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RELACIONES
FUNCIONES
LIMITES
CONTINUIDAD
LA DERIVADA Y
SUS APLICACIONES
A. VENERO B.
Hugo Quezada Alegría
Resaltado
,
ANA.LISIS
. ,
MATE MATICO
d
·1
2da. Edición
2012·
J. ARMANDO VENERO - B •
. dx LICENCIADO EN MATEMÁTICAS (U.1'1.1.)
·Con la colaboración especial de
JOSE P. MIGUEL CAÑAMERO
Master.en Matemáticas y Ciencias de la Computación
Univerity of British Columbia, Vancouver, Canadá.
ALBERTO LUTGARDO YAÑEZ
Máster en M~temáticas y Ciencias de la Computación
University of Kentucky, Kentucky, U.S.A.
R. ISABEL VENERO DE LUJGARDO
Tutora en Matemáticas
• West VaÍley Colle'ge, California, U.S.A.
-
'E'DICIONES <;i'E:M.'A.1l
LIMA PERÚ
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/
Hugo Quezada Alegría
Resaltado
, , . .
ANALISIS MATEMATICO 1
2a. Edición
J. ARMANDO VENERO B.
Est~dios de ~aglster en MATEMÁTICAS (P.U.C.~ . )
Dpto. de tipeo, diagramaci6n y diseño
Ana María Vargas Loayza,
Lic. en Educación (UNMSM)
Hecho el Depósito Legal ~n la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2U12-04350
ISBN: 978-612-45216-1-4
Primera Reimpresión, Mayo 2012
© 2012, 2010, Representaciones Gemar E.l.R.L.
Av. Rio Vilcanota 168: Ate. Lima 03
Teléfono: 4466176
rep_gemar09@hotm?il.com
COPYRIGHT© 2012, 2010, 2007, por Representaciones .Gemar E.1.R.L. LIMA - PERO
. . .
Prohibida la r~producción parcial o total, por cualquier me-
dio o método, de este libro sin la autorización legal del
autor y/o de REPRESENTACIONES GEMAR E.I.R.L.
LIMA- PERÚ. .
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
,
PROLOGO
Como alternati11a a la necesidad de contar con un libro que comple-
mente el primer curso de matemáticas universitarias en las especialidades
de Ingeniería y Ciencias , es que presentamos esta obra que trata acerca del
CÁLCULO DIFERENCIAL. El estudio de este tema es enfocado de dos mane-
ras: teórica y práctica.
La teoría no es tan rigurosa, con ejemplos ilustrativos que explican
por si _mismos la importancia de estudiar la teoría eón atención y cuidado.
. '\
El estudio de este tema presupone conocer, aunque a un nivel ele-
mental, la Lógica Simbólica y la Teoría de Conjuntos, y a un mayor grado
las propiedades de los NÚMEROS REALES que se refieren a sus axiomas, á
la solución de Ecuaciones e Inecuaciones tanto Lineales como Cuadráticas,
las propiedades del Valor Absoluto y del Máximo Entero, así como el Axioma
del Supremo. Estas propiedades se.pueden encontrar en muchos libros entre
los cuales: MATEMÁTICA BÁSICA o INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MA-
TEMÁTICO de mi autoría. Sin embargo, algunos conceptos y propiedades
importantes los presentamos en este libro en un capítulo introductorio de-
nominado Capítulo O: NÚMEROS REALES.
Los capítulos de esta obra siguen un orden tal que cada uno de ellos
depende del anterior en gran medida, razón por la cual aconsejamos al es-
tudiante dedicarse con esmero a cada capítulo, tanto en lo que respecta a su
teoría como a sus ejemplos resueltos.
El primer Capítulo titulado RELACIONES está dedicado.a la geome-
tría de ciertas gráficas que será sumamente útil en el capítulo siguiente que
. trata de las Funciones. Se presentan los criterios y técnicas para graficar y
reconocer curvas y regiones especiales en e_l plano cartesiano.
Luego se estudian las FUNCIONES enforma detallada, presentando
las técnicas para hallar el dominio y el rango de una.función dada, así como
para realizar operacio.,,es·entre.funciones y construir funciones más elabo-
. radas como las FUNCI<JNES COMPUESTAS y las FUNCIONES INVERSAS.
El tercer Capítulo estudia el concepto de LÍMITE y es el más impor-
tante del libro pues coltitituye la puerta de entrada al universo denominado
ANÁLISIS MATEMÁTICO, ya que conceptos posteriores como la Continui-
dad, la Derivada, la Antegral y muchos otros, se definen en base a los
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Límites. La presentación de este capítulo es el resumen de mi experiencia
docente en la enseñanza de este tema durante· varios años.
El cuarto Capítulo acerca de la CONTINUIDAD DE FUNCIONES es
corto pero completo y es prácticamente una extensión del anterior.
El quinto Capítulo trata de la DERWADA defunciones, que es una
nueva operación matemática sobre las funciones. Precisamente este concep-
to así como el de la operación denominada INTEGRACIÓN, dieron un gran
impulso a la Ciencia y a la Tecnología. · · ·
El sexto capítulo estudia las APLICACIONES DE LA DERIVADA en
lo que se refiere principalmente a la Razón de Cambio de una función con
respecto a su variable, a las Velocidades, al cálculo de valores Máximos y
Mínimos y al trazado de Gráficas de Punciones. .
Además, en este sexto capítulo presentamos el MÉTODO DE NEW-
TON que es una técnica muy sencilla y a la vez impresionante, que requiere
al menos de una calculadora con memoria, y se utiliza para calcular las so-.
luciones de aquellas ecuaciones polinómicas y de otros tipos, que resultan .
imposibles de ser halladas en forma exacta, con el grado de aproximación
que uno quiera.
El último capítulo trata de la FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL
(Logaritmo Neperiano) y la función EXPONENCIAL, sus defin:ciones, gráfi-
cas, propiedades, sus derivadas y algunas aplicacion.es.
Incluye los límites logarítmicos y exponenciales , y en esta segunda edición
estamos presentando en una forma muy didáctica todas las técnicas para el
cálculo de límites que tienen las formas exponenciales indeterminadas:
o o 00 o ' 00 y 1 •
Como una ayuda adicional para el estudiante se presentan
series de ejercicios al.final de cada capítulo y a continuación sus respectivas
claves de respuestas, y con avances de solución de muchos de ellos.
J. ARMANDO VENERO BALDEÓN
CAPÍTULO
CAPÍTULO
CAPÍTULO
CONTENIDO
o NÚMEROS REALES
1 Axiomas de la Relación de Orden
2 Ecuaciones
3 Ecuaciones Cuadrátic·as en una variable
Raíces del Trinomio Cuadrático ax 2 + bx +e
4 Completación de Cuadrados
La técnica de completar cuadrados
.5 Discriminante de ax 2 + bx +e
6 Valor Absoluto de un número real
1. RELACIONES
1 Pares Ordenados, Producto Cartesiano
2 .Relaciones. Tipos de Relaciones
3 Gráficas de Relaciones
4 ·Relaciones Inversas
5 Distancia entre dos Puntos
6 La recta y sus Ecuaciones:
7 Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares
8 .Distancia de un Punto a una Recta
9 Ángulo entre dos Rectas
10 Gráficas que involucran el Valor Absoluto
11 Gráficas de Ecuaciones: Parábolas, Circunferencias
12 Criterios generales para graficar ecuaciones
13 Serie de ejercicios
2 FUNCIONES
1 Funciones. Dominio, Rango y Gráfica
2 Cálculo de Dominios y Rangos de Funciones
3 Funciones Especiales: Identidad, Constante, Escalón
Unitario, Signo, Valor Absoluto, Máximo Entero, Raíz
Cuadrada, Funciones Cuadráticas, Polinomios, Seno y
Coseno
4 Evaluación de una Funéión en un Punto
5 Trazado de Gráficas Especiales ·
6 Funciones Pares, Impares y Periódicas
7 Álgebra de Funciones: Igualdad de Funciones; Suma,
1
2
3
3
5
7
10
12
16
16
19
26
34
37
39
43
45
47
49
54
65
71 .
74
74
80
. 85
100
108
116
i ,'
r
. Resta, Multiplicación y Cociente de Funciones 120 5 La Derivada de una Función Compuesta 403
8 Composición de Funciones 130 6 Problemas resueltos 412
9 Funciones Inversas. Funciones Suryectivas, 7 Derivadas Laterales 414
Inyectivas y Biyectivas. Funciones Inversas 144 8 Funciones no diferenciables 417
10 Funciones Trigonométricas y sus Inversas 178 9 Diferenciabilidad y Continuidad 423
11 Serie de ejercicios · 189 10 Tópicos sobre Análisis de la Oiferenciabilidad 425
:~ 11 Derivadas de orden superior 436
CAPÍTULO 3 LÍMITES. 234
'
12 Diferenciación implíclta 438
13 Diferenciales. Error Relativo y Error Porcentual 441
1 Introducción 234 14 Razón de cambio instantáneo. Velocidad Instantánea 449
2 Vecindades, Entornos. Vecindades reducidas 234 15 Representación paramétrica de curvas. Derivadas 457
.3 Puntos de Acumulación de un conjunto de números 16 Trazado de Curvas Paramétricas. Criterios· 466
reales. Puntosde Acumulación-del dominio de una 17 Serie de ejercicios · 474
Función 248
4 Límites 251 CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA DERIVADA 511
5 Teoremas sobre Límites y sus aplicaciones 262
6 Límites Laterales. Ilustración geométrica 267 1 Valores Extremos de una Función 511
7 Límites de Funciones Compuestas 278 2 Ef Teorema de Rolle. El Teorema del Valor Medio 513
8 Cálculo de Límites 282 3 Teorema Generalizado del valor Medio.
9 Límites Trigonométricos 288 Reglas de L'Hospital 518
10 límites Infinitos 296 4 Funciones crecientes. Funciones decrecientes · 525
11 Asíntotas: Verticales, Horizontales y Oblicuas 309 5 Aplicaciones del Teorema del Valor Medio . 532
12 Serie de ejercicios 314: 6 Puntos Críticos de una función en un inter:valo 539
¡;'
7 Criterio de la Primera Derivada.
CAPÍTULO 4 CONTINUIDAD 339 ' Criterio de la Segunda Derivada 544 · ~ 8 Concavidad. Puntos de inflexión 556
1 Co!ltinuidad de una Función en un pUnto 339 9 Aplicaciones al trazado de curvas 563
2 Continuidad de una Función sobre un subconjunto de 10 Derivada de la Función Inversa . 569
su dominio 344 11 Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas 573
3 Continuidad por la derecha; continuidad por la izquierda 12 Serie de ejercicios 584
en un punto 348 13 Evaluación de Polinomios con calculadoras de b.olsillo 653
4 Clases de Discontinuidades. Extensión continua 350 14 Aproximaciones Suce~ivas. Método de Newton 654
5 Teoremas sobre Continuidad 353
6 Continuidad"tle Funciones especiales 356 CAPÍTULO 7 LOGARITMO Y EXPONENCIAL 670
7 Problemas resuelto~ 359
8 Teoremas Especiales sobre funciones Continuas: 1 La Función Logaritmo (Natural) 670
Teorema del Valor Intermedio. Teorema del Cero 362 2 Propiedades de la Función Logaritmo 672
9 Funciones acotadas. Teorema Fundamental de las 3 El Número· e. Un estimado de su Valor Numérico 675
Funciones continuas. Teorema de los Valores Extremos 4 Derivación Logarítmica 689
Absolutos . 366 5 Cálculo de Límites Logarítmicos 690
10 Serie de ejercicios 374 6 La Función Exponencial (Natural) 697
7 Límites Exponenciales (Naturales) y Gráficas 716
CAPÍTULO 5 LA DERIVADA 389 8 Gráficas de Funciones Exponenciales 722
9 Algunos Límites Especiales 738
1 Recta tangente a la grtifica de una Función 389 1o Derivadas de Funciones Exponenciales Generalizadas 740
2 La Derivada de una Función. Funciones Diferenciables 392 11 Límites de Funciones Exponenciales Generalizadas 741
3 Diferenciación de funciones especiales 396 Serie de ejercicios ·749
4 Teoremas sobre Derivadas 397
:·············································.···· ····························~
1 "La conciencia es como un vaso ¡ 1
¡ 'si no está fimpio e[ vaso . . ; j
: resuítará sucio toáo {o que :
¡ entre en él• ¡
¡ ¡
1 Horacio t
············· ······················ ··~················"························--
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1
1 ..,·.
1
Cap.O .- l -·
o
REALES
l. AXIOMAS DE LA RELACIÓN DE ORDEN
Sean a , b , e E lR •
01. LEY DE TRICOTOMÍA: Si a E R. , b E R. , entonces se cumple
una y solamente una de las relaciones :
a<b, a=b ó a>b.
02. LEY TRANSITIVA: ·
Si a < b . y b < e entonces a < e .
03. LEY DE LA ADICIÓN Y CANCELACIÓN: Para todo e E lit ,
a<b ~ a+e < b+e
a < b · . # a - e < ·b - e
• El sentido de la desigualdad no 'Cambia si a ambos miembros se le suma (o se le
resta) un mismo número real e ' ··· ·
04. LEY DE LA MULTIPLICACIÓN:
i) Si e > O· a < b => (ae) < (be)
_._ . ./
ii) Si e < o a < b => (ae) > (be)
•!• El sentido de la desigualdad no cambia sí se mullí plica a ambos miembros por
un mismo número positivo.
. - 2 - Análisis Matemfitico 1 Cap.O
•:• La desigualdad cambia de sentido si se multiplica ambos miembros por una
misma cantidad negativa.
EJEMPLOS: X< 5 => -2X. > -10
3x < 15
2. 1 ECUACIONES EQUIVALENTES 1
Se llaman ECUACIONES EQUIVALENTES a aquellas que tie-
nen exactamente el mismo conjunto de soluciones.
Por ejemplo, las ecuaciones x 2 - 6x = o y · (x - 3)2 = 9
tienen ambas exactamente dos soluciones: x = ·o y x = 6 , {y ninguna otra).
2.1 OPERACIONES QUE ORIGINAN ECUACIONES EQUIVALENTES
a) Sumar el mismo número o expresión a ambos miembros.
b) Restar el mismo número o expresión a ambos miembros.
c) Multiplicar o dividir ambos miembros por una misma CONSTANTE NO NULA.
d) Multiplicar o dividir ambos miembros por una misma expresión que depende
de una variable, para aquellos valores de la variable que NO PERMITAN que la
expresión 1ome el ,VALOR CERO, y siempre que no origine soluriones extrañas
ni que se pierdan algunas soluciones de la ecuación original.
2.2 NOTA.· RESOLVER UNA ECUACIÓN significa que se deben realizar sucesiva -
mente las mismas operaciones (permitidas) en ambos miembros con el
objetivo de dejar la incógnita sola en uno de los miembros. Por ejemplo,
para resolver la ecuación
3.
(b)
6x - 11 = 2x + 9 => 6x - 11 - 2x = 2x + 9 - 2x ·
=>
(a)
=>
4x - 11
4x - 11+11
9
9 + 11
=>
(e)
=>
4x = 20
1
-(4x)
4
= ...!... (20)
4
ECUACIONES CUADRÁTICAS EN UNA VARIABLE:
2 ' ' ax + bx + e = O·
X= 5
Cap.O Números Reales • 3 -
donde a "" o , b y e son constantes reales.
La resolución de la ecuación (•) puede realizarse ya sea FACTORIZANDO o
COMPLETANDO CUADRADOS, métodos basados en los siguientes teoremas.
3.1 TEOREMA l.· Si a E R , b E R. , b 2: O :
a
2 = b -<=} a = ± .Jb
Por ejemplo:
1) x
2 = i6 => x = ± 4 {dos soluciones)
2) (x - 5)2 = 36 => x-5 = ±J36
x-5 ±6
x = 11 , x = -1 {dos soluciones).
3) (2x + 1)2 = 7 => 2x + l = ± .J7.
4)
=> 2x = - 1 ± .J7
{dos soluciones) => x = ...!... ( -1 ± .J7) .
2
2(x-3) = 5
2
(x - 3)
2 = 5/2
x-3 = ±/5í2
X~ 3±/5í2
5) La ecuación (3x - s)2 = - 4 NO TIENE SOLUCIÓN EN R , . pues en
este campo. de números un cuadrado toma valor POSITIVO o CERO solamen-
te y en ningún caso podrá tomar el valor: - 4 .
Cabe indicar que esta ecua9ión sí tiene soluciones en el campo de los NÚME-
ROS COMPLEJOS e , a saber:
x = (5 ± 2 i)/3 , donde · i = ..¡-::1 es la unidad imaginaria.
3.2 TEOREMA 11 •• Si a , b e R :
. 1 · a b .= O -<=} (a = O) V (b = O)
- 4 - Análisis Matemático 1 Cap.o·
El conectivo lógico ~ se lee "o" en el sentido inclusivo de " y/ o " y se
emplea para indicar LA REUNIÓN de las soluciones de la eéuación 1 a = . o 1 con
las de la ecuación 1 b = o 1 .
x
2
- 12x + 35 = O {:} (x - 5) (x - 7) = O
{:} (x - 5 = O) V (x - 7 = O)
{:} (x = 5) V (x = 7) .
Resolver UNA ecuación complicada de segundo grado equivale a resolver DOS
ecuaciones sencillas de primer 9rado. Esto es un procedimiento usual en el campo
de las matemáticas, en general, y se consigue por factorización.
Este teorema se extiende a productos de tres o más factores:
abe = O {:} (a = O) v (b =·o) v (e = O).
3.3 TEOREMA III .-
En efecto, a2 = b2 ·{:} (a - b)(a + b) = o ,
(4x - 1)2 = (3x + 15)2 {:} 4x -J = ± (3x + 15)
{:} [ 4x - 1 = 3x + 15] V [ 4x - 1 = - (3x + 15)]
X= 16
X= 16
V
V
1x = -14 ]
X= -2]
3.4 RAÍCES DEL TRINOMIO CUADRÁTICO ax2 + bx + e
Son aquellos valores particulares de la variable x que hacen que el
trinomio cuadrático ax 2 + bx + e tome el valor CERO.
2 .
Por ejemplo, hallaremos varios valores de x + 2x - 8 :
·:· Si X = 1 1 2 + 2 (J) - 8 - 5
·:· Si 1 X= 2 ¡ 22 + 2(2)- 8 0 .
•!• Si X= -3 (-3) 2 +2(-3)-8 -5
•!• Si X = o o2 + 2(0) - 8 -8
/.
Cap.O Números Reales -5-
•!• Silx=-41: (-4)
2
+2(-4)-8 0
Así resulta que 1 x = 2 1 y 1 x = - 4 1 son RAÍCES del trinomio cua-
drático x 2 + 2x - 8 .
3.5 SOLUCIONES DE LA EC.UACIÓN ax2 + bx + e = o
Si la ecuación tiene su segundo miembro igual a CERO, entonces
se llaman . SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN ax2 + bx + e = o a las
1 RAÍCES DEL PRIMER MIEMBRO ax2 + bx + e 1.
Así, las soluciones de la ecuación x 2 + 2x - 8 = o son las raíces del primer
miembro x 2 + 2x. - 8 , es decir x = 2 y x = - 4 .
4. COMPLETACIÓN DE CUADRADOS: 1
Es un procedimiento algebraico que consiste de transformar la
expresión cuadrática EN FORMAEQUIVALENTE como
ax
2 + bx + e = a (x - h) 2 + k
donde h y k son constantes reales que pueden tomar valores positivos, negati-
vos -o cero. Se le reconoce porque la variable x aparece una sola vez. Por
ejemplo, ·
(1) 2x 2 - l2x + l3 2 (x - 3) 2 =- 5 -
(2) x 2 + 2x - ~ 2 - (x + l) - 9
(3) - Jx
2+ 12x - 14 - - 3 (x - 2)
2
..:. 2
(4) 2 - 4x + 7
. 2
2x - 2 (x - l) + 5
(5) 5x2 - 20x + 20 - 5 (x - 2)
2
(6) -x2 +·6X + 16 2 - -(x - 3) + 25
(7) 1x 2 -5 1x 2 -5 -
!
'!¡
.11'
- 6 - Análisis Matemático 1 Cap.O
La completación de cuadrados es muy importante en varios
aspectos. En particular casi de inmediato te proporciona las raíces reales de cual-
quier trinomio cuadrático:
LAS RAÍCES DE: i (x - 3)2 - 5
SON LAS SOLUCIONES DE: · 2 (x - 3)2 - 5 = O
(x- 3)
2 = 5/2
x-3 = ±fS/i
es decir, X 3 ± .¡s¡:¡.
... TEOR. · ( I ) [ 3.1 J
. 2
Estas dos SOLUCIONES de la ecuación 2 (x - 3) - 5 = o son las dos RAÍCES
del trinomio 2 (x - 3) 2 - 5 .
Es decir, para hallar las raíces de 2 (x - 3) 2 - 5 , _mentalmente (imaginaria-
mente) haces aparecer a su derecha la expresión 1 = o 1 ·y procedes a hallarlas
como acabamos de hacer. ·
4.1 NOTA.- Ya puedes da~e cuenta de que el trinomio cuadrático ax 2 + bx + e
presentado e~ la forma a(x - h)2 + k :
i) TIENE DOS RAICES REALES DISTltnAS SI LOS NÚMEROS a y k TIENEN SIG-
NOS OPUESTOS como en los trinomios cuadráticos (1), (2), (6) y. (7):
. 2
(x + 1) - 9
2 '
-(x - 3) + 25
raíces: X= -J ± 3
X = 2 X= -4
raíces: x=3±5
~ x=8, x=-2
2
1x - 5 , raíces x . = ± .[Si7" .
ii) TIENE UNA ÚNICA RAÍZ REAL (repeticja) SI k = O co(llo en el trinomio (5) :
5 (x - 2)
2 cuya raíz es x = 2 del cual también se dice que es una raíz de
MULTIPLICIDAD DOS, es decir, repetida.
. iii) NO TIENE NINGUNA RAÍZ REAL . SI 'LOS NÚMEROS a y k TIENEN EL MISMO SIG-
NO, ambos positivos o ambos negativos. Ver los trinomios cuadráticos (3) y (4)
. 2 . 2 ..
- 3 (x - 2) -: 2 2 (x - J) + 5
'•
\.
t ,,
l
~
,\'
J
Cap.O Números Reales -7-
(Ellos tienen raíces COMPLEJAS IMAGINARIAS).
En este último caso, debido a que el trinomio cuadrático ax 2 + bx + e
NO SE HACE CERO NUNCA EN R , entonces o toma solamente valores positi-
vos o solamente valores negativos, en R :
(iii) [1]. Si a > o
(iii) [2]. Si a < o
2 .
ax + bx + e > O , para todo x E R .
2
ax + bx + e < o , para todo x E R. •
A los trinomios cuadráticos de este tipo se les conoce también como TRINOMIOS
CUADRÁTICOS IRREDUCIBLES en .R , o EXPRESIONES CUADRÁTICAS IRREDU-
CIBLES en R , como - 3x 2 + 12x - 16 = - 3 (x - 2)2 - 4
que no tiene raíces reales y éuyo valor es SIEMPRE NEGATIVO, para cualquier x E R
4.2 1 LA TÉCNICA DE COMPLETAR CUADRADOS . · I
FUNDAMENTO :
2 . 2 1
x + 2ax + a _ (x + a)
x
2
- 2ax + a 2 = (x - a)2
2 ·2 r2l
x ± 2ax _ x ± 2ar + ~
(x ± a)2 - ª2 .
ªA L_A EXPRESIÓN 1 x 2 ± 2ax 1 LE SUMAS Y LE.RESTAS, EN ESE ORDEN, El
CUADRADO 0 D.E LA MITAD [I) DEL COEFICIENTE 0 DEL TÉRMINO
EN x. ENTONCES, LOS TRES PRIMEROS SUMANDOS CONSTITUYEN EL CUA-
DRADO DEL BINOMIO (x + a) 2 O DE Cx - a) 2 , RESPECTIVAMENTEª
!CASO 11
x.2 ..:.. bx 2 - bx + (b/2)2 - (b/2)2 - X
b 2 b 2
- (x - -) - (-)
/ 2 2
')
x-+ bx - / + bx + (b/2)2 - (b/2) 2
b 2 b 2
- (X+-) - (-) 2 . 2
.. -··
• 8 . Análisis Matemático 1 Cap.p
AL COEFICIENTE b DE x LE TOMAS LA MITAD : b/ 2 Y LO COLOCAS,
CON SU SIGNO, DENTRO DE CADA UNO DE LOS DOS CUADRADOS.
EL SEGUNDO CUADRADO SIEMPRE APARECE RESTANDO.
x 2 - 8x
., 2 . ., . 2
- x- - 8x + 4 - 4- - (x - 4) - 16
x
2 + Sx 2 5 2 5 2 5 2 25 - X + Sx + (-) - (-) - (x +-) --2 2 . 2 4
2 ..
[(x - 4/·-42 ] + 3 2 · X . - 8x + 3 - - (x - 4) .,... 13
!CASO 21 .
x 2 + bx +e b 2 b 2 (x + - ) - (-) + e
2 2
2 .
x - bx +e
' b 2 b 2 '
(x - -) - (-) · +e
. 2 2 .
COMPLETAS CUADRADOS SOLAMENTE A LOS DOS PRIMEROS SUMANDOS ·
COMO EN EL CASO 1. .
1)
2 · ~ ~
x + 4x - 7 = (x + 2) - (2)- - 7 _ (x+ 2)2 - 11
TIENE DOS RAÍCES REALES x = . - 2 ± fü.
2). x2 - . 9x + 5 = 9 2 9 2 9 2 61. (x - -) -'- (-) + s = (x - ~) - -
2 2 ' 2 ' 4
TIENE DOS RAÍCES REALES x = .1_ ± ..f6l
2 2
2 . 32 . 32
3) · x - 3x + 4 = (x - -) . - (-) + 4 · _
2 2 ..
NO TIENE RAÍCES REALES; .
..!.c9 ± ../61).
2
( 3 )2 . 7 X-:-- +~
2 4
4) x 2 + 12x + 36 = · (x + 6)2 - 62 + 36 = (x+ 6) 2
[ ya era un cuadrado perfecto ] , TIENE UNA ÚNICA RAÍZ x · = - 6 •
!CASO 31
ax
2 ± bx + e . ~ a [ x 2 ± ~ x
. a ] + e .
b 2 b ., = a [ (x ± -) - (-)- J + e
2a 2a ·
Cap.O Números RealeS - 9 -
1)
2)
3)
4)
FACTORIZAS EL COEFICIENTE ~ SOLAMENTE . EN LOS DOS PRIMEROS SU· .
MANDOS QUE CONTIENEN A LA VARIABLE X.
LUEGO, DENTRO DEL CORCHETE, APLICAS LA TÉCNICA DEL CASO 1.
2x
2 + 8x + 5 - 2 [ x
2 + 4x + O - O ] + 5
- 2 [ x
2 + 4x + 22 - 22 1 + 5
(CASO 1) - 2 [ (x + 2)
2
- 22 ] + 5
2 - 2 (x+ 2) ..- 3
tiene dos rafees reales: x=-2±.[3[2" :
2
3x - 7x + 2 _ ' 2 7 3[x --x ] + 2
3
(CASO 1)
7 2 7 2 '
- 3 [ (X - - ) - (-) . ] + 2
6 6
- 7 2 49 = 3 (x - -) - - + 2
6 12
= .. 3{.t-l._)2~ ~
' 6 12
tiene dos raíces reales: x l._ ± 2.. · es decir x = 2 x = 1/3 .
6 6
., . ' . 2
-'- x- - Sx + 3 _ - [ x + Sx J + 3
e
- 52 52 .
- - (x + -) - (-) ] + 3
2 2
s 2 25
_ -(x+-) +-+3 _
s 2 37
-(x+-) +-· -
2 4
' s ../37
tiene dos raíces reales: x = - - ± --
2 2
2 2 5 - 4x + Sx - 2 . _ - 4 [ x ,... -:-- x ..
4
. 2 4
..!.c-s ± /37).
2
1 - 2
·= -4 e (x _Í.)2 - (Í.)2 ] - 2
. 8 8
~ ':
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/
. . i o . Análisis Matemático 1 Cap. O
_ - 4 (x - í/ + 22.. - 2
8 16 .
_ - 4 (x - -~-/ - ..2.. ... NO TIENÉ RAÍCES REALES.
8 16
5) 2 2 20 - 25x + 20x - 4 _ -25 [ x - -x ] - 4
25
2 4
- -25( X - -X ) - 4
. 5
- -25[ (~ - 2..)2 - (2..) 2 J - 4
5 5
2 2
_ - 25 (x - -) + 4 - 4
5
2 2
- - 25 (x - -) ¡ cuadrad~ perfecto 1
5
TIENE UNA ÚNICA RAÍZ: X= 2/5 (de multiplicidad dos).
s. DISCRIMINANTE DE ax2 + bx + e
1
. !CASO I. l
Por ejemplo:
2 . ' En la fórmula de las raíces del trinomio cuadrático ;ix + bx + e :
- b ± .~ b 2 - 4ac
2a
a=O,b,ceR,
se llama DISCRIMINANTE a la cantidad subradical 1 ~ . = b 2 - 4ac 1.
Si 2 b - 4ac > O entonces ax 2 + bx + e tiene DOS RAICES
REALES DISTINTAS x1 = x2 • En tal caso se puede factorizar con dos
factores de grado uno, en lR , de la forma "
...._~ª-x_2_+~b_x_+~c~=_. _._ª_(x~-~x-1 )~(-x~--x_2_)~..JI
•
2x
2 + sx - 12 'tiene DISCRIMINANTE b2 - 4ac =
Números Reales .. 11 ..
s2 - 4(2)(-12) = 1211 > o 1 entonces tiene dos raíces reales distintas ;
2x
2 + Sx - 12 (2x - 3)(x - 4)
2(x - 2:..)(x + 4)
2
~ x 1 = 3/2, x2 = - 4 , son sus dos raíces reales distintas.
· Si 1 b
2
- 4ac = O 1 entonces ax2 + bx + e tiene DOS RAÍCES
REALES'IGUALES x1 = x2 , es decir tiene UNA ÚNICA RAÍZ REAL
DE MULTIPLICIDAD DOS (es decir, repetida) .
En tal caso, tenemos un CUADRADO PERFECTO en R, de la forma
1 ax 2 + bx + e == a (x - x1 )
2
Por ejemplo, . Jx 2 ....:. JOx + 7S ~ b2 - 4ac = .(- 30)2 - 4 (3)(75)
lCASO 111 .1
= 90Q ,... 3 (300)
- CTJ
~ tiene una única raíz real repelida; en efecto
2 . 2 .
Jx - JOx + 7S = J(x - 10x+ 25)
= 3 (x - S)2
que tiene como única raíz x 1 = x 2 = S •
Si 1 h
2
- 4ac <: · O 1 entonces ax2 + .bx +e NO TIENE
NINGUNA RAIZ REAL , y no se podrá factorizar con dos facto~s de
grado uno, en lR . Por esta razón a estas expresiones cuadr~ticás
se les denomina IRREDUCIBLES EN R . Y como ax 2 +, bx + e ·
no se hace cero para ningún x e l!l , flntonces:
O loina valores positivos solamente o toma valores
negativos solamente para todo x en lR . Asl,
i) Si I a > O 1 y J b2 - 4ac < O 1 e.ntonces lax 2 +. bx· + e > O 1
- 12 - Análisis Matemático 1 Cap. O
es POSITIVO para cualquier x E R .
ii) Si 1a<o1 y 1b2 -4a.c<o1 entonces lax2 + bx +e < ol
•.. es NEGATIVO para cUalquier X E R .
Por ejemplo, para -x2 + 2x - 3: b2 - 4ac = 2 2 - 4(-1)(-3)
= -8 <o
~ - x 2 + 2x .:._ 3. NO tiene .nfnguna' raíz real. Y se cumple que
. - x 2 ~ .2x - 3 ·es siempre NEGATIVO, paratodo x e ll ,
pues a = -.1 (negativo).
PROBLEMA.- Halle el conjunio de valores de K para los cuales el trin·omio cuadrático
(K + 6) x 2 + (K - 1~ x. +· 1 ·no tiene s~luciones reales.
SOLUCIÓN.- Ello ocurre si el discrimi1,1ante es negativo: ~
6.
(K - :Í)2 - 4-(K + 6) <" O
. .
K E {-2, io) '.
. • o • Ci)
2 . ..
~. . K - 4·K + 4 - 4K' - 24
K
2
..!. SJC. -;, 20 < O '
(K - IO)(K + 2) < O
VALOR ABSOLUTO. DE UN NÚMERO~ REAL
!u! · ~ { _: si
, • si
µ~o
u$!)
1u1 = 'Valor Absoluto de u e~. un número no negativo , siempre.
S.1 TEOREMA.· Sean a , b ·e R :
. 1) 1 a 1 = 1 b I · # 1 a = ± b 1
# . 1 a = :b I ·~ l. a = ~ b )
(reunid.o con) .
2) Si b ~ o -:·I .... _l_a_l_=_h_._<* ___ a_=_±--'b--'
< o
Cap.O Números Reales - 13 -
3) Si b ~o: lal $ b # 1 -b $ a $ b
# -b $a 1J\1 ª:::; b
(lntersectado con)
4) Si b >o: 1 al< b # 1-b < a < b 1
5) Si b ~o: lal ~ b # a ~ b V a$ -b 1
. (reunido con)
6) Si b ~o: lal > b # a > b . V a< -'- b
7) 1 a 1 < 1 b 1 . # (a + b)(a - b) < O 1-
6.2 TEOREMA.· Sea a e ll ,
1) Si .·n es E~TERO POSITIVo' PAR :' - 1 al .1
2) ~ = lal 4f4" . "/a~ = 1 al
6.3 TEOREMA.· Sea a e ll ,
. 1) Si ri es ENTERO PÓSITIVO IMPAR:
nf-;;
"/a- = a
3lJ .
2) "/a~ = a , ~=a
6.4 NOTA.· Si la potencia n está afuera de la expresión radical no interviene
el valor absoluto t sea n par o impar.
· 1 ( n_¡a) n = a 1 •. para todo ENTERO POSITIVO n , par o impar.
6.5 COROLARIO.· Sea a e ll
(1) lu= a 1 1 si a~ o ;
(2) lu= -a 1 si a :::; o .
:! :
..
- 14 - Análisis Matemático 1 Cap.O
EJEMPLO.- Si X < o : 4 . ·2 ~ ' X +x
6.6 TEOREMA.· .Sean a y .b núm~Hos reales, •.
(1)
(2)
(3)
1
o
2 ~ b2 a = . {::>- 1a1 ·= l _b 1
ª2 =:= b2 -<=? a= :f b
..Ja ~ b {::>- (a;::: o ) /\ (b;::: O)/\ 2 [ a = b ]
1 ..
NOTA.·· En las equaci<?nes co.n raqicales del tipo [3] lo recomendable es
-comprobar cada una de las soluciones halladas al elevar al cua-.
drado, en la ecuación original.
EJEMP.LO> Resolver: = Jx Elevamos al cuadrado:
'2 . . 2
x - 2x = 9x => 8x2 = - 2x
=> · x(4x+I) =O
=> 1 x = o ¡ ·, x = - 1/ 4 se descarta en la ecuación original .
( a ;::: .o ) /\ ( b ~ o ) /\ [ a 5 b2 ]
. , 2 •
EJEMPLO.· "t X: - _2x 5 Jx·
2 . 2 2
( x - 2x) ;::: O /\ Jx ·;::: O /\ x - 2x 5 9x
[ donde 8x2 + .;:t 2: O {::} xH.x + 1) ;::: O
\ · ..
{::} x E (~oo, -1/4] u [o, oo} ]
-<=>-. x e ( ( "- ~, o J u [ 2, oo}) n -[o, .oo} n ( ( - oo, - 1/ 4] u [o, oo})
· {::>- x E {O } U [ 2 , oo) .= C.'6.
Cap.O Números Reales - 15 •
(5) j ..Ja 2: b 1 -<=>- .( a ;::: o ) /\ [ ( b < o ) v { ( b ;::: o ) /\ ( a ;::: b 2 ) } ]
{::>- [ (b < O) /\ (a ;::: O)] V [ (b ;::: O) /\ (a ;::: O) /\ (a 2: b 2 ) ]
EJEMPLO: ~ x 2 - 2x ;::: Jx {::}
(x 2 - 2x ;::: O) /\ [ (Jx < O) V { (Jx ;::: O) /\ (x 2 - 2x ;::: 9x 2 )}] {::}
x e ( ( - 6o, o] u [ 2, oo) j n [ (- oo, o) u { [o, oo) n [-1/4, o] } ]
. .
{::>- X E { - 09 , O ) = C.S.
6.7 TEOREMA.· Si a y b e R + , .ambos positivos,
(1) -a 5 X 5 b {::>- O 5 1x1 5 máx { 1a1 ; 1b1 }
(2) -a 5 X 5 b {::>- 2 ' 2 b.» O 5 x 5 max { a ; -
(3) o 5 a 5 b . {::>- ª2 5 b2 .
(4) o 5 a 5 b {::>- ..Ja 5- lb.
-16 - Cap. 1
1
RELAC.IONES
l. 1 PARES ORDENADOS. PRODUCTO CARTESIANO
Los PARES ORDENADOS son entes matemáticos que consisten de
dos elementos ~ y E_ , denominados PRIMERA COMPONENTE y SEGUNDA COM·
PONENTE . respectivamente, y se les denota por el símbolo : (a, b) •
DEFINÍCIÓN FORMAL.- En términos de conjuntos, el PAR ORDENADO (a' b) se defi-
ne como el conjunto:
(a,b) = {{a},{a,b}}.
1.1 IGUALDAD DE PARES ORDENADOS.· 1 Dados dos pares ordenados (a, b)
. y (e, d), entonces
(a, b) = (e, d) si y sólo si a = e y b = d .
Para la prueba se utiliza la Definición Formal , considerando los dos casos:
i} a = b. , ii} a ;e b .
.1.2 NOTA: De (1.1) tenemos que: DOS PARES ORDENADOS son iguales si y só-
lo si sus primeras componentes son iguales entre. sí, y sus segundas
· componentes también son iguales entre sr.
1.3 EJEMPLOS.· a) (2, 3) y (3, "2) no son pares ordenados iguales.
b) (6, 3) y (6, 9) tampoco son pares ordenados iguales,
pues difieren en la segunda componente.
Cap. 1 Relaciones · -17 -
b) Si (2x + y , 1) = (3, 2x - y} entonces se cumple el sistema de ecuaciones
simultáneas: {
2x +y = 3
l = 2x - y
x=l, y=I
1.4 PRODUCTO CARTESIANO A x B
Dados dos conjuntos no vacíos A y B se define el
PRODUCTO CAATES~ANO A x B como el conjunto de pares ordenados:
A X B = { (a, b) / a E A y b E B } ,
tales que su primera componente está en el conjunto A , {su segunda componente en
el conjunto B .
1.5 EJEMPLO .- Se\ln A = { I , 2 , 3 } , B = { a , b } , entonces
A x B = { (1, a), (l, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } , cuyos
elementos pudieron haberse distribuido en un. DIAGRAMA DE ÁRBOL :
A B AxB
-<:: a ~ (I , a) b ~ (1) b)
TOTAL:
-<:: a ~
(2, a) 3 X 2 = 6 elementos en A x B.
2
b ~ (2' b)
<::: ·~ ~ (3 , a) 3
(3 'b) ~
1.6 NOTA.- En general, si los conjuntos A Y. B son finitos con m y n elemen-
tos respectivamente , entonces el Producto Cartesiano A x B tiene
· m x n elementos. De aquí proviene su nombre y su notación.
El concepto de producto Cartesiano se puede extender a más de dos
conjuntos no vacíos: · ·
A X B X e = { (a' b' e) / a E A /\ b E B /\ e E e }
surgiendo así el concepto de Terna Ordenada :
(a,b,c) = { {a},{a,b},{a,b,c}}
-18 - Análisis Matemático I Cap. 1
1.7 EJEMPLO.- Si A = {a. b } ' B = { 1, 2 }, e = { r. s} =>
A B e AxBxC
<::::::. r (a; 1, r) 1 (a, I ,
·a<
s s).
<:::: r (a 1 2, r) 2 s (a, 2, s) Total: 2X2X2=8
<:::: r ( b, 1, r) elementos.
b<
s ( b. 1, s)
2 <:::: r ( b, 2, r)
s ( b. 2, s )
En general, el producto cartesiano no es 'conmutativo· es decir
. . .
A x B :e B x A , a menos que A = B .
1.8 EJEMPLO.. Si A = { 1}' B = { 2} entonces A X B = { (1, 2)} 1
mientras que B x A = { (2, I)} .
1.9 EJEMPLO.. Demuestre que:
1) M e A A N e B => . M X N. e A X B
2) A X (B n C) . = (A X B) n (A X C)
3) A X (B U C) = (A x B) U (A x C}
SOLUCIÓN:
1. Sea (x' y) E M X N => X E M A yeN
=> x E A A Y.E B · por hipótesis
=> (x' y) E A X B
Por lo tanto, MxN e A X B.
2. Sea (x. y) E A X (B n C) '{::} X E A A y E (B 0 C) {::}
x E A A (y E B A y E C) {::}
(x E A A x E A) A y E B A y E C
(a E A A b E B) A (a E A A b E C) {::}
(x,y)EÁXB A (x,y)EAX"C {::} (x,y)E(AxB.)n(AxC).
3. EJERCICIO.
Cap. t Relaciones -19 -
1.10 PROBLEMA.- · Demuestre que
(A X B)' = (A' X B) U (A X B') U (A' X B') .
SOLUCIÓN .- Sea
(a, b) E (Ax B)' ·{::} (a, b) fi! A X B {::} ....... ((a, b) E Ax B]
....... [aEA A bEB] ....... (a E A) V ..... (b E B)
[ ..... (a EA) A (bEB V beB')J y [(aEAV a EA') A ..... (bEB)]
(pues p :::;; p 11 V ) ,
- (a E A' A b E B) V (a E A A b E B') V (a E A' A ·b E B')
{::} (a, b) E (A' X B) U (A X B') U (A' X B') .
1.12 NOT~ .- Al Producto Cartesiano A x A también se le representa por A 2 .
2. 1 RELACIONES~ TIPOS DE RELACIONES 1
Dados dos conjuntos no vacíos A y. B , a un conjunto 1( de pa-
res ordenados se le denomina RELACIÓN DE A EN. B si es que 1( es un
subconjunto cualquiera de Ax B. También se le llama RELACIÓN BINARIA.
1( es una Relación de A en B si y sólo si 1( e A x B
2.1 EJEMPLO.· Dados A = { 3, 4, s } , B = { l, 2 } • ~os siguientes conjun-
tos de pares ordenados son algunas RELACIONES de A en B :
9<.1 = { (3, 1) } , 1(2 = { (S, l) } , 1(3 = { (3, 1), ( 4, 2), (S, l) }
9{
4
= {(~ 1 1).(3,2).(4,1),(4,2)}, 1(5 = AxB . .
P11esto que, en general, si A x B · tiene n elementos entonces A x B tiene
2 n subconjuntos; por lo tanto, existen 2 n relaciones de A en B .
Cuando un par ordenado (a, b) pertenece a una relación 1( también se deno-
ta: a 1( b . Es decir, a 1( b si y sólo si (a, b) e 1( , y en tal caso se lee:
• !! está relacionado con !! según la relación 9{ •.
Para las relaciones previamente dadas: 3 1(1 1, 4 1(3 2.
Y si (a, b) fi! 1( entonces se denota .a j( b .
-20 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
2.2 DEFINICIÓN .- Se dice que.!!( es una RELACIÓN EN UN CONJUNTO A si
!l(cAxA.
2.3 EJEMPLO .- Si !!?.. es una Relación en A = { 2, 3 , 4 } tal que
!!?.. = { (x, y) / y + l :::; x 2 } entonces
!!?.. = { (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (3,4), (4,2), (4,3), (4,4) },
pues para (x , y) E A x A , con x E A A y E A :
X= 2: y+ 1 :::; 2 2 => YE{2,3} => (2, 2f, (2: 3) E !l(
X= 3; y+ 1 :::; 32 => YE{2,3,4} => (3, 2) ,(3, 3) ,(3, 4) E !l(
X= 4: y+ 1 :::; 4 2 => YE{2,3,4} => (4, 2),(4, 3),(4, 4) E !J?..
2,4 PROBLEMA.- En A = { 1 , 2, 3 , 4 , 5} se define la relación
!!?.. = { (1, 1),(2, 2),(3, 3),(5, 1),(2, 4),(5, 4)_,(5, 2),(4, 3),(3, 5) }.
Si M = { (x E A / (x, 2) E !f?.. } , N = { (y E A / (3, y) E !J?.. }
p = { X E A / (x, 5) rt !!( } ' ha.lle (M u N) - p .
SOLUCIÓN .- Verifique que
M = { (x E A / . (x ~ 2) E !!?.. } = { 2' 5 }
]'J. :::: { (y E A / (3, y) E !f?.. } = { .3, 5 }
P = { X E A j (x, 5) f{ !l( } = { 1, 2, 4, 5 }
(M U N) - P = { 2, 3, 5 } - { 1, 2, 4, 5 } = { 3 } .
2.5 PROBLEMA .- Sean A = { i, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y la relación R en A :.
(a, h) E R # a es divisor de b .
Halle n (!J?..) = número de elementos de la relación !!?.. .
SOLUCIÓN.- (a, b) E !!( e Ax A # b es múltiplo de a .
Así (I, I), (2, 4)", (3, 6) E !!?.. . En general:
!!?.. = { (l,l),(l,2),(1,3),(l,4),(l,5),(1;6),(l,7),(l,8),(2,2),(2,4),
(2' 6), (2 • 8), (3 • 3). (3 • 6) ,.( 4 '4)' ( 4 • 8). (5 '5), ( 6. 6). (7 ' 7), ( 8. 8) }
n(!l() = 20 elementos.
'
Relaciones -21 -
a.11 EJERCICIO .- Se define una relación !!?.. en z como :
(a, b) E !J?... # a - b es múltiplo de 3.
Demuestre que: 1) (a, a) E !!?.. , V a E Z
2) (a; b) e !!?.. => (b, a) E !!?..
3) (a, b) E!!?.. · A (b, e) E .1{ => (a, e) E !!?.. .
SOLUCIÓN a - b es múltiplo de 3 # ·ª - b = . 3 k , para algún k E Z
1) V a E Z , a - a = o = 3 x O , con • O E Z => (a, a) E !!?.. •
2) Si (a, b) E !!?.. entonces a - b = 3k , para algún k E Z ,
=> -(a - b) = 3(-k) ,"donde -k E z, pues k e z
=> b-a=-(a-b)e!f?...
3) Si (a, b) E !!?.. y (b, e) e !!?.. => a - b = 3k1 , algún k1 E Z
=> b - e = 3 k 2 , algún k 2 E Z
Entonces, sumando ambas igualdades: a - ·e = 3k3 , donde
k 3 = ( k 1 + k 2 ) E z , . => (a, e) E !!?.. .
2.7 1 RELACIONES REFLEXl~~S 1
Una relación !J?.. es una RELACIÓN REFLEXIVA EN A
[ !!?.. e A x A ] si para todo a E A : (a, a) E !!?.. .
Es decir, !!?.. es REFLEXIVA en A si todo elemento de A está relacionado
consigo mismo mediante la relación !!?.. .
2.8 EJEMPLO •• Sean A = { 1 , 2 , 3 , 4 } y las relaciones en A :
!!?.., = { (1,2), (3,3), (3,4), (4,4), (4,1), (2,2), (1,1)}
!l?..2 = { (1,1), (2,2), (3,4), (4,3), (4,4)}
entonces !f?..1 es reflexiva en A pues (a, a) E . !f?..1 , V a E A , además de
otros puntos, en cambio en -1{2 falta (3, 3) para serlo.
2.9 1 RELACIONES SIMÉTRICAS 1
Una relación !J?.. en un conjunto A es una RELACIÓN
SIMÉTRICA en f!. si se cumple la implicación siguiente:
-22 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
{a, b) E 1{ :;.. (b, a} E 1{.
Es decir, si {a, b) está en 1{ entonces el elemento {b, a) también debe estar
en 1{ para que 1{ sea SIMÉTRICA .
2.10 EJEMPLO.- Dados A = { 1, 2, 3, 4} y las relaciones en A:
1{1 = { (1,2),(2,3),(4,2),(3,2),(2,1),(2,4)}.
1{2 , = { (1, 1)' (2' 2)' (3' 3) } •
1{3 = { (1,1),(3,3),(4,1),(2,3),(1,4)}.
vemos que 1{1 y 1{2 son Simétricas, pero que 1{3 no lo es, pues le fal-
ta el elemento (3, 2) para serlo.
2.11 1 RELACIONES TRANSITIVAS
Una relación 1{ en un conjunto A es TRANSITIVA si se cumple
la imp,licación:
[ (a, b) e 1{ /\ (b, e) E 1{ ] :;.. (a, e) E 1{ ------- __ ;... _______ ---------------
2.12 EJE~PLO .- Dado A = { 1, 2, 3, 4} , la relación en A:
1{ 1 = { (l,2),(2,3),(1,3),(3,1),(1,I) }, ·
NO ES TRANSITIVA, pues si bien se cumplen las implicaciones:
(1, 2) E 1{ 1 /\ (2, 3) E 1{ 1
=>
y (1, 3) E 1{ 1 /\ (3, 1) E 1{ 1 =>
(1, 3) E 1{ 1
(1, 1) E 1{ 1
en cambio falla en: (2, 3) e 1{ 1 /\ (3, 1) E 1{ 1 => (2, 1) E 1{ 1 ,
pues falta (2, 1) en 1{
1
.
En cambio 1{ 2 = { {l, 2), (2, 1), {2, 2), (1, 1) } sí es Transitiva,
1( 3 = { (l,4),(4,J),(2,4),(3,4),(4,3)} no es Transitiva,
pues le faltan por lo menos 7 elementos para serlo. [ ¿Cuáles son? l
APTA: Son: (1,l),(2,1),.(3,l),(1,3),(2,3),(3,3), y (4,4).
2.12 1 RELACIONES DE EQUIVALENCIA 1
Una relación 1{·en A es una RELACIÓN DE EQUIVALENCIA si
satisface (simultáneamente) las tres condiciones:
C11p. 1 Relaciones -23 -
1) REFLEXIVA : "I a E A , (a, a) E 1{
2) SIMÉTRICA : Si (a, b) E 1{ entonces (b, a) E 1{
3) TRANSITIVA: Si [ (a, b) E 1{ /\ (b, e) E 1{ ] entonces (a, e) E 1{
2.13 EJEMPLOS .- 1) Sea A = { 1 , 2 , 3 , 4 } entonces la relación
2.
1{ = { (l,1),(2,1).{l,2), (2,2), (3,3), (4,4)}
es una RELACIÓN DE EQUIVALENCIA en A.
2) La relación 1{ definida en z (enteros) por:
1{ = { (a, .b) e Z x Z / (a - b) es múltiplo de 3 }
también es de EQUIVALENCIA , lo cual ya fue demostrado en el Prob. [2.6] .
14 DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
Se llama DOMINIO de la relación 1{ al conjunto de todas las
primeras componentes de los pares ordenados de 1{ .
Y se llama RANGO de la relación 1{ al conjunto de todas las segundas com-
ponentes de los pares ordenados de 1{ .
Dom (1{) { x / (x, y) E 1{ }
Rang (1{) = { y / (x, y) E 1{ }
2.15 EJEMPLO.- Dada la reíación en A = { 1, 2, l, 4, 5 } :
1{ = { (1, 1),(2, i),(2, 2),(3, 1),(3, 2),(4, 2),(5'. 3)}
entonces Dom (1{) = { 1 , 2 , 3 , 4, 5 ~ , Rang (1{) = { 1 , 2, 3 } .
SERIE DE EJERCICIOS
1. Demuestre que: (A .:,.. B) x C = (A X C) - (B .X C).
2. ¿Cuántos elementos tiene · A x B si A = { x e z / -12 < :e+ 6 < 20 } y
2
B = { X E .z I 10 < X < 400 } ?.
3. Halle por extensión el conjunto
M = { (s, t) E R. x Jt / (s2 + 3s, t 2 - 7t) = (- 2, - 12) } .
4. En A = { 1 , 2, 3 , 4 , 5 } se define la relación 1{ :
·24 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
5.
6.
7.
8.
9.
!R.,= {(I, 1),(2, 2), (3,3),(5,l),(2,4),{5,4),(5,2),(4,3),(3,5)}.
Si M = { x E A / (x, 2) E !R., } , N = {y E A / (3, y) E fR..} ,
P = {x E A / (x, 5) ~ !R..} , halle: (M u N) - P .
Si A = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, entonces dada la relación en A:
!R.. = { (x, y) / y es múltiplo de x, x :;.: . y } e A x A ,
halle la suma de todos los elemento~ del Dominio de !R.,.
Demuestre que si A y B son conjuntos no vacíos y se cumple que
(A x B) u (B x A) = e x e entonces A = B = e.
' Dadas las relaciones en z: !R.. 1 = { (x, y) / x- - 2y = 3 } y
!R.. 2 = { (x, y) ¡ x > y v x < y } , halle !R.. 1 - !R.. 2 •
Dado el Universo u = { 1 , 2 , 3 , 4}, y las relaciones en U :
!R.. 1 = { (x, y)/ x = y } , !R..~ = { (x, y) / y = 3 } ,
!R., 3 = { (x, y)/ y';?: x }, halle t,t 3 - (!R., 1 u !R., 2 ).
Dados los conjuntos A = { x E N / x < · 3 } , B = { x E N / x es par
y x <:. 5 } , e = { x E N / x es impar, x ::; 6} .
Halle (A n B) X (C - A) ..
10. Sea A = z . En A definimos la relación T mediante la condicil~n:
(x, y) E T {::} · x - y es divisible por 5 .
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? :
a) (x, y) ET => (y,x) ET,
c) (2 , 17) E T ,
b) (x, 4) E T =? x es múltiplo de s.
d) (7n, - Sn) E T , V n E Z.
11. Sea U= {1,2,3,4,5} y !R., 1 = {(x,y) / x <y}, !R.. 2 = {(x,y) /
x + y = 5 } dos relaciones en u. Halle el número de elementos de la rela-
ción ( !R.. 1 u !R.. 2 ) •
12. Si A={{x,y)/ (x 2 +3x, y 2 +3y-2)=(-2,2x)} e zxz,
B = { (x, y) / y = x, x E Z } , halle: A - B .
13. Dado el conjunto A = [ 1 , 8] n z , se define la relación !R.. en A como:
(~, .!?_) E !R.. {::} ~ es divisor de ~ . Halle n (!R.,) .
14. Sean A= {a,b,c}, B = {a,b,d,e}, ¿Cuántos subconjuntos tiene el
conjunto (A x B) -:- (B x A) ? .
15. ¿Cuáles de las siguientes afirma¡:iones son veri:laderas? :
a) A e A X A' V conjunto A ; . b) A X B e (A X B) u e
Cap. 1 Relaciones -25 •
c) (A x B) U (C x D) = (A U C) x (B U D)
d) (A - B) X (C - D) = (A XC) n (B' X o')
16. Si A = {X E N / X = (2k - 1)/3 1 k EN},
' . . .
B = { X E N / x- + l $ 12 } 1 halle (A n B) X (B - A) .
17. Dados A = { 1 , 2 , 3 , 4 } y la relación en A definida por:
!R.,= { (x, y) ¡ x = y v x + y = 3 } , ¿Cuáles son verdaderas?:
a) (a, a) E !R.. , V a E !R..
b) (a,b) E !R..=> (b,a) E !R.. · ,
c) (a, b) E !R../\ (b,c) E !R.. :::::}
v (a,h)e!R.,.
(a, c) E !R.. .
Indicar además si !R.. es o no una relación de equivalencia.
18. En A = { I, 2, 4, 6, 8 } se define 'R.. = { (x, y) / 3 es divisor de x + y }
halle la suma de todos los elementos del rangcr de la relación 'R._.
. 2
19. En A= { -4, -3, -2, -l, o, 1, 2} se define 'R..= { (x, y)/ x + x
= y 2 + y } , halle la suma de todos los elementos del dominio de 'R._.
20. Dada la relación 'R...= { (x, y) E lR x lR / qx - q = IY -ti},
a) ¿Es A una relación de equivalencia?. ¿Por qué?
b) Para cada x fijo, calcule Ax = { y / (x, y) E !R.. } .
21. Si u es el conjunto de triángulos en el plano IR x lR y si s es la relación defi·
nida en u por la regla: (x, y) E s si y sólo si ~ es semejante a y ,
demuestre que s es una relación de Equivalencia.
22. Una relación 'R.. en un conjunto A se llama ANTISIMÉTRICA si cumple que:
(a,b)e!R.," (b,a)e!R.,:::::} a=b (•) ·
Demuestre que son antisimétricas las siguientes relaciones definidas en z :
'R.. l. = { (x, y) / x $ y } Y 'R.. 2 = { (x, y) / x < Y } •
SUG: En 'R.. 2 : "(x, y) E 'R.. y (x, y) E 'R.." es FALSO pues "x < y
y y < x" es absurdo. luego, (•) es VERDADERA.
23. Si !R., y S son dos relaciones REFLEXIVAS definidas en un conjunto A ,
¿Cuáles son verdaderas? :
a) 'R.. u S es reflexiva , · b) 'R.. n S es reflexiva ,
c) C!R.. u 5) n C'R.. n 5) es reflexiva.
-26 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
24. En A = { 1 , 2 , 4 , 6 , 8} se define la relación !/{ =
x + y } . ¿Cuáles son verdaderas? :
{ (x, y) / 3 es divisor de
a) !/{ es reflexiva , c) !/{ es transitiva ,
b) !/{ es simétrica , d) · !/{ tiene 9 elementos.
CLAVE DE RESPUESTAS
2. 992; · 3) M = {(-1,3),(-1,4),(-2,3),(-2,4)}; 4) {3}
5. 12; 7) {(3,3),(-1,-1)} ; 8) {(1,4),(2,4),(3,4),(1,2)}
9. {(2,3),(2,5)}; 10) Sólo (a), (c) y (d); 11) 12;
12. {(-2,-1),(-1,0),(-l,-3)}; 13) 20; 14) 2 8 = 256
15. Sólo (b) y (d); 16) {(1,2),(3.2)} ; 17) Todas, Sí.
18. 36; . 19) - 7 ; 20. a) Sí, b) Ax = { x, 1 - x} ; 23) T~das
24. Sólo ( b ) y ( d )
3 • I GRÁFICAS DE . RELACIONES .1
. Dada una relación !/{ se consideran los valores
del DOMINIO de !/{ en el Eje X , y los valores del RANGO de !/{ en el Eje y ,
Y luego se van· ubicando los puntos en el plano cartesiano correspon-j iente~
Así por ejemplo, la representación gráfica de la relación ·
!/{ = { (1'1)' (2' 1), (2' 2)' (3' 1)' (3. 2)' ( 4 '2>. (5 '3) }
Corresponde a la figura adyacente
3.1 NOTACIÓN.- y
!/{
R.2
3 ..
lR X R. =
2 • • •
• • •
o 1 2 3 4 5 X
3.2 EJEMPLO .• Bosquejáremos las gráficas de las siguientes relaciones en JR :
L = { (x' y) e lR X lR / X = y }
. S = { (x , y) E lR X lR / X = 2 = { (2, y) / y E lR }
T = { (x' y) E lR X lR / y = 3 } - { (x, J) / X e lR }
('11p . 1 Re ladones - 27 -
Para que un par ordenado se encuentre en la relación l!. sus dos compo-
nentes deben ser IGUALES. Así, algunos pares ordenados en J!. son:
(- 2, - 2), (-1, -1), (O, O), (1, !), (6, 6), (7 /5, 7 /5), etc., y donde resulta en
Hle caso que:
Dom ( .f) = ( - oo , oo} :;= lR [ Eje X ]
Rang (.f) = ( - oo, oo} = lit [ E:je Y]
En general, como el dominio
ha de ser un conjunto continuo,
entonces uniendo todos los pun-
tos de l!. se obtiene una RECTA.
Algunos elementos de la relación s son (2, - 2), (2, - 1), (2, O), (2, 1) ,
( 2 , 3 / 2) , etc. Aquí basta que la primera componente séa igual a ~ para que tal par
ordenado se encuentre en la relación
S = { (x, y) E ll X R / x = 2 } = { (2, y) / y E R } .
La segunda componente no tiene ·
r11tricciones en R :
Dom (S) = { 2}
Rang (S) = ( - oo, oo}
Aquí también la gráfica co-
rresponde a una RECTA (VER-
TICAL), que precisamente pasa
por X= 2.
y
3
2
o
-1
-2
s
X :; 2
(2,3/2)
(2' 1)
(2; O)
2
(2 ,-1)
(2. -2)
X
En general, toda ecuación de la forma: 1 x . = e 1 ( f constante) en el plano XY
corresponde a una RECTA VERTICAL que pasa por x = e precisamente.
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-28 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
Análogamente, podemos ver que Ja gráfica de la relación T definida por
T = { (x' y) E lR X lR / y = J } corresponde a una RECTA HORIZONTAL qué
pasa a Ja ' altura' y = 3 .
Dom (T) ( - oo , oo)
Rang (T) = { 3}
En general, toda ecuación d~ la forma:
1 y = e 1 ' con e constante, en el
.·plano .xy corresponde a una RECTA
y
J
o 2 3 4
HORIZONTAL que pasa precisamente a la.altura y = e .
3.3 NOTA.- La gráfica correspondiente a
a) Ja ecuación y = o coincide con EL EJE X·.
b) Ja ecuaí:ión x = o coincide con EL EJE Y.
3.4 PROE!LEMA .- Bosqueje Ja gráfica de Ja relación:
T
T = { (x, y) E lR X lR / (x - 3) (y - 2) = O }
SOLUCIÓN.- De Ja propiedad ab = o ~ [ a = O v b = o ]:
X
(x - 3) (y - 2) 0 ~ [ X - 3 = 0 V y - 2 = 0
~ x=3 V y=2
y~ X= 3
4
y por tener el conectivo lógi
co de Ja DISYUNCIÓN y su
gráfica consiste de (LA REU-
NIÓN DE) ambas rectas , es
decir, de toda Ja cruz de Ja
figura siguiente.
3
2
T .....,,, ~
• y= 2
o 2 3 4 5 ~X
. A continuación presentamos las gráficas de las siguientes relaciones (verificar) :
2
.R = { (X , y) E lR X lR / y = X }
S. = {(X ; y) E lR X lR /•y=.[';}
T = { (x, y) E lit x R / y = - ..¡-; }
Cap. 1 Relaciones - 29 -
2
W = { (x, y) E lR X lR / X = y }
y ANALÍTICAMENTE Y GRÁFICAMENTE
[
2 y= X ;?:: 0
· x no tiene restncciones.
::}- Dom (R) = ( - oo, oo) = lR
Rang (R) = [O , oo)
-2 -1 o 2 X
y
2
o 4
y
o 4
-1
-2
y
-1
X
X
X
[
y=.[';,x;:::o ó
Y=rx;:::o
::}- Dom (S) = [O, oo)
Ra~g (S) = [O, oo)
[
Y= -rx, X ;?:: 0
. y= -rx 5 º
::}-. Dom (T) = [O, oo)
Rang (T) = ( - oo, O ]
. 2
[
x=y ;:::o
y sin restricciones
::}- .Dom (W) = [O, oo)
Rang (W) = ( - oo, oo)
3.5 NOTA.- Como X = y 2 {:::} [ y = .¡-; V y = - .¡-;, \;/ X ;::: o ] 1
entonces Ja gráfica de W corresponde a la reunión de las gráficas de las
rélaciones s y T~ ·
-30 - Análisis Matemático 1
La figura adyacente corresponde
a la gráfica de la relación CÚBICA:
B = { (x' y) E lR X lR / y = x 3 }
Dom (B) (-<Xl, (X))
Rang(B) = (- <Xl, oo)
Cap. 1
y
8
y = X~
X
-- -8
Ahora bosquejaremos las gráficas de las siguientes relacionés (RECTAS):
L 1 = { (x, y)/
L 2 = { (x, y) /
L3 = { (x, y) / y = - 2x }
L4 { (x, y) / y = -x }
Y=-2X
' Y=-x'
·. '
'
¡ y=2X
X
' ' ' '
Relaciones - 3 t ·-
GRÁFICAS DE RELACIONES DEFINIDAS POR INECUACIONES DEL TIPO
S = { (X, y) E lli. X R. / y S .X }
El punto (x , y) satisface la condición y ::;; x (véase en el Eje Y) siem-
, pre que se encuentre en la semirrecta vertical que comienza en la recta y baja
sin límite . [ Zona sombreada de la figura ( a) ] •
La relación S
0
= { (x, y) / y < x } corresponde a la gráfica que sigue
a continuación pero con excepción de los puntos del borde · y = x . [ Fig. ( b ) ]
Fig. (a)
Fig. ( b)
y
' 1 1 1
1 X 1
' 1 1 1
Y::;; x.;: 1 1
1 ·, 1 1 1 1
1
1
l. 1
1 1
1 1 •· 1
X
Cuando -x toma todos los
valores en el Eje X, la semi-
rrecta hallada barrerá toda la
zona sombreada.
Del mismo modo se puede bosquejar la gráfica de la relación T,
T = { (x, y)/ 2y > ....:.x } = { (X, y)/ y > _..!_X } ,
2
partiendo de la gráfica del borde y = _ 2.; x , sin incluirlo. Fig. ( e) .
2
y
Y=.X, ,,.
"'• :
<( ' 1
-X 1 ' 1 1 1 1
"• ., y __ ¿_, (x' y)
/' 1 1 o 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
~ 1 1 1 1X 1 1 ,,, 1 ' /1 1 1
A 1 1 1
X
Fig. ( c)
1 1 1 1. 1 1
1 1 1 1 . 1 1 1
: ·1 1 1
, y>--x
... 1 2 1
...,~~: : :Y
'...J~
1
--x
y
1
1
1 1 1 f 1
.... ~+ '1" -t
1 f 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1
1 1
(x, y):
1 1 1 1
r 1 1 1
/ 1 '
·y·~;1
1 1 1 2
/1 1 1 1 1 1 1 1
/1 1 1 1 1 1 1 1 1
-32 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
3.7 EJERCICIO .• _Halle la gráfica de la intersección de las relaciones:
S = { (x , .y)/ ~ ::S: 3 } , T = { (x, y)/ y < x 2 } .SOLUCIÓN.·
. ----\ y
-----\
-----.\
::::::,
:::::::\
-------, --------·
3.8 RESUMEN ••
2 .y=x
t
'-
(_ 2
¡- y < X
1- -
T ---· X
----\
--~--\
~::::.:~
·--,---\
-_-_-.:_-_-_,.
y
9
1-
1-
1-
-------\ f----------------\ , __
:_-_-_-_-_-_-_--\ ,-_-_-_-
--- SnT- ----- . 3
y
·-- ____ 2
------ ·o -5 --- 3
~:::~s __ - ---
X
Si la inecuación puede expresarse como
i ) y > (EXPRESIÓN en x)
o como ii ) y ;?: ( EXPRESIÓN en x)
entonces su gráfica tiene como borde : y = ( EXPRESIÓN en x)
( i ) tiene como gráfica a la parte superior del plano, SIN EL BORI>~.
( ii ) tiene como gráfica a la parte superior del plano, CON EL BORDE.
X
y
En los casos : y < . . . ( ó y :::.; • . • ) la gráfica corresponde a la re-
gión debajo del borde sin incluirlo (o incluyéndolo si y :::.; ••. ) .
3.9 EJEMPLO.- Grafique las relaciones determinadas por las inecuaciones:
a) Y $ l .t 1 • b) y ;?: 1 X 1 •
SOLUCIÓN.·
Cap. 1 Relaciones
1) 1 X 1 ;?: y {::} ( X ~ y V X :5 -y
{::} ( y $ X V y $ -X
que corresponde a la
(RE)UNIÓN de las dos
regiones:
y
Y=-x
1: 1:;
1' 1 .,.,
• 1 .,, 1
1 '; 1 1
', 1 1 '
.,, 1 1 1
,,. 1 1 1 1
Y=X
1 1 1 1
f\ 1 1 1 1 1
'' 1 '1 1
1 '"'. 1 1 1 1 ,,. 1 1
1 1 1 ,, 1
1 1 1 • . , 1
1 1 1 1 1 "
- 33 -
X
b) La gráfica corresponderá al complemento de la gráfica de (a) más la frontera, pues:
YC:lxl <=> lxl::S:Y <=> (y;?:O) /\ (-y::S:x.::S:y)
<:::> (y~ O) /\ (y;?: x) /\ (y~ -x)
(INTERSECCIÓN DE LAS TRES RE~IONES)
3.10 PROBLEMA ;. Grafique la (re)unión de las relacion_es en R. :
3
!!(_ = { (X, y) f X ;?: y > X , X > 0 }
3
$ = { (X, y) f X $ y < X , X < 0 }
SOLUCIÓN .- !!(_ corresponde a la intersección de las tres regiones:
i) y::S:x /\ ii) y>x
3
/\ iii) x>O
y s corresponde a la intersección de las tres regiones:
i) y ;?: X /\ ÍÍ) y < x 3 /\ iíi) X < 0 ·
y
, ,
,
,'Y=X
X
Note que el origen (O, O) no se incluye en ninguna de las dos relaciones: !!(_ .ó S.
1
1
-34 - Análisís Matemático 1 Cap. 1 ·
3.11 PROBLEMA.- Grafique la región definida por la relación: .
s = { (x, y) E lR X lR / 1 y 1 ~ x 2 , 1 y 1 $ 1 X 1 }
SOLUCIÓN .- s es la intersección de: 1 y 1 2::: x 2 . /\ 1 y 1 $ 1 x 1 , donde
i) 1 y 1 >_ x 2 2 · 2 siy sólo si y 2::: x v y $ -x . ,
ii) 1y1 $ 1 xi {:::>
{:::>
'
y= -X ''
{ X 2::: 0 V
x<O
{ (x 2::: O) V
(x <O)
y
/\
f\
/\
/\
1y1 $X
1 YI $-X
(-x $y)
(y 2::: x)
' '
f\ (y $ x)
/\ (y$ -x)
. 4. 1 RELACIONES INVERSAS
Toda RELACIÓN 2t de A en B. tiene una RELACIÓN INVERSA de B
en A , denotada por 2t - 1 , y definida por:
1 .
!!( - = { (b, a) / (a, b) E !!( } .
Así, los elementos de !!( ~ 1 son aquellos pares ~rdenados obtenidos al in-
tercambiar las componentes entre sí de cada uno de los pares ordenados d~ la relación
~recia2{_. · ·
4.1 EJEMPLO.- Si A = { 1, 2, 3} , B = { 4, 5} y la relación 2( de A en B:
!!( { (1, 4),(1, 5),(2, 4).(2, 5)}
entonces !R...- 1 = { (4, 1),(5, 1),(4, 2),(5, 2)}
Cap. 1 Relaciones - 35 -
4.2 EJEMPLO.- Dado v = { 1 , 2 , 3 , 4 } y la relación en V : .
!!( = { (1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} , entonces
. !J(-1 = { (1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.
-1 .
En este caso vemos que !!( = .!R.. .
4.3 PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS RELACIONES INVERSAS. -
Dada una relación !!( de A en B y su relación inversa ·
!1(-I deBenA :
.· DOMINIO de !!( - 1 = RANGO de !!(
RANGO de !!( - I DOMINIO de !!(
En el primer ejemplo tenemos que
Dom (!J(-I) = { 4, 5} = Rang (20
Dom(!!()'.
4.4 GRÁFICA DE UNA RELACIÓN INVERSA 1
De la definición !J(-: 1 = { (b, a)/ (a, b) E!!(}, y to-
mando el caso !!( = { (2, O}, (1, 1), (3, 2) } entonces su inversa resulta ser
-1 .
!!( = { {O, 2), (1, 1), (2, 3) } .
En la figura se han Ubicado los .pun-
. -1
los de !l( y !!( , y vemos !lUe
si se considera a la RECTA y = x · ·
como un ESPEJO DOBLE entonces
precisamente se obtiene 2{.- 1 c~
mo LA IMAGEN DE 2{_ A TRAVÉ~
DI DICHO ESPEJO.
y
" / y= X 3 _____ .... ___ _,,
1 "• 2{_-1 1,," 1
- - - - - ->- - -t (3, 2)
"1
" 1 !!( 1
--~(l. 1~ :
(O , 2)
" 1 1 . 1
/ 1 1 1
1 (2, O) 3 X Q, ,
"
En este caso, se dice que la recta ú = x es una RECTA DE SIMETRÍA, y que:
LA GRÁFICA DE LA RELACIÓN INVERSA 2{_ - l ES SIMÉTRICA A
LA GRÁFICA DE 2{_ CÓN RESPECTO A LA RECTA y == x .
-36 - Análisis Matemático 1
En los diagramas siguientes , las
curvas continuas corresponden a
la relación directa !!?.. ' y las cur-
vas punteadas a la relación inver-
sa fit-l '.
-" "
y
,
" ; !!?..-'
Cap. 1
X
En la figura izquierda !!?.. consiste de toda la circunferencia y de toda la zona sombreada.
y
X
Observe que la Relación Inversa de una Recta Horizontal y = e es la Re-
cta Vertical x = e , y viceversa. En efecto,
!!?.. = { ( 4 , · z) / z e lR } tiene ecuación x = 4
y !K_.- 1 = { (z, 4) / z E R } tiene ecuación y= 4 .
L RI ·ó 1 d 1 'bl l'P 2 eslaparábola rp-t •. a e ac1 n nversa e a para o a ..l\. : y . = x -'\.
x = y 2 , la cual se obtuvo interca~1biando x con y en la relación inicial !K._.
~
y
!!?..
!i=4 " "
" " " " " o " , x=4
" "
" Y=.x " " "
!!?..-!
-
~X
2
"
" " " .
' '...:i-1 ...
X
... __
y2 = X
Cap. 1 Relaciones - 37 -
5 • l DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 1
La DISTANCIA entre los puntos P = (x1 , y 1 ) y Q = (x2 , y 2 ) ,
denotada por d = d [ P, Q] satisface la siguiente condición:
d2 = 1 X2 - xd2 + 1 Y2 - yil2
= (x2 - X¡ )2 + (y2 - Y¡ )2'
d[P, Q] =
. / . 2 · 2
= 'V (x2 - xi) + (y2 - Y¡)
5.1 EJEMPLO.- Para los.puntos:
y
1) P= (3, 4). Q= (6, S): d[P, Q] = ~ (6-3)2 + (S - 4)2 = [25" = 5
2) P=(-1,-4),Q=(ll,-9):
d[P, Q] = ~ [11 - (-1)] 2 + ((-9)- (-4)]2 = ~ = 13
3) P = (- S·, - 7) , Q = (O, S) :
d[P, Q] =~[O- (_;_S)] 2 .f. (8 -(-7)]2 = .,/2i9" = 17
5.2 NOTA.- Siempre se cumple que d [ P, Q ] = d [ Q, P] ;::: o .
5.3 PROBLEMA .- Demuestre que el triángulo de vértices
A= (2, 3), B= (-1, O), C= (-2, 4) esisósceles.
SOLUCIÓN.- Para que ello ocurra, dos de SllS lados deben tener longitudes iguales.
Podemos verificar que, en electo:
d[A,, B] = 3.JT , d[A, C] = Jl7; d[B, C] = fü.
5.4 PROBLEMA.- · H(!lle una ecuación para los puntos P = (x, y) que equidisten
de A = (-2, 3) y B = (5, 7).
SOLUCIÓN.-
-38 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
Por la condición:
d[P, A]= d[P, B] :
~ (x + 2) 2 + (y - 3)2
~ 2 . 2 = (x - 5) + (y - 7)
Elevando al cuadrado y redu-
ciendo : 14x + 8y = 61.
;
A= (-2,3) <:_
B = (5, 7) ,,,
; .
;°' /
I
I
p =(!,Y)
L X
s.s PROBLEMA.- Demuestre que los puntos A(~3 , 2), B(5, -6) y C(I, -2)
son colineales [que se encuentran en una misma recta].
SOLUCIÓN .- Ello ocurrirá en el único caso en que: considerando la~ distancias entre
ellos, la SUMA de dos de tales distancias debe coincidir con el valor
de la tercera. Así, podemos verificar que esto es cierto puesto que·
d[A, C] = 4.[2, d[C, B] = 4.[2, d[A, B] = s/2 .
5.6 1 FÓRMULA DEL PUNTO MEDIO 1
En la recta vemos que el Punto Medio M entre a y b es
1· b-á ·1
R
a M . b
M = b-a a+ b (SEMISUMA de a y b ) a+(--) =
2 2
Usaremos este hecho en ambos Ejes X , Y , para hallar las coordenadas del punto
M = (r , s) que se encuentra a la mitad del segmento de recta que une a los puntos
P = (xi , Y1) y Q = (x2 ' Y2) : y
Por el Teorema de Tales, si M
es punto medio del segmento
PQ , entonces r es punto
medio enfre x1 y x 2 , y .s es
1
1
1
1
1
1 1 1
· I 1 1
punto medio entre y
1
y y
2
: Y¡ - i - - - - ~ - - _q
P1 1 1
o r X
Cap. 1 Relaciones - 39 -
1 s =
. 2
Por lo tanto, ( xi+ x2 , Y¡+ Y2 )
2 2
y se lee : LA SEMISUMA DE LAS COORDENADAS. DE LOS EXTREMOS P y Q .
5.7 EJEMPLO.- El punto medio M entre A = (3, 7) y B = (9, -5) es
M = ( 2.±...2_ , 7 + (-5) ) = ( 6, l) .
2 2
6. LA RECTA Y SUS ECUACIONES 1
1 X= C
Si una recta es vertical sabemos que su ecuación es de la forma
, siendo e: una constante.
Si la recta L no es vertical y pasa por un punto fijo P
0
=
llamado PUNTO DE PASO de la recta, entonces L forma unángulo fijo
a "" 90º con el Eje X, medido en sentido antihorario a partir del semieje po-
sitivo del Eje X . Este. ángulo se llama ÁNGULO DE INCLINACIÓN de L
Un punto P = (x , y) "" 1'0
pertenecerá a la.recta L si y sólo si
Si Q = (x1 , Y¡) E L ,
entonces también se cumple que:
Y¡ - Y0
Tan a . =· ----
y
y --- --
p
I} 1 1 (y - y )
1 o.
- a __ ____ _ti
X
6.1 PENDIENTE .- Se llama PENDIENTE de una recia L al valor de la tangente
de su ángulo de inclinación a , y se le denota
m = Tan«· = , a "" 90°
donde los puntos (x
1
, y 1 ) = Q y (x0 , y 0 ) pertenecen ambos a la recta L.
-40 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
El valor de la PENDIENTE siempre es constante para cada recta, y proporCio-
na una medida de su inclinación con respecto al Eje X . Así, la ecuación de una recta
que NO ES VERTICAL L queda determinada tan sólo indicando su PENDIENTE m , y las
coordenadas de cualquier PUNTO DE PASO (x
0
, y
0
) , en la forma:
=> L: y - Yo
6.2 PROBLEMA:- ·Halle la ecuación d.e la recta L que pasa por (1, 2) y tiene án-
gulo de inclinación de 45º .
SOLUCIÓN.· a = 45º . La pendiente m es: m = Tan a= Tan·45o = 1 ,
y como pasa por (x
0
, y
0
) = (1, 2) , entonces
L: y - y
0
= m (x - x
0
) => y - 2 = I • (x '- 1)
=> L : y - 2 = x - 1 , es decir L : y= X+ J.
6.3 PROBLEMA.. Halle la ecuación de la recta L que pasa por los puntos A = (3, 4)
y B = (5, 8) .
SOLUCIÓN .- Como ambos puntos pertenecen a la recta L , se puede tomar cualquiera
de ellos como PUNTODEPASO P
0
= (x
0
,y
0
); digamos P
0
=A= (3; 4) .
Ahora sólo falta hallar el valor de la pendiente m , y con las coordenadas del punto
B = (x, y) = (5, 8) obtenemos ·
y - Yo 8 - 4 4
2 m = = ·--- = - = 2 => m =
X - X
0
5 - 3 2
Y la·ecuación d¡¡ L: y - Yo = m (x - x 0 ) => y-4 = 2 (x - 3) •.. (1)
Pero, si en lugar de P
0
= A se hubiese considerado P
0
= B. = (5 , 8) en-
tonces se habría obtenido m = 2 ,
=> L: y - 8 = 2 (x - 5) . ... (2)
que aparentemente es diferente de (1) pero si se efectúan las reducciones necesarias
se encontrará.que (1) y (2) son equivalentes obteniéndose en ambos casos:
L: y = Zx - 2
La ecuación para L en la forma~
la FORMA PUNTO - PENDIENTE.
m (x - x
0
) es denominada
l'ap. 1 Relaciones
Ahora, consideremos como Punto de Paso a (O, b) , donde L intercepta al [ jE
Y , entonces
L: y - b = m (x - O)
=> ¡-L: y mx + b
X
Esta forma proporciona directamente la PENDIENTE m como el coeficiente de
la variable x, mientras que el término independiente E. indica el punto en el EJE Y
donde la recta L lo corta y E, obviamente puede ser: > o , = o ó < O •
Así, por ejemplo, la ecuación y = 3x - 1 corresponde a la recta
con pendiente m = 3, y punto de paso (O, b) = (O, -1) .
Si la recta L tiene su ángulo de inclinación a, tal que:
1) o < ·ª < 90º m= Tan a > O .. . PENDIENTE POSITIVA.
2) a = o m= Tan O o Recta HORIZONTAL.
3) 90º < a < 180° m =Tan a < o PENDIENTE NEGATIVA.
Cualquier otro ángulo se reduce a los tres casos dados para efectos
del cálculo de la PENDIENTE m = Tan a .
6.4 NOTA.· m= 1 {::? Tana = {::? a = 45º
m = -1 <=? Tan a= -1 {::? a= 135°
y y
X
Y si o < a < 90º , la pendiente m aumenta de valor conforme el angulo a
va creciendo. En general se tiene el siguiente esquema gráfico:
-42 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
y y
X
X
O< a< 90°
6.5 PROBLEMA.. Dada la ecuación de la recta L : 2x + 4 y = 4 , halle su pen·
diente, un punto de paso, y bosqueje su gráfica.
SOLUCIÓN .• Para hallar algún punto de paso basta dar un valor real cualquiera ·a la
variable x, y despejar el correspondiente valor de y , o viceversa.
Así, para y = o se tiene X = 2 • luego p o = (2 • O_) resulta ser un punto de paso
(pero NO ES EL ÚNICO) • Despejando y y = - _!_x + 1 =>- m = - _!_ •
2 2
Note que la recta también
pasa por el punto (o, b)
=(O, 1)
m =
y
2
X .
6.6 TEOREMA •• Si a y b no son ambos ceros a la vez ·, entonces la
ecuación: ax+ by+ e= O siempre represen-
ta a una recta en el plano XY .
·.
PRUEBA.· i) Si a= O , b ... o y = - c/b ( L HORIZONTAL)
ii) Si a ;e O , b. = o ' · X= -e /a ( L VERTICAL )
iii) Si a :;e O , b,.. o a (-~) que es una y = (--)x +
b b
Cap. 1 Relaciones - 43 -
·recta con pendiente m = - a/b , y pasa por (o, - c/b) .
7. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
"Dos rectas L
1
y L
2
son PARALELAS ( L 1 // L 2 )
si tienen el mismo ángulo de
inclinación:
ª1 .= ª2 = ª ·
En el caso de rectas que
no sciñ verticales, esto
equivale a· que sus pén·
dientes sean iguales:
m 1 = m 2 = in = Tan a .
X
Si ninguna de las dos rectas L 1 y L 2 es vertical, entonces ellas serán PERPENDICU-
LARES si y sólo si a 2 - a 1 = 90º,
a 2 = 90º - ( ...:.. a 1 ) =>
Tan a 2 = Cot ( - a 1 )
= -Cot( a 1)
= - l/Tan(a 1)
<=> (Tan a 1 ) ( Tan a 2 ) = -1
<=> m1 • m2 = - .1
( PRODUCTO DE PENDIENTES = - 1 ]
X
7.1 TEOREMA.· Sean L 1 y L 2 dos rectas de pendientes m 1 y m 2
respectivamente, entonces
son PARALELAS
ii) L 1 J. L 2 son PERPENDICULARES <=> 1 m 1 • m 2 = -1 I ·
7.2 · EJEMPLOS.. Las rectas L 1 : 2x + y + 1 = O
L 2 : 2y = - 5 - 4x
-44 - Análisis Matemático l Cap. 1
son PARALELAS , pues sus pendientes son iguales.
Las rectas 1~, : ax+ by+ c = O a;eO, b;eO
L 2 : - bx + ay + d = O
son PERPENDICULARES, pues mi = - a/b y m2 = b/a
Las rectas
a b => . m 1 • m., = ( - - ) · ( - ) = -1 - b a
L 1 : 3x-2y+l=0
L 2 : 4x + 6y - 12 = O
también son perpendiculares: m 1 • m 2
- 4/6 = -2/3
= (2..)·(-2)
2 3
7.3 PROBLEMA .• Halle el valor de k para que la rectas dadas sean paralélas
-1
L 1 : kx+(k-l)y+l8 .= O, L 2 : 4x+3y+7 =O.
SOLUCIÓN .- ID¡ = -k
k - 1
m
2
= - ~ , y como las ·rectas deben ser pa-
3 .
ralelas entonces m 1 = m 2 . De esta ecuación despejamos k = 4 .
7.4 PROBLEMA.- ¿Son las rectas L 1 : -2x + y = -2 1 L 2 : X + y 7
perpendiculares? . Halle su punto de intersección Q • .
SOLUCIÓN . m 1 = 2 , m 2 = -1 => m 1 • m 2 ;e ·-'-1. Luego, las dos rectas
NI SON perpendiculares NI SON paralelas.
El punto Q = (x, y) buscado, al estar
en ambas rectas, ceben saiisfacer las dos-
ecuaciones simultáneamente, lo que indica
que se debe resolver .el sistema:
{
-2x +y= -2
X+ y= 7
=> X=3 1 Y=4
=> Q = (3 1 4) .
X
7.5· NOTA .• Cuando dos ecuaciones (simultáneas) de dos rectas no tienen ninguna so-
lución, es porque ambas rectas son paralelas y están separadas entre sí.
Cap. 1 Relaciones - 45 -
Tal es el caso de las rectas:
L 1 : 2x +y = 2
L 2 : 4x+2y 10
(1)
(2)
que al reemplazar (1) en (2) se llega a que 4 = 10 (ABSURDO) , y esto ocurre
pues al tener las pendientes el mismo valor: m 1 = m 2 = - 2 se concluye única-
mente que las dos rectas SON PARALELAS L
1
// L
2
, pero que no necesariamente
tienen que ser coincidentes. Podemos ve~ que estas dos rectas dadas son paralelas,
pero están separadas:
L1 : 2x +y = 2
L 2 : 2x +y = 5
X
7.6 PROBLEMA.· Si L: Jx + 4y - 2 = o , halle la ecuación de la recta
L' tal que L' ..L L , y que pasa por (4, 2) .
SOLUCIÓN .- L 3x + 4y - 2 = O => I/ : '- .4x + 3y + k
Y como ( 4 , 2) e L' se cumple que - 4 ( 4) + 3 (2) + k = o
k = 10 , L' : - 4x + Jy + 10 = O .
8. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 1
o
Dados un punto Q = (x
1
, y¡) y la recta L de ecuación
L: ax + by + c = o entonces la recta L' que pasa por Q y es per-
pendicular a la recta L tiene como ecuación : (VERIFICAR)
L' : - bx + ay + ( bx1 - ay1) o .
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/
i
i¡ .
. •• 1
..
-46 - Análisis Matemático 1
La distancia de Q a L es
igual a la distancia de Q al punto
R E L n L' .
Resolviendo el sistema de ecua-
ciones de L y L' se obtienen
las coordenadas del punto R :
y
2 2 2 x = ( b x 1 - a by 1 - ac }/(a + b ) 0
Cap. 1
L
X
2
2 b (ax¡+ byt + e) = b2 k-2
(y - y 1 ) = ---=----=---
a 2 + b 2
donde k
ax1 + by1 +e = --------
ª2 + b2
=>
Por lo tanto, d = d[Q, L] = d[Q, R]
~ 2 2 . d=lk)a+b .
donde Q = (x
1
, y
1
) y
L: ax +by + e = O .
8.1 EJEMPLOS.· Dados los puntos A = (9, 1) y B = (3, 4) , las distancias.
respectivas a la recta L : 3x - 4 y + 7 = o son :
d[A, L] 1 3 (9) - 4 (1) + 7 1 JO --;====--'- = - = 6 , A ::: (9, 1)
~32+42 5
13(3)-4(4)+71 o .
d [ B, L] = --;===-""--- = - = 0 , B = (3 ; 4) .
~32+42 5
Esto implica que el punto B PERTENECE A LA RECTA L , como se puede verificar sus-
tituyendo las coordena·das del punto B en la ecuación de L .
8.2 PROBLEMA.· Demuestre que l<J distancia entre las Rectas Paralelas:
L 1 : ax + by + e = o y L 2 : ax+ by + e' = o
está dada por
Relaciones
1 e - e' 1
~ ª2 + b2
SOLUCIÓN.- i) Si L
1
// L
2
y si son verticales entonces b = o .
[ Completar esta prueba como ejercicio ]
ii) Si L
1
y L 2 no son verticales entonces b "' o ,
tomamos un punto Q ~ L 2 cualquiera, digamos:
Q = (O, - e' /b) ··y
=> d [ L2 , L1 ] = d [ Q , L1 ]
e' . 1
la·(O) + b{--) +e
b
~ ª2 + b2
d [ L2 , L 1 l = 1 e - e' 1 / ~ a 2 +. b 2
8.3 EJEMPLO.- La distancia entre las rectas L 1 : 3x + 4y + s = o. , y
- 47 -
L 2 : - 6x - 8y + 20 = O => L 2 : 3x + 4y +_ 10 = O
donde identificamos los valores de e = s , e' = -10 , está dada por
9. ÁNGU.LO ENTRE RECTAS
15 = 3 unidades.
5
Si e es el ángulo entre L
1
·y . L
2
, medido en sentido positivo
(ANTIHORARIO) , y si a 1 y a 2 son los ángulos de inclinación de L 1 y L 2 respec-
tivamente coh a
1
< a
2
como en la figura, entonces:
Tan 0
-48 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
En efecto,
m 1 = pendiente de L 1 = Tan a 1
m 2 = pendiente de L 2 = Tan a 2
ÁNGULO ENTRE L 1 y L 2
e= a
2
- · a
1
•
Así, la fórmula ( •) viene de la relación:
Tan a .2 - Tan a 1
y
Tan 0 = Tan (a 2 - a 1) = 1 + Tan a 2 Tan a 1 .
i) Si Tan 0 > o entonces 0 es un ángulo AGUDO
donde si:
ii) Si Tan 0 < o entonces 0 .es un ángulo OBTUSO •
Ll .
X
Y si p = :re - 0 es el ángulo suplementario entre L
1
y L 2 : Tan p = - Tan 0 .
(
9.1 PROBLEMA.· Halle la ecuación de.la recta L' que forma un ángulo de 45º
con L : 3x -y+ 1 =:=:o, y ·quepasapor (O, 1).,
SOLUCIÓN.- Sólo falta hallar la pendiente de L' pero hay dos posibles soluciones
para L' y los denotamos L 1 y L 2 . ·
Como L tiene pendiente m = 3 :
m-m
L 1 ·: Tan01 =
1
. . 1 + mm 1.
Y siendo 01 = 45º = 02 :
1
1+3m1
entonces L
1 y-1 = -x 2
X
y - 1 = -2x.
l'up. 1 Relaciones -49 -
8.2 PROBLEMA.· Si 0 es uno de los ángulos entre las rectas LI y L2 '
y si 1Tan0 I = 2 , halle el valor de: .
i) La tangente del ángulo agudo entré L¡ y L2 .
ii) La tangente del ángulo obtuso entre LI '/ L2 .
SOLUCIÓN.- Como Tan0 = ±2 entonces
i) 0¡ agudo => Tan0 1 = + 2 (pues Tan 0¡ debe ser > o)
ii) 02 obtuso - => Tan0 2 = -2 (pues Tan0 2 debe ser < o)
9.3 NOTA.· Las tangentes .del ángulo agudo y del ángulo obtuso entre dos rectas sólo
difieren en el signo. · ·
10. GRÁFICAS QUE INVOLUCRAN EL VALOR ABSOLUTO
La ecuación y = 1x1 es equivalente a la condición
y~O/\ [x=y V X=-y] {::} y~O · /\ [y=x V y=-x]
que equivale a considerar los. puntos de ambas rectas: y ·= x , y = - x pero so-
lamente en el semiplano superior y ~ o
+ y
' ' ' ' '
o
La ecuación y = 1 x -,- t I + x es equivalente a :
{ X - I + X = 2x - I , y = 1-x+x
{ 2.x - 1 ' si X ~ y = si X< 1
que consiste de dos partes: la parte
de la recta y = , 2x - J corres-
pondiente solamente a los valores
de x ~ 1 . , y la parte de la recta
para x~I
{::}
para x<I y
)
y
, 0 X
X
X
-50 ·- Análisis Matemático 1 Cap. 1
Y = 1 (horizontal) correspondiente sólo a la parte del plano ubicada a la izquierda
de x = 1 , es decir: x < 1 .
La ecuación 1 y - 2x 1 = 4 - 2x - y , que es equivalente a:
4 - 2x - y > O A [ y - 2x = 4 - 2x - y y y - 2x = - 4 + 2x + y ]
~ Y :5 ~ 2x + 4 A ( y = 2 V X = 1 ]
y< -2x+4 \J~ y consiste de aquellos puntos del pla-
no que están en las rectas y = 2
(horizontal) y x = 1 (uertical)
pero solamente aquellos que se en-
cuentran debajo de la· recta
y = - 2x + 4 , es decir, en la
- \
4 , y> -2x+·4
\ '
\ ' 3 \ 1
_____ 2-+--'-\,~ ~~· !~ ---
\
región y :5 - 2x + 4 . .
\
\
1
\
\
\
.O .. 1 2 \ 3
EJERCICIOS PROPUESTOS.
\
\
1. Grafique la relación R = { (x, y) E R 2 / · 1 x - ¡" 1 = 1 y - 1 1 } ~
2. Gralique e indique el dominio de la relación:
2
R = { (x, y) E R / 2 < 1 x - 4 j :5 12 }
3. Grafique e indique el dominio y el rango de la relación
S = {(x, y) E lll
2
/ 1y1 ~ x 2 A 1 y r. < x } .
4. Gralique la región s indicando su dominio y rango:
2 .
S ={(x,y)eR / IYI :5 lxl :5 3 }.
5. Gralique la región definida por la relación
s = { (x' y) E R .X R / 1 y 1 ~ x2 • 1 ~il :5 1X1 }
e indique su dominio y rango.
,..
X
\
6. Grafique la región determinada por la relación s- 1 , para la relación s dél pro-
blema anterior.
SUG.- Utilice la re.eta y = x como espejo doble.
7. Grafique la región definida por la relación inversa s- 1 donde
S = { (x, y) E lll 2 / .[Y~ x }
SUG.- ¡y ~ X ~ y ~ o A [ X < o V (x ~ o A y ~ . x 2 ) ]
8. Halle la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
a) (2,l)y (3,4) b) (6,-3)y (-2,1)
Cap. 1 Relaciones - 51 -
e) (o • 1) y . (1 • o)
9. Encuentre el valor de las pendientes de las rectas que son bisectrices entre las
rectas y = x y el EJE X .
SUG.- m = Tan (a/2) donde Tan a = 1 = (Pendiente de y = x )
Tan(ª)
__ 2 Tan (a/2) .
1 - Tan2 (a/2)
, y despeje Tan (a/2) . .
10. Una recta con pendiente negativa pasa por ( - 1 • 1) y dista .JS unidades del
punto A = ( 4 • 1) . Halle el valor de su pendiente y la ecuación de dicha recta.
1 t. Sea P = (a ; b) un-punto del plano tal que la rect_a OP que lo une con el origen
tiene pendiente - 3 y la recta MP trazada por los puntos P y M = (3. t)
tiene pendiente 2 . Halle el valor de a + b .
12. Halle las ecuaciones de las rectas L 1 y L 2 que pasan por (5, 6) y tales que
L 1 es paralela a 2x + y + I = o • y
L 2 es perpendicular a 3x + 2y + 2 = o.
13. Halle el ángulo obtuso 9 que forman las rectas 'L 1 con pendiente k y ta recta
L 2 con pendiente (k - 1) / (k + 1) .
SUG.- Halle Tan 9 , con valor negativo.
14. Una recta cuya ordenada en el origen es tres veces la de 2x - y+ 1 = o (en .
el origen) es dos veces la de 2y - 4x + 12 = o , forma un triángulo en el pri-
mer cuadrante con los ejes coordenados. Halle su área.
15. Halle la ecuación de la recta L que pasa poi' el origen de coordenadas sabiendo
que la longitud de su segmento comprendido entre las rectas
L 1 : 2x - y+ 5 = O y L 2 : 2x - y+ 10 = O es ·.,{10.
Se sabe además que la recta no pasa por el segundo cuadrante.
SUG.- Bosqueje una gráfica aproximada.
16. Dada la familia de rectas 2kx + y + k 2 = o , halle la tangente del ángulo
agudo entre las dos rectas de la familia que pasa por (1, - 8) .
17. La ecuación . x +y - 2 + k(x - y+ 6) = o representa una familia de rec-
tas que pasan fodas por un mismo punto. Halle las coordenadas de este punto.
18. Una recta que pasa por el origen corta a las rectas x - y = 3 y
y = 2x + 4 en los puntos A y B respectivamente. Si el origen es punto me-
dio del segmento AB , halle la abscisa del punto A .
;
-52 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
19. Entre las rectas que pasan por A :::: (3, O) halle una manera que el segmento
comprendido entre las rectas 2X - y = 2 y x + y + 3 = o sea dividido por
la mitad por el punto A .
20. Uno de los vértices de un triángulo es A = (3, - J) y la·s ecuaciones de la bi-
sectriz y de la mediana trazadas desde vértices diferentes son respectivamente
x - 4y + 10 = o y 6x + JOy - 59 = o • Halle la pendiente del lado que
contiene al vértice A y al vértice que se encuentra en la bisectriz.
21. Halle la gráfica de las relaciones determinadas por las ecuaciones
a) . y= El - 1 b) Y = 1 X - 2 I - X •
X
22. Una recta L con pendiente positiva pasa por A = (1, - 2) y forma con las
. rectas 3x + 4y - i = o y 4x + 3y + 1 = o un triángulo isósceles cuyos
lados iguales están sobre las rectas dadas. Halle la ecuación de L .
23. Un rayo de luz corre alo largo· de la recta x - 2y + 5. = o . hasta llegar al ~s
pejo cuya ecuación es 3x - 2y + 1 = o en el cual se refleja. Halle la ecuación
de la recta L en la que el rayo reflejado se encuentra.
24. Halle la gráfica de la relación A n B donde
A = { (x. y) / X - 1 :::; y :::; X + 1 } ' B = { (x' y) / :::; X :::; 3 } .
CLAVE DE RESPUESTAS
2.
(3' 3)
X
(3. -3)
y
------- --1 r:
::::::: _:, • . 1--
------- --1 r_:
::::::::::: :.:1 1-
-:------ --1 r::
::::::: ::1 1--
------- -, r::
------- --. . 1
3. y
(l, l)
X X
(1,-1)
2.DomR = [-8, 2) u (6, 16]
3. Dom S = (O, 1 )
Rang S = ( -:- 1 •. 1 ) - { O }
Dom S = [ -' 3 , 3 ]
Rang S = [ - 3 , 3 ]
4.
Cap. 1 Relaciones - 53 -
5) 6) y
7)
y
Y=h.
X
------"':'----------------------- . X (1, -1}
-1 ------.. ---------------------
8. a) m = 3 , . b) m = - 1/2 , c) m = - 1
9. m
1
= ..f2 - 1 , m2 = - ( ..f2 + 1) . ·Note que· ambas bi.sectrices son per-
pendiculares entre sí. (Esto s[empre se presenta asíJ
10. m = -1/2 , L: y = 1 - (l/2)(x ·+ I) pues
L : . y = . mx + b , ( ~ 1 , 1) E L => b = m + · 1 , de ~onde
L : y = mx + (m + 1) , o también mx - y + (m + 1) = O
Luego, ../5 = d[L; (4, I)] = l4m - 1 +Cm+ OI/~ m 2 + I
=> .m = ± 1/2 _.. y elegimos el sigilo (-) .
b-1
11. a+b = -2 pues -- = 2· A b =-Ja => a=I, h=-3 -
a-3
12. m 1 =-2 => L 1 :y-6=-2(x-5)
m 2 = 2/3 => L2 : y - 6 = (2/3)(x ,..- 5)
m -m
13. Tan 0 = ± [ . 2 1
1 + m 1m 2
=> Tan9 = -1 , 9 = 311/4 • .
14. 9 u2 , 15. m = 1/3 ·, L: x :: 3y .,
16. Tan 9 = 12/31 , 17. A= (-2, 4) 18. 1 ·, A = (l, - 2) .
19. 8x - y - 24 = o , 20. m = 6/7 .
21. a) y b)
o
X
----0-2 X
-54 - Análisis Matemático 1
22. m = 1 , L : y + 2 = x - 1 .
. 29 29
23. m = -, L~ y - 2 = -(x + 1)
. 2 . . 2 .·
24. y
3
, ,'Y=x+I
2 - , .. ;;;; , y· = X - 1
,' . ::P.· ,~ .
••• 1
• 1
O /i 2 X
Cap. 1
11. GRÁF;rCAS DE ECUACIONES. PARÁBOLAS. CIRCUNFERENCIAS
1. GRÁFICA DE LA PARÁBOLA
Ya vimos que la gráfica de la ~cuación de primer g.rado de
la forma ~I a_x_+_b_y_+_c_=_o~I es una recta. Ahora conoceremos las gráficas
· de las ec~aciones de segundo grado de la forma
y = ax2 + bx· + . e = a (x - h)2 + .k
Esta completacióri de cuadrados siempre se puede realizar, donde · h y k
son ciertas constantes que dependen dé a , b y e , y que pueden tomar cualquier
valor real.
1.1 DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES
GRÁFICA DE LAS PARÁBOLAS 2 y = X y ::;: (x - 3)2 :
Para y = x 2 :
: 1-: 1-: 1-: 1 ~ 1 1 ~ 1 :
y = (x - 3)2 :1.:1 4 1 2 1~1 4 1:1:
Cap. 1 · Relaciones - 55-
y
_____ 4
-2 _ ·¡ o 2 3 4 5 X
1.2 NOTA.· La forma de la gráfica de la ecuación y = (x - 3) 2 es la misma que la
de y = x 2 , a la que se le ha desplazado 3 unidades HACIA LA
DERECHA.
a) La gráfica del y . = a (x - h)
2 1 tiene la misma forma que la de l.__Y_=_a_x_2~
a la que se le desplazado 1h1 ünidades HORIZONTALMENTE y
• HACIA LA DERECHA si h > o
- HACIA LA IZQUIERDA si h <: o .
Así, la gráfica de y = (x + 3)2 = [ x - (- 3) J2 es, para h = - 3 :
-5 -4 -3 -2 -1 o
y
- ---1y=x2
1:
I 1
1 1
I '
I :
- _ , 1
/1 1
/ 1 1
2 X
GRÁFICAS. DE: y = -x2 y y = -(x - 3)~:
2 y= -x
X
. 2
y=-(x-3) h=3>0,
a la DERECHA
\,
i 11
- 56 - Análisis Matémático 1 Cap. 1
1.3 NOTA.- La gráfica de y = -x2 tiene la misma forma que la de y = x 2
pero volteada, como si el EJEX actuara como un ESJ'EJO
y ahí se reflejara la gráfica de y = x 2 .
1.4 DESPLAZAMIENTOS VERTICALES.-
GRÁFICAS DE : 2 y = X
y ·= x2
y = x 2 + 1:
: 1-: 1-I 1 : 1 1 : 1
: 1-: 1-~ 1 o 1 2 1 : 1
Observe que la gráfica de 1 y = x 2 + 1 1 · tiene la misma forma que la de
1 Y = x 2 I . a la cual se le ha subido 1 Unidad VERTICALMENTE.
y
y = x 2 + 1
= xl
-2 -1 o 2 X
1.5 NOTA.. En general, la gráfica de la ecuación y = a(x - h)2 + k tiene
la misma forma que la de y = a (x - h)2 a la que se le ha des-
plazado 1 k 1 unidades, VERTICALMENTE:
• HACIA ARRIBA, si k > o
. • HACIA ABAJO, si k < o
Combinando las NOTAS ( 1.2 } y ( 1.5 ) podemos bosquejar la grá-
fica de y .= (x - 4)
2
- 2 . tomando la gráfica de y = x 2 y desplazándol~
Cap. t Relaciones
1 h 1 = l 4 I = 4 unidades HAC!A LA DERECHA ( h = 4 > o ) , y luego
1 h 1 = 1- 2 I = 2 unidades HACIA ABAJO ( k = - 2 < o ) :
:i
y=x
Analicemos ahora la mayor o menor
abertura de estas parábolas.
GRÁFICAS DE :
2
y = X
1 2
y= -x
2
y
- - - _8 - - - - -
7
2 y= 2x
- 51-
2
y = 2x 1 2 y= -x
2
-2 -1 o 2 X
t.6 NOTA.- . La gráfica de 1 y = ax2 I es: .
a) MÁS ANGOSTA qu~ la de y = x 2 si 1 a 1-> l
b) MÁS ANCHA que la de y = x 2 si o < 1a1 < l.
Al punto V = (h , k) en 1 Y = a (x - h)2 + k 1 se le llama VÉRTICE DE
LA PARÁBOLA , siendo su abscisa:, h = - b/(ia) .
GRÁFICAS DE 1 y ;,, a(x - h)2 +k1:
- 58 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
y y
a< O
V
k k
V
h X X
1.7 PROBLEMA.. Bosqueje las gráficas de las ecuaciones:
a) y = 2x2 + 12x + 7 , b) 2y = 2x - x 2 + 3 ..
SOLUCIÓN.- Completando cuadrados:
a) Y= 2(x+3)
2
-t => VÉRTICE V=(h,k)=(-3,-1), a=2>0
b) 1 . 2 VERTICE 1 y= -~(x - 1) + 2 => V = (h, k) = (1 , 2) , a = ·'--<o 2 2
y y
V= (1, 2)
o
X
-1 o 2 X
V=(-3,-1)
.1.8 GRÁFICAS QUE INVOLUCRAN EL VALOR ABSOLUTO-
Aquí bosquejaremos las gráficas de las ecuaciones de la forma :
1 Y= j.a(x-h) 2 + kj . ,
Observe que la ordenada y debe satisfacer y ~ o {semiplano superior). Por
ejemplo, ..
Y = 1 -(x - 2)2 + 3 1
y = 1 (x - 2)2 - 3 1
Relaciones - 59 -
{::} y ~ O /\ [ y = (x - 2) 2 - 3 V 2 y = -(x - 2) + 3 )
cuyos puntos, de cada parábola, y
18 encuentran en el semiplano
1uperior y ~ o :
1
I
3 /\4
I \
I \
I \ y -
' I * \ -
. ' 1 / -3 ____ .........
y= (x - 2)2 - j
2 .
-(x - 2) + 3
La forma de ambas en la misma, solamente que una de ellas está dirigida
hacia arriba con vértice (2, - 3) y la otra hacia abajo con vértice (2, 3) .
· la gráfica resultante {curva continua), se obtiene también considerando al
EJE X como un ESPEJO, y donde la parte de la paráfJola- y = (x - 2)2 - 3 que
H encuentra en el semiplano inferior y $ o (•) se ha reflejado hacia el semi-
plano superior y ~ o {como si hubiese girado en 180° alrededor del EJE X . )
MÉTODO PRÁCTICO :
Para y = 1 a (x - h)2 + h 1 donde se ha acomo-
dado de manera que a > o , se grafica y = a (x ..... h) 2 + k , y si alguna parte
de esta parábola cae en el_ semiplano inferior y ::::; o , esta parte se ha de reflejar en
el ESPEJO { EJE X ) ' girando ' hacia el semiplano superior.
1.9 EJEMPLO.- Para graficar Y,= 1- (x + 3) 2 + 2 I = 1 (x + 3)2 - 2 j se co-
mienza graficando la parábola y = (x + 3)2 - 2
la zona y $ o lo reflejamos {respecto al EJE X )
HACIA LA PARTE SUPERIOR y ~ O :
' I ·. /
'J..~-
I
I
I
, y luego lo que se encuentre en
y
2
O X
-2
- 60 - Análisis Matemático 1 Cap. i
2. 1 LA CIRCUNFERENCIA 1
Una CIRCUNFERENCIA es el conjunto de todos los puntos
P (x, y) del plano que equidistan de un punto fijo e = (h, k) llamado el CENTRO.
Al valor de dicha distancia constante se le llama RADIO de la circunferencia.
P(x,y) , e= (h,k)
y
CONDICIÓN: d (P, C) = r , r > o
·.es decir .
~ (x - h) 2 + (y - k) 2 = r k
(x - h)2 + (y - k) 2 = r 2 , .
X
EJEMPLOS .-
1. La ecuación (x - t)
2 + (y -'- 3)2 = 25 ( = 52 ) corresponde a una circunfe·
rencia con centro (h, k) = (1, 3), y radio r = 5 .
2. La ecuación: (x + 2) 2 + (y - 1) 2 = 6 = cfii corresponde a una cir:
cunferencia con centro (h, k) = (-2, 1) , y radio r = fi .
3. La ecuación (y + 2)2 + (x - 1) 2 = 36 corresponde a una circunferencia con
centro (h, k) = (1, - 2) y radio r = 6 .
2.1 EJERCICIO.- Especifique qué tipo de gráfica corresponde a la ecuación:
2 2
16y - · 8x + 2x + 2y + 25 = O •
SOLUCIÓN.- Completando cuadrados para cada variable:
2 . 2
2(x - 2) - 8 + 2(y + 4) - 32 + 25 = O
2 2 .
(x - 2) +(y + 4) = 15/2
que corresponde a una circunferencia de centro (h, k) = (2, - 4) y radio
r = .¡J5/2 . .
2.2 NOTA .- I) Puesto que: a¡ + b 2 = o ~ a = o /\ b = o ,
entonces (x+ 3)
2
+ (y -: 2)
2 = o ~ x + 3 = o · /\ y - 2 = o
X = 3 y = 2
Relaciones - 61 -
:-u• tiene solución gráfica la intersección de la recta x = 3 y con la recta y .= 2 ,
11 decir, el punto ( - 3 , 2) es el único punto del plano que satisface la ecuación.
11) Asimismo, a 2 + b 2 = - k ( k > o ) no tiene solución real para
a y E_ , entonces la ecuación
(x - 1)
2 + (y + 2) 2 + 2 = O
no tiene representación gráfica en el plano XY , pues
(x _ 1)
2 + (y + 2) 2 = ~ 2 tiene conjunto solución VACÍO.
(1) y (11) se consideran "Casos Especiales• de circunfere~cias.
U TEOREMA.- Toda .ecuación de la forma
x
2 + y 2 + Ox + Ey + F = O
corresponde a unq Circunferencia o a uno de s~ Casos Especiales.
PRUEBA.- En efecto, al completar cuadrados:
(x + ~)2 +(y+ ~)2 = 2-co2 + E 2 - .4F) (•)
2 2 4
1) Si o 2 + E 2 - ·. 4 F > o , entonces se tiene una circunferencia de centro
(-0/2, - E/2) .
2) Si o2 + E 2 - 4F = o , (•) corresponde al único punto (-0/2, -E/2) .
3) Si o2 + E2 - 4F <O . , NOEXISTEREPRESENTACIÓNGRÁFICA .
2.4 PROBLEMA .- Halle el radio de la circunferencia que pasa por los puntos
A = (3 ~ 3) , B = (O, - 6) , y C = (- 2 1 - 2) ·
SOLUCIÓN .- Sea x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = o . su ecuación; como A, B Y
e pertenecen a esta circunferencia entonces satisfacen su ecuación :
• Para A : 9 + 9 + 30 + 3E + F = o => 30 + 3E + F = - 18
• Para B O + 36 + O - 6E + F = O => - 6E + F = -36
• Para e 4 + 4 - 20 - 2E + F = O => - 20 - 2E + F = - 8
Resolviendo el sistem'a: D = -6 , E = 4 , F = -12 , .y reemplazando:
x 2-6x+y2-4y - 12=0 ~ 2 . 2 (x - .3) + (y + 2) = 25
que tiene como centro e = (3, -2) y radio r = s .
- 62 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
2.5 PROBLEMA.- Grafique la ecuación : y = ~ 4 - (x - 2) 2
SOLUCIÓN .- Observe que la ecuación implica y ~- o (Semiplano superior) y que
en forma equivalente se tiene la ecuación
. 2 2 . 2
4 - (X - . 2) , y ~ 0 ~ (x - 2) + y = 4 , y ~ 0
cuya gráfica corresponde a la
de la circunferencia de centro
e = (2, O) y radio r = 2 ,
· pero solamente la parte que
cae en la región y ~ o :
y
2
O 2 1
\ I
' /,
'... "' -2 ----~-- - __ ..,,,.
2.6 EJERCICIO.- Grafique.la ecuación: y = 2 - ~ 5 + 4x - x 2
SOLUCIÓN .- Observemos que l y $ 2 1 , además se tiene
X
(y - 2)2 = 9 - (x - 2)
2 ~ (x "'- 2) 2 + (y - 2)2 = 9
de modo que la gráfica buscada corresponde a la parte de la circunferencia de centro
(2, 2) y radio r = 3 ,
que se encuentra en la región
y $ 2.
2.7 PROBLEMA.- Grafique y = 1 2 - ~ 9 - (x + 2) 2 · I ~
X
SOLUCIÓN .- Se sigue el _mismo procedimiento que para y =· 1 a (x - h)2 + k 1
en el que el EJE X hace el papel de un ESPEJO para reflejar hacia el
semiplano superior y ;:::: o todo-lo que está en el semiplano inferior y $ o .
Graficamos primero y 2 - ~ 9 - (x + 2) 2 . Observe que y $ 2 ·y que ade-
Cap. l Relaciones - 63 -
2 2 más es equivalente a (x - 2) + (y -:- 2) = 9 , y $ 2 -Ja cual ya graficamos
y
en el problema anterior,
pero que ahora le aplica- 2 y=l
camos el valor absoluto:
(curva gruesa continua)
-1 2 3 4,.
...... 1 "'
~..... 1 ..,...,,,."
-1 - - - - -=-........._ ... .=-_ - - -
2.8 EJERCICIO .- Grafique la relación definida por:
5
~ = { (x, y) / 8 $ .r2 + y2 $ . 16 A j .r 1+1y1 $ 4 } •
SOLUCIÓN .- ~ es la intersección de las regiones ~ i) y ( ii) :
X
i) que corresponde a la zona de barñdo de la circunferencia
2 2 2 2 · · 2 .
. .r + y = r desde r = 8 hasta r = 16, es de-
cir, desde r = 2 ./2 hasta r = 4.
ii) y ~ o: 0$y$4 /\ y-4:5.r:54-,y
{::} 0 $ y $ 4 /\ y $ X + 4 /\ y $ -X + 4
Y < 0 : 1 X 1 $ Y + 4 {::} -4 $ y $ 0 /\ - 4 - y $ X $ y + 4
{::} -4 $ y $ 0 /\ y 2:: -.r - 4 /\ y 2:: X - 4
y
4 Y= -.r+4
X
y=-x-4 Y=X-4
-4
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- 64 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
2.9 RECTAS TANGENTES 1 .
La ecuación de 2° grado 1 ax2 + bx + e = o 1
1) Tiene una única solución ~ su DISCRIMINANTE 4 = b 2 - 4ac = CERO,
2) Tiene dos raíces reales distintas ~ b2 - 4ac > o
3) No tiene ninguna solución real ~ b2 - 4ac < o.
En general , este criterio se utiliza para hallar una recta LT: l.__Y __ m_x_+_b~j
TANGENTE a una curva e cuya ecuación cuadrática tiene la forma:
C: Ax2 + Bxy + cy2 + Dx + Ey + F = O
para lo cual se reemplaza en (•) la relación y ,;,, mx + b obteniéndose una ecua-
ción de 2 o grado en una sola variable :
ax2 + bx +e = O
y como esta ecuación DEBE TE-
NER UNA UNICA SOLUCIÓN por la
CONDICIÓN DE TANGENCIA, en-
tonces debe cumplirse que
DISCRIMINANTE = O es decir
X
2
b - 4ac = o .
2.10 EJEMPLO.- Halle el valor de 16 (n - m) si la recta y = 2x + m ha de
ser tangente a la parábola y = 6.i-2 - x + n •
SOLUCIÓN .- Reemplazamos y = 2x + m en la ecuación de la parábola:
2
y = 6x - x + n 2 6x - 3x + (n - m) = O
y como debe satisfacer la Condición de TANGENCIA: DISCRIMINANTE :::; o :
b2 - 4ac = o es decir 9 - 4(6)(n - m) =·O ==? 16(n - m) = 6.
2.11 PROBLEMA .- Halle la ecuación de las dos rectas tangentes trazadas desde el
punto (2, 7) a la circunferencia : x2 + y2 = 6x + 16 .
SOLUCIÓN.- Sea y = mx + b_ una ecuación genérica de la recta tangente LT ,
y como (2, 7) E LT entonces 7 = 2m + b ==? b = 7 - 2m
Cap. 1 Relaciones - 65"-
Reemplazando en y = mx + b : y = mx + 7 - 2m
Reemplazando en la circunferencia: x 2 + (mx + 7 - 2m)2 = 6x + 16
==? (1 + m2)x2 - 2(2m2 - 7m + 3)x + (4m2 - 28m + 33) = O.
Aquí aplicamos la Condición de Tangencia DISCRIMINANTE = CERO :
4 -3
12m2 -7m - 12 ·= O = (3m '-- 4)(4m + 3~ ==? m 1 = 3• m 2 = 4
Existen o.os RECTAS TANGENTES que pasan por (2, 7), con ecuaciones :
L 1: y - 7 = ~(x - 2) L 2: . y - 7 = (-2_ )(x - 2) . 3 4
12. CRITERIOS GENERALES PARA GRAFICAR ECUACIONES
I) INTERCEPTOS CON LOS EJES COORDENADOS 1
a) CON EL EJE X : Se hace y = o en la ecuación y.luego se despejan los
valores correspondientes de ~ .
b) CON EL EJE Y : Se hace x = o en la ecuación y luego se despejan los
valcires·correspondientes_de y .
X
2 2 por ejemplo, en la ecuación (x - 3) + y = 25.
•:• Si X = 0 : y 2 = 16 ;:;:? y = ± 4 => ( 0 , 4) y ( 0 , - 4)
son RUntos de la gráfica, en el Eje Y.
•:•si y=O: x=3±5 => x=8,-2 => (8,0)y(-2,0)
son puntos de la gráfica, en el eje X .
- 66 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
II} EXTENSIÓN
. . Se trata de indicar los intervalos máximos en los c.uales las va-
nables x Y Y toman valores permisibles · para la ecuación dada: Por ejemplo,
1 .. 2 2 -
en a ecuac1on (x - 3) + y = 25 al despejar la variable x , se obtiene
. X = 3 ± ~ 25 .:... y 2 , el CUal tiene sentido para aquellos Valores y tales
que: - 5 ~ y ~ 5 •
Análogamente, despejando la variable y: y = ± ~ 25 _ (x _ 3)2 ,
vemos que ésta será válida sólo pára aquellos valores ~ . tales que
(x - 3)2 < 25 {:::>- 5 · - ~x-3~5 {:::>- XE(-2,8) .
Así, la gráfica está contenida
en la región del plano limitado
por el siguiente rectángulo qu~
determina su extensión en el
plano (Fig. 2) .
III}. 1~IMETRÍAS 1
y
-2
Fig. 2
X
Sea L una recta y Q un punto cualquiera, entonces se dice
que el punto Q' es el SIMÉTRICO DE Q con respecto a la recta L si
i) L J. QQ' , ( Q Q' es el segmento que va de Q a Q' ) , y si
ii) L intercepta al segmento Q Q' en
su punto medio M .
· La recta L se llama EJE DE SIME-
TRÍA de los dos puntos Q y Q' ,
Y actúa como un ESPEJO. Se dice
además que dos puntos P y Q son
SIMÉTRICOS ENTRE Sf CON RESPE~
TO A UN PUNTO M , si M es e+
punto medio del segmento PQ .
y
L
o X
Cap. 1
Este punto M . se denomina
CENTRO DE SIMETRIA.
Relaciones
a) SIMETRÍA RESPECTO AL EJE X
- 67 -
p
Si 'V (x, y) : (x, y) E G (gráfica) => (x, - y) E G tam-
bién, entonces se dice que la gráfica G es SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE X. Esto
se refleja en la ecuación; la cual NO VARÍA si se reemplaza !!.. por - y .
Por ejemplo, en la ecuación X = y 2 :
sustituimos y por - y :
; :;: (""'.y)2
2
=y
2
::::} X= y
y vemos que la ecuación
original NO VARÍA.
b) SIMETRÍA RESPECTO AL EJE Y
V
y
X
. -yEsta simetría ocurre si: (x, y) E G => (- x, y) E G
Y la ecuación NO DEBE VARIAR si se reemplazar x por, - x .
Por ejemplo en y = x 2 :_
y = (-x)2 = x 2 ,
(NO VARÍA)
e) SIMETRÍA RESPECTO AL ORIGEN
V
-X X X
Se presenta cuándo: (x, y) E G => (- x, -y) E G
La ecuación por lo tanto NO DEBE VARIAR si. se sustituye simultáneamente
y
·{ Yx por -x
por -y
- 68 - Análisis Matemático 1 Cap. 1
Por ejemplo, en· x 2 + y 2 = 16 :
y
2 2 .
(-x) +(-y) = 16
=* x 2 + y 2 = 16
la ecuación NO VARÍA. X
IV) 1 ASÍNTOTAS · j
. Si la. distancia de un punto de la curva a una recta fija L va dis-
minuyendo, tendiendo a cero, conforme el punto se aleja ilimitadamente del origen,
entonces dicha recta recibe el nombre de ASfNTOTA DE LA CURVA.
IV.1) 1 REGLA PARA HALLAR LAS ASÍNTOTAS 1
1) ASfNTOTAS HORIZONTALES: Se despeja .:! en términos de y , se hallan los va-
lores de y que hacen CERO al denominq.dor
(si hubieran} , y si es que para tales y la expresión NO SE HACE
~ entonces dichos valores de y coincidirán c9n las ecuaciones de o
las rectas asíntotas horizontales.
2) ASÍNTOTAS VERTICALES : Se despeja y en términos de .:! , se hallan los valo-
res de ! que ANULAN al denominadór (si hubie-
ran), y si para tales x la expresión NO SE HACE ~ entonces di-
- o
chos valores de .:! corresponderán a las rectas asíntotas verticales.
EJEMPLO.- Asíntotas de la gráfica de : · xy - y + 1 = o .
} o y - 1 . a espejando x: x = - ... (•) , vemos que el denomina-
Y
dor se anula para y = o. Al reemplazar este valor en (•) resulta:
o - 1 1
X=-= --
0 o
. . o
( diferente de - }
o
• La ecuación y = o (Eje X ) representa la única asíntota horizontal.
Cap. 1 · Reladones - 69 -
b) Despejando y : 1 Y=-- observamos que x · = 1 es la única asín-
1 - X
tota vertical de la curva dada.
IV.2} j CONSTRUCCIÓN DE UNACURVA 1
. 2 2
Graficaremos la ecuación : . x y = 1 .
1. a) INTERCEPTOS CON EL EJE X :
Hacemos y = o en la ecuación dada resultando: o = 1 lo cual es AB-
SURDO; ello implica que la gráfica nunca corta al Eje X ..
b) INTERCEPTOS CON EL EJE Y : No existen ( ¿Por qué ? )
EXTENSIÓN : y 2 = - 1- =} x ;c o , es decir x E lit - {o} . 2. . 2
X
Análogamente, como 2 X=-
y2
=} y ;e o . , entonces y E lll - { o } .
3. SIMETRÍAS.-
Es simétrica respecto al EJE X , pues su ecuación no varía al reemplazar Y
por -y.
Es simétrica respecto al EJE Y , pues su ecuación no varía al reemplazar .x
por .... x. .
Es simétricá respecto al ORIGEN también. (¿Por qué ?)
Debido a estos resultados sólo será suficiente graficar la ecuación en el
primef cuadrante, y el resto se completará por simples simetrías.
4. ASÍNTOTAS.-
!
- y=±-
X
- X =
TABULACIÓN.-
±...!_
y
X
vemos que x = o [EJE Y] es la úriica ASÍNTOTA
VERTICAL.
vemos que y = o [EJE X] es la única ASÍNTOTA
HORIZONTAL.
2 3 4 5 1/3 1/4
y ±1 ±0.6 ±1/3 ±1/4 ±0.2 3 4
- 70 - Análisis Matemático 1
PROBLEMA.· Grafique la ecuación:
SOLUCIÓN.-
X
2 xy-y-1-0. ·
a) INTERCEPTOS con los Ejes: EJE Y : (O, - 1) ; EJE X : No lo corta.
b) EXTENSIÓN: 1) y = 1/(x2 - 1) => x E R - { - 1, 1}
Cap. 1
lf) X=±~ (y+ l)/y => y E {-.oo, -1) U {O, oo.)
c) ASÍNTOTAS: x = - 1 , x ::::: 1 , y = o .
d) SIMETRÍAS: Es simétrica respecto al Eje Y solamente.
e) TABULACIÓN : Será suficiente tabular para x ?: o , x ..,
X o
y -1
1/2
-4/3
;;;;;-1.3
- .2 -1•
1
1
3/4
-16/7
;;;;; -2.3
y
2
o
5/4 2
16/9 1/3
;;;;; 1.8 ;;;;; 0.33
2
X y-y-J
1•
1
2 . 3
4
1/15
;;;;; 0.07
o
4 X
Cap. l Relaciones . - 71 -
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Bosqueje las gráficas de:
· a) y - x 2 + 6x - 8
2
b) . y = 2X - X + 6
c)
d)
2
y = 2x - 12x + 10
2
y = 18 - 8x - 2x .
Bosqueje las gr.áticas de (1) cuando se reemplazan los segundos miembros por
sus valores absolutos.
Bosqueje las gráficas de:
2 2 a) x = y - 6y - 8 c) x = 2y - 12y + 10
2 . ' 2
b) X = 2y ..:.. y + 6 d) X = 18 - 8y - 2y
Bosqueje las gráficas de: a) x = 1 y 2 - 6y - 8 1. Grafique además (b), (c)
y {d) del Problema [ 3 ] con esta modificación.
Bosqueje las gráficas de:
a) Y = -..[X:::r c) y = 3 + ~ 4 - 2x
b) y=-~ d) y = 4 - ,.J 2x - 6
Bosqueje las gráficas de {5] incluyendo el 22 miembro dentro de un valor absoluto.
Bosqueje las gráficas de:
a) 2 X .+y
2 - 6x + 4y - 12 = o d) 2 2 X +y - 6y = 0
b)
2 . 2
2x + 2y + l6x - 8y = o e) 2 2 X + y - 21 X 1 - 6y - 15 = 0
c)
2 2
X + y + 6x - 2y + 1 =o f) 4 (x + 1) 2 + 4 (y - 1) 2 = 100
8. Bosqueje las gráficas de:
a)
b)
y=
X=
-'-2 - ~ 16 - 6x - x 2
-4 + ~ 16 + 4y - y 2
c)
d)
y = I + ~ - x 2 + 6x
X = - ~ 6y - y 2
SUG: Las gráficas corresponden a una parte de cada gráfica en [7]; ¿a cuál?
9. Bosqueje las· gráficas de [ 8 ] incluyendo el lado derecho dentro de un valor ab-
soluto.
10. Halle los puntos de intersección donde fuese posible de la circunferencia de radio
5 y centro en el origen, con:
a) La recta y = x + 5 • b) La recta que pasa por (2, l) y (- 1, 1).
c) La recta de pendiente - 3 / 4 y que pasa por (3 , 4) .
d) La recta que pasa por (5, 3) y tiene pendiente - 3/5 .
2 2 r::- r.:-
11 . La recta Les tangente ax +y = 1 en A= (-1/..¡ 2, t/..¡ 2) .
- 72 - Análisis Matemático 1
La cuerda que va de A al punto B = (1 , O) forma un ángulo con L .
Halle la tangente del ángulo agudo.
Cap. l
12. Encuentre la ·suma de las coordenadas del punto de tangencia de la recta
. 1 • 1 • 2 2 . x + 2y = 10 con ac1rcunerenc1a x +y - 2x - 4y.= o.
13. Halle la mínima distancia del punto · A = (4, 5) a la curva de ecuación:
2 . 2
X + y - 4x - 2y = 0 .
2 2 14. ¿Qué valores debe tener a para que las intersecciones de las curvas x + y
= 2, x +ay= 2 sean reales?
15. Bosqueje la gráfica de la ecuación x 3 - x 2y - xy + y 2 = o . .
SUG.- x(x2 - y) - y(x2 - y) = o .
16. Sea y
2
x + Jx2 y - 6xy = o una ecuación factorizable. Halle el áre~ de la
región encerrada por.su gráfica.
17. Una circunferencia pasa por el. punto (- 2, 1) . y es tangente a la recta
3x:-2y-6 =o enelpunto (4,3).
Halle la suma de las coordenadas del centro de tal circunferencia.
18. La gráfica de la ecuación · (2x - a + b) (y - a - b) = 2 tiene una asíntota
vertical que pasa por A = ( 4 , O) y una asíntota horizontal que pasa por
B = (o , 3) . Halle 2 a y 2 b . /
/
19. De la gráfica de la ecuación y2 (x2 - y 2 - 4) = o , ¿cuáles son verdaderas? :
a) Su dominio es todo ll .
b) Es simétrica respecto al origen.
c) Interfecta al Eje X en más de 6 puntos.
20. Si R1 = {(x, y.) / 1x1 + 1y1 ::5 1 }, R 2 = {(x, y) / x
2 + y 2 ::5 k },
¿Cuáles son verdaderas?:
aj Para k E [ o , 1 ] => R 2 C R 1
b) k E [ -1/2, 1/2] => R2 C R 1
c) kE(-1,1) => R 1 C R 2
SUG.- Graficar R 1 y R2.
21. Sean las regiones del plano R = { (x. y) / X + 2y ::5 1 } y
{ . 2 2 2} Cr = {x, y)/ {x - 1) •+(y:... 1) = r , halle el menor valor de r
para el que e r n R ;é 0 •
Cap. l Relaciones - 73 -
22. Grafique las siguientes ecuaciones indicando interceptos, extensión, asíntotas y
. simetrías.
a) (xy - 4y)(x - 2) = 1
b) xy
2 + xy - 2x - 2 = o , Pom = (-ex>. - 8/9} u (o. ex>} .
2 2 . 2 ·2 2
c) xy - x = y d) x - y = 1
e) x2 = (y - 1)2 f) y = - ~ l - x2 , 1x1 :e 1 •
g) xy = - 4 h) (x - 2) {y - 3) = - 4 .
23. Indicando.el do~inio y el rango, grafique: .
2 .
a) (x 2 + 6x + 9){y - 4x + 4) = O
b) (x 2 - 2x + 3){y2- 4) =O
c) y 2 = (x - 1) / (x - 3)
d) ¡-;;¡ = 1 • .
24. Indique la extensión para x e y de las gráficas de las ecuaciones siguientes:
a) x 2 y + 2xy - 1 = O
b) 2xy (y + 1) = 1
c) 2y (x2 - y 2 ) = x 2 (solamente para y).
CLAVE DE RESPUESTAS
10. a) {O, 5) y (-5, O) b) ( ± 2 ..[6". 1)
c) (3 , 4) d) No hay intersección. ·
11. c../2. 1) 12. 6 13 . .J5
14. a E ( - ex>, - 1] U [ 1, ex>} .
15. La gráfica corresponde a la reunión de los puntos de las gráficas de las ecuacio-
2 nes: y = x , y = x .
16. 6u 2 17. 39/7 18. 11 y -5
19. Todas 20. Sólo (b) y (c).
21. rmin = r = d [ (1, 1) ; 1) = 2¡./5
24. a)b)
c)
x E lR - {O, 2} , y E (-ex>, -1) U (O, ex>}
x E(-~. -;-2] U (O, ex>} , y E lR - {O, -1}
y E [.O, 1/2} U ( 1/2, ex>} .
-74 - Cap.2
2
FUNCIONE--S
l. FUNCIONES: DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA
Estudiaremos aquí una clase especial de relaciones en-
tre elementos de un · conjunto A y elementos de un conjunto B , ·llamadas ·
FUNCIONES DE A EN B . .
Así, una FUNCIÓN expresa la idea de una cantidad q:ie depende de
· otra o que está determinada por ésta. Por ejemplo, el área de un cuadrado depende de
la medida de su lado, y se dice que el valor del área de un cuadrado está en fun-
ción de la longitud de su lado.
1.1 DEFINICIÓN .- Dados dos conjuntos no vacíos A y B , y una relación
f e A x B entonces
. El conjunto f es una FUNCIÓN de A en B si :
para cada x E A , existe a lo más un elemento y E B
tal que el par ordenado (x, y) E f .
A = Conjunto de Partida , B = Conjunto de Llegada.
1.2 EJEMPLO.- Tomemos A = { 1, 2, J} , B = {a, b, e·, d, e} :
1) f = {(l,b),(2,a),(3,d)} esunafunci6nde A en B; (Verfig.),
pues cada elemento de A está asignado a un elemento de B , y solamente a
uno.
Vemos que no es necesario que f cubra a todo el conjunto B .
Cap. 2 Funciones - 75 -
f
2) NO esfunción·de A en B: f = { (1, b), (1, e), (2, a), (3, e)}
f B
pues el elemento x = 1 de A está asignado a DOS ELEMENTOS DE B :
Y - a y = e es decir, tales qÚe (1, a) E f y (1, e) E f , haciendo 1 - 1 2 1 •
fallar la definición de Función de A en B. ·
3) Sí es.función de A en B: f = { (l, b), (2, e)}
A f B
. pues aún cuando el elemento x = 3 de A no está asignado a ningún elemento
de B, esta posibilidad está contemplada en la Definición defunción de A en B ·
4) Sí es.función de A en B: f = { (l, e), (2, e), (3, e) } pues
x = 1 está asignado a solamente un elemento y = e E B .
x = 2 está asignado a solamente un elemento y = e E B .
x = 3 está asignado a solamente un elemento y = c. E B .
A f B
!.'
• ¡:
¡. :
1 I '
- 76 - Análisis Matemático 1 Cap. 2
1.3 OBSERVACIONES.- Dada una función f de A en B, se tiene que
1. Cada elemento x de A debe ser la primera componente de a lo más un par
ordenado de f, como en los ejemplos (1), (3) y (4) previos.
2. No pueden existir dos· pares ordenados diferentes con la misma primera com-
ponente.
3. Pueden existir varios pares ordenados con la misma segunda componente,
como en el ejemplo (4) previo.
4. No es obligatorio que todo elemento y e B sea la segunda componente de algún
par ordenado (x , y) E .f , como en el ejemplo (1) los elementos ~ y .!:. . del
conjunto de llegada B no constituyen la segunda componente de ningún par orde-
nado en la función dadá.
5. Si urr elemento del conjunto de llegada y e B es la 2da. componente de un par
ordenado de f entonces este mismo elemento puede ser la 2da. componente de
varios pares ordenados de la función f, como en el ejemplo (4) de [1.2) .
1.4 1 APLICACIONES DE A EN B
1. Se llama APLICACIÓN DE A EN B a toda aquella función de ·A en B tal que
todo elemento x de A ,· sin excepción, está asignado a un. eleménto y
de B , y solamente a uno. En tal caso, se denota
f: A ----. B 1 . o también A ~ B
2. Si (x, y) E f , función de A en B , a la 2da. componente y se le denota:
y = f (x) [léase : f en x o f de x ] ; es decir:
1 (x, y) E f ~ y = f (x) y se dice que
y es la IMAGEN DE ! . , vía lafunción f.
- x es la CONTRAIMAGEN (o ANTECEDENTE) de y , vía f.
- x . es la variable independiente.
3. Uná parte de los autores considera como sinónimos .a FUNCIÓN y APLICACIÓN.
. En este texto remarcaremos la diferencia. ·
f B
f
Funciones - 77 -
El DOMINIO d~ la función f e A x B es el conjunto de todas las primeras ·com-
ponentes de ios i¡lementos (pares ordenados) .de f: . .
Dom f. ~ { x -E A/ Existe y E B talque (x, ~) E f } C A · .
El R~NGQ 0 RE.CORRIDO de la función .f es el .conjunto de to~as las segu~das
componentes de los etementós (pares ordenados) de f . Es decir, es el con¡unto
de todas l~s IMÁGENES de f, y no_ siempre cubre a todo B : .
Ran· f .'"". ( ¡1 e B / · Existe x· E A tal que Y
·. ::; ( fcx) e B.! X e Dom f } e: B •
f(x)} e B
. · . · . ' d< ._t d. A.PLtC. A~IÓN f · A. ~ B siempre coincide con todo el El DOMINIO.... e Q a • .· . . . .
conjunto Á , por definición de ~~LICACIÓN.
El RA~GO de i no siempr~ co!ncide con el conjunto de ll~gada B •
t.S.EJEMPLO.- S~an ; · A~{l~2,J:4}, B: {a , b , c,d,e}. Si f esla
· función f = { ci,a).(2,b),(3,c),(4.,c)}
entonces .
. 1)~'1> f = { l , i , 3 , 4 } :::: A ,
~ari:g t,,;, {a,b;c} é B, "° B ·
Además,
f (J) = a ·. _pues (l, a,) e f , a es la imagen de l vía f,
'f(2) = b .pu~s (2, b) e f , b es la imagen de 2 vía f,
f(3) =e pues (3, e) ef , e es la imagen de 3 vía.f,
f(4) =e · pi.les .C4,c) ef, e· eslaimagen de 4 vía f,
pues por notación, si (x, y) E f entonc~s Y = f (x) · . . . .
·En e~t~ eje~plo ·también se. ilustr~ el hecho d~ qué un solo elemento
puede ~er la imagen ~e;.varios elementos x E A .
. . . . .
yEB
1.6 DEFINléJÓN.· Dada una funcion . f : A ~- B y un subconjunto s de A
. s~ i1ama CONJUNTO IMAGEN DE s vía f 1 al conjunto:
res>.= < rcx) / ~es }
y.'viene a: ~e~ el conj~nto de Imágenes correspondientes a todos
los elementos del con¡unto s. ·. · ·
Según esta definición, ,Rang f = f(A) = IMAGEN DE TODO EL DOMINIO A,
·vía la función f .
--· -'\
:.· ..
·- 78 - AnAlisis MatemAtico 1 Cap.2
1,7 1 PROPIEDADES DEL CONJUNTO IMAGEN · 1
1)
2)
SI M e A ' N e A • f : A ---.-... B
f(~ UN):::: f(~) . U f(N)
f(li!I)_ = 0 ·' . \
entonces
3) i:~. gen~ral: f (M h Jll) ;oc ( (M) n f {N) .
. . . . .
EJEMPLO.· f = { (l,~).(:2,6), (3,8)} , M = {I} , N = {2, 3}
=*·. M n 'N: = 0 ' f (M) = { 6.} y f (N) = { 6, 8} • de donde
{
. f{M) O f (N) = {6}
( (M n N) = f (0) = 0
4) f (M). = 0 si y sólo si M = flJ , 5) f (M n N) e f (M) n f (N) •
PRUE~A DE (1): ,
y e f(M u N) ~ y = f (w) , para algún w e M u N
~ { 11 = f (w) E f (M) •. si w E M V
. 11 = f(w) E f(N) , - si weN
<::>- JI = f (w) E f (M) U f (N) , para w E MU N.
Las propiedades [2] y [ 4] se pueden probar por re~ucción al absurdo.
Con frecuencia se define una función mediante una regla que permite calcular
para cualquier ~ del Dom f . su imagen ·y = f (x) . · ·
. . . . i . . .
Por e¡emplo, 11 = f (x) = ~ es una regla que hace corresponder a cada x e Dom f
el eleinento y = r 2 del ponju~to de llegada.
A esta regla se le llama ~E.GLA DE CORRESPONDENCIA· de f.
Al símbolo ~ se le llama VARIABLE INDEPENDIENTE.
Al slmbolo y se le 1.lama VARIABLE DEPENDIENTE.
Más aún', una FUNCIÓN está completamente determinada (definida)
cuando se éspecifi~n ambos: ·su DOMINIO y su REGLA DE CORRES-
PONDENCIA.
Cap. 2 Funciones - 79 -
1.8 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN '1
En general, una FUNCIÓN f viene a ser un conjunto de pares ordenados
f = { (x. y) / X E A /\ y = f (x) E B } .
Aquí consideraremos funciones entre conjuntos de Números Reales: A e lit /\
B e IR , y las llamaremos FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. · ..
Por ser estas funciones Relaciones en Ji , tienen representaciones gráficas en
el plano XY = 1R 2 . La variable independiente x está representada en el EJE X ,
mientras que la variable dependiente y = f (x) es leída en el EJE Y .
LA GRÁFICA de f se define como el conjunto de pares ordenados:
Gf = { (x, y) E IR x. lit / x E Dom f /\ y = f (x) }
Así vemos que el dibujo que sigue corresponde a la GRÁFICA de la función
f = {(1,1), (2,1), (3,2), (4,3), (5,2).}
donde
· y f(x)
Dom f = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 3 - -
f • Rang f = { l , 2 , 3 } .
2 -- • •
El RANGO de f se
lee en el EJE Y. • •
o 2 3 4 5 X
En general estudiaremo$ funciones cuyo dominio consiste de una can·
tidad infinita· de elementos, como es el caso de y = f (x) = ~2 , x E Dom f =
= lR = ( - oo , oo) , en las Y
que usualmente sus gráficas ______ 4 Y = f (x) = · x2
estarán constituidas por rectas
o curvas ó combinaciones de
ambos tipos.
El rango de f se lee en el
Eje Y.
Rang f = [O, oo). -2 -1 o 2 X
- 80 - Análisis Matemátfoo 1 Cap.2
Por la definición de FUNCIÓN , ésta no debe tener dos pares ordenados con la misma
primera componente.
La gráfica adyacente no" corres pon- Y2
de a una función pues tiene dos
·pares ordenados
(x • ~I) ' (x • li2) Y1
diferentes con la misma pri.mera
componente x .
En cambio, esta segunda 9ráfica sí
corresponde a una FUNCION
y
y
X
1.9 PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES REALES
Una relación f es una FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
si y sólo si toda recta vertical corta a su gráfica a lo más en
un punto.
X
Según esta propiedad, las gráficas de las rectas verticales, de hipérbolas o de
circunferencias completas no corresponden a.funciones.
a) b) y
·x X
2. , ENCONTRANDO DOMINIOS Y RANGOS DE FUNCIONES 1
El dominio de una función se halla ubicando el conjunto de
todos los valores que puede tof!lar la variable indepe.ndiente .! , excepto en el ca-
so en que dicho dominio haya sido previamente indicado claramente.
Cap. 2 Funciones
- 81 -
2.1 EJEMPLO •• En la función y = f (x) = 3 , v x E [o, 4 J , el dominio ya
está indicado: Dom f = [ o , 4 l .
Rang (f) = { f (x) / x E [O, 4] } =· { 3}
y
f Je----· Observe que el rango de f consiste de un único elemento_, como se puede leer en el Eje Y, aun-
que su gráfica consista del segmento. de recta 1
1
1. · graficada a la altura y = 3 , pero solo corres·
o X
pondiente a los valores de x E [ o , 4 ) •
4
EJEMPLO.· Si se nos pide encontrar el dominio y el rango de la función f tal que
f (x) = J (x - l)(x - 9)
el dominio estará constituido por todos aquellos !. que hagan que la ex-
presión subradical satisfaga la condición: ~ o ' es decir
(X - t)(x ~ 9) ~ 0 # X E ( - 00, I) U [ 9, 00)
Dom f = { X E a I (x - l)(x - 9) ~ o } = ( - 00. I) u e 9. 00 )
Para hallar el RANGO se parte de la condición dada para los !. en el DOMINIO Y
se construyen las cotas o valores adecuados para la vañable y = f (x)
V X E ( - 00 t 1-l u [ 9. 00} -<=> (x - l)(x - 9) -~ o
<::> y = f (x) = .J (x - 1) (x - 9) ~ O <:::> y = f (x) E [O, oo)
-<:> Rang(f) = {f(x) / x E Domf} = ~~·-~! ·
--~-- .
2.2 PROBLEMA.· Halle el rango de la función f (x) = ~ , O S x S 8 ·
SOLUCIÓN.· Dom f = [O , 8] :
1 <_ ~-+:! <_3 xE[0,8]-<=> ISx+tS9 -<=> "'/A:"f'. 1
-<:> y = f (x) = ·~ E [ 1, 3)
-<:> Rang (f) = [ 1, 3-] = { f (x) / x E [O, 8] } ·
2.3 PROBLEMA.- Halle el dominio y el rango de f (x) =
., .
x 3 + 7x- + 14x + 8
x
2 + 6x + 8
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- 82 - Análisis Matemático I Cap. 2
SOLUCIÓN.- x
2
+ 6x + 8 = (x + 4)(x - 2),: O {::} x = -4, -2 ,
f(x) __ (x + l)(x + 4)(x + 2)
y = = x + 1 , para x "" ,... 4 , - 2
(x + 4)(x + 2)
:::} Dom f = . .R - {- 2 , - 4 } .
Así tenemos que su gráfica corresponde a la de la recta y = x + 1 a la que se le ha
suprimido DOS PUNTOS, Jos correspondientes a x =<.::.:.. 2 y a x ·= ·.;;..·4 pues no
se encuentran en el dominio de f.
X
Observari~o el Eje Y en la gráfica tene-
mos que: ·
Rang (f) = R. - {-,J. -3}
. : t
2.4 PROBLEMA.- Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función
?
f (x) = x- - 6x + 8 •
SOLUCIÓN.- x puede tomar cualquier valor en ll : Dom f =· R ,
f (x) = x
2
- 6x + 8 = (x - 3) 2 - 1 ;:::: - 1 , V x E ll
{::} f (x) ;:::: -1
' V X E JI.
. {::} f (x) E [ -1, oo)
y
{::} Rang ( f) = [ - l , oo ) f
o
-1
X
NOTA 2.1 Cuando una función está constituida por varias funciones con distintas re-·
glas de correspondencl'a como
Cap. 2 Funciones - 83 -
xEA
f(x) = { f 1 (x)
. f
2
(x)
AnB=IZI entonces
pues
xEB
Dom f = A u B. '= Dom r; u Dom f
2
Rang f.= Rang (f1) u Rang (f2 )
Rang (f) = f (A U B) = f (A) U f (B)
= Rang (f1) u Rang (f2 ) .
Esto puede extenderse a funciones con tres o más reglas de correspondencia.
2.5 EJEMPLO.- Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función
i)
= .{
x
2
-: 4. 1 X < 3
· h(x)
. . 2x - S , X ;:::: 3
2 3· :::} 2 -~ O :::} x2 - 4 >_ - 4 b (x) = X - 4 1 X < X 1
:::} h 1 {x) ~ - 4 :::} Rang (h1) = [ - 4, o6)
ii) h2 (x) = 2x - s 1 X E [J, 00) :::} 3 :$ X
:::} 6 ::::; 2x :::} :$ 2x - S = h2 (x)
:::} Rang (h2 ) = [ 1 , oo ) .
Por lo tanto,
Dom (h) = ( - oo, 3) u [ 3 , oo) = ll
Rang (h) Rang (h1) U Rang (h2 )
= e - 4, oo) u I 1 , oo) = C - 4, ·oo)
y la gráfica de h se consigue de la siguiente forma:
. 2
• para x E. ( _ oo , 3 ) , se grafíca la parábola y = x - 4
[ ) se grafíca la recta y = 2x - s • para x E 3 , oo ,
- 84 - Análisis Matemático 1 Cap. 2 Cap. 2 Funciones - 85 -
y donde - 5 $ x < 2 => · - 6 :::; (x - 1) < l
=>
. t . ?
o $ (x - O- $ 36 => 13 $ (x - 1)2 + 13 ::; 49
=> .Jl3 $ J (x - 1)2 + 13 $ 7
'
=> 1 + .Jl3 :5 1 + ~ (x - 1)2 + l3 ::; 8
X => 1 + .Jl3 :5 e, (x) :5 8 => Rang (f1) = [ 1 + fü, 8]
ii) f 2 (x) = -3 , V x E (-2, 4) => Rang (f2 ) = {-3}.
Por lo tanto, Dom f = [ - 5 , 2 ) u [ 2 , 4 ) = [ - s , 4 )
De esta gráfica, vemos que en efecto: Rang (h) = [ _ 4, 00 ) • . Rang f = [ ¡ + .,[13, s] u { ~ J} .
2.6 PROBLEMA.· · Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función
{
x-1
f (x) = O
2x - 1
, X E [-4,-1)
, XE(0,2)
XE(2,4)
SOLUCIÓN.-
y
Dom f = [ - 4 , - 1 ) u (_o , 2 ) u ( 2 , 4 )
Rang (f) =
7 --------(¡
3 ____ /t ¡
[-5, -2) U {O} U (3, 7) -1
-4•
1 : ~--
~-----~·
2.7 PROBLEMA.- Halle el rango de la función
SOLUCIÓN.·
f (x) = { 1 + ~ x' - 2x + 14
-3
o
-2
-5
2
-S $ X < .2
4
i) fl (X) = 1 + ~ x 2 - 2X + 14 = 1 + ~(X - 1)2 + 13
1
.,- 5 $ X < 2 :
X
3. FUNCIONES ESPECIALES 1
3 .1 FUNCIÓN IDENTIDAD 1 o Id : ~ -+ . Bl •
Dominio = R. , Regla de correspondencia y :;: I (x) = x
=> Su gráfica es una recia de pendiente m = 1 que pasa por el origen.
Si la función IDENTIDAD ha de tener como dominio un subconjunto A de
ll entonces se le denota I A o .Id A :
1 A (x) = x , V X E A
y se dice que es la FUNCIÓN IDENTIDAD SOBRE A 1 o la RESTRICCIÓN DE Id AL .
SUBCONJUNTO A .-
3.2 FUNCIÓN CONSTANTE. " e
Es una función cuyo dominio
es JR y cuyo rango consiste de un so-
lo elemento f ·- en 1R :
" y = C(x) = e ' V X E lR
" => Rang(C) = {C} .
Su gráfica es una recta horizontal a la
altura y = e .
y
e
o / X
ir
"
Análisis Matemático 1 Cap. 2
3.3 FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO : ua
Para cada a e R (fijo), se define la FUNCIÓN ESCALÓN UNIT~AIO:
{Jo . X< a Ua(x) = . X~ a
y
1 -- - DomUa =lll
uª
Rang Ua = { O , 1 }
o a X
Note que en el punto x = a , la gráfica da un $alto vertical unitario.
Por ejemplo:
{
o
u
3
(x) = X < 3
{ . 01 • u0 cx) =
X< 0
X~ 3 X ~ 0
-· ¡y . . u
. 3
1 - - - - -t:io----
0 - 1 1 o ..
y
Jé----
3 X o X
3.4 NOTACIÓN •• A la función u0 también se le denota simplemente por : u
es decir,
U 0 (x) = U(x) .
· 3.S FUNCIÓN SIGNO : Sgn
{
-1
Sgn (x) -= ~
Dom Sgn = lll
X < 0
X= 0
X > 0
Rang Sgn = { -1 , O, 1 } •
y
o X
---<1-1
Cap. 2 Funciones
3. 6 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO : . 1 1
y ,; f(x) = lxl =
{
X , . X~ 0
-x-, x<O
. 87 -
su gráfica está constituida por una parte de la recta y = x • ( para x ~ o) Y por
una parte de la recta y = -x , (para x < o). y
Dom 11 = R
Rang 1 1 = [ O , oo}
-1 X
3.7 FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO : []
Es aquella fun~ión definida por la regla de correspondencia:
f(x) = [x] = n si n· :S: x < n + 1 , n e Z
cuyo Dominio es todo R y cuyo Rango es Z [Enteros] .
Para algunos valo~es de n :
-2 . si -2 $ X < -)
-l si -l :S: X< 0
f(x) = [x] o si 0$x<l
si 1$x<2
2 si 2 $X< 3
y
3 ----·- - ----- '
o
' f(x) = [x] ' 1
9 1 2 ------- ' 1
1
1 ---.-.-o
-,
-2 -l
2 3 4 X
.. --0-1
' 1 '
~--- -2
3.8 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
!I
Domi!"lio: 1 o • ''")
Rango: 1 o. ,....,, )
3.9 FUNCIONES .CUADRÁTICAS
· FORMA Cl~NERAL:
1
( 'ap. 2
o .¡ X
f(x) '= ax:?+ bx +e
y completando cuadrados siempre pueden lransformarse, en la forma
lr(x) = a(x - h)1 + k j.
Sus gráficas corresponden a PA~ÁBOLAS con el eje focal paralelo al EJE Y, con vér
!ice V = ( h • k), siendo su abscisa:h = - b / (2a) y cuyo Dominio es todo R .
i) Si :> (): y __ \J a a> o Dom f = R R:mg f = ( k. CX>} k
h X
ii) Si
y
a < O. : V
Dom f = R k
Rang f :::: (-ex>, k J 'ª<o
X
Y como es posible expresar
·· ( b , A
t (x) = a (x + -)- - -- ] , .
2a 4a-
donde A == h
2
- 4ac ... DISCRIMINANTE
y pueden presentarse los casos:
1) f(x) TIENE RAÍCES REALES , es decir, valores de ~ para los cuales se
Cap, 2 Funciones - 89.
tiene que: f(x) =O siysólosi a = b 2 - 4ac ~ O 1.
i) f(x) _ tiene dos raíces reales distintas x1 . "' x2 íl.>0,
y se puede factorizar: f (x) = a (x - x1) (x - x2 ) • Fig. (1 i)
ii) Que f (x) tiene .una s~la raíz real (doble) 1 x 1 = x2 = ---!; = x o 1
si y sólo si .6. = O •
- - ---·
En tal caso se puede factorizar en la forma:
. . b 2
f(x) = a(x + -)
2a
(como un CUADRADO PERFECTO).
Por ejemplo, f(x) = 3x2 - 12x + 12 tiene a= 3, b = -12, e= 12
y satisface: . .6. = b2 - 4ac = 144 - 4(3)(12) = Q •
Entonces f (x) debe tener UNA SOLA RAÍZ REAL (doble). En efecto, vemos
. 2
que podemos factorizar f (x) en la forma: f (x) = J(x - 2) ,
cuya ÚNICA RAÍZ REAL (de multiplicidad dos) es: b X :::: -- = 2 .
0 2a
[ Ver Fig. ( 1ii ) para a = 3 > O ] •
y
.6. .> o Fig. ( 1i)
X
V
Fig. ( 1ii)
X
X
x
0
= -b/(2a)
I'" f
,I
1
·' .1
- 90 - Análisis Matemático 1 Cap.2
2) f(.r) NO TIENE NINGUNA RAIZ REAL ~ A < O .
y
a<O
X
V
X
3.11 POLINOMIOS I ·
Las funciones cuadráticas son casos especiales de polinomios.
Un POLINOMIO es una función de la forma:
f(.r) =
donde n es un entero ;::: o. Si ªn ..,, o entonces · el polinomio es de GRADO n ,
y al coeficiente ªn se le llama COEFICIENTE PRINCIPAL.
Un polinomio de grado_ o es una Función Constante f(.r) = a
0
.
Un polinomro de grado 1 es una Función Lineal f(.r) = a.r + b .
Si r es una raíz de un polinomio f (.r) , es decir que satisface la relación
f ( r) = o , de grado n , entonces se puede expresar en la forma
f(.r) = (x - r)·Q(.r)
donde Q (.r) es un polinomio de grado (n - 1) .
Se llama RAfZ DE MULTIPLICIDAD m de f(.r) a aquella raíz r tal que hace
posible expresar:
m
f (.r) = (x. - r) • Q (.r) , Q(r) ..,, O ,
donde Q(.r) es un polinomio de grado (n - ni).
Un polinomio de grado !! tiene a lo más n rafees contando sus multipli- ·
. 2 3 2 cidades; asíporejemplo f(.r) = 3(.r-1) (.r + 4) (x + 1)
es un polinomio de grado n = 7, con dos raíces reales: r = 1 de multi-
plicidad 2 y r = - 4" de multiplicidad 3 .
', < 'ap. 2 Funciones • 1) 1 •
Otro ejemplo:
. 4 . 1 . 2 (J. )
f(x) = -x (x+ 1) (x-'-5) (x +4
es un polinomio de grado n = 15 con tres raíces reales: r = . º. _(de mul-
tiplicidad 4), r :"' -1 (de multiplicidad 3) y r = 5 (de mult1phc1dad 2).
3.12 PROBLEMA.· Encuentre un polinomio P ( x) de grado n = 1 o que tenga
una raíz doble en -: 2 -, una raíz doble en 3 , una raíz simple en
- '1 y una raíz iriple en o y ninguna más.
RPTA: . Una posible solución válida es:
. 2 2 3 2 3) P(x) = -4(x + 2) (x - 3) (x + l)(x )(x + ·
3 .13 FUNCIÓN SENO : y = Sen (x):
y
-1
La variable x e R se considera medida en radianes.
Dom (Sen) = lR , Rang (Sen) = [ -1, 1]
X
3 .14 FUNCIÓN COSENO : y = . Cos (x)
-1(1
1
1
1
V
•Jrc X
1
- 92 - Análisis Matemático 1 Cap.2
Dom (Cos) .= .R , Rang (Cos) = ( -1, 1]
Rang(Cos) = (-1, I] , pues -1 ::5 Cos(x) ::5 1 , V x e R.
3.15 EJERCICIO •• Grafique la función: f(x) = 1 x - 2 j + .1 ; x e (-1, 6].
SOLUCIÓN .• Por propiedad del Valor Absoluto:
{
3 - x , x E ( -1 , 2} , -pues 1 x - 2 1 = 2 - x aquí ,
f (x) = .
. x - 1 · , x e ( 2 , 6 J pues 1 x - 2 ¡ = x - 2 aquí .
En la gráfica vemos que
Rang (f) = ( 1, 5]
=(1,4]U(l,5]
y
2
3.16 PROBLEMA.. Grafique la función f(x) = ¡-r; I ·
SOLUCIÓN ,. Como .[; ~ o , v, x ~ o , entonces j rx j .[; ,
de modo que la gráfica de
rcx> = ¡rx¡ y
resulta ser la misma que la de f(x) = 1 rx¡
y=.¡;-.
o X
3.17 PROBLEMA.. Grafiqtie la función f (x) = M .
X
6
SOLUCIÓN.· Dom (f) = lR . Observamos que la gráfica de y = f (x) = .¡y;j" ·
'
es simétrica con respecto al Eje Y , pues la ecuación no varía al reem-
plazar x por -x ; y como 1 x 1 = x , v x ·;:: o , entonces
f(x) = .J7 para x e [o, oo)
y por la simetría co,.;;plelamos la gráfica en la región: x e ( - oo, o)
Cap. 2 Funciones • 93 .
y
Rang (f) = (O, ex;;) .
o X
3.18 PROBLEMA.· Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función
f(x) = [i;]
SOLUCIÓN.·
[rx] = n {::} x ;:i: o A n e z+ u {o} A ( n ::5 .J7 < n + 1 )
{::} 0
2 ::5 x < (n + 1)2 , n ~ o , n E Z (•)
{
o xe(o, 1) para
1 xE(l,4} para
f(x) = [ rx] = '
2 xe[4,9) para
y
3 --------------------
2 --- ... ----.
'
1 - . ~
'
o 4
Dom f = [ O , oo) ,
' o
'
9
+ Rangf=Z U{O} .
n =o
n = 1
n = 2
3.19 PROBLEMA.. Grafique la función f(x) = [ 2x] .
en
en
en
X
SOLUCIÓN .· [ 2x] = n si y sólo si n :::; 2x < (n + 1)
(•)
(•)
(•)
{::} n n + 1 Z -<x<-- 1 ne .
2 - 2
Luego,
-2 X E [-1 f -1/2) n _'= -2
~1 X E [-1/2, 0) D-=-1
f(x) = o X E [o' 1/2) n =o
X E ( 1/2, 1) n = 1
2 X E [1,3/2) · ··· ,&:. · n = 2
i.
- 94 - Análisis Matemático J Cap. 2
y
2 -------~
1
-1 -1/2
1 --- ----.o
1 1
Dom f = lR
Rang f = z
1
--~-1
1/2 3/"J. 2 X
1
t-----ó- - - -2
3.20 PROBLEMA .- Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función
f(x) = lxl - [x] .
SOLUCIÓN.- Dom f = R. ,-
a) V X e u 1 = ( - 00' o ) ' X < o ' 1X1 = -x ;
f(x) . :: lxl - [x] = -x - [x] , de donde
b)
f(x) = -x - n {::} x e [o, n, + 1) ,_ o e z-.
V ."xEU2 = (0 , oo), x ~O
f(x) = x - [x]
jxj = X :
de lo cual resulta que
f(x) = x - n , para x e [n, o + J) , o ~ o , o e z .
-x + 3 1 X E (-3, -2) {::} f,(x) e ( s, 6] , n = -3
~x + 2, xe[-2,-t) {::} f(x) . ~ (3 ~ 4] , o = -2
f(x)
-x + 1
' xe[-1, o) {::} f(x) E ( 1, 2] , o = -1 =
X xe(o, 1} {::} f(x) e [o, 1} , o= o
x- 11 X E [,1, 2) {::} f(x) e [o, 1) o = 1
X - 2, xe[i, 3) {::} f(x) e [o, 1} n = 2
Rang (f) = [O, 1) u ( 1 , 2 ] u ( 3, 4] u ( s , 6] u ( 7 , . 8] u
y
K=:==·= :
I· K==;
-3 -2 X
Cap. 2 · Funciones ·
· _ 3.21 PROBLEMA .- Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función:
f (X) = [X [-;] ]
SOLUCIÓN.- Dom f = lR - {o}
a) V x e u 1 = ( o , oo ) , n ?: o , n e z :
n =o : ~ o ~ l/x < 1 {::} x e ( 1, oo) ~
[1/x] =o. Es decir, f(x) =o 1 V X e (1,oo).
n ";'9 O: n $ l/x < n + 1 {::}
1 . 1
-- <X< - ... (a) n + 1 - n
[l/x] = n. Yde (a): __ n_ < xn $l.
n+l
{::} 0<-n-<x[l/x]$1.
n + 1
a1) x[l/x] = 1 ~ [1/x] = 1/x ~ 1 + -=neZ.
X
f (X) = [X[-;]] = 1 , · ne z+
a2) o < _n_ < x [_!_ ] <: 1 {::}
n + 1 X
l
x . "' - , de donde
n
b)
f (x) = [X [ ~ ] ] = o
VxeU2 =(-oo,0)
1
n$-<n+I.
' V X > o <t
[_!_]=n
X .-,,
l o E z+
'
X ;e- 1
n
ne z (n :5 -1)
X : •
b1) n = -1 : Verifique que
f (x) = m , V x E ( - m - 1, - m] , m entero ;?: 1
b2) rt < - 1 : VerifiqUe que
- 95 -
f(x) = 1, V X E(-!,-_!_] U(-_!_, _ _!_] U(-_!_, -"J_] u
2 . 2 3 3 4
u ... =(-1,0).
f(x)
o 1 X E ( (o, 1] - { _!_ / n E z+ } ) u ( 1. 00}
n
, x e { _!_ / n e z+ } u ( - 2 , o)
n
2 , X E (-3,-2]
··,· .
- 96 - Anál_isis Matemático 1
f(x) = { .3 •• ''. X E { - 4, - 3)
La gráfica co1110 ejercicio,
3.22 EJERCICIO.- Halle el rango y la gráfica de f (x) = [ 1x1] .
SUG.- Ver la simetría.
3.23 PROBLEMA •• Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función:
f(x) = ~[x] - x
Cap.2
SOLUCIÓN .• Dom f : [x] - x ~ o , y como se sabe además que
o
lo que implica que
Luego, f(x) = o
-2
3.24 PROBLEMA.-
SOLUCIÓN.·
X
s X - [x] < para todo x real.
X - [x] = o * [x] = X
* X E z = Dom f
para todo x e z = .Dom f.
y Rang ( f) = { O }
-1 o 2 3 X
Sea · Y = f (x) qui¡ expr~sa el área de un rectángulo de base
~ y cuya longitud de perímetro sea 2a , a > o . Halle el
dominio y el rango de f .
X> 0:
2x + 2h = 2a => h = .a - x
ÁREA = x h = x (a - x) , O < x < a
f (x) = x (a - x) , Dom f = {O, a)
' 2 ' 2
RANGO DE f . f e' ) 2 ( ' a 2 a a . y=· X =ax - X = - X - -) +-. < -2 4 - 4
Además, o < x < .a => :--~ < (x - ~) < ~
2 2 2
=> a 2 a
2
O .S (x - -) < -
2 4.
L .- a 2 ª2 ª2 uego, o < y = - (x - -) + - < -
2 4 - 4 * y E {O, a 2 /4]
Cap. 2 Funciones - 97 -
' 2
Rang (f) = {O, a /4] .
3.25 PROBLEMA.- Halle el dominio y el rango de la función f (x) = x + 1 xi
lxl-[x]
SOLUCIÓN.- (Verificar) Dom f = IR - {o, 1, 2, 3, ..• } ,
RANGO DE f:
i) X > 0 : [X] = n , para X E ( n , n + 1 ) , n entero ~ O
2x 2x
'* xe{n,n+I), n ~O y= =---. X - [x] X - p.
n = o : y = 2 ' Vxe{o,1)
n ~ 1 : despejando yn x=--. Vxe{n,ri+l),n~I
y-2
=> n<~<n+I *
· y - 2
<~<!+...!....
y - 2 n
2 1 * l<l+--<1+- 2 1 0<-.--.<-
y-2 n y - 2 2n
enlences, para cada n ~ 1 , n e z+ ·
y > 2 A y > (2n + 2) . => y > 2n + 2 , es decir
(y > 4) V (y > 6) V (y > 8) V .. . := 1 y > 4-¡. ,
ii) X < o : [X] = n ' X E [ n' n + 1 ) ' . n < o ' 1X1 = - X
x-x
y = f (x) ;= . = O , V x < O
-x-[x] .
. Rang (f) = { 2} · u { 4, oo·) U {O} = {O, 2} U { 4 , oo) .
3.26 PROBLEMA.· Halle el rango y la gráfica de la función
f(x) = [ x/+ 1 ]
SOLUCIÓN.-
2 ''
Puesto que x + 1 ~ 1 , \f x real , entonces
O _ .. _3_ < 3 < 1 -
x- + 1
\f x real , y así-el máximo entero de esta expresión
sólo puede se!: o , 1 , 2 y 3 ; luego ,
- 98 -
i) [·] = o
ii) [·] = 1
iii) [·] = 2
iv) [·] = J
#-
#-
#-
#-
#-
#-
Análisis. Matemático 1
O ~ 3/ (x 2 + 1) < 1
x
2
+ 1 > J #- x 2 > 2 .
x E (-oo, -./2) U (./2, oo)
X E (-./2, -1/./2) U (1/./2, ./2)
X E ( - 1/ ./2, O) U (O, 1/ ./2) .
X :: 0
Rang f
Cap. 2
verifique (ii) , (iii) y (iv) .
y
J
2 f
= {O;l,2 , J}
1
1 • o
' 1
-./2 -I -11./2
1.
1 o
1
1
o
1¡./2
3.27 PROBLEMA.- Halle el dominio y la gráfica de la función
f(x) = [x]+ ~ x - [x]
•
1
1
1 ./2
SOLUCIÓN.- Comg . x - [ x] ~ o , v x E R => Dom f :: lR .
Además, [ x] =· n. , n 5 x < n + 1 , n E z . · =>
f (x)
f (x) = n + .¡-;-=-;;- , x E [ n, n + J) , es decir
- 1 + ..¡-;-:+:T. , X E ( "- I , 0 )
rx X ·E ( 0, l)
1 + .¡;-::J
2 + .¡-;-=-:¡
y
XE[l , 2)
xE[2,J}
X
X
·'
Cap. 2 Funciones · 99 -
3.28 PROBLEMA.- Hálle el rangp de la función
f (x) = x
2
[ ~ ] - 4 X [ ; ] ' . X E ( 2' 6] .
SOLUCIÓN.- Dividiremos el do~inio ( 2, 6] en subintervalos de manera adecuada
a los. dos máximos enteros involucrados:
[x/2] = n #- n $ x/2 < n + 1 #- 2n $ x < 2n + 2 (a)
[ x/J] = m #- Jm $ x < Jm + J .. . (p) .
Como en (a) los intervalos van de 2 en 2 ·, y en (p) de J en J , los intersectare-
mos de modo que sigan cubriendo al Dominio ( 2, 6] :
( [ 2 , 4 } u [ 4 , 6 } U { 6 } ) n ( [ O , J ) U [ J , 6 ) u { 6 } ) n Dom f =
={2,J)U(J,4)U[4,6}U{6}:
a) X E ( 2' J) : x/2 E ( 1, 3/2} ' x/3 E ( 2/3' 1} •
2 2 .
f(x) =X ·1- 4x•O =X E {4, 9}" => ~~~-E-~4_:!1
b) x E ( 3, 4} : x/2 E [ 3/2, 2} , x/3 E (r, 4/3} ,
f (x) = x 2 - 4x = (x - 2)2 - 4 E [ - 3, O} => f (x) E [ - 3, O}
c) X E [ 4' 6} : x/2 E [ 2' 3) ' x/3 E [ 4/3., 2} '
f (x) = 2 x 2 - 4x = 2_(x - 1)2 - 2 :=_l!~ '. . .':s 1.
d) x=6: f(x)=f(6)=36(3)-24(2)=60
Rang (f) = ( 4, 9) u [ - 3, O) u [16, 48) u { 60}
3.29 PROBLEMA.- Halle el rango de la función definida por:
f(x)
x
2
[7]+Jx - I
l sx - 1 I - 15 + 6 I x + 2 I
SOLUCIÓN.-. i) [
2 ~ x ] [ 1 - : ] = 1 + [ - ~]
1
-2<x<- .
5
ii) [ - x/2 ] = n #- tÍ < ~· < n + 1 #- -2n - 2 < x :5 -2n
- 2
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/
¡¡
1
:¡
- 100 - Análisis Matemático 1 Cap. 2
Y para estar dentro del Dominio de f : ( - 2, 1/5) basta elegir n = - 1 y
n = o . Además, debido a los 'puntos críticos' de tos valores absolutos:
{
x
2 + 3x - 1
f (X) = X - 2
3x - 1
x-2
- 2 < x 5 O , para n = o en (Ü)
l
o < x < - , para n = - 1 en (ii)
5 ~--
Calcularemos los rangos para cada regla, y los reuniremos al final :
a) x
2 + 3x - 1 · . 2
Y = {:} X + (3 - y)x + (2y - 1) = 0
x-2 ·
{:} - 2 < X = [ Y - J ± ~(y - 3)2 - 4 (2y - 1) ] / 2 5 0
-1 - y < ± ~ y 2 - 14y + 13 5 y
y e e 1¡2 , 11 .;. (verificar) .
b) 3x - 1 5
· Y = = 3 + -- /\ 0 < X < 1/5
x-2 x-2
Y= 3+-
5
- e (3-~,3-1-) = (~ • ..!..)
x-2 9 . 2 9 2
Rang (f) = [ 1/2, 1] u ( 2/9, 1/2) = ( 2/9, ¡] .
4. EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Dada una .función mediante -su regla de correspondencia, co~o
. ?
f (x) = x- + 3x + 1 . . . (•)
es precisamente esta regla la que indica que, para evaluar f(x) a ta variable x se le
eleva al cuadrado, al resultado se le suma el triple de x , y al nuevo ·resul-
tado se le suma 1 • Entonces, se puede evaluar por ejemplo;-
f ( 4) = (4)2 + 3(4) + 1 = 29
f(-3) = (-3) 2 + 3(-3) + 1
f (a) = a 2 + 3 a + 1
f (z) = z 2 + 3z + 1 .
para
para
X= 4 ¡
• .
X= -3
Cap. 2 Funciones . - 101 -
' . f (w + 2) = (w + 2)- + 3 (w + 2) + 1 haciendo x = w + 2 ,
f (ru) = ( ru )2 + 3( .,¡-;) + 1 haciendo X = ru ,
f(3x) = (3x) 2 +3(3x)+l = 9x2 +9x+l ,
lo cual indica que si en f (x) la variable ~ es reemplazada por cualquier otro símbo-
lo, entonces en el segundo miembro de (•) también debe reemplazarse donde
aparezca ~ por el nuevo símbolo, siempre que este nuevo símbolo represente un va-
lor que se encuentre en el Dominio de f , claro está.
4.1 EJEMPLO.- Si f (x - 5) = x 2 - 2x + 3 , halle la regla de correspondencia
de f, es decir f (x) .
SOLUCIÓN .- Sea z = (x - 5) entonces · x = z + s =>
2 .
f(z) = (z+5) -2(z+5)+3 (a)
y considerando-nu.evamente el símbolo x como otro símbolo en (a) :
f (x) = (x + 5)2 - 2(x + 5) + 3 = x 2 '+ Sx + 18 .
4.2 EJERCICIO.· Si 4 f (x - 3) = x2 + 4 , halle l~s valores de K tales que el
rango de g sea ( - 3 , 3 } , donde
g(xr'·= f(2x - 3) - Kx Vxe.R..
f (2x - 3) +X
SOLUCIÓN.-
2
f(x-3) = (x +4)/4, hacemos · z = x - 3 · , de donde
Luego,
x=z+3 --;
1 . 2
f (z) = -[ (z + 3) + 4] .
4
f(2x - 3) = ..!..[((2x - 3)-:- 3)2 + 4] = x 2 + 1
4
x
2 + l - Kx * g (x) = . V X e R
x
2 + 1 +X
que por la condiCión requerida: g (x) e ( - 3, 3} , se llega a que
x
2 + 1 - Kx
- 3 < < 3 , para todo X E R. .
Xi+ 1 +X
- 102 - ' Análisis MatemátiCo 1 Cap. ·2
Resolviendo, la cadena y viendo que x 2 + x + 1 = (x + 1/2)2 + 3/4 > o
'V x E R , se llega equivalentemente a que se debe resolver simultáneamente:
i) 2x
2.+ (K + 3) x + 2 > O para todo x en J!l
Y ii) 4x
2 + (3 - K) x + 4 > O para todo x en lll ,
los que se resuelven haciendo el DISCRIMINANTE A < o , ya que no deben
existir rafees reales ni en (i) ni en (ii) :
(K + 3)2 - 16 < O /\ (K - 3) 2 - 64 < 9
~ K+J E (-4 , 4} /\ K-JE (-8,8}
~ K E ( - 7 , 1 } n ( ....: 5 , 11 } = ( - 5 , 1 } = · C.S.
4.3 PROBLEMA.- En el triángulo de la figura cuya base es
H = 6 está inscrito un rectángulo. Si
b = 1 o y cuya altura es
. n s n es el área de dicho
rectángulo, expresar "s n como
una función "s (x) n de su ba-
se " x ". Construya la gráfica de
esta función y halle su máximo
valor. ·
SOLUCIÓN.-
(h/2) + X + (7h/6) = 10
De donde la función área es:
T
t--- X ---+¡
10---+1
S = xH , 0 < X < 10
r +X+ S = 10 (•)
Por s~mejanza de triángulos:
3 . r s 7
-=-' -=- =>
6 h h 6
Despejando r y s , y reemplazando
en (•) :
. .
=> h ;:: 3 (10 - x)/5
Y = S(x) = 2.:x(IO - x). = -2..(x - 5) 2 + 15::; 15
5 5
correspondiendo el valor máximo para x
0
= 5
Cap.2 Funciones
y
Dom f = ( O , 1 O }
15
Observe la figura.
y
o 5 X 10 X
4.4 PROBLEMA.- Grafique ta función h (x) = 1 X + 21 ....: 1 X - 2 I
SOLUCIÓN.- PUNTOS CRÍTICOS: x = - i y x = 2 =>
{
-x-2-2+x ,,;, -4
h (x) = x + 2 - 2 + x = _2x
x .+ 2 - (x - 2) = 4
de donde vemos además que
Rang ( f) = [ - 4 , 4 ] .
y
X< -2
~2=:;x<2
X;:::: 2
4.5 PROBLEMA.- Halle el rango de la función f definida por la regla:
· ix+ll-3
f(x) =
t+lx-31
xE[-2,4} .
SOLUCIÓN.- PUNTOS CRÍTICOS: x = - 1 y x = 3
x+4 8 ,.:.. 2 ::; -1 = I+-- X <
x-4 x-4
f (x) x-2 _¡ __ 2_ -1 ::; 3 = X <
4 - .r x-4
x-2
3 ::::; 4 X <
x-1
- 103 -
X
,· I'
·¡
'
1
1:
•I
.11
- 104 - Análisis Matemático 1 Cap.2
· i) Rang ( f) para - 2 ~ x < - 1 es decir - 6 ~- (x - 4) < ~ S
8 8 8 4 => -- < -- < -- = --· S x-4- 6 - 3
=> f(x) =1+[8/(x-4)] E (1-.!.,1_..!.1 = (-1-,-...!..]
s 3 s 3
Procediendo en forma análoga con las otras partes de f (x) :
Rang f = (-3/S, '-1/3] ú [-3/S, 1) u{!} = [-3/S, 1).
U PROBLEMA.· Grafique la función f (x) = Sgn( ~).
SOLUCIÓN.· Por definición
{
1 si
Sgn (u) = - o
1
: si
si
u <o
u = o
u > o
· x+2
Aquí hacemos X - 1 , y obtenemos así ~ · U=--
x+2
f (x) = Sgn ( .!...=....!..)
x+2
= {
-º) 1
si (x - l)/(x + 2) < o
si (x - l)/(x + 2) = o
si (x - 1)/(x + 2) > o
Es decir;
.• 1
f(x) = Sgn (~)
X+ 2 = . 0
1
Si X = )
{
- 1 · SÍ X E ( - 2 , 1 )
SÍ X E (,- oo , - 2 ) U ( I , oo )
y
-----o-------
4.7 PROBLEMA.·
-2 1 -1 . o
-1
1 . .,
1 ..
IJ
1
1
1
X
Rang .(f) =
={-1,0,J}
Halle el dominio, el rango y bosqueje la gráfica de:
f (x) = ~ 9 ·- .x2 • Sgn ( .¡;+2 ) +[ 2X + S ] _ 1
x-1 x+3 ·
Cap. 2 Funciones - 105 -
SOLUCIÓN.- Dom f : 9 > x 2 /\ x .,. 1 /\ x .,. - 3 /\ 2 + x ?: O :
x E ([-3,3] n [-2,oo}) - {l,-3} = [-2,1) u (1,3} = Domf
a)
b)
c)
..r;+2
X - ) {
> o , para x > 1 "
= . = o , para x = - 2
< o , para x < 1 /\
X >-2
X> ~2.
[
2x + 5 ] = [ 2 __ 1 ] = 2 + [-_1 ]
x+3 · x+3 x+3
y además,
V X E Dom f : => - 2 ~ X ~ 3 <=> _;_ 1 ~ - _l_ < - ...!..
X+ 3 - 6
=> [ 2x + S ] = 2 + (-1) = 1 , V x E Dom f .
X+ 3 . --------
De (a) y (b) , e intersectando con el Dom f = [ - 2, 1) u ( 1, 3] obtene-
mos una regla de correspondencia más simple pa~a la función f :
( -~. 9 0-x
2
y = f (x) .=
. ~ 9 - x 2
X E (-2,'l)
X·= -2
xE(l,3]
Así, se verifica que para cada símbolo de raíz cuadrada la gráfica corresponde a una
., 2 •
parte de la circunferencia x- + y = 9 , mas el punto (- 2, .o> .
" " I
I
(
_· 3, - 2
1
\ .
\
\ 1
\ 1
y
3 --,,,,,-.¡-s --
-15 /
-3
"' ,,,
3 ,
I
I
Rang f =
= [-3, -/5) U [O, fi)
x ·
- 106 - Análisis Matemático 1 Cáp. 2
4.8 PROBLEMA.- Bosqueje las gráficas de las funciones
a) f(x) = Sen(4x) x E [O, 2n]
b) g (x) = Cos (x/2) , x E [O, 4n)
SOLUCIÓN.-
a) ·. Sea z = 4x , entonces Sen (4x) = Sen (z) y donde
x E [O, 2n) si y sólo si z E [o, 8n]
Así, graficar f con respecto a ~ equivale a graficar
y = Sen z , z E [o·, 8n) (cuatro períodos de 2n )
z=O <=> x=O
y Z = 1t # X = 1t/ 4
z = n/2
z = 4 n
donde
# X n/8
# X 1t
X
es como si la gráfica . de y = Sen (x) (en líneas punteadas) se hubiese encogido
horizontalmente en un factor de 4 .
b) Sea z = x/2 ,
z
z
z
y
o n/2 \
\
\
\
\ 1 1
.,.- ( '.!:"
entonces Cos(x/2) = Cos(z) y
X E [O, 4n] <=> z E [O, 2n]
= o <=> X o 1 z = Jn/2 <=>
= n/2 - <=> X = 1t 1 z = 2n <=>
= 1t <=> X 2n
,,,
I 1 \
I 1 \
I 1 \ 1
' 1 \ 1 \
1 \
2n I 4n
I
I
' 1 I 1 '.: . ." '- ~'
X = · 31t
X ::: '41t
Cap. 2 Funciones - 107 -
y es como si la gráfica de y = Cos (x) , en líneas punteadas, se hubiese estirado
horizontalmente en un factor de 2 .
4.9 PROBLEMA.- Grafique las funciones:
a) f(x) = 3Sen(x)
SOLUCIÓN.-. Verifique las siguientes soluciones:
b) f(x)=l.cos(x).
2
a) Es como si la gráfica de y = Sen x se hubiese estirado VERTICALMENTE en
un factor de 3 a ainbos lados del Eje X .
b) Es como si la gráfica de y = Cos x se hubiese encogido VERTICALMENTE en
un factor de 2 a ambos lados del Eje X .
a)
b)
1 ... -
-n/2
1
-~--
'
3
2
-3
y
. ... .... ...
/
I 1/2
o
-1
1 -- --.- - .....
l
l
n/2
1t
,
' / . ' ... ' .... ~ . .;
X
- 108 - Análisis Matemático 1 Cap. i
S. TRAZADO DE GRÁFICAS ESPECIALES
Tomando como base la gráfica de una función y = f (x) veremos
en esta sección cómo trazar las gráficas de funciones de los siguientes tipos:
1) g(x) = f (x) + K g(x) = f(x- h) g(x) = f(x-h)+K
2) g(x) = - f(x) g(x) = f(-x) g(x)=-f(-x)
3) g(x) = a·f(x) g(x) = f (ax) .
4) g(x) = 1 f (x) 1 todas en base a la gráfica de y = f (x) :
1 a) La gráfica de 1 g (x) = f(x) + K l se consigue desplazando la gráfica de
y = f (x) VERTICALMENTE en K unidades HACIA ARRIBA , si . K > o .
La gráfica de 1 g (x) = f (x) - K 1 se consigue desplazando la gráfica de
y = f (x) VERTICALMENTE en K unidades HACIA ABAJO , si K > o" .
y
g(x) = x 2 + 3
f(x) = x 2
X
-2
1b) Lagráficade g(x) = f(x-h) se consigue desplazando la gráfica de
y = f (x) HORIZONTALMENTE en h unidades HACIA LA DERECHA, si h > o.
1b) La gráfica de .... l _g_(x_) __ f_(x_._+_h_)__. se consigue desplazando la gráfica de
y = f.(x) HORIZONTALMENTE en h unidades HACIA LA IZQUIERDA, con
h > o.
Cap.2
\ 11-----------
I\
1 \
1 \ 2
K(x)i=,(x + 3)
1 \
\.
\
' ' ' '
Funciones
y
f 4
----1---, ,.
1 ·, 1
1 1
l. 1
1
1
-5 -4 -3 -:2 -1 o
2 pues si f(x) entonces f(x - 4) ::: X '
f (x + 3)
2
f --------------A 1\ . ,.
1 \ f 1
1 \ . 2./ 1
1
.. \ g(x) = (x-4) I
1 \ I
\ I
\ I
\ I
' /
' " ' ;
-~ 109 -
2 3 4 5 6 X
::: (x - 4)
2
= g (x)
' = (x + 3)- k(x)
2
y en el caso de k(x) (x + 3) = [x -{-3)] :::? h = -3.
1c) La gráfica de 1 g (x) = f (x - h) + K se obtiene como combinación de (1a)
y (1 b) en cualquier .orden.
y
\ I \ I
I -' 2 I \ 2 y= (x-5) y _= f(x) ,= x \
\ \ ' \ I \ I
\ I \ // 1 ., I ' I ' " ' ' 5 .; \ ... ; I
\ o I X
\ 1 ' 2\ 3 I y=x \ I
\ I
' " -...
-3
2a) La gráfica de g (x) = - f (x) se obtiene por · REFLEXIÓN de la gráfica de
y = f (x) CON RESPECTO AL EJE X , considerando al EJE X como DOBLE
ESPEJO:
-110 - Análisis Matemático 1 Cap. 2.
V
y = f (x)
o
' X
' ' . ,~y=f(x) · ---
' ...... ..... ___ .·
( todo lo que está arílba del Eje X se refleja hacia abajo, y viceversa)
2b) La gráfica de y = f (-x) se obtiene por REFLEXIÓN de la gráfica de la
función y = f (x) en el EJE Y , considerando a este eje como ESPEJO DOBLE.
y
y = f (x) •
'... f (-x) = f(x) · y= f(-x)
'";,,::._----------
' --
o \x
' '\
' ' '
X
Todo lo que está a la derecha del EJE Y se refleja hacia la izquierda y viceversa.
2c) La gráfica de 1 y - f("."""x) se obtiene como combinación de (2a) y (2b).
5.1 EJEMPLO • Com~ aplicación de (2c) graficaremos la función
2 "l! = - (x - 2) + 1 .
SOLUCIÓN.~ Definamos f (x) = (x + 2) 2 - 1 , entonces
2 2
f (-x) = [ (-x)+ 2] - 1 = (x - 2) - 1
Y= -f(-x) = -(x-2)2 +1·.
Cap. 2 Funciones -111 -
V 2 y= f(-x)= (-x+2) - 1
\ \ ' . r
\ / J I r------------ ------------~ 2 = (x-2) - 1
t\ . 2 \ '·
f(x) ..1.\(x+2) -1 '\ ·''
1 \ / \ I '
1 / I
t \ ¡ 1 _\. - - - /
1 \ . / \ I \ -2 \
-4 ' t /LJ 0
' ..... L..:'- - - - -
-1
X
2
-f(-x)= -(x-2) + 1
aunque, por supuesto, pudimos haber graficado esta parábola directamente.
3a) La gráfica de 1 y = a f(x) 1 , a > o , se obtiene:
i) Estiran~o la gráfica de y = f ( x) VERTICALMENTE en un factor ! , ·
si a > 1 , con base en el Eje X .
ii) Si o < a < 1, encogiendo la gráfica de y f (x) VERTICALMENTE
en un factor ! .
Ya vimos estos casos en f (x) = 3 Sen x
1
h(x) = -Cosx.
2
3b) La gráfica de ·I y = f(ax) , a > o, se obtiene:
i) Encogiendo HORIZONTALMENTE la gráfica de y = f (x) en un factor
! , si a > 1 , con base en el Eje Y .
. ii) Esfüando HORIZONTALMENTE la gráfica de y = f (x) en c.m factor ! .
si o < a < 1 • ..
1
Yavimosestoscasosen f(x) = Sen(4x) y h(x) = Cos(-x).
. 2
Para a < o , en los casos (3a) y (3b) se usan las reglas de:
5.2 EJEMPLO .•
y= f(-x) y y= -f(-x).
Grafique la función: f(x) = 2Sen(.2!. - x)
4
x E (O, 2rc).
SOLUCIÓN.· Como f(x) = 2Sen(2!.. - x)° = -2Sen(x - 2!..),
4 4
entonces graficamos en el orden:
!1
!1 '
:!
I·
[•
. ,
.'•
-112 - Análisis Matemático 1
a)
' '
4)
y = 2Senx ,
y
,-,.. .... ,2
,, 1 '
/ : ../2
I 1
I 1
I 1
b} y = 2 Sen (x - 2!..),
4
(a)-....-. (.b)
..... ·r-·..:-.,-, )
,. 1 ; • 1 '
/ ;.' '• '
I 1 i' '
I I 1 1 \ '
I / 1 1 • \
c)
Cap. 2
y = - 2Sen(x - 2!..)
4
,,
I 1 I · 1 1 \ \
0
1
I 1 1· \ \
1 '
' ' 2n ' X
' 11 11 I 311 /.!11!_ '
-2 -4 -4- I
' I 1 I I 4 ' I 1 I ,, '· •/ I 'l. ~
I I ' • 1' ,, 1 ,, ,, ,, • 1 ,, '·....J~--" ..... .L.-"" ....
·-l--~-.._,,... -2
GRÁFICA DE y 1 f (x) 1 : y = 1 Sen (x) 1
Desde que y = J f (x) 1 ;:: o y
{ f(x) si f(x) ;:: o y = 1 f (x) 1 =
· - f(x) si f (x) < O
entonces la gráfica se encontrará completamente en el SEMIPLANO SUPERIOR
y ;:: o y se consigue a partir de la gráfica de y = f (x) REFLEJANDO HACIA
EL SEMIPLANO SUPERIOR (y ;:: Ó) TODO LO QUE SE ENCUENTRE DEBAJO
DEL EJE X , QUEDANDO INTACTA LA PARTE DE LA GRÁFICA Di y = f (x)
QUE ORIGINALMENTE YA SE ENCONTRABA ARRIBA {JEL EJJ? X •
5.3 EJEMPLO.. Bosquejaremos la gráfica de · f (x) = I Sen (x) 1 :
y
o,
I
I
I
\ I '.J...-_ -
-1
2
I
' I - - ::...J..,,_ -
I
Y= Senx
Y= 1 Senxl
¡21T.
I
X
Cap . 2 Funciones
5.4 PROBLEMA.- Dada la gráfica de f (figura) , halle la gráfica de
g (x) = 4 - f (x - 2) .
y
f
X
-113 -
SOLUCIÓN.· Construiremos Ja gráfica de g mediante la siguiente secuencia de gráfi-
cas:
a) y = f (x - 2) ,
c} y = - f (x - 2) + 4
y
4
3
2
o
-2
-3
-4
\
\
'
2/\_
' . ..... /
I
I
·"
b) y - f (x - 2) ,
(e)
6j'. X
\
I • (b)
'- r '·- ·-·-·-·-
5.5 EJERCICIO .- Grafique las siguientes funciones:
a) g(x) ~ .¡=-;- , b) g(x) = [ -x]
c) g (x) = 1 [ x] 1 ·
SOLUCIÓN ••
a) Si se considera la función f(x) = .¡;
g (X) = .¡-::.:;-
= f (-x)
EJE y : ESPEJO DOBLE.
entonces
y
f(x~-
1 ,.,--- - - - --~
,, .. 1 ,,
-1 X
-114 - Análisis Matemático 1
b) Consideramos primero f (x) = [ x] , y donde
g (x) = [ -x] = f (-x)
EJE Y : ESPEJO DOBLE.
Cap. 2
f(x) = [x]
y
g
g(x)=· [-x]: -
f .. __
-3 -2 -1
.. --o--..
-1
.. --o -2
.. --o -3
.. --o
2 3 X
c) Consideramos primero · f (x) = [ x] , y para graficar su valor absoluto
g (x) = 1 [ -x] 1 , donde todo lo que está debajo del EJE X (y·::; O) se
refleja hacia la parte superior (y ~ O) :
g
--.o
y
2
. .. __ -1
f
.. --o -2
2 3 X
5.6 EJERCICIO .• Halle la gráfica y el rango de la función
f(x) = [ .senx] , x e [O, 211].
f : ---
g; __
SOLUCIÓN.· Observando la gráfica (adyacente) de y = Sen x tenemos:
·• Sen x = 1 , si x = 1
• Sen x E [ o , 1 ) para
X E [O, ir/2) U ('It/2, 'It] U {2'1t}
• Sen x E [ - t , o ) para
X E ( '1t, 2'1t) .
y
o
-1
Cap. 2
entonces
f (x) · = [sen x] = · { - o
- l
y
1 - - -;•,
/ 1 '
I ' I \
f \
Funciones
' -X E ( 11 , 2-11 ")
X E [O, rr/2) U ( ic/2, '1t J U {27r}
X = 7r/2
f:
Ran (g) = { ~ 1, O, 1}
2'1t
-115 -
11.1\ ,,
1 \ f 1
o 11-/2
\ , 1
' , 1
X
Observe con atención lo que ocu-
rre con la gráfica de una función
cuando se le aplica el [ ] •
' 1 .... 1
-1 --------- o--.. ·•~---oo
5.7 EJERCICIO.· Pruebe que, en efecto, dada la gráfica de y = f (x) :
entonces la gráfica de ·
y= [fCx)] es:
-3
2
, .
-2 -1· o
••-_,o ---- -1
y
X
• 1 y=[f(x)]
..,--9
2 8 3
3
t
¿por qué?
4
De modo que si el Rango de y = f (x) es: [ -1 ,· 2]
entonces el Rango de y = [ f (x)] es: { - -1, o, 1, 2 } .
X
¡,
<
..:116 - Análisis Matemático 1
· 6 • . FUNCIONES PARES, :IMPARES Y PERIÓDICAS
6.1 FUNCIÓN PAR.· Una función f se denomina FUNCIÓN PAR si:
i) X E Dom ( => - X .E Dom f
/\ íi) .f(-x) = f(x)
Por ejemplo,
f(x) = x 2
f (x) = Cos x
f (x) = xn , n par,
son Funciones Pares.
y
X X
6.2 FUNCIÓN IMPAR.- Una función f se denomina FUNCIÓN IMPAR si:
i) X E Dom f => - X E Dom f
/\ ii) f(-x)= -f(x)
por ejemplo,
f (x) = x 3
f (x) = Sen x
f (x) = xn, n impar,
son Funciones Impares.
-X
y
f(x) ----- (x,f(x))
X X
f(~x) = -f(x)
Cap.2
a) Si una función f es PAR, su regla de correspondencia y
si se reemplaza x por · - x :
f (x) NO VARÍA
y= f(-:x) = f(x) .
y por lo tanto, su gráfica es SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE Y.
b) Si una función f es IMPAR entonces la regla y = f (x) NO VARÍA si re-
emplaza simul.táneamente: x por - x y y por - y :
..:..y= f(-x~ = -f(x) => y= f(x)
resultando de este modo que su gráfica es SIMÉTRICA RESPECTO AL ORIGEN DE
COORDENADAS .
Cap,2 Funciones -117 -
Un ejemplo de función que es a la vez PAR e IMPAR , es
f(x) =O para x E [-6, -2} u (h6]-~-
1 1 o l e 1 1 ... -6 -x -2 2 X 6 X
&.3 EJEMPLO .- ¿ Es par o impar la función_ f(x) = (xlxl + ...!...) Sen(x2 ) ?
SOLUCIÓN.· Dom f = ( - oo , o} u (o, oo} . Se cumple que:
i) x E Dom f => - x E Dom f (válida)
ii)
1 2
f(-x) = [ (-x) 1-xl + -- ] Sen( (-x) )
. (-x) . .
= - ( x 1x1 + ...!... ) Sen (x2 )
X
f es una función IMPAR .
-f(x)
6.4 FUNCI'ONES PERIÓDICAS
X
Una función f en JR se denomina FUNCIÓN PERIÓDICA si existe un número
T :;<; o tal que: i) X E Dom f => X + T E Dom f
y ii) f (x + T)- = f (x) , V x E Dom f
X
1--T--J
Toda función periódica tiene su gráfica de tal manera que la misma forma que tiene
en un intervalo de longitud T se repite horizontal y periódicamente en el ante-
rior y en el siguiente intervalo de l9ngitud T. ·
Tal número T recibe el nombre de PERÍODO DE f.
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11
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1 1
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-118 - Análisis Matemático 1 · Cap. 2
Las funciones SENO y COSENO tienen período T = 2n ; en efecto,
Sen (x + 2n) = Sen (x) V x E R
Cos (x + 2n) = Cos (x) , V x E R .
También se ve que ±4n , ±6n , , 2nn, n E z, son pe-
ríodos de Seno y Coseno, siendo 2:n el menor período positiv.o.
Se define como PERiODO MiNIMO de f al menor de los períodos positivos.
6.5 PROBLEMA.- Demuestre que f (x) = Cos (wx) y g (x) = Sen (wx)
tienen período mínimo T = 21C/I w I ·
SOLUCIÓN.- f( x + T) = Cos(w[x + T]) = Cos(wx + wT)
Como Cos (wx + 231) = Cos (wx) , 231 = Período Mínimo de COSENO
entonces, de (•) : wT = 231 => T = 21C/w ,
y como el período mínimo debe ser positivo entonces T = 21C / 1 wl .
Análogamente para g(x) = Sen(wx) (Ejercicio).
6.6 EJERCICIO •• Halle el período mínimo y las gráficas de las funciones:
Cap. 2 Funciones -119 -
g(x + T) = '( Cos[2(x + T)] 1 = 1Cos(2x+2T) 1
= 1 Cos(2x)I => 21' = 1C . por . (•),
=> T = 1C/2 es el Período Mínimo de g (x) = 1 Cos (2x) 1 (Ver gráfica)
6.7 PROBLEMA •• Pruebe que la función f (x) = [ 2x] - 2 [:r] es periódica
Período T. = 1 . · Bosqueje su gráfi~a.
SOLUCIÓN .- a) Haciendo T = 1 ,
f(x + T) = f(x + 1) = [2(x + I)] 2[(x + I)]
= [2x+2] - 2([x] +I)
= [ 2r] + 2 - 1 [X] - 2
= [2x] - 2[x] f(x).
T = · 1 es un período.
· Y como se puede verificar que [1x] = n si n n+l - $X<
2 2
o si -1/2 $ X < 0 n = -1
. si 0 $ X < 1/2 n =O a) f(x) = 1Senx1 b} g(x) = 1 Cos (2x) 1
SOLUCIÓN .- f (x) = si l/2 $ X < l n = l
a) Gráfica de f(x) = 1Senx1 :
y
f
-:re' ' O 71:\ ' I 27t 37t\ ' i 4ic X
\ 1 / \ 1 \ . 1 I
. \ 1 / \ 1 I \'
\ 1 I \ 1 I , . 1 I .
- - ~...!,., ~ - - - - - - - - - - - - --~ ..2 ~ ~ - - - - - - - ·- - - - - - !t.!~~ -1 .
dé donde: PERÍODO MÍNIMO de f (x) = 1 Sen x j es . T = 1I • En efecto,
ISen(x+1C)j=j-Sen(x)l=ISen(x)I => f(x+n) f(x) .
Algo similar ocurre con Sen 2 (x) , Cos 2 (x) . (Verifíquelo)
b) Puesto que Cos (w + :n) .= - Cos (w) entonces
ICos(w + 7t)I = 1- Cos(w)I = ICos(w)I
Luego, si T· ha de ser el Período Mínimo, hagamos w = 2x :
Note que el período
mínimo es 1 .
o si
-1/2
$X < 3/2
y
•
o 1/2
n = 2
o • o -
3/2 2 5/2. X
6.8 EJERCICIO .• Halle el dominio y la gráfica de la función
{
lx-[x]I '
f(x) =
. 1x - [x+1]I
lndi que el período mínimo de f.
si [ x] es par.
si [ x] es impar.
-120 - Análisis Matemático 1 Cap. 2
SOLUCIÓN.- Como o ~ x - [x] < 1 , V x E R ... (•)
i) [x] = n ¡::: 2k si 2k ~ x < 2k + 1 k e z , de donde
lx - [x]I = x - [x] = x - 2k
ii) . [x] = n = .2k+I, si ' 2k+I ~ x < 2k+2 , ke ·Z
=> lx~[x+1]I = 1-x+[x], .,. (ver(•)) .
f(x) = { X - 2k
(2 + 2k) .- X
Si 2k ~ X < 2lC + 1 •
Si 2k + 1 ~ X < 2k + 2
y
2 3 4 .5 x·
Vemos que .f tiene Periodo Mínimo T = 2 , Dom f = R , Rang (f) == [O, 1 ) .
7. ÁLGEBRA DE FUNCIONES 1
7.1 IGUALDAD DE FUNCIONES. Dos funciones f y g son IGUALES si:
i) Dom f = Dom g
/\ ii) f -(x) = g(x~, V x E Domf = Domg.
En tal caso se denota f = g ó 1 f = g I · También se dice que son IDÉN -
TICAMENTE IGUALES... ..
. ,~
Así, las funciones: f (.X) = x 2 + 1 , · :i E [ O, 2] ,
2
g (x) = x + 1 , x E [O, 3] , . NO SON IGUALES , pues
a pesar de tener la misma regla de correspondencia no tienen los dominios iguales.
7.2 PROBLEMA.- . Halle los dom.inios y determine si son iguales las funciones:.
SOLUCIÓN .-
f(x) = ~·~, g(x)= ~(x-2)(x-3) .
Dom f = { x E lR / (x - 2) ~ O /\ (x - 3) ~. O }
Cap. 2 Funciones -12f-
[2,oo}n[3,=} = · [3,=}
i;>om g = { x E lR /. (x - 2)(x - 3) ~ O } 1 = {-ex>, 2] U [ 3, <X>}·
Como lo~ dominios no coinciden entonces las funcio~es f y g NO SON IGUALES • .
Es decir, f ;é g .
7.3 1 SUMA DE FUNCIONES
. Recorde_mos que una función está completamente definida
cuando se especifica su Dominio y su Regla de Correspondencia.
7.4 DEFINICIÓN;- Si f y g son funciones con dominios Dom f y Domg, se define
la nueva SUMA "f + g" , tal que:
i) Dom (f + g) = Dom f n .Dom g
ii) (f + g)(x) = f (x) + g (x) .
Así, el valor de la función "f + g" en x , _és igual a la suma de los valores
de f y de g en x . Por lo tanto ,
f + g = { ( x, f (x) + g (x) ) / x E Dom f n Dom g }
(f + g)(x) = f (x) + g (x)
y
f(x)+g(x)
g(x) { re.X~
f(x) g(x)
X
Dadas las funciones:
f= {(1,4),(2,5),(J ;,6),(5,5)} = {(x ; f(x))/ xeDomf}
g = {(0 , -3),(1,0), (2,0),(3,-8),(4,1)} = { (x, g(x))/ x E Domg}
=> Dom f = { 1 , 2 , 3 , 5 }.
Dom g = { Q , 1 , 2 , J, 4 } luego,
-122 - Análisis Matemático 1 Cap. 2.
:::}- Dom ( f + g) = Dom f n Dom g = { 1 , 2 , j }
Y como todo elemento (x, (f + g)(x)) de la funció~ SUMA "e+ g" es de la
forma (x, f(x) + g(x)), entonces: V x e Dom(f + g) = { 1, 2, 3}: ·
SÍ X = 1 :::}- ( I , f ( I) + g ( I)) = ( I , 4 + O ) = . ( 1 , 4) E f + g
Si X = 2 :::}- (2, f (2) + g (2)) = (2, 5 + O) ~ (2, 5) E f + g
Si X= 3 :::}- (3, f (3) + g (3)) = (3, 6 '.+- (-:- 8)) = (3, - 2) E f + g
f + g = { (1, 4)' (2' 5)' (3' - 2) } . .
~5 1 RESTA Y _MULTIPLICACIÓN DE FUNCIONES
DEFINICIÓN.- Si f y g_ son funciones con dominios Dom f y Dom g , enlon-
ces " f - g" y " f g " son dos nuevas funcJones tales que
a) . Dom (f - g) = Dom f n Dom g
(f - g)(x) = f(x) - g(x)
b) . Dom(fg),,;, Domf n Domg
(fg)(x) = f(x)·g(x)
-
de mod~ que el valor de " f - g " Y " f g " en un punto x es la resta y el producto,
respectivamente, de los valores de f . y de g en el punto x : .
f - g = { (x, f (x) - g (x)) / x E Dom f n Dom g }
fg = { (x, f(x)·g(x)) / x E Domf n Domg}.
EJEMPLO.- Dadas las funciones · f y g , halláremos f ..:.. g y f g :
f = { (!, 4), (2, 5), (3, 6), (5, 5)}
:::}-
g = {(O, -3), {!,O), (2, O), (3, -8), (4, 1)}:
Dom (f - g) = Dom (fg) = Dom f n Dom g = { 1, 2, 3} ,
f- g = {(I, f(I)- g(I)), (2, f(2)- g(2)) ., (3, f(3) .:_ g(3))}
= { (1, 4),(2, 5),(3, 14)}
fg = { (1, f(l)-g(l)), (2, f(2)·g(2))' (3, f(3)-g(3))}
= { (1, O), (2, O), (3, - 48) } . .
"
7.6 NOTACIÓN.- f
2
= f • f , f n = f • f • . .. . f { n factores)
Cap.2 Funciones
-123 -
n Dom (f ) = (Dom f) n (Dom f) n ... n (Dom f) = Oom f.
Así, el dominio de cualquier potencia entera positiva de f . coincide con el domi_nio de f.
7.7 PROBLEMA.·
' 2 2
Halle f + g , f - g , f ··g , f y f - 2 g , donde
g(x) = { (-2~ 1), (-1, 2), (O, 3), (1, 6),'(2, 5), (3, 5),
,(4,3)} y f(x)=rx. xe[o,oo).
2 r-'r- . 2
SOLUCIÓN.- f = {(x;f(x)-f(x)) = (x,..¡x..¡x )/ xeDom(f)}
2 . . Dom (f ) = Dom f = [O, oo) , Dom g = { - 2, ---:- 1, O, 1, 2, 3, 4 }
(Dom f) n (Dom g) = {O, 1, 2, 3, 4} .
f+g = {(x,f(x)+g(x))/ xe{0,1,2,3,4}}
= {(O,../O +3), (1,.Jl +6), (2,..f2 +5), (3, .J3 +5); (4,.,{4 +3)}
f + g = {(O, 3), (1, 7), (2, ..f2 + 5), (3, .J3 + 5), (4, 5)}
f - g = { (0,-3), (1,-5), (2, ..[2 -5), {3;.,/J -5), (4, -1)}
f·g = { (O,O), (1,6), (2, 5..{2), (3, 5.¡J), (4, 6)}
f 2 = f. f = { (x' rx rx j I X ~ o } = { (x' x) I X ~ o }
:::}- . y = f 2 (X) = ~ , X ~ 0 • ( ( rx )2 = X, siempre )
2g = { (x, 2g(x)) / x E {-2, -'"-l, O, 1, 2, 3, 4}} = { (-2, 2(1));
(-1, 2(2)), (O, 2(3)}, (1, 2(6)), (2, 2(5)), (3, 2(5)), (4, 2(3))}
2g = { (-2, 2), (-1, 4), (O, 6), (1, 12), (2, 10), (3, 10), (4, 6)}
2 2 Dom (f - 2 g) = Dom (f ) n Dom (g) = { O, I, 2, 3, 4 }
r2 -2g = {(x,f2 (x)-2g(x)) / x E {0,1,2,3,4}}
2 f - 2g = {(O, O - 6), (1, l -12), (2, 2 - 10), (3, 3 -10), (4, 4 - 6)} ·
2 f - 2 g = { (o ' - 6), (1 ' - 11), (2 ' - 8) ' (3 > -1}' ( 4 ' - 2) } .
7.8 EJEMPLO.· Dadas las funciones f y g definidas por
f(x)=2x-1 xe[0,2]
g(x) = rx , X E [1,4]
entonces Dom (fg) = Domf n Domg = [I, 2) y
-124 - Análisis Matemático 1 Cap.2
(f + g) (x) = 2x - 1 + .,¡-; x E [ 1 , 2 ]
Cfg){x) = c2x - oTx ... x e c1, 21.
~
7.9 EJERCICIO •• Halle f+g, f - g 1 y fg 1 para
{ 2x + 1 "\ xe[o,2) f(x) 3 xe[3,5]
g (x) = { .,¡-; x E (1, 4]
:X - 6 1 XE[5,6]
SOLUCIÓN .• Cuando se trata de funciones definidas por la unión de dos o más
funciones disjuntas , se intersecta cada uno de los domi-
nios parciales de unafunción con cada uno de los domi-
nios parciales de la otra.
Se reéomienda mantener la separación de intervalos para las operaciones :
Dom f n Dom g = ( [ O , 2 ] u [ 3 , 5 ] ) n ( [ 1 , 4 ] u t 5 , 6 ] )
Luego,
(f + g)(x) = {
(f-g)(x) = {
. (fg)(X) =. {
7.10 EJERCICIO,.
= (l,2] U [3,4) U{5}
= Dom(f + g) = Dom(f - g) = Dom(fg) .
(2x + 1) + .,¡-;
3 + .,¡-;
3 + (-1) = 2
2x + 1 - .,¡-;
3 - .,¡-;
' 3 _;. (-1) = 4
(2x + 1) + .["';
3 .¡:;
3(-1) = -3
xe[l,2]
XE[3,4]
X = 5
XE[l,2)
xe[3,4]
X= 5
xe[l,2]
x€[3,4]
X= 5 •
Halle y grafique la función f + g , para las funciones
f (x) =
{
1 - 2x
[3 + Cosx] ,
g (x) = {
2
X
Sen x
-1 ~X< 0
X ;:::: 0
Cap. 2 Funciones
SOLUCIÓN .· [3+Cosx] = 3+ [cosx]
Dom (f + g) = ([ -1 , O} u [O , oo}) n <{ - oo , O} u [o, íC]) =
= (-1, O) U [O, íC]
[cou] = { _:
X = 0
X E (0, íC/2]
x E ( rc/2, re)
;, + gHxl = {
2 2
1 -2X +X = (x - 1)
4
3 + Senx
2 + Senx
y
X E ( -1, O)
X = 0
X E (0, :it/2)
X E ('1t/2, '1t)
f+g
_-_-_-_-:_-_----~
• . 1
-125 •
·•
1
________ _;, ________ ! y= Senx
,,,--- 1 -- .......... ~ .
1
-1 o
,.,,,. 1 ........... • .
:it
2
7.11 PROBLEMA.· Si f (x) = Sen ( 4x) , F (x) = Cos (4x)_
X
g (x) = Cos (x) G (x) = Sen (x) , pruebe que
la función 4 (f g + FG) + 6 ( Fg - fG) es periódica, y halle
su período mínimo.
SOLUCIÓN.· Definimos las funciones h (~) y H (x) :
h(x) ·= 4(fg + FG)(x) = 4Sen(4x + x) 4Sen(5x)
H(x) = 6(Fg + fG)(x) = 6Cos(4x + x) = 6Cos(Sx)_
Probaremos que ambas funciones h" (x) y H (x) tienen como período mínimo 2 '1t :
s
h (x + .t) = 4 Sen [ 5 (x + T)) == 4 Sen (Sx + ST) = 4 Sen (5x)
=> 5T = 2:rc 1 T = 2rc/5 1 es el período mínimo de h (x) .
Análogamente se prueba que para H(x) también es T = 2'1t/5 .
-126 - Análisis Matemático 1 Cap. 2
luego, h (x) + H (x) l¡¡mbién tiene como período mínimo a T = 2 n/5 .
7.12 PROBLEMA.- Encuentre el período mínimo de las funciones siguientes:
a) f (x) = Sen (3x) + Cos ( 4x) ,
b) g (x) = Cos (2x) + Sen ( 4x)
c) h (x) = Sen (x/3) + Sen(5x) .
SOLUCIÓN .- Sea T tal período mínimo:
a) · f (x + T) = Sen [ 3 (x + T)] + Cos [ 4 (x + T)]
= Sen(3x + 3T) + Cos(4x + 4T) = Seri3x + Cos4x =
{
3T = 2 n K 1 para algún K 1
e z +
si y s6lo si
+ 4T = 2nK 2 para algún K2 e z
f(x)
2nK 1 T=-
3
debiendo elegirse K 1 , I< 2 , como los menores enteros positivos con esta con- ·
dición; así K 1 = 3 y K 2 = 4 . T = 2 n es el Periodo Mínimo.
b) g(x + T) = Cos(2x + 2T) + Sen(4x + 4T)
= Cos (2x) +Sen (4x) ·
{ 2T = 2nk 1 algún KI E Z+ ~ + 4T = 2nk2 algún K2 E Z
~ T 1 1 = -2nK1 = -2nK2 ~ 2 4
~ KI = 1 • K2 = 2 ~ T = :7t
· { T /3 = 2k 1 n , para algún c) Análogamente:
ST = 2k 2 n para algún
de donde 1 T = 2n(3K 1) = 2n(SK 2 )
Elegimos el menor entero positivo K
2
:
El Período Mínimo es . l T = 6n
. +
K 2 = 2 K1 E Z
período mínimo.
1 +
K 1 = -K2 E Z . 15
Cap. 2 Funciones -127 -
7.13 PROBLEMA.- Pruebe que la función f (x) = 1 Sen ; 1 + 1 Cos ; 1 es pg_
riódica. Halle su período mínimo y gra!lque f .
SOLUCIÓN.- Graficaremos la función .f sum¡¡ndo 1 Sen ; 1 Y1 Cos ~ 1
y geométricamente:
2
f
n'. 2:n:,·, / 13n '4n:
'· 1 • • 1 /
' 1 '· / 1 ./
·,. 1 ' ; 1 -~
, 1 . A. 1 ·""'
-1 - - - - - - -- -- - - -- - - _·:::-.. ..J-~---:::-~-...&.-....:""- - - ---
.O :n:/2 X
de donde vemos que T = n . En efecto,
f (x + n) = 1 Sen ( ~ + ; ) 1 + 1 Cos ( ~ + ; ) ·1 = .
7.14
i)
ii)
= 1-.Cos (r/2) 1 + 1- Sen (x/2) 1 = 1 Cos (x/2) 1 + 1 Sen (x/2) 1
= f (x) •
COCIENTE DE FUNCIONES. FUNCIÓN COCIENTE
Dadas dos funciones f y g se define la FUNCIÓN COCIENT_E f / g :
Dom(f/g) = (Domf n Domg) - { x E Domg / g(x) =O}
f(x)
(f/g){x) = -- .
g(x)
La condición (i) exige que el dominio de f / g no debe contener aquellos
valores de !: que hagan CERO a lafunción g (x) ·
EJEMPLO.- Hallaremos. lafunción Cociente f/g para las funciones:
f = {(I, 4) ,(2 ,5), (3, 6),(4 ,-6) ,(5 ,5)}
g = {(0,-3),{l,0),(2,0),{3,-8),(4,1)}
-128:..
· Análisis Matemático ¡
a)
b)
;
Dom f = { 1 ' 2 ' 3 ' 4 ' 5 } '
{ X f g (X)= 0 } = { 1, 2 }
Dom g = { o , .J , 2 , 3 , 4 }
• pues g (1) = o , g c2> = 0
Cap.2
i)
Dom (f/g) = (Domf n Domg)- { x E Domg / g(x) ·=O}
= {1,2,J,4}- {1,2} = {3,4}.
i.i) f/ { f (x)
g = (x,~)/ xe Dom(f/g) = {3,4}}
g(x) .
= {(3 • ;~!~).(4 , ;~:~)} = {(3,-:).(4,-6)}.
7.15 PROBLEMA.· Si
f(x) = 2x + 3 • g(x) = [2x -1] • halle la función
cociente f ¡ g .
SOLUCIÓN:- Dom f = JR = Dom g
1
[ 2x - 1] ,;,, O # O :::;; 2x - I < 1 # 1 :::;; 2x < ·2
# X E ( 1/2, 1) ,
. Domf/g = (Domf n Domg) - { x/ g(x) =O} = .R - {1/2 , l)
(f/g)(x) = __ 2x_+_3_
[2x - 1]
, V x E R. -:- [ 1/2, 1) .
7.16 PROBLEMA.· Dadas las f~nciones f y g halle g/ f ' donde
f(x) = { lx-lj [sgn(J-x)] x e {0,6]
x2 .
X E (.6, 10)
. g (x) = { 1 X - 21 '
xlx- 21
xe(-8,3]
xe(J,8).
SOLUCIÓN.- Es aconsejable mantener las subdivisiones en el dominio de f y g.
Dom g = ( - 8 ' J l u ( J ' 8 ) ' Dom f = [ O ' 6 ] U (6 ' 1 O ) '
{ X f f (X) = 0 } :
fl(x)==lx-ll·[Sgn(3-x)]=o # x==l
(pues Sgn (o) = O . si y s6lo si u = o )
f 1
2 (x) == x nunca se anula en ( 6, 10)
1 X :: J
Cap. 2 Funciones -129 -
{ x / f (x) = o } = { i, J } . Con esto obtenemos:
Dom (g/ f) = (( - 8, J] u ( 3, 8)) n ( [o, 6] u ( 6, 10}) - { 1, 3 }
[O, 1) U {l, 3) U {3, 6] U {6, 8)
(2 - x) / (1 - x) . ' X E (O, I)
1 X - 2 I f (X - 1) X E {1,3)
(g/f)(x) =
x (x - 2) / (1 - x) xe{3,6]
x(x - 2)/ x
2
xe{6,8}
7.17 FUNCIÓN RACIONAL.- Se llama así a toda función que tiene la forma de
un Cociente de dos polinomios , como,
x
2 + Jx + 2
f(x) =
x 2 - 4x + 3
cuyo dominio , en este caso, es el conjunto de valores de x tales que el deno-
2 minador no se anule: x - 4x + 3 = (x - 3) .<x - l) ;.o o , es decir
Dom f = lit - { 1 , 3 } .
.-1~
7.18 IGUALDAD DE POLINOMIOS
Dos polinomios P (x) y Q (x) son IGUALES si y sólo si
los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
En tal caso, también se. dice que son POLINOMIOS IDÉNTICAMENTE IGUALES .
Por ejemplo, si los polinomios
4 3 2
P(x) = ª4 X + ªJ X + Sx '."""X+ 4 1
2
Q (x) = b 2 x + b 1 x + b 0
han de ser idénticamente iguales, entonces por coeficientes indetermi-
· nados:
i
11
¡¡
1¡
1:
-130 -
Análisis Matemático ¡
Cap. 2
8 • .1 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 1
. Esta es una nueva operación t f . . • .
gunos e¡emplos previos. Consideremos la funci~~ re unciones, y sera motivada con al-
f (x) = x2 + 2x . . .. (•)
entonces f (3) = (3)2 + 2(3) = 15
f(-4) = (-4)2+2(-4) = 8
f{u)
f (3a)
= u
2+ .21i
= (3a)
2
+ 2(3a)
• . . (**)
haciendo u = 33
f (a + 4) ( + 4) 2 = ª + 2(a + 4) haciendo u = a + 4
Vemos de (•) y (**) y de las d • . . ·
variable independiente x pued emas representaciones mostradas que la
qu e ser representada por cual · i b e se reemplace este nuevo símbolo dond quzer s m olo, siempre
e sea que aparezca x , en ( *) .
Así tenemos que si z _ 3 - X - 4 = .g (x) t en onces, en (• •) :
f (t(x)) = ( g (x)J2 + 2 ( g (x)]
i .
= (3.x - 4) + 2 (3x - 4) = 9x2 - 18x + 8
Lo que aquí hemos obtenido h ·d . . · ·
" f COMPUESTA .CON g ,; d t d ~a SI 0 una .nueva función llamada
• eno a a por f o g 1 cia es: · • cuya reg a de corresponden-
f o g (x) . - (f o g)(x) - f ( g (x)) j
Estudiemos esta nueva función compuesta para las siguientes funciones:
f = { (2, 6), (3, 7), (O ' 8), (1, 9) }
g = { (1, -5), (4, 3), (5, 2)}
Dom f = { 2 , 3 , O , 1 } , Dom g = { 1 , 4 •· .5 }
. Y donde evidentemente
g(l)=-5, g{4)=3 ( - . .
' g 5) - 2 • Y queremos evaluar
con
(f º g)(x) = f( g(x)) para aq.uellos valores x E Dom. g
donde se pueda:
fog{I) f(g(l))=f(
- 5) NO EXISTE ' pues - 5 ft Dom f '
fo g (4) = f(g{4)) = 7,
f o g (5) = f ( g (5)) = f (2) = 6
Cap. 2 Funciones
A B
f --.. e
- 131 -
Nótese que, partiendo del dominio A de g , solamente hay dos caminos que, · PA-
SANDO POR B , llegan .hasta e . Esto precisamente equivale a evaluar:
i) g(4) = 3 , y luego f(3) 7 = f(g(4)) fo g (4)
ii) g (5) = 2 , y luego f (2) = 6 = f (g (5)) = f o g (5)
Si consideramos a las funciones g· y f como dos viajes: de A hasta B y de B
hasta e respectivamente, entonces el viaje completo desde A hasta e viene a ser el
denotado por "f o g" , que se lee como " f COllP~ESTA CON g " , y cuya regla
de correspondencia es
(fo g)(x) = fo g (x) = f(g(x))
lo que implica además que es válida solamente para aquellos elementos x e Dom g
que LLEGAN A REALIZAR EL VIAJE COMPLETO y CON ESCALA OBLIGATORIA; es decir
Dom(f o g) = { x E Domg / g(x) E Domf}
= { X / X E Dom g /\ g (x) E Dom f }
De aquí concluimos que la nueva fun.ción f o g existirá siempre que
Rang (g) n Dom f "" . 0 {NO VACÍO) .
8.1 DEFINICIÓN FORMAL : La función f o g es aquella que satisface:
i) Dom (f o g) = { x E Dom g / g (x) E Dom f }
= {X/ X E Dom g /\ g(x) E Dom f}
ii) (fo g)(x) = f(g(x)) Regla de Correspondencia.
fog = {(x,f(g(x))) / xe Dom(fog)}.
Para las funcio11es f y g del ejemplo previo:
f = {(2,6) , (3,7),(0,8),(1,9)}, g = {{l,-5),(4,3),(S,2)}
-132 - Análisis Matemático 1
donde g(I) = -5 • g(4) · 3 (5) 2 t• = . g = . se 1ene que
Dom (f o g) = { x E Dom g / g (x) e Dom f } = { 4, 5}
Entonces
{
g (.4) = 3 E Dom f
pues
g (5) = 2 E Dom f
f o g = { (X. f (g (x))) / X E Dom (f o g) = { 4. 5} }
= { (4, f(g(4))), (S, f(g(S)))}
= { (4, f(J), (S, f(2))} = { (4, 7),(5, 6)}
Cap.2
fo g = { (4, 7), (S, 6)} • ( Verifíquelo con la fig. anterior. )
8.2 . PROBLEMA.· Halle la composición f o g para
f = { (1, -2), (2, -S), (3, O), (4, -1)}
SOLUCIÓN.-
g = {(O, 1), (1, O), (3, 3), (-1, 4), (2, 1)}
Dom(f o g) = { x / 'x E Domg /\ g(x) e Domf}
Dom g = { - 1 , O , 1 , 2 , 3 } , Dom f = { 1 , 2 , 3 , 4 } ,
{ x / g (x) E Dom f } = { x e Dom g j g (x) e Dom f }
= { x E Dom g / g (x) E { 1, 2, 3 , 4 } }
= { o , 3 • - 1 , 2 } entonces
Dom (f o g) = Dotfi g n { x · ¡ g (x) e Dom f }
= { -1, o, 1, 2, 3 } n { o, 3, - ·1, 2 } = { o, 3, -1, 2 }
f o g . = { (x, f (g (x))) / x E Dom (f o g) = { - 1, o, 2, 3 } }
= { (-1, f(g(-1))), (O, f(g(O))), (2, f(g(2))), (3, f(g(3)))}
= { (-1, f(4)), (O, f(I)), (2, f(I)), (3, f(3))}
= { (- 1, - 1), (O, - 2), (2, - 2), (3, O) }
g f ---.. ---.. .
¿Cu~les elementos _de g llegan a realizar el viaje completo?. La respuesta viene a ser ·
precisamente: el D_ominio de f 0 g .. · .
Cap. 2 Funciones -133 -
8.3 PROBLEMA.· Halle las composiciones f o g y g o f , para
f = { (x' rx) I X E [o. 00) } .
g:::: {(O, 1), (2, -3), (4, 7), (8, -1), (3, l)}.
SOLUCIÓN.-
i) f o g ; donde f (x) = rx , X E (O, oo) ; cuando, como en este
caso, Dom g = { o , 2, 3, 4 , s } es un conjunto infinito ento_nces se pue-
de ver por simple observación que los x válidos para Dom (f o g) son
aquellas primeras componentes de los pares ordenados de g cuya segünda com-
ponente se encuentre en el Dom f = [ o , oo ) . Es decir, que no sean < o .
bom.(f o g) = { O, 4, 3 }
fo g = {(O, f(g(O))), (4, f(g(4))), (3, f(g(3)))}
= {(O, 1), (4, ./7), (3, 1)}.
ii) g o f :
Dom (g o f) = { x E Dom f / f (x) E Dom g }
= Dom f n { x / f (x) E Dom g = { O,2, 3, 4, 8 } }
y como f(x) =.[";E Doing = { 0,2, 3, 4, 8} siysólosi
rx = 0 para X = 0 rx ::: 4 para X = 16
rx = 2 para X = 4 rx = 8 para X = 64
rx = 3 para X = 9 .
Doni (g o f) = [o, oo) n { o, 4, 6, 16, 64 } = { O, 4, 9, 16, 64 } ,
~g o f = { (x, g ( f (x))) / x E { O, 4, 9, 16, 64 } }
= {(O, g(f(O))), (4, g(f(4)))! (9, g(f(9))),
( 16 ' g (f (16) ) ), ( 64 ' g ( f ( 64) ) ) }
= { (o ' g (o) ), ( 4 ' g ( 2) ), ( 9 ' g ( 3) ), (16 ' g ( 16) ) ' ( 64 • g ( 64) ) }
~ {(O, 1), (4, -3), (9, 1), (16, 7), (64, -1)}.
S ) 3 f) 3 2 . 8.4 PROBLEMA.• ean g (x = x , (g o (x) = x - 3x + 3x - 1 ,
halle f (x) , para x real.
SOLUCIÓN.- 3 2 3 g (f (x)) = x - 3x + 3x - 1 = (x - 1)
g(x) = x 3 => _ g(f(x)) = [f(x)] 3
Entonces, de (a) y (/3) : f (x) = x - 1 .
(a)
(p)
B.5 PROBLEMA. Sean g (x) = sx3 - 12x 2 + 6x - 1 • (f o g) (x) = 2x + 3.
Halle la regla de correspondencia de f (x) .
.. i!¡ -
-134 - Análisis Matemático 1
SOLUCIÓN.- g(x) = .(2x - 1)3
:::::}
f(g(x)) = 2x + 3
3
f [ (2x - 1) ] = 2x + 3
Cap.2
· = (2x - 1) .+ 4 ... <P>
Hacemos u = (2x .:.. -1)3 :::::} 2x - 1 = .r; , de modo que, en (p) ;
3,--- .
f (u) = "' u + 4 , y regresando al símbolo x:
f (x) = rx + 4.
8.6 PROBLEMA.· Hall.e la composición ' Í o g , para
f (x) = 2x -i- 6 x E [O, 8] .,
g {x) = x- - 1 1 X E [ - 2, 2) . ·
SOLUCIÓN.-
Dom (f o g) = { x / x E Dom g /\ g {x) E Dom f }
Y además,
= { X / X E [ - 2, 2) /\ (x 2 - 1) E [ 0, 8) }
= { X / X E [ - 2, 2) /\ x2 E [ I , 9]}
= { X / X E ( - 2, 2) /\ X E (- 3, - 1 J U ( I, 3)}
· = [-2,2)n([-3,-i)U[l,3])
= [....:2 , -!Ju (1 , 2).
(f o g){x) = f (g (x)) = 2 g (x) + 6 = 2(x2·- 1) + 6
= 2x2 + 4 •
: ... :·
8.7 NOTA.· Cuan.do las funciones están definidas por varias reglas de corresponden-
cia, como por ejemplo:
f (x)
g(x) = {
f 1 (x) , x E A1 = Dom f1
f2 (x) , x E A2 = Dom f2
gl (x) x E B1 = Dom g 1
g2 (x) ., X E B2 = Dom g 2
g3(x) X E B3 =_Dom g3
donde los conjuntos B1 , B2 J B3 son disjuntos dos a dos, entonces el DOMINIO
DE LA COMPOSICIÓN f o g . se halla como sigue:
Cap. 2 Funciones -135 -
Dom (f o g) = { X / X E Dom g A g (x) .E Dom f }
= { X / X. E Dom g, = B, A gl (x) E .A, u A2 = Dom f } u
u { x / x E Dom g 2 = B2 /\ g 2 (x) E A 1 U A2 = Dom f } U
u { x ¡ x. E Dom g
3
= B 3 A g 3 (x) E A 1 u A2 = Dom f }
= { x/ x E Dom gl /\ g.¡ (x) E Dom fl} u_ { r/ X.. E Dom gl /\ gl (x) E Dom f2}
u {r/ x E Domg
2
/\ g
2
(r) E Domf
1
} u {r/ x E Domg 2 A g 2 (x) E Dom f2 }
u {x/ x E Domg3 /\ g3 (x) E Domf1} u { x/ x E Domg 3 A g3 (r) E Domf2 }
Con este resultado se ha demostrado la siguiente propiedad:
donde
Dom(fog) = Dom(f1 og 1)uDom(f2 og 1)U
Dom (f 1 o g 2 ~ U Dom (f2 o g 2 ) U
Dom (f
1
o g3 ) U Dom (fí 'o g 3 ) •
{ f 1(x) X E Dom f 1 '~ f (x) f2 (x) X E Dom f2
g(x) - {
gl (x) x E Domg 1
g2 (r) x E _Dom g 2
g3(r) . x E Dom g 3
Observe bien el orden en que aparecen las uniones· en el recuadro anterior.
8.8 EJEMPLO.· Halle la función compuesta f o g , donde
' { Jx + 4 , f(r) =
-x + 1 1
SOLUCIÓN.-
xE[0,2]
rE(2,5]
g(x) - { :'
XE[0,3)
, rE[3,6] .
f (r)
{
f 1 (r) = 3x + 4 ·
f2 (x) = - X + 1 1 X E ( 2' 5] = Dom (2
X E [ o ' 2 ] = Dom f 1
g(x) = {
2
g J (X) = X X E [ o ' 3 ) = Dom g 1
X E '[3 , 6) = Domg2
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/
-136 -
Dom (f o g)
Análisis Matemático 1
Dom(f1 o g 1 ) u Dcim(f2 o g 1 ) u Dom(f1 o g 2 )
u Dom (f2 o g 2 ) .
i) Dom(f1 o g 1) = { x / x E Domg 1 /\ g1(x) E Domf1
}
. 2
={x/xe[0,3) /\ _ x E[0,2]}
= co. 3) rí c-..f2 . ../21 = co: ../21
ii) Dom (f2 o g 1) = { x / x E Dom g 1 /\ g 1 (x) E Dom f2 }
2
= {x/ x E (0,3) /\ x .· e (2,5)}
Cap. 2
= [ o ,-3 ) n ( [ - .JS ; - ../2 ] u ( ../2 , JS ]) = ( ./2 , .JS ]
iii) Dom(f1 o g 2 ) = { x / x E Domg 2 /\ g~(x) E Domf1 }
={x/xe[3,6] /\ 4E[0,2]}
={x/ xE(3,6) /\ F} = 0
t t
SIEMPRE FALSA VACIO.
iv) Dom(f2 o ~ 2 ) := { x / x E Domg2 /\ g 2 (x) E Domf2 }
={x/xE[3,6] /\ 4E(2,5]}
= { X ./ X E ( 3 , 6 ) /\ V } . ( 3, 6)
t
(VERDADERO)
Dom (f o g) = [O, ..f2] U ( ..f2, .JS] u [ 3, 6]
Y manteniendo esta subdivisión tenemos directamente que:
{
f 1 (g 1 (x))
2 2 .
x E [O, ./2) r, (x ) = 3x + 4
f o g (x) = f2 Cg 1(x))
2 2
X E (../2, .JSJ f2 (X ) = -:-X + 1
f2 (g2 (x)) = f2 (4) = -3 .. X E (3,-6)
8.9 NOTA.· En (iii) y (iv) : F = FALSO ++ 0 (VACÍO)
V = VERDADERO ++ U (UNIVERSO)
Este problema [8.8] ha servido para apreciar un método muy adecuado para re-
solver este tipo de ejercicios.
Cap. 2 Funciones
8.10 EJERCICIO.· Para f y g dadas en [8.8] , halle "g o f" .
APTA: .
{
Dom (g o f) = [O, 2/3]
(g o f) (x) = 4 , V' x E [O, 2/3) .
8.11 PROBLEMA.- Halle g º. f si f (x) := l/ (x - 2) X~ .3
g (x) = (2x + l)/x , x ~ 1/2 .
SOLUCIÓN.· Siendo (g o 'f) (x) = g ( f (x)) , entonces
Dom (g o f) = { x / x E Dom f /\ f (x) E Dom g }
-137 -
. = {XI X E [3, ex:>) /\ - 1- E (1/2, ex:>)} (•)
x-2
1 ) .......... _1_>_!_ donde -- E Il/2, ex:> ......,.. _
x - 2 x-2 2
t t 2-x+2
{:?----~O<=? ~O
X - ~ 2 2 (X - 2)
X - 4 < O
X - 2 -
xE{2,4]
En (•) : Dom (g o f) = { x / x E [ 3, ex:>) /\ x E ( 2, 41 }
= (3, ex:>) n (2, 4) J~:..~l-
2f(x) + l ·
(g o f) (x) = g (f (x)) = X Vxe.(3,4) .
f (x)
8.12 EJERCICIO.· En el problema (8.11] halle f o g .
RPTA: Dom (f o g) = [ 1/2; 1] , (f o g)(x) = x .
8.13 PROBLEMA.· Halle f o g y g o f , para las funciones
{
12~ X ' X E ( - 1 ' 1 } { X 2 Sgn X '
f(x) = g(x) =
X -1, X E (l, 2} ~ •
xE[-1 , 1)
xe(l,3]
SOLUCIÓN.·
{
f 1 (~) = 1 - x , 'x E ( -1, 1} = Dom f 1
. 2
f2(x) =X -:- 1 X E (1, 2) = Domf2
f(x)
¡ -x 2 x E .(-1, O} 0 ' X= 0 x 2 X E (O, 1) .
~ xE(l,3]
g (x)
-138 - Análisis Matemático l Cap. 2
X E (~ 1 , O) = Dom g I 2 g 1 (x) -X =
=> g (x) 2 g2(x) = X = X E [ o ' 1 ] Dom g 2
~ = gJ(x) x E (1, 3] = Domg 3
Por lo tanto,
i) Dom (f
1
.o g
1
) { x ! x E Dom g 1 /\ g 1 (x) E Dom f 1 }
= { X / X E . ( - I , 0) /\ - x 2 E ( - I , I ) }
1 ( - 1 • O ) 1 (VERIFICAR)
2
{X/ X E (-1, 0) /\ - X E ( 1, 2} } = ~
= {X/ X E Dom g2 A g2 (x) E Dom f 1 }
= { X / X E ( O , l ] /\ x 2 E ( - I , I ) }
1 ( O , 1 ) · 1 (VERIFICAR)
iv) .Dom (f2 o g2) = { X / X E [o' 1] /\ x 2 E ( 1, 2) } = ~
v) Dom(f, o g3) = {X/ X E DomgJ /\ &3(X) E Dorrifl }
={x/xE(l,3] /\ ~E(-1,1)}
= (1,3] n {2,3] = 1 (2,3] ·1
vi) Dom (f2 o g3) = {X/ X E ( 1, 3] /\ ~ E ( 1, 2) }
= (1,3]n(-1,2) = 1 (1,2)1
Dom(fog) Dom (f1 o g 1) U Dom (f2 ci g 1) u
U Dom(f1 o g 2 ) u Dom(f2 o g2 ) u
. u Dom (f1 o g 3 ) u Do_m (f2 o g 3 ) ,
entonces Dom(fog) = (-1,0) U (0,1} U (2,3] u (l,2}.
YACIO
~hora, ma~tenienda esta división de los intervalos halla~os, y consideran-
do 1.as funciones parciales correspondientes que dieron· origen a estos domin.ios
parciales de f o g :
(f o g)(x) =
Funciones
2 = l +X
-139 ~
xe(-1,0)
2 2
f 1 (g2 (x)) = f 1 (x ) = ' - X X E [ o. 1)
r
1
·cg
3
(x)) = r 1 C~) = 1-~, x e (2, 3)
X E.( 1, 2)
Para la función g o f invitamos al lector a resolverla, para lo cual le presenta-
mos la respuesta para que la compruebe:
gof(x)· =
2
g
2
(f
1
(x)) = g 2 (1 - x) = (1 - x)
2 2 2
g
2
(f
2
(x)) = g2 (x - 1) = (x - 1)
g
3
(f
1
(x)) = g3 (1 - x) = ..['2+x°
g
3
(f
2
(x)) = g3 (x
2
- l) = ~ 4 - x 2
xe[o,1)
xe{1.fi1
xe(-1,0)
xe(fi.2)
8.14 PROBLEMA.- Halle todos los polinomios f (x) d_e 1er. grado tales que
1 4 - X - -
(f o· f)(-) = -- , X :;llO 0.
X X
SOLUCIÓN.- f (x) debe tener la forma: · f (x) = ax + b , a .e o.
Verifique que debe llegarse a la condición:
2
b (a + l) X + a = 4 - X 1 X ;e o
=> b(a + 1) = -1 /\ a2 = 4 ::::> Hay dos soluciones (x..,, O)_:
i) f(x) = 2x - (1/3) , ii) f(x) = -2x + 1 .
8.15 PROBLEMA.· Sean f y g dos funciones definidas por:
1 -1 <X< 1 ,
, -2:5x<-I
0 <X < 3
.· ~
-140 - . Análisis Matemático 1 Cap.2
Probando previamente que .[ lxl - 2 ] = -1 , 'ti x E (- l,
1
)
3-x .
compruebe que:
f(•(~)) = {
-1 X E (-2,-l)U(O,l)U .[l,2)
~ x 2 + I XE[l,2)
g of (x) = 1 1 - ~ x 2+' 2.x 1 , x e [ J, 2) •
8.16 PROBLEMA.· Dadas las funciones f y g tales que:
f(x) =
{
lxl
- 2x +-3 , X E ( 3, 6)
, X E (-1,3) · {~ , g{x) = [x] xe[l,2) '
XE(2,5),
compruebe que:
·¡~· XE(l,2)
.(fo g)(x) = . 3 , X E ( 2, 3} •
, (g o f)(x) =
3 XE(3,4}
-5 , X E (4, 5)
¡ 0 1 X:::: -1 ~. ·xe(l,2} 2 , XE(2,3)
3 1 X = 3
8.17 PROBLEMA.· Sea g(x) = (x + l)/(x -1) 1 X E [-1, 4) - {I};
la función f tiene dominio Dom f = ( - 1 , 2 ] - { 1 }
tal que Ü 0 g) (x) = x 2 - x + 1, Halle la regla de correspondencia de f (x)
así como el dominio y el rango de f o g . .
SOLUCIÓN.- ·x
2
- x + 1 = f(g(x)) = {(..::...±.....!_) , x e Dom(f
0
g) (•)
X - J
Sea . t = (x + 1)/(x - 1) entonces x =:: (t + J)/ (t - 1) ,
yen (•): · f(t) = (_!_:!:_!_)2 _ (_!__:!:_!_) + 1
t - 1 t - 1
:::}- f (X) = ( ~i - ( ~) + 1- (REGLA DE CORRESPONDENCIA DE f)
X - ) X - 1
Ahora encontraremos el dominio de la composición f o g :
Dom (f o g) = {X/ X E [..: 1, 4 i - { 1} /\ ~ E (-1, 2] - { 1}} .
X -1
Cap. 2 Funciones . -141 -
=> DomÜ o g) = [-1, o) u [3,, 4] (VERIFICAR) (••)
2 1 2 3 .
Y p_uesto que (f o g)(x) = x - x + I = (x - -) + -
. 2 4
completando cuadrados y usando ( • •) · hallamos el
Rang (f o g) = ( 1, 3] U [ 7, 13] (VERIFICAR)
8.18 PROBLEMA. Si el dominio de F ·º G es [ 4, 6], halle el dominio y la regla de
. 1/2
correspondencia de (F o G) o (g/f). Además, F = I ,
G = (I - 4)(1 + 4) , g = 21 , f = l - 2 , donde
I = función IDENTIDAD.
SOLUCIÓN.·
Dom(F o G) o (g/f) = { x E Dom(g/f)/ (g/f) E (4, 6) = Dom(F o G)}
2x
(g/f)(x) = -- E [4, 6)
X -·2
2x 2x .
{:} 4 <-- /\ --< 6
-x-2 x-2-
- .
x-4 · x-3 . -- < o /\ -- > o {:} X E [ 3 • 4 ] (VERIFICAR) 1
x-2- x-2-
y como Dom (g/f) = R - { 2} , entonces
Dom (F o G) o (g/f) = ( R - { i}) ri _(3, 4] = [ 3, 4] ,
(FoG)o(g/f)(x) = ~[(Úf)(x)J2 -16 = ~[4x2 /(x-2)2 J- ·16, ·
para todo x E [ 3 , 4 ] .
8.19 PROBLEMA.· Sea f la función cuya gráfica es: ·
y
f
-8 -7
3 -------t\-_, 1 .
. 1
2- - - - - - - - -
1
-1
-2
2 3 4 5 6 X
-142 - Análisis Matemático 1 Cap. 2
compruebe que la gráfica de g (x) = 2 - f (- x + 1) es:
y
-5 -3 -2
SUG.- Construir tal gráfica realizando los siguientes pasos:
1º) y = f (x + 1) 32) y = 2 - f (x + i) = h (x)
4º) y= -f(x + 1) 42) g(x) = 2 - f(-x + 1) = h(--x).
"'
8.20 PROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dadas las funciones f, g, h , I = IDENTIDAD :
1) (f o g) o h. = f o (g o h) • . . ASOCIA TIVIDAD
2) Existe una y solamente una función, denotada I, · tal que
f o I = f = I o f 1 V función f . [ 1 = IDENTIDAD ]
3) (f + g) o h = (f o h) + (g o h)
4) (f. g) o h. = (f o h) . (g o h)
Además, en general, ya vimos que:
h o (f + g) ;e (h o f)+ (h o g)
Por ejemplo, si: h = 4 {Constante) ,
fog ;e gof
y h o (f. g) ;e (h o f). (h o g) .
f = g = I , entonces
h o (f + g) = 4 o (I + I) = 4 o (2I) = 4 {Constante)
(h o f) + (h o g) (4 o I) + (4 o I) = 4 + 4 = 8 {Constante)
PRUEBA DE (1) :
Dom (f o g) o h = { x E Dom h / h (x) E Dom f o g }
Funciones
-143 -
= {x E Domh / h(x) E Domg /\ g(h(x)) E Domf}
= {x E Domh /\ h(x) E Domg/ g(h{x)) E Domf}
= { x E Dom g o h / g o h (x) E Dom f }
= Dom [ f o ( g o h ) l ·
y además,
[(fo g) o h](x) = (fo g)(h(x)) = f(g(h(x)))
= f [ (g 0 h)(x)] = [ f o (g o h) ](x)
5)
6)
n m
I o l
nm
;e l para m y Ii enteros positivos.
n n
1 o (f + g) = (f + g) 1 para n entero positivo.
. 2
EJEMPLOS .- Dadas las funciones f = 3 1 + 4 I - 2 ,
8.21 . 2
g=l-21+1 entonces:
2 2 )
fg =(JI +41-2)(1 -21+1
= 3 14 - 2 13 - 712 + 8 I - 2
. 2
f o g = (312 + 4 l - 2) o (I - 21 + 1)
2 . 2 )
= (312) o (12 - 21+1) + 41 o (l - 21+1) - 2 o (I - 21+1
2 2 2 = 3 (l _ 21 ¿- l) + 4 (I - 21 + 1) - 2
= 314 - 613 + 1912 - 141 + 5.
Además, si se definen las funciones I+ y 1 como
l+ (X) = X 'v' X ~ 0
1 (x) = X ' 'v' X ~ 0
entonces se puede probar que
l/n n l I 1 o 1 =
n 1/n PAR
1 0 l = 1 + , para n . · a)
b) l · U(-1 ) = 11 + -
e)
l/n n t/n
l oI=l=Iol
para n IMPAR.
PRUEBA DE (a} : V X E. IR :
Il/.n o In (x) V 1X1 (PARA n PAR) = X = 1
n = 1 X In para n PAR. pues X ,
-144 - .
Análisis Matemático 1
Cap.2
8.22 PROBLEMA.· Indicando las funciones elementales que intervienen, expresar las
siguientes funciones como composición de otras
a) f (x) = ~ [ x + 2] - x
9. FUNCIONES INVERSAS
Las funciones INVERSAS constituyen un grupo particular de Rela-
ciones Inversas que ya fueron estudiadas, pero antes presentaremos tres tipos
de funciones muy importantes: las funciones Suryectivas, las _funciones Inyec-
tivas o Uniµalentes y las funciones Biyectivas.
9.1 FUNCIONES SURYECTIVAS
Una función 1 f : . A ~ B l se dice que es una
SURYECTIVA o función SOBRE, si el Conjunto Imagen de A, vía f, CUBRE a
todo el conjunto de llegada B • Es decir, si
o equivalentemente, si
1 f (A) = B
Rang (f) = B l . -
El conjunto de llegada B
debe coincidir con el Ran·
go de f.
9.2 EJEMPLOS ••
_1) La función 2 f: (-oo, oo) ~[O, oo) , f(x) = x ,
a
SURYECTIVA (o SOBRE), pues Dom f = ( - oo, oo) = A
Rang (f) ~ [o, oo) = B , es decir: f (A) = B .
ES
y
Funciones -145 -
2) La función f : [ - t • 00 ) --+ [ - 2 ' 00 }
SURYECTIVA, pues:
. 2
f (x) = x , NO ES
3)
-1:5x<oo => x 2 ;:::: O
:::;> f (x) = x 2 e [o ' 00)
=> Rang ( f) = [ O , oo )
y donde el conjunto de llegada B = [ - 2 ' oo ) NO COINCIDE con el
Rang (f) = [O, oo} ; y
es decir,
Rang (f) ;e B
-1 o
De la definición se concluye que toda función de la forma
f: A --+ Rang (f)
X
siempre es SURYECTIVA' pues el conjunto de llegada ~s B = Rang (f) .
PROBLEMA.· Pruebe que la función f: [ - 1 , 1 ) --+ ( - 00 • 0 1 9.3
X+ 1
tal que f (x) = --
1
•
X-
es suryectiva.
SOLUCIÓN.- Dom f = [ - 1 • 1) = A • 8 = ( - 00 ' Ó] '
y =
- f( ) = ~ {::} Xy - y= X+ 1 {::} y ·- X X - 1 /'
y+I
x=--'
y -1
X = JL±....!._ E
. y - I_
- + 1 [-1, 1) <:> - -1 <_Y __ <
- y - 1
f(x) E ((-oo, Ol u (t, oo)) n (-oo, l} ( ~ oo , O J (VERIFICAR)
=> Rang ( f) = ( - oo ' O ] = B • f es suryectiva.
f rva o no ·basta hallar Como vemos, para comprobar si una función es suryec ' '
el Rang (f) y ver si coincide o no con el conjunto de llegad.a B .
-146 - Análisis Matemático 1 Cap. 2
9.4 FUNCIONES INYECTIVAS
Una función f es INYECTIVA si a cada valor en su ran·
go le corresponde un único valor en el dominio.
Es decir, si es que exis-
tieran dos valores en el
dominio cuya imagen es
la misma , vía f , enton-
ces f no es inyectiva.
FUNCIÓN NO INYECTIVA
f INYECTIVA
9.5 DEFINICIÓN FORMAL .- Una función f es INYECTIVA, si t d para o o x
1
, x
2
E Dom f , se cumple que:
xi =xi =? f(xl) = f(xD
o equivalentemente, si para x
1
, x
2
E Dom f
que es la forma más útil cuando se lrata de cálculos y demostraciones.
9.6 NOTA.· A estás funciones también .se les llama UNIVALENTES o UNO A UNO.
9.7 EJEMPLOS.· y
a) La función
4 •.
f = { (1'1), (2. 3). 3 f •
(3. 2)' ( 4 • 4) } 2 •
es inyectiva: •
o 2 4 X
Funciones -147 -
La función f = { (1'3), (2' 1), (3' 2), ( 4' 1) } no es Inyectiva pues
(2, J) E f =? f (2) = l y
(4,1) E f =? f (4) = 3 • f
pero debería ocurrir que:
2 •
f(2) = f(4)
para que f sea inyectiva. • -- •
o 2 3 4 X
9.8 CONCLUSIÓN. Una función es INYECTIVA si es que NO CONTIENE DOS PARES
ORDENADOS DIFERENTES CON LA MISMA 2da.COMPONENTE.
y
f
f NO INYECTIVA
9.9 OBSERVACIONES.
X
y
f(x
1
) ::e f(x
2
)
f INYECTIVA
X
1. Geométricamente, se reconoce.a ~na FUNCIÓN l~YEC.TIVA cuando TODA RECTA
HORIZONTAL CORTA A SU GRAFICA A LO MAS EN UN PUNTO.
2. Analíticamente, se prueba que una función es INYECTIVA partiendo de la hipótesis:
I . f ex,) = . f (Xz) 1 para xi ' Xz E Dom f
y mediante operaciones adecuadas se debe llegar a la igualdad siguiente:
·I x, = X2 1
EJEMPLO.· La función f (x) = 3x + 4 , x E R. , ES INYECTIVA pues
-148 -
Análisis Matemático 1
3.
Cap. 2 .
1 f (x 1) = f (x2) 1 => 3x 1 + 4 = 3x2 + 4
=> Jxl = 3x2
=> 1 x, =X2 I
P.ara robar que. una fum:!ón NO ES INYECTIVA basta con presentar un contra-
e¡~mp o,. es decir, basta indicar dos puntos en el dominio que tengan la
misma imagen (la misma segun~a compon~nte) ufa lafu~ción f .
EJEMPLO: f (x) = x 2 , x E .IR , NO ES INYECTIVA pues existen
(-2, 4) E f /\ (2, 4) E f => f(-2) = 4 '
-2 o
y /\ f (2) = 4 .
2 X
Es decir; tanto x
1
= _ 2
como x 2 = 2
tienen la misma imagen: 4 , para esta
función f.
9.10 PROBLEMA.· Demuestre que la función f dada, es inyectiva: ·
f (x) = 5 - ~ 5 - x 2 + 2x. -1 < x < o .
SOLUCIÓN.· f ( ) l · 2
. X = 5 - '/ 6 - (X - 1)
1 f (x 1) = f (x2 ) 1 =>
=>
V x, . X2 E Dom f :
5 - ~r6---(-x_l ___ I )-2- = 5 :- J 6 - (X 2 - 1 /
2 2
6 - (x 1 - 1) . = 6 - (x2 - 1)
- 2 .. 2
(x2 - 1) = (x 1 - 1)
lx2 -il = IX- 1-11
=> 1 - x 2 = 1-x ... (•) 1.
=> 1 x, = x2 1
pues - 1 < x 1 < o /\ 1 < < 0 - x2 => x 1 ~ 1 < O , x2 - 1 < _o.
Cap. 2 Funciones -149 -
Así hemos verificado que s.e cumple la implicación:
f(x 1) = f(x 2 ) => x 1 x 2 para x1 , x 2 E Dom f ,
y que por lo tanto f es inyectiua.
9.11 EJERCICIO.· Demuestre que la función f del problema previo sigue siendo in-
yectiva si su dominio es [ - 1 , o ) .
9.12 PROBLEMA.· Demuestre que la función:
· es inyectiua.
f(x) = ~
x-1
SOLUCIÓN.- f (x) = 1 + [ 2/ (x_ - 1) J • Partimos de la premisa
.._l_f_Cx_1_> __ f_C_x_2 ....J) 1 => 1+[2/(x1 -1)] = 1+[2/(x2 -i)]
=> X¡ - 1 = x2 - 1
=> 1 X¡ = X2 I·
9.13 PROBLEMA.· Demuestre que la función f (x) = x 2 - 1 ,
es inyectiva (univalente).
SOLUCIÓN.· Sea X¡ S 0 1 x 2 S 0 (•)
2 2 2 2
1 f (x t) f (x2) 1 => X¡ - 1 = x 2 -1 => Xl = x2
=> 1X¡1 = 1 x2 I
X :;2': 1
de
=> -X¡ -x2 pues X¡ :~o 1 X2 5 o
=> 1 X¡ X2 y
Esto significa que la función dada
I
3 I
ES INYECTIVA. I I
I
' o I
-2
~
/} 2 . X
-1
.9.14 PROBLEMA.· ¿En qué dominios máximos es inyectiva la función con regla de co-
rrespondencia f (x) = x 2 - 6x + 10 ?
-150 -
Análisis Matemático 1 Cap. 2
SOLUCIÓN.- · Como la gráfica de f es una parábola hacia arriba, entonces
inyectiva, a menos que se elija una · f no es
cualquiera de sus ramas laterales. Y
Además, expresando
2
f (x) = (x - 3) + 1 tiene
vértice (3 , 1) . Luego, f será in-
yectiva en cualquiera de los casos
de.máximo dominio
a) Dom f = [ 3 , oo )
o b) Dom f = ( - oo, 3] .
2 3 X
9.15 NOTA.· Cuando se trata de probar que una función f es inyectiva EN EL CA-
SO en que f está constituida por la unión de varias funciones como
x E Dom f 1 = A1
X E Dom f2 .= A2
X E Dom Í3 = AJ
donde, por supuesto, A 1 , A 2 y A3 son disjuntos dos a dos, se
proc_ede de la siguiente manera:
y
Re n Re = 0
1 2
Re n Rr 0
1 3 N
----.
.
1 ----
X
Rf n Re = 0
2 3
Para que f sea inyectiva
no basta que
Re n Rf n Rr = 0
1 . 2 3
1
2
Se prueba que cada función f k es inyectiva en su respectivo dominio
Dom fk = Ak.
2
2
Luego, como en el caso de la figura , SE DEBE VERIFICAR QUE LOS TRES
RANGOS DEBEN SER DISJUNTOS DOS A DOS.
Cap. 2 Funciones - 151 -
Este criterio se generaliza al caso de dos, tres o más funciones f k.
9.16 TEOREMA.- Si f y g son inyectivas y si existe f o g ' demuestre
que f 0 g también es inyectiva.
SOLUCIÓN.- Que f y g sean inyectivas im-plica que:
g(xl) = g(x2) :::;.. xi x2 (•) , y
f(w 1) = f(w2 ) :::;.. w, w2 ( .. ) haciendo w · = g (x) :
f (g (x 1)) = f(g(x2)) :::;.. g(xl) = g(x2) de ( .. )
:::;.. xi = X2 de (•) .
Así,
lo cual significa que f o g es inyectiva.
9.17 PROBLEMA.· Demuestre que la función f es inyectiva
f (x) ~ {
2
-X
SOLUCIÓN.- Denotando
a)
b)
.2
=-X
(y como x,
f (x) = 11.[; 2 .
, x E (-oo,O]:
$o' x2 $ o )
1 X e(o,oo):
X :=; 0
X > 0.
:::;.. -x2 = -xi
:::;.. X2 =X¡ 1 en
1
(-oo,O]
f 2 Cx 1) = r2<x2>I :::;.. 11¡;;- = 11.p; :::;.. Fi=F
:::;.. 1 X2=XI1 en (o, oo}.
Además, podemos verificar fácilmente que
Rang (f 1 ) = ( ...._ oo, O ] /\ Rang (f 2) = (O, oo )
-152 - Análisis Matemático 1 Cap. 2
=> Rang (f 1 ) n Rang (f 2 ) = ( - ex>, o J n ( o, ex>) 0 VACÍO ·
f ES INYECTIVA en todo su dominio.
9.18 PROBLEMA.- Si A y B son INTERVALOS y f: A --+. B de!inida por
f (x) .= 1/ (1 - x 2 ) es una función inyectiva y suryectiva.
. Halle A y B máximos para que ell~ ocurra.
SOLUCIÓN.- Dom f e lR - { - 1 , t } • Verificamos la INYECTIVIDAD como sigue:
f (X¡) f (x 2 ) => 2 ' = l/(l-x1 ) = l/(t-x;)
=> 2 2 x, = x2 => ex,- x2)(xl + x2) = o
=> x, = X2 V x, = -x2.
De ~~uf ve~os que, si consideramos intervalos con valores de un sólo. signo, la función
sera inyectiva para:
i) ( - CX> • - 1 ) u ( - 1 • o ]
o ii) [O, 1) u (1, ex>).
La gráfica de f (x) = 1/ (1 _ x 2 )
es en todo caso:
1
y= --2-
1 - X
-)1
~~=:~~~~-'-J-~-0-;--~--,.....:......-'-~~~-'-~X
Asl, vemos que existen varias \ i e
soluciones válidas posibles : · '
a) f : ( - ex> , - 1 ) --7 ( - ex> , o ) ·
b) f: ( - 1' o] --+ [ 1' CX>)
c) f: [ o, t ) --+ [ 1 , ex>)
d) f: ( 1, ex>) --+ (-~ex>, o) , según la figura de arriba.
Verifique para cada una que el Rang (f) = B es el que está indicado.
Cap. 2
9.19
9.20
Funciones -153 -
FUNCIONES BIYECTIVAS
Se llaman así a todas aquellas funciones 1 f: A --+ B 1 que son a la
vez INYECTIVAS y SURYECTIVAS.
FUNCIONES INVERSAS 1
Dada una función f uniualente, sabemos que el conjunto
{ ( f (x), x) ¡ x e Dom f } constituye otra •función•, que es precisamen-
te la Relación Inversa de f = { ( x, f (x)) / x E Dom f } y es denotada:
f-l { (f (x), x) / x e
En la sección correspondiente a las RELACIONES INVERSAS (Cap.1) vimos
que la gráfica de una Relación Inversa se halla reflejando la gráfica de la Re-
lación original con respecto a la recta de ecuación y = x , que actúa co-
mo un espejo, de modo que:
• Para que f -
1
resulte ser una función, su gráfica debe satisfacer
la condición de que TODA RECTA VERTICAL puede cortarla a lo más
en un punto ; esto equivale a que TODA RECTA HORIZONTAL corte
a la gráfica de la función f a lo más en un punto ( por la simetría
con respecto a la recta y = x ) .
Esto significa que la función f debe ser . INYECTIVA necesariamente. '
. .
Como consecuencia de ello resulta que la función inversa f -
1
también es
INYECTIVA y por lo tanto posee una función inversa que coincide c.on la
función original f :
-1 -1
(f ) = { (X' f (x)) / X E Dom f } = f '
· es decir,
-1 -1
(f . ) . = f
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/
' '
1
!,
11
:¡
1
11
-154 - Funciones Cap. 2
Además, de la definición de" f - 1
se deduce que:
Dom f - 1 = Rang f
Rang f -:- 1 = Dom f
Así, una funcióo
f:A--tB
tiene función inversa
-1
f :B--i:A
si y sólo si f es inyectiva y sur-
yectiva (es decir, f és biyectiva).
y
X
Y=X , , ,
, "' , "'
.. '' ,,'
,,' ,' f
,.,'. /, . ,, .. /
.t ,,. I ·.
,, .. , I
- - - ;'- - ._ (x, f(x))
.. ' , ..
,,' 1 / 1
.. . ' I '
f(x) X
I
I
I
I
I
1
I
1
9.Zl · PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES INVERSAS
f = { (x, y) / y = f (x) , x E Dom f}
f
-1 =>
= { (y, x) / y = f (x) , x E Dom f }
Es decir:
y = f (x)
-1
X = Í (y)
X
Y = f (x) si y sólo si x = f - I (y) V X E Dom f
de lo cual obtenemos la PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES INVERSAS:
a) f - 1 [ f (x)] = X V x E Dom f .
b) f[f- 1(y)] = y 'V Y E Dom f- I Rang (f) .
En efecto, tenemos del último recuadro y del anterior que:
f - 1 (f (x)) = f - I (y) = X 1 V X E Dom f
f (f- 1 (y)) = f (x) = y , ' V y E Dom f - l Rang f .
Y equivalentemente,
f- 1 o f =. Id A (Identidad sobre A = Dom f )
fo f- 1 = I dB (Identidad sobre B = Rang (f) ) .
Análisis Matemático 1 - 155 -Cap. 2
9.22 EJERCICIO.- Demuestre que:
a) Dom (f o. f - 1 ) = Dom f -
1 Rang f
b) Dom ( f - 1 o f) = D~m f
De todos estos resultados vemos que si f: A ----+ Rang (f) es univalente
entonces la función f - 1 : Rang (f) ----+ A es una nueva función que regresa
todas las imágenes de f a sus puntos de partida.
A B
f
X
__.. y
• • ..-
-1
f
y = f (X) {::}X = f - I (y)
9.23 PROBLEMA.- Dada la función f = { (2. 6). (4. 7)' (1, 8). (3. 9)}
11
• • -1 _, _,
ha e, s1 existen, f , f o f y . f o f .
SOLUCIÓN.-
i) f-I = { (6, 2), (7' 4), (8, 1), (9, 3)}
1·1') (f f -
1 ) f -l f { 6 } B Dom · o = Dom = Rang = , 7 , 8 , 9 =
f o f - I = { (6' f (f - 1 (6)))' (7' f(f - I (7))), (8' f (f - I (8))),
(9' f (f -
1
(9))) }
r o f - 1 = { (6, 6), c1, 1), es, 8), (9, 9) }
IDENTIDAD SOBRE B
--------------
donde B = Dom f - 1 = { 6 , 7 , 8 , 9 } .
iii) f-I o f = { (2, 2), (4, 4), (1, 1), (3, 3)} = IdDomf ·
1 1
-156 - Funciones Cap. 2
9.24 TEOREMA 1 .- Si f es una función uniualente f: A --t B ,
A = Dom f , B = Rang f , y si existe g : B --t A
una función tal que
i) g ·~ f = l dDom f /\ ii) f o g - I dRang f '
entonces: 1 g = f - 1. j ·. ·
Es decir, f -
1
es la ÚNICA · función que satisface las igualdades:
i) f - I .
o f = 1 d Dom f /\ ii) f o f - 1 = Id . Rang f ·
PRUEBA.- Veremos que g es univalerite;, sean w
1
, w
2
e Dom g = B = Rang f,
w1 , w2 E Rang f = { f (x) / x E A = Dom f } , entonces.
existen únicos x1 , x2 E Dom f = A tales que
WI = f(x1) /\ w2 = f(x2 )
d~ modo que:
(a)
g Cw1) = g (w2 ) * g (f (x1)) = g (f (x2 )) de (a)
* [ g ·o fHx
1
) ,;,, [ g_ o f ](x
2
)
* IdA(xl) = IdA(Xz) de (i)
Xl
V -1 eamos ahora que: g (w) = f (w) , para todo w E Rang f = B ,
en efecto,
*
*
. Es decir,
[fo g](w) = IdB(w) = w
f - 1 ( [ f o g ](w)) = f- 1 (w)
-1 .
[(f of)og]{w))=f- 1(w) ·*
-1
g = f
*
... de (ii)
IdA(g(w)) = f- 1(w)
g (w) = f - l (w)
9.25 NOTA.- La relación: j y "" f (x) {:::>- x = f - 1 (y) precisamente
indica el procedimiento a seguir para hallar la regla de corres-
pondencia de la función inuersa f - 1 (y) :
Cap . . 2 Análisis Matemático 1 - 157 -
• Se parte de la regla y = f (x) , y luego se despeja x en términos de y '.
9.26 EJEMPLO.· La función f (x) = .¡-¡-+l , x E [ -1, oo)
es inyectiva (verificar), de modo que existe su función inversa f - 1 •
De y:= ¡-¡-+l despejamos x : 2 X= y - 1
-1
y como x = f · (y) , entonces
-1
Dom f = Rang f = { f (x) /
X E ( - 11 oo ) = Dom f {:::>-
{:::>- y = rx+T ~ o
-1 2
f (y) = y - 1
X E [ - 1 , oo ) = Dom f } ;
-l~x {:::>- x+l~O
(a)
{:::>- f (x) E [O, oo) Rang f =[O, oo} • • • CP>
De (a) y CP> :
-1 2
f (y) = y - 1 , y E [O, oo) ,
o en forma equivalente ( regresando al símbolo x) :
9.27 OBSERVACIÓN.-
-1 2
f (X) = X - 1 , ·X E ( 0, oo) .
Para determinar si una función tiene inuersa, solamente
·hay que verificar que sea INYECTIVA en su dominio.
9.28 NOTA.- Cuando una función INYECTIVA f es la unión de f 1 y f 2 :
{
f
1
(x), x E A
1
= Domf
1
y = f (x) =
f 2 (x) , x E A 2 = Dom f 2 ,
entonces su INVERSA . f -
1
se determina encontrando la inversa de cada fun-
ción f
1
y f
2
en sus dominios respectivos A
1
y A 2 :
= { f 1~ 1 (y) , y E Domf~ 1 = Rangf1
-1 -1 f 2 (y) , y E Dom f2 = Rang f 2 .
-1
X = f (y)
Además, observamos que -1 Dom ( f ) = Rang f 1 u Rang f 2 •
Esta regla se extiende a cualquierfunción que sea unión de tres o más funcio·
11es f 1 , f 2 , f 3 , .. • , f n .
-158 - Funciones Cap. 2
9.29 PROBLEMA.- Halle la función inversa f - 1 , si existe, de la función
{
2
-x
f(x) = _ 1_
. ../x
X E (-cxi, O)
X E (O, cxi) .
SOLUCIÓN.- En la sección de Funciones Inyectivas demostramos que esta función
era inyectiva. Por lo tanto existe su función INVERSA f - 1 , de la cual
hallaremos primero su dominio:
i)
ii)
V 'x E (-cxi, O): y= f 1(x) = - x 2 E (-cxi, O] (•)
=> x = ± FY , y elegimos (-) pues x E ( - cxi, o) :
-1 ~ -1 (•) => x = f 1 (y)= -..¡-y para todo y E Domf
1 ----------------
V X E (O, oo) : ../x E (O, oo) {::} l/rx E (O, cxi) ,
luego, y = f 2 (x) = l/../x E (O, cxi) = Rang f 2 =
-1
= Dom f
2
Despejando, ../x = l/y => X = l/y 2
=> -1 ' 2 -1 x=f2 (y)=l/y, VyeDomf2 =Rangf2 =(0,cxi). -------------
De (i) y (ii) :
o bien, regresando al 'símbolo' x :
f (x) = -1 ' {
-FY ' y E (-cxi, O)
2
l/y , y E (o, cxi)
2
l/x
X E (-cxi, O)
xe(O,oo).
9.30 PROBLEMA.- a) Pruebe que
,.,
xe[-4 , 4] ,
es inyectiva.
Cap. 2 Análisis Matl•málico 1 - 159 -
y b) Si f(x) = x-4 , x E {-cxi,4]
g (x) = {· 4 + ~ x 2+ 9 , X .2:: -4
8 • X< -4
halle. f + g y (f + g) - 1 , si existen.
SOLUCIÓN.·
a) Sea f ex,) = ( (x2) => .x, + J X~ + 9 = x2 + J xi + 9
(x2 - r 1 )(x2 + x 1)
i) Si en (•) x1 "'° x2 entonces:
- (x2 + x 1) = ~ x~ + 9 ... (**)
=> ~ (x~ + 9)(xi + 9) = x 1 x 2 - 9 _
? ., .,
=> 9(Xj' + x;:) + 18 x1x 2 = 0 => (X¡+ X2 )- o
=> x1 +x2 =o, locualesabsurdopuesen.(**) el 2do. miem·
·bro es siempre > o .
Por lo tanto, de (•) : x
1 f ES INYECTIVA.
ii) RANGO DE f: De y = X + ~ x 2 + 9_ > 0 , V i E lll .•. (a)
.,
X= y- -
9 E [ - 4, 4]
2y
si y sólo si
(y + 9) (y - 1) ~ o . " (y - 9) (y + 1) $ o
y y
{::} y E [-9,-l]U[l,9)
Rang ( f) = ( [ - 9 , - 1 ] u [ 1 • 9 ] ) n ( O • oo ) = [ 1 , 9 ] ... de (a)
b) {
.,
x- - 9
· -1 2x
(f + g) (x) = -
x.- 4
XE[l,9}
X< 0 (verificar)
-160 - Funciones Cap. 2
9.31 PROBLEMA.· Dada la función f cuya regla de correspondencia es:
f (x) = { 4 - J x 2.;nx + 27
2 ·,
· X + 6X + 6 .
X $ -Jl
X > 0
-1
Demuestre que f es univalente (inyectiva) y halle la función Jnversa f .
SOLUCIÓN.-
a) i) f 1 (x) = 4 - J (x + ~/...:. 9 , y sean x 1 , x 2 e ( - ex>, - 11] :
f 1(x 1) = f 1(x2 ) => 4-~(x 1 +.6) 2 -9 = 4-~(x2 +6)2 -9 ___ ....;.~------
=> (xi+ 6)2 = (x2 + 6)2
=> lx 1+6I = lx2 +6I
( y como X 1 , X 2 E ( - CX> , - 11 1 => X 1 + 6 • X 2 + 6 E ( - CX> , - s 1 )
.=> -(x¡+6)=-<x2+6) =>lx1=x2I
f 1 e~ INYECTIVA.
CÁLCULO DEL RANGO DE f I :
V X E Dom f 1 . . X $ - 11 => X + 6 $ . - s < o =>
2
(x + 6) ;::::: 25
-1
Dom f 1 = Rang f 1 - ( - ex> , O ] :
CÁLCULO DE 1f~ 1 (y)1: Despejamos x en x + 6 = ± J (y - 4) 2 + 9
en donde elegimos el signo ( - ) pues x + 6 debe ser < o • Así ,
, Vye(-ex>,O].
ii) En forma análoga se prueba que la función
Caj>. 2 Análisis Matemático 1 - 161 ~
2 2
f 2 (x) = x + 6x + 6 = (x + 3) - 3
es INYECTIVA sobre Dom f2 = (O, ex>), que Rang f2 = ( 6, ex>} Y
·1 f2-l(y) = x = -3 + .¡y-+T .1 .. V y E (6, ex>}.
Además, como Jtang (f 1) n Rang (f2 ) = 0 .=> f es INYECTIVA.
b) De (i) y (ii) :
(
f-1 (x) = .{-6 -J (x - 4) 2 + 9 , x E (-ex>,O)
-3 + ..¡;+3 ' xe(6,ex>).
9.32 PROBLEMA.· Halle una función lineal f tal que f = f - 1 .
SOLUCIÓN.- y = f (x) = ax + b , a ""' O , x E ( - ex>, ex>)
=> x = f - I (y) = (y - b) /a E ( - ex>, ex>)
=> .y E (-ex>, ex>)
y regresando al símbolo x :
-1 X - b
f {x) = --- , V X E ( - ex>, ex>) .
á
Y como debe ser f = f - 1
ciones polinomios:
entonces f (x) . = f - I (x) , y por. ser ambas fun-
ax+ b
X b =---
a a
2
(ah + b) => a = 1 /\ = o
DOS ~RUPOS DE SOLUCIONES:
i) a = 1 => b = o
ii) · a = -1 => b e R. (cualquiera)
9.33 PROBLEMA.- Dada la función
f (x)
=>
l
b
b
a =- /\ = --
a a
=> a= ±1 A b(a + 1) = o
=> f (x) = x , x E R. .
=> .. f (x) = - x + b , x E R. •
X E (-ex>,-3]
xe(-3,0)
X E (1, ex>)
a) Determine si f es inyectiva. SUG.- Complete cuadrados . .
b) Si f no es inyectiva , restringir adecuadamente su. dominio para que la nueva
función tenga función inv.ersa y que su rango sea igual al de la función f original.
-162 - Funciones
SOLUCIÓN.- Hallando los rangos de cada función parcial obtenemos el
Rang f = ( - oo , 1 ] u ( O , 3 } u ( O , oo } = R
Cap. 2
y vemos que no son disjunto~, y por lo tanto f no es inyectiva; tal 11s el
caso de f(S) = f{-1) = 2.
Mantenemos el Dom f 1 = ( - oo , - 3 ] , cuyo rango es ( - oo , 1 ] , y varia-
mos los otros dominios parciales de manera que la unión triple de sus rangos correspon.
dientes siga siendo Rang f = ( - oo , oo } , pero disjuntos dos a dos :
, '
-O- · para que Rang { f 2 ) = ( l , 3 } : x + 3 E ( l , 3 ) si y sólo si
x E ( -2, O) = Dom (f2 ) (NUEVO)
·> para que Rang(f3 ) = [i, oo}
x-1~9 =>
.¡-;=:I E [ 3 ; oo ) implica que
x E [ 10, oo}= Dom {f3 ) (NUEVO)
{ 1 - (x + 3)
2
X 5 -J
. => f(x) = x+3
' -2 <X< o
.¡-;=:t X~ 10
resulta ser inyectiva , y por lo tanto existe la función inversa f - I
{
-3-~ 1
-1
f (x) = :- 3 ,
X + 1
X 5)
1 < X <°3
X ~ 3 (VERIFICAR)
9.34 PROBLEMA.: Halle f o g - 1 , si existe, para las funciones
f = { (x, x 2 ) / .¡-; (x - 1) ~ O } .
g = { (X, ~) / - 1 < X ~ 3 } •
. -1
SOLUCIÓN.- Como g resulta ser inyectiva (¿ ?), hallaremos la función g .
Siendo g(x) = ~ para -1 < x 5 3 {::> -3 5 -x <
Además,
Y como
g (x) = ~ E [O; 2) => -1 Rang (g) = [O, .2) = Dom g
1 . 2 • . . .
g- (x) = 3 - ' x , x E [O, 2} (VERIFICAR)
rx (x - 1) ~ O , es decir x E { O} U [ 1 , oo } = Dom f,
Cap. 2 Análisis Mate1T1ático 1 - 163 -
-1 -1 -1 => Dom { f o g · ) = { x / x E Dom g A g (x) E Dom f }
= { X / X E (O, 2) A 3 - x 2 E {O} U ( I , oo ) }
= [Ó;2}n({±,/3} u c-.f2,../2]) =
=[O, ../2] U {:/J}
1 -1 -1 2 2 2
( f o g- )(x) = f (g · (x)) = [ g {x)) = (3 - x )
9.35 EJERCICIO.- Dada la función
b tales que i)
x E [O, ../2) U{,/)}·
r (x) = ax + 1 , halle los valores de a Y
lx - b
-1 -1
Dom f = R - { 3 } A ii) f = f .
-1
SOLUCIÓN.- Para que f = f debe tenerse que
-1 . b
Dom f = Dom f = R - { 3} RPTA: a = 6 , = 6.
9.36 PROBLEMA.-
SOLUCIÓN.-
Se~ f(x) = [x] + ~ x - [x] ·, X E ( - 1 , 2 ) .
-1
a) Bosqueje la gráfica de f y de la función inversa f
-1
b) Halle f ; analíticamente.
a) La gráfica de f ya fue hallada antes; con ella se puede trazar la de la función in-
- 1
versa f por reflexión respecto a la recta y = x .
. -1 2
b) f (x) = n + (x - n) ,
para X E [ n , n + 1 ) n [ - 1 , 2 ]
y
,: y= X ,,, .
con .n = - 1 , o , 1 , 2 .
X
9.37 PROBLEMA.-
2 -1
Dada la función y = r(x) = X - 1x + 4 ' halle f
sabiendo que Rang f = [ 3 , oo }· y· que (O , 4) E f. lndi·
que ~demás el ·aominio de f .
!
'
1
'i
-164 - Funciones Cap. 2
SOLUCIÓN.- De los datos: a) O e Dom f '' f (O) ::;: 4
b) Dom f - l = Rang f = [ 3, oo) ,
faltando solamente indicar la regla de correspondencia de la función inversa f - 1 :
..
. 2 2
y = x - 2x + 4 = (x - 1) + 3 => x - l = ± ~ (a)
y como (O, 4) debe satisfacer (a) entonces
o - l = ± ~ = ± .fT => -1 = ± 1 , y elegimos (-) en (a)
x-1=-~ => x ·= f- 1(y) = 1~~-
1 f-
1
(y) = 1 -~ 1. y E [ 3, oo) = Dom f - 1_ .
Además, Dom f = Rang f - I = (- oo, 1 J (¿Por qué?).
9.38 EJERCICIO.· Si existe , determine la función inversa de la función definida por
, encontrando previamente su dominio
r (x) = y su rango.
.
2
~
2
y - l
APTA: f - 1 (y) y e [ o , 1 ) u ( J , oo ) , pues
Dom f = ( .:.... oo , O ] u ( 1 , oo ) •
9.39 MÉTODO PARA ANÁLISIS DE INYECTIVIDAD, CÁLCULO DEL RANGO
Y DE LA INVERSA DE FUNCIONES DE LOS TIPOS SIGUIENTES:
. I) f (x) = ax2 + bx + e a ""' O
dx +e
II) f(x) = -----
ax2 + bx +e
, a ;e O
2
III) f (X) __ px + qx + r 0 0 , a ;e , P ""' .
ax
2
+ bx +e
Si la función f es univalente (ir¡yecÚva) y continua tenemos los siguientes resultados
válidos referidos a los domin.ios y a los rangos corresponclientes de estcis tipos de fun-
ciones:
Cap. 2 .
DOM f
INTERVALO ( r •. s)
[ r, s)
( r, s]
[ r, s]
Análisis Matemático 1
RANG f ·
( f (r), f (s)} ó (f (s), f{r)}
DEPENDIENDO DE CUÁL EXTREMO ES MAYOR
[f(r), f(s)} ó (f(s), f{r)]
(f(r), f(s)] ó [f(s), f(r)}
[f(r), f(s)] ó [f(s), f(r)] · '
- 165 -
9.40 1) FUNCIONES DEL TIPO: 1 f (x) = ax2 + bx +e 1 · con a = o .
(COMPLETAR CUADRADOS). Esto será de mucha utilidad, tanto para la univa~ .
-1 .
lencia de f . como para hallar la función inversa x = f (y) • Veamos:
EJEMPLO 1.· Análisis de f (x) = x 2 - 8x + 4 , x E ( 4, 8] :
2 .
a) COMPLETANDO CUADRADOS: f (x) = (x - 4) - 12 ; veamos la UNIVALENCIA ,
2 2
Sea f(x1) = f(x 2 ) => (x1 - 4) ·= (x 2 :- 4)
---------- => fx
1
-4f = lx
2
-41
pero como · x1 , xi ·e ( 4, 8] entonces ~1 - 4 >° o , x2 - 4 > o
=> Xl - 4 :::;: x 2 - 4 => 1 XI = X2
b) CÁLCULO DEL RANGO DE f: f ( 4) = -.12 1 f (8) = 4 1 de donde
Rang f = (f(4), f(8)] = (-12,4] (verifíquelo)
c) CÁLCULO DE LA FUNCIÓN INVERSA 1 x = f - 1 (y) 1:
y = (X - 4) 2 - 12 => X - 4 = ±~Y+ 12
y como X E ( 4 • 8 ] : X - 4 E ( o • 4 1 => X - 4 > o
entonces elegimos el signo ( +) , y por lo tanto obtenemos
f -
1
(y) = x = 4 + ~y + 12 , V y E ( - ·12, 4] = Rang f . •
. NOTA.· · Para la elección del signo basta tomar un par ordenado (x, y) E f
y reemplazar estas coordenadas en (.) : por ejemplo, debido a que
f (7) = - 3 , es decir (7, - 3) E f , al sustituir estas coordenadas
en (•) resulta 7 :- 4 ± ~ -3º + 12 = ± [9 = ± 3 .
,¡
-166 - Funcfones Cap.2
Por lo tanto, debemos elegir el signo ( +) en ( •) .
EJEMPLO 2.· Análisis de f (x) = - 2x 2 + 4x + 6 , x e { - oo, t J :
Completando cuadrados: r (x) = - 2(x - 1)2 + 8 •
a) UNIVALENCIA: Sea f (x1) = f (x2 ) , x 1 , x 2 E ( - oo, 1]
2 • 2 * (x1 - 1) = (x2 - 1) = O * · 1 x 1 - t I = 1 x 2 - 1 I . 1 * · ·· 1.-. X¡ . ::: 1 -'-Xi ·
. (Pues x 1-1, x2 -I e {-oo,O] ) ·.=> . j .x 2 =x1 1
b) Como f (1) = 8 , • f (- oo) = - ~ • (predomina el signo del coeficiente de
2
x ), entonces Rang f = { - .oo, 8] .
c) INVERSA: y = ..- 2 (x - 1)2 + 8 * . x - 1 = ± ~ 8 - y. ;
. . 2
y para la elección del signo tomamos por ejemplo (O, 6) e f y sus·
tituimos estos valores obteniendo
o - l = ± .J (8 - 6)/2 = ± 1 ~ 1 SIGl\IO (-)!
-1 . rs=y
f (y) = X = 1 - ~ ~-2-. , ye{-oo,8].
9.41 11) FUNCIONES DEL TIPO: dx +e f (x) =
ax 2 + bx +e
a "" O •
Para probar la UNIVALENCIA de esta y muchas otras funciones utilizaremos el si·
guiente resultado sobre los NÚMEROS REALES :
xy+a(x+y) = (x+a)(y+a)...:a2 · 1 'v' a E R (a)
EJEMPLO 1.· Demuestre que se cumple la implicación siguiente:
lx,ye[-10,1}1 * lxy+4(x+y) e {-46,20)1.
SOLUCIÓN.- xy+4(x+y) = (x+4)(y+4) - 16 .. . de (a),
. . -
6
:$ X+
4
< S 1 ~ - 30 < (X+ 4)(y + 4) :5 36 ,
-6:5y+4<51
Cap.2 Análisis Matemático 1 - 167 -
(a) * xy + 4(x + y) = (x + 4)(y + 4) - 16 E {- 46, 20] .
ANÁLISIS DE 1 f ( z) ~
2
2X -
5
1. , x E [ 2 , 4 } :
. X + 2X - 3 _
a) UNIVALENCIA: Sea f (x1) = f (x2 ) par.a x 1 , x 2 E [ 2, 4)
b)
c)
2X¡ - 5 2x2 - 5 = __ ...;;;;.... __
2 2 .
X¡ + 2X¡ - 3 x 2 + 2x2 -' 3
* (x
2
-x
1
)·(x
1
x
2
_ 2_,(x
1
+x
2
)::.. 2)= 0
2 .
... (p)
pero, de (a): x 1 x2 - 2,(x1 + x 2 ) - (x - 2,)(x -2-) - E. . 2 1 2 2 2 4 ·
- 1/2 :$ . X¡ - (5/2) < 3/2 } . *
-1/2 :5 xi - (S/2) < 3/2
3 . 5 5 . 9
-- ::; (x - -)(x - -) < -
4 1 2 2 2 4
* (x1 - ~ )(x2 - ~ ) - 2} E { - 7, - 4]
~ de (a) se deduce que el 22 factor de (p) É { - 9, - 6] · lo que
indica que nunca se hace cero, y así, de (p) .
x2 - Xl =. 0 ~ XI = x2 _.
f es inyectiva (o univalente) sobre [ 2, 4} .
RANG (f): f(2) = -l/5 ' f(4) = l/7 *
Rang f =.[f(2), f(4)} = (-1/5, 1/7].
-1 2x - 5
FUNCIÓN INVERSA x = f (y) : De y = f (x) = -
2
----.
X + 2X - . 3
?
(6) . ~ yx- + 2x (y - l) + (5 - 3y) = O
* '
(1 - y) ± ~(y - 1) 2 - y (5 - 3y)
(•) .l'. = ...
y
6 xy = (1 - y) ± ~(y ;_ 1) 2 - y (5 - 3y) ... ( .. )
Ahora tomemos el par (x, y) = (2, ~ 1/5) e f y reemplacemos sus coordenadas
en la fórmula (• •); entonces se llega a la relac;:ión
2 = (6 ± 8)/(-1) * EN (•) SEDEBEELÉGIRELSIGNO (-) .
-168 - Funciones Cap.2
Así • de ( •) , ob,tenemos la regla de correspondencia de la función inversa de f :
{
1 - y - J (y-1)2 - y(5 -3y) ( 1 1
x=f-l(y)= Y , ye - 5 .7 ] ... {0}
5/2 y = o
OBSERVACIÓN.- Para este análisis se ha requerido que el dominio de f sea UN
INTERVALO, y solamente se debe tener el cuidado del final que
se presenta cuando y = o e Rang (f) y (•) se haría
CERO en el denominador : se busca el x para el cual
y = O ; en este caso. x = 5/2 , en (5). (verifíquelo)
9.42 111) FUNCIONES DEL TIPO : f (x) = ax
2 + bx +e
Ax
2 + Bx + C
Se divide para obtener la forma:
f(x) = a dx +e -+--2---- 1 y ya estamos en el caso II .
A Ax + Bx + C
4x
2 + 3x - 1 EJEMPLO 1 .• Analizar f (x) = __ ;,...._;,__~ 2 .
2x - 4x + 5
X E (3,ó] ..
SOLUCIÓN.- Y = f (X) = 2 + 11 (
2X - l ) .
2x - 4x + 5
a) UNIVALENCIA: Como en (II).
b) RANG (f): f(3) = 4 , f(6) = 161/53 ~ 3.1
=> Rang (f) . = [ 161/53, 4} .
c) Y = L(x) => 2 (y -:- 2) x 2 - (4y + 3) x + (5y - 1) = o
usamos (4. , 25/7) e f para el signo al despejar x = f - I (y) y así
f-l(y) = 4y+3+J(4y+3)
2
-8(y-2)(5y+I)
4 (y - 1)
-l
para Y E [ 161/53, 4 ~ = Dom f = Rang f , y no tenemos porqué
considerar y = 2 para (•) pues 2 !l Dom f ~ 1 = Rang e .
Cap. 2 Análisis Matemático i - 169 -
9.43 MÉTODO PARA HALLAR INVERSAS DE FUNCIONES DE LAS FORMAS:
I)
II)
1 y = f(x) = ax+ b + J ex+ d 1. a y e del mismo signo.
1 y = f (x) = ax+ b - J ex+ d 1. a y e de signos opuestos.
Se puede demostrar que los casos -l y U originan funciones inyec-
tivas en sus respectivos dominios.
Para hallar f - 1 en cada caso, consideremos los dos ejemplos sig'uiéntes.
l.· ANÁLISIS PARA 1 y = f (x) '= 2x + ¡;-;-i'" 1 , x e [ 3, 99} :
- . . . . -1 .
=>
=>
Identificando, a = 2 , e = l .. Para hallar el Dom f = Rang f
f (3) = B /\ f (99) = 208 => Ran~ f = [ B, 208} .
Esto se puede hacer pues el dominio es un INTERVALO. Despejando
-1
X = f (y) :
2 2 2
(y - 2x) =X+ 1 => 4x - x(4y + 1) +y - 1 = o
X =
~ . 2 2 [4y+l ±(4y+l) -16(y -1) ]/B
X = ( 4y + 1 ± J By + 17 )/ B
(•)
Para la elección del signo adecuado en (•) , tomemos (8, 19) e f y susli·
luyamos sus coordenadas en el primer miembro de · la forma siguiente de
(•) :
8x-4y-1 = ±J8y+l7 =>
64 - 76 - 1 . - - 13 = ± . . . => i SIGNO . (-) l
f- I (y) = X = (4y + 1 - J By + 17 ) / 8 , - y E [ B, 2-0B} .
II) INVERSA PARA 1 y = f (x) = 4x + 1 - J 3 - 2x 1. x E ( - 83, - 11] :
Despejamos x = (4y - 5 ± J 9 - sy . )/ 16
Para la elección del signo adecuado, consideremos (- 11, - 48) e f y susti·
luyamos sus c_oordenadas en 16x - 4y + 5 = ± J 9 - 8y · :
(ya vimos que ES SUFICIENTE CONSIDERAR .EL .SIGNO DEL PRIMER
MIEMBRO) -
¡: :.' 1
IJ
1
1
· I
' ¡
•' i
-170- Funciones . Cap. 2
16(-11) - 4(-48) + s = + 21 =?- íSIGNO (+) 1
y para el rango de f : f(-83) = -344 _, f(-11) = -4&
=? Dom f -
1
= Rang f = { - 344 , - 48 ]
f-
1
(y) = (4y-S+ .i9-8y )/16 -344 <y$ -4&
f-·
1
(x) = (4x - s + J9 - sx )/16 - 344 < X $ - 48 .
9.44 NOTA.· Para el caso de funciones f(x) = ax+b
ex+ d
es mucho más útil.
dividir y obtener la forma: f(x) a k -+---
e ex+ d
9.45 INVERSA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA
Si f y g son ambas funciones inyectivas, entonces la función
f o g también es inyectiva, y satisfacen la relación:
1 (f ) -1 . . g-1 o f - i 1. o g . = -
. ' -1 -1 En efecto, s·ean x E Dom ( f o g) , . z E Dom (g o f ) :
( g - I 'o f - I) o (f o g)(x) = g - I o (f - 1 o f) o g (x)
-.1 . = g .. 0 (IdDomf 0 g)(x)
-1 = g (g (x)) V x E Dom (f o g)
V x E Dom ( f o g)
-1 -1 . -1 -1
(f o g) o ( g o f )(z) = f o (g o g ) o f (z)
,_ -1
= f (IdRang g o f (z))
-1 = f (f (z)) , -1. -1 V z E Dom (g o f )
= z -1 -1· ::. V z E Dom (g 'o f ., )
·_: 1 -1 -
(g . of )o(fog) IdA A = Dom (fo g)
-1 -1 uº g) º c8 º r > = 1 d 8 · B = R:ing (f o g)
Cap. 2 . Análisis Matemático 1 - 171 -
-1 -1 . -1
y, debido al TEOREMA 1 anterior [9.24] : g o f = (f o g) .
Otra propiedad es : l
~-----'--l---,_-1------=-1------=-11
. (f o g o h) - = h o g o f
-1
puesto que (f o g o h)
-1
((fog}oh)
9.46 NOTA.·
-1 -1 -1 -1 -1
=h o[fog) =h og of
Una o ambas de las funciones f y · g pueden no ser inyectivas y sin
embargo puede existir la función inversa ·
(fo g)
-1
Lo que ocurre en este caso es que ya no se aplica la relación
-1 -1 -1
(f o g) g o f
debido a que ésta no tiene .sentido cuando, en la función compuesta
-1
del miembro derecho, al menos una de las funciones inversas f
g -
1
, no existe. (Ver el PROBL. [9.53] )
-1
9.47 PROBLEMA.· Sabiendo que f = h o g , donde
f (x)
{
2-x,...
2
__ J3$x$2
l-~/-4 x$-4
g (x) = J 1 / - 4 I 4, x E (-oo,-4) U (0,2)
a) Pruebe que f y g son inyf!ctivas. b) Encuentre la función h •
SOLUCIÓN.- a) Ejercicio para el lector.
-1
b) De la hipótesis f = h o g :
-1 -1 -1
f o g . = (h o g) o g
-1 -1
Y como (h ) = h , entonces
-1
f o g
-1 -1 -1 -1 -1 -1
h = (f o g ) = (g )- o f g o f =?
-1 = h o I -1 = h
f -1 h = g o
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-172 - Análisis Matemático 1 Cap. 2
-1
Evaluando f :
-1
f (x)
.J 2 ~X X E [-2, -1)
- J (x - 1) 2 + 4 X E (-oo, 1.:_2/J)
_,
Sólo tenemos que componer g o f . = h ; así ,
-1 {¡;-+2°-4 h(x) = g(f (x)) = .
. . lx-11-4=
1 X E L-2, -1]
-x - 3, X E (-oo, 1-2/J)
. (Verifique estos resultados para h , hallando . Dom (g o f -. 1 ) )
9.48 TEOREMA 11.- Dadas las funciones f y g , se cumple que
a)
b)
_,
Si h =fo g entonces f(x) = [h .o g . ](x) ,
pero SOLAMENTE para los x E Dom f n Rang g , que, en general, es
una parte de Dom f .
. -1
Si h = f o g entonces . g (x) [ f o h ](x) ,
pero SOLAMENTE para los x e Dom (f o g) , que, en general, es una
parte qe Dom g .
9.49 NOTA.- Este TEOREMA 11 nos indica que, al despejar una función f en una
composición, en general lo que se obtiene no es toda la función f si-
no solamente una parte, es decir, una RESTRICCIÓN de f . Para
reconstruir toda la función f se necesitarían más datos.
9.50 EJEMPLO.· Sean f (x) = x + 2
g (X) = X - 1
x E [·O, 8)
xe[-5,S];
si h = f o g entonces h (x) = x + 1 , x e [ 1, 5] = Dom h .
Si quisiéramos des~ejar f de esta ecuación veamos lo que ocurriría:
h = fo g -1 -1 => h o g · = f o g o g = f -1 => f = h o ·g .
' -1
cuyo dominio es Dom h o g y probaremos que coincide con Dom f n .Rang g
mas no con Dom f :
-1 .
g (x) e= X+ 1 1 X E [ - 6, 4) =>
-1
Dom ( h o g ) = { X E [ - 6, 4] / X + 1 E [ 1, s] }, = [o, 4]
Cap. 2 Funciones - 173 -
Además, Dom f = [ O , 8 ] A . Rang g [ - 6 , 4 ] implica que
Dom f n Rang g = [ O , 4 ] •
-1
Así, f (x) = h (g-1 (x)) = h (x + 1) = x + 2 , x E [O, 4] = Dom h 0 g
=> f (x) = x + 2 , V X E [O, 4] ,
y vemos· que lo que hemos obtenido es solamente una RESTRICCIÓN de f al interv~lo
[ o , 4 ) , pues la función f original era:
r (x) = X + 2 1 V X E [o. 8)..
9.51 PROBLEMA.· Dada la función:
(x + 2)(x1 + 6x - 16)(x - 6) f(x) = ~~~..;._ ___ ..;....;.. __
(x - 2) (x2 - 4x - 12)
a) Demuestre que f es inyectiva (univalente), y esbozar su gráfica.
b) Halle la función inversa f - 1 , y esbozar su gráfica.
(x + 2)(x + 8)(x - 2)(~ - 6) SOLUCIÓN.- f (x) = . ..:-_..:...;;... ______ _
(x - 2)(x - 6)(x + 2)
=> f (x) = x + 8 , para todo x E R. :._ { - 2, 2, 6 }
=> f es inyectiva, por ser una función lineal.
Además, si x ,.. - 2 entonces
x ,.. 2 entonces
X :;é 6 entonces
por ser la gráfica de f una
recta inclinada.
Luego,
y = f (X) = X+ 8
o
=> X= f-l(y)
X= y - 8
r- 1Cyl =y-:-- s
_,
f (X) = X - 8 1
x E Jl - { 6 , ·10, 14 } .
f (x) ,.. 6 ·
f (x) ,.. 10
f(x),.. 14
-f74 - Ariálisis .Matemático 1 Cap. 2
1
9.52 PROBLEMA.- Sea f (x) = 3x + ~ x 2 + 7
a) Demuestre que f es inyectiva.
b) Halle Ja función inversa f - 1 •
.r ~ ~ .
. '
SOLUCIÓN.- . Sean X 1 • X 2 E Dom f ·= ( .J2; 3 ] . Partiéndo de:
a) f(x 1) = f(x2 ) , x 1 , x 2 e (../2, 3) :
. b)
J X~ + 7 + J X~ + 7 .
ª1) S·1 x 2 - .x 1 = O => lx1=·x2I·
a2) Si x2 - x 1 ,,. o =>
3(Jx~ +7 +~xi +7) -<x.1+x2)
lo cual' es absurdo. pues .
x 1 ,x2 e(-./2,3] => x 1+ .r 2 >2.fi>O
y el primer miembro de ( •) resultaría negativo .
o
Sólo procede la conclusión x2 - x1 = o , es decir x1 = x2
Así f resulta ser inyectiva .
Siendo el •posible valor' de f ( ../2) = 3 + 3 ..f2 y f (3) = 13 ,
entonces R.ang f = { 3 + 3 .J2 , 13 ) = Dom f - 1 .
Además, y = 3x + ~ x 2 + 7 =>
=>
2 ?
(y - 3x) = x- + 7
2 2
8x - 6xy + (y - 7) = o
3y ± ~ y2 + 56
X = (• •)
8
=> 8x - 3y = ± ~ y 2 + S6 (a)
Para la elección del signo en ( • •) , sustituyamos las c.oordenadas de algún punto
de f, digamos de (3, 13) E f , en la relación (a) , y veremos que debemos ..
elegir el SIGNO (-) , y pe>r lo tanto:
- 1 1 · / ?
f (y) = X = S ( 3y - 'V y-+ 56 ) , 'V y E ( 3 + 3 .J2, 13]
Funciones - 175 --1 1 I 2 ) ( r: ] f (x)=-(3x-<jx +56 , Vxe 3. +3v2,13.
8 .
9.53 PROBLEMA.- Dadas las funciones f (x) ~ x 2 - 2x + 2 , x E [ - 3, 3]
g (X) = X + 1 1 0 < X < 5 1
halle la función (f o g) - 1 , si existe.
SOLUCIÓN.- Se puede verificar que f (x) = (x - 1)2 + 1 no es inyectiva en su
dominio [ - 3 , 3 ] , pues f (o) = 2 = . f ( 2) , y por lo tanto no se
puede aplicar la fórmula: -1 -1 -1 1 1 (f o g) . = g o f , a cua
es válida sólo si ambas funciones f y g tienen funciones inversas.
Entonces, debemos hallar la función h = f o g y determinar si es o no Inyectiva:
Dom (f o g) = (o, 2] (verificar)
(f o g)(x) = f ( g (x)) = x 2 + 1 .• V x E (O, 2 .] .
De aquí podemos .ver que esta función f o g sí es inyectiva sobre {o, 2] y por lo
tanto existe su función inversa: (f o g)- 1 (y) "==· ¡y - 1 · , y E ( t, s J .
-1
9.54 PROBLEMA.- Si existe, halle la función inversa f , donde
{
x
2
- 8x + 7 ,
f(x) = .
· ¡ 7.,... 2x ,
X E (4, 7) U (-3, -1}
xe[-1,3).
SOLUCIÓN.- Como se puede expresar en forma equivalente: .
?
{
f 1 (X) = (X - 4)- - 9 , 4 < X $ 1
f (x) = f 2 (x) = (x - 4)
2
- .9 , - 3 5 x < -1
f3 (x) = J 7 - 2x - 1 5 x < 3 •
Se puede verificar fácilmente que cada una de las funciones f 1 , r2 y
r
3
son inyectivas en sus respectivos .dominios, y que sus rangos:
Rang f 1 = (-9, O] , Rang f 2 = (16, 40], Rang f3 = (1, 3)
resultan ser disjuntos dos a dos.
Por lo tanto, f resulta ser inyectiva, y en consecuencia tiene inversa:
'I
>:!
-176 - Análisis Matemático 1 · Cap.2
4+~x+9 X E (-9, O]
= ¡ -1 4-/x+9 ( 16' 40] f (x) X E
1 ( ' 2 xe(t,3]. - 7 - X )
2
9.55 PROBLEMA.· Halle la función. f (x) = g (x)· h (x), do.nde g (x) = Sen x,
SOLUCIÓN.·
u (x + n)
u (x - 11)
luego,
x e R,
u (x) = {
h (X) = U (X + 11) ~ U (X ·- 11) , X E R
1
0 . 1 Si X < 0
1 .sj , X~ 0:
y determine si f es una fu~ción par o impar.
{ o 1 para x+11<0 # X < -11
para x+11~0 # x~:;...11
{ o 1 para X - 1t <o # X < 11
para X~ 11 ~ o # X ~ 11
X< -11
h (x) = _u (x + 11) - u (x - 11) --{~º·
f(x) = g(x)·h(x)
y
{
Senx ,
o
f
:re
-1"
X< -11 V X~ 11
X Por lo tanto, la función
f. resulta IMPAR .
9.56 PROBLEMA.· Halle f o g si existe, donde f y g son :
f(x)
.· ·g(x) =
Funciones
8
x-2
{
(x ,- 3)
· X+ 3
2
X E [0,4)-{2}
'..l;, $ X < 5,
-6 $X< 1
- 177 -
SOLUCIÓN.·
{
fl(x) ~ 8/(x..:.. 2) 1
= f
2
(x) = 8/ (x - 2) ,
xe[0,2}
f (x)
xe(2,4]
Se prueba que f es inyectiva verificando que lo son tanto f 1 como f 2 , siendo los
rangos Rang f 1 = ( - oo, - 4] y Rang r2 = [ 4, oo} disjuntos; por lo tanto
f es inyectiva sobre todo su dominio, y su inversa es
f - l (x) = 2 + ..!. , x e ( - oo, - 4] u [ 4, oo}
X
Dom (f- l o g) = { x E Dom g / . g (x) e· Dom f- I } ·
a) Si x e Dom g 1 = [ 1 , s } :
b)
' -1 2
g 1 (x) e Dom f · # (x - 3) e [ 4, oo)
# (x - 3)2 ~ 4
# X - 3 ~ 2 V: X - 3 $ -2
# x~S V x$1
# xe(-oo,l]U[S,oo)
., }
Dom (f- -o g 1) = (Dom g 1) n (( - oo, 1] u [ 5, oo ) = { 1}
Si x e Dom g 2 = [ - 6 , t ) :
g 2 (x) .E Dom f- l # X+ 3 $ ~ 4 V X+ 3 ~ 4
:# .x E ( - oo , - 7 ] u [ 1 , oo )
Dom (f- 1o g 2 ) =(Dom g 2 ) n ( (-oo, -7) U (1, oo.))
= [-6, 1) n ( (-oo, -7~ u[!, oo}) = 0
De (a) y (b) : J?om (f- t o g) = •Dóm (f - l o g
1
) u Dom (f - l o g
2
)
{l}U0 {I},
-178 - Análisis Matemático 1 Cap.2
-1 -1 .
f og = {(1,f (g(I)))} = {(.1,f-1(4)) _} = {(I )} , 4 .
10. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y SUS INVERSAS
De nuestro conocimiento previo de las funciones Sen (x) y Cos (x)
tenemos que: Dom (SEN) = Dom (COS) = ll , y que
1) Scnx = O {::> X= 011 V n E i .,
2) Cosx = o ~ " X=-+n11
2
V n E Z
3) D Cos(n 11) = (-1) , V n E Z.
De aquí hallamos los dominios de las otras funciones trigonométricas:
Tanx = ~
Cosx
Cotx = ~
Senx
Secx = ~
Cosx
.Cscx ·= ~
Senx
. " Vx;ie-+n:1t
2
V.t;ie.!!..+n11
2
n E Z
n € Z
n E Z
n e z .
10.1 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
1) Sen
2
x + Cos 2 x = J
' 2) 1 + Tan
2 x = Sec 2 x
3) 1 + Cot 2 x = Csc 2 x .
4) Sen (a± b) = Sen a Cos b ± Sen b Cosa
S) . Cos(a ± b) =Cosa Cosb :¡: S~na Cosb
6) Scn(2a) = 2Sena Cosb; Cos(2a) = Cos 2 (a)- Sen 2·(a)
Cos(a) - Cos(b) = -2Scn(~)Scn(~)
2 2
. 7)
8) Cos(a) + Cos(b) = 2Cos(~)Cos( a-:- b)
2 2
9) Sen (a) + Sen (b) ...... 2~cn( ª + b )Cos(~)
2 2 .
10) Tan (9) sen c2~)
1 + Cos (28)
Funciones
10.2 DEFINICIÓN.-
Se llama CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
\ a un círculo <;ón centro en el origen
(O, O) y de radio l , tal que:
1) La medida dél arco desde (1, O) .
hasta P = (Cos x, Sen x) es x
unidades.
2) Los valores de Sen x y Cos x son
las componentes del punto P , hori-
zontal y vertical respectivamente ,
en los .ejes coordenados.
Es por esto que al EJE X se le llama
EJE DE COSEN.OS 1 y al EJE y se le
denomina EJE DE SENOS.
- 179 -
3) La medida vertical del punto Q al punto R (1, O) es igual a "Tan x" , pues
en el 4 ORQ :
Tanx = cateto opuesto
cateto adyacente
h ., h = Tan x .
4) Si el ángulo x {radianes) es medido en sentido antihorario ( x > o) ó en
sentido horario ( x < o) y si x se ubica en el 22 ó en el 42 cuadrante en-
tonces el valor .de ·•Tan x" es negativo.
5) La medida horizontal del punto N
al punto R (I, O) es "Cot x",
pues en el 4 OCN :
Cateto adyacente Cotx = ~~~_;...~~-
cateto opuesto
Cot x = .Z - = z.
1
Además, en esta figura observa-
mos que: Cosec x = ON .
y
C (O, l)
1
Cot x ---1
N (z, 1)
z X
Utilizando todas estas características podemos graficar las curvas que representan a
cada una de las _funciones trigonométricas: .
-180 - .Análisis Matemático 1
y 1 • 1
1 : Cott1
1
1
1
I·
Cap. 2
X
_,_ - --~ -\ p :.,...rTan 1 \ - -t- - - -:- ·- - - - - _,_ -\.. - -p' : ----¡------
\ 1 1 1 \ 1
\ 1 1 t \ 1
1 1 f .
1 . , 1 \
1 1 1
,, 1 1
,P
, ,rr/2
1
1
1
1
1
1
1
0 X r .._ l
t ' 1
rr+x•'
1 ' ---- ---:- -~-
' t
1
t
t
1
t
t
1
1,
, 1
1 \
1 .\
1
1
1
1
' ' ' ' 1
-2:n -3:n/'1>-, 1 · ,~rr/2 O rr/2', • '3rr/2 irr
-----¡!\~.._, 1 ~~~¡->--~.-----~.¡T\-~:::-1 .. _ ... _'-¡--,---
¡ 1 1 , 1
, ¡ 1 1 1 ,
1 , "' 1 , • '
I' . t 1 1 .
t 1 1 1
, .
X
X
Cap. 2 Funciones - 181 -
1.
~¡ _________ ! ___ ,
, ... .,
, ,. 1 , , '1 , ,
Cosec
1
1 1 ---r---------,
.... , .J.-- Sen i
.....-, 1
-2rr -3rr/2 -7?', d!. / O 1!... rr' •l..1!.. ' 2rr X
----------~n~~ · .2~~:¡----~~----~n~~ . _...:_~ , . 1 1
1 . . 1 •
1 ' , '
1 . ' ' 1 . 1 1
1 1 1
1 . 1 . 1
De acuerdo a estas gráficas, la periodicidad de las funciones trigo-
nométricas impide la existencia de sus funciones inversas en todo su dominio,
pero si restringimos estos dominios de manera que las funciones sean inyec-
tivas entonces podremos construir sus funciones inversas.
Y como evidentemente existirán infinitas ' funciones inversas ~ para
cada una se elegirán las. RAllAS PRINCIPALES (donde el dominio de la
función directa se encuentra más cerca al origen) • y se les asigna
·nombres especiales.
La función f (x) = Sen x j. x E [ ..,.- rr/2, rr/2] es inyectiva, y su inversa
se llama FUNCIÓN SENO INVERSO o ARCO SENO '
denotada j _sen - 1 ( ó 1 Are Sen ( ) 1 .
Esta función se lee: •Arco cuyo Seno es
Además, ·
Dom (Are Sen) = Rang (Sen)
=(-1,1),
Rang (Are Sen) = Dom (Sen)
= [ - :n/2. :n/2]
· Y su regla de correspondencia:
y = ArcSen(x) , lxl:::;;
--1
- rri/ 2 '
( 1
y
rr/2 '!!::_=_~e Sen. x ,· ,.
--- ,s-;-,y =Sen x
~ 1 1
1 1
1 1
' '
J!... X
2
-1
-rr/2
·-182 - Análisis Matemático 1
2.- L..f:.:W===c=º.:::s ::xJ::i -~-x E...I o , 7t J es una funciÓn univalente cuya inversa es lla-
. mada FUNCIÓN COSENO INVERSO o ARCO COSENQ
lcos-
1
() 1 ó IAreCos()I
Dom (Are Cos) = · Rang (Cos) = [ -1, lJ
Rang (Are Cos) = Dom (Cos) [O , 7t]
y = Are Cos x _,
. - Cos (x) .
lxl ~ 1
, , ,
y
/
,' - J
7t
, , ,
/
/
/
, , /
, , ,
1 .JL'..:f 1 X
2 ', 11:= Cos x
- - - - - - - -- - _....._-i
10~3 OBSERVACIÓN. Note que Are Cos X ~ o , V X ensu dominio.
3.- f (x) = Tan x I · x E ( - 7t/2, 7t/2) es una función univalente cuya inver-
sa es llamada TANGENTE INVERSA o ARCO TANGENTE.
Se le denota 1 Tan - 1 ( ) 1 o también 1 Are Tan ( ·) , ,
y se lee 'Arco cuya Tangente es
Dom (Are Tan) = Rang (Tan)
Rang (Are Tan) = Dom (Tan)
(':-oo , oo)
{ - 7t/2, 7t/2)
4.- f (x) = Cot x ., , x E (o, n) es una funéión univalente cuya inversa se
llama COTANGENTE INVERSA o ARCO COTANGENTE.
Se le denota 1 Cot - 1 ( ) 1 o también 1 Are Cot ( ) , ,
. y se lee 'Arco cuya Cotangente es
Dom (Are Cot) Rang (Cot) = (-oo, oo}
Rang (Are Cot) = Dom (Cot) = (O, 1c}
Cap. 2 Funciones - 183 .-
y V
-------- -. -~- 1Jf1:. _ - - - - - - - -
n: -------- ----
y=ArcCot.x _,
= Cot X
X
------------ --------~-- --n:/2 o X
s.- f (x) = Sec x j, x e [ - :it, - n:/2) u [o, x/2) es una función inyectiva
cuya inversa se llama SECANTE INVERSA o ARCO SECANTE:
1 Sec - 1 () 1 , 1 Are Sec ( ) 1
Dom (Are Sec) = Rang (See) = (:.... oo, - 1] U [ 1, oo)
Rang (Are Sec) = i>om (See)' = [ - :it, - x/2) U [O, :it/2)
6.- f (x) = Cosec x I · x e ( - n, - :it/2] u (o, 7t/2] es ioyectiva, cuya
inversa se llama COSECANTE INVERSA o ARCO COSE-
CANTE : 1 Cosee - 1 () I . 1 Ar~ ~osee ( ) 1
Dom (Are Cse) = Rang (Cse) = ( .:_ oo, - 1] U [ t, oo)
Rang (Are Csc) = Dom (Cse) = ( - n:, - n/2] U (O, :it/2]
y
7t/2
-1
1
1
1
o
-'lt/2 ~-¡--
. ~--- -3{
_,
AreSee = Sec
2 X
y= AreSeex, lxl ·~ 1
-1 &4 - ' Análisis Matemático 1 Cap. 2
y
rr./2
-1
o
. ~
·--------------
-1T./2 .
Y = Are Cos_ee x , 1 x l · ~J. · ..
:.ii:-------------
10.4 PROBLEMA.· . Halle a) Are Cos ( ,/2 /2)
· b) Are-·Tan' (2) .
SOLUCIÓN.- a) Sea w ·.; A.re Cos ( fi /2) · entonces w
Cosw = Cos(AreCos (,/2/2))
Cos w = Cos (Cos...., 1 ( .,/2 /2 )) = fi /2 .
De (•): w = n/4 = Arco cuyo COSENO es ~/2
b) . Sea w· = AreTan(2) entonces w e (-:-n/2, n/2) (•)
· Tan w = Tan (Are Tan (2)) = (Tan o Tan - I) (2) = 2
Tan w = 2
De (•) : w = 1.10714 - Arco cuya TANGENTE es 2.
10.5 DEFINICIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMtTRICAS INVERSAS
1) Y = Are s~_n(x) si y sólo si x ~ Sen (y) , V y e [ - :rt/2, n/2 J.
2j y =
i) Sen (Are Sen x) = x , · para x e [ ~ 1, ¡]
ii)
Are Cos (x)
i)
ii)
.Are Sen (Sen y) = y
{::} - x "".' Sen (y)
Cos(Arc Cos x)- = x
Are Cos .ecos y) ~ y
, para y e f -1t/2, :rt/2] .
V Y E [O, :rt] , ·
para :f e [ - 1 , 1 ]
, para y E [ o , rr. ]
Cap.2 Funciones - 185 -
3)
4)
5)
6)
y =
y=
Are Tan (x) {::} x = Tan (y) V y E ( - 1t/2, 1t/ 2) '
i) Tan (Are Tan x) = x para x E (-oo, oo) .
ii) Are Tan (Tan y) = y '
para y E ( -1t/2, 1t/2) .
Are Cot (x) {::} x = Cot (y) V y E (0,1t) '
i) Cot (Are Cot x) = x . para x E (-00,00)
ii) Are Cot (Cot y) = y para y E (O, 1t)
Continuaremos con las otras dos funciones trigonométricas inversas en lo que
a sus propiedades se refiere.
y = .Are Sec x {::} x = Seey y E [ -1T., - 1t/2) U [O, 1t/2)
X E (-00 1 -1) U [I, oo) => i) Sec (Are See x) = x .
ii) Are Sec (See y) = y '
y E [ - 1t, - 1t/2) U- [O; 1t/2)
y = Are Cse x {::} X = Cse y y .·E (-:rt, ,-1f./2] U (O, 1t/2·]
i) Csc (Are Cse x) = X X E .( - oo, - I] U ( 1, oo)
ii) AreCse(Csc y)= y , y E (-1t, -1t/2] u (o, n/2]
10.6 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMtTRICAS INVERSAS
1. Are Cos x = ~ - (Are Sen x) lxl $ 1
2
' 1
X~ 1 2. Are See x = Are Cos (-)
X
3. Are Cse x = Are Sen (J_) X~ 1
X
4. Are Cot x ·= ~ - (Are Tan x) X E lR
2
5) Cos (Are Sert x) = ~ 1- x 2 lxl $ 1
6) Sen (Are Cos x) = ~ 1 - x 2 lxl $ 1
7. Cot (Are Csc x) ~ x 2 -I lxl ~ 1
-186 - Análisis Matemático J
8. Csc (Are Col x)
PRUEBA.·
1. Sea z = Are Cos x , t en onces: Cos z = x = Sen (2!_ _ z)
Are Sen x JI = --z =
2
n . .
- - (Are Cos x) •
2
2
2. Sea z = Are Sec x Sec z = x = l/Cos z. • . x ~ 1
de donde cós z = l/x
3.
4.
. '
Análogo a (2).
z = ArcCos1-
JC
1
- e {o., 1 J.
X .
Sea w = Are Cot x e ( o ) n , n : Cot w = x = Tan (- - w)
2
Are Tan x = ; - w e (- n/2' n/2)
n = -..,.. - Are Cot x . 2 . .
Cap. 2
5. lx 1 :$ 1 => w = Are Sen x E [ - n/2 • n/21 ' y como Cos w ~ o
V w E [ - n/2, n/2):
Cos w = ( +) / I - Sen 2 w I ¡· · [ ·· 2 11 = 11 - Sen (Are Sen x)] .
Cos(Arc Senx) = ~ 1 _ x2
6. Análogo a [5) .
7. 1x1 ~ 1 => w = Are Csc x E {- n' n/2 1 u (O' n/2 1
=> x = Cot w ~ o , entonces
e 2 ., ,-----se w = 1 + Cot- w __.,,_ e t. ( · I · .,
--r 0 w = +) 11 Csc- w - 1
Cot (Are Csc x) = (+) ~ Csc2 (Are Csc x)- 1 == ~ x2 - 1
8. (EJERCICIO).
10.7 PROBLEMA.· Dado y = ~Are Cos .(- 2/ 3) h ll , a e exactamente:
1) Sen y , ii) Tan y ' iii) Cot y ' . ) IV Sec y , v) Csc y .
Cap: 2 Funciones - 187 -
SOLUCIÓN.- Por definición: como - 2/3 e [ - t, o) , entonces
y= ArcCos(-2/3) E [n/2 , n] <=> Cosy = -2/3 <O ,
y por las propiedades y por las definiciones aoteriores obtenemos:
i) Sen y= Sen(ArcCos(-2/3)) = J 1 - (-2/3)2 = .[513 .
ii) Tan y < O pues n/2 $ y $ n ., .,
además, de Sec-y = 1 +Tan- y resulta que:
Tan y = -J Sec2 (y)- 1 = ~J (l/Co/y) - 1
=> Tan y = - J (9 / 4) - 1 = -JS12.
iii) Coty < o pues y e[n/2,n]
=> Cot y
Cosy -2/3 -2
= - = _ _.__ Seny JS/3 IS
iv) Secy = l/Cos y = -3/2
v) Csc y = 1/Sen y 3¡fi.
10.8 PROBLEMA.· Dado y = Are Tan (- 2) , halle exactamente
i) Se11 y , ii) Cos y , iii) Cot y iv) Sec y v) Csc y .
SOLUCIÓN.- Dado Y . = ArcTan(-2) E (-n/2, o) => Tan y= -2
i) Sen y < o pues y e ( - n/2 , O) , además :
1 - Sen2 y
=> Seny =
ii)
Sen y - ·21.fS 1
Cosy = -- = = JS.
Tan y -2
iii) Cot.y = -1/2 . iv) Sec y ¡s .
= 1 + Tan 2 y
.,
· Tan- y
2
1 +Tan y
2
= - JS .
v) Csc y -./512 .
-188 - Análisis Matemático J' . Cap. 2
10.9 PROBLEMA.- Halle el valor exacto de:
a) . Are Tan (Sen (- '1t/2)) , b) Are Sen (Cos (2:7i/3)) .
SOLUCIÓN.-
a) z = Sen (- '1t/2) = -1 => Ate Tan (Sen (- '1t/2)) =
= Are Tan (-1) = .- n/4 .
b) z = Cos (2n/3) = - 1/2 => Are Sen (Cos (2n/3)) =
= Are Sen (-1/2) = - n/6 .
10.10 PROBLEMA.· Evalúe exactamente:
a) Cos (2 Are Sen(:- S/13)) ;
b) Tan (Are See (S/3) '+ Are Csc (- 13/12)) •
SOLUCIÓN.-
a) z = Are Sen (- S/13) =>. Sen z = _ S/13
Cos2z = 1- 2Sen
2
z = 1 - ·(S0/169) = 119/169.
b) u= AreSee(S/3) E (O, n/2) => Seeu = S/3 => Cos u = 3/S
/\ Senu>O-"- Se I 2 --r n u = 'V l - Cos u = 4/S •
V= AreCse(-13/12) e (-n, -'Jt/2] __.,,,, s --r en v = - 12/13
/\ Cos V < o __.,,,, e I . .,
--r osv = - 'V 1 - Sen-v = -'-S/13
Además, Tan (u+ v) = ·· Tan u+ Tan v
1 - Tan u Tan v
(4/3) ~ {12/S) 16 =--
1 + (48/IS) 63
10.11 PROBLEMA.· Demueslre que Are Cos c-3_ . ) + Are Cos ( 2-..)
. . ./TO . ../5
7(
=-
4
SOLUCIÓN.·
u = Are Cos (--3-) E [ o '1t ) 3 1 ./TO , - => Cos u = - => Sen u = -- ( +)
2 ./TO ./TO
V= AreCos(-
2
-) e [o , 2!..) => Cosv = _2 _ __.,,,, 1 -15 . 2 . . ../5 --r Sen v = ../5 (+)
Cap.2 Funciones - 189 -
u + v = Are Cos ( Cos (u + v) ) = Are Cos ( Cos u Cos v - Sen u Sen v )
AreCos(-
6
- - -
1
-) = AreC~s( ~)E [O,~)
..[So ..[So . '"12 . 2
it 1 1 y CO!ílO Cos ( 4) = .J2 => Cos (Are Cos ( .J2 ) ) = C-Qs (u + v)
=>
7(
U+ V= -
4
=>
. 3 2 7(
Are Cos ( l."::' ) + Are Cos ( . r:- ) = - .
..¡ JO ..¡ S · 4
11. SERIE DE PROBLEMAS.
1.- Sean A = {o , 1} , B = {o, 1} . Si F = { f: A --+ B } es el con-
junto de todas las funciones de A en B con Dominio el conjunto A ,
a) ¿Cuántos elementos tiene F y cuáles son?
b) ¿Cuántos elementos son funciones suryectivas?
c) ¿Cuántos son funciones inyectivas?
d) ¿Cuántos son funciones biyectivas?
2. Dada la función f : A --+ R tal que V x e A :
· f (x) = x
3 + 2x2 + x
x-2
, determine su dominio máximo A •
3. Sea A ~ { x / x es una proposición } . Se define la función f : A ~ Ji
tal que
f(x) =
demuestre que
{
· 1 1
o 1
si x es Verdadera
si x es Falsa
a) f(p /\ q) = f(p) f(q)
b) f(-p) = 1 - f(p)
c) f(p ~ q) = 1 - f(p) f(-q).
4. Si f es una aplicación de A en B , ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son
verdaderas? :
i) V a E A , (a, b) E f /\ (a, e) E f => b = e .
ii)"' b E B ; 3 a e A/ (a 1 b) E f
iii) Siempre se cumple que Dom f n Rang (f) ""' 0
iv) Rang (f) = {y E B / 3 x E A, (x, y) E f }
v) V a E A , V b E A , a ""' b => f (a) ""' f (b) .
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-190- Análisis Matemático 1 Cap. 2
5.- Sean A = { 2, 4, 6 , 8, 10} , B = { a, b, e , d , e } ¿Cuáles de los si-
guientes conjuntos definen funciones de A en B ?
C = { (2, a), (4,c), (10, c},(8, e), (6,e}}
D = {(JO, a), (6,b}, (2, a},(6, e), (4,d)}
E= { (6, b), (4,a), (8, d},(10, e)}
F = { (2, b), (4 , e}, (6, a)}
G = {(10, b),(8 , b},(4, b),(2, b),(6,b)}.
6.- Dadas las funciones f (x) = x / (x 2 - 1) , g (x) = . 1/~10 + x , halle
Dom f n Dom g . .
7. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de R x R definen funciones tales que
y = f (x) ? :
a)
b)
2 2
{(x, y)/ x +y = .4 } , c) { (x, y) / x = 1y1 }
{ (x, y) / y = - 3 } , d) { (O, O), (1; 2), (2, 3), (3, 4) } ..
8.- Dadas las funciones f (x) = 2 ;
g (x) = { 2
lx
X < 0
X > 0 1 halle Rang f n Rang g .
9.- Sea f : X----... R , f(x) = (x + 2}/(x + I} ·, x e R máximo
¿Cuáles son verdad.eras? : a) Cx = { 1 }
b) Rf = [ { -1}
. c) X y Rr son disjuntos.
2 -4 10. Sea f: A B f (x) = X halle si ----... 1 A-B
x
2 + Sx + 6
suryectiva y A. máximo posible.
11 . La ecuación ? 2 x-+ y = 16 define una relación T . De:
a) 2
?
= - J 16 - x 2 y = -x-+ 16 d) y
f es
b) y= ± J 16 - x 2 e) y = J 16 ~ x 2 /\ X~ o /\ .X :$: 4
c) y = J Í6 - x 2
halle sus gráficas e indique c¡uáles definen funciones.
· 12. Dadas las funciones f (x) = - x 2 + 3x + 1
halle Rang (f) n Rang (g) .
?
g (x) = 3x- + 2x + 1 ,
Cap. 2 Funciones - 191 -
13. Dar un ejemplo de una fimción f (como conjunto. de pares ordenados) que cum-
pla con los siguientes cuatro requisitos:
a) f tiene 10 elementos, b) f (x) = x 2 , e) Dom f e Z
d) Rang (f) e B = { 2 m /·O :$: m :$: 70 , m E Z }
¿Cuántas de tales funciones existen?
14. ·Si el gráfico de la función f
está representado por la figura .
adjunta, halle su regla de co-
rrespondencia:
y
o 6 X
15. Halle a y b para que A= { (2, S), (-1, -3), (2, 2a - b). (-1, b -
- a), (a + b2 , a) } sea una.función f . Encuentre f. ·
16. Para cada n E Z (n fijo), sea fn : R --+ R tal que fn (x) = x + n.
Dada. la relación s . e R x R definida por:
(x, y) e S <::} 3 una fn: R --+ R / fn (x) = y para algún n E Z
demuestre que s es una relación de equivalencia.
17. Dar un ejemplo de una función f que demuestre que: f (A) n f (B) !'l
f (A n B) , para dos subconjuntos no vacíos A y B del dominio de f.
. Bosqueje la gráfica de su función hallada,
18. Dado un conjunto de 5 elementos A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } , halle }odas. las fun-
ciones f tales que f = A x B , eligiendo B un subconjunto plrticula~ de A
para cada f . Grafíquelas.
SUG.• Si B tuviera 2 ó más elemenfos , A x B no sería función . . ¿POR aué?
19. Determine una función (de las muchas que hay) indicando su regla de correspon-
dencia, que tenga R comt> dominio y tal que f (- 3) = 2 , f (2) = o ,
f(4)=3 .
20. Halle' el dominio, el rango y la gráfica de :
a) f (x) = ~ 4 + 3x - x 2
b)
x 3 - .x 2 -13x-,-3
f(x) = -------
x+3
-192 - Análisis Matemático 1
'·
c) f (x) = { - J 25 - (x + 2)2
X - J
d)
e)
f)
g)
f (x) = 1 J 4 - x 2 1
f (x) = { x2 - 4x
. IS - 2x
, X< S
X ~ S
., .
f(x) = ex-+ 3x - 4)(x2 - .Sx + 6)
(x 2 ...:.. 3x + 2)(.l' - 3)
f (x) = x
4
- Jx
3
- l Ix
2 + 23x + 6
x 2 +X - 6
h) f (x) = 1 + J x (x - J) .
X$ J
X> 3
Cap.2
21. Sea · f la función cuyo dominio es p (R) - { 0 }
cía es
cuya regla de corresponden- .
f (A) = { a e A / ~ a + [ - a] + 1 >O}
i) Halle f(Q),... f(Qc) , Q racionale~.
ii) Si B = { x E R j ¡-;+8. ( X 11 - X 1 ,... 1 X 1 ) $
1 X+ J l -1
o } halle f (B).
22 S f ) lx+tl-3 . ea : [-2, 4 --+ R, f(x) = -----
1+1 X - 3 I
, halle Rf .
23. Dada la función
,xe(2,6)
{
x-6
f (x) = x 5 - 17 x 3 + 16
· 4x3 -16x2 - 4x + 16
X e Df - ( 2, 6) ; ºr C[:.... 4. 6)
determine el mayor dominio de f , su rango y su gráfica.
24. Halle . Rang (f) n Rang (g) si f (x) = 4 + J (x + 6{ - 9 ,
xe(-<Xl,-11], g(x)=(x+3)2 -3, xe(O , <Xl) .
Funciones - 193-
25. Una esfera de radio R lleva inscrito un cilindro. Halle la dependencia funcional
entre el volumen v del cilindro y su altura x .
Indique el dominio de definición. · · ·
26. Una construcción tiene la siguiente forma: . .Un cono circular recto truncado cuyos
radios de .base son 2 R (inferior) y R . (superior) y cuya altura es R , sostiene
un cilindro de radio R y altura 2 R •
Este último sostiene, a su vez, una semiesfera de radio R . Exprese el área s de
la sección transversal de la construcción como función de la distancia entre la sec-
ción y la b.ase inferior del cono. Grafique s (x) .
27. Un alambre metálico de 10 o de resistencia se corta en dos partes las cuales se
conectan en paralelo. Sea ·. R 1 la resistencia de una de las partes. ¿Qué rango de
valores puede tomar R 1 si la rt!sistencia equivalente dé la conexión en paralelo
no ha de exceder de 1.6 o ?
NOTA.- La resistencia R equivalente de una conexión en paralelo está dada por ·
1 1 1
-=-+--.
R R 1 R 2
X
28. Dada la función f (x) = { x+s
o X $ 0
halle el conjunto de valores x tales que x - 2 $ f (x) .
29. Halle el dominio y el rango de la función ·
f (X) = ~ 1X1 2 -11X1 + 21 ·
y el dominio de g(x) = V1:-[x]/Cx[2x-1] - 2x) .
30. Para la función cuadrática f (x) = a (x - h) 2 + p ; a .ae o ¿Cuáles son
verdaderas?
i) ap > O => f (x) = O no tienen soluciones reales.
ii) p = o => f (x) = O tiene dos raíces reales iguales.
iii) ap < O => f(x) =O tiene dos raíces reales diferentes.
31. Sea f: R. -+ R , f (x) = ax 2 + bx + e y tal que su gráfica es la fi-
gura adyacente. Halle el conjunto solución de
2 .
(x - 16) f (x) < O
.:194 - Análisis Matemático 1 · · Cap. 2
V
o x=h
' X
k ---~•<•
32. Sea f (x) = x 2 + bx + e , cuya gráfica intersecta a los ejes en (r, O),
(s, O), (O, K) y K > o ¿Cuáles son verdaderas?
i) (r > o " s > O) V (r < o " s <:: O)
ii) f(~) <o
2 1 iii) e > O •
33. Dadas las funciones f, g y h con dominio . ll , ¿Cuáles son verdaderas? :
i) f (x) = (1/2) x 2 + 3x + 2 · corta al eje X en dos puntos.
ii) g (x) = - (I/3) (x 2 + 3x + a) , a ;e o , no tiene solución en R si
9 < 4a.
iii) h (x) = x 2 + (a + 1) x + a , a ;e 1 corta al eje X en dos puntos dife-
rentes siempre.
34. Sea f (x) = ax2 + bx + e , f (-1) = o
f(-1) + f(l/2) = IS/4 , halle f(2)
35. Halle la gráfica y el rango de
a) . { 2 f (x) = X - 4 , X < 3
2X - J , X ~ 3
b) g (x) =
c) f(x} ~ { 2x + 1 X 1 - 1 , X < - 2 x+I -15x52
x-3 , x>2
f(l)=8 y
{
x
2
x-. 1 "lxl S 9
X 5 -9
36. Halle el rango y la gráfica de las funciones f (x) = 1 x - 1 1 ~ 1 x - 2 I ,
g (x) = 1 x + 2 I - 2 I 3 :.:. x I , para todo x real.
37. Halle el dominio y el rango de:
Cap. 2 F1,mciones - 195 -
a) f(x) = ~lsenxl · b) g(x)= 2+~1x2 -91
38. Halle el dominio, rango y gráfica de ·. r (x) = J [ x ] · •
SUG .- f (x) = _¡-; , n $ x < n + 1 , n entero ~ O.
39. Halle el dominio, rango y gráfica de f (x) = ~ x - [ x]
40. Halle el rango y la gráfica de r (x) = x + [ x] , - t 5 x < 2 .
41. Si f (x) = x/ [ix + ·3] , halle su dominio y su gráfica.
SUG .- f (x) = x/n para (n - 3)/2 5 x < (n - 2)/2 •
42. Hallelagráficayelrangode f(x) =[sen~] , x E [O, 2it].
43. Grafique las siguientes funciones: a) ¡r;f , b) J [ x]
c) l[x]I .• d) . [.[;] , e) [lxl].
44. En las siguientes funciones halle los intervalos, si existen, en los que las funciones
no son negativas ( y ;::-: o ) :
a)
b)
c)
d)
e)
f (x) ;.. x 2 - 4x + 3
4 3 2
f (x) = -. x + 2x - x
f (x) = - (x + l)(x - l)(x2 - 4) .
x-8
f(x) = --
x + 6
2
X - 4
2
f (x) =
X - 2S
x
2 + Sx + 4
f) f (x) = ----
2 - 2x
2
45. Halle el dominio, el rango y la gráfica de :
a)
b)
c)
2 f (x) = Sgn (x ) - Sgn (x)
f (x) = (x - [ x] ) 2
f(x) = 2 + (-1) n donde n = [ x] .
46. Halle la gráfica y el rango de las funciones:a) f (x) = [ Cos x] , O S x S 27t .
-196 - · Análisis Matemático 1 Cap. 2
48.
b) g(x) = [-cos(x-: >] . o$ x < 21l.
SUG .- Grafjque primero y = - Cos (x) y luego y = - Cos ( x - 2!..) .
4
Halle la gráfica y el rango ·de :
a) f(x) = [2x] d) f(x) = [x+f]
b) f(x) = [x/3] e) f(x)=[l-x]
e) f(x) = [ix + 1] f) f (X) = ~ [X] - X . •
47. Halle la gráfica y el rango de f (x) = x / [ x + 1]
49. Halle las gráficas de: a) f (x) = Sen (l/x) , x ~ o
b) f (x) = x Sen (l/x) , x ~ O •
50. Presentar el número N > o como una suma de dos sumandos positivos tales
que: . a) El producto sea el mayor posible.
b) La suma de los cuadrados sea la menor posible.
SUG .- Buscar una completación de cuadrados.
51 . Una ventana de forma rectangular está rematada en la· parte superior por un semi-
círculo. ¿Cuál debe ser la base del rectángulo para que la ventana tenga la mayor
superficie siendo el perímetro igual a 2 m. ?
52. Demuestre que si o < e $ 1 , la función
puede tomar cualquier valor real.
SUG •• Rang (f) = R .
x
2 + 2x +e
y= f(x) = -----
x2 + 4x +Je
53. Demuestre que la función general de .211 grado f (x) = ax2 + bx + e se
. 2
puede expresar como f = a I + b I + e .
SUG .- I es la función Identidad.
54. Debe construirse una lámina triangular isósceles y de 60 cm. de perímetro de tal
manera que al rotar sobre su lado común a los ángulos congruentes determine un
sólido de volumen máximo. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de los lados de la
lámina triangular?
55. Halle el dominio, rango y gráfica de f (x) = 1x1 + [ x]
SUG.- f (x) = - x + n •• x E [ n, n + 1) n E Z
f(x)= x+n xE[n,n+I) n E Z+ u {O} .
Cap. 2 Funciones
56. Halle el dominio, rango y gráfica de la fiinción
X< 0
XE[0,2)
. {
lx + 41
f(x) = . . . 2(x-1)2
· 2-lx-41, xE[2,oo).
57. Halle el dominio, rango y gráfica de la función
f(x)= lx+2l+lx-21-lxl-t
SUG.· x E ( - oo, - 2) U [ - 2 , O) U (O , 2) U [ 2 , oo) .
58. Halle el dominio, rango y gráfica de la función
2
f (x) = [ X - lx - 1 ] X E [ - 1' 3]
2 . .
- 197 -
( 1)2 2 ..
SUG.~ [ x - - t] = n <=> 2(n + 1) $ (x - 1) < 2(n + 2)
. 2
y como (x - 1)2 ~ o el menor n es n = - t . C n = - 1, o, 1 r.
59: Halleelrangodelafunción f(x) = x2 [x/2]- 4x[x/3], O<x:::;6.
60. Dada la gráfica de f y
bosqueje las gráficas de:
a) g (x) = f Clxl> 1
b) h (x) = lrcx>I
-2 - [I o X
1
61 Dadas las funciones f (x) = x (x - t) , g (x) = x ,_ ¿Cuáles son verdade-
• X -1
ras?: a) Ambas funciones son iguales,-
b) Rang (g) - Rang (f) = { - 1} c) Dom g - Dom f ~ 0 .
62. Indique cuáles funciones son pares, impares o de ninguno de estos lipos.
a) f(x) = 3 j) f(x) = lxl
b) f (x) = 4x
e) f (x) = - x
3r- -
k) f (x) = ..¡ X
1) f(x) = lxl + x4
-198 - · Análisis Matemático 1
d) f (x) = X+ 6 m) ., s 6 f (x) = ex- + 2) - X
' 2
e) f (X) = X - 4 n) 2 f (X) = X/ (3 + X )
g) f (x) = 3x2 + 2x - 1 o) f (x) = ~ x3 - 1
h) f(x) = x 3 + 4x p) f ex) = ~ ~2 + 3 /x
4 i) ( (x) = 3x ..... 2x2 + 1 q)
.,
f (x) = Sen ex-+ 1)
63. Dar tres ejemplos de una función que sea a la vez par e impar.
64. Si f (x) = ~X + [ - X] + X. [- x] 1 demuestre que
i) '</ x E Dom f: - x E Dom ( .
ii) f(-x)=fex)
es decir, que f es una función PAR.
65. Sean f (x) = [ x + +] x e ( -1 , 1 ] ,
g (X) = [ 1X1 + + ]_ xef-1,11,
determine su condición de PAR o lllPAR de cada función.
Cap.2
66. Demuestre que f (x) ;;: [ m x] - m [ x] tiene periodo T = 1 , si es que
m es un entero positivo.
67. Sea f (x) = 1 - 2 I x I , x e [ -1/2, 1/2] . Si g (x) tiene como domi-
nio todo R y es una función periódica con período mínimo T = 1 tal que para
todo x tal que - 1/2 < x < 1/2 : g (x) = f (x) . Halle la regla de co-
rrespondencia de g (x) en todo su dominio y bosqueje su gráfica.
68. Demuestre que cualquier función f cuyo dominio es ( - L, L] puede ser ex-
presada como la suma de dos funciones g (x) y h (x) , donde g es PAR y h
IMPAR : f (x) = g (x) + h ex) . .
SUG.- Hacer g(x) = (l/2)[f(x)+f(-x)]
h(x) .= (l/2)[f(x) - f(-x)],
y verifique que g es PAR y que h es IMPAR .
69. Si f (x) = x 2 + x + 1 , h (x) = f (x) + f (-x) ,
g (x) = f ex) - f (-x) ª, ¿Cuál de h y g es par y cuál es impar?
{
O, O<:x<:rt 70. Si g(x) =
1 , X;;:::: :7t
Cap. 2 · Funciones - 199 -
Halle el .dominio, el rango y la gráfica de f (x) = g (x) 1 Sen x 1 ·
71. Dada la función periódica f ex) = 2x '- [ix + 1] + 1 • .
a) Halle Dom f , Rang f y su gráfica. . • .
b) Halle el período mínimo T de f, gráfica y anahhcamente.
72. Demuestre que
. a) Si f y g son funciones PARES ~ntonces f + g y f g son PARES.
b) Si f y g son funciones IMPARES entonces f g es PAR.
73. Halle la gráfica de f (x) = 1 Sen x 1 + 1 Cos x 1 e indique su período mínimo T.
74. Si f (x) = f xi , g'(x) = xSgn (x) ,· Dom f = Dom g = R , demues·
tre que.· f = g .
75. Dadas las funciones
{
x [c2 - x)/2] + 3x - 1 , - 2 < x $ 1
f (X) = X + 8 . 2 < X $ 8
.{ 15 X - t I - 15 + 6 IX + 2j , g (x) =
3x - 4 ;
-J $X$ 0
l . $ X$ 6
halle el dominio y el rango de la función cociente f / g •
76. Analice si la siguiente proposición es verdadera o no lo es: I
f (x) = ¡;-:::T /\ g (x) = ~· => (f g)(x) = "I x 2 - 1
para x ;;:::: 1 y x $ ~ 1 •
· 77. Sean
{
[x - 1] ,
f (x) = . [x] + 1 .
jx-21+3
xe(-4,-1]
xe[o,i]
x E (-1,o)u(2,3]
g(x) = .{ _:
x E (-3,-1)
xe[o,2)
-3 x E [ - L , o) u [ 2 , 3 ) • Grafique .f + g .
78. Dadas las funciones f (x) = IS , x E Dom f = ? (el mayor)•
g(x)=[.[;-1], xE[0,9), halle f+g Y f/g.
-200 -
79. Si
· Análisis Matemático J.
{
fx - 21
g(x) · = . .
xlx- 21 ,
halle · g/f .
xe(-8,3}
xe(3,BJ
Cap. 2
xe[0,6)
xe(6,IO)
80. Halle Dom(g/f) si f(x) = /[ix] + s , g(x) = l .¡-;-+T -1 j.
81 . Dadas las funciones f y g definidas por:
f(xf = { 1 - 2x
[ 4 + .Cosx]
-2:$;x<-I
X 2!: 0
~(x) = ' X< 0
{
x
2
- S
Senx - 5
halle y·grafique fa función
, .xe[O,n),
h=f+g.
82. Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función
f (x) = Sgn (x + 1) - Sgn (x -'- 1) .
83. a) Si f (x) = x 2 + 1 , halle dos funciones g (x) para los cuales se •
cumple que f (g (x)) = 4x2 - 12x + 12 .
b) · Si f (x) = x 2 + 2x + 2 , halle dos funciones g (x) tales que
2 .
(f O g) (.í) = X - 4x + S •
84. Dadas las funciones
f = {(O, 1), (1, 2), (2, 3}, (4, 3}, (S, 2), (6, 1)}
g = {'(6, 7), (S, 4), (4, 3), (2, 4), (1, 4), (O, 7)}
halle ( f o g) y (g o f) .
85. Si f(x) = l/(x - 2) , x;:::: 3 , g(x) = (2x .+ l)/x , x ~ 1/2,
halle la función compuesta g o f .
86. a) Sean g (x) = x 3 ,. (g o f)(x) = .x~ - ·'3x 2 + 3x .- 1 , halle- la regla
de correspondencia f (x) .
) . 2 b Sean g = {(O, O), (1, 2), (4, 1), (9, 3)} y f(x) = (x - 2) "
87.
Funciones
·x E IR .. Halle la función compuesta g ó f ·
Si
X E [ S, 9)'
x E [10, 16}
g (x) = X + S , X E [ 1, 12) , halle f o g •
- 201 -
88. Si f(x)= 1/(2x+7), xe[-3,6]
g (x) = x 2 - 4.x + 8 , x E ( 6, 12] halle fo g .
89. Halle la función compuesta f o g para
{
0
2
, X < 0
f (X) = X
1
X E [ 0, 1)
O x>I
- 90. Halle la función compuesta f o g para
{
2 1 O<x:$;2
f (X) = :
6
: : 3 $ X $ S ,
5 < X :$; 8
{
. 1
g (.x) = 1x ,
{
rx.
g (x) =·
x-2
X < 0
X t [0,'I),
x>I
t :::;; x· :::;; 9
9 < X $ 12
91. Halle Dom (f o g ) _y Dom ( g o f ) para
f(x) = ~ ' O$ x < 6' g(x):::: ~r-. x-2-_-. _4_x_+_8_, o:::;; x < 2
x+2
~ ) l 2 2 1 ,, halle Una función h 2 ) Si f (x) = 2x- - 1- , g (x = ~ x -9 . .. a
tal que '(f o h) (x) = g (x) ·
1/ 3 g (x) tal que .(f o g. )(x) = V x 4 + 1 b) Si f (x) = ~ t - x , halle
c) Si f (x) = x 2 , x < o , halle g <.x> tal que se cumpla que
2. 9 (f o g) (x) = 4x - 12x + .
93. a) (g o f) (x) = x + 2 , f (x) = x3 + 6x2 + 12x + 8 ' halle la regla de
correspondencia de g (x) · ·
l 2 1 ha. lle g (x) para que se cumpla que b) Si (g 0 f)(x) = Sen~ x +
f (x) = 4 x2 + 1 - 1 .
-202· ~ Análisis l\fatcm:íiico 1 Cap. 2
c) Si F (x) = Cot x , g (x) = · Scc x , halle la regla de correspondencia
de h (x) para que F (x) = (h o g)(x) .
d) Si F (x) = (1 - Cos 2x) Set· x , g (x) = Scc x , halle f (x) tal que
F(x) = f(g(x)}.
94. Dadas las funciones f y g ambas con dominio todo R • donde
. .,
f (x - 1) = 3x- + ax + 12 , g (x + 1) = Sx + 7 ,
halle el valor de ! ·para que (f o g)(- 2) ::: - 4 a .
95. Si
96.
f (x) = ·
{
l/(x - 1) ,
lx2 + 11 •
Halle f o g , si existe.
Si
xe(-1,1)
xe(1,2)
f(x)={'·:I
, x e [-s;-11
, X E [I, 2)
halle f o g , si existe.
. { [x]
g(x) = ~ 2
X - 1
{
[x - 1]
g (x) = . . x2
1$x$3
, xe[o,2)
X €(2 , 3)
Cap. 2. Funciones - 203 - .
x-1
b) Grafique f(x) = Sgn(--) .
x+2
101 . Pruebe que f (x) = 1 Sen ; 1 + 1 Cos ; 1 ·es periódica, halle su gráfica Y su
período mínimo. . . .
102. Halle todos los p~linomios f (x) de 1er. grado tales que
(fof)(J..)=(4-x)/x, X;i<:O ~
X
103. Sean f (x) = x + ...!... , F (x) = a 2 x~ ·+ -f-,¡- , halle g (x)' para
X a X
que f (g (x)) = F (x) .
104. Halle f o g si
f (x) { ..!._(X - 2 ) X E (-oo, -6) U (2, oo} · · 4 X+ 1 2
(-1, 2 J Sgn (x ) X E
1 X+ JI - 1 -:-4<x$0
97. Si g (x)
{~ { = (2x ..:. 2)/ (3 - x) $X< 4 /\ X ;<: 3 f(x) = · · . xe[l,6} (1-x)/4, xe(-3,0)
g = { (8, 7), (4, 4), (S, -1), (3, S), (-2, -1), (-3/4, 6)}
Halle f o g y g o f si existen.
98. Si 4 f (x - 3) = x 2 + 4 , halle los valores de u tale.s que el rango de g
sea ( - 3 , J } donde
f(2x-3)-ux d
g (x) = para to o x e .R .
f (2x - J) + X
SUG.- axi + bx + e > o , Y x e R , (a > o) siempre que A < o .
99. Sean f (x) = ~ x 2 - 4 , g (x) = ¡;-+2 , halle el dominio y la regla
de correspondencia de la función h tal que
h (x) = f (x + 2) / [ 2g (x) ..:. f (x)] .
100. a) Determine si la función f (x) = ( x 1x1 + ...!... ) Sen (x2 ) es par o impar.
X
4 Sgn (- x) X= J V lxl > 4.
(1 + x2 )1/2
105. Demuestre que la función y = f (x) = . ' X e [ - 2' -1 J '
·X
posee función inversa y hállela.
106. Pruebe que la función y = f (x) ;:::: 4 ..{; - x ·, x e [o, 1 J , posee
función inversa y hállela.
2 107. Oada la función cuadrática f (x) = 3x + 6 , x ::5 o ,
• ....'.1
a) Encuentre el dominio de f , y el rango de la inversa f .
. .. -1
b) Si g (x) = 3x + 6 • y X e lR ' halle la func1on f o g
108. Dadas las funciones g y h, definidas en todo lR , tales que g(x) ;:::: px +4
h (x) ;:::: sx - 3 , encuentre el valor de la constante "p" de modo que se
. . cumpla que h- 1(g- 1(px));:::: x/S .
109. Determine el rango de la función inversa de la función g (x) ~:: ~ .
-204 - Análisis Matemático 1
Encuentre también el rango de g .
110. Si f: lR---+ Y essuryectivatalque f(x) = Jx,.... 21- x,
halle el conjunto Y.
Cap. 2
111. Sea
{
x
2 + IOx + 21 ,
f(x) = ·
x e l-7,-s)u[-2,-1)
~X+ 1 + 1 , X E ( - 1, 3]
a) Demuestre que f es inyectiva y halle f - 1
b) Halle si existe f - r- 1 •
112. a) Halle dos funciones inyectivas diferentes cuyo producto sea una función inyec-
tiva.
b) Sea f (x) = ~ 4 - x 2 Sgn (--x-) donde
· x 2 - I'
Dom f n { - 2, 2} = 0 . Comprobar gráficamente que f es una función
impar inyectiva.
c) Demuestre que existe la función (1 ¡ f)- 1 y hállela , para la función
{
·x ,
f (x) = . .
J - X ,
-1 <X< 0
0 <X$ 1 .
113, Halle si existe la función inversa de
y :::; f (x) = 5 + ~ x 2 - 1
114. Halle la función inversa, si existe, de
x::;-../10.
{ x+~. · 2, f(x) =
x-~ ,
115. Halle el conjunto B para que
a) f: ( - 1 , O J ~ B ,
· b) f: ( 1 , 2 ] ---+ B ,
SUG.- Bosqueje f (x) .
X> 2
X< ~4.
. 2
f (x) = (x + 1)/ (x - 1) sea suryectiva.
f (x) = (x + 1)/ (x2 - 1) sea suryectiva.
116. Halle f - t para f (x) = x + {x:::¡ , x ~ 17 .
· 117. Demuestre que f (x) = x / (1 + x) , x > - 1 • es inyectiva.
• ? • • 118. a) Demuestre que f (x) = x- - 1 , x ::; o , es inyectiva.
b) ¿En .qué dominio máximo es f (x) = x 2 - 6x + 10 inyectiva?
Cap, 2 Funciones - 205 -
119 H 11 f - 1 para y = f (x} = Sx + I x2 - t . a e 'V X> 1 .
120. Dadalafuntión f(x) =·x/(I + lxl>, -1 < x < 1 , pruebe que es in·
yectiva y encuentre su función inversa.
121. Dada la función f(x) = x/(I - lxl> , -1 < x < 1 , pruebe que es uni-
valenté y encuentre su función inversa.
122. a) De.muestre que
-lal <u< lbl
-lcl <V< ldl
} ~ N < uv < M
donde M = máx { lacl, lbdl} , N = mín { -ladl, -lbcl} ·
b) Demuestre que: x, y E ( - 1 , 1 } => - 2 < x y - 1 < o .
c) Dada la función f(x) = x/(l + x2 ), -1 $ x < 1 , pruebe que es
inyectiva y encuentre su rango y su función inversa.
2x
2
- Jx - 20
123. Dada la función f (x) = ., · x E [ _:_ 1, S] • ·
x- - 4x - 12
a) Pruebe que f es inyectiva. .
b) Halle el rango de. f, y encuentre la función inversa f -: 1
124. Halle,siexiste,lafuncióninversade f(x) = x/(1-lxl>, para lxl >l.
Además, bosqueje las gráficas de f y f - 1
125. ¿Es la función . f: R - { - J } ---+ IR tal que
f (x) = (x 2 - 9)/(x + 3) biyectiva?
126. ¿Es posible hallar a y b para que la función f sea biyectiva:
f : [ 1, 4] ---+ [ - 2, S) , f (x) = 1 /(ax + b) ?
127. Halle a y b para que f: [a, b]---+ [-1, s] talque
f (x) = ~ sea biyectiva?
128. Halle a y b para que la función J :. [ b, - 2] ---+ [a, -1/24] tal que
f (x) = 1 / (6x + 6) sea biyectiva.
129. Dada la función
{
l 2 - xi
f (x) = .,
-x-
halle la función inversa de f, si existe.
-206- Análisis Matemático 1 Cap. 2
130. Demuestre que f es inyectiva, y halle su función inversa.
{
4 - ~ x 2 + 12x + 27
f(x) =
?
x- + 6x + 6
· X$-ll
X> 0 ,
131. Dada la función f(x) = (2x + 3)/(x - 1) , x e (7/2, 9/2),
pruebe que existe f - 1 • Además, halle la función f - f - 1
132. Demuestre que f es inyectiva y halle la función f - J para
133.
134.
f(x) = {
?
-2x-+ 8x - 7
' X< 2
J X: 6 . X~ 2
Si f (x) = 4jx1 - x 2 , -8 <X< J
'
g (x) =
-4 <X< 0, a) Halle g o f ' b) Si existe, halle
Si
{
x
2
- 1 , X< -1
f(x) =
x+I x~-1
halle la función f o g - 1
· { 2x-I
.g (x) =
rx
~.-
-1 (f o g) .
X < 0
X ~ 0
135. Demuestre que f (x) = 4 .¡-; - x , x e [o, 1] posee función inversa,
y encuéntrela.
136. Dada la función
f (x) = {
lx -21-1
?
x-+ 2x - 2 x E [-3, -2)
lx + 31
x E (-1,l)U(l , 2),
demuestre que existe f - 1 y encuéntrela.
137. a) Una función es llamada HOllOGRÁFICA si tiene la forma:
f(x)= ,ax+b ad-be=O
ex+ d
demuestre que su funciól'). inversa también es HOMOGRÁFICA.
b) ¿Cuál debe ser la condición para que una función homográfica sea igual a su
función inversa? ·
Cap. 2_ Funciones ·
.
n1/ n n t• · 138. Oernues_tre que f (x) = "/ a - x , a > O , n E N , rene:
a) Dominio: i) R si es que n es impar.
· ii) [ - a , a ] si es que n es par.
b) Función inversa f - 1 si es que:
i) n es impar y Dom f = R :
ii) n es par y el dominio Dom f se restringe a [ O , a ] .
iii) n es par y el dominio Dom r · se restringe a [ - a, o] .
e) En [b] (ii) : demuestre que f (f (x)) = x ., x E [o, a} , lo que pro·
barra que f = f - 1 sobre [ o, a J, en [b] (ii) .
d) En [b](iii): demuestre que f- 1(x) ~ -f(-x), x E [O,a] ,es
decir que f - 1 = - fo ( - I) sobre [o, a], en [b] (iii) y donde 1
es la FUNCIÓN IDENTIDAD •
139. a) Demuestre que si x, y e ( - 1, 1) entonces - 2 < xy - 1 < o .
140.
141.
b) Dada f(x) = x/(I + x 2 ) para x E [-.t , 1),
i) Pruebe que f es univalente.
ii) Halle el rango de f .
iii) Halle la función inversa f - 1 , si existe.
Dada la función f(x) = Se~ ( ~ [X]. ) + Sen(~x),
2 2
determine su rango y bosqueje su gráfica.
Demuestre que:
a) Sen (Are Cos x) = (+) ~ 1 - x 2 lxl $ .1
b) Cos (Are Sen x) = ~ 1 - x 2 lxl $ 1
e) Tan (Are Cot x) = l/x X ;e 0
d) Cot (Are Tan x) = l/x X :;e 0
e) See (Are Cse x) = x/~x2 -I lxl >
f) Cse (Are See x) = x/~ x 2 - I lxl > 1
g) Tan (Are Cos x) = ~ 1 - x2 /x ' X ;e 0
h) See (Are Tan x) = -~ 1 + x 2 X E lit
X E [-2, 2),
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-208 - Análisis Matemático 1
i) Tan (Are See x) = J x 2 - t
j) Cot (Are Sen x) = J , ·._ x 2 /x
k) Tan (Are Sen .r) = x / J t - x 2
1) Cot (Are Cos x) =
0
X 1J 1 - x 2
m) Cot (Are Csex) = J x 2 - t
n) Cse (Are Cot x) = J 1 + x 2
o) Cos (Are Tan x) = 1¡J1 + x 2
p) Sen (Are Tan x). = x/J 1 + x 2
142. Si a > o , demuestre que:
a = Are Cos ( J ª2 - x 2 )
a
lxl ~ 1
. X -;z:: 0.
lxl < 1 ·
fxf < 1
lxl ~ 1
xeR
xeR
X E .R.
Cap.2
xe[o,a]
{
AreSen:
-Are Sen : xe[-a,O]
SUG.- Sen
2
a = (x/a) 2 siysólosi Sena = lx/al.
143. Halle el intervalo máximo en que varía :X , y en el cual se cumple que:
a) Are Sen (x) + Are Cos (x) = n/2
b) Are Sen ( .¡-;) + Are Cos ( .¡-;) n/2
c) Are Cos J 1 - x 2 = Are Sen x
d) Are Cos J 1 -:- x 2 = -AreSenx
e) AreTanx = Are Col (1/x)
f) Are Tan x = Are Cot (l/x) - n
?
g) 1 - x-Are Cos ( ) = 2 Are Tan x
1 + x 2
1 - X 2 h) Are Cos ( ) = -2 Are Tan x ?
1 + x-
i) Are Tan (x) + Are Tan (1) 1 +X . Are Tan(-. -)
1 - X
Cap. 2 Funciones
· 1 +X
j) AreTan(x) + Are Tan(!) = re+ Are Tan(-.- · ) .
144. Halle el dominio de las siguientes funciones:
a) f(x} = 2AreCosJ 1 - x 2
1-x
b) f(x) = AreSen(~) + Are Sen ( Tx )
1 - X 2
c) f (x} Are Cos (
?
)
1 + x-
d) f(x) Are Tan (x) . - Are Cot (1/ x) .
- 209 -
· 145. Demuestre que .si f es una función impar en [ - a, a], y si tiene función inver-
sa f - 1 entonces f - 1 también es una función impar.
146. Demuestre que la inversa de h (x) = - Sen x , x e [ - n/2, '1t/2 J es la
función g (x) = (Are Cos x) - ('1t/2) , x E ( -1, 1] .
147.
SUG.- Como h (x) es impar entonces g (~} también es impar.
Demuestre que
a) Are Sen (- x) -Are Sen x . lxl :5
b) Are Cos (-x) = '1 - Are Cos x . lxl :5
c) Are Tan ( - x) = - Are Tan x , x E lit
d) Are Cot ( - X) = '1t - Are Cot X X E lit
e) Are See ( - x)
= { Are See x - '1t
AreSee x + '1t
{
AreCsex - '1t
f) . Are Cse ( - x) =
Are Cse x + '1t
' X>
X :5 -1
. X ;::: 1
X :5 -1
148. Grafique la función f (x) = Are Sen (Sen x) y demuestre que es periódica
con período mínimo.
149. Halle las gráficas de las siguientes funciones así como sus períodos mínimos:
a) f (x) Are Cos ( Cos x)
b) f(x) = Are Tan (Tan x)
c) f(x) = x - Are Tan (Tan x)
d) f (x) = x - Are Sen (Sen x)
e) f(x) = Are Cos (Cos x) - Are Sen (Sen x).
-210 - Análisis Matemático 1 Cap. 2
150. Dada la función u (escalón unitario), grafique u (x 2 - x) .
151. Halle el dominio y el rango de la siguiente función expresando además f ( x) sin
las barras ni los corchetes.
xlx - lxll
f (x) = ---;::::=====-----;::::::=====-
( 1 - ~ x - [x] )( 1 + ~ [x] - x )
152. Sean f(x) = {
1
' x E [
2n, 2n+l)
O , X E ( 2n + 1 , 2n + 2) , n E Z
153.
. g(x) = (x ~ [x]) f(x) + (1 - f.(x)] Sen 2 (n:x/2).
Es g una función penódica?
SUG.- Pruebe que
{ X - 2n g(x) = ') Sen- (n:x/2)
Dadas las funciones
f(x) =
g(x) =
{ 2x + 1 si X si o 1 si
~[x] 2-[x]
[x] - 1/2
X E (2n, 2n + 1)
1 X E ( 2n + J , 2n + 2)
X es par
X es impar
X no es entero
halle g o .f .
. 154. Grafique f + g • indicando su rango , si
2 2 Sgn 1 x - 4 I , si
[ex+ 6)/3] , si
X $ 9
x 2 - 12x < -27 1 (x) = {
. 2
X + IOx + 21 Si 1 X - 3 I > 6
g (x) = 3 , x e Bt - [ 9, cxi} .
155. Halle el dominio de la función f (x) = Are Sen~ 9 - x2
156. Sean
n e z
f (x)
.,/X - 2
{
[
Lx - 2 l+4x2 - x - 2]
= x2-I . 2:5x:56
-X
Cap.2 Funciones
2
g (x) = 3x - x , x E Ji - [ - 3, - i) , halle g o f .
157. Halle el rango de la función
{
. (x + 5)/(x - 2)
f (x) = ~ x2 + 4x - ·1
2 + l 2x - S 1
lx-21>3
. ./5- 2 < X < l.
2 $ X < 3
158. Háile el dominio y el rango de fa función
f = { (x, _x_) / ..f7 (x 2 - 4) ;:::: O } .
x-4 ·
159. Halle el rango y la gráfica de la siguiente función
{
~ x 2 - 9 ·
f (x) = 1 . 1 .
X+ 3 - 2
(3x - 16)/(x - 5)
-S<x$-3
O<x'.55
X > 6
160. Dadas las funciones
f(x) =
{
- 4x + [x]
. lx 2 + 11
g(x) = { [-x] - 2x
1 X - 5 I
-3<x<O
1 <X< 6
-4<x$-I
0 < X $ 3
H.alle la función f + g , y esboce su gráfica .
- 211 -
161. Si el área total de un cono circular recto mide 4 :rr unidades cuadradas, halle su
altura como una función del radio. Indique su dominio y esboce su gráfica.
. X - J (
162.Sea f(x)=--+ Domf=(l,2} .
. X - 1 (X - 1)2
Demuestre que f es univalente (inyectiva) y encuentre su función inversa.
163. Sea
4x
2
+ 1
X < 0 2
X
f (x) = 4X - X 2 0 $ X :5 2
2
- 6x + 8 2 < X :5 3 X
(x - 2)/(3 - x) 1 X > 3
-212 - Análisis Matemático 1 C11p. 2
a) Halle el rango de f.
b) Pruebe que f es inyectiva.
164. Dada la función periódica f(x) = 4 Cos 2 x halle el período mínimo de f.
CLAVE DE RESPUESTAS.
1. a) 4: f1 = {(O, O), (1, 1) } , f2 = { (O, O), (1, O) } , f1 = ,
{ (O, 1), (1, 1) } , f 4 = { (O, 1), (1, O) } ; b) 2 , c) 2. , d) 2 .
2. A = ( - oo, o] u ( 2, oo) ; 4. (i) y (iv) ; 5. C, E, F y G.
6. ( -10, oo) - { - 1, 1} ; 7. (b) y (d) ; 8. { 2} ; 9. Ninguna.
10. A - B = { 1 , - 4 } , A = R - { - l , - 2 } B=R-{-4,1} ..
11. Sólo (c}. (d) y (e) ; 12. [2/3, 13/4]
13. Existen 11 de estas funciones, y una de estas es :
f = { (-8, 64), (-6, 36), (-4, 16), (-2, 4), (O, O), (2, 4), (4, 16),
(6. 36), (8. 64), (10 . 100} } .
14. { X
f (x) = 3
6-x
0 $ X < 3/2
3/2 $ X $ 9/2
9/2 < X $ 6.
15. a = 2 , b = -1 , f = { (2, 5), (- 1, - 3), (2, 5) } .
16. Pruebe que se puede expresar
S = { (x, y) E R x R / 3 n E Z para el cual fn (x) ,.; y }
= { (x, y) E R x R / y = x + n , para algún n E Z } .
2 .
17. f (x) = x - 1 , Dom f = R , A = [ - 1, O] ~ B = [O, I]
de donde se tiene que . f (A n B) = { -1} , f (A) = [ - 1, O] = f (B) .
18. Sólo existen 5 funciones así, y todas constantes:
19.
20.
fn (x) = n , V x E A , para· n = 1, 2, 3, 4 y S •
{
2
f(x) = o
3
a) Dom f
Rang f =
X$ -3
, -3 < X $
X~ 2 .
[-1, 4]
[O, 5/2]
2
b) Dom f = R -'- { - 3} ,
Rang f = [-S, oo)
Cap. 2 Funciones - i 13 -
-1 o 3/2
e) Dom f = [- 7, oo}
Rang f = [ - S , oo )
.:.2
4
e)"·· .. Dom f = lR :::: Rangf
y
g) . Dom f = llt-{2,-3}
Rang f (-S,oo)
y
20
f •·
X
X
X
X
y
20
f
X
d) Dom f = [ - 2 , 2 ] . .
Rang f = [ O , 2 J
y
2
-2 2
f) Dom f lR-{1,2,3}
lR-{S,6,7}
X
X
h) Dom f = ( - oo , O ] u ( 3 , oo }
Rang f = [ 1 , oo )
y
o
. ·/-
_________ /
3 X
-214 - Análisis Matemático 1 Cap.2
21. Se prueba que a + [ - a] = o ( {:::} a e z ) , en cuyo caso:
~a + [-a] + 1 ~ o viene a ser úna tautología sobre los a e A /\
a E Z • l'uego,
r (A) = {a E A i a E z } = A n z , v A e R , y así :
i) f (Q) = Q n z = z , f (Qc) = Qc n z = 0 pues z e Q
ii) B =· [-8, -4} u (.:...2, 2]
* f (B) = B n Z = { - 8 , - 7 , - 6 , - 5 , - 1 , O , 1 , 2 }
22. Rang (f) = [ - 3/5, 1] .
23.
f (X) = { X - 6 '
(x
2 + 4x)/4 XE[-4,2]
Rang (f) = (4, 3] - {5/4}
Dom f = [ - 4 , 6 ) -:- { - 1 , 1 }
{-1, 1}
y
-J
-4 - - -., .,
25. V= n[r- (x- /4)]x O < X < 2R
24. Rang (f) = [ 8, oc) , Rang (g) = ( 6, oo)
Rang (f) n Rang (g) = (8, oc}.
26. S(x) = . { n (2: :2x)2
n [ R
2
- (.í - 3R)2 ]
s
o R
R $ x $ 3R
3R < X $ 4R
1
.1
3R 4R X
f
6
X
! Cap. 2 ' Funciones - 215 ~ .
27. R 1 + R 2 = 10 , , O $ R ~ 1.6
*
10
=~---- * R R,oo - R,)
~ R1 E[O,10] n ((-oo, 2] u (8, oc)) = [O, 2] u [8, 10] .
28. ( - 00 ' .[11 - 1] . 29.
Rang (f) = [O, oc) ... • Dom g
Dom f = ( - oo , - 2 ] u [ 2 , oc ) ,
(-oo, o) u (o, 3/2).
30. Todas. 31 . R. - [ - 4 • 4 ] 32. y 33. : Todas.
36. y
o 2 3 X
37. Dom g = IR , Rang ( f) = [ 2 , oo ) .
Dom f = U [ 2n :re, (2n + 1) :re]
neZ
Rang (f) = [O,-,] .
38. Dom - f = { n enteros ~ O } ,
Rang ( f) = { O , 1 , ./'i , ./3 , J4' , .JS , . . . } .
39. Dom f = lR , pues o $ x - [ x] < 1 , V x E lR
Rang (f) = [ O , 1 )
y
34. 21
X
X
-216 - Análisis Matemático 1
40. f (x) = x + n ,
Para n ~· x < n + 1 ,
n = -1,0,1,2
Rf = [-2, -1) U[O, I} U [2, 3).
41. Df = R-[-3/2,-1)
42. y
----·
2n
.1!... n:
- 1 - - - .J. .... - .... 00-----0
· 43. a)
y b)
2 X
Rf = { -1, O, 1 }
X
y
fM
2 ------------+--<> E ---------e--o ' - - - - - -e--o 1 1
--~
Cap. 2
o X o 2 3 4 5 X
e)
y
e--o
1 1
1
1
-2-1
e)
l[x]I
d) y
2 e--o
1 1
1 1
t"-9 1
. 1
3 ----- - -[-~]--,..---
2 ----- • 9 -·
1 -· o. 1 1 1 1
o
2 3 X·
4 9 X
' ' ' o--.-',- - - 2
1 1 '
y
1 1 '
c>--,-~1
1 1 '
1
-3 -2 -1
/
/
/
----?te--o
/ 1 1
/ 1 1
-7~
/ 1 ' . •
1
2 3
[lxl]
X
44. a)
e)
e)
45. a)
ºe)
46. a)
b)
Funciones
X E (...,..oo,-1] U(3, .oo}
X E (-2, -1] U [1, 2]
- 217 -
b) [o J 1 ]
d) R - [-6, 11}
x e (-oo, -:-5) u (-2, 2] u (5, oo) f) [_.:4,-1) u (-1,1)
b) f (x) 2 = (x - n) , x E [n, n + 1)
y
f
2~---
o
f (x) = 2,,+ (- 1)
0
,
para x E [ n , n + 1 )
Dom f = ·R
Rang f = {1, 3}
y
1,---
X -1
-1 o
1
y
. 2 3
---.--o-- .....
1 1 1 1 .
1 f 1 1 :
1 1
1 1
1 l 1 1
~-~--~-
l 2 3
. . ..
------------------------~- ...
o
o
.1!... lt 1
4 2 1
1
y
3n/2
lt 2lt
-----------~----·
n/4 3n/ 4 7n/ 4 2n
5n/4
-1 ... ~~~~-0--------------ó---<)
X
X
X
X
-218 -
48. a)
-1/2
c)
Análisis Matemático 1 . Cap. 2
y
2 -----~
o
f: :
--~ :
1/2
-1
y
1 1
1 1 .
3/2
2 :--.--O
1
1 f
X
b)
-3•
1
y
2 ____________ .,..._..
f 1 ______ , 9
o 3 6 X
... --.0-1
e) f
y
o---e--- 2
1 1
1 1
1
1
1
1 2
-2 -1 o 1 X
1
-1 --~
f) y
f
-2 -1 o 2 3 X
Cap. 2 Funciones
- 219 -
50. a) N = x + y , y:::::: N - X =>
X (.N - X) = - ( X - 1!_ / + ( N 2 / 4 )
2
el producto alcanza su valor máximo para x = y = N /2 .
b) N = X + y ' y =· N - X 1
, . 2 N 2 . 2N
2
x-: + (N - x) = 2 (x - -) + --
2 4
esta suma de cuadrados toma su valor mínimo para x = y = N /2 .
51. Maximizando el ÁREA
' n+4 . = - x- ( --- ) + x : vemos que al completar cua-s . .
drados, corresponde a : X= -b/(2a) = 4/('JJ. +4).
52. Probaremos que V y e lR , existe x E R tal que y = ,f (x) cuando
O <e :::; l:
· a) · Para cualquier y E lR :
2 .
(y - l)x + 2(2y - l)x + c(3y - 1)
y como debe existir al menos una solución: A ~ O , es decir
(4- 3c)y2+ 4(c - l)y -(e -1) ~~O ,
y siendo y cualquier número rea! esta desigualdad es válida si
4 - Je > O /\ 16{c - 1)2 + 4·(4 - 3c)(c - 1) $ O .
De aquí resulta , o $ e $ l . ' Pues si e = o , entonces
f(x) = ~ =
X +4 2
cuyo rango NO ES TODO IR , sino ( - oo , oo ) - { 1 } '
54. Los lados iguales miden 45/2 cada uno, y el otro lado mide 15 .
. 56. Dom f = Rang f = lit ,
y
o
X
-220 -
57. o, = 11.
Rr = (1, oo}
58.
f(x)
Análisis Matemático 1.
y
-2 2
X E (l-../2,1+../2}
X E (-1,1-../2] U [l+../2, 3}
xe{-1,3}
Cap.2
X
59. o xe[0,2] Rf = {O} U [ 4, 9} u
2
xe[2,3} [~3, o} u [16, 48} X
f(x) = 2 X - 4x xe[3,4} u { 60} .
2x
2
- 4x XE[4,6}
60 ,, X= 60
y
60.
X -1 2 X
61. Sólo (c)
62. PARES: a, e, i, j, 1, m, p, q
IMPARES: b, e, h, k, n ; NiNGUNO: d, g, o .
63. a)
c)
f (x) = o 1 V X e lR 1 b) g (x) = o , X E ( - 3' -1] u [ 1' 3)
h(x) =O, X E (-10, -4] U (-3, -1) U (4, 10).
64. Se prueba que x + [ - x] = o en este caso (debido al radical) ; es decir
') .
que f (x) = x- , V x e z (ent~ros) y así
Cap.2 Funciones - 221 -
1'1') f (- x) = - f (x) i) X E Dom f = z =>. - X E z. = Dom f 1
65. Se prueba que
f (x) = {
- 1 , X E ( -1, - 1/2)
O , X E (-1/2, 1/2)
x E [1/2,I]
{
l,
. o '
x e c-1,-.!..1uc.l,11
2 2
X E ( - 1/2, 1/2)
g(x) =
=> f no es par ni impar, g es par. Bosqueje sus gráficas.
66. f(x+T) = f(x+1) = [mx+m] - m([x]+l)
= [ m x] + m - m [x] - m ,
=. [mx] .- m [x] = f(x) ,
pue$ 1 y m E Z
V X E R..
67. Como g(x + 1) = g(x), V x e R. , g(x) = f(x) "." l - 2lxl, para
X E ( - 1/2, 1/2) :
69.
70.
y
-1 -1/2 o 1/2 3/2 2 X
h es par, g es impar.
{i So: xi 0 < X < :n: f(x) = X;?:: :n:
y
l -'-_..~ ... ,----
, ' , \
f
:n:, }:n:x
' , ' ,..
-1 ----------"=--~~---------- .- ·-'"'!::.-.t!'--
-222 - Análisis Matemático 1 Cap. 2 ·
71. a) Dom f = R
Rang [o, J)
b) Tmin = 1/2
X
73.
Periodo mínimo
T = 1T./2
1T./2\ 1T. \. / /21T. 5'!(/2 3n X
'·· '·/· /"
- ) - - - ·- - ~ . - ::-~-..-·~-'::-...-::.'~ - - - - -
75. Df/g = (-2, O] U {I} U (2, 6],
1 9
Rf/g = [l, 4l U {-2} U fl, 5).
76. FALSO, pues (f g) (x) = ~ x 2 _ 1 , X E Dom f n Dom g
77.
0---0- -.l-·_
1 1 1
-3 -2 -1
1 -1
1
1
1
3
2
·-- -5
78. Dom f = (-4, 6] , Dom(f/g) =
Dom f + g = [ O , 6 ] •
{
lx-21/lx-JI
(g/f) (x) = (x2 - 2x) ~ (1 - x)
(x
2
- 2x)/ x 2
79.
X
[O, 1) - [4, 6]
, xe[0,3)-{l}
• . xE(3,6]
xe(6 , 8).
[ 1, 00) .
Cap. 2 .
80. Dom (g/f) ;., [ -1, oo) .
{
81.
h(x) (f + g) (x) = =
V
4
-2 1 1
--~:
-:2 ------~
82. ·oom f = R.
Rang f = { O , 1 , 2 }
Funciones
')
(x - O- - 5
o
-1 + Senx
-'-- 2 +.Sen x
X
'
1 .
1
-2$x<-I
X= 0
9 < X $ 'J(/2
n/2 < X $ 7t
2 V
.__7 J 1
- - -·
-1 o
- 223 -
X
83. a) f (g (x)) = (g (x))2 + 1 = 4x 2 - 12x + 12 de donde resulta
. 2 . 1/2
g(x) = (4x - 12x + 11) ó g(x) = -(4x2 -12x + 11)112
--~---~-------------
b)
2· . 2
f (g (x)) = [ g (x)] + 2 [ g (x)) + 2 ; f (g (x)) = x - 4x + S
=> [ g (x) + l ) 2 = (x - 2) 2 =} g (X) = X - 3 g (X) = 1 - X
84. fo g = { (5 , 3), (2, 3), (1, 3) }°
g o f = {(O, 4), (1, 4), (5, 4), (6, 4)}
85. Dom (g o f) = ( 3, 4] , (g o f)(x) = x .
86. a)
b)
3 . 3 .
[ f (x) ] = (x - 1) =} f (x) = x - 1
g o f = { (2, O), (1, 2), (3, 2), (O, 1), (4, 1), (5, 3), (-1, 3)}
-224 - · Análisis Matemático 1
87.
88.
89.
90.
= {
(x + 5)2
(f o g)(x)
~
xe[l,4}
XE[5,il)
((o g)(x) l/(2x
2
- 8x + 23) , X E (6, 2 +3../2].
{ •:'
X E R-[0,1]
(f o g) (x) = X E [ 0, 1/2]
X E ( 1/2, 1]
{'~-1 xe[l,4] . (fo g)(x) • X= 9
X E ( 9, 10] ,
Cap.2
91. Dom (f o f) = [O, 6) , Dom (f o g) = (o, 2} , completando cuadtados.
92. a) h (X) = X 2 - 3. b) g (x) = [ 1 - (x4 + 1/ /3 ] 1/3
c) g (x) = -J 4 x 2 .:_ 12x + 9
93. a) g(x) = rx b) g (x) = Sen (x + 1)
c) h (x) = -1JJ x 2 - l d) f (x) = (2x2 - 2)/x .
94. a = 53 •
95.
{
-1 xe[O,I}
(fo g)(x) = 1 /( J x 2 - 1 - 1 ) XE(l,../2)
2
xe(../2;..J5) X
96
• (g o f)(x) ~ { :
2
X E (-3, -2]
X E (-2, -1]
XE[l,2]
97. g o f no existe.
f ·º g = { (4, JJ>. (5, 1/2), (3, 2), (-2, l/2) } .
•
98. u E ( - 7, 1) n ( - 5, 11) = ( -5, j) .
Cap. 2 Funciones - 225 -
~ (x + 2) 2 - 4
99. Dom ti = [ 2, 6} U ( 6, oo} , h (x) = _ _:_..:.__----====-
2 ¡;+2" - ~ x 2 - 4
100. a) Dom f= R-{O}, f(-x) = -f(x) -=> fes impar.
~ y
1
--.oo· - - - - - - - -O.ft---, . 1
1 1
X
-1
101. Tmin = 1t ; 102. f(x) = 2x - (1/3) f (x) = - 2x + 1
103. Como x = o • a :;é o , g (x) = o • entonces
2 2 2 2
g (x) = a x ó g (x) = l/(a x ) ... Dos soluciones.
104. 1/10 , X E (-oo, -4')
I , x E ( - 4 , - 3 } U -( - J, - 2 ) U ( - 2 , 0 ] U ( 1 , 2 ]
(f o g)(x) = ·
0, X= -2, X= 1
(x - 2)/(x + 1) , x E ( 2, 3) u ( 3, 4} .
105. f- l (x) = ..:- t/(x2 - 1)112 X E [-../2, _J_fiJ ·
2
106. f -
1
(x) = -(x - 8) ~ 4 ~ , x E [O, 31
107. a) Rang f = [ 6, oo} , Rang f - l = ( - oo, O]
b) f - l o g (x) = - fi . , X E [O; oo } · -
108. p = 4/3 .
109. Rang (g) =[O, l} u (1, oo}, Rang g-l =Dom g = R - [-5, 2}
·· ' 110. Y= [-·2, oo}.
111. -5 -r;+4
-5 + ¡;+4
x 2 ~ 2x
xe(-4·,o]
x E [ S, 12)
x ·e(l,3]
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/
-226 - Análisis MaJcmático 1 Cap.2
~ { (x + s/ + ¡;+4 - 1 , x e [ - 2, -1) -1 (f - f )(x) .¡;+)" + ¡;+¡ + 6 x E {-1, O]
.¡;+)" - x 2 + 2x + 1 , x E { 1 , 3 ]
112. a) f(x) = x 2 , x e {O, oo) g (x) = l/x , x E {O, oo) .
b)
[
- ~ 4 _ x 2
Úx) = O ,
~ 4 - x 2 X E (-1,0}U{l,2)
x e {-- 2,-1)u{o,1)
son arcos de la circunferencia x 2 + y 2 = 4 . Bosquéjela.
c) -1 { l/x , ·x E {-oo , -1)
(l/f) (x) = .
(x - l)/x , x > 1
11 -1 I 2 3. f (x) = - ; 1 + (x - 5) , X~ 8 .
114. .- 1 { ( 2x + 1 - ~ 4x + 9 )/2 , x E { 4, oo)
f (x) = •
(2x - 1 + J 1 - 4x )/2 , . x E {- oo, - 6) .
115. a) B = [ -1, - 1/2) ; b) 8 = [ 1, oo) ~
116. _f-
1
(x) = (1+2x -J 4x- 3 )/2 , x E [21, oo).
118. b) {-oo, 3] ó [3, oo).
11 -1 I 2 9. f (x) = ( Sx - ; X - 24 ) /24 ' X > s .
-1 .
120. f (x) = x/(I -lxl> , x e {-1/2, o) u [O, 1/2).
121. a) Sí, b) . f- 1(x) = x/(I - lxl> x E R.
122. c)
-1 { f (x) = X E ( - 1/2, O) U { 0, 1/2}
X = 0
,;
Cap. '2 Funciones - 227 -
123. b)
{ r + ) - ~ 49,' - l70r + 169 15 15
-1 xe[--,-J-{2}
f (x) = . · 2 (x - 2) · 7 7
. . - 4/5 . x = 2
124. f-I (x) = x/(1 - lxl) lxl > 1.
125. NO ; para ello debería ser f: R-{-3} ~ R-{-6} .
126. NO; pue~como o e [ ~ 2, s J , debería existir un x 0 e [ 1, 4]
tal que f (x
0
) =
1 = o ' lo cual es absurdo.
ax
0
+ b
127. a = O , b = 126 ;
128. a = - 1/6 , b = - 5 •
129. Rang f - I = Dom f = ( - oo , O) U [ 2 ;._\oo) ,
Dom f - 1 = Rang f = R ,
-1
f (x)
={ x+2, x~O
-~ 1 X< 0.
\
130
-1 { f . (x) =
- 6 - ~ (x - 4) 2 + 9
-3 + ¡;+3
X $ 0
· X> 6.
1 .
131 . [ f - f - ] (x)
x 2 - 3x - 3
(x - l)(x - 2)
7/2 < X < 4 .
132 . . -1 { 2-~ X < 1 f (x) = 2 l<x$2. 6/(x -1)
13'3. a) g o f (x) = J x 2 + 4x + 1 xe(-2-2.[2, - 4)
b) (f o g)
-1 no existe pue_s Dom (fo g) = 0 .
-228 - . Análisis Matemátko 1 Cap. 2
134.
={
2
[(x + 1)/2] - X< -3 .
-1
x
2 + 1 f o .g (x) X ~ 0
1
xe(-3,-1). -(x + 3)
2
135. f - I (x) = 8-x-4~ xe[0,3]
136. { -1-¡;+3 1 xé(-2,J] -1 f (x) = x-3
x e (-oo , -5) u (1, oo). -.-·--
x+I
139. Ver [122]
140. Sen (nx/2) X E [-2, -1}
- I + Sen (nx/2) 1 XE(-1,0}
f(x) Sen (nx/2) xe[o,1)
1 + Sen (nx/2) 1 xe[1,2)
o X = 2
y
2 --,,N
,' 1 •
-- ...
' 1 ' 1
1 "
-2 2 X
-2
143. a) lxl :$ 1 1 b) 0:$x:$1
' c) 0:$x:$1 d) -1 $:X:$ o
e) O<x<oo 1 f) ~oo < X < 0 1 g) O<x<oo,
h) -oo < X :$ 0 i) -oo<x<l j) l<x<oo.
144. a) xe[-1,1]
1 b) XE[O,l] ; c) XER 1 d) XER-{O}
145. f (- x) = - f (x) , 'v' . ¡ x 1 :$ a ; y como
f(f-·(-y)) =-y = .-f(f-l(y)) =
-1 . -1
f (-y) = -f (y) .
-1
X = f (y)
-1
f(-f (y))
Cap. 2 Funciones - 229 -
.
146. (-Senx) E (-1, I] => g Ch c:xn . · Are Cos ( - Sen x) - ..:!..
2
147.
T( ] T( ( lxl $ n/2) = AreCos[Cos(x + -) - -
2 . 2
= (x + n/2) - n/2 = .! , pues x+..:!.. E [O, n]
2
h (g (x)) = - Sen (Are Cos x - n/2) , 1x1 :$ 1
= - Sen (Are.Cos x) • Cos (n/2) + Sen (n/2) • Cos (Are Cos x)
= Cos (Are Cos x) = x pues 1x1 :$ 1 .
-1
.h = g .
Fáciles de probar: (a) y (c) .
b) De los problemas [146] y (145] : T( g(x) = AreCosx - - , con
. 2
1x1 :$ 1 , es una función IMPAR; g ( - x) = - g (x) si y sólo si
Are Cos (- x) - (n/2) = - [Are Cos x - (n/2)] =>
Are Cos ( - X) = T( - Are Cos X 1 1 X r :$ 1 .
d) Demuestre que la inversa de h (x) = Cot (x. + rr/2) = -Tan x ,
x E ( - n/2, rr/2) , es g (x) = (Are Cot x) - rr/2 , 'v' x E R ,
y por lo tanto que g (x) es IMPAR pues h (x) lo es . Luego, proceda
como en (b). ·
e) i) Sea x ~ 1 , entonces Are See x E [O, 'JC/2) ,
ii)
- x :$ - 1 , Are See {- x) E [ - n, - 'JC/2) , de donde
rr + AreSee(-x) E [O, 'JC/2) =>
Cos [Are See (- x). + 'JC] =
Cos [ AÍ-e See ( - x) ] · Cos 1c - Sen [ Are See ( - x) ] • Sen 'JC
1 l = = --- =
See [Are See (- x)] (- x) x
= l/See (Are See x) = Cos (Are See x) (•)
y como COSENO tiene inversa en [o, 'JC] ::> [o, 'JC/2 ]
=>- AreSee(-x) +'JC = .AreSeex de (•), x ~ 1 .
Sea :X ~ ~ 1 1 Are See X e [ - 'J( 1 - 'JC/2) 1 - X ~ 1
(Are See x) + 'JC e [O, 'JC/2) . , · Are See (- x) e [O, 'JC/2)
=>- -cos[AreSee(x) + 'JC] = -1/x = 1/(-x) =
.-230 - Análisis Matemático 1 Cap. 2
= l/Sec [Are S~c (~ x) ]'_::: Cos [Are Sec (- x)) ... ( .. )
Y como COSENO tiene inversa en [o, n) ::> [o, n/2}
=> ArcSec(x) + n = ArcSec(-x) , x $ -1 de (••).
(f) Análogo a [e].
148. El período de f (x) = Are Sen (Sen x) es 2 n [pues ·y = Sen x tiene
período 2 :n ] , pero por definición de inversa se tiene que
. ' 7t 1(
f(X) = ArcSen(Senx) =X, perOSÓIOpara X E(--,-) (•)
2 2
Para :n/2 $ x 5 31(/2 se tiene que ..,... 1(/2 5 x - 'J( $ 1(/2
Y por (•) Si hacemos W = X - 'J( entonces W E ( - :n:/2, 7t/2) Y
Are Sen (Sen x) = Are Sen [Sen (w + 'J())
= Are Sen [ Sen w Cos :n + Sen :n Cos w) = Are Sen [ - Sen w ) ·
= - Are Sen [ Sen w ) = - w = - (x - :n:)
= · :n: - x , pues w e [-n/2, :n/2).
Por lo tanto,
= {
X x e e - :n/2, :n:/21
f(x) :n:-x x e e :n:/2, J:n:/21
por periodicidad (21C) en el resto.
y
f(x) = Are Sen (Sen x) ·
-21( X
149. Note que todos tienen como un período a 2:n: , pero podría no ser el mínimo pe-
ríodo:
a) f (x) = Are Cos (Cos x) = X si y sólo si X e e o' 'J( J .
Para X . e e 1( ' 2 'J( J : X - :n e e o ' :n: J • sea w = X - 'J( =>
w E ( O , 'J( ) ; y Si X E [ 1C , 2 :n: ) entonces
AreCos(Cosx) = ArcCo!(Cos(w + :n:) .) = AreCos(-Cosw)
= 1C - Are Cos (Cos w) = :n: - w = 'J( - (x - 'J()
= 21C - X
Cap. 2
f(x)
-- ..
" ' " \.
" ' " ' '
X
27t - X
Funciones
xE[O,:n:]
X E (n:, 2n)
Por periodicidad (2 'J() en el resto.
- _n
' ' '
y
f(x) ,;,. Are Cos (Cos x)
-n O 2n
b) Pruebe que
f (x) = {
Período Mínimo
= 7t ·
c) Pruebe que
X
X - 7t
periodo mínimo = 2n:
X E ( - n/2, n:/2)
X E ( n:/2, 3n:/2]
Por periodicidad (2 n:) en el résto.
J:n
x xe[O,n:J
X
2x-2n 1 xe[n:,2n:]
- 231 -
X
f(x) = x - AnTon(T•nx) = {
por periodiCidad (2 n:) en el resto.
Grafique esta función y vea que su periodo mínimo es 2 n .
d) Pruebe que
{
0 X E (-n:/2, n:/2)
f(x) = x -ArcSen(Senx) = . 2x - n x E [n:/2, 3n:/2)
• por periodicidad (2 ~) en el resto.
Grafique esta función y verifique que su período mínimo es 2 n .
. -232 - Análisis Matemático l Cap. 2
e) Pruebe que
o X E [ 0, TC/2)
f (x) = Are Cos {Cos x) 2X - TC·, X E [TC/2, TC)
- Are Sen {Sen x) =
4TC - 2x
X E ( TC, 3TC/2)
X E [ 3TC/2, 2TC J
por periodicidad {2TC) en el resto.
Grafique esta función y verifique que su período mínimo es 2TC .
150. U {x4 - x) : y
o X
151. Dom f = Z
f (X) = X 1 X - 1X1 I = { O
X E z+ o
-1x
2
. X E z
Rang {()={O, -2, -8, -:-18, -32, -50, ... } = {-2n2 /ne z!}
152. El período mínimo es T = 2 (Bosqueje su gráfica) :
153.
154.
x E [ 2n , 2n + 1] => . x + 2 E [ 2 {n + 1), 2 {n + 1) + 2]
Luego, g (x) = x - 2n
g {x + 2) = (x + 2) - 2 {n + 1) = x - 2n = g {x)
La parte trigonométrica tiene también este período.
gof(x) ~ ¡
{f + g)(x)
2 ~ 4x 2 - 2x / {4x + 1) ,
2~ 4.l'. 2 - 2x /(4x - ;!)
si x es entero par.
si x es ·entero impar.
4
3
6
7
o
2
(x + 5) - 1
si x no es enteFo.
X E [-3, 3] - {-2, 2}
xe{-2,2}
xe(3,6}
xe[6,9}
X< -3
I·
Cap.2 Funciones
Rang (f.¡. g) = [- 1, oo} , Dom {f + g) = ( - oo, 9} .
155. Dom f = [ - 3 , - 2 .J2 ) U [ 2 .JT , 3 ] .
156. Se prueba que
f(x) = { 4~'
-X , 0 < X < 2
__ { 48{x - .2)
2
- 4~. 2 ,
{g o f){r)
3x +X ,
X E (2,6]
xe(o,1).
- 233 -
157. Rang f ::: ({ - ...!_, 1 } U ( 1 , ..!Q_}) U ( O , 2 } U [ 2 , 3 ) = ( -:- ...!_, ..!Q_ )
3 3 3 3
158. ,Dom f ::: [ 2 , 4 } U ( 4 , oo ) , Rang f = ( - oo , - 1 ] U ( l , ~ )
159. Rang f ::: [O, 4) l.J ( 1, 6) U ( 2, 3) = [O, 6] ;
160.
{
2x -1
(f + g){x) .= :x
· X -x+6 · xE(l,3].
X E (-3, -2"} U (-2, -l}
. X =:' - 2 , X ·::: - 1 ·
161. h{r) = (~ 16 - Br2 /r)
ÁREA TOTAL = TCr g + TC r 2
Dom h = ( o , .J2 ] , pues
g = ~ h2 + r2 .
. 1 2
162. f (x) = [ l - ] ; además, para x E ( 1, 2} se tiene que la
(x - 1)
expresión [ 1 - 1 ] e ( o , oo ) , es estrictamente positiva.
{x - 1)
2 + .¡-;
1 + .¡-; 1
X > 0.
163. a) Rang f = ( 4 , ~ } u [ O , 4 ] u [ - 1 , O } u ( - oo , - 1 ) = R
-b) f es t1nivalente sobre cada subdominio, y los correspondientes rangos son
disjuntos dos ~dos:
164. · 4 Cos 2x = 2 (1 + Cos 2x) Período ·mínimo TC .
-234 - Cap .. 3
3
LÍMITES
l. INTRODUCCIÓN
A partir de este capítulo encontraremos ciertos conjuntos y
puntos característicos relacionados con una función f (x) que son fundamenta-
les en el ANÁLISIS MATEMÁTICO tales como las VECINDADES o ENTORNOS. y los
PUNTOS DE ACUMULACIÓN.
2. VECINDADES
Se llama VECINDAD DE CENTRO Xº y RADIO 8 > o
al intervalo abierto de centro x
0
y extremos x
0
.:.. 8
y x
0
+ 8, ,yseledenotapor v5 (x0 ):
1 V5 (x0 ) = (x0 -8, x0 +8}
Note que su punto medio es precisamente el punto x = x
0
•
Note que x 0 E V¡¡ (x0 ) , que V 5 (x0) tiene longitud 28 y que
· ¡ x E V¡¡ (x
0
) • si y sólo si 1 x - x
0
1 < 8
'
Cap. 3 Limites - 235 -
~ x
0
- 8 < X < X 0 + 8
~ -8 <X - X 0 < 8
~ 1 x - x
0
I < 8
2.1 EJEMPLOS.-
a) Sea 8 = 0.4 , entonces v8 (J) = (3 - 0.4, 3 + 0.4} = (2.6, 3.4} es
la vecindad de centro x = 3 y radio 8 = 0.4 > o . o
b) Todo intervalo abierto ( a, b) . , con a < b , es una vecindad de centro
X = o
a+b
2
y radio 8 = 1 b - a 1 / 2 > o .
es decir:
a a+ b
2
( a, b) =V (~) 8 2
b lR
con · 8 = _!_ 1 b - a 1
2
c) El intervalo ( - 2.2, 4.8} es la vecindad v ¡¡ (x
0
) de centro x
0
= [ (- 2.2) +
+(4.8))/2 = l.3, yradio 8 = _!_¡4.8-(-2.2)1=2.
2 2
2. 2 1 ENTORNOS o VECINDADES · 1
Se llama ENTORNO o VECINDAD DE x
0
a cualquier intervalo
abierto que contenga a x
0
• Esto implica que x
0
no necesariamente es
él punto medio de dicho intervalo abierto. Usualmente a los entornos de X
0
se
les denota por .N (x
0
) :
lR
a b
Note que x
0
e .N (x
0
) • Obviamente, toda vecindad del tipo V¡¡ (x
0
) es
también un entorno de x
0
•
'-236 - Análisis Matemático 1 Cap. 3 ·
2.3 PROPOSICIÓN.- Todo entorno .N (x
0
) de x
0
siempre contiene al menos una
vecindad de radio 8 > o y centro x
0
, para algún
8 > o.
PRUEBA.· Sea .N (x
0
) = {a, b) , entonces basta elegir v
8
(x
0
) para
8 = mín { 1 b - x
0
1 , 1 x
0
- a 1 } •
NOTA.· Dados una función f, un subconjunto A e Dom f , y la vecindad ve (L)
de centro L y radio 8 = e > o , entonces, siendo f(A) el conjunto
imagen de · A vía f , . se tiene la sigÚiente equivalencia:
f(A) e Vt(L) {::} 1 f(x) - L 1 <e V x E A C Dom f
Enefecto, f(A)CVc(L) <=> f(x)eVe(L), vxeAcDomf.
<=> f(x)E(L-e, .L+e)
<=> f(x) - L e (-e, e)
{::} 1 f (x) - L 1 < e . V X E A e Dom f
y cuya representación geométrica está localizada en el EJE Y (ver la fig.).
la relación dada indica que la imagen f (A) del conjunto A e Dom f
cae precisamente, vía f, dentro de la vecindad ve (L) de longitud 2e , aunque no
tenga que cubrirlo necesariamente.
y
T
L+e
T~·~·~;
V (L) f(A) L . el l ...... .
L-e
o X X
l--A--j
Cap. 3 Límites
· 2.4 EJERCICIO.· Dada la función f (x) = 2x - 2 demuesfre que
x e v0_4 (3) * f(x) e v1 (4)
tanto analítica como gráficamente.
SOLUCIÓN.- Siendo V 0.4 (3) = ( 3 - 0.4, 3 + 0.4) = { 2.6, 3.4)
y v1(4) = {4-t, 4+t) = (3,~)
y
I
-----5
4.8 ··- - - - - - - - - - - - -
v,c•l f{r) ¡---·------ ¡
. 3.2 - - - - - - - - 1 . -----3 : !
·I ..
2.6 X 3.4 X
*
*
'--.,-/
vo_4CJ)
.2x E { S.2, 6.8}
f(x) = ix - 2 e (3.2, 4.8) e {3, s) =
* f(x)eV1(4).
- 237 -
2.5 NOTA.· Respecto al gráfico anterior y desde que f (A) = { f (x) / x e A } ,
A e Dom f , el enunciado del ejercicio es !lQUivalente a :
'Si f(x) ·= 2x - 2, demostrar que f[V0.4(3)] C V1(4) '
Es decir, • La imagen de la vecindad V 0.4 (3) , víq la función f, cae dentro
de la vecindad v1 (4) '·.
En efecto, f [ v0.4 (3.)] e v1 (4) <=> V x e V0.4 (3) , f(x) e V1 (4)
{::} [X E V0.4 (3) * f(x) E vi (4)]
-238 - Análisis Matemático 1 Cap. 3
2.6 VECINDAD REDUCIDA DE CENTRO x . Y RADIO 6 > o . o
Es aquel conjunto que resulta de quitarle el punto centro x
0
a la
· vecindad V 8 (x 0 ) y se le denota v¡, (x 0 ) :
v;, (xo) = Va (xo) - {Xº} = {xo- 6, Xº) u {xo, xo+ 8)
IR
·2.1 NOTA.· De este inodo c~_ando estemos analizando alguna cuestión referente a u-
na función f(x) en una VECINDAD REDUCIDA v¡, (x
0
) en la cual
tiene que haber elementos del Dominio de f . En general ,
NO INTERESARÁ LO QUE OCURRA CON LA FUNCIÓN f EN. EL PUNTO x
0
Equivalentemente,
<:> 0 < 1 X - X
0
1 < 6
.pues o <lx-x-01<6 <=> 1 x - x0 I > O /\ lx - x)<6
<=> X E R - { x0 } /\ x E V8 (x0 )
<=> X E V6 (x0 ) n [IR - {x0 })
<=>- xe V5(xo) - {-xo} <=>- X E v¡,(x0 )
[ Recuerde que A n (B - C) = (A n B) - e ] .
Estas vecindades reducida.s son las más importantes en el Análisis Matemático.
2.8 EJERCICIO.· Dada una función f (x) , demuestre que la proposición:
·Para cada e > o existe un 6 > o (que depende de x
0
y e) tal que:
[O< lx-x0 I < 6 /\ .x E Domf] ~ 1 f(x)-LI <e'
es equivalente a:
' Dado e > O existe li > o ( que ·depende de e y de x )
o
f [ v¡, (xq,) n Doni f ] e ve (L)
SOLUCIÓN.- En efecto pues
tal que
Cap. 3 Limites - 239 -
<=>- Vxev5cx
0
)nDomf: f(x)EVe(L)
<:::>- [ x E Vá (x
0
) /\ X E Dom f ~ f (x) E V & (t) ]
<=>- [O<lx_:x
0
l<6 /\ xeDomf ~ lf(x)-Ll<e] .
La representación geométrica de esta situación funcional es la siguiente·, donde origi-
nalmente se ha construido el intervalo V (L) = ( L - e, L + e) en el Eje Y, y e
donde se trata de hallar, geométricamente, el 6 > o que cumpla con la condición
requerida para una función dada:
y
Ve (L) {
L+e
L
L-e
--------~---: i f
1 1
1 1
1 1
En esta figura to- ·
davía no se tiene
el 6 adecuado
x ·
As [,. para que cualquiera de las equivalencias dadas sea válida, se da una
VECINDAD v (L) en el EJE Y, de centro L y radio e > o , y debe poder e .
encontrarse una VECINDAD V 8 (x0 ) en el EJE X , de centro x 0 y radio 6 > o
tal que la IMAGEN, vía f, de aquella parte de la VECINDAD REDUCIDA Vs (x
0
)
que se encuentre en el Dominio de i se ubiqUe dentro de la vecindad V e (L) .
"Es decir ,
En la figura siguiente :
Si eligiéramos 6 = 62 = máx { 61 , 62 } llegaremos a un ABSURDO: que
v¡, (x
0
) = v5
2
(x
0
) , y vemos que su imagen f [ v5 (x
0
) n Dom f ]
NO ESTARÁ ÍNTEGRAMENTE CONTENIDA en la vecindad Ve (L) , pues existi -
rán puntos x 1 E Vs (x 0 ) n Domf tales que : f(x 1) ft Ve(L).
-240 - Análisis Matemático 1 Cap. 3
X
En cambio vemos que si elegimos 8 = 81 = min{ 8 1 , 8 2 } el problema
queda resuelto, pues la imagen de Vf> (x
0
) vía· f ahora sí caerá dentro·de la
vecindad V (L) en el Eje Y . e .
y
L+e
f
L
f[V{¡(x
0
) n Domf]
l__L-e
8 = 81
t
.8 = !11ín{81, 82 }
X
2.9 NOTA.· . Observe que una vez hallado un 8 > o adecuado, cualquier otro
8
3
> o y menor que 8 , es decir o < 81 < 8 , también es vá-
lido. Esto indica que cuando existe un 8 > o entonces existen
infinitos valores válidos para 8 .
2.10 NOTA.· En este proceso no interesa el valor de f en x
0
pues este punto nci
está en vf> (x
0
) por ser vecindad reducida.
Cap. 3 . Limites - 241 -
En los ejemplos que presentaremos a continuación se seguirán los pasos análogos
a la ilustración geométrica dada:
1g.· Se cons_idera un e > o , es decir una vecindad Ve (L) en el Eje Y pa-
ra que se cumpla que 1 f (x} - .L 1 < e .
2g.- Utilizando la función dada, se elige él 8 > o adecuado correspondiente a
la vecinqad v5 (x
0
) en el dominio de · f en el Eje X . Si no fuese posible
hallar el B > o directamente mediante cálculos con el valor f (x) enton-
ces uno se da un 8
1
. > o y ' casi ' arbitrario, con el que l·uego .se hallará
un 82 > o . Finalmente se elige 8 = mín { 81 , 82 } .. en el Eje X .
Tal 81 inicialmente puede elegirse 81 = 1 , 81 = 1/2, 1/3, 1/4 , se-
gún el problema.
· 2.11 EJEMPLO.- · Dada f(x) = 3x , pruebe que para cadá e > o existe un co-
rrespondiente B > o que satisface que:
Si O<lx-41<8 => !f(x)-12l<e .
SOLUCIÓN.· t f (x) - 12 1 = 1 3x ~ 12 1 = 1 3 I x ~ 4 I < e 1
siys6losi lx - 4 I < e/3 = B
Elegimos así B = e/3 > o , y vemos por los cálculos hechos que si x satisface
o·< 1 x - 4 I < B = e/3 entonces 1 x - 4 I < B = e/3
=> lf(x)-12l=3lx-4l<e
lo que indica que, siendo Dom f = IR , v~13 (4) n Dóm f = v~13 (4)
. x
0
= 4, L = 12 , entonces · f(Vfi(4)) e Ve(l2) para B = e/3.
2~ 12 EJEMPLO.- Dada f (x) = 4x - 3 , halle un B > o para e = 0:01 tal que
si o < 1 x - 31 < B entonces 1 f (x) - 9 I < e = 0.01 .
SOLUCIÓN.
lf(x)-91 = !C4x-3)-9I = l4x-121 = 4lx-3I <e 1.
si y sólo si lx - 3 I < e/4 =B.
-
Podemos elegir B = e/• = 0.01/4 = 0.0025 ; En tal caso vemos que en efecto:
O < lx - 3 I < B => lx - 3 I < B = e/4
-242 - Análisis Matemático 1 Cap.3
=> '41 x ;..... 3 I < e => 1 f (x - 9 I < e = 0.01
Pudimos haber elegido cualquier B tal que o < B < 0.0025y también sería válido;
por eíemplo, B = 0.002· , B = 0.001 , etc. -
2.13 NOTA.- Observe cuidádosamente en los ejemplos anteriores, la forma en que se
ha considerado el primer paso, hasta el recuadro.
A continuación presentaremos un par de ejemplos no tan simples.
X-'-] - 4
2.14 EJEMPLO.· Dada f(x) .= , L = o , x
0
= I , e = 10 ,
2x2 + 2
halle un li" > o tal qUe o < 1 x - 1 I · < 8 => 1 f (x) - L 1 < e .
SOLUCIÓN.- Comenzamos en la misma forma:
1 f (X) - L 1 = 1 X - 1 - 0 1 = 1 X - 11 ~
2x 2 + 2 2x2 + 2
lx -11 1
2 . <e.
( pues x 2 + 1 ~ 1 V x e R) {:::} 1 X - l I < 2E ( = 8 ) .
Vemos que podemos elegir 8 = 2 e = 0.0002 . Comprobando tenemos que
O<lx-Il<8=2e => lx-1)<2e
lx-ll < lx-11
2x2 + 2 - 2
1 f(x) - L 1 < e .
<e
4 2.15 EJEMPLO.- Dada f (x) = -- , e = 0.001 , halle B > o tal que
X - 2 .
O < 1 x - 4 1 < 8 => 1 i (x) - 2 1 < e .
SOLUCIÓN.- L = 2 , x
0
= 4 :
. lfCx)-LI = 1-4--21=14-2x+4 ¡ = 2lx-41 (•)
x-2 x-2 · lx-21
Después del último paso todavía no nos conviene hacer ~ pues el denominador
1 x - 2 I depende de x y debería ser una constante, lo que nos sugiere tomar un
primer 61 arbitrario, por ejem·plo:
B1 = 1 1 : el cual s.erá usado.para acotar
2 superiormente:
. 1 X - 2 I
0 < 1 X - 4 I < 8 1 = 1 ::}- 1 X - 4 I < 1 ::}- -1 < X - 4 < 1
Cap. 3 Limites - 243 -
=> l<x-2<3 1 . 1 => -<--<l => I_ < ___ 2_ < 2
3 X - 2 3 X - 2
=> 2 < 2 con lo cual pasamos a (•) : lx - 21 ·•
1 f (x) - 2 1 = 2 1 x - 4 I < 1 2 I x - 4 I < e 1 , ( recién aquí hemos
.· · lx - 21
requerido que sea < e), {:::} 1 x - 4 I < e/2 ( = 62 )
encontramos otro B : 62 = e/2 ; entonces un 6 > o adecuado se elige como
6 = mín{6 1 , 8 2 } = mín {1, e/2}
= mln { 1, 0.001/2} = 0.001/2 = o,ooos = 6 .
2.16 OBSERVACIONES.-
1.· En todos los casos, ANTES DE LLEGAR A LA DESIGUALDAD: < e ; ~e ha tra-
tado de llegar mediante igualdades o desigualdades dél tipo ~ a la expresión .
. n -----
1 f (x) - L 1 ~ . . . ~ K 1 X - X 1 < e
. o -----
para alguna constante K y algún entero n > o. ; y recién en este paso hacía-
mos que la expresión K 1 x - x
0
1 tenga que ser MENOR QUE e :
n 1/n
1f(x)-L1 :$ Klx - x
0
I <.e {:::} lx - x
0
I < (e/K)
y .elegíamos el 6 correspondiente como 6 = ( e/K) l/n .
2.- En los primeros tres ejemplos no se presentó prácticamente ningún problema, pero
en el cuarto ejemplo se llegó a la expresión:
1 f(x) - LI = lg(x)l·I x - x
0
1 (para n = 1) ... (•)
que es adonde SIEMPRE se debe tratar de llegar, y a continuación SE DEBE
ACOTAR la expresión 1g(x)1 a la derecha (superiormente), usando un pri·
mer 61 > o inicial lo que permitirá hallar una constante K > o tal que
lg(x)I :$ K, V x: O< lx-x
0
I < 6 1 ·
E11 ( •) esto dará como resultado, por ejemplo ( para el caso: n = 1)
1 f(x)-LI = lg{x)l·lx-xol::; I Klx-xol <e 1
1 x - x
0
I < ~ ,
K
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-244 - Análisis Matemático 1 Cap. 3
obteniéndose un 82 = e/K . Así, el 8 adecuado es elegido como
1 8 = mín { 8 1 , 8 2 } j . pues en tal caso: 8 ::;_ 81. y 8 ::; 8 2 de donde
=> 1 f (x) - L 1 < e
. Usualmente, en estos casos el 81 > o inicial se elige el más simple posible 81 = 1
pero no siempre será lo suficientemente pequeñ(), lo cual forzará a elegir 8¡ = 1/2 6
61 = l/J , etc. dependiendo de la función dada Y del punto x 0 , COmO en el Si·
guiente ejemplo .que es una variante de [2.15).
En el caso general se tendrá que 8
2
= (e/K)l/n •
2.17 EJEMPLO.· Dada f(x) = 4/(x - 2) y e > o , halle 5 > o tal que
O < 1 x - J f < 8 =} 1 f(x) - 4 1 < e .
SOLUCIÓN.- .r
0
= 3 , L = 4 .
ff(x)-41 = 1-4--41 = 4 lx-JI (•)
x-2 lx-21
donde debemos acotar 1g(x)1 = 4 :$ K: lx -21
a) Si elegimos 51 = 1 : . o < 1 X - J f < 51 = 1 => 1 X - 3 f < 1
{::} -l<x-J<l {::} O<x-2<2
1 1 ' -
-<--<<X>
2 x-2
4 2<--<<X>.
X - 2°
Vemos qúe lg(x)I ~ 4 no está acotado superiormente; esto ocurre pues
lx - 21
nuestra elección de 81 < 1 ha sido muy grande.
b) S., .., 1 1 l ul = 1/2 : 0 < X - J < 5 1 = - =}
------ 2
1
lx-Jl<-
2
-1/2 ~ X - J < 1/2 {::} . 1/2 < X - 2 < J/2
2 l
-<--<2 {::}
J X - 2 .
8 4
-<--<8
J x-2
;Cap. J Limites • 245 -
=> 1 g (r) 1 = 4 < 8 , en O < 1 x - JI < 1/2 = 6 1 lx - 21
de modo que en (•) : 1 f (x) - 4 I = 4 I x - 3 I < 1 8 I x .:..., JI < e 1
lx - 21
<=> 1 x - JI < e/8 . Así tenemos como un 62 = e/8 .
Luego, un 8 adecuado se elegirá como 6 = mín { 8; , 82 } = mfn { f, : }
cuya solución queda asl indicada .
2.18 EJEMPLO.· Dada la función f (x) = ~ 4x - 1 , x
0
= 1/2 , L = 1
y dado e > o halle 6 · > o . tal que:
Si x e Dom f y o < 1 x - .!. ¡ < 6 entonces 1 f (x) - L 1 < e .
. 2
SOLUCIÓN.· Tomando Dom f = [ 1/4, <X>} ;
~ I l4x - 21 · 1 f(x) - L 1 = j 4x - l - 1 . = . . . .
1 + .j 4x - 1
4lx-1121 (•)
1 + .J 4x..:.. l .
debemos acotar 1g(x)1 = 4/ (1 + .J 4x :... l ) superiormente:
siendo .J 4x - 1 ~ o => 1 + .J 4x ...: .1 ~ 1 para todo x E Dom f
1 f (x) - L 1
4 --===- :$ 4.
1 + .J 4.x - 1
4lx-1121
l + .J 4x - 1
si y sólo si lx-2-1.<
2
Así, nos basta elegir 6 = e/ 4 'directaménte•.
e -.
4 ·
2.19 EJEMPLO.-
x-9
Dada f(x) = --
x -1
, L = 2 , x
0
= - 7 y e > O ,
halle 8 > o tal que:_
[ x E Dom f y O < 1 X - x
0
1 < 8 ] => 1 f (x) - L 1 < e
SOLUCIÓN.- Como o < 1 X - Xº 1 < 6 implicará 1 f (x) - L 1 < e :
· I ·
1
x - -9 I ¡-x-1 ·1 lx+71 lx-(-7)1 (•)
l ·f(x)-L = -;-=¡-l = x-1 = lx-11 = lx-t!
-246- Análisis Matemático l
a) Si 8 1 = 1 : o < 1 r + 7 I < 6 1 = 1 => :- 1 < x + 7 · < 1 .
-9<r-l<-7 ::::} 7<lx:-ll<9
1 1 1 => 9 < Ir_ ll < 7 V r t.q. o < Ir+ 7 I < 5 1 = 1 •
lf(r)-21 = lr+71
Ir -11 < . .... I _' x_;_1_1_<_e_.I
si y sólo si 1 r + 71 < 7e . Así, hagamos 52 = 7 e .
RPTA: 8 = mín { 81 , 62 } = mín { 1, 7e} .
Ahora analice cuidadosamente los siguientes ejemplos.
. Cap. 3
2.20 EJEMPLO.- Dada f(r) = ..¡-; . L = o • r = o y e > o • halle o
5 > o que satisfaga la siguiente implicación:
[xe Domf /\O< lr-x
0
I< 8} => 1 f(r)-í..I <e.
SOLUCIÓN.- Debemos hallar 5 > .o tal que (pues x = o : o
[ x E l>om f y O < 1r1 < 6 ] => ¡ ..[; 1 = ..[; < e
pero siendo Dom f = [ o , oo ) :
1.r<x)-LI = 1rx - ol =..[;<e <* o::; x < e2 C•)
Y como la proposición: [ x E Dom f = [ o , oo /\ o < 1 x 1 < 8 ]
es equivalente a: O < x < 8
Por lo tanto, de (•) : o ~ .r < e2 . Así, identificamos 8 = e2 .·
2.21 EJEMPLO.- Dados f(r) = r 3 + (l/x) , L = 2 , r = 1 y e> o . o
halle 8 > o que satisfaga la siguiente implicación:
[x E Domf /\ O< lr-x
0
1<5]::::} j f(r)-LI <e.
SOLUCIÓN.- Dom f = .R. - { o } . lfCx)-LI =
4 2 3 2
= '1 x3 + ....!... - 2 I = 1 X ~ 2x + 1 1 = 1 X - 111 X + X + r -: 1 1
r · r r
' 2 ' 1
==lx-ll·lx +x+l--f ~
X
lx - ll·(lx2 + x + 11 +-1-)
. lxl
Cap. 3 J.,ímites. • 247 ~
a) Sea 51 = t : o < lx - 11 _< ~ 1 := 1 implica - 1 < r - t < 1 -- --..;..
51 = 1 NO SIRVE
1 b) Sea 51 = - : 2
0 < 1 X - 1 1 < 8 1 = 1_ implica _ 1_ < X - 1
2 ' ' . ·. 2
1 3 2 1 => -<r<- ::::} -<-<2
2 · ·2 . 3 r
< 1..
2
y además r 2 + x + 1 < ..2.. + 2... + 1 = .!.2. < s · .
4 2 4
De. modo que en (•f! .
· 1 f (x) - L 1 ~ lx'-:d c'I x2 +r+t1>~-1 :-J) ~· · ·J~:~·1J~~~-~)~: ~e~
<*. 1 x - t I < ~ ; así, elegimos · 52 = e/7 . 7
5 ~ min { 51 , 52 } = mín { 1/7, ej7} .
2.22 EJEMPLO.· Dado f (x) = l 2x - 7 I , L = 3
. halfe 8 en términos de e tal que
' X . E Dom f /\ ' o < 1 X - 21 <' 5 ::::} 1 f (x) .,... L., < e.
SOLUCIÓN.- o·om f -= lit , .
jf(x)-Lj = ll2x-.71-JI = j(7.:._2x)-JI
pues si x = 2 . entonces 2x - 7 = -.3 < o , de modo que en una vecindad pe-
queña alrededor del punto x
0
= 2 la expresión 2x - 1 · es < o , y por {o tanto:
jf(x)-Lj -= ·1(7-'-2.t)""-ll= l-'2r+4l = 2lx-2j <e
<* 1 r - 2 I <-.L ~ · así elegimos 5 = e/2 .
' 2 .
. 8 = e/2 .
2.23 ENTORNOS REDUCIDOS
Se llaman ENTORNOS REDUCIDOS de XO ( o VECINDADES REDU·
CIDAS de x~) a aquellos entornos ·!1{_ (x
0
) a los que se les ha quitado el punto ·
x
0
. Se les denota !I(' (x
0
) : ·
-248 - Análisis Matemático 1 Cap. 3
a - b
Obviamente, toda VecindadReducida ?l.á (x
0
) de x
0
y radio
6 es también un ENTORNO REDUCIDO de
3. PUNTOS DE ACUMULACIÓN DE UN CONJUNTO A e lit
Un punto x
0
, que no necesariamente pertenece al conjunto A, se
llama PUNTO DE ACUMULACIÓN DE A si cualquier vecindad · v 8 (x0 ) de_ x 0
contiene al menos un punto x
1
. de A y distinto de x
0
: x1 ;r: x 0 •
Equivalentemente:
Un punto Xº se llama PUNTO DE ACUMULACIÓN DE A si TODA
VECINDAD REDUCIDA v¡, (x
0
) de x
0
contiene al menos un punto x
1
e A .
En símbolos: • Xº es un PUNTO DE ACUMULACIÓN de A {:::}
V ti > O , Vá (x
0
) n A :;: 0 (no vacío) • .
3.1 EJEMPLO.· x
0
= 2 es un punto de acumulación de ( 2, 8) = A , pues
2-6 x, 2-6
2 A 8
1 1
o o o
v¡,cx
0
)
para toda vecindad reducida v5 (x
0
) , v5 (x
0
) n A ;r: 0
i) Si o < 6 :::; 6 entonces
v5 (2) n A = C { 2 - s , 2) u ( 2 "2 + 8)) n ( 2, s]
= {2,2+6)n (2,8) = (2,2_+6) ;r: 0
pue~ o < 6 :::; 6 implica que· 2 < 2 + 6 :::; s . .
ii) Si 6 > 6 entonces {2-, 2 + 6 ) :::> { 2 , 8 ] · pues
2 + 6 ·> s > 2 :::}- v;, (2) n ( 2 , s] = ( 2, s J ;r: 0 .
Capi 3 ,- Limites - 249 -
3.2 E'JERCICIO.· Verifique que el punto x
0
= 2 es ,un punto de acumulación de
A = [ 2 .• 8] también. El procedimiento es el mismo, pues lo que
interesa es ver qué sucede en las vecindades reducidas v5 (xo)
alrededor de . x
0
= 2 .
En este caso el p· unto de acumulación x sí resulta ser un elemento del conjunto A . . o
)
3.3 EJERCICIO.· Dado el'conjunto A = { 1, 2, 3, 4 } , probaremos que x
0
= 2
NO Es· PUNTO DE ACUMULACIÓN de A :
1 • 1
. XO
• 1 • •
1. 2 1 3 1 4 lit
1 1
~
6 6
pues existen 6 > o tal que . v¡, (x
9
) n A = 0 , es decir, existen vecindades al·
rededor de x0 que no contienen ningún punto de A distinto de x 0 • Así por ejemplo,
si 6 = 1/2 : v5 (x~) n A = 0 :
En efecto, v5 (x
0
) = v¡, (2) = ( 2 - 6, 2) u ( i, 2 + 6)
=(2-2...,2) u (2,2-t_!_)
2 2
= {3/2, 2) u (2, 5/2)
que al intersectar con el conjunto A = { I , 2 , 3 , 4 } ·da el conjunto vacío.
3.4 PROBLEMA.- Dado el conjunto A = { ...!... / n e z+ } =
n
1 1 {1,-,-, .
2 3
SOLUCIÓN.·
• • . } · , pruebe que x
0
= o es un punto de
4 n
J • • • ,
• _acumúlación de A·. (Vemos que en este caso x0 = ó ~ A )
Para que ello ocurra TODA VECINDAD ALREDEDOR DE Xº = o DEBE .
CONTENER PUNTOS DE A DISTINTOS DE x
0
= O :
6 6
~
1 1
o 1 1
n 4 3
1
2
-250 ~ AnfÍlisis Matemático 1 Cap. 3
. Tomemos una vecindad reducida.cualquiera v;, (x
0
= o) , ·con· 8 > o , alrededor
de x
0
= o ; entonces v;, (O) = ( - B, B) - {o} = ( - 8, o) u (o, B)
Y por la Prop. Arquimediana: para cada B > o exi~te un entero positivo n
0
,
que depende de 6 , ·tal que o < - 1- < B •
no
De aquí vemos que nos conviene elegir el punto x1 = -·-
1- , el cual pertenece al
conjunto A y es tal que x
1
~ x
0
( = o) . no
De esta manera, en v;, (O) hemos hallado un elemento x1 E A tal que
xi ~ Xº ( = o). Es decir, V 6 > o • v;, {O) n A ~ . 0 •
Esto significa que x
0
"". o es un punto de acumulaci6n del cof\iunto A.
3.5 OBSERVACIONES.·
1. Todo punto· x
0
perteneciente a un intervalo abierto (a, b) es punto de acu-
mulación de ( a , b } , así como también lo son a y b .
2. Todo punto x
0
perteneciente al intervalo cerrado [a, b) , con a < b , es
punto de acumulación de [ a , b ] .
3. Los conjuntos finitos, de números reales { x1, x2 , ••• , xn } , no poseen
puntos de acumulaci6n.
4. En el Problema [3.4] previo, o es un punto de acumulación del conjunto
A = { ...!... / !! es un entero positivo } ,
n
· y es además el único punto de acumulación de este conjunto. ·
3.6 PUNTO DE ACUMULACION DEL DOMINIO DE UNA FUNCION f
Este es el caso particular en que A = Dom f ( e .R )
un punto x
0
, que no necesariamente pertenece al Dom f , es un PUNTO DE
ACUMULACIÓN de Dom f si toda vecindad V 6 (x0 ) alrededor x 0 contiene
puntos x1 del .Dominio de f, diferentes de x0 ; es decir, si se cumple que: .
V 6 > O, (Domf) n [ v6 (x0 ) - {x0 }] ~ 0
Cap.3 Límites - 251 -
4. 1 LÍMITES 1
4.1 · LíMITE .- Este es el concepto más importante en el ANÁLISIS MATÉMÁTICO, y
antes de definirlo lo motivaremos con un ejemplo sencillo.
Sea f (x) = x + 1 , x ;e 3 , x
0
= 3
a pesar de que x
0
= 3 no pertenece al Dominio de f, deseamos ver qué su- ·
cede con las imágenes f (x) de aquellos x que , en un entorno de x
0
= 3 ,
comienzan a desplazarse .hacia ··
x
0
= .3 t.anto por la derecha
como por la izquierda ( x y x1
respectivamente).
En este ~aso notamos que desde
arriba f (x) se acerca hacia
L = 4 tanto como deseemos
AUNQUE NO LO TOQUE ,
haciendo que x se acerque por
la derecha hacia x
0
= 3 ,
PERO SIN TOCARLO .
y
f(x)
L=4
¡-----~-----
---------
L ~:. __
1 ,.
1 1
1 1
.-+ __,
X
Esto ·se logra haciendo x ~ x
0
cada vez más pequeño, pero de modó tal
que sea x .,... x
0
. ~ o siempre; es decir: o. < 1 x - x
0
1 .
Análogamente, f (x 1) se acerca desde abajo, hacia L = 4 , tanto como
deseemos AUNQUE NO LO TOQUE, haciendo 1 x 1 - x 0 1 más pequeño cada vez pero
sin que x1 toque a x 0 , es decir: lx1 - x 0 1 > o.
Ahora, utilizando la regla de correspondencia de f, si x se acerca a
x
0
= 3 enton~es f(x) = x + t se acerca a: x
0
+ 1 = 4 .
Nótese que se ha remarcado el hecho de que los valores de x .tienden a x
0
PERO SIN TOCARLO, porque lo que aquí interesa es precisamente EL PROCESO DEL ..
LÍMITE o VALOR LÍMITE o LÍMITE DE UNA FUNCIÓN f en el punto x
0
•
4.2 DEFINICIÓf't .- El número L es llamado LÍMITE DE UNA FUNCIÓN f EN EL
PUNTO x (que no necesariamente pertenece a Dom f) si
o
- 252 - Análisis M:itcmático 1 Cap.3
para cada e > o es posible hallar un 5 > o , que depende de x
0
y e, tal que
x E Dom f A 1 f (x) - L 1 < E
y en tal caso se denota : 1 Hm .f(x) . . = L ·•. X-+ X
0
y se lee • L es el límite de f (x) cuando x tiende a x
0
•.
4.3 NOTA.- De aquí en adelante, cada vez que tratemos del límite de una función f
en el punto x
0
, asumiremos que x
0
es un punto de acumulaci6n
del Dom f ; es decir que toda vecindad V a (x
0
) de x
0
contiene
puntos x1 del Dominio de f diferentes de x 0 •
Geométricamente significa que: tan cerca de x
0
como se quiera
siempre se encontrarán puntos del Dom f distintos de x
0
•
4.4 NOTA.- Por la definición de Limite, el válor de 5 > o una vez hallado hace
que tambíén sean válidos, todos los 51 menores que 8 : es decir
o < 51 < 8.
Esto implica que, en el análisis del Límite de f en .un puntó x
0
SOLAMENTE INTERESA SABER LO QUE OCURRE CON LAS IMÁGENES
f (x) PARA LOS x EN UNA PEQUEÑA VECINDAD REDUCIDA ALREDEDOR
DE x
0
, no importando qué tan pequeña sea.
Esta nota es muy útil en general y muy particularmente en los problem¡¡s que invo-
lucran al Máximo Entero.
4.5 NOTA.- Cuando x
0
no es un punto de acumulación del Dom f entonces exis-
te un 8 > o · muy peque~o tal que v5 (x0) n Dom f = 121 , (vacío),
con lo que la implicación en la definici6n de LÍMITE siempre será
válida para cualquier número real L [ pues el antecedente siempre será falso
(F) en este caso ] , y así resultaría que cualquier número real sería el límite
de f en
De este modo tenemos el caso del LÍMITE NO ÚNICO EN x0 , pero que
no lomaremos en cuenta en nuestro estudio.
·Cap. 3 Límites · ' - 253 -
Observe que la implicación en la definición de LIMITE ya fue estudiada al iniciar
1
esta sección y donde la expresión : o < 1 x - x
0
1 < 8 · indica que no interesa
el valor de f en x = x
0
•
Además, el problema de hallar analíticamente el 8 > o de la definición de LIMITE de
f en x
0
ya fue considerado en la sección de VECINDAD ·de este capítulo.
4.6 REPRESENTÁCIONES GEOMÉTRICAS DEL PROCESO DEL LÍMITE
i
y
L+E
L
f(x)
L-e
Dado e > o , por muy pequeño que sea
•
Se halla 8 > o alrededor
de x
0
tal que:
~ [ v5 (x
0
) n Dom f] e V e (L)
X
En términos de vecindades el proceso de límite se puede expresar:
[L = x~~o f(x), . siy sólosi
para toda vecindad V e (L) existe una vecindad V 8 (x0 ) tal que:
En este gráfico y en el siguiente notamos la dependencia de 5 · con respecto a
e y x : si e es más pequeño entonces 8 se hace más pequeña en general ~ o .
Asimismo se ilustra la dependencia de 8 con respecto a x
0
; en este segundo
gráfico vemos que, manteniendo e fijo .en el Eje Y, si .i
0
se va ~esplazando hacia la
- 254 - Análisis Matemático 1 Cap. 3
derecha entonces el 8 óptimo máximo se va haciendo más grande, y si x
0
se va acer-
cando hacia el punto a entonces el 8 óptimo máximo se va.haciendo más pequeño.
y
l L +e
V (L) L
e r (x)
f L - e
f
a X XO b X
\ ... ./' ... I
8 8
4.7 PROBLEMA.- Gráficamente, demuestre que x
2
- 9
lím [ - 1] = 5 .
x-+3 x-3
2
SOLUCIÓN.· f (x) = x - 9 - 1 , x = 3 , L = 5 , x
0
= 3 .
x-3
Para x = 3 : f (x) = (x + 3) - 1 = x + 2 • Dado e > o (eje Y)
y
l I 5 +e
Ve(5) L=5 * . s - e
o
La gráfica es una recta agu-
jereada de pendiente 1 , por
lo que se tiene:
6 =e .
X
El estudiante puede verifi<!'ar que, analíticamente, el valor óptimo máximo de
8 > o (dado el e > o ) es 8 = e .
Cap; 3 Límites - 255 -
?
4.8 EJEMPLO.· Usando la definición demuestre que lfm
X-+ 3
x· - 9 = 6.
x-3
x
2
- 9 (x - 3) (x + 3)
SOLUCIÓN.- f (x) ;,, = --.....;_'---'- = x + 3, L = 6 , x
0
= 3 ;
X - 3 (x - 3)
. y como para el proceso del limite en x
0
= 3 sólo interesan. las x = 3 entonces,
EN EL PROCESO DEL LÍMITE :
f(x) = (x - 3)(x + 3)
· (x - 3)
= X+ 3 , pues x = 3
Luego, dado e > o debemos hallar un 8 > o tal que, para x e Dom f :
o < 1 x - 3 I < 8 => 1 f (x) - 6 I· < e · ... (•)
Veamos,
2
1 1
x - 9 1 __ 1 (x - J)(x + 3) 1 1 f (x) - 6 = ( ) - 6 - 6
X - 3 (X - 3)
= 1 (x + 3) - 6 I = 1 x - 3 1 < e => 8 = e
lo cual es suficiente para la validez de ( •) según vimos en la sección de VECINDA·
DES, al comienzo de este capítulo de LÍMITES.
Habiendo hallado 8 = e hemos comprobado que, en efecto,
lfm
X-+ 3
x
2
- 9
x-3
= 6 .
Equivalentemente, como x = 3 en el proceso del límite entonces
lfm
x-t3
x 2 - 9
x-3
= lím
X-+ 3
(x - 3)(x + 3)
(x - 3)
= lím (x + 3) = 3 + 3
X-+ 3
4.9 EJERCICIO.· Dada la función identidad I (x) = x , . demuestre que:
lím l(x)
X-+ X0
RPTA: 8 = e .
( Ó . !ím X = ,x
0
) •
X-+ X0
= 6 . .
4.10 PROBLEMA.· Dada la fención constante f (x) = e , demuestre que para
todo punto de acumulación X0 del dominio de f : · 1 lf f (X) = C X-+~o
- l56 - Análisis Matémático 1 Cap. 3
SOLUCIÓN.- Dado e > o , deb~mos hallar 8 > o en términos de e tal que
[o < 1 x - x
0
1 < 5 /\ x E Dom f" l => 1 e - e 1 ,.; o < e
pero, como la conclusión es siempre Verdadera (V) , entonces la implicación es
siempre cierta para cualquier 5 > o . En particular podemos tomar 8 = 1 o bien
8 = e 1 • 6 = re 1 etc.·
4.11 PROBLEMA.· Demuestre, por la definición de LÍMITE , que:
1.- lím Jx = 12 6.- • lím ~4x -1 = 1
X-+ 4 X-+ 1/2
2.· lím (4x - J) = 9. 7.· lím x-9 --=2
X-+ J X-+-1 X -1
3.- lím
·x-1
=o 8.- Hm rx = o
X-+) 2 (x
2 + 1) x-tO
4.- Hm 4 9.· lím 3 1 (-· -) = 2 (x + -) = 2
X-+ 4 x-2 X-ti X
5.· lím
' 4
10.· lím l 2x ~ 7 I = 3 • (--) = 4
X-+ 3 x-2 X-+ ,2-
SOLUCIÓN. Ya fUeroil demostrados en la sección de VECINDADES.
4.12 PROBLEMA.· Si f(x) = 1 / ~ , demuestre .que
lím
X-t-3
= 1
2
SOLUCIÓN.· Dom f = ( - oo, 1 } . Dado e > o , debemos hallar algún
. 6 > o en términos de e tal que se cumpla la implicación:
. . 1
[ x E Dom f /\ o < 1 x + JI < 8 ] => 1 ( I / ~) - -1 < e
. 2
De 1 f (x) - L 1 = 1 1 - l.. I = 1 2 -~ 1
. ~ 2 2~
Sea 81 = 1 :
l 4 - (1 - x) 1
<
2~(2+~)
lx +JI
2(2)~ '
1 x + J I < &.¡ = 1 implica - 1 < x + 3 < 1
-4 <X< -2 => 2 <-X< 4 => J < 1 __: X< 5
=> ..[) < ~ < .J5 => 1/./5 < I/~ < l/..[3
Cap; 3 Limites
lfCx)-LI < lx+31 <
4~
• 257 .
< e
si y sólo si lx + 31 < (4..[J)e. Aquí elegimos 8 2 = (4./3)e ~
RPTA: 8 = niín{8 1 ,82 } = mín{t,4./3e}.
4.13 PROBLEMA .~ Demuestre que lím 1 x 2 - 2x - 3 1 = 4 .
X-+ 1
SOLUCIÓN.- Dado e > o , debemos hallar 8 > o , en términos de e tal que
o < 1 x - 1 1 < 8 => 11 x 2 - 2x - 3 I - 4 1 < e .
Notemos que si x = 1 : (x 2 - 2x - 3) = (1 - 2 - 3) = - 4 , y por lo tanto
en un entorno pequeño de x = 1 la expr~sión (x 2 - 2x - 3) es < o , de mo
do que: 11 x 2 - 2x - 3 1 - 41 1 - (x 2 - · 2x - 3) - 41
2 . 1 1 12 = 1 x - 2x + 1 = x - 1 < e
{::> lx-il <re= 8
RPTA: $ = fi..
4.14 REGLA PARA ELEGIR UN 61 INICIAL ADECUADO
. Sea f (x) una función que tiene la forma: f(x) -
h (x)
p (x)
donde x = a es una RAÍZ de p (x) , es decir que p (a) = O , Y
donde h (a) ~ o ; esto significa que x = a es la ecuación de una recta
asíntota vertical de la gráfica de f. Y si se desea demostrar que, en efecto
lím f(x) = L
ello indica que dado e > o se debe encontrar un 8 > o en términos de
e y x
0
, tal que para x E Dom f se cumpla que
O<lx-x
0
l<8 =>, lf(x)-Ll<e.
Así, partiendo de 1 f (x) - L 1 = '. .. =
- 258 - Análisis Matemático 1 Cap. 3
lo que se busca es acotar superiormente 1 g (x) 1 :5 K , para alguna constante
K > o dentro de algún intervalo de la forma: o < 1 x - x 1 < . 6
1
. . o
Precisamente este 61 se elige como cualquier valor que satisfaga la relación :
DISTANCIA entre Xº y LA ABSCISA
DELA ASiNTOTA VERTICAL X = a
y que en particular se puede elegir 6
1
= .!. I x
0
- a 1 .
2
NOTA.- En el caso dé existir más de una asíntota; se toman las distancias de Xº
a cada una de tales asíntotas, luego se elige como 6
1
la mitad de la menor
de todas esas distancias . -
4.15 EJEMPLO.- Demuestre que: X -1. lím
x-+ 1 2x2 - Sx + 2
SOLUCIÓN.- x
0
= l , 2x2 - Sx + 2 = O => (2x - J) (x - 2) = O
1 f(x)- LI = 1--x--+ ij =
2.x
2
- Sx + 2
=
' 2x- - 4x + 2
2x
2
- sx· + 2
2lx -1'2
l 2x - 111 X - 2 I
Siendo las asíntotas x = 1/2 , x = 2 , tomamos las diferencias (distancias)
y 1 2 - X 0 1 = 1 2 - 1 1 = ) .
Elegimos la primera de ellas y le tomamos la mitad , es decir:
61 = .!_ I .!_ - X 1 = .!_ . 2 2 o 4
para acotar superiormente la expresión 2
(2x - l)(x - 2)
0 < 1 X - x
0
1 < 6 1 ::::> O<lx-1'<.!_ ::::>
3 5 - <X<-
4 4 4
=> 5 3 1 3 -- <X - 2 <-- y - < 2x -1 < -
4 . .4 2 2
=> 1 4 1 <- y < 2.
lx - 21 3 l2x - 11
Cap. 3 Limites - 259 -
De modo que en (•) :
2
lf(x)-LI = llx~I! < 2(2}(~)1x_:.1'2 <e ·
l 2x - 111 X - 21 3
Por lo tanto, ·5 min { 1/4 , ~(JE/ 16) } .
4.16 PROBLEMA.- . Demuestre que si a ;::::: O entonces lím .['; = ..{; . .
X-+ a
SOLUCIÓN.- i) Para a = O ya.fue demostrado.
ii) Para a >O: X ;::::: 0 => rx + ra ;::::: .,¡-;; > o :
1 rx - ra 1 lx - al :5 lx - al· < e = rx + ra ra
4.17 LEMA.- Si lxl $ e para todo e > o , enlences x = o -.
PRUEBA.- Supongamos que x ""' o, entonces 1x1 > o . Tomemos e1 = 1x1 /2 ,
entonces e 1 > o ; y como 1 x 1 :5 e se cumple para todo e > o ,
y en particular para e1 = · + 1x1 , entonces
O< lxl $ e1 = ·~ lxl => 1 $ +
lo cual es ABSURDO. Luego, nuestra suposición de partida no resulta váli-
da y p.or lo tanto se tiene que : ¡ · x = O ¡.
4.18 PROBLEMA.· Si lím f(x) = L entonces par!i cualquier constante real
X-+ x
0
e se cumple que: Hm [Cf](x) = CL.
x-+ x 0 ·
SOLUCIÓN. i) Si e = o : trivial.
ii) Si e ;<: o : por hipótesis, dado e > o y e1 = e / 1e1 > o
existe 8 > o tal que, para x E Dom f :
. - 260 - Análisis Matemático 1 ·
1
. e
f (x) - L.j < e1 = -ICI
1 [Cf)(x) - CLI <e
Cap. 3
- L.q.q.d.
4.19 TEOREMA.· Si lím f (x) = L y si a < L < b entonces
X-+X
0
existe un número 6 > o tal que, para · x e Dom f :
O < 1 x - x
0
1 < 6 =? a < f (x) < b .
PRUEBA.- · Sea e = mín { L - a, b - L } > o , entonces se cumple:
e.s L-a y e :S b-L
Y puesto que lím f (x) = L entonces para tal e > o existe un 6 > o tal
X-+X
0
que, para x E Dom f :
O< lx-x
0
I < 6
1
=? lfCx)-Lj <e
[ # L - e < f(x) < L + e ••• (**) ]
De(*) y {H): V x E Domf /\ O< lx-x
0
1 < 6
4.20
a :S L - e < f (x) < L + e :S b ,
a < f(x) < b
TEOREMA.· Para n E z+ : = ni límf(x)
l X-+XO
PRUEBA.- Sea L = lím f(x) ,
X-+x
0
CASO 1.- n E z+ /\ L > o. : por el leorema anterior con a = L/2
existe 61 > O tal que f (x) > L/2 > o para todo
x E Dom f /\ o < 1 x - x
0
1 < 6 1 y como
n.J f (x) _ iJ.JL = -.:======::=-:--;:::::=f=(x=)=-=L==:------====-
V c r (x)) n - I .+ ~L[fCx))n-2 + ~-.. + ~Ln-:1
Cap.3 Límites - 261 -
pero como lím f (x) = L , entonces dado e > o y e 1 = e ~ Ln """. 1 > o
X-+ X
0
existe 6 2 > o tal que para todo x E Dom f /\ o < 1 x - x 0 1 < 6 2
=? ' lf(x)-Ll<e1
. Eligiendo 6 = mfn { 61 , 62 } se cumple (•) y ( .. ) , y así para todo x
tal que x E Dom f /\ o·< 1 x - x
0
1 < 6 ,
1 n.J f(x) - '!fL 1 :S 1 f(x) - L 1/ ~ Ln-l
CASO 2.- n IMPAR E z+ /\ L > o : =? - L > o , y del CASO 1 :
lím '1/-f(x) = 'V-L y considerando e = -1 :
CASO 3.- n impar, L ~ o : Dado e > o , entonces para e1 = en > o
existe 6 > o tal que
[xEDomf /\O< lx-x
0
1<6] =? lf(x)-Ol < e1 =en
{::} 1 n../ f (x) - o 1 < e •
CASO 4.- .n par, L = o , f(x) ;?:: o para todo x E Dom f : ·
Dado e > o , para e1 = en > o existe 6 > o tal que
[xeDomf /\O< lx-x
0
1<6] =? lf(x)-Ol = f(x) <en
'1J f (x) = 1 ~ f (x) - O 1 < e .
4.21 PROBLEMA.- Si lím g(x) = L ;e O. , pruebe que
X-+ X
0
lím [-
1
-] = ----
x-+x0 g(x) lfm g(x)
=
X-+X0
l
L
SOLUCIÓN.- Por el último teorema, supongamos que L > o , entonces para
a = L/2 >. o existe 61 > o tal que
'i
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- 262 - · Análisis Matemático 1 Cap. 3
L
[ V x E Dom g /\ O < 1 x - x
0
1 < li1 ] => g (x) > - > O (•) 2
. 1 ., . t .., t 1 Asimismo, dado e > o y e1 = -e L- , ex1s e un u 2 > O a que 2
[V x E Domg /\ O< lx ·- x
0
1 < 62 ] => 1 g(x) - LI < e1 ( .. )
Entonces, eligiendo li = mín { li 1 , 52 } se tiene, de (•) y (• •) , que_:
V x E Domg /\ 0 < 1 X - X
0
1 < 1) :::}
l _1 __ _!_ 1=--·1-·lg(x)- LI < 2-e =
L ·L 1 g(x) L lg(x)IL
5. TE6REMAS SOBRE LÍMITES.
5 .1 TEOREMA DEL SANDWICH. - Si existe un entorno reducido N' (x
0
)
de x
0
tal que:
. i) - f(x) ~ g(x) ·~ h(x) para todo x en N'(x
0
), y
ii) lím f(x) = lím h(x} = L
x-.x o.
entonces lím g(x) = L .
x-+x
0
PRUEBA,- Tomemos e > o , por (ii) existe 51 tal que si x e Dom f n Dom h ,
entonces
o < lx - x
0
1 < 51 :::} L - e < f(x) < L +e (•)
y existe un 52 > o tal que, para los mismo x previos:
o < lx - x
0
1 < li2 :::} L - e < h(.r) < L +e ( .. )
' De la condición dada p¡¡ra g (x) , de (•) , ( .. ), y de haber elegido 5
1
y 5
2
de
manera que V~ (x ) e N' (x ) , i = 1, 2 , y eligiendo 5 = mín { 51 , ·82 } : u¡ O O
V x E VS (x
0
): L - e < f(x) :5 g(x) :5 h(x) < L +e.
Es decir, 1 g(x) - L 1 < e para.todo x tal que O < lx - x
0
1 < 8 lo que
implica que: Hm g(x) = L .
lf,
¡ ·~
~ ,J
I
,¡
'.I •r
1 t.'
·'·
~t
'} ·
: ~
·'
Cap·. 3 Límites - 263 ~
5.2 TEOREMA.• Si lfm f(x) = L 1 X-+ x
0
y si x
0
es un punto d~ .acumulación de Dom f n Dom g entonces:
a) Hm [ f + gj(x) :;: [ lím f (x)] + [ Hrñ g (x) ] - L1 + L2 X-+ x
0
. X-+ X
0
X-+ X
0
b) lím [f;g](x) = [ Hm · f (x) ] • [ Hm g (x) ] =
x _-.x
0
x-.x0 X-+X 0 .
c) lim [-1-] 1 si L2 :;ie O = -
X-+ X
0 g(x) [ lím g(x)] L2
.x-.xo
(_ lím f (x) ]
L¡
d) lím [ f (x) ]
x-.xo
si L 2 :;ie O . =
x-.xo g(x) [ lím g(x)] L
x-.xo 2
e) lím [ Cf(x)] e[ Hm f (x) ] V constante c.
x-.xo x-.xo
t) lím [ xn]
n para todo entero positivo . n . = Xo
x-.xo
g) lím · [ f - g ]Cx) = [ lim f(x)]-[ lím g (x) ] = L 1 - L 2
x-.xo x:...+x0 x-.xo
PRUEBA.·
a) Sea e > o entonces para e1 = e2 = e/2 existen 81 > O , 82 > o
tales que para x E Dom f n Dom g :
o < lx - x
0
1 < 51 :::} 1 f(x) - L11 < e1 = e/2
o < 1 x - x
0
1 < 52 :::} 1 g (x) -· L2 I < e2 = e/2 ... (•)
Sea ª· = mín { 81 , 5 2 } , entonces V x E Dom (f + g) tales que
0 < 1 X - X 0 1 < l) :
1 (f + g)(x) - (L 1 + L 2 ) 1 = 1 f (x) - L 1 + g (x) - L 2 I .
~ 1 f (x) - L 11 + 1 g (x) - L 2 I
< e/2 + e/2 = e .
b) Sea e> o y e1 = e/[2CIL21+1)] >o
e2 = e/ [ 2 ( 1L11 + 1)] > o existen 51 , 82 > o :
(
- 264 - Análisis Matemático 1 Cap. 3
. 1 f (x) - L1 1 < e V X E Dom f /\ o < 1 X ·- Xº 1 < 81
1 g (x) - L2 1 < e ' V X E Dom f /\ o < 1 X - Xº 1 < 82
Y dado e 3 = 1 , y_ lim g (x) = L2 entonces existe 83 > o tal que: x-+x
0
V xeDomg /\o< lx~x0 1<83 => lg(x)-L2 1<1
::::;>- 1 g (x) 1 < 1 + l L 2 I •
Eligiendo 8 = mín { 8 1 , 8 2 , 83 } , entonces V x e Dom (f g ) . tales que
o < 1 x - x
0
1 < _8 se cumple que :
1Cfg)(x)-(L1L2 )1 = lf(x)g(x)-g(x)L1 + g(x)L1 - L1 L2 1
~ lg(x) 11 f(x) - L11+IL1 11 g(x) - L 2 I
< _e 1 (1L2 1+I) + IL 11e2
e CIL 2 1+1) IL11e e e =-· . + . <-+-
2 CIL2l+l) 2(IL,l+1) 2 2
c) Ya fue probado. d) Usar (b) y (c). e) . También ya fue probado.
f) Se sigue de (b) repitiendo un número finito de veces, y de que
. lim X = X •
x-+xo o
g) Usar (e) para: e = - 1 • y el resultado de (a) .
5.3 TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE.
Si lfm f(x) = L1
X-+X
0
y Íím f (x) = L2 entonces L1 = x-+x
0
siempre que x
0
sea punto de acumulación del dominio de f .
PRUEBA.· V e > o. e1 = e2 = e/2 > o, existen 81 • 82 > o tales que
x E Domf /\O< lx-x
0
I < 8 1 ::::;>- lf(x)-L 1 1 < e 1 (a)
xeDomf /\ O<lx-x
0
l<82 ::::;>- lf(x)-L 21<e2 (13)
y como x
0
es un punto de acumulación de Dom f entonces existe algún otro pun-
to x 1 e Domf tal que x 1 """.x0 y tal que
0 < 1 X¡ - X
0
1 < 8 = mfri { 81 , 82} .
Cap. ·3 Limites • 265 •
Estoitnplicaque · IL1-L2 1 = IL1 ..:...f(x1)+f(x1)-L2 1
~ 1 f (x1) - L 1 1 + l f (x1) - L2 I
< e1 + e1 = 2 e1 = e . de (a) y (13).
Y como 1 L1 - L2 j < e V e > O , . entonces L1 - L2 = O , L1 = L2 .
5. 4 _COROLARIO (IMPORTANTE). -
Si 1 ,x .~n;o f(x) =A""" O 1· ·1 ;~n;o h(x) = B ;.o O I · K ;oo o¡
entonces ( K·A ).[ lím g(x)]
B X-+ x0
lim [ K f(x).g(x) ] _
x-+ x 0 h(x)
PRUEBA. ·Usando el TEOREMA 5.3 (b), (c), (d) y (e) sucesivamente.
5. 5 NOTA. - Este COROLARIO 5.3 indica que cuando se va a calcular el límite de
una función que contiene UNO o VARIOS FACTORES 1 CUYOS LÍMITES
(parciales) SON DISTINTOS DE CERO cuando x-+ x 0 entonces es-
tos LÍMITES NUMÉRICOS PARCIALES se calculan y se colocan como
coetiCientes adelante del límite general , tanto en el numerador ·como
en el denominador , respectivamente .
Esto permite limpiar y aliviar la carga de la parte operativa del cálculo del limite.
En particular, este resultado es sumamente útil en el cálculo de LÍMITES TRIGO •
NOMÉTRICOS.
EJEMPLO.· lfm
X-+ 2
(x
2 + Sx - 1 )(x2 - 4)
~x+3 (x2 +3x-IO)
13 (x2 - 4) = --· lfm
· .J5 x-+ 2 (x2 +3x-IO)
- ...!1..... Hm ~(x+2) =
.J5 x-+2 ~(x+5)
=
_13_. lim (x+2)
./S. x-+2 (x+s) ·
(13)(4)
.J5 (1)
l.J[::l
= L2:{IJ
- 266- Análisis Matemático 1 Cap. 3
5.6 APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS AL CALCULO DE LÍMITES
1.- lím (2x2 -3x+4)=2(limx)2 -3(límx)+ lfm(4)
2.-
3.-
4.-
5.-
x-+2 x-+2 x-+2 x-+2
= 2 (2)2 - 3 (2) + 4 6
lím V x - S = ~ lím (x .:.. S) = V lím (x) - lím (5)
x-+13 ' X-+ 13 .r-+13 x-+13
= V 13...: ·s = rs = 2
lím
3-x
lfm ~ lím c..!.) = = =
X-+ 3 12...., 4x x-+·3 4~ . X-+3 4 4
pues en el proceso del límite siempre se tiene que X ;e 3 •
Hm
¡J+;" - ./3
lím
(3 + x) - 3
=
X ( ..¡-;-+) + ./3 ) X-+ 0 X X-+ 0
l l l
líin =
¡J+;" + ./3
= ./3 + ./3
=
2..[3 X-+ 0
Hm
X
lím
X
(*) = ...
X-+ S/2 [x + 2] X-+ 5/2 [x] + 2
y como para electos del límite basta analizar el comportamiento de los x de algu-
na vecindad reducida v5 (S/2) , de ra~io 8 > o , alrededor de x
0
= S/2
por muy pequeña que sea, enfonces para 8 = 1¡i :
V x E V 1 (5/2) = (5/2 -,- ·8, S/2 + 8} - {5/2}
= ( 2 , 3 } - { s / 2 } , se tiene que [ x] = 2 .
Luego, ( *) es equivalente., EN EL PROCESO DEL .LÍMITE 1 a :
X
= lím
x-+5/2 2 + 2
=
•.
lfm X
x-+5/2 4
5
8
.,
G.- lím [-6- __ 2_] = lím [-6-..:.. -2(x" + x + l) ]
x -+ 1 x3 - 1 x - 1 x-+ t x3 - 1 x3 ·- 1 .
2 -2~(x + 2)
= lím [ -2 (X +X - 2) ] lim
X-+ 1 3 - 1 X-+ 1 ~(x2 +x+I~ X
(- 2) lím
(x + 2) . 3
-2. = (- 2)(-)
X-+ 1 (x
2
+X+ 1) 3
I ·
'Cap.'3·< ,. Límites
7.-
. 1 1 1
llm -[-- + -1 = lím
x-+0 x x-3 3 x-+6·3(x-3)
; ' ·'
B.-· lfm · [(x· +. b} - f(x)
·h-+0 h
pa·ra · f(x) = - 1-
. 2
X
- 267 -
9
SOLUCIÓN.- f (x + h) = 1
·· c.r+h>2 .
En el proceso de este límite x está
fijo y lo que varia es ~ .. :· ·· i ·
~ :~~ ;' '-:•· :, ' ·.;. ' '. ~
.'·;, :;~ ' lím .L.!..c . - -'- l = lím ..!..[ ~· hc2X + h)
. ~-+o h (x + h)2 x2 . h-+ o h (x + h)2 x2
primero se cancela la variable h , por ser h ;e o , y luego se pasa al límite:
_ lim 2x + h
h-+ o x2 (x + h)2 =
6. 1 LÍMITES ·LATERALES 1" .
..
. . Los límites laterales de f, 'por la izquierda y por la dere-
cha de x
0
, se presentan cuando'.el análisis se realiza restringiendo el dominio de la
función f a los subconjuntos siguientes:
. : (". . ... · .~ . . ..
Dom f n ( - oo, x 0 ) . para el LIMITE DE f POR LA IZQUIERDA DE xb
Dom f n ( x
0
, oo) para el LIMITE DE f POR LA DERECHA DE x
0
En estas dos situaciones también se sigue considerando a x
0
un punto de
acumulación del dominio de f .
6.1 DEFINICIÓN
L es el LÍMITEi>E f POR LA DERECHA DE Xº si.: d,ado e > o 1
existe alg_ún 8 > o (que depende de e y de x
0
) tal que: ·
X E Dom f n (Xº ' 00 ) /\ o < 1 X - Xº 1 < 8 => 1 f (x) - L 1 < e
o equivalentemente:
X E Dom f ./\ Xº < X < Xº+· 8 => 1 f(x) - L 1 < e
~ 268 - Análisis Matemático 1 Cap. 3
o también
l xeDomf /\ xE{x0 ,x0 +6) => jf(.r)-Ll<c l.
En tal caso se denota
L = lfm f(x) = lfm
X-+X+ X-+X+
. o o
y
L+c
L
f (x)
L-C
(x> x
0
)
f(x) = f(x:) LIMITILATIRAL
DIRICHODE f
11 .ro •
X
Para los casos prácticos esta definición indica que, para el análisis del lími-
te lateral derecho de f en x
0
, basta analizar el comportamiento de f en los pun-
tos a la derecha de x
0
y muy cercanos a éste, no importando qué tan cerca,
pues el valor de 6 > ·o puede ser tomado todo lo pequeño que se necesite.
&.2 EJEMPLO.· Evalúe los siguientes límites laterales derechos:
· a) lím ([2x] + x),
x-+3+
X> 3
SOLUCIÓN.·
b) lím ( [ 2x + 2.:] + 6x) .
X-+ 3+ 2
x>3
a) Si x tiende a J por la derecha (es decir, x -+ 3+ , x > J) entonces 2x
tiende a 6 .· Veamos cómo es esto:
. Cap.3 Limites · . - 269 -
b)
Si analizamos para 6 = 1 : x E { 3 , J + 6 ) = { 3 , 4 ) ,
X > 3 => 6 < (2X) < 8
=> [1x~ puede ser = 6 ó 7
pero como 6 puede ser tomado más pequeño, lo elegiremos de manera que
(2x) sé encuentre entre dos enteros consecutivos.
• Para asegurar esta situación elegiremos, por ejemplo, 6 = 1 ¡.; :
. . 't 20
X E { 3 , 3 + 6) = ( 3, 3 + - ) => 6 < 2x < - < 7
3 . 3
=> [2x] = 6 para todo x E {3, 10/3)
y el problema se reduce a la forma simple:
lim c[2x] + x) = lim (6+.r) ::e 9.
x-+3+ x-+3+ .
x>3 x>3
Compruebe que hubiese sido suficiente con tomar 6 == 1/2 .
6.3 NOTA.· DespUés de reducir la expresión en el proceso del límite a una equi·
valente en una vecindad pequeña a la derecha de x
0
, y luego de
esto recién se pasa al límite.
Si x tiende a 3 + (por la derecha) entonces 2x + 2.: tiende al valor
2
6 + 2.: = 7.5 · , de modo que podemos considerar 6 = 1/4 :
2
xe{3,3+6) ( 3, 3.25)
de donde, V x e { 3 , 3 .25 ) :
=> . 2x E ( 6 , 6.5 )
3 .
2x + - E ( 7.5, 8)
2
.
Es ásí que, restringiendo nuestro análisis a este nuevo dominio"':"
lim ( [ 2x + 3
2
] + ~x) =
:C-+3+
lim (7 + 6x) =
X-+ 3+
6.4 OTRA FORMA EQUIVALENTE.· Y más rápida para el c·álculo de límites latera·
les que involucran el máximo entero :
- 270 - A11i1lisis Malcmátko 1
a)
b)
Hallar lím . ( [ 2.,Jj + x)
X-tJi·
es equivalente a
lím ( n· 2x D + X) ó
{
x-t3 · · ·
.\" > 3
lím c[2x]+x)
{
x _--+3+
X> 3
en donde la expresión en las llaves indica que el proceso del limite s.e está realizan
do con los .:! inmediatamente a la derecha de x
11
= 3 (x > J) y viajand~
hacia ~sle punto; ' ello indica que si partimos de la expresión • x > . J • , para for-
mar la que está dentro del máximo entero tendremos:
X > J
2x > <•
(1x) > 6
Y como x está viajando a 3 , . entonces 2 eslá viajando a 6 en la forma
2x > 6 y por lo tanto, en algún momento la expresión (2x) ha tenido que
pasar por 7 para después llegar a ~ ; es decir
6 < 2x < 7
lo que implica que [ 2x] = 6 (en el proceso del límite cuando x viaja
hacia 3+ por la derecha).
Luego, c[2x] + x) =
Hallar Iím ( [ 2x + 2..] + 6x)
X-tJ+ 2
lím ( [ 2x .+ 2..] + 6x)
{
X-tJ+ 2
x>J
Para ello partimos de . x > 3
2x .> 6 .
lfm
X-t3+
X> 3
( [2x] + X)
Jim ( 6 + x) = 9 .
X -t j+
x>J
que equivale a hallar
( viajando x hacia 3 )
1x + (3/2) > .6 + (3/2) = 1.5
1x + (3/2) > 7.5
1 t ~
' .
,.
l '
~ ' '·
·.,
Cap. ·3 Limites - 271 -
y como x está viajando hacia ~ entonces la última desigualdad indica que
ix + (3/2) está viajando hacia 7.S (por la derecha, en este caso), y que por
lo tanto ha tenido que haber pasado por ! para luego ir acercándoae hacia 1.s :
8 > 2x + (3/2) > 1.S
=> [ 2x + (3/2)] = 7 EN EL PROCESO DEL LÍMITE
lfm ( [ 2x + (3/2)] + 6x)
x-t 3+
x>3
= lfm (7 + 6x) = 7 + 18 = 25
J( -t 3+
6.5 DEFINICIÓN .~
El valor L es el LÍMITE DE f POR LA IZQUIERDA DE Xº si :
• Dado e > o es posible hallar (existe) 8 > o , que depende de
e y del punto x
0
· , tal que:
( X E Dom f /\ . x
0
- 8 < X < X
0
) => 1 f (x) - L 1 < ·e 1
O equivalentemente
[ X E Dom f /\ X E (Xº - 8 1 Xº ) ] => 1 f (x) - L i < & •
Entalcas.osedenota L = lím f(x) = lím f(x) =
6.6 EJEMPLO.- Calcule · Hm· ( [ 4x] - 2x) • .
X-+ 3
SOLUCIÓN.- En forma equivalente, Hm C[4x]--2x)
X -t 3
Partimos de la desigualdad
Y EN EL PROCESO DE LÍMITE :
x<l
X < J
4x < 12
11 < 4x < 12,
f(x;)
LIMITE LATERAL
IZQUIERDO PE f
EN X0
pues cuando x viaja hacia 3 (por la izquierda), 4x viaja hacia 12 (por la iz-
i :'.il1
1
, :·I
1 .1 :-:.
' ..
f.'¡
'l i
¡•:;
1
¡ii'· .
l.
i:1l
¡;
A11~·1lis .is Matl"m;"ilku 1
1¡11i1•rdu) pasando obviamente por 11 ; así
ff 4x] = 11 ( t•n d ,,rm•t•sc> cll'i límitt•)
=> lím { [ 4x] - 2x) = lím (11-:- 2x) = 11 - <•
;\º -+· J
.l" < J
X-> J
6.7 ÉJEllPLO.- Calcule el siguiente límite lateral izquierdo:
lim X. [ .v
1
2 ] x~I+ ..
SOLUCIÓN.- lim x [ .... '2 ]
partimos de X >
X-+I+ "
X> 1
· y en el proceso del limite :
Así,
X ~ ~ + X [ Xl2 ] =
X> 1
6.8 EJEMPLO.- Calcule lím
X-+ 1
SOLUCIÓN.- Partiendo de
=>
X < 1
0 < X <
. .,
o < x- <
., > 1
x- .
2 > >I
2
X
<
o < < 1 2
X
=> [+] = o .
X
= lím O = O •
X-+ 1+
(en el proceso del límite)
(en el proceso del límite)
~ [ +] = 1.
X
( ... .,. J
= 5
,.
1 •
Cap. ·3 · Límites - 273 -
Así, Hm x[xl2] = lim x·I = llm X = 1
x-+ 1 x .:-+ 1 X-+ 1
x < 1
6. 9 ILUSTRACIÓN GEOMÉTRICA DE .LOS LÍMiTES LATERALES. -
En la gráfica siguiente existen ambos límites laterales :
lím f(x) = a f(4+) .= Hm f(x) = b
x-+4 x~4+
x<4 Y x>4
y sin embargo
e ------,--• • 1
f
a.,,..· b
b --------
a= f(4 ) + -:¡/! f(4 . ) ·= b
X
lf m f (x) . NO EXISTE . Para que este límite exista en el punto
X-+ 4
x
0
= 4 las gráficas de la función f a ambos lados de x
0
= 4. deben estar al. mis-
mo nivel, es decir a = b 1 lo que significa que los límites laterales deben coincidir:
1
. 1 ,.
1
1
x
0
= 4
.a= f(4-) = f(4+) = b
X
- 274 - Análisis Mateniálico .1 . Cap. 3
Note que el lím f(x) = a [ = b] EXISTE aún cuando f(4) = e sea dife-
x-+4
rente de li m f ( x) = a · (pudiendo inclusive nó estar definido el valor f ( 4) ) .
x-+ 4
6.10 TEOREMA.- Si f está.definida en un entorn~ reducido 1(.1 (a)
de a , y si L e R , entonces se cumple que
lfm f(x) = L si y sólo si
x-+a
lfm f(x) = L = Hm f(x)
x-+a+ x-+a
x>a x<a
. PRUEBA.- [sólo si] : Dado e > o existe 8 > o tal que:
[ x e Dom f /\ o < 1 x - a.1 < 8 ] => 1 f (x) - L 1 < e
" { [ x E Dom r /\ x e (a, a + 8) ] => 1 f (x) - L 1 < e
[ x E Dom f /\ x E (a - 8. a) ] => 1 f (x) - L 1 < e
de aquí
(ex)
(JJ)
Asíconcluimos, de(cx): Hm f(x)=.L,yde(J}): llm f(x)=L .
x-+a+ x-+a
! ~i_J _: Dado e > o , existen81 > . o y 8 2 > o tales que:
[ x E Domf /\ x E (a , a+ 81 )] => 1 f(x) - LI <e ... (a)
[ x E Dom f /\ x E (a ~ 8 2 , a) ]'=> 1 f (x) - L 1 < e ;.. (Ji)
debido a que f(x) = .L y Iím f (x) = L respectivamente.
x-+.a
Eligiendo 8 = mfn { 8
1
, 8 2 } resulta que .
· x E (a, a + 8) => x E (a , a + 81 )
x E (a - 8 , a) => x E (a - 8 2 , a)
y por lo tanto, de (af y (Ji):
[ x · E Dom f /\ x E (a - 8, a + 8) - {a} ] => 1 f (x) - L 1 < e .
Cap. 3 Limites - 275 -
De :esto concluimos que:- Hm f(x) = L .
X-+ a
6.11 EJERCICIO.~ Demuestre que: · lim fl no existe.
x-+ 0 X
SOLUCIÓN.- Hallaremos los límites laterales:
a) lím
x-+0+
fl = lim x =
X - · x-+0+ X
x>O
1 = primero se cancela y
después Se pasa allíinite ' pues X > 0 ~ f X 1 ~ X •
b) lim
X-+ 0
.·lxl --=
X
llm
X-+ 0
x<O
=
(- x)
lim (-l) -1 .
X X-+ 0
Como los dos límites laterales en o existen, pero son diferentes , entonces
el límite en o no existe, por el teorema previo. .
6.12 PROBLEMA.· Calcule los límites laterales en x
0
= 1 de : .
SOLUCIÓN.· i)
lfm f(x) =
X-+ 1+
ii)
6.13 PROBLEMA.·
{
2 [x]
(X + 2) 1 X ~ 1
f(x) =
3.,[; x<l.
+ X -+ 1 , x>I => < x < 2 . (en el proceso del limite) ,
=> [x] = 1 ; luego,
lím (x2 + 2)[x] = lfm (x2 + 2)1 = 3 r(1+)
x-+I+ X-+I+
X> 1
lím f(x) = lím 3.,[; = VI= = f(I-).
x-+I X-+I
x. < 1
/'
Para 'la función dada en el problema anterior, demuestre por la de-
finición que:
lím f(x) = 3
X-+ 1+
X> 1
- 276 - Análisis Matemático. 1 · Cap. 3
SOLUCIÓN.· .x
0
= 1 . , L = 3 ; dado e > o , elegimos un 51 > 1 :
2 [x] 2 f
V X E (1,1+61 ) = (1,2} => f(x) = (x +2) = (x +2).
Luego: 1 f (x) -'-- 3 I = 1 (x2 + 2) - 3 1 ~ 1 x2 - 1 1
. = lx - 1llx+1 I < 3lx - 1 I < e
si y sólo si 1 x - 1 1 < c/3 = 6 2
( pues si x e ( 1 , 2 ) entonces x + 1 e ( 2 , 3 ) ) .
· Elegimos 6 = mín { 51 , 52 } = mín { 1, ei3} => 6 $ . 1 y 5 S C/3 ,
y además:
( X E Dom ( 1\ X € ( 1, I + 5} ) => 1 ( (x) - 3 j = 1 (x2 + 2) - 3 f ~
=lx+111x-ll<3lx-ll<3~ =e.
3
V por lo tanto: f(t+) = lím f(x) = 3.
x-+I+
x>I
. 2
x[.J9-x]
6.14 PROBLEMA.- Calcule lím ·
x-+I+ x+2
x>I
SOLUCIÓN.- Hallaremos en el proceso del límite una expresión equivalente a la del
máximo entero:
lfm f(x) = lím f(x): x > 1 {::} -X < - 1
9 - X< 8 X-+I+ x-+I+
X> 1
... en el proceso del límite ,
Así, lím
X-+¡+
X> 1
. 2
X [ ~~9 --X-•·]
x+2
=
{::} 7<9-x<S
2<./7'<~<../8<3
_x_. 22 =
x+í
= 2
4
3
Límites ' - 277 -
fj.15 ~JERCICIOS _ PROPUESTOS.· Usando la definición de LÍMITE:
- : ~ . ~·- -; . :.. 0
11~ lx ,I = t. Demuestre que: o .
X-+ 0
2. Demuestre que: Hm 1 f (x} 1 = o si y s6lo si lfm e c.rr .-= o.
X-+ a . X-+ a
3. Demuestre que: Hm f(x} = L. si y sólo si lím lfCx>-tl= o .
X-+ a x-+ a
4. Demuestre que: lím f(x} = L => lfm 1f(x)1 = IL 1.
x-+ a: X-+a
SUG: 11 a 1- - jb 11 $ la - b 1
Adel!láS, dé un ejemplo que muestre que el recíproco no se cumple . .
{
J X> 0
RPTA: . f (x} = . , a = O •
-[ X< 0
5. Demuestre que , si a < b + e para todo e > o , entonces a $ b .
SUG: Suponer que a > b , · y elegir e == (a - .b) :> o .
6. Sia < f(x} < b para todo x e (e, d} , ;(o e (e, d} , y si existe
L ::: lím f (x) , . demues~re que a $ lfm f (x} $ b .
x-+x0 x-+x0
SUG: x
0
e (e, d) => f (x
0
} e (a, b); V e > o existe 5 > o tal que
[X E Dom f " o < 1 X - Xº 1 < 6 ] => L - e < f(x) < L +e
Aquí aplicamos la condición dada y obtenemos: .
_a - e < f(x} - e < L < f(x) +e < b +e
=> a+e<L<b+e para todo e > o .
Y por el Problema [5] concluimos que: la$L$b,.
7. ¿Existe lím ( ~ x ~ x ..¡-;-:::1 + ..¡-;-:::1) / [ 2 - x - x 2 ] .?
x-+I .·
RPT: Si, L = o. En este caso lím f (x) = Hm f (x) = lím f (x}
X-+l . X-+I+ X-+I+
x>I
pues la función f (x) no está definida para x $ 1 , y
-278 - Análisis Matemático 1 Cap.3
1.
7.1
TEOREMAS SOBRE LÍMITES DE FUNCIONES COMPUESTAS 1
TEOREMA ••
Hm f(.r) = L si JI aólo •i lfm f(x
0
+ h) = L
b-+0
PRUEBA.- Para cada e > o existe 8 > . o tal que :
[ :x E. Dom f " o < lx - x0 1 < 8] * 1 f(x) - L 1 < e (•)
Haciendo h = :x :._ :x
0
de donde x = .r
0
+ h ; (•) equivale a:
[ x 0 + h E Dom f f\ O < 1 h - O 1 < 6 => 1 f(x0 + h) - L 1 < e.
Y como f (:x
0
+ h) = [ fo (I + '.r
0
) ] (h) , entonces
lfm [fo (I + :x )]Ch)= L * Hm f(.r + h) = L "' lfm f(r)
h-+ 0 O · b-+ 0 O X-+ x
0
7.2 NOTA.- Este procedimiento recibe el nombre de REDUCCIÓN DEL LIMITE DE
.r0 a o . En la práctica consiste en hacer un CAMBIO DE VARIABLE:
·1 :x - :x ~ = h I · de modo que cuando :x -+ :x º entonces h -+ º
y viceversa .
7.3 EJEMPLO.-
Y como en el proceso del Límite el símbolo
h es ' mudo ', y es llamado variable muda , podemos regresar
'al símbolo ! y escribir directamente como una regla : es decir
.L lim f (x)
x-+x
0
= · Hm f (x + :x
0
)
x-+x
0
lím [ :x
2 + l:x] = lím e (x + 1)2 + l(x + 1) ]. = 1 + 2
x-+I x-+0
1
2 + 2(1) = (O + 1)2 + 2 (O + 1) . = 3
7.4 EJERCICIO.- . Demuestre que:
lím f(x) = lím f(x+a)
x¿x
0
+a x-+x
0
SUG: Aplique la regla del teorema previo.
•Límites .
7.5 TEOREMA.- Para e ;e o :
" ' · lím · ·r(x) = L = lím f(C~)
x-+0 x-+0
PRUEBA.- Para·eada e :> o. existe 8 > ·o ' ial qué' si ~· e Dom f · se· cumple:
O< lxl < 81 => lf(x)-LI <e · Ha~iendo h = x/C
o < 1.c h 1 « &¡ :·=> 1 f(Ch) ,""" L I« e .
O equivalentemente:
o ·ti hl < 81/fcl ~- [f (ch) ....: L 1. < e .81·,,=.,h:t i.é 1
=> lím f (Ch) = L [ = lím . f(x)]
h-+ o x-+ o
y el teorema queda probado regresando al símbolo x en lugar de h .
7.6 EJERCICIO.· Demuestre que
Hm f (x) = lím f (2.r) = lím f-(x/3) = lím f (- x)
x-+0 x-+·O x-+0 x-+0
SOLUCIÓN.· · Directo del TEOREMA 7.5 : C = 2 , é = 1/3 : C ::::: -" l .
7.7 TEOREMA.-
lím · f(x) =
x-+ a+
L = 2 lím f(a + h )
h-+0
SOLUCIÓN.- Dado e > o existe 8 > o tal que, si x E Dom f :
a<x<a+8 => lf(x)-Ll<e (•)
Haciendo x = a+ h2 (•) se transforma equivalentemente en:
(O<h
2
<8 #] O<lhl<.J8, 8'=.J8
=> 1 f (a+ h 2 ) .:_ L 1 < e
Con esto último se concluye que lím f (a + h 2 ) = L
h-+ o . '
7.8 EJERCICIO.· lím [3x + t] = lfm [3(1+h2 )+1]
h~I+ h-+0
o+ 4 = 4
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-280 -
7.9
Análisis Matemático 1
TEOREMA.· Si x
0
::ie o entonces
lfm f(x) =
x-+x0
, ( El delta para el limite del segundo miembro tómese como 6 / I x
0
1 ) .
Por ejemplo, para x
0
= 4 :
7.10
lfm
x-+ 4
x-2
x+I
= lim (4.r} - 2 =
x-+ 1 (4.r)+ 1
4-2
4+1
COROLARIO.· Si a ::ie o entonces .
llm f(x) =
X-+ to
lfm f(a:r)
t ·
X-+ <7l
2 = - .
Cap.3
Analice en los dos casos: . i) t
0
= o , ii) t
0
::ie d , y aplicar el teorema res-
pectivo reduciendo ambos límites a ; x-+ o 6 x-+ 1 •
7.11 TEOREMA.· Si lfm f(x) = L ysisecumplenlascondiciones:
1) lfm g(t) = X
t-+ to o
2) t
0
es un punto de acumulación del dominio de fo g
y 3) Si existe e > · o tal que ·
V t: o < 1 t - t 0 1 < e => g (t) ::ie x 0 '.
entonces lím f(x) . =
x4xo
lím f{g(t))
t-+ t
0
2 2 ' 7.12 EJEMPLO.- Dadas f (x) = 9x - 1 , g (t) = 2 t / (t- + 2), en R, halle
X = o lím g(t) , t-+ 1 lím f(x) X-+X0
y llm f( g(t) ).
l-+ 2
SOLUCIÓN.- t
0
= 2 es un punto de acumulación del Dom (f o g) ,
a) lím g(t) . =
l-+ 2
•2t 2
Iím --- =
t-+ 2 t2 + 2
8
6
= 4
3
=
Cap. 3 Límites • 281 -
b)
e)
lím f (x)
X-t x
0
lím
X-+ 4/3
' (9x- - l) =
2 2
lím f(g(t)) = lím [9(~) - l]
t-t2 t-+2 t2+2
4 2
9(-) - . 1
3 .
15
7.13
TEOREMA.· Si f (x) está acotada en algún entorno reducido, muy pe-
queño de x = a y lfm h (x) = o entonces
X-+ a
ENTONCES lím (h(xJ·f(x)) = O
X-ta
Es decir, si para alguna constante K > o se cumple que :
i) 1 f (x) 1 $ K 1 V X E N8 (a) n Dom f
ii) lím h(x) = O
X-ta
ENTONCES lím (h(x)·f(x)) = O
X-ta . . --------------
PRUEBA.~ Como lim h(x) = o, dado e > o existe S2 > o tal que: X-ta
[ X· E Dom h /\ o < 1 X - a 1 < s 2 ] => 1h(x)1 < ..!_
K
y eligiendo s = mín {si" s2 } > o tenemos que:
..
V x E Dom h n Dom f /\ O < 1 x - a 1 < S 2
::;:>lh(x)·f(x)-ol = lhCx>llf(x)l<.!_·K =e
K
Por lo tanto, concluimos que : lí m [ h (x) · f (x) ]
X-ta
o .
. 2
7.14 EJEMPLO.· Puesto que 1 Sen ( t/ x ) 1 $ 1 para todo x ;e o , y
lfm rx = O entonces lím rx ·Sen(~) = O .
x~C r-t-0 x . ·
-282 - Análisis Matemático 1 Cap. 3
8. CÁLCULO DE LÍMITES 1
8.1 PROBLEMA.· Calcule los siguientes "límites:
x
3
+ 21
,
a) Jfm · b) Hm
x-+ 1x
X-+-3 x+3 X. -+ 0 X
2
- 3x + 2 .J 2x + 1 - 3 c) lfm X d) lím = L X-+ 1 2 _. 4x + 3 X-+-4 ~-.J2 X
SOLUCIÓN.- En los cuatro c~sos si se reemplaza x por el v_alor del x
0
corres-
pondiente se obtiene una expresión que tiene la forma .2.. , que se dice
o
·que es una Forma Indeterminada.
Existen 7 de estas Formas Indeterminadas en el Análisis Matemático.
Esto significa que existe un Límite escondido y que para hallarlo debe-
mos efectuar algunas operaciones matemáticas para levantar la
indeterminación, eliminando. a la vez los factores que hacen O (CERO)
tanto al numerador como al denominador, en el caso de esta primera
forma indeterminada.
2
a) Como x
3 + 27
x+3
(x + 3) (x '- 3x + 9) = xi_
3
x +
9 , X ;e -3 ,
b)
c)
entonces lím
X-+-3 '
lím
X-+ 0
x
2 + 7x
X
x 3 + 27
x+3
x+3
= lím
.X.-+ - 3
lim x(x+ 1)
X-+0 X
2 ·
(x - 3x + 9) 27
= lím (x + 7) = 7
X.-+ 0
x
2
- 3x + 2 (x - l)(x - 2)
lím = lfm x-2 lím
x-+ 1 x2 _ 4x + 3 x-+ 1 (x - l)(x - 3) x-+l x-3
d) Como .J 2x + l - 3
~-.J2
(2x + I) - 9 = ~+ri
.J 2x + l + 3 x-2-2
i (x - 4)(~ + fiJ
(x - 4)( .J 2x + 1 + 3)
1
2
"Cap.3 Limites - 283 -
Entonces
-~ + .J2 2(2./2) 2./2
L = lfm 2 = =
X .--+ 4 .J 2X + 1 . + J 6 J
1.2 PROBLEMA.- . Evalúe
a) lfm
x-+ 8
V-43.lx+4
(x - 8)2
1Vr+1 -2.¡;+l-1
b) lfm
.X-+0 X
SOLUCIÓN.-
a)
b)
Puesto que V x 2 - 4 rx + 4 = crx - 2> 2 = crx -rs >2
= [ (r - 8) . 12
. cV x2 ) +<V Sr)+ cf;l)
[ 1 ]2 --Entonces L = lí m -- .
X---+ 8 cV x2 ) .+ V 8x + f;2 144
1/10 10 .
Hagamos z = (x + 1) , resulta (x + 1) = z . Además,
x ---+ o si y sólo si z -+ 1 ; y así ,
L = lfm Jv-;+1 - 2.¡;+i - 1
·x-+ O X
(Jz
2
- 2z5·- l)
lím
z-+I ZIO_I
L = lím
z-+ 1
4 3 2 .
(z - 1)(2z + 2z + 2z - z - 1)
lim
z-+ 1
9 8
(z - t)(z + z + ... + z + l)
. 4 3 2
(2z + 2z + 2z - z - 1)
= 9 8
(z + z + ... + z + 1)
4
10
= 2 s
1.3 PROBLEMA.- Evalúe
L = lím
X -t 0
[ x
2
[-x/2] + _1 __ ~l+ x1
2
] .
. lxl [3x] lxl
SOLUCIÓN.- Este es un problema muy interesante en lo que al proceso del límite res-
pecta. Cuando x -+ o (x < O) :
3x < O /\ - x/2 > O {::} - 1 < 3x < O > - x/2 > O EN EL
PROCESO DEL LÍMITE, {::} [ 3x] = -1 , [ - x/2] = O .
: ' . . •.
-284- Análisis Matemático l . Cap •. J ·
. ..
Asi, cuando r -+ o- (r < O) : r-2 [-r/2]
lrl [lr] ·
=
o . . .
1 rj(-1)
= o-.
Luego, L = Hm
x-+0-
o+---' l+-] = oo'-oo [ 1 p;·· . . . . . 2 .
(- r) x . · . (F. INDETERM~NADA)
1 1 I 2 1 · 4 r 2 + i [--- .- .-1r +I ]·= lfm [...,.:.._+ ]
r · tri ·.. r-+0- · x
~ r 2 + 1 - 1 • e 2 : . · Hm · .[ · . r · . ] · lfm = =
X-+0- x ' X-+ .Q~. ~(1 + ~ r 2 + J)
,; . . • . . .. .
Hm [ .T ]
x-+0-
I+ lx2 + l
.o·.-
-- .2· -,v ·x . ·
. 8.4 PROBLEMA.- Calcule •
·• ~- -3.r-.: . ·3,-
L = Hm. · ·4 . · .· . ·
X_:. 8_. ;: ' . ;· . .'2 .-· ...¡-;¡¡- · ' .
SOLUCIÓN.- Aplicando et.Teorema:
L = lím .J 6X·- ~ · .;_ va;
x-+I ·2-Fx
.J 6.x - i - va;
. 2.-Fx
lf~ ·r{r) · = lfm f(rx j, r ::e O·
X ~.x0 . X-+ 1 .o .o
y puesto. que se cumple que:
.J 6x - 2 ·.,._ 2 . + 2 --·qB;
·2 - Fx 2 -:..{4"i
= --:6:-(r_-"":"1..,..)(_2_+~..J=4=x=)~. +. 8 (l .::.. .x) • . : 'o'+ .Fx)
-4(.:r-l)(2+..J6x-2)· 40-:-.:r) .: [ 4+ .i~8r+~(S.x)2J ·
Por lo tanto, 3 4 •8 L = --·- + ·-.·-·
2 2 .. 12
8.5 PROBLEMA.- º"'"'ª función f {ij - { '.
s
- 6
.·
¿En qué puntos. del dominio de. f no exi.ste Hrnite?
Cap. 3 Límites - 285 -
SOLUCIÓN.- y
• 3 • • •
2
-1 o 2 3 X
Vemos que para · x ~· z existe o lfm f (x)
X-+ x 0
llm 1 = l · ~ ·
X-+ x
0
Porejemplo, sea x
0
= 1/2 y x e (l/2 - 8, 1/2 + 8}, B = ..!... :
2
entonces x E (o, 1) => f (x) = 1 , para todo x e (o; 1)
de donde: lfm f(x) = lfm · l = l .
x-+1/2 x-+1/2
Si x
0
= n E Z:
'v'xE(n,n+B), 6=1 => n<x<n+I
=> f(x) = 1 y lfm f(x) = lfm
x -+ n + x·-+ n +:
=
'v'xe(n-8!n),8=1 => n-l<x<n
=> f(x) = 1 y lfm f(x) = lím 1 1 .
x-+n x-+n
Luego, de ambos casos podemos concluir que :
lfm f(x) = l , PARA TODO n E Z
X-+ D
Así vemos que este límite existe y vale t , aún cuando f (n) = 3
sabemos no interesa .
lo cual como ya
Por lo tanto, existe límite en todo punto del Dom f = R , y su valor es 1
8.6 PROBLEMA.· Calcule L = l!m
X-+ 0
V x 3 - x + ~ x 2 + x
··s.¡ x 5 + lx
SOLUCIÓN> Observa que el dominio es ( - oo , - 1 ] u ( o , oo ) por lo que el lí-
mite buscado en o existe y corresponde a sólo el límite ~or la derecha de o :
-286 - Análisis Matemático 1 Cap. 3
L lím
X-+ 0+
= lfm
X-+ 0+
~ ~ x 1 - 1 + {7¡-;+T
h~x4 +2
x1/IS_ ~ x1- 1 + XJ/10.¡-;+J
~ x 4 + 2
o+ o = = o .
ri
8.7 PROBLEMA.· Calcule L = 1 í m
x1 [ 2x + 1 ]. - IOx
x-1
L
.X-+ 1 x
3
- l lx
2 + 38x - 40
SUG: Pruebe que en el proceso del límite se cumple: [ . 2x + 1] = 5
X - 1
para x E ( 2 - 6 , 2 } ( 1.5, 2} , con 6 = 1/2 . Entonces
Sx(x - i) Sx
(x - 4)(x - S)
= (x - 2)(x - 4)(x - S)
8.8 PROBLEMA.- Calcule
6-Fx lím .
X-+ 4 ~ 2X + ~ - 3
a) b). ?,/ 7 X + 4 - 1j 3x + 4 lfm
X-+ 4 ~ 2X + ~ - 3
SOLUCIÓN.- Hallando los límites de los recíprocos según convenga:
a) ¡, . [ ~ 2x - 1 . ~ - 1 ] 2 4 2 lffi + = -~ + (--)
X-+4 6-Fx 6-Fx 9 9 J
Tomando el recíproco: L = - 3/2 es el límite buscado.
5
3
b) L = lím ( ?,/ 7x + 4 - VJ2. + fü' - ~ 3x + 4 ]
. X-+ 4 ~ 2x . - 2 + ( ~ X - ~ - ) ) ~ - 2 + ( ~ X - 3 - 1 )
y para calcularlos por separado evaluamos los recíprocos , resultando :
L 1 1 ---'-- - ---
(120/21) (48/9) 80
'
·e.9 PROBLEMA.- Dadas las funciones f(x) = ¡-;+) , -1 < x < 2 ,
Cap.T Límites - 287 ~
g(~) = { [x] , X< 0
x 1 - t
a) Halle f · o g , y grafíquela. b) ·calcule L = lfm ( f o g )(x) .
X...,+ 0
-1 5 X< 0 {: RPTA: (f o g )(x) = 05x<fi ·• L =O
8.10 PROBLEMA.· Calcule Hm
v x3- 8 + ~ 32 - x10
~ x 3 + 4 ...,. ~ x 4 + 16 x-+0
SOLUCIÓN.- Aquí tenemos la forma indeterminada O/O • Podemos expresar:
L = Hm
.r-+ o
( 2 - V 8 - x 3 ) ·+ ( V 32 - x 10 . - 2 )
(~x3 +4 -2)+(2-4,/x4 +t6)
Hacemos a = 8 - ·x 3 , b = 32 - x 10 , e = x 4 + 16 , y empleamos los
factores racionalizantes en cada juego de paréntesis :
2-~8,.....x3
~ 32 - XIO . - 2
~ x 3 + 4 - 2 ·
2-~x4 +16
=
= -xlO / ( b4/S + 2b3/S + 22 b2/5 + 23 bl/5 + 24)
x
3
/ ( ~ x 3 + 4 + 2) =
Note que los cuatro denominadores son justamente los FACTORES RACIONALIZANTES .
de las expresiones correspondientes, expresiones que reemplazamos en (•) , y a con-
tinuación dividimos al numerador y denominador entre x3 y hacemos que x -? O :
(1/12) + (0/80) 4 1 t = = ~
(1/4) + (0/32) 12 3
3 x[(l/x
2
)] + 7
.1.11 PROBLEMA." Calcule L lím
1 x-+ 1 2-x
., -288 - Análisis Matemático 1 Cap.3
SOLUCIÓN.-
a) Límite por la derecha L + : x -+ 1+ , x > 1 , x 2 > 1
=> O< 1/x2 < 1 = o
3r=r=-1 2 - x2 .
b) Límite por la izquierda · L - : x -+ 1 1/./2 <X<
· Pe (a) y (b) concluimos que .el límite no existe.
9. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS
En Análisis Matemático los ángulos (o variables) de las funciones
trigonométricas numéricamente representan radianes ..
En esta sección demostraremos que:
Senx < x
' 'v' X> 0
lím Sen (x) = o
X-t 0
lím
X-t 0
Senx
X
para lo cual utilizaremos
un círculo trígonométri-
c·o, como en la figura
adyacente.
=
1 Sen xi < lxl '
lím Cos(x)
x-tO
y
o Cos x Q
'v' X ;¡e o
= 1
P = (·Cos x , Sen x)
T = ( l, Tan x)
X
Limites - 289 -
Consi~erando .el PRIMER CUADRANTE : o < x < n/2 , el ángulo x está medido
en radianes , lo que hace que el arco PQ mida x unidades.
Así , , para o < x < n/2 (de la figura) tenemos que, si denotamos
¡ 1 ( w ) · = longitud de w ·1 ,
l ( PR ) < x < l ( PS ) + l ( RS )
l ( PS ) < l (ST )
=> l ( PS ) + l ( RS ) < l ( ST ) + l ( RS ) = . l ( RT ) = Tan X • ·
De esta relación y de la figura:
O < l ( PQ ) < l ( PR ) < l ( Are PR ) < l ( PS ) + l ( SR ) < Tan x
=> o< Senx < J (Cosx ...:.1)2 + Sen2 x < x < Tanx
Entonces, de : Sen x < x < Tan x => Senx . Cosx < -- < 1
X
yde: Jccosx-02 +~en 2 x <x =>
De modo que, para o < x < 1t/2 :
2
t - ~ < Cosx .
2
· x 2 Senx
1 - - < Cos x < < 1 (•)
2 X
Sí -'Jt/2 <X< 0 entonces O < (-x) < 1t/2 '
y por (•) :
2 Sen (-x)
1-
(-x )
< Cos(-x) < <l
2 (-x)
2 -Senx
=> 1-~ < Cosx < < 1.
2 -X
Por lo tanto,!.._ _i_· -_· _x2_2_< __ c_o_s_x_< __ s_e x_n_x __ <_l__. 'v' X E V~/2 (O)
----------·
2
Y como lím ( 1 - ~) =
X-+ 0 2
lím Cos x =
x-+ O
.entonces por el Teorema del Sándwich:
lím Senx = 1
x-tO X
Si -1t/2 < x < o entonces o < - x < 1t/2 [ y de la relación
-290 - Análisis Mah:málico 1 Cap. 3
O < Sen x < x para todo x E (o, 'JT./2) ) se sigue que:
O< Sen(-x) < (-x) => O< - Senx < -x
Así, O < 1Senx1 < 1x1 V x E ( - rt/2, 'JT./2) - {o} , y lo mismo se cum·
plirá para todo x E R - { o } pues - 1 :S Sen x :S 1 , pára todo x E R .
Por el Teorema del Sándwich:
lí m 1 Sen x 1 = O y por consiguiente: lím Sen x = o.
X-+ 0 x-+0
-----------
9.1 PROBLEMA.· Verificar que , para a ;e o :
a} lím
Sen (ax) . . b) lfm 1 - Cosx 1 = a . = -
x-+0 X X-+0 2 2 ,x
e} lím
1 - Cos (ax) ª2
d) lim
1-Cos(x) o = . =
X-+ 0 2 2 X-+ 0 X X
e) lím
1 - Cos (ax) o =
x-+0 ·x
SOLUCIÓN.· Usando el resultado previo lim
il-+ o
Sen (u)
=I
u
a} En L = lím
X-+ 0
Sen (ax)
X
hacemos 1 u = ax 1 , entonces 1 x = u/a 1
b}
e}
y en la nueva variable: x -+ o <=> u = ax-+ o • Luego ,
L= lim
Sen (u)
lím
.a· Sen (u)
a· lím
Sen (u)
=
U-+ 0 (~) U-+ 0 u U-+ 0 u
a
= (a)·(I) = a
1 - Cosx (1 - Cosx)(I + Cosx) Sen 2 X => 2 2
x (I + Cosx) 2 . x (I + Cos x) X
lím
X-+0
1 - Cosx
2
X
1 - Cos [ax)
=
= lim ( Sen x l · lím
X -+ o X X -+ o (1 + Cos x)
,2._1_
1+1
·= 1/2
(1- Cos[ax))(J + Cos[ax]) ·
x
2 (t + Cos[ax])
=
Sen 2 [ax]
x 2 ( 1 + Cos [ax])
Cap.l Límites . - 291 -
d) uin
X :+O
e) lim
X:+ 0
lím
x-+ O
1 - Cos [ax]
x2
lim ( Sen [ax] )2. Um
x-+0 x x-+0
= 2 l a
2
a·---
(I + 1) 2
f-Cos(x) lim ( [x]. ( 1 - Cos (x) ]) = =
X x-+ O .x2
1 - Cos (ax) 1 -: Co's (ax) ] ) = lim ([x]·( =
X X-+ 0 x-
( 1 + Cos [ax])
1 o [O]·[-) =
2
2
(O)·(-ª-) = o
2
9.2 ESQUEMA PRÁCTICO.· Muchos límites trigonométricos de la forma O/O pueden
ser transformados a una o varias de las formas siguientes,
de modo que se apliquen estos resultados para simplificar la
parte operativa.
I)
Indirectamente, todos ellos fueron demostrados en el
PROBLEMA 9.1 , por lo cual estos límites "clásicos " son
considerados como axiomas.
Si se cumple que l lím O o
1
a E ·JR 1 entonces:
X-+ X
0
a) lim
Sen (O)
a') lím
Sen (a O)
a = =
X-+ x
0
a X-+ X
0
a
b} Hm
1 - Cos(D) o b') lím 1 - Cos(aO) o = =
X-+ X
0
o X .. -+ X0 o
c) lim
1 - Cos (O) 1 =
X-+ X
0
02 2
1 - Cos(ao)
2
e') lim a
X-+ X
0
02 2
9.3 E.JEMPLO.· Los siguientes límites tienen la forma O/ O :
a) lim
x-o
1 - Gos (5x)
x
3 + 8x 2
llm [ 1-' Cos(Sx) J·C-'-J = [L][...!..j
X-+ 0 X2 X+ 8 2 . 8
-292 - Análisis Macemático · 1 Cap.3
= 25/16
.,
b) lím
X-+3
Sen (2x-+ 2x - 24)
.,
X-- X - 6.
= lím
X-+3
Sen [2(.r - J)(x + 4)]
(x-J)(x+ 2)
Sen[2(x-J)(x+4)] . [ (x+4)] [ Scn[2(x-3)(x+4)]] = lím = lim •
x-+3 (x-J)(x+2) x-+3 (x+2) (x-3)(x+4)
= !_. 1 im Sen (20) 7 14 --2 =
5 X-+3 0 5 5
(pues O = (x-J)(x+4)--+ O cuando x -> 3
9.4 PROBLEMA.- Calcule: a) lím x Sen__!_ b) Hm x Cos (-1-) •
x-+0 X
SOLUCIÓN.-
X-+ 0 X3
a) Puesto que O :$; 1 x Sen ..!... 1 :$; 1 x 1 , V x "'° O , entonces por el T eo-
x
rema del Sándwich: Ji in 1 x Sen..!... 1 = O •
X-+ 0 X
Esto implica que 1 xlf_!1
0
x Sen~ = o I · debido a la propiedad :
lím f (x) = O {:::} lím 1 f(x) 1 = O •
x-+0 X-+ 0
b) Análogamente a la parte [a] : lím x Cos (-1-) = O
X-+ 0 X3
9.5 PROBLEMA.- Calcule:
Senx - Tanx 1/3
a) lím d) lím (1 + x) - Cotx - 1 + Cosecx
x-+o 3 X-+ 0 X X
b) lím (x - 3) Cosec (nx) e) · lím
l 2 Sen x - Sen (2x) 1
x-+3
X-+ 0 x3
e) lím Tanx - 1 f) lím
Sec 2x - 2 Tan x
X-+ n/4 X - ('JT./4) X-+ 'JT./4 1+Cos4x
SOLUCIÓN.
a) L = lí m (- ( Sen x ) • ( 1 - Cos x ) • (-1-) ] = (""" 1 )( _
2
1 )( 1) = -+
x-+ o x x 2 Cos x L.
Límites - 293 .-
X
L = llm xCosec['JT.(X +l)] = lím ------ =
X-+ 0 x -+o Sen ('JT. x + Jn)
= - lfm
X -l / [ lf~ ( Sen (:rcx) ) ] =
x-+ o. Sen n x
Tan(x + 'JT./4)- 1
L = llm
·x-+ O X
X-+ 0 X
1 · -2 Tan x
lím -·----
x -+ o X 1 - Tan X
'JT.
= lfm [ i Sen x ._1_. 1 ] = (2)(l)(I) 2
x-+ o x Cos :ic 1 - Tan x ( l!m Tan x. = O)
X-+ Ó .
L = lí m [ ( 1 + x) l / 3 - 1 ] + 1 írn [ Cosec x - Cot x ]
x-+0 x x-+0 x
d1) Haciendo z = (1 + x)1/ 3 ; de donde x = z3 - 1
l
L1 = lím X-+ 0
(1 - x)l/3 - 1 =
X
llm ~ = Hm ----=-
z-+ 1 z3 - ! z-+ 1 z2 + z + l
( 1 - Cos x ) / ti m ( Sen x . ). d2) L2 = llm X-+ 0 X2 X-+ 0 X
1 1 s
=> L = L¡ ..¡:. L2 = J + l = 6 .
1 2 Sen x - Sen (2x) 1 21 Sen xi 11-Cosxl
= 2 3 X X X
Para - n/2 < X <o: Senx < O 1
(1/2) =
Hm
X-+ 0
[ 2(-Senx). (1- Cosx)] = (- 2)(l)(1._) = -1
X . X2 . . 2
Sec 2x - 2 Tan x
1 + Cos (4x) =
1 - 2 Senx Cosx
2 Cos 2 x 2(1 - Sen
2.2x)
2
L=------::------ = 1 . =
lfm 2(Cos 2x)(I + Sen2x) 2·[1+1]·(1/.J2°>
2
· X-+ 'JT./4
9.6 PROBLEMA.- Si existe, calcule L = llm
x.....:3n/5
~ Cos (Sx/3) + 1
.[Ji -Fx
3
2
-294 -
SOLUCIÓN.-
L = lím
.J1+cosx
.[); ~~
Análisis Matemático 1
= lím
X ..:.o
.J 1 + Cos (x + :n:)
¡J;° - .J 3x + 3:n:
Cap.J
=
= lím
x-+0
.J 1 - Cosx = lí m [ 1 Sen x 1
¡J;° - .J 3x + J:n: x-+ o .J 1 + Cos x
¡J;° + .J 3x + 3:n: ]
(-3x)
= lim ( 2 ..JJ; ) . 1 Sen x 1
x-+0 3,/2 X
de donde vemos que el límite L no existe , pues .:
L+ Límite por la derecha de o = -:· 2 ..¡J; / (3 J2)
L - = Límite por la izquierda de o = 2 ..¡J; / (3 ./2) .
9.7 PROBLEMA.- Si f (x) es .una función tal que, para algún 5 > o :
2
1 + X $ f (x) $ Tan (x + :n:/ 4) , V x E V(; (O) ,
calcule lím f(x) .
x-tO
SOLUCIÓN.- Aplicaremos el Teorema del Sándwich, debido a que
lím (l+x2 ) = lim Tan(x+~) lím f(x) = 1,
X-tO X-tO 4 x-+0
.J 1 + (x Sen x) - / Cos 2x
9.8 PROBLEMA.· Evalúe L = lím 'V
SOLUCIÓN.- L · = lím
X-+ 0
X-+ 0 2 Tan (x/2)
Cos2 (x/2) [ 1 + (xSenx) - Cos(2x)]
Sen
2
(x/2) [.J 1 + (xSenx) + .Jcos2x]
= _!_.lfm(l-Cos(2x)+xSenx). 4 ·[ (x/2) ]2
2 x-+ O x2 Sen (x/2)
[ pues lím .J 1 + (x Sen x) + .J Cos 2x = 2 , lím Cos2 (x/2) = 1 ]
x-+0 . x40
= 2 . lím [ 1 - Cos (2x) + Sen x ][ (x/2) )2
x-+ O x2 x Sen (x/.2)
(2)2 a 2
=2·[-+1]·[1] = 6
2 ' .
Cap. 3
9.9 PROBLEMA.· Calcule
SOLUCIÓN.-
Límites
Sen (nx/2) + Cos (:n:x)
L = lim
x -t 1 • ~ x2 _ I_
2 .
- 295 -
L = -- lim
..[2 X-ti+
Sen(:n:x/2) +I - .2Sen (:n:x/2)
.¡;-::¡- ( ¿por qué ? )
1 , r:::--; [ 2 Sen (:n:x/2) + J] [ 1 - Sen (:n:x/2)] = -- hm ..¡X - 1 · -----------....:.-
..[2 x-t 1+ . . · X - 1
y como Sen (:n:x/2) = Cos (:n:/2 - n-x/2) = Cos (:n:x/2 - :n:/2)
= Cos[n(x-1)/2],
hacemos el cambio de variable : z = x - 1
L = _3_ ( lím ~) ( lím 1 - Cos (:n:z/2) ) = :..-:- (O) (O+) = O
fi X-tl+ z-tO+ Z · ..¡2 .
9.10 PROBLEMA.· Calcule:
a) lfm
t-+ o
Sen{ Tan t)
Sen t
b) lím
X -t 7t/2
Sen (2 Cos x)
Cos x
SOLUCIÓN,- ·
a) Como i lí m Tan t = O ! : L = lí m _1_ . [ Sen (Tan t) ] =>
t -t o t -t O Cos t Tan t
Sen (Tan t) 1
L = lím ---- • lím
t -t O (Tan t) t -t O Cos t
1 .
= [ 1]. [-] = 1
1
b) Como Hm Cósx = o
X -t 7t/2
entonces lím
X-t7t/2
9.11 PROBLl;MA.· Dadas las funciones
f(x) { . ~ 2 - (x -1) 2 2 1C X x Sen(-)
3
(x + 2)/(x - 5)
Sen (2Cos x)
(Cosx)
= 2
-2 $ X $ 0
0 < X $ 4
-4 < X < 0 { ~ /(x2 + 4), · 2 $ X < 8 g(x)
evalúe, si existen :
-296 - Análisis Matemático · J . Cap. 3
a) lím (f + g) (x) ; b) lím (f o g) (x)
X-+ 6
e) lfm (fog)(x).
X-+ 0 X-+ 2
SOLUCIÓN.-Dom (f + g) = [ - 2, o) u [ 2, 4]
a) lím (f + g)(x) =
X-+ 0
Hm
X-+ 0
(f + g) (x) = 1 - 2. = 2.. .
s 5
b) De a = Hm g(x) = .:2... · = _I_ , Siendo X = 6 Un punto de acumu-
20 X-+ 6 40
lación del dominio de (f o g) , Hm f (a) = - 1-sen (11/60) =>
a-+1/20 400
1 .
lím f(g(x)) .-. lím f(a) --Sen(n/60).
x-+6 a-+1/20 400
e) Como a = lím g (x) = lfm g(x) = lfm
X-+ 2+
.J X - 2
x
2 + 4
10.
x-+2 x-+2+
donde x = 2 es un punto de acumulación del dominio de f o g , y
lím f (a) = lím
á-+0+ a-+0+
2 na
a Sen(-) = O
3
entonces lím (f o g)(x) = lím f (g (x)) = lím f (a) = O .
x-+2 x-+2 x...:tO+
LÍMITES INFINITOS · I
Consideremos la función f (x) = - 1- cuya gráfica es mostrada:
y
f(x)
M
X -1
N X
Cap. 3 Límites - 297 -
Vemos que, cuando x se acerca hacia. x
0
= t por la derecha tanto como se
quiera, las imágenes f (x) van creciendo ilimitadamente cada vez '!'ás. Esto motiva
la siguiente definición. ( En todos los casos consideraremos a x
0
pu~to de acumula-
ción del dominio de f) .
10.1 DEFINICIÓN.- Se dice que + 00 es el LIMITE DERECHO.DE f EN EL PUNTO
x
0
si para cada número 1 M > o 1 existe 6 > o que depende de x
0
y M , ·
tal que para x E Dom f :
X E ( x
0
, x
0
+ 6) => f (x) > M > 0
y se denota lim f(x) = +oo
X-+X~
10.2 DEFINICIÓN.- Se dice que + <Xl es el LIMITE IZQUIERDO DE f EN EL PUNTO
x
0
si para cada número 1 M > o I· existe 6 > o que depende de x 0 y M,
tal que para x E Dom f :
Xº - 6 < X <. Xº => f(x) > M > O
y se denota lfm f (x) = + oo
x.:.+x;
. En la figura vemos que cuando x se acerca a x
0
= 1 por la izquierda, sus
imágenes f(x) se ubican en el semieje negativo de Y haciéndose cada vez más ne-
gativos ilimitadamente.
10.3 DEFINICIÓN.· Una función f tiene LÍMITE - 00 POR LA IZQUIERDA DE Xº si
para cada número 1 M > o 1 existe 6 > o que depende de x
0
y M , tal
que para x E Dom f : x
0
- 6 < X < x
0
=> f (X) < - M
y se deMta f(x)
10.4 DEFINICIÓN.· Una función f tiene LÍMITE - oo POR LA DERECHA DE x 0 si
. para cada número 1 M > o 1 existe 6 > o que depende de x
0
y M , tal .
que para . x E Dom f :
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-298 - Análisis Matemático 1 Cap.3
y se denota lfm f(x)=-oo
+ X-+ X0
Según la figura vemos que: lfm f(x) = lím = +oo
x-+ ,+ . x-+I+ x-1
lfm f(x) lfm = -OO .
x-+I X-+ 1 - X -1
10.S DEFINICIÓN.· Se dice que f tiene LÍMITE +.oo EN x~ si los límites late-
lfm
x-+x
0
10.6 PROBLEMA.- a)
b)
rales en x
0
son iguales a + oo . . .- _ ..
Y f tiene LIMITE - oo EN x
0
si los límites laterales en x
0
son iguales a - oo . Estos límites se denotan:
f(x) +oo lim f (x) = -oo
X-+x
0
Demuestre que lím + 00
x ·~1+ X -1
Demuestre que lím = - 00
x-+I - x-1
SOLUCIÓN.- Dada f (x) = - 1- , Dom f = ( - oo, 1) u ( 1, oo)
X - 1
a) Sea M > o : debemos hallar un 8 > o tal que
f(x) > M > O
Así, para x > t : f(x) > M > O
l .
'V x E ( 1 , t + 8 ) n Dom f . .
si y sólo si -
1
->M>O
x-1
1 O<x-1<-
M
1 l<x<l+-
M
de modo que si elegimos 8•= l/M > o entonce-s, para x en el dominio ie f:
1 l<x<I+-.
M
1
f (x) = -- > M > O .•
X - J
Cap. 3 Límites - 299 -
b) Sea M > o : debemos hallar un 8 > o tal que
'V x E ( 1 - 8 , 8 ) n Dom f : f(x) < -M < O
-. -
1-<-M<O
X - 1
Así, para x < 1 : f(x) < ..., M < O
-
1
- > - (x - 1) > O
M
1 1--<x<
M
de modo que si elegimos 8 = l/M > o entonces, para x en el dominio de f:
1
1-- <X< . M . =>
y
1
f(x) = -- < -M <O .
1 .
1
1
1
1 .
X -1
1
f(x) = --
f(x) ---~- x - I
1
1 1
1 1 .
M - --,-1--
1 1 1
1 : :
1-8 X 1 1 1
X
Conforme x va creciendo ilimitadamente hacia + oo en el Eje X , los f (x)
se van acercando al límite . 1 L = o 1 en el Eje Y. Lo mismo ocurre cuando x va ha·
ciándose más negativo ilimitadamente.
10.7 DEFINICIÓN.· Un número real L se dice que es el LÍMITE DE f EN + oo
si para cada e > o . existe un número 1 N > o 1 , que de-
pende de e , tal que para x E Dom f :
. X > N => 1 f(x) - L 1 < e
En tal ca~o, se denota: · Hm f(x) = L
x-++oo
-300 - Análisis Matemático 1 Cap. 3
10.8 . DEFINICIÓN.-
Un numero real L es el LIMITE DE f EN ....., ex> si para ca-
da e > o existe un número 1 N > o 1.. que depende de
e, talque para x E Dom f:
En tal caso, se denota:
X< -N => 1 f(r) - L I < e
lím f(r) = L
X-+-oo
10.9 PROBLEMA.· .Demuestre que lím · -
r-++oo ·x - l
=o.
SOLUCIÓN.· Dado e > o debemos hallar un N > o (en términos de e) tal que
Considerando :x > 1 :
X-> N => 1 f (x) - o 1 < e ( X E Dom f )
1 f(:x) - o 1 = l-1 -1 = < e {:::} x > 1 +· (l/e)
:X-l X-l
_Nos ~asta elegir N = l + (l/e) > o .
10.10 EJERCICIO.- Demuestre que lim = o .
X-+-oo :X-l
10.11 DEFINICIÓN. Una función f tiene LÍMITE +ex> EN + ex> si para cada nú·
mero 1 M > o 1 existe un número 1 N > o 1 tal que para
:x E Dom f : x > N => f(r) > M
y se denota: 1 x ~":,. f(>) = ~ 1 , 1 ,.!;';' ~ f(x) = +~ ¡.
Análogamente se pueden definir los límites:
Iím f (:x) = +ex>
X-+-oo lím f(x) = -ex> 1 Hm .. f(x) = -ex>
X-+oo X-+-oo
10.12 PRÓBLEMA.· Para n E z+:, demuestre que
.
lím a xn
X-+oo
= { +ex> 1
-CX>
a >O
a < O
Cap. 3 . Límites - 301 -
n . .
SOLUCIÓN.- Tomando f (x) = ax :
i) 1 a > o 1 Elegimos un primer N 1• = 1 ; entonces
x>N1 (=1)
. n => ax >.ax , \;/ n E z+,
y sea M > o: x > ~ > O =>' a :X > M
a
=> f(x) = n ax >ax>M>O
Basta elegir N 2.= M/a >o Y N = máx{NI • N2}
. M} máx{l,-
Así se cumple que
y por lo tanto
f (x) = axº > ax > M > O
lím a x 0 = + .ex> .
x-+oo
ii) 1 a < o 1: análogo.
10.13 EJEMPLO.- Calcule
4x
2 + 2x + 1 ·
lím ·
X-+ oo lx + 5
a
SOLUCIÓN.· Dividimos al numerador y denominador por el término de mayor gra-
. do del denominador , x en este caso :
4x
2
+ 2x + l 4x + 2 + (l/x)
=
2x+5 2+(5/x)
Este artificio actúa de manera que cuando x crece ilimitadam~nte entonces _(5 / x)
tiende a o así como (1/ x) , mientras que el término ( 4x) tiende a ex> . Luego,
L = lím
X-+ 00
4x + 2 + (l/x)
2 + (5/x)
ex>+2+0
2 +o
CX> =
2
Formalmente esto puede demostrarse utilizando la relación (para x 2::: 5 ) :
4x
2 + 2x + 1
· 2x + 5
4x + 2 + (1/x)
2 + (5/8)
2::: 4x > M > O
3
+ex> .
· 3M
X > (3M/ 4) > o , y eligiendo N = máx { 5, -
4
-} , pues en tal siempre que
caso: X> N >O => f(x) > M > O •
-302 - . Análisis Matemático 1 Cap. 3 .
10.14 · TEOREMA.· lím f(x) lim f(_.!_) L
X-+ oo h-+ o+ h
PRUEBA.- Sea L E R , dado e > o existe un N > o tal que para
X E Dom f : X > N * 1 f (x) - L 1 < e .
Aquí hacemos x = l/h :::}- x = 1/h > N > o :::}- o < h < l/N
h e Dom cr ºe 1) " . o < h < _.!_ *
N
Aquí es suficiente elegir 8 = l/N > O
lrc...!..>-LI <e.
h .
L = lím
h-+ o+
cr ºe 1 Hh> = lim
h-+0+
y
10.15 NOTA.- Cuando se tienen FUNCIONES RACIONALES 1 es decir, COCIENTÉS DE
POLINOMIOS , el análisis del comportamiento asintótico en ± oo se
realiza dividiendo tanto al numerador como al denominador entre la
mayor poten~ia del denominador: xm· .
Así, siendo los coeficientes' principales ªn ;e o y b m ;e o en
f (x) =
n · n-1 ·
ªnx + ªn - ¡X + .. · + ª1x + ªo -
m .m-1
bmx + bm _ 1x · + : .. + b1x + b0
entonces • ez comportamiento asintótico de f (x) en
. exactamente el mllmo que el de ~ en
respectivamente . ' Es decir ,
lím f (x)
x-+±oo
lím ( ~xn-m )
X-+±oo bm
10.16 PROBLEMA.· Demuestre q¡¡e lím 2 = + oo .
X-+4 (X-4)2
±oo es
±oo
Límites
M >O:
f(x) = .
2
2
> M -<::>- o < (x - 4)
2 < 2...
(x - 4) M
O<lx-41<~ . ~ =8. Basta elegir 8 = ~ ~ ..
10.11 PROBLEMA.· Demuestre que
x+2
lím
X-+ 2- (X - 2)
3
SOLUCIÓN.- Dado M > o : 2 - 8 < X < 2 ;
= -oo.
( 8 2} (1 2} ......._ 3. <x+2<4. Bi 81 = 1 X E 2 - ' . = ' -r
- 303 -
:::}- X - 2 < 0 => (X -- 2)3 < 0 '
f(x) = x + 2 < 3 < - M <O . {::} .,.. V ~ < (x - 2) <O (•)
(X - 2)3 (X - 2)
3
{::} 2 - V (3/M) < X < 2 . Tomamos 8,2 = V (3/M} .
y eligiendo 8 = mln { 8¡ , 82 } = mln { 1, ~ (3/M)} > O , vemos que
8 :5 1 y 8 :5 ~ {3/M)
:::}- 2-8<x<2:::}- f(x)< -M
Hm f(x} = -oo
x-+ 2
10.18 NOlÁ.-
1
En Jo que a LIMITES de COCIENTES. se refiere presentamos las
primeras cuatro FORMAS INDETERMINADAS :
o
o
00
00
00 - 00 O•oo
Cada vez que llegue a alguna de estas formas, trate de transformarla
a una de las dos formas: ~ ó ~ . luego, levante tal inde·
o 00
terminación para hallar el límite buscado.
..:)04 - Análisis Matemático 1 Cap. 3
10.19 CÁLCULOS CON lÍMITES INFINITOS.· Calcularemos:
.,
2
a) lím
x-+ S
d) X -4 lím
X-+oo 3x
2 + 2 X-+2 (r - · 2)3
b) Hm X+ 1 e) x+I Hm
X-+3+ 2 · x 2 + 3 X -9 X-+-oo
e) Iím x+I f) x
2 + 3
2 Hm
X-+3 X -9 x-+-oo X+ 1
SOLUCIÓN.· a) 1/3
b) lím (x + 1) 4 . = (-)-(+oo) = +oo X> 3.
X-+3+ (x + 3)(r - 3)
1
6
(r + 1) 4 e) lím = (-)-(-oo) = -oo 1 X< 3.
(r + 3)(x - 3)
d)
e)
X-+3
Hm
X-+2
L =
-
x+2
(x - 2)2
lim X
X-+ - 00 X2
1) L = lím
2
X
X-+-oo X
10.20. PROBLEMA.· Evalúe:
6
= +oo.
1 Hm =
x-+-oo r
lím (x)
X-+-oo
a) lím [ ~ (x + 2)(r + 5) · ·_ x J
x-+±oo
b) lím ~x
2 +7x+IO
X-+±oo X
SOLUCIÓN.-
o = . o ~
-OO.
e) Hm lxl-ffxT
X.-+0 x
2
+ X
d) lim
~x+~x+Tx
x-+oo rx+I
Siendo (x + 2) (x + 5) - x
2
x + ~ x 2 + 7x +JO
7x + 10
= ---;::::===========-
X+ lxl ~ 1 + (7/x) + (IO/x2 )
Ca¡>. 3 Límites - 305 -
=> L+ · lím
x[7+{10/x)] 7
= -
x-+ oo
x[l + ~ 1 + (7/x) + (IO/x2)] 2
L - lim [ ~ (x + 2)(x + 5) - X] oo - (-oo) =
X-+ -,oo
= 00 + 00 = +oo
b) ~x2 +7x+IO = lxl~1+(7/x)+(IO/x2 ) :==>'
L+
-L
e) .
d)
lim
~r2 +7r+IO
= , X~ 7 10 = 1 = hm -1+-+-
x-+oo X x-+ oo x x x2 ·
~ x 2 + 1x + 10
lím (-x) ~ 7 10 = -1 = = lfm --. 1 + - + --
X-+-oo X X-+ - oo X · X Xl
x-Tx Txcf";"-1)
? .¡-;]
lím = ·11m = (~1)[ lím
x-+0+ x
2
+X . X-+ 0+ X (X+ 1) x-+0+ X
= (-1)[ lím . }; l = (-1)(+00) = -oo
X-+ 0+ X
-x-0 ? X ·'.'"'Tx lím
Txcf";"-1)
lím lím
x-+0 x
2
+X
=
x-+0+
= lím
.x-+ o+
= 2
X -X
f"; (O - l)
X (O - 1)
Por lo tanto, el ·umhe [e] NO EXISTE.
x-+0+
lí m . _rx_x_. [~~-1_+...,...;.J·.c1=/=r)=+=·=~=(_11_x_3_) - ] = 1 .
x-+oo .["'; ~l+(l/x)
x(x - 1)
1 -- = + ·oo ¡-;
10.21 PROBLEMA.· a) L = lím ( Sen¡-;-+l - Sen.[";].
x-++ oo
b) Hm [Sen~(~ r 2 + 1 ·) + 2 . - Sen J d x 2 + 3 ) + 1 ]
x-+ oo
-306 - Análisis Matemático 1 Cap. 3
SUG.- b)
- a-b a+b
Sena - Sen b = 2Sen(--)Cos(--)
. - 2 ~
SOLUCIÓN.- Obviamente el problema está en evaluar previamente:
a) De- lim lím = ·o , se tiene
X-too 2 X-too
( rx+2 - .¡-; ) lim Sen = Hm Sen ( 1 )
x-t+ oo 2 X -t + oo ¡;+2 + h
L
= Sen (-1-) = Sen(O) O
+oo -
y como 1 Cos ( rx+2 + .¡-; ) 1 ::; > t l , 'V x _ o , en onces
2
2 ( rx+2 - .¡-; ) ( rx+2 + .¡-; ) o lím ._ Sen Cos- =
x-t+oo 2 2
Esto es cierto por el Teorema [7.13] que indica que si una
función f (x) tiende a CERO y oirá función g (x) está acotada entom~es
el producto de ambas 1 f (x). g (x) 1 tiende a CERO •
b) Análogamente a (a parte [a] se prueba que este Límite [ b] también es O .
10.22 PROBLEMA.- Calcule
a) · Hm
x-t-oo
x
3
( l + Cos(n: + l/:x) - Sen 2 (n: + l/x)]
1 + 2x
b) lim ( ~ X 4 + 8
x-t-oo
~ x 2 + 1 ] •
SOLUCIÓN.- Cos(:rr + l/x) = -Cos(l/x), Sen(:rr + l/x) = -Sen(l/x)
a) L = lím
X-t-oo
x l i ·- Cos(l/x) ]
[- ][ Cos(-) H----
(1 + 2x) x (l/x)2
l L = Hm [- _!_ ][ C~s (o)][ l '- Cos (l/x) ] z = -.
X -t - oo 2 (l/x)2 X
Cap. l Limites
lfm (-..!.)(t)( 1- Cosz J
- . 2 z'J. z-+ o
b) "Racionalizando ' dos veces obtenemos:
~ix2 + 7
L = lím
X-+-oo
= lfm .
X-t.,-oo X
= ( Hm ..!..J.(-2-] =O.
X-t-oo X 4
- 307-
( _ 2_ )( 1 )(..!.;)
2 . . 2
l
= -7 ·-
10.23 PROBLEMA.· Evalúe a) Hm
z-tO+
l - Cos 1u
z·
b) Hm
X-ti
..¡-¡-::-;, · J Sen u -: ~
-x + Cos nx
SOLUCIÓN.-
a)
b)
2 · o Sen (:rc.z) ] . z 2 o L = lfm [ = :re. =
z -to+ 2 (l + Cos nz) (1 + l) z
Como X < l: hacemos. z=t-x;>.-O => X= l - z 1
,- J Sen (:re - :re z) - ¡;
L = lím .¡ z. ·
. z-to+ . 1-::- z + Cos[n.(I - z)]
.J z Sen nz - z
= lf m · -------
= Hm
- ~Se::rcz _ 1
z -t 0+ ( 1 - Cos :rcz ) _ I
·z
=
z -to+
¡-;-:- 1
0-1
1 - Cos(nz) - z
( ... fi.
/
-308 - · Análisis Matemático 1 Cap. 3
10.24 · COROLARIO.-
. lím f(x) = L
X-++ oo ·
si 11 sólo si lím f(2_) = L
t-+ o+ t
PRUEBA.- Por hipótesis, dado e > o existe N > o tal que- si. x e Do~ f :
X > N > o => 1 f(x) - L 1 < e (•)
Sea 5 = l/N > o : x > .N > o <=> o·< l/x < 5 = J/N ,
Y sea t = l/x entonces (•) es equivalente a que:
• Dado e > o existe 5 = l/N > o tal que si t e Dom 1 -I :
l/t = X E Dom f y o < t < 5 => 1 'r (l/t) - L 1 < e •
L= lím f(_!_).
t-+ o+ t
10.25 _NOTA.• Este corolario también es válido cuando L = ± 00 •
10.26 COROLARIO.-
lim f(x) = L
r-+0+
=> Hm f(_!_) = L
r-++oo x
.10.27 EJEMPLO.- Calcularemos L = lím 2 2. :re x Sen (-)
x-++oo X
2
L = . -lím Sen (:re t) • :rc2
t-+0+ :rr2 t 2
:11:2. lím [ Sen(:rct) ]2 = :rt2. 12
t-+0+ :rct
Aquí hicimos t = l/x , y aplicamos el COROLARIO [10.25].
10.28 COR9LARIO.-
lim f(.r) = L => l Iim f(-) . = L
r-+-oo t~O t
lím f(x) = L => lim f(_!_) L
r-+O-. l-+-oo t
2 :re
Límites - 309 -
11. ASÍNTOTAS VERTICALES, HORIZONTALES Y OBLICUAS
11.1 DEFINICIÓN.- La rectá :i = a es una AS(NTOTA VERTICAL de la gráfica de
la función y = f (r) si
={ + 00 As. Vertical Superior Derecha f (a+) = lím f(x)
x-+ a+ - 00 As. Vertical Inferior Derecha
o si
{ + 00 .As. Vertical Superior Izquierda = f (a-) lím f(x)
x-+ a - 00 As. Vertical Inferior Izquierda
Por ejemplo, la función f (x)
2x - . 1 1 satisface = 2+ ·--
f(l+) = l!m f(x) = +oo ,
x-+ ¡+
de modo que la gráfica de f tiene a la
recta vertical x = l tanto como Asín-
tota Vertical SUPERIOR DERECHA ,
así como Asíntota Vertical INFE·
RIOR IZQUIERDA,
.11.2 DEFINICIÓN.· La recta y· = K -
es una ASÍNTOTA HORIZONTAL de
la grálica eje la función y = f (x)
si
x-1 x-1
f(l ) = lím f(x) = -oo
X-+ 1
y
y=2
------
.L 1 . 1 1 • : - -
--_,_ - - - - --- - -
. X= l
1
1
1
X
lim f(x) = K ASÍNTOTA HORIZONTAL DERECHA , ·Ylo si
x-++oo
·:· lím f(x)= K ASÍNTOTA HORIZONTAL IZQUIERDA .
x-+-oo
Así, la función previamente dada f(x) = 2 + (-1-) x - 1
tiene a la recta horizontal y = 2 c()mo Asíntota Horiiontal tanto Derecha coino
Izquierda , debido a que
lim
x-t±oo
f(x) = Hm [2+(-
1
-)]
x-t±oo x .-1
2 (FIGURA DE ARRIBA}
-110 - Análisis Matemático l Cap.3
Para indicar cualquiera de los límites de la DEFINICIÓN (11.2], los denotaremos:
f ( + oo) y f ( - oo) , respectivamente.
11.3 DEFINICIÓN. La recta y = mx + b es ASINTOTA OBLICUA. DERECHA
de la gráfica de la función y = f (x) si existen en R los dos
límites siguientes :
i) lím [ f(x) ] = m
x-++oo x
ii) Hm· [f(x)-mx]= b
x-++oo
11.4 NOTA.- a) Si en la DEFINICIÓN ( 11.3] se sustituye + oo por - oo , se
obtiene la definición de ASINTOTA OBLICUA IZQUIERDA.
b) En caso que m =o se tiene la recta ASiNTOTAHORIZONTAL
y= b.
11.s EJEMPLO.- Halle todas las asíntotas de la gráfica de la función
x2
f(x) = -;::==
~ x 2 - I
X E (-oo, -1) U (1, oo}
· SOLUCIÓN.-
1) lím f(x) ·= Hin
X-+I+ X-+I+
2
X x2
= lí m --· --====-.J (x + l)(x - 1) · x-+ 1 + .J2 ¡;-=-I
=> la recta X = 1 es una ASÍNTOTA VERTICAL.
Se prueba también que x = -1 es .otra asíntota vertical.
2) m = lím f(x) = lím x = lím
x-++oo
b
X-++oo x x-++oo / 2
l X - .1
=
=
lím
X-++oo
lím
X-++oo
lím
X-++oo
2
[ f(x) - mx] = lím ( -;:=x==-
x-+ + oo ~ x2 _ 1
2
X
[ x
2 + x ~ x 2 + l ] ~ x 2 - l
l
~~7 ( 1 + 11 • T 7 ) X- - l
J 1 + xl2
= +oo
=
3)
Límites - 311 -
::::} En y = mx + b : 1 y ::: x 1 ... ASÍNT. OBLICUA DERECHA.
f (x) ·
lim
X
m= lím =
~ . x 2 - l X-+ - 00 X x-+-oo
X ·· .. 'lím l -l Hm = =
lxl~ l -(l/x2) ~ 1 - (l/x 2 ) X-+ - 00 X-+-oo
2 ·
[ f(x) - mx] lím [ X + X] o b = Hm =
X-+ - 00 x.,.+-oo ~ x 2 - 1
=
2 z
- z ] = O . ... por ( •) para z = -x 1
=> 1 ~ ·=-X 1 ... ASÍNTOTA OBLICUA IZQUIERDA,
lo cual tiene sentido pues la gráfica de f es simé~rica respecto al Eje '( Así, en
total se tiene cuatro asíntotas.''Jly
Y=- :
1
1
. ' 1
' ' ' ' ,,
1'
1'
1 '
X= -l 1
1
1
f , . ·v 1 , 1 , 1 ,'y= X 1 , 1 ,
1 ,
1 , .
1 ,
1 ,
l/
1/ ,,
'• , 1
,
X
11.6 PROBLEMA.- Dada f(x) 4 = lx+41 +
lxl - 3
, halle todas las asín-
lotas de f . ·
SOLUCIÓN.-
a) lí :rn f(x) = 00 lím f(x) = -<X>
x-+ 3+ ·· x-t] -
lim ((x) = :-OO ' lim f(x) = +=
x·~ _3+ X-t-.3
' :::} )C = 3 ' X = - 3 son sus ASÍNTOTAS VERTICALES.
------~-----
-312 - Análisis Matemático 1 Cap. 3
b) m = lím
X-+ +oo
b = lím
x-++oo
f(x) X - 4 4 = llm [ ·--+----] = 1 ¡VERIFICAR!
X . x-++oo x x(x-3)
. 4
[ f(x) - mx] = lím [ x + 4 + -- - x] = 4 .
.J:-++oó x-3
Entonces la recta y = X + 4 es una AS(NTOTA OBLICUA DERECHA.
c) m = lím f (x) = Hm [ - x - 4 + 4 ] = - 1
x-+-oo x x-+-oo x x(-x - 3}
b = lím [ f (:x:} - mx] = lim . [ - :x: - 4 - - 4- + x] = -4
:x:-+-oo :x:-+-oo x+3
Entonces, la recta y = - x - 4 es una ASÍNTOTA OBLICUA IZQUIERDA.
En total, la gráfica de f tiene cuatro asíntotas, y_ ninguna de ellas es horizontal,
1t.7 PROBLEMA.- Evalúe a) lím b) lím
X-+ 00 X X-+-00 X
SOLUCIÓN.- Para ambos casos aplicaremos la propiedad siguiente:
V :x: real: [:x:] $ .x < [x] + 1 , x-1 < [x] $ x
X - 1 [x] --<--$1 y ahora aplicamos el Teorema
X X
del Sándwich con lo cual resulta que lim . = 1
x-+oo X
x-1· [:x:] -- > -- ~ 1 , y luego aplicamos el Teorema
X X
del Sándwich obteniéndose
11.8 PROBLEMA.- Halle, si existen,
a) lím x ,
x-to+ [x]
x>O
lim = 1 también.
X-t-oo X
X c) · lím
X-+ 0 [x]
SOLUCIÓN.- a) Puesto que el Dom f = ( - oo, o} u [ 1 , oo} , entonces el lí-..
mite {a) NO TIENE SENTIDO , es decir el límite no exist_e .
Cap.l Límites -.3 u -
b) lím
:X:-t o
X< 0
X
[x] =
X
lim
e) lím _x_ = lím x
x-+0 [x] . x-+0- [x] ·+
[ del:lido a la parte (a) ]
o
= o
11.9 PROBLEMA.- Calcule: :x:lí_!1o X~ [-;-]
SOLUCIÓN.·
i) x--+ o+ : ...!.. --+ + oo , . entonces [ ...!.. ] = .n entero > O ,
X · X
asf n < ...!.. < n + 1 _:::::} - 1- < x $ ...!.. ... {•)
- x n+I n
_n __ < n:x:$ ~
n + 1 n
_n__ <X[...!..]$
n +'-l X
<=> 1--1-<x[...!..]$1
n + i X
(u)
De{•): x --to+ si y sólo si n -t_+oo. luego, como l/(n +.O-to
cuando n --+ + oo , entonces lím + x [-;] = 1 .
x-+0 . .
ii) ~ -+ o 1 - --+ -oo pues x < o ; se verifica que para n E z+
X
1$ x[...!..] < l+-1- ... (••}'
X n - 1
1 .
donde - n ::; - < - n + 1 , n -t + oo
X
Porlotanto, Úm x[...!..]
x-+0- X .
1.
: • de (i) y (ii) : lím x[...!..] = l.
x-+0 X
11.10 EJEllCICIOS.- Verifique que:
X
a) lím -[]
X-too . X
X
lím [x] = 1 .
x-+-oo
b)
-314 - Análisis Matemático t Cap. 3
12. SERIE D~ EJERCICIQS: PROPUESTOS
1. Demuestre, mediante la definición de LÍMITE , que:
a) Hm ~- =·2·· · ·.· e) lfm J x - 1 = ...!.... X-+6 X - 3 X--tl/2 4 2
b) lím X
2
=o f) lím x Sen (l/x) X-+ 0 1 +Sen 2 =
o
X X-+0 2 + Senx
c) lfm x+4 . = 4 2
X-+ 0 2
g) . Hm (3- .¡-;) =
X +X+ J X--t 1
d) lím 3.Jx = 4 h) lím lx-11 - · I X-+ 64 X-+2 .¡;-+2 - 2 = 4
SUG: d) 6 = mín { 1, Í6 e} g) 6 = mín{ 1/2, e/(2./2)}.
2. Si e = 3 / 5 halle un 6 > o tal que
lím lx-3j-,.jx+21 1 =
X-ti lx+JI 2
3. Halle un 6 > o t_al que:
O<lx-1'<6
2
1 2x. ~ 3x + J j < 0.2.
X + J
4. Utilizando la definición, demuestre que
a) lím x 2 · = 9 f) lím 2t + 3 8 X-+ 3 - . --=-
t-+ 1/2 5 - t 9
b) lim .¡-; = 2 g) . l' ( 2
X-+ 4 lm 5 - X - X ) = -1 X-+-3 ·
c) lím x
2
- 4 1 = -4 h) lím X--t-2 x+2 ~
=-
X-+I 2
9x 2 -1 d) lím = 2 i) lí.m (x 2 - Jx) = X-+ 1/3 3x - 1 10 X-+ 5
, 1·
I;. .,¡
e) lím 4 --= 2 j) · lím .¡;-+5 = 3 . t-+ 5 t - 3 X-+ 4
1
1
1
Limites - 315 -
!. Sea f la función definida por: f (x) = 1 x + t I -:- 2 , donde Dom f =
6.
{ x E lR / ~ 8 - l t "'.'" ; 2 1 • (x + 6 ~ x 2 ) ~ o} , encuentre todos los pun· .
tos de acumulación de Dom f y comprobar que existe un único .. a" e Dom f
que no es punto de acumulación de Dom f ,
Luego, demuestre que para cada e > o existe 6 > .o tal. que:
x E Dom f /\ O < 1 x - a 1 < 6 => 1 f (x) - f (a) 1 < e .
Demuestre que 1 t. - - 1-1 $ - 1-· 1 x - JI si
x 2 + 16. 25 500
2<x<4,
y por lo tanto demuestre que 1 lím
x-+3x2+16
= , por definición.
25
7. Demuestre que 1 (1 + x) 3 - t 1 ~ 1Ix1 , si .,... ¡ < x < 1 , y pruebe
por definición que lfm (t + x)3 = 1 .
x-+0
8. Demuestre que 1 J.. ( - 1- - J.. ) + 2...1 < e si o < 1 x t < 6 , donde
X 2+X 2 4
6 = mí n { 1 , 4 e } ( con e > o ) . Interprete esta situación en la forma:
lfm f(x) =A, identificando f(x) , x 0 y A.
· .·{ bx
2
+ab , x~O
9. Si f(x) =
2 (x2 + b)l/ 2 - b , X < 0
halle a y b para que lfm f(x) = f(O) y f(I) = t
X-+ 0
10. Halle lím f(x) si existe, para f(x) =
X-+ 0 {
x
2
, X > 0
X , X < 0
11. Demuestre que lím [x] = n para cada n E Z .
x-+n+
f(.t) ·=. {
3
X~- 0 X f(x)-f(x
0
)
12. Si calcule lím ·
2 X-+X x-x
X X > 0 o o
para XO = o
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-316 - Análisis Matemático 1
13. Sea f(x) ;,,. (x - 2[x])
2
, calcule si existen:
a) lím f(x) b) Hm f(x).
· x--+ I
•• - ,..J
14. Usando limites laterales analice la existencia de
,. • • .·. :4
[x-1] -x
f(x) ::;
J X - [x] . - .
lfm
X--+-2
Cap.3
f (x) para
-9 ~ X < -2
[ 3x]· - 3 [x] - 8 [x/3]
, -2 ~X< 7
X -lxl
15. Halle: , a) lím (x2 +·.-ix) [ 1 - x]
x-.2+
16. Definir dos funciones f y g tales que lím f (x) g (x) y lím l f (x) 1
. X--+2 X--+2
1
existen pero que lím f (x) y lím g (x) no existen.
X--+2 X--+2
17. Calcule lím
X.-+-2
'}/ 3x .+ . ..5 + x + 3
· ~+!
...
18. Sea f (x) = [ x] + [ 4 .. - x] , trace la gráfica de f y encuentre si existen:
a) lím f(x) b) lím f(x)
X--+3+ X--+3
c) lfm f(x).
X--+ 3
19. Si f(x) = C[x + 3/2] - [3/2] )/x;
20.
a) Evalúe f(I), f(-lh f(l/2), f(-1/2), f(l/4), f(-1/4) ..
b) · Halle expresiones equivalentes para f (x) donde no aparezcan los corche-
tes si o. < x < 1/2
c) Ídeíl) {b) , si -1/2 < X < 0 d) ¿Cuál es lím f (x) ? .
X--+ 0
Si f (x) = l x 2 - I I / (x - 1-) 1
a)_ Exprese f (x) sin las barras si X> J.
b) Ídem (a) • pero pii"ra el ~aso: o <X< 1.
Cap. 3 Límites
e) ¿Qué se puede decir acerca de lím f (x) ?
· · X--+ I
21. Si f (x) ,,,;, ( 12 +X 1 - 1X1 - 2 )/x 1 ¿qué se puede decir acerca del
lím f (x) ? .
x--+0 ·
22. Si f(x) = [Sen x] , ¿existen los siguientes límites?:
a) lím f(x) b) lím f(x) · c) lím
x ·-+o x--+n/2 x.-+O
f (x) .
SUG: Grafique f (x) para x e ( ·- 'Jt/2, 2 '1t) .
23. Si
. . . 1
lím f(x) =o , calcule lím [ f(x)•Sen-].
x.-+O x.-+O X
24. Evalúe:
x[ /9=7]2
, X ;?: 1
a) lím f (x) para f (x) =
X--+ 1
x+2
- 317 -
(x + 3)/(2x + 1) ,xe(o,1)
X~ x 2 - 1 -6
b) llm
X--+ 3 .3 - X
d) lím rx-1
2 X--+ 1 X -X
~ x 2 + 9 -3
c) lím
4 2 X--+ 0 · X . + X
~ x 2 + 4 -2
e) lím
x3 - 2x2 - 16x + 32 X--+ 2
25. Analice los siguientes límites:
~ x 2 - 2'lf""X + 1 b) lím a) lím
x--+I (x - 1)2 x.-+-1
c) lím f(x) , para
X-J 1
f (x) = .
1- ..Jx
1-'lf"X
2 1 1
X - -X - -
2 2
x-1
X> 1
x<l
-318 - Análisis Matemático 1 Cap.3
d) lím
X-+ 5
¡;-:::-¡- - .J 3 X - 14
x-5
e) lím x
3
- x 2 - 8x + 12
x-+ 2 x 3 - x 2 - 16x + 20
- IOx
26. Evalúe a) lím
x 3 - 9x2 + 24x ~ 20 X-+ 2
SUG: Pruebe que [ (2x + 1) / (x - 1)] = s , en un enlomo de x = s.
[x - 1] - X
~ x2 - [x]
b) lím
X-+ -3
c) Si 1 (xScn-) ::; f(x) ::; lxl , halle lím f(x).
X X-+0
d)
e)
f)
lím
X-+I
lím
n+I n
n x - (n + 1) x + 1
+I .
xP - xP - x + 1
xllx+4l-21
x-+-oo 3 - lxl
lím ~.
X-+0 [x]
g) Calcule lím (f + g) (x) , para
x-+ I
{
5X - ) , X $ )
f(x) =
4-x,x>I
g(X) = { ! =~X
4x - 2
, X< 1
1 X= 1
X > )
27. Si
f(x) = {-x~(I + x), x < -1
x +2x, x·>-1
g(x) = { ~~:," x<l X>
h(x) = {
(3x - 21)/(7 - x) , x < 7
2x2 - 22x + 56 , X> 7
¿existe lím f(x - J) - g(x - 2) ? .
x-+ 2 h (x + S)
Limites - 319 -
? x-
Calcule L = lím · --;::===--;:::=='==-
x-+ O ~ 1 .+ x3 - J 1 + x2
= [ V 1 + x 3 - 1 ] + [ 1 - ~ 1 + x 2 ]
luego tome el recíproco de L . _Al final tome otra vez el recíproco.
. . { x2- 1 X $ 0
Dada_,_la función f (x) = .. ·
x+2 x>O
averigüe si existe el lím (f o f) (x) .
x-+-1
30. Indique dos funciones f y g tates que lím f (x) y lím g (x) no existan,
x-+I x-+I
pero que lím (f + g) (x) = 2 • ·
X-+ 1
b) Indique dos funciones f y g tales que lím f (x) 'Y lim g(x) no
x-+0 x-+0
existan, pero que lím (f g)(x) = - 3 .
X-+ 0
31. Halle
, ~ x3 + 8 - ~ x 2 + 4
hm ·
X-+ 0 X2
SUG: NUM = ( ~ x 3 + 8 - lf8) + ( .f4 - ~ x 2 + 4 ) .
n-1 n-2 · n-3 n-4
32. Calcule lím
X-+ 1
nx + (n - 1) x - nx - nx · + x
X - l
33. Evalúe los siguientes límites:
n
-1 x3 +.x2 - Sx - 2
a)
X c)" lím lím
x·-+ 1 X - l X-+ 2
2 -4 X
b) J...c 1 d) lím
108 (x 2 + 2x) (x + 1)3
lím --]
X-+ 0 X (4 + x) 2 16 x-+-1 (x
3 + 1)3 (x - 1)
34. Calcule
~ x 4 + 1 ~ x 2 + 1 Vi 6 X X--\ -
a) Um b) lím
X-+ 0 2 X-+ 3 3-x X
-320 - Análisis Matemático l Cap. 3
SUG: a) NUM = C ~ x 4 + ·, - 1 ) - ( ~ x 2 + 1 - 1 ) , a dos fracciones . .
b) Introducir x ·en el radical.
35. Una circunferencia de centro (3, O) y radio 3 intersecta a otra circunferencia de
centro (o , O) y· radio h . Sea A = (o , h) y B el. punto de intersección de
ambas en el primer cuadrante, (O < h 5 6) .
Si L es la recta que pasa por A y B , y Q = (z , O) es el punto de intersec-
ción de L con el eje de las abscisas , halle lím z .
h-+ o
36. Calcule lím
Z-+ 0
V 1 + z 2 - ~ 1 - 2z
z
2 + z
2
SUG: z + z = z (z + 1) ; NUM (V 1 + z 2 - !) + (1 - '!J 1 - 2z )
37. Evalúe:
2 \
a) lím
Sen X
d) lím X [x]
X-+ 0 X X-+0
Sen
2
(4h)
. 2
- Sen
2
b) lím e) lím
Sen (h +a) a
b-+ o h h-+ o h
c) ] ' 1 ( h) h 1 m - Cos x + - Sen (-) .
h-+0 h 2 2
38. Calcule:
a) lím
Tan x + Tan.2x
X-+ 1C/3 Cos x + Cos 2x
2
b) lím x Sen (l/x)
X-+ 0 Senx
c) lím
.J 1 + Sen x .J 1 - Sen x
X-+ 0 X
39. Sea P un punto de coordenadas (x, Sen 2 x) sobre la gráfica de y = Sen 2 x .
Se supone que P es .,. (O, O) y que - n: < x < 1C , La perpendicular media-
triz del segmento OP intersecta al eje Y en un punto E . A medida que P se mueve .
a lo largo de la gráfica y se a¡Jroxima a o , ¿cuál es la posición Hmite de E ?
40. Calcule:
a) lim
X-+ 0
X
.J 1 - Cos x
Límites
b) lím
X-+ 0+
- 321 -
X
SUG.- ~Sen2 (x/2) = 1 Sen(x/2)1, x <O ~ x = -lx] ·
41. a) Halle:
Sen (6X)
lfm
X-+ 21C/3 JX - 211:
b) En la figura, e es una circunferencia unitaria cuyo centro es el origen de co-
ordenadas, T es la recta tangente a e en el punto P· y o < _x < 1T./2 . .
Halle: lim
DE y
x-+ 1T./2- OA
lím Tg (2:n) + Cos (1T.x/2) + Tg (:1tx/8) = L
42. Encuentre 2 x-+ 2 (x + 4x - 12)
SUG.- L = .2_ lím Tg (21T.x) - Cos (:1tx/2) + Tg (:1tx/8 + :1t/4)
g x-+0 · .x
1 - 256 Cos 8 x
43. Calcule lím
x-+ 1T./3 Sen (x - :1t/3)
x 5 Sen(l/lxl3 J-1Se~xl --
X
44. Dada · f (x)
-1
calcule llm f(x) si es que existe.
x-+ O
45. Calcllle: a)
· • Sen (3:1tx) + Cos (1T.x) + 1
lím
2 x-+I x -1
' X < 0
X> 0
X
-322 - Análisis Matemático 1 Cap.3
., rx+6
b) lím
X- - 6 - X+ 6
X-+ 3 ¡;+l-2
46. Evalúe:
a) lím 6x - Sen 2x d) lim
Sen Jx Sen Sx
3 2 X-+0 2x + 3Sen4x x-+O (X - X )
b) lím 1 - 2 Cos x + Cos 2x e) Hm Cos x - Cos 2x
X-tO 2 x-tO 1 - Cosx X
c) lím J Sen (nx) - Sen (Jnx) f) lím
Gosec (ax) a ,... O
X-+ 0 3 X-+0 Cosec (bx) b ... o X
47. Pruebe que: si lim g(x) = o :::::}- lfm Úx) Sen (l/x) = O
x-+O X-tO
48. Evalúe:
a) lfm Co~ ( re Sen 2x ) d)
X-+0 3x
b) lim
Sen (2x - 10)
e)
X-+ 5 x-5
c) lím Sen (Tg x) f)
X-t 0 Sen x
49. Calcule: a) lím
Cos 2 (Jx)
b)
x '-t n/2 Cos 2 (x)
50. Halle los valores de a y b si se sabe que
L = lím
X-t 2b
x
3
- x
2 .f. ax + 12
x2 - 4hx + 4b 2
51. Calcule L = lím
nScnx xSenn
x-t .n nCosx xCosn
lfm
Sen (2 Cos x)
X -t n/2 Cosx
2
lfm
Sen (x - l)
X-t 1 X - 1
2
lim
x Sen (1/x)
X-+ 0 Senx
lím
~ (1 - Cos x)2
:c-tO Tanx
Además, calcule L .
SUG.- Pasar a un ·lfmite equivalente para x -+ o , y dividir al numerador y de
nominador entre x .
52. Evalúe: e) lím
X-t 0
Sen•x - Tanx
3
X
2
a) lím (re - x)Cos-
X-4 l[ X
1. - Sen (x/2)
b) lím
(re - x) x-+ l(
Límites
c) lfm
x-+-7(/2
d) lim
X.-+ 7t/l
- 323 -
3re
(re + 2x) Cos ( - + Jx)
' . 2
. 3re 3 ) Sen(-+ x
2
Sen 2 (6x) + Tan(3x)
3x - 7t
Dadas las proposiciones siguientes, ¿cuáles son verdaderas? .
Sen lx 1 Sen x
I) lím lim
x-+0 x x-+0 lxl
II) Hm
.J 1Senx1 1
x-+ o+ X
III) llm
X-+ 0
~1-[x] 2 no existe.
54. Evalúe:
- .;;::::,· x~~~.J;:l:::4=x=-=3=1==- + --~-L = Hm [ x2 + x - 12
x-+3 . ~· x2 ~ _ J - 2x . '
8 2 )
(x - 3)
55. Calcule:
a)
c}
V X+ 27 - 3
lim
X -t 0 4.[ X + 36 - 2
~+rx+rx-3
lim
X-+\ X.:._ 1
rx ~ ra + ~·
~x2-a2 .
b} lím
. X ,-ta
SUG.· t = xl/2 .
56. Sea
x3 [ ( n n: x + 1 ) - Sen 2 ( nn:x + 1 ) + 1 ] '
f(x) = --- Cos · nx
4 + mx n x
SUG.· t = 1/ x · a) Halle n2·m si lím f(x) = -1/24
X-+ 00
b) Halle la ecuación de una de las asíntotas horizontales de la gráfica de la lun·
ción f .
57.
· 1 r de n lados cuando n
Halle el límite del ángulo interno .de un polígono regu a .
tiel'lde a infinito. ·
58. Demuestre que : a} H m x Sen ( ~ ) = n •
x-+oo x
n:
b} lím xSen(-) =O
x-+0 . X
''/ _
-324 ~ Análisis Matemático 1
59. Calcule:
a) lím
X-+oo
~x+~x+../x
rx+J
e) lím ( Sen ~ 4 + x 2 - Sen x)
X-+ -oo
d) lím x(~x2 +3 -x)
X -+-oo
60. Calcule: lím
X-+oo
~ 8x3 + x 2 - ~ x 3 + x 2 .
X
SUG: Sólo factorice x en el numerador.
61. Dada f (x) = ( [ X - 1] - X ) / ~ X - [X]
Cap. J
, calcule los límites :
a) lím f(x)
X-+-8
b) Hm · f(x)
X-+ -3+
c) lfm f (x)
62. Halle si existen: a) lím x [~] sen e...!....)
X-+-oo X X
b) · lím
x-+I
. x4 3
(----X-) 3 ? •
X - 1 X- - 1
X-+-3
63. Si a , b E R , halle lím
· x-+oo
a Sen (2x) + b Cos (x2)
1 +x2
SUG.- o::::; lrcx>I ::::; <lal + lbj)/(I + x 2 ).
64. Dada la función f definida sobre R - { - s , - 1 } por
23~ ·
X -.¡x+2 -.¡-;-:+5' -X
f (x) = ---;:=:=======--
~ lx2 + 6x + s I
a) ¿Existe lí m f (x) ?
X-+ -1.
b) Hallesiesposible lím f(x).
X-+ -5
68.
69.
.Límites - 325 -
Si a, b E IR lí m a x Sen ( ~) = b - 1 , y
x-+oo x
A = {:e E IR / ax+ b > x 2 } , Sup (A) '= a + b , halle a 2 + b 2 .
·suG.- Pruebe que: · b - 1 = o .
Sen[n(I - x 2 )/(l + x 2 )]
Halle L = lfm
x 4 Sen (l/x) X-400
SUG.- z ·= t/x, x -+ o+ , lím
x--1' oo
1
xSen(-)
X
=} . L = 3 z
2
- 1 ]
lí m z Sen [ '1 ( -
2
-- )
z-+ o+ z + 1
Evalúe:
a) lím
2x2 + 3x + 5 e) lím
X-+ 00 3x 2 - 2x + 1 x-+ - oo
o .
~ 2x2 + 1
x+3
2x 2 +7x+5
b) lím f) lím · ( ~ x 2 + 2x
x 3 + 2x + 1 X-+ 00 X-+ 00
- X)
~ 2x2 + 1
c) lím g} lím ( ~ x 2 + 2x - x)
x+J X-+oo X-+- 00
1 :7t h) ( 2 ~ (í 4 d) lím -Sen(-) lím . x - x - 2x
X-+oo X X x-+ oo
Evalúe:
3 2 x +Sen x X __ x_) c) llm a) lím (
X-+ 00 x
2
+ 2 X+ 2 X-t 00 x + Cos x
3
- 8 [ x2/3] -3
b) lím
X
d) Jím
X-+ 2 lx - 21Cx2 - 4)112 X-t ± 8 1 X - 3 I
Si f(x) = 3x + lxl halle .
7x-Slxl
a) líni f(x)
x~oo
b) Jím f(x)
x-t-oo
e) llm f(x) d) lím f(x)
X-+0+ x-t O
)
j)
-326 - Análisis Matemático 1
e) lfm f (x) f) lfm
x-+0 X-+ 0
70. Calcule:
a) lím
X-+ 0
V 1 + x 2 - ~ 1 - 2x
X+ x 2
Cos ax - Cos bx
2
X
Cap.3
b) lím ( ~ x 2 - 2x - J
x-+±oo
J.x 2 - 7x + 3 )
e)
d)
e)
g)
h)
i)
j)
lím [ x 312 ( ~ x 3 + 1
X-+ oo
lím
t-+ 00
. lím
X-+oo
lím
X-+ 8
lím
X-+oo
· lím
X-+ 6
lim
X-+ oo
3t
2
(2t - 1) (3t
2 + t + 2) ] [ -- - -'-----'-'----...;...
2t+I 4t2
[ .J x (x + a) - x ] , f) lfm
x-+..f2
- 2
x-8
(x + 0 10 + (x + 2 )10 +
XIO + 1010
rx+-2 - ~ Sx - 3 + 1
..¡-;+3' - 3
rx + rx + v-;
.J 2x + 1
+ (x + 100) 10
x 2 - 2
SUG.- {i) y = x - 6 , NUM = ( ~ x + 2 - i) - ( ~ Sx - 3 - l).
71. Evalúe:
a)
e) lím
X-+ oci
m, n· E Z
~ x 7 + 3 + V 2x3 - 1
6/ 8 . 7
<iX +x +I -X
b) lím
X-+oo
x3 x2
(--2--- --. -)
2x - l 2x +I
· Límites - 327 -
f)
h)
j)
k)
1)
lim
r-+ oo
~ x 2 +' 1 - ·~ x 2+ r ·
~ x 4 + 1 - ~ x 4 +l
V 7 + x3 - ~ 3 + ~2
lim
r-+1 x-1
lím
X-+ 00
lím
.\'.-+ 1
lim
X-+ 00
lím
X-+ 1
~X 4 + . 3 - ~ x 3 + 4
~ x 1 + 1
rx-1 donde m.¡;-
X . - 1
X [ ~ x 2 + ~ X 4 + l
(-J)[x]
m)
x-1
Evalúe:
a)
b)
d)
lím
Sen (xn)
para '
X-+ 0 (Sen X')m
l + Sen x - Cos x
lím
x -+ O l - Sen x - Cos x
lím
1 - Sen x
x ~ n/2 ( _:!.. _ x)2
2
e)
g)
X-+ 00
lím
X-+ 0
~ x 3 +X - X
~ · ¡ + x 2 - V l - 2x
2 x+x
i) lím ·[ .J (x + a)(x + b) - x].
X-+ 00
m, ri E z+.
- xfi]
lím ( l - 6 [x] +
[x]2
2 x-+±oo X X
n ;::: . m E z+ .
e) lim
Sen x
2 X-+1T. l - (x/n)
e) lim
Cosx
X-+ 'Jt/2 ~ (1 ..,. Sen x)2
x-a nx
lím Sei:l(---)Tan-- g) lim
jCosxl
X-+ '1C/2 V (1 - Sen x) 2 x-+ a · 2 2a
Evalúe:
a)
b)
. 2
(1 - Cos x)
lím
x-+ O. Tan 3x - Sen3x
· .[3¡2 - Cosx
lím
x-+n/6 Sen(x -11/6)
e) lim
x + Senx
X-+ 00 x + Cos x
e) lim
Cosx
· x-+ n¡-2+ .J 1 - Sen x
1•
. "
1,::·!'
' ! .. 'ii
i '
' l
,.,
-328 - Análisis Matemático 1 Cap. 3
d) Hm Tan 2 (x)[~2Sen2x+3Senx+4 -~Sen 2x+6Senx+2]
X-+ rt/2 .
74. Evalúe: a) lím (Cos~ - Cosrx)
X-+ ex>
b) lím
1-Cos(l-Cosx)
L
X-+ 0 4 X
c) lím 2 1 x (1 - Cos-) d) Hm
X-+ CX> X X-+ 0
SUG.. {b) lím (1 - Cosx) :o:: Hin 2Sen 2 (.!..) =o
L = lím
X-+ 0
= lím
X-+ 0
X-+0 ' X-+0 2
1 - Cos ( 1 - Cos x) :::: 2 Sen 2 [ Sen 2 ( .!.. )]
2
2 2 2 Sen (Sen (x/2)) 4 x
4 4
·Sen (-)
x ·Sen (x/2) 2
2 ')
2 Sen (Sen- (x/2))
[Sen 2 (x/2) ]2
Sen (x/2)
24 (x/2)4
75. TEOREMA.· Si f (x) > O , x E (a, b} :
lím f(x) o => lím
x-+a+ X-+ a + f(x)
SUG.- Tomar en particular e= l/M 1 dado M >O.
76. TEOREMA.· Si f (x) < O 1 X E (a, b) :
lím f(x) o => lím
x-+a+ X-+ a+
77. TEOREMA.· Si f( ) o ( ) x > , xe a,b:
Hm · ((~) = =
X-+a+
1 --
f(x)
1
f(x)
=
=
Sen (x 4 )
2
X
CXl
-CXl
o
.Limites
SUG.· Dado e > o , tornar en particular M = !/e .
TEOREMA.· Si f(x) <O , x E (a, b}
f(x) = -=
3/ 3
"J X + 4
79. Evalúe:
V x3 + 3
V x2- 3
SUG.- · Pruebe que la fracción es equivalente a:
. --.1 [
5
1
f(x)
- 329 -
= o
(x2 + 2)1/4(x2- 3 )2~4 + (x2 _ 3//4 ]
+ (x3 + J)2/3 + (x3 + J)l/3(x3 + 411/3 + (x3 + 4l/3
y factorice 1 x ¡312 en el numerador y x 2 en el denominador.
80. Evalúe: a) lím
Z-+ X
Sen2 z - Sen
2 x
2 2
SUG: h :::: z - X -+ o
Z - X
b} Hm
z-+ o
Cosa z Cos P z
2 z
81. Dada la función f(x) = {
c) lím
z-+ o
1
x+l+--
x+I
1 - (Cos z) ~ Cos 2z
2 z
X< -1
X ~ -1
halle las ecuaciones de todas las asíntotas de la,Qráfica de f.
l 3 - x21 - l 82. Sea f(x) = ¿existe alguna asíntota vertical en la gráfica de la
lxl - 2
iunción f ?
En caso afirmativo, encuentre a e lR tal que x = a sea la ecuación de una
asíntota.vertical.
-330 - Análisis Matemático 1
83. Determine las ecuaciones de todas las asíntotas de la gráfica de
2
X f(x) =
x
4
- 12x
2 + 2x3 - 8x + 32
84. Determine las ecuaciones de todas las asíntotas de la gráfica de
x
2 + 3 f(x) =
~ x2 + 1
85. a) Halle todas fas asíntotas de la gráfica de la función
2x3 = -x + 1 + -;======-ix4 - l3x2 + 36
f(x)
b) Calcule
86. Halle todas las asíntotas de f (x) = (2x2 - 3x. + s) / (- x - 1) .
87. Halle todas las asíntotas de la gráfica de:
2
f(x) = 3 - 2x - -;:==x===-
~ x 2 - X - 2
Cap.3
88. Demuestre que la función f (x) = Tan x tiene infinitas asíntotas verticales.
89. Halle las asíntotas de la curva f (x) = ...!__ (x2 + ix - 1) . .
X
90. Halle las asíntotas de:
a)
2 .
f(x) = (x + l)/(x + 1) ., b) 2y .(x +O-
91. Calcule lí m
X-+5 ~ 625[25 - x 2F=4°]
92. Halle el valor de fa constante e si se sabe que
l , [ x
4 + e x 3 + 1 / ., . ]
x ~~ x3 - x + 1 - l x- + 3x .- JO =
SUG: Sumar y rnstar x a toda la expresión.
3
=X
3
2
Cap.3 Límites
93. a) Halle el dominio y las a.síntotas de la gráfica de lá función
f (x) = X + 4 x
6 -9x
4
-x
2
+9 .,
x- - 5
b) Calcule lím
X-+ 2
6 rx+6" - 4 rx+7"
x
2
- 4
c)
SUG.- En el numerador restar y sumar 12 .
Calcule: lím
X-+ 0 .
~ x 4 + 1 - ~ x 2 + 1
2
X
94. Calcule:
a) lím . x ~ 3 + x42 ·
x-+0+
b) lím
x-+ O
CI
X~ J • X2
- 331 -
95. Halle las asíntotas de y 2 (x - 2 a)
3 3 = X - 3 , a > o. Esboce un gráfico.
Halle su dominio. SUG.- Simetría respecto al eje X.
96: La función f (x) cumple las dos propiedades siguientes:
i) y = Jx + 5 es una asíntota derecha d.e la gráfica de f.
ii) f(x) = f(-x) 1 V X ER..
l• . d f(x) Calcule los 1m1tes e -;=======-
. . ~ 3 x 2 + Senx
cuando x ---+- ± oo .
SUG.- La condición (ii) implica que f es una función PAR y que por lo tanto su
gráfica es simétrica respecto al eje Y.
97. Demuestre que si 1 f (x>I $ K , v x E ( - oo, a) . Y si se cumple que
f(x)
lím g (x) = + oo , entonces . lím -- = O •
x-+-oo· x-+-oo g(x)
98. Halle las asíntotas de f (x)
2
X
= -.====
~ x 2 + 4
+x-5.
99. Si
2
Hm [ Kx + b _ x - 3x ] = 10 , halle las constantes K y b
x:-too x+I
que cumplen con este resultado. fnterpré.telo geométricamente.
'·
'" ,· -332 - Análisis Matemático 1 Cap. 3
100. Dada la función .
2 2
(x - 4x - 21) (x + 2x + 3)
2 -; , X< -3
(x - 1) (2x- - 3x + 5)
f(x) = x
3 + x 2 - 2x .,
. (x - 2) ex-+ 2x - 3)
, X E (-3,2) - {I}
~ 6x 2 - x 3
encuentre todas sus asíntotas.
1
, X~ 2
101. Dado el sector circular de radio R y ángulo central • x" se inscribe en él un
triángulo equilátero de lado "a " .
Calcule lím R
X-+51r./3 3x - 5:rr
SUG.- Exprese R como una
función de x .
102. Calcule:
a) lím
X-+-oo ~ 2
1 - 4x.
2
b) lf m [ -;::=X==- - X )
x--t+oo I 2
V X - 1
c) lím [ x + ~ 1 - x 3 ] .
x--t+oo
103. Calcule l 16 - x
2 I + 1
d)
e)
Hm
X --t 4 (4 - x) ~ 5 - lx +JI
104. DadaJafunción
· { . 11 7x
2
7x - - + ·-;::===-
f (x) = . 3 /x2 + 5
3 .,
x/(36-x-)
halle las asíntotas de I; gráfica de f.
o B Q
lím [ x + ~ x 2 - x 3 + 1
x--t+oo
lím X
X --t +.oo
X - ~ x 2 + 1
lxl ~ 6
lx[ < 6
Cap . 3 · Límites - 333 -
105. Calcule:
a) lím [ ~ x + ~
b)
c)
X --t 00
lím
X --too.
lím
X --t 0
rx+i - rx 1112 ------·x
rx-+t - rx
~ ArcCos(I - x)
rx ~ Csc X ,.... Cot X
CLAVE DE RESPUESTAS
1. a) 6 = mín{I, 2e} b) 6 =e ,
d) o= min{l,16e}, e) 6 e/2,
g) 6 = mín{l/2,e/(2../2)}
c) 6 =. mín { 1, 3 e/28 }
f)B=fe
h) 6 = mín { 1, 2e} .
2. 6 = mín{I, 2e/3} = 2/5 . 3. 6 = min{I, e/3} = 1/15.
4. a) 6 = mín{I, e/7} b) 6 = 2e
e) 8 = mín { 1, e/2} f) B = mín{l/2, J8e/13};
g) 6 = mín{l,e/6} h) B = min{r,4./3e} .
i) 6 = mín { 1, e/8} j) 6 = Je.
5. Dom f = [ - 3 , - 2 ] u { 3 } de donde por ser a = 3 un punto aislado no es
punto de acumulación del Dom f [ y es además el único punto del dominio de f
que no es punto de acumulación de este conjunto ] .
6. s = soo e/7. 7. 6 = e/7 .
8. f(x)=[g(x)-g(O)]/x donde g(x)= 1/(x+2), x
0
=0,A=-l/4
9. a= 3 , b = 1/4 ; 10. L = O ; 11. s = 1 12. L =O
13. a) L+ = 1 1 L =9 b) L = 1 sí existe.
14. L lím
(-4 -x) = -2. L+::: lim (-6) - 3(-2) =
X--t-2
15. a) - 16 ,
16. f (x) - {
1
- -1
¡-;-+J
b) 10.
X> 0
x<O
=
X--t:-2+ 2x
~ {-: ' x<O
x>O
gCx>
o
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! :
-334 - Análisis Matemático 1 Cap.3
17. 6 ; 18. a) 3 , b) 3 , ~) 3 .
19. a) 1, - t, 2, o, o, o ; b) o ; e) o ; d) existe = o .
20. a) f(x) = x + 1 , b) f(x) =;= -(x + 1)
e) no existe: L_ = 2, L_ .= -2 .
21. a) f (x) = O b) f (x) = 1 , e) no existe: L = o , L = 1 •
22. a) no existe , b) o c) -1 . 23. o.
24. a) b) -7/2, c) t/6, d) 1/3, e) -1/36.
25. a)
4/3 •
1/9 b) L_=O. L+=-1/2,c) 3/2 1 d)-1, e)S/7.
26. a)
d)
+oo, b). L+=-l/(2J"3), L_=-2/JIJ;
n (n + l)/(2p) e) + oo , . f) o (¿por qué?) ,
27. L+=L_=l/3. 28. L = -1/2 .
29. L = -1 , L+ = 2 , L = lim fo f(x) no existe.
X-t-J
c) o ,
g) s.
, X> 0 , X> ·o
g(x) = 30. b) f(x) = {
3
-3 X < 0 X < 0
31. L = -1/4 ; 32. (3n + 3)
33. a) n , b) -1/32, c) 11/4, d) 27.
34. a) L = O - 1/2 = -1/2 , b) L = - 7 /2 .
35. Pruebe que B = (h 2 /6, h~ 36 - h 2 /6),
2 ~ . 2 z = - h /( . 36 - h - 6) lím· z = lím z
h-tO h-tO+
36. L = lím ( NUM ·-1-) = lím ( NUM ·I)
z-tO z z+I z-tO z ·
1
2
37. a) o , b) o c) (Cos x)/2 d) o 1 e) Sen (2a) .
38. a) - s¡.Jl , b) o , c) 1 .
12.
39. E = Sen2 x + x2
2 2Sen 2 x"
Hin E = ...!_ , 40. a) - ..f2 , b) ..f2
X-t 0 2
Cap.3 Límites - 335 -
41. OA = Cosx DE = (Cosec x) - 1 , L = O .
42. 9'1t/32 1 43. 8 .[3. .
44. L = .1 , . L + = o ; luego • L no existe.
45. a) - 3n/2 , b) 70/3 .
46. a) 2/7 , b) -1 ; e) 4'1t
3
, d) IS , e) 3 , t) b/a .
48. a) -1/2 , b) 2 , c) 1 , d) 2 e) 2 , f) o .
49. a) 9 , b) o .
50. x 2 _ . 4 bx + 4 b 2 = (x - 2 b) 2 y por ser _una función racional el numerador
., . . -
debe ser de la forma: (x - 2 b)- (x - K) . De aquí se obtiene:
b = 1 , a= -8 , K = -3 , L = 5.
51. L = (Sen n - n Cos n)/(Cos n + n Sen n) .
52. a) o , b) o 1 c) 2/3 , d) -1 1 e) -1/2 .
53. I) FALSA , pues los limites laterales son iguales para ambas funciones pero ca-
da una de ellas no tiene límite en · o debido a que sus límites
laterales, aún cuando existen, difieren en cada función por separa·
do.
II) FALSA , III) VERDADERA: L + = 1 , L = O .
-1 8
54. Pruebe que lím ( ] = - oo Y que
x -t 3 x 2 + x - 12 (x - 3) 2
- . ., ~ "/3
(x - .J 4x - 3 )(x- .¡ x - 2 - 3 - 2x)~
lím ( ter. Su1Dando] = lim ., ~ .... . =
X -t 3 . X -t 3 (X-"/ X -: 2 ~ 3 - 2X) .
. . 2/3 ., ~
(x - 3)(x - 1) [ x 2 .¡-¡-:::2 - (3 + 2x)] [ x- .¡ x - 2 + (3 + 2x)]
lim ·
x -t 3 (x ~ 3) (x 4 + x 3 + 3x2 + Sx ·+-3)
= O . Por lo tanto , L . = ·- oo .
55. a) 32/27 , b) a> O: L = 1;..¡:¡;; a= O: L=oo, c) 13jl2.
56 ) n
2
m = 12 , . a b) y = -1/24 .
57. ªn = :11 - (2'1t/n) , ello implica que
59. a) 1 , b) 1 , · c) o , d) -oo.
lim a
0
= ·1t.
n -4 oo
60. L = 2 - 1 = 1 •
~336 - Análisis Matemático 1-· Cap.3
61. a) L+ = -- oo , L_ = - 2 ; b) L+ = - .oo , L = -2 .
62. a) Tome x < - s : [ (x + 1)/x] ·= o . Entonces L = o pues, prime-
ro, la expresión es CERO en uña vecindad (izquierda) de - s , y luego
se pasa al límite.
b) No existe, pues L~ = + oo , L+ = - oo .
63. L = o • cuando x -+ + oo •
64. a) . L+ = O , L_ = O , L = o b) L = -oo.
65. A=(ca-Ja
2
+4)/2, (a+Ja2 +4)/2) ,ydeaquísetiene:
(a + ~ a 2 + 4 ){2 = Sup (A) = a·+ b =} b = 1 , a :::: O .
67. a) 2/3 , b) o , c) .J2 • d) o •
f) 1 g) 00 • h) 2/3 .
68. a) 2 , b) L = L+ = oo ,
69.
70.
c) Dividiendo por x: .L = (1 + 0)/(1 + O) = 1
d) L ( + oo ) = 0 , . (3 < X < fu ) ;
L(-oo) = -oo, (./6 <x<3}.
a) 2 • b) 1/6 , c) 2 , d) 1/6 1 e) No existe
a) 1/2 •· b) ± 5/2 • c) 1 1 d) -1/2
f) L+ = oo , L =o 1 g) 1/48 1 h) 100 1
e) -.J2
• f) _!_(b2- a2) .
2
e) a/2
i) -11/18 1 j) I/h
71. a) n/m, b) 1/4 • e) 00. d) 1. ·e) -1 , · f) -1/4. g) 1/2
h) o • i) (a + b)/2
' j)' m/n ' k) o ' 1) -oo . m) 4
72. a) o, si n>m . 1 ' si m = n; b) -1 ' c) n/2 ' d) 1/2 e) li Iil = -oo lím = +oo ' f) -a/n . g) +oo. X -Ht/2+ X-+ 1f./2
73. a) +oo ' b) 1/2 ' e) 1 . d) 1/12 ' e) -.J2.
74. a~ ·º 1 b) 1/8 • c) 1/2 . d) o·:
79. L(+oo) = -oo . L(-oo)=-oo. .
80. a) (Sen 2x)/(2x) b) Difer. De Cosenos : L
., 2
' = <P- - a )
Límites - 337 -
c) (Co11jugada) L = 3/2 .
81. a) x = - 1 (asíntota de la rama izquierda)
b) As.Oblicua Izq.: y = x + 1 , As_. Oblicua Derecha: y = 2 .
.,
82. lím
x-+ 2+
x- - 3 - 1 x
2
- 4
= \ím · (x + 2) = 4 , lím = 4
:X - 2
lím
X-+ - 2
x-+2+ x-+2- x-2
Asimismo: f (x} = 4 , no existen asíntotas verticales.
83. a) Verticales: x = 2 , . x = - 2 , x = - 4
b) Asíntota horizontal en _± oo : y ·= o
84. No hay asíntotas verticales.
Asíntotas Oblicuas: Izquierda y = - x , Derecha y = x .
85. a) Verticales: ~ · = 3 , x = - 3 , x = 2 , x = - 2 ·
Asíntotas Oblicuas Derecha: y = x + 1
Asíntotas Oblicuas Izquierda: y = x + 1
b) o
86. Asíntota Vertical: x = - t
Asíntota Oblicua Izquierda y derecha: y = - 2x + 5 .
d . h . 3
5 • 87. vertical: x :::: 1 , x ·= 2 ; oblicua erec a: y = - x + 2 .
Oblicua izquierda: y = - x - (7 /2).
88. En x = (ir/2} + nrr , n E Z .
89. Vertical: x = o ; Oblicua derecha e izquierda: y = x + 2 .
90. a) X = - 1 , y = X - 2 ; b) X = - 1 y = (x - 2)/2 .
91. L = -IT / 5. 92. e = 3 .
93. a) Dominio: ( - oo , - 3 ] u ( - f5- , - 1 ] u [ 1 , .f5 } u [ 3 , oo }
Asíntotas: Vertic: x = ± .f5 ; Oblicua derecha: y = 2x ,
Oblicua izquierda: y :::: o ; b) - 1/24 ; e) -: 1/2 .
94. a) 2 ; b) - 2 .
95. Ver la .solución después de la respuesta del Ejercicio [ too ] .
96. .J3 . (ambos) .
98. Oblicua dereclia: y = 2x - s , Oblicua izquierda: y = - 5 ·
99. k == 1 1 b ·= 6 •
100. Asín1otas verticales: x = 2 , x = - 3
-338 - Análisis Matemático 1
Asíntoia Oblicua Derecha: y = - x + 2
Asíntota Oblicua Izquierda: y = 1/2
. 95. Dominio = ( - oo, a] u ( 2a ; oo)
101 .
102.
103.
104.
Asíntotas: Vertical x = 2a ; Oblicua derecha: y = x + .a .
Oblicua izquierda: y = - x - a
y ·v 1 , 1 . _· . ,' 1 , , 1 ,
1 , .
1 ; ,
1 , , , ,
1 ,,
V- 1·
,"•
1 1
X
13 + ~Cot~. R(x) =--a
. 2 2 2
Límite L ,= - a/3 .
a) -1/2 1 b) o 1 c) o 1 d) 1/2 , e) - oo .
lím = Hm = +oo.
X-+ 4 X-+ 4
Asíntotas Verticales: X=± 6 .
11 Asíntota Oblicua Derecha: y = 14x - -
3
Asíntota Horizontal Izquierda: y = -11/3
105. a) .J2 , b) 3/4
Are Cos (1 - x) ] [ llm Tan x _ 11/:2. e) L = [ lím
x-+ O .¡-; x-+O+ Coscc x - Cot x
z 1 + Cos x ] 1/2 =[ lím )[ lím
z-+0+ .J 1 - Cosz x-+0+ Cosx
Cap. 3 Cap. 4 · - 339 -
4
CONTINUIDAD
l. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
La idea de la CONTINUIDAD de una función f en un punto x
0
de su
dominio [ f (x ) debe estar definido ] es que la gráfica no tenga rupturas o
tipo ' salto uertical ' a lo largo de la recta yertical x = x
0
:
y
X
y
f~
X
• f (x ) está definido. o
No hay salto vertical sobre x
0
•
• Existe el límite
-l!m f(x) = f(x
0
) .
X-+X
0
f ES CONTINUA EN x
0
•
[ Fig. 1 ]
No existe salto en x
0
pues
x~ ji! Dom f
No tiene sentido analizar la
Continuidad de f en X
0
[Fig. 2] .
•'I'
.• :1
-340 - Análisis Matemático t
1.1
Cap. 4
. ·~
f (x~) - - - - ___ -e f
• f (x 0 ) está definido .
• · salto de f en x
o
. D~FINICIÓN.-
Xº X
existen límites laterales
diferentes en x · o .
=> f NO CONTINUA en X o .
[ Fig; 3 J
salto de f en x
0
existe lim f (x) = L
.r-+ .r o
(los límites laterales coinci-
den en x
0
)
está definida f en x
0
pero
L "'° f(x
0
)
[ Fig. 4] => f NO ES CONTINUA en X o •
La función f es CONTINUA en x 0 E Dom f si para
cada e > o , existe un 6 > o (que depende de e y
de x
0
) tal que:
X E Dom f /\ jx - xo j < 6 ::}- . 1 f(x) - f(xo) 1 < e
1.2 OBSERVACIONES.-
1.
2.
3.
Debido ª la definición dada, solamente tiene sentido analizar la continuidad de f
en puntos del DOMINIO de f.
No es necesaria la restricción: o < 1 x _ x
0
1 < 6 , pues al pertenecer xº
al Dom f, entonces para .r = x
0
también s~ cumple que:
1 f(xo)- f(xº)' <e 1 puesto que 1 f(xo) - f(xº)' =o(< e) .
Si x 0 es además un punto de acumulación del . Dom f entonces se tiene en for-
ma equivalente que:
· Cap. 4 Continuidad - 34 l -
4.
5.
• .f ES CONTINUA EN x = x
0
si se cumplen las tres condiciones :
i) . f (x
0
) está definido.
ii) Existe el límite de f en x
0
•
y iii) Hm f(x)
X-+X
0
Las condiciones [ii] y [iii) en [3] ambas equivalen a que en x
0
existan am-
bos límites laterales y que coincidan con f (x
0
) •
Si x no ·es punto de acumulación del Dom f entonces f resulta automática-º .
mente CONTINUA EN Xº. En efecto:
Existe una vecindad de Xº • de radio 6 • donde no existe ningún otro punto
del Dom f que sea diferente de x
0
; de esta manera la condición
"x e Dom f /\ 1 x - x
0
1 < 6 " es satisfecha por un único punto
x = x
0
, . y para el cual
jf(x)-f(.r
0
)I = jf(x
0
)-f(x
0
)j =O< e, V e> O .
1.3 CONCLUSIÓN.-
Para que una !unción f sea CONTINUA EN x
0
se debe verificar que:
i) Xº E Dom f [es de_cir que f(x0 ) debe estar definido . J .
ii) Si x
0
no es punto de acumulación del Dom f . entoncesf ya es continua en
x
0
por [5] . Por éjemplo, si Dom f = ( - 4, o} u { 2} entonces x
0
= 2
no es punto de acumulación de Dom f . Así resulta ser f continua en x
0
= 2 . .
iii) Si x
0
es punto de acumulación del Dom f entonces se calcula el límite de f en
x . , el cual debe existir en Ji y este límite además debe coincidir con f (x ) . o . . o
t.4 EJEMPLO.- Probaremos que f es continua en x
0
o para
{ .r2 + 2 X ~ 0 f(x) = 2Sen x
X > 0
x ·
-342 - Análisis Matemático l Cap. 4
En efecto, i) f.(O) estádefinido: f(O) = 2
ii} X = o o es un punto de acumulación de Domf = R y:
lím f (x) = Hm (x 2 + 2) = 2
X-+ 0 x-+0
lfm f(x) lim
2Scn x
2 = =
x-+0+ x-+0+ X
=> lim f(x) =· 2.
X-+ 0 .
La función f es CONTINUA en x
0
= o .
1.5 EJEMPLO.- Pruebe que la función f es continua en x
0
• = o , si
f (x) = {. x Sen ~ , x '"" O
0 , X= 0
Es cierto , pues x = o ES un pu. nto de acumulación del Dom f = "" y . 0 A t
i)
ii}
f(O) = O
lfm f(x) =
x-+0
• 1
lf m [ x Sen - ] = O = f (O) •
X-+0 X
NOTA.- De aquí en adelante los puntos x
0
en los cuales se analice la condi-
ción de continuidad de una función f serán puntos de acumulación
del Dom f , a menos que se considere algún dominio ·muy p~rticular.
1.6 PROBLEMA.· ¿ Es la función f continua en x = 2 ? o
. { 3
. f(x) = 3x2 - .1x + 2
. x-2
SOLUCIÓN.- 1·) f ( . d f' 'd 2) esta emr o: f(2) = 3.
X = 2
X'°" 2
ii)
3x
2
- 7x + 2 (3x - l)(x - 2)
lím f(x) = lím ----- = lím
X-+ 2 X-+ 2 X - 2 X_..+ 2 (X - 2)
=
5 ( '"" f (2) 3 ) => f NO ES CONTINUA EN x
0
= 2 •
Cap. 4 Continuidad - 343 -
1.7 EJEMPLO.· Para la función f cuya gráfica se presenta a continuación :
a}
b)
c)
-2
y
10
t
1
1 1
- - -- - 11~·. ___ ·_ .. ·
=="'--L- ¡ . , /\: 1 1 1 1 1 1 t
1 1 1 1 1 t 1
J --'T--r--T - --,..,-. 1 - 1 1
2 --~--L--~---~~-J--~-----~----
1 1 1 1 1 1 1 1 - • 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 5 : 6 7 9 11
Dom f = ( ~ 2 , 1 ) u ( 1 , 5 ] u { 6 } u ( 1, 9 ) u ( 9 , 15 )
lím f(x) = lim f(x) = 8
X -+ -2 X -+ -2 +
lfm f(x) = 6
X-+ l
15 X
lim f(x) = lím f(x) 8 lím f(x) CUALQUIER NÚMERO . L .
x-+5 x-+5
lim f(x) no existe
X-+ 5
lim
X-+ 11
x:..+6 .
f(x) = 10 . , lfm f (x) = 2 .
x-+11+
¿Es f continua en x
0 = 1 ? : este análisis no tiene sentido pues 1 !2ó Domf
¿En Xo = 2 ? Rpt.: Sí ¿En X 0 = 3 ? Rpt.: Sí
¿En Xo = 5 ? Rpt.: Sí ¿En X 0 = 11 ? Rpt.: No
¿En xo = 6 ? Rpt. : Sí, por la sencilla razón de que 6 no es un punto
de acumulación de Domf.
d) ¿En cuántos puntos de su dominio es continua la función f 1
Rpt : En uno solo: en x
0
= 11 .
1.8 PROBLEMÁ .• Demuestre formalmente que f (x) = [ x] no es continua en
x·
0
= 3.
SOLUCIÓN.- f(x
0
) estadefinido : suvalores f(x
0
) = f(J)
ción para que exista continuidad en x es que .: . o
3 . La candi~
:1
' :1
-344 - Análisis Matemático 1 Cap. 4
'" V e > O , 3 6 > O /
V X E Dom f, lx - 3 I < 6 => 1 f(x} - f(3) 1 < E •
y que esto· no se cumpla es equivalente a ( la negación ) :
"3E>O/ Vl>>O:
3 X E Dom f / l X - 3 I < 6 " . 1 f <.~) ...:. f (3) 1 ;::: e •
En efecto , como
{
2. X E (2, 3)
f (x) = ·
3, xe[3,4}
f(2) = 2 ; f(3) = .3 ,
es suficiente elegir e = 1/2
para que se cumpla la negación:
Y vemos en la gráfica adyacente .
y
4
2c{r~~~ ------------. l .
1 2 ___ _ ____ , ~
f
o
1 .
2 X¡ 3 4
que en cualquier vecindad V 5 (3) , es decir , para todo .6 > o existen puntos
X
x 1 E (3 - 6 , 3) e v5 (3) tales que: x1 E(2 ; 3} e Domf satisface ·
1 x 1 - JI < 6 y 1 f Cx1) - f (3) 1 = 12 - 3 1 ;::: e
debido a que se puede elegir e = 1/2 .
2. CONTINUIDAD SOBRE UN SUBCONJUNTO DEL DOMINIO
Se define la RESTRICCIÓN DE f ·A UN CONJUNTO s
a una nueva función ( una parte de f) que se denota ~ cuyo dominio es la
. intersecció.n s n Dom f , y cuya regla de correspondencia es :
. f S (x) = f (x) , V x E ( S n Dom f) = Dom f S
lo que indica que en s n Dom f , los valores de f5 y f coinciden.
Cap. 4
¡\
1
1
1
1
1
!
y
- 8 -6 -2 -1 o
Domf=[-8,10) .
Continuidad
4 5 6
S = (-6,-2) U ['-1,4] U{S} U (6,10] U (11,13].
10 11
Dom f 5 = S n. Dom f = ( - 6, - 2) u [ - 1, 4) U { 5} U ( 6, 10] .
- 345 -
X
13
De modo que cuando hablamos de la FUNCIÓN RESTRINGIDA fs , a partir de e-
se momento nuestro Universo (o dominio) se: limita al conjunto S n Dom f (el
nuevo universo ) y todo otro punto ( afuera de este nuevo universo ) involucrado
anteriormente pierde sentido (desaparece) para no~otros.
Una aplicación inmediata de este concepto ya la vimos cuando e_studiamos
los límites laterales de una función f en un punto x
0
:
·:· para f (x) , nuestro nuevo universo se limitaba al conjunto
( x
0
• oo) n Dom f de püntos a la derecha de x
0
•
·:· para lím f (x) , nuestro nuevo universo se limitaba al conjunto
( - oo, x
0
) n Dom f de puntos a la izquierda d13 x
0
•
De rnariera que en particular si Dom f = ( s , oo) entonces era válida la relación
lím f(x) = lím f(x)
X-+ 5 X-+ 5+
ya CIUe hablar de lfm f (x) no tenía sentido, pues los puntos x < 5 no exis-
X-+ 5
ten ~n este universo Dom f = ( 5 , oo ) .
Análogamente, vemos que si Dom f ( - oo , x
0
. ) entonces se cumple que
-346 - Análisis Matemático 1 Cap. 4
lím f (x)
x -+ .x
0
lím f(x)
pues nuestro universo · sólo consiste de
los puntos x a la izquierda de x o.
2.1 DEFINICIÓN.- La función f se dice que es CONTINUA SOBRE UN CONJUNTO
S e Dom f si la función RESTRINGIDA r5 es continua en ca-
. da punto de S ( s ,,., 0 ) •
De manera que:
1. · Si S = ( a , b ) , la definición dada resulta equivalente a:
' La función f es CONTINUA SOBRE ( a , b ) e ·Dom f si f es continua en
2.
3.
cada punto de (a , b) •. · .
Si S = [ a , b J · , la definición resulta equivalente a que:
' La función f es CONTINUA SOBRE [ a , b ] e Dom f si :
i) f es continua sobre ( a , b ) ,
ii) lim f(x) = f(a) .. f es CONTINUA POR LA DERECHA
X-+a+
X> a
iii) lim f(x) = f(b) f es CONTINUA POR LA IZQUIERDA
X-+b-
X<b
Si s = [ a , 'b ) , la definición equivale a que:
' La función f es CONTINUA SOBRE [ a , b ) e Dom f si :
i) f es continua sobre ( a , b )
Y ii) lím f(x) = f(a) .
X-+ a+
Análogamente se define la continuidad de una función f sobre s = ( a , b ] .
en a .
en a .
• Por ~jemplo; para la función f cuya gráfica acabamos de ilustrar tenemos que f
· s1 es continua sobre el conjunto ·
S = S n Dom f = ( - 6 , - 2 ) U [ - 1 , 4 ] U { 5 } U ( 6 , 1 O ] C Dom f
pues f es continua en cada punto de s (ver la figura) .
Así por eíemplo, la función •
f(x)= [x]+t, xE[0,2)=Domf,
Continuidad . - 34 7 - .
no es . cont~nua sobre ~u dominio [o, 2) pues falla en serlo ~n el punto x
0
= t
donde existe un ·salto vertical de la gráfica· de f; sin embargo, . resulta ser continua so-. . . . .
sobre el conjunto A = [·o, 1) e Dom f, pues lo .es en cada punto de ·A . .
Inclusive lo es en x = o , ·que es un punto· de A , y también lo es sobre el conjunto
B = t 1; 2) e Dom f y
f
2 ---~-
1 1
· I . 1
1
1
o ! · 2 X
Con este 'ejem'plo vemo.s que si f es éónfinua sobre. A ;_ y es continua sobre_ B
entonces no necesariamente ha Q.e ser .continúa sobre ·A u B .
. Podemos obsei:var-además que si s ;, (o , 1 ) u ( 1 , 2) entonces f
. si es continua sobre s , pues. es conti~ua en cada punto de . s y por I~ t~nto. no tiene ·
sentido hablar de ' un salto vertical en el punto x · . = . Í • . Esto se debe ·a que este o .
punto • no ·e~iste • en'el .contex~o del análisis_ sobre el-·conjuntó · s . ·
y
f . ..
2 -- -- -90---_01? _f(x) = [x] +. 1
S~ [O,.I) U (1, 2)
1 .
o 2 X
' · .
2.2 EJEMP~O.- Ya hemos .visto que la función
. ~· {
3' , x E Z (enteros)·.
f(x) = . • .
· 2, xeR.-Z
tiene límite en todo punto de su dominio IR .·
Pero, si Xº E z e es decir. si _xó es un ente.ro ·1 entonces
-348 ~ Análisis Matemático 1 · Cap.4
y
i) lím f(x) = 2 f
X-+X
0 .. • 3 • • • 1 1 1 1 1
ii) f (x
0
) 3 2 1 1 2 1 i 1 = :;.::
=> la función f no es