Comentários técnicos ibracon nbr6118

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PUBLICAÇÕES TÉCNICAS IBRACON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comentários Técnicos e Exemplos de Aplicação da 
 
NB-1 
 
NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto – 
Procedimento 
 
 
 
 
 
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LOGOTIPO DOS PATROCINADORES E DAS 
EMPRESAS SÓCIAS DO IBRACON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
IBRACON 
Instituto Brasileiro do Concreto 
Fundado em 23 de junho de 1972 
Lema: “Ciência e Tecnologia para o Desenvolvimento 
do Concreto e da Construção Civil” 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comentários Técnicos e Exemplos de Aplicação da NB-1 
 
NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto – Procedimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN: 
 
 
Autores: Fernando Rebouças Stucchi, Alio Ernesto Kimura, Antonio Bugan, Antonio Carlos Laranjeiras, Antranig 
Muradian, Arthur L. Pitta, Augusto Vasconcelos, Claudinei Pinheiro Machado, Daniel Domingues Loriggio, Eduardo 
Thomaz, Eugênio Cauduro, Fernando Fernandes Fontes, Francisco Graziano, Inês Laranjeira da Silva Battagin, 
João Bosco, João Carlos Della Bella, Joaquim Mota, José Augusto da Silva Gante, José Celso da Cunha, José Luiz 
Melges, José Martins Laginha, José Zamarion Ferreira Diniz, Lauro Modesto dos Santos, Leonardo de Araújo dos 
Santos, Libânio Miranda Pinheiro, Lídia Shehata, Luiz Aurélio Fortes da Silva, Luís Cholfe, Marcelo Waimberg, 
Marcio A. Ramalho, Marcio R. S. Correa, Mario Franco, Mauro Vasconcelos Real, Nelson Covas, Nílvea Bugno 
Zamboni, Paulo Roberto do Lago Helene, Ricardo Gaspar, Ricardo Leopoldo e Silva França, Roberto Buchaim, Ruy 
Nobhiro Oyamada, Sérgio Cifú, Sergio Hampshire, Sérgio Mangini, Sergio Stolovas, Túlio Nogueira Bittencourt, 
Waldemar dos Santos Jr., Wanda Vaz. 
 
 
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Comentários Técnicos e Exemplos de Aplicação da NB-1 NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto – 
Procedimento – São Paulo: IBRACON, 2006 
268 páginas 21cm x 29,7cm 
 
ISBN 
 
Concreto armado; Exemplos; Normalização; 
 
Comentários Técnicos e Exemplos de Aplicação da NB-1 NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto – 
Procedimento 
Direitos autorais do IBRACON 
 
Editora: IBRACON 
 
Rua Julieta do Espírito Santo Pinheiro, 68 – Jardim Olímpia 
São Paulo – SP – Brasil. 
05542-120 
 
 
 
 
Impressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fundado em 1972 
 
 
 
 
Missão do Ibracon 
 
 
 
 
 
Divulgar a tecnologia do concreto e desenvolver o seu mercado, articulando seus agentes, em benefício 
dos consumidores e da sociedade em geral, em harmonia com o meio ambiente. 
 
 
Diretoria 
Biênio 2005/2007 
 
 
Diretor Presidente 
Paulo Roberto do Lago Helene 
 
Assessores da Presidência 
Alexandre Baumgart 
Augusto Carlos de Vasconcelos 
Jorge Batlouni Neto 
Martin Eugênio Sola 
Ruy Ohtake 
 
Diretor 1º Vice Presidente 
Claudio Sbrighi Neto 
 
Diretor 2º Vice Presidente 
Eduardo Serrano 
 
Diretor 3º Vice Presidente 
Mário William Esper 
 
Diretor 1º Secretário 
Antônio Domingues de Figueiredo 
 
Diretor 2º Secretário 
Sonia Regina Freitas 
 
Diretor 1º Tesoureiro 
Luiz Prado Vieira Júnior 
 
Diretor 2º Tesoureiro 
Laércio Amâncio de Lima 
 
Diretor de Eventos 
Luiz Rodolfo Araújo de Moraes Rêgo 
 
Diretor de Marketing 
Wagner Roberto Lopes 
 
Diretor Técnico 
Rubens Machado Bittencourt 
 
Diretor de Relações Institucionais 
Paulo Fernando Araújo da Silva 
 
Diretor de Publicações e Divulgação Técnica 
Ana Elisabete Paganelli Guimarães de Avila Jacintho 
 
Diretor de Pesquisa e Desenvolvimento 
Túlio Nogueira Bittencourt 
 
Diretor de Cursos 
Juan Fernando Matias Martín 
 
Diretor de Informática 
Julio Timerman 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conselho Diretor 
 
Conselheiros Titulares Individuais 
 
Augusto Carlos de Vasconcelos 
Denise Carpena C. Dal Molin 
Túlio Nogueira Bittencourt 
Geraldo Cechella Isaia 
Cláudio Sbrighi Neto 
Rubens Machado Bittencourt 
Antônio Carlos Reis Laranjeiras 
Vladimir Antônio Paulon 
Luiz Prado Vieira Junior 
Ênio José Pazini Figueiredo 
 
 
Conselheiros Titulares Coletivos e Mantenedores 
 
ABCP – Associação Brasileira de Cimento Portland 
IPT – Instituto de Pesquisas Tecnológicas do Estado 
de São Paulo 
FURNAS Centrais Elétricas S/A 
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – 
PCC/USP 
DEGUSSA 
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – 
PEF/USP 
Companhia Siderúrgica BELGO MINEIRA S/A 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul - UFRGS 
Escola de Engenharia de São Carlos – EESC – USP 
ABESC – Associação Brasileira de Serviços de 
Concretagem 
GERDAU S/A ? (não está no site) 
 
 
Conselheiros Permanentes 
 
Paulo Roberto do Lago Helene 
Eduardo Antonio Serrano 
Selmo Chapira Kuperman 
José Zamarion Ferreira Diniz 
Ronaldo Tartuce 
Simão Priszkulnik 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
Prefácio 
 
O Instituto Brasileiro de Concreto – IBRACON tem como uma de suas principais atividades, 
elaborar e divulgar trabalhos técnicos que induzam à melhor prática do uso do concreto. 
 
Com esse enfoque, diversos tipos de documentos são preparados pelos Comitês Técnicos do 
IBRACON, dentre os quais encontram-se as Práticas Recomendadas, que consistem em 
documentos didáticos, apresentando soluções tecnicamente corretas para o uso do concreto. 
 
Uma Prática Recomendada IBRACON pode ser abrangente ou específica, em função de seu 
objetivo e, como neste caso, pode ser elaborada no intuito de esclarecer procedimentos 
relativos à aplicação de uma Norma Técnica. 
 
Esta publicação foi elaborada pelo CT-301 – Concreto Estrutural, que tem por objetivo avaliar 
continuamente o estado de avanço tecnológico do concreto estrutural, estimulando a pesquisa 
em seus campos de aplicação, além de estudar problemas específicos e inovações ocorridas 
nesses campos e elaborar recomendações sobre projeto e execução de obras em concreto 
estrutural. 
 
 
 
 
 
 
 
 3
 
Índice Página 
Prefácio 2 
Introdução 5 
Histórico 6 
Princípios básicos da nova NB-1 (NBR6118:2003) 8 
Tópicos novos da Norma 9 
Primeira Parte - Comentários Técnicos (Segunda Edição) 10 
C 1 Objetivo 11 
C 2 Documentos complementares 11 
C 3 Definições 11 
C 4 Simbologia 12 
C 5 Requisitos gerais da qualidade da estrutura e avaliação da conformidade do projeto 12 
C 6 Diretrizes para durabilidade das estruturas de concreto 17 
C 7 Critérios de projeto visando a durabilidade 22 
C 8 Propriedades dos materiais 29 
C 9 Comportamento conjunto dos materiais 33 
C 10 Segurança e estados limites 36 
C 11 Ações 37 
C 12 Resistências 48 
C 13 Limites para dimensões, deslocamentos e abertura de fissuras 48 
C 14 Análise estrutural 49 
C 15 Instabilidade e efeitos de segunda ordem 55 
C 16 Princípios gerais dimensionamento, verificação e detalhamento 56 
C 17 Dimensionamento e verificação de elementos lineares 57 
C 18 Detalhamento de elementos lineares 62 
C 19 Dimensionamento e verificação de lajes 65 
C 20 Detalhamento de lajes 73 
C 21 Regiões especiais 77 
C 22 Elementos especiais 79 
C 23 Ações dinâmicas e fadiga 83 
C 24 Concreto simples 84 
 4 
C 25 Interfaces do projeto com a construção, utilização e manutenção 87 
Bibliografia citada nos Comentários Técnicos 88 
Segunda Parte – Exemplos de Aplicação (Primeira Edição) 90 
Análise estrutural de edifício comercial incluindo cálculo das solicitações nos pilares e 
vigas do eixo 1 (exemplo de aplicação dos conceitos das seções 5, 6 e 11) 91 
Vigas de edifícios - Análise linear com redistribuição e análise plástica (exemplos de 
aplicação dos conceitos da seção 14) 119 
Análise Elástica com redistribuição limitada de solicitações (exemplos de aplicação dos 
conceitos da seção 14) 133 
Rigidez e rotação plástica de peças fletidas (exemplos de aplicação dos conceitos da 
seção 14) 140 
Pilares (exemplos de aplicação dos conceitos da seção 15) 155 
Verificação de vigas sujeitas à força cortante (exemplos de aplicação dos conceitos da 
seção 17) 197Estados limites de serviço em vigas de concreto armado (exemplos de aplicação dos 
conceitos da seção 17) 210 
Lajes (exemplos de aplicação dos conceitos da seção 19) 218 
Punção em lajes lisas (exemplos de aplicação dos conceitos da seção 19) 235 
 
 5
Introdução 
 
Esta Prática Recomendada IBRACON foi elaborada com a finalidade de complementar e 
esclarecer alguns aspectos dos procedimentos estabelecidos de maneira muito concisa na 
NBR 6118:2003. 
 
Optou-se por esta iniciativa, tendo em vista ser esta Norma um documento de uso obrigatório 
(Norma técnica) que regulamenta de forma clara, mas muito ampla, os requisitos que devem 
necessariamente ser cumpridos no Projeto de Estruturas de Concreto e, seguindo os preceitos 
normativos, facilitar a correta compreensão desses procedimentos e detalhar a análise de 
exemplos de aplicação que facilitem a elaboração desses Projetos. 
 
O escopo da nova Norma, que é ao mesmo tempo conservador e arrojado, contempla o 
concreto estrutural de classe de resistência até C50 em seu mais amplo espectro de 
aplicações, incorporando as mais modernas tendências e conceitos mundiais relativos a 
Projeto de Estruturas aos avanços já obtidos pelo País por sua tradição em construções de 
concreto. 
 
No intuito de aliar os necessários esclarecimentos e informações sobre as questões tratadas na 
NBR 6118:2003 a uma apresentação didática, esta Prática Recomendada IBRACON aborda o 
Projeto Estrutural a partir de uma análise específica de alguns requisitos, finalizando com uma 
visão global da concepção estrutural de um edifício. Este trabalho é composto de duas partes: 
 
Ø Comentários Técnicos (primeira parte) 
Ø Exemplos de Aplicação (segunda parte) 
 
Cumpre esclarecer que os Comentários Técnicos foram publicados em primeira edição no 
documento a seguir referenciado, tendo sido atualizados nesta nova versão: 
 
INSTITUTO BRASILEIRO DO CONCRETO. Prática Recomendada IBRACON – 
Comentários Técnicos NBR 6118:2003.São Paulo, junho de 2003, 67p. 
 
Os capítulos desta publicação mantêm correspondência com as seções identificadas pelo 
mesmo número na Norma, porém, quando se trata de comentários, a numeração dos capítulos 
e itens desta publicação é precedida pela letra “C”, para facilitar a identificação de referências 
no texto a itens da Norma ou dos Comentários. Quando em um capítulo desta Prática 
Recomendada IBRACON, a numeração dos itens não for seqüencial, significa que não há 
comentários específicos a respeito dos itens faltantes. No caso dos exemplos de aplicação, faz-
se uma referência à principal seção da norma tratada no exemplo, antes de iniciar sua 
apresentação. 
 
As tabelas e figuras desta Prática Recomendada IBRACON não guardam nenhuma correlação 
direta com as tabelas e figuras da NB-1, mesmo que apresentem a mesma numeração. 
 
Apenas para facilitar a compreensão, pequenos trechos de itens da Norma foram reproduzidos 
na parte relativa aos Comentários e encontram-se destacados em itálico e recuados com 
relação ao alinhamento do texto corrente desta Prática Recomendada IBRACON. 
 
 
 
 
 6 
Histórico 
 
Uma breve retrospectiva na história do desenvolvimento brasileiro mostra a influência da 
construção de estruturas de concreto e aponta para a publicação das primeiras normas 
técnicas no Brasil. 
 
Efetivamente já nas décadas de 20 e 30, o Brasil experimentou expressivo crescimento na área 
da construção civil, com a implantação das primeiras fábricas de cimento no País, a criação da 
Associação Brasileira de Cimento Portland (ABCP, em 1936) e a criação da Associação 
Brasileira do Concreto (ABC, em 1930), reunindo profissionais do meio técnico nacional, que 
por influência da imigração européia dominavam técnicas de construção em concreto armado 
consideradas avançadas para a época. 
 
O interesse em conhecer e controlar a qualidade dos cimentos nacionais, de custo muito 
inferior ao importado, aliado à cultura já disseminada no meio técnico nacional na arte de 
construir, levou à realização de Reuniões dos Laboratórios Nacionais de Ensaio de Materiais, 
com o objetivo de tratar do estabelecimento de normas brasileiras para ensaios de materiais de 
construção. Todas as reuniões realizadas foram acompanhadas pela revista CONCRETO 
(publicada pela ABC), que detalhava as fases de preparativos e as conclusões de cada 
reunião. Esses eventos tiveram grande importância no fortalecimento da engenharia nacional, 
reunindo expressivo grupo de profissionais ligados à construção: construtores, projetistas, 
professores, pesquisadores, representantes de órgãos públicos. 
 
A primeira Reunião dos Laboratórios Nacionais de Ensaios de Materiais foi realizada no Rio de 
Janeiro, em 1937, organizada pelo Instituto Nacional de Tecnologia (INT), envolvendo diversos 
laboratórios do País e contando já com a participação ativa da Associação Brasileira de 
Cimento Portland e do Instituto de Pesquisas Tecnológicas. Na ocasião foram aprovadas as 
especificações e os métodos de ensaio para cimento Portland, cuja proposta fora apresentada 
pelo Engo. Ary Torres. Esses documentos foram oficializados por decreto do então Presidente 
Getúlio Vargas, tornando obrigatório seu uso em obras da iniciativa pública e posteriormente 
foram publicados como normas técnicas (EB-1 e MB-1) pela ABNT. 
 
Dando seqüência a esse trabalho, duas propostas inicialmente conflitantes deram origem à 
primeira norma brasileira de cálculo e execução de obras de concreto armado. O texto proposto 
pela ABC, então dirigida pelo Engo. José Furtado Simas, e a norma elaborada pelo Engo. 
Telêmaco Van Langendonck, para a ABCP, foram amplamente discutidos e divulgados, 
recebendo sugestões de renomados engenheiros. Na terceira Reunião dos Laboratórios 
Nacionais de Ensaios de Materiais foi aprovado o texto resultante da fusão dessas duas 
iniciativas, documento que recebeu a sigla NB-1, estabelecendo o início de atividades da 
Associação Brasileira de Normas Técnicas, em 1940. 
 
A revista CONCRETO publicou um número especial dedicado à norma, onde fez um enorme 
elogio ao trabalho realizado pela comissão (REVISTA CONCRETO, n. 33, edição especial, 
1940): 
 
“ Detenham-se os leitores de CONCRETO em leitura minuciosa da Norma que acaba de ser 
aprovada e concluirão que estão de parabéns os técnicos brasileiros pela elaboração de tão 
valioso trabalho. 
 
A atual Norma Brasileira pode figurar entre as mais perfeitas do mundo inteiro e acompanha 
os resultados das mais modernas experiências realizadas sobre concreto armado. 
 
(...) Não se trata, assim, de uma tradução de regulamentos de outros países e sim de uma 
norma brasileira, elaborada por brasileiros. Fazemos questão de insistir neste ponto porque 
constitui um passo na realização da principal campanha de CONCRETO, iniciada desde seu 
 7
lançamento e que é a valorização de nossos empreendimentos em relação ao concreto 
armado.” 
 
Conforme resumiu o Engo. Lobo Carneiro, a NB-1:1940, embora ainda baseada no chamado 
“estádio II”, isto é, nas teorias elásticas e nos conceitos de tensão admissível, já incluía o 
cálculo na ruptura, no “estádio III”, para peças solicitadas à compressão axial e o admitia com 
restrições como alternativa para peças fletidas. O chamado “estádio III” já era nessa época 
objeto de debate entre os especialistas brasileiros e também de pesquisas em outros países, 
embora não figurasse em nenhuma norma oficial estrangeira. Ao acompanhar a evolução das 
normas estruturais brasileiras para concreto verifica-se que estas sistematicamente se 
anteciparam, de modo pioneiro, às normas de outros países, com a inclusão dos mais recentes 
avanços da tecnologia do concreto armado. 
 
Esse aspecto pioneiro das normas estruturais brasileiras se acentuou ainda mais com a visão 
da NB-1;1960, que além de adotar definitivamente como método principal o “cálculo de 
ruptura”, introduziu antes do CEB o conceito de “ resistência característica”, resultante da 
aplicação de critérios estatísticos aos ensaios de controle dequalidade de concreto. A partir de 
1960 tornou-se mais ativa a participação brasileira nos trabalhos do CEB e da RILEM. Em 
conseqüência dessa interação, a NB-1:1978 é inteiramente coerente com as Recomendações 
Internacionais do CEB da mesma época. 
 
Nunca, no entanto, modificações tão abrangentes e significativas foram realizadas como nesta 
revisão de 2003, que tornou a Norma restrita ao Projeto de Estruturas de Concreto, permitindo 
a utilização integral de recursos de software de forma a permitir uma análise global do 
comportamento da estrutura, e referenciando outros documentos para a execução das 
estruturas. A nova versão da NB-1 exigiu mudanças expressivas em outros documentos 
normativos, de maneira a atender aos requisitos impostos, principalmente quanto aos aspectos 
relativos à durabilidade das estruturas. 
 
Tendo sido registrada em 1980 pelo INMETRO como NBR 6118, todas as referências à Norma 
passaram a respeitar essa nova denominação. Porém, por seu caráter pioneiro e sua 
importância para o meio técnico nacional, continuou a ser conhecida popularmente entre 
aqueles que a utilizam no dia-a-dia por NB-1, denominação que se decidiu utilizar nesta Prática 
Recomendada IBRACON. 
 
 
 8 
Princípios básicos da nova NB-1 (NBR6118:2003) 
 
Manteve-se a filosofia das anteriores NBR 6118:1978 Projeto e execução de obras de concreto 
armado - Procedimento e NBR 7197:1989 Projeto de estruturas de concreto protendido – 
Procedimento, de modo que, à NB-1, cabe definir os critérios gerais que regem o projeto das 
estruturas de concreto, sejam elas: edifícios, pontes, obras hidráulicas, portos ou aeroportos ou 
outros. Assim, ela deve ser complementada por outras normas que fixem critérios para 
estruturas específicas. Resolveu-se, também, separar as prescrições sobre execução, daí 
resultando a nova norma NBR 14931:2003 Execução de estruturas de concreto – 
Procedimento. 
 
Procurou-se privilegiar a visão da estrutura como um todo, dando ênfase a todas as etapas do 
projeto, da definição dos requisitos da qualidade, às ações, à análise estrutural, ao 
dimensionamento e ao detalhamento. 
 
Respeitou-se a experiência brasileira acumulada, sem no entanto desprezar as novas 
contribuições e a tendência à internacionalização das normas, da qual o Eurocode 2 é exemplo 
patente. 
 
Pelo seu escopo mais abrangente, concreto simples a protendido, esta Norma tende a ser mais 
complexa. Dentro deste panorama foi importante propor-se soluções simples e pragmáticas 
onde possível, para dar mais ênfase a pontos antes relegados a um segundo plano, como a 
durabilidade, a análise estrutural, e o detalhamento de regiões de descontinuidade. 
 
Os procedimentos mais complexos, que não poderiam ser estabelecidos em norma por serem 
específicos, encontram-se detalhados neste caderno de Práticas Recomendadas e serão 
objeto de trabalhos ainda em desenvolvimento pelo IBRACON, com exemplos práticos de 
aplicação da NB-1. 
 
Na nova Norma manteve-se quando possível as hipóteses básicas e os procedimentos atuais 
(caso das solicitações normais), de maneira a introduzir modificações só e onde realmente elas 
se fizeram necessárias, caso por exemplo do dimensionamento e verificação à punção. 
 
Para a ordenação dos capítulos adotou-se uma seqüência que procura acompanhar o 
processo de projeto, de modo que definem-se os materiais e os requisitos da qualidade, 
concebem-se as estruturas e seus métodos construtivos, definem-se as ações a considerar, 
suas combinações, para em seguida entrar na análise estrutural e no dimensionamento e 
detalhamento. 
 
Observe-se ainda que para cada tipo de elemento estrutural reuniram-se todos os critérios de 
dimensionamento (estados limites últimos e de serviço) segundo o tipo de solicitação, seguidos 
de regras de detalhamento, antes de passar para o próximo elemento estrutural típico. 
 
A NB-1 sinaliza como serão aplicados procedimentos mais complexos, pois nos próximos anos 
deverá ocorrer um desenvolvimento acelerado de software, que certamente começará a tratar 
de análises não lineares, uso corrente de elementos finitos, projeto de elementos especiais 
tais, como consolos, vigas-parede, sapatas, e outros. 
 9
Tópicos novos da Norma 
 
Dentro da filosofia adotada, e também por exigência de modernidade, constam da nova NB-1 
uma série de tópicos antes não abrangidos, entre eles podem ser citados: 
 
a) garantia da qualidade: explicitou-se quais são os requisitos de qualidade e como obtê-
los; 
 
b) durabilidade: todas as normas mais recentes tratam com grande ênfase desta questão; o 
estado atual de nossas estruturas, quanto à durabilidade atesta o quanto é necessário 
um enfoque mais incisivo desta questão; 
 
c) limites para dimensões, deslocamentos e abertura de fissuras: procurou-se concentrar 
neste tópico todos os limites necessários, quer por razões construtivas, quer por limite 
de validade das teorias, quer por compatibilidade de funcionamento com outros 
elementos; 
 
d) análise estrutural: a NBR 6118:1978 tratava esta parte de maneira restrita, chamando-a 
de “esforços solicitantes”. O estágio atual de conhecimento exige uma distinção mais 
clara entre as várias formas possíveis de análise estrutural, assim como um alerta sobre 
o campo de validade e condições especiais para aplicação de cada uma delas; 
 
e) instabilidade e efeitos de segunda ordem: a NBR 6118:1978 tratava apenas dos efeitos 
locais de segunda ordem, no presente texto procura-se classificar com maior precisão os 
fenômenos envolvidos, assim como procedimentos adequados a cada situação; 
 
f) regiões e elementos especiais: seguindo também a tendência das normas mais atuais, 
procurou-se sinalizar princípios para o dimensionamento e detalhamento das regiões de 
descontinuidade (Regiões Especiais) e também de elementos especiais como consolos, 
vigas-parede, sapatas e blocos de fundação. 
 
 10 
 
Primeira Parte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comentários Técnicos da 
 
NB-1 
 
NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto – 
Procedimento 
 
 
 
(Segunda Edição) 
 
 
 
 
 
 
 11 
C 1 Objetivo 
 
A nova NB-1 fixa as condições básicas exigíveis para o projeto de estruturas de concreto 
simples, armado e protendido, excluídas aquelas em que se empregam concreto leve, pesado 
ou outros especiais, estabelecendo os requisitos gerais a serem atendidos pelo projeto como 
um todo, bem como os requisitos específicos relativos a cada uma de suas etapas. Em 
algumas dessas etapas devem ser atendidos requisitos que não se encontram estabelecidos 
nessa Norma, devendo ser procurados nas referências normativas (seção 2 da Norma) ou em 
práticas recomendadas. Essas etapas podem ser resumidas em: 
 
a) conhecimento do problema e definição dos requisitos gerais a serem atendidos; 
b) escolha dos materiais a serem utilizados e dos correspondentes requisitos de 
durabilidade; 
c) definição das ações a considerar; 
d) concepção da solução a ser adotada; 
e) análise estrutural ; 
f) verificação ou dimensionamento da estrutura; 
g) detalhamento das peças estruturais; 
h) produção dos documentos; 
i) controle de qualidade do produto final; 
j) assistência técnica à obra. 
 
Esta Prática Recomendada IBRACON contém comentários técnicos e exemplos de aplicação 
relativos a conceitos e requisitos estabelecidos na NB-1, de forma a esclarecer e facilitar sua 
aplicação. 
 
Em alguns casos, o cumprimento de um requisito de norma pode ser verificado de diversas 
maneiras. Um dos objetivos desta Prática recomendada IBRACON é exemplificar essa 
condição. 
 
C 2 Documentos complementares 
 
Para possibilitar o entendimento e a aplicação das orientações contidas nesta Prática 
Recomendada IBRACON é necessário dispor do texto completo da nova NB-1: 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003 - Projeto de 
estruturas de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro. Primeira edição de março de 2003. 
Versão corrigida com errata de 31.03.2004 incorporada, 170p. 
 
Outros documentos,relacionados no Anexo desta publicação, podem facilitar o entendimento e 
a aplicação do conteúdo desta Prática Recomendada IBRACON. Como as normas técnicas 
estão em constante atualização, deve-se atentar para o uso das edições mais recentes. 
 
C 3 Definições 
 
Para os efeitos desta Prática Recomendada IBRACON aplicam-se as definições constantes da 
NB-1 e de suas referências normativas. 
 
C 4 Simbologia 
 
Nesta seção da NB-1 encontram-se os símbolos de aplicação geral e no primeiro item de cada 
seção da Norma, quando necessário, estão definidos os símbolos específicos ao tema tratado 
na seção. 
 
Os símbolos usados nesta Prática Recomendada IBRACON são os mesmos estabelecidos na 
NB-1. 
 12 
 
C 5 Requisitos gerais da qualidade da estrutura e avaliação da conformidade do projeto 
 
A responsabilidade pela vida útil da estrutura é dividida entre todos os envolvidos no processo, 
sendo evidenciada na NB-1 a figura do contratante, que participa das decisões em conjunto 
com o profissional responsável pelo projeto estrutural como a seguir se destaca (cumpre 
ressaltar que essas condições devem constar de contrato entre as partes): 
 
a) em 5.1.1, definindo requisitos adicionais, quando existirem, que devam ser atendidos pela 
estrutura de concreto, além dos previstos na Norma: 
 
b) em 5.1.2.3, definindo, no início dos trabalhos de elaboração do projeto, quais as influências 
ambientais previstas que possam alterar a durabilidade da estrutura: 
 
c) em 5.2.1, tomando conhecimento e aceitando a qualidade da solução adotada no projeto 
estrutural de forma a considerar as condições arquitetônicas, funcionais, construtivas, 
estruturais e de integração com os demais projetos (elétrico, hidráulico, ar condicionado, 
entre outros): 
 
d) em 5.2.2, tomando conhecimento e aceitando todas as condições impostas pela Norma ao 
projeto estrutural: 
 
e) em 5.3, requerendo e contratando a avaliação da conformidade do projeto: 
 
f) em 25.4, contratando um profissional habilitado para preparar o manual de utilização, 
inspeção e manutenção da estrutura: 
 
C 5.1 Requisitos da qualidade da estrutura 
 
C 5.1.1 Condições gerais 
 
As estruturas de concreto, durante sua construção e ao longo de toda a vida útil que lhe for 
prevista, devem comportar-se adequadamente, com nível apropriado de qualidade: 
 
a) quanto a todas influências ambientais e ações que produzam efeitos significativos na 
construção; 
 
b) em circunstâncias excepcionais, não apresentar ruptura frágil, ou falso alarme, ou ainda 
danos desproporcionais às causas de origem. 
 
C 5.1.2 Classificação dos requisitos da qualidade da estrutura 
 
Na NB-1, os requisitos da qualidade de uma estrutura de concreto são classificados em três 
grupos distintos: 
 
a) capacidade resistente; 
b) desempenho em serviço; 
c) durabilidade. 
 
Simplificadamente, as exigências do grupo (a) acima citado são identificadas como 
correspondentes à segurança à ruptura, as exigências do grupo (b) referem-se a danos como: 
fissuração excessiva, deformações inconvenientes e vibrações indesejáveis, e as exigências 
do grupo (c) têm como referência a conservação da estrutura, sem necessidade de reparos de 
alto custo, ao longo de sua vida útil. 
 
 13 
Para tipos especiais de estruturas, devem ser fixadas outras condições particulares, como por 
exemplo, a exigência de resistência ao fogo, à explosão, ao impacto ou mesmo aos sismos, ou 
ainda exigências relativas à estanqueidade, ao isolamento térmico ou acústico. Exigências 
suplementares podem também ser fixadas, como por exemplo, as referentes ao impacto 
ambiental e aos aspectos estéticos e econômicos. 
 
O atendimento aos requisitos da qualidade impostos às estruturas de concreto exige: 
 
a) a adoção de hipóteses, soluções e procedimentos apropriados, que estão disciplinados 
na NB-1 e em outras normas complementares e especiais; 
 
b) a adoção de medidas para a Garantia da Qualidade. 
 
As medidas de Garantia da Qualidade, ao contrário, estão ainda pouco normalizadas em 
âmbito internacional e nacional. Os itens 5.2 e 5.3 da NB-1 e os correspondentes comentários 
desta Prática Recomendada IBRACON (C 5.2 e C 5.3), propõem medidas elementares para 
garantia e controle da qualidade dos projetos estruturais. 
 
A confiabilidade e a segurança das estruturas pressupõem a possibilidade de se manter 
elevado o nível de garantia da qualidade através de todas as fases de projeto, construção e 
uso, caracterizado como segue: 
 
a) o projeto deve ser realizado por pessoal experimentado e com apropriada qualificação, 
e ser submetido ao controle interno de qualidade. Sendo desejável uma verificação por 
pessoal independente, selecionado por sua competência e experiência; 
 
b) os materiais e componentes da construção devem ser produzidos, ensaiados e utilizados 
conforme disciplinado em suas respectivas normas, procedimentos e recomendações; 
 
c) a construção deve ser executada por pessoal experiente e com qualificação apropriada, 
e ser submetida a um controle interno da qualidade; 
 
d) a estrutura deve ser utilizada, durante a vida útil que lhe é prevista, conforme 
estabelecido no projeto e sob manutenção adequada. 
 
As ações aqui descritas fazem parte de um Sistema de Gestão da Qualidade. 
 
C 5.2 Requisitos da Qualidade do Projeto 
 
Cerca de metade dos defeitos verificados nas construções tem sua origem na fase de projeto, 
conforme demonstram algumas estatísticas publicadas. É pois justificável que se dispendam 
maiores esforços para melhoria da qualidade dos mesmos. 
 
Uma das formas encontradas para conseguir esta melhoria é através da implantação de um 
Sistema de Garantia da Qualidade dos Projetos. 
 
A Garantia da Qualidade visa, através de ações planejadas e sistemáticas, garantir um nível de 
segurança em que o projeto satisfaça, de fato, aos requisitos da qualidade que forem fixados 
por condições arquitetônicas, construtivas, estruturais, funcionais, estéticas, de integração com 
os demais projetos e outras pertinentes. A Garantia da Qualidade compreende todas as 
medidas para atender a qualidade pré-definida e, em particular, para evitar ou identificar erros. 
 
A boa qualidade de um projeto estrutural é o resultado de um trabalho integrado e associado 
de todos 
que nele estão envolvidos - pessoal de projeto e pessoal de controle de qualidade, todos 
profissionais 
 14 
competentes, honestos e de boa vontade. Portanto, a responsabilidade por se atingir esta boa 
qualidade é um compromisso e um objetivo a serem assumidos por todo o grupo e por cada 
participante, em particular. 
 
O Controle da Qualidade do projeto integra-se à Garantia da Qualidade, e refere-se, 
genericamente, às técnicas operacionais e atividades empregadas para verificar e demonstrar 
o atendimento aos requisitos da qualidade. 
 
Os requisitos da qualidade de um projeto estrutural referem-se a dois aspectos distintos da 
qualidade, a saber: a Qualidade da Solução Adotada e a Qualidade da Descrição da Solução. 
 
C 5.2.1 Qualidade da Solução Adotada 
 
Conforme estabelece a NB-1, a solução estrutural adotada em projeto deve atender aos 
requisitos de qualidade estabelecidos nas normas técnicas, relativos à capacidade resistente, 
ao desempenho em serviço e à durabilidade da estrutura. 
 
A qualidade da solução adotada deve ainda considerar as condições arquitetônicas, funcionais, 
construtivas, estruturais, de integração com os demais projetos (elétrico, hidráulico, ar 
condicionado, etc.) e econômicas. 
 
C 5.2.2 Condições impostas ao projeto 
 
As condições impostas ao projeto são de várias naturezas e referem-se às condições 
relacionadas a seguir: 
 
a) as condições arquitetônicas impostas ao projeto estrutural são obviamente as constantes 
do projeto arquitetônico. No caso de inexistir o projeto arquitetônico - como é geralmente 
o caso das pontes, por exemplo - estas condições referem-se àquelas que devam reger 
tais projetos, como condições estéticas, de implantação, de drenagem, de 
impermeabilizaçãoe outras que forem igualmente aplicáveis; 
 
b) as condições funcionais referem-se às finalidades e ao uso previsto para a estrutura, e 
implicam a compatibilização das ações a adotar; dos vãos e gabaritos; da rigidez e da 
deformabilidade das peças; da estanqueidade; do isolamento térmico e acústico; das 
juntas de movimento, etc; 
 
c) as condições construtivas implicam na compatibilização do projeto estrutural com os 
métodos, procedimentos e etapas construtivas previstas; 
 
d) as condições estruturais referem-se basicamente à adequação das soluções estruturais 
adotadas em serviço e na ruptura, caracterizada pela escolha apropriada dos materiais – 
concreto armado, concreto protendido, aço, pré-moldados, características dos próprios 
materiais; pelo sistema estrutural escolhido para resistir às ações verticais e às ações 
horizontais; pelo tipo de fundação. Adicionalmente devem ser satisfeitas outras 
exigências em função do tipo da estrutura; 
 
e) as condições de integração com os demais projetos (elétrico, hidráulico, ar condicionado, 
etc.) referem-se às necessidades de prever rebaixos, furos, shafts ou dispor as peças 
estruturais de modo a viabilizar e compatibilizar a coexistência da estrutura com os 
demais sistemas; 
 
f) as condições econômicas referem-se à necessidade de otimizar os custos de construção 
associados aos de manutenção da estrutura em uso, e de compatibilizar esses custos 
com os prazos desejados. 
 
 15 
As exigências técnicas de segurança e de durabilidade são as geralmente descritas nas 
normas específicas e atualizadas de projeto, e referem-se à necessidade da estrutura, com 
grau apropriado de confiabilidade, de: 
 
a) resistir a todas as ações e outras influências ambientais passíveis de ocorrer durante 
sua fase construtiva; 
 
b) comportar-se adequadamente sob as condições previstas de uso, durante determinado 
tempo de existência (vida útil). 
 
Esta qualidade fica caracterizada por segurança adequada contra riscos de ruptura; de 
instabilidade (perda de equilíbrio estático); de vibrações excessivas; de deformações 
inconvenientes e danosas à própria estrutura ou a outros elementos da construção; de 
fissuração excessiva com vistas à estética, estanqueidade e proteção da armadura. 
 
Esta confiabilidade deve ser complementada pelo atendimento às exigências que protejam e 
preservem a estrutura contra sua deterioração prematura, como por exemplo, as referentes a 
cobrimento das armaduras, drenagem, especificações de materiais adequados e de medidas 
adequadas à agressividade ambiente. 
 
A segurança e a durabilidade dependem ambas da qualidade dos detalhes das armaduras 
(emendas, dobramentos, ancoragens, nós de pórtico, furos, etc.), com vistas a evitar rupturas 
localizadas e a favorecer boas condições de adensamento do concreto. 
 
C 5.2.3 Documentação da solução adotada 
 
O produto final do projeto estrutural é constituído por desenhos, especificações e critérios de 
projeto. As especificações e critérios de projeto podem constar dos próprios desenhos ou 
constituir documento separado. 
 
No entanto, a documentação da solução adotada ou a qualidade da descrição da solução, para 
possibilitar a aplicação de critérios de conformidade, deve constituir-se, como mínimo, dos 
documentos de Referência da Qualidade a seguir relacionados: 
 
a) projeto arquitetônico; 
b) projetos dos outros sistemas : drenagem, elétrico, hidráulico, ar condicionado, mecânico, 
etc.; 
c) relatórios e perfis de sondagem; 
d) normas técnicas; 
e) pareceres ou diretrizes técnicas escritas especificamente para a obra e que sejam 
hierarquicamente superiores ao projeto estrutural; 
f) informações do mesmo projeto, constante de desenhos já examinados e em vigor. 
 
A solução estrutural adotada deve estar descrita nos desenhos e nas especificações, de modo 
a permitir a completa e perfeita execução da estrutura. Isto implica exigir que os desenhos e as 
especificações contenham informações completas, claras, corretas, consistentes entre si e 
consistentes com as exigências. 
 
Uma forma conveniente de obter a Qualidade do Projeto está em verificar as informações mais 
relevantes do projeto pelo menos com relação à sua ordem de grandeza, por procedimento 
independente e preferencialmente simples, orientado pela experiência e pelo bom senso, e 
tendo em mente que, na elaboração e no controle de um projeto, não se pode perder uma 
visão geral entre os resultados obtidos e os supostamente esperados. 
 
 16 
A utilização de listas auxiliares de verificações (check-lists), elaboradas pelo próprio Controle 
da Qualidade para cada projeto, favorecem o melhor desempenho nas verificações, pois 
ajudam a responder às indagações que decorrem das exigências de qualidade definidas. 
 
Chama-se entretanto a atenção de que as melhores listas têm sempre caráter e formato 
personalizados, de quem as elabora. Além disto, por não serem completas, não são rotinas 
que dispensem o esforço mental de análise consciente e competente do projeto. 
 
C 5.3 Avaliação da conformidade do projeto 
 
Com o objetivo de garantir a qualidade do projeto e reduzir as chances de encontrar erros nas 
verificações de controle da qualidade, ou na execução e operação da obra, medidas 
preventivas devem ser tomadas desde o início dos trabalhos. Essas medidas devem englobar 
a discussão e aprovação das decisões tomadas, a distribuição dessas e outras informações 
pelos elementos pertinentes da equipe e a programação coerente das atividades, respeitando 
as regras lógicas de precedência. 
 
De acordo com a NB-1, o Controle da Qualidade consiste, basicamente, em verificar se o 
projeto estrutural, conforme definido nos seus respectivos desenhos, especificações e critérios 
de projeto, atende às exigências de qualidade que lhe foram prefixadas (5.2). Para isto, as 
informações dos desenhos e das especificações devem ser analisadas, comparativamente, 
com os Documentos de Referência da Qualidade, previamente identificados e classificados. 
 
O Controle da Qualidade deve avaliar, paralelamente, se as informações dos desenhos e 
especificações são: 
 
a) completas; 
b) claras; 
c) em escalas apropriadas; 
d) consistentes (entre si); 
e) corretas. 
 
As informações serão completas, claras, em escalas apropriadas e consistentes com relação: 
 
a) à identificação do documento; 
b) às necessidades da administração e planejamento da obra; 
c) às exigências peculiares dos serviços relativos ao sistema de fôrmas (fôrmas e 
escoramento), concretagem, armação, etc. 
 
As informações serão corretas se compatíveis com as ações, esforços e materiais adotados. 
Em outras palavras, esta atividade indica a necessidade de verificar se os resultados 
consubstanciados nos desenhos e especificações são compatíveis com as hipóteses de 
projeto. O relatório do Controle da Qualidade identificará as informações e aspectos do projeto 
considerados em não-conformidade com as exigências de qualidades prefixadas e os 
Documentos de Referência da Qualidade, respectivos. 
 
Para atender Ao que estabelece a NB-1, os serviços de Controle da Qualidade de Projeto 
devem ser executados antes da fase de construção, e, de preferência, simultaneamente com a 
fase de projeto, como condição essencial para que seus resultados se tornem efetivos e 
conseqüentes. 
 17 
C 6 Diretrizes para durabilidade das estruturas de concreto 
 
C 6.1 Exigências de durabilidade 
 
Projetar para durabilidade implica em desacelerar o processo de deterioração das partes 
críticas da estrutura. Isto implica, normalmente, em uma estratégia de múltiplos estágios, os 
quais podem basear-se freqüentemente, em barreiras sucessivas que se opõem à 
deterioração. 
 
O conceito de vida útil conduz a um tratamento integralizado das seguintes fases: 
- planejamento; 
- projeto; 
- construção; 
- utilização ou operação; e 
- manutenção. 
 
Em conseqüência dessa integração, estão envolvidos na questão da durabilidade todos 
aqueles que participam de alguma das fases anteriormentemencionadas, assim, cada um 
deles têm uma parcela de responsabilidade, conforme já explicitado em C 5. 
 
Não é intenção da Norma, entretanto, impor obrigações legais a terceiros, mas, apenas, 
esclarecer o contexto geral de trabalho em que está inserido o projetista. 
 
C 6.2 Vida útil de projeto 
 
A vida útil de projeto pode também ser entendida como o período de tempo durante o qual a 
estrutura é capaz de desempenhar bem as funções para as quais foi projetada. Pode-se 
distinguir pelo menos três situações e suas correspondentes vidas úteis, apresentadas na 
figura C 6.1, que contempla o fenômeno da corrosão de armaduras por ser o mais freqüente, o 
mais importante e mais conhecido cientificamente, mas que como modelo conceitual aplica-se 
a todos os mecanismos de deterioração. 
 
 
Figura C 6.1 - Conceituação de vida útil das estruturas de concreto tomando-se por 
referência o fenômeno de corrosão das armaduras 
 
A partir da figura C 6.1 podem ser definidas as seguintes vidas úteis1), 2) : 
a) período de tempo que vai até a despassivação da armadura, normalmente denominado de 
período de iniciação. A esse período de tempo pode-se associar a chamada vida útil de 
projeto, que normalmente corresponde ao período de tempo necessário para que a frente 
 18 
de carbonatação ou a frente de cloretos atinja a armadura. O fato da região carbonatada ou 
de um certo nível de cloretos atingir a armadura e teoricamente despassivá-la, não significa 
que necessariamente a partir desse momento haverá corrosão importante, embora 
usualmente isso ocorra. Esse período de tempo, no entanto, é o período que se recomenda 
seja ser adotado no projeto da estrutura, a favor da segurança; 
 
b) período de tempo que vai até o momento em que aparecem manchas na superfície do 
concreto, ou ocorrem fissuras no concreto de cobrimento, ou ainda quando há o 
destacamento do concreto de cobrimento. A esse período de tempo associa-se a chamada 
vida útil de serviço ou de utilização. É muito variável de caso a caso, pois em certos locais é 
inadmissível que uma estrutura de concreto apresente manchas de corrosão ou fissuras. 
Em outros casos somente o inicio da queda de pedaços de concreto, colocando em risco a 
integridade de pessoas e bens, pode definir o momento a partir do qual deve-se considerar 
terminada a vida útil de serviço. 
 
c) período de tempo que vai até a ruptura ou colapso parcial ou total da estrutura. A esse 
período de tempo associa-se a chamada vida útil última ou total. Corresponde ao período 
de tempo no qual há uma redução significativa da seção resistente da armadura ou uma 
perda importante da aderência armadura / concreto, acarretando o colapso parcial ou total 
da estrutura. 
 
d) nessa modelagem foi introduzido ainda o conceito de vida útil residual, que corresponde ao 
período de tempo em que a estrutura ainda será capaz de desempenhar suas funções, 
contado neste caso a partir da data, qualquer, de uma vistoria. Essa vistoria e 
correspondente diagnóstico pode ser efetuado a qualquer instante da vida em uso da 
estrutura. O prazo final, neste caso, tanto pode ser o limite de projeto, o limite das 
condições de serviço, quanto o limite de ruptura, dando origem a três “vidas úteis 
residuais”; uma mais curta contada até a despassivação da armadura, outra até o 
aparecimento de manchas, fissuras ou destacamento do concreto e outra longa, contada 
até a perda significativa da capacidade resistente do componente estrutural ou seu eventual 
colapso. 
 
É importante salientar que os custos de intervenção na estrutura para atingir um certo nível de 
durabilidade e proteção, crescem exponencialmente quanto mais tarde for essa intervenção. A 
evolução desse custo pode ser assimilado ao de uma progressão geométrica de razão 5, 
conhecida por lei dos 5 ou regra de Sitter, representada na figura C 6.2 3). 
 
Figura C 6.2 - Representação da evolução dos custos em função da fase da vida da 
estrutura em que a intervenção é feita 
O significado dessa “lei” pode ser assim exposto4), segundo a intervenção seja na: 
 
 19 
a) fase de projeto: toda medida tomada a nível de projeto com o objetivo de aumentar a 
proteção e a durabilidade da estrutura, como por exemplo, aumentar o cobrimento da 
armadura, reduzir a relação água/cimento do concreto ou aumentar fck, especificar adição 
de sílica ativa, tratamentos protetores de superfície e outras tantas, implica num custo que 
pode ser associado ao número 1 (um); 
 
b) fase de execução: toda medida extra-projeto, tomada durante a fase de execução 
propriamente dita, implica num custo 5 (cinco) vezes superior ao custo que acarretaria 
tomar uma medida equivalente na fase de projeto, para obter-se o mesmo nível final de 
durabilidade ou vida útil da estrutura. Um exemplo típico é a decisão em obra de reduzir a 
relação água/cimento para aumentar a durabilidade. A mesma medida tomada na fase de 
projeto permitiria o redimensionamento automático da estrutura considerando um novo 
concreto de resistência à compressão mais elevada, de maior módulo de deformação e de 
menor fluência. Esses predicados permitiriam reduzir as dimensões dos componentes 
estruturais, reduzir as fôrmas e o volume de concreto, reduzir o peso próprio e reduzir as 
taxas de armadura. Essas medidas tomadas na execução, apesar de eficazes e oportunas 
do ponto de vista da vida útil, não mais podem propiciar economia e otimização da 
estrutura; 
 
c) fase de manutenção preventiva: as operações isoladas de manutenção do tipo: pinturas 
freqüentes, limpezas de fachada sem beirais e sem proteções, impermeabilizações de 
coberturas e reservatórios mal projetados, e outras, necessárias a assegurar as boas 
condições da estrutura durante o período da sua vida útil, podem custar até 25 vezes mais 
que medidas corretas tomadas na fase de projeto estrutural ou arquitetônico. Por outro lado 
podem ser cinco vezes mais econômicas que aguardar a estrutura apresentar problemas 
patológicos evidentes que requeiram uma manutenção corretiva; 
 
d) fase de manutenção corretiva: corresponde aos trabalhos de diagnóstico, reparo, reforço 
e proteção das estruturas que já perderam sua vida útil de projeto e apresentam 
manifestações patológicas evidentes. A estas atividades pode-se associar um custo 125 
vezes superior ao custo das medidas que poderiam e deveriam ter sido tomadas na fase de 
projeto e que implicariam num mesmo nível de durabilidade que se estime dessa obra após 
essa intervenção corretiva. 
 
C 6.2.2 A vida útil da estrutura depende tanto do desempenho dos elementos e componentes 
estruturais propriamente ditos quanto dos demais componentes e partes da obra. Os demais 
elementos e componentes incorporados à estrutura, tais como drenos, juntas, aparelhos de 
apoio, instalações, pingadeiras, rufos, chapins, impermeabilizações, revestimentos e outros, 
possuem geralmente vida útil mais curta que a do concreto, o que exige previsões adequadas 
para suas substituições e manutenções, uma vez que ali estão para proteger a estrutura de 
concreto. 
 
C 6.2.3 Recomenda-se que todos os envolvidos nos processos de projeto, construção e 
manutenção estabeleçam de forma conjunta e coerente a extensão da vida útil desejável para 
a estrutura, tendo como referência um patamar mínimo de 50 anos e, a partir da análise das 
condições de exposição, escolham detalhes que objetivem assegurar a vida útil prevista e 
defina medidas mínimas de inspeção, monitoramento e manutenção preventiva. Em obras de 
caráter provisório, transitório ou efêmero é tecnicamente recomendável adotar-se vida útil de 
projeto de pelo menos um ano. Para as pontes e outras obras de caráter permanente, podem 
ser adotados períodos de 50, 75 ou até mais de 100 anos5). 
 
 
 
 
 
 20 
C 6.3 Mecanismos de envelhecimento e deterioração 
 
C 6.3.1 Mecanismos preponderantes de deterioração relativos ao concreto 
 
a) lixiviação: por ação de águas puras, carbônicas agressivas e ácidas que dissolvem e 
carreiam os compostos hidratadosda pasta de cimento. A sintomatologia básica é uma 
superfície arenosa ou com agregados expostos sem a pasta superficial, eflorescências de 
carbonato, elevada retenção de fuligem e risco de desenvolvimento de fungos, com 
conseqüente redução do pH do extrato aquoso dos poros superficiais; 
 
b) expansão: por ação de águas e solos que contenham ou estejam contaminados com 
sulfatos, dando origem a reações expansivas e deletérias com a pasta de cimento hidratado. 
A sintomatologia básica é uma superfície com fissuras aleatórias, esfoliação e redução 
significativa da dureza e da resistência superficial do concreto, com conseqüente redução do 
pH do extrato aquoso dos poros superficiais. Do ponto de vista do concreto, os sulfatos 
presentes na água do mar, nas águas servidas, nas águas industriais e nos solos úmidos e 
gessíferos, podem acarretar reações deletérias de expansão com formação de compostos 
expansivos do tipo etringita e gesso secundário6). O teor de sulfato em um concreto depende 
do consumo de cimento e do teor de gesso primário no referido cimento. Assim, por 
exemplo, um concreto de massa específica 2 300 kg/m3, com 350 kg de cimento por metro 
cúbico, preparado com um cimento que contenha no máximo 3% de gesso, deve ter um teor 
máximo total de sulfatos de 0,46% sobre a massa de concreto. Se as quantidades 
encontradas forem superiores, significa que houve contaminação proveniente do exterior7); 
 
c) expansão: por ação das reações entre os álcalis do cimento e certos agregados reativos. 
Dentre os agregados reativos pode-se destacar a opala, a calcedônia, as sílicas amorfas, 
certos calcários, que para conduzir a reações significativamente deletérias requerem estar 
em presença de elevada umidade. A sintomatologia básica é uma expansão geral da massa 
de concreto com fissuras superficiais e profundas; 
 
d) reações deletérias superficiais: de certos agregados decorrentes de transformações de 
produtos ferruginosos presentes na sua constituição mineralógica. Destaca-se como 
exemplo os problemas oriundos com agregados que contêm pirita que pode acarretar 
manchas, cavidades e protuberância na superfície dos concretos. 
 
C 6.3.2 Mecanismos preponderantes de deterioração relativos à armadura 
 
a) despassivação por carbonatação, ou seja, por ação do gás carbônico da atmosfera que 
penetra por difusão e reage com os hidróxidos alcalinos da solução dos poros do concreto 
reduzindo o pH dessa solução. A despassivação deletéria só ocorre de maneira significativa 
em ambientes de umidade relativa abaixo de 98% e acima de 65%, ou em ambientes 
sujeitos a ciclos de molhagem e secagem, possibilitando a instalação da corrosão. O 
fenômeno não é perceptível a olho nu, não reduz a resistência do concreto e até aumenta 
sua dureza superficial. A identificação da frente ou profundidade de carbonatação requer 
ensaios específicos. Ao atingir a armadura, dependendo das condições de umidade 
ambiente pode promover séria corrosão com aparecimento de manchas, fissuras, 
destacamentos de pedaços de concreto e até perda da seção resistente e da aderência, 
promovendo o colapso da estrutura ou suas partes. 
 
b) despassivação por elevado teor de íon cloro (cloreto), ou seja, por penetração do 
cloreto através de processos de difusão, de impregnação ou de absorção capilar de águas 
contendo teores de cloreto, que ao superarem um certo limite em relação à concentração de 
hidroxilas na solução dos poros do concreto, despassivam a superfície do aço e instalam a 
corrosão. Eventualmente, esses teores elevados de cloreto podem ter sido introduzidos, 
inadvertidamente, durante o amassamento do concreto, geralmente através do excesso de 
aditivos aceleradores de endurecimento. O fenômeno não é perceptível a olho nu, não reduz 
 21 
a resistência do concreto nem altera seu aspecto superficial. A identificação da frente ou da 
profundidade de penetração de certo teor crítico de cloreto requer ensaios específicos. Ao 
atingir a armadura pode promover séria corrosão com aparecimento de manchas, fissuras, 
destacamentos de pedaços de concreto e até perda da seção resistente e da aderência, 
promovendo o colapso da estrutura ou de suas partes. 
 
C 6.4 Agressividade do ambiente 
 
Uma classificação mais rigorosa do que a apresentada na NB-1, com base na concentração 
efetiva de certas substâncias agressivas no ambiente que envolve a estrutura ou suas partes 
pode também ser utilizada em casos especiais, recomendando-se os limites orientativos 
constantes da norma CETESB L 1.0078). No caso de agressividade ao concreto, avaliada 
através de determinações específicas de teores de substâncias agressivas, podem ser 
adotados os valores referenciais9) apresentados na tabela C 6.1. 
 
Tabela C 6.1 - Classificação da agressividade do ambiente visando a durabilidade do 
concreto 
 
Classe de 
agressividad
e 
 
pH 
CO2 
agressivo 
mg/l 
Amônia 
NH4+ 
mg/l 
Magnésia 
Mg2+ 
mg/l 
Sulfato 
SO42- 
mg/l 
Sólidos 
dissolvido
s 
mg/l 
I > 5,9 < 20 < 100 < 150 < 400 > 150 
II 5,9 – 5,0 20 – 30 100 – 150 150 – 250 400 – 700 150 – 50 
III 5,0 – 4,5 30 – 100 150 – 250 250 – 500 700 – 1500 < 50 
IV < 4,5 > 100 > 250 > 500 > 1500 < 50 
NOTAS: 
1) No caso de solos a análise deve ser feita no extrato aquoso do solo. 
2) Água em movimento, temperatura acima de 30ºC, ou solo agressivo muito permeável 
conduz a um aumento de um grau na classe de agressividade. 
3) Ação física superficial tal como abrasão e cavitação aumentam a velocidade de ataque 
químico. 
 
 22 
C 7 Critérios de projeto visando a durabilidade 
 
C 7.1 Generalidades 
 
Para evitar envelhecimento prematuro e satisfazer as exigências de durabilidade devem ser 
observados os seguintes critérios do conjunto de projetos relativos à obra: 
 
a) prever drenagem eficiente; 
b) evitar formas arquitetônicas e estruturais inadequadas; 
c) garantir concreto de qualidade apropriada, particularmente nas regiões superficiais dos 
elementos estruturais; 
d) garantir cobrimentos de concreto apropriados para proteção às armaduras; 
e) detalhar adequadamente as armaduras; 
f) controlar a fissuração das peças; 
g) prever espessuras de sacrifício ou revestimento protetores em regiões sob condições de 
exposição ambiental muito agressivas; 
h) definir um plano de inspeção e manutenção preventiva 
 
C 7.2 Drenagem 
 
A água poluída e impregnada no concreto mantendo-o úmido é a condição mais favorável à 
deterioração precoce da estrutura. 
 
Devem ser criadas boas condições de drenagem evitando acúmulo sobre a estrutura e 
encaminhando-a para tubulações de drenagem adequadas, como estabelece a NB-1. 
 
C 7.4 Qualidade do concreto de cobrimento 
 
A qualidade potencial do concreto depende preponderantemente da relação água/cimento e do 
grau de hidratação. São esses os dois principais parâmetros que regem as propriedades de 
absorção capilar de água, de permeabilidade por gradiente de pressão de água ou de gases, 
de difusividade de água ou de gases, de migração de íons, assim como todas as propriedades 
mecânicas tais como, módulo de elasticidade, resistência à compressão, à tração, fluência, 
relaxação, abrasão, e outras. Assim, a NB-1 estabelece: 
 
7.4.2 Ensaios comprobatórios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo 
e nível de agressividade previsto em projeto devem estabelecer os parâmetros mínimos a 
serem atendidos. Na falta destes e devido à existência de uma forte correspondência 
entre a relação água/cimento, a resistência à compressão do concreto e sua durabilidade, 
permite-se adotar os requisitos mínimos expressos na tabela 7.1. 
 
Tabela 7.1 - Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto 
 
Classe de agressividade (tabela 6.1) Concreto Tipo 
I II III IV 
CA ≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45 Relação água/cimento em 
massa CP ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,50 ≤ 0,45 
CA ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40 Classe de concreto 
(NBR 8953) CP ≥ C25 ≥ C30 ≥ C35 ≥ C40 
NOTAS: 
1) O concreto empregado na execução das estruturas deve cumprircom os requisitos 
estabelecidos na NBR 12655. 
2) CA corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto armado. 
3) CP corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto protendido. 
 
 23 
É importante acrescentar nesta segunda edição desses comentários, que a recente revisão da 
NBR12655:2009 “Concreto de cimento Portland – preparo, controle e recebimento – 
Procedimento” acrescentou a essa tabela uma linha adicional relativa ao consumo mínimo de 
cimento como elemento adicional importante para melhorar a confiança em se obter um 
concreto com a durabilidade esperada. De fato, esse era um procedimento muito usado e 
testado em tempos passados, como elemento importante em ambientes agressivos, como 
ambiente marinho,por exemplo, mas que não havia sido contemplado na NB1 por falta de 
consenso e por se julgar que ficaria melhor na norma de preparo de concreto.. A 
NBR12655:2006 estabelece para as classes de agressividade I, II, III e IV, o consumo mínimo 
de 260, 280, 320, 360 kg de cimento por metro cúbico de concreto, seja ele armado ou 
protendido. 
 
7.4.3 Os requisitos das tabelas 7.1 e 7.2 são válidos para concretos executados com 
cimento Portland que atenda, conforme seu tipo e classe, às especificações das NBR 
5732, NBR 5733, NBR 5735, NBR 5736, NBR 5737, NBR 11578, NBR 12989 ou NBR 
13116, com consumos mínimos de cimento por metro cúbico de concreto de acordo com 
a NBR 12655. 
 
É importante ressaltar que a NBR 12655 não contempla o uso de adições não normalizadas no 
concreto 
 
7.4.4 Não é permitido o uso de aditivos contendo cloreto na sua composição em 
estruturas de concreto armado ou protendido. 
 
7.4.3 Os requisitos das tabelas 7.1 e 7.2 são válidos para concretos executados com 
cimento Portland que atenda, conforme seu tipo e classe, às especificações das NBR 
5732, NBR 5733, NBR 5735, NBR 5736, NBR 5737, NBR 11578, NBR 12989 ou NBR 
13116, com consumos mínimos de cimento por metro cúbico de concreto de acordo com 
a NBR 12655. 
 
7.4.4 Não é permitido o uso de aditivos contendo cloreto na sua composição em 
estruturas de concreto armado ou protendido. 
 
A qualidade efetiva do concreto na obra deve ser assegurada por corretos procedimentos de 
mistura, transporte, lançamento, adensamento, cura e desmoldagem. Embora um concreto de 
resistência mais alta, seja, em princípio e sob certas circunstâncias, potencialmente mais 
durável do que um concreto de resistência mais baixa (de mesmos materiais)10), 11), a 
resistência à compressão não é, por si só, uma medida suficiente da durabilidade do concreto, 
pois esta depende das camadas superficiais do concreto da estrutura. Nessas camadas, a 
moldagem, o adensamento, a cura e a desmoldagem têm efeito muito importante nas 
propriedades de difusividade, permeabilidade e absorção capilar de água e gases. Apesar 
disso decidiu-se fazer referência às classes de concreto (ver NBR 8953) por ser esta a 
propriedade mais consagrada nos projetos estruturais. 
 
Convém dar preferência a certos tipos de cimento Portland mais adequados a resistir à 
agressividade ambiental, em função da natureza dessa agressividade. Do ponto de vista da 
maior resistência à lixiviação e para minimizar o risco de reações álcali-agregado são 
preferíveis os cimentos com adições tipo CP III e CP IV; para reduzir a taxa de carbonatação 
são preferíveis os cimentos tipo CP I e CP V e para reduzir a penetração de cloretos são 
preferíveis os cimentos com adições tipo CP III e CP IV. A tabela C 7.1 dá uma idéia de como 
varia a resistência do concreto com a mudança do tipo de cimento. 
 
 24 
Tabela C 7.1 – Resultados, em MPa, obtidos em ensaios realizados para determinação de 
resistência à compressão aos 28 dias de concretos, em função da relação a/c, para 
vários tipos de cimento 
 
Relação a/c Tipo de 
cimento 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 
CP I - 32 28 32 37 41 47 
CP II - 32 24 28 31 35 39 
CP II - 40 28 32 36 41 46 
CP III - 32 23 27 31 36 41 
CP III - 40 27 32 37 42 49 
CP IV - 32 24 28 32 36 41 
CP V - 
ARI/RS 30 33 38 42 46 
CP V - ARI 33 38 42 47 53 
Notas: 
1) Agregados de origem granítica. 
2) Diâmetro máximo dos agregados de 25 mm. 
3) Abatimento entre 50 mm e 70 mm. 
4) Concretos com aditivo plastificante normal, ou seja, aqueles que não possuem ação 
superplastificante ou superfluidificante. 
5) Não foi estabelecida a correlação em função do consumo de cimento por metro cúbico de 
concreto, cuja influência é expressiva, de acordo com a literatura técnica. 
 
A proteção das armaduras é fator preponderante na NB-1, destacando-se: 
 
7.4.5 A proteção das armaduras ativas externas deve ser garantida pela bainha, 
completada por graute, calda de cimento Portland sem adições, ou graxa especialmente 
formulada para esse fim. 
 
7.4.6 Atenção especial deve ser dedicada à proteção contra a corrosão das ancoragens 
das armaduras ativas. 
 
O ideal para proteção durável contra a corrosão das ancoragens das armaduras ativas parece 
ser o emprego de grautes de base cimento modificado com polímeros. 
 
7.4.7 Para o cobrimento deve ser observado o prescrito em 7.4.7.1 a 7.4.7.7. 
 
7.4.7.1 Para atender aos requisitos estabelecidos nesta Norma, o cobrimento mínimo da 
armadura é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento 
considerado e que se constitui num critério de aceitação. 
 
7.4.7.2 Para garantir o cobrimento mínimo (cmin) o projeto e a execução devem considerar 
o cobrimento nominal (cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de 
execução (∆c). Assim, as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar 
os cobrimentos nominais, estabelecidos na tabela 7.2, para ∆c = 10 mm. 
 
7.4.7.3 Nas obras correntes o valor de ∆c deve ser maior ou igual a 10 mm. 
 
7.4.7.4 Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância 
da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor ∆c = 5 mm, 
mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. 
Permite-se, então, a redução dos cobrimentos nominais prescritos na tabela 7.2 em 5 
mm. 
 25 
 
7.4.7.5 Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da 
armadura externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de uma 
determinada barra deve sempre ser: 
a) cnom ≥ φ barra; 
b) cnom ≥ φ feixe = φn = φ n ; 
c) cnom ≥ 0,5 φ bainha. 
 
7.4.7.6 A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado no concreto não 
pode superar em 20% a espessura nominal do cobrimento, ou seja: 
dmáx ≤ 1,2 cnom 
 
Tabela 7.2 - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento 
nominal para ∆c = 10mm 
 
Classe de agressividade 
ambiental (tabela 6.1) 
I II III IV3) Tipo de estrutura 
Componente ou 
elemento 
Cobrimento nominal 
mm 
Laje2) 20 25 35 45 Concreto armado 
Viga/Pilar 25 30 40 50 
Concreto protendido1) Todos 30 35 45 55 
1) Cobrimento nominal da armadura passiva que envolve a bainha ou os fios, cabos e 
cordoalhas, sempre superior ao especificado para o elemento de concreto armado, devido 
aos riscos de corrosão fragilizante sob tensão. 
2) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, 
com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e 
acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e 
outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas por 7.4.7.5 respeitado um 
cobrimento nominal ≥ 15 mm. 
3) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e 
esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química 
e intensamente agressivos, a armadura deve ter cobrimento nominal ≥ 45 mm. 
 
A qualidade efetiva do concreto superficial de cobrimento e proteção à armadura depende da 
adequabilidade da fôrma, do aditivo desmoldante e, preponderantemente da cura dessas 
superfícies. Em especial devem ser curadas as superfíciesexpostas precocemente, devido à 
desmoldagem, tais como fundos de lajes, laterais e fundos de vigas e faces de pilares e 
paredes. Uma diretriz geral, encontrada na literatura técnica, diz que a durabilidade da 
estrutura de concreto é determinada por quatro fatores identificados como regra dos 4C: 
 
- composição ou traço do concreto; 
- compactação ou adensamento efetivo do concreto na estrutura; 
- cura efetiva do concreto na estrutura; 
- cobrimento ou espessura do concreto de cobrimento das armaduras. 
 
Portanto a vida útil desejada para a estrutura pode ser alcançada através de uma combinação 
adequada e inteligente desses fatores, ou seja, ao empregar um concreto de melhor qualidade 
é possível reduzir o cobrimento mantendo a mesma vida útil de projeto, e vice-versa. Admitindo 
que o adensamento e a cura serão e deverão ser bem executados em quaisquer 
circunstâncias, fica um certo grau de liberdade entre a escolha da resistência (qualidade) do 
concreto e a espessura do cobrimento. Essa ainda não é a postura do CEB12), que não 
aconselha uma redução dos cobrimentos mínimos. Esse conceito pode ser exemplificado na 
 26 
figura C 7.1 onde está apresentado um ábaco correspondente a uma estrutura sujeita a um 
ambiente agressivo no qual predomina a ação do gás carbônico, ou seja um fenômeno 
preponderante de carbonatação13). Como se pode observar qualitativamente (não tomar 
valores numéricos deste ábaco para projeto), uma mesma vida útil pode ser alcançada por 
diferentes pares cobrimentos / resistência de concreto. 
 
O ábaco indicado na figura C 7.1, é apenas conceitual e qualitativo, correlacionando vida útil de 
projeto com espessura de cobrimento das armaduras e com a qualidade do concreto (C10 a 
C50), em função do ambiente (neste caso zona urbana e industrial). 
 
 
 
Figura C 7.1 – Correlações conceituais e qualitativas da carbonatação em faces externas 
dos componentes estruturais de concreto expostos à intempérie 
 
O mesmo raciocínio pode ser aplicado para uma situação considerada de extrema 
agressividade, ou seja, para a zona de respingos de maré, conforme apresentada na figura 
C 7.2. 
 
O ábaco indicado na figura C 7.2, também apenas conceitual e qualitativo, correlacionando 
vida útil de projeto com espessura de cobrimento das armaduras e com a qualidade do 
concreto (C 10 a C 50), em função do ambiente (neste caso zona de respingos de maré). Como 
se pode constatar em condições de extrema agressividade, sempre qualitativamente, somente 
os concretos de 45 MPa e 50 MPa com cobrimentos mínimos de 9 cm e 5 cm respectivamente, 
poderiam alcançar 50 anos de vida útil de projeto. 
 27 
 
 
Figura C 7.2 – Correlações conceituais da difusão de cloretos em faces externas de 
componentes estruturais de concreto expostos à zona de respingos de maré 
 
Esta nova visão da questão da durabilidade, expressa neste comentário aponta para uma 
mudança radical na forma de exigir requisitos de projeto. Atualmente, uma vez classificada a 
agressividade do ambiente o passo seguinte é escolher a qualidade do concreto e atender a 
uma certa espessura de cobrimento. Desse atendimento aos dois requisitos espera-se alcançar 
uma certa vida útil de projeto. Dentro da nova conceituação, após a classificação da 
agressividade do ambiente, o passo a tomar deve ser o de escolher uma vida útil de projeto e, 
a partir dela, com liberdade, combinar inteligentemente o cobrimento de concreto das 
armaduras com a qualidade (resistência) desse concreto. 
 
C 7.5 Detalhamento das armaduras 
 
O congestionamento das barras dificulta a moldagem, propicia a segregação dos componentes 
do concreto e impede um bom adensamento, ao dificultar a entrada do vibrador, 
comprometendo a compacidade final do concreto endurecido14). 
 
C 7.6 Controle da fissuração 
 
A abertura máxima característica wk das fissuras, desde que não exceda valores da ordem de 
0,3 mm a 0,4 mm, em elementos e componentes estruturais submetidos e projetados em 
conformidade com as demais exigências desta Norma (ver tabela 13.3), não têm importância 
significativa na evolução da corrosão das armaduras passivas15), 16), 17), 18), 19), 20). 
 
Assim, uma diferenciação mais detalhada entre aberturas limite de fissuras transversais à 
armadura principal não é necessária nas estruturas correntes de concreto armado. 
 
É de interesse, no entanto, fixar aberturas limite de fissuras mais restritas, no caso destas 
afetarem a funcionalidade da estrutura, como é o caso, por exemplo, da estanqueidade de 
reservatórios, assim como nos casos em que possam vir a causar desconforto psicológico nos 
usuários. 
 
 28 
Nos componentes e elementos estruturais sob classes de agressividade muito forte (IV), a 
limitação de abertura de fissuras em valores menores que 0,3 mm não se constitui medida 
suficiente para prevenir a deterioração da estrutura. 
 
A penetração de agentes agressivos ao concreto até atingir a armadura, se dá por outros 
mecanismos que não exclusivamente através de fissuras. 
 
C 7.7 Medidas especiais 
 
Em princípio podem ser utilizadas as seguintes medidas protetoras especiais21): 
 
a) proteção das superfícies de concreto aparente com hidrofugantes (base silicone), com 
vernizes de base acrílico puro, com vernizes de base poliuretano alifático ou com sistemas 
duplos, renovados periodicamente a cada 3 a 5 anos; 
 
b) proteção das superfícies de concreto não aparente com chapisco, emboço, reboco e 
pintura ou revestimentos de pastilha, de cerâmica, de base asfalto, ou revestimentos 
reforçados com fibras de vidro ou de poliéster, de mantas de náilon, e similares, mantidos e 
renovados periodicamente; 
 
c) proteção da superfície da armadura com revestimentos de zinco tipo galvanizados. 
Cuidados especiais devem ser tomados no manuseio das barras para não comprometer a 
proteção superficial; 
 
d) proteção direta da superfície da armadura com revestimentos de base epóxi. Cuidados 
especiais devem ser tomados no manuseio das barras para não comprometer a proteção 
superficial; 
 
e) proteção da armadura contra a corrosão através de proteção catódica por corrente 
impressa, mantida periódica e sistematicamente. 
 
Na tradição brasileira tem sido aceito considerar que um revestimento da superfície da 
estrutura de concreto com chapisco, emboço e reboco de argamassa de cimento:cal:areia, com 
acabamento de pintura renovada periodicamente ou outro acabamento, tais como pastilha, 
cerâmica, e outros, desde que submetidos a uma manutenção periódica, atuaria como uma 
barreira extra e protetora da armadura contra a corrosão. Com esse raciocínio era permitido 
reduzir a espessura de cobrimento de 5 mm. Ao lado de obras com resultado positivo há uma 
série de outras catastróficas principalmente quando isso foi considerado motivo para relaxar a 
qualidade da execução e sempre que as cerâmicas, pastilhas, fachadas e pisos foram lavados 
com ácido muriático (ácido clorídrico comercial), que é altamente agressivo às armaduras. 
Portanto, em concordância com as demais normas internacionais sobre o assunto, apesar de 
viável em casos específicos, não se recomenda reduzir automaticamente os cobrimentos 
mínimos ou a qualidade do concreto de cobrimento. 
 
 29 
C 8 Propriedades dos materiais 
 
C 8.2.1 Classes 
 
Esta Norma se aplica a concretos compreendidos nas classes de resistência do grupo I, 
indicadas na NBR 8953, ou seja, até C50. 
 
A classe C20, ou superior, se aplica a concreto com armadura passiva e a classe C25, ou 
superior, a concreto com armadura ativa. A classe C15 pode ser usada apenas em fundações, 
conforme NBR 6122, e em obras provisórias. 
 
O valor de 15 MPa pode ser eventualmente utilizado em obras de pequeno porte (até 4 
pavimentos, com vãos inferiores a 4 m e sem lajes lisas ou cogumelo). 
 
C 8.2.6 Resistência no estado multiaxial de tensões 
 
A expressão foi desenvolvida para o estado duplo, aplicando-se ao caso multiaxial com grande 
margem de segurança. 
 
σ1 ≥ - fctk 
 
σ3 ≤ fck + 4 σ1 
 
Em casosespeciais, literatura específica pode ser usada para se obter valores mais realistas. 
 
Para consideração da tensão intermediária, o critério de ruptura indicado pelo MC90 CEB-FIP 
pode ser utilizado. 
 
C 8.2.8 Módulo de elasticidade 
 
A rigor o módulo de elasticidade inicial Eci está ligado ao valor médio da resistência à 
compressão do concreto, fcm. 
 
Como fcm não é conhecido na fase de projeto, apenas fck; Eci será calculado em função de fck. 
 
Na verdade, na verificação de elementos estruturais ou seções transversais, o valor da efetiva 
resistência do concreto pode ser da ordem de fck, daí ser prudente usar as expressões 
constantes de 8.2.8 em função de fck: 
 
O módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial, deve ser obtido 
segundo ensaio descrito na NBR 8522 . Quando não forem feitos ensaios e não existirem 
dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 d, pode-se estimar o valor 
do módulo de elasticidade usando a expressão : 
 
Eci = 5600 fck1/2 
 
onde: 
 
Eci e fck são dados em megapascal. 
 
O módulo de elasticidade numa idade j ≥ 7 d pode também ser avaliado através dessa 
expressão, substituindo-se fck por fckj. 
 
Quando for o caso, é esse o módulo de elasticidade a ser especificado em projeto e 
controlado na obra. 
 
 30 
O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, 
especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites 
de serviço, deve ser calculado pela expressão : 
 
Ecs = 0,85 Eci 
 
Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal pode 
ser adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo 
de elasticidade secante (Ecs). 
 
Na avaliação do comportamento global da estrutura e para o cálculo das perdas de 
protensão, pode ser utilizado em projeto o módulo de deformação tangente inicial (Eci). 
 
A redução de 15% de Eci para Ecs, é importante porque em regiões localizadas as tensões 
podem ser da ordem de 40% a 50% de fck, até mais, reduzindo o valor efetivo de Ecs. 
 
Na avaliação do comportamento global da estrutura, permite-se adotar o módulo Eci por três 
razões principais: 
 
- para a estrutura toda é adequado avaliar a rigidez a partir de fcm; 
- existem significativas regiões da estrutura onde as tensões são baixas, abaixo de 30% de 
fck; 
- nessas análises uma parte das ações é usualmente dinâmica de curta duração, como o 
vento por exemplo, para as quais o concreto tem uma resposta mais rígida. 
 
Muitas são as variáveis que podem interferir no resultado do módulo de elasticidade do 
concreto. Dentre elas, pode-se citar: 
 
- diferentes resistências à compressão do concreto; 
- diferentes consistências do concreto fresco; 
- diferentes volumes de pasta por metro cúbico de concreto; 
- diferentes estados de umidade dos corpos-de-prova no momento do ensaio; 
- diferentes velocidades de aplicação da carga ou da deformação; 
- diferentes diâmetros nominais do agregado graúdo; 
- diferentes dimensões dos corpos-de-prova; 
- diferentes temperaturas de ensaio; 
- diferentes naturezas do agregado graúdo; 
- diferentes idades. 
 
Por isso é muito difícil estabelecer um modelo único que forneça o módulo a partir da 
resistência à compressão, que é apenas uma das variáveis em jogo. Para exemplificar 
apresenta-se a seguir uma proposta de faixas possíveis de variação do módulo de elasticidade 
inicial. 
 
Eci = a1 . a2 . 5600 . fck 
 
onde: 
 
a1 e a2 podem ser obtidos nas tabelas 8.1 e 8.2. 
 
 31 
Tabela C 8.1 - Proposta de índices de correção do módulo de elasticidade do concreto 
em função da natureza do agregado 
 
Natureza do agregado graúdo a1 
Basalto, diabásio e calcário sedimentar denso 1,1 a 1,2 
Granito e gnaisse 1,0 
Calcário metamórfico, e metasedimento 0,9 
Arenito 0,7 
 
Tabela C 8.2 - Proposta de índices de correção do módulo de elasticidade do concreto 
em função de sua consistência 
 
Consistência do concreto fresco1) a2 
fluida 0,9 
plástica 1,0 
seca 1,1 
1) Consistência obtida pela NBR NM 67 sem o uso de aditivos, especialmente 
superplastificantes. 
 
C 8.2.10 Diagramas tensão deformação 
 
Para análises não-lineares é importante a utilização de diagramas tensão-deformação mais 
realistas, (ver figura C 8.1) como o dado pelo MC 90 CEB-FIP. É importante que o valor do 
módulo de elasticidade secante para 0,4 fck coincida com o de 8.2.8. 
 
 
Figura C 8.1 – Diagrama tensão –deformação mais realistas 
 
C 8.3.9 Soldabilidade 
 
Para que um aço seja considerado soldável, sua composição deve obedecer aos limites 
estabelecidos na NBR 8965. 
 
A emenda de aço soldada deve ser ensaiada à tração segundo a NBR 8548. A carga de 
ruptura mínima, medida na barra soldada, deve satisfazer ao especificado na NBR 7480 
e o alongamento sob carga deve ser tal que não comprometa a dutilidade da armadura. 
O alongamento total plástico medido na barra soldada deve atender a um mínimo de 2%. 
 
 32 
Informações sobre execução de solda podem ser obtidas na NBR 14931 – Execução de 
estruturas de concreto – Procedimento. 
 
C 8.4.1 Classificação 
 
Os valores de resistência característica à tração, diâmetro e área dos fios das 
cordoalhas, bem como a classificação quanto à relaxação, a serem adotados em projeto, 
são os nominais indicados na NBR 7482 e na NBR 7483, respectivamente. 
 
Para barras não existe norma de especificação. 
 
C 8.4.8 Relaxação 
 
A relaxação de fios e cordoalhas, após 1 000 h a 20ºC (Ψ1000) e para tensões variando de 
0,5 fptk a 0,8 fptk, obtida em ensaios descritos na NBR 7484, não deve ultrapassar os valores 
dados nas NBR 7482 e NBR 7483, respectivamente. Para efeito de projeto, os valores de 
Ψ1000 da tabela 8.3 podem ser adotados. 
 
Para barras não existe norma de especificação. 
 
 33 
C 9 Comportamento conjunto dos materiais 
 
C 9.2.2 Níveis de protensão 
 
Os níveis de protensão estão relacionados com os níveis de intensidade da força de 
protensão que, por sua vez, são função da proporção de armadura ativa utilizada em 
relação à passiva (ver 3.1.4 e tabela 13.3). 
 
Em regiões localizadas como nos trechos junto às extremidades das peças com aderência 
inicial (armadura pré-tracionada, 3.1.7) a existência de tração em parte da seção transversal 
não caracteriza o nível de protensão. 
 
Esses esforços de tração podem ser resistidos apenas por armadura passiva, respeitadas as 
exigências referentes aos estados limites para as peças de concreto armado. 
 
Em casos de peças pré-fabricadas de acordo com a NBR 9062, pelo processo de extrusão ou 
do tipo fôrma deslizante com fios aderentes, a resistência à tração do concreto pode ser 
considerada desde que comprovada experimentalmente a segurança global do trecho. 
 
C 9.3 Verificação da aderência 
 
Para verificação do fendilhamento ver também: CEB-CM90 Bull 151/CEB - Bond Action and 
Bond Behaviour of Reinforcement Construções de Concreto - Leonhardt - Vol. 3. 
 
C 9.4 Ancoragem das armaduras 
 
C 9.4.1 Condições gerais 
 
Todas as barras das armaduras devem ser ancoradas de forma que os esforços a que 
estejam submetidas sejam integralmente transmitidos ao concreto, seja por meio de 
aderência ou de dispositivos mecânicos ou combinação de ambos. 
 
A NB-1 entende que uma ancoragem deve garantir, com a segurança prevista nessa Norma: 
a) a integridade do concreto na região da ancoragem; 
b) a resistência e rigidez da barra aos esforços para os quais foi calculada no trecho em que 
está integralmente ancorada. Ponto A da figura C 9.1; 
c) a resistência das barras remanescentes, no trecho em que a barra ancorada foi 
suprimida. Ponto B figura C 9.1; 
d) ao longo do comprimento de ancoragem a resistência da barra ancorada pode ser 
considerada linearmente variável conforme mostra a figura C 9.1. 
 
 
Figura C 9.1 - Variação da resistência de cálculo de um conjunto de três barras, quando 
uma delas é cortada (a barra 3, no ponto B) 
 
 34 
C 9.4.2.5 Comprimento de ancoragemnecessário 
 
O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por: 
min,
,
,
, A
A
b
efs
calcs
b1necb lll ≥α= 
onde: 
α1 = 1,0 para barras sem gancho; 
α1 = 0,7 para barras tracionadas com gancho cobrimento no plano normal ao do 
gancho ≥ 3 φ; 
bl é calculado conforme 9.4.2.4; 
min,bl é o maior valor entre 0,3 bl , 10 φ e 100 mm. 
Permite-se, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do comprimento 
de ancoragem necessário. 
 
A NB-1 permite, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do comprimento de 
ancoragem, além do que estabelece na seção 9. Esses valores podem ser obtidos na tabela C 
9.1, através de coeficientes α i, definidos a seguir: 
min,b
ef,s
calc,s
b.5.4.3.21nec,b A
A
. lll ≥ααααα= 
onde: 
α 1 considera a eficiência do gancho; 
α 2 considera a eficiência de barras transversais soldadas; 
α 3 considera a eficiência de um bom cobrimento; 
α 4 considera a eficiência da armadura transversal não soldada, conforme a posição relativa à 
armadura ancorada. Ver coeficiente k na tabela C 9.2; 
α 5 considera a eficiência de pressão transversal à ancoragem. 
Observar que: 
1) barras retas com cobrimento superior a φ permitem redução; 
2) o cobrimento cd considerado deve respeitar as condições estabelecidas na tabela C 9.2; 
3) ganchos com cobrimento lateral superior a 3φ também permitem redução. Nesse caso 
α 1 e α 3 se sobrepõem; 
4) no caso do gancho o cobrimento deve ser medido no plano normal ao gancho 
(cobrimento lateral); 
5) no caso de ancoragem de barras comprimidas só as reduções α 2 e α 5 são permitidas. 
 
 35 
Tabela C 9.1 – Coeficientes para os fatores redutores do comprimento de ancoragem 
 
Armadura 
Fator Tipo de ancoragem 
de Tração de compressão 
Barras retas, sem 
gancho α1 = 1 α1 = 1 α 1 
Forma das barras Barras retas, com 
gancho ou laços 
α1 = 0,7 p/ cd > 3φ 
α1 = 1 p/ cd ≤ 3φ 
α1 = 1 
α 2 
Barras transversais 
soldadas 
Qualquer α2 = 0,7 α2 = 0,7 
Barras retas, sem 
gancho 
α3 = 1 – 0,15(cd - φ)/φ 
0,7 ≤ α3 ≤ 1 
α3 = 1 α 3 
Cobrimento das 
armaduras Barras retas, com 
gancho ou laços 
α3 = 1 – 0,15(cd - 
3φ)/φ 
0,7 ≤ α3 ≤ 1 
α3 = 1 
α 4 
Barras transversais não 
soldadas 
Qualquer α4 = 1 - kλ 
0,7 ≤ α4 ≤ 1 
α4 = 1 
α 5 
Pressão transversal p 
MPa 
Qualquer 
 
α5 = 1 – 0,04p 
0,7 ≤ α5 ≤ 1 
α5 = 1 
 
Tabela C 9.2 - Valores de cd, k e λ 
 
 
C 9.4.2.6.2 Armadura transversal na ancoragem – barras com φ ≥ 32 mm 
 
Deve ser verificada a armadura em duas direções transversais ao conjunto de barras 
ancoradas. Essas armaduras transversais devem suportar os esforços de 
 36 
fendilhamento segundo os planos críticos, respeitando espaçamento máximo de 5 φ 
(onde φ é o diâmetro da barra ancorada). 
 
As duas direções transversais citadas na NB-1 podem ser consideradas como indica a figura C 
9.2. 
 
 
Figura C 9.2 - Armadura transversal em zona de ancoragem de barras com φ ≥ 32mm 
 
 
C 10 Segurança e estados limites 
 
Como os critérios de segurança adotados na NB-1 baseiam-se no que estabelece a NBR 8681 
e como essas Normas foram revisadas em conjunto, tendo sido publicadas em março/2003 e 
devendo vigorar após doze meses de sua publicação (a partir de 31/março/2004), atenta-se 
para a necessidade de utilizar a edição de 2003 de ambas. 
 
C 10.3 Estados limites últimos 
 
De forma a contemplar a norma recém publicada de estruturas de concreto em situação de 
incêndio é necessária a consideração do estado limite último de esgotamento da capacidade 
resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, em situação de incêndio, conforme a NBR 
15200, o que na NBR 6118:2003 está contemplado de forma genérica em 10.3-f), cuja redação 
original está a seguir transcrita: 
 
f) outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos especiais. 
 
 37 
C 11 Ações 
 
C 11.2 Ações a considerar 
 
Ações são definidas como causas que provocam esforços ou deformações nas estruturas. As 
forças são chamadas de ações diretas e as deformações impostas de ações indiretas. 
 
C 11.3.2.3 Empuxos permanentes 
 
Consideram-se como permanentes os empuxos de terra e outros materiais granulosos 
quando forem admitidos não removíveis. 
Como representativos devem ser considerados os valores característicos Fk.sup ou Fk.inf 
conforme a NBR 8681. 
 
No cálculo de Fk,inf, são considerados os valores otimistas dos parâmetros de resistência do 
terreno, correspondentes, em princípio, ao quantil 95% da distribuição de probabilidade desses 
parâmetros. 
 
No cálculo de Fk.sup, são considerados os valores pessimistas daqueles parâmetros, 
correspondentes, em princípio, ao quantil 5%. 
 
C 11.3.3.1 Retração do concreto 
 
Nos casos correntes das obras de concreto armado, em função da restrição à retração do 
concreto, imposta pela armadura, satisfazendo o mínimo especificado nesta Norma, o 
valor de εcs (t∞, t0) pode ser adotado igual a -15 x 10-5. Esse valor admite elementos 
estruturais de espessura equivalente, entre 10cm e 100cm sujeitos a umidade ambiente 
não inferior a 75%. 
Nos elementos estruturais permanentemente submetidos a diferentes condições de 
umidade em faces opostas, admite-se variação linear da retração ao longo da espessura 
do elemento estrutural, entre os dois valores correspondentes a cada uma das faces. 
 
Nos elementos estruturais de concreto armado com taxas geométricas de armadura 
longitudinal inferiores a 0,5% ou 0,1%, o valor característico da retração deve ser alterado, 
respectivamente, para -20x10-5 ou -25 x 10-5. 
 
Para valores de umidade significativamente inferiores a 75% esses valores devem ser revistos. 
 
C 11.3.3.2 Fluência do concreto 
As deformações decorrentes da fluência do concreto podem ser calculadas conforme 
indicado no anexo A. 
Nos casos em que a tensão σc(t0) não varia significativamente, permite-se que essas 
deformações sejam calculadas simplificadamente pela expressão: 
( ) 




 ϕ+σ=ε ∞∞ )28(
),(
)(
1.),(
ci
0
0ci
0c0 E
tt
tE
tttc 
onde: 
εc (t∞,t0) é a deformação específica total do concreto entre os instantes t0 e t∞; 
σc (t0) é a tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em t0; 
ϕ(t∞, t0) é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por carregamento 
aplicado em t0. 
 38 
O valor de ϕ(t∞, t0) pode ser calculado por interpolação da tabela 8.1. Essa tabela fornece 
o valor característico superior de ϕ(t∞, t0) em algumas situações usuais (ver seção 8). 
O valor característico inferior de ϕ(t∞,t0) é considerado nulo. 
 
Quando Eci(t0) e Eci(28) são próximos, o que ocorre para t0 entre 10 dias e 100 dias, Eci(28) 
pode ser substituído por Eci(t0). 
 
A expressão simplificada apresentada é aplicável às obras em que as tensões no concreto que 
provocam fluência σc(t0), variam pouco ao longo do tempo e não ultrapassam 0,4 fck. Esse é o 
caso da maioria das obras de concreto armado ou protendido. 
 
Quando porém, em função de fases construtivas ou de protensão muito dispersas no tempo, 
essa tensão σc(t0) varia significativamente, recomenda-se o uso da expressão geral contida no 
Anexo A da NB-1 (Efeito do tempo no concreto estrutural). 
 
No caso particular das obras de concreto armado, o cálculo dos deslocamentos, provocados 
por flexão e majorados por fluência do concreto, pode ser feito pelo processo aproximado 
descrito na seção 15 da Norma. 
 
C 11.3.3.3 Deslocamentos de apoio 
 
O deslocamento de cada apoio deve ser avaliado em função das características físicas 
do correspondente material de fundação. Como representativos desses deslocamentos 
devem ser considerados os valores característicos superiores, δksup, calculados com 
avaliação pessimista da rigidez do material de fundação, correspondente, em princípio, 
ao quantil 5% da respectiva distribuição de probabilidade. 
Os valores característicos inferiores podem ser considerados nulos. 
O conjunto desses deslocamentos constitui-se numa única ação, admitindo-se que todos 
eles sejam majorados pelo mesmo coeficientede ponderação. 
 
De acordo com a NB-1, os deslocamentos de apoio só devem ser considerados quando 
gerarem esforços significativos em relação ao conjunto das outras ações, isto é, quando a 
estrutura for hiperestática e muito rígida. Nesse caso se diz que a estrutura é sensível a 
recalques. 
 
Alternativamente ao que estabelece a Norma, os deslocamentos de apoio podem ser avaliados 
em modelos que levem em conta a interação solo-estrutura. 
 
Nesse caso devem ser consideradas duas situações de cálculo, uma com avaliação otimista da 
rigidez do terreno de fundação e outra com avaliação pessimista da mesma. 
 
Quando o material de fundação é adensável, o adensamento só deve ser considerado na 
avaliação pessimista da rigidez do material. 
 
C 11.3.3.4 Imperfeições geométricas 
 
De forma genérica, as construções de concreto são geometricamente imperfeitas. No caso das 
estruturas reticuladas, por exemplo, existem imperfeições na posição e na forma dos eixos dos 
elementos estruturais, na forma e dimensões da seção transversal, na distribuição da 
armadura, entre outras. 
 
Muitas dessas imperfeições podem ser cobertas apenas pelos coeficientes de ponderação, 
mas, as imperfeições do eixo das peças, não. Elas devem ser explicitamente consideradas 
 39 
porque têm efeitos significativos sobre a estabilidade da construção. Esses efeitos decorrem 
não só das solicitações diretamente atuantes, mas também da fluência e da sensibilidade a 
imperfeições das estruturas de concreto. Dessa forma a NB-1 estabelece que: 
 
Na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem ser 
consideradas as imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais da 
estrutura descarregada. Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos: 
imperfeições globais e imperfeições locais. 
 
Essas imperfeições geométricas podem ser substituídas por conjuntos de cargas externas auto 
equilibradas equivalentes, como mostra a figura C 11.1. A distribuição de H0 pelos n pilares 
depende da distribuição das reações de apoio verticais. 
 
 
Figura C 11.1 - Cargas externas equivalentes a imperfeições geométricas 
 
 40 
Os momentos Mp1, Mp2, Mv correspondem à distribuição, para os dois lances de pilar e a viga, 
do momento total no nó Nlθ1 decorrente do desaprumo. 
 
C 11.3.3.5 Protensão 
 
A ação da protensão deve ser considerada em todas as estruturas protendidas, incluindo, 
além dos elementos protendidos propriamente ditos, aqueles que sofrem a ação indireta 
da protensão, isto é, de esforços hiperestáticos de protensão. 
 
O valor da força de protensão deve ser calculado considerando a força inicial e as perdas 
de protensão conforme estabelecido em 9.6.3. 
 
Os esforços solicitantes gerados pela ação dessa protensão podem ser calculados 
diretamente a partir da excentricidade do cabo na seção transversal do elemento 
estrutural e da força de protensão ou através de um conjunto de cargas externas 
equivalentes, ou ainda através da introdução de deformações impostas correspondentes 
ao pré-alongamento das armaduras. 
 
Os esforços solicitantes gerados pela ação da protensão podem ser calculados diretamente a 
partir da excentricidade do cabo na seção transversal da peça e da força de protensão ou 
através de um conjunto de cargas externas equivalentes, ou ainda através da introdução de 
deformações impostas correspondentes ao pré-alongamento das armaduras. 
 
Esse conjunto de cargas externas equivalentes pode ser calculado com precisão considerando 
a força de protensão variável ao longo do cabo através das forças longitudinais de atrito e das 
forças transversais de curvatura dos cabos (ver figura C 11.2). 
 
Esse conjunto é auto-equilibrado e é formado de duas partes, uma aplicada ao concreto da 
peça e outra ao cabo de protensão da mesma. Quando se considera a peça completa, 
concreto mais cabo, nenhum carregamento deve a ela ser aplicado, as cargas equivalentes se 
auto-equilibram. 
 
 41 
 
 
Figura C 11.2 - Cargas externas equivalentes à protensão 
 
É em geral aceitável considerar uma solução simplificada que admite a força normal de 
protensão constante e igual ao seu valor médio ao longo do vão. 
 
As forças longitudinais são por conseqüência desprezadas. Já as transversais ao cabo são 
admitidas transversais ao eixo do elemento protendido, constantes e dadas pela seguinte 
expressão: 
 
ll
α
==
Ptg2aP8
p
2t
 
 
Sempre que a força normal de protensão for significativamente variável (caso de cabos longos 
ou de grande curvatura) ou o cabo não for parabólico (caso de cabos com inflexão) essa 
aproximação deve ser aplicada por partes. 
 
Cada parte deve corresponder a um trecho de cabo parabólico, com força aproximadamente 
constante. 
 
 42 
C 11.4.1.4 Ações variáveis durante a construção 
 
As estruturas em que todas as fases construtivas não tenham sua segurança garantida 
pela verificação da obra pronta devem ter, incluídas no projeto, as verificações das fases 
construtivas mais significativas e sua influência na fase final. 
 
A verificação de cada uma dessas fases deve ser feita considerando a parte da estrutura 
já executada e as estruturas provisórias auxiliares com os respectivos pesos próprios. 
Além disso devem ser consideradas as cargas acidentais de execução. 
 
Entre essas cargas destacam-se: o peso próprio da parte da estrutura que está sendo 
executada nessa fase, o peso de equipamentos, de depósitos provisórios, de pessoal, etc. 
 
Desenhos de processos construtivos, úteis de uma maneira geral, são especialmente 
necessários nesses casos e devem descrever com clareza essas fases construtivas mais 
significativas, indicando inclusive as condicionantes impostas pelo projeto à execução. 
 
Deve ser levado em conta o disposto na NBR 12655, no que diz respeito às atribuições do 
responsável pelo projeto estrutural. 
 
C 11.4.2.2 Variações não uniformes de temperatura 
 
Nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuição significativamente 
diferente da uniforme, devem ser considerados os efeitos dessa distribuição. Na falta de 
dados mais precisos, pode ser admitida uma variação linear entre os valores de 
temperatura adotados, desde que a variação de temperatura considerada entre uma face 
e outra da estrutura não seja inferior a 5ºC. 
 
Esse é o caso de recipientes de fluidos aquecidos ou resfriados onde a falta de uniformidade 
depende da temperatura do fluido e do eventual isolamento térmico; é o caso também de lajes 
de cobertura de caixas d'água, de edifícios com instalação de ar condicionado ou das pontes 
ou passarelas. 
 
C 11.8 Combinações de ações 
 
C 11.8.2.4 Combinações últimas usuais 
 
Considerando a tabela 11.3 da NB-1 são dados os exemplos de aplicação a seguir. 
 43 
Tabela 11.3 – Combinações últimas 
 
Combinações 
últimas (ELU) 
Descrição Cálculo das solicitações 
Esgotamento da 
capacidade resistente 
para elementos 
estruturais de concreto 
armado 1) 
Fd = γgFgk + γεgFεgk + γq (Fq1k + Σ ψojFqjk) + γεq ψoε 
Fqk 
Esgotamento da 
capacidade resistente 
para elementos 
estruturais de concreto 
protendido 
Deve ser considerada, quando necessário, a 
força de protensão como carregamento externo 
com os valores Pkmáx e Pkmin para a força 
desfavorável e favorável, respectivamente, 
conforme definido na seção 9 
Normais 
Perda do equilíbrio 
como corpo rígido 
S (Fsd) ≥ S (Fnd) 
Fsd = γgs Gsk + Rd 
Fnd = γgn Gnk + γq Qnk - γqs Qs,min, onde: Qnk = Q1k 
+ Σ ψoj Qjk 
Especiais ou 
de construção 
2) 
Fd = γg Fgk + γεg Fεgk + γq (Fq1k + Σ ψoj Fqjk) + γεq ψoε Fεqk 
Excepcionais 
2) Fd = γg Fgk + γεg Fεgk + Fq1exc + γq Σ ψoj Fqjk + γεq ψoε Fεqk 
Onde: 
Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última 
Fgk representa as ações permanentes diretas 
Fεk representa as ações indiretas permanentes como a retração Fεgk e variáveis como a 
temperatura Fεqk 
Fqk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal 
γg, γεg, γq, γεq – ver tabela 11.1 
ψoj,ψoε - ver tabela 11.2 
Fsd representa as ações estabilizantes 
Fnd representa as ações não estabilizantes 
Gsk é o valor característico da ação permanente estabilizante 
Rd é o esforço resistente considerado como estabilizante, quando houver 
Gnk é o valor característico da ação permanente instabilizante 
∑
=
ψ+=
m
2j
jkojk1nk QQQ 
Qnk é o valor característico das ações variáveis instabilizantes 
Q1k é o valor característico da ação variável instabilizante considerada como principal 
ψoj Qjq são as demais ações variáveis instabilizantes, consideradas com seu valor 
reduzido 
Qs,min é o valor característico mínimo da ação variável estabilizante que acompanha 
obrigatoriamente uma ação variável instabilizante 
 
1) No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinações onde o efeito favorável 
das cargas permanentes seja reduzido pela consideração de γg = 1,0. No caso de 
estruturas usuais de edifícios essas combinações que consideram γg reduzido (1,0) não 
precisam ser consideradas. 
 
2) Quando Fg1k ou Fg1exc atuarem em tempo muito pequeno ou tiverem probabilidade de 
ocorrência muito baixa ψ0j pode ser substituído por ψ2j. 
 
 
 44 
Exemplos de definição das combinações últimas 
 
Exemplo 1: Estruturas usuais de edifícios residenciais e comerciais 
 
Deve ser aplicada a fórmula estabelecida para combinações últimas normais de esgotamento 
da capacidade resistente de elementos estruturais de concreto armado (ver tabela 11.3). 
 
Nota – Não se aplica a indústrias, depósitos e congêneres. 
 
Devem ser verificadas pelo menos as duas combinações seguintes: 
 
Fd = 1,4Fgk + 1,2Fεgk + 1,4(Fq1k + ψ0Fq2k) + 1,2x0,6Fεgk 
 
onde: 
 
Fgk representa as cargas permanentes; 
 
Fεgk representa os efeitos da retração; 
 
Fε qk representa os efeitos da temperatura. 
 
O coeficiente de majoração das ações permanentes γg pode ser reduzido para 1,3 no caso de 
ações permanentes de pequena variabilidade. Ver NBR 8681:2003. 
 
Combinação 1: 
 
Fq1k representa os efeitos do vento; 
 
Fq2k representa a carga acidental, com ψ0 = 0,5. 
 
Combinação 2: 
 
Fq1k representa a carga acidental; 
 
Fq2k representa os efeitos do vento, com ψ0 = 0,6. 
 
Nos edifícios com nós pouco deslocáveis ou fixos, isto é, em que os efeitos de 2ª ordem sejam 
desprezíveis, ou quando γz ≤ 1,1. Nesses casos permite-se substituir essas 2 combinações por 
apenas uma dada por: 
 
Fd = 1,4Fgk + 1,2Fεgk + 1,4(Fqk + 0,8Fwk) + 1,2x0,6Fεgk 
 
onde: 
 
Fqk representa a carga acidental; 
 
Fwk representa os efeitos do vento. 
 
Observar ainda que: 
 
1) Os efeitos das ações Fg e Fq devem levar em conta as imperfeições geométricas (ver 
11.3.3.4) quando este for maior que o vento. Nesse caso Fwk = 0. 
 
2) Os efeitos de Fq nos pilares e fundações podem levar em conta que a probabilidade de 
todos os andares estarem completamente carregados ao mesmo tempo é desprezível. 
 45 
Isso pode ser feito como indica a NBR 6120 e reproduzido na tabela C 11.1. 
 
Tabela C 11.1 - Redução de cargas acidentais em edifícios residenciais e comerciais, 
para obtenção das forças normais nos pilares 
 
Numeração dos pisos a partir da 
cobertura 
Redução percentual das cargas acidentais 
1o., 2o, 3o. 0 
4o. 20% 
5o. 40% 
6o. em diante 60% 
 
Notar que a redução da tabela C 11.1 se sobrepõe a ψ0 quando Fq não é ação principal. 
 
Para cálculo das fundações deve ser considerado o valor característico equivalente dessas 
combinações dado por: Feq = Fd/1,4. 
 
 
Exemplo 2: Bibliotecas, arquivos, oficinas, estacionamentos 
 
Deve ser aplicada a fórmula estabelecida para combinações últimas normais de esgotamento 
da capacidade resistente de elementos estruturais de concreto armado (ver tabela 11.3). 
 
Pelo menos duas combinações devem ser verificadas: 
 
Fd = 1,4Fgk + 1,2Fεgk + 1,4(Fq1k + 0,8Fq2k) + 1,2x0,6Fεgk 
 
onde: 
 
Fgk representa as cargas permanentes; 
 
Fq1k representa os efeitos do vento; 
 
Fq2k representa a carga acidental; 
 
Fεqk representa os efeitos da temperatura. 
 
Fd = 1,4Fgk + 1,2Fεgk + 1,4(Fq1k + 0,6Fq2k) + 1,2x0,6Fεgk 
 
onde: 
 
Fq1k e Fq2k passam a representar a carga acidental e os efeitos do vento, respectivamente 
 
 
Exemplo 3: Elementos estruturais de concreto protendido em edifícios, com cabos nas 
zonas comprimidas e tracionadas 
 
Deve ser aplicada a fórmula estabelecida para combinações últimas normais de esgotamento 
da capacidade resistente de elementos estruturais de concreto protendido (ver tabela 11.3). 
 
Fd = 1,4Fgk + 1,2Fεgk + 1,4Fqk + 1,2Pkmáx + 0,9 Pkmín + 1,2x0,6Fεgk 
 
onde: 
 
 46 
Pkmáx representa a contribuição de cabo resultante em zona comprimida para verificação da 
resistência à compressão; 
 
Pkmín representa a contribuição do cabo para verificação da resistência à força cortante ou da 
resistência à flexão, se o cabo está na zona tracionada. 
 
Exemplo 4: Muros de arrimo 
 
Devem ser aplicadas as fórmulas estabelecidas para perda do equilíbrio como corpo rígido (ver 
tabela 11.3). 
 
S(1,0Gsk) ≥ S(1,4Gnk + 1,4Qnk - 1,0Qs,minδ) 
 
onde: 
 
δ representa o efeito, sobre as solicitações, da deslocabilidade do muro; 
 
Gsk representa a ação permanente estabilizante – peso do muro e do solo; 
 
Gnk representa a ação permanente instabilizante – empuxo do peso do solo; 
 
Qnk representa a ação variável instabilizante – empuxo das sobrecargas; 
 
Qs,min representa a ação variável estabilizante – resultante das sobrecargas; 
 
Devem ser considerados os valores característicos superiores dos empuxos Gnk e Qnk. 
 
Exemplo 5: Flutuação de estruturas submersas 
 
Devem ser aplicadas as fórmulas estabelecidas para perda do equilíbrio como corpo rígido (ver 
tabela 11.3). 
 
S(1,0Gsk) ≥ S(1,2Qnk) 
 
onde: 
 
Gsk representa o peso próprio da estrutura e do solo envolvido; 
 
Qnk representa o Empuxo de Arquimedes, calculado com o nível d'água característico superior, 
para a estrutura e o solo envolvido. 
 
Observação: Dependendo da precisão com que se conheçam os pesos envolvidos e o nível 
d’água, o coeficiente de ponderação 1,2 pode ser alterado. 
 
 47 
C 11.8.3.2 Combinações de serviço usuais 
 
Considerando a tabela 11.4 da NB-1 são dados os exemplos de aplicação a seguir para 
estruturas usuais de edifícios residenciais 
 
Tabela 11.4 – Combinações de serviço 
 
Combinações 
de serviço 
(ELS) 
Descrição Cálculo das solicitações 
Combinações 
quase 
permanentes 
de serviço 
(CQP) 
Nas combinações quase permanentes de 
serviço, todas as ações variáveis são 
consideradas com seus valores quase 
permanentes ψ2 Fqk 
 
Fd, ser = Σ Fgi,k + Σ ψ2j Fqj,k 
 
Combinações 
freqüentes de 
serviço (CF) 
Nas combinações freqüentes de serviço, a 
ação variável principal Fq1 é tomada com seu 
valor freqüente ψ1 Fq1k e todas as demais 
ações variáveis são tomadas com seus 
valores quase permanentes ψ2 Fqk 
 
Fd,ser = Σ Fgik + ψ1 Fq1k + Σ ψ
2j Fqjk 
 
Combinações 
raras de 
serviço (CR) 
Nas combinações raras de serviço, a ação 
variável principal Fq1 é tomada com seu valor 
característico Fq1k e todas as demais ações 
são tomadas com seus valores freqüentes Ψ1 
Fqk 
 
Fd,ser = Σ Fgik + Fq1k + Σ ψ1j 
Fqjk 
 
Onde: 
Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço 
Fq1k é o valor característico das ações variáveis principais diretas 
ψ1 é o fator de redução de combinação freqüente para ELS 
ψ2 é o fator de redução de combinação quase permanente para ELS 
 
 48 
Exemplos de aplicação das combinações de serviço 
 
Exemplo 6: Verificação de deslocamentos excessivos. 
 
Deve ser aplicada a fórmula estabelecida para combinações quase permanentes de serviço 
(CQP) (ver tabela 11.4). 
 
Fd,ser = Fgk + 0,3Fqk + Fpk,inf 
 
Nos casos em que os deslocamentos excessivos da estrutura possam efetivamente provocar 
danos nos elementos de acabamento, deve-se considerar a combinação freqüente (CF) na 
verificação correspondente. 
 
Assim, para ação predominante da carga acidental, esta combinação freqüente é dada pela 
expressão: 
 
Fd,ser = Fgk + 0,4Fqk + Fpk,inf 
 
E, paraação predominante do vento: 
 
Fd,ser = Fgk + 0,3Fwk + 0,3Fqk + Fpk,inf 
 
Nos edifícios com nós pouco deslocáveis (fixos), isto é, onde os efeitos de 2º ordem sejam 
desprezíveis, ou quando γz ≤ 1,1, permite-se substituir essas duas combinações por apenas 
uma dada pela expressão: 
 
Fd,ser = Fgk + 0,4Fwk + 0,3Fqk + Fpk,inf 
 
Exemplo 7: Verificação da abertura das fissuras para peças de concreto armado 
 
Deve ser aplicada a fórmula estabelecida para combinações freqüentes (CF) (ver tabela 11.4). 
 
Fd,ser = Fgk + 0,4Fqk + Fpk,inf 
 
Exemplo 8: Verificação da formação de fissuras para protensão nível 3 (completa) 
 
Deve ser aplicada a fórmula estabelecida para combinações raras (CR) (ver tabela 11.4). 
 
Fd,ser = Fgk + Fqk + Fpk,inf 
 
onde: 
 
Fgk representa as cargas permanentes; 
 
Fqk representa a carga acidental; 
 
Fwk representa a carga de vento; 
 
Fpkinf representa a carga de protensão. 
 
 49 
C 12 Resistências 
 
C 12.4.1 Coeficiente de ponderação das resistências no estado limite último (ELU) 
 
Admite-se, no caso de testemunhos extraídos da estrutura, dividir o valor de γc por 1,1. 
 
Ao admitir a minoração do valor de γc, dividindo-o por 1,1 no caso de testemunhos extraídos da 
estrutura, a NB-1 possibilita a correção do valor obtido no ensaio de determinação da 
resistência à compressão dos testemunhos, que pelo procedimento de extração são passíveis 
de apresentarem valores menores que os do concreto da estrutura. 
 
 
 
C 13 Limites para dimensões, deslocamentos e abertura de fissuras 
 
C 13.4.2 Limites para fissuração e proteção das armaduras quanto à durabilidade 
 
Aplica-se o disposto em C 7.6. 
 
 50 
C 14 Análise estrutural 
C 14.3 Hipóteses básicas 
C 14.3.1 Condições de equilíbrio 
As condições de equilíbrio devem ser necessariamente respeitadas. 
As equações de equilíbrio podem ser estabelecidas com base na geometria indeformada 
da estrutura (teoria de primeira ordem), exceto nos casos em que os deslocamentos 
alterem de maneira significativa os esforços internos (teoria de segunda ordem, ver seção 
15). 
A análise de esforços em pilares e outros elementos estruturais predominantemente 
comprimidos deve também obedecer às recomendações da seção 15. 
C 14.3.3 Carregamento monotômico 
Admite-se carregamento monotônico até o estado limite considerado, nas estruturas 
usuais, desde que a resposta a ciclos de carga e descarga, em serviço, não solicite o 
concreto a tensões de compressão acima de 0,5 fck. 
O comportamento não linear decorrente da fissuração do concreto tracionado não compromete 
essa hipótese. 
C 14.5 Tipos de análise estrutural 
C 14.5.2 Análise linear 
Mesmo quando for admitida análise linear, o cálculo da flecha de elementos lineares, deve 
levar em conta os efeitos da fissuração e da fluência. 
C 14.5.5 Análise não-linear 
C 14.5.5.1 Introdução 
Análises não-lineares podem ser utilizadas tanto para estados limites últimos como para 
estados limites de serviço, desde que sejam satisfeitas condições de equilíbrio e 
compatibilidade. 
Deslocamentos, deformações, esforços internos e tensões na estrutura devem ser calculados 
com base em valores médios das propriedades dos materiais (Ecm, fctm, etc.). 
Entretanto, devem ser adotados valores de cálculo para essas propriedades nas regiões 
críticas onde a resistência última precise ser calculada de acordo com os itens apropriados 
apresentados na NB-1. 
Quando há predominância de carregamentos estáticos, os efeitos de aplicação de 
carregamentos prévios podem, geralmente, ser ignorados, assumindo-se crescimento 
monotônico da intensidade das ações presentes. 
Antes da realização da análise não-linear é necessário fazer uma estimativa preliminar de 
disposição e quantidade de armaduras, que influenciam no seu desenvolvimento. 
 51 
Isto pode ser feito mediante emprego de modelos simplificados, normalmente lineares. 
Após a realização da análise não-linear deve-se verificar a proximidade entre as armaduras 
encontradas e as armaduras previamente estimadas. Caso haja diferença significativa, adotam-
se os últimos resultados obtidos como estimativa preliminar e reinicia-se o processo até sua 
convergência. 
É importante ressaltar que toda a geometria da estrutura bem como todas suas armaduras 
precisam ser conhecidas para que a análise não linear possa ser efetuada, pois a resposta real 
da estrutura depende de como ela foi armada. 
C 14.5.5.2 Elementos lineares submetidos à flexão simples ou composta 
C 14.5.5.2.1 Procedimento refinado 
Elementos lineares podem ser analisados por métodos numéricos que admitem: 
a) um diagrama momento-curvatura de cálculo; 
b) na média, que as seções planas permaneçam planas. 
A curvatura de flexão pode ser determinada, de maneira aproximada, por: 
(1/r)m = (εsm - εc)/d 
onde : 
(1/r)m é a curvatura média na seção analisada; 
εsm é a deformação média na armadura tracionada, levando-se em conta a resistência do 
concreto tracionado entre fissuras (tension stiffening); 
εc é a deformação na fibra mais comprimida, calculada desprezando-se a resistência do 
concreto tracionado entre fissuras. 
As relações tensão-deformação a serem adotadas para o concreto e o aço são as 
apresentadas na seção correspondente da NB-1. 
A contribuição do concreto tracionado entre fissuras pode ser estimada pela expressão a 
seguir: 
εsm = εsmr + σs/Es[1-β1β2(σsr/σs)2] 
onde: 
εsm é a deformação média na armadura tracionada, levando-se em conta a resistência do 
concreto tracionado entre fissuras (tension stiffening); 
εsmr é a deformação na armadura tracionada, calculada para a seção não fissurada, e 
correspondente à carga que provoca o início da fissuração; 
σs é a tensão normal na armadura de tração, calculada para a seção fissurada, sob a carga 
atuante; 
 52 
 
σsr é a tensão normal na armadura de tração, calculada para a seção fissurada, correspondente 
à carga que provoca o início da fissuração; 
β1 é o coeficiente de conformação superficial do aço (β1=1 para barras com mossas e β1=0,5 
para barras lisas); 
β2 é um coeficiente que leva em conta a duração e a natureza do carregamento (β2=1 para 
carregamentos de curta duração e β2=0,5 para carregamentos de longa duração ou com 
repetição freqüente). 
A expressão anterior é válida entre a carga de fissuração, sob a qual a máxima tensão de 
tração no concreto atinge o valor fctm, e a carga para a qual a armadura começa a escoar (ver 
figura C 14.1). 
 
Figura C 14.1 - Validade da equação de εsm (R-Y') 
Além do ponto Y' da figura C 14.1, em que a armadura atinge o valor de cálculo da tensão de 
escoamento, a seção transversal pode ser admitida como uma rótula plástica submetida a um 
momento fletor constante, independente da curvatura ou da rotação até atingir a máxima 
rotação plástica permitida, apresentada em 14.6.5 da NB-1. 
Esta aproximação é razoável desde que o acréscimo de momento além do ponto Y' seja 
desprezível, o que ocorre normalmente nos casos práticos. 
C 14.5.5.2.2 Procedimento simplificado 
Ao se fazer o cálculo da rotação de rótulas plásticas por integração de curvaturas entre rótulas, 
é, em geral, suficiente utilizar-se um diagrama momento-curvatura linear simplificado. 
 53 
 
Este diagrama pode ser definido por uma linha reta da origem até o ponto de coordenadas 
[(1/r)m, Myk] onde Myk é o momento que produz a tensão normal fyk na armadura tracionada, 
calculado para a seção fissurada e (1/r)m é a curvatura correspondente a Myk e calculada com a 
consideração da resistência do concreto tracionado entre fissuras. O valor de (1/r)m pode ser 
determinado de maneira aproximada por : 
(1/r)m = (1/r)r εsym / εsy 
onde: 
(1/r)r é a curvatura calculada para a seção fissurada; 
εsy é o alongamento específico da armadura no escoamento (εsy = fyk / Es ); 
εsym é o alongamento específico da armadura para (σs = fyk ∼ fym), considerando-se a resistência 
do concreto tracionado entre fissuras. 
O valor limite da rotação plástica, dado pelo diagrama de 14.6.5 deveser considerado para o 
momento Myd, correspondendo, na rótula considerada, à armadura atingindo a tensão fyd. 
C 14.5.5.2.3 Elementos lineares com protensão 
Em uma análise não-linear os esforços internos e a resistência dos elementos lineares com 
protensão devem ser determinados levando-se em conta o comportamento não-linear do 
concreto, das armaduras ativas e das armaduras passivas. 
Como o comportamento no estado limite último é relativamente pouco influenciado pelos 
efeitos da protensão, a análise estrutural pode ser realizada utilizando-se γp = 1. 
C 14.5.5.3 Elementos de placa fletidos 
Em geral os procedimentos descritos para os elementos lineares se aplicam em uma análise 
não-linear de elementos de placa. 
Quando são utilizados métodos numéricos, tais como diferenças finitas, elementos finitos, e 
outros, a fissuração pode ser considerada difusa ou concentrada em elementos ortotrópicos. 
O diagrama momento-curvatura pode ser determinado como no caso dos elementos lineares. 
Para o tratamento bidimensional do elemento de placa, a partir de um único diagrama 
momento curvatura unidimensional, pode-se trabalhar com o momento efetivo Mef e com a 
curvatura efetiva (1/r)ef, dados, em sistema cartesiano ortogonal xy, por: 
Mef = [(Mx)2 + (My)2 - MxMy + (Mxy)2]1/2 
(1/r)ef = [(1/rx)2 + (1/ry)2 - (1/rx)(1/ry) + (1/rxy)2]1/2 
C 14.5.5.4 Elementos de chapa 
Métodos de análise não-linear podem ser utilizados para verificação de estados limites últimos 
e de utilização, baseados em relações constitutivas apropriadas ao estado limite considerado. 
A contribuição do concreto tracionado entre fissuras deve ser levada em conta. 
 54 
A estimativa preliminar de disposição e quantidade de armaduras pode ser feita mediante 
emprego do modelo biela-tirante, apresentado no item 14.8.1. 
C 14.5.6 Análise através de modelos físicos 
Na análise através de modelos físicos, o comportamento estrutural é determinado a partir 
de ensaios realizados com modelos físicos de concreto, considerando os critérios de 
semelhança mecânica. 
A metodologia empregada nos experimentos deve assegurar a possibilidade de obter a 
correta interpretação dos resultados. 
Neste caso, a interpretação dos resultados deve ser justificada por modelo teórico do 
equilíbrio nas seções críticas e análise estatística dos resultados. 
Se for possível uma avaliação adequada da variabilidade dos resultados, pode-se adotar 
as margens de segurança prescritas nesta Norma, conforme as seções 11 e 12. Caso 
contrário, quando só for possível avaliar o valor médio dos resultados, deve ser ampliada 
a margem de segurança referida nesta Norma, cobrindo a favor da segurança as 
variabilidades avaliadas por outros meios. 
Obrigatoriamente devem ser obtidos resultados para todos os estados limites últimos e 
de serviço a serem empregados na análise da estrutura. 
Todas as ações, condições e possíveis influências que possam ocorrer durante a vida da 
estrutura devem ser convenientemente reproduzidas nos ensaios. 
Esse tipo de análise é apropriado quando os modelos de cálculo são insuficientes ou 
estão fora do escopo desta Norma. 
Para o caso de provas de carga, devem ser atendidas as prescrições da seção 25. 
Para análises através de modelos físicos recomenda-se ainda a consulta ao CEB-FIP MC 90. 
A simulação das condições de trabalho da estrutura nos ensaios deve ser a mais completa 
possível. 
As limitações físicas, práticas e de tempo podem ser superadas via modelos teóricos 
pertinentes e previstos nas normas vigentes. 
A título de exemplo, esse é o caso da consideração dos efeitos diferidos numa peça 
protendida, quando através de modelos teóricos são extrapolados os resultados obtidos nos 
ensaios, que consideram, portanto, apenas uma parte desses efeitos. 
C 14.6 Estruturas de elementos lineares 
C 14.6.2.4 Vãos efetivos de vigas 
O vão efetivo pode ser calculado por: 
210ef aa ++= ll 
com a1 igual ao menor valor entre (t1/2 e 0,3h) e a2 igual ao menor valor entre (t2/2 e 
0,3h), conforme figura 14.5. 
 55 
A consideração do vão efetivo, menor que o vão entre eixos de apoio, só se aplica ao cálculo 
da viga em si. 
A análise dos pilares e do equilíbrio do conjunto deve considerar que as cargas sejam 
transportadas até o eixo dos apoios. 
C 14.6.4.3 Limites para redistribuição de momentos e condições de dutilidade 
A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra 
no ELU. Quanto menor for x/d, tanto maior será essa capacidade. 
Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas ou de ligações 
com outros elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas redistribuições de 
esforços solicitantes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes 
limites: 
a) x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa; ou 
b) x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa. 
Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, 
como por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões. 
Devido ao comportamento não linear do concreto estrutural, os esforços obtidos em análise 
linear não são os reais e portanto mesmo quando se utilizam esses esforços para o 
dimensionamento deve-se garantir uma dutilidade mínima que pode ser caracterizada pela 
condição (x/d)máx. 
C 14.6.7 Estruturas usuais de edifícios - Aproximações permitidas 
C 14.6.7.2 Grelhas e pórticos espaciais 
De maneira aproximada, nas grelhas e nos pórticos espaciais, pode-se reduzir a rigidez à 
torção das vigas por fissuração utilizando-se 15% da rigidez elástica, exceto para os 
elementos estruturais com protensão limitada ou completa (níveis 2 ou 3). 
Perfis abertos de parede fina podem ser modelados considerando o disposto em 17.5. 
Em peças curtas torcidas, a torção pode não ser desprezível, mesmo que se reduza sua rigidez 
por efeito da fissuração. 
C 14.7.7 Lajes nervuradas 
Nas lajes nervuradas, atuando numa só direção, é importante que existam nervuras 
transversais convenientemente distribuídas nos seguintes casos: 
− existência de cargas concentradas; 
− necessidade de suavização da variação das flechas ao longo da direção transversal às 
nervuras principais; 
− necessidade de minimização dos danos na interface entre elementos de concreto e inertes 
decorrentes de variações volumétricas diversas. 
 56 
C 14.7.8 Lajes lisas e cogumelo 
Devem ser cuidadosamente estudadas as ligações das lajes com os pilares, com 
especial atenção aos casos em que não haja simetria de forma ou de carregamento da 
laje em relação ao apoio. 
Obrigatoriamente devem ser considerados os momentos de ligação entre laje e pilares 
extremos. 
A punção deve ser verificada de acordo com 19.5. 
No cálculo elástico aproximado por pórticos múltiplos, especial atenção deve ser dada à 
redução da rigidez com que os pilares restringem a rotação da laje nos apoios, função da sua 
pequena largura em relação à largura da faixa da laje. Uma sugestão pode ser o critério do ACI 
318. 
 
 57 
C 15 Instabilidade e efeitos de segunda ordem 
 
C 15.4 Definições e classificação das estruturas 
 
C 15.4.3 Contraventamento 
 
Por conveniência de análise, é possível identificar, dentro da estrutura, subestruturas 
que, devido à sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte dos esforços 
decorrentes dessas ações. Essas subestruturas são chamadas subestruturas de 
contraventamento. 
 
Os elementos que não participam da subestrutura de contraventamento são chamados 
elementos contraventados. 
 
As sub-estruturas de contraventamento podem ser de nós fixos ou de nós moveis, de 
acordo com as definições de 15.4.2. 
 
As caixas de elevadores e escadas, bem como os pilares-parede de concreto armado, 
constituem exemplos de sub-estruturas de contraventamento. 
 
Por outro lado, mesmo elementos de pequena rigidez podem, em seu conjunto, contribuir de 
maneira significativa na rigidez a ações horizontais, devendo então ser incluídos na sub-
estrutura de contraventamento.C 15.5 Dispensa da consideração dos esforços globais de 2a ordem 
 
C 15.5.2 Parâmetro de instabilidade 
 
Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como sendo de nós fixos se seu 
parâmetro de instabilidade α for menor que o valor α1, conforme a expressão: 
)/( ccsktot IENH=α 
onde: 
α1 = 0,2+ 0,1n se: n ≤ 3 
α1 = 0,6 se: n ≥ 4 
 
onde: 
n é o número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível 
pouco deslocável do subsolo; 
Htot é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível 
pouco deslocável do subsolo; 
Nk é a somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível 
considerado para o cálculo de Htot), com seu valor característico; 
EcsIc representa a somatória dos valores de rigidez de todos os pilares na direção 
considerada. No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de 
rigidez variável ao longo da altura, pode ser considerado o valor da expressão EcsIc de 
um pilar equivalente de seção constante. 
O valor limite α1 = 0,6 prescrito para n ≥ 4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais de 
edifícios. Pode ser adotado para associações de pilares-parede e para pórticos 
 58 
associados a pilares-parede. Pode ser aumentado para α1 = 0,7 no caso de 
contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede e deve ser reduzido 
para α1 = 0,5 quando só houver pórticos. 
 
Ao utilizar modelos com pórticos espaciais contendo todos os elementos da estrutura, 
automaticamente os elementos e pórticos de menor rigidez absorvem menor parcela das 
ações horizontais. 
 
O parâmetro de instabilidade não se aplica a estruturas significativamente assimétricas, ou que 
apresentem deslocamentos horizontais apreciáveis sob ação das cargas verticais. 
 
A utilização do parâmetro γz em estruturas com menos de quatro pavimentos não é 
recomendada devido à possibilidade de se terem casos reais com valores de rigidez menores 
que os recomendados . Neste caso sugere-se a utilização do parâmetro α para avaliação do 
efeito de 2a ordem global. 
 
C 15.7 Análise de estruturas de nós móveis 
 
C 15.7.2 Análise não-linear com 2ª ordem 
 
Uma solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2a ordem consiste 
na avaliação dos esforços finais (1a ordem + 2a ordem) a partir da majoração adicional 
dos esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por 0,95γz. Esse 
processo só é válido para γz ≤ 1,3. 
 
A análise não-linear com 2ª ordem deve considerar a não-linearidade geométrica da estrutura 
e, através de modificações apropriadas da matriz de rigidez da estrutura, a não-linearidade 
física do material (ver 15.3). 
 
Em estruturas de edifícios, permite-se, para a consideração da não-linearidade geométrica, o 
emprego do processo P - ∆ (também conhecido como N - a), tomando-se, para levar em conta 
a não-linearidade física, os valores estabelecidos em C 15.7.3. 
 
C 15.7.3 Consideração aproximada da não linearidade física 
 
Para a análise dos esforços globais de 2a ordem, em estruturas reticuladas com no 
mínimo quatro andares, pode ser considerada a não-linearidade física de maneira 
aproximada, tomando-se como rigidez dos elementos estruturais os valores seguintes: 
- lajes: (EI)sec= 0,3EciIc 
- vigas: (EI)sec= 0,4EciIc para As’ ≠ As e 
 (EI)sec = 0,5 EciIc para As’ = As 
- pilares: (EI)sec=0,8EciIc 
Quando a estrutura de contraventamento for composta exclusivamente por vigas e pilares 
e γz for menor que 1,3, permite-se calcular a rigidez das vigas e pilares por: 
(EI)sec = 0,7 EciIc 
Os valores de rigidez adotados nesta subseção são aproximados e não podem ser 
usados para avaliar esforços locais de 2a ordem, mesmo com uma discretização maior da 
modelagem. 
 
 59 
Os valores acima só podem ser utilizados em estruturas não muito esbeltas (γz menor que 1,3). 
Nas estruturas mais esbeltas deve-se obrigatoriamente utilizar as curvas momento-normal-
curvatura, como dado em 15.3.1. 
 
C 16 Princípios gerais dimensionamento, verificação e detalhamento 
 
Esta seção da NB-1 esclarece quanto à aplicação prática dos conceitos estabelecidos até a 
seção 15 nas etapas de dimensionamento, verificação e detalhamento, definidas a partir da 
seção 17 da Norma. 
 60 
C 17 Dimensionamento e verificação de elementos lineares 
 
C 17.2 Elementos lineares sujeitos a solicitações normais - Estado limite último 
 
C 17.2.2 Hipótese básicas 
 
e) a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-
retângulo, definido em 8.2.10, com tensão de pico igual a 0,85 fcd, com fcd definido em 
12.3.3. Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo de altura 0,8 x (onde x é a 
profundidade da linha neutra), com a seguinte tensão: 
 
− 0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não 
diminuir a partir desta para a borda comprimida; 
 
− 0,80 fcd no caso contrário. 
 
As diferenças de resultados obtidos com esses dois diagramas são pequenas e 
aceitáveis, sem necessidade de coeficiente de correção adicional. 
 
O coeficiente 0,85 que reduz a resistência de cálculo do concreto fcd, leva em conta a 
superposição de três fatores, cuja ordem de grandeza é dada a seguir: 
 
− perda de resistência sob carga mantida (efeito Rüsch), da ordem de 0,72; 
 
− ganho de resistência com o tempo entre 28 dias e o final de vida da estrutura (para 
cimento tipo CP I), da ordem de 1,23; 
 
− coeficiente que corrige a influência da forma do corpo-de-prova padrão 15 cm x 30 cm 
com relação à resistência na estrutura, da ordem de 0,96. 
 
Esse coeficiente, que está explícito neste item está também implícito em todos os outros 
valores de σRcd e τRd constantes da NB-1. 
 
 
C 17.2.3 Dutilidade em vigas 
 
Nas vigas, principalmente nas zonas de apoio, ou quando feita redistribuição de esforços, 
é importante garantir boas condições de dutilidade, sendo adotada, se necessário, 
armadura de compressão que garanta a posição adequada da linha neutra (x), 
respeitando-se os limites de 14.6.4.3. 
 
A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores 
menores da posição da linha neutra (x), que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a 
elementos estruturais com ruptura frágil (usualmente chamados de superarmados). A 
ruptura frágil está associada a posições da linha neutra no domínio 4, com ou sem 
armadura de compressão. 
 
A introdução de armadura de compressão para garantir o atendimento de posições de linha 
neutra (x) menores, não conduz a peças super armadas (com ruptura frágil). 
 
A ruptura frágil está associada às posições de linha neutra no domínio 4, com ou sem 
armaduras de compressão, ver C 14.6.4.3. 
 
 
 61 
C 17.2.4.2 Protensão 
 
Na verificação do ELU devem ser considerados, além do efeito de outras ações, apenas 
os esforços solicitantes hiperestáticos de protensão. Os isostáticos de protensão não 
devem ser incluídos. 
 
Como aqui se considera o elemento estrutural de concreto com o cabo de protensão, os 
esforços isostáticos de protensão se auto equilibram e desaparecem. 
 
C 17.3 Elementos lineares sujeitos a solicitações normais - Estados limites de serviço 
 
C 17.3.2 Estado limite de deformação 
 
A verificação dos valores limites estabelecidos na tabela 13.2 para a deformação da 
estrutura, mais propriamente rotações e deslocamentos em elementos estruturais 
lineares, analisados isoladamente e submetidos à combinação de ações conforme seção 
11, deve ser realizada através de modelos que considerem a rigidez efetiva das seções 
do elemento estrutural, ou seja, levem em consideração a presença da armadura, a 
existência de fissuras no concreto ao longo dessa armadura e as deformações diferidas 
no tempo. 
 
A deformação real da estrutura depende também do processo construtivo, assim como 
das propriedades dos materiais (principalmente do módulo de elasticidade e da 
resistência à tração) no momento de sua efetiva solicitação.Em face da grande 
variabilidade dos parâmetros citados, existe uma grande variabilidade das deformações 
reais. Não se pode esperar, portanto, grande precisão nas previsões de deslocamentos 
dadas pelos processos analíticos a seguir prescritos. 
 
Na avaliação das flechas é importante levar em conta sua dependência com relação às 
condições e do processo construtivo e às propriedades dos materiais no momento da sua 
efetiva solicitação. 
 
C 17.3.2.1 Avaliação aproximada da flecha em vigas 
 
O modelo de comportamento da estrutura pode admitir o concreto e o aço como materiais 
de comportamento elástico e linear, de modo que as seções ao longo do elemento 
estrutural possam ter as deformações específicas determinadas no estádio I, desde que 
os esforços não superem aqueles que dão início à fissuração, e no estádio II, em caso 
contrário. 
 
Deve ser utilizado no cálculo o valor do módulo de elasticidade secante Ecs definido na 
seção 8, sendo obrigatória a consideração do efeito da fluência. 
 
Para vãos de vigas contínuas, quando for necessária maior precisão, pode-se adotar, para a 
rigidez equivalente, o valor ponderado com o critério estabelecido na figura C 17.1. 
 62 
 
( ) ( ) ( )[ ]22,eqvv,eq11,eqeq aaa1)( .E .E .EE IIII ++= l 
onde: 
 
(EI)eq,1 é o produto de inércia equivalente no trecho 1; 
(EI)eq,v é o produto de inércia equivalente no trecho de momentos positivos; 
(EI)eq,2 é o produto de inércia equivalente no trecho 2. 
 
Figura C 17.1 – Vigas contínuas 
 
Em cada trecho o produto de inércia equivalente deve ser calculada com EI II considerando as 
armaduras existentes e com Ma igual a M1, Mv e M2 respectivamente. 
 
Pode-se adotar a1/l e a2/l aproximadamente iguais a 0,15. 
 
O valor de ρ’ para cálculo da flecha diferida pode ser ponderado no vão de maneira análoga ao 
cálculo de (EI)eq. 
 
C 17.3.3.3 Controle da fissuração sem a verificação da abertura de fissuras 
 
A tabela a seguir transcrita é uma aproximação entre o que determina a NBR 6118:2003 e o que 
estabelece o Eurocode 2 em sua última edição. Algumas alterações, tornando menos restritivos 
alguns dos valores de espaçamentos de barras de alta aderência em função de seu diâmetro são 
coerentes com a prática nacional e serão objeto de modificação na norma brasileira em sua 
próxima revisão. 
 
Tabela 17.2 – Valores máximos de diâmetro e espaçamento, com barras de alta aderência 
 
Valores Máximos 
Tensão na barra 
Concreto sem armaduras ativas Concreto com armaduras ativas 
σs 
MPa 
φmax 
mm 
smax 
cm 
φmax 
mm 
smax 
cm 
160 32 30 25 20 
200 25 25 16 15 
240 20 20 12.5 10 
280 16 15 8 5 
320 12.5 10 6 - 
360 10 5 - - 
400 8 - - - 
 
 63 
C 17.3.5 Armaduras longitudinais máximas e mínimas 
 
C 17.3.5.1 Princípios básicos 
 
A ruptura frágil das seções transversais, quando da formação da primeira fissura, deve 
ser evitada considerando-se, para o cálculo das armaduras, um momento mínimo dado 
pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seção de concreto simples, 
supondo que a resistência à tração do concreto seja dada por fctk,sup., devendo também 
obedecer às condições relativas ao controle da abertura de fissuras dadas em 17.3.3. 
 
Existem situações onde os esforços decorrentes de deformações impostas, ou diferidas no 
tempo, induzem esforços onde a armadura prevista em 17.3.5.1 pode ser insuficiente para 
controlar a fissuração. 
 
C 17.4 Elementos lineares sujeitos à força cortante - Estado Limite Último 
 
C 17.4.1 Hipóteses básicas 
 
C 17.4.1.1 Considerações gerais 
 
A armadura destinada a resistir aos esforços de tração transversal deve ser adequadamente 
ancorada, de forma a garantir essa resistência e proporcionar apoio eficiente às diagonais de 
concreto comprimidas, na ligação com a armadura longitudinal. 
 
17.4.1.1.5 O ângulo de inclinação α das armaduras transversais em relação ao eixo 
longitudinal do elemento estrutural deve estar situado no intervalo 45° ≤ α ≤ 90°. 
 
C 17.4.1.1.5 No caso da utilização de armadura transversal inclinada deve-se atentar para a 
possibilidade da inversão do sentido da força cortante. 
 
C 17.4.1.2 Condições relativas aos esforços solicitantes 
 
As vigas de altura variável, usualmente, têm eixo não horizontal e são armadas com estribos 
verticais, não perpendiculares ao eixo. Nesses casos, mesmo que se tenha calculado os 
esforços considerando o eixo real, sugere-se verificar o cisalhamento para forças verticais 
atuantes em seções verticais, paralelas aos estribos. As expressões desta seção da NB-1 
valem para este caso. 
 
Quando se desejar considerar as seções transversais reais as expressões desta seção só 
valem se os estribos forem normais ao eixo. Esse é o caso usual dos arcos. 
C 17.5 Elementos lineares sujeitos à torção - Estado limite último 
 
C 17.5.1.1 Generalidades 
 
As condições fixadas por esta Norma pressupõem um modelo resistente constituído por 
treliça espacial, definida a partir de um elemento estrutural de seção vazada equivalente 
ao elemento estrutural a dimensionar. 
 
As diagonais de compressão dessa treliça, formada por elementos de concreto, têm 
inclinação que pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo 30° ≤ θ ≤ 45°. 
 
A armadura destinada a resistir aos esforços de tração transversal deve ser adequadamente 
ancorada, de forma a garantir essa resistência e proporcionar apoio eficiente às diagonais de 
concreto comprimidas, na ligação com a armadura longitudinal. 
 
 64 
Ancoragem adequada também deve ser dada à armadura longitudinal de torção nas 
extremidades do elemento estrutural, de forma a garantir o apoio das diagonais de concreto. 
 
C 17.5.1.4 Geometria da seção resistente 
 
C 17.5.1.4.1 Seções poligonais convexas cheias 
 
A seção vazada equivalente se define a partir da seção cheia com espessura da parede 
equivalente he dada por: 
u
A
h ≤e 
he ≥ 2 c1 
onde: 
A é a área da seção cheia; 
u é o perímetro da seção cheia; 
c1 é a distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento 
estrutural. 
 
Caso A/u resulte menor que 2c1, isso significa que a seção não é adequada para a torção. A 
solução ideal é alterar a forma. Se isso não for possível, sugere-se adotar he = A/u e a 
superfície média da seção celular equivalente Ae definida pelos eixos das armaduras de canto 
(respeitado o cobrimento exigido nos estribos). 
 
C 17.7.2 Torção e força cortante 
 
17.7.2.3 A armadura transversal pode ser calculada pela soma das armaduras calculadas 
separadamente para VSd e TSd. 
 
A soma das armaduras necessárias deve respeitar a armadura transversal mínima conforme 
definido nos itens 17.4.1.1 e 17.5.1.2. Esses dois itens reproduzem a mesma equação que 
define a armadura transversal mínima. 
 65 
C 18 Detalhamento de elementos lineares 
 
O detalhamento de elementos lineares, escopo da seção 18 da NB-1, é complementado 
sobretudo pelas prescrições da seção 9, relativa ao comportamento conjunto dos materiais, 
mas também pelas seções 6 e 7 nos aspectos ligados à durabilidade e pela seção 13 no que 
se refere aos limites para as dimensões das peças. 
 
C 18.2 Disposições gerais relativas às armaduras 
 
Estabelece as disposições de caráter geral, aplicáveis aos diversos tipos de elementos 
estruturais. Os itens subseqüentes tratam das disposições particulares a elementos estruturais 
lineares solicitados preponderantemente a flexão, simples ou composta, combinada ou não 
com torção — tratados na Norma como vigas, e elementos estruturais solicitados 
preponderantemente a compressão — tratados como pilares e pilares parede. 
 
C 18.2.1 Arranjo das armaduras 
 
O arranjo das armaduras deve atender não só à sua função estrutural como também às 
condições adequadas de execução, particularmente com relação ao lançamento e ao 
adensamento do concreto. 
 
Os espaços devem ser projetados para a introdução do vibrador e de modo a impedir a 
segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do elemento estrutural. 
 
No estudo do arranjodas armaduras sugere-se considerar as informações do livro “Técnicas de 
armar estruturas de concreto”; Fusco, P., B., Editora Pini, 1996. 
 
C 18.2.2 Barras curvadas 
 
Quando houver possibilidade de fissuração do concreto no plano da barra dobrada, 
ocasionada por tensões de tração normais a esse plano, deve ser colocada armadura 
transversal ou aumentado o diâmetro da curvatura da barra. 
 
Esse é em geral o caso, quando o cobrimento normal ao plano da curva é pequeno, menor que 
7φ. 
 
C 18.3 Vigas 
 
C 18.3.2 Armadura longitudinal 
 
C 18.3.2.2 Distribuição transversal 
 
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da 
seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: 
 
a) na direção horizontal (ah): 
− 20 mm; 
− diâmetro da barra, do feixe ou da luva; 
− 1,2 vezes o diâmetro máximo do agregado. 
 
b) na direção vertical (av): 
− 20 mm; 
− diâmetro da barra, do feixe ou da luva; 
− 0,5 vez o diâmetro máximo do agregado. 
 
 66 
Para feixes de barras deve-se considerar o diâmetro do feixe: nφ=φn . 
 
Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por traspasse das barras. 
 
Em qualquer caso deve ser observado o disposto em 18.2.1. 
 
Conforme 18.2.1. o arranjo de armaduras na seção transversal deve permitir a introdução do 
vibrador e uma eficiente vibração de todo o concreto. 
 
Para garantir esse objetivo sugere-se considerar para cada posição de vibração um raio de 
ação de 30cm e a possibilidade do vibrador penetrar até a 1ª camada se existirem mais de 
duas camadas de armadura. Além disso a abertura deixada para cada posição de vibração 
deve ter largura igual ou maior que (φvibr + 2)cm (ver figura C 18.1). 
 
 
Figura C 18.1 - Arranjo transversal da armadura 
 
C 18.3.2.4.1 Ancoragem da armadura de tração no apoio 
 
Nos casos em que o cobrimento do gancho, medido nominalmente ao seu plano, for pelo 
menos 70 mm, a desconsideração do lb,nec conforme 9.4.2.5 só é aceitável para ações 
variáveis de pouca variação no tempo, de forma que o valor máximo não ocorra com 
freqüência. 
 
Por conseqüência, esse critério não deve ser aplicado às pontes, sejam rodoviárias, sejam 
ferroviárias ou sejam ainda as pontes rolantes. 
 
C.18.4 Pilares 
 
C.18.4.3 Armaduras transversais 
 
A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por 
grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória 
sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes. 
 
Essa armadura deve ser calculada para: 
 
a) garantir o posicionamento e impedir a flambagem das barras longitudinais; 
 67 
 
b) garantir a costura das emendas de barras longitudinais; 
 
c) resistir aos esforços de tração decorrentes de: 
 
- mudanças de direção dos esforços; 
 
- efeitos de bloco parcialmente carregado (ver seção 21); 
 
- força cortante (nas seções em que Vd>Vco) e de momentos torsores aplicados (ver 
seção 17); 
 
d) para confinar o concreto e obter uma peça mais resistente ou dútil. 
 
A armadura transversal (estribos) deve ser obrigatoriamente colocada na região comum ao 
pilar e à viga. 
 
C 18.6 Cabos de protensão 
 
C 18.6.2 Arranjo transversal 
 
C 18.6.2.1 Bainhas 
 
C 18.6.2.1.3 Protensão externa 
 
As bainhas podem ser de material plástico resistente às intempéries e com proteção 
adequada da armadura. 
 
A proteção da armadura no caso da protensão externa corresponde no mínimo a bainhas 
individualizadas. Em casos especiais, onde a agressividade do meio e a responsabilidade da 
peça, exigirem uma maior proteção, pode ser necessária bainha abrangendo todo o cabo, 
constituído do conjunto de cordoalhas individualmente embainhadas. 
 
 68 
C 19 Dimensionamento e verificação de lajes 
 
C 19.3 Dimensionamento e verificação de lajes - Estados limites de serviço 
 
C 19.3.1 Estado limite de deformação 
 
Devem ser usados os critérios dados em 17.3.2, considerando a possibilidade de 
fissuração (estádio II). 
 
Em lajes esbeltas é possível existirem regiões fissuradas (estadio II) e portanto o cálculo das 
deformações deve levar em conta esse fato. 
 
C 19.4.1 Lajes sem armadura para força cortante 
 
A equação que fornece VRd1, a seguir transcrita, consiste em um critério bom e especialmente 
indicado para lajes vazadas protendidas e lajes alveolares. 
 
VRd1 = [τRd k (1,2 +40ρ1) + 0,15 σcp] bw d 
 
No entanto, para lajes maciças de concreto armado sob elevadas cargas, recomenda-se a 
seguinte formulação, que corresponde ao critério estabelecido pela antiga NBR 7197:1989 
“Projeto de estruturas de concreto protendido – Procedimento” que foi utilizado nos últimos 15 
anos, com pequeno ajuste no sentido da segurança. Esse critério corresponde também à 
formulação do item 11.2.1 da “Prática Recomendada IBRACON para Estruturas de Edifícios de 
Nível 1 – Estruturas de Pequeno Porte”: 
 
a) Caso de Flexão Simples 
 
Pode-se prescindir da armadura transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da 
força cortante quando a tensão convencional de cisalhamento 
Rd1 db
V
τ≤
w
Sd 
em que: 
VSd é a força cortante de cálculo, considerados os efeitos decorrentes da variação de altura doa 
peça; 
τRd1 = q3 ck -6,1) ( ?50 + 1( α d) f l ≤ 1,0 MPa 
com: 
αq = coeficiente que depende do tipo e da natureza de carregamento, como segue: 
αq = 0,097 para cargas lineares paralelas ao apoio, admitindo-se a redução, na proporção 
a/3d, da parcela de força cortante decorrente de cargas diretas cujo afastamento a do eixo do 
apoio seja inferior ao triplo da altura útil d; 
αq = 0,14 / (1 – 3d/L) para cargas distribuídas, podendo-se adotar αq = 0,17 quando d ≤ 
L/20, sendo L o menor vão teórico das lajes apoiadas ou o dobro do comprimento teórico do 
balanço; 
 69 
(1,6 - d) ≥ 1, sendo d a altura útil da peça expressa em metros; 
(1 + 50 ρl) ≤ 2, em que ρl é a taxa geométrica de armadura longitudinal aderente a uma 
distância 2d da face do apoio, considerando-se as barras do vão efetivamente ancoradas no 
apoio. 
b) Lajes submetidas à flexo-tração 
 
Aplicam-se os limites anteriores calculados com (1,6 - d) = 1, não se levando em conta a 
influência de espessura da peça. 
 
c) Lajes submetidas à flexo-compressão 
 
Aplicam-se os limites da alínea a), majorados pelo fator: 
2 1
d,máx
o ≤+ 
M
M
 
onde Mo e Md,máx são determinados conforme 11.1.3 . 
 
C 19.5 Dimensionamento de lajes à punção 
 
Punção é o estado limite último determinado por cisalhamento no entorno de forças 
concentradas. 
 
A punção é diferente do estado limite último determinado por cisalhamento em seções planas 
solicitadas à força cortante (ver item 19.4). 
 
C 19.5.1 Modelo de cálculo 
 
O modelo de cálculo corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou mais 
superfícies críticas definidas no entorno de forças concentradas. 
 
Na primeira superfície crítica (contorno C), do pilar ou da carga concentrada, deve ser 
verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, através da tensão 
de cisalhamento. 
 
Na segunda superfície crítica (contorno C’) afastada 2d do pilar ou carga concentrada, 
deve ser verificada a capacidade da ligação à punção, associada à resistência à tração 
diagonal. Essa verificação também se faz através de uma tensão de cisalhamento, no 
contorno C’. 
 
Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal. 
 
A terceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser verificada quando for 
necessário colocar armadura transversal. 
 
Na verificação da compressão diagonal foi adotado o mesmo limite de vigas, o que fica a favor 
da segurança, uma vez que se despreza o estado múltiplo de compressão no local. 
 
Na verificação da tração diagonal, adota-se modelo empírico que corresponde a limitar a 
tensão convencional de cisalhamento num perímetro C’. Esse perímetro é definido a 2d da face 
do pilar porque a fissura que determina o ELU é inclinada de 1:222) (ver figura C 19.1). 
 
 70 
 
Figura C 19.1- Ruptura por punção 
 
C 19.5 Dimensionamento de lajes à punção 
 
C 19.5.2 Definição da tensão solicitante nas superfícies críticas C e C´ 
 
C 19.5.2.2 Pilar interno, com efeito de momento 
 
Para o caso da força aplicada apresentar excentricidade segundo duas direções, pode-se 
adotar: 
dW
MK
dW
MK
ud
F
p
Sd
p
SdSd
Sd
2
22
1
11 ++=τ 
 
No caso geral, como solução alternativa a favor da segurança, é possível fazer a verificação: 
 
τSd(FSd, MSd) ≤ τRd1 
 
com τSd calculado elasticamente, usando, por exemplo, o Método dos Elementos Finitos. 
 
No caso geral, é conveniente que a malha de elementos finitos seja definida de forma coerente 
com os perímetros críticos a estudar. 
 
C 19.5.2.3 Pilares de borda 
 
a) quando não agir momento no plano paralelo à borda livre: 
 
d W
M K
du
F
1p
1Sd1
*
Sd
Sd +=τ 
 
b) quando agir momento no plano paralelo à borda livre: 
 
d W
M K
d W
M K
du
F
2p
2Sd2
1p
1Sd1Sd
Sd *
++=τ 
 
As expressões para a determinação de WP1, WP2 e MSd*, referentes a pilares de borda, são: 
 
Com relação a WP1: 
1
2
2
21
2
1
1 8222
dCddCCCCW p π++++= 
 
Com relação a WP2: 
 71 
2
2
121
2
2 84
4
2 dCddCCCCW π++++= 
 
Com relação a MSd*, tem-se que: 
 
MSd* = FSd . e* 
dCa
ddCdC
CC
aaC
d
de
e u
u
π
π
22
82
2*
2
2
12
212
1
*
0
*
0
++
++++−
==
∫
∫
l
l
 
onde: 
 
e* é a excentricidade do perímetro crítico reduzido (ver figura C 19.2). 
 
a ≤ 1,5 d ou 0,5 C1 
 
Figura C 19.2 - Excentricidade do perímetro crítico reduzido 
 
C 19.5.2.4 Pilares de canto 
 
Aplica-se o disposto para o pilar de borda quando não age momento no plano paralelo à 
borda. 
 
Na figura C 19.3 é mostrada a notação utilizada para o cálculo dos parâmetros e* e WP1, 
referentes a pilares de canto. Nesta notação, C1 deve sempre ser considerado como o lado do 
pilar perpendicular à borda livre adotada. 
 
)daa(2
d8dCda4aCa
*e
21
2
1221
2
111
π
π
++
++++−
=
aC
 
 72 
2
42
24
12
2
21
2
1
1
dCddCCCCWp
π++++= 
 
Nesse caso não é necessário superpor o efeito das duas componentes dos momentos porque 
seus picos de tensão ocorrem em pontos diferentes e não se sobrepõem. 
 
a1 ≤ 1,5 d ou 0,5 C1 
a2 ≤ 1,5 d ou 0,5 C2 
 
Figura C 19.3 - Esquema para cálculo de WP1 e e* 
 
C 19.5.2.5 Capitel 
 
O critério estabelecido na NB-1 é adequado para definir o capitel mínimo de forma a não usar 
armadura. 
 
Determina-se inicialmente C2’ tal que “d” passe sem armadura, definindo-se o início do capitel 
2d para dentro do contorno C2’. A seguir determina-se o mínimo valor para “dc” tal que no 
contorno C1’ a distância da passe sem armadura. 
 
O perímetro C deve sempre ser verificado à compressão diagonal. 
 
Quando o capitel for maior que o mínimo esse critério pode ficar exageradamente seguro. 
Dessa forma, sugere-se determinar sempre o mínimo pois, quando o capitel for maior que o 
mínimo, com certeza atenderá a esse critério. 
 
Caso o capitel tenha que ser menor que o mínimo, não será possível evitar armadura 
transversal, no 
capitel ou na laje, conforme da ou d não passem sem armadura, respectivamente. 
 
 
 
 
 73 
C 19.5.3 Definição da tensão resistente nas superfícies críticas C, C’ e C” 
 
C 19.5.3.1 Verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto na 
superfície crítica C 
 
Essa verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas a punção, com ou 
sem armadura. 
 
τSd ≤ τRd2 = 0,27αv fcd 
 
Essa verificação visa quantificar a máxima resistência que uma ligação, protendida ou não, 
pode atingir. 
 
C 19.5.3.2 Tensão resistente na superfície crítica C’ em elementos estruturais ou trechos 
sem armadura de punção 
 
A tensão resistente crítica C´ deve ser calculada como segue: 
 
( ) 3/1ck1RdSd 100)/201(13,0 f d ρ+=τ≤τ 
 
Essa verificação deve ser feita no contorno crítico C' ou em C1' e C2', no caso de existir 
capitel. 
 
As expressões dos itens 19.5.3.2 e 19.5.3.3 da NB-1 apresentam coeficientes ligeiramente 
superiores aos do CEB-90 porque o coeficiente de ponderação da resistência do concreto γc foi 
reduzido de 1,5 para 1,4 para manter coerência com a seção 12 da Norma. 
 
C 19.5.3.3 Tensão resistente na superfície crítica C’ em elementos estruturais ou trechos 
com armadura de punção 
 
A tensão resistente resistente C´ deve ser calculada como segue: 
 
( )
du 
f A
s
d
f d ww
α
+ρ+=τ≤τ
sen
5,1100)/201(10,0 dys
r
3/1
ck3RdSd 
onde: 
 
fywd é a resistência de cálculo da armadura de punção, não maior do que 300 MPa para 
conectores ou 250 MPa para estribos (de aço CA-50 ou CA-60). Para lajes com 
espessura maior que 15 cm, esses valores podem ser aumentados conforme estabelece 
19.4.2. 
 
Essa armadura deve ser preferencialmente constituída por três ou mais linhas de 
conectores tipo pino com extremidades alargadas, dispostas radialmente a partir do 
perímetro do pilar. Cada uma dessas extremidades deve estar ancorada fora do plano da 
armadura de flexão correspondente. 
 
O valor limite de 250 MPa para fywd, no caso de uso de estribos, pressupõe contato metálico 
entre as barras longitudinais e os cantos dos estribos. 
 
Com relação aos pilares de canto e de borda, recomenda-se a utilização da armadura 
mostrada na figura C 19.4. Observar que uma parte da armadura não é computada no cálculo. 
(Ver também as figuras C 19.5, C 19.6 e C 19.7). 
 74 
 
 
Figura C 19.4 - Armadura de punção para pilares de borda e de canto 
 
 
Figura C 19.5 - Ancoragem da armadura de punção 
 
 
 
Figura C 19.6 - Detalhe dos conectores 
 
 75 
 
Figura C 19.7 - Disposição da armadura Asw 
 
C 19.5.4 Colapso progressivo 
 
Para garantir a dutilidade local e a conseqüente proteção contra o colapso progressivo, a 
armadura de flexão inferior que atravessa o contorno C deve estar suficientemente 
ancorada além do contorno C', conforme figura 19.10, e deve ser tal que: 
 
As fyd ≥ FSd 
 
O critério estabelecido pela NB-1 pressupõe que a armadura inferior, de flexão, embora 
dobrada, seja capaz de suportar a laje, após ruptura por punção (ver figura C 19.8). Essa 
hipótese foi comprovada por ensaios. 
 
 
Figura C 19.8 - Armadura contra colapso progressivo 
 
 
 76 
C 20 Detalhamento de lajes 
 
Lajes apoiadas em vigas 
 
Na ausência de determinação das distribuições de momentos, desde que as vigas de apoio 
sejam suficientemente rígidas (ou seja, não vale para “vigas chatas”) e que não seja necessário 
considerar a alternância de carga, pode-se dispor as armaduras de acordo com os arranjos 
mostrados nas figuras nas figuras C 20.1, C 20.2, C 20.3, C 20.4 e 20.5. 
 
Figura C 20.1 – Armadura positiva – laje sobre vigas (disposição 1) 
 77 
 
Figura C 20.2 – Armadura positiva – laje sobre vigas (disposição 2) 
 
Figura C 20.3 – Armadura negativa – Apoios contínuos 
 
 
 
 78 
 
 
Figura C 20.4 – Armadura negativa – Apoios extremos 
 
 
 
Figura C 20.5 – Armadura negativa de balanços 
 
 
 79 
C 20.3 Lajes sem vigas 
 
C 20.3.2 Lajes protendidas 
 
C 20.3.2.6 Armaduras passivas e ativas 
 
Deve-se dispor convenientemente junto às ancoragens passivas e ativas, armaduras de 
fretagem que assegurem o bom desempenho das seções contra o fendilhamento. Além disso, 
deve ser analisado o problema de introdução da protensão em planta, especialmente quando 
haja forte assimetria. 
 
Cuidados especiais devem ser tomados para garantir o alojamento das armaduras passivas e 
ativas nas regiões da laje onde haja sobreposição de vários níveis de armadura, especialmente 
no cinzamento das mesmas. 
 
Nas lajes protendidas por monocordoalhas não aderentes as ancoragens ativas devem ser, 
preferencialmente, dispostas no baricentro da seção transversal da laje, mantendo o cabo reto 
e paralelo ao plano médio da laje, nos seus primeiros 50 cm. Deve-se dar preferência a 
desenvolvimentos em que a elevação da geometria dos cabos siga uma lei parabólica do 2º 
grau. 
 
 80 
C 21 Regiões especiais 
 
C 21.1 Introdução 
 
Esta seção da Norma trata de forma qualitativa de regiõesespeciais em estruturas de concreto, 
como por exemplo aquelas em que existam tensões elevadas em conseqüência de introdução 
de cargas concentradas, de aberturas ou de ligações entre peças estruturais. São abordadas 
zonas de introdução de cargas concentradas, como é o caso de regiões de pressão localizada, 
articulações e regiões de introdução da protensão. As aberturas em paredes, lajes e vigas, por 
introduzirem tensões elevadas, são também consideradas regiões especiais. Outras regiões 
especiais são ligações de peças pré-moldadas, nós de pórticos, ligações entre paredes. 
 
Esses casos não são cobertos pelos modelos anteriormente descritos, como para a flexão ou 
cisalhamento. Essa dificuldade decorre da não validade, nessas regiões, da hipótese da seção 
plana. 
 
As regiões especiais devem ser calculadas e detalhadas com base em modelos empíricos 
encontrados na literatura técnica e corroborados por ensaios específicos. 
 
C 21.2 Regiões de introdução de cargas concentradas 
 
Atenção especial deve ser dada ao detalhamento dessas regiões, de modo a garantir um 
desempenho compatível com o modelo adotado. 
 
Essas regiões têm normalmente uma grande responsabilidade em relação ao conjunto da 
estrutura, podendo representar um elo fraco que comprometa o todo. 
 
C 21.2.1 Pressão de contato em área reduzida 
 
Visando esclarecer a terminologia usada nas normas internacionais redigidas em inglês foram 
utilizadas as seguintes correspondências com as expressões em português: 
 
− fendilhamento anelar - bursting 
 
− fendilhamento em plano preferencial interno - splitting 
 
− fendilhamento em um plano próximo à superfície lateral da peça - spalling 
 
− esmagamento - crushing 
 
C 21.2.2 Articulações de concreto 
 
Essas articulações, conhecidas como Freyssinet, não equilibram esforços de tração, momento 
fletor ou de torção, mesmo se alguma barra de aço for projetada para atravessá-la 
longitudinalmente. 
 
Caso seja importante absorver alguma componente de força cortante, maior que a decorrente 
da inclinação 1/8 da força resultante, recomenda-se buscar comprovação técnica experimental 
a partir de resultados obtidos em laboratórios especializados em engenharia de estruturas. 
 
C 21.2.3 Região de introdução da protensão 
 
É importante ressaltar que nessas regiões, e até a uma certa distância delas, as deformações 
não obedecem à hipótese das seções planas, tratando-se portando de zonas especiais. 
 
 81 
Na verificação da compressão localizada atrás da ancoragem não se aplicam os critérios 
definidos em 21.2.1, prevalecendo os ensaios de certificação do sistema de ancoragem 
utilizado. 
 
C 21.3 Furos e aberturas 
 
Em 21.3, a NB-1 trata apenas de aberturas em vigas, pilares-parede, vigas-parede e lajes. No 
entanto, toda a abertura em estruturas de concreto deve ser analisada de tal forma que a 
armação calculada e convenientemente disposta equilibre os esforços de tração que se 
desenvolvem nessas regiões. 
 
O detalhamento da armadura dessas peças deve levar em conta os esforços de tração 
determinados nos modelos de cálculo, não prescindindo de armadura complementar disposta 
no contorno e nos cantos das aberturas. 
 
C 21.4 Nós de pórticos e ligações entre paredes 
 
Em decorrência da mudança de direção dos elementos da estrutura, a resistência do 
conjunto depende da resistência à tração do concreto e da disposição da armadura, que 
devem ser consideradas no dimensionamento. 
 
A resistência da região dos nós pode ser significativamente inferior à de outras regiões da 
peça, conforme o detalhe de armadura adotado23). 
 
 82 
C 22 Elementos especiais 
 
C 22.1 Introdução 
 
Esta seção da NB-1 trata de forma qualitativa alguns elementos especiais de concreto 
estrutural. Esses elementos se caracterizam por um comportamento que não respeita a 
hipótese das seções planas, isto é, eles não são suficientemente longos para que se dissipem 
as perturbações localizadas. 
 
Vigas-parede, consolos e dentes Gerber, bem como sapatas e blocos, são elementos desse 
tipo. Eles exigem critérios especiais de cálculo, dimensionamento e detalhamento. 
 
Como referência bibliográfica mais completa, abrangente e próxima das normas e hábitos 
brasileiros sugere-se adotar a Norma Espanhola, EH-91 - "Instrucción para el proyeto y la 
ejecución de obras de hormigón en masa o armado" – 1991. 
 
Decidiu-se reduzir esse capítulo a aspectos qualitativos, deixando para a bibliografia, como 
acima citada, a necessária quantificação, por algumas razões: 
 
a) o texto deveria se basear na moderna visão dos modelos biela-tirante como proposto por 
Schlaich-Schäfer e aceito pelo CEB; 
 
b) esses modelos deveriam representar adequadamente os ensaios de laboratório, em cada 
um dos elementos especiais; 
 
c) os resultados não devem, por outro lado, se afastar demais do que tem sido feito em muitos 
casos no Brasil. 
 
Ocorre que existe uma grande dificuldade em satisfazer esses 3 itens. 
 
Para os blocos, por exemplo, onde estamos habituados a usar os modelos de Blevot para seu 
dimensionamento, percebemos que existe dificuldade em compatibilizar as novas bielas, mais 
largas e com tensões resistentes menores dos modelos do CEB, com as de Blevot, mais 
estreitas mas aceitando tensões resistentes maiores. 
 
É preciso esperar que pesquisas e textos amadureçam esse assunto. 
 
No caso dos consolos, por outro lado, existem dificuldades com a própria interpretação dos 
ensaios. Na tentativa de estudar a tensão de cisalhamento resistente τRd, juntaram-se muitos 
ensaios para dar maior significação ao resultado. 
 
Ocorre que nesse conjunto de ensaios existe uma quantidade muito grande de casos em que a 
ruptura ocorreu com alongamento muito grande da armadura (de 3% a 10%). A ruptura acaba 
realmente ocorrendo após esgotamento da biela, cuja resistência nesses casos foi muito 
reduzida em conseqüência do alongamento da armadura. Em princípio esses casos tiveram 
ruína definida pelo tirante e não pela biela. 
 
Essas questões precisam ser revistas e amadurecidas. 
 
Nessas circunstâncias decidiu-se dar ao capítulo a forma atual e sugerir bibliografia usual, 
normalmente internacional, para o dimensionamento e detalhamento. 
 
Espera-se que em futuro breve seja possível mudar de posição. 
 
 83 
Em tese recente, Machado (ver C 22.3.1.3) apresenta novas propostas de modelos e critérios 
para o projeto de consolos curtos e muito curtos, inclusive com uma proposta de normalização 
no final do trabalho. 
 
Para consolos curtos adota um modelo de treliça para uma faixa mais ampla do que a definida 
em 22.3.1.1 e para consolos muito curtos um modelo de atrito-cisalhamento modificado linear 
com coesão aparente, que considera inclusive a influência da variação da resistência do 
concreto, o que habitualmente não é considerado nas normas. 
 
C 22.2 Vigas-parede 
 
C 22.2.2 Comportamento estrutural 
 
O comportamento estrutural das vigas-parede tem algumas características específicas, 
destacando-se: 
 
a) a ineficiência para resistir à flexão devida a um braço de alavanca pequeno em relação à 
altura da seção transversal. Usar braços de alavanca das vigas usuais em vigas-parede 
reduz sua segurança e sobretudo compromete seu comportamento em serviço; 
 
b) a ineficiência para resistir ao cisalhamento, provocada pela concentração das tensões de 
cisalhamento próximo à face inferior, junto ao apoio. Se traduz numa redução 
significativa da tensão resistente de cisalhamento, uniformizada na seção bwd, em 
relação às vigas usuais; 
 
c) instabilidade como corpo rígido e, às vezes, estabilidade elástica. Enrijecedores de 
apoio ou travamentos são quase sempre necessários; 
 
É necessário ainda tratar com cuidado as perturbações geradas por cargas concentradas, 
aberturas ou engrossamentos. Essas perturbações podem influir significativamente no 
comportamento e resistência da peça. 
 
C 22.2.3 Modelo de cálculo 
 
Para cálculo e dimensionamento de vigas-parede são permitidos modelos planos 
elásticos ou não linearese modelos biela-tirante. Qualquer que seja o modelo escolhido, 
ele deve contemplar adequadamente os aspectos descritos em 22.2.2. 
 
Recomenda-se utilizar os modelos de cálculo consagrados na literatura, como os descritos em: 
 
− Norma Espanhola, EH-91 - "Instrucción para el Proyeto y la Ejecución de Obras de 
Hormigón en Masa o Armado" – 1991; 
 
− CEB - Bull 139 - "Complement to CEB-FIP Model Code"- 1978; 
 
− Leonhardt, F. - "Construções de Concreto - volumes 2 e 3"- E. Interciência; 
 
− Mac Gregor, J.G. - "Reinforced Concrete" - Prentice Hall 
 
− Fusco, P.B - "Técnica de Armar as Estruturas de Concreto"- PINI – 1995. 
 
 
 
 84 
C 22.3 Consolos e dentes Gerber 
 
C 22.3.1 Consolos 
 
C 22.3.1.3 Modelo de cálculo 
 
Para cálculo e dimensionamento de consolos podem ser usados modelos planos lineares 
ou não (não planos no caso da torção), modelos biela-tirante ou modelos atrito-
cisalhamento, respeitando em cada caso o seu campo de aplicação. 
 
Qualquer que seja o modelo adotado, ele deve contemplar os aspectos fundamentais 
descritos em 22.3.1.2 e possuir apoio experimental ou ser derivado de modelo básico já 
amplamente comprovado por ensaios. 
 
Recomenda-se utilizar os modelos de cálculo consagrados na literatura, como os descritos em: 
 
− NBR 9062:2001 – Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado – 
Procedimento; 
 
− Norma Espanhola, EH-91 - "Instrucción para el proyeto y la ejecución de obras de hormigón 
en masa o armado" – 1991; 
 
− Mac Gregor, J.G. - "Reinforced Concrete" - Prentice Hall; 
 
− Leonhardt, F. - "Construções de Concreto - volumes 2 e 3"- E. Interciência; 
 
− Fusco, P.B - "Técnica de Armar as Estruturas de Concreto"- PINI – 1995; 
 
− Machado, C.P. - “Consolos Curtos e Muito Curtos de Concreto Armado”- Tese de 
Doutorado, São Paulo, Escola Politécnica da USP, 1999. 
 
C 22.3.2 Dentes Gerber 
 
C 22.3.2.3 Modelo de cálculo 
 
Para cálculo e dimensionamento, podem ser usados os mesmos princípios estabelecidos 
para os consolos, desde que sejam feitas as correções necessárias para contemplar as 
diferenças levantadas em 22.3.2.2. 
 
Valem os comentários de C 22.3.1.3. 
 
C 22.4 Sapatas 
 
C 22.4.3 Modelo de cálculo 
 
Para cálculo e dimensionamento de sapatas, podem ser utilizados modelos 
tridimensionais lineares ou não e modelos biela-tirante tridimensionais. Esses modelos 
devem contemplar os aspectos descritos em 22.4.2. Só excepcionalmente os modelos de 
cálculo precisam contemplar a interação solo estrutura. 
 
Recomenda-se utilizar os modelos consagrados na literatura como os descritos em : 
 
− Norma Espanhola, EH-91 - "Instrucción para el Proyeto y la Ejecución de Obras de 
Hormigón en Masa o Armado" – 1991; 
 
− CEB - Bull 139 - "Complement to CEB-FIP Model Code"- 1978; 
 85 
− Leonhardt, F. - "Construções de Concreto - volumes 2 e 3"- E. Interciência; 
 
− Mac Gregor, J.G. - "Reinforced Concrete" - Prentice Hall; 
 
− Fusco, P.B - "Técnica de Armar as Estruturas de Concreto"- PINI – 1995. 
 
C 22.4.4 Detalhamento 
 
C 22.4.4.1 Sapatas rígidas 
 
C 22.4.4.1.1 Armadura de flexão 
 
A armadura de flexão deve ser uniformemente distribuída ao longo da largura da sapata, 
estendendo-se integralmente de face a face da mesma e terminando em gancho nas 
duas extremidades. 
 
Para sapatas rígidas muito alongadas em relação ao pilar deve ser revista a distribuição da 
armadura. 
 
C 22.4.4.1.3 Casos especiais 
 
Devem ser atendidos os requisitos relativos a lajes e a punção (ver seções 19 e 20). 
 
Cuidados especiais devem ser tomados no cálculo e detalhamento de sapatas com cargas 
muito excêntricas. 
 
C 22.5 Blocos sobre estacas 
 
C 22.5.2 Comportamento estrutural 
 
O comportamento estrutural dos blocos, eliminada a complexidade da interação solo-estrutura 
através da hipótese de 22.5.1, pode ser descrito separando blocos rígidos e flexíveis. 
 
C 22.5.3 Modelo de cálculo 
 
Para cálculo e dimensionamento dos blocos são aceitos modelos tridimensionais lineares 
ou não e modelos biela-tirante tridimensionais, sendo esses últimos os preferidos por 
definir melhor a distribuição de esforços pelos tirantes. Esses modelos devem contemplar 
adequadamente os aspectos descritos em 22.5.2. 
 
Sempre que houver esforços horizontais significativos ou forte assimetria, o modelo deve 
contemplar a interação solo-estrutura. 
 
Valem os comentários de C 22.4.3. 
 
C 22.5.4 Detalhamento 
 
C 22.5.4.1 Blocos rígidos 
 
Casos especiais 
 
Cuidados especiais devem ser tomados no cálculo e detalhamento de blocos com cargas muito 
excêntricas, especialmente quando há tração nas estacas. 
 
No caso de blocos de grande volume deve ser dada atenção aos esforços provenientes de 
retração térmica e às providências para neutralizá-los. 
 86 
C 23 Ações dinâmicas e fadiga 
 
C 23.3 Estado limite de vibrações excessivas 
 
As vibrações podem ser causadas por diversas ações variáveis, a saber: 
 
− movimento rítmico feito por pessoas tais como andar, correr, pular e dançar; 
 
− máquinas; 
 
− ondas devidas a vento e água; 
 
− tráfego ferroviário e rodoviário; 
 
− trabalhos de construção, por exemplo, cravação de estacas-prancha, compressão do solo 
por meio de vibração e trabalhos de explosão. 
 
C 23.5 Estado limite último de fadiga 
 
Não são tratadas nesta Norma as ações de fadiga de alta intensidade, capazes de 
provocar danos com menos de 20 000 repetições. 
 
As ações de fadiga de média e baixa intensidade e número de repetições até 2 000 000 
de ciclos são consideradas nas disposições estabelecidas nesta seção. Para a 
consideração do espectro de ações, admite-se que podem ser excluídas aquelas de 
veículos com carga total até 30 kN, para o caso de pontes rodoviárias. 
 
A NB-1 não considera as ações dinâmicas de alta intensidade e baixo número de ciclos 
oriundos, principalmente, de sismos e rajadas de vento. 
 
De acordo com indicações da literatura o limite é fixado em 20 000 repetições. 
 
O número de ciclos de 2x106 é o estabelecido para determinar o limite dos materiais. Os 
valores limites para o intervalo de tensões (característicos) vão a 108 ciclos. 
 
 87 
C 24 Concreto simples 
 
C 24.2 Campo de aplicação 
 
São considerados como elementos estruturais de concreto simples, os elementos estruturais 
de concreto sem armadura, ou com uma pequena armadura disposta geralmente em forma de 
malha junto as faces, que tem a função de reduzir os efeitos da fissuração. 
 
Os elementos de concreto que tem uma taxa geométrica igual ou superior à da armadura 
mínima são elementos de concreto armado. 
 
Como a integridade estrutural das peças de concreto simples depende somente das 
propriedades do concreto, o uso de concreto simples estrutural está limitado a peças 
preponderantemente solicitadas à compressão, peças cuja fissuração não afeta sua 
integridade estrutural e peças nas quais a dutilidade não è uma condição essencial do 
dimensionamento. 
 
A tensão de tração do concreto pode ser considerada no projeto de peças de concreto simples 
sempre que sejam levados em conta os efeitos de retração, temperatura e fluência. 
 
O concreto simples pode ser usado em peças de vedação ou ornamentação, como blocos para 
revestimento de piso, meios-fios, bocas de lobo, muretas, gradil, cerca, elementos decorativos, 
estátuas, painéis de arte ou de exposição. 
 
O concreto simples estrutural só pode ser usado em peças pré-moldadas ou moldadas no local, 
com função estrutural como arcos, pilares, paredes, pedestais, tubos, blocos, estacas ou 
assemelhados. 
 
Outros exemplos de estruturas de concreto simples são os seguintes: muros de edifícios e 
fundações geralmente com malhas de aço nas duas faces, sapatas corridas ou individuais de 
fundações, muros de contenção de terra de pequena altura, painéis, monumentos, canais, 
túneis em rocha, barragens. 
 
C 24.3 Materiais e propriedades 
 
Devem ser atendidas as exigências para concreto constantes da seção 8, podendo ser 
utilizado concreto a partir da classe C10 (NBR 8953).Os elementos de concreto simples são, por razões construtivas, normalmente muito mais 
espessos que os de concreto armado. Resulta antieconômico o uso de concretos de 
resistência de projeto superior a 30 MPa. 
 
Nos elementos estruturais de grande espessura deve-se considerar o aquecimento e posterior 
resfriamento gerado pela hidratação do cimento, fato que determina ocasionalmente a 
necessidade de uso de cimento de endurecimento lento ou de água ou agregados resfriados. 
 
C 24.4 Juntas e disposições construtivas 
 
As juntas são um elemento de primordial importância nas estruturas de concreto simples. 
 
A função da junta é a de eliminar ou diminuir as tensões de tração no concreto provocadas por 
variação de temperatura, retração ou fluência. 
 
Em muitos casos é de grande importância a escolha da hora apropriada do dia para o inicio da 
concretagem, devendo ser evitadas as horas da tarde em dias quentes. 
 
 88 
C 24.5 Projeto estrutural 
 
C 24.5.1 Generalidades 
 
A hipótese básica para o projeto de elementos de concreto simples é que as tensões últimas 
sejam suficientemente reduzidas para garantir que a seção não fissure com as cargas de 
projeto e que os elementos estruturais resistam às tensões de tração, sem a consideração da 
armadura eventualmente presente, para todas as condições de carregamento. 
 
No caso em que as tensões ultrapassam as tensões últimas do concreto, ou se aumenta a 
seção, ou a resistência do concreto, ou se dimensiona a peça em concreto armado. 
 
Lembrar que o aumento de seção de concreto tem efeito prejudicial uma vez a que aumentam 
as tensões devidas à retração, temperatura e fluência. 
 
Os elementos de concreto simples apresentam geralmente ruptura frágil. 
 
C 24.5.3 Dimensionamento 
 
Peças de concreto com armadura menor que a mínima, devem ser dimensionadas como de 
concreto simples, com a resistência baseada somente na resistência do concreto. Isto não se 
aplica para a armadura usada para transferir esforços externos a elementos de concreto 
simples. 
 
No cálculo de tensões devidas à flexão, flexão composta e esforços tangenciais, deve 
ser considerada a seção transversal total do elemento, exceto no caso de concreto 
lançado contra o solo, onde a altura total h a ser considerada deve ser 5 cm menor 
que a real. 
 
A redução da altura total h no concreto lançado contra o solo tem a finalidade de compensar as 
irregularidades de escavação e a contaminação do concreto em contato com o solo. 
 
C 24.5.5 Tensões de cisalhamento 
 
C 24.5.5.1 As tensões de cisalhamento no concreto simples pressupõem seção não fissurada. 
No cálculo da tensão de cisalhamento para uma seção qualquer pode-se usar: 
 
τwd=VdS/(bI) 
 
onde: 
 
Vd é a força de cisalhamento majorada; 
 
S é o momento estático da parte da seção considerada situada acima (ou abaixo) do ponto 
em estudo em relação ao centro de gravidade da seção; 
 
b é largura da seção no ponto onde a tensão está sendo calculada; 
 
I é o momento de inércia da seção total. 
 
C 24.5.7.2 Cálculo simplificado de seções comprimidas 
 
No caso de ser a seção eficaz de difícil determinação geométrica, é possível sua substituição 
por uma seção aproximada, cujo centro de gravidade coincide com o ponto de aplicação virtual 
G1. 
 
 89 
C 24.5.8 Estabilidade global 
 
Em toda a estrutura deve ser verificada a estabilidade global. 
 
É necessário verificar a estabilidade para as condições de: 
 
a) flutuação; 
 
b) deslizamento; 
 
c) tombamento; 
 
d) tensões na fundação. 
 
C 24.6.1 Pilares-parede 
 
Pilares-parede de concreto simples são comumente usados para fundações de construções 
residenciais e construções comerciais leves em áreas não sísmicas. 
 
As prescrições contidas neste item são aplicáveis somente a pilares-parede de concreto 
simples contraventados lateralmente no topo e na base de forma a impedir deslocamentos 
laterais. 
 
A NB-1 não abrange pilares-parede onde tal impedimento não existir, sendo neste caso 
necessário projetá-las em concreto armado. 
 
Pilares-parede de concreto simples devem ser projetados para resistir a todas as solicitações a 
que estão sujeitos, inclusive carga axial excêntrica e forças laterais. 
 
O método de projeto empírico conforme a fórmula apresentada na Norma é aplicável somente 
a pilares-parede de seção retangular cheia. 
 
No caso em que a resultante das cargas passe pelo terço central (núcleo central do pilar-
parede), pode usar-se a expressão apresentada em 24.6.1. Cargas excêntricas e forças 
laterais devem ser usadas para calcular a excentricidade total da força majorada Nd. 
 
Para o caso de grande excentricidade ou de seções de outro tipo, adotar os critérios de 24.5. 
Em casos particulares é necessário verificar a resistência dos pilares-parede a esforços de 
cisalhamento. 
 
C 24.6.2 Blocos de fundação 
 
A área da base de blocos de fundação deve ser determinada a partir da tensão 
admissível do solo para cargas não majoradas. A espessura média do bloco não deve ser 
menor do que 20 cm. 
 
A espessura dos blocos de concreto simples é determinada geralmente em função de sua 
resistência à flexão. A tensão na fibra extrema será menor que σctRd . 
 
A tensão de cisalhamento é poucas vezes a determinante. 
 
Nos blocos concretados contra o solo é considerada a altura h conforme 24.5.3, tanto para 
flexão como para cisalhamento. 
 
 90 
C 25 Interfaces do projeto com a construção, utilização e manutenção 
 
C 25.1 Aceitação do projeto 
 
Cabe ao contratante proceder ao recebimento do projeto, quando cumpridas as 
exigências desta Norma, em particular aquelas prescritas na seção 5. 
 
É recomendável que a verificação do projeto seja efetuada por profissional independente ao 
qual cabe examinar os pontos básicos da concepção estrutural e a conformidade com as 
disposições das Normas Brasileiras. 
 
Sugere-se a verificação do projeto especialmente em estruturas não usuais e naquelas 
destinadas a grandes concentrações de público. 
 
C 25.4 Manual de utilização, inspeção e manutenção 
 
Dependendo do porte da construção e da agressividade do meio e de posse das 
informações dos projetos, dos materiais e produtos utilizados e da execução da obra, 
deve ser produzido por profissional habilitado, devidamente contratado pelo contratante, 
um manual de utilização, inspeção e manutenção. Esse manual deve especificar de 
forma clara e sucinta, os requisitos básicos para a utilização e a manutenção preventiva, 
necessárias para garantir a vida útil prevista para a estrutura, conforme indicado na NBR 
5674 
 
É importante que o profissional encarregado desse Manual disponha das informações dos 
projetos, dos materiais e produtos utilizados e da execução. 
 
 91 
Bibliografia citada nos Comentários Técnicos 
1) TUUTI, Kyosti. Corrosion of Steel in Concrete. Stockholm, Swedish Cement and Concrete 
Research Institute, 1982. 
2) HELENE, Paulo R.L. Contribuição ao Estudo da Corrosão em Armaduras de Concreto 
Armado. São Paulo, Departamento de Engenharia de Construção Civil - PCC, Escola 
Politécnica da Universidade de São Paulo - EPUSP, fev. 1993. 231p. (tese de livre docência). 
3) SITTER, W.R. Costs for Service Life Optimization. The "Law of Fives". In: CEB-RILEM 
Durability of Concrete Structures. Proceedings of the International Workshop held in 
Copenhagen, 18-20 May 1983. Copenhagen, CEB, 1984. (Workshop Reported by Steen 
Rostam). 
4) HELENE, Paulo R.L. Manual para Reparo, Reforço e Proteção de Estruturas de Concreto. 2. 
ed. São Paulo, PINI, 1992. p. 24-5. 
5) BRITISH STANDARD INSTITUTION. Guide to Durability of Buildings and Building Element, 
Products and Components BS 7543. London, BSI, Mar. 1992. 43p. 
6) COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON. Durable Concrete Structures CEB Design 
Guide. Lausanne, CEB, June 1989. (Bulletin D'Information, 182) & Printed Edition Thomas 
Telford, 1992. 120p. (Bulletin D'Information, 183). 
7) ANDRADE, Carmem. Manual para Diagnóstico de Obras Deterioradas por Corrosão de 
Armaduras. Trad. Antonio Carmona& Paulo Helene, São Paulo, PINI, nov. 1992. 104p. 
8) CETESB L 1007 
9) COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON. CEB-FIP Model Code 1990. Design Code. 
Lausanne, CEB, May 1993. 437p. (Bulletin D'Information, 213-214). 
10) AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building Code Requeriments for Reinforced 
Concrete: reported by ACI Committee 318. In: ACI Manual of Concrete Practice. Detroit, 1992. 
v.3. 
11) AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Corrosion of Metals in Concrete: reported by ACI 
Committee 222, In: ACI Manual of Concrete Practice. Detroit, 1991. v.1. Guide to Durable 
Concrete: reported by ACI Committee 201. ACI Materials Journal, v.88, n.5, p. 544- 82, 
Sep./Oct. 1991. 
12) COMITE EURO-INTERNACIONAL DU BETON. High Performance Concrete. 
Recommended Extensions to the Model Code 90. Research Needs. Lausanne, CEB, July 1995. 
55p. (Bulettin D’Information, 228). 
13) HELENE, Paulo R.L. Durabilidade das Estruturas de Concreto Armado. Anais do III 
Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto, PEF / EPUSP, São Paulo, 1 a 3 dez. 1993. p. 
37. 
14) FUSCO, Péricles B. Técnicas de Armar as Estruturas de Concreto. 
15) AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Debate: Crack Width, Cover and Corrosion: reported 
by ACI Committee 222/224. Concrete Internacional, p. 20-35, May 1985. 
 92 
16) BEEBY, A. W. Corrosion of Reinforcement and Cracks Width. In: Proceedings of the 
International Symposium on Ofshore Structures, Rio de Janeiro, 1979. London, Pentech Press, 
1979. p.147-59. 
17) CONCRETE IN THE OCEANS. Cracking and Corrosion.Wexham Springs, CIRIA/CCA,1978 
(Technical Report 1). 
18) BURMAN, Israel. Fissuração no Concreto Armado: Natureza do Fenômeno e sua 
Interferência no Comportamento e Durabilidade das Estruturas. São Paulo, Escola Politécnica, 
Universidade de São Paulo 1981. (dissertação de mestrado). 
19) CARMONA FILHO, Antonio & HELENE, Paulo R.L. Fissuração das Peças de Concreto 
Armado e Corrosão das Armaduras. In: Anais do Seminário Nacional de Corrosão na 
Construção Civil, 2., Rio de Janeiro, set. 1986. Rio de Janeiro, ABRACO, 1986. p. 172-95. 
20) SCHIESSL, P.& RAUPACH, M. Untersuchungen zum Mechanismus der 
Bewehrungskorrosion im Bereich von Rissen. In: Baustofftechnische Einflusse auf 
Konstruktionen. Berlin, Ernst & Sohn, Zum 60. Geburtstag von Hubert Hilsdorf, 1990. p. 583-99. 
21) OLIVEIRA, Paulo S. F. Proteção e Manutenção das Estruturas de Concreto. São Paulo, 
Engenharia, n. 485, p. 11-26, nov. dez. 1991. 
22) Fusco, P. Brasiliense - “Estruturas de Concreto - Solicitações Tangenciais”- EPUSP-1982 
23) Leonhardt, F. - “Construções de Concreto”, vol. 2 - Editora Interciência 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS: 
ABNT NBR 5674:1999 – Manutenção de edificações – Procedimento 
ABNT NBR 5732:1991 – Cimento Portland comum – Especificação 
ABNT NBR 5733:1991 – Cimento Portland de alta resistência inicial – Especificação 
ABNT NBR 5735:1991 – Cimento Portland de alto-forno – Especificação 
ABNT NBR 5736:1991 – Cimento Portland pozolânico – Especificação 
ABNT NBR 5737:1992 – Cimento Portland resistente a sulfatos – Especificação 
ABNT NBR 6120:1980 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações – Procedimento 
ABNT NBR 6122:1996 – Projeto e execução de fundações – Procedimento 
ABNT NBR 7480:1996 – Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado 
– Especificação 
ABNT NBR 7482:1991 – Fios de aço para concreto protendido – Requisitos 
ABNT NBR 7483:2004 – Cordoalhas de aço para concreto protendido – Requisitos 
ABNT NBR 7484:1991 – Fios, barras e cordoalhas de aço destinados a armaduras de 
protensão – Ensaios de relaxação isotérmica – Método de ensaio 
 93 
ABNT NBR 8522:2003– Concreto – Determinação dos módulos estáticos de elasticidade e 
de deformação e da curva tensão-deformação 
ABNT NBR 8548:1984 – Barras de aço destinadas a armaduras para concreto armado com 
emenda mecânica ou por solda – Determinação da resistência à tração – Método de ensaio 
ABNT NBR 8681:2003 – Ações e segurança nas estruturas – Procedimento 
ABNT NBR 8953:1992 – Concreto para fins estruturais - Classificação por grupos de 
resistência – Classificação 
ABNT NBR 8965:1985 – Barras de aço CA 42S com características de soldabilidade 
destinadas a armaduras para concreto armado – Especificação 
ABNT NBR 9062:2001 – Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado – 
Procedimento 
ABNT NBR 11578:1991 – Cimento Portland composto – Especificação 
ABNT NBR 12655:1996 – Concreto - Preparo, controle e recebimento – Procedimento 
ABNT NBR 12989:1993 – Cimento Portland branco – Especificação 
ABNT NBR 13116:1994 – Cimento Portland de baixo calor de hidratação - Especificação 
ABNT NBR 14859-2 – Laje pré-fabricada – Requisitos. Parte 2: Lajes bidirecionais 
ABNT NBR 14931:2003 – Execução de estruturas de concreto –– Procedimento 
ABNT NBR NM 67:1998 – Concreto – Determinação da consistência pelo abatimento do 
tronco de cone 
 
 
 
 
 
 
 
 94 
 
Segunda Parte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos de Aplicação da 
 
NB-1 
 
NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto – 
Procedimento 
 
 
 
(Primeira Edição) 
 
 
 
 95 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS CONCEITOS DAS SEÇÕES 5, 6 e 11 
 
ANÁLISE ESTRUTURAL DE EDIFÍCIO COMERCIAL 
INCLUINDO CALCULO DAS SOLICITAÇÕES NOS PILARES E VIGAS 
DO EIXO 1 
Autor: 
Engo. Marcelo Waimberg (1) 
 
Revisora: 
Enga. Nílvea Zamboni (2) 
 
(1) Engenheiro Civil - Sócio-Engenheiro da EGT Engenharia Ltda 
E-mail: egt@egtengenharia.com.br 
 
(2) Eng. Civil, Diretora da ProjNet Engenharia Ltda. 
E-mail: nilvea@projnet.com.br 
 
 
1. Dados 
 
 Planta e elevação do edifício comercial 
 
 
 
Figura 1 – Planta do Edifício Comercial 
 96 
 
Figura 2 – Elevação Esquemática 
1.2 Informações gerais 
De acordo com o item 5.1 da NBR 6118, a estrutura e o projeto devem atender a requisitos 
mínimos de qualidade - capacidade resistente (verificação de Estados Limites Últimos), 
desempenho em serviço (Estados Limites de Serviço) e durabilidade. 
Para garantir a durabilidade adequada à obra ao longo de sua vida útil, deve ser atendido o 
disposto nas seções 6 e 7 da Norma. Para classificação da agressividade ambiental, utilizar 
tabela 6.1. 
Em função da agressividade ambiental, definem-se a qualidade mínima do concreto estrutural 
(item 7.4) e o cobrimento mínimo das armaduras (item 7.4.7). Deve ser dada atenção também 
ao detalhamento da armadura e controle de fissuração (verificação dos respectivos Estados 
Limites de Serviço). 
Da tabela 6.1, se considerarmos a obra situada em ambiente industrial, portanto de 
agressividade forte (classe de agressividade ambiental III), temos um grande risco de 
deterioração da estrutura. 
 97 
Em função desse risco, de acordo com a tabela 7.1, deve-se adotar para estrutura de concreto 
armado, no mínimo, concreto classe C30 e relação a/c ≤ 0,55, em massa. 
Da tabela 7.2, devemos ter os seguintes cobrimentos mínimos: 
§ lajes: 35mm 
§ vigas/pilares: 40mm 
Para os cálculos a seguir, adotaremos: 
§ Revestimento: 1,5 kN/m² 
§ Carga acidental nos pavimentos: 2,0 kN/m² 
§ fck = 30 MPa 
De acordo com o item 8.2.8, quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais 
precisos sobre o concreto usado na idade de 28 dias, pode-se estimar o valor do módulo de 
elasticidade por: 
Eci = 5 600 fck1/2 
E o módulo secante por: 
Ecs = 0,85 Eci ≅ 26 000 MPa 
2. Ações na estrutura (no pórtico do eixo 1) 
 Ações permanentes (item 11.3) 
§ Peso próprio (γ = 25 kN/m³) (item 11.3.2.1) 
P1/P4: 0,3 x 0,4 x 25 = 3,0 kN/m 
P2/P3: 0,3 x 0,6 x 25 = 4,5 kN/m 
V1: 0,3 x 0,55 x 25 = 4,1 kN/m 
L1/L3: 0,13 x 25 = 3,3 kN/m² – efeito em V1 ? 5,6 kN/m 
 
L2: 0,08 x 25 = 2,0 kN/m² – efeito em V1 ? 2,0 kN/m 
§ Revestimento nas lajes (item 11.3.2.2) 
L1/L2/L3: 1,5 kN/m² – efeito em V1 ? 2,5 kN/m (L1/L3) e 1,5 kN/m (L2) 
§ Alvenarias (γ = 16 kN/m³, espessura = 25 cm) (item 11.3.2.2) 
V1 (tipo): 0,25 x (2,8 – 0,55 ) x 16 = 9,0 kN/m 
V1 (térreo) : 0,25x (3,5 – 0,55) x 16 = 11,8 kN/m) 
§ Retração do concreto (item 11.3.3.1) 
εcs = – 1,5 x 10-4 (∆t equivalente = – 15ºC) 
 98 
§ Deslocamento de apoio (item 11.3.3.3) 
P1 : δvert = – 1,0 cm 
§ Imperfeições geométricas (item 11.3.3.4) 
? globais (11.3.3.4.1): 
rad‰5,2
400
1
rad‰05,2
8,23100
1
H100
1
mín11 ==θ<===θ 
rad‰0,2
2
4
11
‰5,2
2
11
1a =
+
=
+
θ=θ n 
onde: 
H é a altura total da edificação; 
n é o número de prumadas de pilares; 
θ1mín = 1/400 para estruturas de nós fixos; 
θ1mín = 1/300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais; 
θ1máx = 1/200 
? local (em um lance de pilar) (11.3.3.4.2): 
adotar300
1
1mín1 ⇒θ>=θ 3,3‰ rad 
M1d min = Nd (0,015 + 0,03h) = Nd (0,015 + 0,03 x 0,3) = 0,024 Nd 
Se o momento de cálculo nos pilares for superior a este valor mínimo, não é 
necessário acrescentar o efeito de imperfeições locais. Essas podem ser 
substituídas pela consideração desse momento mínimo. 
2.2 Ações Variáveis (item 11.4) 
§ Carga acidental prevista para o uso (item 11.4.1.1) 
L1/L2/L3 : 2,0kN/m² – efeito em V1 ? 3,3kN/m (L1/L3) e 2,0kN/m (L2) 
§ Vento (item 11.4.1.2) 
A ação do vento deve ser considerada em todas as construções, com exceção de 
estruturas de pequeno porte, nível 1 (ver PRÁTICA RECOMENDADA IBRACON PARA 
ESTRUTURAS DE EDIFÍCIO DE NÍVEL 1). 
Os esforços devidos à ação do vento devem ser determinados de acordo com a NBR 
6123. 
 99 
Como simplificação, vamos admitir uma pressão uniforme de 80 kgf/m², 70% em 
barlavento e 30% em sotavento. Considerando que o edifício é aproximadamente 
simétrico em relação a um eixo paralelo a 1, podemos carregar o pórtico no eixo 1 com 
uma força distribuída de 0,8 x 3 = 2,4 kN/m (1,68 kN/m em P1 e 0,72 kN/m em P2, 
por exemplo). 
§ Variação Uniforme de Temperatura (item 11.4.2.1) 
∆t = ± 15°C 
2.3 Considerações adicionais 
a) Desaprumo global x vento 
De acordo com o item 11.3.3.4.1, não é necessário superpor o efeito do desaprumo global ao 
carregamento de vento. Entre os dois, considerar apenas o mais desfavorável. 
§ Efeito de vento na fundação: (pórtico no eixo 1) 
kNm6655,3
2
3,20
3,204,2v =




 +⋅⋅=M 
§ Efeito de desaprumo global 
A carga vertical total no pórtico vale: 
Q = 3 983 kN 
Admitindo a resultante aplicada aproximadamente à meia altura do prédio, temos: 
vkNm95
1000
2
2
8,23
3983Q M M <=⋅⋅= 
Portanto, não é preciso considerar o desaprumo global. 
b) Efeitos globais de 2a ordem (item 15.5) 
b.1) Parâmetro α (item 15.5.2) 
ccs
k
tot IE
N
H ⋅=α 
onde: 
Htot é a altura total da estrutura medida a partir do topo da fundação; 
Nk é a resultante das cargas verticais atuantes ao longo de Htot, com seu valor característico; 
EcsIc é a rigidez de um pilar de seção constante, equivalente à estrutura na direção 
considerada. 
 100 
Vamos admitir que a proporção entre cargas verticais e rigidez do pórtico seja a mesma da 
estrutura como um todo (uma vez que o efeito de 2a ordem global deve ser verif icado para toda 
a estrutura). 
Htot = 23, m 
MPa306705600 ckcics === fEE (adotar o módulo de deformação tangente inicial) 
Ic inércia equivalente do pórtico = 1,071 m4 (determinada em modelo de barras, conforme 
esquema a seguir) 
Nk = 3 93 kN 
Esquema do pórtico para obtenção de Ic: 
 
Figura 3 - Esquema do pórtico para obtenção de Ic: 
δ
=
..3 cs
3
tot
c E
F.H
I 
26,0
071,130670000
3983
8,23 =
⋅
⋅=α⇒ 
Para que a estrutura possa ser considerada de nós fixos, dispensando a consideração dos 
esforços globais de 2a ordem, é necessário termos α < α1, onde: 
δ
=
..3
.
cs
3
tot
c E
HF
I
 101 
α1 = 0,2 + 0,1n , se n ≤ 3, ou 
α1 = 0,6 , se n ≥ 4. 
n é o número de andares acima da fundação. 
Como n = 8, α1 = 0,6 > α. 
b.2) Coeficiente γz (item 15.5.3) 
Para estruturas reticuladas de, no mínimo, 4 andares, podemos avaliar a importância dos 
esforços de segunda ordem global através de: 
d,tot,1
d,tot
z
1
1
M
M∆
−
=γ 
onde: 
M1,tot,d = momento de tombamento = Mvd = 1,4 x 665 = 931kNm 
∆Mtot,d é a soma dos produtos das forças verticais de cálculo pelo deslocamento horizontal de 
seu ponto de aplicação. Para obtenção de ∆Mtot,d é necessário o cálculo do pórtico, adotando-se 
rigidezes equivalentes reduzidas, de modo a levar em conta de maneira aproximada a não 
linearidade física da estrutura. 
Do item 15.7.3, temos: 
V1: I’ = 0,4I 
P1/2/3/4: I’= 0,8I 
∆Mtot,d = 69 kNm 
⇒ γz = 1,08 < γz lim 
Portanto, a estrutura pode ser considerada de nós fixos (γz ≤ 1,1), não sendo necessário 
considerar efeitos globais de 2a ordem. 
Nota: Para 1,1< γz ≤ 1,3, o efeito aproximado dos esforços globais de 2a ordem pode ser obtido 
majorando-se os esforços horizontais na combinação de carregamentos considerada por 
0,95γz. 
3 Solicitações 
3.1 Esquema de cargas no pórtico do eixo 1 (kN/m) 
§ Ações permanentes diretas (Fg) (item 11.3.2) 
 102 
 
Figura 4 - Esquema de cargas permanentes diretas 
§ Ações permanentes indiretas (item 11.3.3) 
∆tcs = – 15ºC (retração) (Fε cs) 
§ Ações variáveis diretas (Fq) (item 11.4.1) 
Cargas acidentais de uso em cada piso (item 11.4.1.1): 
 103 
 
Figura 5 - Cargas acidentais de uso em cada piso (item 11.4.1.1) 
§ Ação do Vento (Fv) (item 11.4.1.2): 
 
§ Ações variáveis indiretas (item 11.4.2) 
Temperatura (Ft) (item 11.4.2.1): 
∆t = ±15ºC 
3.2 Combinações normais para verificação do ELU (item 11.8.2.1) 
3.2.1 CB1 – A carga acidental de uso é a principal ação variável 
qk0vkv0qkgkgkd 2,14,14,12,14,1 εεε ⋅Ψ⋅+⋅Ψ⋅+⋅++⋅= FFFFFF 
v0Ψ = 0,6 εΨ0 = 0,6 (tabela 11.2) 
A seguir os diagramas de esforços solicitantes para força normal, cortante e momento fletor. 
Estes diagramas não incluem o efeito do recalque de apoio, que deve ser acrescido e está 
representado no final. 
De acordo com a NBR 6120, devido à baixa probabilidade de ocorrência simultânea das cargas 
acidentais em todos os pisos com seu valor característico, pode-se aplicar uma redução em 
seu valor no cálculo de pilares e fundações, de acordo com a tabela a seguir: 
 104 
Tabela – Redução das cargas acidentais em função do número de pisos 
No de pisos que atuam sobre o 
elemento 
Redução das cargas acidentais (%) 
1, 2 e 3 0 
4 20 
5 40 
6 ou mais 60 
Nos pilares P1 e P4, o acréscimo normal devido à carga móvel em cada piso é de 11 kN e 
em P2 e P3, de 19,2 kN. Como a redução a ser feita é de 20% no 4º piso a partir da 
cobertura, 40% no 5º e 60% nos demais, temos: 
 
Figura 7 - Diagrama de esforço solicitante para força normal 
Iniciou-se a redução de cargas a partir do 3º piso a partir da cobertura, pois, neste exemplo, 
a cobertura é tratada como um piso típico, com a mesma carga móvel dos demais. 
* NOTA : Para aplicação desta redução, a norma não faz distinção entre edifícios 
residenciais e comerciais. Como o uso da edificação é bastante distinto nesses casos, seria 
razoável esperar que a probabilidade de ocorrência das cargas acidentais com valores 
próximos ao característico em vários pavimentos simultaneamente fosse maior em edifícios 
comerciais. Assim, propõe-se que aqueles coeficiente sejam adotados com parcimônia. 
 105 
Uma possibilidade seria a utilização de valores reduzidos para as edificações comerciais, 
por exemplo à metade dos valores propostos. 
3.2.2 CB2 – O vento é a principal ação variável 
qk0vkqkq0gkgkd 2,14,14,12,14,1 εεε ⋅Ψ⋅+⋅+⋅Ψ⋅++⋅= FFFFFF 
q0Ψ = 0,7 εΨ0 = 0,6 (tabela 11.2) 
Valem as mesmas notas do item anterior. 
 
3.3. Diagramas de esforços solicitantes 
 
 106 
 
 
 
 
 
 
 107 
 
 
 
 
 108 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 109 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 110 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 111 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 112 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 113 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 114 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 115 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 116117 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 118 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 119 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 120 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 121 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 122 
 
 
 
 
 
 123 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS CONCEITOS DA SEÇÃO 14 
 
 
VIGAS DE EDIFÍCIOS 
ANÁLISE LINEAR COM REDISTRIBUIÇÃO E ANÁLISE PLÁSTICA 
 
 
Autores: 
Fernando Fernandes Fontes (1); Libânio Miranda Pinheiro (2) 
 
Revisor: 
Fernando Rebouças Stucchi (3) 
 
 
(1) Mestre em Engenharia de Estruturas 
Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo 
E-mail: fff@digizap.com.br 
 
(2) Professor Doutor, Departamento de Engenharia de Estruturas 
Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo 
E-mail: libanio@sc.usp.br 
 
(3) Professor Livre-Docente, Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações 
USP, Escola Politécnica 
E-mail: fernando.stucchi@poli.usp.br 
 
 
1. Introdução 
A análise de uma estrutura consiste em determinar os seus esforços solicitantes e 
deslocamentos, por meio de modelos matemáticos, após a idealização de diversos fatores, 
como o comportamento das ações, do material constituinte, das ligações entre os diversos 
elementos em que a estrutura pode ser dividida, e da resposta desses elementos frente às 
ações. Segundo a NBR 6118, o objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações 
em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificações de estados limites últimos (ELU) e 
de serviço (ELS). 
 
A NBR 6118:2003 trouxe inovações significativas para o projeto de estruturas de concreto, 
inclusive na análise estrutural. Houve um avanço do conhecimento sobre redistribuição de 
esforços, seja via análise linear com redistribuição ou via análise plástica, e sobre não-
linearidades do comportamento dos materiais e das estruturas, como no caso do cálculo dos 
deslocamentos, em que se utiliza uma rigidez equivalente no cálculo das flechas, para 
considerar a fissuração do concreto. A NBR 6118:2003 traz indicações acerca dessas análises 
mais requintadas, bem como fornece diretrizes sobre o campo de validade e as condições 
especiais para aplicação de cada uma delas. 
 
Portanto, é importante conhecer os diferentes tipos de análise, com relação ao comportamento 
admitido para os materiais da estrutura, principalmente os que permitem o cálculo analítico, 
situação que corresponde à mais usual, na prática de projetos. Além disso, conceitos como o 
de largura colaborante das lajes junto às vigas, quando associado com análises do tipo linear, 
linear com redistribuição e plástica, são muito úteis na concepção de projetos. 
 
 124 
2. Tipos de análise estrutural 
A NBR 6118:2003 permite cinco tipos de análise, quanto ao comportamento do concreto 
estrutural, e exige que o projeto apresente conformidade com pelo menos um deles. A seguir 
são apresentados alguns aspectos da análise linear com redistribuição e da análise plástica, 
bem como comentários acerca dos vários tipos de análise permitidos. 
 
2.1 Análise linear com redistribuição 
Uma vez realizada a análise linear de uma estrutura, pode-se proceder a uma redistribuição 
dos esforços calculados, decorrente da variação de rigidez dos elementos estruturais. A 
fissuração, e a conseqüente entrada no estádio II, de determinadas seções transversais, 
provoca um remanejamento dos esforços solicitantes, para regiões de maior rigidez. Segundo 
PRADO & GIONGO (1997), essa fissuração pode diminuir de 20% a 70% a rigidez à flexão da 
seção de concreto, dependendo da taxa de armadura. 
 
Em suma, a análise linear com redistribuição promove a redução de momentos fletores sobre 
os apoios de vigas contínuas, e o respectivo aumento dos momentos nos vãos. A redistribuição 
se dá pela multiplicação dos momentos nos apoios por um coeficiente de redistribuição δ, e 
posterior correção dos momentos nos vãos (ver Figura 1). 
 
 
Figura 1 - Redistribuição de momentos fletores em viga contínua 
 
 
A NBR 6118:2003 permite, para elementos lineares, redução de até 25% (δ = 0,75) para 
estruturas de nós fixos, e de até 10% (δ = 0,90) para estruturas de nós móveis, dependendo de 
x/d e de fck, como indicado nas equações 1 e 2: 
 
δ ≥ 0,44 + 1,25 x/d para concretos com fck ≤ 35 MPa (Equação 1) 
 
δ ≥ 0,56 + 1,25 x/d para concretos com fck > 35 MPa (Equação 2) 
 
Quanto menor o valor de x/d calculado no ELU, menor a área de concreto comprimido, e mais 
o aço, material mais dúctil que o concreto, passa a ser o limitante da resistência da seção. A 
NBR 6118:2003 limita o valor de x/d, nos apoios e nas regiões de ligação entre elementos 
estruturais lineares, mesmo que não sejam realizadas redistribuições de esforços solicitantes, 
aos seguintes valores: 
 125 
 
x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa (Equação 3) 
 
x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa (Equação 4) 
 
Em pilares, consolos e elementos lineares com preponderância de compressão, a 
redistribuição de esforços só deve ser feita se ela for conseqüência de redistribuições em vigas 
ligadas a eles, uma vez que essas peças comprimidas não apresentam grande dutilidade. A 
NBR 6118:2003 prescreve ainda que não é desejável que haja redistribuição de esforços em 
serviço, e que as verificações de estados limites de serviço podem ser baseadas na análise 
linear. 
 
No caso de vigas T, o efeito da redistribuição é ainda mais benéfico, já que nos vãos a área de 
concreto comprimido é maior, pois conta com a mesa da seção T. LEONHARDT & MÖNNIG 
(1979) mostram que é possível reduzir em até 50% os momentos nos apoios, em vigas com a 
largura da mesa em torno de três vezes a largura da alma, e com isso aumentar a capacidade 
de carga da viga. 
 
PARK & PAULAY (1975) citam, como vantagens da redistribuição de momentos, o fato do 
projetista poder selecionar distribuições de momentos que evitem congestionamentos de 
armadura nos apoios, e a possibilidade de reduzir os picos do diagrama de momentos fletores, 
para as diferentes situações de carregamento acidental (envoltória). Com bons ajustes de 
momentos máximos, quanto maior a relação entre a ação variável e a permanente, maior a 
economia de armadura. 
 
2.2 Análise plástica 
A propriedade do material de guardar deformações residuais é chamada de plasticidade. As 
principais teorias envolvidas em projetos, que permitem que elementos estruturais sofram 
certas deformações permanentes, são a teoria das rótulas plásticas, para elementos lineares, e 
a teoria das charneiras plásticas, para elementos de superfície que trabalhem como placas. 
 
Ao se aumentar continuamente o carregamento de uma viga, por exemplo, um ou mais pontos 
críticos de momento máximo poderão entrar em escoamento, dando origem a articulações, ou 
rótulas plásticas. A rótula plástica é caracterizada por um aumento plástico da curvatura, que 
pode ter o seu valor de duas a três vezes superior àquele calculado elasticamente. Esse efeito 
restringe-se a um comprimento de plastificação, em torno dos pontos de momento máximo, nos 
quais o momento fletor não aumenta mais e passa a ser chamado de momento totalmente 
plástico, Mp. 
 
A mínima carga capaz de provocar na estrutura um escoamento sem contenção, ou 
responsável pela formação de um determinado número de rótulas plásticas, que torne a 
estrutura, ou parte dela, em um sistema hipostático, dá origem a um mecanismo de colapso, e 
é chamada de carga limite. Em estruturas hiperestáticas, existe uma reserva de capacidade 
resistente, visto que, geralmente, é necessária a formação de mais de uma rótula plástica, para 
que se forme um mecanismo de colapso. 
 
No caso do concreto armado, o momento de plastificação pode ser considerado como aquele 
que provoca o aparecimento do estado limite último (εc = – 0,35% ou εs = 1%). Por ser um 
material de natureza frágil, para a ocorrência de um tal número de rótulas plásticas, até que se 
forme um mecanismo de colapso, é necessária a verificação da capacidade de rotação.A 
rotação necessária de uma rótula plástica pode ser quantificada pela diferença entre a sua 
rotação total no colapso e aquela que dá início à sua plastificação. 
 
A NBR 6118:2003 traz a consideração de que, quanto menor for a posição relativa da linha 
neutra x/d, maior a capacidade de rotação do elemento estrutural. Em função desse parâmetro, 
 126 
é fornecido um gráfico (ver Figura 2) de capacidade de rotação da rótula plástica, θpl. Esse 
gráfico é válido para uma relação a/d igual a 6 (a é a distância entre pontos de momento nulo, 
da região que contém a seção plastificada). Para outras relações a/d, deve-se multiplicar os 
valores extraídos do gráfico por ( ) 6// da . A rotação necessária à rótula plástica deve ser 
menor ou igual à capacidade de rotação dada pela Norma. 
 
-3
30
20
10
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 x/d
θpl(x10 )
aço CA-60 (curva 1)
demais aços (curva 2)
Curva 1: θpl = 0,2% d/x p/ x/d ≥ 0,17
Curva 2: θpl = 0,35% d/x p/ x/d ≥ 0,15
1
2
 
 
Figura 2 - Capacidade de rotação de rótulas plásticas (Adaptada da NBR 6118:2003) 
 
A plastificação em concreto armado se dá pelo escoamento da armadura, elevando a linha 
neutra e aumentando o braço de alavanca obtido em regime elástico. No entanto, o momento 
resistente permanece praticamente constante até a ruptura, pois o aumento do braço de 
alavanca apenas compensa a diminuição da zona de concreto comprimido. A partir dessas 
considerações, MORETTO (1970) observa que o diagrama momento curvatura do concreto 
armado pode, simplificadamente, ser aproximado para duas retas, como no aço, com o 
momento de plastificação igual ao momento último. 
 
A redistribuição de esforços pode ser feita com maior intensidade que na análise linear com 
redistribuição, desde que as rótulas plásticas apresentem as devidas capacidades de rotação 
plástica. Nota-se que o cálculo plástico tem boa aplicabilidade nas estruturas simples de 
elementos lineares, em que se conhece previamente a posição preferencial de formação das 
rótulas plásticas (essa posição pode ser imposta pela disposição da armadura). A análise 
plástica de estruturas reticuladas não é permitida quando se consideram os efeitos de segunda 
ordem globais. Na análise plástica, preocupa-se com o estado limite último e não se conhece o 
comportamento em serviço. A verificação de ELS deve ser efetuada com uma análise linear ou 
não-linear. 
 
2.3 Comentários sobre a aplicação dos tipos de análise estrutural 
Deve-se ter em mente que cada estrutura merece um estudo individual, ao qual se deve aplicar 
as teorias que mais lhe convierem para a sua resolução. Buscas por análises mais realistas 
devem estar sempre presentes nos projetos estruturais, tomando-se sempre precauções 
quanto à segurança. A utilização de uma análise plástica, ou linear com redistribuição, só deve 
ser realizada se amparada pelo amplo domínio do assunto. 
 
A Tabela 1 mostra os vários tipos de análise estrutural, permitidos pela NBR 6118:2003, e 
indica a que verificação se destina cada um deles, quanto aos estados limites. 
 
 127 
Tabela 1 - Tipos de análise estrutural e suas aplicações 
 
Análise Verificação
Linear ELU* e ELS
Linear com Redistribuição ELU
Plástica ELU
Não-Linear ELU e ELS
Através de Modelos Físicos ELU e ELS
* se garantida a dutilidade dos elementos estruturais 
 
Não ocorrem plastificações para o carregamento de serviço. Portanto, para verificar o ELS-DEF 
e o ELS-W, devem ser utilizados outros tipos de análise que não sejam a linear com 
redistribuição e a plástica. Todavia, a armadura a ser considerada nessas verificações é aquela 
encontrada para ELU, com as análises supracitadas, como será visto no exemplo a seguir. 
 
3. Exemplo de viga 
3.1 Condições gerais e dados 
Há um especial interesse na combinação de seções T em vigas com a redistribuição de 
momentos, uma vez que, com a transferência para os vãos, de parte dos momentos 
localizados nos apoios, a seção T é melhor aproveitada e proporciona uma economia de 
armadura. Será analisada a viga V2 do pavimento da Figura 3, com análise linear e seção 
retangular, com análise linear e seção T, com análise linear com redistribuição e seção T, e 
com análise plástica e seção T. 
 
 
Figura 3 - Pavimento ao qual pertence a viga V2 
 
 128 
Considera-se que a viga V2 está localizada em ambiente interno (Classe de Agressividade 
Ambiental I para ambientes urbanos), participa de uma estrutura de nós fixos, com concreto 
C25, aço CA-50 para a armadura longitudinal e CA-60 para a armadura transversal. O 
cobrimento é de 2,5 cm e a distância d’, do centro de gravidade da armadura longitudinal à 
borda mais próxima, foi inicialmente admitida igual a 4 cm. Considerou-se na laje uma carga 
de uso de 2,0 kN/m² e revestimento de 1,0 kN/m², pé-direito de 2,80 m e alvenaria sobre as 
vigas com 2,5 kN/m² de parede pronta. 
 
Na Figura 4 tem-se o esquema estático para a viga V2, no qual será analisada somente a 
combinação última de carregamentos 1,4(g + q), em que g = 72,28 kN/m e q = 31,70 kN/m. As 
seções 4 e 5 são as do primeiro e do segundo vão, respectivamente, em que o momento 
positivo é máximo. 
 
 
Figura 4 - Esquema estático da V2 
 
3.2 Estratégia de resolução 
Neste exemplo adota-se uma estratégia de resolução em que será imposta a redistribuição 
desejada e, caso a armadura simples não seja suficiente para se ter o valor de x/d necessário, 
será utilizada armadura dupla, a fim de diminuir a distância da linha neutra, conforme os 
passos a seguir: 
 
a) Define-se o valor de x/d necessário e com ele calcula-se o valor limite de kc para armadura 
simples (limite entre os domínios 3 e 4) e os valores de ks, ks2 e k’s: 
 





 −
=
d
x
d
x
f 
k 
4,0168,0
1
cd
limc (Equação 5) 
yd
s
4,01
1
f 
d
x
k





 −
= (Equação 6) 
yd
2s
1
f
k = (Equação 7) 
s
s s '
1
=k' (Equação 8) 
 
b) Considera-se a armadura tracionada com tensão de escoamento fyd, porém a armadura 
comprimida pode ter uma tensão (σ’s) menor que a de escoamento. 
Se (ε’s Es) ≥ fyd ⇒ σ’s = fyd 
Se (ε’s Es) < fyd ⇒ σ’s = ε’s Es 
 129 
c) O valor da deformação da armadura comprimida, ε’s, depende do domínio em que se 
encontra a seção. Para que haja a possibilidade de redistribuição, o domínio deve ser o 2 
ou o 3, até certo valor de x/d. 
d
x
 
d
d'
 
d
x
 
d
x
d
x
2,3 −





 −
=⇒





≤





≤
 1
010,0
e'0Se s 
d
x
d
d'
 
d
x
 
d
x
d
x
d
x
 





 −
=⇒





≤





≤





0035,0
e'Se s
4,33,2
 
d) Calculam-se então as parcelas do momento solicitante Md, denominadas M1 e M2, cuja 
soma será resistida pela armadura tracionada, com tensão de escoamento, enquanto a 
armadura comprimida resiste à parcela M2, com tensão σ’s: 
limc
2
inf
1
 k
d b
M = (Equação 9) 
M2 = Md – M1 (Equação10) 
e) As armaduras tracionada e comprimida são, então, dadas respectivamente pelas equações 
11 e 12. 
d'd
M k
d
M k
A
−
+= 22s1ss (Equação 11) 
d'd
M k'
A'
−
= 2ss (Equação 12) 
3.3 Análise linear – Seção retangular 
Para análise linear, os diagramas de esforços de cálculo são indicados nas Figuras 5 e 6. 
 
 
Figura 5 - Momentos fletores de cálculo para a análise linear (kN.m) 
 130 
 
 
Figura 6 – Esforços cortantes de cálculo para a análise linear (kN) 
a) Flexão 
Ressalta-se a importância de, no cálculo da armadura de flexão da seção 2, limitar o valor 
de x/d a no máximo 0,500, como prescreve a NBR 6118:2003, para apoios. 
M2d = 454,93 kN.m; x/d = 0,500; As = 26,90 cm2 (6 φ 25); A’s = 10,84 cm² (4 φ 20); 
M4d = M5d = 255,88 kN.m; x/d = 0,497; As = 15,97 cm2 (4 φ 25). 
b) Cisalhamento 
§ Trechos de 183 cm: VSd,min = 134,66 kN à asw/s = 1,28 cm²/m à φ 6,3 c/ 24 
§ Trechos de 95 cm: VSd = 224,90 kN à asw/s = 3,79 cm²/m à φ 6,3 c/ 8 
§ Trecho de 444cm: VSd = 385,04 kN à asw/s = 8,24 cm²/m à φ 10 c/ 9 
c) Estados limites de serviço 
§ ELS-F(combinação rara): Na seção 2 tem-se um momento de 32495 kN.cm, maior, 
portanto, que o momento de fissuração Mr = 2805 kN.cm, calculado com o fctk,inf. 
Portanto, há a formação de fissuras. 
§ ELS-DEF (combinação quase-permanente): A flecha final, calculada com a inércia 
equivalente de Branson e a consideração simplificada da fluência, é at = 1,75 cm 
(< l/250 = 2,00 cm). 
§ ELS-W (combinação freqüente): Na seção 2 tem-se uma abertura de fissura 
w = 0,18 mm (< wlim = 0,40mm). 
 
3.4 Análise linear - seção T 
A definição da seção T (ver item 14.6.2.2 da NBR 6118:2003) é feita para o tramo da viga que 
fornece a menor largura colaborante. No caso da viga V2, pode ser qualquer um dos dois 
tramos, já que são simétricos. Os diagramas de esforços solicitantes são os mesmos 
apresentados para a seção retangular, na Figura 5 e na Figura 6. Portanto, a distância “a” entre 
os pontos de momento nulo, em um dos tramos da viga, é igual a 3,75 m. A largura colaborante 
bf é dada pela Equação 13. 
 
bf = bw + 2(0,10a) = 25 + 2(0,10x375) = 100 cm (Equação 13) 
 
Considera-se a viga V1 (igual à viga V3) servindo de apoio à viga V2, e com momentos em 
ambas as extremidades, por estar apoiada em pilares. Portanto, ela pode ter a sua distância “a” 
estimada por 0,60 l, ou seja, 600 cm. Sua largura colaborante é calculada na Equação 14. 
 131 
 
bf = bw + 1(0,10a) = 25 + 1(0,10x600) = 85 cm (Equação 14) 
 
Com a largura colaborante da viga V1, podem ser realizadas as demais verificações relativas à 
geometria, exigidas pela Norma, para a viga V2, indicadas na Figura 7 e nas equações 15 e 16. 
 
Figura 7 - Verificações exigidas pela NBR 6118:2003 
 
(b1,v1 = 0,60 m) < (b2/2 = 2,375 m) → ok (Equação 15) 
 
(b1,v2 = 0,375 m) < (b2/2 = 2,375 m) → ok (Equação 16) 
 
Dessa maneira, tem-se a seção T da Figura 8, que se fará notar, para análise linear, no cálculo 
da armadura positiva nos vãos, com maior área de contribuição de concreto comprimido, e na 
verificação do ELS-DEF, com a contribuição de maior inércia à flexão. 
 
 
Figura 8 - Seção T da viga V2 com largura colaborante da laje 
 
No dimensionamento das seções 4 e 5 tem-se: 
 
Md = 255,88 kN.m; x/d = 0,104; As = 13,35 cm2 (5 φ 20) 
 
Nessas seções, a linha neutra passa pela mesa da seção. Portanto, pode-se considerar, no 
cálculo, uma seção retangular de 100 cm x 50 cm. 
 
No cálculo da armadura de flexão da seção 2 e da armadura transversal, tem-se a seção 
retangular de 25 cm x 50 cm. Portanto, os resultados são os mesmos da análise linear com 
seção retangular. Considera-se ainda, neste exemplo, que a armadura de flexão das lajes 
vizinhas à viga V2, que corta a mesa, é suficiente para atender às especificações de armadura 
de ligação mesa-alma, de 18.3.7 da NBR 6118:2003. Essa armadura de ligação deve ter no 
mínimo 1,5 cm²/m. 
 
3.5 Análise linear com redistribuição – Seção T 
Como se pode ver no diagrama de momentos fletores da Figura 5, o momento de apoio da 
seção 2 é bem maior que os momentos máximos nos vãos. Além disso, há o interesse em se 
aproveitar ao máximo a seção T, e por isso será utilizada a máxima redistribuição permitida 
pela análise linear com redistribuição, para estruturas de nós fixos, ou seja, δ igual a 0,75. Para 
tal, o valor de x/d necessário é dado pelas equações 17 e 18. 
 132 
 
δ ≥ 0,44 + 1,25 (x/d) (Equação 17) 
 
x/d = (0,75 - 0,44) / 1,25 = 0,250 (Equação 18) 
 
Na Figura 9 tem-se o diagrama de momentos redistribuídos, com o momento negativo reduzido 
e os momentos positivos corrigidos por meio da análise dos tramos isolados. Os esforços 
cortantes também são modificados, com a redistribuição de momentos, como mostra a Figura 
10. 
 
A distância “a” entre pontos de momento nulo no tramo, para o cálculo da largura bf da seção 
T, muda com a redistribuição. Porém, pode-se manter o valor previamente calculado de bf = 
100cm (a favor da segurança). 
 
 
 
Figura 9 – Momentos fletores de cálculo para a análise linear com redistribuição 
 
 
 
Figura 10 – Esforços cortantes de cálculo para a análise linear com redistribuição 
 
a) Seção 2 (25x50) 
Md = 341,20k N.m; x/d = 0,250; As = 18,80 cm2 (4 φ 25); A’s = 10,77 cm² (4 φ 20) 
 
b) Seção 4 = Seção 5 (100x50) 
Md = 300,29kN.m; x/d = 0,123 (linha neutra na mesa); As = 15,79 cm2 (4 φ 25) 
 
 133 
Lembra-se, aqui, que os estados limites de serviço foram verificados com as combinações rara 
(ELS-F), quase-permanente (ELS-DEF) e freqüente (ELS-W), sem redistribuição (ver Tabela 4). 
 
3.6 Análise plástica – Seção T 
A análise plástica pode ser aplicada como uma análise linear com redistribuição, apenas com 
uma modificação no tipo de verificação a ser feita com o valor de x/d, e tendo o cuidado de 
conhecer em quais seções formam-se as rótulas plásticas. Na viga em questão, será reduzido 
o momento do apoio da seção 2, onde passa a ser necessária a verificação da capacidade de 
rotação. Uma vez reduzido o valor de M2, tem-se o valor de M2p, que será atingido com a 
formação da primeira rótula, e permanecerá constante até a formação da segunda rótula. 
 
M2p = δM2 (Equação 19) 
 
Para a viga em questão, em que l = 5m e pd é o valor de cálculo do carregamento 
(145,57kN/m), a ação distribuída responsável pela formação da primeira rótula, e o seu 
acréscimo, responsável pela formação da segunda rótula, são dados pelas equações 20 e 21, 
respectivamente. 
 
2
p2
r1
8
l
M 
p = (Equação 20) 
 
∆p2r = pd – p1r (Equação 21) 
 
Isolando um dos tramos, aplica-se o carregamento total pd (p1r + ∆p2r) ao longo da barra e o 
momento M2p junto ao apoio, para obter os seguintes momentos plásticos para as seções 4 e 5, 
quando se formam as segundas rótulas plásticas: 
 
2
2
p2p22
p5p4
228 l
l
 p 
MM p
MM +−== (Equação 22) 
A rotação necessária do apoio da seção 2, para a formação do mecanismo de colapso, é 
calculada com o acréscimo de carregamento ∆p2r, pois ela é a diferença entre a rotação total 
no colapso e a rotação quando tem início a plastificação. Devido à primeira rótula plástica, 
consideram-se os dois tramos biapoiados e calcula-se a rotação à esquerda e à direita da 
seção 2. Para ações uniformemente distribuídas, tem-se: 








=+=
EI 
 p
???
24
?
 2
3
r2
pd2pe2p2
l
 (Equação 23) 
Considerou-se o produto de inércia EI no estádio II, uma vez que na iminência da plastificação 
a seção encontra-se fissurada. Essa medida está a favor da segurança, uma vez que a inércia 
seria melhor representada com a consideração da contribuição do concreto entre fissuras, de 
acordo com BUCHAIM (2001) por exemplo. Portanto, EI depende da armadura calculada para 
a seção 2. Já a armadura depende do valor fixado de x/d e do valor de M2p. A capacidade de 
rotação, θpl, depende também do valor de x/d e da distância “a” entre pontos de momento nulo, 
da região que contém a seção 2. Deve-se tomar cuidado para não confundi-la com a distância 
“a” entre pontos de momento nulo no tramo, utilizada no cálculo da largura bf da seção T, que 
será mantida igual a 100 cm. A altura útil da seção será mantida igual a 46 cm. 
 
l p
M 
a
p24
= (Equação 24) 
( )
6
0035,0p
d / a
 
x
d
 ? =l (Equação 25) 
 134 
A Tabela 5.2 traz combinações de resultados para valores pré-fixados de x/d, a partir dos quais 
se procura o mínimo valor possível de δ (maior redistribuição possível), sem que θ2p ultrapasse 
θpl. O valor de x/d igual a 0,150, para o aço CA-50, é o que garante a maior capacidade de 
rotação plástica, de acordo com a Figura 2. No entanto, pode não ser o mais econômico. 
 
Tabela 2 - Combinações de valores de x/d e δ 
 
x/d – Seção 2 0,150 0,170 0,190 0,210 0,230 0,250 0,270 0,290 0,310 0,330 0,350 
δ 0,56 0,60 0,63 0,65 0,67 0,69 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 
p1r (kN/m) 81,52 87,34 91,71 94,62 97,53 100,44 103,35 104,81 106,27 107,72 109,18 
∆p2r (kN/m) 64,05 58,23 53,86 50,95 48,04 45,13 42,22 40,76 39,30 37,85 36,39 
M2p (kN.m)-254,75 -272,94 -286,59 -295,69 -304,79 -313,89 -322,98 -327,53 -332,08 -336,63 -341,18 
As (cm
2) – Seção 2 13,81 14,83 15,62 16,17 16,73 17,30 17,89 18,23 18,59 18,96 19,34 
A’s (cm
2) – Seção 2 25,10 19,40 15,49 12,53 20,42 9,27 9,22 8,92 8,63 8,36 8,10 
M4p (kN.m) 336,45 328,67 322,90 319,07 315,28 311,50 307,75 305,88 304,02 302,16 300,31 
As (cm
2) – Seção 4 17,81 17,37 17,05 16,84 16,62 16,41 16,21 16,10 16,00 15,89 15,79 
Soma das áreas de 
armaduras (cm2) 56,72 51,60 48,16 45,54 43,76 42,98 43,32 43,25 43,22 43,21 43,22 
a (m) 1,40 1,50 1,58 1,63 1,68 1,73 1,78 1,80 1,83 1,85 1,88 
θ2p (x10
-3 rad) 16,60 14,65 13,31 12,50 11,67 10,79 9,86 9,41 8,97 8,54 8,12 
θpl (x10
-3 rad) 16,62 15,18 13,92 12,79 11,85 11,07 10,40 9,75 9,18 8,68 8,24 
3.7 Consumo de aço 
O consumo de aço, obtido para os diversos tipos de análise aqui considerados, encontra-se 
indicado na Tabela 3, onde se têm também as diferenças em relação ao consumo relativo a 
seção retangular e análise linear. 
Tabela 3 - Consumo de aço 
 
Tipo de análise Seção 
transversal 
Consumo 
de aço 
(kg) 
Diferença em relação à análise 
linear com seção retangular 
(%) 
Análise linear Retangular 278,2 0 
Análise linear T 259,7 – 6,7 
Análise linear com redistribuição (δ = 0,75) T 241,5 – 13,2 
Análise plástica (δ = 0,69) T 242,9 – 12,7 
Análise plástica (δ = 0,75) T 237,0 – 14,8 
 
3.8 Conclusões 
Vê-se que, para estruturas simples como a do exemplo ora indicado, as análises linear com 
redistribuição e plástica têm fácil aplicação. No caso de se utilizarem modelos estruturais como 
pórticos planos ou espaciais, são necessários programas computacionais. 
 
De acordo com FONTES (2005), a redistribuição realizada em vigas de seção retangular pode 
apresentar uma irrisória economia de armadura, restando como vantagem apenas a 
possibilidade de melhorar a distribuição das armaduras, evitando assim o acúmulo de barras 
em uma mesma seção. Já a utilização conjunta da seção T com uma análise que permita a 
redistribuição de momentos, seja a análise linear com redistribuição, seja a análise plástica, 
trouxe uma economia considerável (12 a 15%), em relação à análise linear com seção 
retangular. Somente a utilização da seção T junto à análise linear já traz uma certa economia, 
próxima de 7%. 
 
Por meio da Tabela 2, vê-se que a menor área de armadura é dada para x/d = 0,25 e 
δ = 0,69. No entanto, apesar da pequena diferença, a análise plástica com δ = 0,75 apresentou 
um menor consumo de armadura, pois exige uma menor área de armadura nos vãos, que, 
devido à necessidade de sua ancoragem nos apoios, acaba por ter maior comprimento e 
 135 
influencia o consumo total de aço de maneira mais incisiva. Alerta-se, portanto, para a 
necessidade de estudar, caso a caso, qual par de valores de x/d e de δ fornece o menor 
consumo de armadura. A análise linear com redistribuição permite menores redistribuições do 
que a análise plástica, porém sua utilização é mais simples. 
Com a redistribuição, as flechas passam a ser menores (ver Tabela 4), pois continuam sendo 
verificadas com os esforços da combinação quase-permanente, e a armadura nos vãos 
aumenta com a transferência de momentos. Por outro lado, a importância da verificação da 
abertura de fissuras nos apoios passa a ser maior, já que é verificada ainda com a combinação 
freqüente, e nesses pontos a armadura diminui. 
 
Tabela 4 - Flechas e aberturas de fissuras 
(diferenças em relação à análise linear e seção retangular) 
 
Tipo de análise Seção transversal 
Flecha na 
seção 4 ou 5 
(cm) 
Diferença 
(%) 
Abertura de 
fissuras na 
seção 2 
(mm) 
Diferença 
(%) 
Análise linear Retangular 1,66 0 0,18 0 
Análise linear T 1,43 – 13,9 0,18 0 
Análise linear com 
redistribuição(δ = 0,75) 
T 1,24 – 25,3 0,24 33,3 
Análise plástica (δ = 0,69) T 1,20 – 27,7 0,26 44,4 
Análise plástica (δ = 0,75) T 1,24 – 25,3 0,23 27,8 
 
Agradecimentos 
Ao CNPq, pelas bolsas de mestrado e de pesquisador. 
 
Referências 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro. 
 
BUCHAIM R. (2001). A influência da não-linearidade física do concreto armado na rigidez 
à flexão e na capacidade de rotação plástica. Tese (Doutorado). São Paulo, Escola 
Politécnica da Universidade de São Paulo, Universidade de São Paulo. 
 
FONTES F.F. (2005). Análise estrutural de elementos lineares segundo a NBR 6118:2003. 
Dissertação (Mestrado). São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de 
São Paulo. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. (1979). Construções de concreto, volume 4: verificação da 
capacidade de utilização. Rio de Janeiro, Interciência. 
 
MORETTO, O. (1970). Curso de hormigón armado. 2.ed. Buenos Aires, Libreria “EL 
ATENEO”. 
 
PARK, R.; PAULAY, T. (1975). Reinforced concrete structures. New York, John Wiley & 
Sons. 
 
PRADO, J.F.M.A.; GIONGO, J.S. (1997). Redistribuição de momentos fletores em vigas de 
edifícios. In: Jornadas Sul-Americanas de Engenharia Estrutural, 28, São Carlos, 1-5 set. 
Anais. p. 1555-1564. 
 136 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS CONCEITOS DA SEÇÃO 14 
 
ANÁLISE ELÁSTICA 
COM REDISTRIBUIÇÃO LIMITADA DE SOLICITAÇÕES 
 
Autor: Roberto Buchaim (1) 
 
Revisor: Wanda Vaz (2) 
 
(1) Professor Doutor, Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas 
Universidade Estadual de Londrina, PR 
E-mail: robbuch@uel.br 
 
(2) Eng. Civil, Labore Consultoria 
E-mail: labore@terra.com.br 
 
 
1. Introdução 
 
A análise linear, seguida de redistribuição limitada das solicitações, consiste em reduzir nas 
seções críticas – geralmente nos apoios de continuidade, onde se dão os maiores momentos 
elásticos, e a influência favorável da força cortante sobre a capacidade de rotação plástica é 
maior do que no vão – os momentos fletores elásticos, multiplicando-os pelo seguinte 
coeficiente de redistribuição δ , conforme 14.6.4.3 (elementos lineares) e 14.7.3.2 (placas ou 
lajes) da NBR 6118:2003: 
d
x
25,144,0 +≥δ com fck ≤ 35 MPa e aços de ductilidade alta e muito alta (1) 
d
x
25,156,0 +≥δ com fck > 35 MPa e aços de ductilidade alta e muito alta (2) 
observando-se os limites: 
 
175,0 ≤δ≤ nas lajes, nas vigas contínuas e nas vigas de pórticos indeslocáveis, para aços de 
ductilidade alta e muito alta 
 
190,0 ≤δ≤ em pórticos deslocáveis, para aços de ductilidade alta e muito alta. 
 
A classificação anterior para aços de ductilidade alta e muito alta é do MC-90, ficando implícito, 
na NBR 6118, que os aços nacionais CA-60 e CA-50 preenchem, nessa ordem, essa 
classificação. 
 
Obedecidas às condições do coeficiente δ, é arbitrária a escolha de quais momentos das 
seções críticas serão reduzidos, assim como é arbitrário o valor dessa redução. Feita a 
redução dos momentos, refaz-se a análise para garantir o equilíbrio. Essas são as condições 
de ductilidade, que substituem as de compatibilidade e, com isso, é dispensável a 
comprovação da capacidade de rotação plástica. Outros valores do coeficiente δ são possíveis, 
desde que se comprove que a demanda de rotação plástica seja inferior à capacidade de 
rotação plástica do elemento estrutural em questão. Este cálculo é feito através da análise 
elasto-plástica, considerando-se na rigidez à flexão os fenômenos da fissuração e do 
enrijecimento da armadura tracionada, advindo das tensões de aderência despertadas entre a 
armadura e o concreto circundante, entre duas fissuras sucessivas. 
 
O coeficiente de redistribuição é associado à capacidade de rotação plástica, que por sua vez é 
associada à profundidade relativa da linha neutra no ELU por flexão, para facilitar o trabalho do 
 137 
calculista. Quanto maior for a redistribuição de solicitações, menores são os valores de δ e de 
x/d, e maior deve ser a capacidade de rotação plástica. Enfatiza-se que na solução elástica (δ 
= 1) esta capacidade não é nula, embora possa ser pequena. Da mesma forma, também não é 
nula a demanda de rotação plástica, mesmo que istonão seja apontado na análise elástica. 
 
Observe-se que, na análise linear, com ou sem redistribuição, não mais se permite escolher, 
por economia, x/d na fronteira dos domínios 3 e 4, pois para tal valor (igual a 628,0 para o CA-
50) a capacidade de rotação plástica é baixa, e não há em absoluto a garantia de que a 
suposta distribuição de solicitações no ELU seja atingida. 
 
Observe-se que os limites da profundidade relativa da linha neutra (LN), em função do 
coeficiente δ, impostos em 14.6.4.3 (elementos lineares) e 14.7.3.2 (elementos de placas ou 
lajes) da NB-1, são obtidos fazendo-se δ = 1 (análise elástica, sem redistribuição) em (1) e (2), 
donde: 
45,025,1/)44,01( ≅−≤
d
x se fck ≤ 35 MPa (3) 
35,025,1/)56,01( ≅−≤
d
x se fck > 35 MPa (4) 
Se 5,0==ξ
d
x , a seção estaria no domínio 3 e o correspondente alongamento do aço seria 
igual ao encurtamento limite do concreto, donde: 








=ε
=ε
>=ε
−
−
‰ 
‰ 
‰ 
 
 
48,2
07,2
5,3
60CA,yd
50CA,yd
s 
Assim, se os aços CA-50 e CA-60, comumente usados em lajes, estão em escoamento para o 
limite 5,0==ξ
d
x , com maior razão, estão também para os limites 0,45 e 0,35, dados pelas 
inequações (3) e (4). No caso de seção retangular, em flexão simples com armadura simples, 
pela igualdade das forças internas, a altura relativa do bloco retangular de tensões é igual à 
força relativa no concreto, 
cd
c
c 85,0 f d b
R
? = , e, também, igual à taxa mecânica da armadura em 
escoamento, 
cd
yds
d 85,0 f
f
d b
A
=ω . Observando que o braço de alavanca relativo das forças 
internas é )5,01( dω− , resulta o momento relativo em função da taxa mecânica, e vice-versa. 
)5,01(
85,0
dd
cd
2
d
d ω−ω==µ
fd b
M
 (5a) 
d
cd
yds
d 21185,0
µ−−==ω
f
f
bd
A
 (5b) 
Logo, em correspondência aos valores máximos da profundidade relativa da LN, resultam os 
limites: 
36,045,08,08,0d =×≤=ω d
x e 30,0)18,01(36,0d ≅−≤µ , se fck ≤ 35 MPa (6) e (7) 
28,035,08,08,0d =×≤=ω d
x e 24,0)14,01(28,0d ≅−≤µ , se fck > 35 MPa (8) e (9) 
Como se vê, é possível controlar a profundidade relativa da LN (da análise elástica sem 
redistribuição) e o escoamento das armaduras através do valor máximo do momento relativo, 
ou da taxa mecânica, conforme seja a resistência característica do concreto. E na análise 
elástica com redistribuição, usando-se aços CA-50 ou CA-60 e sendo δ < 1, é desnecessário 
comprovar o escoamento da armadura, se forem atendidas as inequações (1) e (2). 
 
 138 
2. Exemplo de aplicação em laje de edifício 
 
2.1 Condições gerais e dados 
 
Dimensionar a armadura da seção do apoio central de uma laje contínua de dois vãos iguais, 
armada em uma só direção, onde: 
§ m75,3=l 
§ h / d / d’ = 110 / 85 / 25 mm 
§ fck = 20 MPa 
§ aços CA-50 ou CA-60 
§ cargas de cálculo: 
? gd = 1,4 x 3,88 = 5,43 kN/m2 
? qd = 1,4 x 1,5 = 2,1 kN/m2 
 
2.2 Dimensionamento por análise elástica linear, sem redistribuição de solicitações 
 
Para as dadas cargas de cálculo, obtém-se na seção do apoio central o seguinte momento 
fletor (ver Figura 1): 
m
kNm
24,13
8
75,3
53,7
2
d ==m 
 
Figura 1 – Viga contínua no ELU – Momentos fletores para uma faixa de largura de 1m – 
Solução elástica sem redistribuição 
 
Note-se que este momento é calculado por unidade de comprimento. Portanto, pode-se 
expressá-lo no dimensionamento como um momento Md dividido pela largura b da laje. Logo: 
mm
Nmm
1024,13
m
kNm
24,13 3dd ×=== b
M
m 
Assim: 
 139 
32,0151,0
14,1285
1024,13
85,085,0bd 2
3
cd
2
d
cd
2
d
d <=
×
×
===µ
fd
m
f
M
 
Portanto: 
164,0151,0211211 dd =×−−=µ−−=ω 
Logo, a área da armadura, as, por unidade de comprimento da laje, vale: 
m
mm
389
m10
mm
389,0
mm
mm
389,085
435
14,12
164,0d
85,0 2
3
22
yd
cd
d
s
s ====ω== −f
f
b
A
a 
Escolhendo-se barras com diâmetro de 8 mm (φ 8), cuja área da seção é igual a 
2
2
mm50
4
8
=π , o espaçamento s dessas barras é: 
mm125m129,0
389
50
≅==s . 
Se for adotado aço CA-60, tem-se: 
2yd mm
N
7,521
15,1
600
==f 
A área da armadura será igual a: 
m
mm
324
mm
mm
324,085
7,521
14,12
164,0
22
2s
2s ==== b
A
a 
Escolhendo-se barras com diâmetro de 5 mm (φ 5), de área 20 mm2, com o que resulta para 
um par de barras justapostas com espaçamento mm120m123,0
324
202
s ≅=
×
= . 
2.3 Dimensionamento por análise elástica seguida de redistribuição das solicitações 
 
A inequação (1|) do coeficiente de redistribuição, para fck = 20 MPa, pode ser expressa da 
seguinte forma: 
)44,0(8,0 −δ≤=ξ
d
x , para fck ≤ 35 MPa 
Como se vê, escolhido o coeficiente de redistribuição entre os limites 0,75 e 1,00, tem-se 
imediatamente o limite superior da profundidade relativa da LN. 
 
Para a laje do exemplo, os momentos do vão e do apoio são iguais se δ = 0,686. Isto significa 
que, enquanto o percentual da redistribuição não ultrapassar (1 – 0,686) = 31,4%, o momento 
do apoio central superará o momento do vão, sendo, portanto, determinante no 
dimensionamento da laje. Há na solução deste problema várias alternativas. Duas delas são: 
 
a) Escolhe-se o coeficiente de redistribuição, mantém-se a altura útil da laje, e em relação à 
solução para 1=δ , dada em 2.2, alteram-se apenas as armaduras, reduzindo-se a 
armadura do apoio e aumentando-se a armadura do vão. Com a diminuição da área de aço 
no apoio, consegue-se eventualmente um arranjo mais favorável da armadura, facilitando a 
concretagem nessa região. 
 140 
 
b) Escolhe-se o coeficiente de redistribuição e escolhe-se a profundidade relativa da LN igual 
ao limite superior dado pela expressão anterior. Por exemplo, se for decidido reduzir o 
momento do apoio em 20%, tem-se δ = 0,8, portanto: 
)44,0(8,0 −δ≤=ξ
d
x = 0,8(0,8-0,44) = 0,288 
Com esta variável assim fixada, é possível liberar outra, que será a altura útil d. Isto porque, 
dada a profundidade relativa da LN, o momento relativo fica conhecido, podendo-se obter d 
de sua equação. 
 
Estas duas alternativas são examinadas a seguir: 
 
Análise da alternativa a: 
 
Conforme a Figura 1, o momento de cálculo do apoio de continuidade vale md = 13,24 kNm/m. 
Decide-se reduzi-lo em 20%, donde δ = 0,8. O momento solicitante de cálculo no apoio B 
passa, então, a ser md = 10,60 kNm/m conforme a Figura 2: 
 
 
Figura 2 – Viga contínua no ELU – Momentos fletores para uma faixa de largura de 1m – 
Solução com redistribuição de 20% do momento elástico do apoio central 
 
Simultaneamente, como mostra a Figura 2, aumentam a reação do apoio A e o momento 
máximo no vão, que vale: md,vão = 8,47 kNm/m 
Este novo momento é %14 maior que o anterior, a saber, 7,45 kNm/m, conforme Figura 1. 
Agora os momentos extremos, do vão e do apoio, estão mais próximos. Esta aproximação dos 
momentos das seções críticas é um dos objetivos da redistribuição, resultando em economia 
de material. 
O dimensionamento da seção do apoio B considera o momento 
m
kNm
60,10dd == b
M
m , e o 
momento relativo: 
 141 
121,0
14,1285
1060,10
85,085,0 2
3
cd
2
d
cd
2
d
d =
×
×
===µ
fd
m
fd b
M
 
 
Como há escoamento da armadura no apoio, tanto mais que o momento fletor é agora menor, 
a taxa da armadura, conforme a expressão (5b), é: 
129,0121,0211211 dd =×−−=µ−−=ω 
A profundidade relativa da LN vale 161,0129,025,125,1 d =×=ω=d
x . Este valor, evidentemente, 
verifica a desigualdade (1) para δ = 0,8, isto é, 288,0≤
d
x . 
 
Logo, usando-se aço CA-50, a área da armadura, por unidade de comprimento da laje, é igual 
a: 
m
mm
306
mm
mm
306,085
435
14,12
129,0d
85,0 22
yd
cd
d
s
s ===ω== f
f
b
A
a 
O valor anterior obtido para as era 389 mm2. 
Escolhe-se φ 8, donde o espaçamento mm160m162,0
306
4
82
≅=
π
=s . 
 
Escolhendo-se barras com diâmetro de 8 mm, cuja área da seção é igual a 50 mm2, o 
espaçamento s é: 
mm160m162,0
306
50
≅==s 
O dimensionamento da armadura do vão, feito de forma análoga, resulta na área 240 mm2/m, 
contra 210 mm2/manteriores. Comparando-se o volume de aço das duas soluções, tem-se 
para a laje de dois vãos iguais, desconsiderando-se a influência da força cortante e o 
comprimento de ancoragem: 
 
Solução sem redistribuição (ver 2.2), com momentos negativos em 0,35 l por vão: 
lll 69238935,022102ol =×××+××=V 
 
Solução atual, com momento negativos em 0,28 l por vão: 
lll 65130628,022402ol =×××+××=V 
 
Logo, há na atual solução um consumo ligeiramente menor e a seção do apoio será mais dúctil 
do que antes. A extensão da armadura superior foi obtida com a sobrecarga apenas em um 
dos vãos, mantendo-se o mesmo momento do apoio central usado no dimensionamento, em 
qualquer alternativa. A Figura 3 exemplifica o procedimento. No vão carregado só com a carga 
permanente, obtém-se a extensão da região de momento negativo igual a 1,04 m, donde a 
fração do vão 1,04/3,75 = 0,28. O mesmo foi feito para a solução elástica sem redistribuição, 
cuja fração obtida é maior e igual a 1,30/3,75 = 0,35. 
 
 142 
 
Figura 3 – Viga contínua no ELU – Momentos fletores para uma faixa de largura de 1m – 
Distribuição de momentos com carga total num vão e carga permanente noutro 
 
Análise da alternativa b: 
 
Neste caso decide-se alterar a altura útil da laje. Fixando-se novamente δ = 0,8 ≥ 0,75, o 
diagrama de momento fletor, após a redistribuição de %20 do momento do apoio central, 
conforme a Figura 2, permanece o mesmo da alternativa “a” (desconsiderada a redução no 
peso próprio da laje). Escolhendo-se o limite superior da profundidade relativa da LN, resulta, 
como se mostrou, 288,0
d
x
==ξ . Desta escolha decorre a menor altura útil possível dentro das 
condições do problema. 
 
O momento relativo de cálculo é determinado após calcular-se a força relativa do concreto, 
igual à taxa mecânica da armadura em escoamento, que vale: 
230,0288,08,08,0d =×===ω d
x
d
y 
donde: 
204,0)
2
1(
85,0
d
d
cd
2
d
d =
ω
−ω==µ
fd
m 30,0< , conforme a expressão (7). 
Sendo md = 10,60 Nmm/mm e 0,85 fcd = 12,14 N/mm2, o valor da altura útil é igual a: 
mm65
14,12204,0
1060,10
85,0
3
cdd
d ≅
×
×
=
µ
=
f
m
d 
Logo, a área da armadura é igual a: 
m
mm
420
mm
mm
420,0
435
6514,12
230,0
85,0 22
yd
cd
d2
2s
2s ==
×
=ω==
f
df
b
A
a 
 143 
Pode-se optar por 1 φ 8 CA-50, com espaçamento s = 120 mm. Além disso, a altura total da 
laje agora passa a ser h = d + d’ = 65 + 25 = 90 mm. Como se vê, em relação à solução para δ 
= 1 de 2.2, há uma significativa redução (18%) no consumo de concreto, embora haja um 
pequeno aumento no consumo de aço. Chama-se a atenção para o fato de haver outros 
estados limites que também devem ser atendidos no projeto. Ao reduzir-se muito a espessura, 
a laje poderá não atender às exigências de norma para flechas, ou para aberturas de fissuras, 
ou mesmo para vibração excessiva. 
 144 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS CONCEITOS DA SEÇÃO 14 
RIGIDEZ E ROTAÇÃO PLÁSTICA DE PEÇAS FLETIDAS 
 
Autor: Roberto Buchaim (1) 
 
Revisor: Wanda Vaz (2) 
 
 
(1) Professor Doutor, Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas 
Universidade Estadual de Londrina, Pr 
E-mail: robbuch@uol.br 
 
(2) Eng. Civil, Labore Consultoria 
E-mail: labore@terra.com.br 
 
 
1. Introdução 
 
Dentre os vários tipos de análise estrutural, descritos no item 14.5 da NBR 6118: 2003, três 
deles não exigem comprovação de deformações no Estado Limite Último (ELU): (a) análise 
linear; (b) análise linear com redistribuição das solicitações; (c) análise plástica com materiais 
rígido-plásticos. Nas duas primeiras basta usar as rigidezes das seções íntegras (Estádio I) e 
efetuar, na segunda, a redistribuição, respeitando-se em ambas e na terceira os limites da 
profundidade relativa da linha neutra (LN). Um quarto tipo – a análise elasto-plástica – introduz 
a verificação das deformações nos materiais, através da capacidade de rotação plástica. Nela, 
as zonas plastificadas da estrutura são representadas por rótulas plásticas, concentradas nas 
seções críticas correspondentes, interligadas por barras elásticas e de rigidez do Estádio II, 
onde houver fissuração, e do Estádio I, nos trechos sem fissuras. Com isto, são consideradas a 
plastificação dos materiais, a fissuração e a colaboração do concreto entre fissuras no 
enrijecimento da armadura do banzo tracionado. 
 
Assim, o último tipo de análise pressupõe, nas peças fletidas, um quadro de fissuração 
estabilizado e coloca dois problemas ocultos nos três primeiros tipos de análise, a saber: (a) a 
determinação da rigidez de peças estruturais fissuradas e não fissuradas e, (b) a comprovação 
da capacidade de rotação plástica. Com isto, pode-se determinar corretamente a capacidade 
portante da estrutura, limitando a demanda de rotação plástica à capacidade de rotação 
plástica, com o que são respeitados os limites de deformação no aço e no concreto. 
No que segue dá-se indicações sobre estas duas questões e, por último, mostra-se a aplicação 
da teoria a um exemplo. Para efeito de projeto, a redistribuição dos esforços solicitantes da 
análise elástica usualmente fica em torno de 15% a 30%. Redistribuição maior deve fazer com 
que as condições dos Estados Limites de Serviço (ELS) sejam preponderantes. Como na 
combinação rara das ações atua uma carga (1 – 1/γf) = (1 – 0,71) ≅ 30% 
menor, os momentos das seções críticas do ELU (com a redistribuição de %30 ) e do ELS 
(elástico e sem a redistribuição) resultam muito próximos. Isto obriga a um aumento da 
armadura para evitar seu escoamento, abertura exagerada da fissura e flecha excessiva. 
 
 145 
2. Classificação dos aços conforme a ductilidade 
 
A deformabilidade das peças fletidas tem sua maior influência localizada na deformabilidade do 
banzo tracionado. Isto porque a profundidade da linha neutra, confinada no intervalo [0, d/2], 
decresce relativamente pouco até o ELU. Com isto, a curvatura média da peça, dada por 
xd
m
r −
≅




 sme1 , depende em grande parte do alongamento médio da armadura, εsm. Por 
conseqüência, quanto mais dúctil for o aço tanto mais dúctil poderá ser a peça. 
 
A capacidade de uma barra de aço em dissipar energia por deformações plásticas, em caso de 
descarga ou ruptura, representa a sua ductilidade. A energia dissipável por unidade de volume 
da barra de aço é dada pela área sob a curva tensão-deformação, σs(εs), até a ruptura da barra 
ensaiada, descontada a parcela elástica (recuperável). A Tabela 2.1 mostra as condições 
exigidas para os aços de ductilidade muito alta (S), alta (A ou H) e normal (B ou N), conforme o 
EC-2, o MC-90 e a referência [10]. A Tabela 2.2 mostra as condições análogas para os aços 
nacionais, e refere-se à deformação residual medida em uma distância igual a 10 diâmetros da 
barra após a ruptura. 
 
Tabela 2.1 – Condições exigidas para os aços de alta ductilidade, conforme referências 
internacionais 
 
EC2 MC-90 Sigrist e Marti [10] 
Classe (ft/fy)k 
εsuk 
‰ 
(ft/fy)k 
εsuk 
‰ 
(ft/fy)k 
εsuk 
‰ 
S - - ≥ 1,15 ≥ 60 1,20 100 
A ou H > 1,08 > 50 ≥1,08 ≥ 50 1,08 50 
B ou N > 1,05 > 25 ≥1,05 ≥ 25 1,05 25 
Onde: 
(ft/fy)k é o valor característico, relativo ao quantil de 5%, da relação entre as resistências à ruptura por 
tração e do início do escoamento. 
εsuk é o valor característico, relativo ao quantil de 5%, do alongamento último de ruptura por tração, 
correspondente a ftk. 
 
 Tabela 2.2 – Condições exigidas para os aços nacionais de alta ductilidade 
 
NBR 7480:1996 NBR 6118:2003 
Categoria 
(ft/fy)k 
εs,10φ 
‰ 
Características 
de ductilidade, 
item 8.3.7 
εsuk 
‰ 
CA-25 ≥ 1,20 ≥ 1,80 Alta ≥ 181,5 
CA-50 ≥ 1,10 ≥ 80 Alta ≥ 82,75 
CA-60 ≥ 1,05 ≥ 50 Normal ≥ 53,15 
Onde: 
εs,10φ é o alongamento residual medido em 10 diâmetros. 
φ+=ε 10,s
s
yk
k
y
t
suk e)( E
f
f
f
é o alongamento último de ruptura por tração, calculado com Es = 200 GPa. 
 
 146 
3. Capacidade de rotação plástica 
 
Asdeformações limites do concreto, εc,lim, e do aço, εsuk, podem ser respeitadas através da 
rotação plástica obtida na viga equivalente da Figura 3.1, destacada da viga contínua 
correspondente. 
 
Figura 3.1 – Viga equivalente 
 
A viga equivalente representa o segmento que contém a seção crítica onde ocorrem as 
deformações plásticas. Seu comprimento pode ser tomado igual à distância entre pontos de 
momentos nulos junto ao apoio de continuidade para as cargas de cálculo, qd, e admitido o 
mesmo para as cargas últimas qu e do início do escoamento, qy. Os carregamentos qu e qy 
correspondem, respectivamente, a uma deformação última ou limite em um dos dois materiais 
e à deformação do início do escoamento da armadura tracionada na seção crítica. Ao 
acréscimo (qu – qy) da carga, corresponde a máxima rotação plástica possível nessa seção, a 
qual vem a ser a capacidade de rotação plástica. A deformabilidade da peça é considerada no 
projeto através das leis constitutivas do concreto (parábola-retângulo), com tensão do patamar 
igual à resistência que se espera encontrar na estrutura (valor médio, fcm, quantil de %50 ), e do 
aço (bilinear com encruamento) com resistências características, fyk e ftk. Como referência, o 
valor médio da resistência do concreto é dado pela seguinte expressão do MC-90: 
 
fcm = fck + 8, em MPa (3.1) 
 
Tendo em vista que as múltiplas influências na rotação plástica da viga equivalente dificultam a 
obtenção de uma função ao mesmo tempo geral e segura, procura-se estimar a capacidade de 
rotação plástica de maneira mais simples, para o caso comum de seção retangular em flexão 
simples e armadura simples. Isto é conseguido definindo-se o comprimento equivalente da 
zona plastificada igual à altura útil d da seção transversal. Com esta aproximação, reduz-se a 
análise da viga equivalente (ou da estrutura) meramente à análise da seção transversal. Ver o 
Anexo 2. Como a distribuição de curvaturas ao longo da viga equivalente é admitida linear, a 
zona plastificada é um triângulo de extensão (base) 2d, e altura igual à diferença de curvaturas 
máxima (correspondente a uma deformação última no aço ou limite no concreto) e do início do 
escoamento da armadura. A área desse triângulo, igual à do retângulo equivalente, de lado d e 
mesma altura, é a capacidade de rotação plástica, donde: 
 
d
x
d
x y
sym
u
sum
pl
3
11
10
−
ε
−
−
ε
=θ ruptura do aço (ramo ascendente) 
 
(3.2) 
d
x
d
x y
sym
u
cum
pl
3
1
10
−
ε
−
ε
=θ esmagamento do concreto (ramo descendente) 
 
(3.3) 
onde 
 147 
ε=ε 310 ; 
εsum é a deformação média da armadura associada à deformação última (εsuk = 50 ‰ na Figura 
3.2); 
εsym é a deformação média da armadura associada à deformação do início do escoamento 
(εsyk = 2,5 ‰ na mesma figura); 
εcum é o encurtamento médio do concreto (nestas simplificações, igualado a εc,lim= 3,5‰ , 
também na Figura 3.2); 
xu e xy são as profundidades da LN correspondentes aos dois estados de deformação 
admitidos, o último e o do início do escoamento. 
 
A lei tensão-deformação média do banzo tracionado, associada à deformação do aço na 
fissura, é a dada no MC-90, item 3.2.3. Ver também [6]. 
 
Enfatiza-se que estas rotações resultam de leis tensão-deformação dos materiais com 
resistências fcm para o concreto e fyk e ftk para o aço no ramo plastificado, embora as curvas da 
rotação plástica sejam usualmente dadas em função da profundidade relativa da LN no ELU – 
Flexão Simples, obtida com as resistências de cálculo (minoradas) dos materiais, o que pode 
gerar confusão. Para evitá-la, basta perceber que a cada ponto da curva )(pl d
x
θ corresponde 
uma única área As e, portanto, uma única taxa mecânica da armadura 
cd
yds
d 85,0 f
f
bd
A
=ω , com a 
qual se obtém a profundidade relativa da LN )
d
x
( no ELU. 
 
 
Seção retangular b / h / d = 540 / 270 / 270 mm, armadura simples. 
Aço CA-50, fyk / ftk = 500 / 540 MPa, εsuk = 50 ‰ , boa aderência. 
Concreto: diagrama parábola-retângulo, εc,lim = 3,5‰ , γc = 1,5. 
 
Curva 2 da NBR 6118: 
• ramo ascendente )(6,10634,7103
d
x
pl +=θ ; 
• ramo descendente 
)/(
5,3103
dxpl
=θ . 
Figura 3.2 – Capacidade de rotação plástica em função da profundidade relativa da linha 
neutra no ELU – Flexão simples 
 
 148 
Na obtenção dos resultados mostrados na Figura 3.2, com a finalidade de compará-los com a 
curva 2 da NBR 6118: 2003, procurou-se ficar do lado da segurança, adotando-se os valores 
(ft/fy)k = 1,08, εsuk = 50 ‰ , ambos dados na Tabela 2.1, ao invés de (ft/fy)k = 1,10, εsuk = 80 ‰ , 
conforme a Tabela 2.2. Pela mesma razão, tomou-se γc = 1,5, ao invés de γc = 1,4. A figura 
evidencia que a curva 2, adotada para o aço CA-50, é, na maioria dos casos, mais 
conservadora que a solução descrita. Ver a bibliografia específica para a consideração de 
outras influências. 
 
4. Rigidez à flexão nos Estádios I e II 
 
A rigidez à flexão de uma peça estrutural pode ser considerada a partir de suas rigidezes do 
Estádio I, nos segmentos sem fissuras, e do Estádio II, nos segmentos fissurados, conforme as 
expressões descritas a seguir. No Estádio I tem-se: 
IciI)( IEEI = se fl,ct2cr fWMM =≤ (4.1) 
onde: 
ckci 5600 fE = , em MPa é o módulo de elasticidade do concreto na origem da curva σc (εc), 
conforme o item 8.2.8 da NBR 6118; 
II é o momento de inércia da seção bruta de concreto, ou da seção ideal (armadura 
considerada); 
W2 é o módulo de resistência da fibra tracionada; 
fct,fl é a resistência à tração na flexão, conforme o item 8.2.5 ( ctfl,ct 7,0
1
ff = , tomando-se para a 
resistência à tração direta o valor médio); 
Mcr é o momento de fissuração, e seu conhecimento possibilita separar os segmentos da peça 
nos Estádios I e II. 
 
Tendo em vista que, para as seções usuais (retangular e mesmo circular), o segmento do 
diagrama momento-curvatura correspondente ao Estádio II puro (tensões de tração 
desprezadas) é também próximo de uma reta que passa pela origem, pode-se aproximar a 
rigidez à flexão (EI) II pelo produto do módulo de elasticidade secante do concreto, dado no 
mesmo item da NBR 6118 por Ecs = 0,85 Eci, pelo momento de inércia da seção fissurada, 
supondo materiais elásticos. Em [8] está descrita, para o presente caso de seção retangular 
com armadura simples, a obtenção do diagrama momento-curvatura (sem necessidade de 
iteração), confirmando a quase linearidade mencionada. Também é possível comparar 
favoravelmente a rigidez assim obtida com as deduzidas de soluções não-lineares. 
 
A consideração do enrijecimento da armadura tracionada, decorrente da aderência com 
deslizamento entre as barras da armadura e o concreto circundante, entre duas fissuras 
sucessivas, é feita através de um terceiro fator, deduzido em [6], a saber: 
1
18,0
1
1
yk
bm
ef,s
sym
syk
≥
τ
ρ
−
=
ε
ε
f
 
 
 
(4.2) 
onde: 
3/2
ckbm 675,0 f =τ para cargas de curta duração e 
3/2
ckbm 425,0 f =τ para cargas de longa duração 
ou repetidas, com fckem MPa; 
ef
s
ef,s h b
A
=ρ (vigas) e 
ef
s
ef,s h
a
=ρ (laje) é a taxa geométrica efetiva do banzo tracionado, com 
3
)(5,2ef
x
hdhh −≤−= para vigas de seção retangular e 
3
)5,0(5,2 sef
x
hch −≤φ+= em lajes, 
 149 
sendo as = área da armadura por unidade de comprimento, =c cobrimento e =sφ diâmetro da 
barra longitudinal tracionada. 
 
Este fator situa-se geralmente na faixa 1,05 e 1,15, sendo 1,1 um valor que se pode adotar com 
pouco erro em cálculos mais aproximados. 
 
O momento de inércia da seção fissurada (conforme calculado no Anexo 1) é dado pelas 
seguintes expressões, onde 
cs
s
s E
E
=α é o coeficiente de equivalência, 
d b
As
s =ρ é a taxa 
geométrica da armadura e 
d
x
=ξ a profundidade relativa da LN. 
 
Seção retangular com armadura simples: 
 
)3)(1(
3 ss
3
II ξ−ξ−ρα=
d b
I 
 
(4.3) 
)1
2
1(
ss
ss −ρα
+ρα=ξ 
 
(4.4) 
 
Seção retangular com armadura dupla: 
( 1sA , d b
A 1s
1s =ρ e o cobrimento relativo d
d1
1 =δ′ no banzo comprimido, 2sA e db
A 2s
2s =ρ no 
banzo tracionado): 
)]3)(1()3)(([
3 2s111ss
3
II ξ−ξ−ρ+δ′−ξδ′−ξρα=
d b
I 
 
(4.5) 
)(2)]([)( 2s11ss
2
2s1ss2s1ss ρ+δ′ρα+ρ+ρα+ρ+ρα−=ξ (4.6) 
 
Seção T com armadura simples: 
 
Sendo bfl a largura da flange comprimida, bw, a largura da alma, hfl a altura da flange (ou 
espessura da laje), d a altura útil, 
db
A
w
s
s =ρ a taxa geométrica referida à alma, tem-se 
]})()32)(2[()1()3)(1(4{
12
2flflflfl
w
fl
ss
3
w
II d
h
d
h
d
h
d
h
b
bdb
I +−ξ−ξ−+ξ−ξ−ρα= 
 
(4.7) 
 
onde a profundidade relativa da LN decorre da seguinte equação do 2º grau: 
0]))(1(2[])1([2 2fl
w
fl
ss
fl
w
fl
ss
2 =−+ρα−ξ−+ρα+ξ
d
h
b
b
d
h
b
b
 
 
(4.8) 
válida somente se 
d
h
d
x fl≥=ξ . Se esta condição não ocorrer, o cálculo é feito como seção 
retangular de largura flw bb = . 
 
Assim, a rigidez à flexão no Estádio II é igual ao produto dos três fatores mencionados: 
sym
syk
IIcsII)( ε
ε
= IEEI 
 
(4.9) 
 
As expressões dadas cobrem casos freqüentes da prática (fluência do concreto excluída). Se 
for necessária maior precisão, deve-se usar para o concreto uma lei constitutiva curva (por 
exemplo, a lei de Grasser) que contenha o módulo de elasticidade tangente na origem, Eci, 
 150 
dado no item 8.2.8 da NBR 6118. Se o momento de fissuração for pequeno em relação ao 
momento máximo atuante na seção crítica, basta usar a rigidez do Estádio II. 
 
 
5. Exemplo 
 
5.1 Dados 
Dada uma viga contínua de 2 vãos iguais, de comprimento l = 8 m, sujeita à carga uniforme de 
valor característico gk + qk = 5 + 5 = 10 kN/m e valor freqüente gk + ψ1qk = 5 + 2 = 7 kN/m, 
pede-se: (a) determinar a armadura longitudinal e (b) comprovar a capacidade de rotação 
plástica para uma redistribuição do momento fletor do apoio central (B) arbitrada em %30 . 
Dados adicionais: 
§ seção transversal: b / h / d = 200 / 500 / 435 mm 
§ concreto: fck = 20MPa, τbm = 0,425 fck2/3 = 3,13 MPa, MPa4,2872120560085,0cs E =×= 
§ aço CA-50: fyk = 500 MPa, Es = 210 000 MPa 
 
5.2 Solução 
 
5.2.1 Determinação dos momentos fletores para o coeficiente de redistribuição δ = 0,7 
 
No ELU, com a carga de cálculo γf(gk+qk)=1,4x10=14 kN/m aplicada nos dois vãos da viga, 
resultam após a redistribuição: 
§ Momento fletor no apoio de continuidade: 
kNm4,788147,0
8
)(
2
kkfd,B =××=+δγ=δ
l
qgM 
§ Momento fletor máximo no vão: 
kNm23,76825,0814
4
1
8
)( 2
22
kkfd,vão =××=




 δ
−+γ=
l
qgM 
5.2.2 Dimensionamento das seções críticas 
Sendo a taxa mecânica da armadura igual a d
cd
yds
d 21185,0
µ−−==ω
f
f
bd
A
, onde o momento 
relativo é dado por 
2
cd
d
d
85,0 d b f 
M
=µ , obtém-se para a seção do apoio central: 
171,0
435200
4,1
20
85,0
104,78
2
6
d =
×××
×
=µ , 188,0171,0211d =×−−=ω e 
2
sB mm6,457=A . 
Analogamente para o vão, determina-se As,vão = 443,5 mm2. Adota-se a área As = 4φ12,5 = 500 
mm2 no apoio interno e também no vão, mas o cálculo continuará a ser feito com as áreas 
originais. Note-se que a extensão da armadura superior deve ser obtida considerando-se um 
dos vãos com carga total, o outro sem sobrecarga, e um momento no apoio B igual a δMb,d = 
78,4 kNm. 
 
5.2.3 Cálculo da rigidez à flexão 
 
No que segue, desconsideram-se o momento de fissuração e a armadura comprimida. Como 
as áreas adotadas nos vãos e no apoio interno são iguais, tem-se uma só rigidez a calcular. 
Com a taxa geométrica efetiva do banzo tracionado igual a: 
 0136,0
)435500(5,2200
5,443
ef
s
ef,s =−××
==ρ
h b
A
 
 
decorre da equação (4.2): 
 151 
09,1
500
31,3
0136,0
18,0
1
1
18,0
1
1
yk
bm
ef,s
sym
syk
=
×−
=
τ
ρ
−
=
ε
ε
f
 
De (4.4), com 865,9
4,21287
210000
cs
s
s ===α E
E
, %51,0
435200
5,443s
s =×
==ρ
bd
A
, e 0503,0ss =ρα , 
resulta a profundidade da LN do Estádio II, para efeito da rigidez (não confundir com a LN do 
ELU): 
 
2708,0)1
0503,0
2
1(0503,0)1
2
1(
ss
ss =−+=−ρα
+ρα=ξ 
 
 
 
De (4.3) vem: 
46
3
ss
3
II mm10186,549)2708,03)(2708,01(0503,03
435200
)3)(1(
3
×=−−
×
=ξ−ξ−ρα=
bd
I 
 
Portanto, de (4.9) decorre a rigidez à flexão do Estádio II: 
2106
sym
syk
IIcsII Nmm103,127409,110186,5494,21287)( ×=×××=ε
ε
= IEEI 
 
5.2.4 Determinação da rotação plástica no apoio central 
 
A equação de compatibilidade que permite obter a rotação plástica no apoio central se escreve 
(momento positivo traciona a borda inferior): 
)1(
plBd1110 θ=δ+δ M 
Nesta equação os coeficientes são dados por 
II
3
kkf
10 )(24
l)(
2
EI
qg +γ
=δ , 
II
11 )(3
l
2
EI
=δ . O 
momento em B é negativo, sendo 
8
l)( 2kkf
d,B
qg
M
+γ
δ−= . Com estes dados, pode-se 
escrever: 
)1(
pl
2
kkf
II
)1(
8
l)(
)(3
2
θ=δ−
+γ qg
EI
l
 
rad101,14)7,01(10112
103,12743
1082 36
10
3
)1(
pl
−×=−××
××
××
=θ ou mrad1,14)1(pl =θ 
 
Note-se, de passagem, que a dada equação de compatibilidade contém a solução elástica 
( 1=δ ), quando então resulta nula a rotação plástica no apoio central. Entretanto, na presente 
análise elasto-plástica, a rigidez da peça depende do coeficiente de redistribuição δ . No 
exemplo, para 1=δ , resultam os momentos da distribuição elástica iguais a MBd = -112 
kNm e Mvão,d = 63 kNm, os quais levam às áreas de armadura AsB = 690 mm2 e As,vão = 360 
mm2, e às rigidezes (EI)II,apoio = 1742,8 x 1010 Nmm2 (nos 2 m próximos ao apoio central) e 
(EI)II,vão = 1189,4 x 1010 Nmm2 (nos 6 m restantes do vão). Com estes valores obtém-se a 
rotação plástica no apoio central igual a mrad1,5)1(pl =θ , em contraposição ao valor nulo da 
solução elástica. Este cálculo esclarece porque a LN no ELU, na análise elástica sem 
redistribuição, fica limitada a 5,0
d
x
≤=ξ , conforme o item 14.6.4.3 da NBR 6118, e não mais 
em 0,628 para o CA-50, pois mrad1,5)1(pl =θ é inferior a mrad75,0
5,3)2(
pl ==θ , conforme a curva 
2 da Figura 3.2, mesmo sem a correção da esbeltez, mostrada a seguir. 
 152 
 
5.2.5 Comprovação da capacidade de rotação plástica 
 
Aplica-se a equação da curva 2 da NBR 6118, conforme se vê na Figura 3.2 deste texto. No 
apoio central, tem-se a profundidade relativa da LN no ELU igual a: 
235,01883,025,125,1 d =×=ω=ξ 
Logo: 
rad9,14
235,0
5,35,3
10 )2(pl
3 ==
ξ
=θ ou mrad9,14)2(pl =θ 
Esta rotação corresponde a uma esbeltez da viga equivalente 6d/ve =l , e deve ser corrigida 
multiplicando-a por 
d6
vel . No exemplo, tem-se a distância entre pontos de momentos nulos 
próximos do apoio central igual a m8,2
2
7,0
8
2ve
=×=
δ
= ll , donde: 
mrad4,15
435,06
8,2
9,14)2(pl =×
=θ > mrad1,14)1(pl =θ 
com o que fica comprovada a capacidade de rotação plástica da viga. 
 
O presente cálculo garante apenas o ELU – Flexão Simples, e deve ser completado para 
atender outros estados limites. Importância maior adquirem as condições de serviço em face de 
redistribuição elevada, devendo-se evitar nas seções críticas o escoamento da armadura na 
combinação rara das ações, controlando-se ainda a abertura da fissura nessas seções, assim 
como a flecha, particularmente na combinação freqüente das ações. No exemplo em questão, 
para uma análise elástica com o mesmo valor da rigidez do Estádio II usado no ELU, IIEI )( , 
útil na verificação das flechas imediatas em serviço, obtém-se as seguintes tensões na 
armadura tracionada da seção central: 
 
(a) MPa405s ≅σ na combinação rara das ações. 
 
Este valor cai para 375 MPa ≤ 0,8 fyk = 400 MPa, se forem considerados o arredondamento do 
diagrama de momento fletor devido a uma largura do apoio interno igual a 200 mm e uma 
redistribuição de 5% dos momentos em serviço (uma vez que, havendo fissuração, alguma 
redistribuição existe), e 
 
(b) MPa260s ≅σ na combinação freqüente das ações. 
 
A flecha imediata máxima na viga, para cargas gk+ψ1qk=5+2=7 kN/m num vão e gk=5 kN/m 
noutro, é igual a 551mm5,14 l= . 
 
Estes resultados devem ser confrontados com as exigências de norma, o que poderá levar a 
um aumento da armadura longitudinal. Assim, como se disse na introdução, é possível, 
conforme seja o grau de redistribuiçãoescolhido, que as condições de serviço sejam 
preponderantes sobre as do ELU – Flexão, com o que a estrutura seria ainda mais segura 
contra o colapso. 
 
6. Conclusão 
 
Conclui-se o presente trabalho destacando os seguintes pontos: 
 
(a) A verificação de deformações limites nos materiais, no ELU – Flexão, pode ser feita de 
modo relativamente simples, limitando-se a demanda de rotação plástica à capacidade de 
rotação plástica da peça. 
 153 
(b) Para determinar a primeira são fornecidas expressões da rigidez à flexão, com 
enrijecimento da armadura tracionada, as quais podem ser adotadas tanto na análise 
elasto-plástica do ELU quanto na verificação de deslocamentos imediatos em serviço. 
(c) A curva 2 da NBR 6118: 2003 referente à capacidade de rotação plástica (Figura 3.2) é 
muito próxima daquela obtida simplificadamente da análise da seção crítica, e decorrente 
do produto da altura útil pela diferença de curvaturas última (εsuk=50 ‰ no aço ou εc,lim=3,5 
‰ no concreto) e do início do escoamento da armadura. 
(d) A distribuição de esforços solicitantes, decorrente da análise elástica, exige uma 
capacidade de rotação plástica não nula, razão pela qual é menor o limite da profundidade 
relativa da LN no ELU atualmente permitido por norma. Deve-se notar, ainda, que todas as 
análises estruturais estão interrelacionadas e supõem, implícita ou explicitamente, 
suficiente ductilidade da estrutura, através das vigas e lajes, para que a pretendida 
distribuição de esforços solicitantes seja alcançada, antes de haver ruptura material na 
seção mais crítica. 
(e) Uma redistribuição muito elevada de esforços solicitantes no projeto deve acarretar 
preponderância das condições de serviço. Com isto, uma tal redistribuição seria 
neutralizada, e a estrutura seria desnecessariamente mais segura no ELU – Flexão. 
(f) A presente verificação deve ser completada pela comprovação dos demais estados limites, 
últimos e de serviço. 
 154 
ANEXO 1 
DETERMINAÇÃO DA RIGIDEZ NO ESTÁDIO II 
 
Seja a seção T da Figura A1, com armadura dupla, sujeita a um momento fletor maior do que o 
de fissuração. 
 
Figura A1 – Seção T, com armadura dupla, Estádio II 
 
A dedução, dada a seguir, permite obter as equações (4.3) a (4.8), e tem as seguintes 
hipóteses como base: 
(a) a flexão é simples; 
(b) a linha neutra atinge a alma, flhx ≥ ; 
(c) o concreto à tração é desprezado na seção (mas é considerado no enrijecimento da 
armadura tracionada); 
(d) os materiais seguem a lei de Hooke; 
(e) na área de concreto comprimida não se desconta a área da armadura; 
(f) as grandezas são todas positivas. 
As deformações que interessam ao problema relacionam-se com a curvatura da seção como 
segue: 
 
fl
3c1c2s
fl
3c
1
1s1c1
hxdhxdxxr
ε−ε
=
−
ε
=
−
ε
=
′−
ε
=
ε
= (A1) 
 
Como duas grandezas definem o estado de deformação, bastam as duas equações de 
equilíbrio para determiná-lo. A igualdade das forças de compressão e de tração se escreve: 
 
)(
2
)()(
2 3c1ccs
fl
wfl3ccsflwfl1ccs
w
1ss1s2ss2s ε−ε−+ε−+ε+ε=ε E
h
bbEhbbE
xb
EAEA 
Introduz-se, nesta equação, o coeficiente de equivalência 
cs
s
s E
E
=α , e substitui-se, através de 
(A1), cada uma das deformações em função da curvatura e da profundidade da LN. Após 
cancelar a curvatura, obtém-se a equação do segundo grau que dá a profundidade da LN: 
 
 155 
0]
2
)([
2
])([
b
2 2fl
wfl11ss2ss
w
flwfl1ss2ss
w
2 =−+′α+α−−+α+α+
h
bbdAdA
b
xhbbAAx (A2a) 
Esta equação dividida por 2d permite introduzir as taxas de armaduras, 
db
A
w
1s
1s =ρ e 
db
A
w
2s
2s =ρ , o cobrimento relativo d
d1
1
′
=δ′ da armadura do banzo comprimido, bem como a 
profundidade relativa da LN, 
d
x
=ξ . Resulta, então: 
 
0]))(1()(2[])1()([2 2fl
w
fl
2s11ss
fl
w
fl
2s1ss
2 =−+ρ+δ′ρα−ξ−+ρ+ρα+ξ
d
h
b
b
d
h
b
b
 (A2b) 
 
O momento das forças de compressão, em relação ao banzo tracionado, leva à seguinte 
equação: 
 
)()
3
)((
2
)(
)
2
()()
3
(
2 11ss1s
fl
3c1ccsfl
wflfl
3ccsflwfl1ccs
w ddEA
h
dEh
bbh
dEhbb
x
dE
xb
M ′−ε+−ε−ε
−
++−ε−+−ε=
 
Usando (A1) novamente, obtém-se a equação que determina a segunda incógnita do problema 
(1/r se M for conhecido, ou vice-versa): 
 
r
IEM
1
IIcs= (A3) 
 
))(x()]
3
(
2
)
2
)([()()
3
(
2 111ss
flflfl
flflwfl
2
w
II dddA
h
d
hh
dhxhbb
x
d
xb
I ′−′−α+−+−−−+−= (A4a) 
 
Esta última equação é o momento de inércia da seção fissurada, no Estádio II. Introduzindo os 
adimensionais resulta: 
 
)()32)(2[()1()]3)(()3)(1([4{
12
2flflflfl
w
fl
111s2ss
3
w
II d
h
d
h
d
h
d
h
b
bdb
I +−ξ−ξ−+δ′−ξδ′−ξρ+ξ−ξ−ρα=
 
 
(A4b) 
 
Seção retangular com armadura simples: faz-se wfl bb = e 01s =ρ em (A2b) e (A4b) para obter 
(4.3) e (4.4). 
 
Seção retangular com armadura dupla: faz-se wfl bb = em (A2b) e (A4b) para obter (4.5) e 
(4.6). 
 
Seção T com armadura simples: faz-se 01s =ρ em (A2b) e (A4b) para obter (4.7) e (4.8). Se a 
condição 
d
h
d
x fl≥=ξ não ocorrer, refaz-se o cálculo com flw bb = , alterando-se inclusive a taxa 
geométrica da armadura. 
 
A dedução dada usou as equações de equilíbrio na determinação da relação momento-
curvatura no Estádio II. Entretanto, chega-se ao mesmo resultado através das conhecidas 
propriedades das figuras planas, pois é válida a lei de Hooke para ambos os materiais. Assim, 
a profundidade da LN é determinada igualando-se os momentos estáticos das áreas 
comprimidas e tracionada em relação à LN, ou seja: 
 
 156 
)()()
2
()(
2 2ss11ss
fl
flwfl
2
w xdAdxA
h
xhbb
xb
−α=′−α+−−+ (A2c) 
 
Esta equação é idêntica à (A2a), como é fácil comprovar. O momento de inércia da seção 
fissurada em relação à LN é igual a: 
 
2
2ss
2
11ss
3
fl
wfl
2fl
flwfl
3
w
II )()x(12
)()
2
()(
3
xdAdA
h
bb
h
xhbb
xb
I −α+′−α+−+−−+= 
 
(A4c) 
 
Para chegar à Equação (A4b), tira-se 
2
2
w xb de (A2c), substitui-se o resultado no primeiro 
termo de (A4c), igual a 
3
2
)
2
(
2
w xxb , e, em seguida, introduzem-se os adimensionais. 
 
 
 
 157 
ANEXO 2 
DETERMINAÇÃO DA CAPACIDADE DE ROTAÇÃO PLÁSTICA 
 
Considere-se a viga equivalente da Figura A2, a qual atinge, para a carga uQ , uma 
deformação última na seção central, no aço ou no concreto. 
 
 
Figura A2 – Viga equivalente 
 
Uma vez definidos o comprimento, a seção transversal, a armadura, as resistências e as 
deformações últimas dos materiais, esta carga é uma propriedade da viga equivalente. 
Admitida a hipótese sobre a extensão da zona plastificada, de comprimento igual ao dobro da 
altura útil da seção, obtém-se a capacidade de rotação plástica através da área hachurada da 
Figura A2b: 
])
1
()
1
[( ymumpl rr
 d −=θ (A5) 
O valor médio da curvatura última da seção central, conforme a equação (A1), vale: 
u
sum
um)
1
(
xdr −
ε
= (A6a) 
se o aço atingir sua deformação última na seção crítica antes do concreto, ou, em caso 
contrário: 
u
cum
um)
1
(
xr
ε
= (A6b) 
A curvatura média correspondente ao início do escoamento da armadura, na mesma seção, 
vem a ser: 
y
sym
ym)
1
(
xdr −
ε
= (A6c) 
Inserindo (A6a), (A6b) e (A6c) em (A5), obtém-se as equações (3.2) e (3.3), após 
simplificações. Note-se que a área total da Figura A2b é a rotação relativa entre as seções 
extremas da viga equivalente, igual à soma das parcelas elástica e plástica. 
 
 158 
Estas equações são, como se disse, uma aplicação da lei tensão-deformação média do banzo 
tracionado, associada à deformação do aço na fissura, dada no MC-90, item 3.2.3, e explicada 
em [6]. 
 
7 Bibliografia 
 
[1] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Projeto de estruturas de 
concreto – Procedimento: NBR 6118: 2003. Rio de Janeiro, 2003. 
 
[2] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Barras e fios de aço 
destinados a armaduras para concreto armado: NBR 7480. Rio de Janeiro, fev.1996. 
 
[3] EUROCODE 2: Projecto de estruturas de betão. Pt. 1: Regras gerais e regras para 
edifícios. Versão portuguesa para aprovação pela CT 115. Dez. 1991. 
 
[4] COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. CEB-FIP Model Code 1990. London: 
Thomas Telford, 1993. 
 
[5] BUCHAIM, R. Análise plástica de vigas contínuas de concreto armado. Revista 
IBRACON, São Paulo, n. 17, p. 32-38, fev./jun. 1997. 
 
[6] BUCHAIM, R. A influência da não-linearidade física do concreto armado na rigidez à 
flexão e na capacidade de rotação plástica. Tese (Doutorado) – Escola Politécnica da 
Universidade de São Paulo. São Paulo, 2001. (www.uel.br/ctu/dtru). 
 
[7] BUCHAIM, R. Flexão simples e flexão composta normal: dimensionamento e 
verificação. Concreto Estrutural. CTU – Departamento de Estruturas. Universidade 
Estadual de Londrina. Londrina. Pr, 2002. 
(http://www.uel.br/ctu/dtru/DISCIPLINAS/3tru024/3tru024.html). 
 
[8] BUCHAIM, R. Estádios I, II e III no Concreto Armado. Diagrama Momento – Curvatura. 
Concreto Estrutural. CTU – Departamento de Estruturas. Universidade Estadual de 
Londrina. Londrina. Pr, 2004. 
(http://www.uel.br/ctu/dtru/DISCIPLINAS/3tru024/3tru024.html). 
 
[9] BUCHAIM, R.; PATRÃO, F. J. Lajes pré-fabricadas: otimização do comportamento 
estrutural. 46º Congresso Brasileiro do Concreto. IBRACON. Florianópolis, 2004. 
 
[10] SIGRIST, V.; MARTI, P. Ductility of structural concrete: a contribution. Zürich: Institut 
für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich, Okt. 1994. (IBK Sonderdruck, n. 3). 
 
[11] SIGRIST, V. Zum Verformungsvermögen von Stahlbetonträgern. Zürich: Institut für 
Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich, Jul. 1995. IBK Bericht n. 210. 
 
[12] BUCHAIM, R.; VIEIRA Jr., L. C. M. Rigidez Equivalente de Pilares. 46º Congresso 
Brasileiro do Concreto. IBRACON. Florianópolis, 2004. 
 
[13] BRANSON, D. E. Deformation of Concrete Structures. Vol. 1. McGraw-Hill, Inc., 1977. 
 
[14] ARTHUR, P. D.; RAMAKRISHNAN, V. Ultimate Strength Design for Structural 
Concrete. London: Sir Isaac Pitman and Sons, Ltd. 1969. 
 
 
 
 
 159 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS CONCEITOS DA SEÇÃO 15 
 
PILARES 
 
Autores: 
Alio Ernesto Kimura (1); Leonardo de Araujo dos Santos (2); Ricardo Leopoldo e Silva França (3) 
 
Revisor: 
Fernando Rebouças Stucchi (4) 
 
(1) Engenheiro Civil – Sócio da TQS Informática 
 
(2) Engenheiro Civil – Diretor da JNDS Construtora 
 
(3) Engenheiro Civil - Diretor Presidente da França & Associados 
 
(4) Professor Livre-Docente, Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações 
USP, Escola Politécnica 
E-mail: fernando.stucchi@poli.usp.br 
 
 
1. Introdução 
 
Os comentários desta seção visam esclarecer alguns itens relativos ao dimensionamento de 
pilar presentes na NBR 6118:2003, principalmente no que se refere a consideração do 
momento mínimo de primeira ordem (M1d,mín) e a formulação do método do pilar-padrão com 
rigidez κ aproximada. 
 
2. Consideração do momento mínimo de primeira ordem (M1d,mín) 
 
A NBR6118:2003, em seu item 11.3.3.4.3, permite que o efeito das imperfeições geométricas 
locais em um lance de pilar seja substituído, em estruturas reticuladas, pela consideração do 
momento mínimo de 1ª ordem, cujo valor é obtido pela seguinte fórmula: 
)03,0015,0.(Sdmín,d1 h NM += 
sendo: 
NSd a força normal solicitante com o seu valor de cálculo e h a altura da seção na direção 
analisada, em metros. 
No mesmo item, define-se ainda que os efeitos de 2ª ordem, quando calculados, devem ser 
acrescidos a este momento mínimo. 
 
De acordo com o exposto, para um pilar de seção retangular submetido a uma força normal 
NSd, pode-se definir uma envoltória mínima de 1ª ordem, tomada a favor da segurança, pela 
expressão dada na Figura 2.1: 
 
 
 160 
 
 
Figura 2.1 – Envoltória mínima de 1ª. Ordem 
 
Desta forma, a verificação do momento mínimo pode ser considerada atendida quando, no 
dimensionamento adotado, obtém-se uma envoltória resistente que englobe a envoltória 
mínima de 1ª ordem (Figura 2.72). 
 
 
Figura 2.2 – Envoltória resistente aos momentos de 1ª. ordem 
 
Por sua vez, quando há a necessidade de calcular os efeitos locais de 2ª ordem, a verificação 
do momento mínimo pode ser considerada atendida quando, no dimensionamento adotado, 
obtém-se uma envoltória resistente que englobe a envoltória mínima com 2ª ordem, cujos 
momentos totais são calculados a partir dos momentos mínimos de 1ª ordem (Figura 2.3). 
 
 
 
Figura 2.3 – Envoltória resistente aos momentos de 2ª. ordem 
 
A consideração destas envoltórias mínimas pode ser realizada através de duas análises à 
flexão composta normal, calculadas de forma independente dos momentos fletores de 1ª 
ordem atuantes nos extremos do pilar, como mostra a Figura 2.4. 
 
 161 
 
 
Figura 2.4 – Modelo de cálculo para consideração das envoltórias mínimas 
 
3. Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada – Formulação para cálculo direto 
sem a necessidade de iterações 
 
A NBR6118:2003, em seu item 15.8.3.3.3, permite que o método do pilar-padrão com rigidez κ 
aproximada seja adotado na análise de pilares retangulares com λ = 90, com armadura 
simétrica e constante ao longo de seu eixo. 
 
Segundo a formulação apresentada, o cálculo do momento total máximo MSd,tot deve ser 
realizado de forma iterativa em função da rigidez adimensional κ, de acordo com as seguintes 
fórmulas: 
 
 
/ 
M 
M
νκ
λ
−
α
=
120
1
2
d,A1Sb
tot,Sd (1) 
 
ν







+=κ 
N h
M
32 
S
d
d,tot 5 1 (2) 
 
Substituindo a equação (2) em (1) e considerando MS1d = αb MS1d,A , obtém-se: 
( ) 0 CB.M MA. =++ tot,Sd2tot,Sd , onde: 






−=
−−=
=
d1S
2
Sd
d1S
2
eSd
Sd
.
5
320
.
5
.MhN C
h.M
IN
h.NB
hA
 
 
A
A.CBB
M
.2
.42
tot,Sd
−+−
= 
 
sendo: 
 
h a altura da seção na direção analisada; 
le o comprimento equivalente do lance do pilar; 
NSd a força normal solicitante com seu valor de cálculo; 
MS1d o momento solicitante de 1ª ordem na seção considerada com o seu valor de cálculo. 
 
Trata-se de uma formulação que possibilita o cálculo direto sem a necessidade de iterações, 
cujo resultado deve ser idêntico ao obtido pelo processo iterativo. 
 162 
4. Exemplos 
 
4.1 Informações sobre os exemplos 
 
A seguir, uma série de exemplos serão resolvidos. Em todos eles, a geometria da seção 
transversal, o comprimento equivalente, a resistência característica à compressão do concreto 
e a força normal de cálculo atuante no pilar serão constantes, de tal forma que é possível fazer 
as seguintes considerações iniciais: 
 
Figura 4.1.1 – Dados gerais 
 
b = 20 cm e h = 60 cm 
 
3,17
60
300
.12
h
.12 ex ===λ
l
 
0,52
20
300
.12
b
.12 ey ===λ
l
 
• Segundo 13.2.3 da norma, o coeficiente adicional γn=1,0. 
• Segundo 15.8.3.3.3, pode-se adotar o método do pilar-padrão com rigidez κ 
aproximada. 
• Segundo 15.8.3.1, não é necessário considerar a fluência. 
 
Serão analisados 12 exemplos com diferentes formas de diagrama de momento fletor, sendo 
nove exemplos de análise à flexão composta normal (FCN) e três exemplos de análise à flexão 
composta oblíqua (FCO), agrupados da seguinte forma (Figuras 4.1.2 a 4.1.5): 
 
Nota – Em todos os exemplos, os momentos fletores seguem a notação vetorial. 
 
 
 Figura 4.1.2 – Exemplos de análise à flexão composta normal (itens 4.3 a 4.5) 
 163 
 
 
 Figura 4.1.3 – Exemplos de análise à flexão composta normal (itens 4.6 a 4.8) 
 
 
 Figura 4.1.4 – Exemplos de análise à flexão composta normal (itens 4.9 a 4.11) 
 
 164 
 
Figura 4.1.5 – Exemplos de análise à flexão composta oblíqua (itens 4.12 a 4.14) 
 
4.2 Verificação do momento mínimo de 1ª ordem 
 
Como a geometria do pilar e a força normal são constantes em todos exemplos que serão 
analisados, a verificação do momento mínimo de 1ª ordem pode ser previamente realizada, 
pois independe dos momentos fletores a que o pilar estará submetido. São duas análises à 
flexão composta normal.A. Flexão normal com atuação de M1dx,mín 
 
m.kN3,69m.tf93,6)6,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210mín,dx1 hM ==+=+= 
 
0,1bx =α 
0,35357,25
0,1
6,0
210/93,6
.5,1225
/
.5,1225.5,1225
x1
bx
Sdmín,dx1
bx
mín,x1
x1 =λ⇒<=





+
=
α






+
=
α






+
=λ
h
NM
h
e
 
Como 0,353,17 x1x =λ<=λ , não é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. 
 
B. Flexão normal com atuação de M1dy,mín 
 
M1dy,min = 210 (0,015+0,03b) = 210 (0,015+0,03.0,2 = 4,41 tf.m = 44,1 kN.m 
 
0,1by =α 
 165 
0,35353,26
0,1
2,0
210/41,4
.5,1225
/
.5,1225.5,1225
y1
by
Sdmín,dx1
by
mín,y1
y1 =λ⇒<=





+
=
α






+
=
α






+
=λ
b
NM
b
e
 
Como 0,350,52 y1y =λ>=λ , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. 
 
Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada, tem-se: 
 
kN.m MM 1,44m.tf41,4mín,dy1d1S === 
 
0,12,0.5.5 === bA 
9,141,4.2,0.5
320
3.210
210.2,0..5
320
.
.
2
2
d1S
2
eSd
Sd
2 −=−−=−−= Mb
lN
NbB 
0,3741,4.2,0.210..C 2d1S
2
Sd −=−=−= MbN 
kN.m 
A
A.CBB
M 2,71m.tf12,7
0,1.2
0,37.0,1.49,19,1
.2
.4 22
tot,Sdy ==
−−−+
=
−+−
= 
Conferindo a convergência segundo as fórmulas de 15.8.3.3.3: 
817,0
4,1
3000
.6,0.2,0
210
cd
Sd ===ν
b.h.f
N
 
3,48817,0.
210.2,0
12,7
.51.32.51.32
sd
tot,sdy
y =





+=ν







+=κ .
b.N
M
 
!OK1,7
817,0/3,48.120
0,52
1
41,4
/.120
1
2
y
2
y
d1S
tot,Sdy ⇒=
−
=
νκ
λ
−
=
M
M 
 
C. Esforços mínimos para dimensionamento 
 
A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência (NRd, 
MRdx, MRdy) atenda as condições mínimas de solicitação listadas a seguir. Os valores dos 
esforços adimensionais ),,( yx µµν calculados podem ser utilizados em ábacos para o 
dimensionamento desta armadura. 
 
C.1 Flexão normal com atuação de M1dx,mín 
 
NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 
 
MSdx = M1dx, min = 6,93 tf.m = 69,3 kN.m 0449,0
4,1
3000
.6,0.2,0
93,6
. 2cd
2
Sdx
x ===µ⇒
fb.h
M
 
MSdy = 0,0 tf.m = 0,0 kN.m 0,0
4,1
3000
.6,0.2,0
0,0
. 2cd
2
Sdy
y ===µ⇒
fb.h
M
 
C.2 Flexão normal com atuação de M1dy,mín 
 
NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 
 
MSdx = 0,0 tf.m = 0,0 kN.m 0,0x =µ⇒ 
 
MSdy = 7,12 tf.m = 71,2 kN.m 1384,0y =µ⇒ 
 166 
 
D. Envoltórias mínimas 
 
De acordo com os esforços calculados anteriormente, as seguintes envoltórias mínimas ficam 
então definidas (Figura 4.2): 
 
 
 
Figura 4.2 – Envoltórias mínimas 
 
4.3 Exemplo FCN-1a 
 
 
 
Figura 4.3 – Pilar submetido à flexão composta normal com MS1d,A < M1d,mín 
 
m.kN35m.tf5,3A,d1S M == 
m.kN35m.tf5,3B,d1S M −=−= 
m.kN1,44m.tf41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210mín,d1 bM ==+=+= 
 
Como mín,d1A,d1S MM < , a armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que 
a sua resistência ),,( RdyRdxRd MMN atenda os esforços mínimos calculados anteriormente 
durante a verificação do momento mínimo de 1ª ordem. 
 
 
 
 
 
 167 
4.4 Exemplo FCN-1b 
 
 
 
Figura 4.4 – Pilar submetido à flexão composta normal com MS1d,A < M1d,mín 
 
m.kN35m.tf5,3A,d1S M == 
m.kN0m.tf0,0B,d1S M == 
m.kN1,44m.tf41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210mín,d1 bM ==+=+= 
 
Como mín,d1A,d1S MM < , a armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que 
a sua resistência ),,( RdyRdxRd MMN atenda os esforços mínimos calculados anteriormente 
durante a verificação do momento mínimo de 1ª ordem. 
 
4.5 Exemplo FCN-1c 
 
 
 
Figura 4.5 – Pilar submetido à flexão composta normal com MS1d,A < M1d,mín 
 
m.kN35m.tf5,3A,d1S M == 
m.kN35m.tf5,3B,d1S M == 
m.kN1,44m.tf41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210mín,d1 bM ==+=+= 
 
Como mín,d1A,d1S MM < , a armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que 
a sua resistência ),,( RdyRdxRd MMN atenda os esforços mínimos calculados anteriormente 
durante a verificação do momento mínimo de 1ª ordem. 
 
 
 
 
 168 
4.6 Exemplo FCN-2a 
 
 
 
Figura 4.6 – Pilar submetido à flexão composta normal com MS1d,A > M1d,mín 
 
A. Cálculos iniciais 
 
m.kN100m.tf10A,d1S M == 
m.kN35m.tf5,3B,d1S M −=−= 
m.kN1,44m.tf41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210mín,d1 bM ==+=+= 
Como mín,d1A,d1S MM > : 46,010
5,3
.4,06,0.4,06,0
A,d1S
B,d1S
b =
−
+=+=α
M
M
 
8,60
46,0
2,0
210/10
.5,1225
/
.5,1225.5,1225
b
SdA,d1S
b
1
1 =





+
=
α






+
=
α






+
=λ
b
NM
b
e
 
 
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem 
 
Como 9,690,52 1 =λ<=λ , não é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. 
 
C. Esforços finais para dimensionamento 
 
A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência 
),,( RdyRdxRd MMN atenda as condições de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços 
adimensionais ),( µν apresentados podem ser utilizados em ábacos para o dimensionamento 
desta armadura. 
 
C.1 Esforços mínimos 
 
São os mesmos esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do 
momento mínimo de 1ª ordem. 
 
C.2 Flexão normal no topo do pilar 
 
NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 
MSd = 3,5 tf.m = 35 kN.m ⇒ 0681,0=µ⇒ 
 
C.3 Flexão normal na base do pilar 
 
NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 
MSd = -10,0 tf.m = -100 kN.m ⇒ 1944,0−=µ⇒ 
 
 169 
4.7 Exemplo FCN-2b 
 
 
 
Figura 4.7 – Pilar submetido à flexão composta normal com MS1d,A > M1d,mín 
 
A. Cálculos iniciais 
 
m.kN100m.tf10A,d1S M == 
m.kN0m.tf0,0B,d1S M == 
m.kN1,44m.tf41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210mín,d1 bM ==+=+= 
Como mín,d1A,d1S MM > : 6,010
0
.4,06,0.4,06,0
A,d1S
B,d1S
b =+=+=α M
M
 
6,46
6,0
2,0
210/10
.5,1225
/
.5,1225.5,1225
b
SdA,d1S
b
1
1 =






+
=
α






+
=
α






+
=λ
b
NM
b
e
 
 
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem 
 
Como 6,460,52 1 =>= λλ , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. 
Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada, tem-se: 
MS1d = αb .MS1d,A = 0,6.10,0 = 6,0 tf.m = 60 kN.m 
A = 5b = 5.0,2 = 1,0 
5,30,6.2,0.5
320
3.210
210.2,0..5
320
.
.
2
2
d1S
2
eSd
Sd
2 −=−−=−−= Mb
lN
NbB 
4,500,6.2,0.210.. 2d1S
2
Sd −=−=−= MbNC 
m.kN7,90m.tf07,9
0,1.2
4,50.0,1.45,35,3
.2
.4 22
tot,Sd A
A.CBB
M ==
−−−+
=
−+−
= 
 
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3: 
 
4,54817,0.
210.2,0
07,9
.51.32..51.32
Sd
tot,Sd =





+=ν





+=κ
b.N
M
 
!OK1,9
817,0/4,54.120
0,52
1
0,6
/.120
1
22
d1S
tot,Sd ⇒=
−
=
νκ
λ
−
=
M
M 
 
 170 
C. Esforços finais para dimensionamento 
 
A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência 
),,( RdyRdxRd MMN atenda as condições de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços 
adimensionais ),( µν apresentados podem ser utilizados em ábacos para o dimensionamento 
desta armadura. 
 
C.1 Esforços mínimos 
 
São os mesmos esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do 
momento mínimo de 1ª ordem. 
 
C.2 Flexão normal no topo do pilar 
 
NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 
MSd = 0,0 tf.m = 0 kN.m ⇒ 0,0=µ⇒ 
 
C.3 Flexão normal na base do pilar 
 
NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 
MSd = -10,0 tf.m = -100 kN.m 1944,0−=µ⇒ 
 
C.4 Flexão normal entre o topo e a base do pilar 
 
NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 
MSd = -9,07 tf.m = -90,7 kN.m 1764,0−=µ⇒ 
 
 171 
4.8 Exemplo FCN-2c 
 
 
 
Figura 4.8 – Pilar submetido à flexão composta normal com MS1d,A > M1d,mín 
 
A. Cálculos iniciais 
m.kN100m.tf10A,d1S M == 
m.kN70m.tf0,7B,d1S M == 
m.kN1,44m.tf41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210mín,d1 bM ==+=+= 
Como mín,d1A,d1S MM > : 88,010
7
.4,06,0.4,06,0
A,d1S
B,d1S
b =+=+=α M
M
 
0,35358,31
88,0
2,0
210/10
.5,1225
/
.5,1225.5,1225
1
b
SdA,d1S
b
1
1 =λ⇒<=





+
=
α






+
=
α






+
=λ
b
NM
b
e
 
 
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ªordem 
Como 0,350,52 1 =λ>=λ , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. 
Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada, tem-se: 
MS1d = αb .MS1d,A = 0,88.10,0 = 8,8 tf.m = 88 kN.m 
A = 5b = 5.0,2 = 1,0 
3,68,8.2,0.5
320
3.210
210.2,0..5
320
.
.
2
2
d1S
2
eSd
Sd
2 −=−−=−−= Mb
lN
NbB 
9,738,8.2,0.210.. 2d1S
2
Sd −=−=−= MbNC 
m.kN123m.tf3,12
0,1.2
9,73.0,1.43,63,6
.2
.4 22
tot,Sd A
A.CBB
M ==
−−−+
=
−+−
= 
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3: 
 172 
5,64817,0.
210.2,0
31,12
.51.32..51.32
Sd
tot,Sd =





+=ν





+=κ
b.N
M
 
!OK3,12
817,0/5,64.120
0,52
1
8,8
/.120
1
22
d1S
tot,Sd ⇒=
−
=
νκ
λ
−
=
M
M 
C. Esforços finais para dimensionamento 
 
A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência 
),,( RdyRdxRd MMN atenda as condições de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços 
adimensionais ),( µν apresentados podem ser utilizados em ábacos para o dimensionamento 
desta armadura. 
 
C.1 Esforços mínimos 
 
São os mesmos esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do 
momento mínimo de 1ª ordem. 
 
C.2 Flexão normal no topo do pilar 
NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 
MSd = -7,0 tf.m = -70 kN.m ⇒ 1361,0−=µ⇒ 
C.3 Flexão normal na base do pilar 
NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 
MSd = -10,0 tf.m = -100 kN.m 1944,0−=µ⇒ 
C.4 Flexão normal entre o topo e a base do pilar 
NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 
MSd = -12,31 tf.m = -123,1 kN.m 2394,0−=µ⇒ 
 
 
 
 
 173 
4.9 Exemplo FCN-3a 
 
 
Figura 4.9 – Pilar submetido à flexão composta normal com αb.MS1d,A < M1d,mín 
 
A. Cálculos iniciais 
MS1d,A = 4,5 tf.m = 45 kN.m 
MS1d,B = – 4,0 tf.m = – 40 kN.m 
MS1d,min = 210 (0,015 +0,03b)= 210 (0,015+0,03.02) = 4,41 tf.m = 44,1 kN.m 
Como MS1d,A > MS1d,mun: 4,04,024,0
5,4
4
.4,06,0.4,06,0 b
A,d1S
B,d1S
b =α⇒<=
−
+=+=α
M
M
 
9,65
4,0
2,0
210/5,4
.5,1225
/
.5,1225.5,1225
b
SdA,d1S
b
1
1 =





+
=
α






+
=
α






+
=λ
b
NM
b
e
 
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem 
Como 9,650,52 1 =λ<=λ , não é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. 
C. Esforços finais para dimensionamento 
A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência 
),,( RdyRdxRd MMN atenda as condições de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços 
adimensionais ),( µν apresentados podem ser utilizados em ábacos para o dimensionamento 
desta armadura. 
C.1 Esforços mínimos 
São os mesmos esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do 
momento mínimo de 1ª ordem. 
C.2 Flexão normal no topo do pilar 
MS1d,A = 4,5 tf.m = 45 kN.m 
NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m 817,0=ν⇒ 
MSd = 4,0 tf.m = 40 kN.m 0778,0=µ⇒ 
C.3 Flexão normal na base do pilar 
NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m 817,0=ν⇒ 
MSd = – 4,5 tf.m = – 45 kN.m 0875,0−=µ⇒ 
 174 
4.10 Exemplo FCN-3b 
 
 
Figura 4.10 – Pilar submetido à flexão composta normal com αb MS1d,A < M1d,mín 
 
A. Cálculos iniciais 
 
MS1d,A = 4,5 tf.m = 45 kN.m 
 
MS1d,B = 0,0 tf.m = 0 kN.m 
 
MS1d,min = 210 (0,015 +0,03b)= 210 (0,015+0,03.02) = 4,41 tf.m = 44,1 kN.m 
 
Como MS1d,A > MS1d,mun: 6,0
5,4
0
.4,06,0.4,06,0
A,d1S
B,d1S
b =+=+=α M
M
 
9,43
6,0
2,0
210/5,4
.5,1225
/
.5,1225.5,1225
b
SdA,d1S
b
1
1 =





+
=
α






+
=
α






+
=λ
b
NM
b
e
 
 
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem 
 
Como 9,430,52 1 =λ>=λ , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. 
 
Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada, tem-se: 
MS1d = αb MS1d,A = 0,6.4,5 = 2,7 tf.m = 27,0 kN.m 
A = 5b = 5.0,2 = 1,0 
2,07,2.2,0.5
320
3.210
210.2,0.5
320
.
.B
2
2
d1S
2
eSd
Sd
2 −=−−=−−= b.M
lN
Nb 
7,227,2.2,0.210.b.C 2d1S
2
Sd −=−=−= MN 
m.kN7,48m.tf87,4
0,1.2
7,22.0,1.42,02,0
.2
.4 22
tot,Sd A
A.CBB
M ==
−−−+
=
−+−
= 
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3: 
 
3,41817,0.
210.2,0
87,4
.51.32..51.32
Sd
tot,Sd =





+=ν





+=κ
b.N
M
 
 175 
!OK9,4
817,0/3,41.120
0,52
1
7,2
/.120
1
22
d1S
tot,Sd ⇒=
−
=
νκ
λ
−
=
M
M 
 
C. Esforços finais para dimensionamento 
 
A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência 
),,( RdyRdxRd MMN atenda as condições de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços 
adimensionais ),( µν apresentados podem ser utilizados em ábacos para o dimensionamento 
desta armadura. 
 
C.1 Esforços mínimos 
 
São os mesmos esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do 
momento mínimo de 1ª ordem. 
 
C.2 Flexão normal no topo do pilar 
NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m 817,0=ν⇒ 
MSd = 0,0 tf.m = 0 kN.m 0,0=µ⇒ 
C.3 Flexão normal na base do pilar 
NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m 817,0=ν⇒ 
MSd = – 4,5 tf.m = – 45 kN.m 0875,0−=µ⇒ 
C.4 Flexão normal entre o topo e a base do pilar 
NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m 817,0=ν⇒ 
MSd = – 4,8 tf.m = – 48 kN.m 0947,0−=µ⇒ 
 
 
 176 
4.11 Exemplo FCN-3c 
 
 
Figura 4.11 – Pilar submetido à flexão composta normal com αb MS1d,A < M1d,mín 
 
A. Cálculos iniciais 
MS1d,A = 4,5 tf.m = 45 kN.m 
MS1d,B = 4,0 tf.m = 40 kN.m 
MS1d,min = 210 (0,015 +0,03b)= 210 (0,015+0,03.02) = 4,41 tf.m = 44,1 kN.m 
Como MS1d,A > MS1d,mun: 96,0
5,4
4
.4,06,0.4,06,0
A,d1S
B,d1S
b =+=+=α M
M
 
0,35356,27
96,0
2,0
210/5,4
.5,1225
/
.5,1225.5,1225
1
b
SdA,d1S
b
1
1 =λ⇒<=





+
=
α






+
=
α






+
=λ
b
NM
b
e
 
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem 
 
Como 0,350,52 1 =λ>=λ , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. 
 
Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada, tem-se: 
MS1d = αb MS1d,A = 0,96.4,5 = 4,3 tf.m = 43,0 kN.m 
A = 5b = 5.0,2 = 1,0 
8,13,4.2,0.5
320
3.210
210.2,0.5
320
.
.B
2
2
d1S
2
eSd
Sd
2 −=−−=−−= b.M
lN
Nb 
1,363,4.2,0.210.b. 2d1S
2
Sd −=−=−= MNC 
m.kN8,69m.tf98,6
0,1.2
1,360,1.48,18,1
.2
.4 22
tot,Sd A
A.CBB
M ==
−−−+
=
−+−
= 
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3: 
 
 177 
9,47817,0.
210.2,0
98,6
.51.32..51.32
Sd
tot,Sd =





+=ν





+=κ
b.N
M
 
!OK0,7
817,0/9,47.120
0,52
1
3,4
/.120
1
22
d1S
tot,Sd ⇒=
−
=
νκ
λ
−
=
M
M 
 
C. Esforços finais para dimensionamento 
 
A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência 
),,( RdyRdxRd MMN atenda as condições de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços 
adimensionais ),( µν apresentados podem ser utilizados em ábacos para o dimensionamento 
desta armadura. 
 
C.1 Esforços mínimos 
 
São os mesmos esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do 
momento mínimo de 1ª ordem. 
 
C.2 Flexão normal no topo do pilar 
NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m 817,0=ν⇒ 
MSd = – 4,0 tf.m = – 40 kN.m 0778,0−=µ⇒ 
C.3 Flexão normal na base do pilar 
NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m 817,0=ν⇒ 
MSd = – 4,5 tf.m = – 45 kN.m 0875,0−=µ⇒ 
C.4 Flexão normal entre o topo e a base do pilar 
NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m 817,0=ν⇒ 
MSd = – 6,98 tf.m = – 69,8 kN.m 1357,0−=µ⇒ 
 178 
4.12 Exemplo FCO-1a 
 
 
Figura 4.12.1 – Dimensionamento de pilar submetido à flexão composta oblíqua 
 
A. Cálculos iniciais 
 
A.1 Cálculo em x 
MS1dx,A = 7,0 tf.m = 70 kN.m 
MS1dx,B = – 4,0 tf.m = – 40 kN.m 
M1dx,min = 210 (0,015+0,3h) = 210 (0,015+0,3.0,6) = 6,93 tf.m = 69,3 kN.m 
Como mín,dx1A,dx1S MM > : 4,04,037,07
4
.4,06,0.4,06,0 bx
A,dx1S
B,dx1S
bx =α⇒<=
−
+=+=α
M
M
 
2,64
4,0
6,0
210/7
.5,1225
/
.5,1225.5,1225
bx
SdA,dx1S
bx
x1
x1 =





+
=
α






+
=
α






+
=λ
h
NM
h
e
 
 
A.2 Cálculo em y 
MS1dy,A = 6,0 tf.m = 60 kN.m 
MS1dy,B = – 5,0 tf.m = – 50 kN.m 
M1dy,min = 210 (0,015 +0,03b)= 210 (0,015+0,03.02) = 4,41 tf.m = 44,1kN.m 
 
Como mín,dy1A,dy1S MM > : 4,04,027,06
5
.4,06,0.4,06,0 by
A,dy1S
B,dy1S
by =α⇒<=
−
+=+=α
M
M
 
0,67
4,0
2,0
210/6
.5,1225
/
.5,1225.5,1225
by
SdA,dy1S
by
y1
y1 =





+
=
α








+
=
α








+
=λ
b
NM
b
e
 
 
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem 
 
Como 2,643,17 x1x =λ<=λ e 0,670,52 y1y =λ<=λ , não é necessário calcular os efeitos locais 
de 2ª ordem em nenhuma das direções. 
 
C. Esforços finais para dimensionamento 
 
A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência 
),,( RdyRdxRd MMN atenda as condições de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços 
adimensionais ),,( yx µµν apresentados podem ser utilizados em ábacos para o 
dimensionamento desta armadura. 
 
 179 
C.1 Esforços mínimos 
 
São os mesmos esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do 
momento mínimo de 1ª ordem. 
 
C.2 Flexão oblíqua no topo do pilar 
NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m 817,0=ν⇒ 
MSdx = 7,0 tf.m = 70 kN.m 0454,0x =µ⇒ 
MSdy = 5,0 tf.m = 50 kN.m 0972,0y =µ⇒ 
C.3 Flexão oblíqua na base do pilar 
NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m 817,0=ν⇒ 
MSdx = – 4,0 tf.m = – 40 kN.m 0259,0x −=µ⇒ 
MSdy = – 6,0 tf.m = – 60 kN.m 1167,0y −=µ⇒ 
D. Dimensionamento de armadura 
Considerando um cobrimento igual a 30 mm e uma armadura transversal com diâmetro de 6,3 
mm, obtém-se uma possível configuração de armadura longitudinal composta por 10 barras de 
20 mm (As = 31,4cm2), aço CA50, na qual todas as condições de solicitação são atendidas, 
conforme mostra Figura 4.12.2: 
 
Figura 4.12.2 – Atendimento às solicitações 
 
 180 
Utilizando um Método Geral, no qual considera-se a relação momento-curvatura real em 
diversas seções ao longo do pilar e a não-linearidade geométrica de forma não aproximada, 
obtém-se a seguinte resposta: 
 
 
 
Figura 4.12.3 – Resposta – Método Geral 
 
 181 
4.13 Exemplo FCO-1b 
 
 
Figura 4.13.1 – Dimensionamento de pilar submetido à flexão composta oblíqua 
 
A. Cálculos iniciais 
 
A.1 Cálculo em x 
MS1dx,A = 7,0 tf.m = 70 kN.m 
MS1dx,B = – 4,0 tf.m = – 40 kN.m 
M1dx,min = 210 (0,015+0,3h) = 210 (0,015+0,3.0,6) = 6,93 tf.m = 69,3 kN.m 
Como mín,dx1A,dx1S MM > : 4,04,037,07
4
.4,06,0.4,06,0 bx
A,dx1S
B,dx1S
bx =α⇒<=
−
+=+=α
M
M
 
2,64
4,0
6,0
210/7
.5,1225
/
.5,1225.5,1225
bx
SdA,dx1S
bx
x1
x1 =





+
=
α






+
=
α






+
=λ
h
NM
h
e
 
 
A.2 Cálculo em y 
MS1dy,A = 6,0 tf.m = 60 kN.m 
MS1dy,B = 0,0 tf.m = 0 kN.m 
M1dy,min = 210 (0,015 +0,03b)= 210 (0,015+0,03.02) = 4,41 tf.m = 44,1 kN.m 
Como mín,dy1A,dy1S MM > : 6,06
0
.4,06,0.4,06,0
A,dy1S
B,dy1S
by =+=+=α M
M
 
6,44
6,0
2,0
210/6
.5,1225
/
.5,1225.5,1225
by
SdA,dy1S
by
y1
y1 =





+
=
α








+
=
α








+
=λ
b
NM
b
e
 
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem 
 
Embora o índice de esbeltez limite tenha sido ultrapassado apenas em uma direção, isto é, 
2,643,17 x1x =λ<=λ e 6,440,52 y1y =λ>=λ , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª 
ordem tanto em x como em y. 
 
B.1 Flexão oblíqua entre o topo e a base do pilar 
 
a) Cálculo em x 
 
Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada, tem-se: 
 182 
m.kN28m.tf8,20,7.4,0A,dx1Sbxdx1S M M ===α= 
0,36,0.55 === h A 
3,618,2.6,0.5
320
3.210
210.6,0.5
320
.
.B
2
2
dx1S
2
eSd
Sd
2 =−−=−−= h.M
lN
Nh 
7,2118,2.6,0.210.h. 2dx1S
2
Sd −=−=−= MNC 
m.kN1,30m.tf01,3
0,3.2
7,211.0,3.43,613,61
.2
.4 22
tot,Sdx A
A.CBB
M ==
−−+−
=
−+−
= 
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3: 
3,29817,0.
210.6,0
01,3
.51.32.51.32
Sd
tot,Sdx
x =





+=ν





+=κ .
h.N
M
 
!OK0,3
817,0/3,29.120
3,17
1
8,2
/.120
1
2
x
2
x
dx1S
tot,Sdx ⇒=
−
=
νκ
λ
−
=
M
M 
 
b) Cálculo em y 
m.kN0,36m.tf6,30,6.6,0. A,dy1Sbydy1S MM ===α= 
0,12,0.5.5 === bA 
1,16,3.2,0.5
320
3.210
210.2,0.5
320
l.
.B
2
2
dy1S
2
eSd
Sd
2 −=−−=−−= b.M
N
Nb 
2,306,3.2,0.210.b. 2d1S
2
Sd −=−=−= MNC 
m.kN8,60m.tf08,6
0,1.2
2,300,1.41,11,1
.2
.4 22
tot,Sd A
A.CBB
M ==
−−−+
=
−+−
= 
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3: 
1,45817,0.
210.2,0
08,6
.51.32..51.32
Sd
tot,Sdy
y =





+=ν







+=κ
b.N
M
 
!OK1,6
817,0/1,45.120
0,52
1
6,3
/.120
1
2
y
2
y
dy1S
tot,Sdy ⇒=
−
=
νκ
λ
−
=
M
M 
C. Esforços finais para dimensionamento 
 
A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência 
),,( RdyRdxRd MMN atenda as condições de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços 
adimensionais ),,( yx µµν apresentados podem ser utilizados em ábacos para o 
dimensionamento desta armadura. 
 
C.1 Esforços mínimos 
 
São os mesmos esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do 
momento mínimo de 1ª ordem. 
 183 
C.2 Flexão oblíqua no topo do pilar 
NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m 817,0=ν⇒ 
MSdx = 7,0 tf.m = 70 kN.m 0454,0x =µ⇒ 
MSdy = 0,0 tf.m = 0 kN.m 0,0y =µ⇒ 
C.3 Flexão oblíqua na base do pilar 
NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m 817,0=ν⇒ 
MSdx = – 4,0 tf.m = – 40 kN.m 0259,0x −=µ⇒ 
MSdy = – 6,0 tf.m = – 60 kN.m 1167,0y −=µ⇒ 
C.4 Flexão oblíqua entre o topo e a base do pilar 
NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m 817,0=ν⇒ 
MSdx = 3,01 tf.m = 30,1 kN.m 0195,0x =µ⇒ 
MSdy = – 6,08 tf.m = – 60,8 kN.m 1182,0y −=µ⇒ 
D. Dimensionamento de armadura 
 
Considerando um cobrimento igual a 30 mm e uma armadura transversal com diâmetro de 6,3 
mm, obtém-se uma possível configuração de armadura longitudinal composta por 10 barras de 
20 mm (As = 31,4cm2), aço CA50, na qual todas as condições de solicitação são atendidas, 
conforme mostra a Figura 4.13.2: 
 
 
Figura 4.13.2 – Atendimento às solicitações 
 184 
 
Utilizando um Método Geral, no qual considera-se a relação momento-curvatura real em 
diversas seções ao longo do pilar e a não-linearidade geométrica de forma não aproximada, 
obtém-se a seguinte resposta: 
 
 
 
Figura 4.13.3 – Resposta – Método Geral 
 
 185 
4.14 Exemplo FCO-1c 
 
 
Figura 4.14.1 – Pilar submetido à flexão composta oblíqua 
 
A. Cálculos iniciais 
 
A.1 Cálculo em x 
MS1dx,A = 7,0 tf.m = 70 kN.m 
MS1dx,B = – 4,0 tf.m = – 40 kN.m 
M1dx,min = 210 (0,015+0,3h) = 210 (0,015+0,3.0,6) = 6,93 tf.m = 69,3 kN.m 
Como mín,dx1A,dx1S MM > : 4,04,037,07
4
.4,06,0.4,06,0 bx
A,dx1S
B,dx1S
bx =α⇒<=
−
+=+=α
M
M
 
2,64
4,0
6,0
210/7
.5,1225
/
.5,1225.5,1225
bx
SdA,dx1S
bx
x1
x1 =





+
=
α






+
=
α






+
=λ
h
NM
h
e
 
 
A.2 Cálculo em y 
MS1dy,A = 6,0 tf.m = 60 kN.m 
MS1dy,B = 5,0 tf.m = 50 kN.m 
kN.m1,44m.tf41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210mín,dy1 bM ==+=+= 
Como mín,dy1A,dy1S MM > : 93,06
5
.4,06,0.4,06,0
A,dy1S
B,dy1S
by =+=+=α M
M
 
0,35358,28
93,0
2,0
210/6
.5,1225
/
.5,1225.5,1225
y1
by
SdA,dy1S
by
y1
y1 =λ⇒<=





+
=
α








+
=
α








+
=λ
b
NM
b
e
 
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem 
 
Embora o índice de esbeltez limite tenha sido ultrapassado apenas em uma direção, isto é, 
2,643,17 x1x =λ<=λ e 0,350,52 y1y =λ>=λ , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª 
ordem tanto em x como em y. 
 
B.1 Flexão oblíqua entre o topo e a base do pilar 
 
a) Cálculo em x 
 
Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada, tem-se: 
 186 
m.kN28m.tf8,20,7.4,0A,dx1Sbxdx1S M M ===α= 
0,36,0.55 === h A 
3,618,2.6,0.5
320
3.210
210.6,0.5
320
.
.B
2
2
dx1S
2
eSd
Sd
2 =−−=−−= h.M
lN
Nh 
7,2118,2.6,0.210.h. 2dx1S
2
Sd −=−=−= MNC 
m.kN1,30m.tf01,3
0,3.2
7,211.0,3.43,613,61
.2
.4 22
tot,Sdx A
A.CBB
M ==
−−+−
=
−+−
= 
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3: 
3,29817,0.
210.6,0
01,3
.51.32.51.32
Sd
tot,Sdx
x =





+=ν





+=κ .
h.N
M
 
!OK0,3
817,0/3,29.120
3,171
8,2
/.120
1
2
x
2
x
dx1S
tot,Sdx ⇒=
−
=
νκ
λ
−
=
M
M 
b) Cálculo em y 
m.kN0,56m.tf6,50,6.93,0. A,dy1Sbydy1S MM ===α= 
0,12,0.5.5 === bA 
1,36,5.2,0.5
320
3.210
210.2,0.5
320
.
.B
2
2
dy1S
2
eSd
Sd
2 −=−−=−−= b.M
lN
Nb 
0,476,5.2,0.210.. 2d1S
2
Sd −=−=−= MbNC 
m.kN9,85m.tf59,8
0,1.2
0,470,1.41,31,3
.2
.4 22
tot,Sdy A
A.CBB
M ==
−−−+
=
−+−
= 
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3: 
9,52817,0.
210.2,0
59,8
.51.32..51.32
Sd
tot,Sdy
y =





+=ν







+=κ
b.N
M
 
!OK6,8
817,0/9,52.120
0,52
1
6,5
/.120
1
2
y
2
y
dy1S
tot,Sdy ⇒=
−
=
νκ
λ
−
=
M
M 
 
C. Esforços finais para dimensionamento 
 
A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência 
),,( RdyRdxRd MMN atenda as condições de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços 
adimensionais ),,( yx µµν apresentados podem ser utilizados em ábacos para o 
dimensionamento desta armadura. 
 
C.1 Esforços mínimos 
 
São os mesmos esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do 
momento mínimo de 1ª ordem. 
 
 187 
C.2 Flexão oblíqua no topo do pilar 
NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m 817,0=ν⇒ 
MSdx = 7,0 tf.m = 70 kN.m 0454,0x =µ⇒ 
MSdy = – 5,0 tf.m = – 50 kN.m 0972,0y =µ⇒ 
C.3 Flexão oblíqua na base do pilar 
NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m 817,0=ν⇒ 
MSdx = – 4,0 tf.m = – 40 kN.m 0259,0x −=µ⇒ 
MSdy = – 6,0 tf.m = – 60 kN.m 1167,0y −=µ⇒ 
C.5 Flexão oblíqua entre o topo e a base do pilar 
NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m 817,0=ν⇒ 
MSdx = 3,01 tf.m = 30,1 kN.m 0195,0x =µ⇒ 
MSdy = – 8,59 tf.m = – 85,9 kN.m 1670,0y −=µ⇒ 
D. Dimensionamento de armadura 
 
Considerando um cobrimento igual a 30 mm e uma armadura transversal com diâmetro de 6,3 
mm, obtém-se uma possível configuração de armadura longitudinal composta por 14 barras de 
20 mm (As = 44,0cm2), aço CA50, na qual todas as condições de solicitação são atendidas, 
conforme mostra a Figura 4.14.2: 
 
 
 
Figura 4.14.2 – Atendimento às solicitações 
 188 
 
Utilizando um Método Geral, no qual considera-se a relação momento-curvatura real em 
diversas seções ao longo do pilar e a não-linearidade geométrica de forma não aproximada, 
obtém-se a seguinte resposta: 
 
 
 
 
Figura 4.14.3 – Resposta – Método Geral 
 
 189 
5. Exemplo com vários processos para verificação de pilar esbelto, biapoiado, com 
flexão composta obliqua (FCO) 
 
Seja o pilar abaixo submetido à flexão composta oblíqua, e com momentos fletores no topo e 
na base dados a seguir. Deseja-se saber se a segurança é adequada. 
 
 
Figura 5 – Pilar submetido à flexão composta oblíqua 
 
Esta verificação será feita por três processos aproximados diferentes, descritos nos itens 5.4, 
5.5 e 5.6, sendo o mais preciso entre eles, o do item 5.4. 
 
 
5.1 Determinação da capacidade resistente da seção transversal para a força normal 
solicitante NSd = 869kN 
 
Como a armadura e a força normal solicitante são conhecidas, pode-se determinar a 
capacidade resistente à flexão composta isolada segundo a direção x e segundo a direção y. 
 
 
 
Figura 5.1 – Capacidade resistente à flexão composta 
 
Para obter os pares resistentes à flexão composta oblíqua para NRd = NSd = 869kN, pode-se 
adotar o processo aproximado do item 17.2.5.2 da NBR 6118:2003: 
1
2,1
Rdyy
Rdy
2,1
Rdxx
Rdx =







+







M
M
M
M
 (para obter pontos da curva de interação de momentos 
resistentes MRdx e MRdy) 
 190 
Ou em uma verificação, deve-se ter: 
 
1
2,1
Rdyy
Sdy
2,1
Rdxx
Sdx ≤







+







M
M
M
M
 
 
5.2 Cálculo dos valores de rigidez aproximados 
 
Para a análise dos efeitos de segunda ordem pelo modelo mais geral, é necessário conhecer 
as curvaturas x/1 r e y/1 r para cada par solicitante ao longo do pilar, e isto só pode ser feito de 
maneira factível por computador. 
 
É possível, no entanto, adotar valores de rigidez aproximados para cada direção a partir das 
expressões dadas nos itens 15.3.1 e 15.8.3.3.3 da NBR 118:2003: 
 
cd
3
xy
x
x
totx
xx .51..32
faa
EI
a
e
=





+ν≅κ 
cd
3
yx
y
y
toty
yy .51..32
faa
EI
a
e
=







+ν≅κ 
 
Estas expressões foram deduzidas a partir dos ábacos da tese de doutoramento “Contribuição 
ao estudo dos efeitos de segunda ordem em pilares de concreto armado”, FRANÇA, R.L.S. 
(1991). 
 
Para etotx e etoty, tem-se: 
 
m100,0
869
87
N
e
Sd
Rdxx
totx ===
M
 
m152,0
869
132
N
e
Sd
Rdyy
toty ===
M
 
6,0
4,1
20000
.39,0.26,0
869
.. cdyx
Sd ===ν
faa
N
 
Assim: 
2,56
26,0
100,0
.51.60,0.32xx =




 +≅κ 
6,56
39,0
152,0
.51.60,0.32yy =




 +≅κ 
 
E, portanto, o valor da rigidez aproximado nas direções x e y é dado por: 
 
23
cd
3
xyxxx m.kN54994,1/20000.26,0.39,0.2,56 ==κ= faaEI 
23
cd
3
yxyyy m.kN124664,1/20000.39,0.26,0.6,56 ==κ= faaEI 
 
A rigor, estes valores de rigidez secante EIx e EIy só poderiam ser usados em verificações 
isoladas de flexão composta normal, isto é, só segundo a direção x ou só segundo a direção y. 
Pode-se demonstrar que o erro decorrente do uso destes valores na flexão composta obliqua é 
(para checar se um par solicitante MSdx;MSdy é possível, isto é, 
se a seção resiste adequadamente este esforço) 
 191 
pequeno, podendo-se analisar cada direção isoladamente e compor os momentos obtidos em 
cada seção ao longo do pilar. 
 
5.3 Verificação do momento mínimo de primeira ordem (M1d,mín) 
 
A verificação do momento mínimo de 1ª ordem será realizada de acordo com os comentários 
apresentados logo no início da resolução dos exemplos. São duas análises à flexão composta 
normal. 
 
 
 
Figura 5.3.1 – Verificação do momento mínimo de primeira ordem (M1d,mín) 
 
 
A. Flexão normal com atuação de M1dx,mín 
6,86
26
650
.12.12 ex ===λ h
l
m.kN8,19)26,0.03,0015,0.(869).03,0015,0.(869 xmín,dx1 =+=+= aM 
0,1bx =α 
0,35351,26
0,1
26,0
869/8,19
.5,1225
/
.5,1225.5,1225
x1
bx
x
Sdmín,dx1
bx
x
mín,x1
x1 =λ⇒<=





+
=
α






+
=
α






+
=λ
a
NM
a
e
Como 0,356,86 1 =>= xx λλ , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. 
 
Utilizando o método do pilar-padrão com a rigidez κxx aproximada calculada no item anterior, 
tem-se: 
 
5,59
6,0/2,56.120
6,86
1
8,19
/.120
1
2
xx
2
x
mín,dx1
tot,Sdx =
−
=
νκ
λ
−
=
M
M 
 
B. Flexão normal com atuação de M1dy,mín 
 
7,57
39
650
.12.12
y
e
y ===λ a
l
 
m.kN2,23)39,0.03,0015,0.(869).03,0015,0.(869 ymín,dy1 =+=+= aM 
0,1by =α 
 192 
0,35359,25
0,1
39,0
869/2,23
.5,1225
/
.5,1225.5,1225
y1
by
y
Sdmín,dy1
by
y
mín,y1
y1 =λ⇒<=





+
=
α








+
=
α








+
=λ
a
NM
a
e
Como 0,357,57 y1y =λ>=λ , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. 
 
Utilizando o método do pilar-padrão com a rigidez κyy aproximada calculada no item anterior, 
tem-se: 
 
9,32
6,0/6,56.120
7,57
1
2,23
/.120
1
2
yy
2
y
mín,dy1
tot,Sdy =
−
=
νκ
λ
−
=
M
M 
 
D. Envoltória mínima 
 
A resistência obtida pelo dimensionamento adotado atende a envoltória mínima de esforços. 
 
 
 
Figura 5.3.2 – A envoltória resistente atende a envoltória de esforços solicitantes 
 
 193 
5.4 Processo aproximado de verificação de pilares biapoiados esbeltos com FCO e com 
λx e λy menores que 90, baseado na verificação em quatro seções criticas, com 
valores de rigidez secante aproximados 
 
Este processo consiste na verificação da capacidade portante às trincas solicitantes NSd, MSdx, 
MSdy em 4 seções ao longo da altura do pilar: 
 
- seção do topo, sem 2ª ordem local; 
- seção da base, sem 2ª ordem local; 
- seção C, a 0,4.le da base, com 2ª ordem local; 
- seção D, a 0,6.le da base, com 2ª ordem local. 
 
A. Verificação da capacidade portante no topo e na base do pilar biapoiado 
 
Para determinar se os pares solicitantes do topo e base estão dentro da “curva resistente”, é 
necessárioverificar as seguintes desigualdades: 
 
No topo: MSdx = – 20,0 kN e MSdy = 80,0 kN 
 
!OK172,055,017,0
132
0,80
87
0,20
2,12,1
⇒<=+=






 +
+






 −
 
 
Na base: MSdx = 40,0 kN e MSdy = – 40,0 kN 
 
!OK163,024,039,0
132
0,40
87
0,40
2,12,1
⇒<=+=







+






 −
 
 
Pode-se dizer que a seção está adequada para resistir os esforços no topo e na base. 
 
B. Cálculo aproximado dos momentos de 2ª ordem nas direções x e y 
 
As seções críticas em um pilar biapoiado sem carga transversal são usualmente as seções C e 
D, respectivamente a 0,4.le e 0,6.le da base. Serão estas as seções analisadas. 
 
O cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem nestas seções será feito de maneira aproximada, 
utilizando-se o processo do pilar-padrão com rigidez aproximada e com uma adaptação ao item 
15.8.3.3.3 da NBR 6118:2003. 
 
Denominar-se-á MA, o maior momento fletor no topo ou base, em módulo, e MB, o menor 
momento, com sinal positivo se tracionar na mesma face que MA e negativo em caso contrário. 
 
Deve-se verificar, nas direções x e y, se o diagrama de momento fletor é tal, que o menor 
momento (MB) seja menor que a metade do maior momento (MA), e esteja tracionando o lado 
oposto a este, ou seja, AB .5,0 MM −< . 
 
Esta recomendação equivale a tomar 4,04,06,0
A
B
b ≥+=α M
M
. 
 
Assim, por exemplo, se tivermos em uma direção, os momentos dados a seguir: 
 
 194 
 
 
Figura 5.4.1 – Diagrama de momentos fletores 
 
No problema que está sendo analisado, tem-se: 
 
- na direção x: MAx = + 40 kN.m e MBx = – 20 kN.m 
- na direção y: MAy = + 80 kN.m e MBy = – 40 kNm 
O cálculo de αbx e αby, portanto, é dado por: 
 
( )
40,040,040,0
40
20
.40,060,0 bxbx =α⇒≤=
−
+=α 
( )
40,040,040,0
80
40
.40,060,0 byby =α⇒≤=
−
+=α 
 
Os momentos fletores de 1ª ordem nas seções C e D são calculados a seguir: 
 
 
( )
( )


=−+=+=
=−+=+=
mkNMMM
mkNMMM
TopoxBasexCdx
TopoxBasexDdx
.1620.4,040.6,0.4,0.6,0
.420.6,040.4,0.6,0.4,0
 
( )
( )


=+−=+=
=+−=+=
mkNMMM
mkNMMM
TopoyBaseyCdy
TopoyBaseyDdy
.880.4,040.6,0.4,0.6,0
.3280.6,040.4,0.6,0.4,0
 
 
Figura 5.4.2 – Momentos fletores de 1ª ordem nas seções C e D 
 
Os momentos de 2ª ordem locais, M2x e M2y, serão obtidos de maneira aproximada pelo pilar-
padrão com os valores de rigidez EIx e EIy calculados anteriormente. 
 
ox
x3f
2
ed
ox
x2
..10
.
1
M
EI
N
M
M −
γ
−
≅
l
; sendo Mox o maior valor entre DdxM e CdxM 
 
 195 
oy
y3f
2
ed
oy
y2
..10
.
1
M
EI
N
M
M −
γ
−
≅
l
; sendo Moy o maior valor entre DdyM e CdyM 
 
As duas fórmulas acima representam exatamente as mesmas expressões definidas no item 
15.8.3.3.3 da NBR 6118:2003, porém com a inclusão do coeficiente γf3. Pode-se adotar γf3 = 1,1 
ou γf3 = 1,0. Neste exemplo, será adotado γf3 = 1,0. 
 
Assim sendo: 
 
Mox = máx (4; 16) = 16 kN.m 
Moy = max (32; 8) = 32 kN.m 
 
m.kN2,3216
5499.0,1.10
5,6.869
1
16
2x2
=−
−
≅M 
m.kN4,1332
12466.0,1.10
5,6.869
1
32
2y2
=−
−
≅M 
 
Os momentos totais (1ª + 2ª ordem) nas seções C e D serão dados por: 
 
Na seção C: 
 
m.kN2,482,320,16x2Cdxtotx,Cd =+=+= MMM 
m.kN4,214,130,8y2Cdytoty,Cd =+=+= MMM 
 
Verificação da capacidade resistente: !OK161,0
132
4,21
87
2,48 2,12,1
⇒<=



+



 
 
Na seção D: 
 
m.kN2,362,320,4x2Ddxtotx,Dd =+=+= MMM 
m.kN4,454,130,32y2Ddytoty,Dd =+=+= MMM 
 
Verificação da capacidade resistente: !OK163,0
132
4,45
87
2,36 2,12,1
⇒<=




+





 
 
Pode-se dizer que o pilar está adequado a este conjunto de esforços (seções C e D). 
 
Se o problema fosse de dimensionamento da armadura, este poderia ser feito por tentativas, 
arbitrando-se em cada passo a armadura total As,tot e seu arranjo, seguindo-se seqüência de 
verificação análoga. 
 
É interessante a visualização destes esforços solicitantes ao longo do pilar, e a comparação 
com a curva que define a capacidade resistente da seção para a força normal solicitante dada, 
conforme mostra a figura a seguir. 
 
 196 
 
 
Figura 5.4.3 – Esforços solicitantes ao longo do pilar e capacidade resistente da seção 
 
 197 
5.5 Processo aproximado de verificação de pilares biapoiados esbeltos com FCO e com 
λx e λy menores que 90, baseado na verificação em três seções criticas, com os 
valores de rigidez secante aproximados e processo do pilar-padrão 
 
Este processo é mais simplificado e menos preciso que o anterior, e consiste na verificação de 
uma só seção central, além do topo e da base do pilar. 
 
Esta seção central tem seus momentos solicitantes dados por: 
 
νκ
λ
−
⋅α=
/.120
1
1
x
2
x
Axbxtot,Exd MM 
νκ
λ
−
⋅α=
/.120
1
1
y
2
y
Aybytot,Eyd MM 
Sendo: 
 
MAx o maior momento entre Topo,xdM e Base,xdM 
MAy o maior momento entre Topo,ydM e Base,ydM 
 
x
e
x .12 a
l
=λ ; 
y
e
y 12 a
l
⋅=λ ; 
cdyx
Sd
.. faa
N
=ν e κx e κy avaliados como no exemplo anterior. 
40,0.40,060,0
Ax
Bx
bx ≥+=α M
M
 e 40,0.40,060,0
Ay
By
by ≥+=α M
M
 
 
A verificação especificada na norma de MExd,tot > MAxd e MEyd,tot > MAyd, não será feita, pois os 
momentos no topo e na base serão verificados diretamente. 
 
Assim, no problema em questão, tem-se: 
 
( ) m.kN4040;20máxAx =+−=M e m.kN20Bx −=M 
 
( ) m.kN8040;80máxAy =−+=M e m.kN40By −=M 
 
( )
40,0
40
20
.40,060,0bx =
−
+=α e 2,56xxx =κ=κ (ver item 2) 
 
( )
40,0
80
40
.40,060,0by =
−
+=α e 6,56yyy =κ=κ (ver item 2) 
 
Logo, tem-se: 
 
m.kN1,48
6,0/2,56.120
6,86
1
1
40.40,0
2tot,Exd
=
−
=M 
m.kN3,45
6,0/6,56.120
7,57
1
1
80.40,0
2tot,Eyd
=
−
=M 
 198 
 
Como se pode notar, este processo é semelhante ao do item 5.4 e considera os maiores 
momentos entre as seções C e D para a seção fictícia E. 
 
A verificação da capacidade resistente nas três seções críticas se faz como exposto no item 
5.1: 
 
No topo: MSdx = – 20,0 kN e MSdy = 80,0 kN 
 
!OK172,055,017,0
132
0,80
87
0,20
2,12,1
⇒<=+=






 +
+






 −
 
 
No meio: MExd,tot = 48,1 kN e MEyd,tot = 45,3 kN 
 
!OK177,028,049,0
132
3,45
87
1,48 2,12,1
⇒<=+=




+





 
 
Na base: MSdx = 40,0 kN e MSdy = – 40,0 kN 
 
!OK163,024,039,0
132
0,40
87
0,40
2,12,1
⇒<=+=







+






 −
 
 
Segundo este processo, pode-se dizer que o pilar está adequado a este conjunto de esforços 
(topo, base e seção central E). 
 
 199 
5.6 Processo aproximado de verificação de pilares biapoiados esbeltos com FCO e com 
λx e λy menores que 90, baseado na verificação em três seções criticas, com os 
valores de curvatura aproximados e processo do pilar-padrão 
 
Este processo é ainda mais aproximado que o anterior, e consiste na verificação de uma só 
seção central, além do topo e base do pilar. 
 
Nesta seção central, os momentos solicitantes são dados por uma adaptação do processo 
descrito no item 15.8.3.3.2 da NBR 6118:2003 para FCO. 
x
2
e
sdAxbxtot,Exd
1
.
10
..
r
NMM
l
+α≅ 
y
2
e
sdAybytot,Eyd
1
.
10
..
r
NMM
l
+α≅ 
Sendo ν, αbx, αby, MAx, MAy com as mesmas definições do item 5.5. 
 
( ) m
1
0175,0
5,06,0.26,0
005,01
x
=
+
=
r
 
( ) m
1
0117,0
5,06,0.39,0
005,01
y
=
+
=
r
 
 
E os momentos da seção fictícia E, dados por: 
m.kN2,800175,0.
10
5,6
.86940.4,0
2
tot,Exd =+=M 
m.kN8,740117,0.
10
5,6
.86980.4,0
2
tot,Eyd =+=M 
A verificação da capacidade portante na seção central é dada por: 
 
No meio: MExd,tot = 80,2 kN e MEyd,tot = 74,8 kN 
 
⇒>=+=



+



 142,151,091,0
132
8,74
87
2,80 2,12,1
 A seção não resiste ao esforço! 
 
Por este processo, teríamos que aumentar a seção ou a armadura da peça. 
 
Lembrando que isto não é necessário, pois o processo apresentado no item 5.4, mais preciso, 
demonstrou que a seção resiste aos esforços solicitantes adequadamente. 
 200 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS CONCEITOS DA SEÇÃO 17 
 
VERIFICAÇÃO DE VIGAS SUJEITAS À FORÇA CORTANTE 
 
Autores: 
Túlio Bittencourt (1) e João Carlos Della Bella (2) 
 
Revisor:Ruy Nobhiro Oyamada (3) 
 
(1) Engenheiro Civil - Professor Associado da USP, Escola Politécnica 
 
(2) Engenheiro Civil - Diretor Técnico da Intentu Engenharia 
 
(3) Engenheiro Civil - Diretor Sócio da Outec Engenharia 
 
1 Exemplo 1 
 
1.1 Dados 
 
Determinar os estribos e verificar a seção de concreto para a viga esquematizada na Figura 1, 
sabendo que P = 65 kN, concreto de classe C 25, aço CA-50, Classe de Agressividade 
Ambiental I, c = 2,5 cm e admitir d = 46 cm para a altura útil da seção. 
 
 
 (I) (II) (III) 
Figura 1 – Viga 
 
1.2 Verificação da seção de concreto 
 
Utilizando o modelo de cálculo I (α = 90o e θ = 45o) dado em 17.4.2.2-a da NB-1 para 
verificação da compressão diagonal do concreto: 
 
VSd = γf V = 1,4 x 65 = 91 kN 
9,0
250
25
1
250
1 ck2v =





−=





−=α
f
 
VRd2 = 0,27 αv2 fcd bw d = 0,27 x 0,9 x 1,78 x 12 x 46 = 238,76 kN 
 
Portanto: VSd < VRd2 
 
 201 
1.3 Cálculo dos estribos 
 
De acordo com 8.2.5 da NB-1: 
( ) ( ) MPa56,2253,03,0 3/23/2ckm,ct ff === 
MPa80,156,2x7,07,0 ctminf,ctk f f === 
 
Conforme 17.4.2.2-b da NB-1 tem-se: 
kN39,4246x12x128,0x6,06,0 wctdc d b f V === 
 
Em 17.4.1.1.1: %10,0
500
56,2
2,02,0
ywk
ctm
minw ===ρ f
f
 
Portanto: m/cm2,1cm/cm012,0%10,0x12 22minww
min
sw b
s
A
===ρ=





 (Trecho II) 
kN6,484,4291cSdsw VVV =−=−= 
ywd
sw
sw 9,0 f d s
A
V 





= 
 
Segundo a NB-1, deve-se limitar fywd em 435MPa para as armaduras de cisalhamento. 
Portanto: 
m/cm7,2 2sw =





s
A
 (Trechos I e III) 
 
Conforme 18.3.3.2 da NB-1: 
§ o diâmetro dos estribos (φt) deve ser: 
mm12
10
mm0,5 wt 
b
 =≤φ≤ 
§ para o espaçamento (s) entre estribos: 
 
7 cm ≤ s ≤ 0,6d ou 30 cm (sendo que VSd < 0,67VRd2) 
 
0,6 d = 0,6x46 = 27,6 cm (adota-se o maior espaçamento de 27cm). 
 
As bitolas usuais de armaduras para estribos são as seguintes: 
 
φ 
mm 
5 6,3 8 10 12,5 
As1 
cm2 0,2 0,315 0,5 0,8 1,25 
onde As1 = área da seção transversal de uma 
barra. 
 
a) Trechos I e III 
Para m/cm7,2 2sw =





s
A
 e adotando-se estribos de dois ramos (Asw = 2 As1), tem-se: 
 
φ 
mm 
As1 
cm2 Asw = 2 As1 
s 
cm 
5 0,2 0,4 14 
 
A distância da face interna do apoio até a carga é de 144 cm (150 - 6 = 144 cm). 
 
 202 
Portanto, tem-se 144/14 = 10,3, portanto 11 estribos nos trechos I e III. 
 
b) Trecho II (entre as cargas concentradas) (V = 0) 
 
m/cm2,1 2
min
sw 
s
A
=




 
 
φ 
mm 
As1 
cm2 
Asw = 2 As1 
s 
cm 
5 0,2 0,4 33 > ssmax = 27 
 
Deve-se adotar, então, φ 5 c/ 27. O comprimento do trecho é de 160 cm. Portanto, tem-se 
160/27 = 5,9, portanto 6 estribos neste trecho. 
 
c) Arranjo dos estribos 
 
A Figura 2 apresenta o detalhamento dos estribos para a viga analisada. Adotou-se cobrimento 
mínimo da armadura de 2,5 cm. 
 
 C = 2(45 + 7) + 2 G = 122 
28 φ 5 com C = 122 
 
Nota – Conforme 9.4.6.1 da NB-1, o gancho do estribo não deve ser inferior a 7cm para α = 90o 
 
Figura 2 – Detalhamento dos estribos 
 
 
 203 
2 Exemplo 2 
 
2.1 Dados 
 
Determinar os estribos e verificar a seção de concreto para a viga esquematizada na Figura 3, 
sabendo que fck = 25 MPa, aço CA-50, c = 2,5 cm e admitindo d = 46 cm para a altura útil da 
seção. 
 
 
Figura 3 – Viga esquematizada, carregamentos e diagrama de esforços cortantes de 
cálculo 
 
2.2 Verificação da seção de concreto 
 
Como a seção da viga é constante, basta verificar a resistência do concreto para a força 
cortante de cálculo máxima VSd = 158,4 kN junto aos apoios internos. 
9,0
250
25
1
250
1 ck2v =





−=





−=α
f
 
VRd2 = 0,27 αv2 fcd bw d = 0,27x 0,9 x 1,78 x 15 x 46 = 298,45kN 
 
 204 
Assim, verifica-se que: 
 
VSd < VRd2 
 
2.3 Cálculo de VRd* 
 
Para determinar a armadura mínima de cisalhamento deve ser determinado primeiramente o 
valor de VRd*, como a seguir: 
 
kN5346x15x128,0x6,06,0 wctdc d b f V === 
( ) ( ) MPa56,2253,03,0 3/23/2ckm,ct f f === 
%10,0
500
56,2
2,02,0
ywk
m,ct
minw ===ρ f
f
 
Logo: 
m/cm5,1cm/cm015,0%10,0x15 22
min
sw 
s
A
===





 
VRd* = kN805,43x46x9,0x015,0539,0* ywd
min
sw
cSd f d s
A
VV =+=





+= 
A Figura 4 mostra o diagrama de esforços cortantes de cálculo com VSd. 
 
 
 
Figura 4 – Diagrama de esforço cortante de cálculo com VSd* 
 
 
2.4 Cálculo dos estribos 
 
a) Trecho I 
 
VSw = VSd – Vc = 100,6 – 53 = 47,6 kN 
 
Segundo 17.4.1.2.1 da NB-1, o valor de VSd pode ser considerado o da seção situada à d/2 da 
face de apoio. Portanto: 
 
 205 
 
 
Figura 5 – Seção situada a d/2 do apoio 
ywd
sw
sw 9,0. f d s
A
V 





= 
Portanto: 
m/cm64,2 2sw 
s
A
=





 
7 cm ≤ s ≤ 0,6d ou 30cm (sendo que VSd < 0,67 VRd2) (conforme 18.3.3.2 da NB-1) 
 
0,6d = 0,6 x 46 = 27,6 cm (adota-se o maior espaçamento de 27cm) 
 
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2 As1. A tabela seguinte mostra uma possível 
opção: 
 
φ 
mm 
As1 
cm2 Asw = 2 As1 
s 
cm 
5 0,2 0,4 15 
 
Deve-se adotar, então, φ 5 c/15. 
 
O comprimento do trecho medido a partir da face interna do apoio é de 54,5 – 10 = 44,5 cm. 
 
Portanto, tem-se: 44,5 / 15 = 2,9 → 3 estribos neste trecho. 
 
Em complementação ao primeiro trecho utilizar-se-á armadura mínima a partir do comprimento 
calculado em ocorrência a VSd*. 
m/cm5,1 2
min
sw 
s
A
=





 
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2 As1. A tabela seguinte mostra uma possível 
opção: 
 
φ 
mm 
As1 
cm2 Asw = 2 As1 
s 
cm 
5 0,2 0,4 33 > smax = 27 
 
Deve-se adotar, então, φ 5 c/27. 
 
O comprimento do trecho medido a partir da face interna do apoio é de 267,5 – 54,5 = 213 cm. 
 
Portanto, tem-se: 213 / 27 = 7,9 → 8 estribos neste trecho. 
 
 
 206 
b) Trecho II 
 
Vsw = VSd – Vc = 158,4 – 53 = 105,4 kN 
ywd
sw
sw 9,0 f d s
A
V 





= 
Portanto: 
m/cm85,5 2sw 
s
A
=





 
7 cm ≤ s ≤ 0,6d ou 30cm (sendo que VSd < 0,67VRd2) (conforme 18.3.3.2 da NB-1) 
 
0,6d = 0,6 x 46 = 27,6 cm (adota-se o maior espaçamento de 27cm) 
 
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2 As1. A tabela seguinte mostra uma possível 
opção: 
 
φ 
mm 
As1 
cm2 
Asw = 2 As1 
s 
cm 
6,3 0,315 0,63 10 
 
Deve-se adotar, então, φ 6,3 c/10. 
 
O comprimento do trecho medido a partir da face interna do apoio é de 222 – 25 = 197 cm. 
 
Portanto, tem-se: 197 / 10 = 19,7 → 20 estribos neste trecho. 
 
Em complementação utilizar-se-á armadura mínima a partir do comprimento calculado em 
ocorrência a VSd*. 
m/cm5,1 2
min
sw 
s
A
=





 
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2 As1. A tabela seguinte mostra uma possível 
opção: 
 
φ 
mm 
As1 
cm2 Asw = 2 As1 
s 
cm 
5 0,2 0,4 33 > smax = 27 
 
Deve-se adotar, então, φ 5 c/27. 
 
O comprimento do trecho é de 267,5 – 222 = 45,5 cm. 
 
Portanto, tem-se: 45,5 / 27 = 1,68 → 2 estribos neste trecho. 
 
c) Trecho III 
 
Vsw = VSd – Vc = 123,3 – 53 = 70,3 kN 
ywd
sw
sw 9,0 f d s
A
V 





= 
Portanto: 
m/cm90,3 2sw 
s
A
=





 
7 cm ≤ s ≤ 0,6d ou 30cm (sendo que VSd < 0,67VRd2) (conforme 18.3.3.2 da NB-1) 
 
0,6d = 0,6 x 46 = 27,6 cm (adota-se o maior espaçamento de 27cm) 
 207 
 
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2 As1. A tabela seguinte mostra uma possível 
opção: 
 
φ 
mm 
As1 
cm2 Asw = 2 As1 
s 
cm 
5,0 0,2 0,4 10 
 
Deve-se adotar, então, φ 5,0 c/10. 
 
O comprimento de cada trecho medido a partir da face interna do apoio é de 114 – 25 = 89 cm. 
 
Portanto, tem-se: 89 / 10 = 8,9 → 9 estribos neste trecho. 
 
Em complementação utilizar-se-á armadura mínima a partir do comprimento calculado em 
ocorrência a VSd*. 
m/cm5,1 2
min
sw 
s
A
=




 
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2 As1. A tabela seguinte mostra uma possível 
opção: 
 
φ 
mm 
As1 
cm2 
Asw = 2 As1 
s 
cm 
5,0 0,20,4 33 > smax = 27 
 
Deve-se adotar, então, φ 5 c/27. 
 
O comprimento do trecho é de 482,5 – 114 – 7,5 = 361 cm. 
 
Portanto, tem-se: 361 / 27 = 13,4 → 14 estribos neste trecho. 
 
2.5 Arranjo dos estribos 
 
A Figura 7.6 apresenta o detalhamento dos estribos para a viga analisada. Adotou-se 
cobrimento mínimo da armadura de 2,5 cm. 
 
 
 
 208 
 
 
C = 2(45+10) +2G = 120 cm 
 
Nota – Conforme 9.4.6.1 da NB-1, o gancho do estribo não deve ser inferior a 7cm para α = 90o 
 
Figura 6 – Detalhamento dos estribos 
 
 209 
3 Exemplo 3 
 
Considerando a viga da Figura 7, determinar as armaduras e verificar a seção de concreto, 
sabendo que fck = 25 MPa e aço CA50. 
 
 
Figura 7 – Esquema e diagramas da viga 
 
3.1 Cortante 
 
VSd = 1,4 x 81 = 113,4 kN 
 
VSd = VRd2 
 
90,0
250
1 ck2v =





−=α
f
 
 
VRd2 = 0,27 αv2 fcd bw d = 795,9 kN 
 
3.2 Armadura 
 
VSd ≤ VRd3 = Vc + Vsw 
 
fctd = fctk inf / γc = 1,28 MPa 
 
fct, m = 0,3 (fck)2/3 (MPa) = 2,56 MPa 
 
fctk, inf = 0,7 fct, m = 1,79 MPa 
 
Vc = 0,6 fctd bw d = 141,3 kN > VSd 
 
3.3 Armadura mínima 
%1,0001,02,0
ywk
ctm
sw ===ρ f
f
 
Asw/s = bw ρw = 40 x 0,1% = 0,04 cm2/cm = 4 cm2/m 
 
Para estribos de dois ramos → cada ramo: 2 cm2/m. 
 210 
3.4 Flexão 
 
M = 121,5 kN.m Md = 17 010 kN.cm 
cm23,8
425,0
1125,1
2
cdw
d =







−−=
d f b 
M
 d x 
x34 = 0,5d = 23 cm (conforme 14.6.4.3 da NB-1: limitar x/d a 0,5) 
 
x23 = 0,254d = 11,9 cm 
 
domínio 2 → σSd = fyd = 43,5 kN/cm2 
 
( ) ( )
2
yd
d
s cm16,923,8.4,0465,43
01017
4,0
=
−
=
−
=
 
xdf
M
A (5φ 16mm) 
 
3.5 Torção 
 
TSd = 21 x 1,4 = 29,4 kN.m = 2 940 kN.cm 
 
TRd2 = 0,5 αv2 fcd Ae he (conforme 17.5.1.5 da NB-1) 
 
he = A/u e he = 2c1 
 
A = 40 x 50 = 2 000cm2 
 
u = 2 x 40 + 2 x 50 = 180 cm 
 
he = 2 000 / 180 = 11,1 cm 
 
c1 = 4,0 cm 
 
2c1 = 8,0 cm 
 
he = 10 cm 
 
Ae = 30 x 40 = 1 200 cm2 
 
TRd2 = 0,5 x 0,9 x 1,78 x 1 200 x 10 x sen 90o = 9 612 kN 
 
1
2Rd
Sd
2Rd
Sd ≤+
T
T
V
V
 → 145,0
9612
2940
9,795
4,113
≤=+ → Cumpre com 17.7.2.2 da NB-1. 
 
3.6 Estribos 
 
TSd = TRd3 
 
θ= gcot2)/( eywd903Rd A fsAT (conforme 17.5.1.6 da NB-1) 
m/cm8,2
2
)/( 2
eywd
Sd
90 A f
T
sA == 
 (A90/s) = 0 + 2,8 = 2,8 cm2 (resiste à cortante e torção!) 
 
Pode-se utilizar por exemplo: φ10 c/ 16cm. 
 
 
 211 
3.7 Armaduras longitudinais 
 
TSd = TRd4 (conforme 17.5.1.6 da NB-1) 
 
TRd4 = (Asl /ue) fywd 2Ae tg θ 
m/cm8,2
2
)/( 2
eywd
Sd
es Af
T
uA ==l 
ue = 2x30 + 2x40 = 140 cm = 1,4 m 
 
Logo: 
 
Asl = 1,4x2,8 = 3,92 cm
2 
 
3.8 Detalhamento 
 
 
φ 10 c/16 
2 φ 12, 5 
 
5 φ 16 
40 
50 
 
Figura 8 – Detalhamento 
 
 
 
 
 212 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS CONCEITOS DA SEÇÃO 17 
 
ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
 
Autor: Libânio Miranda Pinheiro (1) 
 
Revisor: José Martins Laginha (2) 
 
(1) Professor Doutor, Departamento de Engenharia de Estruturas 
USP, Escola de Engenharia de São Carlos 
E-mail: libanio@sc.usp.br 
 
(2) Eng. Civil, GTP Grupo Técnico de Projetos 
E-mail: projeto@gtp.com.br 
 
1. Dados iniciais 
Apresenta-se a verificação dos estados limites de serviço para a viga biapoiada de um edifício 
residencial, indicada na Figura 1, com seção 22cm x 40cm, vão equivalente l = 410cm, 
concreto C25, aço CA-50, armadura longitudinal 4φ20 (12,60cm2), d = 35,9cm, classe II de 
agressividade ambiental (c = 2,5cm, c∆ = 5mm, conforme 7.4.7.4, tabela 7.2). Os itens e as 
tabelas aqui indicadas referem-se à NBR 6118:2003. Serão admitidos os valores 
característicos das ações: 
 
gk = 40 kN/m, qk = 10 kN/m, pk = gk +qk = 50 kN/m 
 
 
Figura 1 – Viga biapoiada 
 
2. Momento de fissuração 
O cálculo do momento de fissuração é indicado no item 17.3.1: 
t
cct
r y
If
M
⋅⋅α
= (1) 
α = 1,5 (seção retangular) 
4
33
c cm33311712
4022
12
 
hb
I =
⋅
=
⋅
= (2) 
cm20
2
40
2t
===−=
h
xhy (3) 
2.1 Formação de fissuras 
No estado limite de formação de fissuras (ELS-F), segundo o item 17.3.1, deve ser usado o 
fck,inf (8.2.5 da norma): 
23/23/2
ckinf,ctkct cm/kN1795,0MPa795,12521,03,07,0 fff ==⋅=⋅⋅== (4) 
 213 
m.kN8,15cm.kN1580
20
1173331795,05,1
r M ==
⋅⋅
= (5) 
Na verificação do ELS-F, pode ser necessária a consideração de combinação freqüente ou de 
combinação rara (11.8.3.1.b e 11.8.3.1.c, respectivamente). Neste exemplo, o valor de Mr será 
comparado com o momento fletor relativo à combinação rara: 
m.kN1,105
8
10,450
8
22
k
rara,d 
p
M =
⋅
=
⋅
=
l
 (6) 
Md,rara = 105,1 kN.m > Mr = 15,8 kN.m ? há formação de fissuras 
2.2 Deformação excessiva 
No estado limite de deformação excessiva (ELS-DEF), deve ser usado o fct,m (8.2.5 da norma): 
23/23/2
ckctmct cm/kN2565,0MPa565,225.3,03,0 f ff ===== (7) 
m.kN6,22cm.kN2257
20
1173332565,05,1
r M ≅=
⋅⋅
= (8) 
3. Cálculo em serviço para seção fissurada 
Como Md,rara > Mr = 15,8 kN.m, é necessário calcular a posição da linha neutra (xII) e o 
momento de inércia ( III) no estádio II. 
3.1 Linha neutra 
Para seção retangular com armadura simples, xII é obtido com a equação: 
0sese
2 =α−α+ dA x A x
2
b
 (9) 
Es = 210 GPa = 21 000 MPa (conforme 8.3.5) (10) 
Ec = Ecs = 0,85 Eci = 0,85.5600 fck1/2 = 4760 fck1/2 (conforme 8.2.8) 
Ecs = 4760 fck1/2 = 4760.251/2 = 23 800 MPa (11) 
82,8
80023
000210
cs
s
e ===α
 
 
E
E
 (conforme 17.3.2.1.1) (12) 
09.35.60,12.82,860.12.82,8
2
22 2 =−+ xx 
x2 = 10,10x – 362,69 = 0 
xII = 14,66 cm (a raiz negativa é ignorada) (13) 
3.2 Momento de inércia 
 214 
Para seção retangular com armadura simples, III é dado por: 
2
IIse
3
II
II )(3
xd A
x b
I −α+= (14) 
42
3
II cm24073)66,149,35(60,12.82,83
66,14.22
 I I II =⇒−+= (15) 
4. Estado limite de deformação excessiva 
No ELS – DEF, pode ser considerada combinação quase permanente e momento de inércia 
equivalente (11.8.3.1e 17.3.2.1.1 da norma, respectivamente). 
4.1 Combinação quase permanente 
Para edifícios residenciais, ψ2 = 0,3 (conforme 11.7.1, tabela 11.2). Para combinação quase 
permanente, como neste exemplo, a única ação variável é a carga de uso, tem-se: 
cmkN
100
43
m/kN43103,040k2kser,d ==⋅+=⋅ψ+== qgpp (16) 
4.2 Momento de inércia equivalente 
Com base em 17.3.2.1.1: 
II
3
a
r
c
3
a
r
eq 1 IM
M
I
M
M
II ⋅














−+⋅





== (17) 
São conhecidos os valores: 
Mr = 22,6 kN.m (ELS - DEF) (equação 8.8) 
Ma = Md,rara = 105,1 kN.m (equação 8.6) 
I = 117 333 cm4 (equação 8.2) 
III = 73 240 cm4 (equação 8.15) 
Resulta: 
4
33
eq cm67973240731,105
6,22
1333117
1,105
6,22
 II =














−+





== (18) 
4.3 Flecha imediata 
Para viga biapoiada, a flecha imediata (elástica) é dada pela expressão: 
IE
p
a
⋅
⋅
⋅=
4
i 384
5 l
 (19) 
 
E = Ecs = 23 800 MPa = 2380 kN/cm2 (equação 8.11) (20) 
 
Substituindo, na equação 19, l = 410 cm, os valores obtidos nas equações 16, 18 e 20, resulta: 
cm90,0
73679.2380
410
100
43
384
5
i
4
i aa =⇒⋅⋅= (21) 
 
 215 
4.4 Flecha diferida 
De acordo com 7.3.2.1.2: 
'501f ρ⋅+
ξ∆
=α (22) 
32,168,02
mês1
meses70
0
=−=ξ∆



=
≥
t
t (tabela 17.1) (23) 
 
ρ’=0 (armadura simples) 
32,1
1
32,1
f ==α (24) 
af = αf . ai = 1,32 . 0,90 ⇒ af = 1,19 cm (25) 
4.5 Flecha total 
A flecha total pode ser obtida conforme indicado no final em 17.3.2.1.2: 
 
at = ai (1+αf) = 0,90 (1+1,32) ⇒ at = 2,09 cm (26) 
 
4.6 Flecha limite 
Para aceitabilidade visual, da maneira indicada em 13.3, tabela 13.2: 
cm64,1
250
410
250lim
 a ===
l (27) 
Há necessidade de contraflecha, pois: 
at = 2,09 cm > alim=1,64 cm 
4.7 Contraflecha 
Pode ser adotada uma contaflecha da ordem da flecha imediata acrescida da metade da flecha 
diferida, conforme a equação: 
 
cm49,1
2
19,1
90,022
1 fi
f
ic 
a
aaa =+=+=




 α
+= (28) 
Porém, segundo a tabela 13.2, a contraflecha não pode ultrapassar o valor: 
 
cm17,1
350
410
350
==
l 
 
Como é usual adotar um valor múltiplo de 0,5 cm, pode-se adotar contraflecha de 1,0 cm, 
menor que o limite de 1,17 cm, e que acarretaria uma flecha final de 1,09 cm, menor que alim = 
1,64 cm. 
 
4.8 Outras providências 
Quando forem necessárias, outras providências que podem ser adotadas para diminuir as 
deformações. As mais comuns são: aumentar a seção transversal (b ou h), aumentar As ou 
adotar armadura de compressão A’s. 
 
 216 
5 Abertura de fissuras 
A verificação do estado limite de fissuração (ELS-W) pode ser feita conforme 17.3.3.2 da 
norma. 
5.1 Dados iniciais 
φ = 20 mm 
η = 2,25 (Barras nervuradas, CA-50, 9.3.2.1) 
Es = 210 000 MPa = 21 000 kN/cm2 (equação 10) 
sA = 12,60 cm
2 (4φ20) 
fct,m = 0,2565 kN/cm2 (equação 7) 
5.2 Taxa de armadura 
Será considerada a taxa de armadura de tração em relação à área da região de envolvimento 
Acr (Figura 2). 
Para b = 22cm, c = 2,5cm, φt = 0,63 cm e φl = 2 cm, resulta: 
Acr = b(d’ + 7,5 φl) = 22(4,1 + 7.5 . 2) = 420,2 cm2 
%0,3030,0
2,420
60,12
cr
s
r ====ρ A
A
 
 
Figura 2 - Área Acr 
5.3 Momento fletor 
Na verificação de abertura de fissuras, deve ser considerada combinação freqüente (conforme 
13.4.2, tabela 13.3). Sendo a carga de uso a única ação variável e ψ1 = 0,4 (tabela 11.2, 
edifícios residenciais), obtêm-se (tabela 11.4): 
 
qk1gkfreq,dser,d MMMM ⋅ψ+== (29) 
m.kN1,84
8
10,440 2
gk M =
⋅
= 
m.kN0,21
8
10,410 2
qk M =
⋅
= 
m.kN5,920,214,01,84freq,d M =⋅+= (30) 
 217 
5.4 Cálculo de σs no estádio II com α e = 15 
a) Linha neutra 
 
0sese
2 =α−α+ d A x A x
2
b (equação 8.9) 
 
09,35.60,12.15 60,12.15
2
22 2 =−+ xx 
 
x2 + 17,18x – 616,82 = 0 
 
xII = 17,69 cm (a raiz negativa é ignorada) 
 
b) Momento de inércia 
2
IIse
3
II
II )(3
xd A
x b
I −α+= (equação 8.14) 
4
II
2
3
II cm269103)69,179,35(1260.153
69,17.22
 I I =⇒−+= 
c) Valor de σs para αe = 15 (conforme 17.3.3.2) 
 
2
2
2freq,de
s cm/kN47,24269103
)69,179,35.(9250.15)(
 
 I
xdM 
=
−
=
−α
=σ 
5.5 Cálculo de σs no estádio II com α e = Es/Ec = 8,82 
Para comparar os resultados, será considerado αe = Es/Ec = 8,82 (equação 12). Nessas 
condições tem-se: xII = 14,66 (equação 13) e III = 73 240 (equação 15). Resulta: 
 
2
2
2freq,de
s cm/kN66,2324073
)66,149,35.(9250.82,8)(
 
 I
xdM 
=
−
=
−α
=σ 
Como este valor é muito próximo do obtido no item anterior, parece não haver diferença 
significativa em se considerar αe = Es/Ec = 8,82, em vez de αe = 15, como preconiza a Norma. 
 
5.6 Cálculo aproximado de σs 
No estádio II, um valor aproximado de σs pode ser obtido com a expressão: 
 
2
s
freq,d
s cm/kN56,2560,12.9,35.80,0
9250
80,0
 
A d 
M
===σ 
 (31) 
 
Nota-se que este valor de σs é muito próximo dos obtidos nos itens anteriores. Portanto, em 
geral, a verificação pode ser feita com a tensão obtida com este cálculo aproximado. 
 
 218 
5.7 Cálculo de wk 
Com as expressões indicadas em 17.3.3.2, fctm dado pela equação 7 e com os demais valores 
obtidos nos itens anteriores, obtêm-se: 
 













+
ρ
⋅
σ
⋅
η⋅
φ
=
σ⋅
⋅
σ
⋅
η⋅
φ
=
≤
45
4
5,12
3
5,12
risi
si
1
i
2
ctm
si
si
si
1
i
1
k
E
w
fE
w
w 
mm26,0
2565,0
56,253
21000
56,25
25,25,12
20
1 =
⋅
⋅⋅
⋅
=w 
mm15,045
030,0
4
21000
56,25
25,25,12
20
2 =





+⋅⋅
⋅
=w 
 
Como se considera o menor valor entre w1 e w2, resulta: 
 
Wk = 0,15 mm 
 
5.8 Verificação da abertura limite 
A abertura limite é dada na tabela 13.3 (item 13.4.2). Para concreto armado e classe de 
agressividade ambiental II, tem-se: wlim = 0,3 mm. Portanto: 
 
Wk = 0,15 mm < Wlim = 0,3 mm ⇒ OK! 
 
5.9 Controle da fissuração sem verificar abertura de fissuras 
Com base em 17.3.3.3, admitindo-se σs = 240 MPa, φ = 20 mm (valor máximo permitido para 
essa tensão) e smáx < 20 cm, de acordo com a tabela 17.2, é atendido o ELS-W, sem 
necessidade da avaliação da abertura de fissuras. 
 
Na tabela 17.2 da NBR 6118:2003, para os valores de σs indicados a seguir, os limites corretos 
de φmáx são: 
σs = 240 MPa, φmáx = 20 mm 
σs = 280 MPa, φmáx = 16 mm 
σs = 320 MPa, φmáx = 12,5 mm 
σs = 360 MPa, φmáx = 10 mm 
5.10 Providências 
Caso a verificação de ELS-W não seja atendida, as principais providências são: 
§ diminuir o diâmetro das barras da armadura de tração (respeitando-se As,nec); 
§ aumentar a quantidade de armadura (diminuir σs); 
§ aumentar a seção transversal (b ou h). 
 
 219 
Agradecimentos 
À colaboração de: 
Ana Maria da Silva Brandão, 
Anastácio Cantisani de Carvalho (UFAM), 
Lezzir Ferreira Rodrigues, 
Marcos Vinícius Natal Moreira e 
Sandro Pinheiro Santos. 
 
Referência 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003 - Projeto de estruturas de 
concreto - procedimento. Rio de Janeiro. 170p. 
 220 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS CONCEITOS DA SEÇÃO 19 
 
LAJES 
Autores: 
Túlio Bittencourt (1); João Carlos Della Bella (2) 
 
Revisora: 
Nilvea Bugno Zamboni (3) 
 
(1) Engenheiro Civil - Professor Associado da USP, Escola Politécnica 
 
(2) Engenheiro Civil - Diretor Técnico da Intentu Engenharia 
 
(3) Eng. Civil, Diretora da ProjNet Engenharia Ltda. 
E-mail: nilvea@projnet.com.br 
 
 
1. Exemplo 1: Lajes armadas em uma direção 
Calcular e detalhar as lajes da figura. 
 
fck=25 MPa (C25) 
CA50 
h = 10 cm (todas as lajes) 
g = 3,5 kN/m2 
q = 2,0 kN/m2 
vigas de bw = 12 cm 
Figura 1 – Laje armada em uma direção 
Definiu-se a classe de agressividade de acordo com a Tabela 6.1 da NBR 6118, como classe 
CAAI e o cobrimento nominal de acordo com a Tabela 7.2 da NBR 6118, onde se levando em 
consideração o revestimento, temos: 
Na face superior: 
cm5,1alminno
alminno
≥
φ≥
c
c
 cm5,1c salminno ==c 
Na face inferior: cm0,2ialminno == cc 
Adotado inicialmente φ = 10 mm 
 221 
1.1. Laje L1 
a) determinação das cargas 
§ peso próprio= 0,10 . 25 = 2,5 kN/m2 
§ revestimento = 1,0 kN/m2 
§ g (carga permanente) = 3,5 kN/m2 
§ q (carga acidental) = 2,0 kN/m2 
§ p (carga total) = g + q = 5,5 kN/m2 
b) Momento fletor principal (Mx) 
m/kNm0,11
8
4.5,5
8
22
X ===
lp
M 
b = 100 cm 
d = dx = h – ci – Ø/2 = 10 – 2 – 0,5 = 7,5cm 
Msdx = γf Mx = 1,4.11,0 = 15,4 kN.m/m = 1 540 kN.cm/m 
cm88,1
4,1/5,25,7100425,0
1540
115,725,1
.425,0
1125,1
2
cd
2
sdx 
f b.d
M
 d x =








⋅⋅⋅
−−⋅=








−−= 
(x ≤ x34 = 0,628.7,5 = 4,7cm, peça subarmada). 
Armadura: 
m/cm24,5
)88,14,05,7(48,43
1540
).4,0(
2
yd
sdx
s xdf
M
A =
⋅−⋅
=
−
= 
As > Asmin = ρx,min.b.h = 0,0015.100.10 = 1,5 cm2/m, (Tabela 19.1- NBR 6118) 
Portanto: 
As > 5,24 cm2/m. 
Para a escolha (bitola x espaçamento) tem-se as seguintes condições: 
φmin = 4 mm ≤ φ ≤ φmax = h/8 = 12,5 mm 
Recomendável smin = 8 cm 
 smáx φ20 cm (na armadura principal limitar a 2 h) = 20 cm. 
Assim, pode-se adotar φ8c/10 (barras de 8 mm a cada 10 cm) ou φ10c/15, conforme mostra a 
tabela seguinte: 
 φ 
mm 
As1 
cm2 
n = Asx/As1 s = 100/n 
cm 
6,3 0,315 16,4 6,10< smin 
8 0,5 10,5 9,5 
10 0,8 6,6 15 
12,5 1,25 4,2 24 
A barra de 6,3 mm conduz a um espaçamento menor do que o mínimo recomendado de 8 
cm (o mesmo acontecerá para as bitolas 4mm e 5mm, não apresentadas na tabela) e a bitola 
de 12,5 mm ultrapassa o espaçamento máximo recomendado de 20 cm. 
 222 
c) Momento fletor secundário (My) 
Supondo para Asy que φ = 5,0mm e para Asx que φ = 8,0mm: 
My = νMx = 0,2.11,0 = 2,2 kN.m/m 
b = 100 cm; d = dy = h – ci – 0,8 – 0,5/2= 10 – 2,0 - 0,8 – 0,5/2 ≅ 6,95 cm 
Msdy = γf My = 1,4. 2,2 = 3,08 kN.m/m = 308 kN.cm/m 
cm37,0
4,1/5,295,6100425,0
308
1195,625,1
..425,0
11..25,1
2
cd
2
sdy =








⋅⋅⋅
−−⋅⋅=








−−=
fb.d
M
dx
(x ≤ x34 = 0,628.6,95 = 4,36 cm, peça subarmada)A peça deve ser verificada para Mdmin. 
Mdmin = 0,8 w0. fctk,sup (Item 17.3.5.2.1 – NBR 6118) 
Esta condição pode ser considerada atendida se forem respeitadas as armaduras mínimas de 
acordo com a Tabela 19.1 da NBR 6118 
Neste exemplo todas as armaduras mínimas foram determinadas de acordo com a tabela 
referida anteriormente. 
m/cm04,1
)37,04,095,6(48,43
308
)x.4,0d(
2
yd
sdy
s =⋅−⋅
=
−
=
f
M
A 
Asmin ≥ 20%. Asx = 0,2. 5,24 = 1,05 cm2/m, 
 0,9 cm2/m 
mins .5,0 ρ≥ρ 
Portanto, Asy ≅ Asmin 
Asy > 1,05 cm2/m. 
Para a escolha (bitola x espaçamento) tem-se as seguintes condições: 
φmin = 4 mm ≤ φ ≤ φmax = h/8 = 12,5 mm 
Recomendável smin = 8 cm 
smáx φ 20 cm (na armadura principal limitar a 2 h) = 20 cm 
Assim, pode-se adotar φ5c/20 (barras de 5 mm a cada 20 cm) ou φ4c/12, conforme mostra a 
tabela seguinte: 
 223 
φ??mm? As1 
cm2 
n = Asx/As1 s = 100/n 
cm 
4 0,125 7,76 13 
5 0,2 4,85 20 
6,3 0,315 3,0 32 
A barra de 6,3 mm conduz a um espaçamento maior que o máximo recomendado de 20 cm (o 
mesmo acontece para as bitolas maiores). 
 
1.2. Lajes L2 = L3 
a) Momentos fletores principais (Mx) no vão 
Mx = 6,96 kN.m/m 
b = 100 cm d = dx ≅ h – ci – 0,5 = 10 – 2 – 0,5 = 7,5 cm. 
Msdx = γf Mx = 1,4.6,96 = 9,74 kN.m/m = 974 kN.cm/m 
cm14,1
4,1/5,25,7100425,0
974
115,725,1
..425,0
1125,1
2
cd
2
sdx =








⋅⋅⋅
−−⋅⋅=








−−=
fb.d
M
dx (x ≤ 
x34 = 0,628 . 7,5 = 4,7 cm, peça subarmada) 
A peça deve ser verificada para Mdmin. 
Mdmin = 0,8 w0. fctk,sup (Item 17.3.5.2.1 – NBR 6118) 
Esta condição pode ser considerada atendida se forem respeitadas as armaduras mínimas de 
acordo com a Tabela 17.3 da NBR 6118. Neste exemplo todas as armaduras mínimas foram 
determinadas de acordo com a tabela referida anteriormente. 
m/cm18,3
)14,14,05,7(48,43
974
).4,0(
2
yd
sd
sx =⋅−⋅
=
−
=
xdf
M
A 
Asx > Asmin = ρx,min..b . h = 0,0015.100.10 = 1,5 cm2/m, (Tabela 19.1- NBR 6118) 
Portanto, Asx > Asmin 
Asx = 3,18 cm2/m. 
Para a escolha (bitola x espaçamento) tem-se as seguintes condições: 
φmin = 4 mm ≤ φ ≤ φmax = h/8 = 12,5 mm 
Recomendável smin = 8 cm 
smáxφ 20 cm (na armadura principal limitar a 2 h) = 20 cm 
Assim, pode-se adotar φ6,3c/10 (barras de 6,3 mm a cada 10 cm) ou φ8c/16, conforme mostra 
a tabela seguinte: 
φ??mm? As1 
cm2 
n = Asx/As1 s = 100/n 
cm 
6,3 0,315 10 10 
8 0,5 6,4 16 
10 0,8 4 25 
 224 
Menor 
que 25 φ 
b) Momento fletores principal (Mx23) no apoio interno 
Mx23 = -11 kN.m/m 
O dimensionamento desta seção conduz à mesma armadura do meio do vão da laje L1 (φ8c/16 
ou φ10c/25); contudo, esta armadura deve ser posicionada junto à borda superior que é 
tracionada pelo momento fletor solicitante. 
c) Momentos fletores secundários (My) 
Pode-se adotar a mesma armadura obtida para a laje L1 (φ5c/20). 
d) Detalhamento das armaduras 
As armaduras obtidas para os momentos de vão (também chamadas de armaduras de 
momentos positivos), são usualmente estendidas, a favor da segurança, de apoio a apoio da 
laje. As armaduras resistentes calculadas junto aos apoios internos da laje (também chamadas 
de armaduras “negativas”) são estendidas de modo à “cobrir” o diagrama de momento fletor 
negativo; uma extensão de lx / 4 para cada lado do apoio é, normalmente, suficiente para essa 
finalidade (quando as lajes adjacentes têm vãos não muito diferentes entre si, pode-se adotar o 
maior destes vãos para a definição do comprimento da barra). 
Nas bordas da laje, junto às vigas de apoio, costuma-se posicionar uma armadura (As,borda) com 
extensão lx / 5, visando atenuar uma eventual fissuração proveniente do engastamento parcial 
da laje nestas vigas. Pode-se considerar suficiente, a As,borda correspondente à ρmin de flexão 
simples, não menor do que 1,5 cm2/m e restringindo o espaçamento entre as barras a 2h (ρmin 
= 0,15% para o aço CA50, e 0,25% para o CA25). Assim: 
As,borda = 0,0015.b.h = 0,0015.100.10 = 1,5 cm2/m 
que pode ser conseguido com φ5c/13 ou φ6,3c/20. 
O detalhamento destas armaduras está indicado na Figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N1 - 20 Ø 6.3 C/20 N1 - 20 Ø 6.3 C/20 C= 94 
N2 - 39 Ø 8 C/10 C= 420 
N
3 
- 
20
 Ø
 5
 C
/2
0 
C
= 
40
8 
Lx/5 
h-c - c = 10 - 1,5 – 2 = 
6,5 
412 
Menor que 
30 cm 
 
Tipo ø n 
cm m 
C C Unit Tot 
1 
2 
3 
4 
5 
6,3 
8 
5 
8 
8 
80 
39 
60 
39 
50 
94 
420 
406 
212 
412 
75,20 
163,80 
243,60 
82,68 
103 
ø Peso tot C (m) (kg) 
5 
6,3 
8 
314,88 
75,2 
349,48 
19 
51 
140 
210 
6 5 18 396 71,28 
s 
5 
39
8 
Total 
6 
40
0 
5 
6 
Figura 2 – Detalhamento da laje armada em uma direção 
 225 
1.3. Verificação ao cisalhamento (Estado Limite Último - ELU) (Item 19.4 da NBR 
6118:2003) 
A verificação ao cisalhamento nas lajes é feita da seguinte maneira: 
VSd ≤ VRd1 
A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por: 
VRd1 = [τRd .k .(1,2 + 40.ρ1) + 0,15. σcp] bw.d 
onde: 
τRd = 0,25 fctd = 0,32 MPa ( Item 8.25 da NBR 6118) 
fctd = fctk,inf / γc = 1,282 MPa 
fctk,inf = 0,7.fctm = 0,7. 2,565 = 1,795 MPa 
fct,m = 0,3.fck 
2/3
 = 0,3.252/3 = 2,565 MPa 
ρ1 = Asx /bw.d = 5,25 /(100 . 7,5) = 0,7% (não maior que 0,02) 
k = [1,6 – d] [m] = 1,6 – 0,075 = 1,525 > 1,0 
Para a Laje L1, temos: 
Asx = 5,25 cm2 (considerando toda a armadura) 
bw = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d); 
σcp = NSd / Ac = 0 
NSd = 0 pois não existe força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento. 
Assim: 
VRd1 = [τRd.k (1,2 + 40 .ρ1) + 0,15. σcp] bw.d = [0,032.1,525(1,2 + 40.0,007) + 0]100.7,5 
VRd1 = 54,2 kN/m 
VSd = px . γf = 5,5.4/2 .1,4 = 15,4 kN/m 
VRd1 = 54,2 > 15,4 = VSd 
Não há a necessidade de estribos 
NOTA: Quando se tratar de lajes maciças em concreto armado, sujeita a elevadas cargas 
acidentais, é possível chegar a valores críticos com a utilização desta formulação. Neste 
caso pode-se utilizar a formulação descrita no comentário C19.4.1. 
 226 
1.4. Verificação da flecha (Estado Limite de Serviço - ELS) 
O modelo de comportamento da estrutura pode admitir o concreto e o aço como materiais de 
comportamento elástico e linear, de modo que as seções ao longo do elemento estrutural 
possam ter as deformações específicas determinadas no Estádio I, desde que os esforços não 
superem aqueles que dão início à fissuração, e no Estádio II, em caso contrário. 
Deve ser utilizado no cálculo o valor do módulo de elasticidade secante Ecs definido abaixo, 
sendo obrigatória à consideração do efeito da fluência. 
O cálculo das flechas nas lajes pode ser feito no Estádio I de comportamento do concreto 
(seção não fissurada) com: 
2/1
ckcs 5600.85,0 .fE = (MPa). (Item 8.2 da NBR 6118:2003) 
O efeito da deformação lenta sobre a flecha proveniente da carga permanente pode ser 
considerado, de modo aproximado, dobrando-se a flecha imediata. Desta forma, deve-se 
verificar: 
aq+g ≤ lx / 250 e 
aq ≤ lx / 350 
onde 
aq+g = flecha proveniente da carga total 
aq = flecha devido às cargas acidentais. 
a) Cálculo do Momento de Fissuração (Item 17.3.1 da NBR 6118) 
§ Laje L1 da Figura 1 
Mr = (α.fct. Ic)/yt = (1,5.1795.8,34.10-5) / 0,05 = 4,5 kN.m (formação de fissuras) 
onde: 
α = 1,5 para seção retangular; 
fct = fctk,inf no estado limite de formação de fissuras ou fct,m no estado limite de deformação 
excessiva; 
Ic = bh3/12 (seção retangular) momento de inércia da seção de base 100cm – Estádio I; 
yt = 0,05 cm (distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada) 
Assim: 
§ se Mx < Mr – ESTÁDIO I (EI é calculado multiplicando o Ecs por Ic) 
§ se Ma ≥ Mr – ESTÁDIO II (EI é calculado como EI eq pela formula de Branson) 
Mr = 4,5 kN.m 
Md,rara= 4². 5,5/8= 11 kN.m > Mr - (fissuras) 
Calcula-se pela fórmula de Branson o EI eq para considerar a perda da rigidez na seção 
fissurada. 
b) Cálculo do Momento Equivalente 
ccsII
a
r
c
a
r
cseq 1)( I E I M
M
 I
M
M
EEI
33
 ≤














−+=



















 
 227 
Ec = 0,85 . 5600.fck
1/2 = 23,8 GPa ou 23,8 106 kN/m2; 
Es = 210 000 MPa 
αe = 8,8 
III = é o momento de inércia da seção fissurada – ESTÁDIO II; 
Calculando xII para o ESTÁDIO II com αe = Es/Ecs , temos: 
0)()(
2 seIIse
2
II =α−α+ d A x Ax
b
 
xII = 0,0221 m 
Temos: 
2
3
).().(
3 IIse
II
III xdA
b.x
−α+= 
III = 1,65 E10-5 m4 
c) Cálculo do momento de inércia equivalente 
Considerando combinação quase permanente (CQP), e 2ψ = 0,3, temos: 
Ma = 4². (3,5+0,3.2,0)/8 = 8,2 kN.m 
Mr = (α.fct. Ic)/yt = (1,5.2565.8,34.10-5) / 0,05 = 6,4 kN.m (deformação excessiva) 
Assim, pode-se calcular o momento de inércia equivalente. 
EI eq = Ec[(Mr/Ma)3. Ic + [1- (Mr/Ma)3] III] 
EI eq = 23,8.106[(6,4/8,2)3 . 8,34.10-5 + [1-(6,4/8,2)3] 1,5.10-5] = 1131,61 kN m2 
d) Flecha imediata 
ai = (b.p.lx4) / 12. EI eq . α2 = (1. 4,1.44) / 12 .1131,61.21,4 = 0,0023 m 
onde: 
α2 = 21,4 (laje tipo 1 com ly/lx = 1,00) 
(Foram utilizadas as Tabelas de CZERNY para o cálculo de ai) 
p = g + α2 q = 4,1 kN/m2 (valor da carga para a combinação quase permanente 
(α2 = 0,3 para edifícios residenciais); (Tabela 11.4 NBR 6118:2003) 
 228 
e) Flecha diferida no tempo 
Considerando: 
t0 = 1 (tempo, em meses, que foi aplicado o carregamento) 
t > 70 (tempo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha) 




≤=ξ
>=ξξ−ξ=ξ∆
meses70para2)(
meses70para).996,0(68,0)(
)()(
32,0
0
 t t
 t tt
 tt
t
 
ξ = 2 – 0,6773 = 1,3227 
Estes valores podem ser obtidos na Tabela 17.1 da NBR 6118:2003. 
ρ ?= 0 (não existe armadura negativa) 
3227,1
'.501
=α
ρ+
ξ∆
=α
f
f 
af =? ai .αf? = 0,0023 .1,3227 = 0,003 m (flecha diferida) 
f) Flecha total 
Se levado em consideração que a estrutura esteja em ESTÁDIO I, temos: 
aT = a0 (1+ϕ), onde ϕ (t, t0) é encontrado na Tabela 8.1 da NBR 6118:2003. 
Se for levado em consideração que a estrutura esteja no ESTÁDIO II, como neste caso, temos: 
aT = ?ai?(1+??αf)? = 0,0023(1 + 1,3227) = 0,00534 m 
Verificando os limites para deslocamentos: 
aq+g ≤ lx / 250 = 4/250 = 0,016 m (Atende o limite). 
As flechas nas lajes L2 e L3 são menores que a da laje L1 estando, portanto, em situação mais 
favorável. 
 229 
 
 230 
1.5. Verificação da fissuração (Estado Limite de Serviço - ELS) 
 
O cálculo da fissuração é feito no Estádio II e a verificação da abertura máxima da fissura é 
feita, conforme a NBR 6118:2003. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Área de influência para a consideração da abertura de fissuras 
O atendimento aos limites de aberturas de fissuras pode ser expresso como: 







σ
η
φ
=






+
ρ
σ
η
φ
=
≤
ctmsi
2
1
1
2
risi
si
1
1
1
.
.3
.
.5,12
45
4
.
.5,12
fE
w
E
w
w
si
 
Onde: 
Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi; 
Esi é o módulo de elasticidade do aço da barra considerada (φi); 
φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; 
ρri é a taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento (Acri); 
σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II; 
η1 é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras dentadas e 2,25 
barras nervuradas) 
 
Figura 5 – Área crítica da abertura de fissuras segundo NBR 6118:2003 
 
7,5 φ 
7,5 φ 7,5 φ 
 c 
Acrit 
7,5φ 
7,5φ 
7,5φ 7,5φ 
7,5φ 7,5φ 
c < 7,5φ 
a 
(a < 15 φ) 
Ac
 
 231 
Para a Laje L1: 
Acri = 15φ(c+7,5φ ) , onde 15φ < espaçamento 
15φ =15.0,8 = 12 cm > 10 cm 
Acri = 10. (7,5.0,8+,5.0,8+2) = 84 
mm118,0
256,0.21000
30,27.3
.
25,2.5,12
8
mm04,045
063,0
4
21000
30,27
.
25,2.5,12
8
/2565,0
/21000
/3,27
25,5.5,7.8,0
860
..8,0
%3,60625,0
84
25,5
2
2
1
2
ctm
2
si
2
s
d
cri
s
==
=


 +=
=
=
===σ
====ρ
w
w
cmkNf
cmkNE
cmkN
Ad
M
A
A
si
cri
 
w = 0,038 mm < wklim (Tabela 13.3da NBR 6118) 
w < 0,4 mm Verificado. 
 232 
my3 
m
x3
 
2. Exemplo 2: Lajes armadas nas 2 direções 
Calcular e detalhar as lajes esquematizadas na Figura. 6 
 
Dados: 
 
fck = 25 MPa (C25) 
Aço CA50 
cs = 1,5 cm (cobrimento superior das armaduras das lajes) 
ci = 2,0 cm (cobrimento inferior das armaduras das lajes) 
q = 2,0 kN/m2 (carga acidental) 
h = 10 cm 
vigas: bw = 12 cm 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Exemplo 2 
ly1=ly3=400cm ly2=ly4=400cm 
lx
3=
lx
=3
50
cm
 
my1 
L2 
h=10 
L3 
h=10 
L4 
h=10 
m
x1
 
m
x1
 
my1 
my3 
m
x3
 
L5 L6 
L1 
h=10 
lx
1=
lx
2=
35
0c
m
 
m12 
m34 
 233 
a) determinação das cargas 
 
§ peso próprio = 0,10.25 = 2,5 kN/m2 
§ revestimento = 1,0 kN/m2 
§ g (carga permanente) = 3,5 kN/m2 
§ q (carga acidental) = 2,0 kN/m2 
§ p (carga total) = g + q = 5,5 kN/m2 
b) Momentos fletores 
b.1) lajes isoladas 
Tem-se L1 = L2 e L3 = L4 = L5 = L6. 
 
Laje Tipo lx ly p ly/lx αx αy − βx − βy mx my m'x m’y 
L1 3 3,5 4,0 5,5 1,14 28,0 33,9 12,0 13,3 2,4 2,0 -5,6 -5,1 
L3 5B 3,5 4,0 5,5 1,14 32,0 47,1 14,2 17,6 2,1 1,4 -4,7 -3,8 
 
b.2)nos apoios contínuos 
 
Apoio m’esq m’dir 0,8m’maior m’médio m’ij 
L1-L2 m’y= – 5,1 m’y= – 5,1 – 4,1 – 5,1 m’12 = – 5,1 
L1-L3 m’x= – 5,6 m’x= – 4,7 – 4,5 – 5,2 m’13 = – 5,2 
L3-L4 m’y= – 3,8 m’y= – 3,8 – 3,0 – 3,8 m’34 = – 3,8 
L3-L5 m’y= – 4,7 m’x= – 4,7 – – m’35 = – 4,7 
 
b.3) armaduras de flexão 
 
As armaduras mínimas foram calculadas com base na Tabela 19.1 da NBR 6118:2003. 
c) Arranjo das armaduras 
Laje d m md x As 
ρmin 
% 
Asmin Asf Escolha 
8,0 mx = 240 336 0,35 0,98 1,00 
7,5 my = 200 280 0,34 0,87 
0,10 1,00 
1,00 
φ5c/20 
8,0 m’12 = 510 714 0,76 2,13 2,13 φ6,3c/15 
L1 
e 
L2 
8,0 m’13 = 520 728 0,78 2,18 
0,15 1,50 
2,18 φ5c/16 
8,0 mx = 210 294 0,3 0,86 1,00 
7,5 my = 140 196 0,22 0,7 
0,10 1,00 
1,00 
φ5c/20 
8,0 m’34 = 380 532 0,56 1,57 1,50 φ5c/12 
L3 
L4 
L5 
e 
L6 
8,0 m’35 = 470 658 0,70 1,96 
0,15 1,50 
1,96 φ6,3c/16 
 
 
As armaduras estão esquematizadas na Figura 7. 
 
 
 234 
 
400 
L2 
h=10 
L3 
h=10 
L4 
h=10 
L5 L6 
L1 
h=10 
35
0 
175 
N1 - 23 Ø 6.3 C/15 C= 187 
6 6 
74 
N3 - 18 Ø 6.3 C/20 C= 96 
16 6 
408 
> 10ø 
N2 - 18 Ø 5 C/20 C= 414 
6 
175 
N4 - 28 Ø 5 C/12 C= 187 
6 6 
408 6 
74 
16 6 
17
5 
6 
6 
17
5 
N
5 
- 2
0 
Ø
 5
 C
/2
0 
C
= 
36
4
 
6 
6 
6 
35
8 
35
0 
N2 - 18 Ø 5 C/20 C= 414 
35
8 
N3 - 18 Ø 6.3 C/20 C= 96 
10
ø 
> 
10
cm
 
N
6 
- 2
5 
Ø
 6
.3
 C
/1
6 
C
= 
18
7 
N
6 
- 2
5 
Ø
 6
.3
 C
/1
6 
C
= 
18
7 
N
5 
- 2
0 
Ø
 5
 C
/2
0 
C
= 
35
8
 
Figura 7 - Armaduras 
 235 
2.1. Verificação ao cisalhamento (Estado Limite Último - ELU) 
 (Item 19.4 da NBR 6118:2003) 
A verificação ao cisalhamento nas lajes é feita da seguinte maneira: 
VSd ≤ VRd1 
A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por: 
VRd1 = [τRd .k (1,2 + 40. ρ1) + 0,15.σcp] bw.d 
onde: 
τRd = 0,25 fctd = 0,32 MPa (Item 8.25 da NBR 6118) 
fctd = fctk,inf / γc = 1,282 MPa 
fctk,inf = 0,7.fctm = 0,7. 2,565 = 1,795 MPa 
fctm = 0,3.fck2/3 = 0,3.252/3 = 2,565 MPa 
ρ1 = Asx /bw. d = 1 /100 . 7,5 = 0,133% (não maior que 0,02) 
k = [1,6 – d] [m] = 1,6 – 0,075 = 1,525 > 1,0 
onde: 
Asx = 1 cm2 (considerando toda a armadura) 
bw = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d); 
NSd = 0 pois não existe força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento. 
σcp = NSd / Ac = 0 
Assim, 
VRd1 = [τRd .k (1,2 + 40. ρ1) + 0,15.σcp] bw.d = [0,032.1,525(1,2 + 40.0,00133)+ 0]100.7,5 
VRd1 = 45,86 kN/m 
VSd = px . γf = 4,82 .1,4 = 6,7 kN/m 
VRd1 = 45,86 > 6,7 = VSd 
Não há a necessidade de estribos 
NOTA: Quando se tratar de lajes maciças em concreto armado, sujeita a elevadas cargas 
acidentais, é possível chegar a valores críticos, com a utilização desta formulação. 
Neste caso pode-se utilizar a formulação descrita no comentário C19.4.1. 
 
 236 
2.2. Verificação da flecha (Estado Limite de Serviço - ELS) – Laje L1 (CQP) 
a) Cálculo do Momento de FissuraçãoMr = (α.fct,m. Ic)/yt = (1,5 . 1795.8,34.10-5) / 0,05 = 4,5 kN.m 
onde: 
α = 1,5 para seção retangular; 
fct = fctk,inf para no estado limite de formação de fissuras; ou fct,m no limite de deformação 
excessiva 
Ic = b.h3/12 que é momento de inércia da seção de base 100 cm – ESTÁDIO I; 
yt = 0,05 cm (distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada) 
Como: 
Mr = 4,5 kN.m > Ma = 1,79 kN.m 
Não se faz necessário o cálculo da flecha no ESTÁDIO II. 
b) Flecha imediata 
ai = (b.p.lx4) / 12.E.I0 . α2 = (1.4,1.3,54) / 12.1983,34.31,7 = 0,000 815 m 
onde: 
α2 = 31,7 (laje tipo 1 com ly/lx = 1,00) 
(Foram utilizadas as Tabelas de CZERNY para o cálculo de ai) 
p = g + α2 q = 4,1 kN/m2 (valor da carga para a combinação quase permanente (α2 = 0,3 
para edifícios residenciais). 
c) Flecha diferida no tempo 
Considerando a umidade relativa do ar em 40%, a espessura fictícia da peça em 20 cm e um 
período de 60 dias, ϕ(60, t0) = 3 é encontrado na Tabela 8.1 da NBR 6118:2003. 
af = ?ai. ϕ (t, t0)?= 0,000 815.3,0 = 0,002 445 m 
d) Flecha total 
Como está sendo levado em consideração que a estrutura esteja no ESTÁDIO I, tem-se: 
aT = a0 (1+ϕ) 
aT = 0,000 815 (1+3) = 0,003 26 mm 
e) Verificando os limites para deslocamentos 
aq+g ≤ lx / 250 = 3,5/250 = 0,014 m (Atende o Limite) 
 237 
2.3. Verificação da fissuração (Estado Limite de Serviço - ELS) 
O cálculo da fissuração é feito no Estádio II e a verificação da abertura máxima da fissura é 
feita, conforme a NBR 6118:2003. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Área de influência para a consideração da abertura de fissuras 







σ
η
φ
=






+
ρ
σ
η
φ
=
≤
ctmsi
2
si
1
1
2
risi
si
1
1
1
.
.3
.
.5,12
45
4
.
.5,12
fE
w
E
w
w 
onde: 
Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi; 
Esi é o módulo de elasticidade do aço da barra considerada (φi); 
φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; 
ρri é a taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento (Acri); 
σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II; 
η1 é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras dentadas e 2,25 
barras nervuradas) 
 
Figura 9 – Área crítica da abertura de fissuras segundo NBR 6118 
 
7,5 φ 
7,5 φ 7,5 φ 
 c 
Acrit 
7,5φ 
7,5φ 
7,5φ 7,5φ 
7,5
φ 
7,5
φ 
c < 7,5φ 
a 
(a < 15 
φ)
Ac
 
 238 
mmw
mmw
cmkNf
cmkNE
cmkN
Ad
M
A
A
ctm
si
s
d
si
crit
s
cri
086,0
256,0.21000
37,29.3
.
25,2.5,12
5
05,045
0254,0
4
21000
37,29
.
25,2.5,12
5
/2565,0
/21000
/37,29
1.8.8,0
188
..8,0
%54,20254,0
38,39
1
2
2
1
2
2
2
==
=


 +=
=
=
===σ
====ρ
 
w = 0,05 mm < wklim (Tabela 13.3 – NBR 6118) 
w < 0,4 mm (verificado). 
 
 239 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS CONCEITOS DA SEÇÃO 19 
 
PUNÇÃO EM LAJES LISAS: EXEMPLOS DE CÁLCULO 
 
 
Autores: 
José Luiz P. Melges (1); Libânio M. Pinheiro (2); Fernando R. Stucchi (3) 
 
Revisora: 
Nilvea Bugno Zamboni (4) 
 
 
(1) Professor Doutor, Departamento de Engenharia Civil 
UNESP, Faculdade de Engenharia Civil de Ilha Solteira 
E-mail: jlmelges@dec.feis.unesp.br 
 
(2) Professor Doutor, Departamento de Engenharia de Estruturas 
USP, Escola de Engenharia de São Carlos 
E-mail: libanio@sc.usp.br 
 
(3) Professor Livre-Docente, Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações 
USP, Escola Politécnica 
E-mail: fernando.stucchi@poli.usp.br 
 
(4) Eng. Civil, Diretora da ProjNet Engenharia Ltda. 
E-mail: nilvea@projnet.com.br 
 
 
 
1. Introdução 
 
O sistema estrutural conhecido como lajes lisas, no qual as lajes estão diretamente apoiadas 
nos pilares, pode oferecer diversas vantagens técnicas com relação ao sistema convencional 
de lajes, vigas e pilares, sendo mais econômico em muitos casos. 
 
Uma das grandes desvantagens das lajes lisas, protendidas ou não, é a possibilidade da 
punção da laje pelo pilar. A punção é um tipo de ruína que pode ocorrer quando forças 
concentradas, ou atuando em pequenas áreas, são aplicadas diretamente nas lajes, causando 
a sua perfuração. Como exemplo desta situação, tem-se a reação do pilar ao carregamento 
aplicado na laje, quando esta se apóia diretamente no pilar. É importante destacar que, no 
caso de edifícios de vários pavimentos, a ação concentrada que irá provocar a punção de uma 
determinada laje está relacionada aos carregamentos aplicados nesta laje, e não diretamente à 
força normal que atua no pilar. Um outro ponto importante é que a NBR 6118: 2003 leva em 
consideração o efeito de momentos fletores transferidos do pilar para a laje, na resistência da 
ligação. A punção está associada a esforços de cisalhamento e provoca uma separação 
completa entre a laje e o pilar. Como este tipo de ruína é frágil, deve-se, como diretriz de 
projeto, garantir que, caso a ruína ocorra, ela não se dê por punção, mas sim por flexão. 
 
 
 240 
2. Punção 
 
A superfície de ruína para pilares internos, com lajes e carregamento simétricos (casos 
simétricos), apresenta uma forma troncônica ou tronco-piramidal, partindo do contorno da área 
carregada e se estendendo até a outra face, com uma inclinação entre 30° a 35°, em relação 
ao plano médio da laje (figura 1). 
 
 
 
 a) Planta b) Corte A-A c) Perspectiva 
 
Figura 1 – Superfície de ruína para casos simétricos 
 
Para pilares de borda e de canto (casos assimétricos), mostrados nas figuras 2 e 3, 
respectivamente, a superfície de ruína se altera junto às bordas livres, permanecendo, no 
entanto, com a mesma forma dos casos simétricos, junto ao canto interno dos pilares de canto 
e junto à face interna dos pilares de borda. Esta modificação na superfície de ruína se deve, 
principalmente, à presença de momentos torçores e fletores, nestes tipos de ligações. 
 
 Perspectiva 
 
Figura 2 – Superfície de ruína para pilares de borda 
 
 241 
 
 Perspectiva 
 
Figura 3 – Superfície de ruína para pilares de canto 
 
Nos casos em que é necessário aumentar a resistência da ligação laje-pilar, soluções comuns 
como capitéis e “drop panels” podem ser indesejáveis do ponto de vista arquitetônico ou 
construtivo. Sendo assim, o uso de armaduras de cisalhamento para o combate à punção, ou, 
simplesmente, armaduras de punção, é uma alternativa vantajosa do ponto de vista estrutural, 
uma vez que este tipo de reforço, além de aumentar a resistência, aumenta também a 
ductilidade da ligação, contribuindo para a mudança do tipo de ruína frágil para dúctil. 
 
Conforme estudos realizados por REGAN (1985) e GOMES (1991), a superfície de ruína pode 
ser alterada se houver, na laje, a presença de armaduras de punção. Embora a ruptura por 
cisalhamento também seja possível, considerando-se a laje como sendo uma viga de grande 
largura, ela é pouco provável no caso das lajes lisas. Deste modo, desde que algumas 
condições sejam respeitadas, existem basicamente três possibilidades de ruptura: na primeira, 
a superfície de ruína atravessa a região armada; na segunda, com o aumento da quantidade 
de armadura nessa região, a superfície de ruína transfere-se para outra, localizada além da 
região armada, e, na terceira, quando se tem uma extensa região com armadura de punção, 
suficiente para se evitar a primeira possibilidade de ruína mencionada, a superfície de ruína 
transfere-se para a região localizada entre a face do pilar e a primeira linha de armadura de 
punção (figura 4). 
 
 
a) Atravessando a região armada 
 
 
 
b) Além da região armada 
 
 
 
c) Entre o pilar e a armadura de punção 
 
Figura 4 – Posições das superfícies de ruína para lajes com armadura de punção 
Fissuras “costuradas” pela 
armadura de punção 
Fissura “costurada” pela 
armadura de punção 
 242 
A Norma menciona que, como armadura de punção, podem ser usados estribos ou conectores 
tipo pino, mostrados nas figuras5 e 6, respectivamente. Ela menciona que, no caso de 
estribos, pressupõe-se o contato metálico entre as barras longitudinais e os cantos dos 
estribos. 
 
É de vital importância que a armadura esteja devidamente ancorada, pois, caso contrário, será 
considerada uma resistência adicional na ligação que, na realidade, não existe. Não deve 
haver folga na região de contato da armadura de flexão com os ganchos dos estribos e, no 
caso dos conectores tipo pino, deve-se garantir que a armadura de flexão negativa esteja 
abaixo da chapa de ancoragem superior do conector (figura 7). 
 
 
 
Figura 5 – Estribos 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Conectores tipo pino 
 
 
 
 
 a) ganchos b) conectores tipo pino 
 
Figura 7 - Ancoragem 
 
 
A Norma menciona ainda que a disposição dessa armadura em relação ao pilar pode assumir 
os seguintes formatos: disposição em cruz (figura 8) e disposição radial (figura 9). Embora 
 243 
uma disposição de conectores uniformemente distribuídos na região próxima ao pilar também 
seja possível, um estudo realizado por MELGES & PINHEIRO (2004) mostra que ela pode 
exigir um consumo maior de armadura, quando comparada com as outras opções 
mencionadas (figura 10). 
 
 
 
 
(DILGER, 1990) 
 
Figura 8 – Disposição em cruz 
 
 
 (MOTA, 2004) 
 
Figura 9 – Disposição radial 
 
 
 
 
 
Figura 10 – Disposição uniforme de armadura de punção 
 
 
 244 
Outro ponto de destaque é o problema do colapso progressivo. 
 
Em um edifício, a ruína localizada de uma ligação aumenta a força e a excentricidade nos 
pilares próximos, podendo desencadear a ruína generalizada de um pavimento e, até, de uma 
estrutura, se os painéis de laje caírem uns por cima dos outros. 
 
Essa sucessão de ruínas dos painéis é chamada de colapso progressivo, e ocorre devido à 
capacidade inadequada de uma ligação de absorver as tensões residuais de cisalhamento, 
relacionadas ao comportamento pós-punção. 
 
A principal medida para se evitar o colapso progressivo é garantir a ductilidade da ligação laje-
pilar. 
 
As armaduras negativas, posicionadas na parte superior da laje, podem até aumentar a 
resistência da ligação, mas não a sua ductilidade. 
 
Quando tem início o fenômeno da punção, elas tendem a romper o cobrimento superior, no 
ponto em que a fissuração começou, deformando consideravelmente a laje (figura 11a). 
 
As armaduras de punção até proporcionam um certo aumento de ductilidade, porém, muitas 
vezes são insuficientes para evitar o colapso progressivo. 
 
A solução que vem demonstrando melhores resultados é a utilização de barras na face inferior 
da laje (armadura positiva), passando pelos pilares ou ancoradas neles. 
 
Essa disposição é bastante efetiva na absorção das tensões residuais de cisalhamento, 
contribuindo para a melhoria do comportamento pós-punção, principalmente pelo chamado 
efeito pino (dowel action, Figura 11b). Para isso, é essencial que a ancoragem das barras 
esteja além do “cone” de punção. 
 
 Essa solução foi estudada por MELO (1994), que comprovou experimentalmente sua 
eficiência, desde que a armadura seja corretamente detalhada. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 – Comportamento da ligação laje-pilar após a ruína por punção (LIMA, 2001) 
 
 
 
 245 
3. Método das Bielas e Tirantes 
 
Para melhor compreender as recomendações da NBR 6118:2003, pode-se representar o 
comportamento estrutural da laje por meio do Método das Bielas e Tirantes. Neste método, 
considera-se o comportamento da estrutura de concreto armado semelhante ao 
comportamento de uma estrutura composta por barras comprimidas e tracionadas, ligadas 
entre si por meio de nós. As barras comprimidas (ou bielas) representam os campos de 
compressão a serem resistidos pelo concreto. Já as barras tracionadas (ou tirantes) 
representam os campos de tração a serem absorvidos pela armadura. Em alguns casos 
específicos, os campos de tração também podem ser absorvidos pelo concreto, como, por 
exemplo, no caso das lajes (figura 12). Detalhes a respeito da aplicação deste método ao 
comportamento das lajes podem ser encontrados na FIP/99. 
 
No caso da punção, para que a estrutura não entre em colapso, deve-se verificar a 
possibilidade do esmagamento da biela, cuja resistência está relacionada à resistência do 
concreto à compressão, bem como a possibilidade da ruína do tirante inclinado, cuja 
resistência está relacionada à resistência do concreto à tração (figura 13). De modo a 
simplificar essas verificações, ao invés de se trabalhar com tensões em bielas e em tirantes, 
comparam-se determinadas tensões de cisalhamento com parâmetros de resistência. 
 
 
 
Figura 12 – Esquema de bielas e tirantes para uma laje (figura adaptada da FIP/99) 
 
 
 
 a) Biela comprimida b) Tirante inclinado 
 
Figura 13 – Situações possíveis: esmagamento da biela comprimida ou ruína do tirante 
inclinado 
 246 
 
4. Recomendações Normativas 
 
A NBR 6118:2003 tem como base de suas verificações o método da superfície crítica. Neste 
método, calcula-se uma tensão solicitante uniforme de cisalhamento em uma determinada 
superfície crítica, perpendicular ao plano médio da laje, localizada a uma determinada distância 
da face do pilar ou da área carregada (figura 14), e compara-se o valor obtido com uma 
determinada tensão resistente. 
 
 
 
 
Figura 14 - Superfície crítica 
 
 
As superfícies críticas são definidas como sendo o produto de perímetros críticos pela altura útil 
da laje. Na figura 15 estão mostrados os perímetros críticos usados para a verificação da 
punção em pilares internos, de borda e de canto, para ligações sem e com armadura de 
punção. 
 
Quando não for prevista armadura de punção, duas verificações devem ser feitas: 
- verificação da compressão do concreto, no contorno C ( sd2Rd τ≥τ ) 
- verificação da punção, no contorno C’ ( sd1Rd τ≥τ ) 
 
Quando for prevista armadura de punção, três verificações devem ser feitas: 
- verificação da compressão do concreto, no contorno C ( sd2Rd τ≥τ ) 
- verificação da punção, no contorno C’ ( sd3Rd τ≥τ ) 
- verificação da punção, no contorno C” ( sd1Rd τ≥τ ) 
 
C, C’ e C” são os perímetros críticos, respectivamente, na face do pilar, à distância 2d da face 
do pilar e à distância 2d da última linha de armaduras. A determinação de cada um dos 
contornos críticos C, C’ e C” varia de acordo com a posição do pilar na estrutura (figura 15). 
 247 
 
 
 
Figura 15 - Perímetros críticos para pilares internos, de borda e de canto (GUARDA et al., 
2000) 
 
4.1 Cálculo das Tensões Resistentes 
Para o cálculo das tensões resistentes, são utilizadas as expressões indicadas a seguir. 
 
4.1.1 Na face do pilar (contorno C) 
cdv2Rd 27,0 f⋅α⋅=τ (Equação 1) 
sendo: 
αv - coeficiente de efetividade do concreto, dado por 





−=α
250
1 ck
f
v , fck em MPa; 
fck - resistência característica à compressão do concreto; 
fcd - resistência de cálculo à compressão do concreto. 
 
4.1.2 A 2d da face do pilar (contorno C’), em lajes sem armadura, ou a 2d da última linha 
de conectores (contorno C”), em lajes armadas 
( ) 31ck1Rd 100
20
113,0 f
d
⋅ρ⋅⋅







+⋅=τ (Equação 2) 
sendo: 
fck - resistência característica à compressão do concreto, em MPa; 
d - altura útil da laje no contorno crítico estudado, em centímetros, dada por 
2
yx dd
d
+
= , 
como indicado na figura 16; 
ρ - taxa geométrica de armadura longitudinal, dada por yx ρ⋅ρ=ρ . 
 
Para o cálculo de ρx e ρy, que representam as taxas de armaduras ortogonais, nas direções x e 
y, respectivamente, deverá ser considerada uma faixa de largura igual à dimensão do pilar, 
mais 3d para cada lado, ou até a borda, se for mais próxima (figura 16). 
 
 
 248 
 
Figura 16 - Altura útil (d) da laje e seção para o cálculo da taxa de armadura (ρ) 
 
 
4.1.3 A 2d da face do pilar (contorno C’), em lajes armadas 
( )
du
fA
s
d
f
d ⋅
α⋅⋅
⋅⋅+⋅ρ⋅⋅







+⋅=τ
sen
5,1100
20
110,0
ywdsw
r
3
1ck3Rd (Equação 3) 
sendo: 
 
Asw - área da armadura de punção num contorno paralelo a C’ (figura 17); 
 
fywd - resistência de cálculo da armadura de punção, em MPa; 
 
O valor de fywd não poderá ser superior a 300 MPa (para conectores) para lajes de altura até 15 
cm. Se essa altura for superior a 35 cm, fywd poderá chegar a 435 MPa. Para valores 
intermediários da altura da laje, permite-se fazer interpolação linear. 
 
α - inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje; 
 
sr - espaçamento radial entre linhas de conectores; 
 
u - perímetro crítico do contorno C’, que varia de acordo com a posição do pilar. 
 
 
 
Figura 17 - Contorno paralelo a C’ com armadura total Asw 
 
 
4.2 Cálculo das Tensões Solicitantes 
 
As tensões solicitantes variam de acordo com a posição dos pilares e, é claro, com o tipo de 
carregamento a que eles estiverem submetidos. 
 
 
 
 249 
4.2.1 Pilar interno, com carregamento simétrico 
du
Fsd
⋅
=τsd (Equação 4) 
 
sendo: 
 
FSd - força normal de cálculo, dada por d1d2Sd NNF −= (figura 18). A NBR 6118:2003 permite 
também uma redução da reação do pilar para a verificação da punção, de valor igual ao da 
força distribuída aplicada na face oposta da laje, dentro do perímetro crítico; 
 
 
 
 
a) Esquema dos esforços na ligação 
laje-pilar 
b) Distribuição de tensões na superfície de 
controle devida a um momento de transferência 
da laje ao pilar 
 
Figura 18 – Determinação de FSd e MSd (STUCCHI & KNAPP, 1993) 
d - altura útil da laje no contorno crítico estudado; 
u - perímetro crítico do contorno estudado (tabela 1); 
c1 e c2 - dimensões do pilar; 
p - distância da face do pilar até a última linha de conectores. 
Tabela 1 – Perímetros críticos para pilares internos 
 
Contorno Crítico Perímetro Crítico u 
C 
 
)(2 21 ccu +⋅= 
 
C’ 
 
dccu ⋅π⋅++⋅= 4)(2 21 
 
C” 
 
u : depende da distribuição de armadura adotada. No caso da 
figura 15, tendo-se uma distribuição radial em relação aos cantos do 
pilar, tem-se a seguinte expressão: 
 
pdccu ⋅π⋅+⋅π⋅++⋅= 24)(2 21 
 
 250 
4.2.2 Pilar interno, com momento em uma direção 
dW
MK
du
F
sd ⋅
⋅
+
⋅
=τ
p
SdSd (Equação 5) 
sendo: 
 
K - coeficiente que fornece a parcela de momento que é transmitida ao pilar por cisalhamento, 
e depende da relação 
2
1
c
c
 entre as dimensões do pilar (figura 19); 
Tabela 2 - Valores do coeficiente K 
 
c1/c2 0,5 1 2 3 
K 0,45 0,60 0,70 0,80 
c1 - dimensão do pilar na direção da excentricidade; 
c2 - dimensão do pilar na direção perpendicular à excentricidade; 
 
 
Figura 19 – Dimensões de c1 e c2 
MSd - momento desbalanceado de cálculo, dado por d1d2Sd MMM += (figura 18); 
Wp - módulo de resistência plástica do perímetro crítico (tabela 3), dado por ∫ ⋅=
u
de W 
0
p l , 
onde 
dl é o comprimento infinitesimal de u e e é a distância de dl ao eixo que passa pelo centro do 
pilar e em torno do qual atua MSd. 
 
Tabela 3 - Valores de Wp para pilares internos 
Contorno 
Crítico Wp 
C Não se considera a influência do momento fletor neste perímetro crítico. 
C’ 1
2
221
2
1
p 21642
dcddccc
c
W π++++= 
C” 
pW : depende da distribuição de armadura. No caso da figura 15, para distribuição 
radial em relação aos cantos do pilar, tem-se a expressão: 
pcpdppcdcddccc
c
WW pp 1
2
21
2
221
2
1
21 416221642
π++++π++++== 
Observação: os valores de Wp, u e d, em cada verificação, correspondem ao contorno estudado. 
 
4.2.3 Pilar interno, com momentos nas duas direções 
dW
MK
dW
MK
du
FS
sd ⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
=τ
2p
2Sd2
1p
Sd11d (Equação 6) 
 251 
sendo: 
MSd1 e MSd2 - momentos desbalanceados de cálculo; 
K1 e K2 - coeficientes dados pela tabela 2. 
Valem as mesmas definições anteriores. Observa-se que, para o cálculo das grandezas de 
cada uma das parcelas dos momentos, as dimensões c1 e c 2 se invertem (figura 20). 
 
 
c1
c2M sd1
M sd2
c2
c1
 
Figura 20 - Dimensões c1 e c2 para pilares internos com momentos nas duas direções 
 
4.2.4 Pilar de borda, sem momento paralelo à borda livre 
 
dW
MK
du
F
sd ⋅
⋅
+
⋅
=τ
1p
Sd1Sd
*
 (Equação 7) 
sendo: 
 
u* - perímetro crítico reduzido do contorno estudado (figura 21 e tabela 4). 
 
 
 
Figura 21 - Perímetro crítico reduzido para o contorno C’ em pilares de borda 
 
 
 
 252 
Tabela 4 - Perímetros críticos reduzidos para pilares de borda 
 
Contorno 
Crítico 
Perímetro Crítico Reduzido u* 
C 22* cau +⋅= 
C’ dcau ⋅π⋅++⋅= 22* 2 
C” 
*u : depende da distribuição de armadura. No caso da figura 15, para 
 distribuição radial em relação aos cantos do pilar, tem-se a expressão: 
 pdcau ⋅π+⋅π⋅++⋅= 22* 2 
a - menor valor entre 1,5 d e 0,5 c1; 
MSd - momento de cálculo resultante, dado pela expressão 0*)( 1 ≥−= SdSdSd MMM ; 
MSd1 - momento no plano perpendicular à borda livre; 
MSd* - momento resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u* em relação ao 
centro do pilar, no plano perpendicular à borda livre, ou seja, ** eFM SdSd ⋅= ; 
e* - excentricidade do perímetro crítico reduzido (figura 22 e tabela 5), dada por: 
∫
∫ ⋅
=
*
0
*
0*
u
u
d
de
e
 
l
l
 
 
2dab
e*
2d
2d
2d
1c / 2
c1
2c
Borda livre da laje
a ≤ 1,5d ou 0,5c
Perímetro crítico reduzido u*
 
 
Figura 22 - Excentricidade do perímetro crítico reduzido para o contorno C’ em pilares de 
borda 
 253 
 
Tabela 5 - Excentricidades dos perímetros críticos reduzidos para pilares de borda 
 
Contorno Crítico Excentricidade do perímetro crítico e* 
C Não se considera a influência do momento fletor neste perímetro crítico 
C’ 
dca
cdddc
cc
aac
e
⋅π⋅++⋅
⋅⋅π+⋅+⋅⋅+
⋅
+−⋅
=
22
82
2*
2
1
2
2
212
1
 
C” 
e*: depende da distribuição de armadura. No caso da figura 15, para 
distribuição radial em relação aos cantos do pilar, tem-se a expressão: 
 
pdca
p
cp
 pdpc 
cdddc
cc
aac
e
⋅π+⋅π⋅++⋅












⋅+
⋅⋅π
+⋅⋅+⋅+
+⋅⋅π+⋅+⋅⋅+
⋅
+−⋅
=
22
2
2
8
82
2
*
2
21
2
1
2
2
212
1
 
 
 
Wp1 - módulo de resistência plástica na direção perpendicular à borda livre (tabela 6) 
 
Tabela 6 - Valores de Wp1 para pilares de borda 
 
Contorno 
Crítico Wp1 
C Não se considera a influência do momento fletor neste perímetro crítico 
C’ 1
2
2
21
2
1
1 8222
cdddc
ccc
Wp ⋅⋅π+⋅+⋅⋅+
⋅
+= 
C” 
1pW : depende da distribuição de armadura. No caso da figura 15, para 
distribuição radial em relação aos cantos do pilar, tem-se a expressão: 
 
21
21
2
2
21
2
1
1 22
882
22
p
cp
 pdpccdddc
ccc
Wp ⋅+
⋅⋅π
+⋅⋅+⋅+⋅⋅π+⋅+⋅⋅+
⋅
+= 
 
4.2.5 Pilar de borda, com momento paralelo à borda livre 
 
dW
MK
dW
MK
du
F
p
Sd
p
SdSd
sd ⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
=τ
2
22
1
1
*
 (Equação 8) 
onde valem as mesmas definições anteriores, e mais: 
 
MSd2 - momento no plano paralelo à borda livre; 
 
Wp2 - módulo de resistência plástica na direção paralela à borda livre (tabela 7); 
 
 254 
 
Tabela 7 - Valores de Wp2 para pilares de borda 
 
Contorno 
Crítico Wp2 
C Não se considera a influência do momento fletor neste perímetro crítico 
C’ 2
2
121
2
2
2 844
cdddccc
c
Wp ⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅+= 
C” 
2pW : depende da distribuição de armadura. No caso da figura 15, para 
distribuição 
 radial em relação aos cantos do pilar, tem-se a expressão: 
 
22
12
2
121
2
2
2 22
8284
4
p
cp
 pdpccdddccc
c
Wp ⋅+
⋅⋅π
+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅+= 
 
K2 - coeficiente dado pela tabela 2, mas que depende da relação 
1
2
2 c
c
⋅
. 
4.2.6 Pilar de canto 
 
As verificações são realizadas, separadamente, para cada uma das direções, sendo que, para 
cada borda adotada, deverá ser considerado o momento no plano perpendicular a ela (figura 
23). Assim, valem as disposições para pilares de borda, sem momento no plano paralelo à 
borda livre. 
 
 
Figura 23 - Situações para verificação de pilares de canto 
 
O coeficiente K1 é obtido normalmente de acordo com a tabela 2, sendo c1 sempre o lado 
perpendicular à borda adotada(figura 23). 
 
O perímetro crítico reduzido u* (figura 24) tem os valores indicados na tabela 8. 
 
A excentricidade do perímetro crítico e* (figura 25) tem os valores indicados na tabela 9. 
 
O módulo de resistência plástica Wp1 tem os valores dados na tabela 10. 
 255 
2d
2d
c
Bordas livres da laje
a ≤ 1,5d ou 0,5c
Perímetro crítico u Perímetro crítico 
2d
2d
reduzido u* 
 
Figura 24 - Perímetro crítico reduzido para o contorno C’, em pilares de canto 
 
 
 
Figura 25 - Excentricidade do perímetro crítico reduzido para o contorno C’, em pilares 
de canto 
 
Tabela 8 - Perímetros críticos reduzidos para pilares de canto 
 
Contorno 
Crítico Perímetro Crítico Reduzido u* 
C 21* aau += 
C’ daau ⋅π++= 21* 
C” 
u*: depende da distribuição de armadura. No caso da figura 15, para 
 distribuição radial em relação aos cantos do pilar, tem-se a 
expressão: 
 
2
* 21
p
daau
⋅π
+⋅π++= 
 
 
 256 
Tabela 9 - Excentricidades dos perímetros críticos reduzidos para pilares de canto 
Contorno 
Crítico Excentricidade do perímetro crítico e* 
C Não se considera a influência do momento fletor neste perímetro crítico 
C’ ( )daa
cdddacaaac
e
⋅π++⋅
⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅+−⋅
=
21
1
2
212
2
111
2
84
* 
C” 
e*: depende da distribuição de armadura. No caso da figura 15, para 
distribuição radial em relação aos cantos do pilar, tem-se a expressão: 
 





 ⋅π+⋅π++⋅










⋅+
⋅⋅π
+⋅⋅+⋅⋅+
⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅+−⋅
=
2
2
2
2
82
84
*
21
21
2
1
2
212
2
111
p
daa
p
cp
 pdpa 
cdddacaaac
e 
 
Tabela 10 - Valores de Wp1 para pilares de canto 
Contorno 
Crítico 
Wp1 
C 
O conceito de 1pW não se aplica a este contorno crítico pois, na verificação 
deste perímetro crítico, não se considera a influência do momento fletor 
C’ 
2
42
24
12
2
21
2
1
1
cd
ddc
ccc
Wp
⋅⋅π
+⋅+⋅⋅+
⋅
+= 
C” 
1pW : depende da distribuição de armadura. No caso da figura 15, para 
distribuição radial em relação aos cantos do pilar, tem-se a expressão: 
21
2
12
2
21
2
1
1 4
4
2
42
24
p
cp
 pdpc
cd
ddc
ccc
Wp +
⋅⋅π
+⋅⋅+⋅+
⋅⋅π
+⋅+⋅⋅+
⋅
+=
 
 
4.3 Disposições Construtivas 
 
A armadura de punção deve ser constituída de pelo menos três linhas de conectores tipo pino, 
dispostas, por exemplo, como indicado nas figuras 15 e 26. Para os pilares de borda e canto, 
recomenda-se dispor os conectores além do perímetro crítico reduzido, apesar dessa área de 
aço não ser computada na verificação. 
 
 
 
 
Figura 26 - Disposições das armaduras de punção 
 
Para garantir a absorção das tensões cisalhantes, há necessidade de se atenderem aos 
espaçamentos máximos indicados na figura 27: sr ≤ 0,75d (entre duas linhas de conectores), 
 257 
so ≤ 0,5d (entre a face do pilar e a primeira linha de conectores) e se ≤ 2d (entre os conectores 
mais afastados do pilar). Se este último limite não puder ser respeitado, parte do perímetro a 
ser usado na verificação do contorno C” deverá ser desprezada. 
 
 
 
Figura 27 – Espaçamentos das armaduras de punção 
 
As extremidades dos conectores devem estar ancoradas fora do plano da armadura de flexão 
da laje e as placas de ancoragem (superior e inferior), devem atender aos limites mínimos, 
indicados na figura 28. 
 
 
 
Figura 28 – Detalhes dos conectores 
 
Para a proteção contra o colapso progressivo, a armadura de flexão positiva, mostrada na 
figura 28, que atravessa o contorno C, deve estar ancorada além do perímetro C’ e deve 
satisfazer à condição: 
 
sdyds FfA ≥⋅ 
sendo: 
 
As - soma das áreas das barras que cruzam cada uma das faces do pilar 
 
fyd - valor de cálculo da resistência do aço. 
 258 
 
5. Exemplos 
 
São apresentados exemplos adaptados de GUARDA et al. (2000). 
 
5.1 Dados Iniciais 
 
Para o pavimento mostrado na figura 29, serão estudadas as regiões dos pilares P1, P2 e P6. 
 
 
 
 
Figura 29 - Forma do pavimento do exemplo (dimensões em centímetros) 
 
5.2 Esforços 
 
Os esforços nas ligações laje-pilar, mostrados na tabela 11, foram obtidos pelo processo dos 
pórticos equivalentes conforme recomendações do ACI 318 (1999). Em função da dupla 
simetria, foram definidas apenas duas faixas de projeto. 
 
Tabela 11 – Esforços nas ligações laje-pilar 
Esforço Pilar Dimensões 
(cm x cm) N (kN) Mx (kN.m) My (kN.m) 
P1 30 x 30 40,4 12,63 12,63 
P2 40 x 30 123,9 28,39 28,56 
P6 40 x 40 252,7 42,38 42,38 
 
5.3 Armadura de flexão 
 
O dimensionamento e o detalhamento da laje foram feitos de acordo com as recomendações 
da NBR 6118:2003. Os detalhamentos das armaduras positiva e negativa, dispostas na direção 
x, estão indicados nas figuras 30 e 31. Destaca-se que a edificação apresenta simetria com 
relação às duas direções, x e y. 
 
 259 
 
 
Figura 30 - Armadura positiva, simétrica nas 
duas direções 
Figura 31 - Armadura negativa, simétrica 
nas duas direções 
 
Deste ponto em diante, exceto onde indicado, os itens referem-se à NBR 6118:2003. 
 
Considerando-se uma classe de agressividade ambiental II (ambiente urbano, tabela 6.1 da 
Norma) e uma tolerância de execução em obras correntes (∆c) igual a 10 mm (item 7.4.7.3), o 
cobrimento da armadura deveria ser igual a 25 mm (tabela 7.2 da Norma). No entanto, para 
ambientes internos secos, é possível admitir um microclima com uma classe de agressividade 
mais branda (um nível acima), conforme a tabela 6.1 da Norma. Sendo assim, adotou-se o 
cobrimento (c) da armadura como sendo igual a 20 mm. As alturas úteis, nas direções x e y, 
são calculadas pelas expressões: 
 cm chd x 5,152/0,12182/ =−−=φ−−= 
 cm dd xy 5,1415,15 =−=φ−= 
Portanto, a altura útil considerada para esta laje será: cm 
dd
d yx 15
2
=
+
= 
Observação: para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de 
contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de 
revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos 
asfálticos e outros tantos, a NBR 6118:2003 permite que as exigências da tabela 7.2 sejam 
substituídas pelas recomendações dadas no item 7.4.7.5, respeitando-se um cobrimento 
nominal maior ou igual a 15 mm. 
 
A resistência característica à compressão do concreto (fck) adotada foi de 30 MPa. Sendo 
assim, a resistência de cálculo à compressão do concreto (fcd) é dada pela expressão: 
 
MPa421
41
30
cd ,,
f == 
 
 
 260 
5.4 Pilar P6 (Pilar Interno) 
 
Esforços atuantes na ligação: 
§ kN8,3537,2524,1Sd F =⋅= 
§ cmkN 9335m.kN33,5938,424,1y).(dir2Sdx)(direção1Sd ⋅==⋅== MM 
5.4.1 Verificação do contorno C (face do pilar, item 19.5.3.1) 
§ Tensão resistente (Equação 1): MPa 09,543,21
250
30
127,02Rd =⋅




 −⋅=τ 
§ Tensão solicitante: para este perímetro crítico, não se considera a influência do momento 
fletor. A determinação da tensão solicitante deverá ser feita por meio da equação 4: 
du
F
⋅
=τ SdSd , onde o perímetro do pilar interno é: u = 2 (40+40) = 160 cm 
∴ MPa47,1
cm
kN
147,0
15160
8,353
2Sd
 ==
⋅
=τ 
 
• Verificação: 
 
MPa)47,1(MPa)09,5( Sd2Rd =τ≥=τ ⇒ OK 
 
Observação: o valor de 2Rdτ poderia ter sido ampliado de 20%, uma vez que os vãos que 
chegam a este pilar interno não diferem mais de 50% e não existem aberturas junto ao pilar 
(item 19.5.3.1). 
 
5.4.2 Verificação do contorno C´ (a 2d da face do pilar) 
 
§ Tensão resistente (Equação 2, item 19.5.3.2) 
 
De acordo com as figuras 31 e 32, tem-se que: 
 
Quantidade de barras (q) = faixa / espaçamento 
 
Espaçamento entre as barras: φ10 cd 18 + φ10 cd 18 = φ10 cd 9 cm 
 
∴ barras144,14
9
15340153
≈=
⋅++⋅
=q (a favor da segurança, arredondar para menos) 
005558,0
)401532(5,15
8,014
=
+⋅⋅⋅
⋅
=ρx 
005942,0
)401532(5,14
8,014
=
+⋅⋅⋅
⋅
=ρy 
 
005747,0005942,0005558,0 =⋅=ρ⋅ρ=ρ yx 
Figura 32 – Seção para o cálculo de ρ 
( ) MPa72,030005747,0100
15
20
113,0
31
Rd1 =⋅⋅⋅







+⋅=τ 
 
§ Tensão solicitante (Equação 6, tabelas 1 e 3, item 19.5.2.2): 
 
cmu 5,348154)4040(2 =⋅π⋅++⋅= tabelado)te(coeficien6,021 == KK 
 
 261 
22
2
2p1p cm170124015215161540440402
40
=⋅⋅π⋅+⋅+⋅⋅+⋅+== WW 
MPa 07,1107,00390,00677,0
1517012
59336,0
2
155,348
8,353
Sd ==+=





⋅
⋅
⋅+
⋅
=τ
2cm
kN
 
 
§ Verificação: MPa)07,1(MPa)72,0(1 =τ<=τ sdRd ⇒ Não OK! Armadura de punção! 
 
Respeitando os espaçamentos mínimos, verificar a possibilidade de adotar armadura de 
punção de conectores tipo pino φ 6,3 mm, aço CA-50, distribuídos em três linhas, num arranjo 
como o da figura 33. 
 
 
 
 
Figura 33 – Arranjo de conectores tipo pino para o pilar P6 
 
Para conectores de aço CA-50, sendo 18 cm a espessura da laje: 
 
1835
435
1535
300435 ywd
−
−
=
−
− f
 ⇒ MPa320ywd f = 
A área de aço total em cada linha é dada por: 2sw cm12,532,016 A =⋅= 
E assim, a nova tensão resistente, agora da região armada (item 19.5.3.3), é dada pela 
Equação 3. 
( ) MPa26,1705,0557,0
155,348
132012,5
10
15
5,130005747,0100
15
20
110,0
31
3Rd =+=⋅
⋅⋅
⋅⋅+⋅⋅⋅







+⋅=τ
 
§ Nova verificação: MPa)07,1(MPa)26,1( Sd3Rd =τ>=τ ⇒ OK 
 
5.4.3 Verificação do contorno C” (a 2d da região armada, item 19.5.3.2) 
 
§ Tensão resistente (Equação 2): MPa72,0Rd1 =τ (calculada no item anterior) 
 
§ Tensão solicitante (Equação 6): 
 
Com base na figura 34 e utilizando as tabelas 1 e 3, tem-se: 
 262 
 
 
Figura 34 – Perímetro crítico além da região armada 
 
cm2710107 p =++= 
cm1,518272154)4040(2 u =⋅π⋅+⋅π⋅++⋅= 
22
2
1p cm119272740274271516274024015215161540440402
40
=⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅π⋅+⋅+⋅⋅+⋅+=W
quadrado)é(pilarcm11927 21p2p WW == 
Portanto: 
 
§ Verificação: MPa)63,0(MPa)72,0( SdRd1 =τ>=τ ⇒ OK 
 
5.4.4 Verificação do Colapso Progressivo (item 19.5.4) 
Cada face do pilar é atravessada por 3 φ 10 mm (figura 30). 
2cm6,98,012 As =⋅= 
kN4,417
15,1
50
6,9yd fAs =⋅=⋅ 
dyds SFfA ≥⋅ ⇒ 8,3534,417 ≥ ⇒ OK 
 
 263 
5.5 Pilar P2 (Pilar de Borda) 
Esforços atuantes na ligação: 
kN5,1739,1234,1Sd F =⋅= 
cmkN 3975m.kN75,3939,284,1Sdx ⋅==⋅= M 
cmkN 3998m.kN98,3956,284,1sdy ⋅==⋅= M 
SdySd1 MM = (perpendicular à borda livre) 
Sdx2Sd MM = (paralelo à borda livre) 
cm301 c = (perpendicular à borda livre) 
cm402 c = (paralelo à borda livre) 
5.5.1 Verificação do contorno C (face do pilar, item 19.5.3.1) 
 
§ Tensão resistente: MPa 09,52Rd =τ (já calculada no item 5.4.1 deste texto) 
 
§ Tensão solicitante: 
Utiliza-se a equação 7, desprezando-se o efeito do momento fletor: 
du
F
⋅
=τ
*
Sd
Sd 
Pela tabela 4: 



=⋅=⋅
=⋅=⋅
≤
cm15305,0
cm5,22155,15,1
 c0,5
 d
a
1
 
 cm15 a = 
 
cm7040152* u =+⋅= 
 
Portanto: MPa65,1
cm
kN
165,0
1570
5,173
2Sd
 ==
⋅
=τ 
 
§ Verificação: )65,1()09,5( Sd2Rd MPaMPa =τ≥=τ ⇒ OK 
 
5.5.2 Verificação do contorno C´ (a 2d da face do pilar) 
 
§ Tensão resistente (Equação 2): 
 
Com base nas figuras 16 e 31, tem-se: 
 
a) Direção x 
 
Quantidade de barras (q) = faixa / espaçamento 
 
Espaçamento entre as barras: φ10 cd 16 + φ10 cd 16 = φ10 cd 8 cm 
 
barras91,9
8
230153
≈=
−+⋅
=xq (a favor da segurança, arredondar para menos) 
005465,0
)40153(5,15
8,09
=
+⋅⋅
⋅
=ρx 
 
b) Direção y 
 
Quantidade de barras (q) = faixa / espaçamento 
 
Espaçamento entre as barras: φ 6,3 cd 11 cm 
 264 
 
barras118,11
11
402153
≈=
+⋅⋅
=yq (a favor da segurança, arredondar para menos) 
 
001867,0
)401532(5,14
32,011
=
+⋅⋅⋅
⋅
=ρy 
 
c) Taxa de armadura: 003195,0001867,0005465,0 =⋅=ρ⋅ρ=ρ yx 
Portanto: ( ) MPa60,030003195,0100
15
20
113,0
31
Rd1 =⋅⋅⋅







+⋅=τ 
 
§ Tensão solicitante (Equação 8): 
 
Pelas tabelas 4 e 5, respectivamente: 
 
cm2,16415240152* u =⋅π⋅++⋅= 
 
cme 9,31
15240152
301515815402
2
4030
151530
*
22
=
⋅π⋅++⋅
⋅⋅π+⋅+⋅⋅+
⋅
+−⋅
= 
 
cmkN55359,315,173** SdSd ⋅=⋅=⋅= eFM 
 
0 cmkN1537)55353998(*)( SdSd1Sd ≤⋅−=−=−= MMM ⇒ 0M =Sd 
 
Pelas tabelas 6 e 7, respectivamente: 
 
22
2
1p cm54643015158154022
4030
2
30
 W =⋅⋅π+⋅+⋅⋅+
⋅
+= 
 
22
2
2p cm708540151581530440304
40
 W =⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅+= 
 
Os valores de K1 e K2 são: 
 
K1 (coeficiente tabelado em função da relação C1/C2 = 30 / 40 = 0,75) = 0,525 
 
K2 (coeficiente tabelado em função da relação C2 / (2 C1) = 40 / 60 = 0,67) = 0,5 
 
MPa89,00891,00187,000704,0
157085
39755,0
155464
0525,0
152,164
5,173
Sd ==++=⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
=τ
2cm
kN
 
 
• Verificação: MPa)89,0(MPa)60,0( SdRd1 =τ<=τ ⇒ Não OK! Armadura de punção! 
 
Respeitando-se os espaçamentos mínimos, será adotada novamente uma armadura de 
punção constituída por conectores tipo pino, com φ 6,3 mm, aço CA-50, distribuídos em três 
linhas, conforme arranjo mostrado na figura 35. 
 
A área de aço total em cada linha é dada por: 2sw cm88,232,09 A =⋅= 
 265 
 
E assim, a nova tensão resistente, agora da região armada, é dada pela Equação 3. 
 
( ) MPa30,1842,0458,0
152,164
132088,2
10
15
5,130003195,0100
15
20
110,0
31
3Rd ≈+=⋅
⋅⋅
⋅⋅+⋅⋅⋅







+⋅=τ 
so = 7,0 cm
sr = 10 cm
se = 20,66 cm7,0 cm
10 cm
10 cm
a = 15 cm
 
 
Figura 35 - Arranjo de conectores tipo pino para o pilar P2 
 
• Nova verificação: MPa)89,0(MPa)30,1( Sd3Rd =τ>=τ ⇒ OK 
 
 Verificação do contorno C” (a 2d da região armada) 
 
§ Tensão resistente (Equação 2): MPa 60,0Rd1 =τ (calculada no item anterior) 
 
§ Tensão solicitante (Equação 8): 
 
Com base na figura 36 e utilizando-se as tabelas 4 e 5, tem-se: 
 
cm2710107 p =++= 
 
cm u 1,2492715240152* =⋅π+⋅π⋅++⋅= 
 
2715240152
272
2
3027
271582740
301515815402
2
4030
151530
*
2
22
⋅π+⋅π⋅++⋅












⋅+⋅⋅π+⋅⋅+⋅+
+⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅+−⋅
=
 
e
 
 
 
cm e 3,49* = 
 
 
cmkN85543,495,173** SdSd ⋅=⋅=⋅= eFM 
 
 
Figura 36 – Perímetro 
crítico além da região 
armada 
 
0 MMM ≤⋅−=−=−= cmkN4556)85543998(*)( SdSd1Sd ⇒ 0Sd =M 
 
Pelas tabelas 6 e 7, respectivamente: 
 
22
2
1p cm514122722
3027
271582740301515815402
2
4030
2
30
 W =⋅+
⋅⋅π
+⋅⋅+⋅+⋅⋅π+⋅+⋅⋅+
⋅
+=
 
 266 
22
2
2 cm099152722
4027
27158273024015158153044030
4
40
 Wp =⋅+
⋅⋅π
+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅+=
 
MPa55,0
cm
kN
0552,000878,000464,0
1509915
39755,0
1551412
0525,0
151,249
5,173
2Sd
==++=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
=τ 
 
 
• Verificação: MPa)55,0(MPa)60,0( SdRd1 =τ>=τ ⇒ OK 
 
5.5.4 Verificação do Colapso Progressivo 
Cada face perpendicular à borda livre é atravessada por 3 φ 8 mm. Já a face paralela à borda 
livre é atravessada por 3 φ 10 mm (figura 30). 
 
 2s cm4,58,035,06 A =⋅+⋅= 
 kN8,234
15,1
50
4,5yds fA =⋅=⋅ 
 Sdyds FfA ≥⋅ ⇒ 5,1738,234 ≥ ⇒ OK 
 
 
 267 
5.6 Pilar P1 (pilar de canto) 
 
Esforços atuantes na ligação: 
 
kN6,564,404,1Sd F =⋅= 
cmkN 1768 m.kN68,1763,124,1SdySdx ⋅==⋅== MM 
5.6.1 Verificação do Contorno C (face do pilar) 
 
§ Tensão resistente (Equação 1): MPa09,52Rd =τ (calculada no item anterior 5.4.1) 
 
§ Tensão solicitante: 
Utiliza-se a equação 7, desprezando-se o efeito do momento fletor: 
du
F
⋅
=τ
*
Sd
Sd 
Pela tabela 8, tem-se que: 



=⋅=⋅
=⋅=⋅
≤=
cm15305,0
cm5,22155,15,1
21 c0,5
 d
aa
1
 
cm1521 aa == 
 cm30152* u =⋅= 
MPa26,1
cm
kN
126,0
1530
6,56
2Sd
 ==
⋅
=τ 
 
• Verificação: MPa)26,1(MPa)09,5( Sd2Rd =τ≥=τ ⇒ OK 
 
5.6.2 Verificação do contorno C´ (a 2d da face do pilar) 
 
Como o pilar é quadrado (c1 = c2), e os momentos nas duas direções são iguais, a verificação 
separada para cada uma das bordas será a mesma (figura 37). 
 
 
 
Figura 37 - Situações de cálculo para o pilar P1 
 
• Tensão resistente (Equação 2, item 19.5.3.2): 
 
Com base nas figuras 16 e 31, tem-se: 
 
Quantidade de barras (q) = faixa / espaçamento 
 
Espaçamento entre as barras: φ 6,3 cd 11 cm 
barras68,6
11
15330
≈=
⋅+
=q (a favor da segurança, arredondar para menos) 
 
 
 268 
001652,0
)3045(5,15
32,06
=
+⋅
⋅
=ρx 
 
001766,0
)3045(5,14
32,06
=
+⋅
⋅
=ρy 
 
001708,0001766,0001652,0 =⋅=ρ 
 
( ) MPa48,030001708,0100
15
20
113,0
31Rd1 =⋅⋅⋅







+⋅=τ 
 
§ Tensão solicitante (Equação 7): 
 
Pelas tabelas 8 e 9, respectivamente: 
 
cm1,77151515* u =⋅π++= 
 
( ) cm0,311515152
3015158151543015151530
*
22
=
⋅π++⋅
⋅⋅π+⋅+⋅⋅+⋅+−⋅
=e 
 
cmkN17550,316,56** SdSd ⋅=⋅=⋅= eFM 
 
0 MMM >⋅=−=−= cmkN13)17551768(*)( SdSd1Sd , 
 
lembrando que SdxSd1 MM = na 1
a situação, e SdySd1 MM = na 2
a situação. 
Pela tabela 10: 22
2
1p cm31822
3015
15415302
2
3030
4
30
 W =
⋅⋅π
+⋅+⋅⋅+
⋅
+= 
 
∴ MPa49,0
cm
kN
0491,00002,00489,0
153182
136,0
151,77
6,56
2Sd
 ==+=
⋅
⋅
+
⋅
=τ 
 
§ Verificação: MPa)49,0(MPa)48,0( SdRd1 =τ<=τ ⇒ Não OK! 
 
Como a diferença entre as tensões atuante e resistente é pequena, uma opção é aumentar a 
taxa de armadura de flexão para esta ligação. 
 
Solução adotada: diminuir o espaçamento da armadura de flexão negativa para 
φ 6,3 cd 10 cm. 
 
Sendo assim, tem-se que: 
 
Quantidade de barras (q) = faixa / espaçamento 
 
barras75,7
10
15330
≈=
⋅+
=q (a favor da segurança, arredondar para menos) 
 
 
 
 
 
 269 
001927,0
)3045(5,15
32,07
=
+⋅
⋅
=ρx 
 
002060,0
)3045(5,14
32,07
=
+⋅
⋅
=ρy 
 
( ) MPa51,030001992,0100
15
20
113,0
31
Rd1 =⋅⋅⋅







+⋅=τ 
 
• Verificação: MPa)49,0(MPa)51,0( SdRd1 =τ>=τ ⇒ OK! 
 
5.6.3 Verificação do Colapso Progressivo 
Cada face é atravessada por 3 φ 8 mm (figura 30): 2cm0,35,06 As =⋅= 
kN4,130
15,1
50
0,3yds fA =⋅=⋅ 
 
Sdyds FfA ≥⋅ ⇒ 6,564,130 ≥ ⇒ OK 
 001992,0002060,0001927,0 =⋅=ρ 
 270 
 
6. Considerações Finais 
Para as lajes com problema de punção, podem ser sugeridas algumas alternativas, seja 
reduzindo as tensões solicitantes, seja aumentando as tensões resistentes: 
 
• se a verificação no contorno C não for atendida, pode-se aumentar a espessura da laje na 
região (com capitéis ou drop-panels) ou aumentar as dimensões do pilar; 
 
• no caso da verificação no contorno C’, em lajes sem armadura de punção, pode-se aumentar 
a taxa de armadura longitudinal da laje ou adicionar armadura de punção; 
 
• no contorno C’ em lajes armadas, pode-se aumentar a taxa de armadura longitudinal da laje 
na região, aumentar o diâmetro dos pinos, aumentar o número de conectores por linha ou 
diminuir o espaçamento entre as linhas; 
 
• no caso do contorno C”, pode-se aumentar a taxa de armadura longitudinal da laje ou ainda 
aumentar o número de linhas de conectores. 
 
Outras soluções possíveis são o aumento do fck da laje e o uso de fibras na região da ligação, 
sendo que esta última vem sendo bastante estudada. Mas, evidentemente, algumas das 
soluções citadas podem tornar-se inviáveis ou antieconômicas em situações particulares, 
razão pela qual o estudo da punção requer, além de algumas análises, a própria experiência do 
projetista. 
 
Um outro ponto que merece destaque é que, para que a ligação tenha comportamento 
compatível com o que foi previsto, é importante que a armadura de flexão esteja devidamente 
ancorada além do cone de punção. 
 
 
7. Referências 
 
AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Committee 318. Building code requirements for 
reinforced concrete. Detroit, 1999. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003 - Projeto de 
estruturas de concreto - procedimento. Rio de Janeiro. 170p. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:1980 - Projeto e execução 
de obras de concreto armado. Rio de Janeiro. 76p. 
 
DILGER, W.H. Practical shear reinforcement for concrete flat slabs. Concrete Construction, 
v.35, n.2, p.223-225, Feb. 1990. 
 
FÉDÉRATION INTERNATIONALE DE LA PRECONTRAINTE - FIP (1999). Practical design of 
structural concrete. London, SETO. (FIP recommendations) 
 
GOMES, R.B. Punching resistance of reinforced concrete flat slabs with shear 
reinforcement. London. Ph.D. Thesis, The Polytechnic of Central London. 1991. 
 
GUARDA, M.C.; LIMA, J.S.; PINHEIRO, L.M. Novas diretrizes para a análise da punção no 
projeto de lajes lisas [CD-ROM]. In: SIMPÓSIO EPUSP SOBRE ESTRUTURAS DE 
CONCRETO, 4., São Paulo, EPUSP, 21-25 agosto 2000. 20p. 
 
LIMA, J.S. Verificações da punção e da estabilidade global em edifícios de concreto: 
desenvolvimento e aplicação de recomendações normativas. São Carlos. Dissertação 
(Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. 2001. 
 271 
 
MELGES, J.L.; PINHEIRO, L. Punção em lajes lisas: a NBR 6118:2003 e sua versão 
anterior. (CD ROM) In: Congresso Brasileiro do Concreto, 46., trabalho CBC0433, 
Florianópolis. Produzido pelo Instituto Brasileiro do Concreto - IBRACON. ISBN 85-98576-02-6. 
2004. 
 
MELO, G.S. Proposição de item de norma com referência ao cálculo de armadura contra 
colapso progressivo em lajes cogumelo. In: REIBRAC, 36., Porto Alegre. Anais. v.2, p.725-
734. 1994. 
 
MOTA, J.E. Dimensionamento à punção [CD-ROM]. In: ENECE 2004 Encontro Nacional de 
Engenharia e Consultoria Estrutural, 7., São Paulo, ABECE, 2004. 
 
REGAN, P.E. Shear combs, reinforcement against punching. The Structural Engineer, 
v.63B, n.4, p.76-84, December. 1985. 
 
STUCCHI, F.R.; KNAPP, L.M. (1993) Punção em lajes. In: SIMPÓSIO EPUSP SOBRE 
ESTRUTURAS DE CONCRETO, 3., São Paulo. Anais. p.209-232. 
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