Mecanica_de_suelos_Tomo_II_Eulalio_Juare (1)

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Mecánica de Suelos
Ing. José A. Cuevas
precursor de la Mecánica de Suelos en México
Dr. Nabor Carrillo Flores
relevante investigador de la escuela de Mecánica de Suelos
Mecánica
de
Suelos
T O M O I I
Teoría y Aplicaciones de la Mecánica de Suelos
EULALIO JUAREZ BADILLO 
ALFONSO RICO RODRIGUEZ
E D I T O R I A L
M E X I C O
L I M U S A 
1 9 7 3
© 1967, Revista INGENIERIA
EULALIO JUAREZ BADILLO
Doctor en Ingeniería. Profesor de la 
División de Estudios Superiores 
de la Facultad de Ingeniería de 
la Universidad Nacional Autónoma 
de México*
ALFONSO RICO RODRIGUEZ
Maestro en Ingeniería. Profesor de la 
División Profesional y de Estudios 
Superiores de la Facultad de Ingeniería 
de la Universidad Nacional Autónoma 
de México. Profesor de-la 
Universidad Iberoamericana
Todos los derechos reservados:
© 1973, EDITORIAL LIMUSA, S. A. 
Arcos de Belén Núm. 75, México 1, D. F. 
Miembro de la Cámara Nacional de la 
Industria Editorial, Registro Núm. 121
Primera reimpresión: 1973 
Im prm en Mixico
(971)
PROLOGO DE LOS AUTORES
Es con mucha satisfacción que los autores ponen ahora a dispo­
sición de sus estudiantes y del público interesado, el Volumen II de 
la obra Mecánica de Suelos, a la que han venido dedicando su entu­
siasmo en estos últimos años. Comprenden que entre la aparición de 
este libro y el anterior ha pasado un lapso inconveniente y se excusan 
por ello, exhibiendo como única disculpa las muchas ocupaciones que 
los acosan; ojalá que el Tercer Volumen, que ahora comienzan, dedi­
cado a Flujo de Agua en Suelos, pueda estar a disposición de los 
lectores con más oportunidad.
La a cogida que el estudiantado y los técnicos de México y Amé­
rica Latina han brindado al Tomo I ha sobrepasado con mucho las 
modestas esperanzas de los autores, los ha colmado de satisfacción y 
los ha convencido de la necesidad de aplicarse a su tarea con reno­
vado esfuerzo. Desde aquí quieren expresar público testimonio de 
agradecimiento a todos los lectores que han dado tan grata bienve­
nida a su trabajo y muy especialmente a los que, yendo más allá, 
les han comunicado su impresión personal o sus críticas orientadoras, 
tan necesarias en una obra como la presente, especialmente por estar 
incompleta y expuesta a la reiteración de defectos.
También quieren los autores expresar su reconocimiento a la Fa­
cultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de Méxi­
co y a la Secretaría de Obras Públicas por el estímulo que les han 
brindado en la elaboración de este segundo tomo.
Han colaborado con la obra el señor Humberto Cabrera, quien 
hizo los dibujos y la señora Sahadi Rucoz que volvió a realizar todo 
el ingrato trabajo de mecanografía. A ambos, los autores expresan 
su gratitud por su empeño, dedicación y entusiasmo.
El señor Ing. Ignacio Avilez Espejel tuvo a su cargo la delicada 
tarea de editar estas páginas y, es de agradecer el cariño que puso 
en ella.
El señor Ing. Javier Barros Sierra, ex Director de la Facultad 
de Ingeniería, ex Secretario de Obras Públicas, actualmente Rec­
tor de la Universidad Nacional Autónoma de México, ha accedido 
bondadosamente a escribir un Prólogo a este libro. Es para sus 
autores un motivo muy especial de orgullo y reconocimiento que su 
alta personalidad honre estas páginas.
México, D. F„ noviembre de 1967
PROLOGO
Continuando el esfuerzo que les condujo en 1963 a la publi­
cación del primer volumen de esta obra, los dos jóvenes ingenieros, 
profesores e investigadores Eulalio Juárez Badillo y Alfonso Rico 
Rodríguez presentan ahora la segunda parte de su libro, que recoge 
las aplicaciones prácticas más importantes de la teoría, desarrollada 
en el primer tomo.
Con este nuevo volumen se completa el programa actual de la 
materia en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional 
y se cubren ciertos aspectos esenciales del contenido de la asigna­
tura en el nivel de la maestría.
La obra, primera del género en nuestro país y una de las muy 
pocas escritas originalmente en castellano, ha tenido tan amplia cuan­
to justa acogida (del Tomo I ha salido ya la segunda edición) 
debido, seguramente, no sólo a la ventaja del idioma sino también 
a algunas cualidades relevantes, entre las que cabe citar una expo­
sición de carácter general y no especializada y una presentación 
certeramente didáctica. Puede decirse, extendiendo la célebre frase 
del pensador español, que la claridad no sólo es cortesía de filósofos 
sino también de sabios. Y estos dos maestros han tenido en alta 
consideración a los estudiantes que, cada día en mayor número, 
han de enfrentarse con su libro. No hay duda de que ellos, con sus 
bien probadas capacidad y perseverancia y con su plausible entusias­
mo, habrán de completar en breve su tratado con el tercer y último 
volumen, relativo al flujo de agua en suelos.
Es de elemental justicia señalar que los autores, en un rasgo 
que tos honra mucho, han cedido los productos de la venta de los 
tres volúmenes a la Facultad de Ingeniería, en la que ambos hicieron 
los estudios de ingeniería civil y Alfonso Rico; muy brillante alum­
no mío por cierto, alcanzó después con alta distinción y, curiosamente, 
sin que al principio creyera tener especial vocación para tal espe­
cialidad, la maestría en mecánica de suetos.
Al comienzo del libro los autores presentan las imágenes del 
Ing. José A. Cuevas y del Dr. Nabor Carrillo Flores. De esta mane­
ra, implícitamente dedican su trabajo a dos de los hombres que 
más han tenido que ver con el nacimiento y el desarrollo de la 
Mecánica de Suelos en México. José A. Cuevas fue sin duda el más 
destacado de los precursores de esta disciplina y el hombre que con 
su labor estableció los fundamentos para que pudiera hablarse de
xii PROLOGO
una Escuela Mexicana de Mecánica de Suelos; a esta tarea dedicó 
durante muchos y difíciles años su singular intuición y su incansable 
esfuerzo. Nabor Carrillo, al dedicar aíl naciente campo sus brillantes 
dotes 11 su destacado talento, contribuyó quizá en mayor medida 
que ningún otro a darle a esa Escuela reconocimiento nacional y 
estatura internacional. Es justo y conveniente que la presencia de 
estos hombres, ambos ya desaparecidos de entre nosotros, preceda 
un trabajo como el que ahora ve la luz.
No me resta sino decir, como observador más o menos cercano 
de la incansable labor de los señores Juárez Badillo y Rico, que 
merecen, junto con la más cordial felicitación, el agradecimiento de 
la Universidad y el de los estudiosos de la mecánica de los suelos.
Ciudad Universitaria, D. F., septiembre de 1967
Javier Barros Sierra*
Rector de la Universidad Nacional Autónoma de México
Exdirector de la Facultad de Ingeniería de la U.N.A.M.
Exsecretario de Obras Públicas del Poder Ejecutivo 
Mexicano.
CAPITULO I 
ACCION DE LA HELADA EN LOS SUELOS
1-1. Introducción
En este capítulo se tratarán someramente los problemas que 
derivan de la congelación del agua libre contenida en el suelo, por 
efecto climático, naciendo especial énfasis en lo que se refiere a 
cambios volumétricos y variaciones de propiedades mecánicas.1
Si la temperatura del agua libre llega a un valor igual a su punto 
de conqelación, el agua se toma sólida y su volumen aumenta. Tanto 
el punto de congelación, como el coeficiente de expansión volumétrica 
del agua dependen de la presión actuante sobre ésta. A la presión 
atmosférica, el punto de congelación corresponde a una temperatura 
de 0°C, en tanto que bajo una presión de 600 atmósferas el agua 
se congela a —5°C y a 1100 atmósferas a —10°C. Los coeficientes 
de expansión volumétrica son 0.09 a 1 atmósfera, 0.102 a 600 y 
0.112 a 1100.
Cuando el agua se congela en masas de grava o arena limpias 
hay pues, un aumento de volumen; sin embargo, esta expansión no 
necesariamente es de un 10% del volumen inicial de vacíos, como 
correspondería al caso normal de agua congelada, puesto que el agua 
puede drenarse durante la congelación. Si en una masa de arena se 
encuentran capas gruesas de hieloo lentes grandes de esta substancia, 
podrá decirse que el hielo se formó por congelación in sita de una 
masa de agua previamente existente. Sin embargo, si el agua está 
homogéneamente incorporada a la masa de suelo, como es general, 
la congelación afecta al conjunto de dicha masa, sin que el agua 
forme capas o lentes aislados de hielo.
En limos saturados o arenas limosas en igual condición, el efecto 
de la congelación depende mucho del gradiente con el que se abate 
la temperatura. Un enfriamiento rápido provoca la congelación in 
sita, como en el caso de la arena y la grava, pero si el descenso 
de la temperatura es gradual, la mayor parte del agua se agrupa 
en pequeñas capitas de hielo paralelas a la superficie expuesta al en- 
friamiento. Resulta así una alternación de capas de suelo helado y 
estratos de hielo.
En condiciones naturales, en suelos limosos expuestos a fuertes 
cambios de clima, pueden formarse capas de hielo de varios centí­
metros de espesor. La formación de masas de hielo limpio indica una
1
2—Mecánica de Suelo» n
emigración del agua de los vacíos hacia el centro de congelamiento; el 
agua puede proceder del suelo en congelamiento o puede ser absor­
bida de un manto acuífero, situado bajo la zona de congelación. En 
la fig. 1-1 se muestran tales posibilidades en un espécimen de suelo 
fino. El espécimen A descansa sobre una base sólida e impermeable, 
en tanto que los B y C tienen su parte inferior sumergida en agua. En 
los tres casos, la temperatura de los extremos superiores se mantiene 
bajo el punto de congelación del agua. En A el agua que forma los 
estratos finos de hieío procede de la masa de la parte, inferior del 
espécimen, mientras que en el B, el agua procede de la fuente inferior. 
Terzaghi llama al caso A un sistema cerrado, por no variar en él el 
contenido total de agua de la masa de suelo; en contraposición, el caso 
B sería un sistema abierto. El caso C, aunque pudiera creerse 
abierto, es cerrado en realidad, por efecto de la capa de grava fina 
existente.
2 CAPITULO I
mil 11 lll'TMl. gangas .
H2 ? _~TExpansión
Consolidado
F IS . I-I. Casos de formación de hielo en suelos finos, según Terzaghi1
En el espécimen A el agua que forma los lentes de hielo proviene, 
como se dijo, de la parte inferior; este flujo ascendente del agua 
durante el proceso de congelación induce un proceso de consolida­
ción en la parte inferior de la muestra, análogo al que se tiene cuando 
el agua asciende por capilaridad hacia una superficie de evaporación. 
El proceso probablemente prosigue hasta que el contenido de agua 
en la parte inferior se reduce al correspondiente al límite de con­
tracción, siempre y cuando la temperatura en la superficie de enfria­
miento sea lo suficientemente baja. El incremento total de volumen 
asociado a un sistema cerrado, tal como el espécimen A, tiene como 
limite el incremento volumétrico por congelación del agua contenida 
en la masa. Por lo general, oscila entre el 3% y el 5% del volumen 
total.
En los sistemas abiertos, representados por el espécimen B, el 
desarrollo inicial de los lentes de hielo también es debido al agua 
procedente de los niveles inferiores de la masa de suelo, por lo que, 
en un principio, esa zona se consolida. Sin embargo, según este 
proceso progresa, aumenta la cantidad de agua que se extrae de la 
fuente de agua libre, hasta que, finalmente, la cantidad de agua que 
toma la muestra por la parte inferior iguala a la que fluye hacia 
la zona de congelamiento, manteniéndose constante, de ahí en adelan­
te, el contenido de agua en la parte inferior de la muestra.
La experiencia obtenida en regiones en que prevalecen muy bajas 
temperaturas durante largos períodos de tiempo, demuestra que el 
espesor total de las lentes de hielo formadas en el suelo natural, 
trabajando como sistema abierto, puede alcanzar varios metros.
Un sistema abierto puede convertirse en cerrado sin más que 
insertar entre la superficie de congelamiento y el nivel freático una 
capa de gravilla, tal como se simboliza en el espécimen C de la fig.
1-1. El agua no puede subir por capilaridad a través del suelo grueso 
y, por lo tanto, de tal estrato hacia arriba, la masa se comporta como 
un sistema cerrado.
Se ha encontrado que los lentes de hielo no se desarrollan a 
menos que, en añadidura a la existencia de las condiciones climáticas 
apropiadas, exista en el suelo cierto porcentaje mínimo de partículas 
finas. También afectan en cierta forma a la formación y desarrollo 
de tales lentes, el grado de uniformidad de las partículas, el peso 
específico del suelo y el tipo de estratificación. La forma cuantitativa 
enNque cada factor afecta a los fenómenos en estudio, no está aún 
dilucidada por completo.
En general, se dice que un suelo es susceptible a la acción de 
la helada cuando en él pueden desarrollarse lentes apreciables 
de hielo puro.
1-2. Efectos de la helada
Cuando el agua se congela en un vacío del suelo bajo una presión 
moderada actúa como una cuña, separando las partículas sólidas y 
aumentando el volumen de los vacíos. Cuando la congelación ocurre 
en un suelo no susceptible a la helada, como la grava o la arena, 
o en un sistema cerrado, el aumento de volumen, según se indicó, 
tiene como límite un 10% del volumen inicial de los vacíos, por lo 
que en un suelo de superficie horizontal, la elevación de dicha super­
ficie no podrá ser mayor que
h = 0.1 n H (1-1)
Donde n es la porosidad media del suelo y H el espesor de suelo 
en que se deja sentir el efecto de congelación. Por otra parte, en un
MECANICA DE SUELOS (II) 3
sistema abierto constituido por suelo susceptible a la helada, la 
expansión por congelación puede llegar a ser mucho mayor que 
el limite indicado por la expresión 1-1. La presión que ejerce el suelo 
congelado al expanderse aún no está determinada con exactitud, pero 
es, desde luego, de gran magnitud y teóricamente puede llegar a 
valores de un orden extraordinario, que exceden en mucho a las car­
gas usuales sobrepuestas. Así, cualquier estructura situada sobre el 
suelo, se eleva juntamente con él.
Por otra parte, durante el deshielo que ocurre al iniciarse la 
primavera, la zona congelada de suelo se funde, proceso que, general­
mente, dura algunas semanas y va acompañado de asentamientos 
del subsuelo. La magnitud de este asentamiento en un suelo dado 
depende, fundamentalmente, de si se han formado o no en ese suelo 
lentes de'hielo puro durante la época de congelación. En el caso de 
suelos no susceptibles a la helada, en que el congelamiento no formó 
lentes de hielo, el asentamiento está acotado por la expresión 1-1; 
sin embargo, el valor real de tal asentamiento no puede exceder el 
aumento de volumen causado por el proceso previo de congelación. 
En suelos susceptibles a la helada, en los que el congelamiento haya 
formado lentes de hielo, al fundirse éste se tiene el efecto adicional 
del colapso de las bóvedas de las cavidades antes llenas de hielo, por 
lo que el asentamiento puede aumentar en forma notable; los asenta­
mientos diferenciales asociados a este fenómeno son frecuente fuente 
de problemas para estructuras suprayacientes, específicamente para 
caminos, aeropistas, etc.
En el caso de suelos que formen taludes o laderas, la acción de la 
helada produce en esencia un movimiento de las partículas hacia 
el pie del talud. Si el material no es susceptible a la helada, las 
partículas de suelo colocadas en la superficie del talud se desplazan 
normalmente a dicha superficie, durante el proceso de congelación; 
durante el deshielo esas partículas descienden verticalmente, con un 
desplazamiento neto resultante hacia el pie del talud en la dirección 
de su superficie. Si los suelos son susceptibles, en especial si son 
limosos, la mayor parte del desplazamiento de las partículas ocurre 
durante la licuación posterior de los lentes de hielo formados en el 
período de congelación, paralelamente a la superficie del talud; esta 
licuación hace que el suelo colocadosobre los lentes de hielo se 
desintegre y fluya prácticamente como un líquido viscoso; este fe­
nómeno se conoce con el nombre de solifluxión.
En el caso de muros de retención, la congelación del agua libre 
en el suelo detrás de la estructura, produce un aumento de presión 
sobre ellos, el cual es, desde luego, mucho mayor en suelos suscep­
tibles a la helada. Este aumento de presión, reiterado frecuentemente 
a través del tiempo, puede terminar por producir el colapso de la 
estructura. Si los muros son de concreto reforzado, la falla puede
4 CAPITULO I
llegar a presentarse por esfuerzo cortante en la sección entre el 
muro propiamente dicho y su losa de cimentación.
En los suelos susceptibles a la helada, el espesor de los lentes de 
hielo formados depende de varios factores, entre los que pueden 
enumerarse el grado de susceptibilidad del suelo, la facilidad del 
drenaje (tanto para absorber, como para ceder agua), la intensidad 
del frío y duración del mismo, especialmente este último factor.
Las soluciones que se han adoptado para evitar la acción nociva 
del congelamiento de las capas superficiales del terreno por efecto 
climático pueden agruparse en tres tipos diferentes:
a) Substitución de los suelos susceptibles a la helada por otros 
no susceptibles, hasta la profundidad necesaria para llegar a niveles 
más abajo que la penetración del efecto climático exterior.
b) Drenaje adecuado para abatir el nivel freático a una profun­
didad mayor que la altura máxima de ascensión capilar del suelo.
c) Conversión del sistema abierto existente en cerrado. Esto se 
logra excavando hasta la profundidad de congelación y colocando a 
ese nivel una capa de material grueso, no capilar. Posteriormente 
volverá a rellenarse la excavación con el material original.
Lo anterior ha sido aplicado principalmente a caminos y aero- 
pistas.
Además de los cambios volumétricos anotados en los párrafos an­
teriores, la fase del deshiélo en los suelos produce una disminución 
de la resistencia al esfuerzo cortante de los mismos y consecuente­
mente, una disminución de su capacidad de carga. Esto es fácilmente 
explicable tomando en cuenta lo expuesto en el Capitulo X II del 
Volumen I de esta obra, pues al fundirse el hielo y tratar el suelo 
de comprimirse, el agua experimentará presiones en exceso de la 
hidrostática, que sólo se disipan cuando el agua haya sido totalmente 
drenada, lo cual sucede normalmente en periodos de dos o tres 
meses, a no ser que se hayan tomado precauciones especiales en lo 
referente al drenaje.
1-3. Clasificación de suelos de acuerdo con su susceptibilidad a 
la helada
Según A. Casagrande2, un suelo puede considerarse como no 
susceptible a la helada si posee menos de un 3% de partículas me­
nores de 0.02 mm. El intervalo crítico en el cual el material empieza 
a mostrarse susceptible está entre 3% y 10% de contenido de aque­
llas partículas, dependiendo de sus características granulométricas.
Los suelos susceptibles a la acción de las heladas pueden clasifi­
carse como se muestra en la Tabla 1-1, ampliamente usada por los 
técnicos de todo el mundo. En esa tabla los suelos aparecen agrupa­
dos en orden creciente de susceptibilidad.
MECANICA DE SUELOS (II) 5
6 CAPITULO I 
TABLA 1-1
GRUPO TIPO DE SUELO
Fi Gravas con 3% a 20% de partículas menores que 
0.02 mm.
f 2 Arenas con 3% a 15% de partículas menores que 
0.02 mm.
F 3—a Gravas con más del 20% de partículas menores que 
0.02 mm.
F ,~ b Arenas (excepto las finas limosas), con más del 
15% de partículas menores de 0.02 mm.
F t—c Arcillas (excepto finamente estratificadas) con 
lp > 12
F*~a Todos los limos inorgánicos, incluyendo los arenosos
F t—b Arenas finas limosas con más del 15% de partícu­
las menores de 0.02 mm.
F t—c Arcillas con 7p < 12
F t~ d Arcillas finamente estratificadas
Los suelos más peligrosos desde el punto de vista de la acción 
de la congelación son aquellos en que se combine la granulometría 
más fina, con la mayor permeabilidad; por ejemplo, las arcillas fina­
mente estratificadas con muy delgadas capitas de arena, son los suelos 
más peligrosos; también los limos, las arenas limosas y las arcillas 
relativamente poco plásticas.
En general, se recomienda no usar los suelos F t cuando se tema 
una acción climática intensa. Especialmente resultan contraindicados 
en caminos y aeropistas.
1-4. Indice de congelación
La profundidad de la zona de congelación de un suelo depende, 
según se dijo, tanto de la duración, como del valor de las tempera­
turas que el ambiente alcance bajo el punto de congelación. Para 
tomar en cuenta ambos factores en la profundidad de penetración 
de una helada, se ha creado el concepto de Indice de congelación. 
(Ic).
Para los efectos que siguen, se entenderá por un número de 
grados-día (°C-día) la diferencia entre la temperatura media diaria 
y la temperatura de congelación del agua. Expresando la tempera­
tura en grados centígrados, la temperatura de congelación del agua 
es 0‘ C y el número de grados-aías coincide con la temperatura 
media diaria.
Si se dibuja para un invierno una gráfica acumulativa de grados- 
día contra el tiempo, expresado en días, se obtiene una curva del 
tipo de la mostrada en la fig. 1-2.
MECANICA DE SUELOS (II) 7
En dicha gráfica el índice de congelación puede calcularse como 
el número de grados-dia entre los puntos máximo y mínimo de la 
curva. El índice de congelación está, así, ligado a un invierno dado.
El índice normal de congelación se define como el promedio 
de los índices de congelación de un lugar, a lo largo de un lapso de 
tiempo prolongado, usualmente diez o más años.
La aplicación principal de estos conceptos ha sido hecha en la 
construcción de caminos y aeropistas, en donde se tienen curvas ex­
perimentales sobre los espesores mínimos de material no suscepti­
ble, que deben colocarse para proteger al suelo situado bajo la 
subrasante de los efectos de la congelación. Es normal dar estos 
espesores de protección en términos del índice normal de congela­
ción de las regiones de que se trate, correspondiendo, como es obvio, 
los mayores espesores de capas protectoras a los mayores índices.
8 CAPITULO I
REFERENCIAS
1. Terzaghi, K. — Pe-rmafrnx¡ — Harvard Soil Mecbanics Serles N* 3 7 — Univer­
sidad de Harvard— 1952.
2. Casagrande, A. — Notas de clase no publicadas, reproducido en Transactions 
of the American Society of Civil Kngineers. — 1948.
J
BIBLIOGRAFIA
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S. Taber — Public Roads Wash. — 1930.
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2bch year tiook N" 3. Senes C N ' 375 — Trad. al inglés por J. Osterberg — 
1947.
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Her majesty’s stationery office — London— 1961.
Ingeniería de Carreteras— L. I. Hewes y C. H. Oglesby— (Trad. O. M. Bece- 
rril) — Ed. Continental — México, D. F .— 1959.
CAPITULO II
DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN LA MASA DEL SUELO
H-l. Introducción
En este capítulo se trata el problema de importancia fundamen­
tal en Mecánica de Suelos, de la distribución de los esfuerzos apli­
cados en la superficie de una masa de suelo a todos los puntos de 
esa masa. En realidad puede decirse que tal problema no ha sido 
satisfactoriamente resuelto en suelos. Las soluciones que actualmente 
se aplican, basadas en la Teoría de la Elasticidad, adolecen de los 
defectos prácticos acarreados por las fuertes hipótesis impuestas 
por las necesidades de la resolución matemática tan frecuentes, in­
fortunadamente, en aquella disciplina. Sin embargo, hasta hoy, la 
Mecánica de Suelos no ha sido capaz de desarrollar sus propias 
soluciones más adaptadas a sus realidades, por lo cual resulta im­
prescindible recurrir aún a las teorías elásticas. Los resultados que 
se obtengan en las aplicaciones prácticas deberán siempre de verse 
con el debido criterio y, no pocas veces, ajustarse con la experiencia. 
Elhecho real concreto es, empero, que de la aplicación de las Teo­
rías en uso, el ingeniero civil actual logra, en la inmensa mayoría 
de los casos prácticos, una estimación suficientemente aproximada de 
los fenómenos reales en que está interesado, de manera que le es 
posible trabajar sus proyectos y materiales con factores de seguridad, 
por ejemplo, que no desmerecen nunca y frecuentemente aventajan 
a los empleados en otras ramas de la ingeniería. Sería infantil creer, 
por otra parte, que de la aplicación de las teorías expuestas ade­
lante puedan calcularse los asentamientos de una estructura, por 
ejemplo, con profética seguridad; los cálculos proporcionarán al inge­
niero, en el mejor de los casos (y también en el más frecuente), el 
orden de magnitud de tales asentamientos, pero, normalmente, de un 
modo suficientemente aproximado como para poder normar el criterio 
del proyectista, de modo que éste pueda combatir los efectos nocivos 
con eficacia práctica. Podría decirse que, desde el punto de vista 
de la Mecánica de Suelos, existen dos problemas en la aplicación de 
las teorías elásticas y de la teoría de la consolidación unidimensional 
al cálculo de asentamientos: uno, el teórico, dista de estar resuelto y 
exige, aún mucho del esfuerzo de los investigadores; otro, el práctico, 
relativamente resuelto, pero susceptible de mejoramiento, pues hoy
9
IÜ CAPITULO II
los proyectos relativos a suelos pueden tratarse con razonable segu­
ridad y economía.
II-2. El problema de Boussinesq
Los esfuerzos que una sola carga vertical concentrada actuante 
en la superficie horizontal de un medio semiinfinito, homogéneo, isó­
tropo y linealmente elástico, induce en los puntos de cualquier 
vertical trazada en el medio, fueron calculados por vez primera por 
Boussinesq *.
En la fig. 11-1, P representa la 
carga concentrada actuante según 
la vertical: (x, y, z) son las coor­
denadas del punto en que se calcu­
lan los esfuerzos, referidas a un 
sistema cartesiano ortogonal cuyo 
origen coincide con el punto de 
aplicación de P.
Si r es la distancia radial de A' 
a 0 y i)/ el ángulo entre el vector 
posición de A (R ) y el eje Z, los 
esfuerzos en el punto A pueden 
escribirse
FIG . I l-I . E sfuerzos p ro v o c a d o s en un 
p u n to d e una m asa d e suelo 
p o r una c a rg a c o n c e n tra d a
3 P eos11 _ 3 P z“
2 it z;' 2 Te /?•’• (2- 1)
a, 2 n ; 
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3 cos:í »|; sen- <J> •*— (l-2p ) - C'OS ^ - 1
1 + eos iJ/J
2 tzz* eos3 vj;
eos2 4< 
1 + eos
3 PXrc = eos4 di sen J/2 n r
( 2-2 )
(2-3)
(2-4)
En el Anexo Il-a se presenta la deducción de las anteriores 
expresiones, por métodos familiares en Teoría de Elasticidad.
En la práctica de la Mecánica de Suelos la expresión 2-1 es, 
con mucho, la más usada de las anteriores y su aplicación al cálculo 
de asentamientos es de fundamental importancia. A este respecto se 
hace necesario recalcar que las expresiones arriba escritas, en par-
MECANICA DE SUELOS (II) 11
ticular la 2-1, se han obtenido suponiendo que el material en cuyo 
seno se producen los esfuerzos que se miden es homogéneo, isótropo, 
linealmente elástico y semiinfinito, limitado por una sola frontera 
plana. Es evidente que el suelo no es homogéneo, pues sus propieda­
des mecánicas no son las mismas en todos los puntos de su masa; ni 
isótropo, pues en un punto dado esas propiedades varían, en general, 
en las distintas direcciones del espado; ni linealmente elástico, pues, 
las relaciones esfuerzo-deformación de los suelos no son las que 
corresponden a ese comportamiento. Por último, tampoco es semiin­
finita ninguna masa de suelo.
De hecho no debe dejar de mencionarse que la aplicación más 
frecuente en Mecánica de Suelos de las fórmulas de Boussinesq 
estriba en el cálculo de asentamientos de los suelos sujetos a conso­
lidación, vale decir de arcillas y suelos compresibles, en los que 
algunas de las hipótesis teóricas, la elasticidad perfecta, por ejemplo, 
distan de satisfacerse en forma muy especial, aún dentro de los 
suelos en general.
Para la aplicación práctica de la fórmula 2-1 es conveniente 
expresarla como sigue (fig. II -l) .
3 P z3 3 P
2 tt (r- + z- ) 5/2 
que puede escribirse en forma adimensional
1 -V*
(Tí P
de donde
1 + (t ) =
<Tz = A - Po
(2-5)
( 2 -6 )
con
(2 7:
En el Anexo Il-b se presenta una tabla de valores de P0 en 
función de la relación r/z. Así, para encontrar el valor de un esfuerzo 
normal vertical, at, con la ayuda de la tabla, basta medir la distancia 
r del punto de aplicación de la carga al punto de la superficie (A') 
exactamente arriba del punto de la masa en que se mide el esfuerzo
(A ) y dividir ese valor de r, entre la z correspondiente al plano en 
que se calcula el esfuerzo (distancia entre el plano de aplicación 
de la carga y el plano en que se sitúa al punto en que se calcula el 
esfuerzo). Con el valor de esta relación, r/z, se selecciona el valor 
de P0 correspondiente y se calcula el esfuerzo aplicando la ec. 2-6.
n-3. Extensión de la fórmula de Boussinesq a otras condiciones 
de carga comunes
12 CAPITULO II
La carga única concentrada cuyo efecto se ha analizado en la 
sección II-2, aunque de acción común en la práctica, no constituye 
el único caso que es necesario estudiar. Otras condiciones de carga
muy comunes se pre­
sentan a continuación 
en. forma concisa, sin 
entrar, en general, a 
los detalles matemáti­
cos de la obtención de 
las fórmulas que se in­
cluyen.
En la figura II-2 
aparece una carga li­
neal, uniformemente 
distribuida en la lon­
gitud y, de p unida­
des de carga, por uni­
dad de longitud. El 
valor de o* en un pun­
to de la masa bajo 0 
puede obtenerse fácil- 
FIG . 11-2. Distribución de esfuerzos con carga lineal de mente integrando la 
longitud finita expresión 2-1 a lo lar­
go de la línea de car­
ga, resultando
<r* = yz3 1
2it (x2 + z2) V* 2 + y2 + z ( — LVx2 + y2
+
y2 + z2 x°- + z2
( 2-8 )
La anterior expresión 2-8 puede ponerse en forma adimensional, 
introduciendo los parámetros
En función de tales parámetros, la ec. 2-8 resulta
z_ _ l___________ n_____________ / 1 2 \
" p 2tc (m2 + 1) Vm2 + n2 + 1 Vm* + n2 + 1 m2 + l j
(2-9)
lo cual puede expresarse como
a ,.- ~ = Po (2-10)
En donde p0 es el segundo miembro de la expresión 2-9.
El valor de p0 fue tabulado para diferentes valores de m y n por 
R. E. Fadum2 y en el Anexo II-c aparecen las gráficas que responden 
a tal tabulación debidas al mismo investigador.
Así, para encontrar el valor de un esfuerzo tr*, en cualquier punto 
A debido a una carga lineal de longitud finita, utilizando la gráfica 
del Anexo II-c, basta medir las distancias x y y, tal como se definen 
en la fig. II-2 y dividir estas distancias entre la profundidad z para 
obtener los valores de m y n, respectivamente; con ellos, la gráfica 
proporciona directamente el valor de influencia correspondiente, p0. 
El esfuerzo a¡ se determina con la ecuación:
MECANICA DE SUELOS (II) 13
Si se desea calcu­
lar el valor de a j bajo 
un punto 0', diferente 
de 0, podrá conside­
rarse que la carga li­
neal tiene la longitud 
9 + y' Y proceder a 
calcular así el a"\ des­
pués habrá de calcu­
larse el esfuerzo co­
rrespondiente a una 
longitud y' (cr*'"). El 
Hz deseado será, evi­
dentemente_ / — - // _
Car — <T« fJz
Si se usa la gráfica 
propuesta, el sistema 
coordenado ortogonal 
de referencia debe es­
cogerse de modo que 
el eje Y sea paralelo a 
la carga lineal y el X 
normal a ella, por SU F|S n.3 D}sfr¡hue}¿„ J , „finnt* bafr una tapcrfícia 
extremo. rectangular un'formamnnt• cargada
<y. = T P o ( 2- 11)
Un caso de condición de carga aún más interesante en la práctica 
que el anterior es el que corresponde a la fig. II-3, en la que se 
analiza la influencia en la masa del continuo homogéneo, elástico e 
isótropo de una superficie rectangular uniformemente cargada, con 
w unidades de carga por unidad de área.
El esfuerzo az bajo una esquina de la superficie cargada y a una 
profundidadz. puede obtenerse por integración de la ec. 2-1 en toda 
el área rectangular, obteniéndose la expresión
ff. = W ( 2xü2 (x '' + r + z-)u" . IT + y- + 2 z2
4 t:Vz'-(.xl‘ + y- + z-) + x2 y- x2 + y- + z~
14 CAPITULO II
4 anq tg ^ Z \ .,) (2-12)
z - ( x - + y + z2) x2 y 1 ' 7■)
Adoptando los parámetros m y ti, tales que m — - y n = (ahora
intercambiables), la ec. 2-12 puede escribirse adimensionalmente 
como
ff* _ 1 (2 m n(m2 + n2 4- 1)1/2 m2 + n* + 2
w 4 ttV (m" + n’ + 1 ) + m"ri- nv + r + 1 "**
. 2 m n (m2 + n2 + 1) ,/2\ . _ , , 4
Si al segundo miembro de esta ecuación se le llama w0, puede 
tabularse su valor en función de distintos m y n. Esta labor fue
también realizada por Fadum2 y en el Anexo Il-d se muestra una
gráfica con los resultados de la tabulación.
Para encontrar el valor de <r~ en un punto A bajo una esquina de 
la superficie rectangular uniformemente cargada se procede a calcular 
las distancias x y y (fig. II-3), con las que pueden obtenerse los va­
lores d e m v n para diferentes profundidades z a lo largo de la ver­
tical. Con la gráfica del Anexo Il-d puede calcularse ahora w0 y 
aplicar la ecuación
ffz — w • w0 (2-14)
Así se tiene el valor de ffz, correspondiente a cada profundidad z.
Debe notarse que el sistema coordenado base respecto al cual se 
calculó el gráfico del Anexo Il-d es tal que su origen coincide pre­
cisamente con la esquina del área rectangular uniformemente carga­
da. Si se desean calcular los esfuerzos bajo otro punto, tal como el 
A! de la fig. 11-3, podrá procederse haciendo substracciones y adi­
ciones convenientes al área cargada. Por ejemplo, en el caso del 
punto A’, podría calcularse el cr/ correspondiente al área hipotética 
BO’FD ; después los ai" y az,y substractivos correspondientes a las 
áreas BO'HO y CO'FE, debiendo notarse que al hacer estas subs­
MECANICA DE SUELOS (II) 15
tracciones, el área CO'HG se restó del total inicial dos veces, por lo 
que será necesario calcular el esfuerzo cr*' por ella producido y to­
marlo como aditivo una vez. El esfuerzo cr'~ deseado será
Un caso especial de gran importancia práctica es el que corres­
ponde al cálculo de esfuerzos a lo largo de una normal por el centro 
de un área circular uniformemente cargada (tv — presión uniforme). 
El caso aparece en la fig. 11-4.
El esfuerzo <r~ en cualquier punto de la vertical bajada por el 
centro del círculo cargado puede obtenerse también integrando la 
ec. 2-1 a toda el área circular. El proceso se realiza a continuación 
con referencia a la fig. II-4, para ilustración de los casos análogos 
que se han venido mencionando.
Definiendo un A A como se muestra en la figura citada se tiene
Esa carga, según la expresión 2-1 produce a una profundidad z, 
en un punto como el A, un esfuerzo vertical A<r2.
A A = pApAO 
En esa área obrará una carga AP
AP = wpApAO
3AP Acr* = —2tz (x2 + y2 + z2)*'2
Entonces:
ya que x2 + y2 = p2
Agrupando
AoV~ 2-x Z* (p2 + z2) 5/2 ApA0
A
El esfuerzo <r2 correspondiente 
a toda el área resultará de llevar a 
la expresión anterior al límite y de 
aplicar la definición usual de in­
tegral de superficie.
FIG . 11-4. Distribución del esfuerzo boj o 
el centro de una superficie 
circular uniformemente car­
gada
16 CAPITULO II
<Tz = JÍ
3wz3 
2 tz
3wz3
( p2 + 2 2 )5 /2
dpdQ Í
2TT fT 
* (p* + z*yn dp =
[2u] r j L i 1 T = ^ f 1 1 . 1L 2 3 (p2 + z2)3/2 Jo l_z3 (r* +2tc L“ " J L 2 3 (p2 + 
De donde, finalmente
3/2̂
donde
Lo anterior puede escribirse aún
(Tz — u> ■ W 0 
* 1tv0 “ 1
1 +
m
a/2
(2-15)
(2-16)
(2-17)
Los valores de w0 pueden tabularse en función de los correspon­
dientes de r/z. En el Anexo Il-e se presenta la tabulación en cues­
tión. Encontrando w0, el valor de <rz resulta simplemente de la 
aplicación de la fórmula 2-16.
En muchos casos se han de cimentar estructuras sobre suelos 
compresibles que contienen finos estratos de arena o limo alternados 
con otros de arcilla (arcillas finamente estratificadas). El Dr. A. 
Casagrande hizo notar que, en estos suelos, las láminas de arena o 
limo actúan como refuerzos del conjunto que restringen la defor­
mación horizontal de la arcilla. H. M. Westergaard8 obtuvo una 
solución de este problema para el caso extremo en que las deforma­
ciones horizontales fueran nulas. De acuerdo con esta solución el 
esfuerzo vertical debido a la acción de una sola carga vertical con­
centrada superficial, actuante sobre un medio semiinfinito, que se 
comporte según la ley de Hooke, pero que tenga totalmente restrin­
gida su deformación horizontal, está dado por
donde
2iz (jc2 -I- y2 + K 2z*) 3/2 
I 1 2 p,
K - y ] 2 ( ¡ - ü r
(2 -1 8 )
(2 -1 9 )
Siendo p, la relación de Poisson para el material arcilloso blando.
Análogamente al caso de las soluciones obtenidas a partir de la 
de Boussinesq, se cuenta en la actual literatura con ecuaciones y 
gráficas que permiten extender la solución de Westergaard a otras 
condiciones de carga, análogas a las vistas; sin embargo, estos grá­
ficos se omiten en esta obra por considerarse que son pocos los 
casos prácticos que ameritan su aplicación.
MECANICA DE SUELOS (II) 17
H-4. Algunas otras condiciones de carga con interés práctico
A continuación se mencionan algunos trabajos tendientes a resol­
ver el problema de transmisión de esfuerzos al continuo semiinfinito, 
homogéneo, isótropo y linealmente elástico, provocados por cargas 
superficiales obedientes a diferentes leyes de distribución de interés 
práctico.
a) Carga lineal de longitud infinita
Si en la expresión 2-8, correspondiente a la influencia de una 
carga lineal de longitud finita, y, esta magnitud crece hasta ser 
mucho mayor que las x y z que intervengan en el caso, su valor 
podrá considerarse como ( + oo ) y, en tal situación el valor cr, tiene 
por limite
P z 3
°* (2-20> ■re (x:2 + z ) 2
Que corresponde al esfuerzo en un punto situado en el plano 
normal a la línea de carga, trazado por su extremo, extendiéndose 
la línea infinitamente desde el punto origen de coordenadas, en la 
dirección del eje Y, hacia ( + oo), (carga semiinfinita).
Si la línea de Carga se extiende también infinitamente en el sen­
tido ( — oo) (carga infinita) el esfuerzo crz. a la profundidad z, en 
un plano normal a la línea trazada por el origen de coordenadas, es 
simplemente el doble del dado por la ec. 2-20.
b) Area circular uniformemente cargada
Este caso ya ha sido tratado en el párrafo precedente, pero 
únicamente para encontrar los esfuerzos verticales a lo largo de una 
normal al área trazada por su centro. L. Jürgenson* presenta una 
solución más general, que permite calcular los esfuerzos verticales y 
los cortantes máximos en cualquier punto del medio semiinfinito. En 
la fig. II-5 aparece una gráfica en que se vacía la solución antes 
mencionada.
3— Mecánica de Suelos II
18 CAPITULO II
FIG. 11-5. Distribución de esfuerzos verticales y cortantes misimos bajo un área circu­
lar uniformemente cargada
c) Carga rectangular de longitud infinita
Este caso, fig. II-6, ha sido resuelto por Terzaghi y Carothers4, 
quienes dieron las fórmulas que proporcionan los distintos esfuer­
zos.
Estas fórmulas son
o-* = — [a + sen a eos 2p] <xx = — [a — sen a eos 2¡S]% Tt
t*» = — sen a sen 2(3 (2-21)%
Los esfuerzos principales y el cortante máximo están dados por
ffi = — (a + sen a) = — (a — sen a)ir
Tmfa = — sen a (2-22)u
MECANICA DE SUELOS (II) 19
F IS . 11-6. Distribución de esfuerzos bajo una carga rectangular de longitud infinita
La dirección en que actúa el esfuerzo principal mayor, crlt es 
la de la bisectriz del ángulo a.
El esfuerzo Tmt*. actúa, naturalmente, a 45° respecto a la ante­
rior dirección.
En la fig. II-7 aparece una gráfica que da los valores de ov y 
de iz. en los distintos puntos del medio semiinfinito.
d) Carga triangular de longitud infinita, (triángulo isósceles)
La solución para este caso fue propuesta por Carothers4 y se 
refiere a la fig, II-8,
20 CAPITULO II
F IS . 11-8. Distribucióndo osfuunot bajo una carga triangular da longitud infi­
nita (triángulo ¡táscalas)
Las expresiones son:
f f z = ĵ ai + a2 + (ai — a2)
= í r [ ai + az + y (ai — (L*) ~ T ln ’t t ] (2 -2 3 )
= — -j-{ ai — a2)u b
En la fig. II-9 aparece la solución gráfica de las ecuaciones 
anteriores para los valores de o* y íx.
Este caso reviste importancia práctica especial por su aplicación 
a presas de tierra.
MECANICA D E SUELOS (II) 21
F IS . 11-9. Distribución de estuarios verticales y cortantet máximos bajo yna carga 
triangular de longitud infinita (triángulo ¡tásceles)
c) Carga triangular de longitud infinita ( triángulo escaleno)
También Carothers4 dio la solución general para este caso, con 
las fórmulas
* = - í [ t - + £ ± Í = £ » - t ^ - t , * ^ I « j - 2 4 >
Que pueden interpretarse en la fig. II -10.
Las expresiones anteriores son susceptibles de tabulación sencilla 
en cualquier caso práctico.
22 CAPITULO II
FIG . 11-10. Distribución de esfuerzos bajo una carga triangular de longitud infi­
nita (triángulo escaleno)
f) Carga triangular de longitud finita (triángulo rectángulo)
Este importante caso práctico fue resuelto por Hamilton Gray6, 
quien dio para los esfuerzos fórmulas que se incluyen a continuación
Bajo el punto O ( fig. II-l 1).
— p° •k (z v d + B2 + z2 z_____
B \ L2 + z2 V X2 +
. B BL \
T a° 9 " w n n w m ( 2 - 2 5 )
y bajo el jjunto Q
9 t ~ 2n B ( v ¿ 2 + z2 (B2 + z2) V ^ 2 + L2 + z2) *2' 26^
El mismo investigador arriba citado proporciona soluciones grá­
ficas de esas ecuaciones. En las figs. 11-11 y 11-12 se muestran las 
curvas correspondientes.
Es de notar que, con la ayuda de estas gráficas puede encon­
trarse el valor de cz bajo cualquier punto del área rectangular suje­
ta a la carga triangular; para éllo será necesario usar dichas gráficas 
reiteradamente, haciendo las adiciones y substracciones que sean 
pertinentes para poder poner al punto cualquiera o bien en la con­
dición de O o en la de Q. Para resolver estos problemas pueden 
usarse cualesquiera de las distribuciones de carga ya vistas y que 
convengan en cada caso.
MECANICA DE SUELOS (II) 23
FIG . II-11. Etfunnot verticales Inducido* bajo ni punto 0, por una carga trkmgular dn 
longitud finita (triángulo rectángulo)
Lo anterior implica la hipótesis de que el principio de la super­
posición de causas y efectos es aplicable a los problemas de la 
naturaleza tratada.
Si se suman las ordenadas de cualquier curva de "n” en la fig*
11-11 con las correspondientes de la fig. 11-12, los resultados repre­
sentan las ordenadas provenientes del diagrama de Fadum para una 
carga uniformemente distribuida sobre el área rectangular.
V
A
L
O
R
E
S
 
D
E
24 CAPITULO II
V A L O R E S DE m
FIG . 11-12. Esfuerzos verticales inducidos bajo Q por una carga triangular da longitud 
finita (triángulo rectángulo)
g) Carga trapecial de longitud infinita
El problema, resuelto también por Carothers4 tiene, según la fig.
11-13, las siguientes soluciones
MECANICA DE SUELOS (II) 25
i Z
Fl©. 11-13. Distribución de esfuerzos bajo una carga trapecial de longitud infi­
nita (trapecio rectángulo)
Desde luego, todas estas ecuaciones son fácilmente tabulables 
para el trabajo en un problema práctico, pero para mayor facilidad, 
en la fig. 11-14 se incluye una solución gráfica dada por J. O. Os- 
terberg para los puntos indicados.
El presente caso es de muy especial importancia práctica por 
permitir el cálculo de los esfuerzos inducidos por un terraplén. Para 
resolver este problema bajo el centro del terraplén bastará multi­
plicar ̂por dos el valor de cz obtenido para cada profundidad z, con 
la gráfica presentada. Si se desean calcular los esfuerzos bajo el 
centro del extremo final de un terraplén supuesto semiinfinito en 
longitud, bastará aplicar la mitad del valor de rsz obtenido para el 
terraplén completo de longitud infinita.
h) Plano semiinfinito uniformemente cargado
El problema resuelto por Carothers4 se esquematiza en la fig.
11-15. Los esfuerzos actuantes pueden calcularse con las fórmulas
* = ■ £ [ ) + ? ]
( » >
t«* = — sen2 S %
26
*-h 0 .4 0
O
Z
UJ
O
- i 0 .3 0
UJ
o
c/> °*20
UJ 
QC 
O
<
>
CAPITULO II
0 .5 0
a/z
F IG . 11-14. G ráfica da valoras da influencia para al cálculo da esfuenos varticalas 
debido a la sobrecarga impuesta por una carga trapecial de longitud 
infinita (según J . O . Osterbarg)
Los esfuerzos principales en los distintos puntos del continuo de 
suelo están dados por
cri = — f (3 + sen (i]TU
cx3 = — [0 — sen 0] (2-29)
p
tai*. = — sen 0 TZ
MECANICA DE SUELOS (II) 27
cargado
FIG . 11-16. Distribución de esfuerzos bajo un plano semiinfinito, uniformemente 
cargado, con talud
i) Plano semiinfinito, uniformemente cargado, con talud
La solución a este problema también es debida a Carothers4 y 
responde a las siguientes ecuaciones, relacionadas con la fig. 11-16
(2-30)
0* = — 
*
[ » ♦
* ' = i \ [p +
t - f - -'•xa —----
75
z
— a 
b
28 CAPITULO II
FIG. 11- 17. D hfribuciin do m fm nos bajo bu plano infinito uniformomonto car­
gado con taja trapecial no cargada do longitud infinita
j ) Plano infinito uniformemente cargado con faja trapecial descar­
gada de longitud infinita
Los esfuerzos en cualquier punto de la masa de suelo en este caso 
pueden resolverse con las siguientes ecuaciones, debidas a Garo- 
thers4, fig. 11-17.
0V = A £(0 + 0i) — j- (a + ai) + - j - (a — ai)J
= A ["(P + fc) - A ( a + a i) + J L ( « _ « , ) +
ti L a a a fi r i J
t» = A J jA (a — ai>J (2-31)
n-5. La carta de Newmark
Newmark6 desarrolló en 1942 un método gráfico sencillo que 
permite obtener rápidamente los esfuerzos verticales (o*) trans­
mitidos a un medio semiinfinito, homogéneo, isótropo y elástico 
por cualquier condición de carga uniformemente repartida sobre la 
superficie del medio. Esta carta es especialmente útil cuando se tie­
nen varias áreas cargadas, aplicando cada una de ellas, diferentes 
presiones a la superficie del medio.
El método se basa en la ec. 2-15 correspondiente al esfuerzo ver­
tical bajo el centro de un área circular utíiformemente cargada. Esta 
ecuación puede escribirse
« = !-(. I V /2
w \ 1 + (t / z Y )
Si en esta ecuación se da a crz/w el valor 0.1 se encuentra que r/z 
resulta ser 0.27; es decir, que si se tiene un círculo cargado de 
radio r = 0.27z. donde z es la profundidad de un punto A bajo el 
centro del círculo, el esfuerzo en dicho punto A será
— 0.1 w
Si este círculo de r = 0.27 z se divide en un número de segmentos 
iguales (fig. 11-18), cada uno de ellos contribuirá al esfuerzo <r, total 
en la misma proporción. Si el número es 20 como es usual en las 
cartas de Newmark, cada segmento cooperará para el esfuerzo c* con 
0.1w/20 = 0.005 w. El valor de 0.005 es el valor de influencia corres, 
pondiente a cada uno de los segmentos circulares considerados.
Si ahora se toma a jw = 0.2, resulta tjz — 0.40; es decir, para el 
mismo punto A a la profundidad z, se requiere ahora un círculo carga­
do de r = 0.40 z, para que el esfuerzo <r* sea igual a 0.2 w.
MECANICA DE SUELOS (II) 29
Concéntrico con el anterior puede dibujarse otro círculo (fig. II- 
18) con dicho r = 0.40 z. Como el primer circulo producía en A un
cTu = 0.1 w, se sigue que la corona circular ahora agregada produce otro 
cr* = 0.1 w (de modo que el nuevo círculo total genera <TZ = 0.2 w) . 
Así, si los radios que dividían el primer círculo se prolongan has­
ta el segundo, se tendrá la corona subdividida en áreas cuya influen­
cia es la misma que la de los segmentos originales. (0.005 w ).
De esta manera puede seguirse dando a ae/w valores de 0.3, 0.4, 
0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 obteniendo así los radios de círculos concéntri­
cos en función de la z del punto A, que den los esfuerzos 0.3 w, 
0.4 w, etc. en el punto A. Prolongando los radios vectores ya usados 
se tendrá a las nuevas coronas circulares añadidas subdivididas en 
áreas cuya influencia es igualmente de 0.005 w sobreel esfuerzo en A.
Para z/w = 1 .0 resulta que el radio del círculo correspondiente 
es ya infinito, para cualquier z diferente de cero, por lo que las áreas 
que se generan por prolongación de los radios vectores fuera del 
círculo en que z/w — 0.9, aun siendo infinitas, tienen la misma 
influencia sobre A que las restantes dibujadas.
En el Anexo Il-f se presenta una carta de Newmark construida 
para el valor de z que se indica.
Para encontrar el valor de cr* en puntos con diferentes profundi­
dades que el A puede precederse en forma similar, construyendo otras 
cartas de Newmark, con base en otros valores de z. Debe notarse 
sin embargo, que el valor de depende sólo del valor de la relación 
r/z, por lo que una sola carta de Newmark puede usarse para deter­
minar los <Tz a distintas profuiididades, a lo largo de la vertical por 
el centro de los círculos concéntricos, con tal de considerar que la z 
usada para la construcción de la carta representa las distintas pro­
fundidades a que se desea calcular los esfuerzos, si bien a diferentes 
escalas.
Puesto de otra forma, en la práctica se puede hacer funcionar la 
carta de Newmark de dos maneras distintas.
a) Usando varias cartas de Newmark. Por ejemplo, si las z usa­
das para la construcción de las cartas son 1 cm, 2 cm, 5 cm, 10 cm 
y 20 cm y se tiene un área cargada, cuya influencia se desea deter­
minar, representada a escala 100, las cartas proporcionarían los 
<sz producidos por tal área a profundidades de 1 m, 2 m, 5 m, 10 m y 
20 m, que son las z utilizadas a escala 100.
b) Usando una sola carta de Newmark, para lo cual será preciso 
disponer de varias plantillas del área cargada cuya influencia se es­
tudia, dibujadas a escalas diferentes. Así, por ejemplo, si la carta de 
que se dispone fue construida con base en una z de 10 cm, y se 
desea conocer el o» que se produce a las profundidades de 2 m, 5 m, 
10 m y 20 m, deberán construirse las plantillas a escalas tales que esas 
profundidades queden representadas por la z = 10 cm; es decir, a 
escalas: 20, 50, 100 y 200.
La plantilla del área cargada, dibujada en papel transparente, se 
coloca en tal forma que el centro de 1? carta coincida con el punto
30 CAPITULO II
bajo el cual quieran calcularse los cr*. A continuación se contarán 
los elementos de área de la carta cubiertos por dicha área cargada, 
aproximando convenientemente las fracciones de elemento. El número 
así obtenido, multiplicado por el valor de influencia común de los 
elementos (en el desarrollo anterior 0.005) da el valor de influencia 
total, que multiplicado por la w que se tenga da el o# deseado.
Posiblemente la máxima utilidad del método de Newmark apa­
rezca cuando se tiene una zona con diversas áreas cargadas unifor­
memente, pero con cargas de distintas intensidades, pues en este 
caso los métodos antes vistos requerirían muchos cálculos, mientras 
que la carta de Newmark funciona sin mayor dificultad.
n-6. Estudios sobre sistemas no homogéneos
Burmister12,13,14 estudió el problema de la distribución de esfuer­
zos y desplazamientos en un sistema no homogéneo formado por 
dos capas, cada una de ellas homogénea, isótropa y linealmente 
elástica. La primera capa es infinita horizontalmente, pero'tiene 
espesor finito, h. La segunda capa, subyacente a la anterior, es 
semiinfinita. Se supone que entre las dos capas existe un contacto 
continuo, siendo la frontera plana entre ellas perfectamente rugosa. 
E\ y E 2 son los módulos de elasticidad de las dos capas; se estudió 
el caso de interés práctico, con aplicación al diseño de pavimentos, 
en el cual E x» E t.
Coeficiente de influencia del esfuerzo vertical, (Tz/P
MECANICA DE SUELOS (II) 31
FIG . I I-19. Curvas de influencia de esfuenos verticales transmitidos en un sistema de 
dos capas elásticas (según Burmister)
En la fig. 11-19 se muestran las curvas de influencia de la carga 
superficial, supuesta circular y uniformemente distribuida, en lo refe­
rente a los esfuerzos verticales bajo el centro del área cargada, supo­
niendo que el radio del circulo de carga es igual al espesor de la 
primera capa. Las curvas mostradas se refieren a distintas relaciones 
E i/ E 2 en materiales cuya relación de Poisson se fijó en el valor 0.5 
para ambas capas.
Puede notarse que en la frontera y para el caso E 1/E 2 = 1, que 
corresponde al problema de Boussinesq ya tratado, el esfuerzo verti­
cal es el 70% de la presión aplicada en la superficie, en tanto que
32 CAPITULO II
FIG . 11-20. Comparación do la distribución do otfnonos verticales on un modio homo­
géneo y on un sistema do dos capas
si E J E 2 se considera de 100, dicho valor se reduce a sólo un 10% 
de la presión superficial.
En la fig. 11-20 se muestra una comparación de las distribucio­
nes del esfuerzo vertical en un medio homogéneo en el sistema de 
dos capas para el caso en que E JE ? — 10, p = 0.5 y t/h = 1. La 
figura se complementa con la 11-19, en el sentido de que muestra 
los esfuerzos en cualquier punto de la masa del medio y no sólo en la 
vertical.
Según el análisis teórico efectuado por Burmister, el desplaza­
miento vertical elástico en la superficie del sistema está dado por la 
expresión
A = 1.5 (2-32)
donde
A = desplazamiento vertical en la superficie del sistema 
F — factor adimensional de desplazamiento, que depende de la 
relación E JE ? y de la relación h/r 
p = presión uniforme en el área circular 
r = radio del círculo cargado 
E 2 = Módulo de Elasticidad de la segunda capa, semiinfinita.
En la fig. 11-21 aparece una gráfica que da los valores de F para 
diferentes relaciones de las que tal factor depende.
Para el uso de esa gráfica es preciso determinar primeramente 
los valores numéricos de E x y E 2, lo cual se logra por medio de prue­
bas de placa. En el caso de que la placa transmisora de las cargas 
sea idealmente rígida, la ec. 2-32 se modifica a la forma
'A = 1 .1 8 F | r (2-33)
Si se coloca una placa rígida sobre el material que va a constituir 
la segunda capa y se transmite presión, la fórmula 2-33 permite el 
cálculo de E 2 pues en tal caso F — 1, por tratarse de un sistema 
homogéneo de una sola capa. Efectuando la prueba de placa ahora 
en la superficie del sistema de dos capas, la expresión 2-33, nueva­
mente usada, permitirá el cálculo de i7 y la gráfica de la fig. 11-20 
proporcionará la correspondiente relación E JE ?, de la cual puede 
deducirse el valor de É?. Con los valores de E x y E?, así determi­
nados, pueden calcularse con las fórmulas anteriores y la gráfi­
ca 11-20 los desplazamientos verticales bajo el centro de cualquier 
área circular cargada aplicada en la superficie del sistema de dos 
capas.
Los resultados de Burmister se han aplicado sobre todo al diseño 
de pavimentos, fungiendo el pavimento como primera capa más rí-
MECANICA DE SUELOS (II) 33
4—Mecánica de Suelos II
34 CAPITULO II
- ........r... . .4
• Corga circular, p.uniforroomonto
• i = í i .
h
! primara capa d« Modulo do 
1 Elasticidad E,
i
Frontero porfoctamonto r u g o s a j Segunda capa.sem í-infinita, de
j Modulo de Elasticidad E ¿
R e la c ió n de P o ísso n * en om bas c a p a s .
FIG . 11-21. Factores de deformaciin para un sistema de dos capas
gida. Sin embargo, hasta hoy, los métodos analíticos emanados de 
estas teorías son menos confiables que otros más empíricos, pero de 
resultados más comprobados. Debe observarse que desde el punto 
de vista de transmisión de esfuerzos, las teorías de Burmister rinden 
resultados que hacen aparecer los obtenidos con la solución básica 
de Boussinesq como conservadores (por ejemplo, véase ref. 14).
Recientemente18 se han desarrollado algunos estudios en conexión 
con medios semiinfinitos no lineales y no homogéneos; es decir, con 
materiales que al ser sometidos a compresión simple muestran reía-
( f k
MECANICA D E SUELOS (II) 35
FIG. 11-22. Relación elástica no lineal entre esfuerzo y deformación en estado 
monoaxial de esfuerzos
ciones esfuerzo-deformación del tipo indicado enla fig. 11-22, que 
matemáticamente pueden expresarse
e = ( j J n > 1 (2-34)
Donde k es una constante característica del material. En el caso 
en que n = 1 la ec. 2-34 representará la ley de Hooke y k coincide 
con el módulo de elasticidad del medio.
Las conclusiones que parecen desprenderse de estos estudios son 
que en los suelos reales, que indudablemente se acercarán más en su 
comportamiento al tipo de deformación elástica sugerido, los es­
fuerzos verticales bajo la carga concentrada son menores que los de­
terminados haciendo uso de la teoría clásica de Boussinesq y que los 
desplazamientos verticales de los puntos bajo la carga ocurren en 
forma mucho más concentrada en la cercanía de la superficie que 
lo que se desprende de la mencionada teoría clásica. Es muy intere­
sante hacer notar que los estudios comentados parecen justificar la 
conocida regla empírica, ya mencionada en el Volumen I de esta 
obra, en el sentido de que, para el cálculo de asentamientos, es sufi­
ciente considerar las deformaciones del suelo hasta una profundidad 
comprendida entre una y media y dos veces el ancho del cimiento.
Es oportuno, finalmente, hacer notar que en Mecánica de Suelos, a 
pesar de las meritorias tendencias señaladas, el problema de distribu­
ción de esfuerzos en la masa del suelo dista de poder ser considerado 
como resuelto y es mucho aún lo que en estas direcciones ha de 
investigarse.
36 CAPITULO II
ANEXO H-a 
El problema de Boussinesq
Desde el punto de vista de la Teoría de la Elasticidad, el pro­
blema de Boussinesq es un caso particular del problema de Mindlin,7 
en el cual se supone la existencia de un sólido que ocupa la región 
del espacio z > 0, en cuyo interior obra una carga concentrada P, 
aplicada en el punto z = c, r = 0 (fig. II-a .l). Se trata de calcular 
el estado de esfuerzos en un punto cualquiera A de la masa.
El problema de Boussinesq es 
una particularización del anterior, 
resultado de hacer c = 0, con lo 
que la carga concentrada queda 
aplicada en la frontera del medio 
semiinfinito, homogéneo, isótropo 
y linealmente elástico.
La solución del problema puede 
lograrse por varios caminos, de­
pendiendo de la herramienta mate­
mática utilizada. En la ref. 8 se 
presenta un tratamiento elegante y 
expedito, basado en la aplicación 
de la transformación de Hankel; una solución muy general con he­
rramienta tensorial podrá verse en la ref. 9. En la ref. 10 se desarrolla 
un tratamiento matemático más simple, pero más laborioso. El tra­
tamiento que aquí se presenta está basado fundamentalmente en 
la ref. 11.
La carga concentrada produce en el medio un estado de esfuerzos 
y desplazamientos que evidentemente es simétrico respecto al eje de 
aplicación de la carga.
Las ecuaciones de Navier o de la deformación, que expresan 
las condiciones de equilibrio en función de las componentes del vector
desplazamiento v (vlt v2, u3), son
FIG. II-a .l. £/ p ro b le m a d e M in d lin
En donde p es el módulo de Poisson, G el módulo de rigidez
r _ E
2 ( 1 + ( i )
F (F i, F 2, Fa) las fuerzas de masa y (xu Xa. x¡) el sistema 
coordenado ortogonal de referencia.
Las ecs. 2-a.l tienen como variables únicamente a vlt v2 y v».
Multiplicando las ecs. 2-a.l por los versores ilf i2, t3 respectiva­
mente y sumando,
W + V div. v + £ = 0 (2-a.2)
Ecuación que ha sido llamada fundamental de la Teoría de la 
Elasticidad.
Si se aplica a 2-a.2 el operador div:
1 -* 1 -+
div. V 2u + - ̂ - div. V div. v + div. F — 0 (2-a.3)
Pero:
div. V 2 v — V z div. v — V 2e
y div. V div. = V a div. p = V 2e
Donde e es la deformación volumétrica o 1er- invariante del ten­
sor deformación.
Substituyendo lo anterior en la ec. 2-a.3 y simplificando
" / - I p T V ’ E + b div- ^ = 0 (2'a,4)
Se supondrá ahora la existencia dé una función <f>, potencial de 
fuerza, armónica. En tal caso,
F — V<¡> y div. F — V V = 0
por lo tanto, de la ec. 2-a.4 se sigue que, si <¡> existe
V 2£ — 0
Si se aplica, bajo la hipótesis anterior, a la cc. 2-a.2 el operador 
escalar V 2, se puede escribir
V 2V 2u + - ¡ 4 - V 2Vdiv. v + 4 V 2 F = 0
[ l G
lo cual da
V 4u + -r4 — V 2V e + ¿ V 2F = 01-2 p G
MECANICA DE SUELOS (II) 37
38 CAPITULO II
pero V 2Ve = V V 2e = 0; por lo tanto 
pero esto es
V 4u + - i V 2 F — 0
L r
V 4u + V 2V <f> — o
de donde, si <¡> existe
V 4u = 0 (2-a.5)
La ec. 2-a.5 se cumplirá sí y sólo si existe la mencionada función 
potencial <¡>.
Ahora bien, la ec. 2-a.5 puede ponerse
V 4V = V 4!>i ¿i + V 4V2 Í2 + V 4 V 3 h 
por lo que se tendrá que verificar
V 4Ui = 0
V 4i>2 = 0 (2-a.6)
V 4us — 0 .
De manera que si existe la función <¡> deben cumplirse las ecs. 
biarmónicas 2-a.6.
Se trata ahora de verificar si la siguiente ecuación que se propone 
como solución del problema verifica la ec. 2-a.2.
2G v = (c V 2 — V 2 div.) R (2-a.7)
donde
c = constante
R — Rx (x3 x2 x5) ii + i ?2 (* i x 2 X a ) ¿2 -f Ra (xx x2 x3) i3 es el lla­
mado vector de Galerkin.
La ec. 2-a.2 puede escribirse
2 G l V ’ + l - ^ 2 Í
Teniendo en cuenta las ecs. 2-a.7 y 2-a.8 puede ponerse 
V 2 +
operando
2 G ( V 2 + T—* Vdi v. ) u + 2 F = 0 (2-a.8)
1 — 2 p
(V 2 + r = A ^ V div.) (c V 2- V d iv .)f l + 2 F = 0 (2-a.9)
(cV 4 — V 2V div. + -j — V div. V 2 - 
1 V div. V div) R + 2 F = 0
1 — 2p
pero
V 2V div. = V div. V 2 = V div. V div.
por lo cual
C V * R + ( - 1 + ^ V V di”. R + 2 F = 0
La constante c puede escogerse de modo que la ecuación anterior 
se reduzca a
c V 4fl + 2 F = 0 
para lo cual será preciso que
- 1 + r ^ i - T ^ r = 0
c = 2(1 — p) (2-a.lO)
y entonces
= — F ■ (2 -a .ll)
1 - p
Si las fuerzas másicas son nulas, se tendrá:
V 4R = 0 (2-a,12)
y en tal caso, el vector Galerkin tendrá que ser una función vectorial 
Inarmónica.
Por lo tanto, el vector desplazamiento v satisface la ec. 2-a.2 
cuando (ver ec. 2-a.7)
2 G v — [2(1 — p) V 2 — V div.] R (2-a.l3)
con la condición de que se cumpla la ec. 2-a.ll.
La ec. 2-a.l3, en forma desplegada, da lugar a
MECANICA DE SUELOS (II) 39
40 CAPITULO II
En las ecs. 2-a.l4 habrá la condición
V 4, Ri = — t — — Fi 
1 — tr
= _ _ i _ F 2
1 - [J.
(2-a.l5)
V 4/?s = — F 3
1 — ti
Las ecs. 2-a.l4 proporcionan las componentes del vector despla­
zamiento v en términos del vector R, las que pueden relacionarse, 
según la Teoría de la Elasticidad, con las deformaciones unitarias 
correspondientes; éstas, a su vez, haciendo uso de la Ley de Hooke 
generalizada para un medio homogéneo, isótropo y linealmente elás­
tico, pueden relacionarse con los esfuerzos producidos en un punto 
del medio. Asi, en definitiva, podrá llegarse a expresiones entre los 
esfuerzos y las componentes del vector R. El proceso matemático 
anterior es simple, aunque muy laborioso y podrá consultarse en 
detalle, en la mencionada ref. 11; aquí se pondrán únicamente los 
resultados obtenidos.
El triedro (x , y , z ) corresponde al (*i x2 x3) usado anteriormente. 
En el caso particular del problema de Boussinesq puede llegarse 
a la solución, adoptando un vector Galerkin (R) de la forma
av = 2(1 — n )V 2^ | + (y. V )d i Iv.R
a, = 2 (1 - p) V* ^ + (p V 2 - g ) div. R (2-a. 16)
R = c [ ( l — 2 n )z ln (z + r) -(- 2 p r]t3 (2-a.l7)
MECANICA DE SUELOS (II) 41
donde
t- — x- + y- + z- 
La expresión para o-,, dada en las ecs. 2-a,16 puede escribirse
dR3 d3R3
siendo
<r,= [ 2 ( 1 - t r J + txjV2 9z ^
Rh = c ( l —2p)zlog (z + r) + 2qjir 
Efectuando operaciones se tiene
= c [ - + (1 — 2 p) log (z + r) ] 
oz r
(2-a.l8)
V ’8# - = - < PS z r
= i z ¿ I + c (i
dz3 r v
Agrupando, resulta finalmente
ff* = —
3cz3
r"
(2-a.l9)
p
Frontera
infinito 0
- T n i j c
' r
p T r "
z
P
J
!/ ¡
^ V , i1
/ 1
\
S ^ \ x
Considérese ahora el equilibrio 
interno en el seno del medio, (fig. 
II-a.2).
En un plano a la profundidad 
z — cte debe cumplirse la condi­
ción: P = Sama de fuerzas verti­
cales internas.
Considerando una superficie 
anular en dicho plano,se tendrá
d Fi = | ffzpdpdd
o sea
dFi = - ^ p d p \ y e =
3cz3 2-npdp
FIG . Il-a.2 Equilibrio en el Interior del 
semiespado elástico
Lo cual puede escribirse 
dP> = ~ (p- £ £ )■ »
42 CAPITULO II
Integrando la expresión anterior en el plano z — cíe
p . — .—• 3 C 7r 2 3 f ° ° 2p̂ P = P
Integrando y despejando, se tiene:
c = - £ (2-a.20)
Z7T
Llevando este valor a la ec. 2-a.l7 y operando este valor con 
el resultado obtenido en las ecs. 2-a.l6, se obtiene finalmente:
ffi - J 5 _ L f /, _ 0. . , r2tz + r ) - * 2lz + 2r)
]
2tc r3 L U + r ) ¡
z( r2 — 3x2) ? + 2¡xz
p 1 V, ̂ r2(z +' r) — y2{z + 2r)
2k r3 L (z + rY
l “-> + 2 J
_ 3P z (2-a.21)
_ P xy r , , n z + 2r 3zl 
Tlí “ 2w r3 [ + r )2 r2]
_ 3P
Tír “ 1 ÍT
xz
_ 3P i/z2
Twr “ 1 Í T “ F -
que es la solución originalmente propuesta por Boussinesq.
MECANICA D E SUELOS (II) 43
ANEXO n-b 
Valores de influencia para el caso de carga concentrada
Solución de Boussinesq
« . = £ ■ p.
r/z Pe r/z Pe r/z P.________r/z
0.00 — 0.4775
1 — 0.4773
2 — 0.4770
3 — 0.4764
4 — 0.4756
5 — 0.4745
6 — 0.4732
7 — 0.4717
8 — 0.4699
9 — 0.4679
0.10 — 0.4657
1 — 0.4633
2 — 0.4607
3 — 0.4579
4 — 0.4548
5 — 0.4516
6 — 0.4482
7 — 0.4446
8 — 0.4409
9 — 0.4370
0.20 — 0.4329
1 — 0.4286
2 — 0.4242
3 — 0.4197
4 — 0.4151
5 — 0.4103
6 — 0.4054
7 — 0.4004
8 — 0.3954
9 — 0.3902
0.30 — 0.3849
1 — 0.3796
2 — 0.3742
3 — 0.3687
4 — 0.3632
5 - 0.3577
6 — 0.3521
7 - 0.3465
8 — 0.3408
9 — 0.3351
0.40 — 0.3294
1 — 0.3238
2 — 0.3181
3 — 03124
4 — 03068
5 — 0.3011
6 — 0.2955
7 — 0.2899
8 — 0.2843
9 — 0.2788
0.50 — 0.2733
1 — 0.2679
2 — 0.2625
3 — 0.2571
4 — 0.2518
5 — 0.2466
6 — 0.2414
7 — 0.2363
8 — 0.2313
9 — 0.2263
0.60 — 0.2214
1 — 0.2165
2 — 0.2117
3 — 0.2070
4 — 0.2024
5 — 0.1978
6 — 0.1934
7 — 0.1889
8 — 0.1846
9 — 0.1804
0.70 — 0.1762
1 — 0.1721
2 — 0.1681
3 — 0.1641
4 — 0.1603
5 — 0.1565
6 — 0.1527
7 — 0.1491
8 — 0.1455
9 — 0.1420
0.80 — 0.1386
1 — 0.1353
2 — 0.1320
3 — 0.1288
4 — 0.1257
5 — 0.1226
6 — 0.1196
7 — 0.1166
8 — 0.1138
9 — 0.1110
0.90 — 0.1083
1 — 0.1057
2 — 0.1031
3 — 0.1005
4 — 0.0981
5 — 0.0956
6 — 0.0933
7 — 0.0910
8 — 0.0887
9 — 0.0865
1.00 — 0.0844
1 — 0.0823
2 — 0.0803
3 — 0.0783
4 — 0.0764
5 — 0.0744
6 — 0.0727
7 — 0.0709
8 — 0.0691
9 — 0.0674
1.10 — 0.0658
1 — 0.0641
2 — 0.0626
3 — 0.0610
4 — 0.0595
5 — 0.0581
6 — 0.0567
7 — 0.0553
8 — 0.0539
9 — 0.0526
1.20 — 0.0513
1 — 0.0501
2 — 0.0489
3 — 0.0477
4 — 0.0466
5 — 0.0454
6 — 0.0443
7 — 0.0433
8 — 0.0422
9 — 0.0412
1.30 — 0.0402
1 — 0.0393
2 — 0.0384
3 - 0.0374
4 — 0.0365
5 — 0.0357
6 — 0.0348
7 — 0.0340
8 — 0.0332
9 — 0.0324
1.40 — 0.0317
1 — 0.0309
2 — 0.0302
3 — 0.0295
4 — 0.0288
5 — 0.0282
6 — 0.0275
7 — 0.0269
8 — 0.0263
9 — 0.0257
1.50 — 0.0251
1 — 0.0245
2 — 0.0240
3 — 0.0234
4 — 0.0229
5 — 0.0224
6 — 0.0219
7 — 0.0214
8 — 0.0209
9 — 0.0204
44 CAPITULO II
r/z P» r/z Po r/z Po r/z P .
1.60 — 0.0200 2.10 — 0.0070 2.60 — 0.0029 3.10 — 0.0013
1 — 0.0195 1 — 0.0069 1 — 0.0028 1 — 0.0013
2 — 0.0191 2 — 0.0068 2 — 0.0028 2 — 0.0013
3 — 0.0187 3 — 0.0066 3 — 0.0027 3 — 0.0012
4 — 0.0183 4 — 0.0065 4 — 0.0027 4 — 0.0012
5 — 0.0179 5 — 0.0064 5 — 0.0026 5 — 0.0012
6 — 0.0175 6 — 0.0063 6 — 0.0026 6 — 0.0012
7 — 0.0171 7 — 0.0062 7 — 0.0025 7 — 0.0012
8 — 0.0167 8 — 0.0060 8 — 0.0025 8 — 0.0012
9 - 0.0163 9 — 0.0059 9 — 0.0025 9 — 0.0011
1.70 — 0.0160 2.20 — 0.0058 2.70 - 0.0024 3.20 — 0.0011
1 — 0.0157 1 — 0.0057 1 — 0.0024 1 — 0.0011
2 — 0.0153 2 — 0.0056 2 — 0.0023 2 — 0.0011
3 — 0.0150 3 — 0.0055 3 — 0.0023 3 — 0.0011
4 — 0.0147 4 — 0.0054 4 — 0.0023 4 — 0.0011
5 — 0.0144 5 — 0.0053 5 — 0.0022 5 — 0.0011
6 — 0.0141 6 — 0.0052 6 — 0.0022 6 — 0.0010
7 — 0.0138 7 — 0.0051 7 — 0.0022 7 — 0.0010
8 — 0.0135 8 — 0.0050 8 — 0.0021 8 — 0.0010
9 — 0.0132 9 — 0.0049 9 — 0.0021 9 — 0.0010
1.80 — 0.0129 2.30 — 0.0048 2.80 — 0.0021 3.30 — 0.0010
1 — 0.0126 1 — 0.0047 1 — 0.0020 1 — 0.0009
2 — 0.0124 2 — 0.0047 2 — 0.0020 2 — 0.0009
3 — 0.0121 3 - 0.0046 3 — 0.0020 3 — 0.0009
4 — 0.0119 4 — 0.0045 4 — 0.0019 4 — 0.0009
5 — 0.0116 5 — 0.0044 5 — 0.0019 5 — 0.0009
6 — 0.0114 6 — 0.0043 6 — 0.0019 6 — 0.0009
7 — 0.0112 7 — 0.0043 7 — 0.0019 7 — 0.0009
8 - 0.0109 8 — 0.0042 8 — 0.0018 8 — 0.0009
9 — 0.0107 9 — 0.0041 9 — 0.0018 9 — 0.0009
1.90 — 0.0105 2.40 — 0.0040 2.90 — 0.0018 3.40 — 0.0009
1 — 0.0103 1 — 0.0040 1 — 0.0017 1 — 0.0008
2 — 0.0101 2 — 0.0039 2 — 0.0017 2 — 0.0008
3 — 0.0099 3 — 0.0038 3 — 0.0017 3 — 0.0008
4 — 0.0097 4 — 0.0038 4 — 0.0017 4 — 0.0008
5 — 0.0095 5 — 0.0037 5 — 0.0016 5 — 0.0008
6 — 0.0093 6 — 0.0036 6 — 0.0016 6 — 0.0008
7 — 0.0091 7 — 0.0036 7 — 0.0016 7 — 0.0008
8 — 0.0089 8 — 0.0035 8 — 0.0016 8 — 0.0008
9 — 0.0087 9 — 0.0034 9 — 0.0015 9 — 0.0008
2.00 — 0.0085 2.50 — 0.0034 3.00 — 0.0015 3.50
1 — 0.0084 1 — 0.0033 1 — 0.0015 a — 0.0007
2 — 0.0082 2 — 0.0033 2 — 0.0015 3.61
3 - 0.0081 3 — 0.0032 3 — 0.0014 'X 6.1
4 — 0.0079 4 — 0.0032 4 — 0.0014 a a nnn£
5 — 0.0078 5 — 0.0031 5 — 0.0014 a — u.uUvO "X 74
6 — 0.0076 6 — 0.0031 6 — 0.0014
7 — 0.0075 7 — 0.0030 7 — 0.0014 3.75
8 - 0.0073 8 — 0.0030 8 — 0.0013 a — 0.0005
9 — 0.0072 9 — 0.0029 9 - 0.0013 3.90
ANEXO I I - d. A r e a r e c t a n g u l a r u n i f o r m e m e n t e c a r g a d a . ( C a s o d e B o u s s i n e s o ) .
MECANICA DE SUELOS (II) 45
r/z Po r/z Po r/z P» r/z Po
3.91 
a — 0.0004 
4.12
4.13 
a — 0.0003 
4.43
4.44 
a - 0.0002 
4.90
4.91 
a — 0.0001 
6.15
ANEXO H-e
Valores de influencia para área circular uniformemente cargada
Solución de Boussinesq
<7, — W Wo
r/z w„ r/z w. r/z w0 r/z w0
.00 — 0.00000 
1— 0.00015 
2 — 0.00060
3 — 0.00135
4 — 0.00240
5 - 0.00374
6 - 0.00538 
7-0.00731 
8 — 0.00952 
9-0.01203
.30 — 0.12126 
1-0.12859
2 — 0.13605
3 — 0.14363
4-0.15133
5-0.15915
6 — 0.16706
7 — 0.17507
8 — 0.18317 
9-0.19134
.60 - 0.36949 
1— 0.37781
2 — 0.38609
3 — 0.39431
4 — 0.40247
5 — 0.41058
6 — 0.41863
7 — 0.42662
8 - 0.43454 
9-0 .44240
.90 - 0.58934 
1 -0.59542 
2-0.60142 
3 — 0.60734
4-0.61317
5-0.61892
6 — 0.62459
7 — 0.63018
8 — 0.63568
9 — 0.64110
.10-0.01481 
1-0.01788 
2 — 0.02122
3 - 0.02483
4 - 0.02870
5 — 0.03283
6 — 0.03721 
7-0.04184 
8 - 0.04670 
9-0.05181
.40 — 0.19959 
1 — 0.20790 
2-0.21627 
3 — 0.22469 
4-0.23315
5 — 0.24165
6 — 0.25017
7 — 0.25872
8 — 0.26729
9 — 0.27587
.70 - 0.45018
1— 0.45789
2-0.46553 
3 — 0.47310
4-0.48059
5-0.48800
6 — 0.49533
7 — 0.50259
8-0.50976
9-0.51685
1.00-0.64645
1— 0.6517!
2 - 0.65690
3 — 0.66200
4 - 0.66703 
5-0.67198
6 — 0.67686
7 — 0.68168
8-0.68639
9-0.69104
.20 — 0.05713 
1— 0.06268
2 — 0.06844
3 - 0.07441
4 - 0.08057
5 - 0.08692
6 — 0.09346
7-0.10017
8-0.10704
9-0.11408
.50-0.28446
1— 0.29304
2 — 0.30162
3 — 0.31019 
4-0.31875
5 - 0.32728
6 — 0.33579
7 — 0.34427
8 — 0.35272
9 — 0.36112
.80 — 0.52386 
1— 0.53079
2 — 0.53763
3 — 0.54439
4-0.55106
5-0.55766
6-0.56416
7 — 0.57058
8 — 0.57692
9 — 0.58317
1.10 - 0.69562 
1— 0.70013
2 — 0.70457
3 - 0.70894
4-0.71324
5-0.71747
6-0.72163 
7 — 0.72573 
8-0.72976 
9 — 0.73373
46 CAPITULO II
r /z IVe
1.20 — 0.73763 
1— 0.74147
2 — 0.74525
3 — 0.74896
4 — 0.75262
5 — 0.75622
6 — 0.75976
7 — 0.76324
8 — 0.76666
9 — 0.77003
1.30 — 0.77334 
1— 0.77660
2 — 0.77981
3 — 0.78296
4 — 0.78606
5 — 0.78911
6 — 0.79211
7 — 0.79507
8 — 0.79797
9 — 0.80083
1.40 — 0.80364 
1— 0.80640
2 — 0.80912
3 — 0.81179
4 — 0.81442
5 — 0.81701
6 — 0.81955
7 — 0.82206
8 — 0.82452
9 — 0.82694
1.50 — 0.82932 
1— 0.83167
2 — 0.83397
3 — 0.83624
4 — 0.83847
5 — 0.84067
r /z w0
1.56 — 0.84283
7 — 0.84495
8 — 0.84704
9 — 0.84910
1.60 — 0.85112 
1— 0.85312
2 — 0.85607
3 — 0.85700
4 — 0.85890
5 — 0.86077
6 — 0.86260
7 — 0.86441
8 — 0.86619
9 — 0.86794
1.70 — 0.86966 
1— 0.87136
2 — 0.87302
3 — 0.87467
4 — 0.87628
5 — 0.87787
6 — 0.87944
7 — 0.88098
8 — 0.88250
9 — 0.88399
1.80 — 0.88546 
1— 0.88691
2 — 0.88833
3 — 0.88974
4 — 0.89112
5 — 0.89248
6 — 0.89382
7 — 0.89514
8 — 0.89643
9 — 0.89771
1.90 — 0.89897
r /z iVo
1.91— 0.900212 — 0.90143
3 — 0.90263
4 — 0.90382
5 — 0.90498
6 — 0.90613
7 — 0.90726
8 — 0.90838
9 — 0.90948
2.00 — 0.91056
2 — 0.91267
4 — 0.91472
6 — 0.91672
8 — 0.91865
2.10 — 0.92053 
.15 — 0.92499 
.20 — 0.92914 
.25 — 0.93301 
.30 — 0.93661 
.35 — 0.93997 
.40 — 0.94310 
.45 — 0.94603 
.50 — 0.94877 
.55 — 0.95134 
.60 — 0.95374 
.65 — 0.95599 
.70 — 0.95810 
.75 — 0.96009 
.80 — 0.96195 
.85 — 0.96371 
.90 — 0.96536 
.95 — 0.96691
3.00 — 0.96838 
.10 — 0.97106 
.20 — 0.97346 
.30 — 0.97561
3.40 — 0.97753 
.50 — 0.97927 
.60 — 0.98083 
.70 — 0.98224 
.80 — 0.98352 
.90 — 0.98468
4.00 — 0.98573 
.20 — 0.98757 
.40 — 0.98911 
.60 — 0.99041 
.80 — 0.99152
5.00 — 0.99246 
.20 — 0.99327 
.40 — 0.99396 
.60 — 0.99457 
.80 — 0.99510
6.00 — 0.99556 
.50 — 0.99648
7.00 — 0.99717 
.50 — 0.99769
8.00 — 0.99809
9.00 — 0.99865
10.00 — 0.99901
12.00 — 0.99943
14.00 — 0.99964
16.00 — 0.99976
18.00 — 0.99983
20.00 — 0.99988
25.00 — 0.99994
30.00 — 0.99996
40.00 — 0.99998
50.00 — 0.99999 100.00— 1.00000oo — 1.00000
ANEXO n-f
MECANICA DE SUELOS (II) 47
FIG. Il-f. Caria de Nevmark
R EFER EN CIAS
1. Boussinesq, J. — Application des potenciéis á Vetude de f equilibre et da mouve- 
ment des solides élastiques — Paris— 1885.
2. Fadum. R. E. — Influence valúes for vertical stresses in a semi-infinite, elas- 
tic solid due to surface loads — Universidad de Harvard. Escuela de Gra­
duados— 1941.
3. Westergaard, H. M. — A problem of Elasticity suggested bu a problem in Soil 
Mechamos. Soft material reinforced by numeróos strong horizontal sheets — 
Contributions to the Mechantes of Solids — Stephen Timoshenko, 60th. 
Anniversary volume — 1938.
4. Jürgenson, L. — The application o í tbeoríes■ o f Etasticity and Plasticity to 
foundation problems — Contributions to Soil Mechanics — Boston Society 
of Civil Engineers — 1925-1940.
5. Gray, H. — Charts facilítate Determination o f stresses under loaded arcas — 
Civil Engineering — Junio 1948.
6. Newmark, N. M. — Influence chatis for the computation o f stresses in elas- 
tic foundations — Boletín N* 45. Vol. 44 — Universidad de Illinois — 1942.
7. Mindlin, R. D . — Contribution au probleme d"equilibre d’élasticité d’un solide 
indefiné limité par un plan — "Comptes Rendus” — 201-536-537 — 1935.
8. Sneddon, I. N. — Fourier Transfotms — Me Graw-Hill Book Co. — 1951.
9. Green, A. E. y Zema, W . — Theoretical Elasticity — Oxford University 
Press— 1954.
10. Timoshenko, S. y Goodier, J. N .— Theory o f Etasticity — McGraw-Hill 
Book Co. — 1951.
11. Westergaard, H. M. — Theory o f Elasticity and Plasticity — John Wiley 
and Sons— 1952.
12. Burmister, D. M. — The Theory o f stresses and displacements in layered 
systems and application to the design o[ airport runways — Proc. Highway 
Research Board— 1943.
13. Burmister, D. M. — The General Theory o f stresses and displacements in 
layered soil systems — Journal of Applied Physics — Vol. 16— 1945.
14. Burmister, D. F. — Evaluation o f Pavement systems o f the W ASHD Road 
test by layered systems methods — Highway Research Board— Bulletin 
177— 1958.
15. Hruban, K .— The basic probtem o f a non-linear and non-homogeneous half 
space — Non homogeneity in Elasticity and Plasticity •— Olszak Editor — Per- 
gamon Press — 1959.
48 CAPITULO II
BIBLIOGRAFIA
J/T heoretical Soil Mechanics — K. Terzaghi-— John W iley and Sons — 1956.
J Soils Mechanics, Foundations and Earth Structures — G. P. Tschebotarioff — 
/ McGraw-Hill Book Co. — 1957.
J Fundamentáis o f Soil Mechanics — D. W . Taylor — John Wiley and Sons — 
/ 1956.
' Mecánica de Suelos — J. A. Jiménez Salas — Ed. Dossat— 1954.
J Traité de Mecanique des Sois — J. Caquot y J. Kerissel — Gauthier-Villars— 
1956.
''Theory o f Elasticity — S. Timoshenko y J. N. Goodier — McGraw-Hill Book Co. 
— 1951.
Theoretical Elasticity — A. E. Green y W . Zema — Oxford University Press — 
1954
Theory o f Elasticity and Plasticity — H. M. Westergaard — Harvard University 
Press y John W iley and Sons—'1952 
Fourier Transforma — I. N. Sneddon-— McGraw-Hill Book C o.— 1951
CAPITULO III 
ANALISIS DE ASENTAMIENTOS
m -1. Introducción
En el Capítulo X, correspondiente al Volumen I de esta obra, 
se discutieron los conceptos fundamentalés relativos a la magnitud 
y evolución de los asentamientos que tienen lugar en un estrato de 
suelo compresible, sujeto a cargas. Implícitamente se supuso allí que 
el incremento de presión aplicado al estrato (Ap) era uniforme en 
todo el espesor del mismo. Por otra parte, en el Capítulo II se ha 
tratado lo relativo a la transmisión de esfuerzos al interior de la masa 
de suelo, provocados por cargas impuestas en la frontera del estrato 
considerado. En el presente capítulo se discutirá el como tomar en 
cuenta, para fines de cálculo, la no uniformidad del incremento de 
presión transmitido al estrato compresible.
Además de tratar el cálculo de asentamientos en suelos plásticos 
compresibles, se incluye en el capítulo también una discusión de los 
métodos de cálculo de asentamientos en suelos arenosos finos y 
limosos, de estructura suelta, que son susceptibles de experimentar 
fuerte compresión volumétrica por efecto de carga combinada con 
una condición de saturación rápida. También se incluyen algunos 
comentarios sobre los métodos usados hasta hoy para el cálculo de 
asentamientos en los suelos friccionantes, en general.
m -2. Asentamientos en suelos plásticos compresibles
En el Capítulo X del Volumen I de esta obra se obtuvo la 
fórmula general que permite calcular el asentamiento por consoli­
dación de un estrato de espesor H. Dicha fórmula es:
^ = T T 7 7 » <*■»>
En el caso en que los incrementos de presión (Ap) transmitidos 
al suelo varíen con la profundidad o en el que Ae/I + e0 varíe apre- 
ciablemente a lo largo del espesor del estrato, por ejemplo, por efecto 
de preconsolidación en parte de él, se hace necesario expresar la
49
5—Mecánica de Suelos II
50 CAPITULO III
ec. 3-1 en forma diferencial y obtener el asentamiento total por un 
proceso de integración a lo largo del espesor del estrato.
Puede entonces escribirse:
A d z = Ae
1 + e0 
Lo cual, integrado da:
A ^ = f A L_
Jo 1 + e0 d z
(3-2)
(3-3)
Considerando a la frontera superior del estrato compresible como 
origen de las z. La ec. 3-3 es la ecuación general para el cálculo 
del asentamiento total por consolidación primaria, supuesto un pro­
ceso unidimensional de consolidación.
La ec. 3-3 sugiere un método simple de trabajo para valuar los 
asentamientos en un caso práctico dado (fig. III- l) .
Si se tienen pruebas de consoli­
dación efectuadas sobre muestras 
inalteradas representativas de un 
estrato compresible a diferentes 
profundidades, se contará con una 
curva de compresibilidad para 
cada prueba, representativa del 
comportamiento del suelo a esa 
profundidad, (parte a de la fig.
III- l) . Sobre esas gráficas podrá 
llevarse el valor de p0, presión 
actual efectiva del suelo a esa 
profundidad: con tal valor podrá 
obtenerse el correspondiente e0: a 
continuación, podrá llevarse, a par­
tir de p0, el valor Ap, determinado 
según los métodos que se despren­
den del Capítulo II y que repre­
senta el nuevo esfuerzo efectivo 
que deberá aceptar la fase sólida 
del suelo cuando éste se haya 
consolidado totalmente bajo la 
nueva condición de cargas exterio­
res, representada por la estructura 
cuyo asentamiento se calcula. La
ur ni. U ü J , Li •• j ordenada del valor p ~ p 0 + Ap FIG. III-l. Métodos para la obtención de . . \ r- i , - .
la curva de influencia de los proporcionara la e final que, teori-
as en ta m ien io s camente, alcanzará el suelo a la
a = a h ■■ Curvo de inf luencto 
de o se n to m ie n to s
(bi
profundidad de que se trate. Puede así determinarse Ae = e — e0 y, 
por lo tanto, Ae/1 + e„.
En la parte b de la fig. III-l se muestra la gráfica Ae/1 + e„ — z, 
que deberá trazarse una vez determinados sus puntos por el proce­
dimiento anterior aplicado a las distintas profundidades.
Basta verla fórmula 3-3 para notar que el área entre 0 y H 
bajo la gráfica anterior, llamada curva de influencia de los asenta­
mientos. proporciona directamente el valor de AH.
En algunos casos especiales los asentamientos pueden calcularse 
con métodos que son simplificación del anterior. Por ejemplo, en el 
caso de un estrato compresible, homogéneo, de pequeño espesor, 
en que el coeficiente mv pueda considerarse constante para el inter­
valo de presiones en que se trabaja, puede escribirse:
AH = f -7 —T“— dz — f mv. Ap.dz = mv [ Apdz (3-4)
J 0 1 + e0 Jo Jo
La integral representa el área de incremento de presiones entre 
las profundidades 0 y H y puede calcularse gráficamente.
Si además Ap puede considerarse constante en el espesor tratado, 
la fórmula 3-4 se reduce simplemente a:
A// = mv Ap H (3-5)
La ec. 3-5 goza de una popularidad seguramente inmerecida,
dadas sus limitaciones, no siempre tenidas en cuenta por los que
la usan.
MECANICA DE SUELOS (II) 51
III-3. Método empírico para el trazado de la corva de 
compresibilidad
En algunas ocasiones no se tienen los datos pertinentes de con­
solidación para poder proceder al trazado de la curva de compresi­
bilidad. La causa más frecuente suele ser simplemente el no efectuar 
las pruebas de consolidación necesarias.
Él Dr. Terzaghi, a partir de investigaciones experimentales efec­
tuadas por distintos investigadores y de otras propias, ha propuesto 
una correlación empírica que permite calcular el índice de compresi­
bilidad Cc (ver párrafo X-3 del Volumen I de esta obra) a partir 
de las características de plasticidad del suelo. Como se discutió en el 
capítulo respectivo, la compresibilidad de los suelos aumenta con 
el límite líauido. De los resultados de los experimentos mencionados, 
Terzaghi propone la siguiente correlación para arcillas remoldeadas
Ce = 0.007 (LL - 10) (3-6)
Para arcillas inalteradas normalmente consolidadas, la ec. 3-6 se 
modifica de modo que el índice de compresibilidad Cc resulta alrede­
dor de un 30% mayor:
Cc = 0.009 (LL — 10) (3-7)
Las ecs. 3-6 y 3-7 permiten trazar la curva de compresibilidad 
en el tramo virgen, de trazo recto en papel semilogarítmico, siempre 
que se conozca un punto de ella, que puede determinarse con la 
presión efectiva inicial actuante sobre una muestra dada y la relación 
de vacíos de la misma.
Debe notarse, sin embargo, que los investigadores reportan dis­
crepancias del orden de ± 30% en las correlaciones anteriores y, a 
juicio de los autores, éstas podrían aún ser mayores, por lo cual de 
ningún modo debe pensarse que los métodos anteriores puedan subs­
tituir hoy a los emanados de las pruebas de consolidación.
m -4. Asentamientos en suelos arenosos finos y limosos, sueltos
En la naturaleza es común encontrar depósitos eólicos cemen­
tados o no, de estructura generalmente panaloide o simple, bastante 
suelta, constituidos por arenas muy finas o limos no plásticos. En 
muchos casos el cementante que actúa es el carbonato de calcio, 
siendo también frecuentes otros también solubles en agua; en otros 
casos, la simple tensión capilar del agua intersticial efectúa el mismo 
papel. El loess es un material típico de esta clase.
Es característico de estos suelos, el hecho de que al saturarse o 
alcanzar un alto grado de saturación entre en verdadero colapso su 
estructura, sobre todo bajo carga, con la consecuencia práctica de 
producirse un fuerte asentamiento brusco del estrato. Este fenómeno 
ocurre cuando el aguá de saturación disuelve el cementante existente o 
bien rompe la tensión capilar del agua intersticial previamente 
actuante. Es obvio que este hecho es grave para cualquier estructura 
sobreyaciente.
Aunque diversos especialistas han desarrollado métodos para es­
timar estos asentamientos, es un hecho cierto que no existe una teoría 
general confiable que pueda aplicarse a estos fenómenos. El proce­
dimiento más lógico para el cálculo de estos asentamientos es el tratar 
de duplicar en el laboratorio las condiciones de saturación que pue­
dan llegar a presentarse en el campo. Así, podrán hacerse en labo­
ratorio pruebas del tipo de la de consolidación, sobre muestras 
inalteradas del material, aplicando las cargas que actuarán en la obra 
y saturando por capilariaad la muestra en estas condiciones. Las 
mediciones efectuadas en esta prueba permitirán calcular la varia­
ción de la relación de vacíos del material que haya tenido lugar y
52 CAPITULO III
con ello poder hacer una estimación de los asentamientos en el 
campo. En los suelos predominantemente arenosos cabe mencionar 
que, compactando el material en el laboratorio de modo de obtener 
la e mínima, se puede llegar a calcular una cota superior del asen­
tamiento que pudiera llegar a presentarse. En efecto, la e mínima, 
correspondiente al estado más compacto posible de esa formación 
en particular, comparada con la relación de vacíos natural, permitirá 
calcular el cambio en oquedad que pueda presentarse en el caso más 
desfavorable imaginable (por ejemplo, aquél en que, coexistiendo con 
las cargas permanentes actuantes, puedan presentarse otras de tipo 
transitorio, tales como vibraciones, sismos, etc. después de que el 
material se haya saturado). El procedimiento de cálculo, una vez 
obtenidos los valores Ae y e0, es totalmente similar' al empleado en el 
párrafo anterior para el análisis de la compresibilidad de arcillas; 
la fórmula a aplicar sería también la:
1 + e„
MECANICA D E SUELOS (II) 53
m-5. Cálculo de asentamientos por métodos elásticos
La Teoría de la Elasticidad permite resolver muchos problemas 
de deformación bajo muy diversas condiciones del medio elástico, 
siempre y cuando se hagan respecto a ese medio hipótesis de compor­
tamiento, de tipo simplificatorio. Desgraciadamente, la naturaleza de 
tales hipótesis es tal que, salvo muy contados casos, las soluciones 
obtenidas para las diferentes condiciones bajo estudio tienen un 
valor muy discutible en su aplicación a los suelos. Sin embargo, la 
presentación de algunas soluciones específicas es útil, pues permiten, 
por lo menos, la valuación del orden de magnitud de los desplaza­
mientos en algunos casos de interés que carecen de soluciones más 
apropiadas.
En el Anexo Ill-a se discute con mayor detalle algunas de las 
conclusiones a que puede llegarse usando la mencionada Teoría de 
la Elasticidad.
En primer lugar ha de mencionarse el hecho de que por ser los 
suelos no homogéneos y anisótropos, se apartan decisivamente de las 
hipótesis usualmente atribuidas al medio elástico. Sin embargo, el 
hecho más importante estriba en que los suelos no son elásticos y 
menos aún linealmente elásticos, como tendría que ser para caer en 
el campo de aplicabilidad de la mayoría de las soluciones teóricas. 
Lo que en los suelos pudiera considerarse módulo de elasticidad 
aumenta con la profundidad, al aumentar la sobrecarga impuesta; 
esto es particularmente importante en los suelos granulares. Por otra 
parte, la relación de Poisson es muy difícil de medir, aparte de que va­
ría con gran cantidad de factores y todo tiende a indicar que, en 
suelos, dicha relación no tiene el sentido específico que se le atri­
buye en otros campos de la ingeniería y que, en el futuro, los con­
ceptos E y p,, se substituirán por parámetros más representativos del 
comportamiento mecánico de los suelos.
En efecto, en relación a las citadas constantes elásticas pudiera 
decirse que, aún y cuando se aplique a los suelos el criterio, hoy tari 
extendido, de los esfuerzos efectivos, salvo en muy contadas excep­
ciones, los valores de E y p, cambiarán constantemente, tanto con el 
nivel de esfuerzos aplicados al suelo, como con la velocidad de apli­
cación de dichos esfuerzos, la historia previa de preconsolidación y 
de deformación y con otros factores de menor cuantía, de modo 
que se borra por completo la utilidad de tales parámetros, supuestos 
constantes, con mayor razón, en otros campos de la ingeniería.
Afortunadamente, sin embargo, pese alo expuesto arriba, en 
muchos casos prácticos las distribuciones de esfuerzos que se obtienen 
mediante la aplicación de la Teoría de la Elasticidad, han resultado 
satisfactorias en sus confrontaciones con el experimento. (Por ejem­
plo, véanse las experiencias de Plantema1.) Los desplazamientos, 
empero no resultan tan satisfactorios y, a menudo, se desvían defi­
nitivamente de los observados, por lo que, en Mecánica de Suelos, a 
partir de distribuciones elásticas de esfuerzos, usadas frecuentemen­
te, se prefiere desarrollar métodos propios para el cálculo de defor­
maciones. El ejemplo clásico de tal proceder es el cálculo de asenta­
mientos por consolidación en estratos de arcilla, con la Teoría de 
Terzaghi.
m -6. Cálcalo de expansiones
En muchos problemas prácticos, principalmente en lo que toca 
a aquellos casos en que el suelo es descargado, como en una exca­
vación por ejemplo, es de interés poder determinar las expansiones 
que tienen lugar por la descarga efectuada. Esencialmente el pro­
blema es parecido al del cálculo de asentamientos y, hasta cierto 
punto, con las ideas atrás expuestas se podría desarrollar un proce­
dimiento similar para llegar a la meta propuesta. Sin embargo, la 
expansión presenta algunas peculiaridades dignas de señalarse y es 
conveniente discutir, con base en idealizaciones, algunos conceptos 
que no son evidentes, pero que pueden servir de base para analizar 
con buen criterio un caso real.
Considérese, primeramente, un suelo de superficie horizontal, 
arcilloso y homogéneo, antes de ser descargado.* Para facilidad de 
exposición se supone que el nivel freático coincide con la superficie 
del terreno. El estado de esfuerzos neutrales, efectivos y totales será 
el que se muestra con las líneas punteadas de la fig. III-2. Supóngase
54 CAPITULO III
MECANICA DE SUELOS (II) 55
u P P
FIG . 111-2. Distribución de esfuerzos verticales bajo el fondo de una excavación de
extensión infinita
ahora que se efectúa una excavación instantánea de profundidad h 
y de extensión infinita. La presión total removida será ym h y, con­
secuentemente, el diagrama de presiones totales se reducirá en esa 
cantidad; como el estado de esfuerzos efectivos en la masa del suelo no 
puede cambiar instantáneamente, el agua que satura al suelo 
tomará la descarga, disminuyendo el diagrama de esfuerzos neutra­
les también en la magnitud ym h . Como quiera que la presión original 
del agua a la profundidad h era y wh , la nueva presión a esa pro­
fundidad, después de la excavación instantánea será:
y ,o h — y mh = — y 'm h
o sea que aparece en el agua una tensión igual a la presión efectiva 
a la profundidad h , que en este caso es el peso específico sumergido 
del suelo por dicha profundidad.
Debe notarse que, por ser la excavación de extensión infinita 
y por ser la nueva ley de presiones en el agua lineal y paralela a la 
original, esta nueva distribución de presión es hidrostática y, por lo 
tanto, de equilibrio, por lo que el agua no fluirá en ninguna direc­
ción; por ello, el anterior estado de presiones neutrales, efectivas y 
totales se mantendrá en el tiempo y corresponderá tanto al momento 
inicial de la excavación, como a cualquier tiempo subsecuente. Las 
presiones efectivas, que se mantienen en el suelo, no permitirán, 
en este caso, ninguna expansión.
Al observar el diagrama de presiones en el agua después de la 
excavación (líneas llenas de la fig. III-2) se nota que el nivel al 
cual la presión neutral es nula (nivel freático) corresponde a la 
profundidad.
2U = — /> (3-8)
Yw
Este abatimiento del nivel freático es, teóricamente, inmediato 
a la remoción del material excavado. Así, basta con excavar el sue­
lo a la profundidad h (en extensión infinita) para lograr que el 
nivel freático se abata al valor h + z0 es decir, la profundidad z0 
bajo el fondo de la excavación.
Supóngase ahora (fig. III-3) que en el subsuelo del caso anterior 
existiese un manto arenoso acuífero, en el que se mantenga la presión 
del agua. Si se realiza una excavación instantánea y de extensión 
infinita a la profundidad h, los diagramas de presiones inmediata­
mente después de efectuada la excavación serán idénticos a los del 
análisis anterior, excepto en la zona del acuífero, en donde la presión 
neutral no cambia, pero la presión efectiva se verá disminuida en la 
magnitud f mh. Si d es la profundidad a que se localiza el acuífero, 
la nueva presión efectiva en la frontera superior de éste, inmediata­
mente después de efectuada la excavación (t = 0) será:
;p = Y ’md — Y mh
56 CAPITULO III
FI& . 111-3. Distribución de esfuerzos verticales bajo e l fondo de una excavación de 
extensión infinita, con un manió acuífero
El valor mínimo a que puede llegar la presión efectiva en la 
arena es, evidentemente, cero. En este caso límite se tendrá la máxi­
ma profundidad (h) a que puede llevarse la excavación, sin que la 
presión neutral en el acuífero (subpresión) levante el fondo, pro­
vocando una falla. Esta profundidad será:
hCzit = — d (3-9)y Til
En la fig. III-3 se ha supuesto h < h C IÍt y en este caso, a partir 
del instante de la excavación ( t = 0) se inicia un proceso de expan­
sión tanto en el estrato arcilloso sobre el acuífero, como en la masa de 
arcilla subyacente; este proceso es producido por el flujo del agua 
que entra en la arcilla procedente del acuífero. Este proceso de ex­
pansión aumenta las presiones neutrales en los estratos arcillosos, 
disminuyendo, correspondientemente, las presiones efectivas. En la 
fig. III-3 se han dibujado isócronas correspondientes a t = t, un 
instante intermedio del proceso; el estado final de las presiones en el 
estrato superior de arcilla dependerá de las condiciones de frontera 
en el fondo de la excavación; si se supone que toda el agua que 
aflora en el fondo de la excavación se drena conforme brota, el 
estado final estará dado por las lineas t — oo. En el estrato inferior, 
por ser semi-infinito, el proceso de expansión continuará indefinida­
mente, si bien a velocidad decreciente y el estado final de presio­
nes es el de las líneas t — oo, tal como se muestra en aquella zona 
en la misma fig. III-3.
El proceso de expansión analizado es sólo unidimensional y el 
flujo del agua es vertical. Por lo tanto, los datos obtenidos del 
tramo de descarga de una prueba de consolidación son, en principio, 
aplicables.
El bufamiento del fondo de la excavación en un tiempo t tiene, 
en un caso como el analizado arriba, dos componentes: el bufamien­
to ocurrido en el estrato de arcilla de espesor finito que sobreyace al 
acuífero y el que corresponde a la masa semi-infinita situada debajo. 
En primer lugar se discutirá el proceso de expansión del estrato 
finito.
Un elemento de suelo a la profundidad z estará, antes de efectuar 
la descarga, sujeto a una presión efectiva p[ = y'mZ y pasará, al 
final de la expansión, a una presión p2, que puede determinarse como 
arriba se discutió. Si a una muestra representativa del suelo a esa 
profundidad z se le hace una prueba de consolidación, llegando a una 
carga máxima de pi y descargándola después a partir de ese valor 
hasta p2 como mínimo, en el tramo de descarga de la curva de com­
presibilidad así obtenida podrá determinarse la variación Ae corres­
pondiente al suelo en la descarga efectuada. Procediendo en forma 
análoga para otras profundidades se podrá dibujar la curva 
[Ae/ (1 -f- e0) ] — z, de influencia de los bufamientos, la cual cubre 
un área que, a la escala correspondiente, mide el bufamiento total del 
estrato finito. El bufamiento en el tiempo t podrá determinarse estu­
diando la evolución de la expansión con el tiempo, en la misma 
forma en que previamente se estudió la del asentamiento primario 
(punto X - l l del Volumen I de esta obra).
Los conceptos av, mv y C„ de la Teoría Unidimensional de la 
Consolidación tienen sus correspondientes conceptos análogos a„„ 
mv, y C»s para la descarga, que pueden usarse en los mismos casos
MECANICA DESUELOS (II) 57
58 CAPITULO III
y en forma análoga a la discutida en el Volumen I de esta obra 
(Capítulo X ) y en este mismo capítulo.
En cuanto a la masa semi-infinita colocada bajo el acuífero, su 
bufamiento total será, teóricamente, infinito, por lo que sólo tiene 
sentido práctico calcular el bufamiento para un tiempo finito t. La 
expresión (10-d .l) del Anexo X-d del Volumen I de esta obra, 
permite efectuar ese cálculo, usando ahora el av„ correspondiente a la 
descarga del suelo.
Nótese que el punto clave para que la expansión pueda tener 
lugar está en el hecho de que el acuífero mantenga su presión neutral; 
si, por algún método artificial, esta presión se abate al valor ymh, 
(fig. III-3) el proceso de expansión no podrá tener lugar. Esto se 
puede realizar en la práctica por medio de pozos en que se bombee 
la cantidad adecuada de agua del acuífero; así se logrará convertir 
este caso en otro, análogo al primeramente tratado en esta sección, en 
que no existía ningún acuífero. En el Volumen III de esta obra se 
tratará detalladamente este método, hoy tan difundido en la práctica.
Si en el caso ahora analizado el acuífero fuese un sistema hidráu­
licamente cerrado, es decir, que careciese de una fuente de agua 
(por ejemplo, el caso de una lente arenosa de extensión finita), la 
presión neutral en el estrato arenoso bajará instantáneamente al salir 
el agua y el proceso de expansión no se verificará (en realidad, por 
ser el agua incompresible teóricamente, bastará que salga cualquier 
cantidad de agua, por poca que sea, para aliviar la presión neutral 
en el estrato de arena); este caso se vuelve, así, similar al primero 
tratado en esta sección, en el que se tenia una masa de suelo arcilloso 
homogénea.
En las obras reales no se tienen, naturalmente, excavaciones de 
extensión infinita. Las ideas anteriores, sin embargo, constituyen 
la base del criterio para discutir las excavaciones finitas, más o me­
nos idealizadas. En la fig. III-4 se muestra el caso de una excavación 
finita realizada en un medio arcilloso homogéneo; el nivel freático
se considera a una profundidad
_ . J s . ______ EXCAVACION DE 
EXTENSIÓN FINI IA.
h0 a partir de la superficie. En 
►— este caso, el efecto de la exca­
po rodioi vación no será uniforme en todo
el manto en lo que a disminu­
ción de presiones totales se re- 
s * / \ fiere, sino que esta disminución
f I ^ habrá de ser estimada en los di-
f \ ferentes puntos usando la Teo­
ría de Boussinesq, por ejemplo. 
Fimo pío funda En una primera aproximación
FIG. II1-4. E sc u e la del flujo de aguo Podrá af™ r s e q u e lo que dis-
hacia una excavación de ex- minuye la presión neutral en
tensión finita cada punto de la masa será lo
que disminuya la presión total (recuérdese el primero de los dos 
casos de excavación infinita arriba tratados); por ello, la presión 
neutral disminuirá más en las zonas centrales de la excavación y 
en los niveles próximos al fondo y estas disminuciones serán cada 
vez menores según se alcancen los bordes de la excavación (o fuera 
de ella) y según se profundice en la masa de arcilla homogénea. 
Esto da origen a un flujo de agua del exterior hacia el centro y de 
las zonas profundas hacia el fondo de la excavación (fig. III-4).
La masa de suelo bajo la excavación se expandirá, por lo tanto, 
más en el centro del fondo de ésta y la expansión irá disminuyendo 
hacia la periferia. Según ya se dijo, por lo general la permeabilidad 
es mayor en la dirección horizontal que en la vertical en depósitos 
naturales de arcilla, por lo que el flujo radial hacia la excavación 
influye más en la expansión que el vertical, proveniente de zonas 
profundas. Ha de hacerse notar en forma muy predominante que 
el simple hecho de efectuar la excavación en la masa arcillosa dismi­
nuyó las presiones neutrales bajo ella y si se llama nivel freático 
al lugar geométrico de los puntos en que la presión neutral es nula 
(con origen de presión en la atmosférica), este nivel se habrá abati­
do por sí mismo aún más abajo que el fondo de la excavación al 
efectuar ésta.
Si bajo el fondo de la excavación hay estratos permeables de
Sran extensión que funcionen como abastecimientos de agua, éstos arán que el proceso de expansión sea mucho más rápido (revísense 
las ideas correspondientes al segundo caso discutido de excavación 
infinita). Para reducir a un mínimo la velocidad de expansión en el 
fondo de una excavación se ha recurrido en la práctica a lo que 
resulta obvio tras haber discutido los casos de excavación de exten­
sión infinita; en primer lugar se han usado tablestacados más o menos 
profundos en los bordes de la excavación, lo cual impide el flujo 
radial y permite sólo el vertical, mucho más lento; en segundo lugar 
se ha recurrido al uso de pozos de bombeo y otros métodos (electrós- 
mosis, por ejemplo) para abatir las presiones neutrales en puntos 
específicos y en las zonas próximas a ellos, a fin de constituir una 
verdadera pantalla de depresión en torno a la excavación que inter­
cepte el flujo horizontal. Como quiera que estas excavaciones nor­
malmente son provisionales y se construyen para existir durante un 
tiempo relativamente breve, se logra así que en ese tiempo la expan­
sión no alcance valores de consideración.
El hecho de que en suelos permeables, como las arenas y las gra­
vas, se tenga que recurrir literalmente a abatir el nivel freático para 
poder efectuar una excavación en seco, ha hecho pensar frecuen­
temente que esto debe lograrse también en arcillas, sin tomar en 
cuenta que, en estos materiales, el nivel freático baja por sí mismo 
cuando se excava.
MECANICA DE SUELOS (II) 59
Las excavaciones reales no son instantáneas, sino que se efectúan 
en un lapso de tiempo. Esto no invalida los razonamientos anteriores; 
lo que sucede es que los abatimientos de presión neutral ocurrirán 
según la descarga se efectúa.
ANEXO Ill a 
Métodos elásticos para el cálculo de asentamientos
Estos métodos tienen una aplicación m'uy limitada en la práctica 
de la Mecánica de Suelos, por los motivos expuestos en el cuerpo de 
este capítulo. Una de sus aplicaciones podría ser el cálculo de los 
asentamientos instantáneos que ocurren al actuar una carga en un 
suelo que pudiera considerarse homogéneo, elástico e isótropo. Entre 
estos suelos se cuentan por ejemplo algunas arcillas preconsolidadas 
o normalmente consolidadas cuando el espesor del estrato no es muy 
grande y también aquellos materiales arcillosos cementados que prác­
ticamente no se consolidan, debido a la acción del cementante.
En materiales granulares estos métodos no son aplicables, por 
no cumplirse definitivamente las hipótesis aceptadas, sobre todo las 
referentes a las constantes elásticas. En arenas, lo que pudiera 
considerarse el módulo de elasticidad, aumenta con el confinamiento, 
es decir, con la profundidad, y crece también en las zonas centrales 
de las áreas cargadas, por efecto análogo. Análogamente, lo que 
pudiera considerarse la relación de Poisson varía con la compacidad 
de la arena y con la magnitud y el tipo de los esfuerzos aplicados, 
fundamentalmente.
III-a.l. Asentamiento elástico bajo una carga concentrada
Si se tiene una carga vertical concentrada actuando en la fron­
tera de un medio elástico semi-infinito, se ha tratado de estimar en 
ocasiones el asentamiento bajo la carga, siguiendo un método aproxi­
mado basado en la fórmula de Boussinesq para el esfuerzo normal 
vertical ( fórmula 2-1). El análisis que sigue supone que el efecto 
de los esfuerzos restantes es despreciable.
Se sabe que:
3 P z3
» - = 2 ñW<2' »
Para puntos bajo la carga R = z, por lo tanto:
__ 3 P 1
~ 2% z*
Aplicando la Ley de Hooke en su forma más simple, correspon­
diente a un estado monoaxial de esfuerzos, se tiene :
60 CAPITULO III
dp = dz
En donde dp representa la deformación vertical del elemento dz 
a la profundidad z bajo la carga. Integrando la expresión anterior 
entre z e oo ( suponiendo estrato de profundidad infinita)MECANICA DE SUELOS (II) 61
3P [ d z _ 3P T 1 I o
2tiB \ z2 2■kE |_ z J
J s
• = s t b t < 3 - a l )
Nótese que la integración fue hecha a partir del nivel z — z hacia 
abajo, para evitar la singularidad que presenta la fórmula de 
Boussinesq inmediatamente bajo la carga.
La fórmula obtenida por Boussinesq para el desplazamiento ver­
tical de un punto a la profundidad z y radio vector R es:
P = 2 Í F 1̂ + ^ [ 2 1̂ ~ ^ + ( / ? ) 1 ~R (3' a-2)
donde p es la relación de Poisson.
Para puntos bajo la carga, la ec. 3-a.2 se reduce a
P ~ 2kÉ z ^ + — 2P-) (3-a.3)
Debe notarse que la ec. 3-a.l coincide con la 3-a.3 para p = 0.5. 
Todas las fórmulas anteriores dan el asentamiento elástico bajo 
la carga, no debido a consolidación.
m -a.2. Asentamientos elásticos bajo cargas distribuidas
Se considera en primer lugar el caso de una superficie circular 
uniformemente cargada (flexible), en la frontera superior de un 
medio semi-infinito, elástico, homogéneo e isótropo. D será el diáme­
tro de la superficie y p la magnitud de la presión superficial aplicada.
La deformación vertical bajo el centro del área cargada está dada 
por:
S c = d - p 2) | - D (3-8.4)
y en los puntos de la periferia por:
8P = — ( l - p 2) £ D (3-a.5)
7T E
El asentamiento promedio del área circular resulta igual a:
5" = ¿ ( 1 - H 2) J - D (3-a.6)
En el caso de una placa circular rígida, con carga total P, la carga 
media por unidad de área resulta
P
pm - w
Donde R es el radio de la placa. El asentamiento bajo cualquier 
punto de la placa está dado por:
= - p 2) ^ D (3 -a .7 )
donde D = 2R.
Para cargas distribuidas sobre superficie rectangular flexible, 
Steinbrenner 2 resolvió el problema del cálculo de asentamientos bajo 
una esquina del rectángulo cargado. El asentamiento elástico entre la 
superficie y la profundidad z queda dado por:
p, = -jjr (1 - p2)[~Z, ln B-+ S 4-£ h b + v l 2 + b 2 +z2)
62 CAPITULO III
+ S l n - A ± V H Z ^ Z I Z . | +
B (L + y/L2 + B2 + z2) - ]
p LB
+ a g H - 1 - W * “ » < » + > + <3' a'8)
Lo cual puede escribirse:
?z ~ ~ + ^ ~ l1 ~ 2P2)^*] = (3-a.9)
donde F t y E 2 son funciones de z/B y L/B, con z profundidad en el 
suelo, B ancho y L longitud del cimiento. En la fig. III-a.l .a, aparece 
una gráfica que proporciona los valores de F 1y F 2 y en la parte b de 
la misma figura, una gráfica que da directamente el valor de Eji, 
para el caso particular de p = 1 /3.
Si el suelo es homogéneo en toda la masa, el asentamiento elás­
tico total podrá obtenerse con las fórmulas anteriores, haciendo 
z = oo. Si existe una estratificación con cotas zu z2, etc. y módulos
(q)
« i 3 0 S 3 H 0 1 S A
(D)
(-----) Á. (-----) 'J 30 S3a03»A
m|í
D
de elasticidad Ei, E 2. etc., se podrá hallar el asentamiento total por 
suma de los parciales de cada capa. El método de disposición de los 
cálculos se reputa como obvio. El procedimiento tiene el gran defecto 
de no tomar en cuenta la influencia de las distintas rigideces en la 
distribución de los esfuerzos. En la ref. 3 aparece un ábaco modifi­
cado de los resultados de Steinbrenner y de maaejo aún más sen­
cillo (gráfico de López Nieto).
MECANICA DE SUELOS (II) 63
REFEREN C IA S
1. Plantema, G. — Soil Pressure measurements during loading tests on a tunway
— Proc. Zurich (3-15).
2. Steinbrenner — Tafeln zur Setzungsberechnung — Die strasse"— 1934.
3. Jiménez Salas, J. A. — Mecánica del Suelo. Apéndice 14 — Editorial Dossat
— 1954.
4. Juárez Badillo, E. — Notas no publicadas para clases — Se cubren las ideas 
expuestas en todo el párrafo III-6 — México, D. F .— 1961.
BIBLIO GRAFIA
J.Theoretical Soil Mechantes—K. Terzaghi—John Wiley and Sons—1956.
^ S oil Mechanics, Foundations and Earth Structurcs — G. P. Tschebotarioff — 
, McGraw-Hill Book Co.— 1957.
 ̂ .Mecánica del Suelo—J. A. Jiménez Salas—Ed. Dossat—1954.
* Traité de Mecanique des Sois — J. Caquot y J. Kerisel — Gauthier-Villars— 1956. 
✓ Meccanica del Terreno e Stabilitá delle Pondazioni — C. Cestelli-Guidi — Ulrico 
Hoepli Ed. — 1951.
PRESION DE TIERRAS SOBRE ELEMENTOS DE SOPORTE
C A P IT U L O IV
IV-1. Introducción
En este capítulo se trata el importante tema de la determinación 
de las presiones que la tierra ejerce sobre elementos de retención en­
cargados de soportarla. En la actual ingeniería se usan generalmente 
dos tipos de elementos de soporte: los rígidos y los flexibles. Los 
primeros serán denominados aquí genéricamente muros y los se­
gundos tablestacas. Los muros se construyen generalmente de mani­
postería o de concreto, simple o reforzado. Los tablestacas suelen 
ser de acero. Aparte, se dará atención al estudio de ademes de 
madera o metálicos en cortes y excavaciones.
Un muro diseñado con el propósito de mantener una diferencia 
en los niveles del suelo de sus dos lados se llama de retención. La 
tierra que produce el mayor nivel se llama relleno y es el elemento 
generador de presión. Este tipo de muros constituye un muy impor­
tante grupo de elementos de soporte. En la fig. IV-1 se ilustra la 
nomenclatura usual en muros de retención y los principales usos de 
éstos.
El primer intento para calcular la presión de tierras sobre ele­
mentos de soporte con metodología científica fue realizado por 
Ch. A. Coulomb,1 sobre la hipótesis de que la tierra es incompresi­
ble, que su deformación antes de la falla es despreciable y que 
la falla ocurre a lo largo de superficies planas de deslizamiento: la 
resistencia al esfuerzo cortante del suelo fue, naturalmente, inter­
pretada por Coulomb por medio de su propia ecuación
s = c + cr tg <¿>
Las teorías y métodos de cálculo expuestos por Coulomb atraje­
ron gran atención de parte de todos los ingenieros cuyas prácticas, 
hasta entonces ciegamente empíricas, frecuentemente culminaban en 
fracasos, y desde entonces su influencia ha sido notoria en el campo 
teórico inclusive hasta nuestros días. De hecho puede decirse que 
desde la época en que las ideas de Coulomb fueron publicadas las 
concepciones de los ingenieros sobre los fenómenos de presión de 
tierra no sufrieron variación apreciable, hasta hace sólo algunos años, 
en que los avances generales de la Mecánica de Suelos introdujeron
6—Mecánica de Suelos II
65
66 CAPITULO IV
NO M ENCLATU RA EN MUROS DE R E T E N C IO N . R R O C A R R IL .
Evpnldo Relleno
SECCIO N EN BALCO N PARA UN CAMINO O UN F E
ALM ACEN AM IEN TO DE M A TER IA LES ORANULARES
MURO DE R E T E N C IO N PARA AO UAY T IE R R A . MURO SEPA RAD O R EN L A TRAN SICIO N E N T R E 2
SE C C IO N E S DE P R E S A .
FIG. IV-1. Nomenclatura y usos comunes de muros de retención
ideas nuevas en este campo específico. Sin embargo es un hecho his­
tórico aleccionador el que las ideas de Coulomb, atractivas teórica­
mente, no condujesen en la práctica ingenieril a técnicas que aven­
tajasen a sus predecesoras, pues entre teoría y realidad se marcó un
claro divorcio. El problema estribó en una cuestión de interpretación 
de las teorías a la luz de la práctica; en efecto, durante años se 
aplicaron las ideas de Coulomb sobre la base de que el valor del 
ángulo <¡¡ era, en cualquier caso y material, el ángulo de reposo 
del suelo.
Posiblemente el más importante responsable de la larga carrera 
del concepto de ángulo de reposo en estas cuestiones de Mecánica de 
Suelos lo fue W . J. M. Rankine2 y, aunque Collin y Darwin3’ 4 7 5 
demostraron experimentalmente que, por lo*menos en algunos casos, 
el ángulo de fricción interna de un suelo podía diferir tremendamente 
del de reposo, el uso de este último en la ecuación de resistencia con­
tinuó por largo tiempo, debido a la autoridad del citado Rankine.
Como resultado de investigaciones más recientes se puso de mani­
fiesto la falacia inherente al concepto ángulo de reposo. Así en arenas 
colocadas a volteo, el ángulo de reposo pudiera coincidir más o menos 
con el 4> correspondiente al estado suelto, pero diferirá seriamente del 
<f> de una arena compacta. En arcillas, uncriterio ciego pudiera llevar 
a decir, a la vista de un pequeño corte casi vertical en equilibrio, que 
<j>, interpretado como ángulo de reposo, tuviese valores cercanos a los 
90°, lo cual, a todas luces, conducirá a resultados absolutamente erró­
neos en cualquier aplicación práctica en que la resistencia de la arcilla 
se interprete a partir de tal dato. Huelga decir que la interpretación 
que hoy se da al concepto ángulo de fricción interna, <¡>, coincide 
con la expuesta en el capitulo correspondiente a resistencia al es­
fuerzo cortante en suelos, incluido en el primer volumen de esta 
obra.
Con la interpretación actual en lo referente a los parámetros de 
resistencia, muchas de las teorías de presión de tierra clásicas perma­
necen hoy en la aplicación de la Mecánica de Suelos a los problemas 
prácticos. Así es frecuente en la actualidad ver estructuras de soporte 
que han sido diseñadas a partir de las teorías expuestas por Rankine 
y Coulomb. Tales teorías, según tendrá ocasión de discutirse, distan 
de ser óptimas y están afectadas de hipótesis que están lejos de repre­
sentar un ideal de perfección, en lo que se refiere al acercamiento con 
la realidad; pero, en muchos casos, son las de más fácil aplicación 
y su manejo, en principio, resulta animador para los ingenieros, 
en el sentido de que parecen no exigir un criterio de especialista muy 
desarrollado. Esta sensación, común por otra parte a todas las teorías 
ingenieriles cuyo desarrollo matemático sea más o menos completo, 
es en muchos casos engañosa y representa un peligro práctico. Todo 
indica que no está lejano el día en que el crecimiento de la Mecánica 
de Suelos permita el abandono de las Teorías de Rankine o de Cou­
lomb y su substitución por otras teóricamente más satisfactorias; sin 
embargo, tal día probablemente aún no ha llegado y la investigación 
copiosa que hoy se realiza sobre el tema aún no ha producido una
MECANICA DE SUELOS (II) 67
teoría o teorías de uso universal y de desarrollo académicamente ade­
cuado para el nivel de la enseñanza. Por ello, en lo que sigue se 
encontrarán muchas ideas y estudios clásicos, aunque se procurará 
dar alguna orientación respecto a la dirección de los avances del 
momento.
68 CAPITULO IV
IV-2. Fuerzas que intervienen en el cálculo de un muro de 
retención
En general, las fuerzas actuantes contra un muro de retención 
en el cual la sección estructural se mantenga constante a lo largo de 
un trecho considerable, pueden calcularse para un segmento uni­
tario de muro en la dirección normal al plano del papel, generalmente 
un metro. De hecho, cuando en lo que sigue no se mencione la lon­
gitud de muro sujeta a análisis, se entenderá que se trata de 1 m.
Cuando se analice un mu­
ro acartelado o con machones 
o contra-fuertes, generalmen­
te se refieren los cálculos al 
segmento de muro compren­
dido entre dos planos norma­
les trazados por el centro de 
los mencionados elementos.
A continuación se anali­
zan las diferentes fuerzas que 
deben tomarse en cuenta en 
el cálculo de un muro que, por 
simplicidad, se supone trape­
cial, fig. IV-2.
Estas fuerzas son:
FIG. IV-2. Esquema que muestra las fuena, prín- a ) E J p e so p r o p i o d e ] 
cipotes que actúan sobre un muro de r t*
retención m u ro .
Esta fuerza, que actúa en 
el centro de gravedad de la sección, puede calcularse cómodamente 
subdividiendo dicha sección en áreas parciales de cálculo sencillo
b) La presión del relleno contra el respaldo del muro, con su 
correspondiente intensidad y distribución.
c) La componente normal de las presiones en la cimentación, 
(fig. IV -2).
Usualmente se considera a la presión en la cimentación como 
Unealmente distribuida a lo largo de la línea AC, dando lugar a un
diagrama trapecial. La resultante vertical de estas presiones {ZV) 
actúa en el centro de gravedad de tal diagrama.
d) La componente horizontal de las presiones en la cimentación.
La resultante de estos efectos horizontales se representa en la
fig. IV-2 como ZH. La distribución de estas presiones horizontales, 
no dibujada en la mencionada figura, se supone análoga a la de las 
presiones normales en arenas y uniforme en suelos plásticos.
e) La presión de la tierra contra el frente del muro.
El nivel de desplante de un muro de retención debe colocarse 
bajo la zona de influencia de las heladas y a nivel que garantice la 
adecuada capacidad de carga del terreno. Así, la tierra colocada en 
el frente del muro ejerce una resistencia, indicada en la figura mul- 
ticitada por E ’\ sin embargo, esta fuerza suele omitirse en los cálculos 
en algunas ocasiones, a causa de ciertas incertidumbres que pudieran 
existir en lo relativo a su magnitud en un caso práctico.
f) Fuerzas de puente.
Se incluye aquí el conjunto de fuerzas actuantes sobre el muro, 
si éste forma parte, por ejemplo, de un estribo de puente. El peso 
propio de los elementos de puente, las fuerzas de frenaje, centrífu­
gas para puente en curva, etc., deben ser consideradas.
g) Las sobrecargas actuantes sobre el relleno, usualmente unifor­
memente distribuidas o lineales.
h) Las fuerzas de filtración y otras debidas al agua.
Si se permite la acumulación, de agua tras el muro generará pre­
siones hidrostáticas sobre él, independientes de la calidad del relle­
no, pero en este caso, por otra parte, se reduce la presión debida a la 
tierra por efecto del peso específico sumergido. Sin embargo, esta 
condición debe siempre ser evitada, instalando en el muro el drenaje 
adecuado que garantice la eliminación eficiente de las aguas. Si en 
un relleno arcilloso existen grietas cercanas al muro y el agua las 
llena, podrá ejercer, en la correspondiente profundidad, empujes 
hidróstáticos contra el muro. Si a través del relleno se establece 
un flujo, por ejemplo por lluvia, la condición de presiones contra el 
muro puede hacerse más desfavorable, por lo que será preciso analizar 
la condición de flujo, tomando en cuenta la presencia de fuerzas 
de filtración.
i) Las subpresiones.
Cuando el drenaje bajo el muro no es correcto o ha sufrido 
desperfecto, puede almacenarse agua en aquella zona. Si la cimenta­
ción es impermeable, el agua puede fluir a lo largo de ella emergiendo 
a la superficie del suelo en el frente del muro; en estas condiciones 
puede haber riesgo de tubificación. En cimentaciones permeables, el
MECANICA DE SUELOS (II) 69
agua que sale a la superficie puede ser poca, pero en todo caso se 
producirán presiones de agua contra los materiales constituyentes del 
muro (subpresiones); la distribución de estas subpresiones aparece 
en la fig. IV-2.
j) La vibración.
Las vibraciones producidas por el paso del tráfico sobre caminos 
o ferrocarriles, máquinas u otras causas, pueden incrementar las 
presiones contra muros cercanos. Ello no obstante no es frecuente 
introducir estos efectos en los cálculos comunes por lo pequeños. A 
veces puede convenir tomar en cuenta la vibración haciendo 8 = 0.
k) El impacto de fuerzas.
Ciertas causas externas, tales como movimiento de vehículos y 
otras pueden producir impacto sobre el relleno de un muro. Estos 
efectos tienden a ser rápidamente amortiguados por el propio relleno 
y no suelen tomarse en cuenta.
I) Los temblores.
El efecto de los movimientos sísmicos puede ser el aumentar 
momentáneamente la presión lateral contra un muro. El efecto no 
suele ser de gran consideración, pero en zonas críticas puede tomarse 
en cuenta incrementando los empujes calculados en un 10%.
m) La acción de las heladas.
Cuando el drenaje de los rellenos no es adecuado, la parte 
superior del mismo puede saturarse y en condiciones climáticas apro­
piadas el agua puede helarse. Esto puede producir expansiones de 
cierta importancia en el relleno sobre el muro y este efecto pue­
de hacerse notable cuando se repite frecuentemente. Estos efectos se 
evitan con drenaje apropiado.
n) Las expansiones debidas a cambios de humedad en el relleno.
Estos problemas son frecuentes en rellenos arcillosos en los quela expansión produce un aumento en las presiones laterales sobre el 
muro; este aumento de las presiones está limitado por las condiciones 
de fluencia del muro.
Cuando el suelo se seca, se contrae y la presión disminuye corres­
pondientemente. La reiteración de estos procesos puede ser perjudi­
cial. El efecto suele presentarse más intensamente en la superficie 
del relleno, decreciendo con la profundidad, de modo que rara vez 
se manifiesta abajo (¿le 1.5 m aproximadamente, bajo la superficie 
del relleno.
No hay ningún método seguro para calcular los incrementos de 
presión producidos por estos fenómenos, que pueden evitarse en gran 
parte con estratos horizontales de material grueso, que actúe como 
dren.
70 CAPITULO IV
MECANICA DE SUELOS (II) 71
En este capítulo se estudiará únicamente el modo de calcular 
los empujes laterales que puedan ejercerse entre el relleno y el ele­
mento de soporte, sin considerar otras fuerzas.
IV-3. Estados “plásticos” de equilibrio. Teoría de Rankine 
en suelos friccionantes
Considérese un elemento de suelo de altura dz situado a una 
profundidad z en el interior de un semiespacio de suelo en “reposo” 
(es decir sin que se permita ningún desplazamiento a partir de un 
estado natural, que es lo que en lo sucesivo se entendrá por "reposo” 
en este capítulo); sea la frontera del semiespacio horizontal ( fig. 
IV -3). En tales condiciones la presión vertical efectiva actuante sobre 
la estructura del elemento es:
Pv — y z (4-1;
Donde y es el peso específico correspondiente al estado en que 
se encuentre el medio.
Bajo la presión vertical 
actuante el elemento de suelo 
se presiona lateralmente ori­
ginándose así un esfuerzo ho­
rizontal, ph, que, con base en 
la experiencia, se ha acepta­
do como directamente pro­
porcional a pv.
j —
dz
+ —
•ph= >ioyí
FIG. IV-3. Esfuenos actuantes sobre un elemen­
to de suelo en "reposo"
pn = K0y z (4-2)
La constante de propor­
cionalidad entre pv = y z y 
Ph se denomina coeficiente de presión de tierra en reposo y sus 
valores han sido obtenidos experimentalmente en laboratorio y en el 
campo, observándose, que, para suelos granulares sin finos, oscilá 
entre 0.4 y 0.8. El primer valor corresponde a arenas sueltas y el 
segundo a arenas intensamente apisonadas; una arena natural com­
pacta suele tener un K0 del orden de 0.5.
Si se representa en el diagrama de Mohr el circulo correspon­
diente al estado de esfuerzos descrito para el elemento mencionado 
(fig. IV-4) se obtendrá un círculo tal como el 1, que evidentemente 
no es de falla.
A partir de estas condiciones de esfuerzo en “reposo” se puede 
llegar a la falla por dos caminos de interés práctico. El primero con­
sistirá en disminuir el esfuerzo horizontal, manteniendo el vertical 
constante; se llega así al círculo 2 de falla, con un esfuerzo principal 
menor c3 = KA y z, donde KA se denomina coeficiente de presión acti-
72 CAPITULO IV
va de tierras; nótese que este esfuerzo tr3 corresponde en este círculo 
a la presión horizontal, pues, por hipótesis, el esfuerzo principal 
mayor correspondiente es yz o presión vertical debida al peso del 
suelo sobreyaciente sobre el elemento. El segundo camino para llevar 
a la falla al elemento en estudio consistirá en tomar al esfuerzo yz 
como el principal menor, aumentando por consiguiente ahora la pre­
sión horizontal hasta llegar a un valor Kp y z, tal que el círculo resul­
tante sea tangente a la línea de falla. El valor Kp recibe el nombre 
de coeficiente de presión pasiva de tierras.
Las dos posibilidades anteriores son las únicas de interés práctico 
para llegar a estados de falla a partir del de "reposo”, puesto que 
respetan el valor yz de la presión vertical, que es una condición 
natural del problema, por lo menos en un primer análisis simplificado.
De acuerdo con Rankine se dirá que un suelo está en estado 
plástico cuando se encuentra en estado de falla incipiente generali­
zado. Asi, de acuerdo con lo anterior, caben dos estados plásticos 
prácticos. El que se tiene cuando el esfuerzo horizontal alcanza el 
valor minimo Kayz y el que ocurre cuando dicha presión llega al valor 
máximo Kpyz. Estos estados se denominan respectivamente activo y 
pasivo.
En el estado plástico activo, (fig. IV-4) evidentemente se tiene:
* (4-2)
pv o-i N*
(ver fórmula 11-23, en el Volumen I de esta obra).
Se ve entonces que
K‘ = W = w ( « ° - í ) <4-3>
Expresión que da el valor del coeficiente activo de presión de 
tierras.
Análogamente, en el estado plástico pasivo se tendrá:
— = — = t¿ - (4-4)
p v 0-3 N<p
(ver fórmula 11-22, en el Volumen I de esta obra). Y resulta:
Kv = N* = tg2 («5° + £ } (4-5)
para el coeficiente pasivo de presión de tierras.
Los dos casos de estados plásticos anteriores parecen tener una
correspondencia con la realidad ingenieril que los hace de interés 
práctico.
Considérese un muro cuyo relleno se supone originalmente en 
“reposo”. Dicho muro podrá físicamente ser llevado a la falla de dos 
maneras. Una por empuje del relleno, cediendo la estructura hacia su 
frente: otra, por acción de algún empuje exterior, incrustándose el 
muro en el relleno y deformándose hacia su espalda.
Rankine pensó que, bajo el empuje del relleno, el muro cede y 
se desplaza, disminuyendo la presión del relleno a valores abajo del 
correspondiente al “reposo”; esto haría que la masa de suelo desarro­
lle su capacidad de autosustentación, por medio de los esfuerzos 
cortantes generados. Si el muro cede lo suficiente, la presión horizon­
tal puede llegar a ser la activa, valor mínimo que no puede disminuir­
se aun cuando el muro ceda más a partir del instante de su aparición.
Así, podría razonarse que, con tal de proyectar un muro para 
resistir la presión activa, se garantizaría su estabilidad, siempre y 
cuando el muro pudiese ceder lo suficiente como para que se desarro­
lle, en última instancia, dicha presión activa.
Análogamente se podría razonar para el caso en que el muro 
se desplace hacia su respaldo bajo una fuerza exterior suficiente 
como para que llegue a desarrollarse la presión pasiva, en cuyo caso 
podrá diseñarse la estructura contando con la máxima resistencia del 
suelo.
Aplicando conceptos expuestos en el Capítulo XI del Volumen 
I de esta obra, puede llegar a determinarse la inclinación de las 1ín<>a«; 
de fluencia de una masa de suelo sujeta a cualquiera de los dos 
estados “plásticos" aquí analizados. En efecto, según se vio, en un 
elemento de suelo sujeto a un esfuerzo principal mayor vertical
MECANICA DE SUELOS (II) 73
74 CAPITULO IV
o-! y a uno menor horizontal cr3, la línea de fluencia se presenta a 
un ángulo de 45° + <j>/2 respecto a la dirección del esfuerzo principal 
menor, supuesta válida la hipótesis de falla de Mohr-Coulomb. En 
la fig. IV-5 se muestran las líneas de fluencia obtenidas en cada 
caso; la obtención se explica en los croquis que aparecen en la parte 
superior.
(a)
i « i * p .
■yp»
(b)
1 »•>-
A C T IV O
FIG. IV-5. Lineas de fluencia en los estados de equilibrio "plástico"
Debe notarse cuidadosamente que las fórmulas o ideas expuestas 
valen sólo para el caso en que la superficie del relleno de tierra sea 
horizontal y el paramento del muro vertical. Para superficie de relle­
no en plano inclinado se analizan los estados de equilibrio “plástico” 
en el Anexo IV-a.
IV-4. Fórmulas para los empujes en suelos friccionantes. 
Hipótesis para su aplicación
Si las expresiones para las presiones activa y pasiva, dentro de la 
Teoría de Rankine, obtenidas para una profundidad z, se integran 
a lo largo de la altura H de un muro de retención, podrán obtenerse 
los empujes totales correspondientes. El procedimiento implica la 
suposición de que los estados plásticos respectivos se han desarrollado
totalmente en toda la masa del relleno, es decir, que el muro se ha 
deformado lo necesario.
Así, para el estado plástico activo podrá escribirse, con base en 
la ec. 4-2:
P » Y Z t A £L\
P* = W = tt ; (4 ' 61
Expresión que da lapresión horizontal actuante sobre el muro 
a la profundidad z, para el caso de relleno con superficie horizontal.
En un elemento dz del respaldo del muro, a la profundidad z, 
obra el empuje.
dE* = ~W ^zdz
Supuesta una dimensión unitaria normal al papel; por lo tanto 
en la altura H el empuje total será:
a = 7 ^ J > = 2 7 T ’ 'H- = 4 - JC .TH . (4.7)
La expresión 4-7 da el empuje total activo ejercido por un 
relleno de superficie horizontal contra un muro de respaldo vertical.
En forma análoga, para el estado plástico pasivo, a partir de la 
fórmula 4-4 se llega al valor del empuje pasivo total:
E P = ¿N tY H * = l- K PyH* (4-8)
Válida también para muro de respaldo vertical y superficie de 
relleno horizontal.
Para efectos de cálculo de la estabilidad del muro, considerado 
como un elemento rígido, el volumen de presiones puede considerarse 
substituido por sendas fuerzas concentradas, cuya magnitud queda 
dada por E A y E P; dada la distribución lineal que para ambas presio­
nes se tiene en la Teoría de Rankine, se sigue que el punto de apli­
cación de tales fuerzas está a un tercio de la altura del muro contado 
a partir de la base.
Desde luego ambas fuerzas resultan horizontales en el caso hasta 
aquí tratado.
En el caso de que la superficie del relleno sea un plano inclinado 
a un ángulo ¡3 con la horizontal, las presiones anotadas para los 
casos activo y pasivo en el Anexo IV-a, permiten, por un proceso 
de integración análogo al arriba efectuado, llegar a las expresio­
nes de los empujes activo y pasivo. Estas expresiones son:
MECANICA DE SUELOS (II) 75
c 1 7 j., f „ cosS — V c o s2S — cos-<¿>“] . .
£ a = t t ^ 1 C O S 0 r Z. (4 -9 )
2 |_ cos0 + y c o s -0 — cos2<£j
E . = ± . , f f fcosg j g g I (4-10)
¿ L COS0 — V COS23 — COS~<jjJ
E n vista de que las distribuciones de presión también son lineales 
y su dirección es paralela a la superficie del relleno, las resultantes 
serán paralelas a la superficie del relleno y estarán aplicadas a un 
tercio de la altura del muro, a partir de su base.
N ótese que para 0 = 0 las fórmulas 4 -9 y 4 -1 0 se reducen a
las (4 -7 ) y (4 -8 ) , respectivamente.
U n caso práctico de interés es el que resulta de considerar la 
superficie del relleno, supuesta horizontal, sujeta a una sobrecarga 
uniformemeñte distribuida, de valor q. Este caso puede analizarse, 
para el estado plástico activo, como sigue:
Se vio que, en este caso:
0"S _ 1 JV"
a i. N<p
Al obrar la sobrecarga q, el esfuerzo vertical se transforma en: 
ffi* = ffi + q
y el horizontal en:
= t r 3 -t- A<t3
por lo tanto, podrá ponerse
1 _ ffs + Acr3
ffi + q
de donde
ffs + Ao-3 = 4 j - + - j r rN# N<p
Por comparación con el caso de sobrecarga nula se deduce de 
inmediato:
A ph = Ao-3 = = K Áq ( 4 -1 1)
O sea que, para el caso activo, el efecto de la sobrecarga unifor­
memente distribuida es simplemente el aumentar uniformemente la 
presión actuante contra el muro en el valor dado por la ec. 4-11,
CAPITULO IV
De un modo totalmente análogo puede verse que para el caso
pasivo el efecto de la sobrecarga uniforme es aumentar la presión
en el valor:
A ph = A c i = qNf = KPq (4 -12)
Debe notarse cuidadosamente que las fórmulas 4-11 y 4-12 
tienen su campo de aplicación restringido a relleno con superficie ho­
rizontal. Para el caso de relleno inclinado podrán obtenerse expre­
siones análogas, a partir de las fórmulas que para las presiones 
correspondientes aparecen en el Anexo IV-a.
Otro caso de interés práctico es aquél que se tiene cuando parte 
del relleno horizontal arenoso tras el muro está en condición sumer­
gida. Si H es la altura total del muro y H Xt contada a partir de la 
corona, es la altura de arena no sumergida, (fig. IV -6), la presión 
vertical del relleno en un punto bajo el nivel del agua será:
pv — yHx + z' Y (4-13)
MECANICA DE SUELOS (II) 77
F I6 . IV-6, Presiones activas de un relleno arenoso parcialmente sumergido y sujeto a
sobrecarga uniformemente distribuida
Así, la presión ejercida horizontalmente por la arena bajo el nivel 
freático será:
* = N 7 = w r ( 4 ' 1 4 )
Además, en este caso, sobre el muro y bajo el nivel freático se 
ejercerá la presión hidrostática:
Pw — yw z' (4-15)
El empuje total activo estará dado, por consiguiente, por:
Eá = + 7 f í rH lH * + + 2 ^ H l <4' 16)
78 CAPITULO IV
Nótese que, a pesar de que el hecho de que la arena esté sumer­
gida hace disminuir el valor de y a T> empuje sobre el muro 
aumenta grandemente en este caso, pues el efecto hidrostático del 
agua no está afectado por ningún término reductor del tipo \/N$.
Fórmulas análogas a las 4-13 a 4-16 pueden obtenerse para el 
caso pasivo y para los casos de relleno no horizontal.
Si, sobre los efectos ahora considerados, existe la sobrecarga uni­
forme q, su influencia deberá superponerse. Este es el caso que apa­
rece dibujado en la fig. IV-6.
Todas las fórmulas anteriores se aplican frecuentemente en la 
práctica de la construcción de muros de retención de mampostería o 
de concreto reforzado, por lo cual es de fundamental importancia 
recapitular las condiciones de su aplicabilidad. Estas son, por supues­
to, las hipótesis de que está afectada la Teoría de Rankine y se 
destacan a continuación:
1? Los estados “plásticos”, tanto activo como pasivo, se desarro­
llan por completo en toda la masa del suelo. Ya se comentó 
que esta hipótesis se verifica razonablemente en los muros 
reales, que pueden deformarse lo suficiente para ello, siempre 
y cuando el proyectista no tome precauciones especiales para 
restringir los movimientos de la estructura como cuerpo rígido. 
El tipo de movimiento necesario para que pueda desarrollarse 
un estado "plástico” es un ligero giro del muro en torno a su 
base, en el sentido conveniente.
2" Cuando la superficie del relleno es horizontal y si el respaldo 
del muro es vertical, como implícitamente se ha considerado 
hasta ahora, el muro debe ser “liso”, es decir, el coeficiente de 
fricción entre él y el suelo de relleno debe ser nulo. Cuando 
la superficie del relleno es un plano inclinado a un ángulo ¡3 
con la horizontal, ha de admitirse que el muro es rugoso con 
un coeficiente de fricción con el suelo tal que las presiones 
resultantes sobre el respaldo vertical resulten inclinadas al 
mismo ángulo (3.
En muros de concreto reforzado con secciones típicas el aná­
lisis por el método de Rankine presenta ciertas variaciones 
que se mencionan en el Anexo IV-b.
IV-5. Teoría de Rankine en suelos “cohesivos”
En suelos puramente “cohesivos”, para la aplicación práctica de 
las fórmulas que se obtienen a continuación, es necesario tener muy 
presente que la “cohesión” de las arcillas no existe como propiedad 
intrínseca, según ha quedado establecido en el Capítulo XII del Volu­
men I de esta obra, sino que es propiedad circunstancial, expuesta 
a cambiar con el tiempo, sea porque la arcilla se consolide o sea que
MECANICA DE SUELOS (II) 79
se expanda con absorción de agua. Por ello, es necesario tener la 
seguridad, en cada caso, de que la "cohesión” de que se haya hecho 
uso en las fórmulas de proyecto, no cambie con el tiempo. Obviamente 
esta garantía, según se comenta adelante, es, por lo menos, muy 
difícil de obtener.
Considérese un elemento de suelo puramente "cohesivo” a la 
profundidad z. Al igual que en el caso de los suelos friccionantes, 
si la masa de superficie horizontal de suelo está en "reposo”, la 
presión horizontal sobre el elemento, sujeto a la presión vertical 
yz, será K0 yz. En este caso el valor de K0 depende del material y de 
su historia previa de esfuerzos (Capítulo XII del Volumen I de esta 
obra).
En la fig. IV-7 se representa, en el círculo 1, al estado de esfuer­
zos del elemento arriba men­
cionado.
Como antes, si se permite 
deformación lateral, el mate­
rial puede llegar a la falla de 
dos modos. En el primero se 
permite que el elemento 
se deforme lateralmente, por 
disminución de la presión ho­
rizontal,hasta el valor míni­
mo compatible con el equi­
librio; este nuevo estado de 
esfuerzos se representa con el 
círculo 2 y corresponde al es­
tado “plástico” activo, en el 
cual (ver fig. IV-7) las pre­
siones valen:
F!G. IV-7. Estados plásticos en el diagrama de 
Mohr. (Suelos cohesivos)
La horizontal: 
La vertical:
P a = yz — 2c 
Pv = yz
(4-17)
pv es el esfuerzo principal mayor y pÁ el menor, en el círculo de 
falla 2 tangente a la envolvente s = c, obtenida en prueba rápida.
El otro modo de alcanzar la falla en el elemento situado a la pro­
fundidad z, sería aumentar la presión horizontal hasta que, después 
de sobrepasar el valor yz, alcanza uno tal que hace que el nuevo 
círculo de esfuerzos (círculo 3) resulte también tangente a la envol­
vente horizontal de falla. En este momento se tiene el estado "plásti­
co” pasivo y las presiones alcanzan los valores.
La horizontal: pP = yz + 2c 
La vertical: p„ = yz
y pP es el esfuerzo principal mayor.
( 4- 18)
También ahora puede establecerse la misma interpretación prác­
tica respecto a la generación de los estados plásticos eri el diseño 
de muros de retención. Las fórmulas para las presiones activas pueden 
relacionarse con el empuje de suelos sobre muros, en tanto que las 
pasivas se relacionan con los casos en que los muros presionan al 
relleno tras ellos.
Desde este punto de vista pueden obtenerse, como en el caso de 
suelos friccionantes, fórmulas para los empujes totales activo y pasivo, 
integrando en la altura H del muro las respectivas presiones hori­
zontales. El procedimiento para ello es el ya descrito y los resultados 
obtenidos son:
E Á = j - y H * - 2 c H (4-19)
E P = ■— y H- + 2cH (4-20)
Estos empujes son horizontales y pasan por el centroide del área 
de presiones.
Debe notarse que las fórmulas 4-19 y 4-20 únicamente serían 
aplicables si la superficie del relleno tras el muro fuera horizontal
y si los estados plásticos correspondientes se desarrollaran por com­
pleto en el relleno.
La fórmula 4-19 proporciona un procedimiento sencillo para 
calcular la máxima altura a que puede llegarse en un corte vertical 
de material “cohesivo” sin soporte y sin derrumbe. En efecto, para 
que un corte vertical sin soporte se sostenga sin fallar, la condición 
será E a = 0, lo que, según la expresión 4-19, conduce a:
yH2 — 2cH — 0
y 4c/ /« = — (4 -21 )
T
El valor H c suele denominarse altura crítica del material "cohe­
sivo”. La fórmula 4-21 da valores un poco altos de la altura 
estable real y en caso de ser usada en la práctica deberá ser afectada 
por un factor de seguridad de 2, como mínimo.
La Teoría de Rankine aplicada a suelos "cohesivos’' debe ser 
objeto de una discusión de carácter fundamental. En efecto, como va 
se mencionó, la "cohesión”, tal como se ha interpretado en el pasado, 
no es un elemento de cálculo confiable, sino un parámetro cuya varia­
ción con el tiempo es grande, difícil de prever y generalmente ten­
diente a disminuir el valor inicial.
80 CAPITULO IV
MECANICA DE SUELOS (II) 81
Como una regla general, el proyectista no debe confiar en ella, por 
sugestiva que inicialmente se le presente, en obras de retención. Un 
relleno siempre tiene la posibilidad de saturarse de agua más o menos 
rápidamente; una excavación siempre induce un flujo hacia sus bor­
des. Así, en cualquier caso, el material “cohesivo” tiende a disminuir 
su resistencia finalmente y un proyecto basado en la resistencia del 
suelo por "cohesión” quedará en condiciones inseguras con el paso 
del tiempo.
Se han citado casos en que, por razones particulares, pudiera 
pensarse en la posibilidad de que el relleno no variase su contenido 
de agua con el tiempo. El caso de relleno superficialmente pavimen­
tado (zonas urbanizadas) o recubierto de algún modo es el más 
socorrido. Pero aún así, la ruptura de un tubo que conduzca agua, 
la presencia de áreas verdes o, inclusive, la utilización posterior dei 
terreno para otros fines que obliguen a retirar el recubrimiento, acon­
sejan al proyectista no confiar inicialmente en un parámetro de resis­
tencia expuesto a desvanecerse.
Existe el hecho adicional 
de que cuando el relleno 
cohesivo aumenta su conte­
nido de agua y, por consi­
guiente, pierde “cohesión”, 
la presión sobre el muro 
aumenta fuertemente sin 
signo exterior que lo acuse. 
Así la falla se presenta en 
forma abrupta, sin avisos 
precursores.
Por todo ello no es acon­
sejable el uso práctico de las 
fórmulas presentadas en es­
ta sección para los empujes, 
salvo casos tan especiales 
que difícilm ente pueden 
imaginarse.
Si se observa la primera 
de las fórmulas 4-17 se nota 
que teóricamente la distri­
bución de la presión del re­
lleno es lineal, con una zona 
superior trabajando a ten­
sión y una inferior a com-
Muro de retención mostrando grietas por empuje presión. El valor de la ten- 
efe/ relleno. Nótese la falta de drenaje frontal sión en la superficie de
7—Mecánica de Suelos II
82 CAPITULO IV
relleno es 2c y la profundidad a que se extiende la zona de tensiones 
caracterizada por p.\ — 0, resulta ser (ver fórmula 4-17):
En la fig. IV-8.a se muestra la distribución de presiones activas 
en el presente caso, así como la profundidad a que se extiende la 
zona de tensión.
La parte b) de la misma figura muestra la distribución teórica 
de la presión pasiva.
Como al suelo no se le supone capacidad para trabajar a la ten­
sión, debe admitirse que, en el caso del estado activo, se desarrollarán 
grietas verticales, cuya profundidad está dada por la fórmula 4-22. 
El mecanismo de la formación de grietas puede concebirse como 
sigue: en la superficie es donde el suelo está expuesto al máximo 
esfuerzo de tensión: si en este plano por cualquier motivo se inicia 
la grieta, en su parte inferior se produce una fuerte concentración 
de esfuerzos de tensión, que hará que la grieta progrese hacia abajo, 
hasta la zona en que ya no existan esfuerzos de tensión. Es, pues, 
bastante lógico suponer que en suelos “cohesivos”, los agrietamientos
se producen siempre a cier­
ta profundidad. A falta de 
mejor aproximación teórica, 
la fórmula 4-22 proporciona 
un criterio satisfactorio pa­
ra estimar la profundidad 
de las grietas producidas.
En vista de todo lo ex­
puesto anteriormente en re­
lación al concepto de “co­
hesión” y a su cambio con 
el tiempo, se considera in­
necesario extender el análi­
sis de los estados plásticos 
a los casos de relleno in­
clinado y a muros de respaldo no vertical. Esta extensión podrá 
verse en la ref. 6.
IV-6. Teoría de Rankine en suelos con “cohesión y fricción”
En el Capítulo XII del Volumen I de esta obra se discutieron las 
distintas envolventes de resistencia al esfuerzo cortante de los suelos 
y se concluyó que, desde el punto de vista de esfuerzos efectivos,
( a ) (b)
FIG . IV-8. Distribución teórica de la presión ac­
tiva y pasiva en suelas puramente 
"cohesivos"
MECANICA DE SUELOS (II) 83
todos los suelos pueden considerarse puramente friccionantes; es 
decir trató de relegarse el concepto de “cohesión” tal como tradi­
cionalmente ha sido considerado, a la categoría de mito.
Ello no obstante, la aplicación práctica del concepto de esfuerzos 
efectivos a los problemas diarios presenta la dificultad de valuación 
de las presiones de poro en la etapa de proyecto; este problema, ya 
se dijo, no está hoy resuelto teóricamente en forma del todo satis­
factoria. Por otra parte, sobre todo en obras no muy grandes, resulta 
antieconómico programar la medición de las presiones de poro durante 
la construcción, e imposible, por lo tanto, el conocer en todo instan­
te la resistencia de los suelos al esfuerzo cortante, para poder modi­
ficar sobre la marcha tanto el proyecto como los métodos constructi­
vos. Esto obliga, como también se aclaró, a seguir usando en el 
presente las envolventes de resistencia en función de los esfuerzos 
totales; siguiendo este criterio, el proyectista se ve frecuentemente 
obligado a trabajar con dos parámetros de cálculo denominados“cohesión y ángulo de fricción” aparentes. En la presente sección se 
tratará precisamente la aplicación de la Teoría de Rankine a aquellos 
suelos en los que la envolvente de falla, con base en esfuerzos tota­
les, obtenida del tipo de prueba triaxial adecuado al caso, presenta 
“cohesión” y "fricción”, es decir, es del tipo tantas veces repetido.
s = c + crtg<¡>
Si el relleno es horizontal, puede razonarse de manera análoga 
a como se hizo en la sección IV-4 para el material puramente fric­
cionante. Con referencia a la fig. IV-9, puede verse que un elemento 
de suelo a la profundidad 
z, considerado en “reposo”, 
está sujeto a un estado de 
esfuerzos representado por 
el circulo 1. De nuevo pue­
de llegarse a la falla por 
disminución de la presión 
lateral o por aumento de la 
misma a partir del valor 
K0 yz. Se llega así a dos 
círculos representativos de 
los estados “plásticos” acti­
vo (círculo 2) y pasivo 
(círculo 3).
Se vio en el Capítulo XI 
del Volumen I de esta obra 
que en el caso que se trata 
la relación entre el esfuerzo 
principal máximo y el mínimo está dada por:
FIG . IV-9. Estados plásticos en el diagrama de 
Mohr. (Suelos con "cohesión'1 y "fric­
ción")
ctj = ffzN<¡> + 2 c V N#
En el caso del estado activo, pA — cr3 y ax = yz, por lo que:
P Á = N ¡ ~ ^ k ( 4 ' 2 3 )
En tanto que en el pasivo ffj = pP y er3 = yz: por ello:
pv — yz N<¡> + 2 c V Ñ l (4-24)
Las expresiones 4-23 y 4-24 dan las presiones horizontales 
que se ejercen en los dos estados plásticos. Los empujes correspon­
dientes se obtienen, como siempre, integrando las presiones a lo largo 
de la altura H del muro. Se obtiene así:
EA = — y H * - - ^ - H (4-25)
2 N* V N ¡
y
EP = ± N *y H * + 2 c V N ¡H (4-26)
Las líneas de acción teóricamente son horizontales a través del 
centroide del área total de presiones.
En el caso del estado activo, al igual que en los suelos puramente
cohesivos, hay ahora una zona del diagrama de presiones que corres­
ponde a un estado de tensión. La profundidad a que llega esta zona, 
contada a partir de la corona del muro, puede obtenerse con el crite­
rio de que en ese punto pA = 0. Si pA — 0.
£ - = w y = (4-27)A/V V Nf> y
Si, por efecto de estas tensiones, el relleno pudiera agrietarse ha 
de tenerse en cuenta que dejarán de producirse las tensiones y, por 
ello, el punto de aplicación del empuje podrá calcularse con base 
en el triángulo inferior de compresiones, únicamente. Como antes, 
ahora la expresión 4-27 da una idea plausible para calcular la pro­
fundidad de la grieta formada.
La altura crítica con la que puede mantenerse sin soporte el suelo 
en corte vertical puede calcularse también con el criterio EA = 0. En 
tal caso:
1 y =
84 CAPITULO IV
2 Nj, V N j
H e = - Í VÑ* (4-28)
Para el caso en que la superficie del relleno no sea horizontal, en 
el Anexo IV-c se dan normas y fórmulas apropiadas.
IV-7. Influencia de la rugosidad del muro mi la forma 
de las líneas de fluencia
En el caso de un muro con relleno horizontal y de respaldo 
vertical, la Teoría de, Rankine supone que éste es liso de modo que no 
se desarrollan esfuerzos cortantes a, lo largo de él, con lo que 
las presiones horizontales son esfuerzos principales. Las líneas de 
fluencia resultan ser, entonces, dos familias de rectas inclinadas 
45° ± <j>/2, respecto a la horizontal, según que se trate de los esta­
dos plásticos activo o pasivo, respectivamente.
Si el respaldo del muro ha de ser considerado rugoso podrán 
desarrollarse en su superficie esfuerzos cortantes que modifican la 
forma de la red de líneas de fluencia. La nueva forma de estas redes, 
con una somera discusión al respecto se presenta en el Anexo IV-d, 
para el caso de suelos "friccionantes”.
IV-8. Teoría de Coulomb en suelos “friccionantes”
En 1776 C. A. Coulomb publicó la primera teoría racional para 
calcular los empujes en muros de retención. En la Teoría se consi­
dera que el empuje sobre un muro se debe a una cuña de suelo 
limitada por el paramento del muro, la superficie del relleno y una 
superficie de falla desarrollada dentro del relleno, a la que se supone 
plana, (fig. IV-10).
MECANICA DE SUELOS (II) 85
FIG. IV-10. Meconismo d * • m pu ¡• d o sun/os " f r íc c io n o n io t " según C o u lo m b
La cuña OAB tiende a deslizar bajo el efecto de su peso y por 
esa tendencia se producen esfuerzos de fricción tanto en el respaldo 
del muro como a lo largo del plano OB. Supuesto que las resistencias 
friccionantes se desarrollan por completo, las fuerzas EA y F resultan 
inclinadas respecto a las normales correspondientes los ángulos 5 y <j>, 
de fricción entre muro y relleno y entre suelo y suelo respectivamente. 
El valor numérico del ángulo 8 evidentemente está acotado, de 
modo que:
0 < 8 <<¿
En efecto, 8 = 0 corresponde al muro liso y es inconcebible un 
valor menor para un ángulo de fricción. Por otra parte, si 8 > <t>, lo 
cual en principio es posible, la falla se presentaría en la inmediata 
vecindad del respaldo del muro, pero entre suelo y suelo; este caso 
es prácticamente igual a que el deslizamiento ocurriese entre muro 
y suelo, por lo que el máximo valor práctico que puede tomarse 
en cuenta para 8 es precisamente <¿>. Siguiendo indicaciones de 
Terzaghi, el valor de 8 puede tomarse en la práctica como:
| - < 8 < - | ¿ ( « 9 )
Considerando el equilibrio de la cuña se ve que el polígono diná­
mico constituido por W, F y E debe cerrarse. Como W es conocida 
en dirección y magnitud y se conocen previamente las direcciones 
de E y F, dicho dinámico puede construirse para una cuña dada. 
Así puede conocerse la magnitud del empuje sobre el muro. Es claro 
que no hay razón ninguna para que la cuña escogida sea la que 
produce el empuje máximo. Se ve, así, que el método de trabajo que 
se propone tiene que desembocar en un procedimiento de tanteos, 
dibujando diferentes cuñas, calculando el empuje correspondiente 
a cada una y llegando así a una aproximación razonable para el 
valor máximo, producido por la cuña “crítica”.
Debe notarse que si el plano de falla escogido coincide con el 
respaldo del muro, el empuje correspondiente a esa cuña será, evi­
dentemente, nulo y si el plano de falla se escoge formando un án­
gulo <t> con la horizontal el empuje también es nulo; en efecto, en 
este caso (ver fig. IV-10) la fuerza F resulta vertical hacia arriba; 
siendo W vertical hacia abajo, la única posibilidad de equilibrio 
será W = F y E = 0. Para cuñas con plano situado entre esas dos 
posiciones extremas, el empuje sobre el muro no es cero, luego debe 
existir un máximo, que resulta así geométricamente acotado. Ese 
máximo es el que ha de aproximarse por el método de tanteos arriba 
descrito. En la sección IV-9, se reseñan algunos métodos que per­
86 CAPITULO IV
miten llegar a un valor del empuje máximo adecuado para los 
proyectos prácticos gráficamente, obviando los tanteos.
Para el caso de un relleno “friccionante” limitado por un plano, 
aunque sea inclinado y de un muro de respaldo plano puede darse 
un tratamiento matemático a las hipótesis de Coulomb y llegar a 
una fórmula concreta para el empuje máximo. Esta fórmula se dedu­
ce en el Anexo IV-e y se presenta a continuación:
EA = - y H 2_________________ eos2 (<fr • oj)
MECANICA DE SUELOS (II) 87
2 cos‘w eos (S + u>) Ti + /sen(6 + 0)senfo — fl)~ L \ cos(8 + w ) c o s ( oj — 0 ) _
(4-30)
= ¿ r * K
donde:
Ea empuje activo máximo, según la Teoría de Coulomb 
<j> ángulo de fricción interna de la arena 
oj ángulo formado entre el respaldo del muro y la vertical 
0 ángulo formado entre la superficie plana del relleno y la hori­
zontal.
Las demás letras tienen el significado usual en este capítulo.
Si el muro es de respaldo vertical, u = 0 y la fórmula 4-30 se 
reduce a:
Ea = ± r H 2 -----------------------eos § í~ 1 + /sen (8 + +) sen (< /.-0 )12 (4-31)
L \ eos 8 eos 0 J
Si, además, el relleno es horizontal 0 = 0 y de la expresión 4-31 
se obtiene:
Ea = U h * -------------------<2ͱ------------------ (4-32)
2 c o s 8 [l eos 8
Debe notarse que si 8 = 0 o sea si no hay fricción entre el muro 
y el relleno, la ec. 4-32 conduce a la fórmula:
E a - - y H 2 —~ - en ^ _ —1 - y H 2 (4-33)Á 2 1 + s e n $ 2N<,y { óó)
De manera que, para este caso, las teorías de Rankine y Coulomb 
coinciden.
88 CAPITULO IV
También es interesante hacer notar que si en la fórmula 4-31 se 
considera 8 = ¡J, se obtiene la expresión 4-9 de la Teoría de Ran­
kine; es decir que la Teoría de Coulomb coincide con la de Rankine 
si el empuje se considera paralelo a la superficie del relleno.
Históricamente Coulomb no consideró el estado pasivo de esfuer­
zos, pero sus hipótesis se han aplicado a este caso, siendo posible 
obtener fórmulas similares a las presentadas para el caso activo. De 
hecho la fórmula para el caso pasivo es la misma 4-30, pero cam­
biando en ella <¡> por — <¿>, 8 por — 8 y cambiando el signo del radical 
del denominador; la fórmula resulta:
EÁ = ly H > . eos2 + w)
cos2w eos (w — 8) f . _ /sen(8 + <ft)sen(ft + ¡5)
|_ \cos(co — 8 ) c o s ( u — 3) _
(4-34)
La justificación del cambio se ilustra en la fig. IV-11. La deduc­
ción de la fórmula es análoga a la presentada en el Anexo IV-e, 
teniendo en cuenta las diferencias comentadas.
En el Anexo IV-f se presentan también los análisis por sobre­
carga, para relleno estratificado y para respaldo del muro formado 
por una linea quebrada, que se salen de la situación analizada en 
esta sección.
Si el ángulo 8 es grande, la superficie de deslizamiento real se 
aparta mucho del plano supuesto en la Teoría de Coulomb y ésta 
conduce a errores de importancia, fuera de la seguridad en la 
determinación del empuje pasivo. Terzaghi y Peck valúan ese error 
en hasta un 30% si 8 = <j>, teniéndose valores menores para menores
ángulos 8. En el caso del empuje activo la influencia del valor del án­
gulo 8 es mucho más pequeña y suele ignorarse en la práctica.
La Teoría de Coulomb no permite conocer la distribución de 
presiones sobre el muro, pues la cuña de tierra que empuja se 
considera un cuerpo rígido sujeto a fuerzas concentradas, resultantes 
de esfuerzos actuantes en áreas, de cuya distribución no se especifica 
nada. Por ello, no puede decirse nada, dentro del cuerpo de la Teoría 
respecto al punto de aplicación del empuje activo. Para salvar esta 
dificultad el propio Coulomb supuso que todo punto del respaldo del 
muro representa el pie de una superficie potencial de deslizamiento. 
Así puede calcularse el empuje sobre cualquier porción superior del 
muro; si ahora se considera un pequeño aumento en la altura de la 
porción, calculado el nuevo empuje, se tiene por diferencia con el ante­
rior el incremento, AE, de empuje en que aumentó el valor original: 
este incremento entre el aumento de altura que se haya considerado 
da la presión en ese segmento del muro. Con este método convenien­
temente reiterado puede conocerse con la aproximación que se desee, 
la distribución de presiones sobre el muro en toda su altura, por cuyo 
centroide pasará el empuje resultante. Lo anterior conduce a la dis­
tribución hidrostática, con empuje a la altura H J3 en muros con 
respaldo plano y con relleno también limitado por superficie plana. 
Para los casos en que no se cumplan estas condiciones, el método 
anterior resulta laborioso y Terzaghi ha propuesto una construcción 
aproximada que, sin embargo, da el punto de aplicación con sufi­
ciente precisión en la práctica, según la cual basta trazar por el cen­
tro de gravedad de la cuña crítica, una paralela a la superficie de 
falla, cuya intersección con el respaldo del muro da el punto de apli­
cación deseado.
Por otra parte, cabe un comentario de crácter general respecto 
a la Teoría de Coulomb. Aparentemente el método toma en cuenta, 
tal como aquí se ha descrito, dos ecuaciones de equilibrio de proyec­
ción de fuerzas (a esto equivale, en esencia, el hecho de que el 
dinámico sea un polígono cerrado), con dos incógnitas, E y F, de las 
cuales, a fin de cuentas, sólo una interesa; sin embargo, debe notarse 
que hubiera podido trabajarse con una sola ecuación de proyección 
y una sola incógnita (E ) si se proyectasen las fuerzas sobre una 
normal a la dirección conocida de F. Puede así afirmarse que la 
Teoría de Coulomb utiliza para establecer el equilibrio de la cuña 
rígida una sola ecuación de equilibrio, lo cual es insuficiente, según 
la Estática.
IV-9. Métodos gráficos para la aplicación de la Teoría de 
Coulomb a rellenos “friccionantes”
Se presenta a continuación un método gráfico debido a Culmann® 
que permite llegar fácilmente al valor del máximo empuje ejercido
MECANICA DE SUELOS (II) 89
90 CAPITULO IV
contra un muro por un relleno arenoso. El método es general y se 
aplica a relleno de cualquier forma; la descripción del método se 
refiere a la fig. IV-12.
El método consiste en lo siguiente: por el punto A, de la base del 
muro trácense dos líneas, la ‘ <¡>" y la ‘‘6’’; la primera a un ángulo 
<j> con la horizontal y la segunda a un ángulo 6 con la anterior. El 
ángulo 6 y su método de obtención son los mostrados en la figura 
mencionada.
A continuación, escójanse diferentes planos hipotéticos de desli­
zamiento, Abx, Ab -2 ■ ■ . etc. El peso de estas cuñas de deslizamiento 
podrá calcularse multiplicando su área por el peso específico, y, de 
la arena que constituye el relleno (recuérdese que se considera una 
dimensión unitaria en la dirección normal al plano del papel). A una 
escala de fuerzas conveniente, estos pesos podrán llevarse, a partir de 
A sobre la “línea </>"; así se obtienen los puntos au a2 . . . etc.
Por estos últimos puntos trácense ahora paralelas a la “línea 6”, 
hasta cortar en los puntos Ci c¡¡. , . etc. a los respectivos planos de 
falla de las cuñas. Los segmentos ai Ci. a2 c2 •.. etc. representan, a la 
escala de fuerzas antes usada, los empujes que produce cada una de 
las cuñas arbitrariamente escogidas. En efecto, en la sección b) de la 
fig. IV-12 aparece un triángulo de fuerzas correspondiente a una 
cualquiera de las cuñas deslizantes escogidas. El empuje E y el peso 
W forman el ángulo 0, puesto que este es, por definición, el ángulo 
formado por £ y la vertical. Entre la reacción a lo largo del plano
MECANICA DE SUELOS (II) 91
de falla, F, y W se forma el ángulo ¡3 — <j>, siendo (3 el que forma 
el plano de deslizamiento con la horizontal.
FIG . IV -13. El método de Culmann cuando existe una sobrecarga lineal
Considérese ahora el triángulo Aa2 c2r ligado, por ejemplo, a la 
misma cuña deslizante. Aa2 es proporcional al peso de la cuña, W, 
por construcción. El ángulo en a2 es 0 por ser a2 c2 paralela a la “línea 
6". Evidentemente, el ángulo en A, del triángulo Aa2 c2, es (3 — </>, 
siendo 3 el ángulo que forma el plano de deslizamiento Ab2 con la 
horizontal. Entonces el triángulo Aa¿ c2 es semejante al 123 de 
la parte b) de la fig. IV-12, Se ve, comparando esos triángulos que 
el lado a2 c2 es el homólogo de E en el triángulo de fuerzas; por lo 
tanto esas dos magnitudes son proporcionales y c2 a2 representa a E 
a la escala de fuerzas escogida.
Puede trazarse una linea que contenga a todos los puntos c, obte­
nidos según se vio. Esta es la “línea de empujes" o línea de Culmann. 
Una paralela a la “línea <£”, tangente a la línea de Culmann, permite 
calcular el empuje máximo como el segmento ac, interpretado a la 
misma escala de fuerzas usada y siendo c el punto de tangencia resul­
tante sobre la línea de Culmann. La línea Ac. prolongada hasta b, 
proporciona el plano de deslizamiento más crítico, ligado al máximo 
empuje.
92 CAPITULO IV
El método de Culmann permite también llegar al empuje máximo 
producido por la combinación de un relleno “friccionante” y una 
sobrecarga lineal de intensidad q unidades de fuerza por unidad de 
longitud (fig. IV -13).
El procedimiento a seguir es totalmente análogo al arriba des­
crito, con la diferencia de que a la derecha del plano Ab3 definido 
por la posiciónde q, debe llevarse sobre la “línea <f>” no sólo el peso 
de la cuña deslizante, sino, sumado, el valor de q a la misma escala de 
fuerzas usada. Precisamente en la línea Ab3 la curva de Culmann 
deberá presentar una discontinuidad por efecto de la sobrecarga.
F IS . IV -14. Punto de aplicación del empuje, según el método de Culmann
El empuje E ', dado por el segmento a' c' es el máximo conside­
rando la sobrecarga, mientras que el segmento ac sería el empuje 
máximo, si no hubiese sobrecarga. Se sigue que si la sobrecarga 
estuviese situada a la derecha de b" ya no ejercería efecto, pues 
en tal caso el empuje sería igual al máximo obtenido con la línea 
de Culmann punteada; desde luego la línea cc" se ha trazado para­
lela a la “línea <j>”
El punto de aplicación del empuje máximo puede obtenerse tam­
bién gráficamente y con suficiente aproximación siguiendo las reglas 
que se detallan en la fig. IV-14.
Si no hay sobrecarga lineal una paralela a la superficie de desliza­
miento crítica Ab por G, centro de gravedad de la cuña deslizante, 
corta el muro en un punto en que puede considerarse aplicado el 
empuje E. (fig. IV-14.a).
Si hay sobrecarga, a la fuerza anterior se añadirá, para fines de 
diseño, otra, A E, calculada restando E' — E, obtenidos como se indi­
ca en la fig. IV-13, y aplicada en el tercio superior del segmento 
f¡/, en el que / es la intersección de una paralela a la “línea
trazada por q, con el respaldo del muro y /' es la intersección con el 
mismo plano de una paralela a la superficie crítica de deslizamiento, 
trazada también por q. (fig. IV-H .b).
En el Anexo IV-g se presenta un método alternativo del de 
Culmann, debido a Engesser10.
El método de Culmann puede emplearse para el cálculo del empuje 
pasivo ejercido contra un relleno arenoso. El procedimiento y su 
demostración son idénticos, con la diferencia de que la “línea <j>" 
debe ahora dibujarse formando ese ángulo con la horizontal, pero 
hacia abajo.
IV. 10. La Teoría de Coulomb en suelos con “cohesión” 
y “fricción”
Cuando un muro con relleno “cohesivo” y “friccionante” está 
en las condiciones mostradas en la fig. IV-15.a, la superficie de falla 
es una curva como la indicada y, bajo la zona de agrietamiento ya 
mencionada, las líneas de fluencia son curvas, (véase el Anexo 
IV-c).
MECANICA DE SUELOS (II) 93
FIG . IV-15. Simplificación para llegar a la aplicación de la feorla de Coulomb en 
rellenos con materiaI "cohesivo" y "Iriccionante"
Dentro de la cuña A'MM'N'N el estado de esfuerzos es seme­
jante al analizado atrás dentro de la Teoría de Rankine y el diagrama 
de presiones en la vertical A' A" puede calcularse como ya se dijo. El 
empuje total contra el muro estará entonces dado por la resultante de 
ese diagrama de presiones combinada con el peso de la cuña B'AA'A" 
y la fuerza de reacción existente en la superficie AA'. Todo esto 
conduce a un procedimiento laborioso y difícil que normalmente se 
abrevia recurriendo a simplificaciones.
Por ejemplo, puede suponerse, como se hace en la parte b) de 
la fig. IV-15, que la superficie hipotética de falla supuesta es un 
círculo y en tal caso puede calcularse el empuje aplicando el método 
del "círculo de fricción”, como más adelante se expone. También 
puede suponerse que esa superficie tiene como traza con el papel
94 CAPITULO IV
un arco de espiral logarítmica, lo cual permite desarrollar un método 
de cálculo conveniente, que también se menciona posteriormente.
En la mayoría de los casos de la práctica resulta suficientemente 
aproximado el considerar a la superficie hipotética de falla como 
un plano que se extienda desde la base del muro hasta la zona de 
agrietamiento, tal como se muestra en la parte c) de la fig. IV-15. 
Así resulta aplicable al caso la teoría de Coulomb en la forma que 
a continuación se presenta con referencia a la fig. IV-16.
Supuesta una cuña de deslizamiento, su equilibrio quedará garan­
tizado por el de las siguientes fuerzas: el peso propio total, W, calcu­
lado como el producto del área de la cuña por el peso específico 
del suelo: la reacción entre la cuña y el suelo, con dos componentes, 
F debida a la reacción normal y a la fricción y C, debida a la "cohe­
sión"; la adherencia, C', entre el suelo y el muro y, finalmente, el 
empuje activo E.
Estas fuerzas deben formar el polígono cerrado que aparece en 
la fig. IV-16, en el cual puede calcularse el valor de E correspon­
diente a la superficie de falla supuesta. Nótese que las fuerzas 
C y C' pueden conocerse no sólo en dirección, sino también en 
magnitud, multiplicando el parámetro c del suelo por las longitudes 
AG y AB' respectivamente.
El método de cálculo lleva a un procedimiento de tanteos para 
determinar el máximo E posible. El muro deberá calcularse, por 
supuesto, para soportar la combinación de las fuerzas C’ y E míz.
J^n caso del empuje pasivo también puede llegarse a aplicar
™ Teoría de Coulomb simplificando la forma de la superficie de
deslizamiento, que resulta también curva, a modo de considerarla 
recta, en forma análoga a la arriba indicada. En estas condiciones, 
también puede encontrarse el empuje de proyecto por un procedi­
miento de tanteos análogo al descrito para el empuje activo. Vuelve 
a insistirse en que, para el caso de empujes pasivos, la Teoría de 
Coulomb resulta ya muy poco aproximada y del lado de la inseguri­
dad, por lo que su uso no es recomendable.
IV-11. El método del Círculo de Fricción
Este método es aplicable para el caso de que la superficie de
deslizamiento se suponga circular y, de acuerdo con la fig. IV -17, 
puede, para el caso activo, desarrollarse como sigue:
MECANICA DE SUELOS (II) 95
Después de calcular la profundidad de la zona agrietada, trácese 
una curva circular de centro en O y radio R, la cual se considera
como la traza de una superficie hipotética de falla. El peso de la 
masa de tierra deslizante puede calcularse por cualquier procedimiento 
práctico, así como la magnitud de las fuerzas C de “adherencia” 
entre el muro y el suelo y C, efecto de la “cohesión” a lo largo de la 
superficie de deslizamiento. La linea de acción de C es el respaldo 
del muro, pero la de C ha de calcularse teniendo en cuenta que debe 
ser paralela a la cuerda AM que subtiende el arco circular y estar 
situada a una distancia x del centro del citado arco tal que su mo­
mento con respecto a ese centro sea igual al momento de los esfuer­
zos c a lo largo del arco circular, es decir:
96 CAPITULO IV
A través del centro del triángulo AB'V' dibújese una vertical 
hasta cortar a una paralela a la superficie del relleno que pase por 
el tercio inferior del segmento A V . En este punto de intersección 
puede considerarse aplicada, con suficiente aproximación, la resul­
tante de la fuerza P (componente normal y de fricción del empuje 
total) y la fuerza de adherencia C , entre el muro y el suelo. Ésto 
equivale a suponer que a lo largo de A V hay una distribución lineal 
de presiones, cuya resultante, paralela a la superficie del relleno, 
actúa contra el respaldo del muro en combinación con el peso del 
triángulo AB'V'; a esta acción total sobre el muro, se opone, como 
reacción (colineal), la resultante de P y C'. Según se ve, lo anterior 
es simplemente la aplicación de las ideas de Rankine. Esta fuerza P 
puede considerarse inclinada un ángulo 8 = 2<j>/3, respecto a la nor­
mal al respaldo del muro.
Las fuerzas C y C', según ya se comentó, son conocidas en 
magnitud y dirección y su resultante puede calcularse. Esta resultante 
es el vector 1-2 del dinámico mostrado en la parte b) de la fig.
IV -17. La línea de acción de esta resultante puede obtenerse trazan­
do, en la parte a) de la figura, una paralela a la dirección 1-2 por 
el punto ae intersección. D. de C y C'.
La línea de acción de la resultante de C y C' puede prolongarse 
hasta cortar a la del peso de la masa deslizante. W , en el punto 
G. El vector 1-3 del diagrama de fuerzas es la resultante de IV, C 
y C'- La línea de acción de estaresultante puede obtenerse trazando 
una paralela a tal dirección por el punto G: tal línea de acción debe 
prolongarse hasta cortar a la línea de acción de P en el punto H.
Con centro en O y radio igual a Rsen</> dibújese una circunferen­
cia; ésta recibe el nombre de "círculo de fricción”. Por H puede 
trazarse con suficiente aproximación, una tangente al "círculo de fric­
ción”. Es claro que esta línea forma un ángulo <¡¡ con el radio de la 
superficie de falla correspondiente al punto I, en el cual corta la tan­
gente a la superficie de falla; por lo tanto la línea I f es la linea de
acción de la reacción total que corresponde a la línea de falla AM. 
En realidad habría que efectuar una corrección, pues esta resultante 
no es tangente al círculo de fricción, pero la corrección es pequeña 
y prácticamente despreciable. Este punto se analizará en la sección 
correspondiente del Capítulo V.
Por el punto 1 del diagrama de fuerzas debe llevarse una parale­
la a // y por el 3 una paralela a P, obteniéndose así el punto 4 que 
cierra el polígono de fuerzas y determina el valor del empuje P co­
rrespondiente a la superficie de falla supuesta. La composición de 
P y C' proporciona el empuje total E correspondiente a la sección 
considerada.
Para encontrar el valor máximo posible de P, para fines de 
proyecto, deberá seguirse un procedimiento de tanteos, reiterando el 
método anterior el número de veces necesario.
Para el caso de empuje pasivo es posible desarrollar un procedi­
miento similar al arriba descrito.
IV-12. Método de la espiral logarítmica
Se ilustra a continuación, para el caso de empuje pasivo, otro 
método de cálculo muy frecuente en la solución de problemas de pre­
sión de tierras. En este método, llamado de la espiral logarítmica, 
no es preciso suponer que la superficie de deslizamiento en estudio 
sea plana. En la fig. IV-18.a se representa una superficie de contacto 
AB que empuja a un relleno de superficie horizontal y constituido 
por un material cuya resistencia al esfuerzo cortante sigue la ley 
general:
s = c + <rtĝ >
MECANICA DE SUELOS (II) 97
La superficie de deslizamiento consta de una parte curva y otra 
recta (segmentos AD y D E).
FIG . IY-18. Ilustración del método de "la espiral logarítmica" para el caso de empujo
pasivo
8—Mecánica de Suelos II
El arco AD es un segmento de espiral logarítmica con centro 
en O. El hecho de que, por continuidad, el tramo de espiral deba ser 
tangente al segmento de recta D E en D, obliga a que el centro O 
caiga sobre el segmento BD. En estas condiciones la ecuación de la 
espiral logarítmica puede escribirse como:
r = r0e9t̂ (4-35)
La masa de suelo BDE puede considerarse en estado "plástico” 
pasivo de Rankine, de manera que no hay esfuerzos cortantes actuan­
do en la sección vertical D F y, sobre ésta, el empuje pasivo es 
horizontal (E t) y puede calcularse como ha quedado indicado.
La masa ADFB estará en equilibrio bajo la acción de las siguien­
tes fuerzas: su peso propio, W, que pasará a través de su centro 
de gravedad: el empuje E u situado a D F /3; la resultante, C, de la 
cohesión actuante en el arco AD; la fuerza resultante de la adheren­
cia entre el suelo y la superficie AB, C'; la fuerza F, resultante de 
los esfuerzos normales y tangenciales de fricción producidos en el arco 
AD y la fuerza P, resultante de los esfuerzos normales y tangenciales 
de fricción a lo largo de AB. Esta última fuerza estará inclinada 
respecto a la normal al muro un ángulo:
5 = 4 *
Como la línea de acción de P no es conocida a priori se debe 
recurrir a un artificio aproximado para determinar su magnitud y 
posición. El artificio consiste en reemplazar a P por dos fuerzas 
P' y P", con la misma dirección que P. La fuerza P' se considera 
en equilibrio con W, E\ y F'; en donde E\ y F' son las anteriores 
Ei y F, pero considerando en una primera aproximación, que la C 
del suelo es nula: la P" debe equilibrar a C, C', E'\ y F" (estas 
dos últimas fuerzas son la E x y F, antes citadas, pero admitiendo por 
el momento que la y del suelo sea igual a cero). En el primer grupo 
se han reunido las fuerzas de masa y las normales y de fricción 
debidas al efecto de W; en el segundo grupo aparecen las fuerzas de 
cohesión, que son independientes de W. Los puntos de aplica­
ción de P' y P" serán, desde luego, AB/3 y AB/2, respectivamente. 
En estas condiciones, cada una de esas fuerzas podrá calcularse por 
separado y su resultante produce el empuje total P.
Puesto que el arco escogido entre A y D es de una espiral 
logarítmica, según la ec. 4-35, todos los radios vectores del mismo 
forman un ángulo <j> con la normal al arco en cada punto. Como 
4> es el ángulo de fricción interna, se sigue que las direcciones de los
98 CAPITULO IV
radios vectores son las de los elementos de fuerza cuya resultante 
es F, por lo que la propia F debe pasar por el centro de la espiral, O.
Para determinar P' puede, entonces, elegirse arbitrariamente una 
superficie hipotética de deslizamiento AD E (fig. IV -18). El empuje 
E\ se calcula con la ecuación:
E\z=-L y DF*
y actúa en D F/3.
Si se toman ahora momentos en torno a O de las fuerzas E\ 
W, F ' (momento nulo) y P , se tendrá la magnitud de P . Si el suelo 
no tuviese “cohesión”, P sería el valor del empuje total correspon­
diente a la superficie de falla supuesta. Con otras superficies de falla 
trazadas con el mismo criterio expuesto (moviendo el centro de la 
espiral sobre BD ) pueden obtenerse otros valores de P . El mínimo 
P obtenido sería el empuje pasivo total de proyecto, si el suelo no 
tuviese “cohesión”.
Si el suelo tiene “cohesión”, deberá determinarse el valor de 
P", componente del empuje total debida al efecto de aquella. En el 
plano D F se considera ahora actuando un empuje pasivo E'\ obteni­
do haciendo y — 0 en la expresión usual. Así:
E'\ = 2 c D F V N i
El hecho de hacer y = 0 equivale a anular el peso del suelo, 
dejando sólo el término del empuje que depende de la "cohesión" 
del mismo. El punto de aplicación de E'\ será el punto medio del 
segmento DF.
Si se considera un elemento ds en la superficie AD, obrará en 
él una fuerza cds, cuyo momento respecto a O vale: (fig. IV -18.b):
, tdddM — re cosé ds — re cosó = cr2 ddeos
Entonces, el momento de la “cohesión" total será:
M = 1 dM = -7-c ■ (ri2 — r02) (momento de C)
MECANICA DE SUELOS (II) 99
Tomando ahora momentos respecto a O de las fuerzas P", C, C', 
E ”i y F" (momento nulo) puede conocerse la fuerza P ' correspon­
diente a la superficie de falla supuesta.
Con diferentes superficies de deslizamiento podrán obtenerse otros 
P" (deben usarse las mismas trazadas para calcular P ') .
En el caso general, en que el suelo tenga “cohesión” y "fricción”, 
conviene llevar en forma gráfica los valores de la suma P' + P" co­
rrespondientes a cada superficie de deslizamiento supuesta. La combi­
nación mínima da el valor del P total de proyecto.
IV-13. Método semiempírico de Terzaghi para el cálculo 
del empuje contra un muro de retención.
Debido a lo poco conveniente de las teorías clásicas, antes únicas 
y a la falta de otras de superior arrastre, se han desarrollado en el 
pasados algunos métodos empíricos y semiempíricos para la valua­
ción de los empujes ejercidos por los rellenos de tierra contra los 
elementos de soporte. El Dr. Terzaghi ha propuesto un método es­
pecífico que reúne una buena parte de la experiencia anterior con 
la suya propia y que constituye quizá, el método más seguro para la 
valuación de empujes contra elementos de soporte, con tal de que 
éstos caigan dentro del campo de aplicabilidad del método propuesto, 
desgraciadamente restringido a muros de escasa altura (alrededor de 
unos 7.0 m, como máximo).
El primer paso para la aplicación del método estriba en encasi­
llar el material de relleno con el que ha de trabajarse, en uno de los 
siguientes cinco tipos:
I. Suelo granular grueso, sin finos.
II. Suelo granular grueso, con finos limosos.
III. Sueloresidual, con cantos, bloques de piedra, gravas, arenas 
finas y finos arcillosos en cantidad apreciable.
IV. Arcillas plásticas blandas, limos orgánicos o arcillas limosas.
V. Fragmentos de arcilla dura o medianamente dura, protegidos 
de modo que el agua proveniente de cualquier fuente no pe­
netre entre los fragmentos.
En general, los tipos de suelo IV y V no son deseables como 
suelo de relleno, debiendo ser evitados siempre que sea posible; en 
particular, el tipo V debe considerarse absolutamente rechazable 
cuando haya riesgo de que pueda entrar agua a los huecos entre los 
fragmentos de arcilla, provocando su expansión y el correspondiente 
aumento de las presiones sobre el muro.
Si, por alguna razón que siempre procurará evitarse, el muro fuera 
a proyectarse antes de conocer el material a usar como relleno, debe­
rá realizarse el proyecto sobre las bases más desfavorables.
El método propuesto cubre cuatro casos muy frecuentes en la 
práctica, en lo que se refiere a la geometria del relleno y la condi­
ción de cargas.
100 CAPITULO IV
l 9 La superficie del relleno es plana, inclinada o no y sin sobre­
carga alguna.
29 La superficie del relleno es inclinada, a partir de la corona 
del muro, hasta un cierto nivel, en que se toma horizontal.
39 La superficie del relleno es horizontal y sobre ella actúa una 
sobrecarga uniformemente repartida.
49 La superficie del relleno es horizontal y sobre ella actúa una 
sobrecarga lineal, paralela a la corona del muro y uniforme­
mente distribuida.
Para el primer caso de los arriba mencionados, el problema puede 
resolverse aplicando las fórmulas:
E„ = ±K»H *
(4-36)
E V = ± K VH>
que proporcionan las componentes horizontal y vertical del empuje 
actuante en el plano vertical que pasa por el punto extremo inferior 
del muro, en el lado del relleno (fig. IV -19).
En la misma fig. IV-19 se muestran gráficas que permiten obte­
ner los valores de K H y Kv, necesarios para la aplicación de las fórmu­
las anteriores, en función de la inclinación de la superficie del relleno 
y del tipo de material con que haya de trabajarse. Deberá notarse en 
la figura citada el criterio empleado para medir la altura H.
Las expresiones y gráficas anteriores proporcionan el valor del 
empuje por metro lineal de muro. El empuje deberá aplicarse a la
altura H /3, contada del paño inferior del muro.
En el caso de trabajar con relleno del tipo V, el valor de H con­
siderado en los cálculos debe reducirse en 1.20 m respecto al usual
y el empuje obtenido debe considerarse aplicado a la altura
d' = \ ( H - 1.20) (4-37)
contada a partir del nivel inferior del muro.
Cuando el relleno tiene superficie inclinada hasta una cierta altura 
y después se hace horizontal (caso 29 de los arriba considerados), 
los valores de K„ y Kv deberán obtenerse de las gráficas de la 
fig. IV-20. En la misma figura se muestran las convenciones a que 
deberán ajustarse las mediciones de las alturas usadas, los puntos y 
planos de aplicación del empuje, etc. La altura del punto de aplica­
ción, cuando el relleno sea del tipo V, también será la dada por la 
expresión 4-37, usando en ella el valor H — 1.20 m.
MECANICA DE SUELOS (II) 101
102 CAPITULO IV
L o s n ú m e ro s e n lo s c u rv a s in d ic a n t i 
t ip o de m a te r ia l.
P a ra m a te r ia le s d e l U po 5 lo s c a lc u lo s 
se r e a l iz a n c o n u n a a ltu ra , H , m e n o r 
que la re a l en 1 .2 0 m
FIG . IV-19. Gráficas para determinar el empuje de rellenos con superficie plana, según
Terzaghi
Cuando el relleno sea de superficie horizontal y soporte sobrecarga 
uniformemente distribuida (caso 39 de los antes citados), la presión 
horizontal sobre el plano vertical en que se supone actuante el em­
puje deberá incrementarse uniformemente en:
p = C q (4-38)
Donde q es el valor de la sobrecarga uniformemente repartida, en las 
unidades apropiadas. El valor de C de la fórmula anterior se esco­
gerá de la Tabla 4-1.
K 
en 
K
g
/m
*/
m
MECANICA DE SUELOS (II) 109
H|3 0
i
jl/2 K,
l;/2>
K,H*
K»M*
■ ; í ; 
_L_
SUELO TIPO I S U ELO TIPO 2 S U E LO T IP O 3
K„
fjÜ ijü i-
1
-L X
I , 6 J -
h 1 —
-K „ - ■ A V ' - ;
p -
V a lo re * de lo re lac ión H , /H
S U E LO T IPO 4 S U E LO T IP O 5
Valores de la relación H./H
FIG , IY-20. Gráficas para determinar el empuje de rellenos en terraplén, con remate
104 CAPITULO IV
TABLA 4-1
Valores de C
Tipo de relleno c
I 0.27
II 0.30
III 0.39
IV 1.00
V 1.00
Si la superficie del relleno horizontal soporta una carga lineal 
paralela a la corona y uniforme (49 caso de los arriba mencionados), 
se considerará que la carga ejerce sobre el plano vertical en que se 
aceptan aplicados los empujes una carga concentrada que vale:
P = C q'
donde q' es el valor de la carga lineal uniforme y C se obtiene, como 
antes de la Tabla 4-1. El punto de aplicación de P puede obte­
nerse con la construcción mostrada en la fig. IV-21. Si al trazar la 
linea a 40° el punto de aplicación de P resulta bajo la base del muro, 
el efecto de q' podrá despreciarse. La carga q' produce también una 
presión vertical sobre la losa de cimentación del muro cuyo efecto 
podrá calcularse (fig. IV- 
21) considerando una in­
fluencia a 60° a partir de q', 
uniforme en todo el tramo 
ab y de magnitud q'/ab, 
considerando en los cálculos 
sólo la parte de tal presión 
que afecte a la losa de ci­
mentación (tramo a'b').
Los métodos arriba des­
critos se refieren a muros 
con cimentación firme, en 
cuyo caso la fricción y 
la adherencia entre suelo 
y muro está dirigida hacia 
abajo, ejerciendo un efecto 
estabilizante que tiende a 
reducir el empuje. Si el mu­
ro descansa en terreno blan­
F IS . IV-21. Método para calcular la influencia 
de una tobrecarga lineal (Método de 
Tenaghi)
MECANICA DE SUELOS (II) 105
do su asentamiento puede hacer que la componente vertical del 
empuje llegue a invertirse. Esto aumenta el empuje considerablemen­
te, por lo que Terzaghi recomienda que, en este caso, los valores 
del empujé obtenidos en las gráficas anteriores, se incrementen 
sistemáticamente en un 50%.
En los muros calculados con el método semiempírico de Terzaghi 
deben proyectarse buenas instalaciones de drenaje, para poder garan­
tizar la no generación de presiones hidrostáticas contra el muro, no 
tomadas en cuenta en las gráficas anteriores.
IV-14. Arqueo en suelos
En todo lo dicho hasta ahora sobre presión de tierras en muros 
de retención, se ha supuesto que el* muro puede desplazarse, sin nin­
guna limitación, lo suficiente para que se desarrollen en el relleno 
los estados críticos, en el caso de la Teoría de Rankine o para que 
tengan lugar los desplazamientos necesarios para llegar al estado 
crítico en la cuña deslizante, considerada por Coulomb.
Sin embargo, aún y cuando en muchos muros pudiera conside­
rarse que éste es el caso, por lo menos desde un punto de vista 
práctico, en algunos claramente no lo es (muros con restricción es­
tructural a la deformación; por ejemplo en constituyentes de marcos 
rígidos). Además, en otros problemas estructurales, tales como ade­
mes o tablestacas, en los que el empuje de tierras juega papel rele­
vante, las condiciones anteriores no se cumplen, ni aún adoptando un 
criterio simplista. En efecto, en estas estructuras existen puntos cuya 
deformación está restringida en alto grado, en los cuales se producen 
concentraciones de presión que disminuye, por el contrario, en zonas 
donde está menos restringida la deformación. En esta redistribución 
de esfuerzos, debida a las condiciones de deformación impuestas, 
juega un papel importante el arqueo de los suelos.
El efecto de arqueo puede visualizarse reflexionando como sigue: 
supóngase una masa de suelo de gran extensión que descanse 
apoyada en una superficie horizontal rígida; supóngase que, por algu­
na razón, una parte de esa superficie cede un poco hacia abajo, de 
modo que el suelo que haya quedado sobre esa parte tienda también 
a descender.Al movimiento de esa masa de suelo relativo al resto de 
suelo que ha quedado inmóvil, por estar firmemente apoyado, se 
opondrá la resistencia al esfuerzo cortante que pueda desarrollarse 
entre la masa móvil y el resto del suelo estacionario. Esta resistencia 
tiende a mantener a la masa móvil en su posición original y, por 
lo tanto, reduce la presión del suelo sobre la parte cedida de la super­
ficie de soporte. Como efecto consecuente, aumentará, por el contra­
rio, la presión que las estacionarias ejercen sobre las partes fijas de 
la superficie de soporte.
106 CAPITULO IV
Tiene lugar, por lo tanto, una transferencia de presión, de la 
parte de la superficie cedida a los apoyos estacionarios. Este efecto 
recuerda el modo de trabajar de un arco estructural y de ahí recibe 
el nombre de efecto de arqueo.
La consecuencia práctica del efecto anterior en elementos de so­
porte en que haya puntos de deformación restringidos y zonas de 
cedencia más fácil, es una disminución de presión en estas zonas y 
una concentración en aquellos puntos, de modo que, a fin de cuentas, 
resultan modificados tanto el diagrama de distribución de presiones, 
como la magnitud del empuje total.
En el Anexo IV-h se detalla tanto cualitativa como cuantitati­
vamente el efecto de arqueo y su influencia en las presiones a 
considerar en los proyectos relativos a estructuras de soporte.
IV.15. Ademes
Se trata ahora el caso de obras de ademado provisional, que se 
ejecutan en excavaciones para garantizar la estabilidad de las paredes 
durante el tiempo necesario para la construcción. Por lo general, estos 
ademes son de madera o de una combinación de elementos de made­
ra y elementos de acero y solamente en casos hasta cierto punto 
excepcionales se justifica construirlos totalmente de acero.
La disposición de los elementos de soporte suele ser parecida a 
la que se describe a continuación. En primer lugar se hinca verti­
calmente una serie de postes o viguetas de acero de sección H, 
siguiendo el contorno de la excavación a efectuar y hasta una pro­
fundidad mayor que el fondo de la misma. En seguida, el espacio 
entre esos elementos se reviste con tablas horizontales que se van 
añadiendo a medida que la excavación progresa; también, según la 
profundidad aumenta, deberán afirmarse los elementos verticales hin­
cados con puntales de acero o de madera, colocados transversalmen­
te a la excavación, apoyados en largueros longitudinales.
En general, los puntales son los elementos de los que más nece­
sita preocuparse el ingeniero proyectista, para lo cual será preciso 
conocer la magnitud y la distribución del empuje del suelo sobre 
el ademe. Esta magnitud y distribución, como ya se ha dicho, depende 
no sólo de las propiedades del suelo, sino también de las restric­
ciones que el elemento de soporte imponga a la deformación del 
propio suelo y de la flexibilidad de toda la estructura de soporte en 
general.
Según la excavación prosigue, la rigidez de los puntales ya coloca­
dos impide el desplazamiento del suelo en las zonas próximas a los 
apoyos de esos puntales. Por otra parte, bajo el efecto del empuje, el 
ademe en las zonas inferiores gira hacia dentro de la excavación, de 
manera que la colocación de los puntales en esas zonas va prece-
MECANICA DE SUELOS (II) 107
dída de un desplazamiento del suelo que será mayor, en general, 
cuanto mayor sea la profundidad de la zona considerada. Este tipo 
de deformación que sufre el suelo durante el proceso de excavación 
y colocación del ademe es equivalente, desde el punto de vista de la 
distribución de presiones, a un giro del elemento de soporte alrededor 
de su extremo superior. En estas condiciones de deformación las 
teorías clásicas de Rankine y Coulomb no son aplicables y, por lo 
tanto, para calcular el empuje sobre el ademe es preciso recurrir a 
otros métodos. En el Anexo IV-i se presenta la forma usual de 
efectuar estos cálculos. Sin embargo, es un hecho que en ademes 
las teorías proporcionan resultados por lo general muy poco con­
fiables, pues no toman en cuenta una serie de efectos reales, tales 
como el arqueo, que juegan un papel importante y modifican gran­
demente la magnitud y distribución de los empujes dados por las 
teorías. En efecto, la distribución de presiones en este tipo de 
obras es aproximadamente parabólica, con el punto de aplicación 
del empuje muy cerca del punto medio de la altura del ademe, con­
trariamente a la distribución lineal, similar a la hidrostática, que las 
teorías clásicas consideran en muros de retención. Otra diferencia 
importante entre el comportamiento de los muros de retención y los 
ademes estriba en que los muros constituyen verdaderas unidades 
estructurales, que fallan como un conjunto, por lo que las irregulari­
dades locales en la distribución de presiones tras el muro tienen rela­
tivamente poca importancia; los ademes, por el contrario, pueden 
fácilmente fallar en forma local, rompiéndose un puntal en alguna 
zona en que la concentración de presiones sea importante, lo cual po­
ne en peores condiciones los restantes puntales y puede conducir al 
desarrollo de un mecanismo de falla progresiva.
No hay actualmente ningún modo para saber si el proceso de 
excavación y construcción del ademe producirá la suficiente ceden- 
cia en el suelo como para que se desarrolle en éste toda la resistencia 
al esfuerzo cortante y el empuje llegue al valor correspondiente al 
estado activo. De hecho, los puntales suponen una restricción para 
la deformación del ademe que permite pensar que, por lo menos en 
las zonas próximas a ellos, la presión se concentrará fuertemente. 
Ello dependerá de su acuñamiento y del tiempo transcurrido entre 
la excavación y su colocación, principalmente.
Todo lo anterior justifica la afirmación ya hecha de que las 
teorías clásicas de empuje de tierras no ofrecen suficiente confia- 
bilidad en este tipo de estructuras, por lo que, o bien es preciso 
recurrir a otros métodos de cálculo (Anexo IV-i) o a mediciones 
efectuadas sobre modelos a escala natural o en obras reales. A este 
respecto, Terzaghi13 presenta los resultados de medición efectuadas 
durante la construcción de obras en arenas compactas y en arcillas 
de origen glaciar blandas y medianamente firmes.
Durante la construcción del ferrocarril metropolitano de Berlín, 
en arenas uniformes y compactas, con presiones de filtración elimi­
nadas abatiendo el nivel freático, se establecieron celdas medidoras 
en los ademes empleados, obteniéndose curvas reales de distribución 
de presiones. La forma de estas curvas resultó ser bastante errática 
y fuera del marco de las teorías establecidas, aunque conservando 
cierta tendencia parabólica. Con un criterio puramente práctico, Ter- 
zaghi estableció una envolvente sencilla de forma trapecial, útil para 
ser aplicada en cualquier lugar en que hayan de ademarse arenas 
compactas. Esta envolvente se muestra en la fig. IV-22.a.
108 CAPITULO IV
FIG. IV-22. Envolventes prácticos de presión, según Tenaghi
a) Arenas de Berlín
b) Arcillas de Chicago
Respecto a la magnitud de los empujes totales medidos se obser­
vó que eran aproximadamente un 10% superiores a los calculados 
con la Teoría de Coulomb y que estaban aplicados en la zona cen­
tral del ademe. El valor cíe la presión máxima registrada resultó 
ser un 20% menor que la presión máxima correspondiente a una 
distribución lineal de empuje activo. Con estos datos, Terzaghi fijó 
la altura del trapecio envolvente en el valor.
0.8 pA eos 8
donde
pA eos 8 = componente horizontal de la presión máxima calculada 
con la Teoría de Coulomb, (supuesta una distribución 
lineal de presiones).
8 = ángulo de fricción entre el ademe y el suelo, conside­
rado igual a 2/3 <j>
El valor de pA puede calcularse con la expresión:
2 PÁ 
Pá - ~ T T
donde
PA = empuje sobre el ademe calculado según la Teoría de Cou­
lomb, con el método gráfico de Culmann, por ejemplo.
H = altura del ademe.
En arenas sueltas no existen hoy observacionesanálogas a las 
anteriores que sean totalmente confiables. En este caso, Terzaghi
Eropone el uso de la envolvente de la fig. IV-22.a, modificándola asta tomar la forma correspondiente a la superficie a b d e .
En las arcillas blandas o medianamente firmes de origen glaciar 
existentes en Chicago, E. U. A., Terzaghi obtuvo también gráficas 
de distribución de presiones, con medidas directas. La envolvente 
práctica de tales diagramas se muestra en la parte b) de la fig. IV-22 
y también ahora es trapecial. Como en el caso de las arenas, las 
mediciones indican que la distribución real de presiones sobre el 
ademe sigue una ley aproximadamente parabólica, con máximo en 
la parte central y con variaciones que dependen del procedimiento 
de excavación y construcción del ademe, además de las propiedades 
del suelo. La altura del trapecio vale ahora, según Terzaghi
yH — 2 qu
donde qu representa la resistencia de la arcilla a la compresión simple.
Las observaciones de Chicago se hicieron sobre arcillas del tipo 
CL. con resistencia a la compresión simple del orden de 1 kg/cm2. 
La parte superior (2 m aproximadamente) del estrato estaba pre- 
consolidada por evaporación, mientras que las partes más profundas 
eran prácticamente de consolidación normal. Estos datos delimitan 
el campo de aplicabilidad práctica del diagrama de la fig. IV-22.b.
IV-16. Ademado en túneles
El problema del ademado en túneles presenta singularidades de 
interés suficiente como para ameritar un tratamiento especial. En 
efecto, dependiendo de la naturaleza de la roca o el suelo atravesa­
do por la obra y de sus accidentes geológicos, el ademe puede no 
hacerse necesario o, por el contrario, requerirse a un grado que haga 
su costo prácticamente comparable al de las obras de revestimiento 
definitivo y que haga de importancia decisiva los criterios y métodos 
constructivos empleados en su proyecto y erección.
A continuación se presenta una tabla en la que se indican las 
normas más generales de criterio en lo referente a ademado en
MECANICA DE SUELOS (II) 109
CAPITULO IV
Túnel excavado en roca estratificada y fragmentada
MECANICA DE SUELOS (II)
Excavación de un fúnel en roca estratificada
Túnel excavado en roca moderadamente fragmentada
112 CAPITULO IV
túneles que crucen roca. La 
Tabla 4-2 se refiere a la fig. 
IV-23, en la cual se aprecia 
el sentido de las letras usa­
das.
La carga Hp se refiere a 
la altura de roca que se puede 
considerar actuante sobre el 
túnel.
En el Anexo IV -j se de­
talla más esta cuestión tan 
importante y, frecuentemente 
tan descuidada por los inge­
nieros constructores, a menu­
do con deplorables conse­
cuencias.
TABLA 4-2 
Táñeles en R oca14
Estado de la Roca Carga Hp m Observaciones
Roca sana e Intacta cero Ademe ligero, si hay ro­ca explosiva
Roca sana estratificada 0 a 0.5B Cuando sea necesario, ademe ligero.
Roca moderadamente 
fisurada 0 a 0.25B
Ademe ligero, si hay ro­
ca explosiva.
Roca moderadamente 
fragmentada 0.25B a 0.35 (B+H ,)
Ademe en el techo, ra­
ramente en las pare­
des y nunca en el 
piso
Roca muy fragmentada 0.35 (B + H ,) a 1.10(5+//,) Ademe en el techo y en las paredes
Roca triturada y quí­
micamente intacta 1.10(B+H,)
Recomendable ademe 
circular
Roca que fluye plásti­
camente (a poca 
profundidad)
1.10(B+Z/<) a 2.10(B + H ,) Conviene ademe circu­lar
Roca que fluye plásti­
camente (a gran 
profundidad)
2.10(B+//,) a 4.50(B+í/i) Conviene ademe circu­lar
Roca expansiva Hasta 70 m, independiente­mente del valor (B+//()
Indispensable ademe 
circular
TECHO
PISO
FIG. IV-23. Sección de un túnel
MECANICA DE SUELOS (II) 113
IV-17. Tablestacas ancladas
Las tablestacas ancladas son elementos de retención del suelo, 
generalmente en fronteras con agua.
Dependiendo de la profundidad de hincado para un tipo de suelo 
dado, se agrupan en tablestacas de apoyo libre y de apoyo fijo. En 
el segundo caso la tablestaca se hinca lo suficiente como para que 
sólo pueda fallar por flexión o por deficiencia en el anclaje, pero 
se excluye la posibilidad de falla por desplazamiento de su extremo 
enterrado, al ser superada la resistencia pasiva del terreno; obvia­
mente son de apoyo libre las tablestacas que no cumplen estas con­
diciones. De acuerdo con las características de su construcción, las 
tablestacas pueden ser de dragado o de relleno; en las primeras, la 
estructura se hinca en el terreno natural y después se draga su lado 
exterior, cediendo espacio a las aguas; en las segundas, por el con­
trario, se gana terreno al agua hincando la tablestaca de modo que 
una altura importante quede libre y rellenando posteriormente el 
lado interior. En la fig. 1V-24 se muestran esquemáticamente los 
tipos de tablestacas en lo que respecta a sus tipos de apoyos.
Las tablestacas ancladas 
son estructuras que presen­
tan muchas particularidades 
que am eritan un análisis 
especial. Durante siglos se 
usaron bajo una base pura­
mente empírica, sin intentar 
ningún criterio de análisis; 
después, en épocas corres­
pondientes al comienzo del 
presente siglo, se empezó a 
dar una atención especial al 
problema (H. Krey, 1910, 
en A lem ania), elaborán­
dose una serie de teorías 
entre las que la de la "línea 
elástica” y la de la "viga 
equivalente” alcanzaron la mayor popularidad entre los proyectistas. 
Las hipótesis básicas de todas estas teorías15 se presentan a conti­
nuación, con referencia a la fig. IV-25.
En la parte a) de la figura se muestra una tablestaca anclada 
con apoyo inferior libre. Se supone que toda la superficie interior 
está sujeta a presión activa y que en la parte enterrada de la super­
ficie exterior actúa una resistencia pasiva, también calculable por las 
teorías clásicas.
(a)
FIG. IV-24. Tablestacas ancladas
a) de apoyo libre
b) de apoyo fijo
9—Mecánica de Suelos II
114 CAPITULO IV
En la parte b ) de la misma figura aparece una tablestaca anclada 
de apoyo inferior fijo. Se toma ahora en cuenta que en b existe una 
inflexión en la curva elástica de la tablestaca (fig. IV -24.b).
En el diagrama de la fig; IV-25 se muestran las presiones con­
sideradas.
Nótese que abajo del punto de inflexión b las presiones se invier­
ten, teniéndose la activa por el lado exterior y la pasiva en el inte­
rior. La profundidad de hincado D se calcula de tal modo que la 
elástica de la tablestaca satisfaga la condición de apoyo fijo tal 
como ha quedado indicada al comienzo de esta sección; normalmente, 
los cálculos necesarios se realizan dentro del marco de las teorías 
clásicas, o bien por un procedimiento de tanteos o con base en hipó­
tesis simplificatorias.
FIG. IV-25. Concepciones ciáticas respecta al empuje de tierras sobre tablestacas
ancladas
a) de apoyo libre
b) de apoyo fijo
En las épocas en que se desarrollaron las ideas arriba expuestas 
no se sabía nada respecto a su validez; desde entonces se han des­
arrollado un gran número de observaciones que demuestran que las 
hipótesis antes mencionadas no pueden sostenerse si se desea un 
razonable acercamiento a la realidad; sin embargo, estas observacio­
nes no han alcanzado frecuentemente entre los proyectistas el eco 
deseado. En el Anexo IV-k se mencionan las principales observa­
ciones realizadas en los últimos años, reportadas por el Dr. Terzaghi, 
así como las modificaciones que el propio investigador propone para 
el diseño de las tablestacas ancladas.15
ANEXO IV a 
Estados de equilibrio “plástico” en masas de arena de superficie 
inclinada. Teoría de Rankine
En el caso de una masa de arena con superficie inclinada los 
estados de equilibrio plástico pueden encontrarse analizando las con­
diciones de equilibrio de un elemento prismático como el que se 
muestra en la fig. IV-a.l.a.
MECANICA DE SUELOS (II) 115
FIG. IV-a.l. Estados "plásticos" en una masa friccionante semiinfinita
Puesto que el estado de esfuerzos en cualquier plano vertical es 
independiente de la posición del plano dentro del medio, se sigue 
que los esfuerzos en las dos caras verticalesdel elemento de la 
parte a) de la figura mencionada, deben ser iguales en magnitud, 
pero de sentido contrario. Esto conduce a la idea de que la fuerza 
actuante en la cara inferior del elemento debe ser vertical hada arriba 
y de valor yz, dado que se considera unitaria la dimensión del 
elemento según la horizontal. Los esfuerzos normal y tangenrial que 
obran en la cara inferior del elemento en estudio se deducen del 
hecho de que las fuerzas correspondientes que los producen son 
yz eos ¡3 y yz sen (3, respectivamente y de que el área de la cara 
inferior vale 1/cos (3. De ello:
c — yz eos3 (3
( 4 - a . l )
t — yz sen |3 eos 3
Nótese que siempre:
= tg 3 (4-a.2)
por lo que el punto que representa a estos esfuerzos deberá estar 
en una recta que pase por el origen y esté inclinada un ángulo 3 
con la horizontal. Supóngase que D es ese punto.
El círculo de Mohr que represente al estado plástico activo, cau­
sado por una expansión de la masa de suelo en la dirección del talud, 
deberá, por lo tanto, pasar por D y ser tangente a la línea de falla 
del suelo, inclinada <£ respecto a la horizontal, desarrollándose hacia 
la izquierda, al contrario que el círculo representativo del estado 
plástico pasivo, que debe cumplir las mismas condiciones, pero 
desarrollándose hacia la derecha. Los dos círculos nombrados son, 
los que aparecen en la fig. IV-a.l.d.
A partir de estas consideraciones y aplicando la Teoría del Polo 
(Capítulo X I del Volumen I de esta obra) se podrán encontrar los 
esfuerzos ligados a cualquier dirección dentro de la masa y a la 
profundidad z. En efecto, como los esfuerzos r y i anotados arriba 
obran en un plano que forma un ángulo 3 con la horizontal y como 
la linea OD de la fig. IV -a.l.d tiene precisamente esa misma incli­
nación, se concluye que la intersección de OD con el círculo del 
estado activo situará al polo correspondiente al estado plástico activo 
{Pa) y en forma similar podrá obtenerse el punto Pv. que es el polo 
del estado plástico pasivo.
Las direcciones de las superficies de fluencia en ambos estados 
se obtendrán trazando paralelas a las rectas que resultan de unir 
los respectivos polos con los puntos de falla a, a', b y b'.
116 CAPITULO IV
Se obtienen así las direcciones PAa y PÁa' (dA y dA) para el 
caso activo y Ppb y Ppb’ (dp y dp ) para el pasivo. Las partes b) 
y e ) de la fig. IV-a.l representan esas superficies de fluencia.
El esfuerzo principal mayor en el estado "plástico” activo estará 
representado por la abscisa del punto B y su dirección será normal 
a la obtenida uniendo PA y B. Esta dirección forma con las líneas 
de fluencia ángulos de 45° — <j>/2. Análogamente, usando Pp y E, 
podrá obtenerse una dirección que es normal a la del esfuerzo prin­
cipal mayor del estado "plástico” pasivo, que forma ángulos de 
45° + <£/2 con las correspondientes líneas de fluencia.
Para obtener la magnitud de los esfuerzos normal y tangencial 
sobre un plano vertical a la profundidad z, cuya resultante, según se 
vio (fig. IV -a.l.a) es .paralela a la superficie del relleno, simplemente 
se trazará una vertical por el polo PA. cuya intersección con el círcu­
lo de Mohr del estado activo dará un punto cuyas coordenadas 
son los esfuerzos deseados.
Nótese que las coordenadas de dicho punto son, en valor abso­
luto, iguales a las del polo Pa, por lo que el segmento OPA repre­
sentará ahora la magnitud del esfuerzo total actuante sobre el piano 
vertical.
Para 3 = 0, el punto D coincide con B y la presión total sobre un
§lano vertical es horizontal y tiene por magnitud el segmento O A. ¡ste es el caso analizado en la sección IV-3.
Conforme 3 crece, el punto D se mueve sobre el arco Ba (fig. 
IV-a. 1 .d) y el polo PA lo hace sobre el arco Aa; por lo tanto, el es­
fuerzo total actuante sobre el plano vertical a la profundidad z 
(OPA) irá aumentando en magnitud y su dirección será siempre la 
dada por el ángulo 3-
El 3 máximo posible es <j>, si ha de haber equilibrio y en este 
caso D y PÁ coinciden en a.
En el caso general 0 3 ^ la magnitud del esfuerzo total que
actúa en el plano vertical puede encontrarse con base en conside­
raciones geométricas referidas a la fig. IV -a.l. La obtención de esa 
presión, dirigida según 3. o sea paralela a la superficie del relleno 
y actuante sobre el respaldo vertical del mismo, es algo laboriosa y 
no se incluye en esta obra; su expresión es:
f n eos 3 — Veos2 3 — eos2 <f\ v 
PA = yz\ eos 3 ------£ ~ 7 - n j ===== = Y* Kah (4-a.3)
L eos 3 + Veos2 3 — eos2 <¡>J
Donde KAa es el coeficiente de presión activa de tierra, cuando 
la superficie del relleno está inclinada un ángulo 3-
Si 3 = 0 la fórmula 4-a.3 se reduce a la ya vista:
Pa = Y2 r rS * = Y2192(45 ~ */2)= (4'2)
MECANICA DE SUELOS (II) 117
118 CAPITULO IV
Si 3 = (j>, de la expresión 4-a.3 se obtiene:
pA — yz eos P (4-a.4)
Para el caso del estado plástico pasivo puede razonarse en todo 
momento en forma semejante a la anterior, obteniéndose como resul­
tado de la presión ejercida a la profundidad z, contra un plano ver­
tical, el valor.
Pe
r 8 C O S ( i + V c o s ^ j g i l _ Krf
L eos P — V C O S 2 P — C O S 2 <j>J
(4-a.5)
Esta presión también es paralela a la superficie del relleno.
También ahora para p — 0 (relleno horizontal) se llega a las 
fórmulas presentadas en el cuerpo del capítulo (sección ly-3)^ y 
para P = <f> se tiene para la presión pasiva una expresión idéntica 
a la 4-a.4. Nótese que al crecer el ángulo P la presión pasiva dis­
minuye en magnitud, al revés de lo que sucedía con la activa.
ANEXO IV-b 
Empujes contra muros de respaldo no vertical
En las secciones de muros de mampostería en que el respaldo no 
sea vertical o en las secciones usuales de muros de concreto reforza­
do con losa de cimentación han de modificarse los procedimientos 
de aplicación de las fórmulas obtenidas en la sección IV-4.
Fl©. IV-b.l. Diagrama da presión acfiva en muros de concrefo reforzado
Considérense los muros mostrados en la fig. IV -b.l. En ellos la 
línea AB en la parte a) y las aB en las partes b) y e ) correspon­
den a las líneas de fluencia según la dirección d'A de la fig. IV-a.l.d,
representativa de los estados plásticos de Rankine. Al sufrir el muro 
el empuje y desplazarse hada la izquierda, como consecuenda de 
ello, la libertad que existe para que dicha línea se desarrolle por 
completo, es lo que garantizará que se llegue al estado plástico activo 
en todos los puntos del relleno a la derecha de dicha linea, ya que, 
evidentemente, las líneas de fluencia paralelas a la dirección dA, en 
la misma fig. IV-a.l.d, no tienen restricción para su formación.
En la parte a) de la fig. IV-b.l, a partir del punto A, puede 
desarrollarse la línea de fluencia sin ningún obstáculo, a causa del 
ligero bisel en la losa de cimentación. En el muro b) la línea de 
fluencia no puede partir de A, por restricción impuesta por la losa, 
por lo que en la parte Aa no se puede llegar a tener un estado 
plástico activo. En la parte c) de la fig. IV-b-1, además de la 
limitación indicada para b), la línea de fluencia corta al muro en b, 
por lo que las presiones arriba del punto b' no pueden ser las corres­
pondientes al estado plástico activo.
En el caso a), consecuentemente, podrán aplicarse las fórmulas 
de la Teoría de Rankine, presentadas en la sección IV-4 para el 
caso de empuje activo con superficie de relleno inclinada, al cálculo 
del valor de E Á actuante en la sección vertical AC. Una vez obtenido 
EA se encontrará la resultante de dicho empuje con el peso, W, de la 
masa de relleno comprendida entre el plano AC y el respaldo del 
muro.
En el caso b) de la fig. IV-b.l sólo la parte limitada por aB está 
en estado activo y por lo tanto sólo el empuje sobre la parte aC de 
la sección vertical AC podrá calcularse con las fórmulas de la sec­
ción IV-4. La parte de empuje' correspondiente a la sección a A 
tendría que calcularse con otro procedimiento, por ejemplo el de Cou­
lomb; sin embargo, en la prácticael empuje total É A se calcula como 
si toda la línea AC estuviera en la zona del relleno en estado activo 
de Rankine. El error cometido con ello resulta siempre inferior a 2%.
Análogamente, en el caso c) de la figura citada, se ha compro­
bado que si se considera el empuje activo actuando en toda la sección 
AC, el error cometido no suele sobrepasar al 6%.
Tanto en el caso b) como en el c) los empujes activos calcula­
dos deberán componerse con el peso W para encontrar el efecto 
total del relleno sobre el muro.
En muros de mampostería con respaldo inclinado pueden suceder 
dos casos. El primero, que la línea AB quede dentro del relleno, en 
cuyo caso vale todo lo arriba dicho, resultando el empuje total de la 
composición de empuje activo actuante sobre un plano vertical tra­
zado por el pie del respaldo, con el peso de la cuña comprendida 
entre dicho plano y el respaldo del muro. Pero si la línea A S cae 
dentro del cuerpo del muro no podrá desarrollarse el estado activo 
en el relleno y la presión sobre el muro será mayor que la correspon­
MECANICA DE SUELOS (II) 119
120 CAPITULO IV
diente a dicho estado. En ese caso es recomendable recurrir al mé­
todo de Coulomb para calcular el empuje.
ANEXO IV-c
Extensión de la Teoría de Rankine en snelos con “cohesión” y
“fricción”
En el cuerpo de este capitulo se analizó la Teoría de Rankine 
para suelos con "cohesión” y "fricción”, en el caso de relleno de 
superficie horizontal y muro de respaldo vertical.
En el presente Anexo se extenderá tal teoría, primero al caso 
en que el relleno tenga como superficie límite un plano inclinado y, 
segundo, al caso de muros con respaldo no vertical. Se diferenciará 
la presión activa de la pasiva.
Considérese una masa de suelo limitada por una superficie plana 
que forme un ángulo 3 con la horizontal. Si se considera un ele­
mento de espesor unitario y altura dz a la profundidad z, puede lle­
garse a las expresiones:
ct = yz eos2 3 
t = yz sen 3 eos 3
Fl©. IV-c.l. C irc u io s de M o fo p a ra e l e s ta d o p lá s t ic o a c t iv o en do s p ro fu n d id a d e s 
d ife re n te s . Suelos con "c o h e s ió n " y " f r ic c ió n "
para los esfuerzos normal y tangencial actuantes sobre un plano para­
lelo a la superficie del relleno.
En la fig. IV-c.I dichos esfuerzos están representados por el 
punto D. El círculo de Mohr correspondiente al estado plástico activo 
del elemento será tangente a la envolvente de falla que, incidental­
mente, no pasará por el origen, (círculo 1).
El polo, P/¡, podrá encontrarse trazando por D una paralela 
a la superficie del relleno hasta cortar al círculo. Esta línea pasará 
por el origen y no es paralela a la envolvente de falla, salvo el caso 
especial en que |3 = <£. La dirección de las superficies de fluencia 
a la profundidad z específicamente está dada, según se discutió en el 
cuerpo de este capítulo, por d A y d A1, direcciones que se cortan al 
ángulo de 90 —
Si se considera otro elemento análogo a una profundidad mayor 
que la anterior, de modo que los esfuerzos normal y tangencial en 
la dirección $ de la superficie del relleno, estén representados por 
el punto iy, se tendrá un nuevo círculo correspondiente al estado 
plástico activo (2 de la fig. IV -c.l). Una de las direcciones de las 
superficies de fluencia, a esta nueva profundidad, está dada por la 
cTÁ. Debe observarse que en este caso de suelo “cohesivo” y “fric­
cionante", la dirección de la línea de fluencia varía con la profundi­
dad, según se desprende del hecho de que d ' A no es ya paralela a 
d A . Así, ahora las líneas de fluencia del estado plástico activo ya no 
son rectas, sino curvas, como las mostradas en la fig. IV-c.2.
MECANICA DE SUELOS (II) 121
FIG. IV-c.2. E stado p lá s t ic o a c t iv o on suelos co n "c o h e s ió n " y " f r ic c ió n "
Obsérvese que las superficies de fluencia conjugadas también 
resultan curvas, ya que deben formar con las primeramente conside­
radas el ángulo constante 90° —
El efecto arriba mencionado es indudablemente debido a la in­
fluencia de la "cohesión” y por lo tanto debe tender a disiparse 
conforme la profundidad aumenta; en otras palabras, a profundidad 
creciente, las líneas de fluencia tienden a ser las correspondientes 
a un material puramente friccionante.
En la fig. ÍV-c.2 se ha considerado el hecho práctico de que el 
suelo no trabaja a la tensión. Por ello se ha tomado en cuenta una 
zona de profundidad.
2o = — V Ñ ; (4-27)
r
en la cual podrán presentarse grietas.
El diagrama de distribución de presiones sobre un muro de 
respaldo vertical deberá empezar a la profundidad z0 y, como se des­
prende de la fig. IV -c.l, la intensidad de las presiones ya no es pro­
porcional a la profundidad, puesto que los círculos 1 y 2 ya no 
son tangentes a una envolvente que pase por el origen. La distribu­
ción es del tipo mostrado en la fig. ÍV-c.2 y puede también decirse 
que esta distribución, a profundidad creciente, tiende a la lineal, 
correspondiente al material considerado como puramente friccionante, 
En la práctica, sin embargo, la distribución de presiones se con­
sidera lineal, con el empuje resultante paralelo a la superficie del 
relleno y pasando a través del centroide del área del diagrama de 
presiones. La magnitud de este empuje práctico puede calcularse 
como el área del diagrama lineal de presiones, multiplicando la 
altura (H — z0) por la mitad de la presión actuante en la base del 
muro; ésta puede obtenerse gráficamente en el diagrama de Mohr 
midiendo la distancia OPa•
En el caso de que el respaldo del muro sea inclinado podrá 
hacerse una discusión similar a la efectuada en el Anexo IV-b. En 
la práctica, sin embargo, es usual proceder como allí se indica, com­
poniendo la presión actuante sobre un plano vertical trazado por el 
extremo de la base del respaldo con el peso de la cuña de suelo 
comprendida entre ese plano y el respaldo del muro.
En el caso del estado plástico pasivo puede razonarse de un modo 
análogo al activo. Ahora es preciso suponer que, bajo la acción del 
muro, el suelo se comprime lo suficiente como para que se desarrollen 
en todo punto esfuerzos cortantes iguales a la máxima resistencia. En 
este caso, por estar toda la masa sujeta a esfuerzos de compresión, 
no habrá zona de agrietamiento. Las líneas de fluencia no son rectas, 
si la superficie del relleno es inclinada; uno de los ángulos formados 
por las líneas al cortarse sigue siendo 90° + <¡>. La distribución de 
presiones sobre un plano vertical da lugar a un diagrama convexo, 
en lugar de cóncavo como resultaba en el caso del estado activo; 
no existe forma práctica para tomar en consideración tal diagrama
122 CAPITULO IV
de presiones y en los trabajos diarios se aproxima con ley lineal, 
siendo su área igual al empuje total que se considera.
Al igual que en el estado activo, si la superficie del relleno es 
horizontal, las líneas de fluencia para el caso pasivo se vuelven rectas 
y el diagrama de presiones resulta rigurosamente lineal, con lo cual 
se obtienen las fórmulas presentadas en la sección IV-6,
En todas las discusiones anteriores, para que logren desarrollarse 
los estados plásticos activo o pasivo, es preciso suponer que la defor­
mación del muro es la requerida para ello. Como en ambos casos 
lo que se necesita es que entre en estado plástico una cuña de mate­
rial que parta del pie de la base del muro, el desplazamiento de éste 
no precisa ser una traslación paralela a sí mismo, sino que basta con 
que el muro pueda girar alrededor del pie de la base, para que pueda 
considerarse que los estados pueden generarse. Al considerar la 
resistencia del suelo como definida por los parámetros c y <¡>, se 
admite que el material es “cohesivo” y “friccionante”; como este no 
es el caso, según se discutió ampliamente, las líneas de fluencia de­
berían de modificarse de modo que sólo tomasen en consideración las 
propiedades del suelo en términos de sus esfuerzos efectivos, que 
haría que sufriesenmodificaciones inclusive las distribuciones de 
presiones sobre el muro. Desde este punto de vista, aún en los 
materiales puramente "cohesivos”, las líneas de fluencia deberían 
de cortarse a 90° + <¡>, siendo <f> el ángulo de fricción interna del 
suelo. El problema se torna muy complejo si se desea tomar en cuenta 
en la Teoría estricta a las propiedades reales del suelo y se complica 
especialmente si se introducen condiciones de preconsolidación. Po­
dría decirse que este tema puede considerarse realmente inexplorado 
hasta hoy y que apenas se ha completado la etapa de aplicación 
de teorías a materiales ideales, sin que por el momento hayan crista­
lizado las inquietudes sugeridas en los investigadores ante el com­
portamiento real de los suelos, cada día mejor conocido.
En realidad la Teoría de Rankine debe verse tan sólo como un 
marco de referencia que permita al lector ubicar sus ideas y poder 
así enfrentarse con cierta sensación de estabilidad a los problemas 
reales del suelo. En las secciones de este capítulo se discuten factdres 
importantes que deben tomarse en cuenta cuando la estructura de 
contención tiene limitaciones para desplazarse lo requerido en los 
estados plásticos.
ANEXO IV-d 
Influencia de la rugosidad del muro en la forma de las lineas de 
fluencia. Suelos “friccionantes”
Si el respaldo vertical de un muro de retención es rugoso, se 
desarrollan a lo largo de él esfuerzos cortantes que influyen en la
MECANICA DE SUELOS (II) 123
forma de las líneas o superficies de fluencia. Considérese un muro 
de respaldo vertical rugoso, con relleno horizontal constituido por 
un suelo puramente “friccionante”. Si el muro se desplaza o gira en 
tomo a su base alejándose del relleno, la masa de arena que tiende 
a deslizar genera esfuerzos cortantes en el respaldo del muro a causa 
de su tendencia a bajar. Estos esfuerzos cortantes inclinan al empuje 
activo resultante un ángulo S respecto a la normal en el plano de con­
tacto; éste es el ángulo de fricción entre el suelo y el muro. Este 
ángulo se considera positivo cuando la reacción del muro sobre el 
relleno tiene componente vertical dirigida hacia arriba. En la fig. 
IV-d.l .a se presenta este caso, anotándose las líneas de fluencia 
resultantes en tales circunstancias.
124 CAPITULO IV
FIS. IV-d.l. L ineas d e f lu e n c ia en su e lo " f r ic c io n a n te " con m uro d e re sp a ld o rugoso
La zona deslizante tiene una frontera que puede considerarse 
compuesta de dos tramos: el bd, curvo y el de, recto. La cuña ade 
está formada por dos familias de líneas rectas de fluencia que corres­
ponden al estado activo de Rankine. La cuña abd está formada por 
dos familias de líneas que, como las anteriores, se cortan a 90° — <j>.
Si por alguna razón, la presencia de una carga vertical sobre la 
cresta por ejemplo, el muro tiende a bajar respecto al relleno, el 
ángulo S se invertirá y la componente vertical de la reacción del muro 
sobre el relleno será hacia abajo. En este caso (fig. IV-d.l.b) la
cuña deslizante resulta mucho menor y las líneas de fluencia se zoni- 
fican como antes, invirtiéndose la curvatura de las que no son rectas.
Algo completamente análogo puede decirse del caso de empuje 
pasivo, si bien en este caso el ángulo 8 se considera positivo si la 
acción del muro sobre el relleno tiene componente vertical dirigida 
hacia abajo, (figs. IV-d.l. c y d).
MECANICA DE SUELOS (II) 125
ANEXO IV-e
Deducción de la fórmula de Coulomb para presión de tierra en 
suelos friccionantes. Construcción de Rebhann-Poncelet
IV-e.l Construcción de Rebhann-Poncelet
Para la deducción de la fórmula de Coulomb es un excelente pun­
to de partida una construcción gráfica presentada en 1871 por G. 
Rebhann7, sobre una solución originalmente debida a V. Poncelet8.
Por sí misma la construcción mencionada puede usarse para en­
contrar el empuje de proyecto y el plano de falla crítico; desde este 
punto de vista la construcción representa un método gráfico de análo­
gos efectos a los de Culmann o Engesser.
Las etapas de la construcción, con referencia a la fig. IV -e.l, son 
las siguientes:
1. Prolongúese CD hacia ambos sentidos
2. Dibújese AC, con C en el primer quiebre del relleno
3. Dibújese una línea paralela a A C por B, hasta que corte a
CD prolongada, en F
4. Dibújese una línea por A, que forme el ángulo <f> con la 
horizontal y llévesela hasta que corte CD en G
5. Dibújese FH, perpendicular a AG por F
6. Dibújese FI, formando un ángulo w + 8 con FH
7. Trácese un semicírculo con diámetro AG, siendo / su centro
8. Dibújese por I una perpendicular a AG, hasta K
9. Con A como centro y AK como radio trácese un arco que 
cortará a AG en L
10. Dibújese ML, paralela a FI
11. Con centro en L y ML como radio, dibújese un arco de círcu­
lo que cortará a AG en N
12. Dibújese MN
13. Dibújese AM.
El área LMN, multiplicada por y del relleno, es el empuje total 
que se ejerce sobre el muro. La línea AM es la traza del plano crítico 
de falla y el ángulo VA M es el ángulo de ruptura.
126 CAPITULO IV
Fl©. IV-e.l. C o n s tru cc ió n de R ebhann-P once le t
IV-e.2 Demostración de la construcción de Rebhann-Poncelet
Se hará en las siguientes etapas (fig. IV -e .l) :
1. El peso de la cuña deslizante, W, puede encontrarse como 
sigue: los triángulos A C F y ACB s<jn de igual área, por tener igual 
base (AC, común) e igual altura “(yues B F es paralela a A C por 
construcción).
Así el área de la cuña ABCM es igual a la del triángulo AFM.
Entonces, si AO es normal a FM , se tiene:
W = ^ y OA • FM (4 -e .l)
2 . La expresión para E puede determinarse como sigue:
Dibújese MQ, perpendicular a AG; ya que ML es paralela a Fl
y el ángulo IFH vale w + 8,
4 LMQ = 2L IFH = w + 8
Dibújese la vertical MR. Entonces por la etapa 4 de la cons­
trucción:
4 QMR = 4 SAG = <¡>
Sea el 4 VAM — a. Entonces en la figura se ve:
4 RMA = 4 VAM = a
Así:
4 L M A = 4 LMQ + 4 Q M R + 4 RM A— w + 8 + <f> + a
y 4 LAM = 90° — 4 SAG — 4 VAM = 90 — £ — a
En el triángulo LM A:
LM senX-^ LAM) _ sen(90 — <j> — a)
AL s e n (4 LMA) ~ sen(w + 8 + <j> + a) e
La cuña ABCM está en equilibrio por la acción de E y F (parte 
b ) de la fig. IV -e .l). El triángulo abe de fuerzas es el que se muestra 
en la parte c) de la misma fig. IV -e.l. De él:
E sen á sen (90 — <f> — a)
MECANICA DE SUELOS (II) 127
128 CAPITULO IV
De las ecs. 4-e.l y 4-e.4:
E = AO • F M (4-e.5) 
Los triángulos FIG y MLG son semejantes, por lo que:
m = T ¡ ? PM = P G ^ <4- 6 >
m = K T '■ L M ^ L G ^ (4-e.7)
De las relaciones 4-e.5, 4-e.6 y 4-e.7 se tiene:
E = h A O F G Tü-L G T 5 ^ L
de donde
f f _ l A O -F G -IF 1L-LG lt
£ - 2 T — 1 7 B ? -------------3 2 “ , 4 -e'8 >
3, La localización del plano crítico de falla puede determinarse 
como sigue:
En la expresión 4-e.8, todas las cantidades son constantes que 
dependen del peso específico del suelo, las dimensiones del muro y 
la forma de la superficie del relleno, con excepción del último que­
brado, cuyo valor es función de la posición del plano de ruptura AM.
Para encontrar el máximo valor de E, que es el que deberá uti­
lizarse en el proyecto de un muro, deberá obtenerse el valor máximo 
del quebrado:
IL ■ LG 
AL
Para facilitar la nomenclatura se hará:
AG = a AI = b y AL = y
entonces:
IL — y — b LG — a — y
por lo tanto:
El problema se centra pues en encontrar el valor de y que haga
máximo el valor de Y en la ec. 4-«.9. Al diferenciar dicha expresión
respecto a y, se tiene
| L = + £ ± - i = o
9.9 y
de donde se llega al valor:
y = \íab (4-e.lO)
Debe demostrarse ahora que la construcción presentada en el 
apartado IV-e.l, satisface la ec. 4-e.lO.
Desde luego, en el triángulo rectángulo AIK
(A K ) 2 - ( A I ) 2 + (IK ) 2 
y en el triángulo rectángulo IK]
(IK ) 2 = (JK )2 - ( ] I ) 2
por lo tanto
= (AI ) 2 + ( JK)2 - (//) =
MECANICA D E SUELO S (II) 129
pero
AK = AL = y, AI = b, ]K = JI = b - j
substituyendo
y>= » - + ( - 2- ) ‘ - ( ‘ - t ) ’ = * 6
de donde
y = Vah
que es la expresión 4-e.lO. Así la construcción de Rebhann-Pon- 
celet queda justificada y debe proporcionar el valor de E máximo 
posible, para un problema dado.
La construcción es válida sólo en el caso en el que el punto M 
caiga entre el muro y el punto D. Tampoco puede aplicarse sin mo­
dificación a muros tipos voladizo. En este caso debe calcularse pri­
mero el empuje contra un plano vertical por el punto extremo de la 
base del muro y combinar ese empuje con el peso de la cuña de 
suelo comprendida entre ese plano y el respaldo del muro.
10—Mecánica de Suelos II
IV-e.3. Deducción de la fórmula de Coulomb
Considérese el caso mostrado en la fig. IV-e.2 en el que un 
relleno de superficie inclinada ejerce un empuje contra un muro de 
respaldo plano. Si se aplica a ese caso la construcción de Rebhann- 
Poncelet podrá notarse que los puntos F y C coinciden con el B y 
que el punto G cae ahora sobre la superficie del relleno.
130 CAPITULO IV
Con el punto F considerado en B, la fórmula 4-e.8 queda:
„ 1 f AO • BG • IB1IL • LG . . .
El término entre paréntesis rectangulares es constante y depen­
diente solo de los valores de H, 0, w, 8 y fijos para un problema 
dado. El último término de la expresión depende de la posición del 
plano de falla AM; ya se vio que ese valor es máximo si:
y = Vab
de la figura
AO = AB ■ eos (w — 0)
MECANICA DE SUELOS (II) 131
en el triángulo ABG
BG = AB sen (90° — <t> + w) 
sen (tf>- 0)
en el triángulo ABI
IB — A B sen (90° <j> + w)
- A ü- sen (90o ^ s - w )
también de la figura se deduce
IL — tj — b, LG — a — y, AL = y, IG — a — b
y
IL ■ LG _ (y — b) (a — y) _ a¿ , , - X j — - — a — —
pero y = Vab, para obtener el máximo empuje; por lo tanto
— xt— — a — 2 V ab + b —----------------A.L a
substituyendo en la ec. 4-e.ll, se tiene:
p — * / jm , / sen (90° — <¿> + w)
£ - ¿ a f a - p ) x
v . d sen (90 — <£ + o») (a — Vafe)2 
sen (90 — 8 — te) a ( a - 6 ) 2
lo cual da:
p _ J_ , ab\2 COS (w — P) eos2 (<ft — m) Afi ( a — Yab\ 2
2 sen (<f> — 0) eos (w + 8) a \ a — b ]
(4-e.l2)
En la fig. IV-e.2 puede verse que:
AB = — • ^ _ sen (<ft — 0) _ sen ( — 0)
eos m ’ a — sen (90° + 0 — w) ~ eos (w — 0)
_ /ah
a — V a F 1 — V i 2 1
- * , - ± - 1 + .|T
b _ sen (8 + >̂) _ sen (8 + <t>)
AB sen (90 — S — w) eos (S 4- w )'
a _ sen (90 + (3 — tv) _ eos (w — 3)
AB sen (<f> — 3 ) sen(<¡!>— 3)
de lo anterior
b _ b/AB _ sen (8 + $) sen (̂ > — 3 )
a a/AB eos (S 4- w) eos (w — 3)
substituyendo todos estos valores en la ec. 4-e.l2 se tiene
B = — y H 2 1 eos (w — 3) eos2 (<f> — w) sen (<¡> - 3)
2 c0s2u> sen (<¡> — 3) eos (5 + w) eos (w — 3)
x 1________________
. sen (S + <ft) sen ( .̂ — 3) ~[2
L eos (S + w) eos (w — 3) J
lo cual aún puede simplificarse hasta llegar a
E — — y H 2 _____________________ eos2 (<f> — w) _
2 , S ~ " I sen (8 + <í>) sen (<£ — 3) 1 2eos- u> eos (5 + w) 1 + J -----
L \ cos(5 + w)cos(w — 3) J
que es la expresión 4-30 a la que se quería llegar.
132 CAPITULO IV
ANEXO IV-Í
Teoría de Coulomb en suelos friccionantes, aplicada a algunos 
casos especiales de interés práctico
IV-f.l. Análisis de sobrecargas
La fórmula 4-30 puede ser utilizada para tomar en cuenta la pre­
sencia de sobrecargas uniformes sobre la superficie del relleno, pero 
no sirve para manejar sobrecargas no uniformes o cargas lineales.
En rellenos horizontales o planos inclinados un ángulo 3 con la 
horizontal, el procedimiento usual para tomar en cuenta una sobre­
carga uniforme es transformarla en un colchón de tierra equivalente. 
Si p es la presión uniforme y y e l peso específico del suelo, la altura 
del colchón equivalente será:
MECANICA DE SUELOS (II) 133
El diagrama de presiones será en este caso trapecial y si el muro 
tiene altura H, el empuje total vale:
E = M h ' H + Y Hi)K H'f l )
donde K tiene el sentido que se desprende de la fórmula 4-30. El 
empuje estará aplicado en el centroide del área del trapecio de 
presiones.
IV-f.2. Relleno estratificado
Si el relleno tras el muro está formado por varios estratos de 
suelo de espesor constante y paralelos a la superficie del relleno, la 
presión lateral total podrá calcularse considerando la carga total 
sobre cada estrato como sobrecarga uniforme. También ahora el 
valor de K de la fórmula 4-f.l, aplicada al caso presente tiene 
el sentido con que aparece en la expresión 4-30. Es conveniente 
proceder de arriba a abajo en la consideración de los distintos 
estratos.
IV-f.3. Muro de respaldo quebrado
Si un muro tiene su respaldo quebrado como el mostrado en la
fig. IV -f.l, la fórmula de 
Coulomb podrá aplicarse 
por etapas. Un empuje E x 
podrá obtenerse con la ex­
presión 4-30 para la parte 
BB' del respaldo. El empuje 
E 2 se supone ser el corres­
pondiente a la parte del dia­
grama lineal de presiones 
actuante sobre A V que cu­
bre la parte AB del respal­
do. El empuje de proyecto E 
es la resultante de esos dos 
y pasa por su intersección.
134 CAPITULO IV
ANEXO IV-g 
Construcción gráfica de Engesser
La construcción de Engesser es análoga a la de Culmann y se 
aplica de un modo similar. Con referencia a la fig. IV-g.l, la cons­
trucción puede realizarse como sigue:
¥.na,y?z„ trabadas las líneas <j> ’ y "0" en la forma vista en la 
sección IV -8, llevense sobre la línea " f y a partir de A segmentos 
Aalt Aa2 . etc. que representen, a una cierta escala de fuerzas, a 
los pesos W j W« .. . etc. de las diferentes cuñas deslizantes supues­
tas y limitadas por los planos Abt, Ab2 . . . etc.
Por los puntos au a2. . . etc., trácense paraielas a los respectivos 
pianos de deslizamiento Abu Ab , . . . etc.
Una vez dibujadas estas líneas es fácil trazar su envolvente con 
suficiente precisión. Esta linea aparece con trazo lleno en la fio. 
IV-g.l y recibe el nombre de curva de Engesser. La curva de En­
gesser corta a la “línea 6" en el punto c, tal que Ac es el empuje 
máximo buscado, representado a la escala de fuerzas utilizada en 
el dibujo.
En eíecto, es fácil ver, para la cuña deslizante 1 por ejemplo, 
que el triángulo Aa-iCi es semejante al triángulo de fuerzas que 
aparece en la citada fig. IV-g.l, de modo que el segmento Aci es el 
correspondiente empuje, a la escala de fuerzas usada. Asi el segmento 
Ac es el máximo de los empujes obtenibles. No se considera necesa­
rio detallar más la demostración del método que es en todo análoga 
a la presentada para el procedimiento de Culmann.
El punto de aplicación del empuje puede obtenerse como se indicó 
para el método de Culmann.
ANEXO IV-h 
Arqueo en suelos
En el cuerpo de este capítulo se trató el arqueo en suelos desde 
un punto de vista puramente cualitativo, exponiéndose brevemente en 
que consiste este importante efecto. Insistiendo en este aspecto pura­
mente descriptivo, se expone a continuación un experimento que 
permite visualizar el efecto en forma muy clara.
Considérese una balanza sobre una mesa. Sobre uno de los 
platillos de la balanza está situado un cilindro vertical de vidrio 
o lucita, de modo que el cilindro no toque el platillo, por estar provisto 
de un apoyo independiente situado sobre la mesa. Én el otro platillo 
se ha colocado un recipiente con agua, provisto de una llave de 
purga; el agua extraída se recogerá en una probeta graduada. En el 
platillo situado bajo el cilindro de vidrio se coloca un contrapeso 
que equilibre al peso del recipiente colocado en el otro platillo cuando 
esté vacío de agua. La fig. IV-h.l muestra un esquema de la dispo­
sición de los elementos antes citados.
Una vez colocado el cilindro muy cerca del platillo, pero sin 
tocarle, con la balanza fija (sin movimiento en los platillos), se llena 
de arena, dejándola caer por la parte superior. La arena descansa 
así directamente sobre el platillo. Al mismo tiempo, en el otro platillo, 
se coloca agua en el recipiente contrapesado, de manera que el peso 
del agua sea igual al de la arena del primer platillo.En estas condi­
ciones se dejan en libertad los platillos observándose, como es natu­
ral, que quedan equilibrados. Si ahora se abre la llave de purga 
del recipiente que contiene el agua, permitiendo que ésta fluya hacia 
la probeta, se observará que la balanza no se desnivela, aún cuando el 
peso que se pierda de agua sea importante.
Cuando sólo una pequeña fracción del agua original quede en 
el recipiente, se notará que la balanza llega a desnivelarse, derra­
mándose la arena del cilindro a través del espacio producido bajo 
él por el movimiento de la balanza.
MECANICA DE SUELOS (II) 135
Una interpretación sugestiva del experimento descrito consiste 
en suponer que lo que sucede en el cilindro es que cuando el platillo 
tiende a bajar y a ceder bajo la arena, ésta empieza a trabajar por 
arqueo transmitiendo su peso, por fricción, a las paredes del cilindro. 
Este efecto disminuye el peso de la arena que gravita sobre el 
platillo. A medida que sigue drenándose el agua del recipiente del 
otro platillo, el primer platillo bajo la arena seguirá bajando una 
magnitud imperceptible, pero suficiente para dar lugar a mayor 
desarrollo del efecto de arqueo en la zona inferior de la arena. La 
zona superior gravitará sobre los arcos o, mejor dicho para este caso, 
bóvedas formadas en la masa granular inferior. El desequilibrio de la 
balanza se presenta cuando el peso del agua es igual prácticamente 
al peso de la arena contenida en el semi-elipsoide de revolución 
indicado en la figura por trazo discontinuo, pues esta masa de arena 
no tiene ninguna otra forma de sustentación posible. Una vez roto 
el equilibrio, este volumen de arena cede permitiendo el desplome de 
los arcos o bóvedas con la consecuencia del derrame de toda la arena 
observado en el experimento.
136 CAPITULO IV
FIG . IV-h. I Experimento que ilustra e l efecto de arqueo en suelos granulados
A este efecto de arqueo suele también llamársele acción de silo 
por presentarse en los silos para el almacenaje de cereales.
Las teorías de arqueo más estudiadas se refieren por lo general 
a dos problemas específicos: el primero considera un estrato de
arena de extensión infinita, pero espesor finito, descansando sobre 
una base infinita de la cual cede una sección angosta de longitud 
infinita; es decir, se analiza un problema de deformación plana; el 
segundo problema considera el caso de un elemento vertical de sopor­
te que gira en torno a su extremo superior, provocando el arqueo 
de la masa del relleno. En la fig. IV-h.2 (a y c) se esquematizan 
ambos problemas mencionados.
MECANICA DE SUELOS (II) 137
Z O N A O E C E O E N C lA
F IS . IV-h.2. ¿os dos problemas más preferentemente tratados por las Teorías de Arqueo
Terzaghi11 distingue tres tipos de teorías de arqueo, en referencia 
al tratamiento del primero de los dos problemas mencionados.
1 ) Teorías en las que se consideran las condiciones para el equi­
librio de la arena localizada inmediatamente arriba de la zona 
de cedencia, sin investigar si los resultados obtenidos son 
compatibles con las condiciones de equilibrio de la arena 
situada más lejos de dicha zona.
2 ) Teorías basadas en la hipótesis de que la masa completa de 
arena colocada sobre la frontera que cede está en condiciones 
de equilibrio crítico. Esta hipótesis no es compatible con los 
datos experimentales de que se dispone.
3) Teorías en que se supone que las secciones verticales ad y be 
(fig. IV-h.2.a), que pasan por los extremos de la faja de 
cedencia son superficies de deslizamiento y que la presión 
sobre la frontera cedente es igual a la diferencia entre el peso 
total de la masa de arena colocada sobre esa frontera y la 
resistencia friccionante desarrollada a lo largo de las superfi­
cies de fluencia. Las superficies reales de deslizamiento son la 
ae y bf, curvas, según indican los datos experimentales, con 
una separación mayor en la superficie que el ancho de la 
zona de cedencia; por lo tanto la fricción a lo largo de las su-
perficies verticales supuestas no puede estar totalmente des­
arrollada, pues esas superficies no son, estrictamente ha­
blando, superficies de fluencia. Este hecho produce un error 
del lado de la inseguridad.
Las Teorías de los tres grupos conducen a resultados diferentes 
entre sí y puede decirse que el fenómeno de arqueo no ha sido 
estudiado en la realidad lo suficiente como para poder juzgar el 
valor relativo de cada una de ellas. El grupo más sencillo de anali­
zar es el mencionado en tercer lugar y una Teoría de este grupo 
es la que se expone a continuación.
En ella se considera que la resistencia del suelo está dada en 
general, por la ley de Coulomb:
5 = c + ctg<£
Se considera también inicialmente que en la superficie del terreno 
considerado actúa una sobrecarga q.
IV-h.2.a se muestra un elemento prismático de suelo 
situado a la profundidad z y de espesor dz. El esfuerzo vertical en la 
cara superior se denomina cr„ y el esfuerzo horizontal, en las caras 
laterales, se supone ser:
cjh = K e v (4 -h .l)
donde K es una constante.
Considerando el equilibrio vertical del prisma elemental se tiene:
2Bydz ~ 2 B (<yv + dav) - 2Bav + 2cdz + 2Kavtg<t> dz (4-h.2)
Simplificando y operando puede llegarse a:
dtxv , K c
- + av- m = r - - E . (4-h.3)
que es una ecuación diferencial lineal, de primer orden y primer 
grado. Resolviéndola se tiene
o'v = e - f áz[ J Q e~Jí>ííz dz + C]
donde
P = § tg* y Q = r ~ § -
por lo tanto
OV = c-1<*/*> ~ -§•){ «»(*/«»* dz + C
operando
C\
138 CAPITULO IV
MECANICA DE SUELOS (II) 139
Teniendo en cuenta el planteamiento del problema puede escri­
birse la siguiente condición de frontera:
av — q si z — 0 (d-h.5)
Aplicando esta condición a la solución 4-h.4 se llega a:
B
( - 5 ) .ffv - — ' ----- 11 _ e-Kt'Hi/n, ) + q (4. h 6)
K tg<¡>
Donde c es la base de los logaritmos naturales. Si el material 
que constituye el estrato bajo estudio es puramente "friccionante” 
(c ~ 0), la ecuación anterior se reduce a :
ff, = - (1 - C-Kt" ^ ñ>) + q (4-h.7)Ktg $
Si la sobrecarga q es nula, la ec. 4-h.7 aún puede reducirse a:
oy = (1 - e“Alŝ (s/B)) (4-h.8)Ktg (¡>
Cuando z tiende a oo el valor de oy para un estrato de arena 
limpia, sin sobrecarga, tiende a:
" = ■ & ■ (*-h9>
que naturalmente es constante. Se ve entonces que, en este caso, la 
presión vertical dentro de la arena ya no sigue la conocida ley lineal 
sino que su gráfica se hace curva, acercándose asintóticamente al 
valor (4-h.9); de manera que, según la Teoría expuesta, la presión 
que actúa en la frontera cedente resulta menor de lo que se deduciría 
de la profundidad de tal frontera. Viendo la fórmula 4-h.9 y consi­
derando, para fines apreciativos, un valor <j> — 30° y K =1, se tiene:
ffr = 2 By (4-h.lO)
lo cual indica que, para esos valores, la presión que se ejerce sobre la 
zona cedente es únicamente la correspondiente a una columna de 
arena de altura 2B, o sea el ancho de dicha zona cedente. Es impor­
tante notar, en la ec. 4-h.9, que el valor de la presión vertical ov 
es proporcional al ancho de la zona cedente, 2B.
Pero por otra parte, los datos de la observación experimental 
en arenas12 han demostrado que el valor de K aumenta desde 1, muy 
cerca del centro de la frontera que cede, hasta 1.5 en una elevación 
2B sobre ese punto. A elevaciones mayores que 5B aproximadamen­
te parece ser que el hecho de que la frontera ceda ya no influye
140 CAPITULO IV
en el estado de esfuerzos de la arena. Estos hechos experimentales 
imponen la hipótesis de que la resistencia al esfuerzo cortante de 
la arena se moviliza sólo en la zona inferior de espesor z2 de las 
superficies de deslizamiento ad y be; con esta hipótesis, la parte su­
perior de la masa de arena actúa sobre la masa que se extiende en 
la altura z2 simplemente como una sobrecarga q y la presión en Id 
frontera cedente debe entonces calcularse haciendo uso de la fórmula 
4-h.7.
Si Zi (fig. 4-h.2.a) es la profundidad a lo largo de la cual no 
existen esfuerzoscortantes en las superficies verticales de desliza­
miento, se tendrá
q = yz,
Por lo tanto, para ese valor de q y para z = z2, profundidad 
en que la resistencia al esfuerzo cortante de la arena si se moviliza, 
la ec. 4-h.7 queda:
OV = (1 - e-K ) + y Zie-* .strwi) (4-h.l 1)
Atg$
Cuando z2 tiende a oo el valor de crv tiende a
- = 4 <4-h-9 >
que es el mismo valor 4-h.9, constante.
Por lo tanto, cuando una parte de la frontera inferior de una masa 
de arena de gran espesor cede, la presión sobre esta zona cedente no 
es igual a la correspondiente a toda la altura de la arena que gravita 
sobre ella, sino que alcanza un valor menor que tiende al dado por 
la expresión 4-h.9, independientemente de la profundidad.
Por ejemplo, si <¡> = 40°, K = 1, zx =■ 45, la presión de la arena 
crece según ley hidrostática con la profundidad hasta el valor 
Zi = 45, pero abajo de éste, la presión queda medida por la 
ec. 4-h.l 1 y disminuye cuando la profundidad aumenta, acercán­
dose asintóticamente al valor 4-h.9. La teoría indica que a una 
profundidad de más de 85, la influencia del peso de la arena en 
el espesor zx ya es despreciable, pues a tal profundidad el valor de 
o» ya se acerca suficientemente al valor final constante. También 
puede decirse que a una elevación de más de 45 ó 65 sobre el centro 
de la zona cedente, la presión sobre tal zona cedente ya no se ve in­
fluenciada por el estado de esfuerzos prevalecientes en las capas su­
periores de la arena.
En realidad, la transición entre la resistencia al esfuerzo cortante 
totalmente movilizada en la parte baja de la superficie de desli­
zamiento ad y be y el valor nulo en las partes altas de esas superfi­
cies es seguramente gradual y, por lo tanto, también será suave la
variación del esfuerzo normal vertical con la profundidad, no alcan­
zándose el valor yzu a partir del cual disminuye bruscamente, sino 
que comienza a variar gradualmente desde antes de esa cantidad, 
con valores ya menores que los correspondientes a la ley lineal. En 
la fig. IV-h.2.b se muestra esquemáticamente con línea llena la varia­
ción real de er„, verificada con mediciones, en tanto que con trazos 
discontinuados se indica la teórica, brusca.
El efecto de arqueo es mucho más difícil de analizar en el segun­
do caso, mostrado en la parte c) de la fig. IV-h.2, correspondiente 
a un elemento vertical de soporte que gire en torno a su extremo 
superior. Para analizar este problema se han hecho diversos intentos 
con la hipótesis de que la superficie de deslizamiento es plana, arco 
circular o de espiral logarítmica, llegándose en forma cualitativa, a 
algunas conclusiones importantes. La distribución de presiones hori­
zontales tras el elemento vertical no es, en realidad, lineal, sino que 
adopta una forma de tipo parabólico, análoga a la mostrada en la 
fig. IV-h.2.c. Esto trae como consecuencia inmediata el que el punto 
de aplicación del empuje total se acerque mucho a la mitad de la 
altura del relleno. Al mismo tiempo, la investigación ha demostrado
3ue el nuevo empuje es mayor que el correspondiente al estado activo e Rankine.
ANEXO IV-i
Métodos teóricos para el cálculo de empujes sobre ademes.
Método de la espiral logarítmica
MECANICA DE SUELOS (II) 141
Considérese en primer 
lugar una excavación en 
arena (c = 0 ) de altura 
H, como la mostrada en 
la fig. IV-i.l. Se supone 
en lo que sigue que no 
obran presiones hidrostá- 
ticas sobre el ademe. La 
posición inicial del ademe 
corresponde a la línea ab 
y la ab' representa la po­
sición final.
Se trata de encontrar 
el empuje P que obra so­
bre el ademe, por metro 
de longitud de éste. La 
hipótesis básica de este 
método consiste en supo­
ner que la superficie de
FIG . IV-1.1 Método de lo espiro! logarítmico po­
ra el cálculo de empuje en ademes
falla del suelo tiene con el plano del papel una traza constituida 
por una espiral logarítmica de ecuación:
r ~ r , e olg$ (4 -i.l)
Donde e es la base de los logaritmos naturales y el sentido de r, 
r0 y 6 queda indicado en la fig. IV-i.l.
Como la parte superior de la masa deslizante no puede defor­
marse lateralmente, por efecto de la primera hilera de puntales, 
la superficie de deslizamiento debe cortar a la superficie del terreno 
en ángulo recto. Por una conocida propiedad de la espiral logarítmica, 
la normal en cualquier punto forma un ángulo <¡> con el radio vector 
de ese punto: por lo tanto el centro de la espiral debe estar sobre 
una recta que forme el ángulo <j> con la superficie horizontal del 
relleno. El deslizamiento de la cuña de suelo ocurre hacia abajo 
en la frontera superior y esta componente del movimiento en toda 
la cuña hace que el empuje sobre el ademe resulte inclinado con la 
horizontal un cierto ángulo S.
Como ya se ha dicho, la distribución de presiones contra el 
ademe no sigue la ley lineal de las teorías clásicas, sino que tiene 
una forma aproximadamente parabólica, de modo que el empuje 
total resulta aplicado en un punto próximo a H/2. Las observaciones 
experimentales han probado que si se adopta el valor n = 0.55H, 
contado a partir del fondo de la excavación, como punto de aplica­
ción del empuje P, siempre se estará del lado de la seguridad; por 
ello, este valor máximo observado es el adoptado en la práctica.
El procedimiento de cálculo se desarrolla como sigue. Escogido 
un punto d en la superficie horizontal del terreno, trácese una espiral 
logarítmica de ecuación dada por la expresión 4-i.l y que pase por 
ese punto y por b. Dadas las propiedades de la espiral, el centro 
de esa curva debe quedar en una línea que forme un ángulo <f> con la 
superficie horizontal del terreno. Sea O ese centro. La reacción P 
de las fuerzas normales y de fricción sobre la superficie de desliza­
miento pasa por O, dadas las propiedades de la espiral. Entonces 
tomando momentos respecto a O, sólo hay que tomar en cuenta la 
fuerza W , peso de la cuña y la P, obteniéndose;
P m = W l
de donde
P = W —m
Puede así desarrollarse un método de tanteos, probando dife­
rentes posiciones de la espiral, que producen distintas curvas de 
deslizamiento. Naturalmente que el empuje de proyecto será el má­
ximo obtenido en los tanteos.
142 CAPITULO IV
La experiencia ha demostrado que el valor de P de proyecto 
suele ser aproximadamente un 10% mayor que el obtenido aplicando 
la Teoría de Coulomb, haciendo uso del método de Culmann, por 
ejemplo. Esto proporciona un criterio de valuación del empuje que es 
suficientemente aproximado para análisis preliminares.
En el caso en que el terreno en que se efectúa la excavación 
sea puramente “cohesivo” puede aplicarse el mismo método descrito, 
con <f> — 0 , en cuyo caso la ecuación de la espiral se reduce a:
r = r0 (4-i.2)
que es la ecuación de una circunferencia. Como, por las razones 
expuestas, la curva debe cortar ortogonalmente a la superficie hori­
zontal del relleno, se sigue que el centro de la circunferencia debe 
de caer sobre la prolongación de la superficie horizontal de dicho 
relleno. El método de tanteos se plantea ahora comparando un mo­
mento motor, producido por el peso de la cuña de deslizamiento 
circular, con otro resistente correspondiente al empuje P y a la 
cohesión que se desarrolla a lo largo de la circunferencia que limita 
la zona de deslizamiento. Este último momento vale: cLr, siendo 
c la cohesión del suelo, L la longitud del arco de la circunferencia 
de deslizamiento y r el radio de la misma.
En este caso puede conservarse el valor experimental n =■ 0.55H.
ANEXO IV-j 
Ademado en túneles 
IV-j.l. Carga de roca
El término carga de roca indica el espesor de la masa de roca 
que gravita realmente sobre el techo o arco del túnel.
Si el valor de la carga de roca es diferente de cero y el túnel 
carece de ademe, la masa de material que gravita sobre el techo tiende 
a penetrar en el túnel poco a poco, en tanto que el techo va adqui­
riendo una forma irregular.
La carga de roca depende de la naturaleza de la misma y de 
una serie de detallescircunstanciales, tales como su agrietamiento, 
grado de alteración, etc. Si la roca está sana o moderadamente agrie­
tada, el techo del túnel puede soportarse a sí mismo o requerir un 
ademe relativamente débil, en tanto que si el agrietamiento o la alte­
ración son muy grandes, el empuje sobre el ademe puede llegar a ser 
tan grande como los que se manejan comúnmente en empuje de 
tierras. Frecuentemente, a lo largo de un túnel se encuentran preva­
leciendo muy diferentes condiciones y el ingeniero ha de estar siem­
MECANICA DE SUELOS (II) 143
pre dispuesto a modificar cualquier criterio de diseño preconcebido 
a la vista de las condiciones que vaya descubriendo la propia obra.
La carga que actúe sobre los ademes depende en cierta medida 
del estado de esfuerzos existente en la masa de roca, antes de perfo­
rar el túnel. La relación entre la presión vertical ejercida por la roca 
sobre una cierta sección y la horizontal actuante en esa sección, depen­
de principalmente de la historia geológica de la roca y puede variar 
entre límites muy amplios. En general la presión vertical suele ser 
mayor en masas no perturbadas de roca; en una masa plegada, la 
presión horizontal depende de si las fuerzas horizontales que causaron 
el plegamiento han o no desaparecido; en este último caso, la pre­
sión horizontal puede tener cualquier valor, sólo limitado por la resis­
tencia de la roca a la compresión. En general, no hay modo de 
conocer el estado de esfuerzos en el interior de una masa de roca, 
por lo que la existencia de fuertes presiones horizontales sólo puede 
deducirse de algunas manifestaciones externas, tales como la aparición 
de roca explosiva a pequeña profundidad.
IV-j.2. Túneles en roca sana e intacta
La teoría ha demostrado que, en roca sana, la modificación que 
la presencia del túnel impone en el estado de esfuerzos de la masa 
general, tiende a nulificarse rápidamente a medida que aumenta el 
alejamiento del túnel; de hecho a distancias del orden de un diámetro 
el efecto de la excavación ya es despreciable.
En las paredes del túnel el esfuerzo radial, actuante en dirección 
normal a la pared, es nulo y el circunferencial, en la dirección de la 
tangente, es aproximadamente igual al doble del que existió antes 
de perforar el túnel. Un elemento de la pared del túnel está sujeto 
a un estado de esfuerzos hasta cierto punto similar al de un espéci­
men de roca que se pruebe a la compresión simple; la falla se produce 
cuando el esfuerzo circunferencial llegue a igualar a la resistencia 
de la roca a la compresión; esto conduce a muy grandes esfuerzos 
circunferenciales posibles que, si no hay presiones horizontales en la 
masa de roca sana, corresponden a alturas de roca sobre el túnel, 
compatibles con d equilibrio, del orden de los miles de metros. En 
estas condiciones, es evidente que el túnel en roca sana no precisará 
por lo general, ningún ademe.
Existe, sin embargo, un problema rdativamente frecuente en tú­
neles que atraviesan roca sana y que hace que éstos deban ademarse 
en forma suficiente para la protección de los trabajadores durante el 
período de construcción. Este problema suele denominarse roca explo­
siva. En muchos casos, de las paredes y del techo de los túneles 
que cruzan roca sana se desprenden violentamente lajas de roca, que 
salen proyectadas a gran velocidad con el consiguiente peligro. El 
fenómeno ocurre cuando la roca en las paredes o techo del túnel
144 CAPITULO IV
MECANICA DE SUELOS (II) 145
está sujeta a estados de deformación elástica intensa; ésta puede 
deberse a la permanencia de presiones horizontales, dejadas por fenó­
menos de plegamientos tectónicos no disipados o puede deberse a 
otras causas no bien definidas aún. En la fig. IV -j.l se muestra un 
esquema de la formación de una laja explosiva. El remedio contra 
la roca explosiva es dar a las paredes y el techo del túnel un elemen­
to que ejerza una fuerza hada ellos que neutralice la tendenda expan­
siva. La presión necesaria para lograr el fin perseguido es pequeña 
y cualquier ademe que sea capaz de aguantar unas 2 ton/m2 es sufi­
ciente para cumplir el objetivo.
A veces, si el fenómeno 
de roca explosiva toma pro­
porciones muy grandes, se 
produce la fragmentación 
de las paredes y el techo del 
túnel tras el ademe, en cuyo 
caso éste deberá proyedarse 
l a j a e x p l o s i v a Para soportar el empuje ma­
yor que corresponde a ese 
tipo de roca. En cualquier 
caso el ademe deberá acu­
ñarse bien contra las pare­
des del túnel.
IV-j.l Generación de roca explosiva
rV-j.3. Túneles 
estratificada
en roca
La roca estratificada presenta el problema de romperse fácilmen­
te a lo largo de los planos de estratificación y de juntearse transver­
salmente a esa dirección. Cuando la estratificación es horizontal se 
presenta en estas rocas el efecto conocido como de puente, según el 
cual la roca se sostiene sola como una losa sin necesitar ademe, 
siempre y cuando la resistencia a la tensión de la losa sea mayor 
que los esfuerzos ocasionados por la flexión (fig. IV -j.2). Si los es­
fuerzos de tensión son mayores que la resistencia de las losas de roca, 
el techo del túnel se agrieta y exige un sostén adecuado.
El efecto de los explosivos en el frente del túnel durante el proce­
so de la construcción produce una sobreexcavación que depende de 
la distancia entre las juntas de la roca, de la cantidad y potencia 
de los explosivos y de la distancia entre el ademe ya colocado y el 
frente de trabajo sin ademar. Aún en los casos .en que se permita 
el desarrollo completo de la sobreexcavación, al no ademar el frente 
del túnel oportunamente, es raro que la cavidad que se forma sobre 
el techo del frente, por derrumbe, sobrepase el valor 0.5B, donde B 
es el ancho del túnel y esto sólo en caso de que la roca esté muy
11—Mecánica de Suelos II
junteada. Así pues, no es 
razonable, en la práctica, 
pensar que la carga de ro­
ca sobre el adejne pueda 
exceder aquel valor, que 
constituye un límite supe­
rior adecuado para ser 
tomado en cuenta en el 
proyecto; es claro que, si 
el ademe se construye con 
rapidez en el frente descu­
bierto de la obra y se pro­
cura ir acuñando con frag­
mentos de roca el espacio 
entre dicho ademe y el 
embovedamiento provoca­
do por las explosiones, se 
puede llegar a cargas de roca menores que 0.55.
Si los planos de estratificación de la roca están en dirección 
vertical, el monto de la sobreexcavación depende mucho de la distan­
cia entre el frente de ataque de la excavación, sin ademar y el 
principio del ademe ya construido atrás. Ahora las masas de roca 
se sostienen por fricción en sus planos de estratificación y el techo 
del ademe sólo tiene que soportar la diferencia entre su peso y dicha 
fricción; en realidad, las observaciones prueban que la situación 
es más favorable de lo que a primera vista podría decirse y la carga 
de roca muy rara vez excede en estos casos el valor del peso de la 
masa aflojada por el efecto de los explosivos. Tomando un valor 
de la carga de roca del orden de 0.255 (5, ancho del túnel) parece 
ser que se garantizan buenas condiciones para el ademe del techo.
Si los planos de estratificación están inclinados respecto al eje 
del túnel se ejercen empujes no sólo sobre el techo de éste, sino 
también en la pared interceptada por la estratificación. En la fig. 
IV-j.3 se muestra esquemáticamente el procedimiento propuesto por 
Terzaghi para calcular estos empujes.
La cuña aed empuja a la pared ac del soporte y trata de penetrar 
en el túnel. El valor de este empuje, por unidad de longitud del túnel, 
puede calcularse suponiendo que a lo largo de de no hay adherencia 
entre roca y roca y que, a lo largo de ce se ha producido también una 
ruptura, de modo que la masa cefg gravita sobre el techo del túnel. 
La cuña ade, entonces, está en equilibrio bajo su peso W, la reacción 
F, a lo largo de ad y el empuje E sobre la pared. Como se conoce 
W en magnitud y dirección y F y E en dirección {<j> es el ángulo 
aparentede fricción interna de la roca de que se trate a lo largo 
de los planos de estratificación), puede trazarse el triángulo de fuer­
zas correspondiente y obtener el valor de E. El valor del ángulo <f>
146 CAPITULO IV
FIG. IV-j.2. Efecto de puente en roca estrati­
ficada
a) con ¡untas transversales muy espa­
ciadas
b) con ¡untas transversales próximas
depende no sólo de la na­
turaleza de la roca, sino 
también de la presión del 
agua que pueda existir en 
los planos de estratificación 
de la misma; la experiencia 
ha indicado que si las ma­
sas de roca contienen en 
sus planos de estratificación 
arcilla, <j> puede llegar a va­
ler 15°, en tanto que será 
del orden de 25°, si la roca 
es limpia. El valor de la 
carga de roca que la cuña 
cefg ejerce sobre el techo 
del túnel podrá variar de 
0.5B, para estratificación 
muy poco inclinada a 0.25B, 
en casos sobre estratificación muy escarpada.
IV-j.4. Túneles en roca fisurada
Es frecuente que el fisuramiento ocurra paralelamente a la super­
ficie del terreno. En estas rocas los problemas de sobreexcavación 
y soporte son muy similares a los tratados para el caso de las 
rocas estratificadas. Si las fisuras ocurren al azar, el no poner ademe 
conduce generalmente a un embovedamiento, especialmente sobre el 
techo; sin embargo, es frecuente que, por lo irregular de la trayec­
toria de fisuramiento, la fricción y trabazón entre la roca juegue un 
gran papel, por lo que el empuje en las paredes suele ser nulo y en 
el techo ligero, correspondiente, cuando mucho, a una carga de roca 
equivalente a una altura de una cuarta parte del ancho del túnel.
Cuando este tipo de roca está sujeto a un fuerte estado de defor­
mación elástica presenta también el problema de la roca explosiva, 
que debe ser prevenido como se dijo atrás.
IV-j.5. Túneles en roca triturada
En este tipo entran una gran variedad de formaciones, desde 
roca muy fragmentada hasta roca a tal grado triturada que su 
comportamiento sea realmente el de una arena.
En estas rocas es típico el fenómeno conocido como efecto 
de arqueo, que indica la capacidad de la roca situada sobre el techo de 
un túnel para trasmitir la presión debida a su peso a las masas colo­
cadas a los lados del mismo. Este efecto es en todo similar al del
MECANICA DE SUELOS (II) 147
FIG. !V-¡.3. Cálculo de empujes en roca estratifi­
cada en planos inclinados
arqueo de arenas, ya mencionado y se produce como una conse­
cuencia de la relajación de esfuerzos causada en el techo de la per­
foración. En la fig. IV -j.4 se muestra esquemáticamente la masa 
de roca afectada por el fenómeno.
148 CAPITULO IV
a b
FIG . IV-i.4. Arquea sobre un túnel
Para determinar la carga que actúa sobre el techo del túnel 
tomando en cuenta el efecto de arqueo pueden analizarse teorías, 
como la mencionada en el Anexo IV-h, o resultados de pruebas 
de laboratorio realizadas sobre arenas. Estas pruebas, bastante re­
presentativas del comportamiento de arenas o rocas trituradas situa­
das sobre el nivel freático, permiten llegar a algunas conclusiones 
de interés práctico. La fig. IV-j.4 muestra la masa de roca afec­
tada por el arqueo; el peso de esa masa, que tiende a penetrar 
en el túnel mientras no se construya el ademe apropiado, se trans­
fiere en su mayor parte a las masas laterales de roca y es resis­
tido por la fricción que se desarrolla en las superficies ac y bd. 
Nótese que el ancho de la zona de arqueo, Bu es mayor que el ancho 
del túnel. También se observa que el espesor D de la zona de arqueo 
es aproximadamente igual a 1.5 Bi; por encima de esa altura, los
esfuerzos en la masa de roca permanecen prácticamente inalterados, 
cuando se efectúa la excavación. Basta que la roca ceda un poco 
en el techo del túnel para que la carga sobre el ademe llegue a valores 
inclusive mucho menores que el espesor de la zona de arqueo, D. 
Así se obtiene un H^i^. Si a partir de este punto, la deformación 
del intradós del arco del túnel sigue aumentando, la carga de roca 
vuelve a crecer tendiendo, según la deformación aumenta, a un valor 
Hpmáx que es, sin embargo aún bastante menor que D. En general, 
dependiendo de circunstancias difíciles de cuantificar, la carga de 
roca adopta algún valor Hv. intermedio entre H vmín y Hpmíx.
Después de que el ademe del techo ha sido instalado y adecua­
damente acuñado, la carga de roca aumenta con el tiempo, con velo­
cidad decreciente, hasta un valor último que vale, según Terzaghi
H„ ui, = 1.15 //p
Donde Hp es el valor de carga de roca originalmente actuante 
en el ademe.
Este valor se alcanza independientemente de la profundidad a 
que se excave el túnel bajo la superficie del suelo, (véase Anexo 
IV-h).
El valor de Hv, actuante sobre el ademe en un principio, depende 
de Bx y, según Terzaghi, se tiene:
~Hr — C Bx (d -j.l)
donde C es una constante que depende de la compacidad de la roca 
y de la distancia que haya cedido el techo del túnel, antes de que su 
ademe se instalase.
Si la roca está totalmente triturada, hasta el grado de presentar
el aspecto de una arena, el ancho de la zona de arqueo llega al
valor:
= B + H t
La carga de roca Hp sobre el techo del túnel puede estimarse, 
según la ec. 4-j.l, con los valores de la Tabla 4-j.l obtenidos de 
pruebas en modelos representativos en arenas secas.
La presión media sobre las paredes del túnel puede estimarse 
aplicando las teorías de presión de tierra en arenas con la ecuación:
P* = 0.3 y (0.5//* + Hp) (4-j.2)
donde y es el peso específico de la masa de roca totalmente triturada
y las demás literales tienen el sentido ya conocido.
Según ya se dijo, estos valores de la carga de roca y la presión 
horizontal aumentan con el tiempo un 15% aproximadamente, y este 
aumento deberá de tomarse en cuenta para el proyecto.
MECANICA DE SUELOS (II) 149
La experiencia ha indicado que los valores reales que se producen 
en los túneles suelen acercarse mucho más a los mínimos que a los 
máximos dados por la Tabla 4-j.l. Esto indica que la deformación 
del techo del túnel, que tiene lugar durante la excavación basta para 
producir el desarrollo completo del arqueo de la masa de roca.
150 CAPITULO IV
TABLA 4-j.l
Roca totalmente tri­
turada, equivalente a 
arena
Hr Cedencia del techo del túnel
Compacta
Mín: 0.27 (B + H t) 
Máx: 0.60 (B + H t)
0.01(B + H t) 
0.15(fí + H t) o más
Suelta
Mín: 0.47 {B + H<) 
Máx; 0.60 (B + H t)
0.02 (fi + Ht) 
0.15(i? + H t) o más
De todo lo anterior se deduce que, en estos tipos de roca, es 
conveniente la construcción inmediata del ademe y el acuñamiento 
correcto del mismo.
Si el túnel está excavado bajo el nivel freático, las pruebas en 
modelos han demostrado que el fenómeno de arqueo no se ve interfe­
rido por el flujo que se produce hacia el túnel, que actúa como un 
dren subterráneo, pero que las fuerzas de la filtración hacen que 
la carga de roca prácticamente se duplique. Naturalmente, el flujo 
afecta en forma importante la capacidad de carga en la base de los 
puntales del ademado lateral; en el Volumen III de esta obra se 
expondrán criterios para cuantificar este importante efecto.
IV-j.6. Túneles en roca fragmentada
Por el término fragmentada se indica una roca, que, por su gran 
cantidad de juntas, grietas y fisuras forma bloques independientes 
entre los que prácticamente no existe interacción. Las junturas entre 
los bloques pueden ser angostas o anchas y pueden o no estar relle­
nas de materiales más finos. El comportamiento mecánico de estas 
formaciones se parece al de las arenas compactas de grano grueso, 
sin ninguna cohesión. Si las junturas entre los bloques están distri­
buidas al azar, es frecuente que se presenten presiones, no sólo en el 
techo del túnel, sino también en sus paredes.
La carga de roca en estas formaciones está determinada por 
leyes parecidas a las que rigen los efectos del arqueo de las arenas; 
así, la carga H v sobre el techo de un túnel excavado a profundidad 
considerable es independiente de dicha profundidad y dependelineal- 
mente de la suma de B + H t.
La experiencia indica que estas rocas no se adaptan de inmediato 
al nuevo estado de esfuerzos provocado por la excavación del túnel. 
En el momento inmediato posterior a la acción de los explosivos, 
algunos bloques de la zona del frente de ataque caen dentro del 
túnel, produciendo un embovedamiento en dicho frente y tendiendo 
a formarse un domo de bloques inestables que termina donde co­
mienza la zona ya ademada del túnel; en estas condiciones, el frente 
de ataque se sostiene a sí mismo por un cierto tiempo, al cabo del 
cual, la caída de los bloques continúa, formándose una cúpula y otro 
domo de roca inestable. Si el ademe sigue sin colocarse, el efecto 
es progresivo y la caída de una cantidad de roca produce la inestabi­
lidad de otra masa en forma de domo que, a su vez, caerá posterior­
mente. El tiempo que la masa inestable de bloques se sostiene a sí 
misma depende de la forma y tamaño de los bloques, del ancho de 
las junturas, de la matriz que las ocupe y de la distancia entre el fren­
te de ataque y el ademe ya instalado. Al tiempo transcurrido entre 
la acción de los explosivos y la caída del primer domo de roca 
inestable se le llama período de acción de puente, tp. Este período 
se atribuye tanto a la resistencia viscosa de la matriz que rellena 
las juntas, como a la falla progresiva de las zonas de apoyo entre los 
bloques.
Aún cuando se construya un ademe adecuado, bien acuñado con­
tra la roca, dentro del tiempo de acción de puente, la carga de roca 
sobre el techo del túnel tiende a crecer con el tiempo por dos razones. 
En primer lugar, porque según el frente de excavación avanza a 
partir de un cierto punto del túnel, el efecto tridimensional de domo 
se ve substituido por el bidimensional de arqueo, menos eficaz; en 
segundo lugar, porque el acuñamiento del ademe contra la roca no 
detiene del todo el acomodamiento de ésta bajo el nuevo estado de 
esfuerzos producido por la excavación; estos movimientos aumentan 
la carga de roca y el aumento no cesa hasta que los bloques han 
alcanzado su acomodo definitivo. El aumento total de la carga de 
roca y el tiempo que transcurra hasta que llegue a su valor constante 
depende en alto grado de la intensidad del acuñamiento del ademe 
contra la roca; si esta operación se hace adecuadamente, el tiempo 
mencionado no sobrepasa, en general, una semana. Por otra parte, 
si el espacio entre el ademe y la roca no se rellena bien con peda- 
cería de roca y el ademe no se acuña convenientemente, la carga 
inicial de roca puede ser pequeña, menor inclusive que la que se tiene 
cuando aquellas operaciones se ejecuten satisfactoriamente, pero esa 
carga crece durante varios meses y su valor final llega a ser mucho
MECANICA DE SUELOS (II) 151
mayor que el que se alcanza en el caso de rellenado y acuñamiento 
apropiados,
El tiempo de acción de puente aumenta rápidamente cuando el 
espadamiento entre los puntales de ademado disminuye. La distancia 
mínima que puede disponerse entre el frente de la excavación y el 
prindpio de la zona ademada es algo mayor que la distancia de 
avance de la excavación en un dclo de uso de explosivos. Esa distan­
cia suele ser del orden de 6/10 del ancho, B, del túnel; varía con 
el tipo de roca y muy rara vez excede de 5 ó 6 m. Es evidente, por 
otra parte, que si el tiempo de duración de una operadón de explosi­
vos es mayor que el período de acción de puente, el ademe debe 
llevarse muy cerca del frente de la excavación.
El período de acción de puente debe influir en la programación 
de las operaciones de excavadón, limpieza y ademado del túnel. Si 
este período es sólo algo mayor que el que se requiere para ventilar 
el frente de ataque, tras la acción de los explosivos, serán inevitables 
los derrumbes en dicho frente. Cuanto mayor sea la diferencia entre 
esos dos tiempos habrá mayor margen para construir el ademe y, 
consecuentemente, los derrumbes serán evitados en la correspondiente 
propordón, hasta el límite en que el tiempo de acdón de puente cubra 
el lapso necesario para ventilar el túnel y ademar el frente descubier­
to, en cuyo caso no habrá derrumbes de material, si las operaciones 
se llevan convenientemente.
En realidad no existe una frontera específica entre la roca tritu­
rada, analizada en la sección IV-j.5 y la roca fragmentada que 
ahora se trata; por lo tanto, en este caso la carga de roca puede 
variar de 0.25B, que corresponde a la roca moderadamente juntea- 
da, ya también analizada, a los valores más grandes que puedan 
presentarse en roca triturada. Arbitrariamente pueden distinguir­
se dos tipos dentro de la roca fragmentada en lo que se refiere 
a la estimación de la carga de roca que se produce: roca mode­
radamente fragmentada o roca muy fragmentada. Con base en las 
observaciones realizadas en túneles para ferrocarril a través de los 
Alpes, se ha llegado a algunas estimaciones de H p en roca modera­
damente y muy fragmentada. En túneles con agua a través de roca 
moderadamente fragmentada, H„ puede valer inicialmente cero y 
aumentar posteriormente a algunos metros. Si la roca está muy frag­
mentada, el valor inicial de Hv puede ser más grande. Con base en 
estas experiencias puede elaborarse la Tabla 4-j.2.
En túneles en seco los valores de H v pueden ser mucho menores 
que en túneles en que el agua esté presente; sin embargo, es reco­
mendable diseñar siempre para la condición más crítica, pues es muy 
difícil garantizar la ausencia permanente de las aguas en el tipo de 
obras que aquí se trata.
El hecho de que las junturas entre los bloques de la roca estén 
ocupadas por arcilla puede ser muy importante en épocas en que el
152 CAPITULO IV
MECANICA DE SUELOS (II)
TABLA 4-j.2
153
Tipo de roca
Carga de roca, H ,
Inicial Ultima
Moderadamente
agrietada O 0.25 5 a 0.35 (fl + H t)
Muy agrietada 0 a 0.6 (B + H t) 0.35(B + H t)a1.10 (B + H t)
túnel esté seco, pues la arcilla seca actúa como cementante gracias 
a su resistencia al esfuerzo cortante; pero al humedecerse el túnel 
esta resistencia al esfuerzo cortante tiende a disiparse con rapidez 
y no es prudente, por lo tanto, confiar en ella, salvo casos muy 
especiales. Por ello es aconsejable usar los valores de la Tabla 
4-j.2 independientemente de la apariencia de la roca durante la 
construcción.
IV-j.7. Táñeles en roca alterada y en arcilla
Como ya se ha indicado (ver Volumen 1 de esta obra), la alte­
ración química convierte a la mayoría de las rocas, incluyendo todas 
las rocas ígneas y la mayor parte de los esquistos y pizarras, en 
arcillas. En ocasiones, la conversión es completa, en tanto que en 
otras se restringe a ciertos minerales únicamente; la alteración puede 
afectar a toda la masa de la roca o puede sólo ocurrir en las partes 
próximas a sus fisuras, grietas, juntas, etc. En cualquier caso es 
claro que las propiedades mecánicas e hidráulicas de la roca alterada 
difieren radicalmente de las de la roca original y tienden a parecerse 
mucho y a veces a ser las mismas que las de una arcilla.
Cuando se excava un túnel en estas rocas alteradas se produce 
un efecto de arqueo, análogo al tratado en rocas fragmentadas y 
trituradas; es decir, la carga de roca, es mucho menor que la presión 
correspondiente al peso de todo el material sobreyaciente a la exca­
vación. Sin embargo, en rocas alteradas el efecto de arqueo se 
presenta asociado con fenómenos que son inexistentes en los otros 
tipos de roca mencionados.
En roca alterada o arcilla, el tiempo de acción de puente es mucho 
más largo que en arenas o rocas trituradas o fragmentadas, por ello 
muv rara vez se hace necesario en estos casos la excavación escalo­
nada del frente del túnel; pero, por otra parte, el crecimiento de la 
carga de roca con el tiempo, a partir del valor inicial es, en este
caso, mucho mayor y más prolongado que en rocas químicamente 
intactas.
Las propiedades de las arcillas de mayor significación en lo que 
se refiere a túneles son su expansividad al ser aliviadasde cargas, 
la variación de la resistencia al esfuerzo cortante con la presión 
normal y la velocidad de reacción a los cambios de esfuerzos.
Cuando la arcilla es aliviada de presiones tiende a expanderse 
y en presencia de agua lo hace, generalmente en alto grado; este 
fenómeno ya ha sido suficientemente discutido en el Volumen I de 
esta obra. Cuando se excava un túnel en estos materiales, la arcilla 
de las zonas próximas al borde de la excavación ve disminuidas 
fuertemente sus presiones de confinamiento y por lo tanto se expande 
tomando agua del material más alejado del túnel; esto trae consigo 
la disminución de la resistencia al esfuerzo cortante de la arcilla 
próxima a las paredes del túnel. En ocasiones se ha señalado que 
es la humedad prevaleciente en general en el interior de los túneles 
la causa del reblandecimiento de la arcilla en su techo y paredes; 
esta afirmación carece totalmente de consistencia y, de hecho, una 
muestra de arcilla extraída de la pared y dejada dentro del túnel, 
en contacto con el ambiente, se seca fuertemente en pocos días.
Cuando un túnel en arcilla no es ademado adecuadamente, el 
material de las paredes, piso y techo fluye lentamente y tiende 
a cerrar la excavación. Se dice entonces que fluye plásticamente. 
Durante ese proceso y debido a la expansión que se produce simul­
táneamente, la resistencia de la arcilla al esfuerzo cortante disminuye 
hasta un mínimo, en el cual se mantiene prácticamente constante; 
este valor final se denomina “cohesión última”. Es evidente que el 
tiempo que tarden en producirse los fenómenos de expansión y pér­
dida de resistencia depende de la permeabilidad de la arcilla, en 
primer lugar y del conjunto de sus propiedades en general. Para 
un túnel dado y a una profundidad dada, la velocidad de expansión 
aumenta rápidamente con las dimensiones de la parte del túnel no 
ademada, por lo que suele bastar llevar el ademe suficientemente 
cerca del frente de la excavación para prevenir problemas de ex­
pansión.
Cuando el frente avanza una cierta distancia adelante del adema­
do, la acción tridimensional de domo, que ocurre en el frente, es 
sustituida por el efecto bidimensional de arqueo, menos efectivo 
naturalmente, por lo que las expansiones tienden a aumentar, sobre 
todo en el piso y las paredes del túnel. El flujo hacia el túnel va 
asociado con una deformación que alarga a un elemento de arcilla 
en la dirección radial y lo acorta en la dirección circunferencial; esta 
deformación hace que la fricción interna del material y su cohesión 
aparente trabajen, por lo que, en el momento en que la arcilla empieza 
a fluir hacia dentro del túnel, el material vecino a las fronteras de 
éste empieza a funcionar como un arco que rodea a todo el túnel
154 CAPITULO IV
MECANICA D E SU ELO S (II) 155
llegando a constituir un verdadero cilindro. Este material que resiste 
en la periferia de la excavación recibe el nombre de cilindro resis­
tente y ayuda poderosamente a soportar la presión de la arcilla 
situada más lejos de la excavación.
Tan pronto como el túnel se adema y acuña convenientemente, el 
flujo de arcilla cesa, aun cuando ésta no se haya adaptado al nue­
vo estado de esfuerzos producido por la excavación y, por lo tanto, 
no se haya neutralizado la tendencia a fluir. Como consecuencia de 
esto, la presión contra los ademes aumenta, aunque a razón decre­
ciente. El tiempo durante el que tal aumento de presión ocurre oscila 
entre algunas semanas y muchos meses.
La expansividad de las arcillas depende mucho de la presión a 
que hayan sido consolidadas. En arcillas preconsolidadas la capacidad 
de expansión es grande, la velocidad con que se presenta el fenó­
meno es baja y el incremento de presión sobre los ademes construidos 
es grande y lento. Si el túnel está a poca profundidad, el valor 
último de la presión sobre el ademe puede exceder la presión del 
colchón existente.
Muy frecuentemente las arcillas duras se presentan muy agrie­
tadas; estas arcillas se disgregan fácilmente cuando, bajo presión, 
fluyen en las paredes de un túnel pues, como ya se dijo, tal fluencia 
trae consigo una disminución de longitud de cualquier elemento en 
la dirección circunferencial. Estos efectos producen la caída de estos 
materiales de los techos de los túneles y el período de acción de 
puente de estas arcillas está generalmente limitado por el mencionado 
efecto de desmoronamiento.
En arcillas blandas suaves el concepto de periodo de acción de 
puente carece de significado, pues estos materiales fluyen desde un 
principio.
Todos los mecanismos anteriores pueden presentarse en rocas 
que contengan la cantidad suficiente de arcilla; en realidad, ésta 
puede ser producto de la descomposición de la propia roca o tener 
algún otro origen. La roca en sí puede ser junteada, triturada o, 
inclusive, mecánicamente intacta. Sin embargo, las propiedades de 
la roca, en lo que se refiere a su capacidad de fluencia o a su expan­
sividad, quedan determinadas por las de la arcilla que contenga.
Las escasas pruebas que se han realizado hasta hoy en rocas 
que fluyen plásticamente, pero de poca o nula expansividad in­
dican que la carga de roca H v es proporcional a (B + H t), pero con 
un coeficiente de proporcionalidad más alto que en el caso de roca 
muy agrietada. El valor Hp aumenta durante varias semanas a par­
tir del momento de la excavación y también crece con la profundidad 
del túnel respecto al nivel del terreno. Las mayores presiones repor­
tadas por Terzaghi en túneles excavados a profundidades de una 
o dos centenas de metros indicaron que el valor de H p correspondien­
te aumentó desde 1.10 (B + H t) inicialmente, hasta 2.1 (B + H t)
a que llegó finalmente. A profundidades del orden de más de 300 m, 
el valor inicial de Hp medido resultó del orden de 2.10 (B + H t), 
pero este valor puede crecer hasta unos 4.50 (B + H t) en el trans­
curso de los meses siguientes a la perforación. Otro interesante dato 
de la experiencia es que la presión en las paredes parece ser del 
orden de un tercio de la que se produce en el techo y la presión 
en el piso es como la mitad de ésta última.
En rocas expansivas resultan aplicables las ideas expuestas para 
las arcillas preconsolidadas de modo que el período de acción de 
puente depende sobre todo de la velocidad de expansión y del espa- 
ciamiento entre las fisuras que la roca pueda presentar. La carga 
de roca inicial es debida casi exclusivamente al acuñamiento, pero 
este valor aumenta durante mucho tiempo, a veces varios meses, 
hasta alcanzar cifras muy importantes.
La falla del ademe en roca expansiva va acompañada de una 
relajación casi instantánea de la presión, por lo que el ademe fallado 
suele bastar durante algunos días para que la falla no tome, por lo 
menos, carácteres de catástrofe. La presión aumenta otra vez, cuando 
un nuevo ademe substituye al destruido, pero su valor final ya es 
menor que el alcanzado anteriormente. Cuando el ademe no es circu­
lar, el aumento en contenido de agua y disminución de la resistencia 
al esfuerzo cortante que ocurre en la roca próxima al túnel al expan- 
derse puede fácilmente ser causa de que los puntales del ademe 
penetren en el piso del túnel, comenzando así el colapso general de 
la estructura de protección; por ello el tipo de ademado circular 
debe considerarse ahora como indispensable.
Muy pocos datos confiables se tienen actualmente para valuar 
la carga de las rocas expansivas. En túneles superficiales la carga de 
roca puede ser bastante mayor que la correspondiente al material 
existente sobre el túnel. En túneles profundos se han llegado a medir 
frecuentemente presiones del orden de 10 kg/cm2 y excepcional­
mente se han encontrado valores tan altos como 20 kg/cm2; este 
último valor es toscamente equivalente a un colchón de 80 m de roca 
gravitando sobre el techo del túnel. Estas presiones indican que, 
aún en rocas expansivas, el efecto de arqueo es importante. Como 
quiera que la expansión trae consigo unalivio de las presiones ejer­
cidas por el suelo, siempre que no existan restricciones, es recomen­
dable dejar entre el ademe construido y la excavación una holgura;
10 ó 15 cm es un valor satisfactorio.
Un procedimiento recomendado por Terzaghi para la construc­
ción del ademado es el siguiente. Se colocan costillas circulares de 
acero suficientemente resistentes para aguantar la presión de expan­
sión de la roca; como consecuencia la roca fluye en torno a esas 
costillas venciendo la resistencia de los elementos de soporte inter­
calados entre las costillas, que se construyen relativamente débiles. 
Una vez que estos elementos han cedido, se retiran, se rebana el
156 CAPITULO IV
material expandido y se vuelven a construir los elementos interme­
dios. Así se logra que la presión vaya siendo controlada sin necesidad 
de sustituir todo el ademe o sin construirlo todo de muy alta re­
sistencia.
Un aspecto muy importante es, naturalmente, reconocer la expan- 
sividad de la roca antes de efectuar la excavación del túnel. Para 
ello Terzaghi recomienda tomar muestras de roca fresca, sumergirlas 
en agua y medir su incremento de volumen. Un incremento menor de 
2% indicaría que la roca no es expansiva, en el sentido en que aquí 
se ha venido tratando. Este punto es importante, no sólo para juzgar 
la carga de roca, sino también para decidir el grado de acuñamiento 
que haya de dársele al ademe; en efecto, se vio que en todos los 
tipos de roca antes tratados un buen acuñamiento en el ademe 
reduce no sólo el período de tiempo durante el cual la presión 
aumenta, sino también el valor final de dicha presión; por el contra­
rio, en rocas francamente expansivas ya se mencionó la conveniencia 
práctica de dejar una holgura entre el ademe y las paredes de la 
excavación, pues esto reduce el valor final de la presión sobre el 
soporte. Así pues, el correcto juicio sobre la expansibilidad de la roca 
define los procedimientos de construcción en lo que a esta impor­
tantísima cuestión se refiere.
NOTA. Este Anexo ha sido elaborado teniendo en cuenta la ref. 14 en forma 
muy predominante.
ANEXO IV-k 
Tablestacas andadas 
rV-k.l. Efecto de los movimientos de la tablestaca en la presión 
de tierra
Los métodos clásicos de diseño de tablestacas, que se han men­
cionado brevemente en el cuerpo de este capítulo, contienen la 
hipótesis básica de que basta un movimiento ínfimo en la estructura 
para que las presiones de la tierra se reduzcan a sus valores extremos 
y que los movimientos subsecuentes ya no tienen influencia en estas 
presiones. Estas hipótesis resultan insostenibles a la luz del conoci­
miento que resulta de las mediciones efectuadas en modelos de la­
boratorio y en estructuras construidas. Según estas observaciones, 
reportadas por Terzaghi, (fig. IV -k.l), el mínimo coeficiente activo 
de presión de tierras, KÁ, corresponde, en arenas compactas, a un 
valor de deformación de la tablestaca, d, de 0.0005, definiendo esa d 
como la relación entre el desplazamiento de la corona del muro por 
giro en torno al pie y su altura no enterrada. Este valor permaneció 
constante en las pruebas de referencia hasta d = 0.002; la deforma­
ción posterior de la estructura hizo que KÁ aumentase, tendiendo al
MECANICA DE SUELOS (II) 157
158 C A PITU LO IV
valor de KÁ mínimo para arenas sueltas. Cuando d llegó a valer 0.0046 
el relleno se deslizó en forma aparente. En arenas sueltas el valor de 
Ka pasó de 0.4, correspondiente al estado de reposo, a 0.3 para una 
d — 0.0003; a partir de esa deformación del muro en adelante, el 
valor de KA disminuyó algo, si bien en mucha menor proporción, al­
canzando el valor de 0.23 para d = 0.007, que representa la máxima 
deformación en el experimento. Se llegó a ese valor sin que el 
relleno deslizase. La fricción entre el relleno y la estructura se des­
arrolló por completo antes de que la fricción interna en el relleno 
lo hiciese. Debe notarse que las deformaciones del muro se ejecu­
taron una vez que el relleno se colocó totalmente. Esto es, las 
deformaciones fueron efectivas. Esto es importante en la aplicación 
a tablestacas, porque gran parte de la deformación de ellas ocurre 
mientras se coloca el relleno y si se toma en cuenta que los rellenos 
no suelen compactarse y que la deformación total máxima de una 
tablestaca no suele exceder de unos cuantos milésimos de su altura, 
no se justifica pensar que la presión actuante sea la activa.
Valones de d = Y/H
F IG . IV-k.l. Presiones medidas en modelos de muros con rellenos de arena (se­
gún Tersaghi)
Otro punto de discordancia en la aplicación de las Teorías clási­
cas, calculando presiones de tierra por el método de Coulomb, por 
ejemplo, se tiene al considerar planas las superficies de falla corres­
pondiente a los estados activo y pasivo. Tanto teorías posteriores 
como las pruebas indican, de hecho, que tales superficies de falla son 
curvas y el considerarlas planas, si bien casi satisfactorio en el caso 
activo, conduce, en el caso pasivo, a empujes que van siendo mucho 
menores que' los reales, cuando el ángulo S de fricción entre la 
tablestaca y el suelo sobrepasa los 15°. Estas diferencias son mayores 
a mayor ángulo de fricción en el suelo, <j>. En la fig. IV-k.2 pueden 
verse gráficas, debidas a Terzaghi, que muestran cuantitativamente 
las variaciones a que se ha hecho referencia.
MECANICA DE SUELOS (II) 159
(o)
FIG. IV-k.2 Efecto de la hipótesis de falla plana (Coulomb) en el valor del coeficiente
de presión activa
IV-k.2. Efecto de las presiones de agua no balanceadas
Cuando, como es tan frecuente, las tablestacas están a la orilla 
del mar se producen sobre ellas, por efecto de las mareas, presiones 
hidrostáticas desequilibradas, a causa de que el nivel del agua libre 
a un lado de la estructura es menor que el nivel que el agua alcanza 
en el relleno. Otro tanto sucede en orillas de ríos o lagos cuando 
las aguas descienden rápidamente o tras fuertes lluvias.
Si los coeficientes de permeabilidad de los materiales de relleno 
son conocidos, la presión en desequilibrio puede calcularse trazando 
la correspondiente red de flujo y realizando en ella los cálculos 
que se detallarán en el Volumen III de esta obra. Si el relleno es 
homogéneo, en lo que se refiere a su permeabilidad, podría decirse 
que en el lado interior de la tablestaca obra una presión desbalan­
ceada igual a
Pío — yw Hw (4-k. 1)
donde H w es la diferencia de alturas de agua en los lados interior
C oefic ien te de presión p a s ivo , K ,
y exterior de la tablestaca. En la zona en que la tablestaca queda 
enterrada por sus dos lados, pw va disminuyendo linealmente hasta 
reducirse a cero en el extremo inferior.
En todos estos casos existe flujo de agua y, por lo tanto, el 
efecto de las fuerzas de filtración deberá ser calculado por los pro­
cedimientos descritos en el Volumen III de esta obra.
IV-k.3. Efecto de sobrecargas
Antes de disponer de mediciones sobre estructuras reales ya se 
contaba con métodos para tomar en consideración el efecto de las 
sobrecargas lineales; con base en la Teoría de Coulomb, se decía 
que la magnitud y posición del empuje producido por la sobrecarga 
dependía de los ángulos <j> y 8, con el sentido ya mencionado mu­
chas veces.
En épocas más recientes Gerber 16 y Spangler 17 realizaron medi­
ciones para determinar tanto la magnitud de la presión producida 
por la sobrecarga lineal sobre la tablestaca, como su distribución. 
El relleno utilizado por Gerber fue arena uniforme de río, con tama­
ños entre 0.2 y 1.5 mm; el elemento de soporte fue prácticamente 
rígido y consistió en un muro de concreto de 78 cm de altura. Span­
gler utilizó como relleno una grava con 13% de finos; el muro fue 
de concreto, en voladizo, de unos 2 m de altura y 15 cm de espe­
sor; este muro podía girar en torno a la arista exterior de la losa de 
cimentación. Aún cuando existieron diferencias en las condiciones 
de las pruebas, los resultados de ambos investigadores fueron esen­
cialmente iguales.La distribución de la presión horizontal actuante 
sobre el soporte correspondió a una línea curva, más o menos para­
bólica, con máximo cerca del tercio superior de la altura H de la 
estructura, para cargas lineales no muy cerca de la corona del muro. 
Hasta una distancia de 0.4 H a partir de la corona del muro, los 
empujes medidos fueron prácticamente constantes; posiciones más 
lejanas de la sobrecarga producen empujes cada vez menores. Muy 
cerca del muro la ley de distribución de presiones se aleja mucho 
de la parabólica aproximada, con el máximo muy desplazado hacia 
arriba.
Los datos anteriores resultaron incompatibles con los resultados 
de la aplicación de la Teoría de Coulomb al problema, pero se 
acercan más a los valores que se obtienen aplicando la Teoría de 
Boussinesq.
Según esta teoría, el esfuerzo horizontal, ax, producido en un 
medio semiinfinito por una sobrecarga lineal vale, a la profundidad 
nH y en una sección vertical a mH de la sobrecarga (ver fia.
IV -k .3):
160 CAPITULO IV
MECANICA DE SUELOS (II) 161
Ahora bien, al aplicar 
este resultado al caso real 
de una tablestaca debe ha- 
cerse la consideración de 
que este elemento es rí­
gido y restringe los des­
plazamientos horizontales. 
Si una sobrecarga lineal 
simétrica a la real obrase 
del otro lado de la sección 
a-c en el medio semiinfini' 
to, el esfuerzo horizontal 
en el elemento considerado 
seria el doble del dado por 
la ec. 4-k.2 y la tendencia 
al desplazamiento horizon­
tal del elemento sería nula. En el caso real de la tablestaca podría 
considerarse que prevalece esta condición de deformación y, por lo 
tanto, la presión horizontal sobre ella puede tomarse como:
Fie. IV-k.3. Sobrecarga lineal actuante sobre una 
tablestaca anclada
_ 4g m2n
Ph~ W (m*"+ñ*p
(4-k.3)
Esta fórmula está bastante acorde con las observaciones ya cita­
das, para valores de m mayores de 0.4; para m < 0.4 las discrepan­
cias se hacen fuertes. Para estos últimos valores de m se encontró que 
la distribución de las presiones observadas mostraba mayor similitud 
con la calculada para m = 0.4, determinada por la ecuación:
P* = i
0.203 n
H (0.16 -I- n2)2 (4-k.4)
Para m > 0.4 el empuje, E, por unidad de longitud de tables­
taca es:
= í" «I
phH dn = —it m8 + l (4-k.5)
Para m < 0.4, de acuerdo con lo arriba dicho, conviene conside­
rar m = 0.4 y, por lo tanto:
2 q
( M é V i ) = 03511
H-k.6)
12—Mecánica de Suelos II
Todas estas expresiones son más bien conservadoras respecto a 
las observaciones realizadas. Ha de tenerse en cuenta que en la 
Teoría de Boussinesq la sobrecarga lineal es de longitud infinita, en 
tanto que en las pruebas naturalmente no lo fue; además, la teoría 
está afectada de una serie de hipótesis tales como la elasticidad per­
fecta del medio, etc., que ya han sido mencionadas antes en este 
volumen. Ante todo esto, la concordancia entre teoría y observa­
ción es muy razonable. También es aceptable pensar que el margen 
de seguridad de los cálculos teóricos justifique su uso en condi­
ciones de campo diferentes a las prevalecientes en las pruebas 
experimentales mencionadas.
Gerber, Spangler y Feld18 estudiaron también experimentalmen­
te las presiones horizontales producidas sobre una tablestaca por 
efecto de cargas puntuales actuantes en el relleno horizontal. Como 
carga puntual utilizaron placas circulares de pequeño diámetro co­
locadas a distancias variables de la cresta de la tablestaca; los relle­
nos fueron también “friccionantes”. La presión resultó máxima en la 
traza con el respaldo del muro de un plano vertical a éste, trazado 
por la carga concentrada. En esta línea (ab en la fig. IV -k .3), la 
presión se distribuye en la acostumbrada forma parabólica, con máxi­
mo a una profundidad del orden de la distancia entre el muro y la 
carga concentrada. El empuje total E T causado por la carga pun­
tual P es máximo para m — 0 y disminuye constantemente para valo­
res crecientes de ese parámetro (m indica ahora la posición de la 
carga concentrada P ) . Los valores experimentales encontrados para 
E t corresponden a los dados por la ecuación empírica
e ' = p T t t £ f <4'k-7>
basada en los datos reportados por Gerber. La ecuación está formada 
de modo que los valores del empuje corresponden a los mayores 
observados.
Ninguna de las teorías hoy en uso concuerda satisfactoriamente 
con la distribución de presiones horizontales producidas por una 
carga concentrada. Para valores de m > 0.4 estas presiones corres­
ponden aproximadamente a los valores de la expresión empírica:
_ , P m2 n2 
p* - L 77W (m. + n*)* (4' L8)
Para m < 0.4 resulta más aproximado, usando la expresión
4-k.8, mantener m = 0.4, con lo que:
Pk = 0.28 (4-k.9)
162 CAPITULO IV
Las ecs. 4-k.8 y 4-k.9 dan una aproximación buena en la prác­
tica a los datos experimentales hoy disponibles.
IV-k.4. Distribución de la presión de tierras
Tanto la teoría como la observación permiten afirmar que la dis­
tribución de presiones horizontales en el respaldo de una tablestaca
no es la que corresponde a la ley de Coulomb, sino que depende
grandemente del modo de deformarse que la estructura presenta.
En la fig. IV-k.4 se presentan esquemáticamente los resultados 
de las observaciones hechas por distintos investigadores sobre mode­
los para el caso de tres tipos de desplazamiento de la estructura de 
soporte.
MECANICA DE SUELOS (II) 163
FIG. IV-k.4. Distribuciones de presión observados para diferentes nrodos de deformarse
el soporte
En el caso a) ocurre un giro en torno al pie de la estructura y 
como consecuencia la magnitud y distribución de las presiones co­
rresponde a la ley lineal de Coulomb. En el caso b) la estructura 
se hizo girar en torno a su corona y la distribución de presiones 
se apartó ya de la lineal, transformándose a la forma seudopara- 
bólica. En la parte c) se muestra la distribución de presiones obte­
nidas en una estructura con el desplazamiento impedido en su pie 
y corona, pero con posibilidad de flexión en su parte central; tampo­
co ahora la distribución sigue la ley lineal.
Como puede observarse en las distribuciones de las partes b) 
y c). la presión tiende a bajar en las partes cedentes y a aumentar 
en las fijas; esto es una consecuencia del fenómeno de arqueo ya 
discutido.
El caso c) representa también resultados obtenidos para la dis­
tribución de presiones en tablestacas dragadas. En estas estructuras 
Rowe encontró que si el anclaje cedía 0.1% de H la distribución c) 
se modificaba bastante, acercándose a la ley lineal de la presión 
activa según Coulomb, sin que, por otra parte, se modifique sensi­
blemente el empuje total. Este hecho justifica que, en este tipo de 
tablestacas, se considere en la práctica a la ley de Coulomb como 
buena para representar las presiones realmente actuantes.
En la fig. IV-k.5 se muestran esquemáticamente los resultados de 
pruebas realizadas por G. P. Tschebotarioff entre los años 1944 y 
1948 sobre tablestacas de relleno.
164 CAPITULO IV
FIG. IV-lc.5. Distribución de presiones sobre tablestacas
a) relativamente rígidas
b) relativamente flexibles
Cuando la tablestaca utilizada como modelo era relativamente 
rígida (deformación máxima 0.1% de H en este caso) se encontra­
ron curvas de distribución comprendidas en la zona rayada de la 
fig. IV-k.5.a, en las cuales la magnitud de la presión puede llegar 
a ser mayor que la correspondiente a la tierra "en reposo”, que, en 
este caso, correspondió a un valor del coeficiente de presión K0 = 0.4. 
Nótese que, en general, la presión fue mayor que la activa.
En pruebas con modelos más flexibles (fig. IV-k.5.b) con defor­
mación horizontal máxima del orden de 0.5%, los diagramas de 
presión encontrados mostraron presiones de menor intensidad, acer­
cándose más, por lo menos en magnitud, a las dadas por la Teoría 
de Coulomb (la línea KÁ = 0.23 representa la presión activa según 
la Teoría de Coulomb, calculada con <¡> = 34° y 8 = 25°, valores 
supuestos en las pruebas).
Lascurvas 1 y 2 se obtuvieron con el mismo relleno arenoso, en 
el primer caso colocado en forma natural y en el segundo después 
de sometido a una compactación por vibración; nótese aue dicha vi­
bración hizo aumentar notablemente las presiones sobre la tablestaca.
MECANICA DE SUELOS (II) 165
Otro punto de interés puesto de manifiesto por las pruebas fue 
el referente a la influencia de la colocación del relleno arenoso. Las 
curvas de distribución de presiones 3 y 1 ponen de relieve esta in­
fluencia. La curva 3 se obtuvo con un relleno construido colocando la 
arena del respaldo de la tablestaca hacia atrás; la 1 se obtuvo con 
un relleno construido depositando la arena de atrás hacia el respaldo 
de la tablestaca.
Los resultados anteriores correspondieron a pruebas efectuadas 
en terrenos de cimentación constituida por arena compacta; si ésta es 
suelta, se observó para el caso de la curva 3, que las presiones 
aumentaron un poco a lo largo de toda la altura de la tablestaca.
Para el caso de rellenos heterogéneos, compuestos por una zona de 
arcilla y una cuña de arena en contacto con el respaldo de la tables­
taca se observó que, si la cuña parte del pie de la tablestaca hacia 
el relleno la distribución de presiones es prácticamente la dada por un 
relleno homogéneo de arena. Si la cuña parte de la corona de la 
tablestaca hacia el interior del relleno, la curva de presiones medidas 
sobre la tablestaca se aleja más del respaldo a lo largo de toda la 
altura, respecto a la del relleno de arena homogénea correspondiente.
. 0 .^5 H
/ A
í K Í
Placo rígida
/ i 8/
A REN A V !
SU ELTA \ __
(o)
d * Q.005 H
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A REN A
COMPACTA
(b) le)
Ancloje
(Apoyo libro)
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i
l
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1 
1 
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Ancla jo
■;.v; i-.-.-;.-..;; " i • V- v; .'V
A R EN A i : - \ ' • A R EN A
S U E L T A ' ; . ■ \ COMPACTA
(Apoyo libro ) (Apoyo fijo)
(e) (f)Id)
F IS . IV-k.6. Influencia de las condiciones del suelo on la presión pasiva desarrollada 
en tablestacas y en e l tipo de deformación de la estructura
Nótese que todas las pruebas muestran un máximo de la presión 
en algún nivel comprendido entre el anclaje y el piso de la cara exte­
rior de la tablestaca. También se puso de manifiesto que las presio­
nes medidas dependen del procedimiento seguido para formar el 
relleno, hecho que no es tomado en cuenta por ninguna teoría de 
presión de tierra.
Con el fin de obtener datos respecto a la presión pasiva (fig.
IV-k.6) que se produce en la cara exterior enterrada de una tables­
taca, Rowe 19 realizó pruebas con una placa rígida que giraba en 
torno a su extremo interior (fig. IV-k.6, a y b) que permiten dedu­
cir para la tablestaca que nunca tiene lugar un crecimiento lineal de 
la presión pasiva, como el que se obtiene con la Teoría de Coulomb 
y que, en general, las presiones reales son menores, tendiendo a 
valores pequeños en el extremo inferior de la estructura, siempre y 
cuando la flexibilidad sea suficiente como para que el extremo infe­
rior pueda considerarse eje de rotación, de modo que la situación sea 
similar a la de las pruebas. Cuando Rowe hizo girar una placa 
rígida enterrada en tomo al punto correspondiente al nivel del piso, 
se obtuvo una presión pasiva creciente hacia abajo tal como la que se 
muestra en la fig. IV-k.6.c.
Las condiciones del terreno en que está hincada la tablestaca 
influyen sobre el tipo de deformación de ésta e influyen también en 
el tipo de apoyo que debe considerarse a la estructura. Por ejemplo, 
una tablestaca hincada en turba podrá ceder y resultará de apoyo 
libre; por otra parte, el hincado en arena compacta producirá segura­
mente una condición de apoyo fijo, mientras que en la arena suelta 
se presentará una condición intermedia entre la turba y la arena 
compacta. En la fig. IV-k.6, parte d), e) y f) se presentan esque­
máticamente estas condiciones.
IV-k.5. Influencia de la rigidez a la flexión 
en el momento flexionante
De acuerdo con las teorías clásicas utilizadas para diseño de ta­
blestacas, mencionadas al principio de este anexo, las condiciones 
del apoyo enterrado y, por lo tanto el máximo momento flexionante 
en la tablestaca, son independientes de la rigidez de la estructura 
a la flexión; según aquellas teorías, el momento flexionante máximo 
disminuye cuando la penetración de la tablestaca aumenta, cual­
quiera que sea su rigidez a la flexión. Estas afirmaciones no pueden 
sostenerse a la luz del conocimiento actual de las relaciones entre 
los desplazamientos horizontales de la estructura y las reacciones 
del suelo. Baumann 20 puso, por vez primera, de manifiesto las irre­
gularidades de aquellas suposiciones, pero fueron las experiencias 
de Rowe las que aportaron las primeras evidencias respecto a las 
importantes relaciones mencionadas. Usando modelos metálicos de 
tablestacas, con rellenos granulares en estado suelto y compacto. 
Rowe midió las deformaciones verticales ocurridas en estructuras 
con diferentes alturas. En todas las pruebas obtuvo el esfuerzo en
166 CAPITULO IV
las fibras extremas de la placa metálica a lo largo de la altura, el 
módulo de elasticidad, el momento de inercia de la sección recta del 
muro, la profundidad del anclaje y otros datos de interés. Las lec­
turas obtenidas permitieron conocer el momento flexionante en la 
tablestaca en cada una de las pruebas. La condición de similitud 
entre el modelo y el prototipo es satisfecha por Rowe con ideas que 
involucran la suposición de que el módulo de elasticidad de las 
arenas crece linealmente con la profundidad, lo cual es sólo aproxi­
madamente correcto en arenas sueltas; en arenas compactas, el mó­
dulo de elasticidad, hasta donde sea posible hablar de este concepto 
en suelos, parece variar más bien con la raíz cuadrada de la profun­
didad. Por ello, si la tablestaca se hinca en arenas compactas, las 
condiciones del apoyo inferior serán menos favorables que las de 
los modelos de Rowe en los que se hayan usado arenas con la misma 
compacidad. Rowe define para la tablestaca un número de flexi­
bilidad :
_ H*
9 ~ El
Las investigaciones permiten llegar a las siguientes conclusiones im­
portantes. En tablestacas muy rígidas, el momento flexionante máxi­
mo, M, es independiente prácticamente del número de flexibilidad, p, 
y es igual al valor calculado con la hipótesis de apoyo inferior libre 
para la estructura; sin embargo, si p excede un cierto valor, M dis­
minuye cuando p aumenta y finalmente, tiende a un tercio del máximo 
momento en tablestaca de apoyo libre. El valor crítico, pc, en que M 
comienza a descender, aumenta cuando la compacidad relativa de 
la arena disminuye. El valor de pe es prácticamente independiente 
de la profundidad de hincado y del nivel a que actúe el anclaje.
Si la tablestaca fuera perfectamente rígida y el punto en que se 
ancla fuese inmóvil, el movimiento de la estructura sería un giro 
en torno a dicho anclaje y la distribución de la presión pasiva sería 
similar a la curva c) de la fig. IV-k.6, con punto de aplicación del 
empuje total inferior a D /3, contado a partir del extremo inferior de 
la tablestaca (D, profundidad enterrada). Esta condición correspon­
de al apoyo libre ideal. Cuando la flexibilidad aumenta, el extremo 
inferior de la tablestaca se traslada cada vez menos y la distribución 
de la presión pasiva se acerca a la de las curvas a ) o b) de la misma 
figura, mientras la tablestaca tiende a girar en torno a su extremo 
inferior. El punto de aplicación del empuje pasivo pasa entonces a 
ser mayor que D/2; el "claro libre”, entre el anclaje y el punto de 
aplicación del empuje pasivo disminuye y, por ende, el máximo 
momento flexionante también decrece. Cuando el extremo inferior 
de la tablestaca permanezca totalmente inmóvil, se habrá llegado a 
la condición de apoyo fijo.
MECANICA DE SUELOS (II) 167
Cuando una tablestaca se hinca en limo o en arcilla, existe una 
restricción inicial fuerte para el movimiento del extremo inferior y 
esto puedeproducir temporalmente una condición de apoyo fijo; la 
consolidación del material hace, sin embargo, que al cabo de un 
tiempo el suelo ceda inclusive más de lo que lo haría una arena suelta; 
durante esta cedencia el máximo momento flexionante aumenta. Una 
condición permanente de apoyo fijo es difícil de lograr en arcillas, 
a no ser que estén fuertemente preconsolidadas.
IV-k.6. Fuerza de anclaje
Cuando la tablestaca pasa de una condición de apoyo libre a otra 
de apoyo fijo, por incrementarse su flexibilidad, el máximo momento 
flexionante disminuye. Si la parte inferior de la tablestaca está fija, 
los extremos fijos de la misma quedan bajo la acción de momentos 
que soportan parte de la presión lateral y, en consecuencia la tensión 
en el anclaje disminuye; por lo tanto la tensión del anclaje disminuye, 
cuando la flexibilidad de la estructura aumenta. Siguiendo un razo­
namiento análogo puede afirmarse que la tensión de anclaje será 
menor cuanto más compacto sea el suelo en que se hinque la tables­
taca y será también menor a mayor profundidad de hincado. Otro 
factor que influye en la tensión de anclaje es la profundidad a que 
dicho anclaje se construya. También se ha observado que si el an­
claje cede, la tensión en él disminuye.
IV-k.7. Diseño de tablestacas ancladas
Para realizar un diseño económico y seguro de una tablestaca 
anclada deberán tenerse en cuenta todas las consideraciones gene­
rales hasta aquí mencionadas que hacen posible eliminar los errores 
más serios de los métodos tradicionales. Actualmente la más impor­
tante dificultad con que un método de diseño se encuentra se refiere 
a la complejidad estructural de los suelos, que se contrapone a la 
inevitable y usual hipótesis de homogeneidad de los mismos, con base 
en constantes y elementos de cálculo obtenidos de pruebas realizadas 
sobre muestras representativas.
Los pasos a que debe ajustarse un método de diseño de tables­
tacas ancladas son los siguientes:
a) Valuación de las fuerzas actuantes en la superficie interior
b) Determinación de la profundidad de penetración
c) Cálculo del máximo momento flexionante
d) Valuación de la fuerza de tensión en el anclaje
e) Determinación de los esfuerzos admisibles en los distintos 
elementos de acuerdo con las incertidumbres que se hayan 
tenido en la valuación de las fuerzas actuantes.
168 CAPITULO IV
A R E N A
F i g . I V - k . 7 F u e r z a s a c t u a n t e s s o b r e u n a t a b l e s t a c a a n q
i
R ELLEN O ARTIFICIAL 
DE A R E N A 
Ka= 0 .3 5
SUPERFICIE 
DEL SUELO
//7WW7SW
M u — ►
A R C ILL A
D U R A
L I N E A DE D R A G A D O
L A D A DE APOYO U B R E .
a) Valuación de las fuerzas actuantes en la superficie inte- 
rior de la tablestaca 
Para exponer el método general de valuación de las fuerzas que 
actúan sobre una tablestaca se recurrirá a dos casos, uno en el que la 
tablestaca se supone hincada en terreno arenoso y otro en arcilla. 
Se supondrá que en ambos casos, se construye un relleno de arena, 
del terreno natural hasta el punto más alto de la tablestaca. En la 
fig. IV-k.7 se muestran ambos casos.
En la figura se mencionan cuatro zonas numeradas I, II, III y IV 
que corresponden a
I. Presión activa de tierra debida al peso del suelo tras la 
tablestaca
II. Presión activa debida a la sobrecarga uniforme q
III. Presión hidrostática no balanceada
IV. Presión horizontal causada por la sobrecarga lineal q'.
Para calcular estas presiones y las fuerzas resultantes que produ­
cen deben calcularse los pesos específicos saturado y sumergido de 
los diferentes materiales y sus coeficientes de presión activa. Los 
valores de este coeficiente supuestos para la exposición que sigue se 
anotan en la fig. IV-k.7. En general, por estar depositados en agua, 
los rellenos artificiales quedan más bien sueltos y la tablestaca no se 
deforma lo suficiente como para que se desarrolle toda la resistencia 
al corte en el suelo; por ello, los valores de KÁ de cálculo suelen ser 
mayores que los de los mismos materiales en estado natural cuando 
obran tras una tablestaca de dragado. Los valores de KA para suelos 
friccionantes pueden estimarse, dentro de la Teoría de Coulomb, con 
los de <f> y S correspondientes. Como quiera que el empuje activo 
total equilibra al empuje pasivo y a la tensión en el anclaje, aquél 
será mayor que dicho empuje pasivo; por lo tanto, para un ángulo 
8 dado, la resultante de las fuerzas de fricción en la tablestaca 
tenderá a hacer que ésta baje; si el punto extremo inferior de la 
estructura estuviese rígidamente apoyado soportaría tal resultante, 
pero esto está lejos de suceder-en la realidad, por lo que la tablestaca 
se asienta ligeramente hasta que la fricción en la cara interior se hace 
similar a la que actúa en la cara exterior enterrada. A causa de estos 
hechos el valor de 8 en los casos de presión activa se debe de consi­
derar menor que en los de presión pasiva. Terzaghi recomienda 
valores de 8 = <j>/2 en la región bajo presión activa, y 8 = 2<f>/3 en 
zonas bajo presión pasiva.
Las arenas limosas suelen tener valores de KA mayores que las 
limpias de misma compacidad relativa, debido a que su ángulo de 
fricción interna es algo menor y su compresibilidad es mayor. En el 
caso de rellenos naturales el valor de K¿ podrá determinarse siguien­
do las teorías usuales, pero en rellenos artificiales la sobrecarga
MECANICA DE SUELOS (II) 169
uniforme q produce una presión horizontal igual a K¿ veces el propio 
valor de q.
La primera etapa para valuar la presión, hidrostática no balan­
ceada es determinar correctamente la altura H,0; ésto puede hacerse 
conociendo los datos hidrográficos locales. Si el suelo tras la tables­
taca es homogéneo en lo referente a la permeabilidad, la ec. 4-k.l 
permite calcular la presión no equilibrada. El área III de la fig.
IV-k.7 se ha dibujado esquemáticamente con esta hipótesis. Para 
evitar un aumento brusco del valor H w, por ejemplo por fuertes 
lluvias, es recomendable el uso de drenaje superficial en el relleno.
Cuando el relleno de la tablestaca no se consolida durante la 
construcción, por ejemplo cuando es una arcilla suave, el nivel de 
agua inicial en el relleno está en la superficie del mismo; en estos 
materiales KA = 1. Ahora la presión horizontal del suelo y agua 
combinados contra la tablestaca es ymz, siendo ym el peso específico 
del material saturado.
El efecto de cargas lineales estacionarias puede tomarse en cuenta 
con las ecs. 4-k.3 y 4-k.4, ya analizadas; las cargas concentradas 
actuantes pueden ser fijas o móviles. Las ecs. 4-k.8 y 4-k.9 pro­
porcionan las presiones horizontales correspondientes. Si la carga 
es fija la presión actúa en una zona específica; si es móvil, toda 
la tablestaca ha de ser capaz de soportarla. Desde luego, el relleno 
ha de ofrecer capacidad de carga suficiente para soportar las sobre­
cargas; en caso contrario éstas se apoyarán en pilotes y ya no ejer­
cerán efecto sobre la tablestaca. En el análisis de sobrecargas el 
valor de la altura H debe tomarse como la distancia vertical entre la 
línea de dragado y la superficie del relleno; con esto se trata de 
tomar en cuenta el hecho de que las presiones calculadas son mayo­
res que las reales en las zonas profundas del tablestaca.
b) Determinación de la profundidad de penetración
La experiencia ha probado (Rowe) que existe muy pequeña ven­
taja en hincar la tablestaca abajo de un nivel que garantice que no 
se producirá una falla por movimiento hacia afuera de la parte ente­
rrada y que garantice también un desplazamiento convenientemente 
pequeño del extremo inferior de la estructura. Como quiera que la 
longitud de hincado se refleja en forma importante en la economía 
de la obra, se sigue la conveniencia de determinar con buena aproxi­
mación la profundidad de hincado conveniente.
La resistencia de un material friccionante al movimiento hacia el 
exterior de la zona hincada depende de su peso específico y de su 
coeficiente de empuje pasivo. Si el materiales cohesivo, la resisten­
cia al movimiento mencionado depende para fines prácticos de la 
resistencia a la compresión simple.
170 CAPITULO IV
Cuando exista un flujo de agua del relleno hacia el lado exterior 
de la tablestaca será necesario tomar en cuenta la reducción del 
peso específico efectivo por fuerzas de filtración asociadas al flujo 
ascendente en dicho lado exterior. En el Volumen III de esta obra 
se darán criterios apropiados para tales cálculos.
Para los coeficientes de presión pasiva, Tarzaghi recomienda usar 
los valores que se muestran en la Tabla 4-k.l.
MECANICA DE SUELOS (II) 171
TABLA 4-k.l
Material Coeficiente de presión pasiva
Arena limpia compacta 9.0
Arena limpia medianamente compacta 7.0
Arena limpia suelta 5.0
Arena limosa compacta 7.0
Arena limosa medianamente compacta 5.0
Arena limosa suelta 3.0
Limo y arcilla l + ^ - C )P + yz
(*) p representa la presión efectiva en la frontera superior del estrato de que se 
trate y yz la presión efectiva debida al peso propio de dicho estrato, a la 
profundidad considerada.
Los valores anteriores son conservadores y naturalmente podrán 
modificarse para cada caso, cuando los valores de ̂ y S se obtengan 
de pruebas confiables en muestras representativas: para ello podrán 
usarse las gráficas de la fig. IV-k.2. En el caso no frecuente en que 
la parte inferior de la tablestaca se soporte no por hincado, sino por 
un relleno artificial de arena, podrá asignársele a éste un valor 
Kp = 3. Las arenas limosas muy sueltas, por su alta compresibilidad, 
no darán un soporte adecuado a la zona hincada de la estructura, 
por lo que será aconsejable evitarlas cuando sea posible.
La distribución real observada de la presión pasiva en tablestacas 
de apoyo libre es aproximadamente trapecial, con máximo en el extre­
mo inferior de la estructura, pero el considerarla asi complica los 
cálculos bastante por lo que, en este caso, se mantienen las ideas de 
Coulomb de distribución lineal, lo cual produce poco error y del lado 
de la seguridad. Para estar en condiciones de seguridad práctica, el 
valor de Kp del suelo situado en el lado exterior de la tablestaca se 
maneja dividido por un factor de seguridad F g > 1: en el caso en 
que el suelo sea limoso o arcilloso, el factor F> divide la resistencia 
a la compresión simple. Más adelante se tratarán los valores numé­
ricos del coeficiente F„.
172 CAPITULO IV
En la fig. IV-k.7, los puntos Oí, O2 y 03 representan los centroides 
de las áreas de presión sobre la tablestaca. Oj es el centroide del 
área de presión activa sobre la línea de dragado, 02 de la misma bajo 
la línea de dragado y 03 el del área de presión pasiva. Los empujes 
correspondientes serán E lt £ 2 y E s y sus posiciones están definidas 
por las distancias Lx, L-¿ y L¡. El valor de D debe satisfacer la con­
dición de que la suma de los momentos de todas las fuerzas en tomo 
al punto A, de anclaje, sea nula:
E\ U + E 2 (Ha + L¿) = E¡¡ (Ha + L3) (4-k.lO)
E 2, E 3, L2 y L¡ pueden expresarse en términos de D, con lo cual, 
a partir de la expresión 4-k.lO, puede plantearse una ecuación 
de tercer grado en D, que proporciona este valor.
c) Cálculo del máximo momento flexionante
Si la tablestaca se hinca en terreno errático o si no se dispone 
de datos seguros del mismo, el momento flexionante máximo en la 
estructura se calcula con la hipótesis de apoyo libre. Las fuerzas a 
considerar son las mostradas en la fig. IV-k.7.
Si la tablestaca se hinca en un estrato homogéneo de arena lim­
pia con compacidad conocida, el momento flexionante máximo calcu­
lado con la hipótesis de apoyo libre puede a veces reducirse, con 
base en las investigaciones ae Rowe ya mencionadas 19 615. Para 
tal efecto, después de calcular el máximo momento flexionante para la 
condición de apoyo libre y la sección de la tablestaca requerida, 
debe calcularse el número de flexibilidad correspondiente. Este núme- 
■ ro dependerá del material usado en la tablestaca y del máximo 
esfuerzo admisible que se asigne a aquél. Si el número de flexibilidad 
calculado es menor que el valor crítico correspondiente a las condi­
ciones del suelo en que la tablestaca esté hincada (gráficas de 
Rowe) no será posible hacer ninguna reducción al momento flexio- 
nante máximo y con éste deberá proyectarse. En caso contrario 
sí será factible hacer una reducción al momento máximo para obtener 
el de proyecto: esto redundará en una sección más económica para 
la tablestaca.
Se explicó atrás que el apoyo de una tablestaca hincada en limo 
compresible o arcilla es en un principio fijo, pero según el tiempo 
pasa aquella condición va tendiendo a la de apoyo libre; en este caso, 
en ninguna circunstancia se aceptará una reducción al máximo mo­
mento flexionante que haya resultado.
d) Valuación de la tensión, en el anclaje
La fuerza de tensión que se produzca en el anclaje de una tables­
taca libremente apoyada está determinada por la condición de que 
la suma de todas las fuerzas horizontales actuantes en la estructura 
debe ser nula. Por lo tanto:
Ar = (E , + E 2 - E 3) l (4 -k .ll)
donde l es el espaciamiento entre anclajes. La tensión en el anclaje 
disminuye cuando el número de flexibilidad de la tablestaca aumen­
ta, pero la disminución no es tan importante como la que ocurre, 
según se dijo, en el momento flexionante máximo. La tensión en 
el anclaje debe calcularse con la hipótesis de apoyo libre.
IV-k.8. Requisitos de seguridad
En general las incertidumbres, envueltas en el proyecto de las 
tablestacas ancladas dejan amplio campo de acción al criterio del 
proyectista, por lo cual puede ser antieconómico o inseguro el aceptar 
normas rígidas en lo que se refiere a la valuación de los factores 
de seguridad a utilizar en el proyecto. En lo que sigue se dan algu­
nas normas generales de criterio que deberán tenerse en cuenta en 
todo proyecto de la naturaleza aquí tratada; estas normas son debi­
das, al igual que el conjunto de este anexo, a la experiencia del 
Dr. Karl Terzaghi.
En lo que se refiere al coeficiente de seguridad F „ para calcu­
lar la presión pasiva -en la parte enterrada de la tablestaca, un valor 
de 2 o 3, dependiendo del grado de precisión con que se hayan 
calculado las fuerzas actuantes en el lado interior de la misma 
es satisfactorio para estructuras hincadas en arenas limpias o en 
arena limosa; estos valores podrán hacerse descender a 1.5 o 2, 
respectivamente, en limos o arcillas, pues en este caso los valores 
calculados de Kp están del lado de la seguridad.
Los valores calculados de la profundidad de hincado deberán 
incrementarse siempre en un 20%, para compensar posibles excesos 
en la profundidad de dragado, socavación o la existencia, no reve­
lada por los sondeos, de bolsas de material débil delante de la parte 
enterrada de la tablestaca; en este caso, el máximo momento flexio­
nante y la tensión en los anclajes deben calcularse con base en la 
profundidad de penetración no incrementada.
Los máximos esfuerzos permisibles debidos a la flexión de una 
tablestaca de acero con relleno artificial de arena limpia pueden to­
marse a lo menos como los dos tercios del esfuerzo de fluencia; esto 
vale también para tablestacas dragadas que soporten arenas deposi­
tadas naturalmente en el lugar. Si el relleno es de arena limpia o 
arena limosa y se construye por un método de sedimentación en 
agua, el esfuerzo anterior no debe pasar los dos tercios del esfuerzo 
dé fluencia; cuando, en este caso, el relleno sea arcilloso y se le haya 
asignado un valor K a — 1 podrán tomarse esfuerzos de flexión igua­
les al de fluencia, pues ahora la presión de tierras no puede llegar 
a ser mayor que la supuesta.
Las tensiones en los anclajes pueden ser mayores que las calcu­
ladas como se dijo atrás, cuando la distribución de la presión de
MECANICA DE SUELOS (II) 173
tierras sobre la tablestaca sea muy diferente de la correspondiente 
a la ley de Coulomb; también aumenta esta tensión cuando el suelo, 
en el lado exterior de la parteenterrada de la tablestaca, cede, por 
ejemplo por efecto de la consolidación, en tanto que la parte alta 
del relleno permanece indeformable o cuando dos anclajes vecinos 
ceden cantidades diferentes. A causa de todo lo anterior, las barras 
o elementos de anclaje deben calcularse sobre la base de los esfuer­
zos más pequeños que se hayan usado para el diseño de la estruc­
tura en general.
En general, es vital evitar durante la construcción condiciones 
de carga no previstas en el proyecto; en este sentido es necesario 
tener muy presente que la actual teoría no proporciona, probable­
mente, armas para prever todas las eventualidades susceptibles de 
presentarse en un caso real, por lo que resulta necesario hacer uso 
constante de normas de experiencia y de sentido común que cubran 
las inevitables deficiencias de los proyectos. La posibilidad de soca­
vación en el frente expuesto, con el correspondiente aumento de la 
H libre, es un peligro del tipo mencionado, para cuya previsión hoy 
hay muy poco más que la experiencia del proyectista; otro peligro 
análogo es la posibilidad de fugas del relleno por las juntas estruc­
turales de la tablestaca. En rellenos compresibles existe la posibilidad 
de transmitir acciones verticales a las barras de anclaje cuando éstas 
no se encierran en elementos tubulares amplios y flexibles, que sigan 
los movimientos del suelo sin interferir con el funcionamiento de 
dichas barras.
Todas las fallas observadas en tablestacas pueden, según Ter­
zaghi, atribuirse a dos causas: mala estimación de las propiedades 
de resistencia del suelo o ignorancia, por deficiencia en las explora­
ciones y sondeos, de la existencia de algún estrato o bolsón de suelo 
de características especialmente desfavorables. Por ejemplo, el uso del 
concepto "ángulo de reposo” como definidor de las cualidades de re­
sistencia y empuje de los suelos ha sido particularmente desdichado.
Algunas tablestacas en arena han fallado por movimiento hacia 
fuera de la tablestaca y el relleno, por la existencia de un estrato de 
arcilla blanda bajo la arena, que no cumplió su misión de sostener 
la rjarte enterrada de la estructura. En otras ocasiones se han repor­
tado fallas de taludes en suelos sumergidos con superficie de falla 
desarrollada bajo el anclaje y la tablestaca; en el Capítulo V se darán 
criterios para tomar en cuenta este tipo de fallas.
En general, todas las fallas reportadas hasta el presente se hu­
bieran podido evitar contando con un buen programa de exploración 
y muestreo y realizando sobre las muestras representativas algunas 
pruebas sencillas y adecuadas, cuya interpretación fuese correcta.
NOTA. Este Anexo ha sido elaborado teniendo en cuenta muy principalmente 
la reí. 15.
174 CAPITULO IV
REFEREN C IA S
1. Coulomb, Ch. A. — Essai sur une Application des régles des máximes et mini­
mes a quelques problémes de statique relatifs a l'architecture — Memoires — 
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sactions — Vol. 147— 1857.
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ierres argileux — Carilian — Goeury et Dalmont — París— 1846.
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Sons— 1957.
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— Mem. de l’Officier du génie — Vol. 13 — 1840.
9. Culmann, K. — Die Graphische Statik — Zurich 1866.
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1880.
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MECANICA DE SUELOS (II) 175
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and Son. Ltd. — 1956.
176 CAPITULO IV
1956.
Teu&s — 
SZfi
Crosby Lockwood
CAPITULO V 
ESTABILIDAD DE TALUDES
V-l. Generalidades
Se comprende bajo el nombre genérico de taludes cualesquiera 
superficies inclinadas respecto a la horizontal que hayan de adoptar 
permanentemente las estructuras de tierra, bien sea en forma natural 
o como consecuencia de la intervención humana en una obra de 
ingeniería. Desde este primer punto de vista los taludes se dividen 
en naturales (laderas) o artificiales (cortes y terraplenes).
Aun cuando las laderas naturales pueden plantear y de hecho 
plantean problemas que pueden llegar a ser de vital importancia, en 
este capítulo se tratarán en forma predominante los taludes artifi­
ciales, pero se mencionarán las características más importantes que 
pueden ser fuente de preocupación ingenieril en las laderas naturales.
El moderno desarrollo de las actuales vías de comunicación, tales 
como canales, caminos o ferrocarriles, así como el impulso que la 
construcción de presas de tierra ha recibido en todo el mundo en los 
últimos años y el desenvolvimiento de obras de protección contra la 
acción de ríos, por medio de bordos, etc., han puesto al diseño y 
construcción de taludes en un plano de importancia ingenieril de 
primer orden. Tanto por el aspecto de inversión, como por el de 
consecuencias derivadas de su falla, los taludes constituyen hoy una 
de las estructuras ingenieriles que exigen mayor cuidado por partedel proyectista.
Es obvio que la construcción de estas estructuras es probable­
mente tan antigua como la misma humanidad; sin embargo, durante 
casi toda la época histórica han constituido un problema al margen 
de toda investigación científica; hasta hace relativamente pocos años, 
los taludes se manejaron con normas puramente empíricas, sin ningún 
criterio generalizador de las experiencias adquiridas. La expansión 
del ferrocarril y el canal primero y de la carretera después, provo­
caron los primeros intentos para un estudio racional de este campo; 
pero no fue sino hasta el advenimiento de la actual Mecánica de 
Suelos cuando fue posible aplicar al diseño de taludes normas y cri­
terios, que sistemáticamente tomasen en cuenta las propiedades 
mecánicas e hidráulicas de los suelos constitutivos, obteniendo expe­
riencia sobre bases firmes y desarrollando las ideas teóricas que 
permiten conocer cada vez más detalladamente el funcionamiento
13—Mecánjcs de Socios II
177
particular de estas estructuras. La historia del desarrollo de la técni­
ca constructiva de presas de tierra y de los métodos de análisis de 
las mismas es uno de tantos ejemplos en apoyo de la afirmación 
anterior; hoy, gracias a los aportes de la Mecánica de Suelos al aná­
lisis de taludes, entre otras razones, se construyen doquiera presas 
que hace apenas 30 o 40 años se estimarían imposibles de realizar.
Por principio de cuentas es necesario dejar establecido el hecho 
de que la determinación del estado de esfuerzos en los diferentes 
puntos del medio material que constituye un talud es un problema 
no resuelto en general en la actualidad, ni aún para casos idealiza­
dos, como serían los de suponer el material elástico o plástico. Esto 
hace que los procedimientos usuales de análisis de estabilidad estruc­
tural no pueden utilizarse, por lo que ha de recurrirse a métodos que, 
por lo menos en la época en que comenzaron a usarse, eran de tipo 
especial. En rigor estos métodos se encasillan hoy entre los de “Aná­
lisis Límite”, que cada día van siendo más frecuentes en todos los 
campos de la Ingeniería. En esencia estos métodos consisten todos en 
imaginar un mecanismo de falla para el talud (la forma específica 
de este mecanismo se busca frecuentemente en la experiencia) y en 
aplicar a tal mecanismo los criterios de resistencia del material, de 
manera de ver si, con tal resistencia, hay o no posibilidad de que el 
mecanismo supuesto llegue a presentarse. En taludes siempre se ha 
imaginado que la falla ocurre como un deslizamiento de la masa 
de suelo, actuando como un cuerpo rígido, a lo largo de una super­
ficie de falla supuesta. Al analizar la posibilidad de tal desliza­
miento se admite que el suelo desarrolla en todo punto de la super­
ficie de falla la máxima resistencia que se le considere.
En el campo del estudio de los taludes existen pioneros de labor 
muy meritoria. Collin (1845) 1,2 habló por vez primera de super­
ficies de deslizamiento curvas en las fallas de los taludes e imaginó 
mecanismos de falla que no difieren mucho de los que actualmente 
se consideran en muchos métodos prácticos de diseño. Desgraciada­
mente sus ideas, obtenidas de una observación muy objetiva de la 
realidad, se vieron obstaculizadas por opiniones anteriores y con­
trarias de Ch. A. Coulomb3 quien preconizó la falla plana de los 
taludes, hipótesis mucho menos fecunda, según se demostró en el 
desarrollo posterior del campo y vio impuestas sus ideas quizá por 
el hecho de su mayor prestigio y autoridad. Las ideas de superficie de 
deslizamiento no plano fueron resucitadas en Suecia (1916) por Pet- 
terson, quien al analizar una falla ocurrida en el puerto de Gottem- 
burgo dedujo que la ruptura había ocurrido en una superficie curva y 
fueron impulsadas principalmente por W . Fellenius (1927), uno 
de los investigadores más importantes del campo de los taludes. La 
escuela sueca propuso asimilar la superficie de falla real a una cilin­
drica cuya traza con el plano del papel sea un arco de circunferencia; 
con esto se busca sobre todo facilidad en los cálculos, pues desde un
178 CAPITULO V
principio se reconoció que la llamada falla circular no representa 
exactamente el mecanismo real. Actualmente reciben el nombre ge­
nérico de Método Sueco aquellos procedimientos de cálculo de esta­
bilidad de taludes en que se utiliza la hipótesis de falla circular. 
En 1935 Rendulio propuso la espiral logarítmica como traza de una 
superficie de deslizamiento más real, pero Taylor en 1937 puso de 
manifiesto que esta curva, que complica bastante los cálculos., propor­
ciona resultados tan similares a la circunferencia, que su uso prác­
tico probablemente no se justifica.
En la actualidad, la investigación está muy lejos de haber resuelto 
todos los aspectos del análisis de los taludes y se están estudiando 
en muchas partes otras teorías y métodos de cálculo.
La Teoría de la Elasticidad y la Plasticidad ofrecen perspectivas 
de interés, que también están probándose con los mismos fines.
Es preciso hacer una distinción de importancia. Mientras los pro­
blemas teóricos de la estabilidad de los taludes distan de estar re­
sueltos y constituyen un reto para los investigadores de la Mecánica 
de Suelos, los aspectos prácticos del problema están mejor definidos; 
hoy se construyen taludes muy importantes con factores de seguridad 
muy bajos, lo cual es indicativo de que los métodos actuales, si bien 
poco satisfactorios teóricamente, funcionan bastante bien en la prác­
tica; es más, cuando tales métodos se han aplicado cuidadosamente, 
tras haber investigado correctamente las propiedades de los suelos, 
la posibilidad de una falla de consecuencias ha demostrado ser 
realmente muy pequeña.
MECANICA DE SUELOS (II) 179
V-2. Tipos y causas de falla más comunes
Los tipos de falla más frecuentes en taludes son los que se men­
cionan en lo que sigue:
a) Falla por deslizamiento superficial
Cualquier talud está sujeto a fuerzas naturales que tienden a 
hacer que las partículas y porciones del suelo próximas a su 
frontera deslicen hacia abajo; el fenómeno es más intenso cerca de 
la superficie inclinada del talud a causa de la falta de presión 
normal confinante que allí existe. Como una consecuencia, la zona 
mencionada puede quedar sujeta a un flujo viscoso hacia abajo que, 
generalmente, se desarrolla con extraordinaria lentitud. El desequi­
librio puede producirse por un aumento en las cargas actuantes en 
la corona del talud, por una disminución en la resistencia del suelo 
al esfuerzo cortante o, en el caso de laderas naturales, por razones 
de conformación geológica que escapan a un análisis local detallado.
El fenómeno es muy frecuente y peligroso en laderas naturales 
y, en este caso, generalmente abarca áreas tan importantes que cual-
180 CAPITULO V
D es lizam ien to s u p e rf ic ia l d e g ran des p ro p o rc io n es (c a r r e te r a H u ix t la -M o to z in t !a . E l p r o ­
b le m a fu e e v ita d o con c a m b io d e tra z o )
D es lizam ien to s u p e rf ic ia l. N ó te s e los in d ic io s d e co rrim ie n to s re c ien tes en 
los c a n tile s d e l fo n d o (c a r re te ra d ire c ta T iju a n a -E n s e n a d a )
quier solución para estabilizar una estructura alojada en esa zona 
escapa de los límites de lo económico, no quedando entonces más 
recurso que un cambio en la localización de la obra de que se trate, 
que evite la zona en deslizamiento. El fenómeno se pone de mani­
fiesto a los ojos del ingeniero por una serie de efectos notables, 
tales como inclinación de los árboles, por efecto del arrastre produ­
cido por las capas superiores del terreno en que enraizan; inclinación 
de postes, por la misma razón; movimientos relativos y ruptura de 
bardas, muros, etc.; acumulación de suelos en las depresiones y 
valles y falta de los mismos en las zonas altas, y otras señales del 
mismo tipo.
MECANICA DE SUELOS (II) 181
En la actualidad es muy difícil llegar a establecer por un procesoanalítico la velocidad y la consideración que llegue a tener el fenó­
meno. Los factores envueltos son tantos y tan complejos y actúan 
en períodos de tiempo tan impredecibles que cualquier análisis teó­
rico se hace prácticamente imposible.
b) Falla por movimiento 
del cuerpo del talud
En contraste con los mo­
vimientos superficiales lentos, 
descritos en el inciso ante­
rior, pueden ocurrir en los 
taludes movimientos bruscos 
que afectan a masas conside­
rables de suelo, con super­
ficies de falla que penetran 
profundamente en su cuerpo.
Estos fenómenos reciben co­
múnmente el nombre de des­
lizamiento de tierras. Dentro 
de éstos existen dos tipos cla­
ramente diferenciados. En 
primer lugar, un caso en el 
cual se define una superfi­
cie de falla curva, a lo largo 
de la cual ocurre el movi­
miento del talud; esta super­
ficie forma una traza con el 
plano del papel que puede 
asimilarse, por facilidad y sin 
ertor mayor, a una circunfe­
rencia. Estas son las fallas 
llamadas por rotación. En se­
gundo lugar, se tienen las fa­
llas que ocurren a lo largo de superficies débiles, asimilables a 
un plano en el cuerpo del talud o en su terreno de cimentación. 
Estos planos débiles suelen ser horizontales o muy poco inclinados 
respecto a la horizontal. Estas son las fallas por traslación.
Las fallas por rotación pueden presentarse pasando la superficie 
de falla por el pie del talud, sin interesar el terreno de cimentación o 
pasando adelante del pie, afectando al terreno en que el talud se 
apoya (falla de base). Además pueden presentarse las llamadas 
fallas locales, que ocurren en el cuerpo del talud, pero interesando 
zonas relativamente superficiales. En la fig. V -l se presentan estos 
tipos de fallas, así como la nomenclatura usual en taludes simples.
Deslizamiento superficial. Nótese la inclinación 
del arbolado
182 CAPITULO V
MECANICA DE SUELOS (II) 183
FIG. V -l. N o m e n c la tu ra y fa lla s en e l cuerpo de ta lu des
a) Nomenclatura
b) Fallas por rotación
I Local
II Por el pie del talud 
III De base
c) Falla por traslación sobre un plano débil
c) Fallas por erosión
Estas son también fallas de tipo superficial provocadas por arras­
tres de viento, agua, etc., en los taludes. El fenómeno es tanto más 
notorio cuanto más empinadas sean las laderas de los taludes. Una 
manifestación típica del fenómeno suele ser la aparición de irregu­
laridades en el talud, originalmente uniforme. Desde el punto de 
vista teórico esta falla suele ser imposible de cuantificar detallada­
mente, pero la experiencia ha proporcionado normas que la atenúan 
grandemente si se las aplica con cuidado.
d) Falla por licuación
Estas fallas ocurren cuan­
do en la zona del desliza­
miento el suelo pasa rápida­
mente de una condición más 
o menos firme a la corres­
pondiente a una suspensión, 
con pérdida casi total de 
resistencia al esfuerzo cor­
tante. El fenómeno puede 
ocurrir tanto en arcillas ex- 
trasensitivas como en arenas 
poco compactas.
e) Falla por }alta de ca­
pacidad de carga en el terre­
no de cimentación
Estas fallas se tratarán 
preferentemente en capítulos 5f e c fo j e /D erosión en un ta lu d (c a r re te ra 
subsecuentes de esta obra. C o m p o s te la -P u e río V a l la r ía )
V-3. Taludes en arenas
La estabilidad de un talud homogéneo con su suelo de cimentación, 
construido con un suelo “puramente friccionante”, tal como una arena 
limpia, es una consecuencia de la fricción que se desarrolla entre las
§ articulas constituyentes, por lo cual, para garantizar estabilidad astará que el ángulo del talud sea menor que el ángulo de fricción 
interna de la arena, que. en un material suelto seco y limpio se 
acercará mucho al ángulo de reposo. Por lo tanto, la condición 
límite de estabilidad es, simplemente:
a = <¡> (5-1)
Sin embargo, si el ángulo a es muy próximo a <¡>, los granos de 
arena próximos a la frontera del talud, no sujetos a ningún confi­
namiento importante, quedarán en una condición próxima a la de 
deslizamiento incipiente, que no es deseable por ser el talud muy fá­
cilmente erosionable por el viento o el agua. Por ello es recomendable 
que en la práctica a sea algo menor que <j>. La experiencia ha demos­
trado que si se define un factor de seguridad como la relación entre 
los valores de a y <f>, basta que tal factor tenga un valor del orden 
de 1.1 ó 1.2 para que la erosionabilidad superficial no sea excesiva.
V-4. E l Método Sueco
Como ya se ha dicho, bajo el título genérico de Método Sueco 
se comprenden todos los procedimientos de análisis de estabilidad 
respecto a falla por rotación, en los que se considera que la superficie 
de falla es un cilindro, cuya traza con el plano en el que se calcula 
es un arco de circunferencia. Existen varios procedimientos para 
aplicar este método a los distintos tipos de suelo, a fin de ver si un 
talud dado tiene garantizada su estabilidad. En lo que sigue se men­
cionarán los procedimientos para resolver el problema con cada tipo 
de suelo de los que se consideran.
a) Suelos “puramente cohesivos” (<j> = 0; cy^O)
Se trata ahora el caso de un talud homogéneo con su suelo de 
cimentación y en el cual la resistencia al esfuerzo cortante puede 
expresarse con la ley:
s = c
donde c es el parámetro de resistencia comúnmente llamado cohe­
sión. El caso se presenta en la práctica cuando se analizan las con­
diciones iniciales de un talud en un suelo fino saturado, para el 
cupl la prueba triaxial rápida representa las condiciones críticas.
E s este caso el método puede aplicarse según un procedimiento 
sencillo debido al Dr. A. Casagrande, que puede utilizarse tanto
184 CAPITULO V
para estudiar la falla de base como la de pie del talud. La descrip­
ción que sigue se refiere a la fig. V-2.
MECANICA DE SUELOS (II) 185
FIG . V-2. Procedimiento de A . Casagrande p a n aplicar el 
Método Sueco o un talud puramente "cohesiro"
Considérese un arco de circunferencia de centro en 0 y radio R 
como la traza de tina superficie hipotética de falla con el plano del 
papel. La masa de talud que se movilizaría, si esa fuera la superficie 
de falla, aparece rayada en la fig. V-2. Puede considerarse que las 
fuerzas actuantes, es decir, las que tienden a producir el deslizamiento 
de la masa de tierra, son el peso del área ÁBCDA, (nótese que se 
considera un espesor de talud normal al papel de magnitud unitaria 
y que bajo esa base se hacen todos los análisis que siguen) más 
cualesquiera sobrecargas que pudieran actuar sobre la corona del 
talud. El momento de estas fuerzas en tomo a un eje normal a través 
de 0 según la fig. V-2, en la que no se consideran sobrecargas, será 
simplemente:
Mm = Wd (5-2)
que es el llamado momento motor.
Las fuerzas que se oponen al deslizamiento de la masa de tierra
son los efectos de la “cohesión” a lo largo de toda la superficie de
deslizamiento supuesta. Así:
Mr =■ cLR (5-3)
es el momento de esas fuerzas respecto a un eje de rotación normal 
al plano del papel, por O (momento resistente).
En el instante de falla incipiente:
Mm — M r
por lo tanto, en general:
XWd = cLR
186 CAPITULO V
donde el símbolo E debe interpretarse como la suma algebraica de 
los momentos respecto a O de todas las fuerzas actuantes (pesos y 
sobrecargas).
Si se define un factor de seguridad:
F - = m (5-4)
podrá escribirse:
F- = <5-5>
La experiencia permite considerar a 1.5 como un valor de F, 
compatible con una estabilidad práctica razonable. Debe, pues, de 
cumplirse para la superficie hipotética seleccionada, que:
F , > 1.5
Por supuesto, no está de ningún modo garantizado que la super­
ficie de falla escogida sea la que represente las condiciones más 
criticas del talud bajo estudio (círculo crítico). Siempre existirá 
la posibilidad de que el factor de seguridad resulte menor al adoptar 
otra superficie de falla. Este hecho hace que el procedimiento descrito 
se torne un método de tanteos, según el cual deberán de escogerse 
otras superficies de falla de diferentes radios y centros,calcular su 
factor de seguridad asociado y ver que el mínimo encontrado no sea 
menor que 1.5, antes de dar al talud por seguro. En la práctica 
resulta recomendable, para fijar el F , mínimo encontrar primera­
mente el circulo crítico de los que pasen por el pie del talud y 
después el critico en falla de base; el circulo crítico del talud será 
el más crítico de esos dos.
En el Anexo V-a se presentan ideas complementarias debidas 
a Taylor de gran interés práctico para el análisis sin tanteos de 
taludes simples en suelos "cohesivos” homogéneos.
Nótese que en el procedimiento anterior, aparte de la falla 
circular, se está admitiendo que la resistencia máxima al esfuerzo 
cortante se está produciendo a la vez a lo largo de toda la superficie 
de deslizamiento. Esto, en general, no sucede, pues a lo largo de la 
superficie de falla real la deformación angular no es uniforme y, por 
lo tanto, los esfuerzos tangenciales, que se desarrollan de acuerdo 
con ella, tampoco lo serán. Esto implica que la resistencia máxima 
del material se alcance antes en unos puntos de la superficie que en 
otros, lo cual conduce a una redistribución de esfuerzos en las zonas 
vecinas a los puntos en que se alcanzó la resistencia, dependiendo 
esta redistribución y la propagación de la falla en estos puntos, de 
la curva esfuerzo-deformación del material con que se trabaje. Si ésta 
es del tipo plástico llegarán a tenerse zonas, a lo largo de la superficie 
de falla, en las que se haya alcanzado la máxima resistencia, pero
MECANICA DE SUELOS (II) 187
ésta se mantendrá aun cuando la deformación angular progrese; por 
ello, en el instante de falla incipiente es posible aceptar que, a lo 
largo de toda la superficie de falla, el material está desarrollando 
toda su resistencia. Por el contrario, en un material de falla frágil 
típica, aquellos puntos de la superficie de falla que alcancen la 
deformación angular correspondiente a su máxima resistencia ya no 
seguirán cooperando a la estabilidad del talud; esto puede producir 
zonas de falla que, al propagarse pueden llegar a causar la falla del 
talud (falla progresiva). Como se discutió en efCapítulo XII del Vo­
lumen I de esta obra, la prueba de esfuerzo cortante directo presenta 
este efecto de falla progresiva y algunos investigadores admiten que 
el valor menor de la resistencia al corte que con ella se obtiene 
representa un mejor valor para el análisis de la estabilidad de un talud 
que el obtenido de una prueba triaxial. Sin embargo, la opinión más 
general es que el fenómeno de falla progresiva no es en un talud 
tan acentuado como en una prueba directa de esfuerzo cortante, por 
lo que la resistencia del suelo en esta prueba puede resultar conser­
vadora. Estos últimos especialistas consideran preferible usar en un 
cálculo real de la estabilidad de un talud un valor de la resistencia 
intermedio a los obtenidos en prueba directa y triaxial. La experiencia 
y criterio de cada proyectista resultan decisivos en este punto para 
definir la actitud de cada uno,
b) Suelos con " cohesión” y “fricción (cyí= 0 ; <¡>=£0 )
Bajo el anterior encabezado han de situarse aquellos suelos que, 
después de ser sometidos a la prueba triaxial apropiada, trabajando 
con esfuerzos totales, y después de definir la envolvente de falla de 
acuerdo con el intervalo de presiones que se tenga en la obra real, 
tienen una ley de resistencia al esfuerzo cortante del tipo
s = c +
con parámetro de “cohesión” y de “fricción”.
De todos los procedimientos de aplicación del Método Sueco a 
este tipo de suelos, posiblemente el más popular y expedito sea el de 
las “dovelas”, debido a Fellenius (1927), que se expone a conti­
nuación.
En primer lugar, se propone un círculo de falla a elección y la 
masa de tierra deslizante se divide en dovelas, del modo mostrado 
en la fig. V-3.a.
El número de dovelas es, hasta cierto punto, cuestión de elección, 
si bien, a mayor número, los resultados del análisis se hacen más 
confiables.
El equilibrio de cada dovela puede analizarse como se muestra 
en la parte b) de la misma fig. V-3. W¡ es el peso de la dovela 
de espesor unitario. Las fuerzas Ni y Ti son las reacciones normal
188 CAPITULO V
y tangencial del suelo a lo largo de la superficie de deslizamiento 
ALi. Las dovelas adyacentes a la i-esima, bajo estudio, ejercen 
ciertas acciones sobre ésta, que pueden representarse por las fuerzas 
normales Pi y P2 y por las tangenciales jTi y T2.
En el procedimiento de Fellenius se hace la hipótesis de que el 
efecto de las fuerzas Pi y P2 se contrarresta; es decir, se considera que 
esas dos fuerzas son iguales, colineales y contrarias. También se acepta 
que el momento producido por las fuerzas Ti y T2, que se consideran 
de igual magnitud, es despreciable. Estas hipótesis equivalen a con­
siderar que cada dovela actúa en forma independiente de las demás 
y que Ni y T» equilibran a W¡.
El cociente Ni/ALi se considera una buena aproximación al valor 
de cr¡, presión normal actuante en el arco AL», que se considera 
constante en esa longitud. Con este valor de o\ puede entrarse a la 
ley de resistencia al esfuerzo cortante que se haya obtenido (ver
parte c) de la fig V-3) y determinar ahi el valor de s¡, resistencia
al esfuerzo cortante que se supone constante en todo el arco AL».
Puede calcularse el momento motor debido al peso de las dovelas 
como
Mn = RL\Ti\ (5-6)
Nótese que la componente normal del peso de la dovela, Ni, pasa 
por 0, por ser la superficie de falla un arco de circunferencia, y por 
lo tanto no da momento respecto a aquel punto. Si en la corona 
del talud existiesen sobrecargas su momento deberá calcularse en la 
forma usual y añadirse al dado por la expresión 5-6.
El momento resistente es debido a la resistencia al esfuerzo cor­
tante, s¡, que se desarrolla en la superficie de deslizamiento de cada 
dovela y vale;
Mfí = R ls iA L i (5-7)
Una vez más se está aceptando que la resistencia máxima al 
esfuerzo cortante se desarrolla al unísono en todo punto de la super­
ficie de falla hipotética, lo cual, como ya se discutió, no sucede 
realmente debido a las concentraciones de esfuerzos que se producen
MECANICA DE SUELOS (II) 189
en ciertas zonas, las que tienden a generar más bien fallas progre­
sivas, antes que las del tipo que aquí se aceptan.
Calculados el momento resistente y el motor puede definirse un 
factor de seguridad:
M r l£ á S i/ \L , \ I K
m ~-ir 15 1
F e =
La experiencia ha demostrado que una superficie de falla en que 
resulte F , ^ 1.5 es prácticamente estable. El método de análisis con­
sistirá también en un procedimiento de tanteos, en el cual deberán 
fijarse distintos círculos de falla, calculando el F , ligado a cada uno: 
es preciso que el F , m(n no sea menor de 1.5, en general, para garan­
tizar en la práctica la estabilidad de un talud. El criterio del 
proyectista juega un importante papel en el número de circuios ensa­
yados, hasta alcanzar una seguridad razonable respecto al F a min: en 
general es recomendable que el ingeniero no respaldado por muy 
sólida experiencia no regatee esfuerzo ni tiempo en los cálculos a 
efectuar.
El procedimiento arriba descrito habrá de aplicarse en general 
a círculos de falla de base y por el pie del talud.
La presencia de flujo de agua en el cuerpo del talud ejerce im­
portantísima influencia en la estabilidad de éste y ha de ser tomada 
en cuenta por los procedimientos descritos en el Volumen III de 
esta obra.
En el Anexo V-b se tratan algunos trabajos que complementan 
lo aquí escrito.
c) Suelos estratificados
Frecuentemente se presentan en la práctica taludes formados por 
diferentes estratos de suelos distintos, que pueden idealizarse en for­
ma similar al caso mostrado en la fig. V-4.
FIG . V-4. Aplicación dpi Método Sueco a taludes en suelos estratificados
Ahora puede realizarse una superposición de los casos tratados 
anteriormente. En la figura se suponen tres estratos: el I de material 
puramente "friccionante”, el II de material"friccionante" y “cohe-
190 CAPITULO V
sivo” y el III, formado por suelo puramente "cohesivo”. Puede consi­
derarse a la masa de suelo deslizante, correspondiente a un círculo 
supuesto, dividida por dovelas, de modo que ninguna base de dovela 
caiga entre dos estratos, a fin de lograr la máxima facilidad en los 
cálculos.
Un problema especial se tiene para obtener el peso de cada 
dovela. Ahora debe calcularse en sumandos parciales, multiplicando 
la parte del área de la dovela que caiga en cada estrato por el peso 
específico correspondiente.
Las dovelas cuya base caiga en los estratos I y II, en el caso de 
la fig. V-4 deberán de tratarse según el método de Fellenius, apli­
cando las expresiones 5-6 y 5-7 y trabajando en cada caso con la 
ley de resistencia al esfuerzo cortante del material de que se trate. 
Así se obtienen momentos motores y resistentes parciales.
La zona correspondiente al estrato III, siempre con referencia a la 
fig. V-4, debe tratarse con arreglo a las normas dadas en el inciso
a) de esta sección, aplicando las fórmulas 5-2 y 5-3. Así se obtienen 
otros momentos motor y resistente parciales.
Los momentos motor y resistente totales se obtienen, natural­
mente, como suma de los parciales calculados y con ellos puede 
calcularse el F s correspondiente al círculo de falla elegido; usando 
otros arcos de circunferencia se podrá llegar al F„ mi-n que no debe 
ser menor de 1.5, al igual que en los casos anteriores.
d) Resumen de hipótesis
• Las hipótesis utilizadas en los párrafos anteriores pueden resu­
mirse como sigue;
1) Falla circular
2 ) El análisis es bidimensional, respondiendo a un estado de 
deformación plana
3) Es válida la ley de resistencia de Mohr-Coulomb
4) La resistencia al esfuerzo cortante se moviliza por completo 
y al mismo tiempo en toda la superficie de deslizamiento
5) En su caso, las hipótesis ya comentadas referentes al manejo 
de las dovelas (no existe interacción entre ellas)
6) El factor de seguridad se define como la relación entre la 
resistencia promedio al esfuerzo cortante a lo largo de la su­
perficie de falla y los esfuerzos cortantes actuantes medios en 
dicha superficie.
e) Procedimiento de cálculo con el círculo de fricción
Krey4 proporcionó hacia 1936 las ideas que permitieron a los 
doctores G. Gilboy y A. Casagrande desarrollar un método especial 
de análisis de estabilidad de taludes respecto a fallas por rotación,
conocido con el nombre de procedimiento del círculo de fricción o, 
abreviadamente, círculo <¡>.
El procedimiento acepta también que la superficie de desliza­
miento de los taludes puede considerarse un cilindro cuya traza con 
el plano de los cálculos es un arco de circunferencia (círculo de 
falla). La secuela ya ha sido aplicada en este volumen a problemas 
de empuje de tierras (ver capítulo IV ).
Considérese el talud mostrado en la fig. V-5, con un círculo
de falla escogido; con centro en 0, del círculo de falla, puede
trazarse el círculo de fricción de radio
r = R sen <j> (5-9)
donde <f> es el ángulo de fricción del material constituyente del talud.
Si f es la resultante de la reacción normal y de fricción en un 
elemento de arco de la superficie de falla supuesta, formará con 
la normal a esta superficie un ángulo <f> y, por lo tanto, será tangente 
al círculo de fricción, según se desprende evidentemente de la fig.
El equilibrio de la masa de suelo deslizante bajo estudio depende 
de la acción de las siguientes fuerzas:
W, peso de la masa de suelo, que pasa por el centro de gra­
vedad de dicha masa.
MECANICA D E SU ELO S (II) 191
C, fuerza total de cohesión desarrollada a lo largo de toda la 
superficie de deslizamiento y generada por la "cohesión” 
del suelo.
F, resultante total de las reacciones normales y de fricción.
Se supone que no actúan fuerzas de filtración ni sobrecargas; 
las primeras de éstas se tomarán en cuenta, según se dijo, con los 
métodos descritos en el Volumen III de esta obra; las segundas con 
procedimientos que se desprenden evidentemente de lo que sigue. 
La fuerza C puede calcularse, en magnitud, con la expresión
C = c J J (5-10)
donde ce es la “cohesión” del suelo requerida para el equilibrio 
y L' la longitud de la cuerda del arco de deslizamiento supuesto. La 
línea de acción de la fuerza C debe ser paralela a la cuerda AB 
(fig. V -5), puesto que esta cuerda es la línea que cierra el dinámico 
de las fuerzas de cohesión que se desarrollan a lo largo de la super­
ficie de falla supuesta. Tomando momentos respecto al punto 0 podrá 
escribirse
ce L R — ceL'x
donde x es el brazo de momento correspondiente a la fuerza C,
que fija la línea de acción de ésta.
Por lo tanto:
* = J tR (5-11)
Nótese que el valor de x es independiente de ce. La fuerza F 
es la resultante total de las fuerzas / que son tangentes al círculo 
de fricción; estas fuerzas / no constituyen pues un sistema concu­
rrente y la fuerza F no será tangente al círculo de fricción (en la 
sección IV-10, sin embargo, se consideró tangente, cometiéndose un 
pequeño error de escasas consecuencias que, por supuesto, puede 
corregirse en parte adoptando los procedimientos aquí descritos). 
La posición F respecto a 0 puede definirse por la expresión
d = K R sen $ (5-12)
donde
d = distancia de 0 a F
K ~ un factor de proporcionalidad mayor que 1, que depende 
de la distribución de esfuerzos a lo largo del arco AB 
(fig. V -5) y del ángulo central AOB = 26
R,<f> = los sentidos usuales.
192 CAPITULO V
Taylor7 da una gráfica en que 
puede encontrarse el valor de K en 
función del ángulo central AOB = 
26; la gráfica aparece en la fig. 
V-6 y está constituida con la hi­
pótesis de una distribución senoi­
dal de esfuerzos normales a lo 
largo del arco AB, con valor nulo 
para el esfuerzo en los puntos A
y B,
Con las líneas de acción de W 
y C puede encontrarse su punto 
de concurrencia, por el cual ha de 
pasar la fuerza F, pues si la masa 
deslizante ha de estar en equilibrio, 
W, C y F han de ser concurrentes. 
Con esto se define la línea de acción de F, que pasa por el mencio­
nado punto de concurrencia de C y e s tangente a una circun­
ferencia con centro en 0 y radio KR sen <¡>.
Conocidas las líneas de acción de F y C puede construirse con 
W, conocido en magnitud y posición, un triángulo de fuerzas en el 
cual puede determinarse la magnitud de C necesaria para el equi­
librio.
La “cohesión” del material constituyente del talud es conocida 
por pruebas de laboratorio y vale c; el valor necesario del parámetro 
para que el talud sea estable según el cálculo, es decir, para tener la 
condición de equilibrio de las fuerzas actuantes es, según la expre­
sión 5-10
_ C 
c * ~ J J
que puede ya calcularse. Por ello, puede determinarse la relación
Fc = ~ (5-13)Ce
Con lo cual se obtiene un factor de seguridad asociado al círculo 
escogido en términos de la "cohesión”.
Si el valor de <f> con el cual se construyó el círculo de fricción 
es el real del suelo, la expresión 5-13 proporciona un factor de segu­
ridad del talud, el que estaría trabajando, pudiera decirse, en con­
dición límite respecto a la fricción.
Cuando se desea que el talud trabaje con seguridad no sólo 
respecto a la “cohesión” sino también a la fricción puede aplicarse 
el método del círculo <j> con un valor de <f> menor que el real del sudo; 
se define as! un factor de seguridad respecto a la fricción5
14—Mecánica de Suelos D
MECANICA DE SUELOS (II) 193
Fl©. V-6. Gráfica para obtener e l valor 
de K (Taylor)
194 CAPITULO V
F* = tg 4>
tg <!>e
( 5- 14)
donde <f> es el valor real del suelo y <¡>e el escogido para aplicar 
el método, menor que el anterior. En estas condiciones se obtendrá 
para el mismo talud un valor de F c distinto y menor que si el <¡>e 
elegido hubiese sido igual a <¡>.
Existen así infinitas combinaciones posibles de valores de F c y F<¡> 
asociados a un talud dado.
Si se desea que F c — F<¡, — F¡, donde F s es el factor de seguridad 
respecto a la resistencia al esfuerzocortante del suelo, para manejar 
un solo factor de seguridad ligado a un círculo dado, puede proce- 
derse como sigue (Taylor):
Usense varios valores lógicos de <¡>e en la aplicación del método 
del círculo <¡>. A cada valor está ligado un F<p y para cada valor 
puede obtenerse un F c. Grafíquense esos valores de F c y F<p corres­
pondientemente, como se muestra en la fig. V-7.
La curva obtenida corta a una recta a 45° en un punto en que
F c = F f = F ,
Ese punto indica un valor de F<¡, y F c al que corresponde un 
cierto valor de <f>e que es con el que tendría que haberse aplicado el 
método del círculo para obtener directamente factores de seguridad 
iguales respecto a “cohesión" y “fricción”, en el círculo de falla 
tentativo que se esté estudiando.
FIG . V-7. Método de Taylor para fí¡ar el factor de seguridad de
un talud.
Puede demostrarse que en un suelo homogéneo sin fuerzas de 
filtración y con círculo crítico de falla de base, una vertical tangente 
al círculo de fricción pasa por el punto medio del talud. (Anexo V -a).
V-5. Grietas de tensión
Es un hecho experimental que antes de ocurrir un deslizamiento 
de tierras en el cuerpo de un talud que no sea puramente friccio­
nante aparecen en la corona grietas más o menos longitudinales; 
esto es indicativo de la existencia de un estado de tensiones en 
esa zona.
La aparición de las grietas causa, en general, los siguientes 
efectos:
MECANICA DE SUELOS (II) 195
y sy
‘ ■. 3 . * | ■
c
*
- > , - '
Grieta típica en la corona de un talud en estado de falla incipiente
a) Una reducción en la longitud de la superficie de desliza­
miento, con la correspondiente disminución en el momento 
resistente, fig. V-8.
b) Una disminución del momento motor, que se reduce en el 
peso de la cuña eje .
c) Una generación de empujes hidrostáticos causados por el 
agua de lluvia cuando se almacena en la grieta. Estos empujes 
son desfavorables a la estabilidad del talud.
Terzaghi ha indicado que los dos últimos efectos señalados 
tienden, en general, a contrarrestarse, por lo que su influencia neta 
en la estabilidad del talud es despreciable y sólo el primer efecto 
mencionado ha de ser tomado en cuenta. Para ello el propio Ter­
zaghi ha propuesto, en suelos puramente “cohesivos", substituir 
la “cohesión” del suelo, obtenida de pruebas de laboratorio, por un 
valor, ca, corregido según la relación (fig. V-8)
r\
be1 ,r-
196 CAPITULO V
De esta manera puede hacerse el análisis por los métodos ya 
indicados, como si no existiese grieta.
La posición de la grieta ha de determinarse previamente a la 
aplicación de la relación 5-15. Cuando el círculo más crítico posible 
pasa por el pie del talud, la experiencia indica que la grieta se locali­
za casi siempre a una distancia del borde del talud mayor que la 
mitad de la porción de la corona interesada por el círculo ( fig. V -8) 
y puede considerarse, para efectos de análisis, que llega hasta dicho 
círculo (Dc). Cuando el círculo más crítico posible corresponde a 
falla de base, la grieta suele localizarse en la práctica a partir del 
hecho también experimental de que la profundidad máxima observada 
no sobrepasa H / 2 . Este valor es pues conservador y una vez defi­
nido, la grieta puede ser localizada con ayuda del círculo critico 
(fig. V-81.
Si se desea tomar en cuenta en los cálculos el efecto del empuje 
hidrostático del agua almacenada en las grietas, podrá usarse la 
ecuación
A M m = j z 20Yud (5-16)
donde z0 es la profundidad de la grieta y d es la distancia al 
centro del círculo, 0, del empuje hidrostático, que actúa en el tercio 
inferior de la profundidad agrietada.
V-6. Fallas por traslación
Como ya se ha indicado, las fallas por traslación de una masa 
de tierra que forma parte de un talud, ocurren cuando dentro del 
terreno de cimentación y a relativamente poca profundidad existe un
MECANICA DE SUELOS (II) 197
estrato paralelo a la superficie del terreno o casi paralelo, cuya 
resistencia sea muy baja. El fenómeno es particularmente frecuente 
cuando el terreno natural constituye una ladera inclinada, con el 
plano débil guardando una inclinación similar. En la naturaleza 
los planos débiles típicos son estratos delgados de arcilla muy blanda 
o de arena, más o menos fina, sujeta a una subpresión que dismi­
nuya los esfuerzos efectivos y rebaje mucho la resistencia del manto 
al esfuerzo cortante.
En la fig. V-9 se muestra una falla de la naturaleza en estudio.
FIG . V-9. Superficie da falla compuesta correspondiente a una falla de traslación
Si se supone que la masa de suelo movilizada es aquélla de 
fronteras abcd, puede admitirse que la cuña abf ejerce un empuje 
activo sobre la parte central bcef; bajo tal empuje esta parte trata 
de deslizarse, oponiéndose a ello una reacción (F ) a lo largo de la 
superficie cb y el empuje pasivo desarrollado en la cuña cde.
Los valores de los empujes activo (P¿) y pasivo (Pp) pueden 
calcularse ya sea por la Teoría de Coulomb o por la de Rankine, 
expuestas en el Capítulo IV; conviene considerar horizontales los 
empujes, lo cual resulta sencillo y ligeramente dentro de ta seguridad.
Si el suelo del estrato débiles puramente "cohesivo”, el valor 
de la fuerza P es simplemente cb.c, donde c es la "cohesión" del 
material. Si el estrato débil es arenoso y está sujeto a una subpresión 
que reduzca la presión normal efectiva correspondiente al peso de la 
masa ecbf en una cantidad importante, la fuerza F deberá calcularse 
a partir de ese valor deducido de la resistencia, con la presión normal 
efectiva igual a la total menos la neutral. En el Volumen III de 
esta obra se darán los métodos para determinar los valores de u.
El factor de seguridad asociado a la superficie compuesta ana­
lizada puede definirse como:
a
(5 - 1 7 )
198 CAPITULO V
V-7. Otros métodos de análisis
Rendulic6 ha propuesto, como ya se indicó, el uso de la espiral 
logarítmica como curva de falla más representativa que la circular. 
En este caso se tiene la ventaja de que las fuerzas de reacción re­
sultantes de los esfuerzos normales y de fricción pasan por el centro 
de la espiral; a la vez se tienen desventajas que emanan del hecho de 
que, en general, la curva espiral es más complicada en su manejo que 
la circunferencia. Taylor7 ha demostrado que este método de la 
espiral logarítmica proporciona prácticamente los mismos resultados 
que el Método Sueco y conduce a superficies de falla de ubicación 
parecida. Por todo ello, el uso de la espiral en los problemas prácti­
cos es restringido, dado que su aplicación resulta en definitiva más 
complicada. En el Anexo V-c se insiste más en estos puntos.
En épocas recientes se han aplicado a los análisis de taludes ecua­
ciones e ideas de tipo elasto-plástico. Entre estos trabajos destacan 
las aplicaciones de las ecuaciones de Kotter, originalmente obtenidas 
por este investigador para el caso de un material puramente "fric­
cionante” (c = 0) y generalizadas por Carrillo y Jaky para el caso 
0, <j>yt08’9. Estas ecuaciones representan una condición gene­
ral que deben satisfacer los esfuerzos a lo largo de cualquier super­
ficie de deslizamiento, en condición de falla incipiente.. En el Anexo
V-c se trata también este tema con mayor amplitud.
V-8. Fallas por licuación
Según ya se mencionó en el volumen I de esta obra, las condi­
ciones para que una masa de arena pueda entrar en licuación son 
que el material esté saturado y en estado más bien suelto y sea some­
tido a un efecto dinámico rápido; en estas condiciones ya se discutió 
el cambio que puede ocurrir en la distribución interna de presiones 
efectivas y neutrales, sin que se modifique la condición exterior de 
cargas.
En general, se supone que cualquier talud arenoso, independien­
temente de su inclinación, puede ser fácilmente licuable cuando su 
relación de vacíos sea mayor que la crítica; esta condición es relati­
vamente frecuente en presas de relleno hidráulico y en otros lugares 
en que la arena es depositada en forma muy suelta,pero es relativa­
mente fácil de evitar en terraplenes y formaciones artificiales, cons­
truidas con un proceso de compactación.
En formaciones arcillosas se han presentado en ocasiones fallas 
bruscas similares a las de licuación en arenas, que han sido general­
mente atribuidas a dos causas diferentes. La primera, por la dismi-
nucíón grande de la “cohesión aparente” del material, cuando éste 
aumenta mucho su humedad. La segunda, por la pérdida de resisten- 
cia que tiene lugar en arcillas sensibles a causa de la deformación 
bajo esfuerzo cortante o por cualquier otra degradación estructural 
que pueda tener lugar, aun sin cambio en el contenido de agua.
En cualquier caso, el análisis teórico del problema es, aún hoy, 
muy difícil y tosco, por lo que se hace preciso recurrir casi por com­
pleto a conclusiones de la experiencia. En el capítulo XI se vuelve 
a tratar con mayor detalle este importante problema.
En general, se admite que la expansión con absorción de agua 
es causa de falla mucho más frecuente que las degradaciones estruc­
turales, a no ser que la sensibilidad de la arcilla sea extrema. Aunque 
la arcilla es muy poco permeable existen innumerables circunstancias 
por las que puede absorber agua en un caso dado.
Las fallas rápidas por licuación tienen lugar casi siempre en 
taludes naturales; no se tiene noticia de que estas fallas se hayan 
presentado en terraplenes y bordos eficientemente compactados.
Un reconocimiento geológico de la región en que se ubicarán los 
taludes es fundamental para poder predecir la posibilidad del tipo 
de fallas bajo estudio; si en la región se presentan deslizamientos de 
laderas naturales de diferente inclinación podrá pensarse que el pro­
blema es probable.
V-9. Algunos métodos para mejorar la estabilidad de taludes
A continuación se indican algunos métodos que han comprobado 
su valor práctico para mejorar la estabilidad de taludes cuyas con­
diciones originales no sean satisfactorias.
a) Tender taludes
A primera vista quizá pudiera pensarse que esta solución sea la 
más obvia y sencilla en la práctica. Sin embargo, ha de tomarse con 
el debido cuidado desde el punto de vista teórico y muchas veces 
es irrealizable prácticamente hablando.
Si el terreno constituyente del talud es puramente friccionante 
la solución es indicada, pues, según se vio, la estabilidad de estos 
suelos es fundamentalmente cuestión de inclinación en el talud; ten­
diendo a éste convenientemente, se adquiere la estabilidad deseada. 
En suelos “cohesivos”, por el contrario, la estabilidad del talud está 
condicionada sobre todo por la altura del mismo y la ganancia al 
tender el talud es siempre escasa y, en ocasiones, nula (ver Anexo
V -a). En suelos con “cohesión” y “fricción”, el tender el talud 
producirá un aumento en la estabilidad general.
Por otra parte, muchos requisitos prácticos, tales como invasión 
de zonas urbanas, condiciones económicas emanadas del movimien­
MECANICA DE SUELOS (II) 199
to de grandes volúmenes de tierra, etc., hacen imposible al proyec­
tista el pensar en tender los taludes de los terraplenes, bordos, cortes 
y demás obras similares, en gran cantidad de casos prácticos.
b) Empleo de bermas laterales o frontales
Se denominan bermas a masas generalmente del mismo material 
aue el propio talud, que se colocan adecuadamente en el lado exterior 
del mismo a fin de aumentar su estabilidad. En la fig. V-10 se mues­
tra en esquema una de estas estructuras.
En general una berma produce un incremento en la estabilidad por 
dos motivos. Uno, por su propio peso, en la parte que queda hacia 
fuera de la vertical que pasa por el centro del círculo de falla, dis­
minuyendo el momento motor (parte bcef de la fig. V -10). Otro,
3ue aumenta el momento resistente, por el incremento en la longitud el arco de falla por efecto de la propia berma.
200 CAPITULO V
Otro efecto importante de las bermas, a veces de gran utilidad, 
estriba en la redistribución de esfuerzos cortantes que su presencia 
produce en el terreno de cimentación. En efecto, en ciertas zonas de 
éste se producen concentraciones de tales esfuerzos que pueden ser 
muy perjudiciales, sobre todo en terrenos arcillosos altamente sensi­
bles; la presencia de la berma hace que la distribución de esfuerzos 
sea más favorable y que un mayor volumen del terreno de cimenta­
ción coopere a resistir tales esfuerzos.
En los cálculos prácticos ha de tenerse en cuenta que la presen­
cia de la berma modifica la ubicación de la superficie de falla crítica, 
por lo que su colocación exige un nuevo cálculo de la estabilidad del 
nuevo talud protegido por la berma. La experiencia ha demostrado 
que es una buena base para los tanteos el suponer un ancho de berma 
del orden de la mitad de la base del terraplén y una altura tal que el 
peso de la berma dé un momento igual al requerido para alcanzar 
en el talud original el factor de seguridad deseado. A partir de este 
principio se procederá por tanteos hasta fijar la berma minima que 
cumpla su cometido.
MECANICA DE SUELOS (II) 201
Berma utilizada en e l camino directo México-Puebla para corregir una 
falla ocurrida durante la construcción
c) Empleo de materiales ligeros
Se trata ahora de colocar como material de terraplén suelos de 
peso específico bajo que, por lo tanto, den bajos momentos motores. 
El tezontle, de origen volcánico, con peso específico del orden de 
1 a 1.2 ton/m3 ha sido muy empleado para este fin. Otras solu­
ciones, tales como substitución de parte del terraplén con tubos, 
cajones de concreto hueco, etc., en general resultan muy costosas 
y, por ello, su uso ha sido muy limitado.
d) Consolidación previa de suelos compresibles
Cuando los suelos de cimentación de terraplenes sean mantos 
compresibles saturados de baja resistencia al esfuerzo cortante, puede 
inducirse un proceso de consolidación, acelerado en lo posible, que 
aumente la resistencia del material.
Al construir terraplenes es frecuente y económico recurrir a cons­
truir la estructura por partes, no erigiendo una mientras la anterior 
no haya producido una consolidación suficiente.
En el Capítulo X del Volumen I de esta obra se ha presentado 
un método para acelerar el proceso de consolidación por medio de 
drenes verticales cilindricos de arena. Desgraciadamente este proce­
dimiento, eficiente por otra parte, suele resultar bastante costoso 
en la práctica.
El procedimiento para estimar el aumento de la resistencia al 
esfuerzo cortante que tiene lugar según el proceso de consolidación
progresa está basado en ideas expuestas y discutidas en los Capítu­
los X y XII del Volumen I de esta obra.
Supóngase que se trata de un terraplén que se construye sobre 
un suelo compresible, normalmente consolidado, cuya resistencia no 
garantiza la estabilidad de la estructura, por lo que se ha decidido 
erigir la mitad de su altura, esperando para completarla a .que el 
suelo se haya consolidado parcialmente hasta que el aumento de su 
resistencia sea suficiente.
Bajo carga rápida, supuesto que el terraplén se construye en 
poco tiempo, la resistencia del suelo de cimentación estará represen­
tada por la envolvente de la prueba Rápida Consolidada, obtenida 
trabajando con esfuerzos totales. Analizando esta envolvente puede 
verse que la resistencia, s, al esfuerzo cortante es proporcional a la 
carga con que se haya consolidado al material (fig. V - l l ) ,
202 CAPITULO V
*c = P0 <rc = p0+ A p
F IS . V - l l . Aumento de la resistencia rápida con carga de con solidación
En el manto compresible normalmente consolidado, la resistencia 
bajo carga rápida será, por lo tanto, proporcional a la profundidad. 
Al construir la mitad del terraplén se inducirá un proceso de conso­
lidación en el terreno de cimentación, como consecuencia del cual 
las presiones efectivas aumentarán en todo punto del mismo. La 
resistencia final en cualquier punto del suelo de cimentación, una vez 
logrado el 100% de consolidación bajo la nueva carga, puede deter­
minarse a partirde las nuevas presiones efectivas existentes al fin 
del proceso de consolidación, calculables por los métodos expuestos 
en el capítulo III. Así, si es la resistencia inicial de un punto de 
la masa consolidada bajo la presión efectiva por peso propio, p¡T, la 
resistencia final bajo carga rápida ̂ s/, será la correspondiente a 
la nueva presión de consolidación pó + Api donde Ap representa el 
incremento de presión efectiva que ha producido la mitad primera­
mente construida del terraplén.
La resistencia en un punto correspondiente a un porcentaje de 
consolidación entre 0 y 100% tendrá un valor intermedio entre s¡ y 
Sf, el cual podrá interpolarse linealmente entre esos dos, según se 
desprende obviamente de la fig. V - l l .
MECANICA DE SUELOS (II) 203
Si el suelo de cimentación fuera preconsolidado, el problema 
podrá tratarse como el anterior, pero considerando la envolvente Rc 
incluyendo el intervalo de preconsolidación.
En ocasiones se ha recurrido en la práctica a algunos otros pro­
cedimientos esencialmente equivalentes al arriba expuesto para esti­
mar el aumento de resistencia rápida del suelo por consolidación 
(Hvorslev10, Rutledge11).
e) Empleo de materiales estabilizantes
El fin de la solución en estudio es mejorar las cualidades de resis­
tencia de los suelos mezclándoles algunas substancias que al produ­
cir una cementación entre las partículas del suelo natural o al mejo­
rar sus características de fricción aumenten su resistencia en los 
problemas prácticos. Las substancias más empleadas han sido ce­
mentos, asfaltos y sales químicas. Sin embargo, en la práctica estos 
procedimientos resultan costosos, por lo que su uso es limitado.
f) Empleo de muros de retención
Cuando un talud es en sí inestable, se ha recurrido con cierta 
frecuencia a su retención por medio de un muro. La solución, "cuando 
se aplica con cuidado, es correcta aunque, en general, costosa.
Sin embargo, muchas son las precauciones que han de tomarse 
en cuenta para el proyecto y construcción de los muros. En el capí­
tulo IV se ha tratado el problema general de estas estructuras por 
lo que aquí sólo se mencionarán algunas precauciones de carácter 
especial.
En primer lugar ha de cuidarse que la cimentación del muro 
quede bajo la zona de suelo movilizada por la falla hipotética del 
talud, pues se han reportado casos en que el muro, en falla por 
rotación por ejemplo, se moviliza en conjunto con el suelo, resultando 
totalmente inútil.
En segundo lugar, es preciso tomar precauciones muy especiales 
en lo referente al drenaje, dotando al muro en su paramento interno 
de filtros de material permeable, que canalicen a las aguas hacia las 
salidas que se proyecten a través del muro. En suelos con contenido 
apreciable de finos plásticos es preciso tener muy presente la posi­
bilidad de que el material del talud se sature, en cuyo caso disminuirá 
fuertemente su ‘‘cohesión aparente”, aumentando correspondiente­
mente los empujes que produce contra la estructura. Esta ha sido 
posiblemente, la principal causa de fallas en muros de retención 
usados en vías terrestres, canales, etc.
En general, el muro de retención como elemento estabilizador de 
taludes, constituye una de las estructuras más delicadas en lo refe­
204 CAPITULO V
rente a su proyecto y construcción y es recomendable que ambas 
etapas sean muy cuidadosamente supervisadas por un especialista. 
Esto, por supuesto, es tanto más cierto cuanto más altas sean las es­
tructuras que se requiera construir y cuanto más plástico sea el 
suelo por retener.
D e s liia m ie n to p o r ro ta c ió n causado p o r la p é rd id a d e res istencia d e b id a 
a la sa tu ración d e los suelos
T u b e ría p e r fo ra d a p a r a d re n a je in te rn o d e un co rte d e una c a rre te ra
MECANICA DE SUELO S (II) 205
g) Precauciones de drenaje
La principal y más frecuente causa de problemas derivados de 
la estabilidad de taludes en obras de ingeniería es, sin duda, la pre­
sencia de agua y su movimiento por el interior de la masa de suelo. 
Estos efectos y el modo de cuantificarlos se detallarán en las partes 
correspondientes del Volumen III de esta obra, pero es obvio desde 
este momento que la saturación y el desarrollo de fuerzas de filtra­
ción que tiene lugar durante el flujo de agua afectan decisivamente 
la estabilidad de las masas de suelo.
Salvo el caso especial de las presas de tierra, en donde el flujo 
es un factor inevitable cuya presencia siempre ha de tomarse en 
cuenta, en la mayoría de las obras de ingeniería resulta más econó­
mico proyectar obras de drenaje que eliminen filtraciones y flujo 
que proyectar los taludes para soportar esta condición tan desfavo­
rable. Las estructuras comu­
nes, tales como cunetas, con­
tracunetas, alcantarillas, etc., 
debidamente proyectadas y 
construidas han demostrado 
hoy ser indispensables y no 
es buena la técnica ingenieril 
que regatee inversión o es­
fuerzos en esta dirección. En 
otras ocasiones será preciso 
pensar en estructuras especia­
les del tipo de pantallas de 
drenes protectores, tubería 
perforada que penetre conve­
nientemente en la masa de 
suelo y otras muchas.
En este punto se toca un 
aspecto que ha sido y sigue 
siendo muy debatido entre los 
ingenieros de todo el mundo.
Se trata de definir si resulta 
más conveniente proyectar 
una obra vial, por ejemplo, 
con todas las precauciones de
drenaje en cada lugar, a fin Trinchera de drenaje para la zona central da una 
de evitar futuras fallas enea- autopista moderna
reciendo fuertemente la cons­
trucción o, por el contrario, si resulta mejor construir con las 
precauciones elementales e indispensables, ateniéndose al riesgo de 
falla futura en algún lugar aislado en que las condiciones de filtración 
y flujo resulten imprevisiblemente críticas. Este último criterio traerá
206 CAPITULO V
O tr a v ista de drenes h o rizo n ta les p a ra c a p ta c ió n d e a g u a en e l in te ­
r io r d e los cortes d e los cam inos
U n e je m p lo d e una so lución es p e c ia l 
p a r a e s ta b il iz a r ta lu d e s en ro ca : 
co lo ca c ió n d e b arras d e a n c la je 
en los b loq ues sueltos
trastornos en la operación de la obra y acarreará, quizá, riesgos hipo­
téticos a sus usuarios, por la posibilidad de derrumbes localizados 
bruscos. Apenas puede dudarse que este último criterio resulta más 
apropiado para ser usado en países de economía restringida, pues 
siempre será más barato y económico arreglar fallas en algunos pun-
MECANICA DE SU ELO S (II) 207
Otra solución especial a un problema de estabilidad de taludes en 
roca: el medio viaducto
tos que proteger contra esas fallas cada kilómetro de un camino, por 
ejemplo. De todas maneras, por sus implicaciones económicas y aún 
morales, el asunto se presta a toda clase de disquisiciones.
Combinación de soluciones a base de muros de retención y 
medio viaducto (carretera escénica en Acapulco, Gro.)
208 CAPITULO V
En taludes en excavaciones, el bombeo o los métodos electros- 
móticos (ver Volumen III de esta obra) se usan hoy comúnmente y 
los segundos parecen prometedores en los problemas de taludes en 
general.
h ) Soluciones especiales
Además de las soluciones que se han mencionado, existen muchas 
otras y puede decirse que este es un punto en que el ingenio del
proyectista guiado por un buen 
criterio tiene amplio campo de ac­
ción. En caminos, por ejemplo, el 
uso de terraplenes en diente de 
sierra ha sido muy socorrido para 
rebajar altura de terraplenes por 
concepto de sobreelevación en cur­
va y así eliminar riesgos de falla 
(fig. V-12). En otros casos sobre, 
todo en cortes en roca fracturada, los bloques se cosen materialmente 
con varillas de acero, pretensadas o no, colocadas en barrenos relle­
nados con mortero.
C o rr il iz q u ie r d o C a r ril d e re c h o
FIG. V-12. Terraplenes en diente de 
sierra
Un problema especial: el echado de las rocas favorece su deslizamiento 
hacia un caminoMECANICA DE SUELOS (II) 209
ANEXO V-a
Consideraciones respecto al análisis de taludes en material 
“cohesivo” homogéneo en él cnerpo del talud 
y en el terreno de cimentación
V-a.l. Talud “cohesivo” y terreno de cimentación homogéneo 
con él y semi-infínito
Los análisis de estabilidad de taludes en suelos "cohesivos” ho­
mogéneos en el cuerpo del talud y en el terreno de cimentación han
demostrado (Taylor) que la "cohesión” necesaria para garantizar la 
estabilidad de un talud de inclinación dada sigue la ley de propor­
cionalidad
c ° ° y n H (5-a.l)
donde:
ym = peso específico del suelo que forma el talud y el terreno 
de cimentación
H — altura del talud.«
La relación anterior puede escribirse:
c = N ey„H (5-a.2)
FIG . V-a.l. Literales usadas en el análisis de taludes homogineos
"cohesivos"
15— Mecánica de Suelos II
210 CAPITULO V
Donde Ne se denomina número de estabilidad del talud de que se 
trate. N e es función de la inclinación, $, del talud (fig. V-a.l) , cuan­
do el círculo más crítico posible pase por el pie del talud. La posibi­
lidad de falla de base se analizará más adelante en esta misma 
sección.
El sentido de las letras citadas aparece en la fig. V-a.l.
Puede demostrarse que el valor 3 — 53° es una frontera de inte­
rés, de modo que si 3 53° la superficie de falla más crítica posible
pasa siempre por el pie del talud y si 3 < 53° el círculo más crítico 
se presenta adelante del pie del talud, produciéndose una falla de 
base.
En efecto, considérese la fig. V-a.2 en la cual se muestra un talud 
en falla de base con una superficie de falla circular cualquiera, que 
genera las secciones marcadas con números romanos.
Para encontrar el círculo más crítico posible es preciso buscar aquel 
que dé un factor de seguridad (Ft) mínimo. Para ello se analizará 
en primer lugar lo que sucede cuando el centro del arco seleccionado 
se mueve sobre una trayectoria horizontal, después cuando varíe el 
radio, fijo el ángulo central, 29 y, finalmente, cuando varía el ángulo 
central, 29, únicamente
o
FIG. V-a.2. Esquema de un talud de material "cohesivo", homo­
géneo con el terreno de cimentación, para determi­
nar el circulo critico de falla de base
Si el punto 0 se mueve sobre una horizontal (véase fig. V-a.2) 
la longitud del arco hipotético de falla no varía, pues los puntos A 
y C no abandonan sus respectivas horizontales. Por lo tanto se man­
tiene constante el momento resistente que corresponde al producto 
cLR. Si se considera ahora como momento motor la expresión HWd.
como se hizo en el cuerpo de este capítulo, por permanecer constante 
el momento resistente, el F a mínimo se tendrá, simplemente, cuando el 
momento motor sea máximo.
Pero:
Mm ~ Mi + Mu + Mui + Miv
Mi es el momento del peso de la tierra correspondiente a la
sección I de la fig. V-a.2 y vale cero, pues el centroide del
área del sector está siempre en la vertical que pasa por 0.
Ma es el momento del peso de la tierra correspondiente a la
cuña triangular D EF y vale, según la figura mencionada:
M n = ~y b H ym (a — m) (5-a.3)
Mm es el momento, respecto a 0, del peso de la tierra correspon­
diente al área DEBG y vale:
vM / n \ u R sen £ -f" a , ¡- ,,Mm = {R sen e — a) H ym -̂------ (5"a-4 )
cü momento del peso de la tierra correspondiente al área CBG, M iv. 
no varía cuando el centro del arco de circunferencia escogido se 
mueve horizontalmente a partir de 0; su valor es constante, por lo 
tanto, y se representará por K.
Teniendo en cuenta las expresiones anteriores podrá escribirse:
Mm = -^-b H ym (a — m) + (R2 sen2 £ — a2) + K (5-a.5)
Interesa el valor máximo de esta función cuando 0 se mueve ho­
rizontalmente y este movimiento puede referirse a la variación de a; 
por lo tanto interesa la condición:
^ J"-̂ - b H y™ (a — m) + (R2 sen2 e — a2) + k J = 0
de donde:
± b H y m + ^ ( - 2 a) = 0 
b _ ny ~2 a — 0
o sea: a ~ ~ 2 (5-a.6)
Así pues, respecto al movimiento del centro del circulo escogido 
a lo largo de la horizontal, el círculo de falla más crítico respecto a 
falla de base, será aquél cuyo centro esté en la vertical que pase 
por el centro del talud.
MECANICA DE SUELOS (II) 211
212 CAPITULO V
Si ahora se fija el ángulo central 26 y se mueve el centro sobre 
la vertical que pase por 0, el valor del radio variará y también el 
momento motor y el momento resistente. El valor de R que corres­
ponde al círculo más crítico para esta condición es bastante compli­
cado de obtener y el proceso poco añade, conceptualmente hablando, 
al panorama general, por lo cual aquí se proporcionará simplemente 
el resultado final del análisis, según el cual el radio del círculo más 
crítico resulta ser infinito.
Para que el círculo más crítico posible quede totalmente defini­
do y así poder calcular teóricamente la “cohesión" necesaria para el 
equilibrio será preciso encontrar el ángulo central 29 que hace míni­
mo el factor de seguridad. Como se ha aceptado que el círculo crítico 
corresponde a radio infinito, para cualquier ángulo central, 29, dis­
tinto de cero, las distancias del 
talud a que el círculo de falla 
intercepte la superficie del terreno 
serán infinitas a ambos lados. Pa­
ra hacer el análisis que permita 
encontrar el valor de 29 corres­
pondiente al círculo crítico con­
viene considerar un radio finito 
muy grande, al cual posteriormen­
te se hará tender a oo, encontrando 
los resultados en ese límite. Te­
niendo esto en mente, podrá es­
cribirse (ver fig. V-a.3).
W = ymH R sen 9 
También podrá escribirse:
, R sen 9 
d = — 2—
y, desde luego:
L = 2 9R 
En falla incipiente: Wd = cLR 
por lo tanto
Wd ~2 *fm H R2 se n ® 0
c = ■
FIS. V-a.3. Talud en material "cohesivo", 
homogéneo con e l terreno de 
cimentación. Yar¡ación del 
ángulo central 29
(5-a.7)
de donde:
LR 2 9 R2
__ YmH sen2 9 (5-a.8)
El valor más crítico posible de 9 será el que haga que la c reque­
rida para mantener la estabilidad sea máxima. Por lo tanto interesa 
estudiar la condición:
= 0 (5-a.9)
MECANICA DE SUELOS (II) 213
d T sen2 9
d ó i ~ T ~ .
de donde:
2 6 sen 6 eos 9 — sen2 9 _ _
_
y
29 sen 9 eos 6 — sen2 6 
de donde se obtiene finalmente la ec.:
6 = ^ (5-a.lO)
De la ec. 5-a.lO se deduce que un valor de 0 = 66°45', o sea
29 = 133°30' corresponde al círculo más crítico posible. Si este valor
de 9 se lleva a la ec. 5-a.8 se obtiene:
YmH sen2 66°45' „ _ .c = J - j ---------------- *— = 0.181 y» H (5-a.ll)
66°45' 360c
Si se compara esta expresión con la (5-a.2), podrá verse que, para 
el caso de radio infinito, 29 — 133°30', centro del círculo sobre la 
vertical media del talud y talud "cohesivo” y homogéneo con el terre­
no de cimentación, el número de estabilidad del talud resultaría igual 
a 0.181.
Taylor ®«7 y Fellenius 12 realizaron gran volumen de investigación 
en este terreno tendiente a evitar a los proyectistas el trabajo largo y 
tedioso de los tanteos. Taylor dibujó una gráfica relacionando los 
valores del ángulo del talud, 3, con los números de estabilidad obte­
nidos para ellos, N e; así obtuvo el primer tramo curvo de la gráfica 
superior de la fig. V-a.4, que corresponde a círculos de falla por el 
pie del talud. Se ha visto que el número de estabilidad para los círcu­
los más críticos posibles que corresponden a la falla de base (R = oo) 
es 0.181: este valor define el tramo recto de la misma gráfica en la 
misma figura. La intersección de los tramos recto y curvo B se 
produce en un valor del ángulo 3 igual a 53°. A mayor número 
de estabilidad el círculo es más crítico por lo que la parte recta repre­
senta al valor de 2V« para los círculos más críticos, posibles, que son 
de falla de base con un ángulo de talud, 8, comprendido entre 0o 
y 53°. Para valores de 3 mayores de 53° la parte curva rige y los 
círculos más críticos posibles pasan por el pie del talud.
Fellenius observó que para 3 = 60° el ángulo a de la fig. V-a.l 
resulta igual a 9 y la tangente a la circunferencia de falla que pase 
por el pie del talud, trazada enese punto, es horizontal, y que para 
53° < 3 < 60° los círculos más críticos posibles que desde luego 
pasan por el pie del talud, interesan al terreno de cimentación: fallas 
únicamente en el cuerpo del talud ocurren sólo si 3 > 60°.
214 CAPITULO V
FIG* V-a.4. Gráfica de Tayhr para determinar los números de estabilidad en taludes 
en materiales "cohesivos", homogéneos con el terreno de cimentación
V-a.2. Talud “cohesivo” con terreno de cimentación homogéneo 
con él y limitado por un estrato horizontal resistente
Es muy frecuente que en la naturaleza aparezcan estratos re­
sistentes a una cierta profundidad dentro del terreno de cimentación 
cohesivo y homogéneo con el cuerpo de un talud; en lo que sigue se 
considerará que estos estratos son horizontales, lo cual, por otra 
parte no está lejos del caso real normal.
Cuando la inclinación del talud es menor de 53°, de la discusión 
realizada en la sección anterior de este anexo respecto a los círculos 
de falla de base, se deduce que el círculo crítico tiende a profundi­
zarse, pues siempre existirá un círculo a mayor profundidad al que 
corresponda un número de estabilidad mayor, si bien éstos tienden 
asintóticamente a 0.181 con la profundidad. De esto se deduce que, 
para estos taludes, el círculo crítico será siempre tangente al estrato 
resistente. Para fines prácticos, cuando el estrato resistente se en­
cuentra a una profundidad mayor que tres veces la altura del talud 
propiamente dicho, el número de estabilidad del circulo crítico es 
muy cercano a 0.181, y sólo se justifica su cálculo para aquellos
MECANICA DE SUELOS (II) 215
casos en que el estrato resistente está a profundidad comprendida 
entre 0 y 3H.
Cuando el estrato resistente corresponde al nivel del terreno y 
3 < 60°, la superficie crítica de deslizamiento sigue siendo tangente 
a dicho estrato resistente y se desarrolla como se muestra en la 
fig. V-a.5.
FIG. V-a.5. Circulo de falla en talud en material "cohesivo" 
cuando el terreno de cimentación está constituido 
por un material resistente
Para analizar las condiciones de estabilidad de un talud en 
material “cohesivo” con un estrato resisten.e localizado en el terreno 
de cimentación a una profundidad comprendida entre 0 y 3 H, a 
partir del nivel del terreno (H altura del talud), se utiliza el con­
cepto de factor de profundidad, D, definido según se desprende 
de la fig. V-a.6.
FIG. V-a.6. Esquema para definir los conceptos de factor de 
profundidad, D, y factor de alejamiento, n.
Desde luego, para un cierto talud el número de estabilidad dis­
minuye si el factor de profundidad va disminuyendo, es decir si el 
estrato firme está más próximo al nivel del terreno.
Con base en los cálculos realizados, Taylor pudo trazar las cur­
vas que aparecen en la fig. V-a.7, en la cual se consideran ángu-
CAPITULO V
* 2 3 4
F a c t o r do p r o f u n d i d a d , D.
FIG . V-a.7 Gráficas de Taylor p o n defe/minar e l número de estabilidad y 
el factor de alejamiento en circuios tangentes a un estrato 
resistente
los de talud desde 53° hasta 7.5°. Entrando con el valor de D y 
usando la curva de 3 correspondiente puede obtenerse el valor de 
N e y el de n, factor de alejamiento, interpolado entre las curvas 
mostradas.
En la fig. V-a.8 se muestra un círculo de falla de base cuyo 
centro cae en la vertical por el punto medio del talud y que es 
tangente a un estrato resistente situado a la profundidad DH.
MECANICA DE SUELOS (II) 217
FIG . V-a.8 Circulo con falla de base tangente a un estrato
resistente
La superficie de falla aflora a una distancia horizantal nH ade­
lante del pie del talud. Para círculos tangentes al estrato resistente 
y con centro en la vertical media, el valor n determina la posición 
del círculo respecto al talud; estos valores pueden obtenerse del mis­
mo gráfico mostrado en la fig. V-a.7. Obsérvese que, como era 
de esperar para una inclinación del talud dada (curvas llenas de la 
figura), n aumenta cuando aumenta D; es decir, cuando el círculo 
de falla se profundiza más, aflora a mayor distancia del pie del talud.
Puede observarse que en la práctica hay casos en los que el des­
arrollo de la superficie de falla se ve forzado a pasar por el pie del 
talud; en la parte inferior de la fig. V-a.7 se muestra un caso de 
éstos, en el que el número de estabilidad será menor que si la restric­
ción no existiese (y por lo tanto el talud más estable). Los números 
de estabilidad correspondientes se calcularán en la misma figura 
recurriendo a las líneas discontinuas de segmentos largos.
ANEXO V-b 
Consideraciones respecto al análisis de taludes homogéneos 
en materiales con cohesión y fricción
Existen numerosos trabajos de mérito cuya finalidad es, a la vez, 
ahorrar tiempo a los calculistas de estabilidad de taludes y arrojar 
mayor luz sobre el comportamiento de éstos y sobre las conclusiones 
que pueden extraerse de los distintos métodos de análisis. De todos
esos, cuya simple mención es imposible en este lugar, se glosan a con­
tinuación aquellos que han alcanzado mayor popularidad. Desde lue­
go las conclusiones de estos trabajos son aplicables a taludes homo­
géneos, en falla por el pie del talud o de base (en cuyo caso se 
supone que el material constitutivo del terreno de cimentación es el 
mismo del cuerpo del talud propiamente dicho) y se refieren única­
mente a la posibilidad de falla de rotación.
a) Trabajos de Fellenius
Fellenius ha extraído algunas conclusiones de carácter general 
como resultado de un gran número de aplicaciones del procedimiento 
de las dovelas. En varias de las referencias citadas en este capítulo 
podrán verse distintas alusiones a sus trabajos. En la Tabla 5-b.l, 
aparece un aspecto de las investigaciones de Fellenius; en dicha 
Tabla se definen algunos círculos críticos por el pie del talud en 
suelos puramente “cohesivos", correspondientes a ángulos de talud, 
3, frecuentes en la práctica. Las letras tienen el sentido que se des­
prende de la fig. V-b.l.
0
218 CAPITULO V
FIG. V-b. I . Posición del centro del circulo critico por el pie 
del talud; trabajo de Fellenius (<fi ^ 0, c 0)
TABLA 5-b.l
Suelos puramente “cohesivos” (c ^ 0; <f> = 0)
Talad P a, a-
---
— 0 0 0
1:0.58 60 29 40
1:1.00 45 28 37
1:1.50 33.8 26 35
1:2.00(o mayor) 26.6(o menor) 25 35
Ha de insistirse que las posiciones tijadas por la Tabla 5-b.l se 
refieren a círculos críticos por el pie del talud; para su aplicación
MECANICA DE SUELOS (II) 219
práctica será necesario en cada caso, comparar los factores de segu­
ridad con los obtenidos estudiando la falla de base.
b) Trabajos de Taylor5
Siguiendo un procedimiento análogo al expuesto en el Anexo 
V-a para suelos puramente "cohesivos”,, Taylor estudió también los 
materiales con "cohesión" y "fricción”. En la fig. V-b.2 se presen­
tan curvas que relacionan el ángulo de talud, P, con el número de 
estabilidad, N e, en función del ángulo de fricción interna del suelo, 
<j>, en círculos críticos correspondientes a falla por el pie del talud.
Las gráficas son de uso muy simple: entrando con un valor de 
P de proyecto, que se desea verificar y el valor de <j>, obtenido en 
pruebas de laboratorio, se obtiene un valor de N e correspondiente; 
según la definición del número de estabilidad usada por Taylor, 
puede escribirse:
F s = - ^ 4 r (5-b.l)
Y' H
Donde F a es el factor de seguridad del talud analizado en tér­
minos de la "cohesión”, que como ya se discutió, no es un verdadero 
factor de seguridad. Así pues, las gráficas de la fig. V-b.2 propor-
f lG .
Valores del a'ngulo del talud <£
V-b.2. Gráfica de Taylor para determinar el número de 
estabilidad de un talud, <P ^ 0, c ^ 0
220 CAPITULO V
FIG. V-b.3. Números de estabilidad asociados a círculos críticos por el pie del talud,
según N . Jambo
cionan sólo una primera aproximación al problema de la estabilidad 
en círculos por el pie del talud; además, será preciso estudiar la 
posibilidad de falla de base para llegar al círculo más crítico posible.