuye * por -x , entonces la curva es SIMETRICA CON RESPECTO AL EJE V .
pues ello indicará que que los puntos (x, y) y (-x, y) pertenecerán a la
gráfica, y tendrán como Eje de Simetría al Eje Y.
Por ejemplo, la ecuacl&n 4xZ * (y - 2)2 « 36 no varia
si se sustituye x por -x.
Por lo tanto, la gráfica
resulta ser Simétrica 2
con respecto al Eje Y : ("*• ̂ )
4(-*)2 + (y - 2)2 - 36 
es equivalente a:
4x2 + (y - 2)2 = 36 .
que es la ecuación original.
2.6 SIMETRIA DE UNA CU R V A CON R ESPEC TO AL ORIGEN
SI la. ecuAcenn NO VARIA cuando se sustituye slmultá
neamente: x por -x , asi como y por -y , entonces la curva es SIME
TRICA CON RESPECTO Al ORIGEN, pues ello indicará que los puntos (x, y) y 
(-*. -y) pertenecerán a la gráfica, y tendrán como CENTRO DE SIMETRIA al 
Origen. Ver la siguiente figura.
Si la ecuac¿3n de una cuAva NO VARIA cuando se susU 
tuye y por -y , entonces se dice que la curva es SIMETRICA CON RESPECTO 
AL EJE X. pues ello indicará que 
los puntos (x, y) y (x, -y) 
pertenecerán a la gráfica, y 
tendrán como Eje de Simetría al 
Eje X.
Ver la figura adyacente.
Cap.6 Gráficas de Ecuaciones 267
4x2 + 9y2 = 36
2.7 APINTOTAS .-
Se llama ASINTOTA de una curva a toda recta L tal 
que la distancia de un punto de la curva a dicha recta L va disminuyendoH^n 
diendo a ser cero, conforme el punto se aleja ilimitadamente del origen.
Por ahora consideraremos solamente ASINTOTAS que 
sean horizontales o verticales.
2.8 EjtMPLO.- Dada la ecuación: xy - x - y
si se despeja y en términos de x 
x
1
1 +
* - 1
se oDserva que si x tiende a 1 tomando valores menores que 1 y pos id 
vos, entonces el denominador * - 1 tiende a cero, y por lo tanto el cocien
te (asi como y ) tiende a 
valores a la derecha de 1 , 
en la figura siguiente.
Esto indica que * = 1 es 
una ASINTOTA VERTICAL.
Y si se despeja x :
1
- 00 ; mientras que si *
entonces y tiende a + «°
tiende a 1 tomando 
, como se puede ver
y - 1
1 +
1
vemos que, en forma análoga 
a la anterior, la recta
y ■= 1
es una ASINTOTA HORIZONTAL
268 Gráficas de Ecuaciones Cap. 6
2.9 Regla para hal'.ar Asíntotas posibles
1.- Para hallar las ASINTOTAS VERTICALES, se despeja y en términos 
de x , y Sí IGUALAN A CERO los factores lineales del denominador.
Y si es que para tales valores hallados de x, no se obtiene la expre -
0sion 
--- 0
ticales.
entonces dichas ecuaciones corresponderán a las Asíntotas Ver
2.- Para hallar las ASINTOTAS HORIZONTALES , se despeja x en térmi 
nos de y , y Sf IGUALAN A CERO los factores lineales del denominador, 
(si existiera, claro está) y se. procede como en (1).
2.10 Construcción de la Curva .-
Habiéndose determinado algunas ca­
racterísticas de la curva, se procede a tabular algunos puntos, y luego unir 
los por una curva.
2.11 EJEMPLO.- Graficaremos la curva de ecuac16n: 4x2 + 9y2 * 36 :
a) INTERCEPTOS CON EL EJE X, hacemos y ■ 0 en la ecuaci&n, y des
pejamos x - i 3 .
b) INTERCEPTOS CON EL EJE Y, hacemor x = 0 en la ecuaci6n, y dos
pejamo!. y “ i 2 .
c) EXTENSION .
- 3 < x < 3 , -2 < y < 2 .
d) SIMETRIAS :
- Es simétrica respecto al Eje X , pues la ecuaci6n no varía al reem
plazar y por -y .
- Es simétrica respecto al Eje Y , pues la ecuaci6n no varia al reem
plazar x por -x .
- También resulta simétrica respecto al Origen.
e) No tiene asíntotas verticales ni horizontales.
f) TABLA :
= 1.49
2.5 
= 1.1
Cap. 6 Gráficas de Ecuaciones 269
g) Gráfica: por las consideraciones vistas en (d) sólo es necesa -
rio tabular en el primer cuadrante, y la gráfica se com­
pleta por simetrías.
2.12 Ejercicios Propuestos
Graficar las curvas definidas por las siguientes ecuacio­
nes:
a) x2y - 4 - * = 0 e) (x - l)2 + (y - 3) » 9
b) xi/ = -9 f) Á T + /2y = 1
c) (x-2)(¡/-3) = 6 g) (x2 - 1 )y ■ 16
d) y = x + (1/x) h) (x - l)2 + 4(y - 3)2 = 9
3. ECUACIONES FACTORIZABLES
Son aquellas ecuaciones que pueden 
expresarse como producto de dos o
más factores -Lguat̂ dji a cqao, como en
*2 - l y - l ) 2 = 0 
[ x - y * rjj[ x + y - 1 ] = 0
= » ( x - i/ + 1 = 0) v (X + I/-1 = 0)
y cuya gráfica corresponde a la reunión de los puntos de ambas de las gráfi­
cas siguientes:
Lj : x - y + 1 = 0 , L2 : x + y - 1 = 0
270 Lugar Geométrico Cap. 6
3.1 Ejercicios Propuestos
Factorizar y graficar las ecuaciones siguientes:
a) 4x2 -y2 - 0
b) + 6x¡/ + 9y2 • 4
c) x3 + x2, - 2xy2 - 0
d) x2 + x - xi¡ * y - 2y2 ■ 0
2 2e) x y + xy - 4x - Ay - 0
f) x3 + xi/2 - 2x2 - ii/7 - 4x + 8 - 0 (CLAVE: pág. 320 )
i». PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LUGARES GEOMETRICOS
4.1 PROBLEMA.- Dados los puntos A = (0. -2), B = (0, 4) y C ■= (0, 0),
hallar la ecuaci6n del lugar geométrico (L.G.) de los
puntos P = (x, y) tales que el producto de las pendien­
tes de PA y PB sea igual a la pendiente de PC .
Cap. 6 Lugar Geométrico 271
De la condición del problema se tiene que:
, y + Z y - 4
ml * m2 = m3 = * < “ 7 “ )( ~ T ~ ] " x
(y + 2){y - 4) = xy = > L.G. : y2 - xy - 2y - 8 ■ 0 .
4.2 PROBLEMA.- Hallar la ecuación del lugar geométrico (L.G.) de los
puntos P * (x, y) equidistantes de A * (2, 2) y de
B - (6, -E).
SOLUCION.- , ,
d [ P; A ] - d [ P; B ] ==> d ^ P í A ] - d ^ l ^ B ]
= > (x - 2)2 * (y - 2)2 « (x - 6)2 * (y * B)2 .
Desarrollando y simplificando obtenemos la ecuación del Lugar Geométrico:
L.G. : 2x - 5y - 23 - 0 .
el cual lo identificamos como una recta (MEDIATRIZ del segmento AB ).
4.3 PROBLEMA.- Hallar la ecuación del lugar geométrico (L.G.) de los
puntos P - (x, y) cuya distancia a la recta de ecua­
ción L : y + ‘ ■ ■ 0 , sea igual a ¿os tercios de
su distancia al punto (3, 2) .
SOLUCION.-
d[P; L] - | d[ P; (3,2) ]
\y+ « I ■ \ /(* - 3)2 ♦ (y - 2)1 
L.G. : 4x2 - Sy2 ■■ 24x - 88y - 92 - 0 .
4.4 PROBLEMA.- Un segmento rectilíneo de longitud 6 unid, se mueve de 
tal manera que uno de sus extremos permanece siempre en 
el EJE X , y el otro extremo en el EJE V . Hallar la e- 
cuación del lugar .geométrico (L.G.) del punto medio 
de dicho segmento.SOLUCION.-
Sean los extremos los puntos A = (a, 0) y 8 ■ (0, b) , 
y el punto medio M ■ (x, y) , entonces de la condición:
272 Lugar Ceométrico Cap. 6
* - a/2 de donde a = 2* 
y « b/2 " b - 2y
V como d [ A; B ] = 6
entonces
d [ A: B ] - 36
36
* 36
a2 + b2
4x2 + Ay2
Luego, L.G. :
4.5 Problema.-
2 2
* + y
Los extremos de la base de un triángulo son los puntos 
A * (0, 0) y B ■ (3, 0) . Hallar la ecuac16n del 1u - 
gar geométrico (L.G.) del vértice opuesto C , si éste 
se mueve de tal manera que el ángulo en la base CAB es 
siempre igual al doble del ángulo en la base CBA .
SOLUCION.-
tan 2 a 2 tan a
1 - tan a 
tan 2a * (y/x)
tan a • - tan (1B0 - a)
■ - [»/(* - 3)] 
Reemplazando en (*) : 
y 2 {-yHx - 3)]
1 - [-»/(* - 3)]
4.6 PROBLEMA.- Hallar la ecuación del lugar geométrico (L.G.) de los 
puntos P * (x, y) cuya suma de distancias a los puntos 
fijos (c, 0) y (-c, 0) sea igual a 2a . (0 < c < a)
SOLUCION.- d[P; (c. 0)] + d[P;(-c. 0)] - 2a
( «![ P; (c, 0)] )2 - ( 2a - d[ P; (-c, 0)] )2 ==>
Cap. 6 Lugar Ceométrico 273
(x - c)2 + y2 » 4a2 - 4a ( d[ P; (-c, 0)] ) + (x + c I' + y2
a ( d[ P; (-c, 0)] ) - xc + a
a2(x2 + 2xc + c2) + a2y2
al cual elevamos al cuadrado
x2c2 + 2a2xc + a4
desarrollando y ordenando obtene.nos L.G. : +
a 2 2 a - c
4.7 PROBLEMA.- Desde el pur.to Q * (-1, -X) se trazan rectas L que
cortan a Lj : y ■ 3 , y a Lz : 3* + Zy • 6 . Ca­
da una de estas rectas L determina un punto P que es 
el punto medio entre L (1 L[ y L fl L2 . Hallar la ecuaci6n de su Lugar 
Geométrico.
SOLUCION.- Considerando el 
punto auxiliar A • (r, s) ,
B “ (p, 3) , y la recta L :
y0 + 1
y + 1 (* +1)
Además, como A e L2 fl L :
3r + 2s * 6
Í 0 o + D r - ( * o + U s
* * o - y 0 •
8*o - 2*0 + 6
de donde r f -----------
3*o + 20o + 5
Asimismo, como B e Ljfl L :
y o + 1 ,
4 - ------ (p + 1) = = >
9»o -3*0 + 6 
3 * o + 2 0 o + 5
P =
4 * o ~ 0 o + -
0 o + 1
V por ser P ■ (xe, y0) el punte medio del segmento AB 
P ■ (*o. 0o) ■ | t(r. s) + (p. 3)] - ( )
0o
s + 3 90o - 3x0 + 6 + 9xe + 6y0 + 15 150o + 6Xo + 21---- * --------------------------- * -------------
2 6Xo + 40o + 10 6xc + 40o + 10
6*o0o + 40o * 50o - 6xe - 21
274 Lugar Geométrico Cap.6
y quitando los ceros de los subíndices, obtenemos la ecuaci6n genérica del lu
gar geométrico _
L.G. : 6xy * Ay - Sy - 6x - 21 « 0
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar la ecuaci6n del lugar geométrico (L.G.) de los puntos (x, y)
cuya suma de cuadrados de las distancias a los puntos fijos A 3 (2, -4)
y B ■ (0, 0) sea igual a 20 unidades.
2. Hallar la ecuaci6n del L.G. de los puntos (x, y) cuya razón de dis -
tancias a la recta x - 4 ■ 0 y al punto (2, 3) sea igual a 1 .
3. Hallar la ecuaci6n del L.G. de los puntos (x, y) cuya distancia al
punto fijo (2, -2) sea tres veces su distancia a la recta y - 4
4. Dados los puntos A - (1, 3). B * (3, -2), hallar la ecuaci6n del L.G.
de los puntos P • (x, y) tales que la pendiente del segmento PA sea
el reciproco con signo contrario de la pendiente del segmento PB .
5. Hallar la ,ecuac16n del lugar geométrico del centro de una circunferencia
que se mantiene tangente a la recta y - 1 ■ 0 y a la circunferencia
6. El segmento AB de longitud constante se desliza con uno de sus extre­
mos en el EJE X y el otro sobre el EJE Y . Témese en el segmento el
punto medio. Encuentre el lugar geométrico de este punto al deslizarse 
el segmento.
7. Las rectas Lj : y = x/2 , L2 : y * 2x son cortadas en los pun­
tos Hj y M2 respectivamente por una recta que se mueve manteniéndose
paralela siempre al EJE X . Encontrar el lugar geométrico del punto de 
intersección de las perpendiculares en y M2 a las rectas Lj y 
L2 .
8. Encontrar la ecuación del lugar feométrico de los puntos tales que su
distancia a la recta x * -1 mis su distancia a la recta y ■ -1 ,
sea Igual a 2 .
9. Los vértices de un triángulo son los puntrs A » (-1, 0), B ■ (1, 0)
y P = (x, y) . Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe
el punto P si el ángulo en P es recto, y P está en el semiplano
Cap. 6 Lugar Ceométrico 275
superior.
10. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se desplaza de
tal manera que la pendiente de la recta que lo une al punto (-1, -1)
es siempre menor en una unidad que la pendiente de la recta que lo une
al punto (3, 3) .
11. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos (x, y) talesqufr
la suma de sus distancias con respecto a los puntos fijos (-3, 0) y
(3, 0) es siempre Igual a 8 unidades.
12. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de mane
ra que la pendiente de la recta que lo une al punto A • (1, 1) sea el
triple de la pendiente de la recta que lo une al origen de coordenadas.
13. Sean A • (-12, -8) y B ■ (21, 18) los extremos del segmento AB .
Hallar el lugar geométrico de todos los puntos P - (x, y) tales que
lo? segmentos AP y BP formen un ángulo de 90° .
14. Sean los puntos A - (1, 2) y B “ (-1, 3) . Un punto P “ (x, y) se
mueve de manera que siempre se cumple que oij + *i2 * 3 , donde
es la pendiente del segmento AP y n2 la del segmento BP . Hallar
el lugar geométrico del punto P .
15. Hallar el lugar geométrico de los puntos de intersección de los pares de
rectas y * m(x + 2) , my « 3(x - 2) para todo m e R .
16. Dado el segmento AB de 12 unidades de longitud, hallar el lugar geo
métrico del punto P que divide al segmento AB en la relación 2 a
1 cuando el segmento se desplace de modo que sus extremos se apoyen
constantemente sobre los ejes coordenados (B en el EJE X , y A en
el EJE Y).
17. Un segmento AB de 3 unidades de longitud se mueve manteniendo siempre 
su extremo A en el EJE Y y su extremo B en el EJE X . Determinar 
el lugar geométrico del punto P ■ (x, y) que divide al segmento AB
en la razón |ÁP|/8 « |ÍBl/5 .
18. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidistan de 
la recta y « 2x - 1 y del punto (-1, 2) . También, encontrar la
276 Lugar Ceométrico Cap.6
suma de las abscisas de los puntos que se obtienen cuando la curva se 1n 
tersecta con el EJE X .
19. Un punto P se mueve en el primer cuadrante, en la reg16n limitada por 
el eje de abscisas y una rerta que forma 60° con dicho eje y que pasa 
por el origen. Determinar la ecuaci6n de su lugar geométrico si la su­
ma de sus distancias a las rectas que limitan la regi6n es siempre de
+ 6 unidades.
20. Los vértices A y B de un rectángulo variable son uno fijo A • (2.
4), otro B móvil sobre el EJE Y , estando el lado opuesto CD so­
bre una recta que pasa por el origen. Hallar el lugar geométrico del
punto P .
21. Una recta se desplaza paralelamente al eje de abscisas cortando a la cur
2
va y m x en A y B . Hallar la ecuación del lugar geométrico 
descrito por un punto P * (x, y) de la recta m6v11 que divide al seg­
mento AB en la razón d [ A; P ] / d [ P; B ] * 1/2 .
22. ÍHsde el punto A ■ (-4, 0) se trazan segmentos AB siendo B un pun
2
to cualquiera de la curva y - -x Hallar la ecuac16n del lugar 
geométrico de los puntos P * (x, y) sobre el segmento AB tal que se
satisfaga la relac16n d[A; P]/d[A; B] * 1/3 .
23. Dados los puntos A - (-3, 2) y B ■ (I, 4) hallar el lugar geométrico
deterniinado por un punto que se mueve de tal manera que su distancia al
punto medio del segmento AB es siempre igual a su distancia al EJE X .
2 224. Sea y x + 3* y - 6xy « 0 una ecuac16n factorizable. Calcular el 
Srea de la regi6n encerrada por su grSfica.
25. Sean (x,. y¡), {x2, y2), (x3. y3) y (x4, y j los puntos de ínter -
sección de las gráficas de las ecuaciones
xy « -2 , 9x2 + 9y2 * 85 .
Calcular (xt +■ x2 + *3 + xlf)/lyl + y2 + y3 * yu) .
26. Se Lunsidera un segmento AB de 6 unidades de longitud, y un punto P
* (x, y) de dicho segmento a 4 unidades de A . Hallar la ecuación
del lugar geométrico de P cuando el segmento se desplaza de forma que
Cap.6 Lugar Geométrico 277
los puntos A y B se apoyan constantemente sobre los semiejes positi­
vos de coordenadas, si el punto A está sobre el EJE Y .
27. Dos de los vérticesde un triángulo son (-5, 2) y (1, -3). SI la Ion
gitud de la mediana que pasa por (1, -3) es constante e igual a 4 . 
hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice P 3 (x, y) .
2B. La recta L se mueve en el plano formando 60° con el EJE X . Si A
y B son los puntos en donde L corta a los eje X e Y , hallar la
ecuación del lugar geométrico del punto medio del segmento AB .
29. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto P * (x, y) si la
distancia de P al origen es dos veces la distancia de P a (0, 2) .
30. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos A ■ (0, 1) y
B = '0, 5) . Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vérti­
ce C si se mueve de tal manera que la diferencia ertre las longitudes 
de los lados AC y BC es siempre igual a la mitaa de la longitud del 
lado AB .
31.
RPTA: Unión de los conjuntos de puntos de las gráficas de las ecuacio
nes: (x + l)2/4 - y2/l2 - 1 (semiplano x > 1 ) ,
y (x - l)2/4 - y2/l2 » 1 (semiplano x S -1 ).
32. Dos de los vértices de un triángulo son A = (5, 0) y B = (1, 0). Ha
La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los pun 
tos (-3, 0) y (3, 0). Hallar e identificar la ecuación del lugar geo 
métrico del vértice opuesto, si uno de los ángulos de la base es siempre 
igual al doble del otro.
278 Lugar Ceométr'ico Cap. 6
llar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mue­
ve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre la mitad que 
la del lado BC .
33. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de mane 
ra .jue la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los puntos A
■ (-2, 2) y B ■ (1, 4) es siempre constante igual a 12 .
34. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se desplaza de
tal manera que su distancia al punto A * (4, 2) es siempre Igual a
su distancia al EJE X , aumentada en 3 unidades.
35. Un punto se mueve tal que su distancia al punto A ■ (4, 2) es siempre
igual a su distancia a la recta 4* - y ■ 2 .
36. Dados los puntos A ■ (-4, -2) y B - (6, -8) . hallar la ecuación del
lugar geométrico del punto P tal que el producto de las pendientes de
los segmentos PA y PB sea Igual a 1 .
37. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos (x, y) que
son vértices de los triángulos ABP de la figura , siendo
a + tan B * 2 - y
P = (x
B /
A-(-2,0) 0 B“(2,0) X
(CLAVE DE RESPUESTAS: Pág. 290)
Cap. 6 La Circunferencia 279
5. LA CIRCUNFERENCIA .-
Una circunferencia C es un conjunto de 
puntos que equidistan de un punto fijo lia
mado CENTRO . Tal distancia al Centro se llama RADIO de la circunfe - 
riñera.
6 equivalentemente.
C : (* - h)2 + {y - k)2 - r2 I (r > 0).
A esta ecuac16n se le conoce coito la ECUACION VE LA CIRCUNFERENCIA PE CEN - 
TRO (h. k) V VE RAPIO r > 0 .
5.1 EJEMPLO.- La circunferencia con centro en (-2, 1) y radio 6 unî
dades es el conjunto de punios P ■ (x, y) tales que
( x - 2 ) 2 + [ y - ( - I ) ] 2 - 6 2
— (x - 2)2 + [y + l)2 - 36 .
5.2 EJEMPLO.- La ecuacifin x2 + y1 + 4x - 6y - 7 * 0 , que al com
pletar cuadrados se convierte en 
(x2 + 4x + 4 - 4) + [y2 - 60+ 9 - 9) - 7 - 0
(x + 2)2 - 4 + [y - 3)2 - 9 - 7 - 0
(x + 2)2 + [y - 3)2 - 20 - (/20)2 .
representa una circunferencia de Centro (-2, 3) y de radio /20 .
280 La Circunferencia Cap. 6
Debido al Ejemplo previo, las ecuaciones de la forma
*2 + i/2 + Dx + Ei/ + F ■ 0
representarSn circunferencias, pues al completar cuadrados resulta
, D .2 , E ,2 D¿ + E2 - 4F
(t+ i> + 2> ' -------- ¡--------------------
cuyo Centro es el punto C “ (-D/2, -E/2) , siempre que el segundo miembro 
sea positivo.
5.3 EJEMPLO.- La grífica de la ecuaci6n:
x2 + y2 - 0
cuya única so1uc16n es el punto de coordenadas x - 0 ,
y » 0 , estS representada gr&ficamente por el único punto (0, 0) , de la
misma forma en que la grSfica de la ecuac16n
(x - 5)2 + (y * 3)2 - 0
estará representada por el único punto (5, -3) .
5.4 EJEMPLO.- La ecuaci6n x2 + y2 + 25 ■ 0 no ti&ne ne.pn.zie.nta
2
(Uln gníi-ica en e¿ plano IR , pues los puntos que las
satisfacen no tienen ambas coordenadas reales, lo cual
se ve de la forma equivalente
x2 * y2 - - 25
Lo mismo ocurre con la ecuaci6n:
(x - 5)2 + (y + 3)2 + 25 - 0 .
5.5 PROBLEMA.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los
puntos P ■ (8, -2), P « (6, 2) y P » (3, -7) .
SOLUCION.-
Se construyen las mediatrices Lj y L2 de los segmentos 
PlP2 y P1P3 respectivamente.
Con este método tenemos que el centro de la circunferencia
Cap. 6 La C-ixcu.n¿cAenc-¿a 281
resultará la intersecci6r de las rectas Lj y L2 :
M - (Pj + P2)/2 » (7, 0)
N = (P, + P3)/2 - (11/2, -9/2),
La recta Lt pasa por M • (7, 0)
y tiene por vector normal a?
A " P1 * P2 " (2*
Luego, Lj : 2x - 4y - 14 .
La recta L2 pasa por el punto
N » (11/2, -9/2) y tiene como 
vector normal al vector 
ñ2 ■ pi " P3 = (5* 5) . luego L2 : 5x + Sy m 5 , de modu que al
Intersectar con Lj se obtiene el CENTRO C = (3, -2) y el radio r =
d[ P2, C] = 5 . Por lo tanto, c . (x - 3)2 + (y + 2)2 - 25 .
5.6 PROBLEMA - Hallar la ecuación de la circunferencia C cuyo centro
se encuentra sobre la recta L : y = 4* , sabiendo que
las longitudes de los segmentos que C determina sobre 
el EJE X y el EJE Y , son 7/2 y 4 unidades respectivamente. (Dos so­
luciones).
SOLUCION.- Sea C la circunferen
cia con ecuaci6n:
C: (x - h)2 + (y - k)2 - r2 .. I*)
C = (h, k) pertenece a L : y = 4x ,
lo que implica que k = 4h .. (o)
De (*) se tiene que, si y = 0 , en 
toni.es se obtienen las abscisas Xj , x2
donde C corta al EJE X :
x = h i / r2 - k2 > Xj = h - /r2 - k2
x2 = h + / r 2 - k2
Análogamente, haciendo x = 0 , se obtienen , y2 :
282 La Cülc.wieAe.n<Ua Cap. 6
y = k i / r 2 - h2 ==> yy - k - / r 2 - h2
i/2 = k + / r 2 - h2
Además, de los datos: 7/2 = |*2 - *jJ " 2 /r2 - k2
4 “ l?2 ” tfll ’ 2 / r2 - b2
Y elevando al cuadrado: 4g » i6(r2 - k2) ( B)
4 = r2 - h2 ( Y )
Reemplazando ( a) en ( B): 49 * 16(r2 - 16h2) .. (6)
Resolviendo (Y) y (6) simultáneamente:
/Fe
h » í 1/4 , k = í 1 respect. ==» r ---
4
'or 10 tant0: Ira. Respuesta: C* : ( x - | )2 + (y - l)2 = 65/16
2da. Respuesta: C J1 : ( * + 7 )2 + (tf + l)2 = 65/16
5.7 PROBLEMA.- Hallar las distancias mínima y máxima del punto A »
(7, 10) a la circunferencia x2 + y2 - 2* - Ay = 20.
SOLUCION.- Completando cuadrados, 
obtenemos la ecuación 
equivalente de la circunferencia C :
(x - l)2 ♦ [y - 2)2 = 25
Luego, el centro de C resulta ser
C * (1,2) y el radio r = 5 .
Sea ¡j el vector unitario en la mis- '
ma dirección del vector a » CA ,
ü - (CA) / 1 CA| = (A - C)/ |CA |
= (6, 8)/ | (6, 8)| = (| • 3 )
Luego, R = C + r ü = C + 5¡j = (4, 6) ,
m = | A - R | = | (7, 10) - (4, 6) | = | (3. 4) | = 5 .
Así, la distancia mínima de A a C es m = 5 , y la máxima es igual a 
m + 2r = 15 .
Cap. i La CiAcunfeAentUa 283
5.8 PROBLEMA.- Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan
por A • (2. 1) y B * (4, 3) y que sean tangentes a 
la recta Lt : x + 3y - 3 » 0 .
SOLUCION.- El vector 
normal de L es : 
ñ, - AB - (2,2) .
La recta L pasa por H, 
punto medio de AB ,
M - (A + B)/2 - (3. 2)
Asi, L : 2jc + 2y - 10
6 L : k * y ■ 5
y como el CENTRO C ■ (h, k) 
e L , entonces
h + k » 5 -. (*)
C - (h, 5 - h) , donde 
r-|CA|- d[C, L j = f ] CA |2 = d2[C, Lt] =*>
(2 - h)2 + [1 - (5 - h)]2 = [ h + 3(5 - h) - 3]2/10 =*>
(2h - 7)(h - 1) = 0 = * h = 7/2 v h = 1
Según (*) , si h * 7/2 entonces k * 3/2
y si h * 1 entonces k = 4 .
Eligiendo adecuadamente resulta C = (1, 4) , D * (7/2, 3/2) , existiendo 
por lo tanto dos soluciones correctas:
C* : (x - | )2 * (y - | )2 - r2 , C - : (x - l)2 + [y - 4)2 = r2
donde r2 « | DA |2 ■ 5/2 , y r2 * | CA |2 » 10 .
5.9 PROBLEMA.- Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a las
rectas Lj : x + i/ + 4 = 0 , L2 : 7¡/-x + 4 * 0 ,
y que tenga su centro en la recta L3 : 3x + 4y = 2 .
(Dos soluciones).
SOLUCION.- Como C = (h, k) e Lj , entonces 3h + 4k = 2 .. (*).
Además, d[C, L(] ■ d[C, L2] = r = »
| h + k + 4 | / ✓T = | 7k - h + 4|/(5/2)=*>
284 La CtAcun ¿ eA.zn.cJji Cap. b
(h + k + 4) s + (7k - h + 4)
/2 5 /2
= * 3h - k + 8 = O .. (1)
6 h + 3k + 6 - O .. (2)
PRIMERA SOLUCIOr- Consideran­
do las ecua 
ciones (1) y (*) , y resol­
viendo dicho sistema se tiene:
C - (h. k) = (-2, 2) , y
rt > d[C, Lt]
= | -2 + 2 + 4 |//2 = 2/2
SEGUNDA SOLUCION: Considerando las ecuaciones (2) y (*) , y resolviendo
dicho sistema se tiene: (h, k) = (6, -4) = D , y
r2 = d[D, Lj] - | 6 - 4 + 4|//2 * 3/2
Luego, C2 : (x - 6) + (y + 4)2 = 18 .
5.10 RECTA TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA. UNA ECUACION
Cuando ¿e. conocí ti Punto de Contacto (xD, yD) 
de una Circunferencia C TANGENTE a una nccta Lj EN DICHO PUNTO, enton­
ces la ecuación de Lj tiene una forma simple:
sea C : (x - h)2 + {y - k)2 * r2 (*)
pues (xOJ yD) t C .
La recta Ly tiene vector normal 
ñ = C?0 * P„ - C
“ ( í/o ” M
y pasa por PD = (k0, yD) . Lúes
LT : (P - p„) ■ F = 0 = >
Cap. 6 ta C¿ncun¿eAen(Ua 285
((x - h) - (x„ - h), (ÿ - k) - (ya - k))-(x„ - h, yD - k) - 0 
(* - h)(x0 - h) - (x„ - h)2 + (y - k)(ÿ0 - k) - [y0 - k)2 - i 
Agrupando y utilizando (1) esta última ecuación se transforma en:
LT : {x - h)(x„ - h) + {y - k)(ÿD - k) - r2
2 2 2
Ecuación de ¿a Recta Tangente a la CiAcun¿eAenCAA (x - h) + [y - k) = r ,
en el PUNTO VE CONTACTO (x0, y„) .
Obsérvese el parecido de esta ecuación con la ecuación de la Circunferencia
respectiva C : (x - h)2 * (y - k)2 * r2 .
5.11 DEFINICION.- Una recta Ln recibe el nombre de RECTA NORMAL
A LA RECTA L si es que JL L .
5.12 PROBLEMA.- Hallar la ecuación de la recta Tangente Lj y de la
recta Normal Lr a la circunferencia C en el punto
(3, 1), donde C : x2 + y2 - 2x + y * 5 .
SOLUCION.- je verifica que C : (x - l)2 + (y + i )2 = — , y
que (3, 1) c C , siendo éste punto de contacto con Lj ,
Lx : (x - 1) (3 - 1) + (y + ^ ){ 1 ♦ ^ ) ~ ■ Por lo tanto,
Lj : 4x + 3y - 15 , Lr : -3x * Ay » -5 .
5.13 PROBLEMA.- La circunferencia C del Problema previo tiene dos
tangentes que son paralelas a la recta 3x + Ay « 1 . 
Hallar sus ecuaciones.
SOLUCION.- Puesto que C : (x - l)2 + [ y + (1/2)]2 =■ 25/4 , enton
ces su CENTRO es C * (1, -1/2) y su radio r = 5/2 .
En referencia a la figura siguiente, si las rectas tangentes Lt y L2 
han de ser paralelas a 3x + Ay ■ 1 , entonces tendrán Lomo vector nor­
mal a ñ = (3, 4) y como vector unitario ü al vector (3, 4)/ |(3, 4)|. 
Es decir, û = (3, 4)/|(3, 4) | = (3/5, 4/5) . Además,
286 La C¿cun¿eAenc¿a Cap. 6
L2 : 3x + Ay = - 23/2 .
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias :
a) 2 2 k * y --■■ 16 f)
2 2 x + y + 2x - Ay * 5
b) x2 + 2x + y2 + Zy = -1 g) x2 * y2 * 2x = 8
c) x2 - 2x + y2 = 0 h) 2x2 + Zy2 + x + y = 1
d) 4x2 + 402 - 4x - IBy + 2 = 0 i)
2 ^ 2 x + y * 4x + Ay * 9
e) 3x2 + 3y2 + 6x = 1 j)
2 2 x + y * 4x - 6y - 12
2. Hallar las ecuaciones de las circunferencias :
a) con radio 3 y centro en (2, -4) ,
b) con centro en (-1, 3) y que pasa por (4, 1) ,
c) que pasa por (0, 4), (1, 2) y (3, 2) .
d) circunscrita al triángulo cuyos lados están sobre las rectas
Lx : 3* + Zy = 13 , L2 : k - Zy = -1 , L3 : x + Zy = 3 ,
e) inscrita en el triángulo cuyos lados están sobre
: 4x + 30 = 24 , L2 : 3x - 40 = 18 , L3 : 4x - 3y - -32 ,
f) con centro en (-1, 1) y tangente a L : x + Zy = 4 .
3. Hallar los puntos de intersección de la circunferencia con centro en el
origen y de radio 5 con :
a) la recta x - y + 5 = 0 ,
b) la recta de pendiente -4/3 y que pasa por (1, 7) ,
Cap. b La CÁ cun£eA.e.tuUa 287
c) la recta 3* - y * 5 . d) la recta 7x + y - 25 ■ O .
4. Sea P un punto exterior a una circunferencia dada C . Sea PT el
segmento de recta tangente a C en T , y PN la recta trazada desde
P que pasa por el centro de C y que intersecta a C en M y N .
Probar que |PM| • |WL| • | PT |2 .
5. Hallar la ecuación de la circunferencia :
a) con centro en (0, -3) y tangente a 5x - \Zy + 2 = 0 ,
b) con centro en el EJE X y que pasa pasa por (4, 6) y (1, 3) ,
c) que pasa por (7, -5) y es tangente a L: x - y - 4 ■ 0 en el
punto (3, -1) ,
d) de radio 5 y tangente a 4x - 3u + 1 * 0 en (3, 2) ,
e) que pasa por (2, -2) y por los puntos de Intersección de las cir­
cunferencias Cj : x2 + y' - 2x + 3y - 13 « 0 , y
C2 : x2 + y2 - x - Zy - 15 - 0 .
f) de radio 50 y corta en el EJE X una cuerda de longftud Igual a
28 unidades, y que pasa por (0, 8) ,
g) con centro en (-1, 1) y tangente a L : x + Zy * 4 ,
h) que pasa por (2, -2) y (3, 4) , y cuyo centro se encuentra en la
recta L : x + y » 2 ,
i) que pasa por (2, 3), (3, 2) y (-4, 3) .
6. Una circunferencia C es tangente simultáneamente a
: (x - 3)2 + (y - 4)2 - 4 , C2 : (x - 3)2 + (y - 8)2 = 36 .
Hallar el Lugar Georétrlco descrito por el centro de C .
7. Hallar la ecuación del Lugar Geumétrico del centro de una drcunferen - 
cia que se mantiene tangente a las circunferencias
Cj : x2 + y2 - 4y - 12 - 0 , y C2 : x2 + y2 = 1 .
8. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro se encuentra sobre 
la recta y = 4x si las longitudes de los segmentos que determina so 
bre el EJE X y sobre el EJE Y son 7/2 y 4 respectivamente.
9. La distancia entre las rectas x + Zy - a = 0 , x + 2</ + 4a = 0 , es
2/5 . Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a ambas
rectas, y cuyo centro se encuentra en el EJE Y .
10. Dadas Ct : x2 ♦ y2 - 16 = 0 , C2 : x2 + y2 + 4x + 8y - 80 = 0 ,
288 La CVicun¿eJiejnc¿a Cip. 6
y el punto A = (4, -12), encontrar el ¿rea dil triángulo ABC , si 
se sabe que está inscrito en una de las circunferencias, y circunscri­
to a la otra.
2 211. Suponiendo que las circunferencias x + y +Dx + E i / * F * 0 , y
2 2
x * y * D'x + E'y + F’ = 0 poseen una cuerda común, probar que és­
ta tiene ecuación (D - D')x ♦ (E - E*)y + (F - F") = 0 .
12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rec
tas 2x - ¡y + 5 = 0 , x - y + 4 = 0 y que es perpendicular a la
2 2 2 2 cuerda común a las circunferencias x ♦ y - Ay 9 x ♦ y =4x.
2 213. Dada la circunferencia C : x + y = 16 , desde el extremo izquier
A , de C , se traza una cuerda variable AQ y desde el extremo supe­
rior Q de dicha cuerda se traz* una perpendicular al diámetro horizon 
tal AB la cual corta a la curva en el punto D . Se traza la recta 
DB , la cual se prolonga hasta interceptar en P a la prolongación de 
la cuerda AQ . Hallar la ecuación del Lugar Geométrico de P .
2 214. Determinar la ecuación del diámetro de la circunferencia x + y -
- 6x + 4j - 12 = 0 que biseca a la cuerda cuya ecuación es 3y + x 
- 6 = 0.
15. Hallar la ecuación de la circunferencia
a) cuyo diámetro es el segmento de la recta 4x - 3y + 12 = 0 sitúa
do entre los ejes coordenados ,
b) que pasa por (0, 0), (-3, 9) y con centro en el EJE Y ,
c) que pasan por (-1, 2), y son tangentes a ambos ejes coordenados ,
d) que pasan por (4, -2) y (5, -3), y tienen radio 5 ,
2 2e) de radio 4 y es concéntrica a x + y + 6y + 8 = 0 ,
2 2f) que pasa por (4, -3), y es concéntrica a x + y - 4x + 3y = 1.
16. Un punto P se desplaza de manera que el cuadrado de su distancia de
la base de un triángulo isósceles es siempre igual al producto de sus 
distancias de los otros dos lados. Demostrar que el Lugar Geométrico 
de P es una circunferencia.
17. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en las rectas
x + y = 4 , 5x * Zy - -1 , y de raaio 3 .
18. La recta L es tangente a x2 + y2 = 1 en A = (-1, l)//2 . Ha­
llar la tangente del ángulo que forma L con la cuerda que va desde A
Cap. 6 La CÁMuin̂ eAuicia 289
hasta el punto B ■ (1, 0).
19. Una circunferencia es tangente a las rectas : y m x + 5 , y
L2 : y “ * + 1 . SI (2, 5) pertenece a la circunferencia, encon­
trar su ecuación si la suma de las coordenadas del centro es mayor que
7 .
20. El punto C 3 (-2, 3) es el centro de una circunferencia cuya cuerda
sobre el EJE Y es dividida por el origen en la razón -4 . Hallar la
longitud de la cuerda.
2 221. Hallar el valor de k para que la ecuación x + y - 8x + lOy + k
* 0 , represente una circunferencia de radio 4 .
222.