Estatística 04

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Aula 04
Estatística p/ PC-PA (Investigador) -
Pós-Edital
Autor:
Guilherme Neves
Aula 04
19 de Novembro de 2020
 
 
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Sumário 
1. Medidas de Variabilidade ....................................................................................................................... 3 
2. Amplitude Total ....................................................................................................................................... 5 
Propriedades da Amplitude ........................................................................................................................ 6 
3. Amplitude Interquartílica ......................................................................................................................... 9 
4. Propriedades dos Desvios ..................................................................................................................... 12 
Desvio Absoluto Médio ................................................................................................................................ 24 
Variância e Desvio Padrão ............................................................................................................................ 30 
4.1. Variância e Desvio Padrão para Dados Agrupados ....................................................................... 48 
Coeficiente de Variação ................................................................................................................................ 51 
Lista de Questões de Concursos sem Comentários ..................................................................................... 55 
Gabarito sem comentário ............................................................................................................................. 69 
Lista de Questões de Concursos com Comentários ..................................................................................... 70 
Considerações Finais .................................................................................................................................. 117 
 
 
 
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Para esta aula, aconselho assistir o seguinte vídeo, em que ensino a calcular raízes quadradas 
aproximadas: https://www.youtube.com/watch?v=8jKk9e-70LQ&t=31s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. MEDIDAS DE VARIABILIDADE 
 
As Medidas de Variabilidade ou Medidas de Dispersão medem o grau de dispersão dos valores 
de um conjunto em torno de um valor médio. 
As medidas de tendência central não são suficientes para bem descrever um conjunto de dados. 
Observe o seguinte conjunto. 
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1.000 
A média desse conjunto é: 
	𝑥	''' =
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.000
9 
 
	𝑥	''' = 112 
 
Já vimos que para casos como esse a mediana é bem melhor para descrever os dados, pois a 
mediana não é sensível à presença de outliers (valores extremos). 
Nesse exemplo, os valores estão bem concentrados em torno de 1 (que é a mediana e a moda), 
mas como há um valor extremo, a média foi puxada para a direita. 
 
Perceba que a média, nesse caso, é um péssimo número para descrever os dados justamente 
porque a média é bastante influenciada por valores extremos. 
 
É óbvio que em um exemplo com poucos números fica bem fácil perceber o grau de afastamento 
dos dados, mas imagine que você está fazendo uma análise de 10.000 números: a variabilidade 
dos dados não ficaria tão visível assim. 
 
E para que a análise do afastamento dos dados não seja algo subjetivo, vamos estudar nesta aula 
diversas medidas de variabilidade: amplitude, amplitude interquartílica, desvio quartílico, desvio 
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médio (ou desvio absoluto médio), variância, desvio padrão, coeficiente de variação e variância 
relativa. 
 
(VUNESP 2016/MPE-SP) 
Na estatística, são considerados medidas de dispersão: 
a) média e moda. 
b) percentil e coeficiente de variação. 
c) amplitude total e percentil. 
d) amplitude total e desvio padrão. 
e) variância e média. 
Comentário 
A média e a moda são medidas de posição (ou medidas de tendência central). Elas não medem o 
grau de dispersão dos dados. 
O percentil é uma medida separatriz (ou quantil). O percentil também não mede o grau de 
afastamento dos dados. 
São medidas de dispersão o coeficiente de variação, a amplitude total (ou simplesmente 
amplitude), o desvio padrão e a variância. 
Gabarito: D 
 
 
 
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2. AMPLITUDE TOTAL 
 
A amplitude total (ou simplesmente amplitude) é a diferença entre o maior elemento e o menor 
elemento. Em inglês, a amplitude é chamada de “range” (já apareceu em prova). 
𝐴 = 𝑥-á/ − 𝑥-í2 
A amplitude total é uma medida de dispersão muito pobre, pois ela não se importa com os 
outros termos do conjunto de dados. Nos interessam apenas o menor e o maior valor. 
Assim, por exemplo, a amplitude do conjunto {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1.000} é 
𝐴 = 1.000 − 1 = 999 
Se os dados estiverem agrupados em intervalos de classe, a amplitude será dada pela diferença 
entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. 
Tomemos como exemplo a tabela a seguir. 
Notas Frequência 
0 – 2 2 
2 – 4 5 
4 – 6 8 
6 – 8 4 
8 - 10 3 
Lembre-se que perdemos informações ao descrever os dados com dados agrupados em classe. 
Assim, tomamos como convenção para o cálculo da amplitude total a diferença entre o limite 
superior da última classe (10) e o limite inferior da primeira classe (0). 
Portanto, nesse caso, 
𝐴 = 10 − 0 = 10 
 
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(VUNESP 2012/Prefeitura de São José dos Campos) 
A diferença entre o maior e o menor valor em um conjunto de dados é denominado (a) 
a) curva normal. 
b) amplitude total. 
c) média. 
d) média ponderada. 
e) moda. 
Comentário 
A diferença entre o maior e o menor valor em um conjunto de dados é uma medida de dispersão 
denominada amplitude (ou amplitude total). 
Gabarito: B 
 
Propriedades da Amplitude 
 
Apesar de este assunto não ser cobrado em provas (pelo menos eu nunca vi), vamos fazer um 
breve comentário sobre as propriedades da amplitude, pois assim será mais fácil entender as 
propriedades do desvio padrão e da variância. 
Vimos, por exemplo, que a média é aumentada de 𝑘 unidades se somarmos 𝑘 unidades a todos 
os elementos de um conjunto. 
O que ocorre com a amplitude? 
Vejamos um exemplo. A amplitude do conjunto 𝑋 = {1, 2, 5, 7, 10, 10, 10, 50} é 
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𝐴9 = 50 − 1 = 49 
Vamos adicionar 10 unidades a todos os elementos do conjunto 𝑋. Obtemos o conjunto 𝑌. 
𝑌 = {11,12, 15, 17, 20, 20, 20, 60} 
A nova amplitude é 
𝐴= = 60 − 11 = 49 
Observe que a amplitude não foi alterada. 
Basta pensar: a amplitude é a distância do menor valor ao maior valor. Ao adicionar uma 
constante a esses dois valores, a diferença entre eles não será alterada. 
Imagina que o menor salário de uma empresa é de R$ 1.000,00 e o maior salário é de R$ 
10.000,00. A amplitude é de 10.000 – 1.000 = 9.000 reais. 
Se todos recebem um bônus de R$ 500,00 (todos vão ganhar 500 reais a mais),a diferença entre 
o maior e o menor continuará sendo 9.000 reais. 
 
Em suma: ao adicionar (ou subtrair) uma constante 𝑘 a todos os valores de um conjunto, a 
amplitude não é alterada. 
 
Vamos ver qual a influência da multiplicação. Vamos tomar como exemplo o conjunto 𝑋 =
{1, 4, 7, 10, 41}. A amplitude é 
𝐴9 = 41 − 1 = 40 
Vamos multiplicar todos os números por 3. 
𝑌 = {3, 12, 21, 30, 123} 
A amplitude do novo conjunto é 
𝐴= = 123 − 3 = 120 
Observe que, ao multiplicar todos os termos por 3, a amplitude também foi multiplicada por 3. 
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Isso é bem fácil para entender. Sejam 𝑥-?2 e 𝑥-á/ o menor e o maior valor do conjunto original, 
respectivamente. 
A amplitude é 
𝐴9 = 𝑥-á/ − 𝑥-í2 
Quando multiplicamos todos os números por 3, o menor valor passa a ser 3 ∙ 𝑥-í2 e o maior valor 
passa a ser 3 ∙ 𝑥-á/. Portanto, a nova amplitude será: 
𝐴= = 3 ∙ 𝑥-á/ − 3 ∙ 𝑥-í2 
 
Colocando 3 em evidência, temos: 
𝐴= = 3 ∙ (𝑥-á/ − 𝑥-í2BCCCDCCCE
FG
) 
𝐴= = 3 ∙ 𝐴9 
 
 
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de uma lista de 
números, a amplitude não é alterada. 
 
Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante c de todos os valores de uma lista de 
números, a amplitude da lista fica multiplicada (ou dividida) por esta constante. 
 
 
 
 
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3. AMPLITUDE INTERQUARTÍLICA 
 
A amplitude interquartílica é outra medida de dispersão. Assim, como a amplitude total, a 
amplitude interquartílica é uma medida de dispersão “pobre”. 
 
Os quartis dividem os dados em 4 partes de mesma frequência. São sempre 3 quartis. Cada 
parte conterá 25% dos dados. 
 
 
O primeiro quartil (Q1) – valor situado de tal modo na série que uma quarta parte (25%) dos 
dados é menor que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores. 
O segundo quartil (Q2) – evidentemente, coincide com a mediana (Q2=Md) e separa os 50% 
menores dos 50% maiores. 
O terceiro quartil (Q3) – valor situado de tal modo que as três quartas partes (75%) dos termos 
são menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior. 
 
 
A diferença 𝑄J − 𝑄K é denominada amplitude interquartílica. 
 
A metade desse valor, LMNLO
P
 é denominada amplitude semi-interquartílica ou desvio 
quartílico. 
 
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A amplitude interquartílica também é chamada de “intervalo interquartílico” ou “intervalo 
interquartil” ou ainda “distância interquartílica”. 
As propriedades da amplitude interquartílica são exatamente as mesmas que estudamos para a 
amplitude total. 
 
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de uma lista de 
números, a amplitude interquartílica (e o desvio quartílico também) não é alterada. 
 
Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante c de todos os valores de uma lista de 
números, a amplitude interquartílica (e o desvio quartílico) da lista fica multiplicada (ou 
dividida) por esta constante. 
 
 
(AOCP 2018/SUSIPE-PA) 
Quartis são valores que dividem os dados de uma amostra em quatro grupos, cada um deles 
contendo 1/4 do tamanho total da amostra. Em relação ao assunto, informe se é verdadeiro (V) 
ou falso (F) o que se afirma a seguir e assinale a alternativa com a sequência correta. 
( ) O primeiro quartil Q1 tem 1/4 dos dados acima dele e 3/4 dos dados abaixo dele. 
( ) O terceiro quartil Q3 tem 3/4 dos dados abaixo dele e 1/4 dos dados acima dele. 
( ) O quartil Q3 é a própria mediana. 
( ) A distância interquartílica é dada por DIQ = Q3 – Q1. 
(A) V – F – F – V. 
(B) F – V – F – V. 
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(C) F – V – V – V. 
(D) V – V – F – V. 
(E) F – V – F – F. 
Comentário 
Vamos analisar cada uma das assertivas. 
( F ) O primeiro quartil Q1 tem 1/4 dos dados acima dele e 3/4 dos dados abaixo dele. 
A primeira assertiva é falsa. O primeiro quartil separa os 25% menores valores dos 75% maiores 
valores. O nome quartil vem justamente do fato de que 25% = 1/4, ou seja, a distribuição fica 
dividida em quartos. 
 
( V ) O terceiro quartil Q3 tem 3/4 dos dados abaixo dele e 1/4 dos dados acima dele. 
A segunda assertiva é verdadeira. O terceiro quartil separa os 75% menores valores dos 25% 
maiores valores. 
 
( F ) O quartil Q3 é a própria mediana. 
A terceira assertiva é falsa, pois é o segundo quartil que é igual à mediana. 
 
( V ) A distância interquartílica é dada por DIQ = Q3 – Q1. 
A quarta assertiva é verdadeira. É a própria definição de distância interquartílica. 
 
Gabarito: B 
 
 
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4. PROPRIEDADES DOS DESVIOS 
 
Considere o seguinte conjunto de dados 𝑋 = {𝑥K, 𝑥P, 𝑥J, … 𝑥2} e um número real qualquer 𝑚. 
O desvio de um número qualquer do conjunto 𝑋 em relação ao número 𝑚 é a diferença 
𝑑? = 𝑥? − 𝑚 
Em especial, temos o desvio em relação à média (aritmética) e o desvio em relação à mediana (o 
desvio em relação à média será bem mais importante para os nossos estudos em Estatística). 
 
 
Doravante, quando falarmos em “desvio” estaremos nos referindo ao desvio em 
relação à média aritmética. 
 
(VUNESP 2015/TJ-SP) 
Leia o texto a seguir para responder às questões seguintes. 
Uma pequena empresa que emprega apenas cinco funcionários paga os seguintes salários 
mensais (em mil reais): 
 
01. Considerando a média dos salários, o valor do desvio do salário de quem ganha R$ 1.400,00 
mensais é 
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a) −1.000 
b) −400 
c) 0 
d) 200 
e) 400 
02. Somando-se os valores absolutos dos desvios individuais dos salários tomados em relação à 
média, encontra-se o valor de 
a) 1.400,00 
b) 1.200,00 
c) 1.000,00 
d) 800,00 
e) 0 
Comentário 
Os salários estão em unidades de mil reais. Vamos calcular a média. 
𝑥 =
900 + 1.200 + 1.400 + 1.500 + 2.000
5 = 1.400 
Vamos calcular todos os desvios em relação à média. 
𝑑K = 900 − 1400 = −500 
𝑑P = 1.200 − 1.400 = −200	 
𝑑J = 1.400 − 1.400 = 0	 
𝑑U = 1.500 − 1.400 = 100	 
𝑑V = 2.000 − 1.400 = 600	 
O valor do desvio de quem ganha 1.400 reais é 𝑑J = 0. 
A reposta da questão 01 é a alternativa C. 
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Vamos agora somar os valores absolutos dos desvios. 
 
∑|𝑑?| = 500 + 200 + 0 + 100 + 600 
 
∑|𝑑?| = 1.400 
A resposta da questão 02 é a alternativa A. 
Gabarito: C, A 
 
Já estudamos bastante os desvios nas aulas sobre média e mediana. Lá, aprendemos importantes 
propriedades. Vamos revisar essas propriedades. 
Vou copiar o que estudamos nessas aulas para que você não precise ir atrás. 
 
i) A soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é nula. 
Y𝑑? =Y(𝑥? − 	𝑥	) = 0 
Para explicar essa propriedade, vamos tomar como exemplo a sequência (2,4, 6, 8, 10, 10, 12, 12). 
Vamos calcular a média: 
	𝑥	 =
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 10 + 12 + 12
8 
	𝑥	 = 8 
Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento da sequência e a 
média aritmética. 
A sequência possui 8 elementos. Portanto, há 8 desvios para calcular. Basta calcular a diferença 
entre cada elemento e a média. 
O primeiro número da sequência é 2. A média é 8. Portanto, o primeiro desvio é 
𝑑K = 𝑥K − 	𝑥	 = 2 − 8 = −6 
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Vamos fazer o mesmo cálculo para todos os outros números. 
𝑑K = 𝑥K− 	𝑥	 = 2 − 8 = −6 
𝑑P = 𝑥P − 	𝑥	 = 4 − 8 = −4 
𝑑J = 𝑥J − 	𝑥	 = 6 − 8 = −2 
𝑑U = 𝑥U − 	𝑥	 = 8 − 8 = 0 
𝑑V = 𝑥V − 	𝑥	 = 10 − 8 = 2 
𝑑Z = 𝑥Z − 	𝑥	 = 10 − 8 = 2 
𝑑[ = 𝑥[ − 	𝑥	 = 12 − 8 = 4 
𝑑\ = 𝑥\ − 	𝑥	 = 12 − 8 = 4 
 
Vamos agora somar todos esses desvios. 
Y𝑑?
\
?]K
= 𝑑K + 𝑑P + 𝑑J + 𝑑U + 𝑑V + 𝑑Z + 𝑑[ + 𝑑\ 
Y𝑑?
\
?]K
= (−6) + (−4) + (−2) + 0 + 2 + 2 + 4 + 4 
Y𝑑?
\
?]K
= 0 
É justamente isso que diz a propriedade que acabamos de enunciar. Não importa qual a 
sequência de números: a soma dos desvios em relação à média é sempre igual a zero. 
 
ii) A soma dos quadrados dos desvios da sequência de números 𝑥? em relação a um número 𝑚 é 
mínima se 𝑚 for a média aritmética dos números. 
Vamos mais uma vez colocar um exemplo numérico para entender essa propriedade. 
Vamos novamente utilizar a sequência (2,4, 6, 8, 10, 10, 12, 12). Já sabemos que a média é 8. 
Também já calculamos os desvios desses números em relação à média. 
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𝑑K = 𝑥K − 	𝑥	 = 2 − 8 = −6 
𝑑P = 𝑥P − 	𝑥	 = 4 − 8 = −4 
𝑑J = 𝑥J − 	𝑥	 = 6 − 8 = −2 
𝑑U = 𝑥U − 	𝑥	 = 8 − 8 = 0 
𝑑V = 𝑥V − 	𝑥	 = 10 − 8 = 2 
𝑑Z = 𝑥Z − 	𝑥	 = 10 − 8 = 2 
𝑑[ = 𝑥[ − 	𝑥	 = 12 − 8 = 4 
𝑑\ = 𝑥\ − 	𝑥	 = 12 − 8 = 4 
 
Na propriedade passada, vimos que a soma desses desvios é sempre igual a 0. Alguns desvios 
são negativos, outros são positivos, alguns podem ser zero, mas a soma deles é sempre igual a 0. 
Pois bem. Vamos agora calcular a soma dos quadrados desses desvios. Em outras palavras, 
vamos elevar cada um desses desvios ao quadrado e somar todos os resultados. 
Y𝑑?P
\
?]K
= 𝑑KP + 𝑑PP + 𝑑JP + 𝑑UP + 𝑑VP + 𝑑ZP + 𝑑[P + 𝑑\P 
Y𝑑?P
\
?]K
= (−6)P + (−4)P + (−2)P + 0P + 2P + 2P + 4P + 4P 
Y𝑑?P
\
?]K
= 96 
A propriedade nos diz que, para essa sequência numérica, o valor 96 é um valor mínimo. O que 
isso quer dizer? 
Isso quer dizer que se calcularmos os desvios em relação a outro número qualquer diferente de 8 
(diferente da média) e, em seguida, calcularmos a soma dos quadrados dos desvios, obteremos 
um valor maior que 96. 
Olhe novamente a sequência que estamos trabalhando: (2,4, 6, 8, 10, 10, 12, 12). Vamos calcular a 
soma dos quadrados dos desvios em relação a 3. Por que 3? Porque eu quis. Kkkkk... É apenas 
um exemplo. 
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Ah, Guilherme. Eu não gosto do número 3. Eu gostaria de verificar com o número 5, que é o 
aniversário da minha mãe. 
Ok. Vamos lá. Eis os desvios em relação a 5. 
𝑑K′ = 𝑥K − 5 = 2 − 5 = −3 
𝑑P′ = 𝑥P − 5 = 4 − 5 = −1 
𝑑J′ = 𝑥J − 5 = 6 − 5 = 1 
𝑑U′ = 𝑥U − 5 = 8 − 5 = 3 
𝑑V′ = 𝑥V − 5 = 10 − 5 = 5 
𝑑Z′ = 𝑥Z − 5 = 10 − 5 = 5 
𝑑[′ = 𝑥[ − 5 = 12 − 5 = 7 
𝑑\′ = 𝑥\ − 5 = 12 − 5 = 7 
Vamos agora calcular a soma dos quadrados desses números. Pela nossa propriedade, 
obrigatoriamente o resultado será maior do que 96. 
Y𝑑′?P
\
?]K
= (−3)P + (−1)P + (1)P + 3P + 5P + 5P + 7P + 7P 
Y𝑑′?P
\
?]K
= 168 
Como era de se esperar, o resultado é maior do que 96. 
iii) A soma dos módulos dos desvios da sequência de números 𝑥? em relação a um número 𝑚 é 
mínima se 𝑚 for a mediana dos números. 
 
Tomemos como exemplo a sequência (2, 4, 6, 8, 10, 10, 12, 12). 
Como o número de elementos é par, a mediana, por convenção, é a média aritmética dos dois 
termos centrais. 
8 + 10
2 = 9 
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A sequência possui 8 elementos. Portanto, há 8 desvios para calcular. Basta calcular a diferença 
entre cada elemento e a mediana. 
𝑑K = 𝑥K − 𝑀` = 2 − 9 = −7 
𝑑P = 𝑥P − 𝑀` = 4 − 9 = −5 
𝑑J = 𝑥J − 𝑀` = 6 − 9 = −3 
𝑑U = 𝑥U − 𝑀` = 8 − 9 = −1 
𝑑V = 𝑥V − 𝑀` = 10 − 9 = 1 
𝑑Z = 𝑥Z − 𝑀` = 10 − 9 = 1 
𝑑[ = 𝑥[ − 𝑀` = 12 − 9 = 3 
𝑑\ = 𝑥\ − 𝑀` = 12 − 9 = 3 
Vamos agora somar os módulos desses desvios. 
Y|𝑑?|
\
?]K
= |𝑑K| + |𝑑P| + |𝑑J| + |𝑑U| + |𝑑V| + |𝑑Z| + |𝑑[| + |𝑑\| 
 
Y|𝑑?|
\
?]K
= 7 + 5 + 3 + 1 + 1 + 1 + 3 + 3 = 24 
A propriedade nos diz que, para essa sequência numérica, o valor 24 é um valor mínimo. O que 
isso quer dizer? 
Isso quer dizer que se calcularmos os desvios em relação a outro número qualquer diferente da 
mediana e, em seguida, calcularmos a soma dos módulos dos desvios, obteremos um valor maior 
que 24. 
 
 
 
 
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Quando o número de elementos é ímpar, a mediana é única e igual ao termo central. 
Neste caso, o valor mínimo da soma dos módulos dos desvios só pode ser atingido 
quando esses desvios são calculados em relação a esse número único, que é a 
mediana. 
 
Quando o número de elementos é par, a mediana pode ser QUALQUER VALOR 
ENTRE os termos centrais. Portanto, há infinitos possíveis valores para a mediana. Por 
convenção, adotamos como valor mediano a média entre os dois valores centrais. 
Neste caso, o valor mínimo da soma dos módulos dos desvios é atingido quando os 
desvios são calculados em relação a qualquer número entre os dois termos centrais (ou 
em relação aos termos centrais inclusive). 
 
Se, em vez do ponto médio dos termos centrais, utilizássemos outro número no intervalo [8,10], a 
soma dos módulos dos desvios também seria igual a 24. Lembre-se que qualquer número entre 8 
e 10 poderia ser utilizado como mediana, mas, POR CONVENÇÃO utilizamos o ponto médio 9. 
Vamos calcular, por exemplo, a soma dos módulos dos desvios em relação a 9,5, que seria outra 
possível mediana pela definição. 
- Guilherme, por que 9,5? 
- Porque eu quis. Kkkkk.. 
- Ah, não, Guilherme. Eu prefiro o número 9,437. Pode? 
- Claro!! A propriedade é válida para QUALQUER número entre os valores centrais. 
 
Vamos calcular os desvios dos números da sequência	(2,4, 6, 8, 10, 10, 12, 12) em relação a 9,437. 
𝑑K = 𝑥K − 𝑀` = 2 − 9,437 = −7,437 
𝑑P = 𝑥P − 𝑀` = 4 − 9,437 = −5,437 
𝑑J = 𝑥J − 𝑀` = 6 − 9,437 = −3,437 
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20 
 
𝑑U = 𝑥U − 𝑀` = 8 − 9,437 = −1,437 
𝑑V = 𝑥V − 𝑀` = 10 − 9,437 = 0,563 
𝑑Z = 𝑥Z − 𝑀` = 10 − 9,437 = 0,563 
𝑑[ = 𝑥[ − 𝑀` = 12 − 9,437 = 2,563 
𝑑\ = 𝑥\ − 𝑀` = 12 − 9,437 = 2,563 
 
Vamos agora calcular a soma dos módulos dos desvios. 
 
Y|𝒅𝒊|
𝟖
𝒊]𝟏
= 𝟕, 𝟒𝟑𝟕 + 𝟓, 𝟒𝟑𝟕 + 𝟑, 𝟒𝟑𝟕 + 𝟏, 𝟒𝟑𝟕 + 𝟎, 𝟓𝟔𝟑 + 𝟎, 𝟓𝟔𝟑 + 𝟐, 𝟓𝟔𝟑 + 𝟐, 𝟓𝟔𝟑 
 
Y|𝒅𝒊|
𝟖
𝒊]𝟏
= 𝟐𝟒 
 
Como esperávamos! 
 
Se esses desvios forem calculados em relação a qualquer número fora do intervalo fechado [8,10] 
a soma dos módulos dos desvios será superior a 24. A soma será igual a 24 inclusive se você 
utilizar 8 ou 10, que são os termos centrais. 
 
Apenas para ilustrar, vou calcular os desvios em relação a 8. 
 
𝑑K = 2 − 8 = −6 
𝑑P = 4 − 8 = −4 
𝑑J = 6 − 8 = −2 
𝑑U = 8 − 8 = 0 
𝑑V = 10 − 8 = 2 
𝑑Z = 10 − 8 = 2 
𝑑[ = 12 − 8 = 4 
𝑑\ = 12 − 8 = 4 
 
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21 
 
Agora vamos calcular a soma dos módulos desses desvios. 
 
Y|𝒅𝒊|
𝟖
𝒊]𝟏
= 𝟔 + 𝟒 + 𝟐 + 𝟎 + 𝟐 + 𝟐 + 𝟒 + 𝟒 = 𝟐𝟒 
 
Vamos agora utilizar um valor qualquer fora do intervalo [8,10] e verificar que a soma dos 
módulos dos desvios é superior a 24. Vamos utilizar como exemplo os desvios em relação a 11. 
Só para lembrar, a sequência é (𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖, 𝟏𝟎, 𝟏𝟎, 𝟏𝟐, 𝟏𝟐). 
 
𝑑K = 2 − 11 = −9 
𝑑P = 4 − 11 = −7 
𝑑J = 6 − 11 = −5 
𝑑U = 8 − 11 = −3 
𝑑V = 10 − 11 = −1 
𝑑Z = 10 − 11 = −1 
𝑑[ = 12 − 11 = 1 
𝑑\ = 12 − 11 = 1 
 
Agora vamos calcular a soma dos módulos desses desvios. 
 
Y|𝒅𝒊|
𝟖
𝒊]𝟏
= 𝟗 + 𝟕 + 𝟓 + 𝟑 + 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 +𝟏 = 𝟐𝟖 
 
Como esperávamos, 28 > 24. 
 
 
 
 
 
 
 
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22 
 
 
A soma dos desvios tomados em relação à média aritmética é sempre nula. 
 
A soma dos quadrados dos desvios é mínima quando os desvios são calculados em 
relação à média aritmética. 
 
A soma dos módulos (valores absolutos) dos desvios é mínima quando os desvios são 
calculados em relação à mediana. 
 
 
 
Se o número de elementos for par, a soma dos módulos será mínima também se os 
desvios forem calculados em relação a um dos valores centrais. 
 
Em outras palavras, se o número de elementos for par, a soma dos módulos dos 
desvios em relação à mediana é mínima e esta soma também pode ser obtida se os 
desvios forem calculados em relação a qualquer termo no intervalo [𝑥n
o
, 𝑥n
opK
], em que 
𝑥n
o
 e 𝑥n
opK
 são os termos centrais. 
 
 
 
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23 
 
 
(FCC 2012/TRE-SP) 
Dado um conjunto de observações, indicadas por 𝑿𝒊(𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒏), o desvio 𝒆𝟏 da i-ésima 
observação em relação a um valor 𝜶 é 𝒆𝒊 = 𝑿𝒊 − 𝜶 e |𝒆𝒊| é o valor absoluto de 𝒆𝒊. Considere as 
seguintes afirmações para qualquer conjunto de observações: 
I. O valor de ∑𝒆𝒊𝟐 é mínimo se 𝜶 for igual à média aritmética das observações. 
II. O valor de ∑|𝒆𝒊| é mínimo se 𝜶 for igual à mediana das observações. 
III. O valor de ∑𝒆𝒊 é nulo se 𝜶 for igual à moda das observações. 
IV. O valor de ∑|𝒆𝒊| é nulo se 𝜶 for igual à média aritmética das observações. 
Então, são corretas APENAS 
a) I e II. 
b) I e III. 
c) II e III. 
d) II e IV. 
e) II, III e IV. 
Comentário 
A sentença I é verdadeira, pois a soma dos quadrados dos desvios é mínima quando os desvios 
forem tomados em relação à média aritmética. 
A sentença II é verdadeira, pois a soma dos módulos dos desvios é mínima quando os desvios 
forem tomados em relação à mediana (observe que a questão não falou SOMENTE em relação à 
mediana, assim, não precisamos nos preocupar se o número de elementos é par ou ímpar. 
Quando o desvio é calculado em relação à mediana, em qualquer caso, a soma dos módulos dos 
desvios será mínima. Seria falso dizer que SE a soma atingiu o valor mínimo, então os desvios 
foram calculados em relação à mediana, pois poderíamos calcular os desvios em relação a um 
dos termos centrais quando o número de elementos é par. 
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24 
 
A sentença III é falsa. A soma dos módulos dos desvios é nula se os desvios forem calculados em 
relação à média. Só seria verdade nos casos em que a moda é igual à média. 
A sentença IV é falsa. A soma dos módulos dos desvios em relação à média só seria nula se todos 
os desvios fossem nulos, ou seja, se todos os números fossem iguais e não houvesse dispersão 
dos dados. 
Gabarito: A 
 
DESVIO ABSOLUTO MÉDIO 
 
O desvio absoluto médio também pode ser chamado simplesmente de desvio médio. 
 
Estamos interessados em medir a dispersão dos dados. Os desvios em relação à média são 
ótimos para medir a dispersão pois eles descrevem o quão afastados da média estão os dados. 
 
Imagine que temos 1.000 números em um conjunto. Dessa forma, teríamos 1.000 desvios para 
calcular. Não seria fácil tirar uma conclusão acerca da dispersão dos dados olhando para 1.000 
desvios, concorda? 
Assim, o ideal seria ter um único número que representasse todos os 1.000 desvios. Que tal a 
média deles? 
Se fôssemos calcular a média de todos os desvios, deveríamos somar todos os desvios e dividir o 
resultado por 𝑛, que é o total de observações. 
Ora, vimos que a soma dos desvios em relação a média é sempre zero. Assim, se fôssemos 
calcular a média dos desvios em relação à média o resultado seria sempre zero. 
𝑑 =
∑(𝑥? − 	𝑥	)
𝑛 =
0
𝑛 = 0 
Por isso, não há o menor sentido em calcular a média dos desvios como medida de dispersão, 
pois o resultado seria sempre zero. 
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25 
 
O problema é que há desvios negativos, nulos e positivos. Os positivos anulam os negativos e o 
resultado da soma é sempre zero. 
Para contornar esse problema, devemos “positivar” os desvios negativos. Há duas boas maneiras 
para isso: calcular o módulo dos desvios ou elevá-los ao quadrado. 
Quando tomamos os módulos dos desvios, damos origem ao desvio absoluto médio (ou 
simplesmente desvio médio). Quando elevamos os desvios ao quadrado, damos origem à 
variância – tópico que estudaremos a seguir. 
 
Vamos agora focar no desvio médio. 
 
Imagine novamente que temos 1.000 números. Calculamos a sua média. Como são 1.000 
números, temos 1.000 desvios em relação à média. Como há desvios negativos, nulos e 
positivos, vamos calcular o módulo de todos esses desvios. Assim, teremos apenas desvios nulos 
e positivos. Pois bem, a média dos módulos dos desvios é chamado de desvio médio. 
Em suma: calculamos os desvios em relação à média, tomamos seus valores absolutos, somamos 
todos e dividimos por 𝑛. 
𝐷x =
∑|𝑥? − 	𝑥	|	
𝑛 
O desvio médio já é uma medida de dispersão mais robusta do que a amplitude total ou a 
amplitude interquartílica, já que o desvio médio leva em consideração todos os valores. 
O inconveniente do desvio médio é a operação de módulo, que não é uma ferramenta 
matemática tão agradável de trabalhar. 
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26 
 
 
(CESPE 2004/ANATEL) 
 
A tabela acima mostra os números mensais de reclamações (N) feitas por usuários de telefonia 
fixa, registradas em uma central de atendimento, entre os meses de fevereiro a novembro de 
2003. Considerando esses dados, julgue os itens que se seguem. 
01. No período de fevereiro a novembro de 2003, o número médio mensal de reclamações 
registradas foi igual a 60. 
02. O maior desvio absoluto dos números mensais de reclamações registradas é superior a 45. 
03. O desvio médio absoluto da sequência formada pelos números mensais de reclamações é um 
valor entre 25 e 35. 
Comentário 
Vamos calcular a média. 
𝑥 =
100 + 70 + 70 + 60 + 50 + 100 + 50 + 50 + 30 + 20
10 =
600
10 
 
𝑥 = 60 
O item 01 está certo. 
Vamos agora calcular o módulo (valor absoluto) de cada um dos desvios. 
|𝑑K| = |𝑥K − 𝑥| = |100 − 60| = 40 
|𝑑P| = |𝑥P − 𝑥| = |70 − 60| = 10 
|𝑑J| = |𝑥J − 𝑥| = |70 − 60| = 10 
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27 
 
|𝑑U| = |𝑥U − 𝑥| = |60 − 60| = 0 
|𝑑V| = |𝑥V − 𝑥| = |50 − 60| = 10 
|𝑑Z| = |𝑥Z − 𝑥| = |100 − 60| = 40 
|𝑑[| = |𝑥[ − 𝑥| = |50 − 60| = 10 
|𝑑\| = |𝑥\ − 𝑥| = |50 − 60| = 10 
|𝑑y| = |𝑥y − 𝑥| = |30 − 60| = 30 
|𝑑Kz| = |𝑥Kz − 𝑥| = |20 − 60| = 40 
 
O maior desvio absoluto é 40. O item 02 está errado. 
Vamos agora calcular o desvio absoluto médio. Basta calcular a média dos módulos dos desvios. 
𝐷x =
∑|𝑥? − 	𝑥	|	
𝑛 
 
𝐷x =
40 + 10 + 10 + 0 + 10 + 40 + 10 + 10 + 30 + 40
10 =
200
10 
 
𝐷x = 20	 
O item 03 está errado. 
Gabarito: Certo, Errado, Errado 
 
Se os dados estiverem agrupados, deveremos calcular a média ponderada dos desvios, em que 
os pesos são as frequências. 
𝐷x =
∑(|𝑥? − 	𝑥	| ∙ 𝑓?)	
𝑛 
Em outras palavras, deveremos multiplicar cada desvio (em módulo) pela sua respectiva 
frequência, somar os resultados e dividir por 𝑛. 
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28 
 
Se os dados estiverem agrupados em classe, deveremos adotar a mesma convenção que 
tomamos para o cálculo da média: vamos assumir que todos os valores coincidem com os pontos 
médios das suas respectivas classes.(UEPA 2013/ICMS-PA) 
A tabela abaixo representa as estaturas dos jogadores de voleibol que disputaram a Liga 
Mundial de 2012. 
 
O desvio médio da estatura dos jogadores é: 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 10 
Comentário 
Para calcular a média e para calcular o desvio médio, devemos assumir que todos os valores 
coincidem com os pontos médios das respectivas classes. 
Como a distribuição é simétrica, a média é o ponto médio da classe central. Assim, a média é 
195. De qualquer forma, vamos calcular passo a passo. 
Comecemos montando a tabela. 
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29 
 
Vamos construir uma coluna com os pontos médios e já vamos multiplicar cada ponto médio pela 
respectiva frequência para calcular a média. 
Estaturas 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝒙𝒊 ∙ 𝒇𝒊 
180 – 190 10 185 10 x 185 = 1.850 
190 – 200 30 195 30 x 195 = 5.850 
200 – 210 10 205 10 x 205 = 2.050 
Total 50 9.750 
Portanto, a média é: 
𝑥 =
9.750
50 = 195 
Vamos agora calcular os módulos dos desvios. 
Na primeira classe, estamos considerando que todos os dados valem 185. O desvio de cada um 
deles em relação à média será 185 − 195 = −10 e o valor absoluto de cada desvio será 10. 
Na segunda classe, cada termo vale 195. O valor absoluto de cada desvio será |195 − 195| = 0. 
Na última classe, cada termo vale 205. O valor absoluto de cada desvio será |205 − 195| = 10. 
Estaturas 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝒙𝒊 ∙ 𝒇𝒊 Módulos dos Desvios |𝒅𝒊| = |𝒙𝒊 − 𝒙| 
180 – 190 10 185 1.850 |185 − 195| = 10 
190 – 200 30 195 5.850 |195 − 195| = 0 
200 – 210 10 205 2.050 |205 − 195| = 10 
Total 50 9.750 
Para calcular o desvio médio, devemos multiplicar cada valor do módulo do desvio pela 
respectiva frequência. Depois somamos tudo e dividimos por 𝑛. 
Estaturas 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝒙𝒊 ∙ 𝒇𝒊 |𝒅𝒊| = |𝒙𝒊 − 𝒙| |𝒙𝒊 − 𝒙| ∙ 𝒇𝒊 
180 – 190 10 185 1.850 10 10 × 10 = 100 
190 – 200 30 195 5.850 0 0 × 30 = 0 
200 – 210 10 205 2.050 10 10 × 10 = 100 
Total 50 9.750 200 
 
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30 
 
Portanto, o desvio médio é 
𝐷x =
∑(|𝑥? − 	𝑥	| ∙ 𝑓?)	
𝑛 
𝐷x =
200
50 = 4 
Gabarito: B 
 
Como é de praxe... 
 
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de uma lista de 
números, o desvio médio não é alterado. 
 
Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante c de todos os valores de uma lista de 
números, o desvio médio da lista fica multiplicado (ou dividido) por esta constante. 
 
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO 
 
Lá quando introduzimos o assunto “desvio médio”, vimos que não há sentido em criar uma 
medida de dispersão que simplesmente calcule a média dos desvios em relação à média, pois 
essa média será sempre zero (a soma dos desvios em relação à média é sempre zero). 
Para contornar esse problema, vimos que temos que “positivar” os desvios negativos. Na 
ocasião, comentamos que há duas maneiras: tomar os módulos dos desvios (dando origem ao 
desvio absoluto médio) ou elevar os desvios ao quadrado. 
É isso que vamos fazer agora. 
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31 
 
Para calcular o desvio médio, nós calculamos a média aritmética dos módulos dos desvios, ou 
seja, somamos os módulos dos desvios e dividimos por 𝑛, que é a quantidade de elementos. 
Se, em vez de calcular a média dos módulos dos desvios, calcularmos a média dos quadrados 
dos desvios, obteremos a variância do conjunto. 
 
A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios. 
 
Em outras palavras, para calcular a variância, devemos elevar cada um dos desvios ao quadrado, 
somar todos os valores, e dividir por 𝑛, que é quantidade de elementos. O símbolo da variância é 
𝜎P. 
𝜎P =
∑(𝑥? − 𝑥)P
𝑛 
 
 
(IAUPE 2018/CBM-PE CFO) 
A média aritmética dos quadrados dos desvios de um conjunto de dados é denominada de 
a) Mediana. 
b) Desvio-padrão. 
c) Variância. 
d) Moda. 
e) Média. 
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32 
 
Comentário 
A média aritmética dos quadrados dos desvios (em relação à média aritmética) é a variância. 
Gabarito: C 
 
Guilherme, até aí tudo ok. Só não entendi por que inventaram de usar 𝜎P para representar a 
variância. Por que ao quadrado? 
Excelente pergunta. É aí que entra o desvio padrão. 
Como os desvios foram elevados ao quadrado, então a unidade da variância é o quadrado da 
unidade original. 
Por exemplo, imagine que estamos analisando o volume de algumas garrafas em litros (ℓ). Ao 
calcular a variância, teremos como resultado um número medido em quadrado de litro (ℓP). 
Essa unidade não tem o menor significado físico. Em outros casos também. Se estivermos 
medindo comprimentos em metro (𝑚), a variância será medida em unidades de área (𝑚P). 
Para acabar com esse inconveniente, introduzimos o conceito do desvio padrão, que é nada mais 
nada menos que a raiz quadrada da variância. Assim, o desvio padrão é representado por 𝜎 e 
variância é o seu quadrado: 𝜎P. 
 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
A variância é o quadrado do desvio padrão. 
 
É possível que a variância e o desvio padrão sejam iguais? Sim. Em apenas dois casos: quando 
ambos valem zero ou ambos valem 1. Isso por que 0P = 0 e 1P = 1. 
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33 
 
 
É importante notar também que a variância e o desvio padrão só serão iguais a zero se 
todos os elementos forem iguais. 
Se os elementos forem todos iguais, todos os desvios serão iguais a zero. 
Consequentemente, a variância será nula e também o desvio padrão. 
 
(VUNESP 2018/ARSESP) 
Numa série composta por 𝒏 dados, todos de mesmo valor 𝒙 (𝒙 ≠ 𝟎), o valor do desvio padrão 𝒔 
é: 
a) 𝑠 = 2
/
 
b) 𝑠 = 0 
c) 𝑠 = 2/
P
 
d) 𝑠 = 𝑥 
e) 𝑠 = 1 
Comentário 
Quando todos os dados são iguais, todos os desvios são nulos. Consequentemente, os 
quadrados dos desvios são também todos nulos. Logo, ao somar os quadrados de todos os 
desvios obteremos zero. 
Portanto, a variância será z
2
= 0. Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, o desvio 
padrão será igual a 0. 
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34 
 
Em suma: quando os dados são todos iguais, não há dispersão. Todas as medidas de 
variabilidade (amplitude, amplitude interquartílica, desvio médio, variância, desvio padrão, etc) 
são iguais a zero. 
Gabarito: B 
 
(UFMT 2017/Prefeitura Municipal de Cáceres-MT) 
Um conjunto de dados sobre a plaquetopenia de pacientes com dengue tem variância igual a 
zero. Pode-se concluir que também vale zero 
(A) a média. 
(B) o desvio padrão. 
(C) a mediana. 
(D) a moda. 
Comentário 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Se a variância é igual a zero, então o desvio 
padrão vale 𝜎 = √0 = 0. 
Gabarito: B 
 
Antes de praticar o cálculo da variância e do desvio padrão, vamos a um detalhe muito 
importante. 
Até agora, não nos interessava saber se estávamos calculando medidas em relação à população 
ou em relação a uma amostra. O cálculo da média, da moda, da mediana e de todas as outras 
medidas não eram influenciadas por isso. 
Para o cálculo da variância (e, consequentemente, do desvio padrão), haverá uma pequena 
diferença entre o cálculo da variância populacional e da variância amostral. 
Essa diferença é tão importante que utilizamos até símbolos diferentes. 
 
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35 
 
 
Símbolos para a variância e desvio padrão 
 
Variância populacional → 𝜎P 
Variância amostral → 𝑠P 
 
Desvio padrão populacional → 𝜎 
Desvio padrão amostral → 𝑠 
 
Suponhamos que desejamos conheceralguma coisa sobre determinada população – por 
exemplo, a média salarial, o desvio padrão das alturas, o percentual de intenções de voto para 
um determinado candidato - e essa população é composta de milhares (talvez milhões) de 
elementos, de tal modo que seria muito difícil pesquisar o valor correto, pois seria inviável 
pesquisar todos os elementos. Nesse caso, temos de recorrer aos valores encontrados em uma 
amostra. 
Seja qual for o caso, o fato é que, em muitas situações, precisamos obter as informações de uma 
amostra. O valor da população, chamado de parâmetro populacional, é desconhecido. O que é 
possível de se obter é um valor da amostra, que supostamente nos dá uma ideia do valor correto 
(populacional) do parâmetro. Esse valor amostral é chamado de estimador do parâmetro 
populacional. 
Por exemplo, queremos saber a média de idade dos estudantes do Estratégia. Como há muitos 
estudantes, recorremos a uma amostra de, digamos 150 alunos. A média da amostra encontrada 
foi de 24 anos. Essa é a nossa estimativa! Mas a média de idade dos estudantes do Estratégia é 
realmente 24 anos? Não dá para saber, a não ser que todos os estudantes do Estratégia fossem 
pesquisados. 
Portanto, são coisas diferentes o parâmetro populacional e o estimador e, portanto, devem ser 
representados de maneiras diferentes. Já vimos a diferença entre os símbolos da população 
(parâmetro) e da amostra (estimador) para variância e desvio padrão. Há símbolos diferentes 
também para a média amostral e a média populacional. Observe: 
𝑋 → 𝑚é𝑑𝑖𝑎	𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙	(𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟) 
𝜇 → 𝑚é𝑑𝑖𝑎	𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙	(𝑝𝑎𝑟â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜) 
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36 
 
 
E não é só uma diferença de valores!! O parâmetro populacional é, em geral, um valor fixo. A 
estimativa depende da amostra. Se pegarmos uma amostra diferente, obteremos estimativas 
diferentes. 
A principal propriedade desejável de um estimador é a de que esse estimador, na média, acerte 
o valor correto. Ou seja, se pudéssemos repetir a experiência infinitas vezes, o valor médio das 
estimativas encontradas em cada experimento seria o valor correto do parâmetro populacional. 
Se isso ocorre, dizemos que o estimador é não viesado (não viciado). Se, entretanto, o estimador 
erra, em média, dizemos que ele é viesado (viciado). 
Mas não se preocupe com essa conversa. Isso é assunto da Estatística Inferencial (estimadores). 
Aqui estamos interessados apenas em realizar o cálculo. Vamos lá. 
Já aprendemos a calcular a variância populacional. 
𝜎P =
∑(𝑥? − 𝑥)P
𝑛 
Para calcular a variância amostral, devemos “trocar” o denominador 𝑛 por 𝑛 − 1. A razão disso 
foge o escopo dessa aula (como falei, isso é assunto da Estatística Inferencial). Assim, a variância 
amostral é dada por: 
𝑠P =
∑(𝑥? − 𝑥)P
𝑛 − 1 
Na verdade, o que fizemos foi multiplicar a fração original por 2
2NK
 de tal forma que o 
denominador 𝑛 foi cancelado e “surgiu” o denominador 𝑛 − 1. 
E o desvio padrão amostral? Será a raiz quadrada da variância amostral. 
 
Variância Populacional→ 𝜎P = ∑(/�N/)
o
2
 
 
Variância Amostral → 𝑠P = ∑(/�N/)
o
2NK
 
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37 
 
 
 
(VUNESP 2015/TJ-SP) 
Dados os valores de uma variável: 5, 10, 15, 20, 25, as variâncias amostral e populacional são, 
respectivamente, 
a) 14,7 e 15. 
b) 125 e 250. 
c) 62,5 e 50. 
d) 29,4 e 30,8. 
e) 83,3 e 85. 
Comentário 
Vamos calcular a média. 
5 + 10 + 15 + 20 + 25
5 = 15 
Vamos calcular os desvios. 
𝑑K = 5 − 15 = −10 
𝑑P = 10 − 15 = −5 
𝑑J = 15 − 15 = 0 
𝑑U = 20 − 15 = 5 
𝑑V = 25 − 15 = 10 
 
Para calcular a variância (populacional ou amostral), precisamos calcular a soma dos quadrados 
dos desvios, ou seja, vamos elevar cada desvio ao quadrado e vamos calcular a soma. 
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38 
 
∑𝑑?P = (−10)P + (−5)P + 0P + 5P + 10P 
∑𝑑?P = 250 
 
Agora devemos dividir por 𝑛 = 5 para calcular a variância populacional e devemos dividir por 𝑛 −
1 = 4 para calcular a variância amostral. 
𝑠P =
∑𝑑?P
𝑛 − 1 =
250
5 − 1 =
250
4 = 62,5	(𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎	𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙) 
𝜎P =
∑𝑑?P
𝑛 =
250
5 = 50	(𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎	𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) 
Gabarito: C 
 
Vamos treinar mais uma vez? 
(CESPE 2018/Polícia Federal) 
 
Tendo em vista que, diariamente, a Polícia Federal apreende uma quantidade X, em kg, de 
drogas em determinado aeroporto do Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela 
precedente, que apresenta os valores observados da variável X em uma amostra aleatória de 5 
dias de apreensões no citado aeroporto, julgue o próximo item. 
O desvio padrão amostral da variável X foi inferior a 7 kg. 
Comentário 
Vamos calcular a média. 
10 + 22 + 18 + 22 + 28
5 = 20 
Para calcular a variância, precisamos calcular a soma dos quadrados dos desvios. É interessante 
que você já treine escrever essa conta direto. Assim: 
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39 
 
(−10)P + 2P + (−2)P + 2P + 8P 
Na verdade, você já pode desprezar esses sinais negativos, pois eles serão “destruídos” após o 
cálculo das potências. 
10P + 2P + 2P + 2P + 8P 
Espera, Guilherme. Ainda estou meio perdido. De onde surgiram esses valores? 
Ora, estamos calculando os quadrados dos desvios, ou seja, subtraímos a média de cada número 
e elevamos ao quadrado. Vamos mais lento. Eis os desvios. 
𝑑K = 10 − 20 = −10 
𝑑P = 22 − 20 = 2 
𝑑J = 18 − 20 = −2 
𝑑U = 22 − 20 = 2 
𝑑V = 28 − 20 = 8 
Agora elevamos cada um deles ao quadrado e somamos (já vou desprezar os sinais negativos). 
∑𝑑?P = 10P + 2P + 2P + 2P + 8P 
∑𝑑?P = 176 
Como queremos o desvio padrão amostral, devemos dividir esse número por 𝑛 − 1 para calcular 
a variância amostral. 
𝑠P =
∑𝑑?P
𝑛 − 1 =
176
5 − 1 =
176
4 = 44	(𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎	𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙) 
Finalmente, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
𝑠 = √44 
A questão diz que esse valor é menor do que 7kg. Como 7P = 49, então √44 < 7. 
Gabarito: Certo 
 
 
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40 
 
 
 
Em muitos casos, é bastante desagradável utilizar as fórmulas que estudamos. Às vezes, a média 
não é um número natural e fica bastante trabalhoso calcular a soma dos quadrados dos desvios. 
Vamos agora aprender uma outra fórmula para calcular a variância. Vamos começar com a 
variância populacional. 
Imagine que temos um conjunto de valores 𝑋 referentes a uma população. A variância é dada 
por: 
𝜎P = 𝑋P − �𝑋�
P
 
Nessa fórmula, temos: 
𝑋P → média dos quadrados, ou seja, elevamos cada um dos termos ao quadrado e calculamos a 
média. 
�𝑋�
P
→ quadrado da média, ou seja, calculamos a média e elevamos o resultado ao quadrado. 
𝜎P = (𝑀é𝑑𝑖𝑎	𝑑𝑜𝑠	𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠) − (𝑀é𝑑𝑖𝑎)P 
Vamos treinar essa fórmula. Imagine que temos os seguintes valores de uma população: 1, 2, 3, 
7, 10, 14. Vamos calcular a variância populacional. 
Antes de usar a nova fórmula, vamos calcular da maneira tradicional. 
A média dos valores é: 
𝑋 =
1 + 2 + 3 + 7 + 10 + 14
6 =
37
6 
Ao dividir 37 por 6 obtemos uma dízima periódica. Vamos trabalhar com a fração mesmo então. 
Eis os desvios: 
𝑑K = 1 −
37
6 =
6 − 37
6 = −
31
6 
 
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41 
 
𝑑P = 2 −
37
6 =
12 − 37
6 =
−25
6 
𝑑J = 3 −
37
6 =
18 − 37
6 = −
19
6 
𝑑U = 7 −
37
6 =
42 − 37
6 =
5
6 
𝑑V = 10 −
37
6 =
60 − 37
6 =
23
6 
𝑑Z = 14 −
37
6 =
84 − 37
6 =
47
6 
Já percebeu o trabalhão que vai ser? Vamos em frente! Só assim você vai dar valor à nova 
fórmula que estou ensinandoe também a algumas propriedades que vamos aprender já já para 
ganhar mais tempo ainda. 
Vamos agora calcular a soma dos quadrados dos desvios (já vou desprezar os sinais negativos). 
∑𝑑?P = �
31
6 �
P
+ �
25
6 �
P
+ �
19
6 �
P
+ �
5
6�
P
+ �
23
6 �
P
+ �
47
6 �
P
 
∑𝑑?P =
961 + 625 + 361 + 25 + 529 + 2.209
36 
∑𝑑?P =
4.710
36 
Agora vamos dividir o resultado por 𝑛 = 6 para obter a variância populacional. 
𝜎P =
4.710/36
6 
𝜎P =
4.710
36 ×
1
6 
Como 4710/6 = 785, então: 
𝜎P =
785
36 
Ufa. Terminamos. Viu que trabalhoso??? 
A nova fórmula vai fazer você economizar muito tempo. E daqui a pouquinho vamos aprender 
mais uma dica para ganhar mais tempo ainda. 
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42 
 
Vamos recordar os dados da população: 1, 2, 3, 7, 10, 14 
Observe a nossa fórmula: 
𝜎P = 𝑋P − �𝑋�
P
 
Vamos calcular logo a média. 
𝑋 =
1 + 2 + 3 + 7 + 10 + 14
6 =
37
6 
Agora vamos calcular a média dos quadrados 𝑋P, ou seja, vamos elevar cada termo ao quadrado, 
somar, e dividir por 𝑛. 
𝑋P =
1P + 2P + 3P + 7P + 10P + 14P
6 
𝑋P =
1 + 4 + 9 + 49 + 100 + 196
6 =
359
6 
Agora é só aplicar a fórmula. 
𝜎P = 𝑋P − �𝑋�
P
 
𝜎P =
359
6 − �
37
6 �
P
 
𝜎P =
359
6 −
1.369
36 
𝜎P =
2.154 − 1.369
36 
𝜎P =
785
36 
Mesmo valor!!! Bem mais rápido!!! 
Gostou? 
E como fica o caso da variância amostral? 
É bem simples. Lembra que vimos que devemos “trocar” o denominador 𝑛 por 𝑛 − 1? Lembra 
que falei que na verdade estávamos multiplicando a fórmula por 2
2NK
? Pois bem. É exatamente 
isso que vamos fazer. 
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43 
 
Se quisermos calcular a variância amostral, vamos multiplicar a fórmula por 2
2NK
. 
 
 
Variância Populacional → 𝜎P = 𝑋P − �𝑋�
P
 
 
Variância Amostral → 𝑠P = �𝑋P − �𝑋�
P
� ∙ 2
2NK
 
 
 
(FCC 2017/ARTESP) 
O departamento de operações de uma autarquia do Estado fez um levantamento do número de 
acidentes em um determinado trecho de rodovia no ano de 2016, conforme tabela a seguir. 
 
Os números indicam que há uma dispersão significativa, portanto, o desvio padrão para esta 
amostra é representado por 
a) 13,30. 
b) 14,33. 
c) 12,74. 
d) 10,40. 
e) 11,50. 
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44 
 
Comentário 
Vamos calcular a variância amostral. No final, basta calcular a raiz quadrada para calcular o desvio 
padrão. 
Para calcular a variância, vamos calcular a média dos números e também a média dos quadrados 
dos números. 
• Média 
Para calcular a média aritmética simples, basta somar os dados e dividir pela quantidade de 
termos. 
𝑋 =
36 + 28 + 12 + 5 + 3 + 2 + 2 + 4 + 9 + 11 + 22 + 38
12 =
172
12 =
43
3 
 
• Média dos quadrados 
Para calcular a média dos quadrados, devemos elevar todos os números ao quadrado, somar os 
resultados, e dividir pela quantidade de termos. 
𝑋P =
36P + 28P + 12P + 5P + 3P + 2P + 2P + 4P + 9P + 11P + 22P + 38P
12 
 
𝑋P =
1.296 + 784 + 144 + 25 + 9 + 4 + 4 + 16 + 81 + 121 + 484 + 1.444
12 
 
𝑋P =
4.412
12 =
1.103
3 
 
Se estivéssemos interessados no cálculo da variância populacional, bastaria fazer: 
𝜎P = (𝑀é𝑑𝑖𝑎	𝑑𝑜𝑠	𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠) − (𝑀é𝑑𝑖𝑎)P 
𝜎P = 𝑋P − �𝑋�
P
 
 
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45 
 
Como queremos calcular a variância AMOSTRAL, devemos multiplicar a variância populacional 
por um fator de correção. Este fator de correção é 2
2NK
. 
𝑠P = �𝑋P − �𝑋�
P
� ∙
𝑛
𝑛 − 1 
𝑠P = ��
1.103
3 � − �
43
3 �
P
  ∙
12
11 
𝑠P = ¡
1.103
3 −
1.849
9 ¢ ∙
12
11 
𝑠P = ¡
3.309 − 1.849
9 ¢ ∙
12
11 
𝑠P =
1.460
9 ×
12
11 𝑠
P = 176,97 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
𝑠 = £176,97 
Como 13P = 169 e 14P = 196, então √176,97 é um número entre 13 e 14. 
Gabarito: A 
 
Como é de praxe... 
 
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de uma lista de 
números, o desvio padrão não é alterado. 
 
Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante c de todos os valores de uma lista de 
números, o desvio padrão da lista fica multiplicado (ou dividido) por esta constante. 
 
Como a variância é o quadrado do desvio padrão, então: 
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46 
 
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de uma lista de 
números, a variância não é alterada. 
 
Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante c de todos os valores de uma lista de 
números, a variância da lista fica multiplicado (ou dividido) pelo quadrado dessa 
constante. 
 
Assim, se os dados são multiplicados por 5, o desvio padrão será multiplicado por 5 e a variância 
será multiplicada por 5P = 25. 
 
Essas propriedades são excelentes para ganhar mais tempo ainda. 
Vamos resolver novamente a seguinte questão: 
(CESPE 2018/Polícia Federal) 
 
Tendo em vista que, diariamente, a Polícia Federal apreende uma quantidade X, em kg, de 
drogas em determinado aeroporto do Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela 
precedente, que apresenta os valores observados da variável X em uma amostra aleatória de 5 
dias de apreensões no citado aeroporto, julgue o próximo item. 
O desvio padrão amostral da variável X foi inferior a 7 kg. 
Comentário 
Queremos calcular o desvio padrão da amostra 10, 22, 18, 22, 28. 
Como o desvio padrão e a variância não são afetados pela adição (ou subtração de constantes), 
vamos subtrair 22 unidades de cada número. Por que 22? Eu escolhi esse número porque 22 
aparece duas vezes e ele está mais ou menos no meio da distribuição. Subtraindo 22 de cada 
termo, temos: 
−𝟏𝟐, 𝟎, −𝟒, 𝟎, 𝟔 
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47 
 
Vamos agora calcular a média dos números �𝑋� e também a média dos quadrados ¤𝑋P¥. 
𝑋 =
(−12) + 0 + (−4) + 0 + 6
5 = −
10
5 = −2 
𝑋P =
(−12)P + 0P + (−4)P + 0P + 6P
5 
𝑋P =
196
5 
Agora vamos aplicar a fórmula da variância amostral. 
𝑠P = �𝑋P − �𝑋�
P
� ∙
𝑛
𝑛 − 1 
𝑠P = ¡
196
5 −
(−2)P¢ ∙
5
4 
𝑠P = ¡
196
5 − 4¢ ∙
5
4 
𝑠P =
196
5 ∙
5
4 − 4 ∙
5
4 
𝑠P =
196
4 − 5 = 49 − 5 = 44 
Finalmente, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
𝑠 = √44 
A questão diz que esse valor é menor do que 7kg. Como 7P = 49, então √44 < 7. 
Gabarito: Certo 
 
 
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48 
 
 
4.1. Variância e Desvio Padrão para Dados Agrupados 
 
Esse tópico não é muito cobrado, pois os cálculos normalmente são muito trabalhosos. 
Para calcular a variância se os dados estiverem agrupados (sem intervalos de classe), deveremos 
elevar cada desvio ao quadrado, multiplicar cada resultado pela respectiva frequência, para 
então somar tudo e dividir por 𝑛 (se for população) ou 𝑛 − 1 (se for amostra). 
 
Variância Populacional→ 𝜎P = ∑(/�N/)
o∙¦�
2
 
 
Variância Amostral → 𝑠P = ∑(/�N/)
o∙¦�
2NK
 
 
Se preferir usar outra fórmula (𝜎P = 𝑋P − �𝑋�
P
), basta usar as frequências para calcular as médias. 
 
Se os dados estiverem agrupados em classes, basta fazer como no cálculo da média: assumir que 
todos os valores coincidem com os pontos médios das respectivas classes. 
 
(VUNESP 2015/TJ-SP) 
A tabela de distribuição de frequências seguinte contém os dados colhidos de uma amostra 
sendo 𝒙𝒊 a variável estudada, 𝑭𝒊 a frequência absoluta e |𝒅𝒊| o valor absoluto dos desvios. 
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49 
 
 
Os valores mais próximos da média, do desvio médio e da variância resultantesdos dados dessa 
tabela estão representados ao mesmo tempo, nessa ordem e com aproximação de uma casa 
decimal, no conjunto 
a) {8,0; 3,1; 5,5} 
b) {7,5; 3,1; 3,5} 
c) {8,0; 2,1; 4,5} 
d) {7,5; 2,1; 3,5} 
e) {8,0; 2,0; 6,4} 
Comentário 
Eu avisei que o trabalho era muito grande quando os dados estão agrupados. Veja que a 
questão já forneceu todos os cálculos. 
Vamos calcular a média. 
A questão já multiplicou cada valor 𝑥? pela frequência 𝐹? e obteve a coluna 𝑥?𝐹?. Inclusive, a 
questão já somou todos os resultados e obteve 320. Para determinar a média, basta dividir esse 
valor por 𝑛 = 40, que é a soma das frequências. 
𝑥 =
∑𝑥? ∙ 𝐹?
𝑛 =
320
40 = 8 
Vamos agora calcular o desvio médio. A questão já calculou os módulos dos desvios. Também já 
multiplicou cada módulo dos desvios pelas frequências e somou tudo. Para calcular o desvio 
médio, basta dividir a soma obtida 80 pelo número de observações. 
𝐷x =
∑|𝑑?| ∙ 𝐹?
𝑛 =
80
40 = 2 
Com isso, já podemos marcar a alternativa E. 
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50 
 
Vamos agora calcular a variância. A questão já elevou os desvios ao quadrado. Já multiplicou 
esses resultados pelas frequências e somou tudo. O resultado foi 256. Agora é só dividir por 𝑛 =
40 para determinar a variância. 
𝜎P =
∑𝑑?P ∙ 𝐹?
𝑛 =
256
40 = 6,4 
O detalhe é que a questão disse que era uma amostra, então o correto seria calcular a variância 
amostral. 
𝑠P =
∑𝑑?P ∙ 𝐹?
𝑛 − 1 =
256
40 − 1 ≅ 6,56 
Gabarito: E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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51 
 
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 
 
Imagine que estamos analisando os comprimentos de determinados objetos e descobrimos que 
o desvio padrão é de 1 cm. 
𝜎 = 1	𝑐𝑚 
Esse desvio padrão é grande ou pequeno? Em outras palavras, os dados estão muito ou pouco 
afastados da média? 
A resposta é: depende. 
Imagine que os objetos que estamos medindo são postes. Ora, como os postes são muito 
grandes (10 metros, por exemplo), então um desvio padrão de 1 cm é bem pequeno. 
Poderíamos dizer que os postes são bem homogêneos. 
 
Agora imagine que estamos medindo o comprimento de telefones celulares da marca X. Ora, um 
aparelho de celular mede só alguns centímetros. Um desvio padrão de 1 cm seria algo 
inaceitável. Os aparelhos de celular seriam bem heterogêneos. 
 
Assim, vemos que é importante existir uma medida de dispersão que relacione o desvio padrão 
com a média. 
Essa medida de dispersão existe: é o coeficiente de variação. 
 
O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média, ou seja, 𝐶« =
¬
9
. 
 
Como o desvio padrão e a média possuem a mesma unidade, o coeficiente de variação é 
adimensional. 
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52 
 
É muito comum que o coeficiente de variação seja expresso em porcentagem. 
Assim, se 𝜎 = 1	𝑐𝑚 e 𝑋 = 10	𝑐𝑚, temos: 
𝐶« =
1
10 = 0,10 = 10% 
Quando menor o coeficiente de variação, mais homogêneo será o conjunto. 
Existe ainda uma outra medida de dispersão, que é a variância relativa. A variância relativa é 
simplesmente o quadrado do coeficiente de variação. 
 
A variância relativa é o quadrado do coeficiente de variação. 
 
 
(FCC 2018/TCE-RS) 
Uma população é formada por 100 números estritamente positivos 𝒙𝒊 com 𝟏 ≤ 𝒊 ≤ 𝟏𝟎𝟎, ou seja, 
{𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, … , 𝒙𝟏𝟎𝟎}, em que 𝒙𝒊 representa a renda familiar anual da família 𝒊, em milhares de 
reais. 
Dados: 
Y𝑥?
Kzz
?]K
= 6.400	𝑚𝑖𝑙	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠	𝑒	Y𝑥?P
Kzz
?]K
= 467.200	(𝑚𝑖𝑙	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠)P 
O coeficiente de variação desta população é igual a: 
a) 37,5% 
b) 18,0% 
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53 
 
c) 32,5% 
d) 24,0% 
e) 27,5% 
Comentário 
O coeficiente de variação é o quociente entre o desvio padrão e a média. Vamos calcular estas 
medidas. 
• Média 
Basta somar os números e dividir pela quantidade de famílias, que é 100. 
	𝑥	''' =
𝑥K + 𝑥P + ⋯+ 𝑥Kzz
100 =
∑ 𝑥?Kzz?]K
100 =
6.400
100 = 64 
Antes de calcular o desvio padrão, precisamos calcular a média dos quadrados. 
• Média dos quadrados 
Para calcular a média dos quadrados, devemos elevar todos os números ao quadrado, somar os 
resultados, e dividir pela quantidade de termos. 
	𝑥P	''''' =
𝑥KP + 𝑥PP + ⋯+ 𝑥KzzP
100 =
∑ 𝑥?PKzz?]K
100 =
467.200
100 = 4.672 
Agora estamos prontos para calcular a variância populacional. 
 
𝜎P = (𝑀é𝑑𝑖𝑎	𝑑𝑜𝑠	𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠) − (𝑀é𝑑𝑖𝑎)P 
𝜎P = 	𝑥P	''''' − (	𝑥	''')P 
𝜎P = 4.672 − 64P 
𝜎P = 576 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
𝜎 = √576 = 24 
Agora podemos calcular o coeficiente de variação. 
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54 
 
𝐶𝑉 =
𝜎
	𝑥	'''
=
24
64 = 0,375 = 37,5% 
Gabarito: A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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55 
 
LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS SEM COMENTÁRIOS 
 
1. (FUNDATEC 2018/SEPOG-RS) 
Analise as seguintes assertivas: 
I. Média, moda e mediana são medidas de variabilidade. 
II. A amplitude de um conjunto de dados é dada pela diferença entre o maior e o menor valor 
observado. 
III. A média de um conjunto de dados é dado pelo valor que separa exatamente ao meio o 
conjunto de dados – 50% abaixo e 50% acima. 
IV. A variância é a raiz quadrada do desvio padrão. 
Quais estão corretas? 
a) Apenas I. 
b) Apenas II. 
c) Apenas II e III. 
d) Apenas II e IV. 
e) Apenas III e IV. 
 
2. (VUNESP 2019/Unicamp) 
 
O desvio padrão dos valores 2, 6, 4, 3, e 5 é, aproximadamente, 
 
a) 2,00. 
 
b) 1,83. 
 
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56 
 
c) 1,65. 
 
d) 1,41. 
 
e) 1,29. 
 
 
3. (FCC 2019/BANRISUL) 
Uma população é formada por 4 elementos, ou seja, {4, 5, 5, 8}. O coeficiente de variação, 
definido como o resultado da divisão do respectivo desvio padrão pela média aritmética da 
população, é igual a 
(A) 3/11. 
(B) 9/22. 
(C) 3/22. 
(D) 9/11. 
(E) 1/5. 
 
4. (FCC 2019/Prefeitura do Recife) 
Considere uma população P formada por números estritamente positivos. Com relação às 
medidas de tendência central e de dispersão é correto afirmar que 
(A) a variância e o desvio padrão de P são iguais somente no caso em que todos os elementos 
de P são iguais. 
(B) subtraindo uma constante K ��0 de todos os elementos de P, o desvio padrão e a média 
aritmética da nova população são iguais ao desvio padrão e média aritmética de P subtraídos de 
K, respectivamente. 
(C) multiplicando todos os elementos de P por 16, o desvio padrão da nova população é igual 
ao desvio padrão de P multiplicado por 4. 
(D) dividindo todos os elementos de P por 2, a variância da nova população é igual a variância 
de P multiplicada por 0,25. 
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57 
 
(E) adicionando uma constante K ��0 a todos os elementos de P, a média aritmética e a variância 
da nova população formada são iguais a média aritmética e desvio padrão de P, 
respectivamente. 
 
5. (FCC 2014/TRT 19ª Região) 
Uma população é formada por números estritamente positivos. Com relação às medidas de 
posição e de dispersão, 
a) multiplicando todos os elementos da população por K2, sendo K > 0, o novo desvio padrão é 
igual ao anterior multiplicado por K. 
b) a variância da população será igual ao desvio padrão somente quando todos os elementos da 
população forem iguais. 
c) retirando da população dois elementos de valores iguais àmédia aritmética da população, a 
nova média aritmética obtida é igual à anterior. 
d) subtraindo de todos elementos da população o valor da média aritmética da população, a 
nova variância obtida é nula. 
e) somando o valor K, sendo K > 0, em todos elementos da população, a nova variância obtida é 
igual à anterior acrescida de K2. 
 
6. (FCC 2019/Prefeitura do Recife) 
Uma população é formada pelos salários dos empregados de uma empresa. Decide-se dar um 
aumento de 10% sobre todos os salários mais um adicional fixo de R$ 500,00 para todos os 
salários. Com relação às medidas de tendência central e de dispersão é correto afirmar que a 
nova população formada terá 
a) um desvio padrão igual ao desvio padrão da população anterior multiplicado por 1,10 
acrescido de R$ 500,00. 
b) uma variância igual à variância da população anterior multiplicada por 1,21 acrescida de 
250.000 (R$)2. 
c) uma média aritmética igual à média aritmética da população anterior acrescida de R$ 500,00. 
d) uma mediana igual à mediana da população anterior acrescida de R$ 500,00. 
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58 
 
e) um desvio padrão igual ao desvio padrão da população anterior multiplicado por 1,10 e uma 
variância igual à variância da população anterior multiplicada por 1,21. 
 
7. (FCC 2017/ARTESP) 
O departamento de operações de uma autarquia do Estado fez um levantamento do número de 
acidentes em um determinado trecho de rodovia no ano de 2016, conforme tabela a seguir. 
 
Os números indicam que há uma dispersão significativa, portanto, o desvio padrão para esta 
amostra é representado por 
a) 13,30. 
b) 14,33. 
c) 12,74. 
d) 10,40. 
e) 11,50. 
 
8. (FCC 2018/TCE-RS) 
Uma população é formada por 100 números estritamente positivos 𝒙𝒊 com 𝟏 ≤ 𝒊 ≤ 𝟏𝟎𝟎, ou seja, 
{𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, … , 𝒙𝟏𝟎𝟎}, em que 𝒙𝒊 representa a renda familiar anual da família 𝒊, em milhares de 
reais. 
Dados: 
Y𝑥?
Kzz
?]K
= 6.400	𝑚𝑖𝑙	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠	𝑒	Y𝑥?P
Kzz
?]K
= 467.200	(𝑚𝑖𝑙	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠)P 
O coeficiente de variação desta população é igual a: 
a) 37,5% 
b) 18,0% 
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59 
 
c) 32,5% 
d) 24,0% 
e) 27,5% 
 
9. (FCC 2016/TRT 20ª Região) 
Em uma associação de determinada carreira profissional é realizado um censo em que foram 
apurados os salários de todos os seus 320 associados em número de salários mínimos (S.M.). O 
coeficiente de variação correspondente foi de 16% e a soma dos quadrados de todos os 
salários, em (S.M.)2, foi de 8.204,80. O desvio padrão dos salários destes associados é, em S.M., 
de 
a) 0,80 
b) 0,64 
c) 0,96 
d) 0,40 
e) 1,60 
 
10. (FCC 2015/DPE-SP) 
Foi realizado um censo em uma faculdade com 200 alunos e obteve-se com relação às alturas 
dos alunos, em centímetros (cm), um coeficiente de variação igual a 10%. Se a soma dos 
quadrados de todas as alturas foi igual a 5.499.450 cm2, então a correspondente variância 
apresentou um valor igual a 
a) 289,00 cm2 
b) 256,00 cm2 
c) 306,25 cm2 
d) 324,00 cm2 
e) 272,25 cm2 
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60 
 
11. (FCC 2014/TRT 16ª Região) 
Seja {X1, X2, X3, ... , X80} uma população constituída de 80 números estritamente positivos, 
sabendo-se que a média aritmética e o desvio padrão desta população são, respectivamente 
iguais a 20 e 15. Resolve-se excluir desta população 30 números, cuja soma de seus quadrados é 
igual a 12.000, formando uma nova população e o novo valor da variância passa a ter o valor de 
436. O correspondente novo valor da média aritmética da nova população apresenta um valor 
igual a 
a) 16. 
b) 24. 
c) 22. 
d) 23. 
e) 18. 
 
12. (FCC 2019/SEFAZ-BA) 
O coeficiente de variação de Pearson correspondente a uma população 𝑷𝟏 com média 
aritmética igual a 20 e tamanho 20 é igual a 30%. Decide-se excluir de 𝑷𝟏, em um determinado 
momento, dois elementos iguais a 11 cada um, formando uma nova população 𝑷𝟐. A variância 
relativa de 𝑷𝟐 é igual a 
a) 8/49. 
b) 4/441. 
c) 10/147. 
d) 4/49. 
e) 16/147. 
 
13. (FCC 2013/SERGIPE-GÁS) 
A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências relativas dos salários, em número de 
salários mínimos (S.M.), dos 100 funcionários de uma empresa. 
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61 
 
 
O valor do desvio padrão desses 100 funcionários, considerado como desvio padrão 
populacional e obtido por meio dessa tabela, calculado como se todos os valores de cada classe 
de salários coincidissem com o ponto médio da referida classe, em número de S.M., é 
a) √1,2 
b) √2,2 
c) √2 
d) √1,8 
e) √2,4 
 
14. (FCC 2012/TRF 2ª Região) 
A soma dos quadrados dos valores dos elementos de uma população de tamanho 20 é igual a 
65,6 e o respectivo desvio padrão igual a 0,2. A média aritmética dos elementos desta 
população é igual a 
a) 0,8. 
b) 1,2. 
c) 1,8. 
d) 2,4. 
e) 3,0. 
 
15. (FCC 2010/SEFAZ-SP) 
Seja uma amostra aleatória simples extraída de uma população, com tamanho 10, e 
representada por 𝑿𝒊; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝟏𝟎.	Sabe-se que: 
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62 
 
Y𝑋?
Kz
?]K
= 270 
Y𝑋?P
Kz
?]K
= 7.803 
A variância dessa amostra apresenta o valor de: 
a) 67,3 
b) 63,0 
c) 61,0 
d) 59,7 
e) 57,0. 
 
16. (FCC 2018/TRT 14ª Região) 
Considere uma população 𝑷𝟏 formada pela renda, em unidades monetárias (u.m.), dos 100 
indivíduos que são sócios de um clube. Seja 𝒙𝒊 a renda, 𝒙𝒊 > 𝟎, do sócio 𝒊. 
Dados: 
Y𝑥?P
Kzz
?]K
= 2.662.400	(𝑢.𝑚. )P	𝑒	𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒	𝑑𝑒	𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜	𝑑𝑒	𝑃K	𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙	𝑎	20% 
Decide-se excluir de 𝑷𝟏 um total de 20 sócios que possuem renda igual à média de 𝑷𝟏, 
formando uma nova população 𝑷𝟐 com tamanho 80. O módulo da diferença, em (𝒖.𝒎. )𝟐, entre 
as variâncias de 𝑷𝟏 e 𝑷𝟐 é de 
a) 144 
b) 0 
c) 64 
d) 256 
e) 400 
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63 
 
17. (FCC 2015/CNMP) 
Em um censo realizado em um clube apurou-se a altura em centímetros (cm) de seus 200 
associados. A média aritmética apresentou um valor igual a 160 cm com um coeficiente de 
variação igual a 18,75%. O resultado da divisão da soma de todos os valores das alturas 
elevados ao quadrado pelo número de associados é, em cm2, de 
a) 27.050. 
b) 25.600. 
c) 26.050. 
d) 26.500. 
e) 25.060. 
 
18. (FCC 2015/TRE-RR) 
Em uma escola é realizado um censo apurando-se as alturas de todos os 180 estudantes em 
centímetros (cm). A média aritmética das alturas dos 100 estudantes do sexo masculino foi igual 
a dos 80 estudantes do sexo feminino. Se Xi representa a altura do i-ésimo estudante do sexo 
masculino e Yj a altura do j-ésimo estudante do sexo feminino, obteve-se 
Y𝑋?P
Kzz
?]K
= 2.570.000	𝑐𝑚P	𝑒	Y𝑌ºP
\z
º]K
= 2.084.080	𝑐𝑚P 
Se o desvio padrão das alturas dos estudantes do sexo masculino foi igual a 10 cm, o coeficiente 
de variação considerando todos os estudantes desta escola é, em %, de 
a) 18. 
b) 12. 
c) 10. 
d) 16. 
e) 15. 
 
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64 
 
19. (FCC 2015/CNMP) 
Em uma empresa, 55% dos empregados são do sexo masculino e a média aritmética dos salários 
de todos os empregados da empresa é igual a R$ 3.000,00. Sabe-se que a média aritmética dos 
salários dos empregados do sexo masculino é igual a média aritmética dos salários dos 
empregados do sexo feminino, sendo que os coeficientes de variação são iguais a 10% e 15%, 
respectivamente. O desvio padrão dos salários de todos os empregados da empresa é, emR$, 
de 
a) 360,00. 
b) 375,00. 
c) 367,50. 
d) 390,00. 
e) 420,00. 
 
(CESPE 2018/IPHAN) 
Cinco municípios de um estado brasileiro possuem as seguintes quantidades de patrimônios 
históricos: {2, 3, 5, 3, 2}. 
 
Admitindo que a média e o desvio-padrão desse conjunto de valores sejam iguais a 3 e 1,2, 
respectivamente, julgue os itens seguintes. 
20. Para esse conjunto de valores, a variância é igual a 3. 
 
21. O coeficiente de variação é superior a 0,3 e inferior a 0,5. 
 
 
22. (CESPE 2017/Prefeitura de São Luís) 
Texto 11A2CCC 
A tabela a seguir apresenta uma comparação entre a evolução populacional ocorrida na cidade 
de São Luís, no estado do Maranhão e no Brasil, a cada cinco anos, de 1985 a 2010. 
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65 
 
 
Com base na tabela do texto 11A2CCC, o desvio padrão da sequência dos três valores 
correspondentes à população brasileira nos anos de 2000, 2005 e 2010 é: 
a) superior a 7 milhões e inferior a 9 milhões. 
b) superior a 9 milhões e inferior a 11 milhões. 
c) superior a 11 milhões e inferior a 13 milhões. 
d) superior a 13 milhões. 
e) inferior a 7 milhões. 
 
(CESPE 2017/SEE-DF) 
Um levantamento estatístico, feito em determinada região do país, mostrou que jovens com 
idades entre 4 e 17 anos assistem à televisão, em média, durante 6 horas por dia. 
A tabela a seguir apresenta outras estatísticas produzidas por esse levantamento. 
 
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66 
 
23. A amplitude total dos tempos T é igual ou superior a 9 horas. 
 
24. O desvio quartílico dos tempos T foi igual a 3. 
 
 
 (CESPE 2016/TCE-PA) 
 
 
Um indicador de desempenho X permite avaliar a qualidade dos processos de governança de 
instituições públicas. A figura mostra, esquematicamente, a sua distribuição, obtida mediante 
estudo amostral feito por determinada agência de pesquisa. A tabela apresenta estatísticas 
descritivas referentes a essa distribuição. 
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
25. A amplitude total da amostra é inferior a 3. 
 
26. O intervalo interquartílico da distribuição do indicador X é superior a 1,4. 
 
27. O coeficiente de variação da distribuição de X é inferior a 0,8. 
 
 
(CESPE 2016/TCE-PA) 
 
 
 
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67 
 
A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que 
representa o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição 
pública. A partir das informações dessa tabela, julgue os itens seguintes. 
28. A amplitude total da amostra é igual ou superior a 5. 
 
29. A variância de X é inferior a 2,5. 
 
 
(CESPE 2015/DEPEN) 
 
 
Considerando os dados da tabela mostrada, que apresenta a distribuição populacional da 
quantidade diária de incidentes (N) em determinada penitenciária, julgue os itens que se 
seguem. 
 
30. A amplitude total da distribuição é igual a 5, pois há 5 valores possíveis para a variável N. 
 
31. O desvio padrão da distribuição de N é igual ou inferior a 1,2. 
 
(CESPE 2015/TELEBRAS) 
Considerando que os possíveis valores de um indicador X, elaborado para monitorar a qualidade 
de um serviço de cabeamento residencial para a comunicação de dados, sejam elementos do 
conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5} e que uma amostra aleatória de 5 residências tenha apontado os 
seguintes indicadores: 4, 4, 5, 4 e 3, julgue o próximo item. 
32. A amplitude total da amostra aleatória foi igual a 5. 
 
33. A variância amostral dos indicadores observados foi igual a 0,5. 
 
 
 
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68 
 
34. (CESPE 2016/TRT 8ª Região) 
Com relação à definição das medidas de tendência central e de variabilidade dos dados em uma 
estatística, assinale a opção correta. 
a) A moda representa o centro da distribuição, é o valor que divide a amostra ao meio. 
b) A amplitude total, ou range, é uma medida de tendência central pouco afetada pelos valores 
extremos. 
c) A mediana é o valor que ocorre mais vezes, frequentemente em grandes amostras. 
d) A variância da amostra representa uma medida de dispersão obtida pelo cálculo da raiz 
quadrada positiva do valor do desvio padrão dessa amostra. 
e) A média aritmética representa o somatório de todas as observações dividido pelo número de 
observações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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69 
 
GABARITO SEM COMENTÁRIO 
 
01. B 
02. D 
03. A 
04. D 
05. C 
06. E 
07. A 
08. A 
09. A 
10. E 
11. E 
12. C 
13. E 
14. C 
15. E 
16. D 
17. D 
18. C 
19. B 
20. Errado 
21. Certo 
22. A 
23. Certo 
24. Certo 
25. Errado 
26. Errado 
27. Errado 
28. Errado 
29. Errado 
30. Errado 
31. Certo 
32. Errado 
33. Certo 
34. E 
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70 
 
LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS COM COMENTÁRIOS 
 
 
1. (FUNDATEC 2018/SEPOG-RS) 
Analise as seguintes assertivas: 
I. Média, moda e mediana são medidas de variabilidade. 
II. A amplitude de um conjunto de dados é dada pela diferença entre o maior e o menor valor 
observado. 
III. A média de um conjunto de dados é dado pelo valor que separa exatamente ao meio o 
conjunto de dados – 50% abaixo e 50% acima. 
IV. A variância é a raiz quadrada do desvio padrão. 
Quais estão corretas? 
a) Apenas I. 
b) Apenas II. 
c) Apenas II e III. 
d) Apenas II e IV. 
e) Apenas III e IV. 
Comentário 
 
O item I está errado, pois a média, moda e mediana são medidas de tendência central. 
 
O item II está correto, pois é a própria definição de amplitude de um conjunto de dados. 
 
O item III está errado, pois tal definição se refere à mediana e não à média. 
 
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71 
 
O item IV está errado, pois é a variância é o quadrado (e não raiz quadrada) do desvio padrão. O 
desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
Gabarito: B 
 
2. (VUNESP 2019/Unicamp) 
 
O desvio padrão dos valores 2, 6, 4, 3, e 5 é, aproximadamente, 
 
a) 2,00. 
 
b) 1,83. 
 
c) 1,65. 
 
d) 1,41. 
 
e) 1,29. 
 
Comentário 
 
Vamos calcular a média dos valores. 
 
𝑿 =
𝟐 + 𝟔 + 𝟒 + 𝟑 + 𝟓
𝟓 = 𝟒 
 
Vamos agora calcular a média dos quadrados. 
 
𝑿𝟐 =
𝟐𝟐 + 𝟔𝟐 + 𝟒𝟐 + 𝟑𝟐 + 𝟓𝟐
𝟓 = 𝟏𝟖 
 
Agora vamos aplicar a fórmula da variância. 
 
𝝈𝟐 = (𝑴é𝒅𝒊𝒂	𝒅𝒐𝒔	𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔) − (𝑴é𝒅𝒊𝒂)𝟐 
 
𝝈𝟐 = 𝑿𝟐 − �𝑿�
𝟐
= 𝟏𝟖 − 𝟒𝟐 = 𝟐 
 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
 
𝝈 = √𝟐 ≅ 𝟏, 𝟒𝟏 
 
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72 
 
Basta elevar as alternativas ao quadrado e verificar qual resultado é mais próximo de 2. 
 
Outra maneira para determinar uma boa aproximação é usar o método de Newton-Raphson (eu 
ensino esse método no seguinte vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=8jKk9e-70LQ&t=31s 
). 
 
Começando com uma aproximação de 𝟏, 𝟓 para a raiz quadrada de 2 e usando o método de 
Newton-Raphson, temos: 
 
√𝟐 ≅
𝟐 + 𝟏, 𝟓𝟐
𝟐 × 𝟏, 𝟓 
 
√𝟐 ≅ 𝟏, 𝟒𝟏𝟔 
Gabarito: D 
 
3. (FCC 2019/BANRISUL) 
Uma população é formada por 4 elementos, ou seja, {4, 5, 5, 8}. O coeficiente de variação, 
definido como o resultado da divisão do respectivo desvio padrão pela média aritmética da 
população, é igual a 
(A) 3/11. 
(B) 9/22. 
(C) 3/22. 
(D) 9/11. 
(E) 1/5. 
Comentário 
 
Vamos calcular a média. 
 
 
𝑿 =
𝟒 + 𝟓 + 𝟓 + 𝟖
𝟒 =
𝟐𝟐
𝟒 = 𝟓, 𝟓 
 
Vamos agora calcular a média dos quadrados, ou seja, em vez de calcular a médiados números 
{𝟒, 𝟓, 𝟓, 𝟖}, vamos calcular a média dos quadrados desses números. 
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73 
 
𝑿𝟐 =
𝟒𝟐 + 𝟓𝟐 + 𝟓𝟐 + 𝟖𝟐
𝟒 =
𝟏𝟑𝟎
𝟒 = 𝟑𝟐, 𝟓 
 
Vamos agora aplicar a fórmula da variância. 
 
𝝈𝟐 = 𝑿𝟐 − �𝑿�
𝟐
 
 
Em outras palavras, a variância populacional é a média dos quadrados menos o quadrado da 
média. Substituindo os valores, temos: 
𝝈𝟐 = 𝟑𝟐, 𝟓 − 𝟓, 𝟓𝟐 = 𝟐, 𝟐𝟓 
 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
𝝈 = £𝟐, 𝟐𝟓 = Á
𝟐𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎 =
𝟏𝟓
𝟏𝟎 = 𝟏, 𝟓 
 
Portanto, o coeficiente de variação é: 
 
𝑪𝑽 =
𝝈
𝑿
=
𝟏, 𝟓
𝟓, 𝟓 
 
𝑪𝑽 =
𝟏𝟓
𝟓𝟓 =
𝟑
𝟏𝟏 
Gabarito: A 
 
4. (FCC 2019/Prefeitura do Recife) 
Considere uma população P formada por números estritamente positivos. Com relação às 
medidas de tendência central e de dispersão é correto afirmar que 
(A) a variância e o desvio padrão de P são iguais somente no caso em que todos os elementos 
de P são iguais. 
(B) subtraindo uma constante K ��0 de todos os elementos de P, o desvio padrão e a média 
aritmética da nova população são iguais ao desvio padrão e média aritmética de P subtraídos de 
K, respectivamente. 
(C) multiplicando todos os elementos de P por 16, o desvio padrão da nova população é igual 
ao desvio padrão de P multiplicado por 4. 
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74 
 
(D) dividindo todos os elementos de P por 2, a variância da nova população é igual a variância 
de P multiplicada por 0,25. 
(E) adicionando uma constante K ��0 a todos os elementos de P, a média aritmética e a variância 
da nova população formada são iguais a média aritmética e desvio padrão de P, 
respectivamente. 
Comentário 
Vamos analisar cada uma das alternativas separadamente. 
(A) a variância e o desvio padrão de P são iguais somente no caso em que todos os elementos 
de P são iguais. 
A variância 𝜎P é o quadrado do desvio padrão 𝜎. Queremos descobrir a condição para que a 
variância e o desvio padrão sejam iguais. 
𝜎P = 𝜎 
𝜎P − 𝜎 = 0 
Temos aqui uma equação do segundo grau. Podemos resolvê-la rapidamente fatorando o 
primeiro membro. 
𝜎(𝜎 − 1) = 0 
Um produto é zero quando pelo menos um de seus fatores for igual a 0. 
𝜎 = 0	𝑜𝑢	𝜎 − 1 = 0 
Portanto, 
𝜎 = 0	𝑜𝑢	𝜎 = 1 
Assim, a variância e o desvio padrão serão iguais quando o desvio padrão for igual a 0 ou igual a 
1 (é só perceber que 0P = 0	𝑒	1P = 1). 
O desvio padrão é zero quando todos os elementos são iguais. Existem infinitos outros casos que 
podem tornar o desvio padrão igual a 1. 
Portanto, a alternativa A está errada. 
 
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75 
 
(B) subtraindo uma constante K ��0 de todos os elementos de P, o desvio padrão e a média 
aritmética da nova população são iguais ao desvio padrão e média aritmética de P subtraídos de 
K, respectivamente. 
Quando subtraímos uma constante de todos os elementos, o desvio padrão não é alterado. 
Portanto, a alternativa B está errada. 
(C) multiplicando todos os elementos de P por 16, o desvio padrão da nova população é igual 
ao desvio padrão de P multiplicado por 4. 
Ao multiplicar todos os elementos por uma constante positiva 𝑘, o desvio padrão da nova 
população será o desvio padrão de P multiplicada por 𝑘. 
Como os elementos de P foram multiplicados por 16, então o desvio padrão da nova população 
será o desvio padrão de P multiplicado por 16. 
Portanto, a alternativa C está errada. 
(D) dividindo todos os elementos de P por 2, a variância da nova população é igual a variância 
de P multiplicada por 0,25. 
Ao multiplicar todos os elementos de P por uma constante positiva 𝑘, a variância da nova 
população será igual à variância de P multiplicada por 𝑘P. 
Observe que dividir um número por 2 é o mesmo que multiplicá-lo por 0,5. 
Assim, vamos multiplicar todos os elementos de P por 0,5. A variância da nova população será a 
variância de P multiplicada por 0,5P = 0,25. 
Portanto, a alternativa D está correta. 
(E) adicionando uma constante K ��0 a todos os elementos de P, a média aritmética e a variância 
da nova população formada são iguais a média aritmética e desvio padrão de P, 
respectivamente. 
Quando adicionamos uma constante a todos os elementos, a variância não é alterada. 
Portanto, a alternativa E está errada. 
Gabarito: D 
 
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76 
 
 
 
5. (FCC 2014/TRT 19ª Região) 
Uma população é formada por números estritamente positivos. Com relação às medidas de 
posição e de dispersão, 
a) multiplicando todos os elementos da população por K2, sendo K > 0, o novo desvio padrão é 
igual ao anterior multiplicado por K. 
b) a variância da população será igual ao desvio padrão somente quando todos os elementos da 
população forem iguais. 
c) retirando da população dois elementos de valores iguais à média aritmética da população, a 
nova média aritmética obtida é igual à anterior. 
d) subtraindo de todos elementos da população o valor da média aritmética da população, a 
nova variância obtida é nula. 
e) somando o valor K, sendo K > 0, em todos elementos da população, a nova variância obtida é 
igual à anterior acrescida de K2. 
Comentário 
 
Vamos analisar cada uma das alternativas separadamente. 
a) multiplicando todos os elementos da população por K2, sendo K > 0, o novo desvio padrão é 
igual ao anterior multiplicado por K. 
Ao multiplicar todos os elementos por uma constante C, o desvio padrão será multiplicado por 
essa constante. Assim, se multiplicarmos todos os elementos pode 𝐾P, o novo desvio padrão é 
igual ao anterior multiplicado por 𝐾P. A alternativa A está errada. 
b) a variância da população será igual ao desvio padrão somente quando todos os elementos da 
população forem iguais. 
A variância 𝜎P é o quadrado do desvio padrão 𝜎. Queremos descobrir a condição para que a 
variância e o desvio padrão sejam iguais. 
𝜎P = 𝜎 
𝜎P − 𝜎 = 0 
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77 
 
Temos aqui uma equação do segundo grau. Podemos resolvê-la rapidamente fatorando o 
primeiro membro. 
𝜎(𝜎 − 1) = 0 
Um produto é zero quando pelo menos um de seus fatores for igual a 0. 
𝜎 = 0	𝑜𝑢	𝜎 − 1 = 0 
Portanto, 
𝜎 = 0	𝑜𝑢	𝜎 = 1 
Assim, a variância e o desvio padrão serão iguais quando o desvio padrão for igual a 0 ou igual a 
1 (é só perceber que 0P = 0	𝑒	1P = 1). 
O desvio padrão é zero quando todos os elementos são iguais. Existem infinitos outros casos que 
podem tornar o desvio padrão igual a 1. 
Portanto, a alternativa B está errada. 
c) retirando da população dois elementos de valores iguais à média aritmética da população, a 
nova média aritmética obtida é igual à anterior. 
É verdade. 
Você pode criar exemplos numéricos para testar. Por exemplo, considere o conjunto {1, 3, 4, 4, 
8}, que tem média igual a 4. 
Ao retirar dois elementos iguais à média, ficamos com {1, 3, 8}, que também tem média 4. 
Vamos fazer um caso genérico. Considere o conjunto {𝑥K, 𝑥P, … , �̅�, �̅�, … , 𝑥2}. Esse conjunto tem n 
elementos e a média é �̅�. Portanto, a soma de seus elementos é 𝑛 × �̅�. 
Portanto, 
𝑥K + 𝑥P + ⋯+ 2�̅� + ⋯+ 𝑥2 = 𝑛 ∙ �̅� 
𝑥K + 𝑥P + ⋯+ 𝑥2 = 𝑛 ∙ �̅� − 2�̅� 
𝑥K + 𝑥P + ⋯+ 𝑥2 = (𝑛 − 2) ∙ �̅� 
Ao retirar os dois elementos �̅�, ficamos com um conjunto de (𝑛 − 2) elementos {𝑥K, 𝑥P, … 𝑥2}. 
A média desse conjunto é: 
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78 
 
𝑥K + 𝑥P + ⋯+ 𝑥2
𝑛 − 2 = 
=
(𝑛 − 2) ∙ �̅�
𝑛 − 2 = �̅� 
Que é a mesma média do conjunto original. A resposta é a alternativa C. 
d) subtraindode todos elementos da população o valor da média aritmética da população, a 
nova variância obtida é nula. 
Ao subtrair um mesmo número de todos os elementos, a variância não é alterada. A alternativa D 
está errada. 
e) somando o valor K, sendo K > 0, em todos elementos da população, a nova variância obtida é 
igual à anterior acrescida de K2. 
Ao somar um mesmo número de todos os elementos, a variância não é alterada. A alternativa E 
está errada. 
Gabarito: C 
 
6. (FCC 2019/Prefeitura do Recife) 
Uma população é formada pelos salários dos empregados de uma empresa. Decide-se dar um 
aumento de 10% sobre todos os salários mais um adicional fixo de R$ 500,00 para todos os 
salários. Com relação às medidas de tendência central e de dispersão é correto afirmar que a 
nova população formada terá 
a) um desvio padrão igual ao desvio padrão da população anterior multiplicado por 1,10 
acrescido de R$ 500,00. 
b) uma variância igual à variância da população anterior multiplicada por 1,21 acrescida de 
250.000 (R$)2. 
c) uma média aritmética igual à média aritmética da população anterior acrescida de R$ 500,00. 
d) uma mediana igual à mediana da população anterior acrescida de R$ 500,00. 
e) um desvio padrão igual ao desvio padrão da população anterior multiplicado por 1,10 e uma 
variância igual à variância da população anterior multiplicada por 1,21. 
Comentário 
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79 
 
Para dar um aumento de 10% sobre todos os salários, devemos multiplicar cada salário por 1,10. 
 
Para dar um adicional fixo de R$ 500,00 a todos, devemos adicionar 500 a cada um dos salários. 
 
Seja 𝑿 a variável original. Após os aumentos, obteremos uma variável 𝒀 tal que: 
 
𝒀 = 𝟏, 𝟏𝑿 + 𝟓𝟎𝟎 
 
A média é influenciada por adições e multiplicações de constantes. Ao multiplicar todos os 
valores por 1,1, a média será multiplicada por 1,1. Ao adicionar 500 a todos os valores, a média 
será aumentada em 500 unidades. Portanto, a média de Y será: 
 
𝒀Ç = 𝟏, 𝟏 ∙ 𝑿Ç + 𝟓𝟎𝟎 
 
O mesmo ocorre com a mediana. A mediana é influenciada por adições e multiplicações de 
constantes. Ao multiplicar todos os valores por 1,1, a mediana será multiplicada por 1,1. Ao 
adicionar 500 a todos os valores, a mediana será aumentada em 500 unidades. Portanto, a 
mediana de Y será: 
 
𝒀È = 𝟏, 𝟏 ∙ 𝑿È + 𝟓𝟎𝟎 
 
Na notação acima, 𝒀È é a mediana de Y e 𝑿È é a mediana de X. 
 
Portanto, as alternativas C e D estão erradas (faltou multiplicar por 1,1). 
 
Vamos agora verificar o que ocorre com o desvio padrão e a variância. 
 
Ao multiplicar todos os valores por uma constante 𝒌, o desvio padrão será multiplicado por 𝒌 e a 
variância será multiplicada por 𝒌𝟐. 
 
Quando adicionamos uma constante a todos os valores, o desvio padrão e a variância não são 
alterados. 
 
Portanto, o desvio padrão de Y será: 
 
𝝈𝒀 = 𝟏, 𝟏 ∙ 𝝈𝑿 
 
A variância de Y será: 
 
𝝈𝒀𝟐 = 𝟏, 𝟏𝟐 ∙ 𝝈𝑿𝟐 
 
𝝈𝒀𝟐 = 𝟏, 𝟐𝟏 ∙ 𝝈𝑿𝟐 
 
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80 
 
Gabarito: E 
 
7. (FCC 2017/ARTESP) 
O departamento de operações de uma autarquia do Estado fez um levantamento do número de 
acidentes em um determinado trecho de rodovia no ano de 2016, conforme tabela a seguir. 
 
Os números indicam que há uma dispersão significativa, portanto, o desvio padrão para esta 
amostra é representado por 
a) 13,30. 
b) 14,33. 
c) 12,74. 
d) 10,40. 
e) 11,50. 
Comentário 
Vamos calcular a variância amostral. No final, basta calcular a raiz quadrada para calcular o desvio 
padrão. 
Para calcular a variância, vamos calcular a média dos números e também a média dos quadrados 
dos números. 
• Média 
Para calcular a média aritmética simples, basta somar os dados e dividir pela quantidade de 
termos. 
𝑋 =
36 + 28 + 12 + 5 + 3 + 2 + 2 + 4 + 9 + 11 + 22 + 38
12 =
172
12 =
43
3 
 
 
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81 
 
• Média dos quadrados 
Para calcular a média dos quadrados, devemos elevar todos os números ao quadrado, somar os 
resultados, e dividir pela quantidade de termos. 
𝑋P =
36P + 28P + 12P + 5P + 3P + 2P + 2P + 4P + 9P + 11P + 22P + 38P
12 
𝑋P =
1.296 + 784 + 144 + 25 + 9 + 4 + 4 + 16 + 81 + 121 + 484 + 1.444
12 
𝑋P =
4.412
12 =
1.103
3 
Se estivéssemos interessados no cálculo da variância populacional, bastaria fazer: 
𝜎P = (𝑀é𝑑𝑖𝑎	𝑑𝑜𝑠	𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠) − (𝑀é𝑑𝑖𝑎)P 
𝜎P = 𝑋P − �𝑋�
P
 
Como queremos calcular a variância AMOSTRAL, devemos multiplicar a variância populacional 
por um fator de correção. Este fator de correção é 2
2NK
. 
𝑠P = �𝑋P − �𝑋�
P
� ∙
𝑛
𝑛 − 1 
𝑠P = ��
1.103
3 � − �
43
3 �
P
  ∙
12
11 
𝑠P = ¡
1.103
3 −
1.849
9 ¢ ∙
12
11 
𝑠P = ¡
3.309 − 1.849
9 ¢ ∙
12
11 
𝑠P =
1.460
9 ×
12
11 
𝑠P = 176,97 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
𝑠 = £176,97 
Como 13P = 169 e 14P = 196, então √176,97 é um número entre 13 e 14. 
Gabarito: A 
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82 
 
 
8. (FCC 2018/TCE-RS) 
Uma população é formada por 100 números estritamente positivos 𝒙𝒊 com 𝟏 ≤ 𝒊 ≤ 𝟏𝟎𝟎, ou seja, 
{𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, … , 𝒙𝟏𝟎𝟎}, em que 𝒙𝒊 representa a renda familiar anual da família 𝒊, em milhares de 
reais. 
Dados: 
Y𝑥?
Kzz
?]K
= 6.400	𝑚𝑖𝑙	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠	𝑒	Y𝑥?P
Kzz
?]K
= 467.200	(𝑚𝑖𝑙	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠)P 
O coeficiente de variação desta população é igual a: 
a) 37,5% 
b) 18,0% 
c) 32,5% 
d) 24,0% 
e) 27,5% 
Comentário 
O coeficiente de variação é o quociente entre o desvio padrão e a média. Vamos calcular estas 
medidas. 
• Média 
Basta somar os números e dividir pela quantidade de famílias, que é 100. 
	𝑥	''' =
𝑥K + 𝑥P + ⋯+ 𝑥Kzz
100 =
∑ 𝑥?Kzz?]K
100 =
6.400
100 = 64 
Antes de calcular o desvio padrão, precisamos calcular a média dos quadrados. 
• Média dos quadrados 
Para calcular a média dos quadrados, devemos elevar todos os números ao quadrado, somar os 
resultados, e dividir pela quantidade de termos. 
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83 
 
	𝑥P	''''' =
𝑥KP + 𝑥PP + ⋯+ 𝑥KzzP
100 =
∑ 𝑥?PKzz?]K
100 =
467.200
100 = 4.672 
Agora estamos prontos para calcular a variância populacional. 
𝜎P = (𝑀é𝑑𝑖𝑎	𝑑𝑜𝑠	𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠) − (𝑀é𝑑𝑖𝑎)P 
𝜎P = 	𝑥P	''''' − (	𝑥	''')P 
𝜎P = 4.672 − 64P 
𝜎P = 576 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
𝜎 = √576 = 24 
Agora podemos calcular o coeficiente de variação. 
𝐶𝑉 =
𝜎
	𝑥	'''
=
24
64 = 0,375 = 37,5% 
Gabarito: A 
 
9. (FCC 2016/TRT 20ª Região) 
Em uma associação de determinada carreira profissional é realizado um censo em que foram 
apurados os salários de todos os seus 320 associados em número de salários mínimos (S.M.). O 
coeficiente de variação correspondente foi de 16% e a soma dos quadrados de todos os 
salários, em (S.M.)2, foi de 8.204,80. O desvio padrão dos salários destes associados é, em S.M., 
de 
a) 0,80 
b) 0,64 
c) 0,96 
d) 0,40 
e) 1,60 
Comentário 
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84 
 
O coeficiente de variação é o quociente entre o desvio padrão e a média. 
𝜎
𝑋'
= 16% 
16
100 ∙ 𝑋
' = 𝜎 
𝑋' =
100𝜎
16 
 
Como o enunciado informou a soma dos quadrados dos salários, podemos calcular a média dos 
quadrados. 
𝑋P'''' =
∑𝑋?P
𝑛 
𝑋P'''' =
8.204,80
320 = 25,64 
 
Vamos agora aplicar a fórmula da variância populacional (observe que a questão falou que foi 
realizado um censo). 
𝜎P = 𝑋P'''' − (𝑋')P 
𝜎P = 25,64 − �
100𝜎
16 �
P
 
𝜎P = 25,64 −
10.000𝜎P
256 
 
Vamos multiplicar todos os termos por 256 para eliminar a fração. 
256𝜎P = 6.563,84 − 10.000𝜎P10.256𝜎P = 6.563,84 
𝜎P =
6.563,84
10.256 
𝜎P = 0,64 
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85 
 
𝜎 = £0,64 = 0,8 
Gabarito: A 
 
10. (FCC 2015/DPE-SP) 
Foi realizado um censo em uma faculdade com 200 alunos e obteve-se com relação às alturas 
dos alunos, em centímetros (cm), um coeficiente de variação igual a 10%. Se a soma dos 
quadrados de todas as alturas foi igual a 5.499.450 cm2, então a correspondente variância 
apresentou um valor igual a 
a) 289,00 cm2 
b) 256,00 cm2 
c) 306,25 cm2 
d) 324,00 cm2 
e) 272,25 cm2 
Comentário 
O coeficiente de variação é o quociente entre o desvio padrão e a média. 
𝜎
𝑋'
= 10% 
10
100 ∙ 𝑋
' = 𝜎 
𝑋' =
100𝜎
10 
𝑋' = 10𝜎 
Como o enunciado informou a soma dos quadrados dos salários, podemos calcular a média dos 
quadrados. 
𝑋P'''' =
∑𝑋?P
𝑛 
𝑋P'''' =
5.499.450
200 = 27.497,25 
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86 
 
Vamos agora aplicar a fórmula da variância populacional (observe que a questão falou que foi 
realizado um censo). 
𝜎P = 𝑋P'''' − (𝑋')P 
𝜎P = 27.497,25 − (10𝜎)P 
𝜎P = 27.497,25 − 100𝜎P 
101𝜎P = 27.497,25 
𝜎P = 272,25 
Gabarito: E 
 
11. (FCC 2014/TRT 16ª Região) 
Seja {X1, X2, X3, ... , X80} uma população constituída de 80 números estritamente positivos, 
sabendo-se que a média aritmética e o desvio padrão desta população são, respectivamente 
iguais a 20 e 15. Resolve-se excluir desta população 30 números, cuja soma de seus quadrados é 
igual a 12.000, formando uma nova população e o novo valor da variância passa a ter o valor de 
436. O correspondente novo valor da média aritmética da nova população apresenta um valor 
igual a 
a) 16. 
b) 24. 
c) 22. 
d) 23. 
e) 18. 
Comentário 
Na população inicial, a média aritmética é 20 e o desvio padrão é 15. Portanto, a variância 
populacional é: 
𝜎P = 15P = 225 
Vamos aplicar a fórmula da variância. 
𝜎P = 𝑋P'''' − (𝑋')P 
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87 
 
225 = 𝑋P'''' − 20P 
225 = 𝑋P'''' − 400 
𝑋P'''' = 625 
A média dos quadrados é obtida pelo quociente entre a soma dos quadrados e o número de 
termos. 
𝑋P'''' =
∑𝑋?P
𝑛 
625 =
∑𝑋?P
80 
∑𝑋?P = 80 × 625 
∑𝑋?P = 50.000 
Sabemos que 30 pessoas serão excluídas. A soma dos quadrados desses 30 números é 12.000. 
Portanto, após a exclusão dessas 30 pessoas, a soma dos quadrados passará a ser: 
∑𝑋?P = 50.000 − 12.000 
∑𝑋?P = 38.000 
Assim, a média dos quadrados dos 50 números restantes é: 
𝑋P'''' =
∑𝑋?P
50 =
38.000
50 = 760 
A variância dessa população de 50 pessoas é 436. Vamos aplicar a fórmula da variância. 
𝜎P = 𝑋P'''' − (𝑋')P 
436 = 760 − (𝑋')P 
(𝑋')P = 760 − 436 
(𝑋')P = 324 
𝑋' = 18 
A média dos 50 números restantes é 18. 
Gabarito: E 
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88 
 
 
12. (FCC 2019/SEFAZ-BA) 
O coeficiente de variação de Pearson correspondente a uma população 𝑷𝟏 com média 
aritmética igual a 20 e tamanho 20 é igual a 30%. Decide-se excluir de 𝑷𝟏, em um determinado 
momento, dois elementos iguais a 11 cada um, formando uma nova população 𝑷𝟐. A variância 
relativa de 𝑷𝟐 é igual a 
a) 8/49. 
b) 4/441. 
c) 10/147. 
d) 4/49. 
e) 16/147. 
Comentário 
O coeficiente de variação de Pearson é a razão entre o desvio padrão e a média. 
𝐶𝑉ÊO =
𝜎K
𝑋K
 
0,30 =
𝜎K
20 
𝜎K = 20 × 0,3 = 6 
 
Logo, a variância de 𝑃K é: 
𝜎KP = 6P = 36 
 
A variância é a média dos quadrados menos o quadrado da média. 
𝜎KP = 𝑋KP − �𝑋K�
P
 
36 = 𝑋KP − 20P 
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89 
 
𝑋KP = 436 
Com isso podemos calcular a soma dos termos e também a soma dos quadrados. Observe: 
 
𝑋K =
∑𝑋?
20 
Y𝑋?
Pz
?]K
= 20 ∙ 𝑋K = 20 ∙ 20 = 400 
 
Da mesma forma, temos: 
𝑋KP =
∑𝑋?P
20 
Y𝑋?P
Pz
?]K
= 20 ∙ 𝑋KP = 20 ∙ 436 = 8.720 
 
O problema diz que dois elementos iguais a 11 serão retirados. Assim, as novas somas serão 
iguais a: 
Y𝑋?
K\
?]K
= 400 − 11 − 11 = 378 
Y𝑋?P
K\
?]K
= 8.720 − 11P − 11P = 8.478 
 
Logo, as novas médias são iguais a: 
𝑋P =
∑𝑋?
18 =
378
18 = 21 
𝑋PP =
∑𝑋?P
18 =
8.478
18 = 471 
 
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90 
 
Com esses dados, podemos calcular a nova variância absoluta. 
𝜎PP = 𝑋PP − �𝑋P�
P
 
𝜎PP = 471 − 21P 
𝜎PP = 30 
 
A variância relativa é a razão entre a variância e o quadrado da média. 
𝑉𝑅Êo =
𝜎PP
�𝑋P�
P =
30
21P =
30
441 
Simplificando por 3, temos: 
𝑉𝑅Êo =
10
147 
Gabarito: C 
 
13. (FCC 2013/SERGIPE-GÁS) 
A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências relativas dos salários, em número de 
salários mínimos (S.M.), dos 100 funcionários de uma empresa. 
 
O valor do desvio padrão desses 100 funcionários, considerado como desvio padrão 
populacional e obtido por meio dessa tabela, calculado como se todos os valores de cada classe 
de salários coincidissem com o ponto médio da referida classe, em número de S.M., é 
a) √1,2 
b) √2,2 
c) √2 
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91 
 
d) √1,8 
e) √2,4 
Comentário 
Como a questão fala que é um desvio padrão populacional, podemos calcular utilizando a 
frequência relativa que foi dada na questão. Se você não se sente confortável com números 
decimais, podemos utilizar a frequência absoluta. Vamos seguir essa linha. Vamos substituir as 
classes pelos seus respectivos pontos médios e vamos calcular a frequência absoluta (basta 
multiplicar cada frequência relativa pelo total de pessoas, que é 100). Por exemplo, a primeira 
frequência absoluta é 0,3 x 100 = 30. 
𝑿𝒊 𝒇𝒊 
2 30 
4 40 
6 30 
Para calcular a variância, precisamos calcular a média de X e também a média de X2. 
Para calcular a média de X, devemos multiplicar cada valor de X pela respectiva frequência, 
somar os resultados e dividir por 100, que é o total de pessoas. 
 
Para calcular a média de X2, precisamos primeiro abrir uma coluna com os valores de X2, depois 
devemos multiplicar cada valor de X pela respectiva frequência, somar os resultados e dividir por 
100, que é o total de pessoas. 
𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝑿𝒊 ∙ 𝒇𝒊 𝑿𝒊𝟐 𝑿𝒊𝟐 ∙ 𝒇𝒊 
2 30 2 x 30 = 60 2P = 4 4 x 30 = 120 
4 40 4 x 40 = 160 4P = 16 16 x 40 = 640 
6 30 6 x 30 = 180 6P = 36 36 x 30 = 1.080 
Total 100 400 1.840 
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92 
 
 
Assim, a média de X é: 
𝑋' =
400
100 = 4 
A média de X2 é: 
𝑋P'''' =
1.840
100 = 18,4 
Agora aplicamos a fórmula da variância. 
𝜎P = 𝑋P'''' − (𝑋')P 
𝜎P = 18,4 − (4)P 
𝜎P = 2,4 
 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
𝜎 = £2,4 
Gabarito: E 
 
14. (FCC 2012/TRF 2ª Região) 
A soma dos quadrados dos valores dos elementos de uma população de tamanho 20 é igual a 
65,6 e o respectivo desvio padrão igual a 0,2. A média aritmética dos elementos desta 
população é igual a 
a) 0,8. 
b) 1,2. 
c) 1,8. 
d) 2,4. 
e) 3,0. 
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93 
 
Comentário 
Para calcular a média dos quadrados dos valores devemos dividir a soma dos quadrados dos 
termos pelo número de elementos, que é 20. 
𝑋P'''' =
∑𝑋?P
20 =
65,6
20 = 3,28 
O desvio padrão é 0,2. A variância é o quadrado do desvio padrão. 
𝜎P = 0,2P = 0,04 
Vamos agora aplicar a fórmula da variância. 
𝜎P = 𝑋P'''' − (𝑋')P 
0,04 = 3,28 − (𝑋')P 
(𝑋')P = 3,28 − 0,04 
(𝑋')P = 3,24 
(𝑋')P =
324
100 
𝑋' = Á
324
100 
𝑋' =
18
10 = 1,8 
Gabarito:C 
 
15. (FCC 2010/SEFAZ-SP) 
Seja uma amostra aleatória simples extraída de uma população, com tamanho 10, e 
representada por 𝑿𝒊; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝟏𝟎.	Sabe-se que: 
Y𝑋?
Kz
?]K
= 270 
Y𝑋?P
Kz
?]K
= 7.803 
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94 
 
A variância dessa amostra apresenta o valor de: 
a) 67,3 
b) 63,0 
c) 61,0 
d) 59,7 
e) 57,0. 
Comentário 
É importante notar que a questão pede a variância amostral. 
Vamos calcular a média dos valores e também a média dos quadrados. 
Para calcular a média dos valores, devemos dividir a soma deles pelo total de observações. 
𝑋' =
∑𝑋?
𝑛 
𝑋' =
270
10 = 27 
Para calcular a média dos quadrados, devemos dividir a soma dos quadrados por n. 
𝑋P'''' =
∑𝑋?P
𝑛 
𝑋P'''' =
7.803
10 = 780,3 
Vamos agora aplicar a fórmula da variância amostral. 
𝑠P = Ì𝑋P'''' − (𝑋')PÍ ∙
𝑛
𝑛 − 1 
𝑠P = [780,3 − 27P] ∙
10
9 
𝑠P = [780,3 − 729] ∙
10
9 
𝑠P = 51,3 ∙
10
9 =
513
9 
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95 
 
𝑠P = 57 
Gabarito: E 
 
16. (FCC 2018/TRT 14ª Região) 
Considere uma população 𝑷𝟏 formada pela renda, em unidades monetárias (u.m.), dos 100 
indivíduos que são sócios de um clube. Seja 𝒙𝒊 a renda, 𝒙𝒊 > 𝟎, do sócio 𝒊. 
Dados: 
Y𝑥?P
Kzz
?]K
= 2.662.400	(𝑢.𝑚. )P	𝑒	𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒	𝑑𝑒	𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜	𝑑𝑒	𝑃K	𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙	𝑎	20% 
Decide-se excluir de 𝑷𝟏 um total de 20 sócios que possuem renda igual à média de 𝑷𝟏, 
formando uma nova população 𝑷𝟐 com tamanho 80. O módulo da diferença, em (𝒖.𝒎. )𝟐, entre 
as variâncias de 𝑷𝟏 e 𝑷𝟐 é de 
a) 144 
b) 0 
c) 64 
d) 256 
e) 400 
Comentário 
Na primeira situação, a população é de 100 pessoas. A soma dos quadrados dos valores é 
2.662.400. Podemos calcular a média dos quadrados. 
𝑥KP''' =
∑𝑥?P
𝑛 
𝑥KP''' =
2.662.400
100 = 26.624 
Sabemos que o coeficiente de variação é 20%. 
𝜎K
𝑥K'''
=
20
100 
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96 
 
𝜎K
𝑥K'''
=
1
5 
𝑥K''' = 5𝜎K 
Vamos aplicar a fórmula da variância. 
𝜎KP = 𝑥KP''' − (𝑥K''')P 
𝜎KP = 26.624 − (5𝜎K)P 
𝜎KP = 26.624 − 25𝜎KP 
26𝜎KP = 26.624 
𝜎KP = 1.024 
Essa é a variância da população 𝑃K. 
O desvio padrão da população 𝑃K é a raiz quadrada de 1.024. 
𝜎K = √1.024 = 32 
Vamos agora calcular a média da população 𝑃K. 
𝑥K''' = 5𝜎K 
𝑥K''' = 5 × 32 
𝑥K''' = 160 
Portanto, a soma dos valores dos 100 sócios é: 
Y𝑥?
Kzz
?]K
= 100 × 160 = 16.000 
Decide-se excluir de 𝑃K um total de 20 sócios que possuem renda igual à média de 𝑃K, formando 
uma nova população 𝑃P com tamanho 80. 
A soma desses 20 valores é: 
20 × 160 = 3.200 
Portanto, a soma dos valores dos 80 sócios restantes é: 
∑𝑥? = 16.000 − 3.200 
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97 
 
∑𝑥? = 12.800 
A média da nova população é: 
𝑥P''' =
12.800
80 = 160 
Sabemos que os 20 valores excluídos são iguais a 160 (iguais à média). A soma dos quadrados 
dos 20 valores que foram excluídos é: 
160P + 160P + ⋯+ 160P = 20 × 160P = 512.000 
Portanto, a soma dos quadrados dos 80 números restantes é: 
∑𝑥?P = 2.662.400BCCDCCE
ÎÏ-Ð	`ÏÑ	ÒÓÐ`ÔÐ`ÏÑ
`Ð	ÕÏÕÓÖÐçãÏ	ÊO	
− 512.000BCDCE
ÎÏ-Ð	`ÏÑ	ÒÓÐ`ÔÐ`ÏÑ
`ÏÑ	Pz	ÑóØ?ÏÑ	Ù/ØÖÓí`ÏÑ
= 2.150.400 
Assim, a média dos quadrados dos 80 restantes é: 
𝑥PP''' =
2.150.400
80 = 26.880 
Agora podemos calcular a variância da população 𝑃P. 
𝜎PP = 𝑥PP''' − (𝑥P''')P 
𝜎PP = 26.880 − (160)P 
𝜎PP = 1.280 
O módulo da diferença entre as variâncias é: 
|𝜎KP − 𝜎PP| = 
= |1.024 − 1.280| 
= 256 
Gabarito: D 
 
17. (FCC 2015/CNMP) 
Em um censo realizado em um clube apurou-se a altura em centímetros (cm) de seus 200 
associados. A média aritmética apresentou um valor igual a 160 cm com um coeficiente de 
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98 
 
variação igual a 18,75%. O resultado da divisão da soma de todos os valores das alturas 
elevados ao quadrado pelo número de associados é, em cm2, de 
a) 27.050. 
b) 25.600. 
c) 26.050. 
d) 26.500. 
e) 25.060. 
Comentário 
O coeficiente é o quociente entre o desvio padrão e a média. 
𝜎
𝑋'
= 18,75% 
𝜎
160 = 0,1875 
𝜎 = 0,1875 × 160 
𝜎 = 30 
A variância é o quadrado do desvio padrão. 
𝜎P = 30P = 900 
Vamos aplicar a fórmula da variância. 
𝜎P = 𝑋P'''' − (𝑋')P 
900 = 𝑋P'''' − 160P 
𝑋P'''' = 900 + 160P 
𝑋P'''' = 26.500 
A questão pede o resultado da divisão da soma de todos os valores das alturas elevados ao 
quadrado pelo número de associados. 
∑𝑋?P
𝑛 =? 
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99 
 
Esse valor corresponde à média dos quadrados dos termos, que é 26.500. 
Gabarito: D 
 
18. (FCC 2015/TRE-RR) 
Em uma escola é realizado um censo apurando-se as alturas de todos os 180 estudantes em 
centímetros (cm). A média aritmética das alturas dos 100 estudantes do sexo masculino foi igual 
a dos 80 estudantes do sexo feminino. Se Xi representa a altura do i-ésimo estudante do sexo 
masculino e Yj a altura do j-ésimo estudante do sexo feminino, obteve-se 
Y𝑋?P
Kzz
?]K
= 2.570.000	𝑐𝑚P	𝑒	Y𝑌ºP
\z
º]K
= 2.084.080	𝑐𝑚P 
Se o desvio padrão das alturas dos estudantes do sexo masculino foi igual a 10 cm, o coeficiente 
de variação considerando todos os estudantes desta escola é, em %, de 
a) 18. 
b) 12. 
c) 10. 
d) 16. 
e) 15. 
Comentário 
O problema nos deu as somas dos quadrados dos valores. Assim, podemos calcular as médias 
dos quadrados. Basta dividir a soma dos quadrados pelo número de termos (observe que são 
100 homens e 80 mulheres). 
𝑋P =
∑𝑋P
100 =
2.570.000
100 = 25.700 
𝑌P =
∑𝑌P
80 =
2.084.080
80 = 26.051 
O desvio padrão das alturas dos homens é 10 cm. A variância é, portanto: 
𝜎9P = 10P = 100 
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100 
 
Vamos aplicar a fórmula da variância. 
𝜎9P = 𝑋P − �𝑋�
P
 
100 = 25.700 − �𝑋�
P
 
�𝑋�
P
= 25.600 
�𝑋�
P
= 256 × 100 
𝑋 = 16 × 10 = 160	𝑐𝑚 
A média das alturas dos homens é 160 cm. Como a média das mulheres é igual à média dos 
homens, então: 
𝑌' = 160	𝑐𝑚 
Vamos agora calcular a variância das mulheres. 
𝜎=P = 𝑌P − �𝑌�
P
 
𝜎=P = 26.051 − (160)P 
𝜎=P = 451 
Precisamos agora calcular a média geral e a variância geral. Como a média dos homens é igual à 
média das mulheres, então a média geral será o mesmo valor que essas médias: 160 cm. 
Caso isso não ocorresse, a média geral 𝜇 é a média ponderada das médias. 
𝜇 =
𝑋 ∙ 𝑛9 + 𝑌 ∙ 𝑛=
𝑛9 + 𝑛=
 
𝜇 =
160 × 100 + 160 × 80
100 + 80 = 160 
Vamos agora calcular a variância geral. 
 
Precisamos calcular a média dos quadrados de todos os valores. 
𝑀é𝑑𝑖𝑎	𝑑𝑜𝑠	𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 =
∑𝑋P + ∑𝑌P
180 =
2.570.000 + 2.084.080
180 = 25.856 
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101 
 
Agora vamos aplicar a fórmula da variância. 
𝜎P = (𝑀é𝑑𝑖𝑎	𝑑𝑜𝑠	𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠) − (𝑀é𝑑𝑖𝑎)P 
𝜎P = 25.856 − 160P 
𝜎P = 256 
Portanto, o desvio padrão é: 
𝜎 = 16 
Vamos agora calcular o coeficiente de variação de todos os estudantes. 
𝐶𝑉 =
𝜎
𝜇 =
16
160 = 0,1 = 10% 
Gabarito: C 
 
19. (FCC 2015/CNMP) 
Em uma empresa, 55% dos empregados são do sexo masculino e a média aritmética dos salários 
de todos os empregados da empresa é igual a R$ 3.000,00. Sabe-se que a média aritmética dos 
salários dos empregados do sexo masculino é igual a média aritmética dos salários dos 
empregados do sexo feminino, sendo que os coeficientes de variação são iguais a 10% e 15%, 
respectivamente. O desvio padrãodos salários de todos os empregados da empresa é, em R$, 
de 
a) 360,00. 
b) 375,00. 
c) 367,50. 
d) 390,00. 
e) 420,00. 
Comentário 
A média geral (de todas as pessoas) é a média ponderada das médias. A média geral é 3.000. 
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102 
 
Como a média dos homens é igual à média das mulheres, podemos concluir que essas médias 
são iguais a 3.000. 
De qualquer forma, vamos mostrar esse resultado. Seja 𝑋' a média dos homens. A média das 
mulheres também é 𝑋'. 
𝑀é𝑑𝑖𝑎	𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 =
𝑋' ∙ 55% + 𝑋' ∙ 45%
100% 
3.000 =
100% ∙ 𝑋'	
100% 
𝑋' = 3.000 
O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média. 
O coeficiente de variação dos homens é 10%. 
10% =
𝜎Ú
𝑋'
 
0,1 =
𝜎Ú
3.000 
𝜎Ú = 0,1 × 3.000 = 300 
A variância dos homens é: 
𝜎ÚP = 300P = 90.000 
O coeficiente de variação das mulheres é 15%. 
15% =
𝜎-
𝑋'
 
0,15 =
𝜎-
3.000 
𝜎- = 0,15 × 3.000 = 450 
A variância das mulheres é: 
𝜎-P = 450P = 202.500 
Temos a variância e temos a média. Aplicando a fórmula da variância podemos calcular a média 
dos quadrados. 
Comecemos pelos homens: 
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103 
 
𝜎ÚP = 𝑋ÚP'''' − (𝑋')P 
90.000 = 𝑋ÚP'''' − 3.000P 
𝑋ÚP'''' = 9.090.000 
Agora as mulheres: 
𝜎-P = 𝑋-P'''' − (𝑋')P 
202.500 = 𝑋-P'''' − 3.000P 
𝑋-P'''' = 9.202.500 
 
A média dos quadrados geral é a média ponderada das médias dos quadrados dos homens e 
das mulheres. 
𝑋P'''' =
𝑋ÚP'''' × 55% + 𝑋-P'''' × 45%
100% 
𝑋P'''' =
𝑋ÚP'''' × 0,55 + 𝑋-P'''' × 0,45
1 
𝑋P'''' = 𝑋ÚP'''' × 0,55 + 𝑋-P'''' × 0,45 
𝑋P'''' = 9.090.000 × 0,55 + 9.202.500 × 0,45 
𝑋P'''' = 9.140.625 
Vamos agora calcular a variância geral. 
𝜎P = 𝑋P'''' − (𝑋')P 
𝜎P = 9.140.625 − 3.000P 
𝜎P = 140.625 
O desvio padrão é: 
𝜎 = √140.625 = 375 
Agora um detalhe importante. Quando as médias dos grupos são iguais, a variância geral é a 
média ponderada das variâncias. Isso só pode ser usado se as médias dos grupos forem iguais 
(como ocorreu nessa questão). Com isso, ganhamos tempo: 
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104 
 
𝜎P =
𝜎ÚP × 55% + 𝜎-P × 45%
100% 
𝜎P =
90.000 × 0,55 + 202.500 × 0,45
1 
𝜎P = 140.625 
𝜎 = 375 
 
Gabarito: B 
 
(CESPE 2018/IPHAN) 
Cinco municípios de um estado brasileiro possuem as seguintes quantidades de patrimônios 
históricos: {2, 3, 5, 3, 2}. 
 
Admitindo que a média e o desvio-padrão desse conjunto de valores sejam iguais a 3 e 1,2, 
respectivamente, julgue os itens seguintes. 
20. Para esse conjunto de valores, a variância é igual a 3. 
 
21. O coeficiente de variação é superior a 0,3 e inferior a 0,5. 
 
Comentário 
 
A questão mandou utilizar os seguintes valores: 
 
𝑿 = 𝟑 
 
𝒔 = 𝟏, 𝟐 
Item I. 
 
A variância é o quadrado do desvio padrão. 
 
𝒔𝟐 = 𝟏, 𝟐𝟐 = 𝟏, 𝟒𝟒 
 
O primeiro item está errado. 
 
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105 
 
Item II. 
 
O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média. 
 
𝑪𝑽 =
𝒔
𝑿
= 𝟎, 𝟒 
O segundo item está certo. 
 
Apenas para treinar, vamos calcular a média e a variância da amostra {2, 3, 5, 3, 2}. 
 
𝑿 =
𝟐 + 𝟑 + 𝟓 + 𝟑 + 𝟐
𝟓 = 𝟑 
 
Para calcular a variância, precisamos calcular a média dos quadrados dos termos. 
 
𝑿𝟐 =
𝟐𝟐 + 𝟑𝟐 + 𝟓𝟐 + 𝟑𝟐 + 𝟐𝟐
𝟓 =
𝟓𝟏
𝟓 = 𝟏𝟎, 𝟐 
 
Agora é só aplicar a fórmula da variância amostral. 
 
𝑠P = �𝑋P − �𝑋�
P
� ∙
𝑛
𝑛 − 1 
𝑠P = [10,2 − 3P] ∙
5
4 
𝑠P = 1,2 ×
5
4 =
6
4 
𝑠P = 1,5 
Observe que o nosso valor 1,5 deu um pouco diferente do valor obtido anteriormente 1,44. Isso 
ocorreu porque a questão deu uma aproximação do desvio padrão e não o valor correto. 
Gabarito: Errado, certo 
 
22. (CESPE 2017/Prefeitura de São Luís) 
Texto 11A2CCC 
A tabela a seguir apresenta uma comparação entre a evolução populacional ocorrida na cidade 
de São Luís, no estado do Maranhão e no Brasil, a cada cinco anos, de 1985 a 2010. 
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106 
 
 
Com base na tabela do texto 11A2CCC, o desvio padrão da sequência dos três valores 
correspondentes à população brasileira nos anos de 2000, 2005 e 2010 é: 
a) superior a 7 milhões e inferior a 9 milhões. 
b) superior a 9 milhões e inferior a 11 milhões. 
c) superior a 11 milhões e inferior a 13 milhões. 
d) superior a 13 milhões. 
e) inferior a 7 milhões. 
Comentário 
Queremos calcular o desvio padrão correspondentes à população brasileira nos anos de 2000, 
2005 e 2010. 
Lembre-se que o desvio padrão será sempre dado nas mesmas unidades dos dados originais. 
Como os dados estão em milhões, o desvio padrão será dado em milhões. 
 
Vamos calcular o desvio padrão do conjunto {𝟏𝟕𝟏, 𝟏𝟖𝟑, 𝟏𝟗𝟐}, que correspondem à população 
brasileira nos anos de 2000, 2005 e 2010. 
 
Esses números são muito grandes. Lembre-se que o desvio padrão não é alterado quando 
adicionamos ou subtraímos constantes. Assim, vamos subtrair 171 unidades dos três valores. 
 
Ficamos com {𝟎, 𝟏𝟐, 𝟐𝟏}. 
 
A média dos valores é: 
 
𝑿 =
𝟎 + 𝟏𝟐 + 𝟐𝟏
𝟑 = 𝟏𝟏 
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107 
 
 
A média dos quadrados é: 
 
𝑿𝟐 =
𝟎𝟐 + 𝟏𝟐𝟐 + 𝟐𝟏𝟐
𝟑 =
𝟎 + 𝟏𝟒𝟒 + 𝟒𝟒𝟏
𝟑 = 𝟏𝟗𝟓 
 
Agora é só aplicar a fórmula da variância. 
 
𝝈𝟐 = (𝑴é𝒅𝒊𝒂	𝒅𝒐𝒔	𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔) − (𝑴é𝒅𝒊𝒂)𝟐 
 
𝝈𝟐 = 𝑿𝟐 − �𝑿�
𝟐
= 𝟏𝟗𝟓 − 𝟏𝟏𝟐 = 𝟏𝟗𝟓 − 𝟏𝟐𝟏 
 
𝝈𝟐 = 𝟕𝟒 
 
Já que são poucos números também poderíamos ter calculado a média dos quadrados dos 
desvios. 
 
O conjunto que estamos trabalhando é {𝟎, 𝟏𝟐, 𝟐𝟏} e já sabemos que a média desses valores é 11. 
 
Os desvios são: 
 
𝒅𝟏 = 𝟎 − 𝟏𝟏 = −𝟏𝟏	 
 
𝒅𝟐 = 𝟏𝟐 − 𝟏𝟏 = 𝟏 
 
𝒅𝟑 = 𝟐𝟏 − 𝟏𝟏 = 𝟏𝟎 
 
Agora vamos calcular a variância. Devemos elevar cada desvio ao quadrado, somar os resultados, 
e dividir por 3. 
 
𝝈𝟐 =
𝟏𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟎𝟐
𝟑 = 𝟕𝟒 
 
A questão pede o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância. 
 
𝝈 = √𝟕𝟒 
 
Como 𝟖𝟐 = 𝟔𝟒 e 𝟗𝟐 = 𝟖𝟏, então 𝟖 < 𝝈 < 𝟗. 
 
Se o desvio padrão está entre 8 e 9 milhões, é verdade dizer que o desvio padrão está entre 7 e 
9 milhões. A resposta é a alternativa A. 
 
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108 
 
Para obter uma boa aproximação de √𝟕𝟒, podemos utilizar o método de Newton-Raphson (eu 
ensino esse método no seguinte vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=8jKk9e-70LQ&t=31s 
). 
 
√𝟕𝟒 ≅
𝟕𝟒 + 𝟖𝟏
𝟐 × 𝟗 ≅ 𝟖, 𝟔𝟏𝟏 
Gabarito: A 
 
(CESPE 2017/SEE-DF) 
Um levantamento estatístico, feito em determinada região do país, mostrou que jovens com 
idades entre 4 e 17 anos assistem à televisão, em média, durante 6 horas por dia. 
A tabela a seguir apresenta outras estatísticas produzidas por esse levantamento. 
 
23. A amplitude total dos tempos T é igual ou superior a 9 horas. 
 
24. O desvio quartílico dos tempos T foi igual a 3. 
 
Comentário 
Item I. 
A amplitude é a diferença entre o maior elemento e o menor elemento. 
A questão não forneceu esses valores. Entretanto, sabemos que o 1º decil é igual a 1 e o 9º decil 
é igual a 10. 
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109 
 
Ora, a diferença entre esses decis é 𝐷y − 𝐷K = 10 − 1 = 9. Como o menor valor pode ser menor 
do que ou igual a 1 e o maior valor pode ser maior do que ou igual a 9, então a amplitude será 
maior do que ou igual a 9. 
Melhor explicando: Se o menor valor coincidir com o primeiro decil e o maior valorcoincidir com 
o nono decil, então a amplitude será igual a 9. Entretanto, o menor valor pode ser menor que 1 e 
o maior valor pode ser maior que 10. Portanto, a amplitude pode ser maior do que 9. 
O item I está certo. 
Vamos ao item II. 
O desvio quartílico é dado por: 
𝐷Ò =
𝑄J − 𝑄K
2 
Esses valores foram fornecidos. 
𝐷Ò =
8 − 2
2 = 3 
O item II está certo. 
Gabarito: Certo, certo. 
 
(CESPE 2016/TCE-PA) 
 
 
Um indicador de desempenho X permite avaliar a qualidade dos processos de governança de 
instituições públicas. A figura mostra, esquematicamente, a sua distribuição, obtida mediante 
estudo amostral feito por determinada agência de pesquisa. A tabela apresenta estatísticas 
descritivas referentes a essa distribuição. 
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110 
 
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
25. A amplitude total da amostra é inferior a 3. 
 
26. O intervalo interquartílico da distribuição do indicador X é superior a 1,4. 
 
27. O coeficiente de variação da distribuição de X é inferior a 0,8. 
 
Comentário 
 
Item I. 
 
A amplitude total é a diferença entre os valores máximo e mínimo. 
 
𝑨𝑻 = 𝟑, 𝟏𝟎 − 𝟎 = 𝟑, 𝟏𝟎 
O item I está errado. 
 
Item II. 
 
O intervalo interquartílico é a distância entre o primeiro e o terceiro quartil. Lembre-se que 
distância é sempre um número não-negativo. Assim, distância interquartílica é o terceiro quartil 
menos o primeiro quartil. 
 
𝑸𝟑 − 𝑸𝟏 = 𝟏, 𝟐𝟎 − 𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟗𝟓 
 
O item está errado. 
 
Item III. 
 
O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média. 
 
𝒔
𝑿
=
𝟎, 𝟕𝟎
𝟎, 𝟖𝟎 = 𝟎, 𝟖𝟕𝟓 
O item está errado. 
 
Gabarito: Errado, errado, errado. 
 
 
 
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111 
 
 
(CESPE 2016/TCE-PA) 
 
 
 
A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que 
representa o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição 
pública. A partir das informações dessa tabela, julgue os itens seguintes. 
28. A amplitude total da amostra é igual ou superior a 5. 
 
29. A variância de X é inferior a 2,5. 
 
Comentário 
 
Item I. 
A amplitude total é a diferença entre os valores máximo e mínimo. 
 
𝑨𝑻 = 𝟒 − 𝟎 = 𝟒 
O primeiro item está errado. 
 
Item II. 
 
Vamos calcular a média dos valores. Para tanto, precisamos multiplicar cada termo pela sua 
respectiva frequência e somar os resultados. Depois é só dividir pela soma das frequências, que é 
igual a 1. 
 
𝑿 =
𝟎 × 𝟎, 𝟑 + 𝟏 × 𝟎, 𝟏 + 𝟐 × 𝟎, 𝟐 + 𝟑 × 𝟎, 𝟏 + 𝟒 × 𝟎, 𝟑
𝟏 
 
𝑿 = 𝟎 + 𝟎, 𝟏 + 𝟎, 𝟒 + 𝟎, 𝟑 + 𝟏, 𝟐 
 
𝑿 = 𝟐 
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112 
 
 
Vamos agora calcular a média dos quadrados. O cálculo é praticamente igual ao anterior. A 
diferença é que devemos elevar cada valor de X ao quadrado antes de multiplicar pela 
frequência. 
 
𝑿𝟐 =
𝟎𝟐 × 𝟎, 𝟑 + 𝟏𝟐 × 𝟎, 𝟏 + 𝟐𝟐 × 𝟎, 𝟐 + 𝟑𝟐 × 𝟎, 𝟏 + 𝟒𝟐 × 𝟎, 𝟑
𝟏 
 
𝑿𝟐 = 𝟎 + 𝟎, 𝟏 + 𝟎, 𝟖 + 𝟎, 𝟗 + 𝟒, 𝟖 
 
𝑿𝟐 = 𝟔, 𝟔 
 
Agora é só aplicar a fórmula da variância. 
 
𝝈𝟐 = (𝑴é𝒅𝒊𝒂	𝒅𝒐𝒔	𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔) − (𝑴é𝒅𝒊𝒂)𝟐 
 
𝝈𝟐 = 𝑿𝟐 − �𝑿�
𝟐
= 𝟔, 𝟔 − 𝟐𝟐 
 
𝝈𝟐 = 𝟐, 𝟔 
O segundo item está errado. 
 
Gabarito: Errado, errado 
 
(CESPE 2015/DEPEN) 
 
 
Considerando os dados da tabela mostrada, que apresenta a distribuição populacional da 
quantidade diária de incidentes (N) em determinada penitenciária, julgue os itens que se 
seguem. 
 
30. A amplitude total da distribuição é igual a 5, pois há 5 valores possíveis para a variável N. 
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113 
 
 
31. O desvio padrão da distribuição de N é igual ou inferior a 1,2. 
 
Comentário 
 
Item I. 
 
A amplitude nada tem a ver com a quantidade possíveis valores. A amplitude total é 
simplesmente a diferença entre o maior elemento e o menor elemento. 
 
𝑨𝑻 = 𝟒 − 𝟎 = 𝟒 
O primeiro item está errado. 
 
Item II. 
 
Para calcular o desvio padrão, vamos primeiro calcular a variância. 
 
𝝈𝟐 = (𝑴é𝒅𝒊𝒂	𝒅𝒐𝒔	𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔) − (𝑴é𝒅𝒊𝒂)𝟐 
 
Vamos calcular a média dos valores. Para tanto, precisamos multiplicar cada termo pela sua 
respectiva frequência e somar os resultados. Depois é só dividir pela soma das frequências, que é 
igual a 1. 
 
𝑿 =
𝟎 × 𝟎, 𝟏 + 𝟏 × 𝟎, 𝟐 + 𝟐 × 𝟎, 𝟓 + 𝟑 × 𝟎 + 𝟒 × 𝟎, 𝟐
𝟏 
 
𝑿 = 𝟎 + 𝟎, 𝟐 + 𝟏 + 𝟎 + 𝟎, 𝟖 
 
𝑿 = 𝟐 
 
Vamos agora calcular a média dos quadrados. O cálculo é praticamente igual ao anterior. A 
diferença é que devemos elevar cada valor de X ao quadrado antes de multiplicar pela 
frequência. 
 
𝑿𝟐 =
𝟎𝟐 × 𝟎, 𝟏 + 𝟏𝟐 × 𝟎, 𝟐 + 𝟐𝟐 × 𝟎, 𝟓 + 𝟑𝟐 × 𝟎 + 𝟒𝟐 × 𝟎, 𝟐
𝟏 
 
𝑿𝟐 = 𝟎 + 𝟎, 𝟐 + 𝟐 + 𝟎 + 𝟑, 𝟐 
 
𝑿𝟐 = 𝟓, 𝟒 
 
Agora é só aplicar a fórmula da variância. 
 
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114 
 
𝝈𝟐 = (𝑴é𝒅𝒊𝒂	𝒅𝒐𝒔	𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔) − (𝑴é𝒅𝒊𝒂)𝟐 
 
𝝈𝟐 = 𝑿𝟐 − �𝑿�
𝟐
= 𝟓, 𝟒 − 𝟐𝟐 
 
𝝈𝟐 = 𝟏, 𝟒 
 
Queremos o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância. 
 
𝝈 = £𝟏, 𝟒 
 
Queremos comparar esse número com 𝟏, 𝟐. Como 𝟏, 𝟐𝟐 = 𝟏, 𝟒𝟒, então √𝟏, 𝟒 < 𝟏, 𝟐. 
 
O desvio padrão é menor que 1,2. 
 
A questão diz que o desvio padrão é igual OU inferior a 1,2. O item está certo. 
Gabarito: Errado, certo 
 
(CESPE 2015/TELEBRAS) 
Considerando que os possíveis valores de um indicador X, elaborado para monitorar a qualidade 
de um serviço de cabeamento residencial para a comunicação de dados, sejam elementos do 
conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5} e que uma amostra aleatória de 5 residências tenha apontado os 
seguintes indicadores: 4, 4, 5, 4 e 3, julgue o próximo item. 
32. A amplitude total da amostra aleatória foi igual a 5. 
 
33. A variância amostral dos indicadores observados foi igual a 0,5. 
 
Comentário 
Item I. 
A questão pede a amplitude total da AMOSTRA. O maior elemento da amostra é 5 e o menor 
elemento da amostra é 3. Portanto, a amplitude total da amostra é 5 − 3 = 2. O primeiro item 
está errado. 
Item II. 
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115 
 
Queremos calcular a variância da amostra 4, 4, 5, 4, 3. Como a variância não é alterada quando 
subtraímos uma constante de todos os valores, vamos subtrair 4 de todos os elementos da 
amostra. Ficamos com 0, 0, 1, 0, −1. 
A média desses valores é: 
𝑋 =
0 + 0 + 1 + 0 − 1
5 = 0 
A média dos quadrados é: 
𝑿𝟐 =
0P + 0P + 1P + 0P + (−1)P
5 =
2
5 
Agora vamos aplicar a fórmula da variância amostral. 
𝑠P = �𝑋P − �𝑋�
P
� ∙
𝑛
𝑛 − 1 
𝑠P = ¡
2
5 − 0
P¢ ∙
5
4 
𝑠P =
2
5 ×
5
4 =
2
4 = 0,5 
O segundo item está certo. 
 
Ah, Guilherme. Eu não gosto desse método. Eu sou raiz. Gosto de calcular na raça. Quero 
calcular a média, calcular os desvios, elevar ao quadrado, etc. 
Beleza, então. Vamos lá. 
Os números são 4, 4, 5, 4, 3. 
A média é: 
𝑋 =
4 + 4 + 5 + 4 + 3
5 = 4 
Os desvios são 0, 0, 1, 0, −1. A variância amostral fica: 
𝑠P =
∑𝑑?P
𝑛 − 1 
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116 
 
𝑠P =
0P + 0P + 1P + 0P + (−1)P
5 − 1 =
2
4 = 0,5 
Gabarito: Errado, certo 
 
34. (CESPE 2016/TRT 8ª Região) 
Com relação à definição das medidas de tendência central e de variabilidade dos dados em uma 
estatística, assinale a opção correta. 
a) A moda representa o centro da distribuição, é o valor que divide a amostra ao meio. 
b) A amplitude total, ou range, é uma medida de tendência central pouco afetada pelos valores 
extremos. 
c) A medianaé o valor que ocorre mais vezes, frequentemente em grandes amostras. 
d) A variância da amostra representa uma medida de dispersão obtida pelo cálculo da raiz 
quadrada positiva do valor do desvio padrão dessa amostra. 
e) A média aritmética representa o somatório de todas as observações dividido pelo número de 
observações. 
Comentário 
Vamos analisar cada uma das alternativas. 
a) Falso, pois é a mediana que divide a amostra ao meio. 
b) Falso, pois a amplitude total é TOTALMENTE influenciada pelos valores extremos. A 
amplitude total depende apenas do maior e do menor elemento. 
c) Falso, pois é a moda o valor que ocorre mais vezes. 
d) Falso, pois variância é o quadrado do desvio padrão e não a raiz quadrada. 
e) Verdadeiro. Para calcular a média, basta somar todos os valores e dividir pela quantidade de 
elementos. 
Gabarito: E 
 
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117 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. 
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no 
nosso fórum de dúvidas. 
 
 
 
Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato 
diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
 
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