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LA ENCICLOPEDIA 2 0 1 2 □ AL GEODA
V ER S IO N CO R R EG ID A Y A O RIEN TAD A E D IC IO N E S H U B IN O S
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• A la facultad de la UNÍVERS/DAD NACIONAL DE INGENIERIA
(U N Í.)
7* A m is alum nos, colegas y fam iliares, quienes com parten e i día a día
de m i existencia .
m & m p r o b l e m a s r e s u e l t o s
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r m r u b in o s @ h o t m a i l .c o m
D ia g ra m a c ió n y d is e ñ o : Im p re s ió n :
• L ila C ordova • R aque l Becerra
• Kartn C abrera • K ha te rin C abrero
• K haterin C abrera
•
•
B ra n d y Torres
C iism an C arrasco
• Elizabeth Caja. Nelly Cordova.Oscar • A lbe rto M oran
C o rre c c ió n y re v is ió n : + Y url M oran
• JESUS CALERO + R oberto M oran
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_ _ _ i' Presidencia
P E R U del Consejo de Ministros
LA EN C IC LO PED IA 2 0 1 2 ALG EBRA
EL ÁLG EBRA, de brillante h istoria , con más de tres mil años de antigüedad, m uy Bien
pudiera considerarse com o el idioma universal de la civilización. Constituye la base sobre
la que se apoya la alta matemática y es el lenguaje en que se expresan la ciencia y técnica
moderna . Problem as de difícil solución a partir de un planteam iento aritm ético se
resuelven m ucho más fácilm ente si se plantean en términos algebraicos.
Igual que ocurre con los idiomas , el álgebra también exige muchas horas de dedicación
antes de que el estudioso pueda considerarse versado en ella. El viejo adagio de que «n o
ex is te u n ca m in o d e a p r e n d iz a je c o r to » no es una excepción en este caso . Para
llegar a «hablar» con solturá este idioma es necesario adquirir, ante to d o , una idea clara
y concisa de sus principios fundamentales y , después, poseer una gran dosis de práctica.
El proposito de este libro es , en esencia, proporcionar al alumno los conocim ientos
necesarios para llegar a dominar este campo fundamental de la m atem ática. Además de
servir com o libro de texto a los alumnos de un curso preuniversitario y su perior, puede
ser de considerable utilidad para aquellos otros que deseen repasar sus principios
fundamentales y aplicaciones com o introducción a ulteriores estudios de matemáticas ,
ciencias o ingeniería.
El contenido del libro se divide en capítulos que abarcan todos los conceptos clásicos de la
teoría . Cada uno de ellos com ienza con las definiciones , principios y teorem as
correspondientes, junto con ejemplos ilustrativos de los mismos . A continuación , figura
una gran colección de problemas resueltos y otra de problemas propuestos. Los primeros
se han elegido de form a que proporcionen una visión clara de la aplicación correcta de los
principios enunciados . Ilustran y complementan la teoría , ya que la repetición de los
teoremas es de im portancia vital para conseguir una enseñanza eficaz e iluminan con
potente foco aquellos conceptos que por su especial dificultad escapan generalm ente al
alum no, y cuya ignorancia se traduce siem pre en sentimiento de inseguridad. Entre los
problemas resueltos figura la aplicación de algunas fórmulas y teorem as. El estudio que
se hace de muchas de las materias tratadas es más profundo y com pleto que el que se
encuentra en la mayoría de los libros de te x to ; su exposición incluye el cam po com plejo,
la teoría de ecuaciones , la com binatoria, el calculo superior , los determinantes , las
series infin itas, ,etc..
La finalidad de la presente obra es dar respuesta a cualquier selección de temas propuesta
por el p ro fesor , servir com o libro de consulta y estim ular un ulterior interés del alumno
por el álgebra y las matemáticas básicas.
No deseo terminar, §in antes expresar mi profundo reconocimiento a la valiosa colaboración
y sugerencias recibidas por parte de los licenciados EVER CASTELLANOS y AXEL
LOAYZA y a las diseñadoras LILA CORDOVA MALPARTIDA , JAQU I TORRES
VILLEGAS ; Vaya mi eterno agradecimiento, por su valioso apoyo para la materialización
de esta obra . Únicamente me resta decir que cada capítulo de este libro no encierra solamente
experiencia docente y esmero , sino , además, el sincero anhelo de que sirva de un paso más ,
para*el estudiante en su ascenso al 6aber.
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VER SIO N CO RREG ID O Y A U M EN TA D A E D IC IO N E S H U B IÑ Ó S
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ORIGEIVES DEL ALG EBR A
El Algebra es, en esencia, la doctrina de las operacionesmatemáticas analizadas desde un punto de vista
abstracto y genérico, independiente de los números u
objetos concretos. A lo largo de la historia de la
humanidad esta ciencia ha ido evolucionando, y cada
civilización y cada cultura con sus características
propias han dejando un legado testimonial escrito del
que en la actualidad somos herederos.
LOS EGMPCIOS
Hacia el cuarto milenio a.C. nació una gran civilización
a orillas del río Nilo: los Egipcios. Gracias a ellos y
después de un largo proceso, los primitivos textos
pictográficos evolucionaron para dar lugar a una
ordenación lineal de símbolos más sencillos: sistema
de notación jeroglífica.
La cantidad de información matemática que podemos
obtener de las piedras talladas encontradas en las
tumbas, los templos y de los calendarios es muy
limitada y el panorama de las contribuciones egipcias
que tendríamos sería extremadamente incompleto.
Afortunadamente disponemos de otras fuentes de
información; hay un cierto número de papiros egipcios
que de una manera u otra, han conseguido llegar hasta
nuestros días. El más extenso de los que contienen
información matemática es un rollo de papiro de unos
30 cm de alto y casi 6 m de largo que está expuesto en
el British Museum de Londres.
Este papiro fue comprado en 1858 en una ciudad
comercial del Nilo por un anticuario escocés, Henry
Rhind, de donde deriva el nombre de Papiro Rhind
con el que se conoce usualmente o, no tan a menudo
como el Papiro de Ahmes , en honor del escriba que lo
copió hacia 1650 a .C . Este escriba cuenta que el
material escrito se deriva de un prototipo del Imperio
Medio de entre los años 2000 y 1800 a.C., y es posible
que parte de estos conocimientos provengan en
realidad de Imhotep, el legendario arquitecto y médico
del faraón Zoser. En cualquier caso la matemática
egipcia parece haberse estancado durante unos 2000
años después de unos comienzos prometedores.
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Los problemas que hay en el Papiro de Rhind, no se
refieren a objetos concretos y específicos como pan o
cerveza, ni tampoco piden el resultado de operaciones
con números conocidos, sino que piden lo equivalente
a resolver ecuaciones lineales de la forma x + a x — b ó
x + ax + 6x = c, donde a ,b y c son números conocidos
y x es desconocido; a este número desconocido o
incógnita le llamaban «aha» o «m ontón» .
La solución que se da en el Papiro de Rhind, de los
problemas de carácter algebraico planteados no es la
que podría verse en los libros de texto modernos, sino
que es característica de un procedim iento que
conocemos hoy como el «método de la falsa posición»
o «regula falsi».
En este método se supone un valor concreto para el
«montón», lo más probable es que sea incorrecto, y se
efectúan con dicho número las operaciones indicadas
en el miembro de la izquierda de la igualdad, a
continuación se compara el resultado de estas
operaciones con el resultado que debería haberse
obtenido, y mediante el uso de proporciones se halla
la respuesta correcta. Por ejemplo, el problema 24 del
I8ÉI 6 iKm IA e x c h j w é ío iA 2012}
Papiro de Ahmes , traducido literalmente, dice: «una
cantidad , su 1/7, su totalidad asciende a 19». Esto
para nosotros significaría: x + x!7=19
se toma como valor de prueba para la incógnita el 7,
de manera que la ecuación toma el valor 8 en lugar del
correcto que debía de ser 19, pero en vista de que
8(2+114+118) —19, tenemos que multiplicar 7 por
2+114+118 para obtener el valor correcto del «montón»*
; Ahmes halla la respuesta correcta , 16+112+118 y
«comprueba» su resultado mostrando que si a
16+112+118 se le suma un séptimo de él mismo, es
decir 2+1Í4+H8, se obtiene efectivamente 19.
El único tipo de ecuación de segundo grado que aparece
es el más sencillo : axa = b
Muchos de los cálculos de «aha» en el Papiro de Rhind
eran evidentemente ejercicios para que practicasen los
jóvenes estudiantes.
Este álgebra egipcia tan restringida no utilizaba
prácticamente ningún simbolismo. En el Papijv de
Ahmes laB operaciones de sumar y restar aparecen
representadas por un dibujo esquemático de las piernas
de una persona que se acerca y que se aleja .
En definitiva, los egipcios solucionaban problemas de
una incógnita que vienen a ser equivalentes a nuestra
resolución de ecuaciones lineales. Sin embargo, los
procesos seguidos eran puramente aritméticos y no
constituían para los egipcios un tema distinto como
podía ser la resolución de ecuaciones.
CIVILIZACIÓN MESOPOTÁMICA
Al igual que en el valle del Nilo, nació a orillas de los
río Tigris y Eufrates a finales del cuarto milenio una
nueva civilización : civilización mesopotámica o
también llamada babilónica.
Antiguamente, como hoy en día, «la Tierra de los Dos
Ríos» fue un territorio abierto a invasiones de diversa
procedencia. Una de las más importantes fue la llevada
a cabo por los acadios semitas debido al vasto territorio
que ocuparon. Otras invasiones y revueltas posteriores
elevaron al poder en el valle a los amorritas, cassitas,
elamitas, hititas, asirios, medos y persas entre otros.
Pero lo importante es que se conservó siempre una
uniformidad cultural, en particular el uso generalizado
de la escritura cuneiforme, lo suficientemente alta para
que podamos referimos a esta civilización simplemente
como mesopotámica.
En M esopotam ia, el álgebra alcanzó un nivel
considerablemente más alto que en Egipto ya que los
babilónicos solucionaron tanto ecuaciones lineales
como ecuaciones cuadráticas sin ninguna dificultad y
algunos ejemplos de ecuaciones cúbicas.
Los documentos matemáticos que se conservan de la
época son tablillas de arcilla blanda donde se imprimía
el texto con una varilla y a continuación se cocían en
hornos para endurecerlas. Estos documentos han sido
menos vulnerables al paso del tiempo que los papiros
egipcios, por lo que se dispone actualmente de una
mayor información de la matemática mesopotámica
que de la egipcia. La mayoría de las tablillas con
contenido m atem ático se encuentran en las
Universidades de Columbia, Pennsylvania y Yale, las
cuales fueron suministradas por un yacimiento
arqueológico de la antigua ciudad de Nipur.
Los problemas algebraicos aparecen formulados y
resueltos de una manera completamente verbal, sin
utilizar símbolos especiales. A menudo aparecen las
palabras us (longitud), sag (anchura) y asa (área)
utilizadas para representar las incógnitas, no porque
dichas incógnitas representen tales cantidades
geom étricas, sino porque m uchos problem as
algebraicos seguramente surgieron de situaciones
geom étricas y esta term inología term inó por
imponerse. Un indicio de que esto era así, es que los
babilónicos no tenían ningún reparo en sumar una
longitud con un área o un volumen.
Algunos ejemplos de estos problemas son:
- el problema en el que se pide hallar el lado de un
cuadrado si su área menos el lado es igual a 14;30 ; la
solución de este problema es equivalente a la resolución
de la ecuación cuadrática x - x — 870 .
ÉPOCA HELENÍSTICA
La actividad intelectual que se desarrollaba en Egipto
y Mesopotamia perdió impulso antes de que comenzase
la Era Cristiana y además, empezaron a surgir nuevas
civilizaciones a lo largo de la costa del mar
Mediterráneo. A este progresivo cambio en los
principales centros de las civilizaciones se le conoce
como Edad Talásica (800 a.C.- 800 d,C.).
A principios de este periodo una nueva civilización se
estaba preparando para ser la heredera de la
hegemonía cultural del Mediterráneo, los helenos. Por
ello, a la primera etapa de la Edad Talásica se la llamó
época helénica. Este pueblo procedente del norte,que
se asentó a orilas del mar Egeo, vino desprovisto de
cultura, pero con grandes ansias de aprender.
Los griegos en menos de cuatro siglos, de Tales de
Mileto a Euclides, muchos de ellos rivales de ciudadeso de escuelas, construyeron un imperio invisible y único
cuya grandeza perdura hasta nuestros días, este logro
se llama M atem áticas.
La matemática griega se ha desarrollado en tres etapas
fundamentales, cuyas principales figuras son
Pitágoras, Platón y Euclides. Cada uno de ellos aportó
una singularidad esencial. Euclides fue el sintetizador
de todos los conocimientos precedentes; su obra Los
Elementos se conviritó en canónica y paradigmática, y
como tal ha marcado una pauta a lo largo de veintidós
siglos. La figura central en todos los sentidos fue
Platón, se ocupó de crear un entorno académico donde
se potenciaron de forma extraordinaria lo estudios
geom étricos. Y finalm ente Pitágoras, pionero
instaurador de la tradición matemática griega y artífice
de los fundamentos filosóficos e ideológicos de la
Matemática. La tradición matemática de la escuela de
Pitágoras es recogida por Platón para ponerla en
manos de Euclides, que en la compilación de Los
Elementos creó un modelo estructural paradigmático.
Los Elem entos es un com pendio, en lenguaje
geom étrico, de todos los conocim ientos de la
matemática elemental, es decir, por una parte la
geometría sintética plana (puntos, rectas, polígonos y
círculos) y espacial (planos, poliedros y cuerpos
redondos); y por otra parte, una aritmética y un
álgebra, ambas con una indumentaria geométrica. Así
pues Los Elementos de Euclides son una exposición
en orden lógico de los
fundamentos de la matemática elemental; y por su
valor didáctico y su carácter de síntesis, ha sido
utilizado como manual escolar hasta no hace mucho
tiempo.
La obra de Euclides está formada por trece libros, de
los cuales el Libro II y el V son casi completamente
algebraicos; pero a diferencia de nuestra álgebra actual,
que es simbólica, el álgebra de Los Elementos es un
álgebra geométrica.
La matemática griega no se mantuvo uniforme a un
nivel alto, sino que el glorioso periodo del siglo III tuC.
fue seguido por una época de decadencia que quizá
mejoró un poco con Ptolomeo, pero que no se recuperó
hasta la «Edad de Plata» de la matemática griega, en
torno al siglo que va del año 250 al año 350
aproximadamente. A comienzos de este periodo,
conocido también como la Edad Alejandrina Tardía,
nos encontramos con el más importante de todos los
algebristas griegos, Diofanto de Alejandría .
Diofanto ha sido llamado muchas veces el pad re
del álgebra pero muchos le reniegan este título ya
~ B fliff m n c i o x u s i z v i i i x o s )
que a pesar de que en cuestiones de notación sin duda
se lo merece, en términos de las motivaciones y los
conceptos desarrollados esta pretensión resulta menos
justificada. Su libro más importante es Aritmética,
colección de unos 150 problemas sobre aplicaciones
del álgebra. Según dice Diofanto, la Aritmética
comprende trece libros, pero sólo conservamos seis de
ellos procedentes de un manuscrito del siglo X III que
es una copia griega de otro más antiguo y de versiones
posteriores. En ellos no hay ningún desarrollo
axiomático ni tampoco se hace ningún esfuerzo por
calcular todas las soluciones posibles, en el caso de las
ecuaciones de segundo grado con dos raíces positivas
se da solamente la mayor.
La gran innovación de D iofanto está en que
manteniendo aún en los enunciados algebraicos la
forma retórica de la estructura de la frase, sustituye
con abreviaturas una serie de magnitudes, conceptos
y operadores frecuentes, es decir, inicia el « álgebra
sincopada».
En un problema de la Aritmética que se explica a
continuación se puede observar el método que utiliza
de forma sistemática Diofanto. Para calcular dos
números, tales que su suma sea 20 y la suma de sus
cuadrados 208 , los números desconocidos no se
representan por x e y , sino por lo que en nuestra
notación moderna sería 10 + x y 10-x , entonces se
tendrá que verificar únicamente que:
(10 +x)2 + (10 - x ) s —208 , luego» =2 ylosnúmeros
buscados son 8 y 12.
En su libro, Diofanto no establece ninguna distinción
entre los problemas determinados e indeterminados,
en estos últimos sólo da una de las infinitas soluciones.
En el problema indeterminado siguiente se ve como
usa el mismo método para resolverlo que en el
problema determinado anterior:
se pide calcular dos números tales que al sumar
cualquiera de ellos con el cuadrado del otro da siempre
como resultado un cuadrado perfecto ; éste es un
ejemplo claro de problema de análisis diofántico, en el
que sólo se admiten como soluciones aceptables
números racionales. Para resolver el problema,
Diofanto llama a los números buscados x y 2x + l , de
forma que al añadir el segundo al cuadrado del primero
dará un cuadrado perfecto cualquiera que sea el valor
atribuido a x. Pero se exige además que (2 x + l)* +x
también sea cuadrado perfecto, y llegados a este punto
Diofanto no se preocupa en buscar las infinitas
soluciones posibles, sino simplemente elige un
cuadrado perfecto, en este ejemplo concreto es el
número (2x - 2)2 tal que al igualarlo a (2x + l ) 2 + »
resulta una ecuación lineal en *, de la que se obtiene
__________________________________________________________— ^ ________ -mmmmm____________________________________________ ___________
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que x =3113 , luego el segundo número buscado
será x =19113. Ahora bien, se podía haber utilizado
(2x - 3)* ó (2x - 4)* u otra expresión análoga en vez
^ *
de (2x - 2) para obtener otro par de núnferos distintos
con k misma propiedad .
Uno de los planteamientos que utiliza Diofanto que se
puede acercar un poco a lo que llamamos «método» es
que él en vez de manejar un sistema de dos ecuaciones
simultáneas en dos incógnitas, opera con las
condiciones sucesivas de manera que solo aparezca una
única incógnita a lo krgo de todo el proceso.
Actualmente no se sabe cuántos de los problemas de
la Aritmética son originales de Diofanto y cuántos tomó
prestados de otras colecciones análogas, ya que es muy
probable que algunos de los problemas y de los métodos
se puedan rastrear hasta sus orígenes babilónicos, que
a diferencia de sus algebristas Diofanto utiliza números
abstractos y no unidades de medida para determinar
a las incógnitas.
No obstante, Diofanto ha tenido una influencia mucho
mayor sobre la teoría de números moderna que
cualquier otro algebrista no-geométrico griego.
ANTIGUA CIVILIZACIÓN CHINA
Las civilizaciones china e hindú se remontan a lo que
6e conoce hoy en día com o Edad Potámica. La
civilización china tuvo su cuna en la cuenca de los ríos
Yangtze y Amarillo y el primer imperio chino data del
año 2750 a.C ., aunque algunos historiadores creen
que estuvo más cerca del año 1000 a.C.
La tarea de fechar los documentos matemáticos chinos
no es fácil. Por ejemplo, las estimaciones que se han
hecho acerca del Chou Pei Suan Chinga escrito en
forma de diálogo entre un príncipe y su ministro que
está considerado en general como el texto chino más
antiguo de contenido matemático, difieren entre sí en
casi mil años, ya que se le atribuyen varios autores de
distintas épocas comprendidos entre 1200 a .C . y
300a.C. donde ^n esta última fecha, esta obra,
coincidiría con otro tratado m atem ático muy
importante Chui-chang suan-sku o los Nueve
Capítulos sobre el Arte Matemático, poco antes de la
dinastía Han (200 a.C.- 220 a.C.). Esta obra ejerció
una gran influencia en los libros matemáticos chinos
posteriores; incluye 246 problemas sobre agrimensura,
agricultura, im puestos, cálculo, resolución de
ecuaciones y propiedades de los triángulos rectángulos.
En muchos casos la resolución de problemas conduce
a sistemas de ecuaciones lineales utilizando números
positivos y negativos.
Los Nueve Capítulos nos recuerdan en cierta manera
a la matemática egipcia por su uso del método de la
«falsa posición», pero lo cierto es que la invención de
este procedimiento, lo mismo que el origen de la
matemática china en general, parece haber sidoindependiente de toda influencia occidental.
Mayor interés histórico y matemático despierta el
SSu-yüanyü- Chien o «Espejo Precioso de los Cuatro
elementos» escrito por Chu Shih- Chieh en 1303. Los
cuatro elementos a los que se refiere el título, que son
el cielo ,1a tierra el hombre y la materia, representan
las cuatro incógnitas de una ecuación. Este libro marca
la cota más alta que alcanzó el desarrollo del álgebra
china, y en él se estudian tanto sistemas de ecuaciones
simultáneas como ecuaciones individuales de grados
tan altos como catorce. Chu Shih-Chieh explica un
método de transformación para ecuaciones, que él
llama el fan fa y cuyo fundamento debe de haber
aparecido en China mucho tiempo atrás. Este método
suele conocerse en occidente con el nombre de «método
de Homer», matemático que vivió medio milenio más
tarde, y consiste en evaluar de manera eficiente
polinomios de una forma monomial.
Un ejemplo que vienen el libro de Chu Shih-Chieh para
resolver la ecuación x 2 + 252x - 6292 = 0 es :
obtene en primer lugar por tanteo la aproximación
x =19t lo que significa que la ecuación tiene una raíz
entre x =19 y x =20 , a continuación utiliza el fan fa,
en este caso la transformación y = x -1 9 para obtener
la ecuación y +290y - 143 = 0 con una raíz entre
y =0 e y = 1 . El valor aproximado de la raíz buscada
de esta última es y = 143/(1+290) y por tanto el
correspondiente valor de x. En algunos casos Chu
Shih-Chieh obtiene aproximaciones decimales de las
raíces.
El llamado «método de Homer» era bien conocido en
China ,ya que por lo menos otros matemático del
periodo Sung (960-1224) tardío hicieron uso de
procedimientos análogos. Uno de ellos fue Ch’in Chiu-
Shao (1202-1261) donde su obra Shu-Shu Chiu-
Chang o «Tratado matemático en nueve secciones»
marca el punto culminante del análisis indeterminado
chino con la invención de reglas rutinarias para
resolver sistemas de congruencias simultáneas, y el
cálculo de la raíz cuadrada por etapas, paralelamente
a lo que se hace en el «método de Homer».
LA CIVILIZACIÓN HINHÚ
Las excavaciones arqueológicas que se han realizado
en Mahenjo Daro (valle indio que aguardó una gran
población) muestran la existencia dé una vieja
civilización con un alto nivel cultural, contemporánea
de los egipcios, pero de la cual no existe ningún
documento matemático de aquella época. Un milenio
r j g m r j g o j > £ / # : # : . y o . j v ______________
más tarde, el país fue ocupado por los invasores arios,
procedentes de las altiplanicies de Irán, quienes
introdujeron el sistema social de castas y desarrollaron
la literatura sánscrita.
En el caso de la matemática hindú, nos encontramos
con una sorprendente falta de continuidad. Las
importantes contribuciones matemáticas se han
realizado en periodos separados por largos intervalos
de tiempo.
La primera época matemática se conoce como el
periodo de los Sulvasutms o «regla de la cuerda», que
terminó hacia el siglo II d.C . Este nombre hacía
alusión a la operación de extender o tensar las cuerdas
para efectuar mediciones y guardar los datos obtenidos
según unas reglas marcadas. Estos conocimientos
geométricos, algo prim itivos, sirvieron para la
planificación de templos y construcciones de altares.
La segunda época de la matemática hindú, conocida
también como el «periodo alto», abarca desde el año
200 d.C. al año 1200 <LC. Este periodo es el más
importante, especialmente en lo referente al álgebra
hindú, ya que ésta alcanzó su plenitud gracias a cuatro
destacados matemáticos:
Aryabhata (nacido el 476)t Brahmagupta (nacido el
598), Mahavira (siglo IX) y Bhaskara (1114-1185).
Muchos de sus trabajos, y en general los de los
matemáticos indios, estaban m otivados por la
astronomía y la astrología, de hecho la mayor parte
del material matemático aparece en capítulos de libros
de astronomía.
La primera obra que se conoce de este periodo fue la
del matemático Arybhata: Aryabkatiya, libro bastante
análogo a los Elementos de Euclides. Ambas obras son
recopilaciones de desarrollos anteriores compiladas por
un único autor. Pero a diferencia de los Elementos,
Aryabkatiya está compuesta por 123 estrofas métricas
y no tiene ninguna relación con la metodología
deductiva.
Uno de los grandes progresos de la matemática hindú
en la rama del álgebra fue el uso de abreviaturas de
palabras y algunos símbolos para describir las
operaciones. Como en el caso de Diofanto, no había
ningún símbolo para la adición, una tilde sobre el
sustraendo indicaba sustracción, otras operaciones se
designaban con palabras clave o abreviaturas. Por
ejemplo ¿a, de la palabra «karama» indicaba raíz
cuadrada. Para las incógnitas utilizaban palabras que
denotaban colores. Este simbolismo aunque no era
exhaustivo, es suficiente para que se pueda clasificar
el álgebra hindú como cuasisimbólica, y en realidad lo
era más que el álgebra sincopada de Diofanto. Los
problemas y sus soluciones correspondientes se
9 B K M C H K X K S KUKUVOS}
escribían en este estilo cuasisimbólico, y sólo se daban
los pasos y no iban acompañados de justificaciones ni
demostraciones.
Los indios sabían que las ecuaciones cuadráticas tenían
dos raíces e incluían las negativas y las irracionales.
Los tres tipos de ecuaciones cuadráticas
ax2 + bx = c , a x2= bx + c , a x2+ c ~bx con a, b, c
positivos estudiados por D iofanto de manera
independiente, fueron tratados por dos de los
m atem áticos hindúes antes m encionados,
Brahmagupta y Bhaskara, como un solo caso:
A
p x + q x +r =0 porque admitían que algunos
coeficientes podían ser negativos. Para ello utilizaban
el método de completar cuadrado.
En las ecuaciones indeterminadas avanzaron más allá
que Diofanto. Estas ecuaciones surgieron en problemas
de astronomía, las soluciones mostraban cuándo
ciertas constelaciones habían aparecido en el
firmamento. Brahmagupta y Bhaskara consideraban
todas las soluciones enteras, mientras que Diofanto
tomaba una única solución racional. El procedimiento
para obtener las soluciones enteras de a x ± bx =c
donde a, b y c son números enteros positivos era la
siguiente: ellos sabían que para que la ecuación tuviese
soluciones enteras, a y b debían dividir a e, y además
Brahmagupta descubrió que si a y ó eran primos entra
sí, todas las soluciones de la ecuación vendrían dadas
por las fórmulas x =p+m& e y —q -m a , donde m es
un número arbitrario.
Brahmagupta también estudió la ecución diofántica
cuadrática x* = l+ p y 2 , la cual recibe el nombre
erróneo de ecuación de J. Pell (1611-1685) ,y su colega
Bhaskara resolvió algunos casos particulares.
Bhaskara, último matemático medieval importante en
la India, plasmó las contribuciones hindúes anteriores
a su época , en especial los problemas planteados por
Brahmagupta, en su tratado más conocido, el Lilavati
(título que toma del nombre de su hija) y en otra obra
menos conocida llamada Vija-Ganita.
LA CULTURA ÁRABE
La península arábiga estaba habitada en el siglo VI
por nómadas del desierto, los beduinos, que no sabían
leer ni escribir. En esta época apareció el profeta
Mahoma, quien en medio siglo consiguió formar un
estado «mahometano» con centro en La Meca. En el
año 622 muere Mahoma, pero esto no entorpece la
expansión de la cultura islámica. En unos veinte años
conquistan Damasco, Jerusalén y Alejandría; el valle
mesopotámico está bajo su mandato.Y en el siglo VIII
ocupan España y Marruecos. Esto, crea una pequeña
fisura entre los árabes de Oriente y los de Occidente,
1A 2012]
por lo que nos damos cuenta que su unidad era más
económica y religiosa que política.
Su despertar intelectual fue gracias al califa Al-Mamun
quien ordenó traducir todas la obras griegas existentes
al árabe y fundó la Casa de la Sabiduría en Bagdad,
donde los miembros de esta especie de universidad
estudiaban las obras antiguas e investigaban en el
terreno científico.
A M l' M L W A M M . 1 0 A L - U i l l ' . U t l Z f f f f7 M . S S 0 )
Uno de los matemáticos que trabajaron por instaurar
un lenguaje matemático universal y válido, fue Abu
J a 9fa r M uham m ad ibn M usa A l-K hw arizm i
(780-850), nacido en Bagdad, mediante una obra
escrita en el año 830 y llamada Hisab-cd-jabr-wa-al-
muqabala. El título traducido significa “ libro sobre las
operaciones abr (restablecim iento) y qabala
(reducción)” . En honor a su nombre y su labor, hoy
llamamos álgebra a esta parte de las matemáticas.
Al-Khwarizmi, fue un gran traductor de textos hindúes
y griegos por lo que parece natural pensar que parte
de su obra fuera debida a estos pueblos.
En Hisab-al-jabr-wa-al-muqabala se introducían en
una primera parte las operaciones a efectuar para el
traslado de términos de un miembro a otro en una
ecuación (al-jabr). La segunda parte estaba dedicada a
la reducción de términos semejantes en una ecuación
(al-qabala).
P O R E JE M P L O :
x + 2 = 3 + 2 - 2 = 3 - 2 => x = 1 (transformación
por al-jabr)
x* - 5x* = - 4x* (transformación por al-qabala)
Además en dicho libro se contenían las resoluciones
sistemáticas de las ecuaciones de primer y segundo
grado de la forma: a x = 6
ax2 = b
a
ax = bx
x*+bx = a
x* + a = bx
bx + a = x 1
y las soluciones de determinadas ecuaciones en forma
geométrica.
Las aportaciones de Al-Khwarizmi fueron vitales ya
que los textos árabes y mediavales posteriores a él se
vieron claramente influidos por su notación y los
términos álgebra (que procede de la primera parte al-
jabr del libro Al-Khwarizmi) y algoritmo (que procede
del propio nombre de Al-Khwarizmi y cuyo significado
actual es el de sistema de cálculo producido por reglas
estrictamente determinadas y que conducen a la
solución) quedaron absolutamente arraigados en las
matemáticas a partir de este matemático.
Las obras del musulmán Al-Jwarizm i fueron
fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del
álgebra. Al - Jwarizmi investigó y escribió acerca de
los números, de los métodos de cálculo y de los
procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones
y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio
origen a la palabra algoritmo que, usada primero para
referirse a los métodos de cálculos numéricos en
oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquirió
finalmente su sentido actual de «procedimiento
sistemático de cálculo». En cuanto a la palabra álgebra,
deriva del título de su obra más importante, que
presenta las reglas fundamentales del álgebra, Al-jabr
wat muqabala.
El conocimiento de la obra de Al-Khwarizmi a través
de la primera traducción de Roberto de Chester en
1145 y de otros textos árabes posteriores, influyó
decisivamente en matemáticos como Leonardo de Pisa
(1170-1240), apodado Fibonacci, quien introdujo un
álgebra algo mejorada en Italia así como el sistema de
numeración decimal hindú mientras que, algo más
tarde, Robert Recordé (1510-1558) lo hizo en su país,
Inglaterra, con su libro Whetstone o f Witte publicado
en 1557.
En el siglo X vivió el gran algebrista musulmán Abu
Kamil, quien continuó los trabajos de Al-Jwarizmi y
cuyos avances en el álgebra serían aprovechados en el
siglo XIII por el matemático italiano Fibonacci.
Al álgebra contribuyeron antes que nada con el
nombre. La palabra álgebra viene de un libro escrito
en año 830 por el astrónomo Mohamed ibn Musa
al-Khowarizmi, titulado Al-jabr w ‘al muqábala, que
significa restauración y simplificación.
Como ya hemos dicho, a veces se le llama a Diofanto el
padre del álgebra, pero según muchos este título se le
aplicaría mejor a Al- Khowarizmi. Aunque sea verdad
que al menos en dos aspectos la obra de Al-Khowarizmi
representa un retroceso respecto a la de Diofanto : es
de un nivel mucho más elemental y el álgebra de Al-
Khowarizmi es completamente retórica, sin ninguna
de las sincopaciones que se encuentran en la Aritmética
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de Diofanto o en la obra del matemático hindú
Brahmagupta. Aunque es probable que Al-Khowarizmi
hubiese estado familiarizado con las obras de estos dos
matemáticos.
EUROPA MEDIEVAL
Tras la caída del imperio romano en el año 476, Europa
comienza una nueva etapa, conocida como Edad Media
que finalizaría a principios del siglo XIV.
El punto de arranque de las matemáticas en Europa
fue la creación de los centros de enseñanza. Con
anterioridad, tan solo algunos monjes se habían
dedicado a estudiar las obras de carácter matemático
de los antiguos. Uno de los primeros centros de
enseñanza fue organizado en Reims, ciudad francesa,
por Gerberto (Silvestre II) a finales del siglo X.
Gerberto, fue posiblemente el primero de Europa que
enseñó el uso de los numerales indo-arábigos. Sin
embargo, hubo que esperar a que los musulmanes
rompieran la barrera lingüística, hacia el siglo XII,
para que surgiera una oleada de traducciones que
pusiera en marcha la maquinaria matemática. Tras
estas traducciones en árabe, entra en escena el
importante papel que desempeñaron los traductores
españoles, ya que éstos a su vez tradujeron las obras
del árabe al latín, permitiendo su difusión por Europa.
Uno de los traductores más importantes fue Gerardo
de Carmona (1114-1187), quien tradujo del árabe los
Elementos de Euclides, el Almagesto de Ptolomeo y el
Algebm de Al-Khowarizmi.
IjOs principales centros en los que se desarrolló este
punto de arranque matemático en Europa fueron las
universidades de Oxford, París, Viena y Erfurt (estas
dos últimas fundadas en los años 1365 y 1392
respectivamente).
Cabe destacar a tres matemáticos del siglo XII y XIII
procedentes de sectores sociales muy distintos, que
contribuyeron a popularizar el «algorismo»:
’A lexandre de Villedieu fue un franciscano francés
que escribió Carmen de algoritmo, una obra lírica en
la que se describen con detalle las operaciones
fundamentales con los enteros utilizando los
numerales hindú- arábigos y considerando al cero como
un número.
-John de H alifax (1200-1265) conocido también
como Sacrobosco, fue un maestro inglés que contribuyó
con su obra Algorismus vulgaris, manual práctico de
cálculo que rivalizó en popularidad con su otra famosa
obra: Sphaera, un tratado sobre astronomía que se
usó en las escuelas a lo largo de la Edad Media tardía.
-Y el tercero y más importante fue Leonardo de Pisa
ÍEngi_____________ eom cm oxi: » n irn txosi
(1170 - 1250), más conocido como Fibonacci o «hijo
de Bonaccio». Fue educado en África y viajó
extensamente por Europa y Asia Menor, gracias a lo
que pudo aprender el sistema de numeración indo-
arábigo. En 1202, Fibonacci escribió su Liber Abaci
(el libro del ábaco), un tratado muy completo sobre
métodos y problem as algebraicos en el que se
recomienda con gran insistencia el uso de los
numerales hindú-arábigos.
El Liber Abaci no es un libro cuya lectura resulte
precisamente gratificante al lector moderno porque
explica los procesos algorítmicos o aritmético usuales,
incluida la extracción de raíces en problemas de
transacciones comerciales, utilizando para ello un
complicado sistema de fracciones al calcular los
cambios de moneda .No deja de ser una de ser una de
las ironías más notables de la historia que la principal
ventaja del sistema de notación posicional, es decir, su
aplicación a las fracciones, pasase casi desapercibido a
los que utilizaron los numerales indo-arábigos durante
los primeros mil años de su existencia.
Tanto en el Liber Abaci como en su trabajo posterior:
Liber Quadratorum (1225), Leonardo se ocupó del
álgebra. Siguió a los árabes en usar palabras en lugar
de símbolos y basar el álgebra en métodos aritméticos.
Expuso la solución de ecuaciones determinadas e
indeterminadas de primer y segundo grado, así como
de algunas ecuaciones cúbicas. Al igual que Khayyam
(matemático árabe), creía que las ecuaciones cúbicas
no podían ser resueltas algebraicamente.
La característica nueva más significativa del trabajo
de Leonardo es la observación de que la clasificación
de Euclidesde los irracionales en el libro X de los
Elementos no incluía todos los irracionales. Fibonacci
mostró que las raíces de la ecuación :
A 9
x +2x +10x —20 no pueden construirse con regla y
compás. Esta fue la primera indicación de que el
sistema de números contenía más de los que permitía
el criterio griego de existencia basado en la
construcción mencionada.
Pero a pesar de todo, Fibonacci quedaría inmortalizado
por la famosa sucesión que lleva su nombre y su no
menos conocido «problem a de los conejos ».
RENACIMIENTO
Durante los siglos X V y X V I hubo un vasto
movimiento de revitalización de la cultura en Europa
Occidental. El nombre de Renacimiento es debido a
que se retomaron los elementos de la cultura clásica
tanto en el ámbito del arte como en el estudio de los
científicos antiguos. El invento de la imprenta ayudó
notablemente a que este movimiento cultural pudiese
expandirse de una manera rápida por toda Europa.
Los matemáticos del Renacimiento prepararon el
terreno para el resurgir del estudio matemático en
Europa mediante las traducciones de los trabajos
griegos y árabes y los trabajos enciclopédicos de
compilación del conocimiento existente. Pero las
motivaciones y direcciones de las creaciones
matemáticas surgieron principalm ente de los
problemas tecnológicos y científicos. Pero hubo algunas
excepciones, como es el caso del crecimiento del
álgebra.
Ya en el siglo XV Regiomontano fue el matemático que
más enriqueció el álgebra, su rama de las matemáticas
favorita, aunque su influencia se vio limitada por su
adhesión a la forma de expresión retórica y por su
temprana muerte. Después de su fallecimiento, sus
manuscritos fueron a parar a las manos de otro
matemático, Nuremberg, quien no logró hacer
accesible la obra de Regiomontano en los años
posteriores. Así, Europa continuó aprendiendo su
álgebra de form a lenta dado a la escasez de
traducciones que discurrían por las universidades y el
poco interés que mostraban muchos humanistas por
las ciencias.
Hasta la aparición del Ars Magna de Cardano en 1545,
no hubo en el Renacimiento desarrollos trascendentes
en álgebra. Sin embargo, merecen ser mencionadas
algunas obras que contribuyeron a que esta rama de
las matemáticas no quedase en el olvido.
El trabajo de un fraile italiano llamado Luca
Paciolif1445-1514), su principal publicación es la
Summa , una recopilación de material de cuatro
campos distintos: aritmética, álgebra, geometría
euclídea y contabilidad de doble entrada. Fue escrita
en lengua vernácula y la parte dedicada al álgebra
incluye las soluciones de las ecuaciones lineales y
algunas soluciones de las cuadráticas. Su álgebra es
retórica; sigue a Leonardo y a los árabes al llamar a la
incógnita la «cosa» y, al cuadrado de la incógnita
«census», que a veces abrevia como «ce» o «Z»; el cubo
de la incógnita, «cuba», se presenta a veces como «cu»
o «C. Al escribir ecuaciones, cuyos coeficientes son
siempre numéricos, coloca los términos en el lado que
permite la utilización de coeficientes positivos y sólo
da las raíces positivas. La parte del libro dedicada al
álgebra termina con la observación de que la solución
de las ecuaciones
x3 +mx =/j y x 3 +n =77tx son tan imposibles como
la cuadratura del círculo. Gracias al amplio
conocimiento disponible en el libro, fue más usada de
lo que le correspondería por su originalidad.
A parte de la innegable influencia de Italia durante el
L 1 E X C irjw M H A 2012)
despegue cultural del siglo XV y XV7, en otros lugares
Europeos no se quedaron rezagados. En Alemania los
libros de álgebra publicados llegaron a ser tan
numerosos que durante algún tiempo se impuso en
casi toda Europa el uso de la palabra alemana «coss»
para designar a la incógnita y el álgebra misma vino a
llamarse «el arte cósico» o «arte de la cosa». Entre la
numerosas álgebras germánicas cabe destacar la Die
Coss , escrita en 1524 por el famoso matemático
alemán Adam Riese (1492-1559). Este autor fue el
más influyente de los matemáticos alemanes por su
tendencia de reemplazar los viejos métodos de cálculo
basados en el uso de cuentas o fichas, o bien de los
numerales romanos, por los nuevos métodos utilizando
pluma y los numerales hindú-árabes. Sus numerosos
textos de aritmética resultaron ser tan efectivos que
aún se usa en Alemania la frase «Nach Adam Riese»
com o un elogio a la exactitud en los cálculos
aritméticos. Riese menciona también en su Die Coss
el Algebra de Al-Khowarizmi y cita además a un cierto
número de predecesores alemanes en este campo.
Entre ellos se encuentran la Coss (1525) de Christoph
RudolfT, el Rechnung (1527) de Peter Apian y la
Aritmética integm (1544) de Michael Stifel.
La primera obra es importante por ser uno de los
primeros libros impresos que hace uso de las fracciones
decimales, así como del símbolo moderno para las
raíces; la segunda es notable por el hecho de que en
ella en una aritmética comercial a fin de cuentas,
aparece impreso en la portada el llamado «triángulo
de Pascal», casi un siglo antes del nacimiento de Pascal.
Y la tercera de las obras que se ha mencionado,
Aritmética integra, fue la más importante de las tres,
trata los números negativos, la raíces y las potencias.
Mediante el uso de los coeficientes negativos en las
ecuaciones, Stiffel pudo reducir la multiplicidad de
casos de ecuaciones cuadráticas a una forma única,
pero como contrapartida tenía que explicar por medio
de una regla especial cuándo usar el signo + y el signo
- . Para las sucesivas potencias de la cantidad incógnita
en álgebra, propuso utilizar una letra única para
representar la incógnita, y repetir dicha letra para las
potencias más elevadas de la incógnita tantas veces
como indique la potencia en cuestión.
Stiffel daba en su obra muchos ejemplos que conducían
a ecuaciones cuadráticas , pero ninguno de sus
problemas conducía a una ecuación cúbica, por la
sencilla razón de que no había nada más sobre la
resolución algebraica de las cúbicas que lo que sabían
Pacioli o Khayyam.
Sin embargo en al año 1545 se divulgó la solución no
sólo de la ecuación cúbica, sino también de la cuártica,
gracias a la publicación del Ars Magna de Jerónimo
19
J£ TV 13 K IH C iO W iS KIJBÍÑO&
Cardano (1501-1576) .Un avance tan sorprendente e
inesperado com o éste produjo un im pacto tan
importante en el mundo de los algebristas, que el año
1545 se suele consideras a menudo como el que marca
el comienzo del periodo moderno en la matemática.
No obstante, Cardano afirma en su libro que no fue el
descubridor original de la solución de la ecuación cúbica
ni de la cuártica. La sugerencia para resolver la cúbica
la obtuvo de Niccolo Tartaglia (1500-1557), que a su
vez obtuvo la idea de Scipione del Ferro (1465 -1526)
un profesor de matemáticas que nunca llegó a publicar
la solución, sino que se la reveló antes de su muerte a
uno de sus alum nos, Antonio María Fior, un
matemático mediocre. Mientras, la solución de la
cuártica fue descubierta por primera vez por el antiguo
secretario de Cardano, Ludovico Ferrari (1522-1565).
Sea como fuere, estos desarrollos abrieron las puertas
a muchos otros hallazgos matemáticos en los siglos
posteriores.
En el Ars M agna aparece además el genial
descubrimiento de que un polinomio es divisible por
los factores del tipo ( x - a ) donde a es raíz del
polinomio, aunque no se da ninguna demostración.
Una de las consecuencias más importantes tras la
publicación del Ars magna fue que la solución de la
ecuación cúbica condujo a las primeras consideraciones
significativas acerca de un nuevo tipo de número.
Tuvieron que aceptar la existencia de los número
irracionales y de los números negativos, pero estos
últimos presentaban más dificultades ya que no se les
podía aproximar por números positivos a diferencia
de los irracionales que podían ser aproximados
fácilmente por números racionales. Cardano se
encontraba a menudo con el problema de que la
fórmula pararesolver ecuaciones cúbicas le conducía
a raíces cuadradas de números negativos.
Ante este problema, otro importante algebrista italiano
Rafael Bombelli (1526-1573) tuvo una genial idea,
como los dos radicandos bajo las raíces cúbicas que
aparecen en la fórmula final solo difieren en un signo,
Bombelli imaginó que los radicales mismos podían
estar relacionados entre sí de la misma manera que lo
están los radicandos; es decir, lo que ahora nosotros
denominaríamos como complejos conjugados. Pero
Bombelli se encuentró con que necesitaba conocer de
antemano una de las raíces de la ecuación, y 6Ín tal
conocimiento previo su planteam iento fallaba.
Bombelli plasmó todas sus ideas en su obra postuma
Algebra.
Uno de los avances más significativos en el álgebra
durante el siglo XVI fue la introducción de un mejor
simbolismo, lo que hizo posible hacer una ciencia del
álgebra. Los símbolos + y - fueron introducidos por
los alemanes en el siglo XV para denotar excesos y
defectos en los pesos de cofres y arcas; el símbolo &
para la multiplicación lo introdujo William Oughtret
y el símbolo = fue obra de Robert Recordé, matemático
en Cambridge, donde escribió un tratado sobre el
álgebra, The Whet-stone o f Witte; en él decía que no
conocía dos cosas más iguales que dos líneas paralelas
y por tanto este tipo de líneas debían denotar la
igualdad.
Pero sin duda el cambio más significativo en el carácter
del álgebra relacionado con el sim bolism o fue
introducido por Frangois Viéte (1540-1603) un
abogado francés cuyo interés por las matemáticas era
puro entretenim iento y describe su In Artem
Analyticam Isagoge com o la obra del análisis
matemático restaurado. Viéte traza la línea divisoria
entre la aritmética y el álgebra y propone utilizar una
vocal para representar una cantidad que se supone en
álgebra desconocida o indeterminada, y una constante
para representar una magnitud o un número que se
supone conocido o dado. Esta distinción entre el
concepto de parámetro y la idea de incógnita fue un
paso previo a la matemática moderna.
.V "i .\ v í i ; > \ li o :* 7 . N UjiftGi»
Profrf&r»;* *■* * * '4_* » tu**
* -•-» «a n u u s i.
SIGLO i r a
Hacia el año 1575, Europa occidental había recuperado
ya la mayor parte de las obras matemáticas más
importantes de la antigüedad. El álgebra árabe no sólo
había sido asimilada, sino mejorada gracias a la
resolución de las ecuaciones cúbicas y cuárticas y el
uso de un cierto simbolismo. Por tanto Europa estaba
preparándose para la matemática del mundo moderno.
Pero este salto no hubiera sido posible sin una
excelente transición del Renacimiento al mundo
moderno.
Esto fue posible gracias a la intensa intercomunicación
que hubo entre los distintos matemáticos de este siglo,
algo que no existía desde los tiempos de Platón. Todavía
no existía ninguna organización matemática de tipo
profesional, pero en países como Italia, Francia e
Inglaterra ya había algunos científicos que estaban más
o menos organizados. En Italia estaban las Accademias
\ ^ w , MC MK m s : „ m. E l 1 * B3S3 U f j -t w -o r m i 20i2)
dei Lincei y del Cimento, en Francia el Cabinet Du
Puy y el Invisible College en Inglaterra. Además hubo
un fraile, Marin Mersenne, que se encargó de que la
información sobre nuevos hallazgos matemáticos
circulase por todo el ámbito científico con una rapidez
y eficacia inusual hasta el momento.
Este preludio a la matemática moderna viene marcado
por grandes figuras matemáticas.
El escocés John Napier (1550-1617) con su obra
Canonis mirifici logarithmorum descripto ; los ingleses
Henry Briggs (1561-1639), Thomas Harriot (1598-
1621) y William Oughtred (1574-1660), éste último
introdujo el aspa & para denotar a la multiplicación
en su libro Clavis mathematicae, y el flamenco Albert
Girad (1590-1633) quien en su obra Irwention nouvelle
adopta una notación algo singular, las potencias están
escritas con números dentro de círculos. Pero el álgebra
simbólica alcanza su madurez ocho después de la
publicación de la obra de Girad, aparece La Géométrie
de René Descartes (1596-1650), que sitúa a Francia
en el centro del mundo matemático, durante el último
tercio del siglo XVII.
Descartes comienza La Géométrie con la resolución
de problemas geométricos mediante el álgebra.
Primero muestra cóm o se pueden interpretar
geométricamente las operaciones algebraicas, incluida
la resolución de las ecuaciones cuadráticas, y a
continuación Descartes se centra en la aplicación del
álgebra a determinados problemas geométricos
formulando el planteamiento general de una manera
mucho más clara que los «cosistas» del Renacimiento.
A lo largo de los libros I y III se dedica a este tipo de
problema geométrico en el que la ecuación algebraica
resultante sólo puede contener una incógnita. El sabía
muy bien que el grado de esta ecuación final era el que
determinaba los métodos geométricos con ayuda de
los cuales podría efectuarse la construcción geométrica
pedida. Descartes comenzaba con el estudio de un
problema puramente geométrico para traducirlo a
continuación al lenguaje de una ecuación algebraica.
Él insistía en que al resolver geométricamente una
ecuación se deberían utilizar únicamente los métodos
más sencillos compatibles con el grado de la ecuación.
Para las ecuaciones cuadráticas son suficientes rectas
y circunferencias y para las cúbicas y las cuórticas
bastan las cónicas.
En el Tercer libro de La Géométrie, Descartes afirma
que una ecuación puede tener tantas raíces como el
número de dimensiones (el grado) de la incógnita ,
usando la expresión «puede tener», por considerar las
raíces negativas como falsas. Más tarde, al incluir las
raíces imaginarias y las negativas a efectos de contar
las raíces, concluyó que hay tantas como indica el
grado. Descartes en esta obra enunció sin demostración
la regla de los signos conocida como «regla de
Descartes», que afirma que el máximo número de
raíces positivas de ffx) =0 donde fe s un polinomio, es
el número de variaciones del signo de los coeficientes,
y que el máximo número de raíces negativas es el
número de apariciones de dos signos «+ » o dos signos
«-«consecutivamente. En terminología actual, la
última parte de la regla afirma que el número máximo
de raíces negativas es el número de variaciones en la
ecuación f ( -x )= 0. Esta regla fue demostrada por varios
matemáticos del siglo XVIII. Descartes también
enuncia y demuestra en este tercer libro que f(x) es
divisible por ( x - a ) con a positivo, si y sólo si a es una
raíz de f(x ) =0 y por (x+ a ) si y sólo si a es una raíz
falsa. Con este y otros resultados, Descartes establece
el método moderno de hallar las raíces racionales de
una ecuación polinómica.
En La Géométrie, introduce el principio de coeficientes
indeterminados.
Aunque Descartes usó las mejoras en la notación
algebraica , su libro no es fácil de leer, de hecho
Descartes presumía de que pocos matemáticos en
Europa podían entender su trabajo, tal vez por ello, la
difusión del empleo de ecuaciones algebraicas para
representar y estudiar curvas fue lento.
Descartes ve en el álgebra un poderoso método de guía
del razonamiento con cantidades desconocidas y
abstractas. En su visión el álgebra mecaniza la
matemática de forma que el pensamiento y los procesos
se simplifican. Por ello, propone tomar lo mejor del
álgebra y la geometría y corregir los defectos de una
con la ayuda de la otra .Así crea lo que se denominará
geometría analítica. Él fue el primero en asignar al
álgebra un lugar fundamental en el sistema de
conocimiento. Y al argumentar que una curva es
cualquier lugar geométrico que tiene una ecuación
algebraica, Descartes abrió de un solo golpe el dominio
matemático. R R S E R f l i
El otro francés importante de la época fue Pierre de
Fermat (1601-1665) que contribuyó también a la
geometría analítica y al análisis infinitesimal, aunque
su aportación más importante fue en el campode la
teoría de números, según él gracias haber leído la
Aritmética de Diofanto. Fermat formuló que no hay
números enteros positivos x , y f z tales que x3 +y3=z3;
conocida esta afirmación como «último teorema de
m^ m m c o m p m t* # tasa 15 i K S g g MCIPMUMOXES RUttiiXOfA
Fermat»Aunque desgraciadamente no dejó ninguna
demostración escrita, según él porque «el margen era
demasiado estrecho para contenerla».
SIGLO MIE LAS LUCES
El siglo XVIII fue el siglo de las «revoluciones». En
1789 estalla en Francia la conocida como Revolución
Francesa, y en otras zonas de Europa, especialmente
en Inglaterra, la llamada Revolución Industrial que
cambió profundamente la estructura social del mundo
occidental.
A pesar de la inestabilidad política en Francia, los
matemáticos franceses seguían siendo el centro de
atención de la Europa matemática, y fueron los
responsables de las principales líneas de investigación
y desarrollo matemático.
Las gran cantidad de publicaciones anteriores a la
Revolución Francesa, contribuirían un siglo después
a la aparición del álgebra abstracta.
En 1707 aparece DeAnálysis de Isaac Newton (1642-
1727); la esencia de la obra consiste en reducir
cualquier problema a la formación de una ecuación
algebraica, cuya raíz será la solución del problema. En
el libro, Newton enuncia un teorema que permite
determinar el número de raíces reales de un polinomio,
así como una regla con la que es posible dar una cota
superior de las raíces positivas. De Análysis termina
con los resultados de la teoría general de ecuaciones y
además la resolución gráfica de éstas mediante la
construcción geométrica de las raíces.
En 1646 nace, en Leipzig, Gottfried Leibniz (1646-
1716), su contribución más im portante a la
matemática, a parte de en el cálculo, lo fue en el campo
de la lógica. Lo que más le impresionaba del cálculo
era el carácter de universalidad que presentaba, y esta
misma idea fundamental, la aplicó a sus restantes
trabajos. Leibniz pretendía reducir todas las cosas a
un orden, y para reducir todas las discusiones lógicas
a una forma sistemática quería desarrollar una
«característica universal» que sirviera como una
especie de álgebra de la lógica. Además pensaba que
se podían hacer descubrimientos nuevos mediante
operaciones correctas, pero más o menos rutinarias
con los símbolos, de acuerdo con las leyes del cálculo
lógico. Su sugerencia revivió en el siglo XIX y jugó un
papel muy importante en la matemática de este siglo.
D'Alembert (1717-1783) dio una demostración,
defectuosa , del teorema fundamental del álgebra y
Clairaut en 1740 ya había publicado un texto, los
Eléments d ’algébre, que llegó a alcanzar tal
popularidad que aún se publicó una sexta edición de
él en 1801. Euler no sólo contribuyó a la teoría de
números, sino que escribió también un texto de álgebra
muy popular que se publicó en ediciones en alemán y
en ruso en San Petersburgo 1770-1772, en francés
(bajo los auspicios de D’Alembert)! 774 y en otras
muchas versiones, incluidas algunas ediciones
americanas en inglés. La excepcional calidad didáctica
del Algebra de Euler se suele atribuir al hecho de que
la dictó el autor ya ciego a un criado de escasos
conocimientos. Los libros de texto de Clairaut y Euler
se utilizaron relativamente poco en Inglaterra, en parte
debido al aislamiento matemático de Inglaterra a
finales del siglo X V III, y en parte también a que
Maclaurin y otros matemáticos habían escrito buenos
libros de texto de nivel elemental. El Treatise o f Álgebra
de Maclaurin llegó alcanzar media docena de ediciones
desde 1748 a 1796. Uno de los textos rivales de este
tratado fue el Treatise o f Algebra de Thomas
Simpson(1710-1761) quien pudo jactarse de llegar a
ocho ediciones, por lo menos en Londres de 1746 a
1809; otro, los Elements o f Algebra por Nicholas
Saunderson(1682-1739) se editó cinco veces entre
1740 y 1792.
Los textos de álgebra del siglo XVIII ilustraban de
manera clara la tendencia hacia un énfasis creciente
en los aspectos algorítmicos de la materia, mientras
que sus fundamentos lógicos permanecían aún
sumergidos en una incertidumbre considerable. La
mayor parte de los autores consideraba necesario
insistir largamente sobre las reglas que regían la
multiplicación de números negativos, aunque algunos
rechazaban de forma categórica la posibilidad de
multiplicar dos números negativos.
Ajuzgar por la aparición casi repentina de tantas obras
sobre geometría analítica a partir de 1798, se produjo
una auténtica revolución en la enseñanza. La
geometría analítica, que había permanecido eclipsada
por el cálculo durante más de un siglo, consiguió de
pronto que se le reconociera un lugar por derecho
propio en las escuelas; la paternidad de esta
«revolución analítica» hay que atribuirla
principalmente a Gaspard Monge (1746-1818). Entre
los años 1798 y 1802 aparecieron cuatro obras sobre
geometría analítica elemental, de las plumas de
Sylvestre Fran^ois Lacroix (1765-1842), Jean-Baptiste
Biot (1774-1862), Louis Puissant (1769-1843) y
F.L.Lefrangais, todas ellas inspiradas directamente por
las lecciones dadas en la École Polytechnique. Los
«politécnicos «fueron responsables de otros tantos
textos de nuevo en la década siguiente. La mayor parte
de ellos alcanzaron un gran éxito, publicándose en
numerosas ediciones. El libro de Biot llegó a cinco
ediciones en menos de una docena de años; el de
Lacroix, alumno y más tarde colega de Monge, apareció
BgH¡! m
en veinticinco ediciones en noventa y nueve años.
Lacroix se negó a utilizar el nombre de «geometría
analítica «como posible título de su libro de texto, al
que tituló Traite élémentairede tiigonométiie rectiligne
et sphérique et
application de Talgébre á la géométrie. Aunque el
nombre de «geometría analítica « había aparecido ya
de vez en cuando a lo largo del siglo XVIII, parece ser
que el primero que lo utilizó como título de un libro de
texto fue Lefranqais en una edición de sus Essais de
géométrie de 1804, asi como Biot en la edición de 1805
de sus Essais de géométrie analytique
SIGLO XIX
El siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro
periodo anterior, la Edad de Oro de la Matemática. Los
progresos realizados en el ámbito matemático durante este
siglo superan tanto en cantidad como en calidad, la
producción reunida de todas las épocas anteriores. En
1874 el dominio del análisis se ve conmocionado por la
matemática del infinito que acababa de introducir Cantor
(1845-1918), un matemático alemán que había nacido en
Rusia. Francia ya no era el centro reconocido del mundo
matemático aunque produjera la meteórica carrera de un
jovencísimo Evariste Galois (1811-1832), tuvo que
compartir este liderazgo con otros países como Alemania,
país que crea al matemático más importante de este siglo
o para muchos de la historia, Cari Friedrich Gauss (1777-
1855). El carácter internacional de la matemática también
queda de manifiesto en el hecho de que las dos
contribuciones más revolucionarias al álgebra, en 1843 y
1847 las hicieron dos matemáticos que enseñaban en
Irlanda. La primera de ellas fue obra de Sir William
Hamilton (1805-1865) y la segunda de George Boole
(1815-1864). No obstante,los algebristas más prolíficos
del siglo XIX fueron dos ingleses que vivieron parte de su
vida en Estados Unidos; se trata de Artbur Cay ley (2822-
1895) y J.J.Sylvester (1814-1897) y fue principalmente
de su alma mater, Cambrige, de donde surgió el desarrollo
del álgebra moderna.
En 1799, Gauss publica su tesis en la Universidad de
Helmstadt que lleva el título de Nueva Demostración del
Teorema Que Toda Función Algebraica Racional y Entera
de Una Variable Puede Resolverse en Factores Reales de
Primero o de Segundo Grado. Este teorema, al que más
tarde se referirá Gauss como el «teorema fundamental
del álgebra»,era conocido en su tiempo como «el teorema
de D’Alembert»; pero Gauss demostró que todos los
intentos de demostración anteriores,incluyendo los de
Euler y Lagrange, eran incorrectos. La tesis doctoral de
Gauss demostraba que toda ecuación polinómica f(x) =0
tiene al menos una raíz, ya sean los coeficientes reales o
complejos. Esta primera demostración se basa en su mayor
parte en consideraciones geométricas, lo cual no resultaba
del todo satisfactorio para nuestro genio. Por ello Gauss
publica dos nuevas demostraciones en 1816 y 1850,
L l Ei\4 f< j .o i ’idHA 2012}
intentando poder rescribir una demostración puramente
algebraica. En su primera demostración, Gauss da una
representación gráfica de los números complejos, la cual
ya había sido publicada en 1797 por Wessel pasando
desapercibida para el mundo matemático.Gauss considera
las partes real e imaginaria pura de un número complejo
a+bi como las dos coordenadas rectangulares de un punto
en el plano. El hecho de que se pudiera visualizar un
número complejo como un punto del plano, hizo que el
resto de matemáticos se sintiesen más cómodos con su
uso.
Dos años después de la presentación de su tesis, Gauss
publicó su libro más conocido, un tratado de teoría de
números en latín, Disquisitiones arithmeticae. Esta obra
es la responsable del desarrollo del lenguaje y de las
notaciones de la parte de la teoría de números conocida
como el álgebra de las congruencias. La notación que
adoptó Gauss en su obra es la misma que utilizamos en la
actualidad, 6 =c(mod a) y procedió a construir un álgebra
para la relación análoga al álgebra usual expresada en el
lenguaje de la igualdad.
Las Disquisitiones de Gauss, sirvió para que con dieciséis
años un chico noruego llamado Niels Henrik o más
conocido como Abel, mostrase un gran interés por las
matemáticas y tres años más tarde, en 1824 publicase un
ensayo titulado Sobre la Resolución Algebraica de
Ecuaciones. En su obra, Abel llega a la conclusión de la
insolubilidad de la quíntica, es decir, demuestra que no
puede existir ninguna fórmula general expresada en
términos de operaciones algebraicas explícitas que nos de
las raíces de la ecuación si el grado del polinomio es mayor
que cuatro. Sin embargo, después de este descubrimiento,
Abel sabía que había muchas ecuaciones especiales tales
como las ecuaciones binómicas xn=a , n primo, y las
ecuaciones abelianas que eran solubles por radicales. La
finalidad ahora era determinar qué ecuaciones eran
solubles por radicales. Esta tarea iniciada por Abel, fue
resulta en 1830 por el joven francés Galois con tan sólo
20 años. Galois escribió un ensayo sobre sus
investigaciones Sur les conditions de résolubilité des
équations par radicaux. Este texto le fue confiado a su
mejor amigo antes de que Galois muriera trágicamente
en un duelo a pistola. Yhasta 1846 que fue cuando Lioville
publicó y editó en el Journa l Mathématiques (revista
matemática importante de la época) algunos de estos
artículos, no se dio a conocer el magnífico trabajo del joven
francés.
El criterio aportado por Galois para la resolubilidad en
radicales de las ecuaciones polinómicas tuvo un significado
tan novedoso que se salía de los marcos del problema a
tratar. La idea central de la teoría de ecuaciones
algebraicas de Galois era la creación del concepto abstracto
de grupo. Esta idea del estudio de la estructura de los
campos algebraicos y la comparación con ellos de la
estructura de los grupos de un número finito de
sustituciones, fue la base de lo que se denomina «álgebra
moderna».
[ M T % r j ' M * 0 » M » K T 4 1 ^ 5 1 1 7 f j f i j f f i E M P M C M O l X M C S K U M t i Ñ 0 $
El trabajo de Galois sobre la solubilidad de ecuaciones
mediante procesos algebraicos cerró un capítulo del
álgebra y, a pesar de que presentó ideas tales como las de
grupo y dominio de racionalidad (cuerpo) que rendirían
fruto más tarde, la completa explotación de estas ideas
tuvo que esperar otros desarrollos. La siguiente gran
creación algebraica, iniciada por William R Hamilton,
abrió nuevos dominios, mientras rompía con viejas
convicciones acerca de cómo debían comportarse los
-números».
Para apreciar la originalidad del trabajo de Hamilton, hay
que examinar cómo se extendió la lógica del álgebra
ordinaria en la primera mitad del siglo XIX. Hacia 1800
los matemáticos empleaban con libertad los varios tipos
de números reales y complejos, pero la definición precisa
de estos distintos tipos de números no tenía ninguna
justificación respecto a las operaciones realizadas con ellas.
Las mayores inquietudes parecían estar causadas por el
hecho de que se manipulaban las letras como si tuvieran
las propiedades de los enteros, sin embargo los resultados
de estas operaciones eran válidos cuando números
cualesquiera sustituían las letras. Como no se había
realizado el desarrollo de la lógica de los diversos tipos de
números no era posible ver que estos poseían las misma
propiedades formales de los enteros positivos y
consecuentemente, que expresiones literales que
simplemente se mantenían para cualquier clase de
números reales o complejos debían poseer las mismas
propiedades. Parecía como si el álgebra de expresiones
literales poseyera una lógica en sí misma, que respondía
de su efectividad y corrección. De aquí que los matemáticos
atacaran hacia 1830 el problema de justificar las
operaciones con expresiones literales o simbólicas.
Este problema fue tratado en un principio por George
Feacock (1791-1858), quien hizo una distinción entre el
álgebra aritmética y simbólica. En su Treatise on Algebra,
justificaba gracias a lo que él denominaba álgebra
simbólica, las operaciones con expresiones literales que
podían mantenerse para números reales y complejos, es
decir quería hacer del álgebra una ciencia de símbolos sin
interpretación, con sus correspondientes leyes de
combinación.. De esta obra se derivó el principio de la
permanencia de la forma de la adopción de los axiomas.
Este enfoque allanó el camino para un pensamiento más
abstracto en el álgebra e influenció notablemente en los
desarrollos de Boole sobre el álgebra de la lógica.
En 1833 Hamilton presenta un importante artículo en la
Irish Academy, en el que introduce y estudia un álgebra
formal de parejas de números reales cuyas reglas de
combinación eran las que se dan en la actualidad para el
sistema de los números complejos. La importante regla
que definía la multiplicación de parejas era (a , b) • (a
= (aa -b ¡ } ,a p + ba)
Hamilton interpreta este producto como una operación
en la que interviene una rotación. Él se dio cuenta de que
sus pares ordenados podían interpretarse como entidades
dirigidas en el plano e intentó extender esta idea a tres
dimensiones, pasando los números complejos binarios
a+bi a las temas de números ordenados a+bi+cj. Pero
a Hamilton estas temas le crearon dificultades a la hora
de operar con ellas. Así que en 1843 averiguó que si
utilizaba cuadruplas, a+bi+cj+dk, en vez de temas estas
dificultades desaparecían. Para estas cuádruplas se debería
tomar is +js+ ks = -1 , ü szk tj i —-k , análogamente para
el resto, perdiendo la propiedad conmutativa. Sus ideas
las plasmó en su obra Lecturea on Quatemions que más
tarde ampliaría con el título Elemente o f Quatemions. Lo
fundamental del descubrimiento de Hamilton no era en
esencia este tipo particular de álgebra, sino más bien el
descubrimiento de la gran libertad de que goza la
matemática para construir álgebras que no necesitan
satisfacer las restricciones impuestas por la llamadas
-leyes fundamentales».
A mediados del siglo XIX los matemáticos alemanes
sobresalían en general por encima de los de otros países.
En cambio en lo referente al álgebra, Inglaterra estuvo a
la cabeza con el Trinity College de Cambridge y el
Cambridge Mathematical Journal como medio de
expresión. En esta universidad inglesa trabaron amistad
dos importantes algebristas G. Cayley y J. J.Sylvester.
Cayley fue uno de los primeros matemáticos en estudiar
las matrices, como peculiar forma y estructura algebraica.Definió la suma y multiplicación de matrices y la matriz
identidad.
Por su parte Sylvester consiguió eliminar una incógnita
entre dos ecuaciones polinómicas; esto es conocido en la
actualidad como -método dialítico de Sylvester». Este
método es muy sencillo y consiste en multiplicar una o las
dos ecuaciones por la incógnita que se quiere eliminar,
repitiendo el proceso si es necesario hasta que el número
de ecuaciones sea uno más que el número de potencias de
la incógnita, entonces de este conjunto den+1 ecuaciones
se pueden eliminar todas las n potencias, considerando
cada potencia como una incógnita distinta. Pero uno de
los mayores logros lo consiguió junto a su amigo Cayley
en el desarrollo de la teoría de las -formas» o -cuánticas»,
polinomios homogéneos en dos o más variables y sus
invariantes, de donde les vino el apodo de -los gemelos
invariantes».Los casos más importantes en geometría
analítica y en física son las formas cuadráticas en dos y en
tres variables, que al igualarlas a una constante,
representan cónicas y cuádricas.
Mientras tanto, Boole, otro matemático autodidacto inglés
estaba inventando otro tipo de álgebra radicalmente
diferente al de sus colegas anteriores. En 1847 publicó un
libro titulado The Mathematical Analysis of Logic en el
que afirmaba que la lógica debía estar asociada a la
matemática más bien que a la metafísica. En este libro se
expresa claramente por primera vez que la característica
esencial de la matemática no es tanto su contenido como
su -forma»; si un tema cualquiera se presenta de manera
que consiste únicamente en símbolos y reglas precisas para
operar con estos símbolos, sujeto todo ello únicamente a
una exigencia de consistencia interna, entonces este tema
constituye una parte de la matemática. En 1854 escribe
otra obra, Investigación o f the Laws o f Though; en ella
extendió y clarificó las ideas presentadas en su libro
anterior, construyendo tanto la lógica formal como un
nuevo tipo de álgebra que se conoce en la actualidad como
«álgebra de Boole»que es a la vez el álgebra de los
conjuntos y el álgebra de la lógica.
En el siglo XIX aparecía en el Journal uno de los artículos
más revolucionarios de este siglo; la publicación de
G.Cantor sobre las matemáticas del infinito. En 1874,
Cantor reconoce la propiedad fundamental de los
conjuntos infinitos, atribuida por su compañero Dedekind;
pero se dio cuenta además, de que no todos los conjuntos
infinitos son del «mismo tamaño». En el caso finito, dos
conjuntos se dicen que tienen el mismo cardinal si se
pueden poner sus elementos en correspondencia biunívoca,
así que Cantor se puso a construir de manera análoga una
jerarquía de conjuntos infinitos atendiendo a la «potencia»
del conjunto. Cantor demostró que el conjunto de los
números reales tiene una potencia mayor que el conjunto
de los números racionales; y dividió a los números reales
en dos grupos, en racionales e irracionales y en algebraicos
y transcendentes. Los sorprendentes resultados de Cantor
le llevaron a desarrollar la teoría de conjuntos como una
rama autónoma de la matemática a la que dio el nombre
de Mengenlehre (teoría de conjuntos) o
Mannigfalttigkeitsslehre (teoría de variedades o de
multiplicidades). Durante los años que Cantor puso las
bases a esta teoría, tuvo que esforzarse en convencer a
sus contemporáneos de la validez de sus resultados, ya
que había un cierto escepticismo a la hora de aceptar una
teoría sobre el infinito. Esta teoría de conjuntos o
variedades tuvo una gran influencia en la matemática de
mediados del siglo XX a todos sus niveles.
SIGLO XX
El siglo XX se ha caracterizado por las dos Guerras
Mundiales que asolaron el viejo continente, y por las
dictaduras que emergieron en Europa.
Pero estos dos hechos no hicieron entorpecer el avance
matemático que venía empujando con fuerza desde siglo
anterior.
A comienzos del siglo XX era un hecho reconocido que la
matemática era una forma de pensamiento axiomático,
en la que uno deduce conclusiones válidas de sistemas de
premisas arbitrarias. La cuestión de si los axiomas son o
no verdaderos, en el sentido científico del término carecía
de importancia; de hecho las palabras mismas con que se
expresaban los axiomas son términos indefinidos.
Pero dentro del ámbito matemático hubo dos tipos de
pensamiento distintos; por un lados los que identificaban
a la matemática con la lógica como es el caso de Russell y
por otro lado los que se inclinaban hacia una concepción
intuicionista de la matemática, como Sylvester.
t m IA e x c h j .w m l X 2012}
Un matemático decididamente intuicionista, fue Henri
Poincaré (1854-1912), que marcó una gran transición
entre los siglos XIX y XX. Poincaré no se detuvo en ningún
campo el tiempo suficiente como para completar su obra.
Pero hubo un antes y un después tras la publicación en
1895 de su Analysis Situ, en este libro se daba por primera
vez un desarrollo sistemático de una nueva rama de las
matemáticas: la Topología. En esta obra Poincaré se
adelantó a lo que sería una de las direcciones de
investigación más desarrolladas y fructíferas del siglo XX
. Aunque hay que destacar que la topología no ha sido
invención de un solo hombre, algunos problemas
topológicos se encontraban ya en las obras de Euler,
Móbius y Cantor.
Actualmente la Topología se puede subdividir a grandes
rasgos en dos ramas muy distintas: topología combinatoria
o algebraica y la topología conjuntista.
El alto nivel de abstracción formal que se produjo tanto
en el análisis como en la geometría y topología a comienzos
del siglo XX, no podía por menos que invadir el álgebra.
El resultado fue un nuevo tipo de álgebra al que se
denominó «álgebra moderna» y se desarrolló a lo largo de
la segunda mitad de este siglo. Las letras x e y ya no
representaban necesariamente números desconocidos
(reales o imaginarios), ni segmentos, ahora podían
representar objetos del cualquier tipo: sustituciones,
figuras geométricas, matrices, etc.
La transición del álgebra clásica al álgebra abstracta
durante el intervalo de la Primera Guerra Mundial a la
Segunda fue casi completa; y los artículos publicados tras
estos treinta años dan coma vencedora favorita al álgebra
abstracta.
Los conceptos fundamentales del álgebra moderna o
abstracta, de la topología y de la teoría de espacios lineales
se consolidaron entre 1920 y 1940, pero la veintena
siguiente fue testigo de una verdadera efervescencia de
los métodos de la topología algebraica, que se
transmitieron de forma rápida al álgebra y al análisis. El
resultado fue una nueva rama conocida como álgebra
homológica.
El álgebra homológica es una rama del álgebra abstracta
que se ocupa de resultados válidos para tipos de espacios
muy diferentes, una invasión de la topología algebraica
en el dominio del álgebra pura. La gran rapidez con la
que se produjo este cruce fue gracias a los artículos
publicados en el Mathematical Reviews al libro publicado
en 1956 por el francés Henri Cartan (1904-) y el polaco,
Samuel Einlenbergf'19í3- 1998), Homological Algebra.
Este proceso de abstracción y el interés creciente en el
análisis de esquemas cada vez más amplios y generales,
puede verse con una mayor claridad en la obra producida
a lo largo de la segunda mitad del siglo XX por «el
matemático» conocido como Nicolás Bourbaki. El nombre
de Nicolás Bourbaki engloba a un grupo de matemáticos
en su mayoría franceses, como Cartan, que constituían
{ju%nMK0>MrMT0 ~|Egp 19 H ilitM O AH S MllJKgJVOS)
una especie de críptica sociedad anónima. El primer
volumen de los Eléments apareció en 1939, la obra aún
no está completa, y su primera parte : Les structures
fortdamentales de l *analyse , contiene libros de Teoría de
Conjuntos y Álgebra entre otros. En los últimos años
diversos fascículos de un nivel más avanzado se han
añadido a sus Eléments.
Se dice que a partir del conocimiento del pasado uno puede
anticipar, de una manera muy general, loque puede
deparar el futuro. Pero lo cierto es que la historia de la
Matemática ha demostrado que es imposible hacer un
pronóstico significativo de lo que va a venir. De hecho,
una gráfica que represente el crecimiento de de la ciencia,
incluida la matemática, se aproxima mucho a una curva
exponencial.
SIGLO XXI
En el verano de 1801 Gauss estaba estudiando los movimientos
de la Luna, se enteró de la desaparición de Ceres y se interesó
por el asunto. Decidió utilizar un procedimiento matemático
totalmente nuevo para calcular la trayectoria de la órbita del
desaparecido planeta. Envió sus cálculos a uno de los mejores
astrónomos de la época, quien el 7 de diciembre pudo
comprobar que el trabajo de Gauss permitía redescubrir el
asteroide perdido e inmediatamente publicó el método aplicado
por el matemático con la siguiente nota: «Sin los agudos
esfuerzos y cálculos del doctor Gauss quizá no hubiéramos
vuelto a encontrar jamás a Ceres, la parte más bella del mérito
le corresponde, por tanto, a él».
El redescubrimiento de Ceres supuso para Gauss su
consagración como científico y matemático. La Unión
Matemática Internacional creó en 2002 un nuevo galardón,
el Premio Gauss para honrar a las personas cuyas matemáticas
son particularmente útiles en la práctica. Este impresionante
ejemplo de aplicación de las matemáticas inspiró el diseño de
la medalla del Premio. En el anverso se puede ver la efigie de
Gauss y en el reverso un círculo y un cuadrado conectados
por una curva, lo que representa el método de los mínimos
cuadrados con el que Gauss descubrió la órbita de Ceres. La
primera y única vez que se ha entregado el premio Gauss fue
en el ICM de 2006 en Madrid. El premiado fue Kiyosi Itó por
sus trabajos sobre la formulación y resolución de ecuaciones
diferenciales estocásticas. La integral de Itó modela carteras
de inversión en los mercados financieros, permitiendo la
asignación de precios a opciones de compra o venta en el futuro,
con independencia de las fluctuaciones de los mercados. La
moderna teoría de finanzas y el análisis de riesgos se sustentan
hoy en los trabajos de Itó, como los cálculos de Gauss lo hiciesen
en los de Newton. La teoría de Itó es matemática del siglo
XXI.
El ÁLGEBRA es la ram a de la m atem ática que
tiene p o r objeto de estudio la generalización del
cá lcu lo a r itm é tic o m ed ia n te e x p r e s io n e s
com puestas de constantes (núm eros) y variables
(letras).
Al igual que en la aritm ética, las operaciones
fundamentales del álgebra son adición, sustracción,
m ultiplicación, división y cálculo de raíces. La
aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar
las relaciones matemáticas, c< -no el teorema de
Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el
área del cuadrado que tiene como lado la hipotenusa
es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos
lados son los catetos.
La aritmética sólo da casos particulares de esta relación
(por ejemplo, 3 ; 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52).
El álgebra, por el contrario, puede dar una
generalización que cumple las condiciones del teorema:
o 2 + b2 = c*.
El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones,
utiliza símbolos en vez de números específicos y
operaciones aritméticas para determinar cómo usar
dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado
desde el álgebra clásica al poner más atención en las
estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran
al álgebra moderna como un conjunto de objetos con
reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma
más general, se dice que el álgebra es el idioma de las
matemáticas.
Etimológicamente, proviene del árabe (también nombrado por
los árabes AmucabaJa) (yebr) (al-dejaber), con el significado
de reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los
huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico
reparador de huesos).
El álgebra tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de
Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de
Cristo. Estas civilizaciones usaban primordialmente el álgebra
para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia.
Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y
teoremas , un ejemplo es el teorema de Pitágoras. Los
matemáticos más destacados en este tiempo fueron
Arquímedes, Herón y Diofante. Arquímedes se basó en la
matemática para componer su tratados de física y geometría
del espacio. Herón fue otro que se basó en ellas para hacer
algunos de sus inventos, como la primera máquina de vapor.
Diofante fue el griego que más contribuyó a esta área del
conocimiento; como principales trabajos tenemos al análisis
diofántico y la obra Las Aritméticas, que recopila todo el
conocimiento del álgebra existente hasta ese entonces.
Como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió su
dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor
del tema inicial, incorporando las teorías de los grupos
matemáticos y sus extensiones, y parte de la geometría, la
rama relacionada con los polinomios de segundo grado de dos
variables, es decir las cónicas elipse, parábola, hipérbola,
círculo, ahora incluidas en el álgebra bilineal.
El álgebra se fundió con éxito con otras ramas de la matemática
como la lógica (álgebra de Boole), el análisis matemático y la
topología
IGUALDAD
Observa loe siguientes gráficos:
.1) * o o -
I<¿1 EXCMt J. o t* a n iA 2 0 1 2 }
Determinar Aquí, si la balanza está en equilibrio
2 )
50 Años
30 Años
Aquí la suma de las edades de las personas de cada
fotografía es igual.
¿Qué de común pueden tener estos gráficos?
Pues, que en ambos casos existen datos (pesas o
personas) cuyo valor es desconocido.
0 __
A este valor desconocido se le denomina INCOGNITA.
Pensando un poquito, podrás determinar los valores
para cada caso; sin embargo,una manera sencilla de
hacerlo, es interpretado ambas situaciones como
ecuaciones, así:
* Para el primer caso tenemos:
platillo platillo
izquierdo
- -
derecho
observa que '
la incógnita 3 + 2 + 2 +2te = 3x + 3
es denotada
con la letra ux ” equilibrio de
la balanzaLuego:
5 + 4 + 2x = 3x + 3 9 *2 x = 3x + 3
=>6 = 3x-2x=>\x = 6
• Para el segundo caso:
fotografía
izquierda
fotografía
derecha
4x + 30 = 2x + 42
DEFINICIÓN DE IGUALDAD :
Es la relación o comparación que nos indica que dos
cantidades numéricas o literales tiene el mismo valor.
CLASES DE MGUAIMAD í
Se distinguen dos clases de igualdades:
\ )iO E X T iU \ D (¡G V A L A D .ID A D S O L T T A ):
Es aquella que se verifica siempre.
E JE M PLO :
• 18 + x = 18 + x
• (a + b)s = o* + 2ab + b*
.\)Et'V.\CIÓX(iGl\\L<\Dt\D C O M H C IO X .IL ):
Es aquella igualdad que sólo se verifica para valores
particulares(numéricos) atribuidos a sus letras.
E JE M PLO S:
/i* rmiem6ro2¿0miem6rof 6 v + 9 = 3
I--------1 n * J
5x - 2 = 8
Incógnita -J
x = 2
E JE M PLO :
La ecuación : x - 9 = 5
Se verifica sólo para : x =14
cfleóol*e\ Qtna Scuacián?
Para resolver una ecuación de primer grado con
coeficientes enteros, se recomienda:
1) Reducir términos semejantes (si Iob hubiera en
cada uno de los miembros de la ecuación)
2) Realizar la transposición de términos es decir al
pasar los términos de su miembro a otro de la ecuación,
estos pasan efectuando la operación inversa.
-►Lo que está «sumando» pasa «restando»
(+) (-)
x © 6 = 9 ==> x = 9 - 6 = 3
Incógnita
y = -i
Lo que está «restando» pasa «sumando»
X © 8 = 6 => X = 6 + 8 = 14
Lo que está «multiplicando» pasa «dividiendo»
3xx = 2 4 x = # = 8
[ K_T«
Lo que está «dividiendo» pasa «multiplicando»
91 MC.IIICIONES UUfíIÑOM
- = 9 x = 9 x 6 = 54
(x)
E JE M PLO :
x + 4 = x + 7 => 4 = 7 (absurdo)
No existe valor de « x » que verifique la igualdad .
U ) SEGÚN EL GRADO PUEDE SER :
3) Reducir nuevamente términos en cada miembro
y finalmente "despejar" la incógnita.
SOLUCIÓN D E UNA ECUACIÓN
Se llama así al valor de la incógnita que reemplazandoen la ecuación verifica la igualdad. Si la ecuación tiene
una sola incógnita a la solución también se le denomina
raíz .
EJEM PLO :
* x2- 9 => soluciones o raíces :
x = 3 ó x = - 3
CLASIFICACIÓN D E LA S
ECUACIONES
Grado Forma N° de Raíces
1° a x + b = 0 1
2o a#®+ b x + c = 0 2
3o a x 3 + bx2* e x + d = 0 3
4o a x 4 + b x 3+ e x 2 + d x + e = 0 4
A
i ) SEGUN SU S SOLUCIONES PUEDEN S E R :
1) ECUACIONES COMPATIBLES í
Son aquellas que aceptan por lo menos una sola*^“R E S O L U C IÓ N :
solución. ^ ^/^Simplificando : ( x - 2)
A su vez se dividen en :
O B SE R VACIO N E S :
1) Si se dividen ambos miembros de una ecuación
por una m ism a expresión que contenga a la4 _
incógnita , entonces se perderá soluciones. Esto se
puede evitar si la expresión que se divide (simplifica)
se iguala a cero .
E JE M PLO :
i Resolver : (x + 3 )( x - 2) = 4(x - 2)
DETERMINADAS Í Ü
i#
.V
r •»
Son aquellas que tienen un número limitado de
soluciones :
EJEM PLO :
tiene dos soluciones.x2- ! = 24
x - 5 ó x = - 5
B) ECUACIONES INDETERMINADAS 2
Son aquellas que tienen un número ilimitado de
soluciones.
EJEM PLO :
Resolver :
3 ( x + i > - ! = 3 x + 2
RESOL UCIÓN :
3 x + 3 - 1 = 3 x + 2
=> 2=2
Significa que la siguiente igualdad lo verifica x e IR
=* La ecuación tiene infinitas soluciones .
2) ECUACIONES INCOMPATIBLES í
Son aquellas que no tienen solución, también se les
denomina absurdas o imposibles .
=> * -2 = 0 ^ x - 2
(para no perder soluciones)
* Tendremos:
La ecuación tiene 2 soluciones x ~2 y x = l (de no
haber igualado a cero, hubiéramos perdido la solución
x —2 )
2) Si se multiplica ambos miembros de una ecuación
por una misma expresión que contenga a la incógnita
, entonces se puede producir soluciones extrañas. Esto
se puede evitar si previamente se simplifica por
separado cada miembro de la ecuación .
E JE M PLO :
* Resolver: i !____ L _ 4
x - 2
* Primero simplificamos ( x - 2 ) y tendremos
x-\-3=4 =>x = 1.
O B SE R VA C IÓ N :
Si hubiésemos trasladado (x -2) a multiplicar
, tendríamos que una solución sería x =2 , que es una
solución extraña, pues no verifica la igualdad .
3) Si se elevan ambos miembros de una ecuación a
un mismo exponente, entonces se puede introducir
9 9 1A Ei\rCM4 J^tȒCQL\ 2012}
soluciones extrañas.
EJEMPLO :
Resolver : V» + 7 - x - 7
P E S O L U C J Ó N :
* Elevando al cuadrado :
(•Jx* + 7 )* - ( x - 7 ) 2
=> x* + 7 = x * - 1 4 x + 49
=> 14 x = 42 => x ~ 3
Pero si reemplazamos x = 3 en la ecuación dada
tendremos . ----- ----
VS* + 7 = 3 -7 -> 416 a - 4
4 = - 4 (no cumple)
* Luego : x= 3 es una solución extraña , y la ecuación
es incompatible, pues no tiene solución
O B S E R V A C IÓ N :
Siempre que se potencie los 2 miembros de una
ecuación, el valor o valores obtenidos para “x ” deben
comprobarse en la ecuación dada ; pues pueden no ser
soluciones verdaderas.
ECUACIONES BE PRIMER GRADO O
LINEALES
iCON UNA SOLA INCÓGNITA)
* La ecuación lineal con una incógnita .
ax + b — 0 ; a * 0
* Tiene solución única: ^ _ b_
a
* Por tanto , para resolver una ecuación de primer
grado con una incógnita se transponen todos los
términos que contienen a la incógnita a un miembro
de la ecuación y se realizan las operaciones para el
despeje de la incógnita.
E J E M P L O :
Resolver la ecuación :
ax + b2 - a2 + ¿te ,* a * b
R E S O L U C IÓ N :
* Por supuesto, aquí se sobre entiende que la incógnita
es x y que por tanto , todas las letras representan
constantes conocidas . Entonces procedemos como
sigue;
* Por transposición : a x ~ b x — a 2 - b2
* Factorizando : (a - b)x = a ? -b ?
* Dividiendo entre (a - b) si o * b ;
x = a + b
* Comprobaremos nuestra solución por sustitución
directa de la raíz (a + b) en la ecuación original, así
tendremos . a(a + b) + b2 = a 2 + b(a + b)
* Osea la identidad :
a 2 + ab + b2 = a 2 + ab + b2
DISCUSIÓN B E LA RAÍZ í
» = ; d e ; a » + 6 = 0
1) S i : a =0 ; b = 0
2) S i: a = 0 ; b *0 ■.
3) S i: a * 0 ;b * 0 =
E JE M PLO S:
> La ecuación es indeterminada
La ecuación es incompatible
La ecuación es determinada
Resolver: 3(x - 7 ) + 5 = 2x + 4
R E S O L U CIÓ N :
* Prim ero desaparecem os los paréntesis,
multiplicando 3 por ( x - 7 ) :
3 (x -7 ) + 5 = 2x + 4
3x - 21 + 5 = 2x + 4
* Transponiendo términos:
3x-2x = 4 - 5 + 21=>x = 20
Resolver: 3x - 8 = 12
R E S O L U C IÓ N
3 x = 12 + 8 = > 3 x = 2 0
Resolver: 3(x + 2 ) = 5 x - 12
20
R E S O L U C IÓ N
3 (x + 2) — 5x - 12
o 3 x + 6 — 5 x - 12=>3x- 6x = - 1 2 - 6
18
-2 x = 9
Resolver: f - + f - = f-
ItESOL, U CIÓ N :
•Multiplicando todo por M.C.M.:(2; 3)
6x ,6x -
~ 2 + - 3 = 5
3x + 2x — 5 =>5x = 5 => x = 1
E JE M PLO 5 :
Resolver: (x + 3) 2 + 7
A) 1 B) 2 0 - 2 D)0
R E S O L U C IÓ N :
(x + 6) (x + 4)
E) 4
[ m zw m * 0pap k 7410 E s a * a i í¿¿7 E D IC IO N E S iíl/i;iiV O »]
* Primero desaparecemos los paréntesis, aplicando veremos sistemas con 2 6 3 variables.
productos notables: (* + 3 )* + 7 = (x + 6){x + 4)
* Se tiene: x + 6x + 9 + 7 iQx + 24
* Trasponiendo y agrupando términos:
9+7-28=¿*+10X -S -6x
* Reduciendo: - 8 = 4x
* Luego: -2 =x
RPTA : “C 99
Nota que se procura tener a la incógnita con el
coeficiente positivo.
NOTA I
En un viejo pergamino del “ País de las Maravillas”
apareció este dibujo con la siguiente inscripción : “Te
damos muchas pistas, para que sumando los valores
que tienen los animalitos, tanto en las filas como en
columnas , te den los números indicados.
Mira con atención y utiliza tu ingenio , ya que es más
fácil de lo que parece”
- i
káiw
s m u m
i.
L A J L A j
= 2 = 2
10 ? 1 15 1 10
Como verás , éste es un ejemplo de un sistema de
ecuaciones cuyas variables son los dibujos de cada
animalito ¿descubriste su valor?
Algebraicamente , este problema puede ser escrito
así: , * _x + y + z + iv = 1 3
2y + 2 z = 18
2x + y = 1 0
3 z = 1 5
y + * + «7 = 1 0
* Observa que para este sistema se han utilizado 4
variables: x , y , z , w , sin embargo en nuestro caso,
SISTEM A LINEAL DE ECUACIONES DE
DOS VARIABLES
* Son ecuaciones del tipo :
a x + b y = c
d x + ey = f
Donde: e “y” son las incógnitas; a , 6 , c , d , e y
f son constantes.
*¿Que significa “resolver un sistema de ecuaciones”?
Significa hallar los valores de las incógnitas
(generalm ente x e y ) , de tal manera que al
reemplazarlas en las ecuaciones se verifica la igualdad
M ÉTODOS PAR A RESOLVER
SISTEM AS
Existen muchos métodos para resolver SISTEMAS DE
ECUACIONES , algunos más sencillos que otros El
día de hoy estudiaremos tres de ellos :
I)MÉTODO DE REDUCCIÓN POR SUMA T
r e s t a :
Utilizamos el mismo sistema para seguir verificando
que con cualquiera de los métodos se obtienen las
mismas raíces.
3 x - 2 y = 7 ......( I )
5 x + y = 3 ( I I )
* Mediante la suma o la resta de las dos ecuaciones se
elimina una de las incógnitas ; luego con un pasaje de
términos se halla la incógnita que quedó . Se observa
que para eliminar una de las incógnitas , ellas tiene
que tener el mismo coeficiente (así se anulan al sumar
o restar) . Si no tienen el mismo coeficiente , se
multiplica una de ellas o las dos ecuaciones por un
factor o distintos factores, de modo tal que queden los
términos de las incógnitas iguales .
* De acuerdo a los signos que tengan se suman o se
restan las ecuaciones para anular la incógnita.
* En nuestro sistema para eliminar la incógnita x , a
la ecuación I se la multiplica por el factor 5 y a la
ecuación II por el factor 3 , quedando a sí:
x5 \ 3 x - 2 y = 7
x3 I 5 x + y = 3
15x - l O y = 35
1 5 x + 3 y = 9
0 - 1 3 y = 26
*Como los coeficientes de las “x ” son iguales y del
mismo signo ; para que se eliminen se restan las 2
9 4 IA 2012}
ecuaciones miembro a miembro . Se despeja “y”
26 o- y = ñ * - y =2
* Se multiplica por (-1 )
Es una de las raíces.
* Para eliminar la incógnita y , solamentees necesario
multiplicar a la ecuación II por el factor 2 , para que
los coeficientes de la incógnita queden iguales .
x2
3 x - 2 y = 7
5x+ y = 3
3 x - 2 y = 7
lO x + 2 y = 6 í+>
1 3 x + 0 = 13
X =
x = 1 la otra raíz.
2
l
* En este método , el objetivo es eliminar una de las
incógnitas sumando ambas ecuaciones .
E JEM PLO 2 :
Resolver el sistema:
x + 2y = 1 2 .......... ecuación ( I )
4 x - y ~ 1 3 .......... ecuación ( I I )
R E S O L U C IÓ N :
* Si sumamos ambas ecuaciones no se elimina ninguna
incógnita , así que multipliquemos por 2 la ecuación
(II)
{
* Tenemoe:
x + 2 y = 12 Este artificio es muy
* \ => usado en la resolución
2 ( 4 x - y ) - 2 ( 3 ) €¡e9Í9gmm
x + ̂ ~12
- « i
* Sumando: 9x »1 8
Esto valor será sustituido
sin cualquier ecuación
* Así obtenemos : y = 5
U)9IÉTOItO b e ig u a l a c ió n :
* Utilizamos el mismo sistema que en el método
anterior. ̂3x — 2 y = 7
5 x + y = 3
* Para verificar que al emplear otro sistema, se
obtienen las mismas raíces.
* Se trabaja paralelamente con las dos ecuaciones, se
despeja en ambas la misma incógnita por ejemplo x , y
quedan dos igualdades con un mismo miembro igual;
entonces el otro también lo es .
* Se igualan los 2dos . Miembros y se despeja el
valor de y. Con un proceso análogo se halla el valor
de x . 3 x - 2 y - 7
5 x + y - 3 .
ID
( U )
* Para obtener el valor de x :
a) Se despeja la y en la ecuación ( I ) :
3 x -2 y = 7
-+ -2 y = 7 -3 x =>- y = 7 - 3 x =>y =
-7 + 3 x
b) Se reemplaza el valor de la y en la ecuación (U) :
5x + y = 3 = > Sx +
( - 7 + 3 x
l 2
c) Se realizan las operaciones indicadas y luego se hace
el pasaje de términos, despejando la x.
10x - 7 + 3x 0
2 =S
* Se agrupan los coeficientes de x.
l O x - 7 « a
pasa el divisor 2.
1 3 x - 7 = 3 x 2
X
El 7 se pasa sumando
2
4 í -
i
* El valor de x es la otra raíz.
* Entonces:
Dado el sistema
13x = 6 + 7
( 3 x - 2 y = 7
+ y = 3
*Las raíces que satisfacen a dicho sistema son
(1; - 2) o sea :
* Recuerda que se despeja una misma variable en
ambas ecuaciones, luego se igualan ambos resultados.
E JE M PLO 2 :
Resolver el sistema :
x + 2y ~ 12 ........... e c u a c ió n (I )
4 x - y = 3 ........... ecu a ción ( I I )
R E S O L U C IÓ N :
Despejando "y” en (I) :«
x + 2y = 12 => 2y = 12- x^> y =
Despejando “y” en (II):
1 2 - x
4 x - y = 3
=>4x = 3 + y = > 4 x - 3 = y
* Luego igualando ambos resultados :
1 2 ~ X = 4 x - 3 = > 1 2 - x = 2 (4 x -3 )
2
=> 1 2 - x = 8 x -6 = > 12 + 6 = 8x + x
1 8 = 9x => x = 2
33 E D I C I O N E S K lIfíM Ñ O S)
A X Á U S iS D EL SiSTEJLX M URT1CIXAR Z
a ¡ x + b j y = Cj
a x + b y = c
El sistema será :
A) COMPATIBLE DETERMINADO Z
X
•Reemplazando el valor de **xn en (I) o en (II)
tenemos:
2 + 2y = 2 = > 2 y = 1 2 - 2 = > y = ~ = 5 => y = 5
£
UI) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN :
Es similar al método anterior, con la diferencia de que
únicamente se despeja una variable en una ecuación
,y este resultado es reemplazado en la otra ecuación
EJEM PLO :
Resolver el sistema:
x + 2 y = 12 ...........e c u a c ió n ( I )
4 x - y = 3 ...........e c u a c ió n ( I I )
R E SO L U C IÓ N :
* De (I) despejamos a la incógnita en «x» :x = 12 -2 y
* Este resultado lo reemplazamos en (II):
4 (1 2 -2 y ) - y = 3 = > 4 8 - 8 y - y = 3
= > 4 8 -3 = 8y + y =>45 = 9y '
= > 5 = y
* Este valor se reemplaza en (I) o en (II) y obtenemos
el valor de **xn:
x + 2 (5 ) = 12 => x = 1 2 - 1 0 => x = 2
■ V
CLASIFICACIÓN DE LOS
SISTEMAS DE ECUACIONES
(D E A C U E M D O A StJ SOLUCIÓN)
A) SISTEMAS COMPATIBLES Z
Aquellos que tienen solución , se subdividen
en : o + 4
i ± í = - S - 2 »
At ) DETERMINADO Z
Número de soluciones limitado .
Aa) INDETERMINADOS Z
Número de soluciones ilimitado.
B) COMPATIBLE INDETERMINADO
/
L1- L 2
INCOMPATIBLE O ABSURDO Z
Y L,
P R O B LE M A 1 :
—* VT C»:,3 x — 8 r= 2X + 12 . *5’
• \B) 12" '* C) 20 D) 4Ó ~ E) 0 < f 'c'
R E S Ó L UCLÓNl
A__ JLÁ
3 x -8 = 2x + 12
I) Transponiendo términos:
3 x -2 x = 12 + 8
II) Reducción de T.S.: x = 20
Conjunto solución = C.S. = {20}
RPTA: “C 99
Ü
B) SISTEMAS INCOMPATIBLES
IMPOSIBLES O
Aquellos que no tienen solución .
ÁbsVROOS
P R O B L E M A 2 :
Resolver: ; ̂ .
5 (a - 2) + 3a = 2 (3a + 4)̂
A) 7 B) 6 0 9 " D )8
RESOL, UCLÓN:
* Suprimir signos de colección:
* & 12
6 ( o - 2 ) + 3 a - 2 ( 3 o + 4 )
[
* Reduzco términos semejantes:
=> 5 a -10 + 3a = 6a + 8
* Transponer términos:
=*8a -10 = 6a + 8 => 8 a -6 a = 8 + 10
t e U E X i7 # x o s*em hA 2 0 1¿]
* Despejar la incógnita : 2a = 18 => a =
* Solución : « * 9 =* c.s . = {9}
18
JU>ZA : " C"
PR O B LE M A 3 :
m m p * ( x : + 2 ) = < * - 2 ) ( * - : v;..: ’j...
R E SO L U C IÓ N :
x (x+2)=(x-2)(x - 4)
producto notable
=>** + 2* = x* - + 8=>*2 - x* + 6x + 2* = 8
&r = 8 ~ í
* Solución: y = 2=>C.S. = {1 }
PR O B LEM A 4 :
Resolver:*
» , » * »
ÁÍ20 B) IB
. .
R ESO L U C IÓ N :
s + T _ z + " iF
*. •
C) 40 DJ12 E) 30
* Se busca un denominador común, es decir se busca
el m.c.m. de los denominadores.
En la ecuación: x 2x „ lOx+ m 2 +
:o m o
=>Extraemos el M.C.M.:(3, 5, 15)~15
* El M.C.M. obtenido será el común denominador el
cual se divide entre cada uno de los denominadores y
cuyo resultado se multiplica por el numerador
respectivo.
En la ecuación:
Común
denominador
x 3x2x 1 5 x 2 . lx lQ x
15 15 15 15
Sx . 6x 30 lOx
15 15 * 15 15
* Se anulan los denom inadores m ultiplicando
mentalmente toda la ecuación por el denominador
común.
En la ecuación; resultará:
+ j¿ J t e = ^ 3 0 j ¿ 10x
+ 6x — 30 + lOx
* La ecuación queda simplificada , y se sigue
resolviendo como una ecuación de coeficiente enteros.
* En la ecuación:
5x + 6x - 30 + lOx
* Se reducen términos :
=> l l x = 30 + lOx
* Se transpone términos :
= > llx - 10 x= 30=>lx = 30=>x-™
* Se despeja la incógnita: x = 30
Solución de la ecuación
RPTA : “E ”
Nota,
* Cuando un número negativo que está multiplicando
a la incógnita pasa a dividir no cambia de signo.
E JE M PLO :
-S x = 16 => x = => x = -2
PR O B LE M A 5 :
ivér:- 5 x - l x - 2 2 x¿3
t é
A ) 1 B , f C , L L 0 ) 1 - B ) ±
* *
R E S O L U C IÓ N :
12(5x - 1 ) = 20(x - 2 ) - 15(2x - 3)
; M. C.M. = 60
^ 30x - 12 = 20x - 4 0 - 30x + 45
=>30x - 12 = -lO x + 5
=>30x + lOx = 5 + 12 40x = 17
* Solución: * = ̂
PR O B LE M A 6 :
■ r
RPTA: “C”
T ¿ » * ' - O . * . • . . -
- C)t
R E S O L U CIÓ N :
± + fL Z i.s s x - 2
2 T 7 -
D)4
x x + 1 _ x 2
2 7 l ' 1
M.C.Ma¡7) = 14
=> 7x + 2 (x + 1) = 1 4 x -2 8
=» 7» + 2x + 2 = 14x - 28
=> 9x + 2 = 2 4 x -2 8
^ 9 x -1 4 x = - 2 8 - 2 =>-5* = -8 0
[MJXnTM*0PMPW. re '.4 '.W0 'Pl%r 9 7 tim M H C J O X E & k u i s i ñ o s )
=> X = -30-5
* Solución: x = 6
RPTA : “ C ”
PRO BLEM A 7 ;
j : . • tm ■ — • v ' ' • s-'m *«P 1'*2-®WPV ’Resolver en x la siguiente ecuación de coeficiente
a(x + a) - x = a(a + 1) + 1
C >,° + í
.̂*5*6. . . *■1
R E S O L U C IÓ N :
‘ Efectuamos los productos indicados para suprimir
los signos colección:
ojr + c5- j = fl! + o + l
* Eliminamos los términos repetidos en ambos
miembros:
ax+M*-x=j*-*-a+l^QX —X = 0 + 1
* Se suman los términos semejantes (factorizando):
x(a - 1) = a +1
* Despejar la variable :
¿c(a-l) = a + 1
pasa dividiendo
Donde: a * 1
* El conjunto de solución:
RPTA : “CII
PRO BLEM A 8 :
Hallar el conjunto solución en:
2x + a x - b _ 3ax + (a
b a ab
- r
A){2a} B) {2b}
R E S O L U C IÓ N :
C) {á } D) {6 } E) {1}
* M ultiplicando am bos m iem bros por (ab) y
efectuando operaciones:
a(2x + a) + b(a - b) = 3ax + ía - b)s
=>2ax + a 2 + b x -b i =3ax + a 2 - 2ab + b2
=>-ax + fex = 2b2 - 2a ó
* Sacando factor común y despejando la variable:
x (b -a ) = 2b(b - a)=>x = 2bjP~âo —a
=* x = 2b=*C.S. = <2b>
R P T A “B ”
PRO BLEM A 9 : _
Resolver la siguiente ecuación de coeficientes
fraccionarios.
6
A) 1 B) 2C )4 D ){5)
R E S O L U C IÓ N :
‘ Calculamos el M.C.M. de los denominadores.
E) xeR
3 2 6
3 1 3
1 1 1
2
3
M .C.M = 2 x 3 = 6
‘ Se multiplica a toda la igualdad por dicho M.C.M :
‘ Se simplifican con su respectivo denominador y se
multiplica por su numerador:
2 {5 x -2 ) = 3 ( x - l ) + 7 x - l= > 1 0 x -4 = 3 x - 3 + 7 x - l
‘ Transponer términos; agrupando en un miembro
todas las incógnitas y en el otro todas las cantidades
conocidas: lOx - 3 x - 7 x = - 3 - 1 +4
‘ Reducir términos semejantes: Ox = O
|E< conjunto solución i C.S. a {Todos lo» reo/e«}|
RPTA: “E ”
P R O B L E M A 10 :
} •• \ r - » \ ; ; . .
+ | ) - (x- 5)(x + 3) =
B) s C) ~ D)
O Í
* 4
AJI
R E SO L U C IÓ N :
~ E) - 2
‘ Abramos los paréntesis:
xí + 4
=>x2- x - b f - x 2 +2x+15 = —
4 4
Transponiendo y reduciendo términos semejantes,
tendríamos: * = ^ 15 x = . 6 = _ 3 x 4 ?
RPTA : “D 91
P R O B L E M A 1 1 :
v^.i- =vT
13
15
i j** * ,
» £,r,y : V - W •BJ CJ15 D) -1 0 ; É) 30.A > • • - . ^ A V . * • A A
R E S O L U C IÓ N :
* Simplificando la fracción :
13
15 _ 13
10x + 12 lOx+12
15
‘ Reemplazando esta fracción en la ecuación:
7 l 13 l 13
24 4 lOx + 12
4 . • #
24 10*+ 12**
[^SRML, ! VT-lt i:* * ¡A f c v r f r x o i + ^ i 2012]
* Luego: lOx + 12 = 24x13
312-12• Despejamos x : x = — jq— x = 30
RPTA: “E 99
P R O B L E M A 1 1 :
olver:
A)1
m -
3 )2
(£ A )
x * + 7 8
2 x2 - x - 6
C) 3 D) 0 E) 6
* I i a •
R E S O L , U C I Ó N :
I
• Los denominadores son
(2x + 3)
2 x 2- 6x =
+3
2
* Luego el MCM será: (2x+ 3)(x -2 )
* Multipliquemos ambos miembros de la ecuación por
el MCM :
2{ ^ i ) (2x+3)(x " 2)~ 3[ £ £ r ) (2x + S)(x ~ 2)
( x* + 78 )
( 2x + 3 ) ( x -2 ) (2x + 3 ) ( x - 2 )
* Simplificando:
2(x + 2)(2x + 3) - 3(x~2)f = xs + 78
* i Cuidado i
Antes de continuar, tenemos que establecer la
condición: El MCM por el que hemos multiplicado la
Ecuación debe ser distinto de cero, es decir:
(2x + 3)(x -2 )*0
* Para que esto ocurra, cada factor debe ser distinto
decero: 2x + 3 * 0 => * * - 3/2
x - 2*0 =>x*2
*Ahora s i,... continuemos con (1) : (desarrollando las
multiplicaciones)
4x' + 14x + 1 2 - 3x* + 12x - 12 = x* + 78
•Reduciendo términos semejantes y despejando x :
26x = 78 x = 3
•Aceptamos x= 3 como solución correcta porque es
distinto de - 3/2 y de 2 como establece la condición
anterior.
RPTA: “ C”
P R O B L E M A 1 2 :
M
^ a r * e n :
be B) ac1/ T
t .
• - <
C) ábe D) a - b E) 0
:-í
R E S O L U C IÓ N :
• Efectuamos las restas dentro de los paréntesis:
- P r 1 ) - ' ( ! ~ )
•Multiplicando ambos miembros por “ 6c ” y llevando
todo al i° miembro:
ab (be - x) - cd(bc -x ) = 0
* Factor común polinomio:
( b c -x ) (a b -cd ) = 0
=> b c - x = a¿ ) c¿ =$ be - x = 0 => x = bc RpTA .
P R O B L E M A 1 3 :
Resolver la ecuación literal:
x + a t.x
a -6 o +6
Aj í B )a C) a -1
R E S O L U C I Ó N :
x + b 2 ( x -b )
o + 6
D ) 3 b
a -b
E) ab
* Notaras que el MCM de los denominadores es:
(a + b) ( a - b)
* Multiplicamos a toda la ecuación por este MCM .
+ ¡a -K 5 jí« - b)
+ b , í ^ e í 0
* Al simplificar tendríamos:
(a + b) (x + a ) + ( a - b )(x - a ) =
(a - b) (x + b) + 2 (a + b )(x - b)
* Si efectuamos las multiplicaciones indicadas, y
reduciendo tendremos:
2ax + 2ab = 3ax + bx - ab - 3b*
• Transponiendo y reduciendo:
a x + bx = 3ab + 3b2
• Extraigamos factor común:
x (a + b )= 8 b (a + b ) => jr = 36
RPTA : “D ”
P R O B L E M A 1 4 :
te " o -
• v •
Resolver : y/x + T + X .1 rr 1
:....
4 / t i /i ¿ > — ' ’ 'vi 'c ; o . •
P lln co m p á tib le .g x ^ '
R E S O L U C I Ó N :
* Elevamos al cuadrado a ambos miembros de la
ecuación, considerando que al hacerlo, se introducen
“ soluciones extrañas” que hay que identificar y
desechar: , ,----- .------ * *fy/x + 1 + y¡X — 1 ] = 1
* Desarrollando:
\ ¡x + 1 + 2 y] X + 1 y jx — 1 + y¡X - 1 « I
* Reduciendo los radicales:
x + / + 2 \!x2 - 1 + x - •/ = 1
* Reduciendo términos semejantes y transponiendo:
2^1 x * - 1 = l - 2 x
* Volvamos a elevar al cuadrado:4far-l> - l - 4 x + 4xr
* Reduciendo términos semejantes:
4x = 5 => x = £ ¡P e r o ... cuidado /
* Como hemos elevado al cuadrado 2 veces, es probable
que la raíz obtenida sea “ solución e x t r a ñ a ¿Cómo
identificarlo?. Probémosla ; si reemplazamos x = ~
en la ecuación original.
yj£~+l + y jj - 1 = 1 => yj^ + yjl = 1
» .. »
P R O B L E M A 16 :
Restílvei:: "~~
— [a(m-x)+bx] = b (n-x)+ax
A jm + n B )m n -1 C) D) 0 E) 1m + n - w 'J.: *
R E S O L U C IÓ N :
* Transformando:
—fa m -a x + o x ] *=bn-bx -Hxx
> amn - anx + bnx = bmn - bmx + amx
> am n -bm n = a m x -b m x + a n x -b n x
> m n (a -b ) = mxfa - 6j +
Dividiendo por fa - 6J, quedará a s í:
m n = arfm +
| + | = 1 = > | = 2 = > 2 = 1
RPTA; "C M
. ¡absurda!
* Luego » = y e s s o l í /c /P n e x t r a ñ a que ahora
descartamos. Como no hay más soluciones que probar,
la ecuación no tiene solución, es decir es in c o m p a t ib l e .
RPTA; “D”
P R O B L E M A 1 7 í
t
1
v ?*í- - *
5* V’ . í
R E S O L U C IÓ N i
*.-a *+6 :*+at , * Xrb
/» . » ♦
" C " o " D ”
PR O B LEM A 1 5 :
[ver en x :
w
f:-
BjO C) a
*Jx = %/5a
-
* Transponiendo términos:
_J 1 J_
jr+6 »+ a — x- o
x+ a -x -b ^ » -a -»+6
x+aj ” (x-a)
R E S O L U C IÓ N :
* Si elevamos al cubo a ambos miembros vamos a
recurrir a: .j»-
(a + b)9 = a9 + b9 + Sabía +
* Elevamos nuestra ecuación:
£>/a + yfx + yJa - yfx J = [V5a] 3
* Desarrollando:
\fa~+~yfx + 3y]a - yfx + 3 \¡a + yfx
3yja - yfx (>/a + yfx + ^/a - -Jx ) = 5i
* Simplificando: a + 7 í+ a 7 í + 3 ^ Z x ^ a = 5 a
* Reduciendo términos semejantes:
X S'Ja2~-~x V óa = X a
* Nuevamente... al cubo:
f í a 2 - x Vba] 3 = a3 => 5a(a2 - x ) = a3
O o* Más simplificaciones: 5a - 5 x = a
•Despejamos» : x -
(x+b)(x+a) (x-b) (x-a)
* De aquí:
(x - b)(x - a ) - - (x + b )(x + a)
=> ( a ^ 6^ + a6 = (í> ^ 6íc -d b
=> 2 » 2 = - 2 a 6 => x 2 = -a b
x = ± \l-ab RPTA: “E 99
P R O B L E M A 1 8 :
— i I--
1 *
a
¿
x.
B ¿b
1
a
1
TT
A L>
C ) - b
.x + a + bm*. •.. .* « .
D ) - a : * o
R E S O L U C IÓ N :
* Transponiendo:
1 1 1 1 o + F x + a T F " * =>
ct4-6 __ - ( f L + b )
ât5 —(x+a+hfc
- X - X - y - f r
7 í T T + T ] T
— 4a
5
RPTA .•
c
• De aquí: (x + a )(x + 6) = O
* Donde: x — - a a x = ~b
JU>Z4:“S
^PROBLEMA 19 :
Ü&S3 so ib5I
74x 37
IA EXí 'M'j w m l I 2012}
37*60x024
******
60*24 25
•Luego: í ! _ + i = 2 5
24
=> X m
25x74
x ~ 2 4
RPTA : “A ”ver:
' ; P R O B L E M A 2 2 :
tx -3 H x -6 )(x + 2)(x + 4 )-(x ? -x -1 3 )*+ 2x = 5 0 los 3 raétodo? (el6¡guienferfstéma:
cy 49,5 D )M & E) 50A) 40 B) 41
R E S O L U C IÓ N :
• Efectuemos los factores que se indican:
(x* - x - 6)(x* - x - 20) - (xa - x - 2 3 / + 2x = 50
* De aquí, hacemos : »* - x = a , quedará así:
=> fo - ey^a - 2 o > - ra - 1 3 ) 2 + 2 » = 50
* Desarrollando :
=> 4 * - g +120 - + 2 é a -1 6 9 + 2x = 50
* Transponiendo : 2 » = 50 - i 20 + 2 69
2 x ~ 9 9 => x = 4 9 ,5
R P T A : “ C "
PR O B LE M A 2 0 :
9 -
^jx+2+jx+l ^\jx+3+y]x+2 ~r-^x+4+yjx+3 = 1
1*» ¿ P ío .
R E SO L U C IÓ N :
D i 4 E) - 4
• Multiplicando por la conjugada en cada término:
Jí+2-Jx+l t Jx+3-Jx+2
( Jx+2 +Jx+1 X Jx+2-Jx+l ) ( Jz+3+Jx+2 X Jx+3-Jx+2 )
Jx+4-yJx+3
( Jx+4+Jx+3 )( Jx+4-Jx+3 )
=1
x + 4 = yfx+1 + 2 elevando al cuadrado:
x + 4 — x + 2+ 1+ 2-Jx + 1 <=> 1 = 4 x + 1
* Al cuadrado: l = x + 1 => x = 0
RPTA: "C ”
PR O B LE M A 21 :
“x ” al resolver:
x-100 . x+4S 37 , , • y*, ■ ■■ s —: y dar el valor — +r
50 24 25 ̂ 34
á)25_ B )32
R E S O L U C IÓ N :
C )66 D) 1 E) 40
x -1 0 0 x + 48 37
50 + 24 25
— - 2 + — + 2 = —
50 24 28
5x - 2y = 11 ........ (I)
2x + 4y = 2 ....... (II)
R E S O L U C IÓ N :
I) POR SUSTITUCIÓN t
5 x - 2 y = 1 1 _____ (I)
2x + 4y = 2 (II)
* De (I)....5x-2y=11
=> 5x = 22 + 2y => x = 11-\ 2y
5
* Reemplazando en (II):
i - >
2y + 4 y = 2 => 22 + 4y + 4 y = 2
=> 22 + 4y + 2 0y = 2 => 22 + 2 4 y = 1 0s
=> 2 4 y = 1 0 - 2 2
* y=
2
* Ahora de ( I ) 5 x - 2 y = 11
. , , 22 - 5x-2 y = 1 1 - 5x => -y = ---------
-22 + 5*
* * 2 ~
• Reemplazo en (Zfy.*
(-11 + 6x) A2 x x + 4 ----------- = 2 => 2x +
2
-44 + 20x
4x -44 + 20x
2
2 => 24x = 4+44 o x = ~
X
1
(a)
U) POR IGUALACIÓN x
* De: 5 x -2 y = 11
= > 5 x = l l + 2y = > x = ......
5
* Ahora de: 2 » + 4y = 2
2 — 4vo 2 x = 2 - 4y => x = ............. ̂ ^
* Igualando (a ) y fioy;
Zl + 2y _ 2 - 4 }r -> 2 (11 + 2y ) = ( 2 - 4 y ) * 5
o 2
=> 22 +4y «10-20y=>4y + 20* - 1 0 - 2 2
1
=> 24y =-12 =3 y = -
2
y = - i
* Luego despejamos y en (I) y (II) :
1 1 - 5 x
SI I M ilLICIOXES K U litX O S )
- 2 y = l l - 5 x => - y =
á
* Ahora de : 2x + 4y = 2
=> 4 y = 2 - 2 x => y =
* Igualando:
y = -11 + 5x
2 + v
o 1 2 x = 2 + y => X = j o
• Reemplazo en (II) :
l 12 J 12l l x + y = 7 ̂ 11
2 - 2 x 22+% fy= 7=>22+23¡y =712=>23y = 8 4 -2 2 = > y = —
12 23
* Para obtener x:
- l l + Sx 2 - 2 x o 4 (-ll + 6x - 2(2 - 2x) -44 + 20x=4-4x De (I) : 12x - y = 2
=>2Qx + 4x = 4 + 44 =>24x = 48=> x = => x = 2
2*
HO PO fi SUMA O RESTA :
* Para anular»:
=> -y s 2 - 12* => -y s - 2 + 12 x
* Reemplazando en (II) :
l l x + y = 7= > llx+ (-2+ 12x) = 7 = > llx -2 + 1 2 x = 7
9
{
5 x - 2 y = l l=z 1 0 x - 4y = 22
2 x + 4 y ~ 2 => 10x + 20y = 10
=>23x-2 =7=>23x = 7 + 2 =>»=
23
RPTA
0 - 2 4 y = 12 P R O B L E M A
y = - j
Para anular y :
x2 5 x -2 y = 11 2x + 4y = 2
=> 1 0 x-4 y = 22
=> 2» + 4y = 2
J2» + 0 = 24
^ 2
PR O B LE M A 2 3 :
J *• *Cv
. *
4
’ * •
. W * : V v . . > .
\
• - r
* '•'V '
j:, X »I
# ' . 7-
:v - 3
02
B)X ? 5
y «4 •
6* - - ¿ y - 2
y “ 7. MMHM9’ * ’ * T
9
C)
< *
R E S O L U C IÓ N :
* Para eliminar la incógnita x :
A la ecuación fíj se la multiplica por el factor 3 y a la
ecuación (II) por el factor
- x - 4y = 6 => 2x - 12y = 18 3
Sx - 6y = 5 ^ 2x ~4y —10
0 - 8y =
R E S O L U C IÓ N :
* Cuando una de las ecuaciones tiene coeficiente
fraccionario , para trabajar con más sencillez , se
eliminan los denominadores , quedando ecuaciones
lineales enteras.
* De (I):
6 x -—y = i => 12x ~ ly = i => 12x - ly =2
2 2
* Como los coeficientes de x son del mismo signo, para
eliminarlos se restaron ambos miembros de las
ecuaciones. 44 11
- y - — => y = -38 ~ 6
* Para eliminar la incógnita y , a la ecuación (I) se la
multiplica por el factor 3 y a la ecuación (II) por el
factor 2 .
r2
± - x - 4 y = 6 ^ 2 x - 1 2 y = 18
3 x -G y = 5 = > 6 x - 1 2 y = 10 á
* El sistema queda:
2
7
- 4 x + 0 = 8
* Para obtener y : 1 2 x -y = 2 .(I)
* Como los coeficientes son del mismo signo, se
restaron las ecuaciones para que se eliminen:
- x = ^7 => x = - 2
* R P T A :“D ”
PR O B LE M A 9 5 :
Resolver el sistemar
x + 3y
5 x~ 2 ym lá .
t ♦ ♦
W X" Í B) * m8 ~ x m t
6 MVMMt
••(w)
— * . *
J
. «
O y m j ntxmS Ri*mSD)y - í f y •* iy * 2 y - 2
R E S O L U C IÓ N :
* Despejamos cualquiera de lae incógnitas, sea x en la
ecuación (I):
x + 3y**6 => x m6 -3 y
* Este valor se reemplaza en la ecuación (II):
5x - 2y = 13
x>6(6-3y)-2y**13=>30-16y-2y = 13
* Transponer términos , agrupando en un miembro
todas laB incógnitas y en el otro todas las cantidades
conocidas: = _i7=>J1 = ,
* Sustituimos: y = 1 ; en cualquiera de las ecuaciones
dadas:
* Ecuación (I): x + s=» * + a(v - e=>* * 6- 3 => s
RPTA: “D ”
PR O B LEM A 9 7 :
Resolver el sistema:
m
(id
E indicar “* + y
D )0 m , , i
N :
{5x + 6y *20 ...........4x - 8 y • - 2 3 ...........
R E S O L U C I
* Multiplicamos la ecuación (B ) por 2 , y tendremos:
J 5x + 6 y«2
l (é * -3 y - - ,
20
2 8 ) * ( 2 )
f 5x + 6y*
\8x-6ym
= 2 0 ...........(I)
-4 8 ........(U)
* Dado que los coeficientes de "y ” tienen signos
distintos se suman estas ecuaciones porque con ello se
elimina la variable y:
5x + 8x=20-46=>13x = -2 6 = > x = -— =>x = -2
13
* Sustituyendo x « - 2 ,e n cualquiera de las ecuaciones
dadas:
* Ecuación (I ): 5x + 6y - 20 =* 5(- 2) + 6y * 20
^ - 1 0 + 6y = 20 =$6y = 30 = * y = 5
* Se pide : x + y = - 2 + 5 * 3
P R O B L E M A 9 8 :
RqsülverelBÍstema:
RPTA: “A III
> i
« - v
IA EXCH'M**EBiA 2012)
A )1 B) 2 Ó) 3 : D) 0 * ET H
R E S O L U C IÓ N :
• • i
f .
* Despejamos cualquiera de las incógnitas, sea x en
ambas ecuaciones.
* Ecuación (I) í x + 2y = 3 = x = 3 - 2y
* Ecuación (II): 5x - 3y = 2 =>x =
* Luego se igualan entre si los dos valores de x
obtenidos: s ~2y= 2*s9y
* Resolviendo esta ecuación:
5(3 - 2y) = (2 + 3y)=* 1 6 -1 0 y = 2 + 3y
* Transporte términos , agrupando en un miembro
todas las incógnitas y en el otro todas las cantidades
conocidas: - i o y - 3y = 2-15=>-13y = -13=>y = l
* Sustituimos y = Í , en cualquiera de las ecuaciones
dadas.
* Ecuación (I) i x + 2y = 3 => * + 2(1) = 3 => x = i
* Se pide : x - y = í -1 = 0
RPTA : “D ”
P R O B L E M A 2 9 :
Resolver el sistema:
x + 3y = 1 0 r *,,*.(I)
5 4 x - y ~ l (II)
Aj*‘ t b>*-* o * ' * ’ m * * i«^ • 7 y * 9 y * * y *3 >
R E S O L U C IÓ N :
* Multiplicando por 3 ambos miembros de la ecuación
(II):
x + 2y ~ 10
1 2 x - 3 y = 3
1 3 x+ 0 = 13
* Al sumar miembro a miembro se obtiene: x = 1 ;
y = 5
RPTA : “ZV
P R O B L E M A 30 :
**■» • • '.
Rséblvcrel sistema:
l 'v i y * - 'X - p * - : y = 3 ; :
■ [3 x ^ 2y = 10 ......{ í f l - . .
¿ x = 2 x = l x= 4 d x =3 ^ x =2
*?y=4 ' y =6 y = -l y * 5 y=7
♦ < *
R E S O L U C IÓ N :
* De la ecuación (I ) :y = 2 x - 9
* Sustituyendo en la ecuación (II):
t '
3x + 2(2x -9 ) = 10
=> 7x = 28 => x = 4 ; y = - l
RPTA : “C”
PR O B LE M A 31 :
el sistema:
2 x -3 y = l ...„....¿(I)
. 4 x -5 y = 13 ......... (11) *
F á )x x 2 m * ml a XmS d íxs=2 * i
. syw í x* l_ _
R E S O L U C IÓ N :
* Despejando **x” en las dos
ecuaciones: i+3y 13-5yx ------— ; * s s -
2 4
* Igualando:
1 + 12y = 26 - /0y=> y * I
* Reemplazando y =1 en la ecuación
(11) se tiene: x = 2
RPTA: “D ”
imifjqijfíl |»J«3IKCíiniCJJl 10 ^ 11
TERMINOS SEMEJANTES
Reducir: 5a * 7a * a
A) 9a B)12a C)13a
D)7a E)14a
@ )R ed ucir: -5x + 2x — 4x
A)-7x B)8x C)7x
DJllx E ) - l l x
Resolver: x x x + 3x2
A)5x3 B)4x* C)2x
D)4x E)2x + 3x2
Resolver:
x + x + 3(x+2) - 5 x
A)9x B)10x + 6 C)10x - 6
D)6 E) - 6
@ ) Resolver:
3xy2 + 7xsy - 3y*x
A)7xyf B)7x*y C)3x2 - 4xtys
d) 0 e) NA
@ R educir: - ( - 3x + 4) - (3x - 8)
A) 4 B ) - 6 x - 1 2 C)6x - 4
D ) - 4 E)6x+4
@ ) Reducir:
( - 5 ) ( - 2 ) ( - 3 ) + ( - 3 ) (5 ) ( - 4 )
A) 30 B) - 30 C)15
D)60 E) - 90
Reducir: x . x . x + x sx + 7x9
93 E D IC IO N E S K I R liV O ^
A)3x + 8x* B)3x + 2x* + 7x3
C)9* 0 9 * * E)9* 2
(5?̂ Restar: de &ry + 4
A) - 8xy - 4 B) - 4xy - 4
C)4xy + 4 D)4xy - 4 E )- 4xy + 4
De 5xy + 8 restar 4xy + 8
A ) - x y B)10 0 - 1 6
D ) - 9 E)xy
(£7) Reducir: 5x - 18x + 9x + 4
A) - 4x B)4x + 4 0 4
D )4 -4x E)0
Reducir:
7x + 8x + 9( - 3x + 2) + 12x
A) 18 B) - 1 8 O 64x
D) - 54x E ) - 8x + 18
Resolver: x2(x3 + 1) -x (x -3 x 4)
A)2x2 B)4x* C)0
D) - 3x* E)6x 4
(Q) Resolver:
- ( - ( - 4 ) ) + (4 x - ( - 4 ))
A)8 + 4x B) - 8 + 4x C)4x
D)0 E ) - 8 ~ 4 x
Reducir; ¿
i .
5x + 7 (x - 8) -3 (4 x + 1)
A ) - x + 5 y B)x - 5y C ) - 5 3
D)56 E) - 59
Reducir:
3x(x+ y) + 2y(x-2) + 4y - 5xy
A)3x3 B)2xy C)x* + Ty2
D)8xy + 9X2 E)4
Resolver:
xy(x2 + 5xy) - x 3y - 4x(xy2)
AJO BJx2̂ 2 O x ^
D )- x y E ) - x y
Restar: 2x + 3y de 8x + 7y
A) - 6x + 4y B)10x - lOy
O 6x + 4y D)6x - 4y
E) - lOx - lOy
@ Restar:
5x - 3y + 7 de 5 x - 3 y - 7
A) 14 B) - 1 4 OO
DJlOx E)6y r = j
@ D e 5 a b - 7bc + 8a c ''res
- 4ab + 6bc + 8ca
A) 9a. - 13bc B)ab+bc O -bc+ac
D)ab - be E) ab - be - 16ac
restar
O PER A C IO N E S CON
PO LIN O M IO S
(Suma, Resta, Multiplicación)
* Hallar lasuma de:
2b + 3a - c ; 2a + 36 + c
7a - 4b + 5c; -7a + 4b - 6c
p&m + n - p ; -m - n + p
\9x-3y + 5 ; - x - y * 4 ;
- 5 x + 4y - 9
m a + b - c ; 2a + 2b - 2c
; - 3 a - b + 3c
- 7 x - 4y + 6z; lOx - 20y
8z; -5x + 24y + 2z
2a * 3b ; 6b - 4 c ; - a + 8c
2 x - 3 y ; 5z + 9 ; 6x - 4 ; 3 y - 5
* RESTAR:
a - b de 6 - a
x - y de 2x + 3y
Q ) - 5 a 4- b de - 7 a * 5
x 2 - 5x de - x2 + 6
I b - x + y - z de x + 3y - 6z
De:
- 9 restar a - 8
16 restar 5xy - x* + 16
x 3 restar - x3 - 8x 2y - 6xy2
(Q ) 3m *-5nt restarm* +8mn + 10n*
a 2 - ab restar 3ab + b2
Suprimir signos de agrupación
x - ( x - y )
x 2 + ( - 3 x - x 2 + 5)
a + b - ( - 2a + 3 )
4m - ( - 2m - n)
@ 2 x + 3 y - ( 4 x + 3y)
6íh a + (a - b) + ( - a + b)
M ü f a *
2 a - { - x + a - 1 } - {a + x - 3}
OPERACIONES CON
FRACCIONES
FRACCIONES í
Una fracción algebraica es el
cociente indicado de dos
expresiones algebraicas racionales;
siendo por lo menos el divisor una
expresión algebraica.
NOTACIÓN:
F =
N Numerador
Denominador
p r o p ie d a d e s f u n d a m e n t a l e s
DE LAS FRACCIONES
FRACCIONES ¡ID M O G E N IllS I
Son aquellas fracciones que tienen
iguales denominadores
EJEM PLO :
. 7 0 _ 7 + £ = J£ = s
2 2 ~ 2 2
m x 7 x _ x + 7 x 8 x
3 3 ~ 3 ~ 3
. 5 10 5 - 1 0 - 5
3 3 ~ 3 3
FRACCIONES U ETER O G E N EA S :
Cuando las fracciones son de
denominadores diferentes se
llaman: "Fracciones Heterogéneas"
para ello se saca el Mínimo Común
Múltiplo (MCM) de los
denominadores
E J E M P L O :
m3 2 9 + 4 _ 13
2 3 ~ 6 ~ 6
MCM de:
2
1
1
3
3
1
MCM = 2x3 = 6
p r o d u c t o :
EJEM PLO :
a 2 x x 8 y _ 6 x y _ 2 x y
3 5 16 6
d iv i s ió n :
E JE M PLO :
0 3 x , 9y 3x 8 __ 24 x _ 4x
✓—y r , 3 x 7 x(g/)Sumar: — +
A)x
6 5
B)2x
E)±
C)3x
Efectuar: ~ + ^ -
3 3
A)x
D)4x
B)2x
E)5x
3 x
3
C)3x
Efectuar : ^ ^
A) 7a
D)%
B )7i
E) 5i
C )7i
Efectuar: O u
A)\ B jf
D)\ E )±
@ ) Efectuar: f + f
A) % B) %
D)1 E) 2
2
C)%
Efectuar: « 4
A)%
D)a
Efectuar:
A)-%
D)-%
B)-%
E)-yt
3a
7 ‘
B)%
E)-a
C) - a
a
2
C)%
Efectuar: ? + °¿ u
D)»%
B)"%
E)*%
Efectuar: ~ + ^ + ̂¿ 4 tS
A)’% BP%
E)'‘%
C)*%
2y yEfectuar: —— y
O u
(S7) Efectuar:
¡A ENCmcj. wmcoíA 2012]
5a*b 5a*b
A)
D)
-S a *b
6
Sato»
12
6
B ) 8̂
Sa*b
12
C)- sA12
E) 12
Efectuar:
A)^>
D ).%
C)&-
E )%
Resolver: ~am + Sam
llIB
9A)
D)* r
B)
E)^%
2 m i
8
2am
O - "
Resolver: 3 x 8x6 + 3
jff
jr
A)
D)49
40»
18
Resolver:
B)40
E) 1
Sxy , 3x
«XC )*
8 z 4x
A)2y
D)%
B )*
E)%
By
C )*
< P
O PER AC IO N ES CO M BIN AD AS
D E TÉ R M IN O S SE M E JA N T E S
Resolver: 2 x -(3 x + 5 ) + x + 7
A)1 B)2 C)3
D)5 E)x + 1
Resolver: - ( - x + 1) - (x - 3)
A)1
A)6
B)3 C)-2
D)2 E)-l
Calcular: x + 2x(3) - 7(x - 1)
B)5
D)7
Resolver:
A)2x/5 B)3x
D) 19x16
3) Resolver:
C)4
E)9
11x
6
C)5xl6
E)2x
- 3 ( x -2 ) - ( - ( -x + 5 ))
A)4x - 9 B)11 - 4x C)5x -1 1
a c a d ad
AJO B)'A C) *A 0)4x -1 1 E )ll -6 x
b ~ d = 6 x 7 ” be D)-% E)»A
@ ) Resolver: 2 x -(5 + 2x) + 13/2
[mUTTM* g 70
A) 21/2
@)Resolver:$* .
B)0
D) - 3/2
+ 3x_
C)3/2
E)23/2
4x
T
02x/13A) 1312 B)2/3
D)13x¡2 E) 37x16
Resolver:
2x + 3 x - 5 ( x + 2 ) + 15
A)3 B) 4 0 5
D )6 E)7
@ Calcular:
A)24x
2x + 3 x 24 + 6
B)79
D)89
O 74
E)19x
3x 7x . 2x
' 3 5@ Resolver: 2
A) 12x130 B)13x/30 013x/15
D)27x¡6 E)17x/30
(Q)Efectuar:
+ r a x -4 > -r 5 x + 3j
AJ2r - 9 B)2x + 7 Cjx - 9
D)9x - 2 E)9x + 7
@ Efectuar:
4x + 3 + f - 4 + 2*> - { - 5 x + 3 }
A )7x -5 B)8x - 7 C ) l l x - 4
D)10x + 5 E)7x + 3
Resolver:
9x - ( - 3 + 4 x ] - ( 5 x + 3 ) - ( - 4 )
A)9x - 2 B)4x 0 5 x
D)3 E)4
(^Efectuar:
3x + 2 - { 2 x + 4 + (5 ~ 8 x ) }
A ) - 3 x + 11 B ) - 3 x + 7
0 9 x - 7 D)9x + 11
E)9x -11
(g)Efectuar:
3 - 5 a + [ - 2 + 4 - { 7 a - 2 ) + ( 2 a - 5)]
A ) - 2 - 6a B) - 4 a + 2 C}r=±>4a
D)2 - 6a E)8 - 6a
é atoaate* $ á * i a u I
Resolver en todos los casos:
4x + 8 = -20
AJ- 7 B )-3 C)0
x + 12 = 5
D )4 El 5
L lH itO A T S MtUHMÑOS)
A) - 7 B) 0 C) 1 D ) - l B h2
All
2 x - 4 = 5 - x
B)3 C)2
-2 x + 6 = - 2
D)4 E)5
A) 2 B) 4 0 6
@ ) -3 x -5 = 10
A hí Bh5 O 0
D) 8 El 0
Resolver:
2 + a - ( 3 a + 7 ) = - U
AIS B )-3 0 - 6 DI 8 E li
Resolver:
(x - 3) (x + 5) = x (x + 3)
A115 B)8 0 - 1 5 D }- 8 E) 0
Di 4 E ) - 4
4 y - 4 = y - 16
Al - 4 B) 4 O 0 Di 1
3(x - l ) - 4 = 2(x - 1)
Resolver:
6 x (7 -x ) = 3 6 - 2x(3x -1 5 )
AIS Bl 2 O I D )-l E10
El 2
Al 7 B} 5 0 - 5 DIO E li
Resolver:
10(y -9) - 9(5 - 6y) = 2<4y
Aj -3 BIS 0 1/3 Di 1/2 B) 1
16- 4 x + 6x = 12x + 8
Al 514 Bl 4/5 O - 8/7 Di 1 El -1
7 x - 6 x - 4 = 15x + 3 - 6 x ¿ a tóen m e*
Al -7/8 Bl 7/8 O - 817 D) 1 El -1
@ -2 x + 7 x - 3 = 3 x - x + 6
Al 1/3 Bl - 3 O S DIO El 2
Resolver en cada caso:
7 (x -2 ) + 3 = 4 ( 2 x - 6 ) - 2
A l-1 5 Bl 15 0 6 DI 4 El 2- *
@ x - 2 ( x + í ) = 7 - 4x
A)-6
4x-3
7
B) 3
*3
C)6 D) 5 E) 4
5(x-4)+4(x-3 )=3(x 2)
A) 7/3 B) 13 C) 9/3 D) 13/3 E) 5/3
A) 3 Bl -*3 O I Di 4
2 x \ 4 = 4 (x -6 )
El 5
A)+ 14 B) 14 O IS Di 8 El 9
©
A) 40
* x _ 9
5 4
B) -40 C) 4
x - 3 . x + 2
D) -10 E) 10
= 5
S(5x + l ) - 2 ( 6 x +3) = 2 ( x - 1) 8 B) 16 C)-8 D)-16 E)5
AJ-1 B U 0 8 DI 4 El 5
2x +• 8 - 3x = 4x + 15 - 2x
A l-7/3 Bl 7/3 0 3/7 Dll E)l/2
5(2x - 4) = 2(3x + 4)
Ai - 7 B) 1/7 0 7 D) 0 El 77
© 3 fx + 1 ) + 4 f 2 x - 1) « 5 ( x + 6 ) - 2 ( x - 31
A} 4 B) 8 0 - 4 Di - 2 E)0
(Tti) 2x~ 8 = S x - 4
A12 Bl 1/2 0 - 2 D) 0 E li
@ -3 (x -2 ) + 2(x - 1) = 4(x + 6)
Al 4 B l - 4 0 2 D i- 6 E) 6
© (x -3 )* = (x + 4 )(x -6 )
Al 4/83 B) 33/4 O - 83/4 D }0 E -1
Resolver:
3 (x - 2 ) + 5 = x - 3
Al 1 Bl -1 O 0 Di 4
5 (x - l ) = 8 + 4x
A) 13/9 B) 9ñ3 C) 13 D) 15 E) 12
Hallar el valor de “ x ” en la
siguiente ecuación:
£ 3 £ £
6 2 ~ 2 3
A)-1/2 B) 1/4 C)-1/4 D) 1 E) 0
Resolver:
x ^ ,3 _ _ x _ .5 _
6 2 2 3
dar como respuesta 5x.
A) 1/10 B) -5/2 C;-1/2 D)2 E)0
@ ) Resolver la ecuación:
í + í * — £. + _ í.
2 3 " 5 ~ 3 2 ~ 5
A) {3} B) {1} C) f-V D) {0} E) {2}
Hallar la raíz de la siguiente
ecuación:
9+x 8 - x _ x + l
El 2 A)-5
2
B) 5
3
0 2
+ x -2
0)4 E )-1
© x - 2 x - 3 _ x - 4 3 3 ~ 5
A) 3/17 B) 17/3 C)~17/3 0)1
x - 2 x - 3 x - 4
E )0
© 3 4 5
A) 7/53 B )-7/53 C) 53/7 0 ) 2 E) 4
©
*)S
A) 4
©
9 + x 8 - x x + 1 . „
2 3 2
B ) S C )1 D )0
£ z 2 + 2 = Í ^ + 6
3 O
B) 32 C) -3 2
E) 2
D) 8 E )2
x + 3 x - 1 _ x . f
4 2 “ 6
A) 5/9 B) -3/5 C)3/5 D) 1 E) 2
x + ?£- = 2(x + 1)
A) 1/3 B) - 3 O I 0)2 ^ E )8
Resolver en todos los casos:
A )4 B) 0 C )3 0 )5 E )2
(Q ) R esolver
3 (x + g ) . x - l l _ 8 { x + 2 )
a io s
A) 0 B) 1 0 - 1 0 ) 3 E) 4
© * ( ,_ ! ) - ( , -8) = | ( ,+3)
A) 5/9 B)-9/5 0 9/5 0 )1
2 fx + l ) 3 f x - 6 )
$ $ 3 ( 5 J ~ 4 l 3 J
A) 98 B) 14 0 7/98 0 )0
1 0 - x 2
x “ 3
A) 1/9 B )9 0 - 9
E) 0
E) 1
S ¿á ¿em a S cu a€¿on e5
* Resolver en cada caso:
2x + y = 10
x + y = 7
A){li*\ B){3:4) 0 \ * t 9 ) O) \~it~2) E )[6 tl)
tu x - y - 3
2x + y = 12
A) [6;3\ B){S;f) C){4?J) O) {7t4) E){8;8)
3 x + 2 y = 9
2x - y = - l
A)ití3) B)\4tl\ C){2il\ D)il;3)B)\4:7}
x - 3 = 2y
3 y - l = x
A) [8:3) B)[ll;4) CJ{J*;S} D)\6;4) E)\7f4)
x - 2y = 4
2x + 3y = l
A) (0,-*! B) I -Í .-1IQ (3,-s)Dl (2, - 1) E) (1,-7)
y = x + 2
2x = 5 - y
A ){lt8 } B){2:1\ Q {3;J) D){1¡3\ E)[lt0\
x + y = 3
2 x - 1 = 4 ( 1 - y)
m
x - 8 y = 0
2y + 3x = 13
*>M) s>HI c>K) «*{M ^
x + 1
3 - y
= x - 7
4Jf3.-3) B){B;2] O {6;4} D){7;4) E){2;1)
x + 3
©
= 2
2
y + 6 _= -1
A) t-3¡l\ B) {-3;4) O O) {-* 3 } E) (1,-7)
A) [1; -7 ) B) {3;-*} O \4¡ S\ O) [2t-8} E) {J,8)
x - ^ - = 0
2
* + * = 2
2 5
1A 2912}
A){2¡5)B){4¡3) 0 {8 i - l ) 0){B¡-3\ E){1¡3)
2 x + 3 y = - 4
3 x + 7y = - l
Al (-5,--2)81 (-8,2) C1 (3;-2)01 (1 ,-3 )® (1,-3)
©
Sx - 2 y - 1
3 ( x + y ) = -1 2A) (-1,3) B) (2,-<) C) (3,-S) D) (3,-3) E) (-1,-3)
2 x - 3 y = - 3
8 x + 3 y = - 7
« (« "i
y - x = -2
y - 2 = - x - 4
B{Í¡-8\C)[4¡-8\ D)\0;-t} 9 {3 ;-J }
3 x - 4 = y
x - 8 - y
A) (1,7) B) (3,-3) 01(3,3) 011-1,7) E) (3,-1)
A) \5;-3)B) (3, -3) O \4iS\D) [S¡S) O&7\
x - * ^ * = 0
2
* + * = 2
2 5
B){4:3) C) {3; -1) O) {5;-3} E){1í3\
©
5 x
y ~ 3 ~ ~ 2
2x 1
~ 3 + 2 = y m
* K ) ® K I o f í 'í l e IHI
© í * ' 5’ " '[2x - y = i
A) («;*} B) (-3;7) O {<!-*) O) {«; J) E) (7,3)
8 7 f ¡y e
x + 2 y = 5
x + 3y = 6
m
4x = 3 y - 3
x + y = l
A) {2;3} B;{-2;í) C){6i-7\ D)\4;~6\ E){0¡1)
x + y = -1
3x + 2y = 0
A) B) \-2;l) C) {*.-7} D) ¡4;-5) E) J~2;3)
y - 8 - 2x
x + 2y = 3 ( y - 3 )
A) [¡¡10) B){3;-2} C){4;-9\
La diferencia de
es 14 y su suma es
mayor número.
A)13 B)22
D)44
La diferencia de
es 40 y su suma es
menor número.
A)24 B)26
D)48
D)\2;7) E) (4;7)
dos números
52; hallar el
C)33
E)35
dos números
88; hallar el
0 6 2
E)42
La suma de dos números es 190
y su diferencia es "1 8 Hallar el
mayor número.
A)84 B)104 0 6 4
DJ102 E)56
(fó^La suma de dos números es
1529 y su diferencia 101. Hallar
el menor número:
AJ648 B)724 0 8 1 2
D)714 E)517
(?7JUn cuarto de la suma de dos
números es 45 y un tercio de su
diferencia es 4. Hallar los números.
A)96 y 84 B)12 y 48 O 100 y 80
D)120y60 E) 98 y 82
(Q)Un tercio de la suma de dos
números es 57 y un quinto de su
diferencia es 5 ; hallar el mayor
número.
A)52 B)48 0 5 4
D)61 E)63
Un décimo de la suma de dos
números es 15 y un sexto de su
diferencia es 5. Hallar el mayor
número.
A) {5;/} B) {2;-3} C) [4;-l\ D){4;-6\ E){7;2\ A) 90 B)60
D)40
O 1 0 0
E)NA.
Hallar dos números sabiendo
que si uno de ellos se suma con el
doble del otro se obtiene 21 y que si
este último se suma con el doble del
primero resulta "18\
A)3,7 B)8,6 0 7 ,9
D)6,4 E)5,8
Hallar una fracción sabiendo
que si se aumentan al numerador y
el denominador en 5 unidades se
obtiene % y si ambos se
disminuyen en 2 unidades resulta
A)'% B)%
D)V»
C)%
E) y,
Hallar un número sabiendo que
el doble de la suma de dos números
es igual al triple de su diferencia
más 8 y que su semisuma es igual a
su diferencia más uno.
A)6 B)4 0 7
D)5 E)9
(Q) Hace 6 años Agustín era 4 veces
mayor que Pedro. Hallar sus edades
actuales sabiendo que dentro de 4
años solo será dos veces mayor que
Pedro.
A) 11 B)15
D)26
0 1 8
E)25
(Q) Cinco cuadernos y 8 lapiceros
cuestan S/.115,3 cuadernos y 5
lapiceros cuestan S¡,70\ hallar el
precio de cada cuaderno.
A)Sf. 10 B)12 0 1 4
D)15 E)18
Repartir 1080 soles entre "A" y
"B" de modo que A reciba 1014 más
que B.
Hallar dos números enteros
consecutivos cuya suma sea 103.
Tres números consecutivos
E D M C I O X M C S K V M l i X O S Í j
enteros suman 204 . Hallar los
números.
Hallar dos números enteros
pares consecutivos cuya suma sea
194.
Hallar tres números enteros
consecutivos cuya suma sea 186.
Pagué $325 por un caballo; un
coche; y sus arreos. El caballo costo
$80 más que el coche y los arreos
$25 menos que el coche. ----- -
Hallar los precios respectivtL^J
CLAVES D E L A QUINTA
PRACTICA,
’ ( ECUACIONES BASICAS I ) '
0 1 ) A 02)A\ i 03)11 04 ) B
0 0 ) A -t , 0 7 ) tí
10) C 11) tí
ÍV ?
03) t í
09) A
1 3 ) tí
17) A
0 1 ) t í
03) tí
1 4 ) t t£ ¿ 1 3 )A
18) tí
02) A r 0 3 ) C
08) tí
12) A
>10) C
20) tí
04) A
CLAVES DE LA SEXTA
PRACTICA
% t .
( EC U A C IO N E S BÁSICAS
01) C 0 2 ) 0 03) B
03) C OB)A
09) B lú )C
13) B 14) C
02) A 03) C
07) B
11) A
13) C
04) B
04) A
08) tí
12) A
01) C
03) B
P R O B L E M A R E C R E AT IV O
En los tres gráficos mostrados , las
balanzas se encuentran en perfecto
equilibrio. ¿Cuántas tazas se
necesitan para equilibrar una jarra?
Rfl-l n* 2
F Tg .3
IA excmí'jw i c i h A 2012}
O B J E T IV O S ;
Al finalizar la unidad el alumno será capaz de:
• Identificar los diferentes exponentes y el significado
de cada uno de ellos.
• Realizar las operaciones de multiplicación y división
de potencias en una misma base .
• Expresar un número de diferentes formas , como
potencias de una cierta base.
• Entender que las leyes de exponentes son la base paja
el manejo de los distintos tipos de operaciones y
artificios dentro de la matemática
CUESTIONES EREEIIHINAKES
Nos introduciremos en las operaciones algebraicas,
partiremos de algunos ejemplos :
*Lila tiene 4 lib ros y Brayan 3 lib ros . Si los
juntáramos en un paquete tendríamos 7 libros en
total, esto se puede simbolizar , a s í:
4 libros+3 libros=7 libros ó 4 L+3 L=7L
• Pero si tuviéramos 4 lib ros y 3 cuadernos, y
quisiéramos juntarlos en un solo paquete, sólo
diríamos:
"se tiene 4 libros y 3 cuadernos", es decir, no podría
efectuarse operación aritmética alguna, de donde se
concluye que:
* Gata adicionar o sustraer es necesario tomar elementos te un
mismo conjunto.
* &ata no escribir el nombre te tul o cual objeto o cantítat te
objetos, se tes puete asignar ciertas tetras equioatentes atnombre.
Luego del ejemplo anterior también se puede
expresar de la siguiente forma:
«4x + 3x» y se obtendría 7x o en otras
situaciones se tendrá: 7yx3 + 2yx3 y se obtendrá
9yxs
* De donde , elementos del mismos conjunto
como 7yx3 y 2yx3 se llaman ntérminos
semejantes".
T é m u r w ¿ M je & w U c o
Es una expresión matemática que consta de tres
partes:
Exponentes
Sígnoj « Exponente
± lx Coeficiente
Variable
Coeficiente
Variables
T é f a n w n o á S e m ^ a e d e á
Son aquellos términos que poseen la(s) misma(s)
variable(s) con su(s) respectivo(s) exponente(s)
E JE M PLO S :
*5x2 ; -—x 2 ; 9x2
i 2 ________ i
Son térm inos sem ejantes
* 2 ¡f ; - | x 2 ; 0 , l a 3
[_______5___________ I
*■ No son términos semejantes
*~Los exponentes no son Iguales
X 1
* 7 x V ; 2y V ... “no son términos semejantes
Los exponentes son ¡guales
ADICIÓN F SUSTRACCIÓN DE
TÉRMINOS Y SEMEJANTES
Si descubrimos que dos o más términos son semejantes
, estos pueden ser reducidos a uno solo , sumando o
restando los coeficientes y escribiendo la misma parte
literal.
E JE M PLO 1 :
Reducir:
A = 2x2 + 5x
T _
x o t .x :
: = (2+5)xs = 7x2
*■ Son términos semejantes
Una manera práctica, es agrupar todos los términos
T £ O K ¿ l M * E 'MC & 99 HIHt'HKXMlS KU KÍÑ OÑ j
)ositivo8 , luego , los términos negativos , y al final
restar ambos resultados, colocando el signo del
mayor».
í J L m o £ ;
Simplificar: -5 x + 12x - 1 0 x -3 x + 2 íx - 2x
u'ESOLldóX: Negativos
i----------------------- 1
+I2x+21x- (5x+l0x+3x+2x)
J L
Observa cómo se han
agrupado tos coeficientes B3x
positivos conservando su
propio signo
' Entonces la respuestas será : 12x
f
21x__ i
12x
NOTA 1 .37x yT 5 *V
son T.S.
porque: x sy3 = y sx*
0 El orden de los factores no alteran el producto
EJEM PLO 3 :
Reducir:
P=-(-6x*+ Sx3-9 x* + 6 )+ (1 6 - 10xs -6 x 3) +I2X2 + l l x 3
PE SO L U CIÓ N :
Si delante del signo de colección aparece +
eliminamos el signo de colección, y los signos de los
términos interiores no cambian.
IljSi delante del signo de colección aparece el signo -
eliminamos el signo de colección y los signos de los
términos cambian.
5 Luego:
P = +6x* - 3xs+ 9x* - 6 +16- 10x*-6x3 + 12x* + l l x 3
=>P = Gx* +9x2 -10x* +12x*-3x3 - 6 x 3 + l l x 3 - 6 +16
=>P = ( 6 + 9 - 1 0 + 1 2 ) x $ + ( 1 1 - 3 - 6 ) x 3 + 1 6 - 6
=>P = 17x * + 2 x 3 + 1 0
r>Ya no se puede reducir porque no hay términos
semejantes
EJEM PLO 4 :
Adicionar:
2 x2 - 3 x - 1 con -x s + 3x + 2
R E SO LU C IÓ N :
* Ordenando de acuerdo a sus términos semejantes :
2x2- 3x - 1
___________ -at + 3x + 2 (£
(2 - l)x! + (-3 + 3)x + l
* Lo cual es equivalente a: ** + 1
E JE M PLO 5 : *
Sustraer : 5 x - 2 de x 2 - 3x + 2
R E S O L U C IÓ N :
* Ordenando y reduciéndo términos semejantes:
x* — 3x + 2
5x - 2
i
x1 + (-3 - 5)x +2 +
• Lo cual es equivalente : x - 8x + 4
E JE M PLO 6 :
Simplificar:-£-3m -{/» + [-m + (2m - n ) - (-ro + » )]+ 3n}+ j
R E S O L U C IÓ N :
•Empezaremos simplificando los términos semejantes
más internos, es decir, los afectados por los paréntesis.
= 3m - {ra + [-m + 2m - n + m - n] + 3ra} + 4mJ
= - [ - 3m - { n + 2m - 2n + 3ra} + 4m]
= - [ - 3m - {2m + 2n} + 4m~\
= - [ - 3m - 2m - 2n + 4m]
= - [ - m - 2n] = m + 2n
0
* entonces al simplificar resulta : m +2n
S e y e ó d e S x f í o n e n l e ó
Esta unidad es importante para el estudiante porque
le permite identificar, reconocer qué propiedades se
pueden aplicar para solucionar un problema planteado.
Además la expresión an se puede extender al caso que
nn" no sea un entero positivo, siempre que el desarrollo
sea consistente con las leyes de los exponentes. Es decir,
los exponentes pueden ser enteros positivos o negativos
o cero, números racionales o complejos.
Si el exponente en uno de los miembros de una ecuación
incluye una incógnita a r = a r , donde a >0 y a * 1 •
Esta última recibe el nombre de ecuación exponencial.
Las leyes de exponentes son un conjunto de
propiedades referidas a las distintas formas en que
aparecen los exponentes, el significado de estos , las
transformaciones y operaciones que pueden llevarse a
cabo con ellos.
Los exponentes, de alguna forma, se relacionan con
dos operaciones algebraicas: la potenciación y la
radicación.
En diversas partes de la ciencia como por ejemplo : LA
FÍSICA , LA QU ÍM ICA , LA A STR O N O M ÍA etc. es muy
común tratar con cantidades muy grandes o muy
pequeñas como la masa de un electrón que es
BSS3 40 IB
equivalente a 9,1 x W 3* kg 9 o el número de avogradro
el cual es : 6,02x1023 etc. , por ello es de
suma importancia saber operar en forma adecuada
con todo tipo de exponentes .
A continuación pasaremos a detallar las leyes de
exponentes y sus consecuencias
POTENCIA
Es el resultado obtenido al multiplicar un número
llamado BASE, cierta cantidad de veces; esta cantidad
es el EXPONENTE.
exponente
— ► potencia
/
bn=p -
t— base
EJEM PLO S:
5 i t e c e s r — ► E x p o n e n t e
^ - - ■ /Jj
* 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3 = 2 4 3 ►Potencio
base
4 v e c e s
A ______________________ E x p o n e n t e
* 2 x 2 x 2 x 2 = 2 ^ = 16 P o te n cio
b a s e
i) EXPONENTE NATURAL í
Dada una cantidad elevada a un exponente «ti» mayor
que 1, equivale a multiplicar «ti» veces dicha cantidad,
aa nopir*
Exponentes ; n e N
bxb * b * x b = P
V
Base
b e R
“n ” veces
btencÜ
Pe R
EJEM PLO S :
• 44 = 4 x 4 * 4 x 4 = 256
* ( - 3 f = ( - 3 ) x ( - 3 ) x ( - 3 ) x ( - 3 ) x ( - 3 ) = -243
• J5i = j 5 x j 5 = j 2 5 = 5
3( l Y 1 1 1 1
* — = — X — X — ----------
U J 7 7 7 343
* - 7 2 = -(7 )2 = -49
* xbn * (xb)n ; para n * 1
* 5 x 5 x 5 x...... x 5 = 5m
m vocom
• X 7 = X X X X X X X X X X X X X
1 vece»
2006• n x n x n x x n = n
•2006 vece»'
• a x a x a x a x a x a x a x a = a
N O TA :
Es recomendable que se recuerde los siguientes
resultados; pues, estos se presentan en determinadas
ocasiones, dentro de ciertos problemas, y hay necesidad
de expresarlos de la forma más adecuada.
22 =4
23 = 8
24 = 16
25 = 3 2
26 = 64
32=9
3S = 2 7
34=81
35 =243
3e = 729
37 = 218727 = 128
28 = 256
29=512
210 = 1024
* ( + )
* ( + f m p a r _ +
42 = 16
4S = 64
44 = 256
4S = 1024
52 = 2 5
63 = 125
54 = 625
5b=3125
72 = 49
73 = 343
74 = 2401
Jar = * ( - f " = +
* ( _ fmpar _ _
Sfty de Stpneá
1) Todo número positivo (+ ) elevado a un exponente
“par” o “ impar” es siempre positivo.
E JE M PLO :
* (+9)* = +81 * (+4 ) 3 = +64 * (+2)° = +323 _
2) Todo número negativo (-) elevado a un exponente
“par” es siempre positivo.
EJEM PLO :
• (~7)‘ =+49 • (-3)4 = +81
•(-2)* = 64 • (~l)200s = 1
3) Todo número negativo (-) elevado a un exponente
“ impar” es siempre negativo.
E JE M PLO :
j — impar
• (jjf = -343 -
I m p a r
. (~5)~ = -3 1 2 5
II) EXPONENTE UNO í
E JE M PLO S:
(~6f
Impar
= -216
8
• 4 7 * = 4 7
• 21 + 61 = 2 + 6 = 8
• l 1 + ( - l ) 1 + 01 = l - l + 0 = 0
rjK O K J tt mmms
ítl) ENTONENTE CEROS
E JE M P L O S : f o ,
l o — 1
(-13)° = 1
- 1 3 0 = - 1
ÍV) EXPONENTE NEGATIVO :
Toda base diferente de cero elevada a un exponente
negativo se convierte en fracción, cuyo numerador es
uno y el denominador es la misma expresión pero con
exponente positivo.
1 2
3 1 E D IC IO N E S HUDIÑOS)
VI) DIVISIÓN DE BASES IGUALES í
Al dividir 2 bases diferentes de cero e iguales , con
diferente o el mismo exponente , obtendremos la
misma base elevada a la diferencia de
exponentes.
b
b
= b
I 1x - j r
Diferencian
de exponentes
E JE M PLO S:
b n II
b n
; b*0
* 5 2 =
* ( - 2 n =
25
1
( - 2 ) - 8
bm = 6 m' n
bn
13
- 2 13-7 = 2 6
-7
; b * 0 \ * —— = 5~7~1 = 5 ~ *
Se invierte la fracción
c i r - s r
r - i r
• x n -1
X n
X
V) MULTIPLICACIÓN DE RASES IGUALES S
Si se multiplican 2 o más bases con diferente o igual ¡
exponente se obtiene como resultado la misma base
elevada a la suma de exponentes.
-
P
M í) POTENCIA ELEVADA A UN EXPONENTE :
Si se eleva «bn»t a otro exponente se obtiene la base
«b», elevada al producto de ambos exponentes•
•K
y
Exponentes
se suman*.
a* x av = ax + * A
l
bases iguales
$
Exponente
| |------ ► Exponente
(b") = a
mn “Exponentes s<
multiplican”
EJEM PLO :
(6 * )" =bmn
EJEM PLOS :
*b m x b * = 6m + "
(a2) = a2*3 = a6
[ ( x 3 ) 4 ] 2 = x 3*4*2 = X 24
(bn Y" = = bmn
Exponentes
se suman
f x 77 = y + 7= f + 7 = 712
Bases iguales
* 6 4 x 6 3 = ó*+3=&7
• w2 XWXUJ^3 = w 2+i~3
8 s - \ 3 s - \ 8 + S
MD) POTENCIA DE UNA MULTIPLICACIÓN :
Si elevamos una multiplicación indicada de 2 ó más
números a un exponente, este afecta a cada número
que interviene.
w ° = l
E JE M PLO S:
(ab)n = a ” x bn
• K H r - e r .
* ( - 0 ,7)6 x ( - 0 ,7)3 = (-*>, 7)6+S = ( -0 ,7)9
• (3x)2 = 32 x x 2 = 9 *
• ( x y z ) a = x a x y a xz'
7® x 72 = 7®+* = 71
3 ^ x 3 ® = 3 ^ +s = 3®
xaxxi xxc = xa+b+c
• (2x*y°)= 22 (xs )2 (y5 )2 = 4x6y ¡0
• (3absf = 243asb13
• ( S x 2y e)3 = (~6 )3(x2f ( ^ f = -125x6 y13
IX) POTENCIA DE UNA FRACCIÓN í
Si una fracción se eleva a un exponente, este afectará
al numerador y al denominador.
42 íu\ encmcmmmmpmA 20 Í2¡
EJEM PLOS
b * 0
12 12y x = 27
H s r
tfláMóacic** :
b
m
n P n P / x
b
m
b
m
b
«Se toma de
arriba hacia
abajo tomando a
Y los exponentes de
2 en 2»
E JE M PLO S :
DEFINICIÓN Z
La radicación es aquella operación matemática en la
cual, dados dos números llamados cantidad subradical
e índice, se requiere encontrar otro número llamado
raíz.
E JE M PLO S:
* $¡64 = 4 ; porque 43 = 64
* y¡25 = 5 ; porque 5 2 = 25
* *1/2048 = 2 /p orq u e2 “ = 2048
x ) í >o t e x c l \ m : e x p o x e x t e fraccm oxam u o :
5 = 5 ‘ " = 5 = 5 " = 2 5
.♦i*.
,2a
= 2
9(3?' /¿'i/ -V:
2 = 2 2 '' - 2'2y = 2 4 - 1 6 E JE M PLO S:
________________________; n > 2
“ El denominador del exponente se convierte en el
índice de la raíz
INTRODUCCIÓN A LA RADICACIÓN • 7112 = 77
El acontecer histórico radicación se remonta a la
necesidad del hombre de hallar valores a partir de la
Potenciación.
Por ejemplo ahora es fácil operar y resolver lo siguiente:
17*=x
• b 3 = l[b *
1
• 6 » = 7 6
• tfb " = b
. u m = t f l F
• 2 3 = T Í 7 = 7 Í 6
£
• 3 2 =1¡3* =y/3
• ^ 6 ™ = 7 6
m
NOTA
El valor de «x» se encuentra fácilmente usando la ____ ___
definición de Potencia, por lo tanto x = 289. Veamos • n<Jbmk — \jbm
otro caso: y7 = 128, ahora nos piden hallar la base
«y»; a esta operación, que es una de las operaciones
inversas de la Potenciación se le conoce com o Las potencias de exponente fraccionario siguen
Radicación. verificando las propiedades de los exponentes enteros.
En con clu sión la R a d ica c ió n es u n a d e la s E JE M PLO S:
op era cion es in versa s d e la P o ten c ia c ió n q u e ^ ^ ^ + ^ _ J^ 7
tien e p o r fin a lid a d h a lla r la ba se, d a d o el
exp on en te y la p o te n c ia .
RADICACIÓN* 2 % = — 1
En general:
sí: a x a x a x a x x a = a m' * /
"m" factores
* En radicación:
raíz
*
V 2
1 1
( h 9 )V2
Para este
caso no tiene
solución
i i i
t
•ffi = a <=> a = N
2 5 % y] 2 5 5
IL
NOTA
radicando ó cantidad sub-radicat
sím bolo radical
índice de la raíz
Cuando el índice es 2 , es usual escribir Va en
lugar de y llamar a Va la raíz cuadrada de
a. Al número se le llama la raíz cúbica de a.
[V'MCOKÉAL MMM2 M‘ZXMm4*NrMZ!%rrMC:
OBSERVACION:
E D IC IO N E S RUHIÑOfÁ
O = -2
JZ4 - No existe en el campo de los reales
p ü
\49
Además: positivo
i
$9 = 3
7
x a ) RAIZ DE RAÍZ :
Si a un número le afectan sucesivamente varios índices,
entonces dichos índices se multiplican, así:
* ,mparJ ^ = +r E JE M PLO S:
negativo
i
■mX 16 x y 8 = 2*2* $ x , 6 x y 8 = $ x " x yi e „ S = $ T IS x t í y 8
* ímpaV -a = - r
* $ ¡ 2 = 2xl ¡ 2 = Ji f 2
* 4*ilb = tj^ ¡¡j * a b e
par4 í a =
* p a ^ =
EJEM PLOS:
+ r * •<¡y}'j4096 = 2x3x$4096 = 1yfl2*2 = 2
XIV) POTENCIA DE UNA RAÍZ :
No existe en el conjunto de los R
; Íp 3 ; $ - 3 0 0 0 no están definidas en
g (no existen)
XI) RAÍZ DE UN PRODUCTO í
Si tenemos la raíz de un producto, dicha raíz afecta a
cada factor, así:
E J E M P L O S :
EJEM PLOS: 1 -
* $ 2 7 a = $ 2 7 x $ a = 3 $ ü
<P
* \Í16 X $2 = $16x2 = $32 = 2
* y ¡ 4 9 J = J 4 9 3 = 7 3 = 3 4 3
* = ^ ¡ 8 5 = 2 5 = 3 2
* s4 7 = ^ ~ ^ c = x 23^ c
C o n s e c u e n c i a s :
A) ia^íb = tfam?[b
B) a\fb = yfa^b
&
$710 x3 6 = $7™ x$3* = 7 ^ x 3 8 = 4 9 x 3 B
yfx~ x y
* $2 x$4 = $ 2 x 4 = $ 8 = 2
8.
xy* = x 2 x y 3 = *
X + X +
f\ r \ m(a m + b) p + c
nmp
* $ 3 x $ 2 x $ 7 = $ 3 x 2 x 7 = $42
I 22 11
V6‘ sb7 =b 2x3 = b 6 = b 3
.11J) RAÍZ DE CN COCEENTE í
; b * 0
EJEM PLO S:
ir $8i 3
256 ~ $256 4
m "lLpJc i—"$bD )V a ib =^á
@ fi£ / iM C ¿o n eá > ^ o m é in a ila A
En este tema, tendremos en consideración la
«JERARQUÍA DE OPERACIONES» el orden
de resolución para cada operación planteada.
U EXCH'JWtCiHA 2012}
EJEM PLO:
si queremos resolver lo siguiente:
£ » - 6 + 7 x 2 - 5 * + f x 5 - 2 J + 7
Tenemos que hacerlo siguiendo un orden:
Primero: Se efectúan las potencias y/o raíces.
Segundo: Se efectúan las multiplicaciones y divisiones
Tercero: Se efectúan las adiciones y sustracciones.
El resultado final será: E = 6
Ahí!... y además hay que considerar los signos de
colección:
( ) Paréntesis ; [ J Corchetes ; { } Llaves
* Así, el orden sugerido para efectuar operaciones
combinadas es:
1ro: Signos de colección ( ) , [ ] , { }
2^°: Potencias y raíces (...)n;
3ro: Multiplicación y división; x ; +
4io: Adición y sustracción: + ; -
Recordemos: 4+ 3 = 3 + 4= 7
* Para sumar dos números positivos se suman en forma
usual: - 5 - 3 = - 3 - 5 = - (3 + 5)
* Para sumar dos números negativos se conserva el
signo menos y los números se suman.
- 6+ 3 = 3 - 6 = - ( 6 - 3 ) = - 3
* Para sumar un número positivo con un negativo se
conserva el signo del mayor número y luego se resta el
mayor menos el menor.
5 x 4 + ( - 2 ) + M ) x 3
20 * ( - 2 ) * ( -5 )x 3
-1 0 * ( - 5 ) x 3
* Para efectuar una operación combinada de divisiones
y multiplicaciones se procede de izquierda a derecha.
2 0 + ( 1 0 - 1 5 ) + 2 1 5 * ( 7 - 1 0 ) ( - 2 + 5 )
B - 2 0 * (-5 ) + 2 1 5 * ( -3 ) x (3 )
B = - 4 ( -5 ) x (3 )
=>B = { - 2 - (-J 5 )} = 1 3
EXPRESIONES CON OPERACIONES QCE
SE REPITEN INDEFINIDAMENTE
Son aquellas expresiones en donde las operaciones se
repiten un número ilimitado de veces y a las que se les
puede atribuir una regla de formación.
Algunas de ellas son:
. _ n - l/_ m=> x = va
= \/am * yjam +\ía“ .„oo radicales => x - n*lfa
= n => x = yin
QO
40
% x — b
O• » O V . 00formas indeterm inadas: O ; ~ ; 0 x*>; 1 / — ;c©
O co — 00
NOTA
m m
UI) i a + ^/a + .^..."n’rudicales
;n n es par
impar
NOTACIÓN CIENTÍFICA
La n o ta c ió n c ie n t í f ic a (o n o ta c ió n ín d ic e
estándar) es un modo conciso de representar un
número utilizando potencias de base diez. Los números
se escriben como un producto: a x iO ", (siendo a un
número mayor o igual que I y menor que 10, y n un
número entero). Esta notación se utiliza para poder
expresar fácilmente números muy grandes o muy
pequeños.
La notación científica utiliza un sistema llamado coma
flotante, o de punto flotante en países de habla inglesa
y en algunos hispanohablantes.
El primer intento de representar números demasiados
grandes fue emprendida por el matemático y filósofo
griego Arquímedes, descrita en su obra El contador de
Areia en el siglo III a.C . Ideó un sistema de
representación numérica para estimar cuántos granos
de arena existían en el universo. El número estimado
[rJEOItJtl IMS MSXPONMSIVTISN______
por él era de 1063 granos. Nótese la coincidencia del
exponente con el número de casilleros del ajedrez
sabiendo que para valores positivos , el exponente es
n -1 donde n es el número de dígitos, siendo la última
casilla la N9 64 el exponente sería 63 (hay un antiguo
cuento del tablero de ajedrez en que al último casillero
le corresponde - 2 elevado a la 63 granos).
A través de la notación científica fue concebido el
modelo de representación de los números reales
mediante coma flotante. Esa idea fue propuesta por
Leonardo Torres Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936)
y George Robert Stibitz (1939).
ESCRITURA :
10° = 2
101 = 10
1 0 * = 1 0 0
10* = 1000
104 = 10 000
10s = 100 000
10* = 1000 000
109 = 1 000 000 000
lo 10 = 10 000 000 000
10f° = 100 000 000 000 000 000 000
1030 = 2 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
10 elevado a una potencia entera negativa - n es igual
a 1/10” o, equivalentemente 0 , (n-1 ceros) 1:
• 10"1 = 1/10 = 0,1
* 10-* = 1/1000 = 0,001
• 10~ ° = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001
Por tanto, un número comot 156 234 000 000 000
000 000 000 000 000 puede ser escrito como
1^6234x10",
y un número pequeño como 0,000 000 000 023 4
puede ser escrito como 2,34x10 "11
usos:
Por ejemplo, la distancia a los confines observables del
universo es 4,6xl03*m y la masa de un protón es
1,67x10"97 kilogramos. La mayoría de las calculadoras
y muchos programas de computadora presentan
resultados muy grandes y muy pequeños en notación
científica; los números 10 generalmente se omiten y
se utiliza la letra E para el exponente; por ejemplo:
1,56234 E29. Nótese que esto no está relacionado con
la base del logaritmo natural también denotado
comúnmente con la letra e.
La notación científica es altamente útil para anotar
cantidades físicas, pues pueden ser medidas solamente
W K IH C tO X E S KUttlXOS)
dentro de ciertos límites de error y al anotar sólo los
dígitos significativos se da toda la información
requerida sin malgastar espacio.
Para expresar un número en notación científica debe
expresarse en forma tal que contenga un dígito (el más
significativo) en el lugar de las unidades, todos los
demás dígitos irán entonces después del separador
dec i m a l m u l t i p l i c a d o por c l e x p o n e n t e de 1 0 respectivo.
E JE M PLO S :
* 238294360000 = 2,3829436EU
* 0,000312459 = 3,12459E - 4.
OPERA CIOSE S MATEM ÁTICAS CON
NOTACIÓN CIENTÍFICA
SUMA Y RESTA í
Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se
debe sumar las mantisas, dejando la potencia de 10
con el mismo grado (en caso de que no tengan el mismo
exponente, debe convertirse la mantisa
multiplicándola o dividiéndola por 10 tantas veces
como sea necesario para obtener el mismo exponente):
EJEM PLO :
* l X l 0 4 + 3X104 = 4Xl04
* 2x1o4 + 3x10B =02x10* + 3x10* = 3 2 x 1 o 1
Para sumar y restar dos números (o más) debemos
tener el mismo exponente en las potencias de base diez.
Tomamos como factor común el mayor y movemos la
coma flotante, en los menores, tantos espacios como
sea necesario, elevando los correspondientes
exponentes hasta que todos sean iguales.
E JE M PLO :
2 x l0 4 + 3x20a- 6 XlO* (tomamos el exponente 5
como referencia)0^2x10* + 3x20a- 0,06x10* = 3,14x105
entonces la notación científica es una manera de
recoger todos los 0 en una base 0
MULTIPLICACIÓN í
Se multiplican los coeficientes y se suman a la vez los
exponentes:
E JE M PLO :
(4xl0*)x(2xl07) = 8 x l 0 ia
DIVISIÓN :
Se dividen las mantisas y se restan los exponentes
(numerador denominador):
E JE M PLO :
(4xl0ls)H 2 xl& í) =2xJ07
Además se pueden pasar los dos números al mismo
-CMMMEryfk. #0
exponente y luego nada más multiplicar.
DISCREPANCIA DE NOMENCLATURA
IA E iV fm e w m t 2012]
E = x x * x * E = E = (3 )3 = 27
Simplificar:
A = (6 xb2 xb2 x
12 («ee«
A pesar que la notación científica pretende establecer pautas PR O B L E M A 4 ’
firmes sobre la referencia numérica en materia científica, se
presentan discrepancias de lenguaje.
Por ejemplo en EE.UU. 10* se denomina ebillion». Para los países
de habla hispana 10* es mil millones o millardo (del francés
mlllard) y el billón se representa 101í. Llegamos a un caso
práctico donde para los estadounidenses one billfon dollars,
para los hispanohablantes será un millardo de dólares (poco Á j b224 B ) b i0°
usado) o mil millones de dólares (más usado).
Otra particularidad del mundo hispano es que a 104 (10 000), se
le denomina miríada. No obstante para 10 000 se usa diez mil * En la expresión:
como uso frecuente y miríada cuando se quiere hacer notar ei
diez mil como «muchísimo» respecto a una comparación con
algo cuantíficable que elevó su cuenta significativamente, sin
que este uso tenga fundamento científico sino de costumbres.
xb3 xb3 .x b3)’
C)bm
16 vece»
A 4
D )b** E)b™
R E S O L U C IÓ N :
[b2 x b 2 x b 2 x x 62 ) = ( & 2 ) J* = 6 24
12 cecea
PR O B LEM A 1:
Calculé: e = 27
r * i r -
- i
20
0,5
R E SO L U CIÓ N :
* Por propiedad del exponente negativo, se tiene:
£ =
5 4 2 20 227 + + —- =>£ =3 3 9
27 - 16 20 — x 5 + — + —
3 9 9
=>£ = 19x5 + 16 + 20
9
ts
=> £ = (45 + 4) =► £ = 49* = £ = 7
PR O B LEM A 2 :
Calcule;
E
= [M)l- 3 + 2
— 2
r f 4
- i
4
5 1 2 3
+ 1 0
< * • *'f- v
R E S O LU C IÓ N :
* Al igual que el anterior , por propiedades , resulta:
i
E = 1
- s 5 * 23 2
3\
+ 2 +T + => £ =
3 > + ? !L + ? 1 + 1 o
¿
2
l l
E = (27 + 12 + 10 )2 = (4 9 )2 =t-£ = 7
PRO BLEM A 3 :
Si: X x =3 , hallar el valor de: = x Xx + x
•.
R E S O LU C IÓ N :
Por propiedad, se tiene que:
(b3 xb 3 x b 3 x xfcS) = (&3) ,a = 6 48
Luego:
15 cecea
3 90A = (b24) x ^ 4* ) = b 72x b :
=> A = b72*90 => A = b162
RPTA
P R O B L E M A 5 :
Reducir:g _ a y x o * y x a »6 < . . . . .x a V
25 térm ino»
señale la suma de los exponentes finales de «a» y «b»
A) 225 B) 92 C) 70
D) 285 E) 950
R E S O L l Y TÓ X:
* En la expresión:
B = a5b4 xa 5b4 x a 5b4 xa 5b4
0,5 * Ordenando:
5
25 términos
J5 = a xa xa ......,.,.xa xÓ x6 x6‘ xbr k
26 término* 25 término*
* Tenemos que:
I) fa g x o g x g g........... gB) = |gg| = a 126
25 100
26 términoa
II) (b4 x b 4 X&4 ) = (b4 y° = b
25 términos
* Luego: B = a 125 x b100 =* 125 + 100 = 225
RPTA : uA n
PR O B LE M A 6 :
. t. * »• ' * -**' c
Siendo:
; L = / x x s ... x x 9 Á = x 4 x x 4 X X
20 vece» 15 veces
X X X X T = x '1 x x ‘ l X X
.i
20 vece» 40 veces
*>.
Í T J 3 0 K 1 A M M E / i ^ P O A ’J K i O 'I i í
Simplificar: L - A + R - T
A) 1 B)x* C)x4
D) 0 E)x*
R E S O L U C IÓ N :
* Trabajando por partes:
L = x 3 x x 3 x x 3 - ( x 3)20 = x 60
J @ L * Z . E I H C I O N t i S K l J i l I Ñ O S )
20 vecea
4 4X X X .............,x x 4 - ( x 4) 15 - x 60
15 vecea
•2 -2 X X X .......... . X X 2 - ( x 2 ) 20 - x 40
20 vecea
x '1 X X ' 1 ........... x x '1 - ( x 1 )40 - x '40
40 vece8
* Luego lo pedido será :
6060 60 -40 -40X - X + X - * = 0
RPTA: “D I»
PR O B LEM A 7 :
Expresar: 77x 3 7x2Jfi, Como potencia de 21
R E SO L U C IÓ N :
* Como «7» y «3» tienen igual exponente luego se
tendrá:
( 7 x 3 ) 7 x 2 1 8 = 2 1 7 = 2 1 8 = 2 1 7 + a = 2 1 15
PR O B LE M A 8 :
Calcular el valor d e : S =
A) 2 B) 3
D) 15 E) 1
R E S O L U C IÓ N :
1 5 6 x 1 2 4 x 5 9 x 6
1 0 u x 3 1 3 x 5 4
C) 5
* En este problema se usará:
* Previamente, transformando a factores primos
(3 x 5)6 [22 x 3)4 (5)9 (2 x 3)s
(2x5)n x 3 , s x 5 4
* Utilizando las leyes:
S SS
S = 36 x 5 6 x 2 8 x 3 4 x 5 9 x 2a x 3 s
211 x 5 lt x 3 ío X5í i 13
* Efectuando operaciones:
,64-4+3 6+9
s = X 5 X 2
8+3
* También: S =
2u x 5 1I+4x3
211 x 3 13 x 5 15
2U x 3 13 x 5 is
13
* Simplificando, se obtiene: S = 1
PR O B LE M A 9 :
RPTA : “E3*
Simplificar: T _ 154 x 140 x 303
~ 216 x353 x803
C)15A)5 B)3
D)20 E)40
R E S O L U C IÓ N :
* Descomponiendo: 15 ; 14 ; 30 ; 21 ; 35 y 80
_ ( 3 x 5 ) 4 ( 2 x 7 ) 9 ( 2 x 3 x 5 ) S
T =
( 3 x 7 ) 6 ( 5 x 7 ) 3 ( 4 2 x 5 )
3 4 x 5 4 x 2 9 x 7 9 x 2 3 x 3 3 x 5 3
3 6 x 7 6 x 5 3 x 7 3 x 4 ° x 5 3
2 12 x 3 7 x 5 7 x 7 9
2 12 x 3 6 x 5 6 x 7 6
T = 15
RPTA: “C”
P R O B L E M A 10 :
J \
64 9
- 4 - 2
- 1
Calcule: E =
R E S O L U C IÓ N :
Aplicando sucesivamente propiedades y desarrollando
de arriba hacia abajo:
Entonces: E = 4
P R O B L E M A 11 :
Calcule: E — 27 - 9
- 4 - 2
R E S O L U C IÓ N :
2 ~ J = í = > E = 2 7 ~ 9 ~4 2
2
1 = *
4 2 = - = ^ E = 27~9 2
2
— 1 i
9 2 = - = > £ = -
3 3
P R O B L E M A 11 :
* V
2 m + l
p = + 49
m + 1
49
A )1 B) 2
m + 1 _ y 2 m + l
C) 3 D )7
£>-3
Descomponiendo:
c 43
P = /'"x 7+ 49T x 49*2m
4 9 mx 4 9 - 7 X 7 r7"r=
1
=> p =
4Í9m X 7 + 49 X 49
49m x 49* - 49m x 7
* Factorizando « 49m »:
= o p _ 4 9 ” ( 7 + 4 9 )
4 9 m ( 4 9 - 7 )
PR O B LE M A 12 :
= > ! > » £ £ » £ = * £
42 6 3
RPTA: UE 99
R =
- ( t í
•2
¿ r * e r
A) 2 B) 4
R E S O L U C IÓ N :
C )6 D) 41 E) 10
* Empezando por las partes internas:
« - M N ¿ - ( í f
=>R =
6 - 5
m
i-2
= > * = ! -
3 ) L2 5 2 5
* - r .
n
3‘ +52 =41
RPTA : “D”
2 5
PR O B LE M A 1 3 :
Calcular el valor de la expresión:
M =
2n+3 x 72n4rl +¿ 2n+1 X 7 2n
n+5 X 7 2'* - 2 nTl x 7n+1 2n +l
A) 1 B) 2‘
D) 2 E) 3
R E S O L U C IÓ N :
C)7*
¡~
P R O B L E M A 1 4 :
Calcular: 27* x¡ f
18
A) 9 B) 8 C) 16 D) 1
R E S O L l. 'CIÓ .Y :
* Tratemos de formar bases iguales :
{ 3 s ) 4 + { 2 4 / 3 12 x 2 8 2 a
E)4
Í2x32f
P R O B L E M A 1 5 :
Calcular:
E =
2 * x 3 12 2 6
= 2 = 4
RPTA : “E 99
1 0 4 X 30 2 X 42a
12x20* 352 x 125 * 216
A) 1 B) 2 C) 6 D) 126 E) 252
R E S O L U C IÓ N :
* Tratando de formar bases iguales, se obtendrá :
( 2x 5 ) 4 x ( 2 x 3 x 5 ) 2 x ( 2x3x7) S
2 2 x 3 x 2 2 x 5 x ( 5 x 7 ) 2 x 5 3 x ( 2 x 3 ) 3
2 4 x 5 4 x 2 2 x 3 2 x 5 2 x 2 3 x 3 S x 7 3
~ 2 2 x 3 x 2 2 x 5 x 5 2 x 7 2 x 5 3 x 2 3 x 3 3
E = 2: * 5> 3y 7: = 2 2 x32 x 7 = 2 52
2 7 x 5 6 x 7 2 x 3 s
RPTA: “E”
P R O B L E M A 1 6 :
x+l
Reducir: -E
+ 3x+2 + + 3>x+4
x-1 4* 3X~2 + 3X~* 4 3x - 3 <x—4
R E S O L U C IÓ N :
Notamos que el menor exponente de 3 en el numerador
es: x + l y el menor exponente en el denominador es:
x-4\ luego descomponiendo en bases iguales y sacando
factor común se tiene:
* En la solución, de este ejercicio, utilizaremos la E _ 3X+1 + s^ s* + 3X+132 + 3X+I3S _ 3
3 — *8* + 3 x~43 2 + 3 X~43 + 3 X~4 3 X~4 { £ j ^ r 3 + 7 )primera ley, que es:
* En efecto se tiene :
M _ 2n x 2 3 x 72n x72 - 2 n x 2 1x 72n
~ 2n x 2 6 x 7a* - 2 n x 2 l x 7a* x 71
* Extrayendo factor común en el numerador y
denominador:
Aplicando la propiedad
E = 3x+H*-4)=35 _ 243
P R O B L E M A 1 7 :
am = am~* resulta:O
M = 2 n x 7 2n ( 2 s x 7 1 - 2 1)
2 n x 7 2n( 2 5 - 2 x 7 )
E=2n+3i
2 n + 4
2 n + 5 x 4 + 25 n+3
* Simplificando y efectuando operaciones:
5 6 - 2 5 4M
32-14 18
= 3
R P T A : “ E
99
R E S O L U C IÓ N :
2 2 5 = 3 2 X 5 2 ; 2 5 = 5 2 Aplicando la propiedad .
(a m 6njP = a mp x b np , resulta:
Í J X iO K l . t MAtO M'ZXW94*J%TM£I%rr§Z& 49
E = 2n-hSj
í/l+fi Ô #i+í
5*"+í x 4 + 52n+ü5
= 2n
4n+8g4n+s * Note que: / s | reem plazando y aplicando
2n+5
(< + « )
= *n+
• Aplicando la propiedad= o"*'" resulta:
Aplicando la propiedad:
= V i" = a " 6»,
resulta: E =5x3*=45
PR O B LE M A 18 :
r ̂ L
-gS 'W jp n n }
. , f v 2v& & v : / . . : v 4 * r -r«.72V.V' • r-J
R E S O LU C IÓ N :
6255
propiedades se tiene:
p = x*í
4x 2 x
4x 2 x — V X —= r * 4x
2» - »
= X
•De forma análoga se determina Q y R ,por lo que
:Q=R=81
•Por lo tanto :P +Q +/?=31 +31 +31 =243
P R O B L E M A 2 0 :
Dí 8 - - ' E)16
R E S O L U CIÓN :
Transformando:
, c vfl±¿
2 x { 2 ) " x 2 "
, gfl±i. tt=¿
2 x 2 " x 2 "
Aplicando propiedad _ mxnxPf̂ resulta = 2 1+2ĵ +&̂ = 2 ”+2” n<+” 4 _ 2 ^ = 2 4 = 1 6
E
all + I aA a T2 2 2 * 1 __= V525 8
2n
En el índice:
n+l2 2 n+12 2tl4 = 2 2 " +1+2 n 4 = 2 2 " 2+ 2 " ¿
= 2 3x2 ' 4 - W
n oR
4 = 8 2 4
m
Aplicando propiedad y/a — a n resu t̂a
8
E = 625 9 4 = 6 2 5 4 = 5
PR O B LE M A 19 :
expresiones:
•• * p - < / *■ - r - V *
V;<sfjgfcfi /.
x 2x , _2*+ jc
^ • - - • • ■ X . f ¿3x , l 3 x + x x „ _ - ;
|T“, jPM *t¿
. V.
r\V5*' •• rr-Hlf- í
<• -■■■ . '-[ ■
4¿? , _ 4 * + * 7 ^ ^ '
‘ *v 'a í,.v . T r x
* A-r
• ííV
L -' ’ v * '« • • • ' T>** • / ‘"'m '= 3 ; entonces, ¿a qué es igual: P+Q + R ? l
R E SO LU C IÓ N :
• Trabajando en la cantidad subradical de P:
2x + x 2x + x
2 x ± x 2 x 3
* 2 x + * 2* * x
4 x 2x
RPTA : “E ”
P R O B L E M A 21 :
- - ;
n =
T
a
■ ■5' '-.v V i -
' BJ 2
p i p :■/;.
R E S O L U C IÓ N :
• Recordando que:
• Luego, se obtendrá que:
C )7
A - .- '
‘ Í^fí. ‘ /
i
0,5 = — = — Í0 2
JV = (i)
-3
+ ̂ + i 0 4
1
2
AT = 33 + 25+M +J04 4 M
25 + 23 27 + ------ +10
- (
iV= 37 + 43 j 2 = (37 + 12)1 =40* =449 = 7
RPTA : “ C ”
P R O B L E M A 2 2 :•v
c =
/ .
vx>;'*V
S I 3 ’ d
- 2 v i
r
1 .
* A . ' «>* - .
L, 1 % * **•. * .-v ^ •:
. . . *iT >
’ r
• • . * . V -* - • * ' •• • .Su -’ /**'
» . 4 . ^ t . . #
•v'* • - • • -vV-^ ^
A )g B) 3 O í
BO Ig U R V fjr j.o r fH t l 2 0 ¡ ‘¿ }
RESOL, U C IÓ N :
• Primero se opera dentro del corchete.
* En este caso es conveniente separar los exponentes
que se encuentran "más arriba" y operarlos aparte, el
signo menos se considera al final.
P R O B L E M A 2 5 :
Determinar el valor de
E =
¿ r - e r
-i -i -i
-i +Y * 818 3c = 81a = 81a
* Pues : s '^2 = (32) y2 = 3-1
* Es decir: 81*^' = 81a V' = 81s ‘
* Pues: 8-im= ( 2 3f 3 = 2 -‘
* Luego: 8¡^ ‘ _ g í% = j s i = 9
* Entonces: C = [9]2 1 = 9^* => R = y¡9 = 3
RPTA
A) 1 B) 2
R E S O L U C IÓ N :
i» 4
• Se hace uso de
Se obtiene:
- t e * ¿ r - K r
* Efectuando operaciones
E = ?un**B
1 + 4 1
25 J
-i
PR O B LE M A 2 3 :
“ “ ' " ’ i S = ¿ 2 5
A) 3 B) 2
D) 7 E) 25
R E S OL U C IÓ N :
* Primero veamos:
2 7 -9
-4 •2
- i Nuevamente, efectuando:
C )5
E = §
-¡
2 5
-i
4m = 1/2 $4 2
* Invirtiendo: e = $5 + 3 = $8 = 2
P R O B L E M A 2 6 :
Simplificar:
RPTA : “B ”
* de igual manera g ~I{2 = -L
3
• Luego:
R =
,-Jj*
E = 12527 = 12S27
=>E = VÍ25=$55 = 5
PR O B LE M A 24 :
Simplificar:
E =
,-1/2
= 12527'm =125271*
RPTA
= 125m A) 8 B) 64 C) 4
R E S O L U C IÓ N :
• Empleando teoría:
D) 2 : E) 128
- 2 -1
64
A) 7 B) 3
D) 112 E) 114
R E S O L U C IÓ N :
•De:
1_\ 2
64
(-2 7 ) R =
O 12 = > B =
L 1 1
28x24x22
6
UL+*
28 4
6
E =
R =
= [6 4 iy2](-27)1/5 =^$64^^27
= [2]6 = 64
RPTA: “B #1
I
e = (V a *)-® * = (s ) -1/3
8 1/3
¿
2
PR O B LE M A 2 7 :_________
Simplificar: f 9 0 ***
9X+2 + 3**-. f 2x+2
RPTA : “D 9 9
37 *
A) 2
D)~á¿
B) 4
E)10
0 6 < * «
[rg««4l MPMS S
R E S O L U C IÓ N :
* Analizando se obtendrá:
r a s a a i iB g g k í u c h k x r s k u b i ñ o M
P R O B L E M A 31 :
Calcular: x+4 + 2 x + 3 + 2 ” * + 2x+2
,x+; x l O X + J
9xx9*+32x x3
9* x9* x 10X x 10
9 X x 9 2 + 9 * x 9
E =
x+l
2 x - 4 + 2 » - 3 2 x -2 2 * - I
c ; 2
= l 9*X10*X90 I1 0 * X 9 0 _ ^ _ J0
9X (92+9) 99
R P T A : “ E 9$
PR O B LE M A 2 8 :. - . -r . ..- — .. ,» "
Calcular:
A ) 1 B ) 32
D )4 E) 64
R E S O L U C IÓ N :
*En el numerador «factorizam os» 2X+I y en el
denominador 2 x+4, así:
2 x+i x 2 3 + 2 x+í x 2 2 + 2 X+J x 2 1 + 2 X+Í x 2
\ l2yj2j 2
E =
* j j 2 0 )2
R E S O L U C IÓ N :
* Desdoblando factores:
2 X~4 x l + 2X~4 x2* + 2X~4 x 2 2 + 2X~4 x 2a
2xt t (23 + 2 s + 2 1+1)
D)1
4 2 x 2*\¡2
y ¡ 2 x 2xi ¡ 2
x 2x2x$ [2 i l 2 x $ ¡ 2 _ = i¡ 2
= > E =
2 X 4 (1 + 2 * + 2 2 + 2 3 )
=>E = 2x*t x +4 = 25 =32
P R O B L E M A 3 2 :
Calcular:
E _ 2 x + i- ( * ~ 4*
R P T A : “B 99
-2
R P T A : UC 99
PR O B LEM A 29 :
Calcular:
S =
A) 2 B) 2
D) 4 E )0 ¿ 5
R E S O L U C IÓ N :
C )0 ,5
r» - l t
' *• • n’'¿i
+ 6“® +
« r - -
-2 ; * Efectuando de arriba hacia abajo y tomando a los
exponentes de 2 en 2 : .....
.•’n-lS >••••-
b; 2 5 c; o;
36
2 5
R E S O L U CIÓ N :
16 >4 2
1
2
* Efectuando dentro del corchete:
- 2
( ! ) + f + ( ! ) - i
1.9 21
3 [1 2 5 ]
1*1*J
_ 8 _
216 + 27 41-2 - [ 2 4 x 4 + l + 5 x 9 - 3 6 x216
RPTA 4 4 f 199
1125J V125 (f) = 36 = 25
RPTA .* “D ”
P R O B L E M A 3 3 :
Calcular:
E = (-27) -2 4 3
-625 -4
- 2
PRO BLEM A 30
Simplificar: 2 x 3 " * 1+3 n+2
2 x 3 n+I - 3 n
A) 3 B) -3
R E SO L l ’C’JÓN:
c4
4
729
5
¿22
jw«
B>2
JW 2*
0 3 l1. <
•x v *• •Ímú?. E = (-27) - 2 4 3
-6 2 5
* Recordemos que: 5™+» = 6m x 6"
* Luego:
2 x3 " x31 + 3* x31 X ,V 2xS J +B2) 2
2 x 3 " x 3 * - 3 "
= 3
\ n(2 x 3 l - l ) 15
R PTA: “ C ”
.• ; T :
£ = ( - 27) -\24? - ‘ J
E = ( -2 7 f * = 1
11
- 2 4 3 '625 4
-3
_2
3 RPTA : “D”
i A ESCi4J.or,*:uiA 2012}
PR O B LE M A 3 4 ;
* * •
Calcular:
; s i s
y- ■
¡■v'
ií)27
K . • *
R E S O L U C IÓ N :
3 x (3 4 f j y (729) x 3
10
•Haciendo: luego:
= 3a$729°* =$729 = 9
RPTA
3a$729a3*a
antflB
PR O B LE M A 3 5 :
B) a
E) $fa
R E SO L U CIÓ N :
s *0, <°*>t0 . J a "(a 6}¡0 \ a a0 V°
RPTA : “C 99
PR O B LE M A 36 :
^ X
x = 2
X * X
Calcular: E = %3x
B) 8
P)32 E) 64
R E S O L U C IÓ N :
C) 16
3xE = x i = X 3 x { + x' ]
E = x * S . s ( /
X• Colocando su valor a X :
E = (2f** =2* = 64
RPTA: “E ”
P R O B L E M A 3 7 :
Simplificar:
mnjb m -n »P¡b n - p ¡™ jb P -m
A) b B) bf C) 1
D K b 1 E ) - l
R E S O L U C IÓ N :
\ »*
R-p P**~ pm+mn-mp+np-
b mn x b mp x 6 p" = 6 mnp = bmmp=b° = l
RPTA: “C 99
P R O B L E M A 3 8 :
Calcular:
A) 2 B)i r ' ¡' - r4¿>
R E S O L U C IÓ N :
.42
[256 ■I2 42-416 F ] Á2Sê r2
-4 2
1
= 25642
42-4-42
= 256^ = 256
- 2
= 2564 = $256 = 4
P R O B L E M A 39 :
Simplificar::
RPTA: “E ”
. 1
£
V
1 + 5 i A
1 + 2 1 + 3 1 + 5 -c
C )1 0A) 3 B) 7
D) 20 E) -3
R E S O L U C IÓ N :
* Analizando uno de los radicandos :
2 + 2°
2 + 2° 1 + 2° ~ j ~ 2a(l + 2a)
1 + 2 1 + 2a +1 2a + 1
= 2 a
2 a 2 a
* Luego por analogía y reemplazando, resultará:
$2* +$3* +$5° = 2 + 3 + 5 = 10
RPTA : “C ”
P R O B L E M A 4 0 ;
Simplificar;
( 3 4 3 ) ^ “
A)3 :B)$3 ■ ,C)3$3 ' -r D)9$3
R E S O L U C IÓ N :
* Haciendo: n = $3 =*n* = 3
E)¿ly¡3
I'M'EIMRLX Mate MZXPIPNMCN'TMCÑ QCüZBSI
* Luego:
[ %
j " = ^ f h 3; n ^ = ( n 3f
* Reemplazando:
(J39 / = >/3*'=>/3a x V 3 = 3 rf>/3 = 8 lj3
RPTA ; “E 9$
PROBLEMA 41 :
,*V' * . , " .Jí+^hJ '.’-SJ
r > • * .i
7 - ‘
IA)J6 B M ‘ C)(Í2 ' -D)^¡Í2 : eW z .
— • - i
R E S O L U C I Ó N :
* Se puede apreciar que «i?», contiene infinitos
radicales, luego:
E = \ 2 2 ^ 3 J 2 J 3 ^ .......00
Sigue tiendo '£ *
=> 2? = \l2j 3E í lo llevamos al cuadrado
=> E2 = 2>Í3E* nuevamente lo elevamos al cuadrado:
=>E4 = 22 x J3E* => E 4 = 4 x 3 E
=> E3 = 12 => E = $12
RPTA ? **D*f
PR O B LE M A 42 :
• %r -
. ♦• * i
% f * "vV " '
r .~ - - ni
R E SO LU C IÓ N :
* Aplicando un razonamiento inductivo:
ü) y7nyfr* = "\/72"* = 72
III)
%
y¡7ny¡7n* í\/7n* = n\¡73nS = 7 3
^ 7 n ^ 7 n* y¡7n3...... y¡7*
2003
= 72003
R P T A “CI»
PR O B LEM A 43 ;
-*r. •: £
J r.
■ r _ Xy •
r«
2a a °a +aa
íSesTv ̂ ¿ -
U M M M O A i S ItliSIÑ O M
D ) a â } : : v
R E S O L r T 7 Ó .V :
* Haciendo: a a° = n ; luego la expresión a simplificar,
resultará:
„ - n _n--|0 .0 r -̂,-----------in x a noxn
n2 a n xn2x a -n a ° 1 „= Va = a = a = a
RPTA : “C”
P R O B L E M A 44 :
•v .• a a r j V e - « * j . . r jfc*. - '*l* . «^4 r ¿
Reducir la expi^sióñ huméríca:j£ ' * y:
a _ 3519 X4016x2713i
V
• ’ *•*
«•
a ; i
R E S O L U CIÓN :
3030 x 458 XU18 .‘ * '
2 5 ' • 7-■ O r D ) - E ) 2 ^
• • . A - , ^ ......... 7 • v. o ;
* Transformando cada base:
A =
( 5 x 7 ) í 9 x (X|2“ X5|Í 6 X^33 J)
1 3
(2 x 3 x 5 )3 0 x|32 x 5 j x (2 x 7 )iS
=> A =
g19 x 719 x ̂ 8 x g16 x ̂ 39
230 x 330 x 530 x 310 x 55 x 213 x 713
248 x 339 x 535 x ? 19
248 x 340 x S35 x 71 8
A = 339x7 19 __ 7
3 " X 7 15 ” 3
RPTA ; “ 9 "
PR O B LE M A 4 5 :
I4e '+ 2 S Í • 206
R E S O L U C IÓ N :
* Reduciendo cada fracción:
7* + 146B = 1 0 8 + 3 0 a
=>B =
7a x2 8 + 146 X 2 a 28 x 108 + 2e x 308
7e +148 108+308
2 a ( 7 a + 148) 28{l08 +308)
B = 1 * 2 4- = 32'16 ,6 6
RPTA : “D »»
P R O B L E M A 4 6 ;
ií* ' +*. * ‘ jA i t - * 1
Efectuar operaciones eñ:
»'
V ¿>
A)26 B)24
R E SO L U CIÓ N :
* Por partes:
C)39 D)59
S * gj
P R O B L E M A 49 :
Simplificar:
U ENCi€V.i>Mm£M»MA 2012}
Kr-Cíj-—»
- e r - c s r — —
r - ( ¿ r - ~
* Luego: S = 16 +27 +16 = 59
PR O B LE M A 4 7 :
Reducir:
RPTA : “D ”
P =
C) 4 D) 8A) 42 B)2
R E SO LU C IÓ N :
* Transformando, se obtendrá:
E)32
P = 2 3 x 29 x 2^ 1
-3+ 9-81
1v [2 9x 2 ¡ x 2-e] IS 2-9[2 ‘ x 2 sJ 5
-75
¡14
_ ¡3J239 = 2a = 8
RPTA : “D ”
PR O B LE M A 48 :
&Ux,yeZ*> tal que y - x Z 2 , hallar el valor.más
f e : :
. 4
k- * y -* i
%
x x+y yy + yx+yx x
X2y yx + y 2xx y
• •* r .
• * i
, V*
BJ $ C)x D ) Lx E)y
R E SO LU C IÓ N :
* Buscando bases iguales:
y-- x* x y y7 + yx y* x*
x 2y yx + y2* x7
• Al extraer la expresión común tenemos:
= J í ¿ p ^ . , - i l r , y
X
RPTA : “D ”
¡mpiificar : . _ j 2 ín - W " 1 } ^ 2 ’ - * + 3 ^ . j£
; V 2n*t. -S"'*-. .y3"H+2"--/.
Á) 0 ;B) 8 C) 6 f
R E S O L U C IÓ N :
• Debido a que las posibles respuestas (alternativas),
son cantidades exactas (constantes), entonces la
simplificación no va a depender de en» , por ello
haremos que «n» sea 2 (un valor adecuado, que puede
ser cualquier otro), entonces lo pedido será :
RPTA: “B ”
P R O B L E M A 50 :
Dada la sucesión:
a¿ = 4 3 ; a 2 = \ ¡3 4 3 -; a3 - ^3 yjs 4 3 ;
Calcular: E =
a2004 + a2005
Á) 1 B) 2
D) 8 E ) 16
R E S O L U C IÓ N :
* Se deduce que :
*«
C )9
= y¡3y¡3j3Z...x/3 =>«„ ^yjsijsjs..... J¡¡ =>al = 3xam_t
mm# RadioaUw ‘«-P Radjcofi»
• Con lo que al dar valores adecuados a«ra», de acuerdo
a lo pedido, se obtendrá que:
a2004 — 3a2003 y a2006 ~ &a2005
* Que al reemplazar en «E», nos resultará :
jg _ a2003 X 3°2005 _ j
3a2003xa 2005
RPTA : “A ”
PR O B LE M A 51 :
Simplificar la siguiente expresión.:
A)1
. K -
- Í & v 4 2
C).8
D)
13 E ) - 2
•l t
.1
•j
R E S O L U C IÓ N :
* Transformando adecuadamente:
['M'ISDIcL x mmmc izxM m4*j\rj¡cixrE'M ':^
42 42
2 t* 2 t j í
L = M :
42
7S - 2x4 2 * + y f 2
=> L =
2 *2 *
^ V ¡7 T
- ^ 2 + ^ 2 = 2 - 0 = 2
we eliminan
RPTA: “B 99
PR O B LE M A 52 :
icar
i V - ^ . N'iU ‘fc**
, . . v . ■ > . , . .
r '*¿.-v
•Á% ' 5 \ - ,
R E S O L U C IÓ N :
■ •
'*vv;3
♦:' \
r . >V?
9 * 2
* Transformando adecuadamente cada parte se
obtendrá:
J5¡
\3 2
\3~í 45~'
K3
5
,1
ftxl 5 , 345-6 6+243-649+s4S-6
- > l= 3 3 , _ 5 3 r -a * ,v*
=>L = 33 = 3 ? = 3 *= 3
RPTA : “B 99
PR O B LE M A 53 :
r—— L
Simplificar la siguiente expresión:
•,X“ . í •
Q = (2 - « 5 )
. \
. .ÍS 1Í5
< 5 ^ ) V a ^ l 3-®
\4
i
D) 0 9 -2A )f BJ3 ^ Q 9
R E S O L U C IÓ N :
• para mejor visualización haremos el siguiente
reemplazo : n = iÍ3^n 2 = $3 a n4 = 3
* resultando ahora así:
Q = (1*-Htfnn*-4*+*)4 = (r*’ m3tfnfH-** )4 =>Q = ” 4 =3
RPTA: “B ”
Q
E D IC IO N E S RUKMÑOfA
P R O B L E M A 54 :
Hallar el valor de n s i:
t ' '
' \ jx + y [ x + yj X + V x ^ = x ** 1
51 1 1• A )-3 ± B )5 - C j 3 -
3 5
• a
« >* JP
D )— E )~ —
: Í 6 ^ ' r ; * 1 6- r-' -yo - ' y*
R E S O L U C IÓ N :
* Transformando la expresión dada :
=Jt" => \jx + y fx 4 & =
¿
xn
yjX+■ y[x^+iíx —Xn => \j
l
x n
51*6^ „ n\ lxs l8 = x n => X ----- - X
• Igualando exponentes resulta :
5 1 16 0 i— = — => n=— = 3 —
16 n 6 6
RPTA: “ C 99
m Ñ g m P - -5?--’--
P - ̂ 3 y\\. 1 •,
*v¿ * -i* ' ’ r - - <r >'• ./ ’ . *•
KVjv •*' . . . » l iVi- i..
' . . • j ■
l •
r - » , ̂ <. .»}•
ar ¿ví ' 1
'- - - i . '.*5
v i . * ”. » - ' • S '*V r - *
« 5 * ,>■ * V * p ‘2
. . ■ • * * * * J»
A) yt=n +tfx B ) y / = 4 x C)i//=\¡xn
4- J x n+lD)y,= ^
R E S O L U C IÓ N i
y/n = x/iff
n + l
&
y/n + 1 = X = > y/ = n * y [x
RPTA 44 A 99
P R O B L E M A 5 6 :
Simplificar.; si x>0
« . >W« •
'r> .
» -
•?v-\
• ; .
4\
%
' t
K. K *
7
->*• *-S
A)XI‘ : B ) x
p _ t — s ̂ ’
R E S O L U C IÓ N :
•Primero:
C) 1 D )2 x E ) x 4 ' -
EB53 se 1A ENCM4'j.oim*:niA 2012}
2V*
= ^ x3yjx~2\¡x2yfx~^ = X 16
♦Luego del mismo m odo, obtenemos :
-/
=: J x 2Jx~2J x 2y/x
-i
-5
33
= x í6
33 17
♦ Finalmente lo deseado , será : x 16 + x 16 = x 1
RPTA : “A”
PR O B LE M A 5 7 :
g x +4 _ q x + 2 g y + 5 _ ^ y + 3
S ÍÁ = — y B = —
5 3 y
Calcular s = 3 6 ^ j
B)S=100
E) S=600
AjS=10
D) S=216 .
R E S O L U C IÓ N :
♦ Reduciendo cada expresión:
C) S=100136
x+2
A= i 5 2 - 1}
B=
5 x
3y+3 [32 - 1 ]
A = 5 2 Á 5 2 - l ] A = 2 5 x 24
3 y
B = 3 S x [3 2 - 1] => B = 27 x 8
♦ Reemplazando en lo pedido:
2 5 x 2 4S=36x
2 7 x 8
S=200 ; Vx e R
n = l M =
2
J x 1'
= 1
*8(1)
• n=2 => 3/
■ ■ = j íP *8(2)
n=3 iM= , — = —rrrs i
J x 8**3(8i J8/8
RPTA: “D ”
P R OBLEMA 59 :
Si x € R * - { /} t determ ine el válór de n que verifique:
Dar como respuesta : (2n +3) +3
A) 6 B) 4 C )7 D) 12
RESOLUCIÓN:
* Reduciendo adecuadamente se obtiene
E )3
fjx 1’y[x~IJx J =
-9
n = 9
♦Se desea : (2 x 9 + 3 )+ 3 = 7
RPTA
PROBLEMA 60 :
Hallar el valor de E si a 2b = a 9c + 6c? y
- *
A)x* . B)x<
R E S O L U C IÓ N :
Ox* D)xr' E)x
RPTA : “B ” * Reduciendo la expresión:
PR O B LE M A 5 8 :
x es positivo , eimplificár la expresión: E
W 4 " -3S-r- . ‘sfeN.
f e •ii*
M =
-• - i" n - -
r W-*-5 -A- '
4
5
# V # V # ¥*#•••
rt
n +
£
aJ
= \ X ° 6 c =
tC
abe
•• ...
.< « V r - •
• \
• • V’ &
O x
+3ti ♦ Pero: a*6 = a*c + bx2
D) 1 EJx it
RESOLUCIÓN:
En la expresión , dando valores a n , y tomando el
valor de la unidad, tenemos:
E = " C
a 2b+ab? ________
ab = = X
RPTA: “E”
[’M'ICOKÉ,*. W*M2 MZXWDWMZ/V’M'KS
P R O B L E M A 6 1 :
Calcular el valor de la expresión siguiente cuando
3x = 2 e y = 3.
E =
-
§-
A ) ~ B )2
A
RESOL UCIÓN:
x = 2 ; y = 3
X'jy
x 2!* h
-i
3 -2'yjx
D J í
E =
l
I
y
;
-
iL
i 3
¡xy~2
\l í -2\ysx
= > E =
]¡yx
x 213̂ 1 x 2l3y ~112
_ y G * _
y
i
E =
r x w y - i i
3
y l i2 x - l !2 -312
x 4/3 y -3 ¡2 x 4/3 y -3 ¡2 =U-I/3I
=>E=x~x= -
RPTA: “D 99
ECUACIONES E LE M EN TA LE S I
(57) El valor de «x» en x +3=9 es :
A) 6 B ) - 6 C) 7 D)8 E) 1
El valor de x en : 15 - 10 = x -1 5 es :
A) 26 B) 25 C) 20 D) 30 E) 2
Marca la solución correcta para: 2(24-x)-40=16
A) 4 B) 5 C) 7 D) - 4 E) 2
Halla «x» s i : »+ 3 - 3x - 3 = 2 x - 8
A) 6
A) 7
m
B) 5 C)2 D) 3 E)4
Hallar «x» en: —y
B)8
x 56
El valor de «y» en
A) 0,2 B) 6,5
63
C)9
284 13
0)1 E) N.A
y
C) 6,125
e s :
D) 0,25 E) 1
™ , 121 xEl valor de «x» e n = — es :x 4
A) 25
Halla «x» en
B)36 C) 40
x + 3 5
4 ” 2
D)22 E) 20
EM9MCMONES KUfíMÑOS)
A) 6
A) 2
Halla «x» en
B)3
B) 5 C) 4
x + 4 x + 3
0 )7 E)8
4
0 )4 D) 5 E) 6
m
l x lS i: x e g , el valor de «x» en — + — = — es :
a u 4
A) 3/2 B) - 3/2 C) 3/4 D) - 3/4 E) 1
X X(72) El valor de «x» en — - — = 10 es :
A) 10 B) - 10
2 4
C) 40 D ) - 4 0 E) 50
x 400 — xHallar «»» si + * — - = 1345 8
A) 360 B) 400 C) - 360 D) 50
Resuelve : 2x+3(41 - 5x)=32
A) 7 B) 8 C) 12 D) 5
Resolver: 8 (x -l)-x + 2 = 3 (x + 5 )-5 (2 -3 x )
13
E)40
E) 1
A) 2 B) -
11
4
C)~7 0 )4 E ) - 1
Resolver 1 +
x
= 3
A )-1 B )-2 C ) - 3 D)1 E) 2
(Q) En x -(2- x ) = 3 ( x + l ) + x } el valor de x es:
A )-1/6 B) -1 /2 0 - 5 /2 O)-5/4 E) 2
x x 5 x
(Q>S l : 2 - l 2 + 7 = 6 ~ 2 x + 10eS:
A) 0 B ) - 1 0 - 2 D ) - 3 E)3
(Q) Resolver —■— - = 2 - X ^
A)1 B) 2
3
0 3 0 ) 4 E)5
(Q) Resolver ^-(x + 3) + ̂ = ^ - ( x - l ) - ( x - 3 )
A) 7/5
3
B) 18/5
6 2
011/2
3 x -
0)8 /5
^ , o ( « 3 x - l ] 2 ( x + 2 \ 1Resolver 2 * - [ 2 x ------— J = - - -
A) 1/13 B) 2/13 0 7/19 O) 13/15
E) 18/15
l
4
E) 19/23
m E S u s u
(57) Resolver: x - 1 x - 2 x - 3
x - 5
E) 11/7
2 3 4 5
A) 1 B) 5/7 O 3/8 D) 2/9
Resolver:
- 3 ( 2 x + 7 ) + ( - 5 x + 6 ) - 8 ( l - 2 x ) - ( x - 3 ) = 0
A) 2 B ) - 3 C )4 D)5 E)7
Resuelve: 3 (x -l) + 2 f»+ 2 j = 3 x + ll
(
A)3
A)15
B)4 C) 5
Hallar el valor de x en: — + 6 x7
0)6
2x
E)1
B) 20 C ) - 1 5
5
O)-20
+ 3
E)0
ECUACIONES E LE M EN TA LE S U
Resuelve 2(x + 1) - 3(x - 1) = 4x
A )-1 B) 3 C)1 0 )2
Resuelve (x + 2)s - ( x - 2 ) s = 5
A) 5/8 B) 3/5 C) 8/3 D) 2
@ Resolver: (x - 2)2 = i + (3 - x )2
A) 3 B) 2 C)1 D)0
Hallar x en: (x - 3 )2 - (3 - x )2 = x
A) 3 B )—1 C)6 D)4
E)0
E)1
E)7
@ S i :
A) -2
Resuelve
C>0
x - 3 la
3 4
B j-3 C)3
2 x * 2x + l
x - 3 6
E)5
0)2 E)4
A) 4 B) 1 C) No tiene solución
3 x - l 3 x - 7
D)0 E)2
x - 2
B) 2/3
x + 4
C) 3/4 D)1/3 E)1
A)~
Resuelve
63/55
E)1
x - 3 3 + 5 x 2x + l
8
B)55/63
9 6
C)5to 0)6/5
Resolver: (4 - 5 x ) ( 4 x - 5) = (JOx - 3 )(7 - 2x )
A) 1/15 B) 2/35 C) 1/35 0)4/9 E) 3/17
Resolver: (x + 3)s - x 3 - 9 x 2 = 54
A) 0 B )-1 C)1 ' 0 )2 E) -2
4 4(Th Resolver: x - 5 + ----- = 7 - x + ------x - 6 x - o
A) 6 B) -6 C) 6 y -6 D) indeterminado E)incompatíble
@ Resolver: x - 4 + 2 - j 5 - x = 8 - x + - j2 0 -4 x
A) 6 B )-6 C) 6 y -6 D)Índeterminado E) incompatible
Hallar el valor de «x» en:
x - 2 x - 2
A ) x e R B ) x e j C)x = / D ) x e R - { 2 } E ) x = ̂
M ¿
WA. IA encmcj,om*l:oL\ 2012)
1
(75) Resolver: 3
8 - - x
5
A) 4 B) 3/15 C) 33/5
* R esolver en cada caso :
m n n— + — = —+ i x m x
3 + 1x + —
5
0)3 E) 1
A) n B)m C)0 0)1 E)n + m
—k a - x 6 - x 2 ( a - 6 )
A) a B)b C)ab D)a+b
© x + -j4x + 1 = 5
A) 1 B) 2 C) 3 0)4
© 2 x - 4 x ^ l = 3 x - 7
A) 1 B) 2 C) 3 0)4
© )^ x + 4x + é = 24x
A) 1 B )2 C)3
@ ) Jx - 3 + V2x + 1 - 2-Jx = 0
A) 1 B) 2 C) 3 0)4
E) 2
E) 5
E)5
0)4 E) 5
E) 5
• RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES í
(¡H) 15x - 70 = 6x - (x + 2) + ( - x + 3)
A)1 B) 2 C) 3 0)4 E) 5
a 2P - x , a— + = 1 + —x x P
A) aP B)P C) a D)a+P E)2P
A) 27
31
B) 56
2 5
C) 45
1 7
D) 66
3 5
E) 25
56
2 x - 5 2 ( x - i ) _ 3 3 ( 2 x - 1 5 )
2 x - 6 + x - 3 8 + 4 x - 1 2
A) 3 B)S C ) -5 D)-7 E) -9
Si o, 6 ye son constantes positivas; hallar «x» en:
x - o x - b x - c n—-----+ ------- + r = 3 .
b + c a + c a + b
Señalar como respuesta: E = +
A) a B)b O c
c
D) abe E) a+b+c
PO T E X C tA C IO X
<67) Si:
A = 2 x 2 x 2 x 2 x x 2 a B = 2 + 2 + 2 +
»vcm 130 o
~ + 2
[TMSOMtátX MPM:
Halle: (A ~ B) j j
E 1 H C IO X E & R lT itlÑ O S Íj
AJO B) 2 C)3 E) 5
/
415*8
m Simplifique:
B) 300 0)1 D) 300
2 5 2 x 3 6 2 x 3 2
E) 512 _ o _ ( 2 l T Í 2 Í >
@ Efectuar: r ^ x ̂ 2z j
A)
16 B )1
3 0 4 x 8 3
C )2
0)2 E) 5
A) 2 B) 4
(T£) Reduzca: M =
0)1
9 n + 2 Zn - 4
0)1/2 E) 1/4
iif-í
Reducir: 1 2 10 x l 8 5 X 1 6 1
A) 12 B) 9
E) 18
8 5 x 546
0)0 0)24
A)7 B)8 0) 9
Si: ab = 2 ; b° = 5
Calcular: a ¿°+1
A) 25 B) 37 0)32
0)3 E) 5
0)29 E) 57
Calcular
A) 97 B)90 0)95 0)94 E)93
Reducir: ^ _
X '2 X X
A)x% B)XT C) x* 0 ) x • E )xn
(Q) Reduzca:
A) 2 B) 8
(Q) Si: r* = 5
Calcula : X*
A) 25 B) 625
1 5 x 2 n
C )4 0)0 E) 5
.x+ l
C) 3125 0)125 E) 5
Calcular: = + (-3 ) i @>Si: , »; a e£+> reducir: 5xga +7*a° +(3*)
H V (a ) - 5 ’ a € ^ ’ 42 + J 0 x 3 «+ 2 o1
A) 50
@ ) Simplificar:
A) 2
A) 2
Calcular:
BJ-50 C) 48
2*n+3 x ^m+2n
8 m 2 x 1 6 n*2*
B) 4 0 )6
*3 <%n+l
D) 30 E) 46 £
D)8 E) 16
A) 2
B>1 C> 4 D) 8 E) 12
l*x1+xSi:x* = 2 ; hallar el valor de: A = x 2*
A) 16 B) 32 0) 64 D) 128 E) 256
DIO i\í o
B)3
Simplificar:
0)4
¡n+l + 3n+2 + 3n+S
0)5 E) 6 Reducir- 11* ■+ n" + ra" + + w" - n2 xn2 xn2 w2
nn wca
A)3*
Sn l + 3 n~2 + 3n~9
B) 3* 0 )3 * DJ3* E)3r
lOpece* 7 MCVt
Reducir; (g x g x - x 5 ) (J 5 x J 5 x . . . . x l5 )
* * 812 x 5 1s
A)15 B) 125 C)
27
D) 25 E}í
A) 7
AJI
A) 9
B) 1
Efectuar: N =
B) 9
Efectuar: T =
0 ) 0
2 7 b*i x 3 2 a l
ia+6
V okm
0 ) 3 E) 5
5 *+3
C>27
63(3*+<)
0 ) 3 E) 3*
1 a+4 + 3a*2 - 3a+3
B) 27 0)81 0)243 E) 3#
2«+3 x ̂ a+2b
(fh Reducir: P = —r—*
^ 8a 2 xl6b+2 (^Simplificar: J|f =
n + l .. x-2n+I . o -n + 2x4 + 8
A) 1 B) 2 0)3 0)4 E) 5
16(2-)
(^Reducir: P ~ 2°+I + 2a+z + 2a+a + 2 2°~; + 2a~2 + 2a'3 + 2a'4
+2 . oa+5 . naW ^ 4,5 fly2,5 cy 3,5 0 )$ 3 E) y/2
A) 1 B) 2 C) 18 O) 32 E) 84 @)Siendo ab *0 . Al reducir:
@ Efectuar: ilf = 2ao+* - (0 ,2 5 )x 4
a6x60lr6]^°
aa xbb\[a\
(ab)
0+2 se obtiene:
6 0
A)1 B)ab C)ab O)
b
“ a
a 0 s a M § a
RADICACION
- 2T
m Al reducir, se obtiene: N = 8
A) 0,25 B)0,75 C)0,5 0)2,5
$ 2 5 6 -$ 9 'S2°
9-4-°>S
Reduzca:
$ 8 + $ -3
A) 7 B)1 C) o
Simplificar la expresión:
0)3
2) =
A) f/25 B)f/5
SE
r-í'
tfÍ25->]y¡5* -4 s
4se -4s4s
C) 5 0)25
7^'* 'Si: » = * : y = 4 2 ; z = i[3
Calcule: yj(xy)2 z + 4
A) 2 B) 4 C)1 0)3
Simplifique la expresión:
'4 7 2 ,4 5 0 -2 4 3 2N = ‘ 4l6
4 l 8
A)442 B)3i¡8 C)42 D)^i¡8£
A3 efectuar: E = 432-48
4 i* * -4 S t*
A) 2 B) 0
424242
Calcular: | Uéfo¿y¡ £
0)1
\*
0)3
A) 2 B) 4 C ) l D)3
Calcular: E = j
A)iÍ2 B) 1642 C )^ 2 D)42
E) 2
E) 5
E) 5
B)2
3 5
£) 5
E)$2
1
m Calcular el valor reducido de: B =
9 . o V i2 ^ + 3
2 -3 -2
A) 8/Í5 B)4/5 C) 7/3
45 factores
D)1/30 E) 1
(fih Efectuar: E = ^ 4-
j a "J a j a a
34 ¿
A) a B)í
2 0 factores
0)2 O) 2a E) 3
(Q) Calcular el equivalente de: R -
¡A ENCiuj. oi*í :m A 2012]
* iG J
A) 7j x7 1 B) tfc7 C) tfx7 D) 4 x 7 E) 4x*
Calcular el equivalente de:
T = (¡í¡xa X M X
A )'tfc B) C )J = D)HÍx
V i
E)1fe
Simplificar: (6̂ fc62‘ J j
b-b
A) b B )b -1 C)b 2 D )b E )b
@ Simplificar:
A) \fx B )4 x C) x D)1 E)
m Hallar n si al reducir:
, el exponente de x es 5.
A) 8 B)11 0)9 0)10 E) 12
@ Simplificar: B =
A) 1 B) 2 0)3 0)4 E) 0
(Í^Calcular el valor de: R = ^¡46 • 46
16-114
A) 1
A) O
B) 2 0)3
Efectuar: A = ^2>/3j *jj^38-v/7?) j°|
0)5 E) 6
18
B)1 0 ) 6 0)12 E) 3824
Calcular el equivalente de: q _ ^ ¡x GJx
A) 1 B) 1-x C) x 0)3 E) O
Si el exponente final de x es 15 en:
\a
2 +29¡x a 3 +S
ír?x 24 x s
. Halle a
A) 8 B)5 0 )3 O) 3a E) 1
A) a
Simplificar: P = » /
B)b C)ab O) a/b E) b/a
Í T C O A l r f MPMS M f * O A X : . V T l í Ai 61 l l > K I O \ t S KITKMÑo M
m Reducir: ff
18n +12 m Calcular: N = 3 2 m x 81s/4 x 27014 x 3 2 ^ 2
A)4
6n+4n
B) 6 C) 3
4) 9/2 s ; 27/4 Cj 3/2 D) 9/4 E) 108
D) 9 E) 8
Simplificar: S = íb ,bb
bs*i
A-b
A) b B)b> C )b
D)b-i
A)a
Simplificar: 12-~2x-4a b
B) 1 C)b D)ab
Reducir:
_ J-jr .a + bíx V-
x-l b*-*
A)a*b B)ab C) a~*b D) a3b
de {o/x/ionenieA
2X*S lfíx+4 (07) Reducir: A = -ox£ - +-g-
A) 64
8X™.4
B) 128 C) 256 D) 512
A) 2
Reducir:
B)4
82 x * l + ¿ 3 x + 2
,3 x -S *%2x+7. 2
C) 0 0)8
@|Sabiendo que: p _ 3sfgSfslfs ŷs
r
calcular: P+Q
A) 36 B) 13
Q =-J242-J2
C) 15 D) 17
3*'7Reducir: M = {4 ^ 17 )
A) 4 B) 16 C) 64 t
A) a
Si: ab = 1. Hallar: E = (a a tyb )a,b
D) ffcB) ab c;a*
&
Reducir: ^ ~
42
4% f 2 ^
C) 4
. . 15° x69(OjCaicular: x =
A)1 B) 2
A) 40
27° xlO
B) 80 C) 200 O) 160
Efectuar:
E = (4 'm + 27~m r K r * ( i r
E) b*
A)6 B) 12 C) 18 0)24 E) 11
Si: 3* = 2 halle : E = ( ^ s * 21 + 3 * ) '
A) 27 B) 8 C) 81 D) 729 E) 11
<Q) Reducir : E = 2/+3(3x ‘ )X
w 6x x~*
E) N.A. Para x = -2'1
A) 1/8 B) 8 C) 41/6 O) 6 E) 16
Simplificar:
E)a4b
6X + 10X
>X + 1 + 2X*4
Si x verifica la ecuación: 3r + 5X = 6
A) 6 B) 1/3 C) 3 0 )2 E) 1/2
Sabiendo que: tya = $[b = Vc
Halle: £ = tfac
\9
•y
E) 1024
>A)1 B) b C) c
Si: x n ym = 10n ; x m y*
Hallar : C - (x y) y¡x
O) abe E)a
= 10m
E)12 A)10
10 B)
( ¿ )
10 C)
10
D)1010 E) 10
S i:* * * = n ; x*" = nx
Hallar: E = n
x x +1
E)23
O) 128 E) 256
A)1 B)n C)x *
(T^lHallar xyz si:
n + 3
D)x E) x x -*
y i = ( 2 n+2) n+B
n+74y = (2n+3 )n
A) 1/32
Sabiendo que:
2n + 74 ¿ = 2 ’*
B)8 C) 1/16 O) 1/8 E) 16
0 )4 2 E) 4 .4 (lEíC
a n r
E)50 La relación que existe entre «x» e «y» es :
A )x = y B )x = y* C )x -4 y D )x = 4y* E )x = 2y*
e s
ÍÍ32x + 1 3V 3
x + 2
Reducir: ¿2
y a v a 5x + 3
A)1 B)4Ü C )$3
Reducir para 37 radicales:
D)iÍ3 E)t¡3
A)$2 Q $2 D)j2 E)2
Reducir: y *
x x +n¡ xX+n x + 2 n
Para: .n
A) ax
x~ = a
B) Xa C) a
X - s
Siendo: n — Z~Ex
x - 6
X - 3
D)x*
2
E) a
Reducir:
n
n-6
n-6
n-6
A)x1t B)x• C)x* D)x»
s) Si: x = -Vs indicar lo correcto.
E)x
A)x + lx = y[2
C ) ^ = 4
B) - x * = 4 2
D)x1~2x = 0,25
jf^Si: 5 a =0 ,25 - Calcular : t f l 6
A) 0,04 B) 0,02 C) 0,16 D) 0,08 E) 0,01
Reducir: E = ¿ 4 2 f x 2 16*
A$2 B)iÍ2 CJíSb D)Í8 EhÍ2
(p l ) Indique verdadero (V ) o falso (F ) según
corresponda :
( )a.a.a a = an/neJR
n vece*
CMCLOPEDLX 2 0 1 2 ]
( ) - 8 ° + 3 2 = 8
A)VFV
a
B )W F C )F W D)FVF E)FFV
A) 1
2 x+4 + 6 x 2 x+1 ^ __
Simplificar: A - <= N
B)2 C)2x D) 2x + 1 E )2 x - 1
n+1
Simplificar la expresión: ni
n+$<h¡9"
A)1 B )1 / 3 C )3 D)>/3 E)
Simplificar la expresión:
^ 5 2*+ í _ 25x+1
& — x--------------- Indicar: >/ — E2x
A)10 BJ-10 C) V i o D)100 E)1
AJI
S) Efectuar:
B)2
59.63.124.156
313.54.10u
C)3 D)4 E)5
Calcular: = 2 7 ~ 9
A) 8 B) 5/6 C)2
- 2 -1
+ 8 - 9
- 2 - l
D)0 E)5
Efectuar:
81n
A = ----- - M
2 -n
1—n
A)3* B) 3*
Reducir:
(3~2+n) (3-1)
0 3 * D)3* E)34
P =
A) 0 B)x
m
+ x Sn 4 x H
x H + x~* 4 1
O x 1
x 3n 4 2
+
D )x ~ m
, x * 0
E) 1
Sabiendo que:
P = 2 4.24.24.....24 A N = 84 + 84 + 84 + ... + 84
4 S v ecen 48 vecen
calcular el valor de: J
A)4 B)8 D) 32 E) 64
Calcule el valor aproximado de:
19 + ^3^24^ 3 J 24....
[ t c n t t i t r m v o x M j *
A)2 B)3 0 4 D)5 E)6
(/Y ) Si «x» es diferente de «y» , simplificar:
m * x
x - y
m y x n *
AJ m
n
B) n
m
C)
\m
n
D) n
m
j
3 E) m
n\
\0
2) Teniendo en cuenta: Tt = 3t calcular el valor
de: j<2T + t t t + i
A)27 B)32 0 36
2x f I - 2X~3 '2Efectuar: la I . l a
D )40 E) 42
5—x
A)1 B)a-i O a - D) a
Reducir la expresión: E —
x a x y ~ b
b~y¡ya X x ~l
E) a
A ) x y B ) ^ - r c > 4 - D >— e >1x y ° y x
Reducir la expresión:
X 6 - )
—c
c—a
M
b—c
A)alb B)bla O ab D) 1/ab E) 1
n yfrtjm \ím
(lo )Si: m = 64it , reducir: ” — " i r—
A ) 8 B ) 2 y Í 2 C ) 4 D ) i Í 2 E ) 2 i Í 2
© Reducir a su mínima expresión:
mn 2 0
m n + 1
2
2 m n + 4
+ 2
2 m n + 2
A) 12 B)10 0 5 D) 4 E) 2
Reducir la expresión: ■ Í L - ’
1+h
A)h
B J í
C)$h D ) E)h
T K t f W ¿ l l l i : ]
¿
Sabiendo que: A = + 72*)"* J '
señalar: $A
A)2 B)3 01/3 D) 1/2 E) 1
Si: M = <¡7 45^.
N = ^¡5y¡7yls47Z.
indicar: \lN M - # 3 95
^3
A)1 B)2 C )- l D) -2 E) <¡¡5
CEA VES
ECUACIONES ELEMENTALES M
OI) A 02) C 03) D 04) C 03) B
06) tí 07) 1) OS) O 09) A lO) n
11) C 12) A 13) A 14) C 13) B
16) C 17) U 18) E 1 9 ) 0 20) c
01) tt 02) O 0 3 ) 0 0 4 ) 0
POTENCIACION
O I ) E
OS) A
11) B
16) E
O I ) C
02) A
07) A
12) O
17) A
02) A
02) t t
OS) E
12) A
18) C
02) C
04) A 03) C
09) tt 10) U
14) tt 13) C
19) tt
04) A 03) tt
r a b í c a c i o x
PV €
96) A
t i ) B
16) B
91) tt
02) B
07) tt
12) tt
17) E
02) C
02) tt
08) t t
12) A
18) t t
02) t t
04) tt 03) U
09) A ÍO) B
14) C 13) D
19) C 20) II
04) O 03) B
LEYES BE EXPOXEXTES
OI) C 02) C 02) B 04) C 03) B
06) B 07) tt 08) tt 09) C IO) tt
11) tt 12) tt 18) E 14) tt 13) A
16) A 1 7 ) 0 18) tt 19) E 20) A
21) A 2 2 ) t t 22) A
m i m m c i ( w m m íwmm)
ff)»12)BS)C 4)AS)Á es VI S)B ¡»c10)1
MC12)C¡180)C15)A1 « « to» d
64 IA fivffaoi^PiA 2012]
OBJETIVOS :
* Aplicar lo aprendido en la teoría de exponentes, en
la resolución de ecuaciones exponenciales.
* Descomponer números en una ecuación exponencial
, para acomodar en forma conveniente sus miembros,
y aplicar uno de los principios fundamentales con que
se resuelven aquellas.
INTRODUCCION Z
La palabra ÁLGEBRA viene de «ilm al-jabr w ’a l
miqabala» título árabe del libro escrito en el siglo
IX por el matemático muhammad ibn musa a b
khwarizmi. éste título se traduce como «ciencia de
la restauración v la reducción»
El álgebra es una rama de las matemáticas que estudia
la forma de resolver las ecuaciones, por ello , todas
las operaciones algebraicas , reglas , fórmulas ,
definiciones, etc. tienen un solo objetivo: el cálculo de
incógnitas, una de las características es que utiliza
símbolos o letras para representar números.Por
ejemplo la letra «x » , puede representar el valor de
una temperatura, una edad, una velocidad o la medida
de un ángulo; pero el álgebra no estudia estas
magnitudes , nos muestra las operaciones en general
sin precisar qué tipo se está tratando.
, en un núm ero lim itado de veces.
ECUACIÓN EXPONENCIAL
Es la ecuación trascendente donde la incógnita está
como exponente en unos casos , y en otros como
exponente y base.
E JEM PLO S:
* 25*=1
* ** = 0 ,2 5
♦ Í F + I F ¡ =14
C R IT E R IO S D E RESOLU CION
i ) A R A S E S IGUAM.ES . ENTONCES UXi*ONiHnTES
¡G U U .E S :
Para resolver una ecuación de este tipo, para los casos
más elementales, se usa una secuencia de artificios,
basados en las leyes de exponentes; junto con los
siguientes principios.
NOTA :
si a * b y ambos distintos de cero : x a = y a ^ x = 0
ECUACIONES TRASCENDENTES e j e m p l o s :
son aquellas ecuaciones donde al menóS uno de sus
miembros no es una expresión algebraica , asi pues
tenemos:
/^formando parte de un exponenté:
3? *=27 ; 5a* =3025
27>como base y exponentea la vez :
T + x= 51 ; x x=256
III) afectada por algún operador:
senx=0t5 ; Log2x=512
0 ¿áeU*au¿ón:
una EXPRESIÓN ALGEBRAICA es un conjunto de
números y letras relacionados entre sí por los
operadores matemáticos de la adición , sustracción,
multiplicación , división, potenciación y/o radicación
* S i :2 x * J= 2 7 => x + 1 = 7 => x = 6
* Si : 5 ,s = (x + l ) is => 5 = x +1 =* 4 = x
E JE R C IC IO 1 :
El valor de «x » que verifica la ecuación:
gX+2 _
R E S O L U CIÓ N :
= 27x'2, es:
Expresando ambos miembros en una misma base:
(3* f *2 = (3? f ~2 => 32x+4 = a3*-6
Aplicando el principio: 2x + 4 = 3 x -6 ;
entonces: x = 10
E JE R C IC IO 2 :
En la ecuación: 1 2 5 x~s = 2 5 x+1 *e* va ôr de *** ^
fw i^ i r /o .v c .v Kxwm*»\’K x t fíif BUSff E ltIU IO X E S KUKhXOS)
RESOL U CIÓ N :
* Expresando ambos miembros en base 5 :
x - 3 , o x x + l
( * T = K )
3 x - 9 _ g 2 x + 2
Aplicando el principio: ax-g = 2* + 2 entonces: x=n
EJERCICIO 3 :
Luego de resolver: (2x - i)x+i = (* + 2)*+* , el valor
de «x» es:
RESOL U CIÓ N :
•Siendo a ^ b y ambos distintos de cero:
Observe que x + 2 = o, pues de lo contrario el segundo
miembro sería: 0o (es una indeterminación). Entonces,
aplicando el criterio: 2x - i = x + 2=>x = 3
a ) c o r m a s a n á l o g a s :
Para resolver algunas ecuaciones trascendentes , a
veces, es necesario recurrir al proceso de comparación
comunmente llamado método de analogía , el cual
consiste en dar forma a una parte de la igualdad
tomando como modelo la otra .
M . l . N . l
EJEM PLO 1 :
* Si:_x* _
A
=16 x * = 2 4 ■
x ** = 2 ¿2
EJEM PLO 8 :
i*
x = 2
resolver:
x* = 3
R ESO L U CIÓ N :
•transformando al segundo miembro se tendrá:
3
X = \¡3 \¡3 x = $¡3
EJEM PLO 3 :
El valor de ex» en la ecuación : X —
R ESO L U CIÓ N :
$[§
,es:
Acomodando el segundo miembro como una potencia,
de modo que la base y el exponente sean iguales:
03 £ . 1
X x = => x x = 3 3 = > xx = [ 3 - , y ^ x * =
Luego , aplicando el principio: * =4%s
* En general:
i
' 1 ) 3
E JE M PLO 4 :
El valor de «x» que verifica la ecuación:
x - 5 = V T
R E S O L U C IÓ N :
Fíjese con cuidado cómo se acomoda el segundo
miembro, tratando de quesu estructura sea la misma
que la del primero:
55
* ' = ‘4 2 * *x - - %[2 =>■ x
De donde podemos afirmar, por la observación anterior,
que: * = *¡2
E JE M PLO 5 :
7 79Q
De la ecuación: x = 2 7 “ a el valor de «x» es:
R E S O L U CIÓ N :
En el segundo miembro, descomponiendo 27y 729 en
potencias de 3 , se tiene:
6
X = 27729 =(33f = 3 37
Luego, se puede afirmar que: x =3
NOTA
Debemos tener cuidado con el método de la analogía
pues nos brinda una solución , pudiendo haber otras.
E JEM PLO :
en: >[x = y¡2 se observa que x=2
pero y¡2 = iÍ4, con lo cual tenemos :
yfx =i¡4 se observa que x = 4
0 ¿teb »a c¿ón eb :
A> Si: u tb n = x ^ > b = x a = x m
n
B) Si: (X V ' = (X )« „ »
Artificio usual
rnsaT ™ fí3 5 IA E iV fw x o r m l 2012)
C) Si: (an=bn a a * b) => n =0 P R O B LE M A 3 :
n .n Jyfn En la ecuación:
¿
7
2 x + 3
_ e| va]or de iQg» eg.
.*■' n J ¿
D) Si: x x - n — -.V a = n4ñ -------- x ~ n4ñ
R E S O L U CIÓ N :
Como y * 5 ; entonces, por la observación
x* '
EySi: X = 3
2x +3 = 0 3x = ----
2
Xa = a - x = v 'a p r o b l e m a 4 :
F)
$2
V2
<¡>4Í = <Ñ « 2 ^ = -W í
5)
1 j(^) 1 {.sTS.
$3 3$3
-e
Jtx -O
PR O BLEM A 1 :
Resolver: 8 X~2 = 4 x ~*
A) 1 B) 2 C )4
R E SO L U C IÓ N :
D) 5 E) -1
* Debido a que 8 y 4 (las bases), son potencias de 2 ,
entonces trataremos de formar bases iguales.
(2 3 ) x ~ 2 = (2 2 ) x ~* => 2 3 *x ~ ^ = 2 2 *x ~ ^
¿T \=> 3 (x - 2)~ 2 (x - 1) => 3 x - 6 «= 2 x - 2=$ x = 4
RPTA: “C ”
PR O BLEM A 2 :
Resolver: x Sx* = 1 6 2
A) 5 B) 6 C )5 D) 2 E)5*
R E SO L U CIÓ N :
* Debido a que la incógnita se involucra en la base y en el
exponente , entonces tratemos de form ar una «analogía».
2x =:(42)2
5 i * S- A *= > ( x ° ) x = 4 * = * x 2 = 4 = > x * = 2 * = > x = 2
RPTA: “D ”
Resolver.
R E S O L UCIÓN:
^4x+S _ 42x+3
En el segundo miembro, el exponente de 4 es: ix*3,
por eso debemos poner ( ). Sabemos que: 4 = 2 *,
reemplazando: (^2 )2X+3 ií|2JC+aJ= 2 x + 4
• Luego: 2 -tx+s _ 2 zX*4
Como las bases son iguales, entonces: ¿x+ s _ 2 X+4
•Nuevamente: (22)*+3 = 22̂ x+3* = 2Sx+6 = 2X+4
De donde 2x + 6 = x + 4 ; despejando x = -2
P R O B L E M A 5 :
Al resolver: i3 17
289x+3
= \317
3 117
33
Calcular : x*"3 + * 12 x
R E S O L U C IÓ N :
• En ambos miembros, multiplicando los exponentes,
resulta : 317X(289X+S) _ ^^ tU 33) 3i7xxU72 f *3 = 3¡7M
* Igualando exponentes , resulta :
17x x l 7 = 17
Nuevamente, igualando exponentes resulta:
3x +6=36 , despejando: x =10 Reemplazando, se
tiene: 102 + 102= 200.
PR O B LE M A 6 :
Halle «x» si: X x ^° = 5 ^
R E S O L U CIÓ N :
* Elevando a la 25: X2* ]
25 5x5
[mCMJXCMDXKS MZXJUL\T:J\’€ i.XM.IC.4 E 6 7 BSB3 E D IC IO N E S KUItlÑOÑj
* Realizando un intercambio de exponentes en cada Efectuando resulta:
miembro: i*
.28 6*5 4x x + l = 1 =» * = 8 1 = 3 * = 3 => x = 3
‘ Aplicando propiedad: yy = a a =>y = a , resulta
x 26 = 5S Despejando x = «/J
PROBLEMA 7:
P R O B L E M A 1 0 ;
Si a " =4, calcule: _a+l í 2a+1 ) o
£ = o “ + ~ a 18
R E S O L U CIÓ N :
a
Acom odando la expresión que piden
Halle «a» si: |a ” J
R E SO L U C IÓ N :
‘ Sabemos qu e:
n
= n
calcular: E = c ° a + a
„2 a „ a a
í_
8
n
*
*
̂Jt .71 n
(a") = (a ” ) A n=yfñ =yfñ
/ n\n tyñ
Reemplazando se tiene: |a"j' ' = y¡ñ
Aplicando la propiedad: #** = aa" =^x = a9resulta
‘ Despejando, resulta ; a = nVn
PR O B LE M A 8 :
A partir de : a^a ~38 — fr28 /\ b2a~38=C^ » eí
valor de * 2 a - 3b* es igual a:
R E SO L U CIÓ N :
sabemos que: a a = 4 => a 2a — 16
1/8
Reemplazando: E = a 4a + |aí6a|
Aplicando la siguiente propiedad
a m n = (a” )"* ;(a m)” = a m n y reemplazando:
E = (a a )4 + a 2a reemplazando otra vez lo anterior:
E = 4 4 + 1 6 = 256 + 16 = 272
P R O B L E M A 11 :
Después de resolver la ecuación:
J j L Í É — = 0 ,2 5 , halle E = X+I$ ( x + 5 )*
8on+ x n ' ■ ■ ■ ■ ■ : m
" \ ■ r.
* De la segunda ecuación despejando * ¿ * , se obtiene R E S O L U C IÓ N :
b = 2a- 3b4 s
‘ Reemplazando en la primera ecuación exponencial
2g 7x28
resulta: a2a-3b _ 2a-3bĵ 7 _ a2a~Sb
* Como las bases son iguales, igualando exponentes,
7 x 2 8
* m * " + 5 " 1 , „ ,‘ Tenemos: ”1— -----— = — elevando a la «n». se
80n+ x n 4
x n + 5 n 1
obtiene 80n + x n 4n
se tiene: 2 a - 3 b = 2 a - 3 b
(2a - 3 b f = 142 = > 2 a -3 b = 14
de donde * Multiplicando:
(*" + 5 ") 4" = 80" + x n => 4" x n + 20n = 80n + x n
Factorizando y agrupando resulta:
PR O BLEM A 9 :
Un terno estándard cuesta x nuevos soles y un terno
especial cuesta el triple que un terno estándard. Si se
compran * temos estándard y x temos especiales,
calcule el valor de *, si se gastó en total 324 nuevos
soles.
R E S O L UCIÓN:
Costo : xx estándard , 3xv especial
Gasto = (Cantidad).(Costo) => 324 = x¿cx +x.3xx
x nj p ^ í j = 80n - 20n = 20"
‘ Después de simplificar: xn = 20n,de donde: * —20
‘ Luego, reemplazando:
= 20+12j{20 + 5)20- 4 = If.E =
P R O B L E M A 1 2 :
2 5 16 = 5
El valor de «x» que verifica la ecuación ©xpo;q|itéia|
• *>>
n—x 71
= X tes.
R E SO LU C IÓ N :
•Aplicando la propiedad:
(amr = a ; m =x ; n = x
n„ x x x n x _ _ » " _ x x = X = X
(igualando los exponentes).
n
ftPero: n = jñ = j ñ , Luego x = 4ñ
PR O B LE M A 13 :
Si x* = 2 > el valor de la expresión:
1+x 1+x es:R = x 2x
R E SO L U CIÓ N :
I ) Xu x = x . x x = 2 x
II) X s+2x = x . x 2x = 4 x
I I I ) R = x 2x4x = x 8x = [ x x f = 2 8 = 2 5 6
PR O B LE M A 14 :
Resolver: ■x—55 S = 3 1 2 5 25
x+2
R E S O LU C IÓ N :
3125 = 5a => (5a) = 5 5 x 2 5 x + t
A bases iguales se tiene exponentes iguales
5 X~5 = 55xs2X+4 = 5ix+s
Una vez más, a bases iguales exponentes iguales:
x - 5 = 2x + 5
PR O B LE M A 1 5 :
Resolver: 2 7 27%^ 3 24s?
=> x = -1 0
A) 5 B) 7 C) 3417
R E S O LU C IÓ N :
(33 ) 2?x= 3 243
D) 3413 E) 6
;'o\ 3 x 27*lo : =(.3)24s7
I
3x27*=
3x3**=
l+ 3 x =
=> 3x(33)X= (3S f
3™ => 3 ,+ s*= 3a6
35 => x=34¡3
243
,35 _
P R O B L E M A 1 6 :
Resolver: x x¡2 — >¡6
A) 3 B) C) 9
R E S O L U C IÓ N :
LA Fíl\CM4 J.at‘Ui»L\ 2012}
D) 1*¡3 E ) 1¡Í8
Elevando ambos miembros al exponente 22, para
provocar una forma análoga:
[ xX Q ? = 4 6 12 ^ (x i2 / 2 = 6 6
=> x 12= 6 => x = % Í 6
44 MMRP7A : “3
P R O B L E M A 1 7 :
Hallar» en: 2 * + i X 2 3x'5 X 2 5x'9 = 2 5
A) 4 B) 6 C)8
R E SO L U C IÓ N :
D )2 E) 10
• Por producto de bases iguales: 2 9x'*3 = 2 5
* Entonces: 9x ~ 13 = 5 => 9 x = 18
=> x = 2
P R O B L E M A 18
RPTA : ‘P
Resolver: f¡8x Ĵ = $4X¥Í
A) 7 B) 6 C) 13
R E S O L U CIÓ N :
D) 17 E) 9
* Como 8 y 4 son potencias de 2, se tiene:
4 ¡(2 3 ) X - 1 _ 3j( 2 2 j x + l ^ 4] 2 3 x ~ 3 = ^ 2 2* +Z
• Por exponente fraccionario, resulta:
S x -3 2x+2
2 4 = 2 3
* Igualando exponentes , se obtendrá
3 x - 3 __ 2 » + 2
4 ” 3
• Despejando la incógnita: x = 17
P R O B L E M A 1 9 :
4 4 f l ^ MRP7A : 'P
Hallar» en: 125x~3 = 2 5 2x+1
A )-10 B) -9 C )-2
R E S O L U CIÓ N :
D )-U E) -12
* Llevando todo a potencia de 5:
^ f * 3 y c —3 = ^q 2 j 2 x + l s q 3 ( x —3 ) f ¡ 2 ( 2 x + I )
* Entonces' 3 x - 9 = 4x + 2 = > -9 -2
= 5
RPTA: *P"
4 x -3 x = > - l l = x
RPTA : 'P'
[ECIZXCM4AXK& EXPDNEM'LXM.XSít
PR O B LE M A 20 :
69
Hallar x: 2 - 2*
2X - 2
= 2
A) 1 B) 4 C) 3
R E SO L U CIÓ N :
« ' i
* Del dato , se obtendrá:
£— — =23 => 27 - 2 x=2sx2* - 24
2X- 2
128=8x2*+2*-16
<4 _ o*=> 144 = 9x2* =>16 = 2* =>2* =2
* Entonces: x - 4
PR O B LE M A 21 :
X 5
Resolver: X x ~ 5
A) 5 B) v s C) *4s
R E SO LU C IÓ N :
RPTA : “B $9
D )5 8 E)5*
♦Tratando de formar una analogía, así:
.5
x " =
5
X
*45m'
* Entonces :x = $Í5
PR O B LE M A 2 2 :
RPTA : “ C”
Resolver: 5 x + l + 5* = 1 5 0
A) 1 B) 2
R E SO L U CIÓ N :
C) 3 D )4 E )-2
5 x x5I + 5xxl =150
5 X(51 + 1) = 150 => 5*x 6 = 150
150
= > 5X = = > 5 X = 2 5 = * 5 X = 5 2 => x = 2
RPTA: “B 9$
PR O B LE M A 2 3 :
Resolver:
= 2- ^
A) 2
R ESO L U CIÓ N :
B )\ C) 16 D> h E J Í
♦ Consideremos el 2do. miembro para provocar una
forma análoga:
4* V2 J2
/ - V \ ¡ Z + v 9 A / - \
,-4i
PIPMCMOXLS MilTitIÑOS)
P R O B L E M A 24 :
7 X 4 . 7 14
Resolver: 6¡ = 7
72 +7*
A) 5 B) 7
R E S O L U CIÓ N :
C) 8 D) 1 E) 14
* Transponer el índice:
7X +7 1 4
72 + 7* = 7*
=> 7 + 714 = 7e(72 + 7X)= > 7 + 7J* = 7o + 7°x7
=> 7* - 7®x7* = 7® - 714 => = 7®
=>7X = 7® =>x = 8
1 4 _
RPTA; “C
P R O B L E M A 2 5
2~x
Resolver: X ^ = 2
E indicar el valor de: Vx
A)~ B )1 O - í D) E ) ¿ ¡
2 X
2 ' 4
R E S O L U CIÓ N :
* Transponiendo -2 ~ al otro miembro:
~-x
Debido al
Traspaso
- O - 2 !x = 2
* Formando analogía (usando artificios a la izquierda)
V i
*4¿K4¿
i € ’ p )
xr~ 1
R P T A : “A ”
P R O B L E M A 2 6 :a ; v-y.»» * • n
Resolver: / " / * ) * " = n? / " a/ » " ?
A )n B)-Jü.
R E S O L U C IÓ N :
* Haciendo: a=n "
C) n" D )" E) n "
Reemplazando: 4 ñ
- ( t f - í ( t ) T - ( í r - ( r - ( í )
l \ f ( l í í y => ( ¿ Q ? = n n => (xa f a = n n
=* x a = n => x = V ñ => x = n7 ñ
* Luego: j.* = — => X = P R O B L E M A 2 7 :
R P T A : “ E ”
& 1
Resolver: x^x, =-
i .* * *
* y. ; . v ' y - . y y y
V 5
• .
*.<*
; í - , ’ T
¡ A EiV( j ot*H UIA 2012}
A)2 B)4 C)2-f2 D)2~2 ' E)2~* 4
RESO LU CIÓ N :
* Se tendrá
-i
i que: 2 y¡22 2
X
* Hagamos:
a = 42
Entonces:
x x x a a r “» = a => » = v a
V i
= %fa
-J
R P T A : “E ”
PR O BLEM A 28 :
Resolver: 6
V i
6'Vi 'V?
= V2 V2
V2V2 4+ 12 Ví
A) 2 B) 8 c ;5 4 D>512
RESO L UCIÓN:
* Considerando el miembro derecho.
EJ123
W ® ' - ’W 2
6
‘Vi Vi 272
= r 2 7 2 7 r2V2' 275
s4 x ” = (2 7 2 7 f 2j2 1
64x = 242 => * = (2727® = 2 a x 7 2 ®
x = 64 x 2 3 = 512 RPTA : “D 99
PR O B LE M A 29 :
Resolver: f 2 ' ^ ¿ j ̂ x ^
Aj 0,5 B) 0,125 C) 0,25 D) 16 E) 4
R ESO L U CIÓ N :
t e
r V f » '17^ = (x « r '
(2-'/*)2^ = u ^ r * = >(2-'/§ )2 = u <vir *
=> ¿V7* = 2 ‘ ^ = (2 *
=> = ( ? ) ^ ^ x = i = 0 ,2 5
R P T A : "C
P R O B L E M A 30 :
Resolver: $f^2 64 ? x
6
= 9
A )4 3 B )43 C $ 3
R E S O L U CIÓ N :
* Haciendo: §[Z* -
D )43 E)49
„2 _ _ K _ _92 = o = > x = a 0 2 = a
* Al reemplazar resulta:
a®
a = 9 => a = ^9
a = y¡9 => yjx2 = 4 9
x 2 = 4 § x 2 = $9
x = ¡ 4 9 = tfj< ¡ = 43
P R O B LE M A 31 :
RPTA : uBn
Resolver:
A ) j r B ) 8 O f
R E S O L U CIÓ N :
D ) 8 E )
1 7
8
• Haciendo: x =y -1 => y= x +1
2 . (242)
x + i
. ‘ T f c8 1 =>x
.X + I
L
= a ) •*
9
X*+* _
( # ’ (*)< *>*
*♦1 l l í *1
= > y - i = i = > y = %
P R O B L E M A 32 :
8
R P T A : "C ”
Resolver: . ce
* r s ®V*
= x 1+x
1 + x1 + x
A)\Í4 B )i¡2 C)$¡4 D )l¡4 E )^4
R E S O L U C IÓ N :
• X
Haciendo:
.X
= * i + *
I + x1+x
/ / / / ;
f/B
ru
• De y (II), se obtiene
5 n4f~5n _ -jn = V2 =>n = 2 * (a )
De (II) y fJZfJ, se obtendrá: n = ar,+n (7?>
i:t'i '.\4'ntxi:s /■;a i-o .v i:.v r / .\i.i;,v fytga 77 feWf MiinCMONES líV ItlÑ O S )
* De (a ) y ( f lh = * ; + » £ »
* Piden: , = = ‘J4
’tUfi
PR O B LE M A 33 :
Resolver:
P R O B L E M A 3 6 :
=7+n => n=4
Resolver: x ZJ = (x - 1)
(*-«)
RPTA: “E 99 D)Ü2 E)tf2
•90
X-l
3 x ' 2 - 1 = x¿ U ¡
x ~ l& '
A) C )4 D)2 E)3
R E SO L U CIÓ N :
* Haciendo : a = 3X ' 2 -1
X - 1Vff
a
=>a
X4x ^ i
x - 1 ^ 3 x ~2
a r a x - i r
a r ^ * í— ; ^Va = y ¡ x - l
a
- l = x - l = > 3 x - 2 = x • ■ ■» ■ '
Por un tanteo
adecuado x=3
A )± B) | C )/ 2 - l
R E S O L U CIÓ N :
• tratemos de formar una analogía , a s í:
- U = ((x - 1 f x'2) )* => 2 = ( x - 1)x2-2x(x - 1)
X — 1
=> 2 = ( x - l ) x2~2x+1 => 2 = ( x - i r 1)2
V2 ^ = ( x - i r T)2 = > X -1 = 4 2
x = 4 2 - 1
P R O B L E M A 3 7 :
Resolver: 25”+9*=2(15*)
B)0 C)4¡5 D)i¡2
RPTA: “C”
* E)̂ Í2
RPTA: “E ” R E S O L U CIÓ N :
PR O B LE M A 34 :
Resolver:
42 ( x4 +2 42 )
X
¿
2
( i )
16 + 4
* como 25 ; 9 son cuadrados perfectos haremos la
siguiente transformación:
A ) ~ B )4 ~ C )^ 2 V)%¡9 E J 9 '1L4 2
R E SO L U CIÓ N .
( 5 X) * + ( 3 X) * = 2 ( 5 X)(3X) = ' * x ‘2
=>(5X- 3 xf = 0 = > 5 X = 3 X
(5X f - 2(5X )(3 X ) + (3X f = 0
5 X
■12 x4 + 4
X
( * ) * < * > '
+ 4
(5 >X f5\
■ 1 ^ 5 ■
UJ ^3)
x = 0
RPTA : “B 99
* Por una minuciosa comparación , se obtendrá , que:
1x =
RPTA: “B 99
PR O B LE M A 3 5 :
Resolver : = x ' 1+9 ^
PROBLEMAS DE EXAMENES
DE ADMISIÓN
P R O B L E M A 38 :
Si: a a° = a 2 r a > 0 ' Hallar el valor de: a 30.
A) 6 B) 4 C )S D) 9 E) 18
R E S O L U C IÓ N :
* Como a > 0 , igualando exponentes :
aa- 2 => aSa=8 RPTA : “C
A) 1 B) 9
R E SO LU C IÓ N :
.2. 9 r~
9 9 = x ' Ix
C) 9* D) *49 E) 9 l P R O B L E M A 39 :
9 r~1 + 9 4x
_ J -J x x 9,(x
99J¡c
- X
=>l -
\\9
= X
i
9 / = ( * - )
9 r •£ i
=>X 9
X ®x =
/ j \ 9
<9;
= 9 9
RPTA:“C”
Si (2 ^7 )* = 31361 entonces el valor de x * + l es
A) 32 B) 29 C) 76 D) 23 E) 37
R E S O L U CIÓ N :
* Igualando bases tenemos:
($8 x W T =(56)2 => (56)x,s= (56)2
• De donde:
—=2=>x=6 => x 2 4-1=37
3 RPTA: “E "
72 IA £JVfifxoi*£i>U 2012)
PROBLEMA 40 :
Resuelva la ecuación exponencial:
2 x+2+ 2 x*1+ 2 x+ 2 x~1+ 2 x~2=248
Calcule: 2*+1+ 2X+ 2 x~l
A) 95 B) 3,5 C) 184 D) 112 E) 2
RESOLUCIÓN:
X• Se observa que en la ecuación un factor común es 2
, entonces por teoría de exponentes podemos expresar:
(2*)(2)2+(2x) (2)1+(2X)+ (2 X) (2)~1+(2x) (2)~2=248
* Podemos factorizar (2X):
<2* )[(2 )*+ (2)I+ l + ( 2 r I+ (2 r* ]= 2 4 8 => (2X ) [ 4 + 2 + l + ~ + ~ ] = 2 4 8¿ 4
* Operando: (2*)[?*]=248 => (2X) = 4( — )
4 31
=* (2X)=4(8) =25 => x=5
• Se pide: 2X+I+2X+2X’ 1=26+2S+24= U 2
AP7A: “J> "
PROBLEMA 41 :
^ : 2X* + 2X%~1 + 2X*~2 + 2**~5 + 2X*~4 -= 62 *
donde x >0 , hallar x
V'
B )2 C ) D
R E SO L U CIÓ N :
* Multiplicamos por 24 a ambos miembros :
2^ x 24 + 2X* x 23 + 2X> x 22 + 2X* x 2 + 2x’ = 6 2 x2 4
=> 31x2xt = 6 2 x 2 4 => 2X* = 2S
=>x2 =5
^ x « $5 v x = —s/5
* Pero com ox>0
RPTA: *‘A
PROBLEMA 4 2 :
Calcule la suma de cifras de “x ” si se cumple que:
* < **
9x*l = 2 7 x'n
99
A) 10 B) 11
RESOLUCIÓN:
C )12 D) 13 E) 14
(32)x+1 = (3j )
g2x+2 _ g3x-36
,3 \x-12
• Luego: 2x + 2 = 3 x - 36
=>38 = x
= > S u m a d a c i f r a s : 3+8=11
PROBLEMA 43 :
time*JV>7X: "A
C )1 D) 114 E) 3/4A) 4 B) 1/2
RESOL UCIÓN :
• Del último dato , se obtendrá:
* * = , » =* ( y * ) * = y * => y = ........( I )
* Ahora en (I) en :
yx = x => (x 2 )x = x => 2x = 1 => x = —
❖
•Se p id e :| + j = f
PROBLEMA 44 :
RPTA : “E”
Si
de “n ” ,
A; 9 b; s
RESOLUCIÓN:
• Del dato
- 7 hallar la suma de las cifras
O I D) 3 E) 2
( 7IS - 7'
^7"~* - 7
_ 7» \B
3 = 7
• Elevando a la octava ambos miembros , se obtiene:
ylS tjn
= 7 8
*
1̂5 rjn ^ *jn+4 îJ
^ ^/J ê n+4 7 **
7 u iP ^ C Í) = 7 " & i ^ í )
j i i ______
Luego ,
RPTA ;
PROBLEMA 45 :
’ » ’
Si : X~x 3 = 2 »cateulé: x
A) 10 B) 2/5 C )5
RESOL UCIÓN:
• X~x * = 2 elevando al cuadrado
D) 1/2 E) 15
*Por comparación:
x 2 = 2 => -4r = 2 => x 2 = 4-=> x = -4 = .„(x > 0)
X 42
Adem ás: 42 x = f
•Reemplazando convenientemente:
Si se cumple que y x - x , hallar x + y sabiendo
además que: v“J A* 'J
y = y
x ._4xlx 2 1 2 = x = —
A J > Z A : “0 ”
7 3 KIHCIONM iS KITKMÑOM
P R O B L E M A 4 6 :
Si 2 5 ’ + 9* = 2(15*), determinar el valor de
- 7 x + l , n -7 x + 2
E = 5 +3
7(5
C) 6
- 7 x - l
)
Dar como respuesta : (2n+3)+3
A) 5 B) 4 C )7 D) 12
R E S O L U C I Ó N :
* Reduciendo adecuadamente se obtiene:
E )3
D) 8 E) 15A) 10 B) 215
R E SO LU C IÓ N :
* Del dato se obtiene:
(5X)2 + (3xf = 2 (5 t x 3X)
=>(5X)2- 2 ( 5 X)(3X) + (3X)2 = 0
* Recuerde que: a 2 - 2ab + b2 = (a + b)
* Entonces: (5X - 3X)2 = 0
Luego: 5X = 3X => x = 0
5* + 32
•Se desea :(2x9+3y*r3=7
RPTA: “ C ”
Reemplazando en «E» E=
7(6~l )
= 10 ECUACIONES EXPONENCIALES I
P R O B L E M A 4 7 :
En la s i le n t e ecuación:
1 6 ^ - 256 = (60)4^* el valor de x es:
A)3 B) 4 C ) - 4 D) 9
R E S O L U C I Ó N :
•La ecuación se puede expresar así:42^ - 256 = (60) ( 4 f
RPTA : “A** @)E1 valor de x en: (3 x - 2 ) 7 = 128 es:
A) 1/3 B) 4f3 C) 213 D) 5/3 E) 1
Resolver la exponencial: 27V**3 _ 227a*'3
E)1
A) A B) A C) i D) 4,
Resolver: 3 5
A) 0 B) 1
X + 1 3 €% r 3 x —4
24
= 24325'
C)2
13 E ) l
D) 3 E) 4
m
• Haciendo y = 4^ tenemos:
y2 - 60y - 256 = 0 , cuyas soluciones son y¡ = 6 4 , ^ s
y2 = -4
•Entonces: 6 4 = 4 ^ x ; ~ 4 = 4 ^
• La primera de estas ecuaciones tiene por solución a
x = 9 y la segunda no tiene solución real.
RPTA : “D ”
PR O B LE M A 48 :
S í 3** + 3 * = 27 ; 3*+* ^ 1 1 , calcular e l valor dé
K=(3r+3*)a
A) 512 B) 216 C ) 729 D) 125 E) 343
R E S O L U C I Ó N :
• Del dato: (3X)2 + (3y)2 = 27 ; 3 'x 3 y = 11
• Luego:
(3X)2 + (3y)2 + 2(3 ') (3y) = 2 7 + 2(11) = 4 9
• De donde:
(3X +3y)2 = 49 => 3X + 3y = 7
=>(3X +3r)3 = 7a = 343
RPTA : “E ”
P R O B L E M A 4 9 :
Resolver: [s 5* ] ~ 5
B) 5 0 - 5 D) 25 E) -4
Calcular «x» si: (5 x )x = 55 y proporcionar el
valor de ifx
AJI B) & O 4s D) 4f E )5
i
r » v
Si ** =
A )±
7 4 . Dar el mayor valor de x.
\4 /
B )\ D) í
E) 100
Si, x e R+ - { / } > determine el valor de n que verifique :
i*'
Hallar x2 en: x x=3324
A) (81)s B) 81 C) 80 D) 90
Resuelve la ecuación: Va3 x = ila2~x
A) -7 B) -3,5 C) 12 D) - 12/7 E) 7
Resuelve la ecuación: 27x + 33x+I = 12
A) 1/3 B) 2/3 C)3/2 D) 3 E )-3
El valor de x en a 3x~s - a 2x = 0 es:
A) 3 B) 4 0 5 D) 6 E) 2
(Q) Si: (2^7 )* = 3136 dar el valor de x2+1
A) 37 B)34 0 35 D) 36 E) 38
m
Resolver : 16I S*‘ =644*2 2 ■; si: x >0
(
A) 112 B) 1/3 C) 3/2 D) 213
Halle x*+ l en 8* + 8X+1 = 36
A ) l B) i C) i D ) ±
<g> En: 2X + 4X = 72
hallar x3 + 2
A) 28 B) 27 C) 26 D) 24
Hallar x en:
y¡2 X $ Í 4 X y¡8 = l¡2
A) 18 B) 42 C) 30 D) 35
(Q) Calcular «c» si a>l
2 ¡ f a x 3 ¡fa x *~¡fa X * ¡fa = a J0
A)1 B) 2 C) 3 D) 4
(^Calcular «x» en la siguiente igualdad:
*^3 x $33 x $3 x *$33 = *¡[x4
B) 33 C) ± D) 9A) 77
Hallar el valor de «x» en:
3(5x2 ) + 3(4x 2 ) = 4x l + U (5 xS)
A) 1 B) 2 C) 3 D )4
Resolver:
t i
v27
(I)
= 9>4 (II)
y proporcione el valor de «x + y»
A) 4 B) 6 C) 6 D) 7
Dar el valor de verdad en:*
n
E) 314
E) £
E) 25
E) 34
E) 5
E) 99
E) 5
E) 8
• x x ~m =>x = $rñ
• En una ecuación exponencial la incógnita puede
encontrarse en la base.
• x* = 2 es una ecuación trascendente.»
. 2X = 3* => x = 0
A )F F W B )W F F C )F V W D) FFFF E)VFVF
@)Hallar «x»*en: x * - - ¡ ^
&C)% D) E )i
@ 1 Calcular «x» si se cumple que: (x 2*** )~l = 0,04
A) B )L C) Vs D) 5* E )0
Si: a > 0
a"®"* = 3 ; calcular : a9â * 2
A) i
Si:
B) j C )9 D) 3 E) i17
Hallar: E = $ x
A) 114 B) lf2 O US D) 1/16 E) 1132
Hallar «x», si: y — x x /y * ' = x
b o £ p D )t ^ t
ECUACIONES EXPONENCIALES B
@ > Resolver para n:
3j 2 V i V 2 ........ = 4 x 4 x 4 x .......
( n 4-1) veces
A) 26 B) 27
( n - 2 4 ) v e c e m
O 28 D) 29 E) 30
@ R esolver: 2 7 x"5 x9
A) 12 B) 18 O 19 D )16 E) 20
Resolver:^ 3*-7) 3* = 5 1 2 27
E indicar: X‘ 4j x + s
A) 2 B) 3 0 4 D) 5 E) 6
A) 6 B) 6 O 7 D) 8 E) 0
Hallar*: 2 ' Í8* = 3y¡2
9
A ) - B ) - C ) -
3 3 3 D )J E)l
m
* + 3Resolver: 6j s x~I = 3j4
A) -39 B) 18 O -29 D) -42 E)54
Resolver: 5j s = 5
A )0
b ) i c j - i ° 4
E )-5
_ Resolver: V2
A) 8 B) 4
. 4yjo 2 * ' ** _= 4
0 3 D) 2 E) 1
E D IC IO N E S U U tt
m Resolver: 16 8
-27
= 4
n i B ,1- C) 3 D) 2 5)1
@ ) Hallar x:
2 5 -* * = 0,2
A) 5 B) 4 C)10 D) 9 E) 13
(Q) Si se cumple: ]̂aa ¡̂2 = $a
/ 2\4~a*
Hallar: (aa“ )
A)1$ B)1 C) 2 0)8 E) 4
0 Resolver:
3 ’ *t¡ s2**\/2 3,**,í = 2» ’ **
A>¿3 3 2 4 5
Hallar xx si:
XJ2
x = 2
A)4 B ) - C)yf2 D)2 E)1Í22
Resolver la ecuación:
2 x+9 - 2 X+2 + 2 X+I - 2X = S0X
Dar como respuesta : x*
9D)
25
E)4
Calcular el valor de * en la
ecuación:
-j
I H f
A)i C)l
11 = 216
D>\3 2
Resolver S f r T I i - V * " ' * © S ie n d o :
A)2 B) -3 C)4
© Hallar * si:
3 4 3 * * ° '* + 7 ** 08
o) -5 m - -
1 * 7 Syfx
= 7
A)— BhíS C$8 D$33 B)±S 9
2*-t + 2x-e+ ....... +2’ -* -1 0 2 4
1 0 2 4 tu r n a n d o *
Determinar: A **rJxs + x + x - 2
A) 1 B) 2 .C )é \ D)16 5)236
(¡tn) Luego de resolver la ecuación:
A f ̂ *.2 '< O
27 4 w 8 determinar: x * l
(ph Resolver\(2sx ) x = *V2 A -4 B) -3 C;-2 D)f e;2
A)2* b;2 ̂ C)2 a 0 )2^ 8)2 '% : í En la ecuación:
v*. ■
6 radical«#
Determinar: x*
A)« S>4 C )i o) ” e ; «
S i : x* = 27 calcular:
@ Resolver: = '^ 256 ^ + *J«1 + V «¿ + ........... V s í = 3
A;2 B)4 Cj8 0J10 E) 256
(Q) Resolver:
J 2 4 4J 2 8 *12 “ = x a*
A)1 B) 2 C) 3 0 )4 E) 5
@ )E n la ecuación:
t
Í x ‘ % * 3̂ Pr... radicales = **
^ . 80 n
Donde:* = — »* * = J
Hallar: n + x
AJ3 BJ4 CJ0 0)7 E)8
© H allar * si: (m x f = m l n
m 1A)m" B)m‘ C)m
x + l
D) ©i»1
E = v r " v x
A>3 B>73 C /̂3 ZV̂ /3 £>3^3
@ > Resolver: 1 + x*+1 = 9
E indicar: V x + V *
A)« B) 8 C) 7 0)9 E) 2
Hallar *:
Resolver:xw*1̂ 1618 = x ( X+I>
AJ2 B)3 C) 4 0 )8 E)7
A ) (4 2 + l)* B ) 2 j 2 - 2 C)1
D )(J 2 - l ) 2 E)S
Hallar el valor de * e n :
x - 2 )
A)— B)2 O - D)9 E)S3 9
@ Resolver: =(X ~V^
A )Í C)-j3 - 1 D)1¡2 E $2
4 2
@>Resolver: ^
x 4í(x4+»42 i _ í l ^ » ) 1
*
A ) - B ) - C)42 D)i¡2 E)ÍÍ2
4 B
m Mencionar el valor de «x» , si:
9X+2 = 9X + 240
A)2 B )-2 C) 0,5
D)-0,5 E) 0,3
Indique verdadero (V) o falso
(F) según corresponda:
( ) S i: 128*-1 = 32*+i =>* = 5
( ) S i: 9*-* x 27*^ = 1 =>* = -1 3
( ) Si = 4=^x = -6
A W F B )V W C)VFV
DJVFF E )F W
@lCalcular «x» en:
1
x - 3 1
3 27
A)-3
D) 0
B)~2
E)2
0 - 1
Cumpliéndose que:
Calcular «n» .
A)8/3 B)9¡3
D)ll/3 E)10I8
C) 10/3
Resolver: —
3
8
27
9
4
- i
x ' [ í l H ? ) c , l ! t
- I f I < 1
Cumpliéndose que: ^ 2
proporcionar llx.
A113 B)26 C) 24
x - l x4x = 8 2 - x
ILEO
A)1 B)2
i a ü i i T i a o p m i ]
C) 4 D)5 E)6
D)12 E)1
<0>Si: 'ja>¡ba?la > !i/. = a ab0 calcular:a + /3
A) 1/3 B)3¡2 C)2 D)l/2 E)3
Si 3 2 8
13
2 9
calcular X5 Resolver el sistema: ’
2X (x + y) = 20
(jc + y ) í = 5
A)3 B)314 0 39 D)3** E)3'* A ){(2;¿¡} B){{1;4)} C){(l/2;g)} D){(2;4)} E){(1;3)}
Luego de resolver: 4 n-** - 4n + 4n+ = 84
indique lo correcto.
A) n ea p a r B) n es p rim o
O I < n < 4 D)M ás d e uno es correcto
E)n = 4
l o 17 4- 2 n I----
@ S i : fl 2 n~+ 2 = calcu le
A)9 B)8 O io D)4 E)5
© Resolver: n " 9 _ g
A'(?) B'{?} c;{ l)
Si se cumple que: n%* _ $4 , calcule el valor
de: n *-5n + 16
AJ38 B)40 0 42 D)46 E)51
A Partir de: m m12 — $[§ ,calcular:
J + m12 + m24
A)4 B)5 0 6 D)7 E)8
fih Si: T t = i[2~ l calcular el valor de 16T.
A)1 B )-l 0 2 D h2 E)l¡2
Sabiendo que nnIS* _ u 1*11 ,calcule el valor
de n9.
A) 11 B)100 O 121 D) 132 E)14
Si se cumple: ff#2 — f¡4 * calcular: tf# 4
A) 2 B )42 0 4 D)8 E)16
(T^Cuál es el valor de «n» que satisface:
^xifxtFx _ n+2f^
tffP) Luego de resolver:
3x x 5 y = 75
3y x 5 x = 45
calcular: x y + y x
A )18 B)9 O 10
Resolver: 22x+I + 2X+2
A) 1 B)-2
O Más de uno es correcto
D)3 EJ12
= 16
0 2
D )B 6 C
Reducir:
E = i v i - í U ) "m
A)1 B )2
(¿J
C )4
_1
16 *
E Á
Calcular el valor de:
R = z----- jr- — —¿r
A )-l B)3 C )-3 E , - i
Sabiendo que: m n = — a nm = -2
M 3
m+I
calcular el valor de: F = 771 +71m
1-n
A)-8 B il C , - i D)4 E ) l
7 7
Conociendo que: nn = n + l , la siguiente ^ 2 B )4 C)^¡2
l^ cim cloy icm Tlxj¡9i»n<?t*cÍ4*Í4?t*\
V2D )
expresión:
T = " y¡(n + l ) (n*¡)
e 4
A )n B )n n C )n n + 1
Si: nn = 2 , calcular el valor de:
D)^íñ E )n n+J
Indicar el exponente final de «x» en:
2Í
E = 4n
1+ÍnI+m
A) m
*f—¡ m*ry¡x ... v x
2» n + l E)mn
A) 2 B) 4 C)8 D) 16 E) 32
0 6 ) Luego de operar:
'b* sumando*
Reducir:
S = 2 x- 74x ^ - x 2x~74¿ iX - x
X-Vxx+7
^ /o + ^ a + «.W
"fe" factores
4 a x 4 a 4 a
^ahfahfa¡
sabiendo que: x e Z + a x ^.2 008
A) 1 B )x C )2x D )2
Simplificar la expresión:
E)x*
Se obtiene:
A )$a B )a
" a+2" radicales
C)1 D )a -1 ««a
Si x e y son dos números positivos, entonces
la siguiente expresión:
F =
H = 1007
x 2007 + y 2007
x ~20O7 + y -2O07
es equivalentea:
A)1 B) 2 O x
m Sabiendo que:
M = 2 J 28a +112V 28a + 7°
\3
-l
B ) x l O x * D )x* E) 1
Resolver la ecuación: 5*r+i - 3X52*-1 = 660
y dar como respuesta el valor de x*.
A) 2 B) 2,25 0 2,5 D) 2,75 E) 3,5
Y 25* + 5 °
entonces el valor de M - N es:
A) O B) 7 0 1 4 0 )2 8 E) 36
W Sabiendo que: a + — = 2 a fe + — = 2fe c
calcular el valor de:
ECUACIONES EXPOXENCLUJCS I
01) B OS) E OS) E OS) E OS) E
06) A 07) B 08)11 09) A IO) C
11) A 1S) 0 1 S )E 1S) A IB) B
16) A 17) E 18) C 19) C SO) A
OI) C OS) O OS) B OS) B OS) B
* « « . i^ + b Jc3° 3+1
A) -2 B) -2 O o
a +1
0 )1
fe ° - I
E) 2
( Q ) Reducir:
E =
A)1 B) 2
© El valor de: K =
45-6
00) A 07) c 08) B 09) A 40) B
E 4S) A 4S) B 48) E 40) C
40) A 47) B 48) C 49) C 80) A
*4) n SS) A 88) E SS) B 80) B
SO) E S7) C 88) A 89) B SO) O
SI) c SS) B
\ TERCERA PRACTICA
0 4 E) 16
-a
« j a W o í )#
16)dl7)A g8)g J9)P
10)0
-jpara: a = 2 * , es:
CUARTA PRACTICA
v e m e i h)a
[ M-C M £ W -Ky*. M S 3 1 7 8 : jkH
w - 'm & w
OBJETIVOS :
Al finalizar la unidad, el estudiante será capaz de:
* Utilizar de modo preciso la definición y la notación
polinómica.
* Reconocer las características y propiedades de los
polinomios, distinguir sus elemento determinar sus
grados.
* Realizar operaciones básicas con polinomios.
INTRODUCCIÓN 2
Los matemáticos para poder expresarse hacen uso de
símbolos o letras, es decir, hacen uso de fórmulas donde
aparecen símbolos. Estos pueden ser sustituidos por
números reales. El valor de la velocidad de la luz
siempre es el mismo, aproximadamente 300000 km
por segundo, o sea es una constante. Mientras que la
velocidad de un auto varía con el tiempo, según la
aceleración que lleve, es decir, es una variable.
En el álgebra, generalmente usamos símbolos para
representar elementos arbitrarios de un conjunto.
Por lo tanto la notación « R , significa que x es un
número real en particular. Un símbolo literal que
se usa para representar cualquier elemento de un
conjunto dado , se llama variable . Las últimas
letras del alfabeto tales como x , y , z , w , se
emplean a menudo como variables. En cambio El
numeral que se utiliza para indicar un elemento
fijo de un conjunto numérico se llama constante .
Por ejemplo, el numeral representa únicamente al
número cinco.
En este capítulo, vamos a suponer que todas la
variables representan números reales, en algunos
casos , debemos restringir el conjunto de valores
permitidos para una variable a algún conjunto
de IR por ejemplo , cuando trabajamos con la
expresión algebraica: P(x) =4x, si queremos
garantizar la existencia de la expresión P(x),
entonces x debe ser no negativo (xtO ). El
subconjunto de adonde se encuentran los valores
permitidos para la variable de x de la expresión
P(x)t se llama dominio de P.
E X PR E SIO N A L G E B R A IC A
Es aquella que está formada por variables y/o
constantes donde las variables están relacionadas con
las operaciones matemáticas adición , sustracción,
multiplicación , división, potenciación y radicación ,
en un número limitado de veces.
E JE M PLO :
* A (x ) = 6x 3 + x -
4 x - 1 ; la variable es x.
* B (x ;y) =_ 7xy+J/7x
2y - l í loa variables son x e y.
z 4x 2 — 4y2C (x;y;z) = 2 H— p =— las variables son x, y, z.
m2 +4ñ
* En la siguiente expresión algebraica :
P (x ; y ) = -fSÍxy3 - 3 xny ,ls + m*
'«‘•son variables : x, y;
• Son constantes: 3 ; —3 ; n ; m 2
NOTA
Las constantes que se representan con símbolos literales se
llaman parámetros. En el ejemplo anterior , m y n son
parámetros.
+Las siguientes expresiones no son algebraicas:
• R(x) =xs +sen x
* G(x) = 1 + x +x* +x* + ........
• J (x ) = x 2 + 2x + 2x
* H (x;y) = 2x3 + Logxy-Seny2
TÉRM INO A LG E B R A IC O
Es aquella expresión algebraica donde no participa la
operación adición y sustracción :
a E xp on en tes
E JE M PLO : f \
B (x ; y ) = C -ií x '2- '
y vCoeficiente Variables
J7 P O r f.V O M F O # IKS3 7 » EIHClOXMiS m ICM.XOS)
(Ú í^ e + fm c ió n :
X Dos o más términos algebraicas serán semejantes
si los exponentes de sus respectivas variables son
iguales.
EJEM PLO :
P f4, = 3 5 -2 ; Luego, P fS¡ = 33(5)
POLINOMIO
R (x;y) = 4x3 y4 y S (x;y) = 5x* y
ton temíante*
A(a;b) = a*bs y P(a) = 4a3b2
no »on ¿entejantes
* Los términos algebraicos :
A(*;y)=Xx’V y ÍV(x;y) = *3y5 ao/i semejantes.¿
* Los términos algebraicos:
M(x;y) = - l p - y N (x )= ? p -
no son semejantes , pues no tienen las mismas
variables.
m o n o m i o ;
Es un término algebraico , cuyos exponentes de sus
variables son números naturales.
' *
Es aquella expresión algebraica donde los exponentes
de las variables son números enteros positivos, además
dichas expresiones están definidas para cualquier valor
que se de a sus variables.
N O TA :
Se llama polinomio a la suma finita de expresiones de
la forma: axm (si el polinomio tiene una sola variable)
o de la forma: a x myn (si el polinomio tiene dos
variables).
donde:
* a: es una constante, a la que se denomina coeficiente.
* x , y : son las variables.
* m ,n : son los exponentes de las variables, los cuales
son enteros no negativos.
En particular, al término a xm se le llama monomio de
variable «x» y al término axmyn, monomio de variables
«x» e «y».
E JE M PLO :
E J E M P L O S : \
.3 . 1
Las siguientes expresiones son monomios : ~
i f f lr -
t j J O i u t a v a i u u u ! ^ ] i
í < é >1 -,.v -
n r 3 -AP,„ = 5X
de todo monomio
están escritas dentro
dg. estos paréntesii
¿ 7x + —x - 7z , Si es polinom io , porque todas
sus variables tienen exponentes enteros no negativos.
í 9 x 8 ~ 6x ^ + 1 9 x s— 6 ,No es polinom io, porque
una de sus variables tiene exponentes fraccionarios
mjr ■ X-^7 * 9
M<*"> = 2 X y
•V'
(PARTES DE UN MONOMIO] ">rf
Todo monomio posee las siguientes partes :
12x - 5y z + 9 x y , No es polinom io, porque una
de sus variables tiene exponente negativo.
¡-71 J TM A I — - A A l
Exponen tes
£ A (x y ) = 4x3 + y 4 - 1
£ Q (x ) = x - x ' 4..........
£ B(x) = x ‘ + y 112....... .
.. (Si)
.(N o )
(Si)
Coeficiente j
Variables
VALOR NUMÉRICO)
Consiste en reemplazar las variables de un monomio
por números determinados. Así , se obtendrán un
resultado, denominado VALOR NUMÉRICO.
EJEM PLO :
S i: P(x) = 7 x - 2 , hallar «Pt5)»
R E SO LU C IÓ N :
* Reemplazamos: x = 6
[ N O T A C IÓ N R O L ! IM Ó M ICA ]
Es la forma abreviada de la representación de un
polinomio.Un polinomio se denota así :
•P,x) = 3 x 4- í x 3 + 2x 2
7(5)-2
I—+-x es la única variab le
%
— ► N om bre gen érico
d el polin om io
Se lee: «P de x » ó «P en **
o Q(xiy) = 6x 4y 3- 7x3y
L » x , y won variable*
del polinom io ^ «Q de x, y» 6 «Q en x j »
H 53 g o 1 LW+ui' JA ENCM'J.oi'MlA 2012]
* P (x)=13x4- 2 x + 7 i es un polinomio de variable x;
donde los coeficientes son los números reales: 1 3 ;
- 2 ; 7.
* Q (xy) =7ry - 4x3ys + l l x 2, es un polinomio de
variables x e y ; donde los coeficientes son los números
reales: 7; - 4 ; 11.
Un polinomio de variable única «x», tiene la siguiente
forma general
P(x) = Ufpcn + a p * ’ 1 + a¿xn2+....+ a * 1 x + a n
;a 0 * o .
Donde:
x : es la variable
n : es el grado del polinomio.
a0, a 1 , a s , . . . , an : son los coeficientes
a0: es el coeficiente principal, ao * 0
a n: es el término independiente.
Además podemos nombrar los polinomios de acuerdo
a la cantidad de términos que poseen.
P(x,y) = x 3 y ................M onom io
P(x) = x 2 + 5x Binom io
Q(x,y) = y 2 n x y - 5x2.... Trinom io
Q(x) = x 4 - x J + x - 1 ... Cuatrinom io
o simplemente polinomio de cuatro términos.
0&eUHMC¿án:
La expresión E(x; y) =
x 2 + y 2
; no es un
polinomio , porque no está definido para: x =0 * y = 0 .
FORMA GENERAL D E UN
POLINOMIO EN LA VARIABLE
n-1P fr^=a0:*ítt+ a J# n"i + a2x n~2+*..+a
aQ*0
Donde:
* a*» a . ; a . : ...... ; a„ son los coeficientes del polinomio.W J X w
* a0 es el coeficiente principal (coeficiente de la variable con mayorexponente}
* o. es el término independiente.
E J E M P L O :
el polinomio : P(x) = 5x4 - x 3 + 2 x - 3
•Es de cuarto grado (puede llamársele polinomio cuártico aunque
no es muy usual).
n
Además:
• Su coeficiente principal es : a 0 = 5.
• Su término independiente es : -3
• Su término lineal es : 2x
• Su término cuadrático es : Ox2 (carece de término
cuadrático)
• Su término cúbico eB : - x 3
¿L además:
P (x)= x+ 7 . Polinom io de p rim er grado
Q(x) =2x2 - x + 1... Polinom io de segundo grado
P(x) = xs -x + 7 ... . Polinom io de tercer grado
G (x)= 3x4+x2+ 5,.Polinom io de cuarto grado
FORMAS GENERALES :
POLINOMIO LINEAL í
(Polinomio de primer grado)
P (x ) = a x + b ; a & 0
POLINOMIO CUADRÁTICO S
(Polinomio de segundo grado)
P (x) = a x2 +bx + c ; a *0
VALOR NUMÉRICO (VJN.)
Si le asignamos valores a las variables de una
expresión algebraica y efectuamos las operaciones
que se indican , el número real que se obtiene se
llama valor numérico de la expresión algebraica.
E J E M P L O :
el valor numérico de :
P(x y) * 3yjx + 5, cuando x - 9 ; y - 2
Es : P(x :y) = 3(2) & + 5 = 23
P(9;2)" 23 nos piden
Sea P(x) = - 3 x 3 + 2 x ? + x - 6
• Si x = -J entonces:
P(x) = - 3 ( - 1 ) 3 + 2 ( - l ) 2 + ( - 1 ) - 6 = - 2
* Si x = 2 entonces:
P(x) = - 3(2)3 + 2(2)2 + (2) - 6 = - 2 0
I NOTA
Si P(x) es un polinomio, entonces se cumple que:
* P ( l ) = suma de coeficientes del polinomio
• P (0) = término independiente del polinomio
E J E M P L O :
Para el polinomio: P (x )= 2x3 + 17x2 + 3x - 4, se
tiene que:
* P ( 1) = 2 + 17 + 3 - 4 = 18 = Suma de coeficientes
del polinomio
P(0) = 0 + 0 + 0 - 4 = - 4 = término independiente.
CAM BIO B E VARIABLE
Ijas variables de un polinomio (o expresión algebraica)
pueden ser sustituidas por cualquier otra variable o
polinomio , quedando el polinomio en términos de la
nueva variable.
E J E M P L O 1 :
Dado el polinomio P(x) = 4x~ 5
Halle:
I) P(y + 1) II) P(3x -1 )
R E S O L U C IÓ N :
í) El dato es P (x) >P (y + l)
Aquíhayque reemplazar directamente x por y+2
en P(x) .
• Luego : P(y + 1) = 4(y + 1) - 5
=:>P(y + l ) = 4 y - l
II) Igual que el anterior :
El dato es P(x)-----► P(3x - 1)
81 E D IC IO N E S K V K IÑ O S )
* Reemplazo el valor encontrado en el polinomio original:
= 6(1) - 1
P. = » - !
•Por lo tanto: PtBt = 7
E J E M P L O 4 :
Dado el polinomio : P (x - 4 )= lOx -7
Hallar P (x )
R E S O L U C IÓ N :
• Ira. Forma:
Hagamos aparecer la primera variable» - 4 en el 2do.
miembro, así:
=> P (x -4)= lQx-40 + 33
P(x- 4) * 10(x- 4) + 33
Aquí reemplazamos x - 4 por »
=> P(x) = 10x + 33
. . .
&
• Reemplazamos » por 3 x -l en P(x)
• Luego : P (3 x -1 )= 4 ( 3 x - l ) - 5
=> P(3x - l )= 1 2 x - 9
*
E J E M P L O 2 :
Sea P{Xi = 9x+6
Calcular: P
.A*
A 4
. ■ VMi
R E S O L U C I Ó N :
* Primero se calcula el valor de la variable igualando
las notaciones polinómicas.
• 2da. Forma: Se va a recurrir a un cambio de variable
, a sí:
* De P (x -4 ) , se hace
4 = y — + x - y +4
* Reemplazamos en P (x - 4 ) Dato
:%>P(y)=10(y + 4 ) -7 => P(y)=10y +33
•Ahora cambiamos y por » :
P(x) =10x +33
• 3ra. Form a: (Método super práctico)
Hallando la regla como operar de:
P (x -4 ) = lO x-7
PREGUNTA CLAVE:
¿Qué podemos hacer a la parte interna de «P» , es
decir a « » - 4», para que aparezca «10 x - 7» (miem
bro derecho) ?
RPTA. ; P ( x - 4 ) = 1 O x —7
PM = Pw entonces»=4 u + 4 x 1 0 - 7
\ i •
• Reemplazo el valor encontrado en el polinomio original:
si x = 4 entonces Pl4t = 9(4) + 6 = 42
E J E M P L O 3 :
Sea P „ +<) = 8 x - l
Calcular: PlSi
R E S O L U C I Ó N :
* Primero se calcula el valor de la variable igualando
las notaciones polinómicas entonces; » + 4 = 6
=>P(x) = (x + 4 )10 -7 = lO x+33
I 1
*4 xlO - 7
M Á S E JE M P L O S :
• S i: P (x)=2x+3 P (x )= 2x + 3
I_________ í
x2+3
* S i : JYx- 2)= x 2 => T (x - 2) = x__ 2
[ í
+2 0 *
P(x+4) “ P<3)
•Si: Q (2x-3)=x + l
Q(2x- 3)= x +1
I 1
t i luego x = Í +3 +2 +1
3 * U ENcmaM'MCOlA 20t¿ ¡
Si: P($Jy) = 6y - l
P($fy) = 5 y - 1
h r
0 * x t f- l
♦Si: P(x)=3x+1
P(x)=3x+1
=» 3 x + i= F(x)
1 » J
Forma
inversa
-1+3
GRADO D E L A S E X PR E SIO N E S
A LG E B R A IC A S
El grado es una característica de las expresiones
algebraicas, que en una ecuación indica el número de
valores que debe tener la incógnita.
El grado absoluto si se refiere a todas las variables y
relativo si se refiere a una de las variables.
G+adodewntMononuo
GRADO ABSOLUTO:
Se obtiene al sumar los exponentes de las variables.
GRADO RELATIVO:
El grado relativo a una variable es el exponente de
dicha variable.
EJEM PLO S :
♦ Si tenemos los polinomios:
4U3„2= a o c
♦ Entonces sus grados absolutos serán:
G M P (at7i) = 3 + 5 = 8
4 + 3 + 2 = 9
* Si tenemos los polinomios;
/= 5x3y5; entonces^
G .R ia) = 4
G.R.{b) — 3
G-R^c) = 2
* /
M(aJhe) = a4b3c2; entonces-»
♦ F (x$) = a 4 x* y 9 ^
G.ÍL(x) = 5
GJL(y) = 8
GJL(F) = 8 + 5 = 13
^ b a d o t i e ^ o f á n o n u o
GRADO ABSOLUTO:
Está dado por el mayor grado de sus términos.
GRADO RELATIVO:
El grado relativo a una variable es el mayor exponente
de dicha variable.
E JE M PLO 1 :
•Hallar el grado absoluto del polinomio:
PIXiy) = Sxsy 7 - 3 * V + ¿ x 'y
4
G jL =6
2..2
i
GJL=9
i
GjL =4
♦Luego el resultado es el mayor GjL
= 9
E JE M PLO 2 :
♦ Hallar el grado relativo de «x» e «y» del polinomio
: P(Xty) = 5 * V -3 * y + 4 * y
R E S O L U CIÓ N :
* Hallamos el grado relativo para cada término:
+ 4xt y3
n r n r
Bx‘ y7
GJUx)=2
GJU(y)=7
G.R.(x)=4
GJL(y)=2
GJL(x)=2
GJt.(y)=2
* Luego, cogemos el mayor en cada caso; así:
=> G.R.(x) = 4; G.R.(y) = 7
E JE M PLO 3 :
P(x,y) = 6x * y - 3x7y s + 2xys
GJL(x) = 7 i GJL(y) = 5 ; GJi.(P) =10
CÁLCULO D E G R A D O S
EN O PER ACIO N ES
I) En la adición o sustracción se conserva el grado del
mayor:
E JEM PLO :
Si P (x) es de grado: a
Si Q(x) e$ de grado: b
tal que: a > b
=> Grado fP(x) ± Q(x)J = a
II) En la multiplicación los grados se suman:
E JE M PLO :
(x4+ x sy + 7)(x7y + x 4yB+ 2)
=> Grado: 8 + 9 = 15
UI) En la división los grados se restan:
EJEM PLO : xy8 - x 3y3 + x 7
x 4z - y 3+ x 3y3
Grado : 9 -6 = 3
88 MCMMMCIONES m u jm sm ñ óM
IV) En la potenciación el grado queda multiplicado
por el exponente:
EJEM PLO:
( x ° y - x 2 y 6+ z")10=> Grado : 9x10 =90
V) En la radicación el grado queda dividido por el índice
del radical:
9
EJEM PLO:
3sjxy7 + 2xsy6 - 7x12
0ióeí*ac*oneó:
Grado:— = 43
* cuando empleemos la palabra grado a secas, nos
referimos al grado absoluto del polinomio.
11 si todos ios coeficientes del polinomio son nulos , el
polinomio es llamado nulo (o polinomio cero) y en este
caso diremos que carece de grado .
POLIN OM IOS E SP E C IA L E S
En esta parte definiremos algunos polinomios de uso
frecuente y para los cuales existe una terminología
de uso común:
i ) p o I jIn o m m o s h o m o g é n e o s :
Son aquellos en los que todos los términos tienen igual
grado.
EJEM PLO:
s x3y2 - x 5 + x2yz2 Es hom ogéneo de grado 5,
* P(x;y;z) ~ x3 +y3 +z3 +xyz
Es un polinom io hom ogéneo de grado 3.
NOTA
Otra definición de polinomio homogéneo es :
«P(kx;ky;kz;...;kw) =knP(x; y; z; iv)
don de: k e z;k * o
U) POLINOMIOS ORDENADOS:
Un polinomio será ordenado con respecto a una de sus
variables , si los exponentes de dicha variable están
aumentando o disminuyendo según sea el orden
ascendente o descendente a partir del primer término
(contando de derecha a izquierda).
EJEM PLO:
Está ordenado ascendentemente con respecto a y.
*P (x;y) = 5 x s y5+*3 x 4 y3+ 3 x 7y3 está ordenado
ascendentemente respecto a x y descendentemente
respecto a y.
lII)POM,MNOMMOS C O M PU TO S í
Un polinomio será completo con respecto a una de sus
variables si contiene todos los exponentes (potencias
sucesivas)de dicha variable desde el mayor hasta el
cero inclusive.
E JE M PLO :
* xy9 - y6 + x 3 y 7 + x 2 y8 Es completo respecto a *.* P(xtf) =5x6y3 + x7- x y + x2y2- 8 es completo respecto
a y .
NOTA
Un polinomio completo no tiene porque ser ordenado
y viceversa.
E JE M P L O S :
* el polinomio P(x;y) =3xsy +xy2 +xsy5 - 7es completo
respecto a la variable x , pero no está ordenado respecto
a esta variable.
* el polinomio P (x )= 5 x 3 + x2+ x2 - 2 es completo
respecto a la variable x , y está ordenado respecto a
esta variable.
PROPIEDAD
En todo polinomio completo y de una sola variable, el
número de térm inos es equivalente al grado
aumentado en uno. Es decir:
E JEM PLO :
P ( x ) = x 3 - x 4+ 2 x - 7 x 2 + 1 1 x b + 2
* Como es completo entonces :
Núm ero de térm inos =5+1 = 6
MV) POi.MNO.MMOS IDÉNTICOS ( = ) ;
Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor
numérico para cualquier valor asignado a sus variables
. En dos polinomios idénticos los coeficientes de sus
términos semejantes son iguales.
E JE M PLO :
• sea: ax+ by+ cz = 8x + 2z - 5y
entonces : a = 8 ; 6= - 5 ; c=2
* Los polinomios: P(x) = 16x2 + 45x + 98 y
Q(x) = 98 + 45x + 16x2, son idénticos y se denota
así: P(x) = Q(x)
• Si: P(x) = ax3 + bx2 + c y Q(x) = 9x5 + 31x2 + 20
, son idénticos ax3 + bx2 + c e 9x3 +- 31x2 + 20,
V e I R - => a = 9 ; b=31 ; c —20
1A ENCirj.afMCUiA 20 í¿]
V)POUXOJnOS IDENTICAMENTE NVLOS(= O):
Son aquellas expresiones que son equivalentes a cero
. Estando reducidas se cumple que cada coeficiente es
igual a cero.
EJEM PLO:
* sea : ax + by + ex = 0
entonces : a =0 ; 6=0 ; c =0
• Si P(x) = ax3 + bx + c es idénticamente nulo,
entonces: a = 0 ; 6 = 0 y c = 0
DEFINICIONES ADICIONALES
POUNOJUO ¿IÓNICO :
Es aquel polinomio de una variable cuyo coeficiente
principal es 2.
EJEM PLO:
Loe polinomios:
P ( x ) = x 3+ 2 x * - x + 4
Q ( x ) = 2x 4+ 3x * + x * - 2
•Pero los polinomios:
F ( x ) = x 3 + 2 x 2 - x 4 + 3
G ( x ) = x 8+ x 4+ 2 x * + x 3 - 5
No son m ónicos.
POLINOMIOS c o n s t a n t e s :
Son aquellos polinomios (de una o más variables) de
la forma P(x) = A, «A» es un número real. Si A*0,
entonces definimos el grado del polinomio constantes
como cero, pero si A =0, entonces P(x) m0 es llamado
polinomio idénticamente nulo , cuyo grado no está
definido.
son m ónicos*
EJEM PLO:
Los polinomios.
P ( x ) = 7 ; P (x # )= -1 P(x)=$2
son constantes de grado cero.
* Pero el polinomio P(x)=0 es el único polinomio que no tie
ne grado.
PROPIEDADES
Consideremos el polinomio de grado «n» .
P(x) =a(/sn +a1xn' 1 +a¿xn - S
donde: a0*0, luego;
S D t í DE COEFICIENTES í
En todo polinomio de dos o más términos la suma
de 8us coeficientes se obtiene evaluando el polinomio
en 1. Es decir suma coeficientes es P'U * P„ iU ÓP'U ilt
(según la cantidad de variables).
=a0+oJ+o2+.« + an =P(1)
k
TERMINO INDEPENDIENTE:
En todo polinomio su término independiente se
obtiene evaluando dicho polinomio en cero. Es
decir:
Término independiente Pf0) o o P(0&0) (según
la cantidad de variables).
E JE M P L O S :
* Sea el polinomio:
P(x)=3x4+x-2t luego:
=> Suma de coeficientes: P(1) = 3+1 -2 = 2
=> Término independiente: P(O) = -2
* Sea el polinomio:
Q(x)= x(x + 2) + 2(x-l) + 4 , luego:
=>Suma de coeficientes: Q(l) =1(3) + 2(0) + 4 = 7
=> Término independiente:Q(Oy = 0(2) + 2(-l) + 4 = 2
* Sea el polinomio :
P(x + 2) = 4xs- x + 3 , luego:
=> Suma de coeficientes :
x + 2 = 1 => x = - 2
=> J W - 4 ( - l ) 3
•Luego: P(1)=0
^ Término independiente:
x + 2 = 0=> x = -2
=>P(0) = 4(-2)s -(-2 ) + 3
•Luego: P(0) = -2 7
OPERACIONES CON
POLINOMIOS
[ SUMA DE POLINOMIOS]
Al sumar polinomios, se reducirán sus términos
semejantes. Aquellos que no lo sean, serán
colocados conservando su propio signo.
E JE M PL O S:
i# f » o r f . v < m r o ^
(ol)Dado8 loa polinom ios:
P (x) = 7xs + 3 x -5
Q {x) = Bx2 -2 x + 9
Calcular: P (x)+Q (x)
83 EIPICMOÑUS nU K IÑ O fÁ
* Observa que al cambiar los signos. Los « ()»
desaparecen automáticamente.
• Seleccionamos términos semejantes y reducimos:
2x3- 5x2 + lOx- 7 - x 3 + 7x2-3 x + 11
M W A
R ESO LU CIÓ N :
* En primer lugar; escribimos los polinomios uno al = x 3 + 2 x 2 + 7 x + 4
lado del otro:
P {x ) <**) | MULTIPUCAaÓN DE POLINOMIOS
Para multiplicar polinomios debemos tener encuenta
a la siguiente propiedad:
7x2 + 3 x - 5 + 5x2 -2 x + 9
* Ahora seleccionamos los términos semejantes:
7x + 3x - 5 + 5x - 2x + 9 * Considerando esto, veremos los siguientes
• Hecho esto, reducimos los términos, seleccionados E JE M PLO S'
obteniendo el resultado:
;m,neNfaeW
12x2 + x + 4
Calcular P(x) +Q(x) +R (x) sabiendo que:
P(x) = 3x2 + 5 ;Q (x ) = 8x3 + 5x2-1
R(x) = 8x + 4
RESOL UCIÓN :
* Colocamos los tres polinomios juntos:
3**+ 5 + 8x 3+ 5x2- 1 + 8x + 4
m Multiplicar x 5 por 3x2 - 2x + 1
R E S O L U CIÓ N :
•Tenemos: x =X(3x 2- 2x + 1)
f
A
xs x3x2- x 3 x2x+X* x l
= 3x7 - 2x6 + xs
Ui
■)' Observa como se usó la propiedad mencionada.
Multiplicar (x2 + x 3) por (2x3 - x 2 + 2 x - 1)
R E S O L U CIÓ N :
(x 2 + x 3) (2x 3- x 2 + 2x - l )
* Los términos semejantes se reducen, los otros son
colocados con su propio signo. ^
8x 3 + 8x 2 + 8x + 8
^ ~ ^ ^ ^
C R E S T A D E P O Ú N O i m i O S ) * Tenemos
La gran diferencia que existe coñ la suma, es que al
polinomio negativo (precedido por un signo - ) se la
cambiarán, previamente, los signos de TODOS sus * Luego, multiplicando tenemos:
términos. Luego de esto, se procederá como en la suma.
EJEM PLO:
Si tenemos:
P (x ) = 2xz - 5 x 2 + lOx - 7
Q(x) = x3- 7 x 2 + 3 x -U
Calcular: P(x) - Q(x)
R E SO LU C IÓ N :
* Tenemos:
x 3 x 2x3 XX* + x * x 2 x - x * x l + x 3 x 2x3 - x'9 x x* + x 3 x 2x - x 3 - i
= 2x 5- x 4 + 2x 3- x 2 + 2x ñ- x s + 2x 4- x a
= 2x 6 + xs + x4 + Xa - x*
Observa com o hemos reducido los térm inos
semejantes.
?(*) «<*>% i*
2x3 -5 x 2 + 1 0 x -7 - (x 3-7X2 + 3 x - l l )
Q(x) es el polinomio negativo (observa el signo a su
izquierda). Nota como se han colocado los « ( )» .
* Ahora cambiamos los signos a todos los términos de
Q(x)x 2x?-Sx2+ 10x-7 -x? + 7x?-3x+ ll
Multiplicar
A (x) “ x2 + x +1 con B (x) - x + 2
R E S O L U C IÓ N :
(x* + x + l)(x + 2) = x a + x* + x + 2x* + 2x +2
= x 3 + Sx2 + 3x + 2
1 K B i t s e I B S ¡ A E N C J C W » o * m M ¿ i 9 i A 2 0 1 ¿ \
| multiplicamos
‘ Aplicando la propiedad distributiva:
i sumamos m(2x 3 + 5xy)(x-y) - (x* + xy)(2x -5 y )
TT L J J
- (2x4 - 2xíy + 5x*y - 5*y*) - (2x4 - 6x*y + 2x*y - 5*y*)
- - 2x*y + 6x*y - ¿ x f * - J k ^ + 6 x*y -2 x*y +
-8 x * y + 10xMy
E JE R C IC IO 5 :
Reducir: (x + 5 ) (2 x -3 ) - (2 * + 2 )(x -4 )
R E S O L U C IÓ N :
• Aplicando la propiedad distributiva:
* o también x* + x + J
x + 2
X a + X * + X
+ ¿ X * + 2 x + 2 1
^ X a + 3 x s + 3 x + 2
‘ 'Luego C ( x ) » x 3 + 3 x * + 3 x + 2
* Con respecto a los grados :
M x ) B ( x ) - C ( * )
r r «•
* Se observa que el grado de C(x) resulta de sumar los
grados de A(x) y B(x)
E JER C IC IO 1 :
Reducir:
A ~ 5 x + 2 - l - ( 6x + 2) - ( - 8 + x ))
A)0 B )-1 C) 2 0 )4 E) -4
R E SO LU C IÓ N :
A = 5 x + 2 - [ + 6 x - 2 + 8 - x ]
= > A * 5 x + 2 - [ 6 x + 6 ]
= > A = 5 x + 2 - 5 x - 6
=> A = - 4
RPTA : "B ”
E JER C IC IO B:
Multiplicar (2x + 3y4) por (5x* - y )
R E SO LU C IÓ N : Multiplicar a m+S- 4 a m - 2 a
* Aplicando la propiedad distributiva conforme se R E S O L U C IÓ N :
indica:
m
m m
(x+ 5)(2x-3) - (2x+l)(x -4)
jj JJ
=(2**-Sx+lOx- -&r+*~rf)
= 2x* +7*-/«-(2** - 7x-4)
+ 7x-16-# f+7x+4= 14x-ll
* De donde lo reducido ee : 14x -1 1
E JE R C IC IO 6:
m+1 por o f - 2a
" T I
(2x+ 3y4)(5x*-y)
J J
9 ‘ Análogamente conforme se indica:
i i i
( a m+2- 4 a m- 2 a m+1) ( a 2- 2 a )
m2xx5x2 -2xxy+3y4 x6x2-3 y 4 xy
= lOx* - 2xy+lSx2y4 - 3ye
E JE R C IC IO 3 :
T L E
-• A*0J‘
TK ‘ - i '
Multiplicar 3x2 - 5 xy+ y3 por - 2 x sy 4
R E SO LU C IÓ N : ^ '
= a m*2 x a 2 - 4a m x a 2 - 2 a
x2a + 4am x 2 a + 2 a m+I x 2a
m+ix flí - f l m+í
=a m+4 - 2 a
(3x*-5xy + y 3)(-2x3y4)= am+4 m+3- 4a + 8a
m+3
m+1
- 2 a m*3 + 8 a m** +
♦ Aplicando la propiedad distributiva:
= -3 x 2 x 2 x x 3 y4 + 5 x 2 x y x x 3y4- 2 y 3 x x 3y4
= - 6x 5y4 + 10x 4yB - 2x 3y7
E JER C IC IO 4 :
Reducir: (íx* + 5xy)(x - y) - (xa + *y)(íx "
R E S O LU C IÓ N :
LA REGLA DIAGONAL 2
Una disposición usual para ejecutar el producto de
polinomios mediante la regla de distribución es la
variante de orientación rectangular, la cual se expone
a continuación:
E JE M PLO :
Efectuar: e = (Sx2 + 7x + 21) (4x2 - Ox+ll)
R E S O L U CIÓ N :
a n A i > o ^ w # * o r w.-viu+ww**^______
Disposición rectángular //^Ejecutando una fila
4 *2 -9 *+ // 4x2-9 * + ll
a**
> u « « r I I M I O X I S KU K1Ñ 0& )
7x
21
3P
7x
21
12x4 - 27X3 +33X2
7x
21
til) De modo análogo 9
4 x ? -9 x + l l
^ 1 2 x4-2 7 xs +33xz
2 8 x3 - 63xz + 77x
84x2 - 189x + 231
lluego de sumar térm inos sem ejantes por las
diagonales, resulta:
E = 12x4 + x s + 54x2 - 112x + 231
RESUMEN :
[jos polinomios son expresiones algebraicas racionales
enteros de dos o más términos. A los polinomios se les
denota de la siguiente forma: P(x) , P(x&) ,...
Los polinomios poseen grados relativos y absolutos y
estos son enteros y positivos.
Los polinomios especiales son: Polinomios ordenados,
completos, homogéneos, idénticos o idénticamente
nulo.
Con los polinomios podemos efectuar las operaciones
de adición, sustracción, multiplicación y división. Esto
último se estudiará en posterior capítulo.
PROBLEM A 1 :
A = 7nxn~1
son términos semejantes.Si:
B = - 4 5 x 7
Hallar: J ñ * + 1 7
A) 9 B) 8
R ESO L U CIÓ N :
C) -1 D) 12 E) 131
Son T.S. => Los elementos de «X» deben
ser iguales . Entonces : n -2=7® n =8
Pero me piden hallar: Vn2 + 17 = Víí2 + 17 =9
RPTA: **A99
PR O BLEM A 2 :
Calcular el VN. de M ; para a = - 1;
M = -1 0 a -2 b + 6a + 2b
A)1 B) 2 C )-2 D) 4
R E SO LU C IÓ N :
E) 8
* De: M = -10a - 2 b + 6 a + 2 b
^reduciendo:
Aí = -10a + 6a =>Af = -4a
pero a = -1 , luego : M = -4 ( - l )= 4
RPTA: “D ”
P R O B L E M A 3 :
S Ü P „ C i c u t a : í . f g & M L
P(2)
A) 1 B) 2
R E S O L U C IÓ N :
C) 3 D) 4 El 6
♦Calculando por partes :
* P (2 ) = 2 (2 )2 - / = 2 ( 4 ) - / = 8 - / = 7
* P ( l ) = 2 ( í )2 - 1 = 2 ( 1 ) - 1 = 2 - 1 = 1
*P (l) = 2 ( l)2 -1 = 2 (1)-1 = 2 -1 = 1
*P(0) = 2(0)2 - 1 = 2 ( 0 ) - 1 = 0 - 1 = -2
* P ( - 2 ) = 2(-2)2 - 1 = 2 ( 4 ) - 1 = 8 - 1 = 7
* P ( - l ) = 2 ( - í f - 1 = 2 ( 1 ) - 1 = 2 - 1 = 1
♦Luego: E _ 71 - ( - í f _ 7 - ( - 2) _ 7 + 2 _ 8 _
7 + 2 8 8 8
AJ>ZA : W
P R O B L E M A 4 :
Si:P(x)= x s + 2 x 2- 4 x + 5
Hallar: E = P (1) -P ( -1) +P(2) - P (-2 )
A )-2 B) -6 C )4 D) 0 E) 10
R E S O L U CIÓ N :
* P ( l ) = ( l )3 + 2 ( l f - 4 ( l ) + 5 = l + 2 - 4 + 5 = 4
* P ( . l ) = (-1 )3 + 2 ( - l ) 2 - 4 ( - l ) + 5 = - l + 2 + 4 + 6 = 10
* P ( 2 ) = ( 2 ) 3 + 2 (2 )2 - 4 ( 2 ) + 5 = 8 + 8 - 8 + 5 = 13
* P (-2) = ( ‘2)3 + 2 ( - 2 ) 2 - 4 ( - 2 ) + 5 = - 8 + 8 + 8 + 5 = 13
* Luego : E = 4 - 1 0 + 1 3 - 13 = -6
RPTA : “P ”
P R O B LE M A 5 :
Si: P(xf = 3x2 + x - 3
A) 1 B) 2
R E S O L U CIÓ N :
Calcular el valor de:
C) 0 D) -1 E ) 6
* Nos piden calcular: p
W
=>P{1)=3{l )2 + l - 3
=>P(j)= 3(1) + 1 - 3 = 1
; l t 4
•Entonces: = Pr T =P /n =1
h.-i] (,)
W
PR O BLEM A 6 :
Sea: P (x)= (2a - l ) x 9- x 2 + a x - a + 3
un polinom io m ónico , indicar el térm ino
independiente:
A) 1 B ) 2 C ) 3 D ) - 2 E ) - 4
R E S O L U C I Ó N :
•Si P(x) es mónico , entonces su coeficiente principal
es 1, es decir : 2a - 1 = 1=> 2a = 2 => a = 1
• Se pide: Término
Independiente= - a + 3 = - 1+3=2
R P T A : tfB PP
P R O B L E M A 7 :
^.2n - 3 / „ n - 2 i3 7 2
Sú F (x ) = [ x zn'* ( x n- ‘ f ]
„ 2 n + 3
Se reduce a un monomio de 3er. grado, calcular el valor
de «ti».
A) 5 B) 3 C )7
R E S O L U C IÓ N :
• Efectuando tenemos:
D)1 E) - 2
F (x ) =
^4n - 6 6n - 12
X H X
8n - 21
J O » - 18
2 n + 3
=> F(x) = *
•Ahora como es de grado 3 , entonces:
8n - 21 = 3 => 8n = 24 ■=> n = 3
RPTA: “B ”
P R O B L E M A 8 :
Luego de reducir clasifique la expresión algebraica.
P (x ;y ;z ) = ^ - = -
A) Racional constante
B) Irracional
C) Racional fraccionaria
D)No admite clasificación .
E)Trascendente
K E S O L U C IÓ X :
• Llevamos las variables al numerador:
9 4 - 3 - 3 - J 3 x y 2 ^ - 8 - 4
\¡5 8 -4— y z
3 *
- x - y z y z
0¿Aetoac¿on:
Exponentes de las variables son números enteros , esto hace
que la expresión algebraica sea racional, pero como hay por lo
menos uno que es negativo se concluye que P(xy^z) es una
expresión algebraica racional fraccionaria.
RPTA: “C”
1A ENl'Mf'Ml'MCDLt 2012}
P R O B L E M A 9 :
Si el polinomio completo es de «3n» términos :
P (x)=2nxSn+(2n - l ) x 2n~I+(2n - 2)xSn~*+...
Calcular «n».
A) 1 B) 3 0 5 D) 7 E) 9
R E S O L U C IÓ N :
* Se puede apreciar que P (x ) está ordenado
descendentemente, entonces:
Grado fP ] = 2n
• Además sabemos que :
Número de término* de
Pi*) Grado+1
3n
P R O B L E M A 1 0 :
= 2n + 1 =>w = l
RPTA: “ A ”
Calcular «a» y «b», para que el polinomio sea completo,
P (x )= (2 + a )x “ * b- 3 x I + 5 + 2x2
e indicar: a * - b
A) -1 B) 0
R E S O L U C IÓ N :
0 2 D) 5 E) 3
* Como el polinomio es completo y de 4 términos ,
entonces P(x) es de grado 3 , donde el grado de los
otros 2 términos serían 3 y í ; luego una de las
posibilidades será : a+6=3 y a = i => b=2
• Piden: a 2 - b = 22 - 1 = 3
RPTA : “E ”
P R O B L E M A 1 1 :
Si el polinomio:
P(x,y) = (a2 + l)xa**2ya +(a + l)x2a-1ya' - ‘
es homogéneo , hallar la suma de sus coeficientes.
A) 16 B) 13 O U D) 4 E) 22
R E S O L U C IÓ N :
* Por ser homogéneo se cumple:
GA.(término 1) = GA.(término 2)
%- ■ ■■ '
a2 + 2 + a = 2a - l + a s - l
de aquí: a=4
• Luego : Hcoef. de P(x,y) = P (l ,l )
• Donde : P ( l , l )= a 2-+1 + a + 2 = 22
RPTA: “E ”
P R O B L E M A 1 2 :
Si: P ( x ) = ( m + n ) x - ( m - n ) x
Es idénticamente nulo, calcular: m*n
A) 1 B) 2 C )0 D ) - l E) - 3
R E S O L U C IÓ N :
* Como P(x) es idénticamente nulo, entonces: P(x) =0
; luego:
¡ r;w / io o A ’ w 1 *0 f , f . v o ^ w o I K S 3 L 39
* a + 6 = 0 M
* g - 6 = 0 ,
2a - 0 -> a = 0 ■> 6 = 0
• Piden: o *6 = 0x0 = 0
RPTA .* “ C ”
PROBLEM A 13:
Si los polinomios:
P (x )= (a - 2 )x 3+ (2 a - b - 3 ;* + (2c - 36)
Q (x )= - 4x3 - 5 x + 6
son idénticos, hallar: o + 6 +c
A)1 B)2 C ) - l D ) -4 E)3
R E S O L U C IÓ N :
• Como P(x) = Q(x) , entonces :
a ~ 2 = - 4 ..........................(/)
2a - b - 3 = - 5 .................(II)
2c - 3 b = 6 ...................(III)
• De (I): x = -2
• Reemplazando en (17): 2(-2)~ b -3 =-5=>b = -2
• Luego en (III): 2c - 3 ( -2 ) = 6 =>c = 0
9 Por tanto : a + b + c= -2 + -2 + 0 =-4
RPTA ; "i?"
PR O BLEM A 14 :
Si el polinomio cuadrático :
P (x ) — x 3 5 + (p-13)x + 2p-5
Tiene como coeficiente principal a 17, mientras que el
término independiente es el triple del coeficiente del
término lineal.
Calcular: m + n + p
A) 81 B) 12 O 201 D) 123 E) 80
R E SO LU C IÓ N :
• Por ser cuadrático : — -5 — 2 =>m = 21
O
t
• Además:
Coeficiente principal = 17 = 17 n = 68
• Según último dato: 2p - 5=3(p - 13) => p=S4
•Piden: m+n+p= 21 +68+34=123
RPTA : “J>'
PR O BLEM A 15:
Del polinomio:
P(x,y) = 3Bxn*3 ym~2z6~n+xn + ¡! ym~s
E D IC IO N E S RUHMÑONj
GjL(P) = 1 1 ; G.R.(x) - G Jt.(y)=5
Luego: 2m +n es:
A) 5 B) 15 O 10 D) 25
R E S O L U CIÓ N :
•Analicemos los grados de dos términos:
* G A .(T ¡) = m + n + l l De aquí
* G.A*(T2) = m + n - IJ G.A(P) =m +n
•Usando el dato: m +n+2 =11
=>m+ n = 1 0 .......................
E) 12
(I)
•Además del polinomio:
G .i2 .(x )= n + 3 a G .R .(y )= m - 2
• Por dato: G.R. (x) - G.R.(y) = 5
(n + 3) - (m - 2) = 5
• De aquí: n -m =0 =$ m =n
•Reemplazando en 1:
m = 5 a n = 5
RPTA :2 m + n - 15
PR O B L E M A 1 6 :
Determinar el grado del polinomio P(x) sabiendo que
el grado de (P (x ) ]2 (Q (x) ]3 esigual a 21 , además el
grado de [P (x ) ]4 [Q (x)]2 es igual a 20.
A) 2 B) 6 C )3 D) 7 E) 1
R E S O L U C IÓ N :
• Sea: (Grado [P(x)]=m 1 ÍGrado(P(x))2 = 2m
Grado [Q(x)J=n J [Grado[Q(x)]3= 3n
* Donde: Grado f P ( x ) ] * [Q (x ) ] 3= 2 m + 3n
(I)* Por dato: 2m + 3n = 21........... .
* Además: Grado(P(x)}4= 4m
Grado[Q(x)J2= 2n
=> [P(x)J4 [Q(x)J2= 4m+ 2n
* Por tanto: 4m + 2n — 22.,..... ..(II)
* Resolviendo (I) y (II): m = 3 ; n = 5
=> Grado [P(x)J = 3
RPTA : ‘ V
P R O B L E M A 17:
¿Cuánto hay que agregar al polinomio :
=3x* +5xy* -2x*y*
para que sea un polinomio homogéneo Pr , y completo
con respecto a «x» y la suma de coeficientes es 2 1 ,
además P (2 ;l)= 1 1 4 ?
A) 3x3y + 8y 4 B) 7x* y + 8y 4 O 9X3 y + 8y 4
D )llx 9 + 8y 4 E)13x9y + 8y 4
R E S O L U C IÓ N :
c 90 L 1 ExcKCJWicntA 2012)
* Lo que vamos a agregar al polinomio para que sea
completo respecto axy homogéneo a la vez es a
xsy+by4 ahora tendremos el polinomio:
p fx9>- 3x4+ axsy - 2x2y 2 + 5xy3 + by4
* donde:
P(2t-i)= 3(2)4+ a ( 2 f ( l ) - 2 ( 2 ) 2( l f + 5 ( 2 ) ( l f + b (l)4
=114 => P(2;i)=50+8a+b=114 => a+b=15
* También: 3+ a + -2+5+6 = 21=>a+b =15
* Resolviendo el sistema: ‘
8a + b — 64
a + b = 15
Tenemos: a = 7 ¡b =8
* Entonces debemos agregar: 7xsy+ 8y 4
RPTA : "D”
P R O B L E M A 18 :
* Luego el polinomio tiene la forma:
P̂ x} — [ 5 x 4 - 1 ]4 - 4 (x 4 _ i f + 8 ; de donde:
• Coeficiente principal: g 4 _ 4 = ($25 — 4 = 621
APZA : "C "
PR O B LE M A 20 :
De las siguientes sentencias , cuántas son ciertas :
0 ^(*) = ^x * + 61 es homogénea si a -1 0
II) El término independiente de P(_ ̂ es -7 :
P ( x + l ) = 2 X ~ 1 ■
III) La suma de coeficientes d e i^ e s :
Í4 ;P (x„ q — 3 x + 11
ZVJSi: Q(x) ~ ax4 + toe8 + 0x2 + dx + e se anula para 6
valores , entonces Q (#) ■ o
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Si:(a 4 + 36 )x + a + a = 6 + 13a2x ,se cumple para R E S O L U C IÓ N :
todo número real x , los valores reales de «a» son :
A )-2 y 3 B)2 y -3 C )2 ,-2 ,3 y -3 D )2 y 3
R E S O L U C IÓ N :
* Si la igualdad se verifica para todo número real x , variable,
entonces se concluye que ésta, es una identidad.
* Por lo tanto, dando un valor conveniente.
* Para x=0, se tendrá:
a 2 + a = 6=> a 2 + a - 6 = 0=> (a + 3 ) (a - 2 ) - 0
*a + 3 = 0=>a = —3
* a - 2 = 0 => a = 2
RPTA :
P R O B L E M A J B :
Si en el polinomio de grado, par:
P lx ) = [ ( » + l ) x " l T - « ( * " _ ! )n + 2n
n e Z+ se verifica que la suma de coeficientes excede su
coeficiente principal.
A) 256 B) 512 C) 621 D) 725 E) 729
R E S O L U C IÓ N :
•Analizando las proposiciones :
I) FALSO: Pues el polinomio está en una sola variable
y no se definen polinomios homogéneos de una
II) De P{xU) = 2 x - 7 = > P{x) = 2 x - 9
Luego: J> ̂== ~2x - 9
FALSO ,pues el T.I (P) = -9
III) En: = 3 x + 11
B”
P(¡) = 3 (2 ) + 11 = 17. FALSO
IV) VERDADERO
P R O B LE M A 2 1 :
SÍ: F ( 5 x s - 1 ) = -J7x + 16 + 8
Calcular: F(-6)
A) 9 B) 5 C )U D) 19
R E S O L U CIÓ N :
RPTA : “A ”
E) 10
• Por dato: P ^ - 5 0 = 14 (7)
* En el polinomio: i>w=[(„ +I);v» _ 2]" _ „ (x » _ 1f +2n
F (5x3 - 1 ) = -J7x + 1 6 + 8
n — 1
F (-6) = yj7() + 16 + 18
* Evaluando y reemplazando en (I):
(n + 1 - í f - n (l - i)“ + 2 n -5 o [ ( - l )n - n ( - í f + 2nj = 14
r e " + 2rt - 5 0 [1 - n + 2 n ] = 14
=> n n + 2 n - 5 0 - 5 0 n = 14
=> 11̂ = 64 + 48n
* Como re e Z + =* re = 4
El valor que se
va hallar de x
- 5x3 - 1 = - 6
=> 5x 3= — 6 + 1
= > 5 x 3 = ~ 5 = > x 3= - 1
=> x = V -2 => x = - 1
í r ;w v ti> o*» ,0 i» o f ,f .v # > y ifO A ’ ~
* Con lo que:
F (-6 ) = yJ 7 ( - l ) + 16 + 8 = $9 + 8 = l l
JV>Z4 : "C”
PROBLEM A 22 :
Si: H (x -5 ) = 3xs + 1
Calcular: E = H(2) + H (l)
A) 129 B) 427 C) 121
R ESO LU CIÓ N :
D) 257 E) 203
* Calculando la regla de como operar, (3ra. forma):
H (x-_5)= 3x2+1
+5( )* x 3 + 1 í
H(2)=(2+5) x3 +1= 148
450* x 3 + 1
H (l)—109
i
450**3 + !
Piden : E=148 +109=257
PROBLEM A 23:
RPTA : ‘P ”
S i: G(x + 3) = 7x Calcular: G(G(4))
A) 49 B) 28 C )42 D) 21 E) 26
RESOL U CIÓ N :
* Considerando la regla como operador:
G (x + 3 )= 7 xT 3 x7
• Ahora calculemos , primero:
G (4 )= (4 - 3)7 = 7
I i
- J x 7
Recién: G (G (4))=G (7)—28
RPTA :
PROBLEM A 24 :
Si\ P ( x ;y ; z ) = x * - y z + 5 _
Calcular «n», e n :
P (1 ; 2 n ; 3 ) = 5 P (2 ; 3 ;-n )
»« AMB
B ) - i f 7 7 C)l D)i E ) 3
R ESO LU C IÓ N :
* Al aplicar la definición en ambos miembros , se
obtendrá: J2 _ (2n )3 + 5 = 5 [2 2 - 3 ( - n ) + 5]
l - 6n + 5 = 2 0 +15n + 25
Al despejar: t i-----
13
RPTA : "8 "
& E D IC IO N E S KUDIÑOM
PR O B LE M A 25 :
Si: F (x 3 - 1 )= x + 5
F (F (y ) + l ) = 7
A) 1 B) -1
R E S O L U CIÓ N :
Calcular: «y»
C )3 D) O E) 4
• Hallemos la regla como operar, pero en forma inversa
(de afuera hacia adentro), debido a que el dato está en
el miembro derecho. r*/ „3F(x - 1 )= x +5
l
- l ( f - 5
•Ahora en: F (F (y )+ l )— 7
Z T - . Tt
3=* (7 - 5) * - i = F ( y ) + l
6 = F(y)
,3= > ( 6 - 5 ) * - l = y z > 0 = y
RPTA : 'P ”
PR O B LE M A 26 :
Si: P (x + y ) = P (x )+ P (y )
P(7) = 42 Calcular: P (l)
A) 6 B) 5 O O D ) - l E) 42
R E S O L U CIÓ N :
•Haciendo: x = y = l ;setendrá P ( l+ l ) = P (l )+ P (l )
P(2) =2P( 1)
RPTA : étA ”
1
=> P(2 + 1 )= P (2 )+ P (1 )
=> P(3)= 2P(1)+ P (l)
=> P(3) = 3P(1)
• Análogamente se obtendrá que :
P(7) = 7 P(l)
42 = 7 P(l)
=>6 = Pil)
PR O B LE M A 27 :
Si: G(x + 1)= x 2 - 2 x + 2
F (x -1 )= x 2 + x + 1
Q(x) = F (x + 1) 4- G(x - 1 ) >:
Calcular: Q(3) , ; A>
A) 32 B) O C) 27 DJ81 E ) - 3
R E S O L U C IÓ N :
• Se deduce que: Q(3) = F(4) + G(2)
•Pero F(4) se obtiene para x - 5 e n F (x - l ) y G(2)
se obtiene para x =1 en G (x +1).
• Luego : • F(4) = 52 + 5 + 1= 31
(
• G (2)= l 2-2 (1 ) + 2 = 2
•Con lo que: Q (3 )= 31 + l= 32
RPTA
PR O B LE M A 28 :
Si: P(2x -7 ) = 10x +2 Calcular: P(x)
A) 5 x - 33 B) 5x + 3 7 C )5 x -1
D )5x + 1 E )4 x - 9
R E SO LU C IÓ N :
• Hallando la regla como operar, se tendrá :
P(2 x - 7 )= IQx + 2
IA EX€ m* x o *a*:DMA 2012}
* Luego: Coef(M)= 23$36$3a = 2a x 3=24
RPTA : "P"
P R O B L E M A 31 :
A partir de: Pfx =4x + 2 adonde: P[P[P fxf]]= 298
Hallar el valor de «x»
A) 2 B) 3 C) 4
R E S O L U CIÓ N :
D) 6 E) 8
P(X) = ( ^ ) 10 + 2 = 5 x + 37
— 1+7 + 2 xJO + 2|-
PR O BLEM A 29 :
RPTA : “B”
• Hallando la regla como operar, en forma inversa ,
4 x + 2 = P (x )
~ n i i-2 +4
• Ahora para poder eliminar a P[P[P(x)J] , tendremos
que aplicar 3 veces la regla.
298 -P [P [ P(x)]J
I_____________í
-2 +4 -2 +4 -2 +4
1ro 2do 3ro
Apartirde: F (x )= 2 + x + x2+ x5+ x4+.... + «? x [ [ [ ¿ 2 0 8 -2 ) . 4 \ -¿í] . 4 - 2] . 4 4
RPTA : ”CCalcular: K= Ff06)
A) 2 B) 2,5 C )3 D) 2,8 E) 4
R E SO L U CIÓN:
• Se puede apreciar que «F(x)»t posee infinitos
términos, luego:
F(x)= l + x (1 + x + x 2+ x 3+ x 4+...<x> )
Esto también vale F(x)
F(x) = 1 + xF(x)
F (x ) -x F (x )= l
F(x) ( l - x ) = l
P R O B LE M A 32 :
Dado: F (x + 3; = 2 F(x + 1}+ 5
Hallar. F(6)
A) 36 B )37 0 38
R E S O L U CIÓ N :
• Haciendo x = l , se obtiene :
F(4)= 2F(2)+5= 2(6)+5
=> F(4) = 17
* Haciendo x=3 , se obtendrá :
Además: Ff2) = 0
D) 39 E) 40
• Haciendo : x=0,6 ; entonces :
F ( 0,6) =
1 -0 ,6 0,4
= 2,5
RPTA : “B"
PR O B LE M A 30:
Indicar el coeficiente del monomio:
M {x) = 2" x B \ j(3 x fn f¡(nx)n
si el grado del mismo es «2n» (neZ+)
A) 3 B) 8 0 1 2 D) 24
R E SO LU C IÓ N : _________
* Tendremos: x 5x Jjx2n x y¡xn
F(6) = 2F(4) + 5 => F(6) = 2(17) + 5 = 39
RPTA : ‘P "
P R O B LE M A 33 :
Si: p , ■ = 2x + 1
M X - 2
Además: P[Plx)J = 3 x - 8
Hallar el valor de «x» .
A)1 B) 2 0 3 D) 4 E)6
R E S O L U CIÓ N :
• Al reemplazar en el miembro izquierdo, se obtendrá:
E)32
7« í+n
X S X X 21 = X 3
2 ( ^ +1
n• Por condición de grado: 5 H = 2n
3
=> 15 + n = 6n => 15 = 5n => n = 3
2x+ 1
x - 2
5 x
- 2
= 3 x -8 = >
4x + 2 + x - 2
x -1
2x + I - 2 x + 4 = 3 x- 8
x - t
= 3 x -5 = > x = 4 RPTA : ‘P "
€¿**s\MP4P& y I*O rfiV O J»y fO ^ ______
PROBLEM A 34:
Si: P[P[P(x)J] = 8x + 21 Calcula : P(5)
A) 23 B) 11 C )13 D) 14
RESO LU CIÓ N :
4 Se deduce que : P (x) = 2 x+ b ;
I i*2 +b
ya que : p ¡p [p (x )J J = 2 3x + 21
3 moÍaeUm€9
[___________
98 E D IC IO N E S R VD IÑ O Ñ j
* = 4x2 + 4x + l + 6x + 8 + 6
E) 20
4 Aplicando la regla como operar en:
P [P [P (x )]]= 8x + 21
i
x 2 +b x 2 +b x 2 + 6
> [(2x + b )x 2 + 6 7x2 + 6 = 8x + 21
8x + 7b - 8x + 21
7b= 21 => b - 3
Con lo que: P(x)= 2x + 3=> P(5)= 2(5)+ 3=13
* Desarrollando
P R O B L E M A 37:
Si: F(x+l)=13x+7 A G (2x-1 ) = 6x + ll
Hallar: F(G(x))+G(F(x))
R E S O L U CIÓ N :
* De los datos: F(x+1) = 13x + 1 3 - 1 3 + 7 = 1 3 ( x + l ) - 6 ,
entonce F(x) = I 3 x - 6
Además: G(2x - 1) = 6x - 3 + 3 + n
=>G (2x-l) = 3 ( 2 x -l ) +14
entonces G<x)=3x+i4
* Luego:
F[G(x)]=F[3x+14]=13(3x+14) - 6
= 39x+182-6 =39x+176 A G \F(x)] = G [2&r-6]
= 3 (1 3 x -6 ) + 14 = 39x — 18 + 14
R P T A . 'C ~ 39x — 4
PROBLEM A 35:
Se define una función lineal que satisface las siguientes
condiciones: F(2) — 6 ; F(3) — 10 y,
Sumando: F (G (x ))+ G (F (x )) = 78x + 172
P R O B L E M A 38:
«i ~
Hallar: F(20) + F(30) - F(40)
A) 24 B) 31 0 38 D) 40 E) 10
R ESO LU C IÓ N : i
* Se sabe que la función lineal se denota p or :
F (x )= a x + b
* Luego dando valores :
Para: x = 2 => F (2) = 2a + 6 => 6 -2 a + b
Para:
. a •f
i
i
x = 3 F(3) = 3a + b ^ 10
Si: F \ j X + j l = 1 5 x + 2
Hallar : F(F(x))
R E S O L U CIÓ N :
* haciendo cambio de variable: — x + — = «O O
1 _ 2 6 Y despejando « x » :^ x — a ——= > x -J a ——t entonces:
4 = a y b = - 2
• Con lo que: F(x) —4x — 2
t
F(a) = jso—— J = 45a — 18 + 2 = 46a —16
*4-2
4(20)- 2 + 4 (3 0 )-2 -[4 (4 0 )-2 ] = 38
RPTA
PROBLEM A 36 :
Si: F(x) = x2 + 3x +5 A G(x) = 2 x + l
* Luego:
F(F(x)) =F( 45x - 16) = 46 (4&X - 1 6 )-16 = 2025x-736
P R O B LE M A 39:
Hallar: F(G(x))
RESOL U CIÓ N :
‘ Mediante la Regla establecida : F (G (x ))
‘ Sustituyendo G ( x ) = 2 x + 1 :F (2 x + l )
• Sustituyendo en F (x ) : = (2x + i f + s(2x + 1)+ 5
Si F ( x ) es de prim er grado y ' cum ple cqn
F(x+1)+ F(2x+1)+F(3x + 1 )= 42x + 24
Hallar: E = F (x) + F (F (x)) +F(F(F(x)))
R E S O L U C IÓ N :
• Por ser de primer grado: F(x) = o*+b
a(x+Í)-\-b+a(2x+í)+b+a(3x+t)+b=42x+24
F(x) F(2x+1) F(3x+1)
M E N C B X .areB iA 2012}
=> a* + a + 6+2a* + a +6 + 3a* + a + b=42* + 24
=> 6a * + 3a + 36 = 42* + 24
entonces 6 a = 4 2 a 3 a + 3 6 = 2 4 ;de donde: a - 7 ? b = i .
* Luego: F(x) = 7* +i
* Cálculo de :
OTfirW » F Í7* + 1) = 7í7* + !> + ! = 4flr + 7 + J = 4ftr + 3
=► F(F(F(x))) = *Y4ftr + 3> = 7 f4fc* + 3J + J
= 343r + 66 + I = 343Lr + 37
Finalmente, reemplazando, se tiene:
E = 7*+J + 4ftc + 8 + 343x + 57 — 3Q9x + 66
PR O B LE M A 40:
El número de términos del siguiente polinomio
completo:
P(*)= (ro—i)* " - * +(m — 2)xm 0 + (m —3)***'^ + .......„•es
R E SO LU C IÓ N :
* Como < (m - 5)
♦ Entonces p(x) es además ordenado en forma
ascendente:
Luego: m —6 =0 =» m =6 => P(x) =6 + 4r + Sx2 + 2x3 + x*
=*• Pf*> tiene 5 términos
PR O B LE M A 41:
3 x
x - l
,hallar /T2x) en términosSi: f f# J =
de fíx /.
A )^ L B ) s& L c > J * * L D )^ L E ) 1
f ( x ) - 2 ffx) + 3
R E SO LU C IÓ N :
♦Hallemos f(2x ) : f ( 2 x ) =
f(x ) + 3 f(x ) - 3 fíx)
3 ( 2 x )
( 2 x - l )
♦Dividir por (x - l ) :
o í Sx \ 2 ( dx )
f(2x )= X̂' 1' ^ “ firmando, ,f f2 x ) - Sx—H
2 f(*> _ Of (*>
~ I + i f (x) 3 + f ( x )
•luego: ff2x)
i (A)
RPTA : ' C
PR O B LE M A 42:
Si: g(x) nxn - x donde n e z*
Determine: g (g (...g (x ))...) ;m e N
* m * parénteti»
A) mx B) C ) ~ ^ ~ D )—^ E)
mnx
n+m x m -n x m - x n - m x m -n x
R E SO LU C IÓ N :
♦ Aplicando un razonamiento inductivo.
♦ Sea : x < >g(x)
0 _ J * (s > _
n n x
n - x
&(x) n - n
n - x
8 <g(x)> -
n x
n - 2x
( 2 p a r én te s is )
n g ( x ) . - f e )
(* r n - 2g ( x ) n _ 2 n x
nx
•<*r n - 3 x
n - x
(3 parén tesis)
♦ Si continuamos vamos a tener:
n x
n - m x RPTA : “P
P R O B L E M A 43:
Seat P(x) =x*- 2
Calcule: 3 P (P (p („j> (2 ).„ )))+ 5 P (P (P (j2 )))
8n
P(P(P(...P(0)...)))
A) 4 B) 6
R E S O L U C IÓ N :
8n
C) 8 D) 2
*P(x) = ** - 2
P(2) =2* - 2 = 2
P(P(2))= P(2) = 2
s
E) 12
P(P(P„J>(0)..J) = 2
* P (P (P (4 2 ))) = P (P (0 ))) = 2
♦ Reemplazando: = 8
RPTA : ' C '
P R O B L E M A 44:
Si: P (x )= 0
P[M (x) + G (x )])= 4 x + 6
P[M (x) - 2G (x)]= x + 12
Hallar: M(G(2))
A) 0 B) 1 0 6 D) 3
R E S O L U C IÓ N :
* Si: P(x)=x
=> PfM(x) +G(x)]=M (x) +G(x)
• Usando el dato: G (x)= 4x + 6
E) 8
(i)
• Igualmente: P ¡M (x) - 2G(x)J = M (x) - 2G (x)
Del dato: j f (x ) _ 2 G (x ) = x + 12 (II)
O fM fW jÜ n 1 *0 1 , f .V O ^ ffO ^ ______
• de - OD: ¿G fr j = 3 r - 6 = > G f» > = x -2
• G(x) en (I): M(x) + (x - 2 ) = 4 r + 8
3 f W = 3 » + 8
Luego: M (G(2)) = MfOj = 8
PROBLEM A 45:
Sabiendo que el polinomio:
RPTA: “E P9
^(x) = (x “ i i ía x + b) + c ( j + x + x 2)
es idéntico a :Q (,) = 2x* + 5x - l Calcular: c - a - 6
A) 1 B) -1
R ESO LU C IÓ N :
C) 2 D) 3 E) O
* De * Q(*j; o sea:
( x - l ) ( a x + b) + c (1 + x + x *)
* Ahora evaluando:
s 2x* + 5 x - 1
Parax = l :3 c = 6 => c = 2
• Para x=0: -b + 2 = -1 =>\b = 3
♦ Parax=2: 2a + 3 + 2 (7 ) = 8 + 2 0 -1
=> 2 a + 17 = 17 => a = 0
Luego: c - a - 6 = - 1
PROBLEM A 46:
Si P es un polinomio definido p or:
RPTA : “B’
P(*) = 3x2 - 4 x " '* +
entonces el número de valores enteros que admite
«n» es:
D) 5 E) 6A) 2 B) 3 C )4
R ESO LU C IÓ N :
• Como se trata de un polinomio, luego:
!>• n - 2; 12 - n;
O *0
^ n = 2A n ¿ 2 A n £ l2 /\n = 3
O
r>n = 6A2 í n £ l 2 ^ n = 6 vn = 12
=> n admite sólo 2 valores
PROBLEM A 47:
Si la suma de los grados absolutos de los términos del
polinomio:
RPTA : “A'
P ( x , y ) = m x m
2n-14 n-7
- 5m n(xy)m + n y
es de (m20+ l)* entonces el valor de n es:
¡¡_______________EM PICM O N ES K l l S I Ñ O S )
A) 17 B) 15 C )14 D) 16 E) 18
R E S O L U CIÓ N :
* Del enunciado se planteará la siguiente igualdad :
»*"'" +*(m-7)+í = (m" + l)*
=> (m - 7 +1 f = (m '° + í f
=> n - 7 = 10 =>n = 17
RPTA ; "A”
P R O B L E M A 48:
Sea P un polinomio definido p o r :
P (, ) - ( ! + « * ) " + { 2 x + l ) n • ,
Si la suma de coeficientes excede en 23 al término
independiente, entonces indicar el valor de verdadde
las siguientes afirmaciones:
I) El polinomio P̂ xy es de grado 2.
II) La suma de sus coeficientes es 25.
III) El término cuadrático del polinomio P ^ e s 12»* .
A) V W B) VFV C )W F D) F W E) FFV
R E S O L U CIÓ N :
* Del enunciado se desprende que:
( suma de ] _ ( término ]
{coeficientes J [independiente J
PU) = 23 + PW
=> 4" + 5 n = 2 3 + 2 = * n = 2
* Reemplazando: P ^ = (I + 3 x )2 + ( 2 x + í )2
* Luego :
I)G A .(P ) = 2 .................. ( Verdadero)
II) Suma de coeficientes:
= P(i) = 42 + 52 = 2 5 (Verdadero)
III)P{X j = 13x2 + lOx + 2....... ".(Falso)
RPTA : "C"
P R O B L E M A 49:
Si P es un polinomio definido p or :
p = x %m+n-4y m+n+ X ^ ^ X m + « - 3 y W + » + í ^ yM +n
Tal que cumple las siguientes condiciones:
I) El grado del polinomio es 28
V s * * <
II) G.R (x-G.R~ fy=6
Entonces el valor de M =» m + » es :
A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 24
R E S O L U C IÓ N :
I) GA~(P) =20 => 3m +2n - 2=28
3m +2n = 3 0 ........(a )
W & 9 6 Ü B U E xcif* . o**tcuiA 2012]
U) G .R . (xj — G . / í . ^ = 6
=> (2m + n- 2)— (m+n+2) = 6
m = 10
• En (a): 3(10)+2n=30 => n = 0
* Se pide : M =10+0=10
RPTA : UB ”
PR O B LE M A 50:
Si P es un polinomio homogéneo definido p or :
* De d o n d e :/i= 3 , reem plazando se tiene que:
Ĝ A.̂ p̂ = S
♦Por propiedad : Si P(x,y) es homogéneo de oa^j « P,
entonces: P<JWfc¡y) = kp.P (x ,y )
P(2*,2y) = ^ P(x;y) = 4kP(x;y) = > 2 *= 4 > = > k = 4
RPTA: “ C 9$
PR O B LE M A 53:
3 n . . m - 2T (*,y) = 3xn y 3 - 5x2n*ly m~2 - x ^ y
Entonces el valorde T = G.R.^y - G.R.^ es:
A) 1 B) 2 C )3 D) 4 E) 5
R E SO L U CIÓN:
* Como es un polinom io hom ogéneo,
entonces: n2 + 3 = 2n + m = 3re + m - 2
♦ De: 2n + m = 3n + m - 2 n = 2
• De.n2 + 3 = 2n + m => m = 3
♦ Luego, reemplazando: P (x,y) = 3x4y3 - 5xsy2 - x8y
• De donde: G.R.^ = 6 a G.R.^ = 3
^ T — — 3
RPTA : "C 99
PR O BLEM A 51:
Si P es un polinomio homogéneo definido por:
ñ x . y ) - 6(a + * J r " V « r - « S a -- 4b - » W * V - S(b* n* _ 2 n ) (syU U Q ( x ) - m x tm+*M*P + n x 4m+*” *4p + +
Considere el polinomio P(xy) completo, homogéneo de
grado 8 y ordenado ascendentemente con respecto a
x. Sé han tomado tres términos consecutivos que son:
... + x ayM + B + x bya+2.~, según esta condición el grado
de la variable y en el monomio B e s :
A) 3 B) 4 C )5 D) 6 E) 7
R E S O L U CIÓ N :
♦ Como se trata de un polinomio homogéneo de grado
3 y ordenado en forma ascendente en x, entonces :
. „ o „ 6+2 , -.0+I-.6+Í , <a+2..b ,... + x y + x y + x y + ...
♦ De donde: a + b + 2 = 8*b = a + 2
=>íz = 2 a 6 = 4
♦ Luego, el grado de y en el monomio B es : 6+1 =5
RPTA : “ C”
P R O B LE M A 54 :
S \ m ,n ,p eZ * y Q es un polinom io com pleto y
ordenado definido p or :
i « +
Entonces la suma de coeficientes del polinomio.es:
A) 31 B) 40 O 38 D) 41 E j 42
R E SO LU C IÓ N :
♦ Como se trata de un polinom io hom ogéneo,
entonces: n 2 + 5n + 2 = 3n + n 2 + 3 = 2 (a + 36)
n = 3 a a + 3 6 —13
♦ Luego, la suma de coeficientes de P será:
jP(J./)=5(a+n) “ 2 (2a -4 b - n2) “ 5(&+n2 - 2n)
= * P(U ) = a + 3 b - 3 n * + 15n = 1 3 - 2 7 + 4 5
RPTA: “A ”
PR O BLEM A 52:
Si P es un polinomio homogéneo definido por:
P(x>y) = 4xny2n‘1 - nxn+,yn+i + x 2nyn'1
tal que P(2x,2y)=4k P(xry ), entonces el valor de k es:
A) 2 B) 3 C )4 D) 5 E) 6
R E S O L UCIÓN:
♦Como se trata de un polinomio homogéneo, luego:
3 n - l = 2n + 2 = 3 n - l
* P{U) - 31
Entonces el número de términos del polinomio Q es:
A) 82 B) 84 O 85 D)88 E) 90
R E S O L U C IÓ N :
* Como el polinomio es completo y ordenado, luego
observamos que los exponentes dex; primero aparece:
6m + 6n + p y tres lugares más: 6m +5rt.
=>es completo y ordenado en forma descendente y
además p = 3 .
* Luego: 6m + 5n +1 = 5m + 4n + 5 p
a 6m + 5n + 2 = 4m + 5n + 4 p
=> m + n = 14 a 2m = 10
=>m = 5/\n = 9
♦ Además: = 6tn + 5n + p = 6x5 + 5xd+ 9=84
♦ Se pide: Número de ténninos = 3 4 + 1 =35
RPTA : “ C”
P R O B L E M A 55:
Si P y Q son dos polinomios definidos por:
P(x) ~ x 3 + 6x* + 30x + 2
Q j,) = a (x + c )3 + bx + d .
p i m p o s &
Talesqúé entonces el valordeiW’s=oÍ>cá' ee: A /-2 B ) - l - C) l
A) -126 B )-116 C) -106 D )-96 É) -86 R E S O L U C IÓ N :
U ESÓ LU CIÓ N : * Como: Pix) = 0 , entonces:
¡ m i C M o a m s K u n i Ñ o s }
X*I x yhfi’ Jg*>/
De: Q(jr) = ax3 + Socx* + 3ac2x + ac3 +bx + d
-> Q(xj = ax3 + 3acx2 + (3ac2 + b ) x + ocS + d
Como P(x) = Q(x) se tiene:
a=2 a 3ac=6 a 3ac2 + 6= 20 a o c 3 + d = 2
=>o=2 a c = 2 a 6 = 8 a d = -6
Entonces: abcd= -96
RPTA : “D ”
PROBLEM A 56:
Si son p o r :
*’ y * )+ y (y 2 -*y )
Q{x,y,z) = ( x + y +*)[(* - y)* + (y- *)*+(* - *)*]
Tal qué P(x;y;«) « kQ(x;y;z) , entonces el valor de A
esr: . : ; / \ ..*■
A) 2 B) 1
RESOL U CIÓ N :
°> í D ) - l E) -2
Como: P ( x ; y ; z ) = k Q ( x ; y ; z )
^ P (2;2;0) = AQ(2;2;0) =>1 + 1 + 0 = k (2 )(0 + 1 + 1)
-> 2 -4 k = > k = —
2
PROBLEM A 57:
RPTA : “C 99
Si se cumple qué mx + tn y + n x ~ n y -1 5 x -7 y - 0 ,
para todo valor real de x e y, entonces el valor de
M = m x n es:
C) 44 D) 70 E) 121A) 16 B) 36
RESOL U CIÓ N :
* Dando la siguiente forma:
(m + n - 1 5 )x + ( m - n - 7 ) y &0
=>m + n - 15 = 0 A m - n - 7 = 0
* De donde: m = U a n -4
* Luego: M - mxn = 44
PROBLEM A 58:
Si P es üñ polinomio i
= (* * + + 3 j (o - 6)+(¿*+ x +4)(b - c)+
< * A * *
■ ' b + é \
Entonces él valor de M - es:
RPTA: “C ”
+ X + -^a) ;■ " L'í
■ ! •;■
. > '*•
a•
= > a - 6 = 6 - c = c - a = 0 = > f l = 6 = c
* Luego: Af —6 + c 2aa
= 2
RPTA: “Z>”
T •
P R O B LE M A 59:
es un polinom id definido pdn
ro **P + : »** C
- •>* - •»* < +vy
•* W J • • •!/•<!
' * * - 1 ; . ; «
, tal que si le restamos 12x 9y* su grado absolüqq
dismihuyé, entonces el a ^ j en eí polmotoid P es:
Á )5 J : -V 4■ f-:■■" c ; 3 ;
R E S O L U CIÓ N :
* Si a se le resta 12x sy4 su grado absoluto
disminuye; esto significa que i2xsy4 debe ser idéntico
a uno de los términos del polinomio. No puede ser
idéntico al últim o, entonces sólo es posible
que:1 2 x sy 4 s n x my p
=> m = 3 A n = 12 a p ~ 4
3 . ALuego: P{x;y) == 1 2 x °y * + 3 x * y + X
RPTA 4 t n 9 9
wP R O B L E M A 60:
Si roeW y Am es un conjunto definido por:
W - v -*k ' ’ , * f •
A ñ = {P(x) f p(x)es un poRhómió degrado irtj . ' f
entonces determ inar el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I) Si P{x),Q{x) e A m , entonces P{x)+Q{x) e A m
II) Si P ,Q(jej e A m, entonces P{¡r)-Q (jc)eAW
E)VFF
P<-^Q ,v\ e A m , entonces:
I I I ) S i P ( , A ot, entonces P(x)Q(x)
A) W V B) FFV C )W F D) VFV
R E S O L U C IÓ N :
I) Si ^(X).»«(*)
necesariamente e A n-
P O R E JE M P L O :
P ^ = x 2 + x + l y q x) = - x 2 + 2 e A2 ;
sin embargo ^x) ■*■*?(*) = x + 3 & .
• Luego (I) es FALSA.
II) Si P,^ Q< ̂e Am , entonces P{x) - Q(x)
• »-
no
no
necesariamente e A n , como puede verificarse de
inmediato.
* Luecro (II) es FALSA.
III) Si: e Arn»entonces
G ^ A (P q ) = G ^ p j + G ~ A ^ = m + m = 2 m
IA EXCJrJ UUFMA 2012)
( * A m)
* Luego (OI) es VERDADERA.
(x)**?(x) e A 2m
RPTA: "B ”
PR O B LE M A 61:
sí p (X) y $*> son dos polinom ios, entonces
determinar el valor de verdad de cada una de las
afirmaciones siguientes:
0 G.R{pw + <?,„) =
íí)S i g.p(j^() = G.R[plrt+Q*„)+1 , entonces la suma de los
coeficientes principales de P(x) y Q(x)escero.
ÍZ/J Si G.i2(Pu,) = GJí(<?|Jf,) = m t entonces el
AJ VFF B )F W C) VFV D)FVF E )V W
R E S O LU C IÓ N :
I) Analicemos las únicas posibilidades que se pueden
dar:
=* GA^p+q) — m<£» ̂ G. p ̂ ; G .A ^ J
* GA^py—GA^Q ̂=> GA^p+q} ^ GA^py
Pues , se puede dar que:
*U>= X* + ** - 1 A Qlxl- ~xS + 2x + 5
(G*Ap,=
* Con lo cual: P̂ xj + = x 2 + 2 x + 2
* De donde: GA^p^y < GA^py...(FALSA)
II) = G. p+̂ j + 1=> GA^py >
* Si: G-A p̂) * G ^ q j => GA^py > GA^y v GA^py < GA^y
* Si GA|pj > GA^^j “ GA^py
(contradice a (a)).
*Si: GA^py < GA^Qy => G.A^p+Qy = GA^^y
(también contradice a (a)) •
•Sólo queda que: G.A^p) — G.A^qy,
además: GA^p+qy<GA^py
=>Sólo queda que los términos de mayor grado de
P a Q se eliminen al sumarlos.
=*La suma de los coeficientes principales de
P a Q debe ser cero
(como el ejemplo dado en I)........(VERDADERA).
IB ) G«Â pj — G = rti ^ G ^ p +<jj í ftt
(como se indicó en I)....(FALSA)
RPTA : “D ”
P R O B L E M A 62:
Sea p = at + a,x+OjX* +...+c.x" un polinomio de grado
» / ►i 4 ♦
n(n e ;v)y Bobre el polinomio P se define un operador
D mediante:
D ^ a 0 + O jX * + . . . + a nx * ] » a , + 2 a s x + 3 a sx 2... + n a nx H,t
Sí: # [-*(*)] = 3r* + 2 ** , entonces la suma de
coeficientes del polinomio P es:
A + “ o B )f + «« C) f + <»<> D ) j + a0 E ) j + a„
R E S O L U CIÓ N :
* Como: D [■?(*)] = 3 x 2 + 2 x 3
=> a¡ + 2asx + 3a3x 2 + 4a4x 3 +... + nanxn l m 3x2 + 2x3
z^Oj=0 a2o2=0 =3A4a4=2AOg =<% =~=aH =0, nZ5
=> a ¡ * O j a O a a 3 - 1 a = — a a 5 » a 0 = . . . = o „ * 0
n ¿ . 5
1
2
* Luego:
Fw « « , + **+ 4** Z coef(p ) = a0 + l + ± = a0 +^
RPTA : “B ”
PR O B LE M A 63:
Indicar el valor de verdad de las siguientes
afirmaciones:
*
I) El polinomio P definido p o r :
pM = (x2 - 3x3 + x)4( x - 8)4, tiene término lineal.
U)vneN:P es definido por Pw = x "+J — +4x2y í esun
polinomio.
* «
IB) VP.Q polinomios no nulos : G.R^p^y = G.R^P ŷ
A) V W B) W F C) F W D)FFV E)FFF
R E S O L U C IÓ N :
I) FALSA ,dado que P(0) = 0 , entonces no tiene término lineal
II) FALSA
III) FALSA, dado que VP.Q polinomios:
GA{p+Q) Z m cixjG ^pj.G ^Q j}
GA^p_Qy S rew íxjG ^p^G ^^}
=> GAip+Q) no siempre es igual a: ^ ^ p -Q )
RPTA; ME "
p im p o s w p o i.i.v o w o ^ |IB̂ »a p™ MZDMi'IOJVES H U BM Ñ OS)
PROBLEM A 64 : Calcule el valor de P (1001).
Sea P (x )= a 0+ a Jx+ .,.+ a nx* un polinomio de grado Ai-3 B>-2 c ; - i Z>)0 i?/z
n. Definimos un operador sobre los polinomios R E S O L U C IÓ N :
mediante * Sea: 10001 — 3
D[a0 + OjX + ... + a xn] = ¡pr.: * Reemplazando en la función polinomial:
a . + 2a¿c + 3ajc* + ... + nanx " r « r> «*
1 r ^ " * Nos piden:
Determine el polinom io P (x ) tal qué P(a)=a¡ -(a-Ua* -ia*i)a+a -2
D [P(x)]=3x, +2x3
Dar la suma de sus coeficientes como respuesta. * Entonces: PI1000I¡ = -2
1 9 7 5 3 RPTA: "B ”
A)a0+ - E ) a 0+ - Q a i)+ - D ) a 0 + - © O o + - PR O B L E M A 6 7 :¿ ¿ ¿ ¿ ¿
RESO LU CIÓ N : SeánP.Q dos polinomios dados p o r : ^
* Se sabe por dato: D [P(x)] = 3x2 + 2x3 P (x) = ax3 + bx* + e x + d
m De acuerdo al operador tenemos: -Q fx) = 2 x 3- x 3 + 3x + 2
D[P(x)] = 3x3 1 + ~ x 41
* Se concluye que: s i 4 ^ pm *Q (*~u
P ( x ) = x + —x + o-o determine el valor d e ; a + b + c + d.
* Piden la suma de coeficientes. B* 2 C) 2 Dj3 E)6
ZcoefiP] = P(i) = a0 + ~ R E S O L U C IÓ N :
El operador D aplicado al polinomio representa a * P°r dato se sa^e que p(x) b Q(x - d es una identidad
la primera derivada del polinomio. por definición, podemos evaluar en cualquier valor:
RPTA : “E ” Evaluando para x=J.
PROBLEM A 65 :
Sean los polinomios : Luego. P (1)-Q (0 )
* Reemplazando, se obtiene:
i W = a * W +C*+ d ; Q W = « y + < ¡ / \ R ( x ) = a x + b a(1)s + b ( l f+ c (1 )+ d = 2 (0 f _ 0° +3(0) + l
Si P(0) = 2 , Q (l) = R(2) = 1 , halle x tal que
„ * Por tanto, el valor es: a+6+c+<2=2.
R(x) = 0
A ) -3 B )~ l C) 0 D) 1 E) 3
R E S O L U C IÓ N :
+ Sea P (x )= a x + b x+ c tal que P ( l )= -2 , P (2 )= 3 y
Por dato: P (5 )-3 4 . Determine un valor de x * de modo que
P(0) = 2 =>P(0) = a(0 )3 + b(0)* + c(0) + d = 2 P(x *)=0
* Luego resulta que: d =2 f l j ?3 iB r iZ- y
*Dato: n ,j2 Í7 + 3 „ ,J 2 Í7 + J3 v
Q ( l ) = a + d = l=>a = l - d = > o = - l U> 5----- E> i
R E S O L U CIÓ N :
R(2) = 2 a + 6 = 1 =>b = l -2 a =>6 = 3 * Del enunciado , se tendrá lo siguiente:
P (l )= a + b + c = -2 . ............................. (I)
* Por tanto: R (x )= a x + b = - x + 3 , pero como p (2 )= 4 a + 2 b + c= 3 . ......................(II)
R(x)=0=>x = 3
R P T A :“E ” P (5 )= 25a+ 5b+ c= 34 ......................... (III)
PR O BLEM A 6 6 : * Restando: ( I I ) - ( I ) : 3 a + 6 = 5
Dada la función polinomial; ( I I I ) - ( I I ) : 21a+3b=31
P ( x ) = x 3 -1 0 0 0 0 x 2 -1 0 0 0 2 x + 9999 * Donde: ¡ b=i; e=-~
RPTA : “B ”
P R O B L E M A 6 8 :
* AL reemplazar los coeficientes tenemos:
is
M53 too M g L 1 ENCBX.omMA 2012}
P(x) = í x * + x -
3 3
* Resolviendo: P (x)= 0
* L u eg o : - x 2+ x - — = o => 4 x2+ 3 x -1 3 = 0 => X= " S ± ^2*?-
3 3 8
*Porlo tanto: .. -3+4217 „ -3-4217
8 v*s= 8
RPTA : “B 99
PROBLEM A 69 :
Sea Mt)== {í; 1
10; t
z o
t<0
Si definimos g(t) = h (t+ 2) -h (t -2) , entonces se cumple
0 t<l
.
0 t i l
A)g(t)=- 1 1< t<2 B)g(t)= •1 l < i <2
0 t<2 0 t * 2
0 t< l ó tí. -2
C)g(t)= 1 l í t < l D)g(t) = 1 - 2 < t < 2
0 r ¿ 2 0 t 2:2
0 t < - 2
E)g(t)= 1 - 2 í t < 2
♦ 0 t * 2
-2
-2
¿ 3
<2
R E SO LU C IÓ N
* Según la definición de h(t) , se tiene que:
* Por dato: g(t)=h(t+2) -h ( t -2) luego , restandoh(t+2)
menos h(t-2), tenemos:
0; i i 2
g(l)=h(t+2)-h (t-2}= 1; - 2i t <2
0; I <-2
RPTA : “E ”
PR O B LE M A 70 :
S \:H =4(x-5)(x+6)(x-l)(x+2)+196 ;
hañe:R=yjH + i6f25
A ) 2 x + 1 B ) ^ - C ) x + 2 D ) ^ ^ - E ) 2 x
2 ¿
R E S O LU C IO N :
* De lo dado :
,f( x - 5 ) ( x + 6 X x - l ) ( x + 2 ) = 4 (x 2 + X - 3 0 ) ( x s + x -
* Haciendo un cambio de variable : x*+ x-2 = a
* Reemplazando:
2)
H=sl(a - 28)a + 196=J(a - 14)2 = I a - 14 \
* Donde uno de los valores será : H =xs +x-16
* Reemplazando:
R=yjx* + X - 1 6 + 1 6 ,2 5 = Jx s + x + L
* =Í x+í) =>R=x+i
P R O B IjEM A 71 :
RPTA: **D99
Indicar el valor de verdad de las siguientes
afirmaciones:
‘ 9
I) si P (xy ) es homogéneo, entonces Q (xy ) =P(x+2y)
es también homogéneo.
m si P (xy ) y Q (xy ) son homogéneos del mismo grado
, entonces P (x y ) + Q (x y ) es también homogéneo del
mismo grado.
UI) si Q (xy ) es un polinomio homogéneo de grado 3
y Q (l;2) =5 , entonces Q (-2^ 4) = -40
A) V W B) W F C )F W D)FFV E)FFF
R E S O L U CIÓ N :
I) consideremos Q (kx;ky) el cual se escribe como :
Q (k x ;k y )= P (k x+ 2 k y ; 2 k x+ k y ) por ser P(x;y)
homogéneo, digamos de grado n , se tiene :
Q(kx;ky) =knP(x+2y&x+y)=knQ (xy)— (VERDADERO)
II) H (xy ) = P (x y )+ Q (x y ) entonces :
H(kx;ky) = P (kx;ky)+ Q (kx;ky) = k * (xy ) +k*Q(x,y)
=kn[P (x y )+ Q (x,y)]=k"H (xy)------------ (VERDADERO)
III)Q (xy) es un polinomio homogéneo de grado 3
entonces: Q (x y )= k sQ (x y ) ; luego:
* p a r a : x = l ; y =2 ; k =-2 se tendrá:
Q ( - 2 ; - 4 ) = ( - 2 ) 3Q ( l ; 2 ) = - 8 ( 5 ) = - 4 0
« . . . (VERDADERO)
RPTA : “A ”
P R O B L E M A 72 :
Determiné la suma de los coeficientes del
siguiente trinomio:
»
»* •
P (x ;y ) - ( m — 3)x9~m+m xm-~2 y ml3+y17~2m
A)10 B) 8
R E S O L U C IÓ N :
C) 6 D) 4
<•.
E) 7 >
* Es un trinomio , entonces :
3
\ 9 — m;m — 2; — ; 17 — 2m] C N Q
1 m
o 2 7
m € Z A m = 3 A 2 < m < —
=>m = 3V m = 5
101
8im = 3=> P (x ;y )n o es tr in om io
p u es P (x , y) = 3 xy + y n
si m = 6 => P (x ;y ) = 3 x 3 + 3 x V + /
es un trinomio.
Iue0o : J ^ CO€̂ (pj=5+3+I=7
PR O B LE M A 73 :
RPTA :
|ue uno tomar
****
'2vr«r. ¿s>* 9 . .
f f ílfíi ii» I»’., PferyJ = 5xn- * + 6 y " - l ' + $xy
» •• •* * '<*
' « _
C )7 D)8* WA) * ' ± £ ^ 3 ) 6 ^
R E SO L U C IÓ N :
♦Como lo dado es un polinomio, entonces:
8
E)9 >*?♦
n - 2¡— r/3 -n } c J V /i= > -n G ^ A 2 < n < 5 A n -l
e s u n D iv is o r cié 3
=>7t = 2 Vn = 3 Vn = 5
n = 2 : P ,x;vf= 5 + 6y a + 9xya => GA (P ) = 8
=> G A (P) = 4n = 5 : P
{x ;y )
{ x ; y ) = 5 x + ^
3 . * . .2n = 3 t P { v= 5 x 3 + 6y2 + 9 x = » G A (P) = 3
RPTA : “D ”
PR O B LE M A 7 4 :
# # •* . ' .H ■
Determine el grado absoluto del polinom ioi^
.+■- T5--. •• ‘i • ' " ' " ’
p/x;yj = — x ^ y ^ + 2 x e- my n- 3 4 ¡ J S - é . :
*. *»- es«43:„ m-n
* t * ü
R E S O LU C IÓ N :
C)5 '•türD)6 E)7
♦ Lo dado es un polinomio, entonce» ¡
{m —n;m; 6 — m ;n - S ) C IV =$- ÍW ,n 6 2 / 3 < n < f f t < 6
%
^ ( n = 4 A m = 5)v(/í = i A m = 5)v(n = 5 A m = 6)
I)ra = 4 A m = 5 => GA|p| = 3
J/Jn = 4 A m = 0 => GAjpj = 8
IJI)re = 5 A m = 0 =► GAjp) = 7
♦ Luego, el menor grado absoluto: GA^pj = 6
RPTA : “D ”
PR O B LE M A 75:
Si: - • • 46
• r
+ 1
<»/•
•' V\.»
■es una expresión cuya equivalencia es un polinomio,
indique cuál(es) de los ̂ siguientes enunciados son
m: m c m o n i : s h u m i i ñ o s ]
2!:
, ’- a.
.A- _
correctos.
I) G Rifl = 1 8 0
9
II) El término constante es
227) La suma de coeficientes de flx ) es: 101 m-:¥v;w ¡,y^a' • ’ m n H Í J . * r ' * —
AJ I, IIy III B) tolo I C) K>toII D) Bolo III Éjilyin\J¡%
R E S O L U C IÓ N :
•Como lo dado es equivalente a un polinomio
,entonces:
1- 8
a - i
= 0 A l —
6 - 2
20
= 0 = * a = 9 A b — l l
+ 9* + 9f { x ) = u ( x 9 + l )
1 ) = 9 x 20 = 180 ..............(V e r d a d e r o )
GRt*\
I l ) T I { r ) = f {0)= 11 + 90
C 0 E F ( f ) = f { l ) = U { 2 )
luego , son correctos isólo / .
20 * 1 0 1 ... . ( F a l t o )
RPTA: “B ff
P R O B L E M A 76:
♦ ; %.: "'¿xr'V ‘ - ̂
P/V* v) b 2J xa*6—4 va+b-3 V Sfi+b—3\ya+b+I ,x3a+b--i «̂+¿41
de gradó absoluto 41, y la diferencia de los graaos
relativos a 'x e y es 2 . . * :
Detennírieefvalor ’ ' - “ + 6 ~ rE=
Á)3 B) 5 C)0 D)7l
>.w
GA = 3a + 2b = 41 (a )
GRfx) - GRfy; = _
=> a — 5 = 2 =>■ a = 7
X íu - ^ r s T = 2
*&»(a):S(7) + 2& = 4I
o + 6 + i♦ Luego : E =
=>E = 6
b — a
► 6 = 20
7 + iO + J2 0 -7
RPTA: “CM
P R O B L E M A 7 7 :
Cacule el grado absoluto mínimo que
P(x;
*'
- .■ • - ■ ■ ^ + V .r 'i V?* - ~ ' I-; ' -•f /1'
B)13 0 1 5
R E S O L U C IÓ N :
* Como &e trata de un polinomio , entonces:
{2 a — 6; a + 2; a — 4; 2a — 7 ;a —5 ;a — 9 }
Es un subcor\junto de A ^ = ^ a € ^ /a >9
Además :
G ^ j = 2a — l;G A (t^ = 2a — 2 /GA^^ ̂= 2a — 4
AGA^ ¿ = 2a — 24
=> GA<pí = 2a — 1
Dato tGAfp) = 47
=>8n + S ( « -2 ) + 9 = 47
=> 22/1 + 3 = 47 =*>n = 4
Luego!
coeficiente principal = 9 " x 3 " "* x 2 = S3"* 1
=» ^coeficiente principal = $33x4~i = 9
RPTA
P R O B L E M A 8 0 :
Se definen los polinomios:
P(x; y) = x my n~1+ xm~1y 2n
Éste seré mínimo cuando a tome su mínimo valor:
°mí/i=9 => = 17
RPTA : "E”
PR O B LE M A 78 :
Sea el polinomio:
h
=dx*”-4?8**-* -ri2x*+2a"~4ym~*+ « * ■ - $(x; y) = P(ir; - Qfr; y).
B) 5 C)6 D)7
R E S O L U CIÓ N :
* De lo dado se obtiene :
Q(x; y) = x 771* 1 y 71*2 — x m y n 2
R(x; y) = P(x; y ). Q(x; yjr
Además en el polinomio R se cumple que
GRX « GRyfGA = 24. Determiné el grado del polinomio
a; y b constantes no nulas, cuól(es) de los siguientes ^ ^
enmielados son correctos?* ' ^
t) El mínimo valor de n es 8.
» ^
II) El máximo valor de n es 9
• • • •
127) El mínimo grado absoluto que puede tomar P(xjy)
é¿73.
AJsolo I B) IIy III O l y l l
Disolo III E) I y III
R E SO LU C IÓ N :
Es un polinomio =^»€*A7<n<»
I) n mln= 7................ (Falso)
II) n máx= 9...............( Verdadero)
III)GAiPi = 2n — l
pora nmln = 7
: GAiP>mín =23............... (Verdadero)
^ son correctos: IIAIII
E) 8
m + m = 2n + n + 2=> 2m — 3n + 2....(a)
•Detai A (0)1 2m + 8*3n = 6
= 4 a z i = 2
con esto: P(Xty) = A Q(Xtyi = - **
= > s <*ty) ~ * 4y + x 3y 4 — Xay 4 + x 4 ~ x 4y + x 4 = > G A <t) = 5
RPTA : “23
P R O B L E M A 81 :
Indique cuól(es) de los siguientes enunciados son
correctos:
RPTA: “B* I) P(x) * 6x*+ 5x*+ 6 |»|+2 es un polinomio ordenado.
PR O B LE M A 7 9 :
Él polinomio
íp(x) = (9x8 - 7 ) n(2x2 + 3x3 — 1 yi~z(x9+3)
II) Q(x) * i +x* - x + arJes un polinomio ordenado.
i -
•*. «i
t i l ) B(x,yi ■ xay + xys + x*y* es un polinomio
r
homogéneo,
como grado 47, entonces se puede afírmár que: p ) j^ j /Y ^ E)solo^lll
''Jt *V '
O / i y III
. fjcoef principal deP(x) es :
(0 3 B) 6 0 9 D)12 E)27
R E SO LU C IÓ N :
P(x) = (9x8 - 7)" [2x2 + Sx3 - 1)"- * [xB + 3)
R E S O L U C IÓ N :
I) por definición, P(x) no es un polinomio
............... (Falso)
//)Q(#l= ¡ + xs -x + sx3 no es ordenado.„(Falso)
imicuoxKS uiitixos)
homogéneo
es homogenéo , todos sus términos tiene el mismo
grado absoluto... (Verdadero)
son correctos : solo III.
RPTA : “E ”
PR O B LE M A 8 2 :
Si el polinomio:
m~2y 2 + * para que
P(x¡ y) = 2~‘ <a + b) *°*+“ - y**+1* + 3_I (a
4
es hom ogéneo. Determ ine el producto de sus
coeficientes.
A)-2 B )-l C)0 D)2 E)3
R E S O LU C IÓ N :
*
* Es homogéneo , entonces :
a2 + « = b2 -+12 = b2 + 2n
=> o 2 + n = 6Z + 12 A 6* 4-12 - b2 + 2n =» ax - 6a = n A n = 6
Luego , el producto de coeficientes del polinomio es:
2’ 1(a + b )( - l )3 't(a -b ) -A (a 2 - b 2) = > - t ( 6) = - l 6 6
RPTA: (tB
PR O B LE M A 83:
Si se cumple que:
A(x - l)(x - 3 ) + B(x — l)(x + S)+ C(x — 3)(x + 5) =~ lOx* - 44x+ 58
jS* ' t
para cada -x e J?» cuál (es) de los siguientes enunciados
son correctos.
Í)A+B+C=10
WA=B* + C*-$BC.
UI)A>C>B
A) I y l l B )I I y I I I
D) solo II E) solo III
R E SO L U CIÓ N :
P (x ; y ) = x m + x
sea de grado 40 respecto a la variable «y»
A) 19 B) 20 C) 21 D)22 E)23
R E S O L U C IÓ N :
♦Dado que el polinom io es hom ogéneo y de
GRiyi — 40 de donde , se nota claramente que:
Número de términos =21
RPTA: “ C9
P R O B L E M A 85 :
-
Sea P (x ;y ¡z ) un polinomio homogéneo de grado
3 que cumple P (J ;2 ; — 1) = 4.
* ' 4
Determine el valor de P ( —4 ; —8 ; 4 }
> i ’ ̂ _ ‘
A h 266 B)-128 C )- 32 D) -16 E) 64
R E S O L U C IÓ N :
propiedad: 8ÍPlx;y.z)es homogéneo de grado n ,
entonces:
Pikx,ky,kz) = k" p ( * ;y ; z>
pord dato : P ( l ; 2 ; —l ) = 4 A n = 3
se p ide ( —4 ; —8 ;4 ) tosea k — —4
=> P(—4 ; - 8; 4) = ( -4 )3P(1; 2 ;- 1) = (~4)3 x 4 = -256
RPTA : “A 9
P R O B L E M A 86 :
La siguiente suma:
C) I y III
‘ ' - - -4 >' ‘
nx + ( n - l ) x 2 + ( n - 2)x3 +... + 2x*‘ l + J x V cPn *'« N e®
iguala. ...■
* *t\7* ̂ A • % v ♦
X = 1 ¡
x == 3
16B =
C ( - 2 ) ( 6 ) = 24 => C = - 2
B ( 2 ) ( 8 ) = 1 0 (9 )~ 4 4 (3 )+ 58
16 => B = 1
A)
Cí
X*<Xn- l ) X_
n (x -t)2 ~ x -1
x(xH+l) nx
( x - 1 ) i x -1
B)
D)
x(xn~ l ) - i *
n ( x - l f x -1
\
x2(xm-I ) nx > «í
1
( x - l f X - 1
por otro lado ; considerando sólo términos en ”x 2 >se
tiene:
A + B + C = 10 => A = 11
I ) A + B + C = 10 ............. ( V e r d a d e r o )
II ) B 2 + C 2 — S B C = 1 + 4 — 3( — 2 ) = 11
^ A = B 2 + C 2 - 3 B C .............( V e r d a d e r o )
I I I ) U > 1 > - 2 => A > B > C ....( F a l s o )
son correctos : I y II
RPTA ; “A ”
P R O B L E M A 84 :
¿Cuántos términos posee el
R E S O L U C IO N :
* Sea S lo que piden y multipliquemos la por x a
ambos miembros:
xS = /ix2 + (n - l ) x 3 + (n -2 )x 4 + ... + 2xn+ x “+i....(/)
=>S = nx + (n - l ) x 2 + (n - 2)x3 +... + 2xH + x".... (II)
* Restando convenientemente ((I)-(II)) :
=> xS - S = x 2 + xa + x 4 + ... + x "~2 + x n + x n+i - nx
(x - 1)S
- f e ) -
x s (x n - l ) _____
( x - l f ~ X -1
RPTA : “D ”
nxnx
IffiBa 10* i fe g l . l F N iW t f i nlA 20V¿\
P R O B L E M A 8 7 : /T-3) f ( -2 ) f ( - l ) f(Q)
Sea: x ,= J Í ; x 2= s/ l+ s [l ;x 3= s ll+ s ]l+ J l ^ ^
, , , X 2 - J X 2 - 7 X2-1entonces el valor d e : erm-a
m ~9 R P T A :“D »
x n + l ~ 2 x n+l ~ x n-t* V » * 2 **- P R O B L E M A 9 0 :
_ i-------=r __ El valor numérico d e :
A )0 B )1 C )l+ y/ T D )y j l+ d l E ) l + 4 2 f(x ) = x 3 - 3x* + 3x + 1 en 1,001 es:
r>u* o n r n r » r /1 v . A) 3,002002001 B) 6,006004001 C)2,002002001
R E S O L U C I O N D) 2 000000001 E) 2,0011001001
* Por recurrencia : x = ^ J i (nradicales) ^ S O L U C I Ó N :
* Sumando +2 y quitando - 1 la expresión dada:
lueg° ' f ( x ) = x s - 3 x 2+ 3 x - 1 + 1 + 1
Xn=4 í + ¿ Z ¡ x 2n= l + x n_t .......................... ( I ) f ( x ) = x 3 - 3x 2+ 3x - 1 + 2 = ( x - 1 )3+ 2
además: ~ ' 3
x n + i - l + x n => x = x % +J - 1 a lcu adrado x **
* Para : x = 1 001
x n=x L l - 2 x n+l + 1 ( I I ) f ( l , o 6l )= ( l ,001 - l f + 2 = (0,001 f + 2
*De : (l)= (ll) => l+xn̂ = x 4n+1 - 2 x 4n+1+ l f ( 1>001)=0,000000001 + 2
=> f (1 ,0011=2,000000001
* Reduciendo, se obtiene : x 4+l - 2 x 2+1 — x n_t= 0 RPTA : “D ”
EPTA * MA ” P R O B L E M A 91 :
Si fíx ) = 1 + x. ¿Cuál es el valor de y , si sabemos que
P R O B L E M A S B E E X A M E N E S f(f(x) = y + f ( l -x )?
D E A D M IS IÓ N A) 0 B )x C )-2x D) ~x E )2x
P R O B L E M A 8 8 : R E S O L U C IÓ N :
Biftx+1) = x ' - l entonces m iz M le s igual a: Despejando “y ” : y = f(f(x )) - f l l - x ) (I)
7 f<~¡ ‘ Dato: f(x) = 1 + x ............... (II)
A ) l B) -1/3 0 1 1 2 D) 1/3 E) -1/2 * (II) en (I):
R E S O L U C IÓ N : y = f ( i +x) - f ( l - x )
•Si: * => E y = 2 + x - ( 2 - x ) = > E y = 2x
f(x+ l)=x^ - 1=(x + 1 ) (x - 1)=(x+l)(x+1 - 2 ) RPTA : "E ”
* Si hacemos (x+ l)= y ; tenemos: f ( y ) -y (y - 2 ) P R O B L E M A 92 :
* Luego evaluando: f ( l ) = (0)9- l = -2 Si f ( x - l ) = x s+2x y f ( a ) - f ( b ) = b - a * 0
AQ) _ ( - i )* - i — q ¿Cuál es el valor de a + 6 + 5 ?
fí~ l) = = 3 A; 5 B )1 C) -2 D )-2 E) 0
* Entonces , reemplazando tenemos: R E S O L U C IO N :
f ( i ) - f(Q)_ —i+o _ i • Buscando la regla como operar , se obtendrá:
*<-» 3 " 3 f ( x - l ) = ( x + l ) 2 - l
RPTA: “B ” '— I— »
P R O B L E M A 8 9 : +2;( )2; - l
Sea la función f tal que f(-3) =2 y f (x - l) = 2 f(x -2h l; 9 Luego lo aplicaremos en:
además x « R , entonces halle f (0 ) . ¿ f ia ) - f ( b ) = b - a
A) 16 B) 13 C ) S D ) 9 E) 11 (a + 2 ) * - l - [ ( b + 2f - 1 ] = 6 - a
R E S O L U C IÓ N : =* (a + 2 )s ~ (b + 2 f (a + b + 4 ) ( a - b ) * = 6 - a
* r » j - . . , = > a + 6 + 4 = - J = > a + 6 + 5 = 0* Por definición : RPTA .* “E ”
f f x - l ) = 2 f ( x - 2 ) - l P R O B L E M A 9 3 :
Dado 3fíx)= x + 4 + fO -, calcule f(f(-4 ).
El doble del 2
anterior menos 1 A) -4 B) 8/5 C) 4 E) —8/5
[g w A P o a e w f * o r f . v o ^ i f o . ^
R E S O L U CIÓ N :
f ( x )
JOB imicioims kublvos}
*Dato: 3 f ( x ) = x + 4 +
* Despejando f(x ): f(x ) =
4
2x +8
* Luego: f ( -4 ) = 2 (-4 ) + 8 = 0
f ( 0) = 2( 0) + 8 8 8
RPTA : “B ”
v.f.‘gradotal q u e ,
i • I
VA C) 4 D) 3 E) 2 ■¿t
PR O B LE M A 94
P(x)t es un polinomio
P (x ) -P (x - í ) = -2 x
P(x) = 0
Di éuma de bus coeficientes es
4¡M • ; ̂ B/-2
R E S O L U C IÓ N :
* Sabemos que en todo polinomio con más de un
término se cumple que :
P (l) = suma de coeficientes
* Usando la igualdad se tiene:
P(x) - P (x -1 ) = -2 x
* Ahora evaluamos para: x = 1
=> P ( l ) - P ( 0 ) = - 2 => P ( l ) = P (0 ) - 2 '
* Por dato:
P(0)mpw = o - 2 => P (I) = - 2
=> Suma de coeficientes: -2
RPTA : "B ”
PR O B LE M A 9 5 : ¿f*
Sea F(x) = * r + ¿ T -3 . S Í F ( ¿ T ™ 2 F ( x ) , ely¿tor
á e ^ - x + 2 , es:
/~V*-n|;
■&
D) 1/2 . E )2
T .
A) - l B) 0 C) 1
R E SO L U C IÓ N :
*F(x) =x* + 2 x - 3 => 2 F(x) = 2x* + 4 x - 6
• F(2x - 1) = (2x + 1)* + 2 ( 2 x - l ) - 3 = 4x*-4
• Si 2F(x) = F(2x- 1) , entonces se tiene que:
2r* +4x-6=4x*-4.
* De donde:
x2 -2 x + l = 0 = > ( x - l f = 0 = > x = 1
* Reemplazando este valor en x*-x+l , se obtiene:
(1)*-1+1=1
PR O B LE M A 96
RPTA : “ C
Dados: >iR(x).
'*Ts
B
«< w
’D)R(x)+Q(x) E)Q(x)
-■ itó t . - .• .
R E S O L U C IÓ N :
* hallamos gradualmente , así:
B)R(x) + Q(x)
i£ í - .b :•
+1
* * + 1
2x
2+2
B = R (Q (B (x )))= R + í L 2x
2x x * + l
2x
+1
- 1
*CK H 7)= [rW]'vx RPTA
P R O B L E M A 9 7 :
&:P(x) =
Él valor de a + 6 + c es: >
Í ) '2 8 ^ - ' :É ) 32 C)0Ú 0 ) 3 1 ^ ) 0 6
R E S O L U C IÓ N :
* Se tiene que:
P fP (x)] = a (P (x ) f + 6 = a (a x3b)s + 6
* De donde resulta: o V + 2asbxs + o 6* + 6
* Luego por igualdad de polinomios:
a 3x4 +2a*bx+abs + b = 8x 4 +24xs+c
* Entonces:
a3 = 8 => a = 2
2 a 2 b = 2 4 =>6 = 3
a 6 2 + 6 = c => c = 21
* Por lo tanto: o + 6 + c = 2 6
RPTA: “E ”
P R O B L E M A 98 :
Sea f ( x ) = a x * + h x + c . S i fj(Ó)=-r2, f(T )= 6 *
f(3) + f(2 )=76, determine el válor d e 3 o + ¿ 6 +c.
A i 23 B) 17 C)13^ ^ 'D fl9 ¿ ° 0 ’
R E S O L U C IÓ N :
Como: /Vxy=o^2+ 6 x + c y f (0 )= - 2
a (0f+b(0)+c= - 2 - > c = - 2
* Además:
fíl)=6 -> a+b+c=6 -> a+6=&
• También:
f (3 ) + f(2 ) = 76
(O)
or3y2+ 6 r3 )+ c+ a r2 )2+ 6 r2 y+ c= 7 6
9 a + 3 b - 2 + 4 a + 2 b - 2 = 7 6
1 3 a + 5 b = 8 0 ...................
• De (a) y (fi) se obtiene:
a =5 y 6=3
3a + 2b + c = 3(5) + 2(3) + ( - 2 ) = 19
RPTA : "D 99
w* m F O w m w *¿% > t o ñ B 1 IA E iY r u x o r m l 20l¿)
y determina lo siguiente:
I) B (x) - A (x) =
P R O B LE M A 99 :
El polinomio:
P(x)=(7xs-3 )" -s(2 x - l )n+I+(n2x3-9 )7(2x+3)m l7+ (5x II) C(x) - B (x) =
~7n)(5x - I)2” '17 tiene como término independiente j j j j C (x ) -A (x ) =
112. Hallar .* n
A) 13 B)18
R E S O L U C IÓ N :
♦Dato: P (0)—112
♦ Entonces:
C)16 D)20 E)12 IV )A (x) + B (x) - C (x)=
V) C(x) - [A (x) - B(x)J =
(^Tom ando en cuenta los polinomios anteriores,
determina: Q(x) +2S(x)
1 1 2 - ( - 3J-*(-ll”*‘ + a(-9)7(3)”- ‘ 7 +(-7nK-l), ' ir = 112 D)18x* + Sx5
B)23xa OSx* + 9x3
E)5x* + 18xa
♦ Analizando tanto para n par o impar resulta:
112 *= 3*~3 - 3 14 X 3 m' n +7n=> 1 1 2 = 3 n' 3 - 3 m~a + 7n=>n = 1 6
RPTA: “ C ”
H E sn u E X :
Los polinomios son expresiones algebraicas racionales
enteros de dos o más términos.
A los polinomios se les denota de la siguiente forma:
P(x) , P(x,y) ,. ..
Los polinom ios poseen grados re lativos y absolutos y estos
son enteros y positivos.
Los po linom ios especiales son: Polinom ios ordenados,
completos, homogéneos, idénticos o idénticam ente nulo.
Con los polinom ios podemos e fectuar las operaciones de
adición, sustracción, m ultip licación y d iv is ión. Esto ú ltim o
se estudiará en un poste rio r capítu lo.
éftebaci& neA con
(^Considerando los siguientes polinomios:
P(x) = 2 x 5 - 7x2 + 5x + 3 Q(x) = 6x*+ 2 x - 6
R(x) = 7x U x * - x * S(x) = 9xs - x + 3
Calcular:
l)P (x )+ Q (x ) =
U) Q (x)+R (x) =
U¡) R (x) +S(x) =
IV )P M + S (x )=
V )P (x )+ Q (x)+ R (x) =
^j^Ahora , considera los siguientes polinomios:
A(x) = Sx2 + 5x - 6
B(x) = 4x2 - l l x - 1
C(x) = 8x3 - x 2 + 9
Tomando en cuenta los polinomios anteriores,
determina: 5S(x) + A (x )
Indicar la suma de coeficientes del resultado:
A) 29 B) 57 0 49 D) 37 E) 91
Efectuar:
• ( 2 x * ) ( - 3 x b ) ( - 5 x 2 ) =
• (-9 * y )(-S * y )(2 * y ) =
• 2x*(Sx* - g x + e) =
• -^ * '(-2** + 8x-9jr5) =
• +2x4y*(-3xy + 6xay3 ) =
^^Simplificar: 5 x ( 6 x 4 —2 ) + lO x
A)30xs B) 30x4 C) SQxt-lOx D) x E) 0
Efectuar:
x ffx 2 + 1) - ̂ ( x 2 + 5)
A) 4x* B) -4x* O 0 D) 1 E) 4x
© S i R = 3xs (-2x + 4xe -2 )y hallar la
coeficientes de R.
suma de
A) 24 B) 12 O 0 D) 8 E) 6
Reducir: A = m ( m + 2 ) - 3 ( m - m s ) + m - m z
A) 50m9 B) 3m* O m* D) m E)1
Reducir: ^ = _ 4(3,_sy* )+ y (-2)-(ie¡y)(2y)
A )-14y B)14y C )-lO y D)7y Eh7y
Reducir: M = x ( x +4) + * (x + 2) - x ( x + 4)
A )x * -2 x B ) x * - x O** + 2x
[ « i í / i o o s fg r*
D) x - 1
Si
E) x + x
A = mzfm2 - m )-m 4
B = m3(m2 —6) + 6ni
Hallar «AxB»
A) m8 B) -m 8 C )-m u D )m 8 E) m4
(Q) Efectuar: (~2x 4 )(-3x)(6x4)
A) -36x2 B) 12 C) 36x9 D)36x E)0
(f$) Efectuar: 2x2(-3x5 - 8x4 )
A) 6x 7 - 16x6 B) - 6x w - 16x9
C) ~6x7-1 6 x 6 D) 6x - 1 E) 1 + 6x
(^ ¿C u á les de las siguientes expresiones son
equ ¡valen les a 4x ?
I) 4 ( x - l ) + 4 II) 4 (x + 4) - 4
III) 4(x + 1 ) - 4
A) I B) I, II C )It lII D) NA. E) F.D.
B) 6x 4
E )-6x
0 6x 3
@)Simpliñcar: 2x(3x3 - 6) + I2x
A) 6x 4 - 12x
D )6x
(7?)Reducir: A = x(x + i) - 2(x - x 2) + x - 2x2
A) 3x2 - x B) -x 2 C) x 2 D )x E )-x
@ Reducir: E = _5f8y _ 3 y + yf + y) _ (4y) (4y}
A) -43 B) -43y O - 43y+ I0y2
D) 4y E) -4y
@ R e d u c ir : ¿y = * ( * - 2 ) + * ( x + l)-x(x~3)
A) x2 + 2x B) x 2 - 3x O x 2- x
D ) x - 1 E )x + 1
Si: P = x (x + í ) - x A Q = x 2(x ° - 3 ) + 3x
Hallar PxQ
A) x2 B) x° O x D) x 4 E) x '
(57)Si: P (x )= x * -x + 1 ; P(x) = -^ + x - l .
Calcular: P(x) + Q(x)
A) 2x2~ 2x + 2 B )0 O x s D) -x E) -1
Si: Q(x) =5x?-2s? +7x-1; R {x) = 5x3 + 7x .
Calcular: Q(x) - R(x)
A) 2xs + 1 B) - 2 X 2
D) 1 E) -2x*
- 2 0 2x s
Si: M ( x ) = 2 x 2 -5 x + 4 < N (x) = Sx2 -7x + 6 '
k u m x ó s )
Calcular: 3M (x) - 2N(x)
A) -x B) x O x 2 D )-x2 E) 1
55) Si: P(x)=2x*-x+3; Q(x) = 3x2 - x + 2.
Calcular: 3P(x) - 2Q(x)
A) -x B) 5 O x - 5 D) -x + 5 E )-x - 5
Efectuar: x ( x + 1) - x ( x + 2 )
A) 2x2- x B )2 x2 O -x D) 0 E)x
0/wbacum eá' c o n SPoUinofneoá I I
(57) Si: P(x) = x + 5 ;Q(x) = x -5 .
Determinar: [P (x )][Q (x)]
A) x 2+ 25 B) x 2+ 25 0 5 x D) -5x E)0
Si: M (x) = x 2 + x +1 ; N (x ) = x 2 - x + 1 .
Determinar: [M (x)][N(x)J
A )x 4- x 2- l B )x 4 + x2- l O x 4 + x 2 + l
D )x 4- x 2 + 2 E )x 4- 1
Si: G (x ) = 2x3 - 5 ; D (x ) = 2 x :¡ + 5 .—
Calcular: [G(x)][D(x)]
A) 4x6 - 25 B) 4x6 + 25 0 4 x 6 - 5
D) 4x3 - 25 E) 4x2 - 25
(57) Sabiendo qu e:
R(x) = x + 2 ; S(x) = 3x2 - x + 1
Entonces : [R (x)][S (x) ] será :
A) 3x3 - 5x2 + 2 B) 5x3- 3x2
O 3x3+5x2+ x - 2 D) 3x3+5x2- x + 2
E )3x2 + x 2- 2
Si:
P (x )= (x + 1) « ( * ) = ( * + 2 ) ; R (x )= (x -1 )
Determinar el valor de: [P(x)J[Q (x)][R (x)J
A )x 3- x 2 + l B )x s + 2x2- x - 2
C) x 3 + x 2 -1 D) x 3-2x2 + x + 2 E)x3-x-2
Si:A(*)=*-s;B(*)=*+2 ,y también:
C(x) = x -6 ;D(x) = x + 1.
Calcular: [A (x) *B(x)] - [C(x)xD(x)J
A) -x B )5x C) -4x D )x E) 4x
(57) Siendo: M(x) = x + 2 ; JV(x) = x + 5 y también
T(x) = x + 3] U(x) = x +4
Calcular : [M (x) xN(x)J - [T (x) x U(x)J
A)x B )-x 0 - 2 D)2 E) 0
Reducir: ( x+2 ) (x2- 3 x + l ) - x * ( x - l ) + 5 ( x + 2 )
[ y * 1 0 8 ¡A EXí't* J om'MCMA 2012)
A) 10 B) 12 C) 8 D) 6 E) 4
@Sim plificar: (x + 3 ) (x 2 + x + 1) - 4x(x + 1)
A) x2 + 3
D )x + 3
B) x s- 3
E) x 3 + 3
C )x * -3
(Efectuar: ( x + l ) ( x + 2 ) - x ( x + 3)
A) 2 B) 4 C) 8 D) 10 E) 12
5(Q) Efectuar: x ( x - 5 ) - x
A) -5x2 B) 5x2 C) x 2 D) -,x2 E) O
Efectuar: 2x(x2 - 3x) + 6x2
A)2x B )2x2 C )2x3 D) 2 E )2x4
@ Simplificar: 3 x (x + 1) - x ( x + 3)
A )2x2 B )3x2 Q x 2 D )-3 x2
@ Reducir: 7x2(x s - 2x3 ) + 2(x7 + 7x5 )
A) 9x7 B) 5x2 C) 6x 2 D) 14X5 E)0
E)-2
Si: P (»)« 7x2 + x -1 ; Q (*) = x 2 + J,calcular:
A) 7x4 + x3
D) 14x4 - 1
[P(x)xQ(x)J - [Q (x) xP(x)]
B) x3 - x 2 + 7x C) 7xs - x 2 + 9
E) O
Si :P(x) = x 2 + x + l
Calcular: P(3)
A) 1 B) 2 C )5 D) 4 E )13
Si P(x) = 3x + 7
Evaluar: P (- l )
A) 4 B) 7 O 10 D) 12 E) 6
Si P(x) = (2x + l)2 +10
Evaluar:P(0) ™ '
i »
A) 11 B) 12
@ S i p(x) = x a + 2 x + 4
Calcular: jP (2)
A) 1 B) 2
O 13 D) 14 E)16
O 3 D) 4 E) 5
Si P(a) = 3a2 + a + 3
Calcular: B - Pi0> ;p ™P (-2)
A )-2 B) -2 0 2 D )4 E)~
Calcular f ( f ( f ( l ) ) )
Si: f(x) = x+ s
A) 4 B) 7 O 10
‘ S i :P (x ) = 5 x 2 + 7 x - 1 2
Calcular: (p (-i))pl,}
A) 1 B) -1 O 2
Si: P(x) = x 2 - 3 x + l
D) 11 E) 9
D) 2 E) O
Calcular: E = P (4 )-P (S )
A) 1 B) 4 0 - 4 D) 2 E) O
Si se conoce el polinomio: p (x) » 3 x 2 + x - s
Calcular el valor de: e = p (p (P (2» )
A) 1 B) 2 O S D) 4 E) 5
Si: P(x) = (m - 2 )x 2 + 8 x - 5
Además: P( - 1) = 10. Calcular **m **.
A) 25 B) 30 0 35 D) 40
(ÍJ)Si: P(x) = a x2 + 2ax + 3 r t - l
Además: p ( - 2) = 5 . Calcular: “n n
A) 2 B) 3 0 4 D) 5
Si :P(x) = 2x2 + ?-x + l
E) 15
E) 7
Calcular:PH )
A) 8_15 B) 13 O 15 D)
8_
17 E) 17
@ Se define: f (x - 2) = x 2 + 3 x + l
Calcular: f(3)
A) 41 B) 42
A) 12
O 39 D) 38 E) 37
Si: p { x +2) = 5x + 7 . Hallar: P (3 )+ P (l )
B) 14 O H D) -11 E) 15
(g ) Si: P(x) = x 100 - 16xm + 4 x - 3
Calcular: £ = P(2)+P(2)+P(0)
A) 12 B) -12 O U D )-ll E) 15
Si :F(x) + G(x) = 3 x + 5
F(x) - G(x) = 7 x - 3
Calcular: G[F(2)]
A )-18 B) -15 0 - 1 6 D) -17 E) 26
© S i : p (x) = 3( x s + x 4) - 2 ^*s + ^ + j ¡ ]
Evaluar: P (-l )
A) -1 B) 1 0 2 D) 3 E) 4
Si 2x + 3
Í G K /lO O ^ pg f* O I * 109 M EDICION ES K U M iiÑ O S)
Calcular: P(2)
A) 18 B) 20 C) 21
Si: P(x) = tnx2 + 5(m - l ) x + l
Además: p ( - 2j = i 7
Calcular “m ”
AJ i B) 2
D) 24 E) 19
C )3
y f í o
D J-I E) 4
*1
Calcular: R - F (7 )-F (3 )
B)
FU)
C)a e D ) - a e E) a
<g) Si: P(x) = 2xs + x - 4
Calcular: E = P (-2) -P ( - 2)
2 2 2 3
* - 3 C' j ^ 4 8 - í
Hallar el \£AT. de m * x2 + +y2
Para:* = |?y = -|
A)0 B) -2 0 - 1 D )2 E) 1
@ Si: = 5x + 12
Calcular: P (- l )
A) -8 B) -10
@ S i : * [ % - * ) -
Calcular: jp (0)
A) 3 B) 4
O -12 D) -14 E) -16
4x + 4
0 5 D) 7 E) -13
S i :p (o x + 6 ) = a
Q(a + bx) = b
Calcular: P(Q(a)J
A) b B) -1
bx
ax
O q D) -a E) ab
a i s E i M
S^olinoniioA I I
@ Si: P(x) = -
Calcular: P(2) +P(3) +P(6)
A) 1 B) 2 0 3 D) 4 E) 6
S i: P(x) =3x -1
Calcular: P(P(2))
A) 12 B) 14
Si: F(x) =2xz-2
Calcular: F(F(2)-2)
A) 70 B) 60
O 8 D) 10 E) 5
0 50 D) 40 E) 0
Dado el polinomio: P(x)=x*+2x-l, halla P(2)
A) 5 B) 6 0 7 D) 8
Dado el polinomio P(x) = x3-2 x2 +3x - 1 , halla
P(2)-P (3)
A) -13 B) -15 O 14 D) -12
SiR(*) = f ^ halla R (5)-R (0,5)
A) 213 B)3i4 O I
m
D) -1
@ )S e han hecho cuatro compras, la segunda ha
costado «a» nuevos soles más que la primera , la
tercera «b» nuevo soles más que la segunda y la cuarta
«c» nuevos soles más que la tercera. ¿Cuánto se ha
gastado en total si la primera costó «x» nuevos soles?
A) x -(abc+ a c+ a+ l) B) x+ a + b+ c
O x+ a + b -c D) 4x+3a+2b+c
E) 4x+3a+2b-c
Si: f(x*2, =3x + 2
Hallar: f (x+S)
A) 2x+5 B) 3 x S C) 3x+6 D)3x+5 E) x-4
De un juego de 52 cartas, se sacan primero
(2x -3 x + l) cartas y x más ; la segunda vez se saca el
doble de lo que se había retenido la primera vez y xs
más. Indique lo que queda.
A) x 2-2x-51 B) x s+2x+61 O 2x+51
D) -7x*+6x+49 E) 7x2-6x+49
(Q) Si se cumple P (x+1) m P(x-l)+x
Calcule P (7), Si P n = - 2
A) 0 B) 1 O 10 D) 15 E) 20
Hallen si: P(2)*Fi4) * p<6)*"**F<2n)=145
donde : P(x) = x + 1
x - 1
A) 10 B) 24 O 45 D) 72 E) 145
Si: h^xr+or-x y f(x= x-3
Halle el valor de «a» si se cumple h (f(m)= 2
A )-4 B) 0 O I D )2 E) 3
@ Si: = ff(, +í) + » „ tl) +2 y H(2)—l
Calcule : H(31
A )-4 B) -2 O 0 D) 2 E) 3
Si :f(x ) = ( x - l ) * + (x -1 ) 4 + ( x - l ) e+ .... + ( x - l ) in
/ n e Z
M j m ¡A EXUií'J.oruoiA 2012}
Halle: /j/(J)j
A) O' B) 1 C) -.2 D) 3n E) n
Si M{Nu)) = N 2(x ) + 3x - 2
Mtx+tr*1-**8
Calcule N«i
A )-3 B) -2 C ) - l D) O
@ Si F(2x+l)=6x-10 v F(Gtxt-3)=3x-á
Halle G
E) 1
(X)
A) x4-l B) x+4 O x +6 D) x +8 E) x-2
© S i H(x) = (* + 1)-S ° Xi¡(-x)4
Calcule H,
A ’ J ° ' f C I T ¡
0 ) 1 E)2
Calcule (O)« » *
20 paréntesis
A) O B) 1 C )2
@ Calcule : Pf5f - P f4,
Si P (x )*P (x -l)+ x*
A) 5 B) 6 O 10
Si : F(x)=3x-2
Hallar:
D) 3 E) 4
D) 54 E) 60
F(f {F(F...(F(x ))..~.)))
10 paréntesis
A) 310x B) 3í0x-310 O 310x-(3 l0- l )
D) 3*°x+(3t0- l ) E) O
I M M M i
w Sea F(x) un polinomio que cumple con :
F(x+1) = 3F(x) - 2 F (x -l)
Además : F(4) = 1 a F (6) = 4
Calcular: F(5)
A) 1 B) 2 0 3 D) 5 E) 6
\
S i: F(2x+1) = 6x + l
Halle F(3x)
A) X4-1 B) 3x-l O 9x-2 D) 9x 4-2 E)x-1
S i: F,x) = 3 x + l
Calcule: F(x + 1)+F(F(x),
A)x+1 B) x -3 0 1 2 x4 -8 D) 2x 4-1 E)x-1
@ S i F (x) es un polinom io lineal que
cumpleF(F(xtt=4x+9 de coeficiente principal positivo.
Calcule: F(FfIf4-F(_ít)
A) -7 B) 0 0 3 D) 15 E) 40
Si: F( f r | ) = § . Calcule F
A )0 B jl o x + l x - 1 D jx E)
<xt
x + 2
E m m m m m m I
G R A D O S
@ ) En el polinomio:
P { x ; y ) = - ~ xi 7m'2 _ 'J~2 g 6m 4-m . o__7m+6 ..7-m4-8x
Se tiene GR(xj=20 calcular: m2 4-GR(y)
A) 6 B) 7 0 8 D) 9 E)10
Calcular la suma de coeficientes del siguiente
polinomio sabiendo que su GR(y) = 5;
P (x; y) = -J2m2x4 - 5^2xym'6 + 3/2mym ?
A)14942 B)14l42 C)-42 D)42 E)13342
Halla el valor de 6 -a , sabiendo que el grado relativo
a x es 6 y el relativo a y es 9:
Q(x; y) = - x alyb+2 + 2xayb+1 - 3xa+l b
A) 1 B) 2
Efectuar:
0 3 D) 0 E) 4
bx2y a+I + (a + b )x b+2y 3 + a xay b+s
siendo términos semejantes.
A) 4x3y 2 B) 4x‘ y J 0 4 x y D) 4xy* E) 4x'y2 . . 3
La siguiente expresión se puede reducir a un
monomio, proporcionar su valor reducido.
M = (a -b )a*\fx* + (b2 + a ) - abtfx
A)2>5 B)-4tfi 0 ^ 1 5 D)»iG E)nifx
Clasificar:
(a2b)x
(ab2f
x + l
(ab2)x
(ct2b)x
BJirraclonal
Djracional fraccionaría
AJracional
CJracionai entera
EJirracional entera
Calcular la suma de los valores enteros distintos
de «n» que convierten a la siguiente expresión en
racional entera. 0 . „
(X 8" 14-x1"3 )2+ xn
[ C I M P O » ü 1 1 1
A) 33 BJ24 C>32 i » 22 EJ 36 es 2 en el polinomio.
© S i el grado de P es «m» y el grado de Q es «ra»
e d i c i o n e s h ij u m ñ o s )
(m >n). Hallar el grado de:
A)m C)&j& D)^—^ E)m - n
@ Sabiendo que el grado relativo respecto a x es 5 ,
halla el valor de 2a .
+ 2 4 x my + 73y n~mlm,n e Z
C) 3 D) 6 E) 10
R(x) = 2 + 3xa i - 5 x ° + x a+I - 3xa+2
AJ6 B)8 C)5 D)3 E)1
@ Hallar el valor de
H(x,y) = 8xn+m
Calcule b u grado
A )-5 B) O
@ )S i el polinomio
P(x,y) =5x*m Jtn~4ym +"+*+ 3x n +2m~3 -tm.nzZ
tiene grado 39 y G R JP] -G B y/P /=6
Calcule m - n
A) 4 B) 6 C )7 D) 8 D) 9
que: P (x ;y ) = 2 x6a+Iy b - 3x ‘ ™y"~ es
polinomio homogéneo.
A) 2 B) 10 0 1/5
(Q) Si el polinomio:
a lb , sabiendo © H a lle el grado del monomio.
&(**&)= 7x$yszt
l-4a..6b
D) 1/2 E) -2
un A) O B) 1 O 7 D) 11 E) 18
Halle el grado con respecto a y si el grado del
polinomio:
P (x) = 0,5x3 - 6x 2 +0,75x -0 ,2 es opuesto a
Q (x) = Ar* + ( B - 4 ) x 2 + ( C - 0 ,5 ) x + (Z > -0 ,2 )í
entonces el valor de (A +C +D JxB 2 es:
A) -0,5 B) 10 0 - 3 5 D) 35 E) -10
i
(Q) En el polinomio homogéneo:
P(x;y) = xa2bya+b- 15xhy ^ a + 2xaby *
H<x;y) - _ J.x*n+lym + ̂ tm ..m-S*»•! ym*4 + 7x**y
es 24 y el grado con respecto a x es 18. m .n e Z
A) 5 B) € 0 9 D) 10 E) 12
Calcular: (a + 6ja 6
A) 60 B) 100 O 160 D) 200 E) 180
(^Indicar la suma de coeficientes del polinomio:
P(x,y) = a ixa*7-b x “yb +abyh*4
Sabiendo que es homogéneo.
A) 35 B) 36 0 37 D) 38 E) 39
(Q) Si: P (x )= xa+b+2xb*c+3x'*d+4xd*4
Es completo y ordenado ascendentemente.
Calcular «abcd».
A )-12 B) 12 0 -r € D)6 E) 3
(^Calcular el valor de «n"1» (n e Z+), si el producto ^ 3
de los grados relativos de «x» e «y» es 24.
+ x B"
A) 0 ¿ B) 0,3 0 0,4 D) 0,5 E)0,6
@ Determinar el término central del polinomio:
P(x) = n x + (n -l )x t + (n -2 )x3 +... +xn
Sabiendo que la suma de sus coeficientes es 253.
A) 8x* B) 9xt0 O 9x9 D) lOx8 E) x 10
Sabiendo que:
P(x) =0,5xn-0,3x? +2-x n+4 es séptimo grado absoluto,
la afirmación incorrecta es:
A) n<3 B) n>0 O n * 3 D) n=3
@ ¿Cuál es el grado absoluto de Q(x,y) si se 6abe
que es de cuarto grado relativo a «x» y de sexto grado
relativo a «y» ?
Q(x,y) = 6x a +3~2xa +2yb +3yb+4
A) 4to. B) 5to. O Oto. D)7mo.
Qué valor como mínimo debe tener «n» para que
la expresión sea fraccionaria:
x y x~] \jx~* >fx~*-Jx~*
B) 4 0 5 D) 6 E) 7
R (x,y)= x*~2y* + x ‘ y
¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para
que el polinomio Q(a,b,c) sea homogéneo?
Q(a,b,c,)=am*”+p+b**p+il+cm+H+*
A) m=p B) m=rt=p C)p=q D)m =p=q
Sabiendo que:
Ptx)= (n-ajx1*-* + (n-4)^*-*+(n-6)x*
es completo y ordenado; determine su número de
términos.
(Q) El grado con respecto a * es 6 y con respecto a y Aj I2 B) 8 C) 11 D) 10 E) 9
Bügi n z i& gg IA E v g rx o i^ P U 2012}
^bculoá y d P o & n o tm o á
m Si el grado de «M » es 5 y el grado de «N» es
fi.Calcular el grado de (M2N°).
A) 51 B) 180 C) 28 D) 30 E) 56
El polinomio:
F(x,y)=(m + n -5 )x 2y +(m -n - 3)xy
es identificado nulo. Hallar « mn».
A) 2 B) 3 C )4 D) 5 E) 6
Calcular la suma de coeficientes del polinomio.
P(x,y) = m xm + * + 6x m y” + nx" * 3
si es homogéneo.
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
¿Qué valor debe tener «n» para que el polinomio
«P» sea completo?
P = 6x n S + 3 x n ° + 2
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Hallar «mn» con la condición que el siguiente
polinomio:
(x + 3)*(m +6) + (x -5)x (n+2)
sea idénticamente nulo.
A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
n - 6
xHj x 9 es© S i : P(x) = 2(n - 2) V
indicar el coeficiente.
A) 20 B) 12 C) 18
de tercer grado,
D) 22 E) 14
© S i : P(x,y) = 3xm i y 7 * 5 x m U y + 2x
tiene GR(x) = 5. Hallar el grado absoluto.
A) 22 B) 21 C )19 D) 14 E) 23
Si:
m-10 y19
P(x; y) = 2x’n* ey ’n ' + 3 x -5 x m + 7y m' s
es de grado absoluto 33, hallar «m» .
A) 15 B) 17 0 7 D) 13 E) 11
Hallar la suma de coeficientes del polinomio
homogéneo.
2m- n ^ n 2x ny m * 4. Xm - ny 8
D) 24 E) 17
P (x ;y ) = 2 m x
A) 21 B) 18 O 19
Hallar «m+n-+p» en:
m x (l+ x )+ n (x + p ) +x*=3x2 +8x-12
A) 2 B) 6 0 - 4 D) 5 E) 7
-6 k + 4..k • 7
(F7)Hallar «k» en:
P(x,y) = x k+ 3yk ** + x * + y " ' + » " y
sabiendo que GR(x) +GR(y) =19.
A) 4 B )9 0 2 D) 12 E) 8
La siguiente expresión se puede reducir a un
monomio, proporcional a su valor reducido.
M = (a - b f * $x* + (b* + a f yfx2 - ab $x
A )ff i 0 - 3 V * D) g\fi E)ifiJx
Clasificar:
x + l
(a b 2f
( a 2b f
X-/
( a 2b f
J a b 2f
A) racional B) irracional
C)racional entera D) raciona fraccionarla
E)irracionat entera
(gC alcular la suma de los valores enteros distintos
de «n» que convierten a la siguiente expresión en
racional entera. 0
(x8"n+ x n-3 J2+ x n
A) 33 B) 24 0 32 D) 22 E) 36
Qué valor como mínimo debe tener «n» para que
la expresión sea fraccionaria.
y jx 1y[x~1y]x~1ylx
A) 3 B) 4 0 5 D) 6
Hallar el valor numérico (VN.) de:
E) 7
X 2 T í
Para: x
A) 2
0,125 ; y = 0,0001
B) 3 0 4 D) 5 E) 6
(g|Si el grado de P es «m» y el grado de Q es «n»
(m >n). Hallar el grado de:
R =
A )m B)%
(P + y/ P Q )
2 Q
C )S 2!1 !& D ) í ’ü ^ S . E )m -n
(g ) De un juego de 52 cartas, se sacan primero
(2xs-3 x + l ) cartas y x más; la segunda vez se saca el
doble de lo que se había retenido la primera vez y x
más. Indique lo que queda.
A )x * -2 x -5 1 B) x2 +2x + 51 O 2x 51
D)-7x*+6x+49 E )7x*-6x + 49
BBS53 na IM3 CMA n o s i r
Calcular la suma de los coeficientes del
siguiente polinomio mónico:
@ Si: P(X) = 5 x * + 7 x -1 2
Calcular: E — [P (—i)]
AJI B)2 C)0
P (x )= (n
A)3 B)4
- 2 ) x s + (n - 3 ) x 4 + n x - l
C)5 D)6 E)7
D )-l Eh2
Si: P (x )= x 4+ 2x2 - 2 ( 4 2 + 1 )
Si los siguientes térm inos son
£
semejantes: 3 x m~2y n +5 A 8 x n* Sy m+4
Calcular: P (4 2 )
A ) — 1 B )4 2 C )2 i¡2 D )8 E )0
Si: P(x)= X 2 + X — 3 calcular: E = P(p(P(í))j
"» - D b2 E)3A)1 B b l 0 2
indicar el mayor valor de: m + n.
A) 3 B)7 0 9 D )ll
Si: P (x )= (m - 2)x* + 8x -6
Calcular «m ». sabiendo que: P ( - l ) = 10
A)25 B)35 0 1 5 D)30
E)13
E)40
Sabiendo que: P (x+ 2 )= 2 x -1 Calcular: P(3)
A)1 B)0 C )-l D)2 Eb2
Calcular «m» (m < 0) de:
P ( x ) = (2 x 2 + x - 2 ) a (m 2x + 5 ) + x + 2
Sabiendo que: p (# ) = 2 x + l ; S i : 0 < x < 2
- x * ; Si : - 2 < x < 0
calcular: E =
_ P(1) + P ( -1 )
P (2 )
A)U5 B)2!5 0315 D)2/3 E)3i2
si la suma de sus coeficientes es 24.
A)3 B)-3 0 4 D)-4
Calcular «n» en:
<E)-5
Calcular m + n + p , si el monomio
fs'\
•r v 4
M(x;y;z) = x m+3n+2py2m+n+3pz3m+2n+p
P(x)=(x+l)2(x+n)3(x+3)2+ x + l
si su término independiente es 73. r
A)3 B)1 0 2 - D)4
tiene grado 48.
A)6 B)7 0 8 D)9 E)10
\ o
Eh3
(í^)Calcular (n - m )t si:
Si el grado absoluto del monomio:
M(x;y)^3nx8n*tyan' 4
= x2m+2n~sym~n+4 4- x2m+2n~*ym~n+2
tiene G A (P ) = 2 8 y GJt(y) = 2
A)1 B)2 0 3 D)4 E)5
es 17. calcular el valor de «n».
A)5 B)4 0 3 D)2 E)1
Calcular el coeficiente del monomio
M(x; y) = m+n
m — n
^3m+2n y 6m—n
Si: P (x )= 6x — 11
P[(F(x)\=12x - 1 7
Calcular: F(5)
A) 12 B)1 C)3
Si: P(x) = x * - 6x+ 9
D )6 E)9
si: G A(M ) = 2 0 y G .R (x)=14
Ab2 B)2 0 - 3
calcular: (a -1 ) 9t sabiendo además que:
D )3 E)1
Calcular el grado absoluto del polinomio:
P(xy)= 2xtt*2y2a*I+3xay3a+b
A)1
P (a + 3 ) - P ( a - 3 ) = 12
B )4 0 9 D )16 E)25
si. GJt(x) = 1 6 y G.R(y) = 60
Si: p 2x
3
- 2 = 7 x 4-4 calcular: y]P(0 )
A)55 B)64 0 6 0 D)50 E)58 A)6 B)3 0 4 D )5 E)7
[j% JL I T i F l V:fcb CICLOPEULX 2 0 1 2 }
m En el polinomio:
P (x 4 i ) = (2x 4 2)" 4 (x + 2 )” -1 2 8 (2 * 4 3)
la suma de coeficientes y el término independiente
suman 2. Calcular el valor de «n» (n es impar).
A )U B )9 0 7 D )5 E)3
m Calcular: E = m + n + m n 9 si el G.A del
polinomio:
calcular: m 4 n - p
A) 6 B )10 0 1 2 D)14 E)16
Si: a (x — 2) + b (x + l) = 5 (x — 6) , encontrar el
valor de: a /6 .
A)2 B )-2 O I D ) - l E h ll2
Señale el valor de (m - 1 ) " 'J
m+K.n+l + x ym ..n+2P[x;y) = x m+ yn + x
es 8 y el grado relativo a «x» supera en una unidad
al grado relativo de «y» .
A)15 B)14 0 1 6 D)18 E)13
, si:
4(2x — 1) = m (x 4 2 )+ n (x — 2)
A) 128 B)64 0 8 D )16 E)32
Si: (a - 5 )xs 4 (6 - 3)x + 2 c - 14 = 0 , calcular
E)9
a
(^ 7 ) Si el polinomio: P(x;y) = 2x 3y* - 5xsy° +3x°y4
el valor de: E = J$fa 4 f e 4 c
A)J B)3 0 5 D )6
( í^ ) Si el polinomio:
P ( x ;y ) = (9 — n ) x 2y 4 m x y 2 4 3 x 2y - 2 x y
es idénticamente nulo, calcular: V ñ 7
A)15 B)14 0 1 2 D)225ss homogéneo, calcular: E =
A )2 3 ) 4 2 0 2 4 2 0 ) 4 2 E )2$j2 <0> Sl el Pohnonuo
E)144
Calcular (m + n ) del siguiente polinom io P {x; y) = x m+ny 3 + + y
2m ^.n+1 2n+m
homogéneo: P (x ;y )= 3 x 2ny n*3 — 4 x ny n 4 5ym+2
A)15 B)16 0 1 7 D)18 E)19
¿i) Calcular la suma de coeficientes de:
es homogéneo, calcular su grado de homogeneidad
A)5 B)6 0 7 D)8 E)9
Dado el polinomio homogéneo:
P (x ; y ) = m n x m+* - 3 n x my n 4 m y
si el polinomio es homogéneo.
A)8 B)10 0 1 2
n+4
D)14 E)24
P( x; y ; z ) = x ny3z"+1 + xynzm + x 3yn+tz4
calcular: G.R(x) + GJR(y) + G Jl(z)
A) 15 B)2m C)17 D)n* E)2m +n
Si el polinomio: tí) Dadoel polinomio homogéneo:
P(x) =xn~2 +xn~s + X n~4 +x"~l
es completo, calcular «n».
A)0 B)1 0 2 D)3 E)4
Indicar el valor de «a » , si el polinomio es
ordenado en forma decreciente:
A)1 B)2 0 3 D)4 E)5
P(x ; y) = x °y 2b+c + x°+by 2e + x a+2cya- 2b
calcular: a 46 4 c, si su grado de homogeneidad es 6 .
A) 9 B)8 0 7 10)6 E )5
@ S i : P (x )= xa*3+2xb*l-5 x '* s+ 7 está completo
y ordenado, calcular: a +2b 43c
A) 12 B )-12 0 8 D ) -8 E )-10
Dado el siguiente polinom io com pleto y
ordenado en forma ascendente
P (x) =5x3m~ti+2x m+n—9 - 3 x n + p
El siguiente polinom io está com pleto y
ordenado en forma descendente:
P(x) = x2m- 10 + 3xm+n- 7 - 5xSn~2p
Calcular: E=yjmnp +1
A)4 B)5 C)0 Z))7
Calcular (m + n + p) f si el polinomio:
P(x)=x**-* - x * "+" - '9+*/’+' - 3
está completo y ordenado en forma descendente.
A)5 B)6 C )7 D )8 E)9
( Q ) Calcular la suma de coeficientes del siguiente
polinomio: P (x ,y )= a x a + b c x by c + d y d si está
completo y ordenado respecto a sus dos variables.
A)5 B)4 0 3 D )2 E)1
Si se cumple:
m + n
x + 2 x + 3
señale el valor de: mn.
A)4 B)8 0 9 D )27
(7?£)Calcular (a + b + c )t si:
5 x + 13
x 2 + 5 x + 6
E)32
a (x -J )(x -2 )+ 6 (.v -2 )(* -3 )+ c(* -2 )(x -3 )= 2 r2-* + 5
AJO B )1 0 2 D h l E )-2
(^jí) Calcular el número de términos del siguiente
polinom io com pleto y ordenado:
P (x)= (n - 5 )xn~I2+(n - 6) x n íI+ ( n - 7 ) x R~t0+ ...
A)13 B)12 O 1 0 D )7 E)6
© ¿Cuántos valores de «m » hacen que la
expresión:
E (x ; y) = x m *3y 7 + 5x9y 23"n + 72$x™
nos represente a un polinomio:
A) 11 B) 12 O 13 D) 14 E)15
Sea: P (x) = (a3 - 7)x° + ax* + a* + J; un
polinomio mónico (a e i f j . Calcular el término que
no depende de la variable.
A) 2 B) 5 O 10 D) 17 E) 26
2
Si luego de efectuar:
T(x) = a ¡x a^ 5 + a 2 x °2~6 - a sx °3'7 + 10x3
se obtiene: m x3 (a ¡a2a 3 * 0) , calcular el valor de:
M = a¡ + 2a2 + 3a3 - m
A) 40 B) 39 0 37 D) 36 E) 35
4f) El producto de los coeficientes del siguiente
binomio:
H (x ; y) = a x a *hy2 + x9y3+b2x íya~h- * Y
es:
A) -24 B) -28 O 12 D) 24 E) 28
Sea el polinomio: P (x) = 4x + 7, además:
a¡ + a 2 + a 3 + ... + a J0 = 35. Calcular el valor de:
F = P (a t) + P (a 2) + P (a 3) + ... + P (a J0)
A) 310 B) 300 0 290 D) 280 E) 270
Se define la expresión «Fm» (m eZ * )
como: Fm(x) = m x + 6 . Sabiendo que:
Em(Em(0) ) = Em+](b) + 6 , calcular el valor de:
/ / = F a(F3( l ) ) + F 7(Fs(1 )) + F g(5)
A) 100 B) 95 O 90 D) 80 E) 75
(¡f i ) Halle el término lineal del polinomio mónico
P(x) de menor grado (G d o (P )> l)t tal que:
P (l ) = l ; P (2)= 2; P (3) = 3 a P(4) = 4
A )-x B) -47x C) -48x D) -49x E) -50x
Si P es un polinomio definido por:
P(x -1 ) = (3mx - 4m)2+(3x - 4 i2”' - x 2+4; in-e Z *
tal que la suma de coeficientes de P es el cuádruple
de su término independiente, entonces la sñqía de
coeficientes de dicho polinomio es: \
A) 4 B) 8 O 16 D) 32 E) 64
m Si: f { ? ^ = x 200h -2 4 3 x 200s+5,
calcular el valor de: T = [F(2)
A) 3 125 B) 625 O 125 D) 25
Si: P (x+ 3 ) = 5x + 7
además: P(A (x) - 3) = 15x + 2
entonces el valor de P(A( 1)) es:
A) 32 B) 35 0 37 D) 81
E) 5
E) 120
<0>
3x
x - 1
, hallar F(2x) en
términos de F(x).
A) « F(X)_ B ) Q _6 J
F ( x ) - 2 F(x) + 3 F ( x ) - 3 F(x ) + 8 F (x )
S?) Si: A(x) = 2x + 5; además:
A(B(x) + C (x)) = 4 x - l
A(B(x) - C (x)) = 6x + 11
calcular el valor de: E = B (4 )x 3%jC( - 8)
L % a E l 1 1 6 I 2012
A )l ,2 5 B )5% 12
Sabiendo que: F (x ) =
C )1 0 D )1
25x
E )0 y además: Fu i (x) = Ft(F / x)). Calcular el valor
25x + 5
, calcular el
valor de:
= F Í - i —)
{ 1001)
+ F
A) 400
1001
B) 450 C)500
+ F , ” L ] + f <*°oo
1001
D)550
1001
E) 600
Vx e R - { - 1; 0; 1; 2 } se define F como:
F*(x) X F(1 - x ) = « f r - 2)
Encuentre el valor de 1 - m , tal que:
F (m ) = S$m 2
A) 0¿5 B) 0,5 O 0,75 D) 1 E) 1,25
(Ta) Sea P un polinomio definido por:
P (x ; y ) = nx” yp + m x” ’ ^ + x n~*
tal que si a dicho polinomio le restamos el monomio
12xay4, su grado absoluto disminuye. Entonces el
valor de mn"Jp es:
- i e , iA ) 4 B )3 C )1
Calcular el valor de «n» para que el grado del
polinomio:
T(x) = (x3+7)n-’ (5x2- l ) " - 2(x2-7 x + 2 008)
Bea igual a 18.
A) 1 B) 2 0 3 D) 4 E) 5
< ® Dado el siguiente polinomio homogéneo:
P(x; y) = 6x"yh + 7x by' + 12x'ya + x ,3y7
entonces el valor de a + 6 + c es:
A) 20 B) 30 0 40 D) 50 E) 60
Si se cumple que:
a0x 10 + a ¡x9 + a2x 8 + ...+ a9x + a10 = (2 x 2 + x + l )5
6
calcular el valor de: 72= a 2n
n =0
A) 530 B) 529 O 528 D) 527 E) 526
Dado el polinom io com pleto y ordenado
descendentemente:
P (x )= a x bc3 20 - b x 2(ab)+ c x - x a b *c3
Calcular el valor de: J = P (a ) + 52P(0)
A) 94 B) 99 O 100 D) 114 E) 199
Sea la expresión matemática «F¡»,
i = 1; 2; 3; . . . ; definida por: F¡(x) =
1 - x
de: F2000(2 000)
A) O B)2 000 O - 1 999
D) 0,9995 E) 1999
CLAVES
aP E R A riasE s r o s p a u s a m o s #
01) *
06) A
i i ) r
16) B
01) 11
OX) *
07) B
IX) 11
17) r
OX) ¡1
03) E
o s ) r
ih ) r
18) 11
03) A
04) B
09) B
14) r
19) A
04) A
OS) •
10) A
IB) C
XO) 11
OS) 11
\o p e r a u o s e s r o s m u s a m o s n
01) B
06) i:
i i ) «i
o x ) r
07) r
IX) E
03) A
08) ¡1
13) A
04) 11
09) E
14) A
OS) B
10) A
IB) E
r *•’ p a u s a m o s i
toi) e
06) r
11) A
16) A
OI) A
OX) A
07) A
IX) A
17) e
OX) A
03) A
08) 11
13) A
18) V
03) A
04) 11
09) A
14) 11
19) 11
04) B
o s ) r
1Ú)A
IB) B
XO) 11
o s ) r
m u s a m o s 11 v
01) .1
06) r
i i ) a
16) r
01) B
OX) 11
07) E
IX) B
17) r
ox ) r
03) .1
08) A
13) B
18) 11
03) C
04) r
09) D
14) E
19) 11
04) 11
03) B
ío ) r
IB) E
x o ) r
o s ) r
GRADOS
01) D
06) D
i i ) r
16) r
01) A
-
OX) A
07) A
i x ) r
17) D
o x ) r
03) 11
08) E
13) r
18) r
03) ,1
04) 11
09) A
t4 )
19) r
04) 11
o s ) r
IO) 11
18) D
x o ) r
03) E
g r a d o s y p a u s a m o s
oí) r
06) A
11) D
16) D
OX) c
07) E
IX) c
17) E
03) E
08) 11
13) 11
18) 11
64) 11
09) A
14) A
08) E
10) B
IB) A
SEPTDIA PRACTICA
m 2)E S)E m 5)0 6)C 7)B 8)C 9)B 10)0
] / ) £ 12)A12)11 Í4)C15)0 16)F, 17)1) 18)0 19)0 20}A
OCTAVA PRACTICA
1)C 2)C ti) II 4)1) 5)C 6)1) 7)B 8)0 9)B 10)E
tl)D 12)1)i»)E 14)015)0 16)C17)AÍ8)C 19)C 20)0
XOVEXA PRACTICA
J V j 2)B S)B 4)1) 5)C 6)B 7)0 8)0 9)A ¡IDA
ii)i> J¿jCt»)C U)A 15)V 16)C17)018)C19)A 20)0
f k o iw c t o * .v t.KS I B 117 E D I C I O N E S IS IU t lÑ O S )
o b j e t i v o s :
* Conocer aquellas multiplicaciones indicas muy
conocidas y utilizadas en el desarrollo del curso de
matemáticas.
* Utilizar los productos notables, en forma correcta y
cuando sea necesario, para efectuar la multiplicación.
Cuadrado de una suma
(a+b)2 = «2+ 2ab+ b 2
Cuadrado del
prim er término, más
el doble producto dei
primero por el segundo,
más el cuadrado del
segundo término.
INTRODUCCION :
Si nos piden multiplicar (a + b) (a - b) obtendremos:
(a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b2
Osea :(a + 6)* = a 2 +2ab + b*
Lo anterior es un resultado obtenido algebraicamente
al multiplicar dos binomios. Sin embargo, no es la única
manera de obtenerlo. Existe la manera
GEOMÉTRICA.
Observa esto:
4 1 a
s*»
Cuadrado de una diferencia
(a— b)2 = a2— 2ab + b
Cuadrado del
primer término, menos
el doble producto del
primero por el segundo,
más el cuadrado dei
segundo término
£ i
* a
Área = b2
1
•V
• Ahora, juntemos los cuadrados por una de SU6
esquinas y formemos imaginariamente un cuadrado
mayor.
a
a a
O Area = (a + b)3
Suma por diferencia
(a + b)(a - b)= a2 — l?
Cuadrado del
primer término, menos
el cuadrado del
segundo término.
a
* Sin embargo el área de ese cuadrado mayor, puede
ser obtenida mediante la suma de las áreas que están
en él.
BtroM|o
algebraico so tímpdftea
tí logramos la habida*
para encomiar algunos
productos, sin
noeostdarf do opona
la muieptfoocfeft a2 i * * + ab + ab* - . ‘ >
(a +b)* á*¥ 2ab + b2
VtlW MtS3' 1 1H 1B5S3 lA EXt'MciAfPttniA 2012]
b a -b
a i
b2 -
( a -b f
b
a - b
=> ( x + 5 ) 2 = x 2 + 1 0 x + 2 5
* (2 x - 3 y ) 2 = ( 2 x ) 2 - 2 ( 2 x ) ( 3 y ) + ( 3 y ) 2
=> ( 2 x - 3 y ) 2 = 4 x 3 - 12xy + 9 y 2
• (2x + J 2y)2 = ( 2 x f + 2(2x)(-Í2y) + (s¡2y)2
= 4x2 - 4>¡2xy + 2y2 = 2 (2 x 2 -2 ^ Í2 x y + y s )
IDENTIDADES D E LEGENDHE
a
(a - b f =a? - 2ab +b2
• Observa el siguiente producto algebraico : E JEM PLO S:m
(a + b)(a - b) = a% ab - ab + 6*
• (V7 + 2)* + (,/7 -2 )* = 2(77*+ 2*) = 22
• R Í - H Í - a - '
a - 6 o jo :
r - . ’\S*
* •
b , o /
-c
i0 (a + b)4 - ( a -b ) 4 = 8ab(a2 + b2)a . p a * -o ---------------1b a
*t id U ) DIFERENCIA D E CUADRADOS :
• El área del rectángulo es (a + 6) (a - 6)
• La diferencia de áreas es: a2 - 6*(corresponde al
primer cuadrado)
• Entonces: (a +b)(a-b) =«*-&*; que es el resultado
requerido.
S P bodu cloó J \íoia é¿eú
Son los resultados de ciertas multiplicaciones
indicadas, que se obtienen en forma directa, sin tener
que efectuar la multiplicación.
i) BINOMIO A L CUADRADO :
(Trinomio cuadrado perfecto): El cuadrado de la
suma (diferencia) de dos términos es igual al cuadrado
del primer término, más (menos) el doble producto de
ambos términos más el cuadrado del segundo término.
El producto de la suma de dos términos por su
diferencia es igual al cuadrado del primer término
menos el cuadrado del segundo.
( a + 6) (a - 6) = a2 - b2
f t n
suma diferencia
E JEM PLO S:
• (x + 2y)(x-2y) = x2 ~ (2 y f
(x + 2y)(x - 2y) = x2 - 4y2
• (a + 6)(a - 6) = a2 - 62 =a2 -36
• (5x2 - 3 y s)(5x2 + 3y3)
= (5x2 )2 - (3y3 )2 = 25x4 - 9 y 6
• (n + 3)(n-3) = n2 - 3 2 = n2
• (x2 + l)(x2 - l ) = (x2)2 - l 2
r.; •
*. . . : r ^ ‘ k f nTV?
- 9
= x4- l
EJEM PLOS:
*(x + 5)2 = x 2 + 2(x)(5) + (5)
• < c '
A
Q
[ M'KOimurOS . V O T A i m i A ' B Z H »
ti!) TRINOMIO AJL CUADRADO í
HOH b ! CH
K M C IO iX IiS MtUHIÑOf¿\
a+6+c
0# + be + c2‘ .«?/ -
v • r*
v
aB + ' .* "ak0 j f + be
a2 + j + riac. *, • ** ‘ !< .
%
EJEM PLOS:
♦ (m + n + 2J2 = m2 + » 2 + 2 2 + 2(mn + 2m + 2n) =>(m+n+ 2)2 = m2 + n2 + 4 + 2mn + 4m + 4n
119 BINOMIOS A L CUBO :
«El cubo de la sum a de dos cantidades es igual a l cubo de la prim era cantidad más e l trip le del
cuadrado de la prim era cantidad p o r la segu n d a , más el trip le de la p rim era p o r el cuadrado de
la segunda , más el cubo de la segunda»
•A.'Ar*
V » 1
r , »•
}a+ b f
* . '&I
1
■ 0
tu*
A. V '
Forma desarrollada:
Forma abreviada:
«El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual a l cubo de la p rim era cantidad menos el
triple del cuadrado de la prim era cantidad p o r la segu n d a , más e l trip le de la prim era p o r el
cuadrado de la segunda,, m enos e l cubo de la segunda»
c 1 3 0 U EXCMCwrsMA 20 í2)
E J E M P L O S :
O (x+ 2 / = x 3+ 3xs ( l )+ 3 x ( l )2+ ( l f
a
=> ( x + l f = x a+ 3 x 2+ 3 x + l
o ( n - 2 f = n 3 - 2 a -3 n (2 )(n - 2)
= z ( n -2 ) a= n 3 - 8 - 6 n ( n - 2 )
V ) SU M A Y D IF E R E N C IA D E C U B O S
(a+b)(a2 -a b + b 2 ) = a3+ b3
(a-b)(a2+ ab+b2) = a3 - b3
E J E M P L O :
• (x + l)(x 2 - x + l ) = x 3+ l 3= x 3+ l
• (a2+ 4)(a* - 4 a 2+ l € ) = a e+ 6 4
• (n2 - 3 ) ( n 4+ 3 n 2+ 9 ) = n6 - 2 7
VI) MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS CON
TÉKMINO COMÚN Z
El producto de dos binomios con un término común es
igual al cuadrado del término común, más la suma
"algebraica" de los términos no comunes por el término
común, más el producto de los términos no comunes.
S u m o “ algebra icaw d e térm in os
n o co m u n es
C uadrado d e l P rod u cto d e
térm in o com ú n térm in os n o
co m u n es
b bx ab
x 2 ax
x a
(x+a)(x + b)(x + c)—
x3 + x2(a + b + c)+x(ab + bc+ ac) + abc
E J E M P L O S :
@)Efectuar : (x - 8) (x +15)
R E S O L U C IÓ N :
(x - 8 )(x + 15) = x * + (-8 +15 )x + (-8H15)
i i
Término común = x * + 7 x ~ 120
Efectuar: ( x - 3 ) ( x - 6)
R E S O L U C IÓ N :
(x - 3) (x - 6) = x * + (-3 - 6 ) x + ( -3)( - 6 )
= x * - 9 x + 18
Efectuar: (x - 7) (x + 4)
R E S O L U C IÓ N :
(x -7 ) (x + 4 ) = x*+ ( -7 + 4)x + ( -7 ) (4)
= x * -S x -2 8
o (x + 2)(r+ 8) = **+ (2+ 3 )x + 2 x 3 = x * + Bx + 6
o (x - l ) (x + 7 ) = x ‘ + ( - l + 7 ) x + ( - l ) x 7 = x*+ 3 x -7
NOTA
Al desarrollo de un binomio suma al cuadrado, se le
llama también trinomio cuadrado perfecto ( T. C. P),
* Luego:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
binomio suma
a l cuadrado
trinom io cuadrado
perfecto
RECONOCIM IENTO O E UN
TRINOM IO
CU ADRADO PE R FE C T O
Para saber si se trata de un T .C. P:
a) Se saca la raíz cuadrada a los extremos.
b) El doble producto de los resultados debe coincidir
con el término central.
E J E M P L O :
* Reconoce si es un T. C. P : 46as + 24ab5 + 9b8
1) Saca raíz cuadrada a los extremos
4cu................ 3b4
2) El doble producto de los resultados es:
2 (4a )(3b4) = 24ab4
Por lo tanto, si es un T. C. R
TU ) DESARROLLO DE UN TRINOMIO
AL CU BO :
\ (a + b + c f = a 3+ b*+ c 3+ 3 a 2b + 3 a sc + 3b2 c + 3 b 2a + 3 c 2a + 3c*fr+6o6c|
(a + 6 + c / * o a+ 6 a+ c a+ 3(a + b)(b + c )(a + c )
\(a + 6 + c /* a a*+ba+ ca+3(a+h+c)(<tb+bc+ca) — Sabe
R K O D U t 'T O S X O T A M .E S 181 MZIBIÑOS]
O T R A S ID E N TID AD E S
A) IDENTIDAD THINÓMMCA DE ARGANO Z
F) TEOREMAS Z
Sean: í a , M c í ; M , c } c Z t
Luego:
1)
GEMCHAiJZAXDOZ
(a2n + anbm+ b2m)(a2n- a nbm+ b2m) = a 4n+ a2nb2m+ b4n'\ 3 )
B) UHÍXUDAD DE GAUSS Z
a3 + b3 + c3 = 3abc o a = b = c ó
a + 6 + c = 0
a 3+ bs+ c3 - Sabe = (a + 6 + c )(a 2+ b2+ c2 - a b - b c - a c )
* de donde : P R O B L E M A 1 :
V) U1EXT1DAD ESPECIA!. Z
(x + y)(y + z)(z + x) + xyz = (x + y + z)(xy + yz + zx)
B)2y*
E) NA.
C) 2x* + 2y*
5Mb»
(ab + ac + be)2 = a 2b2 + a 2c 2 + b2c 2 + 2abc(a + b + c)
D) UHLXTtDAD DE L.\GB.tXGEZ
\(a‘ + b* Xx1 +y*) = (ax+ by)* * (ay - bxf
Reducir•' \*£ •
Á )2x2
D )2 x* -2 y 2
R E S O L U CIÓ N :
•Desarrollando los binomios se obtendrá:
(x2 + 2xy+ y2 ) + (x2 - 2xy + y2 )
V
• X .
(a9 +b*+c* Hx* + y*+**>»<ax+by + czf *<ay - bxf* ,(az-cx t*+<bx-ey?] •Juntando los términos semejantes, se obtendrá:
E) ZGUA1.DADES U0XD1C10XM.ESZ
Si: a+6+c=0, entonces se cumple:
2 x + 2 y RPTA : “ C”
P R O B L E M A 2 :
R E S O L U C IÓ N :
• Desarrollando:
x 2 + 2xy + y 2 - ( x 2 - 2xy + y 2)
=> x 2 + 2xy + y 2 - x 2 + 2xy - y 2
* Eliminando, se obtendrá: 4xy
• Entonces:
RPTA: **B19
P R O B L E M A 3 :
( a 6 + b5 + c5'\ a + o +c I a +o + c
( 5 Jl 2 J 7
z 3 .3 3 ., n -3 , n -2 .
(a + 6 + c ) ( a + 6 + c )
. 2 .2 2 n -2 . n -2 n - 2 ,
+ fo +b +e )(a___— ___LP...J= q" + 6" + c"
R E S O L U C IÓ N :
Ejecutando por partes :
*(a+6)(a —6) = a 2 —b2
* ( a + 3 6 ) ( a —3 6 ) = a 2 — (3 6 )2 = c 2 - 9 6 2
* ( a + 5 6 ) ( a - 5 6 ) = a 2 - ( 5 6 ) 2 = o 2 - 25b2
•Luego, reemplazando:
E = a 2 - b2 + a 2 - 9b2 + o 2
=> E = 3 a 2 - 3 5 b 2
25b
11851 ix»
P R O B L E M A 4 :
■Sim plificar: K■|a+¿>) ^ a * -a b + 6 * j + (o — 6 ) { a * + o6+ 6*j
R E S O L U C IÓ N :
Usando la suma y diferencia de cubos:
s
LA EXCíc m p l s m A 2012)
(a+ 6 ) ( a * — ab + 6*) = a*+ 6
( a —6) (a^+afr+ft*) = a J - 6 3
* Luego: K = a3+b3 + a5 — 6S =>K = 2á
PR O B LE M A 5 :
{Realizar: .
rr-
«r
y A -fx -y j*
K * "
R E SO LU C IÓ N :
■*y
C )3 D)4 E)8
. ¥
•Considerando lo obtenido en el problema dos en "AT,
se obtendrá: t
M = j " ^ j 2 = f 4y* = >/í = 2
RPTA : “ B ”
PR O B LE M A 6 :
irr 7 j ~ r *
Calculan " ,
t ' M * l(x + l é ) (1 3 -x ) + (x + 12)(x~12)f ' * ^
Á)1 B) 2 ; * Cy 3 D )4 E)S ;; ¿
R E SO LU C IÓ N :
• Ordenando para poder aplicar la diferencia de
cuadrados: i
M = [(x + 13)(13 - x ) + (x + 12)(x - 12)]t
=> M = JlS *-x* + x * -12*
=>3f = 4169-144 = V25 = 5
RPTA ; "B ”
PROBLEMA 7 :
Efectuar:
i • : • ' ■. . >
i ■ ' Mm(x+tyx+3)t(x+2)(x+2)r 2 * * -7 -M ' . v
jb<te B) 2 ‘ :C )3 x D )2x . É p 2 x
R E SO LU C IÓ N :
• Desarrollando losproductos de los binomios:
M = [x 2 + (1 + 3)x +1 x 3] + [x2 + 4x + 4] - 2x2 - 7
=>M = x* + 4x + 3 + x 2 + 4x + 4 - 2xs - 7 - 5x
=> M ~3x
i*
- *
RPTA: "C ”
PR O B LE M A 8 ;
cillatí\ B ~ (x + 4 ) ( x - 2 ) + (x + 6 )(x + 4 )-2 x* 1J: *,
$) í 6 : ^ 0 ) 24 D) -32 E) 30.
R E SO LU C IÓ N :
•Desarrollando los productos de binomios:
E = x + 2 x - 8 + x - 2 x - 2 4 - 2x
=> E = 2x2 - 3 2 - 2 x 2 => E = - 32
RPTA : “D”
P R O B L E M A 9 :
a + 6 = 2
a b = l
dar**©2 + b*»
fal B)2 C )3 0)4^ R j6
* Buscando un producto notable que relacione a na +6
, "a6 " y "a2 + 62", encontraremos a:
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b¡
Ó (a + b)* = a 2 + b* + 2ab
* Que al reemplazar datos, se obtendrá:
(2)z = a 2 + b 2 + 2(1) => 4 = o 2 + 6 2 + 2
=> 4 - 2 = a 2 + 6 2 => 2 = o 2 + 6 2
RPTA; “B
P R O B L E M . 1 1 0 :
Si : a - b = 2• i *•
̂ 06 = i
iíar>a2 + 62»
áytí^VÍ Bi 7 .. .. cy 3 .
R E S O L U C I Ó N :
• Aplicando un criterio análogo al problema anterior,
pero con:
2
4 4 W 2 P P
* - /
PJ9: :.E) Ñ A
• Reemplazando datos:
( 2 f = a 2 + 62 +2(1) => 4 = a 2 + b2 - 2 =>6 = a* + b2
RPTA : “A ”
P R O B L E M A 1 1 :
s í v '-í ; ' -
v ‘ ■
âr lE n x-y
x + y = $ 5 .
" *y = i -
AJ I B) 2 • . 0)3 D)tJs , E).-&
R E S O L U C I Ó N :
• Aplicando lo obtenido en el Problema :
fx + yy2 - ( x + yy2 =4xy]
=>(yf5)*-E2 =4(l)z>5-4 = E2 =>1 = E2 =>1 = E
RPTA : “An
P R O B L E M A 1 2 :
i ’ .
Í3r x + —«*3
x
» * *»•
[ p K O O F C m S NOTABLES B B L i* a |g U P M C i l K V E S n U i t i l í O f Á
A)6 - ^ B) 7 ^ C )9 D)$ E)NA
R E S O L Ú c Ü Í N :
* Elevando al cuadrado a " x +— = 3
* Es decir: ̂ x+^j =3*
=>X*+2rx -+ ^ -j =9=>x*+2+-^=9
= > x * + -i = 9 -2 = > x? + - L = 7
RPTA : “fl”
P R O B L E M A 1 3 :?? VT**f.W >
Sir
. i ,-••v ¿y-.
4% ̂ p*‘. 41 :
^ \ 1 ^
♦ _
c + 6 = ^
ab = 1
A'- -
Calcular; £« a* + b*
R E S O L U C IÓ N :
Busquemos alguna identidad que
involucre únicamente a « a +6»,
«ab» y a -a* + b2 » ; la cual será:
(a + b f = a * + 2 a b + fc1
=> (a + 6 > * = a * + b* + 2 a b
• Al reemplazar valores se
obtendrá:
< 4 s f = E + 2<1)
=>5 = E + 2 ^ 3 = E
JtPZA : "C"
P R O B L E M A 1 4 :
<3£~3̂ V~‘ ,:rS¿y 'y - 'ry'r'u.tí:
^ t s Z l Z l 2 ■X '
/*• »r
’ i
Calculan **'+“ ay
¿ 2 0 0 3 B) 1 C)2 0 )4 E) 4006
'• - . v<^ . r * n v / .
R E S O L U C IÓ N :
• Del dato se obtendrá:
. i j° +o
a&
=> a2 + 62 = 2aó
=>a? - 2ab + b2 = O
( a - b ) = 0 ^ a - 6 = 0
Piden:
' ■ s r * ©
= i KXW + i « W i = 2
RPTA
P R O B L E M A 1 6 :
Sua=3j2 y b= l;
calculan
R E S O L U C IÓ N :
E = {(a+A)ií}lt + {(« -* )2}2
=> E = [a 3 + b2 + 2 a b f + [a 2 + b2 - 2 a b f
• De los datos:
a - sjs => •*(* J5j* = *(*) = 1* a4 = J=>6! =J
• Sustituyendo:
e a [ is + í+ 2 /3 > /5 ;r i> , ] + [ i f l + j - í f a V í K / / * ]
»íi9+«V5/+a9 oVs/
• Según Legendre:
E = 2 ¡I9 * + Í 6 V2 / ] => E = 2[3<SI + 72]
=> E = 2[433] = 866
1003
«I/IM
P R O B L E M A 1 7 :
Vi. * V •< \
S i : m + » = 2
1 m3+ «* = 4
m . B)2 C) 8 0) 4 E) o C a lc u la n A = (m h )6
< . *
» *
4'
R E S O L U C IÓ N :
y
Elevando al cuadrado, ambos
miembros del dato , con lo que se
obtendrá: ✓ , \*
l'. . b
A)
_
— (a -u r -
_ 32
R E S O L U C IÓ N :
• Consideremos:
fm + ny2 = m 3 + n 3 + 3 m n ( m + n )
—I !■■■■■ I i | I
4
2
^ x 2+ -^-=2 + 2 = 4
x '
P R O B L E M A 1 5 :
RPTA : "D »»
=>22 = 4 + 3m n(2)
2=> mn = —3
Piden
SÍ¿T+- = 2w 6 o
■ - t u
32
243
1 - RPTA: “B*»
P R O B L E M A 1 8 :
Si: x~f¡5 = 2
Calcular: x * - 6 x * + 12 x - s
* M
A) 0 B) 8 C) 1 D) 3 E) 2
R E S O L U C IÓ N :
• Del dato , se obtendrá:
x - 2 = $5
^ > ( x -2 ) 3 = 5________
x 3 - 3 (2 )x2 + 3(2 )2x - 2 S = 5
=>x 3 - 6 x 2 + 1 2 x - 8 = 5
La expresión a calcular
RPTA : “B”
PR O B U B M A 19 :
*/ 7 *»•, *
Si; x +x~J *75. entonces el valor de:
R E S O L U CIÓ N ; P :
( x + x - J )2 = V f í * =» X a + 2 + x ~ * = 5
ía>
( x + j r _ , ) = V¡5~
=» + x ~ 3 + 3 x , x ” J ( x + x 1 j = 6y¡6
x 3 + x ~ * + 3 -JE = 6 j s
=> x 3 + x ~ 3 = 2\[E ...................( q )
• De ( a ) x ( 0 ) :
[ x 2 + x - 2 ) ( x 3 + x - 3 ) = 3 ( 2 j B )
=> X 5 + X ~ l + X + X " 5 = 6yfs
^ X a + x ~ s + X + X - 1 = 6y¡5
=> X 5 + x * 5 + 4 s = o V o
áí* + x-* es:
=> X 2 + x " 2 = 3
3
x 5 + x ~ * = 5 > /5
P R O B L E M A 2 0 :
Si: + lx = 62-
• * : ~-h
• , . . * ̂5V
♦ 1 .
■ .* ' . - 'Va
% $•%', , p - J f l i Z ”calculan * " fí™T^;
R E S O L U CIÓ N :
• De la condición:
— + Z _ - e 2 = .̂ x 2" + y 2n = 0 2 x " y "
y" x"
• Sumando miembro a miembro
2x " y"**
X2" + 2r*,y " + y * " - f i2 r " y " + 2xKy*
=>■ Jx" + y " J* = « x * y
=>x*+y*=8jxmy” =»Jrr +3f"
( H 5 5 i í x * luí EM MCIWVHIA 2012)
♦Remplazando en E resulta
E = $ 8 = 2
P R O B L E M A S I :
iSiÍxí + 3x - 42*0 '
C alculan x(x * lU 'x + 2) (x +3) 242 : ■
^ * • 4. , ,* |
w . ::/b}3 ■ cj¡2 . . .SP/-2 v . ; * ^
R E S O L U C IÓ N :
" Del dato : x(x + 3) = 4 2
" Ahora en la expresión pedida :
x (x + 3) ( x + 1) (x + 2 ) - 2 J 2
— " -1 --------
I ■ ■ m( x * + 3 x + 2)
' 4 2
= 42(42 + 2) - 2y¡2 = 2 + 242 - 242 = 2
APTA : "C”
P R O B L E M A 2 2 :
Sí* x - y = 44B ; xy » JE
Caldflarí s~x*-y* «
rr'V
*15 B )0 ; c ) 2 d ; - 5 . E)10
R E S O L U C IÓ N :
* Consideremos la identidad de
Legendre:
(x + y)*-(x-y)*=4xy
=>(x + y f -(tfcf =4(45)
=> x + y--)[s7S = 4ó Í¡6
♦ Piden:
s * (x + y)(x - y) = (4s x i[5)(t¡5) = 5
RPTA: “A ”
P R O B L E M A 2 3 :
B!> a* + 6* = * ; . i Ú ̂ • V • ’ * ̂ ^
Calcular él máximo valor dé:. ' "!
V i " ; V ■ P = a + b ;
̂ B ) 242 C Jlf ; JSj-30:
R E S O L U C IÓ N : *
• Consideremos la siguiente
identidad de Legendre:
ro + 6/ + ÍO - 6/ = 2fo2 + 6a )
• Al reem plazar valores se
obtendrá:
J>2+<ra - 6>2=2í8>
= > P = y ¡ 1 6 - ( a - b j *
Luego para que:
= y ¡ 1 6 - ( a - b ? ^ p ®>/Í6 = *
P R O B L E M A 2 4 :
S i: a 2 + b3 = m + l
• "
a b = 3J Í 0 0 - 34Í0 + l
" » . ~ “* i *
Calcular: M = (a+b/-(a - bj4
% )0 B )3 2 ? C J 4 1 D) 88 E) 9
A)0 B)x* + 4
D) x a - 1 E ) x u - 1
R E S O L U C IÓ N :
C)x‘ -1
♦ Efectuando los 2 primeros
trinomios porArgand:
( x 4 + x 2 + l ) ( x 4 - x * + l ) ( x 4 - 1)
i**+s4+l)
« ( x 8 + x 4 + l ) ( x 4 - 1 )> > f
Esto m una d iferen cia
d e cubo»
•J*- "Ir* ^
♦ Se pide:
M ~ [ ( a + b ? l * - t ( a - b ? j 3
=> M = [(a + b f +(a -b)* JHa + b f - (a -b)* J = ( x 4) 3 - l 3 = X 12 - 1 J& Z 4 • “jy
=> M = /2íd* + b*)J ¡4ab] => Jf = 8fa2 + 6*>a6 P R O B L E M A 2 8 :
=> M = 8 (34Td +1) (34 t0 0 -34Í0 + 1)
=>M = 8(s4Í0 + 1> (V id * -s4Id + ¡)
£i/o «i m w u drtwáoi
=>Af =8(t[ld + ? ) = 88
RPTA : “D ”
P R O B L E M A 2 5 :
11 .» •-
W • o * n/5 + >/5^^2Y*ís‘
* i ' - i w . r
S ú r + r ' - / .
Calcular: £wr* - r-*: •; '-17 * ' •. * • :
>ÚV > B )-1 ; C)1 D ) # E ) -2 j
R E S O L U C IÓ N :
• En lo pedido:
b — 42 + 4& if^45-1
c * >/5 -
Calcular: e ~ a* + b9 + c* - Sabe
a i r 1y — s * \ y - -r L r-
- i - f ]
f iy - y x ~ +
y
' r
a ;
y 2 + 2y x
c)°
R E S O L U C IÓ N :
D )-3 E ) -5
l + U ) ‘ - y x L
y \ y ) y .
♦ Al sumar los datos se obtendrá :
a + b + c = 0
♦ Según lo obtenido (igualdad
condicional), se obtendrá que:
a 3 + b 3 + c 3 = 3abc
♦ Entonces lo pedido será:
= H I K H
= [r + ̂ ]ll* - n = °
APZ4 : "j* “
P R O B L E M A 2 9 :
Simplificar:-
&(á±b)* ' (b - e f c • :4:Yc-4g)*&
(b ~ p ) ( c ~ 0 j f ( c - a ) ( a ¿ b f ( a -b )< b + c4 j
W , B ) t f * b * c (¡ jó : D ) a b c ¿ :$ j á
R E S O L U C IÓ N :
" Hagamos los cambios:
a - b = x : & - c - y : c - a = x
E = Sabe - Sabe = 0
RPTA
PROBLEM A 2(i :
■ vfj.-'A iwuk —;----- • i
Simplificar:
Vi* + x - 4 f - ( x - 2 ) ( x ̂ l ) ( x + 2 ) (x + 3)
* ) 0 B)X _ C)-x D )4 E) - 3
Asociando adecuadamente:
( x * + x - 4 f - ( x - 2 ) ( x + 3 ) ( x - l ) ( x + 2>
y»
nos pi den: — h
y J * X X y
♦ Donde M .C .M = x y z , se tiene:~(a)x3+y*+z9
♦ Haciendo: a = x* + x
obtendrá:
( a - 4)* - (a -6) ( a - 2)
- ra2 - 8o +16) - ÍO2 - 8a + Z2J
■s a 2 - 8o +16 - a 2 + 8a - 22 « 4
APTA í stJTr
P R O B l
y - x + ’+ x+Í)fY - x?-+ V(x4 -U• * . . . « • (• ** *•,. . »1 • *. - * •
se
hwidwl RPTA ; “E ’
x y x
♦Pero de los cambios vemos que:
x + y + x = O
y cuando esto ocurre , se cumple
que: x2 + y2 + x3 = Sxyx ............¿si?
♦Reemplazando en ( a) :
• • -v
RPTA: WR W
i P R O 9 H 7 C T 0 S X O T A M .E S
PR O B LE M A 30 :
. H allar el
' ■- y x .*
valor de (xy*)lta- i . '
S l 4 - B ) - 1 C>°
R E S O LU C IÓ N :
0)1 ■ £)2
• De la condición: x 9 + -V = 1
y3
=> x sy s + l = y 3 o también
3 3 3 ix y = y - 1 (a)
•Invirtiendo: *3
♦De (a)x(fi):
l-y* w
^1) = -1
• Elevando a la 34 : (xyz),os - 1
=* (xytf0* - 1 * o RPTA: "C II
PR O B LE M A 31 :
w
8Ú* r* +—r -3 t r>0
liar; j - r 5- 4 “r •
.V..
fV ‘-‘-3»
/*
$ {+ • ;* « « C ) 1 2 ^ 1 3 A & í * y
R E S O LU C IÓ N :
♦ Del dato:
. . . * .
. r'-'r'v
*■'. / y i
• •• *V . ^
VV.'t \
r* - 2 + - y = 3 -2
L I
(
®'r4 »
* Y . 1 tr — * I=> r — = IrJ r
♦ Elevando al cubo:
H b ‘ .
=» r3 - -p- » 4
• Ahora:
3 x 4
=>2I = £
PR O B LE M A 33 :
Si a , 6 y e son num eros^ue
cumplen las condiciones: . ,
s i i=»r — y+r — rf, r
* E + J
RPTA : “Bm
18B
a + b + c
EMÍt'AOXES KVKMXOS)
20 (a + b + c)* ma* + h* +c* + 2 (a b + b c+ ca )
300 ^ 3 * = 7 + 2 (a b 4 b c + c a ) o a b + b c + ca = 1
Entonces el valor d é :
"T * (a + b )3 + (a + c)* > íb + c>*
M
r . k • '
• *
A) SOO' S ; 700 C) 500 0)300. E)100
R E S O L U C IÓ N :
♦ Se pide:
T - ( 2 0 - c f + Í2 0 - b)* + f 2 0 - a ?
♦ Desarrollando y acomodando, se
obtendrá:
T » 3(20 f -4 0 (a + b + c ) + (a s + b s + c s J
=> r - 3 r*0 0 2 - 40 Í2 0 J + 3 0 0 * 700
RPTA : “B ”
P R O B L E M A 33 :
*' "
S; o y 6 son números' reales .que
satisfacen la condición:
«
a* b s
JF +7
Éntonces el yalót de la expresión!
( a * + b* ) * + (a * - b 2 )*%.
*» >t • Eoí
*’ ‘f
Afl í.M7»
4.
a;,5 jS) 2 q i
R E S O L U C IÓ N :
D)o" e; - 2
♦ El dato se puede acomodar, así:
a * - 2 a a6 3 + b* = O
= > (a * - 6 S)* = 0 = » a = 6
♦Luego en lo pedido:
g (b^ b ’ Y - p y j
" & + b1? - & - & > "
RPTA; “ C "
P R O B L E M A 3 4 :
Bij a | . 6 y e sdn^números que
satisfacenlas condiciones/ -
a + 6 + c * 3 - .
o® + 6® +«?? = 30.
a6c = . 4 , ; • ; -
A .
'jmrm *
R E S O L U C IÓ N :
♦ Se pide : s
♦ Ahora d e :
ab+bc+ea
abe
Reemplazando: £=^
P R O B L E M A 35 :
RPTA: “A ”
Si a , 6 y e son números que
satisfacen las condiciones:
f a 9 + b s +c*
|(a + 6)(a +©)(6 + e) = -¿
Entonces el valor de la expresión:
N O
>es:
0 )4A)1 . B)2 C)3
R E S O L U C IÓ N :
♦ Lo pedido es equivalente a:
O O + 0 C + C <1N *
( a b + b c + c a ) *
♦ Pero d e :
( a 4 b + c ) * « a ^ + b ^ + c 5 + 3 (a + b ) ( b * c ) ( c + a )
=>(a ♦ 6 f c ) a * 3 + 3 ( - i ) = > a + b + c * 0
♦ Además:
(ob + b e+ oa )2 s o V + ^ c 2 t i fa 2 + 2abcitnb+c)
A a+b+c = 0 ^ (a b + b c+ a o f s ^ + W + c*!!*
♦ Reemplazamos en (I) :
fcr o V + fc V + o V ,
* a V + b 2c * + o ' c 2 =
RPTA: “A”
P R O B L E M A 36 :
Si:u+jv+/=í, entonces el valor de íá
éxpresión: - 1 • Jj
y ; 2 (u 3 + N 3 + I 3) - 3 (Ü* +N 2 + í s) (
-V - :.** . • 6U N 1-1
• ? :.y - .• * . es:
Ahí- I 2 2B)i C)^ < D)-z6
R E S O L U C IÓ N :
E)1
♦De:
tv.N*if •sw*N*:>iv>t n'*:•)-*&* *n*
=» /* - 3ÍU* ♦ N* + í * ) - 2ÍU* + iVa + +
^ a re3 + N 3 + i3 >- a(u* + :v* + ;* ) - fltw / - j
í(u3 ♦ N* ♦ 23)-s(l/* + + J*) .
0 tW / - i
P R O B L E M A 3 7 :
*'4*5.-
RPTA: “E 29
(b ♦* * e f • H o + b + e ) i » * + b* + e * ) - 2 ( a * +b* * e * ) * 6 * b t
m 9 * • a ( $ ) W +b* * e t ) - 8 ( 9 0 ) + 6 ( 4 ) » • , +** * e ‘ • 7
♦ Además:
$1 q / 6 y c son nümeróa reales ¿ ó
fiulos.tales que,:Vó ’>p v. .; .
w. fe* 4cf -o* ^
« F • Pl 1 . . . 1 14 /• ̂-Sbc
- ,íb*a)?(-aTy- (W
-n•F * ,
< :i '« «■tíT
1 * 0 L l ExeiCMpruntA 2012}
Entonas el valor de la éxpresioif: ‘ Tanteando: *=;
l - x y
»+y es:
RPTA: “D 9t
P R O B L E M A 4 0 :
! & * + + * B ) l ^ C )2 D )3 E )4
R E S O L U C IÓ N :
* Aplicando propiedades de razones
y proporciones en (II) , se obtendrá:
> '•
R-i ¿ 27x* + 27x* +m x4 - 17x* + nx* + 3x - 1
' - s . . . . V . ’
es ün ¿ «
^ y
¿entonces
y + 1 2bc
\$*V' .
t «»+*¿ es:
s*
‘ Observando a detalle (III) y (I),
se obtendrá que:
1 —\ = - x => y - 1 = - y x - x => x + y = l - x y
y + l
* Luego lo pedido será: T i - x y _
2 - * y
RPTA; “B ”
P R O B L E M A 3 8 :
fv r » ' •-**>.: v* ■ . > ' *
Iv UtNjl son números reales ño
satisfacen' las
A)±24 > C j--f2 DJÍ2*
R E S O L U C IÓ N :
* Como P ix) es un cubo perfecto, se
deduce que debe ser de la siguiente
s
forma: 2 + b x - l )
T
v • ,
» • 1
» >
V
. •
* . . * -• *» * - - .+j]
V
= 49
-a*
.1 *
%%&■;/s* e , - " . j . . . . ' .
Entpiices el valor de:
* ' ' ‘¿jiU+Nrñ9HN*ÚUfH*+t!.m9
F“ lf*+JVa+/, + lSV7 - es-
TfíM PJ®
R E S O L U C IÓ N :
‘ Como:
íiw+A7+/w**í'tw/+«vn*+f/w3,+2iw/fü+jv+n
a» ( - 7 ) * + 2£WI (tT + V + /)
=>ÜOT(l7+N + / ) = 0 pero,UNI * O
=>U + N + I = 0 = U3 + N 3 + 13 * 3UNI
* Luego:
(t/ + iV-i)*+(iV + /-t /)J+(f+t;-JV)*
* Luego de su desarrollo:
S6x(-i)í = a* => b = 2
* Entonces: P(x ) = (Sx2 + x - í f
* Evaluando para:x = -i , se
obtendrá:
( 3 - 2 - 2 ) S = 2 7 - 2 7 + m + 27 + n - 3 - 2
=>m + n =-12
RPTA: “ C”
P R O B L E M A 41:
. ^'V ■ ' K - " ' .
v -.-s' " ' “ - r:. . “ • * .* -i .+* - '
Halle el valor numérico de: *«'• T. 4’
p =
V
iai-3 m"5to n * •,
• . tí*. ..v 1»'—
' • f¿rt S
5! » * + « = ?
I-.
;m n = oB
- - -r-f
*4 , ,
1~ - , ' > '* • \ . "?**V * > */
•«' 4
*•'. .. . v>&-5 *-( tf , * I f -
-L- ' * V̂U«üáSLV>
R E S O L UCIÓN:
.-•* 2^
‘ Reduciendo:
=3 F =
=> F
U9 + N* + 13 + UNÍ
( - 1 - l f + ( - U - V ) 9 + ( - N - N ) s
u 9 + n 9 + i 9 + u n i
-8(U9 + N 9 + I s ) ~8(8UN¡)
P= ’n^+m^V-3 -* ~k m n J
7 3 , 3m +w
3 3 mn
m +n
l / , + AT, + / , +WV7 31W/+WV/
RPTA ; "C ”
P R O B L E M A 3 0 :
> e ¿ .
* <»
j
R E S O L U C IÓ N :
‘ Elevando al cubo:
x 9 = l +
x* x 9 = 2 + 3 *i
+ 2- +3f -
= 2 + /
£(7)
9(3)
(7)
(*)
Datos: m + n - ^ Í 2 A m n -
SI: m+n-^Í2
Bevando al cubo: (m+ n f - SÍÍ23
Efectuando:m3 + n3 + 3 mrj (m+n)-12
M ~ T f T
Luego: m3 + n3 + 36 = 12
Redudendo:m3 + n3 - -24
*Entonce8 :P= -
24
RPTA: “C ”
(PRODUCTOS NOTABLES ¡-(NIVEL BÁSICO])
^7)Desarrollar cada uno de las
siguientes expresiones:
• (x + 2)* =........... • (x-2)9 =
• rx-7>2 a
• ( 2 x + 3 ) 2 =
• ( x + 5 f
* ( x + 4 ) ( x - 4 ) =
* ( x + 6 ) ( x - 6 ) =
• ( x + l ) ( x - l ) =
••••••••
Reducir:
(m + n) (m - n) + n*n
A) m2
D)1
B ) n 2
E)2n
C) 0
m Reducir : (x + 5)2 - x2 - Bx
A) 9
D)0
B) -9
E) 12
C )3
Reducir :(x + 5 )(x -5 )-x2
A) 5
D)0
B) 25
E )-5
C )-25
Reducir: {X+D2 + <x-i>2
A) 2x2 - 2
D) 2
B )2x2 + 2 C) 2x*
E)0
m Efectuar: (*+s)2 - (x - 3)*
A) 12x B )6x
D)2x2 + 18 E) 0
C ) - 6 x
m Efectuar: (4x+s)(4x-5)+25
A) 4x2
D)10x2
B) 16x2
Ejx2
0 8xs
@ ) Efectuar:
(* + 3)fx-3> + (7 + jr)(7-*)
A) 40
D)2x2
B) 49
E)0
C) x -
Efectuar: ( * - 6)*
A) x 1 + 12x + 36 B) x ‘ - 12x + 12
C )x* -1 2 x + 36 D )x ‘ -1 E)x‘ + 1
m Efectuar: (x +7)(x- 7)
A) x 2 - 14
D) x 2- 2
B) x 2 - 49
E )x 2
C ) x 2- 7
^7) Reducir:
E = (a + b)(a - b) + 6 x6
A ja 2- 6* B) b2
D) a E) 6 - a
O a
[phoim tptos xiiT.xut.r.s
(Tx) Reducir: (x - 2) - x 2+ 4 x
A) 4 B) 1 0 - 2
D) 0 E)6
(7»Reducir: ( x - 4 ) ( x + 4 ) - X *
A )-4 B) 4 0 - 1 6
0)2 E) -2
(Q) Reducir:
(a + l ) (a - l ) (a 2 + 1)
A) a4 B) a4 - 2 O a 4
D) a2 - 1 E) 0
_ Reducir: (x + 2)rx -22(*i +2)
A )x 4 B) x 4- 1 C) x 4 - 2
D) x - 1 E )x+ 1
(Q) Calcular : +xxs-xt-<x+6Xx-® - 2**
C )8A) 10
D) 7
B) 9
E)5
(Q) Reducir:
0 5A) 3
D)6
B) 4
E)7
(^Efectuar:
t x - 2 ) ( x + 2> + ( x + 3 ) (3 - x )
0 3A) 1
D)4
m
B) 2
E)5
Reducir: <<x+irt-<x+2>t-(x+3f +(x+4f
A)1 B) 2 0 3
4 E) 5
i))Reducir : %¡(x + 6)*-(x + 3)*-6x
A) 1 B) 2 0 3
D)4 E) -2
Reducir: (x + s f + (x-5 j*
A) 2x* + 50 B) 2x* + 20 O 50
DJx-5 EJx + 5
Hallar la suma de coeficientes
de "R" ;
R = (7 x -3 y > *
A) 49 B) 21 O 16
D) 5 E) 4
Luego de reducir , señalar el
mayor coeficiente de "AT.
N=(2a+5b)*+(a+b)(a-b) 9
A) 20 B) 25 O 24
D)0 E) 40
Hallar la suma de coeficientes
de "Q"
Q = (6x-6y)
1X7 í n i i l O X l S Mtt 7KMÑOS&
A) 121
D) 0
B) -1
E) -1
O I
Luego de reducir, señalar el
mayor coeficiente de "P\
P = (2x + 3y)s + (x + y ) ( x - y )
coeficientes:
A) -72 B) -78
D) -67 E) 0
m
0 - 7 7
Calcular el área de la siguiente
figura:
(PRODUCTOS NOTABLES IKNIVEL BÁSICO)]
<67)Desarrolla cada uno de los
siguientes productos notables.
*(x + 5)(x + 3) = ..............................
•(x + 7)(x + l) = ..............................
• ( m + 5 ) ( m - 2 ) = .............................................
• (m + 2)(tn-6) = ............................
• (2x + 5)* = ....................................
Efectuar: (X -7)(x-9). Dar como
respuesta la suma de coeficientes:
A) 47 B) 48 O 78
D)63 E) 70
Reducir:
m
A = (x -3 ) ( x -2 ) - ( x -6 ) ( x + 1)
A) -lOx B) - lOx -10 C) 12
D) -12 E) 0
Reducir:
E = (x -6 )(x + 4 ) - ( x + l ) (x -3 )
A) -21 B) 21 O 27
D )-27 E) 0
_ Efectuar: (x-6)(x-7). Dar como
respuesta la suma de coeficientes:
A) 42 B) 30 O 29
D) -13 E) 40
Reducir:
N = (x - 2 )(x -1 ) - (x - 4)(x + 1)
A) 6 B) 2 O 6x + 6
D ) - 6 x - 2 E) 0
Reducir:
R = (x + 8 ) (x -6 ) - ( x + 4 )(x -2 )
A) 56 B )4 x - 40 O 40
D) -40 El 0
Efectuar: (x -4 ) (x - 5). Dar
com o respuesta la suma de
coeficientes:
A )-9 B) 20 O H
D) 12 E) 0
m
Efectuar: ( a -12) (a + 6). Dar
com o respuesta la suma de
A) x* + 4x + 77 B) x * - 4x - 77
O X* - 4x + 77 D) x* + 4x - 77
E) 1
O ) Determinar el área del
siguiente rectángulo.
2x+10
A) 2x2 + 26x + 30
B) 4x2 + 26x + 30
O 4x2 +30x + 26
D) 2x2 + 30x + 26
E) 30
(Q) Cuál es la suma de áreas de las
figuras:
í
x + 3
9+x
A) 81 + x 2
B )2 x*+ 6 x + 90
O 6x +81
D)2x2- 6x + 90
E )6x + 90
r —Tt% 5»
1...
x+3■
Calcular la suma de áreas de:
x+5
x+S
T
x-3
1
1. — t ;
A*A. .h
i2 r f
l-----------------x - 7 ---------------1
A ) x - - 5 5 B) x - + 55 C) x + 55
D )x - 55 E)xs + 6 x + 37
A) 1
D) 4
Reducir:
(x + 5)2- ( x + 3 )(x + 7)
O 3B) 2
E) 5
LA ENVMVMAHmEDL\ 2012)
Simplificar:
(x + 5 )(x - 2) - x *
A) Sx B) - 1 0 C ) & r - 1 0
D ) 8 x + 10 E ) - 1 0 - 3 x
(gCalcular el área de la siguiente
figura:
JD -C
m-2
m+10
A) m3- 20m + 8
B) m3- 8m - 20
C) m3 + 8m + 20
D) m3 + 8m - 20
E) m3 + 20m - 8
(g)Efectuar:
(x + 2 f - ( x + l ) ( x +3)
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C )3
Reducir:
{2x+3)s+ ( l -2 x ) ( l+ 2 x )~ 10
A) 12x B) lOx
D) 6x
O 8x
E) 4x
(gE fectuar:
(x+ 2 5 )(x+ l) - (x+ 5)
A) 4x
D)16x
B) 8x
E)20x
0 1 2 x
Reducir:
(x + 3 )(x + 7 )- (x + l) (x + 9)
(07)Efectuar : (x - 6)(x - 7). La
suma de coeficientes es :
A) -13 B) 42 O 29
D) 30 E) 0
^j^Efectuar: ( x - 9)(x + 12). Dar
como respuesta la suma de
coeficientes.
A) 3 B) -108 O -105
D) -104 E) 0
Calcular el área de la siguiente
figura: j
A) 25 + x* B) 25- x 3 O x + 25
D) x - 2 5 E )x2-2 5
(Q)Calcular la suma de áreas de las
siguientes figuras
x+ l
A ) x + 5
D )5 x + 2
B ) x + 2
E )5
Reducir: (x + 4)(x - 4 ) - x (x )
B) -16 O 2x2
E)4
(PRODUCTOS NOTABLES HNIYEL INTERMEDIO)]
• Indicar el equivalente en cada
caso:
m ( 2 x 3 +
w
(2 - sÍ2)
A)6-j2 B)2 C)4~ 2y¡2
D)2(a-j§) E)2(3-2j2)
s f
A)4xe + 25
B)4x*+20x3+25
O2x*+20x*+25
D)4x*+10x3+25
E)2x6-10x3+25
i (3a3-3)*
A) 9at0- 9
B) 9a1Q- 9 a 5 + 9
O 9a‘° - 18a* + 9
D) 3a10 - 18a* + 9
E )a I0- 9 a * - 9
(* + 4)* + (x -4 ) i -2 (x í -4 )
A) 40 B) 20 O 24
D) x 3 E)20
(2 a +3) (2a-3) (4a2+ 9)+ 81
A) 16a4-18a3+81
B) 81
O 16a3
D) 16a4
E) 7
ill + ( x - l ) ( x + l ) ( x 3 +l)Gr* + i )
A) 1 B) x3 O x2
D)xs+1 E) x 4
5+x
©
( x + l ) (x + 2 ) + (x + 2 )(x + 8 h 2 (x -5 ) (x -2 ) -x
A) 28 B) x s+4x+28 C)2xs-12
D )x + 2 8 E) x -28
Efectuar:
(x + 1) s - ( x - 1 ) 3- 6 x*
A) 2
D) 5
B) 3
E) 6
0 4
Efectuar:
A=(a+2m)3+(a-2m)3~2a(a3+12m3)
A) a B) -1 O O
D) m E)-2m
(x* + 6)(xs - 5 ) - ( x 3 + 4)(x2- 7)
A)x4+x3 B)4x3-2 C)4x3+2x
D)12 E)x3-2
(TT) S i : ab = 4 , a 2 +bs = 17
Hallar : (a + b)
A) 5 B) 3 0 4
D) 2 E) 1
Si:* + -tt= 4
X
Calcular : x* +
A) 50
D) 52
B) 64
E) 40
O 12
Calcular: o a
Si: a + b=jE ; ab=2
A) -4 B) 213 O -1/2 D)-3/4
(g ) Efectuar: «=(*+2/ - ( t - 2/3 - I2t3
A) 12 B) 14
D) 18
O 16
E) 20
0 2A) O B) 1
D) 3 E) 4
Si: a 3+ b3 = 3 y ab(a + b) = 8
Calcular : (a + b)
A) 2 B) 3 0 4
D) 5 E) 6
(g)La diferencia de dos números es
^3 y su producto ^9 ; calcular la
diferencia de sus cubos.
A) 12 B) 10 O 13
D) 15 E) 17
Si : a 2+b2=45
ab = 18
Hallar: a3 - b3
A) 170 B) 179 O 183
D) 189 E) 200
m
S i :a + 6 = 5 ; a 2+bs=20
M K O M H W 'T O S N O T A M E L E S
Calcular: £ = -—+a6 a
C) 9
129 m
A) 1 B) 2 C) J&
D) 2Je E) J3
A) 7 B) 8
D) 10 E) 12
Efectuar: (9xs + 3x+l)(3x-1)
A)9x--l B)9xs+1 C)27x-1
D)27x*+1 E)27x3-1
Efectuar:
S = (x + 6 )2 - (x + 8 )(x + 4 ) + 1
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3
Reducir:
(JÍ7)Efectuar: E =
A) 3
D)10
~^)(?[ÍÓ6 +%¡2Ó + $4)
B) 6 C )8
E) 12
A) 112
D) 4
(x + 9)3-{x + 23)(x+5)-2
(x+ÍJ)(x+3)-(x+25)(x+4)
B) 1 0 2
E) 114
@)Efectuar:
(x-l)*(x* +x + j^-íx* +V
A)2x3 B)-2x3
D)-3x2 E):x3
Efectuar: (x + 2J9
Ajx3 B)x4
D)x6 Ejx2
0 3 x 2
6x(x + 2 ) -8
O x 5
Efectuar:
%jas + 3ab{a + 6) + b3 -(a ~ 6) P
%¡a3 - 3ab(a- 6) - 63 + (a+6)
A) a/b B) b/a O ab
D)a E) b
@ ) Si: a+4=6; hallar: aa + -L
Si se cumple:
(a+ b )3 = a 3 + b3
Hallar: ajb
A) 1 B) -1 O 2
D)-2 E) 1/2
Si: (a+2-]* =3
Hallar el valor de °3+^r
A) 27 B) 6 C)12
D) 4,5 E) O
4
w
cv 1 ̂i -x y x + y
Calcular el valor de:
**-y* | xy t (*+?)*
x + 8 B)
xy
x + 4 C)
x+y
x + y O)
x
x + 3y B)t
A) 195
DJ205
B) 198
E) 210
0 200 Dada la expresión:
(a+2b)* + (ar-2bf = 8ab
Hallar el valor de: Af=^ +f b
[PRODUCTOS NOTABLES n-OilVEL INTERMEDIO))
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
0 3
Efectuar:
Afs fx +2/+(x+4)*-2<x+3)i
0 2
y
AJO B) 2x
D)-l E)2x-1
A qué es igual:
E = J (x - y Y + 4xy ; x > y > 0
A) x+y B) x O xy
D) O EJx-y
m Efectuar:
R = (Vx + Jy )* - (Vx - Jy )2 ; Vx ; y e R*
A) 4xy B) ifxy C) O D) x+y E) 2x+2y
Efectuar:
R = (y¡6 + 2 j e ) x ( j5 - 2 & ) +1
(Q)Si: x + l = V7
Calcular: x 4 + —4x
A) 34 B) 23
D)49 E) 45
O 47
Simplificar:
{x2 + 5x + fi)* - (x + 2)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
AJO B) 1 0 2
D) 3 E) 4
(Ht) Efectuar:
E = ( 2 x + 5 y ) * - ( 2 x - 5 y ) ¿ -3 6 x y
A) xy B) 8xy O 4xy
D)6xy E) 12xy
Si: x*+5x-Vs = 0
Calcular: x(x+l) (x+4) (x+5)-4y¡3
i c i P i c m x K S i u i s m ñ o s )
A) 2 B) 3
D)7 E) 9
(^ ) Resolver:
O 5
M = j ( 1 8 0 0 ) 2 - ( J 7 9 9 ) 2 + (y ¡3 + V jF ) (V 5 - j f )
A) 40 B) 36 O 60
D) 18 E) 72
(f¡¡) Si a y 6 son números reales
tales que a 2 + b2 = 1, entonces el
valor de a € + b€ es:
A) a3+b3 B) 1
D) a3-b3 E) l -3 a 2b2
(¡Jj Si: x2 + I = 3x
Hallar ix 9 + x^
A) 36 B) 24
D) 29 E) 31
0 3
O 18
n + r = 7@ S i :
Hallar el valor de: »a+-4n9
A)5y¡7 B)y¡7 C)7 D )2 j7 E)4>¡7
(fl¡) Simplificar:
A) 1
D) b
p = |a±6 + « ^
a-b a + o y
B) 2
E) ab
ag-6
a*+bs
O a.
■¡SO) Si: yfm + n + -Jm - n = n
Calcular: 4¡ñ+~ñ ~ Jm - n
@ ) Efectuar:
E=(x + 2y)2 ~(x
A) xy B) 3xy
D) 6xy E)9xy
2y)9 - 4xy
O 4xy
Reducir:
R=(a+b) * - (b-a)* + (a-2bj*-a* - 4b*
A ja B) b O O
D) 2ab E) ab
El valor de: (JiZTM +
es igual a:
A) 6 B) 8 O 10
D) 12 E) 14
Luego de efectuar:
E=(x+l)(x+2) + (x+3)(x+4h2x(x+5) se
obtiene:
A) 15 B) 14 O 13
D) 12 E) 11
Si: m =2a + 2b + 2c
Calcular:
130 i m
m*+o*+6, +c*
A) a+b+c B) 1
D) abe E)-l
6 2+c*
(productos notables diinivel intermediô )
Reducir:
A )x+3
D) x-27
X - 2 7
x 2 + 3 x + 9
B) x-3
E )x -9
C )x+ 27
Si: x3-y3=m ; x - y = n, entonces,
¿Cuál es el valor de “xyM ?
A)m*-n ~.m- n*B) m-n* fl. gjm-i?'7 Jn 7 n 7 J»S u 3
Reducir:
( x + 8 ) (x s- 3 x + 9 ) + ( x *+ 3 x + 9 ) (x -3 )
A) x2 B) 18 C) 2x3
D) 54 E) 27
Reducir:
(x+2)(x-2)(x*-2x+4)(x*+2x+4)
A) x 3+64 B) x 3-64 C) x*+64
D ) x 9-84 E ) x s+16
Luego de efectuar:
R = (4f-45}(449 + 435 + 426) + 3
Indique lo correcto:
A)R+1=0 B) 2<R<3 O R e*
D)R*+1=3 E) R -l = 7
^^Teniendo en cuenta que :
o + 6 = 2ab = 1
a 4 + b4calcular: R -
A) O
D) 1/2
a3 + 63
B ) - l
E )-2
C)1
T =
Calcule usted el valor de:
_ ( a + b + c ) 3 - a 3 - b 3 - c ?
( a + 6 ) ( 6 + c ) ( c + a )
A) -3 B) -1 C) O
D)1 E) 3
Sabiendo qu e :
a + 26 + 3e = O
Indique el valor de:
( a + b ) 3 + ( 6 + 2 c ) 3 + c 3
( o + b ) ( b + 2 c ) c
A) 6 B) 3 C )1
D) -3 E ) S
k
Si : a + b + c = O
efectuar: R = 2a‘ * b'a b + a c + b e
A )-3a B) -3
D)3
O 3a
E) -1
Reducir: R =
Si :a + 6 + c = 6
_ ( a - I ) J + (6 - 2 ) 3 + ( c - 3 ) '
( a - J ) ( 6 - 2 ) ( c - 3 )
A) -3 B) -2 C) O
D) 2 E) 3
(Q) Hallar el valor de:
(a+6/ + (b+c)2 + (a+c)2- (a+b+c)2
$ i:a 2 + b2 + c2 = 7
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
si: a ; 6 ; Cer; y además se
verifica:
a 2 + 6 2 + e2 + 22 = 2(a+2b+4c)
Calcular el valor de “ abe”
A) 1 B) 2 C) 4
D) 8 E )16
iSi: o + 6 + e = O
Efectuar:
N = -a ( o * » 6 c ) 4 6 Í6 * + a c ) + c (c * + a 6 c )
A) -3abc
D )-6
(a + 6 ) (o 4 c ) (6 + c )
B) -3 O -6abc
E) 3
(fá) Si se cumple : a4 a~J=V6 :
Calcular el valor de:
Va* + a “* + (a 3 4- a "* )*
A) 54 B) 56 C) 58
D) 60 E)N*A.
S i : 4a+$¡S + \fc = 0
entonces:
es equivalente a:
A) la b e i1 Bfl/abc Q fabcJ3 D}3yfábé E)abe
v_ /̂ Efectuar:
(x+yftf-xy+y2)2-(x-yfix*+xy+yif
A i fíi Mr-*»* C ) 2 x Xy34xY
D jx*y*
3x*y*
B )4 x y
(Q)Encontrar el valor d e :
E = (x -y ) ( x 2+ x y + y * )+ y (3x*+3xy+2y*)
para: x=3
A) 32
D) 36
2 $ 2 ; y = 3 + 2 $ 2
B) 27 C) O
E) 216
(T&) Efectuar:
S=(x*+2)*(x4-2xt+4)*-(xe+8)(x*-8>-128
A)10x6 B)0 C)16x3
D) lOx3 E)16x9
Si :xy~1 +yx 3 = 2
calcular: xyx
A) 6 B)7 C)8 D) 27 E) 1
Si : x 2- x + 1 = O
Calcular el valor de : F = x14 + x
A) -2 B) -1 O O
D) 1 E) 2
(5?)Halle el valor numérico de :
^x+4)(x+2)+l
para : x = 1997
A) 1996 B) 1997 01998
D)1999 E)2000
Calcular el valor numérico de:
(a -b ) f (a + b )2 + 2 a b + (a ^ b )2] + 2 b 3
Si: a = $4 b = 43s¡2-l
A) 2 B) 4 0 8
D) 16 E) 12
Si x ; y ; z son enteros
diferentes de cero, entonces si
x + y + z= 0 se cumple:
A) x3+y3+z'=8xyz
B) x 3+ys+z3=3xyz
O x*+y*+z2=xyz
D) x*+y*+zs=4xyz
E) xs+y3+z3=0
Si: J - ¿ = 3 ( X-y)
4(x’ + y»)
(* V ) ’
B) 8
E)1
Determinar:
A) 6
D) 16
O 12
Si: $x+ ® O, calcular “n ” de:
\x + y + zT
l^jxyz J 2 7
*+s
A) 6
D)3
B) 5
E) 2
C) 4
^ 7 ) R e a l i z a r :
B (3x + 4 y f - ( 3 x - 4 y f
x y
A) 4 B) 12 C) 36
D) 48 E) 72
Si: a* + b3 + c* = 300
PHimWTOS .V< IES 131 MllHClOXMCS IZl lílliOS)
a + b + c = 20
Calcular: (a + b)3+ (b + c)2 + (a + c)s
A) 400 B) 500 C) 600
D) 700 E) 800
Efectuar:
V=(x*+x+3i(x*+x+2)-(xí+x+l)(xt +x+4)
A) 2 B) -2 C) 6x
D )-6x E) 1
m
Si:
Hallar:
A) 3
D) 9
x + y = 5
x 2 +y2 = 25
x -y
B) 5
E)NJE
C) 7
Si: x - y = 2 a xy = 3
Hallar : x + y
A) 2 B) 4
D )6 E)NJÍ.
C) 8
Reducir: m = a 4 - b
si: a + 6 = 5
A) 5 B) 3
D) 9 E) 15
(o* +6f ) (a -6)
C) 7
@ S i: x2 + y* = 12xy
J XCalcular. f— + Z—
y x2
A) 145
D) 141
B) 144
E) 142
C) 143
Si : x = 2 4 a y = 22
Calcular________________________
R = $2(x + y)(x2 + y2 )(x4 +y4+ f y 7
A) 128 B) 24 C) 12
D) 64 E) 144
^^Hallar el valor de:
V = $8 - (32 + 1)(34 + 1)(38 + lf+1
A) 1
D) 81
B) 9
E) 729
C)27
Calcular el valor de:
v =ar + fr + c
a b e
a
Para: a =2 ; 6=2-42 c=$2-3
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
0 3
(Q) Evaluar:
f i= [ (a + 6 ) * ♦ ( a ^ ) * ] * - [ ( a + 6 ) * - ( a - b ' f f
Para : a = 4999 ; 6 = $997
A) 2 B) 4 C) 0 D) 8 5)10
S i: a3+b2+c3=ab+ac+bc,abc eX
Además:
n = 41 + $2 + 43 +... + 199V2000
Calcular:
A) 1 B) 2 0 3
D) 4 E) 5
Calcular:
P = (a + b + c)s - (b+c - a )3
-(c+ a - b)3 - (a+b - c)'
Calcular : a = 42 ; b = $2 ; c = $2
A) 12 B) 24 C) 26 D) 28 E) 48
Hallar el valor numérico de:
(0S 4. fc* _/•»)*
E « —
3a2 b2
Cuando: a = 13 ; b = 17 ; c = 30
A)9 B) 27 0 9 0
D)900 E) 2700
Para «x» e «y» 6 r
Además : x2+ y2 - 4x+6y =
Hallar el valor de: x + y
A) 1 B) 5 0 4
D) -2 E) -1
-13
El valor de:
es igual a:
A) 6 B) 8 O 10
D) 12 E) 14
(Q) Calcular:
(4 5 +l)($6-l)+($3+2) (45 - 2)
(42 + 2)(42- i )
A) 3 B)4 C)5 D)6 E)7
Si: (x + y )2 = 4xy
Calcular el valor de:
3 + —
2x + _
A)2 B)3 0 2 x
D)4 E)5+x!2
(Ííj) si:(a + 6 + c + d)2 =4(a + b)(c + d)
Calcular el valor de: 3(a+bJjgc+d
A) 1 B) 2 O $3
D) 3 E) $2
S i : 2yz = $x + 2yz+ $x-2yz
Calcular: r = $x + 2yz - $x - 2yz
A) 3 B) 2 O I
D) 1/2 E) 1/3
S i: x3+ y 3=16 ; x + y = 4
Hallar
A) 1
D) 3
xy
B) -1
E) 4
0 2
Si: x — 1Í27 ;y = 1¡3
Hallar: g = <x + y>'"<*
x +y2
- y ) 4
A) 18
D) 16
B) 24
E) 9
O 18
Simplificar:
(x + 5 )(x + l) - 2(x + 4) 2 + (x+7)(x+3)
A)6 B) -6
W - 3 E )x
Si: xy + xz + yz
x + y + z
O 3
0
5
Calcular: K =
* y
B) 5
E) 1
3 . . . 3
O ioA) -5
D )-10
(0 ) S i : x s + y 3 = 10 ; xy = 6
Hallar:
E = (x+ y )3 -1 8 (x + y ) + 2 0
A) 18 B) 5 O 30
D) 20 E) 10
Si: x - x-1 - $3 • Hallar: ** + ̂
A) 3 B) 4 0 4$7
D) 4 $3 E )2
Si: x + y + z = 0
Calcular: g = <x " *?+ <y ~ y>*
( x - y ) +<x + *) +(y + *)
A) 1 B) 2 0 3
D) 4 E) 5
Si: $ x + $ y = 4H ; x y = 4
Hallar: $x-$y
A) 1 B )j2 C ) l l
0)47 E)je
Si: x - y - y - z = 2
Calcular:
( x - y ) * + ( z - y ) * + ( z - x ) *
8
A)1 B) 2 C)3 D) 4 E)6
Si: - — 2— 3(x->)
y ^
H a lla r el va lo r de: £ » y+ y*
A) 1 B) 2
(*+yf
C) 3/4 D) 1 E) 1/4
( L l EXl n iah9* :» / l 20 / 2]
HABILIDAD
OPERATIVA
La capacidad para efectuar
rápidamente operaciones
aritméticas mentales parece tener
sólo una moderada correlación con
la inteligencia general y menor aún
con la intuición y creatividad
matemática. Hasta matemáticos
más sobresalientes han tenido
dificultades al operar, y muchos
aficionados a la matemática se han
visto en aprietos cuando de
operaciones mentales se trata.
Sin embargo, algunos grandes
matemáticos han sido también
diestros calculistas mentales. Cari
Friedrich Gauss, por ejemplo
gustaba hacer alarde de que
aprendió a calcular antes que
hablar. Se dice que a los tres años
de edad corrigió el resultado de la
suma de una larga lista de números
que su padre había efectuado.
También se afirma que el
matemático Zerah Colburn
multiplicaba los números grandes
fraccionándolos en partes y
multiplicándolos, empleaba una
técnica algebraica mental.
EJEM PLO :
56 x 42 s e convierte en (50 + 6) X
(40 + 2) las operaciones se hacen
como se indica a continuación
1er paso: 50 x 40 =
2*° paso: 50 x 2 -
3er paso: 6 x 40 *=
4 ° paso: 6 x 2 ”
= 2352
56 O
42 O
50 + 6
1 X 140 + 2
Es recomendable ir sumando los
resultados parciales luego de cada
paso.
A continuación presentamos una
manera curiosa de multiplicar
números comprendidos entre el 6 y
el 9 mediante los dedos de la mano.
EJEM PLO :
sabemos que 8 x 7 = 56
Expresemos el ocho y el siete
mediante excesos respecto del 5 así: al número se le agrega tantos ceros
^ ^ como nueves tenga el multiplicador
8 “ 5 + ( 3 ) ; 7 = 5 + (2 ) y luego se le resta el número
Representemos el 3 y el 2 mediante original.
los dedos extendidos en las manos E JE M P L O S :
©dedo*
«taxtdoa
^ • 397 x 999 = 397 000 - 397 = 396 603
©Usdos
******* E J E R C IC IO 1 :
Calcule las cuatro últimas cifras del
producto y dé como respuesta la
suma de ellos.
... 4 568 X 9 999
r> 8 x 7 = 56 E J E R C IC IO 2 :
número total de y Yrssukado de muldplcar ios dedos ̂
dedoe aaaxfldos cerrados en embae menoe <2x3) Calcule la SUIHa de las dos cifras
centrales al multiplicar de manera
abreviada 99 988 x 99 996
E J E R C IC IO 3 :
Calcule la suma de cifras del
resultado al operar:
M = 22 x 202 x 2 0 002 x 100 000 001
MULTIPLICACIONES
rAp id a s
* Para multiplicar por 5 al número
se le añade un cero y luego se le
divide entre 2 .
E JE M P L O S :
agregar
un cero+2
• 74 x 5 - 74 740 370
agregar
un cero
243 x 5 = 243
• Para multiplicar por 9 , al número
se le añade un cero y se le resta el
número original.
E JE M P L O S :
agregar
un cero -26
26 X 9 = 26 260 234
agregar
un cero
• 67 x 9 = 67
Siguiendo este criterio podemos
realizar otras multiplicaciones
Se le agrega dos
ceros y se le resta
el número original
E JE M P L O S :
• 3 6 x 9 9 = 3 6 0 0 - 3 6 = 3 564
• 1 2 5 x 9 9 = 12 5 0 0 - 1 2 5 = 12 375
De manera práctica, para
multiplicar un número por 99...99,
p96) A
t i ) V
t« ) A
01) A
U!TI Wtfl
w m bm
02) .1
0 7 ) *:
12) A
17) r
OBJ C
02) A
06) A
12) V
IH) E
OS) C
04) V
on) r
14) t
10) II
04) C
05) II
10) U
15) U
20)4'
OS) B
PROIHXT'OS XOT.UILES U
{XITEL UÁSM'O)
P*) *
96) .1
t l )B
16) It
91)11
02) U
07) II
12) E
17) A
02) II
02) V
OH) II
12) E
IH)A
02) E
04) .1
09) 1
14) U
10)11
04) r
05) B
10) 11
15) E
20) B
05) B
PROMXTOS NOTABLES 1
(MITA. IXI'I’KMEIIIO )
¡oí)*:
06) U
I I ) A
16) II
01) V
02) II
07) O
12)11
17) A
02 ) II
02) I’
OH) .1
1 2 ) r
IH) II
02) II
04) A
09) t
14) r
19) r
04) .1
05) 11
10) II
15) A
20) E
05) B
pRout t r o s xot .u u x s n
4v /v t 'l ,. LYTEHJIIAIHI
p l) *'
96) A
II) II
16) *:
91) C
02) A
07) II
12) II
17) C
02) D
02) II
OH)E
12) C
IH) E
02) E
04)11
09) A
14) II
19) II
04) B
05) E
10) A
15) C
20) ti
05) B
PRODUCTOS XO MAULES 111
XiVEL - LYIEKJIEBIO
Pl) II
96) r
II) V
10) A
91) C
02) 1'
07) E
12) II
17) i:
02) C
0 2 ) r
OH) II
12) II
IH) E
02) B
04) II
09) .1
14)11
19) r
04) B
05) €
IO)E
15) E
20) B
05) E
2 ¡E E I .11 ¿ ¿ y / i m ,
OI) II
06) A
II ) 1'
16) II
21) E
20) C
WXJ II
07) E
12) C
17) II
22) U
27) C
02) A
OH) II
12) E
IH) A
22) B
2S) E
09) II
09) II
14) E
19) II
24) 11
20) C
05) B
10) C
15) E
20) U
23) r
20) C
1 8 9 f * K « l > f rí ’ T O ^ .V « T v l J f ]
Observe y relacione correctamente:
I ) a 2 - b 2
II) (a + b )2
III) ( x + a ) ( x + b )
IV ) (a + b ) - ( a - b ) 2
V) (a + b )3
A)Ia - lid - Ule - I V b -V e
B)Ib - lid- lile- IVa -Ve
O le - lid - Illb- IVe - Va
D) Ib -lid - lile - IV c-V a
E)Ia - lie - ¡lid -IVc - Vb
a )4 a b
b) (a + b ) (a -b )
c ) a 3+ 6 s +3a& fa+& )
d ) a 2+ b 2+ 2 a b
e ) x 2+ ( a + b ) x + a b
Sabiendo que: P = (a +2b)2
N =(2a — b)2
M = (b + a )(b — a)
obtener: P+N +5M
A ) 0 B ) 1 0 a 2 C ) 1 0 b 2 D ) 5 a 2 E ) 5 b
Si {*■; y } C M+ .además:
A = (3 x+ 2 y )2+ (3 x - 2 )2
B = (3 x+ 2y)2 —(3x - y ) 2
& „V.v, .y
•
.:a •jS
C = (3 x + 2 y ) ( 3 x - 2 y ) " ¿ f y f
VI , - " *--------- j
obtener el equivalente de: y jA + B '+ C 4 (2y)
A)3x + 2y B)3x - 2y ’p C)3x + 4y
D) 3 x - 4y E) Más de uno es correcto
Reducir:
(a + c+ b)(a + c - b) + (b + a - c)(b - a + c)
A) a + c B) a - c C) ac D) 2ac E)4ac
Luego de reducir: •>
(x 4 2 )2 (x 2 4 4x — 4) — (x — 2)2 (x 2 — 4 x — 4)
se obtiene:
A ) 2 x 3 B ) 4 x 3 C ) 4 x 3 D ) 1 2 x 3 E ) 1 6 x
Luego de reducir:
M = (n + 2 ) (n + 3 ) (n + 4 ) (n + 5 ) - (n 2+ 7 n + l l )
A )-10 B) -11 0 - 9 D) -1
Si: * = $2 + j2 A y = 3Jl4f2
E)-6
calcular: x 9 4 9 x 3y 3 4 y 9
A) 27 B) 18 0 9
Cumpliéndose que:
D)81 E)36
x=3a4& 2;y = 3 6 + a 3;a6=J reducir la siguiente
expresión: % j( x + y f - y j{x — y ) 2 donde:
{ a ;6 ;x ;y } C R
A) 1 B) 2 0 4 D) 0 E)-l
Si: x = $J—1 4 \¡—2 + yJ—4 calcular el valor
j A x 3 4 3 x 2 de: A = —:------- — ; x £
A)-2
3 x — l
B) -1 0 0 D )1 E)2
(£(t) Efectuar:
(x+ 6 )(x2 —6x + 36) — ( x — 4 ) ( x 2 + 4x + 16)
A)280 B) 220 0 2 9 2 D) 296 E)300
© Efectuar:
■¡■\(* + y)(*2-xy + y!)+{*-y)(z2 + zy+y2)
( x 4 z ) { x 2 - x z + z 2 )
A) 1 B) 2 0 3 D )x+ y E)y+z
1 1 4 u nSi se sabe que: ~ 4 t- — — — ;a o ^ UH 2 b a + b
resucir
A) 1/2
■»
B) 2 0 4 D) 2‘ E)U4
á) Calcule el valor de: » 1 12 : * y * 02x y
si:
A) 1
x
B) -3
3 ( x - y )
0 3 D) 2 Eh2
Si: a = >/a 4 6 4 Va — b
b = yja + b — yja — b
calcular el valor de «a» .
A)1 B) 2 0 3 D) 4 E)5
(^9) Cum pliéndose que: 3 a 4 fc = 3 A a 6 = I
calcular: a 2 + b3 + 8b
MUI 1 3 * lS L i I A 2 0 1 2 1
a ; 1/3 B) 1/6
© Reducir:
C) (-3) -2 D) 4/9 E)1 además:
J(x2 + X - 7)2 - (x - l)(x + 2)(x - 3){x + 4)
A) 1 B) 2
© Simplificar:
C)3 D) 4 E)5
^1 + 3 (2 * + l ) (24 + l ) ( 2 8 + l)..~¡26 + i
AJI B) 16 C)4 D) 8 E)2
Si a 2+ b2+ c2= 2 (a + b + c) — 3
además: {<*; b; c } C » calcular : o. — b — c
AJ-1 B) 18 0 -2 6 D)-48 E)-108
ÍB Sabiendo que: b2x + ¡y~2x — y[$ calcule:
b2x- b ~ 2x; b > l / \ x > 0
A) 1 B )2 0 3 D)4 E)5
Cumpliéndose que: x 2 — 2x — 1= 0, x ^ 0
calcular: A = x + 8
A) 1124 BJ1134 O U 44 D)1154 E)1164
@ > Observar y relacionar:
I)(a + b + c ) 2
II) (a + b + c)3
III)Si: a + 6 + c=0
IV) a 4 + a 2b2 + b4
A)a3+b3+ c 3=3abc
B)a2+b2+ c 2+2(ab+ac+bc)
C)(a2+ab+b2 )(a — ab + b2)
D) a 3+b3+cs+3(a+ b)(a+c)(b+c)
A)IA - IIC - IIIB - TVD BJIA - IIB - 11IC - IVD
OIB -IlA-IllD - JVC D) IB - I1D - IIIA - JVC
E) IC - IIA -IIIC - IVD
íi£) Cumpliéndose que: a2 +b2 + c2= 5; ab+ac+bc-S
P =(a + 6 + c f
N =(a — b + c)2
M =(a+ b — c f
calcular: $ P + N + M
A) 1 B) 2 0 3
(^^)Si : m + n + p = 0 , simplificar
D)4 E)5
(m + n)2 + (m + p f + (ra + p )
B )-2
mn — p
0 - 3 D)-l/2 Eh4
Si existen tres números a , 6 y c £ J ? , que
verifican las siguientes condiciones: a + b + c= 4
(4 - a)(4 - b)(4 - c )= 1 2 . Calcular: a 3 + b3 + cs
A) 27 B) 28 0 2 9 D)32 E)36
5) Indique verdadero (V) o falso (F) , según
corresponda:
( ) ( x + l ) ( x + 2 )(x + 3 )= x 3+6x 2+11x + 6 )
( ) ( x + l ) ( x + 2 ) ( x - 3 ) = x 3 - 7 x - 6
( ) (x — 1 ) ( x — 2 ) (x — 3 ) = x 3 — 6 x 2 + l l x — 6
A) W F B)VFV C )V W D )F W E)VFF
Si: x + y + z = 0
Calcular: (x+y)(x+z)(y+z)
A) -3 B )-2 0 - 1 D) 3 E)l/3
(ffi) Calcular el valor de:
A _ (w - n f + ( n - p f + (p - m)
(m — »)(m — p )(« — p)
sabiendo que: m ^ n ^ p
A) -1 B) 1 0 3 D) -3
Cumpliéndose que: a 2+b2+ c2=12
ab + a c+ b c= — 6
calcular el valor de: a jÍC
E)2
A) 3
a(6 + c )2 + 6 (c + a) + c ( a + 6)
B ) 3 l 0 2/9 D) 18 E)6
Cumpliéndose que:
a2 + ab + b2=8
a2 - ab + bs = 4
[ í ; i > i r : / O A 7 : ^ m m v o v Jgg ISB5 P H Q p f V ’ m ^ . v o rrj\itr.M:& ]
calcular:
a 4 + g V + b4
(a + 6 )* + (a + 6 )*
[(a + 6)2 - (a - 6 ) calcular: ( « * + » ’ + « * ) ( « * + * * + * * )
a b c(a b + a c + 6c)
A )2 0 t3 B )2 1 ,3 C )2 2 ,3 D )2 3 ,3 E )2 4 f3 A) -1 B) -4 C )-6 Dh8 EhU3
( Í ^ S i : { a ;6 ; c } c Z+ ;a6ce se l menor valor posible. Sean a , b , c £ R t tales que:
además: o* + 6 2 + c 2 = 81 ;a * + 6 1+ c 1 = 1—
8
(ab)2+ (a c)2+ (bc)2= k 2
a b c= a + b + c= k ;(k ^ 0)
calcular: 3 a -8 6 + 9 c
A) 41 B)42 O 43 D) 44 E)45 Calcule:
( O ) Si se cumple que: (m + n + p )2=3(mn+mp+np)
además: m,n A p € R calcular:
1 S
A) ac + be+ ac
s j s
B)(a + 6 + c / C)2ab + ac+ be
8m + 24n + 1 8
9m + 3n — lOp
DJo6c+ o2+ b*+c2 E)3
Si m + n = 10
A ) 4 T 0 B )\Í3 C )
Si: 2 (x + y + z )= x s+ y 2+ z2=4
D ) 5 E )9 simplificar y calcular: — — 3 ) — —— ^ * 2m n - 42
- 6 4
A) 9 B) -3mn O -3 D)-6mn E)-6
calcular:
(xy)* + (xz)‘ + (yz)*
Cumpliéndose que:
s j
A) 2 B) 1/2
xyz
O I
tAA O-
•* t-S\á
D)5 -c\ Ef-4'1
Sabiendo que: I V ' 2>
a + b + c = l
a 2+b2+ c2=2
a 3+ b3 + c 3= 3
•
- x + yjx2 - 4 - x — 'ix? r- 4m —--------- ;n = calcular:
a 6 + a c+ 6c
calcular:
XV
abe
A) -3 B) -2 0 - 1
Si: o + 6 + c = 0
D h l E)6
A) -2 B) -1 O I D)2 E)3 reducir:
Si: a ; + 6 1 + c J = l ;a b c ^ 0
reducir: M —
A) a
abe — 2 (a + b + c)
B) 6 O c D)abc
Dado: « + 6 + c = í
a6+oc+6c=0; 06c 0
calcular: (a 6 )* + ( « 0 * + M *
a b e
A) - I B) -2 0 1/2 D)l/4
M = a 4 + b4 + c ' - 2 (a *6 2 + o V + 6 V )
A) 1 B) 0 0 - 2 D)2 E)abc
SEPTIMA PRACTICA
£ ja + 6+c ’)n¡2)V 3)C
W A u m m c
6)0
16)E\17)B
OCTAVA PRACTICA
’)W )C m \ m m 6)0
m
E)2
( í^ ) Sabiendo que:(</a — tlb}[ifa + </6 )(Va + yfc) =
1A EXCJ4 J‘*>*0icuL\ 2012}
EXPONENTES T RADICALES
(57) Dado: a = 2 ;6 = $¡2 + a + a 2
Calcular el valor de: « £ o 9 »
A) 512 B) 256 C) 64 D) 1 024
Calcular A8, sabiendo que:
E) 258
A =8 í 4]
-2 21 - 3
*1
5 3 9
- i
B = í 3 )
w
- 3
A) 1
D) 1/3
Efectuar:
B) 2
E)l/8
C)8
> > - 2 1
a a b
b 1 a
• *
b .
- 1
A) bfa B) 1/a
Calcular:
O 1/b D) 1 E) a/b
T 1
- i
- í 1) 21 aj 1 b . +
i UJ
3 2 4
A) 1 B) 2 C )3 D) 4 E) 5
(5% Señalar la verdad (V) o falsedad (F) de cada una
de las siguientes proposiciones:
( )....Si x > 0: (x~n) 2( x 2) " = 1
( )....2(3n) = 6n
)....( - 2 ) 2IB( - 8 ) 1IB = 2
A)VFF B)FVF C )W F D) VFV E) V W
Al multiplicar:
(
3 3 1 3 í 8 ,x y x y
4 2 % 2 2- x y
* i
- x y
se obtiene:
\
y
>X,
—m
Dar como respuesta el valor de mm +1
A) 2 B) 8 C )4 D) -3
Al simplificar:
E)-2
E =
A) 2
2 Sx+J + g x + 2
23* + 1
B) 2*
se obtiene:
O 33 D) 66 E) 128
Efectuar: ¡-4x^y - - x 2—
42 ^ X 2 2 x4 2
A) 2 B) 4 0 8 D) 16 E) 32
Si: a = 6 + c ; al reducir: (6 + c)b a c~a * 2
se obtiene:
A) a2 B )a s O b* D)a E)b
En la expresión:
712m
n
— *
el exponente de x es:
A) nn - 1 B) nn O I D)nn+1 E)n
(Tí) Al simplificar la expresión:
6 X 4 m
2̂nt + l t| se obtiene:
A) m/4 B) 2m
5
O
m+1 D)l/4 E)4
Reducir:
42
A )42 B) 2 0 4 DJ2-1 E)2r*
Simplificar: E = * 1 - 6 4
1 - 6 4 - X
A )4 X Bb4x 0 8 x D)8 E) 2
(í?) Simplificar:
n+1 51n+1 -42 n+1
34n+1 - 28n+I
(jMSJWAaSO MmAM*€ZMAJL ¿HáV 197 E D IC IO N E S DU1SMÑOÑ
A) 2 B) 3 C)6 D)213 E)3I2
Calcular el exponente final de «3» en:
n
3yl3n+4.y¡9~2+n
A) 1
9
B) 2 C )3
Si: mm =2 calcular: H = mm+m
A) 2 B) 256 0 512 D) 8
D) n E) 2n
1 +m+1
E) 16
ECUACIONES EXPONENCIALES
Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
* Si 7 m+2 = 3 4 3 = > m = 1 ............. ( )
3y¡3
Calcular el producto de los dígitos del valor de la
• Si X* =$72
.2
expresión:
= > x = $ 2 7 .......... ( )
Si x x = 2 => x = í/2 ................... ( )
A) FVF B) W F O F F V D) W V E) VFV
Calcular «n» en:
A) 49 B)56 O 36 D) 32 E) 14
128x128x128. xl28 » 32x32x32 ........ x32
Calcular el valor de M , si:
+2
2* "
M =
A) 5 B)l/5 C) 1 D) 25
(n-1) veces (n+5) veces
A 16 B)8 0 1 2 D)-10 E) 14
El valor de «x» en: 512*^ =4~6 x32?~x
A
&*V.
Si: 2* = 3 calcular: K = y¡9 - >¡3 + l& $
E) 125, 4 Resolver:
B) 3 0 5 D)2 E)6
13*M
= 132n—7
A) {12} B ){11 } C ){1 0 } D ) {9 } E ){8 ]
A )2 B) 3 C)4 D )5 m Resolver la ecuación:
i,
@ Simplificar:
A)2 B )42 0 4 D)%2 E )í[2
(2-2 [ir'
X
4\ 2)
1
* - ií
= 1692x+s
calcular: J = (i — x)0 ,3
@ C alcu le el exponente de x en : A) $2 B)2 C)$2 D)$4 E $ 3
H ( < ~ r
m Resolver: yJ fm 1 x i f f m+i = f f fm+l m + 9
Aj (2 n - ! ) f Q )(2n J A D ) (2n + 3) f E ) (2n>!
n! n ! - ¡ 2n ! 2a !
A ) {12} B ) {10 } C ) { 6 } D ) { 5 } E) {3}
Calcular «P» en la siguiente igualdad:
°1¡Ó^2 °*J0¡Ó 4=$Í5
A) 1 B)-50/3 0-50/3 D)-3I50 E)50¡3
@)Calcule el exponente final de x luego de reducir la
siguiente expresión: @ ) Resolver:
S2x -s __ 3x
3x
= 26
^ x t f x r f x . . . . . . $ x (1 0 r a d ic a le s )
A) n10- l B) n*1- ! _ n
n10(n -l) ' n10(n -l) nn(n -l)
c , m E ,1-2" * 5?
2 " /
Luego indicar el recíproco de «X»
A) 8 B) -8 O 1/8 D) 4 E)-4
Si A es la solución de la siguiente ecuación:
5*+ 5* 2 = 26 entonces lo incorrecto es:
r
A ) A € Q B ) A > 2 C ) A < z R D ) A £ 1 E ) A ^ 1
Luego de resolver:
55 =3125
se obtiene que «n» es:
A) Par B) Negativo C) Fraccionario
D)Impar E) Irracional
<Í7) Resolver: Jí9x+,J = | i07j Dar como
respuesta Q = $4x +1
A) 5 B) 6 C )8 0 )2 E)7
Si: 5a=3b ; a * b . Calculan F~
5a+2+56
A) 10 B) 13
2 a - 2
0 1 4
3*+ /- 5 a
0)16 E) 17
Si: = 2 4 calcular: a x + a + 1
A) 10
100a
B) 11 0 1 4 0)13 E)21
Resolver: y¡2x~2 V 2 ^ = y¡2x yj2x~2
indicando luego: $x ~ i
A) 1 B) 2 O S 0 )4 E) 5
Calcular «X» si: ¿*-4 + ¿*-3 + ¿x -t _
A) 1 B) 2 0 4 O) 8 E) 5
(0 Calcular «o» ^ 2 _ dando: p — ayfa8 + l
A)2 B)V28 c £ f r 0 )3 E) 9
Resolver: « i r
Dar el valor de: $2x + 3
A) 4 B)2 0 5 0 )7 E)3
(Q) Resolver |ó6x j =
B ){ó 6} R ) { 6 /+* }
A)5 B) 2 /5 O I 0 )2 5 E) 125
(^Calcular: _ X ~*S si se cumple que:
A)2
X
B) 3
5 x 3 1 2 5
0 4 0)5 E)6
fi2 a- ri
Resover: x = 798
Dar como respuesta lx + 1: V 2
A)4 B)7 0 8 0)5 E)6
¿Qué valor de x verifica la siguiente igualdad ?
- x x _ o 7 a
A)1I2 B )H 4
x =2
C)2 D)3 E)1I8
G R A D O S F PO LIN O M IO S
Del polinomio: p (y ) - 5y _ 7y 3 + $y4 _ ¿ j + y 2
indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda
en:
( ) El término lineal es
( ) El polinomio es mónico.
( ) El coeficiente del término cuadrático es 2.
A)FFF B)VFF OFVF D )W V E)VFV
En el siguiente polinomio:
P(x&) = 7x9y : - 5x4y8 + 3x6y 7 indicar correcto
(c) o incorrecto (i):
( ) El GM<x) = G.R(y) + 2
( ) El G M P ) = 18
( ) La suma de coeficientes de P(x; y) es 15
A)cci B)icc C)cii 0 )iic E)cic
@ S i :
P(x) =7(xx - 1 ) + 9(x" - x ¿ + 1) + 3x* - (3x)‘ x2
calcular: P ($ 3 )
A) 1 B) 4 0 3 0 )5 E)9
Si: P(X) = x2 - x + 2 »calcular:
Ai = P { P [ 2 - P < - 2)7}
A) 64 B) 36 O 58 0)44 E) 49
Si: P (x ) = x - 1
A) 8
$x + 2
B) 1 0 1 3
. Calcular: N = P(P(25))
0 )4 E) 25
S¡: P(x) = (x2+ l f - (x2 - 1)3
Calcular
A) 2,5
■ ' W D
B)4,5 0 2 O) 1 E) 3,5
K 189
(S^Si los términos algebraicos: T,=3aí x a~lyl2~b
T2= lb 2x h+,ya+4
son semejantes, indicar la diferencia del mayor menos
el menor.
Ai48x4y* B)66x4yis C)39x4y9 D)36x4y9 E)53x*y12
@ S i : P (3 x -2 ) = 1 2 x -5
Calcular: J = Pfr+ 1) - P(x - 1)
A) 7 B) -1 C )8 D) 1 E) 10
Si: P(x + 5) = 3 x -2 *
Calcule «t», además : P(2x + t) = 6x + 7
A) 1 B) 3 0 5 D)7 E)8
@ Si: P ( X ) = (X _ u * _ i
Calcular: N = P(x) + P(x+2)2
(f?) Calcular «m + /i» si el polinomio:
Q ( x ; y ) = x 2m+n- 4y m+ "*s
es de grado absoluto 28 y la diferencia de grados
relativos a «x» e «y» sea igual a 6 .
A) 27 BJ 25 0 13 D) 10 E) 9
(Q) Dado el polinomio:
P(2x - 3) = (2x+3i4m + 2{12x - 6)2m + (2x+l)2m
calcular «m», si su término independiente es igual a 2
600
A) 1 B) 7 O 0 D) 3 E) 2
(ntf En:
P(x+ 1) = (2x + l )n + (x+2)n - 128(2x + 3) donde
«n» es impar, la suma de coeficientes y el término
independiente suman 1, entonces el valor de «n» es:
Aj 7 B)9 0 5 D) 6 E) 8
A)6 B) 1 0 2 D)4 E)3
7h Si: P
5 x + 3 )
5 x - 3
5
= — x
3
D) 2n E)2n + 1
(Q) Dado el polinomio: p(z + 2) = z2 - 5 z + m si el
término independiente de F(z) es 6, calcule la suma Calcular: M = P (2 )x P (4 )x P (6 )x xP(2n)
de coeficientes de F(z).
A) -5 B) 3 0 - 4 D) -2 E) 8
Calcular la suma de valores que puede tomar «ti»
para que la expresión: M (x)=xn~3+ 7x?"n - 6 x nl2
A)1 B) n C) n + 1
(57) Dado el polinomio:
sea un polinomio.
A) 12 B) 10
Si la expresión:
P(x,y) =
3
8xmyn - 2x m—ln + l +4x m+2y n—2 j
O 25 D) 15 E) 9
—. ^3a+b a—b+ d x 2a~by b+4+ b cx cy dM (x; y) = a x
puede reducirse a monomio, encontrar su coeficiente
A)-3¡2 B) -1/2 O -1 D)-2 E) -2/3
@ S i P (x )= x + 2 a P[P(x)+x]~ gx + 6 •
Calcular F(2), si F(x) = * + ab
A) 13 B) 24 O 16 D) 10 E) 42
(Tjt) Sea el polinomio: '
si GR(y)=48 . Determine el GR(x) , si el grado
absoluto de P(x) os 00.
A) 24 B) 36 O 48 D)96 E) 108
Si el grado de P (x)* Q (x) es 19 y el grado de
P 2(x)
Q(x)
A) 2
es 4. Determine el grado de Qfx).
P (x ;y ;z )= a x a- 5yb- 6 - b x 7- ay 8- b+ cxc~3y B~c
además o y e son números pares y 6 es impar .
Calcular el valor de (a + b)c
A)52 B) 66 O 42 D)70 E) 38
@ Si el grado del polinomio:
P(x;y) = x 3nyn~¡ + 7X2n~3y2n*1 - 5 x n~2y3n~i
es 19, calcular el valor de n2.
A) 1 B) 4 0 9 D) 1 6 E) 25
B)3 0 4 D)5 E) 6
Si el monomio M ( x ^ ) = (xz)u(xy)b(y z f es de
grado 18,y los grados relativos a x ,y ,z son 3 números
consecutivos (en ese orden). Calcular: abe .
A) 6 B) 8 O 12 D) 18 E) 24
Determine el grado del polinomio:
m + f t + 3 m - S & W + lP(xfy ) = X ............... y " ' - + « * - ’ " f - y .........+ 7 x ym+n—3m+2y
Si la suma de los grados relativos a x e y e s 2 1 y además
el menor exponente de y es 2.
A) 12 B) 13 O 14 D) 15 E) 16
Si p(a,b,c) es idénticamente nulo determine
M 3+N3 »siendo:
IBSB3LI4W IB H luí L V r /t x o i^ b t i 20í¿\
p*(a* + bs +c* +d*) - (o* +b2-c* -d x )*+M(ac+bdt2 + N(ad - bei2 Determine la sumar de los coeficientes de P(x,y)
A) -16 B) -2 0 - 4 8 D) -81 E) -128
El polinomio P(x) es ordenado y completo.
■»-• + (n - 3)xn~8P (x )= (n -2 )x + (n - 4)xn~7 + •tt
Calcular: M = gr(P ) + ( N ° términos de P)
A) 7 B) 12 0 1 3 D) 16 E) 18
Sea P(x^y) un polinomio homogéneo de grado 2.
Si P(2; -4 )= 4 , hallar P( - 4; 8).
A) 1 B) 2 0 4 D)8 E) 16
Indicar cuales de los siguientes enunciados son
correctos.
I) P(x,y) = xy es homogéneo.
II) P (x^ ) = 0 es homogéneo.
III) P (xy) = 7r es homogéneo.
A) Sólo I
D ) I y I I
B) Sólo II
E) 1,11 y III
O Sólo III
Se tienen 3 polinomios en x, P(x), Q(x) y R (x ) , se
sabe que la suma de los grados de Q y R excede en JO
al grado de P . Asi mismo el grado de (Jp2QR es JO y
el grado de (PQ)
R 4
es 34, hallar la diferencia entre los
grados de Q(x) y P(x).
A) 2 B)4 O 7 D) 9 E) 11
Sean P y Q dos polinomios con:
P (x ) = (x + a )(b + ex ) + a x + 4
Q (x) = (x + b )(x + 2) + x
Si P(x) + Q(x) es un polinomio de grado cero, entonces
4b2 + c 2es igual a.
A) 1 B)4 0 5 D) 10 E) 17
@ ) Si al sumar M(x) y P(y¿z) se obtiene un polinomio
homogéneo donde:
M (x) = o x (a+1)b(ha)
/ « )0l26 1.0+26
P(ytz) = y ia~1} 6 + 6 z b
Calcular: °jb(a+l); ab^O 9
A) 2 B ) Jl2 C ) $12 D) 1 E)3
@ ) Sea P(x&)\in polinomio homogéneo de grado
homogéneidad 2 , s i :
P(4;l)=5 JP(1&)=1 y P(2;l) = - 1
A )-2 B) -1 OO D)2 E) 2
@ S i se cumple: {a + 2 x+ b ){a -2 x+ b ) = (a -b ) 2
Simplificar: E =
_ ( x + a ) ( x + 6 ) x 3
a + 2 x + b
A )-l B ) ~ i OO E) 1
Sean los polinomios: p(x)=2x3+5x2+4x+l
Q(x) = (ax + b)°(cx + d)a + k ; k * 1 donde
P(x) _ Q(x) =0\
Calcular:
A)-l
C j Ob d
1 -h
B) 2
(a ec ° )
O I D)-2 E)4
Sea
*0 =
2 v 3 \ 5 ¿cual es el
valor numérico de P(x) - x 3 + 3x + l en x = x 0?
A) 5 B)2 017/3 D)5/3 E)1
@)Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I) El polinomio P (x ) = o x 2 + óx + c siempre es
cuadrático.
II) En el polinomio Q (x - 1) = m x2 + nx + p
sus coeficientes suman m + n + p
III) El polinomio P (x;y) = a -f ó2, a 3e0 A ó * 0 es un
binomio.
IV)La expresión p (x * ;y ) = x 3 + y 5 es un polinomio
A )W V B)VFVF OVFFF DJFFFF E )F F W
Dado el polinomio: P(2x+i) — 8x — l
Se sabe que : *** ^
Luego, calcule el valor de a +6
A) 14 B)20 0 1 6 D)24 E)22
Halle la suma de coeficientes de un polinomio
141 E IH C tO Ñ K S KUKUVO&)
P fxt de mínimo grado que cumple
( x —2)P(x) = P(x_j)¿X . s¿ es mónico.
A) 0 B)J C )-I D)2 E)-2
Sea : f i - ix
x + 1
2 cifras 2 cifras
96 x 93 = ... 28
complemento 4 x 7
* - 1
Calcule el valor de n s i :
se cumple que f
; x > l
i . f 414 3 ....f
\n
2.
& 3 j- 4 . n + lj
A) 8 B)12 C)10 D)20
= 45
E)25
SEGUNDOS
Se resta a uno de los números el complemento del otro
número. (Por ejemplo 93 - 4)
96 X 93 = 8 928
93-4
4 - 7
Si P(x) es un polinomio que cumple :
P ( l - x ) =3 P(x) - mx - 7 cuyo término independiente
es m ,. Calcule la suma de coeficientes. La operación ha culminado 96 X 93 = 8 928
A) 7 B)6 C)5 D)3 E)1 E JE M P L O :
Si desea multiplicar 87 x 91(g ) Sean los polinomios :
f ( x ) = \ Í 2 x 3 - (2 $ 2 + l )x 2 + ( 2 - $ 2 ) x + y¡2
G (a t — í ) = x.calcule f | g ( ) ) .
A \)42-i B ) j2 + i C ) l -y [2 D)2\¡2 E ) - $ 2
i
2 c ifra s 2 c ifra s
87 = ..ÍYP
c o m p le m e n t o 1 3 x 9
Se multiplican los complementos 13 x 9 = 117
Sea y=f(x) tal que f (x )= x - l Indique el valor escribo 17 y llevo 1 .
» < '¡ ‘
(x*-y*)4 + tf4
de si se cumpie t é k + •
87 x 91 7917
A) 1/3
N *'\ V \
B)1I2 C)l/4 D)3f4
Si x es un núm ero' modo
E)1 9 1 - 1 3 + 1
<*ue • Se resta 91 - 13 = 78 y se adiciona lo que llevo
10** + 10x* + 4 = 3x — 6 ¿cuái es el valor de 78 + 1 = 79,
x
2
A) 10/13 B)3/10 010/3 0)13/10 E)l(5
M U LTIPLICACIÓN
P O R COM PLEM ENTO
Para poder aplicar este método, ambos números deben
tener la misma cantidad de dígitos.
EJEM PLO :
para multiplicar 96 x 93.
PRDMERO Z
Se calcula los complementos de cada número y se
multiplica ambos complementos.
La operación ha culminado 87 x 91 = 7 917
E J E R C IC IO 1 :
Calcule la suma de las dos cifras centrales al multiplicar
de manera abreviada 99 9889 x 99 9968
E J E R C IC IO 2 :
Calcule la suma de las cifras centrales al multiplicar
de manera abreviada 99 90000099 X 99 9955
E J E R C IC IO 3 :
Calcule el producto de las dos cifras centrales al
multiplicar de manera abreviada ;
89 8888 x 99 99996
G M 7 t M * a I L 6 ñ a ^ e o u i o i i ]
© Sea la expresión:
(a + b )4 - ( a - b ) 4
(¡f j) Efectuar: p _ (* + 5 )2
“ (x + 3 )2 - ( x + 5 ) ( x + l )
A) 7 B) 6
Simplificar:
Calculan N =
( a 2 + b 2)2 - ( a 2 - b 2)
4a + 2b
= 4
C )8 D) 9 E) -5 4 a - b
AJI B)2
c>i
E)4
E - A
2 a b - b 2)2 + (a z - 2 a b - b z )2 i2
A)a*-b* B)2a* 0 2 b 1 D)a* + b* E)ab
Sea: A = (x + l ) ( x + 2 )(x + 3)
B = (x + 2 )(x + 3) + (x + 2 )(x +
Indican - A l - __
B - B x 2 - 8
A) 2 B) 3 C) 1 D) O E )x
Encontrar el valor de x 4 - 4x - 4, si:
x = ¡^2~+H + ¡->/2 — 1
A) 4 B) 3 O I D )0 E )-2
© Si se cumple: —
señalar: G = x 8 +
x 4 +1 = 5 ; x * 0
8
A) 525 B) 527 0 526 D) 628 E) 629
^ Dada la expresión:
2(x+y)*+2(z+w ) = (x+y+z+u>)* - (x+y-z-u>)*
calcular: _ _ ( x + y Y °
{ z + w j
A) 3 B) 4 0 2 D) 1 E) 0
E
Reducir: M = (x + 1 ) (x - 1 ) (x 4 + x* + 1)
}f¡) Si: a + 6 + c = 2p
calcular: T = (p - a )2 + (p - b)* + (p - c)* + p*
A) a + b + c B) abe O 1 + abe . .
D) a* + 6* + c* Ey 1 ¿ ¿ t
Efectuar: ^ v ^
e = (x* + 1 -xyr** + 1 + + i / f r * - z ;
Dar el valor de: E + 1 V
Ay i e ; o cy** Dy»4 Ey*“
i: x = >[3~+$6 + V j —
B) 100 O 1000
Si: a a + 6a + ca = a 6 + a e + 6c, simplificar:
si
A) 99
y
D) 999 E l i
E = (1 - a )6c + í i - b )a c + (l - c)ab
a (a - b) +b(b - c )+ c (c - a )
A) a + b + c B) a + b - c C) a - b - c D) O E) 1
Si: a + — = 5 ; calcular:
a
> y• V
Dados los números a* b, c tal que a * 6 * c ,
además (a + 6 + cy* = 3(ab + a c + be).
Calcular:
£ = |a +a y(a +«y
4a 6
* § ® !
cyi i>y2 Eys
(a + b )2 + (a + c ) z + ( b + c )
„2 , i_2 , J2a +o + c
A)2 B) 4 0 8 D) 5%
Calcular el valor de:
g _ ( x + a ) ( x + b ) x s
a + 2 x + b ab
si: (a + 2x + 6y fa - 2 x + b) - ( a - b)*
A l l í B) O 0 4 D) 2
2
Si: a = 2 , calcular:
2
El 1 Í11JL
IX) II
22).\
\18)H
rea
\8)B\ z m iñm
17) C W ‘a\i»)B
2)A
18) I)
4) H Yilüln) K b fc ] 8) c tojr# íQ)á\
y A E n c D j ü B E \ftlEviio)<
tíc a
2)C W B 4) C
El 3
U)K
ÍS.
26) C
m.Á. 0)11
28) K¡29) B
a 2 + a - CUARTA PRACTICA
A) 78 B) 80 0 82 D) 84 E) 86
' t ) u \ a m * ) n
in n M & m
7)B\ H)B \p)D{lO)B
ÍF IW fm V K .Í K I7 IIA O * WJVIWáA’ iíli' J»OU.VOiVf#A«
v'« _ _ ** V - 1 • , • * „. __ * t ~ •■' ■ ~ ’ i/í _m - 2 “'■"■ '
OBJETIVOS :
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de:
* Reconocer los elementos y las propiedades de la
división
* Efectuar la división usando los métodos de Horner
y Ruffini
* Encontrar el resto de una división sin*efectuar la
operación (en ciertos casos)
* Reconstruir polinomios, bajo ciertas condiciones,
usando la divisibilidad polinómica
* Conocer la importancia y aplicaciones del teorema
del factor.
INTRODUCCIÓN :
Al empezar nuestra" historia matemática", desde
muy pequeños vimos las primeras cifras 1 ; 2 ; 3
etc. Y luego de eso, tratábamos de relacionarlas
mediante las operaciones aritm éticas
fundamentales: suma(adición), resta(sustracción),
multiplicación(producto) y división. Y es aquí donde,
quizás para mucha gente, empieza el "G RAN
DOLOR D E CABEZA" con respecto a las
matemáticas, al tratar de resolver ejercicios un
tanto más complejos. Sin embargo,esto no tiene
necesariamente que ser así, pues la matemática
puede ser disfrutada a plenitud aplicándola a hechos
reales vividos día a día.
Debemos recordar que la primera operación vista
fue:
LA SUMA(+), con ejercicios clásicos como lo son:
2 + 2 ; 5 + 2 ; etc. Posteriorm ente, vim os una
operación opuesta a la anterior:
LA DIFERENCIA(-), y resolvimos ejercicios como.
7 - 2 ; 5 - 1, etc.
Luego conocim os lo que se denomina "suma
abreviada", osea:
LA MULTIPLICACIÓN( x ) y calculamos productos
como: 3 x2 ; 5 x 4 ,etc.
Y finalmente llegamos a una operación opuesta a la
multiplicación:
LA DIVISIÓN( +J. Aquí, distinguimos los siguientes
elementos:
D ividendo
Residuo
211_5_
20 4
Divisor
Cociente
1
Bueno, pero a lo mejor te preguntas, "¿Y qué tiene
que ver esto con el álgebra?", pues la respuesta es
muy sencilla.
Toda nuestra "historia matemática" vivida de
manera aritm ética (es decir, utilizando
únicamente números) será repetida, pero ahora
de manera algebraica (es decir, utilizando
polinomios).
La división de polinomios se origina con la división
entera de números naturales, y hay una relación
directa entre las propiedades de ambas divisiones.
Así, las operaciones algebraicas de polinomios son
análogas a las operaciones de los números naturales,
de este modo, la adición y multiplicación de números
naturales generan números naturales, en cambio,
la sustracción y la división de los números naturales
no siempre generan números naturales. Luego, para
dividir enteros se creó el algoritmo de Euclides, y
como consecuencia de la operación de división nace
la teoría de la divisibilidad entre enteros, pero no
solamente estos resultados se pueden aplicar para
dividir números enteros, sino también se pueden
aplicar para dividir polinomios y en forma análoga
aplicar la divisibilidad entre polinomios.
D IVISIÓ N D E PO LIN O M IOS
La operación de división tiene por objeto calcular
dos polinom ios denom inados C O C IE N TE y
RESIDUO , partiendo de dos polinomios conocidos:
DIVIDENDO y DIVISOR.
Dividendo ^,-v •i—•"Divisor
L D(x) |d(x)
Residuo-*— R(x) Q M
L—** Cociente
La división es un proceso en el cual, conocidos dos
polinomios llamados DIVIDENDO y DIVISOR ,
se obtienen otros dos llamados COCIENTE y
RESIDUO.
D (x) m d(x) q(x) + R(x)
Identidad fundamental de la división
♦Donde:
♦ D(x) : polinom io dividendo
♦ d(x) : polinom io divisor
♦ q(x) : polinom io cociente
♦ R(x) : polinom io residuo .
♦Además:
°lD(x)J ¿ •/d (x)l ¿ 1
°[R(x)J < °[d(x)J vR (x ) * 0
E J E M P L O :
A partir de:
X2 m(X+ l ) ( x - l ) + 1✓ * ..... «'h- %■ »
D d q R
podemos afirmar que: al efectuar la división
1 1 * * ii XCICLOPEIDA 2012)
2
X + l
se
obtiene como cociente q fxt = x - 1 y como x + l
residuo R (xf-1 ;donde además se puede observar que:
GA(R) < GA(d), pues GA(R) =0 y GA(d) = 1 .
O B S E R VA C I Ó N
Para poder dividir dos polinomios estos deben
encontrarse completos y ordenados.
E J E M P L O S :
<^Sea el polinomio: P(x) = 5x + 3 + 2x* + x s
yOrdenando
P(x) = x* + 2r* + 5r + 3
<^Sea el polinomio: Q(x) = 3x3 + 5x - 1
y
&Sea el polinomio: J(x) = 2x - x* + 3x4 + 5
Ordenando
Completando
J(x) = 3x4+ Qx3-x*+ 2x+ 5
E J E M P L O :
x 3 - 3 x + 4 = (x - 1) (x2 + x - 2) + 2
I X x ) d ( x ) q<x) R ( x )
C IA S E S D E D IV IS IÓ N
De acuerdo a su resto, se pueden clasificar en:
i ) D IV IS IÓ N ¡EXACTA :
Es aquella que no deja residuo o que: R(x) =0. Con
esto, el ALGORITMO de la DIVISION queda asf:
D(x) = d(x).q(x)
E J E M P L O S :
Al dividir x* - x -1 2 entre x +3 se obtiene:
x 2 - x - 1 2 = ( x + 3 ) ( x - 4 )
D ( x ) d ( x ) q ( x )
donde: R(x) =0
•Veamos a otro ejemplo :
x 2 + 13x +34 a (x + 2 ) (x 2 - 2 x +17)
D (x) d ( x ) q (x)
♦Es una división exacta es decir: R (x) m 0
¡ I ) DIVISIÓN INEXACTA Z
Es aquella que sí deja residuo o que: R (x) * 0 .
E J E M P L O :
Al dividir Xa - 2x + 6 entre x* + 2x - 1 , se obtiene:
x 3 - 2 x +6 = (x 2+2x - l ) ( x - 2) + (7x+4)
d ( x ) q ( x ) R (x )D ( x )
donde: R (x ) * 0
*A partir del algoritmo, dividiendo ambos miembros
entre d(x) , se obtiene:
D<X) «<x)
- ?<x) +
“ (*) “ (x)
•La expresión del segundo miembro se denomina
cociente com pleto y se denota por Q(x); es decir:
O rr i ^ x)
Q(*>- g<*>+ d ü )
E J E M P L O :
x 2 + 13x +34 = ( x + 2 ) (x 2 - 2 x +17)
U<X) d ( x ) q(x)
*Es una división exacta es decir: R (x) = 0
O B S E R VA C I Ó N :
Si R (x) = 0 .tenem os D (x ) = d ( x ) q ( x ) ,
podemos decir : • d(x) es divisor de D(x)
• d(x) es factor de D(x)
• D (x) es divisible por d(x)
E J E M P L O :
El polinomio d (x ) = x - 1 , es un factor de:
D(x) = 3x* + 2x - 6
♦pues, D(x) es divisible por d(x) , es decir :
luego
D ( x ) _ 3 x z + 2 x - 5
d ( x ) x - 1
R (x ) = 0
PR O PIED AD ES D E GRADOS
En cualquier caso, la división de polinomios se
efectúa con respecto a una sola variable. Según esto,
con respecto a esa variable, se cumple que:
*GA(D) £ G A (d )
• GA(q) = GA(D)-GA(d)
• GA(R) < GA( d)
• GA(R)máx - GA( d ) - l
p a i 4 g i n s MPiY'MSMON MfMC l » O L L V I W i l » ^ ]
E J E M P L O :
Si °[d(x)] = 3 , entonces el resto podría tener la
forma : R(x) - a x2 + bx + c.
Si a =b = c = 0 , entonces R(x) =0
CASOS QUE SE PRESENTAN EN
LA DIVISIÓN D E POLtNOJUOS
DIVISIÓN D E M ONOM IOS í
E J E M P L O :
Aplicando las leyes de los exponentes se tiene:
a ox _ ap x m-n para b0 * 0
b0x n b0
8x17 __ 8 17-t5_l 6
24x12 24 3
D IVISIÓ N D E UN POLIN OM IO
EN UN MONOMIO
Para dividir un polinomio entre un monomio se
divide cada uno de los términos del polinomio
separadamente entre el monomio divisor y se suma
algebraicamente cada uno de estos términos. Es
decir, aplicando la propiedad distributiva de la
división se tiene:
a + b + c _ a ^ + b_+ c_ V\
m m m m ^ ( i\
E J E M P L O :
5 x 4 - x 3 + 3 x Sx 4 x 3 3 x 3 2 n
-------------------------------= ---------------------- + — = 5 x - x + 3
X X X
D IVISIÓ N EN TRE D O S
PO LIN O M IO S
La división de polinomios está definida para una
variable tomada como referencia, a la cual se le
llama variable ordenatriz.
M ÉTODOS P A R A D IVID IR
POU N OJnOS
Para dividir polinomios se utilizan los siguientes
métodos:
• Método clásico o general
• Método de los coeficientes separados
•Método de Horner
• Método de los coeficientes indeterminados
•Regla de Ruffíni
Antes de efectuar una división de polinomios,
debemos observar que el dividendo y divisor sean
polinom ios com pletos y ordenados en forma
descendente, con respecto a la variable ordenatriz.
Si faltase algún término, ya sea en el dividendo o en
el divisor, éste se completará con “ 0 “ .
Por su facilidad en su aplicación, debemos
considerar como lo más importantes los métodos
de Horner y de Ruffini.
A ) M ÉTO D O CLÁSICO í
se emplea para la división de polinom ios de
cualquier grado ,para ello se tienen en cuenta los
siguientes pasos:
J) Se completa y se ordena los polinomios dividendo
y divisor con respecto a una sola variable (llamada
ordenatriz ) en forma descendente, en caso de que
falten términos,estos se completan con cero . En caso
de que halla dos variables se asume a una de ellas
como tal y las demás hacen el papel de números o
constantes .
2) Se divide el primer término del dividendo entre el
primer término del divisor , obteniéndose así el
primer término del cociente ; luego este último se
multiplica por cada uno de los términos del divisor
y el producto asi obtenido se resta del dividendo ,
para lo cual se le cambia de signo colocando cada
término con su semejante . en caso de que algún
término de ese producto no tenga ningún término
semejante en el dividendo , se escribe dicho término
en el lugar que corresponde de acuerdo con la
ordenación del dividendo y divisor.
3) Se baja el siguiente término del dividendo y se
repite el paso anterior tantas veces hasta que el resto
sea a lo más de un grado menos que el grado del
divisor(resto de grado máximo) , o en todo caso
hasta obtener cero como resto(división exacta).
E J E M P L O 1 :
•dividir P(x) =6x3-2x*-15x+8 entre Q (x )= -5 + 2 x2
R E S O L U C I Ó N :
•Se ordenan y se completan los polinomios de acuer
do a la potencias de * :
6x3 - 2X2 - 15x+8 \2x2 + 0 x - 5
• Se divide término del dividendo entre el primer
término del divsor : - 6x3+2xg=3x ; se multiplica
este resultado por el divisor 2x2+0x - 5 y se resta el
producto del dividendo.
6 x3 - 2 x ! - 1 5 x + 8 12 x 2 + 0 x - 5
- 6 x 3+ 0 x í + 15x 3 x
- 2 x * + 0
•Se baja el siguiente término del dividendo (+ 8) y
se divide el primer término del dividendo parcial
c
entre el primer término del divisor :-2x*+2x* = - I
; continuando el proceso hasta llegar a un residuo
cuyo grado sea menor que el grado del divisor.
6x3 - 2x* - 15x+8 \2x*+0x-5
-6x*+0x*+15x i 3x -1
- 2x*+ 0 +8
+2x‘ + 0 - 5
♦luego :
COCIENTE: 3 x - l ; RESTO: 3
E J E M P L O 2 :
Dividir: 3x17 - 4x12 + 9x10 - 4 x 7 + 3 x S - 2
r/& NClCLOM>Et>MA 2012)
4 0 - 7
4 - 6
- 6 -7
6 9
3 0 8 5 1 2 3
2 3
-2 -3
0
0
0
0
0
0
8
0
2 - 3 1 0 0 4
8 5
-8 -12
-7
Donde:
Cociente: 9(X) — 2x5 - Sx4 + x 3 + 4
3 x b + 2
R E S O L U C I Ó N :
• Efectuando, se tiene:
3 ¿ 7- 4 ¿ 2 + 9 3 ¿° -4 s? + 3 s ? - 2 I 33?+2
- 3 ¿ 7 - 2 j? 2 ______________
- 6 ? 2 + 9X10 - 4x?
6 J 2 4 ¿
-9^0+3xf¡
- 93? ° - 63?
- 3 3 ? - 2
33? + 2
0
♦Como puede observar es una división exacta, donde:
Cociente: qr(ir) = x 12 - 2x7 + 3xs - 1
Residuo: ^ ) S 0
B)MÉTODOS DE LOS COEFICIENTES
SEPARADOS
Es un procedimiento similar a la de la metodología
clásica, con la diferencia que en este caso, sólo
se utilizan loa- coeficientes. Debemos tener en
cuenta que a parte de la ordenación, tanto el
dividendo como el divisor deben estar completos.
Caso contrario, se sustituirán con CEROS los
espacios correspondientes de los términos que
faltasen.
E J E M P L O :
Dividir: 4x6-7x4 + 3xs +8x + 5
2x+3
R E S O L U C I Ó N :
* Utilizando sólo los coeficientes, se tiene:
Residuo: R̂ xy = - 7
C ) M É T O D O D E H H U L V G* n O R N E R :
El esquema para efectuar la operación se muestra
________________ en la figura 1. Sobre la línea horizontal y a la
x12 - 2x7 + 3x6 _ i derecha de la línea vertical se ubica el dividendo; y
a la izquierda de la vertical se coloca el divisor, el
primer término por arriba de la horizontal con su
propio signo y los demás términos por debajo de la
misma pero con signo cambiado.
Se completa el esquema trazando una horizontal por
la parte inferior y también una vertical, que separa
a partir del final un número de coeficientes igual al
grado del divisor. Suponiendo que ya se terminó con
la operación, el cociente y el residuo se obtienen tal
como se señala en la figura 2 .
D IV ID E N D O Z> / V / 2> E \ N D O
ml i B
V V •$
i i •A
m n
w
•
o o •$
r r •
C O C IE N T E
fig u ra . 2
R E S T O
f ig u r a 1
Se emplea para la división de polinom ios de
cualquier grado, para ello se tienen en cuenta los
siguientes pasos:
IJSe completa y se ordena los polinomios dividendo
y divisor con respecto a una sola variable (llamada
ordenatriz ). En caso de que halla dos variables se
asume a una de ellas como tal y las demás hacen el
papel de números o constantes .
2 )S e distribuyen en form a horizontal los
coeficientes del dividendo .
y en form a vertica l los coeficientes del divisor
con signo cam biado a excepción del p rim ero .
1 4 7 I f f i W i p i m i ó i V i r a : r o L L V o . m o 8 ]
3J Se traza una línea vertical separando tantas
columnas a partir de la derecha t indicado por el
grado del divisor ; de esta manera se marca la
separación entre el cociente y residuo.
4) Se divide el primer coeficiente del dividendo entre
el primero del divisor y se obtiene el primero del
cociente . Luego este se multiplica por cada uno de
los coeficientes del divisor que han cambiado de signo
y el resultado se coloca en la segunda fila ,
corriéndose un lugar a la derecha .
5 )Se reduce la siguiente columna (se suman los
coeficientes ), y se repite el paso anterior tantas
veces hasta que la última operación efectuada caiga
debajo del último coeficiente del dividendo.
6)Se suman directamente los números que están en
las columnas que corresponden a los coeficientes del
residuo .
7) El grado del polinomio queda determinado por la
diferencia entre los grados del dividendo y divisor ;
y el grado del residuo queda determinado según la
cantidad de términos.
E SQ U E M A S
v Coeficientes de D (x ) ,
Priiaer coeficiente
dd divisor
MISMO
SIGNO D I \/ 1 D E N D O
Los demás
coárieates
¿el divisor
consigno
SI
G
N
0
5
C
AM
BI
A
DO
S
Línea divisioria
C O C I E N T E RESTO
E X GEXERAIJ
Este es el métodos general para dividir polinomios.
Consideremos los polinom ios com pletos y
ordenados:
D(x) = OqX4 -f-a1xa + a sx* + a sx +&4
d(x) - b0x* +btx * b t
Donde: a 0 * 0 y b9 # 0
Para mostrar el esauema de Homer.
x
-tí
-tí
i/j
co
kj
bo So Si a2 a3 a4
-b,
-b2
□ □
□ □
□ □
E D tH GE) [rñ] r,
Coeficientes Coeficientes
deQ (x) deR(x)
Q(x) = q (pc* +qlx +qs a R (x) =r¿x + rt
O B S E R VA C I Ó N :
1) El primer coeficiente del divisor d (x) mantiene
su signo, los demás coeficientes van con signo
cambiado.
2JLa línea (punteada) vertical que separa los
coeficientes del cociente con el coeficiente del resto
se traza contando desde el último coeficiente del
dividendo, un número de espacios igual al grado del
divisor.
En nuestro ejemplo ° [d (x )]= 2 , luego 2 coeficientes
del dividendo quedan a la derecha de la línea vertical.
E J E M P L O S I L U S T R A T I V O S :
E J E M P L O 1 :
Efectúe la división e indique el cociente y el residuo
de:
15xs - U x 4 +21x3 - x 2 + 3
3 x 2 - x + 2
Fíjese que falta el término en **x** en el dividendo.
Trazando el esquema y completando con **0** aquel
término, ubiquemos los coeficientes del dividendo y
divisor como en el primer cuadro. Efectuando las
operaciones correspondientes como se muestra en
el segundo cuadro.
15 -11 21 -1 0 3
1
2
5 -2 3 2* -4 -1
Luego, el cociente será: q(x) = Sx3 - 2X9 + 3x + 2,
el resto: R (x) = - 4 x - 1 y el cociente completo
Será: Q<*)=5*3 - 2 x 2 + 3 x + 2 +
ix> 3 x * - x + 2
c M i * » 1 XCiCM.OPFMMA 2QÍ¿\
E J E M P L O 2 :
Dividir: 8 x s + 4 x 4 + 6 x 2 + 6 x - 1
4 x 2 - 4 x +2
R E S O L U C I Ó N :
‘ colocando según el esquema los coeficientes del
dividendo y divisor :
E J E M P L O 4 :
Dividir: 4x 4 + 9x 3 + 6x 5 - 1
x + 2x3 -1
R E S O L U C I Ó N :
‘ Preparando los polinomios:
# lugares - d° = 2D (x) s 6x¡ + 4 x t + 9 x , + 0x, +Qx _ 1
d(x) rn 2xs + 0 X 3 -bX - 1
‘ Aplicando Homer :
Coeficientes de! "q1 Coeficientes de! "IT
‘ solo se obtienen coeficientes , la variable se agrega
de acuerdo al grado .
‘ asi tenemos : q°= 5 - 2 = 3 ; R °= 2 -l =1
q = 2 x 5 + 3 x £ + 2 x + 2
R = 10x-5
E J E M P L O 3 :
Dividir: 6xS + 5 x 4 - 4 x 2 - 8 x 3 - 6 x + 4
2 x 3 + 3 x 2 - 1
R E S O L U C I Ó N :
‘ Aplicando el criterio general:
D (x)= 6xs +6x< - 8 X 3 - 4 X 2 - 6 x + 4
d(x) = 2 X 3 +3x* -bOx - 1
•Luego :
2 6 5 - 4 - 6 4
- N
3
0 -2
3 0 - 1
3 - 2 - 1 i 2 - 8 - 3
q(x) =3x* - 2 x - 1 ; R (x ) = 2x* - 8x + 3
C oetd e lq u ) C o e íd e lR ^
Como D(x) y d(x) presenta todos sus términos y
están presentados en forma descendente, entonces
q (x ) y R (x) también debe presentar todos sus
términos y están orientados descendentemente.
Además como:
grad[qj: 5 - 3 = 2 y max.grad.fR) :3 - 1 = 2
*se tiene: q(x) = 3x* + 2x +3
R (x) = I x * - l x +2 = x s - x -b2
E J E M P L O 5 :
Halle el cociente y el resto de la división:
x 5 - 5 x - 4
( x + l f
Observe que faltan 3 términos en el dividendo, pues
siendo de grado 5 debería tener 6 términos.
Completando con “ c e r o s " aquellos términos y
desarrollando el divisor, el esquema queda así:
donde: Q M