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11.28
CUADERNO DE E.tERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL
LIMITES Y CONTINUIDAD
/ím 1 - cos x = lím ( 1 - cos x ) ( 1 + cos x ) = lím
x___.o X x___.O X(1+COSX) x___.O
1- COS
2
X
X ( 1 + COS X) =
2
= lím sen x = lím sen x lím sen x ( 1 ) O 0
X~ 0 X ( 1 + COS X ) X.____. 0 X X.____. 0 1 + COS X = 1 + 1 =
( cos 9 - 1 ) ( cos 9 + 1 ) 2
lím
cos 9-1 = lím = lím cos 9-1 =
9~0 92 9~o 2 9 ( cos 9 + 1) 9~ o 2 9 ( cos 9 + 1)
2
-sen 9 1 1 1
lím = - ( /ím sen o r lím = --- = --
9~0 2 9 ( cos 9 + 1) 9~0 9 9~0 cos 9 + 1 1 + 1
lím tan x = lím ( sen x _1_ ) = ( ! ) = 1
X ~o X X ~o X cos X 1
l , 1 - COS X [, ( 1 - COS X ) ( 1 + COS X ) [, 1 - COS
2
X
zm x = zm = zm -------
x ~ 0 X Sen X X ~ 0 X sen X ( 1 + COS X ) X~ 0 X Sen X ( 1 + COS X )
= lím
2
sen x
l
, senx
1
, zm -- zm 1 ---=
x ~ 0 X sen X ( 1 + COS X ) X ~ 0 X X~ 0 1 + COS X
, { x + 2 ~ sen x )
2
, x 2 + 4 x 1 sen x + 4 sen x
= lzm = lzm "'
x~O x x--+0 x
2
1
1 + 1
=
1
2
= lzm - + "' + = lzm x + 4 lzm sen x + 4 lím -- = 4
,
(
x
2
4x
1
sen x 4 senxJ , ~ , sen x
x--+0 X X X x--+0 x~O x~O X
lím
cosx-1
= lím
( COS X -1) ( COS X + 1)
= lím
cos 2x -1
x--+0 cos
2
x -1 x~O ( COS 2 X -l) ( COS X + 1) x~O ( COS 2 X -1) ( COS X + 1)
= lím 1 1 1
x--+0 cosx + 1 1+1 2
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL
LIMITES Y CONTINUIDAD
Obtener los siguientes límites cuando x tiende al infinito si es que existen:
11.29
Dividiendo numerador y denominador entre x 2 , queda:
1 - 6 ( _!_ ) + 4 ( -
1
) lím 1 - 6 lím ( _!_ ) + 4 lím ( _!_ )
2
fím X X 2 = X ~ ex:> X ~ ex:> X X ~ ex:> X = 1-6 ( 0) + 4 ( 0) = 1
X~<Xl 1 ( 1) (1) (1) 2+0-7(0) 2 + - - 7 - lim 2 + lím - - 7 lim -
X X2 X~cx:> X~cx:> X x~cx:> X
2
11.30
Dividiendo numerador y denominador entre x 3 se obtiene:
( 1 ) ( 1 )
2
( 1 )
3
3 - -5 - +2 -
fím X X X = 3 ( 0 ) - 5 ( 0 ) + 2 ( 0 ) = 0 = O
X~ ex:> ( 1 ) ( 1 ) 3 1 + 4 ( 0)- 6 ( 0) 1
1+4 - -6 -
X X
11.31 lím
4 2
x - 3x + 1
X~<Xl 3
2x -4x+7
Dividiendo numerador y denominador entre x 4
1-3(-x1)2 +(x1)4
lím x
4
- 3 x
2
+ 1 = lím ____ .:::.__..2_.-~~--- = 1 - 3 ( O ) + O = _!_ = 00
x~cx:>2x3-4x+7 x-+cx:> (1) (1)3 (1)4 2(0)-4(0)+7(0) O
2 X -4 X + 7 X
se observa que el límite no existe, el valor de la función tiende al infinito cuando
X ----)> 00 .
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CUADERNO DE E.IERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL
LIMITES Y CONTINUIDAD
11.32 Para la función
f (X)= { _::
si X < 1
si X > 1
Calcular los límites laterales en x 1 1 e indicar si tiene límite en este punto.
SOLUCIÓN:
f (X)
lím
x_,.l +
f (X) =
2
X 1
lím ( - x 2 ) = -1
x_,.l+
Como lím f (X) -:1= f ( x ) , el límite lím f ( x ) no
X--+ J
existe.
11.33 Dada la función
g(x)=
X
- + 1
2
(X - 2 ) 2
Calcular lím g ( x ) si es que existe.
x--+2
SOLUCIÓN:
si X ~ 2
si X > 2
Como x 1 = 2 es el valor de x donde cambia la regla de correspondencia,
deben calcularse los límites laterales en ese punto
lím g ( x) = lím ( ~ + 1 ) = 2_ + 1 = 2
x_,.z- x_,.2- 2 2
lím g ( x) = lím ( x - 2 ) 2 = ( 2 - 2 ) 2 = O
x_,.z+ x_,.2+
Los límites laterales en x 1 = 2 son diferentes, entonces la función no tiene
límite cuando x tiende a 2 .
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