1-Matrizes e sistemas lineares

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1a. Lista de Exercícios de GEX102 - Geometria Analítica e
Álgebra Linear
2o. Semestre de 2013
1. Determine a, b, x e y, sabendo que(
x + y 2a + b
2x− y a− b
)
=
(
3 −1
0 7
)
.
2. Dadas as matrizes:
A =
 1 52 4
−1 3
 , B =
 −2 −31 0
4 2
 e C =
 6 −13 −2
0 1
 ,
calcule:
(a) A−B
(b) B − C
(c) A−B − C
(d) C − A + B
(e) At − Ct
(f) C − (B − A)
3. Sendo
M =
 1 2 3−1 0 −2
4 −3 5
 , N = I3 e P =
 0 −1 1−2 0 1
−3 2 0
 ,
calcule X, de modo que:
a) X −M = N − P b) P + X = M −N c) X + (M −P ) = N
4. Dadas as matrizes
A =
(
0 4 −2
6 2 8
)
, B =
( −3 6 9
12 −6 0
)
e C =
(
0 −1 0
1 −1 2
)
,
calcule o resultado das seguintes operações:
(a) 2A−B + 3C (b) 1
2
A− (1
3
B + C)
5. Dadas A =
 32
−1
 e B =
 104
−8
, resolva a equação 2X−A+ 1
2
B = 0¯.
6. Resolva o sistema
{
X + Y = A + B
X − Y = 2A − B, sendo A =
(
3
−2
)
e
B =
( −1
5
)
.
7. Calcule a matriz X, sabendo que A =
 1 2−1 0
4 3
 , B = ( 5 1 3−2 0 2
)
e (X + A)t = B.
8. Dadas A =
 2 0−1 1
3 4
 e B = ( −1 2 3
0 1 0
)
, calcule (A + Bt)(At −B).
9. Considere as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2, com
aij = 3i + 4j e bij = −4i− 3j. Sabendo que C = A + B, determine C2.
10. Calcule a e b, de modo que as matrizes A =
(
1 3
−1 0
)
e B =
(
a b
0 2
)
comutem.
11. Sendo A =
(
4 1
2 −1
)
e B =
(
24
6
)
, calcule a matriz X tal que
AX = B
12. Dadas as matrizes A = (aij), quadrada de ordem 2, sendo aij =
2i− 3j
i
e B =
(
1 0
−1 1
)
, determine a matriz X tal que B2 + X = 2A.
13. Conhecendo os produtos AB =
(
2 −2
3 0
)
e AC =
(
1 7
−4 13
)
, cal-
cule A(B + C), BtAt e (ABA)C.
2
14. Se A =
 6 −4 04 −2 0
−1 0 3
 determine todas as soluções de AX = 2X,
sendo X uma matriz coluna.
15. Um fabricante de móveis produz cadeiras, mesinhas de centro e mesas
de jantar. Cada cadeira leva 2 minutos para ser lixada, 6 minutos para
ser tingida e 2 minutos para ser envernizada. Cada mesinha de centro leva
2 minutos para ser lixada, 3 minutos para ser tingida e 3 minutos para ser
envernizada. Cada mesa de jantar leva 2 minutos para ser lixada, 12 minutos
para ser tingida e 6 minutos para ser envernizada. A bancada para lixar fica
disponível 2 horas por semana, a bancada para tingir, 6 horas por semana, e
a bancada para envernizar, 3 horas por semana. Quantos móveis devem ser
fabricados (por semana) de cada tipo para que as bancadas sejam plenamente
utilizadas?
3
RESPOSTAS
1. x = 1, y = 2, a = 2 e b = −5
2.
(a)
 3 81 4
−5 1

(b)
 −8 −2−2 2
4 1

(c)
 −3 9−2 6
−5 0

(d)
 3 −92 −6
5 0

(e)
( −5 −1 −1
6 6 2
)
(f)
 9 74 2
−5 2

3.
(a)
 2 3 21 1 −3
7 −5 6

(b)
 0 3 21 −1 −3
7 −5 4

(c)
 −1 −3 −2−1 1 3
−7 5 −4

4.
(a)
(
3 −1 −13
3 7 22
)
(b)
(
1 1 −4
−2 4 2
)
5.
 −10
3
2

6. X =
( 9
2−3
)
e Y =
(
−5
2
6
)
7. X =
 4 −42 0
−1 −1

4
8.
 3 −3 03 −3 8
18 −18 16

9.
( −1 0
0 −1
)
10. a = 2 e b = 0
11.
(
5
4
)
12.
( −3 −8
3 −3
)
13. A(B+C) =
(
3 5
−1 13
)
, BtAt =
(
2 3
−2 0
)
e (ABA)C =
(
10 −12
3 21
)
14. X =
 aa
a
, a ∈ IR.
15. 30 cadeiras, 20 mesinhas de centro e 10 mesas de jantar
5