Aplicação de Derivada de 1ª Ordem

Prévia do material em texto

Aplicação de Derivada de 1ª Ordem
Equações Diferenciais
 Introdução
Na investigação de um homicídio, é muitas vezes importante estimar o instante da morte. A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma exatidão satisfatória em muitas circunstâncias, a temperatura superficial do corpo se altera com uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e meio- ambiente.
Vamos descrever uma forma matemática que pode ser usada para resolução deste problema, sendo esta, resultado da modelagem matemática da Lei do resfriamento de Newton.
Fundamentação Teórica
Sabemos que inúmeros problemas de física encontram sua expressão natural através de uma equação diferencial ordinária, a qual descreve o comportamento desses fenômenos. Uma dessas equações resulta da aplicação da Lei de Resfriamento de Newton. Através dela podemos determinar a temperatura de um determinado corpo sem fonte interna ou externa de calor. Por exemplo: determinar o instante da morte de uma pessoa; determinar o tempo necessário para o resfriamento de uma barra de metal; etc. 
 
Fundamentação Teórica
 Dedução dos Cálculos
 Utilizando do modelo matemática da Lei de Resfriamento de Newton, podemos verificar que um dos itens descreve sobre a Taxa de Variação da temperatura em relação ao Tempo. E é exatamente esta relação que utilizaremos para encontrar a solução para o seguinte problema:
 Problema
 Título: Investigando um assassinato 
 O Corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado a uma temperatura de 35 graus Celsius, ás 18h, em uma sala com temperatura constante de 20 graus Celsius. Duas horas depois a temperatura do corpo é de 33 graus Celsius. Á que horas ocorreu o assassinato?
 Dedução dos Cálculos
 Utilizando a derivada de 1ª ordem da Temperatura (T) em relação ao Tempo (t), juntamente com a afirmação da lei de resfriamento teremos a seguinte fórmula matemática:
 
 Dedução dos Cálculos
 Onde:
 - T é a temperatura do corpo;
 - Tm é a temperatura constante do ambiente em que o mesmo foi encontrado;
 - k é a constante que depende do material com que o corpo foi construído, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do ambiente;
 Dedução dos Cálculos
 Agora iremos organizar nossa equação para que a mesma se torne uma equação homogênea:
Resultando na seguinte Fórmula:
 Desenvolvimento do Problema
 Título: Investigando um assassinato 
 O Corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado a uma temperatura de 35 graus Celsius, ás 18h, em uma sala com temperatura constante de 20 graus Celsius. Duas horas depois a temperatura do corpo é de 33 graus Celsius. Á que horas ocorreu o assassinato?
 Resolvendo
 1º Passo:
No tempo 0, teremos a Temperatura de 35 ºC
 t= 0h
 T= 35 ºC
 
 Resolvendo
  Encontrado o valor da constante, teremos a seguinte equação:
 
Agora iremos encontrar a constante K, utilizando para este cálculo a Temperatura de 33 ºC, no instante t= 1h
 Resolvendo
 Substituiremos a constante K, utilizando a temperatura constante do corpo humano T = 37ºC, teremos:
 Solução
Ou seja, a vítima foi assassinada 52 minutos e 32 segundos antes do corpo ser encontrado, sendo assim o horário do assassinato foi ás 17h 7min e 30seg.
 Considerações Finais
Concluímos assim que, a aplicação da equação diferencial ordinária de 1ª ordem, mostra-se um instrumento de grande importância, pois possibilita a análise de outras ciências, permitindo a verificação prévia da equação matemática utilizada para modelar o problema em questão, verificando se o mesmo realmente se adequada ao fenômeno descrito.