Ensaios do Materiais - Amauri Garcia - 2ª edição

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E Sal OS os Mate r ais 
Am aruri Garcia 
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Jaime Alvares Spim 
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Ullh'!! :2"idadt: .F ~;;deral. do Ri: o Gr.mLl~ rio Sul - U PRGS 
Carlos Alexandre dos Santos 
E.n~abetro Mecl.r.'lloo 
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~'.tufr:!SiUt' Mj\U to da. F1lculriadt> ~ E.!l:~b;u:l::!J 
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qUI! .rullj:!:m f!::W [lt:J te." lo . .'\x:~i:m., !Sãt:i XJO-\•io;lil ~ t:UClliillit:a~,J~Je!ro rl.le 1.:.' uá..-iallr :St:brul 
rnr~ ou ~..r~'}!siOe:s tl!!rat!:~Lcll- Z!.CI r.:oott;ti.clu ou ao m:'l(el ~a~g_irn tt-- I!"J:CI~m c 
i!p.rÍmU::Q".tml!nlil r:h e:Jj'i~ rl.l.'!u.:"dli. Q mr.:teJt~'U5o d DS le:lnm!S (:OdeCl ~- e;:ra;:nmltõUXJllo 
.1 L TC .... D..i'i'nJS Técnit;rn; t! C i"ftillliun. Edi_iiUoll pe:1u. i!-mai lU: _Knt.pusr.m.oom.hr. 
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L TC - l.í:v.rulii Tér.:oic:o. ~ Cí~clilir.:Lte~ !Edirw-i.ll l..!td:l. 
Um1.1 allturu ict~~ dtJ GE!..."'\1 1 t;:rupo !Edi~uriu~ NaducuJ 
~~~Jm lOOLJ!'i O !li din:i!11 . t p..-m~:&ru li clupl;.!;; ·fu:, cu rep..'1.XIu\;-fiO OC~J!. '!l'I:Jit:.mo;; r O';~ Li:Jdo 
n1.1.em Jl:'ITic , .mbq~i(fJe:r furTJ:e!!l ou pur quais1.1a.'l' e!!iw feleln'iniL-o, rttllr.:ãn-=-ccr . K,l!aY~au, 
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& u~ \'i!!:"Sidade- Esl:ad'lt!J di' Ci:hu1pJ~ãS- UD mp, L: \1•1.~ de:;: 5, experlbldas dl~tlci!.S. 
tr.lJtl!uou com a formãJJa.çl-;) Jruclal d ~ matr-J.~~::dllçllo. O ~J!!(to .objt.: va tsooticJalm.otill .t.: il'têJ -
d~r a !'J iua dt! wiid.l.!.~io reia~ üL"SCts dJ!' .Eh1Hl!tl!t31:1Já .M!!!"ãtflla .&w.n.harh.! Mo~,;talfuglc.:!i i! . "" . 
-d!: M ... tt il.l~ ~u~ ._ fonila. :11: qual I.! li oo~t .. lrlo I! .:.p.r . t::EtUdo t: sca.t IJM:t'tj_ta cuã!:ct" t~niJ.b-
o o 1uri'la.IM ~aJ-wl:lt.n:l apd \ ~ l.!lll ursas~.:: cxu:Jl..iào uJtl\·t.:r.si.tkla dE"Ss:u C'J tharh!.'S, bem 
oorn.ó cm cuíl'oo:s l.oô tl c"s. ~:t·.llr:; dt .Mt.:! ... ~Lca~ ~·1tl'i.31wgli!!M .. I:IJ.:rlais. 1.: aru ur:sas ~ctitlco: 
1f!: c.(J n t..ro .(! da. Q u · W3d ~ . 
O as:s w11tc ~ .Ú:t.:So(;fi'ICJ Jdo d~ moda (O~L:i;KJ< q~t.wlCJ po5..i('\·!!l. ao lo~o de l l capj[uló:S. :t\u. 
[H!NMfuçia. d.lsc-u~~.it! i!: utl ním lil dw Jtt.tiC'kkí.s a: da:=J tlpoo;s dt.e-Juillos t:'ii! :!.lbçá.O d.!.i C" ... -
r a!.l.~rú.tie a: mtclrucilS a da qt!l"Jidarlc da> p.11oduro d :.tran'W I! .. pós a scqu~cJa. d.e: ]l'taCI!SS!l::l de 
tt"l;l.fitlfa.n::iro' q t: t subel.ct.l.dt"J. (C .. p(llJU!o 1 )- Segut-s..e IW~l:l. aoo:rdáf:Ct"ll W!:s. poop -r:da.dc~ m .:,-
r ~ L .S. dt.! ~"'l't• ~lua.d.a:s. ~tm 11Sõ!.kl. q ú.t PJ OcC!lli"ann tdi!~tlr ~tu: a ·;!o d.t!' c arre; ::!.Jll("ntos. L"!. tl 
Cin ::cJ!':t"Jpon~e:J.toCS.. o CJllí! ~ klro Lr ... \' ." .d'E umi! ~Scqu~c lá d~ procr:s003 q!ja.s~ cHá! e os. de- LDU>t-
rn~~to dJ CIU'g;l 'llE~ uma de:tr..:tillllnach!. dl!foJoLa_çào do mate.rial.ilu sua OOJ~1plm ru:ptl!.t':l.. Sào 
oo ttruillo~ de e. a.;áa,. (ilmpre.s!-lào, d'1J.f1!2à, il~ila t: tore~, il1l."'!L das. ~as. CapJ~ulos.:! il. 5. Em 
s~ ·a~ nr:..s Ca.pfwl.os. 7 a: 9, ~o al'lali:S-a.&:rs os. COJTl]>O.fU.ltll!'r~t-os. rufcln~cos. dtoor.tdLtH. dl!' 
.:~Hua ü~ dh.- ~ s. de apl ç-J.o. dlu mL de rga. por Jnélo d.oo. c~S-'Ill.a.::: dt Ollt.:JLdil; fa.d~~ c 
lmpa .(J. lf.lillfll.O'It.~;;, "as Ci:!p(rulo liJ t: l [,são a.\'iillado~ . .ti!:Sj.:"l:!ctkl.1llil:lltJtt.ot:, O.i· cotnportaJl'll!.fL--
to de cmnporu:n .c:s ro!lr~ndo trlJ~c;:c <til ou d~ftir.os Jntemo::J~ ~de- OOíllJXillCn1J s.t!:brlv.:Ud.as a 
d.'t:tí!nl!:l lli!d:os. P'lLICi!'Si()S d~:: co;nfurfn<ID iló plástl (~ualo de h!Jl cirl.arl.~;; ... fta'tlll'il e llli.!..lo dl!' 
filbttJ::i ";lt)). Q 1 ~ú ~!.: Ctlã:".t Cüru a p . ~JLL;.'!JÇiiu d m.l:I.OOoi dt- ~~lLO:s q~ r:it.: k:àll:l.i!:ffi l~il 
p ró~ru peço ac"J. dil ou cornparJJ!:ílt ~;; i c- quto tl;..o ]l'fu·~·ooult nt!tlh~tm tiGJo dt:O il1tc~ PJ~If!:­
tfi.(:a óU. d.Jtt:Jt.:fl:!ilonal , t: ~o.Jt:anta Et;l-ó lD ' ab.JIJ~illll s.u:~ teu'lll.tlil~io (CJ1s lo::: nw d:t:lst.ru:t.~v-a:=J , 
Capj[ulo l2). CanJa wdo~ o::. t:tl o drYrtrn oó ~.:C!.! I:.' i.!. 'llJJl-3 l!.fii.forrul.rla -a.o, :-l~.u i:tpiL!s.en~.a.d<tl 
D.o 1~0 s ~rb1.d~~ .oorní.:ü [~eoica~ respoools.iVI!:JS. pe_a pi1.1llõJ~I1!3.çàü do~ m~odos de- ~uaJo. 
fu:Ct'clcl.os te~L\rldos !!' 1!).-r:fnptoo sâ.cl Jn.U/u.Jdos ~:u~rlodl..:a..~te:lll:e: ua ta o oo ~ntJd.o d{: fu:a.çãa 
dlo::J m~tCJdl)j, ~ ~o:L1salos e dos pl:'úCtdú:"it lll:l!llS. IIÍi; c.ál(.LI:lt:J, L: il\1 mo p~ ~t!!rmJ&r disc115.SlJl!S dl!' 
oo..~r.os. Llg;:t.lfos.!s. p:op L • des. me-cilr.J.::~ dü:=J nl4ll.cri..!k Nil f..nal do bvro, Jflcl~t1-~ u l!:s!a. 
:f..! ní!rdcla~ p!Dj)I)SW$. c .q-ut! de:1."Cfib ]Hef'llffil aLctoLI:e ~ rt:'iül"to dos. à uM:dl~ qu_e- 1)5 Cítph'Lifus. 
~.a ~ct"oo.ffidos;., J!I:3L"' ... ~ u.'l.! ob~eflha. I!Jl1 Jitâxlrno ;..:prow:itat:JLtfliD EíD!:. su:.Eiti!JS. illl: llsadoa. 
• E:i!á segunda eill ç io fo WJ M3li . .ad.:ti ~lt bsf.a.n ela i!!l mooifk a..; u i; m I) L to d O.:s 12 Cil p:l ru l.o.s 
d\) lk\'ro, a~ bl!r: T r-.1Q.lu, C.{J.lblp!L!S"Silul. DLLJ:Itl.l, Q[ç o, Fl.b:!a.., F.l~n.d:!.. ~.&.~ t [mpa.ct:o-
C-.ap:itulo.s. 2 a Y. :NQ i!fltJdo de p!:f'íb'iJ L t::l.'Ctlt'ltll!:i aptufu~t(L:mlitl'IEOS (:_1:'1 -~!:o":S'Ull.t_oo, OOi!'Jlí'l,lult.•.--
d.a~ de forma lruttici!i no ttteo dE:~~ ~ ulos, os Ap~ndla:!:. fo.ri!:ill t'ciormu do::: e· 
p ~il..l'ám de: l.ft:1 p;..Fa. ciJOOo~ Hc.LI!\rc tll:nW!n a t'JO:upo ção de !~"m :11.0\'ú E«".tdclos à. l.is.U de 
a.tuckla::~ ;:Jllopo~1o:=J, q~ á!E~g.c a~Eil wn l.o-!~ de 60 cur:dc.JDS.. Fol darl;.. partlcu.lilt a1.e:Jl.ç:áú 
l ;..[uáU~ . 3!=l tefe:tt.!~o.:lilS ~ nruruas li:cn Casl doo. t:!flS-aJOS, ano.:rda.do.s. fll] I~ u, Jii que- sàu 
l~úJ!Ift:!icl!l.df\'!! l.:s. p;!J a LDt'l~~ C.t~;;t:I!.IÇàO ~i:i'ãli d().S ~~MaS 1!: C:ú~flab.kd:tde- dO!:l r.ts.u'lr.a.d.o:s. 
Esta st:,g.·.w. t:d ção Lrlmtpo.r.!i.btda ro ~:: s.uJ a.do:s dill'l c:~~rJ~d~ didã!L as 'V•Vt?Jlo l.lifas .Ill) aF.-
SllJ""'tto por d.ui::l do::: '-'Oãt.ttore:s l ~ Lutl.rul~s. onde- i.o.LJ.tart.'l C.ó.J"l'ICJ doc-étl~ iLbS C11l:sos. di'! gr;..-
d çào t ~-~rad - Ç&ú. Uo~ras.Marl_~ fl!dl!'!ttl da Rio Gr-.!.ndt ®Sul ~;; Pml'ldflda U~"rct';!ldadt 
C-a'LÓUC;.. do ruo Gr-.1t)d.~;; 00 SuJ~ OOnl uma daq~la.s I!'XpC íl'Íl~I::i1.~das Sl .00 ;..LJto duri!.llti:.i u 
dt:sefi ·oL'vtmm ro de (lll'S.OS iillllais ra. t.:ng.c.nhe-lros. e- ~ Jli..Cos ()fgaruzado. pcbl ABM-
A~S(J..:.i3.Ç~ B.fa.slle·Lr'<!. de- Mt.:~afl.l!'SL3, .Mil.Wrr l:J e- M.we-..ra~ i!.m Si o Paulo. 
Agradecimentos 
O s i.J[uM:S aa de..:C'ftl à. U:r!d\'!(;:n:;L.u: de Eó!ad I d Ca11npi.J~~- Uolcam.p, à. l:tu'lcr::llrl.adl! FFID:: do RLo Gá'firul:t da Sl!.ll- UF.RC,..S c PoutJf !.:!. UulveJ~d:...dc C-aióllo!J do ltlo 
G!Wi! do Sul- PL"CRS pelll o~ortllinlda.de: ..:i.a.rl>J. para o de:sl!'nvol\(unt:nfo deste wxto. 
Sumário 
Introdução aos Ensaios do' Mate ri ai-' 1 
PROPRJJ EDADES M E.CAN~CAS 4 
• FINAUDADi DOS ENS/UOS DOS MATERIAIS 4 
• VANTAGENS DA NORMAL.IZA(ÁO 
DOS MATEIUAJS E MtiODOS DE ENSAIOS 4 
ClASSIFICAÇÃO DOS E NSAJOS DOS MA TElHAIS S 
fnsa~os. de Fabrkação 5 
Métoocs de Ensaio!§. .5 
Ensaio de Tra~ão 6 
• DEFINitÃO DO ENSAIO 6 
ENSAlO OONVilNC1 ONAl. 8 
• QONOEilOS DA REGIÃO DE. 
COMPOitT AME NTO ElÁSTICO (0 <: a '" ~ u"") 1 O 
Módulo de Elas;tit:idade (E} '11 
Dete:m&nra~êlo do m.ód lo de e a.s ddar:fe. 13 
Arllsotro.pLa do màd ulo de· e:la:stu::ídade 15 
Ca!!-fkí te d e- PotsSOfl {~ 17 
Mód ulo de elasticidade transv~al (G) 1 9 
Módulo de elastld.dade \'O umetrko (K) 'li'!J 
Mildulo d'e Fk!siliêm:ia ~U) 20 
Limite de ProparÕDI'lillillade fi(;rJJ e Limite de Escoarotento (uJ 2:0 
Efeito· Termae1asti~o 25 
An~lastit:idade 27 
Canceo .os da regia o de d~ lzamento deo d rSc:o.rdán 11'5 (llr.r a. :;r a.J 29 
Concek.os da rrf!'gl:to de e.m:ruamento un fa.:me (u, < ar aJ 32 
Curva TensãD-Deforma~ão Re_al (a. verw.s e~) 3:1 
Cll)efkiientil!' de R~i;stênda (11:) e Coeficiente de Encruam eliftO (n) J6 
Deternnnaç.:!lo .anilill ttUt deo k e .n ::!6 
Detetm na~êlo gratka de 1 e .n 37 
Insta bjli d:ade em 1 ração 39 
S! perplastlcida.de i'lá 
Conceitos. da e-.g!ao d-e enc · mento niC!Io un orm'!' (17.,. < ra: ::=; u ,] 41 
C~fi~nte de es.t cç.iio ou eduç2to de a·e.a (ljt-) ~1 
;1\!ongamento to. tal {!li.}. a:. ongarr~S~~1:o e:sped .co (.5] e 
deforma~Ciio na fratr:ua {1:J 4.2 
Módu o de tenKldad:e (U1) r. 2 
écnlca para o câl I c. do módulo de tenaddi!ide {UJ 44 
rndlce de a lsotrop a r4Ei 
pos; de fratura ~6 
C:onsi.dera~oe~ soble GEl e-su ados do ensaio de tr i!iÇilo 54 
Con der.açO:es sobre as dife rentes d 2lS.Si:eS ~ maten.a ls, 6~ 
Ens.aJos de t r.aç:to em poJrmeros 6'3 
ConS~.der.açoe.s sobre cs rtf'su tados e lnf'Oim.aÇ6e5 de- norme.s têocnlca5. 64 
EnY los de tr.açao em ba5 metâllcos 7 
ratamento esta'J:lstlco- da.:s re:s tado:s. n o tmSafc. d i! ra~-::J 73 
Ensarío de Compressão 7~6 
• EINSAI OS OONVE NCIONAl E: RlEAL 80 
O Ensa io de Com pressão vef.S'us o Ensaro tle Tração 81 
lnfttuéncias da Taxa d:e hforma~ão e da 
Temperatura no Ensa io de C:orn prE3isão 1 2 
O Ensaio d e ü nn ()ressãD nos DHer~enti!'S Ttpo.s de Materiais 83 
lnformare;ões 6erai:s s o bre o IEnsajo d~ 
G:Jmpres.são em M:all:eriais. Metâ lkos 84 
A Madeira no Ens aio ds 1Co mpres:são 85 
Res:lst~ncla mec~n ca da made-lra 87 
caractl?rfs .s flsk as da madel ra que afetam 2!:5 propnooade.s; ~nkazs; :&a 
P nclpaJs; defe a-s da, estrutur.a da mad ra 91 
IEnM~ Ios meca.nlca.s em madetra pe.ra a especlfka~i?to em projeto:s estn.r; !Irais 93 
ec.e.tio;e;nte de ponde-Jaça ,o ~ ro.orirf!'dil'des da ma de r a ( 1-'..-l rg:J 
CM-flde<ntes. de modifka~2to das propriedades da madeolra (Jry.:a.l 96 
éorrelarçoes restimad~ adm"trdas para as r!Jt~rledades da ma deli a ~7 
O Concll'eto no Ensaio de Ccmpr'àssãa 104 
mento Portland na mlstu,..a d'o concreto ~os 
Água na mls.tu a do concreto I 01 
Agregadoj na mlst ra do concreto 108 
Adltl~,~'OS na mlstu ra li.o concreto 1 os 
A. resi.s trê,m:la mec~nlc,a do .cana eoto 100 
D mgrama te<nsaO>-defa ·ma~~ o par .a o ooncrreto 1 11 
Ml!lidu a deo elastiQdade do conarerto !:2 
o ensalo de compress~a tra !l:Sversal (di .ame mi) da 
concreto. ou tra~~o lndlreta 11 z 
Ensaio de Dureza 115 
DUREZA POR RISCO t 15 
DU REZ.A POR REROTE 118 
DlJ REZA POR PiNEl'RAÇÃO 12.0 
Dui"E!za IBrinell 120 
lnformaçõe~ Adicionais sobre o IEnsa i o de Dureza Hrinell 1:24 
Correlação oentre a Dureza Bnnell e o 
Limite de Resistência a Tra-cão (onven:donal 127 
Mill:nloo1151iituln11!'5~ ferritá e Pl!!r~itá Grmseirra 128 
Dureza Rcckwell 12.9 
xi 
lnfori1111açõe~ Adicionais sobre o IEnsa i o de Dureza RDckwel~ 132 
Determinação da Pn:riund~da.de de Penetra~ãc Ull no En!Sàifo Rodcwell 134 
Ct~nversãc de Dureza RodcweiJ em Dureza Brunell 135-
D u l'iE!zaJ Vi c kP rs 1'39 
lnfonmações Adicionais sobre o !Ensaio de Dureza VickeBi 140 
Miaodureza 'l: .tl~ 
DUREZA SHORE PARA POtrMEROS 1~ 
C!ONSI D:ERAC;OiS SOB Ri RESISTIN CIA MECÂNI.CA, 
DUREZA E RESIST~N CIA AO DESGASTE O:E LIGAS MEl ÂUCA.S 14g 
E nsajD de Disct~ de Sorra.cha t-om Areia 150 
E n,sajo d;e Erosão dia' Partí'cu las 5ól idas 1511 
E n;sajo de E tosão por eavrtaç;ã:o 1SO 
E n:sa~c de II)esgaste de O ~.~atro Esferas 151 
Ensa~o de li>esgaste BIDco-Disco ., §1 
Ensaio de O:e~aste ~nD-Disro 1 !51 
Ensaia de To~ção 158 
PROPR1EIOADES MECÂN~CAS EM TORtÃ-0 151 
Tensão de Gsal!ham.ento ~) na Re.g iio o e Cclmportamento EJàsticD 1 &il 
Deiarma~ão de Gsa lhamento (-y) na Regl'ão de Cem p.ortamellltc Elàstko t 64 
Módulo de Ela~titidadiJ!l Transversal [G) '165 
Limite de Prnpardol'lillillade e Umite de Escoamento 1(,._. 'e ~ l 166 
Limite de Resistim:ia ao Ciisa~hame;ntD ''1' J 167 
liens-ão e Deformação de Ci:saJham~tD lilil 
Reg ião de Ccmportamerrto Plãsti't:o 1 fi1 
lnforma~5ces Adicionais sobre o Ensaio de To:rção 167 
Ensaio de Flexão 171 
A 'fémici:l de Et1s.aio d~ f lexãa 172 
E1115aia de Flex.ã o pelo Mkod~t~ de Trés e Qua1lrn Pontos 172 
E1115aja de Flexão pelo Mêtod~t~ Engastado 174 
Propriedades. Me-<:ãnkillS na Flexão 174 
AnãUse d'o5 Es.for4;os Atli.lilnb~s na f lexão 177 
Aniiljse da S~ãc Trall'ls.vei'5'i~l de (or~ de Prava 17B 
Cálculo da Tensão Nt~rmal (a) na S~o Tratnsv~?~l 17'9 
Cãlculo da Tensão de Cisalham@nUJ {·':"]na Si!~ão liransversa1 '182 
Deforma~o Elãs.ti~r.a em F exãc 
(Cál culo da Recha (~o~) au Translat;ãG VerticaiJ 185 
Módu o dE" ruptura - a N (MOR) 1 f:!7 
M6du o dE" elastra.dade - E (MOE] 11m 
M6du o de resiUênd a (u ... ) 189 
Mõrlu o dE" tenilCidad:e (U1 ) 1 69 
ElilScriD de FI~ o !e'm (orn pGsitos Estruturais 1 SB 
Ensa1~0 de FI u ên cia 1 98 
ANÁLISE DOS RESUlTADOS OBTIIiJOS~ NO ENSAIO DE FLU~NOIA 1gg 
• PARAiMElíROS CARAC1ER[5T!ICOS DO ENSAIIO OS fLU~NCIA 200 
EX1íRAPOLACÃO OE CARA~CTERrs,nCA·S D& 
fll..UtNCIA PARA ll.ONG OS PERlJOOOS 2D.7 
INFORMAÇÕES AOICID.N~S SOBRE O EN SAIO DE R.U I NCIA :21 Cl 
Ensa(o de Fadiga 21r6 
• TtiPO·S DE TEN SOES orcuCAS 218 
RESULTADOS DO ENSAIO DE FADIGA: 
CU BVA a-N OU OURVA DE WÕH LJER 12.2 
DElERMINAçAO NUMÉRLCA DOS 
RESU ll.J ADO S DO ENSAIO DE FADJGA 226 
P.rcbabnidade ã Fratura 226 
l'ensiles LJmttes 2.2.'1 
Método Es[ada Z27 
A FRATURA DE FADIGA 22g 
Ntni~a~ão da Trinca 2.29 
Propagaç,ão IGidica da Trinca 131 
Fa1ha Catastrófica 23.3 
• FATOIES DE INFt.UaNCIA NA RES'S~NOA À F.ADtGA 234 
Tensão Médra 234 
Efeitos Su ~riicia is 235 
Famres de Projeto 2:1!5 
T ratam:entos 5iuperfrdais 236 
Fadiga Térmka 2.37 
Fad~ga á Corrosão 238 
INFOIMAtÕE:S AJDICION:A!IS SOIIlE O ENSAIO DE FADIGA 231 
ilrEORIA DO CANO ACUMULADO 240 
Ensaio de Impacto 244 
l'IPOS DE EN SAIIO DE IMPACTO 2.46 
lRAlNSIÇÃO lrJÚtTI L..fR.ÁG I L. 248 
RE SUl TAO OS OBtiDOS NO ENSAIJO DE IM PACTO 2.49 
• INFORMAÇÕES A!DICIONlAII5 SOBili O E-NSAIO DE IMPA~cro 252 
Ensaro de Tenacíd ade à Frat-ura 259 
• TEORIA IJS GNfFI1'1-t 2519 
FATO R DE I NTíEINSIDAiOE DE TE NSAO (K) 261 
• ArMlfSE Di TENSÕESNAS 1'RINCAS 2.&2 
xiii 
DIVISÃO DA MJEcANICA DA FRATURA E RESPECTIVOS EJNSAIOS 264 
LJ ru~~Br- ela~ Cil (K:r. K..) 2154 
Tenacidade á Fratura em Oefonnação Plana (K.ml :2;64 
Tenacidade a Fratura em Ten5ão Ptana ''J 2156 
Elas,topJâ1tka (J. CTOD} Z&ô 
• PROJETO DE COMPONENTES MiCÂNJCOS 
BAStSADO NA TEORIA DA M ECÂN~CA DA FRA ~URA 266 
• INFO I MAÇÕES AlDIC:I ONAJJS SOBRE. O 
ENSAIO DE. TlENACJIDAD& À FRATIJJRA 268 
xiv ] ~:J ~ ~ I Q 
Ensa~os de Fabri~ca~io 271 
• ENSAlO DE EMBUT~MENJO 2::11 
[stampagl!'m Profunda DblliEnsa]c Swtft 212 
EnY lc E.rkhsen ~115 
• e-NSAlO DE DOBRAM ElNTO 277 
Ensa1ios Não Destrutivas 280 
iSPECrFICAÇÕES TÉONICA-5 282 
• EJMaS.SÃO DE RAI05 X E RAJ OS v 283 
Raros. .x :ZI:B 
Ralosy 286 
com~a.raça.o eAt re as ternlcas: de ralos ., e ralos X 2llá 
• Ul TíRASSOM 288 
os t ral'16dutorers pleroelé rko:s 2!\J 1 
ENSAIOS POR PAIRTICJULAS MAG NltriCAS 2g2 
lrfp.Qs de MaQnetizá~D 293 
• ENSAlOS POR LJQUIDOS PEN EliRANilíES 2gs 
ENSAIOS POR TOMOGRAJFIA CDMPUTADORIZADA 2g6 
E:x:ercíciGS Propostos 299 
Bibliografia 3 8 
Apêndices 
Parâmetros Elásticos por Vibra~ão Mecânica 324 
• PRO CE D1M ENTOS PARA A DEliERMINAÇÁO DOS PARAMETROS 
EILÁSTíiCOS DE BARRAS 1(0NI VIBRAÇÃO EM FlEXÃO 31.4 
IDetermjná~ã~ Di nãmka do Módulo de Elas:tiâdad~ lcngitudina1 'a pela 
Frequéncfa Fu ndamerrtal lllle Vibra~:ã o em Flexão de uma Bana d~ S-e~:ã o 
lírartSVE.-sa I Ret:mgula.r 325 
Determjna~ãllJ Di nãm ica do Módulo de IE lasticidad~ lcingitudina1 ~E) ~Jela 
Frft~uéru:ia Fu ndarnerrtal lllle Vi bra~ão I! m Flex_ão de uma Bana de S:e~:ã o 
Transversa I Ctrcu lar 32.6 
PROCEIDIM NTOS PARA A D:EliERMINA(:ÃO DOS PARAM ETRO S 
EI.ÁS11QOS DE. BAFitRAS COM ~IRAÇÃO EM TORiÇAO 327 
Determin a(ão Dinâmica do Módulo de IEiastkidade Tramversa~ (G) pe~a 
Frequ'ªnda Fundame nsl de Vibr a.ção e m Torção d e uma Ban a de Se~ão 
TrallSversa~ ~etangular 3 28, 
Determinação Dinãm~ca do Módulo de !Elasticidade Tramversa~ (G) pe~a 
Frequ'ªnda 1Ft.11ndame n'tal de Vi:bra ~ão em Torção de uma Bana de Se~ão 
TraliiSver:sa~ Ci~ íncJrjca 32.8 
Determin a(ão Dinãm~ca do C01ei iciente d~a~ Poisson 32.8 
Propr1edades Geométricas 330 
REI!.AÇÕES fUNDAMENTAIS 331J 
Linh~ N.euba - LN ~j e zl {mm) llO 
Mc:ntllen't.c! de lm!rti_-a Or ~a~ I) (mm") .331 
Teorema de S.te ln e r ~~-
Momento. Po lar d e lnerd-a (J,. O'U f,.l (mm~ :Jl:Z 
Momento IEstátioo (M. o:u M l tmmJ) 332 
Moment.Ds de Fig uras Planas 33:1 
GEOMETRIA Q 1: RET Â!NGU LO 333 
Unha neutra do tl?t~ngul~ 314 
MrJi.TJenta de nêrd.a do rettlng ~lo 3d4 
Mamem o ~a[lca do re~ngu a 334 
GE.OMIElRIIA Dl~ CfRClJLO 334 
Unha neuua do d rcu a 335 
MOfflen.ta de nêrda do d rculo 33:5 
Mc.."t""ento- estatk a do cJrrulo :1:17 
• GEOMnRlA Di~ lRIJÂNGU LO EQUILÁTERO 337 
(a lcu1os pa ra a Posição 1 l~g. 8 .. 7(al] :ID 
Unha neutra do trU ngu lo na pas.l~lkl 1 33a 
Momento de nerd a do lttngulo na posl.ç;lo 1 338 
Momento orná lca do trl~ng ulo na poslçao 1 :i:l.i 
C à l[:u1Ds para a Posição 2 IJig. 8" 11[b)l 339 
LJ nha neutra da tr1.anguJo na as.l~l?io 2 3.39 
Mc.."t""enta de nê rei .a do ltln,gul o na posl.çrao 2 :339 
Momento esta'l:ka dotrl.:tngulo n.a pocsl~2io z 340 
Unha ra e momento de I ~da de flg11ras.rompm.ta:s perfis ··l • , ·T· e '"U" :343 
Mo.'"l'ienta de- nêrc a e-m 11.om.;:. do e~ o ZJI do perfil · 1· :3~ 
Momento de nem a em T.Om.O 00 E!iXO Z.H 00 pe-rfil •T" .3A1il 
Milmenta de erd.a em rnmo do e DZ .. u do E-Ifl l •un 3~ 
Cisa hamento r1a Torção de Tubos 345 
• DEDUÇ iO DA EQUAÇÃO IJE CISALHAMENtO PARA 'liUBOS 345 
Tensão de Ci&a hamento na Flexão 347 
• RELAÇÕES FU NDAMENrT A~S 34 7 
INTEGRACÃO tOA EQUAÇÃO DO MOMiNTO ESTÃliCrO 347 
Geometria 01 ~ Trl.:tng ulo eq ll,átem .347 
DISCRETIZAÇÃO DA EOUAÇÃrO DO MOMlENTO ESTÁT[C.O 149 
Cá laJ lo da Equa~ã o Gera~ da Fledha para a Flex:àa l52 
DEDUÇ O DA EQUAÇÃO GERAL DA 
Fll.ECHA NO EN SAJO D~ FLEXÃO 352 
Nomenclatura 354 
S stema de un·dades. Prefixos dos 
M ídti pi os e Submúltipl as e Fatalies de Con'Jersi o 359 
S~STEMA INrTERNACIONAI!. DE M EDllllAS iS9 
[ndice 361 
lntrod ução aos 
nsa os d~os ater·ais 
ooo proje-to dt!' illllt cOJ~põi!n!::llk ui.td..tlii~). oü, t}á.ES. am.pli:!.tlttu1êl q ll~uíií' pt'Oj~E.a d 
..::n~luJl!, 1~ @:.1. pan S.'lli!i ·babJU2.il: o, um ·asto co:n..lJ.(:d.Jt"tE"J tu dls carocr.erJ:stl.o.:~ pro-
p l'f!darlf!i e: o:tftlpoM.clo1to doo 1!1-ttt a1.1. d sporu\• s... Os. c~.: ~ [~rjo~ d e~pecillt::ação au.c.sa:il'la, 
<if(: r:'l tet"ii.!Js .ll~:põ(:m, pa..~ t1 H:l.11ilaç;Ao d~ > ~alü!:l, n [Odü~ :n.Ortrti.!.Uzad.o.s. que obj@'ti rtUU 
levantai' a.:s poopdedadt:!l ~cà.Jl: s. e- ~u cmn~or~a.ItJcn~o ::.cb dctã1b'Uru2dil:3 <:Ot)dl úe:l dc-
rl!Sforço~. EsS:ili norm>liL2a.ç_:ã.o ~ fundili1W1Hill ~ qt!:~ :5t' c-stabdt:!~i..o 'Wml3 llí!!g-u.aRetn .CQmuro 
(:D~ fooBI'!C~~ e- u~ttiÚ'Jü~ dús níattria.L que t p tia!. cam!J.Irt a I'W B~lo de itil~lm 
&: !N:!Ct::b~mt.tl ó oog rnue.mil:s. cncamt:lCld.ad.os.. a. partll de- t.hlltl am.õ::l~ ge:m cs.~Ll~th:; ' eprt-
Sl."íl t3 ti I a. do '"ü L t.HlU: r« I! b IAio.. 
A F g.. Ll .m.K~ a da.s~ficação. :geffll dos. pl'OCe""~M ~ confu::"i'lUÇikt .dos ru..::~l& . scgmu:lü 
.5e1J.S alté:ttos. bd:s.kos., w:ja ~l.kil.Ç!\o d~.: 1e-.n~ s · ã.p]la!!Çilct dt tem~:JI?t"<a.t '-.IJ'&~ 
O compoNul ei't[O m!:clrucü de qll:àlqut, mar.e:d:il utllli.:!!ido llill1 Ci :geRharJa. ~ fu~~~o dJ ~u~t 
c.ru'lltú~ Ll'l~ctt:'Ja t de- sua apUc.açi!!.o em pro t:to.. As t= ço~ e:d.=;[t::J:J'i.!..~ e:n.tte- 35. dHi :r~mes cÃo/" 
ra..__""lti!ff.itle!.i qu~ LntluetKia.Jn fiO d~~bo d-l: d-ttêr-mlnarla Cütnpõnt:!O[e ~ a:p:u-te- da u~nda 
qrut t:Stll.dil u.1 t'4:; 1~ po.;ktl!. Mi' 1slA1$ fiil Ft.g, L2. 
V~-St 1 fta Fig. Ll, q'lll os JIOCt~s. LJLtt:l s.e- e'J ;!Jrtt ga.rrt. de dã.I fa :ru m.!.tMa-prl.rn.a depi!:!1-
dtm d ... e5tnltlU'-'.!. u1[Ct'11 pt't:s.cntarl.a. antE:.s. ú "' da ..::t~a. d proassanuc1u.. u q~ ... 'al pro-
Fi-gura 1.1 Qu:ldiil ..,i! :~1 de- .::,as,!. f-r.:.a;;.:to c~ pro.:..es&os de Cültl.c· It'J.ii~Jo do.s n f!tilrS.. tsegur.(Jo 
Carnp~. 91a 1 
1 
Figura 1.3 E:sqL rr .a ·epreset"l~ilrt."CJ uo .::a:1 nhl) de lar:rn::a.~ dt! !J 1ll flfÇd tl~ a. ftl,êrlil-u ' ll:ila 
(mi' :'J l'l.lu :::o) a.1~ :;. t~ roovto 11 r~ 
l 
11 
][_ 
~.~r. J 
1' .-nll(l 
I 
~5.JYilmi!tt~ tl!r-J.ndo a forma !:! a E5.01!.1:1lraoo fit,.dr:.rul,. uJ:"J~IJciWd.o roprl~'!Ú:3. p;lft u.la.: u . 
r\' o ~L do ~roc ~;;s.su dJ filbfjc-J.~~o. o .:o.itl])OJ lll'l~ t~r õiJ UL'I1 coàjunoo d e ~ropdedaáci. deco~­
fe:Jltcs. di:!.~ carJ.ctE~ri::otlt:~ ()tt_s..lúalii da r.na'l~na-p m.lil IÍê\ [dil.Jll1~:1Ur ulodifl · dil> dwil:l1t~ 00; 
proc w e: ,qt.H! díl\'Ctm cawcidi.r com s. ts.~Lfica útls i"illa Si 'ii.:: tfi. cJL! o. 
O fluxo_grãJ--ru ~~c~.::ru.ad.a o a. Flg. l .-4 mos u.lgtu~s ~roc~a~ cl!!l\'oh•ldoo. nos. dl.fc.retrlC5 
Cãtltinhos: -de- fab. ia~~o de LJ.m.2i ~cça. desdt a :ffiil té i:' -prJrt1a !tle1ilk;.. a"!t o prodtno 
badA. 
As. ~r-... ..-:H!dstk .... ~ a q~ o Jru.lltErJ- esptclLcad.õ d-2'\ e- ;Jit4illde.r podei~) ~r di· ldl.dti í!ffi d!.J~ 
tE~J !: 5.~ 
• C..._l:"õ!!C~ ns.tJ S de ,Pr<:tí:I!SS-1 C'll t::l'tO- R'ÍEt'4H'IHii!" à:s. J:iii'Opíl'lt:da.dcs fl!:l.lcas da matérJ.a-
prlma !.:MõO ÍUJL: ã.o Jo!". :rue :1!-.M d~ fa.bri.C'il~.ilo ~'1YO'IvJdo ca. rua.nufallwa !l!!l p10duro 
flnBI. 
Ú!JI).r,: to: iiti c il6 de- a. ]l'll.c!çu.c - "'"' fc i:'t:.m • 5t: às pro~ 1 k...d.a.J_e.g fl'!li Lr::2s. tk:sceja.d!.:s tla p-1 od.uto 
acah:!.do corno fu.õi o dirt"l:.!l .:li! l.i.l i.L Lttlf12:3Çào . llOUtpafi:.u"1v_m.o e-stru.Lll.l'"J.l. 
Tomando-se (,OffiQ; r~f~r~nda a fa-brlc.a~a-o de um eh: o· de a nsmlssi!-o {Fig. 1.5}. aJ :sequência 
operad.on~l. a parti r do ta rugo de a~o ob "do pe-lo '\laza nen'ta do metal fq uldo em U!'FI 
mal de. pode ser a seg ulnte: 
rara o e-..<empl o. em quen~. as Ga""i!iderls Cll!i a qu:e o mate-ria e-:speclflcado dei/e atender 
sa-a: 
Carade-nstira:s de processamento 
• Fo.fl ablldallle~ fadndade de preenchJmenoo d.a matra. 
• Usl bl Idade: cond ~i:Jes adequ adikS de c arte. 
• s.usce lbuidade a tratamento~~ o matenalde~ apre-.sentar candl~oes de modific~~Cio 
estrutwal por meJo de tratamentos; U! mkos, e superft ais;. 
Caracteri51Jicas de aplicação 
• il:es•<rt ~la mec~nlcat: o eixo .a.ca ado de ... e- aprese lar a Je51rt~ncla espedflc.ada na 
ro.;etc.. 
il:es~cla ICIG ae>gaste: as ~ii rtes respoo:sA•.•.e-1~ pela transmi~~O ae mDV mento, no 
cas.o os dentes de e-ngrenagens. de ... em ap.:esenta r df:termrna:do nrvel de dureza para 
e!líta desgaste p ... e.maturo. 
• Ouchll dade: .a pos:sl bllldade de o eb:o :sofrer lmpac .. ru durante o fu :x:io;: 3Jtlento e:-:Jge 
que seu núcleo n:to se ttiÍgli. 
!Y'~qt:u:nda t!.l! fatu L áa p . '.:lt:ntada.. M I(:Jl~ lo~® H tédai d t.efC.J~d:! ~:o IDl:JU~­
datd( ' (!lj lliJS ~WLU~ I!UpM: 
• Rl!a:bJrut:nto ~ Jl~terhJ do fol'!"t.«ed.oJ : aru!.lls;.e qu.fm~ca da t:OJllp.o:il çào do rna!l.er· J 
l!fl.eiltn~dadú.,. t'@:S!.ittb clo1 tí!.(!(-ln.JL:i.!i í! dilll!2il. 
• ~ ;.,. b~.&r. n::illtêuc J1!ler.:.tílka. Jrd_cf'oa:;s.1Iulw-á 1!.: dt.aJ ílitá, yur.:: dl(:vt:m ttltla: OOiYLp;!.-
!l!l.rí!l.i ~om a fl.IKa de ilCí!Lblçiu:a u~e;Jda pdca projcoo. Pt: il:5- for-ã de €:ipGC fk ç~.o d'.:l.11!!flil 
M:J' :l'l!jcLt!.Ú'll.t., I!IC t'ilB dt: wn l:X:f't(j GJ L!!filu..al. . C\(@'.Jil O::Jglr jlli~J!S Da:::J Cl á p;l de- f;..bft-
C açlo p il.l'a. dJruhtnJ~ t' o btdb.:..c d í! 1 í! J'lll ç.10. 
PíROPRI E OADE S MEcAN rCAS 
Os. et1 a.aos. r,)_a::clnle.m pc.r.MJtctt) dJ k.f1t1Jflil~o d prop ~:daffin tní!cll LC'i!:S qllí! se hrcn1 
· ll cmalpué'l:i'.U'atwta do rna.ttnal ~tL1Ddo r:;Db a. aqjll d.~o: l!5fus ·os I! qu~; sàu !!:Xp :iSM 1121n flill ·ão. 
de 1 [~~ dou. de for itlilÇ'Õt). Tensflcs r!!pre5ea11bm ;1 t' C~~a LJ! terna os. rí!~fOJÇOS exterílOS. 
"ti!:.:! ilt~ru robrc: urna detl!fl1iJt1.:!da. ~ ~ll:l 11rn co.tpo. Ent:ri! ::!.i pr !!'ICJ~ill~ pírõprledadES. 111os. 
J1UtcrJáls obtldil:s. por ~tn~ki, poo:liw- l: u~a:r: 
1 ~l!:lL~[l • il: n!:]l'I-t!Sdtt!.dl pa. ~J~íl~Lu~s. da;fl.rnda.s. l:tl'l . o..rtdlçla prll'Ucul.:art:S. 
1 El~tkJda.à: proptLt:;d.ade do :n:'ti1krial segurado a .qui! a dd'o: rttãJ ila qwe: o..:..o!N! r:n1 fu..D-
ção . ap]LC;I!I Ç il.CJ. de te rui~ u d..::5a. .~ q ü il.JMCI il l'e'nS;lO 6 :teili'ad.; • 
• Pfii!l.tldda~ C;!J.'Y ufad~: t: o materiAl ;,afu:r .a: -fom:Ja.çiu pe-tl'l ancJ~te !:J{:t:t ~ ro.atl · _ 
• RJ!sli!lJ cl : e!pad..àad iõLt: absCI C! de ~DI! ~ tlO t~li~IA:: l!l.ástico. 
1 !l?n:! L<b3dc: li'dlete;.. rncrg.Ja ~otaJ. r~ecess.tna pi1.!3. ~t'<DV'úo..'111' a fl:i'att.it'a do mr.LC!l Iii L dud.t: 
s--11a. r:íiJi.d!l~.lo dl! tl!'fi5ólu nl!i.h!a. 
f iNAUDADE OOS ENSAIOS DOS MATERIAIS 
As dlli!:S. final 'ad~ mais: m aJKu tan't@:!l d::!i ílMCUÇi1C do:i !!J~~Lo::J J): 
• 1\:.titud.r obttnção de I.Jlfot'Jbla.~s. rotrnc.l.ras d.o P• odw.o- tca Los d.-e OOI'Jt rolc: no 
t't:"Cl!bla-ncntl) d Jft lcrjaJs. dt: fomcc.!dari!S e oo coalrolt!' flt=~i!l d(J.p.tuduta ~ba.iõ.. 
r D'eSl!Rr\.fOtveJ uo-..·a.s :imwmao,."'Õ(:5. oobft: os m tcrJ:Lls - fl:ll d-t~n'ti1Ci1-.·ütl~tll de oo .. '()S. 
tua:tl!rltis. dt t10VO:S. ]UuC.l!tistJ:J dt:: f~ht Cil.Ç!O ll CL fiQ\.'(J~ !.ll':I!IIMI.'u::lli.O:s.. 
VANT AGIEJNS DA NORMAUZAÇÃO DOS MAlEIUAIS E 
MÉTODOS Di ENSAIOS 
A fiO.tmalb,~l) Ka1l põ! objeti"\tO f'axar W. COI:ICe:iCOS. e- p-.. roi.J1lt:mJ)S. ~e~~ "till: se- ú. m O.S 
d!lfi!'Jcnte-..s.ítl~od.og de-w~ M:6. S:Ji!l. pl'lll~C plii5. ·ant.ll_&e:Ju. .i!i.t:l: 
1 ~J)rnar a q\Lilidadt do p_oámo mals. ufltfu.ritlL""; 
• ~duw os tipo~ :5Jüll ~ri!S. de ruatt:.r~ 
• cu:-jenJ~.f o projetlsta ~a. e:9lm1Jti:l do ~ut:.:t.Jal a.di- dú~ 
• pt.:ít~tltir a .:oí!t'S'a a..t.;:ào d!:! nrul'li!:" CJ!rt.Jdü~ ttn dlft!rtiD[eiola!Jont~ó.lús; 
l:'t..ÍLI!:tl.r ~oct:ui~i::tt!o!UlO::l ~t lift: j:í.tC!d uluil' e coru'l.l.ifudúf:'. 
CLASSLFICAÇÃO D-OS ENSAIOS DOS MA1'ERJIAIS 
L O Ll'!lltu ;... LI!.LE.SJL'Ifadi!' g11om r.rJe:a i:! d.Jru'"f"l tonal da~ uu. oomp tfH!d'tÉ: 
5 
- d!.!!-.l!U I.H a::;: J;)ro\'DCUI1 bLLIItl ~ o patd.U ó l1 Lü1i.!.l da pc ~V- e:.:.: Çlt:l, d'U.Je-.ru., f:.!:;lJg<i, 
lltt~.R.:I..!Ji [Oii'Çàu~ fi wo, .~;ftli!lc1dl!!de-;.. ft" ... tl!lt'"~ 
- fl1i.!l:J dcstrut.ivos,: t1i!ó Cõi~ptom(![~m a ~t.::gn.d.ád~ da fíi!Ç:!; p. ~!C..: .r-.tios. X. •illos , llltrils-
saJiil. parHULliU masfltu~. Uqwdu~ p!!ll-tlfililitt§.. 
2. QU;!fl[CJ ~ .ocl.d'l!lde de 11'gC1Ç~fl d ... ~ g;1: 
- éS.t! tit M: carg;1 apll da dt mantl SJ..tfickDt .:: c •~eQ'lit!' LtJ")!lil. l~du~nd.a a u.n'la S.'l.l.as.sàJJ 
dt ~.:~la~ dt.: ~quU.fbrlc. (p.toc SI!! L!.~t E.ititk~); p. C"X.: u a.,;ão, oOODwpr.t5.Silo. :llwo, 
dut'>czt~ !!: ton;â<:r, 
- du~funlcos.: car,ga a&lllc.:... a raw~dama.:n.k CJL1 ucUcaJReat.::i p. ex..: fad.Jga e- lll'l~il.CI.O; 
- carga ooflstmte: .car~ ~ J .... .~ .. d:a dlLF.llltc t.Jltl tC~l'IIJO pcrlt:ldo.; p. · .: f]u~ 1 ... 
Ensaios de fabrk:at;;ãc 
f':;j.o ;1\•al.l.i!.rn ~ropJ:"J crli!d.t:s. ml!cirJ.cai. fw-Tw a::adQJ J'l!fl J.nd!L açoa::s. do caJmprueame.Jtto do 
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MétodDS de Ensai:os 
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L:õ ak'r.s .t~1 amo s.l..ta!Si 
f!D. aL tem CCJrpc.5 di! pro\· a :ri!tu:-J.dos. dt: pil:rtc d.:... .::s;tn.Jlu.f'a.. 
~Ensaio de Tração 
1 s.&IO I:'IE fll/iç,i'tg {OMISl:i.!' fi LJPI c ~iJo de caTga~ !JE çr.J<!Io nh! I crfsooAre ~rn um ((II'Jh) 
dJ3" llfl)v~ ~•fi< O J ~"I Npt'-' i . lv.~~-:sE' .(I '!1\1 •.taç.ltl) ~ (.:)'lljfrit'fl rT10 ~t ~CiO~ f "'1( Q !J.Ji 
e~rga ~II it.j Iiil [P'J, e 1111m o ~~t4numto adcq1.t.llll...:JO dos res ~ENJs. ob!t!m"'!.c um3 t:UTWI t~­
s.a.o (rrl ~o<·e~J~ .a !:!'tl orn'-..it(~ (l'lt d!) ~J)roo di:! J)I1J'ta lr.a a~ ~ d ePtia I) a m,'ll~mt!Jll:IJ t t~ll:o:ado 
l'1!l • dt.:!mi~ O@ col11p:)ne-..._tei me.;:~r ·~os, d o .:i •' ntit!}flm tje fornecer dildo.s r:t o~ntltittl­
vos dalt ta •.artrrls~h::m met:únlou dm. ma'te:ria" D:r!ntre as prln:...ijll.:J i5. desl:.!1~;:3m-sn.: llmree- ur 
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trad~ (I 'l'ld't-éria-pr•ma (" <OI'It~fl ii€' 11"0.00550. CX re5Uitado5 ti'J..~ ~;.~d0'5 1)810 errsi!lo !J tra-
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de ilQ f'fllo llic ~ LmL tlpo di! lllslJú NlatJ ... Jlli'i!Ui! ~m.pltl e ..:00 'i il!l1.;j_çãcJ l:'.ipJ&, .l .ti~:"J. d""' 
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il~;;Gl ttl. Esst tlp<i d!! am:saio Lttlll:r.I!J OOfPO~ IÍt.: pFO\'ã pr~pandu!. :s~I1[JdQi ag no r~ s. !J~·c.nJC'ilS 
OHY...::J1Cí.oi~a!.5. ( .t~a 'f-'!ls~ a HQ.ruli t~etl c a ... u.Jlr.i'iib P'Y'- m<1tcri.1l . mclál!ko à ti!H1fH!i2hlr8 m-
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rial!., pad~t:JMD ~r Lllll[Jlillfo Llm pra'l.tcamt.: nl:t: todos. os. ftil.:!.'k:f'lft s. de a.~l.a!çia E::rl1 tüw.;-
ru tia. (pollm:cros,. rn · IJ, r.lmka , rnptisltoo, :IMAldclra. Cllt:rc ouws.). 
- OEFJNIÇÃO DO ENI5AIO 
S dai..;. oo.qros d l?ro~ra fiabr fado~ LO.rn. o :rn . r:J~o 1C\ilie-rt I t.: dt: ru~n :!'OrílCU'l~ rua:;~ OOJ-u 
dLt"!CitSLit:!ii d.ifuent.e:s., fofl!ii1:'1 tc.itldo à traçiG. as I.LfV.as. d.e- c a ..;.a 'ílei".sru- .o co.M rl.ul.e'ni.O L[}~-
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i,5 ) ir i.ai~ :b) EsDOI;P di! Cl..ilVil obtida no cr::;a.c 1.!' ilt;i o I c 11;'<1 ·ert5i1o-de; !)ITTliJ.;tlo oorr.'E'nciorlvU 
~~eo dru. dLf~JI!ilt~ OOISJ{JS de: P• ova s.ell'lam oomJdt;ta'idrn~lll!: dRfal!:ll.OC:i. M:Uda :ftu1çãCJ da 
dlli~I!Jl:Sà.CJ. d~ rla eoi.'i?" de prã\'ll.. .cCiufaí:tmt= tnu!-.lril a. F~,.. .2..2. Dt!\~e:;-~ .:: l llmbr-J.f qu'" [ga. 
pl ada ~'))r~ a i.rl!a cb 'S~~ lmDSV~: :iill do ..::or:po dt..! :Jlo.I'Ova s~;: ~l!tk ua ~~l!lsirla à qi!J 1l OOFpu 
Bca. €'XJ)05.to, !!' C3s-t pv-lEiU:a=t~ dl!'ii·er:l w úD~taflt.:: !P:Ua o .rn~tllttr .ln:!tcn:ll 'J.'(!ra ltllq·.JJt!- ára.:~. 
de ~ç:àu 1:i"ãrul 'IS;!] uúllziida. EmN:t.aDto. &,~fdo à3 lt121.h:.i:'ti ditku.ldad.t:i O,Pt:filãlll'Jais: l:m ~a.: 
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(a) (D) 
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w• ~ i:a·ga .:t~t.ica..:.:: ~"!ID. Ct:JII'·u.a'lfl'H!• ltJ J.klfd a 1ra~ao re.all".!da FIC~S d le.nYH-:!!i Cl) ~ ~ p.·ta·a. 
deoow:1luá! \·ala.í't::!i. ~.1ls 'lllilbu!iiileãJ) da. ilfsnt1 dá .w >1-o U':alli\'l! · a.a lu~o do tills.llu ~ ou-
reru.::Jamou-s~ uilll2.i!.r a. át)!"'.:~ fJ lill :JX!ll"' ... aobmDÇãD d a. tr..:nSiló N!la1.i ... etU q Jq1.1.E1 po~w da 
CJ~o. L:OJÚu nh: a Eq. (2. 1 ). P--'..!..HI.i.:. ~w tio comp.rtlbletlJlu, ad~""iit.! utllli:a;:o ü •• Jur~~m!!fl.to., 
c.u !:t".:ja. a .;:illfi!t'ct~Çà CHffi:: o 100n1]li'Lrn.e.Jlto wL iJl c .o compr:lrncCJta ln:-Jtw!l.Jtoo, di dldu pela 
OOilWJu1litl to i.nb:J&l de COJ11e de pro ... , c:..~ do de defot'it"t:lÇâG :relat.Jv-a.. t:efifo.nl.e a Bq. (2.1). 
D.essl! moda ,. r:iC a:s. dtfcr{:mt::~ cunfil.Si de: ·!.l-á pUca.d.!i •/el"jtil! o .compi:'.iutctlUJ fwe~1~ Bs-
fo 1~à.d.::!.s. ~~ CL1Ei'V:!:.5 dto! te~saa ( · Olbl a. t:etl\•l!fl~.O d-3 á.u:~ ulJd~) !.~.lit.IS il de-Ja:rtlt á .lo J t:: l3tl ' 1!1 
cS.pt::fil-ii!:: qt!.t! GOI:"]KJ-S de &J!r.O il d~ dife-rl!rtt~ di.JJV"...D~ Jtl;,ú. !J)IOOll~D!i. t:O.lli) O IDI!SIUõ m .:tU.C-
nál t~f'l~lli11 oCLllt"'l.\i:!S lguals. Olri p ele :ftltl 1)5. e-qulW!ltJ1t~~. e i"IG fOt'.ib'Llltll filal~'ttâdo ilfitllflu:".L'ItíHlE~ 
~il fjg. 2.1. 
ENSAIO CONVENCIONAl 
Pálil'" defwi.ç&:::s a. tclls.lo t: dtfoffr'lá.'J' o con 'er • ..:Jor.a.i!l, o.asJdi!'Ja- L! W'i!.a ililf't'a t:.JUfuf.r:ica 
(: u.Dlfo:rml! qtJc- ~ s.ubrnt!'tida a 'Wblôl ~a de- t~ã.a Llttlaxl.i!.l, cl:i'e~-..:;,~Rc . confom1.:: 1l'lóSUB. a r. 
2..3( ). P. f:Jg. 2.3(b) tr.u uma, t~:r.::s.tmil$lo t::s,.q.i.U:flt ti do !!~o d~ ~çãu. 
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Flgu 2.3 h:) Han à t: n ica ~ ~~v .f~1~...e~l S. e- COfFiã'i-
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Ai. - ila~ aJi!lt:iLto 'ro). 
{2.1) 
(1.1) 
~a C il d;.. FlP,;- 1. L ab~f!~~~ ·Si!: quw O :t l!gJüt:;~ ~ LOC'i!lpí..tltilt'let'ii!O:-J dl~tJCJ~DS, t Cà - :r~g,lla 
C<ar.6Ctí!d:li1 WL) dt:t.::r.ll'lki.ildo lkpll d! d~,;fa l:i'n· çaa scrfrJd.!. SJ u carpa IIU: ~t01t;.. ~L.t: a ~>t:·-
~çuu dt:J (ji:J~lo. caflfanm: S(! s..i:t 1.1E: 
Regiao de ro~fJnB!ine'Jli:O eltitko ((J <a~ a 1.) ~s;pwl.dí! pl:"llití!U'il.tí!giãõ dl2' d~foif· 
•rução du OOilJO de pro ·a. Nots.sa .resJã.G obseifllil-~ o f~.:ü6m~;no do .::f.:: Lo éL1:sl.1co. I!Ji.l qwt, ao 
cts.sar a ;..pücáç-;lo d~ ci!..fsa. a ,.::11 JXl d!!o: SJ.Ol.Tà t õrn;.. ~ú:h &i..JtJ~l:Su~;s mrlglJ.al:i. 
Regi a de desl amentc de diSlOO!rdiinEIBs [ac o:. r.r .. na pràtka pode se Clonsider.ar a . ~ 
rr~J Cútr.e:s.ponde aa ü!Jdo da di!faí!'maça.o prãstl('lt d.o rna.tct-Ja. ; 1~us ttS .át:lm. lrtlda.Js di..:s.sa 
~fortt'la.Çl\0 1 a. [Jms-ia J>"<.ld~t s.ôfJ t:;[' as.d ÇO!!'S que- d~pí!mLd~ã<J di! :!!Cilt'JLOOa !o .;i: as dl:.:ir::_1:lfd:L~­
du .no lntf;nur !h ~!!dt::: !CJ:1is,1iJtrt i.L du íl.~.i!l'iiL 
Reg• o de, ~~::r.uamentft itlln mrne [a., u c • D"~) Coll'~unr;L a.ú MI.L:f .lllí!ntc p.tuiflt'i.l-
me.J~tt .dJ"O~ ~ .. à fi:H!dbifa QLti! ~ plaJlos, CtJSUih!lOS ltiCOitf.l!8a.rt'l t!tUU !5., (:St;~; :s-ao _gJ':id3iU fll~LH~ 
fJead.o.s. u u 1n ~ ... i os. p!!]as di.sc a rdândiUi q LJ c- a'IJ~esn os. COJ tru il.O:S de ~rio, t:d Rlf~o cada \'l!:t. 
ma.~ b'!ruãc ~r~~ qu.~.: i.!. ddurm.c!_çãu '-ooti.J..l! t.:. 
Re~ o de encruamento n l:M:! liJ lfa rillt!' (u ... < a~ a~l C..10 :íi~J!Illtldt: l últw .t • ã.u d~: 
d~f.orru~o; i l !!:ilá JX!15.."lil;.. .::x.hrtlt o pt'JX(lü O de: ruptu.r-a. dõ t.."'f'P"!' de proviL P'ilril. LW:n mMI!t"W 
d!: ;!][a capilt diUL dt: dJ!iuE'ft'lil ·o 11l3fí :n:k, o dJSru.::Lro d.a cor~ de pro ... O.ili~ a decr-12:-J -
ar fapJd:.!JTJ.U~te i:l.O lll'U'apa.s~~r ~I!Juaa mi:timi.L (a.). A~. CilJ~~ fl!Kd rJi1 j)fiH !XIi1-
t:ifl.'U.31' dda:rm.a.çãa .&Ut·Unhu ate a. rup ur a to~a! . 
~rla f~ghlo t dd1ujda p;cl~ seg-úlnres ttnSllti: 
• l!'llsio propoitdonal (lhnd.t! de pro~D.ali.da.dc) - aP- d:.:;fu-:lMa. coü~o tl(!t'J~àa 
ntb.ima at t1 qual\·alt wll);l; it::lilçlla l i.i~ í!at i!'Jltt l.!!~àJ:J .:.: d~;fo.rlf~~.!O.. E~_abd~:c~; o )lrnJr~ 
da. d.H.wti!! a_.;-..1CJ c !ás. 'UCiL 
.. ll'm;ão d.ll' I!'ISCI[)QUDI?:íl to (i n~Ue d.c t:S..OOiill'l~t.nlo) - 1.1-e- dtt.fiD!:da coma a tc~.a d~; Ln( la 
da. dA::f.otli!Iaç-w p lá:.sllca. I\" a. p.rár.i • pod:e-s.:: ass.l.illdt cama g'llãll ~ ttl'lsãíl ~Hoporoott:!l 
(iii • li ) . ~ill a <:.lgufH.., EiliiMLllil, :..!. passaa~'lil'l da. fi!'S o rlM.Uca p!h!l a plã&tL OI!.Or.r~!Ú. 
com L!.f'it3. os.cll:açã_a. no:.'ln.;,.'l!l.S. df1 '1.e.n:i;l0, CflL qut St; ddÍ!ru!Jtl as I.(:CJ~Si mh.nt 12' lll'l~m­
ma.g da. tlut~ 1o (ll'a~. - ronsão di!' 12'Scaa.rt'iên~.ú l.:itft:dGI (! o .. , · t~Lisão de- lhi(úa.J~lllill~íl 
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1"t:H!ii0 dé ruptura. - u!T- delln.ida cor-l () -a t.ms,io Dl!> qúill o.:oll'r•tt:i !ii':!! tu r-~ ddiirutL\fil 
do C'QlflO de: l!lr'CJ\"3.. 
Oblc ... -~. Jl i:l prd.LI ~. W1L1! ~r&Jdt: ilhaçao flil.S earaaaC::lu..:::a!'i d..u .curvil:i tEas.;!-o-dd'o. • 
I) çlo pa.tü dlf,t-l.mtt~ üpo:; d~o: tnoW! i.ill . . A. Fig. 1.ol t1CI'S[ L.LLi:'\'~ 1!!-J são-defo!füla~ilCI !l'Jilfil 
Jguma::: Ugn~ l'ltctáUci!S OOJTI n:tai:i. 
Q iJ..!Ld:o hllbli.!. ililló:str.1 dJ! lJft rni!.J..crlal ~; :saUd~Jtdi.!. por Wlli.. fo~ st~f:tc 'l.ll31..! d.cfCitrll&\ilO e-. 
pó !lo a :rctlracb da Fõ a plka·· i :tCf!.i.lp!f".l :5\J.ilS. dimt?'ll'SUc-s a!!'Jgu:.31:5, c; Q dt-fam'Jaçlo "~ ddl-
rl ,i o mo dêfOJT~a..;Ao ~sti a E~ conl~Cittar(JtdltCI fol ~tudido pat Robut HaCI~. q '-ti!' cm 
1676 !:.(;J~~~au: .. a tt!md.:,~ r~udtllr.ittl ttil cJplu çiJ~> d~ 1mkJ/O'f4cJ ~m !Jim ml'.lttti"ll'll ~ firr~ metl1~ 
J"'ll.O't1r'C~Ot1.,:1J ~ s::tt:l d!?form .. r'lfi'Jr"/"• a <J~ fiL'ó'l.l. coflh~drlo <t:om.o Lcl 41.-~:: H~-&~ L.eL dest::t"JEá 
ULti[Ciilii'lJ.C""diD t.r:: j3d8 .::qLJaçi!IO dã. !!Ja5ti..:Jd2...:Íf.; Lh: 1.Ublil fROiil. L:t.n tjlll~ ... .Cã í'g_;l a.plJ.Ci...iÊ d d.JfJ.::· 
L3mcntl; pmpc.rcbo..nal a.a dtslooalltt.:n1.CI;. é. da.t:b ~o~ 
p.:: k - X (.2.3) 
'Ltl} qLJJ! 
P = rgi1 J::'íUCw (l>..')i 
k = OOils.~mc di: proporc.iorr" i&!dl! Clu .CQfl rue- ruob C""N/mh 
:t = d~ OCiU'Ill!'J""ltó (m). 
Th2: ntad.o ~tne.1 mt-.. a dd:r:lmu iio t?fà~tu:ili de \u"ll c o. po a e pro\·a ~ tt!e~rita por \ullil tef.3· 
çU.a HEJI!".!.f.' ecl'lrt'!' tcn~ãu (O'} dtfont'laçil.o ( t>), crr!l qtl t.: ~ C.O(I.stan.t.c ~ p.ro!f!arclooa.Uda.dt: 1:. da 
pelo umódu.l:o de ifhlltLcl.dadi:, [arJ!Ibém oonbL'l:ido põr wódillo de Young (E) (trn ham~.:J g rn 
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lll:.!issa d:~ c~rga f m} ml.adaJ~o centro la Lu.dblal crulJfu.rrr~e-nl!Jsf a F g.lJ.L A ~u.~ncJa 
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2 · -:v 1 · L' -m 
(2.6) 
Uulíz:mda-st! um .J!'J1'!j, ~;:~'ttubos..:ó JCO (!i-h.te"Jlli.:l qut fa2. plscat UJ~~ lb'u!Jad.a. e:m fi."'J!'tl fi-
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FlOr ui rl)~m (R"itp al"lo lje 1\-"ofl~l. 20119, P 'f'lri!, :20.101 
CIPn~t.w'l c' ln 1!111 1~d~ IF'rl:'pnr;J ç D 11 phl;:.a YJO e 111 Mllroda .:iv.kti lilpo t:le ensaia l'lQ .:kco:rpo .:h T1pa da mMIIríaJI j)Hllll.Dí1 
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olm:Jíar-.... ll· atOU'<: llit:tt:rnüoilç!O <h.: ~r.1mt:tros clástlcõS pelo m .. ~t~ quase est.:~tlcas (tl:"..-
ç!Q, oorn.pnss: o, lft!:<ão, torção} os mb.odos dJfii!mkos {fre-qulr~ ll'IÚ ~al de 'll'b ç~.o} í! 
odt ultfa::lsonl-
A .f'jg. 2." aprest!nillwm ~1co d~ r-1'il!:l pci~Ldon do 0-J d~u iiÜ! gr-.:!.J~dl!'"".t.i.!. da n1ódu.lu 
d-e .::l.:!s.1Jcl.da.d~ _p3ra as d!iú:~t~ ;e~s. d t.! mater l:i. 
An1sotropra da môdl!llo de- ela~icidade 
Como o ~pil.Ç2JlLctUa atera.r.llruioo !], tlllil Jsuns c;.:;;a~ il JJJ 1'ü ilO .!ltôu ~ dt..! 't.!m \. rtu coru 
l d!JI!'Çilõ e:.u111.rn J1lOJ1..0Cr.i!.1.3.L a Jl16du1o dt.i eltith:idàl:k ~ d.tp.m& ~t.:: da ~o d~ aplt..::!ç.ãu 
• E~ils!o uos. (:b:o~ (rJe;111Jogf:i.J]c 1:-.:, ls.tCJt ·• ruof!OJI:SiilJSO po~u~o::m ;:mE.; a !!'opLl d.is. Cil. A Fts. 
2.1 O :l.Jll'~í! n'ta a: ,.., rJa...;:lo up o;fu ruódul.o rM dilstJ.cida.d.e- (Ej eo~n w .elxos. cr~t.a riflro. 
par-.1 'lJ.:Jlll rnotluCC'b[al tfu. t~& f t:: -31• ~1, t ... flíJ-2. l! JõlOstfa os. ano re~:tt.:s<!::utadvos. ao mbilt-
ltU d t.i .-e.tlcJdarl~ . 
.1:! pu1.na fica. ~ S!!8ULll~t.! quo~.:~t:l.O.: Sl!' e-:li.St'M" a. fõJ.-te dt::pt::n.d~íl.CLa do !L'I.ódulo cL . dls.tJct-
dt2" · om ll p dO fJS.W LDO tj1U; safle (J t.:d"OJ'ÇO dt: tr".!ǧJJ.éJl!!o 'tll'!.: ~ÓdJJ u d:!- t:I:.:.:Jf..' !.dada: 
csd. :se-J!.do medido 1!'10. <:A~ d t.! ~ç!o dt um .llum.ttal pollcristal:lnã? 
A n~pos.U :.t~l!:iSôl. rguara pi1H!t:t2" 5I!': um ~fiJ:D ól>l.•L • J:)Ois o q~ de\• c o[at erui.o moiJdú 
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1:! li! .a-5 óoo~ Drl 'iJ vli!J"' n fe.3%~ 
O!IÇãb • .:::llga. ü:m1:Lidó, i!SSe ~tt~Lto le-.'<.!1 :... ob§.Ej .. Çãu ~ QLll! dls.u J:;<lh!Çlo JV;JJ1rulornttr' i 
oLL, L'tl~ o LLI:r~ p-arav.til:S, o tãmãnlw de ~t"lo, d ·~tá t!Xc.r«r .lnUll~ .Dt'l~ ttslll do. 
Coef iciente de PDi:SSQO r I~ 
O .. ~d~~[~ dt PoJi.i(IJ ( êtll h.'I)Jl:l.e:Jt:~9,;t:::JU a. Slru~o!l Dl!:lil.ls Po.l~o.1. .iitate:.l:lilJ.::o fr..l.i ·s.. 17M 1-
1 ·:10} mtde:... l't.. d!Yl da Er~illerLll E'l:... dif(:Çàú pc~pend.Jc1Jl;u à dl.n:ção de; apl çãb d.A:~ c.ugu 
IW :a . N 'l:c:n tati\~a de- m.11t'l . .t.: ! o valumc t:.OJ1:s;t::mt l:!, o ma:tt::r ' I. ao ~fr.cr uma dcfor.maçUo 
dl.t~ :ILa dut·.çã.ü loitgilrJJ.d.l.n:3~ c.t!'k: t!!SporiJil! t' L.OJlll \illU J.rl".::. mação htJII)jjdi- fi a. d rE.çàú 
tfa.Ju\'Cr-3:11. . O V'.llor J~llm~tloo d!e~ coofJflCtl'te' é det:l!tml~do ,:m~:fo.ffi'l~ s S.:!ffLti!: 
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.lie:rá. !fi(:gilt..i , co.n:s.dl!ll'l!f!OO q l.lt; a d3ote~ãu ~ .t. )'ou. d d ~;;\~f" .. dl.n1Jt1ult I:'! ii nlolXÍ!Id:!. .cm qtll.: 
o t"''rpG de- ~IO'P'la alonga e:rn -:., OOílfcrrné J;t ít(!s..tn ado ru Pls- í . l. A Tilb...:1a 2.3 .. prcsema 
v a! c r dó .c.x: fl.:j~L te di! P o.i s.s.on rl e- ilgt!l D ~ m.a!et' Li!: I~ . P ~ rn a te:f l.:s j s,(J u6p · o;.., '1.-tm-~ í: q 11.1!! 
fl:, =r:.,. 
Ob:s~ ·II'IJ-SI! ua abcla Z.3 q u.E o 'W'3lor do .coel1d~tc d i! Po~.s.son piliil os n•~illls pllde- 5il!J:' 
~proxim~Ct "J!'il.f'a (h3 . . rrudCi1.1ll~ti!, C~ 'àlu fl' ~.:li mi!.l:érhu:s.l.süÜ'Óplcos. IIÍt:\ I! thi~t" ~ Oro!!:J"l't 
..:!: .::: 0.1~ i!t!ru d.l.sso. a 1'alo r m!x:i~t'lu ['" ... o iOCAt.tlcjent~ de- fifl!:iSiH'I (korka.l.nl!'ntc :!."l.tL!.d qu~;; 
ílao prodt.J2:1th. DtmJtúi'IU illr.t!r'a i1Ci ~o ·P'dllmt.: ) ~ dE: U..5 . 
Curiosidade 
C.oeflcierrde de Poi!istm Ne-gatjvo 777~ I F 
O artigo d~t I fico. com titulo • Razoes n~a I v as de olsPOn para es.t adas e:rtrecmos; da 
materla E'Stã pubtlca.do na edlçao de hc.je da re'i~ l:sta ame can.a Sd ence. E a nado 
pa-r Ra~· Baughma.n, da re-m p~a ameru:ana HtCtn~yv~e-IL p<>r OiUTt~ e por mais q i:ltlo 
pe5lqu ls.adores; das EUA e- S.uêde~. Os: ·e!itados e-xtremo.:s· -s.e referem tanto a rede c -
tallna como ao lnterla.r de estrelas de nêut:Jo.ns e d.a.qu:e>las. chamadas .. .a n.!ls braMas 
{com gran~ cf'-ens.ldade e pouca l umlncsldad~] . A raza,o de Po sso.."''l E- a maneira como 
os. t • ·c os medem a elas k dad,e de m m.aterlal. tJ:rJ 5le' estica algo. por exemplo. o e ih-
t l co de borracha ou uma esponja, o materlal f c a mais comp do. mas ta mb~m a na 
no c.,entm. A raz.ao e u111 número qu:e med'e a relm~a,o entre- as. tensr.es late-ral e longl-
tudi na I d :.r a te o est tilirnento. A borr.a.cha tem r.az~o de a.s~ a maior arte dos. :sol dos 
t em valores ent re O, 25 e 0":3:3. • EI as.tk os de borracha, ge l ati na e ted dos b ológ c o.~ 
mole--:s co.m 21rtllham ma Importante e poouw u!:.ua propnedade -conl criSJta" ultra-den-
:SG:s em enrel.a:s de nê o.-...s. e anas br.a ncms.". esaeve~am os p-:e-:squ f:sad~r~ . "'Cada um 
delres pode se comportar como s.eo fu.s6e IF.Jcomp~:ss.J·~I qua do esticado''. · o é-. é "t!d l 
muda r :s a forma, mas n!io o se voJ me. D ra~te muJtos anos n~o e-ram conheCJdGs 
materiaIs com ra;z.!lo de PolssGn negat• ·a. e avi a mesmo q em achitSse que lsw se~rl a 
imp.os.sr •e I. I em br.a o P'f:iq ulsador Rod en c La es., dta Unl'.·ersrd'ade d':e Vllls.(:on:si n, comen-
tan-do a n o·.· a pes.qu IM~ . (E:mp-res.a o h a da Man h i!! S..A.. - 'SCio F'..a ulo, sex.ta-f~e- lra. 16 de 
j nh,o de 2óOD.) 
Mõd IIID de e~astir ida de tra n_sversal (6) 
Calmu o p.ró~. kJ tlOJU .wdica.. ó w.ód • .da d~ ·~lll!ll:idllbd~ l.l:'8l ,. ~,sa~~ oarr~~poDde- a rJJtU sltll-
çã.o ~rt.i.::.tl!ü du rn.MI!.Lo .&c da~tidda.dt em .q.tu: ._ Cilfg;l ~ õ!~pUca.dl e.m .cliil.ll!Jil.Jt'ie:J tu ~;; J ua 
!.:111 COit'í]lflt:: s:sU.a 01.1. tt'i!.Çàa, cut:Jiumlil:! mostra il JR- 2. l 3(a.}_ ESSi módulo uruJj .ado cro é.flS~ 
d · m~.:!.o, t ~'t: 1 to ooJn m.~Lúre!l de~àllia.:~ etu capjwlo pos.1J!'1lor. O mMula fk dil3~ti!L de 
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(2.13) 
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P~ a roa1ofi dm nlcUti e: t~as.. o ;Cõt))dt.JL!l!' r(!.(! Pa~ t: pró-:tlmü a 0;1. .Ass.im, G :::: tJ.~ · .f. 
MOO LJ la de ê!~astirt idad e volu métrito Ut:) 
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lgl.t'ai.:s. em tod2Js. as dJ~çru:!~). rav:..o d.:!. IJm.::sa.o. ~!J(l!.;l.~ par.:. ._ ml.!ld.Mlça relilti.,;a do V'Cdume 
do Cõ.llJCI ~ ch3J~ d~ H~6dufo 4:00 wst c da.dt olwn~lt.L:o.. Esse é !?I do da:: teD~ut::5. caiJJ.: de 
oom o ·l!:sta.da hld..~:·o:s.t.áti~ dt; tt:ll à:o, caniaJtlU ma~u .:J F'Jg.. :L.1:3(b) i I!~ asatm, o ruódiliD di!' 
clõ1!9tl.ddi!.d ~o: 'ít'<~llfi,,-ti k o u-... ooz wu;.. ilt(.jdW.a & oa~ bllildad~ !LIA> mat l!rla!l. Piltil ffii.oll!: -
lsotrófijms, a rnódttla di: elw:.tlcidad.e a umétr.lr.:o ~ l!:l:fi~s.sa e:Jtl tcrm.~ do m.ódulo dt.: 
cla.~tl~ld;...dc U!if':al' ;(;: do ~.; tl.:i..t:mt: dt: J'oieutJi!L: 
t"r 
E 
K=----J.-' - :& - J•) 
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Pf:1~5ib .d~w de !11ii•E!r a 
{2.13) 
20 t-' : T I,; Lº I 
T.Rt.rtt.:~~ J .41 Mi)(! lo d~ ~la lclêsne. IIm I •HL sc0r1 mE"nttt: E! ml)!l ••. llo rle ~~~~ ...,,,i1 m~o -u n.u.;t 
t:ll!)l. ~. 'lloll'flrl.:l ((IJt"tl!'"(li!i\ ~;:1(1jj 111~ d 5intJltll ,"1~111 
1\~ •~ tJ [I i ;ç:1 rol<' (H-.(1 
liii;D ~ h:L:III'o 
Ãl,l) n u;! i/ti i1(i(l 
:.erro fund:lo 
o\h!rJ'IÍnÍGI 
..,....:Kirri:!:S.Ia .e llg.::l 
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~ il capildd.ada:; di!' um u [edil ailsor\'et' c~e:rgJa ttuanoo d:i:formiliÍO clilSEu:ilmcnllt:: c Ubettá-la 
.qL!amdõ ~.m-egi:!.do. A uJ2d.Jdt desst!i pruprl~dadê ~ dil.i.ia p.clu m6dul.õ di!" rrulhb h:!. (V,). 
LU! ~ a.ct:~efR] .... dE: dcfoft'n o po w~dildé de 'IIO!W'J1c o.x~ ria paJ"i1 't:tacl-oü.:!lf o LM11..t:!r1il da 
on~m t~ o. [u-ru~J! d~t propo.r.:: ;)l:'lab • d1;;. 
À qumtlii açào d Ur ~ dm pt!Jtl ~raballl.o ú.tlf x~J.1l7.adfr. !~to· ~·. ~ MIL-"! :soo a 'l1.l L~~~Ju:.-
da:;fomlil o Cillc!!.l da tr u:~a:;m at~ o !Jcültt de propú,<:I.CJ!t.illda.d.c:.;: 
1 .. , {"'' l."l 1(!1'~ '[]r= U- dt = .f 'I.."· d' · = f- -' = .;..t-I ·~ l 1 · .E (l. L6) 
N.a :f>J-ática. ~r.:.ah~LL!ml!" podl}-:5t: ~lllmlitu.lt o IJJt·utL! d'E pro~ali"dú.iUtUdado~,;; ( IJ'p) ~]u ltJllltt: 
d c ~can.'lefi.rlo, ( [ .• )-A T· lx:J .... 2..4 ilpFe-scntl alares rnMJos do mód~JI.o .&!: el.a5.1:icuiadc. 1EmJ1J!' 
de t?ScoatT!trnro t; módw c di!' .resUltJL.cL21 ~an ;ilgtLfls ma ~ri: l.s dt .:l!lgEflhi!n-a. 
Lim~te de Pro~on::icna lidade (ail!l 11! Lim~te de E:scoaliumto (a l 
O ll1J lrtt; dt El• upordoiL~dã.doE:, ol! t~~s.to p.ru~mci.el)a (rr~), p~llt1 u o rur,.~ u~ã.!d.ni1o d~ 
tt o si!! o ~t o qli.il1 a ~c~ IIi c H cc&.:: pede se:t a p.l da.. oo cm outras. pcla · ~ tf1 .!'(; a ~en:ião il pl t-
ada ta ddomta ~ ã.Q. .r:~ultm .c r.:Âistr.: UJl:l;.. ~Jat;â.o ll~e-:u cu.,1o cu • lc.J~tt;: ~ (tJ módulo .:k eJas-
Udd:!dt:. Arsó c lltnJtra; doe p.mpor a-naUd .... dr.:~ as matcí!'l-31:5 pudt-.r.lo i.!.lnda apt~ZSL"'::LW Wlla 
J:K""l~IU ~~tll'.!Jttld.aà di!" d1.JfllFJua.J;iia t.:lásth.:a, ruas cU: Gu:"átet JiZO lr~.e-.u, e los:,a após. e~a pi!qc:Jt::üa 
deforr~o o ma !?tiil d ·c ri~ u11ldaJ o e~IJSJu de e:icoanlr.:nro, prodaLdJI:do a. m uma. dd"c -
nli!:Ç~J) dt: ..:21.!.'1.!!'1 ptr:illi!.u:ntt:, cu pl.btl..:.:L Pdo fato dt a Uml~ di- propo.rcLooalldadJ ~ tJ1Cu~­
t.r-:a:r t'.!il::."'l:arur.: pró:dmo dó Uml~t! de t:Scoam~.;rua, pooé-M: ilSS.\IJt"l · ~ pa.J a dE-Jtos. dl! h:.n.o, \'alo r.:s. 
Iguais. pilt":rl illltlba~ o.s. ll:mlt~ ( lf, = aJ ::.= t.J,) ("lat f:tg,.. 2_11)_ 
N .cl.U'\'I:It. 'lf:fl..:iãú.-ddomu,_o t"C..li\ r.:Rdo!t!li o JIDfí.r:ú l~Dilir.: de c~mcram pod.:: ~[Lldai 
.como .... prcs~tarlo oa c~ da Flg. 2.1 (b}. ou Lmp~L!pe ~v , como o e-xemplo d.8 Ft~l1-H. 
P:ua o.s ._, sns d~ c~lct~~.CJ tnpt::fCL!~ .b. , L"''Jllll~Mia.it -sa:; il.OOU!' unu dl'..fó!'t:Jlaç!i.o ~àd.rd.a 
LI:L! e_ot _s.poillfa o l.I.JI!l!te de: ~!\~ ilah'll!nlta. :E. cml.h~ ld.o cuD~o lmltl! n di:!' r.:scooo_emo (u e ). 
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l. C~it:SU'u.lr Lb.J)~;i.li:üh;I • ;!Y.J..::I!~ ... lll~glâ.Q t.:! l.:!b.tica da ci!U' . .!., ~dl. de- W"tl:l dl!fom çãú 
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1. De:tut.l.c- tfr :fl lmctseÇãlo da. i d pa~ 3. ~om a. cw illi!Itlãú-dclõJm& lo. .::o tlfarrn.t:" pod1: 
w- obscr\ra.dü na fJg. 2.l4_ 
:En!i.t~J~t lgur• n1a l.iliir oCOJllO por CX!!"Iltp]o o ferro~ fundJdos, o coJLCícto. ~"i i.!!f i os. poL-
~w=a~. SJilfil c.1- qtii:!J.is a. r~llo l!l.3s: c a. d: cr.Lt-..~ te:tlsã.o-dt.:fM!il... o n!l.õ ai}l:' C~tarã wr• .oom.-
poHill-nento Un@""ll' OOJlL dl!lwl..d.o, nüf.f!Wit® litlp •&is.o .o tr':lçarlu & LJ!ll'la lt.r~ba pü&_.eiã. r:1l a 
.Ít.:!t~lill.J~~o do ürn~ta n . NtZ.SSl!!l ~ potft.:-:se u1Jt17.ilir o m.ódull.o b~nclal, CJ fi~!:Sd. a.do 
~~ OtJ. o tnódwa da~ pat""J. se: d ctt1rrn.il.'la.r J.tldLTI.:::çãa da r'lltil:... !í:(:r' ap c-... .ti.: , oo!lfomu! 
oo t.:n•a.d.o Da Fl;g.. 2.1 5. TheL.allv.:s sob~ a d:et.::nnlt1 ção dos :r~16dulo~ ta E"llLcla.l, M.'lC:!..Qtc da 
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N:... p-1 i ca. a. da~:íri'IW ã.Çi.!O do::~ lll.Ótfi.lllü:s d:t rcl~ti.d d.::!.-::f c d:e- m~l.ãJ.j durcr.s. cama ~ o C:!:SO 
llio:s. ~os. fc::r.ta.ml!"fitas.., a.: dt mel.õll3. fclgí!Ls.. cur110, :p<~.r t:~l!mp :o, o~ ferro~ fundJdo::J, t ~.:1t!. uJJ.-
llmttdo-~ o ~5lda d~ !fJc-:&io, coB[orm.e ~d sto t2:1i!'i. e1pltulo pos.teti.M'. Pv.a l'í tat'iaJ~ .:: t:t-
1~ cas. c amo e~ CO!lCr(:ID, plllcfcrt-S't!: a. uüt.lu~à.o da 1M alo de- ro.m.prassila. 
O llitf-.li 't.kDLca l!t.: pode-~ ulllilarlil oom.Jstc -!:1:'1 c lrtt.: ~ u co~po dt.:! pro ·a aU. a E"E"gJáa 
plá!s~icã. .c dtic.:!i ~~at, oe::, Se:Jl:) t'ê'~-lo da. .Jni\qu11"1a d.t.:! traç-:io. carc-ag"lt' n~o\'3lt1J :~~te. O te-sul-
t&da r:~et~ LUn: Clll."'.'i:l. oufu r:n-a:: :...J!Irt:Sefitâd.!i 10. ~~::5.00-ço da Fi.g.. l.lci., · OEldt · ~ absal:'\'a o ft.:Ii.Õ· 
w no da J;Jm.e:~~c~ li:".n::-ciln.Jcll., :rcp. tmtl-ll.'l 'J'cl i:l. á.fua f.!muada a;tl li! • n.·:a d e !IÍ!:tS(ilJ'~iJJ~CC'l ,a 
t ll.úVQ. c~ d.~; Cil.f'Ra. O '~.r&or J1umé-Jk.o 'lia áJ~J. O!! Lnt .;:tu da de de b s.t.e-l'l!.s ~;; ca.tl:'t:s.po-nd 
:!. réfit!tgl'"' d.i~§J~ad EJÔ ciclo.. A pil.f'llr d · Llil'\r;.. di h~_coJ ~e. !JJnce."J:-&t m. pontos. Are .B t;J.Oé' l!ifibã 
~ ~. p-aGl!J d ~;; gtã, lffat.;;:!.-- ~ lllt:Jt a u:Li:l paliileh:!. p-MÜI' lli:o pomu a:or . ~úildt.:~l.(: :1 ,.,;& di!' 
..kfu.rroaçiio. :J:.r:.[t!'tl.nto, .::s.sa t~coica ~;;s.ti IL1'utada. a ra:u!íq..ünas .a.\: f.h"' Çà.o b dr:illiL a!1;; · 5. ro ql.lir-
ll::t.s di!: fuso pudem Lr.. tctl:!iü~ ct:~mpressi ~~ d1.Li'il.nt'l' o dcs.c::artq:1í114ll'ltu. l..nr•ral da:J do a 
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muod:üii.Q!: d:-c cDI!tJ!:Ja ll'l~t;. EJa t dãd:a !lO.íYitflt~;: pd.a tHb.úbo m~;dsit.ko. N:a!ki!oo, 01!! eja~ a ~ro­
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-------
Cl1l Qllí! 
V - •ol11.mt c~rflct.~ d il ;ilnu~'l.ra. (~;J Jfk.~}; 
T - h:-_ílLJX:r'-tlll" .. ( 1q ~ 
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~ - I~ t.:!'op17idtlca d.8 a:r~a.stl':l OJ'ka- K.}. 
(2.17) 
Como G Cc~[k ~m d i!' exSJa.!l:Sil.õ t~rol'l a 1Jn •. 1' t. p<~:sli.J'J.'ó ])fll"'.li ..gt.iindl.! IML.oo dos. .ibt:'!iOC:-
i.:3, ~ V, T. E t' tambdiu rJ!Pn::~l.bm 't-'iflr;"; b·ebi ;Jasl*o.!.S. il Rq. (l.17) :n!LQStra que a Cilfi'c~ 
m!!u1.o utdw sab ca5tdlçOes d.iaMtt d~.: \'l!ll d1millu.lr tcfl::!&-1 mtura !h amostra .cru 
OOf~d ~s. di!' !t:!IÇID:i .;; um~"t.!.l- .::n~ ot'ld ç6.:: !1 d comp-.r-í!S:SliÜ\. ~llbota. ~ coru Íltt!:a dt: ilu a 
,ra.r çiíU deo t~mp..: turã d~ oOrdt!ln ~S.~[t:! p~tl!.:lU. 
P·oC' C"RCff'lpla. Wt'L ruat<:l:l:lal .cr.btai:lJ!.C .. pr..::~ua wn~ dun::idmo de re:m.J)o(!.t"8tu~ a qu;:wdu 
te-1 ~JOI!ii!da o as ..:on.d.lçfJcs Jt"Je:n.da!lildu. ilrutt.rlwul.-ct"'rt. E:.r.tt!!lil.Jl.to. se r:!. r!ffiootm fat' li~J:!.õfii.!:da 
~ w-l'la '\' odd.ade- ~.m.amC"tJ1t: biltxa. ela absor"!!'e ~~i. t:rml do Itl~tJ.u illnbll21l1 U:, mil:ll>-
t.e-,~1da !-.Llà t~Jllpi:;ti...ti.Lti!. CQíl5tafliJ -
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tfilll.-do o C'ilfft Ml!t11ü d~bldoo í! iiWtl.tmLilO. Se ._ &JtJD~Lr .... f ~r ... t".fiC&'2Jdil lefi~U:t"Jec , 10 9JW· 
cesso é lSíO~rmko. c a t:.ra dó!i'lo! 1!. mprc:s.(:mada. po1 OJ. Par ootro lado, rtltu ca~dloçucs .de 
r n:: atnetl.to. táp da, o ~roce!I'Sa ~ adlaMUco. c ttiDJ:!eraEwra da~ s.ccl imrw.r à ::!..rn-
bJ_!o! lllW; q,u: ndu a. t..:n.são u1 for i!lC'ãll:Çlid il.Jt'ti:!las OOJ1d~ ~iJ..lrlJ .a t.r· ~t6rla. OA.. Essa. .ul:ilú!'o-
tfil, m utida d l1t'.l.IUJ.: algt.Lin tanpo ao n(vil di!' teruilG EJ"1, val se littqUE«:r. tr!lcatldo I!'J~.:L'g,!.á. 
tf-1"m!. OOJn O ambL r~ h!, é .,a~u.tá, j1fJ CO::LSCQI.!lf~(:jilt. Wt1il J!!(p a.Eisãü tl:mli.C'il rcpFC!.J.:fl[il.da. a 
t.ta.Jin6:tla AI. ND di!Sei.l.tt'l!8afi:u~nto n à W!titlll.. oonrl.i ~ràb a.'till.i.!.bá.tica, Oorotit"'Iá w~~ .:~itua.ç;!u 
lt I 'W: i:'Sil. A er.!!jt!1.ó.t' !A r pi' O 'j.'ó:::' r:1 WJU il r.rt!CU11Á! [) .o di1 ama stm I Ql!l e I!' l(:~lllH!:.tál'á il.Co lt:u ~ 
d.o OOíiiipo com a. troe::.. dt i"1 g:Ja. tb1n1 c a OOJYL v tnb~tí!. o..::o.trendo wiillí1 fih:Lbpi!t"aÇia !!l:ãs:-
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lrnt:!a.:r s.t:r J~CIJ3tl\\O, o..:'Otre.J11l.l.fil ilq~Ut:J~[O oo 1lilüCJDilU~to !!'um mfrnl.itl@'J to Da OE'I~ 
pFh"iàfl . .EsSi' ... ~(Jt flC~tl 'u .d-trou~ do [; to ~ i!:5 témpet"iillJJ'aS fl!lills i!.lr.as tlvar.í!tl'l tflrrto a 
vib~._ç.ió qll.ilfltú áB lig;! ÜC~ d.u c-.. dCla::. molC"P:LI~, ;). ;:JGJl.tO ~ dLE'í.knalr D ICC!Illpll'LJtt-utta 
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D~; sb!:ea- c !fi! C, d~ do ilú fen6.JI:lt!ft(J tem1a..: wco. os NSL!II 'il.d:oo oo l!::fljuü d.t: n-t~çãü dc'!e:ll'l 
ser obtido.s obsl!'tV'.!I.Uda- as \'!!l.oorli dí:s ck ~.O.tt~!lil.Çãü (ou ttEJslo.rt n.;; ~11.o} lu11l!es :gt!ral-
fnen h! p[ nl. til'5 .:!:fr'l fi o ;o .fr. as. V e:1 a-c · àdí!::J c; levadas d_e- d efa ~ lll'3Ç à o p a d1;; àC! can d'IJJ:Ii o t.i ~I o 
d.1l t ç§o il res ~l:t!dos Elào oontti 
Ane la s.tiddade 
Aí.t' o momt.:cLID a.;fmlt.l!l.-51!: qw , o ~ apU.car UJl CM~ t"J~tl ~Ul lLlll OOfPO ~ p.ru • i:L 
tespoo~a etu ~J21 defom çàD s.u5 i.J15-'lá.n:t:âl"'l!á. Etn!i'dãl"'[ü, dt 'da cfclr..o~ ;..'t.ÕJruros. qWl fog.e-.m 
os. obj«.: ~""Ci!; d~[í! El\'f'õ. sab~-s~ qut, flt'l.f!iEfl:O e-m pcqucfl;lJ .escala, a mafr1t:a .doo. nUJtí:ci3.!15. de 
pUca~ào cm E·fil) .ill.bwd.il: ilp.rc~na Lttna !i-G:lblJXULCfi!l: oiÍ"! d.e.f.o.tfl'Hil ilO dd.:s.tica cm que, após a 
Flguf'il ~.1 9 (ill Efe ·u do GJrTMiH11!!rto 
àllliiMIJre lo! IS;)'léf nu::o na w ~·a ~ lsUI-
deletl "tdt;aa. (b) 1-b:reH!se "'!"!t:llf'nca 
cbser~a l1l) tkt-sr::~IT(1Jamerto e c.:Jrr.:t-
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m~!i.ltlo I!ÍLito Si! O~JY:...~ n~t lJ:btraçãa da. càJ~, an qw::: o lfi'lah~ri:aJ k1.•a.rá. 'lilll ctiu~fl 
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Conceitos da reg ião de desll:z:amélido de d iscorda ndas (a, .::J a f: = u.J 
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~rutu Jãte:.m2., cm tpl~. :p!rtlt ~ pDJ.ltol i de-fo..rrn.a "'.ú .::~ pt.odu~rlas toln3m ú.m C<'!.fá.ie-1' 
JX!rmantlll1.~.: . O ~1ati1l:~nte, pod~M! JW;..gmu a. a:::~trlltW'ã dr.: w-n m;..tl!rli!l mr!ilil o o;::omo 
OO!lS.UIJ.lLda ~.r \Ut1<li f.'\C..d t:: Cfi.Sfa!i.bt qut: OOilt~rt'l ~tl .5U.i!i t:: s.tltl11.llil um ~í:'!lt:! d..:: pr::qt.u::n.o5. d.c-
t(dras di: ~1pJ baJ""b'IE"itto, .cbilJcl;...dl)5 de dl!:iC!ltd.l.ncl&~:ih os. ql..1ll.is dotvcrlo put.Ld~r cU:! cuoda 
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.com l!l,ut dl~:~ ord1uda cantiühs- :p;ll" ....... ~ruflll~dL! da. a.:!\t.rllt'll.ril.. ~faro, adiultJru:lo q !.I 'W"YI 
JI~at .;: G'W ffil L.OJldl~ :ll.ô.f.ilflál~ dl! ~oUdllka.ç:!o püiS!..lii ~m ~~ 1!!3trutú.ill r.l~t!Hna urna. •r:n.:i-
d~.::ia. dL! d!]fC L da c.rorrn. d 11r a Ul 1 dJ fe-J-'lü~aíli • 11?J~- rtéist pnEI1cilll ti1..:. hHL d~far­
maç:l.o ~ru ttU~lC' UJ-ru ;,tcaruolfu.çlto. doo lli:cfc:itos €'illl dJJ;e~-;...o ;..os. ~!aJtos. PJef.:!'tcndaJ.:s d~ 
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mJttkr1C! ( IJ'&L) :plfa cancc~lE:!.çw do (:SL.õilll'lt.U!ü !ii.!. l.ns.tlbllld..ld:e. 
D Ut'ãfl '1.1 o ~ coor:r~ afiro, ~:l1il o ::l m :u e.n.a.i!i. qu ~ a Ii!Sl!DI t;u· e ru ln stabdJ til d..: El._ 'l.f-.:!tfl s ~ a 
d~tloo-~l.ás.tn:a.. t m-s.e- wCUli mav'uD"~ :ntw áCJ baslante: nJJ! '1ll.lCJS plil.l'I.OS di!' desli.zoameCJ to. Essl!' 
dclto dt!:\rc ~o~mar .f'C'81óts. que: podlcrn i!tl' 1 lstaB Jltõ !h:Jtlca:s: :rlli:!t3Jarg,~t.\iLciiiB, .cba~mda.:i dc-
b.a.nda-s d.f Uidl!ii'S (de'\·Ldo aü balJ1o pLO.JL(!UO de: Cr. 'JObr.:.t L t l'-'- lüdets.}. O buço eh F[f:. 
i.2l(a) mos.tta ... fõn""tlil o d~ band~ de Lihi!11r.;.. t~.: a FJg. 2.l3(b) a.p.re~tua L!lli.:! miK:I'ORJ'"afla, 
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fllft~ ~·mu:tfiO"~ • I Ir . ) 
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Ngw :!.2.3 (G) flet~:ê:.!!'"(~ ~ errrL:L.::a flil fC4 i"'a~~ a:.:.S r..:.ar. ·'ds de L 'de ·~. lb.l Mt:r:.ak:ig '.!"lã m~1i.a;;dl).: lo'-
. , ;ao da~ tlaJ n de Ljdels .:i:ll6 os es~tos .ndal!; c'o ~enoo. (Ac~:::tr.aoo .'kra.Js h:ti~ "·!!.. 19'30.1 
Fig oiJ .24 Ar;:o ITliJ,.L]iloês: ~:r 
t~n ro con Pt!QIÂ'r,a deformiJ· 
~a. o c1te1 ll., oos 9r~s.al!re~' ,e 
a:v at1 ' I!? ~ ·, has ~ esíl) r e-
17i1f11t:.rrlo Â~.Jt?" lr,trml. 1'5 .-.: 
r .a. c~ ;'1(:() di! c o':paert, 1%9; 
32 
Fi~lllra 2..25 ArY.:ElU de Lãllre ,~h~t·fil"l!CI!I oa1'C:r dia, ~ n c~ r.: u!! paio: .:ri I "Irias. de t:i(O reg.:11r·u! 1.0. 
i!t!Jrnenm 2(1Cl.:~ 
crn I.U:l!l corpo d!: pm\'a. A fi _ :!.21 milllru llflla rntl:l:'úe""~lltu - rle UJfi aço Ju:.'1D~ac~, cm qul! 
sE- tJb l!rt.".mt ilS Unh: i dt dl:ls.tl~.í1LI!i.'Jto aco:"i.'ti'Jdll uo ~nh't'ltlJ dlls gd!o~ A FJp:. 2..2:5 ap:r~Wtma 
.u. lEHhi!s de- dl!tl!!mlõ!.Çàu ab~.rt"!lariu e-Jn uma ilffiei:SU"a d oobt'" dmoUtko tll:lcruad.J:.. 
Conceitos d_a região de encruament.o lk.mifDrme (117', <a,. ~ a.J 
A &ii1rtlc" oo pon a da ~rJl.~o ll!JÜI~ dt: E'll"- · i:llett to (a.). oo Flg.. 2.1 (b), o nlàJle'.i' L C'Jlit na 
~~ pllni.Cild mo:"WUkbillllO linlfBrlül!. !E..i~ !L~à!J ~ ~ftí:fiZilrl..!J piila p!!'(:S l ·~ dt~li~H­
m: çüt:s ptti'.ll: i.'ll!l.ll-"> J!.O CCJI:')JO de tpll'O\ril. <17!1 p;!l'il.D'L'!tcrlil.J~ d t: · ta ca.~ dtui.l! & d f! fO [.J)"l.i! ã.a, 
ó d.Jõ3S~f:Jlii ttL) ia~fó.i' L~ilÇ D i!!p~!o!J.'ll! Vill~-ÇÜ~ !i' t:~tl\•ill~lffi:U: pcqt:.n~rt.!J. ilil: ttn.5.1~, COtlt-
,PiUIMdas a:fu ~~11de:l \'lll'ia~ na. d.e:fi:wnaçlo. 
A fn!C~!lll.d ... di: d~ um~t1Ut à tt:!u ~.a pà dar ~.;O~tln,uld di.! ddom1açtíu plá:s .i. do ff'(.;!V.:-
fu~l d~carre: di.! \l.n'l. ft.J16.nt t.!.t'lõ dod'Jam~ado t.ru::.ruu:l'ieoi.O. A pa.rili di:!. ~~à.o dJ .::~ml!n~.o. 
o m2U:F.la! ~ntr-... na ~pa oeí.e dtfõ.ní!l;lçôl:s ~t:IT'l1il.iU:fi.l!~. oo&2 ocat. . endun:eim~~::nto po.r 
drlw'.H •iit) il .Íi'io. 
E.s:1e- f.::nurnl!'oo CC!!I:fe't: ~m fwl.Ção .a.a Lntt:~ão t:!EJ'trc discarrd:~da:s. e ·as Sllas lr~te..raçOO 
.om o.u11os. ab~'tiu::ul.o:s1 t:am.o solutos~ can't.a~nas. de- ijt'lU:s etc., qt:Lc- !.1-npe::dcm Jllh~r.:: mm·Lm~~­
uçilü ~ d.ls;.ootd:luc !I.. Ã :l!!ioo.ldi.;, qLLe I!! S. pt.ll1o~ cil'tst~ eh.• JIN:iil.Ul c csl~Xdril ~~ s.J. 
pcrrrutiJ1.do o c~oart.en~.a. ela s.:\o c:õJ~tl~~mcmc- tr.l\•ado d do i!! i!f!CO J)!'lli des~ pbnos. 
pcw di oc41t:'lc as LJtl.t! tl.DR'C.nl as. ofl arnos. de 8rliO.. eo.~(ot•n:. tRa!:s .e mnals. pla.nos. ct-.l~ -
Ht~a~ ~o 'lraVãdas, 1:. pr(:ch:ia 'tlliD! ~ne J rlã '\"1?2. ma or p~ qtl!! as p.wo qw:: alfld.!. po~­
.s úe.t)l li~t'rladc de mavlnuntaçàc cantlr~L1~1)l a .de~H:G!. r. e, carue.qllentt!tn'"nte-, da.nd.a 
CDQ LDU li!ad!: defOt'I'U:a ã.a pl~tle!l, i.!.bl: O Litll tt: t cü q'J.t [ t~ t:J!:!l inJcw. 
A f::.iS. 2.16 ;apN:Stm!JJ u tdl!il~) d(j IULCJU.iilllo:illto M [brutl.! ICÍ(! t'!:S(CJilit:ltntoi o~.:, cua o ills.alúeja L11~rJiomplilo e: ii'itto~Mdo p6s. i.ll:g'u.Ju: o~ m.es, 2:<11na. pli1.11ca. i!J M! ii:)J~ a wú:l c~ruào 
J1'L3~ ele\·a&J e RO.i'I1tuli1L.t:I~t .:: ~~) ilSCOà!í~ento. tdtld.0. Caso a ~aiO "' na i!.l1lt:J~ t lJLI,(jf'rom-
p.ldo e r u~o altlillt tJ!fi'l~ü ·~potsi nav::tnt~ll l'l!giilo pJL'llca se Ullüa.J.-á liJJI!t:l ~ 
rnali. dC'\~ait.il.. I!'J~IilOOil'íl po:s a ti.!.1J.'3rt«L' o e.sc.ail.lu~to :iÚ.hdo. E~(" l!fdto c.arJ:l!"S!PCJ~dt: a uma 
t:s.ptkle: d~ [i'Jl!~ •)ÓE:'i.il da ma.tti 1 e~1t «iia.~ a.o ~t'!U iÚ •d d t: Bl.Cru;.u1ltl"'fCJ Ka.m(ftuLlda.. 
Pa a l!'~g,iã.a de :om:poRil.JU~to p.ãstJco'~ os. prlndP,ill::; pr1rU:Je1 trus qu~t d.e· ~TL ~r fi.Mlt-
:slldoo. d(l mo do d trtilha.do 5.i10: 
1 C'IJJ'\'i:l [rJtiàlJ ... d.efa;m.:tJ ao :rt:· (u, lf~r.:.1.íl.S b·,}. 
I c .. cclki t.!LII!J: & ~L~f~l-EIUD '~) Ll etxfld.:!fl'le: di.! L' t:!5J~t:4:uei.a (K}. 
I I:lliWl JU da.d~ ,e lfl'l ~a.çào-
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Dcl'cmuçDa COITto'DOOIJ I ~.:r;) 
FfgMr-!1 2.2 E e o d~ erc-..;~rner~u r .o hrr~rtt' r:::~ escoo~T~~?r~o .tA! ~;no ma!:E'11al ~ico 
A C\1 ttill!".lll-dt&.~ilü de- c~~harl~ ( (:ull 'L!fi lanll}, ;estooada J!.A!I Jtcm m 1i!!t'J nãü 
pn!:il?tl..&!l 'Wtlõ! iflforniÃ.!..çào i"t'JJ da~ 'i.!.r-J;à,I.::.Fͧ.'tica~ dt: . 'llsào e- defu~nt :riu do :r~1.i.!.U:f~ l_ rqut: 
~ ~1:!1.8 ltltl:lti11t'il!l1ti! ~as I.Jl:ll!:n~ .Qr'J~Ll:iiL.S do co[ po dt! proYõí'll que- ~o c.ontlnu ;lJtte.J1~ 
ltcrad dur.liml.! o en~ lo_ .Abs.iru, S' o OCO'!:Ssárll!.s ruedld:ti d tcru~ã.o c- defut'ma -:J.o que !!ie-
'lx!.st-JL!ffi oás djm~IDSút!S t)~l:a~1~l!á!l oo e~ai.u. t:m t.=Jboçu roJ~LJllt!f".1ll 'õ w i:I.J]"!,•aEJ I:C'lli.ãü-
ddorr-r~;;u;; o rtl!ll t (ü-1\'t1Cí omi.!.l t. :!ip~J 'b!ldu fig.. 'L27. 
ChJhõ as dkJJculdades. LccJ1o ló~t.cM do p~do JiJJo S'-!~mLkl1L a ob1c.J::.ção do! wcrlJdas ilh-
t.lil àftta!l d(Jo orpD de- ~-ova. far:am ncct: s:;idas millllpLL1ài;&!-i EIU!t:m~:U,a.'i p;3t ... i!. dl!'t.i!rm~­
rraçãa das teruilcs t dE:furn:l.i:!lÇOC'Sl ['!Ca!S, oomo funçao doo vi.!.lrues de t12'.itl~CJ t defm'ltl~ü 
ooUdü~ .Dil, [UlV.l (_it)J)lj DClooãl. Atw.'lmt!1L~ élOSte:J~l. t~IA::às. di!' lTL!<iiri:!J lá::it1il' ([ll.~ })IH'Jliliet:~ 
.d!dntnlJl-- ú la5-tlü't.illli!'JJ do ffiülipt'ln.t) :ntCJ t: ...to l!ru!!U'CJ do (:ut'po rlt: ptova dllif".!nh~ u 
~salc_ C"AlJ1tLJdu. í.!Siõ:U~ I:&: o c as i!.l!ídt! Bã.(J> caras.. A con'Jo't!rsãa ru • .uYu& i.O!J d!M tjffijucs e- de-fu~t­
.fl' Çul!:3 COI!i\rL! i.dOJUÚi C~. 8'4 ) L!ffi ·~ km!S de tl.!rulC..c-3 t! dcfor-J ~.::3 real:s. (1!7~, e~) t:u&iliuu. 
x."fitfo ur~a. op.:; ;!o fcraü .La~s.atuJ;. oonfornrLE:: tl~a ... ~r-
A · tfom1~o ~.ll (.t:".) ~ da~ oom.o íufi o t,r;:u ~ilo I ~fu""ll~i:nw dil dd"o mw;;ã~ e- ~ 
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E~ a O..llréSS:'io ,.-:rud ... d-tturo da rt:gjão .. stki!. ~c. a t'eg.lão de !!flcr-JUructlto unJforme, ou. 
'5E-.ia, t~ a oon ll u:al mlxJII:Ia (t1'.J ;ap l~a.d.i! a.a t.::!JJ!f'O ~ prc\·a.. 
A dafur.i1JaÇ~.ú t'ffiL pudi!: oot" dm~-mhf~ a.da. a ~rt.Jt' d3 &Lb.tma.'!r'ic. rouvt-J')ClonaL ll! ~brâiJd.a 
qL.tt:!: 
E: -. l. - l -=.1!-Lr ' 1 
.I 
= - -]. 
4 . 
.AssJ~~. sub~tJtliltld.o c :5Jaltado eh:!. Eq. (2.2U} ri;.. E_q_ (2.1.Y}, ch!!f'a-~ á : 
r:, = lll.(er + 1) 
(2..20) 
(:L2.l ) 
A Eq. (:L2J) rut ·s.po1tdt: à. Lkfllrma.çia real ~of~ da pt.tl.a corpo d.t: p.ra. ·a d.urante- o 1!"1Uill.a. 
A tang:ãü r~.:ãl (ar) ~ ~ ~a: : 
p 
[]" =-' s 
'Ltl} qllt:: 
P = rsa (Põ:~) ; 
S = da ~a tt"o!lfi!.V~;tsil wstan't:l.nca (tn'l}. 
AdcültlJ~u.l) qu.t:: CJ 'II'U1W"ru!· J.'h! td1Uíé"Ç3 roJ~!.I:&lit:: du.ra.t1te- wd:!. a ~ l!gjã.CJ pl!s.tlt.:a. (V = 'V1). 
pC!cf-c-se crc ~r: 
v = s · L - s_ -~ = .eoth•tante 
L 
-=-s 
Sub~ IJ.Jllidü a Eq_ (202-4} ua ~qo (2..19), eht):la-.s~ 
au 
p 
-(e, + 1) 
o\, o 
35 
{223) 
Lernb.ra.J-M:o QLJ~ il Cill gil dtvtdl.& ~ a u~i.:l ulldü C11.:pré3r.:J11:3 a L1!1a~ Cüfi\'L!tldülllil~ ~iUi!u.1 
Eq.. (2026} ~.: ttat'ü.forma l:l11: 
tJ", = ar o (.t:o( - L) 
0!-J~et'.rill qu:e ... s. Eqs.. (2:021} ~ (2017) pa.k··om set ~U~ ~mo t"Li!i ;.ilu ~:uca (r1'. -- a,) 
~u-:~JI:'I!u J a i~W;'!1) pl.tih ~ l:ltli.:nlillnrtJ~EJl u:~ili"üi'rn .. e (Oj:...:::; a ,-:; aJ, UH~ rt o q'll!' d.OOt!.ção 
às.:l;ü equ ç.ot:~ ~arltl!! til Eq. (1.19). il quo t. "w'álida ~ t:OO_o u .l.ri'Í.C:f'tialo ~i;.kUcu t! SJ ;tkú 
dt e~t..:i't!l~méJ~~o wiJfu. ~u: o 
C'...oDtudo, pi:~'M" da c:~dt!t'a ã.o. dt que- o ".rültlifll.t ~uma~~ cearutMJ te du te- r(!f!)ão 
p]á:m tt .ãc a;t1 J'l!li.UlL~ o l.!ifiJfCJml Eqo (2023)], OOJlfOfll!itt: il!iSWt1.dCJ • ck:duçilo d;.. Eqo 
(L25). ~t:!. pCJdt1' s~t'3l' OOilllito~ COJ1l S. COO«Vil~ :po-!á.'IJeas caso s.r:ja ~t::JUD1i1Ía .. ~llda p!lf'8 a 
tr.: ~ li!o cl.; S. ti c a. c aafurr'll L! iii:·!:! m Ofl ill'ado SJM (J) e-fi cUillt L! Iii!:! Pol s_.(Jj} ( J.l ;;;; riJ.. $ pua tn il t!i!rl aJj 
.qu~ nao :sõfrüu va.:fllaçto dl! rofumt~ ~i4Jta.bl ~ .=l U.l). 
Um>1 diU cons.ldeta.ç-õe:s.lrr pmtart'l:t3. se- obie-N".ll' ca ~à.ü d:t eDcnt:unctlto uruform ~ 
<q1ltl urva ~etts~i.O-dc:for.n:~~ü r~ ~aTa a mal urJa dos m.t:tal:s. ~üde- S:Ct' .i' t::p~~ta.da unu 
lilllp I r.: r!:ll:!.çl o di! po Lt:fl CL a. d!!Jih por: 
rJr = k- .!::'; 
~ tJ li~ o ~ .Cbil.ln da dt- CüC::ÍkL.CfllE de :f~~~~~i;.!. ( .o,_) to: R ~ 6 C lkn:!l.OO dtf €:Dr.:!l.Jil.J~1éHlO 
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A cu.rvat.~Ju;lo-defot'flta.;;].Q. re-.!1. l a .l't::gião &: dt.-.fa~maç;to p]ástl.al, a!'W:r.L!t'l:Li:!.dCL :p()I: 
ii 
[ =-= k I ~· " s . I)U p = s . . 8'~ 
DJf~rot::JJciando a. Eq. C2.29)í oo'lt.ll-M:: 
fiP = k· tS · r.~-e-, ü1. - ~ . dS} 
dS 
rie =--
r S dS=-S·d'f.· r 
Sub!1ltlwJud.ú ;! f..tJ. (2.31) ~a E.q. (1.30}, eiJ l - e- ~~= 
(l.2.9) 
(:L lO) 
(2..3 l) 
(.2-::12) 
E N S A I O D E T R A Ç À O 37 
A Eq. (2.32), pode ser simplificada na forma: 
dP 
- = k · S · (n · e"- 1 - e") 
d r r e, 
(2.33) 
O ponto u refere-se ao ponto de inflexão da carga durante o ensaio de tração [Fig. 2.1(b)], 
ou seja: 
dP ) = O ou 
de, " 
(n · e"- 1 - e" ) = O Tli nt (2.34) 
Assim: 
e" n = ___!!!... = e 
n- 1 "' e,. 
(2.35) 
Desse modo, o coeficiente de encruamento corresponde à deformação real no ponto de 
máxima carga. 
Para a determinação do coeficiente de resistência, basta substituir as condições do ponto 
de máxima tensão (urJ na Eq. (2.28), em que: 
u,11 = k·e;~ ou 
Determinação gráfica de k e n 
k = Um 
n" 
(2.36) 
A determinação do coeficiente de resistência (k) e do coeficiente de encruamento (n) pode 
ser determinada pela disposição dos pontos da Eq. (2.28) em um gráfico log-log. Desse modo, 
essa equação segue a forma de urna reta, conforme a Fig. 2.29, sendo representada pela 
equação: 
log(ur) = log(k) + n ·log(er) (2.37) 
Extrapolando o gráfico para a condição em que e, = 1, tem-se Ur = k, e a inclinação da reta 
no gráfico log-log representa o valor do coeficiente de encruarnento. 
A Tabela 2.6 apresenta valores do coeficiente de encruamento e do coeficiente de resistên-
cia para alguns materiais de engenharia. 
A Eq. (2.28), apesar de representar de modo bem adequado o comportamento da região 
plástica de encruarnento uniforme, poderá apresentar erros para níveis de deformação meno-
res que 10- 3 ou maiores que 1,'0. Em alguns casos, os resultados podem ser mais bem ajustados 
para urna variante da Eq. (2.28), dada por: 
u = k · (e +e)" r O r (2.38) 
em que e0 corresponde a uma pré-deformação que o material deve receber antes do ensaio 
propriamente dito. 
Outra equação que pode ser bem aplicada é a equação de Ludwik, dada por: 
u = u + k ·e" r O r (2.39) 
em que u0 corresponde à tensão de escoamento do material (u.). 
38 CAPITU LO Z 
~ 
~ 
<ii 
~ 
o 
<<1l 
(/) 
c: 
~ 
2000 
1000 
900 
800 
700 
600 
500 
400 
300 
200 
100 
90 
80 
70 
0,01 0,10 
Deformação real (Adm} 
-+- k = 1500 MPa; n = 0,1 
- k = 1300 MPa; n = 0,1 
~ k = 1100MPa; n = 0,1 
n u,= ke, 
-..... k = 900 MPa: n = 0,03 
-é- k = 900 MPa: n = 0,1 
~ k = 900MPa; n = 0,5 
Figura 2.29 Gráfico log-log da curva tensão-deformação real. 
1500 MPa 
1300 MPa 
1100 MPa 
900 MPa 
1,00 
Tabela 2.6 Valores dos coeficientes de encruamento (n) e coeficiente de resistência (k} 
(segundo Dieter, 1988) 
Material n k (MPa) 
Aço de baixo carbono - recozido 0,261 530 
Aço 4340 - recozido 0,150 641 
Aço inox - 430 - recozido 0,229 1001 
SAE 1060 - temperado e revenido a 540 •c o, 100 1572 
SAE 1060 - temperado e revenido a 705 •c O, 190 1227 
Alumfnio - recozido 0,211 391 
Liga de alumfnio tratada termicamente 0,160 690 
Cobre - recozido 0,540 325 
Latão 70/30 - recozido 0,490 910 
Titânio o, 170 
E N S A I O D E T R A Ç À O 39 
Instabilidade em Tração 
A estricção, ou deformação localizada no corpo de prova do ensaio de tração, tem início no 
ponto de aplicação da máxima carga, a partir do qual o estado uniaxial de tensão dá lugar a 
um complexo estado triaxial de tensões. Essa situação de instabilidade tem início definido pela 
condição: 
dP) = O 
de, , 
(2.40) 
mas, como P = S · u, , pode-se escrever: 
5 du , +u dS = O 
de, r de, 
(2.41) 
Como o volume do corpo de prova permanece constante durante a deformação plástica, 
tem-se: 
ou 
dV = O 
de, 
d dL dS 
- (S·L) = S- +L-=0 
de, de, de, 
(2.42) 
(2.43) 
dS 
Isolando-se - na Eq. (2.43), tem-se que: 
de, 
.!!§_ = - .§_(~) 
de, L de, 
Aplicando-se o resultado na Eq. (2.41), obtém-se: 
S du, _ u . .§_( dL ) = 0 
de, ' L de, 
Introduzindo na Eq. (2.45) a definição de de,. dada na Eq. (2.18), chega-se a: 
du , 
-=u 
de, r 
(2.44) 
(2.45) 
(2.46) 
A Eq. (2.46) mostra que a instabilidade ocorre quando a tangente da curva tensão-defor-
mação é igual à magnitude da tensão aplicada. Essa condição também é apresentada em ter-
mos da deformação convencional, em que: 
du, u , ----
de, 1 +e, 
(2.47) 
A Eq. (2.47) permite uma construção geométrica conhecida como construção de Considere, 
que é utilizada na determinação do ponto de carga máxima no ensaio real, conforme mostra 
a Fig. 2.30. 
• Marca-se, no eixo das deformações, o ponto correspondente a uma deformação con-
vencional negativa igual a 1,0 (ponto A). 
• A partir desse ponto, traça-se uma reta que tangencie a curva tensão real-deformação 
convencional. 
40 CAPITU LO Z 
Figura 2.30 Construção de 
Considere para a determinação 
do ponto de carga máxima. 
~ e 
(ij 
~ 
o 
"" Vl c: 
~ 
1500~-----------------------------------r----~ 
-
1350-
-
1200 -
-
1050 -
-
900 -
-
750 -
-
600 -
-
450 -
-
300 -
-
150 
o 
Curva tensão real versus deformação convencional 
o 
• I 
I 
I 
I 
• . 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
• 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
: o 
I ' I ' I I ' I I ' I I ' I ' I ' 
- 1,o - 0,9 - o.a - 0,7 - 0,6 -o,5 -o,4 -o,3 - o,2 -o.1 o.o o,1 0,2 
Deformação convencional (mm/mm} 
• O ponto de tangência (ponto C) determina a tensão correspondente ao ponto de máxima 
carga do ensaio real (segmento CD), já que, conforme a Eq. (2.44), a inclinação é dada 
por ___!!i_. 
1 +e, 
• A tensão convencional correspondente ao ponto de máxima carga é dada pelo segmento 
OB,jáque u , =___!!i_. 
1 +e, 
Superplasticidade 
Para alguns materiais metálicos, em particular aqueles que apresentam microestrutura bifásica, 
como as ligas eutéticas e as eutetoides, é comum observar elevados níveis de alongamento(:::: 
1000%) antes da fratura. Esses metais correspondem a uma classe específica de materiais conhe-
cida por materiais superplásticos. Sabe-se que o comportamento de superplasticidade pode ser 
explicado por diferentes fatores metalúrgicos. Contudo, reconhece-se que os principais ele-
mentos que afetam essa propriedade são: (1) condição microestrutural particular e (2) condi-
ções específicas de ensaio (Modem Physical Metallurgy and Materiais Engineering. 1999). 
As principais condições da microestrutura de metais superplásticos são uma granulometria 
bastante refinada e a existência de estruturas bifásicas (eutéticas ou eutetoides). Materiais que 
exibem comportamento superplástico sob condições específicas de ensaio são aqueles que 
apresentam acentuado movimento dos contornos de grão durante o estiramento do corpo de 
prova (ver Capítulo 7- Ensaio de Fluência). 
Materiais superplásticos em geral apresentam elevada sensibilidade à taxa de deformação, 
em que o fluxo plástico de um sólido pode ser representado pela relação: 
u=K·e'" (2.48) 
em que u é a tensão, é corresponde à taxa de deformação, K é uma constante que depende do 
material em é a sensibilidade a taxa de deformação, que também depende do material. Param = 1, 
ENSAI O D E TRA ÇÀ O 41 
a tensão é diretamente proporcional à taxa de deformação, e o material se comporta como um 
fluido viscoso newtoniano, como por exemplo o vidro superaquecido. Materiais superplásticos 
são caracterizados por possuir elevados valores de m, desde que essa condição conduza a um au-
mento da estabilidade na tração, reduzindo o efeito de empescoçamento que leva a fratura. 
Para um corpo de prova de comprimento L e área de seção transversal A, sob uma carga 
trativaP: 
L A 
então: é =-( ~}~ (2.49) dL dA -= - -
Aplicando a Eq. (2.49) em (2.48), chega-se em:j_ 
dA = (.!:)"' . A (1-;;) 
dt K 
(2.50) 
Para muitos metais e ligas, m :::: 0,1 a 0,2, e a taxa para a qual A se modifica é sensivelmente 
dependente de A, e, uma vez que o empescoçamento (instabilidade à tração) se inicia, este 
rapidamente atinge a fratura. Quando m = 1, a taxa de alteração de área (dA!dt) torna-se 
independente da área (A) e, consequentemente, nenhuma irregularidade na geometria do 
corpo de prova será acentuada durante a deformação. A resistência ao empescoçamento de-
pende sensivelmente de m, e aumenta de modo marcante para valores de m ~ 0,5. Materiais 
metálicos superplásticos, como os eutéticos das ligas Pb-Sn e Al-Cu e o eutetoide da liga Zn-Al, 
possuem valores de m próximos à unidade para temperaturas elevadas. 
Conceitos da região de encruamento não uniforme (uu < uc !5 u ,) 
Após o ponto de carga ou tensão máxima (a-..), tem início a fase de ruptura, que é caracteri-
zada por uma rápida redução local da seção de fratura, conhecida como fenômeno da estric-
ção, o qual também é chamado de empescoçamento, devido à condição observada em materiais 
de conduta dúctil. 
Para a região de comportamento plástico não uniforme, tem-se que os principais parâme-
tros que devem ser analisados de modo detalhado são: 
• Coeficiente de estricção ou redução de área (cp). 
• Alongamento total (LlL), alongamento específico (8) e deformação na fratura (e1). 
• Módulo de tenacidade (U,). 
• !ndice de anisotropia (r). 
• Tipos de fratura. 
A estricção e o alongamento são medidas da ductilidade (plasticidade) do material e são 
definidos como se segue. 
Coeficiente de estricção ou redução de área (tp) 
<p- Coeficiente de estricção diferença entre as seções inicial (S0) e final (S1) (após a ruptura) 
do corpo de prova, expressa em porcentagem da seção inicial. 
(
s - s ) cp = o So I . 100% 
em que 
cp = coeficiente de estricção (%); 
S0 = seção transversal inicial da amostra (m2); 
S1 = seção estrita (medida após a fratura) (m
2). 
(2.51) 
42 CAPITU LO Z 
Exemplo 
Figura 2.31 Representação de um sis-
tema de laminação para o cálculo da 
redução de área. 
Em processos de conformação plástica a frio, como por exemplo a laminação, a medida 
da intensidade de deformação que se pretende impor através do processo deve ser con-
frontada com o limite imposto pela estricção para mostrar a viabilidade do processo. 
Na laminação a frio de chapas de espessura inicial, t0 e largura w 0, conforme Fig. 2.31, 
tem-se que a chapa deverá passar entre um par de cilindros laminadores para reduzir sua 
espessura para t,. Admitindo-se que o atrito lateral dos laminadores restringe o aumento 
da largura, a ponto de ser desprezada (w0 = w, = w), a seção transversal após a lamina-
ção será: 
s, = t, . w (2.52) 
e a deformação, ou redução de área na seção transversal será dada por: 
cP = ( 5o~ s, J . 100% = ( 1 - ~ J . 100% (2.53) 
Esse valor de cP deverá ser comparado com o valor medido no ensaio de tração do 
material na seção estrita (q>), e, desde que cP < q>, o processo é viável, ou seja, a redução 
de área imposta pelo processo na condição de deformação a frio é menor do que a redu-
ção de área na ruptura determinada no ensaio de tração. 
Alongamento total (M), alongamento específico (õ) e 
deformação na fratura (eJ 
M - Alongamento Diferença entre o comprimento final (L1) medido após a fratura e o com-
primento inicial (L0) do corpo de prova; é dado por: 
(2.54) 
O alongamento específico (8) caracteriza-se pelo quocíente do alongamento pelo compri-
mento inicial do corpo de prova, também conhecido como deformação linear média ou defor-
mação convencional de engenharia. 
O alongamento específico representa a deformação na fratura (e1): 
a= e! 
Módulo de tenacidade (U1) 
(2.55) 
(2.56) 
A tenacidade corresponde à capacidade que o material apresenta de absorver energia até a 
fratura, ou, em outras palavras, quantifica a dificuldade ou facilidade de levar o material a fra-
( ~o; ~u) 
(a) 
(b) 
o 
"" IJl c 
~ 
o 
IC\l 
IJl 
c 
~ 
Material dúctil 
(JIJ .. -----------------------------
Material frágil 
ENSA I O D E TRAÇÀO 43 
: (J8 + (JU•/it 
2 
Deformação 
Deformação 
Figura 2.32 Representação de situações extremas de comportamento de materiais: (a) material dúctil 
e (b) material fr~gil. As ~reas hachuradas representam os resultados aproximados dos módulos de 
tenacidade. 
44 CAPI TUL O Z 
tura. É quantificada pelo módulo de tenacidade, que consiste na energia absorvida por unidade 
de volume, do início do ensaio de tração até a fratura. Uma maneira de se avaliar a tenacidade 
consiste em considerar a área total sob a curva tensão-deformação. As curvas da Figs. 2.32(a) 
e (b) representam esquematicamente situações extremas de comportamento no ensaio de tra-
ção: um material dúctil (curva da Fig. 2.32(a)) e um material frágil (curva da Fig. 2.32 (b)). 
Em ambos os casos, a ausência de uma expressão analitica que represente a variação de u 
com e impede o cálculo da área sob as curvas e, consequentemente, a determinação do módulo 
de tenacidade (U,) . Utilizam-se, na determinação desses valores, as seguintes expressões, con-
vencionadas internacionalmente: 
Material dúctil: 
U 
u, +u. - ·e , - 2 ! (2.57) 
Material frágil: 
U, = (~ )u, ·e1 (2.58) 
O módulo de tenacidade é expresso em unidade de trabalho por volume, (N · m/m3), e, de 
um modo geral, os materiais que apresentam módulo de resiliência alto têm a tendência de 
apresentar módulo de tenacidade baixo. A tenacidade é um parâmetro que compreende tanto 
a resistência mecânica do material quanto a ductilidade. 
Técnica para o cálculo do módulo de tenacidade (U1) 
Um modo prático de se determinar o módulo de tenacidade é através do somatório de ele-
mentos de área realizados na curva tensão-deformação, conforme mostra a Fig. 2.33. Para a 
aplicação desse método, é necessária a utilização da tabela de valores da tensão-deformação 
obtida no ensaio, conforme visto no exemplo da Fig. 2.34. 
C'; +2"1·1) 
'~i+ 1 --------------------------- l 
~~- :::::::::::::::::::::'G ~ 
-~ ~----- --------------1:-
( CT; +2al-1) ui~ --------------
~ 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
o 
I <'O 
"' c: 
~ : A,+l 
A; : 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
CN - 1 r.N 
Deformação (e) 
Figura 2.33 Método de cálculo para a determinação do módulo de tenacidade. 
Tempo (s) 
0,016667 
0,083333 
0,1 16670 
O, 133330 
O, 150000 
O, 166670 
O, 183330 
0,200000 
0,216670 
0,233330 
0,250000 
0,266670 
0,283330 
83,917000 
84,417000 
84,917000 
85,417000 
85,917000 
86,417000 
86,917000 
87,417000 
87,917000 
88,417000 
88,867000 
89,317000 
89,400000 
Alongamento 
t;.L = L- L0 
o 
0,00055835 
0,0011167 
0,001582 
0,0020473 
0,0024195 
0,0027917 
0,0033501 
0,0038154 
0,0041876 
0,0046529 
0,0051 182 
0,0054904 
5,9083 
5,9501 
5,9916 
6,0331 
6,0746 
6,1162 
6,158 
6,1998 
6,2417 
6,2833 
6,3208 
6,3581 
6,3653 
Informações geradas no ensaio 
Força (P) [N) 
60,095 
60,095 
60,095 
60,095 
60,095 
60,095 
60,095 
60,095 
60,095 
60,095 
50,079 
60,095 
60,095 
28475 
28285 
28074 
27864 
27644 
27413 
27193 
26963 
26722 
26482 
26242 
25991 
2561 1 
Deformação 
ec= (% } 
0,236332 
0 ,238004 
0 ,239664 
0 ,241324 
0 ,242984 
0,244648 
0,24632 
0 ,247992 
0,249668 
0,251332 
0 ,252832 
0 ,254324 
0 ,254612 
Tensão 
11c= ( P 5
0
} 
1096,4883 
1089,1720 
1081 ,0470 
1072,9605 
1064,4890 
1055,5938 
1047,1223 
1038,2657 
1028,9855 
1019,7438 
1010,5021 
1000,8368 
986,2041 
t;.U, 
1,827212015 
1 ,801281751 
1 '787826232 
1,774083065 
1 '763908885 
1,757870671 
1 ,743384318 
1,732356437 
1,704542716 
1 ,522684381 
1 ,500458803 
0,286133894 
FRATURA 
u, = 228,0902236 
E N S A I O D E T R A Ç À O 45 
N 
u, = r ~:;.u,, 
1 
Figura 2.34 Exemplo da manipulação de tabelas apresentadas no resultado do ensaio de tração para o cálculo 
do módulo de tenacidade. 
Em geral as informações obtidas no ensaio são registradas em arquivos, tipo .txt, .dat, ou 
outros, os quais devem conter em geral três colunas,quais sejam, tempo, alongamento e força. 
Após a montagem conveniente das colunas referentes à deformação e à tensão de engenharia, 
conforme a Fig. 2.34, cria-se uma coluna iniciando na primeira linha dos dados, com o cálculo 
do elemento do módulo de tenacidade para cada linha, o qual representa os elementos de área, 
conforme visto na Fig. 2.33, e representado pela equação: 
( 
a l+t + a1 ) ( ) t1U, = 
2 
· e1~1 + e1 (2.59) 
A soma dos valores da coluna !:lU, mostrada na Fig. 2.34 representa o resultado do módulo 
de tenacidade: 
(2.60) 
46 CAPI TUL O Z 
fndice de anisotropia 
As propriedades mecânicas de um material que tenha sofrido deformação através de um pro-
cesso de conformação, como por exemplo a fabricação de folhas e chapas por laminação, 
variam com a direção. Essa variação é caracterizada pela anisotropia apresentada pelo material 
e pode ser caracterizada pelo índice de anisotropia plástica (r), expresso na forma: 
em que 
e,b representa a deformação real na largura (adimensional) e 
e,, é a deformação real na espessura (adimensional). 
Para um material isotrópico, r = 1. 
(2.61) 
Como as medidas de espessura (t) geralmente se encontram sujeitas a um maior erro rela-
tivo, pode-se utilizar uma simplificação baseada na hipótese de volume constante durante a 
deformação plástica, permitindo a determinação da anisotropia plástica a partir das deforma-
ções no comprimento (L) e na largura (b) do corpo de prova, dados por: 
em que 
b0 = largura inicial do corpo de prova (mm); 
b18 = largura após 18% de deformação no comprimento (mm); 
L0 = comprimento inicial do corpo de prova (mm); 
L18 = comprimento após 18% de deformação (mm). 
(2.62) 
O valor de 18% para a deformação é escolhido como um valor arbitrário que deverá se 
encontrar dentro da região de deformação plástica uniforme. 
Outro parâmetro que pode ser determinado é a anisotropia nonnal (r), dada pela média 
dos valores de anisotropia plástica de determinado produto, obtidos por ensaios em corpos 
de prova extraídos em três direções (0°, 45° e 90°); a direção de 0° corresponde à direção de 
laminação. O valor do índice de anisotropia normal é dado por: 
(2.63) 
em que r0. , r4 s• e r9(1' correspondem ao índice de anisotropia plástica de corpos de prova extraí-
dos a 0°, 45° e 90°, respectivamente, em relação à direção de laminação. 
A variação da anisotropia plástica no plano principal do produto é dada pela anisotropia 
planar (Llr), expressa na forma: 
(2.64) 
Tipos de fratura 
Enquanto a deformação elástica é homogênea, envolvendo somente um pequeno e reversível 
deslocamento de átomos, a deformação plástica é não homogênea e envolve grandes e irrever-
síveis deslocamentos. A deformação elástica pode ser interpretada em termos de estruturas 
• 
ENSAI O D E T R A Ç À O 47 
perfeitas, ao passo que a deformação plástica está relacionada com o movimento de discordân-
cias. A deformação plástica geralmente ocorre através de um mecanismo de escorregamento, 
no qual os planos atómicos mais densamente compactados se movem uns sobre os outros. Para 
um determinado conjunto de planos densamente compactados e suas respectivas direções, o 
escorregamento ocorrerá preferencialmente naqueles em que a tensão de cisalhamento é 
máxima, o que corresponde a uma direção a 45° do eixo de aplicação da tensão de tração. 
Nos metais CFC (cúbicos de face centrada) há uma maior probabilidade de o escorrega-
mento ocorrer nessa direção do que nos metais que apresentem estrutura hexagonal compacta. 
Nos metais CCC (cúbicos de corpo centrado) e HC (hexagonal compacta), não há exata-
mente um conjunto de planos densamente compactados, e o escorregamento normalmente 
ocorre na forma de linhas onduladas. 
A fratura é definida como a separação ou fragmentação de um corpo sólido em duas ou 
mais partes, sob a ação de uma tensão, e pode ser mais bem analisada considerando dois fenô-
menos que deverão ocorrer do modo sequencial, quais sejam: 
• Nudeação de trincas e 
• Coalescimento/crescimento (propagação) das trincas. 
Após a tensão máxima (u,), todos os planos de deslizamento se encontrarão totalmente 
ancorados, sem nenhuma mobilidade, e o material estará em seu estado de máximo encrua-
menta. Com a elevação da tensão após esse ponto, a deformação só será possível de acontecer 
desde que os átomos literalmente iniciem um processo de separação física com a quebra de 
suas ligações, iniciando aí o primeiro estágio de fratura, com a formação dos primeiros núdeos 
de separação. Na continuidade, esses núcleos crescem e se unem, formando uma falha no 
material, a qual é associada ao efeito final da fratura, conforme a sequência apresentada na 
Fig. 2.35. Observa-se que os núcleos de fratura originados no estágio 2 recebem a denomina-
ção dímples, e podem ser visualizados após a fratura, conforme ilustra a Fig. 2.36. Esse meca-
nismo de fratura é mais comum nos materiais dúcteis; nos materiais frágeis, é mais comum a 
observação de planos de clivagem, cuja fratura deverá apresentar aspecto formado por pe-
quenas regiões planas. 
De modo geral, a fratura pode ser classificada em duas categorias, fratura frágil e fratura 
dúctil. A fratura dúctil é caracterizada pela ocorrência de uma apreciável deformação plástica 
antes e durante a propagação da trinca. A fratura frágil nos metais é caracterizada pela rápida 
propagação da trinca, com nenhuma deformação macroscópica e muito pouca deformação micros-
cópica. Uma representação dos tipos de fratura que podem ocorrer é apresentada na Fig. 2.37. 
As Figs. 2.38, 2.39 e 2.40 mostram os aspectos da região de fratura em amostras 
metálicas. 
A Tabela 2.7 apresenta a tensão de escoamento, a tensão máxima, o alongamento e a redu-
ção de área para vários metais de aplicação em engenharia. 
l l 
• eG)e • • 
1 1 
Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 
Formação dos primeiros Crescimento dos União dos nucleos de 
nucleos de fratura núcleos de fratura fratura e falha catastrófica 
Figura 2.35 Estágios de fratura após a tensão máxima (o) . mostrando a formação de dimples. 
48 CAPITU LO Z 
(~ (~ 
Figura 2.36 Superffcie de fratura apresentando dimples, tfpicos de fratura dúctil: (a) aumento de 50 X e (b) au-
mento de 1 OOX. 
l l l l 
1 1 1 1 
(a) (b) (c) (d) 
Figura 2.37 Tipos de fraturas observadas em 
metais submetidos a tensão uniaxial: (a) Fratura reta 
(material fr~gil); (b) fratura em 45°, sem deformação 
lateral (material CFC frágil); (c) fratura em 45°, com 
deformação lateral (material CFC dúctil); e (d) fra-
tura taça-cone (material dúctil - CCC). 
p 
Jf 
/ 
Figura 2.38 Aspecto do escorregamento que 
se verifica em um monocristal ensaiado em tra-
ção, comparado com a direção teórica de 
escorregamento. 
(a) 
(c) 
E N S A I O D E T R A Ç À O 49 
Figura 2.39 Formação de região estrita em 
uma amostra de aço, evidenciando que a 
fratura que se seguir~ ser~ do tipo conhecido 
como taça-cone. 
(b) 
Figura 2.40 Exemplos de (a) fratura dúctil (taça-cone) em aço de baixo carbono; (b) fratura fr~gi l em amostras 
de aço. As fraturas fr~geis ocorreram devido a desalinhamento entre as placas do equipamento de tração, gerando 
um estado triaxial de tensão próximo às extremidades dos corpos de prova; e (c) fratura com forte estricção e 
tendência de direção em 45° em amostras de alumfnio. 
Tabela 2.7 Tensão de escoamento, tensão máxima, alongamento e redução de área para vários metais de aplicação em engenharia 
(Metais Handbook v.8, NBR ISO 6892:.2002, Callister, 1994) • 
Metal-base Uga 
Ferro fundido cinzento 
Nodular classes 60-40-18 
Nodular classes 80-55-06 
Ferro 
Comercialmente puro 
0.22% carbono 
Estrutural (vergalhão) 
Aço 
SAE 4340 
(continua) 
Processamento 
fundido 
recozido 
fundido 
recozido 
trabalhado a quente 
trabalhado a frio 
* 
convencional 
baixa liga, alta resistência 
recozido a 815 oc 
normalizado a 870 oc 
temperado em óleo e revenido 
a 315 oc 
Tensão de 
escoamento (u.) 
(MP a) 
55-275 
276 
379 
130 
205 
650 
402 
205-275275-550 
472 
862 
1620 
Tensão máxima 
convencional (uJ 
(MPa) 
125-415 
414 
552 
290 
330 
690 
597 
345-450 
450-620 
745 
1280 
1760 
Alongament o 
específico em 
50 mm ou 5 x d 
(%) 
o 
18 
6 
48 
30 
25 
40-30 
30-15 
22 
12 
12 
Redução de área 
estricção (~p) 
(%) 
o 
85 
75 
65 
70-40 
UI o 
n 
)> ..., 
.... 
c 
~ 
o .. 
Tabela 2.7 Tensão de escoamento, tensão máxima, alongamento e redução de área para vários metais de aplicação em engenharia 
(Metais Handbook v.8, NBR ISO 6892:2002, Callister, 1994) (Connnuação) 
Ten.são de Tensão máxima Alongamento Redução de área específico em 
Metal-base Liga Processamento escoamento (u.) convencional (u.J 50 mm ou 5 x d estri~o (q:>) 
(MP a) (MPa) (%) (%) 
recozido 276 483 26 70 
trefilado, 700 •c 552 689 24 65 
SAE 1300 (aço manganês) trefilado, 530 •c 758 896 20 60 
trefilado, 370 •c 1241 1379 14 45 
trefilado, 200 •c 1448 1655 10 30 
SAE 1112 laminado a frio 524 579 18 45 
Aço Inoxidável austenítico * 353 623 52 78 
Inoxidável martensítico * 968 1253 12 50 
acabado a quente e recozido 205 515 40 
lnox 316 
estirado a frio e recozido 310 620 30 
~ 
z 
recozido 415 725 20 "' )> 
lnox440A -o 
revenido a 315 •c 1650 1790 5 o 
~ 
Alta resistência * 1040 1168 17 66 .... "' )> 
Fundido tratado termicamente 415-860 205·620 33·14 65·20 
.,.... 
16 
(continua) 
UI ... 
UI 
"" -
n 
Tabela 2.7 Tensão de escoamento, tensão máxima, alongamento e redução de área para vários metais de aplicação em engenharia 
, > ..., -
(Metais Handbook v.8, NBR ISO 6892:.2002, Callister, 1994) (Continuação) .... c 
~ 
o 
Tensão de Tensão máxima Alongamento Redução de área .. 
escoamento (u.) convencional (u..) específico em estricção (~p) Metal-base Liga Processamento 50 mm ou 5 x d 
(MP a) (MPa) (%) (%) 
Comercialmente puro laminado a frio 35-145 90-165 35-5 
recozido 34 90 40 
liga 1100 endurecido por deformação a 
frio (revenida H14) 
117 124 15 
ligas de AI-Cu (geral) fundido 80-110 130-160 4 - 0 
recozido 75 185 20 
tratado termicamente e 345 485 18 
liga 2024 envelhecido (revenido T3) 
tratado termicamente e 360 490 20 30 
envelhecido (revenido T351) 
Alumínio 
recozido 103 228 17 
Liga 7075 tratado termicamente e 505 572 11 
envelhecido (revenido T6) 
Trabalháveis tratado termicamente 70-345 205-415 33-15 
Die Casting injetado 138 207 2 
fundido 124 164 6 
Liga 356.0 tratado termicamente e 164 228 4 
envelhecido (revenido T6) 
17ST 234 386 26 39 
51ST 276 331 20 35 
(continua) 
Tabela 2.7 Tensão de escoamento, tensão máxima, alongamento e redução de área para vários metais de aplicação em engenharia 
(Metais Handbook v.8, NBR ISO 6892:2002, Call ister, 1994) (Connnuação) 
Ten.são de Tensão máxima Alongamento Redução de área específico em 
Metal-base Liga Processamento escoamento (u.) convencional (u.J 50 mm ou 5 x d estri~o (q:>) 
(MP a) (MPa) (%) (%) 
Comercialmente puro recozido 34 221 58 73 
Eletrolítico tenaz 
laminado a quente 69 220 50 
(C11000) trabalhado a frio (revenido H04) 310 345 12 
Cobre 
trefilado e endurecido 414 469 4 55 
Bronze diversos 55-550 275-825 60-3 
ao fósforo 480-550 275-890 55-5 
Ugas diversas 75-205 145-310 17-0,5 
AZ31B laminado 220 290 15 
Magnésio 
extrudado 200 262 15 
AZ91D fundido 97-150 165-230 3 
~ 
Monel400 Liga de Cu-Ni 207 545 48 75 z "' )> 
Molibdênio laminado a frio 517 
-
689 30 o 
o 
Prata fundida e recozida 55 124 54 
.... 
"' Comercialmente puro recozido 170 240 30 )> .,.... 
lítânio recozido 830 900 14 
16 
li· 6AI - 4V 
tratado termicamente e 1100 1170 10 U1 envelhecido w 
54 CAPITU LO Z 
Considerações sobre os resultados do ensaio de tração 
Os resultados apresentados pelo ensaio de tração poderão variar em função de uma série de 
condições, conforme se segue: 
• temperatura de execução do ensaio; 
• teor de soluto da liga; 
• tratamentos térmicos e mecânicos; 
• tamanho de grão do material. 
A temperatura de execução do ensaio pode influenciar significativamente as propriedades 
mecânicas levantadas pelo ensaio de tração, conforme mostra qualitativamente o esboço da 
Fig. 2.41, para o caso de aços de baixo carbono. Em geral, a resistência diminui e a ductilidade 
aumenta conforme o aumento da temperatura do ensaio. 
O teor de soluto da liga influencia os valores das propriedades levantadas no ensaio de 
tração. A Fig. 2.42 mostra a influência de alguns solutos substitucionais nos valores do limite 
de escoamento para ligas de ferro e cobre. 
Figura 2.41 (a) Mudanças das curvas tensão-
deformação de engenharia com a tempera-
tura para aços de baixo carbono. (b) Alteração 
das propriedades medlnicas com a tempera-
~ 
o 
I«< 
(/) 
c 
~ 
(a) 
e 
ãí 
E 
•«< 
~ 
tura. (Adaptado de Dieter, 1988.) (b) 
-2oo •c 
30 •c 
4oo •c 
Deformação (1~) 
Temperatura 
ENSAIO D E TRAÇÀO 55 
í? a.. 
Ligas à base de ferro í? a.. 
Ligas à base de cobre 
~ ~ 
o B c Mo c: 
Q) Q) 
Sn E E 
O) ro 
o C r o o o 
1/l 1/l 
Q) Q) 
Q) Q) 
"O "O 
2 Q) Zn . ..: 
~ ª o lO) 1/l o lO) 1/l 
c: c: 
~ o 10 20 ~ o 10 20 
(a) Teor do elemento de liga(%) Teor do elemento de liga (%) (b) 
Figura 2.42 Variação das propriedades obtidas no ensaio de tração em função do teor de soluto para 
(a) liga à base de Fe e (b) liga à base de Cu. (Adaptado de Hudson, 1973.) 
400 
300 
&" 
~ 90%Cu I 1 O%Zn 
o 
l O) 
~ 200 
~ 
100 
o 10 20 
Deformação (mm/mm) 
30 40 
Figura 2.43 Gráficos tensão-deformação do ensaio de tração convencional de dois tipos de latões. 
(Adaptado de Hudson, 1973.) 
A Fig. 2.43 apresenta curvas tensão-deformação do ensaio convencional de dois latões 
(30%Zn) e (10%Zn), onde se observa que aumentos no teor de zinco elevam a tensão máxima, 
e no caso particular se observa também um aumento no alongamento, porém esse último 
efeito é menos pronunciado. A Fig. 2.44 apresenta a influência do níquel e do cromo nas pro-
priedades de resistência e ductilidade em um aço SAE 1020 e a influência do manganês nas 
tensões máximas e de escoamento de aços de baixo e médio carbonos. A Fig. 2.45 mostra a 
relação entre o teor de carbon o e o teor de manganês na tensão máxima de aços laminados. 
1200 
1050 
:§' 
c 
Q) 
E 
<11 
8 cn 
Q) 
750 Q) 
'O 
Q) 
<11 
E 600 
:~ 
E 
o 
o <I! 
450 cn c 
:ê. 
Cõ a.. 300 
~ 
o 
o <I! 
cn 
c 
~ 150 
o 
r---.----.----.---.. ---.----.----.----.----.---.80 
40 
1----~----r----+----~--~----~----+----+----~----110 
~--~--~----~--~--~----~--~----~--~--~0 
o 2 3 o 
% Nfquel 
1 
% Cromo 
2 o 2 
% Manganês 
3 
Figura 2.44 Influência do nfquel, cromo e manganês nas propriedades de aços-carbono laminados. 
(Adaptado de Bain, 1945.) 
0,8 
0,7 
1000 MPa 
I ...... 
0,6 900MPa --
I 
800 MPa 
~ 0,5 
I 
::.!! 
~ 
o c 
o 700 MPa € 
<11 0,4 c--o Q) 'O ... 
~ 0,3 
600 MPa 
0,2 
0,1 
0 ~--~----~----~----~--~----~----~----~----~--~ 
o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 
Teor de manganês (%) 
Figura 2.45 Influência da relação composicional do carbono e do manganês na tensão máxima de 
aços-carbono. (Adaptado de Bain, 1945.) 
~ !!-
~ 
Q; 
c.. 
(a) 
~ 
~ 
o 
'"' <> 
~ 
·<11 
"' '(3 c 
>G> 
<;; 
·o; 
Q) 
a: 
(b) 
E N S A I O D E T R A Ç À O 57 
A porcentagem de carbono nos aços e, consequentemente, a variação de microconstituintes 
presentes na microestrutura têm influência significativa sobre propriedades mecânicas como 
a resistência à tração e o alongamento. A Fig. 2.46 mostra esse tipo de influência para aços-
carbono no estado recozido. 
Para todos os materiais, e, em particular, para os metais, as principais variáveis e.xternas 
que afetam o comportamento durante a deformação, e consequentemente as caracteristicas 
% de perllta em um aço-carbono recozido 
Ferrita + Perlita 
Perlita + 
I 
Cementita I 
100 o 
90 10 
80 20 
70 30 ~ 
"' 60 40 E c 
Q) 
E 
50 50 Q) o 
:l o 
40 60 "' ·'E 
~ 
30 70 
20 80 
10 90 
O O, 1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 
900 
750 
600 
450 
300 
o 
% em peso de carbono 
Propriedades mecânicas de um 
aço-carbonorecozido 
Limite de resistência à tração 
0,2 0,4 0,6 0,8 1 ,O 
% em peso de carbono 
35 
30 
25 
20 
15 
10 
5 
~ 
_g 
c 
Q) 
E 
"' O> c 
_g 
<( 
Figura 2.46 (a) Aumento do teor de perlita com 
o aumento do teor de carbono em aços. (b) 
Influência do teor de carbono nas propriedades 
mecanicas de aço-carbono. (Adaptado de 
Hudson, 1973.) 
58 CAPITU LO Z 
da fratura, são temperatura, presença de entalhes favorecendo a formação de uma região de 
concentração de tensão, a triaxialidade de tensões, altas taxas de deformação, além da agres-
sividade do meio ambiente. 
Os tratamentos térmicos e mecânicos devem influenciar de modo a alterar as caracterís-
ticas mecânicas, e os tratamentos térmicos que objetivam elevar a dureza do material têm 
como consequência direta a elevação dos níveis das tensões de escoamento e máxima. Estes 
também reduzem a ductilidade do material, diminuindo os valores do alongamento, da defor-
mação e da estricção. Os tratamentos mecânicos visam ao endurecimento do material utili-
zando-se do encruamento gerado no trabalho a frio. 
A Fig. 2.47 mostra a influência da deformação a frio na microestrutura e nas propriedades 
mecânicas de aços de baixo carbono. Observar nessa figura as diferenças nos níveis das ten-
sões de escoamento e máxima para a situação de um material com e sem o trabalho a frio. O 
aço com 0,15% de carbono mostra que o encruamento apresentado pelos grãos deformados 
evidencia um ganho considerável de resistência (u" = 655 MPa), ao passo que parâmetros 
relacionados com a ductilidade caem (8 = 17%). 
A Fig. 2.48(a) apresenta o resultado das curvas tensão versus deformação para um aço SAE 
5160 (0,60%C; 0,79%Mn; 0,20%Si; 0,80%Cr; 0,01 %P; 0,02%$) na condição de recozido, tem-
perado e revenido. As Figs. 2.48(b), (c) e (d) mostram as metalografias obtidas para cada 
material, com destaque para as indentações de microdureza Vickers, em que se observa cla-
ramente a evolução das fases e da conduta mecânica do material. 
Figura 2.47 Influência do t rabalho a frio 
sobre a microestrutura e propriedades 
mec~nicas : (a) aço-carbono normalizado; 
(b) aço-carbono normalizado e confor-
mado a frio. (Adaptado de Hudson, 1973 .) 
500 
;f 
~ 300 
o 
ICU 
"' c 
~ 
o 
a eH= 346 MPa 
aeL = 340 MPa 
au = 505 MPa 
t5 = 36% 
10 
Aço-carbono 0,22%C 
normalizado 
;f 
~ 600 
o 
ICU 
"' c 
~ 
I 
I 
I 
I 
I 
v~---
a, = 575 MPa 
au = 655 MPa 
i5 = 17% 
I 
o 10 
Deformação 
Deformação 
Aço-carbono 0,15%C 
normalizado e conformado a frio 
30 
(a) 
(b) 
(a) 
(b) 
(d) 
2100-r----------------------------------------~ 
1800 
1500 
rf. 
6 1050 
o 
·~ c: 
~ 
Austenitlzado em 870 •c 
e temperado em óleo na 
temperatura ambiente 
Revenido após têmpera 
em 500 •c por 90 minutos 
Laminado a frio 
e posteriormente recozido 
Modificações nas propriedades 
de tração do aço SAE 5160 
ao longo do tratamento térmico 
Deformação (mm/mm) 
(c) 
Figura 2.48 (a) Curvas tensão-deformação obti-
das para um aço SAE 5160, na condição de lami-
nado a frio e recozido, temperado e revenido. 
Ao lado, as microestruturas observadas em cada 
condição, com destaque para a identação da 
microdureza (b) laminado e recozido, (c) tempe-
rado, (d) revenido. 
60 CAPITU LO Z 
O tamanho de grão também deve influenciar de forma significativa os resultados gerados 
no ensaio de tração, uma vez que os contornos de grão devem representar um obstáculo ao 
escorregamento de planos. No início da década de 1950, E. O. Hall e N.J. Petch, em trabalhos 
independentes, mostraram que, conforme diminui o tamanho de grão, a resistência à defor-
mação aumenta para os materiais metálicos. Essa relação é conhecida por relação de Hall-
Petch e é dada por: 
em que 
u. é a tensão de escoamento do material; 
u0 representa um nível de tensão intrínseca do material; S corresponde a um coeficiente que depende do tipo de material; 
u é o diâmetro médio de grão (mm). 
(2.65) 
A Tabela 2.8 apresenta alguns valores dos coeficientes u0 e k1 para a equação de Hall-Petch, 
e a Fig. 2.49 mostra a relação entre o diâmetro de grão e a tensão de escoamento para o Fe-a 
com alguns elementos de liga. 
Tabela 2.8 Constant es da equação de Haii-Petch para alguns mat eriais 
Material 
Cobre 
Titânio 
Aço de médio carbono 
Ni3AI -
~ 
~ 300 
o c 
Q) 
E 
«l o 
lil 200 
Q) 
Q) 
"O 
2 
~ 
o 
'lJl 100 
c 
~ 
o 
o 2 
u0 (MPa) ky (MPa • mm"~) 
25 3,48 
80 12,65 
70 23,40 
300 53,76 
6~oSi ... -
.... 
, ~Nf 
3%Si ........... ~ 
~ 
~ ~ ~~ 
o. 
__.....tt'" 
~· 3%Ni 
"' "'1 ,5%Si ~ .:r; ... .. -·· .. ... 1,5%Ni 
Fe-C .... 
3%Cr •• 
v ~ 
v 
1,yocr "" Fe 
3 4 5 6 7 8 9 
1 I Raiz do diâmetro de grão (mm-
112
) 
-
-
10 
Figura 2.49 Influência do dil3metro de grão na tensão limite de escoamento para o Fe-a com alguns 
elementos de liga. (Adaptado de Metais Handbook, v.8, 1984.) 
ENSA I O D E TRA ÇÀO 61 
Considerações sobre as diferentes classes de materiais 
A influência da natureza de diferentes materiais no comportamento da curva tensão-defor-
mação está exemplificada na Fig. 2.50 para quatro materiais dístintos: (a) aço-carbono SAE1030, 
(b) carboneto de tungstênio, (c) gesso e (d) borracha. Nos materiais metálicos ou cerâmícos, 
a máxíma deformação elástica é geralmente menor que 0,5%. Na borracha e outros elastôme-
ros, a relação entre tensão e deformação é não linear, e podem-se alcançar deformações elás-
ticas da ordem de 100% ou mais. 
X 
420 Aço-carbono 1030 
<? 
~ 280 
o 
'"' "' c 
~ 
(a) 
rf 
5 
o 
·~ c 
~ 
(c) 
140 
o 
2,10 
1,40 
0,70 
o 
0,05 0,10 0,15 
Deformação (mm/mm) 
0,005 0,010 
Deformação (mm/mm) 
X 
0,20 
o 2 
(d) 
'i 
5 
o 
·~ 
1050 
.§ 700 
350 
(b) 
o 
4 
Carboneto de 
tungsténio 
0,001 0,002 
Deformação (mm/mm) 
6 
Deformação (mm/mm) 
8 
Figura 2 .50 Influência da natureza de diferentes materiais no com-
portamento da cuNa tensão-deformação: (a) aço-carbono 1030; 
(b) carboneto de tungstênio; (c) gesso; (d) borracha. (Adaptado de 
Hayden, 1965.) 
62 CAPI TUL O Z 
Para os polímeros, são típicos três comportamentos diferentes para a relação tensão-defor-
mação: frágil, em que a fratura ocorre quando se deforma elasticamente o material; plástico, 
similar ao comportamento encontrado na maioria dos materiais metálicos; e totalmente elás-
tico, obtendo alta deformação com baixa tensão. Os polímeros que apresentam comportamento 
totalmente elástico são chamados de elastômeros. Esses comportamentos podem ser visuali-
zados na Fig. 2.51. 
A Fig. 2.52 compara o comportamento da relação tensão-deformação para dois diferentes 
materiais cerâmicos, óxido de alumínio (alumina) e vidro. Pode-se observar que, para os dois 
Figura 2.51 Exemplos de comportamento 
mecanico de polrmeros em condições de 
t ração uniaxial. (Adaptado de Callister, 
1994.) 
'i 
~ 
o 
':X c 
~ 
Figura 2.52 Exemplos de comportamento meca-
nico de ceramicos em condições de tração uniaxial. 
(Adaptado de Callister, 1994.) 
60 
50 
40 
30 
20 
10 
o 
o 
<? 
ll. 
~ 
o 
"" "' c: 
~ 
Frágil 
2 
250 
200 
150 
100 
50 
o 
Plástico 
X 
Altamente elástico 
3 4 5 6 7 8 
Deformação (mm/mm) 
X 
Óxido de alumfnio 
0.0004 0,0008 0.0012 
Deformação (mm/mm) 
(J 
64 CAPI TUL O Z 
I 
I 
I 
Para a confecção das marcas de referência nos corpos de prova, recomenda-se o uso de cane-
tas de ponta porosa, tinta ou outros meios que não danifiquem a superficie do material, e nunca 
o emprego de pontas secas, marcadores, cunhagem ou estampagem. Recomenda-se o ensaio de 
pelo menos cinco corpos de prova para cada condição, empregando uma velocidade de deslo-
camento das garras dependente do tipo de ensaio. Para ensaios de determinação do módulo de 
elasticidade adota-se 1 mm/min, enquanto para ensaios de determinação das propriedades rela-
cionadas à resistência podem-se empregar velocidades de 5 mm/mina 50 mm/min. 
Como para materiais metálicos, quando o início do escoamento não for bem defmido, 
adota-se a mesma metodologia de confecção de umareta paralela à região linear da curva 
tensão-deformação, deslocada 0,2% da deformação total da origem do gráfico. A Fig. 2.54 
ilustra os métodos de determinação do limite de escoamento para situações em que este é bem 
definido e para situações opostas. 
A Fig. 2.55(a) mostra a curva da força de tração versus o alongamento para um corpo de 
prova de um compósito de matriz polimérica (poliéster) reforçada com fibra de vidro, de 
comprimento L0 = 50 mm e área da seção transversal de S0 = 13,5 mm2• O valor do módulo 
de elasticidade determinado para esse material foi de 46,2 GPa, da média de quatro corpos de 
prova. A Fig. 2.55(b) apresenta o corpo de prova fraturado, do ensaio da Fig. 2.55(a). 
Considerações sobre os resultados e informações de normas técnicas 
Na execução do ensaio, a curva tensão-deformação convencional é obtida por carregamento 
uniaxial estático em um corpo de prova padronizado. O carregamento deve ser lento o bas-
tante para que em todos os pontos do corpo de prova exista um equilíbrio de esforços em todo 
instante do ensaio. O controle geralmente é executado pela taxa de aplicação de carga ou 
velocidade de tensionamento, que, conforme a NBR ISO 6892:2002, depende do módulo de 
elasticidade do material, segundo a Tabela 2.10. 
Um método alternativo de ensaio consiste em especificar uma taxa de deformação ou 
velocidade de deformação como uma variável independente, na qual a velocidade de tensio-
namento é continuamente ajustada para manter a taxa de deformação especificada. Normas 
indicam velocidade de deformação entre 0,00025 s- 1 e 0,0025 s- 1, não devendo ultrapassar 
esses limites. 
/ 
/ 
I 
/ 
/ 
/ 
/ 
I 
I 
I 
I 
/ 
I 
/ 
(a) Limite de escoamento definido 
(b) Limite de escoamento indefinido 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
// Parte linear da curva a x e 
/ 
I 
I 
I 
- n = 0.2%e 
Figura 2.54 Determinação do limite de 
escoamento: (a) ponto bem definido, (b) sem 
definição nft ida (NBR 9622: 1988). 
2500 
2000 
~ 1500 
«l 
~ 
o 
LL 1000 
500 
o 
o 
(a) 
(b) 
ENSA I O D E T R A Ç À O 65 
---- -, -------- r-------.. ,--------T--------r-- - ----, 
: : : : : 11 
I I I I I 
I I I I I I 
____ ..; -------- .. _______ .j _______ .. .i.--- L. ----· 
I I I I I I 
I I I I I I 
: : I : I I 
I I I I I I I 
-------~--------r-------~--------~- -----~-------~--------• I I I I I I 
I I I I I I I 
I I I I I I I 
-------~--------t------- I -------+--------~-------i--------1 
I I I I I I I 
I I I I I I I 
I I I I I I 
I I I I I I 
-------~---- ~-~--------·--------~-------~--------· I I I I I I 
I I I I I 
I I I I I 
: : : : I 
0,5 1,5 2 2,5 3 3,5 
Alongamento (mm) 
Figura 2.55 (a) Curva da força de tração versus o alonga-
mento para um corpo de prova de um compósito de matriz 
polimérica (poliéster) reforçada com fibra de vidro. (b) Corpo 
de prova após a fratura. 
Tabela 2.10 Velocidade de tensionamento (NBR ISO 6892:2002) 
Módulo de elast icidade (E) 
(GPa) 
E < 150 
E 2: 150 
Velocidade de tensionamento (ú) 
(MPa/s) 
mfn. 
2 
6 
máx. 
10 
30 
Embora o Sistema Intern.acional de Unidades (SI) seja o adotado oficialmente no país 
desde 1978, o qual utiliza newton (N) como unidade de carga e pascal (Pa) para tensão, um 
grande número de máquinas de ensaio de tração convencional ainda em operação utiliza o 
quilograma-força (kgf) como unidade de carga. Nos textos de língua inglesa também é bas-
tante comum a utilização da libra-força (lbf) como unidade de carga e da libra-força por pole-
gada quadrada (psi - pound force per square inch) como unidade de tensão. Assim, é 
conveniente dispor das conversões entre essas unidades de medida para que se possam fazer 
comparações quantitativas, conforme apresenta a Tabela 2.11. 
66 CAPI TU LO 2 
Tabela 2.11 Conversão entre diferentes unidades de f orça (carga) e tensão 
Newton Quilograma-força Libra-força Joule/metro Di na 
{N) {kgf) {lbf) {J/m) {dyn) 
O, 10197162 1 0,224808924 100000 
Unidades de tensão 
Newton por Quilograma-força por Libra-força por Pascal Megapascal 
mílímet ro quadrado centrmet ro quadrado polegada quadrada (psi) 
(N/mm~) (kgf/cm2) {lbf/in1) {Pa) (MPa) 
1 10,19716213 145,0377439 1000000 
As instituições que prescrevem as normas técnicas utilizadas pelos diversos laboratórios 
de ensaios são: 
ABNT- Associação Brasileira de Normas Técnicas 
ASTM- American Society for Testing and Materiais 
ACI - American Concrete Institute 
ASME - American Society of Mechanical Engineers 
AFNOR - Association Française de Normalisation 
BSI - British Standards Institution 
DIN - Deutsches Institut für Normung 
COPANT- Comissão Pan-americana de Normas Técnicas 
ISO - Intemational Organization for Standardization 
JIS - Japanese Industrial Standards 
SAE - Society of Automotive Engineers 
TMS - The Masonry Society 
Além dessas instituições, internamente às empresas também é comum adoção de normas 
particulares. 
Para melhor facilitar a conversão dos parâmetros para as diferentes nomenclaturas e simbo-
logias utilizadas nas mais diversas normas, a Tabela 2.12 apresenta um levantamento das prin-
cipais simbologias aplicadas neste livro e a correlação com as normas NBR e DIN, e a Fig. 2.56 
apresenta um esboço da curva tensão deformação, com a nomenclatura aplicada neste livro. 
Tabela 2.12 Relação ent re a nomenclat ura/simbologia aplicada neste livro e 
nas normas NBR e DIN 
Utilizada 
neste lívro 
a 
b 
d 
D 
NBR 
a 
b 
d 
DIN 
a 
b 
d 
Unidade 
mm 
mm 
mm 
mm 
mm 
mm 
mm 
mm 
Descrição 
Espessura de corpo de prova plano ou espessura de tubo 
Largura do comprimento paralelo 
Diâmetro do comprimento paralelo de corpo de prova 
cilfndrico 
Diâmetro médio de grão 
Comprimento total do corpo de prova 
Comprimento paralelo 
Comprimento de medida original 
Comprimento de medida f inal após ruptura 
(continua) 
Tabela 2.12 Relação entre a nomenclatura/simbologia aplicada neste livro e 
nas normas NBR e DIN (Continuaçdo) 
Utilizada 
neste l ivro NBR 
So 
s. 
RP 
R,L 
R,H 
Rm 
A(%) 
A,(%) 
k 
z 
E 
F 
:§: 
o 
1<\l 
"' c: 
~ 
DIN 
Fo 
F. 
cr, 
CTp 
cr,L 
cr,H 
cr, 
cr. 
cr, 
E 
p 
ao ----ffoL ... ...... - ....... 
I 
I 
Unidade 
mm~ 
mm~ 
Nfmm2 
Nfmm2 
Nfmm~ 
Nfmm2 
Nfmml 
Nfmm~ 
Nfmm2 
Nfmm2 
Nfmm2 
Nfmml 
mm/mm 
mm/mm 
mm/mm 
mm/mm 
mm/mm 
mm/mm 
mm/mm 
adimensional 
Nfmml 
MPa ·mm"~ 
adimensional 
o/o 
Nfmml 
N 
Descrição 
Área da seção transversal original do comprimento 
paralelo 
Área da menor seção t ransversal após a ruptura 
Tensão convencional 
Tensão real 
Tensão proporcional 
Tensão de escoamento inferior 
Tensão de escoamento superior 
Tensão de escoamento média 
Tensão máxima (ultlmate tension) 
Tensão máxima real 
Tensão na fratura 
Coeficiente da equação de Haii-Petch 
Deformação convencional 
Deformação real 
Deformação não proporcional na tensão máxima 
Deformação na tensão máxima 
Deformação real na tensão máxima 
Deformação após a fratura 
Deformação total na fratura 
Coeficiente de proporcionalidade 
Coeficiente de resistência 
Coeficiente da equação de Haii-Petch 
Coeficiente de encruamento 
Estricção ou redução percentual de área 
Módulo de elasticidade 
Carga 
ln feio do processo 
de ruptura 
l 
ol 
l i 
o l 
l i 
l i 
I I 
--------------------~-~ ---------------------
11 
o,= k· e , 
a, 
n =e, = k = 2 u n n 
1 
I 
' I 
I 
' I 
I 
: 
I 
' I 
I 
' I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
' I 
I 
e,= ln (1 + t:J 
' I 
I 
I 
I 
' ' I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
' I 
:dr 
' I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
Figura 2.56 Esboço da 
curva tensão-deformação 
com a simbologia apli-
cada neste livro. 
I 
I 
I 
.J 
d!i 
a,= E· r., 
dr E = tg (a) =-
de 
' I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
' I 
I 
' I 
' I 
I 
I 
L- I 
I'---~­.• - 4 I 
I 
I 
' I 
I 
I 
I 
Deformação (c) 
68 CAPI TU LO Z 
Corpo de prova 
original 
Seção 
transversal 
Folhas e chapas, a <: 3 mm 
Fios, barras e perfis 
Corpo de prova 
após ruptura 
a, c, d, f <: 4 mm 
01 Seção retangular: (Ya) s (X ) 
.__ 
T 
,r '\ Lo L c 
2 Lc <?: Lo + 1,5 .JS; 
s -n · d 
OU Lc = Lo + 2 .JS; o- <r 
01 Seção circular: Lc <: Lo+ 
d 
2 
OU Lc = Lo + 2 · d 
LI 2 50 = c 
1--
.__ 1 Fios, barras e perfis 1::::[. a,c,d,f < 4 mm ~ai L0 = (200 :t 2) mm 
ou 
( ~ 
' 
L0 = (1 00 :t 1) mm 
S - 3V3 . e2 o- 2 
I--
f = V3 ·e Folhas, tiras e chapas 
0,1mm sa s 3mm 
Para corpo de prova 
proporcional: ~ 
I 
Lc?: Lo+ É.. 
Lo = s,ssJS:= s / -;o 
Lo <: 20 mm 
0} 2 ou 
Lc<: Lo +2·b 
S0 = a· b 
Figura 2.57 Dimensões de corpos de prova para o ensaio de t ração segundo a norma NBR ISO 6892:2002 . 
Os corpos de prova podem ser obtidos por usinagem de uma amostra do produto ou podem 
ser diretamente forjados ou fund!idos, quando se deseja analisar as condições do material. A seção 
transversal pode ser quadrada, retangular, sextavada, circular, anelar ou qualquer outra forma, 
desde que respeite a condição de corpo de prova proporcional, conforme mostra a Fig. 2.57. 
São chamados corpos de prova proporcionais aqueles que têm o comprimento de medida 
original (L0) , relacionado com a área da seção transversal (S0) pela equação: 
(2.66) 
K é o coeficiente de proporcionalidade entre a área e o comprimento original, cujo valor 
internacionalmente adotado é K = 5,65. Esse valor é oriundo da seguinte relação: 
Lo = 5~; S0 => K = 5 · ~ = 5,65 (2.67) 
Observando-se a Eq. (2.67), nota-se que, para corpo de prova de seção circular, a relação 
entre o d iâmetro (d0) e o comprimento original (L0) ser á de 5X, sendo que as normas não 
indicam corpos de prova com comprimento original inferior a 20 mm. Quando a área da seção 
transversal for muito pequena para que o comprimento de medida original seja determinado 
com K = 5,65, um valor maior pode ser aplicado (K = 11,3), ou, em casos extremos, corpos 
de prova não proporcionais podem ser utilizados, desde que se mantenha a condição de L0 > 
20mm. 
E N S A I O D E T R A Ç À O 69 
A dimensão do comprimento paralelo (L,) é relacionada com a dimensão do comprimento 
original (L0) a ser marcada no corpo de prova, e o raio de curvatura do comprimento paralelo 
com o cabeçote do corpo de prova deve ser o mais suave possível, indicando-se para corpos 
de prova cilíndricos um raio de curvatura igual ao dobro do diâmetro e para corpos de prova 
de seção retangular o dobro dla largura, conforme observações da Fig. 2.57. 
Após o ensaio, antes de se iniciarem os cálculos, é importante primeiro validar o resultado 
através da observação visual do cabeçote que ficou em contato com a garra. Os casos em que 
se observar escorregamento ou amassamento entre o corpo de prova e as garras, devido ao 
efeito de tração, conforme mostra a Fig. 2.58, devem ser ignorados, pois o resultado apresen-
tado não terá confiabilídade. Utilizando-se de uma lupa de baixo aumento (lOX), o operador 
deverá primeiramente observar as ranhuras, e, caso estas se apresentem sem escorregamento 
aparente, conforme a Fig. 2.59, o ensaio será validado. No caso da Fig. 2.58, o sistema de agarre 
ocorreu através de roscas, e no caso da Fig. 2.59 o sistema de agarre ocorreu através do aperto 
de morsa. 
O corpo de prova, depois dle colocado na máquina de ensaio, e de sofrer uma pequena ten-
são de ajuste, que serve para alinhar o corpo no sistema, deverá estar perpendicular aos cabe-
çotes de tração da máquina de ensaio. Para os casos em que esse alinhamento não é obtido, o 
corpo de prova estará sujeito, além da tensão de tração, a esforços de torção e eventualmente 
a condições de triaxialidade de tensões, levando em geral a fratura a ocorrer fora do centro do 
corpo de prova, ou com grandes deformidades laterais. Para esses casos, o resultado deverá 
ser invalidado, e o equipamento (garras e cabeçote de tração) deverá ser ajustado e aferido. 
Por outro lado, pode acontecer de o sistema se encontrar alinhado, e, mesmo nessas con-
dições, em alguns casos, a fratura poderá não ocorrer exatamente no centro do comprimento 
original do corpo de prova. Para tanto, as normas técnicas permitem determinados ajustes, 
Figura 2.58 Amassamento e deformidades 
observadas na rosca de agarre evidenciando 
escorregamento do cabeçote durante o 
ensaio. 
Figura 2.59 Linhas e ranhuras do aperto da 
garra no cabeçote do corpo de prova. 
Observação por meio de lupas de baixo au-
mento (1 OX) permite verificar a ausência de 
escorregamento entre a garra e o corpo de 
prova. 
70 C A P [ T U L O Z 
Corpo de prova 
original 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
N = 12 
Para N - n (par): 
- -
Lu= XY+ 2 · YZ 
Para N - n (fmpar) : 
L - XY + YZ' + YZ" u-
4 
5 
Ajuste para 
comprimento após ruptura 
Tz 
(N - n)/2 
I ' 
n 
Figura 2.60 Técnica para .ajuste da posição de fratura. conforme indicação de norma. 
de modo a evitar a rejeição desses corpos de prova, desde que exista acordo entre as partes 
interessadas, conforme mostra a Fig. 2.60. A técnica consiste em "rebater'' a região de defor-
mação da parte maior do corpo de prova para a parte menor do corpo de prova, considerando 
assim uma deformação aparentemente uniforme ao redor da fratura. Os passos a serem exe-
cutados são: 
1) Dividir o comprimento original em um número N de partes. A marcação dessas partes 
deve ser feita por meio de canetas ou equivalente, e NUNCA devem ser utilizados riscos 
ou marcas profundas, que podem nuclear trincas. 
2) Após a fratura, contar o número de divisões na parte menor do corpo de prova e rebater 
esse número para a parte maior, determinando-se então o valor de n, conforme mostra 
a Fig. 2.60. 
3) Contar o número de divisões restantes na parte maior do corpo de prova (N-n), e, caso 
esse número seja par, ter-se-á o comprimento final (L.) dado por: L" = XY + 2 · YZ; no 
caso de o número ser ímpar, o comprimento final (L.) é dado por: Lu = XY + YZ' + YZ' ', 
conforme representado na Fig. 2.60. 
A Fig. 2.61 apresenta um esboço de uma máquina de tração operada por fuso, em que se 
podem observar os sistemas de controle, o cabeçote de movimentação, a célula de carga e as 
garras de segurança do corpo d!e prova. 
Chaves de limite 
de parada do cabeçote 
Posição de suporte 
da célula de carga 
fixada no cabeçote 
Barra dos 
interruptores de 
limite de avanço 
Conector do 
extensômetro 
Pinhão de 
saída da caixa 
Célula 
de 
de engrenagem e adaptador 
para teste de torção 
ENSA I O D E TRAÇÀO 71 
Determinador de 
posicionamento 
manual 
Controle de 
posicionamento 
manual do cabeçote 
Placa de 
embreagem 
Caixa de 
conexão 
Engrenagem 
guia do fuso 
Figura 2.61 Esboço de uma m~quina de tração do tipo fuso. 
Ensaios de tração em tubos metálicos 
Para o caso de tubos, a norma brasileira NBR ISO 6892:2002 recomenda o ensaio em pedaços 
do tubo (segmentos) ou em tiras transversais ou longitudinais retiradas e usinadas das paredes 
dos mesmos. Para o caso de ensaios em segmentos de tubos, o comprimento total do corpo 
72 C A P [ T U L O Z 
Tabela 2.13 Principais dimensões dos corpos de prova tubulares (NBR ISO 6892:2002) 
Dimensão Nomenclatura Mfnimo Máximo 
Espessura da parede do tubo e > O,Smm 
Comprimento total do corpo de prova L 75mm 120 mm 
Comprimento das marcas de referência L 50 mm 80mm 
Diâmetro externo do tubo D < 20mm > 20,0 mm 
Distância entre garras de fixação (L') 87,5 mm 140 mm 
de prova deverá ser cinco vezes maior que o diâmetro externo. Como o corpo de prova geral-
mente não apresenta raio de concordância, o comprimento livre entre as garras de fixação 
deve ser sempre maior do que o comprimento entre marcas de referência. O segmento deverá 
ser fechado nas duas extremidades por meio de insertos posicionados a uma distância mínima 
de D/4 das marcas de referência. O comprimento do inserto não deve ser maior que D. As 
principais dimensões empregadas na confecção dos corpos de prova estão apresentadas na 
Tabela 2.13 e na Fig. 2.62. 
A Fig. 2.63 mostra imagens de corpos de prova antes e após o ensaio, em que se observam 
os insertos das extremidades e a marcação realizada na superficie do corpo de prova para 
medidas dos alongamentos sofridos.Em relação às velocidades dos ensaios, a norma brasileira recomenda velocidades de ten-
sionamento entre 2 e 10 MPa · s- 1 para materiais com módulos de elasticidade menores que 
150 GPa e velocidades entre 6 e 30 MPa · s- • para materiais com módulos de elasticidade 
maiores. Considerando a velocidade de deformação, esta não deve exceder 0,0025 s- 1, podendo-
se empregar 0,00025 s- 1 para determinação do limite de escoamento. A norma ASTM 
E8-M:1995 recomenda valores entre 5,5 mm/mine 55 mm/min para a velocidade de deslo-
~ c-rr:Jt:y:i: :::::: :qr::::::;:=::ffj ~J 
L, 
(a) 
d d d d 
~ I I ~ 
I ..... r ' ... joJ - - - -I ~ .,J 
~ S · d ~ 
Garras 
' ' 
@ 
2 · d 
(b) 
Figura 2.62 Corpos de prova tubulares: (a) NBR ISO 6892:2002, (b) ASTM E8-M:1995. 
ENSA I O D E T R A Ç À O 73 
• · 
.__._ -o I I I l I t I • t I I ............,_.._. .... 
Fígura 2.63 Corpos de prova antes e após ensaio de tração. 
camento das garras. Para o caso de escoamento não nítido, utiliza-se a metodologia da defor-
mação padrão para n = 0,2%. 
Tratamento estatístico dos resultados no ensaio de tração 
Uma função de grande importância na estatística é aquela conhecida como densidade de pro-
babilidade, dada por: 
(2.68) 
em que~~ corresponde a um valor numérico da distribuição em uma determinada amostra de 
dados, X é a média dos diversos valores observados e S é o desvio padrão entre os valores da 
amostra. Esse último descreve o grau de dispersão entre todos os valores observados na 
amostra. 
A Eq. (2.68) é conhecida como distribuição normal, ou distribuição de Gauss. Uma variável 
randôrnica (ou aleatória) que possui essa distribuição é chamada de variável normal ou nor-
malmente distribuída. A importância prática desse tipo de variável está em que inúmeras 
variáveis encontradas nos diversos problemas de engenharia se distribuem, aproximadamente, 
segundo o modelo normal, ou podem ser transformadas em variáveis do tipo normal. Desse 
modo, a Eq. (2.68) é bem utilizada para descrever o comportamento físico destas. A Fig. 2.64 
apresenta um esboço desse tipo de distribuição. 
Em particular, os resultados obtidos nos ensaios mecânicos devem seguir uma distribuição 
do tipo normal, variando em torno de um valor médio que quantifica numericamente a pro-
priedade observada. O valor médio, ou a média da Eq. (2.68), é dado por: 
(2.69) 
74 CAPI TUL O Z 
0,25 
X- valor médio 
0,23 S - desvio padrão 
0,20 
0,18 
Cil 
0,15 
E o 0,13 r:: 
o 
·~ 0,10 ·:; 
.o ·r:: 
(ii 
ê5 0,08 
I 
~ 0,05 
0,03 
0,00 
Número de elementos (X) 
Figura 2.64 Esboço da distribuição normal, ou distribuição de Gauss. 
em que n é o número total de elementos da amostra. O desvio padrão, ou o grau de dispersão, 
é dado por: 
S= 
n - 1 
(2.70) 
O desvio padrão é a representação do erro numérico, ou a quantificação da precisão do 
valor experimental obtido em um determinado ensaio. Em engenharia, o valor numérico (X) 
de uma propriedade obtida pela análise de uma amostra é dado por: 
X = X :t S (2.71) 
Não serão discutidos com maiores detalhes os tipos de distribuições encontradas na natureza, 
pois fogem ao escopo deste livro. A literatura especializada oferece maiores informações. 
Exemplo 
Foram determinados os seguintes limites de resistência à tração, em quatro corpos de 
prova do mesmo aço liga: 
Corpo de prova 
1 
2 
3 
4 
Limite de resistência - u. (MPa) 
520 
512 
515 
522 
ENSA I O D E T R A Ç À O 75 
a) Determinar o valor médio do limite de resistência à tração: 
4 
:L<üu>; 
ü = ;. , = 520 + 512 + 515 + 522 = 2069 = 517 3 MPa. 
u 4 4 4 , 
b) Determinar o desvio padrão: 
4 2 
L ((ü) ; -üu ) 
5 = \(....t.:'•::..:.l _____ = 
4 - 1 
(520 - 517)2 + (512 - 517)2 + (515 - 517)2 + (522 - 517)2 
= 
3 
= .Jii = 4,6 M Pa 
Desse modo, representa-se o resultado do ensaio por: (T,. = 517,3 :!: 4,6 MPa. 
._Ensaio de Compressão 
76 
ENSAIO DE COMPRESSÃO consiste na aplicação de carga de compressão uniaxial crescente em 
um corpo de prova especffico. A deformação linear, obtida pela medida da distância entre 
as placas que comprimem o corpo versus a carga de compressão, consiste na resposta desse 
tipo de ensaio, basicamente utilizado na indústria de construção civil e na indústria de 
materiais cerâmicos. Fornece resultados que permitem quantificar o comportamento mecâ-
nico de concreto, madeira, compósitos e materiais de baixa ductilidade (frágeis). Na indús-
tria de conformação, é utilizado para parametrizar condições de processos que envolvam 
laminação, forjamento, extrusão e semelhantes. Os resultados numéricos obtidos no ensaio 
de compressão são semelhantes aos obtidos no ensaio de tração. Os resultados de ensaio 
são influenciados pelas mesmas variáveis do ensaio de tração (Temperatura, Velocidade de 
Deformaç~o. Anisotropia do Material, Tamanho de Gr~o. Porcentagem de Impurezas e 
Condições Ambientais). Na utilização na indústria de construção civi l (concretos e madeira), 
deve-se levar em conta o teor de água contido nos corpos de prova e sua idade. 
Q uando um material é submetido a cargas de compressão, as relações entre tensão e defor-mação são similares àquelas obtidas no ensaio de tração. Até a tensão de escoamento o 
material comporta-se elasticamente, sendo aplicável a lei de Hooke. Ultrapassado esse valor, 
ocorre deformação plástica, e, com o avanço da deformação, o material endurece (encrua-
mento), e, à medida que o corpo é comprimido na direção longitudinal, ocorre um aumento 
no diâmetro da seção transversal do corpo de prova. 
Para muitas aplicações práticas, a exigência requerida para um projeto é a resistência à 
compressão. Na indústria de construção civil, que se utiliza de materiais como o concreto e a 
madeira, o ensaio de compressão é primordial. É um tipo de ensaio de aplicação mais usual 
em materiais frágeis, como cerâmicos, ferros fundidos, madeira, entre outros. Para materiais 
dúcteis ou na indústria de materiais metálicos, pode ser utilizado para a caracterização mecâ-
nica de molas e tubos soldados. Também é utilizado para a caracterização das forças de com-
pressão e taxas máximas de deformação envolvidas no forjamento. Contudo, nesses casos, 
esse ensaio se classificará melhor como um ensaio de fabricação , não fornecendo aí caracte-
rísticas convencionais do ensaio de compressão propriamente dito. 
O ensaio de compressão pode ser executado em máquina universal de ensaios, a mesma 
utilizada no ensaio de tração, com a adaptação de duas placas (cabeçotes) lisas e de superfície 
perpendicular ao eixo de aplicação de carga. Uma dessas placas deve ser engastada (fixa), e a 
outra, geralmente a placa superior, é móvel. O corpo de prova usualmente tem a forma cilín-
drica com diâmetro inicial (D0) e o comprimento original (L0). 
Para o caso do ensaio em materiais frágeis, como o ferro fundido ou o concreto, a fratura 
ocorre preferencialmente em plano a 45° do eixo de aplicação da carga, em geral com pequena 
deformação no diâmetro. Para o caso de materiais dúcteis (metais de modo geral), em função do 
efeito do atrito entre a placa de aplicação de carga e o corpo de prova, ocorre o chamado embar-
rilhamento, em que se observa deformação pronunciada no centro do comprimento do corpo 
de prova. A Fig. 3.l(a) apresenta um esquema do ensaio, podendo-se observar na Fig. 3.l(b) o 
resultado do ensaio para material frágil e na Fig. 3.l(c) o resultado para materiais dúcteis. 
I 
I 
I 
:Placa móvel 
I 
tl>o 
I 
:Placa fixa 
vZZZZZZ4ZZZZZZZJ 
I 
I 
I 
I 
(a) 
e N S A I O D e C O M P R e S S À O 77 
p 
!Placa móvel 
1- - 0"--1- -
I Placa fixa 
vZZZZZZ4ZZZZZZZJ 
I 
I 
I 
I 
(b) 
p 
!Placa móvel 
I 
I 
I 
i Placa fixa 
vZZZZZZ4ZZZZZZZd 
I 
I 
I 
I 
(c} 
Figura 3.1 (a) Esboço do ensaio de compressão em corpo de prova cillndrico. (b) Resultado da fratura 
observada em materiais frágeis. (c) Resultado do embarrilhamento observado em materiais dúcteis. 
Entre as príncipais precauções que devem ser tomadas na realização do ensaio cita-se o 
dimensionamentodo corpo de prova, que deve ter uma relação entre comprimento e seção 
transversal adequada para resistir à tlambagem, ou seja, o encurvamento do corpo de prova 
devido ao efeito de flexão. Dependendo da ductilidade do material a ser testado, a razão L0/ 
D0 deve ser de 3 a 8, para se evitar a flambagem. Para casos extremos essa razão pode chegar 
a 1, e para materiais frágeis esse valor será de 2 a 3. Outra condição que pode levar à flamba-
gem é a falta de paralelismo entre as placas do equipamento. A Fig. 3.2(a) mostra um corpo 
de prova com razão L0/ D0 inadequada, e a Fig. 3.2(b) mostra um esboço da flambagem sofrida 
pelo material. A Fig. 3.2(c) mostra a flambagem devido ao desalinhamento das placas do equi-
pamento de compressão. 
Outra precaução crítica do ensaio de compressão em materiais dúcteis é o atrito gerado 
entre o contato do corpo de prova com as placas da máquina de ensaio. Durante a compressão 
de um material dúctil, este se expande na direção radial, entre as placas da máquina. Contudo, 
as faces do corpo de prova que estão em contato direto com as placas sofrem uma resistência 
que se opõe ao escoamento do material do centro para as extremidades devido às forças de 
atrito atuantes nessas interfaces. A medida que se afasta das placas, o material pode escoar na 
direção radial sem constrição, atingindo o máximo escoamento no centro do comprimento 
do corpo de prova. Isso conduz as deformações do corpo de prova a um perfil em forma de 
barril, conhecido como embarrilhamento, conforme visto na Fig. 3.l(c). 
A Fig. 3.3 mostra um esboço da distribuição da tensão de cisalhamento ao longo do eixo 
longitudinal devido ao atrito, onde se observa que a tensão tem um valor máximo na super-
fície de contato com a placa, reduzíndo-se à medida que avança para o corpo do material. 
Como função desse efeito, verificam-se uma maior deformação relativa no centro do compri-
mento e uma mínima na superfície. Por analogía, seria um efeito semelhante ao que ocorre 
na dinâmica de fluidos em que um fluido escoando dentro de um tubo tem menor velocidade 
na superfície interna do tubo e máxima no centro, que gera o embarrilhamento no corpo de 
prova. 
Devido ao efeito da tensão de cisalhamento, forma-se na regíão de contato com as placas 
de aplicação do esforço um estado triaxial de tensão, conforme mostra a Fig. 3.4(a). Se essas 
regíões não deformadas (sombreadas) se cruzarem durante a aplicação de carga e com a redu-
ção do comprimento original, haverá necessidade de um acréscimo na força para um dado 
78 C A P [ T U L O J 
T ~ o o o. ~~ Q) 
Q) cu 11 
-o~o 
oE -o.o-J 
~ o 
8 
Placa móvel 
Placa fixa 
( 
Placa móvel 
Placa fixa 
Ângulo de 
desalinhamento 
! Placa móvel 
I 
I 
I 
I 
I 
Placa tixa vzzzzzz!jzzzzzzn vZZZZZZ2jZZZZ777d vZZZZZZ2jZZZZZZZJ 
I 
I 
(a) 
I 
I 
(b) 
I 
I 
(c) 
Figura 3.2 (a) Corpo de prova com razão L0 /D0 inadequada. (b) Flambagem para corpos de prova dúc-
teis. (c) Flambagem devida ao desalinhamento das placas de compressão. 
Tensão de 
compressão (a) 
L, ~l~Q ____ _ 
radical 
!l 
r 1 
o 
lií 
~c 
o8 
E~ 
<UQ) 
{!l :Q 
i l ~-:---:-~-,..--+ 
:orstãncia do centro na superffcie 
:de contato 
I 
I 
I 
I 
I Perfíl da deformação 
relativa ao longo do 
eixo longitudinal (e) 
/ 
Figura 3.3 Distribuição das tensões de compressão e cisalhamento no corpo de prova de material dúc-
til, com destaque para o perfil de deformação e a formação do embarrilhamento. 
(a) 
Estado triaxial 
de tensão 
u - Tensão normal 
r- Tensão de 
cisalhamento 
I;) 
o" 
l<ll 
l!l 
!!? a. 
E 
8 
Q) 
'O 
o 
•<ll 
<J) 
c 
~ 
e N S A I O D e C O M P R e S S À O 79 
[d G Condição 
inadequada 
de ensaio Condição 
adequada 
de ensaio 
-::.....+---- ~ 
Melhor situação para o ensaio, 
contudo mais exposto ao efeito 
da flambagem 
Deformação de compressão, c 
(b) 
Figura 3.4 (a) Formação da região de estado triaxial de tensão devido ao efeito do atrito entre a super-
fície do corpo de prova e as placas de aplicação de carga. (b) Efeito do cruzamento das regiões não 
deformadas e da razão L0 /00 na curva tensão-deformação. 
incremento de deformação e a curva tensão-deformação inclina-se para cima, conforme mos-
tra a Fig. 3.4(b ). Observa-se que a redução na relação LofD0 exige maiores solicitações de carga 
para a deformação do corpo de prova. Para minimizar a deformação não uniforme e reduzir 
o embarrilhamento, devem-se observar valores elevados de LofD0• Contudo, deve-se cuidar 
para manter a relação que evita a ocorrência da flambagem. É comum a colocação de placas 
de aço entre o contato do corpo de prova com os cabeçotes da máquina, objetivando a redu-
ção e interferência do atrito, ou, em casos práticos, utilizam-se lubrificantes entre a superfície 
do corpo de prova e as placas de aplicação de carga, conforme mostra a Fig. 3.5. 
400 
(ii' 350 
a. 
5 
300 o 
1(\) 
<J) 
<J) 
!!? 250 
/ . 
........::.: 
~--~15 
a. 
E 
o 200 o 
Q) 
'O 
(ã 150 
Q) .... 
I 
2/ 
~ ~ 
Interface placa/corpo de prova: 
1 - Molygrease (graxa com MoS2) --2 - Spray molykote 
o 
100 1(\) <J) 
c 
~ 50 
3 - ~pray de nitrato de boro --4 - Alcool e nitreto de boro 
5 - Spray molykote e teflon 
6- Superfície do CP seca e polida 
7 - Superfície do CP com ranhuras 
o 
o 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 
Deformação real de compressão (mm/mm) 
Figura 3.5 Curvas tensão-deformação real na compressão de uma liga de AI-2%Mg para diferentes 
tipos de lubrificantes. (Adaptado do Metais Handbook, v. 8, 1990.) 
80 CAPI TU LO J 
• ENSAIOS CONVENCIONAL E REAL 
No ensaio, as tensões e as deformações atuantes são determinadas da seguinte maneira: 
Tensão convencional: 
P 4 · P 
u= - = 
' So (1r ·D6) 
(3.1) 
P 4·P 
u = - = ..,.---.,.. 
r S ( 7T • D2) Tensão real: (3.2) 
Admitindo que o volume da amostra permaneça constante durante todo o ensaio, tem-se que: 
7T. 0 2 7T. 0 2 
V:0 = V=>S0 ·L0 = S·L=> 0 ·L - ·L 4 o- 4 (3.3) 
Dessa forma, partindo da Eq. (3.3), pode-se correlacionar o diâmetro do corpo de prova 
com o seu comprimento. Devido às dificuldades de se monitorizar a variação do diâmetro, 
registra-se a variação do comprimento do corpo de prova pela distância entre as placas da 
máquina de ensaio. Assim, obtém-se o diâmetro do corpo de prova, dado apenas como nm-
ção do comprimento (L): 
Substituindo a Eq. (3.4) na Eq. (3.2), obtém-se o valor da tensão real: 
4· P· L 
O' = ----
r 7T • Dl · Lo 
A deformação convencional pode ser obtida por: 
e = t.L = L - Lo =..!:_ - 1=> ..!:_=e + 1 
c Lo Lo Lo Lo c 
e a deformação real é obtida pela integração da diferencial da altura dada por: 
LdL (L) e, = J L = ln Lo =>e, = ln(ec + 1) 
Lo 
(3.4) 
(3.5) 
(3.6) 
(3.7) 
Da mesma forma que o ensaio de tração, é poss.ível determinar características particulares 
dos materiais quando submetidos a esforços de compressão, tais como: 
Limite de escoamento à compressão (o-.) Para determiná-lo quando o material ensaiado 
não apresenta um patamar de escoamento nítido, utiliza-se a mesma metodologia empregada 
no ensaio de tração, em que se adota um deslocamento da origem no eixo da deformação de 
0,002 ou 0,2% de deformação e a construção da uma reta paralela à região elástica do gráfico 
tensão-deformação. 
Limite de resistência à compressão (o-J Máxima tensão que o material pode suportar antes 
da fratura. É determinada dividindo-se a carga máxima pela área inicial do corpo de prova. 
Dilatação transversal (tp) Esse parâmetro equivale ao coeficiente de estricção determinado 
no ensaio de tração e está relacionado com a plasticidade do material. É dado por: 
cp = Sr - So = ~ - 1 = 4 . 7T • Dj - 1 = ( D! ) 2 - 1 
S0 S0 4 · 7T • Dl D0 
(3.8) 
ENSAIO DE COMPR ESSÃO 81 
Figura 3.6 Resultado do ensaio de compressão aplicado em um cilindro de cobre. (Adaptado de 
Hudson. 1973.) 
Os materiais e.xtremamente dúcteis raramente são submetidos ao ensaio de compressão 
devido a seu comportamento instável de deformação. A Fig. 3.6 mostra o resultado do ensaio 
de compressão em um cilindro de cobre que foifundido em condições de resfriamento lento, 
produzindo uma granulação grosseira e, consequentemente, extrema ductilidade. O cilindro 
foi comprimido em cerca de 40% do seu comprimento original com uma carga de 588.000 N 
(:::: 60 toneladas). Observa-se que cada grão tem sua própria linha de escorregamento, ocor-
rendo interferência entre direções de escorregamento e produzindo uma deformação bastante 
irregular. 
O Ensaio de Compressão versus o Ensaio de Tração 
Os materiais frágeis, como o concreto e o ferro fundido, em função da presença de trincas 
microscópicas, são geralmente fracos em condições de tração, já que tensões de tração tendem 
a propagar essas trincas, que se orientam perpendicularmente ao eixo de tração. Nessas con-
dições, a resistência à tração apresentada é baixa e varia de modo considerável com a amostra 
utilizada. Por outro lado, esses materiais são resistentes à compressão; para materiais frágeis, 
843 
X 
'(;;' 562 a.. 
6 
Compressão 
o 
tCil 
rn c 281 ~ 
0,01 0,02 0,03 
Deformação 
~ 14 
6 
o 
1<1) 
rn c 
~ 7 
0,01 
Compressão 
Concreto 
0,02 0,03 0,04 
Deformação 
Figura 3.7 Comparação entre os comportamentos tl tração e tl compressão de dois materiais frágeis 
(ferro fundido cinzento e concreto). (Adaptado de Hayden, 1965.) 
82 CAPI TU LO J 
o limite de resistência à compressão (u,J pode chegar à ordem de 8 a 10 vezes o valor corres-
pondente no ensaio de tração. A Fig. 3.7 mostra uma comparação entre os desempenhos à 
tração e à compressão de dois materiais frágeis: ferro fundido cinzento e concreto. 
Influências da Taxa de Deformação e da Temperatura no Ensaio de Compressão 
O ensaio de compressão pode ser muito útil para análíses de processos que envolvam a con-
formação de metais por compressão, como a laminação ou o forjamento. Nesses casos, obje-
tiva-se conhecer o comportamento do material diante de elevadas velocidades ou taxas de 
deformação e altos valores de temperatura. 
A taxa de deformação é definida por: 
. _ de[ - •] e-- s 
dt 
(3.9) 
Os diferentes ensaios mecânicos que envolvem a deformação de metais até a fratura podem 
ser agrupados conforme as taxas de deformação envolvidas, dadas por (Metais Handbook, v. 
8, 1990): 
• Ensaio de fluência: 
• Ensaio de tração e compressão normal: 
• Ensaio de tração e compressão dinâmicos: 
• Ensaio de impacto (Charpy ou Izod): 
• Ensaio de impacto em hipervelocidade (balística): 
A taxa de deformação é calculada como se segue: 
i~l 
10-8 !5 ê < 10-S S I 
10- s !5 ê < 10-• s-• 
10- • !5 e< 1o2 s • 
102 !5 ê < 104 s-• 
104 !5 ê < 108 s-• 
Convencional: e = L- L0 ~ ê = de, = ~ = _..!.._ dL = ~ 
' Lo ' dt dt L0 dt L0 
e = ln(~)=>& ~ de, ~ffin~~ dL ~ V 
r Lo r dt dt Lo dt L 
Real: 
(3.10) 
(3.11) 
Observa-se que tanto para a condição convencional quanto para a condição real a taxa de 
deformação diminui com o aumento do comprimento do corpo de prova e aumenta propor-
cionalmente à velocidade de deformação (v). Pode-se estabelecer uma relação entre as taxas 
de deformação convencional e real, dada da seguinte forma: 
ê = V = Lo de, = ~ 
r L L dt 1 +e, 
(3.12) 
A relação entre a tensão de deformação (u), para uma dada deformação (e) a uma tempe-
ratura constante (T), e a taxa de deformação (ê) é dada por: 
(3.13) 
em que o expoente m, conhecido por sensibilidade à taxa de deformação, e o coeficiente C, 
conhecido por coeficiente de resistência à deformação, correspondem a parâmetros intrín-
secos do material. Observar que a Eq. (3.13) foi apresentada no Capítulo 2 - Ensaio de Tração, 
relacionada com o fenômeno da superplasticidade. 
A sensibilidade à taxa de deformação pode ser obtida por meio de um ensaio de deforma-
ção a uma determinada taxa constante (ê1), em que para um determinado valor de deformação 
b 
ô 
1111 
1/) 
1/) 
~ a. 
E 
8 
Q) 
"O 
o 
1111 
1/) 
c: 
~ 
e, 
e 
Deformação de compresão, e 
e N S A I O D e C O M P R e S S À O 83 
Figura 3.8 Ensaio com alteração da taxa de 
deformação para determinação da sensibilidade 
do material tJ taxa de deformação. 
(e) a taxa de deformação é alt erada subitamente para um valor maior e constante (é2), con-
forme mostra a Fig. 3.8. O valor da sensibilidade à taxa de deformação é dado como se segue: 
m = log(u2/u1) 
log(t2/t,) 
(3.14) 
A sensibilidade à taxa de deformação de materiais metálicos à temperatura ambiente é 
bastante baixa, com valores menores que 0,1, podendo variar de 0,1 a 0,2 para as faixas de 
temperaturas típicas de trabalho a quente (T/T,6udos > 0,5). Materiais poliméricos em geral 
apresentam valores de m bastante elevados, podendo chegar a l à temperatura ambiente. 
A dependência da tensão com a temperatura, para uma dada deformação e uma taxa de 
deformação específica, é dada por: 
O" = c2 . i %·r)l 
6,8 
(3.15) 
em que Q é a energia de ativação para o fluxo plástico, dada em (cal/g ·moi), R é a constante 
universal dos gases, e vale 1,987 cal/K · moi, e T é a temperatura absoluta (K). 
O Ensaio de Compressão nos Diferentes Tipos de Materiais 
Embora a deformação elástica máxima em materiais cristalinos (metais em geral) seja geral-
mente muito pequena, a tensão necessária para produzir essa deformação é relativamente 
elevada. Essa relação tensão/deformação é alta porque a tensão aplicada trabalha em oposição 
às forças de restauração das ligações primárias. O comportamento elástico desses materiais 
sob compressão é o mesmo que em condições de tração, e a curva tensão-deformação em 
compressão será meramente uma extensão da curva de tração, conforme mostra a Fig. 3.9(a), 
embora o limite de escoamento na compressão geralmente se apresente mais elevado que o 
equivalente na tração. Materiais que apresentam esse comportamento, ou seja, respostas equi-
valentes para a tração e a compressão, possuem comportamento elástico linear. 
Alguns materiais não cristalinos, como o vidro e alguns polímeros, podem também apre-
sentar elasticidade linear; contudo, nos materiais não cristalinos (polímeros e elastômeros 
em geral), é mais comum o comportamento elástico não line.ar, conforme mostra a Fig. 
3.9(b ). Esses materiais, na maioria dos casos, apresentam maiores níveis de resistência mecâ-
nica na compressão, como, por exemplo, a borracha. As tensões de compressão aplicadas aos 
elastômeros causam, inicialmente, uma maior eficiência no preenchimento do espaço interno 
84 CAPITU LO J 
Deformação 
na tração 
(a) 
Figura 3.9 (a) C uNa tensão de compres-
são-deformação para materiais cristalinos. 
(b) C uNa tensão de compressão-deforma-
ção para elastômeros. (c) C uNa tensão de 
compressão-deformação para substancias 
celulares, como a madeira. (Adaptado de 
Hayden, 1965 .) (C) 
o 
·~ 
.§ 
~ 
o 
'"' VJ c: 
~ 
o 
'!)! 
c: 
~ 
(b) 
o 
'll 
.§ 
Q) 
"O 
o 
'"' VJ c 
~ 
Comportamento 
elástico 
~rmação 
na tração 
do material. Na proporção em que esse espaço disponível diminui, aumenta a resistência a 
uma compressão ainda maior, até que, finalmente, as forças de ligação primária dentro das 
cadeias dos elastômeros começam a se opor à tensão aplicada. Dessa forma, a curva tensão-
deformação em compressão aumenta mais rapidamente sua inclinação à medida que a defor-
mação cresce. 
Algumas substâncias celulares, como a madeira, podem apresentar razoável rigidez em 
condições de compressão, até que a tensão seja suficiente para causar um empilhamento elás-
tico das paredes das células, quando então pode-se verificar uma deformação considerável 
sem aumento significativo da tensão, voltando a aumentar a rigidez quando as células ficarem 
bem compactadas. Esses efeitos são vistos na Fig. 3.9(c). 
Informações Gerais sobre o Ensaio de Compressão em Materiais Metálicos 
Durante o ensaio, devem ser monitorizadas continuamente tanto a aplicação da carga quanto 
o deslocamento das placas ou a deformação do corpo de prova. Algumas precauções devem 
ser tomadas para a correta determinação das propriedades durante o ensaio, sendo a principal 
e N S A I O D e C O M P R e S S À O 85 
Tabela 3.1Dimensões dos corpos de prova ensaiados em compressão (ASTM E 9:2000) 
Corpo de prova Diâmetro ( mm ) Comprimento ( mm ) 
30 :±: 0,2 25 :!: 1,0 
Pequeno 
13 :±: 0,2 25 :!: 1,0 
13 :!:: 0,2 38 ± 1,0 
20 :±: 0,2 60 :±: 3,0 
Médio 
25 ± 0,2 75 :±: 3,0 
30 :!:: 0,2 85 :!:: 3,0 
20 :±: 0,2 160 ± 3,0 
Longo 
32 :±: 0,2 320 
com relação à flambagem do corpo de prova, conforme dito anteriormente, e que pode ocor-
rer devido a: 
- instabilidade elástica causada pela falta de uniax:ialidade na aplicação da carga; 
- comprimento excessivo do corpo de prova; e 
- torção do corpo de prova no momento inicial de aplícação da carga. 
Os corpos de prova utilizados deverão ser preferencialmente confeccionados na forma 
cilíndrica, sendo divididos em três categorias para o caso de materiais metálicos: curtos, médios 
e longos, conforme apresenta.do na Tabela 3.1. No caso de chapas, podem-se utilizar corpos 
de prova com dimensões retangulares e/ou quadradas. Normalmente, as velocidades de ensaio 
ou deslocamento são da ordem de 0,005 (mm/mm)/rnin. 
No que diz respeito ao aspecto da fratura, em materiais frágeis a ruptura ocorre nos planos 
de máximas tensões cortantes, normalmente a 45° do eixo de aplícação da carga, como é o 
caso da fratura de ferro fundido e concreto, conforme visto na Fig. 3.1 (b). Os materiais dúc-
teis, como é o caso das ligas de cobre, aços de ba.ixo carbono, entre outros, apresentam uma 
deformação excessiva no centro do comprimento devido ao embarrilhamento. Esse fato pode 
levar o material a fraturar internamente durante o ensaio, e a fatura deverá se apresentar no 
centro longitudinal do corpo de prova. 
A Madeira no Ensaio de Compressão 
A madeira é o mais familiar dos materiais naturais já utilizados pelo homem, acompanhando 
praticamente toda a sua história. Originalmente o homem primitivo utilizava a madeira para 
a confecção de lanças de caça, cercas e outros pequenos artefatos. Atualmente esse material 
se encontra entre os mais importantes na indústria da construção civil, muito utilizado como 
material de acabamento, revestimento e na fabricação de móveis, e é cada vez mais preferido 
pelos arquitetos e engenheiros por ser um material de custo relativamente baixo, de fácil apli-
cação e flexibilidade e, principalmente por apresentar relações resistência/peso bastante 
interessantes. 
Quando comparada aos outros materiais utilizados na construção civil, a madeira se des-
taca pela maneira peculiar como é formada (Dias, 1994). A árvore tem um crescimento vertical 
acompanhado de um crescimento transversal ou radial, devido às novas camadas que se sobre-
põem às mais antigas, conforme mostra o esboço da Fig. 3.10. A medula, parte central do 
tronco, resultante do crescimento vertical inicial, é geralmente mais fraca e defeituosa, e uma 
região muito suscetível ao ataque de micro-organismos. Sua função é a de armazenar subs-
tância nutritiva para a planta durante a fase inicial de crescimento. A medula é recoberta pelo 
86 CAPITU LO J 
Figura 3.10 Estrutura macroscópica de 
um tronco de árvore. Nesta definem-se 
as regiões de importancia para a obten-
ção da madeira de construção. 
cerne, que nada mais é do que a camada mais interna do alburno (parte viva da árvore) que 
perdeu atividade fisiológica. Nessa região estão armazenadas as substâncias provenientes da 
seiva e que não foram utilizadas pelas células do desenvolvimento da árvore. Por esse motivo, 
a madeira do cerne é mais escura, mais densa, mais resistente a fungos e insetos e menos per-
meável do que a madeira do alburno. Sua função é a sustentação do tronco, já que o tronco é 
mais submetido a solicitações mecânicas de compressão. Como o cerne nada mais é do que o 
alburno consolidado pela lenta deposição de substâncias da seiva elaborada ao longo dos anos, 
as espécies de madeira com crescimento lento geralmente apresentam uma maior porcenta-
gem de cerne quando comparadas com as espécies de crescimento mais acelerado, como por 
exemplo as mais comumente utilizadas em reflorestamentos, dos gêneros Pinus e Eucaliptus. 
O alburno é a parte do tronco constituída por células vivas que conduzem à seiva bruta em 
movimento ascendente. Apesar de essa região do tronco possuir baixa resistência ao ataque 
de fungos e insetos, é a região da madeira que permite maior penetração de líquidos, possibi-
litando vantagens nos tratamentos preservativos que se utilizam de aplicações de fluidos, como 
impermeabilizantes poliméricos, resinas, óleos aromáticos e inseticidas. Em geral essa região 
possui coloração mais clara que o cerne e menores níveis de resistência mecânica. 
O câmbio é uma região invisível a olho nu, constituída por uma faixa de células que per-
manecem ativas durante toda a vida da árvore; é responsável pelo crescimento radial do tronco. 
A casca corresponde à proteção externa da árvore formada por duas camadas, uma externa, 
de espessura variável com a idade e com a espécie, e uma mais flna, interna, de tecido vivo e 
macio, que conduz o alimento sintetizado nas folhas para as partes em crescimento. 
As camadas de crescimento são formadas por anéis, os quais possuem seu desenvolvimento 
fortemente ligado às estações climáticas do ano. Na primavera e no início do verão, o cresci-
mento da árvore é intenso, formando no tronco células grosseiras e claras de paredes finas, 
ao passo que no inverno surgem células escuras e menores de paredes espessas. Esse cresci-
mento diferenciado permite a distinção entre as camadas de crescimento anual. Em países 
com clima mais frio, por apresentarem estações no ano bem caracterizadas, existe uma maior 
diferenciação entre os anéis de crescimento do que aquela observada nos países de clima tro-
pical, com temperatura mais estável (ESAU, 1985, 1989). 
Tecnologicamente, a estrutura da madeira pode ser vista como um compósito de ftbras 
complexas e reforçadas, em que uma série de tubos concêntricos de material polimérico se 
ajusta em uma matriz também polimérica. Essa estrutura confere excelentes características 
mecânicas, principalmente na direção longitudinal dos tubos. A anatomia da madeira é um 
ramo da ciência botânica que procura conhecer o arranjo estrutural dos diversos elementos 
constituintes desse material. 
e N S A I O D e C O M P R e S S À O 87 
Casca 
Câmbio 
(c) 
Figura 3.11 Estrutura da madeira: (a) macroestrutura, apresentando as camadas de anéis em cresci-
mento anual; (b) detalhe interno da estrutura das células com um ano de crescimento (observar a dife-
rença de granulometria entre a primavera e o verão); (c) a estrutura de uma célula mostrando as camadas 
compostas de microfibras de celulose e lignina; (d) uma microfibra alinhada, apresentando a estrutura 
cristalina das cadeias. (Segundo Askeland, 1996.) 
Basicamente, as células da madeira são compostas de fibras de celulose e Ugnina. A Fig. 
3.11 mostra um esboço da estrutura interna de um tronco com os elementos fundamentais. 
As fibras longitudinais são os principais elementos resistentes da madeira, formadas por 
células ocas, alongadas, com diâmetro de l O a 80 p,m e comprimento de l a 8 mm. A espes-
sura das paredes das células varia de 2 a 7 p,m. Elas são distribuídas em anéis, correspondentes 
aos ciclos anuais de crescimento. Muitas das propriedades físicas e mecânicas do caule depen-
dem da morfologia dessas células. As Figs. 3.12(a) e (b) apresentam a morfologia das fibras 
longitudinais para duas espécies diferentes de árvores, onde se observam diferenças conside-
ráveis de estrutura. 
Resistência mecânica da madeira 
As propriedades mecânicas definem o comportamento da madeira quando submetida a esfor-
ços de natureza mecânica. Existem no Brasil normas padronizadas pela ABNT que regula-
mentam os testes a serem aplicados em amostras de madeira, realizados em laboratórios com 
máquinas especialmente destinadas a essa finalidade e que possibilitam aferir o grau de resis-
tência a um determinado esforço. A resistência à compressão axial refere-se à carga supor-
távelpor uma peça de madeira quando esta é aplicada em direção paralela às fibras. É o caso 
de colunas que sustentam um telhado. Nos ensaios de flexão estática, uma carga é aplicada 
tangencialmente aos anéis de crescimento em uma amostra apoiada nos extremos. Por meio 
do ensaio de resistência à tração, é possível obter índices que facilitam a seleção de madeiras 
capazes de ser empregadas em treliças de telhados, cujas seções se tornam reduzidas em fun-
ção de ligações e, portanto, sujeitas a esse tipo de esforço. O cisalhamento é a separação das 
fibras, resultando no deslizamento de um plano sobre outro, devido a um esforço no sentido 
paralelo ou oblíquo a elas (um esforço no sentido normal às fibras também pode provocar o 
cisalhamento, mas em geral isso não chega a ocorrer, pois a ruptura ocorre por esmagamento 
88 CAPI TUL O J 
(a) (b) 
Figura 3.12 (a) Estrutura das fibras longitudinais da espécie Pinus radiata D.Don, 230x. (b) Estrutura 
das fibras longitudinais da espécie Nothofagus fusca, 375x. (Meylan, 1972.) 
das fibras) . No ensaio de compressão perpendicular às fibras é aplicada uma carga sobre a 
peça de madeira a fim de se verificar o valor máximo que a amostra suporta sem ser esmagada. 
A resistência à flexão dinâmica é a capacidade da madeira em suportar esforços mecânícos 
ou choques. A propriedade de resistir à penetração localizada, ao desgaste e à abrasão é conhe-
cida por dureza superficial. 
Características físicas da madeira que afetam as propriedades mecânicas 
Diversos fatores podem influenciar as propriedades mecânicas finais da madeira. Os princi-
pais são: 
p - Massa específica (g/cm3} É a relação entre o volume verde (amostra saturada em água 
até peso constante) e o peso da madeira seco em estufa. Algumas espécies naturalmente pos-
suem massa específica maior do que outras. Geralmente, espécies de maior massa específica 
apresentam características mecânicas melhores. Os índices de massa específica variam de es-
pécie para espécie e dependem de uma série de fatores estruturais, bem como dos compostos 
orgânicos e inorgânicos presentes no tronco. A madeira balsa (Ochroma lagopus) , muito uti-
lizada na fabricação de aeromodelos, é a madeira brasileira mais leve (sua massa específica 
varia de 0,13 a 0,2 g/cm3) . À medida que a massa específica aumenta, elevam-se proporcio-
nalmente a resistência mecânica e a durabilidade, e, em sentido contrário, diminuem a per-
meabilidade a soluções preservantes e a trabalhabilidade ou usinabílidade. Em geral a massa 
específica da grande maioria das madeiras utilizadas em construção varia entre 0,1 e 1,4 gl 
cm3• A Fig. 3.13 mostra a morfologia da estrutura interna de uma madeira de característica 
densa e uma de característica menos densa. 
U%- Umidade(%) Relaciona-se ao teor de água que a madeira apresenta. Em uma árvore 
recém-cortada. o tronco encontra-se saturado de água. Muitos fatores irão influenciar o teor 
de umidade, entre eles a anatomia da árvore. O teor de água deve influenciar diretamente as 
propriedades de resistência, poder calorífico, capacidade de receber adesivos e secagem, entre 
outras. A água na madeira pode estar presente preenchendo os espaços vazios dentro das 
células ou entre elas (água livre ou água de capilaridade), pode estar aderida à parede das célu-
las (água de adesão) ou pode estar compondo a estrutura química do próprio tecido (água de 
constituição). Essa última somente pode ser eliminada por meio da combustão do material. 
e N S A I O D e C O M P R e S S À O 89 
Figura 3.13 (a) Morfologia do pau-rosa (Dalbergia latifolia) 0,85-1 g/cm3, 1 OOx. (b) Morfologia da 
madeira balsa (Ochroma lagopus) 0,1-0,2 g/cm3, 1 OOx. 
O teor de água é medido em termos de porcentagem da relação de massas entre a madeira 
úmída e a madeira seca, dado por: 
Massa madeira úmida 
U% = · 100% 
Massa nmd<ir• «< • 
(3.16) 
Na prática observa-se que teores de água superiores a 30% estabelecem valores constantes 
da tensão de ruptura em compressão e que valores mais elevados são obtidos com teores de 
água menores. A Fig. 3.14 apresenta um esboço do efeito do teor de água na madeira sobre a 
tensão de compressão longitudinal, onde se observa que, após uma determinada porcentagem 
de umidade, o comportamento mecânico atinge uma constante. Defme-se como condição de 
encharque (madeira encharcada) aquela tensão que se mantém constante com nfveis mais 
elevados de umidade. 
80 
~ 
70 
5 
o 
t<1l 
60 
~ 
~ 50 a. 
E 
o 
(,) 
E 40 
Q) 
<1l 
E 30 Madeira encharcada :~ 
E 
o 
1<1l 
(/) 
20 
c 
~ 10 
o 
o 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 
Porcentagem de água (%) 
Figura 3.14 Relação entre o teor de tlgua e a tensão de ruptura em compressão longitudinal em 
madeiras. 
90 CAPI TU LO J 
Tabela 3.2 Tensão de rupt ura e o teor de água (segundo Perelygin, 1965) 
Tensão de ruptura longitudinal (MPa) 
Tipo de madeira 
15% de água 30% ou mais de água 
Pinho 41,5 21,0 
Abeto vermelho 39,0 19,5 
Cedro 36,0 18,5 
Falsa-acácia 66,5 41,5 
Bordo 52,0 28,0 
Carvalho 51,0 31,0 
Freixo 50,0 32,5 
Nogueira 48,5 24,0 
Faia 47,5 26,0 
Vidoeiro (Bétula) 46,5 22,5 
Olmo 40,5 25,0 
Álamo 34,5 18,0 
A Tabela 3.2 apresenta a variação da tensão de ruptura com teores de água em 15% e 30%. 
Retratibilidade (%) É o fenômeno de variação volumétrica em função da perda ou ganho 
de umidade que provoca contração ou inchamento em uma peça de madeira. Está relacionada 
aos defeitos de secagem. A contração pode ocorrer e ser avaliada em três aspectos: contração 
tangencial, que representa a variação das dimensões da madeira no sentido perpendicular ao 
raio; contração radial, que representa a variação das dimensões da madeira no sentido radial; 
e contração volumétrica, que representa as variações das dimensões da madeira considerando-
se como parâmetro o seu volume total. 
Quantidade e tipos de defeitos Outro fator de grande importância na conduta mecânica 
das madeiras é a quantidade e o tipo de imperfeições contidas na estrutura. Madeiras isentas 
de imperfeições, como, por exemplo, nós, têm tensão longitudinal que pode variar entre 69 a 
138 MPa. Contudo, a madeira comum contém muitas imperfeições, e, desse modo, a tensão 
de ruptura pode cair para valores inferiores a 35 MPa. A Fig. 3.15 mostra um exemplo dos 
tipos de imperfeições encontradas na madeira comum. 
Figura 3.15 Tipos de imperfeições en-
contradas na madeira: (a) nó tipico de 
pinho; (b) nó de vidoeiro. (Segundo 
Perelygin, 1965.) (a) (b) 
{a) 
ENSAIO DE COMPRESSÃO 91 
Principais defeitos da estrutura da madeira 
Os defeitos da madeira são as principais causas de desvalorização económica desse material. 
Alguns dos principais tipos de defeitos que podem causar danos na conduta mecânica da 
madeira são: 
Largura irregular dos anéis de crescímento A árvore que apresentar esse problema pro-
duzirá madeira de baixa resistência a esforços mecânicos. Esse defeito é causado por condições 
de operações de sílvicultura que afetam as condições de crescimento. 
Crescimento excêntrico Caracteriza-se pelo deslocamento da medula do centro do tronco, e 
pelos anéis de crescimento com largura irregular. Isso pode ser provocado pela forte ação do 
vento e pela ação da gravidade durante o crescimento da árvore. A Fig. 3.16 mostra a seção trans-
Região de crescimento 
e formação do nó 
Figura 3.16 Seção transversal de um tronco 
que apresenta o defeito de crescimento 
excêntrico. 
Linhas de 
crescimento 
ao redor dos nós 
Nós 
{b) 
Figura 3.17 (a) Representação esquemática de formação de um nó durante o crescimento de uma árvore. (b) 
Superffcie de madeira apresentando nós. 
92 C A P [ T U L O J 
versai de um tronco que apresenta o problema de crescimento excêntrico. As madeiras retiradas 
desse tipo de tronco deverão apresentar grandes variações nas propriedades mecânicas. 
Lenho de reação É a madeira que deriva de árvores que sofreram grande esforço externo 
durante seu crescimento, causando um estímulo assimétrico. Esse tipo de madeira é comum 
em árvoresque apresentam troncos curvos. 
Lenho de compressão Caracteriza-se por possuir paredes mais espessas que o normal, sem 
brilho e de cor mais forte. As células do lenho de compressão têm um contorno arredondado, 
espaços intercelulares e rachaduras oblíquas em suas paredes, o que afeta de forma conside-
rável sua resistência mecânica. 
Lenho de tração Esse defeito é associado ao crescimento excêntrico; a árvore apresenta uma 
cor mais clara que o tronco normal e fibras gelatinosas, e, como consequência, esse tipo de 
madeira é de difícil trabalhabilii.dade. 
Nós É a base de um ramo inserida no lenho que desvia o crescimento dos tecidos, conforme 
mostra o esboço da Fig. 3.17(a). Ele pode estar vivo, morto ou isolado. Quando mortos, sofrem 
transformações que lhes proporcionarão elevados níveis de dureza, prejudicando assim as 
operações de corte e preparação de tábuas. Além desses tipos de nós, existem nós inclusos, que 
se encontram no interior do tronco. O crescimento irregular dos tecidos em volta do nó e até 
mesmo o nó desvalorizam a madeira, além de prejudicarem bastante o acabamento e as ferra-
mentas de corte. Para os casos de decoração, os nós podem gerar valorização em determinadas 
peças de madeira. A Fig. 3.17(b) apresenta a superfície de uma tábua com a presença de nós. 
Tecidos de cicatrização Quando ocorre um ferimento na árvore, ela se encarrega de rege-
nerar-se, e nessa região surgirão canais resiníferos traumáticos e um desvio na camada de 
crescimento, o que provoca uma heterogeneidade na madeira, afetando assim suas proprie-
dades e podendo desvalorizá-la economicamente. Além disso, no processo de cicatrização, a 
casca pode se misturar com a madeira e favorecer a entrada de seres nocivos à árvore. 
Defeitos causados por esforços mecânicos externos (rachaduras) São rachaduras que 
podem ocorrer na madeira e que são causadas por fatores diversos como impactos mecânicos, 
condições climáticas, entre outros. Ocorrem em regiões mais fracas da árvore. Após o corte, 
essas rachaduras podem aparecer na superfície, e isso se deve às tensões internas durante o 
50 
45 
~ rn a. 6 
Cll 
~ 
E 40 
~ 
E I o oCII C/) I 
c: 
~ 35 
I 
30 
Figura 3.18 Relação entre a 
incidência de defeitos versus a 
tensão máxima suportada pela 
madeira. Aumento de defeitos 
e N S A I O D e C O M P R e S S À O 93 
crescimento. Essas rachaduras podem ser de dois tipos: rachaduras radiais em bolsas de resina 
e falhas de compressão. Esses problemas prejudicam o aproveitamento do tronco. 
Vários outros defeitos podem degradar as características mecânicas da madeira, como, por 
exemplo, aqueles devido a má conservação e à incidência de parasitas, fungos e insetos, que 
também podem degradar o material de modo permanente. A medida que a quantidade de 
defeitos aumenta, tem-se uma redução na máxima tensão suportada pela madeira, conforme 
pode ser observado na Fig. 3.18. 
Ensaios mecânicos em madeira para a especificação em projetas estruturais 
As propriedades mecânicas da madeira são fortemente influenciadas pela estrutura interna do 
lenho obtido e pela quantidade de defeitos presentes, além do fato de que a madeira representa 
um material anisotrópico, com as condições de resistência mecânica devendo variar em função 
da direção de aplicação de esforços. Segundo D. R. Askeland (Askeland, 1996), a tensão na 
direção longitudinal pode ser 25 a 30 vezes maior que a tensão nas direções radial e tangencial. 
Assim, observa-se que as características mecânicas de um corpo de prova deverão depender de 
como o lenho foi cortado. A Fig. 3.19 mostra as direções da tensão e o tipo de corte realizado. 
É indispensável a utilizaçã.o de métodos padronizados para uma caracterização coerente 
das características mecânicas, e a norma utilizada no Brasil é a NBR 7190:1997. Para efeito de 
concordância da nomenclatura, a Tabela 3.3 apresenta a nomenclatura utilizada nas normas 
de ensaio de madeiras e a relação com a nomenclatura utilizada neste livro. 
Por ser o teor de umidade (U%) um fator de grande importância na resistência mecânica 
da madeira, se estabeleceu como valor padrão 12% de umidade para a realização dos ensaios 
mecânicos. Contudo, nem sempre se consegue a garantia de condicionamento dos corpos de 
prova exatamente na umidade de 12%, e dessa forma as normas permitem ajustes, conforme 
as equações que seguem, as quais são utilizadas para o ajuste nos valores da tensão longitudi-
nal e do módulo de elasticidade com teores de umidade variando no intervalo de 12 a 20%: 
_ [ 3 · (U% -12%) ] 
0'12% - (}' ll% 1 + _..:...._ ___ "-
100 
(3.17) 
E = E [ 1 + 2 · (U% - 12%)] 
12% ll% 100 (3.18) 
em que 
u 1296 - tensão convencional a 12% de umidade (MPa). 
u ll% - tensão convencional à porcentagem de umidade (12% ~ U% < 20%) (MPa). 
E1296 - módulo de elasticidade longitudinal a 12% de umidade (MPa). 
Ell% - módulo de elasticidade longitudinal à porcentagem de umidade 
(12% ~ U% ~ 20%) (MPa). 
Longitudi 
Corte 
tangencial 
longitudinal 
Figura 3.19 Direções de aplicação de 
tensão e tipos de corte realizados em 
um tronco. (Segundo Askeland, 1996.) 
94 CAPI TUL O J 
Tabela 3.3 Relação entre a nomenclatura/simbologia aplicada neste livro e a 
norma NBR 7190:1997 
Util izada NBR 
Unidade Descrição neste l ivro 7190:1997 
E ,2.,. E12 N/mm2 Módulo de elasticidade longitudinal a 12% de umidade 
Euv. Eu.,. N/mm2 Módulo de elasticidade longitudinal a U% de umidade 
E<O,m E<O,m N/mm2 Valor médio do módulo de elasticidade longitudinal obtido 
no ensaio de compressão paralelo às fibras 
E<90,m Ec90.m N/mm2 Valor médio do módulo de elasticidade longitudinal obtido 
no ensaio de compressão normal às fibras 
k mod,i kmod.õ adimensional Coeficiente de modificação 
Rd Rd N/mm2 Relativo a uma propriedade mecânica ajustada (cr, 'TOU E) 
R• Rk N/mm2 Relativo a uma propriedade mecânica especifica (cr, 'T ou E) 
U% U% % Teor de umidade na madeira 
Uemb u,mb % Teor de relativo de umidade do ambiente 
0"12% f 12 N/mm2 Tensão convencional a 12% de umidade 
O"uv. fuv. N/mm2 Tensão convencional a U% de umidade 
u,.o fc.O N/mm2 Tensão de compressão paralela às fibras 
cr,,o fco N/mm2 Tensão de tração paralela às fibras 
O'"c,90 f ,90 N/mm2 Tensão de compressão normal às fibras 
O"t,90 f,,90 N/mm2 Tensão de tração normal às fibras 
1"v,O fv,O N/mm2 Tensão de cisa lhamento paralelo às fibras 
'Yw 'Yw adimensional Coeficiente de ponderação 
Tabela 3.4 Classes de umidade de equi lfbrio da madeira (NBR 7190:1997) 
Classe de umidade Umidade relativa do ambiente (U,"'J Umidade de equilfbrio da madeira (Uoq) 
1 
2 
3 
4 
s 65% 
65% s u,mb s 75% 
75o/o S U,mb S 85% 
u,mb > 85% por longos perfodos 
12% 
15% 
18% 
25% 
A NBR 7190:1997 especifica quatro classes de umidade de equili'brio para madeiras em 
relação à umidade relativa do ambiente de operação, conforme mostra a Tabela 3.4. 
A caracterização completa dos parâmetros da madeira é dada com o levantamento das 
seguintes propriedades mecânicas (sempre referidas à umidade de 12%): 
u,,0 - tensão de compressão paralela às fibras (MPa). 
u,,0 - tensão de tração paralela às fibras (MPa). 
u,,90 - tensão de compressão normal às fibras (MPa). 
u,,90 - tensão de tração normal às fibras (MPa). 
Tv,o - tensão de cisalhamento paralelo às fibras (MPa). 
EcO,m - valor médio do módulo de elasticidade longitudinal obtido no ensaio de compressão 
paralelo às fibras (MPa)- Número de corpos de prova de 2 a 12. 
Ec9o,m - valor médio do módulo de elasticidade obtido no ensaio de compressão normal às 
fibras (MPa) - Número de corpos de prova de 2 a 12. 
Com o objetivo de orientar a escolha das espécies de madeira para a elaboração de um 
projeto estrutural, a norma estabelece classes de resistência para os tipos de madeira, conforme 
mostra a Tabela 3.5. 
e N S A I O De C O M P R e S S À O 95 
Tabela 3.5 Classes de resistência para madeiras oriundas de árvores das espécies confferas e 
dicotiledóneas (folhosas) 
Valores da condição de referência U% = 12% Madeiraseca 
Classe confferas* 
u~0 (MPa) 'Tv,o (MPa) E«J,m (MPa) P12v. (kg/m3) p (kg/m3) 
C20 20 4 3.500 soo 400 
C2S 25 5 8.500 sso 4SO 
C30 30 6 14.500 600 soo 
Classe Valores da condição de referência U% = 12% Madeira seca 
d icotiledõneas 
ou folhosas** u~0 (MPa) '~'v.o (MPa) E«J.m (MPa) p,2., (kg/m1) p (kg/m3) 
C20 20 4 9.500 650 soo 
C30 30 5 14.SOO 800 6SO 
(40 40 6 19.SOO 950 750 
C60 60 8 24.SOO 1000 800 
* Coniferas: caracterizam-se, principalmente, por possuir folhas afuadas ou em forma de espinho e frutos que não possuem casca, 
estando as sementes expostas e colocadas em volta de um eixo. No Brasil, a conffera nativa mais conhecida é o pinheiro-do-paraná, 
cujo nome científico é Araucaria angustifolia. Outra conffera fornecedora de madeira é uma espécie exótica (nativa de outro país, 
mas cultivada no Brasil) que é o pi nus. O mais comum no Brasil é o Pi nus elliottii, mas exístem outros como Pi nus caribaea, Pi nus 
oocarpa, Pi nus taeda, Pi nus patula etc. Podem ser encontradas ainda outras duas confferas nativas conhecidas como pinho-bravo ou 
pinho-do-brejo (Podocarpus sellowii e Podocarpus lambert/i) ou exóticas como o pinheiro-de-natal ( Cunninghamla lanceolata), e os 
ciprestes ( Cupressus spp.), mas geralmente utilizadas para paisagismo (Revista da Madeira, n.• I 09, dezembro de 2007). 
** Dicotiledóneas ou Folhosas: caracterizam-se, principalmente, pelas folhas alargadas (por isso chamadas lati foliadas), frutos com semen-
tes envolvidas por uma casca e flores muitas vezes vistosas. A esse grupo pertence a gratlde maio.ria das espécies florestais brasileiras, e a( 
estão inclufdos a sucupira (Bowdichia nitida), o i pê (Tabebula spp.), o mogno (Swietenla macrophylla), a andiroba (Carapa guianet1$IS), o 
cedro (Cedrella spp.), o jatobá (Hymenaea courbari[), o pau-brasU (Caesalpinía echinata), o jacarandá-da-bahia (Dalbergla nlgra) etc. 
Temos no Brasil uma folhosa exótica muito conhecida que é o eucalipto (E.,cal)1ltUS spp.) (Revista da Madeira, n.•l09, dezembro de 2007). 
Para o caso do cálculo de projetos estruturais, a norma admite que os valores a serem uti-
lizados quanto à resistência mecânica a esforços de tensão sejam ajustados segundo a equação 
que se segue: 
em que 
Rd - valor da propriedade mecânica ajustada (o-, T ou E). 
Rk - valor médio específico da propriedade a ser ajustada (o-, T ou E). 
'Yw - coeficiente de ponderação das propriedades da madeira. 
(3.19) 
k mod,i - coeficientes de modificação, considerando influência de fatores específicos da 
madeira. 
Coeficiente de ponderação das propriedades da madeira <Yw> 
O coeficiente de ponderação corresponde a um ajuste de segurança que é representativo da 
direção de aplicação do esforço, dado conforme a Tabela 3.6. 
Tabela 3.6 Valores do coeficiente de ponderaçiío (NBR 7190:1997) 
Condição do ensaio 
Compressão paralela às fibras 
Tração paralela às f ibras 
Cisalhamento paralelo às fibras 
Condição-l imite 
Coeficiente de ponderação h w> (adímensional) 
1,4 
1,8 
1,8 
1,0 
96 CAPI TU LO J 
Coeficientes de modificação das propriedades da madeira (kmod.l) 
A norma NBR 7190:1997 adota três coeficientes de modificação a serem levados em conta 
(kmod,l • k mod.2 e kmod,3) . O primeiro representa a classe de carregamento da estrutura, conforme 
a Tabela 3.7, o segundo, a classe de umidade admitida, confonne a Tabela 3.8, e o terceiro 
representa o eventual emprego de madeira não classificada como isenta de defeitos, conforme 
a Tabela 3.9. Assim, tem-se que: 
(3.20) 
Tabela 3.7 Valores do coeficiente de modificação para a classe de carregamento envolvida na 
estrutura (NBR 7190:1997) 
Classe de 
carregamento 
Permanente 
Longa duração 
Média duração 
Curta duração 
Instantânea 
Tipos de madeira e valores de kmod.1 
Madeira serrada, madeira laminada colada, 
madeira compensada 
0,6 
0,7 
0,8 
0,9 
1,1 
Madeira aglomerada ou 
recomposta 
0,30 
0.45 
0,65 
0,90 
1,10 
Tabela 3.8 Valores do coef icient e de modif icação para a classe de umidade envolvida na 
est rut ura, conforme Tabela 3.4 (NBR 7190:1997) 
Classe de 
umidade 
(1) e (2) 
(3) e (4) 
Tipos de material e valores de k .,.d,l 
Madeira serrada, madeira laminada colada, 
madeira compensada 
1 
0,8 
Madeira aglomerada ou 
recomposta 
1 
0,9 
Tabela 3.9 Valores do coef icient e de modificação para a classifi cação da madeira envolvida na 
est rut ura (NBR 7190:1997) 
Classificação 
Primeira categoria* 
Segunda categoria** 
Tipos de madeira e valores de k mod.l 
Dicot i ledóneas ou folhosas 
1,0 
0,8 
Confferas 
0,8 
0,8 
* Primeira categoria: Condição admitida se todas as peças estruturais de um determinado lote forem classificadas como isentas de 
defeitos, por intermédio de método visual normalízado e submetidas a uma classificação mecânica que garanta a homogeneidade da 
rigidez das peças. 
** Segunda categoria: Condição para a madeira que não se classifica como primeira categoria. São aquelas que apresentam imper· 
feiçõe.s internas, nós e outros que podem desqualificar a madeira. 
e N S A I O D e C O M P R e S S À O 97 
Exemplo de aplicação 
Determinar o valor da tensão máxima de compressão paralela às fibras a ser admitida em 
um projeto estrutural, para a utilização de uma madeira dicotiledónea classe 40 (ver 
Tabela 3.5). A estrutura será de carregamento de longa duração, e as peças estruturais 
de madeira serrada não classificada como isenta de defeitos, com classe de umidade 3. 
Resposta: 
Para o cálculo, tem·se: madeira dicotiledónea classe 40 - (J'c.o = 40 MPa. 
Pela Tabela 3.6, tem-se que o coeficiente de ponderação vale: 'Yw = 1,4. 
Pela Tabela 3.7, tem-se que o 1°. coeficiente de modificação vale: k mod,t = 0,7 
Pela Tabela 3.8, tem-se que o 2°. coeficiente de modificação vale: k mod.2 = 0,8 
Pela Tabela 3.9, tem-se que o 3°. coeficiente de modificação vale: k mod.l = 0,8 
Aplicando as Eqs. (3.13} e (3.14}, chega-se em: 
40MPa 
(]'projeto = (0,7 · 0,8 · 0,8)· = 12,8MPa 
1,4 
O valor de 12,8 MPa deverá ser o valor a ser considerado no cálculo estrutural do pro-
jeto. Caso o valor da tensão média tenha sido obtido com valores de umidade diferentes 
de 12%, deve-se antes ajustar o valor da tensão seguindo as Eqs. (3.17) e (3.18). 
Correlações estimadas admitidas para as propriedades da madeira 
Quando não se dispõe de valores experimentais, as normas permitem a adoção das seguintes 
correlações: 
Para coníferas: 
Para dicotiledóneas: 
O'c,O = 1,0 
a ,,o 
O'c,90 = 0,25 
a,,o 
'T v,O = 0,15 
O'c,O 
'T 
__;:,Q_ = o, 12 
O'c,o 
(3.21) 
(3.22) 
(3.23) 
(3.24) 
O módulo de elasticidade transversal efetivo (Ger.,) para o caso da torção, pode ser obtido 
pelo módulo de elasticidade longitudinal, dado por: 
G - E,o,m 
cfet- W (3.25) 
A Tabela 3.10 apresenta alguns dos principais tipos de madeiras com suas principais apli-
cações e valores típicos da massa específica, retratibílidade e resistência mecânica à compres-
são e à flexão. A Tabela 3.11 mostra a classificação e dimensões da madeira processada. 
Tabela 3.10 Aplicações e propriedades mecânicas típicas de algumas espécies de 
madeira comercial (Wood Handbook, 2010; Record, 1914; Dias, 1994) 
Nome 
ANDIROBA 
ANGEUM· 
PEDRA 
ANGICO-
PRETO 
CABREÚVA 
VERMELHA 
(continua) 
Nome cient ffico 
Carapa guianensis 
Hymenolobium 
excelsum 
Ducke, 
Leguminosae. 
Piptadenia 
macrocarpa 
Benth., 
Leguminosae. 
Myroxylon 
balsamum (L) 
Harms. 
Fabaceae. 
MADEIRA 
Outros nomes e espécies 
semelhantes 
Landiroba, Landirova, Carapá, 
Nandiroba, Jandiroba e 
Penaíba. No mercado externo 
é conhecida por Crabwood. 
Cedro-macho, Tangaré. 
Karappa e Mazabalo. 
As espécies de Hymenolobium 
(12 na América Latina) são 
extremamente parecidas entre 
si, destacandt>-se H. petraeum 
Ducke, também conhecida por 
Mura rena e Angelim-da-terra. 
Angico, Angico-bravo, 
Angico-rajado, Cambui-ferro, 
Guarapíraca, Angico 
vermelho. Sinonímia: 
Anadenanthera 
macrocarpa(Benth) Brenan. 
Entre os vários nomes que é 
conhecida estão Ólet>-vermelho, Cabreúva, Bálsamo. 
Na Amazônia é chamada 
Pau-vermelho, Caboreia-
vermelha. Na Bahia é 
Bálsamo-caboriba, Pau-de-
bálsamo, Sangue-de~ato e 
Puá. 
Aplícações 
Aplicação na construção civil em 
geral para vigas, caibros, ripas 
e outras. Utilizada para 
fabricação de móveis. Não 
deve entrar em contato direto 
com o solo ou condições que 
favoreçam a deterioração 
biológica. 
Construção civil, carpintaria, 
marcenaria, molduras, 
dormentes, la mbris, forros etc. 
Para postes, mourões e 
dormentes. Na construção 
rural, em caibros, esquadrias, 
batentes, vigas e tacos. ~ 
empregada também para 
fabricação de carroças, rodas 
de engenho, calhas de água, 
peças torneadas e cabos de 
ferramentas. 
Na construção civil e naval, para 
peças resistentes como pontes, 
mancais, estruturas externas, 
também para carroceria, 
cruzetas, cabos de 
ferramentas, assoa lhos e peças 
torneadas. 
Massa 
específica 
básica 
(g/cm' ) 
0,56 
0,63 
0,84 
0,78 
Retratibilidade (%) 
Radial Tangencial Volumétrica 
4,3 7,4 13,4 
4,4 7,1 10,2 
4,9 8,1 13,9 
4,0 6,7 11,0 
Resistência mecânica 
12% umidade (MPa) 
Compressão 
axial 
60 
82 
97 
79 
Flexão 
estática 
114 
174 
206 
147 
I 
n 
)> ..., 
.... 
c 
o 
... 
Tabela 3.10 Aplicações e propriedades mecânicas t ípicas de algumas espécies de 
Nome 
CARVAlHO-
BRASILBRO 
CEDRO 
(continua) 
madeira comercial (Wood Handbook, 201 O; Record, 1914; Dias, 1994) (Continuação) 
Nome cientíiico 
Eup/assa 
cantareime 
5/eumer, 
Prqt~açeae. 
Cedrela fissilis 
Vell. Melíaceae. 
MADEIRA 
Outros nomes e espécies 
semelhantes 
Carvalho, Carvalho-da-serra, 
Cedro-bordado, Ggarreira, 
Pau-concha, Carvalho-
naçiqnal. Nª re9i;iq amazõniça 
ocorrem outras espécies 
produtoras de madeiras 
semelhantes ao Carvalho-
brasileiro e que são 
indistintamente denominadas 
Faia, Faeira e, 
predominantemente, 
louro faia. 
Cedro-branco, Cedro·rosa, 
Cedro-vennelho, Cedro-
batata, Cedro-roxo. O gênero 
Cedrela, no Brasil, 
representado por três 
principais espécies: C odorata, 
C. angustifolia e C fissilis. As 
suas madeiras, semelhantes 
quanto ao aspecto e estrutura 
anatómica, são 
indistintamente conhecidas 
em todo o país simplesmente 
por Cedro e, dependendo da 
intensidade da sua cor 
castanho, por cedro-rosa ou 
cedro-vermelho. 
Aplicações 
Mobiliário de luxo, folhas 
faqueadas decorativas, peças 
torneadas, tanoaria etc. 
Indicada para móveis finos, 
folhas faqueadas decorativas, 
molduras para quadros, 
artigos de escritório, 
instrumentos musicais etc. Em 
construção interna 
{venezianas, rodapés, 
guarnições, forros, lambris 
etc.) e em construção nava I, 
como acabamento interno 
decorativos e casco de 
embarcações leves. 
Massa 
específica 
básica 
(g/ cm') 
0,54 
0,44 
Retratibilidade (%) 
RadiaJ Tangencial Volumét rica 
3,2 14,0 20,.3 
4,0 6,2 11,6 
Resistência mecânica 
12% umidade (MPa) 
Compressão 
axial 
48 
43 
Flexão 
estática 
109 
90 
z 
"' )> 
o 
o 
"' ,... 
o 
s: ., 
"' "' 
,.. 
o 
loO 
loO 
Tabela 3.10 Aplicações e propriedades mecânicas típicas de algumas espécies de 
Nome 
COPAIBA 
FREUÓ 
(continua) 
madeira comercial (Wood Handbook, 201 O; Record, 1914; Dias, 1994) (Continuação) 
Nome cient ffico 
Copaifera 
multijuga 
Hayne, 
Leguminosae. 
Cordia goeldiana 
Huber, 
Boraginaceae. 
MADEIRA 
Outros nomes e espécies 
semelhantes 
O gênero Copaifera possui 
várias espécies ocorrendo em 
quase todo o Brasil. Na região 
amazónica são comuns C. 
multijuga, C. langsdorffii, C. 
martii, C. duckei e C 
reticulata, cujas madeiras são 
similares e recebem 
indistintamente as 
denominações de Copaíba, 
Óleo, Óleo-copaíba, 
Copalba-preta, Copaiba-
vermelha, Copalba·angelim, 
Copalba mari-mari e 
Copalba-roxa. 
Frei Jorge. Confunde-se com a 
madeira de Cordia trichotoma, 
de ocorrência em matas 
litorâneas entre Bahia e Santa 
Catarina, que é conhecida 
como Louro-pardo, Louro-
amarelo e Louro-da-serra, 
Freijó-branco, Freijó-preto, 
Freijó-rajado, Freijó-
verdadeiro, Cordia-preta. 
Aplícações 
Acabamentos internos em 
construção civil, forros, 
lambris, molduras, móveis 
comuns. cabos de 
ferramentas. folhas faqueadas 
decorativas. compensados, 
embalagens. carrocerias e 
similares. 
Indústria moveleira (torneados, 
folhas faqueadas, móveis), 
lambris e construção civil em 
geral, hélice de pequenos 
aviões etc. Para algumas 
aplicações é utilizada como 
substituto do Mogno. 
Massa 
específica 
básica 
(g/cm' ) 
0,56 
0,48 
Retrat ibilidade (%) 
Radial Tangencial Volumét rica 
3,8 7,1 13,4 
3,2 6,7 10,, 
Resistência mecânica 
12% umidade (MPa) 
Compressão 
axial 
56 
51 
Flexão 
estática 
125 
104 
... 
8 
n 
)> ..., 
.... 
c 
o 
... 
Tabela 3.10 Aplicações e propriedade s mecânicas t ípicas de algumas espécies de 
mad eira comercial (Wood Handbook, 201 O; Record, 1914; Dias, 1994) (Continuação) 
MADEIRA Massa Retrat ibi lidade (%) 
Resistênó a mecânica 
específica 
12% umidade (MPa) 
Outros nomes e espécies 
básica 
Compressão Flexão Nome Nome óentíiico semelhantes Aplicações 
(g/ cm') RadiaJ Tangenó al Volumétrica axial estática 
IMBUIA Ocotea porosa É conheóda também pelos Mobiliário de luxo, folhas 0,54 2,7 6,3 9,8 49 102 
(Nees) Barroso, nomes de Canela-imbuia, faqueadas decorativas, peças 
Lauraceae. Imbuía-amarela, lmbuia- torneadas, painéis 
bra:~;:ina, lmbt,Jia-çi<JriJ. ÇQmp~n$!,ldQs ~ çlivi$Qria$. Em 
lmbuia-parda, lmbuia-raíada, construção civil como vigas, 
lmbuia-preta e Umbuia. Ocotea caibros. ripas, marcos ou 
catharinensis (Canela-preta) e batentes de portas e janelas, 
Cinnamomum vesicu/osum, molduras, lambris e similares, 
duas espéóes próprias da ou em partes externas como 
região Sul, apresentam esteios, estruturas etc. 
características similares. 
ITAÚBA Mezilaurus itauba É conhecida também pelos Em construções externas tais 0.78 2.3 6.7 12.1 76 141 
(Meissn.) Taub .. nomes de ltaúba-amarela. como estruturas de pontes, 
Lauraceae. ltaúba-abacate. ltaúba-preta e postes. moirões. dormentes, 
Louro-itaúba. M. synandra e cruzetas, defensas, estacas. 
M. navalium possuem Partes internas em construção 
madeiras com caracterfsticas óvil como vigas, caibros, ripas, 
similares. marcos ou batentes de portas 
e janelas, esquadrias, caixilhos, 
tacos e tábuas de assoalho, z 
"' mobiliário comum, construção )> 
naval, barcos, carrocerias, -o 
tanoaria, peças torneadas, o 
cabos de ferramentas e "' implementos agrícolas. etc. ,... 
JATOBÁ Hymenaea sp. Muitas árvores do gênero Construções externas (obras 0,75 3,1 7.2 10,7 91 169 
o 
s: 
Leguminosae. Hymenaea são conhecidas hidráulicas, postes e vigas). ., 
comercialmente por Jatobá. construções pesadas. "' "' Jatai e Jutai, das quais as mais laminados, móveis, cabos de 
importantes são H. stilbocarpa ferramentas. Implementas 16 e H. courbaril agrícolas, carroce rias e vagões, 
dormentes, cruzetas e 
construção civil em geral. ... 
o ... 
(continua) 
Tabela 3.10 Aplicações e propriedades mecânicas típicas de algumas espécies de 
Nome 
JEQUITIBÁ· 
BRANCO 
MOGNO 
(continua) 
madeira comercial (Wood Handbook, 201 O; Record, 1914; Dias, 1994) (Continuação) 
Nome cient ffico 
Cariniana 
estrellensis 
(Raddi) O. Ktze, 
Lecythidaceae. 
Swietenia 
macrophylla 
King., 
Meliaceae. 
MADEIRA 
Outros nomes e espécies 
semelhantes 
Na região de ocorrência recebe 
os nomes de Estopeiro, 
Cachimbeiro e Estopeira. 
Cariniana lega/is, Cariniana 
exce/sa e Couratari 
pyramidata são espécies cujas 
madeiras possuem 
similaridade. 
No Brasil é registrada apenas a 
ocorrência de Swietenia 
macrophyfla, também 
conhecida pelos nomes de 
Acaju, Agua no, Araputanga, 
Cedro-aguano, Cedro-i, 
Cedro-mogno, Mara, 
Mara-vermelha, Mogno-
aroeira, Mogno-branco, 
Mogno-brasileiro, Mogno-
cinza, Mogno-daro, 
Mogno,inza, Mogno-<laro, 
Mogno-escuro, Mogno-
peludo, Mogno-rosa, 
Mogno-róseo, Mogno-
vermelho e Mogno-brasileiro. 
Outras espécies do gênero 
Swietenia ocorrem na América 
Central, Antilhas Ocidentais e 
sul da América doNorte. 
Aplícações 
Estruturas de móveis populares, 
molduras e guarnições 
internas, forros, lambris, peças 
torneadas, cabos de 
ferramentas. esquadrias. 
painéis compensados, 
embalagens, brinquedos etc. 
A madeira de mogno é 
amplamente utilizada na 
fabricaçào de móveis, lambris, 
painéis, folhas decorativas, 
revestimentos internos, 
caixilharia, molduras, 
venezianas, instrumentos 
musicais e artigos de 
decoraçào. 
Massa 
específica 
básica 
(g/cm' ) 
0,65 
0,53 
Retrat ibilidade (%) 
Radial Tangencial Volumét rica 
3,9 8,4 13,8 
3,2 4,5 8,6 
Resistência mecânica 
12% umidade (MPa) 
Compressão 
axial 
65 
60 
Flexão 
estática 
143 
101 
... 
o .., 
n 
)> ..., 
.... 
c 
o 
... 
Tabela 3.10 Aplicações e propriedades mecânicas t ípicas de algumas espécies de 
madeira comercial (Wood Handbook, 201 O; Record, 1914; Dias, 1994) (Continuação) 
MADEIRA Massa Retrat ibi lidade (%) 
Resistênóa mecânica 
específica 
12% umidade (MPa) 
Out ros nomes e espécies 
básica 
Compressão Flexão Nome Nome óentíiico semelhantes Aplicações (g/ cm') RadiaJ Tangenóal Volumétrica axial estática 
PAU- Balfourodendron Recebe também as Móveis de luxo, lâminas 0,73 4,9 9,6 15,4 66 152 
MARFIM riedelianum, denominações de Farinha- faqueadas decorativas, peças 
Rutaceae. seca, Gramixinga, Guataia, torneadas, cabos de 
M;,Jmm, Pav-lisQ, Guatªmbv, ferrame11~, mQida,na~, piJrt~ 
Pequiá-mamona, Pequiá- internas na construção dvil 
mamão, Pau-cetim. (forros, lambris, rodapés, tacos 
e tábuas de assoalho e 
similares), artefatos 
decorativos em geral, cutelaria 
etc. 
PINHO-DO- Araocaria No Brasil é conhecida corno Tábuas de forro e fôrmas para 0,45 4.0 7.8 13.2 51 95 
PARANÁ angustifolia Pinho. Pinho-do-paraná. concreto. molduras. 
(Bert.) O. Ktze .• Pinho-brasileiro. Cori. Curiúva. guarnições, ripas, caibros e 
Araucariaceae. Pinhão e Araucária. No vigas em construções 
mercado externo é chamada temporárias, cabos de 
Parana-pine. vassoura, brinquedos, 
embalagens leves, estrutura 
de móveis, prateleiras, 
balcões, palitos de fósforo e 
de sorvete, móveis populares, z 
"' instrumentos musicais. )> 
-
TATAJUBA Bagassa Nas regiões de ocorrênàa, é Partes internas em construção 0,62 5,2 6,6 10,2 89 154 o 
guianensis conhecida por Bagaceira, dvil tais como vigas, caibros, o 
Aubi., Amarelo, Amare Ião, ripas, marcos ou batentes de "' 
Moraceae. Ama pá-ra na e Garrote. No portas e janelas, esquadrias, 
,... 
o 
comércio externo é forros, lambris, rodapés e s: 
denominada Bagasse. similares. estruturas externas. ., 
como postes. moirões. estacas, "' "' donnentes, cruzetas. defensas, 
móveis comuns, tacos e tábuas 16 de assoalho etc. Considerada 
excelente para canoas 
escavadas em troncos inteiros. ... 
o w 
104 CAPITU LO J 
Tabela 3.11 Classificação das dimensões da madeira 
beneficiada utilizada na indústria civi l 
Dimensões da madeira beneficíada 
Nome Espessura (cm) Largura (cm) 
Pranchão > 7,0 > 20,0 
Prancha 4,0-7,0 > 20,0 
Viga >4,0 11,0-20,0 
Vi gota 4,0-8,0 8,0-11,0 
Caibro 4,0-8,0 5,0-8,0 
Tábua 1,0-4,0 > 10,0 
Sarrafo 2,0-4,0 2,0-10,0 
Ripa < 2,0 < 10,0 
Soalho 2,0 10,0 
Forro 1,0 10,0 
Batentes 4,5 14,5 
Rodapé de 15 1,5 15,0 
Rodapé de 10 1,5 10,0 
Tacos 2,0 2,1 
O Concreto no Ensaio de Compressão 
O concreto é o material mais popular utilizado pelo homem, e o componente básico da indústria 
de construção civil. Atualmente é considerado o material mais utilizado no planeta, só perdendo 
para a água. O concreto pode ser chamado, sem erro técnico, de um compósito cerâmico-cerâ-
mico, ou, nos casos em que é feito reforço com barras de aço (concreto armado), de compósito 
fibroso cerâmico-metal. O concreto é composto de um agregado de brita (pedregulhos) e areia 
em uma matriz de cimento e água. Ocorre uma reação química entre os minerais que compõem 
o cimento e a água, e, em função dessa reação, a massa endurece, atingindo as propriedades mecâ-
nicas desejadas. Entretanto, como todos os materiais cerâmicos, o concreto é capaz de suportar 
elevadas cargas compressivas, mas é bastante fraco quando se trata de cargas de tração. 
Ingredientes 
primários 
Cimento 
+ -+Pasta 
Água ! 
Microssilica 
+ 
Aditivos 
Areia--• 0-+ Argamassa 
Brita -------+~Concreto 
Armadura ativa 
Aço (pré-tensionada) 1-----+Jr_., 
Resultados 
da mistura 
Concreto de alto 
desempenho 
Concreto pretendido 
Concreto armado Armadura passiva 
Fibras (poliméricas ou orgânicas) -------+ t Concreto armado 0+ com fibras 
Figura 3.20 Denominações dos concretos e os ingredientes prim~rios de sua composição. (Adaptado 
de Manual ABESC, 2007.) 
e NSAI O De CO MPR eS S À O 105 
Segundo a Associação Brasileira das Empresas de Concretagem do Brasil - ABESC (www. 
abesc.org.br), a relação entre os ingredientes básicos ou primários da mistura para a fabrica-
ção do concreto e suas denominações é dada segundo o fluxograma da Fig. 3.20. 
O profissional da indústria de construção civil deve conhecer as propriedades principais 
do concreto, como trabalhabilidade, resistência à compressão, módulo de elasticidade, níveis 
de contração após secagem, tempos de cura, entre outras, e como essas propriedades podem 
sofrer variações em seus valores, como função dos teores e condições dos ingredientes primá-
rios na mistura da massa. Também é importante conhecer a influência da temperatura e da 
umidade relativa do ambiente para se determinar aplicações coerentes e seguras. No caso par-
ticular do concreto, sabe-se que as propriedades mecânicas, em especial a resistência à com-
pressão, são fortemente afetadas pela relação água-cimento contida na mistura e pela idade 
ou o tempo de cura da estrutura, ou corpos de prova. 
Para uma análise ampla das propriedades mecânicas do concreto, devem-se conhecer os 
ingredientes fundamentais contidos na mistura e suas influências no produto final. Basicamente 
o concreto é composto por cimento, água, agregados de brita (pedregulhos) e areia, e, em 
alguns casos, aditivos especiais que melhoram individualmente algumas propriedades. 
Cimento Portland na mistura do concreto 
A palavra cimento é derivada da palavra latina caementum, que os romanos usavam para 
denominar uma mistura de cal com terra pozolana (cinzas vulcânicas das ilhas gregas de 
Santorini e da região de Pozzuoli, próximo a Nápoles), a qual resultava em uma massa aglo-
merante utilizada em obras de alvenaria, pontes e aquedutos (Mazzeo, 2003). 
No início do século XIX, o inglês Joseph Aspdin queimou conjuntamente uma mistura de 
pedras calcárias e argila, transformando-as posteriormente em um pó fino, o qual, depois de 
misturado com água, formava uma pasta que possuía excelentes propriedades de moldagem. 
Após a secagem, a pasta se tornava tão dura quanto as pedras empregadas em construção e 
não se dissolvia mais em água. Esse material foi patenteado em 21 de outubro de 1824 com o 
nome de cimento Portland devido à semelhança com a coloração das rochas calcárias da ilha 
britânica de Portland. 
Tecnicamente o cimento é definido como um aglomerante hidráulico obtido pela moagem 
simultânea de pedras de minerais calcários e argilosos chamados de cUnquer, o qual, com a 
adição de gesso e outras substâncias, determina o tipo de cimento. Os minerais presentes no 
cimento Portland são (segundo notação técnica~ C = CaO; S = SiOú A = Al20 3; F = Fep3) : 
C3S - tricálcio silicato ou alita, 3Ca0 · Si02 
C2S - dicálcio silicato ou belita, 2Ca0 · Si02 
C3A - tricálcio aluminato, 3Ca0 · Al20 3 e 
C4AF - tetracálcio aluminoferrite, 4Ca0 · Al20 3 • Fe20 3 
A ASTM (American Society for Testing and Materiais) reconhece cinco categorias princi-
pais da composição do cimento Portland, conforme mostrado na Tabela 3.12. 
Tabela 3.12 Categorias do cimento Portland (ASTM) (adaptado de Flinn, 1990) 
Categoria 
Composição (%) 
ASTM Apl icação c,s C2S C,A C,AF 
Uso geral 50 24 11 8 
11 Proteção de sulfetos* e 42 33 5 13 
baixa geração de calor 
III Endurecimento rápido 60 13 9 8 
IV Baixa geração de ca lor 26 50 5 12v Alta resistência a sulfetos* 40 40 4 9 
• Alguns tipos de solos contêm sulfetos que reagem com o concreto, causando sua deterioração. 
106 CAPI TU LO J 
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~ 
a. 
E 
8 
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•Cil 
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c 
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Figura 3.21 Endurecimento como 
função do tempo de reação para 
diferentes minerais da composição 
do cimento Portland. (Adaptado de 
Ashby, 1988.) Tempo 
O cimento Portland adquire propriedade adesiva quando misturado à água. Isso acontece 
porque a reação química do cimento com a água, comumente chamada de hidratação do 
cimento, gera produtos que possuem características de pega (aderência) e endurecimento 
(Metha, 2008). Deve-se observar que os diferentes minerais no cimento reagem de forma dife-
rente durante a hidratação, conforme visto na Fig. 3.21. Dessa forma, as propriedades finais do 
composto deverão depender da composição relativa do tipo de mineral constituinte. Geralmente, 
são necessárias algumas semanas para que o concreto atinja suas características finais. 
A Tabela 3.13 apresenta as especificações dos tipos de cimento Portland encontrados no 
mercado segundo sua classe de resistência. Observar que a resistência da classe representa o 
valor mínimo de resistência à compressão aos 28 dias de idade. 
Tabela 3.13 Tipos de cimento Portland e composição para as classes de resistência (adaptado de 
Nascimento, 2006, ABESC, 2010, Leonardo, 2002) 
Tipo de cimento Portland 
Classe de 
Composição (% em peso) 
resistência Normas 
Sigla Designação (MPa) Clínquer Escória de Pozolana Materiais 
brasileiras 
+gesso alto-forno carbonáticos 
CP I Cimento Portland 25-32 100 NBR 5732 
comum 
CP I ·S Cimento Portland 40 95-99 01-05 1-5 1-5 
Comum com 
aditivos 
CP 11 - E Cimento Portland 32 56-94 6-34 0-10 NBR 11578 
com escória 
CP li · Z Cimento Portland 32 76-94 6-14 0-10 
com pozolana 
CP 11 - F Cimento Portland 32-40 90-94 6-10 
com fi ler 
CP III Cimento Portland 25-32-40 25-65 35-70 0-5 NBR 5735 
de alto-forno 
CP IV Cimento Portland 25-32 45-85 15-50 0-5 NBR 5736 
pozolãnico 
eNSAIO De COMPReS S À O 107 
As principais normas brasileiras utilizadas para a especificação do cimento Portland são: 
• NBR 11578:1991- Cimento Portland composto (CP II) 
• NBR 12989:1993- Cimento Portland branco (CPB) 
• NBR 13116:1994- Cimento Portland de baixo calor de hidratação (BC) 
• NBR 5732:1991- Cimento Portland comum (CP I) 
• NBR 5733:1991- Cimento Portland de alta resistência inicial (CP RS) 
• NBR 5735:1991- Cimento Portland de alto-forno (CP III) 
• NBR 5736:1999- Cimento Portland pozolânico 
• NBR 5737:1992- Cimentos Portland resistentes a sulfatos (CP V ARI) 
Água na mistura do concreto 
A água utilizada na mistura tem duas funções: 
1) reagir quimicamente com os álcalis do cimento, dando origem às propriedades deseja-
das do concreto; 
2) fornecer trabalhabilidade à mistura. 
A água destinada à mistura, ou, conforme o termo técnico, amassamento, do concreto 
deverá ser isenta de impurezas que possam prejudicar as suas reações com o cimento. 
Normalmente as águas potáveis são satisfatórias para o uso, e devem ser evitadas águas com 
materiais sólidos em suspensão ou fmos, pois materiais em suspensão reduzem a aderência 
entre pasta e agregado. Pela mesma razão, é proibida a presença de algas na água da mistura. 
No caso da água não potável, além dos já mencionados materiais orgânícos e sólidos em sus-
pensão, é necessário controlar também os teores de sulfatos (íons so;-) e cloretos (íons CP-). 
A água utilizada para a cura deve ser escolhida com maior critério, uma vez que após a eva-
poração os sais e todos os materiais em suspensão ficarão depositados na superfície do con-
creto, podendo a longo prazo prejudicar severamente suas condições mecânicas. A água do 
mar não pode ser usada como água de amassamento se o concreto for armado ou protendido, 
devido à possibilidade de corrosão da armadura; entretanto, pode ser utilizada na execução 
de concreto comum. Nesses casos, é esperada uma redução de resistência de aproximadamente 
35 
30 
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5 
Cilindro padrão (15 x 30 cm) 
Temperatura = 20°C 
0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 
Fator água-cimento 
Figura 3.22 Variação tlpica da 
tensão de compressão do con-
creto com a razão m~ssica de 
~gua na mistura. (Adaptado de 
Ashby, 1988.) 
108 CAPI TU LO J 
15%, e devem aparecer manchas decorrentes de eflorescências produzidas pela cristalização 
do sal. Para obras marítimas é totalmente imprópria a utilização da água do mar. Em alguns 
casos, essa água pode levar a resistência inicial a valores mais elevados que os concretos nor-
mais, mas as resistências fmais (a longo prazo) serão sempre menores. As águas minerais 
também não são recomendadas, pois em geral são muito agressivas. 
Na prática, os maiores defeitos provenientes da água têm maior relação com o excesso de 
água empregada do que propriamente com os elementos que ela possa conter. A reação química 
do cimento com a água é fundamental para dar ao concreto as propriedades de resistência, 
durabilidade, trabalhabilidade e impermeabilidade, entre outras. Pesquisadores afirmam que 
todas as propriedades do concreto melhoram com a redução da água aplicada. desde que a 
massa continue plástica e trabalhável. A razão entre o peso da água e o peso do cimento é cha-
mada de "fator água-cimento". A Fig. 3.22 mostra a relação entre a resistência mecânica do 
concreto e o fator água-cimento. Considerando-se apenas a água quimicamente necessária à 
hidratação do cimento, seria suficiente um fator água-cimento da ordem de 0,28. Entretanto, a 
trabalhabilidade do concreto exige fatores água-cimento muito maiores, usualmente entre 0,45 
e 0,65. Outra condição é que altas quantidades de água implicam elevadas taxas de contração 
na secagem. Desse modo, existe um sério compromisso entre a trabalhabilidade, a contração e 
a resistência mecânica do concreto em relação à porcentagem de água adicionada à mistura. 
Agregados na mistura do concreto 
Agregados são materiais geralmente inertes (areias e britas de diferentes tamanhos), que não 
possuem nenhuma reação aparente com o cimento. Fazem parte dos ingredientes primários 
na fabricação do concreto, e compreendem entre 65% e 80% do volume total da mistura. A 
adição dos agregados objetiva aumentar a resistência mecânica, reduzir os percentuais de 
retração durante a secagem e, principalmente, reduzir custos. 
As influências do agregado nas propriedades do concreto dependem da densidade e da 
resistência do agregado, devendo-se destacar que a resistência do concreto não depende di-
retamente da resistência do agregado, exceto quando este é muito frágil e de baixa resistência 
ou poroso. De modo geral, os agregados devem ser: 
1) Estáveis nas condições de exposição do concreto. 
2) Resistentes à compressão e ao desgaste. 
3) Com granulometria distribuída de modo a reduzir o volume global da mistura. 
4) Isentos de impurezas ou materiais com efeitos prejudiciais, mesmo a longo prazo. 
Aditivos na mistura do concreto 
Aditivos são substâncias adicionadas intencionalmente ao concreto com o objetivo de melho-
rar características individuais d!o concreto, como aumento da resistência mecânica, aumento 
da durabilidade, melhoria na impermeabilidade e na trabalhabílidade, redução ou aumento 
do tempo de secagem, redução da retração. A NBR 11768:1992 define os aditivos como pro-
dutos que, adicionados em pequena quantidade (menos que 5% da quantidade de massa de 
cimento) a concretos de cimento Portland, modificam algumas propriedades, no sentido de 
melhor adequá-las a determinadas condições. 
A classificação dos aditivos, para concretos e argamassas, segundo a NBR 11768:1992, é 
determinada conforme se segue: 
A - aceleradores 
R - retardadores 
P - plastificantes 
SP - superplastificantes 
PR - plastificantes retardadores 
SPR - superplastificantes retardadores 
lAR - incorporadores de ar 
ENSAI O DE CO MPRES SÃO 109 
Um aditivo muito importante em concretos de alto desempenho consiste na sílica ativa ou 
microssílica, a qual melhora as propriedades do concreto tanto no estado fresco como no 
endurecido. É um resíduo oriundo das indústrias de ferro-ligas e silício metálico, contendo 
de 85% a 98% de sílica (Si02) amorfa. As partículas possuem forma esférica, com diâmetro 
médio das partículas primárias de 0,10 a 0,15 p,m, equivalente às partículas sólídas de fumaça 
de um cigarro. 
A resistência mecânica do concreto 
Para a correta aplicação do ensaio de compressão em corpos de prova de concreto, o enge-
nheiro responsável pela obra deverá observar características de agregado do concreto, consis-
tência da massa, especificações do fabricante do cimento e, principalmente, a confecção e cura 
dos corpos de prova. Para tanto, será necessário consultar as normas técnicas para a prepara-
ção e a execução padronizada dos testes mecânicos a serem aplicados. Na sequência apresen-
tam-se algumas das normas utilizadas na indústria de construção civil e, em particular, as 
normas referentes ao cimento. 
• ABNT NBR 5738:2003 - Concreto - Procedimento para moldagem R e cura de corpos 
de prova. 
• ABNTNBR5739:2007 - Concreto - Ensaio de compressão de corpos de prova 
cilíndricos 
• ABNT NBR 7211:2005- Agregados para concreto - Especificação - (Errata 29/07 /2005) 
• ABNTNBR7212:1984- Execução de concreto dosado em centraL 
• ABNTNBR7217:1987- Concreto - Determinação da composição granulométrica. 
• ABNT NBR 7223:1994 - Concreto - Determinação da consistência pelo abatimento 
do tronco de cone. 
• ABNTNBR 12655:1996 - Concreto - Preparo, Controle e Recebimento. 
Para efeito de concordância da nomenclatura, a Tabela 3.14 apresenta a nomenclatura 
utilizada nas normas de ensaio de concreto e a relação com a nomenclatura utilizada neste 
livro. 
Tabela 3.14 Relação entre a nomenclat ura/simbologia aplicada neste livro e as normas de 
concreto 
Utilizada Normas de Unidade Descrição 
neste livro concreto 
D D cm Diâmetro do corpo de prova de concreto (padrão 15 cm) 
E,, E <I N/mm 2 Módulo de elasticidade Inicial em compressão longitudinal 
do concreto 
L L cm Comprimento do corpo de prova de concreto (padrão 30 cm) 
p p N Carga 
s s MP a Desvio padrão da amostragem 
0', f, N/mm2 Resistência à compressão simples 
O'cd f ,d N/mm 2 Resistência de cálculo do concreto 
O'ck f ,k N/mm 2 Resistência caracterlstica do concreto à compressão 
O' cm f,m N/mm2 Resistência média à compressão simples 
O'cr f " N/mm
2 Resistência do concreto à tração direta longitudinal 
O'a ·f fct·f N/mm 2 Resistência do concreto à tração na flexão 
O'cr•sp f ct·sp N/mm 2 Resistência do concreto à tração di reta medida no ensaio 
de compressão transversal 
s, s, mm/mm Deformação do concreto à compressão longitudinal simples 
'Yc 'Yc adimensional Coeficiente de minoração da resistência do concreto 
110 CAPI TUL O J 
A massa específica do concreto constitui uma informação importante para o projetista. 
Para esse material, a massa específica considerada normal (p.) se encontra na faixa de 2000 a 
2800 kg/m3• Para o concreto armado, as normas indicam um acréscimo de 100 a 150 kg/m3• 
Para efeitos de cálculo, caso não existam medidas da massa específica, pode-se adotar para o 
concreto simples o valor de 2400 kglm3 e para o concreto armado, 2500 kglm3• 
A resistência à compressão simples (u,) é a característica mecâníca mais importante a ser 
analisada nos concretos, e para estimá-la em um lote de concreto são moldados e preparados 
corpos de prova segundo a NBR 5738, os quais são ensaiados à compressão longitudinal de 
acordo com a NBR 5739. O corpo de prova padrão brasileiro é cilíndrico, com 15 cm de diâ-
metro e 30 cm de altura, e a idade de referência é de 28 dias. 
Após ensaio de um número representativo de corpos de prova (> 30), montar uma curva 
de Gauss, ou curva de distribuição normal, com os valores obtidos de u, versus a densidade de 
frequência de corpos de prova relativos a determinado valor de u,, conforme mostra a Fig. 3.23. 
A curva de distribuição normal segue a Eq. (2.59), já apresentada no capítulo do ensaio de 
tração e reproduzida na Eq. (3.26), com a nomenclatura equivalente para o concreto. 
(3.26) 
Para a análise do concreto, dois parâmetros são considerados de importância fundamental: 
resistência média do concreto à compressão (u..,.) e resistência característica do concreto 
à compressão (u,k) . 
A resistência média do concreto à compressão (u,m) e o desvio padrão (S) podem ser cal-
culados conforme as Eqs. 2.60 e 2.61, reproduzidas aqui por: 
O, 11 
0,10 
'<I 
0,09 
b 
:;::-
0,08 
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0,07 <Q) 
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"' "O ·u; 
c 0,04 
Q) 
o 0,03 
0,02 
0,01 
0,00 
o 
U cm = 1• 1 
n 
1,65. s 
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 
Resistência à compressão (MPa) 
Figura 3.23 Curva de distribuição normal para a resistência à compressão do concreto. 
(3.27) 
ENSAI O DE CO MPR ESSÃO 111 
n - 1 
(3.28) S= 
Observar, na Fig. 3.23 que U cm corresponde à média aritmética dos valores de u, para o 
conjunto de n corpos de prova ensaiados, e S corresponde à distância entre u,'" e o ponto de 
inflexão da curva de distribuição normal, podendo também ser obtida pela derivada de 2.4 
ordem da Eq. (3.26), com valor igual a zero, dada por: 
(3.29) 
Para o ensaio de concretos e outros materiais utilizados na construção civil, o valor de refe-
rência adotado em projetos não poderá ser o valor médio (u,m), uma vez que esse valor esta-
belece que metade do volume de concreto probabílisticamente se encontrará em condição de 
resistência mecânica inferior ao valor médio. Para tanto, adota-se internacionalmente a resis-
tência característica (u,k) como o valor de referência. uma vez que esse valor garante em ter-
mos probabilísticos que somente 5% do volume total do concreto se encontrará abaixo do 
valor de referência. O valor de 1,65 corresponde ao quantil de 5%, ou seja, 5% dos corpos de 
prova possuirão u, < u ck> assim: 
Uck = U cm - 1,65 · S (3.30) 
Diagrama tensão-deformação para o concreto 
Visando estabelecer um critério comum para o dimensionamento de estruturas de concreto, 
a NBR 6118:2003 adota um padrão da curva tensão-deformação simplificada para os concre-
tos definidos como concretos de resistência normal (CRN) em função unicamente da resis-
tência característica (u,k). A curva é composta por uma parábola de 2.0 grau que passa pela 
origem e tem seu valor máximo no ponto deformação igual a 2%, dada por: 
(3.31) 
Entre 2% e 3,5% de deformação a curva assume valor constante igual a 0,85, e o valor da 
resistência de cálculo do concreto ( u cd) é dado por uma relação com a resistência característica 
(u,k), conforme se segue: 
(3.32) 
em que '}', representa o coeficiente de minoração da resistência do concreto. 
O coeficiente de minoração é dado por 1,4 para condições normais de trabalho. No cál-
culo de peças para as quais na execução sejam previstas condições desfavoráveis (por 
exemplo, mas condições de transporte, ou adensamento manual, ou concretagem deficiente 
pela concentração da armadura),'}', deve ser elevado para 1,5. Para peças pré-moldadas em 
usinas, executadas com cuidados rigorosos, '}', pode ser reduzido para 1,3. Os coeficientes 
de minoração serão multiplicados por 1,2 quando a peça estiver exposta à ação prejudicial 
de agentes externos, tais como ácidos, álcalis, águas agressivas, óleos e gases nocivos, e 
também para trabalho em ambientes de temperatura muito alta ou muito baixa. A Fig. 3.24 
apresenta a curva tensão-deformação simplificada para a compressão do concreto, segundo 
a NBR 6118:2007. 
112 CAPITU LO J 
u 
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ICO 
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2! c. 
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8 
Q) 
"O 
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ICO 
(/) 
c 
~ 
0,02 0,035 
Deformação (mm/mm) 
Figura 3.24 Curva tensão-deformação simplificada para a compressão do concreto. (Segundo NBR 
6118:2003.) 
Módulo de elasticidade do concreto 
A NBR 6118:2007 recomenda que, quando não forem feitos ensaios e não existiremdados 
precisos sobre o concreto utilizado com idade de 28 dias, pode-se estimar o valor do módulo 
de elasticidade inicial (Ec;), dado por: 
E,; = 5600 · O'ck 
O ensaio de compressão transversal (diametral) 
do concreto, ou tração indireta 
(3.33) 
Para o caso dos concretos, a compressão transversal é um dos ensaios mais utilizados, princi-
palmente devido à simplicidade de ser aplicado utilizando-se o mesmo corpo de prova cilín-
drico do ensaio de compressão longitudinal (15 cm por 30 cm). Esse ensaio é conhecido 
internacionalmente como Ensaio Brasileiro, pois foi desenvolvido pelo engenheiro brasileiro 
Fernando Luiz Lobo Barboza Carneiro, em 1943, quando estudava a ideia de transportar por 
meio de rolos de concreto uma igreja histórica (Igreja de São Pedro, de 1732, RJ) para o outro 
lado de uma avenida (Av. Presidente Vargas, RJ) de modo a evitar que fosse demolida. O ensaio 
ganhou fama mundial, e a igreja não teve a mesma sorte, tendo sido realmente demolida devido 
a outras dificuldades encontradas no projeto de seu transporte. Em 1980, o ensaio foi adotado 
pela Organização Internacional de Padronização (Intemational Organization for Standardization 
-ISO) (http://www.planeta.coppe.ufrj.br/artigo.php, consultado em 06/11/2010). 
A Fig. 3.25(a) mostra um esboço do ensaio de compressão transversal onde se observa a 
tensão trativa transversal que gera a fissura vertical no bloco de ensaio. A Fig 3.2S(b) mostra 
os níveis de tensão sofridos pelo corpo de prova ao longo da distância diametral. 
A norma NBR 6118:2003 indica as relações entre a resistência à tração medida em dife-
rentes ensaios (compressão diametral, tração direta e flexão), dadas por: 
(3.34) 
em que 
u" - resistência à tração direta 
u,"'P - resistência à tração indireta, medida no ensaio de compressão diametral. 
(3.35) 
p 
p 
(a) 
em que 
Resistência 
à tração 
indireta 
...... ...... ...... .. 
a _ ..1f_ 
,-n·D·L 
8. 
.8 
o 
'O 
ENSAIO DE COMPRESSÃO 113 
Tra ção Compressão 
o 
0/6 
0/3 
0/2 
5·016 
o 
~""" 
v 
-
-
-
- -........ 
I--
2 o 2 4 6 8 10 12 14 16 18 
Tensão x nDU2P 
(b) 
Figura 3.25 (a) Esquema do ensaio de compressão diametral 
desenvolvido por Fernando Lobo para a medida da tração indireta. 
(b) Esboço do perfil de tensão diametral sofrida pelo corpo de 
prova no ensaio. 
Ucr'f - resistência à tração na flexão, medida no ensaio de flexão. 
Detalhes da aparelhagem de ensaio e o ensaio em campo 
Aparelhagem de ensaio (detalhamento da Norma 5739:2007) 
• A máquina de ensaio pode ser de qualquer tipo, desde que possibilite aplicação de carga 
contínua e sem choques. 
• As placas de aplicação de carga devem ser de aço e ter espessura suficiente para evitar defor-
mações durante o ensaio. 
• Uma das placas deve assentar-se em rótula esférica (no caso das prensas verticais, a placa 
superíor), e a outra deve ser um bloco rígido e plano. 
• A face de uma das placas deve apresentar referências guias para facilitar a centralização dos 
corpos de prova. 
• A placa de carga assentada na rótula esféríca deve rodar livremente e ter liberdade para 
girar livremente (pelo menos 5°) em todas as direções. 
• A porcentagem de erro não deve ser maior que :!: 1%, para cargas entre 10% e 100% da 
carga máxima. 
• Nos laboratórios instalados em campo (obra), nos quais os resultados se destinem especi-
ficamente ao controle particular, é permitida a utilização de máquinas de ensaio que apre-
sentem porcentagem de erro de até :!: 3%. 
• O erro da máquina de ensaio obtido na aferíção é dado por: 
em que 
e[%] = [ v mâquino - v.(erido] ·100% 
v,(uido 
e(%) - erro da máquina(%); 
(3.36) 
114 CAPI TU LO J 
V máquin• - valor indicado pela máquina de ensaio (Pa); 
V .rerido - valor indicado pelo aparelho de calibração (Pa); 
• A máquina de ensaio deve ser aferida pelo menos uma vez por ano. 
Definições de cura para os corpos de prova de concreto 
• Cura úmida ~ Quando a superfície do corpo de prova é mantida permanentemente úmida. 
• Cura saturada ~ Quando o corpo de prova é mantido permanentemente imerso em água 
saturada de cal. 
Observação: A cura dos corpos de prova poderá ser feita sob condições especiais de acordo 
com as características da obra. 
Cuidados a serem tomados antes do ensaio 
• Os corpos de prova que receberam cura úmida ou cura saturada devem ser ensaiados ainda 
úmidos. O teste deve ser realizado imediatamente após a remoção do corpo de prova do 
seu local de cura. Se necessário, os corpos de prova devem ser conservados sob panos 
molhados para evitar a evaporação. 
• As faces de aplicação de carga dos corpos de prova devem ser capeadas de modo a se tor-
narem planas e paralelas. 
• As dimensões do corpo de prova devem ser determinadas com precisão de ± 1 mm, pela 
média de duas leituras de ca.da medida. 
Cuidados a serem tomados durante o ensaio 
• As faces das placas de carga e do corpo de prova devem ser limpas, e o corpo de prova deve 
ser cuidadosamente centralizado na placa que contém as referências guias. 
• A carga deve ser aplicada continuamente a uma velocidade de 0,3 MPa a 0,8 MPa por 
segundo. Nenhum ajuste deve ser feito nos controles da máquina de ensaio quando o corpo 
de prova estiver se deformando rapidamente ao se aproximar de sua ruptura. 
• O carregamento deve cessar somente quando o recuo do ponteiro de carga ficar em torno 
de 10% do valor da carga máxima atingida. Esse valor será anotado como a carga de rup-
tura do corpo de prova. 
• A tensão de ruptura à compressão é obtída dividindo-se a carga de ruptura pela área da 
seção transversal do corpo de prova, devendo o resultado ser expresso com a aproximação 
de 0,1 MPa. 
O certificado de resultados do ensaio deve conter as seguintes informações: 
• procedência do corpo de prova; 
• número de identificação do corpo de prova no laboratório; 
• número de identificação do corpo de prova na obra; 
• data de moldagem; 
• idade do corpo de prova; 
• data do ensaio; 
• área da seção transversal em cm2; 
• tensão de ruptura à compressão expressa com a aproximação de 0,1 MPa; 
• informações adicionais (por exemplo: marca do cimento, origem dos agregados, defeitos 
eventuais no corpo de prova). 
Ensaio de Dureza 
ENSAIO DE DUREZA consiste na aplicação de uma carga na superffcie do material empregando 
um penetrador padronizado, produzindo uma marca superficial ou impressão. A medida 
da dureza do material ou da dureza superficial é dada como função das caracterlsticas da 
marca de impressão e da carga aplicada em cada tipo de ensaio realizado (Fig. 4.1). Esse 
ensaio é amplamente utilizado na indústria de componentes mecânicos e elétricos, trata-
mentos superficiais, vidros e laminados, devido ti vantagem de fornecer dados quantitati-
vos das caracterlsticas de resistência ti deformação permanente das peças produzidas. É 
utilizado como um ensaio para o controle das especificações da entrada de matéria-prima 
e durante as etapas de fabricação de componentes, e em alguns casos em produtos finais. 
Desenvolvido inicialmente para os materiais metálicos, hoje encontra vasta aplicação 
também para materiais poliméricos, cerâmicos, semicondutores e filmes finos. Cabe ressal-
tar que os resultados de dureza podem variar em função de tratamentos aplicados ao 
material (tratamentos térmicos, tratamentos termoqufmicos, mecânicos, refusão a laser, 
etc.), temperatura e condições da superflcie. 
A dureza é uma propriedade mecânica cujo conceito se segue à resistência que um mate-rial, quando pressionado por outro material ou por marcadores padronizados, apresenta 
ao risco ou à formação de uma marca permanente. Os métodos e ensaios mais aplicados em 
engenharia utilizam-se de penetradores com formato padronizado e que são pressionados na 
superfície do material sob condições específicas de pré-carga e/ou carga, causando inicialmente 
deformação elástica e em seguida deformação plástica. A área da marca superficial formada 
ou a sua profundidade são medidas e correlacionadas a um valor numéricoque representa a 
dureza do material. Essa correlação é baseada na tensão que o penetrador necessita para ven-
cer a resistência da superfície do material. 
A dureza de um material depende diretamente das forças de ligação entre átomos, fons ou 
moléculas, do escorregamento de planos atómicos, assim como da resistência mecânica. Nos 
sólidos moleculares, como os plásticos, as forças atuantes entre as moléculas (forças de Van 
der Waals) são baixas, e eles são relativamente macios. Os sólidos metálicos e iónicos, devido 
à natureza mais intensa das forças de ligação, são mais duros, enquanto os sólidos de ligação 
covalente são os materiais conhecidos de maior dureza. A dureza dos metais pode também 
ser aumentada por tratamentos especiais, como adição de soluto, trabalho a frio, refmo de 
grão, endurecimento por precipitação, tratamentos térmicos ou termoquímicos específicos. 
Há uma ligação bastante próxima entre o limite de escoamento dos metais e a sua dureza. 
Os principais métodos para determinação da dureza podem ser divididos em três grupos 
principais: risco, rebote e penetração. A seguir apresentam-se detalhes dos métodos. 
• DUREZA POR RISCO 
Esse tipo de ensaio é pouco utilizado nos materiais metálicos, encontrando maior aplicação 
no campo da mineralogia. Vários minerais podem ser relacionados a outros materiais na sua 
115 
BRINNELL HB 
ForçaP ~ 
2·P 
HB = ( ) ; P(kgf) D, d(mm) 
1r • D · D - jD2 - d2 
Esferas de aço (HBS) 
ou carbeto 
de tungstênio 
--=-_.o= 10; 5; 2.5: 2: 1 mm 
Impressão 
(a) Material 
ROCKWELL (HR) 
Força P ~ 
(b) 
VICKERS (HV) 
(c) 
Rockwell (A, O, C) 
P(60, 100 e 150 kgf) 
Força P 
Rockwell (F, B, G) 
P (60, 100 e 150 kgf) 
Esferas de aço ou 
carbeto de tungstênio 
o= 1116"; 1/8": 1/4"; 1/2" 
HV = 1,89 · (;} P(kgf) e d1 (mm) 
Vickers 
Impressões 
-$-
Força P 
P(1e120kgf) 
Microvickers Impressão 
~j 
P(0,1 e 1000 gf) 
--'-=-- Pirâmide de diamante 135" 
Material 
Microdureza KNOOP (HK) HK = 14,23 · (;} P(gf) e l(JLm) 
(d) 
Força P 
"=1 
Knoop 
P (1 e 1000 gf) 
Pirâmide de diamante 
172" 30' e 130" 
Material 
Impressão 
Ub=7,11 
blh= 4.0 
Figura 4.1 Tipos de ensaios de dureza, destacando as caracterlsticas de penetração. 
EN SAI O D E D U REZ A 117 
Diamante 10 20.000 
- 5.000 
- 2.000 
Safira 9 650 Aços nitratados 
Topázio 8 
I 600 70 ~ 
- 1.000 -
60 -Quartzo 7 -Aços ferramentas 
Feldspato 6 I 500 40 
- 500 
Apatita 5 130 
Aços de usinagem 
200 
100 20 - 200 fácil 80 Fluorita 4 
I 
Rockwell C 
Cal cita 3 60 
100 40 - 100 
Bronzes e ligas 20 : 
de alumínio 
50 o 140 - 50 
Rockwell B 120 -
100 - 90 
Gesso 2 20 80 - 20 
Plásticos 
1 00~ 
60 
120 40 : 
100 20 80 -
80 -Rockwell M 
5 60 
' !8 ~ 
60 - 5 
40 40 Talco 1 Materiais Dureza Brlnell 20 Dureza Vickers 
Dureza Mohs Rockwell R gg _ Shore O 
30 
Shore A 
Figura 4.2 Escalas comparativas. dos valores para os vários métodos de durezas e aplicações recomen-
dáveis para diversos materiais. (Adaptado de Jástrzebski, 1987.) 
capacidade de riscar uns aos outros. Entre os ensaios por risco, a dureza Mohs é a mais conhe-
cida, e consiste em uma escala de 10 minerais padrões organizados de tal forma que o mais 
duro (diamante - dureza ao risco 10) risca todos os outros. O mineral localizado imediata-
mente abaixo (safira ou coríndon - dureza ao risco 9) risca os que se seguem, o topázio 
(dureza 8) risca o quartzo (dureza 7), que risca o feldspato ou o ortoclásio (dureza 6), e assim 
sucessivamente, até o mais macio da escala, que é o talco (silicato de magnésio - dureza ao 
risco 1). 
Na escala Mohs, a maioria dos metais localiza-se entre os pontos 3 e 8, mas essa escala não 
permite uma definição adequada da dureza dos metais. A Fig. 4.2 mostra a escala Mohs com-
parada com diferentes materiais e as durezas obtidas por outros métodos de ensaio, que serão 
detalhados em seqüência, enquanto a Fig. 4.3 apresenta imagens de alguns minerais. 
Outro método de dureza por risco que pode ser mencionado é a microdureza Bierbaum, 
que consiste na aplicação de uma força de 3 gf, por um diamante padronizado, com formato 
igual a um canto de cubo com ângulo de contato de 35°, sobre uma superfície previamente 
preparada por polimento e ataque químico. 
Por meio de um microscópio, mede-se a largura do risco - À (J.tm), e o valor numérico da 
dureza Bierbaum (K) será determinado por: 
10'1 
K = -
A2 
(4.1) 
A Fig. 4.4 ilustra o procedimento para determinação da dureza Bierbaum, consistindo 
na confecção do risco superficial e na medição posterior com lupa graduada e precisão de 
0,001 mm. 
118 CAPITU LO 4 
(a) 
(d) 
Riscador 
de diamante 
P = 3 gf 
; .. _..,------
/'/ ''\ ,' \ 
I I 
I I 
I I 
I I 
''----:-"'" -------
Material 
(b) 
{e) 
------------
(c) 
Figura 4.3 Minerais da escala Mohs: 
(a) talco; (b) calcita; (c) feldspato; 
(d) quartzo; (e) diamante. 
Impressão 
-~--------r-----------------------, 
----------------
---------------------------
Figura 4.4 Representação esquemática do método de dureza Bierbaum. 
• DUREZA POR REBOTE 
É um ensaio dinâmico cuja impressão na superffde do material é causada pela queda livre de 
um êmbolo com uma ponta padronizada de diamante e peso conbeddo. Nos ensaios de dureza 
dinâmica, o valor da dureza é proporcional à energia de deformação consumida para formar 
a marca no materíal ou corpo de prova, e representada pela altura alcançada no rebote do 
êmbolo por meio de um número. Nessas condições, um material dúctil irá consumir mais 
energia na deformação do corpo de prova e o êmbolo alcançará uma altura menor no retorno, 
indicando, consequentemente, uma dureza mais baixa. Desses métodos destaca-se a dureza 
Shore, método proposto no início dos anos 1900, que utiliza uma barra de aço com uma ponta 
arredondada de diamante colocada dentro de um tubo de vidro com uma escala dividida em 
h0, L, m, R 
(padronizados) 
L 140 
105 
Barra de aço 
--de massa 'm' 
70 - Escala 
35 
O Ponta de 
diamante 
Tubo de vidro 
Peça de ensaio 
L 
h0 , L, m, R 
(padronizados) 
ENSAIO DE DUREZA 119 
Escala 
Barra de aço 
,_,___de massa 'm' 
Peça de ensaio 
Figura 4.5 Esboço de equipamentos de rebate utilizados na determinação das durezas Shore C e D. 
unidades. A barra é liberada de uma altura padrão, e a altura do rebote após o choque com a 
superfície do material é considerada a dureza do material. A leitura do valor na escala no bulbo 
de vidro é realizada no instante de inversão do movimento ascendente do êmbolo. É também 
conhecida como dureza por escleroscópio, nome do primeiro equipamento fabricado comer-
cialmente para esse método. 
O método, amplamente empregado na determinação da dureza de materiais metálicos 
finais ou acabados, é dividido em diferentes escalas de acordo com as durezas dos materiais. 
O equipamento de dureza Shore é leve e portátil, sendo adequado à determinação de durezas 
de peças grandes, como por exemplo cilindro de laminador, trens de pouso de avião e ensaios 
em campo. Como a marca superficial deixada pelo ensaio é pequena, ele é também indicado 
no levantamento da dureza de peças acabadas. Outra vantagem oferecida por esse ensaio é a 
oportunidade de realização também em condições adversas, como altas temperaturas. Esquemas 
dos equipamentos utilizados nos ensaios de dureza Shore são mostrados na Fig. 4.5. 
A norma ASTM E448:2002 padroniza testes realizados em duas escalas para materiais 
metálicos: C e D, sendo o valor máximo correspondente à altura alcançada com o rebote do 
êmbolo sobre a superfície de um aço ferramenta de alto carbono (AISI W5) somente 
temperado. 
A escala Shore C é graduada entre O e 140, e o dispositivo de teste é acionado por atuador 
pneumático, sendo recomendada para materiais metálicos finos ou com tratamentos superfi-
ciais. O êmbolo possui diâmetro de 5,94 mm, massa de 2,3 g, e é liberado de uma altura de 251,2 
mm. A escala Shore D, graduada entre O e 120, é recomendada para metais mais duros. Nessa 
escala, o êmbolo possui diâmetro de 7,94 mm, massade 36 g, e é liberado de uma altura de 17,9 
mm. Para o caso de materiais metálicos finos, recomendam-se as seguintes espessuras mínimas: 
aços temperados O, 13 mm, aços laminados a frio 0,25 mm, latão encruado 0,25 mm, latão reco-
zido 0,38 mm. Recomenda-se uma distância míníma entre impressões de pelo menos 0,50 mm, 
e também entre impressão e borda da peça, e a realização de no mínimo 5 medidas. 
Entre as precauções que devem ser tomadas para a realização do ensaio, é importante que 
a superfície do material esteja limpa e lisa e que o tubo de queda esteja em posição vertical e 
perpendicular à superfície. Esse ensaio é também indicado para peças de aço temperado, aços 
cementados e outros materiais de alta dureza. Alguns estudos correlacionaram valores de 
dureza Shore ao limite de resistência à tração de aços-carbono. A Fig. 4.6 mostra essa 
correlação. 
120 CAP [TU L O 4 
90 
~ 70 
o 
.c 
(/) 
~ 50 
~ 
::J 
o 
30 
10 
/ 
/ 
/ 
/ I/ 
v 
/ 
..... 
v 
/ 
/ , 
420 840 1260 1680 2100 2520 
Limite de resistência (MPa) 
• DUREZA POR PENETRAÇÃO 
Dureza Brinell 
Figura 4.6 Correlação entre a dureza 
Shore e o limite de resistência~ tração 
em aços-carbono. 
Este ensaio foi inicialmente proposto por James A. Brinell em 1900, e foi o primeiro ensaio 
de penetração padronizado e reconhecido industrialmente. Consiste em comprimir uma esfera 
metálica padronizada na superfície do material ensaiado, gerando uma calota esférica, con-
forme mostra a Fig. 4.7. A dureza Brinell é o quociente da carga normal aplicada pela área da 
superfície côncava (calota esférica) após a retirada da força, dada por: 
em que 
p 
dureza = -
S 
dureza - e.xpressa em termos de tensão (Pa); 
P - carga de impressão (N); 
S - área da calota esférica impressa (mm2). 
Material 
/--------
_/ 
-----
,, ,, ,, ,, 
(4.2) 
~,-------------------
Calota 
~'~-------------------
Figura 4.7 Representação esquemática do ensaio de dureza Brinell. 
EN SAI O D E D U REZ A 121 
De acordo com a Eq. (4.2). a dureza corresponde a uma tensão, o que permite estabelecer 
relações entre dureza e outras propriedades mecânicas dos materiais, conforme será apresen-
tado adiante. Introduzindo-se a superfície da calota esférica na Eq. ( 4.2), tem-se: 
HB = 0,102 · 2 · P 
1r · D · (D - ~D2 - d2 ) 
em que 
12 = diâmetro do penetrador (mm); 
d = diâmetro médio da impressão (mm); 
P = carga (N); 
(4.3) 
0,102 = fator de conversão para carga em (N), já que inicialmente o ensaio foi proposto em 
kgf, mas, devido à adoção do Sistema Internacional (SI) de unidades, a unidade da 
carga aplicada foi convertida para este. 
A profundidade (h em milímetros) da calota esférica pode ser calculada pela Eq. (4.4): 
(4.4) 
Na utilização do ensaio, a aplicação da relação que calcula HB é desnecessária, pois existem 
tabelas preparadas para fornecer o valor da dureza Brínell a partir do diâmetro médio da 
impressão formada d = d1 + d2 , sendo d1 e d2 os diâmetros medidos a 90° entre si, e da carga 
2 
empregada. 
Embora a dureza Brinell expresse unidades de carga/área, é prática usual a utilização ape-
nas do número representativo da dureza, seguido do símbolo HB. ~ também prática usual 
(NBR NM-187-1) utilizar as notações HBS, no caso de se utilizar esfera de aço, e HBW, no 
caso de esfera de carboneto de tungstênio. A escolha é dependente da faíxa de dureza do mate-
rial a ser submetido ao ensaio. A norma ASTM E10:2007a só admite a utilização de esfera de 
carboneto de tungstênio (HBW). 
Tanto a carga quanto o diâmetro da esfera dependem do material, devendo tais parâmetros 
se adequar ao tamanho, à espessura e à estrutura interna do corpo de prova. Os di!metros de 
esferas normalizados são de 10 mm, 5 mm, 2,5 mm,2mm e 1 mmparaanormaNBRNM-187-
1:1999, e de 10 mm, 5 mm, 2,5 mm e 1 mm para a norma ASTM E10:2007a. 
A escolha da carga depend!erá do material a ser ensaiado, e para isso foi adotado o grau de 
carga ou constante do material, que garante que seja mantido o ângulo de 136° entre as tan-
gentes da calota esférica da impressão. Essa condição é atendida para d.JD1 = ~/D2, desde 
que o grau de carga seja constante, ou: 
p 
- = constante ou grau de carga 
D2 
(4.5) 
A Tabela 4.1 apresenta as principais constantes ou graus de carga empregados para os mais 
conhecidos materiais de engenharia, e a Tabela 4.2 apresenta as principais cargas empregadas 
em função da definição da esfera e da escolha da constante dependente do material. A norma 
ASTM E10:2007a classifica o método de dureza Brínell em escalas segundo os diferentes graus 
de cargas ou constantes. V ale ressaltar que os valores de constantes sugeridos são apenas indi-
cativos para os materiais mais comuns, podendo ocorrer variações em função do histórico 
desses valores. A utilização de constante ou grau de carga diferente do recomendado deve ser 
acordada entre as partes. Para o caso de materiais com durezas desconhecidas, quando pos-
sível, recomenda-se a passagem de uma lima na superfície do material; se o material for ris-
cado, ele é razoavelmente mole, mas, no caso de materiais que não são riscados, não se 
recomenda realizar o ensaio Brinell. 
122 C A P f T U L O 4 
Tabela 4.1 Constantes ou graus de cargas de alguns materiais 
Constante ou 
grau de carga 
30 
15 
10 
5 
2,5 
1,25 
-
Materiais 
Metais ferrosos e não 
ferrosos resistentes 
Somente para carga de 
3000 kgf 
Metais ferrosos dúcteis e 
maioria dos não ferrosos 
Metais não ferrosos moles 
Metais moles 
Metais mais moles 
Metais muito moles 
Exemplos 
Aços, ferros fundidos, niquei e ligas, cobalto e 
ligas, ligas de titânio 
Titânio e ligas, bem como materiais não tão duros 
e ligas leves (somente NBR NM-187-1) 
Ferros fundidos, ligas de alumfnio, ligas de cobre: 
latões, bronzes, ligas de magnésio, zinco 
Metais puros alumrnio, magnésio, cobre, zinco 
Ligas de estanho, chumbo, antimónio, berrlio, lftio 
Metais puros berflio e lftio ou metais moles 
Metais puros estanho, chumbo, antimónio -
Tabela 4.2 Cargas recomendadas para diferentes esferas e constantes 
Constante ou grau de carga (ABNT e ASTM) 
Esfera 
D 30 15 10 5 2,5 1,25 
(mm) 
Cargas (kgf) 
10 3000 1500 1000 soo 250 125 100 
5 750 250 125 62,5 31,25 25 
2,5 187,5 62,5 31,25 15,625 7,812 6,25 
2 120 40 20 10 5 4 
30 10 5 2,5 1,25 -
O resultado do ensaio deverá ser validado se o diâmetro médio da calota esférica (d) ~sti­
ver compreendido entre 24% e 60% do diâmetro da esfera (D) empregada (0,24·D !5 d !5 
0,60-D). Caso isso não ocorra, deve-se selecionar outra constante para o material e determinar 
novamente a carga do ensaio. 
Recomenda-se especificar o diâmetro da esfera e a carga aplícada junto ao resultado do 
ensaio (p. ex.: XX HBS 10/3000, XX HBS 5/750, XX HBW 10/1000, XX HBW 5/250). 
Na maioria dos ensaios (materiais com valores de dureza Brinell até 450 HB), utiliza-se 
uma carga de 29,42 kN (3000 kgf) com esferas de aço. Entretanto, para metais mais moles, 
utilizam-se cargas de 14,70 kN (1500 kgf) ou 4,9 kN (SOO kgf), para evitar a formação de 
uma impressão muito profunda. Já no caso de materiais muito duros (dureza entre 450 e 
650 HB), utiliza-se esfera de carboneto de tungstênio para evitar deformação na esfera 
padronizada. O tempo de aplicação da carga é da ordem de 10 a 15 segundos para mate-
riais duros e de 30 a 60 segundos para materiais mais moles para evitar calotas irregulares 
[Fig. 4.ll(b)). A Tabela 4.3 mostra a simbologia empregada para apresentação dos 
resultados. 
EN SAI O D E D U REZ A 123 
Tabela 4.3 Relação entre carga aplicada e diâmetro da esfera para ser utilizada no ensaio 
Brinell (adaptado de ASTM E10:2007a) 
Sfmbolo Diâmetro da 0,102.P I [)l Força P esfera (mm) ou constante (Valor nominal N) 
HBS (HBW) 1 O 13000 30 29420 N 
HBS (HBW) 1 O I 1 SOO 1S 14710 N 
HBS (HBW) 1 O I 1000 10 9807 N 
HBS (HBW) 10 I SOO 10 s 4903 N 
HBS (HBW) 1 O 12SO 2,S 24S2 N 
HBS (HBW) 10 I 12S 1,2S 1226 N 
HBS (HBW) 1 O I 100 980,7 N 
HBS (HBW) S 17SO 30 73SS N 
HBS (HBW)S 12SO 10 24S2 N 
HBS (HBW) SI12S s 1226 N 
s 
HBS (HBW) S 162,S 2,S 612,9 N 
HBS (HBW) S 131,2S 1,2S 306,S N 
HBS (HBW) S 12S 24S,2 N 
HBS (HBW) 2,S 1187,S 30 1839 N 
HBS (HBW) 2,S 162,S 10 612,9 N 
HBS (HBW) 2,S 131,2S s 306,S N 
2,S 
HBS (HBW) 2,S 11 S,62 2,S 1S3,2 N 
HBS (HBW) 2,S 17,82 1,2S 76,61 N 
HBS (HBW) 2,S 16,2S 61,29 N 
HBS (HBW) 21120 30 1177 N 
HBS (HBW) 2140 10 392,3 N 
HBS (HBW) 2 120 s 196,1 N 
2 
HBS (HBW) 2110 2,S 98,07 N 
HBS (HBW) 2 IS 1,2S 49,03 N 
HBS (HBW) 214 39,23 N 
HBS (HBW) 1130 30 294,2 N 
HBS (HBW) 1 110 10 98,07 N 
HBS (HBW) 1 IS s 49,03 N 
HBS (HBW) 1 12,S 2,S 24,S2 N 
HBS (HBW) 1 I 1,2S 1,2S 12,26 N 
HBS (HBW) 1 11 9,807 N 
124 CAPI TU LO 4 
(a) 
(c) 
Esferas Brlnell 
(b) 
Figura 4.8 Imagens: (a) esferas; (b) penetrador; 
e (c) calota esférica. 
O diâmetro da impressão formada deve ser medido por microscópio ou lupa graduada 
com precisão centesimal (0,01 mm) e por duas leituras, uma a 90° da outra, para minimizar 
leituras erróneas e resultados imprecisos. A maior diferença admitida entre os diâmetros para 
validação do resultado deve ser de no máximo 0,1 mm (ASTM E10:2007a). 
A Fig. 4.8 mostra imagens das esferas de carboneto de tungstênio de 10, 5 e 2,5 mm, do 
suporte de fixação das mesmas ao equipamento, bem como a vista de uma calota esférica em 
aço ABNT/SAE 1020 na condição normalizado. 
Informações Adicionais sobre o Ensaio de Dureza Brinell 
• A norma brasileira para a realização do ensaio é aNBRNM-187-1:1999 (ABNT), e a norma 
internacional de maior utilização no país é a ASTM E10:2007a (ASTM). 
Basicamente, o procedimento do ensaio consiste em: 
- escolha do material da esfera: esfera de AÇO (materiais com dureza < 350 HB); 
- esfera de WC (materiais com dureza < 650 HB); 
- escolha do grau de carga ou constante: depende do material (30; 15; 10; 5; 2,5; 1,25; 1); 
- definição da carga aplicada: depende da relação P = D2• Constante; 
- validação do resultado: diâmetro de impressão: 0,24 · D a 0,60 · D. 
• Devido ao tamanho da impressão formada, o ensaio pode ser considerado destrutivo. 
• O penetrador deve ser polido e isento de defeitos na superfície, e o corpo de prova (ou 
superfície) deve estar liso e isento de substâncias como óxidos, carepas, sujeiras e óleos; e, 
mais importante, a superfíciie deve ser plana, normal ao eixo de aplicação da carga e bem 
apoiada sobre o suporte, evitando deslocamentos durante o ensaio. Recomenda-se que a 
EN SAI O D E D U REZ A 125 
d' < d,eal d'> dreal 
Figura 4.9 Formatos de calotas esféricas na superffcie de diferentes materiais. 
superficie a ser medida apresente um bom acabamento, podendo ser lixada ou usinada, 
desde que esses processos não alterem as características da superficie e permitam uma 
medição fácil e precisa. 
• Como a impressão formada abrange uma área maior do que a formada pelos outros ensaios 
de dureza, o ensaio de dureza Brinell é o único indicado para materiais com estrutura 
interna não uniforme, como, por exemplo, o ferro fundido cinzento. Por outro lado, o 
grande tamanho da impressão pode impedir o uso desse teste em peças pequenas. 
• O ensaio de dureza Brinell não é adequado para caracterizar peças que tenham sofrido 
tratamentos superficiais, como cementação, nitretação e outros, pois a penetração pode 
ultrapassar a camada tratada e gerar erros nos valores obtidos. 
• Para metais de grande capacidade de encruamento, podem ocorrer um amassamento das 
bordas da impressão e a leitura de um diâmetro menor do que o real (d' < d,) (Fig. 4.9). 
• Ao contrário, em metais que tenham sido trabalhados a frio a ponto de apresentarem pequena 
capacidade de encruamento, pode ocorrer uma aderência do metal à esfera de ensaio, com 
as bordas da calota esférica formada projetando-se ligeiramente para fora da superficie do 
corpo de prova, provocando uma leitura de um diâmetro maior que o real (d' > d,). 
• Deve-se observar, entre os centros de duas impressões vizinhas, um afastamento de, no 
mínimo, 4 · d (quatro vezes o diâmetro da calota esférica) para ferrosos (dureza maior que 
150 HB), e 6 · d no caso de outros materiais (dureza menor que 150 HB), segundo aABNT, 
e 3 · d para todos os materiais, segundo a ASTM. 
• A distância do centro da impressão para a borda do corpo de prova deve ser de no mínimo 
2,5 · d para materiais com dureza maior que 150 HB (ASTM) e de 3 · d para materiais 
abaixo de 150 HB (ABNT). 
• A espessura mínima (emcn) de 8x a profundidade (h) da calota esférica (ABNT), ou lOx 
segundo a ASTM. 
A Tabela 4.4 apresenta as distâncias mínimas recomendadas pelas normas brasileira e 
internacional, para que não apareçam marcas superficiais no outro lado da amostra, conforme 
esquematizado na Fig. 4.10. 
Tabela 4.4 Distâncias mfnimas recomendadas para ensaios de dureza Brinel l 
ABNT ASTM 
Distância entre centros 4 X d para materiais ferrosos HB > 150 3 X d para todos 
6 X d para materiais moles HB < 150 
Distância do centro à 2,5 X d para materiais HB > 150 2,5 X d para todos 
borda 3,0 X d para materiais HB < 150 
Espessura mfnima 8,0 x h - profundidade da calota 10 x h - profundidade da calota 
2,0 x d - diâmetro da ca lota 
Superffcies cilfndricas Diâmetro da peça >= 5 X D 
126 C A P f T U L O 4 
(a) 
Figura 4.10 Distancias mfnimas que devem ser obedecidas para a realização das medidas. 
(b) 
Figura 4.11 (a) Imagem de calotas com diferentes 
cargas em alumfnio puro. (b) Exemplo de calotas 
irregulares. 
A impressão realizada na superfície da peça deverá gerar um campo de deformação nas pro-
ximidades vizinhas da calota de identação. Objetivando precisão no resultado, deve-se evitar 
que uma identação seja afetada pelo campo de deformação de uma identação vizinha (Fig. 4.11). 
• Para o caso de superfícies cilíndrícas, recomenda-se o emprego de uma base prismática 
(Fig. 4.12), e, no caso de peças com comprimentos bem maiores que a base, é necessário 
(b) 
Figura 4.12 Bases prismáticas empregadas em ensaios de dureza. 
ENSAIO DE DUREZA 127 
o uso de apoios reguláveis para estabilização da peça no equipamento de medida. Essa 
metodologia se aplica a todos os outros métodos de determinação de dureza por pene-
tração, garantindo que o identador penetre perpendicularmente na superfície da peça 
sem que esta sofra movimentações ou deslocamentos durante a penetração. 
Correlação entre a Dureza Brinell e o Limite de Resistêncía à Trac;ão Convencional 
A existência de relações que permitam converter dureza em tensão é útil em situações em que 
é necessária uma estimativa da resistência de um material e não se dispõe de uma máquina de 
ensaio de tração, ou quando a situação é a inversa. Existem relações experimentais que, embora 
não sejam necessariamente precisas, constituem ferramentas úteis nesse sentido, como por 
exemplo a relação entre dureza Brinell e limite de resistência à tração, dada por (ver Fig. 4.13): 
u., = a · HB 
em que 
u., = limite de resistência à tração (MPa); 
a = constante experimental. 
(4.6) 
A Tabela 4.5 apresenta os valores da constante experimental (a) para alguns materiais de 
engenharia. 
Para durezas Brinell maiores que 380, a relação não deve ser aplicada, pois a dureza passa 
a crescer mais rapidamente do que o limite de resistência à tração. De qualquer forma, é im-
portante ressaltar que os valores determinados pela Eq. ( 4.6) são considerados apenas valores 
aproximados, devendo ser indicados os valores de dureza adotados. É possível fazer uma esti-
mativa de algumas propriedades mecânicas de aços-carbono em função de propriedades dos 
Figura 4.13 Correlação entre 
durezas e limites de resistência à 
tração para alguns materiais. 
(Adaptado de Callister, 1994.) 
o 
Latão 
100 
Durezas Rockwell 
20 
Aços-carbono 
200 300 
Dureza Brinell 
1000 
soo 
400 500 
128 CAP [ TU L O 4 
Tabela 4.5 Valores experimentais de a para alguns 
materiais (adaptado de Callister, 1994) 
Material 
Aço-carbono 
Aço-carbono tratado termicamente 
Aços-liga tratados termicamentelatão encruado 
Cobre recozido 
Alumfnio e suas ligas 
3,60 
3,40 
3,30 
3,45 
5,20 
4,00 
Tabela 4.6 Relação entre fases e microconstltulntes e 
dureza Brlnell para aços-carbono 
Fases e microconstituintes 
Ferrita 
Perlita grosseira 
Perlita fina 
Martensita 0,4%C 
Martensita 0,8%C 
Dureza Brinell • HB 
80 
240 
380 
595 
735 
microconstituintes, admitindo-se que a dureza seja uma propriedade aditiva, o que na reali-
dade não ocorre, servindo apenas como abordagem estimativa. A Tabela 4.6 apresenta os 
valores da dureza Brinell para alguns constituintes de aços-carbono. 
Exemplo 4.1 
Estime a dureza Brinell e o limite de resistência à tração de uma peça de aço ABNT 1020 
resfriada em forno, a partir da região austenftica até a temperatura ambiente. 
Microconstituintes: Ferrita e Perlita Grosseira 
Aplicando-se a regra da alavanca para a composição 0,2% C no diagrama de equilíbrio Fe-C 
conforme ilustrado na Fig. 4.14 para determinação da quantidade das fases e microconstituin-
tes, sabendo-se que a microestrutura é formada por ferrita pró-eutetoide (o:) e per li ta eutetoide 
grosseira (lamelas de ferrita-o: e cementita-Fe3C), tem-se: 
0,77 - 0,2 d c • ( ) o: = = O, 75 ou 75% e 1ernta o: 
0,77 - 0,008 
0,2 - 0,008 ( ) 
Fe3C = = 0,25 ou 25% de perlita P 0,77 - 0,008 
T 
(l 
E N S A I O D E D U R E Z A 129 
O% C 
I 
Ferrita 
X%C 0,77%C 
I 
Per li ta 
o/c 
111 
Tamanho do braço contrário ao campo da perlita 
0 
per a= Tamanho total da alavanca 
% perlita = X%C - O%C 
0,77%C-O%C 
o;. 
1 
'ta Tamanho do braço contrário ao campo da ferrita 
• em = Tamanho total da alavanca 
0 1 I 'ta 0.:..:, 7::7~%~C:---=X':7%-=-C ,.em =., 
0.77%C - O%C 
r1 00% perlital 
Alavanca 
'--- Braço da alavanca na posição do teor de carbono do 
aço que se deseja calcular o percentual de fases 
Figura 4.14 Desenho esquemático de parte do diagrama de fases dos aços-carbono. 
Empregando a regra das misturas, ou seja, a dureza total será o somatório das durezas indi-
viduais das fases/microconstituintes por suas quantidades, tem-se: 
HB aço = % a · HB a + % P · HB P 
HB aço = 0,75 · 80 + 0,25 · 240 
HBaço = 120 
Limite de resistência à tração (u..) 
u.:: 3,6 HB 
u,. :: 432 MPa 
Comparação com valores encontrados em manuais técnicos (ASM - American Society for 
Metais) 
HB = 115 u,. = 414MPa 
Dureza Rockwell 
O ensaio recebeu esse nome pelo fato de a sua proposta ter sido feita pela indústria Rockwell, 
dos Estados Unidos, por volta de 1922. É o método mais utilizado internacionalmente. Esse 
tipo de ensaio de dureza utiliza-se da profundidade da impressão causada por um penetrador 
sob a ação de uma carga aplicada em dois estágios (pré-carga e carga suplementar) como indi-
cador da medida de dureza, e não há relação com a área da impressão, como no caso da dureza 
Brinell. A dureza Rockwell pode ser classificada como comum ou superficial, dependendo da 
pré-carga e carga aplicadas. Originalmente o método foi proposto em kgf e polegadas, mas, 
devido à adoção do Sistema Internacional (SI) de unidades, os valores foram convertidos para 
N e mm, sendo prática comum se referir às unidades inicialmente propostas. 
O penetrador tanto pode ser um diamante esferocôníco com ângulo de 120° e ponta ligei-
ramente arredondada (r = 0.2 mm) como uma esfera de aço endurecido ou carboneto de 
tungstênio, geralmente com diâmetro de 1,59 mm (1116"), existindo também nos diâmetros 
de 3,17 mm (1/8"), 6,35 mm ( 1/4") e 12,70 mm (1/2"). Atual.mente a norma ASTM El 8:2007 
só admite a utilização de esferas de carboneto de tungstênio, recomendando as esferas de aço 
somente no caso de medições em f!.J.mes finos e materiais extremamente moles. 
130 CAPI TU LO 4 
Carga 
Pré-carga 
1 
o principal 
Pré-carga 
(a) 
Carga v principal 
' Pré-carga 
Linha de 
referência 
para 
medições 
(b) 
Figura 4.15 (a) Representação esquemática do principio do método Rockwell e (b) imagem de um equipamento 
com indicador digital da medida de dureza. 
No caso de ensaios de dureza Rockwell comum, utilizam-se pré-carga de 98 N (lO kgf) e 
carga ou força total de 589 N (60 kgf); 981 N (100 kgf) e 1471 N (150 kgf); e, para dureza super-
ficial, pré-carga de 29 N (3 kgf) e forças totais de 147 N (15 kgf), 294 N (30 kgf) e 441 N (45 kgf). 
A aplicação da pré-carga é necessária para eliminar a ação de eventuais defeitos superficiais e 
ajudar na fixação do corpo de prova no suporte, além de causar pequena deformação perma-
nente, eliminando erros causados pela recuperação do material devido à deformação elástica. 
Tabela 4.7 Resumo das principais escalas de Dureza Rockw ell (adaptado de A5TM E18:2007) 
Rockwell comum 
60 kgf 100 kgf 150 kgf 
Diamante A o c 
F (cp 1,59 mm) B (cp 1,59 mm) G (cp 1,59 mm) 
Esfera de aço ou carboneto de H (cp 3,17 mm) E (cp 3,17 mm) K (cp 3,17 mm) tungstênio 
L (cp 6,35 mm) M (.p 6,35 mm) P (.p 6,35 mm) 
R (cp 12,70 mm) S (cj> 12,70 mm) V (cp 12,70 mm) 
Rockwell superficial 
15 kgf 30 kgf 45 kgf 
Diamante 15N 30N 45N 
1ST (cp 1,59 mm) 30T (cp 1,59 mm) 45T (cp 1,59 mm) 
Esf era de aço ou carboneto de 1 SW (cp 3,17 mm) 30W (cp 3,17 mm) 45W (cp 3, 17 mm) tungstênio 
1 5X (cp 6,35 mm) 30X (cp 6,35 mm) 45X (<I> 6,35 mm) 
15Y(<I> 12,70 mm) 30Y (cp 12,70 mm) 45Y (cp 12,70 mm) 
EN SAI O D E D U REZ A 131 
A profundidade de penetração (p) é correlacionada, pela máquina de ensaio, a um número 
arbitrário, cuja leitura é feita diretamente na escala do equipamento, após a retirada da carga 
principal, mantendo-se entretanto a carga inicial ou pré-carga. A Fig. 4.15 apresenta uma 
representação do princípio de medição de dureza pelo método Rockwell, destacando as defor-
mações causadas pelas aplicações da pré-carga e carga principal. 
Como o método utiliza vários penetradores e cargas, este é dividido em escalas dependendo 
das combinações, podendo-se citar B, C, A, D, E, F, G, H, K, L, M, P, R, S e V como comuns 
e lSN ou 1ST, 30N ou 30T e 45N ou 45T como superficiais. O número de dureza RockweU é 
sempre designado pelo símbolo HR seguido da escala utilizada, precedidos do valor numérico. 
A escala superficial é indicada pelo número seguido do símbolo HR e do símbolo da escala 
superficial. As Tabelas 4.7 e 4 .. 8 mostram as várias escalas existentes para a dureza Rockwell, 
que dependem do penetrador e da carga aplícada, abrangendo toda a gama de materiais. 
Algumas escalas são equivalentes entre si, o que permite a comparação entre seus valores 
para conversões aproximadas, porém tais informações devem constar do resultado. 
Tabela 4.8 Caracterfst icas das escalas d e dureza Rockw el l (adaptado de NBR NM 146-1:1998 e ASTM 
E18:2007) 
Escala Penetrador 
Carga Leitura na 
Aplicações ti picas Validade (kgf) escala 
c Diamante 150 Vermelha Materiais duros, como aços 
temperados. ferramentas, 
20-70 
especiais 
D Diamante 100 Vermelha Aços endurecidos com reduzida 40-77 
espessura ou camada superficial 
A Diamante 60 Vermelha Aços temperados superficialmente 20-88 
ou revestidos, metal duro 
B Esfera 1,59 mm 100 Preta Aços não temperados, ferros 
fundidos, algumas l igas não 
ferrosas 
20-100 
F Esfera 1,59 mm 60 Preta Ligas de cobre, de alumfnio, de 60-100 
zinco, de magnésio, metais 
moles 
G Esfera 1,59 mm 150 Preta Bronzes com fósforo, ferros 30-94 
f undidos maleáveis, ligas de 
berilio 
H Esfera 3, 17 mm 60 Preta Alumfnio e suas ligas, zinco e suas 80-100 
ligas, chumbo, abrasivos 
E Esfera 3, 17 mm 100 Preta Ferros fundidos, ligas de aluminio 70-100 
e magnésio, metais moles e 
plásticos 
K Esfera 3,1 7 mm 150 Preta Metais de baixa dureza e plásticos 40-100 
L Esfera 6,35 mm 60 Preta Mesma Rockwell K. borracha e 
plásticos 
M Esfera 6,35 mm 100 Preta Mesma Rockwell K e L, madeira e 
plásticos 
p Esfera 6,35 mm 150 Preta Mesma Rockwell K, L e M 
R Esfera 12,7 mm 60 Preta Mesma Rockwell K, L e M, 
plásticos 
(continua) 
132 C A P [ T U L O 4 
Tabela 4.8 Caracterfsticas das escalas de dureza Rockwell (adaptado de N8R NM 146-1:1998 e ASTM 
E 18:2007)( Continuaçdo) 
Escala Penetrador 
Carga Leitura na 
Apl icações tfpicas Validade (kgf) escala 
s Esfera 12,7 mm 100 Preta Mesma Rockwell K, L e M 
v Esfera 12,7 mm 150 Preta Mesma Rockwell K, L, M, PeR ou S 
15N Diamante 15 Vermelha Aços endurecidos com reduzida 
espessura ou camada superficial 
70-94 
30N Diamante 30 Vermelha Aços endurecidos com reduzida 
espessura ou camada superficia l 
42-86 
45N Diamante 45 Vermelha Aços temperados superficialmente 20-77 
ou revestidos, metal duro 
1ST Esfera 1,59 mm 15 Preta Chapas finas de cobre, alumfnfo, 67-93 
zinco, magnésio, chumbo, 
estanho 
30T Esfera 1,59 mm 30 Preta Ligas de cobre, de alumfnio, de 29-82 
zinco, de magnésio 
45T Esfera 1,59 mm 45 Preta Bronzes, latões, ferros fundidos 1-72 
maleáveis, ligas não ferrosas 
Informações Adicionais sobre o Ensaio de Dureza Rockwell 
O teste de dureza Rockwell é bastante versátil e confiável; contudo, devem ser tomadas algu-
mas precauções. A maioria das recomendações aplica-se também aos outros testes de dureza, 
conforme já foram descritas para a dureza Brinell. 
• A norma brasileira é a NBRNM-146-1:1998 (ABNT), e a norma internacional de maior 
utilização no país é a ASTM E18:2007 (ASTM). 
• Basicamente, o procedimento do ensaio consiste em: 
- Escolha da escala (penetrador e cargas); 
- Aplicação de pré-carga; 
- Aplicação da carga principal por período específico; 
- Retirada da carga principal e manutenção da pré-carga; 
- Leitura da medida. 
• Deve-se realizar o ensaio em materiais desconhecidos partindo de escalas mais altas 
(penetrador de diamante) para evitar danos no penetrador, seguido posteriormente de 
escalas mais baixas (penetrador de esfera). 
• O penetrador e o suporte devem estar limpos e bem-assentados. 
• A superfície a ser testada deve estar limpa e seca, plana e perpendicular ao penetrador. 
• Não deve ocorrer impacto na aplicação das cargas. 
• O tempo de aplicação da pré-carga deverá ser menor que 3 segundos, sendo recomen-
dados períodos de 4 a 8 segundos para aplicação da carga total durante aproximada-
mente 4 segundos (NBR NM-146-1:1998). 
• O espaçamento entre as impressões deve ser no mínimo 4 vezes o diâmetro da impressão 
e não menor que 2 mm (NBR NM-146-1:1998) e 3 vezes a profundidade de penetração 
(ASTM E18:2007), e 2,5 vezes o diâmetro para a distância da borda do corpo de prova. 
• Na realização do ensaio, recomenda-se que a espessura do corpo de prova seja no mínimo 
10 vezes maior que a profundidade da impressão (h) para materiais para penetrador de 
diamante (ASTM E18:2007) e 15 vezes para penetradores esféricos (NBR NM-146-1). 
E N S A I O D E D U R E Z A 133 
r··--·12õ;·····: ·-.v- · ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ....................... 
e 
Esfera 1/16" 1/8" 
1/4" 1/2" 
Corpo de prova 
Rockwell C 
P = 150 kgf 
Rockwell D Rockwell A 
P = 100 kgf P = 60 kgf 
Figura 4.16 Representação da verif icação de camadas superficiais em materiais. 
Camada 
superficial 
• Após cada troca ou remoção do penetrador, bem como troca das bases, as duas prímeí-
ras medíções deverão ser desprezadas. 
Tabela 4.9 
• Para verificação de existência de camadas superficiais ou recobrimentos em materiais 
cujo histórico não se conhece, recomenda-se a realização de medídas em pelo menos 
duas escalas consecutivas com cargas menores, certificando a equivalência. A Fig. 4.16 
ilustra o procedimento, consistindo em testes de equivalência até se encontrar a mesma. 
Fatores de correção a serem adicionados na medição das durezas com penetrador de 
diamante A, De C (adaptado de NBR NM 146-1:1998 e ASTM E18:2007) 
Raio de curvatura (mm) 
3 5 6,5 8 9,5 11 12,5 16 19 
Diâmetro de curvatura (pol.) 
Valor medido 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 11/4 1 v. 
20 6,0 4,5 3,5 2,5 2,0 1,5 1,5 1,0 1,0 
25 5,5 4,0 3,0 2,5 2,0 1.5 1,0 1,0 1,0 
30 5,0 3,5 2,5 2,0 1,5 1,5 1,0 1,0 0,5 
35 4,0 3,0 2,0 1,5 1,5 1,0 1,0 0,5 0,5 
40 3,5 2,5 2,0 1,5 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 
45 3,0 2,0 1,5 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 
50 2,5 2,0 1,5 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 
55 2,0 1,5 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 o 
60 1,5 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 o o 
65 1,5 1,0 1.0 0,5 0,5 0,5 0,5 o o 
70 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 o o 
75 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 o o o 
80 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 o o o o 
85 0,5 0,5 0,5 o o o o o o 
90 ...._ 0,5 o o o o o o o o 
134 CAPI TUL O 4 
Tabela 4.10 Fatores de correção a serem adicionados na medição das durezas com penetrador 
de esfera de aço 1,587 mm F, B, e G (adaptado de NBR NM 146-1 :1998) 
Raio de curvatura (mm) 
Valor medido 3 5 6,5 8 9,5 11 12,5 
20 11,0 7,5 5,5 4,5 4,0 3,5 3,0 
30 10,0 6,5 5,0 4,5 3,5 3,0 2,5 
40 9,0 6,0 4,5 4,0 3,0 2,5 2,5 
50 8,0 5,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 
60 7,0 5,0 3,5 3,0 2,5 2,0 2,0 
70 6,0 4,0 3,0 2,5 2,0 2,0 1,5 
80 5,0 3,5 2,5 2,0 1,5 1,5 1,5 
90 4,0 3,0 2,0 1,5 1,5 1,5 1,0 
100 3,5 2,5 1,5 1,5 1,0 1,0 0,5 
• Para medíções em superfícies cUíndricas convexas e esféricas, as correções são dadas 
pelas Tabelas 4.9 e 4.10, que correspondem às escalas que empregam penetrador de 
diamante e escalas que empregam penetradores esféricos, respectivamente. 
Para durezas superficíais N e T, consultar as normas ABNT e ASTM recomendadas. 
Determinação da Profundidade de Penetração (h) no Ensaio Rockwell 
Com base nos valores de dureza Rockwell, pode-se determinar a profundídade de penetração 
(h) conforme as equações seguintes: 
Penetrador de diamante: 
comum 
superficíal 
Penetrador esférico: 
comum 
superficíal 
Exemplo 4.2 
h = (100 - HR) · 0,002 (mm) 
h = (100 - HR) · 0,001 (mm) 
h = (130- HR) · 0,002 (mm) 
h = (100 - HR) · 0,001 (mm) 
(4.7) 
(4.8) 
(4.9) 
(4.10) 
Para um corpo de prova com d ureza igual a 65 HRC, como por exemplo aço-carbono tem-
perado, a profundidade de impressão é: 
h = (100 - 65} · 0,002 = 0,07 mm 
EN SAI O D E D U REZ A 135 
Conversão de Dureza Rockwell em Dureza Brinell 
A dureza Rockwell é definida por uma relação do tipo: 
em que 
CL e c2 são constantes que dependem da escala Rockwell; 
f:.h = h2 - h1 (variação na profundidade); 
h2 = profundidade de penetração com a carga total; 
h1 = profundidade de penetração com a carga inicial (pré-carga). 
(4.11) 
A dureza Brinell é definida pela relação entre a carga aplicada e a superfície da calota esfé-
rica formada, ou seja: 
p p 
HB = --= ---
A calota 'TT' • D · h 
(4.12) 
em que h = D - ~D2 - d2 é a profundidade de impressão Brinell ou 
t:.h = t:.P 
'TT' • D ·(HB) 
(4.13) 
e, combinando essa última expressão com a definição de dureza Rockwell: 
(4.14) 
A literatura apresenta ainda outras relações de conversão que tentam aumentar a precisão 
da correlação. A Tabela 4.11 apresenta os valores das constantes da Eq. (4.14). Existem tabelas 
de conversão de dureza preparadas por associações técnicas (Tabelas 4.12 e 4.13), e os valores 
Tabela 4.11 Valores das constantes utilizadas para conversão de dureza 
Rockwell em dureza Brinell (adaptado de Souza, 1989) 
Escala Rockwell c, Cz (1/mm) 
B 130 soo 
c 100 soo 
A 100 soo 
D 100 soo 
E 130 soo 
F 130 soo 
G 130 soo 
1SN 100 1000 
30N 100 1000 
4SN 100 1000 
1ST 100 1000 
30T 100 1000 
4ST 100 1000 -
136 C A P f T U L O 4 
Tabela 4.12 Tabela de conversões de durezas aproximadas para alguns tipos de aços* 
(adaptado de Metais Handbook, 8. ed., 1976) 
Rockwell C Brinell Vick ers Durezas Rockwell 
Escala A Escala B Escala D Shore 
HRC HB HV HRA HRB HRD 
68 940 85,6 76,9 97 
67 900 85,0 76,1 95 
66 865 84,5 75,4 92 
65 739 832 83,9 74,5 91 
64 722 800 83.4 73,8 88 
63 705 772 82,8 73,0 87 
62 688 746 82,3 72.2 85 
61 670 720 81,8 71,5 83 
60 654 697 81,2 70,7 81 
59 634 674 80,7 69,9 80 
58 615 653 80,1 69,2 78 
57 595 633 79,6 68,5 76 
56 577 613 79,0 67,7 75 
55 560 595 78,5 66,9 74 
54 543 577 78,0 66,1 72 
53 525 560 77,4 65,4 71 
52 512 544 76,8 64,6 69 
51 496 528 76,3 63,8 68 
50 481 513 75,9 63,1 67 
49 469 498 75,2 62,1 66 
48 455 484 74,7 61,4 64 
47 443 471 74,1 60,8 63 
46 432 458 73,6 60,0 62 
45 421 446 73,1 59,2 60 
44 409 434 72,5 58,5 58 
43 400 423 72,0 57,7 57 
42 390 412 71,5 56,956 
41 381 402 70,9 56,2 55 
40 371 392 70.4 55,4 54 
39 362 382 69,9 54,6 52 
38 353 372 69,4 53,8 51 
37 344 363 68,9 53,1 50 
36 336 354 68.4 {109,0) 52,3 49 
35 327 345 67,9 (108,5) 51,5 48 
34 319 336 67.4 (108,0) 50,8 47 
33 311 327 66,8 {107,5) 50,0 46 
32 301 318 66,3 (107,0) 49,2 44 
31 294 310 65,8 (1 06.0) 48.4 43 
30 286 302 65,3 (1 05,5) 47,7 42 
29 279 294 64,7 (104,5) 47,0 41 
28 271 286 64,3 (104,0) 46,1 41 
27 264 279 63,8 (103,0) 45,2 40 
26 258 272 63,3 {1 02,5) 44,6 38 
25 253 266 62,8 {101,5) 43,8 38 
24 247 260 62.4 (1 01 ,0) 43,1 37 
23 243 254 62,0 100,0 42,1 36 
22 237 248 61,5 99,0 41,6 35 
21 231 243 61,0 98, 5 40,9 35 
20 226 238 60,5 97,8 40,1 34 
(18) 219 230 96,7 33 
(1 6) 212 222 95,5 32 
(14) 203 213 93,9 31 
(1 2) 194 204 92,3 29 
(10 187 196 90,7 28 
( 8) 179 188 89,5 27 
( 6) 171 180 87,1 26 
( 4) 165 17 3 85, 5 25 
( 2) 158 166 83,5 24 
(O) 152 160 81,7 24 
• Tabela de conversão de dureza RockweU C. em Brinell, Víckers eShore: os valores desta tabela são apenas aproxJrnados. Os valores 
entre parênteses estão fora da faixa recomendada e são dados apenas para fins de comparação. 
E N S A I O D E D U R E Z A 137 
Tabe la 4.13 Tabela de correlações entre durezas e propriedades mecânicas (adapt ado de Metais 
Handbook, 8. ed., 1976) 
lmpr. mm 
Carga 
3000 kgf 
Esfera 
10mm 
2,25 
2,30 
2,35 
2,40 
2,45 
2,50 
2,55 
2,60 
2,65 
2,70 
2,75 
2,80 
2,85 
2,90 
2,95 
3,00 
3,05 
3,10 
3,15 
3,20 
3,25 
3,30 
3,35 
3,40 
3,45 
3,50 
3,55 
3,60 
3,65 
3,70 
3,75 
3,80 
3,85 
3,90 
3,95 
4,00 
Dureza 
Brinell 
HB 
(767) 
(757) 
(745) 
(710) 
(682) 
(653) 
627* 
601* 
578* 
555* 
534* 
514* 
495* 
477* 
461* 
444* 
429 
415 
401 
388 
375 
363 
352 
341 
331 
321 
311 
302 
293 
285 
277 
269 
262 
255 
248 
241 
235 
229 
Aço-
carbono 
HB X 0,36 
276,1 
272.4 
268,2 
255,6 
245,5 
235,1 
225,7 
216,4 
208,1 
199,8 
192,2 
185,0 
178,2 
171,7 
166,0 
159,8 
154,4 
149,4 
144,4 
139,7 
135,0 
130,7 
126,7 
122,8 
119,2 
115,6 
112,0 
108,7 
105,5 
102,6 
99,7 
96,9 
94,3 
91,8 
89,3 
86,8 
84,6 
82,4 
Resistência (kgf/mma) 
A ço Cr Aço Ni 
Aço Mn Aço Cr Ni 
Aço Cr Mn Aço Cr Mo 
HB X 0,35 HB X 0,34 
268,4 
264,9 
260,8 
248,5 
238,7 
228.6 
219,5 
210,4 
202,3 
194,3 
186,9 
179,9 
173,3 
167,0 
161,4 
155,4 
150,2 
145,3 
140,4 
135,8 
131,3 
127,1 
123,2 
119,4 
115,9 
112,4 
108,9 
105,7 
102,6 
99,8 
97,0 
94,2 
91,7 
89,3 
86,8 
84,4 
82,3 
80,2 
260,7 
257,3 
253,3 
241,4 
231,9 
222,0 
213,2 
204,3 
196,5 
188,7 
181,6 
174,8 
168,3 
162,2 
156,7 
151,0 
145,9 
141,1 
136,3 
131,9 
127,5 
123,4 
119,7 
115,9 
112,5 
109,1 
105,7 
102,7 
99,6 
96,9 
94,2 
91,5 
89,1 
86,7 
84,3 
81,9 
79,9 
77,9 
Dureza Rockwell 
HRC HRB 
68,0 
67,5 
67,0 
66,4 
65,9 
65,3 
63,3 
61,7 
60,0 
58,7 
57,3 
56,0 
54,7 
53,5 
52,1 
51,0 
49,6 
48,5 
47,1 
45,7 
44,5 
43,1 
41,8 
40,4 
39,1 
37,9 
36,6 
35,5 
34,3 
33,1 
32,1 
30,9 
29,9 
28,8 
27,6 
26,6 
25,4 
24,2 
22,8 
21,7 
20,5 
(110.0) 
(109,0) 
(108,5) 
(108,0) 
(107,5) 
(107,0) 
(1 06,0) 
(105,5) 
(104,5) 
(104,0) 
(103,0) 
(102,0) 
(101.0) 
100,0 
99,0 
98,2 
Dureza 
Vickers 
940 
920 
900 
880 
860 
840 
780 
737 
697 
667 
640 
615 
591 
569 
547 
528 
508 
491 
472 
455 
440 
425 
410 
396 
383 
372 
360 
350 
339 
328 
319 
309 
301 
292 
284 
276 
269 
261 
253 
247 
241 
Dureza 
Shore 
97 
96 
95 
93 
92 
91 
87 
84 
81 
79 
77 
75 
73 
71 
70 
68 
66 
65 
63 
61 
59 
58 
56 
54 
52 
51 
50 
48 
47 
46 
45 
43 
41 
40 
39 
38 
37 
36 
35 
34 
(continua) 
138 C A P [ T U L O 4 
Tabela 4.13 Tabela de correlações entre durezas e propriedades medi nicas (adaptado de Metais 
Handbook, 8. ed., 1976) (Continuação) 
lmpr. mm Resistência (kgf/mm') 
Carga AçoCr Aço Ni 
3000 kgf Dureza Aço- AçoMn Aço Cr Ni Dureza Rockwell 
Esfera Brinell carbono Aço Cr Mn Aço Cr Mo Dureza Dureza 
10mm HB HB X 0,36 HB >< 0,35 HB X 0,34 HRC HRB Vickers Shore 
4,05 223 80,3 78,0 75,8 (18,8) 97,3 234 
4,10 217 78,1 76,0 73,8 (17,5) 96.4 228 33 
4,15 212 76,3 74,2 72,1 95,5 
4,20 207 74,5 72,5 70.4 94,6 218 32 
4,25 201 72.4 70.4 68,3 93,8 
4,30 197 70,9 69,0 67,0 92,8 207 30 
4,35 192 69,1 67,2 65,3 91,9 
4,40 187 67,3 65,5 63,6 90,7 196 
4.45 183 65,9 64,1 62,2 90,0 
4,50 179 64.4 62,6 60,9 89,0 188 27 
4,55 174 62,6 60,9 59,2 87,8 
4,60 170 61,2 59,5 57,8 86,8 178 26 
4,65 167 59,8 58.4 56,8 86,0 
4,70 163 58,7 57,1 55.4 85,0 171 25 
4,80 156 56,2 54,6 53,0 82,9 163 
4,90 149 53,6 52,2 50,7 80,8 156 23 
5,00 143 51,5 50,1 48,6 78,7 150 22 
5,10 137 49,3 48,0 46,6 76.4 143 21 
5,20 131 47,2 45,9 44,5 74,0 137 
5,30 126 45.4 44,1 42,8 72.0 132 20 
5.40 121 43,6 42.4 41,1 69,0 127 19 
5,50 116 41,8 40,6 39.4 67,6 122 18 
5,60 111 40,0 38,9 37,7 65,7 117 15 
• As durezas Brinell acima de HB 429 referem-se a impressões feitas com esferas de carboneto de tun&stênio. 
•• Dureza Vickers corresponde a "Diamond Pyramid Hardness". 
NOTA: Os valores são apenas aproximados, e os valores entre par~nteses estão fora da faixa recomendada e são dados apenas para comparação. 
obtidos pelas relações de conversão podem eventualmente divergir dos tabelados, já que as 
constantes utilizadas constituem valores aproximados. 
São as seguintes as vantagens do método Rockwell em relação ao método Brinell: 
• rapidez de execução, com tempo aproximado de I minuto; 
• aplicável a todos os materiais, desde mais duros até mais moles; 
• maior exatidão e isenção de erros, já que não exige leitura do tamanho da impressão; 
• não requer experiência do operador do equipamento; 
• possibilidade de maior utilização para materiais duros; 
• pequeno tamanho da impressão, onde em alguns casos os componentes podem ser tes-
tados sem danos; 
• permite a determinação de durezas superficiais com pequena profundidade de 
penetração. 
Para o caso de materiais poliméricos, como os plásticos e as borrachas, a norma ASTM 
0785:2003 padroniza os métodos e ensaios, empregando somente esferas de aço com diâme-
E N S A I O D E D U R E Z A 139 
tros de 3,17 mm (1/8"), 6,35 mm (1/4") e 12,7 mm (1/2") (escalas E, K, M, L e R). Da mesma 
forma que nos ensaios com materiais metálicos, é necessária a aplicação de pré-carga de 
10 kgf por um período de tempo de 15 segundos, sendo em seguida aplicada a carga suple-
mentar da escala também por 15 segundos; depois de retirada a carga suplementar e mantida 
a pré-carga, realiza-se a leitura diretamente no equipamento no máximo em 15 segundos. 
Sempre que possível, utilizar o maior diâmetro de esfera. O intervalo de validade dos resulta-
dos é de O a 100. A espessura mínima para o material a ser ensaiado é de 6 mm, podendo ser 
um corpo de prova moldado ou retirado de chapas, barras, peças etc., e recomenda-se que as 
dimensões sejam de no mínimo 25 mm X 25 mm para as menores esferas, já que são neces-
sárias pelo menos 5 medidas para obtenção do resultado. 
Dureza Vickers 
Método introduzido em 1925 por Smith e Sandland, recebeu o nome Vickers porque foi a 
Companhia Vickers-Armstrong Ltda. que fabricou as máquinas para operar esse tipo de 
dureza. É um método semelhante ao ensaio de dureza Brinell, já que também relaciona carga 
aplicada a área superficial da impressão. O penetrador padronizado é uma pirâmide de dia-
mante de base quadrada e com um ângulo de 136° entre faces opostas. Esse ângulo foi esco-
lhido em função de sua proximidade com o ângulo formado no ensaio Brinell entre duas linhas 
tangentes às bordas da impressão e que partem do fundo dessa impressão. Devido à forma do 
penetrador, esse teste é também conhecido como teste de dureza de pirâmide de diamante. O 
ensaio é aplicável a todos os materiais metálicos com quaisquer durezas, especialmente mate-
riais muito duros,ou corpos de prova muito finos, pequenos e irregulares, sendo por isso 
conhecido como ensaio universal. A Fig. 4.17 mostra um esquema de aplicação do método 
Vickers. 
A forma da impressão depois de retirada da carga é a de um losango regular, cujas diago-
nais devem ser medidas por um microscópio acoplado à máquina de teste (com exatidão de 
medição de 0,001 mm) e a média dessas duas medidas utilizada para a determinação da dureza 
Vickers, dada pela seguinte expressão: 
HV = O 102. 2 · p · sen(()/2) = O 189 · !_ 
' d2 ' d2 
(4.15) 
em que 
P = carga (N); 
d = comprimento da diagonal da impressão (mm); e() = 136°. 
Na prática, a aplicação da relação que calcula HV é desnecessária, já que existem tabelas 
que fornecem o valor da dureza Vickers a partir das leituras das diagonais da impressão for-
mada. Para esse método de ensaio, a carga pode variar de 49 Na 980 N (5 kgf a 100 kgf) para 
ensaios com carga normal; de 1,96 Na 49 N (100 g a 5 kgf) para ensaios com carga pequena; 
e de 0,0098 Na 1,96 N (1 g a 100 g) para ensaios com microcarga, segundo a norma brasileira 
NBR NM 188-1:1999, enquanto a norma ASTM E92:2003 divide em carga normal entre 9,8 
N e 980 N (1 kgf a 120 kgf) e microcarga entre 0,0098 N e 9,8 N (0,1 g a 1000 g). As cargas são 
escolhidas de tal forma que a impressão gerada no ensaio seja suficientemente nítida para 
permitir uma boa leitura das diagonais, que deverão estar compreendidas entre limites de 
0,011 mm até 1,999 mm (NBRNM-188-1), sendo comum encontrar tabelas de conversão com 
valores máximos de diagonais de 0,750 mm. 
Como o penetrador é indeformável, a dureza obtida independe da carga utilizada, devendo, 
se o material for homogêneo, apresentar o mesmo número representativo da dureza. Sempre 
que possível recomendam-se as maiores cargas. A designação da dureza é formada pelo valor 
da dureza seguido pelo símbolo HV e da carga aplicada e pelo tempo de aplicação de carga se 
este for diferente dos previstos em normas (10 a 15 segundos para materiais duros e 30 a 60 
segundos para materiais moles). 
140 CAPITU LO 4 
,---------1 
: --V-136° : 
I I 
I I 
I I ._ _________ J 
(a) 
(b) 
Pirâmide de 
diamante 
P carga 
,..--------------1 
.-- -',. Losango 1 _,.-- I 
............ --.... ~ : 
.... --- Orvr2 3: : i 
' ~ I 
', I 
....... ___________ _ 
Figura 4.17 (a) Representação esquem~tica do 
ensaio de dureza Vickers e (b) imagem de um 
equipamento digital. 
Informações Adicionais sobre o Ensaio de Dureza Vickers 
• A norma brasíleira para a realização do ensaio é a NBR NM-188-1:1999 (ABNT), e a 
norma internacional mais empregada é a ASTM E92:2003 (ASTM). 
• O método apresenta escala contínua de carga, geralmente de 1 kgf a 120 kgf. 
• As impressões são extremamente pequenas e pouco profundas (1/7 da diagonal). 
• Deformação nula do penetrador. 
• O método apresenta escala única de dureza. 
• Aplica-se a um amplo espectro de materiais. 
ENSAIO DE DUR EZA 141 
• Para materiais desconhecidos, recomenda-se a utilização de uma carga intermediária, 
observando-se a identação e verificando se a mesma é possível de medição no sistema 
óptico do equipamento ou se ficou muito pequena, dificultando a medição. 
• É de utilização industrial limitada, em função da demora do ensaio, e de utilização ampla 
em pesquisa. 
• Exige cuidadosa preparação do corpo de prova para o caso de ensaio com rnicrocarga 
(polimento eletrolítico e em alguns casos ataque químico para identificação das fases e 
regiões de medições). 
• É indicado no levantamento de curvas de profundidade de têmpera e de cementação. 
• Aplica-se a qualquer espessura de corpo de prova, desde que não haja ocorrência de 
deformação no lado oposto ao da superficie ensaiada. Normalmente recomenda-se que 
a espessura do corpo de prova seja 1,5 vez o comprimento médio da diagonal da impres-
são (NBR NM-188-1:1999) ou 10 vezes a profundidade de penetração (ASTM E 
92:2003). 
• A distância entre os centros de duas impressões adjacentes deverá ser superior a 3 vezes 
o comprimento médio das diagonais no caso de aços, cobre, alumínio, zinco, etc. e 6 
vezes para ligas leves, chumbo, estanho etc. (NBR NM-188-1), enquanto a norma ASTM 
E92:2003 recomenda apenas uma distância miníma de 2,5 vezes o comprimento médio 
das diagonais. 
• A distância entre o centro de cada impressão e a borda do corpo de prova deverá ser 
superior a 2,5 vezes o comprimento médio das diagonais para aços, cobre, alurninio, e 
ligas, e 3 vezes para materiais moles como chumbo, estanho, ligas leves etc. (NBR 
NM-188-1:1999). 
• Para superficies planas, a diferença máxima permitida entre as duas diagonais da impres-
são é de 5% (NBR NM-188-1). 
• Para superficies curvas, deverão ser aplicadas correções apresentadas nas normas, por 
meio de fatores de correções. 
• Para materiais não isotrópicos, com textura em determinada direção, recomenda-se que 
as diagonais da impressão sejam a 45° da direção preferencial da estrutura. 
A Fig. 4.18 apresenta uma imagem em microscopia óptica de uma identação realizada pelo 
método Vickers, na qual se observa o losango projetado na superficie do material. 
A Fig. 4.19 mostra uma comparação qualitativa entre tamanhos de impressão das durezas 
Brinell e Vickers. 
A dureza envolve a penetração da ponta de teste por um processo de deformação plástica. 
Desse modo, a dureza pode também ser correlacionada com o limite de proporcionalidade. 
O valor numérico da dureza Vickers é da ordem de 2 a 3 vezes o valor de CTP (em MPa) para 
os materiais duros e em torno de 2 a 4 vezes o valor de CTP para metais, conforme visto na 
Tabela 4.14. 
Figura 4.18 Imagem de uma impressão Vickers em aço ABNT/SAE 1045. 
142 CAPITU LO 4 
o o 
O = 1 O mm, Q = 3000 kgf 0 = 5mm 0 = 2mm 
d = 3,76 mm P = 750 kgf p = 120 kgf 
d = 1,88 mm d = 0,75 mm 
o ~ $ 
0 = 1 mm P = 30 kgf p = 10 kgf 
P = 30 kgf L = 0,463 mm L = 0,267 mm 
(a) d = 0,375 mm (b) 
Figura 4.19 Comparação entre tamanhos de impressão das durezas Brinell e Vickers: (a) imagem metalográfica; 
(b) representação esquemática. (Segundo Souza, 1989.) 
Tabela 4.14 Relação entre dureza Vickers e limite de proporcionalidade para alguns materiais 
(adaptado de Anderson, 1991) 
Material Dureza Vickers (HV) Limite de proporcional idade (MPa) 
Diamante 84.000 54.100 
Alumina 20.000 11.300 
Carbeto de tungstênio 21.000 6.000 
Aço-carbono 450 200 
Alumfnio recozido 270 120 
Cobre recozido 220 80 
Chumbo 60 16 
Microdureza 
Em algumas situações práticas, ocorre a necessidade de determinação da dureza de pequenas 
áreas do corpo de prova. A medida do gradiente de dureza que se verifica em superfícies 
cementadas e a determinação da dureza individual de microconstituintes de uma estrutura 
metalográfica são alguns exemplos dessas situações. O ensaio de microdureza produz uma 
impressão microscópica e se utiliza de penetradores de diamante e cargas menores que 9,8 N 
(1 kgf). Os métodos mais utilizados são a microdureza Vickers e a microdureza Knoop (ASTM 
E384:2008). 
Para a microdureza Vickers, o penetrador é o mesmo empregado nos ensaios comuns, e o 
valor da dureza HV será dado pela relação entre a força aplicada e a área da superfície da marca 
permanente, determinada pela Eq. (4.15). Na Fig. 4.20(a) é apresentada uma imagem meta-
lográfica de impressões de microdureza Vickers realizadas em liga Al-Si hipoeutética, SOOx, 
fase clara (rica em AI), fase escura (eutético), enquanto a Fig. 4.20(b) mostra em detalhe a 
impressão em cristal de silício, proporcionando fissuras, em liga AI-Si hipereutética, SOOx, 
fase clara (rica em Si), fase escura (eutético). 
ENSAIO DE DUREZA 143 
(a) (b) 
Figura 4.20 Impressões realizadas pelo método de microdureza Vickers em ligas AI-Si fundidas. 
:20 pm 
(a) (b) 
Figura 4 .21 Imagens de impressões realizadas pelo método de microdureza Vickers: (a) ferro fundido nodular; 
(b) ferro fundido branco hipoeutético. 
A Fig. 4.2l(a) apresenta imagens de impressões de rnícrodureza Vickers realizadas em ferro 
fundido nodular,fase clara (ferrita), fase escura (perlita), fase negra (nódulos de grafite), ata-
que Nital, lOOx. Durezas: 161,6HV- fase clara - ferrita, 324,4HV- fase escura- perlita, e na 
Fig. 4.2l(b) é mostrado um ferro fundido branco hipoeutético, onde na região da ledeburita 
se obteve 951HV (interledeburita), 750HV na fase clara (somente cementita) e 534HV na fase 
escura (somente perlita), ataque Nital, SOOx. 
A Fig. 4.22(a) apresenta um ensaio em microdureza na junção por explosão de aço com 
alumínio, onde se observa que, devido à menor marca de impressão Vickers no óxido, este 
possui dureza superior à do aço e à do alumínio. O método também pode ser utilizado na 
determinação de perfil de difusão em materiais tratados termoquimicamente, como por 
exemplo na cementação de aços com baixo carbono, em que é possível mapear as regiões com 
diferentes durezas em função da variação de composição química, conforme observado na 
Fig. 4.22(b). 
A microdureza Knoop, proposta em 1939, utiliza um penetrador de diamante na forma 
de uma pirâmide alongada, com ângulos de 172°30' e 130° entre faces opostas, que provoca 
144 CAPITU LO 4 
(a) 
Perfil de dureza das amostras a 1 oso•c 
900~--------------------------~ 
soo!==~s;~~================~ VI 700 
j 600+-------~~~~~--------------~ 
~ soo!===='~=-'~Si~a:;:a;;;;;=~ 
~ 400 -
~ 300+---------------------------__, 
::J 
o 200+---------------------------~ 
100+---------------------------~ 
0+-~----~--.--,--~~,--.~ 
0,00 0,25 0,50 0,75 1 ,00 1 ,25 1,50 1 ,75 2,00 2,25 
Profundidade (mm) 
I ..... 4 horas + 6 horas I 
(b) 
Figura 4.22 (a) Impressão para microdureza Vickers, 200x. (Segundo Askeland, 1996.) (b) Perfil de microdureza 
Vickers desde a superffcie até o núcleo. 
uma impressão no local onde a diagonal maior e a diagonal menor apresentam uma relação 
de 7:1. A microdureza Knoop é calculada dividindo a força aplicada pela área projetada da 
impressão, dada por: 
HK = .!:_ = 14,23 · P 
s [2 p 
(4.16) 
em que 
P = carga aplicada (N); 
SP = área projetada da impressão (mm2); 
l = comprimento da diagonal maior (mm). 
Ao indicar a dureza, o valor calculado deve ser multiplicado por 103, para compatibilizá-lo 
com a grandeza das demais durezas que se baseiam em uma relação carga/área. A área da 
impressão obtida no ensaio Knoop é cerca de 15% da área correspondente no ensaio Vickers, 
enquanto a profundidade da impressão é menor que a metade. A profundidade da impressão 
é cerca de 1/30 da diagonal maior. O ensaio Knoop permite a determinação da dureza de mate-
riais frágeis como o vidro e de camadas finas como películas de tinta ou camadas eletrodepo-
sitadas. As distâncias rrúnimas recomendadas para as impressões são de 2,5 vezes a diagonal 
menor para impressões paralelas ao eixo maior, 2 vezes a diagonal maior para impressões ali-
nhadas no eixo maior, e uma distância de 1 vez a diagonal maior da borda da peça. Os ensaios 
de microdureza requerem uma preparação cuidadosa do corpo de prova, e são recomendáveis 
o polimento eletrolítico da superfície de análise e o embutimento da amostra em baquelite. 
A Fig. 4.23 apresenta uma representação esquemática do penetrador Knoop e o esboço da 
marca superficial Knoop deixada na amostra após realização do ensaio. 
A Tabela 4.15 apresenta uma comparação global entre os métodos de ensaio de dureza, e 
a Fig. 4.24 mostra a variação da dureza com a temperatura de revenido para aços de diversos 
teores de carbono. 
Para o caso de materiais cerâmicos, os ensaios de microdureza Vickers e Knoop são rea-
lizados no intuito de associar os seus resultados às características como resistência ao desgaste, 
abrasão, corte e principalmente a porosidade e densificação. Para o método Vickers empre-
gam-se cargas entre 0,098 N (100 gf) a 9,8 N (1000 gf), enquanto para o método Knoop utili-
zam-se cargas de 0,098 N (100 gf) a 19,6 N (2000 gf). Cargas maiores podem levar a fratura 
do material, formação de trincas nos vértices das impressões ou quebra de regiões próximas 
à impressão. A literatura apresenta gabaritos padronizados para aceitação das medições das 
I 
L 
EN SAI O D E D U REZ A 145 
100 p m 
I I I 
Impressão 
na camada 
não cemenlada 
Figura 4.23 Penetrador Knoop e marca superficial deixada pelo ensaio de microdureza Knoop. (Adaptado de 
Callister, 1994.) 
Tabela 4.15 Comparação entre os testes de dureza (adaptado de Askeland, 1996) 
Método do ensaio 
de dureza 
Brinell (HB) 
Rockwell (HR) 
Vickers (HV) 
Microdureza 
Vickers (HV) 
M icrodureza 
Knoop (HK) 
Tipo da ponta de impressão 
Esfera de aço 10; 5; 2,5; 2 e 
1mm 
Esfera de carbeto de 
tungstênio 
Cone de diamante 120• ou 
esfera de aço diâmetro 'd' 
(1/1 6" s d s 1/2") 
Cone de diamante 120• ou 
esfera de aço diâmetro 'd' 
(1/1 6" s d s 1/2") 
Pirâmide de diamante, base 
quadrada e 1 36• 
Pirâmide de diamante, base 
quadrada e 136° 
Pirâmide de diamante, base 
rõmbica (razão 7:11) 
Carga 
Depende da 
razão P/D2 
Depende da 
razão P/D2 
Pré-carga 1 O kgf 
Cargas Totais 60 
a 150 kgf 
Pré-carga 3 kgf 
Cargas Totais 1 5 
a 45 kgf 
1 a120kgf 
1 a 1000 gf 
Aplicação 
Componentes fundidos, forjados e 
laminados; ferrosos e não 
ferrosos, esfera de aço para 
durezas da ordem de 350 HB 
Esfera de carbeto de tungstênio 
para durezas acima de 350 HB 
Metais ferrosos e não ferrosos, 
forjados, laminados, fundidos, 
tratados termicamente, soldados 
Camadas superficiais finas, 
superficies tratadas 
termicamente, materiais finos 
Todos os aços e ligas não ferrosas. 
Materiais de alta dureza, 
incluindo carbeto de tungstênio 
e cerâmicos 
Camadas superficiais, folhas finas, 
arames, fases microscópicas, 
zona termicamente afetada 
(ZT A) em soldas 
146 CAPI TUL O 4 
~ ... _...,.~ 
~.,:::--. 
C1l 
'O 
'6 
<I> 
... '._ .. ~1 ,03%C 
••• QD , , ./0,74%C 
8- • Qr • -s / ' '"- X C1l E 
'O 
C1l 2 
E c ·x Q) 
:0 
0,48%C /·. ' ~' 
0,43%C ,, Q) 
,, 'O e 
a. E 
C1l C1l 
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C1l ·Cil 
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N 
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·~~ ~ . ..... . -;;; 
• 'O 
f!! 
2 
f!! 
Q) 
a. 
E 
•F ~ 
o 100 
Figura 4.24 Dureza à temperatura ambiente 
em função da temperatura de revenido (reve-
nido total de 30 min) para aços de diversos 
teores de carbono, temperados em água 
gelada e em óleo até a temperatura ambiente. 
Cada ponto representa uma amostra. 
(Adaptado de Felbeck, 1971.) 
200 300 400 soo 600 700 
•c 
Temperatura de revenido (durante 30 min) 
Símbolo Aço %C --- 10100 1,03 - . - 1080 0,74 
-a- 1040 0,48 
--o-- 4140 0,43 
~ 1020 0,23 
impressões que apresentam tais defeitos, conforme pode ser visto na Fig. 4.25. Como as impres-
sões são extremamente pequenas, recomenda-se que a medição das diagonais seja feita em 
equipamento com aumento mínimo de 400x. A simbologia recomendada para apresentação 
dos resultados é a mesma adotada para os métodos Vickers e Knoop convencionais, dados 
pelo valor numérico seguido do símbolo HV ou HK e da carga aplicada. Existem algumas 
relações empíricas relacionando a dureza dos materiais cerâmicos à porosidade apresentada 
por estes, de acordo com a Eq. (4.17): 
HV ou HK = H0 · exp- b·P 
em que 
H0 = dureza teórica do material isento de porosidade; 
P = fração volumétrica de porosidade no material; 
b = valores entre 3 e 11 dependente do cerâmico. 
(4.17) 
A Fig. 4.26 mostra impressões de microdureza Vickers em ferro fundido Ni-Hard, SOOx, 
fase clara (carboneto de cromo) 1059HV; fase escura (perlita) 587HV. 
(a) 
• 
Knoop 
CERTO 
• • 
Porosidade Trincas 
pontas 
ERRADO 
' .. ·' ~.,.J ..., 
Trincas 
laterais 
Trincas largas 
pontas 
Trincas largas Poro 
Poro 
no meio 
laterais na ponta 
Irregular 
ENSA I O DE DUREZA 147 
Vickers 
CERTO 
o o o 
t • 
··o· ' ' • • , Porosidade 
Faces 
irregulares 
~ 
Trincas largas 
OEAAA{l(} 
Irregular 
pontas 
Fraturas 
pontas 
<) 
Contornos Contornos 
irregulares irregulares 
Poro Poro 
na ponta no meio 
Figura 4.25Padrões para aceitação de impressões Knoop e Vickers em materiais ceramicos. (Adaptado 
de Metais Handbook, v. 8.) 
(b) 
Figura 4.26 Imagens de impressões realizadas pelo método de microdureza Vickers em ferro fundido Ni-Hard. 
148 CAPÍ TU LO 4 
As principais normas recomendadas para os diversos materiais são: vidros - ASTM C730, 
cerâmicos convencionais ou da linha branca - ASTM 849 (formadas por argila, sílica e felds-
pato), e os cerâmicos avançados- ASTM Cl326 (alurnlnas, silicatos, óxidos, zircônias, car-
betos, nitretos). 
• DUREZA SHORE PARA POLfMEROS 
Uma variação do método inicialmente proposto para a dureza por rebote é a dureza Shore 
para materiais poliméricos como plásticos, elastômeros e borrachas. O ensaio é padronizado 
pela norma ASTM D2240:2003. A medida de dureza é dada pela resistência que o material 
oferece à penetração de um penetrador padronizado sob uma carga de compressão específica, 
inversamente relacionada à profundidade de penetração e diretamente dependente do módulo 
de elasticidade e da viscoelasticidade do material. Dentre as diversas escalas existentes: A, B, 
C, D, DO, E, M, O, 00, 000, 000-S e R, as duas que mais se destacam em utilização são 
as escalas Shore A e Shore D, com a A indicada para materiais mais moles e a D recomendada 
para materiais mais duros. A escala M é também conhecida como microdureza. 
Em relação ao tipo de penetrador, o método Shore A utiliza um penetrador com uma base 
plana, e o método Shore D emprega penetrador com um formato pontiagudo, conforme pode 
ser observado na Tabela 4.16. O princípio do método é bastante simples: a escala varia de O a 
100, e se o penetrador penetra completamente no material, a leitura obtida é zero; se não ocor-
Tabela 4.16 Escalas Shore recomendadas para materiais pollméricos (ASTM 02240:2003) 
Escala Penetrador 
Shore A e C 
Força P 
A 
c 
Shore B e O 
Força P 
B 
D 
Val idade 
20-90 A 
Acima 90 B 
Abaixo 20 D 
Aplicação 
Borrachas macias, borrachas 
naturais, termoplásticos 
Borrachas com dureza média, 
plásticos e termo plásticos 
meio duros 
Borrachas moderadamente 
Acima 90 A duras, elastômeros 
Abaixo 20 D termoplásticos, materiais 
fibrosos 
Borrachas duras, plásticos 
20-100 D duros, termoplásticos 
rfgidos 
Força 
máxima (N) 
8,05 
44,45 
8,05 
44,45 
(continua) 
ENSAIO DE DUREZA 149 
Tabela 4.16 Escalas Shore recomendadas para materiais poliméricos (ASTM 02240:2003) (Continuaçiio) 
Escala 
o 
DO 
00 
M 
Penetrador 
Shore O, DO e 00 
Força P 
Shore M 
Força P 
Validade 
Abaixo 20 
DO 
Aplicação 
Borrachas moles, plásticos 
macios, materiais têxteis 
com densidade média 
Borrachas moderadamente 
Acima 90 C duras, elastõmeros 
Abaixo 20 O termoplásticos, materiais 
têxteis densos 
Borrachas extremamente 
macias, esponjas, plásticos e 
Abaixo 20 O termoplásticos moles, 
materiais têxteis com baixa 
densidade 
20-85 A 
Materiais finos, irregulares, 
plásticos e elastõmeros 
termo plásticos 
Força 
máxima (N) 
8,05 
44,45 
1,11 
0,765 
rer penetração a leitura é 100, sendo as leituras adimensionais. O resultado do ensaio é apre-
sentado diretamente no indicador do durômetro e está diretamente relacionado com a 
profundidade de penetração da ponta de medição. 
Para obtenção de uma boa reprodutibilidade, é recomendável fixar o durômetro em um 
suporte que permita um deslocamento uniforme até a indicação requerida. A espessura mínima 
recomendada é de 6 mm, com exceção da escalaM, que requer uma espessura mínima de 1,25 
mm. A distância mínima entre a impressão e a borda da peça ou material deve ser de no 
mínimo 12,0 mm, e recomenda-se uma área com raio de 6 mm ao redor da impressão como 
distância entre centros de impressões vizinhas. 
• CONSIDERAÇÕES SOBRE RESIST~NCIA MECÂNICA, DUREZA E RESIST~NCIA 
AO DESGASTE DE LIGAS METÁLICAS 
O desgaste de componentes de equipamentos, provocado pela interação de superfícies, é pre-
ocupação corrente no ambiente industrial em função da correspondente diminuição da cha-
mada vida útil. É um problema relacionado com a perda progressiva de massa, que pode 
acarretar danos superficiais e alterações dimensionais, levando a um comprometimento da 
operacionalidade dos componentes envolvidos e, consequentemente, do equipamento do qual 
constituem elementos essenciais. 
Ensaios de desgaste são práticas muito importantes, pois com eles é possível realizar um 
estudo de degradação acelerada de dispositivos, simulando longos tempos de utilização em 
um período de tempo relativamente curto. Os ensaios de laboratório se dividem em dois gru-
150 CAPITU LO 4 
pos. O primeiro grupo é formado por testes fenomenológicos que focam em alguma situação 
particular de desgaste como erosão, abrasão ou oxidação. O segundo grupo é constituído por 
testes operacionais, que focam mais na aplicação do dispositivo como um todo, como, por 
exemplo, na análise de durabilidade de uma caixa de câmbio. A seguir são explicados sucin-
tamente alguns exemplos de testes fenomenológicos. 
Ensaio de Disco de Borracha com Areia 
Consiste em um teste para determinação de desgaste abrasivo sob baixa tensão. Um disco de 
borracha gira sobre a superfície em análise com baixa força de atuação, enquanto a superfície 
de contato é exposta a material arenoso, conforme ilustração da Fig. 4.27(a). A ASTM nor-
malizou esse ensaio como ASTM G65 (ASTM G65, 201 O) com uso de areia seca e ASTM G 105 
(ASTM G 105, 2010) com uso d!e areia molhada, e nelas podem-se encontrar os parâmetros e 
procedimentos para a execução desses ensaios. 
Ensaio de Erosão de Partículas Sólidas 
A norma ASTM G76 (ASTM G76, 2010) descreve esse teste, que consiste na projeção de par-
tículas sólidas contra uma superfície usando jatos de ar comprimido. Exemplo típico da apli-
cação do ensaio seria para simulação de uma superfície sendo atacada pela areia soprada pelo 
vento. A perda de massa é utilizada para quantificar o desgaste. A Fig. 4.27(b) ilustra um dis-
positivo para esse teste. 
Câmara de 
mistura 
Disco de Arei ia 
borrachal .;. ... 
~\>-FO<ÇO Distância de trabalho 
i * 
(a) (b) 
Corpo de prova 
Figura 4.27 (a) Esquema do 
dispositivo de teste com disco 
de borracha e areia e morfolo-
gia do desgaste (Bayer, 2004). 
(b) Dispositivo para teste de 
desgaste por erosão (Bayer, 
2004). 
Ensaio de Erosão por Cavitação 
Esse teste foi desenvolvido para simular o colapso das bolhas dos líquidos em alta pressão 
contra as paredes de sistemas hidráulicos e tem sido usado com eficácia em testes de turbinas, 
bombas e tubos e na seleção de materiais com maior resistência a esse tipo de desgaste. Odes-
gaste do corpo de prova, que é submergido em um líquido, acontece devido à alta vibração 
provocada por um transdutor ultrassônico. A norma ASTM G32 (ASTM G32, 2010) pode ser 
usada para conduzir esse teste. A Fig. 4.28(a) ílustra um dispositivo para esse teste. 
energia 
prova 
(a) 
Isolador 
acústico 
Transdutor 
Buzina 
I 
Banho 
refrigerado r 
~ 
'----' 
EN SAI O D E D U REZ A 151 
.-- 3 esferas engastadas 
(b) 
Figura 4.28 (a) Ensaio de erosão por cavitação. (b) Esquema do ensaio com quatro esferas (ASTM 
D4172, 201 0). 
Ensaio de Desgaste de Quatro Esferas 
O ensaio de desgaste com esferas segue os procedimentos estabelecidos na norma ASTM 
04172. Esse teste tem o objetivo de determinar as características de fluidos lubrificantes em 
superfícies que deslizam em determinadas condições. Três esferas de 12,7 mm de diâmetro 
são engastadas juntas e cobertas por óleo lubrificante. Uma quarta esfera é colocada no topo 
das esferas e pressionada na cavidade das esferas engastadas, conforme esquema da Fig. 4.28(b). 
Após o aquecimento do lubrificante a esfera do topo é girada provocando cisalhamento entre 
as quatro esferas. A resposta do teste consiste em analisar o diâmetro das depressões provo-
cadas nas esferas engastadas (ASTM 04172, 2010). 
Ensaio de Desgaste Bloco-Disco 
Essa técnica de ensaio é aplicada para determinar o desgaste provocado pelodeslizamento de 
contatos lineares. É um teste bastante flexivel, pois pode utilizar qualquer tipo de material, 
lubrificante., atmosfera e variáveis de processo. O bloco de teste é pressionado contra um disco 
em rotação. Conforme a norma ASTM G77 (ASTM G77, 2010), o resultado do ensaio deve 
ser obtido pelo cálculo da perda de volume do bloco, através das dimensões do desgaste do 
bloco, e pela perda de volume do disco, através do cálculo da perda de massa do disco. A Fig. 
4.29(a) ilustra o funcionamento desse teste. 
Ensaio de Desgaste Pino-Disco 
Essa técnica de ensaio é aplicada para determinar o desgaste provocado pelo deslizamento de 
contatos com áreas reduzidas. A máquina ou dispositivo de teste deve rotacionar o disco ou 
provocar movimentos circulares com o pino para que haja um movimento discordante entre 
o pino e o disco. O resultado do ensaio é um risco circular no disco. A Fig. 4.29(b) apresenta 
um esquema do dispositivo de ensaio. 
Pode-se configurar o dispositivo tanto na horizontal quanto na vertical, contanto que o 
eixo do pino fique perpendicular à face do disco. Com carga predeterminada, o pino é pres-
sionado sobre o disco que está em movimento, sendo possível simular a carga utilizando dis-
positivos mecânicos, hidráulicos, pneumátkos e elétricos. A determinação do desgaste é feita 
através da análise de perda de massa ou variação das medidas do disco e do pino realizadas 
152 C A P [ T U L O 4 
Bloco com base 
cilfndrica para 
melhor distribuição 
í Força normal 
de força 
(a) 
Força de fricção na 
linha de contato 
Disco 
(b) 
Figura 4.29 (a) Ensaio de desgaste bloco-disco (ASTM G77, 201 O). (b) Representação esquemática do 
dispositivo de ensaio de desgaste pino-disco (ASTM G99, 2004). 
antes e depois dos testes. O volume de desgaste é resultado de uma combinação de fatores 
como força aplicada, velocidade de deslizamento, distância percorrida, o meio em que o teste 
é realizado e as propriedades dos materiais. As características dos sistemas reais como meio 
corrosivo, temperatura, lubrificação e geometria podem levar o teste a resultados distantes 
dos valores reais, logo deve-se simular o maior número possível de variáveis. Para ensaio com 
análise de desgaste do pino, com pino com ponta esférica de raio r, adota-se a Eq. ( 4.18) para 
determinar a perda de volume, assumindo que o desgaste do disco seja insignificante. 
Perda_ Volume_Pino = ~h ( 3 : d2 + h2) 
em que 
( 
d2 )~ h = r- r 2 - 4 
d = diâmetro_do_desgaste 
r = raio_do_pino 
(4.18) 
Para ensaio com análise de desgaste do disco, deve-se considerar o raio do risco provocado 
pelo desgaste e assumir que o desgaste do pino seja desprezível. A Eq. (4.19) é utilizada para 
a determinação da perda de volume do disco. 
Perda_ Volume_Disco = 27rR [r2sen- 1 (:r) -~ (4r2 - d2)~ ] 
em que 
R = raio_de_desgaste_Disco 
d = largura_da_faixa_desgastada 
(4.19) 
Para ensaios com análise de massa, deve-se apenas transformar a perda de massa em perda 
de volume conforme a Eq. ( 4.20). 
perda massa[g] 
Perda_ Volume[mm3] = - [ ] X 1000 
densidade L 
cm3 
(4.20) 
Quando se pretende analisar o desgaste de dispositivos do motor que trabalham submer-
sos, o ensaio simulará tal aplicação adaptando a norma ASTM G99 para que a mesma possa 
analisar desgaste de dispositivos submersos em lubrificantes. 
E N S A I O D E D U R E Z A 153 
5 x 15 x 20 mm 
Seção transversal 
Figura 4.30 Esquema da solidificação direcional vertical com base refrigerada a água, macroestru-
tura tfpica resultante para uma liga de alumrnio e retirada dos corpos de prova para ensaio de des-
gaste. Os corpos de prova para ensaio de tração também foram removidos perpendicularmente à 
direção de crescimento. (A1 e A2 são respectivamente os espaçamentos dendrfticos primário e 
secundário.) 
Há uma tendência comum em se associar maior resistência ao desgaste a materiais 
metálicos de resistência mecânica e dureza mais elevadas. O limite de resistência à tração 
é usualmente relacionado à dureza através de correlações lineares como a da Eq. (4.5). 
Entretanto, deve-se tomar cuidado com esse tipo de generalização. :h sempre oportuno 
lembrar que as propriedades de um determinado material têm fortes vinculações com o 
arranjo mícroestrutural, ou seja, com a natureza, morfologia e distribuição das fases pre-
sentes na microestrutura. 
Como exemplo, pode-se analisar o caso de ligas de dois importantes sistemas binários à 
base de alumínio: Al-Si e Al-Sn. Considerando-se ligas hipoeutéticas de ambos os sistemas na 
condição bruta de solidificação (sem nenhum tipo de tratamento térmico ou mecânico), a 
microestrutura dessas ligas é constituída por uma matriz dendrítica da fase rica em alumínio, 
e regiões interdendríticas formadas pela mistura eutética de fase rica em AI e partículas de Si 
(ligas AI-Si) ou por partículas de Sn, já que o Sn é praticamente imíscível no AI (ligas Al-Sn). 
Um estudo recente [Cruz et al. 201 O] baseou -se em lingotes produzidos por solidificação dire-
cional, conforme esquema da Fig. 4.30, para desenvolver uma análise comparativa entre resis-
tência à tração e resistência ao desgaste em função do espaçamento dendrítico primário, 
também definido na Fig. 4.30 .. 
Para a caracterização da resistência ao desgaste utilizou-se um aparato de ensaio que 
promove o desgaste de microabrasão por esfera rotativa fixa, mostrado esquematicamente 
na Fig. 4.31. A esfera utilizada no ensaio foi de aço 52100 (usada para rolamentos) com diâ-
metro de 25,4 mm e dureza de 850 HV. A carga utilízada foi de 0,6 N e rotação de 260 rpm. 
Não foi utilizada nenhuma solução abrasiva ou lubrificante, pois um elemento interfacial 
poderia prejudicar a interpretação dos resultados relativos à resposta da microestrututura 
com relação à resistência ao desgaste. Durante os testes a esfera rotativa de aço gira contra 
a superfície da amostra produzindo uma cratera esférica de desgaste na amostra. O volume 
154 CAPI TU LO 4 
Contrapeso 
o 
Carga 
Figura 4.31 Esquema do aparato utilizado no ensaio de desgaste 
de desgaste, V, é calculado a partir da medida do diâmetro da cratera, d, e do raio da esfera 
rotativa, R: 
'7Td4 
V = -
64R 
(4.21) 
Na medida em que a estrutura dendrítica fica mais refinada, há, de modo geral, uma ten-
dência de aumento na resistência mecânica, o que se atribui a uma distribuição mais uniforme 
dos produtos de segregação microscópica nas regiões interdendríticas, tais como segundas 
fases, intermetálicos e outros obstáculos ao escorregamento. A Fig. 4.32 mostra resultados de 
limite de resistência à tração em função do espaçamento dendrítico primário, À1 para ligas 
Al-Sn e AI-Si. Os pontos representam a média de resultados experimentais e as retas um ajuste 
a esses pontos. Vê-se que em ambos os casos quanto mais refinada a microestrutura dendrí-
tica (menores valores de À1), maiores os valores do limite de resistência à tração. 
A Fig. 4.33 mostra os resultados de ensaio de desgaste para uma liga Al-20%Sn e uma liga 
Al-3%Si. O volume de desgaste é apresentado em função do espaçamento dendrítico primá-
rio, À 1, e para ensaios de diferentes tempos de duração. Pode-se notar que a resistência ao 
desgaste (1/V) da liga Al-Sn cresce com o aumento do espaçamento dendrítico primário. Essa 
resposta da microestrutura está associada à maior fração volumétrica de Sn nas regiões inter-
dendríticas ricas em Sn, o que parece intensificar o papel de lubrificante sólido do Sn, dimi-
nuindo o volume de desgaste. Vê-se também que com o aumento do tempo de ensaio há um 
aumento da influência de À1 sobre a resistência ao desgaste. Para a liga Al-3%Si ocorre uma 
tendência oposta, ou seja, com maior refino da microestrutura dendrítica aumenta a resistên-
cia ao desgaste. Isso se deve a uma distribuição mais homogênea do eutético interdendrítico 
e à redução no tamanho das partículas aciculares de silício. Nesse caso, com o aumento do 
tempo de ensaio, ocorre uma diminuição da influência de À1 sobre a resistência aodesgaste. 
A Fig. 4.34 sintetiza os resultados de resistência ao desgaste, representada pelo inverso do 
volume de desgaste, e de resistência à tração para as ligas Al-20%Sn e Al-3%Si. Pode-se ob-
servar que, embora o efeito do refino no limite de resistência à tração seja o mesmo para ambas 
as ligas (aumento deu,. com a d!iminuição de À 1) , há um efeito oposto de diminuição da resis-
tência ao desgaste com a diminuição de À 1 para a liga Al-Sn. Portanto, no caso de ligas Al-Sn 
o aumento da resistência mecânica foi acompanhado de queda na resistência ao desgaste. 
'i? a.. 
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...... 
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o 
I ('I) 
o. 
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Q) 
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(b) 
ENSAIO DE DUREZA 155 
90 
85 
80 
75 
70 
65 
60 
55 
50 
45 
40 
35 
30 
0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 
150 
125 
100 
. - 0.5 ( - 0,5) 1., jl m 
() Experimental - AI-15%Sn 
O Experimental - AI-30%Sn 
• Experimental - AI-20%Sn 
( 
- 0,5 
- (10 = 38 + 150 · ).1 ) 
0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0113 
. - 0.5 ( - 0.5) 
" ' p m 
O AI-3%Si e AI-5%Si - 05 - O'u= 80 + 261· (J.1 ' ) 
Figura 4.32 Limite de resistência à t ração em função do espaçamento dendrftico primário (inverso da 
raiz quadrada de A1): (a) ligas AI-Sn e (b) ligas AI-Si. 
156 CAPITU LO 4 
0,6 
I Al-20%Sn I I 0,5 
"'- - 05 E V= 0,02 + (0,044) · t · [.11 ' ) J .s $' 0,4 Q) 
JIII-iii «l O> 0,3 UJ 
Q) 
'O 
Q) 
'O 
Q) 0,2 
E 
~ 
~ 
0,1 
0,0 -+-- r---r--r-""""T-..,..---,--,.--r--r-,--,--..,..---i 
0,00 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 0,24 
). - 0,5 ( - 0.5 ) •1 Jt m 
• 15 minutos O 20 minutos • 40 minutos I 
(a) 
0,6 
_, - os 
V= 0,25- (20,4) ·I · (l. 1 ') 
"'-E 
0 ,5 para 15 e 20 minutos 
.s 
S' 0,4 
2 
UJ 
«l 
O> 0,3 UJ 
Q) 
'O 
Q) 
'O 
Q) 0,2 
E 
~ 
~ 
0,1 AI-3%Si 
0,0 +---.,.---,--r---r-r--r-r--r-r--r--..---.--..--~ 
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 
l - 0.5 ( - 0.5) 
" 1 ltm 
• 15 minutos O 20 minutos • 40 minutos I 
(b) 
Figura 4.33 Volume de desgaste em f unção do espaçamento dendrft ico primário (inverso da raiz qua-
drada de A1): (a) liga AI-20%Sn e (b) liga AI-3%Si (t é o tempo de ensaio em minutos). 
Q) 
üí 
C1l 
Ol 
(/) 
Q) 
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o 
C1l 
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~ 
20 
18 
16 
14 
12 
10 
8 
6 I AI-3%Si 
ENSA I O DE DUREZA 157 
115 
110 
& 
105 e. 
100 
95 
" b 
4 ,_----.------.-----.-----.-----.-----.~ 90 
0,08 0,10 0,12 0,14 
' - 0.5( - 0.5 ) ,., ltm 
-- - IJu - Resistência ao desgaste (1/V) I 
(a) 
5 90 
I AI-20%Sn 
4 80 
3 70 <? a. 
e. 
" 
2 60 
b 
50 
o 40 
0,15 0 ,20 0,25 0,30 
J.. - 0,5 ( - 0,5 ) 
, l'm 
- - - IJu - Resistência ao desgaste (1/V) I 
(b) 
Figura 4.34 Resistência ao desgaste (1/V) e limite de resistência~ t ração em função do espaçamento 
dendrftico primário (inverso da raiz quadrada de A1): ligas AI-3%Si e AI·20%Sn. 
.._Ensaio de Torção 
ENSAIO DE TORÇÃO consiste na aplicação de carga rotativa em um corpo de prova geralmente 
de geometria cilfndrica. Mede-se ângulo de deformação {O) como função do momento de 
torção aplicado {M,). Esse ensaio é amplamente utilizado na indústria de componentes 
mecânicos, como: motores de arranque, turbinas aeronáuticas, rotores de máquinas pesa-
das, brocas, parafusos e outros, principalmente devido à vantagem de fornecer dados 
quantitativos das caracterfsticas mecânicas dos materiais que compõem o componente, em 
particular as tensões de cisalhamento. Dentre os principais resultados do ensaio destacam-
se: limite de escoamento ao cisalhamento {-r.), limite de resistência ao cisalhamento {T), 
módulo de elasticidade transversal {G), módulo de resiliênda à torção {U7, ) e o módulo de 
tenacidade à torção (UrJ. 
Não é indicado como um teste para o controle de especificações de entrada de matéria-
prima, sendo utilizado apenas em casos especfficos. Os resultados fornecidos pelo ensaio 
de torção são fortemente influenciados pela temperatura, velocidade de deformação, ani-
sotropia do material, tamanho de grão, porcentagem de impurezas, qualquer tipo de tra-
tamento térmico sofrido pelo corpo de prova, assim como pelas condições ambientais do 
ensaio. 
O ensaio de torção pode ser executado a partir de corpos de prova feitos do material do qual o componente será fabricado, ou por meio de ensaio na própria peça, como por 
exemplo: eixos, brocas, hastes etc., desde que suas dimensões sejam compatíveis com a máquina 
de ensaio. A máquina de ensaio possui uma cabeça giratória, responsável pela aplicação do 
momento de torção, na qual é fixada uma das extremidades do corpo de prova. O momento 
é transmitido à outra extremidade do corpo de prova, que fica preso à mesa de engaste da 
máquina de ensaio, conforme esboço apresentado na Fig. S.l(a). Ao longo do ensaio registra-
se o momento de torção (M,) contra o ângulo de torção ( 8) ou de giro relativo da extremidade 
onde a torção é aplicada. Com os resultados do momento de torção (M,) versus o ângulo de 
torção (8), se constrói a curva tensão de cisalhamento (r) versus a deformação angular de 
cisalhamento ('}'),conforme visto na Fig. 5.1 (b). 
• PROPRIEDADES MECÂNICAS EM TORÇÃO 
158 
A barra cilíndrica da Fig. 5.2(a) possui comprimento L e diâmetro D, a qual, quando subme-
tida a um momento de torção (M,) em uma de suas extremidades, estando a outra engastada, 
resulta em tensões e deformações distribuídas ao longo de toda a barra. 
O plano de referência OACO', visto na Fig. 5.2(a), após a aplícação do momento de torção 
(M,) deforma-se para o plano OBCO', onde se observa que é gerado um ângulo ( 8) na seção 
transversal de aplicação do momento. Ao longo do comprimento (L) ocorre a deformação 
angular de cisalhamento dado pelo ângulo ( </>). 
Admite-se como hipótese que na condição elástica a tensão de cisalhamento na seção 
transversal da barra varia linearmente com o raio (r), em que o valor máximo dessa tensão 
(a) 
Região de 
engaste no mancai 
Ângulo de torção 
Cisalhamento (r) lnfcio do processo 
de ruptura 
.---------,C Região de encruamento ru . ___________________ ...,_______ ----- não uniforme 
,, .. "' ..... .. ..... ,' ...... u ......... ..., 
,.-" ,........ ... .............. )F 
," ,~ 
( ,// Região de 
rP ---' encruamento 
Comportamento 
, plástico 
/ Deformação reversfvel 
.~portamento elástico 
/ / a = arctg ( G) 
(b) Deformação angular de cisalhamento 
(a) 
Plano com 
deformação 
(c) 
Figura 5.1 Representação do en-
saio de torção: (a) esboço do aparato 
do ensaio de torção em um corpo 
de prova cilfndrico; (b) curva obtida 
no ensaio de torção. 
(b) 
l dS = 2 · n · r· dr 
Figura 5.2 Torção em uma barra cilfndrica sólida: (a) deformação em torção, com destaque ao plano antes e 
depois do giro; (b) distribuição linear da tensão de cisalhamento ao longo da seção transversal, na condição el ~s­
tica; (c) elemento de ~rea (dS) e tensões de cisalhamento atuantes (T). 
160 CAPI TU LO 5 
se encontra na superfície da barra (D/2), sendo igual a zero no centro, conforme mostra a 
Fig. 5.2(b). 
As tensões de cisalhamento distribuídas na seção transversal são estaticamente equivalentes 
a um conjugado de mesmo valor numérico e sentido contrário ao momento de torção (M,), 
onde, admitindo que a seção transversal seja composta por pequenos elementos de área (dS), 
conforme dado na Fig. 5.2(c), o conjugado externo será igual ao somatório dos elementos de 
esforços resultante da tensão de cisalhamento ( T) atuante nos elementos de área. 
Tensão de Cisalhamento (T) na Região de Comportamento Elástico 
Conforme a Fig. 5.2(c), para cada elemento de área, existe um elemento de força cisalhante 
(dF,) dado por: 
dF, = T • dS (5.1) 
O elemento de momento (dM,) dessa força em relação ao eixo da barra é dado pela multi-
plicação do braço de aplicação da carga, que no caso correspondeao raio do elemento de área 
(r), pelo elemento de força (dF.,), da seguinte forma: 
dM = r·dF t T (5.2) 
Assim, o momento total é a soma dos momentos parciais estendida à área global da seção 
transversal, dada por uma equação integral representada na forma: 
D/2 
M, = J dM, = J r · r · dS (5.3) 
s o 
em queM, é o momento de torção expresso em newton por metro (N · m) e r é a distância do 
centro geométrico da seção transversal até o elemento de área dS. 
A Eq. (5.3) pode ser reescrita na forma: 
D/2 
M, = ~ J r 2. dS 
o 
(5.4) 
O termo integral da Eq. (5.4) é comum em problemas de resistência dos materiais, e essa 
integral corresponde a uma propriedade de uma figura plana, conhecida por momento polar 
de inércia (I,). O Apêndice B mostra maiores detalhes sobre os momentos de inércia de figu-
ras planas, dados por: 
I ;= J r 2 • dS 
s 
(5.5) 
Aplicando a Eq. (5.5) na Eq. (5.4), chega-se à equação geral da tensão de cisalhamento em 
torção, dada por: 
'T. 1-
M = --' I 
r 
M ·r 
OU T = -
1
-
l ; 
(5.6) 
Pela Fig. 5.2(c), tem-se que dS = 2 · 'TT • r· dr, em que a solução do momento polar de inér-
cia para os limites do raio variando de O a D/2 resulta em: 
7r. D4 
I - = --
' 32 
(5.7) 
ENSAIO OE TO RÇÃO 161 
Conforme a hipótese da Fig. 5.2(b), a tensão máxima de cisalhamento deve ocorrer na 
superfície da barra em que r = D/2, sendo o momento polar de inércia de uma seção 
transversal circular dado pela Eq. (5.7). Dessa forma, a Eq. (5.6) pode ser reescrita para a 
máxima tensão de cisalhamento ( Tmá.) em uma barra maciça de seção transversal circular, 
como: 
'Tmáx = 
16· M = l mAI 
'7T. Dl 
(5.8) 
Para um corpo de prova tubular, o momento polar de inércia é dado por: 
(5.9) 
em que D .. , é o diâmetro externo e D;,, é o diâmetro interno do tubo. 
Aplicando a Eq. (5.9) na Eq. (5.6) para a superfície do tubo, em que r = D""'' chega-se a: 
16 M, · De .. 
T = mh 
máx (D4 - D.4 ) 7T txt llll 
(5.10) 
Para tubos com parede de espessura menor que 1/10 vezes o diâmetro externo, pode-se 
mostrar (ver Apêndice C) que a Eq. (5.10) pode ser aproximada por: 
(5.11) 
em que t é a espessura da parede do tubo, e t < D .. /10. 
Comparando a tensão de cisalhamento em torção para eixos maciços, Eq. (5.8), e eixos 
ocos ou tubulares, Eq. (5.11), observa-se que somente o material na superfície exterior do eixo 
pode ser solicitado até o limite dado para a máxima tensão admissível, e o material no interior 
do eixo trabalhará com tensões mais baixas. 
Admitindo que dois eixos cilíndricos, um deles maciço e o outro tubular, de mesmo com-
primento (L) e de diâmetro externo iguais (D .. t), com diâmetro interno do eixo tubular igual 
à metade do diâmetro externo (D;0 1 = D.,/2), sejam submetidos a um mesmo momento de 
torção, conforme visto na Fig. 5.3, pode-se provar, segundo as Eqs. (5.12) e (5.13), que, en-
quanto o eixo oco sofre uma redução de massa da ordem de 25%, a tensão máxima atingida 
neste cresce em apenas 7%. 
L 
(a) Eixo maciço (b) Eixo oco 
Figura 5.3 Aplicação de mesmo momento de torção (a) no eixo maciço e (b) no eixo oco. 
162 CAP [ TU L O 5 
Redução ( . ) 
al 
Massa(mac1ço) - Massa( tubo) O% 
percentu = . · lO 
de massa Massa( maciço) 
Redução 
percentual = 
de massa 
D .. , D.,., D,., ( )2 (( )2 ( )2) p · L·1r· - 2- - p · L·7T· 2 - 4 
(D.., )z p·L·7T· - 2-
·100% = 25% 
em que pé a massa específica do material metálico que forma os eixos [kg/m3]. 
_ (T(tubo) - r(maciço)) Aumento percentual da tensao = . ·100% 
T(maCIÇO) 
Aumento percentual da tensão = 
16 M,o~., · D,.. 
16 · M,.,11 
7T . D:., 
16 · M,.,., 
7T. D~., 
·100 = 6,7% 
(5.12) 
(5.13) 
Assim, quando se deseja uma redução de peso de determinados componentes mecânicos, 
como, por exemplo, aqueles empregados na indústria aeronáutica, é interessante a utilização 
de eixos ocos ou tubulares, uma vez que sua resistência à torção não cai na mesma proporção 
que a redução de massa. 
Admitindo que no problema anterior o diâmetro interno (D
1
.,) seja dado por um fator (a) 
que multiplica o diâmetro externo (D,.,), conforme mostra a Fig. 5.4, em que O :5 a < 1, e 
aplicando as Eqs. (5.12) e (5.13), pode-se mostrar que a redução percentual de massa é dada 
por: a2 • 100%, enquanto o aumento percentual da tensão de cisalhamento é dado por: 
( a
4 
) ·100%. Nessas condições, objetiva-se uma maior redução de massa para o menor 
1-a4 
aumento da tensão de cisalhamento. Essa diferença é apresentada no gráfico da Fig. 5.5, em 
que se observa que a melhor condição ocorre para a :::: 0,61, e a redução de massa será da 
ordem de 37% enquanto a tensão se eleva em apenas 16%. 
No caso de torção em um eixo com seção transversal retangular, o problema torna-se mais 
difícil devido ao encurvamento da seção transversal, o que ocasiona uma deformação máxima 
no centro da barra e mínima nas laterais (vértices), conforme mostra o exemplo da Fig. 5.6(a). 
Os vértices da barra após sofrer a torção são estirados, sofrendo um efeito de tração e dobra-
mento, não apenas o efeito de cisalhamento. Espera-se, portanto, que a tensão de cisalhamento 
oco 
' mtlx 
L 
Figura 5.4 Eixo oco com a razão a = D,./ Dcxt· 
100 
95 
90 
85 
80 
75 
70 
65 
60 
~ 55 L 
(ij 50 
"' 45 c 
(I) 
!:? 40 
(I) 
c_ 35 
30 
25 
20 
15 
10 
5 
o 
- 5 
- 10 
0,0 
Percentual para a 
máxima redução de massa 
Percentual para o 
mínimo aumento de tensão 
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 
- Redução percentual de massa no tubo 
~ Diferença (% massa -% tensão) 
~ Aumento percentual da tensão de 
cisalhamento no tubo 
ENSAIO OE TORÇÃO 163 
1 ,o 
Figura 5.5 Gráfico da relação entre a 
redução de massa para o aumento da 
tensão de cisalhamento como função 
da razão a = D,n/D.,.1. 
Figura 5.6 (a) Aplicação de torção em barra de seção quadrada, com destaque ao efeito de estiramento 
do vértice. (b) Dimensões de barra de seção retangular para o ensaio de torção. 
164 CAPI TU LO 5 
varie com essa distorção, isto é, seja máxima no meio dos lados e zero nos vértices da seção 
transversal; e a tensão máxima é dada por: 
M 
7' = tm~x 
máx b 2 a: . . c 
(5.14) 
em que b é o lado maior, c o lado menor, conforme Fig. 5.6(b), e a: um coeficiente numérico 
que depende da relação b/c, conforme alguns valores apresentados na Tabela 5.1. 
Tabela 5.1 Dados para a torção de um eixo com seção transversal retangular 
(Timoshenko, 1969) 
b/c 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 6 8 10 00 
cr 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 
{3 O, 141 O, 196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333 -
Também, é interessante ressaltar que a tensão máxima pode ser determinada por: 
r = M,~,. · [3 + 1 8 · (~)] 
máx b. c2 , b (5.15) 
Deformação de Cisalhamento ( 'Y) na Região de Comportamento Elást ico 
O ângulo de torção(</>), conforme mostra a Fig. 5.7, dado pela cordaAB, é o deslocamento de 
giro sofrido por um ponto na superfície do corpo de prova em relação ao engaste fiXo, expresso 
em radianos, sendo este tanto maior quanto mais longo for o corpo de prova. A deformação 
de cisalhamento ( y) é determinada como função do raio (D/2), do ângulo de torção(</>) e do 
comprimento do corpo de prova (L), dada por: 
AB D·O 
'Y = tan(</>) = - = -
L 2 · L 
(5.16) 
em que, O é o ângulo de torção (radianos), L é o comprimento do corpo de prova (m) e D/2 
representa o raio do corpo de prova (m). 
Figura 5.7 Eixo cilfndrico exposto 
a torção, com destaque ao ãngulo 
de giro (cf>) em relação à superffcie 
engastada. 
AB 
tan (~) =-
L 
L 
E N S A I O O E TO R Ç À O 165 
M lmáx 
o 
I«! 
~ 
,g 
Q) 
'O 
,g 
c 
Q) 
E 
o~ 
16 o MI 
r=--
rt o 03 
Elementos monitorados 
no ensaio de torção 
~ L-------------+ 
Início do processo 
de ruptura 
Região de 
encruamento 
não uniforme 
Ângulo de torção (O) Deformação angular (y) 
o o() 
y=-20L 
Figura 5.8 Gráfico momento de torção (M,) versus ãngulo de torção (B) e diagrama tensão de cisalha-
mento (T) versus deformação angular ('y)o 
O ângulo de torção por unidadede comprimento é diretamente proporcional ao momento 
de torção, sendo dado por: 
()= M I 
c 
(5.17) 
em que C é uma constante chamada de rigidez à torção, com C = G o I, para o caso de eixos 
circulares e C = {3 • b · 2 · G, para eixos retangulares. Os valores de {3 são listados na Tabela 
5.1, e G corresponde ao módulo de elasticidade em torção. 
Pode-se observar na Fig. 5. 7 que a tensão de cisalhamento na superficie aumenta à medida 
que o comprimento do corpo de prova aumenta, ou a aplicação do momento de torção se 
afasta da extremidade engastada. 
Monitorando-se o momento de torção aplicado ao corpo de prova versus o ângulo de tor-
ção, e utilizando-se as Eqs. (5.8) e (5.16), obtém-se a curva de tensão de cisalhamento versus 
a deformação angular, conforme apresentado na Fig. 5.8. 
Módulo de Elasticidade Transversal (G) 
Dentro do regime elástico, a tensão de cisalhamento é proporcional à deformação angular, de 
maneira análoga ao módulo de elasticidade que caracteriza a relação entre tensão normal e 
deformação para o ensaio de tração. Pela lei de Hooke, a tensão de cisalhamento em qualquer 
ponto no interior de um eixo maciço é dada por: 
T = 'Y. G ou T G= -
'Y 
(5.18) 
em que a constante de proporcionalidade ( G) corresponde ao módulo de elasticidade trans-
versal ou módulo de rigidez. 
Substituindo a Eq. (5.6) com r= D/2, e a Eq. (5.16) na Eq. (5.18), chega-se a: 
G= M, ·L 
I ·O r 
(5.19) 
166 CAPITU LO 5 
Limite de Proporcionalidade e Limite de Escoamento (TP e 'Te) 
Similarmente ao ensaio de tração, o limite de proporcionalidade em torção ( TP) pode ser deter-
minado no final da linearidade entre tensão de cisalhamento e deformação angular. O limite 
de escoamento ( T,), que caracteriza o início da zona plástica, é de difícil determinação em uma 
barra sólida, já que as fibras superficiais são impedidas de escoar pelas fibras mais internas 
que são submetidas a menores níveis de tensão, conforme Fig. 5.9(a). Como no ensaio de tra-
ção, é comum a utilização da deformação angular padrão ( '}'11) para determinação do limite de 
escoamento ( T,), por exemplo, )'11 = 0,001 de deformação, conforme mostrado na Fig. 5.9(a). 
Dessa forma é mais apropriada a utilização de corpos de prova tubulares, em que o efeito é 
minimizado, já que o gradiente de tensões é praticamente eliminado, resultando em uma dis-
tribuição mais uniforme de tensões, como mostrado na Fig. 5.9(b). 
Um fator de importância a ser observado na torção, tanto de tubos quanto em eixos maci-
ços, é a utilização de relações en tre o comprimento e os diâmetros dos corpos de prova para 
evitar o efeito da cambagem, conforme mostrado na Fig. 5.10, os quais devem atender às con-
dições: L< 10 · D •• , para eixos maciços e 8 · (D •• ,- D;11) < Dex, < 10 · (Dext- D;01) para tubos. 
:s Tu 
o c Te 
Q) 
E 
<1l 
.c Tp 
(ii 
(/) 
'(} 
Q) 
'O 
o 
•<11 
(/) 
c: 
~ 
0 Fibras externas em escoamento e fibras Internas na condição elástica 
Fibras externas 
e fibras internas 
na condição elástica 
Deformação angular (i') 
(a) (b) 
Figura 5.9 (a) Diagrama tensão de cisalhamento (T) versus deformação angular ('y) para eixo maciço, 
com destaque para as fibras na condição elást ica e após o infcio de escoamento. (b) Perfi l da tensão de 
cisalhamento em tubos. 
Figura 5.10 Efeito obseNado na tor-
ção de tubos e eixos conhecido por 
cambagem. 
ENSAIO O E TO R Ç À O 167 
Limite de Resistência ao Cisalhamento (·Tu) 
Conforme mostra o esquema de distribuição de tensões na seção transversal após o inicio do 
escoamento (Fig. 5.9(a)), ao a.tingir-se o regime plástico a distribuição de tensões não é mais 
linear, e as equações apresentadas anteriormente para a determinação da máxima tensão de 
cisalhamento não são aplicáveis. 
Entretanto, para efeitos práticos costuma-se aplícar essas equações na determinação do 
equivalente ao limite de resistência à tração, que é denominado limite de resistência ao cisa-
lhamento (Tu}. Esse limite é obtido pela substituição do momento de torção máximo aplicado 
no ensaio antes da ruptura, conforme dado nas Eqs. (5.8) e (5.10), para o caso de eixos maci-
ços e tubulares, respectivamente. 
Para eixo maciço: 
16M, ..... 
T= --""'-
u 7T D3 
(5.20) 
Para tubos: T = 16 · D<xt · M,,,, 
u 7T • (D:XI - DÍ~\t ) 
(5.21) 
Tensão e Deformação de Cisalhamento na Região de Comportamento Plástico 
Um tratamento mais rigoroso da torção na zona plástica permite a determinação de expres-
sões mais precisas para as tensões máximas de cisalhamento que ocorrem na seção transversal 
do corpo de prova. 
Partindo da Eq. (5.3), e lembrando pela Fig. 5.2(c) que dS = 2 · 7T • r· dr, pode-se escrever 
que: 
D/2 
M, = 2 · 7T J r · r 2 • dr 
o 
(5.22) 
Pela Fig. 5.7 observa-se que a tensão de cisalhamento aumenta à medida que se afasta da 
extremidade engastada, sendo máxima na extremidade de aplicação do momento de torção 
(L) e para o raio igual a r = D/2. Assim, a Eq. (5.22) pode ser reescrita na forma: 
D/2 
M,m., = 2 · 7T • Tm;. f r 2 • dr 
o 
A solução da Eq. (5.23) é d!ada por: 
ou 
12·M, ,. = 1!14ot 
nulx 7T, D3 
(5.23) 
(5.24) 
Comparando a Eq. (5.20) com a Eq. (5.24), observa-se que essa última subestima em 25% 
o valor de T", conforme aquele apresentado para as equações obtidas na condição elástica. 
Informações Adicionais sobre o Ensaio de Torção 
Como se trata de um ensaio amplamente empregado em produtos acabados ou semiacabados, 
como eixos, parafusos, brocas, arames etc., a ASTM desenvolveu uma norma específica para 
a realização desse ensaio em arames metálicos, norma esta que pode em alguns casos ser esten-
dida para outros componentes mecânicos semelhantes, sendo designada ASTM E588:1983. 
Para outros detalhes do ensaio de torção, é interessante consultar as normas específicas e atu-
alizadas da ABNT, ASTM, DINe outras. 
168 CAPI TU LO 5 
Entre as principais recomendações e providências necessárias para a realização do ensaio, 
podem-se citar: 
• A fixação das extremidades do corpo de prova na máquina deve ser tal que não ocorram 
danos ou destruição das mesmas, ocasionando pontos de nucleação de trincas e conse-
quente fratura. 
• A distância entre as fixações será considerada o comprimento útil do corpo de prova 
(L). 
• A rotação ou giro do corpo de prova deverá ocorrer apenas ao longo do comprimento 
útil, e não na região engastada. Para tanto, antes de se validar o ensaio, o operador deverá 
verificar se a extremidad!e de fixação não se encontra danificada (deformada) após a 
retirada deste da máquina de ensaio. 
• O equipamento deverá ser dotado de um dispositivo de leitura de giro, diminuindo 
possíveis erros do operador nas medidas. 
• Para o caso de ensaios realizados em componentes curvos, como é o caso de arames ou 
fio máquina, os mesmos deverão ser endireitados com a própria mão quando possível, 
ou com um martelo de madeira, borracha, cobre ou outro material que não danifique 
a superfície do corpo de prova. 
• Como a tensão máxima de cisalhamento ocorre na superfície, é recomendado que seja 
isenta de defeitos ou marcas, que podem mascarar o comportamento do componente 
como um todo, não revelando sua total capacidade. 
• A velocidade de giro durante o ensaio também requer especial atenção, devendo ser 
pequena. Em geral, esta é medida em rpm ou rps, conforme mostrado na Tabela 5.2 
para o caso de ensaios em arames. 
Aproximações podem ser feitas entre os resultados obtidos pelo ensaio de torção e o ensaio 
de tração, utilizando-se das expressões: 
Para o escoamento em cisalhamento: 
(5.25) 
Para o limite de resistência em cisalhamento: 
T 11 == 0,8 · 0'11 (para materiais dúcteis) (5.26) 
e 
T 11 == JL,O a 1,3 · 0'11 (para materiais frágeis) (5.27) 
As fraturas observadas no ensaio de torção são diferentes das obtidas no ensaio de tração, 
assim como a deformação plástica na fratura é localizada e muito pequena quando comparada 
com o alongamento e a redução de área em tração. 
A Fig. 5.11 mostra uma representação da distribuição de tensõesde cisalhamento num 
elemento de volume do material. Conforme visto para a torção, a tensão máxima de cisalha-
mento ocorre na superfície externa do material, tanto no sentido longitudinal quanto no sen-
tido transversal do material. 
Tabela 5.2 Taxas de t orção recomendadas para arames [ASTM E588:1983] 
Diâmetro do arame (mm) 
Até1, 17 
De 1,17 a 2,26 
Acima de 2,26 
Máxima taxa de tor~ão (RPS) 
2 
1 
0,5 
p 
E N S A I O O E TO R Ç À O 169 
Figura 5.11 Distribuição das tensões 
ao longo de um elemento de volume 
de um eixo solicitado em torção. 
(Timoshenko, 1966.) 
Figura 5.12 Esquema de uma mola heli-
coidal submetida a uma força axial de 
tração. 
No caso de uma mola helicoidal de seção transversal circular submetida à ação de uma 
força axial P, conforme mostra a Fig. 5.12, pode-se concluir, pelas equações da estátka, que 
os esforços na seção transversal MN de uma espira da hélice decorrem de uma força cortante 
que passa pelo centro da seção transversal e de um momento que atua no plano da seção, 
sendo dados por: 
4 · P 
(5.28) T = 
timomento 7r . D2 
16 · P · R 
T =---
"«>rtant• 7T , D3 
(5.29) 
em que Pé a carga, R é o raio da superfície cilíndrica que contém a linha dos centros da mola 
e D, o diâmetro da seção transversal. Como no ponto Mas direções de '!'momento e """'"'"'• coin-
cidem, a tensão de cisalhamento máxima vale: 
16· P· R( D ) 
'Tmâx = "momento + 7 cortante = 7T. D l 1 + 4, R (5.30) 
A experiência mostra que a ruptura, principalmente no caso de molas pesadas, em geral 
principia no lado interno da mola, visto que a deformação de cisalhamento no lado interno 
será maior do que a do lado externo. Portanto, as tensões de cisalhamento produzidas pelo 
conjugado P · R serão maiores no lado interno. 
170 C A P [ T U L O 5 
Os materiais dúcteis rompem-se por cisalhamento ao longo de um plano de máxima ten-
são de cisalhamento, geralmente um plano normal ao eixo longitudinal do corpo de prova, 
ou plano transversal. No caso de alguns materiais em que o componente de tensão no sentido 
longitudinal predomina sobre o componente transversal, como ocorre no caso da madeira 
com fibras paralelas ao eixo longitudinal, as primeiras trincas ou fendas serão produzidas por 
essas tensões, que aparecerão na superficie do material. 
No caso de materiais metálicos frágeis, estes se rompem em função das tensões de tração 
decorrentes, já que o estado de cisalhamento puro é equivalente ao da tração numa direção e 
ao da compressão na direção perpendicular. O plano de fratura corresponde a um plano per-
pendicular à direção de máxima tensão de tração, que é dado pela bissetríz do ângulo entre 
dois planos de máxima tensão de cisalhamento, fazendo um ângulo de 45° com as direções 
longitudinal e transversal, o que provoca uma fratura em forma de hélíce. Esse tipo de fratura 
é típico em eixos de ferro fundido, podendo também ocorrer em materiais dúcteis sob con-
dições específicas, como a aplicação de elevadas taxas de deformação, temperaturas criogênicas 
ou deficiências de projeto e material. As Figs. 5.13(a) e (b) apresentam duas vistas da fratura 
em duas pontas de eixo de veículos de passeio. A Fig. 5.13(a) apresenta uma fratura frágil, 
porém, sabendo que o eixo é feito de aço, material dúctil, pode-se supor que ele deva ter sofrido 
esse tipo de fratura devido a um elevado torque do motor, conduzindo-o a uma elevada taxa 
de deformação. A Fig. 5.13(b) apresenta uma fratura dúctíl, conforme esperado para esse tipo 
de material. No caso particular do eixo da Fig. 5.13(b), a fratura ocorreu devido ao fenômeno 
de fadiga, conforme será explicado em capítulo posterior. A Fig. 5.13(c) mostra a distribuição 
de tensões máximas nos corpos de prova submetidos a esforços de torção. 
(b) 
-----x 
(c) 
Figura 5.13 Tipos de fratura em torção: (a) dúcti l, (b) fr~gil. (c) Estado de tensões em torção. (Segundo 
Dieter, 1988.) 
Ensaio de Flexão 
ENSAIO DE FLEXÃO consiste na aplicação de uma carga crescente em determinados pontos de 
uma barra de geometria padronizada, a qual pode estar na condição biapoíada ou engas-
tada em uma das extremidades. Mede-se o valor da carga versus a deformação máxima, 
ou a flecha (v), deslocamento dos pontos de aplicação de carga, atingida na flexão. É um 
ensaio muito utilizado na indústria de cerâmicos, em concreto e madeira, metais duros, 
como ferro fundido, aço ferramenta e aço rápido, devido ao fato de fornecer dados quan-
titativos da deformação que esses materiais podem sofrer quando sujeitos a cargas de fle-
xão. Os materiais dúcteis, quando sujeitos a esse tipo de carga, são capazes de absorver 
grandes deformações, ocorrendo dobramento do corpo de prova, não fornecendo assim 
resultados quantitativos qualificados para o ensaio de flexão. Nesses casos esse ensaio con-
siste mais em um ensaio de fabricação, chamado de dobramento. Existem três tipos prin-
cipais desse ensaio: o ensaio de flexão em três pontos, em que a barra a ser testada é 
biapoiada nas extremidades e a carga é aplicada no centro do comprimento do corpo de 
prova; o ensaio de flexão em quatro pontos, em que a barra a ser testada é biapoiada nas 
extremidades e a carga é aplicada em dois pontos na região central do comprimento, sepa-
rados por uma distância padronizada; e o chamado método engastado, que consiste em 
engastar uma extremidade do corpo de prova e a aplicação da carga na outra extremidade. 
Os principais resultados do ensaio de flexão são: módulo de ruptura em flexão - MOR (u,.), 
módulo de elasticidade em flexão - MOE (E), módulo de resiliência em flexão (Ur,) e módulo 
de tenacidade em flexão (Ut,). É bastante empregado para o controle das especificações 
mecânicas de componentes. Os resultados fornecidos pelo ensaio de f lexão podem variar 
com a temperatura, a velocidade da aplicação da carga, defeitos superficiais e caracteds-
ticas microscópicas e, principalmente, com a geometria da seção transversal da amostra. 
Contrastando com os ensaios que aplicam ao corpo de prova exclusivamente tensões nor-mais, como a tração e a compressão, e os ensaios de cisalhamento puro, como o exemplo 
do ensaio de torção, o ensaio de flexão impõe sobre a seção transversal níveis de tensões tra-
tivas, compressivas e cisalhantes ao mesmo tempo. Conforme será visto, os níveis máximos 
de tensão trativa e compressiva assim como a tensão cisalhante sobre a superfície dependem 
da configuração geométrica da seção, e um corpo de prova poderá apresentar maiores ou 
menores níveis de rigidez, dependendo fundamentalmente da forma geométrica da seção 
transversal. 
Nas máquinas de ensaios em flexão, os apoios sobre os quais descansa o corpo de prova, 
na maioria das vezes, são roliços com possibilidade de giro, o que ajuda na diminuição da 
fricção ou atrito entre o corpo de prova e os suportes. A carga de flexão deve ser aplicada 
lentamente. 
Para o caso da determinação das propriedades relacionadas à resistência dos materiais 
cerâmicos, é mais usual a utilização do ensaio de flexão em vez do ensaio de tração. A máxima 
tensão até a ruptura é conhecida como módulo de ruptura ou resistência à flexão. No caso da 
madeira, o ensaio de flexão é realizado utilizando-se de dois pontos de aplicação de carga. 
Como a resistência da madeira em condições de compressão ao longo das fibras é muito menor 
171 
172 C A P [ T U L O 6 
que em condições de tração, o processo de fratura começa na zona comprimida na forma de 
ondulações. A fratura completa ocorre na zona tracionada e consiste na ruptura ou clivagem 
das fibras externas e consequente fratura final. Madeiras de alta qualidade produzem uma 
fratura fibrosa, e madeiras de baixa qualidade, uma superfície de fratura quase lisa. 
A norma ASTM E855:1990 descreve três métodos de ensaio para a determinação de pro-
priedades com o módulo de elasticidade em flexão (MOE) e o módulo de resistência à ruptura 
por flexão (MOR) para tiras, chapas ou vigas, sendo: ensaio em vigas engastadas (cantiléver), 
ensaio a três pontos e ensaioa quatro pontos. As propriedades obtidas pelo ensaio são simi-
lares àquelas obtidas pelo ensaio de tração e compressão, podendo-se citar como principais o 
limite de elasticidade em flexão (máxima tensão de flexão que o material suporta sem apre-
sentar deformação permanente após retirada da carga), o limite de escoamento em flexão 
(tensão nominal relacionada à fronteira entre as regiões de comportamento elástico e plástico, 
e determinada analogamente à tração, adotando como referência 0,01; 0,05 e 0,1% de defor-
mação), o módulo de elasticidade em flexão (relação entre tensão e deformação dentro da 
região de comportamento elástico), entre outras. Tais propriedades apresentam valores dife-
rentes daqueles obtidos na tração ou compressão. No entanto, também apresentam variação 
com relação a parâmetros como: características do corpo de prova ( direção de laminação, di-
mensões, microestrutura, tensões residuais, tratamentos térmicos, processos de manufatura 
etc.), condições de operação e ambientais (aferição do equipamento, manuseio do operador, 
variações de temperatura etc.). 
A Técnica do Ensaio de Flexão 
O ensaio consiste na aplicação de uma carga P no centro de um corpo de prova específico, 
apoiado em dois pontos. A carga aplicada parte de um valor inicial igual a zero e aumenta 
lentamente até a ruptura do corpo de prova. O valor da carga aplicada versus o deslocamento 
do ponto central, ou flecha (v), consiste na resposta do ensaio. Se o ensaio consistir em uma 
barra biapoiada com aplicação de carga no centro da distância entre os apoios, ou seja, exis-
tirem três pontos de carga (uma direta e duas reações nos apoios), o ensaio é chamado Ensaio 
de Flexão em Três Pontos, conforme mostra a Fig. 6.1(a). Se o ensaio consistir em uma barra 
biapoiada com aplicação de car.ga em dois pontos equidistantes dos apoios, ou seja, existirem 
quatro pontos de carga (duas diretas e duas reações nos apoios), o ensaio é chamado Ensaio 
de Flexão em Quatro Pontos, conforme mostra a Fig. 6.l(b). Para o ensaio realizado com o 
engaste de uma das extremidades do corpo de prova, com a aplicação de carga na extremidade 
oposta, medindo-se o deslocamento da extremidade de aplicação da carga, o ensaio é chamado 
de Método Engastado, conforme mostra a Fig. 6.l(c). A Fig. 6.l(d) mostra um esboço dares-
posta de ensaio. 
Trata-se de um ensaio bastante aplicado em materiais frágeis, ou de elevada dureza, como 
o caso de ferro fundido, aços ferramentas, aços rápido e cerâmicos estruturais, pois esses mate-
riais, devido à baixa ductilidade, não permitem ou dificultam a utilização de outros tipos de 
ensaios mecânicos, como por exemplo a tração. Para materiais dúcteis, em geral não se utiliza 
o ensaio de flexão, mas sim uma variante desse tipo de ensaio, qual seja, o ensaio de dobra-
mento, que será discutido em capítulo posterior. 
Os principais parâmetros obtidos no ensaio de flexão são o módulo de ruptura (MOR), 
ou o valor da tensão que levará o corpo de prova a fratura total (CTJi.), e o módulo de elastici-
dade (MOE), que representa o coeficiente de elasticidade do corpo de prova (E). 
Ensaio de Flexão pelo Método de Três e Quatro Pontos 
O ensaio consiste na aplicação de cargas em um corpo de prova com configuração regular 
sujeito a 3 ou 4 pontos de apoio ou contato. O equipamento é dotado de dois suportes ajus-
táveis, um dispositivo de aplicação da carga e um medidor da deflexão ou curvatura. Os corpos 
de prova apresentam espessuras que variam de 0,25 mm a 1,3 mm. A distância entre apoios 
p 
Corpo de prova 
1----- L ------1 
(a) 
11 - deslocamento ou flecha de 
flexão em três pontos 
p 
Corpo de prova 
-f-------------------------------------------------1-
Apolo IJ IJ Apoio 
1----- L------1 
11 - deslocamento ou flecha 
de flexão em quatro pontos 
a=ys 
(b) 
L --------1 
----------------
o 
(c) 
u - deslocamento ou flecha de flexão 
no método engastado 
Figura 6.1 Tipos de ensaio e 
curva caracterfstica do ensaio de 
flexão: (a) esboço do ensaio de fle-
xão em três pontos; (b) ensaio de 
flexão em quatro pontos; (c) 
método engastado; e (d) curva ca-
racterfstica do ensaio para dife-
rentes geometrias da seção. (d) 
o u 
~ o 
Flecha (mm) u 
o 
174 CAPI TU LO 6 
é 150 vezes maior que o valor da espessura para a faixa de espessura de 0,25 a 0,51 mm e 100 
vezes para espessuras maiores que 0,51 mm. Quanto à largura e ao comprimento dos corpos 
de prova, estes devem ter larguras de 3,81 mm e comprimento de 250 vezes a espessura para 
valores de espessura entre 0,25 e 0,51 mm e 12,7 mm de largura e comprimento de 165 vezes 
a espessura para espessuras maiores que 0,51 mm. Um esquema dos tipos de ensaio podem 
ser visto nas Figs. 6.1 (a) e (b ), respectivamente. 
Ensaio de Flexão pelo Método Engastado 
O teste consiste no carregamento de um corpo de prova engastado submetido a um momento 
fletor, medindo-se durante sua execução o momento aplicado e a deflexão da barra. Os valores 
obtidos pelo ensaio são úteis para projetos de molas, determinando-se a máxima deflexão que 
elas suportam. Outro aspecto importante da realização do ensaio é a possibilidade da análise 
dos efeitos de diferentes parâmetros no comportamento dos materiais à flexão , como com-
posição química, tratamentos térmicos, condições ambientais, além de servir como parâmetro 
de controle de qualidade dos materiais. A Fig. 6.1 (c) mostra um esquema do ensaio. O aparato 
utilizado para a realização do ensaio consiste basicamente em um dispositivo tipo morsa que 
provocará a deformação do corpo de prova pela aplicação de uma carga na extremidade do 
dispositivo. Quanto aos corpos de prova utilizados, recomenda-se uma configuração geomé-
trica retangular, com espessura mínima de aproximadamente 0,38 mm ao longo de todo o 
corpo. A relação comprimento/espessura não deve ser inferior a 15, e a relação largura/espes-
sura deve ser superior a 10. 
Normalmente, aconselha-se um mínimo de seis corpos de prova para cada amostra ensaiada. 
Quando os corpos de prova não forem planos, é necessário ensaiá-los tanto para a posição de 
concavidade para cima como para a de concavidade para baixo. 
Propriedades Mecânicas na Flexão 
Durante o ensaio de flexão ocorrem esforços normais e tangenciais na seção transversal do 
corpo, gerando um complicado estado de tensões em seu interior. Entretanto, é possível assu-
mir algumas hipóteses que simplificam o problema, quais sejam: 
• corpo de prova inicialmente retilíneo; 
• material homogêneo e isotrópico; 
• validade da lei de Hooke (u = E· e) - material elástico; 
• consideração de Euler-Bernoulli: seções planas permanecem planas. Para essa conside-
ração admite-se que, durante a flexão, as seções transversais do corpo de prova não 
sofrem deformação, mas apenas se curvam em relação ao centro de curvatura, conforme 
esboço da Fig. 6.2. "A equação da viga de Euler-Bernoulli é um modelo físico e mate-
mático para o comportamento de uma viga. Foi desenvolvida pelos matemáticos 
Leonhard Euler e Jakob Bernoulli."; 
• existe uma superfície neutra que passa pelo eixo longitudinal do corpo de prova, que 
não sofre tensão normal (u = O). O cruzamento da superfície neutra com qualquer seção 
transversal do corpo de prova gera uma linha chamada de linha neutra (LN). Essa linha 
se encontra no centro de gravidade da seção transversal do corpo de prova e não se des-
loca durante a flexão; a inclinação ou giro da seção em relação ao centro de curvatura 
deverá ocorrer sobre essa linha, conforme mostra a Fig. 6.3; 
• a distribuição da tensão normal na seção transversal é linear, com a máxima compres-
são na superfície interna (superior) do corpo de prova e a máxima tração na sua super-
fície externa (inferior), conforme mostra a Fig. 6.4. 
Figura 6.2 Consideração de Bernoulli, em 
que as seções planas não se deformam, per-
manecendo planas durante todo o ensaio, 
inclinando-se em relação ao centro de 
curvatura. 
Elemento 
original 
O- Centro de 
\\ curvatura 
' ' ' ' I ' 
·. \ , 
I\ 
' ' I \ 
I \ 
I ' I \ 
I ' 
' ' I \ 
I ' 
' ' I \ 
' \ 
~)~;~~=~7~;~~~~~~!1 \ \ 
Superlície 
neutra 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
ENSA I O O E F L E X À O 175 
Bernoulli - Seções planas 
permanecem planas 
Parte do corpo 
de prova após 
''"''7 
Seções transversais 
planas 
Figura 6.3 Destaque da superffcie neutra que passa pelo eixo longitudinal do corpo de prova. A inter-
seção da superfrcie neutra com qualquer seção transversal gera uma linha neutra sob a qual a seção 
gira sem sofrer deformação durante o ensaio. 
Superfície 
neutra (u = O) 
Tensões de 
Figura 6.4 Distribuição linear de tensão ao longo da seção plana no interior do corpo de prova. 
Z=O z 
. ' 
Esforços de equilíbrio 
P/2- nos pontos - P/2 
de apoio em função 
da carga aplicada 
Corte 1 : O s z s a 
~t \pM, 
'7'2 
Corte 2: a< z s (L- a) 
Corte 3: (L - a) < z s L 
-a·t% % 
I I çJ)M' 
Q 
Pf2 
(a) Ensaio de flexão 
em quatro pontos 
Z= 0 z 
" I Esforços de equilíbrio 
'1'2- nos pontos - Pf2 
de apoio em função 
da carga aplicada 
Corte 1 : O s z s l PJ· , 
% 
L 
Corte 2: 2 < z s; L 
(b) Ensaio de flexão 
em três pontos 
Z=O z 
r Esforço de equilíbrio 
P - noponto 
engastado em função 
da carga aplicada 
Corte 1 : o s; z s; L 
~M, 
~~ 
'1'2 
(c) Ensaio de flexão 
engastado 
-Força aplicada (PJ, apoios 
e força cortante ( Q) 
18 jO 
- Momento fletor (M1) 
8) (O 
(d) Convenção de sinais 
p 
Figura 6.5 Método dos cortes das seções para o cálculo da força cortante (0) e do momento fletor (M1) ao longo 
do eixo longitudinal do corpo de prova: (a) ensaio de flexão em quatro pontos; (b) ensaio de f lexão em três pon-
tos; (c) ensaio pelo método engastado; e (d) convenção de sinais. 
E N S A I O O E F L E X À O 177 
Análise dos Esforços Atuantes na Flexão 
Para maior compreensão do efeito da flexão em um corpo de prova em teste, faz-se necessário 
conhecer os esforços que estarão atuando durante a deformação. Devido à carga aplícada, são 
gerados no interior do corpo de prova uma força cortante (Q), ou de cisalhamento, e um 
momento tletor (M1), os quais podem variar ao longo do eixo longitudinal, dependendo do 
ponto de aplicação da carga de flexão. 
A força cortante corresponde a um esforço de cisalhamento que ocorre na seção transversal, 
com o objetivo de balancear a carga aplicada e os apoios (ou engaste), e o momento fletor equi-
vale a um esforço de giro da seção transversal que objetiva equilibrar o efeito da flexão. O cálculo 
da força cortante e do momento fletor pode ser realizado mediante o método das seções, em que 
se admitem cortes no corpo de prova desde uma extremidade até a outra, balanceando os esfor-
ços existentes ao longo do eixo longitudinal. Para tanto, se faz necessário estabelecer uma con-
venção de sinais para a aplicação das cargas e dos esforços atuantes, conforme mostra a Fig. 6.5. 
Realizando o equilíbrio de esforços sobre os cortes da Fig. 6.5, tem-se que: 
Equilíbrio de esforços na direção do eixo y: EB ~ IP, = O 
Equilibrio do momento fletor: EB) IM1 = O 
(6.1) 
(6.2) 
Para o momento fletor, deve-se observar que o esforço que equilibra o sistema é dado pelo 
tamanho do braço entre o ponto de análise e o ponto de aplicação da carga vezes a carga apli-
cada. A solução da força cortante e do momento fletor nos cortes individuais para cada ensaio 
de flexão é apresentada na Ta bela 6.1. 
Tabela 6.1 Soluções da força cortante e do momento fletor para os ensaios de flexão 
Força cortante (n) Momento fletor (n · m) 
Tipo de 
ensaio Intervalo ~)IM,= O ~~l:P, =O Resultado Resultado 
o s x s a _ph + Q = o Q = Pf2 (-P/z) · x + M1 = 0 M1 = (Piz) · x 
Flexi!o em a < x s (L - a) - Pf2 + Pf 2 + Q = O Q = O (-Pj;li ·X + (Pf2) ·(X - a) + M, = (PjiJ · a quatro M1 = O 
pontos 
(L - a) < x s L _Pf2 + Pf2 + Plz + Q = O Q = _ph (-Piz) ·x + (Piz) · (x - a) + M1 = (PjiJ · (L - x) (P/2) · (x - L + a) + M 1 = 0 
o s x s L/2 _ph + Q = o Q = Piz (-Piz) ·X + M, = 0 M,=(Piz) ·x 
Flexao em 
(-Piz) · x + P · (x - Lj iJ + três pontos 
Ll2 < x s L - Piz + P + Q = O Q = _ph M1 = (Pj iJ · (L - x) M1 = 0 
Método o s x s L P + Q = O Q = - P P·x + M1 = 0 M1 = - P·x engasta do -
Utilizando-se os resultados da Tabela 6.1, podem-se estabelecer os diagramas de esforços cor-
tantes e momento fletor ao longo do eixo longitudinal do corpo de prova para os três métodos 
do ensaio de flexão, conforme mostra a Fig. 6.6. 
X 
y 
(a) (b) 
E N S A I O O E F L E X À O 179 
c 
f. · (c · b) + Q · ( b · c) 
- .;;:;2 ______ ~2~---Y = -
(c · b) + (b · c) 
_ (b +c) 
y = --
4 
Figura 6.7 (a) Cálculo da posição da linha neutra em uma seção retangular de altura h e largura b. (b) 
Método da somatória de seções simples para o cálculo da posição da linha neutra. 
Para exemplificar o cálculo da linha neutra, a Fig. 6.7(a) mostra uma seção transversal 
retangular, de altura h e largura b, em que, aplicando a Eq. (6.3), tem-se que: 
b I 
Jfo' y·dy· dz 
y =ob I 
J fay ·dz 
(6.4) 
o 
Resolvendo a integral dupla para o numerador e denominador, chega-se em: 
(6.5) 
Desse modo, a linha neutra em uma seção retangular deverá passar pelo centro da altura: 
y = hf2. 
Para seções formadas por agrupamento de geometrias simples, é possível o cálculo da posi-
ção da linha neutra utilizando-se o somatório dos elementos individuais, conforme mostra o 
exemplo da seção em "T" da Fig. 6.7(b). Nesse caso, o resultado obtido para a posição dalínha 
neutra mostra que, se b = 3 · c, então a linha neutra deverá passar pela interface das superfí-
cies SI e s2. 
No Apêndice B encontram-se as equações de cálculo da posição da linha neutra para dife-
rentes geometrias de seção transversal. 
Cálculo da Tensão Normal (u) na Seção Transversal 
Analisando o elemento de volume, mostrado na sequência da Fig. 6.8, tem-se que as fibras 
superiores à linha neutra são comprimidas e as fibras inferiores são tracionadas. A tensão em 
qualquer fibra é proporcional à sua distância da linha neutra, e as forças distribuídas na seção 
transversal são representadas por um conjugado interno resistente que equilibra o conjugado 
externo (momento fletor - M1). 
Em consideração à deformação diferencial que ocorre nas fibras tracionadas, conforme 
observado na Fig. 6.8(b ), pode-se escrever a seguinte relação: 
180 CAPITU LO 6 
tt.dx 
tg(a) = ~ ó.dx = 2 · YLN • tg(a) 
2. YLN 
(6.6) 
em que tt.dx é o elemento de deformação, x LN é a distância da superfície externa tracionada 
até a linha neutra e a é o ângulo de giro da flexão. 
Sabe-se que: 
tt.L tt.dx u 
e=- ou e =--=-
L dx E 
Assim: 
2 ·E· tg(a) 
u = . Yu-: 
dx 
Chamando: 
2 ·E· tg(a) 
K = tem-se que: u = K · Y LN 
dx 
p 
Corpo de prova J 
I I I I ' X 
t 
~~ I dx + tl dx lraçllo I 
Tensão de 
compressão 
(a) Ensaio de flexão (b) Elemento de volume 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I ----:----- __ T _.x 
I 
I YLN 
~~------+: ______ c=~_l_ 
+~·tlgx·l 
I ..._./ 
.. (j 
y 
(c) Elemento de cálculo 
(6.7) 
(6.8) 
(6.9) 
Figura 6.8 Esboço do elemento de volume e do elemento de cálculo para análise da tensão normal no 
ensaio de flexão. 
ENSA I O DE F LEXÀO 181 
Figura 6.9 Momento fletor resul-
tante das forças normais. 
Sabe-se que o momento fletor (M1) é o momento resultante das forças normais atuantes 
na seção transversal do corpo de prova, conforme mostra a Fig. 6.9. 
Nesse caso: 
dN 
u= -
dS 
(6.10) 
mas o elemento de momento fletor (dM} resultante do elemento de força normal (dN) é dado 
pelo produto dessa força com o braço de eixo até a linha neutra (y). Assim: 
dM1 = y · dN ou dM1 = y · u · dS 
Substituindo a Eq. (6.9) na Eq. (6.11) com Y LN = y, chega-se a: 
dM1= K·f·dS 
(6.11) 
(6.12) 
Integrando a Eq. (6.12) e lembrando que K corresponde a um valor constante para dada 
deformação, conforme definição na Eq. (6.9), chega-se a: 
M 1 = K · f y2 • dS 
s 
(6.13) 
A integral da Eq. (6.13) depende somente da geometria da seção transversal e representa 
o momento de inércia de uma figura plana, também conhecido por momento de 2.4 ordem 
ou momento de inérciageométrico. O momento de inércia reflete a resistência da seção trans-
versal ao giro na deformação à flexão, e também é chamado de módulo de rigidez à flexão 
da viga. É representado por: 
r.= J y 2. dS 
s 
(6.14) 
No Apêndice B se encontra o cálculo do momento de inércia para diferentes geometrias 
de seção transversal. 
Dessa forma, a Eq. (6.13) pode ser reescrita na forma: 
M 
M1= K·l ~K = :::..L • I • 
Substituindo a Eq. (6.15) na Eq. (6.9), chega-se a: 
(6.15) 
182 CAPI TUL O 6 
M 
u = :::.L·y 
I . 
(6.16) 
Observa-se pela Eq. (6.16) que a tensão normal na linha neutra (y = O) tem valor numérico 
nulo, conforme considerações iniciais. Valores negativos de y correspondem à região em que 
as fibras estão comprimidas, e valores positivos correspondem à tração. Observa-se também 
que Iz é uma função da geometria da seção transversal da barra, e, desse modo, u também é 
uma função dessa geometria. Fazendo-se y = YLN• tanto para a superficie externa tracionada 
quanto para a superficie externa comprimida, no ponto em que M1é máximo (ver Fig. 6.6), 
chega-se aos valores máximos das tensões de tração e compressão atuantes na seção transver-
sal do corpo de prova no ensaio de flexão. 
Cálculo da Tensão de Cisalhamento (1·) na Seção Transversal 
Analisando uma porção do corpo de prova abaixo de um plano horizontal qualquer, conforme 
mostra a Fig. 6.1 O, pode-se afirmar que na seção transversal existe uma tensão de cisalhamento 
(Tv) que ocorre devido à força cortante (Q) atuante nessa face. Pelo teorema de Cauchy,* se 
existe uma tensão de cisalhamento vertical ( Tv) deve existir uma tensão de cisalhamento hori-
zontal ( T H) de mesmo valor numérico ( T v = T H = T) . Admitindo que a tensão de cisalhamento 
horizontal (Tn) é constante ao longo da largura do corpo de prova (b), então o somatório das 
forças existentes ao longo do eitxo x será igual a zero (equilíbrio). Assim: 
• Teorema de Cauchy: Tensões cisalhantes em planos perpendiculares são iguais, 
convergindo ou divergindo para uma mesma aresta. 
----- ) y 
Tensão de 
tração 
N+dN-N-b·dx·T = O=>T =--1(dN) 
H H b dx 
z 
y 
Figura 6.1 O Elemento de esforço para o cálculo das tensões de cisalhamento na flexão. 
(6.17) 
ENSA I O DE F LEX À O 183 
Sabe-se, pela Eq. (6.10) e pela Fig. 6.9, que: 
N = J dN = J u·dS (6.18) 
s 
Substituindo a Eq. (6.16) na Eq. (6.18), obtém-se: 
J
dN = M / · J y · dS (6.19) 
lz s 
A integral J y · dS é conhecida como momento estático (M J de uma superfície, também 
s 
chamado de momento de 1.• ordem. No Apêndice B se encontra o cálculo do momento está-
tico para diferentes geometrias de seção transversal. 
Assim a Eq. (6.19) se transforma em: 
J
dN = M1 · M, l z 
Derivando a Eq. (6.20) em relação a x, obtém-se: 
dN = M, ·(dM1 ) 
dx lz dx 
Substituindo a Eq. (6.21) na Eq. (6.17), chega-se a: 
r = rH =~ · (§) 
b · l z dx 
(6.20) 
(6.21) 
(6.22) 
O termo diferencial na Eq. (6.22) representa a força cortante: Q = ( d~l ) . Assim: 
T = M. . Q (6.23) 
b · lz 
A Eq. (6.23) corresponde à tensão de cisalhamento atuante na seção transversal do corpo 
de prova, onde se observa que: 
- Q é a força cortante, a qual, para um ponto flxo no comprimento do corpo de prova, 
possui valor constante, conforme a Fig. 6.6; 
- I, é o momento de inérciia e deve ser representativo a LN, sendo um valor constante para 
uma mesma flgura geométrica, dependendo assím apenas da geometria da seção 
transversal; 
- b deve representar a largura da seção transversal do corpo de prova ao longo do eí.xo y, 
e para seção quadrada ou retangular esse valor será constante. Para geometrias diferentes 
da retangular ou quadrada, o valor de b deve variar com a distância YLN; 
- M. representa o momento estático, e esse parâmetro deve variar com a distância do eí.xo 
YLN• fazendo com que exista um perftl de tensões de cisalhamento ao longo do eixo YLN 
sobre a seção transversal do corpo de prova, conforme mostra o exemplo que se segue. 
Exemplo 6.1 
Determinar a variação da tensão de cisalhamento para uma seção transversal ret angular 
de altura (h) e base (b) e sujeit a a uma força cortante constante (Q), conforme most ra a 
Fig. 6.11: 
184 CAPI TU LO 6 
h 
y 
Figura 6.11 Seção transversal do corpo de 
prova. 
Tem-se que: 
- Q é um valor conhecido e constante, conforme a Fig. 6.6; 
- b para seção retangular é constante; 
- 11 é uma caracteristica da geometria da seção, e no caso é dada por (ver Apêndice 
b·h3 
B): /1 =--; 12 
- M. é o momento estático da superfície. 
Para o exemplo, o momento estático é calculado da seguinte maneira: 
h/2 2 ) h/2 b 
M.= J y ·ds = f y · b · dy = b·~ = a · [h2- 4 ·y2J 
5 y y 
Assim, aplicando M. e 11 encontrados na Eq. (6.23), chega-se em: 
M, (Q) ( 12 ) (b) ( 3·Q ) r=-·Q = - · - · - ·[h2- 4 ·y2]= ·[h2- 4 ·y2J 
b · I 1 b b · h3 8 2 · b · h3 
Essa equação é válida apenas para seções retangulares, conforme a Fig. 6.11. 
(6.24) 
(6.25) 
Em termos gráficos, a Eq. (6.25) é representada na Fig. 6.12, onde se observa que a 
máxima tensão de cisalhamento ocorre na altura da linha neutra, e seu valor é dado por: 
(6.26) 
Em geral a máxima tensão de cisalhamento, para os casos de flexão, ocorre na posição 
da linha neutra da seção transversal do corpo de prova. Contudo, existem exceções, con-
forme mostra o exemplo da Fi'g. 6.13(a). A Fig. 6.13 apresenta os perfis da tensão de cisa-
lhamento ao longo do eixo y para os perfis de seção transversal em cruz e em " 1", 
respectivamente. O Apêndice D apresenta o cálculo da tensão de cisalhamento para di-
ferentes geometrias. 
ENSA I O O E F L E X À O 185 
r (MPa) 
z 
h 
y y(cm) 
Figura 6.12 Diagrama representativo da variação da tensão de cisalhamento na seção transversal do 
corpo de prova de geometria retangular. 
I 
h 
1 
Y LN Y LN 
(a) Seção transversal em cruz (b) Seção transversal em "I" 
Figura 6.13 Diagrama representativo da variação da tensão de cisalhamento na seção transversal de um corpo 
de prova com geometria (a) em cruz e (b) em "I". 
Deformação Elástica em Flexão (Cálculo da Flecha (v) ou Translação Vertical) 
A equação fundamental para o cálculo do deslocamento dos pontos de uma barra submetida 
a flexão é dada por [ver Apêndice E]: 
d2v =- M/x) 
dx2 B·lz 
(6.27) 
Observando-se a Tabela 6.1 e a Fig. 6.6, para um ensaio de flexão em três pontos, tem-se 
que: 
(6.28) 
186 CAPI TUL O 6 
Aplicando (6.28) em (6.27) e integrando duas vezes obtém-se: 
p 
v(x) = - · .x3 + C · x + C 
12 ·E· Iz 1 2 
(6.29) 
em que cl e c2 são constantes obtidas na integração e são determinadas pelas condições de 
contorno (C.C.) do sistema, em que: 
C.C.1: parax = O~ v = O e 
dv 
C.C.2: para x = L/2 ~ dx = O 
Pela C.C.1 obtém-se C2 = O; pela C.C.2 obtém-se: 
C = _ P_·L_ 
1 16 · E · Iz 
(6.30) 
Assim, o deslocamento em qualquer ponto da barra submetida ao ensaio de flexão simples 
(ou em três pontos) é dado por: 
v(x) = p ·(L2 · x - x l ) 
4·E · Iz 4 3 (6.31) 
O máximo deslocamento da barra ocorre no ponto de aplicação da carga para x = L/2. 
Então, a máxima para o ensaio de flexão em três pontos vale: 
P·V v) - ---onáx ~ - 48 ' E' I, (6.32) 
Utilizando-se o mesmo raciocínio, tem-se que a flecha máxima para o ensaio de flexão em 
quatro pontos será dada por: 
P·a 
v ) = (3 · L2 - 4 · a2 ) onáx x~• 48 , E , I • 
(6.33) 
Para o ensaio de flexão pelo método engastado, conforme a Fig. 6.6(c), a equação geral da 
flecha é dada por: 
(6.34) 
Observar que a curva gerada pelo corpo de prova, na flexão pelo método engastado, deve 
seguir uma equação de terceiro grau, na qual neste caso a flecha máxima é dada para a con-
dição em que x = O; assim: 
) (
P,náx ·IJ) 
V máx x r O = 3 • E • ], (6.35) 
As características de deformação do material são determinadas em função da flecha máxima 
atingida no ensaio, e quanto maior o comprimento útil do corpo de prova maior será a faci-
lidade de se medir a deformação, o que possibilita a execução desse ensaio em materiais frá-
geis. Como pode ser visto pelas Eqs. (6.32),(6.33) e (6.35), o valor da flecha deve variar com 
a seção transversal do corpo de prova, em função de Iz. 
ENSA I O O E F L E X À O 187 
3,5 
2,8 
I 
I 
I 
I 
<? ~3) 
0.. I 
S2. I I 
o 2,1 I I HV HRC I <O I 
(/) I 
<: I 0 1 840 65,3 
~ 
I 
I 
I e 2 790 63,8 I 
I 
6. 3 760 62,5 I 
1,4 I I A 4 626 56,5 I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
0,7 I I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
o 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 
Flecha (mm) 
Figura 6.14 Curvas tensão versus flecha para quatro amostras de aço ferramenta com diferentes dure-
zas. (Adaptado de Souza, 1989.)o 
A Tabela 6.2 mostra o valor da flecha para díferentes geometrias da seção transversal. A 
medida das flechas permite a obtenção de curvas de tensão-deformação, em que as tensões 
são representadas por (u) e as deformações pelo valor da flecha (v). A Fig. 6.14 apresenta cur-
vas tensão versus flecha ( u- v) para quatro amostras de aço ferramenta com diferentes durezas 
de mesma seção transversal. 
Por meio do ensaio de flexão é possível obter importantes informações sobre o comporta-
mento dos materiais quando submetidos a esforços de flexão. Dentre essas informações 
destacam-se: 
Módulo de Ruptura - u 1u (MOR) 
O módulo de ruptura ou resistência a flexão (MOR) é o valor máximo da tensão de tração ou 
compressão nas fibras externas do corpo de prova no ensaio de flexão. A tensão de flexão 
máxima, conforme a Eq. (6.16), é dada por: 
M 
MOR = / máx = YLN 
r. 
(6.36) 
em que MOR é o módulo de ruptura dado em pascal (Pa). 
A Tabela 6.2 mostra o valor do módulo de ruptura para diferentes geometrias da seção 
transversal. Como as equações anteriores são válidas dentro do campo elástico, o valor do 
módulo de ruptura calculado será maior que o valor real, uma vez que as deduções para essas 
equações ignoram completamente as condições internas do corpo de prova, como níveis de 
188 CAPI TUL O 6 
Tabela 602 Valores da flecha, MORe MOE para os ensaios de três pontos, quatro 
pontos e método engastado para seções retangular, circular e triangular 
Geometria da 
seção 
transversal 
Posição da linha 
neutra (mm) 
Momento de 
inércia em 
relação ao eixo 
z,. (mm') 
III Flecha ... 
I= (v} (mm) 
:i! w 
O III 
·~o MOR _.!Z (MPa) 
~2 
Q 
o 
< MOE III 
z (MPa) w 
Flecha 
:i! (11) (mm) 
... III 
o o 
·~ !Z ... 2 MOR 
wO (MPa) 
~~ -:;:, 
~O' 
z 
MOE w 
(MPa) 
o Flecha Q 
(v} (mm) o 
.li:i 
:!!o 
·~~ MOR 
tt~ (MPa) 
wz 
Ow 
o 
< III MOE 
z (MPa) w 
h 
9 =-
2 
b o h' 
I =--
I 12 
p o L' 
mh. v = 4 , E o b, h' 
MOR = 3 o P,., o L 
2 o b. h l 
P ·L' 
MOE = 
4 o 11 o b o h' 
P·a 
v - (3·L2 - 4oa2) 
4 ·E·boh' 
MOR = 3, P,., o a 
b o h ' 
P·a 
MOE (3· L2 - 4·a2 ) 
4 ·11·b ·h' 
4 · P ·L' 
v = 
E· b o h' 
MOR = 6·P,., · L 
b . h' 
4 o p o L' 
MOE = 
11 o b o h ' 
y 
o 2oh 
9= - 9=-
2 3 
1T o o• c o h' 
I =-- I =--
f 64 I 36 
4 o P o L' 3 o p . Ll 
V = mh m4a v = 3 o '1T o E o o• 4oE•coh' 
MOR = 8 o P.,., . L 
1T. O' 
MOR = 6 o P .,., . L 
c. h2 
4 o P o L' 3 . p o L' 
MOE = MOE = 
3 o 11 o 1T o o• 4 o v o c o h' 
4oP ·a 3·P·a 
v - (3·L2 - 4oa2) v - (3·L2- 4·a2) 
3·Eo7T·O' 3·E •fToC·h' 
MOR = 16·P,., oa 
1T. O' 
MOR = 12 o P ""'' , a 
c o hl 
4oPoa 3·P·a 
MOE= (3·L2 - 4·a2) MOE (3oL' - 4 ·a 2) 
3oii·'IT·0' 4·11·Coh3 
64·P·L' 12 · P ·L' 
11 = lJ = mh 
3 o E. 1T. o• E o c, h' 
MOR = 32. Pm" o L 
7T o O' 
MOR = 24 · Pm., · L 
c. h ' 
64 · P · L' 12 · P·L' 
MOE = MOE = 
3 o 11 o 7T o D' 11 o c o h' 
ENSA I O O E F L E X À O 189 
segregado, inclusões, defeitos internos e outros. Para efeitos de projeto, deve-se sempre con-
siderar os fatores de segurança associados ao tipo de material que está se utilizando (metal, 
concreto, madeira e outros). 
Módulo de elasticidade - E (MOE) 
A medida da flecha para cada carga aplicada permite a determinação do módulo de elastici-
dade do material. Utilizando a equação geral da flecha para cada tipo de ensaio, chega-se ao 
valor do módulo de elasticidade do material de teste. A Tabela 6.2 mostra o valor do módulo 
de elasticidade para diferentes geometrias da seção transversal, nos três ensaios convencionais 
de flexão (três pontos, quatro pontos e engastado). 
Para materiais dúcteis, o corpo de prova deforma-se continuamente no ensaio de flexão sem 
se romper, não permitindo a determinação de nenhuma propriedade de interesse prático. 
Módulo de resiliência (U, ) 
O módulo de resiliência na flexão é determinado em função da tensão aplicada e das dimen-
sões do corpo de prova, sempre dentro do regime elástico, dado por: 
0'2 • I -- e z u,t- 2 
6·B· y · S 
em que 
U1 = módulo de resiliência em flexão (Nm/m
3); 
O'e = tensão limite de proporcionalidade (Pa); 
Iz = momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra (m4); 
ji = distância da linha neutra à fibra externa onde se deu a ruptura (m); 
S = área da seção transversal (m2) . 
Módulo de tenacidade (Utt) 
(6.37) 
A tenacidade do material também é determinada como no ensaio de tração, sendo dada pela 
área do gráfico tensão versus flecha. Admitindo-se que este apresenta um formato parabólico, 
pode-se escrever: 
u = 2 . P,náx . v,m\x 
tf 3·S·L 
em que 
Utf = módulo de tenacidade em flexão (Nm/m3); 
Pmáx = carga máxima (de ruptura) atingida no ensaio (N); 
vmáx = flecha máxima atingida na carga máxima (m); 
S = área da seção transversal (m2); 
L = comprimento do corpo de prova. 
Exemplo 6.2 
(6.38) 
Para as barras de diferentes geometrias de seção transversal, conforme apresentado na 
Fig. 6.15, constituidas de mesmo material e sujeitas à mesma carga P = 1000 N, determinar 
a curvatura na flexão admitindo que todas as barras possuem a mesma seção transversal. 
Para os cálculos, utilizar como relação padrão as barras de seção retangular (barra 2 e 3}, 
em que h = 5 · b. Utilizar E = 230 GPa, h = 5 cm e L = 1 m. 
190 CAPI TULO 6 
e I 
Solução 
Como primeiro ponto, deve-se determinar as dimensões de cada seção, relativas às barras 
retangulares, em que: 
Barra 2 e barra 3 
h = 50 mm e b = 10 mm, portanto, para as barras 2 e 3, S = 500 mm2. 
Barra 1 (seção circular) 
tem-se que: 
7T. D2 
S = = 500 mm2 
4 
portanto: D = 25,2 mm 
Barra 4 (triângulo equilátero de lado c) 
J3 cL J3 
tem-se que a altura do triângulo = c · 2 e a base vale c, portanto: S = = 500 mm2 , 
assim: c = 34,0 mm. 4 
Barra 5 (Quadrado de lado e) 
tem-se que: e2 = 500 mm2, portanto: e = 22,4 mm. 
Barra 6 (perfi I em I) 
tem-se que: 10 · g2 + 3 · g2 = SOO mm2, então: 13 · g2 = 500 mm2, assim: g = 6,2 mm. Para 
o perfil em "I" do problema em questão, 1. = (373/3} · g4 (ver Apêndice B). 
Barras 7 (perfil em I) 
tem-se que: m · n + 4 · n · n = 500 mm2, e sendo m = 5 · n, então: 9 · n2 = SOO mm2, assim 
n = 7,5 mm. Para o perfil em "T" do problema em questão, lz = 43 · n4 (ver apêndice B). 
Barra 1 
Barra 5 
Barra 4 
Figura 6.15 Barras de diferentes 
seções transversais sujeitas ao 
ensaio de flexão pelo método 
engastado. 
ENSA I O O E F L E X À O 191 
Aplicando a equação geral da flecha ao ensaio de flexão pelo método engastado, ver 
Eq. (6.34), para as diferentes geometrias de seção transversal chega-se a: 
32· p 
Barra 1: v = {x 3 - 3 · [2 · x + 2 · L3) em que v = 3,6 · 1 Q-8 (x3 - 3 · 106 · 
3 ·E· 7r · 0 4 
X + 2 · 1Q9) 
2·P Barra 2: v = (x3 - 3 . L2 . X + 2 . L3) em que v = 1, 7 . 1 o- ' (x3 - 3 . 1 06 . X + 
E· h· b 3 
2 . 1 09) 
2·P 
Barra 3: v = (x3 - 3 · L2 · x + 2 · L3) em que v = 7,0 · 1 o-9(x3 - 3 · 1 06 · x + 
E· b · h3 
2 . 1 09) 
48 .p 
Barra 4: v = 
3 
(x 3 - 3 · L2 · x + 2 · Ll ) em que v= 3,0 · 1Q-8(x3 - 3 · 106 · x + 
37{ ·E· C4 
2· p 
Barra 5: v =--(x 3 - 3·L2·x + 2·L3 ) em que v = 3,5 · 1Q-S(x3- 3 ·106 ·x + 
E· e4 
2 . 1 09) 
p 
Barra 6: v = (x3 - 3 · L2 · x + 2 · L3) em que v= 4,0 · 1 o-9(x3 - 3 · 106 · x + 
746 ·E· g 4 
2 . 1 09) 
p 
Barra7: v = (x3 - 3·L2·x + 2·L3) emquev = 5,5·1Q-9(x3 - 3·106·x + 
258 ·E· n4 
2 . 1 09) 
As Figs. 6.16(a), 6.16(b) e 6.16(c) apresentam os gráficos da flecha para as diferentes 
seções transversais das barras fletidas. Observar que os resultados foramorganizados em 
três grupos de curvas para melhor efeito de comparação. 
A Fig. 6.16(a) compara as seções transversais que se apresentaram mais rígidas, ou seja, 
aquelas que ofereceram a menor deflexão. Nessa figura observa-se que o perfil em "I" é 
o que se apresenta mais rígido, em comparação com a seção em "T" e o retângulo verti -
cal. Entretanto, pode·se intuir que para o retângulo vertical, caso a razão entre sua altura 
e a base aumente, a rigidez dessa seção também deverá aumentar, ultrapassando a rigi-
dez da seção em "I". Comparando as equações da flecha para a barra 3 e a barra 6, pode-
se comprovar matematicamente que, para razões hlb > 8,83 no retângulo vertical, a 
rigidez deste será maior que aquela apresentada pelo perfil " I". Nesse último caso, deve-
se lembrar que o esforço sofrido pela região da seção onde a carga é aplicada correspon-
derá a um efeito de compressão, podendo levar a seção a sofrer flambagem, antes que 
a barra inicie sua deflexão. 
A Fig. 6.16(b) compara as seções transversais de rigidez intermediária, onde se observa 
que a seção transversal triangular é mais rígida que a seção quadrada, que, por sua vez, 
é mais rígida que a seção circular. Observar pelo gráfico que a seção circular deflete quase 
15 mm a mais do que a seção triangular para as barras do problema proposto. 
A Fig. 6.16(c) compara o efeito da rigidez para a mesma seção transversal disposta de 
forma diferente, como a seção do retângulo vertical e a seção do retângulo horizontal, 
onde se observa que a menor rigidez corresponde àquela do retângulo horizontal, seme-
lhante ao efeito de uma prancha. 
o III I I " " ... .... ... 
50 
100 
Ê 150 g 
cu 200 r. 
o 
Q) 250 u:: 
300 
350 
t 
_/ ~ 
~ 
~ 
/ {"' 
/ ) 
Barra 3 - Aetângulo vertical -/ i ....... 
Barra 2 - Aetângulo horizontal -
(c) 400 
Figura 6.16 Flecha versus distancia de aplicação de carga para o ensaio de f lexão pelo método engas-
tado para diferentes geometrias de seção transversal: (a) seções mais rlgidas; (b) seções de rigidez inter-
mediária; e (c) comparação entre a posição da seção. 
E N S A I O O E F L E X À O 193 
Ensaio de Flexão em Compósitos Estruturais 
Para a análise da flexão em compósitos, será utilizada como exemplo uma placa de seção 
transversal retangular de base b e espessura h composta por lã.minas de diferentes materiais, 
conforme mostra o esboço da Fig. 6.17. 
Para facilitar a compreensão, pode-se admitir que a ligação entre duas lâminas sequenciais 
seja perfeita, isto é, o material de ligação (cola ou outro ligante qualquer) entre as lâ.minas não 
é considerado um terceiro material. 
Para seção transversal retangular, a linha neutra se localiza no eixo de simetria, e nesse caso 
torna-se conveniente numerar as lâminas a partir da linha neutra de 1 a N/2, em que N repre-
senta o número de lâminas que formam a placa. Para um número ímpar de lâminas, a lâmina 
central deverá ser dividida em duas seções de mesma espessura. 
Pode-se provar que a distribuição de tensões normais ao longo da espessura da placa com-
posta por "i" lâminas de diferentes materiais é dada por: 
U ; =MI . Y1 ·[.Êi_] 
lz EEf (6.39) 
em que 
u1 = tensão normal na lâmina "i" da placa (Pa); 
E1 = módulo de elasticidade da lâmina "i" (Pa); 
E.1 = representa o módulo de elasticidade efetivo da placa e é dado por: 
(6.40) 
O termo [E/Eerl na Eq. (6.39) corresponde a um fator de correção adimensional para vigas 
laminadas. Se o módulo de elasticidade de cada camada for igual a E1y, então ter-se-á um mate-
rial isotrópico com (E/EE/) = 1, e a Eq. (6.39) assume a forma da Eq. (6.16). ~importante 
observar que, para placas formadas por lâminas de diferentes características, a tensão normal 
- yN? 
=~ 
X Yo 
y 
-r 
T Y1 
1 Y1- ít 
1 X 
Yz 
Yrvk 
Tensão de 
y 
=---=----:--i! y 
Tensão de 
tração 
Figura 6.17 Compósito de placa laminada formada por N laminas, com destaque ao elemento de 
volume. 
194 CAPITU LO 6 
máxima não ocorre necessariamente nas camadas superior e inferior, uma vez que ela depende 
não apenas das espessuras mas também dos módulos de elasticidade de cada camada. (Neto, 
F. L. & Pardini L. C., 2006.) 
O perfil da tensão de cisalhamento ao longo da espessura da placa é dado por: 
(6.41) 
em que (6.42) 
Tk = a tensão de cisalhamento na lâmina "k". 
Exemplo 6.3 
A placa Iam i nada da Fig. 6.18 é submetida à flexão a três pontos, com as d imensões apre-
sentadas na figura. A lâmina central é feita de madeira de cedro-branco, com 30 mm de 
espessura, e sob ambas as faces dessa lâmina se encontram coladas lâminas de madeira 
de pinheiro vermelho de 15 mm de espessura cada uma. O pacot e é revestido por tecido 
compósito com resina epóxi formando uma camada externa de 5 mm. A placa é apoiada 
sobre dois cilindros distantes 900 mm um do outro, e no centro superior é aplicada uma 
carga de 25.000 N. 
50 mm~'--------i 
~ Tecido compósito 
1'/"í'evestido com resina epóxi 
T Pinheiro vermelho 
7j_0 mm J:Ç:~~rq~~r~:~?P:i llJ ij jj jij jj !:! :l ll !i llJ ij jjj j J1J~jj j !jj jj jji j il]]li [ [ij j ! ~ 1 ,. 
Pinheiro vermelho 
Figura 6.18 Esboço do ensaio de f lexão na placa composta por um núcleo de cedro-branco e duas 
lilminas de madeira de pinheiro vermelho revestidas por tecido compósito com resina epóxi. 
Os módulos de elasticidade dos materiais envolvidos na composição da placa são: 
- Lâmina de cedro-branco - E = 6400 M Pa. 
- Lâmina de madeira de pinheiro vermelho - E = 8800 M Pa. 
- Tecido compósito revestido com resina epóxi - E = 75000 M Pa. 
Determinar o módulo de elasticidade efetivo da placa composta e as distribuições da 
tensão normal e da tensão de cisalhamento atuantes na seção transversal da placa. 
E N S A I O O E F L E X À O 195 
Resposta 
Para o cálculo do módulo de elasticidade efetivo, utiliza-se a Eq. (6.40). Como a placa 
é composta por cinco lâminas, em que a lâmina central será dividida em duas lâminas 
de mesma espessura {15 mm de espessura cada metade), determina-se N = 6 ou 
N/2 = 3. Para as três camadas tem-se que y0 = O; y1 = 15 mm; y2 = 30 mm e y3 = 35 mm, 
logo: 
EE, = (7~ t [ 6, 4 *{153 - 03 ) + 8,8 * (303 - 153) + 75 * (353- 303) J = 33.122 MPa 
Para o cálculo da distribuição da tensão normal é necessária a determinação do mo-
mento fletor máximo em que, para o ensaio em três pontos, o valor máximo do momento 
fletor é dado por (ver Fig. 6.6): 
M = p . L = 2S.OOO * 900 = 5.625.000 N · mm 
fmáx 4 4 
O momento de inércia para a seção transversal retangular com b = 500 mm e h = 70 
mm é dado por: 
1- = b · h
3 
= 
500 
· 
703 
= 14.291.667 mm4 
z 12 12 
Aplicando-se a Eq. {6.39), chega-se a: 
u = 5.625 · 103 . y, . [ E, ] = 119 ·1o-s . ( . . E.) 
I 14.291.667 33.122 • Y, ' 
A Fig. 6.19{a) mostra a d istribuição da tensão normal nas lâminas que formam a 
placa composta. Observar que nas interfaces entre as lâminas o cálculo deve ser reali -
zado duas vezes, uma com o valor do módulo de elasticidade de uma lâmina e outra 
com o valor do módulo de elasticidade da outra lâmina, gerando nessa interface uma 
descontinuidade. 
Para o cálculo da distribuição da tensão de cisalhamento ao longo da espessura da 
placa utiliza-se a Eq. {6.41), na qual a força cortante para o ensaio em três pontos é dada 
por P/2, assim: 
T _ 3' (12.500) . [ 4\.1 ] 
k - 2 ·(SOO)· (70) 33.122 
Para maior detalhamento e precisão dos resultados, torna-se interessante subdividir 
as lâminas de pinheiro vermelho e a lâmina de cedro-branco em sublâminas. Para tanto, 
a lâmina de cedro-branco será dividida em 6 partes de 5 mm de espessura cada uma; três 
delas se encontram acima da linha neutra e três, abaixo. As lâminas de pinheiro vermelho 
serão divididas em três sublãminas com 5 mm de espessura cada. 
Na Tabela 6.3 e na Fig. 6.19(b) são apresentados os resultados para o perfil das tensões 
de cisalhamento na seção transversal. A Fig. 6.19(a) apresenta o perfil da tensão normal 
sobre a seção transversal. 
196 CAPITU LO 6 
-35 
- 30 
- 25 
- 20 
Ê - 15 
.s - 10