MODELOS DE EJERCICIOS PARA EL PARCIAL - MIT - FÍSICA II

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F Í S I C A I I
M I T
M O V I M I E N T O D E
I N C L U S I Ó N T O T A L
EJERCICIOS PARA PRACTICAR PARA EL PARCIAL
DE FÍSICA II - Recopilación de posibles ejercicios
para el parcial
 
FISICA II
Capítulo 2
Herramientas Matemáticas
Este primer capitulo no pretende introducir conceptos nuevos para el estudiante,
solo trata de actuar como apoyo al realizar un breve repaso de algunos elementos
matemáticos que el estudiante a visto en sus cursos previos.
2.1. Multiplicación de Vectores
2.1.1. Producto escalar de dos vectores
En matemática, el producto escalar entre dos vectores (se lo suele llamar pro-
ducto interno a veces) es una operación de�nida sobre dos vectores que per-
tenecen al mismo espacio. Habitualmente en los cursos básicos de física estos
vectores pertenecen al espacio de <2 o <3. El resultado de esta operación da
como resultado un número escalar.
A modo de ejemplo consideremos dos vectores de <2, el primero de ellos ~A =
(a, b) y ~B = (c, d) el segundo. La expresión matemática para el producto escalar
entre estos dos vectores es:
~A· ~B = a.c+ b.d (2.1.1)
Figura 1
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Este producto también lo podemos expresar en términos de los módulos de los
vectores, lo cual nos permite tener una idea del tipo geométrico del signi�cado
del producto escalar de dos vectores. Reescribimos el producto escalar de la
siguiente manera:
~A· ~B = | ~A|.| ~B|. cosα (2.1.2)
donde α corresponde al ángulo comprendido entre los dos vectores. Si analiza-
mos la expresión anterior el termino | ~B|. cosα vemos que representa el módulo
de la proyección del vector A en la dirección del vector B, esto es | ~B|. cosα =
ProyBA
Producto vectorial de dos vectores
En Matemáticas o en Física, el producto vectorial o producto cruz es una ope-
ración entre dos vectores, en principio solo por simplicidad vamos a considerar
que pertenecen a un espacio tridimensional.
El resultado es un vector cuya dirección es normal al plano que forman los dos
vectores que estoy multiplicando. Debido a su capacidad de obtener un vector
perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo
formado entre estos dos vectores.
~a×~b =
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
ax ay az
bx by bz
∣∣∣∣∣∣ = (ay.bz − by.az )̂i− (ax.bz − bx.az)ĵ + (ax.by − bx.ay)k̂
(2.1.3)
Esta operación y el vector resultante del producto la podemos representar como
se muestra en la �gura siguiente:
Figura 2
Podemos expresar el modulo del vector resultante del producto vectorial como:
|~a×~b| = |~a|.|~b|. sin Θ (2.1.4)
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2.1.2. Campo Escalar
El concepto de campo escalar en las matemáticas lo entendemos como una
función, que a cada punto de su dominio y para un dado instante de tiempo,
le asigna una magnitud escalar o un valor. Si lo expresamos para una función
cuyo dominio pertenece al espacio nos queda una expresión:
f : A ⊂ <3 → < (2.1.5)
donde A representa el dominio de la función. Desde el punto de vista de la
física entendemos por campo escalar a toda magnitud física que depende de su
posición y del instante de tiempo en el cual se esta midiendo. Un ejemplo de un
campo de este tipo puede ser la temperatura, que podemos expresar:
T = T (x, y, z, t) (2.1.6)
En principio vamos a hacer hincapié en los campo estacionarios, siendo estos
campos aquellos que no dependen del tiempo. Sigamos con nuestro ejemplo del
campo escalar que podemos de�nir con la temperatura. Supongamos que esta-
mos en invierno y podemos tomar la temperatura en diferentes puntos del aula,
¾qué observaríamos? Notaríamos que las temperaturas medidas en puntos pró-
ximos a una estufa o un calefactor serian diferentes de las que se medirían en
puntos cercanos a una puerta o ventana. Si pudiésemos medir las temperaturas
para todo punto perteneciente al aula podríamos de�nir un campo escalar de
temperaturas cuyo dominio son todos los puntos que pertenecen al interior del
aula. Para este tipo de campos podemos de�nir lo que conocemos como una
super�cie equiescalar o isoescalar que corresponde al lugar geométrico de los
puntos del espacio en los que el campo escalar tiene el mismo valor. Las super�-
cies equiescalares (es común encontrar en la literatura llamar a estas super�cies
o curvas de nivel) vienen dadas determinadas por la expresión:
T (x, y, z, t) = cte (2.1.7)
2.1.3. Campos Vectorial
La de�nición de campo vectorial, desde el punto de vista matemático y su
operatoria posee una complejidad mayor que la que posee un campo escalar.
En este caso a cada punto de una dada región del espacio se le puede asociar
un vector queda de�nido un campo vectorial en esta región. La función de�nida
de esta manera corresponde a una función vectorial. Si el campo vectorial
no depende del tiempo se lo llama estacionario. Matemáticamente podemos
expresar un campo vectorial en el espacio como:
f : B ⊂ <3 → <3 (2.1.8)
donde B representa el dominio de la función. En este caso una magnitud física
que se comporte como un campo vectorial debe asignar a cada punto del espacio
un vector. En los campos vectoriales se pueden de�nir lo que conocemos como
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líneas de fuerza o líneas de campo que son las curvas tangentes a cada punto
de los vectores de�nidos en ellos. Decimos que un campo vectorial es uniforme
cuando tenemos la misma magnitud para el vector de campo, la misma dirección
y sentido en todos los puntos. Un campo uniforme está representado, evidente-
mente, por líneas de campo paralelas y equidistantes. Dada esta de�nición nos
podríamos preguntar, ¾Qué ejemplo de este tipo de magnitud aprendimos en
nuestros cursos previos física, como podría ser el de Física I? Y la respuesta
que nos encontraríamos seria muy simple, el peso !! Consideremos el caso del
campo gravitatorio. Un hecho fundamental de la gravitación es que si dos masas
se ejercen fuerzas entre sí, debe existir una interacción entre ellas. Esta inter-
acción es lo que llamamos habitualmente una acción a distancia. Otro punto
asociado al concepto de campo, en este caso gravitatorio, es que la presencia de
una partícula de masa de�nida esta modi�cando en alguna forma el espacio que
la rodea y formando un campo gravitatorio. Este campo actúa entonces sobre
cualquier otra partícula con masa colocada en su proximidad, ejerciendo una
fuerza de atracción gravitacional sobre ella. Para las masas que interactúan con
la tierra y en sus proximidades podemos expresar el campo gravitatorio como:
~P (x, y, z) = m.~g(x, y, z) (2.1.9)
El concepto de campo vectorial en particular es particularmente útil para com-
prender las fuerzas electromagnéticas presentes entre cargas eléctricas en movi-
miento. La formulación del electromagnetismo en términos de estos conceptos
posee gran numero de ventajas, tanto en la parte conceptual como en la parte
práctica. El concepto de campo no existía como tal en la época de Newton, fue
desarrollado más tarde por Faraday para el electromagnetismo y sólo entonces
se lo aplicó a la gravitación.
2.1.4. Operadores
Como ya hemos mencionado los campos, ya sean escalares o vectoriales, pueden
depender no solo de la posición sino también del tiempo, pero por el momento
solo nos vamos a detener a analizar su comportamiento ante variaciones de la
posición. Si queremos analizar la variación de un campo escalar ante un cambio
en su posición debemos recurrir a una vieja conocida de nuestros cursos previos
de matemática, la derivada. Aunque en este caso se nos presenta un problema,
ya que si se tratase del caso de la temperatura de un sistema la cual depende
con la posición y que podemos expresar como:
T = T (x, y, z) (2.1.10)
nos surgiría una nueva pregunta ¾Cómo hacemos la derivada si T depende de tres
variables? En este caso si T(x,y,z) es una función escalar de�nida y derivable
en cada uno de los puntos (x,y,z) de una cierta región del espacio, entonces
podemos de�nir un nuevo vector que llamaremos gradiente de T. Este nuevo
vector u operadoren general en la literatura lo vamos a encontrar representado
por el símbolo 5 o simplemente encontraremos la expresión grad. Este nuevo
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vector u operador tiene en este caso tres componentes, donde cada componente
esta dada por la la derivada parcial del campo escalar T en el punto. El gradiente
de T en coordenadas cartesianas lo podemos expresar:
~∇T = (∂T
∂x
;
∂T
∂y
;
∂T
∂z
) (2.1.11)
A partir de la de�nición de gradiente es posible trazar en un campo escalar una
serie de líneas perpendiculares u ortogonales a las curvas de nivel, tales que el
vector gradiente en ese punto sea tangente a dichas línea las cuales llamaremos
lineas de campo o lineas del campo de gradientes.
Figura 3
Para entender el signi�cado de este operador supongamos que tenemos un cam-
po escalar que indica las alturas en una cierta región del espacio, que podríamos
llamar campo escalar de alturas. El gradiente de este campo nos indicaría la
línea de máxima pendiente, dato muy importante porque nos permitiría saber
por donde discurriría el agua de un manantial en una montaña por ejemplo o
por donde se debe efectuar el tendido de una línea eléctrica si se pretende aho-
rrar material. Naturalmente, el agua en un manantial en la montaña no discurre
libremente hacia abajo, sino siguiendo una dirección y sentido determinado, por
eso el gradiente es una magnitud vectorial que opera sobre otra escalar.
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Figura 4
Supongamos ahora que tenemos un campo vectorial o función vectorial ~F de-
�nido y derivable en cada uno de los puntos (x,y,z) de una cierta región del
espacio. En dicha región podemos de�nir la divergencia del campo vectorial ~F
como:
div ~F =
∂ ~Fx
∂x
+
∂ ~Fy
∂y
+
∂ ~Fz
∂z
(2.1.12)
a partir de esta de�nición podemos ver claramente que la divergencia de un
campo vectorial da como resultado una magnitud escalar. El sentido físico de
este concepto lo daremos en este mismo capitulo mas adelante. El ultimo de los
operadores que mencionaremos en este repaso es el rotor. Para poder de�nirlo
supongamos un campo vectorial ~F al cual por simplicidad le vamos a pedir que
este de�nido y sea derivable en cada uno de los puntos (x,y,z) de una cierta región
del espacio. En esa región puedo escribir el rotor, cuya expresión matemática
es:
∇× ~F =
∣∣∣∣∣ ∂∂x ∂∂y ∂∂z~Fx ~Fy ~Fz
∣∣∣∣∣ (2.1.13)
2.1.5. Campos Conservativos
Para entender cuando un campo es conservativo vamos a suponer una región del
espacio donde existe un campo vectorial ~F (x, y, z) y elegimos en esa región un
camino cualquiera que una dos puntos (los llamaremos A y B) de la misma. Si
dividimos este camino en pequeños elementos o diferenciales de desplazamiento
~dr de camino como se muestra en la �gura 5, podemos de�nir una nueva cantidad
que llamaremos circulación elemental a través del siguiente producto escalar:
Figura 5
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~F . ~dr (2.1.14)
Si evaluamos este producto escalar para todo el camino, es decir lo sumamos
desde A hasta B obtenemos la circulación o en términos mas apropiados la
circulación del campo vectorial ~F a lo largo del camino que une A con B, suma
que podemos expresar:
C =
∫
~F . ~dr (2.1.15)
¾Esto no se parece mucho al concepto de trabajo que aprendimos en Física I?
Ahora bien, si deseamos calcular la circulación a través de un camino cerrado
de�nido entre A y B como el que muestra la �gura 6
Figura 6
la expresión para la circulación en el caso del camino cerrado propuesto nos
queda:
C =
∮
~F . ~dr (2.1.16)
a partir de esta expresión podemos aprovechar para de�nir cuando un campo
vectorial es conservativo. Cuando la circulación a lo largo de cualquier curva
cerrada sea nula se dice que el campo es conservativo.
C =
∮
~F . ~dr = 0 (2.1.17)
Si el campo es conservativo, la circulación a través de cualquier camino que
una los puntos A y B debe ser la misma. Además por ser el campo conservativo
decimos que proviene de un potencial, es decir que lo podemos expresar de la
siguiente manera:
~∇φ = −~F (2.1.18)
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2.1.6. Teorema de Gauss
El teorema de la divergencia o teorema de Gauss relaciona el �ujo de un campo
vectorial a través de una super�cie cerrada con la integral de su divergencia en
el volumen delimitado por dicha super�cie. Cuando pensamos en términos de
aplicaciones físicas intuitivamente lo relacionamos con el �ujo a través de una
super�cie proporcionado por las fuentes o sumideros encerrados en la región.
Esta interpretación es de vital importancia en la física, en particular en elec-
trostática y en dinámica de �uidos. Matemáticamente podemos expresar este
teorema: ∫ ∫
~F . ~dr =
∫ ∫ ∫
∇. ~Fdv (2.1.19)
La integral del lado izquierdo de la igualdad anterior expresa el �ujo a través de
una super�cie cerrada. La �gura siguiente nos muestra a través de una porción
de una super�cie cerrada.
2.1.7. Práctica
1. Dados los vectores ~a = (2; k) y el vector ~b = (3;−2), calcular los valores de
k para que los vectores sean: a) Perpendiculares. b) Paralelos. c) Formen
un ángulo de 600.
2. Dados los vectores ~a = 3, 2 ~i+ 1, 6 ~j y ~b = 0, 5 ~i+ 4, 5 ~j hallar: a) El án-
gulo entre ellos. b) Las componentes de un vector ~c que sea perpendicular
~a, este en el plano x-y y tenga una magnitud de 5 unidades.
3. Calcular la proyección del vector ~u = 2 ~i+5 ~j sobre el vector ~v = 5 ~i+1 ~j.
4. Dados los vectores ~u = (3; 1;−1) y ~v = (2; 3; 4) hallar: a) El producto
vectorial ~u × ~v . b) El producto vectorial ~v × ~u. c) Un vector unitario y
ortogonal a ~u y ~v. d) Hallar el ángulo entre los vectores.
5. Demostrar que ~B = (4xy − 3x2z2) ~i + (2x2) ~j − (2x3z) ~k es un campo
vectorial conservativo y obtener el trabajo entregado por el campo en un
desplazamiento del punto P al punto Q, de coordenadas respectivas (1,-2,
1) y (3, 1, 4).
6. Hallar las constantes a,b,c de forma que el campo vectorial dado por:
~V = (x+ 2y + az) ~i+ (bx− 3y − z) ~j + (4x+ cy + 2z) ~k sea irrotacional
(rot~V = 0). Demostrar que V puede expresarse como gradiente de una
función escalar y hallar esta función.
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Capítulo 3
Electrostática
Charles-Augustin de Coulomb fue un ingenie-
ro, �sico y matematico Frances nacido el 14 de
junio de 1736 en Angouleme. De sus muchas in-
vestigaciones en diversos campos nos intereza
destacar las realizadas ulizando una balanza de
torsion que lo llevaron a poder lograr de manera
empirica una expresion matematica que descri-
be la ley de atraccion entre cargas puntuales.
En su honor se de�ne la unidad de carga electri-
ca como 1 Coulomb (C). Este notable cienti�co
muere en Paris el 23 de agosto de 1806. Figura 3.0.1: Coulomb
3.1. Introducción
Los cursos iniciales de �sica se estructuran en torno a la descripcion de
las interacciones entre cuerpos. En un curso de mecanica elemental descri-
bimos a partir de las leyes de Newton las interacciones de tipo atractivas
entre dos cuerpos. Cuando pensamos que los cuerpos pueden tener o adqui-
rir cargas aparece un nuevo tipo de interaccion, que llamamos interaccion
electrica. Para comenzar la descripcion de este tipo de interaccion debemos
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aceptar que las particulas poseen una propiedad intrinseca que denomina-
mos carga al igual que de�niamos algo que llamabamos masa en mecanica
clasica. Sin hacer un recorrido historico sobre el tema aceptamos la conclu-
sion empirica de la existencia de dos tipos de cargas distintas y medibles,
las cuales por simplicidad y de manera arbitraria de�niremos como posi-
tivas y negativas y cuya unidad de medida en el sistema internacional es
el Coulomb (C). Esta carga se encuentra discretizada, es decir que existe
una cantidad minima la cual no se puede fraccionar y si queremos generar
una carga mayor se debe lograr a partir de un numero entero de veces
esta cantidad elemental. Esta discretizacionde la carga fue demostrada
de manera experimental por Robert Millikan en 1910, demostrando que el
valor minimo de carga que podemos encontrar corresponde a 1, 67,10−19
C. Si nuestra descripcion de las interacciones electricas la limitamos a lo
que se conoce como electromagnetismo clasico el experimento de Millikan
queda fuera dentro de este marco y no deberiamos poder decir que la car-
ga se halla discretizada. La �sica de un sistema real es muy compleja de
describir, por lo tanto las descripciones la realizamos sobre un modelo el
cual �ja de alguna manera las reglas del juego para la descripcion y por
lo tanto los limites para nuestra aproximacion. Dentro de nuestro enfoque
clasico del electromagnetismo vamos a proponer para nuestra descripcion
macroscopica que los sistemas evaluados posean cargas o distribuciones
de carga en reposo, que la carga se conserva y que el medio en el cual se
encuentran inmersas dichas cargas es un medio continuo y en principio va-
mos a considerar que se trata de vacio. En este conjunto de proposiciones
nos volvemos a encontrar con un nuevo escolllo y es que dentro del elec-
tromagnetismo clasico no podemos justi�car la conservacion de la carga
por lo tanto la incorporamos como un principio. A medida que avancemos
sumaremos de�niciones y restricciones para la descripcion del sistema.
3.1.1. Ley de Coulomb
El formalismo matematico que describe de manera correcta la interaccion
entre pares de cargas fue determinado de manera empirica por Charles
Coulomb en 1785. La experiencia la realizo con una balanza de torsion
como la que se muestra en la �gura siguiente, con la cual pudo determinar
las propiedades de la interaccion electrica entre dos cargas puntuales.
Para entender lo que se denomina actualmente como ley de Coulomb va-
mos a simplicar la descripcion pensando en una experiencia de carcateri-
sitcas similares. Supongamos que colgamos dos cargas iguales q como se
muestra en la �gura siguiente. Como las cargas son iguales observamos que
las cargas se repelen y logran una condicion de equilibrio a una distancia
L1 entre cargas, lo que nos permite determinar el angulo que forma la
cuerda con respecto a la normal, en este caso es Θ1.
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Supongamos ahora que continuamos con nuestro experimento virtual y
reducimos las cargas que colgamos del pendulo a la mitad de su valor ini-
cial. Con esta reduccion observamos que la fuerza de repulsion decrece y
por lo tanto el sistema se acomoda en una nueva posicion de equilibrio
cuya distancia de separacion entre cargas es L2 y el angulo con respecto a
la normal es Θ2 como muestra la �gura. Habiendo medido los angulos de
apertura del pendulo y conociendo la masa de cada una de las esferas car-
gadas con solo plantear las leyes de Newton en cada una de las condiciones
de equilibrio alcanzada por el sistema podemos obtener la intensidad de la
fuerza de repulsion electrica entre cargas para cada situacion. Planteamos
la condicion de equilibrio a partir de los conceptos adquiridos en los cursos
previos de �sica:
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∑
Fx = Fe − Tx = 0∑
Fy = Ty − P = 0
donde Fe es la fuerza de repulsión eléctrica entre cargas, T es la tensión de
la cuerda y P el peso de la esfera cargada. Si realizamos esta experiencia
varias veces y en todos los casos medimos las distancias entre cargas en su
condicion de equilibrio ademas de repetir la cuenta previa y gra�caramos la
fuerza en terminos de las distancias entre cargas observariamos un gra�co
como el que sigue:
Este grá�co nos muestra que la intensidad de la fuerza en términos de
las distancias entre cargas es inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia entre cargas.
~Fe ∝ 1/r2 .ř
donde r es la distancia entre cargas. Continuando en su experimentación
Coulomb observa que la intensidad de la interacción entre cargas era di-
rectamente proporcional a las cargas hecho que lo lleva a postular
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~Fe ∝ q1q2 .ř
donde q1 y q2 son las cargas que interactúan.
Si unimos estas relaciones en una única expresión podemos proponer que
la intensidad de la fuerza entre cargas es de la forma:
~Fe ∝
q1q2
r2
.ř
Para transformar esta expresión de proporcionalidad en una igualdad de-
bemos pensar en la dependencia de la interacción entre cargas. El factor
que nos falta tomar en cuenta para poder concluir en una igualdad y si
tomo en cuenta Coulomb en su análisis es la presencia del medio en el
cual se hallan inmersas las cargas. Si asignamos una constante al medio
podemos reescribir
~Fe = K
q1q2
r2
ř
donde la constante de proporcionalidad K (o constante de Coulomb) de-
pende del sistema de unidades que se utilice para medir la interacción. En
el sistema internacional de medidas (SI) en el caso del vacío el valor de la
constante de Coulomb es:
K0 = 9,10
9Nm
2
C2
si comparamos con otros medios:
aire K1 = 1, 0005K0
agua K2 = 81K0
gasolina K3 = 2, 3K0
Principio de Superposición
Supongamos un sistema de cargas puntuales acomodadas en el espacio en
reposo como muestra la �gura siguiente. Habitualmente a un conjunto de
cargas acomodadas en el espacio le llamamos distribución de cargas.
Principio de superposicion
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El principio de superposición nos permite evaluar la interacción total de
un conjunto de cargas sobre una dada carga de la distribución. Para com-
prender mejor el concepto supongamos que tenemos una distribución de
cargas como la de la �gura previa y deseamos evaluar la fuerza total que
ejercen las cargas q1, q2 y q3 sobre Q. Para ello la herramienta que tene-
mos a mano es la Ley de Coulomb, pero solo nos describe las interacciones
entre pares de cargas, por lo tanto nos plantea un interrogante sobre la
resolución de nuestro problema. La solución a esta encrucijada es lo que
conocemos como Principio de superposición en donde tomamos como regla
que la fuerza electrostática entre dos cargas es independiente de la presen-
cia de otras cargas. Esto nos plantea que las interacciones entre pares de
cargas son acciones independientes y no se ven afectadas por el resto de
la distribución, por que podemos plantear:
~F0 =
∑
i=0
~Fi0 = ~F10 + ~F20 + ~F30
Para �nalizar esta sección y remarcar que es muy importante para el
estudiante recordar siempre el carácter vectorial de la ley de Coulomb
veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1
Supongamos dos cargas puntuales en reposo ubicadas en un plano como
muestra la �gura siguiente. Elegimos de manera arbitraria un sistema de
referencia. Recordemos que la notación habitual utilizada para los sub-
índices en la descripción de fuerzas el primer índice corresponde a quien
hace la fuerza y el segundo índice corresponde sobre quien esta aplicada
la fuerza.
Si q1=3 µC y q2= -2 µC, hallar la fuerza neta que ejercen estas dos car-
gas puntuales sobre una tercer carga q0= 1.5 µC ubicada en el punto B.
Suponer que todas las distancias entre cargas están expresadas en metros.
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Resolución
Como primer paso obtenemos el modulo o intensidad de la fuerza que
ejercen las cargas q1 y q2 sobre q0
F10 = K
q1q0
r210
=9,109
Nm2
C2
3,10−6C 1, 5,10−6C
(
√
2)2m2
= 20, 25,10−3 N = 0, 02025
N
De igual manera podemos plantear la intensidad para el segundo par de
cargas (q2 y q0)
F20 = K
q2q0
r210
=9,109
Nm2
C2
2,10−6C 1, 5,10−6C
(
√
2)2m2
= 13, 5,10−3 N = 0, 0135 N
El hecho que evaluemos las intensidades de las cargas hace que no debamos
prestar especial atención en el signo que estas poseen, solo obtenemos
el modulo de la fuerza. Las cargas que pueden ser tanto positivas como
negativas de acuerdo a nuestra convención, razón por la cual el producto
puede ser positivo si ambas son de la misma especie o negativo si son de
especies distintas. Este signo que surge del producto nos sirve para indicar
la dirección de lafuerza y saber si la interacción es de tipo atractiva o
repulsiva. Ahora que determinamos el modulo de cada fuerza, vamos a
escribir la expresion de los dos vectores en forma cartesiana. Para ello al
igual que en los cursos de mecánica previos debemos encontrar el ángulo
que forma el vector con respecto a alguno de los ejes cartesianos.
Dado que el ángulo α=600 (lo calculamos fácilmente ya que se trata de
un triangulo equilátero el conformado por las tres cargas) y conocemos el
modulo del vector podemos escribir:
F10x = F10 cosα = 0, 02025 cos 600 N = 0, 0101 N
F10y = F10 sinα = 0, 02025 sin 600 N = 0, 0175 N
de igual manera podemos plantear las componentes del segundo vector.
Como sabemos que el angulo θ=600
F20x = F20 cos θ = 0, 0135 cos 600 N = 0, 00675 N
F20y = F20 sin θ = - 0, 0135 sin 600 N = - 0, 0117 N
Conocidas las componentes de ambos vectores podemos expresarlo en for-
ma cartesiana
~F10 = 0, 0101 N ǐ + 0, 0175 N ǰ
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~F20 = 0, 00675 N ǐ - 0, 0117 N ǰ
Ahora ya expresados ambos vectores en forma cartesiana podemos escribir
la fuerza resultante sobra la carga q0:
~R = 0, 01685 N ǐ + 0, 0058 N ǰ
Si queremos expresar el vector resultante en forma polar para conocer la
dirección de la fuerza resultante
β ' 70
Si deseamos expresar el vector en forma polar deberíamos conocer el modu-
lo o intensidad del vector resultante. Para ello a partir de lo que conocemos
de cursos previos por medio del teorema de Pitagoras
| ~R | =
√
(0,016852 + 0, 00582)N =
√
0, 000317 N= 0, 0178 N
Problemas
7. Hallar el número de protones que hay en una carga de: a) 5 µC; b) 10−12
C.
8. Los dos protones del núcleo de helio están distantes entre sí 10−15 m
aproximadamente. Calcular la fuerza electrostática ejercida por un protón
sobre el otro.
9. Supongamos una distribución de cargas como la que muestra la �gura
siguiente. Si Q1 = 1. 10−3C, Q2 = 1. 10−4C y Q3 = 1. 10−4C a) ¾Cuál es
la fuerza resultante sobre Q1? b) ¾Y sobre Q3?
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10. Tres cargas están en los vértices de un cuadrado de lado L. Las dos cargas
en los vértices opuestos son positivas y la otra es negativa. Todas tiene el
mismo valor absoluto q. Hallar la fuerza ejercida por estas cargas sobre
una cuarta carga +q, situada en el vértice restante.
11. Dos pequeñas esferas metálicas de 0, 2 gr de masa cuelgan de un punto
común por medio de hilos de seda de 25 cm de longitud. Si ambas esferas
se cargan positivamente y con igual cantidad de carga se separan hasta
que el ángulo que se forma entre los hilos y la normal es de 300 ¾Cuánto
vale la carga q de cada esfera?
12. Dos protones de una molécula están separados por una distancia de 3,8. 10−10
m. Encuentre la fuerza electrostática entre ambos y compárela con la fuer-
za gravitatoria de atracción que se ejercen entre sí.
13. Dos cargas identicas pero de signo opuesto (dipolo) se hallan acomodadas
como muestra la �gura siguiente. a) Hallar la expresion de la fuerza neta
que experimentaria una carga q1 al ser colocada en el punto P. b) Su-
pongamos que colocamos a la carga q1 en un punto cualquiera del plano
(x, y), hallar la expresion para la fuerza neta que experimentaria q1 en
dicho punto.
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14. Supongamos que tenemos una molécula de agua, como la que se muestra en
la �gura, alineada sobre un eje horizontal cuyo origen se encuentra ubicado
en la posición del átomo de oxigeno. Calcular la fuerza neta que ejercería
la molécula de agua sobre un electrón ubicado sobre el eje horizontal a
una distancia de 0, 35 nm del oxigeno.
3.1.2. Campo Eléctrico
El concepto de campo como cantidad vectorial ha sido de�nido en distintos
textos de cursos matemáticos previos pero ahora nos proponemos utilizarlo
para introducir un nuevo concepto físico. Pensemos en una distribución de
cargas como la de la �gura siguiente donde podríamos calcular fácilmente
la fuerza que ejerce la carga Q sobre la carga q.
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FISICA II
Si cambiamos la posición de q o su carga deberíamos recalcular la fuerza
que produce Q sobre q. Una forma de independizarnos de alguna manera
de estos cambios es de�nir el concepto de campo de fuerza eléctricas o
campo eléctrico. De�nimos el campo eléctrico generado por Q sobre q
como:
~E = ĺımq→0
~F
q
Habitualmente a la carga q se la denomina carga de prueba. En esta ex-
presion el concepto de limite esta asociado a la necesidad que la carga
de prueba sea lo su�cientemente pequeña como para no perturbar la dis-
tribución de cargas. Si reescribimos esta ecuación podemos obtener una
expresion para la fuerza que actúa sobre la carga q (nos vamos a olvidar al
menos en la expresion matemática el pedido de que se trate de una carga
de prueba pequeña por lo cual no pondremos en la notación a partir de
ahora el limite)
~F= q ~E
Estas expresiones nos están mostrando que el campo eléctrico representa
una manera alternativa de describir la interacción entre cargas, en este
caso particular entre cargas puntuales y en vacío. El concepto de campo
eléctrico no describe un fenómeno físico real o medible, solo nos da una
descripción alternativa a la interacción a distancia entre cargas. A partir
de la Ley de Coulomb reescribimos la ecuación xx
~E =
~F
q
=
q
Problemas
15. Considere una carga puntual de 4 µC como muestra la �gura siguiente. Si
la cuadricula esta medida en centímetros calcule la intensidad del campo
eléctrico en los puntos indicados a continuación y escriba en cada caso el
vector de campo eléctrico. a) P1 = (1, 1). b) P2 = (4, 5)
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16. Dos cargas puntuales, ambas positivas, de carga q y 2q respectivamente se
hallan ubicadas sobre un eje horizontal. La primera de ellas en x1 = −0, 3
m y la segunda en x2 = 0, 5 m. a) ¾existe algún punto sobre el eje en el
cual el campo eléctrico sea nulo? b) Si la segunda carga fuese −q ¾puede
encontrar algún punto donde se anule el campo? Interprete grá�camente
este punto.
17. Utilizando la con�guracion de cargas de�nida en el problema 13 (dipolo)
calcule el campo eléctrico para los puntos a) y b) de�nidos en dicho pro-
blema. Analice para el incizo a) el caso en que la distancia al punto P sea
mucho mayor que d.
18. En el experimento de Millikan (hacer una busqueda bibliográ�ca sobre el
experimento) se coloca una gota de 1, 64µm de radio y 0, 851 gr/cm3
de densidad en presencia de un campo eléctrico externo constante de
1, 92. 105N/C, ¾Cuál es la carga de la gota?
19. En un campo electrostático uniforme, aplicado verticalmente, se encuentra
una partícula de polvo de 10−9 gr de masa, que lleva una carga positiva
de 10−17 C. Determina el sentido y el valor de la intensidad del campo
eléctrico para que la partícula se halle en reposo en presencia del campo
externo.
20. Supongamos dos cargas, q1 = 3 µC y q2 = 12 µC, ambas ubicadas sobre el
eje de las abscisas y separadas por una distancia de 4 cm ¾En qué punto
entre las cargas se anula el campo eléctrico?
21. Suponga una distribución de cargas como la que muestra la �gura siguien-
te, en donde la cuadricula esta medida en metros y q = 3, 2. 10−9 C ¾Cuál
es la intensidad del campo eléctrico en el punto (2, 5) m?
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22. Supongamos una esfera maciza de radio R0, con una carga total Q distri-
buida de manera homogénea y uniforme en todo su volumen. a) ¾Cuál es
la cantidad de carga contenida entre 0 y R0/2?
23. Supongamos ahora una esfera maciza de radio R0, con una carga total
Q cuya distribución volumétrica de carga no es homogénea y uniforme,
sino que muestra una dependencia lineal con el radio, es decir que es
de la forma ρ(r) = C.r. a) ¾Cuál es el valor de la constante C? Indicar
claramente cuáles son sus unidades. b) ¾Cuál es la carga contenida entre
0 y R0/2?
24. Un cilindro de 2 m de largo, macizo y de 5 cm de radio se halla uniforme-
mente cargado entodo su volumen con una densidad de carga de 4. 10−6
C/m3. Hallar la carga total almacenada en el cilindro.
25. Un cilindro hueco muy largo (L), de radio interior a y radio exterior b, se
halla cargado de manera tal que su densidad de carga se halla dada por la
siguiente expresion: ρ(r) = C0/r2, donde C0 es una constante positiva. a)
Hallar una expresion para la carga total encerrada en el cilindro. b) Hallar
una expresión para la carga contenida en el cilindro entre a y a+ b/2. c)
Analizar la expresion para la carga almacenada en el cilindro en el caso
en que el cilindro tiende a ser macizo, es decir a tiende a cero.
26. La �gura siguiente muestra lo que se conoce con el nombre de línea de
carga in�nita, cuya densidad lineal de carga λ es constante. Hallar una
expresión para el campo eléctrico en el punto P tal como se indica en la
�gura.
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27. El anillo circular de la �gura siguiente (el cual es de un espesor ín�mo)
posee una carga Q distribuida uniformemente en todo el anillo. Hallar una
expresión para el campo eléctrico generado por el anillo en un punto P0
ubicado sobre el eje. Analizar el caso en que x�a. ¾Hay algún punto sobre
el eje en que la intensidad del campo eléctrico sea máximo?
28. La �gura muestra una línea de carga �nita sobre la cual se halla distribuida
uniformemente una carga Q. Hallar una expresión para el campo eléctrico
que ejerce la línea de carga en el punto P. Supongamos ahora que el punto
P se halla ubicado sobre el mismo eje de las abscisas, pero a una distancia
muy lejana ¾Cómo puede expresar el campo eléctrico generado por la línea
en el punto P?
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29. Calcule la magnitud del campo eléctrico que produce una línea muy larga,
cargada con una densidad lineal de carga de −7µC/cm si: a) r=1,2 cm b)
r=2,75 cm.
30. Un disco de 5 cm de radio posee una densidad super�cial de carga uniforme
de 4 µC/m2. Utilizando aproximaciones razonables determinar el campo
eléctrico sobre el eje del disco a i) 0,01 cm; ii) 6 m.
31. Una esfera metálica de 10gr de masa posee una carga de 1 y se encuentra
suspendida por un hilo de 50cm de longitud. Al colocar una barra cargada
de 30cm de longitud, a la altura de la esfera, la esfera se desplaza de
su posicion de equilibrio inicial como se muestra en la �gura siguiente.
Determinar: a) La fuerza que la barra ejerce sobre la esfera. b) La carga
neta de la barra, considerándola como una distribución lineal y homogenea
de carga.
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32. Un disco de radio a posee una densidad de carga distribuida de manera
no uniforme en toda su super�cie según la expresión: σ(r) = C0.r2/a2
(C0 constante positiva). El disco se halla centrado en el plano X − Y . a)
Hallar una expresión para la carga total contenida en el disco. b) Hallar
una expresión para el campo eléctrico generado por el disco en un punto
sobre el eje de simetría (Z) a una distancia 3a del disco.
3.1.3. Ley de Gauss
33. Un campo eléctrico de 5. 103 N/C de magnitud se aplica a lo largo del
eje x. Calcule el �ujo eléctrico a través de un plano rectangular con 20
cm de ancho y 30 cm de largo, suponiendo que: a) el plano rectangular es
perpendicular al campo (alineado con el plano yz). b) el vector normal al
plano forma un ángulo de 400 con el eje x.
34. Consideremos un campo eléctrico uniforme ~E = 2. 103 î N/C. a) ¾Cuál es
el �ujo de este campo a través de un cuadrado de 10 cm de lado, cuyo
plano es paralelo al plano yz? b) ¾Cúal es el �ujo que atraviesa el mismo
cuadrado si la normal al plano forma un ángulo de 300 con el eje x?
35. Un conductor esférico solido, con carga neta Q, tiene una cavidad vacía
en su interior. ¾Cuánto vale el campo eléctrico dentro del conductor? ¾Y
dentro de la cavidad?
36. Una carga puntual q1 = 2 µC está en el centro de una esfera conductora
de 0, 5 m de radio la cual se halla conectada a tierra. a) Hallar el valor
del campo eléctrico en toda region del espacio ¾Cual es la intensidad del
campo en un punto situado sobre la super�cie de la esfera. b)¾Cual es el
�ujo del campo eléctrico debido a la carga puntual a través de la super�cie
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de la esfera? ¾Variara la respuesta del punto anterior si la carga no está
en el centro de la esfera?
37. Una esfera maciza de radio a, tiene una carga total Q distribuida unifor-
memente en todo su volumen. Calcule y gra�que el campo eléctrico ΨE,
para los r > a y r < a.
38. Una esfera aislante, maciza de 5 cm de radio se encuentra cargada con
densidad de carga volumétrica ρ(r) = (1µC/cm4)r. a) Calcular la carga
total de la esfera. b) Calcular la carga contenida en un cascaron cuyo
radio interior es de 3 cm y el exterior de 4cm. c) Dar una expresión para
el campo eléctrico para el interior de la esfera y para el exterior de la
misma. d) Gra�car la intensidad del campo para todo el espacio.
39. Un hilo largo y recto tiene una densidad lineal de carga 6 µC/m. Demos-
trar que la magnitud del campo eléctrico |E| a una distancia de 5 cm vale
2, 16 . 106 N/C y a 30 cm vale 3, 6 . 105 N/C.
40. Dos placas planas, paralelas y de dimensiones mucho mayores de la dis-
tancia que las separa que llamaremos d, se distribuyen respectivamente
las densidades de carga super�ciales: σ1= 2 C/m2, σ2= 4 C/m2. Calcular
el campo entre los dos planos y en el espacio a derecha e izquierda de los
mismos.
41. Considere un cilindro muy largo de radio R que se carga en su interior con
una densidad de carga volumétrica dada por ρ(r) = ρ0(1 − r/R) donde
ρ0 es una constante positiva, siendo r la distancia medida desde el eje del
cilindro. Encuentre a qué distancia del eje el campo eléctrico es máximo.
42. Una esfera cargada uniformemente tiene una densidad volumétrica de car-
ga de 8, 2 C/cm3, y tiene un radio de 6 cm. Calcule el campo en un punto
interior y en dos puntos exteriores.
3.1.4. Diferencia de Potencial Eléctrico
43. En presencia de un campo eléctrico uniforme de 200N/C î se deja en
libertad y en reposo una carga puntual q = 3 µC , ubicada inicialmente en
el origen del sistema de referencia elegido de manera arbitraria. a) Cual es
la energía cinética que adquirió la carga cuando este en x = 4 m? ¾Cual
fue la fuente de la cual adquirió dicha energía? b) ¾Cual es la variación
de energía potencial de la carga cuando se movió desde x = 0m hasta
x = 4m?
44. Un ion es acelerado mediante una diferencia de potencial de 115 V expe-
rimenta un aumento en su energía cinética de 7, 37 . 10−17 J. Calcule la
carga del ion.
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45. Suponga una con�guración de cuatro cargas de 2 µC cada una, colocadas
en las esquinas de un cuadrado de lado a, con a = 15 cm. Calcular el
potencial que producen en (a, 2a).
46. Encuentre el potencial eléctrico para un punto cualquiera del plano para
el dipolo enunciado en el problema 13. A partir de esta expresion para el
potencial electrico encuentre la expresion del campo electrico asociado.
47. Considere una varilla delgada de densidad lineal de carga uniforme λ y
largo L. Encuentre el potencial eléctrico para cualquier punto del espacio
que rodea a la varilla.
48. Un cilindro hueco muy largo tiene radio interior a y radio exterior b. Este
cilindro tiene una densidad de carga por unidad de volumen dada por
ρ(r) = C0/r, donde C0 es una constante y r es la distancia al eje. Hallar
el potencial en todo el espacio.
49. Una carga puntual positiva Q está en el centro de una capa conductora
esférica con radio interior a y radio exterior b. Determine el potencial como
función de la distancia radial r para todo el espacio.
50. Suponga un tubo de cobre muy largo cuyo radio exterior es de 5cm y el
radio interior es de 3cm el cual rodea una línea de carga de cuya densidad
lineal es de 30 pCm−1 situada en su eje. Calcular: a) La diferencia de
potencial entre la super�cie interior y la exterior del tubo. b) Hallar la
diferencia de potencial entrer = 2cm y r = 10cm
51. Un cilindro conductor muy largo, de radio a y longitud L, lleva una carga
Qa. Coaxialmente con él se disponen dos coronas cilíndricas conductoras.
La primera, de radios b y c, lleva la carga Qb, y la segunda, de radios d y e
la cual está conectada a tierra. Calcular: a) la distribución de cargas y sus
respectivas densidades. b) el potencial eléctrico en las distintas regiones
del espacio.
52. Una esfera conductora de radio a y carga Q, se rodea de una corona
esférica conductora concéntrica de radios b y c, siendo b < c, y con carga
2Q. Calcular: a) La diferencia de potencial entre la esfera y la corona
esférica.
53. Una partícula cuya carga eléctrica es de 2 µC está ubicada en el origen de
un sistema de coordenadas cuyas dimensiones son dadas en centímetros.
Un segundo cuerpo puntual se ubica en el punto (100,0,0). Si su carga
eléctrica es de −3 µC, ¾en qué punto del eje x el potencial eléctrico es
nulo?
54. Un campo eléctrico uniforme de 25 V/m de magnitud está dirigido en la
dirección x positiva. Una carga de 12 µC se mueve desde el origen hacia
el punto (20cm, 50cm). a) ¾Cuál fue el cambio de la energía potencial de
esta carga? b) ¾a través de qué diferencia de potencial se movió la carga?
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55. La diferencia de potencial entre 2 puntos de un campo eléctrico es de 500
V. Calcular el trabajo que hay que realizar para transportar una carga de
25 . 10−6 C.
56. Una esfera metálica hueca, de radio interior a y radio exterior b, tiene
un exceso de carga q. Hallar el potencial eléctrico en todos los puntos del
espacio. Gra�car.
57. Un electrón que se mueve paralelo al eje x tiene una velocidad inicial
de 3, 7. 106 m/seg cuando pasa por el origen del sistema de referencia
arbitrario elegido. Su velocidad se reduce a 1, 4. 105 m/seg en el punto
x=2 cm. Calcular la diferencia de potencial entre el origen y este punto
¾cuál punto está a mayor potencial?
58. Dos esferas conductoras de radios 0, 10 cm y 0, 15 cm tienen cargas eléctri-
cas de 10−7 C y 2. 10−7 C, respectivamente. Se ponen en contacto y luego
se separan. Calcular la carga con que queda cada esfera.
59. Supongamos que el potencial eléctrico para una dada distribución de car-
gas está dado por la siguiente expresión: V (r) = C1.r−3 Hallar la expresión
para el campo eléctrico radial asociado a dicha distribución de cargas.
60. En una region del espacio actua un campo electrico uniforme, de forma
que al trasladar una carga de 0, 4 C desde el punto A = (x, 0) hasta el
punto B = (x+ 0, 2, 0), la fuerza electrica realiza un trabajo de 200 J. Si
al punto A se le asigna un potencial electrico de 20 V, calcula el potencial
del punto B y la componente del campo electrico en la direccion del eje
X.
3.1.5. Capacitores y Dieléctricos
61. Un condensador de placas y paralelas está formado por dos conductores
cuadrados de 10 cm de lado separados una distancia de 1 mm. a) Calcular
su capacidad. b) Si este condensador está cargado con una diferencia de
potencial de 12 V ¾Cuál es la carga almacenada en cada placa?
62. Un condensador de 60pF está cargado a 12 V. Una vez que se desconecta
de la batería, la separación de sus placas se incrementa de 2 mm a 3,5 mm.
a) ¾Cuál es la carga inicial del condensador? b)¾Cual es la capacidad �nal
del condensador? c) ¾Cuánta energía fue almacenada originalmente en el
condensador? d) ¾En cuanto cambio la energía al modi�car la separación
entre placas?
63. Un condensador de armaduras planas, de super�cie A=200 cm2, separadas
la distancia d=1 mm, tiene en su zona central una lámina de material
dieléctrico, de la misma forma y tamaño de las armaduras, espesor de
0,6 mm y permitividad relativa �r = 4, El condensador se ha cargado
hasta adquirir entre sus armaduras una diferencia de potencial de 1000 V.
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Calcular: a) La capacidad del condensador. b) La carga del mismo. c) La
energía almacenada.
64. Considere un condensador de placas paralelas, cada una con un área de
0,2 m2 y separadas una distancia 1 cm. A este condensador se le aplica
una diferencia de potencial de 3000 V hasta que el condensador se carga,
después de lo cual se desconecta de la batería y el condensador queda aisla-
do. Luego se llena el condensador con un material dieléctrico de constante
desconocida, y se observa que el potencial disminuye a 1000 V. Calcule:
a) la capacitancia C antes de rellenar el condensador con un material die-
léctrico. b) la carga libre en cada placa, antes y después de rellenar. c) La
capacitancia cuando se coloca el dieléctrico. d) La energía almacenada en
el condensador, antes y después de colocar el material dieléctrico. e) La
constante κ.
65. Considere el circuito de condensadores que aparecen en la �gura y suponga
que un voltaje V se aplica entre los puntos a y b. Encuentre una expresión
para el voltaje, la carga y la energía en cada condensador.
66. Si la fuente de cc de la �gura es de 10 V y los capacitores son de C1=1 µF ,
C2=4 µF y C3=5 µF . a) ¾Cuál es la capacidad total de la con�guración? b)
¾Cuál es la carga almacenada en cada capacitor? c) ¾Cuál es la diferencia
de potencial entre placas para cada capacitor?
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67. Una esfera conductora de radio a y carga Q, se rodea de una corona
esférica conductora concéntrica de radios b y c, siendo a < b, y con carga
−Q. Calcular la capacidad entre la esfera y la corona esférica.
68. Un condensador cilíndrico consiste en un cilindro conductor interno de ra-
dio a y una corona cilíndrica externa coaxial de radio interior b. El espacio
entre los dos conductores está lleno de un dieléctrico con permitividad ε
y la longitud del condensador es L. Hallar la capacidad del condensador.
69. Calcular la super�cie de las armaduras de un condensador de 1 nF cuyo
dieléctrico es un papel de 0, 2 mm de espesor. La constante dieléctrica
κ = 4, 8.
70. ¾Cuál será la capacidad de un condensador formado por dos placas de 400
cm2 de super�cie separadas por una lámina de papel de 1,5 mm de espesor
cuya constante dieléctrica es 4?
71. Un condensador relleno de aire consta de dos placas paralelas, cada una
de área A= 3,5 cm2 separadas de una distancia d=1,8 mm. Si se aplica
una diferencia de potencial de 30 V entre las placas, calcule: a) El campo
eléctrico entre las placas. b) La carga de cada placa. c) La densidad de
energía. d) La nueva capacitancia si en la mitad del espacio entre las
placas se introduce papel (κ1 = 3, 7) y en la otra mitad aceite de silicón
(κ2 = 2, 5).
72. Hallar la capacidad equivalente y la carga acumulada por cada condensa-
dor del siguiente circuito.
73. Para el circuito que se muestra a continuación determine el valor de CX
en Faradios.
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74. Un condensador de placas paralelas relleno de aire, tiene una capacitancia
de 22 µF y es cargado con una batería de 15 V. Si cada placa tiene un área
de A= 2 m2. Calcule: a) La carga de cada placa. b) El campo eléctrico
entre las placas. c) La densidad de energía en el condensador. d) La nueva
capacitancia si se introduce en 1/3 de la distancia de separación entre
las placas polietileno (κ1 = 2, 3) y en los 2/3 restantes de la distancia se
introduce caucho de neopreno (κ2 = 6, 7).
75. Se carga a 1000 voltios un condensador de 20 µF y se desconecta del ge-
nerador de voltaje. Luego, los terminales de este condensador se conectan
(paralelamente) a los de otro condensador de 50 µF que inicialmente se
hallaba totalmente descargado. Calcular: a) La carga eléctrica inicial del
sistema. b) La caída de potencial en cada condensador al �nal del proceso.
c) La energía inicial y �nal del condensador.
76. El espacio entre las placas de un condensador de placas planas paralelas
de área A está lleno con dos bloques dieléctricos, uno con constante k1 y
espesor d1 y el otro con k2 y espesor d2 como muestra la �gura siguiente.
La separación entre las placas es d. Hallar la capacidaddel capacitor para
esta con�guración.
77. Supongamos que construimos un capacitor de placas planas paralelas de
iguales dimensiones que las descriptas en el problema anterior llenando el
espacio entre placas con dos bloques dieléctricos, uno con constante k1 y
espesor d1 y el otro con k2 y espesor d2 como muestra la �gura siguiente.
La separación entre las placas es d. Hallar la capacidad del capacitor para
esta con�guración.
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78. (Condicional) Sea una carga puntual q colocada en el origen de un sis-
tema de referencia arbitrario dentro de un �uído dieléctrico de constante
dieléctrica K. Encuentre el campo electrico ~E en el �uido.
79. (Condicional) Una varilla delgada de un material dieléctrico, cuya área
transversal es A, se coloca de manera tal que coincide con el origen del eje
x de un sistema de referencia arbitrario como muestra la �gura siguinte.
El vector de polarización a lo largo de su longitud esta dado por ~P =
a.x2 + b)̆i. Hallar la densidad super�cial de carga de polarización en cada
extremo.
80. (Condicional) Una carga puntal q esta en el centro de una esfera de radio
a la cual está constituida de un material dieléctrico d cuya suceptibilidad
eléctrica χe es 5. a) Calcular el vector de polarización en la super�cie. b)
Calcular la carga total de polarización enla super�cie.
81. (Condicional) esfera dieléctrica de radio a está polarizada de forma que
~P=(K/R)r̆, siendo r̆ el vector unitario radial. a) Calcular las densidades
volumétrica y super�cial de carga ligada. b) Calcular la densidad volumé-
trica de carga libre. c) Calcular el potencial dentro de la esfera.
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Capítulo 4
Electrocinética
4.1. Corriente Eléctrica y Ley de Ohm
82. Un conductor tiene una resistencia de 4 Ω. Calcular la diferencia de po-
tencial en sus extremos cuando lo atraviesa una intensidad de 2 A.
83. ¾Cuál es la velocidad de desplazamiento de los electrones en un alambre
de cobre típico de 0, 815 mm de radio que transporta una corriente de 1
A?
84. ¾Cuánto tardara un electrón en desplazarse una distancia de 1 m si su
velocidad de desplazamiento es de 3, 54.10−5 m/seg?
85. Calcular la resistencia de un alambre de cobre de 2 mm de radio y 1 m de
largo. Repetir si se lo estira hasta cuadruplicar su longitud.
86. Suponiendo que tenemos un conductor de cobre de 1,6 mm de diámetro,
en el cual el campo eléctrico es uniforme. Si la corriente que circula es de
1 A, ¾Cuál es la intensidad del campo eléctrico?
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87. Por un conductor circula una corriente estacionaria de 2 A. a) ¾Cuánta
carga �uye por un punto del conductor en 5 minutos? b) Si la corriente
se debe al �ujo de electrones ¾Cuántos electrones deberán pasar por dicho
punto en este tiempo?
88. Por un conductor de cobre y otro de hierro, que tienen la misma longitud
y diámetro, circula la misma corriente I. a) Hallar la caída de tensión en
cada conductor y el cociente entre ellas. b) ¾En cuál conductor es mayor
el campo eléctrico?
89. Un resistor cilíndrico de 5, 12 mm de radio y 2 cm de longitud esta hecho
de un material que tiene una resistividad de 3.10−5Ωm. a) ¾Cuál es la
diferencia de potencial si la potencia disipada es de 1, 55 W? b) ¾Cuál es
la densidad de corriente?
90. Un calefactor está hecho para mantener una diferencia de potencial de 75
V a lo largo de un tramo de alambre de plata, cuya sección transversal
es de 2, 6 mm2 y su resistividad de 5.10−7 Ω.m. a) Si el calefactor disipa
4, 8 KW ¾Cuál es su longitud? b) Si se emplea una diferencia de potencial
de 110 V para obtener la misma potencia de salida ¾Cuál debería ser su
longitud?
91. Un conductor tiene una longitud de 4 m y una sección transversal de 2
mm2. Calcular su resistencia, si su coe�ciente de resistividad es de 0,017
Ωmm2/m.
92. Un conductor de 600 m de longitud tiene una resistencia de 20 Ω y una
resistividad de 0,02 Ωmm2/m. ¾Cuál es el diámetro del conductor?
93. El espacio entre dos tubos coaxiales de radios a y b, se llena de un material
de resistividad ρ. Determine la resistencia total de un pedazo del material
de longitud L medida entre el tubo interior y el tubo exterior.
94. Un conductor de 50 m de longitud, tiene una resistencia de 10 Ω y un
radio de 1 mm. Calcular su coe�ciente de resistividad.
95. En una resistencia de 12Ω la corriente aumenta linealmente de 1A a 5A
en un intervalo de tiempo de 3seg. ¾Cuál es la energía térmica generada
en ese intervalo?
96. Un alambre a 250 C tiene una resistencia de 25 Ω. Calcular que resistencia
tendrá a 500 C suponiendo que no cambian las dimensiones del alambre
en ese intervalo de temperaturas y que el coe�ciente de temperatura es
igual a 39.10−4 1/C.
97. Un conductor es atravesado por una corriente de 5 A y dicha corriente
efectúa un trabajo de 500 J en 10 seg. Calcular la diferencia de potencial
en los extremos del conductor.
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98. En los extremos de un conductor hay una diferencia de potencial de 20 V
cuando lo atraviesa una corriente de 2 A. Calcular que energía desarrolla
en 10 seg.
99. Un alambre conductor de cobre tiene una sección transversal de 0, 8 mm2
. La carga eléctrica que atraviesa esa sección decrece exponencialmente
con el tiempo según la expresión: q(t) = 72 e−0,2t pC, donde t es el tiempo
en segundos. a) Calcular la expresión de la corriente eléctrica que circula
por el alambre. b) Calcular la carga que atraviesa la sección del alambre
desde t = 2 seg hasta t = 3 seg. c) Calcular el módulo del vector densidad
de corriente eléctrica en t = 1seg.
100. Un alambre de 20 m de longitud tiene una sección transversal de 2 mm2
y una resistividad de 17.10−3Ω mm2/m. Por la sección transversal del
alambre pasan 4 coulombios por segundo. Calcular el calor que desprende
en 100 seg.
101. Un cable de cobre tiene un diámetro de 1, 02 mm. Por este cable circula
una corriente constante de 1, 67 A a una lámpara de 200 W . La densidad
de electrones libres es de 8, 5 1028 electrones por metro cúbico. Encuentre
la magnitud de la densidad de corriente y la velocidad de arrastre de los
electrones.
102. Se tiene una densidad de corriente en una esfera con dirección radial la cual
decrece en forma exponencial con el tiempo según la siguiente expresión:
~J = e−t/rr̆ a) Calcular la corriente total que �uye hacia fuera en t = 1seg
en una distancia r = 5 m. b) repetir el calculo para el mismo instante
pero a una distancia de r = 6 m. c) ¾Son �sicamente reales los resultados
obtenidos en los incizos previos?
103. Por un cable cilíndrico muy largo circula una corriente continua. La den-
sidad de corriente en la sección no es uniforme, sino que sigue una ley del
tipo ~J = (J0/R).r r̆ donde J0 es una constante, R es el radio del cable y
r la distancia al eje de simetria del cable. a) Hallar la corriente total que
circula por el conductor. b) ¾Cuanta corriente circula si tomo la mitad del
conductor unicamente.
104. Un alambre el cual se halla a una temperatura de 200C se lo conecta a
una diferencia de potencial de 120 V, con lo cual es atravesado por una
corriente de 3 A. Si se lo calienta hasta alcanzar una temperatura de
500C y se lo vuelve a conectar a la misma diferencia de potencial de 120
V, logrando a esta nueva temperatura que la corriente que circula sea de
2,5 A, ¾Cuál es valor del coe�ciente de temperatura?
105. La densidad de corriente en un conductor esférico de radio a varía de
acuerdo a la siguiente expresión J(r) = J0.(r/a).e−t/10, donde r es la
distancia radial medida desde el centro de la esfera. Hallar una expresión
para la corriente que �uye de la esfera después de 5 seg.
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4.2. Resistencias. Leyes de Kirchho�
106. Dado el siguiente circuito calcular: a) La resistencia equivalente b) Si la
diferencia de potencial entre a y b es de 10V ¾Cuál es la potencia disipada
por la resistencia de 4Ω? ¾Qué corriente circulapor la resistencia de 3Ω?
107. Hallar el valor de la resistencia R en el circuito siguiente si la caída de
tensión medida en la misma es de 25V .
108. Calcular la resistencia equivalente para el circuito de la �gura siguiente.
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109. Se conectan en paralelo tres fuentes como se muestra en la �gura siguiente,
donde cada fuente posee una resistencia interna de 2Ω. a) Calcular la
corriente que circula por cada una de las ramas del circuito. b) ¾Cuál es
la diferencia de potencial sobre la 3 Ω? c) ¾Cuál es la potencia disipada
en la misma resistencia?
110. Calcular la resistencia equivalente para el circuito de la �gura siguiente
y las corrientes que circulan por cada una de las resistencias si la fuente
suministra una diferencia de potencial de 20 volt.
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111. Hallar las caídas de tensión y corrientes en cada una de las resistencias
del circuito.
112. Determinar la corriente que circula por la resistencia de 2 Ω. Analizar las
mallas y ver las corrientes que circulan en cada una de ellas.
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113. Hallar para el circuito de la �gura la resistencia equivalente y la corriente
total.
114. Hallar el valor de todas las intensidades que circulan por cada una de las
ramas del circuito.
115. Hallar la resistencia equivalente para el siguiente circuito
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116. Hallar las caídas de tensión en cada una de las resistencias del circuito de
la �gura siguiente.
117. En el circuito indicado en la �gura, las baterías tienen una resistencia
interna despreciable. Hallar la corriente en cada resistencia.
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118. Hallar para el circuito indicado en la �gura siguiente la resistencia equi-
valente, suponiendo que todas las resistencias del diagrama son de 1 Ω.
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Capítulo 5
Campos Magnéticos
Estáticos
5.1. Fuerzas de Lorentz
119. Un alambre de 9 cm de longitud transporta una intensidad de la corriente
eléctrica de 1 A según la dirección del eje X. Si el conductor se encuentra
inmerso en un campo magnético de 0, 02 T de intensidad situado en el
plano XY y formando un ángulo de 300 con el eje X, ¾qué fuerza actúa
sobre el cable?
120. Un protón penetra con una velocidad ~v = 6. 105 m/seg ~i+5. 105 m/seg ~j
en una region donde hay campo magnético uniforme ~B = 7,5 T ~j. Calcu-
lar la fuerza magnética sobre el protón y el radio de la circunferencia que
describe (masa del proton 1, 7. 10−27 kg).
121. Un campo eléctrico ~E cuya intensidad es de 1, 5 kV/m y un campo mag-
nético ~B cuya intensidad es de 0, 44 T tienen una dericcion tal que son
ortogonales entre sí, actúan sobre un electrón en movimiento de manera
tal que no generan fuerza neta sobre el electrón. a) Calcular la rapidez del
electrón. b) Realizar un diagrama de los vectores ~E, ~B y ~v.
122. Una varilla de 200 gr de masa y 40 cm de longitud, es recorrida por una
corriente cuya intensidad es de 2 A. Si la varilla está apoyada en una
super�cie horizontal cuyo coe�ciente de rozamiento entre las super�cies es
0, 3, calcular el modulo y la dirección del campo magnético necesario para
que comience a deslizarse.
123. Un electrón que viaja con velocidad ~v penetra en una región del espacio
donde existe un campo eléctrico uniforme cuya intensidad es 5, 6. 103 V/m
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y un campo magnético uniforme de 1, 4 mT de intensidad. Las direccio-
nes de los respectivos campos y velocidad son perpendiculares entre sí.
Calcular el valor que debe tener ~v para que el electrón siga su trayectoria
rectilínea inicial sin desviarse.
124. Un electrón se mueve inicialmente con una velocidad ~v = 12 km/seg~j +
15 km/seg ~k y con una aceleración constante ~a = 2. 10−12 m/seg2 ~i en
una región en la que están presentes un campo eléctrico uniforme y un
campo magnético uniforme. Si ~B = 400 µT ~i halle el campo eléctrico ~E.
125. Un segmento de alambre de cobre, recto y horizontal, porta una corriente
de 28 A. (a) ¾Cuáles son la magnitud y la dirección del campo magné-
tico necesarias para hacer ��otar� el alambre? (ver �gura siguiente). La
densidad lineal de masa del cobre es 46, 6 gr/m.
126. Un conductor horizontal, en una línea de transmisión porta una corriente
de 5, 12 kA de sur a norte. El campo magnético de la Tierra en la vecindad
de la línea es 58 µT y está dirigido hacia el norte e inclinado hacia abajo a
700 con la horizontal. Halle la magnitud y dirección de la fuerza magnética
sobre 100 m del conductor debido al campo de la tierra.
127. Considere la posibilidad de un nuevo diseño para un tren eléctrico. El
motor es impulsado por la fuerza debida a la componente vertical del
campo magnético de la Tierra sobre un eje conductor. La corriente pasa
por un riel, hacia una rueda conductora, por el eje, por la otra rueda
conductora y luego regresa a la fuente a través del otro riel. a) ¾Qué
corriente se necesita para proporcionar una modesta fuerza de 10 kN?
Considere que la componente vertical del campo de la Tierra sea de 10 µT
y que la longitud del eje sea de 3 m.
128. Halla el módulo de la fuerza magnética que actúa sobre un conductor recto
de 20 cm de longitud situado en un campo magnético de 6 T con el que
forma un ángulo de 450 cuando circula por él una corriente de 0, 3 A.
129. Calcular la fuerza que actúa sobre una partícula cuya carga eléctrica es de
q = −3 nC y que se mueve con una velocidad ~v = −1. 106 m/seg ~k cuan-
do penetra en una región donde hay un campo magnético uniforme cuya
intensidad es: a) ~B = 0, 03 T ~j + 0, 04 T ~k b) ~B = 0, 01 T ~i+ 0, 02 T ~j
130. Un electrón de energía cinética E = 1, 22 keV describe una trayectoria
circular en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme ~B. El
radio de su órbita es R=24,7 cm. Calcular: a) la velocidad del electrón. b)
el campo magnético. c) la frecuencia de revolución y el período.
131. Un ciclotrón que acelera protones posee un campo magnético de 1, 5 T
y un radio máximo de 0, 5 m. a) ¾Cuál es la frecuencia del ciclotrón? b)
Determinar la energía cinética con que emergen los protones.
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132. Un ciclotrón en particular está diseñado con un radio de 75 cm y con
imanes que pueden proporcionar un campo de 1, 5 T . a) ¾A qué frecuencia
deberá �jarse el oscilador si se desea acelerar deuterones? b) ¾Cuál es la
energía máxima de los deuterones que se puede lograr? (Un deuterón es un
núcleo de hidrogeno pesado con una carga +e y una masa 3, 34. 10−27 Kg).
133. En un experimento del efecto Hall, una corriente de 3, 2 A a lo largo de
un conductor cuyas dimensiones son de 1, 2 cm de ancho, 4 cm de largo y
9, 5 µm de espesor produce un voltaje de Hall transversal (a lo ancho) de
40 µV cuando un campo magnético de 1, 4 T pasa perpendicularmente
por el conductor. A partir de esta información hallar: a) la velocidad de
arrastre de los portadores de la carga. b) La densidad del número de
portadores de carga.
134. Una espira rectangular conductora de 12 cm de largo y 5 cm de ancho es
recorrida por una corriente de 20 mA como se muestra en la �gura siguien-
te. Si la espira se encuentra inmersa en el interior de un campo magnético
uniforme de 0, 02 T de intensidad, calcular el momento magnetico del par
de fuerzas que actúa sobre la espira.
135. Por un anillo circular de alambre que tiene un radio de 8 cm �uye una
corriente de 0, 2 A. Un vector unitario paralelo al momento dipolar µ del
anillo esta dado por 0, 6~i − 0, 8~j. Si el anillo está colocado en un campo
magnético dado por ~B = 0, 25 T ~i+0, 3 T ~j, calcular: a) El momento de
torsión sobre el anillo. b) La energía potencial magnética del anillo.
136. Una bobina formada por 30 espiras circulares está situada en una zona
del espacio donde exiteun campo magnético ~B = 2 T ~i, de modo que el
vector ~n nos marca la orientacion de la super�cie de las espiras, el cual
forma un angulo de 300 con el vector ~B. El radio de la bobina es de
10 cm y por ella circula una corriente de 0, 05 A. a) Determinar el vector
momento magnético de la bobina. b) Calcular el momento de las fuerzas
que el campo magnético ejerce sobre la bobina. ¾Hacia dónde tiende a
girar la bobina?
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137. La espira rectangular de la �gura puede girar alrededor del eje Y y trans-
porta una corriente de 10 A, que recorre la espira en el sentido indicado.
La espira está en una región del espacio donde existe un campo magnético
de 0, 2 T de modulo, cuya dirección y sentido es para la parte positiva del
eje X. Calcular la fuerza que actúa sobre cada uno de los lados de la espira
y el momento necesario para mantener a la espira en la posición indicada.
138. Se dispone de un hilo conductor por el que circula una corriente de intensi-
dad I = 3 A, formado por un cuadrante circular y un segmento horizontal
(a, b) como el de la �gura siguiente. El conductor se encuentra en presencia
de un campo magnético externo uniforme ~B = 2,10−3 ǐ - 5,10−3 ǩ(T). a)
Calcular la fuerza que el campo magnético ~B ejerce sobre el conductor.
b)Si se cerrase el conductor con un segmento vertical desde el punto b al
punto a ¾cuánto valdría entonces la fuerza ejercida por B sobre la espira
resultante? Calcular el momento magnético de la espira y el momento de
la fuerza que B ejerce sobre la misma.
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5.2. Ley de Biot y Savart - Ley de Amper
139. En el modelo de Bohr del átomo de hidrogeno, el electrón gira alrededor
del núcleo (protón) en una trayectoria circular de 5, 29. 10−11 m de radio,
con una rapidez de 2, 19. 105 m/seg. a) ¾Cuál es la intensidad del campo
magnético que produce el electrón en la posición del núcleo?
140. Determine la intensidad del campo magnético en un punto P localizado a
una distancia a de la esquina de un alambre in�nitamente largo doblado
en un ángulo recto como muestra la �gura siguiente.
141. Un alambre circular en forma de espira circular conduce en su interior una
corriente de 5 A. Si se desea obtener un campo magnético cuya intensidad
en el centro de la espira sea de 10 µT ¾Cuál debe ser el radio de la espira?
142. El segmento de alambre de la �gura conduce una corriente de 5 A, donde
el radio del arco de circunferencia es de 3 cm. Determine la magnitud y
dirección del campo magnético en el origen.
143. Una espira cuadrada de lado a, lleva una corriente I como se muestra en la
�gura siguiente. Encontrar el campo magnético en el centro de la espira.
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144. Un solenoide tiene una longitud de 1, 23 m y un diámetro interior de
3, 55 cm. El devanado tiene cinco capas de 850 espiras cada una y conduce
una corriente de 5, 77 A ¾Cuál es la intensidad del campo magnético en
su centro?
145. Un solenoide largo con 115 vueltas/cm y un radio de 7, 20 cm conduce
una corriente de 1, 94 mA. a) ¾Cuál es la magnitud del campo magnético
en el eje de simetría del solenoide?
146. Por un conductor rectilíneo de longitud in�nita circula una corriente de
20 A, según se indica en la �gura siguiente. Junto al conductor anterior se
ha dispuesto una espira rectangular cuyos lados miden 5 cm y 10 cm. a)
Determinar la fuerza sobre cada lado de la espira rectangular y la fuerza
neta sobre la espira. b) Determinar el �ujo de campo magnetico generado
por el conductor recto atraves de la espira.
147. Una espira rectangular de un alambre conductor de 12 cm x 16 cm con-
duce una corriente de 30 A. ¾Cuál es la intensidad del campo magnético
en el centro de la espira?
148. ¾Qué corriente se requiere en el bobinado de un largo solenoide que tiene
1000 vueltas distribuidas uniformemente a lo largo de 0, 4 m para producir
en el centro del solenoide un campo magnético de 10−4 T de intensidad?
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149. Un solenoide superconductor genera un campo magnético de 10 T de in-
tensidad. a) Si el enrollado del solenoide tiene 2000 vuelta/m ¾Qué co-
rriente requiere?
150. Un electrón se mueve a 0, 1 c (donde c es la velocidad de luz) como se
muestra en la �gura siguiente. Calcule la magnitud y dirección del campo
magnético que este electrón produce en los siguientes puntos, cada uno
situado a 2,00 mm desde el electrón: a) puntos A y B; b) punto C; c)
punto D.
151. Un alambre largo y recto esta a lo largo del eje �y� y transporta una
corriente de 8 A en la dirección �-y� como muestra la �gura siguiente.
Además del campo magnético debido a la corriente en el alambre, hay un
campo magnético externo estacionario y uniforme de 1, 5. 10−6 T de in-
tensidad en la dirección �+x�. ¾Cuál es el campo total en los dos siguientes
puntos A = (0, 0, 1m) y B = (1m, 0, 0).
152. Una corriente de 20 A circula por alambre largo y recto. Calcular el valor
del campo magnético en un punto situado a 20 cm del alambre.
153. Por un cable cilíndrico muy largo y paraleloal eje z circula una corriente
continua. La densidad de corriente en la sección no es uniforme, sino que
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sigue una ley del tipo ~J = (J0/R).rk̆ donde J0 es una constante, R es el
radio del cable y r la distancia al eje de simetria del cable. Hallar el campo
magnético para toda región del espacio.
154. Un conductor cilíndrico de longitud in�nita es macizo siendo b el radio de
su sección transversal. Por dicho conductor circula una intensidad I, uni-
formemente distribuida en su sección transversal. a) Determinar el campo
B en cualquier punto del espacio. b) Repetir el apartado anterior supo-
niendo que ahora el cilindro posee una cavidad cilíndrica en su interior de
radio a (a < b). Gra�car el modulo del campo magnetico en función de
la distancia al centro del conductor.
155. Dos conductores rectilíneos y de longitud in�nita son perpendiculares al
plano ZY y cortan a dicho plano en los puntos (0, a, 0) y (0,−a, 0). Por
dichos conductores circulan intensidades I1 y I2 respectivamente, ambas
con el mismo sentido. a) Calcular el campo magnético generado por ambas
corrientes en un punto ubicado en el punto medio entre conductores. b)
Repetir el cálculo pero ahora considerar que se invierte el sentido de la co-
rriente I1. c) ¾Con que fuerza se atraen ambos conductores en la situación
descripta en el inciso a?
156. El cable coaxial de la �gura transporta una intensidad I por el conductor
interno y la misma intensidad pero en sentido contrario por el externo.
Calcular el módulo del campo magnético entre ambos conductores y en el
exterior del cable.
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157. Un conductor rectilíneo inde�nido transporta una corriente de 10 A en
el sentido positivo del eje Z. Un protón que se mueve a 2. 105 m/s, se
encuentra a 50 cm del conductor. Calcule el módulo de la fuerza ejercida
sobre el protón si su velocidad: a) Es perpendicular al conductor y está
dirigida hacia él. b) Es paralela al conductor. c) Es perpendicular a las
direcciones de�nidas en los apartados a) y b). d) ¾En qué casos de los tres
anteriores, el protón ve modi�cada su energía cinética?
158. La intensidad de un campo magnético a 40 cm de distancia de un alam-
bre largo y recto que conduce una corriente de 2 A es de 1 µT . a) ¾A
qué distancia es de 0, 1 µT? b) Supongamos que colocamos un segundo
conductor de alambre largo y recto, por el cual circula una corriente de
1 A en forma paralela al primero. Si la distancia entre ellos es de 50 cm,
¾en qué punto entre medio de ellos la intensidad del campo magnético es
anula?
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Capítulo 6
Campos Magnéticos
Variables
6.1. Ley de Lenz - Ley de Faraday
159. Una espira cuadrada, de 30 cm de lado, se mueve con una velocidadcons-
tante de 10 m/s y penetra en un campo magnético de 0,05 T perpendicu-
lar al plano de la espira como se muestra en la �gura siguiente. Calcule
la fuerza electromotriz inducida en la espira mientras está entrando en el
campo.
160. Una bobina circular de alambre de 25 vueltas tiene un diámetro de 1
metro. La bobina se coloca con su eje a lo largo de la dirección del campo
magnético de la tierra de 50 µT y luego de 0,2 seg se la gira 180 grados.
¾Cuál es la fem promedio generada en la bobina?
161. Una bobina consta de 200 vueltas de alambre y cada vuelta es un cuadrado
de 18 cm de lado. Si se activa un campo magnético uniforme perpendicular
al plano de la bobina y el campo cambia linealmente de 0 a 0,5 teslas en
0,8 seg ¾Cuál es la magnitud de la fem inducida en la bobina mientras
está cambiando el campo?
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162. Una espira rectangular de lados de 2 cm y 3 cm se coloca de forma per-
pendicular a un campo magnético variable dado por la expresión, B(t) =
(2.e0,4t)T ~i. a) ¾Cuánto vale la fem ε inducida en la espira como función
del tiempo? b) ¾Cuánto vale la fem inducida a los 12 s?
163. Supongamos que colocamos una espira circular, de un alambre conductor,
de 8,5 cm de radio en presencia de un campo magnético externo, cuya
intensidad es uniforme sobre toda el área de la espira. La razón de cambio
del campo magnético uniforme está dada por dB/dt=0,13 T/seg. a) ¾Cual
es la magnitud del campo eléctrico inducido E cuando r=5,2 cm? b) ¾Y
cuando r =12,5 cm?
164. El ejemplo más elemental de un generador eléctrico es el caso que se ilustra
en la �gura siguiente. Si la varilla metálica, de longitud L, se desliza hacia
adentro con una velocidad constante V sobre los rieles conductores en
presencia de un campo magnético uniforme externo B ¾Cuál es la fem
inducida? ¾Cuál será el sentido de la corriente?
165. Una varilla metálica de 1 m de longitud se desplaza paralelamente al plano
x-y en el seno de un campo magnético ~B=1,4 ~k T, con una velocidad ~v=
(2 m/seg)~i. a) ¾En qué sentido circulara la corriente inducida en la varilla
debido a su movimiento? b) ¾Cuál es la magnitud de la fem inducida? c)
¾Con que velocidad deberíamos mover una barra de la mitad de longitud
para generar una fem inducida que se un tercio de la obtenida en el inciso
anterior?
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166. Una bobina tiene una inductancia de 3 mH y la corriente que la atraviesa
cambia de 0,2 A a 1,5 A en un tiempo de 0,2 seg. Encuentre la magnitud
de la fem inducida promedio en la bobina en ese tiempo.
167. Un solenoide uniformemente devanado alrededor de un núcleo de aire tiene
120 vueltas, diámetro 10 mm y longitud 9 cm. a) Calcule la inductancia
del solenoide.
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Capítulo 7
Fenomenos Transitorios
7.1. Circuitos R-C
168. Determinar la constante de tiempo para el circuito de la �gura siguiente.
169. Consideremos el circuito R-C de la �gura siguiente en donde la resistencia
es de R = 1MΩ, el capacitor de 5 µF y la fuente de 30 V. a) Determinar
la constante de tiempo del circuito (interpretar que signi�ca la misma).
b) ¾Cuál es la máxima carga que adquiere el capacitor después que el
interruptor se cierra? Gra�car cómo evoluciona la carga en las placas del
capacitor con el tiempo. c) ¾Cuál es la intensidad de corriente 10 seg
después de que se cierra el interruptor? d) ¾Cuál fue el cambio en la
energía entre los 5 seg y los 10 seg en el capacitor?
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170. Una pila de 1,7 V se utiliza para cargar un capacitor de 2 µF . El con-
densador se descarga a través de una resistencia de 105Ω como muestra
la �gura siguiente ¾al cabo de cuánto tiempo la carga del capacitor habrá
disminuido a la mitad de su valor inicial?
171. Encuentre la corriente que circula por la resistencia a los 10 seg. de cerrar
el circuito.
172. Un condensador de 6 µF se conecta en serie con una resistencia de 500 Ω
y una fuente de cc de 100 volt de diferencia de potencial como se muestra
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en la �gura siguiente. a) ¾Cuál es la carga inicial en el condensador? b)
¾Cuál es la corriente inicial en el instante posterior a cerrar el circuito? c)
¾Cuál es la constante de tiempo de este circuito? d) ¾Cuánta carga hay
depositada en las placas del condensador después de 6.10−3 seg? e) Hallar
la energía inicial almacenada en el capacitor. f) Demostrar que la energía
disipada en la resistencia viene dada por U(t)=U0 e−2t/τ donde U0 es la
energía inicial.
173. Un condensador de 1,6 µF que se halla inicialmente descargado se conecta
en serie con una resistencia de 10 KΩ y una batería de 5 V, de resistencia
interna despreciable. a) ¾Cuál es la carga en el condensador después de un
tiempo muy largo? b) ¾Cuánto tiempo emplea el condensador en alcanzar
el 99 de su carga �nal?
174. Una resistencia de 3.106 Ω y un condensador de 1 µF se conectan en
serie con una fuente de 4 V. Un segundo después de ser conectado el
circuito calcule: a) El aumento de la carga del condensador. b) La energía
almacenada en el condensador.
175. En el circuito de la �gura el condensador tiene una capacidad de 2,5 µF
y una resistencia de 0,5 MΩ. Antes de cerrar el interruptor, la diferencia
de potencial en el condensador es de 15 V, como se muestra en la �gura
siguiente. Si cerramos el interruptor: a) ¾Cuál es la corriente que circula
en el circuito en el instante inicial? b) ¾Cuánto tiempo debe transcurrir
para que el voltaje en el condensador sea de 18 V?
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176. Supongamos que en el circuito de la �gura siguiente el capacitor inicial-
mente se halla totalmente descargado. a) Hallar la expresión para la ten-
sión en bornes del capacitor. b) ¾Cuanto tiempo tardara el capacitor en
llegar al 90 porciento de su carga total?
7.2. Circuitos R-L
177. Un solenoide uniformemente devanado alrededor de un núcleo de aire tie-
ne 120 vueltas, un diámetro de 10 mm y una longitud 9 cm. Calcule la
inductancia del solenoide.
178. Por una bobina cuya autoinduccion es de 8 H circula una corriente de
3 A, ¾Cual es el �ujo magnetico que atraviesa la espira?
179. Se conecta en serie un resistor de 10 Ω con un inductor de 2 H y una
fuente de voltaje directa de 50 V formando un circuito R-L. Determine la
corriente en el tiempo t, suponiendo que inicialmente no circula corriente
por el circuito. ¾Cuál es la máxima corriente que circula por el circuito?
¾En qué tiempo se alcanza la mitad de la corriente máxima?
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180. Un circuito R-L está formado por una resistencia de 82 Ω, un inductor de
3 H y una fuente de voltaje de 20 V . Hallar la expresión para la corriente
como función del tiempo si inicialmente no circula corriente por el circuito.
¾Qué ocurrirá con la corriente si se duplica el voltaje de la fuente?
181. Un resistor de 1, 2 Ω se conecta con un inductor de 0, 01 H en serie. Se
coloca además una fuente de voltaje directa de 4, 8 V para formar un cir-
cuito R-L. Determinar la corriente como función del tiempo si inicialmente
circula por el circuito una corriente de 2 A.
182. Supongamos un circuito R-L en serie, que consta de una resistencia de
15 Ω y una bobina la cual posee una autoinducción de 100 mH estando
ambos elementos conectados en serie con una fuente de cc de 12 volt. a)
Hallar una expresión para la intensidad en el circuito como función del
tiempo. b) ¾Cúal es la intensidad cuando han pasado 2 mseg?
183. Hallar la tensión en la bobina de la �gura, si transcurrieron 4 mseg desde
el instante de cerrar la llave interruptora.
184. Calcular la energía magnética almacenada en una bobina de 5 mH si ha
estado tres minutos conectada en serie con una resistencia de 10 Ω y un
generador de corriente continua de 25 V .
185. Un circuito eléctrico está formado por una bobinade 30 mH y una re-
sistencia de 100 Ω en serie con un generador de corriente continúa de
20 V . Calcular: (a) La intensidad máxima del circuito. (b) El valor de la
constante de tiempo.
186. Un circuito está compuesto por una bobina de 500 mH y una resistencia
de 200 Ω asociados en serie con un generador de continua que proporciona
una diferencia de potencial de 12 V . Hallar la tensión y la corriente en la
bobina cuando pasaron 8 mseg desde el inicio de la carga.
187. Calcular la energía magnética almacenada en una bobina de 20 mH si
ha estado un minuto conectado en serie con una resistencia de 1 Ω y un
generador de corriente continua de 25 V .
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188. En el circuito de la �gura el interruptor conmuta a la posición 2 después
de haber permanecido en la posición 1 el tiempo su�ciente como para
haberse alcanzado el régimen permanente. Calcular la caida de tensión en
la resistencia justo después de la conmutación.
189. Dos bobinas de 500 y 1000 espiras se sitúan muy cerca una de la otra, de
forma que entre ellas existe una inducción mutua. Por el primario circula
una corriente de 5 A originando en el secundario un �ujo de 0,0003 Wb.
Calcular: a) El valor de M. b) El valor medio de la fuerza electromotriz
que se induce en el secundario cuando se interrumpe la corriente durante
0,1 seg.
190. Una barra conductora se desliza a una velocidad de 20 m/s a lo largo
de los raíles conductores paralelos, unidos en uno de sus extremos por
otro conductor. La resistencia del circuito es de 3 Ω y su autoinducción
despreciable. Suponiendo que la distancia entre los dos raíles es de 3 m
y que la componente vertical del campo magnético terrestre es de 2.10−5
Wb/m2, calcular: a) La corriente que circula por el circuito. b) La potencia
que se requiere para mover la barra.
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Capítulo 8
Corriente Alterna
191. En un circuito de corriente alterna (CA) puramente inductivo como el de
la �gura la diferencia de potencial máxima es de 100 V. Si la corriente
máxima es de 7,5 A a 50 Hz ¾Cuál es el valor de la inductancia L? ¾A qué
frecuencia angular la corriente máxima es de 2,5 A?
192. Supongamos un circuito de CA puramente inductivo, donde la diferencia
de potencial máxima es de 80 V, la frecuencia angular es de 65 rad/seg y
la inductancia de 70 mH. ¾Cuál es la corriente en el inductor después de
15,5 mseg?
193. Un inductor de 20 mH está conectado a una fuente de corriente alterna
estándar cuya diferencia de potencial es de 120 V a una frecuencia de 60
Hz. Hallar la energía almacenada en el inductor después de un tiempo de
1/180 seg suponiendo que la energía a tiempo 0 es nula.
194. Una tensión dependiente con el tiempo dada por v(t) = 60 cos(60t+φ/4)V
se aplica sobre un inductor de 0, 1H Hallar una expresión para la corriente
que circula por el inductor.
195. ¾Qué corriente máxima entrega un capacitor de 2, 2 µF cuando se conecta
a una toma de corriente en Estados Unidos cuya diferencia de potencial
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e�caz o estándar es de 120 V a 60 Hz? ¾Y si se tratase de una fuente de
corriente en Europa donde la diferencia de potencial e�caz es de 240 V a
50 Hz?
196. En un circuito de corriente alterna, alimentado con un generador de 125
V y 50 Hz de frecuencia, se hallan conectados en serie dos elementos, un
capacitor de 40 µF y una resistencia de 20 Ω. Calcular: a) La impedancia
del circuito. b) La intensidad que circula por el mismo. c) La caída de
tensión en cada uno de sus componentes.
197. Si una tensión v(t) = 6 cos(100t−φ/6) V se aplica a un capacitor de 50µF ,
calcular la corriente que circula por el capacitor.
198. ¾A qué frecuencia la reactancia inductiva de un inductor de 57 µH es
igual a la reactancia capacitiva de un capacitor de 57 µF?
199. En el circuito RLC de la �gura la resistencia tiene un valor de 160 Ω, el
capacitor es de 15 µF y la inductancia es de 230 mH. Si la frecuencia es
de 60 Hz y la diferencia de potencial máxima es de 36 V hallar: a) La
reactancia inductiva. b) La reactancia capacitiva. c) La impedancia del
circuito. d) La amplitud de la corriente. e) El desfasaje entre tension y
corriente. f) ¾Cuál es la frecuencia de resonancia del circuito (en Hz)?
200. Considerando el circuito del problema anterior encuentre la fem e�caz, la
corriente e�caz, el factor de potencia y la potencia promedio disipada en
el resistor.
201. Consideremos un circuito RLC conectado en serie, cuya inductancia es de
400 mH, el capacitor es de 4, 4 µF y tiene una resistencia de 500 Ω. Si lo
conectamos a un generador de CA cuya frecuencia es de 50 Hz produce una
corriente máxima de 250 mA en el circuito. a) Calcule el voltaje máximo.
b) Determine el ángulo de fase por el cual la corriente adelanta o está
retrasada con respecto al voltaje aplicado.
202. Un circuito de CA en serie contiene los siguientes componentes: R =
150 Ω, L=250 mH, C = 2 µF y un generador cuya diferencia de po-
tencial máxima es de 210 V a 50 Hz. Calcular: a) La reactancia inductiva.
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b) La reactancia capacitiva. c) La impedancia. d) La corriente máxima. e)
El ángulo de fase entre la corriente y el voltaje del generador.
203. Un voltaje sinusoidal V (t) = 40.sen(100t)(V ) se aplica a un circuito RLC
en serie circuito de CA en serie con los elementos R = 68 Ω, L=160
mH y C = 99 µF . a) ¾Cuál es la impedancia del circuito? b) ¾Cuál es
la corriente máxima? c) Determine los valores necesarios para expresar
I = I(t) (recordar que en este caso I(t) = I0sen(ωt− φ))
204. La fuente del circuito siguiente posee una diferencia de potencial e�caz
de salida de 100 V cuando su frecuencia angular es de 1000 rad/seg. (a)
Determinar la potencia suministrada por la fuente. (b) Mostrar que la
potencia entregada al resistor es igual a la potencia suministrada por la
fuente.
205. En un circuito RLC en serie la corriente e�caz es de 9 A y la diferencia de
potencial e�caz es de 180 V estando en el circuito la corriente adelantada
al voltaje en 370 a) ¾Cuál es la resistencia total del circuito? b) ¾Cual es
la reactancia del circuito (XL-Xc)?
206. Un circuito RLC en serie tiene una resistencia de 45 Ω y una impedancia
de 75 Ω ¾Qué potencia promedio se entrega a este circuito cuando la
tensión e�caz es de 210 V?
207. La corriente de un generador de corriente alterna posee un valor pico de
58 mA y la frecuencia angular del generador es de 90 rad/seg. Calcular
el valor de la corriente instantánea para t = 23 mseg.
208. Hallar la impedancia del circuito de la �gura siguiente suponiendo que
opera a una frecuencia de 50 rad/seg.
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209. Determinar la caida de tensión en la inductancia del circuito de la �gura
siguiente.
210. Determinar la expresión para la caída de tensión que se produce en el
capacitor de la �gura siguiente.
211. Una resistencia de 80 Ω y una inductancia de 200 mH se conectan en
paralelo a través de una fuente de 100 V de tensión e�caz y 60 Hz como
muestra la �gura siguiente. a) ¾Cuál es la corriente e�caz en la resistencia?
b) ¾En qué ángulo la corriente total adelanta o retrasa al voltaje?
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212. El voltaje a través de un resistor de 62 Ω es V (t) = 30 sen(200πt+ φ/6)
volt. Calcular la corriente a través del resistor y gra�car un ciclo de las
formas de onda del voltaje y de la corriente en una misma grá�ca.
213. Una resistencia de 30 Ω tiene un voltaje de V (t) = 170 sen(377 t + 300)
volt. ¾Cuál es la potencia promedio disipada por la resistencia?
214. ¾Cuál es la lectura en un voltímetro de CA, si se conecta con una resisten-
cia de 680 Ω por la que circula una corriente de I(t) = 6, 2 cos(377 t+φ/9)
mA?
215. El voltaje a través de un inductor el cual posee una reactancia es de 62 Ω
está dado por la siguiente expresión V (t) = 30 sen(200π t+φ/6). Calcular
la corriente a través del inductor.
216. Supongamosun circuito RLC en serie donde la resistencia en el circuito
es de 6 Ω, la inductancia de 150 mH y el capacitor posee una capacidad
de 2 µF , hallar la impedancia total en el circuito si la frecuencia del
generador es de: a) 0 Hz b) 10 Hz y c) 10 KHz.
217. Supongamos un circuito RLC en serie el cual se halla en resonancia. La
frecuencia angular de del generador de alterna es de 1000 rad/seg y su
valor e�caz de 1000 volt. Se sabe además que en resonancia la corriente
e�caz es de 5 A y la diferencia de potencial e�caz medida en el capacitor
es de 200 volt. Hallar la diferencia de potencial en la resistencia, en la
inductancia y los valores de R, L y C.
Funcionamiento de un transformador eléctrico
Un transformador es un dispositivo formado por un núcleo creado a partir
de �nas láminas de acero pegadas y dispuestas en forma de marco, entorno
a las cuales y en lados opuestos, hay dos arrollamientos denominados pri-
mario y secundario. Se utiliza para convertir una diferencia de potencial
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alterna en otra diferencia de potencial alterna de las mismas característi-
cas que la anterior pero de distinto valor. Los arrollamientos primario y
secundario tienen N1 y N2 espiras, respectivamente y se realizan alrededor
de un núcleo de hierro laminado, para evitar las corrientes de Foucault.
Al hacer circular por el circuito primario una corriente alterna cuya in-
tensidad varía con el tiempo, se genera un campo magnético variable en
el interior de ambos arrollamientos. Aplicando la ley de Faraday-Henry, la
fuerza electromotriz que se induce en cada uno de los circuitos es:
Dividiendo ambas expresiones se obtiene la relación:
Que nos proporciona el valor de la fuerza electromotriz que se induce en
uno de los arrollamientos a partir del valor de la fuerza electromotriz que
circula por el otro. En un transformador ideal se conserva la energía y la
potencia de entrada es igual que la potencia de salida.
Es interesante observar que para la transmision de energía eléctrica a
grandes distancias se realiza con la ayuda de transformadores, los cuales
aumentan la tensión de modo que la potencia permanezca constante y la
intensidad de corriente se haga menor. De acuerdo con la ley Joule-Lentz,
la cantidad del calor disipado en los conductores es igual a: Q = I2 R t
por lo que se puede observar que las pérdidas de energía al desprenderse el
calor seran menores cuanto menor sean las corrientes. Por otro lado como
Q = V 2 L/R se puede ver que la cantidad del calor disipado aumenta con
la tensión.
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Nos podemos preguntar entonces ¾Por qué el aumento de tensión condu-
ce a la economía de energía eléctrica durante su transmisión a grandes
distancias?
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Capítulo 9
Ecuaciones de Maxwell
218. Si la Estrella del Norte o Polaris se apagara hoy ¾en qué año desaparecería
de nuestra visión? La distancia entre la Tierra y Polaris es de 6, 44. 1018 m.
219. El voltaje aplicado entre las placas de un capacitor de 3 nF varía con el
tiempo según la expresión V (t) = 6. (1 − e−t/4), donde t esta dado en
segundos y V en voltios. Calcule a) La corriente de desplazamiento como
una función del tiempo. b) El valor de la corriente en t=2 seg.
220. La �gura siguiente muestra una onda electromagnética plana que se pro-
paga a lo largo del eje x. Supongamos que la longitud de onda es de 50
m y que el campo eléctrico vibra en el plano x-y con una amplitud de 22
V/m. Calcule: a) La frecuencia de la onda. b) La magnitud y dirección
de ~B cuando el campo eléctrico tiene su valor máximo en la dirección y
negativa. Escriba la expresión para ~B(x, t).
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221. Una onda electromagnética en el vacio tiene una amplitud de campo eléc-
trico de 220 Vm. Calcule la amplitud del campo magnético correspondien-
te.
222. Escriba las expresiones para los campos eléctricos y magnéticos de una
onda electro magnética plana sinusoidal que tiene una frecuencia de 3
GHz y viaja en la dirección x positiva. La amplitud del campo eléctrico
es de 300 V/m.
223. Si el campo eléctrico en una onda electromagnética se describe por medio
de (las unidades corresponden al sistema MKS):
Ey = 100. sen(10
7x− ωt)
Encuentre: (a) La amplitud del campo magnético. (b) La longitud de onda.
(c) La frecuencia.
224. ¾Cuánta energía electromagnética por metro cubico está contenida en la
luz solar si la intensidad de la misma en la super�cie terrestre bajo cielo
despejado es de 1000 W/m2?
225. En una región del espacio libre el campo eléctrico y magnético en algún
instante de tiempo están dados por:
~E = (80 ~i+ 32 ~j + 64 ~k)N/C
~B = (0, 2 ~i+ 0, 08 ~j − 0, 29 ~k)µT
(a) Muestre que los campos son perpendiculares entre sí en dicho instante.
(b) Determine el vector de Poynting en el mismo instante.
226. El vector de Poynting de una onda electromagnética plana en el vacío esta
dado por (las unidades están dadas en el sistema internacional):
~S(z, t) = 220 cos2(12z + 3, 6. 109t)~k
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a) ¾Cuál es la longitud de onda? b) ¾Cuál es la frecuencia? c) Escribir las
expresiones de los campos eléctrico y magnético de la onda.
227. En cierto instante, circula una corriente de 2,8 A en los cables conectados
a un capacitor de placas paralelas. ¾Cuál es la razón con que cambia el
campo eléctrico entre las placas, si las placas son de forma cuadrada y
tienen 1,0 cm de lado?
228. Una onda electromagnética armónica de frecuencia 6. 1014 Hz y amplitud
de campo eléctrico
√
2. 30 V/m, se propaga en el vacío según el eje x en
sentido positivo. Hallar la expresión para el campo ~E en el caso en que la
onda esta polarizada en el plano xy.
229. El campo eléctrico en el vacío correspondiente a una determinada fuente
electromagnética es ~E(z, t) = E0 sen(βz). cos(ωt)~i V/m Calcular el campo
magnético asociado.
230. Considere un condensador de placas planas y paralelas, cuya capacidad es
C el cual se halla conectado a una fuente de tension V(t)=V0 sen(ωt). a)
Mostrar que la corriente de desplazamiento viene dada Id=C V0 ω cos(ωt).
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Capítulo 10
Óptica Geométrica
En la presente seccion vamos a continuar el analisis de fenomenos vincu-
lados a las ondas electromagneticas haciendo hincapie en la parte visible
del espectro electromagnético. La optica geometrica parte de la óptica que
trata a partir de analisis de caracter geométrico los cambios de dirección
que experimentan los rayos luminosos cuando la longitud de la onda es
muy pequeña en comparación con el tamaño de obstáculos ó aberturas
que se encuentra a su paso. Esto nos permite despreciar los efectos de
interferencia y difracción asociados al carácter ondulatorio de la luz. Esta
hipótesis nos permite asumir que se produce una propagación rectilínea
de los rayos de luz.
10.1. La luz y su propagación
231. Considérese un haz de luz monocromática con longitud de onda en el
vacío de 590 nm. Calcular la longitud de onda de este haz en un vidrio
con índice de refracción n = 1, 5.
232. Una radiación de frecuencia 5. 1014 s−1 se propaga en el agua. Calcular
la velocidad de propagación y la longitud de onda de dicha radiación.
233. Un haz de luz, el cual se propaga en el aire incide sobre la super�cie de
un recipiente el cual contiene agua en su interior. En el aire el haz forma
un ángulo de 320 con la normal a la super�cie. Si el índice de refracción
del agua es n = 1, 33 hallar: a) El ángulo de refracción. b) La velocidad
del haz en el agua.
234. Calcular la velocidad con que viajara la luz dentro de una sustancia sa-
biendo que su ángulo limite en relación con el aire es de 300.
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235. Un vidrio dado posee un índice de refracciónde n = 1, 5. ¾Cuál es el
ángulo limite para la re�exión total de la luz que sale del vidrio y entra
en el aire?
236. El índice de refracción del vidrio de silicato es n = 1, 66 para la luz con
λ = 400 nm y n = 1, 61 para la luz con λ = 700 nm (cuando se miden los
indices de refraccion de las sustancias se debe indicar con que longitud de
onda se hizo la medicion por que pueden presentar diferencias minimas).
Determinar los ángulos de refracción para la luz de estas longitudes de
onda que incide en este vidrio bajo un ángulo de 450.
237. Hallar el desplazamiento que experimenta un rayo de luz al atravesar una
lámina de 1 cm de espesor e índice de refracción n = 1, 5 si el rayo inci-
dente forma un ángulo de 450 con la normal.
238. La super�cie de un vaso con agua está cubierta por una capa de aceite.
Calcular los ángulos de refraccion cuando los rayos cambian de super�cie
a medida que el haz de luz que pasa del aire al agua, a través del aceite,
si el ángulo de incidencia es 400. (naceite = 1, 54)
239. Una �bra óptica consiste de un núcleo central de vidrio de SiO2 general-
mente dopado con Ge de índice de refracción n1 rodeada de un material
similar pero de índice de refracción n2, como muestra el esquema. El án-
gulo de aceptación de la �bra es el máximo valor que puede tomar α sin
que la luz incidente desde el aire escape del núcleo y pueda, de ese modo,
propagarse por la �bra. a) Si la �bra trabaja por re�exión total interna
(suponer que el angulo critico en el nucleo es de 900), muestre que n2 〈
n1. b) Encuentre el ángulo de aceptación para n1 = 1, 50, y n2 = 1, 49, si
la �bra óptica está sumergida en aire.
240. Un rayo de luz que se propaga por el aire incide sobre un medio cuyo
índice de refracción es n = 1, 22. Si la suma de los ángulos de inciden-
cia y refracción es 900, calcula el valor de estos ángulos de incidencia y
refracción.
241. Un rayo de luz se propaga por un vidrio cuyo índice de refracción es
n = 1, 52 y llega a la super�cie de separación vidrio-agua con un ángulo
de incidencia de 300. Hallar el ángulo de refracción.
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242. Supongamos un vidrio cuyo índice de refracción es de n = 1, 50 ¾Cuál es
el ángulo crítico para la re�exión total de la luz que sale de este vidrio y
entra en el aire?
243. Un buceador de 1, 8 m de altura se encuentra de pie en el fondo de un
lago cuya profundidad es de 5 m. Calcular la distancia mínima, respecto
del buceador, a la que se encuentran los puntos del fondo del lago que el
buzo puede ver, re�ejados en la super�cie del agua.
10.2. Espejos y lentes
244. Una estudiante tiene una altura de 1, 65 m y sus ojos están a 120 mm
de la parte más alta de su cabeza. Si desea verse de forma completa en
un espejo plano vertical: a) ¾Qué altura mínima debe tener el espejo? b)
¾Depende la respuesta de la distancia entre la estudiante y el espejo?
245. Un hombre de 1,8 m de altura se halla parado 2 m delante de un espejo
plano vertical, teniendo a 4 m de su espalda un árbol de 4 m de alto.
Si consideramos que los ojos del hombre se hallan 13 cm por debajo de
la parte superior de su cabeza ¾Cuál debe ser la altura mínima que debe
poseer el espejo para que el hombre pueda observar completamente al
árbol?
246. El radio de un espejo esférico es −30 cm. Un objeto de 4 cm de alto esta
a una distancia del espejo de: a) 60 cm. b) 30 cm, c) 15 cm, d) 10 cm.
Calcular la distancia imagen para cada una de estas posiciones y el tamaño
de la imagen en cada caso.
247. Un espejo produce una imagen real e invertida tres veces mayor que el
objeto, a una distancia de 28 cm del objeto. Hallar la distancia focal del
espejo.
248. A 75 cm delante de un espejo convexo de 0, 25 m de distancia focal se
coloca un objeto de 8 cm de altura. Calcular la posición y el tamaño de
la imagen formada por re�exión en el espejo.
249. Supongamos que tenemos un espejo esférico convexo de 1, 6 m de radio,
hallar de ser posible en que posición debo colocar el objeto si deseo obtener
una imagen: (a) real y tres veces mayor, (b) real y tres veces menor, (c)
virtual y tres veces mayor.
250. Un objeto de 2, 5 cm de alto esta 12 cm delante de una lente delga-
da de distancia focal 3 cm. Calcular la distancia imagen, el aumento y
características de la imagen. Hacer la marcha de rayos correspondiente.
251. La imagen obtenida mediante un espejo cónvexo esférico es real y se en-
cuentra a 18 cm del espejo. Si el aumento es de 0, 75 ¾Cuál es el radio de
curvatura del espejo?
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252. Un espejo tiene un radio de curvatura de 80 cm. ¾Cuáles deben ser las
distancias del objeto y de la imagen al espejo para que el aumento sea de
0, 4?
253. Un pez esta nadando a lo largo de un diámetro horizontal y se encuentra a
10 cm de la pared de una pecera esférica de 15 cm de radio como muestra
la �gura. Si el índice de refracción del agua es 1, 33 y el vidrio de la pecera
es tan delgado que no in�uye en la refracción determinar la posición del
pez para el observador que se halla en el exterior.
254. Una esfera de vidrio, cuyo índice de refracción es de 1, 53 y tiene un diá-
metro de 10 cm, tiene en su interior dos pequeñas burbujas. Una parece
estar exactamente en el centro de la esfera y la otra en la mitad entre el
centro y la primera super�cie ¾Cuáles son sus verdaderas posiciones?
255. Supongamos una lente delgada convergente con una distancia focal de
16 cm. Un objeto, cuya longitud es de 10 cm, se encuentra a una distan-
cia de 40 cm frente a la lente. Encuentre la posición de la imagen y su
longitud. ¾Está derecha o invertida? ¾Es real o virtual?
256. Sea un lente divergente con una distancia focal de −16 cm. Un objeto,
cuya longitud es de 10 cm, se encuentra a una distancia de 24 cm, frente
al lente. Encuentre la posición de la imagen y su longitud. Explique si está
derecha o invertida, y si es real o virtual.
257. Una lente delgada convergente de radios de curvatura iguales, tiene una
distancia focal de 50 cm. La lente proyecta una imagen de un objeto de
5 cm de altura sobre una pantalla. Hallar: a) La distancia del objeto a
la lente y de esta a la pantalla sabiendo que el tamaño de la imagen es
40 cm. b) Los radios de la lente si la misma está construida con un vidrio
de índice de refracción n = 1, 6.
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258. Se coloca un objeto de 1 cm de alto a 10 cm a la izquierda de una lente
delgada convergente de 50 cm de distancia focal. a) Realizar un diagrama
con la marcha de rayos para. b) Hallar la posición y tamaño de la imagen.
259. Una lente proyecta la imagen de un objeto real sobre una pantalla colocada
a 12 cm de la lente. Cuando la lente se aleja 3 cm del objeto, la pantalla
se debe acercar 2 cm al objeto para mantener la imagen enfocada. (a)
Realizar una marcha de rayos aproximada para los dos casos e indicar
claramente las distancias involucradas. (b) Calcular la distancia focal de
la lente utilizada y los aumentos laterales de las dos imágenes.
260. A 30 cm de una lente convergente de 5 dioptrías de potencia se encuentra
un objeto y a 1 m detrás de la lente existe un espejo esférico cónvexo que
da una imagen �nal real a 28, 6 cm del espejo. a) Calcular el radio de
curvatura del espejo.
261. Una lente delgada convergente proporciona una imagen real, invertida y
del doble de tamaño de un objeto. Sabiendo que dicha imagen se forma a
30 cm de la lente, calcular: a) La distancia focal de la lente. b) La posición
y la naturaleza de la imagen. c) Calcular nuevamente los incisos a) y b) si
el objeto se ubica a 5 cm de la lente.
262. Un objeto de 3 cm de altura está situado a 20 cm de una lente divergente
de -10 dioptrías de potencia. Hallar: a) La distancia focal de la lente. b)
La posición de la imagen. c) El tamaño y naturaleza de la imagen.
263. A 10 cm detrás de una lente convergente de 6 cm de focal, está colocado
un espejo esférico cónvexo de 2 cm de radio y a 24 cm por delante de la
lente existe un objeto de 2 cm dealtura. Calcular la posición, tamaño y
naturaleza de la imagen que verá un observador cuyo ojo está situado sobre
el eje a 30 cm de la lente. Resolver el problema grá�ca y analíticamente
mostrando la formación de cada una de las imágenes intermedias.
264. Un objeto se encuentra a 60 cm de un espejo convexo de 40 cm de radio.
Calcular la posición de la imagen y realizar el diagrama con la marcha de
rayos.
265. Supongamos un espejo cóncavo de 20 cm de radio. Se coloca un objeto de
2 cm de altura a 30 cm del espejo ¾En qué posición se formara la imagen
y cuál será su tamaño?
266. Sea un espejo convexo de 40 cm de radio. Si se coloca un objeto de 4 cm
de altura a 60 cm del espejo ¾En qué posición se formara su imagen?
¾Cuál será su altura?
267. Un objeto de 2 cm de altura se encuentra a 60 cm de una lente conver-
gente de 20 cm de distancia focal. Hallar la posición de la imagen y su
tamaño.
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268. Un objeto de 4 cm de altura se encuentra a 50 cm de una lente divergente
de 20 cm de distancia focal. Hallar la posición de la imagen y su tamaño.
269. Un objeto de 1, 5 cm de altura se sitúa a 15 cm de una lente divergente
que tiene una focal de 10 cm. Determina la posición, tamaño y naturaleza
de la imagen.
270. Se quiere formar una imagen real y de doble tamaño de un objeto de
1, 5 cm de altura. Determinar: (a) La posición del objeto si se usa un
espejo cóncavo de R = 15 cm. (b) La posición del objeto si se usa una
lente convergente con la misma distancia focal que el espejo.
271. Un bloque de vidrio planocóncavo de 100 mm de radio e índice de re-
fracción de 1, 50 se encuentra sumergido en aire. Un objeto de 10 mm de
altura se sitúa a 200 mm del vértice V1 según se muestra en la �gura.
Sabiendo que la distancia entre V1 y el V2 es de 400 mm, determinar: a)
La posición de la imagen �nal. b) El tamaño de la imagen �nal.
10.3. Instrumentos Ópticos
272. Lupa. Una persona con un punto próximo de 25 cm utiliza una lente de
40 dioptrías como lupa. ¾Qué ampli�cación se obtiene?
273. Lupa. Un �latelista examina una estampilla usando como lupa una lente
biconvexa de 10 cm de distancia focal. Se ajusta la distancia lente-objeto
de modo que la imagen virtual se forme en el punto cercano normal (a
25 cm del ojo). Calcular el aumento.
274. Microscopio Compuesto. La distancia focal del objetivo y del ocular de un
microscopio son 3 mm y 2 cm respectivamente. a) ¾A qué distancia del
ocular ha de estar la imagen formada por el objetivo para que veamos una
imagen virtual a 25 cm del ocular? b) Si las lentes están separadas 20 cm,
¾qué distancia separa el objetivo del objeto que está sobre la platina de
observación?
275. Defectos visuales. Los ojos de una persona enfocan rayos paralelos a una
distancia de 2, 8 cm de la córnea. Indique de que afección se trata. a) ¾Qué
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tipo de lente se necesita para corregir el defecto y cuál es la potencia en
dioptrías necesaria? b) Repetir a) para el caso en que la imagen se forma a
2, 2 cm de la cornea. Recuerde que en el ojo tipo la imagen se debe formar
a 2, 5 cm de la córnea.
276. Lupa. Una lupa tiene un aumento de 3x para un ojo normal que enfoca la
imagen en el punto próximo. ¾Cuál es su distancia focal?
277. Microscopio Compuesto. Supongamos un microscopio compuesto donde el
objeto esta a 12 mm del objetivo. Las lentes están separadas por 285 mm
y la imagen esta a 48 mm del ocular ¾Qué aumento se produce?
278. Defectos visuales. Una persona padece de presbicia, es decir que su punto
próximo está situado a 0, 75 m y el punto lejano está situado a 5 m,
¾Entre que valores debe variar la potencia de las gafas multifocales que
utiliza para que pueda ver bien de cerca y de lejos?
279. Un microscopio tiene una lente objetivo de 1, 2 cm de distancia focal y
un ocular de 2 cm de distancia focal separadas 20 cm. (a) Hallar el po-
der ampli�cador si el punto próximo del observador está a 25 cm. (b)
¾En dónde deberá colocarse el objeto si la imagen �nal ha de verse en el
in�nito?
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FISICA II
Capítulo 11
Óptica Física
11.1. Naturaleza ondulatoria de la luz
280. El sistema de rendija doble mostrado en las �guras previas está iluminado
con luz proveniente de una lámpara de vapor de �ltrada de la cual es
solo visible la línea de color verde intenso (546 nm). Si las rendijas están
separadas 0, 12 mm y la pantalla sobre la cual se observa el patrón de
interferencia esta a 55 cm de distancia ¾Cuál es la posición angular del
primer mínimo? ¾Y el segundo máximo?
281. Luz monocromática verde, cuya longitud de onda es de 554 nm ilumina
dos rendijas angostas paralelas separadas por 7 µm. Calcule la desviación
angular de la franja brillante de tercer orden, m = 3.
282. Se lleva a cabo un experimento en una rendija doble con luz azul verdosa
de longitud de onda de 512 nm. Las rendijas están separadas 1, 2 mm y
la pantalla esta a 5, 4 m de las rendijas. Determine la separación entre las
franjas brillantes.
283. Si la distancia entre el primer mínimo y el decimo en un patrón de inter-
ferencia de una rendija doble están separados por 18 nm y las rendijas
están separadas 0, 15 mm con la pantalla ubicada a 50 cm de las rendijas
¾Cuál es la longitud de onda de la luz empleada?
284. En una burbuja la película de agua en aire tiene un espesor de 320 nm.
Cuándo se ilumina con luz blanca y la incidencia es normal, ¾de qué color
se verá la luz re�ejada?
285. Determinar cuál es el menor espesor para una película de índice de refrac-
ción n = 1, 40 en el cual puede haber interferencia totalmente destructiva
por re�exión solo para la luz violeta (λ = 400 nm) de un haz incidente de
luz blanca?
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286. Sobre una lámina delgada de índice de refracción n = 1, 4 se hace inci-
dir perpendicularmente un frente de onda plano monocromático de λ =
6000 nm. Se desea eliminar por re�exión la radiación. a) Cual será el es-
pesor mínimo de la lámina? ¾Cómo se modi�ca el resultado anterior si la
lámina delgada se halla sobre un soporte de vidrio cuyo n = 1, 54?
287. Un buque tanque ha derramado una gran cantidad de petróleo (n = 1, 2)
en el golfo de Venezuela formando una mancha grasosa en el agua de mar
(n = 1, 3). a) Si se observa desde un aeroplano, directamente hacia abajo
en una región donde la mancha tiene un espesor de 460 nm, ¾Cuáles serán
las longitudes de onda de luz visible que se re�ejan con mayor intensidad?
b) Si se está buceando directamente debajo de la misma región de la man-
cha, ¾Cuáles serán las longitudes de onda de luz visible que se transmiten
con mayor intensidad?
288. Una película delgada de 4. 10−5 cm de espesor se ilumina perpendicular-
mente con luz blanca. Su índice de refracción es de 1, 5. ¾Qué longitudes de
onda, en la región del espectro visible se intensi�cara en el haz re�ejado?
11.2. Difracción
289. Luz de 580 nm de longitud de onda incide sobre una rendija de 0, 3 mm de
ancho. La pantalla de observación está a 2 m de la rendija. Encuentre las
posiciones de las primeras franjas oscuras y el ancho de la franja brillante
central.
290. Se ilumina una sola rendija con luz monocromatica y se coloca detras de
ella una pantalla para observar el patron de difracción. Si el ancho de la
rendija es de 0, 5 mm, la longitud de la onda incidente de 680 nm y la
pantalla se halla a 1, 8 m de la rendija ¾cual es el ángulo entre la segunda
franja oscura (m = 2) y el máximo cenral? ¾cual es el desplazamiento
lateral de esta franja oscura? ¾cual es el ancho del máximo central?
291. Una ranura de 0, 1 mm de ancho se ilumina con luz de longitud de onda
λ = 441 nm y se observa un patrón de difracción sobre una pared a
2 m de distancia. a) Calcular el ancho de la franja brillante central. b)
Determinar la posición sobre la pantalla y el ángulo donde se observa el
máximo de primer orden. c) Determinar la posiciónsobre la pantalla y el
ángulo donde se observa el segundo mínimo.
292. Luz monocromática incide en una rendija de ancho 0, 8 mm, y el patrón de
difracción se observa en una pantalla ubicada a 0, 8 m de la rendija. Si la
franja brillante de segundo orden se observa a una distancia de 1, 60 mm
del centro del máximo central, ¾cuál es la longitud de onda de la luz
incidente?
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FISICA II
Capítulo 12
Unidades y Programa
12.1. Unidades
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FISICA II
Instituto de Ingeniería y Agronomía - UNAJ 92
FISICA II
Instituto de Ingeniería y Agronomía - UNAJ 93
FISICA II
12.2. Programa Regular de Física II
Carreras: Bioingeniería, Ingeniería Electromecánica, Ingeniería Indus-
trial, Ingeniería en Informática, Ingeniería en Petróleo. Año: 3 Año Carga
horaria semanal: 9 hs. Modalidad de la Asignatura: Teórico-Práctica y
actividades de Laboratorio.
12.2.1. Unidades Temáticas
Unidad 1. Electrostática
Carga eléctrica. Cuantización de la carga eléctrica. Conservación de la
carga eléctrica. Conductores. Aisladores. Ley de Coulomb. Campo eléc-
trico. Campo eléctrico para diferentes con�guraciones de carga. Líneas de
campo eléctrico. Flujo eléctrico. Ley de Gauss. Aplicaciones. Energía po-
tencial electrostática. Diferencia de potencial eléctrico. Dipolo eléctrico.
Fenómenos de inducción electrostática. Capacidad. Capacitores. Propie-
dades eléctricas de la materia. Dieléctricos.
Unidad 2. Electrocinética
Corriente eléctrica. Densidad e intensidad de corriente eléctrica. Circuito
eléctrico. Corriente continúa. Conductividad y resistividad. Ley de Ohm.
Resistencia eléctrica. Conductores óhmicos y no lineales. Resistencias en
serie y en paralelo. Energía en los circuitos eléctricos. Ley de Joule. Fuerza
electromotriz. Leyes de Kirchho�. Circuitos de una sola malla y de múlti-
ples mallas. Circuito R-C. Circuitos de medición. Puente de Wheatstone.
Potenciómetro.
Unidad 3. Magnetostática
Campo magnético generado por corrientes eléctricas. Ley de Biot- Savart.
Aplicaciones. Ley de Ampere. Aplicaciones. Fuerza sobre una corriente
eléctrica. Acciones entre corrientes rectilíneas paralelas in�nitas. De�ni-
ción de Ampere. Acción de un campo magnético sobre un circuito plano.
Momento y dipolo magnético. Fuerza de Lorentz. Movimiento de una par-
tícula cargada en un campo magnético. Fuerzas magnéticas sobre con-
ductores. Experiencia de Thomson. Ciclotrón. Espectrómetro de masas.
Efecto Hall.
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Unidad 4. Inducción magnética. Electromagnetismo
Inducción magnética. Flujo magnético. Ley de Gauss para el campo mag-
nético. Ley de Faraday-Lenz. Fuerza electromotriz inducida por movimien-
to y por variación temporal del campo magnético. Aplicaciones.Corrientes
de Foucault. Inducción mutua. Autoinducción. Asociación de autoinduc-
ciones. Energía almacenada en campos magnéticos. Corrientes transitorias.
Circuito R-L. Propiedades magnéticas de la materia. Corriente alterna.
Circuitos R-C-L. Representación fasorial. Impedancia. Potencia instantá-
nea y media. Valores e�caces. Resonancia. Aplicaciones. Campo electro-
magnético. Ley de Ampere para regímenes no estacionarios. Corriente de
desplazamiento. Ecuaciones de Maxwell. Ondas electromagnéticas. Ener-
gía en una onda electromagnética. Vector de Poynting.
Unidad 5. Óptica ondulatoria
Naturaleza ondulatoria de la luz. Diferencia de fase y coherencia. Interfe-
rencia en películas delgadas. Suma de ondas armónicas mediante fasores.
Diagrama de interferencia de dos rendijas. Cálculo de la Intensidad. Dia-
grama de interferencia de tres o más fuentes espaciadas.
Unidad 6. Óptica geométrica
Re�exión. Leyes de la re�exión. Espejos planos y esféricos. Imágenes vir-
tuales y reales. Características. Aumento. Fórmula de Descartes. Refrac-
ción. Leyes de la refracción. Índices de refracción. Re�exión total. Ángulo
límite. Fibra óptica. Marchas de rayos luminosos. Lentes delgadas. Fór-
mula de Gauss. Aumento lateral. Potencia. Instrumentos ópticos.
Unidad 7. Óptica física
Difracción de Fraunhofer y de Fresnel. Diagrama de difracción produci-
do por una sola rendija. Diagrama de interferencia � difracción de dos
rendijas. Difracción y resolución. Redes de difracción.
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