Prévia do material em texto

Derivada 
�⃑� ′(𝑡) = 𝑓′(𝑡)𝑖̂ + 𝑔′(𝑡)𝑗 ̂
 
Integral 
∫�⃑� (𝑡) = 𝑖̂ ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑗̂ ∫𝑔(𝑡)𝑑𝑡 
 
Norma da derivada 
‖�⃑� ′(𝑡)‖ = √[𝑓′(𝑡)]2 + [𝑔′(𝑡)]2 + [ℎ′(𝑡)]2 
 
Comprimento de arco 
𝐿 = ∫ ‖�⃑� ′(𝑡)‖𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
 
Vetor unitário tangente a uma curva 
�⃑� (𝑡) =
�⃑� ′(𝑡)
‖�⃑� ′(𝑡)‖
 
 
Vetor unitário normal a uma curva 
�⃑⃑� (𝑡) =
�⃑� ′(𝑡)
‖�⃑� ′(𝑡)‖
 
 
Vetor curvatura de uma circunferência 
�⃑⃑� (𝑡) =
�⃑� ′(𝑡)
‖�⃑� ′(𝑡)‖
 
 
Curvatura de uma circunferência 
𝐾(𝑡) = ‖
�⃑� ′(𝑡)
‖�⃑� ′(𝑡)‖
‖ 
 
Raio da curvatura de uma circunferência 
𝜌(𝑡) =
1
𝐾(𝑡)
 
 
Gradiente 
∇𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
[
 
 
 
 
𝜕𝐹
𝜕𝑥⁄
𝜕𝐹
𝜕𝑦⁄
𝜕𝐹
𝜕𝑧⁄ ]
 
 
 
 
 
Divergente 
∇ ∙ 𝐹 =
𝜕𝑀
𝜕𝑥
+
𝜕𝑁
𝜕𝑦
+
𝜕𝑃
𝜕𝑧
 
 
Rotacional 
∇ × 𝐹 = |
𝑖̂ 𝑗̂ �̂�
𝜕
𝜕𝑥⁄
𝜕
𝜕𝑦⁄
𝜕
𝜕𝑧⁄
𝑀 𝑁 𝑃
| 
 
Campo vetorial conservativo 
∇ × 𝐹 = 0 
 
Parametrização de curvas 
Elipse 
(sentido 
horário) 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 
𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 
𝑦 = −𝑏 sin 𝑡 
0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
Elipse 
(sentido anti-
horário) 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 
𝑦 = 𝑏 sin 𝑡 
0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
y como 
função de x 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 
𝑥 = 𝑡 
𝑦 = 𝑓(𝑡) 
x como 
função de y 
𝑥 = 𝑔(𝑡) 
𝑥 = 𝑔(𝑡) 
𝑦 = 𝑡 
Segmento de 
reta 
de (x0, y0, z0) 
a (x1, y1, z1) 
𝑥 = (1 − 𝑡)𝑥0 + 𝑡𝑥1 
𝑦 = (1 − 𝑡)𝑦0 + 𝑡𝑦1 
𝑧 = (1 − 𝑡)𝑧0 + 𝑡𝑧1 
0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
 
Integral de linha em campo escalar 
∮𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓(ℎ(𝑡), 𝑔(𝑡))‖�⃑� ′(𝑡)‖𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
 
Integral de linha em campo vetorial 
𝑊 = ∫ [𝑀(𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡)) 𝑁(𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡))] [
𝑓′(𝑡)
𝑔′(𝑡)
] 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
𝑊 = ∫ 𝐹 (�⃑� (𝑡))
𝑏
𝑎
∙ �⃑� ′(𝑡)𝑑𝑡 
 
Teorema de Green 
∮𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∬ (
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
)𝑑𝐴
𝑅
 
 
Teorema da divergência de Gauss 
∮𝐹 ∙ �⃑⃑� 𝑑𝑠 = ∬ 𝑑𝑖𝑣𝐹 𝑑𝐴
𝑅
 
 
Teorema de Stokes 
∮𝐹 ∙ �⃑� 𝑑𝑠 = ∬ 𝑟𝑜𝑡𝐹 ∙ �⃑� 𝑑𝐴
𝑅