RESOLUÇÂO: Algebra linear e Aplicações (Callioli, Hygno e Roberto) - Parte 1 / Capitulo 1 / Questão 2

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RESOLUÇÃO: Álgebra linear e aplicações - Carlos A. Callioli, 
Hygino H. Domingues e Roberto C. F. Costa – 6ª Edição 
CARVALHO, Vinicius¹ 
1 Graduando em Física no Instituto Federal de Educação, Ciências e Tecnologia do Sertão Pernambucano.
1ª Parte 
 Capitulo 1,2,3 e 4 
 Questão 2 
 
Determinar os valores de a e b que tornam o sistema: 
 
{
3x − 7y = a 
x + y = b 
5x + 3y = 5a + 2b 
x + 2y = a + b − 1
 
 
compatível e determinado. Em seguida resolver o 
sistema. 
R: Primeiro usaremos a combinação linear para 
encontrar os valores de a e b, para isso vamos separar 
esse sistema, em dois sistemas de duas equações e 
definir valores para as variáveis x e y em função de a 
e b, para depois combina-las. 
 
(I) {
3x − 7y = a 
x + y = b 
5x + 3y = 5a + 2b 
x + 2y = a + b − 1
 
 
(I) {
(II) {
3x − 7y = a 
x + y = b 
(III) {
5x + 3y = 5a + 2b
x + 2y = a + b − 1
 
Resolvendo o sistema (II) para x e y, temos; 
 
(II) {
3x − 7y = a
x + y = b
~1 
 
(II) {
−10y = a − 3b 
x + y = b 
 
 
(II) {
y =
1
10
(3b − a) 
x = b − y 
 
(II)
{
 
 y =
1
10
(3b − a) 
x = b − (−
1
10
(a − 3b)) 
 
 
(II) {
y =
1
10
(3b − a)
x =
1
10
(a + 7b) 
 
 Fazemos agora a mesma coisa para o sistema (III) 
 
(III) {
5x + 3y = 5a + 2b
x + 2y = a + b − 1
 
 
(III) {
5x + 3y − 5a − 2b = 0
 x + 2y − a − b = −1
~2 
 
(III) {
−7y + 3b = 5
x + 2y − a − b = −1
 
 
(III)
{
 
 y =
1
7
(3b + 5) 
x + 2(
1
7
(3b + 5)) − a − b = −1
 
 
(III) {
y =
1
7
(3b + 5) 
x =
1
7
(7a + b + 3)
 
 
 Agora fazendo combinação linear entre (II) e (III), 
ficamos com; 
(IV){
y: 
1
10
(3b − a) = 
1
7
(3b + 5) 
x: 
1
10
(a + 7b) =
1
7
(7a + b + 3)
 
 
(IV) {
7(3b − a) = 10(3b + 5) 
 7(a + 7b) = 10(7a + b + 3) 
 
2 CARVALHO, Vinicius 
(IV) {
21b − 7a = 30b − 50 
 7a + 49b = 70a + 10b + 30 
 
 
(IV) {
−9b − 7a = −50 
39b − 63a = 30 
 
 
(IV) {
9b + 7a = 50
39b − 63a = 30 
~3 
 
(IV) {
 
 9b + 7a = 50
120b = 480
 
 
(IV) {
 
39(4) − 63 = 30
 b = 4
 
 
(IV) { 
b = 4
a = 2
 
 
Agora que sabemos os valores de a e b, substituímos 
em (I), e resolvemos para encontrar os valores de x e 
y: 
(I) {
3x − 7y = 2
 x + y = 4
 5x + 3y = 18
 x + 2y = 5
~4 
 
(I) {
3x − 7y = 2
 −y = −1
 5x + 3y = 18
 x + 2y = 5
 
 
(I) {
3x − 7(1) = 2
 y = 1
 5x + 3(1) = 18
 x + 2(1) = 5
 
 
S: [3,1] 
 
 1 = multiplicamos a 2ª linha por (−3) e somamos a 1ª linha. 
 2 = multiplicamos a 2ª linha por (−5) e somamos a 1ª linha. 
 3 = multiplicamos a 1ª linha por (−9) e somamos a 2ª linha. 
 3 = multiplicamos a 2ª linha por (−1) e somamos a 4ª linha.