Lista 3

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Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca
Ciclo Comum da Engenharia
Unidade Nova Iguaçu
Cálculo III
Lista 3 de exercícios
Diferenciabilidade
Prof. Fernanda Ferreira
2o semestre de 2019
1. Calcule todas as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
a) f(x, y, z, w) = sen
√
1 + x2y + xz2 − yw2;
b) f(x, y, z, w) =
√
1− x2 − y2 − z2 − w2;
c) f(x, y, z, w) = xy
2z3w
1+x2+y4+z6+w8
;
d) f(x, y, z, w) = x
2w2√
y2+z2
.
2. Seja f(x, y) = (x2 + y2)sen( 1
x2+y2
) para (x, y) 6= (0, 0) e 0 para (x, y) = (0, 0).
a) Detemine as derivadas parciais de primeira ordem.
b) Mostre que essas derivadas parciais não são contínuas em (0, 0).
c) Mostre, pela de�nição, que f é diferenciável em (0, 0).
d) Mostre que f é diferenciável em R2.
3. Mostre que as funções abaixo satisfazem a Equação Diferencial Parcial zxx + zyy = 0, chamada
de Equação de Laplace.
a) z = ln
√
x2 + y2;
b) z = exsen y;
c) z = arctan yx ;
d) z = y
x2+y2
.
4. Seja f uma função de uma variável real, derivável até a segunda ordem. Mostre que as funções
de duas variáveis z = f(x± ct) satisfazem a chamada Equação da Onda
zxx =
1
c2
ztt,
onde c é uma constante.
5. Mostre que a função z =
exp(− x24kt)√
t
satisfaz a Equação do Calor
zt = kzxx,
onde k é uma constante.
6. Mostre que a função f(x, y) =
√
|x|sen y é diferenciável na origem, mas sua derivada parcial ∂f∂x
é descontínua nesse ponto.
7. Encontre o ponto onde o plano tangente a cada uma das superfícies abaixo é horizontal.
a) z = 2x2 + 2xy − y2 − 5x+ 3y − 2; b) z = x2y2 + 2(x− y).
8. Considere a superfície do paraboloide elíptico z = x
2
9 +
y2
25 . Encontre uma equação do plano
tangente ao paraboloide no ponto P0 = (6, 10, 8). Este paraboloide deve ser apoiado em uma viga
presa ao eixo Oz, de tal modo que esta �que tangente à superfície em P0. Calcule o comprimento
da viga.
9. Encontre as derivadas direcionais das funções dadas, nos pontos dados e nas direções dadas.
1
a) z = x2 − 3y em P = (0, 0), na direção do
vetor (1, 2);
b) z = sen(x2y) + cos(xy2) em P = (x, y), na
direção do vetor (1,
√
3);
c) z = ex
2−cos y − 3y em P = (x, y), na direção
do vetor (2, 3);
d) w = x2 + 2xy + z2 em P = (1, 0,−1), na
direção do vetor (1,−1, 1);
e) z = x2y3 − 3x3y2 em P = (1, 2), na direção
tangenta à curva y = x3 + 1;
f) w = x+ y2 + z3 em P = (x, y, z), na direção
do vetor (1,−1, 2).
10. Prove as seguintes regras formais do cálculo com gradientes:
a) ∇(f + g) = ∇f +∇g;
b) ∇(αf) = α(∇f), α constante;
c) ∇(fg) = f∇g + g∇f ;
d) ∇f
g
= g∇f − f∇gg2.
11. Determine as direções em que f cresce e decresce mais rapidamente no ponto dado, bem como
as correspondentes derivadas direcionais máxima e mínima, respectivamente.
a) f(x, y) = x3 − y2, P = (1, 1); b) f(x, y, z) = x2 + 3y2 + 4z2, P = (1,−1, 1);
12. Ache a equação do plano tangente à superfície z = 2x2 − 3xy + y2 que seja paralelo ao plano
10x− 7y − 2z + 5 = 0.
13. Calcule
∂z
∂u
e
∂z
∂v
ou
∂z
∂t
, conforme for o caso, de dois modos: usando a regra da cadeia e
encontrando a função composta e derivando diretamente.
a) z = yex + xey, x = cos t, y = sen t;
b) z = x2 + y2, x = usen v, y = v cosu;
c) z = (x2 + y2) ln
√
x2 + y2, x = et, y = e−t;
d) z = x ln y, x = senu+cos v, y = senu−cos v;
2