Expresiones algebraicas Resumen 2020

Vista previa del material en texto

Prof. Emilio Oqui	CENS 3-455 	Curso 2°1°
	 MATEMÁTICA	 2020
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por las operaciones elementales de adición (o suma), sustracción (o resta), multiplicación, división, potenciación o radicación. 
La manipulación de expresiones algebraicas tiene las mismas propiedades que la manipulación de expresiones numéricas, ya que las letras se comportan como si fuesen números. 
Un ejemplo típico de una expresión algebraica, podría ser: 
Se observa que se coloca entre paréntesis la variable (letra) que aparece en ella. 
El valor numérico de una expresión algebraica se halla sustituyendo la letra por un número determinado. 
Expresiones algebraicas enteras
Son aquellas expresiones algebraicas en las que las únicas operaciones en las que participan las letras son sumas, restas, multiplicación y potenciación con exponentes naturales. 
A su vez, las expresiones algebraicas enteras se clasifican en monomios y polinomios.
Monomios: son expresiones algebraicas compuestas por un coeficiente numérico y una parte literal.
· Coeficiente: Es el número que aparece multiplicando a las variables. 
Ejemplos: 
El coeficiente del monomio es 3
El coeficiente del monomio es 
El coeficiente del monomio es 1 
El coeficiente del monomio es 
El coeficiente del monomio x es 1 
· Parte literal: Está constituida por las letras y sus exponentes. 
Ejemplos: 
La parte literal del monomio es 
La parte literal del monomio es
La parte literal del monomio 2.a.b.c es a.b.c 
El monomio 5 no tiene parte literal 
La parte literal del monomio x es x 
· Grado: Es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. 
Ejemplos: 
El grado del monomio es 3+2+1=6
El grado del monomio es 2+1=3
El grado del monomio 2.a.b.c es 1 + 1 + 1 = 3 
El grado del monomio 5 es 0 
El grado del monomio x es 1
Los monomios que poseen la misma parte literal se denominan semejantes. Ejemplo
Operaciones con monomios
Suma de monomios semejantes
Para sumar monomios semejantes se realiza la suma algebraica de los coeficientes de los monomios dados y se utiliza la misma parte literal. 
Ejemplo:
 ; ; 
 
Resolver
· 
· 
Resta de monomios semejantes
En la resta el sustraendo cambiará su signo al suprimir el paréntesis, luego se procede como en la suma.
Resolver:
· 
· 
Multiplicación o producto de monomios
La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene aplicando la propiedad de la potenciación “productos de potencias de igual base”. Por lo tanto no es necesario que los monomios sean semejantes 
Resolver
· 
División de monomios
El coeficiente se obtiene dividiendo los coeficientes del dividendo y del divisor, en tanto para la parte literal se aplica la propiedad “división de potencias de igual base”
Resolver
· 
· 
Potencia de un monomio 
Para realizar la potencia de un monomio se eleva cada elemento de este al exponente que indique la potencia. 
Ejemplos: 
Realiza las siguientes operaciones entre monomios
1. Sumar: ; ; 
2. Sumar: 9.x.y ; -2.x.y ; 13.x.y ; -x.y
3. 
4. 
5. 
6. 
7. (-2.a) . (2.a) . (2.) = 
8. 
9. 
10. 
Ejercicios combinados:
11. 
12. (6.
13. 
Polinomios:
La suma algebraica de monomios no semejantes da lugar a la formación de los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica entera formada por un número finito de monomios separados por el signo + o –
De acuerdo a la cantidad de términos los polinomios se designan: monomios (1término), bínomios, trinomios, cuatrinomios y en general polinomios de n términos.
En el ejemplo:
2, -1,-12, 12 son los coeficientes del polinomio
x es la variable
12 es el término independiente
-1 es el coeficiente principal
3 es el grado
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio es el mayor exponente al que se encuentra elevada una de sus variables indeterminadas
Ejemplo
 es un polinomio de grado 4
 es un polinomio de grado 5 respecto de a y grado 3 respecto de b
Polinomios ordenados
Un polinomio se puede ordenar en forma creciente o decreciente teniendo en cuenta los exponentes que presentan cada una de sus variables
Ejemplo:
 ordenado en forma decreciente sería: ; y en forma creciente: 
Polinomio completo:
Un polinomio está completo si con respecto a una variable están presentes todas las potencias inferiores a la de mayor exponente. Cuando ello no sucede el mismo se puede completar.
Ejemplo:
El polinomio ; es completo y ordenado
El polinomio ; no es completo. Si está ordenado lo podemos completar del siguiente modo: 
Es decir, se agregan los términos de las potencias faltantes con coeficiente 0 (cero)
Operaciones con polinomios:
Suma de polinomios:
Sea la siguiente suma: 
 	se suprimen los paréntesis
 	se suman los monomios semejantes
Resuelve:
Resta de polinomios:
El procedimiento es similar al de la suma. Recordar que todos los términos del polinomio sustraendo modificaran sus signos al suprimir los paréntesis.
Ejemplo: 
Multiplicación de polinomios: Se pueden presentar dos casos:
· Multiplicación de monomio por un polinomio: en este caso se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma algebraica.
· Multiplicación entre polinomios: se aplica la propiedad distributiva, se resuelven las multiplicaciones entre monomios y para finalizar se agrupan los monomios semejantes.
Resolver:
División de polinomios: También se pueden presentar dos casos
Consideremos estos dos polinomios, uno como dividendo D(x), y otro como divisor d(x)
En una división exacta de polinomios, el resto es igual a cero.
Dividir el polinomio D(x) entre el polinomio d(x) es hallar otro polinomio cociente c(x) tal que multiplicado por el divisor y sumado el resto, dé el dividendo: 
 D(x)=d(x).c(x)+ R(x) Esta es la propiedad fundamental de la división
En las divisiones exactas el resto es cero: R(x)=0 ; en cambio en la divisiones inexactas, el dividendo D(x) no es múltiplo del divisor d(x), por lo cual el resto será distinto de cero: R(x)≠0 ; pero siempre se va a cumplir la propiedad fundamental de la división.
El grado del polinomio resto R(x) es siempre menor que el grado del polinomio divisor d(x).
· División de un polinomio por un monomio: 
	Se invierte el monomio
	Se aplica la propiedad distributiva
	El grado del dividendo debe ser mayor que el grado del divisor
· División entre polinomios:
Para realizar la división de D(x) entre d(x) se procede del modo siguiente:
1. Se colocan los polinomios igual que en la división de números y ordenados de forma creciente.
2. Se divide el primer monomio del dividendo  por el primer monomio del divisor. El resultado se pone en el cociente.
3. Se multiplica el cociente  por el divisor  y el producto obtenido se resta del dividendo:
Como hay que restar  del  dividendo, le sumamos el opuesto:
4. Se baja el término siguiente: 30x , y se divide, como en el apartado 2, el primer monomio del dividendo (-5x³) por el primer monomio del divisor (x²), es decir:
 y se coloca -5x en el cociente
5. Se multiplica -5x por el divisor (x² + 3x – 2) y el producto obtenido se resta del dividendo:
Como hay que restar -5.x³ – 15.x² + 10.x del dividendo, le sumamos el opuesto: 5.x³ + 15.x² - 10.x
6. Se baja el último término -20, y se divide, como los apartados 2 y 4, el primer monomio del dividendo (6x²) por el primer monomio del divisor (x²)
6x² ÷ x² = 6 y se coloca 6 en el cociente
7. Se multiplica 6 por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo:
Como hay que restar este polinomio del dividendo, le sumamos el opuesto:
Como 2x no se puede dividir por x², la división se ha terminado.
Entonces obtenemos que el polinomio cociente es: 
y el polinomio resto es: 
Comprobamos que: grado c(x) = gradoD (x) - grado d(x)
Grado c(x) = 4 - 2 = 2
Yque: D(x)=d(x).c(x)+R(x)
Resuelve las siguientes operaciones polinómicas
· Sumas y restas:
1. Sumar ; 
2. Restar 
3. 
4. 
5. 
· Multiplicación
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
· División:
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
Igualdades notables:
Las igualdades notables son identidades que podemos utilizar siempre que queramos para hacer los cálculos más sencillos.
Las igualdades notables que vamos a ver en esta clase son:
· Cuadrado de un binomio
· Cubo de un binomio
Cuadrado de un binomio:
· Cuadrado de una suma
El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
Ejemplo: 
· Cuadrado de una diferencia
El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
Ejemplo: 
Cubo de un binomio:
· Cubo de una suma
El cubo de una suma es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo.
Ejemplo: 
· Cubo de una diferencia
El cubo de una diferencia es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero por el cuadrado del segundo menos el cubo del segundo.
Ejemplo: 
Resolver:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
5 de 10