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Leñitas Geométricas*
para el Fogón Matemático de los Festivales
De OMA para Profesores y Maestros en actividad
“Así como las herramientas o el instrumental no hacen de por sí al buen orfebre, sino más bien la forma
en que el artista los utiliza, la acumulación de instrumentos no hace al buen desempeño del matemático.
Por eso es importante la resolución de problemas. Ello nos brinda una experiencia en profundidad,
una oportunidad de conocer y pulsar las dificultades, de identificar los alcances y las limitaciones del
instrumental y del conocimiento matemático que poseemos”. Dr. Alberto Calderón
1
* Recordamos a los lectores que los temas editados en Leñitas Geométricas son material preparado y en gran parte desarrollado y sugerido por el
doctor Miguel de Guzmán.
A. Un diálogo con los maestros sobre los números irracionales y los gaussianos
Continuación de Leñitas Geométricas 11, 4ª época, sección A
Una aventura al siglo xix
La aparición del álgebra abstracta
El siglo xix merece ser llamado, más que ningún otro periodo ante-
rior de la historia, la Edad de Oro de la Matemática. Los progresos
hechos en la matemática durante estos 100 años superan con creces,
tanto en cantidad como en calidad, la producción reunida de todas
las épocas anteriores. Este siglo fue también, con la posible excepción
de la etapa heroica en la antigua Grecia, el más revolucionario de la
historia de la matemática.
En 1829 se descubría un mundo nuevo en la geometría por obra de
Nikolái Lobachevski, un matemático ruso discípulo de un profesor
alemán, y en 1874 el dominio del análisis se vio conmocionado por la matemática del infinito que acababa de
introducir Georg Cantor, un matemático alemán que había nacido en Rusia. Ya no era Francia el centro recono-
cido del mundo matemático, aunque albergara la meteórica carrera de Évariste Galois (1811-1832). El carácter
ya irreversiblemente internacional de la matemática queda de manifiesto en el hecho de que las dos contribu-
ciones más revolucionarias al álgebra, en 1843 y 1847, las hicieron dos matemáticos que enseñaban en Irlanda.
La primera de ellas fue obra de sir William Rowan Hamilton (1805-1865) y la segunda, de George Boole
(1815-1864). No obstante, los algebristas más prolíficos del siglo xix fueron dos ingleses que vivieron parte de
4a época Nº 13
22 de septiembre de 2022
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Sobre ángulos diedros y ángulos triedros. Producto escalar,
distancias y perpendicularidad. Fórmula de Tartaglia y fórmula
de Lagrange. Desigualdad de Hadamard. Producto vectorial.
Ecuaciones vectoriales y paramétricas de rectas y planos. Forma
vectorial de simetrías y homotecias.
SÉPTIMA
NOTA DE GEOMETRÍA
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YA
SALIÓ
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) su vida en Estados Unidos: se trata de Arthur Cayley (1821-1895) y James Joseph Sylvester (1814-1897), y fue
principalmente de su alma mater, Cambridge, de donde surgió el desarrollo del álgebra moderna.
Durante los primeros años del siglo xix, la Universidad de Cambridge era un centro al que uno difícilmente
hubiera vuelto los ojos en busca de nuevos descubrimientos matemáticos. Bien es verdad que 100 años antes
había sido el alma mater de sir Isaac Newton, pero el chauvinismo y la controversia acerca de la prioridad en
la invención del cálculo habían conducido a un profundo aislamiento intelectual que más tarde pagaron caro
los ingleses. A lo largo del siglo xviii, las universidades escocesas mantuvieron con la Europa continental un
contacto más estrecho que el de las inglesas, pero tenían un nivel comparativamente más bajo en matemáticas
que en biología y en química.
Cuando Carl Gustav Jacobi visitó Cambridge en 1842, le preguntaron quién era el más grande matemático
inglés vivo, a lo que, al parecer, contestó: “No hay ninguno”. Desde luego, en esta época, además de una
descortesía era un juicio excesivamente duro. Es cierto, sin embargo, que una generación antes, en el Reino
Unido en general y en Cambridge en particular, no había siquiera la menor conciencia de los enormes pasos
que se habían dado, tanto en análisis como en geometría, en la Europa continental. Quizá fue por esta razón
que cuando el país logró salir de la trampa del provincianismo, pasó a ocupar el primer lugar en el desarrollo
del álgebra, ya que los progresos que se habían hecho en el continente en este campo durante el siglo xviii
no habían sido tan espectaculares.
La vida trágica de Évariste Galois
La gran variedad de tipos de álgebras inventados a lo largo del siglo xix podría haber
producido en la matemática una peligrosa tendencia centrífuga, de no haber sido por el
desarrollo simultáneo de ciertos conceptos estructurales básicos. Uno de los más impor-
tantes de estos fue el concepto de grupo, cuyo papel unificador en la geometría ya hemos
comentado. En álgebra, el concepto de grupo fue sin duda el que ejerció la fuerza de co-
hesión más importante, a la vez que era uno de los factores esenciales que promovieron la
aparición y el rápido desarrollo de los conceptos abstractos. A ningún matemático concreto
se le puede adjudicar el origen de la idea de grupo, pero la figura que se nos presenta ine-
vitablemente como la más relevante en este contexto es la del hombre que dio su nombre
a este concepto, el joven Évariste Galois (1811-1832), que murió trágicamente antes de cumplir los 21 años.
Galois nació en las cercanías de París, en el pequeño pueblo de Bourg-la-Reine, del que su padre era alcalde.
Sus padres tenían ambos una sólida formación cultural, aunque no habían mostrado ninguna aptitud espe-
cial para la matemática. Lo que sí aprendió de ellos el joven Galois fue un profundo odio a cualquier forma
de tiranía. Cuando el muchacho comenzó a asistir a la escuela, a la edad de doce años, mostró poco interés
por el latín, el griego y el álgebra, pero en cambio se sintió inmediatamente fascinado por la geometría de
Adrien-Marie Legendre. Más tarde estudió con aprovechamiento álgebra y análisis en las obras de maestros
tales como Joseph-Louis Lagrange y Niels Henrik Abel, pero su trabajo rutinario de clase en matemática fue
siempre mediocre y sus profesores lo consideraban como un muchacho raro.
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"Estas páginas servirán para animar a matemáticos
y no matemáticos a meditar profundamente sobre
el sentido mismo del quehacer matemático".
Miguel de Guzmán
Apología de un matemático
de Godfrey Harold Hardy
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¿YA LO
TENÉS?
Godfrey Harold Hardy
Apología
de un
matemático
La Olimpiada Matemática Argentina tiene una lar-
ga trayectoria promoviendo esta disciplina entre
los jóvenes estudiantes, pero pensar en ser ma-
temático conduce a mil preguntas que requieren
respuestas, muchas de las cuales solo las pueden
dar los matemáticos. No es tarea fácil. Por eso
es interesante escuchar a aquellos que, como
Godfrey H. Hardy, han escrito sobre sus experien-
cias y nos ofrecen su punto de vista.
¿Qué hace cotidianamente un matemático? El mate-
mático es un hacedor de matemática. No obstan-
te, “nuestro desafío es hacer buena matemática”
era la respuesta convencida del doctor Alberto
González Domínguez, fi gura señera de la mate-
mática argentina durante cincuenta años del siglo
XX. El libro de Hardy que hoy presentamos con-
tiene, precisamente, sus opiniones acerca de qué
es la buena matemática. Como toda opinión, fue
ampliamente discutida en el medio.
Invadido por la consternación, en La apología de la
matemática el autor muestra su realidad; es que en
ese momento sufría una depresión. Sin embargo,
su discurso es ágil y preciso, y sus ideas están ex-
presadas de maneraconcisa pero muy clara. Por
ello este libro es ideal para provocar el debate,
para disentir con sus argumentos, para estar en
desacuerdo con Hardy. Consideramos que pue-
de ser muy útil para profesores de matemáticas
de enseñanza secundaria que quieran fomentar el
pensamiento crítico entre sus alumnos. Y, por qué
no, para todo aquel que sea capaz de apreciar la
belleza de las matemáticas.
Hardy fue un sabio que le dio un estilo a la ma-
temática del siglo XX, como bien lo podemos
apreciar en su libro principal, An Introduction to
the Theory of Numbers (Oxford, Clarendon Press,
1938), escrito junto con Edward M. Wright. Una
obra que, seguramente, forma parte de la biblio-
teca actual de los principales referentes de esta
comunidad académica.
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) A los 16 años, Galois sabía ya lo que sus maestros no habían conseguido descubrir: que era un genio para la
matemática. Por lo tanto, tenía la esperanza de entrar en la escuela en la que se habían formado tantos ma-
temáticos famosos, es decir, en la Escuela Politécnica, en la que, no obstante, fue rechazado debido a su falta
de preparación sistemática. Se trataba solamente de su primero y amargo fracaso.
A pesar de todo, a los 17 años desarrolló por escrito sus descubrimientos fundamentales en un artículo que
entregó a Augustin Louis Cauchy para que lo presentase a la Academia. Cauchy, esta vez, no solo puso el ar-
tículo en algún lugar que luego no recordaba, como había hecho ya con un importante trabajo de Abel, sino
que, directamente, ¡lo perdió! –se estaba volviendo un verdadero especialista en estas técnicas–. A partir de
entonces, Galois ya tenía motivos para odiar no solo a los profesores examinadores, sino también a los acadé-
micos. Otro fracaso en su segundo intento de ingresar en la Politécnica vino a intensificar su amargura y su
decepción, pero el golpe más fuerte estaba aún por llegar: atacado a causa de intrigas clericales, su padre se
sintió perseguido y se suicidó.
A pesar de los reveses que había sufrido en tan pocos años, Galois consiguió entrar al fin en la Escuela Normal
para prepararse para la enseñanza. Al mismo tiempo continuó con sus investigaciones, presentando en 1830
una memoria al concurso de la Académie para el premio en matemática. Al parecer, la memoria en cuestión
no pasó por las manos de Cauchy, pero el resultado final fue el mismo, porque Joseph Fourier, que era el secre-
tario de la Academia, se llevó el artículo a su casa para leerlo con calma, pero, desgraciadamente, murió poco
después y este segundo trabajo se perdió también irremediablemente.
Enfrentado en todas partes a la tiranía y la frustración, Galois hizo suya la causa de la revolución de 1830. Una
hiriente carta en la que se criticaba la indecisión del director de la Escuela Normal tuvo como consecuencia la
expulsión de Galois de esta. Por tercera vez, Galois intentó presentar un artículo a la Académie, en esta opor-
tunidad a través de Siméon Denis Poisson. El trabajo contenía resultados importantes de lo que conocemos
hoy como teoría de Galois, pero Poisson, que era el encargado de informar sobre el artículo, lo devolvió con la
observación de que era “incomprensible”.
Completamente decepcionado ya, Galois se unió a la Guardia Nacional. En 1831, en una reunión de republi-
canos propuso un brindis que se consideró como una amenaza a la vida del rey Louis-Philippe I y Galois fue
arrestado. Aunque recuperó la libertad, fue arrestado de nuevo unos meses más tarde y condenado a seis me-
ses de cárcel. Poco después se vio relacionado con un asunto poco claro y bajo el código implícito del honor,
no pudo evitar un duelo.
La noche anterior al duelo, habitado por el presentimiento de su muerte, Galois dedicó las horas que le que-
daban a una carta para sus amigos, en la que además de mencionar: “He sido desafiado por dos patriotas, me
era imposible negarme”, redactó algunas breves notas para la posteridad sobre sus descubrimientos. El joven
pedía que se publicase dicha carta en la Revue Encyclopédique –tal como se hizo, efectivamente, el mismo
año– y expresaba su esperanza de que Jacobi y Carl Friedrich Gauss pudieran dar públicamente sus opiniones
respecto de la importancia de sus teoremas. A primera hora de la mañana del 30 de mayo de 1832, Galois se
enfrentó a su adversario en un duelo a pistola. Recibió un disparo que le perforó los intestinos y permaneció
en el lugar donde cayó hasta que un campesino que pasaba casualmente por allí lo llevó a un hospital, donde
murió de peritonitis a la mañana siguiente. A su funeral asistieron varios miles de republicanos. Galois tenía
entonces solo 20 años, siendo el matemático más joven en realizar descubrimientos de tal importancia.
La teoría de Galois
Évariste Galois confió al destinatario de su última carta unos manuscritos
destinados a la Académie. En 1846, Joseph Liouville seleccionó algunos
de ellos y los publicó en su Journal. Liouville encontró la tarea difícil,
debido a que Galois había incumplido sistemáticamente el consejo de
Descartes: “Cuando se discuten cuestiones trascendentales hay que ser
trascendentalmente claro”, pero se sintió recompensado cuando, después
de rellenar las lagunas de la demostración, pudo ver el método que había
seguido Galois para demostrar su bello teorema:
Para que una ecuación irreducible de grado primo sea resoluble por radicales, es necesario y suficiente
que todas sus raíces sean funciones racionales de dos cualesquiera de ellas.
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) El objeto principal de las investigaciones de Galois había sido el de determinar cuándo son resolubles por
radicales las ecuaciones polinómicas. Gauss, en su criterio para la constructibilidad de los polígonos regulares,
había saldado esencialmente el problema de la resolución de la ecuación a0xn + an = 0 en términos de ope-
raciones racionales y raíces cuadradas sobre los coeficientes. Galois venía a generalizar este resultado dando
criterios para la resolubilidad de la ecuación a0xn + a1xn–1 + … + an–1x + a0 = 0 en términos de operaciones
racionales y de raíces n-ésimas sobre los coeficientes.
Su planteamiento del problema, lo que se conoce hoy como teoría de Galois, fue otra de las contribuciones
completamente originales del siglo xix al álgebra. Sin embargo, se ha dicho que la teoría de Galois es como el
ajo, en que no existe tal cosa como un poco de ella. Uno tiene que profundizar sustancialmente en su estudio
para comprender el razonamiento utilizado, como demuestra justamente la experiencia de Galois con sus
contemporáneos. No obstante, podemos indicar de una manera general qué hay detrás de la teoría de Galois
y por qué ha sido tan importante.
Galois comenzó sus investigaciones por los trabajos de Lagrange sobre permutaciones de las raíces de una
ecuación polinómica. Cualquier cambio en la disposición ordenada linealmente de n objetos se llama una per-
mutación de estos objetos. Por ejemplo, si el orden de las letras a, b, c se cambia a c, a, b, esta permutación
se representa en forma abreviada como (acb), notación que significa que cada letra se sustituye por la que
le sigue inmediatamente, considerando a la primera como sucesora inmediata de la última; así la letra a se
sustituye por la c, la c por la b y la b por la a.
En cambio, la notación (ac), o (ac, b), significa que a se sustituye por c, c por a y b permanece invariante.
Si se efectúan sucesivamente dos permutaciones, la permutación resultante se conoce como el producto de
las dos permutaciones dadas. Así, el producto de (acb) por (ac,b), que se escribe como (acb) (ac, b), es la
permutación (a, bc). La permutación idéntica l es la que sustituye cada letra por ella misma, es decir, la que
deja el orden a, b, c sin modificar.
Es inmediato comprobar que el conjunto de todas las permutaciones de las letras a, b, c satisface, con la ope-
ración de composición, las condiciones de la definiciónde grupo, que contiene seis permutaciones y se conoce
como el grupo simétrico del conjunto {a, b, c}. En el caso de n elementos distintos {x1, x2, x3, …, xn}, el grupo
simétrico correspondiente contiene exactamente n! permutaciones. Si estos n elementos son las raíces de una
ecuación irreducible, entonces las propiedades del grupo simétrico en cuestión dan condiciones necesarias y
suficientes para que la ecuación sea resoluble por radicales.
Inspirado por la demostración de Abel de la insolubilidad por radicales de la ecuación quíntica general, Galois
descubrió que una ecuación algebraica irreducible es soluble por radicales si y solo si su grupo, es decir, el gru-
po simétrico del conjunto de sus raíces, es resoluble. La definición de lo que es un grupo resoluble es técnica-
mente complicada y viene dada en términos de las relaciones entre el grupo y sus subgrupos, por lo que no la
formularemos aquí. Las tres permutaciones (abc), (abc)2 y (abc)3 = I forman un subgrupo del grupo simétrico
de {a, b, c}; Lagrange había demostrado ya que el orden de un subgrupo debe ser un divisor del orden del
grupo, pero Galois fue más lejos y encontró relaciones entre la factorizabilidad del grupo de una ecuación y
la resolubilidad de la ecuación. A él le debemos además el uso, en 1830, de la palabra “grupo” en el sentido
técnico que tiene hoy para nosotros en la matemática.
La teoría de Galois puede proporcionarnos, de hecho, un algoritmo para calcular de manera efectiva las raíces
de una ecuación, cuando estas son expresables por radicales, pero el énfasis en el planteamiento de Galois de
la teoría de ecuaciones está puesto más bien en la estructura algebraica general, antes que en el manejo de
casos concretos. Aunque su obra fue anterior a la de la mayoría de los algebristas británicos del gran periodo
1830-1850, sus ideas no ejercieron ninguna influencia hasta que se publicaron, en 1846.
Para entonces, el álgebra se estaba convirtiendo en algo tan general y abstracto que los métodos heurísticos de
cálculo de raíces quedaron subordinados a las cuestiones lógicas relativas a los teoremas de existencia. Galois
estaba ya extremadamente próximo a las posiciones modernas en álgebra, pero, sin embargo, tuvo tales difi-
cultades para expresarlas que fue incapaz de hacerse entender por los matemáticos de su época. Últimamente
se habla mucho de la “nueva matemática” en la enseñanza, pero lo cierto es que solo es nueva en la medida
en que las ideas de Galois alcanzaron al fin el reconocimiento y el lugar merecidos, más de un siglo después
de que el destino lo tratase de una manera tan cruel.
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2. Aritmética de las clases residuales
Al estudiar la divisibilidad de los números enteros y de los gaussianos enteros nos servimos
de que estos forman un anillo, es decir que la suma, la diferencia y el producto de dos nú-
meros cualesquiera del conjunto considerado pertenecen a él, y para las operaciones citadas
son válidas las leyes habituales: conmutativa, asociativa y distributiva. Las propiedades
del anillo de los números enteros constituyen la aritmética o, mejor dicho, la aritmética de
los números enteros. Anteriormente estudiamos la aritmética de los números gaussianos
enteros.
Ahora vamos a introducir las operaciones aritméticas en el conjunto Zn y daremos a conocer la aritmética de
las clases residuales. Para concretarlo convendremos en que en es el número e “respecto del módulo n”, el
número n es un natural.
Definición 3. La suma de dos clases de restos x e y respecto del módulo n se llama clase x + y. En este caso
se escribe:
x + y = x + y.
Pero aquí puede asaltarnos una duda, ya que las clases x e y son conjuntos, incluso conjuntos infinitos. Los
representantes x e y mediante los cuales determinamos la suma x + y tienen, dentro de sus clases, las mismas
facultades que todos los demás representantes; por esto, si la definición 3 no entraña ninguna contradicción
eligiendo para x e y otros representantes, por ejemplo, xʹ e yʹ, en calidad de clase xʹ + yʹ, debemos obtener la
misma clase x + y, es decir, es necesario que se cumpla la igualdad
xʹ + yʹ = x + y .
Si fuera xʹ + yʹ ≠ x + y, la definición entrañaría la contradicción siguiente:
xʹ + yʹ = xʹ + yʹ = x + y = x + y.
a pesar de que xʹ + yʹ ≠ x + y. La comprobación de la igualdad xʹ + yʹ = x + y se llama en matemática prueba
de que la definición es correcta.
En efecto, sean rx y ry, los restos de la división por n de los números x e y, respectivamente. Entonces la clase
x + y consta de todos aquellos números que al ser divididos por n dan el mismo resto que rx + ry. Por otra parte,
la clase xʹ + yʹ consta de aquellos mismos números, porque los restos de la división por n de los números xʹ e
yʹ son rx y ry. La corrección de la definición 3 queda demostrada.
Veamos varios ejemplos. Sea n = 2. Entonces, las clases de restos solo son dos: 0 y 1. Su suma es fácil de definir:
0 + 0 = 0,
1 + 0 = 0 + 1 = 1,
1 + 1 = 0.
Sin embargo, conviene presentar estos resultados en una tabla, como sigue:
Tabla 1.
0 1
0 0 1
1 1 0
El resultado se lee así: supongamos que hay que hallar la suma 0 + 1. En la columna de la izquierda se busca
el primer sumando (es decir, 0), y en la fila superior, el segundo (o sea, 1). En la intersección de la fila en que
se encuentra el primer sumando con la columna en que está el segundo se indica la suma de los mismos: 1.
Esta tabla se llama tabla de sumar para Z2.
Sea n = 3. En este caso, las clases serán 0, 1 y 2. La correspondiente tabla de sumar tiene la forma que se
muestra a continuación:
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Tabla 2.
0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
Será útil comprobar también las siguientes tablas de sumar para n = 7 y n = 10:
Tabla 3. Tabla 4.
Tabla de sumar en Z7 Tabla de sumar en Z10
0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 2 3 4 5 6 0 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
3 3 4 5 6 0 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
4 4 5 6 0 1 2 3 4 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
5 5 6 0 1 2 3 4 5 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4
6 6 0 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5
7 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6
8 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7
9 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Así, pues, la suma de las clases de restos en Zn se determina por medio de la suma de los representantes de
estas clases. Análogamente se determinan la resta y la multiplicación. He aquí las definiciones exactas.
Definición 4. La diferencia de dos clases de restos x e y respecto de un módulo n se llama clase x – y. En este
caso se escribe:
x – y = x – y.
Definición 5. El producto de dos clases de restos x e y respecto de un módulo n se llama clase xy. En este caso
se escribe:
x y = xy, o x ⋅ y = xy
Es probable que nos demos cuenta de que las definiciones 4 y 5, de igual modo que la 3, requieren la prueba
de su corrección. La demostración de las igualdades respectivas
–xʹ – yʹ = x – y, y xʹyʹ = xy
no es difícil. La primera de ellas puede ser un ejercicio interesante; la segunda se entiende como sigue.
Tenemos:
xʹ = x + kxn e yʹ = y + kyn,
donde kx y ky son números enteros. Entonces xʹyʹ = xy + n(xky + ykx + kxkyn). Por esto
xʹyʹ ≡ xy (mod n)
Las tablas de sumar (véase, por ejemplo, las cuatro tablas anteriores) son cómodas no solo para determinar
la suma, sino también la diferencia. Esto está relacionado con la sencilla observación siguiente: si a = b – c
entonces b = a + c. En efecto, sumemos a ambos miembros de la igualdad a = b – c la clase c. Obtenemos:
a + c = (b – c) + c
Es evidente que b – c = b + (–c) –tanto el uno como el otro son de la clase (b – c) (mod n)–. Por esto (b – c)
+ c = (b + (–c)) + c. No obstante, para tres clases cualesquiera x, y, z es justa la ley asociativa:
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(x + y) + z = x + (y + z)
[tanto de un lado de la igualdad como del otro, son de la clase (x + y + z) (mod n)]. Por esto
(b + (–c)) + c = b + (–c + c)= b + 0 = b,
de manera que a + c = b.
Por consiguiente, para hallar en la tabla de sumar la diferencia a – b basta con encontrar en la columna de la
izquierda cuál es el sustrayendo b; después, en la misma fila de la tabla, se busca el minuendo a, y entonces
la diferencia a – b está indicada en la parte superior de la columna en que se encuentra a. Así, por la tabla
siguiente que ya vimos,
Tabla 3.
Tabla de sumar en Z7
0 1 2 3 4 5 6
0 0 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6 0
2 2 3 4 5 6 0 1
3 3 4 5 6 0 1 2
4 4 5 6 0 1 2 3
5 5 6 0 1 2 3 4
6 6 0 1 2 3 4 5
es fácil hallar que
4 (mod 7) – 6 (mod 7) = 5 (mod 7),
O, por la tabla de sumar en Z10,
4 (mod 10) – 6 (mod 10) = 8 (mod 10) y 6 (mod 10) – 4 (mod 10) = 2 (mod 10).
En cuanto a la multiplicación en Zn, es conveniente definirla por tablas análogas a las de sumar, pero en vez
de indicar la suma de las clases de restos, indicaremos en ellas su producto.
Quedamos, pues, en que las clases residuales en Zn pueden sumarse, restarse y multiplicarse. Las leyes conmu-
tativa, asociativa y distributiva que actúan en la suma y la multiplicación de los números se trasladan también
a las clases de restos.
Tabla 5. Tabla 6.
Tabla de multiplicar en Z2 Tabla de multiplicar en Z3
0 1 0 1 2
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1 2
2 0 2 1
Tabla 7. Tabla 8.
Tabla de multiplicar en Z7 Tabla de multiplicar en Z10
0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 2 4 6 1 3 5 2 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
3 0 3 6 2 5 1 4 3 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7
4 0 4 1 5 2 6 3 4 0 4 8 2 6 0 4 8 2 6
5 0 5 3 1 6 4 2 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5
6 0 6 5 4 3 2 1 6 0 6 2 8 4 0 6 2 8 4
7 0 7 4 1 8 5 2 9 6 3
8 0 8 6 4 2 0 8 6 4 2
9 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1
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ca
) Hagamos la demostración de las igualdades respectivas. El conjunto Zn, con las suma, resta y multiplicación
que acabamos de introducir, es lo que se llama anillo de las clases de restos respecto del módulo n. Los elemen-
tos 0 y 1 de Zn, es natural que se llamen cero y uno del anillo Zn.
Finalmente, refirámonos a la división en el anillo Zn. Sean a = a (mod n) y b = b (mod n); se dice que la clase
b divide a la clase a (y se escribe b⏐a) si existe una clase c = c (mod n) tal que a = b ⋅ c. Por ejemplo, si n = 10
(véase la tabla de multiplicar en Z10 anterior), la clase 2 divide a la clase 4 y la clase 4 divide a la clase 6. Si b⏐a,
se dice también que b es divisor de la clase a.
En el anillo de los números enteros Z todos los números son divisores de 0, porque x ⋅ 0 = 0 para cualquier x, y
únicamente 1 y –1 son divisores del número 1. Naturalmente, en el anillo Zn también todas las clases x dividen
a 0, y las clases 1 y –1 dividen a 1. Pero a diferencia del anillo Z, aquí, para una u otra n pueden establecerse
varias propiedades específicas no propias de Z.
Así, en el anillo Z la igualdad x ⋅ y = 0 solo es posible cuando por lo menos uno de los elementos x o y es igual
a 0. Pero en el anillo Z10 tenemos que 2 ⋅ 5 = 0, ¡aunque 2 ≠ 0 y 5 ≠ 0! En el anillo son divisores del número
1 solamente 1 y –1, mientras que en el anillo Z10 a la clase 1 la dividen a la vez cuatro elementos: 1, 3, 7, 9,
porque 1 = 1 ⋅ 1 = 3 ⋅ 7 = 7 ⋅ 3 = 9 ⋅ 9.
Finalmente, en el anillo Z pueden efectuarse simplificaciones sin vacilar (es decir, puede garantizarse que de
la igualdad ax = ay y la condición a ≠ 0 se deduce la igualdad de los números x = y) y en el anillo Zn, no; por
ejemplo, en Z10, de la igualdad 2 ⋅ 7 = 2 ⋅ 2 y la condición 2 ≠ 0 no se deduce que 7 = 2.
Ahora demostraremos el teorema fundamental en este plano, acerca de los anillos Zn. Introduciremos dos tér-
minos: 1) Una clase x del anillo Zn se llama divisora de cero si x ≠ 0 y existe en Zn una clase y ≠ 0 tal que xy = 0.
2) Una clase x de Zn se llama divisora de la unidad si existe en Zn una clase y tal que x ⋅ y = 1.
Los divisores de la unidad se llaman también elementos invertibles.
Teorema 2. (1) Una clase x del anillo Z
es divisora de la unidad si, y solamente si,
los números x y n son primos entre sí. (2)
Una clase x del anillo Zn es divisora de la
unidad si, y solamente si, no es divisora
de cero.
Conviene advertir que el máximo común divisor de los números x y n no depende de la elección que se haga
del representante de la clase x. En efecto, si xʹ = x (mod n), será xʹ = x + kn y todo divisor común de x y n (en
particular el máximo) será divisor común de xʹ y n. Pero esto (x, n)⏐(xʹ, n) y como es natural, el recíproco: (xʹ,
n)⏐(x, n). Por lo tanto, la formulación del teorema 2 en la parte (1) es correcta.
Demostración. (1) Sean x y n primos entre sí. Según el teorema 3 (Leñitas Geométricas 1, 4a época, p. 14),
esto significa que xs + nt = 1 para ciertos s y t de Z. Pero entonces, pasando a los restos respecto del módulo
n, obtenemos:
xs + nt = 1
o bien
(xs) (mod n) + (nt) (mod n) = 1 (mod n),
es decir, xs = 1, puesto que nt = 0, t = 0 y es invertible en Zn.
Recíprocamente, sea x ⋅ s = 1 en Z para cierta clase s. Entonces, xs – 1 (mod n), es decir, xs – 1 ≡ kn y, por
consiguiente, x y n son primos entre sí.
(2) Supongamos que x no es divisor de cero. Consideremos el máximo común divisor d de los números x y n.
Sea
d = xs + nt
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) para ciertos s y t enteros y n = d ⋅ nʹ. Si d = 1, de lo demostrado antes, x es invertible en Zn. Si d = 1, nʹ = 0 y,
además, para x = xʹ ⋅ d
xnʹ = xʹd ⋅ nʹ = xʹ ⋅ n = 0 (1)
y x es divisor de cero en contradicción con lo propuesto. Por consiguiente d = 1 y x es invertible en Zn.
Recíprocamente, sea x invertible en Zn, es decir, xy = 1 para cierto y de Zn. Si fuera xz = 0 para z ≠ 0, de la úl-
tima igualdad se deduciría que yxz = y ⋅ 0 = 0, es decir, (yx)z = 0 o 1 ⋅ z = 0, pero z ≠ 0 por la hipótesis hecha.
El teorema queda demostrado (c. q. d.)
Corolario 1. Una clase x de Zn, x = 0, es divisor de cero si, y solamente si, los números x y n no son primos
entre sí.
Corolario 2. En un anillo Zp, donde p es un número primo, no existen divisores de cero.
En efecto, cada uno de los números 1, 2, …, p – 1 son primos con p, si p es primo; por esto las clases 1, 2, ...
p – 1 son invertibles en Zp.
Para terminar este párrafo daremos dos teoremas más, dedicados a los hechos “singulares” de la aritmética
finita.
Teorema 3. Si p es un número primo y a = a (mod p) y b = b (mod p), será (a + b)p = ap + bp.
Demostración. Recordaremos en primer lugar que para unos números cualesquiera x e y el binomio (x + y)
se desarrolla de acuerdo con la siguiente fórmula de Newton:
x + y( ) = x +C p
1 x p−1 y +…+C p
k x p−k yk +…+C p
p−1 xpp−1 + y p
donde
C p
k =
p p−1( )… p− k +1( )
1 ⋅2⋅3…k
,
k = 1, 2, …, p – 1.
El coeficiente binomial C p
k cualquiera que sea k, es divisible por p, porque p, por ser primo, es primo con cada
uno de los números 1, 2, …, k si k < p. Por consiguiente, la diferencia (x + y)p – xp – yp se representa en forma
de una suma de números en la que cada uno de ellos es divisible por p; por esto (x + y)p ≡ (xp + yp) (mod p),
de donde para x = a e y = b se obtiene lo que necesitábamos
(a + b)p – ap – bp.
No menos interesante es el hecho siguiente, conocido con el nombre de pequeño teorema de Fermat:
Teorema 4. Si p es un número primo y x = x (mod p), será
xp = x.
Demostración. Si x = 0, la afirmación es evidente. Supongamos que x ≠ 0. Esto significa que el número x
no es divisible por p, y como p es primo, los números x y p son primos entre sí. Por consiguiente, las clases
x, 2x, …, (p – 1)x son distintas de dos en dos: la igualdad l ⋅ x = k ⋅ x significa que l = k (por el teorema 2, el
elemento x es invertible, y si xy = 1, multiplicando ambas partes de la igualdad l ⋅ x = k ⋅ x por y obtenemos
que l = k), pero esto es imposible si 0 < l, k < p y l ≠ k. Por lo tanto, x, 2x, … (p – 1)x es la representación en
cierto orden de las clases 1, 2, …, p – 1, y por esto el productox ⋅ 2x ⋅ … ⋅ (p – 1)x es igual a 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ (p – 1),
es decir,
1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ (p – 1)xp-1 = 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ (p – 1).
Por consiguiente, si la última igualdad se simplifica por 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ (p – 1), se obtiene xp-1 = 1, o después de
multiplicarla por x, tenemos xp = x. El teorema queda demostrado.
El conjunto de las clases no nulas de restos 1, 2, …, p – 1 respecto del módulo p primo posee muchas pro-
piedades interesantes. Una de ellas consiste en lo siguiente: entre estas clases siempre hay una clase a tal que
cualquier otra clase es cierta potencia suya, es decir, para cualquier otra clase x existe una clase natural t tal
que at = x.
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) Armando festivales y pasatiempos
1. Por la tabla de multiplicar 7 hallar para cada x de Z7 una clase recíproca (es decir, una
clase y tal que xy = 1).
2. Demostrar que si la clase x del anillo Zn es invertible, existe exactamente una clase
y para la cual x ⋅ y = 1 (si se supone lo contrario, es decir, la existencia de la igualdad
1 = xy1 = xy2, hay que multiplicar también la última de ellas por y1 o por y2).
3. Demostrar que el elemento a ≠ 0 del anillo Zn puede simplificarse (es decir, garantizar
que de ax = ay conduce que x = y) si, y solamente si, a es divisor de la unidad.
Indicación. La suficiencia de esta condición es casi evidente y su necesidad debe
establecerse por reducción al absurdo: si a no es divisor de la unidad, ab = 0 para
cierto b ≠ 0 de Zn; después de esto hay que representar b en forma de x – y para algunos x ≠ y de Zn y
considerar la igualdad a(x – y) = 0.
4. Hacer las tablas de sumar y de multiplicar para Z8 y hallar en este anillo todos los divisores de cero y todos
los divisores de la unidad.
5. Sea N un número natural arbitrario y r un número igual a la cantidad de números primos con N de la serie
1, 2, …, N – 1. Demostrar que para cualquier número entero a, primo con N, en el anillo Zn se efectúa la
igualdad a = 1 (teorema de Euler).
ARITMÉTICA FINITA. EMMY NOETHER (1882-1935)
Emmy Noether es mejor conocida por sus contribuciones al álgebra abstracta, en
particular por su estudio de las condiciones de la cadena en los ideales de los ani-
llos. Fue la figura más importante e innovadora en el campo del álgebra abstracta
de los tiempos recientes. Su padre, Max Noether (1844-1921), fue también un
matemático de prestigio, profesor de la Universidad de Erlangen, donde Emmy se
formó y obtuvo su doctorado (1907). A partir de 1913 enseñó ocasionalmente en
Erlangen, sustituyendo a veces a su padre.
En 1915, dos de los más grandes matemáticos del tiempo, David Hilbert y Felix Klein, consiguieron que la
Universidad de Gotinga la invitara como conferenciante, venciendo la resistencia de otros colegas a la presen-
cia de mujeres profesoras. Después de unos años, en 1919, se la nombró oficialmente docente, y a partir de
1920 fue reconocida como uno de los investigadores más importantes en álgebra, de tal manera que entre los
años 1930 y 1933 Gotinga se convirtió en el centro algebraico más importante del mundo, conformándose a
su alrededor una escuela integrada por una multitud de estudiantes.
Era de una gran generosidad con respecto a la difusión de sus ideas originales, que se encuentran esparcidas
con profusión en los artículos escritos por sus estudiantes y colegas.
En 1933, el nacionalismo hitleriano ascendió al poder. Emmy Noether y otros importantes profesores judíos
fueron expulsados de Gotinga. Ella se trasladó a los Estados Unidos, donde trabajó con éxito; al principio en el
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) Bryn Mawr College, una institución universitaria para mujeres, y posteriormente, en el lnstitute for Advanced
Study de Princeton. Murió en 1935.
Su biografía
El padre de Emmy Noether, Max Noether, era un distinguido matemático y profesor en Erlangen, pero pro-
venía de una familia de comerciantes mayoristas de herramientas. Su madre era Ida Amalia Kaufmann (1852-
1915), procedente de una familia acomodada de Colonia. Ambos padres de Emmy eran de origen judío, por
lo que el lector puede sorprenderse, ya que Noether no es un nombre judío. Deberíamos explicar por tanto
cómo sucedió esto y, al mismo tiempo, ofrecer algunos datos relativos a los antepasados de Emmy Noether. El
abuelo paterno de Max Noether era Elías Samuel, fundador de un negocio en Bruchsal. Elías tuvo nueve hijos,
uno de ellos siendo Hertz Samuel. En 1809 el Estado de Baden publicó el Edicto de Tolerancia, que requería
que los judíos adoptaran nombres germánicos. Elías Samuel eligió el apellido Nöther, convirtiéndose en Elías
Nöther, pero también cambió los nombres de pila de sus hijos, dando a Hertz el nombre de Hermann. Cuan-
do tenía 18 años, Hermann Nöther dejó su ciudad natal de Bruchsal y estudió teología en la Universidad de
Mannheim. Luego, en 1837, junto con su hermano Joseph, estableció un negocio mayorista de artículos de
ferretería. Hermann Nöther y su esposa Amalia tuvieron cinco hijos, el tercero de los cuales era Max. Los dos
hijos mayores eran Sarah (nacida el 6 de noviembre de 1839) y Emilio.
Vale la pena señalar en este punto que el negocio de Nöther siguió siendo una empresa familiar durante
exactamente cien años, hasta que los nazis expulsaran a las familias judías de sus propios negocios, en 1937.
Otro comentario nos parece aquí necesario: aunque el apellido de la familia fue elegido para ser Nöther por
el abuelo de Max, este y su familia siempre usaron la forma Noether (excepto en el certificado de matrimonio
de Max, donde aparece la forma Nöther).
Emmy era la mayor de los cuatro hijos de sus padres, siendo los tres hijos menores varones. Alfred Noether
(1883-1918) estudió química y se doctoró en Erlangen en 1909. Sin embargo, su carrera fue corta pues murió
nueve años después. Fritz Noether (1884-1941) se convirtió en matemático aplicado, pero como judío no
pudo trabajar y abandonó Alemania en 1937. Fue nombrado profesor de la Universidad de Tomsk, en la Unión
Soviética. No obstante, acusado de actos antisoviéticos fue condenado a muerte y fusilado. El Tribunal Supre-
mo de la Unión Soviética lo declaró inocente en 1988. Gustav Robert Noether (1889-1928) tuvo mala salud
toda su vida. Tenía una discapacidad mental, por la que pasó la mayor parte de su vida en una institución y
murió joven.
La primera escuela a la que asistió Emmy estaba en Fahrstrasse. Auguste Dick escribe: “Emmy no parecía
excepcional cuando era niña. Jugando entre sus compañeros en el patio de la escuela en Fahrstrasse, proba-
blemente no era especialmente notable: una niña miope y de aspecto sencillo, aunque no sin encanto. Sus
maestros y compañeros de clase conocían a Emmy como una niña inteligente, amigable y simpática. Tenía un
leve ceceo y era una de las pocas que asistía a las clases de religión judía”.
Después de la escuela primaria, Emmy Noether asistió a la Städtische Höhere Töchter Schule en Friedrichstras-
se Erlangen, desde 1889 hasta 1897. Había nacido en la casa familiar en Hauptstrasse 23 y vivió allí hasta que,
a la mitad de su tiempo en la escuela secundaria, en 1892, la familia se mudó a un apartamento más grande en
Nürnberger Strasse 32. En la escuela secundaria estudió alemán, inglés, francés, aritmética y recibió lecciones
de piano. Le encantaba bailar y esperaba con ansias las fiestas con los hijos de los compañeros universitarios
de su padre.
En esta etapa, su objetivo era convertirse en profesora de idiomas, por lo que después de estudiar más inglés
y francés se presentó a los exámenes del Estado de Baviera y se convirtió en 1900 en profesora certificada de
inglés y francés, en escuelas bávaras para niñas. Recibió la calificación “muy bueno” en los exámenes, siendo
la parte más débil su enseñanza en el aula. Pero, de hecho, Noether nunca ejerció como profesora de idiomas.
En cambio, decidió emprender un camino difícil para una mujer de esa época y estudiar matemáticas en la
universidad.A las mujeres se les permitía estudiar en universidades alemanas de manera no oficial y cada profesor tenía
que dar permiso para su curso. Noether obtuvo la autorización para asistir a la Universidad de Erlangen en-
tre 1900 y 1902. Fue una de las dos únicas alumnas que obtuvieron este privilegio. Además de los cursos de
matemática, mantuvo su interés en los idiomas, los cuales enseñaban el profesor de estudios romanos y un
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historiador. Al mismo tiempo, se preparaba para rendir los exámenes que permitían a un estudiante ingresar
a cualquier universidad. Aprobó este examen de matriculación en Núremberg el 14 de julio de 1903 y fue a
la Universidad de Gotinga. Durante 1903 y 1904 asistió a las clases de Karl Schwarzschild, Otto Blumenthal,
David Hilbert, Felix Klein y Hermann Minkowski. Una vez más, no se le permitió ser una estudiante debida-
mente matriculada, sino solamente asistir a las clases. Después de un semestre en Gotinga, regresó a Erlangen.
Universidad de Erlangen
Es en esa época cuando se cambiaron las reglas y se permitió a las mujeres estudiantes matricularse en igual-
dad de condiciones con los hombres. El 24 de octubre de 1904, Noether se matriculó en Erlangen, donde
entonces ya estudiaba solo matemáticas. En 1907 se le concedió un doctorado después de trabajar con Paul
Gordan. El examen oral tuvo lugar el viernes 13 de diciembre y obtuvo el grado summa cum laude. El teorema
de la base de Hilbert de 1888 había dado un resultado de existencia para la finitud de los invariantes y Gordan
buscaba métodos constructivos para llegar a los mismos hallazgos. La tesis doctoral de Noether siguió este
enfoque constructivo de Gordan. Colin McLarty escribió un comentario en esa fecha: “[…] su disertación de
1908 con Gordan persiguió un enorme cálculo que había dejado perplejo a Gordan cuarenta años antes y que
Noether tampoco pudo completar. Que yo sepa, nadie lo ha completado ni siquiera se ha comprobado hasta
donde llegó ella. Era anticuado en ese momento, un testimonio del agradable aislamiento de Erlangen, y no
hizo uso del propio trabajo de Gordon basado en las ideas de Hilbert”.
Una vez habiendo completado su doctorado, la progresión normal a un puesto académico habría sido la habi-
litación. Sin embargo, esta ruta aún no estaba abierta a las mujeres, por lo que Emmy permaneció en Erlangen,
ayudando a su padre, quien, en particular debido a su propia discapacidad, agradeció la presencia de su hija.
Noether también trabajó en su propia investigación. En especial, fue influenciada por Ernst Fischer, quien ha-
bía sucedido a Gordon en la cátedra de Matemática cuando este se jubiló en 1911. Noether escribió acerca de
aquel ascendiente de Fischer: “[…] sobre todo estoy en deuda con el Sr. E. Fischer, de quien recibí el impulso
decisivo para estudiar álgebra abstracta desde un punto de vista aritmético, y esta siguió siendo la idea rectora
de todo mi trabajo posterior […]”.
La influencia de Fischer la llevó hacia el enfoque abstracto de Hilbert sobre el tema y la alejó del enfoque cons-
tructivo de Gordan. La reputación de Noether creció rápidamente a medida que aparecían sus publicaciones. En
1908 fue elegida para el Circolo Matematico di Palermo; luego, en 1909, fue invitada a convertirse en miembro
de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung y también a dirigirse a la reunión anual de la Sociedad en Salzburgo.
Dio la conferencia Zur Invariantentheorie der Formen von Variablen. En 1913 dio otra conferencia en Viena,
nuevamente en una reunión de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung, titulada en esta ocasión Über rationale
Funktionenkörper. Mientras estaba en Viena, visitó a Franz Mertens, con quien habló de matemáticas.
Uno de los nietos de Merten recordaba la visita de Noether en estos términos: “[...] aunque una mujer, me
parecía una capellana católica de una parroquia rural, vestida con un abrigo negro, casi hasta los tobillos y
bastante anodino, un sombrero de hombre en su pelo corto [...] y con una bandolera cruzada como las de los
conductores de ferrocarril de la época imperial, era una figura bastante extraña”.
En 1915, Hilbert y Klein invitaron a Emmy Noether a regresar a Gotinga. La razón de esto fue que Hilbert esta-
ba trabajando en física, en particular en torno de ideas sobre la teoría de la relatividad cercanas a las de Albert
Einstein. Consideraba que necesitaba la ayuda de un experto en teoría de invariantes, por lo que después de
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discutirlo con Klein emitieron juntos la invitación. Bartel Leendert van der Waerden escribe sobre el particular:
“Ella vino y de inmediato resolvió dos problemas importantes. Primero: ¿cómo se pueden obtener todas las
covariantes diferenciales de cualquier vector o campo tensorial en un espacio de Riemann? [...] El segundo
problema que investigó Emmy fue uno de la relatividad especial. Demostró que a cada transformación infini-
tesimal del grupo de Lorentz le corresponde un teorema de conservación”.
Gotinga
En física teórica, este resultado a veces se denomina teorema de Noether y demuestra una relación entre las
simetrías en la física y los principios de conservación. Este hallazgo básico en la teoría de la relatividad fue
elogiado por Einstein en una carta a Hilbert cuando se refirió al penetrante pensamiento matemático de Noe-
ther. Cabe tener en cuenta que ella llegó a Gotinga durante la Primera Guerra Mundial. Este fue un momento
de extrema dificultad y vivió en la pobreza durante estos años, y políticamente se convirtió en una socialista
radical. Sin embargo, fueron años extraordinariamente ricos para ella en términos matemáticos.
Hermann Weyl escribe sobre las opiniones políticas de Noether: “Durante los tiempos salvajes posteriores a la revo-
lución de 1918, no se mantuvo al margen de la agitación política, se puso más o menos del lado de los socialdemó-
cratas; sin estar realmente en la vida partidaria, participó intensamente en la discusión de los problemas políticos y
sociales del momento. [...] En años posteriores, Emmy Noether no tomó parte en asuntos políticos. Sin embargo,
siempre se mantuvo como una pacifista convencida, posición que consideró muy importante y seria”.
Hilbert y Klein la persuadieron para que permaneciera en Gotinga mientras luchaban para tenerla oficialmente
en la facultad. En esta larga batalla con las autoridades universitarias para permitir que Noether obtuviera su
habilitación hubo muchos contratiempos y no fue hasta 1919 cuando se le concedió el permiso y se le otorgó
el cargo de Privatdozent. Durante este tiempo, Hilbert le había autorizado a dar sus clases anunciándolas
incluso con su propio nombre. Por ejemplo, un curso dado durante el semestre de invierno de 1916-1917
apareció en el catálogo como: Seminario de Física Matemática: Profesor Hilbert, con la asistencia del Dr. E.
Noether, lunes de 4 a 6 h, sin matrícula.
En Gotinga, después de 1919, Emmy se alejó de la teoría invariante para trabajar en la de ideales, produciendo
una teoría abstracta que ayudó a convertir la teoría de anillos en un tema matemático importante. El escrito
“Idealtheorie in Ringbereichen” (1921) fue de fundamental importancia en el desarrollo del álgebra moderna.
En este trabajo ella daba la descomposición de ideales en intersecciones de ideales primarios en cualquier
anillo conmutativo con condición de cadena ascendente. Emanuel Lasker (quien se convirtió en campeón
mundial de ajedrez) ya había demostrado este resultado para un anillo polinomial sobre un campo. Noether
publicó “Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahlkorpern” en 1924. En este artículo entregaba
cinco condiciones sobre un anillo que le permitían deducir que en tales anillos conmutativos cada ideal es el
producto único de ideales primos.
En ese mismo año, Van der Waerden llegó a Gotinga y pasó un año estudiando con Emmy Noether. Después
de regresar a Ámsterdam,Van der Waerden escribió su libro Moderne Algebra en dos tomos. La mayor parte
del segundo volumen se nutre del trabajo de Noether. A partir de 1927, ella colaboró con Helmut Hasse y
Richard Brauer en trabajos sobre álgebras no conmutativas. Escribieron juntos un hermoso artículo titulado
“Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren”, que se publicó en 1932. Además de la enseñanza y
la investigación, Emmy Noether ayudó a editar las Mathematische Annalen. Gran parte de su trabajo aparece
en artículos escritos por colegas y estudiantes, en lugar de bajo su propio nombre.
Un mayor reconocimiento de sus destacadas contribuciones matemáticas llegó con invitaciones para asistir
al Congreso Internacional de Matemáticos en Bolonia en septiembre de 1928 y nuevamente en Zúrich, en
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) septiembre de 1932. Su discurso ante este segundo congreso se tituló “Hyperkomplexe Systeme in ihren
Beziehungen zur kommutativen Algebra und zur Zahlentheorie”. También en 1932 recibió, junto con Emil
Artin, el premio conmemorativo Alfred Ackermann-Teubner para el avance del conocimiento matemático.
En abril de 1933, sus logros matemáticos no sirvieron de nada cuando los nazis provocaron su despido de la
Universidad de Gotinga por ser judía. No recibía pensión ni ninguna otra forma de compensación, pero, a
pesar de todo, se consideraba más afortunada que los demás. Ella le escribió a Helmut Hasse, el 10 de mayo
de 1933: “¡Muchas gracias por su querida carta compasiva! Sin embargo, debo decir que esto es mucho menos
terrible para mí que para muchos otros. Al menos tengo una pequeña herencia (nunca tuve derecho a una
pensión de todos modos) que me permite sentarme un rato y ver”.
En el discurso que dio en su funeral, Weyl habló sobre la reacción de Noether ante los terribles acontecimien-
tos que estaban ocurriendo a su alrededor: “No creías en el mal, de hecho, nunca se te ocurrió que pudiera
desempeñar un papel en los asuntos del hombre. Nunca me di cuenta de esto más claramente que en el últi-
mo verano que pasamos juntos en Gotinga, el tormentoso verano de 1933. […] En medio de la terrible lucha,
destrucción y agitación que estaba ocurriendo a nuestro alrededor en todas las facciones, en un mar de odio
y violencia, de miedo, desesperación y abatimiento, seguiste tu propio camino, sopesando los desafíos de la
matemática con la misma laboriosidad como antes. Cuando no se te permitía utilizar las salas de conferencias
del instituto, reunías a tus alumnos en tu propia casa. Incluso aquellos con sus camisas pardas eran bienve-
nidos; nunca por un segundo dudaste de su integridad. Sin tener en cuenta tu propio destino, de corazón
abierto y sin miedo, siempre conciliador, seguiste tu propio camino. Muchos creíamos que se había desatado
una enemistad en la que no podía haber perdón; pero permaneciste al margen de todo”.
Emmy aceptó una cátedra visitante de un año en el Bryn Mawr College, en los Estados Unidos y en octubre
de 1933 navegó hacia allá en el barco Bremen para asumir el cargo. Tenía la esperanza de retrasar la aceptación
de la invitación, ya que le hubiera gustado ir a Oxford, en Gran Bretaña, pero pronto quedó claro que tenía
que irse rápidamente. En Bryn Mawr, Anna Johnson Pell Wheeler, directora de Matemática, la recibió muy
bien. Noether dirigió un seminario durante el semestre de invierno de 1933-1934, para tres estudiantes y un
miembro del personal. Trabajaron en el primer volumen de Álgebra Moderna de Van der Waerden. En febrero
de 1934 comenzó a dar conferencias semanales en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton.
En una carta a Helmut Hasse, fechada el 6 de marzo de 1934, escribió: “He empezado con módulos de repre-
sentación, grupos con operadores; […] Princeton recibirá su primer tratamiento algebraico este invierno, y
muy completo. Mi audiencia consiste principalmente en becarios de investigación, además de Albert y Vandi-
ver, pero estoy empezando a darme cuenta de que debo tener cuidado; después de todo, están esencialmente
acostumbrados a la computación explícita y ya he ahuyentado a algunos de ellos con mi enfoque”.
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ca
) Noether regresó a Alemania durante el verano de 1934. Allí vio a su hermano Fritz por lo que sería la última
vez y visitó a Artin en Hamburgo antes de seguir hacia Gotinga. En 1980, la esposa de Artin recordaba la visita
de Noether: “Ahora, lo que recuerdo más vívidamente es el viaje en Hamburg Untergrund, que es el metro de
Hamburgo. Recogimos a Emmy en el Instituto, y ella y Artin inmediatamente comenzaron a hablar de ma-
temática. En ese momento era Idealtheorie, y empezaron a hablar de Ideal, Führer, Gruppe y Untergruppe, y
todo el coche de repente empezó a aguzar el oído. [Cada uno de los sustantivos alemanes tiene significados
tanto matemático como político]. Y estaba muerta de miedo y pensé, Dios mío, lo próximo que va a pasar es
que alguien nos va a arrestar. Por supuesto, eso fue en 1934, y todo. Pero Emmy estaba completamente ajena,
y hablaba muy fuerte y estaba muy emocionada, y cada vez más fuerte, y todo el tiempo salían el “Führer” y
el “Ideal”. Estaba muy llena de vida y constantemente hablaba muy rápido y muy alto”.
Regresó a los Estados Unidos, donde su cátedra visitante en Bryn Mawr se extendió por un año más. Continuó
sus clases semanales en Princeton, donde ahora había llegado Richard Brauer. Después de sus clases disfrutaba
hablando de matemática con Weyl, Oswald Veblen y Brauer.
La muerte de Noether fue repentina e inesperada. En abril de 1935, los médicos descubrieron que tenía un
tumor. Dos días después operaron, encontrando más tumores que creyeron benignos y no extirparon. La
operación pareció un éxito y durante tres días su estado mejoró. Sin embargo, al cuarto día se derrumbó brus-
camente y desarrolló una temperatura muy alta. Ella murió más tarde ese día.
Weyl, en su discurso conmemorativo, dijo: “Su importancia para el álgebra no se puede leer completamente
en sus propios artículos, tenía un gran poder estimulante y muchas de sus sugerencias tomaron forma solo en
los trabajos de sus alumnos y compañeros de trabajo”.
Bartel Leendert van der Waerden escribió: “Para Emmy Noether, las relaciones entre números, funciones y
operaciones se volvieron transparentes, susceptibles de generalización y productivas solo después de haber
sido disociadas de cualquier objeto particular y reducidas a relaciones conceptuales generales”.
Aunque recibió poco reconocimiento durante su vida, considerando los notables avances que hizo, ha sido
honrada de muchas maneras después de su muerte. Un cráter en la Luna lleva su nombre. También una calle
de su ciudad natal y la escuela a la que asistió de niña. Varias organizaciones nombran becas y conferencias
en honor a Emmy Noether.
B. No olvidemos lo importante. Análisis de las curvas y su construcción. Áreas y
logaritmos
Continuación de Leñitas Geométricas 11, 4ª época, Sección B
Una aventura a las ideas centrales del logaritmo
Función logarítmica
Tenemos cuatro fichas. Alguien escoge al azar una de ellas y hemos de
adivinar cuál es haciendo el mínimo número de preguntas, a las que solo
puede responderse con SÍ o NO. La estrategia está clara: ¿es verde? ¿Es
redonda? Etcétera.
Tenemos ahora ocho fichas y planteamos el mismo juego de antes.
16
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s G
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1
3
(4
a é
po
ca
)
Las preguntas, en este caso, pueden ser: ¿Es verde? ¿Es redonda? ¿Es pequeña?, entre otras.
Alguien piensa un número del 1 al 8. Invente una estrategia que le permita averiguar, con solo tres preguntas,
cuál es el número elegido. ¿Cuántas preguntas se necesitarán, como mínimo, para acertar un número del 1 al
16? ¿Cuántas para acertar un número del 1 al 64? ¿Y para acertar un número entre 1 y 100? ¿Y entre 1 y 1 000?
¿Para qué valor positivo de x la función y = x2 toma los valores 4, 100 o 150? Procedemosdel siguiente modo:
4 = x2 → x = 2
100 = x2 → x = 10
150 = x2 → x = 150.
En cada caso hemos extraído la raíz cuadrada. La forma de despejar la x en la función y = x2 es mediante la
raíz cuadrada. ¿Para qué valor de x la función exponencial y = 2x vale 4, 128 y 500?
En los dos primeros casos podemos responder tanteando, ya que
4 = 2x → x = 2 pues 22 = 4
128 = 2x → x = 7 pues 27 = 128.
Sin embargo, no disponemos de ninguna operación que nos permita despejar x en la igualdad 500 = 2x.
¿Cómo despejar la x en expresiones del tipo 2x = K o, en general, ax = K?
Hagamos memoria. Primero aprendimos a elevar al cuadrado. En algún momento tuvimos necesidad de sa-
ber de qué número era cuadrado 4, 81 o 10 000 y, más o menos fácilmente, deducíamos que 4 es el cuadrado
de 2; 81, el de 9; y 10 000 el de 100.
Cuando este proceso empezó a repetirse, se le dio el nombre a esta operación, y escribimos:
4 = 2; 81 = 9; 10000 = 100.
Así se definió la raíz cuadrada como operación inversa de elevar al cuadrado.
Un nuevo problema se presentó cuando hubo que averiguar qué número tenía por cuadrado 150, es decir,
el cálculo de 150 . Para resolver este tipo de situaciones tuvimos que indagar en las propiedades de la raíz
cuadrada, y esto se hizo a partir de las propiedades del cuadrado, con la misma soltura que las de y = x2. Ob-
serve sus gráficas:
y = x2
y = x
y = x
(a, b)
(b, a)
17
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3
(4
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) Las curvas son simétricas respecto de la recta y = x. Puede comprobarlo con una regla, apoyándola sobre pares
de puntos correspondientes (a, b) y (b, a).
La función x se llama inversa de la función x2 para x > 0. La inversa de la rama negativa de la función x2
es − x .
Función inversa de otra
Se llama función inversa de f(x) a otra función a la que se designa por f–1(x) y que cumple la siguiente
condición:
si f(a) = b entonces f–1(b) = a.
Para obtener la expresión analítica de la inversa de una función se procede del siguiente modo.
1. Se intercambian la x y la y en la expresión inicial:
y = f(x) → x = f(y).
2. Se despeja la y en la expresión obtenida:
x = f(y) → y = f–1(x).
Dos ejemplos para fijar ideas
1. Obtengamos la función inversa de y = 2x – 3.
• Se intercambian la x y la y: x = 2y – 3x + 3.
• Se despeja la y:
y = x+3
2
.
La inversa de f(x) = 2x – 3 es
f −1(x)= x+3
2
.
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) 2. Encontremos ahora la función inversa de y = x3 – 3.
y = x3 – 3 y = 2x – 3
y = x+3
2
y = x+33
• Se intercambian la x y la y: x = y3 – 3
• Se despeja la y: y = x+33
Función inversa de la función exponencial
Nos preguntábamos cómo despejar x en la expresión 2x = K. Podríamos hacerlo si conociéramos la función
inversa de y = 2x. Vamos a representarla ayudándonos de lo aprendido hasta ahora:
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)
y = 2X 22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
–2–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22–4–6
–4
–6
Esta nueva función, representada en azul, se llama función logarítmica de base 2, y se expresa así:
y = log2x.
Ahora podemos decir que si 2x = K, entonces x = log2 K, es decir, x es la ordenada de la función representada
en azul cuando la abscisa es K.
El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número.
En general, y = loga x es la función inversa de la exponencial
y = ax
y = 1
2
X
y = log1
2
x
Si a > 1, la función y = loga x es creciente;
lim
x→ 0
loga x = −∞
lim
x→ ∞
loga x =∞
Si a < 1, la función y = loga x es decreciente:
lim
x→ 0
loga x =∞
lim
x→∞
loga x = −∞
En ambos casos, la función y = loga x solo está definida para x > 0.
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) La función exponencial y la función logarítmica de base e
Entre las funciones exponenciales y logarítmicas, en matemática superior, tienen una importancia enorme las
de base e. Recuerde que e = 2,718281828 ... es el límite de
y = lim
n→ 0
1+ 1
n
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
n
.
Sus gráficas son las siguientes:
y = eX
y = loge X
12
10
8
6
4
2
–2
–2 2 4 6 8 10–4–6–8
–4
–6
–8
–10
–1
1
2
3
4
–2
–2 –1 1 2 3 40
Además de que ambas aparecen con cierta frecuencia en la descripción de fenómenos físicos, químicos, eco-
nómicos, psicológicos, etc., tienen la siguiente peculiaridad:
D(ex) = ex;
D loge x( ) = 1
x
.
Es decir:
• La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función exponencial coincide con la ordenada del
punto de tangencia (la tangente en el punto de ordenada 2 tiene pendiente 2, en el punto de ordenada
3 tiene pendiente 3, etc.).
• La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función logarítmica tiene por pendiente la inversa de
la abscisa (las tangentes en los puntos de abscisa 2, 3 o 4 tienen de pendiente
1
2
, 1
3
o
1
4
, respectivamen-
te). Podemos comprobarlo en la gráfica con ayuda de una regla.
La especial significación de estas dos funciones ha motivado que se les dé nombres especiales: se designa
también por exp (x), que se lee exponencial de x; loge x se designa mediante ln x, que se lee logaritmo ne-
periano de x (Johannes Neper –o John Napier– fue el inventor de los logaritmos, estrechísimamente relacio-
nados con la función logarítmica).
Armando festivales y pasatiempos
Para cada una de las siguientes igualdades exponenciales, escriba la correspondiente
igualdad logarítmica.
1) a) 27 = 128; b) 8
1
3 = 2; c) 26 = 64.
Recordemos que: y = log2 8 → 2y = 8 = 23 → y = 3.
2) Calcule, y del mismo modo, en los siguientes casos:
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)
a) y = log2 16; b) y = log2 32; c) y = log10 100; d) y = log3 9 .
Dibuje la gráfica de la función y = log3 x completando previamente la tabla de valores:
x
1
27
1
9
1
3
1 3 9 27
y
Compárela con la gráfica de la función exponencial y = 3x. ¿Qué observa?
Continuación de Leñitas Geométricas 7, 4ª época, Áreas y logaritmos, p. 23.
17. Construcción de tablas. Las conclusiones relativas a la fórmula aproximada para
ln (1 + b) nos hacen buscar otra fórmula, que requiera una menor cantidad de
operaciones. Tal fórmula existe. Para encontrarla tomemos un número k, entero y
positivo, y hagamos
β =
1
2k+1
. Entonces tendremos:
ln 1+ 1
2k+1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≈
1
2k+1
−
1
2 2k+1( )2 +
1
3 2k+1( )3 −
1
4 2k+1( )4 +…
+
1
2n−1( ) 2k+1( )2n–1 – 1
2n 2k+1( )2n .
El error de esta igualdad aproximada es inferior a
1
2n+1( ) 2k+1( )2n+1
Tomemos ahora b negativo, igual a
−
1
2k+1
.
Obtendremos otra igualdad aproximada:
ln 1− 1
2k+1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟−
1
2k+1
−
1
2 2k −1( )2 −
1
3 2k+1( )3 −
1
4 2k+1( )4 −…−
1
2n−1( ) 2k+1( )2n−1 −
1
2n 2k+1( )2n
que nos da el valor de
ln 1− 1
2k+1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ con el error inferior a;
1
2k+1( )2n+1 : 2n+1( ) 1− 1
2k+1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥=
2k+1
2k
⋅
1
2n+1
⋅
1
2k+1( )2n+1 .
Sustrayendo, miembro a miembro, la segunda igualdad aproximada de la primera, encontramos:
ln 1+ 1
2k+1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟− ln 1− 1
2k+1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≈
≈
2
2k+1
+
2
3 2k+1( )3 +
2
5 2k+1( )5 +…+
2
2n−1( ) 2k+1( )2n−1 .
El error de esta igualdad aproximada no es superior, en su magnitud absoluta, a la suma de errores que
admiten las fórmulas para
ln 1+ 2
2k+1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ y
ln 1− 1
2k+1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ .
Por ello es inferior a
1
2n+1
⋅
1
2k+1( )2n+1 +
2k+1
2k
⋅
1
2n+1
⋅
1
2k+1( )2n+1 =
4k+1
2k
⋅
1
2n+1
⋅
1
2k+1( )2n+1 <
<
4k+2
2k
⋅
1
2n+1
⋅
1
2k+1( )2n+1 =
1
k 2n+1( ) 2k+1( )2n .
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) Transformemos la diferencia de logaritmo, observando que ella debe coincidir con el logaritmo del cocien-
te. Obtenemos:
ln 1+ 1
2k+1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟− ln 1− 1
2k+1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ln
1+ 1
2k+1
1− 1
2k+1
= ln 2k+2
2k
= ln kt1
k
= ln k+1( ) − ln k.
Así,
ln k+1( ) − ln k≈
2
2k+1
+
2
3 k+1( )3 +
2
5 k+1( )5 +…+
2
2n−1( ) 2k+1( )2n−1 . (*)
con el error inferior
1
k
⋅
1
2n+1
⋅
1
2k+1( )2n .
Esta es la fórmula buscada. La fórmula permite calcular ln (k + 1), si se conoce ln k. Aprovechando la igual-
dad ln 1 = 0 y poniendo en ella k = 1, encontramos ln 2 con error inferior a
1
2n+1
⋅
1
32n .
Tomemos n = 5. Se puede afirmar que el error será inferior a
1
11
⋅
1
310 =
1
11⋅59049
< 0,000002. Por consiguiente:
ln 2= ln 2− ln 1 ≈ 2
3
+
2
3⋅33 +
3
5⋅35 +
2
7 ⋅37 +
2
9 ⋅39
con error inferior a 0,000 002. Transformando todas las cinco fracciones en las decimales con seis cifras
después de la coma (es decir, con error inferior a 0,000 000 5) y sumándolas, obtendremos el valor de ln 2
con error inferior a 0,000 002 + 0,000 000 5 ⋅ 5 < 0,000 005:
ln 2 ≈ 0,693 146 ≈ 0,693 150.
Hagamos ahora en la fórmula (*) k = 2 y n = 3. Resulta:
ln 3− ln 2≈ 2
5
+
2
3⋅53 +
2
5⋅55 ≈ 0,40546
con error inferior a
1
2
⋅
1
7
⋅
1
56 =
1
14 ⋅15625
< 0,000005 . Por eso
ln 3 ≈ ln 2 + 0,40546 ≈ 1,09861.
Luego, obtenemos ln 4 = 2 ln 2 ≈ 1,38630; tomando en la fórmula (*) k = 4 y n = 3, encontramos:
ln 5− ln 4 ≈ 2
9
+
2
3⋅93 +
2
5⋅95 ≈ 0,223144 ≈ 0,22314
con error inferior a
1
4
⋅
1
7
⋅
1
96 =
1
28 ⋅531441
< 0,0000001 .
Por esto:
ln 5 ≈ ln 4 + 0,22314 ≈ 1,60944.
Ahora podemos encontrar, también, el valor de ln 10:
ln 10 = ln 5 + ln 2 ≈ 2,30259
y por fin, tomando en la fórmula (*) k = 10 y n = 2, obtenemos:
ln 11− ln 10 ≈ 2
21
+
2
3⋅213 = 0,09531
(aquí, el error de la fórmula aproximada es menor que
1
10
⋅
1
5
⋅
1
214 ≈ 0,0000001 ).
Por ello:
ln 11 ≈ ln 10 + 0,09531 ≈ 2,39790.
23
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) No necesitamos más ejemplos para comprender cómo se puede construir la tabla de logaritmos naturales.
Precisamente sobre la base de este método fue construida la siguiente tabla de logaritmos naturales de los
números enteros, partiendo de la unidad hasta 100, calculados con error inferior a 0,0005.
n ln n n ln n n ln n n ln n n ln n
1 0,000 21 3,045 41 3,714 61 4,111 81 4,394
2 0,693 22 3,091 42 3,738 62 4,127 82 4,407
3 1,099 23 3,135 43 3,761 63 4,143 83 4,419
4 1,386 24 3,178 44 3,784 64 4,159 84 4,431
5 1,609 25 3,219 45 3,807 65 4,174 85 4,443
6 1,792 26 3,258 46 3,829 66 4,190 86 4,454
7 1,946 27 3,296 47 3,850 67 4,205 87 4,466
8 2,079 28 3,332 48 3,871 68 4,220 88 4,477
9 2,197 29 3,367 49 3,892 69 4,234 89 4,489
10 2,303 30 3,401 50 3,912 70 4,248 90 4,500
11 2,398 31 3,434 51 3,932 71 4,263 91 4,511
12 2,485 32 3,466 52 3,951 72 4,277 92 4,522
13 2, 565 33 3,497 53 3,970 73 4,290 93 4,533
14 2,639 34 3,526 54 3,989 74 4,304 94 4,543
15 2,708 35 3,555 55 4,007 75 4,317 95 4,554
16 2,773 36 3,584 56 4,025 76 4,331 96 4,564
17 2,833 37 3,611 57 4,043 77 4,344 97 4,575
18 2,890 38 3,638 58 4,060 78 4,357 98 4,585
19 2,944 39 3,664 59 4,078 79 4,369 99 4,595
20 2,996 40 3,689 60 4,094 80 4,382 100 4,605
18. El logaritmo de una potencia. Hemos visto que el logaritmo de un
producto se obtiene mediante la operación de adición; el de un cociente,
mediante la sustracción; el logaritmo de una potencia se encuentra
mediante la multiplicación (por el exponente de la potencia); y el de
una raíz, mediante la división (por el exponente de la raíz).
Por eso, disponiendo de la ayuda de una tabla en la que al lado de los
números se encontrarían escritos sus logaritmos (tabla de logaritmos)
se podría sustituir la operación de multiplicación por la de adición,
la división por la sustracción, la elevación a potencia por la multipli-
cación, y la operación de extracción de raíz por la de división, es decir, por las operaciones cada vez más
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) simples. Los procedimientos correspondientes se exponen en los manuales de álgebra. Aquí, nos limitare-
mos a un simple ejemplo.
Supongamos que es preciso calcular c = 25 . Hagamos uso del valor, anteriormente calculado, de ln 2 =
= 0,693; al dividirlo por 5 obtendremos
ln 25 =
1
5
ln 2= 0,139. Basta ahora con encontrar el número 25
según su logaritmo.
Nuestra tabla no es suficiente ni conveniente para este objeto, dado que contiene los logaritmos 0,000 (co-
rrespondiente a la unidad) y 0,693 (correspondiente a 2). El primero es demasiado pequeño, el segundo
es excesivo. En virtud de lo enunciado solo podemos decir que 1< 25 < 2.
Pero advertimos que
ln 10 25( ) = ln 10+ ln 25 = 2,303+0,139 = 2,442. El logaritmo inferior más próxi-
mo de la tabla es 2,398 (ln 11), el logaritmo superior más próximo es 2,485 (ln 12). Por eso, tenemos:
11< 10 25 < 12.
Observando que el número 2,442 es próximo al promedio aritmético de los números ln 11 y ln 12, que es
igual a 2 = 441, podemos escribir 10 25 ≈ 11,5 , es decir, 25 ≈ 1,15. Para verificar, observemos que
ln 100 25( ) = ln 100+ ln 25 = 4,605+0,139 = 4,744.
ln 115 = ln 5 + ln 23 = 1,609 + 3,135 = 4,714.
19. La gráfica de la función. Con el fin de construir la gráfica de la función y = ln x elijamos los ejes de
coordenadas y una unidad de escala; luego, en las perpendiculares al eje 0x, levantadas de los puntos
escogidos de x(x > 0), marquemos los valores correspondientes de ln x. Los extremos de las perpendiculares para
todos los x lo situarán en la curva que será la gráfica del logaritmo natural y que vemos en la siguiente figura:
ln
x
ex
KKʹ
Lʹ
L
xʹ l
y = ln x
y
x30 2
Por debajo, en la figura vemos ln x expresado por medio de un área. Los dos dibujos tienen una misma escala.
0
ln x
exxʹ
Dʹ
Bʹ
A
B
DC
x
y
321
y = 1
x
25
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)
Para un mismo valor de x será válida la afirmación de que la cantidad de unidades cuadradas que compo-
nen el área del trapecio curvilíneo ACDB es igual al número de unidades lineales que contiene el segmento
KL en la primera figura de arriba.
Observemos que si 0 < xʹ < 1, entonces resulta:
ln ʹx =
dx
xl
ʹx
∫ = −
dx
ʹxʹx
l
∫
es decir, ln xʹ es un número negativo cuya magnitud absoluta es igual al área del trapecio BʹDʹCA. Por ello,
en este caso ln xʹ se expresará en la figura siguiente, mediante el segmento K’L’, dirigido hacia abajo con
relación al eje 0x.
ln
x
ex
KKʹ
Lʹ
L
xʹ l
y = ln x
y
x30 2
Todas las propiedades de la gráfica de la función y = ln x se desprenden de la definición y las propiedades
del logaritmo natural. Por ejemplo, ln x es negativo para x < 1, se anula para x = 1 y es positivo, para x > 1.
Es por ello por lo que la gráfica del logaritmo se dispone por debajo del eje 0x para los valores de x < 1.
Cuando x = 1, la gráfica corta al eje 0x. Para todo x > 1, la gráfica se dispone por arriba del eje 0x. Luego,
la función y = ln x va creciendo a medida que aumenta x. Esta propiedad es evidente cuando x > 1 (ver las
figuras), pero es justa también para x = xʹ < 1.
En efecto, si x’ crece, quedando siempre menor que la unidad, la magnitud absoluta del área B’D’CA, va
disminuyendo, lo que significa que ln x, que difiere de esta área solo por el signo, va creciendo.
0
ln x
exxʹ
Dʹ
Bʹ
A
B
DC
x
y
321
y = 1
x
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) La gráfica nos señala que la propiedad de crecimiento del logaritmo se expresa por una curva en forma de
una cuesta en una colina, ascendente a la derecha. La curva indicada, abrupta al principio, adquiere después
una pendiente cada vez más suave. Asignaremos a la gráfica de la curva el nombre de una cuesta logarítmica.
Si trazamos una “senda” horizontal a lo largo del eje 0x y vamos por ella a la derecha, partiendo del punto 0,
entonces, mirando abajo veremos, al principio, un abismo infinito en cuya profundidad se pierde la cuesta
logarítmica. Sin embargo, es suficiente dar un paso de anchura igual a la unidad de longitud para que el
abismo se quede atrás.
Continuando nuestro movimiento por la “senda”, observamos que con cada pasola cuesta se hace cada vez
más alta. Por ejemplo, hechos dos pasos (x = 2), la altura será ln 2 = 0,693, después de tres pasos ln 3 = 1,099,
etc. Al hacer m pasos, calculemos el incremento de la altura, correspondiente a un solo paso más.
Teniendo en cuenta que la altura de cuesta correspondiente a m pasos realizados (cada paso equivale a la
unidad de longitud) es igual a ln m y la altura después de m + 1 pasos será igual a –ln (m + 1), llegamos a
la conclusión de que el incremento de la altura correspondiente a un paso será:
ln m+1( ) − ln m= ln m+1
m
= ln 1+ 1
m
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟.
Cuanto mayor es el número de pasos, tanto menor será la cantidad
1
m
, y tanto más próximo a la unidad
será el valor de
1+ 1
m
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟, con lo que
ln 1+ 1
m
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ tiende a cero. Esto significa que la subida de la cuesta resul-
ta cada vez menos visible a medida que avanzamos a la derecha, es decir, la cuesta logarítmica realmente
adquiere una pendiente cada vez más suave.
La cuesta, sin embargo, sube de la manera infinita, así que por grande que sea nuestro avance a lo largo
de “la senda”, la cuesta siempre será por arriba. Efectivamente, realizados 2m pasos, la altura de la cuesta
será igual a
ln 2m = m ln 2 = 0,693 m.
Este último número para m suficientemente grande será tan grande como se quiera. Supongamos que en
lugar de la “senda horizontal” trazamos otra “senda” rectilínea, que tiene algún coeficiente angular, aunque
sea muy pequeño, como se ve en la figura siguiente.
{ln x
x lg x
{
xʹ x
y
α
0
Avanzando a lo largo de esta última senda, no solo alcanzamos la cuesta logarítmica, sino que, continuan-
do el movimiento, lo dejamos por debajo, como muestra la figura a continuación.
27
Le
ñi
ta
s G
eo
m
ét
ric
as
1
3
(4
a é
po
ca
)
{
{
x lg α
ln x
x = 4m x
Con el objeto de comprobar esto, demostremos el siguiente lema: para m natural cualquiera, es válida la
desigualdad
4m
m2 ≥ 4
En efecto, cuando aumenta m por una unidad más, la fracción
4m
m2 crece, es decir,
4m
m2 <
4m+1
m+1( )2 ;
de esto se deduce de la desigualdad:
4m+1
m+1( )2 : 4m
m2 =
4m2
m+1( )2 =
2m
m+1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
=
m+m
m+1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
≥ 1
que es válida para m ≥ 1. Es por eso, que entre las fracciones:
41
12 , 42
22 , …, 4m
m2
la primera tiene valor máximo, es decir, siempre será
41
12 ≤
4m
m2 , que es lo que teníamos que demostrar.
Observemos ahora que en cada punto de la “senda” rectilínea inclinada, se satisface la correlación
y = x tg a
donde a es el ángulo de inclinación de la recta (a es un ángulo agudo y, por consiguiente, tg a > 0). Al
tomar x = 4m vemos que la altura de la “senda” en este punto x es igual a 4m tg a, mientras que la altura de
la cuesta logarítmica será ln 4m = m ln 4. La relación de la primera altura a la segunda es
4m tg α
m ln 4
=
4m tg α
m2 ln 4
m.
Pero según lo demostrado anteriormente
4m
m2 ≥ 4.
Por eso, la relación de la altura de la “senda” a la de la cuesta logarítmica no será menor que la cantidad
4 tg α
ln 4
m
la que puede ser tan grande como se quiera si m crece indefinidamente.
Por consiguiente, cuando x = 4m y no es suficientemente grande, la cuesta logarítmica es considerablemen-
te superada por la senda rectilínea (ver la figura siguiente).
28
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s G
eo
m
ét
ric
as
1
3
(4
a é
po
ca
)
{
{
x lg α
ln x
x = 4m x
Fijémonos en que la cuesta logarítmica está representada por una curva esférica que gira su convexidad ha-
cia la parte superior. En términos geométricos, esto significa que cualquier arco de la gráfica del logaritmo
se sitúa por arriba de la cuerda de este arco, como se ve en la figura siguiente.
0 x1
L1
K1 N
M
K2
L
L2
x2 x
y
x1 + x2
2
Designando por x1 y x2, y las abscisas de los extremos de un arco arbitrario L1L2, comprobemos que para
el valor medio de
x = x1 − x2
2
el punto L del arco se encuentra, realmente, por arriba del punto medio M
perteneciente a la cuerda.
Efectivamente,
NL= ln x1 + x2
2
y
NM=
K1L1 +K2L2
2
(como línea media del trapecio), es decir,
NM=
ln x1 + ln x2
2
Demostraremos que
ln x1 + x2
2
>
ln x1 + ln x2
2
Pero
ln x1 + ln x2
2
=
1
2
ln x1 x2( ) = ln x1 x2 .
29
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1
3
(4
a é
po
ca
) Por eso hace falta demostrar que
ln x1 + x2
2
> ln x1 x2 .
Observemos que
x1 − x2( )
2
= x1 −2x1 x2 x1 x2 + x2 > 0
(si x1 y x2 son números positivos diferentes).
Por consiguiente,
x1 + x2 > 2 x1 x2
luego,
x1 + x2
2
> x1 x2
y, por fin,
ln x1 + x2
2
> ln x1 x2 ,
que es lo que teníamos que demostrar.
Así pues, el punto de un arco correspondiente al valor medio aritmético de las abscisas de los extremos del
arco supera al punto medio de la cuerda, sea cual fuese el arco de la gráfica del logaritmo. De ahí proviene
que la gráfica del logaritmo siempre gira su convexidad hacia la parte positiva del eje de las y.
En caso contrario, representado en la figura siguiente
M
0
y
xl
L2
K1 K2N
L1
L
se encontraría un arco, para el cual la propiedad indicada perdería su validez y el punto medio
M de la cuerda se situaría por arriba del punto correspondiente L del arco.
Basándonos en las propiedades del logaritmo, podríamos deducir otras propiedades nota-
bles de la gráfica del logaritmo. Sin embargo, nos limitamos a las indicadas.
Respuesta del Nº 12
PARA RESOLVER
con imaginación e inteligencia
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(4
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po
ca
)
Los puntos en la figura, situados a 2 cm de distancia uno del otro, son los vértices de un cuadrado de área
menor que 3 cm². Construir el cuadrado.
2 cm
Solución
Estos vértices no pueden estar en un mismo lado del cuadrado porque, en tal caso, el lado del cuadrado
mediría 2 cm y su área sería 4 cm², mayor que 3 cm².
Los puntos deben ser los vértices de una diagonal del cuadrado. Para obtener los otros dos vértices, trazamos
la mediatriz del segmento determinado por los puntos dados y la circunferencia que tiene como diámetro
a dicho segmento.
90º
2 cm
Se ha tenido en cuenta que las diagonales de un cuadrado son de igual longitud, son perpendiculares entre
sí y se cortan en sus puntos medios.