PRACTICO_ALGEBRA

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PRÁCTICO N°2 
Nombre: Camila Daniela Arce Mosqueira 
Registro: 220103933 
Carrera: Ingeniería Química 
Materia: Algebra 2 Grupo: YA 
Docente: Evadin Caballero Carrasco 
SISTEMA DE ECUACIONES 
1. Revisando conceptos 
a) Defina qué es una ecuación lineal. 
R: Es una igualdad que involucra dos o más variables a la primera potencia y no 
contiene productos entres las variables, es decir una ecuación que involucra 
solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia 
b) Defina qué es un sistema de ecuaciones lineales. 
R: Es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones de 
primer grado) definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo 
c) ¿Qué es la solución de una ecuación lineal? 
R: Una solución es un número que puede ser introducido en la variable para hacer 
un anunciado de número verdadero. 
Por ejemplo, sustituyendo 2 por x en 3x+5=11 nos da 6+5=11 11=11, esto es 
verdadero 
d) Defina que es un sistema homogéneo y analice sus posibilidades de solución. 
R: Si un sistema de m ecuaciones y n de incógnitas tiene todos los términos 
independientes nulos se dice que es homogéneos. 
Solo admite solución trivial 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯…… = 𝑥𝑛 = 0 
Es decir que admite distintas soluciones cuando el rango de la matriz de los 
coeficientes sea menor que el n de incógnitas o que el determinante de dicha 
matriz que forma sea nulo 
e) Defina que es un sistema no homogéneo y analice sus posibilidades de 
solución. 
R: Es no homogéneo, cuando cada una de las ecuaciones involucradas en el 
sistema están igualadas a u numero distinto a cero. 
𝑥1 + 𝑥2 = 𝐵 Siendo B un número ≠ 0 
Las posibles soluciones podríamos verlas luego de resolver la matriz que genera 
dicha ecuación para determinar si tiene o no solución o si tiene infinitas soluciones 
2. Identifique cuales de las siguientes ecuaciones son lineales y cuáles no. En 
caso de afirmativo, indique el número de incógnitas de la ecuación: 
 a) 3x = 4 
Si es una ecuación lineal de primer grado 
b) x – y = 5 
Si es una ecuación lineal de segundo grado 
c) 2xy – 3z = 0 
No es ecuación lineal 
d) log x – 3y = 5 
Si es ecuación lineal de segundo grado 
e) √3 x + 5z = 3y – 5 
Si es ecuación lineal de tercer grado 
f) Sen3x – y = 7 
Si es ecuación lineal de segundo grado 
g) x y + 3 = 0 
No es ecuación lineal 
h) log x – y = 3x 
Si es ecuación lineal de segundo grado 
i) x – y = 3z 
Si es ecuación lineal de tercer grado 
3. Diga si son verdadero o falso las siguientes proposiciones. Justifique: 
 a) Todo sistema de ecuaciones lineales con tres ecuaciones y tres incógnitas es 
compatible. 
Verdadero, porque si es compatible ya que realizamos un plano con 3 
dimensiones cada una de las ecuaciones representa un plano que se cortan en un 
punto 
 
 
 
b) Los sistemas homogéneos son siempre compatibles. 
Verdadero, por el sistema homogéneo es siempre compatible ya que el 
rg(A)=rg(A/0). La solución nula o trivial si 𝑥1 = 𝑥2 ……… = 𝑥𝑛 = 0 es siempre 
solución del sistema homogéneo 
c) Un sistema indeterminado es aquel que no tiene solución. 
Falso, porque es cuando posee un número infinito de soluciones 
d) La solución trivial no es solución de un sistema no homogéneo. 
 Verdadero, ya que las soluciones triviales es solo solución de un sistema 
homogéneo 
4. Analizar para que valores de “k” el sistema no tiene solución, tiene infinitas 
soluciones, tiene exactamente una solución: 
a) {
𝒌𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟏
𝒙𝟏 + 𝒌𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟏
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒌𝒙𝟑 = 𝟏
 
[
k 1 1 1
1 k 1 1
1 1 k 1
]≈
[
 
 
 
𝑘 1 1 1
0
𝑘2−1
𝑘
𝑘−1
𝑘
 
𝑘−1
𝑘
0
𝑘−1
𝑘
𝑘2−1
𝑘
 
𝑘−1
𝑘
 
]
 
 
 
 
A𝟑𝟏 (−
1
𝐾
) 𝑃23 𝐴32 (−𝐾 − 1) 
𝐴21 (−
1
𝐾
) 
[
𝐾 1 1 1
0
𝐾−1
𝐾
 
𝐾2−1
𝐾
 
𝐾−1
𝐾
0 0 −(𝐾 − 1)(𝐾 + 2) − 𝐾1
] ≈ 
𝑀3 (−
1
(𝐾−1)(𝐾+2)
)
𝐴23 (−
𝐾2−1
𝐾
)
𝐴13(−1)
 
[
 
 
 
 𝐾 1 0 
𝐾+1
𝐾+2
0
𝐾−1
𝐾
 0 
1
𝐾(𝐾+2)
0 0 1 
1
𝐾+2 ]
 
 
 
 
 
𝑀2 (
𝐾
𝐾−1
)
𝐴12(−1)
𝑀1 (
1
𝐾
)
 
[
 
 
 
 1 0 0 
1
𝐾+2
0 1 0 
1
𝐾+2
0 0 1 
1
𝐾+2]
 
 
 
 
 
𝐾 + 2 = 0 
𝐾 = −2 
𝐾 − 1 = 0 𝐾 = 1
 
No tiene solución 
k=-2 
Infinitas soluciones 
k=1 
Única solución 
K≠-2 ^ k≠1 
b) {
 𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 4
 3𝑥1 − 𝑘𝑥2 + 5𝑥3 = 2
4𝑥1 + 𝑥2 + ( 𝑘
2 + 14)𝑥3 = 0
 
[
1 1 −3 4
3 −1 5 2
4 1 𝑘2 − 14 0
] 
𝑃13
𝐴21 (−
3
4
)
𝐴31 (−
1
4
)
 
[
 
 
 
4 1 𝐾2 − 14 0
0 −
7
4
−3𝐾2+62 
4
 0
0
3
4
 
−𝐾2+2
4
 4 ]
 
 
 
𝐴32 (
3
7
) 
[
 
 
 
4 1 𝐾2 − 14 0
0 −
7
4
 
3𝐾2+62
4
 2
0 0
2(−2𝐾2+25)
7
 
34
7 ]
 
 
 −2𝐾
2 + 25 = 0
𝐾 = 5 2⁄
𝐾 =
5√2
2
 
Única solución 
K=
5
2
 
 infinitas soluciones 
k≠
5
2
 𝐴 𝑘 =
5√2
2
 
No tiene solución 
K=
5√2
2
 
c) {
 𝑥 − 3𝑧 = −3
2𝑥 + 𝑘𝑦 − 𝑧 = −2
𝑥 + 2𝑦 + 𝑘𝑧 = 1
 
[
1 0 −3 − 3
2 𝑘 −1 − 2
1 2 𝑘 1
] ≈ [
2 𝑘 −1 − 2
0 −
𝑘
2
−
5
2
 − 2
0
4−𝑘
2
2𝑘+1
2
 2
] 
𝑃12 𝐴21 (−
1
2
) 𝑃23 𝐴32 (
𝐾
4−𝐾
) 
𝐴31 (−
1
2
) 
[
2 𝐾 −1 − 2
0
4−𝐾
2
2𝐾+1
2
 2
0 0
−𝐾2−3𝐾+10
𝐾−4
 
−4𝐾
4−𝐾
] 
−𝐾2−3𝐾+10
𝐾−4
 𝑋2 =
−𝐵±√𝐵2−4𝑎𝑐
2𝑎
 
K=-5 k=2 
-8+4k=0 
 K=2 
infinitas soluciones 
k=2 
no tiene solución 
K=-5 
Única solución 
k≠ 2 ∧ 𝑘 ≠ −5 
d) {
𝑘𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 1
 
[
k 1 1 1
1 k 1 1
1 1 k 1
]≈
[
 
 
 
𝑘 1 1 1
0
𝑘2−1
𝑘
𝑘−1
𝑘
 
𝑘−1
𝑘
0
𝑘−1
𝑘
𝑘2−1
𝑘
 
𝑘−1
𝑘
 
]
 
 
 
 
A31 (−
1
𝐾
) 𝑃23 𝐴32 (−𝐾 − 1) 
𝐴21 (−
1
𝐾
) 
[
𝐾 1 1 1
0
𝐾−1
𝐾
 
𝐾2−1
𝐾
 
𝐾−1
𝐾
0 0 −(𝐾 − 1)(𝐾 + 2) − 𝐾1
] ≈ 
𝑀3 (−
1
(𝐾−1)(𝐾+2)
)
𝐴23 (−
𝐾2−1
𝐾
)
𝐴13(−1)
 
[
 
 
 
 𝐾 1 0 
𝐾+1
𝐾+2
0
𝐾−1
𝐾
 0 
1
𝐾(𝐾+2)
0 0 1 
1
𝐾+2 ]
 
 
 
 
 
𝑀2 (
𝐾
𝐾−1
)
𝐴12(−1)
𝑀1 (
1
𝐾
)
 
[
 
 
 
 1 0 0 
1
𝐾+2
0 1 0 
1
𝐾+2
0 0 1 
1
𝐾+2]
 
 
 
 
 
𝐾 + 2 = 0 
𝐾 = −2 
𝐾 − 1 = 0 𝐾 = 1
 
No tiene solución 
k=-2 
infinitas soluciones 
k=1 
Única solución 
K≠-2 ^ k≠1 
 
e) {
𝑥 + 2𝑦 + 𝑘𝑧 = 1
2𝑦 + 𝑘𝑦 + 8𝑧 = 3
 
x + 2y +k z = 1 
(2+k) y+8z=3 
Infinitas soluciones 
∄ 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
única solución 
K=-2 ∧ k=4 
Sin solución 
 ∄ 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑒 
 
F ) {
𝑥 − 𝑦 = 3
 2𝑥 − 2𝑦 = 3𝑘
 
[
1 −1 3
2 −2 3𝑘
] ≈ [
2 −2 3𝑘
0 0
6−3𝑘
2
] 
𝐹1 = 𝐹2 
 𝐹2 = 𝐹2 −
1
2
. 𝐹1 
6-3K=0 
K=2 
K=0 
 
única solución 
∄ 
infinita solución 
K=2 
no tiene solución 
K=R ∧ K≠ 2 
 
g) {
 𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 2
3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 𝑘
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1
 
[
1 1 𝐾 2
3 4 2 𝐾
2 3 −1 1
] ≈ [
3 4 2 𝐾
0 −
1
3
3𝐾−2
3
 
6−𝐾
3
0
1
3
−7
3
 
3−2𝐾
3
] 
𝐹1 = 𝐹2 𝐹3 = 𝐹3 + 1. 𝐹2 
𝐹2 = 𝐹2 −
1
3
. 𝐹1 
𝐹3 = 𝐹3 −
2
3
. 𝐹1 
[
3 4 2 𝐾
0
−1
3
3𝐾−2
3
 
6−𝐾
3
0 0 𝐾 − 3 − 𝐾 + 3
] 
K-3=0 
K=3 
K=6 
K=0 
 
Única solución 
k≠ 3 ∧ 𝑅 
Infinitas soluciones 
K=2 3⁄ k=3 
no tiene solución 
∄ 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
h) {
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 4
3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 2
4𝑥 + 𝑦 + (𝑘2 − 14)𝑧 = 𝑘 + 2
 
(
1 2 −3
3 −1 5
4 1 k2 − 14 
|
4
2
 k + 2
)
𝐹1 = 𝐹3
f2 = 𝐹2 −
3
4
. 𝐹1
f3 = 𝐹3 −
1
4
. 𝐹1
 
Única solución 
k≠ 4 ∧ 𝑘 ≠ −4 
infinitas soluciones 
k=4 
no tiene solución 
k=-4 
[
 
 
 
4 1 𝑘2 − 14 𝑘 + 2
0 −
7
4
−3𝑘2+2
4
 
−3𝑘+2
4
0
7
4
−𝑘2+2
4
 
−𝑘+14
4 ]
 
 
 
 
𝐹3 = 𝐹3 + 1. 𝐹2 
[
4 1 𝐾2 − 14 𝐾 + 2
0
−7
4
−3𝐾2+62
4
 
−3𝐾+2
4
0 0 −𝐾2 + 16 − 𝐾 + 4
] 
K=4 
5. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de: 
a) Gauss 
b) Gauss-Jordán 
a.1) método de Gauss 
(
1 1 −1
4 −1 5
2 2 −3 
 | 
4
7
0
) 4F1 − F2
2F1 − F3
 
(
1 1 −1
0 5 −9
0 0 1
 | 
4
9
8
) 
 x1 + x2 − x3 = 4
 5x2 − 9x3 = 9
 x3 = 8
 
 5x2 − 9x3 = 9
 5x2 − 9(8) = 9
 5x2 = 9 + 72
 x2 = 
81
5
 
 
 
 x1 + x2 − x3 = 4
 x1 + 
81
5
 − 8 = 4
 x1 = 4 − 
81
5
+ 8 
 x1 = −
21
5
 
 
Prueba: 
x1 + x2 − x3 = 4
4x1 − x2 + 5x3 = 7
2x1 + 2x2 − 3x3 = 0
 
 
−
21
5
 + 
81
5
 − 8 = 4
4 (−
21
5
) − 
81
5
 + 5(8) = 7
2 (−
21
5
) + 2 (
81
5
) − 3(8) = 0
 
4 = 4
7 = 7
0 = 0
 
a.2) método de Gauss Jordán 
(
1 1 −1
4 −1 5
2 2 −3 
 | 
4
7
0
) 4F1 − F2
2F1 − F3
 
 
 (
1 1 −1
0 5 −9
0 0 1
 | 
4
9
8
)
F1 + F3
F2 + 9F3 
 
 (
1 1 −1
0 5 −9
0 0 1
 | 
4
9
8
)
5F1 − F2
 
(
5 0 0
0 5 0
0 0 1
 | 
−21
 81
 8
) 
5 x1 = −21
 5x2 = 81
 x3 = 8
 
 x1 = −
21
5
 x2 = 
81
5
x3 = 8
 
 
 
 
𝑏) {
 3x1 + 2x2 − x3 = −15
 5x1 + 3x2 + 2x3 = 0 
 3x1 + x2 + 3x3 = 11
11x1 + 7x2 = −30
 
 
[
3 2 −1
5 3 2
3 1 3
11 −5 0
|
−15
 0
 11
−30
] 
 
b.1) método de Gauss 
[
3 2 −1
5 3 2
3 1 3
11 −5 0
|
−15
 0
 11
−30
]
𝑓1 ↔ 𝑓3
𝑓2 −
5
11
𝑓1
𝑓3 −
3
11
𝑓1
𝑓4 − 
3
11
𝑓1
 
[
 
 
 
 
 
 
11 7 0
0 −
2
11
 2
0 −
10
11
 3
0 
1
11
−1
|
|
−30
 
150
11
 
211
11
−
75
11 ]
 
 
 
 
 
 
𝑓2 ↔ 𝑓3
𝑓3 −
1
5
𝑓2
𝑓4 − 
1
10
𝑓2
 
[
 
 
 
 
 
11 7 0
0 −
10
11
 3
0 0 
7
5
0 0 −
7
10
|
|
−30
 
211
11
 
49
5
−
49
10 ]
 
 
 
 
 
𝑓4 + 
1
2
𝑓3
 
[
 
 
 
 
11 7 0
0 −
10
11
 3
0 0 
7
5
0 0 0
|
|
−30
 
211
11
 
49
5
 0 ]
 
 
 
 
 
7
5
𝑋3 = 
49
5
 → X3 = 7 
−
10
11
 𝑋2 + 3𝑋3 =
211
11
 → −
10
11
 𝑋2 + 3(7) =
211
11
 → −
10
11
 𝑋2 =
211
11
− 21 →
 −
10
11
 𝑋2 = −
20
11
 
𝑋2 = −
20
11
(−
11
10
 ) → X2 = 2 
11 𝑋1 + 7𝑋2 = −30 → 11 𝑋1 + 7(2) = −30 → 11 𝑋1 = −30 − 14 → 𝑋1
= −
44
11
 X1 = −4 
b.2) método de Gauss Jordán 
[
 
 
 
 
11 7 0
0 −
10
11
 3
0 0 
7
5
0 0 0
|
|
−30
 
211
11
 
49
5
 0 ]
 
 
 
 
F2 − 3F3
5
7
𝑓3
 
[
 
 
 
11 7 0
0 −
10
11
 0
0 0 1
0 0 0
||
−30
−
20
11
 7
 0 ]
 
 
 
F1 − 7F2
− 
11
10
F2 
[
11 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
|
−44
 2
 7
 0
]
1
11
F1
 
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
|
−4
 2
 7
 0
] 
x1 = −4
 x2 = 2
x3 = 7
 
6. Para que valores de los términos independientes a, b y c los sistemas dados 
son compatibles o incompatibles: 
𝑎) {
2 x1 + 3x2 − x3 = a
 x1 − x2 + 5x3 = b
 3x1 + 7x2 + 2x3 = c
 
[
2 3 −1
1 −1 5
3 7 2
|
a
b
c
]
𝑓1 ↔ 𝑓3
𝑓2 −
1
3
𝑓1
𝑓3 −
2
3
𝑓1
 
[
3 7 2
0 −
10
3
−2
0 −
5
3
−15
|
c
3𝑏−𝑐
3
3𝑎−2𝑐
3
]
𝑓3 −
1
2
𝑓2
 
[
3 7 2
0 −
10
3
−2
0 0 −14
|
c
3𝑏−𝑐
3
−𝑐+2𝑎−2𝑐
2
]
F1 − 21F3
F2 − 2F3
𝑓3 −
1
14
𝑓2
 
[
 
 
 
 3 7 0
0 −
10
3
0
0 0 1
|
|
𝑐+6𝑎−3𝑐
𝑐
3𝑏−𝑐
3
−
−𝑐+2𝑎−2𝑐
2 ]
 
 
 
 F1 − 21F3
F2 − 2F3
𝑓3 −
1
14
𝑓2
 
[
 
 
 
 3 7 0
0 −
10
3
0
0 0 1
|
|
𝑐+6𝑎−3𝑐
4
45𝑏−6𝑎−11𝑐
42
−
−𝑐+2𝑎−𝑏
28 ]
 
 
 
 
3
10
F2
F1 − 7F2
1
3
F1
 
[
 
 
 
 1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
|
4𝑎+5𝑏−𝑐
10
−
45𝑏−6𝑎−11𝑐
140
−
−𝑐+2𝑎−𝑏
28 ]
 
 
 
 
 
a =
+5b − c
4
 
b =
5
21
 c 
c = 0 
 
a = 0 
 b = 0 
c = 0 
 
 
𝑏) {
 2x1 − x2 + 3x3 = a
 3x1 + x2 − 5x3 = b
−5x1 − 5x2 + 21x3 = c
 
[
2 −1 3
3 1 −5
−5 −5 21
|
a
b
c
] 
𝑓1 ↔ 𝑓3
𝑓2 +
3
5
𝑓1
𝑓3 +
3
5
𝑓1
 
[
−5 −5 21
0 −2
38
5
0 −5
57
5
|
c
5𝑏+3𝑐
5
5𝑎+2𝑐
5
] 𝑓2 ↔ 𝑓3
𝑓3−
2
3
𝑓2
 
[
−5 −5 21
0 −2
38
5
0 0 0
|
c
5𝑏+3𝑐
5
5𝑎+2𝑐
5
] 
El sistema no tiene solución 
 
 
 
7. Para el sistema homogéneo dado, ¿para qué valores de “k” tiene soluciones no 
triviales? 
{
 2x1 − 3x2 + 5x3 = 0
−1x1 + 7x2 − x3 = 0
 4x1 − 11x2 + kx3 = 0
 
[
2 −3 5
−1 7 −1
4 −11 k
|
0
0
0
] 
[
2 −3 5
−1 7 −1
4 −11 k
|
0
0
0
] 
[
4 −11
95
11
0
17
4
51
44
0 0 0
|
0
0
0
] 
0 = 2 det [
7 −1
11 k
] + 3 det [
−1 −1
4 k
] + 5 det [
−1 7
4 −11
] 
0 = 2(7𝑘 + 11) + 3(−𝑘 + 4) + 5(11 − 28) 
0 = 14𝑘 + 22 − 3𝑘 − 12 + 85 
0 = 11𝑘 + 95 
 𝑘 =
95
11
 para el sistema el valor de k tiene soluciones no triviales 
8. Resolver los sistemas homogéneos dados, indicando si tienen soluciones no 
triviales: 
a) {
 3x1 + 2x2+ 4x3 = 0
 4x1 − 3x2+ 2x3 = 0
 
[
3 2 4
4 −3 2
|
0
0
] 
[
3 2 4
4 −3 2
|
0
0
]
𝐹2 −
3
4
𝐹1
 
[
3 2 4
0
17
4
5
2
|
0
0
]
𝐹1 − 3𝐹2
4
17
𝐹2
 
[
4 0
64
17
0 1
10
17
|
0
0
]
1
4
𝐹1 
[
1 0
16
17
0 1
10
17
|
0
0
] 
 
𝑋1 = −
16
17
𝑡
𝑋2 = −
10
17
𝑡
𝑋3 = t
 
 
𝑋1 = 0
𝑋2 = 0
𝑋3 = 0
 Solución trivial 
b) {
 x1 + x2 − x3 = 0
4x1 − x2 + 5x3 = 0
2x1 + 2x2 − 3x3 = 0
 
[
1 1 −1
4 −1 5
2 2 −3
|
0
0
0
] 
[
1 1 −1
4 −1 5
2 2 −3
|
0
0
0
]
f1 ↔ f2
f2 −
1
4
f1
f3 −
1
2
f1
 
[
4 −1 5
0
5
4
−
9
4
0
5
2
−
11
2
|
0
0
0
]
1
2
f3 − f2
 
[
 
 
 
 
4 −1 5
0
5
4
−
9
4
0 0
1
2 ]
 
 
 
 
 
𝑋1 = 0
𝑋2 = 0
𝑋3 = 0
 Solución trivial 
c) {
 x + y + z = 0
2x + 3y + 4z = 0
3x + 4y + kz = 0
 
 [
1 1 1
2 3 4
3 4 k
] 
0 = 2 det [
3 4
4 k
] – 1 det [
2 4
3 k
] + 1 det [
2 3
3 4
] 
0 = 2 (3k − 16) − 1(2k − 12) + 1(8 − 9) 
0 = 6k − 32 − 2k − 12 + 8 − 9 
4k − 21 = 0 
k = 
21
4
 para resolver el valor de k el Sistema tiene soluciones no triviales 
9. Resolver los siguientes sistemas dados, mediante la ecuación matricial 
X = A-1 B 
a) {
 2x1 + 5x2 − x3 = 4
 4x1 + x2 + x3 = 3
−2x1 + 2x2 = 5
 
a) {
 2𝑥1 + 5𝑥2 − 𝑥3 = 4
 4𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3
−2𝑥1 + 2𝑥2 = 5
 
 A = [
2 5 −1
4 1 1
−2 2 0
] ; B = [
4
3
5
] 
A = [
2 5 −1
4 1 1
−2 2 0
] 
A−1 =
[
 
 
 
 
 
3
26
3
26
3
26
3
26
3
26
3
26
3
26
3
26
3
26]
 
 
 
 
 
 
X = A −1 B 
X = 
[
 
 
 
 
3
26
3
26
3
26
3
26
3
26
3
26
3
26
3
26
3
26]
 
 
 
 
 [
4
3
5
] = 
[
 
 
 
 −
25
26
 
20
13
 
23
13 ]
 
 
 
 
 
 
𝑋1 = −
25
26
𝑋2 = 
20
13
𝑋3 = 
23
13
 
 
b) {
2x1 + 8x2 +6x3 = 5
4x1 + 2x2 −2x3 = 7
3x1 − x2 + x3 = −4
 
 A = [
2 8 6
4 2 −2
3 −1 1
] ; B = [
5
7
−4
] 
A = [
2 8 6
4 2 −2
3 −1 1
] 
 A−1 =
[
 
 
 
 
13
19
37
38
15
19
−
7
19
−
17
38
−
11
19
1
14
−
13
70
−
9
7 ]
 
 
 
 
 
 
X = A −1 B 
X =
[
 
 
 
 
13
19
37
38
15
19
−
7
19
−
17
38
−
11
19
1
14
−
13
70
−
9
7 ]
 
 
 
 
 [
5
7
−4
] = 
[
 
 
 
 
269
38
−
101
38
 
21
5 ]
 
 
 
 
 
 
𝑋1 = 
269
38
𝑋1 = −
101
38
𝑋1 = 
21
5
 
10. Un departamento de pesca del estado proporciona tres tipos de comida a un 
lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume 
cada semana un promedio de 1 unidad del alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 
unidades del alimento C. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un 
promedio de 3 unidades del alimento A, 4 unidades del alimento B y 5 unidades 
del alimento C. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es 
de 2 unidades del alimento A, 1 unidad del alimento B y 5 unidades del alimento C. 
Cada semana se proporciona al lago 25000 unidades del alimento A, 20000 
unidades del alimento B y 55000 unidades del alimento C. Si se supone que los 
peces se comen todo el alimento. ¿Cuántos peces de cada especie pueden 
coexistir en el lago? 
 A = Cantidad de peces de la especie 1 
B = Cantidad de peces de la especie 2 
C = Cantidad de peces de la especie 3 
 A + 3B + 2C = 25000 
 A + 4B + C = 20000 
2A + 5B + 5C = 55000 
[
1 3 2
1 4 1
2 5 5
|
25000
20000
55000
] 𝐹2 − 𝐹1 
𝐹3 − 2𝐹1
 
[
1 3 2
0 1 −1
0 −1 1
|
25000
−5000
5000
]
𝐹3 + 𝐹2
 
[
1 3 2
0 1 −1
0 0 0
|
25000
−5000
0
] 
Tiene infinitas soluciones 
C = t
B = t
A = t
 
 
11. El modelo económico abierto de Leontief (de producción, en el que la 
producción de k industrias está destinada para satisfacer las demandas propias y 
una cierta demanda externa), nos indica que para hallar el nivel de producción de 
cada industria se utiliza la siguiente ecuación matricial (I – C) X = d, en la cual I es 
la matriz identidad, C es la matriz de consumo, d es la matriz de demanda externa 
y X es la matriz de producción. 
Suponga que: C =[
1 5⁄ 1 2⁄ 3 20⁄
2 5⁄ 1 10⁄ 3 10⁄
1 4⁄ 1 2⁄ 3 20⁄
], d)[
10
25
20
], Encuentre la producción Xi de 
cada una de las tres industrias. 
(I – C) X = d 
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] − 
[
 
 
 
 
1
5
1
2
3
20
2
5
1
10
3
10
1
4
1
2
3
20]
 
 
 
 
 X = [
10
25
20
] 
(𝐶 − 𝐼) =
[
 
 
 
 
4
5
−
1
2
−
3
20
−
2
5
 
9
10
−
3
10
−
1
4
−
1
2
 
17
20 ]
 
 
 
 
 
 (𝐶 − 𝐼)−1 =
[
 
 
 
 
2460
883
2000
883
1140
883
1660
883
 
97400
883
1200
883
1700
883
2100
883
 
2080
883 ]
 
 
 
 
 
 X = (I – C) −1d 
X = 
[
 
 
 
 
2460
883
2000
883
1140
883
1660
883
 
97400
883
1200
883
1700
883
2100
883
 
2080
883 ]
 
 
 
 
 [
10
25
20
] 
 X = 
[
 
 
 
 
97400
883
 
104850
883
 
111100
883 ]
 
 
 
 
 
 
Xi =
97400
883
 Xj = 
104850
883
 Xk = 
111100
883
 La producción de Xi en las tres industrias es de Xi =
97400
883
 
 
12. Un viajero que acaba de regresar de Europa gastó 30∊ diarios en Inglaterra, 
20∊ diarios en Francia y 20∊ diarios en España por concepto de hospedaje. En 
comida gastó 20∊ en Inglaterra, 30∊ diarios en Francia y 20∊ diarios en España. 
Sus gastos adicionales fueron de 10∊ diarios en cada país. Los registros del 
viajero indican que gastó un total de 340∊ en hospedaje, 320∊ en comida y 140∊ 
en gastos adicionales durante su viaje por estos tres países. Calcule el número de 
días que pasó el viajero en cada país o muestre que los registros deben estar 
incorrectos debido a que las cantidades gastadas no son compatibles ina con la 
otra (según sea el caso). 
30x+20y+20z=340 
20x+30y+202=320 
10x+10y+10z=140 
 
X= días en Inglaterra 
Y= dias en Francia 
Z=dias en español 
[
30 20 20 340
20 30 20 320
10 10 10 140
] 
𝐹2 = 𝐹2 −
2
3
. 𝐹1 
𝐹3 = 𝐹2 −
2
3
. 𝐹1 
[
30 20 20 340
0
50
3
20
3
 
280
3
0
10
3
10
3
 
80
3
] 𝐹3 = 𝐹3 −
1
5
. 𝐹2 
[
30 20 20 340
0
50
3
20
3
 
280
3
0 0 2 8
] 
Z=4 Y=4 X=6 
13. El tesorero de un club invirtió 500$ de los ahorros en tres cuentas distintas, a 
intereses anuales de 8, 9 y 10%. El interés total ganado en un año fue de 460$. La 
cantidad ganada por el depósito al 10% fue de 20$ más que la que se ganó al 9% 
¿Cuánto se invirtió con cada tasa de interés? 
x=cantidad de dinero que invirtió 8% 
y=cantidad de dinero que invirtio 9% 
z=cantidad de dinero que invirtió 10% 
 
x+y+z=500 
0,08x+0,09y+0,10z=460 
0,10z=0,09y+20 
[
1 1 1 500
0,08 0,09 0,10 460
0 −0,09 0,10 20
] ≈ [
1 1 1 500
0
1
100
1
50
 420 
0
−9
100
1
10
 20
] 
 
 F2 = F3 
 F3 = F3+
1
9
− F2 
 
[
1 1 1 500
0
−9
100
1
10
 20
0 0
7
225
 
3800
9
] 
X + Y + 2 = 500
−9
100
 Y + 
1
10
Z = 20
7
225
Z = 
3800
9
 
X= - 
19500
7
 
Y= 
104000
7
 
𝑍 =
95000
7
 
14. Un restaurante tiene 15 meses en total, el modelo A tiene 4 asientos cada una, 
el modelo B tiene 6 asientos cada una y el modelo C con 10 asientos cada una. La 
capacidad total de asientos del restaurante es de 86. Los domingos solo utilizan 6 
mesas, la mitad del modelo A, un cuarto del modelo B y una tercera parte del 
modelo C. ¿Cuántas mesas de cada modelo tiene el restaurante? 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 15 𝑚𝑒𝑠
4𝑥 + 6𝑦 + 10𝑧 = 86 𝑎𝑠𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
1
2
𝑥 +
1
4
𝑦 +
1
3
𝑧 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑎𝑠
 
𝑋 = 𝐴−1. 𝐵 𝐴 = [
1 1 1
4 6 10
1
2
1
4
1
3
] 𝐵 = [
15
86
6
] 𝑋 = [
𝑋
𝑦
𝑧
] 
𝐴−1 = 
[
 
 
 
 
 −
3
7
−
1
14
24
7
22
7
−
1
7
−
36
7
−
12
7
3
14
12
7 ]
 
 
 
 
 
 
[
𝑋
𝑦
𝑧
] = 
[
 
 
 
 
 −
3
7
−
1
14
24
7
22
7
−
1
7
−
36
7
−
12
7
3
14
12
7 ]
 
 
 
 
 
 . [
15
86
6
] = [
8
4
5
] 
[
8
4
5
] Entonces para el modelo “A” hay 8 mesas, para el modelo “B” hay 4 y para “C” 
hay 5. 
 
 
15. Un veterinario desea controlar la dieta de un animal de modo que, 
mensualmente, el animal consuma 60 libras de avena, 75 libras de maíz y 55 
libras de soya. Además de heno, pastura y agua. Tiene tres alimentos disponibles, 
cada uno con avena, maíz y soya, como muestra la siguiente tabla. ¿Cuántas 
libras de cada alimento debe usar para obtener la mezcla deseada? Avena Maíz 
Soya 1 lb del alimento A 6 onzas 5 onzas 5 onzas 1 lb del alimento B 6 onzas 6 
onzas 4 onzas 1 lb del alimento C 4 onzas 7 onzas 5 onzas 
 X= cantidad de alimentos A 
Y= cantidad de alimentos B 
Z=cantidades alimentos C 
 
6x+5y+5z=960 
6x+6y+4z=1200 
4x+7y+5z=880 
 
960 onzas = 60 libras 
1200 onzas = 75 libras 
880 onzas = 55 libras 
 [
6 5 5 960
6 6 4 1200
4 7 5 880
] ≈ [
6 5 5 960
0
11
3
5
3
 240
0 1 −1 240
] 
 𝐹2 = 𝐹2 − 1.𝐹2 𝐹2 = 𝐹3 
 𝐹3=𝐹3 −
2
3
. 𝐹1 𝐹3 = 𝐹3 −
3
11
. 𝐹2 
[
6 5 5 960
0
11
3
5
3
 240
0 0
−16
4
 
1920
11
]
𝑍 = −120
𝑌 = 120
𝑋 = 160
 
Z = −120
Y = 120
X = 160
 
16. Un agente secreto sabe que 60 equipos aéreos, que consisten en aviones de 
combate y bombarderos, están parqueados en cierto campo aéreo secreto. El 
agente quiere determinar cuánto de los 60 equipos son aviones de combate y 
cuántos son bombarderos. Existe un tipo de cohete que llevan ambos aviones; el 
de combate lleva 6 de ellos y el bombardero
solo 2. El agente averigua que se 
requieren 250 cohetes para armar a todos los aviones del campo aéreo. Aún más 
escucha que se tiene el doble de aviones de combate que bombarderos en la 
base (es decir, el número de aviones de combate menos dos veces el número de 
bombarderos es igual a cero). Calcule el número de aviones de combate y 
bombarderos en el campo aéreo. 
X= aviones de combate 
Y=aviones de bombardero 
6x+2y=250 [
1 1 60
6 2 250
1 −2 0
] 
X+y=60 𝐹2 = 𝐹2−6𝐹1 
x-2y=0 𝐹3 = 𝐹3 − 1. 𝐹2 
[
1 1 60
0 −4 −110
0 −3 −60
] ≈ [
1 1 60
0 1
55
2
0 0
45
2
] 
𝑭𝟐 =
−𝟒
𝟒
. 𝑭𝟐 
𝑭𝟑 = 𝑭𝟑 + 𝟑. 𝑭𝟐 el sistema no es consistente 
 17. Una tienda de helados vende solo helados con soda y malteada. Se pone 1 
onza de jarabe y 4 onzas de helado en un helado con soda y 1 onza de jarabe y 3 
onzas de helado en una malteada. Si la tienda usa 4 galones de helado y 5 
cuartos de jarabe en un día, ¿Cuántos helados con soda y cuantas malteadas 
vende? Nota: 1 cuarto = 32 onzas; 1 galón = 128 onzas. 
 X=jarabe 
 Y=helado 
 3x+4y=512 
 X+ y= 160 (-3) 
 3x+4y=512 
 -3x-3y=-480 
 Y=32 
 Sustituir y en 
 3x+4(32)=512 
 X=128 
18. Un club de casa y pesca tiene una laguna en la que conviven tres tipos de 
peces: truchas, sardinas y pacús. Si cada semana: una trucha 1 unidad de 
alimento A, 1 del alimento B y 2 del alimento C. Una sardina consume 3 unidades 
del alimento A, 4 del B y 5 del C. Un pacú consume 2, 1 y 5 unidades de los 
alimentos A, B y C respectivamente. Cada semana se colocan en el lago 15000 
unidades del alimento A. 10000 unidades del alimento B y 35000 del C. 
Suponiendo que los peces se comen todo el alimento ¿Cuántos peces de dada 
especie pueden coexistir en el lago? 
x = truchas 
y = sardinas 
z = pacus 
 
x + 3y + 2z =15000 
x + 4y + 2 = 10000 
2x + 5y+ 5z=35000 
[
1 3 2 15000
1 4 1 10000
2 5 5 35000
] 
𝐹1 = 𝐹3 
𝐹2 = 𝐹3 −
1
2
. 𝐹1 
𝐹3 = 𝐹3 −
1
2
. 𝐹1 
[
2 5 5 35000
0
3
2
−
3
2
 − 7500
0
1
2
−
1
2
 − 2500
] 𝐹3 = 𝐹3 −
1
3
. 𝐹2 
[
2 5 5 35000
0
3
2
−
3
2
 − 7500
0 0 0 0
] el sistem tiene infinitas soluciones