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CAPITULO III
LA CIRCUNFERENCIA
Definición:
Una circunferencia C es el lugar geométrico conformado por el conjunto de puntos P={x,y}
∈ R2, cuyas distancias a un punto fijo son iguales. El punto fijo se llama centro y la
distancia constante es el radio.
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA:
ECUACION ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
Tenemos:
F0=(h,k) : Centro de la circunferencia C
P=(x,y) : Punto generador de la circunferencia C
r: radio de la circunferencia C
del gráfico: ‖𝐹0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = 𝑟
‖𝑃 − 𝐹0‖ = 𝑟
‖(𝑥, 𝑦) − (ℎ, 𝑘)‖ = 𝑟
‖(𝑥 − ℎ, 𝑦 − 𝑘)‖ = 𝑟
√(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟
(√(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2)2 = 𝑟2
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 → (Ecuación ordinaria de la circunferencia C)
CASOS PARTICULARES DE LA ECUACIÓN ORDINARIA DE UNA CIRCUNFERENCIA
CASO I: Circunferencia Tangente al Eje X
En este caso |k|=r y la ecuación ordinaria de la circunferencia toma la forma:
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑘2
CASO II: Circunferencia tangente al eje Y
En este caso |h|=r y la ecuación ordinaria de la circunferencia toma la forma:
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = ℎ2
CASO III: Circunferencia tangente a ambos ejes coordenados
En este caso |h|=|k|=r la ecuación de la circunferencia toma la forma
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑘2 ó
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = ℎ2
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
La ecuación ordinaria de circunferencia es:
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2
Desarrollando esta ecuación:
X2-2hx+h2+y2-2ky+k2-r2=0
Ordenando:
X2+y2-2hx-2ky+h2+k2-r2=0…………(*)
Sea:
𝐷 = −2ℎ
𝐸 = −2𝑘
} ……………………….(I)
Reemplazando (I) en (*):
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 → (𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐶)
ECUACION DE LA RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
Tenemos:
𝐹0 = (ℎ, 𝑘): 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1): 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑃𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒:𝑚𝐹0𝑃1̅̅ ̅̅ ̅̅ =
𝑦1 − 𝑘
𝑥1 − ℎ
𝐷𝑒𝑙 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜: 𝐹0𝑃1̅̅ ̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐿𝑇 → 𝑚𝐹0𝑃1̅̅ ̅̅ ̅̅ ×𝑚𝑇 = −1
→ 𝑚𝑇 = −
1
𝑚𝐹0𝑃1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
→ 𝑚𝑇 = −
(𝑥1−ℎ)
(𝑦1−𝑘)
La ecuación de la recta tangente la hallamos por punto pendiente:
𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1)𝑦 𝑚𝑇 = −
(𝑥1 − ℎ)
(𝑦1 − 𝑘)
Entonces:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚𝑇(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 𝑦1 = −
(𝑥1 − ℎ)
(𝑦1 − 𝑘)
(𝑥 − 𝑥1)
→ 𝐿𝑇: (𝑥1 − ℎ)(𝑥 − 𝑥1) + (𝑦1 − 𝑘)(𝑦 − 𝑦1) = 0
Nota:
Una recta y una circunferencia al intersectarse dan origen a una ecuación de segundo
grado de la forma:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Por lo tanto una recta y una circunferencia tienen 0,1 o 2puntos en común.
No tienen ningún punto en común si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, este caso de la recta L1.
Tienen exactamente un punto en común si y solo si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, en este caso la recta L
es tangente a la circunferencia.
Tienen dos puntos en común si y solo si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0, en este caso L2es una secante a
una circunferencia
CUERDA DE CONTACTO
Tenemos:
Se denomina cuerda de contacto a la recta que une los puntos de contacto de las rectas
tangentes trazadas desde un punto exterior 𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1) a una circunferencia.
La ecuación de la cuerda de contacto es:
(𝑥1 − ℎ)(𝑥 − ℎ) + (𝑦1 − 𝑘)(𝑦 − 𝑘) = 𝑟
2
FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS
Se presentan dos casos:
PRIMER CASO:
Familia de circunferencias que dependen de un parámetro.
Este caso lo vemos a través de un ejemplo.
EJEMPLO:
Hallar la ecuación de la familia de circunferencias cuyo centro 𝐹0 = (ℎ, 𝑘) se encuentra en
la recta 𝐿1: 𝑦 = 𝑥, 𝑦 es tangente a la recta 𝐿2: 2𝑥 + 𝑦 − 8 = 0.
SOLUCIÓN:
De acuerdo a los datos tenemos el siguiente gráfico:
𝐹0 = (ℎ, 𝑘) ∈ 𝐿1: 𝑦 = 𝑥 → 𝑘 = ℎ ……………….(I)
Del gráfico:
𝑟 = 𝑑(𝐹0, 𝐿2)
𝑟 =
|2ℎ+𝑘−8|
√5
……………….(II)
Reemplazando (I) en (II): 𝑟 =
|3ℎ−8|
√5
………….(III)
La ecuación de la ecuación tiene la forma:
𝐶: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2…………(*)
Reemplazando (I) y (III) en (*):
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = (
|3ℎ−8|
√5
)
2
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 =
(3ℎ−8)
5
2
→ (𝐹𝑎𝑚𝑖𝑙𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ℎ)
De (I) : 𝑘 = ℎ
Para h=1: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 5
Para h=2: (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 2)2 =
196
5
SEGUNDO CASO:
Familia de circunferencias que pasan por los puntos de intersección de dos circunferencias
Veamos el siguiente gráfico:
Sean 𝐶1 𝑦 𝐶2 dos circunferencias (en los puntos R y S) cuyas ecuaciones son:
𝐶1: 𝑥
2 + 𝑦2 + 𝐷1𝑥 + 𝐸1𝑦 + 𝐹1 = 0
𝐶2: 𝑥
2 + 𝑦2 + 𝐷2𝑥 + 𝐸2𝑦 + 𝐹2 = 0
Si multiplicamos a la ecuación de 𝐶2 por un parámetro t y lo sumamos a la ecuación de 𝐶1
tenemos:
𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷1𝑥 + 𝐸1𝑦 + 𝐹1 + 𝑡(𝑥
2 + 𝑦2 + 𝐷2𝑥 + 𝐸2𝑦 + 𝐹2) = 0
Esa es una familia de circunferencia que dependen de un parámetro L.
Veamos si está bien definido:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷1𝑥 + 𝐸1𝑦 + 𝐹1⏟
0
+ 𝑡 (𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷2𝑥 + 𝐸2𝑦 + 𝐹2)⏟
0
= 0
→ 0+ 𝑡(0) = 0 → 0 = 0 (Verdadero)
Entonces la familia de circunferencias que pasan por los puntos de intersección de dos
circunferencias están bien definidas.
EJEMPLO:
Hallar la ecuación de una circunferencia de radio 𝑟 =
5√2
2
y que pase por la intersección de
las circunferencias:
𝐶1: 𝑥
2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 6𝑦 − 16 = 0 y 𝐶2: 𝑥
2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 2𝑦 = 0
SOLUCIÓN:
Por la familia de circunferencias, la ecuación de la circunferencia C que pasa por la
intersección de 𝐶1 y 𝐶2 es:
𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 6𝑦 − 16 + 𝑡(𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 2𝑦)
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 6𝑦 − 16 + 𝑡𝑥2 + 𝑡𝑦2 − 6𝑡𝑥 + 2𝑡𝑦
(1 + 𝑡)𝑥2 + (2 − 6𝑡)𝑥 + (1 + 𝑡)𝑦2 + (2𝑡 − 6)𝑦 = 16
𝑥2 + 2
(1−3𝑡)
1+𝑡
𝑥 + 𝑦2 + 2
(𝑡−3)
1+𝑡
𝑦 =
16
(1+𝑡)
[𝑥2 + 2
(1−3𝑡)
1+𝑡
𝑥 +
(1−3𝑡)2
(1+𝑡)2
] + [𝑦2 + 2
(𝑡−3)
1+𝑡
𝑦 +
(𝑡−3)2
(1+𝑡)2
] =
16
(1+𝑡)
+
(1−3𝑡)2
(1+𝑡)2
+
(𝑡−3)2
(1+𝑡)2
Tenemos que: 𝑟 =
5√2
2
→ 𝑟2 =
25
2
Comparando tenemos que:
16(1+𝑡)+(1−3𝑡)2+(𝑡−3)2
(1+𝑡)2
=
25
2
16+16𝑡+1−6𝑡+9𝑡2+𝑡2−6𝑡+9
(1+𝑡)2
=
25
2
10𝑡2+4𝑡+26
(1+𝑡)2
=
25
2
20𝑡2 + 8𝑡 + 52 = 25 + 50𝑡 + 25𝑡2
5𝑡2 + 42𝑡 − 27 = 0
(5𝑡 − 3)(𝑡 + 9) = 0
→ 𝑡 =
3
5
, 𝑡 = −9
Hay dos soluciones:
Para t =
3
5
en (*) :
[𝑥 +
1−
9
5
1+
3
5
]
2
+ [𝑦 +
3
5
−3
1+
3
5
]
2
=
25
2
(𝑥 −
1
2
)
2
+ (𝑦 −
3
2
)
2
=
25
2
( Primera solución )
Para t = -9 en (*) :
[𝑥 +
1+27
1−9
]
2
+ [𝑦 +
−9−3
1−9
]
2
=
25
2
[𝑥 −
7
2
]
2
+ [𝑦 +
3
2
]
2
=
25
2
( Segunda Solución )
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1:
En un triángulo DEF (sentido horario) obtuso en F ,donde 𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (5,5 ) se trazan las
alturas 𝐷𝐻̅̅ ̅̅ ∧ 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ relativa a los lados 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ ∧ 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ respectivamente tal que 𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ ,
por Q punto medio de 𝐷𝐸⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ se traza 𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ tal que 𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ , L es una circunferencia
que pasa por G,H ∧ E si 𝑄𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∕∕ (3,1 ) ∧ A = (4,12 ), determinar la ecuación general
de L
Solución:
Tenemos que : 𝑄𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∕∕ (3,1 ) ∕∕ 𝐷𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Pero : 𝐷𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝑄𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗
También : 𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2𝐻𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐻𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Tenemos que : 𝑚𝐷𝐻 =
1
3
, 𝑚𝐷𝐹 = 1
Entonces:
TAN 𝜃 =
𝑚𝐷𝐹−𝑚𝐷𝐻
1+ 𝑚𝐷𝐹+𝑚𝐷𝐻
TAN 𝜃 =
1−
1
3
1+
1
3
= =
2
3
4
3
=
1
2
TAN 𝜃 =
1
2
También : ‖𝐷𝐹‖= 5√2
SEN 𝜃 =
‖𝐻𝐹‖
‖𝐷𝐹‖
‖𝐻𝐹‖ = ‖𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗‖SEN 𝜃
‖𝐻𝐹‖ = 5√2 .
1
√5
=
5√10
5
= √10
‖𝐻𝐹‖ = √10
Pero : ‖𝑄𝐴‖ = 2‖𝐻𝐹‖ = 2√10
Luego:
𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ‖𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ . 𝜇𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑄𝐴 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 2√10 .
(−1,3 )
√10
A – Q = (−2,6 )
Q = A - (−2,6 )
Q = (4,12 ) - (−2,6 )
Q = (6,6 )
También:
COS 𝜃 =
‖𝐷𝐻‖
‖𝐻𝐹‖
→ ‖𝐷𝐻‖ = ‖𝐻𝐹‖ COS 𝜃
‖𝐷𝐻‖ = 5√2 =
2
5
= 5√2
(2√5)
5
‖𝐷𝐻‖ = 5√10
→ ‖𝑄𝐹‖ =
‖𝐷𝐻‖
2
= √10
Luego:
𝑄𝐹̅̅ ̅̅ = √10 .
(3,1)
√10
F – Q = (3,1)
F = Q + (3,1)
F = (6,6) + (3,1)
F = (9,7)
Entonces:
𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (5,5)
𝐹 − 𝐷 = (5,5)
𝐷 = 𝐹 − (5,5)
𝐷 = (9,7) − (5,5)
𝐷 = (4,2)
También:
𝐻𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ‖𝐻𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖𝜇 𝐻𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐻𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = √10
(−1,3)
√10
𝐹 − 𝐻 = (−1,3)
𝐻 = 𝐹 − (−1,3)
𝐻 = (9,7) − (−1,3)
𝐻 = (10,4)
F es punto medio de 𝐻𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; entonces:
𝐹 =
𝐸 + 𝐻
2
𝐸 = 2𝐹 − 𝐻
𝐸 = (18,14) − (10,4)
𝐸 = (8,10)
También:
‖𝐻𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ =
‖(𝐻𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )‖
2
= √10
En el ∆𝐸𝐹𝐺:
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
‖𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗‖
‖𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗‖
‖𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = ‖𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗‖𝑠𝑒𝑛𝜃
‖𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = √10
1
√5
‖𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = √2
Luego:
𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ‖𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗‖𝜇 𝐹 𝐺
𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = √2
(1,1)
√2
𝐺 − 𝐹 = (1,1)
𝐺 = (1,1) + (9,7)
𝐺 = (10,8)
Hallaremos la ecuación de la circunferencia que pasa por 𝐺 = (10,8),𝐻 =
(10,4), 𝐸 = (8,10).
Sea la ecuación de la circunferencia ℓ: 𝑐: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Tenemos que:
𝐺 = (10,8)𝜖 ℓ ⇒ 102 + 82 + 10𝐷 + 8𝐸 + 𝐹 = 0
⇒ 10𝐷 + 8𝐸 + 𝐹 = −164………… . . (𝛼)
𝐻 = (10,4)𝜖 ℓ ⇒ 102 + 42 + 10𝐷 + 4𝐸 + 𝐹 = 0
⇒ 10𝐷 + 4𝐸 + 𝐹 = −116………… . . (𝛽)
𝐸 = (8,10)𝜖 ℓ ⇒ 82 + 102 + 8𝐷 + 10𝐸 + 𝐹 = 0
⇒ 8𝐷 + 10𝐸 + 𝐹 = −164………… . . (𝛿)
De (𝛼) ∧ (𝛽):
(−1)10𝐷 + 8𝐸 + 𝐹 = −164
(1) 10𝐷 + 4𝐸 + 𝐹 = −116
−4𝐸 = 48
𝐸 = −12
Reemplazando: E=-12 en (𝛼) ∧ (𝛿)
En (𝛼): 10𝐷 − 96 + 𝐹 = −164 ⇒ 10𝐷 + 𝐹 = −68…… . (𝐼)
En (𝛿): 8𝐷 − 120 + 𝐹 = −164 ⇒ 8𝐷 + 𝐹 = −44…… . . (𝐼𝐼)
De (I) Y (II):
10𝐷 + 𝐹 = −68
8𝐷 + 𝐹 = −44
2𝐷 = −24 ⇒ 𝐷 = −12
Reemplazando: D=-12 en (I):
−120 + 𝐹 = −68
𝐹 = 52
La ecuación de la circunferencia C para D=-12, E=-12 y F=52, tenemos:
𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 − 12𝑦 + 52 = 0
𝐿: (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 6)2 = 20
Problema 3:
Desde el punto A=(k,2) con k < o, se trazan unas rectas tangentes a la circunferencia x2 + y2
– 2x – 1 = 0;el segmento determinado por el punto de tangencia y el punto A mide 3√2.
Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes.
SOLUCION
Sea la circunferencia
En el APC:
‖AC̅̅̅̅ ‖2= (3√2)2 +(√2)2
‖AC̅̅̅̅ ‖2 = 9(√2)2 +(√2)2
‖AC̅̅̅̅ ‖2 = 18 + 2
‖AC̅̅̅̅ ‖2 = 20 ………. (I)
Pero:
‖AC̅̅̅̅ ‖2= (k – 1)2 + (2)2
………………(II)
Igualando (I) y (II):
(k – 1)2 + 4=20
k2 – 2k + 1 + 4 – 20 = 0
k2 – 2k – 15 = 0
(k – 5)(k + 3) = 0 => k=5, k= 3
Tomamos k= 3(k<0) => A=(3,2)
Las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia tendrán la forma:
L1 : y = mx + b ……………..….. (α)
Pero
A=(3,2) ϵ L1 => 2 = 3m + b
=> b = 3m +2 ……….. (β)
Reemplazando (β) en (α):
L1: y=mx + 3m +2 …………………….…. (III)
Reemplazando (III) en (Ɵ):
x2 + (mx + 3m +2)2 – 2x – 1 = 0
x2 + (mx + 3m)2 + 4 (mx + 3m) + 4 – 2x – 1 = 0
x2 + m2x2 + 6m2x + 9m2 + 4mx + 12m + 3 – 2x= 0
(m2 + 1)x2 + (6m2 + 4m - 2)x + 9m2 + 12m + 3= 0
Por condición de tangente:
(6m2 + 4m - 2)2 = 4(m2 + 1)( 9m2+ 12m + 3)
4(3m2 + 2m – 1)2 = 4(m2 + 1)( 9m2+ 12m + 3)
(3m2+2m)2 – 2(3m2 + 2m) + 1 = 9m4 + 12m3 + 3m2 + 9m2 + 12m + 3
9m4+12m3+4m2 – 6m2 – 4m + 1 = 9m4 + 12m3 + 3m2 + 9m2 + 12m + 3
2m2 – 4m+1 = 12m2 +12m + 3
14m2 + 16m + 2=0
7m2 + 8m + 1=0
(7m2+1)(m+1)=0
=> m= −
1
7
,m= -1
Las ecuaciones de las rectas tangentes son:
Para m= −
1
7
en (III):
y= −
1
7
x –
3
7
+ 2
7y= x – 3 + 14
7y= x + 11
x + 7y – 11=0 => (ecuación LT1)
Para m = -1 en (III): y = -x – 3 + 2
y = x – 1
x + y + 1=0 ⇒ (ecuación LT2)