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Professor: Ms.Mauro Guilherme Raimundo 
MATEMÁTICA BÁSICA:
Conteúdos:
Conjuntos Numéricos
Regra de Sinais
Frações
Potenciação
Produtos Notáveis
Radiciação
Classificação dos Triângulos
Teorema de Pitágoras
Razões Trigonométricas
Ângulos Notáveis
Ângulos no Ciclo Trigonométrico
Ciclo Trigonométrico
Regra de Três
Divisão em Partes Proporcionais
Regra de Sociedade
Porcentagem
Estudo do domínio de uma função
Noção Intuitiva de Função
Noção de Função Através de Conjuntos
Função Polinomial do Primeiro Grau
Função Polinomial do Segundo Grau
Função Exponencial
Logaritmo
Função Logarítmica
Progressões Aritméticas
Progressões Geométricas.
Conjuntos Numéricos:
C
Conjunto dos Números Naturais
São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.
Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}
Conjunto dos Números Inteiros
São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos).
São representados pela letra Z:
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:
- Inteiros não negativos
São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.
É representado por Z+:
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}
- Inteiros não positivos
São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-:
Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
- Inteiros não negativos e não-nulos
É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Z*+ = N*- Inteiros não positivos e não nulos
São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.
Z*- = {... -4, -3, -2, -1}
Conjunto dos Números Racionais
Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos  (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas como dízimas periódicas.
Os racionais são representados pela letra Q.
Conjunto dos Números Irracionais
É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número (resultado da divisão do perímetro  de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o número 
Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)
Conjunto dos Números Reais
É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais).
Representado pela letra R.
Conjunto dos Números Complexos
Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma
z = a + b i
onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z, denotadas por:
a = Re(z)  e  b = Im(z)
Regra de sinais
Adição e subtração:
Sinaisiguais na soma e subtração soma-se e dá-se o mesmo sinal.
+6 +3 = +9
-6 - 3 = -9
Sinaisdiferentes na soma e subtração subtrai-se e dá-se o sinal do maior módulo.
+6 -3 = + 3
-6 +3 = - 3
Multiplicação e Divisão:
Sinais iguais na multiplicação e divisão dá positivo.
 (+6) x (+3) = + 18
(-6) x (-3) =+18
(+6) (+3) = +2
(-6) (-3) = +2
Sinais diferentes na multiplicação e divisão dá negativo.
 (+6) x (-3) =- 18
(-6) x (+3) =- 18
(+6) (-3) = - 2
(-6) (+3) = - 2
FRAÇÕES
*FRAÇÃO PRÓPRIA: é uma fração em que o numerador é menor que o denominador.
Exemplos:
3/4, 1/4,2/3, 5/8...
*FRAÇÃO IMPRÓPRIA: é uma fração em que o numerador é maior que o denominador. Exemplos:
5/4, 8/3, 6/4...
*FRAÇÃO APARENTE: é uma fração imprópria em que o numerador é múltiplo do denominador. Sua principal característica é o fato de representarem sempre um número inteiro, ou seja, ao se dividir o numerador pelo denominador, encontramos um quociente inteiro. Exemplos:
4/2=2, 6/2=3, 15/3=5...
*NÚMERO MISTO: é um número que possui uma parte inteira e uma parte fracionária. Exemplos:
5 3/4( lê-se cinco inteiros e três quartos)
2 1/2( lê-se dois inteiros e um meio)
TRANSFORMAÇÃO DE UMA FRAÇÃO IMPRÓPRIA EM NÚMERO MISTO
O processo para se transformar uma fração imprópria em número misto é bastante simples. Basta dividirmos o numerador pelo denominador. O quociente será a parte inteira, o resto será o numerador, e o divisor será o denominador. Veja o exemplo abaixo:
Transforme a fração imprópria 9/4 em número misto.
( AO DIVIDIRMOS O NUMERADOR 9 PELO DENOMINADOR 4 ENCONTRAMOS COMO QUOCIENTE O NÚMERO 2, E DE RESTO 1.
O QUOCIENTE 2 SERÁ A PARTE INTEIRA, O RESTO 1 SERÁ O NUMERADOR, E O DIVISOR 4 SERÁ O DENOMINADOR, OU SEJA, 9/4 EM FORMA DE NÚMERO MISTO SERÁ 2 1/4[ lê-se dois inteiros e um quarto] )
TRANSFORMAÇÃO DE UM NÚMERO MISTO EM FRAÇÃO IMPRÓPRIA
O processo que adotaremos agora será o inverso do que adotamos no item anterior.
O processo consiste em multiplicarmos o denominador pela parte inteira e somarmos esse resultado com o numerador. O denominador da fração imprópria será o mesmo que o do número misto dado. Veja o exemplo abaixo:
Transforme o número misto 3 2/5( lê-se três inteiros e dois quintos) em fração imprópria.
(BASTA MULTIPLICARMOS O DENOMINADOR 5 PELA PARTE INTEIRA 3, E SOMARMOS ESSE RESULTADO AO NUMERADOR 2).
VEJA: 5*3+2/5=15+2/5
17/5
, OU SEJA, 3 2/5 EM FORMA DE FRAÇÃO IMPRÓPRIA SERÁ 17/5.
Operações com fração:
As adições e subtrações de frações devem respeitar duas condições de operações:
1ªcondição: denominadores iguais.
Quando os denominadores são iguais, os numeradores devem ser somados ou subtraídos de acordo com os sinais operatórios e o valor do denominador mantido. Observe os exemplos:
2º condição: denominadores diferentes.
Nas operações da adição ou subtração envolvendo números na forma de fração com denominadores diferentes, devemos criar um novo denominador através do cálculo do mínimo múltiplo comum – MMC dos denominadores fornecidos. O novo denominador deverá ser dividido pelos denominadores atuais, multiplicando o quociente pelo numerador correspondente, constituindo novas frações proporcionalmente iguais as anteriores e com denominadores iguais. Observe os cálculos:
Realizar o MMC entre 3 e 4.
Realizar o MMC entre 5, 9 e 12.
Realizar o MMC entre 15 e 20.
Os números na forma de fração pertencem ao conjunto dos números racionais e são utilizados na representação das partes de um inteiro. Entre as frações, podemos efetuar todas as operações básicas, como adicionar, subtrair, multiplicar, dividir, potencializar e aplicar a raiz quadrada. Dentre os citados, abordaremos os princípios da adição e da subtração de números fracionários.
Nas frações onde os denominadores são iguais, basta conservar o denominador e adicionar ou subtrair os numeradores de acordo com a operação indicada. Por exemplo:
Nos casos de adição e subtração envolvendo frações com denominadores diferentes, devemos realizar a redução ao mesmo numerador. Para isso, devemos aplicar algumas técnicas como a utilização do MMC (mínimo múltiplo comum) entre os denominadores. Após a efetuação do MMC entre os denominadores diferentes, utilizamos o resultado com o novo denominador, que será dividido pelo antigo e multiplicado pelo numerador correspondente. Observe os exemplos:
Multiplicação
A multiplicação de frações é muito simples, basta multiplicarmos numerador por numerador e denominador por denominador, respeitando suas posições. Observe:
Divisão
A divisão deve ser efetuada aplicando uma regra prática e de fácil assimilação, que diz: “repetira primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda”.
Potenciação
Assim como podemos expressar e resolver de forma mais simples, uma soma de váriasparcelas iguais recorrendo à multiplicação, da mesma forma podemos recorrer à potenciação para obtermos o produto de vários fatores iguais.
A potenciação ou exponenciação é a operação de elevar um número ou expressão a uma dada potência. Para entendermos o significado disto, observe o número 23:
Note que temos o número dois ( 2 ) com o número três ( 3 ) sobrescrito à sua direita ( 23 ). Dizemos que o número 2 está elevado à terceira potência, ou ainda que 23 é a terceira potência de 2.
Nesta potência o número 2 é a sua base e ao número 3 damos o nome de expoente.
Esta potência representa a multiplicação de três fatores iguais a dois, então 23 é igual a 2 . 2 . 2 que é igual a 8.
Potências com expoente 2 ou 3 possuem uma outra forma particular de leitura. A potência 23 também pode ser lida como dois ao cubo, assim como a potência 32 pode ser lida como três ao quadrado.
Potências de Base Real com Expoente Inteiro
Expoente Maior que 1
De forma geral:
, isto é, a multiplicação de n fatores iguais a a.
Este é o caso de mais fácil compreensão, pois o conceito da exponenciação está bem claro. Observe a expressão abaixo:
54, que se lê 5 elevado a 4, ou 5 elevado à quarta potência é igual ao produto de quatro fatores todos eles iguais a cinco. Ao multiplicarmos 5 vezes 5 vezes 5 vezes 5 iremos obter 625 que é o resultado da exponenciação. O número de fatores iguais a 5 é justamente o numeral do expoente.
Apesar de estarmos trabalhando com expoentes inteiros, as bases podem ser decimais:
Assim como também podem ser fracionárias:
Expoente Igual a 1
Todo número elevado a 1 é igual ao próprio número:
Expoente Igual a 0
Todo número, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1:
00 é indeterminado, embora em algumas situações convenciona-se que seja igual a 1. Para qualquer outro expoente real n positivo, temos que 0n = 0.
Mais à frente teremos outras informações que nos levarão a concluir que 00 = 0/0 e como não existe divisão por zero no conjunto dos números reais, trata-se então de uma indeterminação.
Ao estudarmos os expoentes negativos, a seguir, poderemos concluir que 0n é indefinido para qualquer n real negativo, por exemplo, 0-2 pode ser expresso como 1/02, o que nos leva à 1/0 e como sabemos, a divisão real de1 por 0 é indefinida, pois não existe nenhum número real que multiplicado por 0 resulte em 1.
Expoente Negativo
Qualquer número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso deste número elevado ao oposto do expoente:
De forma geral essa propriedade diz que:
 Potência com base fracionária.
 Potência com expoente fracionário.
Propriedades das Potências de Base Real com Expoente Inteiro:
Multiplicação de Potências de Mesma Base
A multiplicação de potências de mesma base é igual a esta base elevada à soma dos expoentes.
Vamos analisar o desenvolvimento da expressão a elevado à quinta potência vezes a elevado ao quadrado para confirmarmos esta afirmação:
Primeiramente vamos substituir as potências por suas respectivas multiplicações:
Repare que a expressão foi substituída pela multiplicação de 7 fatores iguais a a.
Pelo conceito da exponenciação podemos então escrever a seguinte potência:
De onde concluímos que:
Generalizando:
Divisão de Potências de Mesma Base
A divisão de potências de mesma base, diferente de zero, é igual a esta base elevada à diferença dos expoentes.
Vamos utilizar as mesmas potências analisadas na propriedade anterior, mas agora fazendo a análise em relação à divisão:
Substituindo as potências por suas respectivas multiplicações:
Utilizamos uma fração ao invés do operador , apenas para visualizar mais facilmente o próximo passo, que será a simplificação de dois fatores do numerador com dois fatores do denominador:
Do estudado até agora sabemos que:
Então chegamos a conclusão de que:
Novamente generalizando temos:
Note que a base a deve ser diferente de 0, pois como sabemos não existe quociente real para a divisão por zero neste conjunto numérico.
Entendendo porque a0 = 1
Para a ≠ 0 sabemos que:
Então se tivermos m = n temos que:
Sabemos que:
Já todo número, diferente de zero, dividido por ele mesmo é igual a 1 e que todo número menos ele mesmo é igual a zero.
Logo concluímos que:
É por isto que todo número, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1:
Entendendo porque a1 = a
Para a ≠ 0 sabemos que:
Logo se tivermos m = n + 1 temos que:
Como:
Então:
Logo:
Agora vamos transformar as potências do primeiro membro em multiplicações do fator a:
Repare que o numerador da fração no primeiro membro possui um fator a a mais que o denominador, pois o expoente da potência do numerador tem uma unidade a mais que o expoente da potência do denominador. Simplificando a fração temos:
Ou ainda:
Uma outra forma de entendermos porque a1 = a é que pela própria definição de potência, o expoente indica o número de fatores e como o expoente é igual a 1, obviamente este fator será o próprio número.
Entendendo porque a-n = 1/an
Como já vimos para a ≠ 0 temos que:
Se tivermos m = 0:
Como a0 = 1, temos:
Ou:
Potência de um Produto
A potência do produto de dois ou mais fatores é igual ao produto de cada um destes fatores elevados ao expoente em questão:
Vamos tomar como exemplo o produto de três fatores distintos elevados ao cubo:
Não custa nada fazermos uma verificação só para conferir:
Potência de um Quociente
Podemos proceder de forma análoga ao que fizemos no caso da multiplicação, mas neste caso os divisores não podem ser iguais a zero:
Exemplo:
Vamos verificar:
Potência de um Expoente Fracionário
Podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical:
Exemplo:
Potência de uma Raiz
Ao elevarmos um radical a uma dada potência, estaremos obtendo o mesmo resultado que obteríamos se elevássemos apenas o seu radicando a esta mesma potência:
Exemplo:
Potência de uma Potência
Novamente para uma base diferente de zero podemos expressar a seguinte igualdade:
Vamos como de costume recorrer a um exemplo:
E agora vamos verificar a veracidade desta propriedade:
Você sabe por que 2 + 3 . 5 é igual a 17 e não igual a 25?
Simplesmente porque o operador da multiplicação tem precedência sobre o operador da adição. Você deve primeiro realizar a multiplicação e depois a adição. Agora veja a expressão abaixo:
Qual é a razão desta desigualdade?
No caso de  devemos calcular  primeiro por causa da precedência dos parênteses, o que está entre parênteses deve ser calculado primeiro. Já no caso de  devemos calcular  primeiro, pois neste caso a precedência é calcularmos do expoente mais externo para o mais interno.
Usemos como exemplo a expressão  para verificarmos a desigualdade:
No primeiro membro iremos resolver primeiro 43 que é igual a 64, já no segundo membro vamos resolver primeiro32 que é igual a 9:
Finalmente vamos elevar 64 ao quadrado e 4 à nona potência:
Alternativamente também podemos realizar as seguintes operações, multiplicando os expoentes da potência do primeiro membro:
.
Produtos Notáveis
Em muitas expressões matemáticas é comum chegarmos a algo como (x + 3)2 e então precisarmos calcular o produto (x + 3) . (x + 3).
O desenvolvimento deste produto seria:
Realizamos tal produto multiplicando cada um dos termos do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio.
Produtos como este são denominados produtos notáveis, pois podemos obter o resultado final sem precisarmos desenvolver o cálculo todo como realizado acima.
Assim como no caso das tabuadas, que as memorizamos a fim de ganharmos agilidade na realização dos cálculos, no caso dos produtos notáveis também seremos beneficiados se os soubermos de cor.
Quadrado da Soma de Dois Termos
O quadradoda soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo:
Exemplos
Quadrado da Diferença de Dois Termos
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo:
Exemplos
Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo:
Exemplos
Princípio da igualdade
Em uma equação, toda operação matemática que se faz com o primeiro termo, também for aplicado ao segundo termo, a igualdade permanece inalterada.
Radiciação
    Potenciação de Radicais
    Observando as potencias, temos que:
    
    
    De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. Exemplos:
    
    Divisão de Radicais
    Segundo as propriedades dos radicais, temos que:
    
    
    De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais: Exemplos:
     :  = 
    Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetue a operação. Exemplos:
    
Racionalização de denominadores
Considere a fração:  que seu denominador é um número irracional.
Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por  , obtendo uma fração equivalente:
Observe que a fração equivalente   possui um denominador racional.
A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores.
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de uma fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.
Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.
 
Principais casos de racionalização:
1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:
  
  é o fator racionalizante de  , pois  .  =  = a
 
2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos:
 é o fator racionalizante de 
 
  é o fator racionalizante de 
  é o fator racionalizante de 
    é o fator racionalizante de 
Potência com expoente racional
Observe as seguintes igualdades:
 ou 
Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.
De modo geral, definimos:
 , com a  R,m,n,  N, a >0, n>0, m>0
Podemos também transformar um radical com expoente fracionário:
Propriedade das potências com expoentes racionais
As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros.
Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:
Exemplo:
Classificação dos triângulos:
Triângulos
O triângulo é uma das formas geométricas mais importantes no estudo da geometria e é bastante utilizado em construções. Através dele são obtidas várias relações importantes, a mais famosa é conhecida como Teorema de Pitágoras. O Triângulo é o polígono com o menor número de lados (3 lados) e a soma dos seus ângulos internos é igual a 180o.
Os triângulos podem ser classificados de acordo com as medidas de seus lados e de acordo com as medidas de seus ângulos internos. Vejamos como isso ocorre.
Primeiro, vamos classificar os triângulos quanto aos lados. 
Quanto aos lados o triângulo pode ser: Equilátero, Isósceles ou Escaleno.
1. Classificação quanto aos lados
Triângulo Equilátero: é todo triângulo que apresenta os três lados com a mesma medida. Nesse caso dizemos que os três lados são congruentes.
Triângulo Isósceles: é todo triângulo que apresenta dois lados com a mesma medida, ou seja, dois lados de tamanhos iguais.
Triângulo Escaleno: é todo triângulo que apresenta os três lados com medidas diferentes, ou seja, três lados de tamanhos diferentes.
Quanto aos ângulos internos, o triângulo pode ser: acutângulo, obtusângulo ou retângulo.
2. Classificação quanto aos ângulos
Triângulo acutângulo: é todo triângulo que apresenta os três ângulos internos menores que 90o, ou seja, os três ângulos internos são agudos.
Triângulo obtusângulo: é todo triângulo que apresenta um ângulo interno maior que 90o, ou seja, que possui um ângulo obtuso.
Triângulo retângulo: é todo triângulo que apresenta um ângulo interno reto, ou seja, que possui um ângulo medindo 90o.
Teorema de Pitágoras:
O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:
Catetos: a e b
Hipotenusa: c
O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”
a² + b² = c²
Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.
x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15
Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja:
x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2
√2 = 1,414213562373....
Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:
x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15
Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:
Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?
Pelo Teorema de Pitágoras temos:
x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)
Razões trigonométricas
Catetos e Hipotenusa
   Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes decatetos.
   Observe a figura:
	
	Hipotenusa:    
Catetos:          e 
 
Seno, Cosseno e Tangente
   Considere um triângulo retângulo BAC:
	
	Hipotenusa:    , m() = a.
Catetos:         , m() = b.
                       , m() = c.
Ângulos:         ,   e  .
   Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:
Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
	
    Assim:
	
	
Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
	
   Assim:
	
	
Exemplos:
 Determine os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos do triângulo abaixo.
Solução: Temos que
Sabendo que sen α =1/2 , determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo:
Solução: A hipotenusa do triângulo é x e o lado com medida conhecida é o cateto oposto ao ângulo α. Assim, temos que:
Ângulos Notáveis:
Ângulos no Ciclo Trigonométrico:
REGRA DE TRÊS SIMPLES
É uma regra prática que nos permite comparar duas grandezas proporcionais, A e B, relacionando dois valores de A e dois valores de B. Essas grandezas formam uma proporção em que se conhecem três termos e o quarto é o procurado. Daí o nome, REGRA DE TRÊS.
A regra de três simples consiste em montarmos uma tabela colocando em cada coluna os valores da mesma grandeza e, assim, obtemos uma equação. A equação terá a mesma “forma” da tabela, quando asgrandezas forem diretamente proporcionais.
Nocaso de grandezas inversamente proporcionais, a “montagem” da equação será feita invertendo-se a razão de uma das grandezas.
EXEMPLOS:
1º exemplo: Dez metros de couro custam $ 120,00. Qual o valor de 7 metros desse mesmo couro?
RESOLUÇÃO:Comprimento (metros) Preço ($)
10 120,00
7 = x
D.p.
 10 = 120,00 10.x = 7 . 120 x = 840 / 10 x= $ 84,00
7 x
2º exemplo:Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1 hora e 30 minutos. Quantas torneiras iguais a essa serão necessárias para encher o mesmo tanque em 54 minutos?
RESOLUÇÃO:número de torneiras Tempo gasto (minutos)
 3 90
x = 54
I.p.
 3 = 54 54.x = 3. 90 x = 270 / 54x = 5 torneiras
x 90
	
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Uma regra de três é composta quando envolve três ou mais grandezas (variáveis), sejam elas direta ou inversamente proporcionais. Se uma grandeza X for diretamente proporcional a duas ou mais grandezas A,B,C,D,... ela será diretamente proporcional ao produto das medidas dessas grandezas A, B, C,D...
Se uma grandeza X for diretamente proporcional a A,B,C,D,...e inversamente proporcional a J,K,L,M...ela será diretamente proporcional ao produto das medidas A,B,C,D,...pelo produto dos inversos das medidas J,K,L,M,...
EXEMPLOS:
1º exemplo:Numa fábrica de brinquedos,8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? 
 Número homens nº Carrinhos nº Dias
 8 20 5
	4 X 16
 D.P.D.P.
20= 8 .5x = 32 carrinhos
 x 4 16 
ATIVIDADES(Regra de Três Simples e Composta)
1) Um funcionário ganha $ 5.000,00 por dois dias de trabalho. Quanto ganhará se ele trabalhar 30 dias?
Resposta: $75.000,00
2) Um carro faz a 80 km/h a distância entre duas cidades em 4 horas. Quanto tempo fará essa mesma distância se ele for a 60 km/h ?
Resposta: Aproximadamente 5 horas e 20 minutos.
3) Oito homens recebem $ 11.000,00 por 5 dias de trabalho de 9 horas diárias. Quantas horas diárias deverão trabalhar 5 homens para ganhar $ 13.750,00 em 9 dias? 
Resposta: 10h/dia
4) Dois funcionários, depois de 8 dias de serviço, receberam $ 4 000,00. Quanto receberão 5 funcionários por 12 dias de trabalho?
Resposta:	
5) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300 metros. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225 metros? 
Resposta: 15 dias.
6) Dezoito operários, trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias, conseguem realizar um determinado serviço. Trabalhando 9 horas por dia, 12 operários farão o mesmo serviço em quantos dias? 
Resposta:
7) Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. Qual o número de horas por dia, que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazerem 10 barracões em 20 dias ?
Resposta: 12 h/dia
8) Dois mecânicos, depois de 8 dias de serviço, receberam $ 4. 000,00. Quanto receberão 5 mecânicos por 12 dias de trabalho? 
Resposta: 15.000
9) Um certo serviço pode ser realizado por um grupo de 12 operários em 20 dias de trabalho de 8 horas diárias. Se esse mesmo trabalho tivesse De ser feito em apenas 16 dias, com 16 operários igualmente eficientes, quantas horas por dia eles deveriam trabalhar? 
Resposta:7:30 h
10)Em 6 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Se este ritmo for mantido, em quantos dias 4 confeiteiros farão 320 tortas? 
Resposta:6 dias.
11)A produção diária de uma indústria é de 12.000 peças. Foram admitidos mais 200 operários e a produção diária passou para 20.000 peças. Qual era o número de operários que trabalhavam na produção da empresaantes dessa admissão?
Resposta: 300.
12)O tempo que se gasta para ir de uma cidade A a uma cidade B, a uma velocidade média de 60 km/ h, é de duas horas a mais do que o tempo que se gasta a uma velocidade média de 80 km/ h. Qual a distância entre as duas cidade?
Resposta:480 km.
13)Doze operários, em 90 dias, trabalhando 8 h/dia, fazem 36 metros de tecido, cuja largura é de 1 metro. Quantos dias levarão para fazer 12 metros do mesmo tecido, com o dobro da largura, com 15 operários, trabalhando 6 horas por dia?
Resposta: 64 dias
14) Numa fábrica de brinquedos 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Resposta:32 carrinhos.
15)A produção diária de uma tecelagem era de 8.000 metros de tecido/ dia. Foram admitidos mais 300 operários e a produção diária passou para 14.000 metros/dia. Qual era o número de operários que trabalhavam na produção da empresaantes dessa admissão?
Resposta: 400.
16) Desejo ler um livro de 400 páginas. Nas primeiras duas horas consegui ler 25 páginas. Continuando nesse ritmo, quantas horas gastarei para ler o livro inteiro?
Resposta: 32 horas.
17) Em 3 dias foram construídos 2/10 do comprimento de um muro. Supondo que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias o muro estará pronto?
Resposta: 12 Dias.
DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS
A divisão do número N em partes p1, p2, p3, ..., pn diretamente proporcionais aos números reais, diferentes de zero a1, a2, a3, ..., an respectivamente e inversamente proporcionais aos números reais, diferentes de zero b1, b2, b3, ..., bn respectivamente, baseia-se em encontrar a constante K, real não nula, tal que:
P1 = k . a1. 1 /b1; P2= k . a2. 1/b2; P3 = k. a3. 1/ b3,....Pn= k .an . 1/ bn
N= P1 + P2+ P3+...+ Pn
Depois de encontrado o valor da constante K, basta substituí-lo nas igualdades onde foi utilizada e realizar as contas para identificar o valor de cada uma das partes.
Divisão em Partes diretamente proporcional
1º exemplo:
Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais aos números 3; 5 e 12, respectivamente. 
P1= k . 3 P2 = k . 5 P3= k . 12 
 N = P1 + P2 + P3
60= 3 .k + 5.k + 12.k
k = 60/20 k = 3 Portanto: P1= 3 .3 P2 = 3 . 5 P3= 3 . 12 
P1= 9 P2 = 15 P3= 36 
	
Divisão em Partes Inversamente proporcional
1ºexemplo:Divida o nº 380 em partes inversamente proporcionais aos números 2; 5 e 4, respectivamente. 
P1= k . 1/2 P2 = k . 1/5 P3= k .1 /4 N = P1 + P2 + P3
P1= k /2 P2 = k /5 P3= k /4 380= k /2 + k /5 + k / 4
 380 = (10.k + 4.k + 5.k)/20
P1= 400/2 P2 = 400/5 P3= 400 /4 k = 400
P1= 200 P2 = 80 P3= 100 
ATIVIDADES(Divisão em Partes Diretamente Proporcional; Inversamente Proporcional e Composta)
1) Dividindo-se o número 270 em partes inversamente proporcionais aos números 2; 4 e 3 e, ao mesmo tempo, aos números 3; 2 e 4 respectivamente, quanto cada parte receberá? 
Resposta: P1= 120; P2 = 90; P3 = 60.
2) Dividindo-se o número 36 em partes diretamente proporcionais aos números 6; 8 e12 e, ao mesmo tempo, em partes inversamente proporcionais aos números 2 ; 4 e 3 respectivamente obtemos:
Resposta:P1= 12; P2 = 8; P3= 16
3) Uma pessoa comprou 4 lotes de terreno por $ 770.000,00. Sabe-se que os comprimentos dos lotes são diretamente proporcionais a 2; 3; 4 e 5 e as larguras são diretamente proporcionais a 6; 7; 8 e 9, respectivamente. Qual o preço de cada lote, se foram pagos proporcionalmente às suas superfícies? 
Resposta: P1 = 84.000; P2=147.000 ; P3 = 224.000 e P4 = 315.000
4) Divida o nº 1230 em partes diretamente proporcionais aos números 2; 3e 5, e ao mesmo tempo, aos números 3; 5 e 4 respectivamente. 
Resposta: P1= 180; P2 = 450; P3 = 600
5) Numa indústria química, uma certa solução contém ao todo 350 g de três substâncias em quantidades diretamente proporcionais aos números 2; 5 e 7. Quantos gramas de cada substância contém a solução, respectivamente?
Resposta: P1= 50; P2 = 125; P3 = 175
6) Divida o nº 102 em partes diretamente proporcionais aos números 2; 4 e 5, e ao mesmo tempo, inversamente proporcionais aos números 1/3; 1/2 e 1/4 respectivamente. 
Resposta: P1= 18; P2 =24; P3 = 60
7) Divida o nº 180 em partes diretamente proporcionais aos números 2; 3 e 4, respectivamente. 
Resposta: P1= 40; P2 =60; P3 = 80
REGRA DE SOCIEDADE
Quando os problemas de divisão proporcional envolvem, numa empresa, a divisão de lucros, prejuízos, gratificação, participações de lucro e bonificações em geral, eles recebem o nome de REGRA DE SOCIEDADE. Para efetuar essas divisões, são considerados capitais sociais, tempo de serviço ou dedicação, salários, assiduidade ou outras grandezas.
1º exemplo:
 Uma loja tem dois sócios que obtiveram um lucro de $ 20.000,00 em um semestre. O capital do primeiro sócio é de $ 190.000,00 e do segundo sócio é de $ 210.000,00. Divida, entre os dois sócios, esse lucro proporcionalmente aos capitais sociais.
Resolução:
P1= k . 190 000 P2 = k . 210 000 N = P1 + P2
Portanto:N = P1 + P2
20.000 = 190.000 .k + 210.000.k
 20.000= 400.000 .kk = 20.000 /400.000 k = 1/20
P1= k . 190 000 P2 = k . 210 000
P1= 1/20 .190 000 P2 = 1/20 . 210 000
P1= $9.500,00P2 = $ 10.500,00
ATIVIDADES
	
1) Três mulheres tornam-se sócias de uma loja e permanecem trabalhando nela 2; 3 e 5 horas por dia, respectivamente. Se o lucro total, ao final de um trimestre, foi de $ 200.000,00,qual é o ganho de cada uma, supondo que a divisão seja feita em partes diretamente proporcionais às horas de permanência na loja?
Resposta:P1= 40.000; P2 = 60.000; P3= 100.000.
2) O proprietário de uma pequena empresa de transportes, resolveu distribuir $ 6000,00 entre seus três motoristas, em partes inversamente proporcionais à quantidade de multas de trânsito que tiveram durante um período de tempo. Quanto coube a cada motorista, sabendo que dois deles foram multados 2 vezes cada um e o outro 5 vezes?
Resposta:P1= 2.500; P2 = 2.500; P3= 1.000.
3) Dois sócios que obtiveram um lucro de $ 200.000,00 em um semestre. O capital do primeiro sócio é de $40.000,00 e do segundo sócio é de $60.000,00. Divida, entre os dois sócios, esse lucro proporcionalmente aos capitais sociais.
Resposta:P1= 80.000; P2 = 120.000
PORCENTAGEM
Definição: Porcentagem pode ser definida como sendo a centésima parte de uma grandeza, ou o cálculo baseado em 100 unidades.
Ex. 1- O pão teve um aumento de 20%.
Quer dizer que de cada R$ 100,00 teve um acréscimo de R$ 20,00.
Ex.2- Na compra de uma camisa o cliente teve um desconto de 10 %. 
Quer dizer que em cada R$ 100,00 a loja deu um desconto de R$ 10,00.
TAXA DE PORCENTAGEM:
É definido como o valor obtido aplicando uma determinada taxa a um certo valor.
Pode-se fixar também a taxa de porcentagem comosendo o numerador de uma fração cujo denominador é o número 100.
O CÁLCULO DA PORCENTAGEM:
Todo cálculo de porcentagemtem como base o número 100, cujo símbolo é (%) e pode ser feito numa proporção simples. 
Ex1- Efetue o cálculo: Quanto é 10% de 50 ?
 100%_______ 50
 10%________x x = 5
Ex 2- Efetua-se o resgate de um cheque pré-datado no valor de R$ 150,00 e obtendo-se um desconto de 20%.
 100%___________ R$ 150,00
 20%___________ x x = R$ 30,00
EXERCÍCIOS
1º) Um terreno foi vendido por R$ 120.000,00. Sabendo-se que taxa de corretagem é de 6%, qual foi a importância recebida pelo corretor?
2º) Em uma loja, o preço de um ventilador é de R$ 90,00. Para o pagamento à vista é oferecido um desconto de 15%. Qual o preço à vista do produto?
3º) Numa escola existem 800 alunos matriculados. Destes, 500 estudam no período da manhã e o restante, no período da tarde. Qual é a porcentagem:
a) O número de alunos da tarde em relação ao total de alunos da escola?
b) O número de alunos da tarde em relação ao total de alunos da manhã?
4º) Calcule : 
a) 12% de 600 b) 8% de 300 c) 20% de 800 d) 47,5% de 2000
5º) Numa empresa, entre cada 150 funcionários, 30 são especializados. Calcule a porcentagem de técnicos desta empresa.
6º) Um jogador de futebol em um campeonato cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
“Dica importante”
O FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
Se, por exemplo, há um acréscimo por de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante.
Veja a tabela abaixo:
	Acréscimo ou lucro
	Fator de multiplicação
	 10%
	1,10
	 15%
	1,15
	 20%
	1,20
	 49%
	1,49
	 68%
	1,68
Exemplos
1) Aumentando 10% no valor de R$ 10,00 obtemos 10 . 1,10= R$ 11,00
2) Aumentando 20% no valor de seu salário que era de R$ 1.000,00 temos 1,20 . 1000= R$ 1.200,00.
No caso de haver um DECRÉSCIMO, o fator de multiplicação será:
FATOR DE MULTIPLICAÇÃO = 1-TAXA DE DESCONTO (Na forma decimal):
	DESCONTO
	FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
	10 %	 10/100 = 0,1
	0,90 1- 0,1
	25% 25/100 = 0,25
	0,75 1- 0,25
	34% 34/100 = 0,34 
	0,66 1- 0,34
	60% 60/100 = 0,6
	0,40 1- 0,6
Exemplos:
1) Desconto de 10% no valor de R$ 10,00 temos: 10 . 0,90 =R$ 9,00.
2) Desconto de 25 % no valor de R$ 100,00 = 0,75 . 100= R$ 75,00.
3) Desconto de 34 % no valor de R$ 587,00 = 0,66 . 587,00= R$ 387,42.
4) Uma calça que custava R$ 235,00 no natal, foi vendida no mês de fevereiro com um desconto de 60%. Por quanto ela foi vendida?
( 60% = 60/100 = 0,6 1 - 0,6 = 0,40.) 0,40. 235 =R$ 94,00. 
ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
Quando definimos uma função, o domínio D, que é o conjunto de todos os valores possíveis da variável independente x, pode ser dado explicita ou implicitamente.
Assim:
Se é dadoapenas f(x) = 2x -5, sem explicitar o domínio D, está implícito que x pode ser pode ser qualquer número real, ou seja, D = R.
Se é dado f(x) = 2x – 5, com 1 ≤ x ≤ 10, está explicito que o domínio da função dada consiste em todos os números reais entre 1 e 10, incluindo-os, ou seja:
D ={x є R/ 1 ≤ x ≤ 10}.
Se é dado apenas f(x) = , sem explicitar o domínio D, está implícito que x pode ser qualquer número real, com exceção de 2, pois se x = 2, teremos f(2) = = e não é definido.
Logo: D ={x є R/ x ≠ 2}.
Se é dado apenas f(x) = , sem explicitar o domínio D, está implícito que (x – 2) pode ser qualquer número real não-negativo, ou seja, x – 2 ≥ 0 ou x ≥ 2, pois se (x - 2) < 0, obtém-se a raiz quadrada de um número, negativo e, portanto, não existe um número real f(x) correspondente.
Logo: D = {x є R/ x ≥ 2}.
Assim, quando o domínio de uma função não está explicito, devemos considerar esse domínio todos os valores reais de x que tornaram possíveis em R as operações indicadas na fórmula matemática que define a função.
Vamos, então, determinar o domínio das seguintes funções:
f(x) =
Resolução: Só é possível em R sex2 – 16 ≠ 0.
x2 – 16 ≠ 0
x ≠ -4 e x ≠ 4
logo: D ={x є R/ x ≠ -4 e x ≠ 4}.
f(x) =
Resolução: só é possível em R se x – 6 > 0.
x – 6 > 0 
x >6
logo: D ={x є R/ x > 6}
f(x) = + 
Resolução: só é possível se x – 4 ≥ 0, então x ≥4.
só é possível se x – 2 > 0, então x > 2.
Fazendo a intersecção, teremos:
x ≥ 4 ●▬▬▬▬▬▬▬
4
x > 2 ○▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
2
A∩B ○ ●▬▬▬▬▬▬▬
 2 4
logo: D ={x є R/ x ≥ 4}
Exercícios:
Determine o domínio D da função definida por:
f(x) =
f(x) =
f(x) =
 f(x) = 
f(x) = + 
NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO
Encontramos em matemática relações entre duas grandezas variáveis.
Exemplo:
Seja um quadrado cujo lado mede x. Designado por P o perímetro desse quadrado, pode-se estabelecer uma relação entre P e xexpressa pela seguinte fórmula:
P= 4 . x
Observamos que a medida xe P são grandezas variáveis, x
e a cada valor de x está associado um único valor de P. 
Podemos dizer que a medida Pdo perímetro de um quadrado
é dada em função da medida x do lado. x
A relação P = 4 . x chama-selei de associação ou fórmula matemática desta função.
Exercícios:
1) Numa circunferência, a medida do raio é dada por r e a medida do comprimento ou perímetro é representada por P. Qual a fórmula matemática que expressa a relação entre r e P ?
2) Qual a fórmula matemática que expressa a relação entre as variáveis S (área) e l (lado) de um quadrado?
NOÇÃO DE FUNÇÃO ATRAVÉS DE CONJUNTOS
Através da Teoria dos Conjuntos, vamos estudar as funções.
Observe alguns exemplos:
1) Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = { 0, 2, 3, 4, 5, 6, 8}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula Y = 2 . x, com x pertencente a A e y pertencente a B.
A B Im = {0; 2; 4; 6}
 D = Ae CD = B
. 0
. 2
. 3
. 4
. 5
 .6
. 8
.
0 .
 1.
2 .
3 .
2) Seja f uma relação de A = { - 4; - 3; - 2 -1 ; 0} em B = {- 3; - 2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} definida por 
f(x) = 2.x + 5. Fazendo o diagrama de f, verifique se f é uma função de A em B e, em caso afirmativo, determine o conjunto Imagem, o Domínio e o Contra Domínio.
 A B
. -3 
. -2 
. -1 
. 0
. 1
. 2
. 3
. 4
. 5
- 4 .
 - 3 .
 - 2 .
 -1 .
 0 .
É uma função.
Im = { -3; -1; 1; 3; 5 }
C = A;
CD = B.
Função Polinomial do Primeiro Grau:
Definição : Toda função polinomial representada pela fórmula matemática f(x) = a x + b, com a e b pertencente ao conjunto dos números reais e a ≠ 0, definida para todo x real, é denominada Função do 1º grau.
Exemplos:
1) y = 2 x +1
2) f(x) = - 3 x + 2
3) f(x) = 2 x + 6
4) y = - 2 x – 3
Gráfico da Função do Primeiro Grau
O gráfico será uma reta para qualquer que seja os valores de "a" e de "b" que tivermos. Cada parte da fórmula de uma função do primeiro grau possui um nome, e desempenha um papel muito importante no gráfico desta função. 
* Coeficiente Angular
Este número que acompanha o "x" (coeficiente de "x"), é chamado de coeficiente angular pois é ele que vai dizer se a reta é mais inclinada ou menos inclinada. E analisando este coeficiente que iremos dizer se a função é crescente ou decrescente, ou seja, se o "a" for positivo, nossa reta é crescente, se o "a" for negativo, nossa reta é decrescente.
Exemplos:
	
	Este exemplo tem o coeficiente angular a=2, então a reta é crescente.
	
	Este exemplo tem o coeficiente angular a=-1/2, então a reta é decrescente.
	
	
* Coeficiente Linear
O coeficiente linear é o número sozinho que fica no final da função, quando a função está no formato geral (y=ax+b). E este coeficiente é muito útil quando queremos desenhar o gráfico de uma função do primeiro grau, pois ele nos mostra o ponto em que a reta corta o eixo Y (eixo vertical).
Isso acontece, pois qualquer ponto que se encontra sobre o eixo Y, tem o valor de X igual à zero, e se colocarmos em uma função o X valendo zero só nos sobrará dizer que y é igual ao coeficiente linear.
Exemplos:
	
	Este exemplo tem o coeficiente linear b=3, então a reta irá cortar o eixo Y no ponto (0;3).
	
	Este exemplo tem o coeficiente linear b=4/2, ou seja, b=2, então a reta irá cortar o eixo Y no ponto (0;2).
Exercícios:
1) Faça os gráficos das funções do primeiro Grau abaixo:
a) y = 2 x + 5
b) f(x) = - x + 4
c) f(x) = - 2x + 1
d) y =x – 3
2) Identifique o coeficiente angular e o coeficiente linear nas funções do primeiro grau abaixo:
a) f(x) = - x + 4
b) f(x) = x + 5
c) f(x) = - x/2 + 3
Função Polinomial do 2º grau ou Função Quadrática
Toda expressão na forma y = ax2 + bx + c ou f(x) = ax2 + bx + c, onde os coeficientes a, b e c são números reais, sendo a ≠ 0, é considerada uma Função Quadrática(ou conhecida popularmente como equação do 2º grau), onde o valor y está em função do valor de x, isto é, x é considerado o domínio da função, enquanto y ou f(x) é a imagem.
Observe alguns exemplos de funções quadráticas:
1) y = x2 - 4x +3 
2) f(x) = x2 - 7x + 6
3) y = - x2 + 2x – 4
4) f(x) = -x2 + 2x - 1
A função quadrática possui como representação geométrica uma parábola com concavidade voltada para cima ou para baixo de acordo com o valor do coeficiente a. Observe:
Raízes de uma função do 2º grau 
As raízes de uma função quadrática são dadas quando fazemos y ou f (x) igual a zero, transformando a função numa equação quadrática ou equação do 2º grau).
Veja:
y = ax2 + bx + c
y = 0
ax2 + bx + c = 0
Podemos resolver uma equação do 2º grau utilizando a Fórmula de Bháskara:
 O resultado determina quantas raízes a função possui e em quantos pontos a parábola intersecciona o eixo x. Essa situação também pode ser dada de acordo com o valor do ∆ da equação quadrática. Observe as relações nos gráficos a seguir:
∆ < 0: não possui raízes reais, a parábola não possui ponto em comum com o eixo x.
∆ = 0: possui uma única raiz real, a parábola possui um ponto em comum com o eixo x.
∆ > 0: possui duas raízes reais, a parábola possui dois pontos em comum com o eixo x.
Vértices de uma parábola
A parábola possui alguns pontos importantes na sua análise. Se a função possui a > 0 a parábola possui um ponto determinadomínimo e se a < 0, a parábola possui um ponto máximo.
Coordenadas do vértice de uma parábola
Gráfico de uma função quadrática
Parábola
O gráfico de uma função do 2º grau é dado por uma parábola com concavidade voltada para cima ou para baixo. A parábola intersecciona ou não, o eixo das abscissas (x), isso depende do tipo de equação do 2º grau que compõe a função. Para obtermos a condição dessa parábola em relação ao eixo x, precisamos aplicar a fórmula de Bháskara, trocando f(x) ou y por zero. Devemos sempre lembrar que uma equação do 2º grau é dada pela expressãoax² + bx + c = 0, onde os coeficientes a, b e c são números reais e a deve ser diferente de zero. Uma função do 2º grau respeita a expressão f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, onde x e y são pares ordenados pertencentes ao plano cartesiano e responsáveis pela construção da parábola.
O plano cartesiano responsável pela construção das funções é dado pela intersecção de dois eixos perpendiculares, enumerados de acordo com a reta numérica dos números reais. Todo número do eixo x possui imagem correspondente no eixo y, de acordo com a função fornecida. Observe uma representação do plano cartesiano:
Vamos demonstrar as posições de uma parábola de acordo com o número de raízes e o valor do coeficiente a, que ordena a concavidade voltada para cima ou para baixo.
Condições
a> 0, parábola com a concavidade voltada para cima.
a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo.
∆ > 0, a parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos.
∆ = 0, a parábola intercepta o eixo das abscissas somente em um ponto.
∆ < 0, a parábola não intercepta o eixo das abscissas.
∆ > 0
∆ = 0
∆ < 0
Observe algumas funções do 2º grau e seus respectivos gráficos.
Exemplo 1
f(x) = x² – 2x – 3
Exemplo 2
f(x) = –x² + 4x – 3
Exemplo 3
f(x) = 2x² – 2x + 1
Exemplo 4
f(x) = –x² – 2x – 3
Após estas informações, faça os exercícios abaixo:
EXERCÍCIOS
Construir os gráficos das funções do 2º grau:
1) y = x2 - 4x +3 
2) f(x) = x2 - 7x + 3
3) y = - x2 + 2x – 4
4) f(x) = -x2 + 2x - 1
Equações Exponenciais
Definição: Chama-se equação exponencial toda equação que contém variáveis no expoente.
Assim, são equações exponenciais, por exemplo:
1) 2x = 16
2) 3 x-1 = 27
3) 3 x+ 1 + 3 x – 2 = 9 
Resolução de Equações Exponenciais
Para resolvermos uma equação exponencial devemos transformar a equação dada em uma igualdade de mesma base, ou seja, devemos obter potências de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação.
Resolução de Equações Elementares
Observemos os seguintes exemplos:
1) Resolver a equação 2 x = 256
Resolução: 
Transformando a equação dada em igualdade de mesma base, temos:
2x = 256 2 x = 2 8 Igualando os expoentes, temos: x = 8 S = {8}
2) Resolver a equação 4 x = 32
Resolução: 
Transformando a equação dada em igualdade de mesma base, temos:
4x = 32 (2 2) x = 2 52 2x = 2 5
Igualando os expoentes, temos: 2x = 5 x = 5/2 S = { 5/2}.
3) Resolver a equação 2 x = 1 / 16
Resolução: 
 Lembrando que1 /16 = 1/ 24 = 2 -4
2x = 1/16 2x =2 -4 x = - 4 S = {-4}.
Exercícios
a)Resolva as equações exponenciais:
1) 2x = 128
2) 32x = 243
3) 103x = 1/ 10000
4) 2 x-2 = 8
5) 5 x = 1/ 125
6) 2 x-3 = 1/8
7) 2 x +1 = 1 /4
8) 729 2 x = 27
9) (1/125)x = 25
10) 4x = 
Resolução de equações que exigem transformações e artifícios
Observemos os seguintes exemplos:
1) Resolver a equação 9 x +3 = 27x
Resolução: 
(32) x+3= (33)x 32x +6 = 33x 2x + 6 = 3x 2x - 3x = - 6 -x= -6
 x = 6 S = {6}.
2) Resolver a equação (2 x)x +3 = 16
Resolução:
	
 (2x)x +3 = 16 (2 x)x +3 = 242 + 3x= 24 x2 + 3x = 4 
x2 + 3x – 4 = 0 Δ = 25
 x’= 1 e x’’ = - 4 
 S = {- 4, 1 }
3) Resolver a equação 125 x +2 = 1
Resolução:
(53) x +2= 5 0
3 x + 6 = 0
3 x = - 6 
x =-6 / 3 
x = -2 S = {-2}
4) Resolver a equação 3 . 2x - 2 = 48
Resolução:
3 .2x - 2 = 48
2x - 2 = 48 / 3
2x - 2 = 16
2x - 2 = 24
x – 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6 S = {6}
5) Resolver a equação 22x - 5 . 2x+ 4 = 0
Resolução:
2x. 2- 5 . 2x+ 4 = 0
(2x)2 - 5 . (2x) + 4 = 0
Chamar(2x) = y
Obtemos uma equação do segundo grau com a variável y.
y2 - 5 . y + 4 = 0
Δ= 9
y = 
y = 
y’ = 4 e y’’ = 1
Como2x = y, temos:
2x = 4 e 2x = 1
2x = 22 e (2x) = 20
x= 2 e x = 0
s = {0; 2}
6) Resolver a equação 3x-1 + 3x+1 = 90
Resolução:
3x-1+ 3x+1 = 90
 +3x. 3= 90 Chamar 3x = y
 +y = 90
 =
10 y = 270
y = 27 se 3x= y então 3x = 27 3x = 33 x = 3
s = {3}
EXERCÍCIOS
Resolva as equações exponenciais:
1) (2 x)x = 16
2) (3 x)x-4 = 1/27
3) (5 x)x-2 = 25x
4) (10 x)x-1 = 1/ 106
5) 8 x-2 = 4 x/2
6) (4 x)x-1 = 16
7) (4 x)x = 256
8) (16 x)x+1 = ½
9) (1/4)x-1 = 16x+2
10)2x² - 7x + 12 = 20
11)3 . 2x+3 = 192
12) 10 . 2x-4 = 320
13)22x - 9 . 2x+ 8 = 0
14) 9x + 3 = 4 . 3x
15) 2x+1 + 2x-2 = 9/2
16) 5x-1 + 5x-2 = 30
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição:Chama-se função exponencial a função ƒ:R→R tal que ƒ(x)= ax em que a ∈ R, 0<a≠1.
O a é chamado de base e o x de expoente.
A função pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se a base a for > 1, a função é crescente; Se a base a for um número real entre 1 e 0, (0<a< 1) a função é decrescente.
Exemplos 
1º) y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1) atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
 
	x
	-2
	-1
	0
	1
	2
	y
	1/4
	½
	1
	2
	4
 
2º) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<1) atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
 
	x
	-2
	-1
	0
	1
	2
	y
	4
	2
	1
	1/2
	1/4
Nos dois exemplos, podemos observar que:
 
O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes;
O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);
Os valores de y são sempre positivos, portanto o conjunto imagem é im=IR+. 
EXERCÍCIOS:
1) Esboce o gráfico das seguintes funções exponenciais:
a) f(x) = 3x
b)f(x) = (1/3)x
c) y = 5x
d) y = (1/5) x
2) Identifique como crescente ou decrescente as seguintes funções exponenciais:
a)f(x) = (3/4)xb) f(x) = (1/6)xc) y = 4x d) y = 7x e) y = (1/4)x
LOGARITMO
Definição: O logaritmo de um número reale positivo b, na base a, positiva e diferente de 1, é o número x ao qual se deve elevar a para se obter b. 
Assim:, então temos que ax = b
forma logarítmica forma exponencial
Condição de existência de logaritmo: Com as condições de .
	Na forma logarítmica
	Na forma Exponencial
	a = base do logaritmo
 b = logaritmando
 x =logaritmo
	ax = b
a = base da potência
 b = potência
 x = expoente
Exemplos:
I) , sendo que 3 é o logaritmo, 2 é a base e 8 é o logaritmando.
pois temos que 23 = 8.
II)= -3, sendo que –3 é o logaritmo, 3 é a base e 1/27 é o logaritmando.
pois temos que 3-3 = 1/27 .
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1) Considerando a definição dada, calcular o valor dos logaritmos:
a) = x 6x = 36
 6x = 62
 x = 2
b) = x 10x = 0,01
 10x =
 10 x = 10-2
 x = -2
c) = x ( )x = 
(1/22)x= 
 2 -2x = 2 3/2
 -2 x = 3/2
 x = 3/2 : -2
 x = - ¾
EXERCÍCIOS
1) Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos:
a)
b) 
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j) 
k) 
l)
2) Calcule o valor da soma S:
a)S = + - 
b) S = - - 
c)S = - + 
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO:
A partir da definição de logaritmo podemos, compreender alguns resultados, que denominamos de consequências da definição.
Sendo b > 0, a > 0 e a ≠ 1 e m um número real qualquer, temos a seguir as consequências da definição de logaritmo:
1ª) Observe os exemplos:
a) = x 2x = 1 2x = 20 x = 0
b) = x 5x = 1 5x = 50 x = 0
Temos:
 = 0 
2ª) Observe os exemplos:
a) = x 2x = 21 x =1
b) = x 3x = 31 x =1
Temos:
 = 1
3ª) Observe os exemplos:
a) log2 23 = x2x = 23 x = 3
b) log553 = x5x = 53 x = 3
Temos:
4ª)Observe os exemplos:
a) log24=x 2x = 24 x = 4
2
b) log39=x 3x = 29 x = 9
3
Temos:
5ª)Observe os exemplos:
a) = x =4
b) = x =27
 Temos: 
EXERCÍCIOS
1) Dê o valor de:
a ) 
b) 
c)
d)
e)log6 62
f)log1/10 (1/10)3
g) log57
5
h) log327
3
2) Determine o valor das expressões:
a) .
5
b) - . 
2
PROPRIEDADESOPERACIONAIS DOS LOGARITMOS
1° Propriedade:
•    Logaritmo de um produto
2° Propriedade:
•    Logaritmo de um quociente
log (A/B)= log A – log B
3° Propriedade:
•    Logaritmo de uma potência 
4° Propriedade:
•     Logaritmo de uma raiz
Essa propriedade é uma extensão da propriedade 3, uma vez que toda raiz pode ser escrita na forma de uma potência.
Exemplo:
Aplicação das propriedades operacionais:
1º) Sabendo-se que: = 8; =2 e = 1, calcular logx(a3 / b2 c4) 
Resolução:
logx(a3 / b2 c4) = logx a3 - logx (b2.c4)
 =3. logxa- (logxb2 + logx c4) 
 =3. logxa- (2.logxb + 4 logx c) 
 =3. logxa- 2.logxb - 4 logx c 
 =3 . 8 – 2 . 2 – 4 .1
 =24 – 4 -4
 = 16
OBS: Quando não está explicita a base, convenciona-se que a base é 10.
escreve-se log 2 . 
escreve-se log 3.
2º) Sendo log 2 = x e log 3 = y, calcular log (9 .√8) em função de x e y.
Resolução:
log 9 + log √8
=log 32 + log √23
=2. log3 + 3/2 . log 2
=2. y + (3x) / 2
=( 4 y + 3 x) / 2
3º) Dado logx A = 2 . logx m + logx n, calcular A em função de m e n.
Resolução:logx A = 2 . logx m + logx n
logx A = logx m2 + logxn
logx A = logx (m2. n)
logx A = logx (m2 . n) A = m2 . n
EXERCÍCIOS
1) Sendo logba = 4 e logbc =1, encontre o valor de:
a) logb (a.c) =
b) logb (a/c) =
c) logb (a.c)2 =
d) logb (√a.c) =
2) Sendo logxa = 5, logxb = 2 e logxc = -1, calcule:
a) logx(abc) =
b) logx a2 b3/ c4
3) Sendo log 2 = a e log 3 = b, calcule: 
a) log 32 =
b) log 25 =
c) log 81/ √3 =
d) log( 8 . √27) =
4) Sendo logca = 5 e logcb = 2, calcule logc
Resposta: 52 /27
5) Sendo loga 2 = 0,69 e loga3 = 1,10, calcule loga
Resposta: 0,62
6) Sabendo que log10 2 = 0,301,calcule log10 .
Resposta: 0,541
7)Se log2 = 0,301 e log 3 = 0,477, calcule o valor de log 0,018.
Resposta: -1,745
GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA:
Pelos gráficos abaixo é possível observar que uma função logarítmica depende da base “a” para ser crescente ou decrescente, ou seja, se “a” for maior que 1, a função é crescente e se “a” estiver entre 0 e 1 é decrescente.
 Observe os exemplos de gráficos de função logarítmica abaixo:
1) Considere a função logarítmica f(x) = log2x.
Atribuindo valores “arbitrários” para x, vamos elaborar a tabela seguinte:
	X
	Y = log2x
	y
	1/8
	Y= log21/8 2y =1/8 2y = 2-3 y = -3
	- 3
	¼
	Y= log21/4 2y =1/4 2y = 2-2 y = -2
	- 2
	½
	Y= log21/2 2y =1/2 2y = 2-1 y = -1
	- 1
	1
	Y= log21 2y =1 2y = 20 y = 0
	0
	2
	Y= log22 2y =2 2y = 21 y = 1
	1
	4
	Y= log24 2y = 4 2y = 22 y = 2
	2
	8
	Y= log28 2y =8 2y = 23 y = 3
	3
2) Considere a função logarítmica f(x) = log ½ x
Atribuindo valores “arbitrários” para x, vamos elaborar a tabela seguinte:
	X
	Y = log2x
	y
	1/8
	Y= log1/21/8 (1/2)y =1/8 (1/2)y = (1/2)3 y= 3
	3
	¼
	Y= log1/21/4 (1/2)y =1/4 (1/2)y = (1/2)2 y = 2
	2
	½
	Y= log1/21/2 (1/2) y =1/2 y = 1
	1
	1
	Y= log1/21 (1/2)y =1 (1/2)y = (1/2)0 y = 0
	0
	2
	Y= log1/22 (1/2)y =2 2-y = 21 y = -1
	 -1
	4
	Y= log1/24 (1/ 2)y = 4 2-y = 22 y = -2
	 -2
	8
	Y= log1/28 (1/ 2)y =8 2-y = 23 y = -3
	 -3
EXERCÍCIOS
Faça os gráficos das funções logarítmicas abaixo:
1) y = log3 x
2) y = log1/3 x
Progressões Aritméticas:
Progressão aritmética é um tipo de sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo,é igual ao anterior somado com um número fixo, chamado razão da progressão.
EXEMPLO:
(5,7,9,11,13,15,17) essasequência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2. Nesta sequência o número 2 é a razão da progressão aritmética.
a1 = 5 
a2 = 5 + 2 = 7 
a3 = 7 + 2 = 9 
a4 = 9 + 2 = 11 
a5 = 11 + 2 = 13 
a6 = 13 + 2 = 15 
a7 = 15 + 2 = 17
Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, decrescente ou constante.
P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente. Ex.: (3, 4, 5, 6, 7)
P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente. Ex.: (10, 8, 6, ...)
P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais. Ex.: (3, 3, 3, 3,3).
Termo Geral de uma P.A
Considere uma P.A.finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razão igual a r, sabemos que: 
a1 =a1+ 0. r
a2 – a1 = r → a2 = a1 + r 
a3 – a2 = r → a3 = a2 + r → a3 = a1 + 2r 
a4 – a3 = r → a4 = a3 + r → a4 = a1 + 3r 
.
.
. 
an = an-1 + r → a1 + (n – 1) . r → a n= a1 + (n – 1). r
Em que: a1 = o primeiro termo
n= nº de termos
r = razão
a n = é o enésimo termo (termo geral)
Exemplos:
1) Encontrar o termo geral da P.A. (4, 7,...).
Resposta:
a1 = 4 
r = 7 – 4 = 3
n = n 
an= a1 + (n – 1) . r→an = 4 + (n -1) .3→an = 4 + 3 n – 3 →an = 3 n + 1
2) Qual é o vigésimo termo da P.A. (3, 8, ...) ?
Resposta:a1 = 3 
r = 8 – 3 = 5
n = 20a n= a1 + (n – 1) . r→a20 = 3 + (20 -1) .5→a20 = 3 + 95 →a20 =98
3) Interpolar cinco meios aritméticos entre 6 e 30.
Resposta:
6,-,-,-,-,-,30
a1 = 6
n = 7 a n= a1 + (n – 1) . r→30 = 6 + 6.r → 24 = 6.r →r =4
an = 30 
Resposta:
(6,10,14,18,22,26,30).
Exercícios:
1) Encontre o termo geral da P.A. (2, 7, ...).
2) Qual é o décimo quinto termo da P.A. (4, 10,...) ?
3) Determine o número de termos da P.A. (-3, 1, 5, ..., 113).
4) Numa P.A., de razão 3, o sétimo termo é 21. Qual é o primeiro termo?
5) Ache a1 numa P.A., sabendo que r = ¼ e a17 = 21.
6) Interpolar 11 meios aritméticos entre 1 e 37.
FÓRMULA DA SOMA DOS N TERMOS DE UMA P.A. FINITA:
Sn =
Exemplos:
1) Achar a soma dos 30 primeiros termos da P.A. (2, 5,...).
2) Achar a soma dos 50 primeiros termos da P.A. (2, 6,...).
3) Numa P.A., a1 = -3 e r = 5. Calcule a soma dos 20 primeiros termos dessa P.A.
4) Qual é a soma dos 50 primeiros termos da sequência (-1/2, 0, ½, 1, ...).
5) Ache a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 50 e 300.
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
A lei de formação de uma P.G.: Cada termo posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por um número fixo. Toda sequência que tiver essa lei de formação será denominada Progressão Geométrica.
O número fixo pelo qual multiplicamos cada termo é chamado de razão da progressão.
Definição:Progressão Geométrica é uma sequência de números não nulos em que cada termo posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado razão da progressão.
A representação matemática de uma P.G. é:
(a1, a2, a3,... an-1, an)
an+1 = an . qPara todonN* e q R
ou
q = a2/ a1= a3/ a2 = ....an+1 / anonde: q = razão da P.G.
Exemplos:
1º) Escreva a P.G. de cinco termos em que a1 =2 e q = 3.
Resposta:
(a1, a2, a3, a4, a5) 2 . 3 = 6
6 . 3= 18
18 . 3 = 54
54 . 3 = 162
A P.G. é: (2, 6, 18, 54, 162)
2º) Se a sequência (x, 3x + 2, 10x +12) é uma P.G., calcule o valor de x.
Resposta:
a2/ a1 = a3/ a2 = 10x2 +12x = 9x2 + 12x +4
 x = 4 x = 2
EXERCÍCIOS
1) Determinar a razão de cada uma das seguintes P.G.:
a) (3, 12, 48,...)
b) (10, 5, ...)
c) (5, -15, ...)
d) (10, 50, ...)
2) Escreva:
a) uma P.G. de quatro termos em que a1 = 5 e q = 3.
b) uma P.G. de seis termos em que a1 = -2 e q = 2.
c) uma P.G. de cinco termos em que a1 = 540 e q = 1/3.
d) uma P.G. de quatro termos em que a1 = 2-3 e q = 22.
3) Determine o valor de x, de modo que os números x +1, x + 4, x + 10 formem, nesta ordem, uma P.G.
O Termo Geral de umaP.G.
Seja a P.G.(a1, a2, a3,... an-1, an) de razão q.
a1= a1 . q0
a2= a1 . q1
a3= a2 . q= a1 . q2
a4= a3 . q= a1 . q3
. . .
. . .
. . .
an = an-1 . q= a1 . qn – 1 an= a1 . qn – 1
Em que:
an = Termo geral
a1 = Primeiro termo
q = razão
n = número de termos
Exemplos:
1º) Encontrar o termo geral da P.G. (2, 4, ...).
Resposta:a1 = 2 an = a1 . qn – 1an = 21 . 2n – 1= 2nan = 2n
q = 4 : 2 = 2 
n = n 
2º) Achar o décimo termo da P.G. (2, 6, ...).
Resposta:an= a1 . qn – 1a10 = 2.310 – 1= 2. 39a10 =2. 39
a1 = 2 ou
q = 6 : 2 = 3 a10 = 39366
n = 10
3º) Numa P.G. de quatro termos a razão é 5 e o último termo é 375. Calcular o primeiro termo dessa P.G.
Resposta:an= a1 . qn – 1a4 = a1 . q4 – 1 375 = a1 . 53
 n = 4 375 = 125 .a1
q = 5 a1 = 3
a4 = 375 
4º) Numa P.G de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último termo é 486. Calcular a razão dessa P.G.
Resposta:n = 6an = a1 . qn – 1a6 = 2 . q6 – 1 486 = 2 . q5
a1 = 2 q5 = 243
a6 = 486 q = 
q = 3 
5º) Numa P.G de razão 4, o primeiro termo é 8 e o último termo é 231. Quantos termos tem essa P.G.?
Resposta:q = 4an = a1 . qn – 1231 = 8 . 4n – 1 231= 23 . (22)n – 1
a1 = 8 231 = 23 . 22n – 2 231=22n+1
an = 231 2 n + 1 = 31 2 . n = 30 n = 15
 n = ?
Exercícios
1) Encontre o termo geral da P.G. (2, 8, ...)
2) Encontre o termo geral da P.G. (1, 5, ...)
3) Qual é o 6º termo da P.G. (512, 256,...) ?
4) Qual é o primeiro termo da P. G., na qual o 11º termo é 3072 e a razão é 2 ?
5) Uma P.G. tem 6 termos, sendo 2 o último termo e ¼ a razão. Qual é o primeiro termo dessa P.G. ?
6) Qual é o 7º termo da P.G. ( ½, -1, ...) ?
7) Numa P.G., a1 = ¼ e a7 = 16. Calcule a razão dessa P.G.
8) Numa P.G., o primeiro termo é 4 e o quarto termo é 4000. Qual é a razão dessa P.G. ?
Fórmula da soma dos N termos de uma P.G. finita:
Seja a P. G. finita(a1, a2, a3,... an) ou (a1, a1 .q, a1. q2, ... a1 . qn-1) de razão q, e de soma dos termos Sn. 
1º caso:q = 1 Sn = n . a1
2º caso:q 1 Sn = a 1. (qn– 1) / q – 1
Exemplo:
1º) Dada a progressão geométrica (1, 3, 9, 27, ...), calcular a soma dos seis primeiros termos.
Resposta: 
Comoq 1 usar a fórmula Sn = a 1. (qn– 1) / q – 1
a1 = 1 
q = 3 S6 =1. (36– 1) / 3 – 1S6 = S6 = 364
n = 6 
EXERCÍCIOS
1) Obtenha a soma dos seis primeiros termos da P.G. (7, 14, ...)
Resposta: 441
2) Qual é a soma dos vinte primeiros termos de uma P.G. em que a1 = 1 e q = 2 ? 
Resposta: 220 – 1
3) Quantos termos devemos considerar na P.G. (3, 6, ...) para se obter uma soma de 765 ?
Resposta: 8 termos.
Fórmula da soma dostermos de uma P.G. infinita:
A soma dos termos de uma P.G. infinita pode ser calculada pela fórmula:
Sn =
Exemplo:
1º) Calcular a soma dos termos da P.G. (1, ¼, 1/16,...).
Resposta: a1 = 1 e q = ¼Sn = Sn = Sn= 4/3
EXERCÍCIOS:
1) Calcule a soma dos termos da cada uma das seguintesP.G.:
a) (5,1, 1/5, ...)
Resposta: 25/4
b) (20, 10, 5, ...)
Resposta: 40
c)(-30, -10, -10/3, ...) 
Resposta: -45
d) (2-2, 2-4, 2-6, ...) 
Resposta:1/3
Referências:
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO,Roberto José; GIOVANNIjr, José Ruy. Matemática. São Paulo:FTD, 1990.
TUTOR BRASIL. 2011. Disponível em: <www.tutorbrasil.com.br> acesso em: 10 abr. 2013.
SANTOS, Valdex. Disponível em: <www.waldexifba.wordpress.com> acesso em: 13 abr. 2013.
Alunos online. Disponível em: <www.alunosonline.com.br> acesso em: 8 abr. 2013.
Tudo sobre concurso. Disponível em: <www.tudosobreconcurso.vestibulares.blogspot.com.br> acesso em: 5 abr. 2013.
Ellalves. Disponível em: <www.ellalves.net.br> acesso em: 14 abr. 2013.
Cola da web: Disponível em: <www.coladaweb.com> acesso em: 3 abr. 2013.
Disponível em: <www.artigos.com> acesso em: 26 agosto 2014.
Disponível em: <www.infoescola.com> acesso em: 26 agosto 2014.
Disponível em: <www.mundoeducacao.com.br> acesso em: 26 agosto 2014.
Disponível em: <www.matematicadidatica.com.br> acesso em: 26 agosto 2014.
Disponível em: <www.brasilescola.com> acesso em: 26 agosto 2014.
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