Razao-e-Proporcao

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RAZÃO E PROPORÇÃO
Prof. Especialista Daniel Araújo
DISCIPLINA
Razão
• Denominamos de razão entre dois números a e b (b
diferente de zero) o quociente ou a : b.
• A palavra razão vem do latim ratio, e significa divisão.
Ex.: Dos 1200 inscritos no concurso, passaram 240 
candidatos. Razão dos candidatos aprovados:
(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado)
 Termos de uma razão
Obsreve a razão: , o número a é denominado 
antecedente e o b é denominado consequente. E lê-
se a está para b. 
Razões inversas
Se temos a razão sua inversa será , ex: e 
e 
 Razões Especiais
• Velocidade média = distancia percorrida / tempo 
gasto. 
• Escala = Comprimento do desenho / comprimento 
real
• Densidade demográfica = número de habitantes / 
área
EXEMPLOS DE RAZÃO
• Em uma Sala há 20 homens e 
25 mulheres, qual a razão 
entre homens e mulheres?
• Um trem percorreu a distância 
de 453km em 6 horas. Qual a 
velocidade média do trem 
nesse percurso?
• Determine a razão que é igual 
a 3/5 e cujo antecedente seja 
12.
• Paula traçou um segmento de 
12cm, que corresponde ao 
comprimento de uma sala. 
Qual o comprimento real em 
metros numa escala de 1:60?
• O estado do Cerá tem uma 
área de 148.016km² e uma 
população de 6.471.800 
habitantes. Qual a densidade 
demográfica do estado do 
ceará?
PROPORÇÃO
• É a igualdade entre duas razões
• Elementos de uma proporção
Dados quatro números racionais, a, b, c, d, não-
nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma 
proporção quando a razão do primeiro para o segundo for 
igual a do terceiro para o quarto, assim: ,lê-se a
está para b assim como c está para d.
Ex.: 5, 3, 30, 18
PROPRIEDADES
• Propriedade fundamental das proporções.
Observe exemplo: 
Produto dos meios pelos extremos:
8x45 = 5x72 => 360 = 360 
De modo geral temos que:
Em toda proporção, o produto
dos meios é igual ao produto 
dos extremos.
Exemplos da propriedade fundamental
• A idade de Pedro está 
para a idade de Carlos, 
assim como 5 está para 6. 
quantos anos tem Pedro e 
Carlos sabendo que as 
duas idades somadas 
totalizam 55 anos?
a) 20 e 35
b) 25 e 30
c) 5 e 50
d) 15 e 40
e) 10 e 45
• Dois números somados 
totalizam 510. Sabe-se 
que um deles está para 8 
assim como o outro está 
para 9. Quais os dois 
números? 
Propriedade 1
• Propriedade 1: Numa proporção, a soma dos dois 
primeiros termos está para o 2º ou 1º termo, assim 
como a soma dos dois últimos está para o 4º ou 3º.
Exemplos da propriedade 1
• A soma de dois números é 
igual a 46. O primeiro está 
para o segundo assim como 
87 está para 51. Quais os dois 
números?
• Um livro e um caderno 
custam juntos R$30,00. 
Sabe-se que o preço do 
livro está para o preço do 
caderno assim como 10 
está paara 2. Quanto iria 
gastar se tivesse que 
comprar 2 livros e 3 
cadernos iguais a esses?
a) R$30,00 b)R$45,00
c) R$50,00 d)R$60,00
e) R$65,00
Propriedade 2
• Propriedade 2: Numa proporção, a diferença dos 
dois primeiros termos está para o 2º ou 1º termo, 
assim como a diferença dos dois últimos está para 
o 4º ou 3º. 
Exemplos da propriedade 2
• Um número “a” subtraido 
de um determinado 
número “b” resulta em 18, 
determine “a” e “b” 
sabendo que “a” está para 
“b” assim como 5 está 
para 2.
• Sabendo-se que
Determine x e y na proporção
. 
Propriedade 3
• Propriedade 3: Numa proporção, a soma dos 
antecedentes está para a soma dos consequentes, 
assim como cada antecedente está para seu 
consequente.
Exemplo da propriedade 3
• Dois números somados 
totalizam 510. Sabe-se 
que um deles está para 8 
assim como o outro está 
para 9. Quais os dois 
números? 
• Dividir o número 150 em 
partes diretamente 
proporcionais a 3 e 7.
Propriedade 4
• Propriedade 4: Numa proporção, a diferença dos 
antecedentes está para a diferença dos 
consequentes, assim como cada antecedente está 
para seu consequente.
Exemplo da propriedade 4
• Um número “a” subtraido 
de um outro número “b” 
resulta em 54, “a” está 
para 13 assim como “b” 
está para 7. Qual o valor 
de “a” e “b”?
• A diferença entre dois 
números é igual a 52. O 
maior deles está para 23 
assim como o menor está 
para 19. Determine os dois 
valores.
Proporção Múltipla
• Proporção múltipla: Denominamos proporção múltipla 
uma série de razões iguais. Assim: 
Dada a série de razões iguais de acordo com as 
respectivas propriedade, podemos escrever:
Exemplos de proporção múltipla
• Três apostadores receberam 
juntos R$1800,00, o valor que 
o 1º recebeu é diretamente 
proporcional a 2 assim como o 
do 2º é diretamente 
proprcional a 3 e da mesma 
forma o do 3º é diretamente 
proprcional a 4. Quanto 
ganhou cada apostador?
• Calcule x, y e z na 
proporção
sabendo-se
que x + y - z = 6
EXERCÍCIOS
1) Dividir o número 150 em 
partes diretamente 
proporcionais a 3 e 7.
2) Dividir o número 180 em 
partes diretamente a 2, 3 e 
4.
3) Dividir o número 123 em 
partes inversamente 
proporcionais a 6, 8 e 20.
4) Dividir o número 2190 em três 
partes que sejam diretamente 
proporcionais a 2, 3, 5 e 6, 7, 
8.
5) Divida o número 25.000 em 
três partes que sejam 
diretamente proporcionais a 
50, 60, 30 e a 40, 30, 40.
6) Divida 292 em três partes ao 
mesmo tempo inversamente 
proporcionais a 3, 5, 6 e a 
4, 6, 9.
7) Divida 6.050 em três partes 
que sejam, inversamente 
proporcionais a 3, 5, 6 e 
diretamente proporcionais a 
4, 6, 9.
8) Por ocasião do balanço 
anual de uma empresa 
formada por três sócios, 
verificou-se um lucro de 
R$270.000. Determinar a 
parte correspondente a cada 
sócio, sabendo que seus 
capitais investidos foram, 
respectivamente, de: 
R$540.000 R$450.000 e 
R$360.000?
8) Dois capitais estão na razão 
8 para 3 e o maior deles 
excede o menor em 
R$25.000, então a soma 
desses capitais é de:
a) R$40.000
b) R$50.000
c) R$55.000
d) R$25.000
e) R$30.000
9) A quantia de R$132.000, foi 
dividida entre Marcelo e 
Claudia, na razão direta de 
suas idades. E Marcelo tem 
29 anos e Claudia tem 26 
anos, a parte que coube a 
Claudia corresponde a:
a) R$69.600
b) R$62.400
c) R$66.000
d) R$66.500
e) R$65.500
(FCC - TRE) No almoxarifado de 
um órgão púlblico há um lote de 
pastas, x das quais são na cor 
azul e as y restantes na cor 
verde. Se a 
porcentagem 
de pastas azuis no lote é: 
a) 81%
b) 55%
c) 52%
d) 45%
e) 41%
(FCC - TRE) Um total de 141 
documentos devem ser 
catalogados por três técnicos 
judiciários. Para cumprir a tarefa, 
dividiram os documentos entre 
si, em partes inversamente 
proporcionais às suas 
respectivas idades: 24, 36 e 42 
anos. Nessas condições, o 
número de documentos que 
coube ao mais jovem foi?
a)78 b)63 c)57 d)42 e)36
(FGV – TJ) Na maquete de uma 
praça pública construída na 
escala 1:75, o edifício da 
prefeitura, de 13,5 m de altura, 
está representado com uma 
altura de
(A) 16 cm.
(B) 18 cm.
(C) 20 cm.
(D) 22 cm.
(E) 24 cm.
(CESPE) Em seu testamento, um industrial doou 3/16 de sua fortuna para 
uma instituição que se dedica à alfabetização de jovens e adultos; 1/10 , 
para uma entidade que pesquisa medicamentos para combater a doença 
de Chagas; 5/16 , para sua companheira; e o restante para seu único filho. 
A partir dessas informações, julgue o(s) item(ns) a seguir.
• O filho do industrial recebeu 40% da fortuna do pai 
( ) CERTA ( ) ERRADA
• A companheira do industrial recebeu mais que o filho 
( ) CERTA ( ) ERRADA
• A instituição que se dedica à alfabetização de jovens e adultos e a 
entidade que pesquisa medicamentos para combater a doença de 
Chagas receberam, juntas, menos de 25% da fortuna do industrial. 
( ) CERTA ( ) ERRADA
(FCC - TRT) Certo mês, os 
números de horas extras 
cumpridas pelos funcionários A, 
B e C foram inversamenteproporcionais aos seus 
respectivos tempos de seriços 
na empresa. Se A trabalha há 8 
meses, B há 2 anos e C há 3 
anos e, juntos, os 3 cumpriram 
um total de 56 horas extras, 
então o número de horas extras 
cumpridas por B foi:
a)8 b)12 c)18 d)24 e)36
(FCC - TRF) Dois funcionarios de 
uma Repartição Pública foram 
incumbidos de arquivar 164 
processos e dividiram esse total 
na razão direta de suas 
respectivas idades e inversa de 
seus tempos de serviço. Se um 
deles tem 27 anos e 3 anos de 
tempo de serviso publico e outro 
42 anos e esta ha 9 anos no 
serviço publico, entao a diferença 
positiva entre os numeros de 
processos que cada um arquivou 
é?
(CESGRANRIO) Utilize as informações abaixo para responder às 
questões de nº 38 e 39. Uma empresa desenvolveu postes de iluminação 
elétrica feitos de fibra de vidro, mais flexíveis e mais leves do que os 
postes tradicionalmente usados no Brasil. Cada poste de fibra de vidro 
tem 120 kg, o que corresponde a 1/3, 2/3 e 1/8, respectivamente, das 
massas dos postes de madeira, aço e concreto.
38) Qual é, em kg, a massa de um poste de aço?
(A) 80
(B) 150
(C) 180
(D) 270
(E) 360
39) Qual é a razão entre as massas de um poste de concreto e um de aço, 
nessa ordem?
a)16/3 b) 3/16 c) 8/3 d) 3/8 e) 1/3
(SOUSANDRADE) Um prêmio de R$ 
2.000,00 deve ser dividido entre os 
três primeiros colocados em um 
concurso, de forma proporcional à 
pontuação obtida. Se o 1° colocado 
obteve 90 pontos, o 2°colocado 83 
pontos e o 3° colocado 77 pontos, 
determine a diferença, em reais, entre 
os prêmios a que tem direito o 1° e o 
2°colocado.
(A) R$48,00
(B) R$50,00
(C) R$52,00
(D) R$54,00
(E) R$56,00
(FCC) Os candidatos A e B realizaram 
um teste de resistência física para um 
concurso público, onde os candidatos 
percorreram uma distância superior à 
mínima exigida para serem aprovados. 
O candidato A percorreu 2/3 da 
distância percorrida pelo candidato B. 
Observando o rendimento destes 
candidatos, e sabendo-se que o 
candidato que percorreu a maior 
distância foi de 3.000m. Então, a 
diferença entre as distâncias 
percorridas pelos candidatos foi de:
a) 1.000m d) 4.500m
b) 2.000m e) 6.000m
c) 3.000m
(ESAF) Uma empresa organizada por três sócios: A, B e C 
em 1° de maio, deu um lucro de R$ 688.000,00, apurado 
em 31 de dezembro. O capital social de R$ 3.000.000,00 foi 
dividido em três partes iguais; O primeiro sócio integralizou 
toda sua parte logo no início. O segundo sócio, tendo 
entrado com R$ 600.000,00,só integralizou o seu capital em 
15 de julho. O terceiro, que havia entrado com a metade, 
completou a sua parte em 1° de agosto. Com relação ao 
lucro dos três sócios, responda:
a) A<B<C b) B<C<A c) C<A<B d)C<B<A e)B<A<C