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SÉRIES DE POTÊNCIA 
SÉRIES DE POTÊNCIA
   Nosso objetivo, neste artigo, é estudar as séries de potências, pois queremos "escrever" determinadas funções importantes do cálculo como séries de potência. É muito útil esse conteúdo, pois imagine uma função que não tem como resolver através dos procedimentos que estudamos, podemos tentar transforma-la em séries e achar seu resultado, ou seja, tentamos achar um resultado numérico para ela, através das técnicas que estudamos até aqui.
    OBSERVAÇÃO: Para o índice usarei n, no entanto podemos usar qualquer letra que não altera nossos cálculos. Nos artigos anteriores o índice está como k.
SÉRIES DE POTÊNCIAS
  TEOREMA 1: Uma série de potências centrada em x = a é uma série da forma:
   No qual a, C0 , C1 , C2, C3, ....  são constantes e x é variável.
  OBSERVAÇÃO: Note que para cada valor de x fixado, a série de potência torna-se uma série numérica que pode convergir ou não.
    Nosso objetivo inicial é verificar quais valores de x tornam uma determinada série de potência convergente.
     Quando x = a, todos os termos são 0 para n ≥ 1, e a série de potências sempre converge quando x = a.
EXEMPLO 1:  Considere a série de potências  tal que Cn =1 para todo n e a = 0.
RESOLUÇÃO:
    Observe que temos uma série geométrica em que a razão é x (série geométrica vista em séries infinitas III).
   Portanto, obtemos:
  A série de potências converge para todos os valores de x tal que |x| < 1, ou seja, -1 < x < 1. 
  A série de potências diverge para x ≥ 1.
EXEMPLO 2: Pra quais valores de x a série  é convergente?
RESOLUÇÃO:
   Usarei o teste da razão para a convergência absoluta (teorema 11 - séries infinitas III) para verificar os valores que x converge.
   Se x = 0, veja que o resultado ficou 0 . ∞ que é uma forma indeterminada, reescrevi a equação e calculei, logo pelo teste do teorema 11, quando c < 1 a série converge se x = 0 e se x ≠ 0 o limite dará sempre infinito e a série divergirá.
EXEMPLO 3: Para quais valores de x a série converge?
RESOLUÇÃO:
     Usarei o teste da razão para a convergência absoluta (teorema 11 - séries infinitas III) para verificar os valores que x converge.
     Substitui n por x para aplicar L'Hôpital para achar o limite, logo meu c = |x - 3|, e pelo teorema 11 do teste a série só converge para c < 1, portanto |x - 3| < 1, observe abaixo
   Resumindo a série  é convergente para x ∈ (2,4). Falta testar o que acontece para x = 2 e x = 4, testar os extremos.
* Para x= 2 , no exemplo do teorema 9 em séries infinitas II testamos esta série, uma série harmônica alternada e pelo teste da série alternada ela converge.
*Para x = 4,  é uma série harmônica ou uma série p (teorema 3 em séries infinitas III) com p = 1, portanto divergente.
     CONCLUSÃO FINAL: O intervalo de convergência da série é [2,4), ou seja, para 2 ≤ x < 4 a série converge.
TEOREMA 2: Para uma série de potências  existem apenas 3 possibilidades: 
1) A série converge apenas quando x = a e seu raio de convergência é 0, R =0.
2) A série converge para todo x . (O intervalo de convergência é (-∞,+∞), seu raio de convergência é ∞, R = ∞).
3)  Existe R > 0 tal que a série converge se |x - a| < R e diverge se |x - a| > R. (Observe que nesse caso R é chamado de raio de convergência e por isso temos que testar os extremos para ver o ponto no extremo diverge ou converge, veja o quadro abaixo para melhor compreensão)
EXEMPLO 1: Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série .
RESOLUÇÃO:
A série pode ser descrita como:
   Usarei o teste da razão para a convergência absoluta (teorema 11 - séries infinitas III) para verificar os valores que x converge.
   Dividi por n ambos os termos dentro da raiz para simplificar e não alterar a solução. c = 3 . |x|, sabemos que para convergir pelo teorema 11, 3 . |x| < 1 e diverge se 3 . |x| > 1. Observe abaixo, o raio de convergência é igual a 1/3, ou seja, R = 1/3.
   Possuo o intervalo de convergência da série -1/3 < x < 1/3, falta verificar os extremos x = -1/3 e x = 1/3.
* x = -1/3, a série é igual a .
    Para testar se a série converge, podemos usar o teste da série p (teorema 3 em séries infinitas III), pois é uma série p com p = 1/2, portanto divergente (somando 1 no índice, diminui um na equação na parte em que possui o índice n).
* x = 1/3, a série é igual a: .
   É uma série alternada. Para testar se a série converge, podemos usar o teste de Leibniz (teorema 9 em séries infinitas III):
   Satisfizeram as duas condições do teste de Leibniz, logo a série converge.
         CONCLUSÃO FINAL: O raio de convergência da série é R = 1/3 e o intervalo de convergência é (-1/3, 1/3], ou seja, -1/3 < x ≤ 1/3.
EXEMPLO 2: Encontre o intervalo de convergência e o raio de convergência da série .
RESOLUÇÃO:
A série pode ser descrita como
Usarei o teste da razão para a convergência absoluta (teorema 11 - séries infinitas III) para verificar os valores que x converge.
   Dividi por n ambos os termos, antes de aplicar, o limite para simplificar e não alterar a solução. c = 1/3 . |x + 2|, sabemos que para convergir pelo teorema 11, 1/3 . |x + 2| < 1 e diverge se 1/3 . |x + 2| > 1. Observe abaixo, o raio de convergência é igual a 3, ou seja, R = 3.
   Falta analisar a convergência nos extremos x = -5 e x = 1.
 * x = -5, a série é igual a: 
   Note que é uma série alternada, para testar se a série converge, podemos usar o teste da série absolutamente convergente (teorema 10 em séries infinitas III) e depois o teste  da divergência (teorema 1 em séries infinitas III) para confirmar a convergência ou divergência.
   Portanto pelo teste da divergência o resultado foi diferente de 0, portanto a série diverge.
* x = 1, a série é igual a 
   Já testamos a série acima, usando o teste da divergência (teorema 1 em séries infinitas III), ela diverge.
 CONCLUSÃO FINAL: O raio de convergência da série é R = 3 e o intervalo de convergência é (-5, 1), ou seja, -5 < x < 1.
REPRESENTAÇÕES DE FUNÇÕES COMO SÉRIES DE POTÊNCIAS
       Neste artigo, aprenderemos como representar certos tipos de funções como somas de séries de potências pela manipulação de séries geométricas ou pela diferenciação e integração de tais séries. Cientistas fazem isso para simplificar expressões que eles utilizam; cientistas que trabalham com computadores fazem isso para representar as funções em computadores e calculadoras.
 TEOREMA 3: Começaremos com uma equação que vimos antes; quando a série de potências  tal que Cn =1 para todo n e a = 0, obtemos uma série geométrica e conhecemos sua soma como representado abaixo.
     É uma série geométrica com a = 1 e r = x. Nosso ponto de vista é diferente. Agora nos referiremos à equação acima como uma expressão da função f (x) = 1 / (1 - x) como uma soma de uma série de potências. 
    LEMBRANDO: que a série converge para |x| < 1, ou seja, -1 < x < 1 e consequentemente o domínio da função é de (-1,1), pois são os valores que a séries converge. Domínio é os valores que a variável pode assumir.
EXEMPLO 1: Expresse 1 / (1 + x²) como a soma de uma série de potências e encontre o intervalo de convergência.
RESOLUÇÃO:
    A ideia é utilizar o teorema 3, isto é, .
Então pela função 1/ (1 + x²), observe que x = - x²:
  Vamos calcular o intervalo de convergência, sabemos que a função converge |x| < 1, então:
Portanto, o intervalo de convergência é (-1,1).
OBSERVAÇÃO: Claro que poderíamos ter determinado o raio de convergência aplicando o teste da razão (teorema 11 - séries infinitas III), mas todo aquele trabalho é desnecessário aqui.
       Sob o ponto de vista da função, temos que f(x) = 1 / (1 + x²) pode ser escrita como f(x) = 1 - x² + x4 - x6 +  x8...... em que dom (f) = (-1,1), dom (f) = domínio da função.
EXEMPLO 2: Encontre uma representação em série de potências para 1 / (x + 2).
RESOLUÇÃO:Usaremos a mesma ideia do exemplo 1, mas, antes, devemos fatorar o denominador da função, veja abaixo:
O intervalo de convergência será:
 Assim, o intervalo de convergência é (-2,2).
EXEMPLO 3: Encontre uma representação para séries de potência para x³ / (x + 2).
RESOLUÇÃO:
   Como essa função é x³ vezes o exemplo 2, tudo que temos que fazer é multiplicar essa série por x³.
 Como x = -x/2, o intervalo de convergência é o mesmo do exemplo 2, intervalo (-2,2).
DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIE DE POTÊNCIAS
TEOREMA 4: A soma da série de potências é uma funçãotiver um raio de convergência R > 0, então a função f definida por
é diferenciável (e portanto contínua) no intervalo de convergência (a - R, a + R) e
1) Para derivar (diferenciar) a função, basta derivar termo a termo e montar a série.
    Diminuindo um no índice de n somamos 1 a função, e se somarmos algum número no índice diminuímos na função. Nesse caso, vou diminuir um no índice e meu n na função tenho que substituir por n + 1. (fiz isso para começar em 0 a série)
2) Para diferenciar a série é o mesmo procedimento, ou seja, integro termo a termo e pelo padrão dos termos monto a série. (C é a constante que aparece na integral indefinida e para saber seu valor basta igualar x a 0 e isolar a constante). Pela sequência dos termos escrevo a série:
  Os raios de convergência da série de potências nas equações 1 e 2 são ambos iguais a R.
EXEMPLO 1: Expresse 1 / (x - 2)² como uma série de potência. Qual é o raio de convergência?
RESOLUÇÃO:
  Note que diferenciando cada lado da função que estávamos usando antes, obtemos:
   Se quisermos, começar no 0, diminuímos 1 no índice, consequentemente, aumenta um no índice da fórmula da série, ou seja, substituindo n por n + 1, obtemos:
   O raio de convergência da série derivada é o mesmo que o da série original como nossa série original foi 1 / (1 - x) sabemos que o raio é |x| < 1, ou seja, R = 1.
  
EXEMPLO 2: Encontre a representação de série de potências para ln (1 - x) e seu raio de convergência.
RESOLUÇÃO:
    Note que a integral .
 Exceto pelo sinal negativo a função é igual a integral do nosso modelo que usamos, logicamente, basta integrar os termos de nosso modelo e multiplicar por (-) depois.
  Agora preciso saber o valor da constante C para calcular seu valor faço x = 0.  
    O raio de convergência é o mesmo da série original, ou seja, R = 1.
OBSERVAÇÃO: Observe o que acontece quando colocamos x = 1/2.
EXEMPLO 3: Encontre uma representação de potências para f(x) = arc tg (x).
RESOLUÇÃO:
   Lembre-se que f(x) = arc tg (x) = tg-1(x), vamos calcular pela integral, observe abaixo: (a função 1 / (1 + x²) já foi escrita em série de potência no exemplo 1 do teorema 3.)
  Para montar a série, veja o padrão dos termos no denominador e no expoente variam n + 2, simplificando temos 2n + 1 e a série alterna entre mais e menos.
   Para calcular a constante faço x = 0.
Então a função fica:
    Como o raio de convergência da série para 1 / (1 + x²) é 1, o raio de convergência dessa série para arc tg (x) é também 1.