APOSTILA GEOLOGIA ESTRUTURAL

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DEFORMAÇÃO 
DILATAÇÃO: 
 
TRANSLAÇÃO CORPORAL: 
 
ROTAÇÃO CORPORAL: 
 
DISTORÇÃO (STRAIN): 
 
 
 
 
 
 
DEFORMAÇÃO (DEFORMATION) 
É a transformação de um objeto qualquer, de uma geometria inicial para uma 
Geometria final, por meio de um ou mais componentes de deslocamento: 
 
 
 
strain) 
 
 
 
VETORES DESLOCAMENTO 
Conectam cada partícula do objeto no estado incial (indeformado) à sua 
posição correspondente no estado final (deformado). 
 
 
Visto como um continuum de partículas, o objeto deformado possui então um 
campo de deslocamento formado pelos vetores deslocamento. 
Campos de Vetores Deslocamento e Trajetória das Partículas 
R O T A Ç Ã O: 
 
 
 
 
 
 
T R A N S L A Ç Ã O: 
 
 
C I S A L H A M E N T O: SIMPLES E PURO 
 
CISALHAMENTO SIMPLES: 
 
 
 
 
 
CISALHAMENTO PURO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEFORMAÇÃO HOMOGÊNEA 
 
 
 
 
 
 
DEFORMAÇÃO HETEROGÊNEA 
 
 
 
 
 
DEFORMAÇÃO HOMOGÊNEA 
 
 
 
 
 
elipticidade, R = eixo maior / 
eixo menor depende do tipo e intensidade da deformação. 
** A HOMOGENEIDADE DA DEFORMAÇÃO DEPENDE DA ESCALA ** 
DESCRIÇÃO MATEMÁTICA DA DEFORMAÇÃO 
 
A expressão da deformação é uma matriz algébrica simples, partindo de um referencial 
de coordenadas (x, y) no ponto inicial (indeformado) e chegando à nova posição dada 
por (x’, y’) a cada ponto. 
A matriz de deformação (D) descreve uma transformação linear (ou deformação 
homogênea) 
x’ = Dx 
A matriz inversa (D-1) representa a deformação inversa ou recíproca, que reverte a 
deformação imposta por D: 
x = D-1 x’ 
A matriz de deformação e sua recíproca são usadas principalmente para modelar a 
deformação. 
 
 
 
 
 
 
 
DEFORMAÇÃO EM UMA DIMENSÃO 
 
 
 
Elongação (e ou ε) de uma linha e = (L - L0) / L0 sinônimo de Extensão A 
Extensão negativa é denominada contração ou encurtamento (L < L0) 
Estiramento s = (1 + e) logo, s = L / L0 Fator de extensão Elongação 
Quadrática (λ = s2). 
DEFORMAÇÃO EM DUAS DIMENSÕES 
 
Cisalhamento angular ( – É a diferença de ângulo entre duas linhas originalmente 
perpendiculares Deformação cisalhante shear strain ( ) - O deslocamento (x) de 
= tg 
 
 
ELIPSE DE DEFORMAÇÃO É a elipse que descreve a quantidade de 
elongação em qualquer direção numa plano de deformação homogênea. Representa a 
forma final (pós-deformação) de um círculo original imaginário. 
DEFORMAÇÃO EM DUAS DIMENSÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
CISALHAMENTO SIMPLES: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CISALHAMENTO PURO: 
 
 
 
 
 
ELONGAÇÃO: 
 
 
 
ELONGAÇÃO QUADRÁTICA: 
 
= 1 sem deformação 
 < 1 encurtamento 
 > 1 estiramento 
Eixos principais do elipsóide de deformação 
1 ou X máximo 
2 ou Y intermediário 
3 ou Z mínimo 
 
 
 
 
 
 
 
ELIPSE DE DEFORMAÇÃO FINITA 
 

-1 (X) e 3 (Z), os eixos máximo e mínimo da elipse de deformação finita, são 
denominados eixos principais (de deformação), porque eles representam as linhas que 
sofreram a máxima e a mínima quantidade de extensão; 
 
- linhas paralelas aos eixos principais são fixas em relação à deformação cisalhante ou 
cisalhamento angular; 
 
 - Todas as demais linhas sofrem cisalhamento angular durante a deformação; 
 
 - Existem sempre duas linhas que mantêm o comprimento original após a deformação 
homogênea e isovolumétrica de um corpo – linhas de não-elongação finita; 
 
 
 
 
 
DEFORMAÇÃO - PARTE 02 
DEFORMAÇÃO PROGRESSIVA: 
- A elipse de deformação finita representa a diferença total entre o estado incial e o 
final, que é o somatório dos incrementos infinitesimais de deformação. 
 
- Considera-se como incremento infinitesimal qualquer deformação de até cerca de 
2% {ε = (Lf - L0 / L0) ≤ 0,02} 
 
- N máx) fica sempre a 
45° dos eixos principais. 
 
- A deformação progressiva é dada pela combinação entre a elipse de deformação 
finita e a infinitesimal, gerando-se campos de extensão-encurtamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COAXIALIDADE E ROTAÇÃO 
 
- Rotacional e não-rotacional qualificam a deformação finita 
- Coaxial e não-coaxial qualificam a relação entre a elipse finita e a infinitesimal 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em relação à elipse de deformação finita: 
 
 - Rotacional: eixos da elipse finita mudam de orientação em relação ao estado inicial 
cisalhamento simples 
 
 - Não-rotacional eixos da elipse finita não mudam em relação ao estado inicial - 
cisalhamento puro 
 
Em relação à elipse de deformação infinitesimal: 
 
- Coaxial: o eixo da elipse infinitesimal é paralelo ao da elipse finita - cisalhamento 
puro progressivo; 
 
-Não-coaxial: eixos não-paralelos - cisalhamento simples progresssivo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Mesmo que se possa quantificar a deformação com base num marcador qualquer, 
não se pode saber se a trajetória da deformação foi via coaxial ou não-coaxial. 
 
DIFERENTES TIPOS DE ROTAÇÃO 
 
- A rotação dos eixos principais ocorre apenas durante a deformação não-coaxial 
(cisalhamento simples progressivo); 
- A rotação de todas as outras linhas do corpo, exceto os eixos principais, ocorre em 
qualquer tipo de formação (pura ou simples); 
- Sabendo-se a magnitude dos eixos principais, e a posição inicial ou final de uma dada 
linha, é sempre possível calcular a rotação dela (segundo tipo acima); 
- O primeiro tipo de rotação é impossível calcular, a não ser que se tenha um 
referencial externo; 
 - Em resumo, mesmo que se possa quantificar a deformação com base num marcador 
qualquer, não se pode saber se a trajetória da deformação foi via coaxial ou não-
coaxial; 
- Por outro lado, sabe-se que a maior parte das deformações geológicas seguem uma 
trajetória não-coaxial; 
 
 
 
 
DEFORMAÇÃO TRIDIMENSIONAL: O ELIPSOIDE DE DEFORMAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
 
Extensão X > Y = Z 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
Achatamento X = Y > Z 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
Deformação plana X > Y = 1 > Z 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
Deformação genérica X > Y > Z 
 
 
REPRESENTAÇÃO BIDIMENSIONAL DA DEFORMAÇÃO 3D 
Diagrama de Flinn (1962) 
- a = X / Y (eixo máximo / eixo intermediário) 
- varia de 1 a ∞ 
- b = Y / Z (eixo intermediário / eixo mínimo) 
- varia de 1 a ∞ 
- k = (a – 1) / (b – 1) 
- varia de 0 a ∞ 
 
 
Fossen (2011) – Geologia Estrutural Capítulo 2 (p. 51 a 91). 
 
PROJEÇÃO ESTEREOGRÁFICA – PARTE 1 
 
Revisão sobre Atitude de Planos e Linhas 
 
Planos: direção e mergulho 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão sobre Atitude de Planos e Linhas 
 
Linhas: caimento e rake 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROJEÇÃO ESTEREOGRÁFICA 
A Projeção Estereográfica é a forma de representar dados tridimensionais em um 
espaço bidimensional, e de solucionar graficamente problemas tridimensionais 
complexos. 
 
- A base da projeção estereográfica é a chamada ESFERA DE PROJEÇÃO, uma 
esfera de raio R e centro O. 
 
- Na figura ao lado, usa-se a metadeinferior da 
esfera para projetar; portanto, diz-se que é 
uma projeção no hemisfério inferior. 
 
- Qualquer plano ou linha a ser proje-tado tem 
que entrar pela origem. 
 
- A linha AB é a intersecção de um plano 
inclinado qualquer com o plano horizontal (topo 
da meia esfera). 
 
- O arco de círculo é a intersecção do plano 
inclinado com a superfície da esfera, chamado 
de projeção esférica do plano. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 - O ponto que fica verticalmente acima de O (T 
na figura ao lado) é chamado ponto zenital ou 
zênite. 
- Unindo-se cada ponto da projeção esférica com 
o ponto zenital, o feixe de retas forma um meio 
cone. 
- Para sair do ponto zenital e interceptar a 
superfície da meia-esfera inferior, o feixe de 
retas tem que atravessar o plano horizontal. 
 
- A intersecção de cada reta com o plano horizontal é um ponto, e todas as retas do 
meio cone geram um arco de círculo no plano horizontal. 
- Este arco de círculo, também chamado de meridiano ou grande círculo, é a 
projeção estereográfica do plano ou traço ciclográfico do plano. 
- A intersecção da esfera com o plano horizontal é chamada de círculo primitivo ou 
círculo máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIM: 
- A projeção estereográfica de um plano é um 
arco de círculo 
 
- Quanto menor o mergulho do plano, mais 
fechado o arco. 
 
- A projeção de um plano horizontal é um 
círculo. 
 
- Quanto maior o mergulho do plano, mais 
aberto o arco. 
 
- A projeção de um plano vertical é uma reta. 
 
- A projeção estereográfica de uma reta é um 
ponto. 
 
- Quanto menor o caimento da reta, mais próxima fica a sua projeção do círculo 
máximo. 
 
- Quanto maior o caimento da reta, mais próxima fica a sua projeçao da origem. 
 
CONSTRUÇÃO DA REDE ESTEREOGRÁFICA 
 
 MERIDIANOS PARALELOS 
 
 
 
 
 
 
EXERCICIOS: 
 
1) Plotar a os traços ciclográficos dos planos a seguir, identificando cada traço. Plotar 
apenas 5 planos por transparência. 
S1 = (222; 61) S6 = (28/ E) 
S2 = (N75W; 80NE) S7 = (154; 42) 
S3 = (351; 25) S8 = (132; 90) 
S4 = (10/112) S9 = (N78E; 75NW) 
S5 = (EW; 22S) S10 = (35/071) 
 
2) Plotar as seguintes retas, em outra transparência: 
L1 = (30; 050) L6 = (45; 180) 
L2 = (20; N22W) L7 = (58; S) 
L3 = (16; 225) L8 = (88; S18W) 
L4 = (72; S55E) L9 = (80; 035) 
L5 = (52; N) L10 = (62; 125) 
 
3) Decidir como plotar (se planos ou linhas) os elementos geológicos abaixo e depois 
plotá-los todos em uma única transparência: 
(a) uma camada de atitude (50/269); 
(b) um indicador de plaeocorrente de atitude (10; S20W); 
(c) estrias de falha de atitude (85; 340); 
(d) veio de quartzo de atitude (30/ 150); 
(e) eixo de dobra, de atitude (14; 190) 
(f) bandamento gnáissico horizontal. 
 
TENSÃO – PARTE 01: 
 
COMPONENTES DA TENSÃO: 
 
 
 
 
 
 
FORÇAS EM CADA FACE DO CUBO: 
 
 
 
 
 
 
DECOMPOSIÇÃO DA FORÇA: 
- A força que atua em cada face se decompõe em 
uma normal e duas paralelas à face considerada. 
 
 
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Dividindo-se a magnitude de cada componente da força pela área da respectiva face, 
tem-se a magnitude de cada componente da tensão. 
- Em relação ao sistema de coordenadas : σ 32 = componente da tensão que age 
na face normal a x3 e paralela a x2 
 
----------------------------------------------------------------------------------------- 
- Considerando um cubo infinitesimal, a tensão é 
o limite da razão Força / Área quando a área 
tende a zero. 
- Por consequência: 
- A distribuição das forças em cada face fica 
uniforme; 
- Forças que atuam em faces opostas são 
aproximadamente iguais em magnitude e direção; 
- Para manter o equilíbrio (e impedir a rotação), 
as forças que resultariam num torque tendem a 
se anular. 
- Assim, no limite: 
σ12 = σ21 
σ23 = σ32 
σ31 = σ13 
 
 
 
- Considerando as componentes normais σ11, σ22 e σ33 tem-se 6 componentes 
independentes da tensão em qualquer ponto. 
Um CAMPO TENSIONAL é formado por essas componentes, e se elas forem iguais a 
cada ponto diz-se que o campo tensional é HOMOGÊNEO. 
 
Em qualquer ponto de um campo tensional homogêneo tem-se sempre 3 planos 
mutuamente perpendiculares ao longo dos quais a tensão cisalhante é nula – são os 
Planos Principais de Tensão e as suas normais são os EIXOS PRINCIPAIS DE 
TENSÃO: σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 
 
Ou tensão máxima, intermediária e mínima. 
Unidades de tensão: 
1Pa = 1N / m2 = 1 kg / (m s2) 
1MPa = 10 bar 100MPa = 1kbar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Embora fisicamente muito se-melhantes, a principal diferença entre força e tensão é a 
relação que a última tem com a área (i.e. aplicação não-pontual). O valor de uma 
dada tensão varia não apenas com a magnitude e orientação da força cuja distribuição 
em área lhe deu origem, mas também com a variação de orientação e tamanho da 
área de aplicação. 
TENSÃO MÉDIA E TENSÃO DIFERENCIAL 
 
- A tensão média – ou σm – é a média aritimética das 3 tensões principais σ1 , σ2 e 
σ3 
- Se a tensão média é igual a cada uma das principais, a condição é HIDROSTÁTICA. 
Em referência à condição geológica usa-se o termo LITOSTÁTICA. 
 
- A diferença entre a tensão média e a total é chamada de TENSÃO DEVIATÓRICA 
OU TENSÃO DIFERENCIAL. 
 
- O tensor deviatórico, ou a componente deviatórica da tensão é a responsável pela 
condição de ANISOTROPIA da deformação. 
 
- Apenas a componente anisotrópica da deformação resulta em STRAIN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROJEÇÃO ESTEREOGRÁFICA – PARTE 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÃO ENTRE PLANOS E LINHAS 
 
O que se espera da projeção estereográfica de uma linha que está contida num plano? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Obliquidade (= rake) de uma Linha num Plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Plotar os seguintes planos e seus polos: 
a) (25/045) 
b) (138; 48) 
c) (260; 80) 
d) (62/110) 
 
2)Plotar as seguintes linhas: 
a) (10; 312) 
b) (28;248) 
c) (70;164) 
d) (62;010) 
 
3) Considere que as linhas do exercício anterior são polos de planos. Plote os planos e 
determine a atitude de cada um deles. 
 
4) Os conjuntos abaixos são dados pela atitude do plano e os rakes de duas linhas nele 
contidas. Plotar cada conjunto e determinar as atitudes das linhas. 
a)S1 = (160; 20) L1 = (+30) L2 = (-30) 
b)S2 = (280; 50) L1 = (+40) L2 = (-20) 
c)S3 = (070; 64) L1 = (+70) L2 = (-50) 
 
TENSÃO PARTE 02 
 
TENSÃO NUMA SUPERFÍCIE 
Considerando que a tensão é a força (F) que age sobre uma da da área (A), a tensão 
em um dado ponto é dada pela relação:σ= lim ( F / A) A 0 significa que o 
valor da tensão pode variar numa mesma superfície. 
 
TENSÃO NORMAL E TENSÃO CISALHANTEA. 
A decomposição da tensão em normal (perpendicular) e cisalhante (paralela) se dá 
sempre em relação a uma dada área, e esta é a sua principal distinção em relação à 
força. As componentes da tensão dependem então da área de aplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tensão (força) normal versus orientação da superfície (dada por ) 
 
= ângulo entre o vetor e a normal à superfície consideradaTensão (força) cisalhanteversus orientação da superfície (dada por ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TENSÃO DEVIATÓRICA E TENSÃO MÉDIA 
A decomposição de uma matriz tensorial sempre resulta em duas matrizes simétricas, 
onde a primeira parte representa a tensão média e a segunda é a tensão deviatórica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação Gráfica das Tensões - Diagrama (ou Círculo) de Mohr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Os eixos horizontal e vertical representam a tensão normal (σn) e a tensão cisalhante 
(σs) que agem num plano,oqualérepresentadoporumponto; 
 
- O valor da tensão principal máxima e mínima (σ1 e σ3) são plotados no eixo 
horizontal; 
 
- A distância entre σ1 e σ3 define o diâmetro do círculo cujo centro é [(σ1+σ3)/2]. É o 
chamado Círculo de Mohr. 
 
- O círculo de Mohr descreve as tensões normal e cisalhante que agem em planos de 
todas as orientações possíveis passando por um dado ponto da rocha; 
 
- Cada ponto do círculo corresponde a um valor de tensão normal e um de tensão 
cisalhante nos eixos do diagrama, que correspondem às tensões (normal e cisalhante) 
atuantes naquele ponto; 
 
 
 
 
 
 
 
Como saber a orientação do plano representa do por um dado ponto no 
círculo de Mohr? 
 
- Em duas dimensões, e plotando - se σ1 e σ3 no eixo horizontal, os planos 
representados no círculo contêm σ2; 
- Se ϴ é o ângulo entre a normal ao plano e σ1, então o ângulo entre o raio até este 
ponto do círculo e o eixo horizontal é 2ϴ; 
- A diferença entre a tensão principal máxima e mínima (σ1-σ3) é o diâmetro do 
círculo; 
- Esta é a chamada Tensão Diferencial, extremamente importante na mecânica do 
fraturamento. De modo geral, grandes tensões diferenciais é que promovem o 
fraturamento das rochas; 
 
Sobre o ângulo ϴ e a representação de planos no Círculo de Mohr. 
- O ângulo ϴ é medido no Círculo de Mohr (CM) no seu sentido verdadeiro, mas é 
duplo. Porquê? 
 
- Dois pontos que representam planos perpendiculares ficam separados de 180° no 
 CM, e por isso as duas tensões principais plotam-se no eixo horizontal; 
 
- Como nos planos principais a tensão cisalhante é zero, eles só podem ser 
representados no eixo horizontal; 
 
- O uso de ângulos duplos no CM implica que qual quer plano (p.ex., o ponto 1), tem 
um complementar (ponto 3), com a mesma tensão cisalhante e tensão normal 
diferente; 
 
- O ponto 1 tem outro complementar, dado pelo ponto 2, de mesma tensão normal, 
mas com tensão cisalhante que difere apenas no sinal; 
 
- A tensão cisalhante é máxima quando 2ϴ = 90°; 
 
- O que implica planos situados a de σ1; 
 
- Na aplicação geológica do CM, a compressão é (+) e a tração (= distensão) é (-). Em 
engenharia é o oposto; 
 
- Na maior parte dos casos, todas as tensões principais são positivas na litosfera, mas 
não sempre; 
 
- Para tensões trativas, o CM se movimenta para a esquerda da origem, ou seja, no 
campo trativo; 
 
 - Se todas as tensões principais forem trativas (geologicamente improvável), então o 
círculo inteiro fica à esquerda; 
 
 
 
Aplicação tridimensional do Diagrama de Mohr 
- Os três valores de tensão principal ( 1 2 3) são lançados no eixo horizontal; 
 
- No exemplo, as três tensões normais são diferentes e positivas; 
 
 
 
 
 
 
 
 - Apenas dois valores da tensão normal são diferentes de zero, corpo não confinado 
em uma das dimensões; 
 
 
 
 
 
 
 
- Uma única tensão compressiva; as demais são nulas; 
 
 
 
 
 
 
- Na tração uniaxial, apenas uma das tensões é diferente de zero; 
 
 
 
 
- Dois valores da tensão normal são diferentes de zero, mas uma das tensões é 
compreensiva e a outra é trativa (portanto a intermediária é zero); 
 
- Todas as tensões normais são iguais; 
 
DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES NA LITOSFERA: 
Estados de Tensão Referenciais – ETR: 
- São estados de tensão teóricos, i.e., modelos, quê servem apenas como referencial; 
 
- Presume-se nestes modelos que o planeta tem apenas uma camada litosférica, sem 
considerar as complicações inerentes à tectônica de placas; 
 
- Assim, nos ETR não há forças tectônicas, e para encontrar as tensões tectônicas 
procuram-se os diferenciais em relação a eles; 
 
- Os ETR são, então condições ideais da crosta, como se a Terra fosse um planeta 
estático, sem processos tectônicos; 
- Três ETR considerados as eguir: 
 
 
 
 
 
Estados de Tensão Referencial Litostática: 
- É o ER mais simples, onde se considera que a rocha não tem resistência ao 
cisalhamento, ou seja, σs=0; 
 
 
- Nessas condições, as rochas não podem resistir a tensões diferenciais ao longo do 
tempo geológico, e (σ1–σ3=0); 
 
- No CM, esse estado de referência é representado por um ponto no eixo horizontal, e 
a tensão independe da direção: σ1=σ2=σ3=ρ.z.g; 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Neste modelo, a tensão é totalmente controlada pela profundidade e pela densidade 
das rochas: 
 
 
 
 
** Lembrar que 1kbar = 100 MPa** 
 
- Apenas nos magmas (quando totalmente líquidos) e em outros fluidos, a tensão é 
hidrostática; 
 
- Em situações específicas, como nas bacias sedimentares, a diferença de densidade 
entre os sedimentos e a água dos poros também tem que ser considerada; 
 
Estado Referencial de Deformação Uniaxial: 
- No ER Uniaxial presume-se que não ocorre elongação (positiva ou negativa) na 
horizontal. Para manter esta condição: 
σv>σH=σh; 
- A deformação é uniaxial Z<X=Y=1; 
 
- A condição-limite da deformação determina o estado das 
tensões... Porquê? 
 
- A superfície da Terra é uma superfície livre, e na parte 
superior da crosta se pode elevá-la ou rebaixá-la; 
 
- A compactação é um exemplo de deformação que 
produz o rebaixamento da superfície livre, e satisfaz às 
condições deste 
Modelo; 
- Durante o soterramento dos sedimentos, as tensões horizontais são iguais (σH = 
σh) e aumentam em função da profundidade; 
 
 
 
- A tensão vertical é a mesma prevista para o ERL, ou seja: σv = ρ.g.z = σ1; 
 
- A tensão horizontal σH = σh = σ2 = σ3 é dada por: 
 
 
 
- Onde v é o Coeficiente de Poisson (compressibilidade) da rocha; 
 
- Neste modelo, portanto, ao contrário da condição litostática, a tensão horizontal 
depende das propriedades físicas da rocha; 
 
- V 
 
- Fazendo a conta (façam!) tem-se: 
 
 
 
- Ou seja, pode-se prever que a tensão horizontal será entre 1/3 e 1/2 da tensão 
vertical, i.e., bem menor que a tensão prevista no ER Litostático; 
 
- Os dois modelos serão idênticos (σH = σh = σv) apenas se a litosfera for 
totalmente incompressível, ou seja, se v = 0,5; 
 
- De modo geral as rochas não chegam nem perto de ser incompressíveis (ver 
; 
 
- À medida que o sedimento é cimentado e litificado, suas propriedades elásticas 
mudam (o valor d de deformação uniaxial se aproxima do 
modelo litostático; 
 
Estado Referencial de Tensão Constante: 
- O ER THC tem por base de que a tensão média na litosfera é a mesma a cada ponto 
até a profundidade da linha de compensação isostática na litosfera mais espessa (z1); 
 
- Abaixo da profundidade z1 considera-se que a Terra assume o comportamento de 
um fluido, de modo que σH = σh = σv = σm; 
 
 
 
 
 
 
 - Onde a tensão litostática σm é dada pela sobrecarga; 
 
 
 
- É um modelo de deformação plana, ou seja, tem-se deformação apenas em duas 
direções: uma é a vertical e a outra é uma direção da horizontal - provavelmente o 
modelo que melhor representa a litosfera não afetada por tensões tectônica.; 
 
- A condiçãode tensão horizontal constante do modelo é mantida pelo 
equilíbrio isostático; 
 
- Após a erosão, mas antes do reequilíbrio isostático, a tensão horizontal média (σh*) 
na parte mais fina da litosfera tem que ser maior que na parte mais espessa (σh) para 
equilibrar as forças horizontais; 
 
 
- A profundidade da linha de compensação isostática é z1, e abaixo dela presume-se 
que o manto tenha resistência ao cisalhamento nula no tempo geológico; 
 
- Assim, o estado de tensão abaixo de z1 é litostático; 
 
 
 
 
 
 
 
 
- A tensão horizontal aumenta com o afinamento da litosfera porque a mesma força 
passa a atuar sobre uma área menor; 
 
- O papel da isostasia é reduzir a tensão; 
 
- Obtém-se o efeito oposto para z1 > z2; 
 
- O ER THC prevê variação menor das tensões durante o soerguimento que o 
ERU; 
 
- Além dos modelos de Estado Referencial de Tensões referidos antes, devem ser 
considerados também: 
 
- O efeito termal sobre a tensão horizontal – o resfriamento que acompanha o 
soerguimento das rochas pode causar fraturas em diferentes escalas e intensidades; 
 
- Variação das tensões durante o soterramento e soerguimento dependendo das 
propriedades físicas de rochas adjacentes. p.ex. arenitos e calcáreos tendem a fraturar, 
enquanto argilas e folhelhos se acomodam às tensões; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensões Tectônicas: 
- Os ETR discutidos até aqui dependem de fatores naturais, como densidade das 
rochas, condições-limite (e.g. deformação uniaxial versus deformação plana), efeitos 
termais e propriedades mecânicas intrínsecas das rochas; 
 
- As condições de tensão que se afastam dos estados de referência são 
geralmente causadas por Tensões Tectônicas; 
 
- Em grande escala, essas tensões estão relacionadas aos movimentos de 
placas, mas variações locais também existem; 
 
- A variação local das tensões (intensidade e orientação) é em geral bem maior que a 
das tensões regionais; 
 
Classificação dos Regimes Tectônicos de Anderson (1951): 
Pressupostos Básicos: 
 
1 - Como não há tensão cisalhante na superfície da Terra (a tensão cisalhante 
não pode ocorrer nos fluidos), uma das tensões principais tem que ser sempre 
vertical, o que implica as outras duas serem horizontais; 
 
2 - A classificação é válida apenas para regimes de cisalhamento puro, onde os eixos 
principais não rotacionam; 
 
3 - A rocha submetida a esta deformação é considerada isótropa; 
 
Modelo de Anderson (1951): 
FALHAS NORMAIS: σv= σ1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FALHAS TRANSCORRENTES: : σv= σ2 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
FALHAS EMPURRÃO: σv= σ3 
 
 
 
 
 
 
 
Regimes de Tensão e Forças Relacionadas à Tectônica de Placas: 
 
- Forças relacionadas à tectônica global (setas azuis) e regimes de tensão esperados 
como resultado dessas forças; 
 
- Espera-se que o eixo de tensão máxima nas placas continentais seja horizontal, 
exceto na parte superior das zonas de rifte (não mostradas na figura), nas margens 
passivas e nas partes altas dos cinturões orogênicos; 
 
Fossen (2011) –Geologia EstruturalCapítulos 4 e 5(p. 107 a 138) 
 
 
EXERCICÍOS: 
1 - Os flancos de uma dobra têm atitude (250; 50) e (020; 60). 
Estabeleça: 
(A) a orientação do eixo (intersecção dos flancos); 
(B) os mergulhos aparentes dos flancos numa seção vertical 
de direção 280°; 
 
2 - Em uma camada de ardósia, mediram-se os seguintes mergulhos aparentes nas 
paredes de duas fraturas: 30° no sentido 110° e 52° no sentido 275°. Qual a atitude 
da camada? 
 
3 - Uma camada mineralizada possui, numa área a ser lavrada, mergulho de 30° no 
sentido 040°. Quais deverão ser as orientações de galerias a serem abertas ao longo 
da camada para que seus declives não sejam superiores a 5°? Quais os rakes dessas 
galerias no plano da camada? 
 
PROJEÇÃO ESTEREOGRÁFICA – PARTE 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 EXERCICÍOS: 
1) Determine a atitude da linha de intersecção dos seguintes pares de planos: 
a) (042; 25) e b) (078; 66) 
c) (12 / 212) e d) (80 / 290) 
e) (270; 52) e f) (30 / 110) 
g) (50 / 070) e h) (236; 48) 
 
2) Determine o ângulo entre as linhas resultantes da intersecção: 
2.1 [a 
2.2 
2.3 
2.4 
 
3) Determine o ângulo entre os planos de exercício 1: 
3.1 usando seus polos 
3.2 usando seus traços ciclográficos. 
 
4) Determine a bissetriz das linhas do exercício 2. 
 
 
REOLOGIA: 
O Comportamento das Rochas Diante das Tensões. 
REOLOGIA: É o estudo das propriedades físicas dos materiais (sólidos, líquidos ou 
gasosos). Do grego rheo = fluir Heráclito (filósofo grego ~500 AC) .Panta rhei = 
Tudo flui 
Depende: 
- Das propriedades físicas do material; 
- Das condições do meio; 
- Das tensões envolvidas; 
- Da taxa de deformação; 
- Quantidade de deformação num dado tempo: 
= 4% = 0,04/s; 
- Valores normais de na crosta: 10-12 a 10-18; 
Comportamento de Materiais Ideais: 
– relação linear; 
; 
; 
Comportamento Elástico E = Módulo de Young ou constante de 
elasticidade; 
 
 
 
 
 
 
Comportamento Viscoso Ideal: 
 e; 
; 
quanto mais tempo, mais deformação; 
-recuperável; 
 ; 
 
 
Comportamento Frágil: 
 
A ruptura se segue à deformação elástica, sem 
deformação permanente anterior. 
 
 
 
 
Comportamento Plástico Ideal: 
- Deforma em tensão constante uma vez atingida a tensão 
de cedência; 
- Tensão constante, independente da taxa de deformação; 
- Deformação permanente; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comportamento Dúctil: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Strain hardening - A tensão necessária para 
deformar a rocha precisa aumentar para que a 
deformação se acumule, uma vez que a rocha se torna 
mais resistente e mais difícil de deformar. 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Strainsoftening - Precisa-se cada vez menos tensão para manter a deformação 
acontecendo. 
 
 
 
 
 
Fatores que afetam o comportamento dos materiais na crosta: 
- Intensidade das tensões diferenciais; 
 
-Pressão litostática ou de confinamento; 
 
- Temperatura; 
 
- Fuidos; 
 
- Taxa de deformação; 
 
Tensão Diferencial: 
 
 
 
 
 
- o aumento da tensão diferencial favorece a ruptura; 
- o comportamento do material passa de elástico para viscosopara rúptil; 
- baixa tensão –comportamento elástico ou viscoelástico; 
- tensão mais alta –comportamento viscoso; 
- tensão ainda mais alta – ruptura; 
 
 
Pressão Confinante: 
- Pressão litostática na base da 
crosta é da ordem de 1 GPa; 
 
- Efeito final do aumento de Plitoé o 
aumento da ResistênciaEfetivadas 
rochas; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temperatura: 
 
- Diminuição da tensão de cedência ( Y); 
- Aumento da resistência à ruptura ( R); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fluidos: 
 -Efeito similar ao do aumento de 
temperatura; 
 
- Adição de água pode tornar a rocha 
5 a 10 vezes mais deformável; 
 
- Se Pefetiva = Pconf. – Pfluidos;- Então o aumento da Pfluidos pode ter o efeito 
oposto; 
 
 
 
Taxa de Deformação: 
- Sob “normais”(~10-14/s): deformação da 
ordem de 10% em 1Ma; 
-se reduz-se a tensão de cedência 
 ( Y); 
 
 
 
EXERCICIOS DE PROJEÇÃO ESTEREOGRÁFICA: 
 
Determinar a atitude do plano bissetor dos planos 
dados usando os dois métodos conhecidos, ou seja, os 
traços ciclográficos e os polos. 
Plano P -(050; 70) 
Plano Q -(200; 60) 
 
Na figura ao lado: 
 
(a) é o traço do plano P no plano N (normal à 
intersecção); 
(b) é o traço do plano Q no plano N; 
(c)é a linha perpendicular à intersecção L contida no 
plano N; 
( ) é o ângulo agudo entre os dois planos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na área de uma pedreira cujas frentes de lavra são dois cortes verticais -A, de direção 
(320), e B, de direção (040) -observa-se a intersecção de um dos flancos de uma 
dobra. Os traços do flanco são, na parede A (30; 320) e, na parede B (48; 040). O 
plano axial dessa mesma dobra, que é o plano que divide os flancos o mais 
simetricamente possível, tem orientação PA = (265; 80). Com base nesses dados, quer 
se saber: 
(a) Qual a atitude do flanco de dobra cujos traços sobre as paredes A e B são visíveis? 
(b) Qual o rake da parede A sobre o flanco da dobra? E o da parede B?(c) Qual a 
atitude do segundo flanco da dobra? 
(d) Qual a atitude da intersecção dos dois flancos, que é a linha de charneira da 
dobra? 
(e) Qual a atitude esperada para o traço do segundo flanco da dobra sobre a parede 
A? 
Respostas: 
(a) Atitude do flanco de dobramão esquerda = (291; 50) trama = (50/021) 
(b) Rake da parede A sobre o flanco da dobra(+41)Rake da parede B sobre o flanco da 
dobra(-77) 
(c) Atitude do segundo flanco da dobramão esquerda = (065; 70)trama = (70/155) 
 
 
(d) Atitude da linha de charneira da dobraB = (33; 079) 
(e) Traço do flanco 2 sobre a parede A (69; 140) 
 
DEFORMAÇÃO RÚPTIL DAS ROCHAS: FRATURAS E FALHAS 
DEFORMAÇÃO RÚPTIL (OU FRÁGIL) 
 
- Uma vez ultrapassada sua resistência à ruptura, as rochas se deformam por 
fraturamento; 
- Nesse tipo de deformação, os grãos são esmagados e reorganizados e o strain 
(deslocamento, no caso) se torna mais localizado; 
- Define-se o regime rúptil (ou frágil) como aquele em que as condições físicas 
favorecem a atuação de mecanismos de deformação do tipo deslizamento friccional ao 
longo dos contatos entre os grãos, rotação e fraturamento dos grãos; 
- O deslocamento e rotação dos grãos caracteriza um fluxo granular (também 
chamado de fluxo particulado); 
- O fraturamento e esmagamento de grãos, em conjunto com a rotação e o 
deslizamento friccional ao longo dos contatos é denominado de CATACLASE; 
- O processo de cataclase muito intenso e penetrativo leva à redução do tamanho de 
grão das rochas, resultando em diferentes tamanhos de grão devido à intensidade da 
quebra. Dependendo do caso, os fragmentos podem fluir durante o deslocamento, 
ocasionando o chamado FLUXO CATACLÁSTICO. 
 
Fluxo Granular 
 
 
 
 
 
 
Fluxo Cataclástico 
 
 
 
 
 
FRATURAS: Definição e Classificação 
- Denomina-se de fratura qualquer descontinuidade planar, ou aproximadamente 
planar, que tem uma das dimensões praticamente desprezível em relação às demais, e 
que se forma em resposta a tensões externas (p. ex. tectônicas) ou internas (p. ex. 
termais); 
 
 
- De acordo com o tipo de superfície, as fraturas podem ser cisalhantes ou 
extensionais; 
 
Fratura Cisalhante 
- As fraturas cisalhantes são também chamadas superfícies de 
deslizamento, e o movimento se dá no próprio plano da 
fratura; 
• para muitos autores é sinônimo de falha 
• para outros, deslocamentos de mm a dm caracterizam 
fraturas, enquanto o termo falha é reservado para escalas 
maiores; 
 
Fratura Extensionais 
As fraturas extensionais têm movimento perpendicular às paredes, e são 
denominadas juntas quando esse movimento é muito pequeno, ou fissuras quando é 
maior, mas na verdade todas as fraturas de extensão têm movimento (maior ou 
menor) perpendicular às paredes. 
É comum o preenchimento de fissuras por fluidos, resultando em veios, diques ou 
mesmo corpos ígneos de maior escala. 
 
 
 
 
 
Relação entre diferentes tipos de fraturas e as tensões principais em campo tensional 
compressivo com σ1 vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deformação Experimental 
Tensão axial em um ensaio é da ordem de 2 até 300 MPa e Pconf de até 50-100 MPa . 
 
 
 
 
 
 
 
Corpo de prova submetido a ensaio uniaxial (compressivo, neste caso). 
 
 
 
 
 
Corpo de prova submetido a ensaio triaxial (σ1 > σ2 = σ3 ) – pressão confinante 
obtida pela imersão do corpo de prova numa jaqueta com óleo. 
 
 
 
 
 
 
Caixa de cisalhamento (Shear box) – experimento para testar a resistência das rochas 
ao cisalhamento. Quanto maior a tensão normal, maior será a tensão cisalhante 
necessária para ativar a fratura. 
 
 
 
 
 
 
 
Anel de cisalhamento (Ringshear) – aparato experimental que permite impor 
quantidades ilimitadas de deformação cisalhante ( ) à amostra. 
 
 
 
 
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---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
FRATURAS: modos de deslocamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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FRATURAS EXTENSIONAIS E FRATURAS TRATIVAS 
- Fraturas extensionais em geral (caso ideal) se formam perpendicular a σ3 ; seus 
planos contêm então σ1 e σ2. 
- No CM, são representadas na abcissa (2 = zero) 
em termos de strain: 
- Sob condições de tração - se formam perpendicular à direção de estiramento; 
- Em condições de compressão – se formam paralelo ao eixo de compressão máxima; 
 
 
 
 
FRATURAS EXTENSIONAIS E FRATURAS TRATIVAS 

- As juntas são o tipo mais comum na crosta rasa e na superfície da Terra, 
envolvendo baixas quantidades de strain; 
- As fissuras são juntas mais abertas, características de poucas centenas de metros 
de profundidade na crosta; 
- Fraturas de extensão são típicas de deformação sob pressão confinante baixa ou 
nula, e se formam sob baixa tensão diferencial; 
- Fraturas trativas verdadeiras são fraturas de extensão formadas quando pelo 
menos uma das tensões principais é trativa; 
- próximo à superfície; 
- em profundidade, sob alta pressão de fluidos; 
 
 FRATURAS CISALHANTES 
 
- fraturas cisalhantes têm movimento no próprio plano e se desenvolvem tipicamente 
a 20-30° de σ1 - (resultados experimentais); 
- Se desenvolvem tipicamente em pares conjugados cuja bissetriz aguda é σ1; 
- Típicas de temperaturas e pressões confinantes da parte superior da crosta; 
- Podem se formar também próximo à transição dúctil-rúptil, onde tendem a formar 
bandas mais largas, ao invés de planos; 
- Neste caso, em profundidades maiores, com maior plasticidade, as fraturas 
cisalhantes têm padrões de strain que se assemelham aos de deformação dúctil; 
- Embora teoricamente a 45° de σ1, o ângulo real é de 30° devido ao coeficiente de 
atrito interno das rochas; 
 
 
EXERCICIO: 
 
A partir da orientação do par conjugado de fraturas cisalhantes , dado abaixo, 
determinar a orientação das tensões principais σ1 σ2 e σ3. Fazer também um 
diagrama esquemático indicando o sentido de movimento dos blocos. 
PF1 (76/ 118) 
PF2 (48 / 180) 
 
FALHAS: nomenclatura descritiva 
- Define-se Falha como qualquer superfície ou zona estreita onde se tem 
deslocamento visível ao longo do próprio plano ou superfície, ou seja, o vetor-
deslocamento está contido no plano; 
- A superposição de nomenclatura com fraturas cisalhantes (em relação ao movimento) 
ou com zonas de cisalhamento (em relação à espessura) em geral depende da escala, 
e os termos se superpõem parcialmente; 
- A definição mais precisa coloca essa estrutura como: um volume tabular de rochas 
que consiste de uma superfície central de deslocamento, ou núcleo, formado por 
intenso cisalhamento, e um volume de rochas circundantes que foram afetadas por 
deformação rúptil menos intensa, genética e espacialmente relacionada à mesma 
estrutura; 
 
 
- No interior das falhas, os mecanismos de deformação rúptil são amplamente 
dominantes; 
 
GEOMETRIA DAS FALHAS 
 
 
 
 
 
 
 
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---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
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Algumas Generalizações 
- Falhas transcorrentes são geralmente verticais ou têm alto ângulo de mergulho; 
- Falhas inversas em geral têm mais baixo ângulo de mergulho que as falhas normais; 
- Se o ângulo de mergulho do plano de falha é menor que 30°, diz-se que é uma 
falha de baixo ângulo, enquanto mergulhos acima de 60° caracterizam falhas de 
alto ângulo; 
- Falhas de baixo ângulo e movimento inverso são chamadas de Falhas de Empurrão 
(Thrusts); 
 
 
- Falhas que se tornam mais suaves em profundidade são denominadas Falhas 
Lístricas. As que se tornam mais fortemente mergulhantes em profundidades são 
chamadas de Anti-lístricas; 
 
Falha Lístrica 
 
 
 
 
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Falhas Normais 
 
 
 
 
 
 
 
DESLOCAMENTO, REJEITO E SEPARAÇÃO 
REJEITO-dado pela linha que une dois pontos originalmente adjacentes. A linha que 
une esses dois pontos é o VETOR DESLOCAMENTO ou REJEITO TOTAL. O vetor 
deslocamento final pode ser o somatório de muitos incrementos ao longo do tempo. 
A relação angular (rake) entre o vetor deslocamento e o plano de falha permite 
classificar o movimento da falha: 
rejeito direcional-transcorrente 
rejeito de mergulho – direta ou inversa Situações intermediárias são denominadas 
de rejeito oblíquo (mais comum), do qual o rejeito diagonal é um caso especial 
(rakede45°). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------- 
COMPONENTES DO REJEITO 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------- 
REJEITO versus SEPARAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ROCHAS DE FALHA 
(Em geral maciças, mais raramente foliadas) 
Classificação de Sibson (1977) 
 
MATERIAL NÃO-COESO 
Brecha de falha -> 30% de fragmentos 
Farinha de falha -< 30% de fragmentos 
 
MATERIAL COESO 
Pseudotaquilito –vidro ou material microcristalino 
Brecha de esmagamento –fragmentos > 5mm 
Brecha de esmagamento fina –fragmentos 1-5mm 
Microbrecha de esmagamento –fragmentos < 1mm 
 
Série cataclástica–redução tectônica do tamanho de grão 
Protocataclasito -matriz 10 a 50% 
Cataclasito -matriz 50 a 90% 
Ultracataclasito -matriz > 90%matriz < 10% 
FALHAS E CRITÉRIOS CINEMÁTICOS 
 
ESTRUTURAS DE ARRASTO 
 
- Dobras de arrasto são distorções de horizontes guia, camadas ou marcadores 
quaisquer que resultam do cisalhamento de partes da rocha contra outras; 
- As porções mais próximas à superfície da falha são deformadas pela fricção e 
arrastadas, formando do Brás cuja convexidade aponta para a direção de 
deslocamento. As extremidades truncadas das camadas arrastadas apontam no sentido 
oposto ao do movimento relativo; 
 
 
 
 
 
 
Estratos arrastados formam antiforme no teto e sinforme no muro de uma falha 
inversa (vista em perfil). 
 
 
 
 
 
Estratos arrastados por falha normal (vista em perfil). 
 
 
 
 
 
Padrão de dobras de arrasto em falhas de rejeito direcional direito e esquerdo. 
 
 
 
 
 
 
 
Padrão sigmoidal de dobras de arrasto em falhas de rejeito direcional direito e 
esquerdo pouco espaçadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
CRESCIMENTO MINERAL E ESTILOLITOS 
Irregularidades do plano de falha geram degraus que propiciam formação local de 
estruturas de encurtamento e crescimento mineral. 
 
 
 
- 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Componente de encurtamento favorece a dissolução por pressão em materiais como 
calcáreos e mármores–lineação resultante é paralela à direção de movimento da falha 
(slickolito). 
 
 
 
 
DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES A PARTIR DE PARES CONJUGADOS DE 
FALHAS 
 
NORMAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INVERSA 
 
 
 
 
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
TRANSCORRENTE 
 
 
 
 
 
 
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ZONAS DE FALHA versus ZONAS DE CISALHAMENTO 
FALHA 
 
 
 
 
 
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ZONA DE FALHA 
 
 
 
 
 
ZONA DE CISALHAMENTO