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6a SÉRIE 7oANO ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS Volume 2 MATEMÁTICA CADERNO DO PROFESSOR Nova edição 2014-2017 GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO SECRETARIA DA EDUCAÇÃO São Paulo MATERIAL DE APOIO AO CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO CADERNO DO PROFESSOR MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 6a SÉRIE/7o ANO VOLUME 2 Os materiais de apoio à implementação do Currículo do Estado de São Paulo são oferecidos a gestores, professores e alunos da rede estadual de ensino desde 2008, quando foram originalmente editados os Cadernos do Professor. Desde então, novos materiais foram publicados, entre os quais os Cadernos do Aluno, elaborados pela primeira vez em 2009. Na nova edição 2014-2017, os Cadernos do Professor e do Aluno foram reestruturados para atender às sugestões e demandas dos professo- res da rede estadual de ensino paulista, de modo a ampliar as conexões entre as orientações ofe- recidas aos docentes e o conjunto de atividades propostas aos estudantes. Agora organizados em dois volumes semestrais para cada série/ ano do Ensino Fundamental – Anos Finais e série do Ensino Médio, esses materiais foram re- vistos de modo a ampliar a autonomia docente no planejamento do trabalho com os conteúdos e habilidades propostos no Currículo Oficial de São Paulo e contribuir ainda mais com as ações em sala de aula, oferecendo novas orien- tações para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem. Para tanto, as diversas equipes curricula- res da Coordenadoria de Gestão da Educação Básica (CGEB) da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo reorganizaram os Cader- nos do Professor, tendo em vista as seguintes finalidades: incorporar todas as atividades presentes nos Cadernos do Aluno, considerando também os textos e imagens, sempre que possível na mesma ordem; orientar possibilidades de extrapolação dos conteúdos oferecidos nos Cadernos do Aluno, inclusive com sugestão de novas ati- vidades; apresentar as respostas ou expectativas de aprendizagem para cada atividade pre- sente nos Cadernos do Aluno – gabarito que, nas demais edições, esteve disponível somente na internet. Esse processo de compatibilização buscou respeitar as características e especificidades de cada disciplina, a fim de preservar a identidade de cada área do saber e o movimento metodo- lógico proposto. Assim, além de reproduzir as atividades conforme aparecem nos Cadernos do Aluno, algumas disciplinas optaram por des- crever a atividade e apresentar orientações mais detalhadas para sua aplicação, como também in- cluir o ícone ou o nome da seção no Caderno do Professor (uma estratégia editorial para facilitar a identificação da orientação de cada atividade). A incorporação das respostas também res- peitou a natureza de cada disciplina. Por isso, elas podem tanto ser apresentadas diretamente após as atividades reproduzidas nos Cadernos do Professor quanto ao final dos Cadernos, no Gabarito. Quando incluídas junto das ativida- des, elas aparecem destacadas. A NOVA EDIÇÃO Leitura e análise Lição de casa Pesquisa em grupo Pesquisa de campo Aprendendo a aprender Roteiro de experimentação Pesquisa individual Apreciação Você aprendeu? O que penso sobre arte? Ação expressiva ! ? Situated learning Homework Learn to learn Além dessas alterações, os Cadernos do Professor e do Aluno também foram anali- sados pelas equipes curriculares da CGEB com o objetivo de atualizar dados, exemplos, situações e imagens em todas as disciplinas, possibilitando que os conteúdos do Currículo continuem a ser abordados de maneira próxi- ma ao cotidiano dos alunos e às necessidades de aprendizagem colocadas pelo mundo con- temporâneo. Para saber mais Para começo de conversa Seções e ícones SUMÁRIO Orientação geral sobre os Cadernos 7 Situações de Aprendizagem 12 Situação de Aprendizagem 1 – A noção de proporcionalidade 12 Situação de Aprendizagem 2 – Razão e proporção 22 Situação de Aprendizagem 3 – Razões na Geometria 36 Situação de Aprendizagem 4 – Gráfico de setores e proporcionalidade 50 Situação de Aprendizagem 5 – Investigando sequências por Aritmética e Álgebra 57 Situação de Aprendizagem 6 – Equações e fórmulas 68 Situação de Aprendizagem 7 – Equações, perguntas e balanças 79 Situação de Aprendizagem 8 – Proporcionalidade e equações 92 Orientações para Recuperação 101 Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 102 Considerações Finais 104 Quadro de conteúdos do Ensino Fundamental – Anos Finais 105 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 7 ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS Os temas escolhidos para compor o con- teúdo disciplinar de cada volume não se afas- tam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendi- das referem-se à forma de abordagem desses temas, sugerida ao longo dos dois volumes. Nessa abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos con- teúdos, as competências pessoais envolvidas, principalmente as relacionadas à leitura e à escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os volumes, os conteúdos estão organizados em 16 unidades de extensões apro- ximadamente iguais. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor poderá explorar cada assunto com mais ou me- nos aprofundamento, ou seja, poderá escolher uma escala adequada para tratar do assunto. Em cada situação específica, fica a critério do professor determinar o tempo necessário, por exemplo, para trabalhar cada assunto. O tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, ao passo que o de outra pode ser tratado de modo mais simplificado. Independente disso, o ideal é que você tente contemplar todas as 16 unidades, ten- do em vista que, juntas, elas compõem um pa- norama do conteúdo de cada volume e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a com- preensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circuns- tância particular e levando em consideração seu interesse e o de seus alunos pelos temas apresen- tados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos volumes, são apresentadas, além de uma visão panorâmica de seu con- teúdo, oito Situações de Aprendizagem, que pretendem ilustrar a forma de abordagem su- gerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de aula. As Situações de Aprendizagem são inde- pendentes e podem ser exploradas pelo pro- fessor com maior ou menor aprofundamento, segundo seu interesse e de sua classe. Natural- mente, em razão das limitações de espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram con- templadas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de aborda- gem seja explicitada nas atividades oferecidas. Também são apresentados, sempre que possível, materiais, como textos, softwares, sites, vídeos, entre outros, em sintonia com a abordagem proposta, que o professor poderá utilizar para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno, ainda, algumas con- siderações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispen- sável ao desenvolvimento das competências enunciadas neste volume. 8 Conteúdos básicos do volume As oito primeiras unidades deste volume abordam os seguintes temas: proporcionali- dade, conceito de razão, porcentagem como razão, probabilidade como razão, razões constantes na Geometria, representação de porcentagens em gráficos de setores, entre ou- tros. As oito unidades restantes, por sua vez, trabalham o uso de letras na Matemática para resolução de equaçõesde 1o grau. A variação das grandezas do mundo físi- co geralmente envolve algum tipo de propor- cionalidade. Dessa forma, a noção de pro- porcionalidade é de extrema importância para fundamentar o estudo de outras dis- ciplinas, como Geografia, Física, Biologia, entre outras. Muitas situações cotidianas requerem a ca- pacidade de resolver e identificar problemas de proporcionalidade. A interpretação da esca- la de um mapa ou da planta de uma casa, a adaptação de uma receita culinária para mais pessoas ou a comparação de preços de produto em quantidades diferentes são alguns exemplos que ilustram o uso da noção de proporcionali- dade no dia a dia. A proporcionalidade constitui um dos temas centrais estudados na 6a série/7o ano. Nessa etapa da escolaridade, o aluno já pos- sui os conhecimentos básicos que lhe permi- tem resolver muitos problemas de proporcio- nalidade, pois ele certamente já lidou com proporcionalidade de maneira informal, em atividades de ampliação e redução de figuras, em atividades envolvendo escalas de mapas ou no estudo de frações equivalentes. Mas este é o momento em que a noção de varia- ção direta ou inversamente proporcional é apresentada e aprofundada, permitindo que o aluno identifique e diferencie as situações em que a proporcionalidade aparece. Tradicionalmente, o ensino da proporcionali- dade era feito de forma pragmática, privilegiando o uso da regra de três e a formalização algébrica das relações de proporcionalidade. Partia-se da definição de razão e chegava-se ao conceito de proporção como uma igualdade entre duas ra- zões. O caráter algébrico e formalista desse tipo de abordagem acabava por afastar o aluno do real entendimento da ideia de proporcionalidade e cristalizava o uso indiscriminado da regra de três na resolução de qualquer problema. Esse fato geralmente é apontado pelos professores do Ensino Médio ao proporem problemas que en- volvem variações exponenciais ou quadráticas, nos quais não é possível usar a regra de três. No presente Caderno, propomos uma abordagem que prioriza a construção da noção de proporcionalidade pelo aluno, in- centivando sua capacidade de interpretar problemas e de identificar o tipo de propor- cionalidade envolvida. No caso da 6a série/ 7o ano, esse tema pode aparecer sem uma preocupação formal com o uso da represen- tação simbólica ou da regra de três. Esses procedimentos podem ser introduzidos mais adiante, no contexto das frações algébricas e da resolução de equações. Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 9 As quatro primeiras Situações de Apren- dizagem desenvolvidas neste Caderno percor- rem as oito unidades apresentadas de forma direta ou indireta. Na Situação de Aprendiza- gem 1, propomos uma sequência de situações- -problema envolvendo o reconhecimento da existência de pro porcionalidade. A constru- ção da noção de proporcionalidade envolve também a capacidade de identificar situações em que ela não está presente. Sugerimos uma metodologia alternativa para a resolução dos clássicos problemas que envolvem a variação diretamente ou inversamente proporcional entre duas ou mais grandezas. Em vez de usar a fórmula da regra de três composta, o aluno é convidado a desenvolver uma sequência de transformações proporcionais inspirado por um jogo de palavras chamado duplex, cria- do por Lewis Carroll, autor de Alice no país das maravilhas. Na Situação de Aprendizagem 2, passa- mos a tratar diretamente do conceito de razão, construído a partir das situações-problema que envolvem proporcionalidade direta. Apresenta- mos, também, situações-problema envolvendo diferentes tipos de razão, como a porcentagem, a escala em mapas e desenhos, a velocidade ou ra- pidez, a densidade etc. Incluímos ainda a proba- bilidade como uma razão, que expressa a chance de ocorrência de um evento em determinado es- paço amostral, como no lançamento de moedas, dados etc. Para finalizar a sequência, propomos uma atividade prática envolvendo as razões pre- sentes no corpo humano a partir do desenho de Leonardo da Vinci, chamado Homem vitruvia- no. Com base nesse desenho, os alunos pode- rão observar e explorar o conceito de razão por meio de medidas e comparações. Na Situação de Aprendizagem 3, procura- mos explorar a ideia de proporcionalidade nas formas planas geométricas. Inicialmente, apre- sentamos uma situação que envolve a amplia- ção de uma figura, com o objetivo de construir a noção de proporcionalidade geométrica. Em seguida, analisamos os principais casos envol- vendo a determinação da razão de proporcio- nalidade entre as partes de uma figura geomé- trica, como a razão entre a diagonal e o lado do quadrado ou a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro, chamada de pi (π). A opção por incluir essas duas ra- zões, que normalmente aparecem somente na 8a série/9o ano ou no Ensino Médio, deve-se ao fato de que ambas constituem um exemplo bastante ilustrativo da existência de proporcio- nalidade em figuras geométricas simples. Apre- sentá-las agora aos alunos, sem a preocupação de formalizar o conjunto dos números irracio- nais, contribui bastante para a compreensão da proporcionalidade na Geometria. Na Situação de Aprendizagem 4, articula- mos, de maneira bastante pertinente, dois blo- cos temáticos do currículo de Matemática: o eixo denominado grandezas e medidas e o eixo tratamento da informação. A elaboração e a in- terpretação de gráficos de setores envolvem tan- to a noção de proporcionalidade e a compreen- são da razão parte/todo como a capacidade de representar informações por meio de tabelas e gráficos. Propomos, inicialmente, algumas ativi- dades que exploram a proporcionalidade na cir- 10 cunferência (entre ângulos e arcos). Em seguida, passamos às situações-problema, envolvendo desde a interpretação e a leitura de gráficos de setores até a construção desses gráficos a partir de tabelas com dados estatísticos. As quatro Situações de Aprendizagem fi- nais desenvolvidas neste Caderno têm como objetivo principal apresentar e discutir algu- mas estratégias de ensino para a introdução do uso de letras na Matemática e para a reso- lução de equações de 1o grau Na Situação de Aprendizagem 5, o foco das atividades é o reconhecimento de padrões em figuras e em sequências numéricas. Um dos objetivos da Álgebra é justamente a represen- tação de regularidades por meio da linguagem simbólica da Matemática. Apresentamos uma série de atividades que envolvem a descoberta de padrões e regularidades, bem como a poste- rior representação destas na forma algébrica. A Situação de Aprendizagem 6 explora a re- lação entre fórmulas e equações. Entendemos que o trabalho com fórmulas é uma estratégia valiosa para trabalhar com equações sem a preocupação explícita de “resolvê-las”. A fór- mula possui um contexto que lhe é inerente e que favorece a compreensão e a aprendizagem do aluno. Nessa Situação de Aprendizagem, o objetivo principal é fazer que o aluno realize operações com expressões algébricas sem se preocupar com técnicas e métodos de resolu- ção. Para isso, são apresentados alguns exem- plos de fórmulas de diversas áreas do conheci- mento, como Economia, Física, Saúde etc. Na Situação de Aprendizagem 7, o foco do trabalho é a resolução de equações, e aqui ex- ploramos duas linhas principais. A primeira envolve um tipo de resolução mais imediato, ao enxergar uma equação como uma pergunta do tipo: “qual é o número que satisfaz determinadas operações aritméticas?” Por meio de um raciocí- nio aritmético, o aluno é capaz de resolver deter- minado tipo de equação usando apenas opera- ções inversas. A segunda linha de resolução está relacionada à ideia de equivalência. Faremos uso da analogia com a imagem do equilíbrio de uma balança, a fim de facilitar a compreensãodos alunos com relação a certos procedimentos, como somar ou subtrair um mesmo termo em ambos os lados de uma equação. Nesse caso, discutiremos as vantagens e os limites do uso dessa imagem para ajudar na compreensão dos processos de resolução de equações. Por fim, na Situação de Aprendizagem 8, retomaremos algumas das noções de propor- cionalidade trabalhadas anteriormente para introduzir a regra de três. No início deste Ca- derno, a abordagem dessas noções priorizou a análise de tabelas e o conceito de razão. Ago- ra, dentro do contexto do estudo das equa- ções, podemos introduzir o procedimento da regra de três como forma de resolução de pro- blemas envolvendo proporcionalidade. Consideramos que essas quatro últimas Si- tuações de Aprendizagem compõem um pano- rama de estratégias bastante amplo e diversifi- cado, o qual deve ser utilizado para introduzir o uso de letras na Matemática. É preciso ter em mente que esse processo terá continuidade Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 11 Unidade 1 – Explorando a noção de proporcionalidade. Unidade 2 – Proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa. Unidade 3 – Problemas envolvendo variação diretamente ou inversamente proporcional. Unidade 4 – A razão de proporcionalidade. Unidade 5 – Principais tipos de razão. Unidade 6 – A porcentagem como razão. Unidade 7 – Razões na geometria. Unidade 8 – Gráfico de setores e porcentagem. Unidade 9 – O uso de letras na Matemática – identificação de padrões e generalização. Unidade 10 – O uso de letras na Matemática – letras para representar números ou grandezas. Unidade 11 – Fórmulas e equações. Unidade 12 – Incógnitas e variáveis. Unidade 13 – Resolução de equações. Unidade 14 – Resolução de equações. Unidade 15 – Proporcionalidade e equações. Unidade 16 – Regra de três. ao longo das séries/anos seguintes e que, nes- se primeiro momento, procuramos valorizar a construção do significado para o uso de letras e para a resolução de equações. Reiteramos que as Situações de Aprendi- zagem apresentadas ao longo deste Caderno são sugestões de trabalho que podem inspirar a ação do professor em sala de aula. A adoção de uma ou outra situação deve depender não apenas do projeto de ensino do professor, mas também das características de cada turma. O professor pode e deve ampliar ou modificar as atividades propostas, desde que os objetivos mínimos de aprendizagem sejam alcançados. Gostaríamos de ressaltar, por fim, que as atividades propostas a seguir constituem um referencial para que o professor possa dire- cionar as atividades em sala de aula. Nesse sentido, elas são atividades exemplares que tratam de alguma dimensão importante do tema estudado. Contamos com a leitura cuidadosa do que é proposto e apresentado aqui e esperamos contribuir para uma aprendizagem efetiva dos alunos. As 16 unidades temáticas que compõem este Caderno estão relacionadas a seguir. Quadro geral de conteúdos do volume 2 da 6a série/7o ano do Ensino Fundamental 12 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 A NOÇÃO DE PROPORCIONALIDADE O objetivo principal desta Situação de Aprendizagem é ampliar as noções de variação direta e inversamente proporcionais entre gran- dezas, aprimorando no aluno a capacidade de resolver problemas e fazer previsões em si- tuações que envolvam proporcionalidade. É bom lembrar que os alunos provavelmente já possuem um conhecimento intuitivo sobre proporcionalidade, derivado de experiência em situações concretas da vida cotidiana. A partir da 6a série/7o ano, devemos capacitar o aluno a reconhecer o tipo de proporcionalida- de envolvida em diferentes situações e a operar e relacionar os valores envolvidos. Inicialmente, são propostas atividades que envolvem o reconhecimento da proporciona- lidade. Elas têm por objetivo sondar o conhe- cimento prévio dos alunos sobre proporciona- lidade, cuja noção já vem sendo desenvolvida desde as séries/anos anteriores, como no estudo das frações equivalentes ou dos múltiplos de um número natural. Entendemos que a noção de proporcionalidade envolve também a capaci- dade de identificar as situações em que ela não está presente. Sugerimos que os alunos analisem determinadas situações, a fim de verificar se há ou não proporcionalidade. Outro aspecto a ser destacado é que não basta duas grandezas variarem no mesmo sen- tido, ou seja, aumentarem simultaneamente, por exemplo, para que elas sejam diretamen- te proporcionais. É preciso que, se uma delas dobrar de valor, a outra também dobre; se uma delas triplicar, a outra também triplique, e assim por diante. As situações propostas na atividade 5 têm por objetivo caracterizar a SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM Conteúdos e temas: proporcionalidade; variação diretamente proporcional; variação inversa- mente proporcional; razão de proporcionalidade. Competências e habilidades: identificar situações em que existe proporcionalidade entre grandezas; usar a competência leitora para interpretar problemas de proporcionalidade; resolver problemas que envolvem a variação diretamente e inversamente proporcional entre grandezas. Sugestão de estratégias: análise e resolução de situações-problema; discussão coletiva sobre as soluções obtidas pelos alunos em cada situação-problema; uso de jogo para facilitar a com- preensão da variação proporcional. Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 13 diferença entre as variações diretamente pro- porcionais e as inversamente proporcionais. É importante, também, que os alunos sai- bam que a proporcionalidade direta entre duas grandezas envolve sempre uma multiplicação por um fator constante, chamado de razão de proporcionalidade. No final, propomos uma atividade lúdica que favorecerá ao aluno compreender, na prá- tica, as noções de proporcionalidade apresen- tadas nas atividades anteriores. Baseada num jogo denominado duplex, a atividade sugere uma estratégia bastante simples para a reso- lução de problemas envolvendo a variação de duas ou mais grandezas proporcionais (dire- tamente ou inversamente), sem o uso da regra de três composta. Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 Reconhecendo a proporcionalidade As atividades 1 e 2 têm como objetivo ava- liar a capacidade de reconhecimento das si- tuações que envolvem proporcionalidade. Na atividade 1, o aluno deve analisar se as previ- sões feitas obedecem a algum tipo de propor- cionalidade ou não. 1. Verifique se as previsões fei- tas são confiáveis e se há pro- porcionalidade entre as gran- dezas envolvidas. Justifique sua resposta. a) Um pintor gastou 1 hora para pintar uma parede. Para pintar duas paredes iguais àquela, ele levará 2 horas. A previsão é consistente, pois há proporcionalidade entre o número de paredes e o tempo gasto para pintá-las. b) Um time marcou 2 gols nos primeiros 15 minutos de jogo. Portanto, ao final do primeiro tempo (45 minutos), ele terá marcado 6 gols. Apesar de os números do problema apresentarem propor- cionalidade, a situação não permite uma previsão confiável, pois o rendimento de um time não é constante ao longo de um jogo, existindo uma série de outros fatores que influen- ciam o número de gols, como uma melhor marcação dos jogadores da defesa do time adversário. c) Uma banheira contendo 100 litros de água demorou, aproximadamente, 5 minutos para ser esvaziada. Para es- vaziar uma banheira com 200 litros de água serão necessários, aproximada- mente, 10 minutos. A previsão é consistente, pois o tempo de vazão depende do volume de água a ser escoado. (Supõe-se, nesse caso, que a velocidade de vazão não varie significativamente, podendo ser considerada constante.) d) Em 1 hora de viagem, um trem com velocidade constante percorreu 60 km. Mantendo a mesma velocidade, após 3 horas ele terá percorrido 150 km. A previsão está errada, pois, mantida a velocidade, o trem deveriapercorrer 180 km. Nesse caso, a distân- cia percorrida é diretamente proporcional ao tempo de viagem. 14 e) Um estacionamento cobra R$ 3,00 por hora. Por um automóvel que ficou esta cionado 2 horas, foi cobrado do motorista o valor de R$ 6,00. Se ele ficasse estacionado 6 horas, o valor cobrado seria de R$ 18,00. Nesse caso, a previsão está correta, pois o valor a ser cobra- do é proporcional ao número de horas que o carro ficaria estacionado. f) Em 20 minutos, uma pessoa gastou R$ 30,00 no supermercado. Se ela ficar 40 minutos, gastará R$ 60,00. A previsão não é consistente, pois o valor gasto em um su- permercado não é diretamente proporcional ao tempo de permanência nele. g) Ao tomar um táxi para ir da minha casa até a escola, o motorista passou por 4 avenidas diferentes. O valor cobrado pela corrida foi de R$ 10,00. Na volta, ele passará somente por 2 avenidas, por- tanto, o valor cobrado será de R$ 5,00. A previsão está errada, uma vez que não existe relação direta entre o número de avenidas pelas quais o táxi passa e o valor cobrado. As situações anteriores ilustram algu- mas características da proporcionalidade. Primeiramente, deve haver algum grau de dependência entre as grandezas envolvidas. Nos itens f e g, por exemplo, não há depen- dência direta entre as grandezas envolvidas. Em segundo lugar, a variação entre as gran- dezas tem de ser a mesma. No item d, o cál- culo correto seria 180 km para o percurso após 3 horas. 2. Em cada um dos casos a seguir, verifique se há ou não proporcionalidade direta en- tre as medidas das grandezas correspon- dentes. Justifique sua resposta. a) A altura de uma pessoa é diretamente proporcional à sua idade? Não. Quando a idade de uma pessoa dobra − digamos, passa de 2 a 4 anos −, não é verdade que sua altura também dobra. Se houvesse proporcionalidade direta, imagine a altura de uma pessoa aos 40 anos. b) O valor pago para abastecer o tanque de gasolina de um carro é diretamen- te proporcional à quantidade de litros abastecidos? Sim. O valor pago para abastecer o tanque de gasolina de um carro depende da quantidade de litros abastecida. Se para abastecer com 10 litros gasta-se R$ 25,00, o valor para abastecer com o triplo de litros (30 litros) será três vezes maior (R$ 75,00). c) A massa de uma pessoa é diretamente proporcional à sua idade? A massa de uma pessoa não é diretamente proporcional à sua idade, pois não existe uma relação direta entre o au- mento da idade de uma pessoa com sua massa, portan- to, não se pode afirmar que, com o decorrer do tempo, a massa aumenta ou diminui. d) O perímetro de um quadrado é direta- mente proporcional à medida de seu lado? Sim. O perímetro de um quadrado é igual a quatro vezes a medida de seu lado. Se o lado aumenta, o perímetro au- menta proporcionalmente. O perímetro de um quadrado é diretamente proporcional à medida de seu lado, sendo a constante de proporcionalidade igual a 4. Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 15 e) A distância percorrida por um auto- móvel em 1 hora de viagem é direta- mente proporcional à velocidade mé- dia desenvolvida? Sim. Um automóvel que desenvolve uma velocidade mé- dia de 60 km/h irá percorrer 60 km em 1 hora. Se dobrar- mos a velocidade, a distância percorrida duplicará na mes- ma proporção. a) Um professor corrige 20 provas em 1 hora de trabalho. Após 30 horas, ele terá corrigido 600 provas. Não. Dificilmente o professor conseguirá manter o mesmo ritmo de trabalho durante 30 horas. b) Um corredor percorre 10 km em 1 hora. Portanto, após 20 horas, ele terá percor- rido 200 km. Não. Mesmo para um atleta, seria impossível manter esse rit- mo de corrida por tanto tempo. c) Uma pessoa leu 3 livros na semana pas- sada. Em um ano, ela lerá 156 livros. Não. O fato de ela ter lido 3 livros na semana anterior não garante que ela necessariamente vá manter o mesmo ritmo de leitura ao longo do ano. Isso depende de outras variáveis, como o número de páginas do livro, disponibilidade de tempo e dinheiro, disposição etc. É importante discutir com os alunos que a proporcionalidade direta ocorre quando a va- riação resulta de um processo multiplicativo, e não aditivo. Ou seja, ambas as grandezas são multiplicadas pelo mesmo fator. Deve-se ob- servar que a multiplicação por um fator entre 0 e 1 é equivalente à divisão por um número. Por exemplo, multiplicar por 0,5 é o mesmo que dividir por 2. Multiplicar por 0,25 é o mesmo que dividir por 4. 4. Verifique se houve variação pro- porcional nos seguintes casos. a) Uma empresa resolveu dar um aumen- to de R$ 200,00 para os funcionários. O salário de João passou de R$ 400,00 É importante orientar o aluno a fazer determinadas perguntas para decidir se uma situação envolve ou não proporciona- lidade direta: avaliar se uma grandeza de- pende da outra; verificar se elas variam no mesmo sentido; calcular de quanto é essa variação. Deve-se chamar a atenção para o fato de que, para haver proporcionalidade direta, não basta que as duas grandezas variem no mesmo sentido, isto é, quando uma crescer a outra também crescerá, e vice-versa. É preciso que o aumento de uma delas seja proporcional ao aumento da outra. Os limites da proporcionalidade Na atividade 3, exploraremos os limites da proporcionalidade em diferentes contex- tos. Existem situações em que a variação nu- mérica envolve proporcionalidade, mas que, na realidade, não são viáveis ou possíveis. Já na atividade 4, os alunos devem perceber que a proporcionalidade ocorre em situa- ções que envolvem a multiplicação por um fator constante. 3. Analise as situações a seguir e avalie se elas são possíveis. 16 para R$ 600,00, enquanto o salário de Antônio passou de R$ 1 000,00 para R$ 1 200,00. Houve proporcionalidade no aumento salarial dado aos dois funcioná- rios? Justifique sua resposta. O aumento não foi proporcional, pois embora tenha sido o mesmo em termos absolutos (R$ 200,00), em termos re- lativos ele foi diferente. Os R$ 200,00 de aumento represen- tam metade do salário de João, ao passo que para Antônio esse acréscimo representa apenas um quinto de seu salário. A variação para João foi de 600 ÷ 400 = 1,5 e para Antônio, de 1 200 ÷ 1 000 = 1,2. b) Uma empresa de informática resolveu dar um desconto de 25% no preço de toda a sua linha de produtos. O preço de um computador passou de R$ 1 000,00 para R$ 750,00, e o de uma impressora pas- sou de R$ 400,00 para R$ 300,00. Houve proporcionalidade no desconto dado nos dois produtos? Justifique sua resposta. A redução no preço dos dois produtos foi diretamente pro- porcional aos preços originais. A variação no preço do com- putador foi de 750 ÷ 1 000 = 0,75, e da impressora, de 300 ÷ 400 = = 0,75. Ou seja, ambos foram multiplicados pelo mesmo fator. Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais A atividade 5, tem como objetivo a caracte- rização da diferença entre a proporcionalidade direta e a proporcionalidade inversa. Na pro- porcionalidade direta, as grandezas variam no mesmo sentido, isto é, se uma delas aumenta, a outra também aumentará na mesma proporção. Já na proporcionalidade inversa, as variações ocor- rem em sentidos opostos, isto é, se uma grandeza aumenta, a outra diminui, e vice-versa, de modo que, se uma dobrar, a outra se reduz à metade; se uma triplicar, a outra se reduz em 1 3 , e assim por diante. 5. Analise as situações a seguir e verifique se as grandezas en- volvidas são direta ou inversa- mente proporcionais. a) Um pintor demora, em média, 2 horas para pintar uma parede de 10 m2. Ob- serve a relação entre o tempo gasto, o número de paredes pintadas e o número de pintores representados na tabela a seguir e complete as sentenças. SITUAÇÕES A B C D Número de pintores 1 1 2 2 Número de paredes de 10 m2 1 2 1 2 Tempo gasto (horas) 2 4 1 2 O tempo gasto é inversamenteproporcio- nal ao número de pintores. O tempo gasto é diretamente proporcio- nal ao número de paredes. Se o número de pintores dobrar, o tempo gasto para se pin- tar uma parede será a metade etc. O tempo gasto é inversa- mente proporcional ao número de pintores. Contudo, se o número de paredes dobrar, o tempo necessário para concluir o serviço também vai dobrar. Portanto, o tempo gasto é dire- tamente proporcional ao número de paredes. b) Um automóvel gasta 2 horas para percor- rer 200 km, viajando com velocidade mé- Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 17 Duplex Lewis Carroll, autor de Alice no país das maravilhas, era um matemático que adorava desenvolver quebra-cabeças. Em 1879, ele criou o duplex, um quebra-cabeça que envolvia a transformação de duas palavras com o mesmo número de letras. O desafio consistia em partir de uma palavra e chegar à outra de mesmo número de letras, trocando uma letra por vez e formando, no caminho, palavras conhecidas. Veja o exemplo a seguir. Transformar OURO em LIXO: OURO Etapas MURO Trocar o O pelo M MUDO Trocar o R pelo D MEDO Trocar o U pelo E LEDO Trocar o M pelo L LIDO Trocar o E pelo I LIXO Trocar o D pelo X dia de 100 km/h. Observe a relação entre a velocidade média, a distância percorrida e o tempo gasto na viagem representados na tabela a seguir e complete as sentenças. SITUAÇÕES A B C D Velocidade média (km/h) 100 100 50 50 Distância percorrida 200 400 400 100 Tempo gasto (horas) 2 4 8 2 A distância percorrida é diretamente pro- porcional à velocidade. O tempo gasto é inversamente proporcio- nal à velocidade. Dobrando a velocidade, o automóvel percorrerá o dobro da distância no mesmo tempo. Portanto, a distância percorrida é diretamente proporcional à velocidade. Por outro lado, se a velocidade média for reduzida à metade, o tempo gasto para percorrer a mesma distância dobrará. O tempo gasto é inversamente proporcional à velocidade. Duplex e os problemas de proporcionalidade As atividades a seguir têm como objetivo principal desenvolver a noção de proporciona- lidade direta e inversa de uma forma lúdica e significativa. Ela permite resolver os famosos pro- blemas de regra de três composta de uma forma diferente, sem o uso de uma fórmula algébrica. 18 Duplex, tabelas e proporcionalidade Usando o mesmo princípio, podemos resolver problemas matemáticos por meio de tabelas. Em vez de letras, o início e o fim do encadeamento serão números. Por exemplo: Para fazer uma dúzia de pães, um padeiro gasta, aproximadamente, 3 600 gramas de farinha. Quantos gramas de farinha serão necessários para fazer 18 pães? 1o passo: colocar as informações em uma tabela. Número de pães Farinha (gramas) 12 3 600 18 ? Proponha aos alunos que resolvam alguns duplex para perceberem o mecanismo do jogo. Eles devem notar que em cada etapa apenas uma letra muda, as outras permanecem inalteradas. 6. Agora é sua vez. Resolva os duplex a seguir. TIA POR LISO POETA TUA PAR PISO PONTA MAR PESO PONTO PESA TONTO TANTO LUA MAL PENA TANGO Observação: pode haver outras soluções para os duplex. Portanto, serão necessários 5 400 gramas de farinha para fazer os 18 pães. 2o passo: verificar se as grandezas envolvidas são direta ou inversamente proporcionais. Se forem diretamente proporcionais, então as grandezas devem ser multiplicadas ou divididas pelo mesmo fator. No caso de serem inversamente proporcionais, se uma das grandezas for multiplicada por um número, a outra deverá ser dividida por esse mesmo número e vice-versa. 3o passo: assim como no duplex, o desafio será transformar o número 12 em 18 por meio de operações de multiplicação ou divisão, mantendo a proporcionalidade (direta ou inversa) entre as grandezas envolvidas. Número de pães Farinha (gramas) Transformações 12 3 600 Divisão por 6 2 600 Multiplicação por 9 18 5 400 ÷ 6 9 ÷ 6 9 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 19 7. Na tabela a seguir, registra- ram-se a quantidade vendida e o valor recebido pela venda de um mesmo produto. Contudo, alguns valores não foram preenchidos. Complete a tabela, mantendo a proporcionalidade direta entre a quantidade vendida e o valor recebido. Quantidade vendida Valor recebido . 1 2 10 R$ 30,00 . 1 2 5 . 1 5 . 1 5 R$ 15,00 7 1 R$ 3,00 7 7 2 2 R$ 21,00 10 14 R$ 42,00 10 140 R$ 420,00 Havendo proporcionalidade direta, a ra- zão entre os valores correspondentes das duas grandezas deve ser constante. Portanto, se a quantidade vendida cair pela metade (10 para 5), o valor recebido também cairá pela metade (30 para 15). Da mesma forma, se o valor rece- bido aumenta em 7 vezes, a quantidade vendi- da também será multiplicada por 7. A partir da tabela anterior, pode-se chamar a atenção para o fato de que algo permanece constante na comparação entre as colunas. Peça aos alunos que dividam o valor da segun- da coluna pelo da primeira, em todas as linhas. Eles vão perceber que a relação entre o valor recebido e a quantidade vendida é sempre 3. (30 ÷ 10 = 15 ÷ 5 = 3 ÷ 1 = 21 ÷ 7 = 42 ÷ 14 = 420 ÷ ÷ 140 = 3). Esse é o preço unitário do produto, cujo valor aparece na tabela quando a quantida- de vendida é unitária. Trata-se, na verdade, da ra- zão de proporcionalidade entre as duas grandezas. Dessa forma, podemos afirmar que, se duas grandezas são diretamente proporcio- nais, a razão entre os valores correspondentes permanece constante, sendo chamada de ra- zão de proporcionalidade. Vejamos agora uma situação que envolve grandezas inversamente proporcionais. 8. Um clube dispõe de uma quantia fixa de dinheiro para comprar bolas de futebol para os treinamentos. Com o dinheiro dis- ponível, é possível comprar, de um forne- cedor, 24 bolas a R$ 6,00 cada. O gerente pesquisou os preços de outros fabricantes e anotou as informações na tabela a seguir. Complete-a obedecendo ao princípio de pro- porcionalidade e descubra qual foi o menor preço pesquisado pelo gerente. Preço de uma bola Número de bolas R$ 6,00 24 R$ 12,00 12 R$ 4,00 36 R$ 2,00 72 R$ 24,00 6 R$ 1,00 144 R$ 72,00 2 O menor preço pesquisado foi de R$ 1,00, como mostra a tabela. 20 Nesse caso, os alunos deverão perceber que, quanto maior o preço, menor a quanti- dade de bolas que se pode comprar. Portan to, as grandezas são inversamente proporcionais, e o que se mantém constante não é a razão, mas o produto entre elas: 6 24 = 12 12 = 4 36 = = 2 72 = 24 6 = 1 144 = 72 2 = 144 Ou seja, duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto do valor de uma delas pelo correspondente da outra for constante. No problema em questão, esse produto nada mais é do que a quantia de di- nheiro disponível para comprar as bolas. O próximo exemplo envolve a variação de três grandezas distintas que possuem uma re- lação de interdependência. É importante que os alunos se questionem sobre o tipo de pro- porcionalidade (direta ou inversa) envolvida entre cada par de grandezas. 9. Para produzir 1 000 m de um cabo telefô- nico, 24 operários trabalham regularmente durante 6 dias. Quantos dias serão neces- sários para produzir 1 250 m de cabo com 10 operários trabalhando? a) Indique se as grandezas, duas a duas, mantidas as demais constantes, são di- reta ou inversa mente proporcionais. Fixando-se o tempo de trabalho, a pro- dução de cabos é diretamente proporcio nal ao número de operários. Fixando-se a quantidade de cabos, o tempo de produção é inversamente pro- porcional ao número de operários. Fixando-se o número de operários, a quantidade de cabos é diretamente propor- cional ao tempo de produção. b) Preencha a tabela a seguir mantendo a proporcionalidade entre as linhas. Produção de cabos (m) Número de operários Tempo de produção (dias) 1 00024 6 2 000 24 12 2 000 48 6 500 12 6 500 24 3 500 6 12 250 3 12 125 3 6 1 250 30 6 1 250 10 18 Professor, comente com os alunos que, em cada linha, há uma grandeza que permanece constante, enquanto as demais variam, de for- ma direta ou inversamente proporcional. Na segunda linha, considerando o mesmo núme- ro de operários, para se produzir o dobro da metragem de cabos será necessário o dobro do tempo, uma vez que se trata de grandezas diretamente proporcionais. Na atividade anterior, alguns passos para chegar à resposta do problema já es- tavam preenchidos na tabela. Ou seja, havia um caminho que levava da situação inicial (produção de 1 000 metros de cabos, com 24 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 21 operários, em 6 dias) para a situação final desejada (saber quantos dias seriam neces- sários para produzir 1 250 metros de cabo com 10 operários trabalhando). Na próxima atividade, o aluno deverá construir o seu próprio caminho, partindo de uma situação inicial e chegando à resposta da atividade. Da mesma forma que no duplex, cada alu- no poderá construir um caminho diferente, desde que mantidas as relações de propor- cionalidade entre as grandezas. 10. Para produzir 180 pias de gra- nito, 15 pes soas trabalham du- rante 12 dias em uma jornada de 10 horas de trabalho diário. Procurando adequar sua empresa à nova legislação traba- lhista, o diretor reduziu a jornada de tra- balho de 10 para 8 horas ao dia e contra- tou mais funcionários. Ao mesmo tempo, a demanda por pias aumentou, e será ne- cessário aumentar a produção. Nesse novo contexto, quantos dias serão neces- sários para produzir 540 pias de granito, contando com 25 pessoas trabalhando 8 horas por dia? a) Relacione, duas a duas, as grandezas, mantidas as demais constantes, e indi- que o tipo de proporcionalidade envol- vida (direta ou inversa). A produção de pias é diretamente proporcional ao número de funcionários. O tempo de produção é inversamente proporcional ao nú- mero de funcionários. O tempo de produção é diretamente proporcional ao número de pias a serem produzidas. A produção de pias é diretamente proporcional ao número de horas trabalhadas por dia. O número de funcionários é inversamente proporcional ao número de horas trabalhadas. O tempo de produção é inversamente proporcional ao nú- mero de horas trabalhadas. b) Preencha a tabela a seguir e encontre a solução do problema. Um possível caminho é o seguinte: Produção de pias Número de funcionários Tempo de produção (dias) Número de horas trabalhadas por dia 180 15 12 10 180 15 60 2 180 15 15 8 180 5 45 8 180 25 9 8 540 25 27 8 Serão necessários 27 dias de produção. 22 Considerações sobre a avaliação Ao final dessas atividades espera-se que os alunos sejam capazes de reconhecer situações que envolvam algum tipo de proporcionalida- de direta e inversa. Eles devem ser capazes de quantificar a variação das grandezas e verificar se existe ou não proporcionalidade direta entre elas. Do mesmo modo, espera-se que eles con- sigam distinguir as situações em que as grande- zas variam de modo diretamente proporcional daquelas em que variam entre si de maneira inversamente proporcional. Além disso, que saibam resolver problemas envolvendo duas ou mais grandezas, direta ou inversamen - te proporcionais. A avaliação da aprendizagem dos alunos com relação a esses tópicos poderá ser feita a partir da aplicação de atividades similares às propostas ao longo da Situação de Aprendiza- gem. A organização da resolução e a capaci- dade de identificar as informações pertinentes, organizá-las em tabelas, calcular as variações ocorridas, classificá-las quanto à sua natureza e realizar os cálculos obedecendo ao princípio de proporcionalidade são aspectos que devem ser trabalhados pelo professor e, consequen- temente, avaliados por meio de um ou mais instrumentos: provas, tarefas de casa, traba- lhos em dupla, discussões coletivas etc. Cabe ao professor a escolha do instrumento de ava- liação mais adequado a ser utilizado em fun- ção das características de seus alunos e do seu planejamento efetivo de aulas. É importante, também, que o professor considere não apenas a aquisição do concei- to matemático estudado − no caso, a pro- porcionalidade −, mas todas as dimensões envolvidas na resolução dessas atividades, como a competência leitora, que é fundamen- tal para a interpretação dos enunciados das situações-problema. Ou, ainda, a capacidade de expressão, seja na língua materna, seja na matemática usada para dar as respostas dos problemas. Além disso, deve-se valorizar tam- bém a capacidade de argumentação, envolvida na escolha de determinado caminho na reso- lução de um problema. Conteúdos e temas: razão; proporcionalidade; escala; porcentagem; probabilidade. Competências e habilidades: compreender o conceito de razão na Matemática; saber calcular a razão entre duas grandezas de mesma natureza ou de natureza distinta; conhecer os prin- cipais tipos de razão: escala, porcentagem, velocidade, probabilidade etc.; realizar medidas com precisão. Sugestão de estratégias: exploração, resolução e discussão de situações-problema envolvendo os diferentes tipos de razão; atividade prática de investigação das razões e proporções no corpo humano. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 RAZÃO E PROPORÇÃO Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 23 A Situação de Aprendizagem 2 trata de um conceito fundamental na Matemática: a razão. Ele está presente nos mais diversos contextos, desde o trabalho com medidas até o estudo de funções e progressões numéricas, passando pela semelhança geométrica, tri- gonometria etc. Optamos por formalizar o conceito de razão depois do estudo das va- riações proporcionais entre grandezas, pois, dessa forma, os alunos já estariam inseridos no contexto da comparação entre grandezas. A ideia da existência de um fator constante que relaciona duas grandezas, chamado de razão de proporcionalidade, foi problematiza- da na Situação de Aprendizagem 1. Agora, vamos ampliar o conceito de razão para ou- tros contextos. Inicialmente, consideramos importante partir do significado que a palavra “razão” assume no senso comum, ou seja, do enten- dimento que os alunos têm dessa palavra, para depois introduzir o conceito específico que ela assume na Matemática. Em seguida, propomos uma discussão sobre as formas de representação de uma razão, desde a forma fracionária até a porcentagem. São apresen- tadas também algumas situações-problema envolvendo os tipos mais comuns de razão, como a escala usada em mapas, a velocidade de um objeto, a densidade, o PIB per capi- ta etc. A probabilidade é apresentada como uma razão específica que expressa a relação entre o número de possibilidades de ocor- rência de um evento particular e o número total de possibilidades de um espaço amos- tral determinado. Por fim, propomos a realização de uma ati- vidade prática envolvendo as razões presentes no corpo humano. Partindo de um texto e de uma obra de Leonardo da Vinci, conhecida como Homem vitruviano, os alunos devem em- pregar o conceito de razão para averiguar se as proporções do desenho correspondem às ra- zões citadas no texto. Os alunos devem realizar medidas do desenho de Da Vinci e calcular as razões entre as partes do corpo humano. Essa atividade mobiliza uma série de competências dos alunos: a competência leitora e escritora para interpretar um texto e traduzi-lo em lin- guagem matemática, a competência de realizar medidas com precisão, a capacidade de compa- rar medidas, razões e médias, entre outras. É importante lembrar que as atividades propostas a seguir constituem apenas um referencial para que o professor possa dire- cionar as atividades em sala de aula. Dessa forma, elas são apenas ilustrativas, podendo ser reduzidas, ampliadas e modificadaspelo professor de acordo com as características de cada grupo/classe. Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 O conceito de razão O conceito de razão está intimamente liga- do ao de proporção. Na atividade 7 da Situa- ção de Aprendizagem anterior, por exemplo, chamamos a atenção para o fato de que havia um valor constante que relacionava as duas grandezas envolvidas. Em qualquer uma das 24 linhas da tabela, ao dividirmos o valor recebi- do pela quantidade vendida, obtinha-se sem- pre o mesmo resultado, o número 3. Naquele contexto, esse valor significava o preço unitá- rio do produto vendido. Em termos matemá- ticos, tal valor corresponde à razão de propor- cionalidade entre as grandezas envolvidas. Esse conceito poderia ter sido introduzido antes do estudo das variações proporcionais. Contudo, achamos que seria mais significativo para o aluno compreender o conceito de razão a partir das situações de proporcionalidade estu- dadas, como o número que expressa a relação de proporcionalidade entre duas grandezas. Duas grandezas são diretamente proporcionais quan- do a razão entre os valores de uma e os valores correspondentes da outra é constante. Esse va- lor constante é a razão de proporcionalidade. A razão pode não estar diretamente liga- da a uma situação de proporcionalidade. Ela pode simplesmente representar a relação entre duas grandezas em determinado momento ou circunstância. Por exemplo, o número de gols por partida de um jogador em um determina- do campeonato ou a relação entre o número de meninos e meninas em uma classe. A razão é uma forma de comparação entre os valores de duas grandezas de mesma natureza ou de naturezas diferentes. Representação de uma razão Um aspecto que pode ser explorado com os alunos são as diferentes formas de re- presentação de uma razão. Sendo a razão a divisão indicada entre dois números, ela pode ser escrita de diversas maneiras. Quando o resultado da divisão for exato, a razão poderá ser escrita como um número inteiro. Por exemplo: uma impressora impri- me 300 páginas em 10 minutos. Portanto, a razão páginas por minuto é igual a 30. Quando o resultado da divisão não for exato, a razão poderá ser escrita na forma decimal ou fracionária. Por exemplo: um ter- reno de 35 m2 custa R$ 12 000,00. Portanto, a razão reais por m2 é de, aproximadamen- te, 342,85; para fazer determinado refresco, deve-se utilizar 1 parte de suco concentrado para 5 partes de água. Tal razão pode ser escrita na forma de fração: 1 5 . Além da notação fracionária, é muito co- mum o uso da língua materna para expressar a razão entre duas grandezas. Por exemplo: “1 em cada 10 brasileiros gosta de jogar vô- lei”, em vez de usar a fração 1 10 . Outra forma muito usual de expressar uma razão é por meio da porcentagem. A por- centagem é uma razão particular em que se compara certo número a 100. Ela é útil para expressar razões que, de outra forma, seriam de difícil compreensão na forma decimal ou fracionária. Consideremos, por exemplo, uma pesqui- sa feita sobre os hábitos de prática esportiva em uma cidade. Consultando-se 17 425 pes- soas, constatou-se que 3 721 faziam exercícios Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 25 físicos regularmente. A partir dos números apresentados, é difícil fazer uma ideia exata da proporção de pessoas que praticam exer- cícios físicos regularmente, seja na forma fracionária 3 721 17 425 , seja na decimal (0,214). Contudo, se tal razão fosse apresentada como 21,4%, teríamos uma noção mais cla- ra dessa proporção: em cada 100 habitantes, aproximadamente 21 fazem exercícios físicos regularmente. A porcentagem facilita não só a leitura, mas também a comparação entre razões. Su- ponha que um aluno tenha acertado 12 ques- tões de 20 em uma prova, e 17 questões de 26 em outra. O uso da porcentagem permite comparar facilmente a razão de acertos em cada prova: na 1a prova, a razão de acertos foi de 60%, e na 2a, de 65,4%. Trata-se de uma comparação entre frações de mesmo de- nominador (100), ou seja, uma comparação entre equivalentes. Essa facilidade para leitura e compara- ção faz da porcentagem uma forma bas- tante utilizada para representar razões que expressem uma relação entre a parte e o todo. Assim, costumamos ouvir expressões do tipo: a porcentagem de analfabetos em uma população; a porcentagem de acertos em um teste; a porcentagem de meninos em uma escola etc. Para poder expressar uma razão como porcentagem, precisamos capacitar o aluno a transformar números escritos na forma decimal em porcentagens. A porcentagem é uma for- ma de representar frações cujo denomina- dor é 100. Escrevemos 5% para representar a fração 5 100 , e 40% para representar 40 100 . Em notação decimal, a centésima parte da unidade é representada na casa dos centési- mos. A leitura do número 0,02 (dois centési- mos) remete à sua representação fracionária, 2 100 , e, consequentemente, à sua forma percentual: 2%. Nas atividades a seguir, apresentamos alguns questionamentos nos quais podemos verificar as concepções es- pontâneas do educando a respeito do con- ceito de razão. 1. O que você entende por razão? Resposta pessoal. Muitas interpretações deverão surgir, uma vez que esse conceito está extre- mamente disseminado em nossa língua e assume inú- meros significados de acordo com os contextos em que aparece. Neste primeiro momento, pode ser que o con- ceito matemático de razão não apareça nas respostas dos alunos. 2. Procure no dicionário alguns significados para a palavra “razão”. Resposta pessoal. Professor, é válido comentar com os alu- nos sobre os variados sentidos do verbete razão, referentes a diferentes temas (exemplo: Filosofia, Matemática etc.). Por exemplo, o dicionário Houaiss da Língua Portuguesa traz a seguinte definição: Razão. S.f. 1. faculdade de raciocinar, apreender, compreender, ponderar, julgar; a inteligência; 2. raciocínio que conduz à indução ou dedução de algo; 3. capacidade de avaliar com correção, com discernimento; 26 bom senso, juízo; 4. causa origem; 5. argumento, motivo; 6. a lei moral, justiça. 3. Qual é o significado da palavra “razão” em Matemática? Deve-se enfatizar o fato de que a palavra “razão” adquire um significado específico no âmbito da Matemática. Ela representa a relação existente entre dois números a e b, apresentada na forma b a , com b ≠ 0. Assim, se a razão b a é igual a c, isso significa que b = c · a. É importante diferen- ciar o conceito de razão do de fração. A fração é uma forma de expressar a razão entre dois números inteiros. Assim, toda fração é também uma razão, mas nem toda razão pode ser expressa como uma fração. É bom lembrar que os números irracionais não podem ser escritos na forma de fração, e o número , que é irracional, representa a razão entre o com- primento da circunferência e o diâmetro desta. 4. Calcule os resultados das razões a seguir e expresse-os em termos de porcentagem: a) razão 3 : 150 A razão 3 : 150 tem como resultado 0,02 (2 centésimos). Em porcentagem, a razão é de 2%. b) razão 24 : 40 A razão 24 : 40 tem como resultado 0,6 (6 décimos), que equi- vale a 0,60 (60 centésimos), ou seja, 60%. c) razão 4 : 50 A razão 4 : 50 tem como resultado 0,08 (8 centésimos), ou seja, 8%. d) razão 9 : 125 A razão 9 : 125 tem como resultado 0,072 (7 centésimos e 2 milésimos), ou seja, 7,2%. e) razão 165 : 300 A razão 165 : 300 tem como resultado 0,55 (55 centésimos), ou seja, 55%. Razões conhecidas Algumas razões recebem um nome especial em virtude de sua ampla utilização em algu- mas áreas do conhecimento, como escalas, renda per capita, velocidade média, densida- de, entre outras. As atividades a seguir explo- ram o cálculo de algumas dessas razões. Escala 5. O que é escala? Explique por meio de um exemplo. De modogeral, escala é a razão entre a medida de um ob- jeto representado em um desenho e a medida correspon- dente ao objeto real. É importante que se destaque que a escala é um tipo especial de razão matemática. No caso dos mapas, por exemplo, a escala é a razão entre a medida de uma região representada em um desenho e a medida correspondente à região real. Geralmente, um mapa traz essa informação para facilitar a transposição da medida do desenho para a medida real do objeto. Um mapa construí- do na escala 1 : 100 000 indica que cada unidade de com- primento no desenho é, na realidade, cem mil vezes maior. 6. O mapa a seguir foi feito na escala 1 : 30 000 000 (lê-se “um para trinta mi- lhões”). Essa notação representa a razão de proporcionalidade entre o desenho e o real, ou seja, cada unidade no desenho é, na reali- dade, 30 milhões de vezes maior. Utilizando uma régua e a escala fornecida, determine: Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 27 OCE ANO AT LÂ NT IC O Belo Horizonte Brasília São Paulo Rio de Janeiro Florianópolis SP MG GO RJ ES SC PR N S LO 1 : 30 000 000 Mapa ilustrativo. Elaborado especialmente para o São Paulo faz escola. a) a distância real entre Brasília e Rio de Janeiro; A distância entre Brasília e Rio de Janeiro no mapa é de aproximadamente 4 cm. Como cada centímetro no desenho corresponde a 30 milhões de centímetros na realidade, então 4 cm corresponderão a 120 milhões de centímetros. Convertendo para quilômetros, obtemos o resultado de 1 200 km, que é muito próximo ao valor real (1 148 km). b) a distância real entre Florianópolis e Brasília. A distância entre Florianópolis e Brasília no mapa é de aproximadamente 5,5 cm. Como cada centímetro no desenho corresponde a 30 milhões de centímetros na realidade, então 5,5 cm corresponderão a 165 milhões de centímetros. Convertendo para quilômetros, obtemos o resultado de 1 650 km, que é muito próximo ao valor real (1 673 km). Professor, você pode discutir com os alunos o fato de que as diferenças observa- das se devem, provavelmente, a aproxima- ções e erros de medida, ou à imprecisão do desenho. Outro aspecto a ser considerado na leitura de mapas de regiões da Terra é que eles retratam a transposição de uma su- perfície esférica para uma superfície plana. Assim, algum tipo de imprecisão é inerente a qualquer mapa da superfície terrestre, de- pendendo do tipo de projeção usada para transpor as informações da esfera para o plano. Duas são as possibilidades: se qui- sermos preservar os ângulos, as distâncias são alteradas; se quisermos preservar as distâncias, os ângulos que são alterados. Assim, para os pilotos de aviões e na- vios, o importante é preservar o ângulo, perdendo-se a precisão nas medidas de distância. Em alguns tipos de projeção, a forma é preservada localmente, faci- litando a interpretação das distâncias em escala. © C on ex ão E di to ria l 28 7. Com base no texto apresentado na seção Leitura e análise de texto, resolva as seguintes questões. a) Qual foi a velocidade média de um automóvel que percorreu 530 km em 6 horas? A velocidade média é a razão entre o deslocamento − de 530 km − e o intervalo de tempo para efetuá-lo, ou seja, 6 horas. Portanto, a velocidade média nesse caso é de aproxi- madamente 88 km/h. b) Qual é a pulsação (batimentos por mi- nuto) de uma pessoa cujo coração bate 12 vezes a cada 10 segundos? Se o coração dessa pessoa bate 12 vezes a cada 10 segundos, em 1 segundo ele baterá 1,2 vez e, em 60 segundos, 72 vezes. Portanto, a pulsação é de 72 batimentos por minuto. c) Qual é a velocidade de transmissão de dados na internet, em kbps (quilobytes por segundo), de um computador que leva 30 segundos para baixar um arqui- vo de 12 megabytes? (Dica: 1 megabyte = 1 000 quilobytes.) Como 12 megabytes é igual a 12 000 quilobytes, então, a ve- locidade de transmissão será igual a 12 000 ÷ 30 = 400 kbps, ou seja, 400 quilobytes por segundo. 8. Pesquise o significado das expressões densidade de um material e densidade demográfica. Densidade de um material é a quantidade de massa existente em cada unidade de seu volume. Ou seja, é a razão entre a massa e o volume de um corpo. A unidade mais usada para expressar a densidade de um material é o grama por centímetro cúbico (g/cm3). Por exemplo, a densidade da água é de 1 grama por centí- metro cúbico (g/cm3). Já a densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes que vivem em uma região e sua área. Velocidade Em Física, a velocidade é a medida da rapidez com que um objeto altera a sua posição. Em nosso cotidiano, a palavra “velocidade” geralmente significa velocidade média, que é a razão entre um deslocamento e o intervalo de tempo gasto para efetuar esse deslocamento. Dessa forma, quando nos referimos à velocidade de um carro (80 km/h), ou de um corredor (4 m/s), estamos nos referindo à sua velocidade média. O conceito de velocidade pode ser estendido para outras situações análogas. Por exemplo: a pulsação ou frequência de batimentos cardíacos exprime a rapidez com que o coração bate, ou seja, o número de batimentos por minuto. O normal em uma pessoa é ter uma pulsação entre 60 e 100 batimentos por minuto. Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 29 a Fundação Seade. Disponível em: <http://www.seade.gov.br/produtos/projpop/index.php>. Acesso em: 20 nov. 2013. 9. Com base na pesquisa ante- rior, resolva as questões a seguir. a) Sabendo que 300 g de uma substância ocupam um volume de 450 cm3, deter- mine a densidade dessa substância. A densidade dessa substância é de aproximadamente 0,67 g/cm3. b) A população estimada do Estado de São Paulo, em 1o de julho do ano de 2013, era de, aproximadamentea, 42 304 694 habitantes. Sabendo que a área do Esta- do é de, aproximadamente, 248 209 km2, calcule sua densidade demográfica. A densidade demográfica do Estado de São Paulo em 2013 era de, aproximadamente, 170 habitantes por quilômetro quadrado. PIB per capita É a razão entre o valor de todos os bens e serviços produzidos em um país em 1 ano e o total da população. 10. Resolva as questões a seguir. a) O PIB (Produto Interno Bruto) brasileiro em 2012, medido em dólares, foi de aproxi- madamente US$ 2,253 trilhões para uma população estimada em 198,7 milhões de pessoas. Determine o PIB per capita brasi- leiro nesse ano. O PIB per capita brasileiro era de aproximadamente US$ 11 338,70 por habitante. b) O PIB da Índia em 2006 foi de US$ 903 bilhões para uma população estimada em 1 bilhão e 150 milhões de habitantes. Determine o PIB per capita da Índia em 2006. O PIB per capita indiano em 2006 era de aproximadamente US$ 785 por habitante. 11. Seu professor vai propor que você dis- cuta com seus colegas se o resultado do PIB per capita brasileiro obtido na atividade anterior representa, de fato, a condição econômica da população bra- sileira. Escreva um parágrafo sobre suas conclusões. Resposta pessoal. Observação: professor, você poderá orientar um de- bate sobre a questão, trazendo algumas informações so- bre o significado dessa razão matemática. Comente que a medida do PIB per capita representa uma média, não retratando de fato a condição econômica da maioria da população de um país. Certamente não é real o fato de que cada brasileiro participe da produção nacional anual com o equivalente a US$ 11 338,70, ou, expresso em reais de 2012, o equivalente a um valor médio de R$ 24 730,30. Isso se deve ao fato de que existe uma desigualdade de renda no país, onde uma minoria da população concen- tra a maior parte da renda, e essa minoria responde por uma parcela proporcionalmente bem menor. Existem ou- tros parâmetros para avaliar a condição socioeconômica de uma população, como o Índice de Desenvolvimento Humano (IDH), a taxa de analfabetismo, a expectativa devida etc. 30 Probabilidade A probabilidade é um tipo especial de razão, na qual se compara o número de pos- sibilidades de ocorrência de um evento particular com o número total de possibilidades relacionadas a esse evento. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, a probabilidade de obter a face “cara” é de uma em duas, ou seja, uma chance em duas, ou 1 2 , ou, ainda, 50%. É a razão entre o número de possibilidades de obter “cara” (1) e o número total de possibilidades, cara ou coroa (2). No lançamento de um dado numerado de 1 a 6, a probabilidade de obter o número 5 é de uma em seis, ou 1 6 , ou 16,7%. b) Jogando-se ao acaso duas moedas, qual é a probabilidade de se obter duas coroas? O espaço amostral do lançamento de duas moedas é: cara- -cara; cara-coroa; coroa-cara; coroa-coroa (4 possibilidades). A probabilidade de obter duas coroas é de 1 em 4, ou 0,25, ou 25%. c) Uma urna contém 7 bolas, sendo 3 ver- melhas e 4 pretas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual é a probabilidade de que ela seja vermelha? E de que ela seja preta? A probabilidade de retirar uma bola vermelha é de 3 em 7, ou 0,429, ou 42,9%. A probabilidade de retirar uma bola preta é de 4 em 7, ou 0,571 ou 57,1%. d) Um baralho contém 52 cartas, sendo 13 cartas de cada naipe (copas, ouros, espa das e paus). Retirando-se uma carta ao acaso, qual é a probabilidade de se obter uma carta de copas? E de se obter um valete? A probabilidade de retirar uma carta de copas é de 13 em 52, ou 0,25, ou 25%. Para determinar a probabilidade de ocorrên- cia de determinado evento, devemos quantificar o número de casos em que esse evento ocorre e o número total de casos possíveis, chamado de espaço amostral. A razão entre esses valores é o que chamamos de probabilidade. O resultado dessa razão pode ser expresso como número de- cimal ou como porcentagem. 12. Com base nas informações apresentadas na seção Leitura e análise de texto, resolva as questões a seguir. a) No lançamento de um dado numerado de 1 a 6, qual é a probabilidade de se obter um número par? E um número maior que 4? O número total de possibilidades no lançamento de um dado é 6. O número de ocorrências de número par são 3 (2, 4 ou 6). Portanto, a probabilidade de obter um nú mero par é de 3 em 6, ou 0,5, ou 50%. Já o número de ocorrências de números maiores que 4 são 2 (5 ou 6). Portanto, a probabilidade desse evento é de 2 em 6, ou 0,333..., ou aproximadamente 33%. Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 31 Existem 4 valetes no baralho, um de cada naipe. Portanto, a pro- babilidade de obter um valete é de 4 em 52, ou 0,077, ou 7,7%. Muitas outras razões são utilizadas e fre- quentam os jornais e as revistas semanais, embora não recebam nenhum nome especial. A relação candidato/vaga nos concursos vesti- bulares, a proporção de médicos por habitan- tes, a taxa de natalidade etc. Na atividade a seguir são apresentadas al- gumas situações para que o aluno identifique a existência de proporcionalidade e calcule o valor da razão. Para isso, é necessário que ele saiba verificar se as grandezas variaram pro- porcionalmente e, em seguida, calcular o quo- ciente entre uma grandeza e a outra. 13. Para cada situação, preencha a tabela e calcule a razão entre as grandezas envolvidas. Em seguida, verifique se há proporcionalidade entre elas. a) Se 5 bolas de futebol custam R$ 100,00, então 7 bolas custarão R$ 140,00. Número de bolas Valor pago em reais Razão (preço por bola) 5 100 100 ÷ 5 = 20 7 140 140 ÷ 7 = 20 A razão obtida foi de R$ 20,00 por bola. Há proporcionali- dade direta, pois a razão de proporcionalidade permane- ceu constante. b) Um automóvel percorreu 120 km em 1 hora e meia. Em 2 horas, ele terá per- corrido 160 km. Distância percorrida em km Tempo em horas Razão (velocidade) 120 1,5 120 ÷ 1,5 = 80 160 2 160 ÷ 2 = 80 A velocidade média nos dois períodos foi de 80 km/h. Há proporcionalidade direta, pois a razão de proporcionalidade permaneceu constante. c) Um supermercado vende 4 rolos de pa- pel higiênico por R$ 3,00 e 12 rolos por R$ 8,00. Número de rolos Valor pago em reais Razão (preço por rolo) 4 3 3 ÷ 4 = 0,75 12 8 8 ÷ 12 = 0,67 Nesse caso, não há proporcionalidade, pois a razão obtida em cada situação foi diferente: R$ 0,75 por rolo para 4 rolos, e R$ 0,67 por rolo para 12 rolos. d) Em uma receita de milk-shake reco- menda-se colocar 3 bolas de sorvete de chocolate para 2 xícaras e meia de leite (1 xícara equivale a 250 ml). Para 1 litro de leite, devemos colocar 7 bolas de sorvete. Bolas de sorvete Número de xícaras de leite Razão (bolas por xícara) 3 2,5 3 ÷ 2,5 = 1,2 7 4 7 ÷ 4 = 1,75 Nesse item, precisamos fazer a conversão para uma unidade de volume comum. Como 1 xícara equivale a 250 ml, então: 1 litro = 1 000 ml = 4 250 ml = 4 xícaras. Não há proporcio- nalidade no aumento da receita, pois a razão aumentou de 1,2 bola por xícara para 1,75 bola por xícara. 32 e) Em determinado dia, US$ 20,00 eram vendidos por R$ 36,00 e US$ 50,00 por R$ 90,00. Quantidade de dólares (US$) Valor em reais (R$) Razão (reais por dólar) 20 36 36 ÷ 20 = 1,80 50 90 90 ÷ 50 = 1,80 Sim, há proporcionalidade, pois o preço do dólar foi o mes- mo nas duas situações, ou seja, R$ 1,80 por dólar. Na atividade a seguir, os alunos realizarão medidas e cálculos de razões no corpo huma- no a partir das razões indicadas por Leonardo da Vinci no Homem vitruviano. Proponha inicialmente a leitura do texto a seguir e, na sequência, peça aos alunos que completem a tabela que indica as diferentes razões apre- sentadas no texto. O Homem vitruviano e as razões no corpo humano Leonardo da Vinci foi uma das figuras mais criativas de seu tempo. Ele viveu na Itália, no século XV, e criou algumas das obras mais famosas de todos os tempos, como a Mona Lisa, A última ceia e A virgem das rochas. Leonardo realizou estudos nas mais diversas áreas: pintura, arquitetura, engenharia, anatomia, entre outras. Ele conseguiu, como ninguém, aproximar a ciência da arte. Leonardo também produziu um estudo sobre as proporções do corpo humano, baseado no tratado feito pelo arquiteto romano Marcus Vitruvius, que, no século I a.C. havia descrito as proporções ideais do corpo humano, segundo um padrão de harmonia matemática. Assim como muitos outros artistas, Leonardo interessou-se pelo trabalho de Vitruvius e registrou-o em um de seus cadernos de anotação. No meio dessas anotações, desenhou a figura de um homem dentro de um círculo e de um quadrado. Essa figura, chamada de Homem vitruviano, acabou se tornando um de seus trabalhos mais conhecidos, simbolizando o espírito renascentista. O desenho de Da Vinci evidenciou a retomada e a valorização de princípios da tradição greco-latina, tais como beleza, harmonia, equilíbrio e proporção. Essa obra atualmente faz parte da coleção das Gallerie dell’Accademia (Galerias da Academia), em Veneza, na Itália. Reproduzimos, a seguir, alguns trechos do texto de Da Vinci que acompanham a gravura do Homem vitruviano. “[...] O comprimento dos braços abertos de um homem é igual à sua altura [...]; desde o fundo do queixo até ao topo da cabeça é um oitavo da altura do homem [...]; a maior largura dos ombros contém em si própria a quarta parte do homem. [...] Desde o cotovelo até o ângulo da axila é um oitavo da altura do homem. A mão inteira será um décimo da altura do homem. [...] O pé é um sétimo do homem [...]; a distância entre o fundo do queixo e o nariz, e entre as raízes dos cabelos e as sobrancelhas é a mesma, e é, como a orelha, um terço da cara.” Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/davinci/matematico.htm>. Acesso em: 20 nov. 2013. Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 33 © B et tm an n/ C or bi s/ L at in st oc k 34 Cálculo das razões 14. Com base no texto apresenta- do na seção Leiturae análise de texto, preencha a tabela a seguir com as razões entre as partes do corpo huma- no descritas no texto de Leonardo da Vinci. Nesta atividade, o aluno deverá usar a competência leitora para interpretar corretamente as frases do texto original. Por exemplo, a frase “a maior largura dos ombros contém em si própria a quarta parte do homem” significa que a razão entre a largura dos ombros e a altura do homem é de 1 para 4, ou seja, 1 4 = 0,25 = 25%. Razão entre Fração Decimal % Longitude dos braços e altura 1 1 1,0 100 Altura da cabeça e altura 1 8 0,125 12,5 Largura dos ombros e altura 1 4 0,25 25 Distância do cotovelo às axilas e altura 1 8 0,125 12,5 Comprimento da mão e altura 1 10 0,1 10 Comprimento do pé e altura 1 7 0,143 14,3 Distância do queixo ao nariz e face 1 3 0,333... 33,3 Distância da sobrancelha à raiz dos cabelos e face 1 3 0,333... 33,3 Na atividade 15, os alunos deverão reali- zar as medidas das partes do corpo humano descritas no texto a partir do desenho do Homem vitruviano, reproduzido anterior- mente. O professor deve orientar os alunos a usarem corretamente a régua para fazer medidas precisas. As razões no desenho de Leonardo da Vinci 15. Agora, vamos verificar se as razões des- critas por Leonardo da Vinci no texto an- terior realmente correspondem ao corpo retratado em seu desenho. Para isso, você deverá medir o comprimento de cada par- te do corpo do Homem vitruviano, usando uma régua milimetrada. Em seguida, cal- cule as razões entre as medidas obtidas e a altura do homem ou a altura da face. Re- gistre os resultados obtidos na tabela, em porcentagem. A seguir, apresentamos uma tabela preenchida com as medi- das aproximadas e o cálculo da razão das partes do corpo em relação à altura do homem e à altura da face: Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 35 Partes do corpo Medidas em cm Em relação à altura Em relação à face Altura do homem 10,8 – – Longitude dos braços 10,8 1,001 ou 100,1% – Altura da cabeça 1,3 0,121 ou 12,1% – Largura dos ombros 2,7 0,252 ou 25,2% Do cotovelo às axilas 1,3 0,121 ou 12,1% Comprimento da mão 1,1 0,102 ou 10,2% Comprimento do pé 1,5 0,139 ou 13,9% Altura da face (do queixo à raiz dos cabelos) 1,0 – – Do queixo ao nariz 0,3 – 0,30 ou 30% Da sobrancelha à raiz dos cabelos 0,3 – 0,30 ou 30% Observação: valores aproximados. 16. Compare as razões obtidas por meio das medidas (atividade 15) com aquelas descritas no texto de Da Vinci (atividade 14). Os resultados fica- ram próximos? Houve diferenças? O que poderia explicar as diferenças observadas (se houver)? As medidas sempre estão sujeitas a imprecisões, assim como a reprodução da imagem pode não estar na proporção do desenho original. Talvez seja necessário orientar os alunos na identificação de determinadas distâncias entre partes do corpo, como entre o cotovelo e as axilas. O desenho traz marcas que ajudam a perceber o início e o fim de cada membro. É importante diferenciar o tamanho da cabeça do tamanho da face. Se as medidas forem realizadas com precisão, é provável que as razões obtidas pelos alunos fiquem muito próximas das descritas na atividade 14. Considerações sobre a avaliação No final deste percurso de aprendi- zagem, a expectativa é de que os alunos compreendam o conceito de razão na Ma- temática e saibam reconhecê-lo, calculá-lo e problematizá-lo em diversas situações e problemas. Acreditamos que os exemplos e as situações-problema apresentados pos- sam contribuir para um aprendizado signi- ficativo e contextualizado do conceito de razão. A atividade 14, além de despertar a curiosidade dos alunos em relação ao pró- prio corpo, envolve uma série de compe- tências e habilidades específicas, tais como: leitura e interpretação de texto; observação de imagem; cálculo de razões e médias; rea- lização de medidas. 36 Do mesmo modo que na Situação de Aprendizagem anterior, o professor poderá es- colher os instrumentos de avaliação mais apro- priados de acordo com as características do grupo e de seus objetivos em relação aos alu- nos: prova, trabalho em grupo, tarefas de casa etc. As atividades propostas nesta Situação de Aprendizagem podem servir de referência para a elaboração de questões sobre esse conteúdo. Espera-se que, ao final desta Situação de Aprendizagem, o aluno seja capaz de com- preender o conceito de razão na Matemática, sabendo aplicá-lo e reconhecê-lo em diferen- tes situações. Sendo assim, as expectativas de aprendizagem para essa etapa são: saber calcular a razão entre duas grande- zas de mesma natureza ou de naturezas distintas; conhecer, interpretar e operar os principais tipos de razão: a escala em mapas e plantas, a porcentagem como relação parte/todo, a velocidade, a probabilidade etc. Conteúdos e temas: proporcionalidade; razão; Geometria. Competências e habilidades: identificar situações em que existe ampliação/redução propor- cional em figuras; conhecer as principais razões constantes presentes em figuras simples: quadrados, triângulos e circunferências. Sugestão de estratégias: análise e resolução de situações-problema; discussão coletiva sobre as soluções obtidas pelos alunos em cada situação-problema. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 RAZÕES NA GEOMETRIA Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 A Geometria pode ser considerada uma das áreas da Matemática em que a noção de proporcionalidade mais se destaca. Observan- do a ampliação e a redução de algumas figu- ras geométricas, é possível notar que algumas proporções se mantêm. Em um quadrado, por exemplo, é evidente que o aumento de um lado implica um aumento proporcional dos demais lados. O mesmo ocorre com o triân- gulo equilátero. O objetivo principal desta Si- tuação de Aprendizagem é explorar as razões constantes presentes nas figuras geométricas. Atividades que envolvem ampliação ou re- dução de figuras constituem interessantes es- tratégias didáticas para o desenvolvimento da noção de proporcionalidade. Se ampliarmos o Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 37 comprimento de uma figura em duas vezes, e sua altura em três vezes, o aluno facilmente verificará que houve uma “distorção”, isto é, que as partes não aumentaram proporcional- mente. Esse é o tema da atividade 1. Em seguida, passamos a investigar as figuras geométricas mais tradicionais, como o quadra- do, o triângulo e a circunferência. Nessas ativi- dades, o aluno deverá verificar a existência ou não de uma razão de proporcionalidade cons- tante. A constatação de que a diagonal do qua- drado é diretamente proporcional ao seu lado levará o aluno a descobrir uma razão constante cujo valor é, aproximadamente, 1,4. Ou que o comprimento da circunferência é proporcional ao seu diâmetro na razão aproximada de 3,1, razão esta representada pela letra grega (pi). Por outro lado, em outra atividade, ele po- derá perceber que a medida do cateto oposto de um triângulo não é diretamente proporcio- nal à medida do ângulo oposto a ele. Por meio desses exemplos, pretende-se que o aluno seja capaz de avaliar em que situações existe pro- porcionalidade direta ou não, calculando as razões e comparando-as. Embora o estudo do aconteça geralmen- te a partir da 8a série/9o ano, entendemos que sua inclusão na 6a série/7o ano, sem uma preo- cupação formal com a ampliação do campo numérico, contribui para a compreensão sig- nificativa da existência de uma razão constan- te nas figuras geométricas. Além disso, a partir da caracterização da razão , exploramos al- guns problemas envolvendo a determinação do comprimento da circunferência ou do seu diâmetro (atividade 6). Por fim, exploramos a proporcionalidade existente no retângulo áureo com a mesma in- tenção adotada na exploração do e da raiz quadrada de 2, ou seja, de servir como um exemplo ilustrativo e significativoda ideia de proporcionalidade nas figuras geométricas. Ampliação de figuras 1. A figura a seguir mostra o desenho de uma caravela re- presentado em uma malha quadriculada. a) Considerando como unidade de medi- da os lados dos quadrados, determine o comprimento e a altura da caravela. Por meio da malha quadriculada, pode-se perceber que as dimensões da caravela original ocupam 6 quadrados ho- rizontais e 6 quadrados verticais. Portanto, a razão entre as dimensões é 1. b) Qual das figuras a seguir corresponde a uma ampliação “proporcional” da cara- vela original? © C on ex ão E di to ri al 38 II. © C on ex ão E di to ri al IV. © C on ex ão E di to ri alIII. I. © C on ex ão E di to ri al A figura IV é a ampliação da figura da caravela original. Somente na figura IV a razão é igual a 1, pois a figura ocu- pa: 8 quadrados horizontais e 8 verticais. Na figura I a ra- zão é de 9 para 6; na figura II, de 6 para 8; na figura III, de 10 para 8. c) Qual foi a razão de ampliação utilizada? A razão de ampliação da figura original foi de 8 para 6, ou aproximadamente 1,33. Quadrados: lados, diagonais e a 2 Proporcionalidade no quadrado 2. Na malha quadriculada a seguir, desenhe 3 quadrados de lados iguais a 2 cm, 3 cm e 6 cm, respectivamente. Em cada um deles, tra- ce uma diagonal ligando dois vértices opostos. Meça com uma régua o comprimento das dia- gonais obtidas e registre os valores na tabela. Em seguida, calcule a razão entre as medidas da diagonal e do lado de cada quadrado. Os desenhos obtidos devem ser os seguintes: L 1 = 2 cm D 1 = 2,8 cm L 2 = 3 cm D 2 = 4,2 cm L 3 = 6 cm D 3 = 8,4 cm Quadrado Lado ( ) em cm Diagonal (d) em cm Razão d Q1 2 2,8 1,4 Q2 3 4,2 1,4 Q3 6 8,4 1,4 Observação: valores aproximados. © C on ex ão E di to ri al Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 39 a) Duplicando a medida do lado, a medida da diagonal também duplica? A medida da diagonal também duplica, passando de 4,2 cm para 8,4 cm. b) E triplicando a medida do lado, a medida da diagonal também triplica? A medida da diagonal também triplica, passando de 2,8 cm para 8,4 cm. c) Há proporcionalidade entre a medida da diagonal e a medida do lado de um quadrado? Em todos os casos, a razão entre as medidas da diagonal e do lado é aproximadamente 1,4. d) A razão obtida entre as medidas da dia- gonal e do lado desses quadrados se apro- xima de qual dos números: 2, 3, 5? (Observação: você pode utilizar a calcu- ladora para obter uma aproximação.) Este item pode ser resolvido por meio de estimativas ou por calculadora. O importante é mostrar aos alunos que essa razão é constante para qualquer quadrado e que o valor da razão de proporcionalidade obtido (1,4) é, na verdade, uma aproximação do valor da raiz quadrada de 2 ( 2 ≅ 1,414). Esse resultado será demonstrado nas séries/anos seguintes, quando estudarem o teorema de Pitágoras e os números ir- racionais. Quadrados: lados, perímetros e áreas Vimos que a medida da diagonal do qua- drado é diretamente proporcional à medida de seu lado. Será que o mesmo acontece em relação ao perímetro e à área? 3. Tomando como base a atividade 2, apresentada na seção Você apren- deu?, preencha a seguinte tabela e responda às questões: Quadrado Q1 Q2 Q3 Lado (cm) 2 3 6 Perímetro P (cm) 8 12 24 Área A (cm2) 4 9 36 Razão P 4 4 4 Razão A 2 3 6 a) Há proporcionalidade entre a medida do lado e o perímetro do quadrado? Sim, pois aumentando o lado, o perímetro aumentará na mes- ma proporção. A razão perímetro/lado é constante e igual a 4. b) E entre a medida do lado do quadrado e sua área? Não, pois aumentando o lado, a área não aumentará na mes- ma proporção. A razão área/lado não é constante. c) O que acontece com a área do quadra- do quando duplicamos seu lado? Quando dobramos o lado do quadrado (de 3 cm para 6 cm, por exemplo), a área aumenta em quatro vezes (de 9 cm2 para 36 cm2). É possível que alguns alunos obte- nham valores um pouco diferentes de 1,4 para as razões. Deve-se discutir com eles que isso se deve ou às impre- cisões do desenho, ou aos erros de me- dida. 40 d) E quando triplicamos? Quando triplicamos o lado do quadrado (de 2 cm para 6 cm, por exemplo), a área aumenta nove vezes (de 4 cm2 para 36 cm2). Ângulos e triângulos 4. Na figura a seguir, cada um dos ângulos do triângulo re- tângulo foi associado a seu lado oposto. Esse lado é o cateto oposto ao ângulo indicado. Por exemplo, o ângulo de 30o tem como cateto oposto o segmento AC. Vamos investigar se existe proporcio- nalidade entre os ângulos assinalados e os catetos opostos correspondentes. a) Registre a medida dos catetos AB, AC e AD na tabela. Ângulos Catetos (cm) 15o 1,7 30o 3,8 60o 11,3 Observação: valores aproximados. b) Duplicando o ângulo de 30o, o cateto oposto aumenta na mesma proporção? Verifique tomando por base os dados da tabela. Não, a medida do cateto oposto ao ângulo de 60o é aproximadamente 3 vezes maior que a do cateto opos- to ao ângulo de 30o. c) Triplicando o ângulo de 30o, o que acontece com a medida do cateto oposto? Para o ângulo de 90o não seria possível construir um cateto oposto, pois as retas seriam paralelas. d) As medidas dos ângulos são direta- mente proporcionais às medidas dos catetos opostos a eles? Não, pela tabela é possível verificar que os ângulos não são diretamente proporcionais aos catetos opostos. O 15o A 30o 60o D B C Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 41 Atividade para investigação! Proporcionalidade na circunferência Uma das características mais importantes de uma circunferência é a equidistância de seus pontos em relação ao centro. Por essa razão, ela é considerada a figura geométrica mais perfei- ta em termos de simetria. Além disso, qualquer que seja a circunferência, sua forma é sempre a mesma. Uma circunferência maior é uma ampliação perfeita de uma menor. Será, então, que há proporcionalidade entre suas partes? É o que vamos verificar a seguir. Material necessário: objetos circulares, por exemplo, um CD, uma lata de leite condensado, uma moeda etc.; fita métrica; régua; compasso; folha de papel sulfite. Etapas: I. Meça o comprimento da circunferência do objeto usando a fita métrica. II. Coloque o objeto sobre o papel sulfite e desenhe o seu contorno (circunferência). III. Marque três pontos quaisquer, A, B e C, na circunferência. Exemplo: C A B © C on ex ão E di to ri al 42 5. Registre as medidas do comprimento da cir- cunferência (C) e do diâmetro (D) do objeto circular na tabela. Em seguida, calcule a ra- zão entre C e D. Registre também as medidas e as razões obtidas por quatro colegas que te- nham escolhido um objeto diferente do seu. IV. Usando o compasso, trace a mediatriz entre os pontos A e B e entre os pontos B e C. V. A interseção das duas mediatrizes é o centro da circunferência. Desenhe o diâmetro da circunfe- rência e meça seu comprimento com a régua. C A B Objeto circular Comprimento C (cm) Diâmetro D (cm) Razão C ___ D Média Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 43 a) A medida do comprimento e do diâme- tro das circunferências variou de objeto para objeto? Sim. Se os objetos tiverem tamanhos diferentes, as medidas serão diferentes. b) E o valor da razão entre o comprimento e o diâmetro da circunferência? Não. Os alunos devem notar que, embora haja diferenças, o valor da razão converge para próximo de 3. c) Calcule a média das razões obtidas e registre-a na tabela anterior. A média obtida deve estar próxima de 3,1. d) Para uma circunferência perfeita, o va- lor da razão entre seu comprimento e seu diâmetro se aproxima de um valor constante, que vale aproximadamente 3,14. A essa razão foi dado o nome de pi, representado pela letra do alfabeto grego π. O valor da média que você cal- culou ficou acima, igual ou abaixo do valorde π? Se não foi igual, a que você atribuiria essa diferença? O resultado vai depender das medidas realizadas pelos alunos. É natural que haja imprecisões, principalmente na medida da circunferência dos objetos. A irregularidade dos objetos escolhidos também pode alterar, para cima ou para baixo, o resultado das razões obtidas. 6. Na malha quadriculada a se- guir, desenhe três circunferências de raios iguais a 1 cm, 2 cm e 3 cm, respectivamente, e trace seus diâme- tros. Com o auxílio de uma fita métrica ou um barbante e uma régua, meça o compri- mento C de cada circunferência e de seu diâmetro D. Registre os valores obtidos na tabela e calcule a razão entre C e D. P 1 = 6,3 cm P 2 = 12,6 cm P 3 = 18,9 cm 44 Considere que cada unidade da malha pos- sui 1 cm de lado. a) O que acontece quando duplicamos a medida do diâmetro da circunferência de 2 cm para 4 cm? O comprimento também dobra, passando de 6,3 cm para 12,6 cm. b) E quando triplicamos o diâmetro da cir- cunferência de 2 cm para 6 cm? O comprimento também triplica, passando de 6,3 cm para 18,9 cm. c) Calcule a razão entre o comprimento e o diâmetro de cada circunferência. A razão entre o comprimento e o diâmetro é constante e vale aproximadamente 3,1. d) Existe proporcionalidade entre o compri- mento da circunferência e seu diâmetro? Sim, pois quando aumentamos o diâmetro, o comprimento aumenta na mesma proporção. Além disso, a razão entre o comprimento e o diâmetro permanece constante. A maior dificuldade que os alunos po- dem enfrentar é em relação à medida do comprimento das circunferências. O uso de um barbante certamente trará impre- cisões ao processo, seja em função da sua espessura (o que interfere na tomada da medida), seja porque é difícil mantê-lo na curvatura exata do desenho. Esse mesmo exercício pode ser realizado com formas geométricas reais, tais como uma lata ci- líndrica, um CD, uma moeda etc. Circunferência Comprimento C (cm) Diâmetro D (cm) Razão C ___ D C 1 6,3 2 3,1 C 2 12,6 4 3,1 C 3 18,9 6 3,1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 45 O resultado da atividade anterior me- rece um destaque especial. A razão de proporcionalidade resultante do quociente entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro é tão importante, tão especial, que é representada pela letra do alfabeto grego. Na verdade, esse resultado não é exato, mas uma aproximação de um número que possui infinitas casas decimais: 3,141592653... Esse resultado será retomado na 8a série/9o ano, com o estudo dos números irracionais e da circunferência. Contudo, como essa razão é constante para qualquer circunferência, pode-se montar uma fórmula para calcular o comprimento da circun- ferência. Se C D vale aproximadamente 3,1, então o comprimento C é igual a 3,1 vezes o diâme tro D. Assim, temos a fórmula C = 3,1 D. Vamos explorar essa ideia na próxima atividade. 7. Se a razão entre o compri- mento da circunferência (C) e seu diâmetro (D) é constante e vale, aproximadamente, 3,1, isso significa que podemos calcular C multiplicando D por esse valor. Ou seja, C = 3,1 D. Da mesma forma, conhecendo o comprimen- to C de uma circunferência, podemos ob- ter seu diâmetro dividindo C por 3,1. Com base nessas ideias, resolva os seguin- tes problemas. a) Uma pista de corrida foi construída na forma de um círculo. Sabendo-se que o diâmetro dessa pista mede 2 km, calcule o comprimento da pista inteira. O diâmetro da pista circular mede 2 km. Então, o compri- mento da pista é 3,1 2 km = 6,2 km. b) Para fazer uma circunferência, Mar- cos usou o compasso com abertura de 5 cm (raio). Quanto mede o compri- mento dessa circunferência? Se o diâmetro da circunferência vale 10 cm, o comprimento será aproximadamente igual a 3,1 10 cm = 31 cm. c) Usando um barbante, mediu-se o com- primento da circunferência de uma lata cilíndrica. O resultado dessa medida foi 62 cm. Qual é o diâmetro dessa lata? Nesse caso, temos o comprimento e precisamos achar o diâ- metro. Então, basta dividir o comprimento de 62 cm por 3,1, obtendo 20 cm, que é o diâmetro da lata cilíndrica. d) O aro de uma bicicleta mede aproxima- damente 40 cm. A espessura do pneu é de aproximadamente 3 cm. Qual é o comprimento da roda dessa bicicleta? Qual é a distância que essa bicicleta deve percorrer em 10 pedaladas? A medida do raio da roda é aproximadamente a medida do aro mais a espessura do pneu (40 cm + 3 cm = 43 cm). Como o diâmetro é o dobro do raio, então ele vale 86 cm. O com- primento da roda é igual a 3,1 86 cm = 266,6 cm. Como, a cada pedalada, a bicicleta percorre a distância equivalente ao comprimento da roda, em 10 pedaladas a bicicleta per- correrá 10 266,6 cm = 2 666 cm ou 26,6 metros. e) O diâmetro de uma circunferência mede 10 cm. Qual é o comprimento aproxi- mado dessa circunferência? Se o diâmetro da circunferência vale 10 cm, o comprimento será aproximadamente igual a 3,1 · 10 cm = 31 cm. 46 A razão áurea Na Matemática, existem alguns números que são especiais e, por isso, recebem um nome próprio. É o caso do número pi (π), que vale aproximadamente 3,14159... e representa a ra- zão constante existente entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro. Dessa for- ma, em qualquer cálculo que envolva circunferências, a razão π está presente. Um aspecto surpreendente desse número é o fato de que ele possui infinitas casas decimais, sem nenhum padrão aparente de repetição. Por essa razão, π é classificado como um número irracional, isto é, que não pode ser gerado por uma divisão entre inteiros. Outro número especial na Matemática, embora menos conhecido, é o fi, representado pela letra grega . Ele vale aproximadamente 1,618..., e, assim como o π, também é irracional. O decorre de uma razão muito especial, que pode ser encontrada nas mais diferentes situa- ções, tanto na natureza (no formato de uma concha, na espiral de uma margarida, no cresci- mento dos galhos de uma árvore) como nas construções humanas e suas artes (o Parthenon grego, a sede da ONU em Nova Iorque, alguns quadros de Leonardo da Vinci etc.). Por isso, essa razão também foi chamada de razão áurea ou proporção divina. Concha Nautilus. Leonardo da Vinci, Mona Lisa, 1503-1507, óleo sobre madeira, Museu do Louvre. © G av in K in gc om e/ SP L /L at in st oc k © G ia nn i D ag li O rt i/C or bi s/ L at in st oc k Lado maior – a L ad o m en or – b Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 47 A palavra “proporção” pode ser entendida de diferentes maneiras. No uso comum, propor- ção pode significar a relação comparativa entre duas quantidades, como no caso da receita de um suco concentrado (uma parte de suco para três partes de água). Também pode significar uma relação harmoniosa ou agradável entre diferentes partes. Por exemplo, no caso de um arranjo de flores benfeito ou em uma construção de uma casa. Na Matemática, o termo “pro- porção” refere-se à igualdade entre duas razões: oito está para seis assim como quatro está para três. A razão áurea é especial porque mistura, de alguma forma, essas três ocorrências. Podemos definir a razão áurea da seguinte maneira: se dividirmos um segmento (a) em duas partes, uma maior (b) e outra menor (a – b), a razão entre o segmento inteiro (a) e a maior parte (b) deve ser igual à razão entre esta maior parte (b) e a menor parte (a – b). Todo (a) Maior parte (b) Menor parte (a – b) todo _____ maior maior ______ menor a __ b b _____ a – b Essa proporção só acontece quando as razões valem, aproximadamente, 1,618, ou seja, o valor de fi. 8. A figura a seguir é chamada de retângulo áureo, pois a ra- zão entre seus lados vale, apro- ximadamente, 1,618. Se tirarmos desse re- tângulo um quadrado de lado igual ao DISNEY. Donald no país da matemágica. Fábulas,v. 3 [DVD]. EUA: Walt Disney. 1959. DOCZI, G. O poder dos limites: harmonias e proporções na natureza, arte e arquitetura. São Paulo: Mercuryo, 1990. LÍVIO, Mário. Razão áurea: a história de fi, um número surpreendente. Rio de Janeiro: Record, 2006. O número de ouro. Série Arte & Matemática [DVD2]. São Paulo: TV Escola/MEC-TV Cultura 2001. lado menor do retângulo, obteremos ou- tro retângulo áureo, cujos lados também estão na razão áurea. Isso pode ser feito continuamente, como mostram as figu- ras a seguir: 48 1o-) 2o-) 3o-) 4o-) Tire as medidas dos lados dos quatro re- tângulos assinalados nas figuras e regis- tre-as na tabela. Em seguida, resolva as questões propostas. a) Calcule a razão aproximada entre as medidas do lado maior e do lado menor de cada retângulo. b) Calcule a média entre as razões obtidas. Resposta dos exercícios (a) e (b): Retângulo Lado maior (cm) Lado menor (cm) Razão 1o 6,3 3,9 1,61 2o 3,9 2,4 1,62 3o 2,4 1,5 1,6 4o 1,5 1,0 1,5 Média 1,58 c) A média ficou próxima do valor da ra- zão áurea? A média deve se aproximar do valor da razão áurea, podendo ser um pouco maior ou menor em razão das imprecisões do desenho e das medidas. d) Há proporcionalidade entre os retângu- los destacados na cor vermelha? Sim, pois a razão entre as medidas dos lados é aproximada- mente 1,6 para todos os retângulos. Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 49 Construção geométrica 9. A espiral áurea ou logarítmica é uma es- piral que cresce segundo a razão áurea. O formato da concha Nautilus (apresentada na seção Leitura e análise de texto) apro- xima-se de uma espiral desse tipo. A cada quarto de volta, a curva aumenta na razão de 1,618, aproximadamente. Essa espiral pode ser construída com base no retângu- lo áureo, como veremos a seguir. Etapas: Usando o compasso, trace um quarto de circunferência no quadrado maior (à direita), com centro no ponto A e raio igual ao lado desse quadrado. Faça o mesmo com o segundo quadra- do maior (em cima à esquerda), com centro no ponto B, de modo a dar con- tinuidade ao arco anterior. Repita essa construção para todos os quadrados internos ao retângulo. O re- sultado final é a espiral áurea. C D E FG B A Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, espera-se que os alunos sejam capazes de reco- nhecer a existência de proporcionalidade em figuras geométricas, por meio do cálculo da ra- zão de proporcionalidade. Além disso, eles de- vem conhecer as principais razões existentes na Geometria, como a razão entre a diagonal e o lado do quadrado ( 2 ) e a razão entre o com- primento e o diâmetro da circunferência ( ). Essa é mais uma etapa do aprendizado de proporcionalidade, que vai acompanhar o aluno ao longo de sua vida escolar. Parti- cularmente, as razões constantes em figuras geométricas serão fundamentais para o pos- terior estudo da semelhança geométrica e da trigonometria. A avaliação da aprendizagem dos alunos em relação ao conteúdo estudado pode ser feita a partir da aplicação das atividades propostas ao longo da Situação de Aprendizagem. Há de se ter atenção especial em relação às cons- truções geométricas e às medidas, principal- mente no caso da representação de quadrados e circunferências. Nas atividades desenvolvidas até aqui, explo- ramos a razão áurea. Do mesmo modo que o pi, o valor da razão áurea é simbolizado por uma letra do alfabeto grego, o fi: . Ele também é um número irracional, possuindo infinitas casas de- cimais não periódicas. Não é o caso de comentar essas características na 6a série/7o ano. Para os alunos, o importante nesse momento é observar situações de proporcionalidade em figuras geo- métricas, o que foi feito ao longo desta Situação de Aprendizagem. 50 Conteúdos e temas: arcos, ângulos centrais e setores circulares em uma circunferência; pro- porcionalidade; porcentagem. Competências e habilidades: calcular porcentagens a partir da razão entre as partes e o todo de uma situação-problema; conhecer a relação de proporcionalidade entre ângulos e arcos em uma circunferência; representar porcentagens em gráficos de setores, fazendo a corres- pondência em graus de forma proporcional; usar o transferidor para representar setores circulares correspondentes a determinados ângulos. Sugestão de estratégias: exploração, resolução e discussão de situações-problema envolven- do os diferentes tipos de razão; construção de gráficos de setores a partir de tabelas. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 GRÁFICO DE SETORES E PROPORCIONALIDADE Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 A Situação de Aprendizagem 4 trata do estudo dos gráficos de setores relacionado ao tema central deste Caderno, que é a proporcio- nalidade. Esse é um conteúdo bastante perti- nente, pois articula dois dos principais blocos temáticos do currículo de Matemática: o eixo denominado grandezas e medidas e o eixo tra- tamento da informação. Isso para não falar da proximidade com os eixos de Geometria e nú- meros e operações, que também estão presentes na elaboração dos gráficos de setores. A elaboração e a interpretação de gráficos de setores envolvem, por um lado, a noção de proporcionalidade e a expressão da razão par- te/todo na forma percentual. De outro lado, a capacidade de representar informações por meio de tabelas e gráficos. Antes de iniciar a Situação de Aprendizagem, o professor deve avaliar os conhecimentos pré- vios dos alunos em relação a alguns conceitos e vocabulários geométricos, tais como: ângulo cen- tral, arco de circunferência, setor circular, grau etc. Feito isso, poderá encaminhar a realização das atividades propostas, que culminarão com a construção de um gráfico de setores pelos alunos. Propomos, inicialmente, algumas atividades que exploram a proporcionalidade na circun fe rên- cia (entre ângulos e arcos). A atividade 1 explora a relação de proporcionalidade existente entre a medida do ângulo central e o comprimento do arco em uma circunferência. Na atividade 2, os alunos usarão a noção de proporcionalidade para identificar e calcular o deslocamento dos ponteiros das horas e dos minutos em um relógio. Nessa atividade, os alunos terão de lançar mão dos conhecimentos aprendidos nas Situações de Aprendizagem anteriores, como o cálculo de variações diretamente proporcionais. Em seguida, passamos às situações-pro- blema relacionadas diretamente aos gráficos de setores. Primeiramente, são propostas ati- vidades de interpretação e leitura de gráficos de setores nas quais os alunos devem retirar Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 51 informações do gráfico e obter porcentagens e valores absolutos. Em seguida, eles devem usar o transferidor para medir os ângulos correspondentes aos setores circulares em um gráfico e transformá-los em porcentagens. Essa Situação de Aprendizagem busca criar condições para que, progressivamente, por meio das atividades propostas, o aluno aproprie-se da leitura de um gráfico de seto- res e de sua respectiva construção, a partir de informações contidas em uma tabela. Esta atividade visa verificar se há propor- cionalidade entre o ângulo central de uma circunferência e seu arco correspondente. O contorno das figuras foi graduado de 1 em 1 cm. Portanto, a volta completa mede 24 cm. 1. As circunferências a seguir foram divididas em 24 arcos de 1 cm cada. Em cada uma delas, foi marcado um determinado ângulo cen- tral: 30º, 45º, 90º e 150º. 30º 6 5 4 3 2 1 0 23 22 21 20 1918 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 90º 6 5 4 3 2 1 0 23 22 21 20 1918 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 45º 6 5 4 3 2 1 0 23 22 21 20 1918 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 150º 6 5 4 3 2 1 0 23 22 21 20 1918 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 52 a) Quantos graus o ponteirodas horas se deslocou do meio-dia até 1 hora? Considerando que, em 12 horas, o ponteiro das horas faz um giro completo (360o), em 1 hora ele fará 1 12 de 360o, ou seja, 30o. Horas Deslocamento ponteiro das horas 12 360o 1 30o b) Houve deslocamento do ponteiro dos minutos? Se sim, de quantos graus? 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Sim, o ponteiro dos minutos se deslocou 360o, voltando, por- tanto, ao ponto inicial. Agora, consideremos que o relógio marca 4 horas. Passados 10 minutos, ambos os ponteiros terão se deslocado do local ori- ginal. Pergunta-se: a) Registre na tabela a medida dos ângu- los centrais e as medidas dos arcos cor- respondentes. Ângulo central Medida dos arcos (cm) 30o 2 45o 3 90o 6 150o 10 b) Há proporcionalidade direta entre a medida dos arcos e os ângulos cor- respondentes? Sim, pois quando duplicamos um ângulo (de 45o para 90o), o arco correspondente também dobra (de 3 cm para 6 cm). Além disso, a razão ângulo/arco é constante e igual a 15. c) Qual deve ser a medida do arco corres- pondente ao ângulo de 55o? Fazendo o cálculo proporcional, obtém-se, aproximadamen- te, 3,7 cm para a medida do arco cujo ângulo é 55o (divide-se 55 pela razão 15, obtendo 3,666...). d) Calcule o ângulo central que correspon- de ao arco de comprimento 7,5 cm. O ângulo central correspondente é de 112,5o (multiplica-se 7,5 pela razão 15). O relógio e a proporcionalidade 2. O relógio da figura a seguir está marcan- do 1 hora. Com base em seus conheci- mentos sobre ângulos e proporcionalida- de, determine: © C on ex ão E di to ri al Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 53 c) Quantos graus o ponteiro dos minutos se deslocou? Em 1 hora, ou melhor, 60 minutos, o ponteiro dos minutos se desloca 360o. Em 10 minutos, ele se deslocará 1 6 de 360o, ou seja, 60o. d) E o das horas? Considerando que em 1 hora (60 minutos) o ponteiro das horas se desloca 30o, então em 10 minutos ele se deslocará 1 6 de 30o, ou seja, 5o. Minutos Deslocamento ponteiro dos minutos Deslocamento ponteiro das horas 60 360o 30o 10 60o 5o 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e) Desenhe, nos relógios a seguir, os pontei- ros das horas e dos minutos nos seguin- tes horários: (Observação: lembre-se de que o ponteiro das horas se desloca continuamente e de forma proporcional ao tempo decorrido.) 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 I. 12:30 II. 12:10 III. 2:00 IV. 2:30 f) Preencha a tabela com os graus corres- pondentes aos horários marcados nos relógios, tendo como referência os pon- teiros das horas e dos minutos às 12 ho- ras em ponto. Horário Tempo decorrido Ângulo em relação às 12 horas Ponteiro das horas Ponteiro dos minutos 1:00 60 minutos 30o 0o ou 360o 12:30 30 minutos 15o 180o 12:10 10 minutos 5o 60o 2:00 120 minutos 60o 0o ou 720o 2:30 150 minutos 75o 180o ou 900o 54 As atividades anteriores constituem uma preparação importante para a realização das próximas, em que trataremos dos gráficos de setores propriamente ditos. 4. Uma pesquisa foi feita com 420 pessoas para saber qual es- porte elas mais praticavam. Os resultados encontram-se na tabela a seguir. a) Calcule a porcentagem de cada esporte es- colhido em relação ao total de entrevistados. Esporte praticado Número de pessoas % em relação ao total Futebol 210 50 Vôlei 105 25 Basquete 63 15 Corrida 42 10 Total 420 100 b) Qual dos gráficos de setores a seguir representa melhor os dados da tabela? Justifique sua resposta. Gráfico 1 Gráfico 2 Gráfico 3 Gráfico 4 Os valores podem ser obtidos por meio de proporcionali- dade direta. Enquanto o ponteiro das horas se desloca 360o a cada 12 horas, o ponteiro dos minutos desloca-se 360o a cada hora, ou 60 minutos. Com relação ao ponteiro dos mi- nutos, a resposta pode contemplar a posição estática (apenas o ângulo em relação à origem) ou o deslocamento, que in- clui o número de voltas. Por exemplo, no caso das 2 horas, o ponteiro faz um ângulo de 0o com a origem, mas houve um deslocamento de 2 voltas completas, ou seja, 720o. g) Quantos graus o ponteiro dos minutos se desloca em 1 minuto? E o das horas? Resposta: 6o e 0,5o. O ponteiro dos minutos, em 60 minutos, desloca-se 360o, portanto, em 1 minuto ele se deslocará 6o. Já o ponteiro das horas se desloca 30o em uma hora, então em 1 minuto ele se deslocará 0,5o. 3. Represente os horários nos reló- gios e calcule a medida dos ângulos formados pelos ponteiros das horas e dos minutos em relação às 12:00. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Ponteiro das horas: 135o Ponteiro das horas: 100o Ponteiro dos minutos: 180o Ponteiro dos minutos: 120o c) 1:40 d) 5:15 Ponteiro das horas: 50o Ponteiro das horas: 157,5o Ponteiro dos minutos: 240o Ponteiro dos minutos: 90o a) 4:30 b) 3:20 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 55 O Gráfico 3. Pode-se observar na tabela que o futebol corres- ponde a 50% da preferência, ou seja, meia circunferência, ou 180o. O vôlei foi escolhido por 25% das pessoas, ou seja, um quarto da circunferência, ou 90o. O único gráfico que possui esses dois setores circulares (180o e 90o) é o Gráfico 3. c) Que cor corresponde a cada um dos esportes? O azul corresponde ao futebol; o violeta, ao vôlei; o bege, ao basquete; e o azul-claro, à corrida. 5. O resultado de uma pesquisa feita com 80 pessoas sobre a preferência de um local de viagem gerou o seguinte gráfico: Montanha Outros Cidades históricas Praia a) usando um transferidor, meça os ângulos centrais de cada setor circular represen- tado no gráfico e anote-os na tabela. b) calcule as porcentagens que represen- tam a razão entre cada ângulo e 360º. Anote-as na tabela. c) calcule o número de pessoas que escolheram cada tipo de viagem. Anote-o na tabela. Local Ângulocentral % Número de pessoas Praia 144,0 40,0 32 Montanha 108,0 30,0 24 Cidades históricas 72,0 20,0 16 Outros 36,0 10,0 8 Total 360,0 100,0 80 6. Para saber qual era o programa cultural mais apreciado pelos habitantes de uma ci- dade, foi feita uma pesquisa cujos resulta- dos (em porcentagem) estão representados na tabela a seguir. Programa preferido % Ângulo central Cinema 37,5 135o Música 25,0 90o Teatro 16,7 60o Dança 12,5 45o Outros 8,3 30o Total 100,0 360o Observação: valores aproximados a) Usando proporcionalidade, determine os ângulos correspondentes às porcenta- gens expressas na tabela. Se 100% corresponde a 360o na circunferência, então: 37,5% de 360o é igual a 135o. 25% de 360o é igual a 90o. 16,7% de 360o é igual a aproximadamente 60o. 12,5% de 360o é igual a 45o. 8,3% de 360o é igual a 30o aproximadamente. b) Usando a circunferência a seguir, que foi dividida em 24 setores de 15º cada um, represente os resultados da pesqui- sa por meio de um gráfico de setores. (Dica: faça as aproximações dos ângu- los centrais para valores inteiros.) 56 Como cada setor corresponde a 15o, então cinema (135o) ocupa- rá 9 setores; música (90o) ocupará 6 setores; teatro (60o), 4 setores; dança (45o), 3 setores; outros (30o), 2 setores. Outros Cinema Teatro Dança Música 7. Uma agência de viagens fez uma pesquisa sobre a nacionali- dade das pessoas que viajaram pela América Latina. A tabela a seguir mostra as porcentagens de turistas classi- ficados por nacionalidade. a) Usando proporcionalidade, determine os ângulos correspondentes às porcen- tagens expressas na tabela. Nacionalidade % Ângulo central Brasileiros 45 162o Argentinos 25 90o Chilenos 20 72o Outros 10 36o Total 100 360o b) Usando compasso e transferidor, repre- sente as porcentagens da tabela em um gráfico de setores.Outros 10% Chilenos 20% Argentinos 25% Brasileiros 45% Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, espera-se que o aluno consiga: construir um gráfico de setores a partir de uma tabela conten- do informações numéricas; calcular as razões e transformá-las em porcentagens; determinar, a partir das porcentagens, os ângulos correspon- dentes para representar as informações em um gráfico de setores; saber que o comprimento dos arcos em uma circunferência é diretamen- te proporcional à medida do ângulo cen tral correspondente. A avaliação da aprendizagem dos alunos em relação a esses tópicos poderá ser feita a partir da aplicação de atividades similares às propos- tas ao longo da Situação de Aprendizagem. As competências e habilidades mínimas esperadas dos alunos nessa etapa do aprendizado são: saber interpretar um gráfico de setores e ti- rar informações a seu respeito, como a por- centagem de cada item representado; representar porcentagens em gráficos de setores, fazendo a correspondência em graus de forma proporcional. 57 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 INVESTIGANDO SEQUÊNCIAS POR ARITMÉTICA E ÁLGEBRA Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 5 Um dos objetivos centrais do processo de en- sino e aprendizagem da Álgebra é generalizar re- gularidades. O uso de letras para representar, por exemplo, o padrão de uma determinada sequên- cia numérica é um dos recursos que a Álgebra nos permite. Nesse caso, a generalização de uma sequência numérica com o uso de expressões al- gébricas pode ser útil para determinar números específicos da sequência sem recorrer a processos aritméticos. Nesta Situação de Aprendizagem, apresentamos uma proposta de trabalho com sequências, numéricas ou não, como forma de motivação para a busca de expressões algébricas. Antes do trabalho com sequências numéri- cas, propomos que sejam exploradas algumas sequências de padrão geométrico ou figurativo para explorar noções como: identificação do padrão da sequência; representação do padrão da sequência por meio de palavras, figuras ou símbolos; Conteúdos e temas: múltiplos e divisores; resto da divisão; sequências numéricas; uso de letras para representar problemas. Competências e habilidades: realizar generalizações utilizando a linguagem escrita e expres- sões matemáticas que envolvem o uso de letras. Sugestão de estratégias: investigar sequências de figuras com a finalidade de identificar pa- drões e representá-los por meio da linguagem escrita; investigar sequências numéricas para aprimorar a percepção indutiva de regularidades e iniciar um trabalho com o uso de letras, a fim de representar o padrão identificado. uso de recursos aritméticos para identifica- ção de termos da sequência; problematização da necessidade de atribuir números que identifiquem posições da se- quência. Pretendemos, com as atividades apresenta- das a seguir, analisar com o professor a intenção específica de cada uma dessas perguntas, bem como mostrar as possibilidades de discussão com os alunos a partir dessas atividades. Propomos algumas dessas atividades, além de outras seme- lhantes. Portanto, sinalizamos a importância da leitura atenta dos comentários apresentados na resolução das atividades. 1. Observe com atenção a se- quência a seguir: Qual é o próximo símbolo que deve ser co- locado na sequência para que seja mantido seu padrão? 58 I. II. III. IV. V. a) O símbolo I. b) O símbolo II. c) Os símbolos II ou III. d) Os símbolos I ou IV. e) Os símbolos II ou IV. Em geral, os alunos identificam com facilidade que o pró- ximo símbolo será . Contudo, é possível que alguns alunos digam que o próximo símbolo será apenas , o que não deixa de fazer sentido se identificarmos a sequência com a alternância das barras e . Mesmo que esse tipo de identificação não apareça de forma natural, é interessante que o professor problematize-o, o que pode ser feito por meio de perguntas como: será que podemos afirmar que a sequência é formada pelas figuras e em alternância? O que nos impede de dizer que as figuras indicadas em cada posição da sequência são do tipo ? Essas perguntas têm o objetivo de problematizar a impor- tância do uso de algum marcador claro que identifique cada uma das posições da sequência. Ao solicitar que os alunos pensem sobre como a dúvida levantada pelo professor pode- ria ser eliminada, é provável que apareçam respostas como: podemos separar os símbolos por um espaço ou por vírgula: , , , podemos numerar cada posição: 1 53 72 64 A vantagem da 2ª- alternativa em relação à 1ª- é que podemos nos referir de forma clara e precisa a qualquer termo da sequên- cia. O item b da atividade já faz uso da numeração ordinal, por- tanto, é bem provável que sejam induzidos naturalmente os alu- nos a pensar na opção de numeração dos termos da sequência. 2. Por que é possível escolher mais de um sím- bolo para continuar o padrão da sequência? Não há um marcador claro que identifique cada uma das po- sições dos símbolos na sequência. 3. Desenhe uma sequência usando como pa- drão o símbolo da figura III, apresentado na atividade 1. , , , 4. Desenhe os 7 primeiros símbolos da sequên- cia apresentada na atividade 1, numeran- do-os conforme sua posição. 1 53 72 64 a) Qual símbolo deve ser colocado na 20a posição da sequência? E na posição 573? Na 20a posição será o símbolo \. Na 573a posição, o símbolo /. b) Escreva uma regra que permita identifi- car exatamente o símbolo corresponden- te a cada uma das posições da sequência. A identificação e o registro escrito da regra constituem uma etapa importante da aprendizagem. Recomendamos que o professor valorize a troca de respostas entre os alunos para que todos possam conhecer, além da sua, outras maneiras de resolver o problema. Outro aspecto que o professor pode tra- balhar é o do correto registro escrito do que se está querendo representar. É possível que muitos alunos consigam explicar 59 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 o padrão da sequência, mas que tenham dificuldades em re- gistrar sua conclusão em uma frase ou em um parágrafo. O trabalho com a correspondência entre a expressão oral e o registro escrito valoriza a importância do uso correto da língua materna em duas de suas dimensões mais importantes. Duas respostas possíveis para a questão são: nas posições ímpares, a linha está deitada para a direita, ao passo que, nas pares, a linha está deitada para a esquerda; quando a posição indica um múltiplo de 2, teremos . Caso contrário, teremos . 5. Escreva uma regra de identifica- ção dos símbolos para cada uma das sequências a seguir. a) Sequência 1 Símbolo : nas posições indicadas por múltiplos de 3. Símbolo : quando o resto da divisão da posição por 3 for 1. Símbolo : quando o resto da divisão da posição por 3 for 2. 1 53 72 64 8 9 O aluno deverá perceber que a repetição de um símbolo ocorre a cada três posições e, nesse caso, a regra de forma- ção da sequência pode ser escrita da seguinte maneira: nas posições indicadas por múltiplos de 3 aparece o símbolo e, nas duas seguintes a ela, os símbolos e . b) Sequência 2 Símbolo : quando a posição for um número ímpar. Símbolo : quando a posição for um número par. 1 532 64 7 8 9 Nesse caso, pode-se usar a identificação dos símbolos pelas posições pares e ímpares. c) Sequência 3 Símbolo : quando a posição for um múltiplo de 3. Símbolo : quando a posição não for um múltiplo de 3. 1 532 64 7 98 Nesta sequência, nas posições indicadas por múltiplos de 3 aparece o símbolo da seta com ponta superior do lado direito e, nas duas posições subsequentes a essa, aparecem setas idên- ticas com a ponta superior do lado esquerdo. Na Sequência 3, solicitar que os alunos identifiquem a forma das setas por meio de umafrase descritiva, e não por meio do desenho, consis- te em um interessante desafio, pois eles deverão usar palavras como direita/esquerda, abaixo/acima etc. d) Sequência 4 Símbolo : nas posições indicadas por múltiplos de 3. Símbolo : quando o resto da divisão da posição por 3 for 1. Símbolo : quando o resto da divisão da posição por 3 for 2. 60 1 532 64 7 98 Nesta sequência, deve-se perceber que o padrão de repe- tição ocorre de 3 em 3, permitindo identificar que, nas po- sições indicadas por um número que deixe resto 1 na divi- são por 3, teremos uma barrinha com marca horizontal no centro do retângulo. Para a identificação das demais figuras, podem-se indicar, como nos outros casos analisados, suas posições em relação à da figura representada nas posições 1, 4, 7 etc. 6. Tendo como base as sequências apresenta- das na atividade anterior, desenhe: a) a figura que ocupa a 20a posição na Se- quência 1; A figura que ocupa a 20a posição na sequência 1 é . b) a figura que ocupa a 73a posição na Se- quência 2; A figura que ocupa a 73a posição na sequência 2 é . c) a figura que ocupa a 123a posição na Se- quência 3; A figura que ocupa a 123a posição na sequência 3 é . d) a figura que ocupa a 344a posição na Sequência 4. A figura que ocupa a 344a posição na sequência 4 é . Como na divisão de 344 por 3 sobra resto 2, sabemos que 343 dei- xaria resto 1 na divisão por 3 e, portanto, seria uma posição com uma barra marcada no centro do retângulo. Assim, a 344a posição tem uma barra com marca na parte superior do retângulo. 7. Observe a sequência a seguir e responda às perguntas. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a) Qual é a próxima figura da sequência? É a figura (paus). b) Como podemos descrever com palavras as posições em que encontramos a figura ? Com essa correspondência, espera-se que os alunos perce- bam que a figura ocupa as posições 4, 8, 12, 16, ..., ou seja, posições correspondentes a um múltiplo de 4. Sugeri- mos que o professor diga aos alunos que outra forma de nos referirmos aos termos da sequência dos múltiplos de 4 é: nú- meros que “deixam resto zero na divisão por 4”. Essa forma de identificação será útil para a sequência do exercício. c) Como podemos descrever em palavras as posições onde encontramos as figu- ras , e ? As posições ocupadas por são as de número 2, 6, 10, 14, 18, ... , ou seja, posições em que temos um “múltiplo de 4 acrescido de 2”, ou, dizendo de outra maneira, são as posições marcadas por números que “deixam resto 2 na divisão por 4”. Usando o mesmo tipo de raciocínio, as posições da figura são identi- ficadas por “múltiplos de 4 acrescidos de 3” (ou números que “deixam resto 3 na divisão por 4”), e as posições da figura são identificadas por “múltiplos de 4 acrescidos de 1” (ou nú- meros que “deixam resto 1 na divisão por 4”). d) Qual é a figura que ocupa a posição 263 dessa sequência? Os dois itens anteriores servem para preparar uma estratégia de ação para resolver este item. Após a discussão feita, espe- ra-se que o aluno perceba, com a orientação do professor, que a nova tarefa consiste em saber se 263 é um múltiplo de 4 ( ), um múltiplo de 4 acrescido de 1 ( ), um múltiplo de 4 acrescido de 2 ( ) ou um múltiplo de 4 acrescido de 3 ( ). 61 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 A análise que deve ser feita fica simplificada se verificarmos o resto da divisão de 263 por 4. Se o resto for 0, a figura será ; se o resto for 1, a figura será ; se o resto for 2, ela será ; e se o resto for 3, será . Como o resto da divisão de 263 por 4 é 3, então a figura dessa posição será . Investigações sobre o resto de uma divisão podem ser utilizadas sempre que temos uma sequência em que determinado padrão arit- mético se repete. Analisaremos a seguir duas situações aplicadas em que a análise do resto de uma divisão nos auxilia na resolução do problema em questão. 8. Para fazer entregas de gás na cidade de São Paulo, uma distribuidora dividiu a cidade em 180 regiões e estabeleceu o seguinte ca- lendário de entrega: 2a feira 3a feira 4a feira Região 1 Região 2 Região 3 Região 7 Região 8 Região 9 ... ... ... 5a feira 6a feira Sábado Região 4 Região 5 Região 6 Região 10 Região 11 Região 12 ... ... ... a) Cite cinco regiões da cidade que rece- bem gás às sextas-feiras. Podem ser as regiões 5, 11, 17, 23 e 29. b) Que regiões da cidade recebem gás aos sábados? Todas as regiões nomeadas por um múltiplo de 6: 6, 12, 18, 24, ..., 180. c) Em que dia da semana a região 180 tem entrega de gás? E a região 129? Como 180 é múltiplo de 6, então essa região será atendida aos sábados. Já a região 129, que deixa resto 3 na divisão por 6, receberá o gás às quartas-feiras. d) Como podemos descrever, em palavras, as regiões nas quais a entrega de gás acontece às quintas-feiras? A análise feita no item anterior deve ser suficiente para que o aluno descreva as regiões que recebem distribui- ção de gás às quintas -feiras por meio de uma das seguin- tes formas: regiões cujo número deixa resto 4 na divisão por 6; regiões cujo número é um múltiplo de 6 acrescido de 4. É natural que se faça a discussão sobre as razões de investigarmos a divisibilidade por 6 nessa atividade. Fazendo uma analogia com a atividade dos naipes do baralho, em que estes se repetiam de 4 em 4, no caso da distribuição de gás temos seis dias da semana que se repe- tem sucessivamente ao longo da sequência dos números das regiões. Essa analogia serve para que se compreenda que, no caso do problema do gás, cada dia da semana se repete a cada seis regiões. Nesse caso, dividindo-se o número de uma região por 6, esperamos resto 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. Podemos dizer que estamos agrupando as regiões em classes de equivalência definidas pelos possíveis restos da divisão por 6 (a ideia de classe de equivalência será explorada em 62 mais detalhes em uma Situação de Aprendi- zagem apresentada na 7a série/8o ano). 9. Complete a sequência das potências de 7 até conseguir identificar o padrão de repe- tição do algarismo das unidades e, em se- guida, responda às perguntas: 70 71 72 73 74 75 76 77 1 7 49 343 2 401 16 807 117 649 823 543 a) Quais são os algarismos que se repetem na casa das unidades? Em que ordem? Os algarismos 1, 7, 9, 3, nessa ordem. b) Explique por que esse padrão acontece. Porque qualquer número terminado em 1, quando multi- plicado por 7, resulta em um número terminado em 7. Um número terminado em 7, quando multiplicado por 7, termi- na em 9. Um número terminado em 9, quando multiplicado por 7, termina em 3. E um número terminado em 3, quando multiplicado por 7, termina em 1, voltando ao início do ciclo. c) Para quais expoentes da potência de 7 os resultados serão números terminados em 1? Para todos os expoentes múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, ... d) Para quais expoentes da potência de 7 os resultados serão números termina- dos em 7? Para todos os expoentes cujo resultado da divisão por 4 deixe resto 1: 1, 5, 9, 13, ... e) Qual é o algarismo da unidade do resul- tado da potência 7179? Como 179 deixa resto 3 na divisão por 4, então pode-se concluir que o resultado da potência terá o algarismo da unidade igual a 3. Nessas atividades desenvolvidas, o profes- sor deve discutir com os alunos que potências como 7179 e 7100 + 7150 + 5 são números muito grandes e que teríamos muitas dificuldades em identificar a casa das unidades fazendo direta- mente a conta de cada uma das potências. A ideia de valorização do raciocínio lógico-de- dutivo pode ser explorada de forma muito rica nas atividades 9 e 10, em que o aluno irá empregar o conhecimento que aprendeu sobre identificação de padrões, utilizando o resto de uma divisão. Na prática, a lógica dedutiva permitiu que encontrássemos o algarismo da unidade de potências grandes sem precisar-mos calcular o seu resultado, o que não seria uma tarefa simples. Desafio! 10. Qual é o algarismo da unidade do re- sultado da expressão numérica 7100 + + 7150 + 5? Nesse item, teremos que descobrir inicialmente a casa da unidade das potências 7100 e 7150, o que poderá ser feito investigando os restos das divisões de 100 e de 150 por 4. No primeiro caso, o resto é 0, o que implica casa das unidades igual a 1. No segundo, o resto é 2, o que implica casa das unidades igual a 9. Temos, portanto, que a soma 7100 + 7150 + 5 implica somarmos dois números que têm casas das unidades iguais a 1 e 9, com 5 unida- des (correspondentes à última parcela da soma). Como 1 + 9 + 5 = 15, a casa da unidade de 7100 + 7150 + 5 será 5. 63 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 Convidamos o professor a elaborar outras atividades com potências de outras bases para que seus alunos pratiquem o raciocínio desenvolvido nas atividades apresentadas. Usando letras na representação de padrões Nos problemas anteriores, trabalhamos com sequências figuradas e numéricas, e nosso principal objetivo foi identificar regularidades e representá-las com o uso da linguagem escri- ta ou de recursos aritméticos. Nossa próxima atividade tem o objetivo de estabelecer um am- biente favorável para o uso de letras na repre- sentação dos padrões identificados de forma indutiva. Veremos, com os problemas propos- tos, como trabalhar com fórmulas recursivas e não recursivas na representação de regularida- des. Mais uma vez, convidamos o professor a ler com atenção os comentários das atividades, porque neles estão as justificativas da proposta de trabalho, bem como as sugestões de desdo- bramentos que podem ser feitos. 11. Observe a sequência de boli- nhas e responda às perguntas: 1 32 4 a) Desenhe as bolinhas que devem ocupar as posições 5 e 6. 5 6 b) Preencha a tabela, associando o número de bolinhas com a posição da figura. Posição 1 2 3 4 5 6 Número de bolinhas 1 3 5 7 9 11 c) Quantas bolinhas terá a figura que ocu- pa a 10a posição? 19 bolinhas. d) E a figura que ocupa a 45a posição? 89 bolinhas. e) Descreva, em palavras, o padrão de for- mação dessa sequência. Quando pedimos para o aluno representar em palavras o padrão da sequência, há uma grande diversidade de res- postas possíveis. Em geral, podemos agrupá-las em duas categorias: a das representações chamadas recursivas, em que a determinação do número de bolinhas de uma etapa depende diretamente da determinação do núme- ro de bolinhas da etapa anterior; e a das não recursivas, em que o número de bolinhas de cada etapa é calculado apenas com informações associadas ao próprio núme- ro que determina a posição da figura na sequência. Um padrão recursivo que pode ser usado para descrever a sequência em palavras é: somamos sempre duas boli- nhas em cada etapa com relação à etapa anterior. Um padrão não recursivo para a sequência, descrito em pa- lavras, seria: o número de bolinhas de cada posição é 1 a menos que o dobro da posição. 12. Considere, agora, a mesma sequência da atividade anterior representada por boli- nhas coloridas. 64 1 32 4 5 a) Que lógica foi utilizada para colorir as bolinhas? Nessa figura, marcamos em vermelho uma bolinha que sem- pre se repetirá em todas as posições e em tons de azul os pares de novas bolinhas em cada posição. b) Qual é a única bolinha que não forma par e está presente em todas as figuras? A vermelha. c) Quantos pares de bolinhas da mesma cor contém a figura 4? E a figura 5? 3 pares na figura 4 e 4 pares na figura 5. d) Quantos pares de bolinhas da mesma cor haverá na figura 18? E na figura 31? Na figura 18 haverá 17 pares e na figura 31, 30 pares. e) Qual é a figura da sequência que possui 25 pares de bolinhas da mesma cor? Quantas bolinhas essa figura possui no total? Será a figura da posição 26. No total, haverá 51 bolinhas, cor- respondentes aos 25 pares (25 2) mais a bolinha vermelha. f) Utilizando a letra P para identificar a posição da figura, escreva uma fórmula que determine o número N de bolinhas de cada figura. N = 1 + 2 (P – 1) ou N = 2 P – 1. Em um primeiro momento, tanto a forma re- cursiva quanto a não recursiva de representação do padrão de uma sequência devem ser aceitas e valorizadas. Contudo, é importante que o alu- no perceba que as fórmulas não recursivas são mais úteis porque podemos utilizá-las direta- mente para determinar o número de bolinhas de uma posição qualquer. Quando trabalhamos com sequências muito difíceis, em que consegui- mos identificar apenas uma fórmula recursiva, se tivermos que determinar o total de bolinhas de uma posição muito distante do início da se- quência, certamente precisaremos do auxílio de calculadoras ou computadores. Essa discussão permite que o aluno compreenda que as fórmu- las recursivas não constituem um problema para um computador, que tem uma memória muito grande para armazenar informações, mas po- dem limitar significativamente nosso poder de decisão sobre o número de bolinhas de uma se- quência se não tivermos o auxílio da máquina. Nesse sentido, ao longo do trabalho com se- quências, o professor deve incentivar seus alu- nos a identificar fórmulas não recursivas para a representação de padrões. A notação apropriada para a escrita das fórmulas é outro aspecto que também deve ser trabalhado. Nas fórmulas recursivas, de- vemos trabalhar com o uso de índices, en- quanto nas não recursivas a escrita pode ser significativamente mais simples e concisa. Em ambos os casos, o professor terá que de- dicar um tempo para que o aluno se familia- rize com o uso de letras na representação das fórmulas. Nossa proposta de ação metodo- lógica é que o professor discuta com a clas- se alguns exemplos para que, em seguida, os alunos possam resolver outros problemas de sequências com autonomia. 65 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 Na atividade 11, é muito provável que a maioria dos alunos tenha encontrado a so- lução recursiva, e não a outra. Uma forma de problematizarmos a necessidade de uma fórmula não recursiva seria propor que o aluno determinasse o número de bolinhas de uma posição muito distante da origem, como a posição 437. A apresentação desse desafio faz com que o aluno perceba a necessidade de desenvolver um domínio aritmético sobre a sequência que o liberte da dependência dos termos anteriores para determinar os pos- teriores. Caso o aluno descubra uma forma não recursiva de cálculo, é importante que o professor solicite que ele a registre em pala- vras, porque, a partir desse registro, será feita a transposição para a linguagem matemática das expressões com letras. Se o aluno identificou o padrão da sequên- cia por recursividade, o professor deverá traba- lhar com a classe o uso de uma linguagem clara para representar esse padrão com o uso de fór- mulas. Recomendamos que, em um primeiro momento, o professor dê liberdade para que seus alunos criem os próprios símbolos e no- tações, e, em um segundo momento, propomos que se apresente a notação com índices. Uma maneira de representar o total de bolinhas da posição P com uma fórmula recursiva é: Chamaremos o número de bolinhas das posições da sequência de N1, N2, N3, … Na posição 1, temos N1 bolinhas (N1 = 1). Em qualquer outra posição P, teremos 2 + NP – 1. Assim, NP = 2 + NP – 1. Uma possível representação não recursiva para o total de bolinhas da posição P é: Na posição 1, temos 1 bolinha. Nas demais posições, temos 1 + 2 (P – 1) bolinhas. Assim, NP = 1 + 2 (P – 1). Dois detalhes devem ser destacados nesse momento: é muito provável que haja dificuldades na passagem da linguagem oral (ou escrita) para as expressões com letras, sejam elas recursivas ou não recursivas, e, portanto, a mediação do professor é essencial para o êxito da atividade. Recomendamos que o professortrabalhe com alguns exemplos para que o aluno vá se familiarizando aos poucos com a notação e com a proposta da atividade, e que trabalhe com uma boa sequência de exercícios; o professor deverá sempre incentivar os alu- nos na busca de sequências não recursivas. Outra maneira de trabalhar o reconheci- mento da fórmula não recursiva é por meio de rearranjos das bolinhas em suas respecti- vas posições: 1 32 4 5 1 32 4 5 66 III. Escreva uma fórmula que relacione o número N de bolinhas com a posição P que ocupa a figura na sequência. Sequência 1 1 32 4 5 II. 9 bolinhas e 24 bolinhas, respectivamente. III. Sequência 1: N = P + 4. Sequência 2 1 32 4 5 II. 17 e 62 bolinhas, respectivamente. III. Sequência 2: N = P + 2(P + 1) ou N = 2P + (P + 2). Sequência 3 1 32 4 5 II. 17 e 77 bolinhas, respectivamente. III. Sequência 3: N = 1 + 4(P – 1). Observe que rearranjamos as bolinhas de maneira a aproximar a figura de um retân- gulo. Em seguida, completamos os retân- gulos com bolinhas vermelhas que devem ser descontadas no final, porque não fazem parte da sequência. Nesse caso, olhando para a figura da direita, o aluno pode fazer a contagem multiplicando largura e altura dos retângulos e descontando uma bolinha no final. A largura dos retângulos é dada pelo próprio número P da posição da figu- ra, e a altura é constante e igual a 2. Segue, portanto, que a fórmula procurada pode ser escrita da seguinte maneira: N = 2 P – 1. Outra atividade interessante é mostrar para os alunos a equivalência entre as fórmu- las 1 + 2 (P – 1) e 2P – 1, o que pode servir de estratégia para falar, por exemplo, da pro- priedade distributiva. No Caderno da 7a série/ 8o ano, exploraremos mais detalhadamente esse tipo de abordagem, mas nada impede que o professor a trabalhe com suas turmas de 6a série/7o ano, se julgar conveniente. Apresentamos a seguir outras sequências que também podem ser usadas em problemas como os que acabamos de resolver. 13. Em cada uma das sequências a seguir, faça o que se pede. I. Desenhe a próxima figura da sequência. II. Calcule o número de bolinhas das figu- ras que ocupam a 5a e a 20a posição. 67 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 Sequência 4 1 32 4 5 II. 19 e 79 bolinhas, respectivamente. III. Sequência 4: N = 4P – 1 ou N = 2(2P – 1) + 1. Sequência 5 1 32 4 5 II. 23 e 98 bolinhas, respectivamente. III. Sequência 5: N = 5P – 2 ou N = 2(2P – 1) + P. Sequência 6 1 32 4 5 II. 20 e 80 bolinhas, respectivamente. III. Sequência 6: N = 4P. Considerações sobre a avaliação Nesta Situação de Aprendizagem foram propostas situações com a finalidade de tra- balhar a identificação e a representação de pa- drões em sequências por meio da linguagem escrita e da linguagem matemática algébrica, e o uso de recursos aritméticos para a iden- tificação indutiva do padrão de sequências. Consideramos como pré-requisitos mínimos da atividade: que o aluno consiga representar sequências simples com o uso de letras e fór- mulas não recursivas, compreendendo a no- ção de variável de uma fórmula; e que o alu- no consiga utilizar as noções de múltiplo e de resto de uma divisão para resolver problemas. Para que se obtenha êxito no desenvolvi- mento da atividade se obtenha êxito no de- senvolvimento, é importante que o professor prepare outras sequências com figuras ou nú- meros para que os alunos possam praticar as habilidades: a observação, a generalização e o registro algébrico. A avaliação de aprendizagem pode ser feita por meio de provas individuais ou de jogos em equipes. Se optar por jogos, o professor pode preparar e disponibilizar sequências para que os grupos de alunos descubram fórmulas re- cursivas e não recursivas. O sistema de pontua- ção pode ser determinado pelo professor ou negociado com a classe. Propomos ao profes- sor que trabalhe e avalie os estudos com múlti- plos e resto da divisão com listas de exercícios e provas individuais. 68 Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 6 Nesse contato do aluno com a Álgebra, a exploração de fórmulas constitui uma es- tratégia eficaz para introduzir o uso de letras em Matemática. Elas podem ser facilmente manipuladas pelos alunos, sem a preocu- pação explícita de “resolver” uma equação. Além disso, o contexto inerente a uma fór- mula constitui uma forma de dar significado ao uso das letras, à substituição destas por valores numéricos e, também, a alguns prin- cípios de resolução, que serão apresentados formalmente mais à frente. A ideia central que deve nortear o trabalho com fórmulas é a de que as letras servem para representar um valor numérico qualquer. Por exemplo, se escrevermos a fórmula do períme- tro do quadrado como P = 4 a, o aluno deve perceber que, substituindo a letra a por qual- quer número positivo que represente a medida do lado de um quadrado, obtém-se como resultado o perímetro desse quadrado. Em- bora, nesse caso, a letra a não possa assumir valores negativos, é possível obter o perímetro de qualquer quadrado conhecendo-se a medi- da de seu lado. Essa capacidade de generalização de uma propriedade ou relação é o que caracteriza uma fórmula. Ela permite que enxerguemos a estrutura dessa relação entre diferentes gran- dezas. A fórmula P = 4 a nos diz que o perí- metro de um quadrado corresponde a 4 vezes a medida de seu lado. Olhando por outra perspectiva, o lado a de um quadrado cor- responde à quarta parte do seu perímetro P, o que é expresso pela fórmula a = P 4 . A distinção entre fórmula e equação é sutil. Ambas são sentenças matemáticas que en- volvem uma igualdade e o uso de letras. O que caracteriza uma equação é o fato de ela sempre representar uma pergunta. Por exemplo, a equação 2x + y = 5 é uma pergun- ta do tipo: Quais são os valores de x e y que tornam essa igualdade verdadeira? A fórmu- la, por sua vez, não é necessariamente uma pergunta. Ela é uma igualdade que expressa a relação entre duas ou mais grandezas. Es- Conteúdos e temas: letras para representar números ou grandezas; valor numérico de uma fórmula/expressão algébrica. Competências e habilidades: ler e interpretar enunciados; transpor linguagem escrita para al- gébrica e vice-versa; resolver equações. Sugestão de estratégias: resolução de problemas usando fórmulas relacionadas a diferentes contextos. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 EQUAÇÕES E FÓRMULAS 69 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 sas grandezas são representadas por letras, como no caso da fórmula da área do círculo, A = π r2. A fórmula será uma equação quan- do expressar uma pergunta. Por exemplo: Qual é a área de um círculo de raio igual a 3? Para responder a essa pergunta, resolvemos a equação A = π 32, cujo resultado é A = 9π. Há uma gama enorme de fórmulas que podem ser exploradas em sala de aula pelo professor, desde as ligadas diretamente à Matemática até fórmulas relacionadas a ou- tras áreas do conhecimento. A Matemática fornece inúmeras fórmulas, seja para o cál- culo de áreas, perímetros e volumes de figu- ras geométricas, seja para a determinação de um número em uma sequência numérica, cálculo de médias, determinação das raízes de uma equação de 2o grau etc. As ciências em geral, principalmente a Física, possuem um vasto repertório de fórmulas que podem ser usadas. Fórmulas ligadas ao cotidiano, como o cálculo do Imposto de Renda ou do consumo de energia em uma residência, constituem exemplos bastante significativos para trabalhar com os alunos. 1. Faça uma pesquisa e encontre dois exemplos de fórmulas. Registre-as no es- paço a seguir e escreva um parágrafo sobre o que você sabe a respeito delas (para que são usadas, como funcionam, de que área do conhecimento elas vêm etc.). Dicas de pesquisa: você pode encontrar exemplos de fórmulas em seus livros escolares (Matemática, Ciências ou Geografia), enciclopédias,jornais e revistas ou na internet. Fórmula 1: Fórmula 2: O resultado da pesquisa é pessoal. Procure orientá-los sobre o tipo de expressão que devem procurar, pois alguns podem não saber do que se trata uma fórmula. Além disso, estimule-os a pesquisar sobre o significado das fórmulas encontradas. Observação: o objetivo dessa pesquisa é discutir com os alunos a importância do uso de letras para expressar fórmulas. Reserve um tempo da aula para que os alunos socializem os resultados de suas pesquisas. Com o objetivo de facilitar a compreensão do aluno sobre o uso de letras na Matemática, apresentaremos, a seguir, alguns problemas que exploram o uso de fórmulas. Pretende- mos, também, fornecer alguns exemplos para ampliar o repertório de fórmulas que podem ser usadas em sala de aula. Ao manipular as fórmulas, os alunos po- dem se deparar com situações que exijam a resolução de equações. Nesse estágio do aprendizado, é importante deixar o aluno resolvê-las por meio de tentativas ou pelo raciocínio heurístico. A heurística é enten- dida, nesse contexto, como um processo 70 não formal de resolução de problemas, no qual o aluno pode chegar a um resultado usando um raciocínio não convencional. Desse modo, uma equação pode ser resol- vida por estratégias diferentes daquelas que normalmente utilizaríamos com o uso das técnicas e dos procedimentos algébricos tradicionais. Fórmulas na Geometria Podemos iniciar esta atividade solici- tando aos alunos que procurem no livro ou no caderno todas as fórmulas relacionadas ao cálculo de áreas e perímetros que eles aprenderam. A partir dessa lista, o professor pode desenvolver uma série de atividades exploratórias envolvendo a interpretação da sentença matemática presente na fórmula, o significado das letras que a compõem, a obtenção de resultados a partir de valores numéricos etc. A seguir, apresentaremos exemplos de situações que podem ser de- senvolvidas nesse sentido. Perímetro de um retângulo 2. Vamos partir de uma situação concreta de cálculo do períme- tro de um retângulo. a) Calcule o perímetro de um retângulo de lados iguais a 4 cm e 6 cm. Escreva a sentença matemática correspondente a essa operação. 6 cm 4 cm P = 4 + 4 + 6 + 6 = 20 cm b) Como ficaria a sentença matemática se o retângulo tivesse lados iguais a 22,5 cm e 42 cm? P = 22,5 + 22,5 + 42 + 42 P = 45 + 84 P = 129 cm c) Vamos substituir as medidas dos lados do retângulo pelas letras a e b, represen- tando o comprimento e a largura, res- pectivamente. Escreva a expressão do perímetro desse retângulo. P = a + a + b + b Comente com os alunos que a sentença anterior é equiva- lente a escrever P = 2 a + 2 b Portanto, a fórmula do perímetro de um retângulo de lados a e b quaisquer é: P = 2a + 2b a b 71 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 d) A expressão matemática encontrada no item anterior é a fórmula do perímetro do retângulo. Usando essa fórmula, cal- cule o perímetro de um retângulo cujo comprimento a tem 8,3 cm e a largura b, 4,1 cm. P = 2 a + 2 b = 2 8,3 + 2 4,1 = 16,6 + 8,2 = 24,8 cm. O perí- metro desse retângulo vale 24,8 cm. e) Sabendo que a medida da largura de um retângulo é 5 m e que seu períme- tro vale 22 m, descubra qual é o seu comprimento. 22 = 2 a + 2 5 a = 6 m. f) Usando a fórmula do perímetro, encon- tre as medidas a e b dos lados de um retângulo para que seu perímetro seja igual a 36 cm. Solução em aberto. Em um primeiro momento, este problema pode ser re- solvido livremente pelos alunos por meio da atribuição de valores para a e b. Contudo, é importante mostrar em seguida como ficaria a resolução usando a fórmula do perímetro. Por exemplo, se a for igual a 8, a fórmula ficará assim: 36 = 2 8 + 2 b, ou 36 = 16 + 2 b. Ou seja, o valor de b será 10 cm. Área de um triângulo retângulo 3. A fórmula para o cálculo da área de um triângulo qualquer é A= h 2 , onde A representa a me- dida da área; , a medida de um lado; e h, a medida da altura do triângulo em relação a esse lado. Considere o triângulo retângulo ABC, de catetos a e b e hipotenusa c, repre- sentado a seguir. B b C c A a a) Sabendo que os catetos a e b são perpen- diculares entre si, qual seria a fórmula da área para um triângulo retângulo de lados a, b e c? Como a medida de um cateto corresponde à altura do triângulo relativa ao outro cateto, podemos escrever a fór- mula da área como A = ab 2 . É importante observar que, nesse item, a interpretação das medidas do lado e da al- tura como sendo os catetos de um triângulo retângulo implicou uma substituição de duas letras ( e h) por outras duas letras (a e b). Nos próximos itens, o objetivo é trabalhar o procedimento de substituição por números na fórmula, obtendo o resultado desejado. b) Utilizando a fórmula do item anterior, calcule a área de um triângulo retângu- lo, cujos catetos medem, respectivamen- te, 3 cm e 4 cm. A = a b 2 = 3 4 2 = 6. Portanto, A = 6 cm2. c) Use a fórmula para calcular a área de um triângulo retângulo cujos catetos me- dem, respectivamente, 28 cm e 32 cm. A = a b 2 = 28 32 2 = 448. Portanto, A = 448 cm2. 72 d) A área de um triângulo retângulo é co- nhecida e igual a 144 cm2. Use a fórmula A = a b2 para descobrir quais dos pares de valores a seguir podem representar as medidas dos catetos desse triângulo. I. 12 cm e 25 cm. II. 14 cm e 24 cm. III. 16 cm e 18 cm. IV. 17 cm e 17 cm. O único par de valores que corresponde à área conhecida é 16 cm e 18 cm. A = a b 2 = 16 18 2 = 144 cm2. e) Sabendo que a área de um triângulo re- tângulo é 40 cm2 e que um dos catetos mede 10 cm, determine a medida do outro cateto. Nesse caso, comente com os alunos que o valor da área já é conhecido e, por isso, pode ser inserido na fórmula da área no lugar da letra A. O problema passa a ser a desco- berta do valor da medida de um dos catetos. Substituindo- -se A por 40 e a por 10, obtemos a seguinte igualdade: 40 = = 10 b 2 . A equação subsequente corresponde à seguin- te pergunta: qual o valor de b que multiplicado por 10 e dividido por 2 resulta em 40? Os alunos provavelmente não terão dificuldade para concluir que b vale 8 cm. Fórmulas de média aritmética A fórmula da média aritmética é bem conhe- cida pelos alunos, principalmente quando têm que calcular os resultados obtidos em diversas avaliações. Ela constitui um exemplo rico para explorar outras características de uma fórmula. No próximo exercício, vamos aproveitar uma situação cotidiana para propor aos alunos que escrevam a fórmula da média aritmética para dois ou mais valores. Partiremos de uma situação concreta para, em seguida, solicitar a generalização com letras. 4. Um aluno obteve notas 6 e 7,5 em duas provas de Matemática. a) Calcule a média aritmética das notas obtidas. (6 + 7,5) ÷ 2 = 13,5 ÷ 2 = 6,75. b) Escreva uma fórmula para calcular a mé- dia aritmética M(a, b) de dois valores quais- quer, representados pelas letras a e b. Generalizando, a ideia de que a média aritmética entre dois va- lores é obtida somando-se os dois valores e dividindo-se por 2, a fórmula pode ser escrita como: M ( a , b ) = a b 2 . Neste último caso, é importante ressaltar com os alunos o significado dos pa- rênteses na sentença matemática. c) Escreva uma fórmula para calcular a mé- dia aritmética M(a, b, c) de três valores quais- quer, representados pelas letras a, b e c. De forma análoga, precisamos somar os três valores e dividir o resultado por 3. M ( a, b, c ) = a b + c 3 . d) Use a fórmula e calcule a média aritméti- ca dos números 19, 24 e 35. M ( 19, 24, 35 ) = 19 24 + 35 3 = 26. e) Um aluno obteve notas 5,5 e 7,5 em duas provas de Geografia. Restando mais uma prova a ser realizada, qual nota ele deve obter para que a média aritmética das três provas seja igual a 6? 73 Matemática– 6a série /7o ano – Volume 2 A fórmula para calcular a média aritmética das no- tas das três provas P 1 , P 2 e P 3 é: M (P 1 , P 2 , P 3 ) = P 1 + P 2 + P 3 3 . Substituindo-se os valores das provas P 1 e P 2 , e o valor da média desejada, obtemos a seguinte expressão: 6 = = 5,5 + 7,5 + P 3 3 ou 6 = 13 + P 3 3 . Nesse caso, podemos olhar para a 2a equação como uma pergunta do tipo: qual o valor que adicionado a 13 e cuja soma dividida por 3 resulta em 6? Mesmo sem utilizar nenhum procedimento de resolução de equa- ção, um aluno da 6a série/7o ano é capaz de respon- der a essa pergunta. Se o resultado da divisão de um número por 3 é 6, esse número é 18. Portanto, o número pro- curado somado com 13 é igual a 18; sendo assim, concluímos que o número procurado é 5. Fórmulas na Economia Muitas das fórmulas que são publicadas em jornais e revistas referem-se a cálculos econômicos e financeiros. Os exemplos mais conhecidos são as fórmulas de juros simples e compostos, do cálculo de impostos, taxas de câmbio etc. Saber utilizar essas fórmulas é importante para o cidadão interpretar e atuar sobre a realidade econômico-financeira vigen- te. Vamos explorar, como exemplo, o cálculo do Imposto de Renda mensal aplicado sobre os rendimentos de uma pessoa. Esta pode ser uma oportunidade para con- versar com os alunos sobre alguns conceitos re- lacionados à Economia. O que são os impostos, quem arrecada, para onde vai o dinheiro, como se cobra esse tributo, o que é o Imposto de Ren- da etc. Para a atividade a seguir, comente que o Imposto de Renda incide sobre os rendimentos 5. Faça uma pesquisa sobre o Imposto de Renda, tendo como base as seguintes per- guntas: O que são os impostos? Quem os arrecada? Para onde vai o dinheiro arrecadado? O que é o Imposto de Ren- da? Registre o resultado de sua pesqui- sa nas linhas a seguir. Procure orientar a pesquisa dos alunos, fornecendo indicações de livros, dicionários, revistas ou sites que tragam informações sobre impostos. Indicamos al- guns sites que trazem informações a respeito de im- postos e do Imposto de Renda. O papel dos impostos. Disponível em: <http://leaozinho. receita.fazenda.gov.br/escola/default.htm>. Acesso em: 4 dez. 2013. Revista Época. Disponível em: <http://revistaepoca. globo.com/Revista/Epoca/0,,EMI29453-15201,00.html>. Acesso em: 4 dez. 2013. Imposto de Renda. Disponível em: <http://www.receita. fazenda.gov.br/Memoria/irpf/historia/historia.asp>. Acesso em: 4 dez. 2013. A ideia central a ser discutida com os alunos é a de que os impostos são contribuições em dinheiro que os governos cobram dos cidadãos e das empresas para promover in- vestimentos públicos (construção de ruas, pontes, usinas etc.), implantar e manter serviços públicos (água, luz, te- lefone etc.). Há diversos tipos de impostos, cada qual com uma finalidade. Existem os impostos sobre a venda de pro- dutos, sobre a produção das indústrias, sobre os serviços e as operações financeiras, sobre a propriedade etc. de uma pessoa (como o salário mensal). Ele é calculado com base em uma porcentagem (alí- quota) cobrada de forma crescente, isto é, um imposto maior para quem ganha mais. 74 6. Explique o significado da expressão “mor- dida do leão”, que aparece na matéria apre- sentada na seção Leitura e análise de texto. A expressão “mordida do leão” refere-se ao valor que é co- brado por meio do Imposto de Renda, considerado muito alto pelos contribuintes. A fórmula do Imposto de Renda Analisando a tabela a seguir, mostre aos alunos que, se os rendimentos forem abaixo de determinado valor, não se paga imposto. Para certos valores, o imposto cobrado é de 15% sobre a remuneração mensal, menos uma parcela constante a ser deduzida. Para a faixa seguinte, a alíquota é maior (27,5%) e a parce- la a deduzir, também. Antes de iniciar a atividade, procure relem- brar os alunos dos principais procedimentos relacionados ao cálculo com porcentagens: Para onde vai o dinheiro do seu imposto de renda? A “mordida do leão” dói todo ano no bolso do contribuinte e todo mundo se pergunta onde os recursos recolhidos são aplicados. Uma maneira de garantir que pelo menos uma parte do imposto seja usada para uma causa nobre é doar para entidades de apoio à criança e ao adolescente. Pouca gente sabe dessa possibilidade, apesar de a lei ser de 1990, mas qual- quer pessoa ou empresa pode abater do Imposto de Renda o valor doado a instituições, desde que elas estejam cadastradas nos conselhos ligados aos Fundos da Criança e do Adolescente. CASALETTI, Danilo. Para onde vai o dinheiro do seu imposto de renda? In: Revista Época. Disponível em: <http:// revistaepoca.globo.com/Revista/Epoca/0,,ERT29453-15201-29453-3934,00.html>. Acesso em: 4 dez. 2013. O surgimento do Leão No final de 1979, a Secretaria da Receita Federal encomendou uma campanha publicitária para divulgar o Programa Imposto de Renda. Após análise das propostas, foi imaginado o leão como símbolo da ação fiscali- zadora da Receita Federal e, em especial, do imposto de renda. De início, a ideia teve reações diversas, mas, mesmo assim, a campanha foi lançada. A escolha do leão levou em consideração algumas de suas características: 1. É o rei dos animais, mas não ataca sem avisar; 2. É justo; 3. É leal; 4. É manso, mas não é bobo. A campanha resultou em uma identificação pela opinião pública do leão com a Receita Fe- deral e, em especial, com o Imposto de Renda. Embora hoje em dia a Receita Federal não use a figura do leão, a imagem do símbolo ficou guardada na mídia e na mente dos contribuintes. Disponível em: <http://www.receita.fazenda.gov.br/Memoria/irpf/curiosidades/curiosidades.asp#surgimentoLeao>. Acesso em: 20 nov. 2013. © D or lin g K in de rs le y/ G et ty I m ag es 75 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 como expressar uma porcentagem na for- ma de fração ou na forma decimal; como calcular a porcentagem de um valor. Nas atividades seguintes, recomenda-se o uso da calculadora para efetuar os cálculos. Dessa forma, os alunos podem se concentrar mais no uso da fórmula, que é o objetivo prin- cipal da Situação de Aprendizagem. 7. A tabela a seguir mostra o cál- culo que foi realizado para a co- brança do Imposto de Renda no Brasil (em 2013). Ela informa a porcentagem cobrada de cada faixa de rendimento (salários, aluguéis e outras remunerações). Veja que até determinado valor o contribuinte é isento, isto é, não precisa pagar o Imposto de Renda. Além disso, existe uma parcela fixa a ser descontada do imposto calculado. Tabela progressiva para o cálculo mensal do Imposto de Renda de Pessoa Física para o exercício de 2014, ano-calendário de 2013 Base de cálculo mensal em R$ Alíquota % Parcela a deduzir do imposto em R$ Até 1 710,78 – – De 1 710,79 até 2 563,91 7,5 128,31 De 2 563,92 até 3 418,59 15,0 320,60 De 3 418,60 até 4 271,59 22,5 577,00 Acima de 4 271,59 27,5 790,58 Fonte: Secretaria da Receita Federal do Brasil. Disponível em: <http://www.receita.fazenda.gov.br/aliquotas/ contribfont2012a2015.htm>. Acesso em: 9 dez. 2013. a) Calcule o Imposto de Renda de um contribuinte que recebeu R$ 2 100,00 de rendimento mensal. 1ª etapa: calcular 7,5% de R$ 2 100,00 = 157,50 reais. 2ª etapa: parcela a deduzir 157,50 – 128,31 = 29,19 O imposto a ser retido é de R$ 29,19. b) Escreva uma fórmula para o cálculo do Imposto de Renda com alíquota de 7,5%. Represente o imposto a ser pago pela letra I e a remuneração pela letra R. I = 7,5% R – 128,31, ou I = 0,075 R – 128,31 c) Faça o mesmo para a alíquota de 15%. I = 15% R – 320,60, ou I = 0,15 R – 320,60 d) Faça o mesmo para a alíquota de 22,5%. I = 22,5% R – 577,00, ou I = 0,225 R – 577,00 e) Faça o mesmo para a alíquota de 27,5%. I = 27,5% R – 790,58, ou I = 0,275 R – 790,58 f) Calcule o valor do Imposto de Rendaa ser pago para as seguintes remune- rações: I. R$ 2 500,00 II. R$ 4 300,00 III. R$ 6 000,00 I. I = 7,5% 2 500 – 128,31 = 59,19 II. I = 27,5% 4 300 – 790,58 = 391,92 III. I = 27,5% 6 000 – 790,58 = 859,42 8. Considere os valores obtidos no item d da atividade anterior. a) Calcule a porcentagem efetiva de im- posto cobrado em cada caso: 76 Remuneração = R$ 2 500,00 Imposto = = R$ 59,19 Imposto Remuneração = 59,19 2 500,00 ≅ 0,02367 ≅ 2,4% Remuneração = R$ 4 300,00 imposto = = R$ 391,92 Imposto Remuneração = 391,92 4 300,00 ≅ 0,09114 ≅ 9,1% Remuneração = R$ 6 000,00 Imposto = = R$ 859,42 Imposto Remuneração = 859,42 6 000,00 ≅ 14,32 ≅ 14,3% b) O que você pode concluir com base nes- ses resultados? Sobre a maior remuneração (R$ 6 000,00) incide imposto maior (14,3%). Quanto maior a remuneração, maior é a porcentagem efeti- va de imposto cobrado. c) As remunerações de R$ 4 300,00 e R$ 6 000,00 estão sujeitas à mesma alí- quota de imposto (27,5%). Contudo, a porcentagem efetivamente cobrada não é a mesma. Qual é a razão para essa diferença? A razão é que o valor a ser deduzido do imposto (R$ 790,58) é fixo. Dessa forma, para um salário menor, a parcela a deduzir é proporcionalmente menor que para um salário maior. Por essa razão, o imposto efetivo sobre o valor de R$ 6 000,00 é maior do que o cobrado sobre o valor de R$ 4 300,00. Fórmula relacionada à saúde O Índice de Massa Corpórea (IMC) é uma razão que relaciona a massa em quilogramas de uma pessoa com o quadrado de sua altura em metros. Ele é reconhecido pela Organização Mundial da Saúde (OMS) como um padrão razoável para avaliar a proporção saudável en- tre massa e altura. O IMC pode ser utilizado como indicador do estado nutricional de uma pessoa, refletindo possíveis problemas de baixo peso (subnutrição ou anorexia) ou excesso de peso (obesidade). Ele é calculado dividindo-se o peso da pessoa pelo quadrado da altura, como mostra a fórmula I p a = 2 ,onde p é o peso, em quilograma, e a é a altura, em metros. A tabela a seguir mostra a classificação da OMS para a população adulta, segundo o valor do IMC. Classificação IMC (kg/m2) Magreza severa Menor que 16 Abaixo do peso Menor que 18,5 Peso normal Entre 18,5 e 24,99 Sobrepeso/pré-obesidade Entre 25,0 e 29,99 Obesidade Entre 30,0 e 39,99 Obesidade de alto grau Maior que 40 Fonte dos dados: adaptado da OMS. Disponível em: <http://www.who.int>. Acesso em: 20 nov. 2013. 77 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 Observação! Usamos comumente a palavra “peso” para nos referir à massa de uma pessoa, embora, na Física, tais termos possuam significados distintos. Para a realização das atividades a seguir, recomenda-se que os alunos usem uma calcula- dora. O objetivo principal da atividade é menos a habilidade de calcular e mais a percepção das relações entre os parâmetros da fórmula. 9. Com base nos dados fornecidos na tabela apresentada na seção ante- rior, resolva as questões a seguir. (Dica: para efetuar os cálculos, você pode- rá usar a calculadora.) a) Uma pessoa com 1,60 m e 65 kg está em que categoria da tabela? I = 65 1,62 , I 25,4. Esse valor encontra-se no intervalo entre 25 e 29,99, cuja classificação é de sobrepeso. b) Os resultados a seguir referem-se às me- didas de peso e altura de um grupo de adultos. Calcule o IMC para cada pes- soa e classifique sua condição, confor- me a tabela fornecida na seção anterior. Pessoa A: 72 kg e 1,72 m IMC = 24,34, peso normal. Pessoa B: 84 kg e 1,77 m IMC = 26,81, sobrepeso. Pessoa C: 54 kg e 1,60 m IMC = 21,1, peso normal. Pessoa D: 60 kg e 1,82 m IMC = 18,11, abaixo do peso. c) Qual é o maior peso que uma pessoa adulta com 1,73 m de altura pode ter para ficar dentro da categoria de peso normal segundo a tabela? (Dica: calcule o peso para um IMC igual a 25. A pessoa deverá ter um peso menor que o obtido nesse cálculo.) Substituindo-se os valores fornecidos na fórmula, temos: 25 = P 1,732 ou 25 = P 2,99 . Se aproximarmos o denominador da fração para 3, a solução do problema se reduz a saber qual o número que dividido por 3 resulta em 25. A resposta é 75. Portanto, uma pessoa com 1,73 m de altura deve pesar no máximo 75 kg para que seu IMC se situe na categoria de peso normal. Fórmulas da Física Uma das fórmulas mais conhecidas na Física é a que relaciona a distância aproximada (d), em metros, percorrida por um objeto em queda livre e o tempo (t), em segundos, de queda: d = 5 t2 Os resultados obtidos por meio dessa fórmula são válidos para objetos em queda livre que estejam próximos à superfície da Terra, desprezando-se os efeitos da resistência do ar. 78 A partir dessa fórmula, podemos determinar, com relativa precisão, a distância em metros que um corpo percorre por segundo ao ser abandonado de certa altura, partindo do repou- so, em função da aceleração provocada pela gravidade terrestre. Vamos explorar, a seguir, algumas situa- ções relacionadas ao movimento de um cor- po em queda livre. 10. Uma pedra foi abandonada do alto de uma ponte e demo- rou 7 segundos para atingir a água. Use a fórmula citada na seção Leitu- ra e análise de texto e calcule a altura apro- ximada dessa ponte. Substituindo o tempo de queda na fórmula, obtemos d = 5 72, isto é, d = 245. Ou seja, a pedra percorreu em queda livre uma distância de 245 m em 7 segundos. Portanto, a altura aproxi- mada da ponte é de 245 metros. 11. Um paraquedista saltou de um avião a 3 500 metros de altura. Considerando des- prezível a resistência do ar, calcule a distân- cia percorrida em queda livre pelo esportis- ta a cada segundo, nos primeiros 5 segundos de queda. Preencha a tabela com os valores da distância percorrida (d), em metros. Tempo t (segundos) 1 2 3 4 5 Distância d (metros) 5 20 45 80 125 © C on ex ão E di to ri al a) Assinale, no desenho, as distâncias per- corridas pelo paraquedista a cada se- gundo de queda. © C on ex ão E di to ri al 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 5 m 15 m 25 m 35 m 45 m Entre 0 e 1 segundo, 5 metros; entre 1 e 2 segundos, 15 me- tros; entre 2 e 3 segundos, 25 metros; entre 3 e 4 segundos, 35 metros; entre 4 e 5 segundos, 45 metros. b) Há proporcionalidade direta entre a dis- tância percorrida e o tempo de queda livre? Justifique. Não, pois a razão entre a distância percorrida e o tempo não é constante. Se dobrarmos o tempo (de 1 para 2), a distância aumenta em 4 vezes. 79 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 c) O paraquedista deve abrir seu para- quedas quando estiver a uma altura de 1 500 metros do solo. Sabendo que ele iniciou o salto a 3 500 metros de altura, determine o tempo de queda livre antes que ele acione o paraquedas. Ele deverá percorrer 3 500 – 1 500 = 2 000 metros em queda livre. Substituindo esse valor na fórmula, obtemos: 2 000 = 5 t2 O valor de t que satisfaz a igualdade apresentada anterior- mente é 20. Portanto, o tempo de queda livre do paraquedis- ta será de 20 segundos. A situação do paraquedista pode servir de exemplo para discutir com os alunos que a dis- tância percorrida não é diretamente proporcio- nal ao tempo, mas sim ao quadrado do tempo. As razões entre o tempo e a distância calculados na tabela da atividade 11 não são constantes ( 1 5 ≠ 2 20 ≠ 3 45 etc.). Solicite aos alunos que montem uma tabela relacionando a distância percorrida com o quadrado do tempo e cal- culem a razão entre as duas grandezas. As ra- zões obtidas, nesse caso, serão constantes, o que mostra que: d t2 , ou seja, a distância (d) é proporcional ao quadrado do tempo (t2). d 5 20 45 80 125 t2 1 4 9 16 25 d t2 5 5 5 5 5 Considerações sobre a avaliação O objetivo principal desta Situação de Aprendizagem é familiarizar o aluno com o uso de letras em Matemática por meio da exploração de situações-problema envolven- do fórmulas. Entre os objetivos mínimosde aprendizagem que devem ser alcançados, des- tacamos os seguintes: interpretar uma fórmu- la; saber substituir as letras de uma fórmula pelos valores numéricos correspondentes; re- presentar relações matemáticas simples por meio de letras; resolver equações usando o ra- ciocínio aritmético básico. As atividades propostas constituem exem- plos de situações que podem ser utilizadas para avaliar a aprendizagem dos alunos em provas. O professor também pode propor outras ativi- dades similares envolvendo fórmulas diferentes ligadas às mais diversas áreas do conhecimento. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 EQUAÇÕES, PERGUNTAS E BALANÇAS Conteúdos e temas: equações de 1o grau com uma incógnita. Competências e habilidades: transpor a linguagem escrita para a algébrica; resolver equações de 1o grau por meio de operações inversas e por equivalência. Sugestão de estratégias: proposição de atividades e exercícios envolvendo equações. 80 Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 7 O objetivo desta Situação de Aprendiza- gem é introduzir alguns procedimentos para resolver equações de 1o grau com uma incóg- nita. Uma equação nada mais é do que uma pergunta feita em linguagem matemática usando números, letras e o sinal de igualdade. A existência de uma letra cujo valor se quer descobrir (incógnita) é o que faz da equação o equivalente a uma pergunta na língua ma- terna. Mesmo dentro de um contexto exclu- sivamente matemático, uma equação como 2x + 3 = 13 pode ser entendida como uma per- gunta do tipo: qual é o número cujo dobro so- mado com 3 resulta em 13? Por meio de um raciocínio exclusivamente aritmético, um aluno da 6a série/7o ano é ca- paz de obter a resposta a essa pergunta. Se o dobro de um número somado com 3 resulta em 13, então o dobro desse número só pode ser igual a 10. Então, o número, cujo dobro é 10, é o 5. Interpretar a equação com cuidado é impor- tante para evitar equívocos na resolução. Sendo x um número natural, a equação 2(x – 1) = 6 deve ser diferenciada da equação 2x – 1 = 6. A primeira é uma pergunta do tipo: Qual é o número natural cujo dobro de seu antecessor é igual a 6? (resposta: x = 4). A segunda é: Qual é o número natural cujo antecessor do dobro é igual a 6? (resposta: não existe tal número natu- ral). Essa distinção é fundamental para justifi- car o uso dos parênteses na primeira equação. Em seguida, discutiremos o uso da imagem da balança de pratos como analogia de uma equação. Essa imagem é frequentemente usa- da pelos professores e pelos livros didáticos para explicar os procedimentos de resolução de equações. Contudo, alguns cuidados devem ser tomados. A simples transposição dessa imagem para o mundo das equações não deve ser automática. O professor pode averiguar se os alunos entendem o funcionamento de uma balança de pratos. Possivelmente, muitos alunos nunca tiveram a oportunidade de ver uma balança desse tipo, e um esclarecimento inicial pode ajudar a entender a analogia com as equações. Comente que a balança também pode representar uma situação de desequilí- brio, o que será explorado mais adiante quan- do do estudo das inequações. Existe uma similaridade entre a igualdade entre os lados de uma equação e o equilíbrio de pesos entre os pratos de uma balança. Essa imagem é um recurso que facilita a compre- ensão das transformações que podem ser fei- tas em uma equação, sem alterar a relação de igualdade entre os dois lados. Por exemplo, a colocação ou a retirada de pesos iguais em ambos os pratos da balança e a consequente manutenção do equilíbrio, são compreendidos pela maioria dos alunos e podem ser usados para dar significado à adição ou à subtração de termos em ambos os lados de uma equação. Contudo, o professor deve estar ciente de que o uso da imagem da balança para represen- tar equações possui limites. Não se pode, por exemplo, representar equações com raízes ne- gativas ou situações que envolvem a extração 81 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 de raiz quadrada de ambos os lados, porque essas operações não possuem correspondência no âmbito da medida de pesos. A discussão cuidadosa dos procedimentos de resolução, a partir da manutenção da equivalên- cia entre os dois lados da equação, constitui uma excelente estratégia para introduzir as técnicas algébricas com significado. Nesse primeiro con- tato do aluno com a álgebra das equações, é im- portante evitar a cristalização de procedimentos automáticos e do uso de expressões como “passa para o outro lado com o sinal trocado”. Embo- ra tais procedimentos sejam práticos, eles podem afastar o aluno do real sentido das operações nas equações, fundados na ideia de equivalência. O ideal é que sejam trabalhadas, neste momento, to- das as etapas de transformação por equivalência, mesmo que tal processo seja mais demorado. Apesar disso, o professor não deve se sentir inibido em também mostrar os processos prá- ticos para a resolução de equações, desde que a sua origem seja discutida e compreendida pelos alunos. Afinal de contas, esses processos serão apropriados na continuidade do estudo das equações nas séries/anos seguintes. A equação como pergunta Antes de apresentar as técnicas de resolução de equações, é importante valorizar a capaci- dade de resolução de problemas que os alunos já possuem. Eles são capazes de resolver uma série de equações usando somente o raciocínio lógico, sustentado pelo conhecimento aritmé- tico adquirido nas séries/anos anteriores. Uma equação pode ser vista como uma per- gunta, e a forma de se perguntar em Matemática é por meio de uma equação. Assim, a equação funciona como uma pergunta do tipo: Que valor uma letra precisa assumir para que a igualdade expressa na equação seja verdadeira? Por exemplo: a equação 2x + 3 = 15 corres- ponde a uma pergunta do tipo: Qual é o número cujo dobro somado a 3 resulta em 15? Os alunos são capazes de dar uma resposta a essa per- gunta sem a aplicação de um método prático, bastando fazer um raciocínio puramente arit- mético. Partindo do resultado final, pode-se chegar ao valor procurado invertendo-se as operações da equação do seguinte modo: se o dobro de um número somado com 3 é 15, então o dobro desse número vale 12, e o nú- mero procurado é 6. As operações aritméticas realizadas foram: 15 – 3 = 12 e 12 ÷ 2 = 6. Mentalmente, o aluno consegue realizar essa operação inversa em equações simples, com coeficientes inteiros. A ideia que está por trás do raciocínio é “desfazer” a equação por meio de operações inversas até se obter o valor da incógnita. As atividades propostas a seguir têm como objetivo desenvolver a capacidade de resolver uma equação por meio do pensa- mento lógico. Na primeira atividade, o aluno deverá escrever as equações na forma de uma pergunta, em língua materna. Esse tipo de “tradução” da linguagem matemática para a materna favorece uma compreensão mais precisa da equação. Contudo, é importante orientá-los com relação a dois aspectos: 82 d) O quadrado de um número natural acrescido de 19 é igual a 100. Qual é esse número? Equação: x2 + 19 = 100. Solução: 9. 2. Escreva uma pergunta que represente a equa- ção dada. Em seguida, determine o valor de x. a) 3x + 12 = 21 Qual é o número cujo triplo somado com 12 resulta em 21? x = 3 b) x 3 – 4 = 6 Qual é o número cuja terça parte menos 4 resulta em 6? x = 30 c) 2 (x + 1) = 12 (x é um número natural) O dobro do sucessor de um número vale 12. Qual é esse número? x = 5 d) 2x + 1 = 12 O sucessor do dobro de um número vale 12. Qual é esse nú- mero? x = 5,5 e) x – 1 4 – 3 = 0 A quarta parte do antecessor de um número menos 3 resulta em 0. Qual é esse número? x = 13 f) 5 (2x + 4) = 30 O dobro de um número é acrescido de 4; o resultado é mul- tiplicado por 5, obtendo-se 30. Qual é esse número?x = 1 Notação: orientar os alunos a respeito da notação usada em multiplicações e divisões envolvendo a incógnita. Por exemplo, 2x é o mesmo que 2 x ou x 2; x ÷ 4 é o mesmo que x 4 . Linguagem: alguns termos facilitam a descri- ção de uma operação em palavras. O termo 2x pode ser escrito como o dobro de um nú- mero; 3x, como o triplo de um número; x 2 , como a metade de um número; x 5 , como a quinta parte de um número; x + 1, como o sucessor de um número se x for natural; x – 1, como o antecessor de um número se x for natural etc. 1. Escreva a equação que re- presenta o problema e descu- bra a resposta, se houver. a) Qual é o número cujo dobro somado a 5 resulta em 19? Equação: 2 · x + 5 = 19. Solução: 7. b) O triplo de um número menos 12 é igual a –3. Qual é esse número? Equação: 3x – 12 = –3. Solução: 3. c) Qual é o número cuja quarta parte me- nos 5 é igual a zero? Equação: x 4 – 5 = 0. Solução: 20. 83 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 g) 5 2x + 4 = 30 O quíntuplo do dobro de um número acrescido de 4 é igual a 30. Qual é esse número? x = 2,6 É importante discutir com os alunos al- gumas sutilezas da linguagem algébrica e de sua interpretação em língua materna. A di- ferença entre as equações c e d, por exemplo, é significativa. O dobro do sucessor não é o mesmo que o sucessor do dobro. Na lin- guagem simbólica, essa diferença é contem- plada por meio do uso dos parênteses. O mesmo ocorre no caso dos itens f e g, cuja expressão em língua materna corresponde ao uso da vírgula. Na próxima atividade, os alunos devem re- solver as mesmas equações do item anterior usando apenas o raciocínio aritmético. 3. Resolva as seguintes equações por meio do raciocínio aritmético: a) 3x + 12 = 21 x = 3 b) x __ 3 – 4 = 6 x = 30 c) 2(x + 1) = 12 x = 5 d) 2x + 1 = 12 x = 5,5 e) x – 1 4 – 3 = 0 x =13 f) 5 (2x + 4) = 30 x = 1 g) 5 2x + 4 = 30 x = 2,6 Oriente os alunos a olhar para as equações como uma pergunta cuja resposta eles podem descobrir por meio de um raciocínio aritmé- tico. Não é necessário exigir nenhum tipo de registro formal. É comum que alguns alunos registrem as contas, outros façam “de cabeça” e outros tenham um tipo de notação própria. O mais importante é que eles descubram a resposta sem o uso de uma técnica específica. Por exemplo, no item e, como a diferença entre x – 1 4 e 3 é zero, então x – 1 4 é igual a 3, x – 1 vale 12 e, portanto, x é igual a 13. O uso do raciocínio lógico e do pensamento aritmético é de fundamental importância na Ma- temática. Contudo, em muitas situações, o uso apenas do raciocínio aritmético nem sempre é um caminho fácil. Por exemplo, quando a incógnita aparece em ambos os lados da equação, o uso exclusivo do raciocínio aritmético é insuficiente para uma resolução rápida e precisa. Nesses ca- sos, devemos apresentar aos alunos algumas téc- nicas de resolução, as quais facilitarão a resolução de equações como a que segue: 5x – 1 = 2x + 17. 84 O equilíbrio na balança e a igualdade na equação O uso da balança como analogia para expli- car o funcionamento das equações se baseia na aproximação de dois conceitos: o equilíbrio na balança e a igualdade na equação. Para que isso seja bem compreendido, é importante explicar aos alunos como funciona uma balança de pratos. Como dissemos no início da unidade, talvez muitos deles nunca tenham visto uma, de modo que, se for possível, seria interessante trazer uma balança para a sala de aula a fim de ilustrar o seu funcionamento. © W ilm I hl en fe ld /iS to ck ph ot o/ T hi nk st oc k/ G et ty I m ag es Pesos padronizados. Balança de pratos © T ec hn ol og ie s/ P ho to O bj ec ts / T hi nk st oc k/ G et ty I m ag es O funcionamento da balança de pratos é simples. Em um prato, coloca-se o produto a ser pesado, por exemplo, um abacaxi. No ou- tro, colocam-se peças de diferentes tamanhos com pesos padronizados. Quando os pratos atingem o mesmo nível, determina-se o peso do abacaxi, comparando-o com o peso das peças padronizadas, cujo valor já é conhecido. As figuras a seguir ilustram duas situações distintas: uma pesagem em que houve dese- quilíbrio (um abacaxi pesa mais do que uma peça de 1 quilo) e outra em que houve equilí- brio (um abacaxi em relação a duas peças de 1 quilo). Nesse caso, conclui-se que o peso do abacaxi é equivalente a 2 quilogramas. 1 kg 1 kg1 kg Pode-se usar a balança para fazer compa- rações entre os pesos de diversos objetos. No exemplo ilustrado a seguir, comparamos o peso de 3 cenouras ao peso de 2 bananas e uma peça de 200 gramas. Vamos representar simbolicamente o peso de uma cenoura por C e o da banana por B, admitindo que as cenou- ras têm pesos iguais e as bananas também. Se houver equilíbrio na balança, podemos escre- ver simbolicamente que: 3C = 2B + 200 g 200 g © C on ex ão E di to ri al 85 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 O uso de letras e o sinal de igualdade são elementos que caracterizam uma equação. Dessa forma, é possível fazer essa aproxima- ção entre o equilíbrio de pesos em uma balan- ça e a igualdade numérica na equação. O pres- suposto é que as letras representam números que tornam a igualdade verdadeira. Podemos usar a imagem das balanças para ilustrar alguns princípios de funcio- namento das equações. Contudo, é preciso considerar que essa analogia possui limites, uma vez que a balança não pode representar adequadamente uma série de situações nu- méricas: os valores negativos, as operações com raízes e potências, a multiplicação por números negativos etc. Apesar desses limites, consideramos que seu uso em sala de aula na 6a série/7o ano contribui para uma aprendi- zagem significativa, do modo de operar com equações. Vejamos alguns exemplos: 4. Sabendo que a balança de pratos está em equilíbrio e a massa do melão vale 1,15 kg, descubra a massa da peça desconhecida. 400 400 x x = 350 g 5. Nesta atividade, representaremos a mas- sa de cada abacaxi pela letra x, e a massa de cada pera pela letra y. Considerare- mos, então, que os dois abacaxis têm a mesma massa, assim como as duas peras. Em cada uma das situações, represente o equilíbrio da balança por meio de uma equação. Em seguida, escreva uma con- clusão sobre as equações obtidas. a) Se trocarmos os objetos de um prato de uma balança para o outro, o equilíbrio se mantém. 5 kg 1 kg1 5 kg 1 kg1 Em uma equação, invertendo-se os dois membros, a igual- dade se mantém. 2x + 1 = 5 é o mesmo que 5 = 2x + 1 b) Acrescentando-se um mesmo peso em ambos os pratos, o equilíbrio da balan- ça não se altera (admitindo-se que as peras têm pesos iguais). © C on ex ão E di to ri al © C on ex ão E di to ri al 86 2 kg 2 kg Em uma equação, adicionando-se um mesmo valor em am- bos os membros, a igualdade se mantém. Se x = 2, então x + y = 2 + y c) Na balança, se retirarmos o mesmo peso de ambos os pratos, o equilíbrio permanece inalterado. 1 kg1 kg1 kg1 kg 1 kg1 kg © C on ex ão E di to ri al Em termos algébricos, se x + 1 = 3, então x + 1 – 1 = 3 – 1. Por- tanto, x = 2. Em uma equação, subtraindo-se um mesmo valor em ambos os lados, a igualdade se mantém. d) Se juntarmos os elementos dos pratos de duas balanças em equilíbrio em uma só balança, como mostra a figura, o equilíbrio se mantém. 2 kg 150 g150 g 150 g150 g 2 kg A soma de duas equações resulta em uma terceira, pois se mantém a igualdade. Se x = 2 000 e 2y = 300, então: x + 2y = 2 000 + 300, ou x + 2y = 2 300. 87 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 6. Nesta atividade, o quadrado representa uma massa x, o triân- gulo representa uma massa y e o círculo, uma massa z. Represente o equilí- brio da balança por meio de uma equação e escreva uma conclusão sobre o resultado obtido. Se aumentarmos ou diminuirmospropor- cionalmente o peso de ambos os pratos de uma balança, o equilíbrio se mantém. Em uma equação, se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros por um mesmo número (diferente de zero), a igualdade não se altera. Podemos multiplicar ambos os lados da equação 2x + 2y = 6z por 2, obtendo uma nova equação, 4x + 4y = 12z, equivalente à primeira. Se dividirmos a mesma equação por 2, obteremos x + y = 3z. © C on ex ão E di to ri al Desafio! 7. Um problema de peso – Tenho seis bolinhas idênticas em aspecto. Há, porém, uma pequena diferença entre elas: uma delas tem um peso ligei- ramente diferente das demais, não se sabe se para mais ou para menos. Com o auxílio de uma balança de pratos, descubra uma estratégia para identificar a bolinha diferente, usan- do, no máximo, três pesagens. 1 42 53 6 Uma possível solução para esse problema: nume- ramos as bolinhas de 1 a 6. Em seguida, compara- mos o peso das bolinhas 1 e 2. Se os pesos forem diferentes, então, com mais uma pesagem, pode- -se descobrir qual é a bolinha diferente. Se forem iguais, realizamos nova comparação: pesamos as bolinhas 3 e 4. Se os pesos forem diferentes, a ter- ceira pesagem determinará a bolinha diferente. Se forem iguais, isso significa que a bolinha diferente é a 5 ou a 6. Como já sabemos que as bolinhas de 1 a 4 são iguais, basta comparar uma das duas bolas restantes (5 ou 6) com uma das bolinhas iguais (1 a 4). Por exemplo, compara-se a 4 com a 5. Se forem iguais em peso, a bolinha diferente será a 6. Se fo- rem diferentes, a bolinha diferente será a 5, pois a 4 é igual em peso às demais. 88 Resolução de equações: procedimentos e significados 8. Vamos utilizar os princípios ilustrados nos exemplos ante- riores para resolver equações com incógnitas em ambos os lados. a) Resolva a equação 4x – 7 = x + 11 fa- zendo as transformações solicitadas. Verificação: substituindo o valor encontrado na equação ori- ginal, obtemos: 4 (6) – 7 = 6 + 11 24 – 7 = 17 17 = 17 A igualdade se manteve, o que significa que a solução obtida satisfaz a equação original. Apresentaremos, a se- guir, outra atividade, similar à anterior, que pode favore- cer a compreensão dos alunos sobre procedimentos de resolução. 4x – 7 = x + 11 4x – 7 – x = x + 11 – x Subtraia x de ambos os lados 3x – 7 = 11 3x – 7 + 7 = 11 + 7 Adicione 7 em ambos os lados 3x = 18 3x 3 = 18 3 Divida ambos os lados por 3 x = 6 Resultado final b) Faça o mesmo para a equação 5x – 1 = = x 2 + 8 5x – 1 = x 2 + 8 2 5x – 2 1 = = 2 x 2 + 2 8 Multiplique ambos os lados da equação por 2 para eliminar a fração 10x – 2 = x + 16 10x – 2 – x = = x + 16 – x Subtraia x de ambos os lados para eliminar o termo com x do 2o membro da equação 9x – 2 = 16 9x – 2 + 2 = 16 + 2 Adcione 2 em ambos os lados da equação 9x = 18 9x 9 = 18 9 Divida ambos os lados por 9 x = 2 Resultado final 89 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 Equação Gabarito trocado Gabarito correto a) 5x – 12 = 2x + 27 a) x = –2 a) x = 13 b) x + 3x ___ 2 = 2x + 2 b) x = 5 b) x = 4 c) 2 (x – 3) = 4 + 7x c) x = 13 c) x = –2 d) 4x – 3 (x –1) = 3x ___ 5 + 5 d) x = 4 d) x = 5 9. Ao distribuir o gabarito de uma prova sobre equações, um professor, acidentalmente, trocou as respostas de lugar. Organize o gabarito dessa prova, associando cada equação à solução correspondente. Resolução Descrição 5x + 7 = –2x – 14 5x + 7 + 2x = –2x – 14 + 2x Somar 2x em ambos os lados para eliminar o termo com x do 2o membro da equação 7x + 7 = –14 7x + 7 –7 = –14 – 7 Subtrair 7 de ambos os lados 7x = –21 7x ___ 7 = – 21 ___ 7 Dividir ambos os lados por 7 x = –3 Obtemos x = – 3 como resultado a) 5x + 7 = – 2x – 14 10. Resolva as equações a seguir e descreva cada etapa de resolução. 90 Resolução Descrição x 5 +2 = 3x – 26 Multiplicar ambos os lados por 5 para eliminar o denominador do 1o membro da equação 5 x 5 + 5 2 = 5 3x – 5 26 x + 10 = 15x – 130 Subtrair x de ambos os lados da equação para eliminar o termo com x do 1o membro da equação 10 = 14x – 130 Inverter os lados da equação (opcional) 14x – 130 = 10 Adicionar 130 em ambos os lados para eliminar o termo numérico do 1o membro da equação 14x = 140 Dividir ambos os lados por 14 para isolar a incógnita x no 1o membro da equação x = 10 Obtemos x = 10 como resultado Resolução Descrição 2 3 x – 3 = 5 4 x Multiplicar ambos os lados por 12, que é o mmc de 3 e 4, para eliminar os denominadores das frações 12 2 3 x – 12 3 = 12 5 4 x 8x – 36 = 15x Subtrair 8x de ambos os lados para eliminar x do 1o membro da equação –36 = 7x Inverter os lados da equação (opcional) 7x = –36 Dividir ambos os lados por 7 para isolar a incógnita x no 1o membro da equação x = – 36 7 Obtemos x = – 36 7 como resultado b) x 5 + 2 = 3x – 26 c) 2 3 x – 3 = 5 4 x 91 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 Resolução Descrição – 3 5 + 5x 4 = 2x + 1 2 Multiplicar ambos os lados por 20, que é o mmc de 2, 4 e 5, para eliminar os denominadores – 3 5 20 + 5x 4 20 = 2x 20 + 1 2 20 –12 + 25x = 40x + 10 Subtrair 25x de ambos os lados para eliminar x do 1o membro da equação –12 = 15x + 10 Inverter os lados da equação (opcional) 15x + 10 = –12 Subtrair 10 de ambos os lados para eliminar o termo numérico do 1o membro da equação 15x = –22 Dividir ambos os lados por 15 para isolar a incógnita x no primeiro membro da equação x = – 22 15 Obtemos x = – 22 15 Procedimentos de verificação Um dos procedimentos mais importantes que deve ser apropriado pelo aluno é o da verificação do resultado. Se uma equação é uma pergunta no âmbito da Matemática, o valor encontrado para a incógnita é sua resposta e deve ser coeren- te com a pergunta feita. Assim, o professor deve estimular os alunos a questionar a validade dos resultados obtidos, principalmente em função de pequenos erros que podem ser cometidos. Quando a solução de uma equação é tam- bém a resposta de um problema prático, a verificação da solução remete à coerência da resposta em relação à pergunta. Por exemplo, se estamos calculando o preço de uma corrida de táxi de 30 minutos e obtivermos como resposta um número excessivamente alto (R$ 2 500,00) ou negativo (– R$ 12,00), a incompatibilidade da resposta com o contexto do problema in- dicará a existência de um erro, que pode tanto estar ligado aos procedimentos de resolução (algébricos e/ou aritméticos) como à formula- ção do problema (dados iniciais, condicionantes). Contudo, se o problema for estritamente ma- temático, como o exemplo que estamos resol- vendo, essa adequação da resposta ao contexto fica mais diluída. Frequentemente, os alunos deixam de verificar as soluções obtidas, confian- do na justa aplicação dos procedimentos de re- solução. Dessa forma, o professor deve insistir na verificação das respostas. d) – 3 5 + 5x 4 = 2x + 1 2 92 também oferecem uma vasta gama de exercí- cios e problemas relacionados à resolução de equações. Assim, a nossa prioridade foi en- fatizar as possíveis intervenções e estratégias que o professor pode utilizar ao orientar os alunos na resolução de equações. Esse tema será retomado nas séries/anos se- guintes, com o aprofundamento do estudo das equações. Por essa razão, entendemos que o professor deve valorizar mais a compreensão dos alunos em relação aos procedimentos de resolução de equação do que a velocidade em resolvê-las. Atividades como a de número 3 são de fundamental importância para concre- tizar o entendimento do aluno em relação a esses procedimentos. Recomendamos que o professor faça ao menos uma avaliação individual sobre o as- sunto no volume para que possa identificar com precisão as dificuldades específicas dos alunos e os pontos que devemser retomados. Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, a expectativa é que os alunos sejam capazes de resolver equações simples de 1o grau com uma incógnita, seja por meio do raciocínio arit- mético, envolvendo operações inversas, seja por meio dos procedimentos de equivalência. Acreditamos que o uso da imagem do equi- líbrio na balança, como analogia da igualda- de nas equações, ajude o aluno a se apropriar desses procedimentos com significado. Reite- ramos a ideia de que, neste momento, a reso- lução por meio do raciocínio deve prevalecer sobre a técnica. Optamos por privilegiar a conversa com o professor sobre os procedimentos a serem utilizados e as ideias que justificam esses pro- cedimentos. Apresentamos alguns problemas como exemplos, que podem ser ampliados e modificados pelo professor de acordo com as necessidades do grupo. Os livros didáticos SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8 PROPORCIONALIDADE E EQUAÇÕES Conteúdos e temas: razão; proporcionalidade direta e inversa; equações. Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática das equações para modelar e resolver problemas que envolvem proporcionalidade; ler e interpretar textos. Sugestão de estratégias: discussão em classe do significado das regras envolvidas no cálculo com regra de três; trabalhar com problemas interessantes e desafiadores do ponto de vista de leitura e interpretação de enunciados e do ponto de vista matemático do equacionamento. 93 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 8 No Caderno do volume anterior, apresen- tamos uma Situação de Aprendizagem para o trabalho com proporcionalidade. Naquele mo- mento, nos interessava o uso de tabelas para de- monstrar a proporcionalidade entre duas gran- dezas. Sabemos que é comum o uso do recurso de “regra de três” para a resolução de problemas de proporcionalidade. Contudo, retardamos sua apresentação por dois motivos: 1) acreditamos que, com o uso de tabelas, o encaminhamento para discussão dos significados fique mais bem estabelecido; 2) faltava-nos o recurso de equações para resolver problemas de proporcionalidade por regra de três, o que já temos neste volume. Acreditamos que a apresentação do mé- todo prático da regra de três deva ser acom- panhada de uma discussão anterior, o que faremos a seguir. Quando ensinamos Matemática, frequen- temente nos deparamos com alguns erros tí- picos que se repetem diversas vezes e com os mais diferentes alunos. Diante desses erros, a prática docente recomenda que se faça uma reflexão sobre as causas que podem ter con- duzido a eles. Muitas vezes, a razão está di- retamente associada à complexidade do tema tratado e, em outras, está associada à trans- posição de uma ideia válida em uma situação para outra situação parecida, mas em que ela não é válida. Observe o seguinte erro típico cometido por muitos alunos ao resolver uma equação como 1 2 3+ = x . Resolução da equação 1 + x __ 2 = 3 com erro típico 1 + x = 6, de que x = 5. Uma hipótese bastante razoável para esse tipo de erro é a de que o aluno fez a transposi- ção da ideia de “multiplicação em cruz” para uma situação em que isso não é válido. Ainda como hipótese, entendemos que a origem da ideia de “multiplicação em cruz” esteja na forma automatizada como muitas vezes faze- mos a resolução de problemas de regra de três com grandezas diretamente proporcionais. A nosso ver, uma forma de reduzir a incidência do erro típico descrito seria o uso de outro tipo de linguagem com os alunos ao resol- ver equações do tipo x __ 2 = 3. No lugar de dizer “multiplica-se em cruz”, o que facilmente in- duziria ao erro em uma situação como a des- crita anteriormente, recomendamos explicar o que realmente estamos fazendo: uma mul- tiplicação por 2 nos dois lados da equação, usando o princípio da balança já descrito em outra Situação de Aprendizagem. Neste caso, a resolução correta da equação 1 + x __ 2 = 3, com os devidos comandos, seria: I. 1 + x __ 2 = 3 II. Multiplicando-se os dois lados da igualdade por 2, teremos 2 + x = 6. III. Subtraindo-se 2 dos dois lados da igual- dade, teremos x = 6 – 2 e, portanto, x = 4. Note que no comando III também evi- tamos o uso de expressões do tipo “passa para lá e muda o sinal”, que é outra fonte de erros dos alunos. 94 Esperamos que você, professor, com- preenda que essas recomendações nada têm a ver com certos purismos de lingua- gem. Entendemos que os termos usados normalmente podem conviver adequada- mente com seus usos apropriados e cor- retos; contudo, reforçamos a ideia de que, para que isso aconteça de forma natural, o professor deve, sempre que possível, reto- mar a estratégia da balança, que esta por trás da origem de resolução dos problemas. É a equação IV. 1 + x 2 = 3. A solução x = 5 não satisfaz à equação dada. O erro foi a “multiplicação em cruz” entre o denominador da fração x 2 e o número 3. b) Agora, resolva-a de maneira correta. Nesse caso, a resolução correta da equação 1 + x 2 = 3 seria: multiplicando-se os dois lados da igualdade por 2, tere- mos 2 + x = 6. subtraindo-se 2 dos dois lados da igualdade, teremos x = = 6 – 2 e, portanto, x = 4. A seguir, apresentaremos a regra de três como recurso prático para resolução de pro- blemas de proporcionalidade e, na medida do possível, recomendamos que o professor dê maior atenção na 6a série/7o ano à discus- são de seu significado do que propriamente à mecanização de procedimentos, o que poderá ser feito gradativamente ao longo das demais séries/anos do Ensino Fundamental. Para a discussão, partiremos de um proble- ma prático e de sua resolução tradicional com o uso de regra de três. 2. Considere o seguinte problema: João com- prou 5 CDs idênticos por R$ 4,80. Quan- to João pagaria por uma dúzia de CDs do mesmo tipo? a) Represente as informações do problema na tabela, usando a letra x para o valor desconhecido. CDs Valor 5 4,80 12 x I. 5x – 3 = 17 5x = 17 + 3 5x = 20 x = 20 ÷ 5 x = 4 II. 2x 5 = 12 2x = 5 ∙ 12 2x = 60 x = 60 ÷ 2 x = 30 III. 2x 3 = 28 6 x = 3 ∙ 28 2 6 x = 84 12 x = 7 IV. 1 + x 2 = 3 1 + x = 3 ∙ 2 1 + x = 6 x = 6 – 1 x = 5 V. –2 + 3x 8 = 1 3x 8 = 1 + 2 3x = 3 ∙ 8 x = 24 3 x = 8 VI. 5x = 15 8 x = 15 5 8 x = 15 40 x = 3 8 1. Uma das equações a seguir foi resolvida de maneira incorreta. a) Identifique-a e explique por que o erro aconteceu. 95 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 b) Determine o preço unitário de cada CD. 4,8 5 = 0,96. Cada CD custa R$ 0,96. c) A partir dessa informação, descubra o valor referente à compra de 12 CDs. x = 12 · 0,96 x = 11,52 Os 12 CDs custam R$ 11,52. d) Agora, resolva o problema por meio da regra de três. 4,8 5 = x 12 . Multiplicando-se os dois lados da igualdade por 12, teremos a equação equivalente 12 4,8 5 = x , cuja solu- ção é x = 11,52. Aplicando agora a regra de três ao problema proposto nesta atividade anterior, teremos o seguinte: 5 4,80 12 x Daí segue que: 5 12 = 4,8 x Logo, 5 x = 12 4,80 x = 12 . 4,80 5 x = 11,52. Portanto, João pagaria R$ 11,52 por uma dúzia de CDs, desde que mantida a proporcionalidade direta entre o número de CDs adquiridos e o total pago. A resolução do problema está correta; porém, é possível que tenha sido feita utilizando-se automaticamente a ideia da “multiplicação em cruz”, cujas dificuldades já foram discuti- das anteriormente. Nossa proposta de encaminhamento para a discussão de regra de três para grandezas diretamente proporcionais, neste momento em que ela está sendo apresentada ao aluno é a de que o professor discuta a ideia de taxa unitária que fundamenta o método prático. De fato, se 5 CDscustam R$ 4,80, então, cada CD custa 4,80 4 5, ou seja, R$ 0,96. Assim, o preço x correspondente a 12 CDs será igual a 12 0,96, ou seja, R$ 11,52. Representando por etapas as operações efetuadas, teríamos: 5 CDs — 4,80 1 CD — 4,80 5 12 CDs — 12 4,80 5 A resposta seria: o preço x de 12 CDs é x = 12 4,80 5 ; x = 11,52. Ressaltamos, mais uma vez, que o profes- sor pode usar a regra de três. Porém, em um primeiro momento, acreditamos ser mais significativas para o aluno estratégias que transfiram significado aritmético às expres- sões algébricas que estão sendo formuladas. O mesmo tipo de discussão pode ser feito com problemas envolvendo grandezas inversa- mente proporcionais, como veremos a seguir. 3. Considere o seguinte problema: dirigindo a 80 km/h, Mariana vai da cidade onde mora até a cidade em que reside a mãe dela em 1 hora e meia. Se ela fizesse a mes- ma viagem com velocidade constante de 100 km/h, quanto tempo demoraria? 96 a) Represente as informações do problema na tabela, usando a letra x para o valor desconhecido. Velocidade Tempo 80 km/h 1,5 h 100 km/h X b) Se Mariana faz a viagem em 1,5 hora quando está viajando a 80 km/h, qual é a distância entre as duas cidades? Basta multiplicar 1,5 por 80. Esse raciocínio que acabamos de fazer remete a uma regra de três com grandezas diretamente proporcionais: se Mariana faz 80 km a cada 1 hora, em 1,5 hora ela fará 80 1,5 = 120 km. c) Sabendo a distância entre as duas cida- des, calcule o tempo de viagem que ela levaria se a velocidade fosse de 100 km/h. Isso pode ser feito por meio de outra regra de três com grandezas diretamente proporcionais: se Mariana percorre 100 km em 1 hora, percorrerá 120 km em 1,2 hora. d) Identifique o tipo de proporcionalidade existente entre as grandezas nas condi- ções do problema. O tempo de viagem é inversamente pro- porcional à velocidade. A distância percorrida é diretamente proporcional à velocidade. A distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo de viagem. e) Resolva o problema usando, adequada- mente, a regra de três. Resolução com regra de três: Temos a proporcionalidade inversa 80 1,50 100 x Daí segue que: 80 1,5 = 100 x Logo, x = 80 1,5 100 x = 1,20 h. Obtém-se, então, a solução x = 1,2 hora, ou seja, 1 hora e mais “dois décimos de hora”. Como uma hora corresponde a 60 minutos, devemos calcular “dois décimos de 60 minu- tos”, que são 12 minutos. Concluímos, portanto, que Mariana levaria 1 hora e 12 minutos na viagem. Duas observações devem ser feitas em rela- ção à resolução que acabamos de indicar. Em primeiro lugar, deve-se dizer que muitos alunos que mecanizam a regra de “multiplicar em cruz” na resolução de problemas de regra de três não dão atenção à verificação inicial de se as gran- dezas analisadas são direta ou inversamente proporcionais. Aplicar diretamente a regra de multiplicação em cruz em um problema em que estamos trabalhando com grandezas inversa- mente proporcionais é fonte de frequentes erros dos alunos (observação: na resolução que apre- sentamos, a multiplicação foi feita de forma cor- reta lado a lado, e não em cruz). Uma segunda observação diz respeito à conversão da solução obtida (1,2 hora para “horas e minutos”). É co- mum, em problemas como o que acabamos de resolver, que o aluno conclua de forma errada que 1,2 hora corresponde a 1 hora e 20 minutos. Na resolução, apresentamos uma forma que jul- gamos conveniente para o tratamento e a resolu- ção desse problema (outra forma seria trabalhar diretamente em minutos e converter o resultado final em horas e minutos). 97 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 Resolveremos agora esse mesmo problema utilizando o raciocínio aritmético, como forma de conceder significado ao raciocínio algébrico utilizado na resolução apresentada. Se Mariana percorre a distância entre as duas cidades em 1,5 hora quando está viajando a 80 km/h, podemos descobrir a distância entre as duas cidades multiplicando 1,5 por 80. Esse racio- cínio que acabamos de fazer remete a uma regra de três com grandezas diretamente proporcionais: se Mariana faz 80 km a cada 1 hora, em 1,5 hora fará 80 1,5 = 120 km. Agora que temos a distân- cia entre as cidades, o cálculo do tempo de via- gem, se ela estiver a 100 km/h, pode ser feito por meio de outra regra de três com grandezas dire- tamente proporcionais: se Mariana percorre 100 km em 1 hora, percorrerá 120 km em 1,2 hora. Note que a sequência de contas que fizemos para resolver o problema foi (80 1,5) ÷ 100, ou seja, a mesma que aparece na resolução final por regra de três. Além da busca de significados por meio de uma interpretação aritmética dos dados do problema, outra estratégia que pode ser utili- zada é a de procurar identidades válidas a par- tir de uma tabela com grandezas diretamente proporcionais e outra tabela com grandezas in- versamente proporcionais. Essa estratégia des- loca o significado da relação entre as grandezas para a identificação de relações entre os núme- ros. Entendemos que esse tipo de abordagem pode ser utilizado em complemento ao anterior a fim de reforçar as técnicas envolvidas no uso de regra de três com grandezas diretas e inver- samente proporcionais. A seguir, veremos várias formas de uso des- sa estratégia, que serão apresentadas nas ativi- dades que compõem a Lição de casa. 4. A tabela mostra os valores de duas grandezas diretamente pro- porcionais entre si. A B 5 8 10 16 a) Calcule a razão entre os valores da gran- deza A. Compare-a com a razão obtida entre os valores da grandeza B. O que você observou? Razão entre os valores da grandeza A: 10 5 = 2 ou 5 10 = 1 2 Razão entre os valores da grandeza B: 16 8 = 2 ou 8 16 = 1 2 As razões encontradas são iguais. b) Calcule a razão entre os valores corres- pondentes da grandeza A e da grandeza B na 1a linha. Compare-a com a razão entre os valores das grandezas na 2a li- nha. O que você observou? Razão entre os valores da 1a linha: 8 5 = 1,6 ou 5 8 = 0,625 Razão entre os valores da 2a linha: 16 10 = 1,6 ou 10 16 = 0,625 As razões encontradas são iguais. 98 c) Multiplique o valor da grandeza A na 1a linha pelo valor da grandeza B na 2a linha. Compare o resultado com o produto entre o valor da grandeza A na 2a linha e o valor da grandeza B na 1a linha. O que você observou? Produto A1 · B2 = 5 16 = 80 Produto A2 · B1 = 10 8 = 80 Os produtos são iguais. d) Generalize as conclusões obtidas nos itens anteriores, usando as letras x, y, z e w para representar os valores das duas grandezas. A B x y z w x z = y w x y = z w x w = y z 5. A tabela mostra os valores de duas grande- zas inversamente proporcionais entre si. A B 5 8 10 4 a) Calcule a razão entre os valores da grandeza A. Compare-a com a razão obtida entre os valores da grandeza B. O que você observou? Razão entre os valores da grandeza A: 10 5 = 2 Razão entre os valores da grandeza B: 4 8 = 0,5 As razões encontradas não são iguais. b) Calcule a razão entre os valores corres- pondentes da grandeza A e da grandeza B na 1a linha. Compare-a com a razão entre os valores das grandezas na 2a li- nha. O que você observou? Razão entre os valores da 1a linha: 8 5 = 1,6 Razão entre os valores da 2a linha: 4 10 = 0,4 As razões encontradas não são iguais. c) Multiplique o valor da grandeza A na 1a linha pelo valor da grandeza B na 2a linha. Compare o resultado com o pro- duto entre o valor da grandeza A na 2a linha e o valor da grandeza B na 1a li- nha. O que você observou? Produto A1 · B2 = 5 4 = 20 Produto A2 · B1 = 10 8 = 80 Os produtos não são iguais. d) Multiplique o valor da grandeza A pelo valor da grandeza B na 1a linha. Compa- re o resultado com o produto entre o va- 99 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 lor da grandeza A e ovalor da grandeza B na 2a linha. O que você observou? Produto A1 · B1 = 5 8 = 40 Produto A2 · B2 = 10 4 = 40 Os produtos obtidos são iguais. e) Generalize as conclusões obtidas nos itens anteriores, usando as letras x, y, z e w para representar os valores das duas grandezas. A B x y z w x z ≠ y w ou z x ≠ w y x y ≠ z w ou y x ≠ w z x w ≠ y z x y = z w Importante: os casos analisados podem servir como recurso para a compreensão dos mecanismos usados quando resolvemos problemas por regra de três. Porém, insis- timos na necessidade de um trabalho ante- rior em que se discuta o significado de cada grandeza no problema analisado e seja iden- tificado se a situação descrita trata de um problema com grandezas diretamente pro- porcionais, inversamente proporcionais ou, ainda, se não há razões para admitirmos a proporcionalidade direta ou inversa entre as grandezas. Regra de três composta Normalmente, o estudo de regra de três com mais de duas grandezas é feito de forma mecanizada, o que não é recomendável para uma introdução ao assunto. Nossa propos- ta de trabalho com o tema é a de valorizar o uso de tabelas e identificar a relação de pro- porcionalidade entre grandezas duas a duas. Veremos como isso pode ser feito por meio da resolução do seguinte problema. Um criador de cavalos possui 10 animais que consomem 800 kg de alfafa em 8 dias. Admitindo-se proporcionalidade entre as grandezas “número de cavalos”, “quantidade de alfafa” consumida (em kg) e “número de dias de duração da alfafa para os cavalos”, determine quantos dias durariam 6 400 kg de alfafa para alimentar 16 cavalos. Organizaremos os dados em uma tabela e descreveremos passo a passo o raciocínio de resolução do problema: No de cavalos Total de alfafa (kg) No de dias 10 800 8 Nossa meta será preencher novas linhas da tabela com o objetivo final de encontrar na úl- tima linha o número 16 na coluna dos cavalos e o número 6 400 na coluna do total de alfafa. Quando atingirmos esse objetivo, o número que aparecerá na coluna dos dias é a resposta do problema. 100 Sempre trabalharemos na tabela mantendo fixo o valor de uma das grandezas e estabe- lecendo a relação entre as outras duas para determinar um novo valor. Por exemplo, po- demos inicialmente, ao percorrer a tabela, manter fixado o total de alfafa em 800 kg e acertar o número de cavalos em 16, relacio- nando essa grandeza com o número de dias. Para tanto, é importante que o aluno perceba que as grandezas “número de cavalos” e “nú- mero de dias” são inversamente proporcionais quando o total de alfafa está fixado (se, por exemplo, dobrarmos o número de cavalos, a mesma quantidade de 800 kg de alfafa será suficiente para a metade do número de dias). O cálculo para 16 cavalos pode ser feito de forma direta, com uma única conta, ou por meio de duas contas, buscando-se inicialmen- te a taxa unitária (por cavalo), que é a forma indicada na tabela a seguir: No de cavalos Total de alfafa (kg) No de dias 10 800 8 1 800 (mantido constante) 80 16 800 (mantido constante) 5 Agora que já atingimos o primeiro dos obje- tivos (16 cavalos), vamos em busca do segundo, que é o de obtermos o número 6 400 na coluna do total de alfafa. Para esse caso, desejamos manter constante o número de cavalos em 16 e, portanto, investigaremos a relação entre as grandezas “total de alfafa” e “número de dias”. Essas grandezas são diretamente proporcionais, 16 16 10 10 porque, se 1 cavalo consome 800 kg de alfafa em 80 dias, o mesmo cavalo consumiria, por exem- plo, o dobro da quantidade de alfafa no dobro do número de dias. Dessa maneira, buscando um número que multiplicado por 800 resulte 6 400, encontramos o número 8. Se, portan- to, multiplicarmos o total de quilos de alfafa por 8, para os mesmos 16 cavalos teremos que multiplicar por 8 o número de dias em que a nova quantidade de alfafa irá durar: No de cavalos Total de alfafa (kg) No de dias 10 800 8 1 800 80 16 800 5 16 (mantido constante) 6 400 40 A resposta obtida na última coluna é o nú- mero de dias que 6 400 kg de alfafa devem du- rar para o consumo de 16 cavalos. O trabalho com tabelas na resolução de problemas com mais de duas grandezas tem a vantagem de não exigir a memorização de técnicas, que são rapidamente esquecidas pe- los alunos, além de exigir o tempo todo uma avaliação sobre a relação de proporcionalida- de mantida entre duas grandezas. Considerações sobre a avaliação A expectativa mínima com relação à Situação de Aprendizagem apresentada é que o aluno consiga resolver problemas 8 8 101 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 elementares envolvendo regra de três sim- ples e composta, com grandezas direta e/ou inversamente proporcionais. Ao longo do Ensino Fundamental, o aluno terá inúmeras oportunidades para aplicar seus co- nhecimentos da técnica de regra de três na resolu- ção de problemas de proporcionalidade. Portan- to, entendemos que na 6a série/7o ano, quando o assunto é introduzido, o professor deve valorizar mais a compreensão dos procedimentos utiliza- dos para resolver problemas por regra de três do que propriamente a mecanização de regras. Recomendamos que, no volume, o profes- sor faça ao menos uma avaliação individual sobre o assunto, a fim de identificar com pre- cisão as dificuldades específicas dos alunos e os pontos que devem ser retomados. A prepa- ração para essa avaliação deve ser feita com listas de exercícios elaboradas pelo professor e com exercícios do livro didático. ORIENTAÇÕES PARA RECUPERAÇÃO A avaliação de aprendizagem deve ser um pro- cesso contínuo, realizado ao longo do Caderno. Durante a realização das atividades, o professor deve estar atento para eventuais dificuldades dos alunos. Essa observação é fundamental para que o professor consiga propor, ao longo do processo, atividades de recuperação que ajudem o aluno a acompanhar melhor o curso e obter sucesso na realização das atividades. Para isso, é necessário que o professor dedi- que um tempo de sua aula para a discussão dos erros mais frequentes encontrados no processo. Destaca-se também a correta identificação da natureza da dificuldade apresentada pelos alu- nos: se está relacionada a alguma defasagem an- terior (erros em operações básicas) ou se está liga- da à especificidade de um determinado conceito ou procedimento operatório. A discussão de uma atividade exemplar, que articule os diferentes conceitos, pode ser bastante proveitosa, consis- tindo em uma boa estratégia de recuperação. É comum que apareçam dificuldades dos alunos com relação à operação com diferen- tes tipos de números: frações, decimais, por- centagens. Assim, a retomada dos principais procedimentos operatórios envolvendo essas representações numéricas deve ajudar os alu- nos com maior dificuldade em calcular razões. É importante também retomar a ideia de razão como o quociente entre dois números, a partir de exemplos do cotidiano do aluno. Com relação à aplicação dos estudos refe- rentes ao tratamento da informação, incluin- do-se aqui o tratamento que se dá à inter- pretação e construção de gráficos, é preciso retomar os conceitos fundamentais para a compreensão do gráfico de setores: ângulo central de uma circunferência, arcos e setores, graus, porcentagens e proporcionalidade. Uma segunda possibilidade é propor aos alunos uma atividade de pesquisa em que eles 102 tenham que coletar informações sobre os co- legas (por exemplo, o time de futebol de sua preferência), montar uma tabela, calcular as porcentagens e os ângulos correspondentes, e, por fim, construir um gráfico de setores usan- do compasso e transferidor. As últimas Situações de Aprendizagensdeste Caderno são destinadas ao estudo da in- trodução ao pensamento algébrico. As dificul- dades mais frequentes dos alunos costumam estar relacionadas à interpretação do signifi- cado da fórmula e à resolução da equação. Para a resolução das equações, é importante valorizar a leitura da sentença como uma per- gunta. Por exemplo, na equação 2 000 = 5 t2, está sendo procurado o seguinte: qual é o valor que, elevado ao quadrado e multiplicado por 5, resulta em 2 000? Pensando aritmeticamente do final para o começo, o quadrado desse número só pode ser 2 000 dividido por 5, ou seja, 400. Nesse ponto, o aluno pode realizar tentativas até constatar que o número que multiplicado por ele mesmo resulta em 400 é 20. Se os alunos forem envolvidos em uma ati- vidade contextualizada, na qual eles sejam os protagonistas, muitas das dificuldades podem ser superadas e os objetivos de aprendizagem, plenamente atingidos. RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO DO TEMA A maior parte dos livros didáticos do mer- cado contém diversos exemplos de situações envolvendo proporcionalidade, que podem ser explorados em sala de aula tanto para o aprofundamento, como para a recuperação dos alunos. Para os professores que queiram se apro- fundar mais nas discussões sobre o tema, su- gerimos alguns artigos da Revista do Professor de Matemática, publicação quadrimestral da Sociedade Brasileira de Matemática com apoio da USP, disponível em: <//http://www.rpm.org. br/cmh/>. Acesso em: 9 dez. 2013. Artigo Autores RPM no Considerações sobre o ensino da regra de três composta. Luiz Márcio P. Imenes e José Jakubovic 02 Razões, proporções e regra de três Geraldo Ávila 08 Ainda sobre a regra de três Geraldo Ávila 09 Que são grandezas proporcionais Elon Lages Lima 09 Novamente a proporcionalidade Elon Lages Lima 12 Como e quando os alunos utilizam o conceito de proporcionalidade Lucia A. de A. Tinoco 14 103 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 Para os professores que quiserem aprofun- dar os estudos em relação as razões no corpo humano ou em outras situações, sugerimos a seguinte bibliografia: ATALAY, Büllent. A matemática e a Mona Lisa: a confluência da arte com a ciência. São Paulo: Mercuryo, 2007. LIVIO, Mário. Razão áurea: a história de fi, um número surpreendente. Rio de Janeiro: Record, 2006. BUSHAW, Donald (Org.). Aplicações da Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997. COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. (Orgs.). As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995. DINIZ, Maria I. S. V.; SOUZA, Eliane R. Álgebra: das variáveis às equações e funções. São Paulo: CAEM-IME/USP, 1996. LIMA, Elon L. et al. Temas e problemas elementares. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006. De modo geral, a Revista do Professor de Matemática é uma fonte muito fecunda de ideias para ser exploradas nas aulas de qua- se todos os temas tratados no Ensino Fun- damental. Particularmente no que tange aos temas deste Caderno, destacamos os seguin- tes artigos: AUGUSTO, Celina. Com a ajuda da ba- lança. In: Revista do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Ma- temática, n. 3, 1983. VIOTTO, Virgolina M. Nem só álgebra, nem só aritmética. In: Revista do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, n. 16, 1990. 104 O conteúdo referente às duas primeiras Si- tuações de Aprendizagens deste volume foram centralizadas no estudo referente à proporcio- nalidade, e espera-se que, ao final de seus estu- dos, o aluno consiga verificar implicitamente e explicitamente a relação existente entre duas grandezas em diferentes situações. Apresenta- mos, também, uma contextualização referente ao estudo da razão entre dois números, cujo enfoque dado foi a de comparação entre os valores de duas grandezas de mesma nature- za, ou de naturezas diferentes. Nesse sentido, foi dado o mesmo enfoque à porcentagem, facilitando assim o entendimento da relação parte-todo. Finalizando as quatro primeiras Situações de Aprendizagem, apresentamos também o uso de razões na Geometria por meio da utilização da razão áurea e, também, o entendimento a respeito da razão existente entre o comprimento e o diâmetro de uma cir- cunferência, expresso pelo pi ( ). Já nas quatro últimas Situações de Apren- dizagem, o enfoque foi o desenvolvimento do raciocínio algébrico, destacando o tra- balho com a generalização de padrões, que se torna uma alternativa muito importante e mobiliza muitos conceitos e ideias relacio- nadas à Matemática, e também fundamen- tando logicamente o trabalho com funções e álgebra. Por fim, iniciou-se, nas duas últimas Situa- ções de Aprendizagem, o estudo relacionado às equações, cujo objetivo principal não foi o de enaltecer o aspecto técnico operatório das equações, mas sim, a utilização do princípio de equivalência na resolução de equações, uti- lizando, nesse caso, a analogia da balança de dois pratos. É importante ressaltar que a diversifica- ção dos instrumentos avaliativos contribuirá com a compreensão dos diferentes registros que os alunos apresentam, o que permite que o professor tenha a noção exata da distância existente entre a aprendizagem realizada e a aprendizagem esperada. CONSIDERAÇÕES FINAIS 105 Matemática – 6a série /7o ano – Volume 2 QUADRO DE CONTEÚDOS DO ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 5a série/6o ano 6a série/7o ano 7a série/8o ano 8a série/9o ano V ol um e 1 NÚMEROS NATURAIS – Múltiplos e divisores. – Números primos. – Operações básicas. – Introdução às potências. FRAÇÕES – Representação. – Comparação e ordenação. – Operações. NÚMEROS DECIMAIS – Representação. – Transformação em fração decimal. – Operações. SISTEMAS DE MEDIDA – Comprimento, massa e capacidade. – Sistema métrico decimal. NÚMEROS NATURAIS – Sistemas de numeração na Antiguidade. – O sistema posicional decimal. NÚMEROS INTEIROS – Representação. – Operações. NÚMEROS RACIONAIS – Representação fracionária e decimal. – Operações com decimais e frações. GEOMETRIA/MEDIDAS – Ângulos. – Polígonos. – Circunferência. – Simetrias. – Construções geométricas. – Poliedros. NÚMEROS RACIONAIS – Transformação de decimais finitos em fração. – Dízimas periódicas e fração geratriz. POTENCIAÇÃO – Propriedades para expoentes inteiros. TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO – A linguagem das potências. ÁLGEBRA – Equivalências e transformações de expressões algébricas. – Produtos notáveis. – Fatoração algébrica. NÚMEROS REAIS – Conjuntos numéricos. – Números irracionais. – Potenciação e radiciação em IR. – Notação científica. ÁLGEBRA – Equações de 2o grau: resolução e problemas. – Noções básicas sobre função; a ideia de interdependência. – Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1o e 2o graus. V ol um e 2 GEOMETRIA/MEDIDAS – Formas planas e espaciais. – Noção de perímetro e área de figuras planas. – Cálculo de área por composição e decomposição. TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO – Leitura e construção de gráficos e tabelas. – Média aritmética. – Problemas de contagem. NÚMEROS/ PROPORCIONALIDADE – Proporcionalidade direta e inversa. – Razões, proporções, porcentagem. – Razões constantes na geometria: . TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO – Gráficos de setores. – Noções de probabilidade. ÁLGEBRA – Uso de letras para representar um valor desconhecido. – Conceito de equação. – Resolução de equações. – Equações e problemas. ÁLGEBRA/EQUAÇÕES – Equações de 1o grau. – Sistemas de equações e resolução de problemas. – Inequações de 1o grau. – Sistemas de coordenadas (plano cartesiano). GEOMETRIA/MEDIDAS – Teorema de Tales e Pitágoras: apresentação e aplicações. – Área de polígonos. – Volume do prisma. GEOMETRIA/MEDIDAS – Proporcionalidade, noção de semelhança. – Relações métricas entre triângulosretângulos. – Razões trigonométricas. – O número π; a circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo. – Volume e área do cilindro. TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO – Contagem indireta e probabilidade. O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste volume. V alid ad e: 2014 – 2017
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