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Introducción 
al análisis 
de sistemas 
dinámicos
 
 
CAPÍTULO 1 
 
 
INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS 
UNIVARIABLES 
 
El objetivo principal de la primera parte de este libro es presentar una 
metodología para representar y analizar sistemas dinámicos uniecuacionales. Para 
lograr dicho objetivo se trabajará con sistemas planteados tanto en tiempo discreto 
como en tiempo continuo. En el primer caso, el instrumento matemático que se 
desarrollará es el de ecuaciones de diferencias, mientras que en el segundo habrá que 
estudiar el tema de ecuaciones diferenciales. 
En este primer capítulo se introducen algunos modelos simples que tratan de 
desarrollar la capacidad de planteamiento del problema, que tiene que ver con cómo 
se representa la realidad en términos de ecuaciones; de solución del problema y de 
análisis de la solución, típicamente en términos de tasas de crecimiento, equilibrio y 
estabilidad. 
Crecimiento geométrico y crecimiento exponencial 
Tiempo discreto 
 Dentro de los modelos dinámicos en tiempo discreto, el más clásico es el 
modelo de crecimiento geométrico. El supuesto básico es que el valor de una 
variable en un período determinado, o período k, es igual al valor de dicha variable 
en el período anterior multiplicado por un factor a. Este fenómeno dinámico podría 
entonces describirse matemáticamente como 
 X(k+1) = a X(k) 
Esto significa que 
X(1) = a X(0) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
y en general 
 X(k) = ak X(0). 
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14 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
Ejemplo 1.1 
Una situación típica donde se aplicaría el modelo de crecimiento geométrico 
anterior es cuando se deposita un monto X(0) en un banco a una tasa de interés 
constante e igual a r, durante varios períodos. En este caso, el saldo en la cuenta en 
los distintos períodos seguiría la relación X(k+1) = (1 + r) X(k) y la solución sería 
X(k) = X(0) (1 + r)k. 
Ejemplo 1.2 
El modelo anterior también se aplica cuando, por ejemplo, se sabe que la 
población de un país se duplica cada 20 años y se desea determinar el tiempo que 
demoraría en quintuplicarse. En este caso, si se supone que la tasa de crecimiento 
anual de la población a es constante, se tiene que X(k+1) = (1+a) X(k) y que X(20) = 
2X(0). De aquí se desprende que 
X(20) = (1+a)20 X(0) = 2X(0) 
con lo que a debe ser igual a 0,03526. Una vez obtenida la tasa anual de crecimiento, 
se debe encontrar k tal que 
X(k) = (1+a)k X(0) = 1,03526k X(0) = 5 X(0) 
Al despejar se obtiene que el tiempo que demorará la población en 
quintuplicarse es de aproximadamente 46,4 años. 
Tiempo continuo 
En tiempo continuo, el modelo de crecimiento exponencial es análogo al 
modelo de crecimiento geométrico recién visto. Lo que se postula es que el cambio 
experimentado por una variable X por unidad de tiempo es proporcional al valor de 
dicha variable. 
 En términos matemáticos, esto quiere decir que 
 ( )
 
 ( ) ( ) 
donde dX(t)/dt es la derivada respecto al tiempo de la variable X(t). 
 La ecuación anterior se puede escribir como 
 ( )
 ( )
 
 . Así, a es una 
constante que mide el cambio porcentual en la variable X(t) por unidad de tiempo. 
 La solución a esta ecuación diferencial es: 
 X(t) = X(0) eat 
tal como se demuestra al derivar esta expresión respecto al tiempo 
 ( )
 
 ( ) ( ) 
y al comprobar que X(0) = X(0) ea0 . 
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 CAP.1 / INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES 15 
 
 
 
 Esta solución también se puede encontrar viendo que si 
 ( )
 ( )
 
 
entonces 
 ( )
 ( )
 
 Si se integran ambos lados de la ecuación, se obtiene que 
∫
 
 ( )
 ( ) ∫ 
con lo cual, 
 ( ) 
 ( ) 
Si se obliga a satisfacer la condición inicial, entonces la solución al sistema 
completo, incluida dicha condición, es ( ) ( ) 
Ejemplo 1.3 
Suponga que la población de un país crece a una tasa anual de 5% a partir 
de una población inicial de 1 millón de personas, entonces al cabo de 4 años habría 
un total de personas igual a 
 X(4) = eat X(0) = e0,2 1.000.000 1.221.403 
 Esta respuesta difiere de aquella que se derivaría de trabajar en tiempo 
discreto donde X(4) sería igual a X(4)=(1,05)4 1.000.000 ≈ 1.215.506. La razón 
para esta diferencia es que el modelo discreto supone que el crecimiento ocurre una 
vez al año, mientras que el modelo continuo supone que esto ocurre en forma 
continua y permanente. 
Ejemplo 1.4 
 El ejemplo siguiente sirve para clarificar el punto anterior. Suponga que 
usted deposita $ 1.000 en un banco al 12% anual. Si los intereses se calculan una vez 
al año, usted obviamente tendría $ 1.120 al cabo de un año. 
 El problema es determinar cuánta plata tendría usted en el banco si los 
intereses se calculan cada 6 meses, por ejemplo. En este caso, en el segundo 
semestre no solo habrá que calcular el interés sobre el monto inicial de $ 1.000, que 
sería de $ 60, al igual que en el primer semestre, sino que además habrá que calcular 
el interés sobre los $ 60 obtenidos en el primer semestre. Dicho de otra forma, la tasa 
de interés semestral es 12/2 = 6%. Sin embargo, al capitalizarse los intereses, al cabo 
de un año usted tendría $ 1.000 (1,06)2 = $ 1.123,6. 
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16 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 En términos generales, si los intereses se calculan n veces por año, al cabo 
de un año usted tendría $ 1.000 (1 + 
0,12
n ) 
n. El Cuadro 1.1 muestra lo que ocurriría 
con su depósito al cabo de un año para distintos valores de n. Se puede ver que si el 
interés se calcula en forma continua, usted tendría $ 1.127,50 al cabo de un año. Este 
valor corresponde a 
 ( 
 
 
)
 
 
Debe señalarse que la “tasa de interés” en todos estos casos es de 12% 
anual. Lo que varía es la “tasa de rendimiento”. En general, la diferencia entre la tasa 
de interés y la tasa de rendimiento será mayor mientras más seguido se apliquen los 
intereses y mientras mayor sea la tasa de interés. 
Cuadro 1.1 
Rendimiento anual de un depósito de $ 1.000 en función de la periodicidad en la 
aplicación de intereses 
 n X(1) 
 1 1.120,00 
 2 1.123,60 
 3 1.124,86 
 4 1.125,51 
 12 1.126,83 
 365 1.127,47 
 ∞ 1.127,50 
 
Ejemplo 1.5 
 Suponga que ha decidido modelar la evolución del Producto Interno Bruto de 
Chile de acuerdo con la ecuación 
 ( )
 
 ( ) 
 Esto quiere decir que ha decidido suponer que la tasa de crecimiento es 
constante e igual a a. La solución, como ya se vio, es 
 X(t) = X(0) eat 
 El problema es estimar dicha tasa de crecimiento. Suponga que para 
hacerlo, en primer lugar linealizó la ecuación. Así, 
 ln X(t) = ln X(0) + a t 
 En segundo lugar, suponga que estimó esta ecuación usando el método de 
mínimos cuadrados ordinarios y la evolución del Producto Interno Bruto, PIB, de 
Chile en el período 1986-2010. 
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 CAP.1 / INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES 17 
 
 
 
La evolución del PIB se presenta en el Cuadro 1.2. 
Cuadro 1.2 
Evolución del Producto Interno Bruto de Chile en el período 
1986-2010 (en millones de pesos del año base 2003) 
 Año PIB 
 1986 19.171.553 
 1987 20.412.280 
 1988 21.911.021 
 1989 24.228.289 
 1990 25.142.431 
 1991 27.136.665 
 1992 30.438.176 
 1993 32.559.292 
 1994 34.416.724 
 1995 38.028.591 
 1996 40.831.596 
 1997 43.526.546 
 1998 44.944.340 
 199944.616.349 
 2000 46.605.199 
 2001 48.165.625 
 2002 49.209.330 
 2003 51.156.416 
 2004 54.246.819 
 2005 57.262.645 
 2006 59.890.971 
 2007 62.646.127 
 2008 64.940.432 
 2009 63.848.206 
 2010 67.167.124 
Fuente: Banco Central de Chile. Cuentas Nacionales de Chile, 1986-2010. 
 
 
La ecuación estimada fue 
 ln X(t) = 16,8855 + 0,0518 t. 
 Como dln X(t)/ dt = 0,0518, se desprende que 
 X(t) = A e0,0518t 
 La tasa de crecimiento estimada es una tasa continua, con lo cual si el 
ingreso en un período es de 1.000, el Producto Interno Bruto estimado para el 
período siguiente no es de 1.051,8, sino de 1.000 e
0,0518
= 1.053,2. 
 
 
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18 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
Crecimiento con entradas o salidas 
Tiempo discreto 
 Los modelos anteriores pueden ser modificados para incorporar la 
posibilidad de entradas o salidas al sistema. Para ello se verá, en primer lugar, el 
sistema dinámico en tiempo discreto con entrada constante. Así, 
 X(k+1) = a X(k) + b 
 Claramente, si b es igual a cero, no habría diferencia con el modelo de 
crecimiento geométrico anterior. Sin embargo, el caso más general es cuando b, 
llamado entrada del sistema, es distinto de cero. Este sería el caso, por ejemplo, de un 
modelo de población que incluyera inmigraciones o emigraciones. La evolución de 
este sistema puede describirse de la siguiente forma: 
 X(1) = a X(0) + b 
 X(2) = a X(1) + b = X(0) + ab + b 
 X(3) = a X(2) + b = X(0) + a2 b + ab + b 
y en general 
 X(k) = a
k
 X(0) + a
k-1 b + a
k-2
 b + ... + ab + b 
 = a
k
 X(0) + [a
k-1
 + a
k-2
 + ... + a + 1] b 
 Ahora bien, si a es igual a 1, es claro que 
 X(k) = X(0) + kb 
 Un ejemplo de esta situación podría ser el de una cuenta corriente, cuyo 
saldo solo depende de los abonos o giros que se realicen, b. 
Si a es distinto de 1, la expresión a
k-1
 + ... + a + 1 es igual a 
 
 ( )( 
 )
( )
 = 
 
 
( ) ( )
( )
 
 
 
 
 
Así, la solución general al sistema X(k+1) = a X(k) + b sería 
 
 ( ) {
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
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 CAP.1 / INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES 19 
 
 
 
Ejemplo 1.6: Interés y amortización 
 Suponga que usted tiene D pesos depositados en un banco a una tasa de 
interés anual, r, y que desea saber cuánto es el máximo que puede retirar al final de 
cada uno de los próximos n años. 
 Si se define X(k) como la cantidad que está depositada a comienzos del año 
k, y b como el monto que se retira al final de cada año, entonces 
 X(k+1) = (1 + r) X(k) - b. 
 Esta situación se puede representar como: 
 X(0)
0 1 2
-b-b X(2)-b X(1)
Año
 
 
 La solución a este sistema es, usando los resultados anteriores, 
 ( ) ( ) ( ) ( )
 
 ( )
 ( ) ( ) ( )
 
 
 
 
Como se desea determinar el monto máximo que puede retirarse al final de 
cada uno de los próximos n años (i.e., al final del año 0, 1, 2, ..., n-1), debe cumplirse 
que X(n) = 0. Dado que X(0) = D, se debe cumplir que 
 ( ) ( ) ( )
 
 
 
o bien 
 b = Dr/[1-(1+r)-n]. 
 A modo de ejemplo, si se parte con D = $ 100.000, r = 10%, entonces usted 
podría retirar al final de cada uno de los próximos cinco años un monto igual a $ 
26.379,75. 
 Para terminar este ejemplo, se destaca que en modelos en tiempo discreto, es 
fundamental definir claramente los supuestos acerca del momento en que se miden 
las variables, principio o final de período. 
Ejemplo 1.7: El modelo de la telaraña 
 El modelo de la telaraña es un modelo que persigue describir la evolución 
de los precios en mercados agrícolas, donde la producción tiene un rezago entre el 
momento de la siembra y el momento de la cosecha. Supone que los productores 
predicen al momento de sembrar que los precios para su cosecha serán iguales a los 
de la temporada recién pasada. Como la evolución de los precios es el resultado de 
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20 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
un modelo más general de oferta y demanda, a continuación se presenta dicho 
modelo, para luego deducir la ecuación de diferencias que rige el comportamiento de 
los precios. 
 En términos matemáticos, este modelo supone que la demanda por un 
producto en el período k está dada por 
 D(k) = d0 - a P(k) 
y que la oferta tiene un rezago, y depende del precio esperado E[P(k)] que se supone 
igual a P(k-1). Con esto, 
 S(k) = So + b P(k-1). 
 Ahora bien, si se supone que en cada período la cantidad ofrecida es igual a 
la cantidad demandada, entonces debe cumplirse que 
 d0 - a P(k) = S0 + b P(k-1) 
Esto implica que 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 Esta es la ecuación que define la evolución de los precios. Es posible 
comprobar, tal como se desprende al usar la solución general anterior, que la 
solución en este caso es 
 P(k) = (-b/a)k P(0) 
 ( )
 
 
( ) 
 En muchos ejemplos que se expresan matemáticamente como ecuaciones de 
diferencias, lo más importante es saber hacia dónde tiende la variable. En este 
ejemplo, si b es menor que a, el término (-b/a)k tendería a cero cuando k tiende a 
infinito y P(k) tendería a (d0 - S0)/(a + b). 
 Es importante señalar que la expresión (d0 - S0)/(a+b) es un punto de 
equilibrio del sistema, en el sentido de que si se alcanza dicho precio, este se 
mantiene para siempre. Esto se puede demostrar usando la ecuación 
 P(k+1) = 
d0 - S0
a - (b/a) P(k) 
e igualando P(k) a P(k+1) para ver cuál debe ser el precio en un período, para que al 
período siguiente el precio sea el mismo. Si se supone que 
 P(k+1) = P(k) = P
_
 
entonces P
_
 debe ser igual a (d0 - S0)/(a + b). 
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 CAP.1 / INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES 21 
 
 
 
 Puede concluirse, por lo tanto, que si b < a, el precio tenderá al equilibrio 
sea cuál sea el precio inicial. Es fácil demostrar también que si b > a, el precio no 
tenderá al equilibrio. En el primer caso, se habla de equilibrio estable y en el 
segundo, de equilibrio inestable. Es decir, en el primer caso el sistema converge al 
equilibrio y en el segundo caso diverge. Si a es igual a b, entonces el sistema no se 
alejará ni se acercará al equilibrio. El equilibrio sería marginalmente estable. Por 
último, si el sistema parte en el equilibrio, independiente de si el parámetro a es 
mayor, menor o igual a b, se quedará en el equilibrio para siempre. 
Debe notarse que en este caso a y b representan las pendientes de la 
demanda y la oferta, respectivamente, con lo que debe quedar claro que cuando la 
pendiente de la demanda es mayor que la pendiente de la oferta en términos 
absolutos, el sistema converge y cuando es menor, el sistema diverge1. 
 En términos más generales, en la ecuación X(k+1) = a X(k) + b, un punto 
de equilibrio, X
_
 , será aquel que satisface la ecuación ̅ ̅ , con lo cual, 
suponiendo que a es distinto de 1, X
_
 = 
b
1-a .
 
 Al recordar que la solución de la ecuación X(k+1) = a X(k) + b es la 
expresión X(k) = ak X(0) + 
1 - ak
1-a b, se puede sustituir lo anterior para llegar a 
 ( ) ( ( ) ̅) ̅. 
 Planteada la solución de esta forma, es claro que si a es menor que 1 en 
valor absoluto, X(k) tenderá a la larga al equilibrio, ya que el primer término del lado 
derecho tenderá a cero. En este casose habla de equilibrio estable al igual que en el 
ejemplo anterior. Por otro lado, si a es mayor que 1 en valor absoluto, la variable 
X(k) tenderá a alejarse cada vez más del punto de equilibrio. En este caso se habla de 
equilibrio inestable. Adicionalmente, debe quedar claro que si a es menor que cero, 
la evolución de X(k) presentará oscilaciones. 
 Por último, es importante destacar que en el modelo planteado, el punto de 
equilibrio depende del nivel de las entradas, pero no así la estabilidad de dicho 
equilibrio, la cual depende, como se vio, solo del parámetro a. 
En el Gráfico 1.1 se presenta en forma esquemática la solución de la 
ecuación X(k+1) = a X(k) + b para distintos valores de a, b y X(0). En todos los 
casos se eligió el valor de los parámetros de tal forma que el equilibrio fuera X* = 
100. 
 
 
 
1Debe señalarse que las constantes a y b son las pendientes de las curvas de demanda y oferta 
solo si se especifica la cantidad en función del precio y no el precio en función de la cantidad 
como es lo habitual, al menos en los análisis gráficos. 
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22 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
GRÁFICO 1.1 
Solución a la ecuación X(k+1) = a X(k) + b 
 
 
X(0) = X*
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6
 
a>1; X(0)>X*
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6
 
0<a<1; X(0)<X*
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6
 
 -1<a<0; X(0)<X*
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6 
a<-1; X(0)<X*
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6
 
 a=1;b>0 
(No hay equilibrio)
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6 
 
Tiempo continuo 
 El modelo de crecimiento exponencial también puede ser modificado, al 
igual que en el caso discreto, de tal forma de incorporar posibles entradas o salidas 
del sistema. A continuación se estudia el caso donde el sistema dinámico puede 
expresarse a través de la relación 
 
dX(t)
dt = X'(t) = aX(t) + b 
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 CAP.1 / INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES 23 
 
 
 
 Si b es igual a 0, se vuelve al modelo de crecimiento exponencial que 
postula que el cambio experimentado por una variable X por unidad de tiempo es 
proporcional al valor de dicha variable. Si b es distinto de 0, lo que se postula es que, 
además del cambio por unidad de tiempo en la variable X proporcional a su valor, 
existe una entrada o salida constante y continua por unidad de tiempo. La solución 
general a esta ecuación es: 
 X(t) = c eat - b/a.2 
Si además se especifica el valor de X(0), entonces X(0) = c - 
b
a . 
Sustituyendo el valor de c en la solución anterior, se tiene que la solución al sistema 
completo, que incluye la condición inicial X(0), es: 
 X(t) = (X(0) + 
b
a )e
at - 
b
a 
 
Ejemplo 1.8 
 Suponga que la población de un país crece a una tasa del 2% anual, pero 
que hay una emigración neta de mil personas al año. En este caso, el sistema, si se 
plantea en términos de tiempo continuo y el tiempo se mide en años, sería: 
 X'(t) = 0,02 X(t) - 1.000 
donde X(t) = población. 
 El problema es ahora poder predecir la población en función de t. Si se usa 
la solución vista más arriba, es claro que 
 X(t) = (X(0) - 
1.000
0,02 ) e
0,02t + 
1.000
0,02 = (X(0) - 50.000) e
0,02t + 50.000 
 Puede verse que si X(0) es mayor que 50.000, X(t) tiende a crecer 
indefinidamente y que si X(0) es menor que 50.000, la población tiende a 
desaparecer. Este resultado es lógico si se observa que si el país tiene una población 
mayor que 50.000, el crecimiento natural anual es mayor que la emigración anual, 
con lo cual la población tiende a crecer indefinidamente. Lo contrario también es 
válido. La pregunta que surge es: ¿qué ocurre si X(0) = 50.000? En este caso, la 
población no tiende ni a aumentar ni a disminuir. El crecimiento natural es igual a la 
emigración; 50.000 es un nivel de equilibrio, en el sentido de que si la población es 
igual a 50.000 personas, esta no tiende ni a aumentar ni a disminuir. 
 En términos del sistema original, un punto, X
_
 , es de equilibrio si X'(t) = 0. 
Es decir, si 
 X'(t) = a X(t) + b = 0 
 
2 Demostración: Si X(t) = ceat-b/a, dX/dt = aceat= a(ceat-b/a)+b = aX(t)+b. 
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24 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
con lo que 
 ̅ 
 
 . 
 En este caso, X
_
 es igual a 50.000. Dado que para valores mayores de 
50.000, la población tiende a crecer indefinidamente, y que para valores menores de 
50.000, esta tiende a desaparecer, se habla de equilibrio inestable. Ello es así porque 
a = 0,02 > 0. Cualquier desviación del equilibrio, por pequeña que sea, lleva al 
sistema a alejarse de él. 
 En este punto es conveniente observar que la solución para la ecuación 
 X' = aX + b 
dada anteriormente puede expresarse, haciendo las sustituciones correspondientes, 
como 
 X(t) = (X(0) - X
_
 ) eat + X
_
 3 
 Claramente, el equilibrio será estable si y solo si el parámetro a es menor 
que 0, ya que solo en dicho caso la expresión eat en la solución del sistema tiende a 
0 cuando t tiende a infinito y, por lo mismo, únicamente en dicho caso X(t) tiende al 
equilibrio cuando t aumenta. 
Ejemplo 1.9 
 La Ley de Newton de enfriamiento dice que el cambio de temperatura de un 
cuerpo por unidad de tiempo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el 
cuerpo que se enfría y la temperatura del medioambiente. Esto se puede escribir 
como: 
 X'(t) = m (X(t) - Ta ) = m X(t) - m Ta 
donde 
X(t) = Temperatura del cuerpo en el momento t 
Ta = Temperatura del medioambiente 
m = Constante negativa. Si la temperatura del cuerpo es mayor que 
la del medioambiente, la temperatura del cuerpo tiende a 
decrecer, y viceversa. 
 
3 Nótese la similitud de esta fórmula con aquella derivada para el caso discreto en la ecuación 
de diferencias X(k+1) = a X(k) + b. En ese caso, la solución podía expresarse como 
 X(k) = (X(0) - X
_
 ) ak + X
_
 . 
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 CAP.1 / INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES 25 
 
 
 
 La temperatura de equilibrio sería aquella que satisface la ecuación X'(t) = 
0, con lo que X
_
 = Ta. Esto implica que 
 X(t) = (X(0) - Ta) emt + Ta 
 A modo de ejemplo, suponga que un cuerpo se enfría en 10 minutos desde 
una temperatura de 100 °C a una de 60 °C en un medioambiente de 20 °C. En este 
caso, es fácil determinar cuánto se demorará en alcanzar una temperatura de 25 °C. 
Esto se hace a continuación. En este caso, 
 X(t) = (100 - 20) emt + 20 = 80 emt + 20. 
 Como X(10) = 60, se tiene que 
 X(10) = 80 e10m + 20 = 60 
lo que implica 
 m = - 0,0693147; X(t) = 80 e- 0,0693147t + 20. 
 Faltaría determinar t* tal que X(t*) = 80 e-0,0693147t* + 20 = 25. 
Despejando, se tiene que t* = 40 minutos. 
 
Entradas variables 
 En los ejemplos anteriores se ha supuesto que la entrada es constante todos 
los períodos. A continuación se muestran algunos ejemplos, tanto en tiempo discreto 
como continuo, donde la entrada depende del período que se trate. 
Ejemplo 1.10 
 Suponga que Juan Pérez acaba de depositarle a su hijo Juanito, de 6 años, 
que estuvo ayer de cumpleaños, $ 6.000 en una cuenta de ahorro al 8% anual. 
Asimismo, suponga que ha prometido depositarle todos los añosel día después de su 
cumpleaños un monto igual a $ 1.000 por el número de años que haya cumplido. Si 
se define X(k) como el monto en la cuenta de ahorro de Juanito en el k'ésimo 
cumpleaños de Juanito, entonces es claro que 
 X(k+1) = (X(k)+1.000k) 1,08 = 1,08 X(k)+1.080k; k = 6,7,8...; X(6) = 0. 
 En este caso la entrada depende de k. La solución a este sistema, como se 
pedirá probar en el capítulo 2 (problema propuesto 2.19), es, aunque parezca extraño, 
 X(k) = 157.384,86 . 1,08k - 168.750 - 13.500 k k = 6,7,8... 
Ejemplo 1.11 
 Suponga la ecuación 
 X'(t) = 8 X(t) + 5 t2 
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26 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 La solución de esta ecuación diferencial, como se mostrará en el ejemplo 
2.14, es del tipo 
 X(t) = ce8t - 
5
256 - 
5
32 t - 
5
8 t
2 
donde c es una constante cuyo valor depende del valor que tome X(0). Si se supone, 
a modo de ejemplo, que X(0) = 4, entonces 
 X(0) = 4 = c - 
5
256 ; c = 4 + 
5
256 
 Así, la solución al sistema completo, que incluye tanto la ecuación 
diferencial como la condición inicial, es: 
 X(t) = (4 + 
5
256) e
8t - 
5
256 - 
5
32 t - 
5
8 t
2 
 
Tasa de crecimiento endógena o variable 
 La tasa de crecimiento en la ecuación X(k+1) = (1+a) X(k) es constante e 
igual al parámetro a, tal como se viera anteriormente. En tiempo continuo, en la 
ecuación X’(t) = aX(t), la tasa de crecimiento es también la constante a. Sin 
embargo, dicha tasa es frecuentemente considerada como endógena, dependiendo de 
la variable X(k) o X(t). También es posible que dicha tasa se modele como función 
del tiempo. A continuación se presentan algunos ejemplos. 
Ejemplo 1.12 
 En modelos de población, es común ver que la tasa de crecimiento depende 
en forma lineal de la población, con lo que 
 X(k+1) = (c - d X(k)) X(k) = c X(k) - d X(k)2 
donde c y d son parámetros positivos. 
 Desde un punto de vista matemático, la mayor diferencia de esta ecuación 
con las anteriores es que esta no es una ecuación lineal en X(k). 
Ejemplo 1.13 
 Suponga que la tasa de crecimiento en el ingreso de un país fue de 3% en 
2011 (en relación con 2010) y que se espera que dicha tasa suba en un punto todos 
los años hasta el año 2025. En este caso, la ecuación que rige la evolución del 
ingreso sería: 
 X(k+1) = (1,03 + 0,01 k) X(k) k = 0,1, ... 15 
donde k = 0 representa el año 2010. 
 
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 CAP.1 / INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES 27 
 
 
 
Ejemplo 1.14: Modelo logístico 
 Suponga que en un modelo de población, la tasa de crecimiento es 
proporcional a la diferencia entre un valor máximo que puede alcanzar la variable, 
M, y el valor de dicha variable. Matemáticamente esto querría decir que 
 dln X(t)/dt = a[M - X(t)], 
con lo cual 
 X'(t) = a[M - X(t)] X(t) 
 En este caso, la tasa de crecimiento es endógena, ya que depende del valor 
de la variable. 
Ejemplo 1.15 
 Suponga la ecuación X'(t) = 5 - 
16 X(t)
400 + 4t . 
 En este caso, la tasa de crecimiento varía en el tiempo en forma exógena. 
 
Orden de una ecuación de diferencias 
 Los ejemplos en tiempo discreto anteriores tienen la característica de ser 
todos expresables como ecuaciones de diferencias de primer orden, donde el orden es 
simplemente la diferencia entre el índice más alto y más bajo de la ecuación. 
 A modo de ejemplo, la ecuación X(k+2) = X(k+1) + X(k) + 3 (k+5) es de 
segundo orden, la ecuación X(k+3) - 2 X(k+1) + 3 X(k) = 2k es de tercer orden y la 
ecuación X(k+2)3 = 2 X(k+1)5 + 6 X(k) + k4 es de segundo orden. 
 Una característica común a todas las ecuaciones de diferencias es que cada 
una de ellas representa en sí misma a varias, y a veces infinitas, ecuaciones. Es así 
como la ecuación 
 X(k+1) = 2 X(k) 
significa que 
 X(1) = 2 X(0) 
 X(2) = 2 X(1) 
 X(3) = 2 X(2) 
 . 
 . 
 . 
 En general, aunque no siempre, es posible obtener la secuencia de valores 
X(0), X(1), X(2), ..., una vez definido el o los valores iniciales. En el ejemplo 
anterior, si se sabe que X(0) = 3, es claro que X(1) tomará el valor de 6, X(2) el valor 
de 12, X(3) el valor de 24, etc. 
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28 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 En el caso de una ecuación de segundo orden, se deberá especificar no uno, 
sino dos valores iniciales. Por ejemplo, la ecuación de segundo orden 
 X(k+2) = X(k+1) + 3 X(k) + k 
implica que 
 X(2) = X(1) + 3 X(0) + 0 
 X(3) = X(2) + 3 X(1) + 1 
 X(4) = X(3) + 3 X(2) + 2 
 . 
 . 
 . 
 
Ello significa que siempre habrá dos incógnitas más que el número de 
ecuaciones para resolverlas. Si se especifican los valores X(0) y X(1) se puede 
solucionar en forma recursiva la ecuación completa. A modo de ejemplo, si X(0) = 3 
y X(1) = 5, entonces es claro que 
 X(2) = 14 
 X(3) = 30 
 X(4) = 74 
 . 
 . 
 . 
 En general, se podrá resolver inambiguamente cualquier ecuación de 
diferencias de orden n si se especifican los n valores iniciales en forma consecutiva. 
El teorema siguiente, que se presenta sin demostración, plantea condiciones 
suficientes que garantizan la existencia de una única solución4. 
 
Teorema de existencia y unicidad en tiempo discreto 
 Supóngase la siguiente ecuación: 
 X(k+n) + f [X(k+n-1), X(k+n-2), ..., X(k), k] = 0 
donde f es una función real valorada, definida sobre una secuencia finita o infinita de 
valores de k (k = k0, k0+1, ... ). La ecuación tiene una y solo una solución 
correspondiente a cada especificación arbitraria de los n valores iniciales 
 X(k0 ), X(k0 +1), X(k0 +2), ..., X(k0 +n-1). 
 La solución será siempre una secuencia de números reales. 
 
4Ver problemas propuestos 1.9, 1.10 y 1.11, que presentan casos donde no se aplica este 
teorema. 
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 CAP.1 / INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES 29 
 
 
 
Desafortunadamente, este teorema solo dice bajo qué condiciones uno puede 
estar seguro que habrá una única solución a una ecuación de diferencias cuando se 
especifican los n valores iniciales. No dice nada acerca de cómo encontrar dicha 
solución en forma rápida. El método recursivo anterior puede ser muchas veces muy 
largo y engorroso. Dicho de otra forma, en el ejemplo anterior, ¿cuánto vale X(100)? 
¿X(237)? Sería obviamente conveniente poder expresar la solución como una sola 
ecuación. En el caso de la ecuación 
 X(k+1) = a X(k) 
dicha solución, tal como se vio anteriormente, se puede expresar como 
 X(k) = ak X(0) 
 Desgraciadamente, en muchos casos no es posible encontrar dicha expresión 
y se debe recurrir al método recursivo señalado. Sin embargo, para algunas familias 
de ecuaciones de diferencias sí se puede encontrar una ecuación que represente la 
secuencia completa de valores X(k). Una de tales familias está formada por las 
ecuaciones lineales de coeficientes constantes. Estas se pueden escribir como 
 X(k+n) + an-1 X(k+n-1)... + a0 X(k) = g(k) 
 Este tipo de ecuación será analizado en profundidad más adelante. 
 
Orden de una ecuación diferencial 
 En tiempo continuo, muchas veces se trabaja con ecuaciones diferenciales 
que relacionan la función no solo con la primera derivada, como en los ejemplos 
anteriores, sino también con derivadas de orden superior. 
El orden de una ecuación diferencial es simplemente el orden de la derivada 
más grande que aparezca en la ecuación. Así,los ejemplos en tiempo continuo 
anteriores son ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden. La ecuación 
 
d2X
dt2
 + [sen y] 
dX
dt + X = cos t 
es de segundo orden. 
En este punto, puede ser útil señalar que una ecuación diferencial se dice 
lineal si puede escribirse como 
 an(t) 
dnX
dtn
 + an-1(t) 
dn-1X
dtn-1
 + ... + a0(t) X = g(t) 
La ecuación anterior se dice homogénea si g(t) = 0 para todo t y es de 
coeficientes constantes si ai(t) = ai para todo i, t. 
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30 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
En tiempo continuo, las “condiciones iniciales”, mencionadas para el 
análisis en tiempo discreto, se refieren a los valores que toma la variable y sus 
derivadas en algún punto inicial. 
Teorema de existencia y unicidad en tiempo continuo 
 En general, al igual que en el caso discreto, se podrá resolver 
inambiguamente cualquier ecuación diferencial de orden n si se especifican las n 
condiciones iniciales. A continuación se presenta el teorema de existencia y 
unicidad para el caso continuo. 
 Suponga que las funciones ai(t) , i = 0, ..., n-1 y g(t) son continuas en un 
intervalo 0 ≤ t ≤ T. Entonces, para cualquier conjunto de valores de 
bi (i = 0,1, ..., n-1) , existe una única solución a la ecuación diferencial lineal 
 
dnX
dtn
 + an-1(t) 
dn-1X
dtn-1
 + ... + a0(t) X = g(t) 
que satisface 
 X(0) = b0 
 
dn-1X(0)
dtn-1
 = bn-1 5 
 Este teorema, al igual que en el caso discreto, solo dice bajo qué 
condiciones se puede estar seguro de encontrar una única solución cuando se 
especifican las n condiciones iniciales. No dice nada acerca de cómo encontrar dicha 
solución. En algunos casos será posible encontrar una solución analítica mientras 
que en otros se deberá recurrir a métodos numéricos. Este tema será abordado en los 
próximos capítulos. 
Problemas propuestos 
1.1 Suponga que la población de un país se duplica en 30 años y que la tasa de 
crecimiento anual es constante. Su problema es determinar en cuánto 
tiempo se triplicará la población de dicho país. 
1.2 Usted tiene una piscina con 10.000 litros de agua y abre el tapón. ¿En 
cuánto tiempo tendrá la piscina 4.000 litros si, por hora, se le va 5% del 
agua? 
1.3 Suponga una tasa de interés de 10% anual. ¿Cuánto tendría que depositar 
todos los años para tener $ 1.000 en el banco al final del año 10 si parte en 
el año 0 con un depósito inicial de $ 50? 
 
5 Debe hacerse notar que este teorema, a diferencia del teorema análogo en tiempo discreto 
discutido antes, se plantea aquí solo para ecuaciones diferenciales lineales. 
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 CAP.1 / INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES 31 
 
 
 
1.4 En relación con el ejemplo 1.7 (sobre el modelo de la telaraña), encuentre la 
ecuación de diferencias que describe la evolución de la producción, S(k), a 
través del tiempo. 
1.5 Usted acaba de depositar $ 1.000 en el banco a una tasa de 10% anual y 
desea retirar un monto fijo anual al final de cada uno de los próximos 4 
años. 
a) ¿Cuál es el monto máximo que puede retirar cada año? 
b) ¿Cuál es el monto máximo que puede retirar cada año si desea terminar 
con $ 500 al final de los 4 años? 
1.6 Suponga que la población de un país se duplicaría en 20 años si no hay 
inmigraciones. Sin embargo, la población creció de 1 millón a 2 millones en 
un período de solo 10 años debido a que un número constante de personas 
inmigró todos los años. Encuentre dicho número de personas definiendo 
claramente sus variables. 
1.7 En general, cuando se trabaja en tiempo discreto, hay que fijarse muy bien 
en el instante en que se supone se miden las variables (i.e., comienzo o final 
del período). Suponga que en el ejemplo 1.6 se define X(k) como el monto 
depositado en el banco al final del año k y b como el monto que se retira al 
comienzo de cada año. ¿Cuánto vale b en este caso? 
1.8 En relación con el ejemplo 1.10, suponga que en lugar de 8% anual, el 
banco paga 10% anual en las cuentas de ahorro. ¿Cuánta plata tendrá 
Juanito el día de su décimo cumpleaños? Resuelva usando un programa de 
planilla electrónica. 
1.9 El siguiente ejemplo demuestra que, para garantizar que la solución a una 
ecuación de diferencias sea única, es necesario especificar los n valores 
iniciales (donde n es el orden de la ecuación) en forma consecutiva. 
 Suponga 
 X(k+2) - X(k) = 0; X(0) = X(2) = 0 
 Encuentre al menos dos soluciones distintas a esta ecuación de diferencias, 
tomando en cuenta las condiciones iniciales planteadas. 
1.10 Este ejemplo demuestra que no siempre es posible encontrar una secuencia 
de valores reales que solucione una ecuación de diferencias. Suponga la 
ecuación X(k+1)2 + X(k)2 = -1. Explique, usando el teorema de existencia 
y unicidad, por qué no se puede encontrar una solución en este caso. 
1.11 Considere la ecuación de diferencias kX(k+1) - X(k) = 0 (k = 0,1,2,...). Si 
X(0) = 10, ¿qué valor toma X(1)? Explique por qué en este caso no se 
cumple el teorema de existencia y unicidad. 
1.12 Suponga 
 X(k+2) + k X(k+1)2 + k2X(k) = 3k; X(0) = 2, X(1) = 4. 
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32 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
a) ¿Cuál es el orden de la ecuación? 
 b) Demuestre, usando el teorema de existencia y unicidad, que esta ecuación 
de diferencias tiene una solución única. 
c) ¿Cuánto vale X(2), X(3) y X(4)? 
1.13 Son las 10:45 horas. Un estanque contiene 100 litros de salmuera de 
concentración 0,1 kg/litro. Se vierte salmuera de 0,7 kg/litro al estanque a 
razón de 4 litros por minuto y la mezcla sale del estanque a razón también de 
4 litros por segundo. 
 Si el agua es potable solo si tiene una concentración menor o igual a 0,3 
kg/litro, ¿hasta qué hora podrá beberse el agua salada del estanque? 
 En el momento en que deja de ser potable, ¿a qué tasa (porcentaje) crece el 
contenido de sal en el estanque? ¿Cuál es la tasa (porcentaje) de crecimiento 
en el contenido de sal en el largo plazo? 
1.14 En relación con el ejemplo 1.13, suponga que el ingreso de dicho país en 
2010 fue de 1.000. ¿Cuál debería ser el ingreso en el año 2025? Resuelva y 
grafique usando un programa de planilla electrónica. 
1.15 Un estanque contiene 100 litros de salmuera, cuya concentración es de 0,2 kg 
por litro; 3 litros de salmuera de concentración 0,3 kg/l fluyen al estanque 
cada minuto, mientras que 3 litros de la mezcla salen cada minuto. 
 Determine el contenido de sal en el estanque luego de una hora de proceso. 
1.16 En relación con el ejemplo 1.14, compruebe que la solución a la ecuación 
diferencial es la expresión 
 ( ) 
 
 
1.17 La población de peces en un lago es de 500 toneladas y crece a una tasa de 
4% anual. Si todos los años se capturan 40 toneladas, ¿cuál sería la población 
dentro de 5 años? Plantee el problema en tiempo continuo y resuelva. 
1.18 Suponga la ecuación diferencial X'(t) = a X(t) + b. Usando un programa de 
planilla electrónica, grafique la solución de dicha ecuación para los siguientes 
casos: 
a) a = 0,2; b = - 4; X(0) = 20. 
b) a = - 0,2; b = 5; X(0) = 28. 
c) a = 0; b = - 4; X(0) = 100. 
 
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CAPÍTULO 2 
 
 
ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y 
DIFERENCIALES 
 
En este segundo capítulo, el énfasis estará en la forma de solucionar las 
ecuaciones de diferencias y diferenciales. En primer lugar, se verá la solución de las 
ecuaciones lineales, para luego continuarcon el caso no lineal, el que se aborda 
principalmente a través de métodos numéricos de solución. 
Una ecuación de diferencias es lineal si se puede expresar como 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 Por otro lado, una ecuación diferencial es lineal si se puede representar 
como 
 
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 ( ) ( ) ( ) 
Si g(k) o g(t) es igual a cero, se dice que la ecuación es homogénea. Si ai(·) 
= ai para todo i, se habla de coeficientes constantes. 
A continuación se analiza este tipo de ecuaciones. 
 
Ecuación lineal homogénea de coeficientes constantes 
Tiempo discreto 
Antes de examinar en detalle la ecuación de diferencias lineal homogénea 
de coeficientes constantes, se debe señalar que si la secuencia de números 
 X1(k) k = 0, 1, 2, ... 
es una solución a dicha ecuación, también lo es la secuencia de números 
 X2(k) = c X1(k) k = 0, 1, 2, ... 
 La razón para esta afirmación es que si X1(k) es una solución, entonces por 
definición de solución tiene que ser cierto que 
 X1(k+n) + an-1 X1(k+n-1) + ... + a0 X1(k) = 0 
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34 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 Si se multiplica esta ecuación por c, se llega a 
 c X1(k+n) + ... + c a0 X1(k) = 0 k = 0, 1, 2 ... 
y lo que es lo mismo 
 X2(k+n) + ... + a0 X2(k) = 0 k = 0, 1, 2, ... 
 Con esto queda demostrado que si la secuencia X1(k) es solución, 
entonces c X1(k) también lo es. El ejemplo siguiente sirve para ilustrar este punto. 
Ejemplo 2.1 
 La ecuación lineal X(k+1) = 2 X(k) tiene como solución la expresión X(k) = 
2k , ya que 2k +1 = 2.2k. La secuencia alternativa X(k) = c.2k también la satisface, 
ya que c2k+1 = 2c2k. 
 El otro punto que es necesario señalar es que si las secuencias X1(k) e 
X2(k) son soluciones de la ecuación homogénea, entonces la secuencia 
 X3(k) = c1 X1(k) + c2 X2(k) 
también es solución. La demostración de este punto es similar a la demostración 
anterior (ver problema propuesto 2.4). 
 Ahora bien, un resultado importante para la ecuación homogénea 
 X(k+n) + an-1 X(k+n-1) + ... + a0 X(k) = 0 
es que siempre existe una solución del tipo X(k) = Ok ��para algún valor de O. 
 Si Ok es solución, quiere decir que 
 �� ���������������������������������������������� 
 Si se multiplica por O-k ��ambos lados de la ecuación, se tiene que 
 �� 
 Esta ecuación se conoce como ecuación característica de la ecuación de 
diferencias homogénea especificada anteriormente. 
 Claramente, para que la secuencia X(k) = Ok ��sea solución, es necesario que 
O satisfaga la ecuación característica. Como esta es una ecuación de grado n, debe 
tener n raíces que pueden ser reales o complejas e iguales o distintas entre sí. 
 Así, si Oi ��es una raíz de la ecuación característica, entonces la secuencia 
ci O
k
i �satisface la ecuación de diferencias original, con lo cual es solución. El 
ejemplo siguiente muestra el procedimiento para derivar las soluciones de una 
ecuación homogénea. 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 35 
 
 
 
Ejemplo 2.2 
 Supóngase la ecuación de diferencias 
 X(k+2) = 6 X(k+1) - 8 X(k). 
 En este caso la ecuación característica es 
 O2 - 6O +8 = 0 
con lo que O1 = 2 y O2 = 4. 
 Esto quiere decir que tanto la secuencia c12k como c24k solucionan la 
ecuación de diferencias planteada. Esto quiere decir que 
 ( ) 
 Ahora bien, si además se conoce el valor de X(0) e X(1) (condiciones 
iniciales), es posible determinar los valores de c1 y c2. Por ejemplo, supóngase que 
X(0) = 2 y X(1) = 2. Esto querría decir que 
 c1 + c2 = 2 
 2c1 + 4 c2 = 2 
con lo cual c1 = 3, c2 = -1, y 
 X(k) = 3.2k - 4k. 
 Como esta ecuación satisface tanto la ecuación de diferencias como las 
condiciones iniciales, debe ser cierto que es la única solución al sistema completo. 
Ello, por cuanto en este caso se aplica el teorema de existencia y unicidad presentado 
en el Capítulo 1. 
 En general, en una ecuación de orden n, si las n raíces de la ecuación 
característica son distintas, entonces las n soluciones generadas 
 O
k
1�, O
k
2�, ..., O
k
n� 
son linealmente independientes, con lo cual pueden ser usadas para generar todas las 
soluciones a la ecuación de diferencias homogénea. Dicho de otra forma, si las n 
raíces de la ecuación característica son distintas, entonces toda solución a la ecuación 
de diferencias puede expresarse como 
 X(k) = c1 O
k
1 �+ c2 
 
�+ ... + cn O
k
n� 
 Como debería esperarse, las n constantes ci estarán relacionadas con las n 
condiciones iniciales, de manera de poder obtener la solución única del sistema 
completo de ecuaciones de diferencias que incluye dichas condiciones iniciales. 
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36 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 La razón para este último punto es que si se conocen las condiciones 
iniciales, entonces necesariamente se debe cumplir que 
 c1 O
0
1 �+ c2 O
0
2 �+ ... + cn O
0
n �= X(0) 
 . 
 . 
 . 
 c1 O
n-1
1 �+ c2 O
n-1
2 �+ ... + cn O
n-1
n �= X(n-1) 
 Si las secuencias 
 O
k
1�, O
k
2 �, ..., O
k
n� 
son linealmente independientes, entonces se podrá despejar c1 , c2 , ..., cn en 
términos de las condiciones iniciales. Una vez conocidos estos valores, y dado que la 
ecuación 
 X(k) = c1 O
k
1 �+ c2 O
k
2 �+ ... + cn O
k
n� 
satisface tanto la ecuación de diferencias original como las condiciones iniciales, 
entonces, nuevamente por el teorema de existencia y unicidad, debe ser cierto que la 
solución así generada sea la única solución al sistema completo. 
 A continuación se presentan algunos ejemplos adicionales de ecuaciones de 
diferencias. 
Ejemplo 2.3: Secuencia de Fibonacci 
 Supóngase la ecuación 
 X(k+2) = X(k+1) + X(k) k = 0, 1, 2, 3, ... 
 Es decir, el valor de la secuencia para cualquier k, es la suma de los dos 
valores anteriores. Supóngase además que las condiciones iniciales son X(0) = 0 y 
X(1) = 1. 
 La ecuación característica del sistema es , lo que implica que 
O 
 √ 
 
 y que O 
 √ 
 
 . 
Como las raíces de este sistema son distintas, cualquier solución a la 
ecuación homogénea, sin considerar las condiciones iniciales, puede expresarse 
como combinación lineal de las secuencias O 
 �y O 
 . Esto quiere decir que 
 ( ) O 
 O 
 
 Si se incluyen las condiciones iniciales, X(0) = 0, X(1) = 1, se puede 
determinar c1 y c2 resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones: 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 37 
 
 
 
 O 
 O 
 = c1 + c2 = 0 
 c1 O1 �+ c2 O2 �= 1 
 De aquí se obtiene 
 
√ 
; 
 
√ 
, con lo que la solución al sistema 
completo, que incluye las condiciones iniciales, sería 
 ( ) 
√ 
( √ 
 
) 
√ 
( √ 
 
) k = 0, 1, 2, ... 
 De esta forma, se puede determinar el valor de la secuencia para cualquier k. 
Cabe señalar que X(k) será siempre un número entero, aunque parezca extraño. 
 En este punto, es interesante destacar que el término ( √ 
 
) tiende a cero a 
medida que k tiende a infinito, con lo que para k suficientemente grande la secuencia 
X(k) es aproximadamente igual a 
 ( ) 
√( √ 
 
)
 
 
 Ello significa que la tasa de crecimiento de la secuencia, que es igual a 
 ( )
 ( )
 , tiende a (O1 - 1) = 0,618. El Cuadro 2.1 ilustra este hecho. Se volverá 
sobre la importancia de las raíces características en la determinación de las tasas de 
crecimiento más adelante. Por el momento, se hace notar que la tasa de crecimiento 
tiende a O1 - 1, donde O1 es la raíz característica mayor, en valor absoluto. 
Cuadro 2.1 
Secuencia de Fibonacci 
 k X(k) X(k+1)/X(k) 
 0 0 --- 
 1 1 1 
 2 1 2 
 3 2 1,5 
 4 3 1,667 
 5 5 1,6 
 6 8 1,625 
 7 13 1,615 
 8 21 1,619 
 9 34 1,618 
 10 55 1,618 
 
Ejemplo 2.4 
 Supóngase la ecuación 
 X(k+2) + X(k) = 0; X(0) = X(1) = 1 
 La ecuación característica en este caso es igual a 
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38 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 O2 �+ 1 = 0 
 O = ± -1 = ± i 
 En este caso, las raíces son complejas, lo cual no introduce problemas 
mayores. De hecho, en este caso la solución se puede expresar como 
 X(k) = c1 i
k + c2 (-i)
k 
 Si se incorporan las condiciones iniciales, se obtiene que 
 
 
 
 
 y que 
 
 
 
 
 
 con lo cual 
 ( ) ( 
 
 
 
) ( 
 
 
 
)(- ) 
 Aunque parezca extraño, esta expresión será real para cualquier valor de k. 
Más adelante, en este mismo capítulo, se verá que en el caso de raíces complejas, la 
solución se puede expresar en términos de senos y cosenos. 
 Hasta aquí se ha hablado de ecuaciones donde las raíces son todas distintas. 
En caso de haber repetición, por ejemplo O1 = O2, las secuencias 
 y serán 
linealmente dependientes, por lo que no podríamos obtener n secuencias 
independientes con las cuales poder expresar cualquier solución al sistema. Por lo 
mismo, no tendríamos garantía de poder expresar la solución del sistema completo, 
que incluye las condiciones iniciales, como combinación lineal de las soluciones 
anteriores. 
 Afortunadamente, existe un procedimiento para obtener n secuencias 
independientes cuando las raíces no son todas distintas. Este consiste en multiplicar 
la secuencia repetida Ok �por k, k2 , k3 , ..., tantas veces como sea necesario para 
tener independencia entre las secuencias. 
Ejemplo 2.5 
 Supóngase la siguiente ecuación característica de una ecuación de 
diferencias: 
 (O - 4)3 (O - 2)2 (O - 8) = 0 
 Esta ecuación de grado 6 tiene como raíces O1 �= 4, O2 �= 2, O3 �= 8, que 
se repiten 3, 2 y 1 vez, respectivamente. Esto quiere decir que cualquier solución 
puede escribirse como 
 X(k) = c1 4
k + c2 k4
k + c3 k
2 4k + c4 2
k + c5 k 2
k + c6 8
k 
 Para terminar, debe advertirse que en general la secuencia 
 ks Ok s > 0 
es solución a la ecuación homogénea solo si O se repite más de una vez como raíz de 
la ecuación característica. 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 39 
 
 
 
Tiempo continuo 
A continuación se verá la forma de resolver ecuaciones diferenciales 
homogéneas de coeficientes constantes. El resultado, análogo al caso discreto, es que 
para la ecuación 
 
 
 
 
 
 
siempre existe una solución del tipo 
 X(t) = eOt 6 
con lo que X'(t) = OeOt , X"(t) = O2 �eOt , y en general 
 Xn(t) = On �eOt 
 Al reemplazar en la ecuación diferencial, se tiene que 
 On �eOt + an-1 On-1 �eOt + ... + a0 eOt = 0 
 Si se multiplican ambos lados de esta ecuación por e-Ot se tiene 
 On �+ an-1 On-1 �+ ... + a0 = 0 
 Esta es la ecuación característica del sistema homogéneo. Al igual que en el 
caso discreto, si O1, ... , On son raíces de la ecuación característica, entonces la 
función 
 X(t) = c1eO1t + ... + cneOnt 
también es solución a la ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes 
planteada. Ahora bien, si las n raíces son distintas, entonces toda solución a la 
ecuación diferencial podrá expresarse en términos de la ecuación anterior. Ello, por 
cuanto eOit es linealmente independiente de eOjt toda vez que Oi sea distinto de Oj. 
Por último, si no todas las raíces son distintas, entonces se debe multiplicar la 
función repetida eOt por t, t2, t3, ..., tantas veces como sea necesario para tener 
independencia lineal entre las funciones, lo cual es análogo a lo que se hizo en el 
caso discreto. 
Ejemplo 2.6 
 Supóngase la ecuación diferencial 
 X’’ - 5X’ + 6X = 0 
 
6 La expresión O es equivalente a O usada en el caso discreto, ya que O se puede escribir 
como 
 definiendo O O. 
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40 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 La ecuación característica es O2 �- 5O + 6 = 0, cuyas raíces son O1 �= 2 y O2 �
�= 3, con lo cual las funciones 
 X = e2t ; X2(t) = e
3t 
son soluciones a la ecuación diferencial planteada. En forma análoga al caso discreto, 
la solución general a la ecuación diferencial debe ser del tipo 
 X(t) = c1 e
2t + c2 e
3t 
 Para terminar con este ejemplo, es conveniente señalar que en este caso la 
tasa de crecimiento de la variable X, X'/X, es igual a 
 
 
 
 
 
 
 Esta expresión tiende a 3 cuando t tiende a infinito. Esta sería la tasa de 
crecimiento de largo plazo y es igual a la mayor raíz característica. Se volverá sobre 
este punto más adelante. 
Ejemplo 2.7 
 Supóngase la ecuación diferencial 
d2X
dt2
 - 6 
dX
dt + 9 X = 0 
 La ecuación característica es O2 ��- 6�O�+ 9 = 0, cuyas raíces son ambas 
iguales a 3, con lo cual la solución general a la ecuación diferencial debe ser del tipo 
 X(t) = c1 e
3t + c2 t e
3t 
Ejemplo 2.8 
 Supóngase la ecuación diferencial 
 
d2X
dt2
 + X = 0 
 La ecuación característica es 
 O2 ��+ 1 = 0 
 Las raíces son O1 ��= i y O2 ��= -i, con lo cual la solución general a la 
ecuación diferencial debe ser del tipo 
 X(t) = c1 e
it + c2 e
-it 
 Las constantes c1 y c2 se determinan una vez especificadas las condiciones 
iniciales. En forma análoga a lo señalado para el caso discreto, la expresión anterior 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 41 
 
 
 
será real para cualquier valor de t. Además, más adelante, en este mismo capítulo, se 
verá que en el caso de raíces complejas, la solución se puede expresar en términos de 
senos y cosenos. 
 Para terminar este análisis de las ecuaciones homogéneas de grado n, tanto 
en tiempo discreto como continuo, puede ser útil destacar que en el largo plazo 
 ( ) O ( ), o bien ( ) O ( ). 
Esto quiere decir que el comportamiento de largo plazo de secuencias que se 
comportan según ecuaciones de enésimo orden se puede representar por ecuaciones 
de primer orden. Ello con la excepción de raíces de la ecuación característica 
repetidas o de igual magnitud. 
 
Ecuación lineal no homogénea de coeficientes constantes 
 
Las ecuaciones lineales no homogéneas de coeficientes constantes se 
pueden expresar como 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
o como 
 
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 ( ) ( ) ( ) 
según si se trabaja en tiempo discreto o continuo. 
 
Tiempo discreto 
 El resultado principal para este tipo de ecuaciones se puede expresar en 
términos del siguiente teorema: 
Teorema 
 Sea Xp(k) una solución particular cualquiera a la ecuación de diferencias 
 X(k+n) + an-1 X(k+n-1) + ... + a0 X(k)= g(k). 
 El conjunto de todas las soluciones a esta ecuación es el conjunto de todas 
las funciones de la forma 
 X(k) = Xp(k) + Xh(k) 
donde Xh(k) es una solución a la ecuación homogénea correspondiente. 
 Este teorema dice que si Xp(k) es una solución, entonces Xp(k)+Xh(k) 
también es solución. La importancia de este resultado es que si se tiene n soluciones 
independientes a la ecuación homogénea y además una solución particular a la 
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42 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
ecuación no homogénea, entonces “cualquier” solución a la ecuación no homogénea 
puede expresarse como 
 X(k) = Xp(k) +c1 Xh1(k) + ... + cn Xhn(k) 
 Si se tiene, además, n condiciones iniciales, entonces para resolver el 
sistema completo, que incluye tanto la ecuación de diferencias original como las 
condiciones iniciales, solo se requerirá resolver un sistema de n ecuaciones lineales 
con n incógnitas. Esto se podrá hacer siempre si las ecuaciones son independientes, y 
ello será así toda vez que las soluciones Xhi(k) (i = 1, ..., n) sean independientes. 
 En relación con lo anterior, si se usa otra solución particular para la 
ecuación no homogénea, solo cambiarían los valores de ci en la solución del sistema 
no homogéneo completo. Como debe esperarse, el resultado final debe ser el mismo 
por el teorema de existencia y unicidad. 
Ejemplo 2.9 
 Supóngase la ecuación de diferencias 
 X(k+1) = a X(k) + b; X(0) = X0 
 La solución al sistema homogéneo, como ya se ha visto, es Xh(k) = ca
k . 
 Si la secuencia Xp(k) = A fuera usada como solución particular al sistema 
no homogéneo, entonces 
 X(k+1) = A = a X(k) + b = a A + b 
lo que hace que A = b/(1-a). Esto quiere decir que cualquier solución a la ecuación 
no homogénea puede escribirse como 
 X(k) = Xh(k) + Xp(k) = ca
k + 
b
1-a 
 Dado que X(0) = ca0 + 
b
1-a = X0 , se tiene que 
 c = X0 - 
b
1-a 
lo que implica que la solución del sistema no homogéneo, incluidas las condiciones 
iniciales, es 
 X(k) = (X0 - 
b
1-a )a
k + 
b
1-a = X0 a
k + 
1-ak
1-a b 
 Esta solución es obviamente igual a la derivada en el Capítulo 1 para el caso 
en que la entrada al sistema era una constante. En el ejemplo siguiente se verá cómo 
resolver una ecuación cuando la entrada depende de k. 
 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 43 
 
 
 
Ejemplo 2.10 
 Supóngase la ecuación 
 X(k+1) = a X(k) + k 
 En este caso la solución al sistema homogéneo es igual al ejemplo anterior. 
El problema es, por lo tanto, encontrar una solución particular al sistema no 
homogéneo. Si se prueba la secuencia constante 
 Xp(k) = A 
entonces debería ser cierto que X(k+1) = A = a A + k = a X(k) + k, con lo que A 
debería ser igual 
k
1 - a Esto querría decir que A no es constante y que depende de k. 
Esto implica que Xp(k) = A no puede ser usada como solución particular. 
 Por otro lado, si se prueba la secuencia 
 Xp(k) = A k + B 
entonces debería ser cierto que 
 Xp(k+1) = A(k+1) + B = a Xp(k) + k = a(A k + B) + k 
con lo cual 
 A k + A + B = a A k + a B + k. 
 Esto implicaría que 
 (A - a A - 1) k + (A + B - a B) = 0 
 Esta ecuación será válida para todo k solo si los términos entre paréntesis 
son 0. Es decir, debe cumplirse que 
 A - a A - 1 = 0; A + B - a B = 0 
 Este sistema de ecuaciones en A y B implica que 
 A = 
1
1-a ; B = 
-1
(1-a)2
 
 Así, 
 Xp(k) = A k + B = 
k
1-a - 
1
(1-a)2
 
 Con esto, cualquier solución al sistema 
 X(k+1) = a X(k) + k 
puede expresarse como 
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44 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 X(k) = Xp(k) + Xh(k) = 
k
1-a - 
1
(1-a)2
 + cak 
donde cak es, como ya se ha visto, la solución general al sistema homogéneo. 
 Ahora el problema es cómo encontrar soluciones particulares sin la 
necesidad de usar el mecanismo de prueba y error. La tabla siguiente resume los 
principales casos.7 
Cuadro 2.2 
Solución particular de las ecuaciones de diferencias no homogéneas 
 
g(k) Solución particular Xp(k) 
bak A a
k 
sen(bk) o cos(bk) A sen(bk) + B cos(bk) 
bkn A
0 
+ A
1 
k + A
2 
k
2 + ... + A
n 
k
n 
bkn ak ak (A0 + A1k + ... + Ank
n) 
cak sen(bk) o cak cos(bk) ak (A sen(bk) + B cos(bk)) 
 
Si la solución particular incluye una función que es solución al sistema 
homogéneo, dicha solución particular debe multiplicarse por k e intentar una nueva 
solución. Si esta función sigue siendo una solución al sistema homogéneo, se usa k
2 , 
k
3 , ..., hasta que no lo sea. Este procedimiento es análogo al caso homogéneo visto 
anteriormente. 
 Otro resultado importante es que si g(k) = g1(k) + g2(k) , la solución 
particular se encuentra tratando ambos casos en forma separada. Es decir, 
 Xp(k) = Xp1(k) + Xp2(k) 
donde Xp1(k) soluciona el sistema con g1(k) y Xp2(k) soluciona el sistema con 
g2(k) . 
 
Ejemplo 2.11 
 Suponga la siguiente ecuación de diferencias 
 X(k+2) - 4 X(k+1) + 4 X(k) = 3 k + 2k ; X(0) = 8; X(1) = 10 
 
7Esta tabla fue extraída de Goldberg, S. (1958): Introduction to difference equations. John 
Wiley and Sons Inc., página 146. 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 45 
 
 
 
 Para resolver esta ecuación, en primer lugar debe analizarse la ecuación 
homogénea 
 X(k+2) - 4 X(k+1) + 4 X(k) = 0 
 La ecuación característica es 
 O� - 4 O + 4 = 0 
lo que implica que . Como ambas raíces son iguales, las secuencias 2k y 
k2k son dos secuencias independientes que garantizan que cualquier solución al 
sistema homogéneo puede expresarse como 
 Xh(k) = c12
k + c2k2k 
 Para ver la solución particular, se debe separar el análisis en dos partes. Para 
g1(k) = 3k, la solución particular sería, de acuerdo a la tabla 
 Xp1(k) = A0 + A1 k 
 Para g2(k) = 2
k , la solución sería A2k . Como esta secuencia soluciona el 
sistema homogéneo se debe usar Ak2k . Como esta secuencia también soluciona el 
sistema homogéneo, se usa 
 Xp2(k) = A k
2 2k 
 Así, una solución particular es 
 Xp(k) = A0 + A1 k + A k
2 2k 
 Para determinar A, A0 , A1 , se reemplaza Xp(k) en la ecuación de 
diferencias original, lo que da como resultado 
 Xp(k+2) - 4 Xp(k+1) + 4 Xp(k) = (A0 -2A1 ) + A1 k + 8A2
k = 0 + 3k + 
2k 
 Esto significa que 
 A0 - 2A1 = 0; A1 = 3; 8A = 1 
con lo cual A = 
1
8 ; A0 = 6; A1 = 3. 
 De aquí se desprende que 
 Xp(k) = 6 + 3k + 
1
8 k
2 2k 
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46 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 Esta secuencia satisface la ecuación de diferencias original, pero no cumple 
con las condiciones iniciales. De acuerdo con lo señalado anteriormente, sin 
embargo, cualquier solución al sistema no homogéneo debe poder expresarse como 
 X(k) = (c1 + c2 k)2
k + 6 + 3k + 
1
8 k
2 2k 
 Para determinar c1 y c2 de tal forma de obtener la solución única al 
sistema no homogéneo que incluye las condiciones iniciales, se debe despejar c1 y c2 
de las ecuaciones 
 X(0) = c1 + 6 = 8 
 X(1) = (c1 + c2 ) 2 + 6 + 3 + 
2
8 = 2 c1 + 2 c2 + 
37
4 = 10 
 La solución de este sistemade ecuaciones es c1 = 2; c2 = -1,625. Con 
esto la solución del sistema no homogéneo completo que incluye las condiciones 
iniciales es la secuencia de números 
 X(k) = (2 - 1,625 k) 2k + 6 + 3 k + 
1
8 k
2 2k k = 0, 1, 2, ... 
 Para terminar esta sección, se debe destacar que cuando g(k) es una 
expresión compleja que no permite una solución analítica para X(k), se debe recurrir 
al método recursivo. En este caso, lo mejor es usar algún programa de planilla 
electrónica. 
 
Tiempo continuo 
Al igual que en el caso discreto, para solucionar ecuaciones no homogéneas, se debe 
primero solucionar el sistema homogéneo y luego buscar una solución particular al 
sistema no homogéneo, para así llegar a la solución general. 
Ejemplo 2.12 
 Supóngase la ecuación diferencial 
 
dX
dt = aX + b; X(0) = 5 
 La ecuación característica es O - a = 0, con lo cual la solución al sistema 
homogéneo es, como ya se vio, 
 Xh(t) = ce
at 
 Como solución particular se prueba la función 
 Xp(t) = A 
con lo cual 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 47 
 
 
 
 X'p(t) = 0 = a A + b 
 Así, A = - 
b
a 
con lo que la solución general a la ecuación diferencial debe ser del tipo 
 X(t) = - 
b
a + ce 
at 
 Falta determinar c. Como X(0) = 5, se tiene que (-b/a) + c = 5, con lo que la 
solución general al sistema completo es 
 X(t) = - 
b
a + (5 + 
b
a) e
at 
 Ahora bien, para encontrar soluciones particulares, se puede usar la 
siguiente tabla. 
Cuadro 2.3 
Solución particular de las ecuaciones diferenciales no homogéneas 
g(t) Solución particular ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
su suma 
 
 
( 
 ) 
( 
 ) 
 ( 
 ) 
 
Si la solución particular incluye una función que es solución al sistema 
homogéneo, dicha solución particular debe multiplicarse por t e intentar una nueva 
solución. Si esta solución particular sigue siendo solución al sistema homogéneo se 
usa t2 , t3 , ..., hasta que no lo sea. Adicionalmente, al igual que en el caso discreto, 
si g(t) = g1(t) + g2(t), la solución particular se encuentra tratando ambos casos en 
forma separada. Es decir, Xp(t) = Xp1(t) + Xp2(t). 
Ejemplo 2.13 
 Supóngase la ecuación diferencial 
 X' - 8X = 5t2; X(0) = 4. 
 La solución al sistema homogéneo es Xh(t) = ce
8t. Como solución 
particular se prueba 
 Xp(t) = Ao + A1t + A2 t
2. 
Así 
 X'p(t) = A1 + 2A2t = 8Xp(t) + 5t
2 = 8Ao + 8A1t + 8A2 t
2 + 5t2 
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48 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
con lo que 
 (A1 - 8Ao) + (2A2 - 8A1)t - (8A2 + 5)t
2 = 0 
 Para que esta ecuación sea válida para todo t, es necesario que los términos 
entre paréntesis sean todos 0. Así 
 Ao = 
-5
256 ; A1 = 
-5
32 ; A2 = 
-5
8 
y en consecuencia, la solución general al sistema es 
 X(t) = ce
8t
 - 
5
256 - 
5
32 t - 
5
8 t
2 
 Como X(0) = 4 = c - 
5
256 , se tiene que c = 4 + 
5
256 , con lo cual la solución 
al sistema completo es 
 X(t) = (4 + 
5
256) e
8t - 
5
256 - 
5
32 t - 
5
8 t
2 
 
Oscilaciones en las ecuaciones lineales de coeficientes constantes 
 A continuación se analiza la evolución de ecuaciones dinámicas que 
presentan oscilaciones a través del tiempo. El estudio se hace en base a ecuaciones 
lineales de coeficientes constantes. Se comienza con ecuaciones en tiempo continuo 
para seguir con ecuaciones en tiempo discreto. 
Tiempo continuo 
 Antes de analizar las ecuaciones diferenciales que presentan oscilaciones, es 
conveniente demostrar que cuando la ecuación característica de una ecuación 
diferencial tiene raíces complejas, es posible expresar la solución en términos de 
senos y cosenos. Esto se hace a continuación, usando las expansiones de Taylor para 
las funciones eat, sen wt, y cos wt. 
Expansión de Taylor 
 Toda función continua, que permita ser derivada varias veces, se puede 
expresar como un polinomio de la forma 
 f(x) = f(x0) + 
f'(x0)
1! (x-x0) + 
f"(x0)(x-x0)2
2! + ... 
 Este resultado se conoce como Teorema de Taylor y permite aproximar una 
función al grado que se desee. Para entender la expresión anterior se utiliza el 
siguiente ejemplo. 
 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 49 
 
 
 
 
Ejemplo 2.14 
 Supóngase la función f(x) = ex. En este caso f'(x) = ex ; f"(x) = ex, etc. 
 Si se expande alrededor de x0 = 0, entonces 
 f(x) = f(0) + f'(0)(x-0) + 
f"(0)(x-0)2
2! +... = 1 + x + 
x2
2 + 
x3
6 + 
x4
24 + 
x5
 120 +... 
 A modo de ejemplo, para encontrar el valor de e, este se puede aproximar 
usando el polinomio anterior hasta la derivada que más convenga. El cuadro 
siguiente muestra este hecho. 
Cuadro 2.4 
Ejemplo del Teorema de Taylor 
 n e 
 1 1 + 1 = 2 
 2 1 + 1 + 
1
2 = 2,5 
 3 1 + 1 + 
1
2 + 
1
6 = 2,6667 
 4 1 + 1 + 
1
2 + 
1
6 + 
1
24 = 2,7083 
 5 1 + 1 + 
1
2 + 
1
6 + 
1
24 + 
1
120 = 2,7167 
 6 1 + 1 + 
1
2 + 
1
6 + 
1
24 + 
1
120 + 
1
720 = 2,7181 
 Para expandir las funciones trigonométricas de seno y coseno, es 
conveniente medir los ángulos en términos de radianes, con lo que 
 
d sen wt
dt = w cos wt; 
d cos wt
dt = - w sen wt. 
 De aquí se desprende que si f(t) = sen wt, entonces 
 f'(t) = w cos wt; f'(0) = w 
 f''(t) = - w2 sen wt; f''(0) = 0 
 f'''(t) = - w3 cos wt; f'''(0) = - w3 
 f''''(t) = w4 sen wt; f''''(0) = 0 
 . 
 . 
 . 
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50 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 Sustituyendo estos resultados en la ecuación original de la expansión de 
Taylor, se desprende que 
 sen(wt) = wt - 
w3t3
3! + 
w5t5
5! - 
w7t7
7! + . . . 
 Siguiendo un procedimiento análogo para expandir la función f(t) = cos wt, 
es posible ver que 
 cos(wt) = 1 - 
w2t2
2! + 
w4t4
4! - 
w6t6
6! + . . . 
 Repitiendo el procedimiento para expandir las funciones f(t) = eiwt y 
f(t) = e-iwt, donde i = -1 y donde la derivada de la función eat es 
d eat
dt = a e
at, se 
puede demostrar que 
 eiwt = 1 + iwt - 
w2t2
2! - 
iw3t3
3! + 
w4t4
4! + 
iw5t5
5! - ... 
 e-iwt = 1 - iwt - 
w2t2
2! + 
iw3t3
3! + 
w4t4
4! - 
iw5t5
5! - ... 
 Con esto, es fácil ver que 
 eiwt = cos wt + i sen wt 
y que 
 e-iwt = cos wt - i sen wt 
 Ahora bien, supóngase que las raíces de la ecuación característica son 
 O = P ± iw 
 Con esto, la solución al sistema homogéneo X(t) c1 eO1t � c2 eO2t 
toma la forma 
 = c1 e
Pt eiwt + c2 ePt e-iwt 
 = ePt [c1 (cos wt + i sen wt) + c2 (cos wt - i sen wt)] 
 = ePt [A sen wt + B cos wt] 
donde 
 A = c1i - c2i 
 B = c1 + c2 
 Debe señalarse que X(t) es una función real aun cuando O1, O2 sean 
complejos. Asimismo debe señalarse que siempre las constantes A y B, que quedan 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 51 
 
 
 
determinadas por las condiciones iniciales, serán reales. Este resultado se verá a 
través de algunos ejemplos. 
 
Ejemplo 2.15 
 Supóngasela ecuación diferencial 
 X" + X = 0 ; X(0) = 1, X'(0) = 2. 
 La ecuación característica es O2 + 1 = 0, cuyas raíces son O = ± i. Así, X(t) 
debe tomar la forma 
 X(t) = e0t [A sen t + B cos t] = A sen t + B cos t 
ya que en este caso P = 0 y w = 1. 
 Como X(0) = 1 y X'(0) = 2, se desprende que 
 A sen 0 + B cos 0 = B = 1 
 A cos 0 - B sen 0 = 2 
lo que implica que A = 2. Así, la solución a esta ecuación diferencial será 
 X(t) = 2 sen t + cos t. 
 
 El Gráfico 2.1 muestra la evolución de X(t) a través del tiempo. 
GRÁFICO 2.1 
Solución a la ecuación diferencial X" + X = 0; 
X(0) = 1; X'(0) = 2 
. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
t
X(t)
 
Ejemplo 2.16 
 Supóngase la ecuación 
 X" - X' + 2X = 0; X(0) = 3; X'(0) = 1 
 La ecuación característica es 
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52 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 O2 - O + 2 = 0 
cuyas raíces son 
 O�= 
1
2 ± 
i 7
2 , 
con lo cual X(t) debe tomar la forma 
 X(t) = e0,5t (A sen 
7
2 t + B cos 
7
2 t) 
 Como X(0) = 3 y X´(0)=1, se desprende que y 
√ 
 , 
 ( ) ( √ 
 
 √ 
 
 √ 
 
 √ 
 
 ) 
con lo que la solución es 
 ( ) ( 
 √ 
√ 
 √ 
 
 ) 
Frecuencia de oscilaciones 
En una función del tipo 
 X(t) = ePt (A sen wt + B cos wt), 
donde las raíces características de la ecuación diferencial pueden expresarse como O 
= P ± iw, las oscilaciones están dadas por el término w y si estas son convergentes o 
divergentes dependerá de si el término P es menor o mayor que cero. 
 Ahora bien, el término entre paréntesis, que define las oscilaciones, tiene un 
período igual a 2 S (circunferencia completa), lo cual significa que 
 A sen wt + B cos wt = A sen (wt + 2S) + B cos (wt + 2S) 
 = A sen wt1 + B cos wt1 
donde t1 = 
2S
w + t 
 Esto quiere decir que los ciclos en la variable X(t) tienen una duración de 
2S/w unidades de tiempo. Este punto se clarifica si se observa que 
 A sen (wt + 2S) + B cos (wt + 2S) = A sen w(t+2S/w) + B cos w(t+2S/w) 
 El término w es conocido como la frecuencia de oscilaciones y mide el 
número de ciclos por cada 2S unidades de tiempo. 
Tiempo discreto 
 A continuación se analiza la evolución de sistemas dinámicos en tiempo 
discreto que presentan oscilaciones a través del tiempo. Al igual que en el caso 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 53 
 
 
 
continuo, raíces características complejas dan origen a oscilaciones, como se verá a 
continuación. Sin embargo, existe en este caso otra fuente de oscilaciones, que es 
cuando alguna o algunas raíces características, siendo reales, son negativas. En esta 
situación, el término Ok cambia de signo período a período.8 A continuación, se 
analizarán sistemas que presentan oscilaciones como producto de raíces complejas. 
 Supóngase que la ecuación característica de una ecuación de diferencias 
tiene como raíces los complejos conjugados O1 = a + bi y O2 = a - bi. Esto implicaría 
que la solución al sistema homogéneo sería de la forma 
 X(k) = c1 (a + bi)
k + c2 (a - bi)
k 
 Ahora bien, al representar la raíz compleja en forma gráfica, tal como se 
hace en el Gráfico 2.2, es claro que 
 O1 = a + bi = a2+b2 (
a
a2+b2
 + i 
b
a2+b2
)= r (cos T + i sen T) = reiT 
 O2 = a - bi = r (cos T - i sen T) = re-iT 
GRÁFICO 2.2 
�
 Es posible ver, usando las expansiones de Taylor presentadas más arriba, 
que 
 O
k
1 �= r
k eikT = rk (cos kT + i sen kT) 
 O
k
2 �= r
k e-ikT = rk (cos kT - i sen kT) 
 
 Con esto, la solución al sistema homogéneo puede reescribirse como 
 X(k) = c1 r
k (cos kT�+ i sen kT) + c2 rk (cos kT�- i sen kT) 
 = rk [c1 (cos kT�+ i sen kT) + c2 (cos kT�- i sen kT)] 
 = rk (A sen kT�+ B cos kT) 
 
8Otra fuente de oscilaciones, válida tanto para el caso discreto como para el caso continuo, es 
cuando la entrada o salida oscila. 
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54 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
donde 
 A = c1i - c2i; B = c1 + c2 
 Debe recordarse, al igual que para el caso continuo, que X(k) es una función 
real aun cuando las raíces características sean complejas. Asimismo, debe señalarse 
que para que X(k) sea real para todo nivel de k, es necesario que las constantes A y 
B, que se determinan una vez especificadas las condiciones iniciales, sean siempre 
reales. Por último, se destaca que la convergencia o no de X(k) al equilibrio, depende 
de r, que es función tanto del componente real como del componente imaginario de 
las raíces características. Si r > 1, el sistema diverge; y si r < 1, el sistema converge. 
Ejemplo 2.17 
 Supóngase la ecuación de diferencias 
 X(k+2) - 2X(k+1) + 2X(k) = 0; X(0) = 2; X(1) = 5. 
 La ecuación característica 
 O2 - 2 O + 2 = 0 
tiene como raíces 
 O1 = 1 + i; O2 = 1 - i 
con lo cual 
 a = 1; b = 1; r = a2 + b2 = 2 
 El ángulo T tiene un valor de S4 , ya que estos se deben expresar en 
radianes. Es equivalente a 45 grados (T = arctan b/a). Con esto, la solución a la 
ecuación es 
 X(k) = ( 2 )k [A sen 
S
4 k + B cos 
S
4 k] 
 Como X(0) = 2 y X(1) = 5, se desprende que 
 X(0) = B = 2; X(1) = 2 (A sen 
S
4 + B cos 
S
4 ) = A + B = 5 
 Esto quiere decir que A = 3, y que 
 X(k) = ( 2)k [3 sen 
S
4 k + 2 cos 
S
4 k] 
 En forma análoga a lo señalado en el caso continuo, los ciclos en la variable 
X(k) tienen una duración de 
 
 unidades de tiempo. Como en este caso 
 
, los ciclos en 
la variable X(k) tienen una duración de 8 períodos. 
 El Gráfico 2.3 muestra la evolución de X(k) a través del tiempo. 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 55 
 
 
 
 Para terminar, es importante señalar que el tamaño de los ciclos, tanto en 
ecuaciones lineales discretas como continuas, es constante a través del tiempo. No 
puede haber un ciclo de 3 años y luego uno de 5 años. Para modelar este tipo de 
situaciones, necesariamente se debe recurrir a ecuaciones no lineales. 
 
GRÁFICO 2.3 
Solución a la ecuación de diferencias 
X(k+2) - 2X(k+1) + 2X(k) = 0; X(0) = 2; X(1) = 5 
-500
0
500
1.000
1.500
2.000
0 4 8 12 16
 
 
Ecuaciones lineales no homogéneas de coeficientes no constantes 
Tiempo continuo 
A continuación se verá cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de 
primer orden cuando los coeficientes dependen del tiempo. Se trata entonces de 
solucionar ecuaciones del tipo 
x’(t) + p(t) x(t) = g(t) 
El método, conocido como el método de variación de parámetros, consiste en 
postular una solución del tipo 
 ( ) ( ) ∫ ( ) 
y encontrar la función A(t), la cual debe satisfacer la condición 
 ( ) ( ) ∫ ( ) 
 
Ejemplo 2.18 
Supóngase la ecuación 
X’ + t X = 2t 
 Para resolverla, se debe encontrar, en primer lugar, la función A(t). Como en 
este caso g(t) = 2t y p(t) = t, se debe cumplir que 
 ( ) ∫ 
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56 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
Es fácil comprobar que en este caso, 
 ( ) 
Así, ( ) ∫ . 
Para comprobar que estaes la solución, basta insertar este resultado en la 
ecuación diferencial original. Si X(t) = 2, X’(t) es igual a cero y, en consecuencia, X’ 
+ tx = 2t. 
Ejemplo 2.199 
 Un estanque contiene 400 litros de salmuera de concentración 0,375 kg/l. 
Se vierte salmuera de 0,25 kg/l al estanque a razón de 20 l/min, y la mezcla sale a 
razón de 16 l/min. El problema es plantear la ecuación diferencial correspondiente al 
contenido de sal en el estanque. 
 En primer lugar, es claro que el contenido de salmuera en el estanque crece 
a razón de 4 l/min, con lo que la evolución de dicho contenido puede representarse a 
través de la ecuación 
 S(t) = 400 + 4t 
donde S(t) es el contenido de salmuera en el estanque en el momento t. 
 Si se define X(t) como el contenido de sal en el estanque en el momento t, 
lo anterior significa que por minuto salen del estanque 
 
16 X(t)
(400 + 4t) 
kilógramos de sal. 
 Por último, por minuto entran al estanque 5 kg de sal, con lo que 
 X'(t) = 5 - 
16 X(t)
400 + 4t . 
Esta ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden define la 
evolución del contenido de sal en el estanque. Lo único que restaría es la condición 
inicial X(0) = 400 0,375 = 150 kg. 
Para resolver esta ecuación diferencial, se puede usar el método de variación 
de parámetros. 
En este caso, 
 ( ) ∫
 
 ( ) 
 Ello significa que 
 
9Extraído de Reddick, H.W. y D.E. Kibbey: Ecuaciones diferenciales. Compañía Editorial 
Continental, S.A., México, 1965, p. 82. 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 57 
 
 
 
 A(t) 
 
 ( ) 
donde B es una constante de integración, cuyo valor se determinará cuando se 
incorpore la condición inicial. De la ecuación anterior se desprende que 
 ( ) ( ) ∫ ( ) (
 
 
( ) ) ∫
 
 
 ( ( ) )( ) 
 ( ) 
Como X(0) = 150, B debe ser igual a 1.280.000.000.000. 
Se hace notar que el método de variación de parámetros presentado sirve solo 
para ecuaciones lineales de primer orden. 
 
Algunas ecuaciones diferenciales no lineales con solución analítica 
En esta sección se verá cómo solucionar algunas ecuaciones diferenciales de 
primer orden que tienen solución analítica. Se trata de casos especiales ya que, en 
general, las ecuaciones no lineales se deben resolver con métodos numéricos, tema 
que se posterga hasta la sección siguiente. 
 En primer lugar se verá cómo resolver una ecuación separable. Supóngase 
una ecuación diferencial del tipo 
 ( ) 
Esta ecuación es separable si f(t, x) se puede escribir como 
 ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 En este caso, 
∫
 
 ( )
 ∫ ( ) 
 Para resolver este tipo de ecuaciones, basta con integrar ambos lados de la 
ecuación, teniendo cuidado de no olvidar la constante de integración. 
Ejemplo 2.20 
Supóngase la ecuación . En este caso, 
 
∫
 
 
 ∫ 
 Resolviendo ambas integrales, se obtiene 
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58 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 
 
 
 
con lo cual ( ) 
 
 ⁄ . 
Ejemplo 2.21 
Supóngase la ecuación . En este caso, 
 
∫
 
 
 ∫ 
 Resolviendo ambas integrales, se obtiene 
 
con lo cual 
 ( ) 
 
 . 
 Otra ecuación muy conocida es la ecuación de Bernoulli, la cual se puede 
escribir como 
 x’(t) + p(t) x(t) = g(t) x(t)n 
 Si se define z(t) = x(t)1-n, la ecuación anterior se convierte en una ecuación 
lineal, que se puede resolver como tal. 
 En este caso, 
 z’= (1-n) x-n x’ 
con lo que 
 
 
 
 
 Reemplazando en la ecuación original, se tiene que 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 Si se divide ambos lados por x(t)n, se obtiene 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
Esta es una ecuación lineal en z(t). 
Métodos numéricos de solución para las ecuaciones diferenciales 
Si bien muchas ecuaciones diferenciales tienen solución analítica, como en 
los casos anteriores, existe un gran número de ocasiones en que se debe recurrir a 
métodos numéricos para resolver. 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 59 
 
 
 
El propósito de esta sección es introducir los métodos de Euler y de Runge-
Kutta, que permiten resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, sean estas 
lineales o no lineales.10 Se destaca que existen distintas variantes del método de 
Runge-Kutta, y que existen programas computacionales que las implementan. 
Método de Euler 
 Supóngase la ecuación diferencial 
 X'(t) = f (X(t), t); X(0) = X0 
 En este caso, como X'(0) = f (X(0), 0), se puede aproximar 
 X(∆) = X(0) + X'(0) • ∆ 
y en general 
 X(t + ∆) = X(t) + X'(t) ∆ 
 Este es el método de Euler. A continuación veremos cómo resolver la 
ecuación diferencial del ejemplo 2.20 por este método usando en primer lugar ∆ = 5. 
 La ecuación diferencial es 
 X'(t) = 5 - 
16 X(t)
400 + 4t ; X(0) = 150 
 En este caso 
 X'(0) = 5 - 
16 • 150
400 = -1 
con lo cual se puede aproximar 
 X(5) = X(0) + X'(0) • 5 = 145 
 Este valor sirve de base para aproximar X(10). Así 
 X'(5) = 5 
16 • 145
400 + 20 = -0,52381 
y 
 X(10) = X(5) + X'(5) • 5 = 142, 38095 
 Este procedimiento continúa en forma recursiva para calcular X(15), X(20), 
etc. 
 En este punto, es conveniente destacar que el método supone la misma 
pendiente de la función para todo el rango entre t y t +∆, lo cual implica en general 
que la aproximación es cada vez peor para valores mayores de t. Ello, por cuanto la 
 
10Esta parte se basa en Kreyszig, E.: Advanced engineering mathematics, 3a ed., John Wiley 
& Sons Inc., Nueva York, 1972, pp. 661-667. 
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60 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
derivada en cada punto depende de X(t), que a su vez es una aproximación por la 
razón dicha. 
 La única forma de mejorar este método es haciendo ∆ cada vez más chico. 
El cuadro siguiente muestra la aproximación para X(10) usando distintos valores de 
∆. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El cuadro siguiente muestra el programa utilizado para ∆ = 0,5, escrito en el 
lenguaje Quick Basic. 
 
 X = 150 
 delta = 0,5 
 FOR t = 0 TO 10 STEP delta 
 PRINT t, X 
 X prima = 5 - 16 * X / (400 + 4 * t) 
 X = X + delta * X prima 
 NEXT 
 
Método de Runge-Kutta 
 El método de Runge-Kutta es más exacto que el método de Euler (i.e., 
permite un ∆ mayor para igual error de aproximación), pero requiere de algunos 
pasos adicionales dentro de cada iteracción. 
 Supóngase nuevamente 
 X'(t) = f (X(t), t); X(0) = Xo 
 En este caso, X(t + ∆), en lugar de aproximarse a la expresión 
 X(t + ∆) = X(t) + X'(t) • ∆ 
como en el método de Euler, se aproxima a 
 ∆ X(10) 
 10 140 
 5 142,3810 
 2,5 143,3243 
 2 143,4981 
 1 143,8325 
 0,5 143,9935 
 0,2 144,0883 
 0,1 144,1196 
 0,01 144,1476 
 0,001 144,1506 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 61X(t + ∆) = X(t) + 
1
6 (C1 + 2C2 + 2C3 + C4) 
donde 
 ( ( ) ) 
 ( ( ) 
 
 
 
 
) 
 ( ( ) 
 
 
 
 
) 
 ( ( ) ) 
 El cuadro siguiente muestra para distintos valores de ∆ la aproximación que 
surge para X(10) cuando se usa el método de Runge-Kutta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es claro que con este método se converge más rápido que con el método de 
Euler. 
 El cuadro siguiente muestra el programa utilizado para ∆ = 0,5, escrito 
también en el lenguaje Quick Basic. 
 X = 150 
 delta = .5 
 FOR t = 0 TO 10 STEP delta 
 PRINT t, X 
 C1 = delta * (5 - 16 * X / (400 + 4 * t)) 
 C2 = delta * (5 - 16 * (X + C1 / 2) / (400 + 4 * (t + delta / 2))) 
 C3 = delta * (5 - 16 * (X + C2 / 2) / (400 + 4 * (t + delta / 2))) 
 C4 = delta * (5 - 16 * (X + C3 ) / (400 + 4 * (t + delta))) 
 X = X + (1 / 6) * (C1 + 2 * C2 + 2 * C3 + C4) 
 NEXT 
 
 ∆ X(10) 
 10 144,1538 
 5 144,1508 
 2,5 144,1507 
 2 144,1507 
 1 144,1507 
 0,2 144,1506 
 0,1 144,1507 
 0,001 144,1507 
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62 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 Para terminar, se debe destacar que ambos métodos requieren contar con la 
condición inicial para resolver la ecuación diferencial. Esto significa que solo 
pueden solucionar el sistema completo. 
 Asimismo, algunos de los métodos vistos en este capítulo únicamente 
permiten resolver ecuaciones de primer orden. Este último problema se solucionará 
en la segunda parte de este libro, donde se tratan problemas multiecuacionales. Una 
ecuación de enésimo orden se transformará en n ecuaciones de primer orden. La 
versión multiecuacional de los métodos de Euler y Runge-Kutta permitirá 
resolverlas. 
 
Problemas propuestos 
2.1 Compruebe que la solución a la ecuación de diferencias no lineal X(k+1) = 
X(k) / [1+X(k)] es X(k) = A/(1+Ak) y determine la relación entre A y X(0). 
2.2 Supóngase la ecuación de diferencias 
 X(k+2) + X(k) = 0; X(0) = 1; X(1) = 0 
a) Encuentre las raíces de la ecuación característica. 
b) Encuentre la solución del sistema. 
2.3 Encuentre la solución para las siguientes ecuaciones de diferencias, que son 
válidas para k = 0, 1, 2, ... 
a) X(k+2) - 5 X(k+1) + 6 X(k) = 0; X(0) = X(1) = 1. 
b) X(k+2) + X(k+1) + X(k) = 0; X(0) = 0; X(1) = 1. 
c) X(k+2) - 2 X(k+1) - 4 X(k) = 0; X(0) = 1; X(1) = 0. 
d) 3 X(k+2) - 6 X(k+1) + 4 X(k) = 0; X(0) = 0; X(1) = 1. 
e) X(k+2) - X(k) = 0; X(0) = 0; X(1) = 1. 
2.4 Demuestre que si las secuencias X1(k) y X2(k) solucionan una determinada 
ecuación de diferencias lineal homogénea de coeficientes constantes, 
entonces la secuencia X3(k) = c1 X1(k) + c2 X2(k) también la soluciona. 
2.5 Suponga una ecuación de diferencias lineal homogénea de coeficientes 
constantes de segundo orden que genera la secuencia de números 
 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, ... 
a) Encuentre la ecuación de diferencias. 
b) Encuentre la solución de dicha ecuación. 
c) En el límite, ¿cuál es la razón entre dos términos consecutivos? Explique 
usando su respuesta a la parte anterior. 
2.6 Demuestre que la solución a la ecuación 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 63 
 
 
 
 X(k+2) - 4 X(k+1) + 4 X(k) = 0; X(0) = X(1) = 2 
 Se puede representar a través de la ecuación 
 X(k) = (2-k) 2k 
 Adicionalmente, compruebe que esta solución es igual a aquella que se 
obtiene por el método recursivo. 
2.7 En relación con el ejemplo 2.4, utilice los valores de k = 0, 1, 2 para 
comprobar que la solución 
 X(k) = (
1
2 - 
i
2) i
k + (
1
2 + 
i
2) (-i)
k 
 es siempre real. 
2.8 Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: 
a) X" - 2X' = 0 
b) X" + 4X = 0; X(0) = 8; X'(0) = 3 
c) X" + 2X' - X = 0; X(0) = 1; X'(0) = 2 
d) X' + 2X = 0 
2.9 Considere la ecuación diferencial X''(t) = 0. Resuelva esta ecuación siguiendo 
los métodos vistos en este capítulo y demuestre que la solución es del tipo 
X(t) = At + B. 
2.10 Suponga que la población de un determinado país es de 10 millones de 
personas y que la tasa natural de crecimiento de la población es de 2% anual. 
La inmigración neta del país (inmigración menos emigración) es de 100 mil 
personas al año y crece a una tasa de 3% anual. 
Se pide: 
a) Encuentre una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden 
que represente la evolución de la población de este país. 
b) ¿Cuáles serían las condiciones iniciales en este caso? 
 2.11 Suponga que la población de un determinado país es de 12 millones de 
personas y que la tasa natural de crecimiento de la población es de 3% anual. 
La inmigración neta del país (inmigración menos emigración) es de 10 mil 
personas al año y crece a una tasa de 2% anual. 
Se pide: 
a) Encuentre una ecuación de diferencias lineal homogénea de segundo 
orden que represente la evolución de la población de este país. . 
b) ¿Cuáles serían las condiciones iniciales en este caso? 
2.12 La solución de una ecuación diferencial homogénea de segundo orden, 
incluidas las condiciones iniciales, se puede expresar como 
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64 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
X(t) = 2 e(2+3i)t + 4 e(2-3i)t 
Exprese la solución términos de senos y cosenos. No necesita demostrar, pero 
sí necesita explicar su procedimiento. 
2.13 Suponga que la población de un determinado país es de 12 millones de 
personas y que la tasa natural de crecimiento de la población es de 3% anual. 
La inmigración neta del país (inmigración menos emigración) es de 10 mil 
personas al año y dicha inmigración crece a una tasa de 2% anual. 
 Se pide: 
a) Encuentre una ecuación de diferencias lineal homogénea de segundo 
orden que represente la evolución de la población de este país. Ayuda: 
encuentre la ecuación característica deseada. Recomendación: resuelva 
primero la ecuación no homogénea correspondiente. 
b) ¿Cuáles serían las condiciones iniciales en este caso? 
2.14 Suponga que una determinada variable tiene ciclos de 5 años y que crece, en 
el largo plazo, a razón del 2% anual. 
 Se pide: 
a) Encuentre una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes 
constantes y de segundo orden que sirva para representar el 
comportamiento de dicha variable. 
b) Suponga ahora que el ingreso nacional de un país presenta también 
ciclos de 5 años y que también crece en el largo plazo a razón del 2% 
anual. La única diferencia con la variable de la parte a) es que el ingreso 
de equilibrio es de 10.000 pesos. Encuentre una ecuación diferencial 
lineal con entrada constante de coeficientes constantes y de segundo 
orden que sirva para representar el comportamiento de dicha variable. 
2.15 Encuentre la solución analítica para cada una de las siguientes ecuaciones 
de diferencias, usando los métodos presentados en este capítulo, y 
compruebe los resultados usando el método recursivo en un programa de 
planilla electrónica. 
a) X(k+2) = 3 X(k) + 4; X(0) = 1; X(1) = 2. 
b) X(k+2) = 2 X(k+1) - X(k) + 2k(k-1) ; X(0) = 2; X(1) = 1. 
c) X(k+2) - 5 X(k+1) + 6 X(k) = 2; X(0) = 2; X(1) = 5. 
d) X(k+2) - 3 X(k+1) + 2 X(k) = 1; X(0) = 0; X(1) = 2. 
e) X(k+2) - 2 X(k+1) + X(k) = 5 + 3k; X(0) = 1; X(1) = 1. 
f) X(k+2) + 3X(k+1) - 4 X(k) = 4k ; X(0) = 1; X(1) = 1. 
g) X(k+2) + X(k+1) + X(k) = 8k ; X(0) = 1; X(1) = 2. 
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2.16 En el problema propuesto 2.1 se le pidió comprobar que la solución al 
sistema X(k+1) = 
X(k)
1 + X(k) es X(k) = 
A
1+Ak Ahora defina Y(k) = 
1
X(k) 
para transformar esta ecuación en una ecuación lineal y resuelva con los 
métodos vistos en este capítulo. 
2.17 En el Capítulo 1, se vio que la solución al sistema X(k+1) = X(k) + b es 
X(k) = X(0) + kb. Demuestre que esta es la solución usando los métodos 
vistos en este capítulo. 
2.18 El modelo de la telaraña visto en el Capítulo 1, supone 
 D(k) = d0 - a P(k) 
 S(k) = S0 + b E[P(k)], donde E[P(k)] = P(k-1). 
 Un economista sugiere que se haga un modelo más sofisticado de 
expectativas. Con este propósito plantea que la formulación debe ser 
 E[P(k)] = 2 P(k-1) - P(k-2) 
a) Encuentre la ecuación de diferencias para P(k). 
b) Suponiendo a = 0,2; b = 0,1; d0 = 100 y S0 = -50, encuentre la solución 
de la ecuación de diferencias planteada en (a). 
c) Encuentre el precio de equilibrio, el cual si se logra se mantiene para 
siempre. 
d) Analice la estabilidad del equilibrio. 
2.19 En el ejemplo 1.10 se vio que la solución al sistema 
 X(k+1) = 1,08 X(k) + 1.080 k; k = 6, 7, 8, ..., n; X(6) = 0 
 era 
 X(k) = 157.384,86 (1,08)k - 168.750 - 13.500 k. 
 Demuestre que esta es la solución usando los métodos vistos en este 
capítulo. 
2.20 Su ingreso en abril es de $ 60.000, y crecerá a una tasa de 5% mensual durante 
los meses siguientes. Usted ha decidido ahorrar un porcentaje de su ingreso 
todos los meses y depositarlo en una cuenta de ahorro a una tasa de interés de 
3% mensual. 
 Se pide: 
 Suponga que usted deposita el último día de cada mes, ¿qué porcentaje tendría 
que depositar para tener $ 400.000 en su cuenta de ahorro el 1 de enero del 
siguiente año? 
2.21 Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: 
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66 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
a) X''' - 2X''- 5X' + 6X = e4t 
b) X" - 4X = t2 e3t 
c) X" - 4X = t2 e2t 
d) X" - 4X' + 4X = e2t + e3t 
e) X" - 3X' - 4X = 6t + e2t; X(0) = 2; X'(0) = 1 
f) X" + 3X' - 4X = te2t; X(0) = 1; X'(0) = 1 
2.22 La Ley de Newton de enfriamiento dice que el cambio de temperatura de un 
cuerpo por unidad de tiempo es proporcional a la diferencia de temperatura 
entre el cuerpo que se enfría (o calienta) y la temperatura del 
medioambiente. 
 Suponga en primer lugar que un cuerpo (agua) se enfría en 10 minutos, 
desde una temperatura de 80 grados a una de 29,43 grados en un 
medioambiente de 0 grados. 
 a) Determine la temperatura del agua en función del tiempo. ¿Cuánto vale 
X(8) = temperatura del agua a los 8 minutos? 
 b) Ahora suponga que un nuevo cuerpo (una bolita de fierro) se introduce 
en el agua (el agua de la parte a) en el minuto 0. Esta bolita es incapaz 
de afectar la temperatura del agua, pero se ve afectada por ella, ya que 
es su medioambiente. Suponga asimismo que la constante de 
proporcionalidad para el cambio de temperatura de la bolita es 0,2 en 
valor absoluto. Si la temperatura de la bolita es inicialmente 100 grados, 
 i) ¿Cuál es la temperatura de la bolita a los 3 minutos? 
 ii) ¿Cuánto tiempo se demorará la bolita en alcanzar una temperatura 
de 45 grados? 
2.23 Usted acaba de jubilar a los 65 años y ha decidido poner $ 100.000 en un 
banco al 10% anual. Usted espera vivir hasta los 85 años, con lo cual debe 
determinar cuánta plata puede retirar como máximo a comienzos de cada 
uno de los próximos 20 años. 
 Se pide: 
a) Determinar dicho monto máximo. 
b) En base a su respuesta anterior y a la solución de la ecuación de 
diferencias original, determine cuánta plata tendría en el banco al final 
del octavo año. 
2.24 La demanda por un determinado producto se puede descomponer en dos 
partes: a) la demanda privada, que sigue la relación Qp(k) = 1000 - 2 P(k) y 
b) la demanda del gobierno, que usa el producto en un programa de gasto 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 67 
 
 
 
social, y que sigue la relación Qg(k) = 10 . 1,1k. Es decir, la cantidad 
demandada por el gobierno crece al 10% anual partiendo de 10 unidades en 
el año 0. 
 Por otra parte, la oferta sigue la relación Qs(k) = -500 + 1,5 P(k-1). 
 Se pide: 
a) Si en cada período la cantidad ofrecida es igual a la cantidad demandada, 
escriba la ecuación de diferencias que rige la evolución del precio de este 
producto. 
b) Resuelva la ecuación anterior suponiendo P(0) = 480. 
c) Analice la ecuación anterior en todo lo que se refiere a equilibrio y 
estabilidad. 
2.25 Suponga que la tasa de crecimiento del ingreso nacional de Chile es una 
función lineal de la tasa de crecimiento del ingreso nacional de Estados 
Unidos. Es decir, 
 TCChile = a + b TCEE.UU. 
 Cuando la tasa de crecimiento de Estados Unidos es de 5%, en Chile se 
crece a 3%. Por otra parte, cuando la tasa de crecimiento de Estados Unidos 
es de 10%, en Chile se crece a 7%. 
 De acuerdo con un trabajo de una persona que no sabe macroeconomía, 
pero a quien usted le cree todo lo que dice, la evolución del ingreso nacional 
de Estados Unidos se puede describir como 
 I(k+1) = 1,05 I(k) - 4k k = 0, 1, 2, 3, ... 
 I(0) = 2.500 
 Por último, suponga que el ingreso nacional de Chile es de 100 en el año 0. 
 Se pide: 
 Plantee la ecuación de diferencias que rige la evolución del ingreso nacional 
de Chile a través del tiempo. Justifique claramente su respuesta, 
explicitando cualquier supuesto adicional que considere pertinente. 
 Nota: La ecuación de diferencias no puede incluir el ingreso nacional de 
Estados Unidos en la formulación. 
2.26 Considere la ecuación diferencial 
 X”(t) + X’(t) – 2 X(t) = 2 
 Se pide: 
 Calcule la tasa de crecimiento de largo plazo justificando claramente su 
respuesta. 
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68 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
2.27 Resuelva usando senos y cosenos, las siguientes ecuaciones diferenciales: 
a) X" - X' + 2X = sen t 
b) X" - X' + 2X = e
0,5t
 sen 
7
2 t 
c) X" - 2X' + 5X = 0 
d) X" - 4 X' + 25 X = 0 
2.28 Considere la siguiente ecuación diferencial: 
 X" - 2 X' + 5X = 4 
a) Resuélvala usando senos y cosenos. 
b) Encuentre un punto de equilibrio para la variable X. 
 Nota: Para que un punto sea de equilibrio, todas las derivadas evaluadas 
en dicho punto deben ser iguales a cero. 
c) ¿Es dicho equilibrio estable? Justifique su respuesta. 
d) ¿De qué tamaño son los ciclos? Justifique su respuesta. 
2.29 Suponga la siguiente ecuación diferencial: 
 X''(t) + a X'(t) + 4 X(t) = 0. 
 Dependiendo del valor de a, que puede ser positivo, negativo o cero, la 
variable X(t) divergirá, convergerá, presentará oscilaciones, no las 
presentará, a través del tiempo. 
a) ¿Para qué valores de a ocurren los distintos casos? Explique clara y 
ordenadamente su respuesta. Nota: No necesariamente se dan todos los 
casos. 
b) ¿De qué tamaño serán los ciclos si a = 0? Explique su respuesta clara y 
ordenadamente. 
c) Grafique en forma aproximada la evolución de X(t) en el caso que a = 
0. 
2.30 Resuelva usando senos y cosenos la siguiente ecuación de diferencias: 
 X(k+2) + X(k) = 0; X(0) = 3, X(1) = 8 
a) Evalúe cuánto vale X(3). 
b) Diga si la variable X(t) converge o diverge a medida que k aumenta. 
2.31 En relación con el problema anterior, resuelva usando complejos 
directamente y evalúe cuánto vale X(3). 
2.32 Considere la ecuación de diferencias X(k+2) = a X(k+1) - 4 X(k).Dependiendo del valor de a, que puede ser positivo, negativo o cero, la 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 69 
 
 
 
variable X(k) divergirá, convergerá, presentará oscilaciones, no las 
presentará, a través del tiempo. 
a) ¿Para qué valores de a ocurren los distintos casos? Explique clara y 
ordenadamente su respuesta. Nota: No necesariamente se dan todos los 
casos. 
b) ¿De qué tamaño serán los ciclos si a = 0? Explique su respuesta clara y 
ordenadamente. 
2.33 El mercado de betarragas en Tonga, país isla (y aislado) del Pacífico, se 
puede representar como 
D(k) = 1.000 - P(k) 
S(k) = -2.000 - 0,1 P(k-1) + s P(k-2) 
Donde D(k), S(k) y P(k) representan la demanda, la oferta y el precio en el 
período k, respectivamente, y s es una constante positiva. 
Se pide: 
a) ¿Entre qué valores debe estar el parámetro s para que el precio de las 
betarragas no oscile a través del tiempo? 
b) ¿Entre qué valores estará el precio de equilibrio, si es que el precio no 
oscila a través del tiempo? 
c) Si el precio de las betarragas no oscila, ¿qué puede decir de la 
estabilidad del equilibrio? 
2.34 Use el método de variación de parámetros para resolver las siguientes 
ecuaciones diferenciales: 
a) x’ + 
 
 
 B) x’ + tx = t 
 C) tx’ + 2x = 4t2; t ! 0; x(1) = 2 
 
2.35 Resuelva la ecuación 
 x’- tx = 2 – t2 ; x(0) = x0 
 y analice el comportamiento de la variable x(t) en función de x0. 
2.36 Considere la siguiente ecuación diferencial 
 X’’ + a X’ + X = 1 - a 
 Usted no conoce el valor del parámetro a, pudiendo ser, en principio, 
negativo, positivo o cero. Usted sí sabe que el equilibrio es positivo y estable; 
y que el sistema presenta oscilaciones. 
 Se pide: 
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70 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 a) ¿En qué rango de valores está el parámetro a? 
 b) ¿En qué rango de valores está el tamaño de los ciclos? 
2.37 Suponga que usted ha decidido ordenar su presupuesto. Sus ingresos 
mensuales crecen a 5% mensual a partir de un ingreso de $ 2.000 este mes. 
Usted ha decidido separar sus gastos en: a) Gastos normales (arriendo, 
bencina, etc.), que crecen a 2% mensual a partir de un nivel de $ 700; b) 
gastos extraordinarios mensuales, iguales a 4% del saldo en la cuenta de 
ahorro más 70% del excedente que quede del ingreso mensual después de 
pagar los gastos normales. El 30% de dicho excedente, usted ha decidido 
depositarlo en su cuenta de ahorro que paga 9% mensual. 
 Se pide: 
a) Plantee, sin resolver, el modelo en tiempo discreto que le permita ver la 
evolución del saldo en su cuenta de ahorro a través del tiempo. 
b) A qué tasa crece o decrece el saldo en su cuenta de ahorro en el largo 
plazo. Justifique claramente su respuesta a esta pregunta, pero puede no 
ser necesario resolver completamente la ecuación para hacerlo. 
2.38 Suponga que tiene 100 dólares en el banco a una tasa de interés anual 
instantánea r(t). Es decir, la tasa de interés depende del tiempo. 
 ¿Cuánto dinero tendrá en el banco al cabo de 2 años? Plantee y resuelva la 
ecuación diferencial correspondiente? 
 Si r(t) = 0,04 + 0,01 t, ¿cuánto dinero tendrá en dos años más? 
 Suponga que su abuelo decide depositar en su cuenta de banco, a modo de 
regalo y en forma continua, un monto igual a s(t) = 2 + t. ¿Cuánto dinero 
tendrá en 2 años más? Puede dejar expresada su respuesta. 
 NOTA: Suponga r(t) = 0,04 + 0,01 t, igual que en la parte b). 
2.39 Considere la ecuación de diferencias 
 X(k+2) - X(k+1) + 0,09 X(k) = 0,95k 
 Se pide: 
 Calcule la tasa de crecimiento de largo plazo, justificando claramente su 
respuesta. 
2.40 Compruebe que una solución de la ecuación diferencial 
 X” (t) – 3t X´(t) + 4 X(t) = 0 
 es la expresión 
 X(t) = t2ln t 
2.41 El ingreso de un país evoluciona, por razones desconocidas, de acuerdo con 
la siguiente ecuación diferencial: 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 71 
 
 
 
 X’’ – 0,2 X’ + 0,01 X = e0,1t 
 donde X es el ingreso anual. 
 Se pide: 
 Resuelva la ecuación diferencial. 
 ¿Cuál es la tasa de crecimiento anual de largo plazo? 
 Suponga que hoy el ingreso es X(0) = 200. ¿Cuál es la tasa de crecimiento 
anual promedio de los próximos 0,6 años? Este es el tiempo que falta para 
terminar el período presidencial. 
2.42 La tasa de crecimiento del ingreso en Chile ha sido, es y será siempre 1% 
mayor que la tasa de crecimiento del ingreso del resto del mundo. La 
evolución del ingreso en el resto del mundo se puede representar por la 
ecuación diferencial de segundo orden 
X’’ – 0,1 X’ – 0,0075 X = - 3 
Suponga que el ingreso hoy en el resto del mundo es 1,000 y que el ingreso 
de Chile es hoy 10. 
Se pide: 
Plantee una ecuación diferencial de primer orden que permita ver la 
evolución del ingreso en Chile. 
2.43 Suponga X’ = - 2 X + 1.000 e-0,03t. 
 Muestre que X(t) converge al punto de X = 0. ¿Es este un punto de 
equilibrio? 
2.44 Considere la siguiente ecuación diferencial 
X’’ - X’ + a X = 10 
Esta ecuación presenta oscilaciones que duran 4 años. 
Se pide: 
a) Determine el parámetro a. 
b) Use el valor del parámetro a encontrado y halle un punto de equilibrio 
para la variable X. 
c) ¿Es dicho equilibrio estable? Justifique su respuesta. 
2.45 Resuelva la ecuación de Bernoulli X’ + 3 X = X4. 
2.46 Considere la ecuación diferencial . Resuélvala tomando en 
consideración que la ecuación es separable. 
2.47 Utilice un programa de planilla electrónica para resolver por el método de 
Runge-Kutta, la ecuación diferencial 
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72 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
X'(t) = 5 - 
16 X(t)
400 + 4t ; X(0) = 150 
Compruebe que X(10) = 144,1507 usando ' = 1. 
2.48 Tío Rico tiene un depósito con 1 millón de monedas de US$ 1. Los Chicos 
Malos han ideado un sistema bastante ingenioso por medio del cual ellos 
sacan 1.000 monedas del depósito por minuto, e introducen 1.000 monedas 
falsas por minuto, las que se mezclan con las demás monedas del depósito en 
forma instantánea. 
 Explicite todos los supuestos que estime pertinentes, defina claramente sus 
variables y responda: 
 a) ¿Cuánto tiempo demorarán los Chicos Malos en robarle US$ 100.000 a 
Tío Rico? Nota: se recomienda trabajar con el número de monedas 
verdaderas en el depósito. 
 b) Los Chicos Malos tienen un costo alternativo de US$ 800 por minuto 
robando en otros lados. Suponiendo que no se demoran nada en 
clasificar las monedas que sacan del depósito entre verdaderas y falsas, 
¿en qué minuto deberían retirarse? 
 c) Una agencia noticiosa desea saber minuto a minuto, durante una hora, el 
monto de dinero verdadero en el depósito de Tío Rico. Utilice un 
programa computacional de planilla electrónica para asesorar a la 
agencia. 
2.49 Suponga una ecuación de diferencias homogénea, de coeficientes constantes, 
y de segundo orden que genera ciclos de 5 años que no convergen ni 
divergen. 
 Se pide: ¿Cuál es esta ecuación? 
2.50 Usted acaba de adquirir un bosque que cuenta con 18.000 m3 de una especie 
forestal extraña. Su problema es determinar cuánta madera (en miles de m3) 
tendrá en dos años más. Como no tiene idea de cómo determinar el 
crecimiento de esta especie, le ha pedido a un experto su asesoría. Él leentrega el siguiente informe: 
 Para la especie forestal en cuestión, el crecimiento (en miles de m3) se rige 
por la siguiente ecuación diferencial: 
 X’(t) = 
1000 X(t)4
eX(t)
 
 a) Use el método de Euler para determinar el volumen de madera en dos 
años más. Use ∆ = 0,5. 
 b) Use el método de Runge-Kutta para determinar el volumen de madera en 
dos años más. Use ∆ = 0,5. 
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CAPÍTULO 3 
 
 
APLICACIONES DE ECUACIONES DE 
DIFERENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES 
 
Este capítulo presenta algunas aplicaciones de ecuaciones de diferencias y 
ecuaciones diferenciales. 
Ejemplo 3.1: Un modelo simple en el área de ganadería
11
 
 El ejemplo siguiente tiene por objeto analizar la evolución de la masa 
ganadera en función de los principales factores que inciden en ella. Es un modelo 
simple que no pretende más que ayudar al entendimiento del problema de estimación 
de la oferta de carne. Debe destacarse que no es un modelo de optimización en el que 
se maximiza una función objetivo controlando los beneficios de animales. Es 
meramente un modelo descriptivo que permite ver qué pasa cuando se alteran las 
tasas de beneficio. 
 Los supuestos en que se basa el modelo son: 
a) Una vaca alcanza madurez reproductiva en T años. 
b) Un porcentaje a de las vacas de edad T o más años tiene un ternero al 
año (supone que no hay mellizos). 
c) Un porcentaje b de los terneros son hembras (vaquillas). 
d) Un porcentaje c de los terneros vive hasta alcanzar madurez 
reproductiva. 
e) La tasa de mortalidad natural anual de las vacas en edad reproductiva es 
(1-d), donde d es la tasa anual de sobrevivencia de las mismas. 
f) r es el porcentaje de la población hembra adulta que se beneficia 
anualmente (tasa de extracción). Adicionalmente se supone que no hay 
exportaciones ni importaciones. 
 
11 Este ejemplo está basado en Philippi, B. (1980): “Tasa de extracción y evolución de la 
masa ganadera: un modelo simple”. Ciencia e Investigación Agraria. Vol 7, Nº 2, pp. 109-113. 
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74 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
Si se define X(k) como el número de vacas reproductoras en el año k, 
entonces la evolución de X(k) está determinada por la relación: 
 X(k) = abc X(k-T) + (d-r) X(k-1) k = T, T+1, ... 
 La pregunta obvia es: ¿por qué es esta la relación? 
 En primer lugar se verá el segundo término: X(k-1) es el número de vacas 
reproductoras en el período anterior (k-1). De estas vacas reproductoras un 
porcentaje d sobrevive en forma natural y un porcentaje r se beneficia. Con esto 
quedan (d-r) X(k-1) para el período k. (Debe destacarse que esta es una aproximación 
discreta a un problema continuo). En otras palabras, el término (d-r) X(k-1) es el 
número de vacas que siendo reproductoras el período k-1 siguen siendo parte del 
stock de vacas reproductoras en el período k. 
 Para completar el problema, faltan las vacas que no siendo reproductoras en 
el período k-1, pasan a ser reproductoras en el período k. Para tener T años en el 
período k (edad cuando pasan a ser reproductoras), tienen que haber nacido en el 
período k-T. 
 El número de terneros (hembras y machos) nacidos en el período k-T es 
igual a a X(k-T). Por otra parte, el porcentaje de hembras es b con lo que b a X(k-T) 
es el número de vaquillas nacidas en el período k-T. Como un porcentaje c de los 
terneros sobrevive hasta alcanzar la madurez, c b a X(k-T) es el número de vacas 
reproductoras “nuevas” en el período k. 
 Con esto, la evolución del número de vacas reproductoras se puede expresar 
de acuerdo a la ecuación lineal homogénea de coeficientes constantes y de orden T 
descrita anteriormente. 
 A modo de ejemplo, se supondrá que 
a = 0,7 (de 100 vacas reproductoras nacen 70 crías al año) 
b = 0,5 (igual número de machos y hembras) 
c = 0,82 (18% de los terneros muere antes de llegar a la madurez) 
d = 0,96 (4% de las vacas reproductoras muere en forma natural todos los 
años) 
r = 0,20 (tasa de extracción) 
T = 2 (se alcanza madurez reproductiva a los dos años). 
 En este caso, la ecuación (1) se puede escribir como 
 X(k) = 0,287 X(k-2) + 0,76 X(k-1) 
 La ecuación característica de este sistema es 
 O� - 0,76 O - 0,287 = 0 
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 CAP.3 / APLICACIONES DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 75 
 
 
cuyas raíces son O1 ��= 1,03681 y O2 ��= -0,27681, con lo cual la solución a este 
sistema sería 
 X(k) = c1 1,03681k + c2 (-0,27681)k 
donde c1 y c2 quedarán determinados una vez especificadas las condiciones iniciales 
X(0) y X(1). 
 Es claro que, en este ejemplo, la masa ganadera tiende a crecer 
continuamente, ya que O1 ��es mayor que uno. Adicionalmente, en el largo plazo, 
dicha masa crecerá a un ritmo del 3,681% anual, ya que el segundo término del lado 
derecho tiende a cero. 
Ejemplo 3.2: Un modelo macroeconómico simple 
 Supóngase el siguiente modelo para representar la economía de un país: 
 Y(k) = C(k) + I(k) + G(k) 
 C(k+1) = a Y(k) 
 I(k+1) = b [C(k+1) - C(k)] 
 G(k) = G = 1 (se supone constante y es usado como numerario) 
donde 
 Y(k) = Ingreso nacional en el período k 
 C(k) = Consumo en el período k 
 I(k) = Inversión en el período k 
 G(k) = Gasto de gobierno en el período k 
 a, b = constantes 
 En este caso, si lo que interesa es ver cómo evoluciona el ingreso a través 
del tiempo, es necesario especificar la ecuación de diferencias para la variable Y(k). 
 Las ecuaciones anteriores se pueden reescribir como 
 C(k) = a Y(k-1) 
 I(k) = b [C(k) - C(k-1)] 
 Reemplazando en (1) se obtiene 
 Y(k) = a Y(k-1) + b[a Y(k-1) - a Y(k-2)] + 1 
 En forma equivalente, se tiene 
 Y(k+2) = (a + ba) Y(k+1) - ba Y(k) + 1 
 Si se supone, a modo exclusivamente de ejemplo, que a = 0,8 y que b = 3, se 
tiene que 
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76 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 Y(k+2) = 3,2 Y(k+1) - 2,4 Y(k) + 1. 
 La solución a esta ecuación es, siguiendo los procedimientos descritos en el 
Capítulo 2, 
 Y(k) = 5 + C1 2k + C2 1,2k 
 De aquí se desprende que 
 
Y(k+1)
Y(k) = 
5+c12k+1+c21,2k+1
5+1c12k+c21,2k
 = 
5
2k
 + 2c1 + c2 
1,2k+1
2k
5
2k
 + c1 + c2 
1,2k
2k
 
 El límite de esta expresión cuando k tiende a infinito es claramente 2, con lo 
cual puede verse que, en este caso, el ingreso crecerá en el largo plazo a una tasa de 
100% anual. 
Tal como se dijo anteriormente, los números supuestos son usados 
exclusivamente como ejemplo. Asimismo, es conveniente observar que la entrada al 
sistema, G, en este caso no afecta la tasa de crecimiento de largo plazo del ingreso, 
ya que esta está dada por la parte homogénea, aunque sí altera el nivel del ingreso. 
Ejemplo 3.3: Problema de la ruina del apostador
12
 
 Supóngase un juego con dos jugadores A y B, una cantidad total de fichas a 
+ b, y donde se juega con una ficha por partida hasta que uno de los dos se lleve 
todas las fichas. En cada partida, el jugador A tiene una probabilidad de p de ganar 
una ficha y (1-p) = q de perderla. 
 El problema es determinar la probabilidad de que A termine con todas las 
fichas si parte con a fichas del total. (Esta probabilidad es obviamente igual a la 
probabilidad de que B pierda si él parte con b fichas).Este problema puede plantearse en términos de una ecuación de diferencias 
homogénea de segundo orden, como se verá a continuación. Si se define X(k) = 
probabilidad de que A eventualmente se quede con todas las fichas si tiene k fichas, 
es claro que 
 X(0) = 0; X(a+b) = 113 
 Ahora bien, si A tiene k fichas, después de la próxima partida tendrá k + 1 o 
k-1 fichas, con probabilidades p y q, respectivamente, dependiendo si gana o pierde 
dicha partida. Aplicando el teorema de Bayes de probabilidades, lo anterior se puede 
expresar como 
 
12 Basado en Luenberger, D.G.: Introduction to dynamic systems: theory, models & 
applications. Nueva York: John Wiley & Sons, 1979, pp. 36-38. 
13 Nótese que k no se refiere al período, como en los ejemplos anteriores, sino al número de 
fichas. 
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 CAP.3 / APLICACIONES DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 77 
 
 
Probabilidad (A eventualmente se quede con todas las fichas cuando tiene k 
fichas) = 
Probabilidad (A eventualmente se queda con todas las fichas cuando tiene k 
fichas / A gana próxima partida) P(A gana próxima partida) + 
+ Probabilidad (A eventualmente se queda con todas las fichas cuando tiene 
k fichas / A pierde próxima partida) P(A pierde próxima partida) 
 Esto es lo mismo que decir que 
X(k) = p X(k+1) + q X(k-1) 
 La ecuación característica es 
- pO2 �+ O�- q = 0 
 O�= (1, 
q
p ) 
 Si se supone que q ≠ p 
 X(k) = C1 + C2 (
q
p)
k 
Las condiciones auxiliares implican 
 X(0) = 0 = C1 + C2 
 X(a+b) = 1 = C1 + C 2 (
q
p)
a+b 
 Al despejar se obtiene 
 
 
 ( )
 
con lo que 
 ( ) 
 ( )
 
 ( )
 
 Así, si A tiene a fichas, la probabilidad de que eventualmente gane es14 
 ( ) 
 ( )
 
 ( )
 
 
14Nótese que este ejemplo tiene solución única a pesar de no cumplir con los supuestos del 
teorema de existencia y unicidad, que indican que las condiciones iniciales se plantean para 
valores consecutivos de k. 
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78 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 Como ejemplo supóngase una ruleta con 18 números rojos, 18 negros y 1 
verde (el 0) y que el jugador A apuesta US$ 1 a color (i.e., rojo o negro). Si le 
apunta, le dan US$ 1. Si no, le quitan US$ 1. Asimismo, suponga que a = 100 y que 
b = 1.000. En este caso, 
 p = 
18
37 ; q = 
19
37 ; 
q
p = 
19
18 
con lo que 
 X(100) = 3,29 . 10-24 
Ejemplo 3.4
15 
 El modelo de la telaraña presentado en el Capítulo 1 es un modelo simple de 
oferta y demanda usado frecuentemente para describir la evolución de los precios en 
los mercados agrícolas. 
 La característica principal de este modelo es que la producción tiene un 
rezago y que los productores, al momento de sembrar, deben predecir el precio que 
regirá al momento de cosecha. 
 Matemáticamente este modelo supone 
D(k) = do - a P (k) 
S(k) = So + bE[P (k)] 
E[P(k)] = P(k-1) 
La solución a este sistema, tal como se vio en el Capítulo 1, es 
 P(k) = (-b/a)k P(0) + 
1- (-b/a)k
a+b (do - So) 
 Asimismo, se concluyó que si b < a, el precio tenderá al equilibrio sea cuál 
sea el precio inicial. 
 A continuación se verá qué ocurre con la estabilidad del equilibrio si se 
suponen expectativas adaptativas del tipo 
 E[P(k)] - E[P(k-1)] = E[P(k-1) - E[P(k-1)]] 
donde 0 < E�≤ 1. 
Claramente, si E = 1 se vuelve al modelo anterior. 
De la ecuación anterior se desprende que 
 E[P(k-1)] = 
E[P(k)]
1-E - 
E
1-E P (k-1) 
 
15El ejemplo siguiente se basa en el artículo de Nerlove, M.: “Adaptive expectations and 
cobweb phenomena”. Quarterly Journal of Economics, vol. LXXIII, Nº 2, 1958, pp. 227-240. 
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 CAP.3 / APLICACIONES DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 79 
 
 
 Al rezagar la ecuación en un período, se tiene que 
 S(k-1) = So + b E[P(k-1)] 
 Al sustituir la ecuación en la ecuación original, se tiene que 
 S(k-1) = So + b ©
§
¹
·E [P(k)]
1-E - 
E
1-E P(k-1) = So + b ©
§
¹
·S(k) - So
b (1-E) - 
E
1-E P(k-1) 
 
 Como el modelo supone equilibrio de cantidades ofrecidas y demandadas en 
cada período, debe cumplirse que S(k) = D(k), con lo cual, haciendo las sustituciones 
correspondientes, se tiene que 
 do - aP(k-1) = So + b ©
§
¹
·do - a P(k) - So
b(1-E) - 
E
1-E P(k-1) 
De aquí se desprende que la ecuación de diferencias que determina la 
evolución del precio a través del tiempo se puede escribir como 
 P(k) = 
(do - So)E
a + [ ©§ ¹·
-b
a - 1 E + 1] P(k-1) 
Para que los precios converjan, siguiendo el mismo razonamiento del 
Capítulo 1, es necesario que la expresión 
 [ ©§ ¹·
-b
a - 1 E + 1] 
esté entre -1 y 1. 
Como a, b y E�son parámetros positivos, el término anterior es 
necesariamente menor que 1, con lo cual el cumplimiento de esta condición de 
estabilidad exige que 
 ©
§
¹
·-b
a - 1 E > -2 
o bien que 
 
b
a < 
2
E - 1 
 En el caso del modelo de la telaraña original, que en este modelo se 
representa por E = 1, el requisito de estabilidad es que 
 
b
a < 1 
 Para cualquier otro valor de E (0 < E ≤ 1), se cumple que 
 
2
E - 1 > 1, 
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80 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
con lo que, al suponer expectativas adaptativas, se amplía el rango de la razón 
b
a 
para el cual el sistema es estable. 
Ejemplo 3.5 
 Supóngase el siguiente modelo para representar la economía de un país. El 
ingreso nacional, Y, en cada período, se compone de tres partes: 1) Consumo, C; 2) 
Inversión, I, y 3) Gasto de gobierno, G. Así, 
 Y(k) = C(k) + I(k) + G(k) 
 Supóngase que i) El consumo en cada período es proporcional al ingreso 
nacional del período anterior; ii) La inversión en cada período es proporcional al 
aumento del consumo entre el período anterior y el período corriente (principio del 
acelerador); iii) El gasto de gobierno es constante para todos los períodos. 
 En este caso, tal como se viera en el ejemplo 3.2, la evolución del ingreso 
nacional se puede representar como la ecuación de diferencias lineal no homogénea 
de coeficientes constantes de segundo orden 
 Y(k) = a Y(k-1) + b a Y(k-1) - b a Y(k-2) + G 
 Esta ecuación surgía al resolver el sistema de ecuaciones 
 Y(k) = C(k) + I(k) + G(k) 
 C(k) = a Y(k-1) 
 I(k) = b [C(k) - C(k-1)] 
 G(k) = G 
 Supóngase, a modo de ejemplo, que a = 0,8. Se dice que los ciclos 
económicos dependen de la inversión. La pregunta es entonces ¿para qué valores de 
b el ingreso oscila? Si se supone que G = 1 (se usa el gasto como numerario), la 
evolución del ingreso se puede describir como 
 Y(k) = (0,8 + 0,8 b) Y(k-1) - 0,8 b Y(k-2) + 1 
 La ecuación característica en este caso es 
 O = 
(0,8 + 0,8 b) ± (0,8 + 0,8 b)2 - 3,2b
2 (1) 
 Habrá oscilaciones si el término bajo la raíz es negativo. Es decir, si se 
cumple que 
 3,2 b > (0,8 + 0,8 b)
2 
 Al resolver se puede determinar que el ingreso oscilará si b está entre 0,38 y 
2,62. 
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 CAP.3 / APLICACIONES DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 81Para saber si el ingreso converge o diverge, se supondrá en primer lugar que 
este oscila. En este caso, la ecuación (1) se puede escribir como 
 O = 0,4 + 0,4 b ± 0,48 b - 0,16 b2 - 0,16 i 
 Gráficamente, 
GRÁFICO 3.1 
 
Compone nte 
Ima ginario
Compone nte 
Real
0,48b - 0 ,16b - 0,16
0,4 + 0,4b
2
 
 Así, r = 0,8 b 
 Como b es positivo y la raíz de un número mayor que 1 es también mayor 
que 1, para que el ingreso diverja debe cumplirse que b sea mayor que 1/0,8 = 1,25. 
 Si b es menor o igual a 1,25, el sistema converge. 
 En términos de un gráfico, esto significa que 
 I IIa IIb III 
 no oscila oscila oscila no oscila 
 converge diverge 
 ___________|_______________|______________|_______________ 
 0,38 1,25 2,62 
 En el caso que el sistema no oscile, podría eventualmente converger o 
divergir. Para que el sistema diverja, es necesario que el mayor O sea mayor que 1. El 
mayor O se dará cuando se use la raíz positiva de la ecuación (1). Por lo tanto, para 
que el sistema diverja, se debe cumplir que 
 0,4 + 0,4b + 0,16 b2 - 0,48 b + 0,16 > 1 
 Es posible, a partir de esta ecuación, concluir que si b es menor a 0,38 
(tramo I), el sistema converge y si es mayor que 2,62 (tramo III), el sistema diverge. 
 Gráficamente, se tiene 
 
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82 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 no oscila oscila oscila no oscila 
 converge converge diverge diverge 
 ________|_______________|______________|_______________ 
 0,38 1,25 2,62 
Ejemplo 3.616 
 Un supuesto fundamental del teorema de la telaraña es que el productor 
espera que el precio en el período siguiente sea igual al precio del período presente. 
En este ejemplo se modifica este modelo para explorar siete alternativas diferentes de 
formación de expectativas. 
 Las alternativas son las siguientes: 
1) Los productores suponen que el precio varía entre los dos últimos períodos, con 
cambios en la misma dirección, por a) un monto mayor; b) un monto de igual 
magnitud; y c) un monto menor. 
2) Los productores suponen que el precio varía entre los dos últimos períodos, con 
cambios en la dirección opuesta, por a) un monto mayor; b) un monto de igual 
magnitud; y c) un monto menor. 
3) Los productores suponen que el precio será igual al promedio simple de los dos 
últimos períodos. 
 Para analizar estas alternativas, se plantea la siguiente ecuación general 
 E[ ]P(k) = P(k-1) + K [ ]P(k-1) - P(k-2) 
donde P(k) = precio unitario en el período k; E[ ]P(k) = precio que se espera ocurra 
en el período k, según la predicción efectuada en el período k-1; S(k) = cantidad 
ofrecida en el período k; D(k) = cantidad demandada en el período k; K = constante. 
 Las distintas alternativas se representan en este modelo de acuerdo al valor 
de la constante K. A continuación se presentan los distintos casos. 
 CASO 
K > 1 1a 
K = 1 1b 
1 > K > 0 1c 
K < - 1 2a 
K = - 1 2b 
0 > K > - 1 2c 
K = 0 E[ ]P(k) = P(k-1) 
K = - 0,5 3 
 
16 El ejemplo siguiente está basado en el artículo de A.P. Collery, “Expected price and the 
cobweb theorem”. Quarterly Journal of Economics, vol. LXIX, 1955, pp. 315-317. 
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 CAP.3 / APLICACIONES DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 83 
 
 
 Para desarrollar el modelo, se supondrá que tanto la oferta como la demanda 
son lineales. Así, 
 S(k) = c + hE[ ]P(k) 
 D(k) = a - bP(k) 
 Al sustituir la ecuación de formación de expectativas en la ecuación de la 
demanda se obtiene 
 S(k) = c + (h + hK) P(k-1) - hK P(k-2) 
 De la condición de equilibrio entre cantidad demandada y cantidad ofrecida 
en cada período, S(k) = D(k), se desprende que 
 P(k) = 
(a-c)
b + 
-h - hK
b P(k-1) + 
hK
b P(k-2) 
 Esta es la ecuación de diferencias que define la evolución del precio en este 
mercado. 
 Si se supone, a modo de ejemplo, que h = 3, b = 2, a = 1000, c = -500, la 
ecuación anterior puede reescribirse como 
 P(k) = 750 - 1,5 (1+K) P(k-1) + 1,5K P(k-2) 
 Para obtener el precio de equilibrio, se debe despejar P
_
 de la siguiente 
ecuación: 
 P
_
 = 750 - 1,5 (1+K) P
_
 + 1,5 K P
_
 
con lo cual P
_
 = 300 
 La ecuación característica en este caso es 
 O2 + 1,5 (1+K) O - 1,5 K = 0 
cuyas raíces son 
 O = 
-1,5 (1+K) ± 2,25 + 10,5K + 2,25K2
2 
 Estas raíces serán complejas, dando lugar a oscilaciones, si el término bajo 
la raíz es negativo. Ello sucedería si 
 -4,441518 < K < - 0,225148 
 Para ver si los precios convergen o divergen, se supondrá en primer lugar 
que las raíces son complejas. En este caso se puede escribir 
 O = - 0,75 (1+K) ± 
- 2,25 - 10,5K - 2,25K2
2 i 
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84 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 Esto implica que 
 r2 = a2 + b2 = [- 0,75 (1+K)]2 + 
-2,25 - 10,5K - 2,25K2
4 = -1,5K 
 De aquí se desprende que los precios serán divergentes si K < -0,667 y 
convergentes para K > - 0,667. 
 Ahora bien, si las raíces son reales, es conveniente escribir 
 O = - 0,75 (1 + K) ± 
2,25 + 10,5K + 2,25K2
2 
 Para que converja es necesario que el mayor O, en términos absolutos, sea 
menor que 1. Puede comprobarse que ello sucederá, cuando las raíces son reales, 
solo si K está entre -0,225148 y -0,16667. 
 Dado que en este rango O es un número negativo, el sistema presentará 
oscilaciones (ya que Ok cambiará de signo período a período). 
 El cuadro siguiente presenta un resumen de este ejercicio. 
 
Este ejemplo ha servido, entre otras cosas, para mostrar que una misma 
realidad se puede explicar con distintos modelos de comportamiento y que un mismo 
modelo puede explicar distintas realidades. 
Ejemplo 3.717 
 Supóngase que la demanda por un bien, D(t), por unidad de tiempo, se 
puede representar como 
 D(t) = a - b P(t) 
y que la oferta S(t) se puede expresar a través de la ecuación 
 
17Basado en Allen, R.G.D.: Mathematical economics. Nueva York: St. Martin’s Press, 1959, 
Capítulo 1. 
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 CAP.3 / APLICACIONES DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 85 
 
 
 S(t) = - c + d P(t) 
donde a, b, c, d son constantes positivas. 
 Asimismo, supóngase que si hay un exceso de demanda o de oferta, el 
precio cambia para disminuir dicho exceso en una cantidad proporcional a dicho 
exceso. Si se trabaja en tiempo continuo, lo anterior se puede representar 
matemáticamente como 
 
d[D(t) - S(t)]
dt = - k [D(t) - S(t)] 
donde k es una constante positiva. 
 En primer lugar es fácil ver que el precio de equilibrio de este sistema, aquel 
que hace que la expresión 
d [D(t) - S(t)]
dt sea igual a cero, es 
 P
_
 = 
a+c
b+d 
 En segundo lugar, es posible demostrar que 
 
dP(t)
dt = -k [P(t) - P
_
 ] 
con lo cual 
 P'(t) = - k P(t) + kP
_
 
 Para demostrar lo anterior, es conveniente ver que, por una parte, la 
expresión 
d [D(t) - S(t)]
dt es igual a 
 
d[D(t) - S(t)]
dt = 
d
dt [a - bP(t) + c - dP(t)] = 
 = 
d
dt [a + c -(b+d) P(t)] = -(b+d) 
dP(t)
dt 
 Por otra parte, 
 -k[D(t) - S(t)] = -k[a + c - (b+d) P(t)] 
 Así, debe cumplirse que 
 - (b+d) P'(t) = -k[a + c - (b+d) P(t)] 
 Esto implica que 
 P'(t) = - k [P(t) - P
_
 ] 
 La solución a esta ecuacióndiferencial es 
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86 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 ( ) [ ( ) ̅
( )
] ̅ [ ( ) ̅] ̅ 
 Esta ecuación permite ver, además de la evolución del precio, que el 
equilibrio P
__
 es estable, ya que e-kt tiende a cero a medida que t aumenta. 
 
Ejemplo 3.818 
 El ejemplo siguiente tiene por objeto explorar las relaciones entre el ingreso 
nacional y la deuda nacional. 
 El modelo supone: a) el ingreso, Y(t), crece a una tasa anual constante, E; b) 
el crecimiento anual de la deuda es una proporción del ingreso. Matemáticamente, 
 D'(t) = D Y(t) 
 Y'(t) = E Y(t) 
 Y(0) = Y0 
 D(0) = D0 
 D,��E��> 0 
 De las ecuaciones Y'(t) y Y(0) se desprende que 
 Y(t) = Y0 eEt 
 Al sustituir en (1), es claro que 
 D'(t) = D Y0 eEt 
 La solución a esta ecuación diferencial, siguiendo el procedimiento visto en 
el Capítulo 4, es 
 D(t) = D0 + 
D
E Y0 (e
Et - 1) 
 Así, la evolución de la razón deuda-ingreso sería 
 
D(t)
Y(t) = 
D0
Y0eEt
 + 
D
E ©
§
¹
·1 - 1
eEt 
 
18
El ejemplo siguiente está basado en Domar, E.D.: “The ‘burden of the debt’ and the national 
income”. American Economic Review, 1944, citado en Chiang, A.: Fundamental methods of 
mathematical economics, 2a ed. Nueva York: McGraw-Hill, 1974, pp. 511-515. 
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 CAP.3 / APLICACIONES DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 87 
 
 
 A medida que t aumenta, la expresión tiende a DE Para terminar, se debe 
hacer notar que este modelo no incluye la tasa de interés de la deuda ni el pago de 
amortizaciones por parte del país. 
Ejemplo 3.9: Modelo de crecimiento de Solow con una función de producción 
Cobb-Douglas19 
 Supóngase una función de producción Cobb-Douglas con rendimientos 
constantes a escala. Ello significa que 
 Q = KDL��D = L kD 
donde Q, K y L representan el producto, el capital y el trabajo respectivamente, 
mientras que k = 
K
L representa el capital por trabajador. 
 Si se supone que la tasa de crecimiento de la fuerza laboral, n, es constante, 
que hay pleno empleo y que la inversión es una proporción constante del ingreso, 
entonces 
 
dL
dt = nL� ��L(t) = L(0) e
nt� � �
��������������
dK
dt ��= sQ = s L(0) e
nt kD������������������� 
 El principal problema con esta ecuación diferencial es que la variable de la 
izquierda, K, es distinta que la variable del lado derecho de la ecuación, k. La 
relación entre ambas variables es 
 k = 
K
L 
con lo cual 
 K = k L = L(0) ent k 
 K' = L(0)�n�ent k + L(0) ent k' 
 De aquí, se desprende que 
 K’ = s L(0) ent kD�=�L(0)�n�ent k + L(0) ent k' 
 k' = s kD�- n�k 
 
19Este ejemplo está basado en un ejemplo desarrollado en Chiang, A.C.: Fundamental 
methods of mathematical economics. 2a ed. Nueva York: McGraw-Hill Book Company, 1974, 
pp. 497-501. 
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88 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 Esta es la ecuación diferencial que rige la evolución del capital por 
trabajador a través del tiempo. Esta ecuación diferencial no lineal es una ecuación de 
Bernoulli, vista en el capítulo anterior. Para resolverla, se define 
 z = k(1-D) 
 dz
dt 
 = (1-D) k�D k ' = (1-D) 
 
 
 
 De aquí se desprende que 
 
1
1-D 
dz
dt = s - n z 
 
dz
dt = - (1-D) n z + (1-D) s 
 Esta es una ecuación diferencial de primer orden de coeficientes constantes 
que se puede resolver siguiendo los procedimientos presentados en capítulos 
anteriores. 
Problemas propuestos 
3.1 En base a los valores de los parámetros a, b, c, d, y T propuestos en el 
ejemplo 3.1, determine la tasa de extracción, r, máxima que no hace 
disminuir la masa ganadera en el tiempo. 
3.2 En el ejemplo 3.1, se desarrolló un modelo ganadero que no consideraba 
posibles importaciones ni exportaciones. Para T = 2, la evolución del número 
de vacas reproductoras quedaba determinada por la ecuación de diferencias 
 X(k+2) = (d-r) X(k+1) + abc X(k) 
 Ahora suponga que hay importaciones de vacas reproductoras todos los años 
e iguales a M(k). En base a los valores de los parámetros a, b, c, d y r 
propuestos, escriba la solución del sistema en función de X(0), X(1) y k para 
los siguientes casos 
a) M(k) = 300 (1,02)k. En este caso, las importaciones crecen a una tasa de 
2% anual. 
b) M(k) = 10.000 - X(k-1). En este caso se importa para tener un stock 
constante basado en el stock del año anterior. (Nota: M(k) negativo 
implica exportaciones). 
c) M(k) = 30 k. En este caso, todos los años aumentan las importaciones en 
30 unidades. 
3.3 En base al ejemplo 3.3, suponga que el jugador A tiene como único fin 
quebrar al casino en la ruleta (jugador B), quien tiene $ 1.000 en caja. 
 El jugador A tiene en sus manos $ 500 y dos alternativas: 
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 CAP.3 / APLICACIONES DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 89 
 
 
1. Jugarlas de la misma forma que en el ejemplo apostando cada vez a color. 
2. Pagar $ 450 al casino para que si sale el 0 (verde) en cualquier jugada, se 
considere empate y pueda retirar su apuesta. 
¿Qué le recomendaría al Señor A? Justifique su respuesta. 
3.4 En base al ejemplo 3.3, encuentre la probabilidad de que A eventualmente 
gane si parte con 100 fichas, B parte con 1.000 fichas y p = 1/2. 
 Nota: En este caso ambas raíces de la ecuación característica serían iguales a 
uno. 
3.5 En base al ejemplo 3.3, encuentre la probabilidad de que A eventualmente 
gane si cuando sale verde gana él. 
3.6 En base al ejemplo 3.2, ¿cuál sería la tasa de crecimiento del ingreso en el 
largo plazo si la constante m fuera igual a 0,9 en lugar de 0,8? 
3.7 En relación con el ejemplo 3.5, ¿de qué tamaño son los ciclos si b = 1? 
3.8 En relación con el ejemplo 3.6, ¿de qué tamaño son los ciclos si K = - 0,8? 
3.9 Suponga el siguiente modelo para representar la economía de un país: 
 Y(k) = C(k) + I(k) + G(k) 
 C(k+1) = a Y(k) 
 I(k+1) = 3(C(k+1) - C(k)) 
 donde: 
 Y(k) = Ingreso nacional en el período k. 
 C(k) = Consumo en el período k. 
 I(k) = Inversión en el período k. 
 G(k) = Gasto de gobierno en el período k. 
 a = Propensión marginal a consumir, constante. 
 Suponga asimismo que el gasto de gobierno creció a una tasa anual constante 
desde $ 800 en 2002 a $ 4.953,39 el año 2012. 
 Se pide : 
a) Encuentre y resuelva la ecuación de diferencias para el gasto de gobierno 
G(k). 
b) Encuentre la ecuación de diferencias para el ingreso nacional en función 
del parámetro a (propensión marginal a consumir). 
c) Resuelva la ecuación de diferencias planteada (excluidas las condiciones 
iniciales), en función del parámetro a. 
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90 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
3.10 La demanda por trigo en Chile se puede descomponer en dos partes: a) la 
demanda privada, que sigue la relación 
 Qp(k) = 10.000 - 4 P(k) 
 y b) la demanda del gobierno, que usa el producto en un programa de 
alimentación escolar, y que sigue la relación 
 Qg(k) = 1,2 Qg(k-1) + 100 
 Por otra parte, la oferta sigue la relación 
 Qs(k) = -1.000 + 2 E[P(k)]donde 
 E[P(k)] = Precio que se espera ocurra en el período k, según la predicción 
efectuada en el período k-1. 
 Finalmente, suponga que 
 E[P(k)] = P(k-1) + 0,2 P(k-2) 
 Se pide: 
a) Si en cada período la cantidad ofrecida es igual a la cantidad demandada, 
escriba la ecuación de diferencias que rige la evolución del precio de este 
producto. 
b) Resuelva la ecuación anterior sin considerar las condiciones iniciales. 
c) Analice la evolución del precio del trigo en lo que se refiere a equilibrio y 
estabilidad. 
3.11 En el mercado de un determinado producto, la oferta y demanda se pueden 
expresar como 
 Qd(k) = 1000 - 2 P(k) 
 Qs(k) = -2000 + 3 P(k) 
 Este mercado no se despeja en cada período. Los vendedores fijan el precio 
según la evolución de los inventarios. Específicamente el ajuste de precio 
período a período es inversamente proporcional al cambio observado en los 
inventarios, con lo cual 
 P(k+1) = P(k) - a [ Qs(k) - Qd(k) ] 
 donde a es un parámetro estrictamente positivo. 
 Se pide: 
a) Escriba la ecuación de diferencias que rige la evolución del precio de este 
producto y resuelva. 
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 CAP.3 / APLICACIONES DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 91 
 
 
b) Dependiendo del valor de a, la variable P(k) convergerá, divergirá, 
presentará oscilaciones, no las presentará, a través del tiempo. ¿Para qué 
valores de a ocurren los distintos casos? 
 Nota: No necesariamente se dan todos los casos. 
3.12 En el mercado de un cierto producto agrícola, la demanda se puede 
representar como 
 D(k) = 1000 - 2 P(k) 
 y la oferta como 
 S(k) = - 500 - 3 P(k-1) + 6 P(k-2) 
 Se pide: 
a) Encuentre la ecuación dinámica para P(k), suponiendo que en cada 
período la cantidad ofrecida debe ser igual a la cantidad demandada. 
b) Analice la evolución del precio en lo que se refiere a equilibrio, 
estabilidad, presencia de oscilaciones (y en caso de haberlas, el tamaño de 
los ciclos). 
3.13 Suponga que la evolución del ingreso nacional se puede representar según la 
ecuación de diferencias 
 Y(k+2) = (0,75 + 0,75 b) Y(k+1) - 0,75 b Y(k) + 100 
 donde b es un parámetro positivo de la ecuación de inversión que usted desea 
estimar. 
 Adicionalmente, suponga que el ingreso presenta oscilaciones y que diverge. 
 Se pide: 
 Encuentre el rango donde debería hallarse el valor del parámetro b en base a 
los antecedentes presentados. Justifique clara y ordenadamente su respuesta. 
3.14 El mercado de la carne de iguana en un determinado país se puede representar 
como 
 D(k) = 500 - s P(k) 
 S(k) = -1.000 - 0,5 P(k-1) + 1,5 P(k-2) 
 donde D(k), S(k), y P(k) representan la demanda, oferta, y el precio en el 
período k, respectivamente, y s es una constante positiva. 
 Se pide: 
a) Determine el precio de equilibrio de la carne de iguana en función del 
parámetro s. 
b) ¿Entre qué valores deberá estar el parámetro s para que el equilibrio 
anterior sea estable? Justifique claramente su respuesta. 
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92 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
c) Un amigo suyo que viene llegando de dicho país le dice que el precio de la 
carne de iguana sigue un comportamiento que no presenta oscilaciones de 
ningún tipo, a pesar de no estar en equilibrio. ¿Es esto posible? En caso de 
serlo, ¿entre qué valores se encuentra el parámetro s? Justifique 
claramente su respuesta. 
 Nota: Su amigo no le dice nada respecto a la convergencia o divergencia del 
precio de la carne de iguana. 
3.15 El mercado de perejil en un pueblo aislado se puede representar como 
 D(k) = 200 - P(k) 
 S(k) = -1.000 + a P(k-1) + 2 P(k-2) 
 donde D(k), S(k) y P(k) representan la demanda, oferta y el precio en el 
período k, respectivamente, y a es una constante que puede ser positiva, 
negativa o cero. 
 Se pide: 
a) Determine el precio de equilibrio del perejil en función del parámetro a. 
b) ¿Entre qué valores deberá estar el parámetro a para que el equilibrio 
anterior sea estable? Justifique claramente su respuesta. 
c) Un amigo suyo que ha vivido los últimos 50 años en dicho pueblo le 
asegura que el precio del perejil presenta oscilaciones que duran 3 años y 
que estas se han achicado en el tiempo. ¿Es esto posible? En caso de serlo, 
¿entre qué valores se encuentra el parámetro a? Justifique claramente su 
respuesta. 
3.16 El ingreso nacional de un país determinado ha crecido, en términos reales, a 
una tasa de 20% anual durante los últimos veinte años. Para explicar este 
crecimiento, usted ha decidido especificar el siguiente modelo: 
 Y(k) = C(k) + I(k) 
 C(k) = a Y(k-1) 
 I(k) = 2(C(k) - C(k-1)) 
 donde Y(k), C(k) e I(k) representan el ingreso nacional, el consumo y la 
inversión en el año k. 
 Se pide: 
 ¿Es este modelo compatible con el crecimiento del ingreso del 20% anual? 
En caso de serlo, ¿qué valor tendría que tomar la propensión marginal a 
consumir (parámetro a)? 
3.17 Suponga que la demanda y oferta de trigo siguen la siguiente relación: 
 D(k) = 10.000 – P(k) 
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 CAP.3 / APLICACIONES DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 93 
 
 
 S(k) = E(P(k)) 
E(P(k)) es el precio que se espera que ocurra en el período k, al momento de 
sembrar (se siembra en el período k-1). 
E(P(k)) = P(k-1) + a (P(k-1) – P(k-2)) 
Un amigo suyo, que lleva 60 años en el lugar, le asegura que los precios 
presentan oscilaciones por raíces complejas. 
Se pide: 
a) ¿Es esto posible? En caso de serlo, dé un rango donde puede variar el 
parámetro a. 
b) Elija un valor de a dentro del rango anterior en caso de ser posible y 
cualquier valor en caso de no serlo. Calcule la tasa de crecimiento de 
largo plazo. 
3.18 Supóngase el siguiente modelo para representar la economía de un país que 
puede ser extraño: 
 Y(k) = C(k) + I(k) + G(k) (1) 
 C(k+1) = 0,7 Y(k) (2) 
 I(k+1) = 2 [C(k+1) - C(k)] (3) 
 G(k) = G = 1 (se supone constante y es usado como numerario) 
donde Y(k) = ingreso nacional en el período k; C(k) = consumo en el 
período k; I(k) = inversión en el período k; G(k) = gasto de gobierno en el 
período k; b = constante. 
 Se pide: 
 a) Encuentre la ecuación dinámica para el ingreso nacional. 
 b) Analice la evolución del ingreso nacional en términos de equilibrio y 
estabilidad. 
3.19 Suponga que la demanda por lentejas se puede expresar como: 
Q(k) = 10.000 – 10 P(k) 
y que existen dos grupos de productores: grupo A y grupo B. 
La oferta de ambos grupos se puede representar como 
Q(k) = 10 P(k-1) (Grupo 1) 
Q(k) = 10P(k-1) + 10 P(k-2) (Grupo 2) 
Inicialmente, solo hay agricultores del grupo 1. 
Se pide: 
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94 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
a) Compare la situación con y sin la entrada del grupo 2, en términos del 
precio de equilibrio, de su estabilidad y de la presencia de oscilaciones. 
b) Determine la evolución del excedente de los consumidores suponiendo 
que están presentes ambos grupos de productores. 
3.20 Supóngase el siguiente modelo para representar la economía de un país que 
puede ser extraño: 
 Y(k) = C(k) + I(k) + G(k) (1) 
 C(k+1) = 0,9 Y(k) (2) 
 I(k+1) = 2 [C(k+1) - C(k)] (3) 
Suponga que la política de gasto de gobierno fue determinada junto con la 
Primera Junta de Gobierno de dicho paísque, por coincidencia, fue hace 200 
años. En el primer cabildo, se decidió que el gasto de gobierno seguiría la 
relación 
 G(k+2) = 2G(k+1) – 0,75G(k) + 20 
donde Y(k) = ingreso nacional en el período k; C(k) = consumo en el período 
k; I(k) = inversión en el período k; G(k) = gasto de gobierno en el período k. 
Se hace notar que no se ha podido cambiar la regla fiscal anterior. 
Se pide: 
¿A qué tasa cree usted que crecerá el ingreso nacional en el año del milenio 
(2810)? Explique claramente su respuesta. 
3.21 En su curso de macroeconomía le han dicho que la tasa de crecimiento anual 
promedio de largo plazo del ingreso nacional es de 4% y que dicho ingreso no 
presenta oscilaciones. Estas afirmaciones, por supuesto, deben poder ser 
verificables a través de métodos estadísticos. 
Como modelo estructural, usted decide plantear el siguiente modelo para la 
economía: 
Y(k) = C(k) + I(k) + G(k) 
C(k+1) = a + b Y(k) 
I(k+1) = c[C(k+1) – C(k)] 
G(k) = 1 
En su curso de econometría, usted decide comprobar esta hipótesis corriendo 
la siguiente regresión: 
t t-1 t-2Y = + Y + Y D E J 
Se pide: 
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 CAP.3 / APLICACIONES DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 95 
 
 
a) Qué relación tendría que haber entre los parámetros de su modelo 
estructural (a, b y c) y los parámetros de su modelo a estimar 
econométricamente (α, β y γ). 
b) Diga un conjunto de valores de α, β y γ que serían consistentes con lo 
dicho por su profesor de macroeconomía sobre la tasa de crecimiento y 
sobre la no existencia de oscilaciones. Justifique claramente su respuesta. 
c) Plantee la ecuación de diferencias para el ingreso nacional, Y(k), en 
términos de un sistema matricial de primer orden. 
3.22 Para un producto nuevo, se estima que la demanda anual total se puede 
representar como P(k) = 1.000 – X(k). La característica especial de este 
mercado es que las empresas entran de a una por período y una vez que 
entran, mantienen su nivel de producción para siempre. Claramente, el primer 
año habría un monopolio. Una vez determinada su cantidad óptima a producir, 
al siguiente período entra el segundo, que toma la producción del primero 
como dada y produce lo que a él le conviene de acuerdo a la curva de 
demanda del mercado. Él mantiene su cantidad de producción óptima para 
siempre. Al tercer año, entra un tercero que razona igual que el segundo, y así 
sucesivamente. 
Lo anterior significa que el productor que entra al mercado en el período k, 
entiende que la producción total del mercado, X(k), es igual a la producción 
total del mercado en el período anterior más lo que él decida producir u(k). El 
costo total de producción para él, por período, es igual a 
 ( ) ( ) 
Se pide: 
a) Plantee, sin resolver, la ecuación de diferencias que rige el 
comportamiento de la cantidad total producida en este mercado en cada 
período. 
b) Encuentre la cantidad producida en el largo plazo. 
3.23 Un tío suyo, que tiene 50 años, le comenta a un amigo que tiene “apenas” $ 
30.000.000 ahorrados en su cuenta de ahorro (AFP), luego de muchos años en 
que ha depositado todos los meses 10% de su sueldo a una tasa de 0,5% 
mensual. Su sueldo es hoy de 600.000 pesos mensuales y asegura que todos 
los meses, desde que empezó a trabajar, le han subido el sueldo en un 0,2% 
mensual. 
 Se pide: 
 ¿Le cree a su tío? ¿A qué edad empezó a trabajar? Su respuesta debe basarse 
en razonamiento matemático. Resuelva en tiempo continuo. 
3.24 Suponga que usted ha decidido ordenar su presupuesto. Sus ingresos 
mensuales crecen a 4% mensual a partir de un ingreso de $1.000 este mes. Ud. 
ha decidido separar sus gastos en: a) Gastos normales (arriendo, bencina, etc.), 
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96 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
que crecen a 1% mensual a partir de un nivel de $700; b) gastos 
extraordinarios mensuales, iguales a 3% del saldo en la cuenta de ahorro, más 
70% del excedente que quede del ingreso mensual después de pagar los gastos 
normales. El 30% de dicho excedente, usted ha decidido depositarlo en su 
cuenta de ahorro que paga 4% mensual. 
Se pide: 
Plantee, sin resolver, el modelo en tiempo discreto que le permita ver la 
evolución del saldo en su cuenta de ahorro a través del tiempo. 
A qué tasa crece o decrece el saldo en su cuenta de ahorro en el largo plazo. 
Justifique claramente su respuesta a esta pregunta, pero puede no ser 
necesario resolver completamente la ecuación para hacerlo. 
3.25 Cristián y Jacinta han decidido jugar a las “chapitas”. El juego consiste en 
tirar dos monedas al aire, una cada uno, en forma repetida. 
Si ambas monedas caen para el mismo lado, Cristián recibe una moneda de 
Jacinta. Si caen para distinto lado, Jacinta recibe una moneda de Cristián. 
El juego continúa hasta que uno de los dos se lleva todas las monedas del 
otro. 
Se pide: 
Si Cristián parte con 20 monedas y Jacinta parte con 10 monedas, ¿cuál es la 
probabilidad de que Jacinta se quede con todas las monedas al final del 
juego? 
3.26 Analice la evolución de la razón deuda-ingreso en el ejemplo 3.8, 
suponiendo que Y' (t) = E� 
3.27 En relación con el ejemplo 3.9, encuentre la solución para el capital por 
trabajador, k(t) y demuestre que cuando t tiende a infinito, este tiende a la 
expresión 
 ( ) ( 
O
)
 
 D 
3.28 En relación con la Ley de Newton de enfriamiento descrita en el ejemplo 1.9 
y en el problema propuesto 2.22, suponga que una taza de café se enfría en 15 
minutos desde una temperatura de 90 ºC a una de 40 ºC en un medioambiente 
de 25 ºC. 
 Asimismo, suponga que la temperatura ambiente es de 25 ºC y que a usted le 
sirven una taza de café cuya temperatura es de 85 ºC. A usted le gusta el café 
entre 45 ºC y 50 ºC, no tolera el café más caliente que 50 ºC o más frío que 45 
ºC. 
 Se pide: 
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 CAP.3 / APLICACIONES DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 97 
 
 
 Si son las 08:30, ¿a qué hora podrá empezar a tomarse el café?, ¿a qué hora 
deberá terminar como máximo? 
3.29 Suponga que en una cierta reacción química, la rapidez de la conversión 
(dX/dt) de una sustancia es proporcional a la cantidad de la sustancia que 
queda sin transformar en ese instante. Suponga asimismo que la tercera parte 
se ha convertido cuando t = 4 minutos, y que cuando t = 7 minutos se ha 
convertido una cantidad igual a 55 gramos. 
 Se pide: 
 a) Plantee la ecuación diferencial correspondiente. 
 b) Encuentre la cantidad original de la sustancia. 
3.30 Suponga que la demanda por un bien, D(t), por unidad de tiempo, se puede 
representar como 
 D(t) = 40 + g(t) - 2P(t) 
 donde 
 P(t) = Precio del bien en el instante t. 
 g(t) = Compras exógenas del gobierno en t. 
 Asimismo, suponga que las compras del gobierno se pueden representar por: 
 
dg(t)
dt = 0,02 g(t) + 10; g(0) = 100 
 Por otra parte, suponga que la oferta S(t) se puede expresar a través de la 
ecuación: 
 S(t) = -20 + P(t) 
 Por último, suponga que si hay un exceso de demanda o de oferta, el precio 
cambia, para disminuir dicho exceso en una cantidad proporcional a dicho 
exceso. 
 Se pide: 
a) Resuelva la ecuación diferencial para g(t). 
b) Encuentre la ecuación diferencial que rige la evolución del precio. 
3.31 A continuación se presenta la solución a una ecuación diferencial homogénea 
de segundo orden. 
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98 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS-80,00
-60,00
-40,00
-20,00
0,00
20,00
40,00
0,
00
0,
54
1,
08
1,
62
2,
16
2,
70
3,
24
3,
78
4,
32
4,
86
5,
40
5,
94
6,
48
7,
02
7,
56
 
 Se pide: 
 ¿Cuál es la ecuación diferencial? 
 Notas: 
a) No es necesario poner las condiciones iniciales, ya que no se pide 
explícitamente. 
b) Obviamente, se piden valores aproximados. 
c) Debe justificar claramente su procedimiento. 
3.32 Un amigo suyo dice que encontró la fórmula mágica para predecir el precio 
del trigo en los mercados internacionales. Esta es 
P''(t) - m P'(t) + 6 P(t) = 20 
 Al verla, usted le dice que su fórmula no sirve de nada si no conoce el 
parámetro m. Él le contesta que es cierto que el valor de m se le perdió, pero 
que él sabe que el precio del trigo tiene oscilaciones a través del tiempo y que 
son cada vez más chicas. 
 Se pide: 
 Determine un rango donde necesariamente debe estar m dados los 
antecedentes anteriores. Justifique claramente su respuesta, explicitando 
cualquier supuesto adicional que considere necesario. 
3.33 Suponga que la evolución de la población de peces en un lago se puede 
representar como 
 X'' + a X' + 25 X = 10.000 e- 0,2t 
 Se pide: 
a) Resuelva la ecuación diferencial. 
b) Determine para qué valores de a la función presenta oscilaciones. 
c) Grafique la evolución de la población de peces en forma aproximada, 
suponiendo que a = -8. 
d) Analice el sistema en lo que se refiere a equilibrio, suponiendo a = -8. 
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 CAP.3 / APLICACIONES DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 99 
 
 
3.34 Se está celebrando una fiesta en una sala de 80 metros cúbicos de aire libre de 
monóxido de carbono. En el instante t = 0 varias personas empiezan a fumar. El 
humo que contiene 6% de monóxido de carbono se introduce en la sala a razón 
de 0,15 metros cúbicos por minuto; y la mezcla sale a ese mismo ritmo por una 
ventana entreabierta. ¿Cuándo deberá abandonar una persona prudente dicha 
fiesta si el nivel de monóxido de carbono comienza a ser peligroso a partir de 
una concentración de 0,00018 (0,018%)? 
3.35 La Ley de Pérez de enfriamiento, que puede ser cierta o no, dice que cuando 
dos cuerpos de distinta temperatura se juntan, el cambio de temperatura de cada 
cuerpo por unidad de tiempo es proporcional a la diferencia de temperatura 
entre dicho cuerpo y el otro. 
 Suponga que dos cuerpos, agua y aceite, se juntan, ambos con temperaturas 
iniciales distintas. 
 Se pide: 
 Plantee las ecuaciones diferenciales correspondientes. 
3.36 Considere la ecuación diferencial 
 X’’ + 0,5 X’ + 0,06 X = e0,08t 
 Calcule la tasa de crecimiento de largo plazo. 
3.37 Un amigo suyo le acaba de mostrar una copia de su trabajo de econometría 
donde estima el precio de las acciones de la Compañía Molibdeno del 
Pacífico S.A. Él asegura que el ajuste de la ecuación es perfecto (R2 = 1), que 
la ecuación predice fuera de muestra perfecto, etc. La fórmula mágica es: 
 P(k+2) = 1,02k + P(k+1) + 0,1 P(k) 
 Se pide: 
 ¿Es un buen negocio invertir en esta acción como inversión de largo plazo? 
Suponga que la tasa de interés tanto de corto como de largo plazo en el 
mercado es de 8% anual. Explique claramente su respuesta. 
 Suponga que el precio de esta acción es hoy de 100 pesos por acción y que el 
año pasado fue de 50 pesos. ¿Le conviene postergar la decisión de compra 
hasta el próximo año? Explique claramente su respuesta. 
3.38 Erika Aguilar, corredora de maratones, está a punto de partir a una carrera. 
Ella y su entrenador creen que lo mejor es partir a cierta velocidad (5 km/h) y 
de ahí comenzar a aumentarla. Es más, según un descubrimiento científico 
reciente, los corredores de esta carrera deberían tener, y tienen, una 
aceleración al correr que es proporcional (la misma proporción para todos) a 
la diferencia entre la velocidad que lleva en cada instante y su máxima 
velocidad posible, que en el caso de Erika Aguilar es de 20 km/h. 
Recuerde que la aceleración es simplemente la derivada de la velocidad 
respecto al tiempo. 
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100 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
Adicionalmente, suponga que Erika Aguilar alcanza una velocidad de 15 
km/h después de 15 minutos de empezar (0,25 horas). 
Se pide: 
Encuentre y resuelva la ecuación que describe la velocidad de Erika Aguilar a 
través del tiempo. 
3.39 Para describir la evolución de la población de una especie animal en una zona 
determinada, un biólogo sugiere la siguiente ecuación: 
X’ = -0,2 (1 – (X/200)) (1-(X/500)) X 
Analice esta ecuación en términos de equilibrio y estabilidad, y grafique la 
evolución de esta población para distintos niveles de X(0). 
3.40 La población de peces en un lago, medida en términos de biomasa, es de 400 
toneladas. Debido a un predador natural (alga asesina), la población 
disminuye a una tasa de 10% anual. El gobierno se ha comprometido a traer 
100 toneladas al año de peces de otro lago (a través de un arroyo 
especialmente construido, que permite el traslado en forma continua. 
 Se pide: 
a) Plantee y resuelva la ecuación diferencial correspondiente. 
b) Analice la ecuación anterior en términos de equilibrio y estabilidad. 
c) ¿Cuál es la tasa de crecimiento o decrecimiento de la población en el largo 
plazo? Explique claramente su respuesta. 
3.41 Juan Pablo es un joven profesional recién egresado. Le ofrecen, y acepta, un 
trabajo con un sueldo de 100.000 dólares anuales con la promesa de que este 
crecerá a 8% anual para siempre. 
Por otra parte, viendo su brillante futuro, decide que se puede endeudar 
tranquilo. Todos los años, él comprará a crédito el equivalente a 5% de su 
ingreso. Además, ha decidido acumular pero no pagar sus deudas y “patear 
para adelante” también los intereses de la deuda. La tasa de interés sobre la 
deuda es de 4% anual. 
Se pide: 
a) Plantee el modelo en tiempo continuo escribiendo las ecuaciones 
diferenciales correspondientes. 
b) ¿Converge o diverge la razón deuda/ingreso? En caso de converger, ¿a 
qué tiende? 
 
 
 
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