RACIOCÍNIO LÓGICO

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sumário
Conjuntos. Representação de um conjunto. Relações de pertinência e inclusãoIgual-
dade de conjuntos. Subconjuntos. Conjunto universo. Conjunto das partes de um con-
junto. Operações com conjuntos: união, interseção, diferença e complementar. Produ-
to cartesiano. Diagrama de Venn. Número de elementos de um conjunto .................... 1
Conjuntos numéricos. Números naturais e inteiros: operações fundamentais. Números 
racionais: representação decimal dos números racionais (exata e periódica). Números 
irracionais. Números reais: operações fundamentais, potenciação e radiciação, repre-
sentação geométrica dos números reais, valor absoluto, intervalos .............................. 7
Critérios de divisibilidade, máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum, decompo-
sição em fatores primos ................................................................................................. 26
Unidades de medidas. Medidas de comprimento, superfície, volume, capacidade, 
massavelocidade, ângulo, informática, energia e tempo. Transformações das unida-
des de medidas .............................................................................................................. 35
Relações entre grandezas. Razões e proporções. Números e grandezas proporcio-
nais ................................................................................................................................. 42
Regra de três simples e composta ................................................................................. 45
Noções de matemática financeira. Porcentagens, juros simples e compostos ............. 47
Funções. Conceito de função. Domínio, contradomínio, imagem. Gráficos. Compo-
sição de funções. Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Funções crescentes e 
decrescentes. Função inversa. Função definida por várias sentenças. Função linear, 
função afim e seus gráficos ............................................................................................ 51
Sistema de equações lineares. Sistemas lineares homogêneos e não homogêneos. 
Resolução de sistemas lineares: escalonamento, regra de Cramer. Sistemas equiva-
lentes. Sistemas determinados, indeterminados e impossíveis ..................................... 63
Análise combinatória e probabilidade. Noções elementares de análise combinatória e 
probabilidade. Arranjos, combinações, permutações simples e permutações com repe-
tição. Probabilidade: conceitos básicos, probabilidade da união de eventos, indepen-
dência de eventos e probabilidade condicional .............................................................. 76
Noções de estatística. População, amostra ................................................................... 82
Média, mediana, moda ................................................................................................... 83
Frequências relativas, absolutas e percentuais ............................................................. 86
Interpretação de gráficos e de tabelas ........................................................................... 92
Raciocínio lógico. Noções básicas da lógica matemática: proposições, problemas com 
tabelas e argumentação. Tabelas Verdade, resolução de problemas ............................ 99
Questões ........................................................................................................................ 109
Gabarito .......................................................................................................................... 118
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UFLA
Matemática e Raciocínio Lógico
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CONJUNTOS. Representação de um conjunto. Relações de pertinência e 
inclusãoIgualdade de conjuntos. Subconjuntos. Conjunto universo. Conjunto das 
partes de um conjunto. Operações com conjuntos: união, interseção, diferença e 
complementar. Produto cartesiano. Diagrama de Venn. Número de elementos de um 
conjunto
Os conjuntos estão presentes em muitos aspectos da vida, seja no cotidiano, na cultura ou na ciência. Por 
exemplo, formamos conjuntos ao organizar uma lista de amigos para uma festa, ao agrupar os dias da semana 
ou ao fazer grupos de objetos. Os componentes de um conjunto são chamados de elementos, e para represen-
tar um conjunto, usamos geralmente uma letra maiúscula.
Na matemática, um conjunto é uma coleção bem definida de objetos ou elementos, que podem ser núme-
ros, pessoas, letras, entre outros. A definição clara dos elementos que pertencem a um conjunto é fundamental 
para a compreensão e manipulação dos conjuntos.
Símbolos importantes
∈: pertence
∉: não pertence
⊂: está contido
⊄: não está contido
⊃: contém
⊅: não contém
/: tal que
⟹: implica que
⇔: se,e somente se
∃: existe
∄: não existe
∀: para todo(ou qualquer que seja)
∅: conjunto vazio
N: conjunto dos números naturais
Z: conjunto dos números inteiros
Q: conjunto dos números racionais
I: conjunto dos números irracionais
R: conjunto dos números reais
Representações
Um conjunto pode ser definido:
• Enumerando todos os elementos do conjunto
S={1, 3, 5, 7, 9}
• Simbolicamente, usando uma expressão que descreva as propriedades dos elementos
B = {x∈N|xa alternativa que contém a maior 
dentre as massas representadas a seguir.
25kg / 42.000g / 1.234,3 dg / 26.000 cg / 2.000 mg
Alternativas
(A) 25 kg
(B) 42.000 g
(C) 1.234,3 dg
(D) 26.000 cg
(E) 2.000mg
Resolução: Primeiramente você deve passar todas as medidas diferentes para a mesma unidade de medi-
das, pois só assim você conseguirá fazer a comparação de quem é maior
25 kg = 25000g
42.000g= 42000g
26.000 cg = 260g
2.000 mg = 2g
1.234,3 dg = 123,43g
Resposta:B
TEMPO
A unidade fundamental do tempo é o segundo(s).
É usual a medição do tempo em várias unidades, por exemplo: dias, horas, minutos
Transformação de unidades
Deve-se saber:
1 dia=24horas
1hora=60minutos
1 minuto=60segundos
1hora=3600s
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Adição de tempo
Exemplo: Estela chegou ao ginásio às 15h 35minutos. Lá, bateu seu recorde de nado livre e fez 1 minuto e 
25 segundos. Demorou 30 minutos para chegar em casa. Que horas ela chegou?
15h 35 minutos
1 minutos 25 segundos
30 minutos
--------------------------------------------------
15h 66 minutos 25 segundos
Não podemos ter 66 minutos, então temos que transferir para as horas, sempre que passamos de um para 
o outro tem que ser na mesma unidade, temos que passar 1 hora=60 minutos
Então fica: 16h6 minutos 25segundos
Vamos utilizar o mesmo exemplo para fazer a operação inversa.
Subtração
Vamos dizer que sabemos que ela chegou em casa as 16h6 minutos 25 segundos e saiu de casa às 15h 35 
minutos. ℚuanto tempo ficou fora?
11h 60 minutos
16h 6 minutos 25 segundos
-15h 35 min
--------------------------------------------------
Não podemos tirar 6 de 35, então emprestamos, da mesma forma que conta de subtração.
1hora=60 minutos
15h 66 minutos 25 segundos
15h 35 minutos
--------------------------------------------------
0h 31 minutos 25 segundos
Multiplicação
Pedro pensou em estudar durante 2h 40 minutos, mas demorou o dobro disso. Quanto tempo durou o es-
tudo?
2h 40 minutos
x2
----------------------------
4h 80 minutos OU
5h 20 minutos
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Divisão
5h 20 minutos : 2
5h 20 minutos 2
1h 20 minutos 2h 40 minutos
80 minutos
0
1h 20 minutos, transformamos para minutos :60+20=80minutos
Exemplo:
(CONESUL - 2008 - CMR-RO - Agente Administrativo) Um intervalo de tempo de 4,15 horas corresponde, 
em horas, minutos e segundos a
Alternativas
(A) 4 h 1 min 5 s.
(B) 4 h 15 min 0 s.
(C) 4h 9 min 0 s.
(D) 4 h 10 min 5 s.
(E) 4 h 5 min 1 s. 
Resolução: Transformando 4,15h em minutos = 4,15x60 = 249 minutos.
249min = 4h + 9 minutos
Resposta:C
VELOCIDADE
A velocidade é uma grandeza física que descreve a rapidez com que um objeto se desloca em relação ao 
tempo. No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de velocidade é o metro por segundo 
(m/s), mas em diversas aplicações práticas, especialmente em transporte, também utilizamos outras unidades 
como quilômetros por hora (km/h).
A velocidade pode ser expressa em diversas unidades dependendo do contexto:
UNIDADES DE VELOCIDADE
Unidade Símbolo Equivalência
Metro por segundo m/s 1 m/s
Quilômetro por hora km/h 1 m/s = 3,6 km/h
Milha por hora mph 1 mph ≈ 1,609 km/h
Nó kn 1 kn ≈ 1,852 km/h
Conversões de Velocidade
Para converter entre as unidades de velocidade, utilizamos as relações de conversão específicas:
− De m/s para km/h: Multiplicamos o valor por 3,6.
− De km/h para m/s: Dividimos o valor por 3,6.
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− Para converter milhas por hora (mph) para quilômetros por hora (km/h): Multiplicamos por aproximada-
mente 1,609.
− Para converter nós (kn) para quilômetros por hora (km/h): Multiplicamos por 1,852.
ÂNGULO
Para medir ângulos, temos um sistema não decimal. Nesse caso, a unidade básica é o grau. Na astronomia, 
na cartografia e na navegação são necessárias medidas inferiores a 1º. Temos, então:
1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’)
1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”)
Os minutos e os segundos dos ângulos não são, é claro, os mesmos do sistema de tempo – hora, minuto e 
segundo. Há uma coincidência de nomes, mas até os símbolos que os indicam são diferentes:
1h 32min 24s é um intervalo de tempo ou um instante do dia.
1º 32’ 24” é a medida de um ângulo.
Por motivos óbvios, cálculos no sistema hora – minuto – segundo são similares a cálculos no sistema grau 
– minuto – segundo, embora esses sistemas correspondam a grandezas distintas.
ENERGIA
A energia é uma grandeza física que expressa a capacidade de realizar trabalho. No Sistema Internacional 
de Unidades (SI), a unidade padrão de medida de energia é o joule (J).
Unidades de Energia
Unidade Símbolo Equivalência
Joule J Unidade padrão
Quilojoule kJ 1 kJ = 1.000 J
Caloria cal 1 cal ≈ 4,18 J
Quilocaloria kcal 1 kcal = 1.000 cal
Quilowatt-hora kWh 1 kWh = 3.600.000 J
Essas unidades são utilizadas em diferentes contextos: o kWh é comum em contas de energia elétrica; a 
caloria e a kcal aparecem em rótulos de alimentos; e o joule é usado na Física de modo geral.
Exemplos de Transformação
1 kWh = 3.600.000 J
1 cal = 4,18 J
1 kcal = 1.000 cal = 4.184 J
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INFORMÁTICA
As unidades de medida de capacidade de dados são utilizadas para quantificar a quantidade de informa-
ção no meio digital. Elas indicam o tamanho de arquivos, a capacidade de armazenamento de dispositivos e 
o volume de dados transmitidos em redes. Assim como as grandezas físicas possuem padrões no Sistema 
Internacional de Unidades (SI), as medidas digitais também seguem convenções amplamente adotadas, o que 
permite padronizar a comunicação e facilitar o entendimento em diferentes contextos
– Bit de Conhecimento (BC): Equivale a uma única peça de informação, uma ideia básica ou um fato iso-
lado. Pode ser a resposta para uma pergunta de múltipla escolha.
– Unidade de Saber (US): Compõe-se de vários bits de conhecimento interconectados. Uma US é a capa-
cidade de conectar informações e entendê-las em um contexto mais amplo, como entender um tópico complexo 
de matemática.
– Megabyte de Conhecimento (MBc): Imagine um arquivo mental substancial, equivalente a um livro intei-
ro, com informações interligadas e detalhadas sobre um campo específico.
– Gigabyte de Conhecimento (GBc): Representa um vasto depósito de informações, como todo o conhe-
cimento disponível sobre um campo de estudo, permitindo análises avançadas e inovações.
UNIDADE SÍMBOLO EQUIVALÊNCIA EM BYTES EXEMPLO DE USO
Bit B 1 bit Estado de um único interruptor (0 ou 
1)
Byte B 8 bits Um caractere (por exemplo, ‘A’ ou 
‘7’)
Kilobyte KB 1.024 bytes (2^10 bytes) Um pequeno parágrafo de texto
Megabyte MB 1.024 kilobytes (2^20 bytes) Uma imagem de baixa resolução
Gigabyte GB 1.024 megabytes (2^30 bytes) Um episódio de uma série de TV em 
HD
Terabyte TB 1.024 gigabytes (2^40 bytes) Biblioteca de pesquisa de uma 
universidade
Petabyte PB 1.024 terabytes (2^50 bytes) Dados em grande escala de uma 
empresa
Exabyte EB 1.024 petabytes (2^60 bytes) Armazenamento de dados a nível 
global
RELAÇÕES ENTRE GRANDEZAS. Razõese proporções. Números e grandezas 
proporcionais
Frequentemente nos deparamos com situações em que é necessário comparar grandezas, medir variações 
e entender como determinadas quantidades se relacionam entre si. Para isso, utilizamos os conceitos de razão 
e proporção, que permitem expressar de maneira simples e eficiente essas relações.
RAZÃO
A razão é uma maneira de comparar duas grandezas por meio de uma divisão. Se temos dois números a e 
b (com b≠0), a razão entre eles é expressa por a/b ou a:b. Este conceito é utilizado para medir a relação entre 
dois valores em diversas situações, como a comparação entre homens e mulheres em uma sala, a relação 
entre distâncias percorridas e tempo, entre outros.
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Exemplo:
Em uma sala de aula há 20 rapazes e 25 moças. A razão entre o número de rapazes e moças é dada por:
Portanto, a razão é 4:5.
Razões Especiais
Algumas razões são usadas em situações práticas para expressar comparações específicas:
− Velocidade Média: A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto, representada por: 
− Densidade Demográfica: A razão entre o número de habitantes e a área de uma região, dada por: 
− Escalas: Usada para representar a proporção entre o tamanho real de um objeto e sua representação em 
um mapa ou desenho, como: 
PROPORÇÃO
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Se temos duas razões A\B e C\D , dizemos que elas 
estão em proporção se:
Esse conceito é frequentemente utilizado para resolver problemas em que duas ou mais relações entre 
grandezas são iguais. A propriedade fundamental das proporções é que o produto dos extremos é igual ao 
produto dos meios, ou seja:
Exemplo:
Suponha que 3/4 esteja em proporção com 6/8 . Verificamos se há proporção pelo produto dos extremos e 
dos meios:
3 × 8 = 4 × 6
Como 24 = 24, a proporção é verdadeira.
Exemplo:
Determine o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6 . Montando a proporção:
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Multiplicando os extremos e os meios:
6X = 3 × 4
6X = 12
X = 2
Propriedades das Proporções
Além da propriedade fundamental, as proporções possuem outras propriedades que podem facilitar a reso-
lução de problemas. Algumas das mais importantes são:
− Soma ou diferença dos termos: A soma (ou diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro 
(ou segundo) termo assim como a soma (ou diferença) dos dois últimos termos está para o terceiro (ou quarto) 
termo. Por exemplo: 
− Soma ou diferença dos antecedentes e consequentes: A soma (ou diferença) dos antecedentes está 
para a soma (ou diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para seu respectivo conse-
quente: 
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Além de compreender razão e proporção, é importante entender como diferentes grandezas se relacionam 
entre si, conforme o comportamento das variáveis envolvidas.
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre seus valores é constante, ou seja, 
quando uma grandeza aumenta, a outra também aumenta proporcionalmente. O exemplo clássico é a relação 
entre distância percorrida e combustível gasto:
Distância (km) Combustível (litros)
13 1
26 2
39 3
52 4
Nessa situação, quanto mais distância se percorre, mais combustível é gasto. Se a distância dobra, o com-
bustível também dobra.
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira grandeza é 
igual ao inverso da razão dos valores correspondentes da segunda. Um exemplo clássico é a relação entre 
velocidade e tempo:
Velocidade (m/s) Tempo (s)
5 200
8 125
10 100
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16 62,5
20 50
Aqui, quanto maior a velocidade, menor o tempo necessário para percorrer uma distância. Se a velocidade 
dobra, o tempo cai pela metade.
Regra de três simples e composta
A regra de três é uma ferramenta matemática essencial que permite resolver problemas que envolvem a 
proporcionalidade direta ou inversa entre grandezas. Seja no planejamento de uma receita de cozinha, no cál-
culo de distâncias em um mapa ou na gestão financeira, a regra de três surge como um método prático para 
encontrar valores desconhecidos a partir de relações conhecidas.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Usamos a regra de três simples quando lidamos com duas grandezas relacionadas, que podem ser:
– Diretamente proporcionais (aumenta uma, aumenta a outra)
– Inversamente proporcionais (aumenta uma, diminui a outra)
Passos utilizados numa regra de três:
1. Organize os dados em uma tabela, colocando grandezas da mesma espécie em colunas.
2. Identifique o tipo de proporcionalidade (direta ou inversa).
3. Monte a proporção, aplicando a lógica correta (direta ou inversa).
4. Resolva a equação para encontrar o valor desconhecido.
Exemplo: Um trem viaja a 400 km/h e leva 3 horas para completar um percurso. Quanto tempo levaria para 
fazer o mesmo percurso a 480 km/h?
Para resolver, primeiro montamos a tabela:
VELOCIDADE (KM/H) TEMPO
400 ----- 3
480 ----- X
Agora identificamos o tipo de relação. Se a velocidade aumenta, o tempo diminui, então se trata de grande-
zas inversamente proporcionais.
VELOCIDADE (KM/H) TEMPO
400 ↓ ----- 3 ↑
480 ↓ ----- X ↑
Como as setas estão invertidas (proporcionalidade inversa), invertemos a segunda razão:
VELOCIDADE (KM/H) TEMPO
400 ----- X
480 ----- 3
Montando a proporção e resolvendo, temos 
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Portanto, o trem levaria 2,5 horas para completar o percurso a 480 km/h.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de três composta é utilizada para resolver problemas com mais de duas grandezas, que podem ser 
diretamente ou inversamente proporcionais entre si.
Exemplo: Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão 
necessários para descarregar 125m³?
Primeiro montamos a tabela, organizando as grandezas da mesma natureza em colunas:
HORAS CAMINHÕES VOLUME (M3)
8 ----- 20 ----- 160
5 ----- X ----- 125
Agora, para identificarmos o tipo de relação, vamos comparar cada grandeza com a coluna que contém o 
X (número de caminhões):
– Se temos mais horas de trabalho, podemos usar menos caminhões, portanto uma relação inversamente 
proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
– Se temos mais volume para descarregar, precisamos de mais caminhões, portanto uma relação direta-
mente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna).
HORAS CAMINHÕES VOLUME (M3)
8 ↑ ----- 20 ↓ ----- 160 ↓
5 ↑ ----- X ↓ ----- 125 ↓
Devemos igualar a razão que contém o X com o produto das outras razões, de acordo com o sentido das 
setas. Como a relação entre horas e caminhões é inversa, invertemos a razão da primeira coluna:
HORAS CAMINHÕES VOLUME (M3)
5 ----- 20 ----- 160 
8 ----- X ----- 125 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões para descarregar 125 m³ de areia em 5 horas.
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NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA. Porcentagens, juros simples e compostos
PORCENTAGEM
O termo porcentagem se refere a uma fração cujo denominador é 100, representada pelo símbolo (%). Seu 
uso é tão comum que a encontramos em praticamente todos os aspectos do dia a dia: nos meios de comunica-
ção, em estatísticas, nas etiquetas de preços, nas máquinas de calcular, e muito mais.
A porcentagem facilita a compreensão de aumentos, reduções e taxas, o que auxilia na resolução de exer-
cícios e situações financeiras cotidianas.
Acréscimo
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor multipli-
cando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e 
assim por diante. Veja a tabela abaixo:
ACRÉSCIMO OU LUCRO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 × 1,10 = R$ 11,00
Desconto
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
DESCONTO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 × 0,90 = R$ 9,00
Desconto Composto
O desconto composto é aplicado de forma que a taxa de desconto incide sobre o valor já descontado no 
período anterior. Para calcular o novo valor após vários períodos de desconto, utilizamos a fórmula:
Vn = V0 × (1 - taxa)n
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Onde:
• Vn é o valor após n períodos de desconto.
• V0 é o valor original.
• Taxa é a taxa de desconto por período em forma decimal.
• n é o número de períodos. 
DESCONTO FATOR DO 1º PERÍODO FATOR DO 2 º PERÍODO FATOR DO 3º PERÍODO
10% 0,90 0,81 0,729
25% 0,75 0,5625 0,4218
34% 0,66 0,4356 0,2872
60% 0,40 0,16 0,064
90% 0,10 0,01 0,001
Exemplo: Se aplicarmos um desconto composto de 10% ao valor de R$100,00 por dois períodos, teremos:
100 × 0,90 × 0,90 = R$ 81,00
Lucro
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e 
o preço de custo.
Lucro = preço de venda - preço de custo
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Exemplo
(DPE/RR – Analista de Sistemas – FCC/2015) Em sala de aula com 25 alunos e 20 alunas, 60% desse 
total está com gripe. Se x% das meninas dessa sala estão com gripe, o menor valor possível para x é igual a
(A) 8.
(B) 15.
(C) 10.
(D) 6.
(E) 12.
Resolução
45------100%
X-------60%
X=27
O menor número de meninas possíveis para ter gripe é se todos os meninos estiverem gripados, assim 
apenas 2 meninas estão.
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Resposta: C.
JUROS
Os juros simples e compostos são cálculos efetuados com o objetivo de corrigir os valores envolvidos nas 
transações financeiras, isto é, a correção que se faz ao emprestar ou aplicar uma determinada quantia durante 
um período de tempo2.
O valor pago ou resgatado dependerá da taxa cobrada pela operação e do período que o dinheiro ficará 
emprestado ou aplicado. Quanto maior a taxa e o tempo, maior será este valor.
— Juros Simples
Os juros simples são calculados aplicando a seguinte fórmula:
Sendo:
J: juros.
C: valor inicial da transação, chamado em matemática financeira de capital.
i: taxa de juros (valor normalmente expresso em porcentagem).
t: período da transação.
Podemos ainda calcular o valor total que será resgatado (no caso de uma aplicação) ou o valor a ser quitado 
(no caso de um empréstimo) ao final de um período predeterminado.
Esse valor, chamado de montante, é igual a soma do capital com os juros, ou seja:
Podemos substituir o valor de J, na fórmula acima e encontrar a seguinte expressão para o montante:
A fórmula que encontramos é uma função afim, desta forma, o valor do montante cresce linearmente em 
função do tempo.
Exemplo: Se o capital de R$ 1 000,00 rende mensalmente R$ 25,00, qual é a taxa anual de juros no sistema 
de juros simples?
Solução: Primeiro, vamos identificar cada grandeza indicada no problema.
C = R$ 1 000,00
J = R$ 25,00
t = 1 mês
i = ?
Agora que fizemos a identificação de todas as grandezas, podemos substituir na fórmula dos juros:
2 https://www.todamateria.com.br/juros-simples-e-compostos/
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Entretanto, observe que essa taxa é mensal, pois usamos o período de 1 mês. Para encontrar a taxa anual 
precisamos multiplicar esse valor por 12, assim temos:
i = 2,5.12= 30% ao ano
— Juros Compostos
O montante capitalizado a juros compostos é encontrado aplicando a seguinte fórmula:
Sendo:
M: montante.
C: capital.
i: taxa de juros.
t: período de tempo.
Diferente dos juros simples, neste tipo de capitalização, a fórmula para o cálculo do montante envolve uma 
variação exponencial. Daí se explica que o valor final aumente consideravelmente para períodos maiores.
Exemplo: Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00 aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um ano, 
no sistema de juros compostos.
Solução: Identificando as informações dadas, temos:
C = 2 000
i = 4% ou 0,04 ao trimestre
t = 1 ano = 4 trimestres
M = ?
Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos:
Observação: o resultado será tão melhor aproximado quanto o número de casas decimais utilizadas na 
potência.
Portanto, ao final de um ano o montante será igual a 
R$ 2 339,71.
— Diferença entre Juros Simples e Compostos
Nos juros simples a correção é aplicada a cada período e considera apenas o valor inicial. Nos juros 
compostos a correção é feita em cima de valores já corrigidos.
Por isso, os juros compostos também são chamados de juros sobre juros, ou seja, o valor é corrigido sobre 
um valor que já foi corrigido.
Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou empréstimo a correção por juros compostos fará com 
que o valor final a ser recebido ou pago seja maior que o valor obtido com juros simples.
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A maioria das operações financeiras utiliza a correção pelo sistema de juros compostos. Os juros simples se 
restringem as operações de curto período.
FUNÇÕES. Conceito de função. Domínio, contradomínio, imagem. Gráficos. 
Composição de funções. Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Funções 
crescentes e decrescentes. Função inversa. Função definida por várias sentenças. 
Função linear, função afim e seus gráficos
No cotidiano, é comum nos depararmos com situações que envolvem a interação entre diferentes grande-
zas. Por exemplo, o valor de uma conta de luz depende diretamente do consumo de energia elétrica, e o tempo 
de uma viagem está relacionado à velocidade média do trajeto. Esses exemplos ilustram relações entregran-
dezas, que podem ser representadas e analisadas de forma precisa. 
RELAÇÕES
Uma relação é uma correspondência entre os elementos de dois conjuntos, A e B. Ela associa elementos de 
A com elementos de B de acordo com uma regra ou critério.
Exemplo:
▪ A = {1,2,3}: conjunto de números.
▪ B = {2,4,6}: conjunto de números pares.
Uma relação entre A e B pode ser: R = { (1,2),(2,4),(3,6) }.
Neste caso, cada número de A está associado ao dobro dele em B. Assim, R é uma relação entre os dois 
conjuntos.
Relações podem assumir diferentes características:
▪ Relações totais: Cada elemento de A está relacionado a pelo menos um elemento de B.
▪ Relações parciais: Nem todos os elementos de A possuem correspondência em B.
▪ Relações unívocas: Cada elemento de A está associado a apenas um elemento de B, mas elementos de 
B podem estar relacionados a mais de um elemento de A.
Essas características são fundamentais para definir uma função, que é um caso especial de relação.
FUNÇÕES
Uma função é uma relação especial entre dois conjuntos A e B, que liga cada valor de entrada a um único 
valor de saída. Em outras palavras, para cada valor que colocamos na função, ela devolve um resultado úni-
co.
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Definição
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. Essa relação f é uma função de A em 
B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do conjunto B, sendo 
assim, um valor de A não pode estar ligado a dois valores de B.
Representação das Funções
Uma função pode ser representada de várias formas:
▪ Algebricamente: Por uma fórmula, como f(x)=2x+3.
▪ Por pares ordenados: {(1,2),(2,4),(3,6)}.
▪ Graficamente: Usando um plano cartesiano para exibir a relação entre os elementos
Notação das Funções
Uma função pode ser representada como 
f: A→B
lida como “f é uma função de A em B”, onde:
▪ O conjunto A é chamado de domínio (D), que contém todos os valores de entrada possíveis para a função.
▪ O conjunto B é chamado de contradomínio (CD), que contém todos os valores que a função pode alcançar.
▪ O valor específico de B que está relacionado a cada elemento de A é chamado de imagem .
▪ O conjunto formado por todas as imagens é chamado de conjunto imagem (Im) e sempre será um 
subconjunto do contradomínio.
Exemplo: observe os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, com a função que determina a 
relação entre os elementos f: A → B é x → 2x. Sendo assim, f(x) = 2x e cada x do conjunto A é transformado 
em 2x no conjunto B.
Note que o conjunto de A {1, 2, 3, 4} são as entradas, “multiplicar por 2” é a função e os valores de B {2, 4, 
6, 8}, que se ligam aos elementos de A, são os valores de saída. Portanto, para essa função:
▪ O domínio é {1, 2, 3, 4};
▪ O contradomínio é {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
▪ O conjunto imagem é {2, 4, 6, 8}.
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Tipos de Funções
As funções recebem classificações de acordo com suas propriedades:
— Função Sobrejetora: Na função sobrejetora o contradomínio é igual ao conjunto imagem. Portanto, todo 
elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A. Portanto, f: A → B, ocorre Im(f) = B = CD
Exemplo:
Para a função acima:
▪ O domínio é {-4, -2, 2, 3};
▪ O contradomínio é {12, 4, 6};
▪ O conjunto imagem é {12, 4, 6}.
— Função Injetora: Na função injetora todos os elementos de A possuem correspondentes distintos em B e 
nenhum dos elementos de A compartilham de uma mesma imagem em B. Entretanto, podem existir elementos 
em B que não estejam relacionados a nenhum elemento de A.
Exemplo:
Para a função acima:
▪ O domínio é {0, 3, 5};
▪ O contradomínio é {1, 2, 5, 8};
▪ O conjunto imagem é {1, 5, 8}.
— Função Bijetora: Na função bijetora os conjuntos apresentam o mesmo número de elementos 
relacionados. Essa função recebe esse nome por ser ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
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Exemplo:
Para a função acima:
▪ O domínio é {-1, 1, 2, 4};
▪ O contradomínio é {2, 3, 5, 7};
▪ O conjunto imagem é {2, 3, 5, 7}.
— Função Inversa: A inversa de uma função f, denotada por f-1, é a função que desfaz a operação execu-
tada pela função f. Vejamos a figura abaixo:
Destacamos que:
▪ A função f “leva” o valor - 2 até o valor - 16, enquanto que a inversa f-1, “traz de volta” o valor - 16 até o 
valor - 2, desfazendo assim o efeito de f sobre - 2.
▪ Outra maneira de entender essa ideia é a função f associa o valor -16 ao valor -2, enquanto que a inversa, 
f-1, associa o valor -2 ao valor -16.
▪ Dada uma tabela de valores funcionais para f(x), podemos obter uma tabela para a inversa f-1, invertendo 
as colunas x e y.
▪ Se aplicarmos, em qualquer ordem, f e também f-1 a um número qualquer, obtemos esse número de volta. 
Seja f: A → B uma função bijetora com domínio A e imagem B. A função inversa f -1 é a função f -1: B → A , 
com domínio B e imagem A tal que: 
f-1(f(a)) = a para a ∈ A e f(f-1(b)) = b para b ∈ B
Assim, podemos definir a função inversa f -1 por: x = f -1(y) ↔ y = f(x), para y em B.
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Fonte: https://lh3.googleusercontent.com
— Função Par: Quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos f(x)=f(-x), ∀ x ∈ D(f). Ou seja, 
os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. 
— Função Ímpar: Quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x ∈ D(f). Ou 
seja, os elementos simétricos do domínio terão imagens simétricas.
— Funções iguais: Duas funções f: A→B e g: A→B são iguais (escrevemos f=g) se, e somente se, para 
todo x ∈ A temos f(x) = g(x).
FUNÇÃO DO 1º GRAU
A função afim, também chamada de função do 1º grau, é uma função f: R→R, definida como f(x) = ax + b, 
sendo a e b números reais3, com a ≠ 0. Exemplos de funções afins incluem f(x) = x+5 e h(x)= 1/2x.
Neste tipo de função, o número a é chamado de coeficiente de x e representa a taxa de crescimento ou taxa 
de variação da função. Já o número b é chamado de termo constante.
Gráfico de uma Função do 1º grau
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Desta forma, para 
construirmos seu gráfico basta encontrarmos pontos que satisfaçam a função.
Exemplo: Construa o gráfico da função f (x) = 2x + 3.
3 https://www.todamateria.com.br/funcao-afim/
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Para construir o gráfico desta função, vamos atribuir valores arbitrários para x, substituir na equação e 
calcular o valor correspondente para a f (x).
Sendo assim, iremos calcular a função para os valores de x iguais a: - 2, - 1, 0, 1 e 2. Substituindo esses 
valores na função, temos:
f (- 2) = 2. (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1
f (- 1) = 2 . (- 1) + 3 = - 2 + 3 = 1
f (0) = 2 . 0 + 3 = 3
f (1) = 2 . 1 + 3 = 5
f (2) = 2 . 2 + 3 = 7
Os pontos escolhidos e o gráfico da f (x) são apresentados na imagem abaixo:
No exemplo, utilizamos váriospontos para construir o gráfico, entretanto, para definir uma reta bastam dois 
pontos.
Para facilitar os cálculos podemos, por exemplo, escolher os pontos (0,y) e (x,0). Nestes pontos, a reta da 
função corta o eixo Ox e Oy respectivamente.
Coeficiente Linear e Angular
Como o gráfico de uma função afim é uma reta, o coeficiente a de x é também chamado de coeficiente 
angular. Esse valor representa a inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante b é chamado de coeficiente linear e representa o ponto onde a reta corta o eixo Oy. Pois 
sendo x = 0, temos:
y = a.0 + b → y = b
ℚuando uma função afim apresentar o coeficiente angular igual a zero (a = 0) a função será chamada de 
constante. Neste caso, o seu gráfico será uma reta paralela ao eixo Ox.
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Abaixo representamos o gráfico da função constante f (x) = 4:
Ao passo que, quando b = 0 e a = 1 a função é chamada de função identidade. O gráfico da função f (x) = x 
(função identidade) é uma reta que passa pela origem (0,0).
Além disso, essa reta é bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou seja, divide os quadrantes em dois ângulos 
iguais, conforme indicado na imagem abaixo:
Temos ainda que, quando o coeficiente linear é igual a zero (b = 0), a função afim é chamada de função 
linear. Por exemplo as funções f (x) = 2x e g (x) = - 3x são funções lineares.
O gráfico das funções lineares são retas inclinadas que passam pela origem (0,0).
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Representamos abaixo o gráfico da função linear f (x) = - 3x:
Função Crescente e Decrescente
Uma função é crescente quando ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) será 
também cada vez maior.
Já a função decrescente é aquela que ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) 
será cada vez menor.
Para identificar se uma função afim é crescente ou decrescente, basta verificar o valor do seu coeficiente 
angular.
Se o coeficiente angular for positivo, ou seja, a é maior que zero, a função será crescente. Ao contrário, se 
a for negativo, a função será decrescente.
Por exemplo, a função 2x - 4 é crescente, pois a = 2 (valor positivo). Entretanto, a função - 2x + - 4 é 
decrescente visto que a = - 2 (negativo). Essas funções estão representadas nos gráficos abaixo:
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FUNÇÃO DO 2º GRAU
A função quadrática, também chamada de função polinomial de 2º grau, é uma função representada pela 
seguinte expressão4:
f(x) = ax² + bx + c
Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Exemplo:
f(x) = 2x² + 3x + 5,
sendo,
a = 2
b = 3
c = 5
Nesse caso, o polinômio da função quadrática é de grau 2, pois é o maior expoente da variável.
Como resolver uma função quadrática
Confira abaixo o passo-a-passo por meio um exemplo de resolução da função quadrática:
Exemplo: Determine a, b e c na função quadrática dada por: f(x) = ax² + bx + c, sendo:
f (-1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2
Primeiramente, vamos substituir o x pelos valores de cada função e assim teremos:
f (-1) = 8
a (-1)² + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (equação I)
f (0) = 4
a . 0² + b . 0 + c = 4
c = 4 (equação II)
f (2) = 2
a . 2² + b . 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (equação III)
Pela segunda função f (0) = 4, já temos o valor de c = 4.
Assim, vamos substituir o valor obtido para c nas equações I e III para determinar as outras incógnitas (a e 
b):
(Equação I)
a - b + 4 = 8
a - b = 4
a = b + 4
4 https://www.todamateria.com.br/funcao-quadratica/
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Já que temos a equação de a pela Equação I, vamos substituir na III para determinar o valor de b:
(Equação III)
4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6b = - 18
b = - 3
Por fim, para encontrar o valor de a substituímos os valores de b e c que já foram encontrados. Logo:
(Equação I)
a - b + c = 8
a - (- 3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
a = 1
Sendo assim, os coeficientes da função quadrática dada são:
a = 1
b = - 3
c = 4
Raízes da Função
As raízes ou zeros da função do segundo grau representam aos valores de x tais que f(x) = 0. As raízes da 
função são determinadas pela resolução da equação de segundo grau:
f(x) = ax² +bx + c = 0
Para resolver a equação do 2º grau podemos utilizar vários métodos, sendo um dos mais utilizados é 
aplicando a Fórmula de Bhaskara, ou seja:
Exemplo: Encontre os zeros da função f(x) = x² – 5x + 6.
Sendo:
a = 1
b = – 5
c = 6
Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:
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Portanto, as raízes são 2 e 3.
Observe que a quantidade de raízes de uma função quadrática vai depender do valor obtido pela expressão: 
Δ = b² – 4. ac, o qual é chamado de discriminante.
Assim,
- Se Δ > 0, a função terá duas raízes reais e distintas (x1 ≠ x2);
- Se Δ 0, o gráfico cortará o eixo x em dois pontos;
- Se Δa função f, representada por gof.
Exemplos:
1. Seja uma função f(x) = x + 1 e g(x) = x2. ℚual será o resultado final se tomarmos um x real e a ele 
aplicarmos sucessivamente a lei de f e a lei de g?
O resultado final é que x é levado a (x + 1)2. Essa função h de R em R que leva x até (x + 1)2 é chamada de 
função composta.
2. Seja f (x) = 2x – 3 e f (g (x)) = 6x + 11, calcular g (x).
Como f(g(x)) = 6x + 11, então 2g(x) – 3 = 6x + 11 è 2g(x) = 6x + 14 è g(x) = 3x + 7
Na função composta você aplica as propriedades da primeira na segunda ou vice-versa, ou até mesmo 
ambas juntas.
FUNÇÃO DE VÁRIAS SENTENÇAS
Dependendo das variáveis envolvidas, pode ser necessário o uso de mais de uma função para representar 
adequadamente uma determinada situação. Elas são desse tipo, exemplo:
Vamos considerar as seguintes funções:
Agora, se pensarmos em uma função f definida por f(x) = g(x) = x² para xa zero para x igual a 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) -2. 
(D) -1. 
Resolução:
D = 4 - (-2x)
0 = 4 + 2x
x = - 2
Resposta: C.
Regra de Sarrus
Esta técnica é utilizada para obtermos o determinante de matrizes de 3ª ordem. Utilizaremos um exemplo 
para mostrar como aplicar a regra de Sarrus. A regra de Sarrus consiste em:
a) Repetir as duas primeiras colunas à direita do determinante.
b) Multiplicar os elementos da diagonal principal e os elementos que estiverem nas duas paralelas a essa 
diagonal, conservando os sinais desses produtos.
c) Efetuar o produto dos elementos da diagonal secundária e dos elementos que estiverem nas duas pa-
ralelas à diagonal e multiplicá-los por -1.
d) Somar os resultados dos itens b e c. E assim encontraremos o resultado do determinante.
Simplificando temos:
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Exemplo: 
(PREF. ARARAQUARA/SP – AGENTE DA ADMINISTRAÇÃO DOS SERVIÇOS DE SANEAMENTO – CE-
TRO) 
Dada a matriz , onde , assinale a alternativa que apresenta o valor do deter-
minante de A é 
(A) -9. 
(B) -8. 
(C) 0. 
(D) 4.
Resolução:
detA = - 1 – 4 + 2 - (2 + 2 + 2) = - 9
Resposta: A.
Teorema de Laplace
Para matrizes quadradas de ordem n ≥ 2, o teorema de Laplace oferece uma solução prática no cálculo dos 
determinantes. Pelo teorema, o determinante de uma matriz quadrada A de ordem n (n ≥ 2) é igual à soma dos 
produtos dos elementos de uma linha ou de uma coluna qualquer, pelos respectivos co-fatores. 
Exemplo:
Dada a matriz quadrada de ordem 3, , vamos calcular det A usando o teorema de Laplace.
Podemos calcular o determinante da matriz A, escolhendo qualquer linha ou coluna. Por exemplo, escolhen-
do a 1ª linha, teremos:
det A = a11. A11 + a12. A12 + a13. A13
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Portanto, temos que:
det A = 3. (-21) + 2. 6 + 1. (-12) ⇒ det A = -63 + 12 – 12 ⇒ det A = -63
Exemplo: 
(TRANSPETRO – ENGENHEIRO JÚNIOR – AUTOMAÇÃO – CESGRANRIO) Um sistema dinâmico, utili-
zado para controle de uma rede automatizada, forneceu dados processados ao longo do tempo e que permiti-
ram a construção do quadro abaixo.
1 3 2 0
3 1 0 2
2 3 0 1
0 2 1 3
A partir dos dados assinalados, mantendo-se a mesma disposição, construiu-se uma matriz M. O valor do 
determinante associado à matriz M é
(A) 42
(B) 44
(C) 46
(D) 48
(E) 50
Resolução:
Como é uma matriz 4x4 vamos achar o determinante através do teorema de Laplace. Para isso precisamos, 
calcular os cofatores. Dica: pela fileira que possua mais zero. O cofator é dado pela fórmula: 
Para o determinante é usado os números que sobraram tirando a linha e a coluna.
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A13=2.23=46
A43=1.2=2
D = 46 + 2 = 48
Resposta: D.
Determinante de uma matriz de ordem n > 3
Para obtermos o determinante de matrizes de ordem n > 3, utilizamos o teorema de Laplace e a regra de 
Sarrus. Exemplo:
Escolhendo a 1ª linha para o desenvolvimento do teorema de Laplace. Temos então:
det A = a11. A11 + a12. A12 + a13. A13 + a14. A14
Como os determinantes são, agora, de 3ª ordem, podemos aplicar a regra de Sarrus em cada um deles. 
Assim:
det A= 3. (188) - 1. (121) + 2. (61) ⇒ det A = 564 - 121 + 122 ⇒ det A = 565
Propriedades dos determinantes
a) Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna são nulos, o determinante é nulo.
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b) Se uma matriz A possui duas linhas ou duas colunas iguais, então o determinante é nulo.
c) Em uma matriz cuja linha ou coluna foi multiplicada por um número k real, o determinante também fica 
multiplicado pelo mesmo número k.
d) Para duas matrizes quadradas de mesma ordem, vale a seguinte propriedade:
det (A. B) = det A + det B.
e) Uma matriz quadrada A será inversível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Um sistema de equações lineares mxn é um conjunto de m equações lineares, cada uma delas com n in-
cógnitas.
Em que:
Sistema Linear 2 x 2
Chamamos de sistema linear 2 x 2 o con junto de equações lineares a duas incógnitas, consideradas simul-
taneamente.
Todo sistema linear 2 x 2 admite a forma geral abaixo:



=+
=+
222
111
cyba
cybxa
Sistema Linear 3x3
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Sistemas Lineares equivalentes
Dois sistemas lineares que admitem o mesmo conjunto solução são ditos equivalentes. Por exemplo:
São equivalentes, pois ambos têm o mesmo conjunto solução S={(1,2)}
Denominamos solução do sistema linear toda sequência ordenada de números reais que verifica, simulta-
neamente, todas as equações do sistema.
Dessa forma, resolver um sistema significa encontrar todas as sequências ordenadas de números reais que 
satisfaçam as equações do sistema.
Matriz Associada a um Sistema Linear
Dado o seguinte sistema:
Matriz incompleta
Classificação
1. Sistema Possível e Determinado
O par ordenado (2, 1) é solução da equação, pois
Como não existe outro par que satisfaça simultaneamente as duas equações, dizemos que esse sistema é 
SPD(Sistema Possível e Determinado), pois possui uma única solução.
2. Sistema Possível e Indeterminado
Esse tipo de sistema possui infinitas soluções, os valores de x e y assumem inúmeros valores. Observe o 
sistema a seguir, x e y podem assumir mais de um valor, (0,4), (1,3), (2,2), (3,1) e etc. 
3. Sistema Impossível
Não existe um par real que satisfaça simultaneamente as duas equações. Logo o sistema não tem solução, 
portanto é impossível.
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Sistema Escalonado
Sistema Linear Escalonado é todo sistema no qual as incógnitas das equações lineares estão escritas em 
uma mesma ordem e o 1º coeficiente não-nulo de cada equação está à direita do 1º coeficiente não-nulo da 
equação anterior.
Exemplo
Sistema 2x2 escalonado.
Sistema 3x3
A primeira equação tem três coeficientes não-nulos, a segunda tem dois e a terceira, apenas um.
Sistema 2x3
Resolução de um Sistema Linear por Escalonamento
Podemos transformar qualquer sistema linear em um outro equivalente pelas seguintes transformações 
elementares, realizadas com suas equações:
– Trocas as posições de duas equações
– Multiplicar uma das equações por um número real diferente de 0.
– Multiplicar uma equação por um número real e adicionar o resultado a outra equação.
Exemplo
Inicialmente, trocamos a posição das equações, pois é conveniente ter o coeficiente igual a 1 na primeira 
equação.
Depois eliminamos a incógnita x da segunda equação
Multiplicando a equação por -2:
Somando as duas equações:
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Sistemas com Número de Equações Igual ao Número de Incógnitas
Quando o sistema linear apresenta nº de equações igual ao nº de incógnitas, para discutirmos o sistema, 
inicialmente calculamos o determinante D da matriz dos coeficientes (incompleta), e:
– Se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado.
– Se D = 0, o sistema é possível e indeterminado ou impossível.
Para identificarmos se o sistema é possível, indeterminado ou impossível, devemos conseguir um sistema 
escalonado equivalente pelo método de eliminação de Gauss.
Exemplos
- Discutir, em função de a, o sistema:
Resolução
6060
6
2
31
=⇒=−⇒=
−==
aaD
a
a
D
Assim, para a ≠ 6, o sistema é possível e determinado.
Para a ≠ 6, temos:



−=+
=+




−←=+
=+
900
53
~2162
53
yx
yx
yx
yx
Que é um sistema impossível.
Assim, temos:
a ≠ 6 → SPD (Sistema possível e determinado)
a = 6 → SI (Sistema impossível)
Regra de Cramer
Consideramos os sistema . 
Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que a matriz incompleta desse sistema é , cujo determinante 
é indicado por D = ad – bc.
Se substituirmos em M a 2ª coluna (dos coeficientes de y) pela coluna dos coeficientes independentes, ob-
teremos ,cujo determinante é indicado por Dy = af – ce.
Assim, .
Substituindo esse valor de y na 1ª equação de (*) e considerando a matriz , cujo determinante é indi-
cado por Dx = ed – bf, obtemos , D ≠ 0.
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ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE. Noções elementares de análise 
combinatória e probabilidade. Arranjos, combinações, permutações simples e 
permutações com repetição. Probabilidade: conceitos básicos, probabilidade da união 
de eventos, independência de eventos e probabilidade condicional
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que 
permitem resolver problemas relacionados com contagem5.
Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz análise das possibilidades e das combinações 
possíveis entre um conjunto de elementos.
Princípio Fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, postula que:
“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades 
da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o 
evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”.
Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas 
que lhe são apresentadas.
Exemplo: Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos um 
sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidas três opções de sanduíches: hambúrguer especial, 
sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: suco 
de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de chocolate, 
cupcake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras 
um cliente pode escolher o seu lanche?
Solução: Podemos começar a resolução do problema apresentado, construindo uma árvore de possibilidades, 
conforme ilustrado abaixo:
Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de lanches podemos 
escolher. Assim, identificamos que existem 24 combinações possíveis.
Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para saber quais as diferentes 
possibilidades de lanches, basta multiplicar o número de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa.
Total de possibilidades: 3.2.4 = 24.
Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção.
5 https://www.todamateria.com.br/analise-combinatoria/
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Tipos de Combinatória
O princípio fundamental da contagem pode ser usado em grande parte dos problemas relacionados com 
contagem. Entretanto, em algumas situações seu uso torna a resolução muito trabalhosa.
Desta maneira, usamos algumas técnicas para resolver problemas com determinadas características. 
Basicamente há três tipos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações.
Antes de conhecermos melhor esses procedimentos de cálculo, precisamos definir uma ferramenta muito 
utilizada em problemas de contagem, que é o fatorial.
O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos os seus antecessores. 
Utilizamos o símbolo ! para indicar o fatorial de um número.
Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1.
Exemplo:
0! = 1.
1! = 1.
3! = 3.2.1 = 6.
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040.
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800.
Note que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. Então, frequentemente usamos 
simplificações para efetuar os cálculos de análise combinatória.
— Arranjos
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos.
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
Exemplo: Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação para escolher um representante e um 
vice-representante de uma turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado será o representante e o segundo 
mais votado o vice-representante.
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observe que nesse caso, a ordem 
é importante, visto que altera o resultado.
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes.
— Permutações
As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao 
número de elementos disponíveis.
Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de elementos é igual ao número 
de agrupamentos. Desta maneira, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação.
Assim a permutação é expressa pela fórmula:
Exemplo: Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em 
um banco com 6 lugares.
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Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número de lugares é igual ao número de pessoas, 
iremos usar a permutação:
Logo, existem 720 maneiras diferentes para as 6 pessoas se sentarem neste banco.
— Combinações
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são 
caracterizadas pela natureza dos mesmos.
Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte 
expressão:
Exemplo: A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar uma comissão 
organizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram.
De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada?
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Isso quer 
dizer que escolher Maria, João e José é equivalente a escolher João, José e Maria.
Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o fatorial de 10 em produto, mas conservamos o 
fatorial de 7, pois, desta forma, foi possível simplificar com o fatorial de 7 do denominador.
Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão.
Probabilidade e Análise Combinatória
A Probabilidade permite analisar ou calcular as chances de obter determinado resultadodiante de um 
experimento aleatório. São exemplos as chances de um número sair em um lançamento de dados ou a 
possibilidade de ganhar na loteria.
A partir disso, a probabilidade é determinada pela razão entre o número de eventos possíveis e número de 
eventos favoráveis, sendo apresentada pela seguinte expressão:
Sendo:
P (A): probabilidade de ocorrer um evento A.
n (A): número de resultados favoráveis.
n (Ω): número total de resultados possíveis.
Para encontrar o número de casos possíveis e favoráveis, muitas vezes necessitamos recorrer as fórmulas 
estudadas em análise combinatória.
Exemplo: Qual a probabilidade de um apostador ganhar o prêmio máximo da Mega-Sena, fazendo uma 
aposta mínima, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados?
Solução: Como vimos, a probabilidade é calculada pela razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis. 
Nesta situação, temos apenas um caso favorável, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados.
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Já o número de casos possíveis é calculado levando em consideração que serão sorteados, ao acaso, 6 
números, não importando a ordem, de um total de 60 números.
Para fazer esse cálculo, usaremos a fórmula de combinação, conforme indicado abaixo:
Assim, existem 50 063 860 modos distintos de sair o resultado. A probabilidade de acertarmos então será 
calculada como:
PROBABILIDADE
A teoria da probabilidade é o campo da Matemática que estuda experimentos ou fenômenos aleatórios e 
através dela é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer6.
ℚuando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança na ocorrência dos resultados 
possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados antecipadamente. Probabilidade é a 
medida da chance de algo acontecer.
Desta forma, o cálculo da probabilidade associa a ocorrência de um resultado a um valor que varia de 0 a 1 
e, quanto mais próximo de 1 estiver o resultado, maior é a certeza da sua ocorrência.
Por exemplo, podemos calcular a probabilidade de uma pessoa comprar um bilhete da loteria premiado ou 
conhecer as chances de um casal ter 5 filhos, todos meninos.
Experimento Aleatório
Um experimento aleatório é aquele que não é possível conhecer qual resultado será encontrado antes de 
realizá-lo.
Os acontecimentos deste tipo quando repetidos nas mesmas condições, podem dar resultados diferentes e 
essa inconstância é atribuída ao acaso.
Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado não viciado (dado que apresenta uma distribuição 
homogênea de massa) para o alto. Ao cair, não é possível prever com total certeza qual das 6 faces estará 
voltada para cima.
Fórmula da Probabilidade
Em um fenômeno aleatório, as possibilidades de ocorrência de um evento são igualmente prováveis.
Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de ocorrer um determinado resultado através da divisão 
entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis:
Sendo:
P(A): probabilidade da ocorrência de um evento A.
n(A): número de casos favoráveis ou, que nos interessam (evento A).
n(Ω): número total de casos possíveis.
O resultado calculado também é conhecido como probabilidade teórica.
6 https://www.todamateria.com.br/probabilidade/
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Para expressar a probabilidade na forma de porcentagem, basta multiplicar o resultado por 100.
Exemplo: Se lançarmos um dado perfeito, qual a probabilidade de sair um número menor que 3?
Solução: Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma chance de caírem voltadas para cima. 
Vamos então, aplicar a fórmula da probabilidade.
Para isso, devemos considerar que temos 6 casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e que o evento “sair um número 
menor que 3” tem 2 possibilidades, ou seja, sair o número 1 ou 2. Assim, temos:
Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100.
Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%.
Ponto Amostral
Ponto amostral é cada resultado possível gerado por um experimento aleatório.
Exemplo: Seja o experimento aleatório lançar uma moeda e verificar a face voltada para cima, temos os 
pontos amostrais cara e coroa. Cada resultado é um ponto amostral.
Espaço Amostral
Representado pela letra Ω(ômega), o espaço amostral corresponde ao conjunto de todos os pontos 
amostrais, ou, resultados possíveis obtidos a partir de um experimento aleatório.
Por exemplo, ao retirar ao acaso uma carta de um baralho, o espaço amostral corresponde às 52 cartas que 
compõem este baralho.
Da mesma forma, o espaço amostral ao lançar uma vez um dado, são as seis faces que o compõem:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A quantidade de elementos em um conjunto chama-se cardinalidade, expressa pela letra n seguida do 
símbolo do conjunto entre parênteses.
Assim, a cardinalidade do espaço amostral do experimento lançar um dado é n(Ω) = 6.
Espaço Amostral Equiprovável
Equiprovável significa mesma probabilidade. Em um espaço amostral equiprovável, cada ponto amostral 
possui a mesma probabilidade de ocorrência.
Exemplo: Em uma urna com 4 esferas de cores: amarela, azul, preta e branca, ao sortear uma ao acaso, 
quais as probabilidades de ocorrência de cada uma ser sorteada?
Sendo experimento honesto, todas as cores possuem a mesma chance de serem sorteadas.
Tipos de Eventos
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.
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– Evento certo
O conjunto do evento é igual ao espaço amostral.
Exemplo: Em uma delegação feminina de atletas, uma ser sorteada ao acaso e ser mulher.
– Evento Impossível
O conjunto do evento é vazio.
Exemplo: Imagine que temos uma caixa com bolas numeradas de 1 a 20 e que todas as bolas são vermelhas.
O evento “tirar uma bola vermelha” é um evento certo, pois todas as bolas da caixa são desta cor. Já o 
evento “tirar um número maior que 30”, é impossível, visto que o maior número na caixa é 20.
– Evento Complementar
Os conjuntos de dois eventos formam todo o espaço amostral, sendo um evento complementar ao outro.
Exemplo: No experimento lançar uma moeda, o espaço amostral é Ω = {cara, coroa}.
Seja o evento A sair cara, A = {cara}, o evento B sair coroa é complementar ao evento A, pois, B={coroa}. 
Juntos formam o próprio espaço amostral.
– Evento Mutuamente Exclusivo
Os conjuntos dos eventos não possuem elementos em comum. A intersecção entre os dois conjuntos é 
vazia.
Exemplo: Seja o experimento lançar um dado, os seguintes eventos são mutuamente exclusivos
A: ocorrer um número menor que 5, A = {1, 2, 3, 4}.
B: ocorrer um número maior que 5, A = {6}.
Adição de probabilidades
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral E, finito e não vazio. Tem-se:
Exemplo
No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter um número par ou menor que 5, na face 
superior?
Solução
E={1,2,3,4,5,6} n(E)=6
Sejam os eventos 
A={2,4,6} n(A)=3 
B={1,2,3,4} n(B)=4
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Eventos Simultâneos
Considerando dois eventos, A e B, de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de ocorrer A e B é dada 
por:Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional relaciona as probabilidades entre eventos de um espaço amostral equiprovável. 
Nestas circunstâncias, a ocorrência do evento A, depende ou, está condicionada a ocorrência do evento B.
A probabilidade do evento A dado o evento B é definida por:
Onde o evento B não pode ser vazio.
Exemplo de caso de probabilidade condicional: Em um encontro de colaboradores de uma empresa que 
atua na França e no Brasil, um sorteio será realizado e um dos colaboradores receberá um prêmio. Há apenas 
colaboradores franceses e brasileiros, homens e mulheres.
Como evento de probabilidade condicional, podemos associar a probabilidade de sortear uma mulher 
(evento A) dado que seja francesa (evento B).
Neste caso, queremos saber a probabilidade de ocorrer A (ser mulher), apenas se for francesa (evento B).
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA. População, amostra
A estatística é a ciência que coleta, organiza, analisa e interpreta dados com o objetivo de tomar decisões 
ou entender fenômenos. Desde pesquisas de opinião até estudos científicos, ela está presente em diversas 
áreas. Para compreender como ela funciona, é fundamental começar por três conceitos-chave: 
POPULAÇÃO ESTATÍSTICA
A população em estatística não se refere apenas a pessoas, mas a qualquer conjunto de elementos que 
compartilham uma característica comum e sobre os quais se deseja obter informações. Esses elementos 
podem ser pessoas, objetos, eventos, animais, entre outros. Alguns exemplos são:
– Todos os alunos de uma escola (população de estudantes).
– Todos os carros fabricados em 2024 por uma montadora.
– Todos os votos em uma eleição presidencial.
A população pode ser finita (quando o número de elementos é conhecido e limitado) ou infinita (quando 
não se pode determinar com precisão o total, como o número de gotas de chuva em uma tempestade).
AMOSTRA
Em muitos casos, estudar toda a população é inviável por questões de tempo, custo ou logística. Por isso, 
utiliza-se uma amostra, que é um subconjunto da população. A amostra deve ser representativa, ou seja, re-
fletir as principais características da população para que as conclusões obtidas possam ser generalizadas.
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Exemplos:
– 200 alunos escolhidos aleatoriamente de uma escola com 2.000 estudantes.
– 500 eleitores entrevistados para estimar a intenção de voto de milhões.
A coleta e análise de dados sobre uma amostra, quando bem feita, permite estimar características da po-
pulação com boa precisão, usando métodos estatísticos apropriados.
TIPOS DE VARIÁVEIS
As variáveis são as características observadas nos elementos da população ou da amostra. Cada variável 
pode assumir diferentes valores, e elas são classificadas em dois grupos principais: qualitativas e quantitati-
vas.
Variáveis Qualitativas
As variáveis qualitativas representam atributos ou categorias que não são numéricos, mas sim descritivos. 
Elas se dividem em:
– Nominais: Não possuem ordem natural entre as categorias.
Ex.: Cor dos olhos (azul, verde, castanho), gênero (masculino, feminino).
– Ordinais: Possuem uma ordem entre as categorias.
Ex.: Grau de escolaridade (fundamental, médio, superior), nível de satisfação (ruim, regular, bom, ótimo).
Variáveis Quantitativas
As variáveis quantitativas representam valores numéricos e podem ser medidas ou contadas. Elas se 
dividem em:
– Discretas: Resultam de contagens e assumem valores inteiros.
Ex.: Número de filhos, quantidade de livros.
– Contínuas: Podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo, geralmente obtidas por medidas.
Ex.: Altura, peso, temperatura, tempo.
Média, mediana, moda
As medidas de tendência central são estatísticas que resumem um conjunto de dados, representando o 
ponto central em torno do qual os dados estão distribuídos. Essas medidas são fundamentais na análise esta-
tística, pois fornecem uma visão concisa da informação contida em uma grande quantidade de dados. As três 
medidas de tendência central mais comuns são a média aritmética, a mediana e a moda. 
Média aritmética (x)
A média aritmética nos permite resumir um conjunto de números em um único valor representativo. Existem 
dois tipos principais de média: a média aritmética simples e a média aritmética ponderada. 
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– Média simples
A média aritmética simples é calculada somando todos os valores de um conjunto e dividindo essa soma 
pelo número total de elementos. Ela é utilizada quando todos os valores têm a mesma importância.
Fórmula:
Onde:
− x é a média aritmética.
− ∑xi é a soma de todos os valores do conjunto.
− n é o número total de elementos.
Exemplo: Calcule a média das notas de cinco alunos em uma prova. As notas são:
ALUNO NOTA
Aluno 1 6,0
Aluno 2 7,5
Aluno 3 8,0
Aluno 4 9,0
Aluno 5 7,0
Passo 1: Somar todas as notas
6,0 + 7,5 + 8,0 + 9,0 + 7,0 = 37,5
Passo 2: Dividir a soma pelo número de alunos
x = = 7,5.
Portanto, a média simples das notas é 7,5.
– Média Ponderada
A média ponderada é usada quando cada valor possui um “peso” diferente, representando a sua importân-
cia relativa. Cada valor é multiplicado pelo seu peso antes de somar e dividir pelo total dos pesos.
Fórmula:
Onde:
− xp é a média ponderada.
− xi são os valores do conjunto.
− pi são os pesos atribuídos a cada valor.
− ∑(xi ⋅ pi) é a soma dos produtos dos valores pelos seus respectivos pesos.
− ∑ pi é a soma dos pesos.
Exemplo: Um aluno realizou três avaliações em uma disciplina, e cada avaliação tem um peso diferente na 
composição da média final. Calcule a média ponderada:
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AVALIAÇÃO NOTA PESO
Avaliação 1 7,0 2
Avaliação 2 8,5 3
Avaliação 3 9,0 5
Passo 1: Multiplicar cada nota pelo seu peso
7,0 × 2 = 14,0 
8,0 × 3 = 24,0 
9,0 × 5 = 45,0
Passo 2: Somar os produtos obtidos
14,0 + 24,0 + 45,0 = 83,0
Passo 3: Somar todos os pesos
2 + 3 + 5 = 10
Passo 4: Dividir a soma dos produtos pela soma dos pesos
xp = = 8,3
Portanto, a média ponderada é 8,3.
Mediana (Md)
A mediana é um valor estatístico que representa o ponto médio de um conjunto de dados organizados em 
ordem crescente ou decrescente. Ela divide o conjunto ao meio, de forma que metade dos elementos é menor 
ou igual à mediana e a outra metade é maior ou igual à mediana. Existem duas situações a serem consideradas 
ao determinar a mediana: quando o número de elementos (n) é ímpar e quando é par.
– Conjunto com n Ímpar: Quando o número de elementos do conjunto é ímpar, a mediana é o elemento 
que se encontra no meio do conjunto, ou seja, aquele que tem o mesmo número de valores à sua frente e atrás.
– Conjunto com n Par: Quando o número de elementos do conjunto é par, a mediana é a média aritmética 
dos dois valores centrais do conjunto.
Exemplo: Determine a mediana do conjunto de dados {12, 3, 7, 10, 21, 18, 23}
Passo 1: Ordenar os dados em ordem crescente
3,7,10,12,18,21,23
Passo 2: Determinar a mediana
Neste conjunto, temos 7 elementos (n = 7), que é um número ímpar. O valor que está no meio é 12.
Portanto, a mediana é Md = 12.
Exemplo: Determine a mediana do conjunto de dados {10, 12, 3, 7, 18, 23, 21, 25}.
Passo 1: Ordenar os dados em ordem crescente
3,7,10,12,18,21,23,25
Passo 2: Determinar a mediana
Neste conjunto, temos 8 elementos (n = 8), que é um número par. Os valores centrais são 12 ecomo um conjunto pode ser um subconjunto de outro conjunto. Essa relação 
possui três propriedades principais:
• Propriedade reflexiva: A⊂A, isto é, um conjunto sempre é subconjunto dele mesmo.
• Propriedade antissimétrica: se A⊂B e B⊂A, então A = B.
• Propriedade transitiva: se A⊂B e B⊂C, então, A⊂C.
Operações entre conjuntos
1) União
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos 
conjuntos. 
A∪B = {x|x∈A ou x∈B}
Exemplo:
A = {1,2,3,4} e B = {5,6}, então A∪B = {1,2,3,4,5,6} 
Fórmulas:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) + n(A∩B∩C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B C)
2) Interseção
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a 
A e B. 
A∩B = {x|x∈A e x∈B}
Exemplo:
A = {a,b,c,d,e} e B = {d,e,f,g}, então A∩B = {d, e}
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Fórmulas:
n(A∩B) = n(A) + n(B) − n(A∪B)
n(A∩B∩C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A∪B) − n(A∪C) − n(B∪C) + n(A∪B∪C)
3) Diferença
A diferença entre dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que pertencem a A mas não pertencem 
a B.
A\B ou A – B = {x | x∈A e x∉B}.
Exemplo:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {5, 6, 7}, então A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Fórmula:
n(A−B) = n(A) − n(A∩B)
4) Complementar
O complementar de um conjunto A, representado por A ou Ac, é o conjunto dos elementos do conjunto uni-
verso que não pertencem a A.
A = {x∈U | x∉A}
Exemplo:
U = {0,1,2,3,4,5,6,7} e A = {0,1,2,3,4}, então A = {5,6,7}
Fórmula:
n(A) = n(U) − n(A)
Exemplos práticos
1. (MANAUSPREV – Analista Previdenciário – FCC/2015) Em um grupo de 32 homens, 18 são altos, 22 
são barbados e 16 são carecas. Homens altos e barbados que não são carecas são seis. Todos homens altos 
que são carecas, são também barbados. Sabe-se que existem 5 homens que são altos e não são barbados 
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nem carecas. Sabe-se que existem 5 homens que são barbados e não são altos nem carecas. Sabe-se que 
existem 5 homens que são carecas e não são altos e nem barbados. Dentre todos esses homens, o número de 
barbados que não são altos, mas são carecas é igual a
(A) 4.
(B) 7.
(C) 13.
(D) 5.
(E) 8.
Resolução: 
Primeiro, quando temos três conjuntos (altos, barbados e carecas), começamos pela interseção dos três, 
depois a interseção de cada dois, e por fim, cada um individualmente.
Se todo homem careca é barbado, então não teremos apenas homens carecas e altos. Portanto, os homens 
altos e barbados que não são carecas são 6.
Sabemos que existem 5 homens que são barbados e não são altos nem carecas e também que existem 5 
homens que são carecas e não são altos e nem barbados
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6
Sabemos que 18 são altos
Quando resolvermos a equação 5 + 6 + x = 18, saberemos a quantidade de homens altos que são barbados 
e carecas.
x = 18 - 11, então x = 7
Carecas são 16
então 7 + 5 + y = 16, logo número de barbados que não são altos, mas são carecas é Y = 16 - 12 = 4
Resposta: A.
Nesse exercício, pode parecer complicado usar apenas a fórmula devido à quantidade de detalhes. No en-
tanto, se você seguir os passos e utilizar os diagramas de Venn, o resultado ficará mais claro e fácil de obter.
2. (SEGPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA/2015) Suponha que, dos 250 candidatos selecionados 
ao cargo de perito criminal: 
1) 80 sejam formados em Física; 
2) 90 sejam formados em Biologia; 
3) 55 sejam formados em Química; 
4) 32 sejam formados em Biologia e Física; 
5) 23 sejam formados em Química e Física; 
6) 16 sejam formados em Biologia e Química; 
7) 8 sejam formados em Física, em Química e em Biologia. 
Considerando essa situação, assinale a alternativa correta.
(A) Mais de 80 dos candidatos selecionados não são físicos nem biólogos nem químicos.
(B) Mais de 40 dos candidatos selecionados são formados apenas em Física.
(C) Menos de 20 dos candidatos selecionados são formados apenas em Física e em Biologia.
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(D) Mais de 30 dos candidatos selecionados são formados apenas em Química.
(E) Escolhendo-se ao acaso um dos candidatos selecionados, a probabilidade de ele ter apenas as duas 
formações, Física e Química, é inferior a 0,05.
Resolução:
Para encontrar o número de candidatos que não são formados em nenhuma das três áreas, usamos a fór-
mula da união de três conjuntos (Física, Biologia e Química):
n(F∪B∪Q) = n(F) + n(B) + n(Q) + n(F∩B∩Q) - n(F∩B) - n(F∩Q) - n(B∩Q)
Substituindo os valores, temos:
n(F∪B∪Q) = 80 + 90 + 55 + 8 - 32 - 23 - 16 = 162.
Temos um total de 250 candidatos
250 - 162 = 88
Resposta: A.
Observação: Em alguns exercícios, o uso das fórmulas pode ser mais rápido e eficiente para obter o re-
sultado. Em outros, o uso dos diagramas, como os Diagramas de Venn, pode ser mais útil para visualizar as 
relações entre os conjuntos. O importante é treinar ambas as abordagens para desenvolver a habilidade de 
escolher a melhor estratégia para cada tipo de problema na hora da prova.
CONJUNTOS NUMÉRICOS. Números naturais e inteiros: operações fundamentais. 
Números racionais: representação decimal dos números racionais (exata e periódica). 
Números irracionais. Números reais: operações fundamentais, potenciação e 
radiciação, representação geométrica dos números reais, valor absoluto, intervalos
O agrupamento de termos ou elementos que associam características semelhantes é denominado conjunto. 
Quando aplicamos essa ideia à matemática, se os elementos com características semelhantes são números, 
referimo-nos a esses agrupamentos como conjuntos numéricos.
Em geral, os conjuntos numéricos podem ser representados graficamente ou de maneira extensiva, sendo 
esta última a forma mais comum ao lidar com operações matemáticas. Na representação extensiva, os números 
são listados entre chaves {}. Caso o conjunto seja infinito, ou seja, contenha uma quantidade incontável de 
números, utilizamos reticências após listar alguns exemplos. Exemplo: N = {0, 1, 2, 3, 4, …}.
Existem cinco conjuntos considerados essenciais, pois são os mais utilizados em problemas e questões 
durante o estudo da Matemática. Esses conjuntos são os Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais.
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)
O conjunto dos números naturais é simbolizado pela letra N e compreende os números utilizados para 
contar e ordenar. Esse conjunto inclui o zero e todos os números positivos, formando uma sequência infinita.
Em termos matemáticos, os números naturais podem ser definidos como N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
O conjunto dos números naturais pode ser dividido em subconjuntos:
N* = {1, 2, 3, 4…} ou N* = N – {0}: conjunto dos números naturais não nulos, ou sem o zero.
Np = {0, 2, 4, 6…}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.
Ni = {1, 3, 5, 7..}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.
P = {2, 3, 5, 7..}: conjunto dos números naturais primos.
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Passo 3: Calcular a média dos valores centrais
Md = = 15
Portanto, a mediana é 15.
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Moda (Mo)
A moda é o valor que aparece com mais frequência em um conjunto de dados. Dependendo da distribuição 
dos valores, um conjunto pode ter:
– Nenhuma moda: Quando todos os valores ocorrem com a mesma frequência.
– Uma moda: Quando um único valor se destaca por aparecer mais vezes que os demais.
– Múltiplas modas: Quando dois ou mais valores têm a mesma frequência máxima, caracterizando um 
conjunto multimodal.
Exemplo: Considere o conjunto de dados {3, 8, 8, 8, 6, 9, 31}.
Aqui, o número 8 aparece três vezes, que é mais do que qualquer outro valor no conjunto. 
Portanto, a moda é 8
Exemplo: Considere o conjunto de dados {1, 2, 9, 6, 3, 5}. 
Neste caso, cada número aparece exatamente uma vez, sem nenhuma repetição. 
Portanto, a moda não existe
Frequências relativas, absolutas e percentuais
Quando trabalhamos com um grande quantitativo de dados, passamos a trabalhar com os dados agrupa-
dos. Então fazemos uso das tabelas de distribuição de frequência, entre outros recursos que facilitarão a com-
preensão dos dados.
Na distribuição de frequência listamos todos os valores coletados, um em cada linha, marcam‐se as vezes 
em que eles aparecem, incluindo as repetições, e conta‐se a quantidade de ocorrências de cada valor. Por este 
motivo, tabelas que apresentam valores e suas ocorrências denominam‐se distribuição de frequências.
O termo “frequência” indica o número de vezes que um dado aparece numa observação estatística. 
Exemplo:
Um professor organizou os resultados obtidos em uma prova com 25 alunos da seguinte forma:
Vamos organizá‐los de modo que a consulta a eles seja simplificada. Então, faremos a distribuição de fre-
quência destas notas, por meio da contagem de dados, que podemos chamar de frequência de dados absolu-
tos.
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Esta forma de organizar dados é conhecida como distribuição de frequência, e o número de vezes que um 
dado aparece é chamado de frequência absoluta. O somatório SEMPRE é a quantidade de dados apresenta-
dos, que neste é 25.
Quando os dados numéricos são organizados, eles geralmente são ordenados do menor para o maior, di-
vididos em grupos de tamanho razoável e, depois, são colocados em gráficos para que se examine sua forma, 
ou distribuição. Este gráfico é chamado de Histograma. Um histograma é um gráfico de colunas juntas. Em 
um histograma não existem espaços entre as colunas adjacentes, como ocorre em um gráfico de colunas. No 
exemplo, a escala horizontal (→) representa as notas e a escala vertical (↑) as frequências. Os gráficos são a 
melhor forma de apresentação dos dados.
Em Estatística não trabalhamos somente com frequência absoluta (f), mas também com outros tipos de fre-
quências, que são: frequência relativa (fr), frequência absoluta acumulada (Fa) e frequência relativa cumulada 
(FRa).
Frequência Relativa fr (%)
Representado por fr(%), significa a relação existente entre a frequência absoluta f e a soma das frequências 
∑f. É a porcentagem (%) do número de vezes que cada dado aparece em relação ao total.
Frequência Absoluta Acumulada Fa
Representado por Fa, significa a soma das frequências absolutas até o elemento analisado.
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Frequência Relativa Acumulada FRa (%)
Representado por FRa (%), significa a soma das frequências relativas fr(%) até o elemento analisado.
Observe que os valores ao lado, deverão coincidir.
Agrupamento em Classes
Em uma distribuição de frequência, ao se trabalhar com grandes conjuntos de dados e com valores disper-
sos, podemos agrupá-los em classes. Isso torna muito fácil a compreensão dos dados e uma melhor visualiza-
ção dos mesmos.
Se um conjunto de dados for muito disperso, uma representação melhor seria através do agrupamento dos 
dados com a construção de classes de frequência. Caso isso não ocorresse, a tabela ficaria muito extensa. 
Exemplo: Um radar instalado em uma rodovia registrou a velocidade (em Km/h) de 40 veículos.
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Montando a tabela de distribuição de frequência temos:
É fácil ver que a distribuição de frequências diretamente obtida a partir desses dados é dada uma tabela 
razoavelmente extensa.
A distribuição em” classes” é como se fosse uma compressão dos dados. Imagine se fizéssemos uma dis-
tribuição de frequência de todas velocidades (de 70 a 128). A tabela ficaria imensa! Por este motivo existe a 
distribuição de frequência com classes.
Como criar uma Distribuição de Frequência com classes
Partindo dos dados anteriores teremos: 
– Calcule a quantidade de classes (i), pela raiz da quantidade de dados. São 40 veículos. Então:
√40 = 6,3 ≈ i = 6 classes.
– Calcule a amplitude de classe (h) que é o tamanho da classe, sendo:
O maior valor (128) e o Menor valor (70) são obtidos da lista dos registros das velocidades dos 40 veículos.
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– Montar as classes a partir do Menor valor (70), somando com a amplitude de classe (10) até que se che-
gue na 6ª classe, assim:
Com isso termos os dados distribuídos da seguinte forma:
Tipos de intervalos de classe
No Brasil usa‐se o intervalo ├ (Resolução 866/66 do IBGE). Já na literatura estrangeira utiliza‐se comumen-
te com intervalo fechado.
Conceitos importantes
– Limites de classe: São os valores extremos de cada classe. No exemplo 70 ├ 80, temos que o limite 
inferior é 70 e o limite superior 80.
– Amplitude total da distribuição (AT): É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite in-
ferior da primeira classe, no exemplo 130 – 70 = 60.
– Amplitude amostral (AA): É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra, no exemplo 
128 – 70 = 58.
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A seguir estão as distribuições de frequências absoluta f, relativa fr(%), absoluta acumulada Fa e relativa 
acumulada FRa(%), bem como o Histograma desta distribuição.
Podemos representar os dados através de outras formas gráficas, vejamos:
– Polígono de frequência: É um gráfico em linha que representa os pontos centrais dos intervalos de 
classe. Para construir este gráfico, você deve calcular o ponto central de classe (xi), que é o ponto que divide o 
intervalo de classe em duas partes iguais. Por exemplo, a velocidade dos veículos da 1ª classe pode ser repre-
sentada por 70 + 80/2 = 75Km/h.
A construção de um polígono de frequências é muito simples. Primeiro, construímos um histograma; depois 
marcamos no “telhado” de cada coluna o ponto central e unimos sequencialmente essespontos.
– Ogiva: Conhecida também por polígono de frequência acumulada. É um gráfico em linha que representa 
as frequências acumuladas (Fa), levantada nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos 
de classe. Para construí‐la, você deve elaborar o histograma de frequência f em uma escala menor, conside-
rando o último valor a frequência acumulada da última classe, no caso, 40.
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Interpretação de gráficos e de tabelas
Em nosso dia a dia, somos constantemente expostos a uma vasta gama de informações, muitas vezes 
expressas de forma visual por meio de tabelas e gráficos. Esses recursos estão presentes nos noticiários 
televisivos, em jornais, revistas e até em redes sociais. Tabelas e gráficos são ferramentas fundamentais da 
linguagem matemática e desempenham um papel crucial na organização e apresentação de dados de maneira 
clara e acessível.
A capacidade de ler e interpretar essas representações é essencial para compreender as informações ao 
nosso redor. A área da Matemática que se dedica a coletar, organizar e apresentar dados numéricos, e que 
permite tirar conclusões a partir deles, é conhecida como Estatística. 
TABELAS
As tabelas apresentam informações organizadas em linhas e colunas, o que facilita a leitura e interpretação 
de dados. Geralmente, são utilizadas quando há necessidade de comparar informações ou listar dados de ma-
neira ordenada.
Fonte: SEBRAE
Nas tabelas, é comum encontrarmos um título, que destaca a principal informação apresentada, e uma fon-
te, que identifica de onde os dados foram obtidos
GRÁFICOS
Ao contrário das tabelas, que mostram os dados de forma mais textual e organizada, os gráficos oferecem 
uma representação visual, facilitando a compreensão de padrões, tendências e comparações de maneira mais 
rápida e intuitiva. 
Tipos de Gráficos
Existem vários tipos de gráficos, e cada um é utilizado de acordo com o tipo de dado e o objetivo da apre-
sentação.
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− Gráfico de linhas: são utilizados, em geral, para representar a variação de uma grandeza em certo pe-
ríodo de tempo.
Os gráficos de linhas são utilizados, em geral, para representar a variação de uma grandeza ao longo do 
tempo. São ideais para mostrar tendências e evoluções. Marcamos os pontos determinados pelos pares orde-
nados (classe, frequência) e os conectamos por segmentos de reta.
− Gráfico de barras: Também conhecidos como gráficos de colunas, os gráficos de barras são utilizados 
para comparar quantidades entre diferentes categorias. Eles são divididos em dois tipos:
• Gráfico de barras verticais: As barras são desenhadas verticalmente, e a altura de cada uma representa 
o valor da frequência.
• Gráfico de barras horizontais: As barras são desenhadas horizontalmente, sendo a largura de cada bar-
ra proporcional ao valor representado.
Em um gráfico de colunas, cada barra deve ser proporcional à informação por ela representada.
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− Gráfico de setores (ou Pizza): Gráficos de setores são utilizados para representar a relação entre as par-
tes e o todo. O círculo é dividido em setores, e a medida de cada setor é proporcional à frequência da categoria 
representada. A fórmula para o ângulo central de um setor é dada por: 
Onde:
• F é a frequência da classe
• Ft é a frequência total
• α é o ângulo central em graus
Exemplo:
Para encontrar a frequência relativa, podemos fazer uma regra de três simples:
400 --- 100%
160 --- x
x = 160 .100/ 400 = 40%, e assim sucessivamente.
Aplicando a fórmula teremos:
Como o gráfico é de setores, os dados percentuais serão distribuídos levando-se em conta a proporção da 
área a ser representada relacionada aos valores das porcentagens. A área representativa no gráfico será de-
marcada da seguinte maneira:
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Com as informações, traçamos os ângulos da circunferência e assim montamos o gráfico:
− Pictograma ou gráficos pictóricos: Os pictogramas utilizam imagens ilustrativas para representar da-
dos. São comuns em jornais e revistas, e têm a vantagem de tornar a leitura mais atraente e intuitiva.
− Histograma: O histograma é composto por retângulos contíguos, onde a base de cada retângulo repre-
senta uma faixa de valores da variável, e a área do retângulo corresponde à frequência dessa faixa. Ao contrá-
rio dos gráficos de barras, o histograma é usado para dados contínuos.
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− Polígono de Frequência: O polígono de frequência é semelhante ao histograma, mas é construído co-
nectando os pontos médios das classes com segmentos de reta. É utilizado para visualizar a distribuição dos 
dados de forma contínua.
− Gráfico de Ogiva: A ogiva é utilizada para representar a distribuição de frequências acumuladas. Ge-
ralmente, é uma curva ascendente que conecta os pontos extremos de cada classe, mostrando a evolução 
cumulativa dos dados.
− Cartograma: O cartograma é uma representação gráfica sobre uma carta geográfica, utilizada para 
correlacionar dados estatísticos com áreas geográficas ou políticas.
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Interpretação de tabelas e gráficos
Para interpretar corretamente tabelas e gráficos, siga estas diretrizes:
1. Identifique as informações nos eixos: No caso dos gráficos, observe os eixos vertical e horizontal para 
entender quais variáveis estão sendo representadas.
2. Analise os pontos ou barras isoladamente: Observe os valores específicos antes de tirar conclusões.
3. Leia atentamente o enunciado: A leitura completa do enunciado ou legenda pode fornecer informações 
cruciais para a interpretação correta.
4. Cuidado com a escala: Verifique se os eixos utilizam a mesma escala, evitando distorções na análise.
Exemplos:
1. (Enem) O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades ligadas 
a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, industrialização e comer-
cialização dos produtos.
O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro:
Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). Almanaque abril 2010. São Paulo: Abril, 
ano 36 (adaptado)
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agronegó-
cio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais. Segundo o gráfico, 
o período de queda ocorreu entre os anos de:
A) 1998 e 2001. 
B) 2001 e 2003. 
C) 2003 e 2006.
D) 2003 e 2007.
E) 2003 e 2008.
Resolução:
De acordo com o gráfico fornecido, a participação do agronegócio no PIB brasileiro apresentou uma quedaentre os anos de 2003 e 2006. Essa informação pode ser obtida por meio de uma análise detalhada dos valores 
no gráfico: em 2003, a participação era de 28,28%, reduzindo-se para 27,79% em 2004. No ano seguinte, 2005, 
essa queda continuou, com a participação caindo para 25,83%, até atingir seu ponto mais baixo em 2006, com 
23,92%. Após esse período, observa-se uma recuperação, com a participação voltando a crescer nos anos 
subsequentes.
Resposta: Alternativa C.
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2. (Enem) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros 
quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos meses 
de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de setembro. O 
gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. 
Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionan-
do derretimento crescente do gelo.
Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global em:
(A)1995. 
(B)1998.
(C) 2000.
(D)2005.
(E)2007.
Resolução:
O enunciado oferece uma informação crucial para a resolução da questão, ao associar a camada de gelo 
marítimo à capacidade de refletir a luz solar e, assim, contribuir para o resfriamento da Terra. Portanto, quanto 
menor a extensão do gelo marítimo, menor será a quantidade de luz refletida e, consequentemente, maior será 
o aquecimento global. De acordo com o gráfico, o ano que apresenta a menor extensão de gelo marítimo é 
2007, o que indica que esse foi o ano de maior aquecimento global no período analisado.
Resposta: Alternativa E.
3. No gráfico abaixo, encontra-se representada, em bilhões de reais, a arrecadação de impostos federais no 
período de 2003 a 2006. Nesse período, a arrecadação anual de impostos federais: 
(A) nunca ultrapassou os 400 bilhões de reais.
(B) sempre foi superior a 300 bilhões de reais.
(C) manteve-se constante nos quatro anos.
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(D) foi maior em 2006 que nos outros anos.
(E) chegou a ser inferior a 200 bilhões de reais.
Resolução: 
Analisando cada alternativa temos que a única resposta correta é a D.
Resposta: Alternativa D.
RACIOCÍNIO LÓGICO. Noções básicas da lógica matemática: proposições, problemas 
com tabelas e argumentação. Tabelas Verdade, resolução de problemas
LÓGICA PROPOSICIONAL
Uma proposição é um conjunto de palavras ou símbolos que expressa um pensamento ou uma ideia 
completa, transmitindo um juízo sobre algo. Uma proposição afirma fatos ou ideias que podemos classificar como 
verdadeiros ou falsos. Esse é o ponto central do estudo lógico, onde analisamos e manipulamos proposições 
para extrair conclusões.
Valores Lógicos
Os valores lógicos possíveis para uma proposição são:
− Verdadeiro (V), caso a proposição seja verdadeira.
− Falso (F), caso a proposição seja falsa.
Os valores lógicos seguem três axiomas fundamentais:
− Princípio da Identidade: uma proposição é idêntica a si mesma. Em termos simples: p≡p
Exemplo: “Hoje é segunda-feira” é a mesma proposição em qualquer contexto lógico.
− Princípio da Não Contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Exemplo: “O céu é azul e não azul” é uma contradição.
− Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição é ou verdadeira ou falsa, não existindo um terceiro caso 
possível. Ou seja: “Toda proposição tem um, e somente um, dos valores lógicos: V ou F.”
Exemplo: “Está chovendo ou não está chovendo” é sempre verdadeiro, sem meio-termo.
Classificação das Proposições
Para entender melhor as proposições, é útil classificá-las em dois tipos principais:
• Sentenças Abertas
São sentenças para as quais não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso, pois elas não expri-
mem um fato completo ou específico. São exemplos de sentenças abertas:
− Frases interrogativas: “ℚuando será a prova?”
− Frases exclamativas: “ℚue maravilhoso!”
− Frases imperativas: “Desligue a televisão.”
− Frases sem sentido lógico: “Esta frase é falsa.”
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• Sentenças Fechadas
Quando a proposição admite um único valor lógico, verdadeiro ou falso, ela é chamada de sentença fecha-
da. Exemplos:
− Sentença fechada e verdadeira: “2 + 2 = 4”
− Sentença fechada e falsa: “O Brasil é uma ilha”
Proposições Simples e Compostas
As proposições podem ainda ser classificadas em simples e compostas, dependendo da estrutura e do nú-
mero de ideias que expressam:
• Proposições Simples (ou Atômicas)
São proposições que não contêm outras proposições como parte integrante de si mesmas. São representa-
das por letras minúsculas, como p, q, r, etc.
Exemplos:
p: “João é engenheiro.”
q: “Maria é professora.”
• Proposições Compostas (ou Moleculares)
Formadas pela combinação de duas ou mais proposições simples. São representadas por letras maiúscu-
las, como P, Q, R, etc., e usam conectivos lógicos para relacionar as proposições simples.
Exemplo:
P: “João é engenheiro e Maria é professora.”
Classificação de Frases
Ao classificarmos frases pela possibilidade de atribuir-lhes um valor lógico (verdadeiro ou falso), consegui-
mos distinguir entre aquelas que podem ser usadas em raciocínios lógicos e as que não podem. Vamos ver 
alguns exemplos e suas classificações.
“O céu é azul.” – Proposição lógica (podemos dizer se é verdadeiro ou falso).
“Quantos anos você tem?” – Sentença aberta (é uma pergunta, sem valor lógico).
“João é alto.” – Proposição lógica (podemos afirmar ou negar).
“Seja bem-vindo!” – Não é proposição lógica (é uma saudação, sem valor lógico).
“2 + 2 = 4.” – Sentença fechada (podemos atribuir valor lógico, é uma afirmação objetiva).
“Ele é muito bom.” – Sentença aberta (não se sabe quem é “ele” e o que significa “bom”).
“Choveu ontem.” – Proposição lógica (podemos dizer se é verdadeiro ou falso).
“Esta frase é falsa.” – Não é proposição lógica (é um paradoxo, sem valor lógico).
“Abra a janela, por favor.” – Não é proposição lógica (é uma instrução, sem valor lógico).
“O número x é maior que 10.” – Sentença aberta (não se sabe o valor de x)
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Agora veremos um exemplo retirado de uma prova:
1. (CESPE) Na lista de frases apresentadas a seguir:
– “A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
– A expressão x + y é positiva.
– O valor de √4 + 3 = 7.
– Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
– O que é isto?
Há exatamente:
(A) uma proposição;
(B) duas proposições;
(C) três proposições;
(D) quatro proposições;
(E) todas são proposições.
Resolução:
Analisemos cada alternativa:
(A) A frase é um paradoxo, então não podemos dizer se é verdadeira ou falsa. Não é uma proposição lógica.
(B) Não sabemos os valores de x e y, então não podemos dizer se é verdadeira ou falsa. É uma sentença 
aberta e não é uma proposição lógica.
(C) Podemos verificar se é verdadeira ou falsa. É uma proposição lógica.
(D) Podemos verificar se é verdadeira ou falsa, independente do númeroexato. É uma proposição lógica.
(E) É uma pergunta, então não podemos dizer se é verdadeira ou falsa. Não é uma proposição lógica. 
Resposta: B.
Conectivos Lógicos
Para formar proposições compostas a partir de proposições simples, utilizamos conectivos lógicos. Esses 
conectivos estabelecem relações entre as proposições, criando novas sentenças com significados mais com-
plexos. São eles:
Operação Conectivo Estrutura 
Lógica
Exemplos
p q Resultado
Negação ~ ou ¬ Não p "Hoje é 
domingo" - ~p: "Hoje não é domingo"
Conjunção ^ p e q "Estudei" "Passei na 
prova" p ^ q: "Estudei e passei na prova" 
Disjunção 
Inclusiva v p ou q "Vou ao 
cinema"
"Vou ao 
teatro"
p v q: "Vou ao cinema ou vou ao 
teatro" 
Disjunção 
Exclusiva ⊕ Ou p ou q "Ganhei na 
loteria"
"Recebi 
uma 
herança"
p ⊕ q: "Ou ganhei na loteria ou recebi 
uma herança" 
Condicional → Se p 
então q
"Está 
chovendo"
"Levarei 
o guarda-
chuva"
p → q: "Se está chovendo, então 
levarei o guarda-chuva" 
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Bicondicional ↔
p se e 
somente 
se q
"O número 
é par"
"O número 
é divisível 
por 2"
p ↔ q: "O número é par se e somente 
se é divisível por 2" 
Exemplo: 
2. (VUNESP) Os conectivos ou operadores lógicos são palavras (da linguagem comum) ou símbolos (da lin-
guagem formal) utilizados para conectar proposições de acordo com regras formais preestabelecidas. Assinale 
a alternativa que apresenta exemplos de conjunção, negação e implicação, respectivamente.
(A) ¬ p, p v q, p ^ q
(B) p ^ q, ¬ p, p → q
(C) p → q, p v q, ¬ p
(D) p v p, p → q, ¬ q
(E) p v q, ¬ q, p v q
Resolução:
Precisamos identificar cada conectivo solicitado na ordem correta. A conjunção é o conectivo ^, como em 
p ^ q. A negação é representada pelo símbolo ¬, como em ¬p. A implicação é representada pelo símbolo →, 
como em p → q. 
Resposta: B.
Tabela Verdade
A tabela verdade é uma ferramenta para analisar o valor lógico de proposições compostas. O número de 
linhas em uma tabela depende da quantidade de proposições simples (n):
Número de Linhas = 2n
Vamos agora ver as tabelas verdade para cada conectivo lógico: 
p q ~p p ^ q p v q p ⊕ q p → q p ↔ q
V V F V V F V V
V F F F V V F F
F V V F V V V F
F F V F F F V V
Exemplo:
3. (CESPE/UNB) Se “A”, “B”, “C” e “D” forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da 
tabela-verdade da proposição (A → B) ↔ (C → D) será igual a:
(A) 2;
(B) 4;
(C) 8;
(D) 16;
(E) 32.
Resolução:
Temos 4 proposições simples (A, B, C e D), então aplicamos na fórmula 2n, onde n é o número de proposi-
ções. Assim, 24 = 16 linhas.
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Resposta D.
Equivalências
Duas ou mais proposições compostas são equivalentes, quando mesmo possuindo estruturas lógicas dife-
rentes, apresentam a mesma solução em suas respectivas tabelas verdade.
Se as proposições P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) são ambas TAUTOLOGIAS, ou então, são CONTRADIÇÕES, 
então são EQUIVALENTES.
Exemplo: 
5. (VUNESP/TJSP) Uma negação lógica para a afirmação “João é rico, ou Maria é pobre” é:
(A) Se João é rico, então Maria é pobre.
(B) João não é rico, e Maria não é pobre.
(C) João é rico, e Maria não é pobre.
(D) Se João não é rico, então Maria não é pobre.
(E) João não é rico, ou Maria não é pobre.
Resolução:
Nesta questão, a proposição a ser negada trata-se da disjunção de duas proposições lógicas simples. Para 
tal, trocamos o conectivo por “e” e negamos as proposições “João é rico” e “Maria é pobre”. Vejam como fica:
Resposta: B.
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Leis de Morgan 
Com elas:
– Negamos que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivalendo a afirmar que pelo 
menos uma é falsa
– Negamos que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivalendo a afirmar que ambas são 
falsas.
ATENÇÃO
As Leis de Morgan exprimem que NEGAÇÃO 
transforma:
CONJUNÇÃO em DISJUNÇÃO
DISJUNÇÃO em CONJUNÇÃO
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
Um argumento refere-se à declaração de que um conjunto de proposições iniciais leva a outra proposição 
final, que é uma consequência das primeiras. Em outras palavras, um argumento é a relação que conecta um 
conjunto de proposições, denotadas como P1, P2,... Pn, conhecidas como premissas do argumento, a uma 
proposição Q, que é chamada de conclusão do argumento.
Exemplo:
P1: Todos os cientistas são loucos.
P2: Martiniano é louco.
Q: Martiniano é um cientista.
O exemplo fornecido pode ser denominado de Silogismo, que é um argumento formado por duas premissas 
e uma conclusão.
Quando se trata de argumentos lógicos, nosso interesse reside em determinar se eles são válidos ou 
inválidos. Portanto, vamos entender o que significa um argumento válido e um argumento inválido.
Argumentos Válidos
Um argumento é considerado válido, ou legítimo, quando a conclusão decorre necessariamente das 
propostas apresentadas. 
Exemplo de silogismo: 
P1: Todos os homens são pássaros. 
P2: Nenhum pássaro é animal. 
C: Logo, nenhum homem é animal.
Este exemplo demonstra um argumento logicamente estruturado e, por isso, válido. Entretanto, isso não 
implica na verdade das premissas ou da conclusão.
Importante enfatizar que a classificação de avaliação de um argumento é a sua estrutura lógica, e não o 
teor de suas propostas ou conclusões. Se a estrutura for formulada corretamente, o argumento é considerado 
válido, independentemente da veracidade das propostas ou das conclusões.
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Como determinar se um argumento é válido?
A validade de um argumento pode ser verificada por meio de diagramas de Venn, uma ferramenta 
extremamente útil para essa finalidade, frequentemente usada para analisar a lógica de argumentos. Vamos 
ilustrar esse método com o exemplo mencionado acima. Ao afirmar na afirmação P1 que “todos os homens são 
pássaros”, podemos representar esta afirmação da seguinte forma:
Note-se que todos os elementos do conjunto menor (homens) estão contidos no conjunto maior (pássaros), 
diminuindo que todos os elementos do primeiro grupo pertencem também ao segundo. Esta é a forma padrão 
de representar graficamente a afirmação “Todo A é B”: dois círculos, com o menor dentro do maior, onde o 
círculo menor representa o grupo classificado após a expressão “Todo”.
ℚuanto à afirmação “Nenhum pássaro é animal”, a palavra-chave aqui é “Nenhum”, que transmite a ideia de 
completa separação entre os dois conjuntos incluídos.
A representação gráfica da afirmação “Nenhum A é B” sempre consistirá em dois conjuntos distintos, sem 
sobreposição alguma entre eles.
Ao combinar as representações gráficas das duas indicações mencionadas acima e analisá-las, obteremos:
Ao analisar a conclusão de nosso argumento, que afirma “Nenhum homem é animal”, e compará-la com 
as representações gráficas das metas, questionamos: essa conclusão decorre logicamente das metas? 
Definitivamente, sim!
Percebemos que o conjunto dos homens está completamente separado do conjunto dos animais, diminuindo 
uma dissociação total entre os dois. Portanto, concluímos que este argumento é válido.
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Argumentos Inválidos
Um argumento é considerado inválido, também chamado de ilegítimo, mal formulado, falacioso ou sofisma, 
quando as propostas apresentadas não são capazes de garantir a verdade da conclusão.
Por exemplo: 
P1: Todas as crianças gostam de chocolate. 
P2: Patrícia não é criança. 
C: Logo, Patrícia não gosta de chocolate.
Este exemplo ilustra um argumento inválido ou falacioso, pois as premissas não estabelecem de maneira 
conclusiva a veracidade da conclusão. É possível que Patrícia aprecie chocolate, mesmo não sendo criança, 
uma vez que a proposta inicial não limite o gosto por chocolate exclusivamente para crianças.
Para demonstrar a invalidez do argumento supracitado, utilizaremos diagramas de conjuntos, tal como foi 
feito para provar a validade de um argumento válido. Iniciaremos com as primeiras metas: “Todas as crianças 
gostam de chocolate”.
Examinemos a segunda premissa: “Patrícia não é criança”. Para obrigar, precisamos referenciar o diagrama 
criado a partir da primeira localização e determinar a localização possível de Patrícia, levando em consideração 
o que a segunda localização estabelece.
Fica claro que Patrícia não pode estar dentro do círculo que representa as crianças. Essa é a única restrição 
imposta pela segunda colocação. Assim, podemos deduzir que existem duas posições possíveis para Patrícia 
no diagrama:
1º) Fora do círculo que representa o conjunto maior;
2º) Dentro do conjunto maior, mas fora do círculo das crianças. Vamos analisar:
Finalmente, passemos à análise da conclusão: “Patrícia não gosta de chocolate”. Ora, o que nos resta para 
sabermos se este argumento é válido ou não, é justamente confirmar se esse resultado (se esta conclusão) é 
necessariamente verdadeiro!
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– É necessariamente verdadeiro que Patrícia não gosta de chocolate? Olhando para o desenho acima, 
respondemos que não! Pode ser que ela não goste de chocolate (caso esteja fora do círculo), mas também 
pode ser que goste (caso esteja dentro do círculo)! Enfim, o argumento é inválido, pois as premissas não 
garantiram a veracidade da conclusão!
Métodos para validação de um argumento
Vamos explorar alguns métodos que nos ajudarão a determinar a validade de um argumento:
1º) Diagramas de conjuntos: ideal para argumentos que contenham as palavras “todo”, “algum” e “nenhum” 
ou suas convenções como “cada”, “existe um”, etc. referências nas indicações.
2º) Tabela-verdade: recomendada quando o uso de diagramas de conjuntos não se aplica, especialmente 
em argumentos que envolvem conectores lógicos como “ou”, “e”, “→” (implica) e “↔” (se e somente se) . O 
processo inclui a criação de uma tabela que destaca uma coluna para cada premissa e outra para a conclusão. 
O principal desafio deste método é o aumento da complexidade com o acréscimo de proposições simples.
3º) Operações lógicas com conectivos, assumindo posições verdadeiras: aqui, partimos do princípio 
de que as premissas são verdadeiras e, através de operações lógicas com conectivos, buscamos determinar 
a veracidade da conclusão. Esse método oferece um caminho rápido para demonstrar a validade de um 
argumento, mas é considerado uma alternativa secundária à primeira opção.
4º) Operações lógicas considerando propostas verdadeiras e conclusões falsas: este método é útil 
quando o anterior não fornece uma maneira direta de avaliar o valor lógico da conclusão, solicitando, em vez 
disso, uma análise mais profunda e, possivelmente, mais complexa.
Em síntese, temos:
Deve ser usado quando: Não deve ser usado 
quando:
1o método
Utilização dos 
Diagramas 
(circunferências).
O argumento apresentar as 
palavras todo, nenhum, ou algum
O argumento não 
apresentar tais palavras.
2o método Construção das 
tabelas-verdade.
Em qualquer caso, mas 
preferencialmente quando o 
argumento tiver no máximo duas 
proposições simples.
O argumento não 
apresentar três ou mais 
proposições simples.
3o método
Considerando as 
premissas verdadeiras 
e testando a 
conclusão verdadeira.
O 1o método não puder ser 
empregado, e houver uma 
premissa que seja uma 
proposição simples; ou
que esteja na forma de uma 
conjunção (e).
Nenhuma premissa for 
uma proposição simples 
ou uma conjunção.
4o método
Verificar a existência 
de conclusão 
falsa e premissas 
verdadeiras.
0 1o método ser empregado, e a 
conclusão tiver a forma de uma 
proposição simples; ou estiver na 
forma de uma condicional (se...
então...).
A conclusão não for uma 
proposição simples, nem 
uma desjunção, nem uma 
condicional.
Exemplo: diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
(p ∧ q) → r
_____~r_______
~p ∨ ~q
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Resolução:
1ª Pergunta: o argumento inclui as expressões “todo”, “algum”, ou “nenhum”? Se uma resposta negativa, 
isso exclui a aplicação do primeiro método, levando-nos a considerar outras opções.
2ª Pergunta: o argumento é composto por, no máximo, duas proposições simples? Caso a resposta seja 
negativa, o segundo método também é descartado da análise.
3ª Pergunta: alguma das propostas consiste em uma proposição simples ou em uma conjunção? Se 
afirmativo, como no caso da segunda proposição ser (~r), podemos proceder com o terceiro método. Se 
desejarmos explorar mais opções, temos obrigações com outra pergunta.
4ª Pergunta: a conclusão é formulada como uma proposição simples, uma disjunção, ou uma condicional? 
Se a resposta for positiva, e a conclusão para uma disjunção, por exemplo, temos a opção de aplicar o método 
quarto, se assim escolhermos.
Vamos seguir os dois caminhos: resolveremos a questão pelo 3º e pelo 4º método.
Analise usando o Terceiro Método a partir do princípio de que as premissas são verdadeiras e avalie a 
veracidade da conclusão, dessa forma, será obtido:
2ª Premissa: Se ~r é verdade, isso implica que r é falso.
1ª Premissa: se (p ∧ q) → r é verdade, e já estabelecemos que r é falso, isso nos leva a concluir que (p ∧ 
q) também deve ser falso. Uma conjunção é falsa quando pelo menos uma das proposições é falsa ou ambas 
são. Portanto, não conseguimos determinar os valores específicos de p e q com esta abordagem. Apesar da 
aparência inicial de adequação, o terceiro método não nos permite concluir definitivamente sobre a validade do 
argumento.
Analise usando o Quarto Método considerando a conclusão como falsa e as premissas como verdadeiras, 
chegaremos a:
Conclusão: Se ~pv ~q é falso, então tanto p quanto q são verdadeiros. Procedemos ao teste das propostas 
sob a suposição de sua verdade:
1ª Premissa: Se (p∧q) → r é considerado verdadeiro, e p e q são verdadeiros, a situação condicional 
também é verdadeira, o que nos leva a concluir que r deve ser verdadeiro.
2ª Premissa) Com r sendo verdadeiro, encontramos um conflito, pois isso tornaria ~r falso. Contudo, nesta 
análise, o objetivo é verificar a coexistência de posições verdadeiras com uma conclusão falsa. A ausência 
dessa coexistência indica que o argumento é válido. Portanto, concluímos que o argumento é válido sob o 
método quarto.
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Questões
1. UFLA - 2023
Considere a função f(x) = 3x- 2, x ∈ R . Se g(x) = f (x+1) - 2f(x) , x ∈ R , então g(-2) é: é:
Alternativas
(A) 3
(B) 5
(C) 11
(D) 17
2. UFLA - 2023
O gráfico, a seguir, mostra a evolução na quantidade de servidores da UFLA entre os anos de 1963 e 2019. 
(fonte: site da UFLA).
Com base no gráfico, assinale a alternativa CORRETA:
Alternativas
(A) De 2003 para 2007, houve uma diminuição superior a 6% no número de técnicos-administrativos.
(B) O aumento de técnicos-administrativos ocorrido entre os anos de 2010 e 2014 foi superior a 33%.
(C) O aumento no número de docentes ocorrido entre os anos de 2007 e 2008 foi inferior a 2%.
(D) De 2014 para 2019, houve um aumento de mais de 30% no número de docentes.
3. UFLA - 2023
Cada aula da UFLA tem duração de 50 minutos. Se um estudante tem 18 aulas semanais, o número de 
horas semanais que o estudante passa em sala de aula é de:
x1y2z3 c8003b17612fd8b93bbe43691c988e51ed71f92f25c0ea0860f8406a6f9a114b
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Assinale a alternativa CORRETA: 
Alternativas
(A) 15 horas. 
(B) 16 horas. 
(C) 17 horas.
(D) 18 horas.
4. UFLA - 2023
O prazo para a construção de um Centro Esportivo Universitário era de cinco semanas. Para cumprir esse 
prazo, seriam necessárias nove pessoas trabalhando 8 horas por dia e seis dias por semana. Houve um atra-
so de duas semanas no início das obras. Assim, para cumprir o prazo, quantas pessoas a mais foram neces-
sárias, sabendo que todas elas trabalharam 2 horas a mais por dia e seis dias por semana? 
Alternativas
(A) uma pessoa.
(B) duas pessoas. 
(C) três pessoas.
(D) quatro pessoas.
5. UFLA - 2023
Uma biblioteca possui em seu acervo 5 livros de Matemática e 4 livros de Física, sendo únicos os exem-
plares. Pedro pode tomar emprestado no máximo 4 livros, e precisará de livros de Física e Matemática para 
seu projeto. De quantas maneiras Pedro pode tomar emprestados os livros, sendo pelo menos um de cada 
área?
Alternativas
(A) 120
(B) 126
(C) 210
(D) 216
6. UFLA - 2023
Marina gasta 40 minutos para ir da portaria principal da UFLA até o prédio da reitoria caminhando a uma 
velocidade de 50 metros por minuto. Se Marina fizesse o mesmo percurso de bicicleta a uma velocidade de 6 
quilômetros por hora, ela gastaria
Alternativas
(A) 10 minutos a menos.10 minutos a menos.
(B) 15 minutos a menos. 
(C) 20 minutos a menos. 
(D) 22 minutos a menos.
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7. CETAP - 2021
Escolhendo a senha de meu celular, foi sugerida a seguinte opção: 2 vogais distintas; 2 algarismos pares e 
distintos.
Quantas senhas posso formar com essas opções?
(A) 320
(B) 360
(C) 400
(D) 160
8. IESES - 2024
Em uma cidade do oeste de Santa Catarina, o termômetro marcou -3°C no final da tarde. Se a temperatura, 
durante a madrugada, caiu mais 10°C, assinale a alternativa que indica a temperatura que o termômetro está 
marcando após a referida queda.
(A) -13°C
(B) 13°C
(C) 7°C
(D) -7°C
9. IBADE - 2022
Em uma aula de matemática um aluno fez as seguintes afirmações:
▪ a divisão entre dois números racionais não resulta em um número racional. 
▪ a multiplicação entre dois números racionais resulta em um número racional. 
▪ a potenciação de um número racional resulta em um número racional. 
▪ a soma de dois números racionais não é um número racional. 
▪ → (lê-se: conjunto dos números racionais positivos e nulos).
Dessa forma, é possível afirmar que:
(A) Uma afirmativa está correta.
(B) Duas afirmativas estão corretas. 
(C) Três afirmativas estão corretas.
(D) ℚuatro afirmativas estão corretas.
(E) Cinco afirmativas estão corretas.
10. Avança SP - 2025
Dada a função do segundo grau:
ƒ(x) = x2– (p − 1)x + 1
Para quais valores de p, a função ƒ(x) terá duas raízes reais e distintas?
(A) p 3.
(B) p 1.
(C) −1divisor natural de um número natural é o próprio número.
III. 17 é múltiplo natural de 34.
IV. 54 é divisor natural de 432.
Quais estão corretas?
(A) Apenas II. 
(B) Apenas III.
(C) Apenas I e III.
(D) Apenas I e IV.
(E) Apenas II e IV.
20. Itame - 2020
Sabendo que o salário de Marcos equivale a 80% do salário de Wanessa e que a diferença entre os dois 
salários é de R$ 500,00, então podemos concluir que o salário de Marcos é igual à:
(A) R$ 2.500,00
(B) R$ 2.300,00
(C) R$ 2.100,00
(D) R$ 2.000,00
21. GUALIMP - 2021
Numa piscina de bolinhas foram colocadas 120 bolas amarelas, 150 bolas azuis, 130 bolas vermelhas e 100 
bolas verdes. Com os olhos vendados, uma menina retira bolas da piscina. A probabilidade da:
(A) Primeira bola a ser retirada da piscina ser verde é de 2%.
(B) Primeira bola a ser retirada da piscina ser amarela é de 24%.
(C) Primeira bola a ser retirada da piscina ser vermelha é de 2,6%.
(D) Primeira bola a ser retirada da piscina ser azul é de 25%.
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22. GUALIMP - 2021
Assinale a alternativa INCORRETA: ao jogar um dado, a probabilidade de cair na face contendo o número 
2 é de?
(A) 1/6.
(B) 0,167.
(C) 2/6.
(D) 16,7%.
23. OBJETIVA - 2023
Certa piscina é abastecida com água por duas mangueiras de igual vazão, demorando 5h para ser comple-
tamente preenchida. Supondo-se que essa piscina seja abastecida por três mangueiras iguais às anteriores, ao 
todo, quanto tempo irá levar para essa piscina ser completamente preenchida?
(A) 3h
(B) 3h20min
(C) 3h40min
(D) 4h
24. Instituto Consulplan - 2024
Em uma indústria automotiva, 12 máquinas com capacidade de produção iguais são capazes de produzir 
juntas, por dia, 85 peças em 5 horas diárias de operação. Com o aumento do lucro e da demanda, o diretor 
decidiu adicionar mais 6 máquinas idênticas às anteriores para atingir o objetivo de produção de 153 peças 
diariamente. Para que tal objetivo seja alcançado, as máquinas deverão operar por quantas horas diariamente?
(A) 4,5.
(B) 5,0.
(C) 5,5.
(D) 6,0.
25. INSTITUTO MAIS - 2021
Uma empresa de limpeza verificou que 15 funcionárias levam cerca de 3 horas para limpar um espaço 
de 3.375 m² de área. Sabendo que um evento ocorrerá em um espaço retangular de perímetro igual a 190 
m e comprimento igual a 50 m, é correto afirmar que 20 funcionárias dessa empresa, trabalhando no mesmo 
ritmo, para limpar o espaço onde ocorrerá esse evento, levarão 
(A) 1 hora e 30 minutos.
(B) 2 horas.
(C) 2 horas e 30 minutos.
(D) 3 horas.
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26. UPENET/IAUPE - 2024
Para a questão, considere o seguinte gráfico:
Ainda com base no gráfico acima, é INCORRETO afirmar que
(A) a quantidade de Mulheres, Fumantes ou Não Fumantes, é menor que a metade da quantidade de Ho-
mens, Fumantes ou Não Fumantes.
(B) a quantidade de Homens Não Fumantes é superior à quantidade total de pessoas, Homens ou Mulhe-
res, Fumantes.
(C) a quantidade de Mulheres Não Fumantes é maior que a metade da quantidade de Homens Não Fuman-
tes.
(D) a quantidade de Homens Fumantes é maior que a metade da quantidade de Mulheres Não Fumantes.
(E) a quantidade de Fumantes, Homens ou Mulheres, é menor que a quantidade de Não Fumantes.
27. Instituto Consulplan - 2024
Uma pesquisa feita com 500 alunos de uma escola municipal mostrou que a quantidade de alunos que têm 
afinidade com língua portuguesa é igual a 4 vezes a quantidade de alunos que têm afinidade com matemática. 
Além disso, 20 alunos disseram ter afinidade com as duas disciplinas e 120 disseram não ter afinidade com 
nenhuma delas. A quantidade de alunos que têm afinidade com matemática é igual a:
(A) 60 alunos.
(B) 70 alunos.
(C) 80 alunos.
(D) 100 alunos.
28. INQC - 2024
A quantidade de copos de 250 ml que uma jarra de 2 litros cheia consegue encher é igual a:
(A) 8
(B) 10
(C) 12
(D) 14
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29. VUNESP - 2024
Em países como os Estados Unidos, utiliza-se a polegada como unidade de medida de comprimento, sendo 
que 1 polegada corresponde a 2,54 cm. Para uma abordagem sobre diferentes medidas e instrumentos de me-
dição, uma professora utilizou uma corda com 38,1 metros de comprimento e um pedaço de madeira medindo 
75 polegadas. Após fazer uma apresentação aos alunos, explicando sobre a polegada, a professora pediu que 
eles medissem a corda, utilizando como unidade u de medida o pedaço de madeira. A correta resposta espera-
da pela professora é que a corda tem o comprimento de
(A) 200 u.
(B) 50 u.
(C) 100 u.
(D) 10 u.
(E) 20 u.
30. INQC - 2024
Nair é auxiliar de serviços gerais e precisa cumprir seu horário de trabalho diário de 8 horas, sem contar seu 
horário de almoço e descanso. Em seu emprego, ela tem 1 hora de almoço e, durante o turno da tarde, tira 30 
minutos de descanso. Sabe-se que o horário de começo de expediente de Nair é às 7 horas da manhã.
Se ela chegou no horário certo e tem que cumprir sua carga horária, a hora certa que Nair deve sair é às:
(A) 18:30
(B) 17:30
(C) 16:30
(D) 15:30
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Gabarito
1 C
2 D
3 A
4 C
5 C
6 C
7 C
8 A
9 B
10 A
11 D
12 C
13 B
14 A
15 C
16 A
17 D
18 D
19 E
20 D
21 B
22 C
23 B
24 D
25 A
26 A
27 C
28 A
29 E
30 C
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Operações com Números Naturais 
Praticamente, toda a Matemática é edificada sobre essas duas operações fundamentais: adição e 
multiplicação.
Adição de Números Naturais
A primeira operação essencial da Aritmética tem como objetivo reunir em um único número todas as unidades 
de dois ou mais números.
Exemplo: 6 + 4 = 10, onde 6 e 4 são as parcelas e 10 é a soma ou o total.
Subtração de Números Naturais
É utilizada quando precisamos retirar uma quantidade de outra; é a operação inversa da adição. A subtração 
é válida apenas nos números naturais quando subtraímos o maior número do menor, ou seja, quando quando 
a-b tal que a ≥ b.
Exemplo: 200 – 193 = 7, onde 200 é o Minuendo, o 193 Subtraendo e 7 a diferença.
Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o subtraendo como subtrativo.
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que visa adicionar o primeiro número, denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes 
quantas são as unidades do segundo número, chamado multiplicador.
Exemplo: 3 x 5 = 15, onde 3 e 5 são os fatores e o 15 produto.
- 3 vezes 5 é somar o número 3 cinco vezes: 3 x 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15. Podemos no lugar do “x” (vezes) 
utilizar o ponto “. “, para indicar a multiplicação).
Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes precisamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. 
O primeiro número, que é o maior, é chamado de dividendo, e o outro número, que é menor, é o divisor. O 
resultado da divisão é chamado de quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente e somarmos o resto, 
obtemos o dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número 
natural por outro número natural de forma exata. Quando a divisão não é exata, temos um resto diferente de 
zero.
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Princípios fundamentais em uma divisão de números naturais
– Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 45 : 9 = 5
– Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 45 = 5 x 9
– A divisão de um número natural n por zero não é possível, pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, 
então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim, a divisão 
de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Naturais
Para todo a, b e c em N
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b + a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a
4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c)
5) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a
6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a
7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac
8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab – ac
9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural.
Exemplos:
1. Em uma gráfica, a máquina utilizada para imprimir certo tipo de calendário está com defeito, e, após 
imprimir 5 calendários perfeitos (P), o próximo sai com defeito (D), conforme mostra o esquema. Considerando 
que, ao se imprimir um lote com 5 000 calendários, os cinco primeiros saíram perfeitos e o sexto saiu com 
defeito e que essa mesma sequência se manteve durante toda a impressão do lote, é correto dizer que o 
número de calendários perfeitos desse lote foi
(A) 3 642.
(B) 3 828.
(C) 4 093.
(D) 4 167.
(E) 4 256.
Solução: 
Vamos dividir 5000 pela sequência repetida (6):
5000 / 6 = 833 + resto 2.
Isto significa que saíram 833. 5 = 4165 calendários perfeitos, mais 2 calendários perfeitos que restaram na 
conta de divisão.
Assim, são 4167 calendários perfeitos.
Resposta: D.
x1y2z3 c8003b17612fd8b93bbe43691c988e51ed71f92f25c0ea0860f8406a6f9a114b
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2. João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada cidade que possui apenas duas zonas eleitorais. 
Ao final da sua apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela com os resultados da eleição. 
A quantidade de eleitores desta cidade é:
1ª Zona Eleitoral 2ª Zona Eleitoral
João 1750 2245
Maria 850 2320
Nulos 150 217
Brancos 18 25
Abstenções 183 175
(A) 3995
(B) 7165
(C) 7532
(D) 7575
(E) 7933
Solução: 
Vamos somar a 1ª Zona: 1750 + 850 + 150 + 18 + 183 = 2951
2ª Zona: 2245 + 2320 + 217 + 25 + 175 = 4982
Somando os dois: 2951 + 4982 = 7933
Resposta: E.
3. Uma escola organizou um concurso de redação com a participação de 450 alunos. Cada aluno que par-
ticipou recebeu um lápis e uma caneta. Sabendo que cada caixa de lápis contém 30 unidades e cada caixa 
de canetas contém 25 unidades, quantas caixas de lápis e de canetas foram necessárias para atender todos 
os alunos?
(A) 15 caixas de lápis e 18 caixas de canetas.
(B) 16 caixas de lápis e 18 caixas de canetas.
(C) 15 caixas de lápis e 19 caixas de canetas.
(D) 16 caixas de lápis e 19 caixas de canetas.
(E) 17 caixas de lápis e 19 caixas de canetas.
Solução: 
Número de lápis: 450. Dividindo pelo número de lápis por caixa: 450 ÷ 30 = 15 
Número de canetas: 450. Dividindo pelo número de canetas por caixa: 450 ÷ 25 = 18.
Resposta: A.
4. Em uma sala de aula com 32 alunos, todos participaram de uma brincadeira em que formaram grupos 
de 6 pessoas. No final, sobrou uma quantidade de alunos que não conseguiram formar um grupo completo. 
Quantos alunos ficaram sem grupo completo?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
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(D) 4
(E) 5
Solução:
Divisão: 32÷6=5 grupos completos, com 32 − (6 × 5) = 2 alunos sobrando.
Resposta: B.
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)
O conjunto dos números inteiros é denotado pela letra maiúscula Z e compreende os números inteiros 
negativos, positivos e o zero. 
ℤ = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}
O conjunto dos números inteiros também possui alguns subconjuntos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos.
Z- = {…-4, -3, -2, -1, 0}: conjunto dos números inteiros não positivos.
Z*
+ = {1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos e não nulos, ou seja, sem o zero.
Z*
- = {… -4, -3, -2, -1}: conjunto dos números inteiros não positivos e não nulos.
Módulo
O módulo de um número inteiro é a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica 
inteira. Ele é representado pelo símbolo | |.
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0
O módulo de +6 é 6 e indica-se |+6| = 6
O módulo de –3 é 3 e indica-se |–3| = 3
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo.
Números Opostos
Dois números inteiros são considerados opostos quando sua soma resulta em zero; dessa forma, os pontos 
que os representam na reta numérica estão equidistantes da origem.
Exemplo: o oposto do número 4 é -4, e o oposto de -4 é 4, pois 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0. Em termos gerais, o 
oposto, ou simétrico, de “a” é “-a”, e vice-versa; notavelmente, o oposto de zero é o próprio zero.
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Operações com Números Inteiros
Adição de Números Inteiros
Para facilitar a compreensão dessa operação, associamos a ideia de ganhar aos números inteiros positivos 
e a ideia de perder aos números inteiros negativos.
Ganhar 3 + ganhar 5 = ganhar 8 (3 + 5 = 8)
Perder 4 + perder 3 = perder 7 (-4 + (-3) = -7)
Ganhar 5 + perder 3 = ganhar 2 (5 + (-3) = 2)
Perder 5 + ganhar 3 = perder 2 (-5 + 3 = -2)
Observação: O sinal (+) antes do número positivo pode ser omitido, mas o sinal (–) antes do número 
negativo nunca pode ser dispensado.
Subtração de Números Inteiros
A subtração é utilizada nos seguintes casos:
– Ao retirarmos uma quantidade de outra quantidade;
– Quando temos duas quantidades e queremos saber a diferença entre elas;
– Quando temos duas quantidades e desejamos saber quanto falta para que uma delas atinja a outra.
A subtração é a operação inversa da adição. Concluímos que subtrair dois números inteiros é equivalente a 
adicionar o primeiro com o oposto do segundo.
Observação: todos os parênteses, colchetes, chaves, números, etc., precedidos de sinal negativo têm seu 
sinal invertido, ou seja, representam o seu oposto.
Multiplicação de Números Inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de adição quando os números são repetidos. 
Podemos entender essa situação como ganhar repetidamente uma determinada quantidade. Por exemplo, 
ganhar 1 objeto 15 vezes consecutivas significa ganhar 15 objetos, e essa repetição pode ser indicada pelo 
símbolo “x”, ou seja: 1+ 1 +1 + ... + 1 = 15 x 1 = 15.
Se substituirmos o número 1 pelo número 2, obtemos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 15 x 2 = 30
Na multiplicação, o produto dos números “a” e “b” pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum 
sinal entre as letras.
Divisão de Números Inteiros
Considere o cálculo: - 15/3 = q à 3q = - 15 à q = -5
No exemplo dado, podemos concluir que, para realizar a divisão exata de um número inteiro por outro 
número inteiro (diferente de zero), dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor.
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No conjunto dos números inteiros Z, a divisão não é comutativa, não é associativa, e não possui a propriedade 
da existência do elemento neutro. Além disso, não é possível realizar a divisão por zero. Quando dividimos zero 
por qualquer número inteiro (diferente de zero), o resultado é sempre zero, pois o produto de qualquer número 
inteiro por zero é igual a zero.
Regra de sinais
Potenciação de Números Inteiros
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado 
a base e o número n é o expoente.
an = a x a x a x a x ... x a , ou seja, a é multiplicado por a n vezes.
– Qualquer potência com uma base positiva resulta em um número inteiro positivo.
– Se a base da potência é negativa e o expoente é par, então o resultado é um número inteiro positivo.
– Se a base da potência é negativa e o expoente é ímpar, então o resultado é um número inteiro negativo.
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Radiciação de Números Inteiros
A radiciação de números inteiros envolve a obtenção da raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro 
a. Esse processo resulta em outro número inteiro não negativo, representado por b, que, quando elevado à 
potência n, reproduz o número original a. O índice da raiz é representado por n, e o número a é conhecido como 
radicando, posicionado sob o sinal do radical.
A raiz quadrada, de ordem 2, é um exemplo comum. Ela produz um número inteiro não negativo cujo 
quadrado é igual ao número original a.
Importante observação: não é possível calcular a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto 
dos números inteiros.
É importante notar que não há um número inteiro não negativo cujo produto consigo mesmo resulte em um 
número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que gera outro número inteiro. Esse número, 
quando elevado ao cubo, é igual ao número original a. É crucial observar que, ao contrário da raiz quadrada, 
não restringimos nossos cálculos apenas a números não negativos.
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros
Para todo a, b e c em Z
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b +a 
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3) Elemento neutro da adição : a + 0 = a
4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0
5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c)
6) Comutativa da multiplicação : a.b = b.a
7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a
8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac
9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac
10) Elemento inverso da multiplicação: para todo inteiro a ≠ 0, existe um inverso a–1 = 1/a em Z, tal que, a 
. a–1 = a . (1/a) = 1
11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural.
Exemplos: 
1. Para zelar pelos jovens internados e orientá-los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e 
dos recursos utilizados em atividades educativas, bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica 
elencando “atitudes positivas” e “atitudes negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que 
cada um classificasse suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e 
(-1) a cada atitude negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total 
de pontos atribuídos foi
(A) 50.
(B) 45.
(C) 42.
(D) 36.
(E) 32.
Solução: 
50-20=30 atitudes negativas
20.4=80
30.(-1)=-30
80-30=50
Resposta: A.
2. Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a maior quantidade possível, sem ficar devendo na loja. 
Verificou o preço de alguns produtos: 
TV: R$ 562,00 
DVD: R$ 399,00 
Micro-ondas: R$ 429,00 
Geladeira: R$ 1.213,00 
Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o troco 
recebido será de: 
(A) R$ 84,00 
(B) R$ 74,00 
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(C) R$ 36,00 
(D) R$ 26,00 
(E) R$ 16,00 
Solução: 
Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041
Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento
Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do orçamento.
Troco:2200 – 2174 = 26 reais
Resposta: D.
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Os números racionais são aqueles que podem ser expressos na forma de fração. Nessa representação, tanto 
o numerador quanto o denominador pertencem ao conjunto dos números inteiros, e é fundamental observar 
que o denominador não pode ser zero, pois a divisão por zero não está definida.
O conjunto dos números racionais é simbolizado por Q. Vale ressaltar que os conjuntos dos números naturais 
e inteiros são subconjuntos dos números racionais, uma vez que todos os números naturais e inteiros podem 
ser representadospor frações. Além desses, os números decimais e as dízimas periódicas também fazem parte 
do conjunto dos números racionais. 
Representação na reta:
Também temos subconjuntos dos números racionais:
Q* = subconjunto dos números racionais não nulos, formado pelos números racionais sem o zero.
Q+ = subconjunto dos números racionais não negativos, formado pelos números racionais positivos.
Q*
+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos e não nulos.
Q- = subconjunto dos números racionais não positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.
Q*
- = subconjunto dos números racionais negativos, formado pelos números racionais negativos e não nulos.
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Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional a/b, tal que a não seja múltiplo de b. Para escrevê-lo na forma decimal, basta 
efetuar a divisão do numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:
2/5 = 0,4
1/4 = 0,25
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se 
periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
1/3 = 0,333... 
167/66 = 2,53030...
Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma característica 
especial: existe um período.
Uma forma decimal infinita com período de UM dígito pode ser associada a uma soma com infinitos termos 
deste tipo:
Para converter uma dízima periódica simples em fração, é suficiente utilizar o dígito 9 no denominador para 
cada quantidade de dígitos que compõe o período da dízima.
Exemplos: 
1. Seja a dízima 0, 333....
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3), então vamos colocar um 9 no denominador 
e repetir no numerador o período.
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 3/9.
2. Seja a dízima 1, 2343434...
O número 234 é formado pela combinação do ante período com o período. Trata-se de uma dízima periódica 
composta, onde há uma parte não repetitiva (ante período) e outra que se repete (período). No exemplo dado, 
o ante período é representado pelo número 2, enquanto o período é representado por 34.
Para converter esse número em fração, podemos realizar a seguinte operação: subtrair o ante período do 
número original (234 - 2) para obter o numerador, que é 232. O denominador é formado por tantos dígitos 9 
quanto o período (dois noves, neste caso) e um dígito 0 para cada dígito no ante período (um zero, neste caso).
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Assim, a fração equivalente ao número 234 é 232/990
Em temos uma fração mista, então transformando-a:
Simplificando por 2, obtemos x = , que é a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
Módulo ou valor absoluto
Refere-se à distância do ponto que representa esse número até o ponto de abscissa zero.
Inverso de um Número Racional 
Operações com números Racionais
Soma de Números Racionais
Como cada número racional pode ser expresso como uma fração, ou seja, na forma de a/b, onde “a” e “b” 
são números inteiros e “b” não é zero, podemos definir a adição entre números racionais da seguinte forma: a/b 
e c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de:
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Subtração de Números Racionais
A subtração de dois números racionais, representados por a e b, é equivalente à operação de adição do 
número p com o oposto de q. Em outras palavras, a – b = a + (-b)
Multiplicação (produto) de Números Racionais
O produto de dois números racionais é definido considerando que todo número racional pode ser expresso 
na forma de uma fração. Dessa forma, o produto de dois números racionais, representados por a e b é obtido 
multiplicando-se seus numeradores e denominadores, respectivamente. A expressão geral para o produto de 
dois números racionais é a.b. O produto dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b × 
c/d, a/b.c/d. Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais 
que vale em toda a Matemática:
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de 
dois números com sinais diferentes é negativo.
Divisão (Quociente) de Números Racionais
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso 
de q, isto é: p ÷ q = p × q-1
Potenciação de Números Racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o 
número n é o expoente. Vale as mesmas propriedades que usamos no conjunto dos Números Inteiros.
qn = q × q × q × q × ... × q, ou seja, q aparece n vezes.
Radiciação de Números Racionais
Se um número é representado como o produto de dois ou mais fatores iguais, cada um desses fatores é 
denominado raiz do número. Vale as mesmas propriedades que usamos no conjunto dos Números Inteiros.
Exemplo: considere o número 1/9
Podemos dizer que 1/9 é o produto de dois fatores iguais:
Isso significa que 1/3 é a raiz quadrada de 1/9:
Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais
1) Fechamento: o conjunto Q é fechado para a operação de adição e multiplicação, isto é, a soma e a 
multiplicação de dois números racionais ainda é um número racional.
2) Associativa da adição: para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
3) Comutativa da adição: para todos a, b em Q: a + b = b + a
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20
4) Elemento neutro da adição: existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto 
é: q + 0 = q
5) Elemento oposto: para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0
6) Associativa da multiplicação: para todos a, b, c em ℚ: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
7) Comutativa da multiplicação: para todos a, b em ℚ: a × b = b × a
8) Elemento neutro da multiplicação: existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio 
q, isto é: q × 1 = q
9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = a/b em Q, q≠0 , existe :
Satisfazendo a propriedade:
ou seja, 
10) Distributiva da multiplicação: Para todos a, b, c em ℚ: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
Exemplos:
1. Na escola onde estudo, 1/4 dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a 
matemática como favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os 
alunos que têm ciências como disciplina favorita? 
(A) 1/4
(B) 3/10
(C) 2/9
(D) 4/5
(E) 3/2
Solução: 
Somando português e matemática:
O que resta gosta de ciências:
Resposta: B.
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2. Simplificando a expressão abaixo
 
obtém-se :
(A) 1/2
(B) 1
(C) 3/2
(D) 2
(E) 3
Solução: 
1,3333...= 12/9 = 4/3
1,5 = 15/10 = 3/2
Resposta: B.
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I)
O conceito denúmeros irracionais está vinculado à definição de números racionais. Dessa forma, pertencem 
ao conjunto dos números irracionais aqueles que não fazem parte do conjunto dos racionais. Em outras 
palavras, um número é ou racional ou irracional, não podendo pertencer a ambos os conjuntos simultaneamente. 
Portanto, o conjunto dos números irracionais é o complemento do conjunto dos números racionais no universo 
dos números reais. Outra maneira de identificar os números que compõem o conjunto dos números irracionais 
é observar que eles não podem ser expressos na forma de fração. Isso ocorre, por exemplo, com decimais 
infinitos e raízes não exatas.
A combinação do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais forma um conjunto 
denominado conjunto dos números reais, representado por R.
A interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais não possui 
elementos em comum e, portanto, é igual ao conjunto vazio (Ø).
De maneira simbólica, temos:
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Q ∪ I = R
Q ∩ I = Ø
Classificação dos Números Irracionais
Os números irracionais podem ser classificados em dois tipos principais:
– Números reais algébricos irracionais: Esses números são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. 
Um número real é considerado algébrico se puder ser expresso por uma quantidade finita de operações como 
soma, subtração, multiplicação, divisão e raízes de grau inteiro, utilizando os números inteiros. Por exemplo:
É importante observar que a recíproca não é verdadeira; ou seja, nem todo número algébrico pode ser 
expresso usando radicais, conforme afirmado pelo teorema de Abel-Ruffini.
– Números reais transcendentes: esses números não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. 
Constantes matemáticas como pi (π) e o número de Euler (e) são exemplos de números transcendentes. Pode-
se dizer que há mais números transcendentes do que números algébricos, uma comparação feita na teoria dos 
conjuntos usando conjuntos infinitos.
A definição mais abrangente de números algébricos e transcendentes envolve números complexos.
Identificação de números irracionais
Com base nas explicações anteriores, podemos afirmar que:
– Todas as dízimas periódicas são números racionais.
– Todos os números inteiros são racionais.
– Todas as frações ordinárias são números racionais.
– Todas as dízimas não periódicas são números irracionais.
– Todas as raízes inexatas são números irracionais.
– A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional.
– A diferença de dois números irracionais pode ser um número racional.
Exemplos:
1. Considere as seguintes afirmações:
I. Para todo número inteiro x, tem-se 
II. 
III. Efetuando-se obtém-se um número maior que 5.
Relativamente a essas afirmações, é certo que
(A) I,II, e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas uma é verdadeira.
(E) I,II e III são falsas.
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Solução: 
I. 
II. 
10x = 4,4444...
- x = 0,4444.....
9x = 4
x = 4/9
III. 
Portanto, apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
Resposta: B.
2. Sejam os números irracionais: x = √3, y = √6, z = √12 e w = √24. Qual das expressões apresenta como 
resultado um número natural? 
(A) yw – xz.
(B) xw + yz.
(C) xy(w – z).
(D) xz(y + w). 
Solução: 
Vamos testar as alternativas:
A) 
Resposta: A.
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)
O conjunto dos números reais, representado por R, é a fusão do conjunto dos números racionais com o 
conjunto dos números irracionais. Vale ressaltar que o conjunto dos números racionais é a combinação dos 
conjuntos dos números naturais e inteiros. Podemos afirmar que entre quaisquer dois números reais há uma 
infinidade de outros números. 
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R = Q ∪ I, sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não irracional, e vice-versa).
Entre os conjuntos números reais, temos:
R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
R*
+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
R- = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
R*
- = {x ∈ R│x ;Resposta: A.
2. Considere m um número real menor que 20 e avalie as afirmações I, II e III:
I- (20 – m) é um número menor que 20.
II- (20 m) é um número maior que 20.
III- (20 m) é um número menor que 20.
É correto afirmar que:
A) I, II e III são verdadeiras.
B) apenas I e II são verdadeiras.
C) I, II e III são falsas.
D) apenas II e III são falsas.
Solução: 
I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo.
II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo.
III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo.
Resposta: C. 
Critérios de divisibilidade, máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum, 
decomposição em fatores primos
MÚLTIPLOS
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, o número a é múltiplo de b se, e somente se, existir um 
número inteiro k tal que a=b⋅k. Portanto, o conjunto dos múltiplos de a é obtido multiplicando a por todos os 
números inteiros, e os resultados dessas multiplicações são os múltiplos de a.
Por exemplo, podemos listar os 12 primeiros múltiplos de 2 da seguinte maneira, multiplicando o número 2 
pelos 12 primeiros números inteiros: 2⋅1,2⋅2,2⋅3,…,2⋅12
Isso resulta nos seguintes múltiplos de 2: 2,4,6,…,24
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
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reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
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2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Portanto, os múltiplos de 2 são:
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Observe que listamos somente os 12 primeiros números, mas poderíamos ter listado quantos fossem 
necessários, pois a lista de múltiplos é gerada pela multiplicação do número por todos os inteiros. Assim, o 
conjunto dos múltiplos é infinito.
Para verificar se um número é múltiplo de outro, é necessário encontrar um número inteiro de forma que a 
multiplicação entre eles resulte no primeiro número. Em outras palavras, a é múltiplo de b se existir um número 
inteiro k tal que a=b⋅k. Veja os exemplos:
– O número 49 é múltiplo de 7, pois existe número inteiro que, multiplicado por 7, resulta em 49. 49 = 7 · 7
– O número 324 é múltiplo de 3, pois existe número inteiro que, multiplicado por 3, resulta em 324.
324 = 3 · 108
– O número 523 não é múltiplo de 2, pois não existe número inteiro que, multiplicado por 2, resulte em 523.
523 = 2 · ?”
Múltiplos de 4
Como observamos, para identificar os múltiplos do número 4, é necessário multiplicar o 4 por números 
inteiros. Portanto: 
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Portanto, os múltiplos de 4 são:
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Submúltiplos de um número
Enquanto os múltiplos envolvem multiplicar um número por inteiros, os submúltiplos referem-se aos números 
inteiros que, ao serem multiplicados por um outro inteiro, resultam no número original. Em outras palavras, os 
submúltiplos de um número são os seus divisores inteiros positivos e negativos.
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Por exemplo:
Os submúltiplos de 12 são os números inteiros que podem ser multiplicados por outro inteiro para formar 12.
Esses números são:
1, 2, 3, 4, 6, 12, −1, −2, −3, −4, −6, −12, pois:
▪ 1 ⋅ 12 = 12
▪ 2 ⋅ 6 = 12
▪ 3 ⋅ 4 = 12
▪ −1 ⋅ −12 = 12, e assim por diante.
Portanto, o conjunto dos submúltiplos de 12 é:
S(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12, −1, −2, −3, −4, −6, −12}.
Para verificar se um número é submúltiplo de outro, basta dividir o número original pelo suposto submúltiplo. 
Se o resultado for um número inteiro, então ele é submúltiplo.
Veja os exemplos:
▪ O número 3 é submúltiplo de 12, pois 12 ÷ 3 = 4, que é um número inteiro.
▪ O número 7 não é submúltiplo de 12, pois 12 ÷ 7 ≈ 1,714, que não é inteiro.
DIVISORES
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, vamos dizer que b é divisor de a se o número b for múltiplo 
de a, ou seja, a divisão entre b e a é exata (deve deixar resto 0).
Veja alguns exemplos:
– 22 é múltiplo de 2, então, 2 é divisor de 22.
– 121 não é múltiplo de 10, assim, 10 não é divisor de 121.
Critérios de divisibilidade
Critérios de divisibilidade são diretrizes práticas que permitem determinar se um número é divisível por outro 
sem realizar a operação de divisão.
– Divisibilidade por 2 ocorre quando um número termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando é um número 
par.
– A divisibilidade por 3 ocorre quando a soma dos valores absolutos dos algarismos de um número é 
divisível por 3.
– Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um número 
divisível por 4.
– Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
– Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 simultaneamente.
– Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando o dobro do seu último algarismo, subtraído do 
número sem esse algarismo, resulta em um número múltiplo de 7. Esse processo é repetido até verificar a 
divisibilidade.
– Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos formam um número 
divisível por 8.
– Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos 
é divisível por 9.
– Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando o algarismo da unidade termina em zero.
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– Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de 
posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11, ou quando essas 
somas são iguais.
– Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4 simultaneamente.
– Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5 simultaneamente.
Para listar os divisores de um número, devemos buscar os números que o dividem. Veja:
– Liste os divisores de 2, 3 e 20.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1, 3}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Propriedade dos Múltiplos e Divisores
Essas propriedades estão associadas à divisão entre dois inteiros. É importante notar que quando um 
inteiro é múltiplo de outro, ele é também divisível por esse outro número.
Vamos considerar o algoritmo da divisão para uma melhor compreensão das propriedades:
N=d⋅q+r, onde q e r são números inteiros.
Lembre-se de que:
N: dividendo; 
d, divisor; 
q: quociente; 
r: resto.
– Propriedade 1: A diferença entre o dividendo e o resto (N−r) é um múltiplo do divisor, ou seja, o número d 
é um divisor de N−r.
– Propriedade 2: A soma entre o dividendo e o resto, acrescida do divisor (N−r+d), é um múltiplo de d, 
indicando que d é um divisor de (N−r+d).
Alguns exemplos:
Ao realizar a divisão de 525 por 8, obtemos quociente q = 65 e resto r = 5. 
Assim, temos o dividendo N = 525 e o divisor d = 8. Veja que as propriedades são satisfeitas, pois (525 – 5 
+ 8) = 528 é divisível por 8 e: 528 = 8 · 66
Exemplo 1: O número de divisores positivos do número 40 é:
(A) 8
(B) 6
(C) 4
(D) 2
(E) 20
Vamos decompor o número 40 em fatores primos.
40 = 23 . 51 
Pela regra temos que devemos adicionar 1 a cada expoente:
3 + 1 = 4 e 1 + 1 = 2
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então pegamos os resultados e multiplicamos 4.2 = 8, logo temos 8 divisores de 40.
Resposta: A.
Exemplo 2: Considere um número divisível por 6, composto por 3 algarismos distintos e pertencentes ao 
conjunto A={3,4,5,6,7}.A quantidade de números que podem ser formados sob tais condições é:
(A) 6
(B) 7
(C) 9
(D) 8
(E) 10
Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo, e por isso deverá ser par também, 
e a soma dos seus algarismos deve ser um múltiplo de 3.
Logo os finais devem ser 4 e 6:
354, 456, 534, 546, 564, 576, 654, 756, logo temos 8 números.
Resposta: D.
NÚMEROS PRIMOS
Os números primos1 pertencem ao conjunto dos números naturais e são caracterizados por possuir apenas 
dois divisores: o número um e ele mesmo. Por exemplo, o número 2 é primo, pois é divisível apenas por 1 e 2.
ℚuando um número tem mais de dois divisores, é classificado como composto e pode ser expresso como 
o produto de números primos. Por exemplo, o número 6 é composto, pois possui os divisores 1, 2 e 3, e pode 
ser representado como o produto dos números primos 2 x 3 = 6.
Algumas considerações sobre os números primos incluem:
– O número 1 não é considerado primo, pois só é divisível por ele mesmo.
– O número 2 é o menor e único número primo par.
– O número 5 é o único primo terminado em 5.
– Os demais números primos são ímpares e terminam nos algarismos 1, 3, 7 e 9.
Uma maneira de reconhecer um número primo é realizando divisões com o número investigado. Para facilitar 
o processo fazemos uso dos critérios de divisibilidade:
Se o número não for divisível por 2, 3 e 5 continuamos as divisões com os próximos números primos 
menores que o número até que:
– Se for uma divisão exata (resto igual a zero) então o número não é primo.
– Se for uma divisão não exata (resto diferente de zero) e o quociente for menor que o divisor, então o 
número é primo.
– Se for uma divisão não exata (resto diferente de zero) e o quociente for igual ao divisor, então o número 
é primo.
Exemplo: verificar se o número 113 é primo.
Sobre o número 113, temos:
– Não apresenta o último algarismo par e, por isso, não é divisível por 2;
– A soma dos seus algarismos (1+1+3 = 5) não é um número divisível por 3;
– Não termina em 0 ou 5, portanto não é divisível por 5.
1 https://www.todamateria.com.br/o-que-sao-numeros-primos/
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Como vimos, 113 não é divisível por 2, 3 e 5. Agora, resta saber se é divisível pelos números primos 
menores que ele utilizando a operação de divisão.
Divisão pelo número primo 7:
Divisão pelo número primo 11:
Observe que chegamos a uma divisão não exata cujo quociente é menor que o divisor. Isso comprova que 
o número 113 é primo.
FATORAÇÃO NUMÉRICA
A fatoração numérica ocorre por meio da decomposição em fatores primos. Para decompor um número 
natural em fatores primos, realizamos divisões sucessivas pelo menor divisor primo. Em seguida, repetimos o 
processo com os quocientes obtidos até alcançar o quociente 1. O produto de todos os fatores primos resultantes 
representa a fatoração do número. 
Exemplo 1: Fatore o número 60.
60 2
30 2
15 3
5 5
1
Portanto, 60 = 2 . 2 . 3 . 5 = 22 . 3 . 5
Exemplo 2: Escreva três números diferentes cujos únicos fatores primos são os números 2 e 3.
A resposta pode ser muito variada. Para chegarmos a alguns números que possuem por fatores apenas os 
números 2 e 3 não precisamos escolher um número e fatorá-lo. O meio mais rápido de encontrar um número 
que possui por únicos fatores os números 2 e 3 é “criá-lo” multiplicando 2 e 3 quantas vezes quisermos. 
2 x 2 x 3 = 12
3 x 3 x 2 = 18
2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 108.
Resposta: Os três números podem ser 12, 18, 108.
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Exemplo 3: Qual é o menor número primo com dois algarismos?
Resposta: número 11.
MÁXIMO DIVISOR COMUM
O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais não nulos é o maior divisor comum desses 
números. Esse conceito é útil em situações onde queremos dividir ou agrupar quantidades da maior forma 
possível, sem deixar restos.
Passos para Calcular o MDC:
− Identifique todos os fatores primos comuns entre os números.
− Se houver mais de um fator comum, multiplique-os, usando o menor expoente de cada fator.
− Se houver apenas um fator comum, esse fator será o próprio MDC.
Exemplo 1: Calcule o MDC entre 15 e 24.
Primeiro realizamos a decomposição em fatores primos
15 3 24 2
5 5 12 2
1 6 2
3 3
1
então
15 = 3 . 5
24 = 23 . 3
O único fator comum entre eles é o 3, e ele aparece com o expoente 1 em ambos os números. 
Portanto, o MDC(15,24) = 3
Exemplo 2: Calcule o MDC entre 36 e 60
Primeiro realizamos a decomposição em fatores primos
36 3 60 2
12 3 30 2
4 2 15 3
2 2 5 5
1 1
então
36 = 22 . 32
60 = 22. 3. 5
Os fatores comuns entre eles são 2 e 3. Para o fator 2, o menor expoente é 2 e para o fator 3, o menor 
expoente é 1. 
Portanto, o MDC(36,60) = 22 . 31 = 4 . 3 = 12
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Exemplo 3: CEBRASPE - 2011 
O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mes-
ma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhi-
dos de modo que tenham a maior dimensão possível. Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medir
(A) mais de 30 cm.
(B) menos de 15 cm.
(C) mais de 15 cm e menos de 20 cm.
(D) mais de 20 cm e menos de 25 cm.
(E) mais de 25 cm e menos de 30 cm.
As respostas estão em centímetros, então vamos converter as dimensões dessa sala para centímetros:
3,52m = 3,52 × 100 = 352cm
4,16m = 4,16 × 100 = 416cm
Agora, para os ladrilhos quadrados se encaixarem perfeitamente nessa sala retangular, a medida do lado 
do ladrilho quadrado deverá ser um divisor comum de 352 e 416, que são as dimensões dessa sala. Mas, como 
queremos que os ladrilhos tenham a maior dimensão possível, a medida do seu lado deverá ser o maior divisor 
comum (MDC) de 352 e 416
352 2 416 2
176 2 208 2
88 2 104 2
44 2 52 2
22 2 26 2
11 11 13 13
1 1
O único fator comum entre eles é o 2, e ele aparece com o expoente 5 em ambos os números. 
Portanto, o MDC(352, 416) = 25 = 32.
Resposta: Alternativa A.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois ou mais números é o menor número, diferente de zero, que 
é múltiplo comum desses números. Esse conceito é útil em situações onde queremos encontrar a menor 
quantidade comum possível que possa ser dividida por ambos os números sem deixar restos.
Passos para Calcular o MMC:
− Decompor os números em fatores primos.
− Multiplicar os fatores comuns e não comuns, utilizando o maior expoente de cada fator.
Exemplo 1: Calcule o MMC entre 15 e 24.
Primeiro realizamos a decomposição em fatores primos
15 , 24 2
15 , 12 2
15 , 6 2
15 , 3 3
5 , 1 5
1
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Para o mmc, fica mais fácil decompor os dois números juntos, iniciando a divisão pelo menor número primo 
e aplicando-o aos dois números, mesmo que apenasum seja divisível por ele. Observe que enquanto o 15 não 
pode ser dividido, continua aparecendo.
Os fatores primos são: 23, 3 e 5. 
Portanto, o MMC(15,24) = 23. 3 . 5 = 8 . 3 . 5 = 120
Exemplo 2: Calcule o MMC entre 6, 8 e 14.
Primeiro realizamos a decomposição em fatores primos
6 , 8 , 14 2
3 , 4 , 7 2
3 , 2 , 7 2
3 , 1 , 7 3
1 , 1 , 7 7
1
Os fatores primos são: 23, 3 e 7. 
Portanto, o MMC(6, 8, 14) = 23. 3 . 7 = 8 . 3 . 7 = 168
Exemplo 3: VUNESP - 2016
No aeroporto de uma pequena cidade chegam aviões de três companhias aéreas. Os aviões da companhia 
A chegam a cada 20 minutos, da companhia B a cada 30 minutos e da companhia C a cada 44 minutos. Em 
um domingo, às 7 horas, chegaram aviões das três companhias ao mesmo tempo, situação que voltará a se 
repetir, nesse mesmo dia, às
(A) 17h 30min.
(B) 16h 30min.
(C) 17 horas.
(D) 18 horas.
(E) 18h 30min.
Para encontrar o próximo momento em que os aviões das três companhias voltarão a chegar juntos, preci-
samos calcular o mínimo múltiplo comum dos intervalos de chegada: 20, 30 e 44 minutos.
20 , 30 , 44 2
10 , 15 , 22 2
5 , 15 , 11 3
5 , 5 , 11 5
1 , 1 , 11 11
1
Os fatores primos são: 22, 3, 5 e 11. 
Portanto, o MMC(20,30,44) = 2² . 3 . 5 . 11 = 660
Encontramos a resposta em minutos: 660 minutos. No entanto, como queremos saber o horário exato em 
que os aviões voltarão a se encontrar, precisamos converter esse valor para horas. Sabemos que 1 hora equi-
vale a 60 minutos. Então
660 / 60 = 11 horas
Os aviões das três companhias voltarão a chegar juntos após 11 horas. Como o primeiro encontro ocorreu 
às 7 horas, basta somar 11 horas para encontrar o próximo horário de chegada conjunta:
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11 + 7 = 18 horas
Resposta: Alternativa D.
UNIDADES DE MEDIDAS. Medidas de comprimento, superfície, volume, capacidade, 
massavelocidade, ângulo, informática, energia e tempo. Transformações das unidades 
de medidas
O sistema de medidas é um conjunto de unidades de quantificação padronizadas que são utilizadas para 
expressar a magnitude de grandezas físicas como comprimento, massa, volume, temperatura, entre outras. 
Essas unidades permitem que as pessoas comuniquem e compreendam quantidades de maneira clara e 
consistente em diferentes contextos e aplicações. 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é o padrão mais amplamente adotado no mundo, que surgiu da 
necessidade de uniformizar as unidades que são utilizadas na maior parte dos países.
COMPRIMENTO
No SI a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Atualmente ele é definido como o comprimento da 
distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de um segundo.
UNIDADES DE COMPRIMENTO
km hm dam m dm cm mm
Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para peque-
nas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):
Ano-luz = 9,5 · 1012 km
Exemplos de Transformação
1m=10dm=100cm=1000mm=0,1dam=0,01hm=0,001km
1km=10hm=100dam=1000m
Ou seja, para transformar as unidades, quando “ andamos” para direita multiplica por 10 e para a esquerda 
divide por 10.
Exemplo:
(CETRO - 2012 - TJ-RS - Oficial de Transportes) João tem 1,72m de altura e Marcos tem 1,89m. Dessa 
forma, é correto afirmar que Marcos tem
Alternativas
(A) 0,17cm a mais do que João.
(B) 0,17cm a menos do que João.
(C) 1,7cm a mais do que João.
(D) 17cm a mais do que João.
(E) 17cm a menos do que João.
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Resolução: Marcos = 1,89m = 189cm
João = 1,72m = 172cm
189-172=17cm
Resposta:D
SUPERFÍCIE
A medida de superfície é sua área e a unidade fundamental é o metro quadrado(m²).
Para transformar de uma unidade para outra inferior, devemos observar que cada unidade é cem vezes 
maior que a unidade imediatamente inferior. Assim, multiplicamos por cem para cada deslocamento de uma 
unidade até a desejada. 
UNIDADES DE ÁREA
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Quilômetro
Quadrado
Hectômetro
Quadrado
Decâmetro
Quadrado
Metro
Quadrado
Decímetro
Quadrado
Centímetro
Quadrado
Milímetro
Quadrado
1000000m2 10000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2
Exemplos de Transformação
1m²=100dm²=10000cm²=1000000mm²
1km²=100hm²=10000dam²=1000000m²
Ou seja, para transformar as unidades, quando “ andamos” para direita multiplica por 100 e para a esquerda 
divide por 100.
Exemplo:
(CESGRANRIO - 2005 - INSS - Técnico - Previdenciário) Um terreno de 1 km2 será dividido em 5 lotes, 
todos com a mesma área. A área de cada lote, em m2 , será de:
Alternativas
(A) 1 000
(B) 2 000
(C) 20 000
(D) 100 000
(E) 200 000
Resolução: Para calcular a área de um quadrado, basta elevar ao quadrado a medida de um lado.
1 KM = 1000m
1km² = 1000m x 1000m = 1000000m²
Como sao 5 lotes, todos de mesma area
1.000.000/5 = 200.000m
Resposta:E
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VOLUME
Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais que ocupam lugar no espaço. Por isso, eles possuem 
volume. Podemos encontrar sólidos de inúmeras formas, retangulares, circulares, quadrangulares, entre ou-
tras, mas todos irão possuir volume e capacidade.
UNIDADES DE VOLUME
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Quilômetro
Cúbico
Hectômetro
Cúbico
Decâmetro
Cúbico
Metro
Cúbico
Decímetro
Cúbico
Centímetro
Cúbico
Milímetro
Cúbico
1000000000m3 1000000m3 1000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3
CAPACIDADE
Para medirmos a quantidade de leite, sucos, água, óleo, gasolina, álcool entre outros utilizamos o litro e 
seus múltiplos e submúltiplos, unidade de medidas de produtos líquidos. 
Se um recipiente tem 1L de capacidade, então seu volume interno é de 1dm³
1L=1dm³
UNIDADES DE CAPACIDADE
kl hl dal l dl cl ml
Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l
Exemplo: 
(FCC - 2012 - SEE-MG - Assistente Técnico Educacional - Apoio Técnico) Uma forma de gelo tem 21 
compartimentos iguais com capacidade de 8 mL cada. Para encher totalmente com água três formas iguais a 
essa é necessário
Alternativas
(A) exatamente um litro.
(B) exatamente meio litro.
(C) mais de um litro.
(D) entre meio litro e um litro.
Resolução:
21 x 3 x 8 = 504 ml = 0,504 L (entre 0,5 e 1L)
Resposta:D
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MASSA
No Sistema Internacional de unidades a medida de massa é o quilograma (kg). Um cilindro de platina e irídio 
é usado como o padrão universal do quilograma.
UNIDADES DE MASSA
kg hg dag g dg cg mg
Quilograma Hectograma Decagrama Grama Decigrama Centigrama Miligrama
1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001
Toda vez que andar 1 casa para direita, multiplica por 10 e quando anda para esquerda divide por 10.
E uma outra unidade de massa muito importante é a tonelada
1 tonelada=1000kg
Exemplo: 
(FUNCAB - 2014 - SEE-AC - Professor EJA I (1º Segmento)) Assinale