Análisis_matricial_de_estructuras

Vista previa del material en texto

1 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis matricial de estructuras 
por el método de la rigidez 
Apuntes 
Resolución de problemas 
Introducción a los Elementos finitos 
Brayan D. Novely 
Edición revisada 
𝒖 = −∫
𝑷
𝑬𝑨
𝒅𝒙 + 𝒄𝒊 
2 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Análisis matricial de estructuras por el 
método de la rigidez 
Apuntes 
 
 
 
 
 
 
 
Brayan D. Novely Cabrales 
 
Ingeniero Civil, Universidad de Pamplona 
Especialista en Análisis y Diseño de estructuras, 
Universidad del Norte 
 
 
 
 
 
Revisión técnica 
 
Andrés Fernando Guzmán Guerrero, Dr. Ing. 
Docente asociado a Universidad del Norte 
 
Ingeniero Civil, Universidad Nacional de Colombia 
Magíster en Ingeniería Civil, Universidad de los Andes 
Doctor en Ingeniería, Universidad de los Andes 
 
 
3 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Acerca del autor 
 
 
 
 
 
 
Brayan D. Novely (Riohacha, 1989) es un ingeniero civil joven egresado 
de la Universidad de Pamplona, Colombia, facultad de ingenierías y 
arquitectura, Especialista en análisis y diseño de estructuras de la 
Universidad del Norte. 
 
Ha realizado diversos trabajos de consultoría en el área de evaluación 
sísmica y diseño estructural en concreto reforzado. Ostenta trabajos de 
investigación en su alma mater relacionados con la evaluación del módulo 
de elasticidad estático del concreto, presentando modelos matemáticos 
para la obtención de este parámetro vital en el análisis y el diseño de 
estructuras de hormigón reforzado. 
 
Actualmente se desempeña como consultor en la ingeniería estructural e 
instructor en el Servicio Nacional de aprendizaje (SENA), en el programa de 
obras civiles. 
 
 
 
 
 
4 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Catalogación bibliográfica 
 
 
Análisis Matricial de estructuras por el método de la rigidez 
Problemas Resueltos e introducción a los elementos finitos 
 
Autor: Novely Cabrales, Brayan D. 
Derechos de autor reservado 
 
Correo electrónico: bnovely@uninorte.edu.co 
 bryannovely@gmail.com 
 
Editor: INDEPENDIENTE 
Colombia, 2015 
 
 
Área: Ingeniería Estructural 
 
Formato: Carta 20.0 cm x 25.0 cm 
 
 
 
Esta obra se realizó de forma libre y abierta con la intención de apoyar la 
formación y enseñanza académica en la disciplina de estructuras 
específicamente el análisis estructural a estudiantes de pregrado y postgrado. 
No está permitido el tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna 
forma o cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por 
registro u otros métodos, con fines comerciales sin la autorización del autor. 
 
 
 
TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS 2016 
 
 
Impreso en Colombia 
 
mailto:bnovely@uninorte.edu.co
mailto:bryannovely@gmail.com
5 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Prólogo 
 
Este texto, originado a partir de las notas de clase del módulo de Análisis 
estructural en el Postgrado de Análisis y diseño de estructuras de la 
Universidad del Norte, se realizó con el fin de plasmar el ejercicio académico 
desarrollado en este y contribuir a modo de apoyo a estudiantes y profesores 
de ingeniería civil a nivel de Pregrado y Postgrado en el aprendizaje y 
enseñanza del análisis estructural. 
 
Se denomina análisis estructural al cálculo de las fuerzas internas y 
deformaciones que desarrollan los elementos de una estructura cuando ésta 
se ve sometida a la aplicación de cargas externas. 
 
La finalidad del cálculo matricial consiste en agrupar toda la información 
necesaria en matrices que relacionan todas las variables como son las cargas, 
propiedades mecánicas de los miembros de la estructura y los 
desplazamientos desconocidos, que a su vez describen ecuaciones de 
equilibro en todos los nudos de la estructura, por lo tanto la solución puede 
ser de manera automática mediante el uso de programas o software de 
ordenadores que es la práctica habitual hoy en día. 
 
En esta oportunidad se presenta el método de la rigidez o método de los 
desplazamientos para el análisis de estructuras bidimensionales, que consiste 
en la relación de una carga y el desplazamiento que esta produce asumiendo 
un comportamiento elástico y lineal del material para un estado de pequeñas 
deformaciones, o también se puede definir la rigidez como la fuerza necesaria 
para producir un desplazamiento unitario en el sentido y dirección de la 
carga. 
 
El método de los elementos finitos es realmente una extensión del método de 
la rigidez ya que requiere subdividir la estructura en elementos discretos y 
sus extremos definidos como nodos; estos elementos no solo son de tipo 
barra sino que pueden ser tridimensionales de distintas formas geométricas 
que modelan en mayor complejidad un problema físico. 
 
 
6 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
El texto de conceptualización general y sentido práctico, esta enfatizado en la 
resolución de una diversidad de ejercicios y presenta una metodología 
sencilla con el fin encontrar la respuesta en base a las propiedades elásticas 
de la estructura, además lleva al lector a comprender la forma en que operan 
programas de diseño reconocidos como SAP2000, ETABS, ANSYS, COMSOL, 
MIDAS GEN entre otros, ya que se basan en esta teoría. 
 
El texto se divide en cinco capítulos. En el capítulo 1 se exponen los 
conceptos generales del método así como la matriz de rigidez para cada tipo 
de elemento sea armadura, viga o pórtico con la matriz de transformación de 
coordenadas con su respectiva demostración y su aplicabilidad para cada 
elemento. 
 
En los capítulos 2,3 y 4 se analizan ejercicios de cerchas, vigas y pórticos 
respectivamente con su metodología de análisis teniendo en cuenta las 
condiciones de frontera propuesta en los ejercicios. En el capítulo 5 se 
presentan problemas que permiten vislumbrar los conceptos y la filosofía del 
método de los elementos finitos y la confiabilidad del método de la rigidez y 
límites de su aplicabilidad en estructuras cuyos elementos son en concreto. 
 
 
 
Brayan D. Novely 
 
 
 
A Dios, fuente de mi inspiración. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
 
 
 
Índice de contenido 
 
 
 
CAPÍTULO 1 9 
CONCEPTOS GENERALES 9 
1.1 Matriz de rigidez local 9 
1.1.1 Elemento tipo cercha 9 
1.1.2 Elemento tipo viga 11 
1.1.3 Elemento tipo pórtico 13 
1.2 Matriz de transformación de coordenadas 15 
1.3 Matriz de rigidez global de los elementos 18 
CAPÍTULO 2 19 
CERCHAS 19 
 
2.1 Ejercicio 1. Cercha asimétrica con elementos inclinados 19 
2.2 Ejercicio 2. Cercha rectangular con elementos inclinados 38 
CAPÍTULO 3 59 
VIGAS 59 
 
3.1 Ejercicio. Viga de tres luces con cargas puntual, continua y variable. 59 
3.2 Ejercicio. Viga de dos luces y sección en voladizo 72 
 
8 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
CAPÍTULO 4 77 
PÓRTICOS PLANOS 77 
 
4.1 Análisis de pórtico simple con elemento en diagonal. 77 
4.2 Análisis de un pórtico con carga distribuida sobre elemento inclinado. 96 
CAPÍTULO 5 111 
INTRODUCCIÓN A LOS ELEMENTOS FINITOS 111 
 
5.1 Análisis de una viga con inercia variable y sección trapezoidal. 112 
5.2 Ejercicio 5.1 realizado en sap2000 versión académica 131 
5.3 Análisis sísmico de pórtico bidimensional de concreto conbase en el 
reglamento NSR-10. 153 
5.4 Análisis de la sección trasversal de un puente apoyado sobre una 
columna. 179 
APÉNDICE A 197 
Momentos de empotramiento en vigas 197 
BIBLIOGRAFIA 198 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Capítulo 1 
CONCEPTOS GENERALES 
Este capítulo presenta la matriz de rigidez local de los elementos planos tipo 
cercha, viga y pórtico con la representación de los grados de libertad para 
cada elemento. Se incluye la matriz de transformación de coordenadas 
locales a globales con su respectiva demostración la cual se utilizará en la 
resolución de los diferentes ejercicios. 
 
Para el completo entendimiento de la metodología presentada es necesario 
tener conocimientos previos de álgebra matricial y el manejo de a lo sumo un 
programa donde se puedan operar eficientemente matrices como Matlab, 
Scilab, Excel, Mathcad, entre otros. 
1.1 Matriz de rigidez local 
1.1.1 Elemento tipo cercha 
 
Un elemento tipo cercha (Fig. 1.1.1-a) solo presentará fuerzas axiales 
internas siempre y cuando las cargas externas sean aplicadas en los nudos de 
la cercha y los apoyos sean rotulados para que no se desarrollen momentos 
flectores. Para el elemento mostrado a continuación la matriz de rigidez será 
la presentada en la figura 1.1.1-b. 
 
 
 
Figura 1.1.1-a. Elemento tipo cercha 
10 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
 
Figura 1.1.1-b. Matriz de rigidez para un elemento tipo 
Cercha, solo consideración axial 
 
 
Dónde: 
 
A: es el área de la sección transversal del elemento 
E: módulo de elasticidad del material 
L: longitud del elemento 
 
Para facilitar las operaciones matriciales en el presente texto, la numeración 
de los grados de libertad (gdl) para el elemento y la matriz de rigidez local se 
representan de manera numérica (Figuras 1.1.1-c, 1.1.1-d). 
 
 
 
Figura 1.1.1-c. Elemento tipo cercha con los gdl representados 
numéricamente 
X1 Y1 X2 Y2
0 0 X1
0 0 0 0 Y1
0 0 X2
0 0 0 0 Y2
1 2 3 4
[ k ] =
 
 
 
 
-
 
 
-
 
 
11 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
 
Figura 1.1.1-d. Matriz de rigidez de un elemento tipo cercha 
Representado por los grados de libertad numéricamente. 
 
 
1.1.2 Elemento tipo viga 
 
La matriz de rigidez de un elemento viga (figura 1.1.2-a) sin consideración de 
la rigidez axial será la presentada en la figura 1.1.2-b. 
 
 
 
Figura 1.1.2-a. Elemento tipo viga 
 
12 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
Figura 1.1.2-d. Matriz de rigidez para un elemento tipo viga sin 
consideración axial ni aportes de cortante. 
 
Dónde: 
 
Iy: es el momento de inercia de la sección transversal del elemento con 
respecto al eje y, para este sistema de referencia. 
 
La matriz mostrada en la Figura 1.1.2-b, solo sería aplicable para vigas sin el 
estudio de la rigidez axial, la principal solicitación para estos elementos es a 
cortante y flexión, En caso de tener cargas inclinadas sobre la viga y se 
desean conocer la fuerzas axiales se utiliza la matriz de rigidez de un 
elemento pórtico que si involucra esta variable. 
 
Para facilitar las operaciones matriciales en el presente texto se trabajaran 
los grados de libertad de manera numérica en coordenadas locales del 
elemento (figuras 1.1.2-c, 1.1.2-d). 
 
Figura 1.1.2-c. Elemento tipo viga representado numéricamente 
Z1 Y1 Z2 Y2
Z1
Y1
Z2
Y2
[k] =
 
 
 
 
-
 
 
 
 
 
 
-
 
 
-
 
 
 
 
-
 
 
-
 
 
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
 
Figura 1.1.2-b. Matriz de rigidez para un elemento tipo viga sin 
consideración axial ni aportes de cortante representada 
numéricamente 
 
 
1.1.3 Elemento tipo pórtico 
 
La matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico (figura 1.1.3-a) sin la 
consideración por aportes de cortante es la representada en la figura 1.1.3-b. 
 
 
 
Figura 1.1.3-a. Elemento tipo pórtico. 
 
 
1 2 3 4
1
2
3
4
[k] =
 
 
 
 
-
 
 
 
 
 
 
-
 
 
-
 
 
 
 
-
 
 
-
 
 
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
 
Figura 1.1.3-b. Matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico sin la 
consideración de aportes de cortante 
 
 
Al igual que en los elementos tipo cercha y vigas, Para facilitar las 
operaciones matriciales se trabajaran los grados de libertad en coordenadas 
locales del elemento como se aprecia en las figuras 1.1.3-c y 1.1.3-d. 
 
 
 
Figura 1.1.3-c. Elemento tipo pórtico representado numéricamente 
 
X1 Z1 Y1 X2 Z2 Y2
0 0 0 0 X1
0 0 Z1
0 0 Y1
0 0 0 0 X2
0 0 Z2
0 0 Y2
=[k]
 
 
-
 
 
 
 
 
 
-
 
 
 
 
 
 
-
 
 
-
 
 
 
 
-
 
 
-
 
 
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-
 
 
 
 
15 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
Figura 1.1.3-d. Matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico sin la 
consideración de aportes de cortante representada numéricamente 
1.2 Matriz de transformación de coordenadas 
La matriz de rigidez de toda la estructura será en las coordenadas globales 
establecidas X, Y y Z, por lo tanto es necesario rotar el sistema coordenado local de 
cada elemento al global. Para este fin, se dará uso de la matriz de transformación de 
coordenadas obtenida de la figura 1.2-a. 
 
 
Figura 1.2-a. Rotación del sistema coordenado local a global 
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0 1
0 0 2
0 0 3
0 0 0 0 4
0 0 5
0 0 6
[k] =
 
 
-
 
 
 
 
 
 
-
 
 
 
 
 
 
-
 
 
-
 
 
 
 
-
 
 
-
 
 
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-
 
 
 
 
Tx= Tx’cos Ɵ – Tz’sen Ɵ 
Tz= Tx’sen Ɵ + Tz’cos Ɵ 
 
16 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matricialmente se obtiene 
 
 
 
Dado que el ángulo de giro alrededor del eje Y no se ve afectado por la rotación del 
sistema, se concierne que el giro del eje local coincide con el global, de esta manera 
se afecta la matriz de rotación con esta nueva identidad (caso elemento de pórticos). 
 
 
 
Despejando en coordenadas locales, resulta 
 
 
 
 
 
Tx cosƟ -senƟ Tx'
Tz senƟ cosƟ Tz'
=
Tx cosƟ -senƟ 0 Tx'
Tz senƟ cosƟ 0 Tz'
ɸ 0 0 1 ɸ
=
Tx' cosƟ -senƟ 0 Tx
Tz' senƟ cosƟ 0 Tz
ɸ 0 0 1 ɸ
=
-1
17 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 Se obtiene entones la matriz de rotación del sistema 
 
 
 Locales Matriz de rotación Globales 
 
 
 Matriz de rotación 
 
Por lo tanto, la matriz de rotación con los 6 grados de libertad para un elemento tipo 
pórtico mostrado en la Figura 1.1.3-a. será: 
 
 
 
Figura 1.2-b. Matriz de transformación de coordenadas para un elemento 
tipo pórtico 
 
 
 
Tx' cosƟ senƟ 0 Tx
Tz' -senƟ cosƟ 0 Tz
ɸ 0 0 1 ɸ
=
Tx1' cosƟ senƟ 0 0 0 0 Tx1
Tz1' -senƟ cosƟ 0 0 0 0 Tz1
ɸ1' 0 0 1 0 0 0 ɸ1
Tx2' 0 0 0 cosƟ senƟ 0 Tx2
Tz2' 0 0 0 -senƟ cosƟ 0 Tz2
ɸ2' 0 0 0 0 0 1 ɸ2
= *
18 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
La matriz de rotación para un elemento tipo cercha será el presentado en la figura 
1.2-c. 
 
 
 
Figura 1.2-c. Matriz de transformación de coordenadas para un elemento 
tipo cercha 
 
Para los elementos tipo viga la matriz de rigidezlocal coincidirá siempre con la global 
ya que este tipo de elementos por lo general no tienen inclinación, es decir el ángulo 
será igual a 0 por lo tanto no será necesario aplicar la matriz de transformación de 
coordenadas. 
1.3 Matriz de rigidez global de los elementos 
La matriz de rigidez global de un elemento está dada por: 
 
K global= [T’]*[K local]*[T] 
 
Dónde: 
 
[T]: es la matriz de rotación del sistema 
[T’]: es la transpuesta de T 
[k local ]: es la matriz de rigidez local del elemento en estudio. 
 
 
 
Tx1' cosƟ senƟ 0 0 Tx1
Tz1' -senƟ cosƟ 0 0 Tz1
Tx2' 0 0 cosƟ senƟ Tx2
Tz2' 0 0 -senƟ cosƟ Tz2
= *
19 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Capítulo 2 
CERCHAS 
2.1 Ejercicio 1. Cercha asimétrica con elementos inclinados 
 
Para la cercha mostrada en la figura 2.1-a. Determine el desplazamiento 
horizontal y vertical en el punto D y la fuerza interna del elemento AC, 
Considere A=1 cm2 y E=200 000 MPa. 
 
 
 
 Figura 2.1-a. 
 
Resolución: 
 
Propiedades de los elementos 
 
A=0,0001 m2 
E=200 000 000 kPa 
20 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 Numeración de los grados de libertad y elementos de la cercha 
 
La numeración de los grados de libertad en una estructura será arbitraria, 
pero los que estén asociados a las restricciones cinemáticas (reacciones), 
deberán estar agrupados preferiblemente al inicio o al final de la numeración 
para facilitar el desarrollo de las operaciones matriciales. 
 
 
 
Figura 2.1-b. Numeración de los grados de libertad y elementos de la 
cercha 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 Resumen de las propiedades de los elementos de la cercha 
 
 
 
Nota: los ángulos son medidos desde el eje global x positivo hasta el eje local 
longitudinal positivo del elemento (anti horario). 
 
 Matriz de rigidez local y global de los elementos de la cercha 
 
La matriz de rigidez local de un elemento cercha expresando sus grados de 
libertad numéricamente como se expresó en capítulo 1, está dada por 
 
 
 
 
Área (m2) L (m) ángulo 
Elemento 1 0,00010 2,83 135°
Elemento 2 0,00010 2,24 63,43°
Elemento 3 0,00010 4,47 116,56°
Elemento 4 0,00010 2,00 90°
Elemento 5 0,00010 4,12 75,96°
1 2 3 4
0 0 1
0 0 0 0 2
0 0 3
0 0 0 0 4
1 2 3 4
[ k ] =
 
 
 
 
-
 
 
-
 
 
22 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Donde 
 
A: es el área de la sección transversal del elemento 
E: módulo de elasticidad del elemento 
L: longitud del elemento 
 
Remplazando los valores de área, longitud y módulo de elasticidad de los 
elementos se obtiene la matriz de rigidez local de los elementos. 
 
Elemento 1 
 
Angulo de rotación 135° (2,36 rad). 
 
 
 
 
𝐀𝐄
𝐋
=
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎 ∗ 𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎
𝟐, 𝟖𝟑
 
 
𝐀𝐄
𝐋
= 𝟕𝟎𝟕𝟐 , 𝟏𝟑𝟓 𝐤𝐍/𝐦 
 
Asociando la rigidez a axial (EA/L) en kN/m a la Matriz de rigidez en 
coordenadas locales presentada en la figura 1.1.1-d resulta: 
E= 200000000 kpas
L= 2,83 m
A= 1,0 cm2
A= 0,0001 m2
Ѳ= 135,00 °
Ѳ= 2,36 rad
23 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
 
La numeración representa los grados de libertad locales descritas en el 
primer capítulo, Para un Angulo de rotación de 135° medido desde el eje 
global X positivo al eje longitudinal del elemento (antihorario) y 
sustituyéndolo en la matriz de transformación de coordenadas para un 
elemento cercha, se obtiene 
 
 
Se obtiene 
 
 
 
Realizando la operación matricialmente K global = [T’]*[K local]*[T] se 
obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 135°), la 
numeración hace correspondencia con los grados de libertad globales 
mostrados en la Figura 2.1-b,” ya que el elemento fue girado”. 
 
1 2 3 4
7072,14 0 -7072,14 0 1
0 0 0 0 2
-7072,14 0 7072,14 0 3
0 0 0 0 4
[ k1 ] =
cosƟ senƟ 0 0
-senƟ cosƟ 0 0
0 0 cosƟ senƟ
0 0 -senƟ cosƟ
=[ T ]
-0,71 0,71 0 0
-0,71 -0,71 0 0
0 0 -0,71 0,71
0 0 -0,71 -0,71
[ T ] = 
24 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
En la siguiente ilustracion se puede apreciar la correspondencia de los grados 
de ibertad locales y globales, por que los grados de libertad 3 y 4 
permanecen igules en la matriz global y la forma en que opera la matriz de 
rotación del sistema resuelta en el primer capítulo. 
 
 
 
 
Matriz de rigidez global del elemento 1 en kN/m resulta 
 
 
 
 
 
 
 
 
Locales 1 2 3 4
Globales 5 6 3 4
3536,07 -3536,07 -3536,07 3536,07 5 1
-3536,07 3536,07 3536,07 -3536,07 6 2
-3536,07 3536,07 3536,07 -3536,07 3 3
3536,07 -3536,07 -3536,07 3536,07 4 4
G
lo
b
a
le
s
L
o
c
a
le
s
[T'][k][T] =
25 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Elemento 2 
 
Angulo de rotación 63,43° (2,36 rad). 
 
 
 
Matriz de rigidez en coordenadas locales kN/m será 
 
 
 
Matriz de rotación para 63,43° 
 
 
 
E= 200000000 kpas
L= 2,24 m
A= 1,0 cm2
A= 0,0001 m2
Ѳ= 63,43 °
Ѳ= 1,11 rad
1 2 3 4
8944,54 0,00 -8944,54 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-8944,54 0,00 8944,54 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k2 ] =
0,447 0,894 0,0 0,0
-0,894 0,447 0,0 0,0
0,0 0,0 0,447 0,894
0,0 0,0 -0,894 0,447
[ T ] =
26 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rigidez global del elemento 2: K global= [T’]*[K local]*[T] 
 
 
Elemento 3 
 
Angulo de rotación 116,56° (2,03 rad). 
 
 
 
Matriz de rigidez con coordenadas locales en kN/m 
 
 
 
5 6 1 2
1789,53 3578,28 -1789,53 -3578,28 5
3578,28 7155,02 -3578,28 -7155,02 6
-1789,53 -3578,28 1789,53 3578,28 1
-3578,28 -7155,02 3578,28 7155,02 2
[K2] =
E= 200000000 kpas
L= 4,47 m
A= 1,0 cm2
A= 0,0001 m2
Ѳ= 116,56 °
Ѳ= 2,03 rad
1 2 3 4
4472,27 0,00 -4472,27 0,00 1
0,00 0,00 0,00 0,00 2
-4472,27 0,00 4472,27 0,00 3
0,00 0,00 0,00 0,00 4
[ k3 ] =
27 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rotación para 116,56° 
 
 
 
Matriz de rigidez global del elemento 3 en kN/m 
 
 
 
 
Elemento 4 
 
Angulo de rotación 90° (1,57 rad). 
 
 
 
-0,447 0,894 0,0 0,0
-0,894 -0,447 0,0 0,0
0,0 0,0 -0,447 0,894
0,0 0,0 -0,894 -0,447
[ T ] =
7 8 3 4
894,14 -1788,67 -894,14 1788,67 7
-1788,67 3578,13 1788,67 -3578,13 8
-894,14 1788,67 894,14 -1788,67 3
1788,67 -3578,13 -1788,67 3578,13 4
[K3] =
E= 200000000 kpas
L= 2,00 m
A= 1,0 cm2
A= 0,0001 m2
Ѳ= 90,00 °
Ѳ= 1,57 rad
28 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rigidez local en kN/m 
 
 
 
Matriz de rotación para 90° 
 
 
 
Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento 4 en kN/m 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4
10000,00 0 -10000,00 0 1
0 0 0 0 2
-10000,00 0 10000,00 0 3
0 0 0 0 4
[ k4 ] =
0,0 1,0 0,0 0,0
-1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0
0,0 0,0 -1,0 0,0
[ T ] =
7 8 5 6
0,0 0,0 0,0 0,0 7
0,0 10000,0 0,0 -10000,0 8
0,0 0,0 0,0 0,0 5
0,0 -10000,0 0,0 10000,0 6
[ K4 ] =
29 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Elemento 5 
 
Angulo de rotación 75,96° (1,33 rad). 
 
 
 
Matriz de rigidez local en kN/m 
 
 
Matriz de rotación para 75,96° 
 
 
 
 
 
E= 200000000 kpas
L= 4,12 m
A= 1,0 cm2
A= 0,0001 m2
Ѳ= 75,96 °
Ѳ= 1,33 rad
1 2 3 4
4850,84 0,00 -4850,84 0,00 1
0,00 0,00 0,00 0,00 2
-4850,84 0,00 4850,84 0,00 3
0,00 0,00 0,00 0,00 4
[ k5 ] =
0,243 0,970 0,0 0,0
-0,970 0,243 0,0 0,0
0,0 0,0 0,243 0,970
0,0 0,0 -0,970 0,243
[ T ] =
30Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento 5 en kN/m 
 
 
Matriz de rigidez de la cercha 
 
Para obtener la matriz de rigidez de toda la estructura, se tendrá en cuenta 
que la rigidez concentrada en un nodo es la suma de las contribuciones de la 
rigidez de todos los elementos estructurales conectados a tal nodo, por lo 
tanto se suma la rigidez que aporta cada elemento de su matriz de rigidez 
global, al final esta será cuadrada y simétrica del tamaño de los grados de 
libertad establecidos en la numeración de la estructura, es decir matriz de 
K8x8. 
 
Ejemplo: 
 
K1,2= (K1,2) 
e1
 + K1,2 
e2
 + K1,2 
e3
 + K1,2 
e4
 + K1,2 
e5 
K1,2= (0,0) + (3578) + (0,0) + (0,0) + (1141) 
K1,2= 4720 kN/m 
 
 
K 8, 5= K 8, 5 
e1 + K 8, 5 e2 + K 8, 5 e3 + K 8, 5 e4 + K 8, 5 e5 
K 8, 5= 0,00 + 0,00 + 0,00 + 0,00 + 0,00 
K 8, 5= 0,00 kN/m 
 
 
K 8, 7= K 8, 7 
e1 + K 8, 7 
e2 + K 8, 7
 e3 + K 8, 7 
e4 + K 8, 7 
e5 
K 8, 7= 0,00 + 0,00 + (-1788,67) + (0,00) + 1141,43 
K 8, 7= -647,24 kN/m 
7 8 1 2
285,37 1141,43 -285,37 -1141,43 7
1141,43 4565,46 -1141,43 -4565,46 8
-285,37 -1141,43 285,37 1141,43 1
-1141,43 -4565,46 1141,43 4565,46 2
[ K5 ] =
31 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
De esta manera se suman todas las rigideces que aportan cada elemento y se 
ensambla la matriz de rigidez de toda la estructura. 
 
Matriz de rigidez global de la cercha 
 
 
 
Los grados de libertad entre 1 y 4, están asociados a las fuerzas 
desconocidas de la cercha y sus desplazamientos serán 0, la matriz esta en 
unidades de kN/m. 
 
Vector de fuerzas actuantes en la cercha (F) en kN 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8
2074,9 4719,7 0,0 0,0 -1789,5 -3578,3 -285,4 -1141,4 1
4719,7 11720,5 0,0 0,0 -3578,3 -7155,0 -1141,4 -4565,5 2
0,0 0,0 4430,2 -5324,7 -3536,1 3536,1 -894,1 1788,7 3
0,0 0,0 -5324,7 7114,2 3536,1 -3536,1 1788,7 -3578,1 4
-1789,5 -3578,3 -3536,1 3536,1 5325,6 42,2 0,0 0,0 5
-3578,3 -7155,0 3536,1 -3536,1 42,2 20691,1 0,0 -10000,0 6
-285,4 -1141,4 -894,1 1788,7 0,0 0,0 1179,5 -647,2 7
-1141,4 -4565,5 1788,7 -3578,1 0,0 -10000,0 -647,2 18143,6 8
[ Ke ] =
gdl fuerzas
1 Bx
2 By
3 Ax
4 Ay
5 0
6 0
7 0
8 -90
Solo en el grado de libertad 8 existe una 
fuerza externa, por lo tanto los otros 
grados de libertad donde se presentaran 
desplazamiento no hay fuerzas externas, 
las fuerzas Bx, By, Ax y Ay son 
desconocidas, y corresponden a las 
reacciones. 
Fuerzas 
Desconocidas 
(Reacciones) 
Fuerzas 
Conocidas 
32 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Vector de desplazamientos 
 
Se sabe que La rigidez (K) está dada por: 
 
𝑲 =
𝐅
𝐔
 
 
La matriz de rigidez global de la cercha está estructurada como se muestra 
en la figura 2.1-c, conforme a la distribución de los grados de libertad 
establecidos en la discretización 
 
 
 
Representado la ecuación F=K*U con los esquemas matriciales del ejercicio 
resulta 
 
 
 
Figura 2.1-c. Representación general de la matriz de rigidez global de 
la estructura 
 
Fuerzas Desplazamientos
F 
desconocidas
Ktt Kt0 0
F conocidas K0t K00 U
=
Rigidez
gdl fuerzas
1 2 3 4 5 6 7 8
[U]
1 Bx 2074,9 4719,7 0,0 0,0 -1789,5 -3578,3 -285,4 -1141,4 1 0,0 1
2 By 4719,7 11720,5 0,0 0,0 -3578,3 -7155,0 -1141,4 -4565,5 2 0,0 2
3 Ax 0,0 0,0 4430,2 -5324,7 -3536,1 3536,1 -894,1 1788,7 3 0,0 3
4 Ay 0,0 0,0 -5324,7 7114,2 3536,1 -3536,1 1788,7 -3578,1 4 0,0 4
5 0 -1789,5 -3578,3 -3536,1 3536,1 5325,6 42,2 0,0 0,0 5 U5 5
6 0 -3578,3 -7155,0 3536,1 -3536,1 42,2 20691,1 0,0 -10000,0 6 U6 6
7 0 -285,4 -1141,4 -894,1 1788,7 0,0 0,0 1179,5 -647,2 7 U7 7
8 -90 -1141,4 -4565,5 1788,7 -3578,1 0,0 -10000,0 -647,2 18143,6 8 U8 8
= x
Donde F es la carga y U el desplazamiento elástico que 
produce dicha carga. 
 
Ktt Kt0 
K0t K00 
Uc 
Ud 
Fd 
Fc 
33 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Resolviendo la matriz, se obtiene 
 
Fd = [Ktt] [Uc] + [Kto] [Ud] 
Fd= [Kto][Ud] ecu. 1 
 
FC = [K0t] [0] + [K00][Ud] 
FC= [K00][Ud] ecu. 2 
 
Despejando los desplazamientos desconocidos (Ud) de la ecuación 2, Se 
obtiene: 
 
[Ud] = [K00]
-1[FC] (Desplazamientos para las fuerzas conocidas) 
 
Y las fuerzas desconocidas (Reacciones) serán la aplicación de la ecuación 1 
 
[Fd]= [Kt0] [Ud] (Reacciones de la estructura) 
 
Se sustrae la sub matriz de rigidez donde están asociadas las fuerzas 
conocidas (K00) para calcular los desplazamientos que estas producen en la 
cercha aplicando la ecuación anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 6 7 8
5325,59 42,21 0,00 0,00 5
42,21 20691,08 0,00 -10000,00 6
0,00 0,00 1179,51 -647,24 7
0,00 -10000,00 -647,24 18143,60 8
[K00]=
0 
0 
34 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Obteniendo la inversa de la matriz Kc: 
 
 
 
Los desplazamientos generados por las fuerzas externas aplicadas sobre la 
cercha serán: [U]= [K00]
-1 [P] 
 
 
 
Resolviendo matricialmente se obtiene: 
 
 U5= 0,0000266 m 
 U6= -0,0033575 m 
 U7= -0,0038120 m 
 U8= -0,0069469 m 
 
5 6 7 8
0,00018778 -0,00000053 -0,00000016 -0,00000030 5
-0,00000053 0,00006636 0,00002047 0,00003731 6
-0,00000016 0,00002047 0,00087105 0,00004236 7
-0,00000030 0,00003731 0,00004236 0,00007719 8
[K00]
-1 
= 
5 6 7 8 Fc gdl
0,00018778 -0,00000053 -0,00000016 -0,00000030 0 5
-0,00000053 0,00006636 0,00002047 0,00003731 0 6
-0,00000016 0,00002047 0,00087105 0,00004236 0 7
-0,00000030 0,00003731 0,00004236 0,00007719 -90 8
[U]= X
El desplazamiento horizontal y vertical en el 
Nodo D será: 
U7=-0,0038120 m ≈ 3,81 mm H ◄ 
U8=-0,0069469 m ≈ 6,947 mm V ▼ 
 
 
35 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
Figura 2.1-c. Deformada de la cercha debido a la aplicación de la 
carga de 90 kN en el nodo D. 
 
Fuerza interna del elemento AC 
 
Se sustraen los desplazamientos globales del elemento AC (elemento 1) 
teniendo en cuenta el número correspondiente a cada grado de libertad. 
 
 
 
U5= 0,00002661 m 
U6= -0,00335751 m 
U3= 0 
U4= 0 
 
 
 
 
36 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Es necesario conocer los desplazamientos locales del elemento para 
determinar su fuerza axial interna, así como establecer si el elemento está 
sometido a esfuerzos de tracción o compresión, para lo anterior se multiplica 
matricialmente la matriz de rotación del elemento por los desplazamientos 
globales calculados, de esta manera se obtiene 
 
[U Locales]= [T]*[U Globales] 
 
Donde la matriz de rotación “T” es 
 
Se establece la operación matricial 
 
 
 
u1= -0,002393 m 
u2= 0,002355 m 
u3= 0,00000 m 
u4= 0,00000 m 
 
Para obtener la fuerza axial interna del elemento se parte de la hipótesis 
principal del método, donde la rigidez es igual a una fuerza F sobre el 
desplazamiento elástico que esta produce. 
 
cosƟ senƟ 0 0
-senƟ cosƟ 0 0
0 0 cosƟ senƟ
0 0 -senƟ cosƟ
=[ T ]
Ug gdl
-0,707 0,707 0,000 0,000 0,000027 5
-0,707 -0,707 0,000 0,000 -0,003358 6
0,000 0,000 -0,707 0,707 0,000000 3
0,000 0,000 -0,707 -0,707 0,000000 4
[U] = X
Estos son los desplazamientos 
locales del elemento 1. 
37 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
𝐾 =
F
U
 
 
F = [K local]* [U local] (elemento 1). 
 
Se obtiene 
 
 
Resolviendo matricialmente se obtiene la fuerza interna del elemento: 
 
Bx= -16,92 kN 
By= 0 kN 
Ax= 16,92 kN 
Ay= 0 kN 
 
Teniendoen cuenta que los valores obtenidos anteriormente corresponden a 
la fuerza interna del elemento en sus coordenadas locales se determina el 
tipo de esfuerzo al que está sometido el elemento, en este caso son de 
tensión, ya que f1 es negativo es decir actúa en dirección contraria a la 
supuesta inicialmente, mientras que f3 es positiva como se observa en la 
figura 2.1-d, como se esperaba las fuerzas f2 y f4 serán cero porque es la 
funcionalidad de este tipo de elementos. 
 
 
Figura 2.1-d 
 
Fuerza axial del elemento será 16,92 kN (Tensión) 
UL gdl
7072,14 0,00 -7072,14 0,00 -0,002393
1
0,00 0,00 0,00 0,00 0,002355
2
-7072,14 0,00 7072,14 0,00 0,000000
3
0,00 0,00 0,00 0,00 0,000000
4
[f]= X
38 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
2.2 Ejercicio 2. Cercha rectangular con elementos inclinados 
 
Para la cercha mostrada en la figura 2.2-a. Determine el desplazamiento 
vertical en el nudo C y la fuerza interna del elemento BF, Considere A=1.27 
cm2 y E=200 000 MPa. 
 
 
 
Figura. 2.2-a 
 
 
Resolución: 
 
Propiedades de los elementos 
 
A=0,000127 m2 
E=200 000 000 kPa 
 
 
 
 
 
 
39 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 Numeración de los grados de libertad y elementos de la cercha 
 
 
Figura 2.1-b. Numeración de los grados de libertad y elementos de la 
cercha 
 
 Resumen de las propiedades de los elementos de la cercha 
 
 
 
Nota: los ángulos son medidos desde el eje global x positivo al eje longitudinal del elemento. 
Area (m2) L (m) Angulo 
Elemento 1 0,000127 1,20 90
Elemento 2 0,000127 1,44 56,309
Elemento 3 0,000127 1,20 90
Elemento 4 0,000127 1,56 50,194
Elemento 5 0,000127 1,20 90
Elemento 6 0,000127 0,80 0
Elemento 7 0,000127 1,00 0
Elemento 8 0,000127 0,80 0
Elemento 9 0,000127 1,00 0
40 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 Matriz de rigidez local y global de los elementos de la cercha 
 
Elemento 1 
 
Angulo de rotación 90° (1,57 rad). 
 
 
 
𝐀𝐄
𝐋
=
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝟕 ∗ 𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎
𝟏, 𝟐
 
 
 Por lo tanto la rigidez axial del elemento 1 será: 
 
𝐀𝐄
𝐋
= 𝟐𝟏 𝟏𝟔𝟔, 𝟔𝟕 𝐤𝐍/𝐦 
 
Sustituyendo el valor en la Matriz de rigidez local en kN/m se obtiene 
 
 
 
E= 200000000 kpas
L= 1,20 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 90,00 °
Ѳ= 1,57 rad
1 2 3 4
21166,67 0,00 -21166,67 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-21166,67 0,00 21166,67 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k1 ]=
41 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rotación del elemento: Angulo de rotación 90° (1,57 rad). 
 
 
 
 
Matriz de rigidez global del elemento en kN/m 
 
 
Elemento 2 
 
Angulo de rotación 56,309° (0,98 rad). 
 
 
0,000 1,000 0,000 0,000
-1,000 0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,000 1,000
0,000 0,000 -1,000 0,000
[ T ] = 
1 2 3 4
0,00 0,00 0,00 0,00 1
0,00 21166,67 0,00 -21166,67 2
0,00 0,00 0,00 0,00 3
0,00 -21166,67 0,00 21166,67 4
[ K1 ]=
E= 200000000 kpas
L= 1,4420 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 56,309 °
Ѳ= 0,98 rad
42 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rigidez local en kN/m 
 
 
Matriz de rotación del elemento: Angulo de rotación 56,309° (0,98 rad). 
 
 
 
 
Matriz de rigidez global del elemento en kN/m 
 
 
 
 
 
1 2 3 4
17614,42 0,00 -17614,42 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-17614,42 0,00 17614,42 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k2] =
0,555 0,832 0,000 0,000
-0,832 0,555 0,000 0,000
0,000 0,000 0,555 0,832
0,000 0,000 -0,832 0,555
[ T ] = 
1 2 5 6
5420,09 8129,84 -5420,09 -8129,84 1
8129,84 12194,34 -8129,84 -12194,34 2
-5420,09 -8129,84 5420,09 8129,84 5
-8129,84 -12194,34 8129,84 12194,34 6
[ K2] =
43 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Elemento 3 
 
Angulo de rotación 90° (1,57rad). 
 
 
 
Matriz de rigidez local del elemento en kN/m 
 
 
 
Matriz de rotación del elemento para 90° 
 
 
 
E= 200000000 kpas
L= 1,2000 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 90,000 °
Ѳ= 1,57 rad
1 2 3 4
21166,67 0,00 -21166,67 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-21166,67 0,00 21166,67 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k3 ] =
0,0 1,0 0,0 0,0
-1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0
0,0 0,0 -1,0 0,0
[ T ] = 
44 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rigidez global del elemento en kN/m 
 
 
 
Elemento 4 
 
Angulo de rotación 50,19° (0,88 rad). 
 
 
 
Matriz de rigidez local del elemento en kN/m 
 
 
11 12 5 6
0,00 0,00 0,00 0,00 11
0,00 21166,67 0,00 -21166,67 12
0,00 0,00 0,00 0,00 5
0,00 -21166,67 0,00 21166,67 6
[ K3 ] =
E= 200000000 kpas
L= 1,5620 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 50,194 °
Ѳ= 0,88 rad
1 2 3 4
16261,20 0,00 -16261,20 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-16261,20 0,00 16261,20 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k4] =
45 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rotación del elemento a 50,19° 
 
 
 
 
Matriz de rigidez global en kN/m 
 
 
 
Elemento 5 
 
Angulo de rotación 90° (1,57 rad). 
 
 
 
0,640 0,768 0,000 0,000
-0,768 0,640 0,000 0,000
0,000 0,000 0,640 0,768
0,000 0,000 -0,768 0,640
[ T ] = 
11 12 7 8
6664,55 7997,34 -6664,55 -7997,34 11
7997,34 9596,66 -7997,34 -9596,66 12
-6664,55 -7997,34 6664,55 7997,34 7
-7997,34 -9596,66 7997,34 9596,66 8
[ K4] =
E= 200000000 kpas
L= 1,2000 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 90,000 °
Ѳ= 1,57 rad
46 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rigidez local en kN/m 
 
 
 
Matriz de rotación del elemento a 90° 
 
 
 
 
Matriz de rigidez global del elemento en kN/m 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4
21166,67 0,00 -21166,67 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-21166,67 0,00 21166,67 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k5 ] =
0,0 1,0 0,0 0,0
-1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0
0,0 0,0 -1,0 0,0
[ T ] = 
9 10 7 8
0,0 0,0 0,0 0,0 9
0,0 21166,7 0,0 -21166,7 10
0,0 0,0 0,0 0,0 7
0,0 -21166,7 0,0 21166,7 8
[ K5 ] =
47 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Elemento 6 
 
Angulo de rotación 0° (0 rad). 
 
 
 
Matriz de rigidez local en kN/m 
 
 
Matriz de rotación; como no hay rotación del elemento la matriz de rotación 
tendrá solo el valor de uno en su diagonal (matriz identidad), multiplicando 
matricialmente por la matriz de rigidez local del elemento se obtendrá la 
misma matriz de rigidez local. 
 
 
E= 200000000 kpas
L= 0,8000 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 0,000 °
Ѳ= 0,00 rad
1 2 3 4
31750,00 0,00 -31750,00 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-31750,00 0,00 31750,00 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0
4
[ k6 ] =
1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 1,0 0,0 0,0
0,0 0,0 1,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0
[ T ] = 
48 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rigidez global del elemento en kN/m 
 
 
 
Elemento 7 
 
Angulo de rotación 0° (0 rad). 
 
 
 
Matriz de rigidez local en kN/m 
 
 
3 4 5 6
31750,00 0,00 -31750,00 0,00 3
0,00 0,00 0,00 0,00 4
-31750,00 0,00 31750,00 0,00 5
0,00 0,00 0,00 0,00 6
[ K6 ] =
E= 200000000 kpas
L= 1,0000 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 0,000 °
Ѳ= 0,00 rad
1 2 3 4
25400,00 0,00 -25400,00 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-25400,00 0,00 25400,00 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k7 ] =
49 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rotación del elemento para 0° 
 
 
 
 
Matriz de rigidez global del elemento en kN/m 
 
 
Elemento 8 
 
Angulo de rotación 0° (0 rad). 
 
 
 
 
1,000 0,000 0,000 0,000
0,000 1,000 0,000 0,000
0,000 0,000 1,000 0,0000,000 0,000 0,000 1,000
[ T ] = 
5 6 7 8
25400,00 0,00 -25400,00 0,00 5
0,00 0,00 0,00 0,00 6
-25400,00 0,00 25400,00 0,00 7
0,00 0,00 0,00 0,00 8
[ K7 ] =
E= 200000000 kpas
L= 0,8000 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 0,000 °
Ѳ= 0,00 rad
50 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rigidez local en kN/m 
 
 
Matriz de rotación del elemento para 0° 
 
 
 
 
Matriz de rigidez global en kN/m 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4
31750,00 0,00 -31750,00 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-31750,00 0,00 31750,00 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k8 ] =
1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 1,0 0,0 0,0
0,0 0,0 1,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0
[ T ] = 
1 2 11 12
31750,00 0,00 -31750,00 0,00 1
0,00 0,00 0,00 0,00 2
-31750,00 0,00 31750,00 0,00 11
0,00 0,00 0,00 0,00 12
[ K8 ] =
51 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Elemento 9 
 
Angulo de rotación 0° (0 rad). 
 
 
 
Matriz de rigidez local en kN/m 
 
 
Matriz de rotación para 0° 
 
 
E= 200000000 kpas
L= 1,0000 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 0,000 °
Ѳ= 0,00 rad
1 2 3 4
25400,0 0,0 -25400,0 0,0 1
0,0 0,0 0,0 0,0 2
-25400,0 0,0 25400,0 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k9 ] =
1,000 0,000 0,000 0,000
0,000 1,000 0,000 0,000
0,000 0,000 1,000 0,000
0,000 0,000 0,000 1,000
[ T ] = 
52 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rigidez global en kN/m 
 
 
 
Matriz de rigidez global de la cercha (kN/m) 
 
 
La matriz de rigidez de toda la cercha o armadura, se ensambla de igual 
manera como efectuó para el ejercicio 1.1, sumando los aportes de rigidez 
global de cada elemento a los nodos de la misma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 12 9 10
25400,00 0,00 -25400,00 0,00 11
0,00 0,00 0,00 0,00 12
-25400,00 0,00 25400,00 0,00 9
0,00 0,00 0,00 0,00 10
[ K9 ] =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
37170,1 8129,8 0,0 0,0 -5420,1 -8129,8 0,0 0,0 0,0 0,0 -31750,0 0,0 1
8129,8 33361,0 0,0 -21166,7 -8129,8 -12194,3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2
0,0 0,0 31750,0 0,0 -31750,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 3
0,0 -21166,7 0,0 21166,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 4
-5420,1 -8129,8 -31750,0 0,0 62570,1 8129,8 -25400,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 5
-8129,8 -12194,3 0,0 0,0 8129,8 33361,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -21166,7 6
0,0 0,0 0,0 0,0 -25400,0 0,0 32064,5 7997,3 0,0 0,0 -6664,5 -7997,3 7
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 7997,3 30763,3 0,0 -21166,7 -7997,3 -9596,7 8
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 25400,0 0,0 -25400,0 0,0 9
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -21166,7 0,0 21166,7 0,0 0,0 10
-31750,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -6664,5 -7997,3 -25400,0 0,0 63814,5 7997,3 11
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -21166,7 -7997,3 -9596,7 0,0 0,0 7997,3 30763,3 12
[KE]=
53 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Vector de fuerzas actuantes 
 
 
 
 
Vector de desplazamientos 
 
Para obtener los desplazamientos se aplica el procedimiento del ejercicio 
anterior, los cuales estarán dados por: 
 
[U]= [K00]
-1 [FC] Fc: son fuerzas conocidas 
 
Se sustrae la sub matriz de rigidez (K00) que asocia las fuerzas externas 
conocidas y los desplazamientos desconocidos (ver figura 2.1-c del ejercicio 
1.1). 
gdl Fuerzas
1 Ax
2 Ay
3 Bx
4 By
5 0
6 -15
7 0
8 -10
9 0
10 -15
11 0
12 0
El vector describe las fuerzas externas que 
actúan sobre la estructura y el grado de 
libertad asociado a esa fuerza, por ejemplo 
en el grado de libertad vertical No 8 actúa 10 
kN, en la dirección de la gravedad, en 
nuestro sistema de referencia será negativo. 
54 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
 
Obteniendo la inversa de la matriz Kc: 
 
 
Los desplazamientos generados por las fuerzas actuantes en la estructura 
estarán dados por: [U]= [KOO]
-1 [FC] 
 
 
 
5 6 7 8 9 10 11 12
62570,09 8129,84 -25400,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5
8129,84 33361,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -21166,67 6
-25400,00 0,00 32064,55 7997,34 0,00 0,00 -6664,55 -7997,34 7
0,00 0,00 7997,34 30763,32 0,00 -21166,67 -7997,34 -9596,66 8
0,00 0,00 0,00 0,00 25400,00 0,00 -25400,00 0,00 9
0,00 0,00 0,00 -21166,67 0,00 21166,67 0,00 0,00 10
0,00 0,00 -6664,55 -7997,34 -25400,00 0,00 63814,55 7997,34 11
0,00 -21166,67 -7997,34 -9596,66 0,00 0,00 7997,34 30763,32 12
[K00]=
5 6 7 8 9 10 11 12
0,00003 -0,00002 0,00003 -0,00005 0,00000 -0,00005 0,00000 -0,00002 5
-0,00002 0,00010 -0,00002 0,00011 0,00000 0,00011 0,00000 0,00010 6
0,00003 -0,00002 0,00007 -0,00008 0,00000 -0,00008 0,00000 -0,00002 7
-0,00005 0,00011 -0,00008 0,00035 0,00003 0,00035 0,00003 0,00016 8
0,00000 0,00000 0,00000 0,00003 0,00007 0,00003 0,00003 0,00000 9
-0,00005 0,00011 -0,00008 0,00035 0,00003 0,00040 0,00003 0,00016 10
0,00000 0,00000 0,00000 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00000 11
-0,00002 0,00010 -0,00002 0,00016 0,00000 0,00016 0,00000 0,00014 12
[KOO]
-1=
5 6 7 8 9 10 11 12
Fc
0,000031 -0,000021 0,000031 -0,000047 0,000000 -0,000047 0,000000 -0,000021 5 0 5
-0,000021 0,000096 -0,000021 0,000114 0,000000 0,000114 0,000000 0,000096 6 -15 6
0,000031 -0,000021 0,000071 -0,000080 0,000000 -0,000080 0,000000 -0,000021 7 0 7
-0,000047 0,000114 -0,000080 0,000354 0,000026 0,000354 0,000026 0,000161 8 -10 8
0,000000 0,000000 0,000000 0,000026 0,000071 0,000026 0,000031 0,000000 9 0 9
-0,000047 0,000114 -0,000080 0,000354 0,000026 0,000401 0,000026 0,000161 10 -15 10
0,000000 0,000000 0,000000 0,000026 0,000031 0,000026 0,000031 0,000000 11 0 11
-0,000021 0,000096 -0,000021 0,000161 0,000000 0,000161 0,000000 0,000143 12 0 12
[ U ] = X
55 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 U5= 0,001496 m 
U6= -0,004278 m 
U7= 0,002316 m 
U8= -0,010541 m 
U9= -0,000656 m 
U10= -0,011250 m 
U11= -0,000656 m 
U12= -0,005459 m 
 
 
 
Figura 2.2-c. Deformada de la cercha debido a las cargas 
 
 
Calculo de las reacciones de la cercha 
 
Las reacciones se calculan igual que el ejercicio anterior, si se conocen los 
desplazamientos, estos se multiplican matricialmente por la sub matriz de 
rigidez asociada a las fuerzas desconocidas (K0t) 
 
 
Fd= [Kt0]*[U] donde Fd son las fuerzas desconocidas (Reacciones) 
 
 
Aplicando la ecuación anterior, se obtiene 
El desplazamiento horizontal y vertical en el 
Nodo C será: 
 
U9= -0,000656 m ≈ 0,656 mm H ◄ 
U10= -0,0112 m ≈ 11,20 mm V ▼ 
 
 
56 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
 Ax= 47,5 kN 
 Ay= 40,0 kN 
 Bx= -47,5 kN 
 By= 0,0 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2-d. Reacciones en los apoyos de la cercha 
 
 
 
 
 
 
[U]
0,001496 5
5 6 7 8 9 10 11 12
-0,00428 6
-5420,1 -8129,8 0,0 0,0 0,0 0,0 -31750,0 0,0
1
0,002316 7
-8129,8 -12194,3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
2
-0,01054 8
-31750,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
3
-0,00066 9
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
4
-0,01125 10
-0,00066 11
-0,00546 12
8x1
X[F]=
4x8
57 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Fuerza axial del elemento BF 
 
Sustrayendo los desplazamientos globales del elemento BF (elemento 4) y 
teniendo en cuenta el número correspondiente a cada grado de libertad, se 
obtiene 
 
 
 
U11= -0,000656 m 
U12= -0,005459 m 
U7= 0,002316 m 
U8= -0,010541 m 
 
 
 
Se calculan los desplazamientos locales del elemento dando uso a la matriz 
de rotación para el ángulo de este elemento que es 50,19° (0,88 rad). 
 
 [U local]= [T]*[U global] 
 
De esta manera se establece la operación matricial como sigue 
 
 
 
u1= -0,00461 m 
u2= -0,00299 m 
u3= -0,00661 m 
u4= -0,00853m 
U globales
0,640 0,768 0,000 0,000 -0,000656
-0,768 0,640 0,000 0,000 -0,005459
0,000 0,000 0,640 0,768 0,002316
0,000 0,000 -0,768 0,640 -0,010541
4 x 1
X[ u4 local] = 
4 x 4
Estos son los desplazamientos 
locales del elemento 4. 
58 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Para calcular la fuerza interna del elemento se multiplica matricialmente la 
matriz de rigidez local del elemento por sus desplazamientos locales 
respectivamente. 
 
𝐾 =
F
U
 
 
f = [K local]* [U local] 
 
Se obtiene la operación matricial 
 
Resolviendo matricialmente se obtiene la fuerza axial interna del elemento: 
 
f1= 32,54 kN 
f2= 0,0 
f3= -32,54 kN 
f4= 0,00 
 
Mediante la resolución de la fuerza interna del elemento se observa que está 
sometido a esfuerzos de compresión, como se observa en la figura 2.1-e. en 
cuanto a las fuerzas f2 y f3, serán cero puesto que se trata de una cercha y 
solo se considera el aporte axial como se mencionó en el capítulo 1 de 
presente texto. 
 
Figura 2.2-e 
1 2 3 4 U locales
16261,20 0,00 -16261,20 0,00 1 -0,00461 1
0,00 0,00 0,00 0,00 2 -0,00299 2
-16261,20 0,00 16261,20 0,00 3 -0,00661 3
0,00 0,00 0,00 0,00 4 -0,00853 4
4 x 1
X[ f 4 ] = 
4 x 4
59 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
 
Capítulo 3 
VIGAS 
 
3.1 Ejercicio. Viga de tres luces con cargas puntual, continua y 
variable. 
 
Para la viga en concreto mostrada en la figura 3.1-a, encontrar las reacciones 
y el giro en el punto D, considere E= 20 GPa. 
 
 
 
 
Figura 3.1-a 
Resolución: 
 
Propiedades de la sección de la viga 
 
A=0,10 m2 
Iy=0,001333 m
4 
E=20 000 000 kPa 
 
60 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 Numeración de los grados de libertad y elementos de la viga 
 
Solo se tendrán en cuenta los grados de libertad verticales y giros ya que la 
viga estará sometida solo a fuerzas cortantes y flexión como se mencionó en 
el primer capítulo, como no existen cargas con componentes en la dirección 
X, la fuerza axial en cualquiera de los tres elementos será cero. 
 
La enumeración de los grados de libertad se realiza de manera que queden 
agrupados aquellos que no tienen restricción cinemática y los demás 
corresponderán a las reacciones de la viga, como se aprecia en la figura 3.1-b 
 
 
 
Figura 3.1-b Discretizacion de la viga 
 
 
Como se estableció en la discretización de la viga solo se estudiaran tres 
elementos conectados por sus nodos A, B, C y D, por lo tanto se llevaran las 
fuerzas equivalentes generadas por las distintas cargas sobre los elementos a 
cada nodo, para ello se asume la condición de empotramiento perfecto de los 
elementos y se calculan las reacciones para cada uno como se muestra en la 
figura 3.1-c. al final las fuerzas actuantes serán la suma de los efectos de las 
cargas de cada elemento teniendo en cuenta su dirección y magnitud, estas 
actuaran sobre la viga en el sentido contrario a la supuesta reacción. 
 
 
61 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
 
Figura 3.1-c 
 
Las fuerzas que actúan en los grados de libertad establecidos para el 
presente análisis son las que se presentan en la figura 3.1-d y 3.1-e, después 
de realizar la suma de los efectos debido a las cargas, y aplicación de la 
estática en el elemento 3 para obtener las reacciones verticales. 
 
 
 
Figura 3.1-d 
 
62 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
Figura 3.1-e. Fuerzas actuantes en los nodos de la viga 
 
De esta manera se obtienen las fuerzas actuantes sobre la viga, La dirección 
predominante de la carga corresponde a la de mayor magnitud, estas actúan 
en la dirección opuesta a reacción idealizada. 
 
Matriz de rigidez local y global de los elementos de la viga 
 
Para la obtención de la matriz de rigidez local de los elementos se sustituyen 
los valores de E, Iz y L en la matriz mostrada en el primer capítulo para 
vigas. 
 
Elemento 1 
 
Angulo de rotación 0° (0,0 rad). L=5.0 m 
 
 
 
E= 20000,00
E= 20000000,000 kpas
L= 5,00 m
B 0,25 m
H 0,40 m
A= 0,1000000
I= 0,0013333
Ѳ= 0,00 °
63 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
12EIy/L
3= 2560 kN/m 
6EIy/L
2= 6400 kN/m 
2EIy/L = 10666,67 kN/m 
4EIy/L = 21333,33 kN/m 
 
Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m 
 
 
 
Como los elementos de la viga están alineados horizontalmente no se 
presentaran rotaciones y no será necesario el uso de la matriz de 
transformación de coordenadas del sistema local a global ya que coinciden, 
siendo directamente la matriz de rigidez local la global, solo se agrega la 
correspondencia de los grados de libertad locales a los globales de la viga 
según el elemento. 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4
2560,00 6400,00 -2560,00 6400,00 1
6400,00 21333,33 -6400,00 10666,67 2
-2560,00 -6400,00 2560,00 -6400,00 3
6400,00 10666,67 -6400,00 21333,33 4
[ k1 ] =
1 2 3 8
2560,00 6400,00 -2560,00 6400,00 1
6400,00 21333,33 -6400,00 10666,67 2
-2560,00 -6400,00 2560,00 -6400,00 3
6400,00 10666,67 -6400,00 21333,33 8
[ K1 ] =
64 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Elemento 2 
 
Angulo de rotación 0° (0,0 rad). 
 
 
 
Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m 
 
 
Al igual que el elemento 1, el No 2 está alineado horizontalmente por lo tanto 
no se presentaran rotaciones y no será necesario el uso de la matriz de 
transformación de coordenadas del sistema local a global ya que coinciden. 
Solo se realiza la correspondencia de los grados de libertad locales a los 
globales de la viga según el elemento. 
 
 
 
 
E= 20000,00
E= 20000000,000 kpas
L= 4,50 m
B 0,25 m
H 0,40 m
A= 0,1000000
I= 0,0013333
Ѳ= 0,00 °
1 2 3 4
3511,66 7901,23 -3511,66 7901,23 1
7901,23 23703,70 -7901,23 11851,85 2
-3511,66 -7901,23 3511,66 -7901,23 3
7901,23 11851,85 -7901,23 23703,70 4
[ k2 ] =
65 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rigidez en coordenadas globales 
 
 
Elemento 3 
 
Angulo de rotación 0° (0,0 rad). 
 
 
 
3 8 4 7
3511,66 7901,23 -3511,66 7901,23 3
7901,23 23703,70 -7901,23 11851,85 8
-3511,66 -7901,23 3511,66 -7901,23 4
7901,23 11851,85 -7901,23 23703,70 7
[ K2 ] =
E= 20000000,0 kpas
L= 5,50 m
B 0,25 m
H 0,40 m
A= 0,1000000
I= 0,0013333
Ѳ= 0,00 °
1 2 3 4
1923,37 5289,26 -1923,37 5289,26 1
5289,26 19393,94 -5289,26 9696,97 2
-1923,37 -5289,26 1923,37 -5289,26 3
5289,26 9696,97 -5289,26 19393,94 4
[ k3 ] =
66 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m 
 
 
Matriz de rigidez en coordenadas globales 
 
 
 
Ensamble de la matriz de rigidez de la viga 
 
Ejemplo: 
 
K3,4= K3,4 elemento1 + K3,4 elemento2 + K3,4 elemento3 
K3,4= (0,0) + (-3511,66) + (0,0) 
K3,4= - 3511,66 kN/m 
 
K8,3= K8,3 elemento1 + K8,3 elemento2 + K8,3 elemento3 
K8,3= (-6400,00) + (7901,23) + (0,0) 
K8,3= 1501,23 kN/m 
 
 
4 7 5 6
1923,37 5289,26 -1923,37 5289,26 4
5289,26 19393,94 -5289,26 9696,97 7
-1923,37 -5289,26 1923,37 -5289,26 5
5289,26 9696,97 -5289,26 19393,94 6
[ K3 ] =
4 7 5 6
1923,37 5289,26 -1923,37 5289,26 4
5289,26 19393,94 -5289,26 9696,97 7
-1923,37 -5289,26 1923,37 -5289,26 5
5289,26 9696,97 -5289,26 19393,94 6
[ K3 ] =
67 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rigidez de la viga 
 
 
 
Los grados de libertad comprendidos entre 6 y 8 están asociadosa las 
fuerzas externas conocidas, mientras que los cinco primeros grados de 
libertad corresponden a las fuerzas desconocidas que son las reacciones de la 
viga. 
 
Vector de fuerzas 
 
A diferencia de los ejercicios anteriores, en este caso existen fuerzas que 
actúan en los nodos donde se presentaran las reacciones de la viga y que 
actúan en el sentido contrario a la misma reacción, por lo tanto afectara la 
magnitud final de cada una, como se observa en la figura 3.1-f. 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8
2560,0 6400,0 -2560,0 0,0 0,0 0,0 0,0 6400,0 1
6400,0 21333,3 -6400,0 0,0 0,0 0,0 0,0 10666,7 2
-2560,0 -6400,0 6071,7 -3511,7 0,0 0,0 7901,2 1501,2 3
0,0 0,0 -3511,7 5435,0 -1923,4 5289,3 -2612,0 -7901,2 4
0,0 0,0 0,0 -1923,4 1923,4 -5289,3 -5289,3 0,0 5
0,0 0,0 0,0 5289,3 -5289,3 19393,9 9697,0 0,0 6
0,0 0,0 7901,2 -2612,0 -5289,3 9697,0 43097,6 11851,9 7
6400,0 10666,7 1501,2 -7901,2 0,0 0,0 11851,9 45037,0 8
[Kviga] = 
68 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
 
Figura 3.1-f 
 
 
Vector de fuerzas sobre la viga en kN 
 
 
 
 
gdl Fuerzas
1 Ay-17,5
2 Ma-21,875
3 By-51,25
4 Cy-50,250
5 Dy-38,50
6 30,25
7 5,1458333
8 -3,4375
69 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Vector de desplazamientos 
 
Se sabe que la rigidez (K) es la relación entre una fuerza y el desplazamiento 
elástico que produce. 
 
𝐾 =
F
U
 
 
[U]= [K]-1 [F] ecu 3. 
 
 
Se sustrae la sub matriz de rigidez asociadas a las fuerzas conocidas (K00) 
para calcular sus desplazamientos aplicando la ecuación No 3. 
 
 
 
Obteniendo la inversa de la matriz [K00], resulta 
 
 
 
 
 
 
 
6 7 8
19393,9 9696,97 0 6
9696,97 43097,6 11851,9 7
0 11851,9 45037 8
[K00] = 
6 7 8
0,000059 -0,000014 0,000004 6
-0,000014 0,000028 -0,000007 7
0,000004 -0,000007 0,000024 8
[K00]
-1
= 
70 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Los desplazamientos serán 
 
 
 U6= 0,0016889 rad 
 U7= -0,0002583 rad 
 U8= -0,0000083 rad 
 
Reacciones en la base 
 
Las reacciones de la viga serán el producto de la sub matriz asociada al 
vector de fuerzas, con los desplazamientos calculados. 
 
[F]= [Kt0]*[U] 
 
 
 
 
 
 
6 7 8
Fuerzas
0,000059 -0,000014 0,000004 6 30,25 6
-0,000014 0,000028 -0,000007 7 5,15 7
0,000004 -0,000007 0,000024 8 -3,44 8
3 x 1
X[U] =
3 x 3
6 7 8
0 0 6400 1 [U]
0 0 10667 2 0,0016889 U6
0 7901 1501 3 -0,0002583 U7
5289 -2612 -7901 4 -0,0000083 U8
-5289 -5289 0 5 3 x 1
5 x 3
X[F] =
El giro en el punto D será: 
U8= 0,00169 rad 
71 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Las fuerzas en la base serán: 
 
F1= -0,053 kN 
F2= -0,089 kN 
F3= -2,053 kN 
F4= 9,6738 kN 
F5= -7,5668 kN 
 
Por lo tanto las reacciones en la base se obtendrán como sigue 
 
-0,053=Ay-17,5 ; Ay= 17,447 kN 
-0,089=Ma-21,875 ; Ma= 21,786 kN.m 
-2,053=By-51,25 ; By= 49,197 kN 
9,6738=Cy-50,250 ; Cy= 59,92 kN 
-7,566=Dy-38,50 ; Dy= 30,93 kN 
 
 
 
Figura 3.1-g. Reacciones de la viga 
 
 
 
 
 
 
72 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
3.2 Ejercicio. Viga de dos luces y sección en voladizo 
 
Para la viga en acero cuya sección transversal es de tipo cajón como se 
aprecia en la figura 3.2-a, encontrar la carga (P) aplicada en el punto C para 
que el giro en B sea 0,5° en el sentido horario. Asumir Es=200.000 MPa 
 
 
Figura 3.2-a 
 
Resolución: 
 
Propiedades de la sección de la viga 
 
A=0,0104 m2 
Iy=0,00004619 m
4 
E=200 000 000 kPa 
 
 Numeración de los grados de libertad y elementos de la viga 
 
Para la discretización de la viga solo se tendrán en cuenta los grados de 
libertad rotacionales del nudo A y B ya que se obtendría el momento y el giro 
respectivamente, para obtener las reacciones verticales en esos mismos 
nudos se calcularían por estática. 
 
73 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
Figura 3.2-b 
 
La carga P por la longitud del elemento BC sería el momento equivalente 
debido a esa carga que actúa en B, recordando que se asume la condición de 
empotramiento perfecto en los nudos de la viga como se muestra a 
continuación. 
 
 
 
 
Figura 3.2-c 
 
 
 
 
 
 
74 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
Figura 3.2-d. Fuerzas actuantes en los nodos A y B de la viga 
 
Como la viga solo tendrá un desplazamiento angular en el apoyo B la matriz 
de rigidez se puede determinar cancelando los renglones y filas asociados a 
los desplazamientos verticales de dicho elemento, se tiene 
 
 
 
Cancelando los renglones y filas expuestos anteriormente, se obtiene 
 
 
Z1 Y1 Z2 Y2
Z1
Y1
Z2
Y2
[k] =
 
 
 
 
-
 
 
 
 
 
 
-
 
 
-
 
 
 
 
-
 
 
-
 
 
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
De este modo, la matriz de rigidez será: 
 
 
 
Reemplazando los valores de E,I y L se obtiene la matriz de rigidez en kN/m: 
 
 
 
El vector de desplazamiento ya es conocido, será 0 en el empotramiento y en 
B no podrá girar más de 0,5° (0,00872 rad) según la magnitud de la carga. 
 
 
 
Y el vector de fuerzas será igual a: 
 
 
 
1 2
[ k ] =
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2
14780,80 7390,40 1
7390,40 14780,80 2
[ k ] =
 
0 1
-0,0087 2
[ U ] =
Ma - 0,781 1
2P - 0,781 2
[ F ] =
76 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Teniendo en cuenta que K=F/U y despejando la fuerza F= [K]*[U], se 
obtiene entonces: 
 
 
 
Resolviendo la matriz, se obtiene 
 
Ma – 0,781= 14781*0 - 7390,4*0,00872 (1) 
2P - 0,781= 7390*0 - 14781,8*0,00872 (2) 
 
Ma – 0,781= - 64,44 (1) 
2P - 0,781= - 128,88 (2) 
 
Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 se obtienen el momento en A y la carga 
para que se dé la condición inicial. 
 
Ma= -63,66 kN.m 
P= 64,06 kN 
 
La carga para que se presente una rotación de 0,5° en el nudo B deber ser de 
6,6 toneladas. 
 
 
 
 
 
 
Ma - 0,781 14780,80 7390,40 0
2P - 0,781 7390,40 14780,80 -0,00872
= x
 
77 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Capítulo 4 
PÓRTICOS PLANOS 
4.1 Análisis de pórtico simple con elemento en diagonal. 
 
Para el pórtico mostrado en la figura 4.1-a determine las reacciones en la 
base, desplazamiento horizontal y vertical en el punto C, así como las fuerzas 
internas del elemento AB. Los elementos CD y BD articulan 
independientemente en el nodo D. Considere E=200 GPa 
 
 
 
Fig. 4.1-a 
Resolución: 
 
Propiedades del perfil W14x132 
 
A= 0,0248 m2 
Iy= 0,000636 m4 
78 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Para enumerar los grados de libertad del pórtico es necesario tener claridad 
sobre los posibles desplazamientos y giros que se puedan presentar en los 
nudos para cada elemento, teniendo en cuenta las condiciones de frontera. 
 
Ejemplo: los elementos que convergen en el nodo D comparten los mismos 
grados de libertad horizontales y verticales, mas no tendrá el mismo ángulo 
de giro, por lo tanto cada uno tendrá un grado de libertad rotacional diferente 
como se observa en la figura 4.1-b. 
 
 
 
Figura 4.1- b 
 
 
Establecidos los nudos de pórtico (A, B, C y D), se llevan las fuerzas 
actuantes a cada uno. Debido a que se cuenta con un elemento con carga 
distribuida, se asume la condición de empotramiento perfecto en sus 
extremos y se calculansus reacciones como se observa en la figura 4.1-c, 
las cuales actuarán en esos nudos como fuerzas equivalentes del pórtico en el 
sentido opuesto de la reacción. 
79 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
Figura 4.1- c 
 
Las fuerzas equivalentes que actúan en los nodos del pórtico formaran parte 
del vector de fuerzas en el arreglo matricial, y se resumen en la figura 4.1–d. 
 
 
Figura 4.1- d 
80 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Se sabe que la matriz de rigidez de un elemento en el sistema global está 
dado por: 
 
K global= [T’]*[K local]*[T] 
 
Donde T es la matriz de rotación de coordenadas presentada en el capítulo 1 
par elementos tipo pórticos. 
 
Matriz de rigidez local y global de los elementos del pórtico 
 
Para la obtención de la matriz de rigidez local de los elementos se 
reemplazan los valores de A, E, Iz y L de la matriz de un elemento pórtico 
establecido en el primer capítulo. 
 
Elemento 1 
 
Angulo de rotación 90° (1,57 rad). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E= 200000000 kpas
L= 3,00 m
A= 0,02480 m2
I= 0,0006360
Ѳ= 90,00 °
Ѳ= 1,57 rad
81 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m 
 
 
 
La numeración representa los grados de libertad locales del elemento. 
 
Para un ángulo de rotación de 90° medido desde el eje global positivo (X) al 
eje local positivo longitudinal del elemento y sustituyéndolo en la matriz de 
transformación de coordenadas, se obtiene 
 
 
 
Realizando la operación matricialmente K global= [T’][K local][T] se obtiene 
la matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°), la numeración hace 
correspondencia con los grados de libertad globales mostrados en la figura 
4.1- b. 
 
 
 
1 2 3 4 5 6
1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 0,00 1
0,00 56533,33 84800,00 0,00 -56533,33 84800,00 2
0,00 84800,00 169600,00 0,00 -84800,00 84800,00 3
-1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 0,00 4
0,00 -56533,33 -84800,00 0,00 56533,33 -84800,00 5
0,00 84800,00 84800,00 0,00 -84800,00 169600,00 6
[ k1 ] =
0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0
-1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0
0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0
[ T ] =
82 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Se obtiene entonces: 
 
 
 
Elemento 2 
 
Angulo de rotación 139,4° (2,43 rads). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 11 12 13
56533,33 0,00 -84800,00 -56533,33 0,00 -84800,00 1
0,00 1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 2
-84800,00 0,00 169600,00 84800,00 0,00 84800,00 3
-56533,33 0,00 84800,00 56533,33 0,00 84800,00 11
0,00 -1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 12
-84800,00 0,00 84800,00 84800,00 0,00 169600,00 13
[ K1 ] =
E= 200,00 Gpas
E= 200000000 kpas
L= 4,609 m
A= 0,02480 m2
I= 0,0006360
Ѳ= 139,40 °
Ѳ= 2,43 rad
83 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m 
 
 
Para el Angulo de rotación 139,4° (2,43 rads) en sentido anti horario se 
obtiene 
 
 
 
Matriz de rigidez global del elemento 2, asociado a los grados de libertad 
globales será: 
 
1 2 3 4 5 6
1076155,35 0,00 0,00 -1076155,35 0,00 0,00 1
0,00 15590,08 35927,33 0,00 -15590,08 35927,33 2
0,00 35927,33 110392,71 0,00 -35927,33 55196,35 3
-1076155,35 0,00 0,00 1076155,35 0,00 0,00 4
0,00 -15590,08 -35927,33 0,00 15590,08 -35927,33 5
0,00 35927,33 55196,35 0,00 -35927,33 110392,71 6
[ k2 ] =
-0,759 0,651 0,000 0,000 0,000 0,000
-0,651 -0,759 0,000 0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,000 -0,759 0,651 0,000
0,000 0,000 0,000 -0,651 -0,759 0,000
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000
[ T ] =
4 5 7 11 12 13
626998,44 -524040,35 -23380,58 -626998,44 524040,35 -23380,58 4
-524040,35 464746,98 -27278,59 524040,35 -464746,98 -27278,59 5
-23380,58 -27278,59 110392,71 23380,58 27278,59 55196,35 7
-626998,44 524040,35 23380,58 626998,44 -524040,35 23380,58 11
524040,35 -464746,98 27278,59 -524040,35 464746,98 27278,59 12
-23380,58 -27278,59 55196,35 23380,58 27278,59 110392,71 13
[ K2 ] =
84 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Elemento 3 
 
Angulo de rotación 90° (1,57 rads). 
 
 
 
 
Matriz de rigidez local en kN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
E= 200,00 Gpas
E= 200000000 kpas
L= 3,00 m
A= 0,02480 m2
I= 0,0006360
Ѳ= 90,00 °
Ѳ= 1,57 rad
1 2 3 4 5 6
1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 0,00 1
0,00 56533,33 84800,00 0,00 -56533,33 84800,00 2
0,00 84800,00 169600,00 0,00 -84800,00 84800,00 3
-1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 0,00 4
0,00 -56533,33 -84800,00 0,00 56533,33 -84800,00 5
0,00 84800,00 84800,00 0,00 -84800,00 169600,00 6
[ k3 ] =
85 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de transformación de coordenadas, Para el Angulo de rotación 90° 
(1,57 rads), se obtiene: 
 
 
Matriz de rigidez global del elemento No 3, asociado a los grados de libertad 
globales será: 
 
 
 
 
Elemento 4 
 
Angulo de rotación 0°, como no existe rotación del sistema, la matriz de 
rigidez local coincide con la global del elemento. 
0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00
-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00
0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00
[ T ] =
4 5 6 8 9 10
56533,33 0,00 -84800,00 -56533,33 0,00 -84800,00 4
0,00 1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 5
-84800,00 0,00 169600,00 84800,00 0,00 84800,00 6
-56533,33 0,00 84800,00 56533,33 0,00 84800,00 8
0,00 -1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 9
-84800,00 0,00 84800,00 84800,00 0,00 169600,00 10
[ K3 ] =
86 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
 
Matriz de rigidez local en kN/m 
 
 
 
Matriz de transformación de coordenadas, para el ángulo de rotación=0°, se 
obtiene 
 
E= 200,00 Gpas
E= 200000000 kpas
L= 3,50 m
A= 0,02480 m2
I= 0,0006360
Ѳ= 0,00 °
Ѳ= 0,00 rad
1 2 3 4 5 6
1417142,86 0,00 0,00 -1417142,86 0,00 0,00 1
0,00 35601,17 62302,04 0,00 -35601,17 62302,04 2
0,00 62302,04 145371,43 0,00 -62302,04 72685,71 3
-1417142,86 0,00 0,00 1417142,86 0,00 0,00 4
0,00 -35601,17 -62302,04 0,00 35601,17 -62302,04 5
0,00 62302,04 72685,71 0,00 -62302,04 145371,43 6
[ k4 ] = 
1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00
[ T ] =
87 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rigidez global del elemento No 4, asociado a los grados de libertad 
globales. 
 
 
 
Matriz de rigidez de la estructura 
 
Para obtener la matriz de rigidez de toda la estructura se suma la rigidez que 
aporta cada elemento, al final la matriz será cuadrada y simétrica del tamaño 
de los grados de libertad establecidos en la numeración de la figura 4.1-b, es 
decir M13x13. 
 
Ejemplo: 
 
K11,12= K11,12 elemento1 + K11,12 elemento2 + K11,12 elemento4 
K11,12= (0,0) + (-524040) + (0,0) 
 
K11,12= -524040 kN/m 
K13,13= K13,13 elemento1 + K13,13 elemento2 + K13,13 elemento4 
K13,13= (169600,0) + (110392,7) + (145371,4) 
 
 
K13,13= 425363,4 kN/m 
 
 
 
 
 
11 12 13 8 9 10
1417142,86 0,00 0,00 -1417142,86 0,00 0,00 11
0,00 35601,17 62302,04 0,00 -35601,17 62302,04 12
0,00 62302,04 145371,43 0,00 -62302,04 72685,71 13
-1417142,86 0,00 0,00 1417142,86 0,00 0,00 8
0,00 -35601,17 -62302,04 0,00 35601,17 -62302,04 9
0,00 62302,04 72685,71 0,00 -62302,04 145371,4310
[ K4 ] = 
88 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Matriz de rigidez del pórtico 
 
 
 
Los grados de libertad comprendidos entre 6 y 13 están asociadas a las 
fuerzas externas conocidas, mientras que los cinco primeros grados de 
libertad a las fuerzas desconocidas que son las reacciones en la base de la 
estructura. 
 
Vector de fuerzas externas 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
56533 0 -84800 0 0 0 0 0 0 0 -56533 0 -84800 1
0 1653333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1653333 0 2
-84800 0 169600 0 0 0 0 0 0 0 84800 0 84800 3
0 0 0 683532 -524040 -84800 -23381 -56533 0 -84800 -626998 524040 -23381 4
0 0 0 -524040 2118080 0 -27279 0 -1653333 0 524040 -464747 -27279 5
0 0 0 -84800 0 169600 0 84800 0 84800 0 0 0 6
0 0 0 -23381 -27279 0 110393 0 0 0 23381 27279 55196 7
0 0 0 -56533 0 84800 0 1473676 0 84800 -1417143 0 0 8
0 0 0 0 -1653333 0 0 0 1688934 -62302 0 -35601 -62302 9
0 0 0 -84800 0 84800 0 84800 -62302 314971 0 62302 72686 10
-56533 0 84800 -626998 524040 0 23381 -1417143 0 0 2100675 -524040 108181 11
0 -1653333 0 524040 -464747 0 27279 0 -35601 62302 -524040 2153681 89581 12
-84800 0 84800 -23381 -27279 0 55196 0 -62302 72686 108181 89581 425364 13
Equilibrio 70,0 1 2 3 4 5 6 7 8
[Ke] = 
gdl Fuerzas
1 Ax
2 Ay
3 MA
4 Dx
5 Dy
6 0
7 0
8 0
9 -35,00
10 20,42
11 100,00
12 -35,00
13 -20,42
Fuerzas desconocidas 
 (Reacciones) 
Fuerzas Conocidas 
89 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Vector de desplazamientos 
 
Se sabe que la rigidez (K) es la relación entre una fuerza y el desplazamiento 
elástico que produce. 
 
𝐾 =
F
U
 
 
[U]= [K]-1 [F] ecu 3. 
 
Se sustrae la sub matriz de rigidez [K00] donde actúan las fuerzas conocidas 
para calcular sus desplazamiento aplicando la ecuación No 3. 
 
 
 
Obteniendo la inversa de la matriz Kc: 
 
 
 
 
 
6 7 8 9 10 11 12 13
169600,0 0,0 84800,0 0,0 84800,0 0,0 0,0 0,0 6
0,0 110392,7 0,0 0,0 0,0 23380,6 27278,6 55196,4 7
84800,0 0,0 1473676,2 0,0 84800,0 -1417142,9 0,0 0,0 8
0,0 0,0 0,0 1688934,5 -62302,0 0,0 -35601,2 -62302,0 9
84800,0 0,0 84800,0 -62302,0 314971,4 0,0 62302,0 72685,7 10
0,0 23380,6 -1417142,9 0,0 0,0 2100674,6 -524040,4 108180,6 11
0,0 27278,6 0,0 -35601,2 62302,0 -524040,4 2153681,5 89580,6 12
0,0 55196,4 0,0 -62302,0 72685,7 108180,6 89580,6 425364,1 13
[K00]=
6 7 8 9 10 11 12 13
0,0000073 -0,0000001 -0,0000011 0,0000000 -0,0000018 -0,0000008 -0,0000002 0,0000005 6
-0,0000001 0,0000098 -0,0000003 0,0000000 0,0000004 -0,0000003 -0,0000002 -0,0000012 7
-0,0000011 -0,0000003 0,0000026 0,0000000 -0,0000004 0,0000019 0,0000005 -0,0000005 8
0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000006 0,0000001 0,0000000 0,0000000 0,0000001 9
-0,0000018 0,0000004 -0,0000004 0,0000001 0,0000040 -0,0000003 -0,0000002 -0,0000006 10
-0,0000008 -0,0000003 0,0000019 0,0000000 -0,0000003 0,0000019 0,0000005 -0,0000005 11
-0,0000002 -0,0000002 0,0000005 0,0000000 -0,0000002 0,0000005 0,0000006 -0,0000002 12
0,0000005 -0,0000012 -0,0000005 0,0000001 -0,0000006 -0,0000005 -0,0000002 0,0000028 13
[K00]
-1 =
90 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Los desplazamientos en los grados de libertad serán: [U]= [K00]
-1 [F] 
 
 
 
Se obtienen entonces los desplazamientos para cada grado de libertad 
 
U6= -0,000121 rad 
U7= 0,0000127 rad 
U8= 0,0001755 m 
U9= -0,0000219 m 
U10= 0,0000668 rad 
U11= 0,0001793 m 
U12= 0,0000297 m 
U13= -0,0001161 rad 
 
Reacciones en la base 
 
Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector 
de fuerzas (K0t), con los desplazamientos calculados. 
 
[f]= [K0t]*[U] ecu 4. 
 
6 7 8 9 10 11 12 13 Fuerzas
0,0000073 -0,0000001 -0,0000011 0,0000000 -0,0000018 -0,0000008 -0,0000002 0,0000005 6 0 6
-0,0000001 0,0000098 -0,0000003 0,0000000 0,0000004 -0,0000003 -0,0000002 -0,0000012 7 0 7
-0,0000011 -0,0000003 0,0000026 0,0000000 -0,0000004 0,0000019 0,0000005 -0,0000005 8 0 8
0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000006 0,0000001 0,0000000 0,0000000 0,0000001 9 -35,00 9
-0,0000018 0,0000004 -0,0000004 0,0000001 0,0000040 -0,0000003 -0,0000002 -0,0000006 10 20,42 10
-0,0000008 -0,0000003 0,0000019 0,0000000 -0,0000003 0,0000019 0,0000005 -0,0000005 11 100,00 11
-0,0000002 -0,0000002 0,0000005 0,0000000 -0,0000002 0,0000005 0,0000006 -0,0000002 12 -35,00 12
0,0000005 -0,0000012 -0,0000005 0,0000001 -0,0000006 -0,0000005 -0,0000002 0,0000028 13 -20,42 13
[K00]
-1 = X
[U]
-0,0001211 U6
6 7 8 9 10 11 12 13 0,0000127 U7
0 0 0 0 0 -56533 0 -84800 1 0,0001755 U8
0 0 0 0 0 0 -1653333 0 2 -0,0000219 U9
0 0 0 0 0 84800 0 84800 3 0,0000668 U10
-84800 -23381 -56533 0 -84800 -626998 524040 -23381 4 0,0001793 U11
0 -27279 0 -1653333 0 524040 -464747 -27279 5 0,0000297 U12
-0,0001161 U13
8 x 1
x
5 x 8
[ F ] =
El desplazamiento horizontal y 
vertical en el punto C será: 
 
U8= 0,000176m ≈ 0.176mm H► 
U9= -0,000022m≈ 0.22mm V ▼ 
91 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
Las reacciones en la base serán: 
 
Ax= -0,29 kN 
Ay= -49,2 kN 
MA= 5,36 kN.m 
Dx= -99,7 kN 
Dy= 119,2 kN 
 
 
 
 
Figura 4.1- e. Reacciones de la estructura 
 
92 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
 
Figura 4.1- f. Deformación de la estructura debida a las cargas 
externas 
 
Fuerzas internas del elemento 1 
 
Se sabe que las coordenadas locales del sistema en función de las globales 
para un elemento tipo pórtico está dada por: 
 
 
 
Con la matriz de transformación de coordenadas multiplicada matricialmente 
por los desplazamientos globales del elemento 1, se obtienen 
desplazamientos locales del elemento para el posterior cálculo de las fuerzas 
internas de este como se ha realizado en los ejercicios anteriores 
93 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 Desplazamientos locales del Elemento 1 
 
Se sustraen los desplazamientos globales del elemento teniendo en cuenta el 
número correspondiente a cada grado de libertad. 
 
 
 
 
 
Para Los desplazamientos en coordenadas locales serán UL= [T]*UG, resulta 
entonces 
 
 
 
U global
1 0,00
2 0,00
3 0,00
11 0,000179
12 0,000030
13 -0,000116
U global
0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,000000 1
-1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,000000 2
0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,000000 3
0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,000179 11
0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0 0,000030 12
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 -0,000116 13
U local = x
94 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
 
Aplicando la ecuación [f]= [k1]*[U1 local] se obtendrán las fuerzas internas del 
elemento 1: 
 
 
Por lo tanto las fuerzas internas del elemento 1 serán: 
 
 
0,0000000 1
0,0000000 2
0,0000000 3
0,0000297 4
-0,0001793 5
-0,0001161 6
1 2
U local = 
1 2 3 4 5 6 U local
1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 0,00 0,0000000 1
0,00 56533,33 84800,00 0,00 -56533,33 84800,00 0,0000000 2
0,00 84800,00 169600,00 0,00 -84800,00 84800,00 0,0000000 3
-1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 0,00 0,0000297 4
0,00 -56533,33 -84800,00 0,00 56533,33 -84800,00 -0,0001793 5
0,00 84800,00 84800,00 0,00 -84800,00 169600,00 -0,0001161 6
6 x 16 x 6
[ f1 ] = x
f internas
1(A1)
-49,18 kN
2(v1)
0,29 kN
3(M1)
5,36 kN.m
4(A2)
49,18 kN
5(v2)
-0,29 kN
6(M2)
-4,49 kN.m
95 
 
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos 
 
 
Como los momentos tienen signos contrarios indica que el elemento se curva 
simplemente. 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1- G. Fuerzas internas del elemento 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
96 
 
Análisis de estructuras por el Método