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109 Completando os elementos dessa demonstração, considere a reta QF . Esta vai intersectar o cone em um ponto L , conforme a fi- gura acima (de fato, essa reta intersecta o cone em dois pontos, mas o outro ponto de intersecção não será relevante para nossa demonstração). O plano da cônica intersecta o plano da circunfe- rência , , 'M G M em uma reta, que vamos denotar por RS (esta será a reta diretriz da cônica), onde R é o ponto de intersecção dessa reta comum aos dois planos (que sempre existe, pois dois planos distintos, quando se intersectam, determinam uma reta) com a reta perpendicular a essa a partir do ponto P (conforme figura) e S é a intersecção dessa reta comum aos dois planos com a reta QF . Deixamos a seu encargo a verificação geométrica (ra- zoavelmente elementar) de que a reta QF está no mesmo plano que as retas 'MM e 'KK (pense no que é a secção da esfera por esse plano). Como os pontos M e K estão sobre a mesma gera- triz do cone, então KM PG≡ . O plano da cônica intersecta o plano , , 'K P K , na reta 'PP e in- tersecta o plano , , 'M G M na reta RS . Como os planos , , 'K P K e , , 'M G M são paralelos, concluímos que a reta 'PP é paralela à reta RS . Por outro lado, a reta 'PP é perpendicular ao plano que contém as retas paralelas 'MM e 'KK , portanto, 'PP é perpen- dicular à reta QF , que por sua vez, vai ser perpendicular à reta RS . Concluindo, como a reta RS é perpendicular à reta PR , te- mos que QF é paralela a PR . Portanto, o quadrilátero , , ,P Q S R é um retângulo, o que implica que QS PR≡ . Considere, agora, os triângulos QLK∆ e SLM∆ . Temos que QLK SLM∠ ≡ ∠ , pois são ângulos opostos pelo vértice, temos também que QKL SML∠ ≡ ∠ , pois as retas 'MM e 'KK são re- tas paralelas. Portanto, os triângulos QLK∆ e SLM∆ são seme- lhantes, assim: 1 1 . KL QL KL QL ML SL ML SL KL ML QL SL KM QS ML ML SL SL ML SL = ⇒ + = + ⇒ + = + ⇒ = Portanto, temos que PF KM ML PR QS SL = = , 110 e como a razão ML SL depende apenas do triângulo SLM∆ , que está unicamente determinado pelos dados da cônica e não pelo ponto específico sobre a mesma, temos o resultado. Nesse caso, a excentricidade da cônica será exatamente MLe SL = . ∎ A excentricidade de uma cônica é um número positivo que varia de cônica para cônica. Você pode argumentar utilizando raciocí- nios de geometria elementar que para uma elipse temos que 1e < , para uma parábola vale a igualdade 1e = e para uma hipérbole, temos que 1e > . Tendo em vista o resultado demonstrado acima, podemos dedu- zir a equação polar de uma cônica. Considere uma cônica cujo foco esteja localizado na origem do sistema de coordenadas e cuja diretriz seja a reta vertical x A= − , conforme ilustrado na Figura 2.29. y x F r R (−A,0) P=(x,y) Figura 2.29 - Dedução da equação polar de uma cônica. Seja ( , )P x y= um ponto sobre a cônica. Sabemos que a razão PFe PR = independe do ponto P em questão, portanto Em um triângulo qualquer ao maior ângulo se opõe o maior lado. 111 2 2 cos( ) cos( ) (1 cos( )) . 1 cos( ) x y re x A r A er eA r r e eA eAr e q q q q + = = ⇒ + + + = ⇒ − = ⇒ = − Essa última equação é a equação da cônica em coordenadas po- lares (note que se 0A < , podemos ter uma variação no denomi- nador da equação polar, obtendo-se uma soma ao invés de uma subtração). Como dissemos, a equação polar das cônicas será im- portante no próximo capítulo para identificarmos o formato das órbitas planetárias. Resumo Neste capítulo, pudemos ver alguns exemplos do uso de funções elementares para a modelagem de problemas físicos. Entre os tó- picos abordados vimos A modelagem matemática de fenômenos físicos possui duas • vertentes principais: A primeira é a análise da configuração do sistema, isto é, da geometria dos elementos envolvidos no sistema físico. Nesta etapa, por exemplo, temos a escolha do sistema de coordenadas mais apropriado. A segunda con- siste da análise física propriamente dita, como, por exem- plo, a identificação das grandezas físicas que realmente são relevantes no sistema e o que pode ser desprezado em uma primeira aproximação bem como a dependência funcional entre as grandezas envolvidas. A dependência funcional entre as grandezas físicas deve ser • extraída a partir da análise de dados experimentais, estas são denominadas leis empíricas. As funções de primeiro graus podem ser utilizadas para • modelar problemas de variação (velocidade) constante. O raciocínio cinemático pode ser muito útil no tratamento de problemas matemáticos envolvendo proporcionalidade, in- clusive problemas clássicos de regra de três simples e com- posta podem ser tratados utilizando velocidades e funções de primeiro grau. As funções quadráticas são utilizadas para tratar problemas •
