Unidade 4 - Cálculo avançado com números complexos

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CÁLCULO AVANÇADOCÁLCULO AVANÇADO
COM NÚMEROSCOM NÚMEROS
COMPLEXOSCOMPLEXOS
UNIDADE 4 – CÁLCULOUNIDADE 4 – CÁLCULO
AVANÇADO COM NÚMEROSAVANÇADO COM NÚMEROS
COMPLEXOSCOMPLEXOS
Autora: Érica Regina de SantanaAutora: Érica Regina de Santana
Revisor: Heitor Barbosa Lima de OliveiraRevisor: Heitor Barbosa Lima de Oliveira
INICIAR
Introdução
Prezado(a) estudante,
A transformação de Laplace também é conhecida como transformada de Laplace e tem
sua teoria como parte essencial da bagagem matemática de físicos, engenheiros e outros
cientistas, facilitando a solução de muitos problemas trabalhados no campo da Ciência e
da Engenharia.
Segundo Spiegel (1985), o assunto originou-se em tentativas para justificar
rigorosamente certas “regras operacionais” usadas por Heaviside no final do século XIX
para resolver equações na teoria eletromagnética. Essas tentativas finalmente
demonstraram seu êxito no início do século XX, através dos esforços de Bromwich,
Carson, Van der Pol e de outros matemáticos que empregaram a teoria das variáveis
complexas.
Mas antes de estudarmos a transformação de Laplace, estudaremos as integrais
impróprias, que serão úteis na solução de equações diferenciais ordinárias via
transformadas de Laplace.
Bons estudos!
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4.1 Cálculo de integrais impróprias
As integrais definidas possuem dois requisitos importantes: que o domínio da integração
seja finito e que a imagem do integrando seja finita nesse domínio. Contudo, há situações
que não cumprem essas condições, sendo necessário outro método de resolução.
Integrais como essas, que exigem outros métodos, são denominadas integrais impróprias
e são calculadas como limites. Assim, é importante conhecer as definições para as
integrais impróprias segundo Thomas (2008), dividindo-as em dois tipos para facilitar a
compreensão.
» Integrais impróprias do tipo I
As integrais com limites infinitos de integração são consideradas integrais impróprias do
tipo I. Assim:
Se f(x) ( #PraCegoVer: f de x) for contínua em [ a , ∞) ( #PraCegoVer: intervalo de a
ao infinito fechado em a), então:
Se f(x) ( #PraCegoVer: f de x) for contínua em (-∞, b ], ( #PraCegoVer: intervalo de
menos infinito a b, fechado em b) então:
Se f(x) ( #PraCegoVer: f de x) for contínua em (-∞,∞), ( #PraCegoVer: intervalo de
menos infinito a infinito) então:
em que C pode ser qualquer número real.Podemos afirmar, em todos os casos, que:
Se o limite é finito , dizemos que a integral imprópria converge e que o limite é o
valor da integral imprópria;
Se o limite não existe , dizemos que a integral imprópria diverge ;
Se f ≥ 0 ( #PraCegoVer: f for maior ou igual a zero) e a integral imprópria divergir,
dizemos que a área sob a curva é infinita.
Vejamos alguns exemplos para facilitar a compreensão.
Exemplo 1)
 Verifique se a área sob a curva
de x = 1 a x = ∞ ( #PraCegoVer: x igual a um a x igual ao infinito) é finita.
Resolução: primeiramente, verificamos a área sob a curva, examinando o limite quando
b→∞ ( #PraCegoVer: b tendendo ao infinito).
Gráfico 1 - Área sob a curva
Figura 2 – Protocolos utilizados nas camadas do Modelo OSI. Fonte: NETWORKING-2, 2010.
No Gráfico 1, temos a área sob a curva de uma integral imprópria. Assim, integrando por
partes teremos:
O limite da área quando b →∞ ( #PraCegoVer: b tendendo ao infinito) é:
Assim, a integral imprópria é convergente e a área possui o valor finito 1.
VOCÊ SABIA?
A função
é a fronteira entre as integrais impróprias convergentes e divergentes impróprias
com integrandos da forma
Dessa forma, a integral imprópria converge se p > 1 ( #PraCegoVer: p for maior
que um) e diverge se p ≤ 1 ( #PraCegoVer: p for menor ou igual a um).
Exemplo 2)
 Agora verificaremos para quais valores de p a integral
converge.
 Resolução: se p ≠ 1 ( #PraCegoVer: p for diferente de um), temos:
Assim:
Logo, tem-se que:
Podemos concluir, então, que a integral converge para
se p > 1 ( #PraCegoVer: p for maior que um) e diverge se p 0 e x > 0 ( ##PraCegoVer : b maior que zero e x maior
que zero), o logaritmo natural satisfaz as seguintes regras:
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
» Lema de Jordan
O lema de Jordan define que, sendo r > R > 0 ( #PraCegoVer: r maior que R, e R maior
que zero) e C ( #PraCegoVer: C R) o semicírculo z = Re , 0 ≤ θ ≤ π ( #PraCegoVer: z
iguala Re elevado à theta, zero menor ou igual à theta, e theta menor ou igual a pi),
suponhamos que f seja uma função regular no semiplano Im z ≥ 0 ( #PraCegoVer: Im de
z maior ou igual a zero), à exceção, eventualmente, de um número finito de
singularidades isoladas. E suponhamos ainda que o máximo G de |f(z)| ( #PraCegoVer:
G R do módulo de f de z) para z ∈ C ( #PraCegoVer: z pertencente a CR) tenda a zero
com R→∞ ( #PraCegoVer: R tendendo ao infinito). Então,
I →0 com R →∞
# PraCegoVer : I R tende a zero com R tendendo ao infinito.
Vejamos alguns exemplos de aplicações.
Exemplo 6)
 Resolva a integral
aplicando o lema de Jordan.
Resolução : nesse caso, temos o integrando como uma função par e sen x = In e , (
#PraCegoVer: x igual a In de e elevado a i x). Assim:
1. Regra do
produto
2. Regra do
quociente
3. Regra da
recíproca
4. Regra da
potenciação
R 
θ 
R 
R 
R 
ix 
Analisando
observamos um polo simples em z = ia ( #PraCegoVer: z igual a i a), sendo a única
singularidade no semiplano superior. Levando em conta a integral de –R a R ( R > a ) (
#PraCegoVer: menos R a R com R maior que a), seguida da integral sobre C (
#PraCegoVer: C R) no semiplano superior, temos que:
Sendo
resíduo de g no ponto z = ia ( #PraCegoVer: z igual a ia), usando o lema de Jordan,
temos:
R 
4.2 Transformação de Laplace
A transformação de Laplace também é conhecida pelo nome transformada de Laplace,
sendo muito útil nos conceitos das integrais impróprias. Quando aprendemos um pouco
sobre a integração, verificamos que ela é um tipo de transformação – ou seja, é a ação
de transformar uma função em outra. Assim, é importante aprender mais um tipo especial
de transformação de integral que auxilia na resolução de problemas lineares.
Segundo Zill (2016), se f(x,y) ( #PraCegoVer: f de x e y) for uma função de duas
variáveis, então a integral definida de f em relação a uma das variáveis define uma
função de outra variável. Por exemplo, mantendo y constante, vemos que
Da mesma forma, uma integral definida tal como
transforma uma função f da variável t na função F da variável s . Nesse caso, estamos
particularmente interessados em uma transformada integral, em que o intervalo de
integração é [0,∞) ( #PraCegoVer: intervalo de zero ao infinito, fechado em zero). Se f(t)
for definida para t ≥ 0 ( #PraCegoVer: t maior ou igual a zero), então a integral imprópria
será definida como o limite:
Se o limite na Equação 9 existe, então dizemos que a integral existe ou é convergente;
senão há limite, a integral não existe e é divergente. O limite dessa equação, em geral,
existe apenas para determinados valores da variável s . Assim, assumiremos que s será
uma variável real.
VOCÊ O CONHECE?
Pierre Simon Marquis de Laplace nasceu na França, em Beaumont-en-Auge, em
23 de março de 1749. Destacou-se nas áreas de Física, Astronomia e
Matemática, sendo o responsável por organizar a chamada astronomia
matemática, ao sumarizar e ampliar o trabalho de seus predecessores nos cinco
volumes de Mécanique Céleste ( Mecânica celeste ) (1799-1825). Esta obra-prima
traduziu o estudo geométrico da mecânica clássica usada por Isaac Newton para
um estudo baseado em cálculo, conhecido como mecânica.
A função K (s, t) ( #PraCegoVer: K de s e t) na Equação 7 é chamada núcleo da
transformação. A escolha K (s,t) = e ( #PraCegoVer: K de s e t igual a e elevado a
menos st) como o núcleo nos dá uma transformada integral especialmente importante.
‑ st 
Assim, seja f uma função definida para t ≥ 0 ( #PraCegoVer: t maior ou igual a zero), a
integral
será chamada transformada de Laplace de f , desde que a integral convirja.
Quando a integral definida na Equação 8 convergir, será uma função de s . Sendo assim,
usaremos letras minúsculas para denotar a função que está sendo transformada e letra
maiúscula correspondente para denotar sua transformada de Laplace. Por exemplo:
Exemplo 7)
 Calcule 𝓛(1) ( #PraCegoVer: transformada de Laplace de um).
Resolução:
Quando s > 0 ( #PraCegoVer: s for maior que zero), o expoente –sb ( #PraCegoVer:
menos sb) é negativo; e e → 0 ( #PraCegoVer: e elevado a menos sb tendendo a
zero) quando b →∞ . ( #PraCegoVer: b tender ao infinito). A integral diverge para s -3 ( #PraCegoVer: s maior que menos três) pois, para
termos
-sb 
precisaremos de s + 3 > 0 ( #PraCegoVer: s mais três maior que zero) ou s > -3 (
#PraCegoVer: s maior que menos três).
Segundo Zill (2016), para uma combinação linear de funções, podemos escrever:
Sempre que ambas as integrais convergirem para s > c ( #PraCegoVer: s maior que c).
Logo:
Nesse caso, 𝓛 ( #PraCegoVer: transformada de Laplace) é dita uma transformada linear.
Transformada de algumas funções básicas
» Clique nas setas ou arraste para visualizar o conteúdo
#PraCegoVer: Transformada de Laplace de um.
𝓛{ t }
#PraCegoVer: Transformada de Laplace de t elevado a n.
n 
𝓛{ e }
#PraCegoVer: Transformada de Laplace de e elevado a a t.
at 
𝓛{ sen kt }
#PraCegoVer: Transformada de Laplace de seno de kt.
𝓛{ cos kt }
Um ponto importante que devemos destacar é que a integral que define a transformada
de Laplace não precisa convergir obrigatoriamente. Para garantir a sua existência, f ser
contínua por parte e de ordem exponencial já é o suficiente.
Define-se que há condições suficientes para a existência, se f(t) ( #PraCegoVer: f de t) é
contínua por partes no intervalo [0, ∞) ( #PraCegoVer: intervalo de zero ao infinito,
fechado em zero) e de ordem exponencial c . Assim, então, tem-se que 𝓛 {f(t)}(
#PraCegoVer: a transformada de Laplace de f de t) existe para s > c . ( #PraCegoVer: s
maior que c).
Ademais, dizemos que uma função f é de ordem exponencial c se existem constantes c ,
M > 0 e T > 0 ( #PraCegoVer: c, M maior que zero e T maior que zero) tal que |f(t)| ≤ Me
( #PraCegoVer: o módulo de f de t é menor ou igual a M e elevado a ct) para todo t > T
( #PraCegoVer: t maior que T).
Exemplo 9)
 Calcule 𝓛{ f(t) } ( #PraCegoVer: Transformada de Laplace de f de t) para
ct 
𝓛{ cos kt }
#PraCegoVer: Transformada de Laplace de cosseno de kt.
𝓛{ senh kt }
#PraCegoVer: Transformada de Laplace de seno hiperbólico de kt.
𝓛{ cosh kt }
( #PraCegoVer : Transformada de Laplace de cosseno hiperbólico de
kt)
Resolução : temos uma função contínua por partes de ordem exponencial para t > 0 (
#PraCegoVer: t maior que zero). Como ela está definida em duas partes, a transformada
de Laplace pode ser determinada pela soma de duas integrais:
4.3 Transformada de Laplace inversa
Considerando F(s) ( #PraCegoVer: F de s) como a transformada de Laplace de uma
certa função f(t) ( #PraCegoVer: f de t), temos que 𝓛 {f(t)} = F(s) . ( #PraCegoVer: a
transformada de Laplace de f de t é igual a F de s). Nesse sentido, é possível dizer que
f(t) ( #PraCegoVer: f de t) é a transformada de Laplace inversa de F(s) ( #PraCegoVer: F
de s). Podemos representá-la por:
Segundo Zill (2016), desenvolvendo as transformadas inversas, ocorre frequentemente
que uma função de s sobre consideração não satisfaça exatamente a forma de uma
transformada de Laplace F(s) ( #PraCegoVer: F de s). Assim, é necessário ajustar a
função s , multiplicando-a ou dividindo-a por uma constante apropriada.
Algumas transformadas inversas
» Clique nas setas ou arraste para visualizar o conteúdo
t 
#PraCegoVer: t elevado a n.
n
e 
#PraCegoVer: e elevado à a t.
at
Exemplo 10)
 Determine
Resolução : considerando o caso t ( #PraCegoVer: t elevado a n); adotar n + 1 = 5 ou
n = 4 ( #PraCegoVer: n mais um igual a cinco ou n igual a quatro); multiplicarmos e
dividir por 4! ( #PraCegoVer: quatro fatorial), teremos:
Exemplo 11)
 Determine:
n 
sen kt
#PraCegoVer: seno de kt.
cos kt
#PraCegoVer: cosseno de kt.
senh kt
#PraCegoVer: seno hiperbólico de kt.
cosh kt
#PraCegoVer : cosseno hiperbólico de kt.
Resolução : considerando o caso sen kt e que k = 7 , k = √7 ( #PraCegoVer: k ao
quadradoé igual a sete, e k é igual à raiz quadrada de sete), ao multiplicarmos e
dividirmos √7 ( #PraCegoVer: raiz quadrada de sete), teremos:
Vale destacar que a transformada inversa de Laplace também é uma transformação
linear. Dessa forma, considerando como constantes α e β ( #PraCegoVer: alfa e beta), e
F e G como as transformadas das funções f e g , temos:
Exemplo 12)
 Determine
Resolução : para resolver a transformada inversa de Laplace, precisamos reescrevê-la
como a soma de duas expressões por meio da divisão termo a termo, e ajustar as
constantes de linearidade. Assim, teremos:
Teste seus conhecimentos
Atividade não pontuada.
2 
4.4 Aplicações
Segundo Spiegel (1985), o uso de transformadas de Laplace proporciona uma ferramenta
útil aos estudantes que abraçarem carreiras técnicas, além de aguçar a compreensão do
mundo físico, tornando possível o tratamento de problemas não abordados nos cursos
tradicionais de Mecânica. É recomendável ainda, embora não como a última palavra, aos
estudantes que buscam carreiras matemáticas, pois tem-se negligenciado, nesse setor, o
conhecimento do substrato físico, do qual a Matemática essencialmente provém.
Além disso, as propriedades da transformada de Laplace também são úteis na resolução
de equações diferenciais em problemas de valor inicial , escrevendo assim uma
equação algébrica para a transformada de Laplace da solução, denominada equação
subsidiária. Para encontrar a solução do problema, portanto, é só calcular a
transformada inversa da equação algébrica. Veja uma representação a seguir de um
problema de um valor inicial de 2ª ordem:
Sendo a, b, y e y’ ( #PraCegoVer: a, b, y zero e derivada de y zero) constantes, tem-
se que:
Sendo, então, 𝓛 {y(t)} = Ys e 𝓛 {f(t)} = F(s) (#PraCegoVer: A transformada de Laplace de
y de t igual a Y de s e a transformada de Laplace de f de t igual a F de s) a resposta será:
A transformada de Laplace também é muito útil na resolução de algumas equações
diferenciais ordinárias em que os coeficientes são variáveis.
0 0 
Conhecendo um pouco mais
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
Outras aplicações da transformada de Laplace é na resolução de situações-problemas
em estática, eletricidade, eletromagnetismo, mecânica, ondulatória, entre muitas outras.
Vejamos algumas aplicações.
Uma importante aplicação da transformada de Laplace é na resolução de problemas
envolvendo oscilador harmônico . Imagine uma mola elástica com uma de suas
extremidades fixas e na outra presa a um objeto de massa m . Considere que esse corpo
esteja sujeito a uma força de atrito que seja proporcional a velocidade e cuja constante
de amortecimento seja dada por 𝛾 ( #PraCegoVer: gama). Além disso, leve em
consideração que essa mola flexível obedeça a Lei de Hooke e sua constante seja k .
Agora, adotando y(t) ( #PraCegoVer: y de t) como o deslocamento do objeto,
considerando o seu ponto de equilíbrio estático, em função do tempo t , e relacionando os
dados fornecidos com a 2ª lei de Newton, temos:
sendo a = y”(t) ( #PraCegoVer: a igual à y elevado a n de t) a aceleração e
a soma de todas a forças. No exemplo, temos três forças a serem consideradas:
Força da mola : proporcional ao deslocamento com constante de proporcionalidade,
sendo k (f1 = -ky(t)) ( #PraCegoVer: k equivalente a f um igual a menos k y de t);
Força de atrito : proporcional à velocidade com constante de amortecimento, sendo
𝛾 ( f = -𝛾y'(t) ). ( #PraCegoVer: gama equivalente a f dois igual a menos gama
vezes a primeira derivada de y de t);
Força externa : f (t) = f(t) ( #PraCegoVer: f três de t igual a f de t).
 
Problemas de valor inicial Equações diferenciais ordinárias
2 
3 
Assim, a soma de todas as forças será dada por:
e o deslocamento y(t) ( #PraCegoVer: y de t) dado por:
E agora poderemos aplicar a transformada de Laplace impondo as condições iniciais y(0)
= y e y’(0) = y’ ( #PraCegoVer: y de zero igual a y zero e a primeira derivada de y de
zero igual à primeira derivada de y zero), teremos:
Assim, considerando as condições iniciais, temos:
sendo F(s) = 𝓛 {f(t)} ( #PraCegoVer: F de s igual à transformada de Laplace de f de t) e
Y(s) = 𝓛 {y(t)} #PraCegoVer: Y de s igual à transformada de Laplace de y de t). Dessa
forma, resolvendo a equação Y(s) ( #PraCegoVer: Y de s), temos:
Essa é uma das equações que podemos obter para a situação apresentada, podendo ser
obtidas outras por meio da imposição de situações aplicadas até mesmo utilizando a
transformada inversa.
Teste seus conhecimentos
Atividade não pontuada.
0 0 
Síntese
Tivemos a oportunidade de estudar as integrais impróprias que diferem das integrais
próprias por não obedecerem a duas propriedades importantes: que o domínio da
integração seja finito e que a imagem do integrando seja finita nesse domínio. Dizemos
que se o limite é finito , a integral imprópria converge e que o limite é o valor da integral
imprópria.; ou que se o limite não existe , dizemos que a integral imprópria diverge .
Também vimos sobre a transformação de Laplace, também conhecida por transformada
de Laplace, que tem sua teoria como parte essencial da bagagem matemática de físicos,
engenheiros e outros cientistas, facilitando a solução de muitos problemas trabalhados no
campo da ciência e da engenharia. Considerando que uma função f que seja definida
para t ≥ 0 ( #PraCegoVer: t maior ou igual a zero), a integral
será chamada transformada de Laplace de f , desde que a integral convirja. Ademais,
vimos também o conceito da transformada inversa de Laplace e suas aplicações.
SAIBA MAIS
Título : Um curso de Cálculo – Volume 4
 Autor : Luiz Hamilton Guidorizzi
Editor : LTC
Ano : 2018
Comentário : Um livro bem estruturado e com boa didática a fim de
apresentar os principais temas de Cálculo. Um bom livro para aprofundar
os seus estudos sobre as integrais impróprias.
Onde encontrar : Biblioteca Virtual da
Título : Cálculo – volume 2
Autor : Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis
Editor : Bookman
Ano : 2014
Comentário : Um livro rico em exemplos, explicações e definições com
uma pedagogia eficaz. Com uma apresentação simples, mas agradável.
Um bom livro para aprofundar os seus estudos sobre a Transformada de
Laplace.
Onde encontrar: Biblioteca Virtual da Laureate
Referências bibliográficas
ÁVILA, G. Variáveis complexas e aplicações. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
HOWARD, A. BIVENS, I. DAVIS, S. Cálculo: volume II. 8. ed. São Paulo: Bookman,
2007.
SIEPGEL, M. R. Transformadas de Laplace . Porto Alegre: Mc Graw-Hill, 1985.
STEWART, J. Cálculo II . 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
THIEL, A. A.; MODESTI, M. S. O cálculo e a matemática superior : algumas aplicações.
Blumenau: Instituto Federal Catarinense, 2016.
THOMAS, G. B. Cálculo . 11. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2008. v. 1.
ZILL, D G. Equações diferenciais: com aplicações em modelagem . 3. ed. São Paulo:
Cengage Learning Editores, 2016.