Projecto mecanico-accionamento de um transportador de cadeia

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ÍNDICE 
LISTA DE FIGURAS ................................................................................................................. I 
LISTA DE TABELAS .............................................................................................................. II 
LISTA DE SÍMBOLOS ........................................................................................................... III 
Cálculo de accionamento ..................................................................................................... III 
Transmissão por correia ...................................................................................................... IV 
Transmissão por cadeia ........................................................................................................ V 
Transmissão por engrenagens ............................................................................................. VI 
Cálculo projectivo de veios .................................................................................................. IX 
ENUNCIADO DA TAREFA ................................................................................................ XII 
Esquema cinemático ......................................................................................................... XIII 
Gráfico de cargas médias. ................................................................................................ XIII 
1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 1 
2. OBJECTIVOS........................................................................................................................ 1 
2.1 Objectivo Geral ................................................................................................................ 1 
2.2 Objectivos Específicos ..................................................................................................... 1 
3. METODOLOGIA .................................................................................................................. 1 
4. CAMPO DE APLICAÇÃO ................................................................................................... 2 
5. CÁLCULO DE ACCIONAMENTO E ESCOLHA DO MOTOR ELÉCTRICO ................. 3 
5.1 Cálculo da Potência, Frequência de Rotação e Dimensões Principais da Roda Estrelada 
Motriz do Transportador. ....................................................................................................... 3 
5.1.1 Cálculo do peso da carga no transportador ............................................................... 3 
5.1.2 Cálculo do peso da cadeia ......................................................................................... 3 
5.2.3 Determinação do torque nominal no veio motriz do transportador .......................... 3 
5.2.4 Determinação da Força Tangencial no Diâmetro Divisor da Roda Estrelada Motriz 
do Transportador ................................................................................................................ 4 
5.2.5 Escolha do número de dentes da roda estrelada ........................................................ 4 
5.2.6 Determinação do passo (t) ........................................................................................ 4 
5.2.7 Cálculo da carga de ruptura ...................................................................................... 4 
5.2.8 Escolha do tipo de cadeia .......................................................................................... 4 
5.2.9 Cálculo da frequência de rotações do veio da roda estrelada ................................... 5 
5.3 Cálculo do Rendimento Global do Accionamento .......................................................... 5 
5.4 Escolha do Motor Eléctrico ............................................................................................. 5 
5.4.1 Cálculo da potência requerida do motor eléctrico .................................................... 5 
 
 
 
 
5.4.2 Pré-Seleção dos motores elétricos de acordo com a potência nominal .................... 5 
5.4.3 Cálculo de relações de transmissão gerais para cada motor pré-seleccionado ......... 6 
5.4.4 Partição das relações de transmissão gerais pelas diversas transmissões componentes
............................................................................................................................................ 6 
5.4.5 Análise de resultados das tentativas .......................................................................... 8 
5.4.6 Resumo da análise..................................................................................................... 8 
5.5 Cálculo da Potência em Cada Veio .................................................................................. 9 
5.6 Cálculo da Frequência de Rotação de Cada Veio ............................................................ 9 
5.7 Cálculo do Torque para Cada Veio .................................................................................. 9 
6. CÁLCULO DA TRANSMISSÃO POR CORREIA ....................................................... 11 
6.1 escolha do Tipo de Perfil (secção) da Correia .............................................................. 12 
6.2 Escolha do Diâmetro de Cálculo da Polia Motriz e a Potência por Cada Correia ......... 12 
6.3 Determinação da Velocidade Linear da Correia ............................................................ 12 
6.4 Cálculo do Diâmetro de Cálculo da Polia Movida ........................................................ 13 
6.5 Correção da Relação de Transmissão ............................................................................ 13 
6.6 Indicação da Distância Interaxial Conveniente (mínima recomendada para u=5 ) ....... 13 
6.7 Cálculo do Comprimento da Correia ............................................................................. 13 
6.8 Frequência de Passagens da Correia .............................................................................. 13 
6.9 Cálculo do Ângulo de Abraçamento .............................................................................. 14 
6.10 Correcção da Distância Interaxial ................................................................................ 14 
6.11 Determinação da Potência Transmissível por Cada Correia ........................................ 14 
6.12 Determinação do Número de Correias ......................................................................... 15 
6.13 Força de Tensão Inicial em Cada Correia .................................................................... 15 
6.14 Força Sobre os Veios ................................................................................................... 16 
6.15 Determinação da Longevidade da Correia ................................................................... 16 
6.16 Escolha do Tipo de Polias ............................................................................................ 16 
7. CÁLCULO DO PROJECTO DE ENGRENAGENS (REDUTOR) ................................ 20 
7.1 Escolha dos Materiais das Rodas Dentadas e do Tratamento Térmico ......................... 21 
7.2 Determinação das Tensões Admissíveis de Contacto ................................................... 21 
7.3 Determinação dos Principais Parâmetros Geométricos ................................................. 23 
7.3.1 Determinação do valor de orientação do diâmetro primitivo ................................. 23 
7.3.2 Determinação dos módulos normais e tangenciais ................................................. 23 
7.3.3 Determina-se o ângulo de inclinação dos dentes .................................................... 24 
7.3.4 Número de dentes do pinhão e da movida .............................................................. 24 
7.3.5 Correção do ângulo de inclinação dos dentes ......................................................... 247.3.6 Cálculo dos círculos divisores ................................................................................ 24 
7.3.7 Determinação da distância interaxial ...................................................................... 24 
7.4 Verificação da Tensão de Contacto ............................................................................... 25 
7.5 Determinação da Tensão Admissível à Fadiga Por Flexão ........................................... 25 
7.6 Calculo Testador à Fadiga por Contacto ........................................................................ 27 
7.7 Cálculo Testador à Fadiga por Tensões de Flexão ....................................................... 28 
7.8 Cálculo Geométrico da Transmissão ............................................................................. 29 
7.9 Cálculo de Forças na Transmissão ................................................................................. 30 
8. CÁLCULO DA TRANSMISSÃO POR CADEIA .............................................................. 32 
8.1 Escolha do Número de Dentes: ...................................................................................... 33 
8.2 Escolha da Distância Interaxial, em Termos de Passos ................................................. 33 
8.3 Determinação da Potência Calculada............................................................................. 33 
8.4 Escolha da Cadeia .......................................................................................................... 34 
8.5 Determinação da Velocidade de deslocamento da Cadeia ............................................ 34 
8.6 Cálculo do Número de Elos ........................................................................................... 35 
8.7 Distância Interaxial Re-Calculada ................................................................................. 35 
8.8 Diâmetro de Trabalho das rodas estreladas ................................................................... 35 
8.9 Forças na Transmissão ................................................................................................... 35 
8. 10 Determinação de Frequência de Ressonância ............................................................. 36 
8.11 Determinação dos Parâmetros Geométricos da Transmissão por Cadeia .................... 36 
9. CÁLCULO PROJECTIVO DE VEIOS........................................................................... 39 
9.1 Composição do Esboço do Redutor .......................................................................... 39 
9.1.1 Escolha preliminar dos rolamentos ......................................................................... 39 
9.1.2 Determinação dos parâmetros geométricos dos escalões dos veios ....................... 41 
9.1.2.1 Cálculo aproximado dos parâmetros geométricos dos escalões do veio de entrada 
do redutor ......................................................................................................................... 42 
9.2.3.2 Cálculo aproximado dos parâmetros geométricos dos escalões de saída do redutor
.......................................................................................................................................... 43 
9.3 Generalidades e Materiais para os Veios ....................................................................... 46 
9.3.1 Escolha do material ................................................................................................. 46 
9.3.2 Escolha das tensões admissíveis à torção ............................................................... 46 
9.4 Carregamento do Veios do Redutor ............................................................................... 46 
9.4.1 Determinação das forças nos engrenamentos das transmissões do redutor ............ 47 
9.3.2 Determinação das Forças em Consola .................................................................... 47 
9.3.3 Esquema de carregamento dos veios do redutor ..................................................... 48 
 
 
 
 
9.3.4 Determinação do carregamento do veio de entrada do redutor e dos apoios A e B49 
9.3.5 Determinação do carregamento veio de saída do redutor e dos apoios C e D ........ 52 
10. CÁLCULO E ESCOLHA DE ROLAMENTOS .......................................................... 57 
10.1 Cálculo da Capacidade Dinâmica dos Rolamentos no Veio de Entrada ............... 58 
10.2 Cálculo da Capacidade Estática dos Rolamentos no Veio de Entrada ........................ 59 
10.2 Cálculo da Capacidade Dinâmica dos Rolamentos no Veio de Entrada ............... 60 
10.4 Cálculo da Capacidade Estática dos Rolamentos no Veio de Entrada ........................ 60 
11. CÁLCULO TESTADOR DOS VEIOS DO REDUTOR .................................................. 61 
11.1 Cálculo Testador De Resistência À Fadiga Do Veio De Entrada Do Redutor ............ 62 
11.2 Cálculo Testador de Resistência à Fadiga do veio de Saída do Redutor ..................... 63 
11.3 Cálculo Testador de Carga Estática ............................................................................. 65 
11.3.1 Cálculo testador de carga estática no veio de entrada do redutor ......................... 65 
11.3.2 Cálculo testador de carga estática no veio de saída do redutor............................. 66 
11.4 Cálculo Testador à Rigidez .......................................................................................... 66 
11.4.1 Cálculo testador à rigidez do veio de entrada do redutor ...................................... 67 
11.4.2 Cálculo testador à rigidez do veio de saída do redutor ......................................... 72 
11.4.3 Deslocamentos resultantes (espaciais) nos veios .................................................. 77 
12. CÁLCULO TESTADOR DOS VEIOS À VIBRAÇÃO .............................................. 79 
12.1 Cálculo de Resistência à Vibrações do Veio de Entrada do Redutor .......................... 80 
12.1.1 Cálculo da flecha na condição de cargas estáticas ................................................ 80 
12.1.2 Cálculo da constante de rigidez do veio ............................................................... 81 
12.1.3 Número de rotações críticas do veio pinhão ......................................................... 81 
12.2 Cálculo de Resistência à Vibrações do Veio de Saída do Redutor .............................. 81 
12.2.1 Cálculo da flecha na condição de cargas estáticas ................................................ 81 
12.2.2 Cálculo da constante de rigidez do veio ............................................................... 82 
12.2.3 Número de rotações críticas do veio pinhão ......................................................... 82 
13. ESCOLHA DAS CHAVETAS E CÁLCULO DE CONTROLO DA TENSAO DE 
ESMAGAMENTO. ................................................................................................................. 83 
13.1 Chaveta do Veio do Motor elétrico .............................................................................. 84 
13.2 Chaveta da Polia Movida do Veio de Entrada do redutor ........................................... 84 
13.3 Chaveta para Engrenagem Movida do Veio de Saída do Redutor............................... 84 
13.4 Chaveta para a Roda Estrelada Motora no Veio de Saída do Redutor ........................ 85 
14. CONSTRUÇÃO DO CORPO DO REDUTOR ........................................................ 86 
15. DESIGNAÇÃO DO SISTEMA DE LUBRIFICAÇÃO DAS ENGRENAGENS E 
CONJUNTO DE ROLAMENTOS .......................................................................................... 87 
 
 
 
 
15.1 Lubrificação das Engrenagens ............................................................................... 87 
15.1.1 Altura do óleo no redutor ...................................................................................... 87 
15.1.2 Determinação da viscosidade do óleo e escolha do óleo ......................................87 
15.2 Lubrificação Da Transmissão Cadeia .................................................................... 88 
16. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES .................................................................... 89 
17. REFERÊNCIAS ................................................................................................................. 90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1-esquema de representação dos parâmetros da transmissão por correia ..................... 11 
Figura 2-parâmetros geométricos da correia de secção 0 ........................................................ 12 
Figura 3-Parâmetros do perfil das polias ................................................................................. 17 
Figura 4-Polia motora recomendada em função do diâmetro (polia monolítica) .................... 17 
Figura 5-Polia movida recomendada em função do diâmetro (polia com raios) .................... 18 
Figura 6-Representação das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais ............................ 20 
Figura 7-esquema de representação dos parâmetros da transmissão por cadeia ..................... 32 
Figura 8-Parâmetros geométricos da Cadeia de escolhida (de rolos) ...................................... 34 
Figura 9-Perfil dos dentes da transmissão por cadeia .............................................................. 36 
Figura 10-Parâmetros geométricos dos rolamentos cónicos da FAG ...................................... 40 
Figura 11-Esquema de cálculo das dimensões do veio movido .............................................. 42 
Figura 12-Esquema de cálculo principais do veio de saída. .................................................... 43 
Figura 13-Composição do esboço do redutor .......................................................................... 45 
Figura 14-esquema espacial de carregamento dos veios do redutor. ....................................... 48 
Figura 15-Construção do veio de entrada do redutor ............................................................... 49 
Figura 16-Esquema de carregamento do veio Pinhão .............................................................. 49 
Figura 17-Diagramas de momentos fletores e torsores do veio de entrada do redutor ............ 51 
Figura 18-Construção do veio de saída do redutor .................................................................. 52 
Figura 19-Esquema de carregamento do veio de saída do redutor .......................................... 53 
Figura 20-Diagramas de momentos fletores e torsores do veio de saída do redutor. .............. 55 
Figura 21-Esquema de frequências de rotações admissíveis no veio devida a ressonância .... 79 
Figura 22-Esquema de Carregamento do veio pelo peso próprio ............................................ 80 
Figura 23-Representação dos principais parâmetros da chaveta prismática ............................ 83 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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II 
 
 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 1-Características dos motores eléctricos ........................................................................ 5 
Tabela 2-Partição das Relações de Transmissão (Tentativa 1) .................................................. 6 
Tabela 3-Partição das Relações de Transmissão (Tentativa 2) .................................................. 7 
Tabela 4-Partição das Relações de Transmissão (Tentativa 3) .................................................. 7 
Tabela 5-Resultados do cálculo cinemático de accionamento ................................................ 10 
Tabela 6-Parâmetros da correia de secção 0 ............................................................................ 12 
Tabela 7-Parâmetros geométricos do perfil das polias ............................................................ 16 
Tabela 8-Resultados do cálculo da transmissão por correia .................................................... 18 
Tabela 9-Propriedades dos materiais do pinhão e da roda dentada movida ............................ 21 
Tabela 10-Resultados do Cálculo da transmissão por engrenagens. ....................................... 31 
Tabela 11-Parâmetros da cadeia escolhida (ПР-25.4.-56700 GOST 13568-81) ..................... 34 
Tabela 12-Perfil dos dentes rodas estreladas estreladas com relação t/D≤2 ............................ 36 
Tabela 13-Resultados da transmissão por cadeia..................................................................... 38 
Tabela 14- Parâmetros dos Rolamentos, escolhido segundo a recomendação do Atlas de 
construção Mecânica. ............................................................................................................... 40 
Tabela 15-Parâmetros do rolamento analogamente escolhido no catálogo da FAG ............... 40 
Tabela 16-Parâmetros dos Rolamentos de baixa velocidade, escolhido segundo a 
recomendação .......................................................................................................................... 41 
Tabela 17-Parâmetros dos Rolamentos de baixa velocidade, escolhido segundo a 
recomendação .......................................................................................................................... 41 
Tabela 18-Forças de carregamento dos veios devidas a transmissão por engrenagens ........... 47 
Tabela 19-Parâmetros cinemáticos e de carregamento dos veios ............................................ 48 
Tabela 20-Equações de equilíbrio e reacções de apoios no veio de entrada do redutor .......... 49 
Tabela 21-. Determinação das equações dos esforços internos (momentos) no veio de entrada 
do redutor ................................................................................................................................. 50 
Tabela 22-Equações de momentos nos troços do veio de entrada do redutor ......................... 51 
Tabela 23- Equações de equilíbrio e reacções de apoios do veio de saída do redutor ............ 53 
Tabela 24-Determinação das equações dos esforços internos (momentos) no veio de saída do 
redutor ...................................................................................................................................... 54 
Tabela 25-Equações de momentos nos troços do veio de saída do redutor ............................. 55 
Tabela 26-Determinação de condições de contorno e momentos em cada troço do veio de 
entrada do redutor .................................................................................................................... 67 
Tabela 27-Sistema de equações para determinação dos coeficientes das condições de contorno 
do veio de entrada do redutor................................................................................................... 71 
Tabela 28-Determinação de condições de contorno e momentos em cada troço do veio de saída 
do redutor ................................................................................................................................. 72 
Tabela 29-Sistema de equações para determinação dos coeficientes das condições de contorno 
do veio de entrada do redutor................................................................................................... 76 
Tabela 30-Dimensões da chaveta da polia motora do veio do motor eléctrico ....................... 84 
Tabela 31-Dimensões da chaveta da polia movida do veio de entrada do redutor .................. 84 
Tabela 32-Dimensões da chaveta da engrenagem movida do veio de saída do redutor .......... 84 
Tabela 33-Dimensões da chaveta da roda esrelada movida do veio de saída do redutor ........ 85 
Tabela 34-Resultados da cálculo do projecto do corpo do redutor .......................................... 86 
 
 
III 
 
 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 
Cálculo de accionamento 
Q- fluxo de carga no transportador[u/h]; 
L- Comprimento do transportador [m]; 
v- Velocidade do transportador [m/min]; 
μ – Coeficiente de deslizamento estático sobre os apoios; 
gco – Peso linear da cadeia [kg/m]; 
gca –Peso unitário da carga [kg/u]; 
𝐺𝑐𝑎- Peso total da carga no transportador [kg]; 
𝑛𝑝- Número máximo de peças no transportador [u]; 
𝐺𝑐𝑜- Peso das cadeias [kg]; 
𝑇- Torque na roda estrelada do transportador [Nm]; 
𝐹𝑡-força tangencial do transportador [KN]; 
𝐷-Diâmetro divisor da roda estrelada do transportador [mm]; 
𝑡- Passo da roda estrelada do transportador [mm]; 
𝐹𝑟- Força de ruptura calculada das cadeias do transportador [kN]; 
𝑆𝑚𝑎𝑥- Esforço máximo no transportador [KN]; 
𝑛 – Frequência de rotações do veio da roda estrelada [rpm]; 
𝑆𝑚𝑖𝑛- Esforço mínimo no transportador [KN]; 
𝐶𝑖𝑟- Coeficiente de irregularidades na distribuição de cargas no transportador; 
𝐾𝑠- Coeficiente de segurança; 
𝑛𝑖 ∗ – Frequência de rotações do i-gésimo veio [rpm]; 
𝜂𝑔- Rendimento global do acionamento; 
𝜂𝑐𝑜𝑟 – Rendimento da transmissão por correia; 
𝜂𝑒𝑛𝑔- Rendimento da transmissão por engrenagens; 
𝜂𝑐𝑎𝑑 - Rendimento da transmissão por cadeia; 
𝜂𝑟𝑜𝑙 – Rendimento dos rolamentos; 
𝑁𝑐𝑎𝑙𝑐- Potência calculada [KN]; 
 
 
IV 
 
ug – Relação de transmissão geral; 
ueng – Relação de transmissão no redutor; 
ucad – Relação de transmissão na cadeia; 
𝑢𝑐𝑜𝑟- Relação de transmissão na correia; 
 
Transmissão por correia 
𝑁1-Potência no veio da polia motriz [KW]; 
 𝑛1- Frequência de rotações da polia motriz [rpm]; 
𝑢𝑐𝑜𝑟𝑟- Relação de transmissão na correia; 
𝑑𝑐1- Diâmetro da polia menor [mm]; 
𝑁0- Potência transmissível por cada correia [KW]; 
v −Velocidade linear da correia [m/s]; 
𝑣𝑎𝑑𝑚- Velocidade linear admissível na transmissão por correia [m/s]; 
𝑑𝑐2- Diâmetro da polia maior [mm]; 
𝑢𝑐𝑜𝑟𝑟- Relação de transmissão corrigida; 
∆- Erro na relação de transmissão; 
𝑎- Distância interaxial das polias [mm]; 
𝑙- Comprimento da correia [mm]; 
𝑙𝑛𝑜𝑟𝑚-comprimento normalizado da correia [mm]; 
𝑈- Frequência de passagens da correia em qualquer ponto da transmissão [Hz]; 
𝛼 – Ângulo de abraçamento da correia [°]; 
𝑁𝐶 – Potência transmissível por cada correia considerando parâmetros de funcionamento 
[KW]; 
Cα −Coeficiente que toma em conta o ângulo de abraçamento; 
Cl − Coeficiente que toma em conta o comprimento da correia; 
Ci − Coeficiente que toma em conta a relação de transmissão; 
𝐶𝑟- Coeficiente de regime do carregamento; 
𝐹0- Força de tensão inicial de cada correia [N]; 
𝐹𝑣- Força centrifuga [N]; 
𝐹𝑟- Força sobre os veios [N]; 
𝐴- Área da secção da correia selecionada [mm2]; 
 
 
V 
 
𝜌- Massa específica da correia selecionada [kg/m3]; 
𝛽-ângulo entre os ramais da correia [°]; 
𝐿 – Longevidade da correia [h]; 
𝑘1-é o coeficiente de regime da carga; 
𝑘2- é o coeficiente que considera as condições climáticas; 
 
Transmissão por cadeia 
𝑍1 − Número de dentes da roda estrelada motriz; 
 𝑍2 − Número de dentes da roda estrelada movida; 
 𝜓 − Ângulo de inclinação da cadeia [°]; 
 𝑎𝑐𝑎𝑑 − Distância interaxial da transmissão por cadeia [mm]; 
 𝑝𝑐 − Passo da cadeia [mm]; 
 𝑁𝑐𝑎𝑙 −Potência de cálculo da transmissão por cadeia [KW]; 
 𝑘𝑒 − Coeficiente de exploração da cadeia; 
 𝑘𝑛 − Coeficiente de correção do número de rotações a partir do número de rotações; 
 𝑘𝑧 − Coeficiente de correção do número de rotações a partir do número de dentes; 
 𝑘𝑑 −Coeficiente de carga dinámica; 
 𝑘𝑎 − Coeficiente de comprimento da cadeia; 
𝑘𝑖 −Coeficiente de inclinação da transmissão; 
𝑘𝑟𝑒𝑔 −Coeficiente de regulação da tensão de cadeia; 
𝑘𝑙𝑢𝑏 −Coeficiente que considera o carácter de lubrificação da transmissão; 
𝑘𝑟 −Coeficiente que toma em conta o regime de trabalho; 
𝑘𝑡 −Coeficiente de temperatura do meio; 
𝑛01 − Frequência base de rotação [𝑟𝑝𝑚]; 
𝑧01 −Número base de dentes; 
𝑑1 − Diâmetro da cavilha da cadeia [𝑚𝑚]; 
𝑑3 −Diâmetro do casquilho da cadeia [mm]; 
𝑣𝑑𝑐 −Velocidade de deslocamento da cadeia [m/s]; 
𝐿𝐶 −Número de elos da cadeia; 
𝑎𝑐𝑎𝑙 − Distância interaxial recalculada da transmissão [mm]; 
 
 
VI 
 
𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙 −Distância interaxial real da transmissão por cadeia [mm]; 
𝑑𝑐1 −Diâmetro de cálculo da roda estrelada motriz [mm]; 
𝑑𝑐2 −Diâmetro de cálculo da roda estrelada movida [mm]; 
𝐹𝑡𝑐𝑎𝑑 −Força tangencial na cadeia [N]; 
𝑞 −Massa linear da cadeia [kg⁄m]; 
𝐹𝑣𝑐𝑎𝑑 −Força centrífuga da cadeia [N]; 
𝐹𝑞 −Força de tensão exercida pela aceleração de gravidade [N] ; 
𝑘𝑓 −Coeficiente que considera o efeito de atrito e da disposição da transmissão nos veios; 
𝑛𝑐𝑟𝑖𝑡 −Número crítico de rotações (frequência de ressonância)[rpm] 
 
Transmissão por engrenagens 
𝜎𝑟 − Limite de resistência do material [MPa]; 
𝜎𝑒 − Limite de escoamento do material [MPa]; 
[𝜎𝐻𝐶] − Tensão admissível a fadiga de superfícies de contacto das engrenagens; 
𝜎𝐻𝑙𝑖𝑚 −Limite de fadiga por contacto das superfícies dos dentes correspondentes ao número 
equivalente de ciclos de tensões de variação de tensões [MPa]; 
𝑍𝑅 − Coeficiente que leva em conta a rugosidade da superfície; 
 𝑍𝑣 − Coeficiente que leva em conta a velocidade circular ou tangencial; 
𝐾𝐿 −Coeficiente que leva em conta a lubrificação; 
𝐾𝑥𝐻 − Coeficiente que leva em conta as dimensões da roda dentada; 
𝑆𝐻 − Coeficiente de segurança; 
𝜎𝐻𝑙𝑖𝑚𝑏 − Limite de fadiga por contacto das superfícies dos dentes correspondentes ao número 
básico de ciclos de tensões de variação de tensões [MPa]; 
𝐾𝐻𝐿 −Coeficiente de longevidade; 
𝑁𝐻0 −Numero básico de ciclos de variação de tensões correspondente ao limite de fadiga 
prolongado; 
𝑁𝐻𝐸 − É número equivalente de ciclos de variação de tensões; 
𝑁𝛴 −Número total de ciclos de carregamento; 
𝑇𝑙𝑖 − É o torque correspondente ao i-gésimo escalão do ciclograma de carregamento [Nm]; 
𝑛𝑐𝑖 −Número de ciclos de variação das tensões durante a acção do torque; 
𝑑𝑤 − Diâmetro primitivo da roda dentada [mm]; 
 
 
VII 
 
𝐾𝑑 − Coeficiente auxiliar; 
ψ𝑏𝑑 −Coeficiente de largura da roda dentada relativamente ao diâmetro primitivo; 
𝐾𝐻𝛽 −Coeficiente que leva em conta a irregularidade da distribuição da carga pela largura da 
cora dentada; 
m𝑛 −Módulo normal da roda dentada [mm]; 
ψ𝑚 − Coeficiente de largura da roda dentada relativamente ao módulo; 
b𝑤 −Largura da roda dentada [mm]; 
𝛽 − Ângulo de inclinação dos dentes [°]; 
𝑍 −Número de dentes; 
a𝑤 −Distância interaxial [mm]; 
𝑉 − Velocidade linear no engremento [m/s]; 
[𝜎𝐹𝐶] − Tensão admissível a fadiga de superfícies de flexão das engrenagens [MPa]; 
Y𝑅 − É o coeficiente que leva em conta a rugosidade da superfície de transição dos pés dos 
dentes; 
Y𝑆 − É o coeficiente que leva em conta o gradiente das tensões e a sensibilidade do material à 
concentração de tensões ; 
Y𝑥𝐹 − Coeficiente que leva em conta as dimensões da roda dentada; 
S𝐹 − Coeficiente de segurança; 
𝜎𝐹𝑙𝑖𝑚𝑏 − Limite de fadiga por flexão das superfícies dos dentes correspondentes ao número 
básico de ciclos de tensões de variação de tensões [MPa]; 
𝐾𝐹𝑔 − Coeficiente que leva em conta a influência da retificação da superfície de transição dos 
pés dos dentes; 
𝐾𝐹𝑑 − Coeficiente que leva em conta a influência do endurecimento por deformação ou 
tratamento eletroquímico da superfície de transição dos pés dos dentes; 
𝐾𝐹𝑐 − Coeficiente que leva em conta a influência da reversabilidade do sentido de aplicação 
da carga sobre os dentes; 
𝐾𝐹𝐿 −Coeficiente de longevidade; 
𝑁𝐹0 −Numero básico de ciclos de variação de tensões correspondente ao limite de fadiga 
prolongado (flexão); 
𝑁𝐹𝐸 − É número equivalente de ciclos de variação de tensões (flexão); 
Y𝐹 − É o factor de forma do dente; 
Y𝜀 − É o Coeficiente que leva em conta a sobreposição dos dentes;VIII 
 
Y𝛽 − É o factor que leva em conta a inclinação dos dentes; 
Z𝐻 −Coeficiente que tem em conta a forma das superfícies conjugada dos dentes no polo de 
engrenamento; 
Z𝑀 −Coeficiente que considera as propriedades mecânicas dos materiais das engrenagens 
conjugadas; [MPa1/2] 
Z𝜀 −Coeficiente que tem em conta o comprimento total das linhas de contacto dos dentes; 
ε𝛽 − Coeficiente de sobreposição axial [mm]; 
ω𝐻𝑡 − Força tangencial especifica calculada [N/mm]; 
K𝐻𝛼 − Coeficiente que leva em conta a distribuição da carga entre pares de dentes em 
engrenamento simultâneo; 
K𝐻𝛽 − Coeficiente que leva em conta a distribuição da carga pela largura da coroa do dentado; 
K𝐻𝑣 − Coeficiente que leva em conta a carga dinâmica que surge no engrenamento; 
ω𝐻𝑣 − Força dinâmica tangencial especifica em N/mm; 
𝑣 −Velocidade linear do polo de engrenamento dos dentes [m/s]; 
g0 − É o coeficiente que leva em conta a influência da variação dos passos circulares no 
engrenamento do pinhão e da roda dentada movida. 
δ𝐻 - É o coeficiente que leva em conta a influência do tipo de engrenagens e a correção do 
perfil da cabeça do dente 
z𝑣 − Número virtual de dentes; 
ω𝐹𝑡 − Força tangencial especifica calculada [N/mm]; 
K𝐹𝛼 − Coeficiente que leva em conta a distribuição da carga entre pares de dentes em 
engrenamento simultâneo 
𝑛 − É o grau de precisão pela norma de contacto; 
K𝐹𝛽 − Coeficiente que leva em conta a distribuição da carga pela largura da coroa dentada 
(pelo comprimento do dente) 
K𝐹𝑣 − Coeficiente que leva em conta a carga dinâmica que surge no engrenamento; 
ω𝐹𝑣 − Força dinâmica tangencial especifica [N/mm]; 
δ𝐹 - É o coeficiente que leva em conta a influência do tipo de engrenagens e a correção do 
perfil da cabeça do dente; 
d𝑎 – Diâmetro externo [mm]; 
d𝑏 – Diâmetro de base [mm]; 
d𝑓 – Diametro interno [mm]; 
P𝑛– Passo normal [mm]; 
P𝑡– Passo Tangencial [mm]; 
ℎ– Altura do dente [mm]; 
F𝑡– Força tangencial [N]; 
F𝑟– Força radial [N]; 
 
 
IX 
 
F𝑎– Força axial [N]; 
F𝑛– Força normal [N]; 
 
Cálculo projectivo de veios 
𝐹𝑡 − Força tangencial devida a transmissão por engrenagens [N]; 
𝐹𝑟 − Força radial devida a transmissão por engrenagens [N]; 
𝐹𝑎 − Força axial devida a transmissão por engrenagens [N]; 
𝐹𝑎𝑏 − Força radial no veio devida a transmissão por correia [N]; 
𝐹𝑣𝑒𝑖𝑜 − Força radial no veio devida a transmissão por cadeia [N]; 
𝐾𝑚 − Coeficiente que depende da inclinação da transmissão por cadeia; 
𝑑𝑖 − Diâmetro do i-gésimo escalão do veio [mm]; 
𝑙𝑖 − Diâmetro do i-gésimo escalão do veio [mm]; 
𝑅𝐴 − Força resultante no apoio A (rolamento A) [N]; 
𝑅𝐵 − Força resultante no apoio B (rolamento B) [N]; 
𝑅𝐶 − Força resultante no apoio C (rolamento C) [N]; 
𝑅𝐷 − Força resultante no apoio D (rolamento D) [N]; 
𝑀𝑥 −Momento fletor no plano x [Nmm]; 
𝑀𝑦 −Momento fletor no plano y [Nmm]; 
𝑀𝑡 −Momento fletor no plano [Nmm]; 
𝑀𝑟𝑒𝑑 −Momento equivalente [Nmm]; 
d1 − Diâmetro do primeiro escalão do veio [mm]; 
[τ] − Tensão tangencial admissível aos veios [MPa]; 
l1 − Comprimento do primeiro escalão do veio [mm]; 
d2 − Diâmetro do segundo escalão do veio [mm]; 
l2 − Comprimento do segundo escalão do veio [mm]; 
d3 − Diâmetro do terceiro escalão do veio [mm]; 
l3 − Comprimento do terceiro escalão do veio [mm]; 
d4 − Diâmetro do quarto escalão do veio [mm]; 
l4 − Comprimento do quarto escalão do veio [mm]; 
Fab − Força em consola sobre o veio [N]; 
RAZ − Reacção no apoio A na direcção z [N]; 
 
 
X 
 
RAY − Reacção no apoio A na direcção y [N]; 
RBZ − Reacção no apoio B na direcção z [N]; 
RBY − Reacção no apoio B na direcção y [N]; 
RA − Resultante no apoio A [N]; 
RB − Resultante no apoio B [N]; 
Mz(s) − Momento flector na direcção z no troço s [Nmm]; 
My(s) − Momento flector na direcção y no troço s [Nmm]; 
Mx(s) − Momento flector na direcção x no troço s [Nmm]; 
Mt(s) − Momento torsor no troço s [Nmm]; 
Mres − Momento flector resultante sobre o veio [Nmm]; 
Mred − Momento reduzido sobre o veio [Nmm]; 
[σF] − Tensão de flexão admissível ao veio [MPa]; 
dcr − Diâmetro crítico do veio [mm]; 
RCX −Reacção no apoio C na direcção x [N]; 
RCY − Reacção no apoio C na direcção y [N]; 
RDX −Reacção no apoio D na direcção x [N]; 
RDY − Reacção no apoio D na direcção y [N]; 
RC − Resultante no apoio C [N]; 
RD − Resultante no apoio D [N]; 
[C0] – Capacidade da carga estática admissível; 
C0 – Capacidade da carga estática; 
f𝐬 −É o factor de segurança para o rolamento; 
P0 – Carga estática equivalente; 
L – Tempo de vida do rolamento, em milhões de voltas; 
P – Carga dinâmica reduzida que actua sobre o rolamento; 
ρ – Expoente de cálculo para o rolamento; 
Lh – É o tempo de vida dos rolamentos [h]; 
n – É a frequência de rotações do veio apoiado no rolamento [rpm]; 
Fr − Força radial no ponto de apoio (resultante) [N]; 
Fa − Força axial sobre o veio [N]; 
 
 
XI 
 
sσ − É o coeficiente de segurança à flexão; 
sτ − É o coeficiente de segurança à torção; 
σa − Amplitude das tensões normais; 
τa − Amplitude das tensões tangenciais; 
σm − Tensões normais médias; 
τm − Tensões tangenciais médias; 
σ−1 − Limite de fadiga à flexão do material; 
τ−1 − Limite de fadiga ao cisalhamento do material; 
Ψσ − Coeficiente de sensibilidade do material à assimetria do ciclo de variação das tensões 
normais; 
Ψτ − Coeficiente de sensibilidade do material à assimetria do ciclo de variação das tensões 
tangenciais; 
Kd − Coeficiente de escala; 
KF − Coeficiente de rugosidade; 
Kσ − Coeficiente efectivo de concentração das tensões tangenciais; 
Kτ − Coeficiente efectivo de concentração das tensões tangenciais; 
v′n(XZ)(zn) −Inclinacão do veio no plano XZ no ponto “z” do troço “n” [rad] 
v′n(YZ)(zn) −Inclinacão do veio no plano YZ no ponto “z” do troço “n” [rad] 
θA − Inclinação do veio no apoio A [rad]; 
θB − Inclinação do veio no apoio B [rad]; 
θC − Inclinação do veio no apoio C [rad]; 
θD − Inclinação do veio no apoio D [rad]; 
𝑉n(XZ)(zn) − Deslocamento do veio no plano XZ no ponto “z” do troço “n” [mm] 
𝑉n(YZ)(zn) − Deslocamento do veio no plano YZ no ponto “z” do troço “n” [mm] 
ncr − Número crítico de rotações do veio [rpm]; 
k − Constante elástica do veio [N/m]; 
m − Massa do veio [kg]; 
yest − Flecha do veio na condição de cargas estáticas [mm]; 
g − Aceleração de gravidade [m/s2]; 
ρv − Massa específica do material do veio [kg/m
3]; 
 
 
 
XII 
 
ENUNCIADO DA TAREFA 
 
Tarefa 2, Variante 22, diagrama 2 
Projectar um acionamento de um transportador de cadeia, que desliza sobre apoios de 
aço. 
Redutor de Engranagens cilíndricas de dentes helicoidais e transmissão por correia. 
NB: *A velocidade do transportador é baixa, logo, há indícios de uma relação de 
transmissão global muito grande dai que se decidiu adicionar mais uma transmissão no 
acionamento (transmissão por cadeia). 
Dados: 
Q 
[u/h] 
gca 
[kg] 
gco 
[kg/m] 
Ltrans 
[m] 
D0 
[mm] 
V 
[m/min] 
Kdia Kano L 
[anos] 
Kd μ Diagrama 
3150 318 20 3 302 9 0.2 0.45 5 1.2 0.12 2 
 
Onde: 
Q- fluxo de carga no transportador [u/h]; 
Ltrans- Comprimento do transportador [m]; 
v- Velocidade do transportador [m/min]; 
μ – Coeficiente de deslizamento estático sobre os apoios; 
gco – Peso linear da cadeia [kg/m]; 
gca –Peso unitário da carga [kg/u]; 
𝐺𝑐𝑎- Peso total da carga no transportador [kg]; 
𝑛𝑝- Número máximo de peças no transportador [u]; 
𝐺𝑐𝑜- Peso da cadeia [kg]; 
𝐷0 − Diâmetro divisor da roda estrelada; 
𝐿 − Longevidade [anos]; 
𝐾𝑑 − Coeficiente de cargas dinâmicas; 
𝐾𝑑𝑖𝑎 − Coeficiente de utilização durante um dia; 
𝐾𝑎𝑛𝑜 − Coeficiente de utilização durante um ano. 
 
 
 
 
XIII 
 
Esquema cinemático 
 
 
 
Onde: 
1. Motor eléctrico; 
2. Transmissão por correia; 
3. Redutor ; 
4. Transmissão por cadeia; 
5. Transportador por cadeia. 
 
Gráfico de cargas médias. 
 
 
Otempo de trabalho do mecanismo é dado por: 
tΣ = 365 × 24 × Kdia × Kano × L 
tΣ = 365 × 24 × 0.2 × 0.45 × 5 = 3942 horas
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
1 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
 
1. INTRODUÇÃO 
Hoje em dia as máquinas desempenham uma função vital no dia-a-dia do homem. Assim sendo, 
tem-se fabricado vários tipos de máquinas com mecanismos e funções diversificados. Com o 
aumento do número de máquinas e empresas que as produzem, surge também a necessidade 
por parte dos fabricantes de produzir máquinas com cada vez mais qualidade e preços 
reduzidos, por tanto, para que este feito seja alcançado, são necessários cálculos projectivos de 
dimensionamento que são baseados nas condições de funcionamento das máquinas (tensões 
admissíveis e alguns parâmetros energéticos). 
O Projecto Mecânico insere-se no plano de estudo do curso de Engenharia Mecânica, cujo 
objectivo é habilitar o estudante em matéria de projecção de máquinas e familiariza-lo com os 
diversos elementos de máquinas e as suas transmissões. Por tanto, o presente trabalho visa é 
projectar um acionamento de um transportador de cadeia para o transporte de peças fundidas. 
O projecto é constituído por uma parte textual introdutória e cálculos de dimensionamento dos 
elementos do acionamento, os cálculos de verificação de resistência e no final, são apresentados 
os desenhos em anexo. No decorrer de trabalho vão sendo indicados os gráficos e tabelas onde 
são extraídos alguns coeficientes com a indicção fonte bibliográfica. Para melhor compreensão 
do projeto é importante que o leitor tenha noções básicas em matérias de transmissões e 
constituintes de transmissões. 
 
2. OBJECTIVOS 
 2.1 Objectivo Geral 
 Projectar um acionamento de um transportador de cadeia. 
 
 2.2 Objectivos Específicos 
 Efectuar o cálculo de acionamento; 
 Escolher o motor elétrico; 
 Efectuar cálculo das transmissões e dimensionar as componentes das transmissões; 
 Elaborar desenhos de fabrico e ilustrativos. 
 
3. METODOLOGIA 
Neste capítulo serão descritos os métodos usados para realização do projecto, instrumentos 
usados para a colecção de dados, cenários e intervenientes na investigação. No projecto foi 
usada uma abordagem quantitativa, baseada em cálculos iterativos e algumas decisões 
construtivas, usando os dados de partida referentes há alguns parâmetros do transportador. 
Foram usados como instrumentos de colecta de dados, a analise de documentos constituída por 
uma diversidade de manuais e artigos que são frequentemente usados na presente disciplina 
sendo que os dados de entrada são calculados e outros baseados em decisões construtivas. 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
2 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
4. CAMPO DE APLICAÇÃO 
O accionamento é aplicado em um transportador de cadeia usado em uma instalação de 
fundição para o transporte de peças fundidas. Este desliza em apoios de aço sem lubrificação. 
O transportador tem a capacidade de transporte de 3150 peças por hora, usando uma cadeia de 
peso linear de 20 Kg/m e as peças (carga) têm o massa de 318Kg, transportadas a uma 
velocidade de 9 m/ min. 
Trata-se de um transportador de pequenas dimensões (3 m) e com uma vida útil de 5 anos e 
esta funciona com pequenas cargas dinâmicas (𝐾𝑑 = 1.2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
3 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
5. CÁLCULO DE ACCIONAMENTO E ESCOLHA DO MOTOR 
ELÉCTRICO 
 
Dados 
Q=3150 u/h μ=0,12 
L=3 m gco= 20 kg/m 
v=9 m/min=0,15m/s gca=318 kg/u 
 
onde: 
Q- fluxo de carga no transportador [u/h]; 
L- Comprimento do transportador [m]; 
v- Velocidade do transportador [m/min]; 
μ – Coeficiente de deslizamento estático sobre os apoios; 
gco – Peso linear da cadeia [kg/m]; 
gca –Peso unitário da carga [kg/u]; 
 
5.1 Cálculo da Potência, Frequência de Rotação e Dimensões Principais da Roda 
Estrelada Motriz do Transportador. 
 
5.1.1 Cálculo do peso da carga no transportador 
𝐺𝑐𝑎 = 𝑛𝑝 × 𝑔𝑐𝑎 = 17.5 × 318 = 5565 𝐾𝑔 
Onde: 𝑛𝑝 −Número máximo de peças sobre o transportador 
𝑛𝑝 =
𝑄 × 𝐿
60 × 𝑣
=
3150 × 3
60 × 9
= 17.5 𝑞𝑢𝑒 é o número máximo de peças sobre o transportador 
*Significando que no transportador cabem no máximo 17.5 peças, ou seja, a peça 17 entra no 
transportador enquanto já se descarrega uma peça tendo esta apenas a metade do seu corpo no 
transportador. 
 5.1.2 Cálculo do peso da cadeia 
𝐺𝑐𝑜 = 2 × 𝑔𝑐𝑜 × 𝐿 = 2 × 20 × 3 = 120𝐾𝑔 
*A massa linear da cadeia 𝑔𝑐𝑜 é multiplicada por 2 porque o transportador usa duas cadeias 
 5.2.3 Determinação do torque nominal no veio motriz do transportador 
𝑇 =
(𝐺𝑐𝑎 + 𝐺𝑐𝑜) × μ × D × g
2 × 1000
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
4 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
=
(5565 + 120) × 0.12 × 302 × 9.81
2 × 1000
= 1010.55 𝑁𝑚 
 5.2.4 Determinação da Força Tangencial no Diâmetro Divisor da Roda Estrelada Motriz 
do Transportador 
𝐹𝑡 =
2 × 𝑇
𝐷
=
2 × 1010.55
302
= 6.69 𝐾𝑁 
 5.2.5 Escolha do número de dentes da roda estrelada 
Segundo as recomendações da página 7 de [1] as rodas estreladas são fabricadas com z que 
vai de 5 a 8, por se ter um diâmetro da roda estrelada relativamente pequeno escolhe-se: 
 𝑧 = 5 
 5.2.6 Determinação do passo (t) 
𝑡 = sin (
180°
𝑧
) 𝐷0 = sin (
180°
5
) × 302 = 177.51 𝑚𝑚 
 t=100, 125, 160, 200, 250, 315, 400, 500, 630. Nesse caso escolhe-se t =200 m 
 
Corrigindo o diâmetro divisor teremos: 
𝐷0𝐶𝑂𝑅𝑅 =
𝑡
sin (
180°
𝑧 )
=
200
sin (
180°
5
)
= 340 𝑚𝑚 
 5.2.7 Cálculo da carga de ruptura 
𝐹𝑟 = 𝑆𝑚𝑎𝑥 × 𝐾𝑠 × 𝐶𝑖𝑟 = 8.34 × 7.5 × 1.18 = 73.82 𝑘𝑁 
Pela recomendação da página 7 de [1] temos: 𝐾𝑠 = 7.5 e 𝐶𝑖𝑟 = 1.18 
Recomenda-se 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 0.75 𝐾𝑁 mas por se tratar de duas cadeias tem-se 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 2 × 0.75 =
1.5 𝑘𝑁 
𝐹𝑡 = 𝑆𝑚𝑎𝑥 − 𝑆𝑚𝑖𝑛 
𝑆𝑚𝑎𝑥 = 𝐹𝑡 + 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 6.69 + 1.5 = 8.19 𝑘𝑁 
 5.2.8 Escolha do tipo de cadeia 
De [11], a partir da carga de ruptura 𝐹𝑟 ≤ [𝐹𝑟] Escolhe-se: Para cadeia de tração sem 
inclinação o catálogo da SENQCIA recomenda cadeia de rolos do tipo S, Em função da força 
de ruptura e do passo escolhe-se a cadeia com o seguinte código de especificação: HR200 15-
S 
Onde: 
200 – Passo da cadeia de tracção; 
15 – Diâmetro da cavilha; 
S- tipo de cadeia; 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
5 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
 “Cadeia de rolos com placa de tracção com carga de ruptura de 100 KN, passo de 200 mm e 
de tipo desmontável” 
 
 5.2.9 Cálculo da frequência de rotações do veio da roda estrelada 
𝑛 =
1000𝑣
𝜋𝐷
=
1000 × 9
𝜋 × 302
= 9.49 𝑟𝑝𝑚 
 
 
 5.3 Cálculo do Rendimento Global do Accionamento 
𝜂𝑔 = 𝜂𝑐𝑜𝑟 × 𝜂𝑒𝑛𝑔 × 𝜂𝑐𝑎𝑑 × 𝜂𝑟𝑜𝑙
3 = 0.94 × 0.99 × 0.94 × 0.993 = 0.85 
Onde foram escolhidos: 
𝜂𝑐𝑜𝑟 = 0.94; 𝜂𝑒𝑛𝑔 = 0.99; 𝜂𝑐𝑎𝑑=0.94; 𝜂𝑟𝑜𝑙 = 0.99 
 
 
 5.4 Escolha do Motor Eléctrico 
 
 5.4.1 Cálculo da potência requerida do motor eléctrico 
𝑁𝑐𝑎𝑙𝑐 =
𝐾𝑠 × 𝑇 × 𝑛
716.2 × 𝜂𝑔 × 𝑔
× 0.736 
=
1.1 × 1010.55 × 9.49
716.2 × 0.85 × 9.81
× 0.736 = 1.3 𝑘𝑤 
Segundo recomendações da página 4 de [1] temos: 𝐾𝑠 = 1 … 1.2 
 
 
5.4.2 Pré-Seleção dos motores elétricos de acordo com a potência nominal 
Pela tabela 8 de [1] seleccionam-se os seguintes motores de 1.5 KW de potência nominal 
(Tabela 1): 
Tabela 1-Características dos motores eléctricos 
variante 
designacao do potencia frequencia de rotacao 
motor nominal Nme sincrona nsinc assincron n ou nme 
1 4A80A2Y3 1.5 3000 2850 
2 4A80B4Y3 1.5 1500 1415 
3 4A90L6Y3 1.5 1000 935 
4 4A100L8Y3 1.5 750 700 
 
 
 
 PM-Projectode um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
6 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
5.4.3 Cálculo de relações de transmissão gerais para cada motor pré-seleccionado 
𝑢𝑔1 =
𝑛1
𝑛𝑡
=
2850
9.49
= 300.4 𝑢𝑔2 =
𝑛2
𝑛𝑡
=
1415
9.49
= 149.174 
𝑢𝑔3 =
𝑛3
𝑛𝑡
=
935
9.49
= 98.57 𝑢𝑔4 =
𝑛4
𝑛𝑡
=
700
9.49
= 73.79 
 
5.4.4 Partição das relações de transmissão gerais pelas diversas transmissões 
componentes 
A partição das relações de transmissão serão feitas fixando a relação de transmissão do redutor 
(Ured = 5) à máxima recomendada para redutores monoescalonares de engrenagens cilíndricas, 
para evitar disparidades dimensionais com as restantes transmissões previstas no 
accionamento. 
1a Tentativa 
Ueng = 5 
ucad = 5 
𝑢𝑐𝑜𝑟 =
𝑢𝑔
𝑢𝑒𝑛𝑔 × 𝑢𝑐𝑎𝑑
 
Tabela 2-Partição das Relações de Transmissão (Tentativa 1) 
 
A análise dos resultados da primeira tentativa mostra que só para as variantes 3 e 4 a redução 
na transmissão por correia está dentro do intervalo recomendado pela tabela 12 de [1] . Numa 
primeira abordagem estas variantes são aprovadas. 
A transmissão por cadeia é muito sensível em termos de dimensões quando se altera a relação 
de transmissão, então far-se-ão mais tentativas tendentes a reduzir a relação de transmissão por 
cadeia, o que vai reduzir suas dimensões e consequentemente o peso e o custo da transmissão 
da cadeia e das rodas estreladas. 
 
 
 
Partição das relações de transmissão na tentativa 1 
Designação 
Variante 
1 2 3 4 
Relação de transmissão geral (ug) 
300.3
2 149.10 98.52 73.76 
Relação de transmissão- redutor (ured) 5 5 5 5 
Relação de transmissão- T. Cadeia (ucad) 5 5 5 5 
Relação de transmissão- T. correia (ucorr) 12.01 5.96 3.94 2.95 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
7 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
2a Tentativa 
Ueng = 5 
ucad = 3 
𝑢𝑐𝑜𝑟 =
𝑢𝑔
𝑢𝑒𝑛𝑔 × 𝑢𝑐𝑎𝑑
 
 
Tabela 3-Partição das Relações de Transmissão (Tentativa 2) 
Partição das relações de transmissão na tentativa 2 
Designação 
Variante 
1 2 3 4 
Relação de transmissão geral (ug) 300.32 149.10 98.52 73.76 
Relação de transmissão- redutor (ured) 5 5 5 5 
Relação de transmissão- T. Cadeia (ucad) 3 3 3 3 
Relação de transmissão- T. correia (ucorr) 20.02 9.94 6.57 4.92 
 
A análise dos resultados da segunda tentativa mostra que todas as variantes deixam de fora do 
intervalo recomendado pela tabela 12 de [1] a relação de transmissão por correia trapezoidal, 
mas menor que o limite máximo admissível. 
A redução da relação de transmissão na cadeia, reduz significativamente as dimensões da 
cadeia, mas far-se-á mais uma tentativa tendente a reduzir ainda mais um pouco a relação de 
transmissão da correia, de modo a se a estar dentro do intervalo recomendado da tabela 12 de 
[1]. 
 
3a Tentativa 
Ueng = 5 
ucad = 4 
𝑢𝑐𝑜𝑟 =
𝑢𝑔
𝑢𝑒𝑛𝑔 × 𝑢𝑐𝑎𝑑
 
Tabela 4-Partição das Relações de Transmissão (Tentativa 3) 
Partição das relações de transmissão na tentativa 3 
Designação 
Designação 
1 2 3 4 
Relação de transmissão geral (ug) 300.32 149.10 98.52 73.76 
Relação de transmissão- redutor (ured) 5 5 5 5 
Relação de transmissão- T. Cadeia (ucad) 4 4 4 4 
Relação de transmissão- T. correia (ucorr) 15.02 7.46 4.93 3.69 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
8 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
 
5.4.5 Análise de resultados das tentativas 
A análise de todas as tentativas mostra que os dois primeiros motores não são muito viáveis 
por esforçarem em demasia a transmissão por correia proporcionando-a uma relações de 
transmissão maiores que as máximas recomendadas na tabela 12 de [1]. Por isso as variantes 
1 e 2 são descartadas em todas as tentativas e a variante 3 da segunda tentativa é descartada 
pelo mesmo motivo. 
 
5.4.6 Resumo da análise 
 A variante 4 é aprovada em todas as tentativas; 
 A variante 3 é apenas aprovada na tentativa 1 e 3; 
A variante definitiva será selecionada com base em factores técnicos e económicos: 
Factores Técnicos: 
Os factores técnicos serão mais baseados na transmissão por correia e cadeia porque são as 
que contrabalançam a variação da frequência do motor em todas as tentativas: 
 As variantes 3 e 4 da tentativa 1 pese embora garantam relações de transmissão 
dentro do recomendado na transmissão por correia, devido a relação de transmissão 
na cadeia, esta será de grande gabarito o que aumenta significativamente a dimensão 
da transmissão; 
 
 A variante 4 de todas as tentativas usa o motor eléctrico mais robusto e de grandes 
dimensões. O torque no veio do motor é relativamente maior o que esforça a 
transmissão por correia reduzindo a sua vida útil. 
 
 A variante 3 da tentativa 3, a relação de transmissão na correia excede o 
recomendado pela tabela 12 de [1] mas é menor que o máximo recomendado. 
 
Factor Custo: 
O factor custo é baseado no princípio de que a transmissão por correia é a mais barata e nos 
preços dos motores eléctricos. 
 Das tentativas aprovadas, o motor da variante 3 é relativamente o mais barato; 
 
 Maior relação de transmissão na correia, garante redução da relação de transmissão na 
cadeia o que reduz as dimensões destas e ficam mais baratas. 
Definitivamente escolhe-se a variante 3 da tentativa 3 
Parâmetros escolhidos: 
𝑛𝑚𝑒 = 935 𝑟𝑝𝑚; 𝑢𝑔 = 98.57; 𝑢𝑟𝑒𝑑 = 5; 𝑢𝑐𝑎𝑑 = 4; 𝑢𝑐𝑜𝑟𝑟 = 4.93; 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
9 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
5.5 Cálculo da Potência em Cada Veio 
i) Veio do motor elétrico (veio motor da transmissão por correia) 
𝑁1 = 𝑁𝑚𝑒 = 1.3 𝐾𝑊 
ii) Veio movido da transmissão por correia (veio motor do redutor) 
𝑁2 = 𝑁1 × 𝜂𝑐𝑜𝑟 = 1.3 × 0.94 = 1.22 𝐾𝑊 
 
iii) Veio de saída do redutor (veio motor da transmissão por cadeia) 
𝑁3 = 𝑁2 × 𝜂𝑟𝑜𝑙 × 𝜂𝑒𝑛𝑔 = 1.22 × 0.99 × 0.99 = 1.20 𝐾𝑊 
iv) Veio movido da transmissão por cadeia (veio de saída de acionamento) 
𝑁4 = 𝑁3 × 𝜂𝑟𝑜𝑙 × 𝜂𝑐𝑎𝑑 = 1.20 × 0.99 × 0.94 = 1.11 𝐾𝑊 
 
5.6 Cálculo da Frequência de Rotação de Cada Veio 
i) Veio do motor elétrico (veio motor da transmissão por correia) 
𝑛1 = 𝑛𝑚𝑒 = 935rpm 
ii) Veio movido da transmissão por correia (veio motor do redutor) 
𝑛2 =
𝑛1
𝑢𝑐𝑜𝑟𝑟
=
935
4.93
= 189.72 rpm 
iii) Veio de saída do redutor (veio motor da transmissão por cadeia) 
𝑛3 =
𝑛2
𝑢𝑒𝑛𝑔
=
189.72
5
= 37.94 rpm 
iv) Veio movido da transmissão por cadeia (veio de saída de acionamento) 
𝑛4 =
𝑛3
𝑢𝑐𝑎𝑑
=
37.94
4
= 9.49 rpm 
5.7 Cálculo do Torque para Cada Veio 
i) Veio do motor elétrico (veio motor da transmissão por correia) 
𝑇1 = 9550 ×
𝑁1
𝑛1
= 9550 ×
1.3
935
= 13.26 Nm 
ii) Veio movido da transmissão por correia (veio motor do redutor) 
𝑇2 = 9550 ×
𝑁2
𝑛2
= 9550 ×
1.22
189.72
= 61.41 Nm 
iii) Veio de saída do redutor (veio motor da transmissão por cadeia) 
𝑇3 = 9550 ×
𝑁3
𝑛3
= 9550 ×
1.2
37.94
= 300.93 Nm 
 
iv) Veio movido da transmissão por cadeia (veio de saída de acionamento) 
𝑇4 = 9550 ×
𝑁4
𝑛4
= 9550 ×
1.11
9.49
= 1120.16 Nm 
 
 
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Tabela 5-Resultados do cálculo cinemático de accionamento 
Tipo de motor: 4A80B4Y3 Potência: 1.5 KW Frequência nominal 1415 rpm 
Parâmetro Veio Fórmula Valores 
Potência N 
em KW 
1. Motor elétrico 𝑁1 = 𝑁𝑚𝑒 
1.30 
2. Movido-T.correia 𝑁2 = 𝑁1 × 𝜂𝑐𝑜𝑟 
1.22 
3.Saida do redutor 𝑁3 = 𝑁2 × 𝜂𝑟𝑜𝑙 × 𝜂𝑒𝑛𝑔 
1.20 
4. Movido T. cadeia 𝑁4 = 𝑁3 × 𝜂𝑟𝑜𝑙 × 𝜂𝑐𝑎𝑑 
1.11 
 
frequência 
de rotação 
n, em rpm 
1. Motor elétrico 𝑛1 = 𝑛𝑚𝑒 
935 
2. Movido-T.correia 𝑛2 =
𝑛1
𝑢𝑐𝑜𝑟𝑟
 189.72 
3.Saida do redutor 𝑛3 =
𝑛2
𝑢𝑒𝑛𝑔
 37.94 
4. Movido T. cadeia 𝑛4 =
𝑛3
𝑢𝑐𝑎𝑑
 9.49 
Momento 
torsorT 
em N.m 
1. Motor elétrico 𝑇1 = 9550 ×
𝑁1
𝑛1
 13.26 
2. Movido-T.correia 𝑇2 = 9550 ×
𝑁2
𝑛2
 61.41 
3.Saida do redutor 𝑇3 = 9550 ×
𝑁3
𝑛3
 300.93 
4. Movido T. cadeia 𝑇4 = 9550 ×
𝑁4
𝑛4
 1120.16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. CÁLCULO DA TRANSMISSÃO POR CORREIA 
 
Figura 1-esquema de representação dos parâmetros da transmissão por correia 
 
Dados 
𝑁1 = 1.3 𝑘𝑊 
 𝑛1 = 935 𝑟𝑝𝑚 
 𝑢𝑐𝑜𝑟𝑟 = 4.93 
Onde: 
𝑁1 − É a potência no veio do motor eléctrico; 
𝑛1 − É frequência de rotações do veio do motor eléctrico; 
𝑢𝑐𝑜𝑟𝑟 − É a relação de transmissão na transmissão por correia; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6.1 escolha do Tipo de Perfil (secção) da Correia 
Do digrama PИC 12.23 de [2], a partir de 𝑛 = 935 𝑟𝑝𝑚 𝑒 𝑁 = 1.3 𝑘𝑊 escolhe-se a secção 
0. 
A partir da tabela secções de correias trapezoidais para transmissões (GOST 1284-67) da follha 
100 de [5]. 
 
Tabela 6-Parâmetros da correia de secção 0 
Secção Parâmetros geométricos 
𝑎0 
[𝑚𝑚] 
𝑎 
[𝑚𝑚] 
ℎ 
[𝑚𝑚] 
𝑧 
[𝑚𝑚] 
𝜑 Compr. 
Lim. de cal 
[𝑚𝑚] 
𝐷𝑚𝑖𝑛 
[𝑚𝑚] 
Torque 
trans. 
[𝑁. 𝑚] 
0 8.5 10 6 2.1 40° 400-2500 63 < 25 
 
 
Figura 2-parâmetros geométricos da correia de secção 0 
 
6.2 Escolha do Diâmetro de Cálculo da Polia Motriz e a Potência por Cada Correia 
Do digrama PИC 12.24 de [2], escolheu-se preliminarmente o diâmetro normalizado de 
100𝑚𝑚 e a potência por cada correia correspondente de 0.8 𝑘𝑊. 
 𝑑𝑐1 = 100𝑚𝑚 
 𝑁0 = 0.8 𝑘𝑊 
 
6.3 Determinação da Velocidade Linear da Correia 
𝑣 =
𝜋 × 𝑑𝑐1 × 𝑛
60000
 =
𝜋 × 100 × 935
60000
= 4.9 𝑚/𝑠 
Verifica-se a condição 𝑣 < 𝑣𝑎𝑑𝑚, onde 𝑣𝑎𝑑𝑚 = 40 𝑚/𝑠 𝑜𝑢 𝑚𝑎𝑖𝑠 
 
 
 
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6.4 Cálculo do Diâmetro de Cálculo da Polia Movida 
𝑑𝑐2 = 𝑢𝑐𝑜𝑟𝑟 × 𝑑𝑐1 [mm] 
𝑑𝑐2 = 4.93 × 100 = 493 𝑚𝑚 
Escolhe-se um diâmetro normalizado de 500 mm, segundo a recomendação de [2] 
 
6.5 Correção da Relação de Transmissão 
𝑢𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔 =
𝑑2𝑛𝑜𝑟𝑚
𝑑𝑐1
=
500
100
= 5 
∆=
𝑢𝑐𝑜𝑟𝑟 − 𝑢
𝑢
=
5 − 4.93
4.93
= 0.01 
A diferença é menor que 4%, logo pode não se adoptar medida correctiva. 
 
6.6 Indicação da Distância Interaxial Conveniente (mínima recomendada para u=5 ) 
𝑎 = 0.9 ∙ 𝑑2𝑛𝑜𝑟𝑚 = 0.9 ∙ 500 = 450 𝑚𝑚 
 
6.7 Cálculo do Comprimento da Correia 
 
O comprimento da correia calcula-se segundo a seguinte fórmula de [2] 
𝑙 ≈ 2 ∙ 𝑎 + 0.5𝜋(𝑑2𝑛𝑜𝑟𝑚 + 𝑑𝑐1) +
(𝑑2𝑛𝑜𝑟𝑚 − 𝑑𝑐1)
2
4 ∙ 𝑎
 [𝑚𝑚] 
𝑙 ≈ 2 ∙ 450 + 0.5𝜋(500 + 100) + (500 − 100)^2/(4 ∙ 450) 
𝑙 ≈ 1931.37 
Normaliza-se o comprimento calculado da correia segundo as recomendações de [2]: 
𝑙𝑛𝑜𝑟𝑚 = 2000𝑚𝑚 = 2𝑚 
Nota-se que o comprimento da correia está dentro dos limites de comprimentos das correias de 
secção 0, vide a tabela 1. 
 
6.8 Frequência de Passagens da Correia 
A frequência de passagens calcula-se usando a seguinte equação de [2]: 
𝑈 =
𝑣
𝑙𝑛𝑜𝑟𝑚
=
4.9
2
= 2.45 < [𝑈] = 10 … 20 𝑠−1 
 
 
 
 
 
 
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 6.9 Cálculo do Ângulo de Abraçamento 
O ângulo de abraçamento pode ser determinado segundo a seguinte equação de [2]: 
 
𝛼 = 180° − 57 ∙
(𝑑2𝑛𝑜𝑟𝑚 − 𝑑𝑐1)
𝑎
 
 
𝛼 = 180° − 57 ∙
(500 − 100)
400
= 129.33° 
 
Este valor é maior que o mínimo admissível [𝛼] = 120° para correias trapezoidais e por isso 
não é preciso alterar a distância interaxial ou utilizar qualquer dispositivo tensor ou desviador. 
 
6.10 Correcção da Distância Interaxial 
A distância interaxial corrigida pode ser determinada pela seguinte de [2]: 
𝑎 =
1
8
[2 ∙ 𝑙 − 𝜋(𝑑2𝑛𝑜𝑟𝑚 + 𝑑𝑐1) + √[2 ∙ 𝑙 − 𝜋(𝑑2𝑛𝑜𝑟𝑚 + 𝑑𝑐1)]2 − 8(𝑑2𝑛𝑜𝑟𝑚 − 𝑑𝑐1)2] 
=
1
8
[2 ∙ 2000 − 𝜋(500 + 100) + √[2 ∙ 2000 − 𝜋(500 + 100)]2 − 8(500 − 100)2] 
 = 487.76 𝑚𝑚 
 
6.11 Determinação da Potência Transmissível por Cada Correia 
A potência transmissível por cada correia pode ser determinada pela seguinte de [2]: 
𝑁𝐶 =
𝑁0 ∙ 𝐶𝛼 ∙ 𝐶𝑙 ∙ 𝐶𝑖
𝐶𝑟
 
𝐶𝛼- é o coeficiente do ângulo de abraçamento, que para 𝛼 = 129.33°; 𝐶𝛼 = 0.86; 
 𝐶𝑙- é o coeficiente de comprimento da correia, que para 𝑙 = 2000𝑚𝑚 𝐶𝑙 = 1.1; 
 𝐶𝑖- é o coeficiente da relação de transmissão, que para 𝑖 ≥ 3; 𝐶𝑖 = 1.14; 
 𝐶𝑟- é o coeficiente de regime da carregamento, para regime com vibrações moderadas 
𝐶𝑟 = 1.1 … 1.3, 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑒 − 𝑠𝑒 𝐶𝑟 = 1.2 
𝑁𝐶 =
0.8 ∙ 0.86 ∙ 1.1 ∙ 1.14
1.2
 
𝑁𝐶 = 0.72 𝑘𝑊 
 
 
 
 
 
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6.12 Determinação do Número de Correias 
O número de correias pode ser determinada pela seguinte de [2]: 
𝑧 =
𝑁
𝑁𝑐 ∙ 𝐶𝑧
 
Onde: 
𝐶𝑧- é o coeficiente do número de correias, considerando que 𝑧 < 3; 𝐶𝑧 = 0.95 
𝑧 =
1.3
0.72 ∙ 0.95
 
𝑧 = 1.9 
Aproxima-se o valor achado a 2, para garantir a segurança; 
𝑧 = 2 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑖𝑎𝑠 
 
6.13 Força de Tensão Inicial em Cada Correia 
 
Tensão inicial em cada correia pode ser determinada pela seguinte de [2]: 
 
𝐹0 =
0.85 ∙ 𝑁 ∙ 𝐶𝑟 ∙ 𝐶𝑙
𝑧 ∙ 𝑣 ∙ 𝐶𝛼 ∙ 𝐶𝑖
+ 𝐹𝑣 
Onde: 
 𝐹𝑣-é a força centrífuga em [N] 
𝐹𝑣 = 𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑣
2 
Onde: 
𝜌- é a massa específica da correia para correia cauchutada e trapezoidal 𝜌 =
1100 … .1250 𝑘𝑔 𝑚3⁄ , 𝜌 = 1175 𝑘𝑔 𝑚3⁄ ; 
 𝐴- é a área da secção transversal da correia (para secção 0, 𝐴 = 47𝑚𝑚2; 
𝐹𝑣 = 1175 ∙ 47 ∙ 10
−6 ∙ (4.9)2 = 1.33 𝑁 
𝐹0 =
0.85 ∙ 1.3 ∙ 103 ∙ 1.2 ∙ 1.1
2 ∙ 4.9 ∙ 0.86 ∙ 1.14
+ 1.33 
 
𝐹0 = 153.14 𝑁 
 
 
 
 
 
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6.14 Força Sobre os Veios 
 
A força sobre os veios devido a transmissão por correia ee calculada segundo a seguinte 
equação de [1]: 
𝐹𝑟 = 𝑧 ∙ 2 ∙ 𝐹0 ∙ cos (
𝛽
2
) 
𝛽 = 180 − 𝛼 = 180 − 129.33 = 50.67° 
𝐹𝑟 = 2 ∙ 2 ∙ 153.14 ∙ cos (
50.67°
2
) 
𝐹𝑟 = 553.64 𝑁 
 
6.15 Determinação da Longevidade da Correia 
 
𝐿 = 𝑇𝑚𝑒𝑑 ∙ 𝑘1 ∙ 𝑘2 
Onde: 
 𝑇𝑚𝑒𝑑 = 2000ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠; 
 𝑘1-é o coeficiente de regime da carga; onde (𝑘1 = 1 para cargas com vibrações moderadas) 
 𝑘2- é o coeficiente que considera as condições climáticas (𝑘2 = 1 para zonas centrais) 
𝐿 = 2000 ∙ 1 ∙ 1 
𝐿 = 2000ℎ 
 
6.16 Escolha do Tipo de Polias 
 
O tipo de polias escolhidas para a transmissão por correia são as polias fundidas e torneadas 
com gargantas normais, cujo perfil da garganta retirado na folha 104 de [5] pode ser visualizado 
na figura abaixo. 
 
Tabela 7-Parâmetros geométricos do perfil das polias 
Secção da 
correia 
Medidas em mm Angulo de garganta 𝝋 [°] 
Para gargantas normais 36 
𝑐 𝑒 𝑡 𝑠 𝑘 Para diam. calc 𝑑𝑐 [mm] 
0 2.5 10 12 8 5.5 80 − 100 
 
 
 
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Figura 3-Parâmetros do perfil das polias 
 
Com os parâmetros do perfil das gargantas da polia pode-se determinar a lagura (B) da coroa 
da polia da seguinte maneira: 
𝐵 = 2 × 𝑠 + 𝑡 
𝐵 = 2 × 8 + 12 = 28 𝑚𝑚 
Escolha do tipo de polia é feita pelo diâmetro calculado da polia segundo as recomendações 
de [5] folha 105 que segue as normas de construção de maquinarias MN 4436-63, MN 4448-
63: 
 Para a polia motora: 
𝑑𝑐1 = 100 𝑚𝑚 
Escolhe-se a polia monolítica (tipo I) do caso 1, vide a figura 4 
 
Figura 4-Polia motora recomendada em função do diâmetro (polia monolítica) 
 
 
 
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18 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
 Para a polia movida: 
𝑑𝑐2 = 500 𝑚𝑚Escolhe-se a polia com raios (tipo III) do caso 1, vide a figura 5 
 
 
Figura 5-Polia movida recomendada em função do diâmetro (polia com raios) 
 
Tabela 8-Resultados do cálculo da transmissão por correia 
Parâmetro Polia/Correia Formula Valor 
Secção da 
correia 
Designação Gráfico (n,N) Secção 
0 
Diâmetro 
[mm] 
Polia Motriz Gráfico (construção compacta) 100 
Polia Movida 𝑑𝑐2 = 𝑢𝑐𝑜𝑟𝑟 × 𝑑𝑐1 
(normalizado) 
500 
Largura 
coroa 
Polias 𝐵 = 2 × 𝑠 + 𝑡 28 
Velocidade 
linear (m/s) 
Correia 
𝑣 =
𝜋 × 𝑑𝑐1 × 𝑛
60000
 
4.9 
 
 
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19 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
Comprimento 
(mm) 
Correia 𝑙 ≈ 2 ∙ 𝑎 + 0.5𝜋(𝑑2𝑛𝑜𝑟𝑚 + 𝑑𝑐1) +
(𝑑2𝑛𝑜𝑟𝑚−𝑑𝑐1)
2
4∙𝑎
 
(normalizado) 
2000 
Ângulo de 
abraçamento 
Polia/correia 
𝛼 = 180° − 57 ∙
(𝑑2𝑛𝑜𝑟𝑚 − 𝑑𝑐1)
𝑎
 
 
129.33° 
Distância 
interaxilar 
(mm) 
Polias 𝑎
=
1
8
[2 ∙ 𝑙 − 𝜋(𝑑2𝑛𝑜𝑟𝑚 + 𝑑𝑐1)
+ √[2 ∙ 𝑙 − 𝜋(𝑑2𝑛𝑜𝑟𝑚 + 𝑑𝑐1)]
2 − 8(𝑑2𝑛𝑜𝑟𝑚 − 𝑑𝑐1)
2] 
 
487.76 
Potência 
transmissível 
(Kw) 
Cada correia 
𝑁𝐶 =
𝑁0 ∙ 𝐶𝛼 ∙ 𝐶𝑙 ∙ 𝐶𝑖
𝐶𝑟
 
 
0.72 
Número de 
correias 
Correias 
𝑧 =
𝑁
𝑁𝑐 ∙ 𝐶𝑧
 
 
2 
Tensão 
inicial (N) 
Cada correia 
𝐹0 =
0.85 ∙ 𝑁 ∙ 𝐶𝑟 ∙ 𝐶𝑙
𝑧 ∙ 𝑣 ∙ 𝐶𝛼 ∙ 𝐶𝑖
+ 𝐹𝑣 
 
153.14 
Força radial 
(N) 
Veios 
𝐹𝑟 = 𝑧 ∙ 2 ∙ 𝐹0 ∙ cos (
𝛽
2
) 
 
 
553.64 
Longevidade 
(h) 
Correia 𝐿 = 𝑇𝑚𝑒𝑑 ∙ 𝑘1 ∙ 𝑘2 
 
2000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
7. CÁLCULO DO PROJECTO DE ENGRENAGENS (REDUTOR) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados: 
Roda movida: Roda motriz: 
𝑁1 = 1.22𝐾𝑊 𝑁2 = 1.2𝐾𝑊 
𝑛1 = 189.66 𝑟𝑝𝑚 𝑛1 = 37.93 𝑟𝑝𝑚 
𝑇1 = 61.43 𝑁𝑚 𝑇2 = 302.14 
𝑢 = 5 
𝑡𝛴 = 3942 horas 
 
 
 
Trata-se de um redutor monoescalonar em cascata com engrenagens cilíndricas de dentes 
helicoidais (figura 6). As engrenagens ficam dispostas simetricamente entre os apoios, em 
veios não muito rígidos. A seguir são apresentados os cálculos da transmissão onde 
inicialmente é feita a escolha do material e em seguida o cálculo conjunto de parâmetros 
geométricos e de carregamento das engrenagens baseados no limite de resistência a fadiga por 
contacto e por flexão. 
 
 
 
 
Figura 6-Representação das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais 
 
 
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21 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
7.1 Escolha dos Materiais das Rodas Dentadas e do Tratamento Térmico 
 
Da tabela 1 de [3] escolhem-se os materiais e tratamentos térmicos recomendos para as rodas 
dentadas apresentados na tabela 9. 
Tabela 9-Propriedades dos materiais do pinhão e da roda dentada movida 
 
Dimensão 
da secção 
transversal 
Dureza 
superficial 
HB 
Limite de 
resistência 
𝝈𝒓[𝑴𝑷𝒂] 
Limite de 
escoamento 
𝝈𝒆[𝑴𝑷𝒂] 
Tratamentos 
térmicos 
Pinhão- 
Aço 45X 
100 245 834 540 
melhoramento 
Roda 
Movida-
Aço40 
100 230 735 441 
Melhoramento 
 
7.2 Determinação das Tensões Admissíveis de Contacto 
A tensão admissível de contacto determina-se pela fórmula: 
[𝜎𝐻𝐶] = (𝜎𝐻𝑙𝑖𝑚 × 𝑍𝑅 × 𝑍𝑉 × 𝐾𝐿 × 𝐾𝑥𝐻)/𝑆𝐻 
Previamente toma-se: 
𝑍𝑅 × 𝑍𝑉 × 𝐾𝐿 × 𝐾𝑥𝐻 = 0.9 
O valor da tensão de limite à fadiga por contacto superficial correspondente ao número básico 
de ciclo de variações das tensões determina-se pela fórmula: 
𝜎𝐻𝑙𝑖𝑚 = 𝜎𝐻 𝑙𝑖𝑚𝑏 × 𝐾𝐻𝐿 
Da tabela 5, para peças que sofreram o tratamento térmico de melhoramento, com dureza 
menor que HB 350 feitos de aço ao carbono a tensão limite de fadiga é determinado pela 
fórmula: 𝜎𝐻 𝑙𝑖𝑚𝑏 = 2 × 𝐻𝐵 + 70 
Daí que: 
𝜎𝐻𝑙𝑖𝑚𝑏1 = 2 × 245 + 70 = 560 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝐻 𝑙𝑖𝑚𝑏2 = 2 × 230 + 70 = 530 𝑀𝑃𝑎 
Para determinar os coeficientes de longevidades (𝐾𝐻𝐿) Procura-se o número básico de ciclos 
de variação das tensões pela fórmula: 
𝑁𝐻0 = 30 × 𝐻𝐵
2.4 ≤ 120 × 106. 
𝑁𝐻01 = 30 × 245
2.4 = 16259974.39 
𝑁𝐻02 = 30 × 210
2.4 = 13972305.13 
 
Como pode-se ver a condição de 𝑁𝐻0 ≤ 120 × 10
6 é satisfeita. 
 
 
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22 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
O número equivalente de ciclos de variação das tensões determina-se de: 
 𝑁𝐻𝐸 = 𝑁Σ × ∑ [(𝑇1𝑖 𝑇1⁄ )
3 × (𝑛𝑐𝑖 𝑁𝛴⁄ )]𝑖 . 
Onde: 
𝑛𝑐𝑖 = 60 × 𝑡𝑐𝑖 × 𝑛𝑖 × 𝑐 
nc1 = 60 x 0,1 x 3942 x 189.66 x 1 = 4485838.32 
nc2 = 60 x 0,5 x 3942 x 189.66 x 1 = 22429191.6 
nc3 = 60 x 0,4 x 3942 x 189.66 x 1 = 17943353.28 
 
𝑁𝛴 = nc1 + nc2 + nc3 
𝑁𝛴 = 4485838.32 + 22429191.6 + 17943353.28 = 44858383.2 
𝑁𝐻𝐸1 = 44858383.2 [(1)
3 (
4485838.32
44858383.2
) + (0.5)3 (
22429191.6
44858383.2
) + (0.1)3 (
17943353.28
44858383.2
)]
= 7307430.62 
𝑁𝐻𝐸2 =
𝑁𝐻𝐸1
𝑢
=
7307430.62
5
= 1461486.12 
 
Tendo os coeficientes 𝑁𝐻𝑂𝑒 𝑁𝐻𝐸 , determina-se o coeficiente de longevidade pela fórmula: 
𝐾𝐻𝐿 = √
𝑁𝐻𝐸
𝑁𝐻𝑂
24
 
Por se tratar de carga variável adopta-se: 
Do diagrama para escolha de coeficiente de longevidade tira-se valor 𝐾𝐻𝐿1 = 1 𝑒 𝐾𝐻𝐿2 = 1 
As tensões limites serão dados por: 
𝜎𝐻 𝑙𝑖𝑚 1 = 𝜎𝐻 𝑙𝑖𝑚𝑏1 × 𝐾𝐻𝐿 = 560 × 1 = 560𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝐻 lim 2 = 𝜎𝐻 𝑙𝑖𝑚𝑏2 × 𝐾𝐻𝐿 = 530 × 1 = 530𝑀𝑃𝑎 
Para melhoramento adopta-se os seguintes coeficientes de segurança:: 𝑆𝐻1 = 𝑆𝐻2=1,1 
[𝜎𝐻𝐶]1 =
(𝜎𝐻𝑙𝑖𝑚1 × 𝑍𝑅 × 𝑍𝑉 × 𝐾𝐿 × 𝐾𝑥𝐻)
𝑆𝐻
=
560 × 0,9
1,1
= 458.18 𝑀𝑃𝑎 
[𝜎𝐻𝐶]2 =
(𝜎𝐻𝑙𝑖𝑚2 × 𝑍𝑅 × 𝑍𝑉 × 𝐾𝐿 × 𝐾𝑥𝐻)
𝑆𝐻
=
530 × 0,9
1,1
= 433.64 𝑀𝑃𝑎 
A tensão para o cálculo projectivo determina-se pela seguinte fórmula: 
[𝜎𝐻𝐶] = 0,45 × ([𝜎𝐻𝐶]1 + [𝜎𝐻𝐶]2) = 0,45 × (458.18 + 433.64) = 401.32 𝑀𝑃𝑎 
A seguir verifica-se a condição: 
[𝜎𝐻𝐶] < 1,23 × [𝜎𝐻𝐶]𝑚𝑖𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑒: [𝜎𝐻𝐶]𝑚𝑖𝑛 = [𝜎𝐻𝐶]2 𝑙𝑜𝑔𝑜: 401.32 < 1.23 × 433.64
= 533.38 𝑀𝑝𝑎 
 
 
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 7.3 Determinação dos Principais Parâmetros Geométricos 
 
 7.3.1 Determinação do valor de orientação do diâmetro primitivo 
𝑑𝑤1 = 𝐾𝑑 × √
𝑇1𝐻 × 𝐾𝐻𝛽 × (𝑢 + 1)
𝜓𝑏𝑑 × [𝜎𝐻𝐶]2 × 𝑢
3
 
𝑑𝑤1 = 675 × √
61.43 × 1.045 × 6
1,1 × 401.322 × 5
3
= 48.12 𝑚𝑚 
Escolhe-se o valor 𝑑𝑤1 = 48 𝑚𝑚 
 
Onde: 
𝐾𝑑 = 675𝑀𝑃𝑎
1/3 da tabela 15 de [3] para dentes helicoidais; 
𝜓𝑏𝑑 = 1.1 da tabela 17 de [3], para disposição simétrica das rodas dentas em relação aos 
apoios e HB<350; 
𝐾𝐻𝐵 = 1.045 da tabela 16 de [3] para disposição simétrica das rodas dentas em relação aos 
apoios, HB<350 e 𝜓𝑏𝑑 = 1.1. 
 
Daí: 
𝑑2 = 𝑑𝑤2 = 𝑑1 × 𝑢 
= 48 × 5 = 240 [𝑚𝑚] 
 
𝑏𝑤 = 𝜓𝑏𝑑 × 𝑑1 
= 1,1 × 48 = 52.8 ≈ 53[𝑚𝑚] 
 
7.3.2 Determinação dos módulos normais e tangenciais 
Da tabela 19 de [3] para transmissões gerais num redutora com veios rígidos. Escolhe-se 𝜓𝑚 =
( 30 … 25) 
Então: 
𝑚𝑛 =
𝑏𝑤
𝜓𝑚
=
53
30 … .25
= (1.77 … 2.12) 
Da tabela 20 de [3]. Escolhe-se 𝑚𝑛 = 2 (normalização do passo com a primeira série). Toma-
se 𝜀𝛽 = 2 pela recomendação para dentes helicoidais (o coeficiente de sobreposição axial deve 
ser inteiro: 1,2 ou 3). 
 
 
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7.3.3 Determina-se o ângulo de inclinação dos dentes 
𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝜋 × 𝑚𝑛 ×
𝜀𝛽
𝑏𝑤
= 3.14 × 2 ×
2
53
= 0.24 
𝛽 = 𝑎𝑟𝑠𝑒𝑛(0.24) = 13.88654° = 13°20′18.94′′ 
 
 
7.3.4 Número de dentes do pinhão e da movida 
O número de dentes da roda pinhão determina-se pela seguinte fórmula: 
𝑍1 =
𝑑𝑤1 × 𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑚𝑛
=
48 × cos (13°20′18.94′′)
2
= 23,30 ≈ 23 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
Número de dentes da roda movida calcula-se pela expressão: 
𝑍2 = 𝑍1 × 𝑢 = 23 × 5 = 115𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
7.3.5 Correção do ângulo de inclinação dos dentes 
𝑐𝑜𝑠𝛽 =
𝑍1 × 𝑚𝑛
𝑑𝑤1
=
23 × 2
48
= 0.96 
𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0.96) = 16.26° ≈ 16°15′ 
 
7.3.6 Cálculo dos círculos divisores 
𝑑𝑤1 =
𝑍1 × 𝑚𝑛
𝑐𝑜𝑠𝛽
=
23 × 2
cos(16°15′)
= 48 [𝑚𝑚] 
𝑑𝑤2 =
𝑍2 × 𝑚𝑛
𝑐𝑜𝑠𝛽
=
115 × 2
cos(16°15′)
= 240 [𝑚𝑚] 
 
7.3.7 Determinação da distância interaxial 
𝑎𝑤 =
𝑑𝑤1 + 𝑑𝑤2
2
=
48 + 240
2
= 144[𝑚𝑚] 
A velocidade linear no engrenamento calcula-se pela expressão: 
𝑉 =
𝜋 × 𝑑1 × 𝑛1
60 × 1000
=
𝜋 × 48 × 189.66
60 × 1000
= 0.48 𝑚/𝑠 
 
 
 
 
 
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7.4 Verificação da Tensão de Contacto 
 
As tensões de contacto admissível são determinadas pela fórmula: 
[𝜎𝐻𝐶] =
(𝜎𝐻𝑙𝑖𝑚 × 𝑍𝑅 × 𝑍𝑉 × 𝐾𝐿 × 𝐾𝑥𝐻)
𝑆𝐻
 
Toma-se a qualidade das superfícies de trabalho do pinhão e de roda dentada para o grau 
de precisão 6 (Ra = 2,5...1,25); escolhe-se ZR = 0,95. 
Para velocidades inferiores a 5 m/s 𝑍𝑉 = 1 
Considerando que haverá lubrificação 𝐾𝐿 = 1 
Visto que 𝑑𝑤 ≤ 700 𝑡𝑜𝑚𝑎 − 𝑠𝑒 𝐾𝑥𝐻 = 1 
Para tratamento térmico de melhoramento adota-se os seguintes coeficientes de segurança 
𝑆𝐻 = 1,1 
𝜎𝐻 𝑙𝑖𝑚 1 = 560𝑀𝑃𝑎 
 𝜎𝐻 lim 2 = 530𝑀𝑃𝑎 
Recalculando a tensão de contacto admissível temos: 
[𝜎𝐻𝐶]1 =
(𝜎𝐻𝑙𝑖𝑚1 × 𝑍𝑅 × 𝑍𝑉 × 𝐾𝐿 × 𝐾𝑥𝐻)
𝑆𝐻
=
560 × 0.95 × 1 × 1 × 1
1,1
= 483.64 𝑀𝑃𝑎 
 
[𝜎𝐻𝐶]2 =
(𝜎𝐻𝑙𝑖𝑚2 × 𝑍𝑅 × 𝑍𝑉 × 𝐾𝐿 × 𝐾𝑥𝐻)
𝑆𝐻
=
530 × 0.95 × 1 × 1 × 1
1,1
= 457.73 𝑀𝑃𝑎 
A tensão admissível para cálculo determina-se da fórmula: 
[𝜎𝐻𝐶] = 0,45 × ([𝜎𝐻𝐶]1 + [𝜎𝐻𝐶]2) = 0,45 × (483.64 + 457.73) = 423.62 𝑀𝑃𝑎 
 
7.5 Determinação da Tensão Admissível à Fadiga Por Flexão 
 
A tensão admissível à fadiga por flexão é dada por: 
[𝜎𝐹𝐶] = ([𝜎𝐹 𝑙𝑖𝑚] × 𝑌𝑅 × 𝑌𝑠 × 𝐾𝑥𝐹) 𝑆𝑓⁄ 
[𝜎𝐹 𝑙𝑖𝑚] = 𝜎°F lim 𝑏 × 𝐾𝐹𝑔 × 𝐾𝐹𝑑 × 𝐾𝐹𝑐 × 𝐾𝐹𝐿 
Os valores de 𝜎°F lim 𝑏 determinam-se através de formulas de tabela 10 de [3]: 
𝜎°F lim 𝑏1 = 1,35 × 𝐻𝐵1 + 100 = 1,35 × 245 + 100 = 430,75𝑀𝑃𝑎 
𝜎°F lim 𝑏2 = 1,35 × 𝐻𝐵2 + 100 = 1,35 × 230 + 100 = 410.5𝑀𝑃𝑎 
 
 
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Da tabela 10 de[3], para o melhoramento 𝑆𝐹1 = 𝑆𝐹2 = 1.65 
O coeficiente 𝐾𝐹𝑔 = 1,1 & 𝐾𝐹𝑑 = 1,2 da Tabela 13 de [3] para rodas dentadas de aço da 
marca 40 e 45 melhorados 
𝐾𝐹𝑐 = 1 Para carga irreversível 
𝑚𝑓 = 6 Para rodas dentadas com dureza de superfície dos dentes menor 350 HB 
𝐾𝐿 é coeficiente de longevidade e determina-se pela seguinte formula: 
𝐾𝐿 = √
𝑁𝐹𝑂
𝑁𝐹𝐸
𝑚𝑓
 
𝑁𝐹𝑂 = 4 × 10
6 para todas marcas dos aços 
𝑁𝐹𝐸 é numero equivalente de ciclo de variação das tensões e determina-se pela fórmula a 
seguir: 
𝑁𝐹𝐸 = 𝑁𝛴 × ∑ [(
𝑇𝑖𝑓
𝑇1
)
𝑚𝑓
×
𝑛𝑐𝑖
𝑁𝛴
] 
𝑁𝐹𝐸1 = 44858383.2 × [(1)
6 × (
4485838.32
44858383.2
) + (0.5)6 × (
22429191.6
44858383.2
) + (0.1)6 × (
17943353.28
44858383.2
)] 
= 4836312.38 
 
𝑁𝐹𝐸2 =
𝑁𝐹𝐸1
𝑢
=
4836312.38
5
= 967262.48 
Como 𝑁𝐹𝐸1 > 𝑁𝐹𝑂1 , 𝐾𝐹𝐿1 = 1 mas 𝑁𝐹𝐸2 < 𝑁𝐹𝑂2 logo: 𝐾𝐻𝐿1 = √
4000000
967262.48
6
= 1.27 
Determina-se: 
[𝜎𝐹 𝑙𝑖𝑚]1 = 430,75 × 1,1 × 1,2 × 1 × 1 = 568,59 𝑀𝑃𝑎 
[𝜎𝐹 𝑙𝑖𝑚]2 = 410.5 × 1,1 × 1,2 × 1 × 1.27 = 688.16 𝑀𝑃𝑎 
Determinação dos valores das grandezas 𝑌𝑅 , 𝑌𝑠 𝑒 𝑌𝑥𝐹 para o cálculo de [𝜎𝐹𝐶]: 
 𝑌𝑅 = 1,2 para melhoramento 
 𝑌𝑠 = 1,03 da tabela 8 de [3] para 𝑚𝑛 = 2 𝑚𝑚 
 𝑌𝑥𝐹 ≈ 1,0 para 𝑑 < 300 𝑚𝑚 
Portanto: 
[𝜎𝐹𝐶]1 =
(𝜎𝐹𝑙𝑖𝑚1 × 𝑌𝑅 × 𝑌𝑠 × 𝐾𝑥𝐹)
𝑆𝐹
=
568,59 × 1,2 × 1,03 × 1
1,65
= 425,93 𝑀𝑃𝑎 
[𝜎𝐹𝐶]2 =
(𝜎𝐹𝑙𝑖𝑚2 × 𝑌𝑅 × 𝑌𝑠 × 𝐾𝑥𝐹)
𝑆𝐹
=
688.16 × 1,2 × 1,03 × 1
1,65
= 515.49 𝑀𝑃𝑎 
 
 
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7.6 Calculo Testador à Fadiga por Contacto 
 
Para o cálculo testador da fadiga usa-se a seguinte fórmula de [3]: 
𝜎𝐻 = 𝑍𝐻 × 𝑍𝑀 × 𝑍𝜀 × √
𝜔𝐻𝑡 × (𝑢 + 1)
𝑑𝑤1 × 𝑢
≤ [𝜎𝐻𝐶] 
Escolhem-se os valores das grandezas contidas na fórmula acima: 
Da tabela 21 de [3], interpolando extrai-se 𝑍𝐻 ≈ 1.69 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝑒 𝛽 = 16°15′ 
Da tabela 15 de [3], 𝑍𝑀 = 275 𝑀𝑃𝑎
1
2⁄ para engrenamento aço/aço 
𝑍𝜀 = √
1
𝜀𝛼
 para engrenagens helicoidais com 𝜀𝛽 > 0,9 
O coeficiente de sobreposição frontal (𝜀𝛼) determina-se pela fórmula: 
𝜀𝛼 = [1,88 − 3,2 × (
1
𝑍1
+
1
𝑍2
)] × 𝑐𝑜𝑠𝛽 
𝜀𝛼 = [1,88 − 3,2 × (
1
23
+
1
115
)] × cos(16°15′) = 1.72 
Logo: 
𝑍𝜀 = √
1
1.72
= 0.76 
A força tangencial específica calculada determina-se pela fórmula, em N/mm: 
𝜔𝐻𝑡 = (
𝐹𝐻𝑡
𝑏𝑤
) × 𝐾𝐻𝛼 × 𝐾𝐻𝛽 × 𝐾𝐻𝑣 
Onde: 
 𝐾𝐻𝛼 = 1 extraido da Tabela 22 de [3] para o 6° grau precisão e velocidade linear de 0.48 m/s 
𝐾𝐻𝛽 = 1.045 já escolhido anteriormente 
𝐾𝐻𝑣 determina-se por: 
𝐾𝐻𝑣 = 1 +
𝑏𝑤 × 𝜔𝐻𝑣
𝐹𝐻𝑡 × 𝐾𝐻𝛼 × 𝐾𝐻𝛽
 
𝐾𝐻𝑣 = 1 +
53 × 0.2
2559.62 × 1 × 1.045
= 1 
 
 
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𝐹𝐻𝑡 =
2𝑇1
𝑑𝑤1
=
2 × 61.43 × 1000
48
= 2559.62𝑁𝑚𝑚 
𝜔𝐻𝑣 = 𝛿𝐻 × g 𝑂 × 𝑣 × √
𝑎𝑤
𝑢
 
Da tabela 25 de [3] escolhe-se 𝛿𝐻 = 0,002 
Da tabela 26 [3] escolhe-se g 𝑂 = para 6° grau precisão 
𝜔𝐻𝑣 = 0,002 × 38 × 0.48 × √
144
5
= 0.2 N/mm 
𝜔𝐻𝑡 = (
2559.62
53
) × 1 × 1.045 × 1 = 50.47 𝑁/𝑚𝑚 
Por tanto: 
𝜎𝐻 = 1.69 × 275 × 0.76 × √
50.47 × (5 + 1)
5 × 53
= 396.75 𝑀𝑃𝑎 
Verifica-se a condição de resistência a tensões de contacto. 
 
7.7 Cálculo Testador à Fadiga por Tensões de Flexão 
 
𝜎𝐹 = 𝑌𝐹 × 𝑌𝜀 × 𝑌𝛽 ×
𝜔𝐹𝑡
𝑚𝑛
≤ [𝜎𝐹𝐶] 
Onde: 𝑌𝐹1 = 3,87 para: 
𝑍𝑣1 = 𝑍1 𝑐𝑜𝑠
3𝛽⁄ =
23
𝑐𝑜𝑠3(16°15′)
≈ 26 
 𝑌𝐹2 = 3,60 para: 
𝑍𝑣2 = 𝑍2 𝑐𝑜𝑠
3𝛽⁄ =
115
𝑐𝑜𝑠3(16°15′)
≈ 130 
Os valores de 𝑌𝐹1e 𝑌𝐹2 são extraídos da tabela 27 ou da figura 17 de [3]; 
𝑌𝜀 = 1 para engrenagens com dentes helicoida8is; 
𝑌𝛽 = 1 −
𝛽
140
° = 1 −
16.26°
140°
= 0.88 
 
 
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O valor da força tangencial específica calculada determina-se pela fórmula, em N/mm: 
𝜔𝐹𝑡 = (
𝐹𝐹𝑡
𝑏𝑤
) × 𝐾𝐹𝛼 × 𝐾𝐹𝛽 × 𝐾𝐹𝑣 [𝑁/𝑚𝑚] 
Onde: 𝐹𝐹𝑡 = 2773,905 𝑁 determinada anteriormente. 
para engrenagens helicoidais 𝜀𝛽 > 1 
𝐾𝐹𝛼 =
4 + (𝜀𝛼 − 1) × (𝑛 − 5)
4 − 𝜀𝛼
=
4 + (1.72 − 1) × (9 − 5)
4 × 1.72
= 1 
𝐾𝐹𝛽 = 1,15 (este coeficiente é extraído da tabela 16 de [2]) 
𝐾𝐹𝑣 = 1 + 𝜔𝐹𝑣 ×
𝑏𝑤
𝐹𝑡 × 𝐾𝐹𝛼 × 𝐾𝐹𝛽
1 + 0.59 ×
53
2559.62 × 1 × 1.09
= 1.01 
A força tangencial dinâmica especifica-se por: 
𝜔𝐹𝑣 = 𝛿𝐹 × g 𝑂 × 𝑣 × √
𝑎𝑤
𝑢
= 0,006 × 38 × 0.48 × √
144
5
= 0.59 
Onde: 𝛿𝐹 = 0,006 extrai-se da tabela 25 de [3] 
 g 𝑂 = 38 
𝜔𝐹𝑡 = (
𝐹𝐹𝑡
𝑏𝑤
) × 𝐾𝐹𝛼 × 𝐾𝐹𝛽 × 𝐾𝐹𝑣 =
2559.62
53
× 1 × 1.09 × 1.01 = 53.17 [
𝑁
𝑚𝑚
] 
Assim os valores de 𝜎𝐹1𝑒 𝜎𝐹2 serão dados por: 
𝜎𝐹1 = 3.87 × 1 × 0.88 ×
53.17
2
= 90.54 [𝑀𝑃𝑎] ≤ [𝜎𝐹𝐶1] = 425,93𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝐹2 = 3.6 × 1 × 0.88 ×
53.17
2
= 84.22[𝑀𝑃𝑎] ≤ [𝜎𝐹𝑐2] = 515.49𝑀𝑃𝑎 
OBS: A condição de resistência à fadiga por flexão é verificada 
 
7.8 Cálculo Geométrico da Transmissão 
 
m = 2 mm, Z1 = 23; Z2 = 115; u = 5, x1 = x2 = 0 α = 20° β = 16°15’ 
O cálculo da geometria faz-se de acordo com a sequência abaixo. 
 
 
 
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Diâmetros primitivos 
𝑑1 =
𝑚 × 𝑍1
𝑐𝑜𝑠𝛽
=
2 × 23
cos (16°15′)
= 48𝑚𝑚 
𝑑2 =
𝑚 × 𝑍2
𝑐𝑜𝑠𝛽
=
2 × 115
cos (16°15′)
= 240 𝑚𝑚 
Diâmetros exteriores (𝑑𝑎) e internos (𝑑𝑓1) 
𝑑𝑎1 = 𝑑1 + 2𝑚 = 48 + 2 × 2 = 52 𝑚𝑚 
𝑑𝑎2 = 𝑑2 + 2𝑚 = 240 + 2 × 2 = 244 𝑚𝑚 
𝑑𝑓1= 𝑑1 − 2,5𝑚 = 48 − 2,5 ∙ 2 = 43 𝑚𝑚 
𝑑𝑓2 = 𝑑2 − 2,5𝑚 = 240 − 2,5 ∙ 2 = 235 𝑚𝑚 
Diâmetros de base 
𝑑𝑏1 = 𝑑1 cos 𝛼 = 48 𝑐𝑜𝑠20° = 45 𝑚𝑚 
𝑑𝑏2 = 𝑑2 cos 𝛼 = 240𝑐𝑜𝑠20° = 225.5𝑚𝑚 
Passo normal (𝑃𝑛) e tangencial (𝑃𝑡) 
𝑃𝑛 = 𝜋𝑚 = 2 𝜋 = 6.3 𝑚𝑚 
𝑃𝑡 =
𝑃𝑛
𝑐𝑜𝑠𝛽
=
6.3
cos (16°15′)
= 6.6 𝑚𝑚 
Altura do dente 
ℎ = 2,25𝑚 = 2,25 × 2 = 4.5 𝑚𝑚 
 
7.9 Cálculo de Forças na Transmissão 
 
Força tangencial 
𝐹𝑡1 =
2𝑇1
𝑑1
=
2 × 61.43 × 1000𝑁𝑚𝑚
48 𝑚𝑚
= 2556.62 𝑁 
Força radial 
𝐹𝑟1 = 𝐹𝑡
𝑡𝑔𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛽
= 2556.62𝑁
𝑡𝑔20
cos (16°15′)
= 970.44 𝑁 
Força axial 
𝐹𝑎1 = 𝐹𝑡 × 𝑡𝑔𝛽 = 2559.62 × 𝑡 𝑔(16°15
′) = 746.56 N 
Força Normal 
𝐹𝑛 = 0.1
𝐹𝑡
𝑐𝑜𝑠𝛽 × cos 𝛼𝑤
= 
2559.62
𝑐𝑜𝑠(16°15′) × cos 20°
= 2837.39 𝑁 
 
 
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Tabela 10-Resultados do Cálculo da transmissão por engrenagens. 
Parâmetro Roda Dentada Fórmula Valor 
Módulo Normal 
[mm] 
 𝑚𝑛 2 
Diâmetro Primitivo 
[mm] 
Pinhão 𝑑𝑤1 = 𝑚𝑛 ×
𝑧1
cos 𝛽
 
48 
Roda movida 𝑑𝑤2 = 𝑚𝑛 ×
𝑧1
cos 𝛽
 
240 
Diâmetro Externo 
[mm] 
Pinhão 𝑑𝑎1 = 𝑑1 + 2𝑚 
 
52 
Roda movida 𝑑𝑎2 = 𝑑2 + 2𝑚 
 
244 
Diâmetro Interno 
[mm] 
Pinhão 𝑑𝑓1 = 𝑑1 − 2,5𝑚 
 
43 
Roda movida 𝑑𝑓2 = 𝑑2 − 2,5𝑚 = 235 
Número de dentes Pinhão 
𝑍1 =
𝑑𝑤 × cos 𝛽
𝑚𝑛
 
23 
Roda movida 𝑍2 = 𝑍1 × 𝑢 115 
Largura [mm] 𝑏𝑤 = 𝜓𝑏𝑑 × 𝑑𝑤1 53 
Distância inter-axial 
[mm] 
 
𝑎𝑤 =
𝑑𝑤1 + 𝑑𝑤2
2
 
144 
Passo normal [mm] 𝑃𝑛 = 𝜋 × 𝑚𝑛 6,3 
Passo tangencial 
[mm] 
 
𝑃𝑡 =
𝑃𝑛
cos 𝛽
 
6,6 
Força tangencial [N] 
𝐹𝑡 = 2 × 10
3 ×
𝑇
𝑑𝑤
 
2556.62 
Força radial [N] 
𝐹𝑟 = 𝐹𝑡 ×
tan 𝛼
cos 𝛽
 
970.44 
Força axial [N] 𝐹𝑎 = 𝐹𝑡 × tan 𝛽 746.46 
 
 
 
 
 
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8. CÁLCULO DA TRANSMISSÃO POR CADEIA 
 
Figura 7-esquema de representação dos parâmetros da transmissão por cadeia 
Por se ter usado um redutor de monoescalonar de engrenagens cilíndricas, sendo que o 
transportador funciona a baixas velocidades houve a necessidade de se aumentar mais uma 
transmissão (transmissão por cadeia) de modo a não sobrecarregar a transmissão por correia e 
o redutor, reduzindo assim suas dimensões. 
 
Condições de funcionamento 
Lubrificação em cárter fechado, sem regulação da tensão, trabalha em apenas um turno, 
funcionamento em temperaturas abaixo de 150 °C e funciona com um coeficiente de cargas 
dinâmicas de 1.2 (𝐾𝑑 = 1.2) 
 
Dados 
𝑇1 = 302.14 𝑁𝑚 𝑛1 = 37.93 𝑟𝑝𝑚 𝑁3 = 1.2 𝐾𝑊 𝑢𝑐𝑎𝑑 = 4 
 𝜑 = 0° (inclinação da linha de eixo da transmissão) 
 
 
 
 
 
 
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8.1 Escolha do Número de Dentes: 
𝑍𝑚𝑖𝑛 = 29 − 2 × 𝑢𝑐𝑎𝑑 = 29 − 2 × 4 = 21 
A roda estrelada motriz deve ter no mínimo 21 dentes. 
Para 𝑢 = 4, o número de dentes escolhe-se de entre 21...23, valores ligeiramente superiores ao 
mínimo calculado. Para baixas velocidades, o número de dentes pode ser menor que os 
indicados no intervalo (21...23), mas maior que o mínimo recomendado (cerca de 7), e sob 
ponto de vista de desgaste é preferível construir rodas estreladas com um número de dentes 
ímpar. Destas condições escolhe-se: 
𝑍1 = 23 logo: 
 
𝑍2 = 𝑢𝑐𝑎𝑑 × 𝑍1 = 4 × 23 = 92 < (100. .120) 
Recalcula-se a relação de transmissão: 
 
𝑢𝑟𝑒𝑎𝑙 =
𝑍2
𝑍1
=
92
23
= 4 ∆𝑢 =
𝑢𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑢𝑐𝑎𝑑
𝑢𝑐𝑎𝑑
=
4 − 4
4
= 0 < 4 % 
 
Por tanto, mantem-se a relação de transmissão de 4 
 
8.2 Escolha da Distância Interaxial, em Termos de Passos 
 
𝑎 = 40 × 𝑃𝑐 
 
 
8.3 Determinação da Potência Calculada 
𝑁𝑐𝑎𝑙 = 𝑁1 × 𝐾𝑒 × 𝐾𝑧 × 𝐾𝑛 = 1.2 × 1.5 × 1.09 × 1.32 = 2.59 𝐾𝑊 
 
Onde: 
𝐾𝑒 = 𝐾𝑑 × 𝐾𝑎 × 𝐾𝑖 × 𝐾𝑟𝑒𝑔 × 𝐾𝑙𝑢𝑏 × 𝐾𝑟 × 𝐾𝑡 = 1.2 × 1 × 1 × 1.25 × 1 × 1 × 1 = 1.5 
Sendo: 
𝐾𝑑 = 1.2 
𝐾𝑎 = 1 -Para 𝑎 = 40 × 𝑃𝑐; 
𝐾𝑖 = 1 -Para 𝜑 = 0° (disposição horizontal da cadeia); 
𝐾𝑟𝑒𝑔 = 1.25 -Sem regulação; 
𝐾𝑙𝑢𝑏 = 1 -Lubrificação em cárter fechado; 
𝐾𝑟 = 1 - Regime de um turno; 
𝐾𝑡 = 1 - Temperatura de funcionamento abaixo de 150 °C; 
 
 
𝐾𝑧 =
𝑍01
𝑍1
=
25
23
= 1.09 𝐾𝑛 =
𝑛01
𝑛1
=
50
37.93
= 1.32 
 
 
 
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8.4 Escolha da Cadeia 
 
Com a potência calculada, escolhe-se a cadeia adequada: 
 A cadeia escolhida foi a cadeia de rolos monofilar de precisão alta ПР-25.4.-56700 GOST 
13568-81 (Figura 8) cujos parâmetros são apresentados na tabela 11 
 
Figura 8-Parâmetros geométricos da Cadeia de escolhida (de rolos) 
 
 
 
Tabela 11-Parâmetros da cadeia escolhida (ПР-25.4.-56700 GOST 13568-81) 
𝒕 [𝒎𝒎] 𝑩𝒊𝒏𝒕[𝒎𝒎] 𝑫 [mm] 𝒅 [𝒎𝒎] 𝒃[𝒎𝒎] 𝑩[𝒎𝒎] 𝑭𝒓[𝑵] 𝝆 [
𝒌𝒈
𝒎
] 
25.4 15.88 15.88 7.95 24.13 22.61 56700 2.6 
 
𝑎𝑐𝑎𝑑 = 40 × 𝑝𝑐 = 40 × 25.4 = 1016 𝑚𝑚 
 
 8.5 Determinação da Velocidade de deslocamento da Cadeia 
 
𝑣 =
𝑧1 × 𝑝𝑐 × 𝑛1
60000
=
23 × 25.4 × 37.93
60000
= 0.37 𝑚/𝑠 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
35 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
8.6 Cálculo do Número de Elos 
 
𝐿𝐶 =
2 ∙ 𝑎
𝑝𝑐
+
𝑍1 + 𝑍2
2
+ (
𝑍2 − 𝑍1
2𝜋
)
2
∙
𝑝𝑐
𝑎
 
 
=
2 ∙ 1016
25.4
+
23 + 92
2
+ (
92 − 23
2𝜋
)
2
∙
25.4
1016
= 140.51 
 
 
Recomenda-se o número de elos par assim, 𝐿𝐶 = 140 𝑒𝑙𝑜𝑠 
 
8.7 Distância Interaxial Re-Calculada 
𝑎𝑐𝑎𝑙 =
𝑝𝑐
4
∙ [𝐿𝑐 −
𝑍2 + 𝑍1
2
+ √(𝐿𝑐 −
𝑍2 + 𝑍1
2
)
2
− 8 ∙ (
𝑍2 − 𝑍1
2𝜋
)
2
] 
 
=
25.4
4
∙ [140 −
92 + 23
2
+ √(140 −
92 + 23
2
)
2
− 8 ∙ (
92 − 23
2𝜋
)
2
] 
 
 = 1009.2 mm 
 
Distância interaxial real 
𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙 = (0.996 … 0.998) ∙ 𝑎𝑐𝑎𝑙 = 1005.16 … 1007.18 𝑚𝑚 
𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙 = 1006 
 
8.8 Diâmetro de Trabalho das rodas estreladas 
 
𝑑1 =
𝑝𝑐
𝑠𝑒𝑛 (
180°
𝑍1
)
 𝑑2 =
𝑝𝑐
𝑠𝑒𝑛 (
180°
𝑍2
)
 
=
25.4
𝑠𝑒𝑛 (
180°
23
)
 =
25.4
𝑠𝑒𝑛 (
180°
92
)
 
= 186.54 𝑚𝑚 = 743.97 𝑚𝑚 
 
8.9 Forças na Transmissão 
 
𝐹𝑡 =
𝑁1
𝑣
=
1.2 × 103
0.37
= 3243.24 𝑁 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
36 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
𝐹𝑣 = 𝑞 × 𝑣
2= 2.6 × 0.372 = 0.36 𝑁 
𝐹𝑞 = 𝑘𝑓 × 𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙 × 𝑞 × 𝑔 = 6 × 1006 × 2.6 × 9.81 = 153.80 N 
𝑘𝑓 = 6 para disposicao horizontal da cadeia 
𝑔 = 9.81 𝑚/𝑠2 
 
8. 10 Determinação de Frequência de Ressonância 
𝑛𝑐𝑟𝑖𝑡 = 30√
𝐹𝑡
𝑞
×
1
𝑍1 × 𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙
= 30 × √
3243.24
2.6
×
1
23 × 1.006
= 45.79 rpm 
Não há ressonância, dado que a frequência de rotação do veio da roda estrelada motriz (saída 
do redutor), é diferente da frequência crítica 
 
8.11 Determinação dos Parâmetros Geométricos da Transmissão por Cadeia 
 
 
Figura 9-Perfil dos dentes da transmissão por cadeia 
 
Tabela 12-Perfil dos dentes rodas estreladas estreladas com relação t/D≤2 
Denominação dos parâmetros Formulas Valores Un. 
Volores de t; D; Bint ; A ; b Ver na tabela 11 
Número de 
dentes 
Roda motriz 𝑍1 23 ----
- 
Roda 
movida 
𝑍2 92 ----
-- 
Roda motriz 186.53 mm 
 
 
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37 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
Diâmetro 
primitivo 
Roda 
movida 
𝐷𝑝 =
𝑡
𝑠𝑒𝑛(
180
𝑧 )
 
743.97 
Diâmetro externo Roda motriz 
𝐷𝑒 = 𝑡 (𝑘 + 𝑐𝑡𝑔(
180
𝑧
)) 
198.26 
Roda 
movida 
757 
Diâmetro interno Roda motriz 𝐷𝑖 = 𝐷𝑝 −2𝑅 170.53 
Roda 
movida 
127.97 
Raio da cavidade entre os dentes 𝑅 = 0.5025𝐷 − 0.05 8 
Raio de acoplamento 𝑅1 = 0.8𝐷 + 𝑅 20.74 
Raio da cabeça 
do dente 
Roda motriz 𝑅2 = 𝐷(1.24 × 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 0.8𝑐𝑜𝑠𝛽
− 1.3025) − 0.05 
10.55 
Roda movida 10.25 
Meio ângulo de 
cavidade 
Roda motriz 
𝛼 = 55° −
60°
𝑧
 
52.39 [°] 
Roda movida 54.35 
Angulo de 
acoplamento 
Roda motriz 
𝛽 = 18° −
56°
𝑧
 
15.57 
Roda movida 17.39 
Meio ângulo do 
dente 
Roda motriz 
𝜑 = 17° −
64°
𝑧
 
14.22 
Roda movida 16.30 
Parte recta do 
perfil 
Roda motriz 𝐹𝐺 = 𝐷(1.24 × 𝑠𝑒𝑛𝜑 − 0.8𝑠𝑒𝑛𝛽) 4.76 mm 
 Roda movida 5.45 
Distância da ponta do dente à 
linha de centro do arco 
arredondado 
𝑂𝑂2 = 1.24 𝐷 19.69 
Coordenadas do 
ponto 𝑂1 
Roda motriz 𝑋1 = 0.8𝐷 × 𝑠𝑒𝑛𝛼 
𝑌1 = 0.8𝐷 × 𝑐𝑜𝑠𝛼 
(10.06 ;7.75) 
Roda movida (10.32; 7.4) 
Coordenadas do 
ponto 𝑂2 
Roda motriz 
𝑋2 = 1.24𝐷 × cos (
180°
𝑧
) 
 
𝑌2 = 1.24𝐷 × sen (
180°
𝑧
) 
 
(19.5 ; 1.93) 
Roda movida (19.68; 0.67) 
Raio de arred. do dente 𝑅3 = 1.7𝐷 
 
27 
Dist. do centro da cavidade ao da 
cabeça da cavidade 
ℎ = 0.8 𝐷 12.7 
Diâmetro do 
aro menor 
Roda motriz 
𝐷𝑐 = 𝑡 × 𝑐𝑡𝑔 (
180°
𝑧
) − 1.3𝑏 
 
161.29 
Roda movida 720.03 
Largura do dente da roda 
estrelada 
𝑏1 = 0.93𝐵𝑖𝑛𝑡 − 0.15 
 
15.62 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
38 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
Tabela 13-Resultados da transmissão por cadeia 
Parâmetro Designação Valor Unidade 
Tipo de cadeia ПР-25.4.-56700 GOST 
13568-81 
 
 ------ 
Passo da cadeia 𝑡 25.4 mm 
Número de elos 𝐿𝐶 140 ----- 
Velocidade linear 𝑣 0.37 m/s 
Distância interaxial 𝑎 1006 mm 
Número de 
dentes 
Roda motriz 𝑍 23 
Roda movida 92 
Diâmetro 
divisor 
Roda motriz 𝐷𝑝 186.53 
Roda movida 743.97 
Diâmetro 
externo 
Roda m1otriz 𝐷𝑒 198.26 
Roda movida 757 
Força tangencial 𝐹𝑡 3243.24 N 
Força centrifuga 𝐹𝑣 0.36 
Força devida ao peso da cadeia 𝐹𝑞 153.80 
Frequência de ressonância 𝑛𝑐𝑟𝑖𝑡 45.9 𝑟𝑝𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
39 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
9. CÁLCULO PROJECTIVO DE VEIOS 
 
9.1 Composição do Esboço do Redutor 
 
 9.1.1 Escolha preliminar dos rolamentos 
NB: A escolha preliminar dos rolamentos só é feita depois do cálculo de diâmetros feito abaixo 
no ponto 9.2.1 
A escolha racional do tipo de rolamento para as condições de trabalho do redutor é complexa 
e depende de uma série de factores tais como a potência do redutor, o tipo de transmissão, as 
proporções entre as forças no engrenamento, as frequências de rotações do anel interno do 
rolamento, o tempo de serviço exigido, o esquema de montagem e ocusto. 
 
 
Rolamentos para o veio de alta e o de baixa velocidade 
 
Segundo a tabela 7.2 de [6] determina-se o tipo, a série e o esquema de montagem: 
Como 𝑎𝑤 = 144 𝑚𝑚 < 200 e 
𝐹𝑎
𝐹𝑟
=
746.56
970.44
= 0.3 > 0.25 
a) Tipo de rolamento: 
Por se ter a distância interaxial pequena e a força axial correspondendo a mais de 25% da força 
radial recomenda-se o uso de rolamentos cónicos do tipo 7000 com o ângulo de contacto 
∝= 11 … 16° 
b) Série: 
Veio de alta velocidade –Ligeira média 
Veio de baixa velocidede - Ligeira 
c) Esquema de montagem 
Dois apoios fixos, veio comprido 
 
I. Rolamentos para o veio de alta velocidade 
Do Atlas de construção mecânica faz-se uma escolha de rolamentos de rolos cónicos de uma 
carreira segundo a norma GOST 333-59 em função do diâmetro do anel interno e a série de 
carregamento que por sua vez será feita a escolha do correspondente no catálogo da FAG 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
40 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
 
Figura 10-Parâmetros geométricos dos rolamentos cónicos da FAG 
Tabela 14- Parâmetros dos Rolamentos, escolhido segundo a recomendação do Atlas de 
construção Mecânica. 
Designação d[mm] D[mm] B[mm] C[KN] Co[KN] 
GOST 333-59 
Tipo 7000: 7500 (∝=12-16°) 
Série Ligeira ampla (média) 
35 72 23 -- 43 
 
Pode se aproximar para a seguinte rolamento no catálogo da FAG 
Tabela 15-Parâmetros do rolamento analogamente escolhido no catálogo da FAG 
Designação d[mm] D[mm] B[mm] C[KN] Co[KN] 
DIN e ISO T3DB035 
FAG32207A 
 
35 72 23 71 85 
 
C[mm
] 
T[mm
] 
𝒓𝟏𝒔, 
𝒓𝟐𝒔mi
n 
𝒓𝟑𝒔, 
𝒓𝟒𝒔mi
n 
a 
[mm
] 
J 
[mm
] 
Peso 
(kg) 
e Y 𝒀𝟎 Limite 
de 
rotacao 
[rpm] 
Rotacao 
de 
referencia 
[rpm] 
19 24.25 1.5 1.5 18 53.9 0.48
2 
0.3
7 
1.
6 
0.8
8 
10000 6000 
 
 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
41 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
I. Rolamentos para o veio de baixa velocidade 
Tabela 16-Parâmetros dos Rolamentos de baixa velocidade, escolhido segundo a 
recomendação 
Designação d[mm] D[mm] B[mm] C[KN] Co[KN] 
GOST 333-59 
Tipo 7000: 7200 (∝=12-16°) 
Série Ligeira 
55 100 21 -- 50 
 
Pode se aproximar para a seguinte rolamento no catálogo da FAG 
 
Tabela 17-Parâmetros dos Rolamentos de baixa velocidade, escolhido segundo a 
recomendação 
Designação d[mm] D[mm] B[mm] C[KN] Co[KN] 
DIN e ISO T3DB055 
FAG30211A 
 
55 100 21 91.5 108 
 
C[mm
] 
T[mm
] 
𝒓𝟏𝒔, 
𝒓𝟐𝒔mi
n 
𝒓𝟑𝒔, 
𝒓𝟒𝒔mi
n 
a 
[mm
] 
J 
[mm
] 
Peso 
(kg) 
e Y 𝒀𝟎 Limi 
de 
rotacao 
[rpm] 
Rotacao 
de 
referencia 
[rpm] 
18 22.75 2 1.5 21 75.3 0.8 0.4 1.5 0.8 6700 4800 
 
 
9.1.2 Determinação dos parâmetros geométricos dos escalões dos veios 
A geometria do veio, depende das dimensões e quantidades de peças existentes. A modelação 
do veio será feita com base em construções já existentes. 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
42 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
9.1.2.1 Cálculo aproximado dos parâmetros geométricos dos escalões do veio de entrada 
do redutor 
 
 
Figura 11-Esquema de cálculo das dimensões do veio movido 
Partindo dos resultados dos cálculos do capítulo 7 (transmissões por cadeia): 
𝑑𝑎1 = 52𝑚𝑚 
a) Escalão 1 
T=61.43 [Nm] 
[𝜏] = 15 [𝑀𝑝𝑎] 
O diâmetro do escalão 1 é dado por: 
𝑑1 = √
𝑇
0.2 × [𝜏]
3
= √
61.43
0,2 × 15
=
3
29.47[𝑚𝑚] 
Toma-se 𝑑1 = 30 𝑚𝑚 normalizado Segundo a série Ra40 
 Partindo do 𝑑1=30 mm diâmetro do escalão, tiramos os valores de ressaltos, raios de curvatura 
e chanfros que são respectivamente: 
𝑡 = 2.2 𝑟 = 2 𝑓 = 1 
O comprimento do escalão 1 é dado por: 
𝑙1 = (1 … 1,5) × 𝑑1 = 1.2 × 30 = 36 𝑚𝑚 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
43 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
b) Escalão 2 
O diâmetro do escalão 2 é dado por: 
𝑑2 = 𝑑1 + 2 × 𝑡 = 30 + 2 × 2.2 = 34.4 𝑚𝑚 
𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎 − 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑎 35 𝑚𝑚 que corresponde aos diâmetros normalizados dos anéis internos 
dos rolamentos. 
𝑙2 = 1.5 × 𝑑2 = 1.5 × 35 = 52.5 mm 
c) Escalão 3 
O diâmetro do escalão 3 é dado por: 
𝑑3 = 𝑑2 + 3.2 × 𝑟 = 35 + 3.2 × 2 = 41.4 mm 
 normaliza − se para 𝑑3 = 42 𝑚𝑚 (série Ra40) 
Segundo a recomendação de [4] página 139 para a condição 𝑑𝑎1 < 𝑑3 Opta-se por uma 
construção tipo veio pinhão. Para a engrenagem motriz 𝑑𝑎1 = 52 𝑚𝑚 (vide o capítulo 7, tabela 
10) e 𝑑3 = 42 𝑚𝑚, por tanto, a condição é verificada dai que se opta pela construção de um 
veio pinhão. 
𝑙3 − 𝑜𝑏𝑡é𝑚 − 𝑠𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒. 
Será inicialmente calculado no veio movido a partir de equações de projecto do corpo do 
redutor. 
d) Escalão 4 
𝑑4 = 𝑑2=35 𝑚𝑚 
𝑙4 − É igual a largura do Rolamento escolhido: 𝑙4 = 𝑇 = 24.25 𝑚𝑚 
9.2.3.2 Cálculo aproximado dos parâmetros geométricos dos escalões de saída do redutor 
 
Figura 12-Esquema de cálculo principais do veio de saída 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
44 Gaita, Adelino HawaMendes 2019 
a) Escalão 1 
T=302.14 [Nm] 
[𝜏] = 15 [𝑀𝑝𝑎] 
O diâmetro do escalão 1 é dado por: 
𝑑1 = √
𝑇
0.2 × [𝜏]
3
= √
302.14
0,2 × 15
=
3
46.53[𝑚𝑚] 
Toma-se 𝑑3 = 47 𝑚𝑚 normalizado Segundo a série Ra40 
 Partindo do 𝑑1=47 mm diâmetro do escalão, tiramos os valores de ressaltos, raios de curvatura 
e chanfros que são respectivamente: 
𝑡 = 2.8 𝑟 = 3 𝑓 = 1.6 
O comprimento do escalão 1 é dado por: 
𝑙1 = (1 … 1,5) × 𝑑1 = 1.5 × 47 = 70.5 𝑚𝑚 
b) Escalão 2 
O diâmetro do escalão 2 é dado por: 
𝑑2 = 𝑑1 + 2 × 𝑡 = 47 + 2 × 2.8 = 52.6 𝑚𝑚 
Toma-se 𝑑2 = 55 𝑚𝑚 que corresponde aos diâmetros normalizados dos anéis internos dos 
rolamentos 
O comprimento do escalão 2 é dado por: 
𝑙2 = 1.5 × 𝑑2 = 1.5 × 55 = 82.5 mm 
c) Escalão 3 
O diâmetro do escalão 3 é dado por: 
𝑑3 = 𝑑2 + 3.2 × 𝑟 = 55 + 3.2 × 3 = 64.6 mm 
Toma-se 𝑑3 = 67 𝑚𝑚 normalizado Segundo a série Ra40 
𝑙3 − 𝑜𝑏𝑡é𝑚 − 𝑠𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒. 
𝑙3, Obtem-se considerando as larguras das rodas dentadas (𝑏𝑤) e a medida de separação da 
roda dentada movida com a parede do redutor. 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
45 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
𝑙3 = 𝑌 + 𝑏𝑤 + 𝑌 
𝑌 − É a medida de separação entre a parede do redutor e a roda dentada. Varia de 8…10 
mm; será posteriormente calculado no capítulo do projeto do corpo do redutor, inicialmente 
adopta-se Y=10 mm 
𝑏𝑤 − É a largura da roda dentada; 
𝑙3 = 10 + 53 + 10 = 73 𝑚𝑚 
𝑙4 − É igual a largura do Rolamento escolhido 
𝑙4 = 𝑇 
𝑙4 = 𝑇 = 22.75 𝑚𝑚 
Então faz-se o esboço do corpo do redutor : 
 
Figura 13-Composição do esboço do redutor 
 
 
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46 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
9.3 Generalidades e Materiais para os Veios 
 
Para a projecção dos veios dos redutores os principais critérios de capacidade de trabalho são 
a resistência mecânica e a resistência à fadiga. Os veios estão sujeitos a deformações 
complexas, por influência da torção, flexão e tracção (compressão). Porém a tensão devida aos 
esforços de tracção/compressão é muito menor que as tensões devidas aos momentos torsores 
e fletores, por tanto, os esforços de tracção/ compressão não serão considerados no cálculo dos 
veios. 
O cálculo dos veios dos redutores faz-se em duas (ou mais) etapas. A primeira etapa é para o cálculo 
projectivo (aproximado), que se baseia na resistência dos veios à torção pura e a segunda para o 
cálculo testador. No cálculo testador verifica-se a resistência à flexão e à torção. Este cálculo 
determina a resistência do veio à fadiga e considera a concentração de tensões devida à forma do 
veio. O parâmetro de cálculo mais importante é o coeficiente de segurança à fadiga. 
9.3.1 Escolha do material 
Para a concepção dos veios, será usado aço 40x para o veio de alta velocidade (veio pinhão) e 
aço 40 para o veio de baixa velocidade. 
9.3.2 Escolha das tensões admissíveis à torção 
Para o cálculo aproximado dos faz-se em função a torção pura, sem consideração do efeito da 
flexão, concentradores de tensões ou o carácter variável das cargas. Como meio de compensar 
esta grande aproximação, o valor da tensão admissível é grandemente reduzido: 
[𝜏] = 12 … .15[𝑀𝑝𝑎] 
Para veio de baixa velocidade adopta-se [𝜏] = 15 [𝑀𝑝𝑎] e para o veio de alta velocidade 
adopta-se [𝜏] = 12 [𝑀𝑝𝑎] 
 
9.4 Carregamento do Veios do Redutor 
 
Os veios dos redutores estão sujeitos a dois tipos de deformações: por flexão e por torção. A 
deformação por torção surge devido a acção de momentos torsores provenientes do motor, por 
um lado que são contrabalançados pelos momentos de resistência da máquina executiva. A 
deformação por flexão é causada pelos momentos das forças nas engrenagens associadas ao 
efeito das forças em consola das transmissões por correia e cadeia. 
 
 
 
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47 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
9.4.1 Determinação das forças nos engrenamentos das transmissões do redutor 
O redutor é monoescalonar com engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais, cujos dentes 
têm ângulo de inclinação 𝛽= 16º e na secção axial o ângulo de pressão é de 𝛼 = 20º. 
As forças foram anteriormente calculadas no capítulo de cálculo de transmissões cujos 
resutados são apresentados nas tabelas 14 e 15. 
 
Tabela 18-Forças de carregamento dos veios devidas a transmissão por engrenagens 
Transmissão Forças no 
engrenamento 
Fórmula Valor em N 
Roda Pinhão Roda movida 
Cilíndricas com 
dentes 
helicoidais 
Tangencial 𝐹𝑡1 = 𝐹𝑡2 𝐹𝑡1 =
2𝑇1
𝑑1
× 103 
2556.62 
Radial 𝐹𝑟1 = 𝐹𝑟2 𝐹𝑟 = 𝐹𝑡
𝑡𝑔𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛽
= 
970.44 
Axial 𝐹𝑎1 = 𝐹𝑎2 𝐹𝑎 = 𝐹𝑡 × 𝑡𝑔𝛽 746.56 
Nota: Os momentos são expressos em 𝑁 × 𝑚, os diâmetros em 𝑚𝑚 e as forças em 𝑁. 
 
9.3.2 Determinação das Forças em Consola 
Para o presente esquema de acionamento os elementos que fazem surgir forças em consola são 
a transmissão por correia (veio de entrada do redutor) e a transmissão por cadeia (veio de saída 
do redutor). Estes elementos fazem surgir cargas em consola nas extremidades salientes dos 
veios e estas forças são determinadas segundo as fórmulas da tabela 6.2 de [6] e os resultados 
são apresentados na tabela 15. 
Força em consola criada pela correia 
𝐹𝑎𝑏 = 2 × 𝐹0 × 𝑧 sin
∝1
2
= 553.64𝑁 
Força em consola criada pela cadeia 
𝐹𝑣𝑒𝑖𝑜 = 𝐾𝑚 + 𝐹𝑡 = 3729.73 N 
Notas: 
a. para a cadeia: 
 A fórmula de cálculo não considera o tensionamento inicial da cadeia; 
 𝐾𝑚 é o coeficiente que depende da inclinação da transmissão, sendo que para 
transmissões horizontais 𝐾𝑚 = 1.15; 
 𝐹𝑡 é a forca tangencial calculada anteriormente no capítulo “cálculo de transmissões” 
(transmissão por cadeia), onde: 𝐹𝑡 = 3243.24 𝑁 
 
b. Para correia 
Vide os resultados do capítulo 8 “ cálculo transmissão por cadeia” 
 
 
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48 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
9.3.3 Esquema de carregamento dos veios do redutor 
O esquema de carregamento dos veios destina-se a auxiliar a determinação das forças nos 
engrenamentos dos pares do redutor, as forças em consola da transmissões abertas as reacções 
nos apoios e as direcções dos momentos torsores e velocidades angulares dos veios. 
 
Figura 14-esquema espacial de carregamento dos veios do redutor. 
 
Tabela 19-Parâmetros cinemáticos e de carregamento dos veios 
Parâmetros Valores em N 
Roda Pinhão Roda movida 
𝐹𝑡 2556.62 
𝐹𝑟 970.44 
𝐹𝑎 746.56 
𝐹𝑎𝑏 𝐹𝑣𝑒𝑖𝑜 553.64 3729.73 
𝑇 (𝑁𝑚) 61.43 302.14 
𝜔 (𝑟𝑎𝑑/ 𝑠) 189.66 37.93 
 
 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
49 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
9.3.4 Determinação do carregamento do veio de entrada do redutor e dos apoios A e B 
 
Figura 15-Construção do veio de entrada do redutor 
 
Figura 16-Esquema de carregamento do veio Pinhão 
 
Tabela 20-Equações de equilíbrio e reacções de apoios no veio de entrada do redutor 
Condições de 
equilíbrio 
Equações de equilíbrio Valores das 
Reacções,  N 
∑ 𝐹𝑥=0 𝑅𝐴𝑥 + 𝑅𝐵𝑥 − 𝐹𝑟1 − 𝐹𝑎𝑏 = 0 𝑅𝐵𝑥 = −112.86 
∑ 𝐹𝑦=0 −𝑅𝐴𝑦 − 𝑅𝐵𝑦 + 𝐹𝑡1 = 0 𝑅𝐵𝑦 = 1278.31 
∑(𝑀𝑥)=0 42.75𝐹𝑡1 − 85.5𝑅𝐴𝑦 = 0 𝑅𝐴𝑦 = 1278.31 
∑(𝑀𝑦)=0 𝑑1
2
× 𝐹𝑎1 + 42.75𝐹𝑟1 − 85.5𝑅𝐴𝑥 + 145.5𝐹𝑎𝑏 = 0 
𝑅𝐴𝑥 = 1636.94 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
50 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
As forças resultantes nos apoios 
𝑅𝐴 = √𝑅𝑋𝐴
2 + 𝑅𝑌𝐴
2 = √1636.942 + 1278.312 = 2076.93𝑁 
𝑅𝐵 = √𝑅𝑋𝐵
2 + 𝑅𝑌𝐵
2 = √(−112.86)2 + 1278.312 = 1283.28𝑁 
O rolamento (apoio) ‘’A’’ é o mais carregado, o que significa que será usado posteriormente 
para o cálculo de rolamentos neste veio. 
 
 
Tabela 21-. Determinaçãodas equações dos esforços internos (momentos) no veio de entrada 
do redutor 
Equações Esquema de cálculo 
Troco 1 (𝑆1 = 0 … 60) 
 
𝑀𝑡(𝑆1) = 0 
𝑀𝑥(𝑆1) = 0 
𝑀𝑦(𝑆1) = −𝑆1𝐹𝑎𝑏 
Troco 2 (𝑆2 = 0 … 42,75) 
𝑀𝑡(𝑆2) = 0 
𝑀𝑥(𝑆2) = −𝑆2𝑅𝐴𝑦 
𝑀𝑦(𝑆2) = 𝑆2𝑅𝐴𝑦 − (60 + 𝑆2)𝐹𝑎𝑏 
 
 
 
Troco 3 𝑆3 = 0 … 42,75) 
 
𝑀𝑡(𝑆3) = −
𝑑1
2
× 𝐹𝑡1 
𝑀𝑥(𝑆3) = 𝑆3𝐹𝑡1 − (42.75 + 𝑆3)𝑅𝐴𝑦 
𝑀𝑦(𝑆3) = −𝑆3𝐹𝑟1 − 24𝐹𝑎1
+ (42.75 + 𝑆3)𝑅𝐴𝑥
+ (102.75 + 𝑆3) 𝐹𝑎𝑏 
 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
51 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
 
Tabela 22-Equações de momentos nos troços do veio de entrada do redutor 
Troço Equações de momentos nos troços (N.mm) 
1° 𝑀𝑡(𝑆1) = 0 
𝑀𝑥(𝑆1) = 0 
𝑀𝑦(𝑆1) = −553.64𝑆1 
2° 𝑀𝑡(𝑆2) = 0 
𝑀𝑥(𝑆2) = −1278.31𝑆2 
𝑀𝑦(𝑆2) = 1636.94𝑆2 − (60 + 𝑆2)553.64 
3° 𝑀𝑡(𝑆3) = −61358.88 
𝑀𝑥(𝑆3) = 2556.62𝑆3 − (42.75 + 𝑆3)1278.31 
𝑀𝑦(𝑆3) = −970.44𝑆3 − 17917.44 + (42.75 + 𝑆3)1639.94 − (102.75 + 𝑆3) 553.64 
 
 
Figura 17-Diagramas de momentos fletores e torsores do veio de entrada do redutor 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
52 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
Conhecidos os digramas dos momentos flectores, determina-se o somatório e o momento 
reduzido na secção mais solicitada do veio, sem tomar em conta os concentradores de tensões. 
Assim sendo, o ponto mais carregado do veio é o ponto médio da largura da engrenagem onde 
temos: 
𝑀𝑥 = 54847.75 𝑁. 𝑚𝑚; 𝑀𝑦 = 13092.67 𝑁. 𝑚𝑚; 𝑀𝑡 = 61358.88 𝑁. 𝑚𝑚 
 
O momento flector resultante é dado por: 
𝑀Σ𝑓 = √𝑀𝑥
2 + 𝑀𝑦
2 = √54647.752 + 13092.67 = 56194.26[𝑁𝑚𝑚] 
Como o veio é solicitado não só pelo momento flector, mas também pelo torsor, o momento 
equivalente é dado por: 
𝑀𝑟𝑒𝑑 = √(𝑀𝑓𝛴)
2
+ 𝛼 × 𝑇2 = √56194.262 + 1 × 61358.882 = 83202.81[𝑁𝑚𝑚] 
 
O diâmetro critico é dado por: 
𝑑𝑐𝑟 = √
𝑀𝑟𝑒𝑑
0.1 × [𝜎𝑓]
3
= √
83202.81
0.1 × 60
3
= 24.02𝑚𝑚 
Verifica-se que o diâmetro médio (𝑑1 = 35𝑚𝑚) é maior que o crítico (o que melhora as 
condições de funcionamento do veio) e o desvio entre eles não ultrapassa 50% (não há 
sobredimensionamento). 
9.3.5 Determinação do carregamento veio de saída do redutor e dos apoios C e D 
 
Figura 18-Construção do veio de saída do redutor 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
53 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
 
Figura 19-Esquema de carregamento do veio de saída do redutor 
 
Tabela 23- Equações de equilíbrio e reacções de apoios do veio de saída do redutor 
Condições de 
equilíbrio 
Equações de equilíbrio Valores das 
Reacções,  N 
∑ 𝐹𝑥=0 −𝑅𝐶𝑥 + 𝐹𝑟1 − 𝑅𝐷𝑥 − 𝐹𝑣𝑒𝑖𝑜 = 0 𝑅𝐶𝑥 = 3747.62 
∑ 𝐹𝑦=0 𝑅𝐶𝑦 + 𝑅𝐷𝑦 − 𝐹𝑡1 = 0 𝑅𝐶𝑦 = 1278.31 
∑(𝑀𝑥)=0 38.25𝐹𝑡1 − 76.5𝑅𝐷𝑦 = 0 𝑅𝐷𝑦 = 1278.31 
∑(𝑀𝑦)=0 𝑑2
2
× 𝐹𝑎2 + 38.25𝐹𝑟1 − 76.5𝑅𝐷𝑥 − 145.5𝐹𝑣𝑒𝑖𝑜 = 0 
𝑅𝐷𝑥 = −6814.81 
 
Forças resultantes nos apoios do veio de saída do redutor 
𝑅𝐶 = √𝑅𝐶𝑥
2 + 𝑅𝐶𝑦
2 = √3747.622 + 1278.312 = 3959.64𝑁 
𝑅𝐷 = √𝑅𝐷𝑥
2 + 𝑅𝐷𝑥
2 = √(−6814.81)2 + 1278.312 = 6933.65𝑁 
 
O rolamento (apoio) ‘’D’’ é o mais carregado, o que significa que será usado posteriormente 
para o cálculo de rolamentos neste veio. 
 
 
 
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54 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
Tabela 24-Determinação das equações dos esforços internos (momentos) no veio de saída do 
redutor 
Equações Esquema de cálculo 
Troço 1 (𝑆1 = 0 … 38.25) 
 
𝑀𝑡(𝑆1) = 0 
𝑀𝑥(𝑆1) = 𝑆1𝑅𝐶𝑦 
𝑀𝑦(𝑆1) = −𝑆1𝑅𝐶𝑥 
 
 
Troço 2 (𝑆2 = 0 … 38.25) 
𝑀𝑡(𝑆2) = 
𝑑2
2
× 𝐹𝑡2 
𝑀𝑥(𝑆2) = −𝑆2𝐹𝑡2 + (38.25 + 𝑆2) 
𝑀𝑦(𝑆2) = 𝑆2𝐹𝑟2 −
𝑑2
2
× 𝐹𝑎2 − (38.25
+ 𝑆2)𝑅𝐶𝑥 
 
 
Troço 3 (𝑆2 = 0 … 84) 
 
𝑴𝒕(𝑺𝟑) = 
𝑑2
2
× 𝐹𝑡2 
𝑴𝒙(𝑺𝟑) = 𝑆3𝑅𝐷𝑦 − (38.25 + 𝑆3)𝐹𝑡2
+ (76.5 + 𝑆3)𝑅𝐷𝑦 
𝑴𝒚(𝑺𝟑) = (38.25 + 𝑆3)𝐹𝑟2
− (76.5 + 𝑆3)𝑅𝐶𝑥− 
𝑑2
2
× 𝐹𝑎2 − 𝑆3𝑅𝐷𝑥 
 
 
 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
55 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
Tabela 25-Equações de momentos nos troços do veio de saída do redutor 
Troço Equações de momentos nos troços (N.mm) 
1° 𝑀𝑡(𝑆1) = 0 
𝑀𝑥(𝑆1) = 1278.31𝑆1 
𝑀𝑦(𝑆1) = −3747.62𝑆1 
2° 𝑀𝑡(𝑆2) = 306794.4 
𝑀𝑥(𝑆2) = −𝑆22556.62 + (38.25 + 𝑆2)1278.31 
𝑀𝑦(𝑆2) = 970.44𝑆2 − 89587.2 − (38.25 + 𝑆2)3747.62 
3° 𝑀𝑡(𝑆3) = 306794.4 
𝑀𝑥(𝑆3) = 𝑆31278.31 − (38.25 + 𝑆3)2556.62 + (76.5 + 𝑆3)1278.31 
𝑀𝑦(𝑆3) = (38.25 + 𝑆3)970.44 − (76.5 + 𝑆3)3747.62− 89587.2 − 𝑆36814.81 
 
 
 
Figura 20-Diagramas de momentos fletores e torsores do veio de saída do redutor. 
 
 
 
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Conhecidos os digramas dos momentos flectores, determina-se o somatório e o momento 
reduzido na secção mais solicitada do veio, sem tomar em conta os concentradores de tensões. 
Assim sendo, o ponto mais carregado do veio é o ponto de apoio do rolamento “D” onde temos: 
𝑀𝑥 = 0 𝑁. 𝑚𝑚 
𝑀𝑦 = 339160.08 𝑁. 𝑚𝑚 
 𝑀𝑡 = 306794.4 𝑁. 𝑚𝑚 
O momento flector resultante é dado por: 
𝑀Σ𝑓 = √𝑀𝑥
2 + 𝑀𝑦
2 = √02 + 339160.08 = 339160.08 [𝑁𝑚𝑚] 
Como o veio é solicitado não só por momento flector, mas também por torção, o momento 
equivalente é dado por: 
𝑀𝑟𝑒𝑑 = √(𝑀𝑓𝛴)
2
+ 𝛼 × 𝑇2 
 
𝑀𝑟𝑒𝑑 = √339160.08 2 + 1 × 306794.4 2 = 457331.79[𝑁𝑚𝑚] 
 
O diâmetro crítico é dado por: 
𝑑𝑐𝑟 = √
𝑀𝑟𝑒𝑑
0.1 × [𝜎𝑓]
3
= √
457331.79
0.1 × 60
3
= 42.4𝑚𝑚 
 
Verifica-se que o diâmetro médio (𝑑1 = 55𝑚𝑚) é maior que o crítico (o que melhora as 
condições de funcionamento do veio) e o desvio entre eles não ultrapassa 50% (não há 
sobredimensionamento). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
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10. CÁLCULO E ESCOLHA DE ROLAMENTOS 
 
A metodologia de rolamentos a ser adoptada é a indicada no catálogo de rolamentos FAG [10]. 
O cálculo dos rolamentos consiste na verificação da capacidade dinâmica do rolamento, se este 
girar a frequências, maiores que 10 rpm. 
 
a) Capacidade Dinâmica dos rolamentos 
A condição de trabalho para este caso é 𝐶 ≤ [𝐶] 
[𝐶] − Capacidade de carga estática admissível (tira-se do catálogo) 
𝐶 − Capacidade de carga estática calculada e dada por: 
𝐶 = 𝑃 × 𝐿
1
𝜌 
Onde: 
𝐿 − É tempo de vida do rolamento, em milhões de revoluções; 
𝑃 −É a carga dinâmica reduzida que actua sobre o rolamento; 
𝜌 − É o expoente de cálculo onde: 
1
𝜌
= 0.3 para rolamentos de rolos 
 A vida nominal do rolamento determina-se partindo da fórmula: 
 
𝐿 =
60 × 𝑛 × 𝐿h
106
, [𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠] 
𝐿h −É o tempo de vida dos rolamentos em horas; 
𝑛 −É a frequência de rotação do rolamento; 
𝐿h = 365 × 24 × 𝐾𝑎𝑛𝑜 × 𝐾𝑑𝑖𝑎 × 𝐿 = 365 × 24 × 0.45 × 0.2 × 5 = 3942 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
𝐾𝑎𝑛𝑜 = 0.45 𝐾𝑑𝑖𝑎 = 0.2 𝐿 = 5 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
Para rolamentos individuais temos: 
𝑃 = 𝐹𝑟 para 
𝐹𝑎
𝐹𝑟
≤ 𝑒 
𝑃 = 0.4𝐹𝑟 + 𝑌𝐹𝑎 para 
𝐹𝑎
𝐹𝑟
> 𝑒 
Onde: 
𝐹𝑟 𝑒 𝐹𝑎 São forcas actuantes sobre os rolamentos 
Y – é o coeficiente da forca axial 
 
 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
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b) Capacidade Estática dos Rolamentos 
A condição de trabalho para este caso é 𝐶0 ≤ [𝐶0] 
[𝐶0] − Capacidade de carga estática admissível (tira-se do catálogo) 
𝐶0 − Capacidade de carga estática calculada e dada por: 
𝐶0 = 𝑓0 × 𝑃0 
Onde: 
𝑓0 − factor de esforços estáticos; 
𝑃0 −É a carga estatica equivalente; 
𝜌 − É o expoentede cálculo onde: 
1
𝜌
= 0.3 para rolamentos de rolos 
 
O factor de esforços estáticos escolhe-se segundo as seguintes recomendações: 
 
𝑓0 = 1,5 … 2,5 para exigências elevadas 
𝑓0 = 1 … 1,5 para exigências normais 
𝑓0 = 0,7 … 1.0 para exigências reduzidas 
Para o nosso caso escolhe-se 𝑓0 = 1.5 (cargas normais) 
 
Para rolamentos individuais temos: 
𝑃0 = 𝐹𝑟 para 
𝐹𝑎
𝐹𝑟
≤
1
2×𝑌0
 
𝑃0 = 0.5𝐹𝑟 + 𝑌0𝐹𝑎 para 
𝐹𝑎
 𝐹𝑟
> 
1
2×𝑌0
 
Onde: 
𝐹𝑟 𝑒 𝐹𝑎 sao forcas actuantes sobre os rolamentos 
Y0 – é o coeficiente da força axial 
 
 
10.1 Cálculo da Capacidade Dinâmica dos Rolamentos no Veio de Entrada 
 
Segundo os rolamentos preliminarmente escolhidos no capítulo 9 cujos dados estão na tabela 
15 teremos:
𝑒 = 0.37 𝑌 = 1.6 𝑌0 = 0.37 [ 𝐶] = 71𝐾𝑁 [ 𝐶0] = 85𝐾𝑁 
 
A Capacidade dinâmica é dada por: 
𝐶 = 𝑃 × 𝐿0.3 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
59 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
Como: 
𝐹𝑎
𝐹𝑟
=
746.56
2076.93
= 0.36 ≤ 𝑒 = 0.37 
Onde: 
𝐹𝑟 – é a carga resultante sobre o apoio mais carregado do veio 
Logo: 
𝑃 = 𝐹𝑟 = 2076.93 𝑁 
A longividade do rolamento é dada por: 
𝐿 =
60 × 𝑛 × 𝐿ℎ
106
=
60 × 189.66 × 3942
106
= 44.85 [𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠] 
 
Capacidade dinâmica será: 
𝐶 = 2076.93 × (44.85)0.3 = 6500.56 𝑁 ≈ 6.5𝐾𝑁 
 
Verifica-se que: 𝐶 = 6.5 𝐾𝑁 < [ 𝐶 ] = 85𝐾𝑁 O rolamento resiste a cargas dinâmicas 
 
10.2 Cálculo da Capacidade Estática dos Rolamentos no Veio de Entrada 
 
A Capacidade dinâmica é dada por: 
 
𝐶0 = 𝑓0 × 𝑃0 
Como: 
𝐹𝑎
𝐹𝑟
=
746.56
2076.93
= 0.36 ≤
1
2 × 𝑌0
=
1
2 × 0.88
= 0.57 
Onde: 
𝐹𝑟 – é a carga resultante sobre o apoio mais carregado do veio 
Logo: 
𝑃 = 𝐹𝑟 = 2076.93 𝑁 
Capacidade estática será: 
𝐶0 = 1.5 × 2076.93 = 3115.4 𝑁 ≈ 3.1𝐾𝑁 
Verifica-se que: 
𝐶0 = 3.1 𝐾𝑁 < [ 𝐶0] = 85𝐾𝑁 O rolamento resiste a cargas estáticas 
 
 
 
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60 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
10.2 Cálculo da Capacidade Dinâmica dos Rolamentos no Veio de Entrada 
 
Segundo os rolamentos preliminarmente escolhidos cujos dados estão na tabela 17 do capítulo 
9.
𝑒 = 0.4 𝑌 = 1.48 𝑌0 = 0.81 [ 𝐶] = 91.5𝐾𝑁 [ 𝐶0] = 108𝐾𝑁 
 
A Capacidade dinâmica é dada por: 
𝐶 = 𝑃 × 𝐿0.3 
Como: 
𝐹𝑎
𝐹𝑟
=
746.56
6933.67
= 0.11 ≤ 𝑒 = 0.4 
Onde: 
𝐹𝑟 – É a carga resultante sobre o apoio mais carregado do veio 
Logo: 
𝑃 = 𝐹𝑟 = 6933.67 𝑁 
 
A longevidade do rolamento é dada por: 
𝐿 =
60 × 𝑛 × 𝐿ℎ
106
=
60 × 37.93 × 3942
106
= 8.97 [𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠] 
 
Capacidade dinâmica será: 
𝐶 = 6933.67 × (8.97)0.3 = 13390.63 𝑁 ≈ 13.4𝐾𝑁 
 
 𝐶 = 13.4𝐾𝑁 < [ 𝐶 ] = 91.5𝐾𝑁: O rolamento resiste a cargas dinâmicas 
 
10.4 Cálculo da Capacidade Estática dos Rolamentos no Veio de Entrada 
 
𝐶0 = 𝑓0 × 𝑃0 
𝐹𝑎
𝐹𝑟
=
746.56
6933.67
= 0.11 ≤
1
2 × 𝑌0
=
1
2 × 0.81
= 0.62 
𝑃 = 𝐹𝑟 = 6933.67 𝑁 
Capacidade estática será: 
𝐶0 = 1.5 × 6933.67 = 10400.5𝑁 ≈ 10.4𝐾 como: 
𝐶0 = 10.4 𝐾𝑁 < [ 𝐶0] = 108𝐾𝑁: O rolamento resiste a cargas estáticas 
 
 
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61 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
 11. CÁLCULO TESTADOR DOS VEIOS DO REDUTOR 
 
Este cálculo é feito de modo a verificar a resistência dos veios e para tal pode ser feito através 
dos seguintes cálculos: 
 Cálculo de resistência à fadiga; 
 Cálculo de resistência à carga estática; 
 Cálculo de resistência à rigidez dos veios; 
 Calculo à resistência térmica. 
Geralmente os veios resistem a cargas estáticas e à vibrações para motores e redutores ,sendo 
esses dois cálculos dispensáveis. Os cálculos mais importantes que realmente precisam de ser 
considerados, são o cálculo de resistência a fadiga e a rigidez dos veios. Quanto a resistência 
térmica pode ser desprezada visto que trata-se de um redutor de engrenagens cilíndricas de 
dentes helicoidais cujos veios funcionam a temperaturas abaixo de 100°C 
Condição de resistência à fadiga 
𝑆 ≥ [𝑆] = 1,5 … 2,5 
𝑆 =
𝑆𝜎 × 𝑆𝜏
√𝑆𝜎
2 + 𝑆𝜏
2
 
𝑆𝜎 − É o coeficiente de segurança de resistência a fadiga para tensões de flexão; 
𝑆𝜏 − É o coeficiente de segurança de resistência a fadiga para tensões tangencias; 
𝑆𝜎 =
𝜎−1
𝜎𝑎 × 𝐾𝜎
𝐾𝑑 × 𝐾𝐹
+ 𝜓𝜎 × 𝜎𝑚
 
𝜎𝑎 − Amplitudes das tensões normais; 
𝜎𝑚 − Tensões normais médias; 
𝐾𝑑 − Coeficiente de rugosidades 
𝐾𝐹 − Coeficiente de escala; 
𝜓𝜎 − Coeficiente de sensibilidade do material a assimetria do ciclo de variação das tensões 
normais; 
𝜎−1 −Limite de fadiga a flexão do material; 
𝑆𝜏 =
𝜏−1
𝜏𝑎 × 𝐾𝜏
𝐾𝑑 × 𝐾𝐹
+ 𝜓𝜏 × 𝜏𝑚
 
𝜏𝑎 − Amplitudes das tensões tangenciais 
 
 
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62 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
11.1 Cálculo Testador De Resistência À Fadiga Do Veio De Entrada Do Redutor 
 
No veio de entrada o cálculo é feito na secção de engrenamento mais perigosa. 
 
Dados de entrada: 
Material do veio é o aço 40X 
Tratamento térmico é o melhoramento 
𝜎𝑟 = 834[𝑀𝑃𝑎] 
𝑀𝑓𝛴 = 339160,08[𝑁𝑚𝑚] 
𝑇 = 61358.88[𝑁𝑚𝑚] 
𝑑 = 48[𝑚𝑚] 
 
𝜎𝑎 =
𝑀𝑓𝛴
0.1 × 𝑑3
=
56194.26
0.1 × 433
= 7.07[𝑀𝑝𝑎] 
𝜎𝑚 = 0 
 
𝜏𝑎 = 𝜏𝑚 =
0,5 × 𝑇
0,2 × 𝑑3
=
0,5 × 61358.88
0,2 × 433
= 3.86[𝑀𝑝𝑎] 
 
𝜎−1 ≈ (0,4 … 0,5) × 𝜎𝑟 = 0,45 × 834 = 375.3[𝑀𝑝𝑎] 
 
𝜏−1 ≈ (0,2 … 0,3) × 𝜎𝑟 = 0,25 × 834 = 208.5[𝑀𝑝𝑎] 
 
O coeficiente 𝐾𝜎, 𝐾𝐹, 𝐾𝜏 𝑒 𝐾𝑑 tiram-se das tabelas e gráficos 7.6.3 de [5] onde: 
Da tabela tira-se: 
Para aço de liga (aço 40X) com ligeira concentração de tensões (linha 2) 
 
Para: 
𝐷/𝑑 = 43/35 = 1.22 𝑟/𝑑 = 2.5/35 = 0.07 
Tira-se: 𝐾𝜎 = 1.79 𝐾𝜏 = 1.36 
 
 
 
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63 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
Dos gráficos tira-se: 
 𝐾𝑑 = 0.8 e 𝐾𝐹 = 0.87 
Para aços de liga tem-se: 
𝜓𝜎 = 0.15 𝜓𝜏 = 0.1 
 
𝑆𝜎 =
𝜎−1
𝜎𝑎 × 𝐾𝜎
𝐾𝑑 × 𝐾𝐹
+ 𝜓𝜎 × 𝜎𝑚
=
375.3
7.07 × 1.79
0.8 × 0.87 + 0.15 × 0
= 20.64 
 
𝑆𝜏 =
𝜏−1
𝜏𝑎 × 𝐾𝜏
𝐾𝑑 × 𝐾𝐹
+ 𝜓𝜏 × 𝜏𝑚
=
208.5
3.86 × 1.36
0.8 × 0.87 + 0.1 × 3.86
= 26.3 
 
𝑆 =
𝑆𝜎 × 𝑆𝜏
√𝑆𝜎
2 + 𝑆𝜏
2
=
20.64 × 26.3
√20.642 + 26.32
= 16.23 > 1,5 
 
11.2 Cálculo Testador de Resistência à Fadiga do veio de Saída do Redutor 
 
O cálculo do coeficiente de segurança é feito para secção mais carregada do veio que é onde 
está apoiado pelo rolamento “D” 
 
Dados de entrada: 
Material do veio é o aço 40 
Tratamento térmico é o melhoramento 
𝜎𝑟 = 687[𝑀𝑃𝑎] 
𝑀𝑓𝛴 = 339160,08[𝑁𝑚𝑚] 
𝑇 = 306794.4[𝑁𝑚𝑚] 
𝑑 = 55[𝑚𝑚] 
 
 
𝜎𝑎 =
𝑀𝑓𝛴
0.1 × 𝑑3
=
339160.08
0.1 × 553
= 20.39[𝑀𝑝𝑎] 
𝜎𝑚 = 0 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
64 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
 
𝜏𝑎 = 𝜏𝑚 =
0,5 × 𝑇
0.2 × 𝑑3
=
0.5 × 306794.4
0.2 × 553
= 4.61[𝑀𝑝𝑎] 
 
𝜎−1 ≈ (0.4 … 0.5) × 𝜎𝑟 = 0.45 × 687 = 309.15[𝑀𝑝𝑎] 
 
𝜏−1 ≈ (0.2 … 0.3) × 𝜎𝑟 = 0.25 × 687 = 171.75[𝑀𝑝𝑎] 
 
O coeficiente 𝐾𝜎, 𝐾𝐹 , 𝐾𝑑 e 𝐾𝜏tiram-se das tabelas e gráficos 7.6.3 de [5] onde: 
Da tabela tira-se: 
Para aço sem liga (aço 40) com ligeira concentração de tensões (linha 2) 
Para: 
𝐷/𝑑 = 67/55 = 1.22 𝑟/𝑑 = 3/55 = 0.06 
Tira-se: 𝐾𝜎 = 1.85 𝐾𝜏 = 1.4 
Dos gráficos tira-se: 
 𝐾𝑑 = 0.68 e 𝐾𝐹 = 0.81 
Para aços de médio teor de carbono (aço C40) tem-se: 
𝜓𝜎 = 0.1 𝜓𝜏 = 0.05 
 
𝑆𝜎 =
𝜎−1
𝜎𝑎 × 𝐾𝜎
𝐾𝑑 × 𝐾𝐹
+ 𝜓𝜎 × 𝜎𝑚
=
309.15
20.39 × 1.85
0.68 × 0.81 + 0.1 × 0
= 19.96 
 
𝑆𝜏 =
𝜏−1
𝜏𝑎 × 𝐾𝜏
𝐾𝑑 × 𝐾𝐹
+ 𝜓𝜏 × 𝜏𝑚
=
171.75
4.61 × 1.40.68 × 0.81 + 0.05 × 4.61
= 14.37 
 
𝑆 =
𝑆𝜎 × 𝑆𝜏
√𝑆𝜎
2 + 𝑆𝜏
2
=
19.96 × 14.37
√19.962 + 14.372
= 11.66 > 1,5 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
65 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
11.3 Cálculo Testador de Carga Estática 
 
Este cálculo baseia-se na condição de resistência do veio por limitação da tensão equivalente, 
usando a quarta hipótese de resistência. 
𝜎𝑒𝑞 = √𝜎𝑓2 + 3 × 𝜏2 ≤ [𝜎], [𝑀𝑃𝑎] 
Onde: 
𝜎𝑒𝑞 − Tensão equivalente 
[𝜎] − Tensão admissível do material 
𝜎𝑓 − É a tensão de flexão 
𝜏 − É a tensão de cisalhamento 
 
11.3.1 Cálculo testador de carga estática no veio de entrada do redutor 
 
Para aço 40X com tratamento térmico de melhoramento, o limite de escoamento é 𝜎𝑒 =
540 𝑀𝑃𝑎 
 Calcula-se a tensão admissível por: 
[𝜎] = 0.8 × 𝜎𝑒 = 0.8 × 540 = 432[𝑀𝑝𝑎] 
Os valores de 𝜎𝑓 e 𝜏 foram calculados anteriormente onde: 
𝜎𝑓 = 𝜎𝑎 = 7.07 𝑀𝑃𝑎 
 𝜏 = 𝜏𝑓 = 3.86 MPa 
Logo tem-se: 
𝜎𝑒𝑞 = √𝜎𝑓2 + 3 × 𝜏2 = √7.072 + 3 × 3.862 = 9.73 [𝑀𝑝𝑎] 
 
 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
66 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
 
11.3.2 Cálculo testador de carga estática no veio de saída do redutor 
Para aço 40X com tratamento térmico de melhoramento, o limite de escoamento é 𝜎𝑒 =
392 𝑀𝑃𝑎 
 Calcula-se a tensão admissível por: 
[𝜎] = 0.8 × 𝜎𝑒 = 0.8 × 392 = 313.6[𝑀𝑝𝑎] 
Os valores de 𝜎𝑓 e 𝜏 foram calculados anteriormente onde: 
𝜎𝑓 = 𝜎𝑎 = 20.39 𝑀𝑃𝑎 
𝜏 = 𝜏𝑓 = 4.61 MPa 
Logo tem-se: 
𝜎𝑒𝑞 = √𝜎𝑓2 + 3 × 𝜏2 = √20.392 + 3 × 4.612 = 21.897 [𝑀𝑝𝑎] 
 
11.4 Cálculo Testador à Rigidez 
 
Este cálculo baseia-se na verificação das deflexões e deslocamentos do veio, então o critério 
de capacidade de trabalho será baseada na limitação das deflexões e deslocamentos, visto que 
deflexões e deslocamentos excessivos alteram a conjugação das transmissões o que afecta 
negativamente a transmissão. 
De acordo com informação supracitada deverão ser cumpridas as seguintes condições: 
𝑦 ≤ [𝑦] − Deslocamento elástico (flecha); 
𝜃 ≤ [𝜃] − Ângulo de deflexão; 
𝜑 ≤ [𝜑] − Ângulo de torção; 
Para engrenagens cilíndricas: 
[𝑦] ≈ 0,01 × 𝑚 
[𝑦] ≈ 0,01 × 𝑚 ≈ 0,01 × 2 ≈ 0,02 
[𝜃] = 0,001 𝑟𝑎𝑑 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
67 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
11.4.1 Cálculo testador à rigidez do veio de entrada do redutor 
 
Tabela 26-Determinação de condições de contorno e momentos em cada troço do veio de 
entrada do redutor 
Esquema de cálculo nos plano YZ e XY do veio de 
entrada do redutor 
Condições de contorno e Eq. de 
momentos em todos troços do veio 
 
𝑉2(𝑌𝑍)(𝑧2 = 0) = 0 
𝑉3(𝑌𝑍)(𝑧3 = 0) = 0 
𝑉′2(𝑌𝑍)(𝑧2 = 42.75) = −𝑉′3(𝑌𝑍)(𝑧3 = 42.75) 
𝑉2(𝑌𝑍)(𝑧2 = 42.75) = 𝑉3(𝑌𝑍) (𝑧3 = 42.75) 
 
𝑀(𝑌𝑍)(𝑧2) = −𝑧2𝑅𝐴𝑌 
 
𝑀(𝑌𝑍)(𝑧3) = −𝑧3𝑅𝐵𝑌 
 
𝑉1(𝑋𝑍)(𝑧1 = 60) = 𝑉2(𝑋𝑍)(𝑧2 = 0) 
𝑉′1(𝑋𝑍)(𝑧1 = 60) = 𝑉′2(𝑋𝑍)(𝑧2 = 0) 
𝑉1(𝑋𝑍)(𝑧1 = 60) = 0 
𝑉2(𝑋𝑍)(𝑧2 = 42.75) = 𝑉3(𝑋𝑍) (𝑧3 = 42.75) 
𝑉3(𝑋𝑍)(𝑧3 = 0) = 0 
 
 
𝑀(𝑋𝑍)(𝑧1) = −𝑧1𝐹𝑎𝑏 
𝑀(𝑋𝑍)(𝑧2) = 𝑧2𝑅𝐴𝑋 − 𝐹𝑎𝑏(60 + 𝑧2) 
𝑀(𝑋𝑍)(𝑧3) = −𝑧3𝑅𝐵𝑥 
 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
68 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
Momento de inércia em cada troço e módulo de elasticidade do veio 
𝐼1 =
𝜋 × 𝑑1
4
64
=
𝜋 × 304
64
= 39760.78 𝑚𝑚4 
𝐼2 = 𝐼3 =
𝜋 × 𝑑3
4
64
=
𝜋 × 484
64
= 260576.26 𝑚𝑚4 
𝐸 = 2 × 105 𝑀𝑃𝑎 
Plano XZ 
As funções de deslocamento 𝑉𝑛(𝑧𝑛) e inclinação 𝑉𝑛
′(𝑧𝑛) são determinadas pela integração da 
função 𝑉𝑛
′′(𝑧𝑛) = −
1
𝐸𝐼𝑛
𝑀(𝑧𝑛) em cada troço do veio. 
 
Determinação das funções de deslocamento e inclinação nos troços do veio 
Troço 1 
𝑉′1(𝑌𝑍)(𝑧2) = 0 
Troço 2 
𝑉′2(𝑌𝑍)(𝑧2) =
1
𝐸𝐼2
(639.16𝑧2
2 + 𝐶1) 
𝑉2(𝑌𝑍)(𝑧2) =
1
𝐸𝐼2
(213.05 𝑧2
3 + 𝐶1𝑧2 + 𝐶2) 
Troço 3 
𝑉′3(𝑌𝑍)(𝑧3) =
1
𝐸𝐼2
(639.16𝑧3
2 + 𝐶3) 
𝑉3(𝑌𝑍)(𝑧3) =
1
𝐸𝐼2
(213.05 𝑧3
3 + 𝐶3𝑧3 + 𝐶4) 
 
Aplicação das condições de contorno e cálculo dos coeficientes 
a. Para: 𝑽𝟐(𝒀𝒁)(𝒛𝟐 = 𝟎) = 𝟎 
𝐶2 = 0 
b. Para: 𝑽𝟑(𝒀𝒁)(𝒛𝟑 = 𝟎) = 𝟎 
𝐶4 = 0 
c. Para: 𝑽′𝟐(𝒀𝒁)(𝒛𝟐 = 𝟒𝟐. 𝟕𝟓) = −𝑽𝟑(𝒀𝒁)(𝒛𝟑 = 𝟒𝟐. 𝟕𝟓) 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
69 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
𝐶3 + 𝐶1 = −2336191.42 
d. Para: 𝑽𝟐(𝒀𝒁)(𝒛𝟐 = 𝟒𝟐. 𝟕𝟓) = 𝑽𝟑(𝒀𝒁) (𝒛𝟑 = 𝟒𝟐. 𝟕𝟓) 
𝐶1 = 𝐶3 = −1168095.7 
 
Determinação de inclinação e deslocamento no plano 
Inclinação no apoio A: 
𝜃𝐴(𝑌𝑍) = 𝑉2
′(𝑧2 = 0) =
1
𝐸𝐼2
(639.16𝑧2
2 + 𝐶1) 
𝜃𝐴(𝑌𝑍) =
1
𝐸𝐼2
(𝐶1) =
1
𝐸𝐼2
(−1168095.71) = −0.000022 𝑟𝑎𝑑 
O deslocamento no ponto da aplicação da força devida a engrenagem será dada por: 
𝑉2(𝑌𝑍)(𝑧2 = 42.75) =
1
𝐸𝐼2
(213.05 𝑧2
3 + 𝐶1𝑧2) 
Ou 
𝑉3(𝑌𝑍)(𝑧3 = 42.75) =
1
𝐸𝐼3
(213.05 𝑧3
3 + 𝐶3𝑧3) 
𝑉3(𝑌𝑍) = 𝑉2(𝑌𝑍) =
1
𝐸𝐼2
(−33290857.95) = −0.00069 𝑚𝑚 
Inclinação no apoio B: 
𝜃𝐵(𝑌𝑍) = 𝑉3
′(𝑧3 = 0) =
1
𝐸𝐼3
(639.16𝑧3
2 + 𝐶3) 
𝜃𝐵(𝑌𝑍) =
1
𝐸𝐼3
(𝐶3) =
1
𝐸𝐼3
(−1168095.71) = −0.000022 𝑟𝑎𝑑 
 
Plano XZ 
Determinação das funções de deslocamento e inclinação nos troços do veio 
Troço 1 
 
𝑉′1(𝑋𝑍)(𝑧1) =
1
𝐸𝐼1
(276.82𝑧1
2 + 𝐶1) 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
70 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
𝑉1(𝑋𝑍)(𝑧1) =
1
𝐸𝐼1
(92.27𝑧1
3 + 𝐶1𝑧1 + 𝐶2 ) 
Troço 2 
𝑉′2(𝑋𝑍)(𝑧2) =
1
𝐸𝐼2
(33218.4𝑧2 − 541.65𝑧2
2 + 𝐶3) 
𝑉2(𝑋𝑍)(𝑧2) =
1
𝐸𝐼2
(16609.2𝑧2
2 − 180.55𝑧2
3 + 𝐶3𝑧2 + 𝐶4) 
Troço 3 
𝑉′3(𝑋𝑍)(𝑧3) =
1
𝐸𝐼3
(56.43𝑧3
2 + 𝐶5) 
𝑉3(𝑋𝑍)(𝑧3) =
1
𝐸𝐼3
(18.81𝑧3
3 + 𝐶5𝑧3 + 𝐶6) 
 
Aplicação das condições de contorno e determinação dos coeficientes 
a. Para: 𝑽𝟏(𝑿𝒁)(𝒛𝟏 = 𝟔𝟎) = 𝑽𝟐(𝑿𝒁)(𝒛𝟐 = 𝟎) 
(19930320 + 60𝐶1 + 𝐶2) =
𝐼1
𝐼2
𝐶4 = 0.15𝐶4 
b. Para: 𝑽′𝟏(𝑿𝒁)(𝒛𝟏 = 𝟔𝟎) = 𝑽′𝟐(𝑿𝒁)(𝒛𝟐 = 𝟎) 
996552 + 𝐶1 = 
𝐼1
𝐼2
𝐶3 = 0.15 𝐶3 
c. Para: 𝑽𝟏(𝑿𝒁)(𝒛𝟏 = 𝟔𝟎) = 𝟎 
19930320 + 60𝐶1 + 𝐶2 = 0 de ‘a.” tira-se 𝐶4 = 0 
d. Para: 𝐕𝟐(𝐗𝐙)(𝐳𝟐 = 𝟒𝟐. 𝟕𝟓) = 𝐕𝟑(𝐗𝐙) (𝐳𝟑 = 𝟒𝟐. 𝟕𝟓) 
16248287.074 + 42.75𝐶3 = 1469593.26 + 42.75𝐶5 + 𝐶6 
e. Para: 𝑽′𝟐(𝑿𝒁)(𝒛𝟐 = 𝟒𝟐. 𝟕𝟓) = −𝑽′(𝑿𝒁)(𝒛𝟑 = 𝟒𝟐. 𝟕𝟓) 
𝐶3 + 430187.37187 = −103129.35 − 𝐶5 
f. Para : 𝑽𝟑(𝑿𝒁)(𝒛𝟑 = 𝟎) = 𝟎 
𝐶6 = 0 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
71 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
Tabela 27-Sistema de equações para determinação dos coeficientes das condições de contorno 
do veio de entrada do redutor 
 Sistema de equações Soluções dos coeficientes 
𝐶6 = 0 𝐶4 = 0 
𝐶6 = 0 
𝐶5 = −93808.14 
𝐶3 = −439508.58 
𝐶1 = −1062478.29 
𝐶2 = 43818377.22 
𝐶4 = 0 
60𝐶1 + 𝐶2 = −19930320 
𝐶1 − 0.15𝐶3 = −996552 
𝐶3 − 𝐶5 = −345700.44 
𝐶3 + 𝐶5 = −533316.72 
 
Determinação das inclinações e deslocamentos no plano 
O deslocamento no ponto da aplicação da força devida a correia será dada por: 
𝑉1(𝑋𝑍)(𝑧1 = 0) =
1
𝐸𝐼1
(92.27𝑧1
2 + 𝑧1𝐶1 + 𝐶2 ) =
1
𝐸𝐼1
(43818377.22) = 0.0055 mm 
Inclinação no apoio A: 
𝜃𝐴(𝑋𝑍) = 𝑉2
′(𝑧2 = 0) =
1
𝐸𝐼2
(33218.4𝑧2 − 541.65𝑧2
2 + 𝐶3) 
𝜃𝐴(𝑋𝑍) =
1
𝐸𝐼2
(𝐶3) =
1
𝐸𝐼2
(−439508.58) = −0.00049𝑟𝑎𝑑 
O deslocamento no ponto da aplicação da forca devida a engrenagem será dada por: 
V2(XZ)(z2 = 42.75) =
1
EI2
(16609.2z2
2 − 180.55z2
3 + C3z2) 
Ou 
𝑉3(𝑋𝑍)(𝑧3 = 42.75) =
1
𝐸𝐼2
(18.81z3
3 + 𝐶5z3) 
𝑉3(𝑋𝑍) = V2(XZ) =
1
𝐸𝐼2
(−2540704.72) = −0.000049 𝑚𝑚 
Inclinação no apoio B: 
𝜃𝐵(𝑋𝑍) = 𝑉3
′(𝑧3 = 0) =
1
𝐸𝐼2
(56.43z3
2 + 𝐶5) 
𝜃𝐵(𝑋𝑍) =
1
𝐸𝐼2(𝐶5) =
1
𝐸𝐼2
(−93808.14) = −0.0000018𝑟𝑎d 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
72 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
11.4.2 Cálculo testador à rigidez do veio de saída do redutor 
 
Tabela 28-Determinação de condições de contorno e momentos em cada troço do veio de saída 
do redutor 
Esquema de cálculo do plano YZ e XY Condições de contorno e Eq. de 
momentos 
 
𝑉1(𝑌𝑍)(𝑧1 = 0) = 0 
𝑉3(𝑌𝑍)(𝑧3 = 0) = 0 
𝑉1(𝑌𝑍)
′(𝑧1 = 38.25) = −𝑉3(𝑌𝑍)
′(𝑧3 = 38.25) 
𝑉1(𝑌𝑍)(𝑧1 = 38.25) = 𝑉3(𝑌𝑍) (𝑧3 = 38.25) 
 
 
𝑀𝑌𝑍(𝑧1) = −𝑧1𝑅𝐶𝑌 
 
𝑀𝑌𝑍(𝑧3) = 𝑧3𝑅𝐷𝑌 
 
 
𝑉1(𝑋𝑍)(𝑧1 = 0) = 0 
𝑉3(𝑋𝑍)(𝑧3 = 0) = 0 
𝑉2(𝑋𝑍)(𝑧2 = 84) = 0 
𝑉1(𝑋𝑍)(𝑧1 = 38.25) = 𝑉3(𝑋𝑍) (𝑧3 = 38.25) 
𝑉′1(𝑋𝑍)(𝑧1 = 38.25) = −𝑉′3(𝑋𝑍)(𝑧3 = 38.25) 
𝑉′2(𝑋𝑍)(𝑧2 = 84) = 𝑉′3(𝑋𝑍)(𝑧3 = 0) 
 
 
𝑀(𝑧1) = −𝑧1𝑅𝐶𝑋 
𝑀(𝑧2) = −𝑧2𝐹𝑣𝑒𝑖𝑜 
𝑀(𝑧3) = −𝑧3𝑅𝐷𝑋 − (84 + 𝑧3)𝐹𝑣𝑒𝑖𝑜 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
73 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
Plano YZ 
Momento de inércia em cada troço e módulo de elasticidade do veio 
𝐼2 =
𝜋 × 𝑑1
4
64
=
𝜋 × 474
64
= 239530.78 𝑚𝑚4 
𝐼1 = 𝐼3 =
𝜋 × 𝑑3
4
64
=
𝜋 × 674
64
= 989165.84 𝑚𝑚4 
𝐸 = 2 × 105 𝑀𝑃𝑎 
Determinação das funções de deslocamento e inclinação nos troços do veio 
Troço 1 
𝑉′1(𝑌𝑍)(𝑧1) =
1
𝐸𝐼1
(−639.16𝑧1
2 + 𝐶1) 
𝑉1(𝑌𝑍)(𝑧1) =
1
𝐸𝐼1
(−213.05 𝑧1
3 + 𝐶1𝑧1 + 𝐶2) 
Troço 3 
𝑉′2(𝑌𝑍)(𝑧1) =
1
𝐸𝐼3
(−639.16𝑧3
2 + 𝐶3) 
𝑉3(𝑌𝑍)(𝑧3) =
1
𝐸𝐼3
(−213.05 𝑧3
3 + 𝐶3𝑧3 + 𝐶4) 
Aplicação das condições de contorno 
a. Para: 𝑽𝟏(𝒀𝒁)(𝒛𝟏 = 𝟎) = 𝟎 
𝐶2 = 0 
b. Para: 𝑽𝟑(𝒀𝒁)(𝒛𝟑 = 𝟎) = 𝟎 
𝐶4 = 0 
c. Para: 𝑽′𝟏(𝒀𝒁)(𝒛𝟏 = 𝟑𝟖. 𝟐𝟓) = −𝑽′𝟑(𝒀𝒁)(𝒛𝟑 = 𝟑𝟖. 𝟐𝟓) 
𝐶1 + 𝐶3 = 1870262.06 
d. Para: 𝑽𝟏(𝒀𝒁)(𝒛𝟏 = 𝟑𝟖. 𝟐𝟓) = 𝑽𝟑(𝒀𝒁) (𝒛𝟑 = 𝟑𝟖. 𝟐𝟓) 
𝐶1 = 𝐶3 = 935131.03 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
74 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
Determinação das inclinações e deslocamentos no plano 
Inclinação no apoio C 
𝜃𝐶(𝑌𝑍) = 𝑉1
′(𝑧1 = 0) =
1
𝐸𝐼1
(639.16𝑧1
2 + 𝐶1) 
𝜃𝐶(𝑌𝑍) =
1
𝐸𝐼1
(𝐶1) =
1
𝐸𝐼1
(935131.03) = 0.0000047 𝑟𝑎𝑑 
O deslocamento no ponto da aplicação da força devida a engrenagem 
𝑉1(𝑌𝑍)(𝑧1 = 38.25) =
1
𝐸𝐼1
(213.05 𝑧1
3 + 𝐶1𝑧1) 
Ou 
𝑉3(𝑌𝑍)(𝑧3 = 38.25) =
1
𝐸𝐼3
(213.05 𝑧3
3 + 𝐶3𝑧3) 
𝑉3(𝑌𝑍)(𝑧3 = 38.25) = 𝑉1(𝑌𝑍)(𝑧1 = 38.25) =
1
𝐸𝐼3
(23846027.84) = 0.00012 𝑚𝑚 
Inclinação no apoio D: 
𝜃𝐷(𝑌𝑍) = 𝑉3
′(𝑧3 = 0) =
1
𝐸𝐼3
(639.16𝑧3
2 + 𝐶3) 
𝜃𝐷(𝑌𝑍) =
1
𝐸𝐼3
(𝐶3) =
1
𝐸𝐼3
(935131.03) = 0.0000047 𝑟𝑎𝑑 
Plano XZ 
Determinação das funções de deslocamento e inclinação nos troços do veio 
Troço 1 
𝑉′1(𝑋𝑍)(𝑧1) =
1
𝐸𝐼1
(1873.81𝑧1
2 + 𝐶1) 
𝑉1(𝑋𝑍)(𝑧1) =
1
𝐸𝐼1
(624.60𝑧1
3 + 𝐶1𝑧1 + 𝐶2 ) 
Troço 2 
𝑉′2(𝑋𝑍)(𝑧2) =
1
𝐸𝐼2
(1864.87𝑧2
2 + 𝐶3) 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
75 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
𝑉2(𝑋𝑍)(𝑧2) =
1
𝐸𝐼2
(621.62𝑧2
3 + 𝐶3𝑧2 + 𝐶4) 
 
 
Troço 3 
𝑉′3(𝑋𝑍)(𝑧3) =
1
𝐸𝐼3
(−1542.54𝑧3
2 + 313297.32𝑧3 + 𝐶5) 
𝑉3(𝑋𝑍)(𝑧3) =
1
𝐸𝐼3
(−514.18𝑧3
3 + 156648.66𝑧3
2 + 𝐶5𝑧3 + 𝐶6) 
Aplicação das condições de contorno 
a. Para: 𝑽𝟏(𝑿𝒁)(𝒛𝟏 = 𝟎) = 𝟎 
𝐶2 = 0 
b. Para: 𝑽𝟑(𝑿𝒁)(𝒛𝟑 = 𝟎) = 𝟎 
𝐶6 = 0 
c. Para: 𝑽𝟐(𝑿𝒁)(𝒛𝟐 = 𝟖𝟒) = 𝟎 
368436660.48 + 84𝐶3 + 𝐶4 = 0 
d. Para: 𝑽𝟏(𝑿𝒀)(𝒛𝟏 = 𝟑𝟖. 𝟐𝟓) = 𝑽𝟑(𝑿𝒀) (𝒛𝟑 = 𝟑𝟖. 𝟐𝟓) 
34953953.03 + 38.25𝐶1 = 38.25𝐶5 + 200412166.65 
𝐶1 − 𝐶5 = 4325704.93 
e. Para: 𝑽′𝟏(𝑿𝒁)(𝒛𝟏 = 𝟑𝟖. 𝟐𝟓) = −𝑽′𝟑(𝑿𝒁)(𝒛𝟑 = 𝟑𝟖. 𝟐𝟓) 
2741501.14 + 𝐶1 = −9726790.06 − 𝐶5 
𝐶1 + 𝐶5 = −12468291.20 
f. Para: 𝑽′𝟐(𝑿𝒁)(𝒛𝟐 = 𝟖𝟒) = 𝑽′𝟑(𝑿𝒁)(𝒛𝟑 = 𝟎) 
13158522.72 + 𝐶3 = 
𝐼2
𝐼3
𝐶5 = 0.24 𝐶5 
 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
76 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
Tabela 29-Sistema de equações para determinação dos coeficientes das condições de contorno 
do veio de entrada do redutor 
 Sistema de equações Soluções dos coeficientes 
𝐶6 = 0 𝐶4 = 0 
𝐶6 = 0 
𝐶5 = −93808.14 
𝐶3 = −439508.58 
𝐶1 = −1062478.29 
𝐶2 = 43818377.22 
𝐶2 = 0 
368436660.48 + 84𝐶3 + 𝐶4 = 0 
𝐶1 − 𝐶5 = 4325704.93 
𝐶1 + 𝐶5 = −12468291.20 
13158522.72 + 𝐶3 = 0.24 𝐶5 
 
 
Inclinação no apoio C 
𝜃𝐶(𝑋𝑍) = 𝑉′1(𝑋𝑍)(𝑧1 = 0) =
1
𝐸𝐼1
(1873.81𝑧1
2 + 𝐶1) 
𝜃𝐶(𝑋𝑍) =
1
𝐸𝐼1
𝐶1 =
1
𝐸𝐼1
(−4071293.14) = −0.00002 𝑟𝑎𝑑 
O deslocamento no ponto da aplicação da forca devida a engrenagem 
𝑉3(𝑋𝑍)(𝑧3 = 38.25) =
1
𝐸𝐼3
(−514.18𝑧3
3 + 156648.66𝑧3
2 + 𝐶5𝑧3 + 𝐶6) 
ou 
𝑉1(𝑋𝑍)(𝑧1 = 38.25) =
1
𝐸𝐼1
(624.60𝑧1
3 + 𝐶1𝑧1 + 𝐶2 ) 
𝑉3(𝑋𝑍)(𝑧3 = 38.25) = 𝑉1(𝑋𝑍)(𝑧1 = 38.25) =
1
𝐸𝐼1
(−120773007.23) = −0.00061 𝑚𝑚 
Deslocamento no ponto da aplicação da força devida a cadeia 
V2(XZ)(z2 = 0) =
1
𝐸𝐼2
(621.62z2
3 + 𝐶3z2 + 𝐶4) 
1
𝐸𝐼2
(𝐶4) =
1
𝐸𝐼2
(906162727.9) = 0.019𝑚𝑚 
Inclinação no apoio D: 
𝜃𝐷(𝑋𝑍) = 𝑉′3(𝑋𝑌)(𝑧3 = 0) =
1
𝐸𝐼3
(56.43𝑧3
2 + 𝐶3) 
 
 
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77 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
𝜃𝐷(𝑋𝑍) =
1
𝐸𝐼3
𝐶3 =
1
𝐸𝐼3
(−15173802.24) = −0.00031𝑟𝑎𝑑 
 
11.4.3 Deslocamentos resultantes (espaciais) nos veios 
 
Deslocamento espacial no veio de entrada do redutor 
I. Deslocamento no ponto médio da largura da roda dentada motora 
𝑉𝑒𝑛𝑔1(𝑥𝑦𝑧) = √[𝑉2(𝑌𝑍)(𝑧2 = 42.75)]
2
+ [𝑉2(𝑋𝑍)(𝑧2 = 42.75)]
2
= 
= √(−0.00069)2 + (0.000049)2 = 0.00007 𝑚𝑚 < [𝑦] 
II. Deslocamento no ponto da aplicação da força da correia (força em consola) 
A transmissão por correia só cria deslocamento do veio no plano XZ 
𝑉𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑖𝑎(𝑋𝑍) = 𝑉1(𝑋𝑍)(𝑧1 = 0) = 0.0055 mm 
III. Inclinação nos apoios A e D 
Apoio A 
𝜃𝐴(𝑋𝑌𝑍) = √𝜃𝐴(𝑦𝑧)
2 + 𝜃(𝐴𝑥𝑧)
2 = √[𝑉′2(𝑌𝑍)(𝑧2 = 0)]
2
+ [𝑉′2(𝑋𝑍)(𝑧2 = 0)]
2
 
√(−0.000022)2 + (−0.00049)2 = 0.00049𝑟𝑎𝑑 < [𝜃] 
Apoio B 
𝜃𝐵(𝑋𝑌𝑍) = √𝜃𝐵𝑦𝑧
2 + 𝜃𝐵𝑥𝑧
2 == √[𝑉′3(𝑌𝑍)(𝑧3 = 0)]
2
+ [𝑉′3(𝑋𝑍)(𝑧3 = 0)]
2
 
√(−0.000022)2 + (−0.0000018)2 = 0.000022𝑟𝑎𝑑 < [𝜃] 
 
Deslocamento espacial no veio de saída do redutor 
I. Deslocamento no ponto médio da largura da rada dentada movida 
𝑉𝑒𝑛𝑔2(𝑥𝑦𝑧) = √[𝑉3(𝑌𝑍)(𝑧3 = 38.25)]
2
+ [𝑉3(𝑋𝑍)(𝑧3 = 38.25)]
2
 
√(0.00012)2 + (−0.00061)2 = 0.00062 𝑚𝑚 < [𝑦] 
 
 
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78 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
II. Inclinações resultantes nos apoios C e D 
𝜃𝐶(𝑋𝑌𝑍) = √𝜃𝐵(𝑦𝑧)
2 + 𝜃𝐵(𝑥𝑧)
2 == √[𝑉′1(𝑌𝑍)(𝑧1 = 0)]
2
+ [𝑉′1(𝑋𝑍)(𝑧1 = 0)]
2
= 
= √(0.0000047)2 + (−0,00002)2 = 0.000002 𝑟𝑎𝑑 < [𝜃] 
 
𝜃𝐷(𝑋𝑌𝑍) = √𝜃𝐷(𝑦𝑧)
2 + 𝜃𝐷(𝑥𝑧)
2 = √[𝑉′3(𝑌𝑍)(𝑧3 = 0)]
2
+ [𝑉′3(𝑋𝑍)(𝑧3 = 0)]
2
= 
= √0.000122 + (−0,00061)2 = 0.00062 𝑟𝑎𝑑 < [𝜃] 
 
III. Deslocamento no ponto da aplicação da força da cadeia (força em consola) 
A transmissão por cadeia só cria deslocamento do veio de saída do redutor no plano XZ 
𝑦𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑎(𝑋𝑍) = 𝑉2(𝑋𝑍)(𝑧2 = 0) = 0.019 mm < [𝑦] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
79 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
12. CÁLCULO TESTADOR DOS VEIOS À VIBRAÇÃO 
 
 
Visto que os veios funcionam em rotação, eles estão suscetíveis a vibrações que podem causar 
ressonância, então o veio deve funcionar com número de rotações que não causem ressonância 
nos veios. 
Cálculo testador de vibrações consiste em determinar a frequência de rotação crítica do veio e 
compara-la à frequência de funcionamento da mesmo. 
Como forma de limitar as vibrações do veio a frequência de funcionamento deve estar fora da 
faixa de ressonância do veio, que representa ±30% da frequência crítica do veio. De acordo 
com a fig 21. dependo da relação entre o número derotações de funcionamento e o número de 
rotações críticos usam-se as seguintes condições: 
Condição 1: 𝑛 < 𝑛𝑐𝑟 tem de se verificar a seguinte condição ∶ 𝑛 < 0.7 × 𝑛𝑐𝑟 
Condição 2: 𝑛 > 𝑛𝑐𝑟 tem de se verificar a seguinte condição ∶ 𝑛 < 1.3 × 𝑛𝑐𝑟 
 
Figura 21-Esquema de frequências de rotações admissíveis no veio devida a ressonância 
 
𝑛𝑐𝑟 =
30
𝜋
√
𝑘
𝑚
, [𝑟𝑝𝑚] 
Sendo que 𝑘 =
𝑚×𝑔
𝑦𝑒𝑠𝑡
 
Onde: 
𝑘 − Constante de rigidez do veio; 
𝑚 −Massa do veio; 
𝑦 −Flecha na condição de forças estáticas; 
 
 
 
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12.1 Cálculo de Resistência à Vibrações do Veio de Entrada do Redutor 
 
Nota-se que o veio de entrada do redutor tem uma construção e montagem rígida, o que reduz 
a possibilidade de ocorrência de vibrações, no entanto, os cálculos serão feitos em jeito de 
confirmação da não ocorrência de vibrações no veio. 
12.1.1 Cálculo da flecha na condição de cargas estáticas 
A flecha do veio pinhão pelo peso próprio usando na equação da linha elástica (figura 24). 
Tem-se a seguinte solução: 
 
Figura 22-Esquema de Carregamento do veio pelo peso próprio 
𝑌𝑚𝑎𝑥 =
𝑃 × 𝐿3
48 𝐸𝐼
=
𝑚 × 𝑔 × 𝐿3
48 𝐸𝐼
 
Onde: 
P- é o peso do veio considerando-o homogéneo; 
L- é o comprimento do vão suspenso do veio; 
 
Volume do veio 
𝑉 =
𝜋 × ∑ 𝑑𝑖
2 × 𝑙𝑖
4
 
Onde: 
𝑑𝑖 −É o diâmetro do escalão 
𝑙𝑖 −É o comprimento do escalão 
𝑉 =
𝜋 × ∑ 𝑑𝑖
2 × 𝑙𝑖
4
=
𝜋
4
× (302 × 36 + 352 × 48.25 + 482 × 73 + 352 × 24.25)
= 227297.76 𝑚𝑚3 
 
 
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Massa do veio 
𝑚 = 𝜌 × 𝑉 = 7810 × 227297.76 × 10−9 = 1.78 𝑘𝑔 
Flecha na condição de forças estáticas Frequência crítica do veio 
𝑌𝑚𝑎𝑥 =
1.78 × 9.81 × 145.53
48 × 2 × 105 × 260576.26
= 0.000021 𝑚𝑚 
𝐼 =
𝜋 × 𝑑4
64
=
𝜋 × 484
64
= 260576.26 𝑚𝑚4 
12.1.2 Cálculo da constante de rigidez do veio 
 
𝑘 =
𝑚 × 𝑔
𝑌𝑒𝑠𝑡
=
1.78 × 9.81
0.000021
= 831514.28 𝑁/𝑚𝑚 
Pelo valor de k, nota-se que o veio é bastante rígido 
12.1.3 Número de rotações críticas do veio pinhão 
𝑛𝑐𝑟 =
30
𝜋
√
832514.28
1.78
= 6530.66 [𝑟𝑝𝑚] 
Como: 𝑛2 = 189.66 𝑟𝑝𝑚 < 𝑛𝑐𝑟 usa-se a condição 1 da fig. 22 (𝑛2 < 0.7 × 𝑛𝑐𝑟) 
𝑛2 = 189.66 [𝑟𝑝𝑚] < 0.7 × 𝑛𝑐𝑟 = 4571.46[𝑟𝑝𝑚] O que significa que não há vibrações 
consideráveis 
 
12.2 Cálculo de Resistência à Vibrações do Veio de Saída do Redutor 
 
O veio de saída do redutor apresenta uma construção e montagem mais rígida que o veio de 
entrada o que significa que não há vibrações como foi determinado no cálculo anterior, mas 
por se tratar de um projecto didático será feito o cálculo para fortalecimento da teoria. 
12.2.1 Cálculo da flecha na condição de cargas estáticas 
A flecha do veio de alta flecha pelo peso próprio é calculada analogamente ao ponto 12.1.1 e 
tem-se a seguinte solução: 
𝑌𝑚𝑎𝑥 =
𝑃 × 𝐿3
48 𝐸𝐼
=
𝑚 × 𝑔 × 𝐿3
48 𝐸𝐼
 
 
 
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Volume do veio 
𝑉 =
𝜋 × ∑ 𝑑𝑖
2 × 𝑙𝑖
4
=
=
𝜋
4
× (472 × 60 + 552 × 55.75 + 672 × 53 + 742 × 10 + 552 × 32.75)
= 544225.56 𝑚𝑚3 
Massa do veio 
𝑚 = 𝜌 × 𝑉 = 7810 × 544225.56 × 10−9 = 4.25𝐾𝑔 
Flecha na condição de forças estáticas frequência crítica do veio 
𝑌𝑚𝑎𝑥 =
4.25 × 9.81 × 160.53
48 × 2 × 105 × 989165.84
= 0.000018𝑚𝑚 
𝐼 =
𝜋 × 𝑑4
64
=
𝜋 × 674
64
= 989165.84 𝑚𝑚4 
12.2.2 Cálculo da constante de rigidez do veio 
 
𝑘 =
𝑚 × 𝑔
𝑌𝑒𝑠𝑡
=
4.25 × 9.81
0.000018
= 2316250 𝑁/𝑚𝑚 
Pelo valor de k, nota-se que o veio é bastante rígido 
 
12.2.3 Número de rotações críticas do veio pinhão 
𝑛𝑐𝑟 =
30
𝜋
√
2316250
4.25
= 7049.68 [𝑟𝑝𝑚] 
Como: 𝑛3 = 37.93 𝑟𝑝𝑚 < 𝑛𝑐𝑟 Usa-se a condição 1 da fig. 24 (𝑛3 < 0.7 × 𝑛𝑐𝑟) 
𝑛2 = 37.93 [𝑟𝑝𝑚] < 0.7 × 𝑛𝑐𝑟 = 4934.78[𝑟𝑝𝑚] O que significa que não há vibrações 
consideráveis 
 
 
 
 
 
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13. ESCOLHA DAS CHAVETAS E CÁLCULO DE CONTROLO DA 
TENSÃO DE ESMAGAMENTO. 
 
As chavetas são elementos de máquinas que servem para a transmissão de movimento (torque) 
entre o veio e o cubo. Elas apresentam formas variadas, desde chavetas meia-lua, de cunha, 
woodruff, etc. e para o projecto serão usadas as chavetas prismáticas. 
O cálculo das chavetas baseia-se na escolha das chavetas com base no diâmetro do veio onde 
se acomoda e pelo critério de capacidade de trabalho baseado na limitação das tensões de 
esmagamento. 
 
Figura 23-Representação dos principais parâmetros da chaveta prismática 
 
𝜎𝑒𝑠𝑚 =
4 × 𝑇
ℎ × 𝑑 × 𝑙𝑐
≤ [𝜎𝑒𝑠𝑚] 
𝑙𝑐 = 𝑙 − 2 × 𝑅 
Onde: 
T – Torque (N.mm) 
h- Largura da chaveta (mm) 
d- Diâmetro do veio onde é alojada a chaveta (mm) 
l- Comprimento da chaveta (mm) 
 
 
 
 
 
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13.1 Chaveta do Veio do Motor elétrico 
 
Tabela 30-Dimensões da chaveta da polia motora do veio do motor eléctrico 
D (mm) b(mm) h (mm) r (mm) t1 (mm) t2 (mm) L(mm) 
22 8 7 0.25 4 3.3 25 
 
Cálculo de controlo da tensão de esmagamento na chaveta da chaveta 
𝜎𝑒𝑠𝑚 =
4 × 13.28 × 103
7 × 22 × 28
= 12.32 𝑀𝑃𝑎 ≤ [𝜎𝑒𝑠𝑚] 
Sendo, [𝜎𝑒𝑠𝑚] = 80 … 150 𝑀𝑃𝑎 
Esta chaveta resiste às tensões de esmagamento. 
13.2 Chaveta da Polia Movida do Veio de Entrada do redutor 
 
Tabela 31-Dimensões da chaveta da polia movida do veio de entrada do redutor 
D (mm) b(mm) h (mm) r (mm) t1 (mm) t2 (mm) L(mm) 
30 10 8 0.4 5 3.3 24 
 
Cálculo de controlo da tensão de esmagamento na chaveta 
𝜎𝑒𝑠𝑚 =
4 × 61.43 × 103
8 × 30 × 24
= 62.66 𝑀𝑃𝑎 ≤ [𝜎𝑒𝑠𝑚] 
Esta chaveta resiste às tensões de esmagamento. 
13.3 Chaveta para Engrenagem Movida do Veio de Saída do Redutor 
Tabela 32-Dimensões da chaveta da engrenagem movida do veio de saída do redutor 
D (mm) b(mm) h (mm) r (mm) t1 (mm) t2 (mm) L(mm) 
67 20 12 0.6 7.5 4.9 45 
 
Cálculo de controlo da tensão de esmagamento na chaveta 
𝜎𝑒𝑠𝑚 =
4 × 302.14 × 103
12 × 67 × 45
= 33.4 𝑀𝑃𝑎 ≤ [𝜎𝑒𝑠𝑚] 
 
 
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Esta chaveta resiste às tensões de esmagamento 
 
13.4 Chaveta para a Roda Estrelada Motora no Veio de Saída do Redutor 
Tabela 33-Dimensões da chaveta da roda esrelada movida do veio de saída do redutor 
D (mm) b(mm) h (mm) r (mm) t1 (mm) t2 (mm) L(mm) 
47 14 9 0.4 5.5 3.8 45 
 
Cálculo de controlo da tensão de esmagamento na chaveta 
𝜎𝑒𝑠𝑚 =
4 × 302.14 × 103
9 × 47 × 45
= 63.5 𝑀𝑃𝑎 ≤ [𝜎𝑒𝑠𝑚] 
Esta chaveta resiste às tensões de esmagamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14. CONSTRUÇÃO DO CORPO DO REDUTOR 
 
Tabela 34-Resultados da cálculo do projecto do corpo do redutor 
Nr Parâmetro Fórmula Valor 
1 Espessura da parede do 
redutor 
𝛿 ≈ 0.025𝑎𝑤 + (1 … 5) 
 
6.6 𝑚𝑚 
 
2 Espessura da parede da 
tampa do redutor 
𝛿1 ≈ 0.02𝑎𝑤 + (1 … 5) 5.88 𝑚𝑚 
3 Espessura dos rebordos do 
corpo. 
𝑆 ≈ 1.5𝛿 9.9 𝑚𝑚 
4 Espessura dos rebordos da 
tampa 
𝑆1 ≈ 1.5𝛿1 8.8 𝑚𝑚 
5 Espessura das patas do 
redutor 
𝑡 ≈ (2 … 2.5)𝛿 16.5 𝑚𝑚 
6 Espessura das nervuras de 
reforço 
𝐶 ≈ 0.85 𝛿 5.61 𝑚𝑚 
7 Diâmetro dos parafusos do 
fundamento 
𝑑𝑓 ≈ (1.5 … 2.5) 15.77 𝑚𝑚 (M16) 
8 Largura da flange de 
fixação do redutor no 
fundamento 
𝐾1 ≥ 2.1𝑑𝑓 33.12 𝑚𝑚 
9 Diâmetro dos parafusos de 
fixação da tampa do 
redutor 
𝑑𝑡 ≈ (0.5 … 0.6)𝑑𝑓 = 12.38 7.89 𝑚𝑚 (M8) 
10 Largura das flanges que 
unem o corpo do redutor à 
tampa do redutor na zona 
de rolamentos 
𝑘 ≈ 3𝑑𝑡23.67 𝑚𝑚 
11 Diâmetro dos parafusos 
que unem a tampa e corpo 
do redutor na zona de 
rolamentos. 
𝑑𝑡.𝑐.𝑟 ≈ (0.7 … 1.4)𝛿 11.82 𝑚𝑚 (M12) 
12 Diâmetro dos parafusos de 
fixação das tampas de 
rolamentos 
Tampa normalizada 
GOST 18512-73 e GOST 18511-73 
 
 
𝑀10 𝑒 𝑀8 
 
Tampa maior e menor 
respectivamente 
13 Diâmetro dos pinos de 
centragem 8 … 10𝑚𝑚 
 
8𝑚𝑚 
14 Diâmetro dos parafusos da 
tampa de inspecção 6 … 10𝑚𝑚 
6 𝑚𝑚 
15 Diâmetro da rosca do 
bujão 
𝑑𝑏 ≈ (1.6 … 2.2)𝛿 12.54 𝑚𝑚 (𝑀12) 
16 Folga lateral entre a 
parede e roda movida 
𝑦 ≈ (0.5 … 1.5)𝛿 9.9 𝑚𝑚 
 
 
 
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15. DESIGNAÇÃO DO SISTEMA DE LUBRIFICAÇÃO DAS 
ENGRENAGENS E CONJUNTO DE ROLAMENTOS 
 
A lubrificação é muito importante para a melhoria do desempenho da transmissão. Uma 
lubrificação deficiente pode causar gripagem da transmissão devido ao atrito seco que faz com 
que as micropartículas das superfícies em contacto adiram umas às outras, aumentar as perdas 
de energia mecânica devido ao atrito o que gera calor, tem que se escolher um lubrificante 
adequado e ocupar um volume suficiente no fundo do redutor para desempenhar a sua função. 
 
15.1 Lubrificação das Engrenagens 
 
A lubrificação do redutor do presente projecto é feita de modo contínuo,empregando óleos 
líquidos em cárter. Este método, lubrificação por mergulho em banho de óleo, é praticável para 
velocidades periféricas de 0.3 a 12.5m/s. Para redutores monoescalares o banho de óleo contém 
0.4…0.8 litro/kw. 
15.1.1 Altura do óleo no redutor 
A altura do óleo do redutor é calculada através na seguinte fórmula: 
𝐻 =
𝑟2
3
=
120
3
= 53.33𝑚𝑚 
Pode-se aproximar a 𝐻 = 54𝑚𝑚 
Este valor deve ser posteriomente avaliado (no desenho do redutor) respeitando as condições 
de mergulho da roda dentada maior 
A seguir são dadas as condições admissíveis de mergulho para redutores cilíndricos: 
Para a roda maior: 𝑚 ≤ ℎ𝑚𝑖𝑛 ≤ 0.25 × 𝑑2 
Este valor deve ser posteriomente avaliado (no desenho do redutor) respeitando as condições 
de mergulho da roda dentada maior 2 𝑚𝑚 ≤ ℎ𝑚𝑖𝑛 ≤ 60 𝑚𝑚 
15.1.2 Determinação da viscosidade do óleo e escolha do óleo 
Segundo recomendações de [7] tabela da pág. 2, para uma transmissão dentada em função da 
velocidade linear de contacto (𝑉 = 0.48𝑚/𝑠 ) e a tensão de contacto (𝜎𝐻 = 396.75 Mpa) a 
viscosidade cinemática é de 68𝑐𝑆𝑡 = 68 𝑚𝑚2/𝑠. Do catálogo da CADIUM escolhe-se o óleo 
Sintético SYNTH 12.000 
 
 
 
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15.2 Lubrificação Da Transmissão Cadeia 
 
A transmissão por cadeia é colocada em um cárter fechado que vai conter o óleo lubrificante 
no seu interior garantindo uma lubrificação continua nos diversos da cadeia e posteriormente 
das rodas estreladas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
89 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
16. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 
 
O accionamento do presente trabalho foi projectado para um transportador de cadeia que 
funciona em uma instalação de fundição. Os dados iniciais do projecto foram a base da 
realização do trabalho, apoiadas por decisões técnicas e recomendações dos manuais indicados 
nas referências bibliográficas. 
Por tanto, foi possível projectar um accionamento complecto do transportador, tendo-se 
inicialmente escolhido o motor e se dimensionado as diversas transmissões constituintes, o que 
permitiu a elaboração dos desenhos de fabrico e ilustrativos. 
O transportador possui uma velocidade linear de 9m/min, que se considera uma velocidade 
muito baixa, o que por sua vez, fornece uma relação de transmissão geral grande. Neste caso o 
redutor monoescalor de ECDH não é muito conveniente devido a limitação da relação de 
transmissão, o que exigiu a colocação de mais uma transmissão (transmissão por cadeia) 
aumentando os elementos e dimensões do acionamento. Por tanto, recomendaria o uso de um 
redutor que possibilite maior redução da velocidade (redutor de parafuso sem fim, ou com mais 
escalões) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PM-Projecto de um Accionamento de um Transportador de Cadeia 
90 Gaita, Adelino Hawa Mendes 2019 
17. REFERÊNCIAS 
[1] SITOE, Rui Vasco; IATSINA, I. V.; Guia para o Cálculo Cinemático de 
Accionamentos; Departamento de Engenharia Mecânica – Universidade Eduardo Mondlane; 
Moçambique; Maputo; 1996. 
[2] SITOE, Rui Vasco: Fichas de apontamentos teóricos de Órgãos de Máquinas I e II; 
Departamento de Engenharia Mecânica - Universidade Eduardo Mondlane; Maputo, 2005. 
[3] SITOE, Rui Vasco; IATSINA, I. V.; Cálculo de Transmissões por Engrenagens; 
Departamento de Engenharia Mecânica - Universidade Eduardo Mondlane; Maputo, 2ª edição 
2005. 
[4] KURMAZ, L.V, SKOIBEDA, A.T.; Projecto de Peças de Máquinas, 2ª edição, Rússia; 
2005. 
[5] RESHETOV, D. N.; Atlas de Construção de Máquinas; Vol I,II,III, Renovada Livros 
[6] SITOE, Rui Vasco: Projectos dos veios do redutor; Departamento de Engenharia 
Mecânica - Universidade Eduardo Mondlane; Maputo, 2006. 
 [7] [SITOE, Rui Vasco: Lubrificação; Departamento de Engenharia Mecânica - Universidade 
Eduardo Mondlane; Maputo, 2011. 
[8] DIAS, Artur Carlos; SITOE, Rui Vasco: Fundamentos de accionamentos; Departamento 
de Engenharia Mecânica - Universidade Eduardo Mondlane; Maputo, 2009. 
[9] SITOE, Rui Vasco: projecção para a produção ; Departamento de Engenharia Mecânica 
- Universidade Eduardo Mondlane; Maputo, 1995. 
[10] FAG; Catálogo WL 41 520/3 PB, Rolamentos; Alemanha,1999. 
[11] SENQCIA; Catálogo SQC-E-B/812 (TP) 0.5, Conveyor Chains; Shangai, 2018.