Exercícios Resolvidos

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Mecânica II.
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Mecânica II
Parte II
Análise vetorial: Movimento curvilíneo de um ponto material, derivadas vetoriais, 
movimentos de projeteis.
Referências: 
[1] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentos de Física, Mecânica, 4ª ed., LTC – Livros 
Técnicos e Científicos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1996. 
[2] P. A. Tripler, Física, vol 1, Guanabara Dois., Rio de Janeiro, 1978.
[3] F. P. Beer, E R. Johnston Jr., Mecânica Vetorial para Engenheiros, Cinemática e Dinâmica, 
ed. 5º, Makron Books editora, Rio de Janeiro, 1991.
[4] J. L. Meriam, L. G. Kraige, Mecânica Dinâmica, 4ª ed., LTC – Livros Técnicos e Científicos 
Editora S. A., Rio de Janeiro, 1999. 
[5] George Arfken, Mathematical Methods for Physics, 3ed., Academic Press, Inc. San Diego, 
1985. 
Movimento curvilíneo de um ponto material. (Coordenadas cartesianas)
Quando um ponto descola-se em uma curva, dizemos que está em movimento curvilíneo. 
Vetor posição r .
Vetor posição em termos dos vetores unitários cartesianos i , j e k , isto é, ∣i∣=∣j∣=∣k∣ . 
Observe que estas são linearmente independentes e formam uma base para o espaço cartesiano. 
 
r=x i y j z k
 ∣r∣=r=x i y j z k ⋅x i y jz k 
r= x2 y2 z2
Velocidade de um ponto material (coordenadas retangulares).
v=˙r= lim
 t0
r
 t
=d r
dt
 ˙r= ddt
x i y jz k =dx
dt
i dy
dt
j dz
dt
k=x˙ i y˙ j z˙ k
 
v= lim
t 0
 s
 t
=ds
dt
= lim
t0
∣r∣
 t
=∣ limt 0 r t ∣=∣d rdt ∣=∣˙r∣
v= x˙2 y˙2 z˙2
Obs.: sempre que temos derivadas temporais podemos usar a nomenclatura x˙= dxdt ,
x¨ i=
d 2 x i
dt 2
 ,onde x i é uma variável qualquer de um sistema de coordenas.
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Aceleração de um ponto material (coordenadas retangulares).
a=˙v= lim
 t0
v
 t
= d v
dt
=d
2r
dt2
¨r= d
dt
 x˙ i y˙ j z˙ k = d x˙
dt
i d y˙
dt
j d z˙
dt
k= x¨ i y¨ j z¨ k 
a=¨r=d v
dt
= d
2r
dt 2
a=∣¨r∣= x¨2 y¨2 y¨2
Movimento relativo.
Seja S e S ' dois referenciais com movimento relativo entre si. Observe a figura abaixo:
 Posição relativa r A/ B 
 r B=r Ar B / A 
 Velocidade relativa v A/B 
d
dt 
r B=
d
dt r Ar B /A
˙r B=˙r A˙r B /A⇒v B=v AvB / A
Aceleração relativa a A /B 
¨r B=¨r A¨r B /A⇒a B=a AaB /A
Exercícios.
1. Dispara-se um projétil de uma colina de 
150 m de altura, com uma velocidade inicial 
de 180 m/ s , num ângulo de 30º com a 
horizontal. Desprezando-se a resistência do ar, 
determinar (a) distância horizontal da arma ao 
ponto onde o projétil atinge o solo, (b) a altura 
máxima que o projétil alcança em relação ao 
solo.
Resposta:
Consideremos separadamente o movimento 
vertical e horizontal.
(a) Movimento vertical (direção y ).
y0=150 m , y˙0=v cosθ=180cos30º m /s 
y= y0 y˙0 t
1
2
g t2
0=2y02 y˙0 tg t
2⇒ t=
−2 y˙0± 2 y˙0 2−4g 2y0 
2g
t=19,9 s tempo de queda da bala.
Movimento na horizontal (direção x).
x0=0, x˙0=v sen =180 sen 30º m / s
x=x0 x˙0 t⇒ x=3,10 km
(b) Elevação máxima
Quando a elevação é máxima temos um ponto 
de retorno da variável y , sendo que y˙=0 , 
assim, temos:
y˙= y˙0g t⇒0= y˙0g t⇒ t=
− y˙0
g
y= y0 y˙0 t
1
2
g t2⇒
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ymax= y0− y˙0
y˙0
g
1
2
g− y˙0g 
2
= y0−
y˙0
2
2g
ymax=413 m
Outro método mais direto seria pela equação de 
Torricelli.
y˙2= y˙0
22g  y−y0 ⇒0= y˙022g  ymax− y0 
ymax=y0−
y˙0
2
2g
=413 m
2. Um automóvel A está trafegando para leste 
com uma velocidade constante de 25 km /h . 
Quando passa pelo cruzamento ilustrado na 
figura, um automóvel B , que estava parado a 
30 m ao norte dirige-se para o sul com uma 
aceleração constante de 1,2 m / s2 . Determine 
a posição, velocidade e aceleração de B 
relativos à A 5,0 s após A passar pelo 
cruzamento.
Resposta:
Escolhemos a origem no cruzamento das duas 
ruas com os sentidos, para leste e norte.
Movimento do automóvel A .
xA=0, x˙ A=6,94 m / s , xA=x0A x˙ t=6,94 t
Para t=5 s , temos: xA=6,94 t=34,7 m
Movimento do automóvel B .
a B=1,3 m / s
2 , y˙ B= y˙0BaB t=−1,2 t ,
y B= y0B y˙0 t
1
2 a B t
2=30−12
1,2  t 2
Para t=5 s , temos y˙B=6 m/ s , yB=15 m
Movimento relativo de B em relação à A . 
Determinando o triangulo correspondente à 
equação vetorial r B=r Ar B /A , obteremos o 
modulo, direção e sentido do vetor B em 
relação à A .
r A/ B=37,8 m⇒=23,4 º
Procedendo de forma análoga temos:
v A/B=9,17 m/ s⇒=40,8 º
aA/ B=1,2 m / s
2 
3. O movimento de um ponto material é dado 
pelas equações x=2t2−4t e 
y=2  t−12−4  t−1  , onde x e y são dados 
em metros e t em segundos. Determinar (a) o 
mínimo valor da velocidade escalar do ponto e 
(b) o instante, a posição e a direção da 
velocidade correspondente.
4. Um ponto material descreve uma elipse de 
equação: r=Acos  t iBsen  t j . Mostre 
que a aceleração (a) aponta para a origem e (b) 
é proporcional a r .
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5. As equações dadas definem o movimento de 
um ponto material: r=2  t1 2 i2  t1 −2 j , 
onde r é dado em metros e t em segundos. 
Mostrar que a trajetória do ponto é o segmento 
de hipérbole mostrado na figura abaixo e 
determinar a aceleração quando (a) 0=t e (b) 
st 5= . 
 
6. O movimento vibratório de um ponto 
material é definido pela equação 
r=4sin  t  i−cos 2t  j , onde r é dado 
em metros e t em segundos. (a) Determinar a 
velocidade e a aceleração em t=1 s e (b) 
mostre que a trajetória limita-se a um arco de 
parábola:
7. O movimento tridimensional de um ponto 
material é definido por 
r=R sen  t  ict jR cos t  k . Determinar 
os módulos da velocidade e da aceleração do 
ponto (A curva descrita pelo ponto é um 
hélice). 
8. Um jogador de handebol atira uma bola do 
ponto A , com velocidade horizontal v0 . A 
distância d vale 6,1 m . Determine (a) o valor 
de v0 para o qual a bola atingira o vértice C e 
(b) o intervalo de valores de v0 para os quais a 
bola atingira a região BCD .
9. Descarrega-se areia do ponto A de uma 
esteira horizontal, com velocidade inicial v0 . 
Determine o intervalo de valores de v0 para os 
quais a areia entrara no tubo vertical.
10. Uma bomba localiza-se na barreira de uma 
plataforma. O bocal A expele uma água a uma 
velocidade inicial de 7,6m/ s formando um 
ângulo de 50º com a vertical. Determine o 
intervalo de alturas h para as quais a água 
atinge a abertura BC .
11. Considerando-se que a esteira se move com 
velocidade constante v0 , (a) determinar o 
valor mínimo de v0 para o qual a areia pode 
ser depositada em B . Determina também o 
correspondente valor de  . 
12. Os instrumentos de um avião indicam que 
ele está se movendo para o norte com 
velocidade de 500 km /h , em relação ao ar. 
Simultaneamente, um radar terrestre indica que 
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o avião se move com velocidade de 530 km /h 
numa direção que faz um ângulo de 5º voltado 
para o leste. Determina a magnitude e a direção 
da velocidade do ar.
13. Dispara-se um projétil com velocidade 
inicial v0 , a um ângulo de 20º com a 
horizontal. Determine v0 para o projétil atingir 
(a) B (b) C. 
14. Num dado instante, a peça A tem 
velocidade de 16 mm /s e uma aceleração de 
24 mm/ s2 , ambas para baixo. Determina (a) 
velocidade do bloco B e (b) sua aceleração, 
no mesmo instante.
 
15. Um jogador atira uma bola com velocidade 
v0=15 m /s , de um ponto A localizado a 
1,5 m do solo. Sabendo-se que o pé direito do 
ginásio de esportes mede 6,0 m , determine a 
máxima altura do ponto B que pode ser 
atingida pela bola.
16. Dois aviões A e B coando a uma mesma 
altitude; o avião A está voando para o leste a 
uma velocidade constante de 900 km /h , 
enquanto B está coando para sudoeste a uma 
velocidade constante de 600 km /h . 
Determine a mudança de posição de B 
relativamente a A, que ocorre durante um 
intervala de 2 min .
17. No instante t=0 , a cunha A põe-se em 
movimento em movimento para a direita, com 
aceleração constante de 100 mm / s2 e o bloco 
B, por sua vez, põe-se em movimento ao longo 
da cunha, indo para a esquerda com uma 
aceleração de 150 mm / s2 relativamente a 
cunha. Determine (a) a aceleração do bloco B e 
(b) sua velocidade no instante t=4 s . 
18. Esguicha-se água de A com velocidade 
inicial de 12 m / s , atingindo-se uma série de 
pás em B. Sabendo-se que as pás se movem 
para baixo com velocidade constante de 
1,5 m / s , determine a velocidade e a 
aceleração em relação à pá em B. 
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Movimento curvilíneo de um ponto material (Coordenadas generalizadas).
Um pouco de calculo vetorial:
Seja A um vetor de um espaço vetorial qualquer, com a seguinte restrição:
A⋅A=constante
Seja q uma coordenada do espaço que define A : temos:
d
dq
 A⋅A =0⇒ d
A
dq
⋅A
A⋅d A
dq
=2 A⋅d
A
dq
=0
⇒ A⋅d
A
dq
=0⇔A⊥ d
A
dq
Logo para qualquer vetor de norma constante tem sua derivada em relação em relação a 
uma de suas coordenadas como um vetor perpendicular ao mesmo.
Seja eqi um vetor unitário,  eqi⋅eq j=ij  onde ij={1 se i= j0 se i≠ j , na direção da coordenada 
qi , assim temos
eqi⋅eq i=1⇒
d
dq j
eq i⋅eq i=0⇒eqi⋅
d eq i
dq j

d eq i
dq j
⋅eq i=2 eq i⋅
d eqi
dq j
=0⇔eq i⊥
d eqi
dq j
Logo podemos definir eq j como o vetor unitário que orienta a coordenada q j da forma:
eq j=
1
k
d eqi
dq j
.
onde k=∣d eqidq j ∣ é conhecido como curvatura da curva.
Sendo o espaço tridimensional devemos ter um trio de vetores unitários que orientam os 
vetores nesse espaço. Assim devemos obter vetor unitário na direção eqk que orienta a terceira 
coordenada, chamemos de coordenada qk . Esse vetor deve ser construído de tal forma que forme 
um conjunto linearmente independente com eqi e eq j . Podemos construir esse vetor kqeˆ da 
forma:
jik qqq
eee ˆˆˆ ×=
Observe que
∣eqk∣=∣eqi×eq j∣=∣eq i∣∣eq j∣sen2 =1
Esta é uma receita básica para criação de um espaço vetorial tridimensional qualquer.
Movimento curvilíneo de um ponto material em um plano.
Seja um ponto material em um movimento plano dado por:
r=r s , t 
Assim se desejamos calcular a velocidade do ponto material temos:
v=˙r= d r
dt
= ds
dt
d r
ds
=v et , com et=
d r
ds
onde et é o vetor unitário na direção tangencial ao vetor deslocamento. Observe que o vetor 
d r
ds 
é unitário.
Calculando a aceleração temos:
a=˙v=d v
dt
= d
dt v e t = v˙ e tv ˙et= v˙ e tv
ds
dt
d e t
ds
=v˙ e tv
2 d e t
ds
= v˙ e t
v2

en , com en=
1

d e t
ds
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a= v˙ e t
v2

en
onde =∣d e tds ∣ é a curvatura da curva r=r  s , t  . Os vetores et e en formam um plano que 
contem o vetor aceleração da partícula. Este plano recebe o nome de plano osculador.
O modulo da aceleração a=∣a∣= v˙2 v2 2 .
Exercícios.
1. Para atravessar uma depressão seguida de 
uma elevação na estrada, o motorista de um 
carro aplica os freios para produzir uma 
desaceleração uniforme. Sua velocidade é de 
100 km/h no ponto A da depressão e de 
50 km/h no ponto C no topo da elevação, 
que se encontra 120 m de A ao longo da 
pista. Se os passageiros do carro 
experimentam uma desaceleração total de 
3 m / s2 em A e se o raio de curvatura da 
elevação em C é de 150 m , calcule (a) o 
raio de curvatura  em A , (b) a aceleração 
no ponto de inflexão B e (c) a aceleração 
total em C .
Resposta
v A=100 km /h=27 ,8 m /s
smhkmvC 89,1350 ==
Calculo da desaceleração uniforme ao longo 
da trajetória:
∫ vdv=∫a t ds⇒ 12 vC
2−v A
2 =a t s
a t=
1
2s vC
2−v A
2 =−2,41 m /s2
(a) Condição em A
a2=at
2an
2⇒an
2=a2−a t
2=32−2,412=3,19
an
2=3,19⇒an=1,785 m / s
2
an=
v 2

⇒= v
2
an
= 27,8
2
1,785
=432 m
(b) Condição em B
Uma vez que o raio de curvatura é infinito em 
um ponto de reflexão, pode-se facilmente 
calcular an=0 e:
a=a t=−2,41 m /s
2
(c) Condição em C
an=
v2

⇒an=
13,892
150
=1,286 m / s2
a=an ena t e t=−1,286 en2,41 et m /s2 
a=an2a t2=2,73 m /s2
2. Um carro a uma velocidade constante v0 
encontra-se numa rampa circular de um trevo, 
movendo-se no sentido de A para B . O 
odômetro do carro indica uma distância de 
0,6 km entre o ponto A e o ponto B . 
Determine v0 para que a componente normal da 
aceleração seja 0,08 g . 
Resposta:
=0.6⇒≈191 m
an=
v0
2

¿⇒ v0
2=an=191⋅0.08g≈150
⇒ v0=12,25 m / s
3. Uma fita de computador move-se sobre dois 
tambores, a uma velocidade v0 . A componente 
normal da aceleração da porção da fita em 
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contato com o tambor B é 122 m / s2 . 
Determinar (a) a velocidade v0 e (b) a 
componente normal da aceleração da porção 
da fita em contato como o tambor A .
4. Um ônibus parte do repouso descrevendo 
uma circunferência de 250 m de raio. Sua 
aceleração a t constante é igual a 0,6 m/ s2 . 
Determinar (a) o tempo necessário para que o 
módulo da aceleração total do ônibus atinja 
0,75 m / s2 . Determinar (b) também à 
distância percorrida nesse tempo.
Resposta:
a t=0,6 m / s
2 , r=250 m , v0=0,
a t=?=0,75 m /s2 , s t=?=?
(a) 
a2=at
2an
2⇒an=
v2
r
=a2−a t2
v=r a2−a t2
v=v0a t t⇒ r a2−a t=a t t
⇒t=r a
2−a t
2
a t
(b) s=v0 t
1
2
a t t
2 ⇒ s=1
2
r a2−a t2
a t
5. A velocidade inicial do jato d’água na 
figura é 7,62 m / s . Determine o raio de 
curvatura do jato (a) na saída A e (b) no seu 
ponto de máxima.
6. Um trem entra em uma seção curva 
horizontal dos trilhos a uma velocidade de 
100 km /h , e diminui a velocidade com uma 
desaceleração constante para 50 km /h em 
12 s . Um acelerômetro montado dentro do trem 
grava a aceleração horizontal de 22 sm 
quando o trem já está há 6 s na curva. Calcule 
o raio de curvatura  dos trilhos nesse instante.
7. Um satélite irá se manter em orbita circular 
em torno da Terra, desde que a componente 
normal de sua aceleração seja igual a g R /r 2 , 
onde g=9,81 m / s2 , R=6,37⋅103 km e r 
distância entre o satélite e o centro da Terra. 
Determine a altitude de um satélite para que ele 
possa orbitar a uma velocidade de 
2,65⋅104 km / h .
7. A velocidade de um carro aumenta 
uniformemente com o tempo de 50 km /h em 
A para 100 km /h em B durante 10 s . O raio 
de curvatura da elevação em A é de 40 km . Se 
o módulo da aceleração total do centro de massa 
do carro é o mesmo em B e em A , determine o 
raio de curvatura B da depressão na estrado em 
B . O centro de massa do carro está a 0,6 m da 
estrada.
Resposta: B=163,0 m 
8. O carro C aumenta sua velocidade a uma 
taxa constante de 1,5 m / s2 conforme percorre a 
curva mostrada. Se o módulo da aceleração total 
do carro é 2,5 m /s2 no ponto A , onde o raio 
de curvatura é de 200 m , determine a 
velocidade v do carro nesse ponto.
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9. O pino P da manivela PO conecta-se a 
ranhura horizontal na guia C que controla 
seu movimento sobre a haste vertical fixa. 
Determine a velocidade y˙ e a aceleração y¨ 
da guia C para um dado valor do ângulo  
se (a) ˙= e ¨=0 (b) ˙=0 e ¨= .
Resposta: (a) y˙=rsen , y¨=r2cos
 (b) y˙=0, y¨=rsen 
Movimento em coordenadas polares:
Em um sistema de coordenadas polares r ,  temos como escrever a posição da partícula 
por r  r , da forma:
x=r cos , y=r sen 
r=x i y j=r cos ir sen  j=r cos  isen  j =r r
r=cos isen j
Calculando a velocidade temos:
v=˙r= ddt [r cos
isen j ]= r˙ rr ˙ −sen  icos j 
v= r˙ rr ˙ 
onde =
d r
d 
=−sen  icos j . 
Observe também que 
r=−d
θ
d 
, θ= d rd 
Calculando a aceleração temos:
a=˙v= d
dt
 r˙ rr θ˙ θ = r¨ rr˙ d r
dt
θ d
dt
r θ˙ r θ˙ d
θ
dt
=r¨ r r˙ dθ
dt
d r
dθ
θ d
dt
r θ˙ r θ˙ dθ
dt
d θ
dθ
a= r¨ rr˙ θ˙ θθ  r˙ θ˙r θ¨ −r θ˙ 2 r
a= r¨−r θ˙2  rr θ¨2 r˙ θ˙  θ
Tendo como módulos:
v= r˙ 2rθ 2
a= r¨−r θ˙22r θ¨2 r˙ θ˙ 2
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Movimento em coordenadas cilíndricas:
Em movimentos cilíndricos temos:
 r=x i y jz k=r cos θ irsen θ jz k
 v=˙r= r˙ rr θ˙ θ z˙ k
 a= r¨−r θ˙2 rr θ¨2 r˙ θ˙  θ z¨ k
Tendo como módulos:
v= r˙ 2rθ 2 z˙ 2
( ) ( ) 2222 2 zrrrra  +++−= θθθ
Exercícios.
1. O braço OA de 0,9 m comprimento gira 
ao redor de O e seu movimento está 
definido pela relação =0,15 t 2 onde  e 
expresso em radianos e t em segundos. O 
curso B desliza ao longo do braço, sendo o 
seu deslocamento em relação a O dado por 
r=0,9−0,2 t 2 , onde r está em metros e t 
em segundos. Determine a velocidade e a 
aceleração do curso B após ter girado por 
30º .
Resposta:
=0,15 t 2 rad ⇒˙=0,30 t rad / s
⇒¨=0,30 rad / s2 
r=0,9−0,2 t 2 m ⇒ r˙=−0,4 t m / s 
⇒ r¨=−0,4 m / s2
Velocidade:
v= r˙ rr ˙ 
v=−0,4 t  r0.90,2 t 2  0.3t  
v=−0,4 t  r0.27t0,6 t3  
Aceleração:
a= r¨−r ˙2 rr ¨2 r˙ ˙ 
a=−0,4−0,9−0,2 t2 0,30 t 2 r
0,9−0,2 t 2 0,302 −0,4 t  0,30 t  
a=−0,4−0,081 t20,018 t 4  r
0,27−0,06 t 2 −0,24 t 2  
a=−0,4−0,081 t20,018 t 4  r
0,27−0,30 t 2  
Para =30º
=0,15 t 2=30
180
=
6
⇒ t=1,867 s
Assim:
v=−0,747 r4,41  m / s 
v= −0,747 24,41 2=4,72 m / s
a=−0,464 r−0,775  m /s2 
a=−0,464 2−0,775 2=0.903 m/ s2 
2. O movimento de um ponto material é definido 
por r=2b cos  t  , = t , onde b e  são 
constantes positivas. Determine (a) a velocidade 
e a aceleração do ponto e (b) o raio de curvatura 
de sua trajetória. Que conclusão pode tirar sobre 
a trajetória do ponto material.
3. A trajetória de um ponto P é uma espiral de 
Arquimedes. As relações r=10t e =2 t 
definem o ponto P , onde r é expresso em 
metros e t em segundos. e  radianos. 
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Determine a velocidade e a aceleração do 
ponto, nos instantes (a) t=0 e (b) t=0,25 s
4. O pino B pode deslizar livremente pela 
abertura circular DE e também pela abertura 
feita na barra OC . A barra OC gira 
uniformemente a uma razão ˙ (a) Mostre 
que a aceleração de B tem módulo constante 
e (b) determine sua direção.
Resposta, Usando a lei dos senos ou dos 
cosenos, temos:
r=2b cos ⇒ r˙=−2b ˙ sen⇒
r¨=−2b ¨sen −2b ˙2 cos⇒ r¨=−2b ˙2cos 
=˙ t⇒˙=˙⇒ θ¨=0
a= r¨−r ˙2 rr ¨2 r˙ ˙  
a=−2b ˙2 cos −2b ˙2 cos  r−2⋅2b ˙2 sen  
a=−4b ˙2 sen  rcos 
Porem sabemos que:
r=cos  isen  j
=−sen icos j
Assim temos:
sen  rcos =j
a=−4b ˙2 j⇒a=4b ˙2=const.
5. O movimento de um ponto material sobre 
a superfície de um cone circular reto é 
definido por R=ht tg  , =2t e z=ht , 
onde  é o ângulo do vértice do cone e h é 
o avanço em altura que o ponto sofre em cada 
volta completa. Determine os módulos da 
velocidade e da aceleração do ponto, em função 
do tempo t . 
6. O movimento tridimensional de um ponto é 
definido por R=A , =2t , e 
z=Asen 2 2t  . Determine a (a) velocidade e a 
(b) aceleração, em modulo.
v=R˙ erR ˙ e z˙ k
a= R¨−R˙2 erR ¨2 R˙ ˙ eθ z¨ k
2sen  x cos  x =sen 2x 
Resposta
R=A⇒ R˙=0, R¨=0
=2 t ⇒˙=2 , ¨=0
z=Asen 2 2 t ⇒ z˙=2A 2sen 2t cos 2 t 
z˙=2Asen  4 t ⇒ z¨=8A2 cos 4 t 
(a) v=2A e2A sen 4 t  k
v=4  A 24  A2 sin2 4t 
v=2A1sen 2 4 t 
(b) a= R¨−R θ˙2 erR θ¨2 R˙θ˙  eθ z¨ k
v=R˙ e rR θ˙ eθ z˙ k
v=0 er2A eθ2Aπ sen 4 t  k
a=A 2 2 er8A
2cos 4 t  k
( )kteAa r ˆ)4cos(ˆ4 2 pipi +=
)4(cos14 22 tAa pipi +=
7. O movimento tridimensional de um ponto é 
definido por R=A 1−e−t  , =2 t , e 
z=B 1−e−t  . Determine a (a) velocidade e (b) 
a aceleração, em modulo, para t=0 e t∞ .
Respostas:
R=A 1−e−t ⇒ R˙=Ae−t , R¨=−Ae−t
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=2 t ⇒˙=2 , ¨=0
z=B 1−e−t ⇒ z˙=Be−t , z¨=−Be−t
(a) v=R˙ erR θ˙ eθ z˙ k
v=Ae−t er2A1−e
−t  eθBe
−t k
v=A2e−2t4A221−e−t 2B2e−2t
Para t=0 v=A2B2
Para t∞ v=2A .
(b) a= R¨−R θ˙2 erR θ¨2 R˙ θ˙  eθ z¨ k
a=−Ae−t4π21−e−t  e r4π Ae−t eθ−Be−t k
Para t=0 a=−A er4πA eθ−B k
a=A2B216 A2 π 2
Para ∞→t reAa
 24 pi−= .
a=16 A2 π 4=4Aπ2
8. Um elétron sobre a ação de um campo 
magnético espacialmente não uniforme o 
movimento em um espiral hiperbólico 
r =b , mostrado na figura abaixo. 
Determine o modulo da velocidade em 
termos de b ,  e ˙= 
Respostas: r=
b
θ
r˙=− b
2
˙=− b
2
 ,
(a) v= r˙ err ˙ e
v= b
2
 err e
v= b24 2r 22=2 b2r 24
v=
2
b2b22=b
2
12
9. Um elétron sobre a ação de um campo 
magnético espacialmente não uniforme o 
movimento em um espiral r=r 0e
b , mostrado 
na figura abaixo. Sabendo-se que θ¨=0 . 
Determine o modulo da aceleração em termos de 
b , r e ˙=
Respostas: r=r 0 e
b
r˙=r 0 b ˙ e
b=r0 bωe
b
r¨=r 0 b ˙ e
b=r0 b
22 eb 
a=r 0 b22 eb−r02 eb er2r0 b2 eb  e
a=r0
2 eb[ b2−1 er2b e]
a=2 r b2−124b2=2 r b4−2b214b2
a=2 r b42b21=2r  b212
a=2 r b21
9. Uma partícula realiza um movimento 
obedecendo a equação 
r  t =a  t−t ' cos  t  ia t−t '  sen  t  j−b t−t '  j 
onde a ,b , e t ' são constantes. (a) Esboce 
um gráfico tridimensional xyz a trajetória da 
partícula no intervalo de 0≤t≤t ' , (b) e calcule 
o módulo de sua aceleração. 
10. Uma partícula realiza um movimento 
obedecendo a equação 
r  t =at cos t  iat sen  t  jbt k , onde e 
a ,b e  são constantes. (a) Esboce um gráfico 
tridimensional xyz a trajetória da partícula, (b) 
e calcule o módulo de sua aceleração. 
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