Transformações lineares

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1. DEFINIÇÃO 2. TRANSFORMAÇÕES DO PLANO (R² 3. TIPOS DE TRANSFORMAÇÃO T: U V é uma transformação Podem ser representadas por matrizes 2x2. Injetora linear se, para todos v E U e TA T(u) T(v) = Expansão/Contração T(x, y) ay) 0 uniforme Equivalente: N(T) {0} 1 T(u + v) + T(v) > 1 expande 0 0 a (preserva a soma) contrai Sobrejetora Para todo v E V, existe E U) 2 = P 1 0 Reflexão no eixo tal que T(u) v (preserva a multiplicação T(x, y) (x, por escalar) 0 -1 Bijetora Todo vetor U tem uma única É injetora e sobrejetora. imagem = T(u) E V. Possui inversa T⁻¹: V U Reflexão na origem T(x, y) -1 0 0 4. NÚCLEO E IMAGEM 2 Núcleo (N(T)) Rotação de ângulo T(x, y) (x cos y sin 0 cos -sin Conjunto de vetores de U que TRANSFORMAÇÕES (sentido anti-horário) sin cos são levados ao vetor nulo de V. N(T) {u T(u) 0} 0 LINEARES 0 É um subespaço de U. Cisalhamento T(x, y) (x + ay, y) 1 a (horizontal) 0 1 Imagem (Im(T)) Funções entre espaços vetoriais Conjunto de todos os vetores que preservam as operações de do tipo T(u), com U. soma de vetores e multiplicação 7. MATRIZES DE TRANSFORMAÇÕES Im(T) {T(u) U} V por escalar. É um subespaço de V. Sejam B um} base de U e C base de V. Importância: Descreve completamente 5. TEOREMA NÚCLEO-IMAGEM 6. ESPAÇO DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES A matriz de T em relação a a transformação. (OU TEOREMA DO POSTO) n L(U, V) = conjunto de todas as transformações Permite realizar cálculos A nxm T(uⱼ) = Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita e lineares de U em V. algébricos e computacionais. i=1 T: U V transformação linear. Essencial em aplicações Com as operações naturais: T dim(U) dim(N(T)) + dim(Im(T)) N(T) (T + S)(u) = T(u) + S(u) U Para = [u] (coordenadas de em B): (robótica, gráficos, Complemento V engenharia, etc.). A Consequências importantes: L(U, V) é um espaço vetorial. U Se N(T) = {0}, então T é injetora. Se dim(U) = dim(V): injetora sobrejetora bijetora. 8. ISOMORFISMO Em resumo: Dois espaços vetoriais V e W são isomorfos Se dim(V) = dim(W), então V W. Transformações lineares generalizam mudanças se existe uma transformação linear bijetora Isomorfismos preservam a estrutura geométricas e relações entre espaços vetoriais, T: V W. vetorial dos espaços. sendo fundamentais na Álgebra Linear.