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Índice
Índice
ÍNDICE ......................................................................................................................................................... 2
1. PENSAMIENTO MATEMÁTICO- MATEMÁTICAS .......................................................................................... 6
1.1 LENGUAJE ALGEBRAICO ............................................................................................................................. 6
1.1.1 JERARQUÍA DE OPERACIONES ..................................................................................................................................7
1.1.2 RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD .......................................................................................................................7
1.2 ARITMÉTICA ............................................................................................................................................ 12
1.2.1 NÚMEROS REALES ............................................................................................................................................. 12
1.2.2 OPERACIONES DE NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS ................................................................................................ 13
1.2.3 OPERACIONES DE NÚMEROS REALES Y NOTACIÓN CIENTÍFICA .................................................................................... 13
1.2.4 SIGNOS DE AGRUPACIÓN .................................................................................................................................... 14
1.2.5 LEY DE LOS SIGNOS ............................................................................................................................................ 14
1.3 ÁLGEBRA ................................................................................................................................................ 18
1.3.1 LEY DE LOS EXPONENTES ..................................................................................................................................... 19
1.3.2 MONOMIO Y POLINOMIO ................................................................................................................................... 20
1.3.3 OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS ...................................................................................................... 20
1.3.2.1 Suma .......................................................................................................................................................... 20
1.3.2.2 Resta .......................................................................................................................................................... 20
1.3.2.3 Multiplicación ............................................................................................................................................ 20
1.3.2.4 División ...................................................................................................................................................... 20
1.3.4 OPERACIONES BÁSICAS CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES .......................................................................... 21
1.3.4.1 Operaciones con fracciones ...................................................................................................................... 21
1.3.5 LEYES DE LOS LOGARITMOS. ................................................................................................................................ 22
1.3.5.1 Propiedades ............................................................................................................................................... 23
1.3.5.2 Logaritmos naturales ................................................................................................................................. 23
1.4 FACTORIZACIÓN........................................................................................................................................ 28
1.4.1 FACTOR COMÚN ................................................................................................................................................ 28
1.4.2 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR(MCD). ............................................................... 28
1.4.3TRINOMIOS ....................................................................................................................................................... 30
1.4.3.1 Trinomio Cuadrado Perfecto ..................................................................................................................... 30
1.4.3.2 Trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ........................................................................................................... 30
1.4.3.4 Trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ......................................................................................................... 31
1.4.4 DIFERENCIA DE CUADRADOS ................................................................................................................................ 31
1.4.5 SUMA DE CUBOS ............................................................................................................................................... 31
1.4.6 DIFERENCIA DE CUBOS ........................................................................................................................................ 31
1.5 ECUACIONES ............................................................................................................................................ 38
1.5.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO........................................................................................................................... 38
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1.5.2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ....................................................................................................................... 38
1.5.2.1 Solución de una ecuación cuadrática completa. ....................................................................................... 39
1.5.2.2 Solución de una ecuación Mixta incompleta ............................................................................................. 39
1.5.2.3 Solución de una ecuación Pura incompleta. ............................................................................................. 40
1.5.3 SISTEMAS DE ECUACIONES .................................................................................................................................. 40
1.5.3.1 Métodos de resolución .............................................................................................................................. 40
1.6 PRODUCTOS NOTABLES .............................................................................................................................. 45
1.6.2 BINOMIO AL CUADRADO ..................................................................................................................................... 45
1.6.3 BINOMIOS CONJUGADOS .................................................................................................................................... 46
1.6.4 BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN ........................................................................................................................ 46
1.6.4 BINOMIOS AL CUBO ........................................................................................................................................... 46
1.6.5 BINOMIO DE NEWTON ....................................................................................................................................... 47
1.7 REPRESENTACIONES GRÁFICAS ..................................................................................................................... 52
1.7.1 EL PLANO CARTESIANO .......................................................................................................................................52
1.7.2 FUNCIONES. ..................................................................................................................................................... 54
1.7.3 RELACIONES ..................................................................................................................................................... 54
1.7.4 GRÁFICAS DE ECUACIONES .................................................................................................................................. 54
1.7.4.1 Traslación de una parábola ....................................................................................................................... 55
1.7.4.2 Funciones polinómicas. ............................................................................................................................. 56
1.8 GEOMETRÍA ............................................................................................................................................. 60
1.8.1 PARALELISMO Y CONGRUENCIA ............................................................................................................................ 60
1.8.1.1 Paralelismo ................................................................................................................................................ 60
1.8.1.2 Congruencia ............................................................................................................................................... 61
1.8.2 TEOREMA DE THALES Y RECTAS (MEDIATRIZ Y BISECTRIZ) .......................................................................................... 64
1.8.2.1 Mediatriz ................................................................................................................................................... 65
1.8.2.2 Bisectriz ..................................................................................................................................................... 65
1.8.3 FIGURAS GEOMÉTRICAS: PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN ........................................................................................... 66
1.8.4 LA RECTA ......................................................................................................................................................... 69
1.8.4.1 Ecuación de la recta ................................................................................................................................... 70
1.8.4.2 Pendiente de la recta y ángulo entre rectas ............................................................................................. 70
1.8.6 ECUACIONES Y GRÁFICAS DE LA CIRCUNFERENCIA, LA PARÁBOLA, LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA ........................................... 72
1.8.6.1Circunferencia ............................................................................................................................................ 72
1.8.6.2 Parábola ..................................................................................................................................................... 73
1.8.6.3 Elipse .......................................................................................................................................................... 75
1.8.6.4 Hipérbola ................................................................................................................................................... 77
1.9 CÁLCULO ................................................................................................................................................ 83
1.9.1 DOMINO Y CONTRADOMINO ............................................................................................................................... 83
1.9.2 OPERACIONES CON FUNCIONES ............................................................................................................................ 83
1.9.3 LÍMITES DE LAS FUNCIONES: POLINOMIALES, RACIONALES, TRIGONOMÉTRICAS............................................................. 84
1.9.4 DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Y NO ALGEBRAICAS ...................................................................................... 85
2. PENSAMIENTO ANALÍTICO ...................................................................................................................... 89
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Índice
2.1 INTEGRACIÓN DE INFORMACIÓN ................................................................................................................... 89
2.1.1 INFORMACIÓN IMPLÍCITA VS EXPLICITA ................................................................................................................. 89
2.1.1.1 Conclusiones a partir de dos textos .......................................................................................................... 90
2.1.2 INFORMACIÓN GRÁFICA ................................................................................................................................... 107
2.1.2.1 Conclusiones a partir de un texto y una tabla, imagen o mapa .............................................................. 107
2.2 INTERPRETACIÓN DE RELACIONES LÓGICAS .................................................................................................... 114
2.2.1 ANALOGÍAS .................................................................................................................................................... 114
2.3 RECONOCIMIENTO DE PATRONES ................................................................................................................ 118
2.3.1 SUCESIONES NUMÉRICAS .................................................................................................................................. 118
2.3.1.1 Sucesión Cuadrática ................................................................................................................................ 119
2.3.2 SUCESIONES ALFANUMÉRICAS ........................................................................................................................... 119
2.3.3 SUCESIONES DE FIGURAS ................................................................................................................................... 121
2.3.4 CRIPTOARITMÉTICA .......................................................................................................................................... 130
2.4 REPRESENTACIÓN ESPACIAL ....................................................................................................................... 133
2.4.1 FIGURAS Y OBJETOS ......................................................................................................................................... 133
2.4.1.1 Perspectiva: sombras, reflejos, vistas y rotación. ................................................................................... 133
2.4.1.2 Combinación de figuras ........................................................................................................................... 134
2.4.2 MODIFICACIONES A OBJETOS ............................................................................................................................. 135
2.4.2.1 Armado y desarmado .............................................................................................................................. 135
2.4.3 OPERACIONES CON FIGURAS Y OBJETOS ............................................................................................................... 136
2.4.3.1 Número de elementos que integran o faltan en figuras y objetos ......................................................... 136
2.4.3.3 Conteo de unidades sombreadas ............................................................................................................ 136
3.FÍSICA ................................................................................................................................................... 1453.1 UNIDADES DE CONVERSIÓN ....................................................................................................................... 145
3.1.2 SUMA DE VECTORES ......................................................................................................................................... 148
3.2 EQUILIBRIO TRASLACIONAL Y FRICCIÓN ......................................................................................................... 150
3.2.1 PRIMERA LEY DE NEWTON (LEY DE LA INERCIA)..................................................................................................... 150
3.2.2 SEGUNDA LEY DE NEWTON (LEY DE FUERZA) ........................................................................................................ 150
3.2.3 TERCERA LEY DE NEWTON (ACCIÓN Y REACCIÓN) .................................................................................................. 151
3.2.4 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE ............................................................................................................................ 151
3.2.5 EQUILIBRIO .................................................................................................................................................... 152
3.2.6 FRICCIÓN ....................................................................................................................................................... 154
3.3 TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA ................................................................................................................. 157
3.3.1 TRABAJO ........................................................................................................................................................ 157
3.3.1.1 Trabajo resultante ................................................................................................................................... 158
3.3.2 ENERGÍA ........................................................................................................................................................ 161
3.3.2.1 Energía cinética ....................................................................................................................................... 161
Ejercicios 3.3.2.1 Energía cinética ....................................................................................................................... 162
3.3.2 ENERGÍA POTENCIAL ........................................................................................................................................ 163
3.3.3. POTENCIA ..................................................................................................................................................... 164
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3.4 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ............................................................................................................ 165
3.4.1 ACELERACIÓN CENTRÍPETA ................................................................................................................................ 165
3.4.2 FUERZA CENTRÍPETA ........................................................................................................................................ 166
3.4.3 PERALTE DE CURVAS ........................................................................................................................................ 167
3.5 TEMPERATURA Y EXPANSIÓN ..................................................................................................................... 168
3.5.1 CONDUCTIVIDAD TÉRMICA ................................................................................................................................ 171
3.5.2 RADIACIÓN TÉRMICA ........................................................................................................................................ 173
3.5.2 PROPIEDADES TÉRMICAS DE LA MATERIA ............................................................................................................. 174
3.6 TERMODINÁMICA ................................................................................................................................... 177
3.6.1 PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA ................................................................................................................. 177
3.6.2 PROCESO TERMODINÁMICO .............................................................................................................................. 178
3.6.3 PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA ................................................................................................................. 179
3.6.3 SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA ................................................................................................................ 179
3.7 LA FUERZA ELÉCTRICA .............................................................................................................................. 180
3.7.1 LEY DE COULOMB ............................................................................................................................................ 180
3.7.2 POTENCIAL ELÉCTRICO ...................................................................................................................................... 182
3.7.3 POTENCIAL ELÉCTRICO Y DIFERENCIA DE POTENCIA ................................................................................................ 184
3.8 CORRIENTE Y RESISTENCIA ........................................................................................................................ 186
3.10.2 RESISTIVIDAD ................................................................................................................................................ 187
3.10.3 COEFICIENTE DE TEMPERATURA DE LA RESISTENCIA ............................................................................................. 188
3.9 CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA ........................................................................................................... 189
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Podemos referirnos a pensamiento matemático a todo análisis, síntesis y abstracción
del conocimiento de las matemáticas. También podemos verlo como la herramienta necesaria
para la comprensión y resolución de problemas matemáticos.
1.1 Lenguaje algebraico
El lenguaje algebraico consta de símbolos y signos. Los símbolos representan cantidades
y pueden ser números o letras mientras que los signos pueden ser de operación, de relación
o de agrupación.
La siguiente tabla muestras algunas equivalencias entre el lenguaje verbal y cotidiano y
el lenguaje algebraico.
ADICION
( + )
SUSTRACCION
( - )
MULTIPLICACION
( * )
IGUAL
( = )
Suma
Añadir
Más
Aumentar
Agregar
Incrementar
Ganar
“Mayor que”
Resta
Diferencia
Menos
Disminuir
Sustraer
Quitar
Perder
“Menor que”
Multiplicado
Producto
Veces
Por
Factor
Doble (x 2)
Triple (x 3)
Cuádruplo ( x 4 )
Es
Da
Resulta
Se obtiene
Equivale
Por ejemplo, en la expresión “El doble de un número aumentado en 3” podemos deducir
que la respuesta sería 2x+3 donde “x” representa el número. Dicho esto, sí:
Incógnita Respuesta
x=2 2(2)+3=7
x=3 2(3)+3=9
x=4 2(4)+3=11
x=5 2(5)+3=13
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.1.1 Jerarquía de operaciones
También llamado jerarquización de operaciones, es un método algebraico empleado para
resolver operaciones con múltiples operadores dentro de una estructura con prioridades de
acuerdo con el operador. Los operadores son:
❖ Suma (+)
❖ Resta (-)
❖ Multiplicación (*)
❖ División (/)
❖ Potencia (xn)
❖ Raíz √
La jerarquía de operaciones nos dice que primero se realizan las potencias y raíces, luego
los productos ycocientes y al final las sumas y restas. Esto se puede ver así:
1 Raíz √ y Potencia (xn)
2 Multiplicación (*) y División (/)
3 Suma (+) y Resta (-)
1.1.2 Relaciones de proporcionalidad
Primero definamos la relación de proporcionalidad, como una relación o razón constante
de cambio que engloba a dos o más magnitudes que pueden ser medidas. Dicha
proporcionalidad puede ser directa o indirecta.
• Directa: En esta existen variaciones lineales, ya que si al incrementarse o disminuir
una de ellas, la otra lo hace en la misma proporción. Dicho esto, se puede decir que
son directamente proporcionales.
• Inversa: Cuando una de las magnitudes aumenta en una proporción, la otra disminuye
en la misma proporción. A esto también se le conoce como relación inversamente
proporcional.
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Ejercicios 1.1 Lenguaje algebraico
Lee con atención los siguientes ejercicios realiza lo que se pide y subraya la respuesta
correcta.
1) La edad de una persona hace cinco años se puede representar por:
a) 5-X
b) X-5
c) 10-5
d) X+Y
2) Interprete algebraicamente el siguiente enunciado verbal: “Agregar el doble de b al
cuadrado del triple de a”
a) 2𝑏 + 3𝑎
b) 3𝑏 + 2𝑎2
c) 2𝑏 + (3𝑎)2
d) 2𝑏 + (𝑎)2
3) El enunciado correspondiente con: 2(3+5)
a) Dos veces el producto de tres más cinco
b) El doble producto de la sustracción de tres y cinco
c) El doble de tres al que se le suma cinco
d) La suma de tres más cinco
4) La edad de Rosy es el triple de la de Luis ¿Cómo se expresa la suma de sus edades?
a) 3L
b) 3+L
c) L+3L
d) L+
1
3
L
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas
5) El largo de un rectángulo es 8 metros mayor que su ancho. Si el ancho del rectángulo es
x metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es:
a) 2(x+8)
b) 4x+16x
c) 2x+(x+8)
d) 4x+16
6) El área de un rectángulo es A = x2 − 2x − 35. ¿Cuáles son las expresiones que
representan las medidas de la base y la altura?
a) (x − 7)(x + 5)
b) (x + 7)(x − 5)
c) (x − 7)(x − 5)
d) (x − 7)(x + 7)
7) Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 20 cm
y la segunda de 80 cm. Cuando la primera ha dado 400 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá
dado la segunda?
a) 900 vueltas
b) 100 vueltas
c) 90 vueltas
d) 400 vueltas
8) 10 obreros labran un campo rectangular de 200 m de largo y 60m de ancho en 7 días.
¿Cuántos días tardarán 20 obreros para labrar otro campo de 300 m de largo por 50 m de
ancho?
a) 2 días
b) 3 días
c) 4 días
d) 7 días
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas
9) Resuelve x = 7 ∗ 3 + 5 − 22
a) 24
b) 22
c) 23
d) 26
10) ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% de interés para
que se convierta en 30 000 €?
a) 6 Años
b) 3 Años
c) 20 Años
d) 4 Años
11) Resuelve 𝑝 = √81 + 4 − 22(2)
a) p= -3
b) p= 3
c) p= 5
d) p= -5
12) Rosa pesa 40kilos y José pesa 60 kilos. Dividir una barra de chocolate de 200 gramos en
la misma razón que sus pesos.
a) Rosa: 80g José: 120g
b) Rosa: 96g José: 104g
c) Rosa: 70g José: 130g
d) Rosa: 12g José: 80g
13) Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 500 m³ de capacidad. ¿Cuántas
horas tardarán ocho grifos en llenar 1 depósitos de 1000 m³ ?
a) x= 20 horas
b) x= 16.6 horas
c) x= 15 horas
d) x= 36 horas
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas
14) Resuelve 𝑍 =
√144−24+4(2)
2
a) Z= 28
b) Z= -28
c) Z= -2
d) Z=2
15) Con 12 botes conteniendo cada uno 1/2 kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80
cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una
verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.
a) y= 12 botes
b) y= 10 botes
c) y= 11 botes
d) y= 9 botes
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.2 Aritmética
Es la más antigua y simple de las ramas de la matemática en la que se han desarrollado
las principales operaciones matemáticas conocidas por el hombre, a saber: adición
(suma), sustracción (resta), multiplicación y división. Se encarga de realizar con números y
simbología en conjunto con las operaciones antes mencionadas, el desarrollo de propiedades
y habilidades las cuales pueden ser usadas en la vida cotidiana y materias de estudio que
impliquen a la matemática como base fundamental de aprendizaje
1.2.1 Números Reales
El cálculo se basa en las propiedades de los números reales. Pero para poder
comprender estas propiedades primero debemos definir que es un número real. Todo aquel
número entero o fraccionario, sim importar su signo.
El campo de los números reales está compuesto por:
Los irracionales son aquellos números que no pueden expresarse mediante el cociente
de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales aperiódicas.
Irracionales
Racionales
Π, 𝑒, √3 , Π3
Enteros
Fraccionarios
Naturales, 0 y negativos
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.2.2 Operaciones de números naturales y enteros
Los números enteros son todos los números no fraccionarios, en otras palabras, son
todos los números del 0 al infinito.
Mientras, que los números naturales son todos aquellos números enteros mayores a 0,
con esto debemos a aclarar que el 0 no es un número natural, solo es entero. Se puede ver
como x > 0.
Operaciones:
• Suma
• Resta
• Multiplicación
• División
• Potencia
• Raíz
1.2.3 Operaciones de números reales y notación científica
Los números reales son todos los números racionales (positivos, negativos y el cero) y
todos los números irracionales. Se representan con una , el resultado de sumar o restar dos
números reales es otro número real.
La notación científica es una forma de representar números de valores demasiado
grandes o demasiado pequeños, para ser escritos de manera convencional.
Nombre Factor Símbolo
Deca 101 D
Hecto 102 h
Kilo 103 K
Mega 106 M
Giga 109 G
Tera 1012 T
Nombre Factor Símbolo
deci 10−1 d
centi 10−2 c
mili 10−3 m
micro 10−6 µ
nano 10−9 n
pico 10−12 p
-∞ ∞
∞
1.2.4 Signos de agrupación
Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos
deben considerarse como un todo, como una sola cantidad. Dicho esto, primero deben
resolverse las operaciones encerradas en ellos. Comenzando con los de más adentro hacia
afuera; los signos de agrupación son los siguientes: el paréntesis ( ), el corchete [ ] y las llaves
{ }.
1.2.5 Ley de los signos
Cuando realizamos operaciones matemáticas, siempre podemos encontrarnos con
números tanto positivos (+) como negativos (-) y es muy importante saber qué hacer en cada
caso. Para el producto de dos números de igual signo el resultado siempre será positivo; pero,
si los signos son distintos el resultado será negativo.
(+) (+) +
(+) (-) -
(-) (-) +
(-) (+) -
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Ejercicios 1.2 Aritmética
1) Clasifica los números: -5,3,0 según sea su caso.
a) Negativo, Natural, Cero
b) Racional, Negativo, Cero, Racional
c) Negativo, Racional, Cero
d) Cero, Natural,Racional
2) Resuelve x − (x − 8{x − 3} − [x + 3])=
a) 9x
b) 9x-6
c) 11x-21
d) 9x-21
3) Resuelve −(−3{2 − 2(y − 2)} − [1 − 3y] − y) + 3 − y
a) -9y+16
b) -9+22
c) 22-9y
d) 9y+16
4) Simplifica 7a + 4[b − 3(2b − a)]
a) 19a - 20b
b) 5a – 9b
c) 9a – 20b
d) 19a + 20b
5) Simplifica −{−(x + 1) − (x2 + x − 3) + 2(x − 2)}
a) −x2 − 2
b) x2 − 2
c) −x2 + 2
d)x2 + 2
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas
6) Resuelve p =
−(x2+x−3)+2(x−2)
(2x2−4)−(6x+2)
a) p =
−2x2+x+1
2x2−6x−2
b) p =
2x2−x−1
2x2−6x−2
c) p =
−x2+x+1
2x2−6x+2
d) p =
−2x2+x+1
−6x−2
7) Resuelve −1{−[2(a − 3) + a2] + 3a} + 3a²
a) 2a2 + 5a − 6
b) 4a2 + a + 6
c) −2a2 + a + 6
d) 4a2 − a − 6
8) Resuelve 3a + {−5x − [−a + (9x − a − x)]}
a) 3𝑎 − 4𝑥
b) 5𝑎 − 4𝑥
c) 5𝑎 − 13𝑥
d) 3𝑎 + 4𝑥
9) Resuelve p=−[−3a − {b + [−a + (2a − b) − (−a + b)] + 3b} + 4a]
a) a+2b
b) b-a
c) -a – 2b
d) 3a-2b
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas
10) Si tenemos el número 0.0000456¿Cúal es su número en notación científica?
a) 45.6μ
b) 45.6m
c) 4.5μ
d) 0.45m
11) Resuelve x=
2a−[3b+(4a−b)]
2b+{3a−(4b−2a)+2}
a) x =
−2a+2b
5a+2b+2
b) x =
−2a−2b
5a−2b−2
c) x =
2a+2b
5a−2b+2
d) x =
−2a−2b
5a−2b+2
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.3 Álgebra
Una Expresión algebraica es la representación de un símbolo algebraico o de una o más
operaciones algebraicas.
Término: toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o –. En
todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte
literal y el exponente. Así a, 3b, 2xy,
4a
3x
son términos.
Los elementos de un término son cuatro:
• Signo: Tenemos dos signos más (+) y menos (-), son términos positivos los que van
precedidos del signo + y negativos los que van precedidos del signo −. Así, +a, +8x,
+9ab son términos positivos y −x, −5bc y −
3a
2b
son términos negativos.
El signo + suele omitirse delante de los términos positivos. Así, a = +a; 3ab equivale a
+3ab. Por tanto, cuando un término no va precedido de algún signo es positivo.
• Coeficiente: El coeficiente como se dijo antes, es uno cualquiera, generalmente el
primero, de los factores del término. Así, en el término 5a el coeficiente es 5; −3a2x3 el
coeficiente es −3.
• Literal o incógnita: La parte literal la constituyen las letras que haya en el término.
Así, en 5xy la parte literal es xy; en
3x2y4
2ab
la parte literal es
x2y4
ab
.
• Exponente: El exponente o grado de un término puede ser de dos clases; absoluto y
con relación a una letra.
P á g i n a 19 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.3.1 Ley de los exponentes
El número que se multiplica por sí mismo tantas veces como indica el exponente se
llama base de la potencia. El exponente es un número colocado a la derecha y arriba de la
base.
Base → 23 ←Exponente
23 = (2)(2)(2) ∴ 23 = 8
Ley Ejemplo Descripción
1. 𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 (32)(35) = 32+5 = 37
Para multiplicar dos potencias del mismo
número, sume los exponentes.
2.
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛
35
32
= 35−2 = 33
Para dividir dos potencias del mismo número,
reste los exponentes.
3. (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∗𝑛 (32)5 = 32∗5 → 310
Para elevar una potencia a una nueva
potencia, multiplique los exponentes.
4. (𝑎 ∗ 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛𝑏𝑛
Para elevar un producto a una potencia, eleve
los factores individualmente a la potencia.
5.
Para elevar un cociente a una potencia, eleve
tanto el numerador y denominador a la
potencia.
6. a−n =
1
an
4−3 =
1
43
Para elevar un número a una potencia
negativa, invierta al número y cambie el signo
del exponte.
7.
𝑎−𝑛
𝑏−𝑚
=
𝑏𝑚
𝑎𝑛
Para pasar un número elevado a una potencia
desde el numerador al denominador o desde
el denominador al numerador, cambie el signo
del exponente.
8. 𝑎0 = 1 50 = 1
Toda expresión, número o variable elevada a
una potencia 0 es igual a 1.
222 43)43(
n
nn
b
a
b
a
2
22
4
3
4
3
2
5
5
2
3
4
4
3
1.3.2 Monomio y polinomio
EL monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término, como podemos
intuir por la palabra mono. Cuando se suman o se restan se llaman binomio (porque son 2
expresiones).
El polinomio consta de 2 o más términos que pueden ser semejantes entre ellos o
distintos.
Ejemplo:
𝐱𝐲𝐳 𝐚𝐱 + 𝐲 + 𝐳
1.3.3 Operaciones con monomios y polinomios
Antes de realizar cualquier operación, primero debemos identificar los términos
semejantes, son aquellos términos algebraicos que tienen las mismas literales y exponentes
entre sí. Solo difieren en el signo o el coeficiente.
1.3.2.1 Suma
La suma o adición, es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones
algebraicas en una sola suma. Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben
unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes
si los hay.
1.3.2.2 Resta
Una resta consta de dos elementos: el minuendo y el sustraendo. Para efectuar una
resta algebraica, debemos determinar quién es el minuendo y quién el sustraendo que es aquel
que se encuentra después del signo menos. Para restar dos polinomios, se le cambia de signo
a todos los términos del sustraendo y se efectúa una suma algebraica.
1.3.2.3 Multiplicación
Para multiplicar expresiones algebraicas se multiplican todos los términos del
multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta las leyes de
los signos y exponentes para luego reducir los términos semejantes.
1.3.2.4 División
Para dividir expresiones algebraicas, se dividen los términos del numerador entre el
denominador teniendo en cuenta la ley de los signos y de los exponentes para luego reducir
los términos.
Monomio Polinomio
P á g i n a 21 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.3.4 Operaciones básicas con fracciones algebraicas y radicales
Las fracciones son consecuencia de expresar cantidades en las que los objetos están
partidos en partes iguales. Una fracción es el cociente de dos números. Es decir, es una
división sin realizar. Una fracción representa el valor o número que resulta al realizar esa
división.
Los elementos que forman la fracción son:
El numerador. Es el número de arriba, indica las partes que tenemos.
El denominador. Es el número de abajo, indica el número de partes en que dividimos a cada
unidad.
Nuerador
Denominador
Las fracciones pueden ser englobadas en dos tipos: las propias y las impropias. Las
fracciones propias son aquellas donde el numerador es menor que le denominador.
2
3
ó
7
4
Mientras que las impropias son aquellas donde el numerador es mayor que el
denominador.
9
4
ó
8
7
1.3.4.1 Operaciones con fracciones
Suma/Resta:
Cuando todos los denominadores son iguales se hace la suma de los numeradores
directamente y se conserva el denominador.
Cuando los denominadores son diferentes entre sí, para esto basta que uno no cumpla
la igualdad, lo que tenemos que hacer es:
a) Sacar el m. c. m. (mínimo común múltiplo) de los denominadores involucrados en la suma-
resta, éste será el denominador del resultado.
b) Dividir el m. c. m. entre el denominador de la primera fracción y se multiplica por el
numerador de esta.
c) Se pone el signo y se repite el inciso b, pero con la segunda fracción. Así se hace para todas
las fracciones contenidas en la operación.
Multiplicación:
Para efectuar una multiplicación con fracciones, se debe multiplicar el numerador (A)
por el numerador (B) y el denominador (A) por el denominador (B).
División:
Para efectuar una división con fracciones, se multiplica como vimos en el método
anterior, pero en este caso, el segundo término se invierte y luego se multiplican las fracciones
de forma lineal.
1.3.5 Leyes de los logaritmos.
El logaritmo sirve para indicar la relación entre la base, el exponente y la potencia. En
otras palabras, el logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base paraobtener el número propuesto. Su abreviatura es log y el número que indica la base, se coloca
como índice.
logby = x b
x = y
log416 = x
4x = 16
x=2
P á g i n a 23 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.3.5.1 Propiedades
• La base de un sistema de logaritmo es cualquier número positivo.
• La base de un sistema de logaritmo no puede ser un número negativo, ya que sus
potencias pares serían positivas y las impares negativas, por lo tanto, habría números
que no tendrían logaritmo.
• Los números negativos no tienen logaritmo, ya que, si la base es positiva, todas sus
potencias, pares o impares, son positivas, nunca negativas.
• En todo sistema de logaritmos, el logaritmo 1 es cero. Porque todo número a elevado a
la cero es 0.
• Los números mayores de 1 tienen logaritmos positivos, mientras que los menores a 1
tienen logaritmos negativos.
1.3.5.2 Logaritmos naturales
Los logaritmos naturales, neperianos o hiperbólicos fueron inventados por NEPER, usan
como base el número cuyo valor aproximado es 2.7182818284590452…
Son de uso frecuente en el cálculo diferencial e integral y se rigen por las propiedades
generales y fundamentales de los logaritmos. Para resolver operaciones y ecuaciones se
utilizan las leyes de los logaritmos.
Formula Descripción
LnbAB = lnbA + lnbB
El logaritmo de un producto de varios
factores es igual a la suma de los logaritmos
de los factores
Lnb
A
B
= lnbA − lnbB
El logaritmo de un cociente de dos números
es igual a la diferencia del logaritmo del
dividendo menos el logaritmo del divisor.
LnbA
n = n(lnbA)
El logaritmo de una potencia es igual al
producto del exponente de la potencia por el
logaritmo del número
Lnb √A
n
=
(lnbA)
n
El logaritmo de una raíz es igual al cociente
del logaritmo del sub radical entre el índice
de la raíz
P á g i n a 24 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Ejercicios 1.3 Álgebra
Resuelve las siguientes operaciones con fracciones
1)
7x
8
−
2
3
−
4x
12
=
2)
3
8
9
4
11
5 xx
3) −
17
12
+
32
18
+
5
3
+
6
7
−
5
9
+
14
15
−
19
11
=
4) (
6
5
) (
25
2
) (
13
7
) (
14
3
) =
5)
6
17
÷ (
9
2
) (
27
2
) =
6)
6
1
4
3
10
21
13
61
7) Determina la suma de: (y4 − 9y3 + 6y2 − 31) + ( −11y4 + 31y3 − 8y2 − 19y)
a) 10y4 + 22y3 − 2y2 − 19y − 31
b) −10y4 + 22y3 + 2y2 − 19y + 31
c) −10y4 + 22y3 − 2y2 − 19y − 31
d) 10y4 + 22y3 − 2y2 + 19y − 31
8) Determina la suma de:(3cb2 − 2xy) + ( 3x2 − 4cb2 + xy) + ( −7x2)
a) 4x2 − xy − cb2
b) −4x2 − xy − cb2
c) 4x2 − xy + cb2
d) −4x2 + xy + cb2
P á g i n a 25 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
9) Determina la suma de: (x3 − x2 + 6) + ( 5x2 − 4x + 6)
a) x3 + 6x2 − 4x + 12
b) x3 + 4x2 + 4x + 12
c) 4x2 − 4x + 12
d) x3 + 4x2 − 4x + 12
10) Resuelve la multiplicación: (2a2 − b)(−3ab2)
a) 6a3b2 + 3ab3
b) 6a3b2 − 3ab3
c) 6a3b2 − 3ab2
d) 6a2b2 + 3ab2
11) Resuelve la multiplicación (−4xy2z)(−2x2yz)(xyz2)
a) −8x4y4z4
b) 8x6y6z6
c) 8x4y4z4
d) −8x6y6z4
12) Resuelve la multiplicación a2b(2ax − 3by − 2ab2)
a) 2a3bx − 3a2b2y − 2a3b3
b) −2a3bx − 3a2b2y − 2a3b3
c) 2a3bx + 3a2b2y + 2a3b3
d) 2a3bx + 3a2b2y − 2a3b3
13) Resuelve la división:
6x4y−9x3y2+12x2y3−6xy4
3xy
a) 2x4y − 3x3y2 + 4x2y3 − 2xy4
b) 2x3y − 3x2y2 + 4xy7 − 2y3
c) 2x3y − 3x3y2 + 4xy3 − 2y4
d) 2x4 − 3x3y2 + 4xy3 − 2xy4
P á g i n a 26 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
14) Restar y4 − 2y3 + 2y2 + y + 1 del polinomio 6y3 − 7y2 − y + 2.
a) −y4 + 8y3 − 9y2 − y + 1
b) −y4 − 8y3 + 9y2 + 2y + 1
c) −y4 + 8y3 + 9y2 − 2y + 1
d) −y4 + 8y3 − 9y2 − 2y + 1
15) Del polinomio (x3 + 5x2 − 6x − 2) − (x3 − x2 + x − 5)
a) 6x2 + 7x + 3
b) −6x2 + 7x + 3
c) 6x2 − 7x − 3
d) 6x2 − 7x + 3
16) De (m3 + 5m2 − m + 2) − (2m3 + 5m − 3)
a) m3 + 5m2 − 6m + 5
b) m3 − 5m2 − 6m + 5
c) −m3 + 5m2 − 6m − 5
d) −m3 + 5m2 − 6m + 5
17) Resuelve log1
2
1
4
= x
a) x = 1/2
b) x = 1
c) x = 2
d) x = 3
18) Resuelve log5 25 = p
a) p = 5
b) p = 3
c) p = 2
d) p = −5
P á g i n a 27 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
19) Resuelve
2
2
+
1
4
/
5
6
+
1
3
=
a) −
7
2
b)
7
2
c)
3
2
d)
2
7
20)Resuelve (3x +
1
4
) − (2x +
1
6
) =
a)
12x+1
12
b)
13
12
c)
x+12
12
d) 1
P á g i n a 28 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.4 Factorización
Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual
a la expresión propuesta.
Puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de
ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que, en la factorización, se
buscan los factores de un producto dado.
1.4.1 Factor común
Si los términos de una expresión tienen un factor común entonces es posible
descomponerla en al menos dos factores. Uno de ellos será nuestro factor común y el otro el
cociente que resulta al dividir la expresión original entre el factor común.
Si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor
común diferente en cada grupo. Primero se agrupan entre sí, sin afectar la ecuación y luego
se factorizan.
1.4.2 Mínimo Común Múltiplo (MCM) y Máximo Común Divisor(MCD).
El mínimo común múltiplo (MCM) es el menor número natural, más pequeño que es
distinto a 0 y que resulta ser múltiplo de cada uno de los números involucrados. Para calcular
el MCM de dos o más números es necesario descomponerlos en factores primos, agruparlos
entre ellos y multiplicar. Por ejemplo, si tenemos:
1
72
+
1
108
+
1
60
=
y
x
Entonces sabemos que antes de resolver la división tenemos que encontrar el mcm
entre los tres, para esto aplicamos el síguete procedimiento.
72 108 60 2
36 54 30 3
12 18 10 2
6 9 5 3
2 3 5 3
2 1 5 2
1 5 5
1
P á g i n a 29 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Si multiplicamos todos entre si obtenemos 1,080 como el mcm de los 3 números, una
forma en la que podemos ver esto es: (23)(33)(5) = 1,080. Y así la operación nos quedaría
como:
15+10+18
1080
=
43
1080
Mientras que el máximo común divisor (M.C.D) de dos o más números naturales, es el
mayor de los divisores comunes entre ellos. Si los números son grandes seguimos las
siguientes reglas:
1. Se anotan los números en un mismo renglón.
2. Se dividen todos los números entre los factores primos comunes.
3. El m.c.d es el producto de los factores primos comunes tomados con su menor
exponente.
Donde en este caso el 10 es el divisor más grande que tienen en común estos 2
números. Normalmente el mcd no puede ser mayor que el número más pequeño, si en vez de
dos utilizaos tres números: 5-10-20, el mcd se vuelve 5.
P á g i n a 30 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.4.3Trinomios
1.4.3.1 Trinomio Cuadrado Perfecto
Es un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) si al estar ordenado cumple que el primer y el
tercer término, tienen raíz cuadrada exacta y el segundo es el doble del producto de estas
raíces. La factorización de un TCP es el cuadrado del binomio formado por las raíces
cuadradas del primero por el segundo término. El signo queda determinado por el signo del
segundo término de la expresión original.
Si tenemos:
a + b + c = 0
Entonces podemos verlo como:
(√𝑎)
2
± 2[(√a)(√c)] + (√𝑐)
2
(√a + √c)
2
𝑏 = ±2[(√a)(√c)]
1.4.3.2 Trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Tiene un término literal positivo y cuadrático con coeficiente 1, posee un término lineal
“b” con las misma literal y un término independiente “c”.
Para factorizar un trinomio de esta forma tenemos que encontrar dos números, m y n
cuya suma sea el coeficiente del términolineal y su producto sea el termino independiente “c”.
- - x
2 − bx + c
+ + x
2 + bx + c
- + x
2 ± bx ± c
+ - x
2 ± bx ± c
x2 + bx + c = (x + m)(x + n)
P á g i n a 31 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.4.3.4 Trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Tiene un término literal positivo y cuadrático con coeficiente “a”, posee un término lineal
“b” con las misma literal y un término independiente “c”. Para resolver este trinomio hay que
encontrar dos números que multiplicados den a, otros dos que multiplicados den c y cuyos
productos cruzados sumen b.
Otro método es convertirlo a la forma x2 + bx + c, lo único que hay que hacer es
factorizar con el término “a”.
1.4.4 Diferencia de cuadrados
Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados y se forma un producto de la suma de las
raíces multiplicada por la diferencia de ellas, esto solo se puede sí ambos números poseen
raíz cuadrada exacta.
1.4.5 Suma de cubos
Es la suma de un binomio donde cada uno de sus términos posee una raíz cúbica
perfecta (también se les puede llamar cubos perfectos). Se descompone en las 2 raíces y es
igual al producto de la suma de las raíces cúbicas de los términos, por el polinomio, cuyos
términos son el cuadrado de la raíz cubica del primer término, menos el producto de las raíces
cubicas, más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo.
1.4.6 Diferencia de cubos
Es la resta de un binomio donde cada uno de sus términos posee una raíz cúbica
perfecta (también se les puede llamar cubos perfectos). Se descompone en las 2 raíces y es
igual al producto de la resta de las raíces cúbicas de los términos, por el polinomio, cuyos
términos son el cuadrado de la raíz cubica del primer término, más el producto de las raíces
cubicas, más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo.
P á g i n a 32 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Ejercicios 1.4 Factorización
Factoriza correctamente los siguientes polinomios y subraya la respuesta correcta.
1) Resuelve m(x+2)-x-2+3(x+2)
a) (x + 2)(m + 3 − 2)
b) (x + 2)(m + 3 − 1)
c) (x + 2)(m + 3 + 2)
d) (x + 2)(m + 3 − 4)
2) Resuelve 8mx + 18x2y − 258x3y2
a) (x + 2)(m + 3 − 2)
b) (x + 2)(m + 3 − 1)
c) (x + 2)(m + 3)(x + 2)
d) (x + 2)(m + 3) − 2
3) Resuelve x6 − 21x3m + 98m2
a) (x3 − 7m)(x3 − 14m)
b) (x3 + 7m)(x3 − 14m)
c) (x3 − 7m)(x3 + 14m)
d) (x3 + 7m)(x3 + 14m)
4) Encuentra el m.c.m. de 32,128,14.
a) 888
b) 698
c) 896
d) 400
5) Encuentra el m.c.d. de 32, 128, 16 es:
a) 8
b) 32
c) -16
d) 16
P á g i n a 33 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
6) Resuelve 30f 2 − 29f − 7
a) (5f − 1)(6f + 7)
b) (5f + 1)(6f + 7)
c) (5f + 1)(6f − 7)
d) (5f − 1)(6f − 7)
7) Resuelve x2 + 4x − 21
a) (x + 3)(x + 7)
b) (x − 3)(x − 7)
c) (x − 3)(x + 7)
d) (x + 3)(x − 7)
8) Resuelve a4 − 12a2m2 + 36m4
a) (a2 + 6m2)2
b) (a2 − 6m2)2
c) a(a − 6m2)2
d) (a2 − 6m)2
9) Resuelve 16 − 8a3 + a6
a) (2 − a3)(4 − a3)
b) (2 + a3)(4 − a3)
c) (4 − a3)(4 − a3)
d) (4 + a3)(4 + a3)
10) Resuelve 4by + 8by2 − 12by3
a) 4b(1 + 2y − 3y2)
b) 4by(1 − 2y + 3y2)
c) (1 + 2y + 3y2)
d) 4by(1 + 2y − 3y2)
P á g i n a 34 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
11) Resuelve 8x4 − 6x2 − 9
a) (4x2 + 3)(2x2 − 3)
b) (4x2 + 3)2
c) (4x2 − 3)(2x2 + 3)
d) (2x2 + 3)(2x2 − 3)
12) Resuelve 24m3n2 − 12m3n3
a) 6m3n2(4 − 2n)
b) 12m3n2(2 − 2n)
c) 12m3n2(2 − n)
d) 6m3n2(4m − 2n)
13) Resuelve t6 − 7t3 + 6
a) (t3 + 6)(t3 + 1)
b) (t3 − 3)(t3 + 1)
c) (t3 + 3)(t3 − 1)
d) (t3 − 6)(t3 − 1)
14) Resuelve t2x2 + 6tx + 8
a) (tx + 8)(tx + 1)
b) (tx − 4)(tx − 2)
c) (tx + 4)(tx + 2)
d) (tx − 8)(tx − 1)
15) Resuelve 25t2 + 20t + 4
a) (5t + 2)2
b) (5t + 2)3
c) (5t − 2)2
d) (5t − 2)3
P á g i n a 35 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
16) Resuelve 49x2 + 42xy + 9y2
a) (7x − 3y)2
b) (7x + 3y)2
c) (7x + y)(7x + 9y)
d) (7x − 3y)(7x + 3y)
17) Resuelve 15x2 + 17xy + 4y2
a) (−5x + 4y)(3x + y)
b) (5x − 4y)(3x − y)
c) (−5x + 4y)(−3x + y)
d) (5x + 4y)(3x + y)
Identifica correctamente los siguientes polinomios y subraya la respuesta correcta.
18) 4x2 − 12x + 9
a) Trinomio cuadrado perfecto
b) Trinomio de la forma ax2 + bx + c
c) Trinomio de la forma x2 + bx + c
d) Trinomio de la forma x2 + b + c
19) 3z2 − 30z + 27
a) Trinomio cuadrado perfecto
b) Trinomio de la forma ax2 + bx + c
c) Trinomio de la forma x2 + bx + c
d) Trinomio de la forma x2 + b + c
20) 8z5 − 14z3 − 4z
a) Trinomio cuadrado perfecto
b) Trinomio de la forma ax2 + bx + c
c) Trinomio de la forma x2 + bx + c
d) Factor común
P á g i n a 36 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Lee con atención y resuelve los siguientes ejercicios.
21) 27m3 − 343n6
a) (3m − 7n2)(9m2 + 21mn2 − 49n4)
b) (3 − 7n2)(−9m2 + 21mn2 − 49n4)
c) (3m + 7n2)(9m2 + 21mn2 + 49n4)
d) (3m − 7n2)(9m2 − 21mn2 + 49n2)
22) 8a9 + 125b6
a) (2a3 + 5b2)(4a6 − 10a3b2 + 25b4)
b) (2a3 + 5b2)(4a6 − 10a3b2 + 25b4)
c) (2a3 + 5b2)(4a6 − 10a3b2 + 25b4)
d) (2a3 + 5b2)(4a6 − 10a3b2 + 25b4)
23) 343a3 − 412b9
a) (7a − 8b3)(49a2 − 56b3 + 64b6)
b) (7a − 8b3)(49a2 − 56b3 − 64b6)
c) (7a − 8b3)(49a2 + 56b3 + 64b6)
d) (7a − 8b3)(49a2 − 56b3 − 64b5)
24) El área de un cuadrado es A= 16a2 − 8a + 1.¿Cuál es la expresión que representa la
medida de la base?
a) 4a − 8
b) 4a − 1
c) 4a(x + 2)
d) a(4a + 20)
P á g i n a 37 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
25) Un crucero tiene habitaciones dobles (2 camas) y sencillas (1 cama). En total tiene 47
habitaciones y 79 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?
a) 15 dobles y 32 sencillas
b) 30 dobles y 17 sencillas
c) 34 dobles y 14 sencillas
d) 32 dobles y 15 sencillas
26) x²+4x-21
a) (𝑥 − 3)(𝑥 + 7)
b) (𝑥 − 3)(𝑥 + 7)
c) (𝑥 − 3)(𝑥 + 7)
d) (𝑥 − 3)(𝑥 + 7)
27) t6 − 7t3 + 6
a) (𝑡3 + 6)(𝑡3 + 1)
b) (𝑡3 − 3)(𝑡3 − 2)
c) (𝑡3 + 3)(𝑡3 − 2)
d) (𝑡3 − 6)(𝑡3 − 1)
28) 4a4 − 9b2c2
a) (2𝑎2 + 3𝑏𝑐)(2𝑎2 − 3𝑏𝑐)
b) (2𝑎2 + 3𝑏𝑐)(2𝑎2 + 3𝑏𝑐)
c) (2𝑎2 + 3)(2𝑎2 − 3)
d) (2𝑎2 − 3)(2𝑎2 − 3)
P á g i n a 38 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.5 Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido,
llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha
incógnita. Para hallar el valor que hace que esa ecuación se cumpla tenemos que despejar
la variable”. Cabe recalcar que el resultado de una ecuación lineal es un único valor.
1.5.1 Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado (o ecuación lineal) es una igualdad que involucra
una más incógnitas cuyo exponente es “1” y no posee productos entre las variables, es
decir, una ecuación que solo involucra sumas y restas.
Una ecuación es numérica si tiene más menos letras que sus incógnitas y es literal
si además de las incógnitas tiene otras letras que representan cantidades conocidas.
Para encontrar el resultado o raíces de una ecuación es necesario reducir los
términos semejantes cuanto sea posible, después se aplica la transposición de términos
los que contengan la incógnita se ubican en el lado izquierdo de la igualdad y los que
carezcan de ella en el lado derecho. Por último, se despeja la incógnita dividiendo ambos
miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita y se simplifica.
1.5.2 Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es una igualdad con una sola variable o incógnita
y el grado de la literal es dos. La ecuación de segundo grado se representa como
Ax² + Bx + C = 0, donde Ax² representa el termino cuadrático, Bx el termino literal y C el
termino independiente. Toda ecuación de segundo grado tiene a lomás dos soluciones,
esto significa que la ecuación se cumplirá para máximo dos valores de la incógnita.
Clasificación de las ecuaciones de segundo grado.
Completa Incompleta
Mixta Pura
αx² + bx + c = 0 αx² + bx = 0 ax² + c = 0
Ejemplo: 6x² + 3x – 4 Ejemplo: 9x² - 3x = 0 Ejemplo: 5x² - 15 = 0
P á g i n a 39 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.5.2.1 Solución de una ecuación cuadrática completa.
-Cuando la expresión es factorizable:
1. Factorizar la ecuación.
2. Igualar a cero cada factor.
3. Despejar la incógnita en cada factor, para obtener las dos soluciones que cumplan
la ecuación.
-Cuando la expresión no es factorizable:
1. Identificar los valores a, b y c.
2. Sustituir cada uno de los valores a, b y c en la fórmula general:
𝑥1,2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a
Para así obtener los dos valores de la incógnita que cumplen con la ecuación. Siempre
se debe recordar que el resultado de una raíz posee un término positivo y uno negativo.
La discriminante (√b2 − 4ac ) determina el número y el tipo de soluciones que posee
nuestra ecuación. Si la discriminante es positiva, nos dará dos soluciones reales una
positiva y una negativa. Si la discriminante es negativa, el resultado perteneciente a los
números imaginarios. Cuando nos referimos a factorizar raíces, nos referimos a un simple
método de simplificación para poder trabajar de forma más eficaz. El proceso consiste en
encontrar 2 números que multiplicados me den el original; donde uno de ellos posea raíz
cuadrada exacta el cual lo representaremos como un cuadrado para cancelar la raíz.
1.5.2.2 Solución de una ecuación Mixta incompleta
1. Factorizamos la expresión por factor común.
2. Igualamos a cero cada factor.
3. Despejar la incógnita en cada factor para obtener las dos soluciones que
cumplan la ecuación (una de las soluciones siempre es cero).
P á g i n a 40 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.5.2.3 Solución de una ecuación Pura incompleta.
Una ecuación pura es aquella que posee el término cuadrático y un término
independiente y para resolverla vasta con despejar el valor de la incógnita (se obtendrá
una solución positiva y una negativa por ser el resultado de una raíz).
1.5.3 Sistemas de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen una
o más incógnitas. La solución del sistema es el conjunto de valores de las incógnitas que
satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones. Un sistema de dos ecuaciones lineales
con dos variables “x” y “y” puede describirse de la forma a1x + b1y = c1; a2x + b2y = c2 o
también: {
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
donde a1, a2, b1, b2, c1 y c2 son constantes.
1.5.3.1 Métodos de resolución
Método de sustitución
1.- Se despeja una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. La que sea más fácil.
2.-Se sustituye en la otra ecuación la incógnita despejada.
3.- Se resuelve la ecuación resultante, que es de primer grado, obteniendo el valor de
una de las incógnitas.
4.- Se sustituye el valor obtenido en la ecuación despejada al principio para obtener el
valor de la otra incógnita.
Método de igualación
a) Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.
b) Se igualan las dos expresiones
c) Se resuelve la ecuación resultante, obteniendo el valor de una de las incógnitas.
d) Se sustituye el valor de la incógnita obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones
despejadas al principio para obtener el valor de la otra incógnita.
P á g i n a 41 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Método de reducción
Consiste en conseguir que al sumar las dos ecuaciones del sistema resulte una
ecuación con una sola incógnita. Para ello será necesario multiplicar los dos miembros de
una ecuación y en algunos casos los de las dos ecuaciones por números convenientes
para que en las dos ecuaciones los coeficientes de una de las incógnitas sean números
opuestos.
P á g i n a 42 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Ejercicios 1.5 Ecuaciones
1) La solución de la ecuación 5(x-3)+3x-1=x-2 es:
a)
2
7
b) 2
c)
1
2
d) −2
2) Resuelve la siguiente ecuación 3x-2=6(x-1)
a) 4/3 (Respuesta correcta)
b) 3/4
c) −
4
3
d) −3/4
3) La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años que la
menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.
a) 88, 20 y 18 años
b) 41, 23 y 24 años
c) 42, 22 y 24 años
d) 40, 28 y 20 años
4) La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; y la de Juan es el triple de la de Enrique
y la de Eugenio es el doble de la de juan. Si las cuatro suman 132 años ¿qué edad
tiene cada uno?
a) Pedro 11, Enrique 22, Juan 33, Eugenio 66
b) Enrique 11, Pedro 22, Juan 33, Eugenio 66
c) Eugenio 11, Juan 22, Enrique 33, Pedro 66
d) Juan 11, Eugenio 22, Enrique 30, Pedro 60
P á g i n a 43 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
5) Preguntando un hombre por su edad, responde si al doble de mi edad, se restan 17
años, se tendrá lo que me falta para tener100 años, ¿qué edad tiene el hombre?
a) 25 años
b) 32 años
c) 39 años
d) 61 años
6) La edad de Pedro es el triple que la de Ana. Hace 10 años, la suma de sus edades era
de 36 años, ¿Cuál es la edad de Ana ahora?
a) 15 años
b) 14 años
c) 16 años
d) 19 años
7) Resuelve la siguiente ecuación: 2x² - 18 = 0
a) x1 = 9, x2 = 0
b) x1 = −3, x2 = 3
c) x1 = 3
d) x1 = −3, x2 = −3
8) Resuelve la siguiente ecuación: x ( x – 1 ) – 5 ( x – 2 ) = 2
a) x1 = 2, x2 = −4
b) x1 = −2, x2 = −4
c) x1 = 2, x2 = 4
d) x1 = −2, x2 = 4
P á g i n a 44 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
9) La solución del sistema
x
2
+ 3y = 1; y x + 2y = 1.
a) x1 =
1
2
x2 =
1
4
b) x1 =
1
4
x2 = −
1
2
c) x1 = −
1
2
x2 =
1
4
d) x1 = −
1
2
x2 =
1
2
10) La solución del sistema 4x + 3(y − 1) = 5; y 3(y − 1) = 2x − 7.
a) x = 2 y = 0
b) x = −2 y = 0
c) x = 0 y = 2
d) x = 0 y = −2
11)
35x
8
+
12
5
= 8 − x
a) x =
215
224
b) x =
200
215
c) x =
224
215
d) x =
260
215
12) La solución del sistema 10x-3y=36 y 2x+5y= -4
a) x = −2 y = 3
b) x = 3 y = −2
c) x = 3 y = 2
d) x = −3 y = 2
P á g i n a 45 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
13) La solución del sistema 3x+2y=7 y 4x-3y=-2
a) x = −5 y = 2
b) x = −2 y = 5
c) x = 1 y = 2
d) x = −2 y = 1
1.6 Productos notables
Es el nombre que reciben las multiplicaciones con expresiones algebraicas que
cumplen ciertas reglas y cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin
verificar la multiplicación. Cada producto notable corresponde a una fórmula de
factorización.
1.6.1 Factor común
El resultado de multiplicar un binomio (a+b) por un término “c”, se obtiene aplicando
la propiedad distributiva, esta nos dice que: (𝑐)(𝑎 + 𝑏) = (𝑐𝑎) + (𝑐𝑏).
Esto puede aplicarse para la resolución de problemas.
1.6.2 Binomio al cuadrado
Es aquel que se multiplica por sí mimo y siempre da como resultado un trinomio
cuadrado perfecto. Para resolver un binomio al cuadrado hay que recordar unas simples
reglas:
1. El cuadrado del primer término
2. El doble producto del primer término por el segundo
3. El cuadrado del segundo término
(a ± b)2
a2 ± 2(ab) ± b2
P á g i n a 46 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.6.3 Binomios conjugados
Son dos binomios con los mismos términos, pero con signos contrarios.
(x + y)(x − y)
x2 − xy + xy − y2
x2 − y2
1.6.4 Binomios con término común
El producto de dos binomios del tipo (x + a)(x + b) es igual al cuadrado del primer
término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término,
más el producto de lossegundos términos.
x2 + x(a + b) + ab
1.6.4 Binomios al cubo
El binomio al cubo o el cubo de un binomio se puede definir como: la suma o la
resta de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple producto del
primero por el cuadrado del segundo, más el triple producto del segundo por el cuadrado
del primero, más el cubo del segundo.
(x + y)3
(x2 + 2(xy) + y2)(x + y)
(x3 + 2x2y + xy2 + x2y + 2xy2 + y3)
(x3 + [2x2y + x2y] + [xy2 + 2xy2] + y3)
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
P á g i n a 47 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.6.5 Binomio de Newton
Un binomio corresponde a un polinomio que se encuentra formado por dos
términos. Newton desarrolló la fórmula para así proceder al cálculo de las potencias de un
binomio usando para esto números combinatorios. Por medio de esta fórmula se puede
formular la potencia que se requiere como la suma de varios términos, cuyos coeficientes
se pueden hallar utilizando el triángulo de Tartaglia o Pascal.
Ilustración 1 Triangulo de Tartaglia
Para entender esto más a fondo trabajemos con el binomio (a+b) a diferentes
potencias.
(a + b)1 = a1 + b1
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3b2a + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Ahora plantearemos la fórmula del binomio de newton, para hallar las potencias
de cada binomio, donde el número de términos será n+1.
(a ± b)n = (
n
0
) anb0 ± (
n
1
) an−1b ± (
n
2
) an−2b2 ± (
n
3
) an−3b3 ± ⋯ ± (
n
n
) bn
Con esto podemos observas que:
P á g i n a 48 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Ilustración 2 Triangulo para n=5
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n=8
P á g i n a 49 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Ejercicios 1.6 Productos notables
Resuelve los siguientes binomios
1) (8z + 3w)2
a) 4𝑧2 + 48𝑧𝑤 + 9𝑤2
b) 4𝑧2 + 48𝑧𝑤 + 9𝑤
c) 64𝑧2 + 48𝑧𝑤 + 9𝑤2
d) 64𝑧2 + 48𝑧𝑤 + 9𝑤
2) (3x2 − 4z3)6
a) −729𝑥12 + 5832𝑥10𝑧3 − 199440𝑥8𝑧6 − 34560𝑥6𝑧9 + 34560𝑥4𝑧12 − 18432𝑥2𝑧15 + 4096𝑧18
b) 729𝑥12 + 5832𝑥10𝑧3 + 199440𝑥8𝑧6 − 34560𝑥6𝑧9 + 34560𝑥4𝑧12 + 18432𝑥2𝑧15 + 4096𝑧18
c) 79𝑥12 − 5832𝑥10𝑧3 + 199440𝑥8𝑧6 − 34560𝑥6𝑧9 + 34560𝑥4𝑧12 − 18432𝑥2𝑧15 + 4096𝑧18
d) −79𝑥12 − 5832𝑥10𝑧3 + 199440𝑥8𝑧6 − 34560𝑥6𝑧9 + 34560𝑥4𝑧12 − 18432𝑥2𝑧15 + 4096𝑧18
3) (2y + 4p)4
a) 4𝑦4 + 16𝑦3𝑝 + 16𝑦2𝑝2 + 8𝑦𝑝3 + 16𝑝4
b) 16𝑦4 − 128𝑦3𝑝 − 384𝑦2𝑝2 − 512𝑦𝑝3 + 256𝑝4
c) 16𝑦4 + 128𝑦3𝑝 + 384𝑦2𝑝2 + 512𝑦𝑝3 + 256𝑝4
d) 4𝑦4 + 16𝑦3𝑝 + 16𝑦2𝑝2 + 8𝑦𝑝3 + 16𝑝4
4) (82x2 + 84d2) (82x2 − 84d2)
a) 4096x4 − 16777216d4
b) 4096x2 − 32d2
c) 16x2 − 62d2
d) 4096x4 + 16777216d4
P á g i n a 50 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
5) (3x2 + 6y)3
a) 27x6 + 81x4y + 324x2y2 + 216y3
b) 27x6 + 81x4y + 324x2y2 − 216y3
c) 27x6 + 162x4y + 324x2y2 + 216y3
d) 27x6 − 162x4y + 324x2y2 − 216y3
6) (x + 4)(x − 4)
a) 𝑥2 + 16
b) 𝑥2 − 16
c) 𝑥2 − 8𝑥 + 16
d) 𝑥2 + 8𝑥 + 16
7) (2t − w4)4
a) 16𝑤4 + 24𝑡2𝑤8 − 8𝑡𝑤12 + 𝑤16
b) 6𝑡4 + 24𝑡2𝑤8 − 8𝑡𝑤12 + 𝑤16
c) 6𝑡4 − 32𝑡3𝑤4 + 24𝑡2𝑤8 − 8𝑡𝑤12 + 𝑤16
d) 16𝑡4 + 32𝑡3𝑤4 + 24𝑡2𝑤8 − 8𝑡𝑤12 + 𝑤16
8) (a2 + b)(a2 − b)
a) 𝑎4 − 𝑏
b) 𝑎4 − 𝑏4
c) 𝑎4 + 𝑏4
d) 𝑎4 − 𝑏2
9) (2a3 + c3)3
a) 𝑎9 + 12𝑎6𝑐3 + 6𝑎3𝑐6 + 𝑐9
b) 8𝑎9 + 12𝑎6𝑐3 + 6𝑎3𝑐6 + 𝑐9
c) 𝑎9 + 12𝑎6𝑐3 + 6𝑎3𝑐6 + 8𝑐9
d) 8𝑎9 + 12𝑎6𝑐3 + 6𝑎3𝑐6 + 8𝑐9
P á g i n a 51 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
10) (3𝑥 + 𝑦)4
a) 81𝑥4 + 108𝑥3𝑦 + 54𝑥2𝑦2 + 12𝑥𝑦3 + 𝑦4
b) 81𝑥4 − 108𝑥3𝑦 + 54𝑥2𝑦2 + 12𝑥𝑦3 − 𝑦4
c) 9𝑥4 + 54𝑥3𝑦 + 12𝑥2𝑦2 + 𝑦4
d) 9𝑥4 + 54𝑥3𝑦 + 54𝑥2𝑦2 + 𝑦4
P á g i n a 52 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Ilustración 3 Plano cartesiano
1.7 Representaciones gráficas
1.7.1 El plano cartesiano
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra
vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas (X),
y la vertical, eje de las ordenadas (Y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
Tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por
sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del
eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar
en el plano cartesiano con base en sus coordenadas. Los valores del plano cartesiano se
extienden desde el infinito negativo (-∞) hasta el infinito positivo (∞) en ambos ejes.
Cuando se mueven en el eje de las X se le denomina “Rango” y cuando se mueven en el
eje de las Y se le denomina “Dominio”.
.
Un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus
coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y). Si tenemos los siguientes puntos:
P1(2,1), P2(-3,-3) y P3(-1,5) y los deseamos poner en un plano, solo hacemos lo siguiente.
P á g i n a 53 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Ilustración 5 Uniendo los puntos
Ilustración 4 Puntos en un plano
P á g i n a 54 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.7.2 Funciones.
Es una relación entre el dominio (conjunto de X) y el rango (el conjunto de Y). Esto
nos dice que, a cada elemento en X le corresponde un único elemento de Y. Para referirse
a una función como regla general se utiliza la letra “f”, como, por ejemplo: f(x) o f(y)o f(t).
Otra forma más fácil de ver una función es pensar en ella como una regla que
asigna a cada elemento de un conjunto A un único elemento de un conjunto B.
1.7.3 Relaciones
Se refiere a la correspondencia que existe entre dos conjuntos, a cada elemento
del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto. Esto
quiere decir que toda función matemática es una relación, pero no toda relación es una
función.
Las relaciones matemáticas se representan de la siguiente forma
Rn = {(x, y)/ "La relación que existe ente ellos"}
1.7.4 Gráficas de ecuaciones
Si se quiere graficar una ecuación se deben tomar distintos valores para x, tanto
positivos como negativos para observar cómo se comporta y sustituir en la función. La
función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación . Si hacemos una tabla con
los valores de esta función, vemos que el rango no se comporta como una función lineal.
En una función lineal, el valor de “Y “cambia por la misma cantidad cada vez que el valor
de “X” aumenta por 1. Eso no sucede con una función cuadrática: f(x)=x2
Si x=-3, entonces f(-3)=−32
x y = x2
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
P á g i n a 55 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Ilustración 7.- 𝒚 = 𝒙𝟐(verde) 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐(roja)
Una vez obtenidos los puntos los representamos en un plano cartesiano y los
unimos.
1.7.4.1 Traslación de una parábola
Cuando hablamos de parábolas si tomamos x2 como ejemplo, tendremos una
gráfica como la anterior que se extenderá tanto como valores le demos, pero si a esta
simple ecuación le agregamos un complemento ax2. El valor de “a” nos dirá que tanto se
agranda o se reduce la parábola.
Ilustración 8.- 𝒚 = 𝒙𝟐
Ilustración 6 Parábola
P á g i n a 56 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Ilustración 9 Valor de a negativo
Si en dado caso el valor de a fuese negativo, la forma de la parábola será la misma,
pero se invertiría como en un espejo.
1.7.4.2 Funciones polinómicas.
Son funciones que constan de un polinomio de grado n, donde n es un entero
positivo. Resulta evidente, que el coeficiente del grado mayor no puede ser cero, o sea, a
tiene que ser diferente de cero, para que el gradodel polinomio se n.
f(x) = axn + bxn−1 + cx + d
En una función polinómica el número máximo de intersecciones con el eje de las
“X” lo determina el grado de esta. Si hablamos de una función de tercer grado, el número
máximo de intersecciones es de 3.
Dependiendo del grado del polinomio es la forma de la gráfica que se obtendrá.
P á g i n a 57 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Ilustración 10 Primer grado x
Ilustración 11 Segundo grado 𝒙𝟐
Ilustración 12 Tercer grado 𝒙𝟑
Ilustración 13 Cuarto grado 𝒙𝟒
P á g i n a 58 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Ejercicios 1.7 Representaciones gráficas
1) Si el punto "a" gira 90° en el sentido del reloj y el punto "b" se mantiene en el mismo
lugar, ¿cuáles son las nuevas coordenadas del punto "a"? Dibuja la respuesta.
2) Cuál será el valor de las coordenadas del punto "b" y "c", si el triángulo (ilustración 14) se
mueve tres unidades a la izquierda y dos hacia arriba.
3) De acuerdo con la siguiente imagen, en el eje de las "x", ¿qué coordenadas indican los
extremos del diámetro?
4) De acuerdo con la imagen anterior, si el círculo se moviera tres unidades a la izquierda, y
dos abajo ¿cuál sería su punto medio?
5) Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por
la regla “ y es el doble de x ” o “ y = 2 x ”, encontrar dominio y rango de la relación.
Ilustración 14
P á g i n a 59 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
6) Grafique f(x) = x2 + 4
7) Grafique f(x) = 2x2 + x
8) Grafique f(x) = x2 − x + 1
9) Grafique f(x) = x3 + 2x2 − 3x + 5
10) Grafique f(x) = (x² + 4𝑥 − 6) / 2
P á g i n a 60 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.8 Geometría
1.8.1 Paralelismo y congruencia
1.8.1.1 Paralelismo
En la geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre
cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiper planos y
demás). Recordamos que en el plano cartesiano dos rectas son paralelas si tienen la
misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes.
En la figura podemos ver la recta roja y la negra, ambas tienen la misma pendiente
porque el coeficiente en x vale uno en ambas ecuaciones, esto quiere decir que la
pendiente es: m =
1
1
, que cuando ambas rectas suben una unidad sobre el eje de “y”
hacia la derecha, también crecen sobre el eje “x” otra unidad, por lo que forman 45°
respecto al eje x.
P á g i n a 61 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.8.1.2 Congruencia
Se dice que dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y
forma, sim importar su posición u orientación. En otras palabras, si ambas figuras son
iguales.
La congruencia no solo aplica a las figuras geométricas, también se puede aplicar
a los ángulos. Se denominan ángulos congruentes a todos aquellos que tienen la misma
medida en grados, sin importar la dirección a la que apuntan o la longitud de las líneas
entre las que se encuentran. Esto aplica cuando dos rectas paralelas se cortan por una
recta secante, determinan ocho ángulos.
Ilustración 15 Rectas paralelas, tienen la misma pendiente
P á g i n a 62 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Ilustración 16 Ángulos congruentes entre paralelas
Observando la ilustración anterior podemos notar a simple vista que los ángulos 1
y 5 miden lo mismo al igual que las parejas de ángulos 7 y 3, 6 y 2, 8 y 4. Este teorema es
muy útil, cuando necesitamos obtener la medida de cierto ángulo que no conocemos. Si
la recta secante es perpendicular a ambas rectas se formar 8 ángulos de 90°
También podemos aplicar los teoremas de congruencia a las figuras
geométricas. El teorema nos dice que dos figuras geométricas son congruentes si tienen
los lados iguales y el mismo tamaño; si existe una isometría que los relaciona. Los criterios
son:
Lado-Lado-Lado(LLL).- Son congruentes si tres lados son respectivamente iguales
a = a’
b = b’
c = c’
Ilustración 17 triángulo ABC = triángulo A’B'C’
P á g i n a 63 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Ilustración 19 triángulo ABC = triángulo A’B'C’
Ilustración 20triángulo ABC = triángulo A’B'C’
Lado-Ángulo-Lado(LAL). - Son congruentes si 2 lados y el ángulo comprendido entre
ellos son iguales.
b = b’
c = c’
α = α’
Ángulo-Lado-Ángulo(ALA). - Son congruentes si, uno de sus lados y los ángulos en los
extremos de este, son iguales. A dichos ángulos se les denomina adyacentes al lado.
b = b’
α = α’
β = β’
Lado-Lado-Ángulo(LLA).- Son congruentes si tienen dos lados iguales el ángulo opuesto
al mayor también es igual.
a = a’
b = b’
β = β’
Ilustración 18 triángulo ABC = triángulo A’B'C’
P á g i n a 64 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.8.2 Teorema de Thales y rectas (mediatriz y bisectriz)
Si tenemos dos rectas “r” y “s” en un plano y tres rectas paralelas entre sí que corten
a las anteriores determinan segmentos correspondientes proporcionales. Es decir
AB
BC
=
A´B´
B´C´
ó bien
AB
A´B´
=
B´C´
B´C´
. Supongamos que los segmentos AB̅̅ ̅̅ y BC̅̅̅̅ tienen una unidad común
(u), la cual está contenida “p” veces en AB y “q” veces en BC, siendo p y q números
naturales. En ese caso:
AB̅̅ ̅̅
BC̅̅̅̅
=
(p)(u)
(q)(u)
=
p
q
Si llevamos la unidad de medida común sobre AB̅̅ ̅̅ y BC̅̅̅̅ , y trazamos paralelas, por
los puntos de división, estas interceptarán “p” segmentos iguales en A´B´̅̅ ̅̅ ̅̅ y “q” segmentos
iguales en B´C´̅̅ ̅̅ ̅ como consecuencia del teorema anterior. Además, serán todos ellos
iguales entre sí y de amplitud u´, por lo tanto
AB
BC
=
A´B´
B´C´
. Esta igualdad será cierta cualquiera
que sea la unidad de medida común.
Cuando las unidades no son las mismas y tenemos dos rectas cuales quieras y se
cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de
las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’,
B’C’).
P á g i n a 65 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.8.2.1 Mediatriz
Se llama mediatriz al segmento perpendicular al lado de
un triángulo por su punto medio. Para trazar la mediatriz de un
segmento, en nuestro caso, del segmento AB̅̅ ̅̅ debes dibujar dos
semicírculos, con el mismo radio, haciendo centro en A y en B.
Ambas curvas se cortarán en dos puntos que son
suficientes para trazar una recta que pase por dichos puntos.
En el caso de un triángulo debemos dibujar las tres
mediatrices, una por cada lado siguiendo el mismo
procedimiento:
1.8.2.2 Bisectriz
En un triángulo, las rectas que dividen por la mitad los ángulos internos se llaman
bisectrices. El Teorema de la Bisectriz enuncia que las bisectrices internas y externas de
un ángulo en un triángulo cortan al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados
adyacentes a dicho ángulo.
Ilustración 21 Mediatriz
Ilustración 23 Ángulo de bisectriz
Ilustración 22 Mediatriz de un triángulo
Ilustración 24 Bisectriz
P á g i n a 66 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.8.3 Figuras geométricas: perímetro, área y volumen
Por medio de las fórmulas podemos calcular, medir, resolver los problemas que se nos
presentan con las figuras y sus propiedades en el plano y el espacio. Las fórmulas son las
expresiones matemáticas por medio de las cuales se pretende resolver o representar un
problema; en el caso de la geometría se aplican a las figuras y sus propiedades.
Las fórmulas básicas de geometría son:
• El área (A): es la medida de la región interior de una figura, o su superficie.• El perímetro(P): suma de todos los lados de la figura, es decir, su contorno.
• El volumen(V): se halla multiplicando el ancho, la altura, y la longitud de una figura,
es decir, es el espacio que ocupa un cuerpo geométrico.
Figura geométrica Área Perímetro
A=L x L P= 4L
A= b x h P= 2b+2h
A=D x d P=L+L+L+L
P á g i n a 67 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
A= b x h P= b+b+h+h
A =
h(Bxb)
2
P=B+b+L+L
A = πxr2 C = πxd
A =
Pxa
2
P=Lx(#de lados)
P á g i n a 68 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Figura geométrica Área Volumen
A = 6(L2) V=a3
P=perímetro de la base
a=área de la base
A=(Pxh)+2a
a=área de la base
V=axh
Atotal= 2Πr(h + r) V=(Πr2)h
Atotal= 4Πr2 V =
4
3
Π(r3)
P á g i n a 69 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Atotal= Πr2(Π + rg) V =
Πr2h
3
P=perímetro de la base
a=área de la base
A =
Px ap
2
+ a
a=área de la base
V =
ah
3
1.8.4 La recta
Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en
una misma dirección, con la misma inclinación. Para determinar
una recta solo es necesario conocer dos puntos del plano. Cuando
hablamos de rectas es necesario entender la diferencia que existe
entre paralelo y perpendicular.
Cuando hablamos de perpendicular, nos referimos a cuando
dos rectas se cortan o chocan entre sí, formando un ángulo de
90°
Decimos que dos rectas son paralelas cuando, están a la misma distancia la una
de la otra, pero jamás se cortan entre sí.
Ilustración 26 Paralelo
Ilustración 25 Perpendicular
P á g i n a 70 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.8.4.1 Ecuación de la recta
La recta dentro de un plano se presenta matemáticamente mediante la ecuación
y = mx + b
Donde:
• (x,y) son los puntos de la recta.
• m es la pendiente de la recta
• b es el término independiente u ordenada al origen
1.8.4.2 Pendiente de la recta y ángulo entre rectas
Es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de las
abscisas(X). Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados:
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
• Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también
tiene pendiente m = – 3.
• Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas.
• Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra
tiene pendiente 1/5.
• Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular.
Si la recta está ubicada en plano cartesiano es posible determinar la pendiente de la
recta a través de cualesquiera dos puntos distintos de la recta. La elevación corresponderá
al cambio en “y” y el recorrido al cambio en “x”.
Si en el eje de las “x” no se presenta ningún cambio, no tiene sentido aplicar la fórmula
ya que solo aplica en rectas verticales.
La ecuación de la pendiente es:
m =
Cambio en y
Cambio en x
=
Δy
Δx
m =
(y2 − y1)
(x2 − x1)
P á g i n a 71 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
A partir de esta fórmula de la pendiente se puede obtener una ecuación de la recta,
la cual es muy útil cuando se conoce la pendiente y las coordenadas de uno salo de sus
puntos.
y − y0 = m(x − x0)
P á g i n a 72 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.8.6 Ecuaciones y gráficas de la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola
1.8.6.1Circunferencia
Es una curva plana cerrada cuyos puntos equidistan de otro situado en el mismo
plano que se llama centro. Posee un segmento llamado radio que une e centro de la
circunferencia con un punto cualquiera de la misma.
La circunferencia pose otras características como son:
• Cuerda: La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.
• Recta secante: Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos.
• Recta tangente: Es la línea que toca a la circunferencia en un solo punto.
• Punto de Tangencia: Es el punto de la circunferencia que toca una recta.
Para cualquier punto, P(x,y), de una circunferencia cuyo centro es el punto C(a,b) y
con radio r, la ecuación es:
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
Cuando el centro está en el origen (0,0) la ecuación canónica de una circunferencia se
simplifica ha:
x2 + y2 = r2
P á g i n a 73 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.8.6.2 Parábola
Es una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano
que corta a la base del mismo, oblicuo a su eje y paralelo a una directriz g. El foco y la
directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en el sentido de que será
más o menos abierta según sea la distancia entre F y la directriz).
La ecuación general de la parábola con el eje vertical es: y = ax2 + bx + c, donde a≠0
y b,c son números reales. Pero si hablamos de la parábola a partir del vértice siendo el
eje vertical: (y − y0)
2 = a(x − x0) , si hablamos del eje horizontal: (x − x0)
2 = a(y − y0) ,
Ilustración 27 Parábola
1. Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje de simetría.
2. Eje de simetría: Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos y
pasa por el vértice.
3. Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en
el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.
4. Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del
vértice y fuera de los brazos de la parábola.
5. Distancia focal (p): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco,
así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).
6. Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la
parábola.
7. Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco.
8. Lado recto (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
P á g i n a 74 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Ilustración 28 Parábola y sus partes
Para ver de una forma más simple podemos expresar a la parábola por su fórmula
canónica y2 = 4px y x2 = 4py donde el vértice siempre será v(0,0).
P á g i n a 75 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.8.6.3 Elipse
Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la
superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría, con un ángulo mayor que el
de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje
menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su
eje principal genera un esferoide alargado.
Ilustración 29 Elipse
Las partes de la elipse son:
• Centro(C): Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de
simetría.
• Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos AA´̅̅ ̅̅ ̅.
• Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatriz del segmento
que une los focos BB´̅̅ ̅̅ ̅.
• Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes (A.A´,B,B´).
• Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c.
• Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco FF´̅̅ ̅̅ . Su longitud es c,
que es la semidistancia focal.
• Semieje mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje
principal. Su longitud es a.
a
b
c
(-c,0) (c,0)
P á g i n a 76 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
• Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje
secundario.
Para calcular la distancia entre los focos tomamos lossegmentos PF̅̅̅̅ + PF´̅̅ ̅̅ = 2a,
como podemos observar en el triángulo de la línea punteada, en la ilustración 27. Y para
calcular la distancia focal y los semiejes decimos que: a2 = b2 + c2, como podemos ver en
el triángulo rojo de la ilustración 27.
Basándonos en la expresión PF̅̅̅̅ + PF´̅̅ ̅̅ = 2a, la ecuación de la elipse queda como:
√(x − c)2 + y2 + √(x + c)2 + y2 = 2a
Simplificando llegamos a:
x2
a2
+
y2
b2
Otra forma de ver dicha ecuación es:
(x−x0)2
a2
+
(y−y0)2
b2
= 1
P á g i n a 77 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.8.6.4 Hipérbola
Es una curva plana y simétrica respecto a dos planos perpendiculares entre sí, si
ponemos dos conos uno encima del otro y los cortamos obtenemos dos curvas que jamás
se tocan cuya distancia entre sus focos es constante.
Ilustración 30 Corte a 2 conos
La ecuación que describe a una Hipérbola es:
En el eje de las x:
x2
a2
−
y2
b2
= 1 En el eje de las y:
y2
b2
−
x2
a2
= 1
Partes:
• Focos: Son los puntos fijos F y F'.
• Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
• Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje
focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la
circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
• Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los
focos: PF y PF'.
• Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.
• Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.
• Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.
P á g i n a 78 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
• Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
• Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones:
• La excéntrica es una constante positiva, que representa la distancia entre el foco y
una recta fija. Su fórmula es:
c
a
Ilustración 31 Partes de la hipérbola
P á g i n a 79 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Ejercicios 1.8 Geometría
1) Si tenemos una pared en la que trazamos rectas perpendiculares a su base calcule
la distancia AC
a) 7m
b) 17.5m
c) 10.5m
d) 9m
2) Si tenemos una pared en la que trazamos rectas perpendiculares a su base calcule
la distancia AB
a) 7m
b) 17.5m
c) 10.5m
d) 9m
3m 6m 9m
3m 6m 9m
P á g i n a 80 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
3) Sabiendo que las rectas son paralelas, las longitudes que faltan son:
a) x = 18.1cm y = 1.45cm
b) x = 10cm y = 2.62cm
c) x = 2,62cm y = 10cm
d) x = 1.45cm y = 18.1cm
4) Sabiendo que el segmento DE es paralelo a la base del triángulo, calcular la
medida de los segmentos a y b.
a) a = 12 b = 4
b) a = 4 b = 12
c) a = 12 b = 9
d) a = 4 b = 9
5) Si tenemos el siguiente triangulo calcular la medida de “x”
a) x=2.6cm
b) x=5.7cm
c) x=6cm
d) x=3cm
6)Calcular el área de la región sombreada
a) A = 50cm2
b) A = 30cm2
c) A = 25cm2
d) A = 30.9cm2
2.5cm
P á g i n a 81 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
7) Calcular el área de la región sombreada
a) A = 21.46cm2
b) A = 30cm2
c) A = 83.5cm2
d) A = 30.9cm2
8) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (6,-1) cuya pendiente es m = 4
a) y = 4x + 25
b) y = 4x − 25
c) y = x + 25
d) y = mx + 25
9) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (−
3
2
,-1) cuya pendiente es m = 4
a) 𝑦 + 4𝑥 −
5
2
= 0
b) 𝑦 − 4𝑥 −
5
2
= 0
c) 𝑦 − 4𝑥 − 5 = 0
d) 𝑦 + 4𝑥 + 5 = 0
10) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (
1
2
,-3) cuya pendiente es m = −2
a) y + 4x + 2 = 0
b) y − 2x + 2 = 0
c) y + 2x + 5 = 0
d) y + 4x + 5 = 0
11)Grafica la ecuación (x − 6)2 = 12(y − 9) y calcular su vértice, el foco y la recta
directriz.
a) v(6,9) f(6,12) y = 6
b) v(6,6) f(6,6) y = 0
c) v(6,6) f(6,9) y = 6
d) v(6,9) f(6,12) y = 0
10cm
P á g i n a 82 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
12)Grafica la ecuación (y − 6)2 = 12(x − 9) y calcular su vértice, el foco y la recta
directriz
a) v(6,9) f(6,12) x = 0
b) v(9,6) f(6,12) x = 6
c) v(9,6) f(12,6) x = 6
d) v(9,6) f(6,12) x = 0
13)Determina que figura representa la siguiente ecuación
(x−1)2
6
−
(y+2)2
2
= 1
a) Elipse
b) Parábola
c) Circunferencia
d) Hipérbola
14)Determina que figura representa la siguiente ecuación (x − 2)2+(y − 6)2 = (4)2
a) Elipse
b) Parábola
c) Circunferencia
d) Hipérbola
15) Determina que figura representa la siguiente ecuación (x − 2)2−(y − 6)2 = (4)2
a) Elipse
b) Parábola
c) Circunferencia
d) Hipérbola
P á g i n a 83 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
1.9 Cálculo
1.9.1 Domino y contradomino
El dominio es una relación que asigna a cada elemento de un conjunto X a un
elemento de un conjunto Y. También lo podemos ver como el conjunto de todos los valores
de entrada que al aplicar la función llevan a un valor de salida. Mientras que el contra
dominio es el conjunto de todos los valores resultantes de la variable dependiente Y.
1.9.2 Operaciones con funciones
Primero recordamos que una función, es una relación entre un conjunto dado y otro
conjunto de elementos. Cuando tenemos 2 o más funciones nos es posible realizar ciertas
operaciones matemáticas con ellas.
Suma/Resta
Si tenemos la función f(x) = 6x + 3 y tenemos la función g(x) = −2x + 1 y
deseamos sumarlas, primero decimos: f(x) + g(x) = (f + g)(x)
(f + g)(x) = 6x + 3 + (−2x) + 1
(f + g)(x) = 4x + 4
Multiplicación
Si tenemos las funciones f(x) = 6x + 3 y g(x) =
1
x
+ 3 y deseamos multiplicarlas
decimos que f(x) ∗ g(x) = (f ∗ g)(x)
(f ∗ g) = (6x + 3) (
1
x
+ 3)
(f ∗ g) =
6x
x
+ 3(6x) +
3
x
+ 3(3)
(f ∗ g) = 6 + 18x +
3
x
+ 9
(f ∗ g) =
18x2 + 3
x
+ 15
P á g i n a 84 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
División
Si tenemos las funciones f(x) = 6x + 3 y g(x) =
1
x
+ 3 y deseamos dividirlas
entonces decimos que
f(x)
g(x)
= (
f
g
) (x)
f(x)
g(x)
=
6x + 3
1
x + 3
f(x)
g(x)
=
6x + 3
1
1 + 3x
x
f(x)
g(x)
=
x(6x + 3)
x(1 + 3x)
f(x)
g(x)
=
6x + 3
3x + 1
1.9.3 Límites de las funciones: polinomiales, racionales, trigonométricas
Sabemos que el dominio de una función es el conjunto de los números reales de
esta, es decir todo valor de x en la recta numérica, existe un valor definido de f(x). El límite
de una función puede ser un punto x0 finito o un punto ubicado en el infinito ±∞.
Si hablamos de una función polinomial:
f(x) = a0x
n + a1x
n−1 + a2x
n−2
lim
x→b
f(x) = f(a)
Cuando calculamos un límite con respecto a ±∞, depende del signo del término
con el coeficiente de mayor grado del polinomio.
lim
x→∞
x2 − x + 1
x3 − 4x + 3
lim
x→∞
x2
x3
lim
x→∞
1
x
= +∞
Si el límite es un valor finito x0, solo remplazamos ese valor en la literal, tantas
veces sea necesario y resolvemos.
lim
x→2
x2 − x + 1
x3 − 4x + 3
lim
x→2
(2)2 − 2 + 1
(2)3 − 4(2) + 3
lim
x→2
4 − 2 + 1
8 − 8 + 3
lim
x→2
3
3
= 1
Cuando aplicamos el teorema de límites a las identidades trigonométricas debemos
tener muy en cuenta las identidades básicas, ya que el método de resolución es el mismo:
lim
x→2
sin x = sen(2)
P á g i n a 85 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Identidades básicas:
• Sen 2 x + Cos 2 x = 1
• Tan x = Sen x/Cos x
• Cot x = 1/tan x = Cos x/Sen x
• Sec x = 1/Cos x
• Csc x = 1/Sen x
• Sen 2α = 2 Sen α Cos α
• Cos 2α = Cos 2 α – Sen 2 α = 2Cos 2 α – 1 = 1 – Sen 2 α
• Tan 2α = 2 Tan α / 1 – Tan 2 α
1.9.4 Derivada de funciones algebraicas y no algebraicas
En matemáticas, la derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el
valor de dicha función, según cambie el valor de su variable independiente. Se calcula
como el límitede la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando
el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño.
El método de derivación a través de límites es tardado y poco práctico para fines
aplicativos, por lo tanto, trabajaremos con las fórmulas directas de la derivada. Primero
debemos tener en cuenta el principio básico, que la derivada de toda constante es 0.
dy
dx
= 20 ∴ 0
dy
dx
= 20000 ∴ 0
dy
dx
= c ∴ 0
Para representar la derivación utilizamos
dy
dx
que nos dice que en una función “y”,
derivaremos todas las “x”. Si fuera al revés
dx
dy
sería que en una función “x” derivaremos
todas las “y”. Para denotar que es la derivada de una literal podemos utilizar u´ o du.
P á g i n a 86 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Linealidad de derivada
f = un f´ = n ∗ un−1 ∗ u´
f = c ∗ u f´ = c ∗ u´
f = u ± v f´ = u´ ± v´
f = c ∗ u ± k ∗ v f´ = c ∗ u´ ± k ∗ v´
Regla del producto y cociente
f = u ∗ v f´ = u ∗ v´ + v ∗ u´
f =
u
v
f´ =
v ∗ u´ − u ∗ v´
v2
Regla de la potencia
f = (v)n f´ = n(v)n−1 ∗ (v´)
f = c ∗ vn f´ = c ∗ n(v)n−1 ∗ (v´)
Funciones exponenciales
f = eu f´ = eu ∗ u´
f = au f´ = au ∗ ln(a) ∗ u´
Funciones logarítmicas
f = ln(u)
f´ =
u´
u
f = loga(u) f´ =
u´
u ln(a)
Funciones trigonométricas
f = sin u f´ = cos(u) ∗ u´
f = cos u f´ = − sin(u)∗ u´
f = tan u f´ = sec2(u) ∗ u´
f = csc u f´ = − csc(u) cot(u) ∗ u´
f = sec u f´ = sec(u) ten(u) ∗ u´
f = cot u f´ = −csc2(u) ∗ u´
Funciones trigonométricas inversas
f = arc sin u
f´ =
u´
√1 − u2
f = arc cos u
f´ = −
u´
√1 − u2
f = arctan u
f´ =
u´
1 + u2
f = arcsc u
f´ = −
u´
u√u2 − 1
f = arcsec u
f´ =
u´
u√u2 − 1
f = ar cot u
f´ = −
u´
1 + u2
P á g i n a 87 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
Ejercicios 1.9 Cálculo
Realiza la siguiente operación con funciones
1)f(x) =
6x+3
5
más g(x) = −2x + 6
a) (f + g)x =
−4x+9
5
b) (f + g)x =
4x+9
5
c) (f + g)x =
−4x+33
5
d) (f + g)x =
−4x−33
5
Resuelve los siguientes límites
2) lim
x→∞
5x3+2x2−1
2x+3
a) −∞
b) ∓∞
c) +∞
d) ±∞
3) lim
x→∞
3x6+3x3+2
7x6+x−1
a)
3
7
b)
7
3
c) 3
d) 7
4) lim
x→∞
(x5 − x√x)
a) −∞
b)
1
2
c) +∞
d)
1
4
P á g i n a 88 | 191
1. Pensamiento matemático- Matemáticas
5) lim
x→∞
√x+1−2
x−3
a) −∞
b)
1
2
c) +∞
d)
1
4
Deriva las siguientes funciones por el método de fórmula
6)f(x) = (2x3 − 4x2 + 7)4
7)f(x) = (−3x6 + 2)−7
8)f(x) = √3x5 + 7
9)f(x) = 4 ln(5x)
10)f(x) =
2x+5
4x2+7
11)f(x) =
x−2+x5−6
x4+x3
12)f(y) = (6y5 − 3y2 + y)2
P á g i n a 89 | 191
2. Pensamiento Analítico
2. Pensamiento Analítico
2.1 Integración de Información
2.1.1 Información Implícita vs Explicita
Se refiere a la información que proporciona el texto, a la clase textual como
conjunto de niveles significativos. En esta parte trabajaremos con la extracción y
comprensión de información a través de un texto dado.
Ejemplo: Lea atentamente el texto y responda el cuestionario.
Lo más preciado que posee el hombre es la vida. Se le otorga una sola vez,
y hay que vivirla de forma que no se sienta un dolor torturante por los años pasados
en vano, para que no queme la vergüenza por el ayer vil y mezquino. Y para que al
morir se pueda exclaman toda la vida y todas las fuerzas han sido entregadas a lo
más hermoso del mundo, a la lucha por la liberación de la humanidad. Y hay que
apresurarse a vivir. Pues una enfermedad estúpida o cualquier casualidad trágica
pueden cortar el hilo de la existencia.
Ostrovski Nikolai
Así se templo el. Acero
1. La idea central del texto es:
a) La calidad de la vida depende del sentido que cada uno le otorgue.
b) La muerte no debe ser considerada como un estorbo para vivir.
c) La fugacidad obliga a una vida intensa y a la vez noble.
d) El valor de la vida no significa que hay que apresurarse a vivir.
P á g i n a 90 | 191
2. Pensamiento Analítico
2.1.1.1 Conclusiones a partir de dos textos
Se conoce con el término de conclusión a toda aquella fórmula o proposición
que sea el resultado obtenido luego de un proceso de experimentación o desarrollo
y que establezca parámetros finales sobre lo observado.
En la interpretación de dos textos se comprende el contenido de ambos y a
partir de ellos se sacan las proposiciones.
Ejemplo: Lee el siguiente texto y responde las siguientes preguntas
Texto I
Vamos a definir la violencia Intrafamiliar como aquella violencia que tiene
lugar dentro de la familia, ya sea que el agresor comparta o haya compartida el
mismo domicilio, y que comprende, entre otros, violación, maltrato físico, psicológico
y abuso sexual. Entendemos que la violencia doméstica es un modelo de conductas
aprendidas, coercitivas que involucran abuso físico o la amenaza de abuso físico.
También puede incluir abuso psicológico repetido, ataque sexual, aislamiento social
progresivo, castigo, intimidación y/o coerción económica.
Hay autores que señalan que la violencia intrafamiliar se da básicamente por
tres factores; uno de ellos es la falta de control de impulsos, la carencia afectiva y
la incapacidad para resolver problemas adecuadamente; y además en algunas
personas podrían aparecer variables de abuso de alcohol y drogas.
Texto II
Todos sabemos que siempre es triste y doloroso arrastrar la vida cuando no
se recibió amor, sobre todo de los padres durante la niñez. Todo el que ha estudiado
siquiera un poco al ser humano, le va a decir que los cinco primeros años de la vida
dejan una marca imborrable para toda la vida, para bien o para mal. Por eso, el
privar a un niño de amor es como privar de fertilizante a un árbol que empieza a
crecer, pero el golpearlo es como echarle veneno, lo va a terminar de matar
psicológica y emocionalmente, o mejor va a crecer herido de muerte. Pero hay de
golpes a golpes, algunos golpes sacan sangre o dejan morados, incluso un mal
golpe puede producir la muerte, pero hay otros más sutiles que no se ven, pero que
se graban a fuego lento no sólo en mente sino en la identidad de ese niño o de esa
niña. Se graban en su "yo", y los frutos de estos golpes emocionales se van a ver
después en sus relaciones con personas significativas y en su relación con el
mundo. Me gustaría hablar un poco más detalladamente de esos golpes, que
solamente los ven o los oyen quienes los dan, aunque no piensen en las
consecuencias futuras y terribles que van a traer en sus hijos. Está claro, que
P á g i n a 91 | 191
2. Pensamiento Analítico
cuando se repiten los golpes físicos, pero sobre todo los psicológicos o
emocionales, se va agotando el amor.
Nosotros los adultos sabemos cómo duele el silencio, tal vez más que las
palabras ofensivas. Ese silencio es el peor de los castigos, ahora imagínese a un
niño que no ha hecho nada y no se le habla, y no se le abraza y acaricia, cómo se
va conformando su identidad... pensemos en eso. ¿Han pensado en el daño que
hacen a sus hijos, posiblemente muchas veces sin darse cuenta, cuando en lugar
de relacionarse con sus hijos pequeños están preocupados del trabajo, con la
limpieza, etc., en forma obsesiva y perfeccionista en la casa? Son golpes lentos que
van formando defectuosamente la escultura de su hijo. Silencio y ausencia cuando
se reprocha al hijo con los pequeños errores, pero cierras tu corazón y tu boca
cuando hace algo bien. Por ejemplo, cuando el niño empezó el kínder e hizo un
dibujo, que pudo ser cuatro rayas cruzadas, pero que para él era una obra de arte,
en lugar de abrazarlo o alabarlo, guardaste silencio. Con ello se produce, en el hijo,
que aprenda a ver sólo sus errores y no lo bueno que hay en su persona. Todos
estos golpes emocionales y psicológicoshacen tanto daño en la niñez porque el
niño o la niña no saben defenderse; su mente apenas empieza a desarrollar
lentamente ciertos mecanismos de defensa para poder filtrar y analizar lo que ve y
oye. Su mente es como una esponja: recibe todo. No tiene capacidad para decir
esto es verdad o no es verdad, lo que dicen es justo o injusto. Por eso los mensajes-
golpes son como olas gigantescas que llegan sin control a lo más profundo de ese
ser indefenso. Pero que distinta es la niñez y el futuro de sus hijos cuando ellos
palpan el amor entre su padre y su madre, cuando ellos desde pequeños ven que
su madre recibe con un beso, un abrazo al padre que llega del trabajo, o cuando el
padre viene con un ramo de flores para su esposa o le da un beso a su esposa. Son
detalles que se van grabando en el alma de los niños, que van modelando su
personalidad, que van llenando de amor ese tanque-corazón. Créame, esa será la
mejor herencia que podrá dejar a sus hijos.
1. ¿Qué título le pondrías a cada uno de los textos?
a) Texto I: La Violencia; texto II: Las características de la violencia
b) Texto I: La violencia; texto II: Los tipos de violencia.
c) Texto I: La violencia intrafamiliar; texto II: La violencia infantil.
d) Texto I: La violencia intrafamiliar; texto II: Causas de la violencia.
P á g i n a 92 | 191
2. Pensamiento Analítico
2. ¿Cuál de los siguientes incisos corresponde a la definición de violencia
intrafamiliar?
a) Aquella violencia entre familias.
b) Aquella violencia psicológica.
c) Aquella violencia que tiene lugar en el núcleo familiar.
d) Aquella violencia que se le hizo a un familiar.
3. ¿De qué otra manera se le puede llamar a la violencia intrafamiliar?
a) La violencia doméstica.
b) La violencia amorosa.
c) La violencia infantil.
d) La violencia física.
4. ¿A qué se refiere el enunciado cuando se dice que el silencio, en los logros de
los niños y el reproche en sus defectos, afecta su crecimiento?
a) Porque el que calla otorga.
b) Porque el silencio demuestra el amor que se le tiene al niño.
c) Porque al no hablar fomentamos que los niños vean sus defectos y no
sus destrezas.
d) Porque el silencio y el reproche demuestra que no se les tiene amor a los
hijos.
5. ¿A qué hace referencia el siguiente fragmento “El privar a un niño de amor es
como privar de fertilizante a un árbol que empieza a crecer, ¿pero el golpearlo es
como echarle veneno”?
a) Hay que ponerle fertilizante a los árboles para que crezcan bonitos.
b) Los padres tienen que amar a sus hijos.
c) Si a un hijo no se le brinda amor, este no crecerá siendo afectivo.
d) El maltratar a los niños física y psicológicamente tiene repercusiones
P á g i n a 93 | 191
2. Pensamiento Analítico
Ejercicios 2.1 Información Textual
1) Lea atentamente el siguiente texto y responde el cuestionario.
De la esencia del alma aristocrática forma parte el egoísmo, quiero decir, aquella
creencia inamovible de que a un ser como "nosotros lo somos" tienen que estarle
sometidos por naturaleza otros seres y tienen que sacrificarse por él. El alma
aristocrática acepta este hecho de su egoísmo sin ningún signo de interrogación y
sin sentimiento alguno de dureza, coacción, arbitrariedad, antes bien como algo que
acaso esté fundado en la ley primordial de las cosas; si buscase un nombre para
designarlo diría "es la justicia misma". En determinada circunstancia que al
comienzo la hacen vacilar, esa alma se confiesa que hay quienes tienen idénticos
derechos que ella: tan pronto como ha aclarado esta cuestión de rango, se mueve
entre esos iguales, dotado de derecho idénticos, con la misma seguridad en el pudor
y en el respeto delicado que tiene en el trato consigo mismo. Esa sutileza y
autolimitación en el trato con sus iguales es una parte más de su egoísmo: se honra
a sí mismo en ellos y en los derechos que ella les concede, no duda de que el
intercambio de honores y derechos, esencia de todo trato, forma parte así mismo
del estado natural de las cosas.
NIETZSCHE, Friedrich
Más allá del bien y del mal
1. El título más apropiado para el texto sería:
a) El trato huraño nacido del aristócrata
b) El alma aristocrática y la justicia
c) El carácter del alma aristocrática
d) Virtudes y defectos del aristócrata
2. Si adoptáramos la mentalidad aristocrática, afirmaríamos que:
a) todos hemos nacido para obedecer
b) el sacrificio ajeno resulta innecesario
c) nuestro egoísmo merece ser cuestionado
d) el altruismo es signo de arbitrariedad
P á g i n a 94 | 191
2. Pensamiento Analítico
3. La necesidad del sometimiento y el sacrificio de los demás, constituye para el
alma aristocrática:
a) un signo excluyente de su esencia
b) una verdad absoluta
c) signo de explotación arbitraria
d) un hecho injusto pero necesario
4. El reconocimiento de iguales derechos en otros se presenta en el aristócrata:
a) como signo de humanismo
b) como una reacción ante el egoísmo
c) de manera excepcional
d) de manera inconsciente
5. ¿Qué aparentan los aristócratas frente a sus iguales?
a) intercambio de honores y derechos
b) sutileza y autolimitación
c) la esencia puramente egoísta
d) auténtica consideración
2) Lea atentamente el texto y responda el cuestionario.
En la parte superior del cerro del Olimpo se realizaban los festines de los dioses
griegos. El manjar era la ambrosía, un fruto amargo de una planta de hojas
amarillas, pero que, para el caso, era divino. Hebe, la diosa de la Juventud, servía
néctar en copas de oro puro y las Musas, acompañadas por Apolo a la lira.
entonaban cánticos. Para proteger la privacidad de tales festines, las puertas eran
cuidadas por las Horas. En ese lugar jamás llovía y la temperatura era ideal.
HUMBERT, Juan
Mitología griega y romana
P á g i n a 95 | 191
2. Pensamiento Analítico
1. Identifique la información incompatible con el contenido textual.
a) La ambrosía era un alimento divino consumido en una ceremonia realizada
en las cumbres del Olimpo.
b) Las Horas era personajes míticos que se encargaban de la seguridad en las
ceremonias desarrolladas en el Olimpo.
c) La diosa de la Juventud vivía en el Olimpo y era quien atendía a los
comensales en la fiesta organizada en su honor.
d) Los dioses consumían un manjar amargo en ceremonias privadas realizadas
en el cerro Olimpo.
3) Lea atentamente el texto y responda el cuestionario.
Cuando un animal no tiene un enemigo natural -es decir un depredador-, se
reproduce sin freno. Por lo general, es el ser humano quien genera el problema al
llevar ejemplares del reino animal a lugares que les son extraños. En la actualidad,
hay preocupación en Colombia porque en la región cafetalera se ha reproducido
mucho la rana toro o mugidora. Esta rana es originaria de Estados Unidos, de donde
se importó hace trece años. Como en algunos lugares hay demanda de ranas, se le
empezó a criar en cautiverio. Pero hace cinco años, ejemplares de este anfibio
aparecieron en Caldas, donde se desperdigaron por toda la región.
NEWTON
Revista de Divulgación científica
1. A partir del texto se concluye fundamentalmente que
a) Los norteamericanos han introducido ranas en una región de Colombia
donde la multiplicación ha sido vertiginosa.
b) Los animales se reproducen de una manera rápida si es que se extinguen
sus depredadores o enemigos naturales.
c) Una especie de rana ha alcanzado niveles alarmantes de reproducción en
una región de donde no es originaria.
P á g i n a 96 | 191
2. Pensamiento Analítico
d) El ser humano genera grandes problemas al alterar la forma de vida natural
de especies animales silvestres.
4) Lea atentamente el texto y responda el cuestionario.
En los países capitalistas, la subordinación de la ciencia a los intereses de la
ideología, lapolítica, y particularmente a la preparación de nuevas guerras
sangrientas que ocasionen el exterminio masivo de los hombres, ha llegado tan lejos
que un grupo de eminentes científicos soviéticos se vio en la necesidad de enviar
una carta abierta a los hombres de ciencia de todo el mundo, exhortándoles a luchar
resueltamente por una ciencia que afirme la vida y no por una ciencia que prepare
la muerte y la destrucción.
En esta carta se señala que a los científicos de los países capitalistas se les
obliga a perfeccionar en secreto el arma bacteriológica y química de exterminio
masivo, a crear nuevos microorganismos y nuevas sustancias sicógenas y
excitantes mortales de enorme fuerza.
"Los pueblos de la Tierra -se dice en la carta- han mirado siempre con respeto y
esperanza el abnegado trabajo de los científicos para terminar con las
enfermedades y el hambre; han salvado los esfuerzos para crear nuevas sustancias
y materiales que sirvan para el florecimiento de la cultura y la civilización".
ANDREIEV, I.
La ciencia y el progreso social
1. En el Socialismo, la ciencia estaría orientada a:
a) descubrir nuevos conocimientos
b) la defensa ideológica del sistema
c) combatir la ciencia mal orientada
d) la búsqueda del bienestar humano
2. Se deduce del fragmento que el Capitalismo es:
a) una etapa del desarrollo histórico
b) un régimen que favorece la ciencia
c) un sistema impositivo y violento
d) un sistema totalmente anti-científico
P á g i n a 97 | 191
2. Pensamiento Analítico
3. El objetivo de la carta de los científicos soviéticos a sus colegas fue:
a) denunciar el efecto perjudicial de la seudo-ciencia
b) instarlos a luchar por una ciencia con fines nobles
c) motivarlos a la lucha contra el capitalismo pacifista
d) informarles sobre los últimos logros científicos de su país
4. Según lo expresado en la carta, si la ciencia no se hubiera desarrollado, entonces:
a) los hombres vivirían en armonía
b) la esperanza de vivir aumentaría
c) el capitalismo sería un sistema justo
d) la mortalidad humana sería mayor
5. ¿Cuál es el título del fragmento?
a) El carácter del Capitalismo
b) La problemática de la sociedad actual
c) Tergiversación de los mensajes científicos
d) El uso nefasto de la ciencia
5) Lea atentamente el texto y responda el cuestionario.
Hasta ya, he escrito esto porque me importa probarle que no fui tan culpable en
el destrozo insalvable de su casa. Dejaré esta carta esperándola, sería sórdido que
el correo se la entregara alguna clara mañana de París. Anoche di vuelta los libros
del segundo estante; alcanzaban ya a ellos, parándose o saltando; royeron los
lomos para afilarse los dientes no por hambre, tienen todo el trébol que les compro
y almaceno en los cajones del escritorio. Rompieron las cortinas, las telas de los
sillones, el borde del autorretrato de Augusto Torres, llenaron de pelos la alfombra
y también gritaron, estuvieron en círculo, como adorándome, y de pronto gritaban,
gritaban como yo no creo que griten los roedores de orejas largas.
P á g i n a 98 | 191
2. Pensamiento Analítico
He querido en vano sacar los pelos que estropean la alfombra, alisar el borde de
la tela roída, encerrarlos de nuevo en el armario. No tuve tanta culpa, usted verá
cuando llegué que muchos de los destrozos están bien reparados con el cemento
que compré en una casa inglesa, yo hice lo que pude para evitarle un enojo.
CORTÁZAR, Julio
Bestiario Carta a una señorita en París
1. Según el autor, los destrozos fueron causados por:
a) los conejos
b) el autor mismo
c) el autor de la carta
d) el dueño de la casa
2. Una idea incompatible con el fragmento sería:
a) los conejos royeron los libros para alimentarse
b) el autor de la carta no recurrió al correo
c) las cortinas y los sillones sufrieron daño
d) no se logró encerrar a los roedores
3. El autor escribe la carta con la intención de:
a) disculpar a los extraños roedores
b) justificar los daños que causó
c) resaltar la mansedumbre de las mascotas
d) manifestar su relativa culpabilidad por los destrozos
4. ¿Qué hizo el autor ante los destrozos?
a) Dio vueltas al estante de libros
b) Prefirió renovar las cortinas
c) Escribió la carta y se alejó
d) Reparó muchos de ellos con cemento
P á g i n a 99 | 191
2. Pensamiento Analítico
5. La expresión: "sería sórdido que el correo se la entregara alguna clara mañana
de París", evidencia:
a) el carácter inefable de los sucesos ocurridos en su casa
b) la consideración que el autor tiene por el destinatario
c) la insuficiencia de una carta para explicar los destrozos
d) el temor del autor de que la carta sea leída por terceros
6) Lea atentamente el texto y responda el cuestionario.
El renunciamiento hace del sabio su propio dueño, nada le puede conmover
porque el imperio que ejerce sobre sí mismo es total, sabe vivir en sociedad y
consigo mismo. Por ello, desconfiará del amor y de los asuntos públicos. Para
Antístenes, el matrimonio es necesario para la propagación de la especie, pero no
constituye un acto de importancia considerable. En cuanto a los asuntos públicos,
señalaba que el sabio no vive según leyes escritas sino según la virtud. Se le
preguntó hasta qué punto debía uno mezclarse en los asuntos públicos y contestó:
"como cuando uno se aproxima al fuego: demasiado lejos tendréis frío, demasiado
cerca os quemareis". Rogó un día a los atenienses que decretaran que los caballos
se denominaran asnos, como creyeron que se había vuelto loco, les señaló que
también denominaban "generales" a individuos elegidos, completamente ineptos.
BRUN, Jean, Historia de la filosofía
1. Antístenes sostenía que el matrimonio no era:
a) Social
b) Consistente
c) Imprescindible
d) Cohesionante
2. Lograr el dominio de la sabiduría supone fundamentalmente:
a) combatir las leyes escritas
b) fusionar la virtud con la política
c) poseer un cúmulo de conocimientos
d) moderar la conducta en función a leyes
P á g i n a 100 | 191
2. Pensamiento Analítico
3. En el fragmento se recomienda que el sabio:
a) no debe desentenderse de la política
b) está imposibilitado de casarse
c) debe ser cauto frente a la virtud
d) debe mostrar predilección por el amor
4. La ironía de Antístenes apuntaba a:
a) moralizar a la juventud ateniense
b) hacer notar la incapacidad de las autoridades
c) expresar su desacuerdo con la democracia
d) ridiculizar las actividades de los militares
5. ¿Qué disciplinas se relacionan con el contenido del texto?
a) La ciencia y la filosofía
b) La sociología y la política
c) La filosofía y la educación
d) La ética, la política y la filosofía
7) Lea atentamente el texto y responda el cuestionario.
Tunka era un viejo brujo a quien nadie visitaba. Un día, invitó a su pequeño
laboratorio en la montaña a Luis, el hombre más rico del pueblo. Cuando llegó, le
habló de su gran descubrimiento. Se trataba de un polvo mágico que duplicaba lo
que quisiera. Ya había preparado diez de ellos. Luis le pidió que probara lo que
decía y le dio una moneda de oro. Para su asombro, unos instantes después de
echarle el polvo, las monedas eran dos. Una vez que se pusieron de acuerdo en el
pago, Tunka le entregó un sobre. No llegó a explicarle de qué se trataba, ya que
cayó muerto tras un fuerte golpe en la cabeza. Luis no iba a permitir que otros
accedieran a la sustancia mágica, y con lo que tenía, era suficiente. Dejó el sobre,
P á g i n a 101 | 191
2. Pensamiento Analítico
tomó la caja con los polvos, y se fue. Luego de vender todos los bienes, juntó sus
monedas de oro. Les echaba el preparado y se duplicaban. Muy inteligente, cuando
le quedaban sólo dos porciones, se dio cuenta de que, duplicando el mágico
elemento, su fortuna sería interminable y sería dueño del mundo entero. Pero,
cuandolos juntó, no sólo se esfumaron, sino que desapareció hasta la última
moneda de oro que había. Después de esperar horas sin novedades, se dirigió al
laboratorio del brujo. Maldiciendo porque lo había engañado, abrió la puerta.
Cuando vio el sobre, pensó que ahí encontraría la solución.
Pero el escrito decía:
“Nunca juntes dos polvos mágicos. Si lo haces desaparecerán, junto a los metales
que se encuentren alrededor” Fin.
Responde las siguientes preguntas con base en el texto.
1. ¿Cuál es la enseñanza que deja el texto?
a) Cuando arriesgas todo por ambición puedes ganar o perderlo todo.
b) Tunka es un brujo sabio.
c) No todo lo que brilla es oro.
d) Hay que leer antes de actuar.
2. ¿De qué trata el cuento?
a) Un hombre muy rico llamado Tunka.
b) Un viejo brujo al cual le gustaba engañar a las personas.
c) Un polvo que duplicaba lo que uno quisiera.
d) La amistad entre Tunka y Luis.
3. ¿Qué título le pondrías al cuento?
a) El engaño
b) La ambición
c) El polvo mágico
d) Cómo duplicar monedas
P á g i n a 102 | 191
2. Pensamiento Analítico
4. ¿Cuál de las siguientes oraciones es una advertencia?
a) Cuando llegó, le habló de su gran descubrimiento.
b) “Nunca juntes dos polvos mágicos. Si lo haces desaparecerán, junto a los
metales que se encuentren alrededor”.
c) No llegó a explicarle de qué se trataba.
d) Luis le pidió que probara lo que decía y le dio una moneda de oro. Para su
asombro, unos instantes después de echarle el polvo, las monedas eran
dos.
5. Las siguientes palabras son sinónimos de la palabra descubrimiento,
excepto:
a. Hallazgo
b. Encuentro
c. Revelación
d. Investigación
8) Después de haber leído los textos, responde las siguientes preguntas:
Texto I
Un día quise ver a mis tres amigos, que trabajaban en una obra de
construcción, cerca de mi casa. Hacía mucho tiempo que no los veía, así que no
sabía qué era de sus vidas. Casi a la entrada, en una postura de comodidad, me
encuentro al primero. — ¡Hombre, qué alegría verte! —, le dije, mientras le daba un
fuerte abrazo. — ¿Cómo te van las cosas? —Aquí ando, trabajando y sudando
como un negro, ya me ves. Como un idiota, esperando largarme cuanto antes. Doy
tan sólo unos pasos y allí, en un andamio, a escasos metros del suelo, encuentro al
otro viejo amigo. — ¡Cuánto tiempo sin verte! ¿Cómo te va? — Pues hombre, ya
vez. Las vueltas que de la vida. Hay que hacer algo, ¿no? Hay que ganarse el pan
y mirar por los hijos. Es ley de vida—, me dijo. Levanto la vista y allá arriba, en una
postura de difícil equilibrio, veo a mi otro amigo. Sintió una enorme alegría al verme
y, con una gran sonrisa y una voz potente, me preguntó cómo me iba, cuándo nos
veríamos más detenidamente. Y, para terminar, me dijo: —Aquí estoy haciendo una
escuela bonita, bonita, bonita... ya verás qué escuela.
P á g i n a 103 | 191
2. Pensamiento Analítico
Texto II
Un hombre rico veraneaba en un pueblo de pescadores. Cada mañana, solía
pasear por la playa, y siempre veía a un pescador dormitando en su barca. Un día
se le acercó y, tras los saludos de rigor, le dijo: —Y usted... ¿no sale a pescar? —
Bueno... sí... —repuso el pescador—: salí esta mañana temprano, y no se dio mal.
—Y... ¿no va a salir otra vez? — ¿Para qué? Ya pesqué lo suficiente para hoy.
—Pero si usted pescara más, conseguiría más dinero, ¿no?
— ¿Y para qué quiero más dinero, señor?
—Bueno, con más dinero podría usted tener un barco más grande.
— ¿Un barco más grande?
—Pues claro... Con un barco mayor usted conseguiría más pesca, y más pesca
significa más dinero.
— ¿Y para qué quiero yo tanto dinero?
—Pero... ¿no lo entiende usted? Con más dinero podría comprar varios barcos, y
entonces pescaría mucho más, y se podría hacer rico.
— ¿Yo? ¿Ser rico?
—Sí, claro... ¿acaso no desea ser rico? Podría usted comprarse una casa bonita,
tener un coche, viajar, tener toda clase de comodidades...
— ¿Y para qué quiero yo esas comodidades? —¡Dios mío!... ¿Cómo es posible que
no lo entienda?... Si usted tuviera comodidades y riquezas, entonces podría usted
retirarse a disfrutar y descansar.
—Pero, caballero... ¿no ve usted que eso es justo lo que estoy haciendo ahora?
1. ¿Qué título le pondrías a los textos?
a) Texto I: Una amistad duradera; Texto II: La satisfacción personal.
b) Texto I: Los amigos que se extrañan; Texto II: El pescador conformista.
c) Texto I: La obra de construcción; Texto II: Un día en la playa.
d) Texto I: El sentido del trabajo; Texto II: La verdadera felicidad.
P á g i n a 104 | 191
2. Pensamiento Analítico
2. ¿Cuál es la enseñanza que dejan ambos textos?
a) No hay que ser conformista con lo que tenemos.
b) Todas las personas son felices.
c) Para ser feliz te debe de gustar lo que haces.
d) El trabajo nos hace feliz a todos.
3. ¿El propósito de los textos es de tipo?
a) Didáctico
b) Informativo
c) Veraz
d) Explicativo
4. ¿Cuál es el género literario al que pertenecen los textos?
a) Novela
b) Poesía
c) Drama
d) Narrativo
9) Después de haber leído los textos, responde las siguientes preguntas:
Texto I
Es una masa de materia gaseosa caliente que irradia a una temperatura
efectiva de unos 6000ºC.
De la distribución espectral de la radiación de esta fuente de energía, medida
fuera de la atmósfera terrestre, aproximadamente la mitad está en la región visible
del espectro, cerca de la otra región visible del espectro, cerca de la otra región
infrarroja y un pequeño porcentaje de la región ultravioleta. El sol está a una
distancia de 149490000 kilómetros de la Tierra, y la constante solar, esto es, la
intensidad media de radiación medida fuera de la atmósfera en un plano normal la
radiación es aproximadamente 1.94 cal/min. cm3.
P á g i n a 105 | 191
2. Pensamiento Analítico
Texto II
En una lista parcial de posibles usos de la energía solar, figuran:
• Calefacción doméstica
• Refrigeración
• Calentamiento de agua
• Destilación
• Generación de energía
• Fotosíntesis
• Hornos solares
• Cocinas
• Evaporación
• Acondicionamiento de aire
• Control de heladas
• Secado
Se han ensayado todos los usos citados de la energía solar en escala de
laboratorio, pero no se han llevado a la escala industrial. En muchos casos, los
costos de la realización de estas operaciones con energía solar no pueden competir
con el costo cuando se usan otras fuentes de energía por la gran inversión inicial
que es necesaria para que funcionen con energía solar y por ello la mayor parte de
los estudios de los problemas de utilización de esta energía está relacionado con
problemas económicos.
Las instalaciones solares pueden considerarse clasificadas por tres tipos de
aplicación. Primero, hornos solares, usados como medio de laboratorio para obtener
altas temperaturas en diversos estudios y propuestos para usos semi industriales.
En segundo lugar, los usos potenciales de disposiciones solares sencillas, como
cocinas, refrigerantes y bombas de irrigación en regiones no industrializadas, con
radiación segura y en donde los actuales recursos de energía no son satisfactorios
o resulten caros. Un tercer grupo de aplicación de energía solar podrá competir en
el futuro económicamente con otras fuentes de energía en algunas zonas de países
industrializados, como los EE. UU., si los adelantos técnicos en este campo o los
cambios en el costo de la energía de otras fuentes llegan a alterar su costo relativo.
1. ¿Qué títulos son los adecuados para los textos?
a) Texto I: La energía solar; texto II: Los usos posibles de la energía solar.
b) Texto I: La energía solar; texto II: Características de la energía solar.
c) Texto I: El Sol; texto II: Los usos posibles de la energía solar.
d) Texto I: El sol; texto II: Características de la energíasolar.
P á g i n a 106 | 191
2. Pensamiento Analítico
2. ¿Cuáles son los tres tipos de aplicación en los que se pueden clasificar las
instalaciones solares?
a) Hornos solares, disposiciones solares sencillas y los que podrán competir
económicamente en
a) un futuro con otras fuentes de energía.
b) Calefacción doméstica, hornos solares y acondicionamiento de aire.
c) Control de heladas, disposiciones solares sencillas y hornos solares.
d) Calefacción doméstica, disposiciones solares sencillas y fotosíntesis.
3. ¿En cuál de las siguientes materias podrías encontrar la información de ambos
textos?
a) Historia
b) Geografía
c) Literatura
d) Biología
4. ¿Qué función del lenguaje se utiliza en el texto anterior?
a) Poética
b) Apelativa
c) Referencial
d) Expresiva
5. ¿A qué público se encuentra dirigida la información?
a) A especialistas en el tema.
b) A un público que no se encuentra especializado en el tema.
c) A los alumnos de una escuela preparatoria.
d) A todo aquel que se encuentre investigando el tema.
P á g i n a 107 | 191
2. Pensamiento Analítico
2.1.2 Información Gráfica
No cabe duda, que de la vista es una de las principales vías de entrada de
información al cerebro. La interpretación por esté de la información visual, solo es
posible después de un proceso de aprendizaje; una vez que aprendemos a tratar la
información visual, dicha información nos ayuda a tomar decisiones y obtener
conclusiones acertadas.
Un gráfico es una representación por medio de líneas y aquello perteneciente
o relativo a la escritura y a la imprenta. Un periódico y una revista son medios
gráficos. Como dice el refrán una imagen dice más que mil palabras, en este tema
abordaremos el uso de imágenes o gráficas para el apoyo de la comprensión del
texto.
2.1.2.1 Conclusiones a partir de un texto y una tabla, imagen o mapa
Ejemplo: Con base en la información que se te proporciona, responde:
Texto. Las primeras civilizaciones.
Las primeras civilizaciones
surgen en distintas regiones del
mundo y en diferentes épocas. A
fines del siglo IV y comienzos del
III milenio A.C., se desarrollaron
las civilizaciones: egipcia,
sumeria, cretense, fenicia, hebrea
y persa, entre otras. A mediados
del III milenio A.C. en los valles
fértiles del Ganges e Indo y de los
ríos Amarillo y Azul, se asentaron las civilizaciones India y China. Aproximadamente
en el primer milenio A.C. también surgirán importantes culturas antecesoras de las
civilizaciones maya, azteca e inca.
P á g i n a 108 | 191
2. Pensamiento Analítico
1.Región donde predominó el desarrollo de civilizaciones según el mapa:
a) América
b) Mesoamérica
c) Europa y Asia
d) África
2. Las civilizaciones desarrolladas a mediados del siglo III A.C. fueron
predominantemente:
a) Europeas
b) Asiáticas
c) Americanas
d) Africanas
Ejemplo 2: Con base en la información que se te proporciona, responde:
Se muestra la vista superior de la sala de espera de un
consultorio, la entrada a la sala es por la puerta 10 y la
entrada al consultorio es por la puerta 20. Hay 5 sillones
etiquetados. Carlos entra a la sala a esperar su consulta y
ocupa un sillón que es perpendicular a la entrada del
consultorio y etiquetando con numero par y letra vocal. Si
Juan llega y escoge un sillón con características opuestas a
las de Carlos, entonces, ¿Don están sentados Carlos y
Juan?
a) 3F Carlos, 5P Juan
b) 2E Carlos, 4U Juan
c) 1A Carlos, 5P Juan
d) 2E Carlos, 5P Juan
P á g i n a 109 | 191
2. Pensamiento Analítico
Ejercicios 2.1.2 Información Gráfica
1. Con base en la información que se te proporciona, responde:
Los tomates de Ana.
El crecimiento de las plantas en general depende de los cuatro factores
siguientes: la luz del Sol, el agua (riegos), el aire y la tierra donde crecen. Ana plantó
en su jardín cinco plantas de tomates a diferentes distancias de su casa y quiere
investigar el efecto de la cantidad de luz del Sol sobre el tamaño de las plantas. La
figura representa también cómo se mueve el Sol sobre el jardín de Ana desde las
8:00 de la mañana hasta el mediodía.
Debido a la orientación de la casa, las plantas más cercanas a la casa reciben
menos horas de luz del Sol, mientras las plantas más alejadas de la casa reciben
más horas de luz del Sol.
1) ¿Cuál sería la descripción más exacta de la hipótesis que Ana podría probar?
a) Las plantas más cercanas de la casa crecerán más porque reciben más luz
y las más alejadas crecerán menos.
b) Las plantas más alejadas de la casa crecerán más porque reciben más luz y
las más cercanas crecerán menos.
c) Las plantas más cercanas de la casa crecerán menos porque reciben más
luz y las más alejadas crecerán más.
d) Las plantas más alejadas de la casa crecerán menos porque reciben menos
luz y las más cercanas crecerán más.
P á g i n a 110 | 191
2. Pensamiento Analítico
2) Fíjate bien en la altura que alcanzan las cinco plantas de tomates de Ana en
la figura. ¿Qué conclusión razonable puede sacar Ana?
a) Las plantas que reciben más luz crecen más.
b) No está claro que las plantas que reciben más luz crezcan más.
c) La tierra de la parte central del jardín puede ser mejor que el resto.
d) Las plantas pueden haber recibido diferente cantidad de agua de lluvia.
3) ¿Qué ha observado Ana?
a) Alguna planta no ha crecido nada.
b) La planta más lejana a la casa es la que más ha crecido.
c) La planta más cercana a la casa es la que más ha crecido.
d) La planta más cercana a la casa es la que menos ha crecido.
4) Puesto que el desarrollo de las plantas depende de varios factores (luz, agua,
aire y tierra), para que la demostración de Ana pueda ser válida con toda
certeza, ¿qué debería hacer con todos estos factores?
a) Cuidarse de instalar un sistema de riego automático.
b) Hacer que las plantas no tengan diferencias en agua, aire y tierra.
c) Nada, debe olvidarse de ellos porque no influyen sobre su propósito.
d) Instalar una valla que proteja las plantas frente a las rachas de viento.
P á g i n a 111 | 191
2. Pensamiento Analítico
2. Con base en la información que se te proporciona, responde:
Junio en Peñachica
En el siguiente gráfico se recogen las temperaturas medias registradas en
Peña chica durante el mes de junio de los diez últimos años.
1. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor los datos recogidos en el
gráfico inicial?
2. Imagina que continúa la tendencia de las temperaturas de los últimos cuatro años,
¿qué puedes decir sobre la previsión de temperatura media para junio del año 2010
en Peñachica?
a) Será de menos de 22 ºC.
b) Estará entre 22 ºC y 23,8 ºC.
c) Estará entre 23,8 ºC y 27,3 ºC.
d) Será de más de 27,3 ºC.
P á g i n a 112 | 191
2. Pensamiento Analítico
3. Con base en la información que se te proporciona, responde:
Editor de Mapas Conceptuales
Un editor de mapas conceptuales es un programa informático con
prestaciones específicas para la creación y modificación de un mapa conceptual en
soporte digital. Para crear un mapa con la ayuda de un editor, el autor del mapa
deberá tener en mente o en papel el mapa que
desea realizar. En Internet existen diferentes
editores que permiten la realización de este tipo de
mapas, y que puedes descargar para uso
personal.
Para estimar el volumen de usuarios que
visitan los diferentes sitios web de descarga de los
editores se ha aplicado el indicador de Traffic
Rank, es decir, el número de visitas a estos sitios
en los últimos tres meses. Este indicador se
calcula en función de los patrones de uso de los usuarios que se han instalado la
barra de herramientas. Por tanto, no es un valor absoluto del tráfico en un sitio web,pero sí que permite realizar comparaciones objetivas.
1) ¿Qué conclusión es posible obtener observando los datos de la tabla?
a) MyMind es uno de los tres editores más populares en la web.
b) MyMind presenta un muy bajo porcentaje de visitas con respecto a Kdissert.
c) Son cuatro los editores que reciben aproximadamente un millón de visitas.
d) Hay poca diferencia entre la cantidad de visitas para FreeMind y GraphViz
Para determinar el posicionamiento de los sitios en Internet, se ha analizado la
posición que ocupa el sitio en el listado de resultados de dos de los buscadores más
populares: Google y Yahoo. Los resultados obtenidos son:
P á g i n a 113 | 191
2. Pensamiento Analítico
2) ¿Qué conclusión es posible obtener observando los datos de la tabla?
a) La tabla está mal porque no se puede tener varios editores en la misma
posición.
b) Los resultados de una búsqueda en Yahoo y Google son muy parecidos.
c) El título de MyMind seguramente no corresponde al sitio web donde se
encuentra.
d) Con la excepción de MyMind y ThindGraph, todos los editores obtienen
resultados óptimos en las búsquedas.
3) Si se observa tanto la tabla 1 como la tabla 2, ¿cuál de las siguientes
conclusiones sería la más acertada?
a) DigiDocmap tiene más descargar por medio de Google mientras que
GraphViz las tiene por medio de Yahoo
b) Kidssert aparece como número uno en Google y Yahoo porque es el más
descargado
c) MyMind es el número 30 en Google porque los usuarios casi siempre lo
descargan desde Yahoo
d) El volumen de usuarios que descargan ciertos programas no guarda
relación directa con su posicionamiento en Google o Yahoo
P á g i n a 114 | 191
2. Pensamiento Analítico
2.2 Interpretación de relaciones lógicas
2.2.1 Analogías
Dos palabras son análogas cuando guardan entre sí algún tipo de relación.
Las preguntas de Analogías Verbales evalúan la capacidad de definir de manera
exacta la relación o el vínculo entre significados de palabras.
Una analogía permite la deducción de un término desconocido a partir del
análisis de la relación que se establece entre dos términos de ella conocidos.
Para resolver preguntas de Analogías Verbales, se debe determinar la
relación entre las palabras destacadas, después definir en cada una de las
respuestas la relación entre pares de palabras, y se debe elegir como respuesta
aquélla en la que la relación es la más semejante a la relación en el par destacado.
• Antónimos: Son palabras que tienen un significado opuesto o contrario entre
sí. Deben pertenecer a la misma categoría gramatical.
• Sinónimo: Son palabras con el mismo significado que se escriben de manera
diferente.
• Palindromo: Frases o palabras que guardan el mismo sentido leída de
izquierda a derecha y de derecha a izquierda. Ejemplo: O rey o joyero.
Ejemplo:
Cobre: Metal
a) Motor: automóvil
b) Mueble: madera
c) Estilográfica: lápiz
d) Pimienta: condimento
P á g i n a 115 | 191
2. Pensamiento Analítico
Ejercicios 2.2 Analogías
1) Panadero: Comida
a) Cirujano: anestesia
b) Escritor: lectura
c) Jardinero: plantado
d) Agente de policía: imposición
2) Modesto: Soberbia
a) Encantador: rechazo
b) Apático: indiferencia
c) Disperso: concentración
d) Celoso: envidia
3) INEPTITUD es a TORPEZA como IGUALDAD es a:
a) PARIDAD
b) DESEQUILIBRIO
c) DESNIVEL
d) COHERENCIA
4) LAVAR es a ENSUCIAR como PARTICIPACIÓN es a:
a) IMPLICACIÓN
b) ASOCIACIÓN
c) INTERVENCIÓN
d) INHIBICIÓN
5) Silo: Granos
a) Lago: agua
b) Lagar: uvas
c) Galería: obras de arte
d) Archivo: documentos
P á g i n a 116 | 191
2. Pensamiento Analítico
6) PATENTE: LATENTE:
a) Grandioso: Oculto
b) Locuaz: Lacónico
c) Extrovertido: Introvertido
d) Descubierto: Copado
e) Ideal: Real
7) PALABRAS es a ____________ como PARTITURA es a:
a) letras – notas
b) pauta – pentagrama
c) libro – notas
d) ritmo – música
8) ENHEBRAR : BORDAR:
a) estudiar: truncar
b) errar: corregir
c) pensar: expresar
d) asear: limpiar
e) sembrar: labrar
9) HEMATÍE: SANGRE:
a) oxígeno : aire
b) carbono : metal
c) hidrógeno: agua
d) anhídrido : gaseosa
P á g i n a 117 | 191
2. Pensamiento Analítico
10) Antónimo de Primero
a) Segundo
b) Quinto
c) Último
d) Uno
11) Chamarra es a Frío como:
a) Agua a Río
b) Sueño a Cansado
c) Agua es a Sed
d) Hule es a Rueda
P á g i n a 118 | 191
2. Pensamiento Analítico
2.3 Reconocimiento de Patrones
2.3.1 Sucesiones Numéricas
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números
naturales: {1, 2, 3, …}. Una sucesión aritmética es aquélla en la cual la diferencia
entre dos términos consecutivos es una constante. La fórmula para el término
general de una sucesión aritmética es:
an + b
Donde: a y b son constantes, y n es el número del término deseado.
Específicamente, la constante a es la diferencia entre un término y el
anterior. Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una
sucesión finita.
Ejemplo:
• Notemos la sucesión: 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…
• La diferencia entre cualquier término y el anterior es 3, de modo que el
término general sería 3n + b.
• Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n =
1.
• De esta forma, 3(1) + b = 8, y por lo tanto b = 5.
• Por lo tanto, el término general de la sucesión es: 3n + 5.
• Si queremos encontrar el término 25 de la sucesión, sustituimos 25 en la
anterior fórmula:
• 3(25) + 5 = 80. De modo que el término 25 de la sucesión tiene el valor de
80.
• Si queremos encontrar la suma de los primeros 12 términos de esta sucesión,
utilizamos la fórmula, con a = 3, b = 5 y n = 12.
P á g i n a 119 | 191
2. Pensamiento Analítico
2.3.1.1 Sucesión Cuadrática
Una sucesión es cuadrática si las diferencias del nivel uno es diferentes entre
sí, y las diferencias del nivel dos son iguales a una constante diferente de cero. Para
la obtención del término general de una sucesión de segundo grado, existe la
siguiente fórmula:
tn = an
2 + bn + c ∴ 𝑡𝑛−1
Donde “n” es el número de sucesiones y a, b y c son los coeficientes de dicha
sesión. Aplicando el método de las diferencias tendremos que:
𝑡0 𝑡1 𝑡2 𝑡3 …𝑡𝑛−1
𝑚0 𝑚1 𝑚2 …Primera diferencia
r r … Segunda diferencia
Ahora bien, si el valor de “r” es constante la sucesión dada se trata de una
cuadrática o de segundo grado. Para determinar los coeficientes a, b y c bata con
resolver el sistema de ecuaciones y con esto podremos saber la posición 𝑡𝑛 que
nosotros deseemos.
{
t0 = c
m0 = a + b
r = 2a
2.3.2 Sucesiones Alfanuméricas
Es una sucesión donde convergen una sucesión numérica y una sucesión
literal o alfanumérica, cada uno con respecto a la ley de formación.
Casi todas las secuencias literales se resuelven haciendo corresponder a
cada letra con su posición. Pero también en algunos casos se aplican criterios
adicionales.
Considerar a cada letra como la inicial que integra un conjunto de palabras
universalmente conocidas, por ejemplo, los meses.
Considerar todas las letras, para formar una palabra.
P á g i n a 120 | 191
2. Pensamiento Analítico
P á g i n a 121 | 191
2. Pensamiento Analítico
2.3.3 Sucesiones de figuras
Conjunto de figuras que poseen un patrón de crecimiento o de cambio que
permite obtener todas las figuras del conjunto, empezando por la que ocupa el
primer lugar de la sucesión, luego la que ocupa el segundo y así sucesivamente.
El factor importante para resolver este tipo de sucesiones es encontrar las
“reglas” que rigen el cambio.
Ejemplo: Hallar la sucesión de
Ejercicios 2.3 Reconocimientos de Patrones
1) Hallar la sucesión de 1 ; 5 ; 19 ; 49 ; 101 ; x
a) 150
b) 117c) 181
d) 120
2) Hallar la sucesión de 7 ; 14 ; 16 ; 32 ; x
a) 40
b) 33
c) 34
d) 17
P á g i n a 122 | 191
2. Pensamiento Analítico
3) Hallar la sucesión de 6 ; 15 ; 28 ; 45 ; 66 ; x
a) 70
b) 80
c) 75
d) 91
4) Hallar la sucesión de 1 ; 4 ; 8 ; 14 ; 24 ; x
a) 42
b) 33
c) 28
d) 30
5) Hallar la sucesión 1 ; 3 ; 9 ; 5 ; 1 ; 7 ; x
a) 50
b) 10
c) 7
d) 49
6) Hallar la sucesión 1/6 ; 2/3 ; 7/6 ; 5/3 ; x
a) 8/3
b) 13/6
c) 15/3
d) 10/2
7) Hallar la sucesión de 53781 ; 37815 ; 78153 ; x
a) 35781
b) 81753
c) 81537
d) 71358
P á g i n a 123 | 191
2. Pensamiento Analítico
8) Hallar la sucesión de 1 ; 1 ; 4 ; 8 ; 9 ; 27 ; 16 ; x
a) 20
b) 14
c) 25
d) 64
9) Hallar la sucesión de
5
4
;
4
5
;
7
6
;
6
7
;
9
8
;
8
9
;
x
x
a)
11
10
b)
10
11
c)
13
10
d)
2
5
10) Hallar la sucesión de 5 ; 12 ; 23 ; 38; x
a) 4
b) 57
c) 8
d) 16
11) Determinar la fórmula de la siguiente sucesión: 1 ; 3 ; 9 ; 19 ; 33 ; …
a) 2n + 1
b) 2n2 + 1
c) 3n2 – 3
d) 3n2 – 15
P á g i n a 124 | 191
2. Pensamiento Analítico
12) Determinar la fórmula de la siguiente sucesión: 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; …
a) n + 3
b) 3(n + 1)
c) 3n + 1
d) n2 + 3
13) Determinar la fórmula de la siguiente sucesión: 0 ; 3 ; 8 ; 15 ; 24 ; …
a) 2n – 1
b) 2(n – 1)
c) n2 – 1
d) n2 + 1
14) Determinar la fórmula de la siguiente sucesión: 3 ; -1 ; -5 ; -9 ; -13 ; …
a) 7 – 4n
b) 4 – n
c) 4n – 7
d) 4n + 7
15) Determinar la fórmula de la siguiente sucesión: 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48 ; …
a) 2n
b) 3( 2n−1)
c) 6n−1
d) n2 + 2
16) Hallar la sucesión de D ; I ; N
a) R
b) S
c) T
d) U
.
P á g i n a 125 | 191
2. Pensamiento Analítico
17) Hallar la sucesión de 4F ; 8H ; 16J ; x ; 64N
a) 70P
b) 32L
c) 44S
d) 30F
18) Hallar la palabra secreta que forma la siguiente sucesión: N;E ; M ; A ; X ; _
a) B
b) C
c) A
d) E
19) Hallar la sucesión de A ; B ; D ; H; x
a) O
b) Q
c) N
d) L
20) Hallar la sucesión de A ; A ; B ; C ; E ; H ; x
a) E
b) I
c) M
d) P
21) Hallar la sucesión de B ; C ; E ; G ; K ; M ; x
a) N
b) P
c) O
d) Q
P á g i n a 126 | 191
2. Pensamiento Analítico
22) Hallar la sucesión de -1L ; 3A ; 13C ; 29O ; x
a) 40I
b) 52E
c) 44P
d) 51V
23) Hallar la sucesión de 2D ; 6N ; 14O ; 30S ; 62A ; 126J ; x
a) 254J
b) 244K
c) 274J
d) 200S
24) Hallar la sucesión de D1 ; H2 ; L9 ; O64 ; x
a) S625
b) X542
c) P624
d) Q500
25) Hallar la figura que completa la siguiente sucesión
26) Hallar la figura que completa la siguiente sucesión
P á g i n a 127 | 191
2. Pensamiento Analítico
27) Hallar la figura que completa la siguiente sucesión
28) Hallar la figura que completa la siguiente sucesión
29) Hallar la sucesión de
30) Hallar la figura que completa la siguiente sucesión
P á g i n a 128 | 191
2. Pensamiento Analítico
31) Hallar la figura que completa la siguiente sucesión
32) Hallar la figura que completa la siguiente sucesión
33) Hallar la sucesión de:
34) Hallar la sucesión de:
35) Hallar la sucesión de:
P á g i n a 129 | 191
2. Pensamiento Analítico
36) Hallar la sucesión de:
P á g i n a 130 | 191
2. Pensamiento Analítico
2.3.4 Criptoaritmética
Ciencia y arte de crear y resolver criptogramas. Forman parte de los llamados
juegos matemáticos, es un tipo de rompecabezas consistente en una ecuación
matemática con números desconocidos cuyos dígitos se representan con letras o
figuras. La ecuación se basa típicamente en una operación aritmética, como la
suma, la multiplicación o la división.
P á g i n a 131 | 191
2. Pensamiento Analítico
Ejercicios 2.3.4 Criptoaritmética
Encuentra el valor de cada recuadro
1.-
4 [ ] 9
[ ] 6 [ ]
+
[ ] 3 4 2
a) 1342
b) 1432
c) 1313
d) 1324
2.-
8 [ ] [ ]
6[ ] 3 2
4
9
+
[ ] 5 9 6 [ ]
a) 75943
b) 75963
c) 65963
d) 65943
3.-Hallar los valores de A+B+C
a 3 b
b 8 4
+
c a 9
a) 729
b) 18
c) 719
d) 17
P á g i n a 132 | 191
2. Pensamiento Analítico
Cursos Pre-Exani II 2018
4.-Hallas A+B, SI:
A 4
5 B
A 8
+
1 B 8
a) 168
b) 56
c) 11
d) 148
5.-
A B E
A C E
A D E
+
2 0 1 1
a) 32
b) 2011
c) 54
d) 39
P á g i n a 133 | 191
2. Pensamiento Analítico
Cursos Pre-Exani II 2018
2.4 Representación espacial
2.4.1 Figuras y Objetos
2.4.1.1 Perspectiva: sombras, reflejos, vistas y rotación.
Es el arte de representar los objetos en la forma y la disposición con que se aparecen a
la vista. Las técnicas fundamentales utilizadas para obtener perspectivas son: controlar la
variación entre los tamaños de los sujetos u objetos representados.
Según la posición que adopte el espectador frente al modelo, se puede distinguir tres
tipos de perspectivas (sombras, reflejos, vistas y rotación)
Ejemplo:
En la siguiente figura, si un auto circula en una vía que sigue la dirección de la flecha,
¿cuántos giros de timón realizará su conductor hasta llegar a la posición final A?
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
P á g i n a 134 | 191
2. Pensamiento Analítico
Cursos Pre-Exani II 2018
2.4.1.2 Combinación de figuras
En geometría una figura compuesta es aquella formada por varias figuras simples, como
dos rectángulos conectados en forma de "L". En los gráficos computacionales una figura
compuesta es un objeto de arte editable creado mediante la agrupación de múltiples objetos.
También es aquella que tiene un arreglo irregular de lados o ángulos y debe
descomponerse en figuras más simples antes de que puedas obtener el área o perímetro.
"Figura compuesta" no es un término geométrico rigurosamente definido, sino que más bien
es una forma útil de ver a las figuras que no son fáciles de manipular.
Ejemplo:
¿Cuál de las siguientes figuras corresponden al desplegar el sólido dado?
A) I B) II C) III D) II y III
P á g i n a 135 | 191
2. Pensamiento Analítico
Cursos Pre-Exani II 2018
2.4.2 Modificaciones a objetos
2.4.2.1 Armado y desarmado
Un corte es el artificio mediante el cual, en la representación de una pieza, eliminamos
parte de esta, con objeto de clarificar y hacer más sencilla su representación y acotación.
En principio el mecanismo es muy sencillo. Adoptado uno o varios planos de corte,
eliminaremos ficticiamente de la pieza, la parte más cercana al observador, como puede verse
en las figuras. Los diferentes tipos de cortes que podemos realizar pueden ser clasificados en
tres grandes grupos:
I. Corte total, es el producido por uno o varios planos, que atraviesan totalmente la pieza,
dejando solamente en vista exterior las aristas de contorno.
II. Semicorte o corte al cuarto. Se utilizan en piezas que tienen un eje de simetría,
representándose media pieza en sección y la otra mitad en vista exterior.
III. Corte parcial o mordedura. En ocasiones solo necesitamos poder representar pequeños
detalles interiores de una pieza, en estos casos no será necesario un corte total o al
cuarto, y será suficiente con este tipo de corte. El corte parcial se delimitará mediante
una línea fina y ligeramente sinuosa.
Ejemplo: Cuál de las 4 figuras se puede armar al doblar el modelo siguiente:
P á g i n a 136 | 191
2. Pensamiento Analítico
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2.4.3 Operaciones con figuras y objetos
2.4.3.1 Número de elementos que integran o faltan en figuras y objetos
En los siguientestemas se abordará la manera de como razonar una figura dada para
poder hallar los elementos que le hagan falta, mediante observación y conteo.
Ejemplo:
2.4.3.3 Conteo de unidades sombreadas
El tema matemático que se aborda en de conteo de unidad de regiones sombreadas
entre polígonos y porciones circulares. Este tema está ubicado dentro de la geometría métrica
plana. Con la elaboración de la unidad didáctica, pretendemos contribuir a mitigar los
inconvenientes que los estudiantes pueden presentar en el aprendizaje del tema y que los
docentes pueden tener al orientarlo.
Ejemplo: ¿Cuantos cubitos faltan como mínimo para formar un cubo solido completo?
P á g i n a 137 | 191
2. Pensamiento Analítico
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Ejercicios 2.4 Representación Espacial
1) Identifique como se vería el objeto de la izquierda si se observa en el sentido que
indica la flecha.
2) Identifique como se vería el objeto de la izquierda si se observa en el sentido que indica la
flecha.
3) Identifique como se vería el objeto de la izquierda si se observa en el sentido que indica
la flecha.
4) Identifique como se vería el objeto de la izquierda si se observa en el sentido que indica la
flecha.
P á g i n a 138 | 191
2. Pensamiento Analítico
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5) De las figuras siguientes determine cuales corresponden a la figura sólida.
A) I B) II C) III D) Todos
6) Indique la figura que corresponda al siguiente solido
A) I B) II y III C) I y III D) II
P á g i n a 139 | 191
2. Pensamiento Analítico
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7) Determinar la respuesta correcta
I y III B) I y II C) II y III D) II
8) Seleccione la opción correcta que coincida con la figura solida
A)I y II B) II y III C) I y III D) II
P á g i n a 140 | 191
2. Pensamiento Analítico
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9) De la siguiente figura ¿cuál sería el modelo armado final?
10) ¿Cuál de los desarrollos corresponden al solido mostrado?
A) I B) II C) III D) II y III
11) Del siguiente cubo ¿Cuál de los siguientes desarrollos corresponden al solido mostrado?
A) I y III B) II y III C) I y II D) III
P á g i n a 141 | 191
2. Pensamiento Analítico
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12) ¿Cuál o cuáles de los desarrollos corresponden al diseño gráfico del solido mostrado en
cada caso?
A) I B) II C) III D) II y III
13) Resuelva la siguiente analogía grafica
14) De la secuencia dada ¿Qué figura sigue?
P á g i n a 142 | 191
2. Pensamiento Analítico
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15) Observa las operaciones con figuras y contesta las preguntas
Con base en las operaciones anteriores, ¿cuál es el resultado de la operación que se te
presenta a continuación?
A) Las operaciones que se presentan dan un valor numérico de dos decenas
B) El valor de las operaciones de las figuras presentadas es igual a dos docenas
C) Las operaciones con las figuras mostradas dan un resultado de 26 unidades
D) El valor de las operaciones de las figuras mostradas da como resultado 30 unidades
Observa las siguientes operaciones y contesta
P á g i n a 143 | 191
2. Pensamiento Analítico
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Las siguientes aseveraciones son correctas, excepto:
a) El valor de cada sol es igual es igual a la suma de seis lunas
b) La diferencia de un sol menos una luna es igual al valor de una luna
c) La suma de dos estrellas más dos lunas es igual a 40
d)El valor de la suma de dos estrellas es lo mismo que el valor de la adición de 6 lunas
16) La estructura mostrada ha sido construida con bloques cúbicos de yeso. ¿Cuántos
bloques cúbicos se han utilizado en la construcción de la estructura?
17) En la siguiente figura se observan cubos de un centímetro de arista ¿Cuántos cubos
de dicha medida existen en total?
A)13 B) 14 C)15 D) 16
P á g i n a 144 | 191
2. Pensamiento Analítico
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18) ¿Cuántos cubos de 1 centímetro de arista faltan para formar un bloque cubico de 4
cm. de arista?
19) La figura mostrada en la figura construida con bloques de yeso. ¿Cuántos bloques
cúbicos se utilizaron en la construcción de la estructura?
P á g i n a 145 | 191
3.Física
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3.Física
3.1 Unidades de conversión
La medición técnica es esencial para el campo de aplicaciones de la física. Hemos
aprendido que hay siete unidades fundamentales y que cada una de ellas tiene una sola unidad
aprobada en el SI. En mecánica, las tres cantidades fundamentales para la mayor parte de las
aplicaciones son la longitud, la masa y el tiempo. Algunas de las aplicaciones incluyen vectores
y otras sólo escalares. Debido a que las cantidades vectoriales tienen dirección, se deben
sumar o restar mediante métodos especiales.
Los prefijos del SI utilizados para expresar múltiplos y submúltiplos de las unidades
básicas se indican a continuación:
Giga(G)=109 Mili(m)= 10−3
mega(M)= 106 micro(𝜇) = 10−6
kilo(k)= 103 nano (n)= 10−9
centi (c)= 10−2 Pico(p)= 10−12
Para convertir una unidad en otra:
• Escribir la cantidad que se desea convertir (número y unidad).
• Recordar las definiciones necesarias
• Formar dos factores de conversión para cada definición
• Multiplicar la cantidad que se va a convertir por aquellos factores de conversión que
cancelen todas las unidades, menos las deseadas.
Sistema internacional
Longitud Metro (m)
Masa kilogramo(kg)
Tiempo Segundo (s)
Corriente eléctrica Amperio (A)
Cantidad de sustancia Mol
Intensidad Luminosa Candela (cd)
Temperatura termodinámica Kelvin (K)
Volumen Litro (l)
P á g i n a 146 | 191
3.Física
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Medida Unidad de medida Abreviatura Equivalencias
Longitud
milla mi 1 m = 1760 yd
1 m = 5280 ft
yarda yd 1 yd = 36 in
I yd = 3 ft
pie ft 1ft = 12 in
1 ft = 0.3333 yd
Pulgada in 1 in = 0.8333 ft
Peso
libra lb 1 lb = 16 oz
onza oz 1 oz = 0.0625 lb
Volumen
galón gl 1 gl = 3.7851 l
onzas fluidas floz 1 fl oz = 29.574 ml
Medida Sistema inglés de medida Sistema métrico decimal
Longitud
1 milla 1.60 km
1 yarda 91.4 cm
1 pie 30.48 cm
1 pulgada 2.54 cm
Peso
1 libra 0.453 kg
1 onza 28.3 g
Volumen
1 galón 3.785 l
1 onzas fluidas 0.029 l = 29 ml
P á g i n a 147 | 191
3.Física
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Ejercicios 3.1 Unidades de conversión
1. Un campo de fútbol soccer mide 100 m de largo y 60 m de ancho. ¿Cuáles son la
longitud y el ancho del campo en pies?
2. El mango de una llave inglesa mide 8 in. ¿Cuál es la longitud de dicho mango en
centímetros?
3. Un monitor de computadora de 19 in tiene una sección efectiva de imagen que mide 18 in
en diagonal. Exprese esta distancia en metros.
4. La longitud de una libreta es 234.5 mm y su anchura es 158.4 mm. Exprese al área
superficial de la libreta en metros cuadrados.
5. Un cubo mide 5 in por lado. ¿Cuál es el volumen del cubo en unidades del SI y en
unidades del Sistema Usual en Estados Unidos (SUEU)?
P á g i n a 148 | 191
3.Física
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3.1.2 Suma de vectores
Para sumar vectores existen varios métodos.
• Método del polígono para sumar vectores: El vector resultante se obtiene dibujando
cada vector a escala, colocando el origen de un vector en la punta del otro, hasta que
todos los vectores queden representados. La resultante es la línea recta que se dibuja
a partir del origen del primer vector hasta la punta del último.
Ilustración 32 Resultante (R)
• Método del paralelogramo para sumar vectores: La resultante de sumar dos vectores
es la diagonal de un paralelogramo que se forma tomando los dos vectorescomo lados
adyacentes. La dirección de indica en el punto más lejano del origen común delos
vectores.
Ilustración 33 Paralelogramo
• Para calcular las componentes “x” y “y” de un vector (𝑅, 𝜃):
𝑅𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑅𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃
• La resultante de dos vectores perpendiculares (𝑅𝑋, 𝑅𝑌):
𝑅 = √𝑅𝑋
2 + 𝑅𝑌
2 tan 𝜙 = |
𝑅𝑌
𝑅𝑥
|
P á g i n a 149 | 191
3.Física
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• El método de las componentes para sumar vectores:
𝑅𝑥 = 𝐴𝑋 + 𝐵𝑋 + 𝐶𝑋 + ⋯
𝑅𝑌 = 𝐴𝑌 + 𝐵𝑌 + 𝐶𝑌 + ⋯
𝑅 = √𝑅𝑋
2 + 𝑅𝑌
2
tan 𝜙 = |
𝑅𝑌
𝑅𝑥
|
Ejercicios 3.1.2 Suma de vectores
1. Halle la resultante de las siguientes fuerzas perpendiculares: (a) 400 N, 0o, (b) 820 N, 270°
y (c) 500 N, 90°. (Dibuje cada vector, y luego encuentre R).
2. Cuatro cuerdas, las cuales forman ángulos rectos entre sí, tiran de una argolla. Las fuerzas
son de 40N, E; 80 N, N; 70 N, O, y 20 N, S. Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza
resultante que se ejerce sobre la argolla
3. Dos fuerzas actúan sobre un automóvil. La fuerza A es igual a 120 N, hacia el Oeste, y la
fuerza B es igual a 200 N a 60° N del O.
¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza resultante sobre el automóvil?
4. Calcule la resultante de las siguientes fuerzas aplicando el método de las componentes
para efectuar la suma de vectores:
A = (200 N, 30°). B = (300 N,330°) y C = (400 N, 250°).
5. Calcule las componentes horizontal y vertical de los siguientes vectores:
A = (400 N, 37°), B = (90 m,320°) y C = (70 km/h, 150°).
P á g i n a 150 | 191
3.Física
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3.2 Equilibrio traslacional y Fricción
3.2.1 Primera ley de Newton (ley de la Inercia)
Un objeto en estacionario permanece en reposo mientras que no se le aplique una
fuerza externa. Una bola de villar permanece en su lugar hasta que es golpeada por otra, al
mismo tiempo un objeto suspendido estará colgando hasta que se suelte.
De la misma forma un objeto en movimiento continuará moviéndose hasta que
interactúe con una fuerza exterior. Por ejemplo, una barra de acero que se desliza por el piso
de cemento, este pronto quedará en reposo debido a su interacción con el piso. Pero si la
superficie fuera hielo la barra se deslizaría una mayor distancia; esto se debe a que la
interacción horizontal o “fricción” entre el piso de cemento y la barra es mucho mayor que el
del hielo y la barra. Debido a la fricción no existe ningún cuerpo real que esté libre de la acción
de fuerzas externas. Newton llamó inercia a la propiedad de una partícula que le permite
mantenerse en un constante estado de movimiento o de reposo.
Por tanto, la ley se puede resumir como: Un cuerpo permanece en estado de reposo o
de movimiento rectilíneo uniforme a menos que una fuerza externa no equilibrada actúe sobre
él.
3.2.2 Segunda ley de Newton (Ley de fuerza)
Existe una relación directa entre la fuerza aplicada y la aceleración resultante, la
aceleración disminuye proporcionalmente con la inercia o masa del objeto. Por lo tanto, Newton
llego a la conclusión de que la aceleración (a) de un objeto en la dirección de una fuerza
resultante (F) es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza e inversamente
proporcional a la masa (m).
𝑎 =
𝐹
𝑚
𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝐹 = (𝑚)(𝑎)
Ilustración 34 Ejemplo de la segunda ley de Newton
P á g i n a 151 | 191
3.Física
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3.2.3 Tercera ley de Newton (Acción y reacción)
Esta ley sostiene que no puede haber una fuerza si no están implicados dos cuerpos,
siempre que dos cuerpos interactúan la fuerza ejercida por el primero sobre el segundo (fuerza
de reacción) es igual en magnitud, pero de sentido contrario a la dirección de la fuerza ejercida.
Por ejemplo, cuando un martillo golpea un clavo, este ejerce una fuerza de “acción” sobre él,
pero al mismo tiempo el clavo también “reacciona” empujando hacia atrás al martillo.
Por lo tanto, para cada fuerza de acción debe haber una fuerza de reacción igual y
opuesta. No puede existir una sola fuerza aislada, pero hay que recordar que no se anulan
entre sí. Ya que son iguales en magnitud y opuestas en dirección, pero actúan sobre “objetos
diferentes”.
3.2.4 Diagrama de cuerpo libre
Primero aprendernos a construir diagramas vectoriales o diagramas de cuerpo libre
donde cada fuerza se marca y se representa como un vector que sirve para representar todas
las fuerzas que actúan sobre un objeto o cuerpo. Al dibujar un diagrama de cuerpo libre es
importante distinguir entre las fuerzas de “acción” y las de “reacción”.
Ejemplo, considere una pesa de 400N suspendida mediante cuerdas, el diagrama
quedaría de la siguiente forma:
Ilustración 35 Diagrama de cuerpo libre
P á g i n a 152 | 191
3.Física
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3.2.5 Equilibrio
Definimos fuerza resultante como una sola fuerza cuyo efecto es igual al de un sistema de
fuerzas en particular. Existe una condición de equilibrio, cuando la suma resultante de todas
las fuerzas externas (de acción y reacción) que actúan sobre el objeto sea igual a cero se
considera que esta en equilibrio.
𝑅𝑋=∑ 𝐹𝑋=𝐴𝑋+𝐵𝑋+𝐶𝑋+….
𝑅𝑌=∑ 𝐹𝑌=𝐴𝑌+𝐵𝑌+𝐶𝑌+….
∑ 𝐹
𝑋
= 0 ∑ 𝐹
𝑌
= 0
Un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional si y sólo si la suma vectorial de las fuerzas
que actúan sobre él es igual a cero. Para resolver un ejercicio de equilibrio hay que seguir los
siguientes pasos:
1. Bosqueje el problema
2. Trazar diagrama de cuerpo libre
3. Encontrar las componentes “x” y “y” de las fuerzas, aun que incluyan factores
desconocidos tales como: 𝐴 cos 60° o 𝐵 sin 60°
4. Usar la primera condición de equilibrio para formar las dos ecuaciones
5. Determinar algebraicamente los factores desconocidos
Ejemplo: Una pelota de 100N suspendida por una cuerda A se jala hacia un lado en forma
horizontal mediante otra cuerda B y sostenida de tal manera que la cuerda A forma un ángulo
de 30° con el muro vertical. Encuentre las tensiones en las cuerdas A y B.
Ilustración 36 Bosquejo
Ilustración 37 Diagrama de cuerpo libre
∑ 𝐹𝑥 = 𝐵 − 𝐴 cos 60° = 0 ∴ 𝐵 = 𝐴 cos 60° = 0.5𝐴
∑ 𝐹𝑦 = 𝐴 sin 60° − 100𝑁 = 0 ∴ 𝐴 sin 60° = 100𝑁 ∴ 0.8660𝐴 = 100𝑁
𝐴 =
100𝑁
0.86660
= 115𝑁
𝐵 = 0.5𝐴 ∴ 𝐵 = (0.5)(115𝑁) ∴ 𝐵 = 57.5𝑁
Las respuestas al ejercicio anterior son:
𝐴 = 115𝑁
𝐵 = 57.5𝑁
Ejercicios 3.2.1 Problemas de equilibrio
1.- Un bloque de 70 N reposa sobre un plano inclinado a 30°. Calcule la fuerza normal y halle
la fuerza de fricción por la que el bloque no resbala.
2.- Un cable está tendido sobre dos postes colocados con una separación de 10 m. A la mitad
del cable se cuelga un letrero que provoca un pandeo, por lo cual el cable desciende
verticalmente una distancia de 50 cm. Si la tensión en cada segmento del cable es de 2000 N,
¿cuál es el peso del letrero? (h = 0.50 m)
3. Un semáforo de 80 N cuelga del punto medio de un cable de 30 m tendido entre dos postes.
Halle la tensión en cada segmento del cable si éste tiene un pandeo que lo hace descender
una distancia vertical de 1 m.
4.- Los extremos de tres vigas de 8 ft están calvados unos con otros, formando así un trípode
cuyo vértice se encuentra a una altura de 6 ft sobre el suelo. ¿Cuál es la compresión que se
produce en cada una de esas vigas cuando un peso de 100 Ib se suspende de dicho vértice?
“Tres componentes bocarriba Fy sostienen el peso de 100 lb”.
5.- Si la cuerda B de la figura 1(a) se rompe con tensiones mayores de 200 Ib, ¿cuál es el
máximo peso que puede soportar?
P á g i n a 154 | 191
3.Física
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3.2.6 Fricción
Recordemos que siempre que un objeto se mueve estando en contacto con otro, existe
una fuerza de fricción. Estasfuerzas se deben a que una superficie se adhiere a otra y es
precisamente esta fuerza la que mantiene un clavo dentro de una tabla.
Existen dos tipos de fuerza de fricción la “estática” y la “cinética”. La fricción estática es
la fuerza que la superficie ejerce sobre el objeto he impide que se mueva; mientras que la
fricción cinética es la fuerza que una superficie ejerce sobre un cuerpo que se desplaza sobre
él, es aquella fuerza que lo desacelera.
∑ 𝐹𝑥 = 0
𝑓 − 𝑇 = 0 𝑓 = 𝑇
∑ 𝐹𝑦 = 0
𝑛 − 𝑊 = 0 𝑛 = 𝑊
Donde:
• n: fuerza normal
• W: peso
• T: tensión
La fuerza de fricción estática siempre es menor o igual que la fuerza máxima, donde 𝜇
corresponde al “coeficiente de fricción estática” :
Estática Cinética
𝑓𝑥 ≤ 𝜇𝑠𝑛 𝑓𝑘 = 𝜇𝑘𝑛
𝜇𝑠 =
𝑓𝑥
𝑛
𝜇𝑘 =
𝑓𝑘
𝑛
Coeficientes aproximados de fricción
Material 𝝁𝒔 𝝁𝒌
Madera sobre madera 0.7 0.4
Acero sobre acero 0.15 0.09
Metal sobre cuero 0.6 0.5
Madera sobre cuero 0.5 0.4
Caucho sobre concreto seco 0.9 0.7
Caucho sobre concreto Mojado 0.7 0.57
Para resolver un ejercicio de fricción hay que seguir los siguientes pasos:
1. Las fuerzas son paralelas a las superficies y se oponen directamente al movimiento O
al movimiento inminente.
2. La máxima fuerza de fricción estática es mayor que la fuerza de fricción cinética para
los mismos materiales.
P á g i n a 155 | 191
3.Física
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3. Dibujar diagrama de cuerpo libre de preferencia,
4. Aplicar la primera condición de equilibrio para formar 2 ecuaciones que representen las
fuerzas.
5. Las relaciones 𝑓𝑥 = 𝜇𝑠𝑛 𝑦 𝑓𝑘 = 𝜇𝑘𝑛 se aplican para determinar la cantidad deseada.
6. Jamás debe darse por hecho que la fuerza normal es igual al peso. Hay que determinar
su magnitud sumando las fuerzas a lo largo del eje normal.
Ejemplo: Un trineo de 50N descansa sobre una superficie horizontal y se requiere un tirón
horizontal de 10N para lograr que empiece a moverse. Después de que comienza el mov.
basta una fuerza de 5N para que el trineo siga moviéndose con una velocidad constante.
Encuentre los coeficientes de fricción estática y cinética.
• “empiece a moverse”: fricción estática.
• “siga moviéndose”: fricción cinética.
∑ 𝐹𝑥 = 0
10𝑁 − 𝑓𝑥 = 0 𝑓𝑥 = 10𝑁
∑ 𝐹𝑦 = 0
𝑛 − 50𝑁 = 0 𝑛 = 50𝑁
La fuerza que contrarresta la fricción cinética es de sólo 5N. Por lo tanto la suma de las
fuerzas a lo largo del eje x es: 5𝑁 − 𝑓𝑘 = 0 𝑓𝑘 = 5𝑁. La fuerza normal sigue siendo de 50N por
ende: μk =
fk
n
=
5N
50N
∴ μk = 0.1 μs =
fx
n
=
10N
50N
∴ μs = 0.2
10N 5N
50N
50N
n
n
𝑓𝑘
𝑓𝑥
P á g i n a 156 | 191
3.Física
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Ejercicios 3.2.1 Fricción
1.- Una fuerza horizontal de 40 N es apenas suficiente para poner en marcha un trineo vacío
de 600 N sobre nieve compacta. Después de empezar el movimiento se requieren tan sólo
10 N para mantener el trineo a rapidez constante. Halle los coeficientes de fricción estática
y cinética.
2.- Supongamos que en una superficie de madera queremos mover un objeto de madera. ¿Qué
fuerza horizontal se requiere para que un bloque de 50 N empiece a deslizarse sobre la
superficie? ¿Qué fuerza se necesita para moverlo a rapidez constante?
3.- Un estibador se ha dado cuenta de que se requiere una fuerza horizontal de 60 Ib para
arrastrar una caja de150 Ib con rapidez constante sobre una plataforma de carga. ¿Cuál
es el coeficiente de fricción cinética?
4.- Una caja de herramientas de 60 N es arrastrada horizontalmente con una rapidez constante
por medio de una cuerda que forma un ángulo de 35° con el piso. La tensión registrada en la
cuerda es de 40 N. Calcule las magnitudes de las fuerzas de fricción y normal.
5.- Un techo tiene una pendiente con un ángulo de 40°. ¿Cuál debe ser el coeficiente máximo
de fricción estática entre la suela de un zapato y ese techo para evitar que una persona
resbale?
P á g i n a 157 | 191
3.Física
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3.3 Trabajo, Energía Y Potencia
3.3.1 Trabajo
El trabajo es el producto de una fuerza aplicada sobre un cuerpo y del desplazamiento
del cuerpo a lo largo de una distancia, en la dirección de esta fuerza. Es una magnitud física
escalar que se representa con la letra “W” y su unidad son los joules (J) en el Sistema
Internacional de Unidades (SI). Donde 1J es igual al trabajo realizado por una fuerza de 1
newton al mover un objeto a lo largo de un metro, también se puede medir como N*m. En el
SUEU su unidad es libra por pie (ft*lb).
W = Fxx W = (F cos θ)x
Trabajo = (Fuerza)(Desplazamiento)
1J = 0.7376 ft ∗ lb 1ft ∗ lb = 1.356J
Donde:
• F: fuerza aplicada
• x: distancia
• W: Trabajo
Simplificando para que exista un trabajo, debe haber una fuerza aplicada a un objeto y
esta a su vez actuar a través de cierta distancia o desplazamiento y poseer una dirección. Un
caso particular se presenta cuando la fuerza aplicada es perpendicular al desplazamiento ya
que en este caso el trabajo será cero.
Ejercicios 3.3.1 Trabajo
1. ¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerza de 20N que actúa a lo largo de una distancia
paralela de 8 m? ¿Qué fuerza realizará el mismo trabajo en una distancia de 4 m?
2. Un trabajador levanta un peso de 40 Ib hasta una altura de 10 ft. ¿A cuántos metros se
puede levantar un bloque de 10 kg con la misma cantidad de trabajo?
3. Un remolcador ejerce una fuerza constante de 4000N sobre un barco, desplazándolo
una distancia de15 m. ¿Cuál es el trabajo realizado?
4. Un martillo de 5 kg es levantado a una altura de 3 m. ¿Cuál es el trabajo mínimo
requerido para hacerlo?
P á g i n a 158 | 191
3.Física
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3.3.1.1 Trabajo resultante
Cuando consideramos el trabajo de varias fuerzas que actúan sobre el mismo objeto es
necesario distinguir entre el trabajo positivo y el negativo. El trabajo negativo lo realiza una
componente de fuerza que se opone al desplazamiento. Mientras que es positivo si la
componente de la fuerza se halla en la misma dirección que el desplazamiento.
Fórmulas:
• F = kN.
μk = Coeficiente de friección cinética.
N = newtons es igual a masa(m)por gravedad(g)
F = fuerza en Newton
• W = (F)(g)
• ∑(W) = W1 + W2 + W3 … + Wn
• (F) =F1+F2+F3……Fn.
• a =
F
m
a= Aceleración
F= Fuerza
m= Masa
Ejemplo: Una fuerza de impulsión de 80N mueve un bloque de 5kg hacia arriba por un plano
inclinado a 30°. El coeficiente de fricción cinética es de 0.25 y la longitud del plano es de 20m.
Calcule el trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan sobre el bloque. Demuestre
que el trabajo neto realizado tiene el mismo valor que el trabajo de la fuerza resultante.
(W)n = (n cos 90°)x ∴ (Trabajo)n = 0
La fuerza de impulsión “P” se ejerce por completo a lo largo del desplazamiento y en la
misma dirección.
(𝑊)𝑝 = (𝑃 cos 0°) ∴ (𝑊)𝑝 = (80𝑁)(1)(20𝑚)
(𝑊)𝑝 = 1600𝐽
Para calcular el trabajo de la fuerza de fricción 𝑓𝑘y el trabajo del eso “W”, primero
debemos determinar las componentes del peso tanto a lo largo del plano como
perpendicularmente a él.
𝜃
P á g i n a 159 | 191
3.Física
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W = mg = (5kg)(9.8 m/s2) ∴ W = 49N
Wx = W sin θ° = 49N sin 30° ∴ Wx = 24.5N
Wy = W cos θ° = 49N cos 30° ∴ Wy = 42.4N
Las fuerzas normales al plano están equilibradas de forma que:
n = Wy y n = Wx = 42.4N
Lo que significa que la fuerza de fricción 𝑓𝑘es:
fk = μkn = (0.25)(42.4N) ∴ fk = −10.6N
El signo menos indica que la fuerza de fricción se dirige hacia abajo del plano. En
consecuencia, el trabajo realizado por esta fuerza es:
(𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜)𝑓 = 𝑓𝑘𝑥 = (−10.6𝑁)(20𝑚)
(𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜)𝑓 = −212𝐽
Para el peso “W” del bloquetambién realiza un trabajo negativo, ya que su componente
𝑊𝑥 tiene una dirección opuesta al desplazamiento.
(𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜)𝑤 = −(24.5𝑁)(20𝑚)
(𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜)𝑤 = −490𝐽
El trabajo neto es igual a la suma de los trabajos realizados por cada fuerza
“Trabajo neto” =(Trabajo)n = (Trabajo)p = (Trabajo)f+(Trabajo)w
(Trabajo neto) = 0 + 1600J − 212J − 490J
trabajo neto = 898J
Ejercicios 3.3.1 Trabajo resultante
1. Una fuerza media de 40 N comprime un resorte hasta una distancia de 6 crn. ¿Cuál es
el trabajo realizado por la fuerza de 40 N? ¿Qué trabajo realiza el resorte? ¿Cuál es el
trabajo resultante?
2. Una fuerza horizontal de 20 N arrastra un pequeño trineo 42 metros sobre el hielo a
velocidad rápida. Halle el trabajo realizado por las fuerzas de tracción y de fricción.
¿Cuál es el trabajo resultante?
3. Un bloque de 10 kg es arrastrado 20 m por una fuerza paralela de 26 N. Si k = 0.2.
¿cuál es el trabajo resultante y qué aceleración se produce?
P á g i n a 160 | 191
3.Física
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4. Una cuerda que forma un ángulo de 35° con la horizontal arrastra una caja de
herramientas de 10 kg sobre una distancia horizontal de 20 m. La tensión en la cuerda
es de 60 N y la fuerza de fricción constante es de 30 N. ¿Qué trabajo realizan la cuerda
y la fricción? ¿Cuál es el trabajo resultante?
5. En el ejemplo descrito en el problema 4, ¿cuál es el coeficiente de fricción entre la caja
de herramientas y el piso?
P á g i n a 161 | 191
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3.3.2 Energía
Cuando decimos que un objeto tiene energía, significa que es capaz de ejercer una
fuerza sobre otro objeto para realizar un trabajo sobre él. Las unidades de energía son las
mismas que las del trabajo; joule y libra-pie.
• Energía cinética K: energía que tiene un cuerpo en virtud de su movimiento.
• Energía potencial U: energía que tiene un sistema en virtud de su posición o condición.
Se dice que toda masa m que tenga velocidad posee también energía cinética. No
obstante, para que haya energía potencial es preciso tener el potencial de una fuerza aplicada.
Un objeto en sí no puede tener energía potencial ya que esta debe pertenecer al sistema.
3.3.2.1 Energía cinética
Es la capacidad de realizar trabajo como resultado del movimiento de un cuerpo. Para
analizar la relación entre movimiento y trabajo, considerando una fuerza “F” que actúa sobre
el objeto.
𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2
Podemos afirmar que el trabajo resultante efectuado sobre una masa “m” por una fuerza
constante “F” ejercida a lo largo de una distancia “x” es igual a cambio de energía cinética Δ𝑘.
El trabajo de una fuerza externa resultante ejercida sobre un cuerpo es igual al cambio de la
energía cinética de ese cuerpo
𝐹𝑥 =
1
2
𝑚2𝑓 −
1
2
𝑚20
P á g i n a 162 | 191
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Ejercicios 3.3.2.1 Energía cinética
1. ¿Cuál es la energía cinética de una bala de 6 g en el instante en que su rapidez es de
190m/s? ¿Cuál es la energía cinética de un automóvil de 1200 kg que viaja a 80km/h?
(80 km/h = 22.2 m/s)
2. ¿Cuál es la energía cinética de un automóvil de 2400Ib cuando circula a una rapidez de
55mi/h? ¿Cuál es la energía cinética de una pelota de 9Ib cuando su rapidez es de 40
ft/s?
3. ¿Cuál es el cambio en la energía cinética cuando una pelota de 50 g golpea el
pavimento a una velocidad de 16 m/s y rebota a la velocidad de 10 m/s?
4. Una carreta de 400 kg entra sin control en un campo de maíz a una velocidad de 12 m/s
y finalmente se detiene. ¿Cuál fue la magnitud del trabajo realizado por esa carreta?
5. Un automóvil de 2400 Ib aumenta su rapidez de 30mi/h a 60 mi/h. ¿Qué trabajo
resultante se requirió para lograrlo? ¿Cuál es el trabajo equivalente en joules?
P á g i n a 163 | 191
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3.3.2 Energía potencial
La energía potencial es una energía que resulta de la posición del objeto. Un objeto
puede tener la capacidad para realizar un trabajo como consecuencia de su posición en un
campo gravitacional.
𝐸𝑝 = (𝑚)(𝑔)(ℎ)
Donde:
• 𝐸𝑝= Energía Potencial
• m=Masa del cuerpo
• g= Gravedad
• h= Altura
Ejercicios 3.3.2 Energía potencial
1. Un bloque de 2 kg reposa sobre una mesa a 80 cm del piso. Calcule la energía potencial
del bloque en relación con: (a) el piso 80cm, (b) el asiento de una silla que está a 40 cm
del piso y (c) el techo, a 3 m del piso.
2. Un ladrillo de 1.2 kg está suspendido a 2 m de distancia arriba de un pozo de
inspección y luego se le deja caer. El fondo del pozo esta 3 m por debajo del nivel de la
calle. Con respecto a la calle, ¿cuál es la energía potencial del ladrillo en cada uno de
esos lugares? ¿Cuál es el cambio en términos de energía potencial?
3. En cierto instante, un proyectil de mortero desarrolla una velocidad de 60 m/s. Si su
energía potencial en ese punto es igual a la mitad de su energía cinética, ¿cuál es su
altura sobre el nivel del suelo?
P á g i n a 164 | 191
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3.3.3. Potencia
Es el trabajo con respecto al tiempo, la misma cantidad de trabajo se realiza si la tarea
dura una hora o un año. Es la razón de cambio con la que se realiza el trabajo.
𝑃 =
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
𝑡
La unidad del SI para la potencia es el joule por segundo, y se denomina watt(W). Por
tanto, un foco de 80W consume energía a razón de 80J/s. 1𝑊 = 1𝐽/𝑠. En unidades del SUEU,
se utiliza la libra-pie por segundo (ft*lb/s) y no se da ningún nombre en particular a esta unidad.
El watt y la libra-pie por segundo tienen el inconveniente de ser unidades demasiado
pequeñas. Por ello se usan el kilowatt (kw) y el caballo de fuerza (hp)
1𝑘𝑤 = 100𝑤
1ℎ𝑝 = 550𝑓𝑡 ∗ 𝑙𝑏/𝑠
Puesto que el trabajo se realiza de manera continua, es útil disponer de una expresión
para la potencia que incluya la velocidad.
𝑃 =
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
𝑡
=
𝐹𝑥
𝑡
=
𝑚𝑔ℎ
𝑡
1.- La correa transportadora de una estación automática levanta 500 toneladas de mineral a
una altura de 90 ft en 1 h. ¿Qué potencia media se requiere para esto en caballos de fuerza?
2.- Una masa de 40 kg se eleva a una distancia de 20 m en un lapso de 3 s. ¿Qué potencia
media se utiliza?
3.- Un ascensor de 300 kg es elevado una distancia vertical de 100 m en 2 min. ¿Cuál es la
potencia empleada?
4.- Un motor de 90 kW se utiliza para elevar una carga de 1 200 kg. ¿Cuál es la velocidad
media durante el ascenso?
P á g i n a 165 | 191
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3.4 Movimiento circular uniforme
3.4.1 Aceleración centrípeta
El término centrípeta significa que la aceleración siempre se dirige hacia el centro. La
aceleración cambia la velocidad de una partícula que se mueve alterando su dirección. La
rapidez de un objeto con movimiento circular uniforme se calcula a partir del periodo “T” o la
frecuencia 𝑓.
v =
2π
R
La aceleración centrípeta se calcula a partir de la rapidez lineal, el periodo o la
frecuencia se pueden ver como:
ac =
v2
R
ac = 4πfmR
La fuerza centrípeta es igual al producto de la masa por la aclaración centrípeta dada
por: 𝐹𝑐 =
𝑚𝑣2
𝑅
𝐹𝑐 = 4𝜋
2𝑓2𝑚𝑅
Otras fórmulas muy útiles son las siguientes:
• 𝑣 = √𝜇𝑔𝑅 Máxima rapidez sin deslizamiento
• tan 𝜃 =
𝑣2
𝑔𝑅
Ángulo de peralto o péndulo
• 𝑓 =
1
2𝜋
√
𝑔
ℎ
• 𝐹 = (𝑚)(𝑎𝑛)
Ejercicios 3.4.1 Aceleración centrípeta
1. Una pelota está unida al extremo de una cuerda de 1.5 m y gira en círculos con rapidez
constante de 8 m/s. ¿Cuál es la aceleración centrípeta?
2. ¿Cuáles son el periodoy la frecuencia de rotación de la pelota descrita en el problema
1?
3. Una polea motriz de 6 cm de diámetro se hace girar a 9 rev/s. ¿Cuál es la aceleración
centrípeta en un punto localizado en el borde de la polea? ¿Cuál sería la rapidez lineal
de una banda accionada por la polea?
P á g i n a 166 | 191
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3.4.2 Fuerza centrípeta
Fuerza dirigida hacia el centro necesaria para mantener el movimiento circular uniforme
su unidad es en Newtons.
𝐹𝐶 = 𝑚𝑎𝑐 =
𝑚𝑣2
𝑅
Donde:
• m: es la masa de un objeto que se mueve
• v: velocidad es una trayectoria circular
• R: radio
Para problemas donde la rapidez rotacional se expresa en términos de la “frecuencia” la
fuerza centrípeta puede determinarse a partir de:
𝐹𝑐 = 4𝜋
2𝑓2𝑚𝑅
1. Un niño de 20 kg se desplaza en círculos a 16 m/s sobre una pista de 16 m de radio, en
uno de los juegos mecánicos de una feria. ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el niño?
2. Una piedra de 3 kg, atada a una cuerda de 2 m, oscila describiendo un circulo
horizontal, de manera que completa una revolución en 0.3 s. ¿Cuál es la fuerza
centrípeta sobre la piedra? ¿Se ejerce sobre la piedra alguna fuerza que la impulse
hacia fuera?
3. Dos masas de 8 kg están unidas en el extremo de una varilla de aluminio de 400 mm
de longitud. La varilla esta sostenida en su parte media, gira en círculos y solo puede
soportar una tensión máxima de 800 N ¿Cuál es la frecuencia máxima de revolución? [
R = (400 mm/2) = 200 mm]
4. La fuerza centrípeta de un automóvil al tomar una curva de 20m de radio con una
velocidad de 72km/h es 20 000N. ¿Cuál es la masa del automóvil?
P á g i n a 167 | 191
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3.4.3 Peralte de curvas
A la pendiente transversal que se da en las curvas. El límite de velocidad o la velocidad
máxima a cierto ángulo que un objeto de debe superar para mantenerse en la curva.
𝑣𝑐 = √𝜇𝑠𝑔𝑅
𝜇𝑠 =
𝑣𝑐
2
𝑔𝑅
1. En un día lluvioso, el coeficiente de fricción estática entre los neumáticos y la carretera es
de solo 0.4 ¿Cuál es la rapidez máxima a la que puede transitar un automóvil en una curva de
80 m de radio?
2.Halle el coeficiente de fricción estática necesario para mantener un movimiento a 20 m/s en
una curva cuyo radio es de 84 m.
3. Un niño de 20 kg se sienta a 3 m del centro de una plataforma giratoria. Si /µ = 0.4. ¿Cuál
es el máximo número de revoluciones por minuto que puede alcanzar la plataforma antes que
el niño resbale?
4.Una plataforma gira libremente a 100 rev/m. Si el coeficiente de fricción estática es 0.5, .a
que distancia del centro de la plataforma se puede colocar un perno sin que resbale?
P á g i n a 168 | 191
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3.5 Temperatura y expansión
Debido a la existencia de cuatro escalas de temperatura, las converciones son muy
importantes. Tambien los efectos sobre los materiales y un cambio en sus dimenciones
físicas. Existen cuatro escalas de temperatura principales:
• Escala Celsius: La escala Celsius fue inventada en 1742 por el astrónomo sueco Andrés
Celsius. Esta escala divide el rango entre las temperaturas de congelación y de
ebullición del agua en 100 partes iguales. Usted encontrará a veces esta escala
identificada como escala centígrada. Las temperaturas en la escala Celsius son
conocidas como grados Celsius (ºC).
• Escala Fahrenheit: La escala Fahrenheit fue establecida por el físico holandés-alemán
Gabriel Daniel Fahrenheit, en 1724. Aun cuando muchos países están usando ya la
escala Celsius, la escala Fahrenheit es ampliamente usada en los Estados Unidos. Esta
escala divide la diferencia entre los puntos de fusión y de ebullición del agua en 180
intervalos iguales. Las temperaturas en la escala Fahrenheit son conocidas como
grados Fahrenheit (ºF).
• Escala de Kelvin: La escala de Kelvin lleva el nombre de William Thompson Kelvin, un
físico británico que la diseñó en 1848. Prolonga la escala Celsius hasta el cero absoluto,
una temperatura hipotética caracterizada por una ausencia completa de energía
calórica. Las temperaturas en esta escala son llamadas Kelvins (K).
Converción de temperaturas:
De °C a °F ºF = ºC x 1.8 + 32
De °F a °C ºC = (ºF-32) ÷ 1.8
De K a °C ºC = K – 273.15
De °C a K K = ºC + 273.15
De °F a K K = 5/9 (ºF – 32) + 273.15
De K a °F ºF = 1.8(K – 273.15) + 32
P á g i n a 169 | 191
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Para temperaturas específicas, es necesario corregir la diferencia del intervalo, pero
tambien hay que hacer una correción por el hecho de que se asignan números distintios a las
mismas temperaturas:
Temperaturas especificas Temperaturas absolutas
𝑡𝑐 =
5
9
(𝑡𝑓 − 32) 𝑡𝑓 =
9
5
𝑡𝑐 + 32
𝑇𝑘 = 𝑡𝑐 + 273 𝑇𝑘 = 𝑡𝐹 + 460
Dilatación
La dilatacion lineal es un efecto natural muy conocido y que ocurre cuando las
dimensiones de los cuerpos aumentan en precensia de la elevación de la temperatura. Así
mismo cuando la temperatura se reduce la dimencion del cuerpo igual.
𝐿𝑓 = 𝐿0(1 + 𝛼Δ𝑡) Δ𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡0
Donde:
• 𝐿0 = Longitud inicial
• t0 = Temperatura inicial
• Lf = Longitud final
• tf = Temperatura final
• Δt = Diferencia de temperatura
P á g i n a 170 | 191
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Ejercicios 3.5.1 Temperatura y expansión
1. La temperatura normal del cuerpo humano es de 98.6°F ¿Cuál es la temperatura
correspondiente en la escala Celsius?
2. El punto de ebullición del azufre es de 444.5°C. ¿Cuál es la temperatura
correspondiente en la escala Fahrenheit?
3. Un riel de acero se enfría de 70 a 30°C en 1 h. ¿Cuál es la variación de temperatura en
grados Fahrenheit en ese mismo lapso?
4. Hallar la variación de volumen experimentada por un bloque de fundición de 8cm de
ancho, 12cm de largo y 7cm de altura. Al calentarlo desde 15°C hasta 47°C si el bloque
está hecho de acero.
5. Si tenemos un bloque de plomo cuyo volumen es 25.43m a una temperatura
desconocida y sabemos que el bloque inicialmente tenía un volumen de 25.25m a una
temperatura de 26°C. ¿Cuál es la tf para que el plomo alcance ese volumen?
P á g i n a 171 | 191
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3.5.1 Conductividad térmica
Se refiere a la cantidad de calor transmitida a través de un material. Esta transferencia
depende de la conductividad térmica de los diferentes materiales.
𝐻 =
𝑄
𝑡
→ 𝐾𝐴
∆𝑡
𝐿
Donde:
• H= Transferencia de calor
• Q= Calor
• t= Tiempo
Si queremos encontrar una relación entre la transferencia de calor y el tiempo, solo
tenemos que aplicar la siguiente fórmula:
ΔQ
Δt
=
(𝐾)(𝐴)(Δ𝑡)
𝐿
Donde:
• K= Constante de conducción
• A= Área en 𝑚2
• Δt= Diferencia de temperatura Δ𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1
• L= longitud en metros
En el sistema métrico, en el caso de la transferencia de calor se emplean con más frecuencia
las calorías que el juole; por tanto, las unidades que se usan son:
• Unidad térmica británica (Btu) es el calor necesario para cambiar la temperatura de una
libra-masa de agua en un grado Fahrenheit.
• Caloría es el calor necesario para elevar la temperatura de un gramo de agua en un
grado Centígrado.
1 𝐵𝑡𝑢 = 252𝐾𝑐𝑎𝑙 1 𝑐𝑎𝑙 = 4.186𝐽
1 𝐵𝑡𝑢 = 778𝑓𝑡 𝑙𝑏 1𝑘𝑐𝑎𝑙 = 4186𝑗
P á g i n a 172 | 191
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Ejercicios 3.5.1 Conductividad térmica
1. Un bloque de cobre tiene una sección transversal de 20 cm2 y una longitud de 50 cm.
El extremo izquierdo se mantiene a 0°C y el derecho a 100°C. ¿Cuál es la razón de flujo
de calor en watts?
2. En el problema 1.¿Cuál es el flujo de calor si el bloque de cobre se sustituye por un
bloque de vidrio de las mismas dimensiones?
3. Una varilla de broncede 50 cm de longitud tiene un diámetro de 3 mm. La temperatura
de uno de sus extremos es 76°C más alta que la del otro extremo. ¿Cuánto calor será
conducido en 1 min?
4. Un panel de vidrio de una ventana mide 10 in de ancho, 16 in de largo y f in de espesor.
La superficie interior está a 60°F y la exterior a 20°E ¿Cuantos Btu se transfieren al
exterior en 2 h?
P á g i n a 173 | 191
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3.5.2 Radiación térmica
Se refiere a la emisión continua de energía en forma de ondas electromagnéticas
originadas a nivel atómico. Dicho esto, podemos llegar a la conclusión de que la radiación
térmica se debe a ondas electromagnéticas emitidas o absorbidas por un sólido, un líquido o
un gas debido a su temperatura.
La razón de radiación ‘R’ de un cuerpo se define como la energía emitida por unidad de
área por unidad de tiempo. En forma simbólica se expresa como:
𝑅 =
𝐸
𝜏𝐴
=
𝑃
𝐴
Si la potencia radiante P se expresa en watts y la superficie A en metros cuadrados, la
razón estará expresada en watts por metros cuadrados. El enunciado formal de esta
dependencia, conocida como la ley “Stefan-Boltzman” se puede definir como:
𝑅 =
𝑃
𝐴
= 𝑒𝜎𝑇4
Ejercicios 3.5.2 Radiación termal
1. ¿Cuál es la potencia radiada por un cuerpo negro esférico con un área superficial de
20 cm2 si su temperatura es de 250°C??
2. ¿Cuál es la razón de radiación de un cuerpo negro esférico a una temperatura de
327°C? ¿Cambiará esta razón si el radio se duplica y se mantiene la temperatura?
3. La densidad de una esfera metálica es 0.3, y a una temperatura de 500 K irradia una
potencia de 800 W ¿Cuál es el radio de la esfera?
4. Si cierto cuerpo absorbe 20% de la radiación térmica incidente, ¿cuál es su densidad?
¿Qué energía emitirá este cuerpo en 1 min si su superficie es de 1m2 y su temperatura
de 727°C?
P á g i n a 174 | 191
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3.5.2 Propiedades térmicas de la materia
Las relaciones entre masa, temperatura, volumen y presión nos permiten explicar y
predecir el comportamiento de los gases. Podemos aplicar ciertos conceptos:
Ley general de los gases
Es una ley que combina la ley de Boyle-Mariotte, la ley de Charles y la ley de Gay-
Lussac. La ley de los gases establece una relación entre el producto presión-volumen y la
temperatura de un sistema que permanece constante.
𝑃1𝑉1
𝑚1𝑇1
=
𝑃2𝑉2
𝑚2𝑇2
• P= presión
• V= volumen
• m= masa
• T= temperatura absoluta
Cuando uno o varios de los parámetros m, P, T o V es una constante, ese
factor desaparece de ambos lados de la ecuación.
𝑃1𝑉1 = 𝑃2𝑉2 ∴
𝑉1
𝑇1
=
𝑉2
𝑇2
∴
𝑃1
𝑇1
=
𝑃2
𝑇2
𝑃resión absoluta = presión manométrica + presion admosferica
𝑇𝑘 = 𝐼𝑐 + 273 𝑇𝑅 = 𝐼𝐹 + 460
Una forma más general de la ley de los gases se obtiene si usamos los
conceptos de la masa molecular M y el número de moles n para un gas. El número
de moléculas en un mol es el número de Avogadro.
NA =
N
n
∴ NA = 6.023x10
23 moléculas/mol
El número de moles se encuentra al dividir la masa de un gas (en gramos)
entre su masa molecular.
n =
m
M
Número de moles
Con frecuencia se desea determinar la masa, la presión, el volumen o la
temperatura de un gas en un solo estado. La ley de los gases ideales usa el
concepto molar para establecer una ecuación más específica:
PV = nRT R = 8.314 J/mol ∗ K
P á g i n a 175 | 191
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Para la humedad relativa se puede calcular con la ayuda de tablas de presión
de vapor saturado, según la siguiente definición:
Humedad relativa =
Presión real de vpor
Presión de vapor saturado
P á g i n a 176 | 191
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Ejercicios 3.5.2. Métodos de transferencia de calor.
1.-Un gas ideal ocupa un volumen de 4.00 m3 a una presión absoluta de 200 kPa.
¿Cuál será la nueva presión si el gas es comprimido lentamente hasta 2?00 m3 a
temperatura constante?
2.-La presión absoluta de una muestra de un gas ideal es de 300 kPa a un
volumen de 2.6 m3. Si la presión disminuyera a 101 kPa a temperatura constante,
¿cuál sería el nuevo volumen?
3.-Doscientos centímetros cúbicos de un gas ideal a 20°C se expanden hasta un
volumen de 212 cm3 a presión constante. ¿Cuál es la temperatura final?
4.-¿Cuántas moles hay en 600 g de aire?
5.-¿Cuántas moles de gas hay en 400 g de nitrógeno gaseoso? ¿Cuántas
moléculas hay en esta muestra?
6.-¿Cuál es la masa de una muestra de 4 mol de aire?
7.-¿Cuántos gramos de hidrógeno gaseoso (M = g/mol) hay en 3.0 moles de
hidrógeno? ¿Cuántos gramos de aire hay en 3.0 moles de aire?
P á g i n a 177 | 191
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3.6 Termodinámica
La termodinámica es la ciencia que estudia la conservación del trabajo en
calor o del calor en trabajo.
3.6.1 Primera ley de la termodinámica
Indica que el calor neto Q impartido a un sistema es igual al trabajo W
realizado por el sistema más el cambio neto de la energía interna U del sistema.
Calor neto = Q = U + W
Ejercicios 3.6.1 Primera ley de la termodinámica
1. En un proceso químico industrial, se proporcionan a un sistema 600 J de
calor y produce 200 J de trabajo. ¿Cuál es el incremento registrado en la
energía interna de este sistema?
El trabajo realizado por el sistema es positivo, el calor en un sistema es positivo.
Aplicar la primera ley:
2. Supongamos que la energía interna de un sistema disminuye en 300 J, al
tiempo que un gas realiza 200 J de trabajo. ¿Cuál es el valor de Q1? ¿El
sistema ha ganado o ha perdido calor?
3. En un proceso termodinámico, la energía interna del sistema se incrementa
en 500 J. ¿Cuánto trabajo fue realizado por el gas si en el proceso fueron
absorbidos 800 J de calor?
P á g i n a 178 | 191
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3.6.2 Proceso termodinámico
En termodinámica el trabajo ΔW suele realizarse sobre un gas. En esos
casos el trabajo se representa en términos de la presión y el volumen. Un diagrama
P-V es útil también para medir ΔW. Si la presión es constante entonces:
ΔW = PV
ΔW = área bajo la curva P − V
h =
W
F
Proceso Fórmulas
Adiabático ΔQ = 0 ΔW = −ΔU
Isotónico ΔV = 0 ΔW = 0 ΔQ = ΔW
Isométrico/Isocórico ΔT = 0 ΔU = 0 ΔQ = ΔW
Isobárico ΔP = 0 ΔW = PΔV
Ejercicios 3.6.2 Procesos termodinámicos
1. Un gas ideal se expande isotérmicamente al tiempo que absorbe 4.80 J de
calor. El pistón tiene una masa de 3 kg. ¿A qué altura se elevará el pistón
respecto a su posición inicial?
2. El trabajo realizado sobre un gas durante una compresión adiabática es de
140 J. Calcule el incremento de la energía interna del sistema, en calorías.
3. Durante una expansión isobárica, una presión constante de 250 kPa hace
que el volumen de un gas pase de 1 a 3 L. ¿Qué trabajo realiza el gas?
P á g i n a 179 | 191
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3.6.3 Primera ley de la termodinámica
“La cantidad de entropía del universo tiende a incrementarse en el tiempo”.
Principio general que impone restricciones a la dirección de la transferencia
de calor, y a la eficiencia posible en los motores térmicos. De este modo, va más
allá de las limitaciones impuestas por “la primera ley de la termodinámica”.
La entropía es una función que depende de los llamados parámetros
característicos del sistema, y que sólo pueden definirse para los estados de
equilibrio del sistema. El segundo principio de la termodinámica establece que dicha
entropía sólo puede definirse para estados de equilibrio termodinámico, y que de
entre todos los estados de equilibrio posibles que vendrán definidos por los
parámetros característicos, sólo se puede dar el que, de entre todos ellos, maximizala entropía.
𝐸 =
Wout
Qin
𝑄𝑖𝑛 − 𝑄𝑜𝑢𝑡 = 𝑊𝑜𝑢𝑡
𝐸 =
𝑄𝑖𝑛 − 𝑄𝑜𝑢𝑡
𝑄𝑖𝑛
𝐸 =
𝑇𝑖𝑛 − 𝑇𝑜𝑢𝑡
𝑇𝑖𝑛
𝑇 = °𝐶 + 273
3.6.3 Segunda ley de la termodinámica
1. ¿Cuál es la eficiencia de un motor que realiza 300 J de trabajo en cada ciclo,
al tiempo que desecha 600 J hacia el medio?
2. Durante un ciclo completo, un sistema absorbe 600 cal de calor y lanza 200
cal al medio. ¿Cuánto trabajo se realiza? ¿Cuál es la eficiencia?
3. ¿Cuál es la eficiencia de una maquina ideal que opera entre las temperaturas
de 525 K y 300 K?
P á g i n a 180 | 191
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4. Una máquina de vapor recibe vapor sobrecalentado de una caldera que
trabaja a 200°C y que lo arroja directamente al aire a 100°C. ¿Cuál es la
eficiencia ideal?
5. En un ciclo de Carnot, la expansión isotérmica de un gas tiene lugar a 400 K
y dicho gas absorbe 500 cal de calor. ¿Cuánto calor se pierde si el sistema
experimenta una compresión isotérmica a 300 K? ¿Cuál es la perdida de
calor y que trabajo se realiza?
3.7 La Fuerza Eléctrica
La electrostática es la ciencia que estudia las cargas en reposo.
La primera ley de la electrostática establece que las cargas del mismo signo
se repelen entre sí y las cargas de diferente signo se atraen unas a otras.
3.7.1 Ley de Coulomb
La ley de Coulomb establece que la fuerza de atracción o repulsión entre dos
cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las dos cargas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de separación entre ellas.
Formula:
𝐹 =
𝑘𝑞𝑞
𝑟2
𝑘 = 9𝑥109𝑁𝑚2/𝐶2
Donde:
• F= fuerza electromotriz (N)
• k= constante electroestática (9𝑥109𝑁𝑚2/𝑐2)
• q= carga eléctrica
• r= distancia (m)
P á g i n a 181 | 191
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Ejercicios 3.7.1 Ley de Coulomb
1. Dos esferas, cada una con una carga de 3 C, están separadas a 20 mm.
¿Cuál es la fuerza de repulsión entre ellas?
2. Dos cargas puntuales de —3 y +4 C están separadas 12 mm en el vacío.
¿Cuál es la fuerza electrostática entre ellas?
3. Una partícula alfa consiste en dos protones (qe = 1.6 x 10-19 C) y dos neutrones
(sin carga). ¿Cuál es la fuerza de repulsión entre dos partículas alfa
separadas 2 mm entre sí?
q = 2(1.6 x 10-19 C) = 3.2 x 10-19 C
4. ¿Cuál es la separación de dos cargas de -4 C si la fuerza de repulsión entre
ellas es 200 N?
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3.7.2 Potencial eléctrico
Los conceptos de energía potencial, potnecial y diferencia de potencial se
han ampliado para incluir los fenomenos eléctricos. Los múltiples problemas
referentes al potencial electrostatico han sido diseñados como una base para el
tema de la corriente eléctrica directa que veremos más adelante.
Cuando una carga q se mueve en contra de una fuerza eléctrica constante
una distancia d.
𝐸𝑃 − 𝑞𝐸𝑑
𝐸𝐶 =
1
2
𝑚𝑣2
Debido al a existencia de cargas positivas y negativas y a los efectos
opuestos que produce un mismo campo, debemos recordar que: la energía
potencial aumenta cuando una carga positiva se mueve contra el campo eléctrico y
la energía potencial disminuye cuando una carga negativa se mueve en contra del
mismo campo.
La nergia potencial ocacionada por uan carga q colocada a una distancia r
de otra carga Q es igual al trbaajo realizado contra las fuerzas eléctricas al mover
la carga –q desde el infinito.
Fc =
KQq
r
Energía potencial eléctrica
Work = Fd = qEd; F opuesto d trabajo negativo
Donde:
• w= trabajo
• F= fuerza (N)
• d= distancia (m)
• q= carga
• E= intensidad del campo eléctrico
P á g i n a 183 | 191
3.Física
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Ejercicios 3.7.2 Energía potencial eléctrica
1. Una placa cargada positivamente está 30 mm más arriba que una placa cargada
negativamente, y la intensidad del campo eléctrico tiene una magnitud de 6 x
104 N/C. ¿Cuánto trabajo es realizado por el campo eléctrico cuando una carga
de +4-C se mueve desde la placa negativa hasta la placa positiva?
2. En el problema 1, ¿cuánto trabajo se realiza sobre o en contra del campo eléctrico?
¿Cuál es la energía potencial eléctrica en la placa positiva?
3. La intensidad del campo eléctrico entre dos placas paralelas separadas 25 mm es
8000 N/C. ¿Cuánto trabajo realiza el campo eléctrico al mover una carga de –2-C
desde la placa negativa hasta la placa positiva? ¿Cuánto trabajo es realizado por el
campo al llevar la misma carga de regreso a la placa positiva?
4. Dos cargas q1 y q2 de -5mC y -3mC se encuentran separadas en el vacío una
distancia de 50 cm. Posteriormente la distancia es de 1 m. Sabiendo que q1 está
fija y q2 es móvil, calcular:
a) La energía potencial inicial y final de q2.
b) El trabajo realizado por la fuerza eléctrica que ejerce q1 sobre q2.
5. ¿Cuál es la energía potencial de una carga de + 6 nC localizada a 50 mm de una
carga de +80-C? ¿Cuál es la energía potencial si la misma carga está a 50 mm
de una carga de –80-C?
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3.7.3 Potencial eléctrico y diferencia de potencia
El potencial eléctrico en un punto del espacio es una magnitud escalar que
nos permite obtener una medida del campo eléctrico en dicho punto a través de
la energía potencial electrostática que adquiriría una carga si la situásemos en ese
punto.
𝑉 =
𝐸𝑃
𝑞
El potencial eléctrico del campo eléctrico creado por una carga puntual q se
obtiene por medio de la siguiente expresión:
𝑉 =
𝑘𝑄
𝑟
Donde:
• V= potencial eléctrico
• k=9𝑥109𝑁𝑚2/𝐶2
• E.P= energía potencial
• q= carga
• r= potencial eléctrico
Ejercicios 3.7.3 Potencial eléctrico y diferencia de potencia
1. ¿Cuál es el potencial eléctrico en un punto que se encuentra a 6 cm de una
carga de 8.40-C? ¿Cuál es la energía potencial de una carga de 2 nC colocada
en ese punto?
2. Calcule el potencial en el punto A que está a 50 mm de una carga de –40-C.
¿Cuál es la energía potencial si una carga de +3-C se coloca en el punto A?
3. ¿Cuál es el potencial en el punto medio de una recta que une una carga de –12-
C con una carga de +3-C localizada a 80 mm de la primera carga?
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4. Una carga de +45 nC se encuentra 68 mm a la izquierda de una carga de —9
nC. ¿Cuál es el potencial en un punto que se encuentra 40 mm a la izquierda de
la carga de —9 nC?
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3.8 Corriente Y Resistencia
La corriente es el flujo de portadores de carga eléctrica, normalmente a través
de un conductor eléctrico, debido a la diferencia de potencial creada por un
generador de corriente. Mientras que la resistencia es la oposición al flujo de la
corriente, causado por el mismo conductor.
La ley de Ohm describe matemáticamente la relación entre corriente,
resistencia y voltaje. Esta describe a la corriente como la rapidez de flujo de la carga
Q que pasa por un punto dado de un conductor.
𝐼 =
𝑄
𝑡
1𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒(𝐴) =
1𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏(𝐶)
1𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜(𝑠)
La ley de Ohm estable que la corriente producida en un conductor dado es
directamente proporcional a la diferencia de potencial entre sus extremos.
𝑉 = 𝐼𝑅 𝑅 =
𝑉
𝐼
𝐼 =
𝑉
𝑅
Ejercicios 3.8.1 Corriente y resistencia
40 C
; 2.00 s
20 A
Q Q
I t
t I
48 V
;
4 A
V
R
I
1. ¿Cuántos electrones circulan cada segundo por un Punto dado, en un alambre
que conduce una corriente de 20 A? ¿Cuánto tiempo se necesita para que pasen
40 C de carga por ese punto?
2. Si 600 C de carga pasan por un punto dado en 3 s ¿cuál es la corriente eléctrica
en amperes?
3. Calcule la corrienteen amperes cuando 690 C de carga pasan por un punto dado
en 2 min.
4. Si existe una corriente de 24 A durante 50 s, ¿cuántos coulomb de carga han
pasado por el alambre?
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5. ¿Cuál es la caída del potencial a través de un resistor de 4- cuando pasa por
una corriente de 8 A?
3.10.2 Resistividad
Formulas
R =
pl
A
l =
RA
p
• R= Resistencia (Ω)
• p=Resistencia del material (Ω/m)
• l= longitud (m)
• 𝐴 = Á𝑟𝑒𝑎 (𝑚2)
Δ = Π ∗ 𝑟2
Ejercicios 3.10.2 Resistividad
1. ¿Qué longitud de alambre de cobre ( = 1.78 x 10-8m) de 1.2 mm de diámetro
se necesita para fabricar un resistor de 20 a 200C? ¿Qué longitud de alambre
de nicromo se requiere? (p = 100 X10-8 ft • m)
2. Un trozo de alambre de cobre ( = 1.72 x 10-8 m) de 3.0 m tiene una sección
transversal de 4 mm2 a 200C. ¿Cuál es la resistencia eléctrica de ese alambre?
3. Halle la resistencia de 40 m de alambre de tungsteno cuyo diámetro es de 0.8
mm a 200C. ( = 1.78 x 10-8m)
4. Un alambre tiene 3 mm de diámetro y 150 m de longitud. Su resistencia es de
3Ω a 200C. ¿Cuál es su resistividad?
5. ¿Cuál es la resistencia de 200 ft de alambre de hierro ( = 9.5 x 10-8Ω m) con un
diámetro de 0.002 in a 200C?
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3.10.3 Coeficiente de temperatura de la resistencia
El coeficiente de temperatura de la resistencia α es el cambio de resistencia
individual por una resistencia unitaria, generada por el cambio de temperatura en el
conductor.
𝛼 =
Δ𝑅
𝑅0Δ𝑡
Δ = 𝛼𝑅0Δ𝑡
Material
Resistencia
específica a 20°C en
CM*Ω
Coeficiente de
variación con la
temperatura α
Alumino 17 0.004
Carbono + -0.0003
Cobre 10.4 0.004
Oro 14 0.004
Hierro 58 0.006
Niquel 52 0.005
Plata 9.8 0.004
Tugsteno 33.8 0.005
Ejercicios 3.10.3 Coeficiente de temperatura de la resistencia
1. Un alambre de cierta longitud (α = 0.0065/.C) tiene una resistencia de 4.00a
200C ¿Cuál es su resistencia a 800C?
2. Si la resistencia de un conductor es 100 es 200C, y116 es 600C, ¿cuál es el
coeficiente de temperatura de su resistividad?
3. ¿Cuál será el aumento de temperatura que experimenta una lámpara incandescente
con filamento de wolframio, si al medir su resistencia a temperatura ambiente (20°C)
es: 358Ω, en caliente la resistencia es de 807Ω?
4. Un trozo de alambre de cobre (α = 0.0043/C0) tiene una resistencia de 8 ha 200C
¿Cuál será su resistencia a 900C? ¿Y su resistencia a - 300C?
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3.9 Circuitos de corriente continua
La corriente continua (C.C o C.D) se refiere al flujo continuo de carga eléctrica
a través de un conductor que no cambia de sentido con el tiempo, caso contrario de
la corriente alterna (C.A). El conocimiento de los circuitos de C.C es esencial como
una introducción a la tecnología eléctrica.
Hay tres tipos de circuitos: en Serie, en Paralelo y Mixtos que son una
combinación de ambos.
Tipos de circuito Circuito Serie Circuito Paralelo
Corriente I 𝐼 = 𝐼1 = 𝐼2 = 𝐼3 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3
Voltaje V 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 𝑉 = 𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉3
Resistencia
equivalente
𝑅 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3
1
𝑅
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+
1
𝑅3
Resistencia para dos
elementos
𝑅 = 𝑅1 + 𝑅2 𝑅 =
𝑅1𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
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Ejercicios 3.11.1 resistencias en serie y paralelo
1.Una resistencia de 5Ω está conectada en serie con una resistencia de 3 y una
batería de 16 V. ¿Cuál es la resistencia efectiva y cuál es la corriente en el
circuito?
2. Una resistencia de 15 se conecta en paralelo con una resistencia de 30 y una
fuente de 30 V de FEM. ¿Cuál es la resistencia efectiva y qué corriente total se
entrega?
3. En el problema 2, ¿cuál es la corriente en resistencias de 15 y 30?
4. ¿Cuál es la resistencia equivalente de las resistencias 2, 4 y 6 conectadas en
serie?
5. Una resistencia de 18 y una resistencia de 9 se conectan primero en paralelo
y luego en serie con una batería de 24 V. ¿Cuál es la resistencia efectiva para cada
conexión? Despreciando la resistencia interna, ¿cuál es la corriente total
suministrada por la batería en cada caso?
Ejercicios 3.11.2 FEM y diferencia de potencial en las terminales
Formulas
I =
ε
r + RL
1. Una resistencia de carga de 8 está conectada en serie con una batería de
18 V cuya resistencia interna es de 1,0 . ¿Qué corriente se entrega y cuál
es el voltaje del terminal?
2. Una resistencia de 6 se coloca a través de una batería de 12 V cuya
resistencia interna es de 0,3 . ¿Cuál es la corriente entregada al circuito?
¿Cuál es la diferencia de potencial terminal?
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3. Dos resistencias de 7 y 14 están conectadas en paralelo con una batería
de 16 V cuya resistencia interna es de 0,25. ¿Cuál es la diferencia de
potencial terminal y la corriente en la entrada al circuito?
4. La diferencia de potencial de circuito abierto de una batería es de 6 V. La
corriente suministrada a una resistencia de 4 es 1,40 A. ¿Cuál es la
resistencia interna?
5. Un motor de corriente continua extrae 20 A de una línea de 120 V CC. Si la
resistencia interna es 0,2, ¿cuál es el voltaje del terminal del motor?More content from this subject
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