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FUNDAMENTOS DE SISTEMAS 
DE COMUNICAÇÕES 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Mauro José Kummer 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta aula abordaremos a transmissão de sinais modulados em 
amplitude, em frequência e em fase. Esses tipos de modulação são amplamente 
utilizados nas comunicações comerciais, como em rádio e em televisão. São 
diferentes perspectivas de análise, cada uma em seu campo de aplicação. O 
estudo dos chamados sistemas invariantes no tempo será a base desta aula. 
TEMA 1 – MODULAÇÃO LINEAR 
Os sistemas LIT – Linearmente Invariantes no Tempo – serão o foco desta 
aula. O primeiro sistema criado e amplamente utilizado é o sistema de amplitude 
modulada. Um sinal (informação) tem características físicas denominadas 
frequência, amplitude e fase. 
Figura 1 – Sinais senoidais evidenciando a frequência, a fase e a amplitude 
 
 Na Figura 1 podemos comparar cada uma das características de um sinal 
senoidal. A chamada modulação linear é aquela em que, respeitando-se as 
condições de linearidade impostas, um sinal de entrada – também chamado de 
sinal modulante – alterará uma das características (amplitude, fase ou 
 
 
3 
frequência) da onda portadora. A única característica que atende aos princípios 
da linearidade é a modulação em amplitude. 
A informação a ser transmitida (sinal modulante) também é chamada de 
sinal em banda base, isto é, um sinal que parte de 0 Hz até alguma frequência. 
Para a transmissão de sinal de voz, a banda base é de 20 Hz a 4 kHz. Um 
sistema de comunicação via rádio opera com frequências acima de 30 kHz, 
portanto, não é possível transmitir um sinal em banda base diretamente nas 
radiofrequências. Para isto, é necessário efetuar uma operação chamada 
modulação. 
TEMA 2 – MODULAÇÃO EM AMPLITUDE 
Como o nome descreve, uma onda portadora terá a característica da sua 
amplitude modificada em função do sinal modulante. 
Figura 2 – Onda portadora, sinal modulante e o resultado, que é a onda portadora 
modificada (onda modulada) em sua amplitude em função da onda modulante 
 
 Na Figura 2 é possível ver dois efeitos da onda modulante sobre uma onda 
portadora. Na parte da esquerda, a onda portadora sofre uma alteração 
proporcional ao sinal, mas de pequena amplitude. Na figura da direita, a variação 
da amplitude assume valores máximos, o que significa que a portadora tem 
amplitude zero. Sinais modulantes suficientemente grandes produzirão na onda 
portadora, no ponto de zero, a inversão da fase da portadora, o que é chamado 
 
 
4 
de sobremodulação. Este efeito não é desejado porque produz distorção do sinal 
modulado. 
2.1 A onda portadora e fonte do sinal 
A onda portadora é definida por: 
𝑐𝑐(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑐𝑐. cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑐𝑐𝑡𝑡) 
Em que Ac é a amplitude da onda portadora e fc a frequência da onda 
portadora. Nesta fórmula, assume-se que a fase do sinal é de zero grau, o que 
simplifica a análise. A fonte da portadora é independente da fonte do sinal, e a 
fonte do sinal (banda base) será chamada m(t). Se m(t) modificar a amplitude da 
portadora, é correto inserir esta informação na equação da onda modulada s(t): 
𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑐𝑐(1 + 𝑚𝑚(𝑡𝑡)). cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑐𝑐𝑡𝑡) 
Assume-se também que o sinal m(t) é modificado por um fator ka. Este 
fator ka é chamado de sensibilidade à amplitude do modulador. De forma que a 
equação passa a: 
𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑐𝑐(1 + 𝑘𝑘𝑎𝑎𝑚𝑚(𝑡𝑡)). cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑐𝑐𝑡𝑡) 
Quando o valor de kam(t) é multiplicado por 100, passa a ser denominado 
porcentagem de modulação. Se a amplitude é medida em volt e o sinal 
modulante também é medido em volt, a constante ka tem dimensão volt-1. A 
variação de ka provocará no sinal modulado alterações em sua amplitude, de 
forma que, para determinados níveis, possam ocorrer distorções no sinal 
modulado em sua fase (inversão de fase). Este efeito é indesejado porque 
prejudica a qualidade do sinal recebido. 
 
 
 
5 
Figura 3 – Sinal modulado sob o efeito da sobremodulação do sinal em AM 
 
A figura em (a) mostra o sinal modulante, em (b) o sinal modulado com 
kam(t)1 para algum valor de t. Na figura 
também podemos perceber que existe uma envoltória no sinal modulado, a qual 
corresponde ao sinal banda base. Para isto, é necessário satisfazer duas 
condições: 
• Que a amplitude de | kam(t)|>1 para todo t; 
• Que a frequência da portadora seja muito maior que a mais alta 
componente (W) do sinal de banda base, isto é: 
𝑓𝑓𝑐𝑐 ≫ 𝑊𝑊 
W é chamado de largura de banda de mensagem. A implicação de que fc 
seja muito maior do que W é para garantir que o sinal possa ser recuperado no 
receptor. Aplicando-se a transformada de Fourier no sinal modulado, obtém-se: 
𝑆𝑆(𝑓𝑓) = 
𝐴𝐴𝑐𝑐
2
. [𝛿𝛿(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑐𝑐) + 𝛿𝛿(𝑓𝑓 + 𝑓𝑓𝑐𝑐] + 
𝑘𝑘𝑎𝑎𝐴𝐴𝑐𝑐
2
[𝑀𝑀(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑐𝑐) + 𝑀𝑀(𝑓𝑓 + 𝑓𝑓𝑐𝑐)] 
Assumindo que o sinal banda base está limitado ao intervalo −𝑊𝑊 ≤ 𝑓𝑓 ≤
𝑊𝑊 e que a forma do sinal mostrado é apenas figurativa, tem-se no lado esquerdo 
da figura sua representação. Ao lado direito, encontra-se o espectro do sinal 
modulado. Este espectro mostrado corresponde a S(f) para o caso de fc>W. 
 
 
6 
Pode-se observar que o espectro é correspondente a duas funções δ e cada δ 
está multiplicada por um fator Ac/2, que ocorrem em +fc ou -fc. 
Figura 4 – Espectro de uma banda base e espectro (b) de um sinal modulado 
 
 Lembrando que: 
𝑓𝑓𝑐𝑐 ≫ 𝑊𝑊 
Então, pode-se assumir que as frequências mensuráveis são apenas as 
frequências positivas, e encontramos ao lado de fc as bandas correspondentes 
ao sinal m(t), sendo uma banda superior a fc e outra banda inferior a fc. A 
componente mais alta é dada por fc+W e a componente mais baixa é dada por 
fc-W. 
Chama-se largura de banda de transmissão a diferença entre estas duas 
frequências extremas: 
𝐵𝐵𝑇𝑇 = 2𝑊𝑊 
TEMA 3 – CONVERSÃO EM FREQUÊNCIA E DEMODULAÇÃO 
3.1 Modulador de chaveamento 
Ondas em AM podem ser obtidas de diversas formas. O chamado 
modulador de chaveamento pode ser construído a partir do circuito elétrico da 
figura. Observe que: 
𝑐𝑐(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑐𝑐 cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑐𝑐𝑡𝑡) 
 
 
 
7 
Figura 5 – Modulador de chaveamento 
 
 O funcionamento do circuito se baseia em alguns pressupostos. Primeiro, 
a amplitude da portadora deve ser suficiente para superar a tensão de barreira 
do diodo, garantindo que os pulsos positivos passarão pelo diodo que se 
comportará como uma chave fechada. A segunda suposição é que o diodo se 
comporta como uma chave ideal (impedância zero quando em condução direta). 
A terceira suposição é que a curva característica do diodo é linear. A tensão de 
entrada do circuito é dada por: 
𝑣𝑣1(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑐𝑐 cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑐𝑐𝑡𝑡) + 𝑚𝑚(𝑡𝑡) 
Considerando que Ac>>|m(t)|, pode-se obter a tensão v2(t) sobre a carga 
conforme: 
𝑣𝑣2(𝑡𝑡) = �𝑣𝑣1
(𝑡𝑡), 𝑐𝑐(𝑡𝑡) > 0
0, 𝑐𝑐(𝑡𝑡)um filtro passa faixa centrado em fc com largura de 2W, respeitando 
a condição de que fc>2W. 
3.2 Demulador 
A função do demulador é recuperar a informação transmitida. Isto significa 
realizar a operação inversa à do modulador. O demodulador mais simples é 
chamado de detector de envoltória. Relembrando a figura, pode-se facilmente 
perceber que existe uma envoltória definindo os contornos da onda portadora, a 
qual corresponde ao sinal modulante. Assim, ao remover a frequência portadora, 
resta o sinal. O processo de recuperação da informação é obtido pelo chamado 
detector de envoltória. Os receptores comerciais disponíveis utilizam este 
princípio. 
Figura 6 – (a) um sinal modulante, (b) um sinal modulado e (c) um sinal 
sobremodulado 
 
 
 
9 
 O dispositivo que realiza esta tarefa é bastante simples. Existem algumas 
condições a serem respeitadas: a) a onda modulada deve ser de banda estreita, 
o que nos leva à ideia de um filtro; b) a frequência da onda portadora deve ser 
muito maior do que a frequência do sinal modulante, reforçando a ideia do uso 
de um filtro; c) o sinal modulado não deve conter a sobremodulação, pois 
complicaria a recuperação do sinal original. Um circuito capaz de realizar esta 
tarefa é apresentado a seguir: 
Figura 7 – Detector de envoltória 
 
 Observando-se novamente a figura do sinal modulado, pode-se 
facilmente perceber que a envoltória da onda modulada contém duas vezes a 
mesma informação, uma defasada da outra em 180º, ou seja, existe uma 
simetria em relação ao eixo das frequências. 
Figura 8 – Sinal modulado 
 
 Esta duplicidade de informação não traz nenhuma vantagem, ao contrário, 
traz dificuldades na recuperação do sinal. 
 
 
10 
Figura 9 – Sinal modulado mostrando a simetria da envoltória em relação ao eixo 
das frequências 
 
 Para resolver este problema, o diodo elimina uma das envoltórias. Resta 
agora o circuito RC. O papel deste circuito é filtrar a componente de alta 
frequência. O capacitor se carrega rapidamente no pico da onda modulada e, no 
semiciclo negativo (eliminado pelo diodo), descarrega-se lentamente sobre o 
resistor. No próximo semiciclo positivo, o capacitor se carrega novamente e o 
ciclo se repete. Desta forma, o sinal após o diodo é representado na figura: 
Figura 10 – Onda modulada filtrada 
 
 O sinal resultante ainda apresenta um pequeno riple correspondente à 
carga e descarga do capacitor, e tem frequência igual à da portadora. O diodo 
apresenta dois valores de resistência, uma direta e uma reversa. O valor da 
resistência direta influenciará no cálculo do filtro e será chamado por rf (forward- 
direto). A representação do sinal modulado é feita pela fonte de tensão em série 
com a resistência equivalente da fonte Rs (source – fonte). O resistor de carga, 
 
 
11 
em paralelo com o capacitor, será chamado por rl (load – carga). Portanto, a 
constante de tempo do circuito é dada por: 
�𝑟𝑟𝑓𝑓 + 𝑅𝑅𝑠𝑠�.𝐶𝐶 ≪ 
1
𝑓𝑓𝑐𝑐
 
A constante de descarga do filtro é dada por: 
1
𝑓𝑓𝑐𝑐
≪ 𝑟𝑟𝑙𝑙.𝐶𝐶 ≪
1
𝑊𝑊
 
W representa a largura da banda base do sinal. O sinal com o riple pode 
ser limpado pela adição de um capacitor (não aparece no circuito) após o circuito, 
de forma que as altas frequências sejam suprimidas. 
3.3 Variações relacionadas a modulação AM 
Como visto, o sinal modulado apresenta um espectro de frequências, no 
qual existem componentes que podem ser considerados desnecessários: 
Figura 11 – Espectro de uma onda AM 
 
 A primeira questão é a presença de duas bandas de informação, banda 
lateral superior e banda lateral inferior. Trata-se da mesma informação que 
ocupa a largura de 2W, o que é um desperdício. A outra é quanto à potência do 
espectro irradiado. Uma parte da potência está na onda portadora e outra parte 
sobre o sinal modulado, Como a portadora não representa a informação, gasta-
se energia para nada. A parcela da energia gasta na portadora é superior à 
energia do sinal modulado, ou seja, de tudo o que é transmitido apenas uma 
parte está associada ao sinal modulado. Estas duas questões levaram ao 
aprimoramento das transmissões AM. O estudo feito até o presente momento 
 
 
12 
sobre a chamada transmissão AM fica melhor definido se ela for chamada de 
AM-DSB (Double Side Band – duas bandas laterais). 
A primeira alternativa de aprimoramento é AM-DSB-SC (Double Side 
Band with Supressed Carrier, ou: “dupla banda lateral com portadora 
suprimida”). Nela, a onda portadora é suprimida na transmissão, economizando 
potência. O problema do uso duplo da banda (2W) persiste. 
A segunda alternativa é chamada de transmissão em amplitude modulada 
com banda vestigial – AM-VSB. Neste caso, as duas bandas são transmitidas, 
uma completa e a outra parcial. Aqui se consegue a supressão da portadora e 
um espectro com largura menor do que 2W. Sua aplicação é para sinais com 
banda larga, como nos sinais de televisão. A portadora é transmitida, mas com 
o intuito de se obter um equipamento de recepção de menor custo. 
A AM-SSB (Single Side Band – “banda lateral única”) economiza espectro 
e provoca um aproveitamento da potência irradiada, uma vez que não é preciso 
transmitir a outra banda. Isto pode ser facilmente implementado no sistema de 
transmissão por se tratar apenas da adição de um filtro, mas requer no receptor 
maior complexidade de circuitos. Este receptor é mais caro que o receptor AM-
DSB. Na transmissão de sinais de voz, é possível observar momentos de pausa 
(respiração), o que representa a chamada potência nula do sinal, permitindo um 
sensível aproveitamento da potência de saída do transmissor. 
TEMA 4 – MODULAÇÃO ANGULAR OU EXPONENCIAL 
O segundo tipo de modulação que é objeto deste estudo é chamado de 
modulação angular, que pode ser dividido em duas partes. Uma é chamada 
modulação em fase e a outra, modulação em frequência. Em ambas, a 
frequência da amplitude da onda portadora é mantida constante. O espectro da 
banda é maior que na modulação AM e há melhor resposta ao ruído.. 
Considerando que o sinal modulado seja representado pela equação: 
𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑐𝑐 . cos[Θ𝑖𝑖(𝑡𝑡)] 
Sendo Ac a amplitude da portadora e Θi(t) o ângulo da portadora modulada 
no tempo. Sabe-se que a cada de 2π radianos de Θi(t), tem-se um ciclo 
completo. A variação de Θi(t) em função do tempo necessariamente implica na 
variação da frequência da portadora. Isto é explicado pela equação: 
 
 
13 
𝑓𝑓Δ𝑡𝑡(𝑡𝑡) = 
Θ𝑖𝑖(𝑡𝑡 − Δ𝑡𝑡) − Θ𝑖𝑖(𝑡𝑡)
2𝜋𝜋Δ𝑡𝑡
 
Ela permite calcular a chamada frequência instantânea da portadora. Para 
tanto, deve-se tomar o limite: 
𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡) = lim
Δ𝑡𝑡⟶0
𝑓𝑓Δ𝑡𝑡(𝑡𝑡) = lim
Δ𝑡𝑡⟶0
Θ𝑖𝑖(𝑡𝑡 − Δ𝑡𝑡) − Θ𝑖𝑖(𝑡𝑡)
2𝜋𝜋Δ𝑡𝑡
= 
1
2𝜋𝜋
.
𝑑𝑑 Θ𝑖𝑖(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
 
O termo da equação em forma de derivada é chamado de velocidade 
angular instantânea. O sinal da mensagem atuará na fase da portadora, o que é 
chamado de modulação em fase (phase modulation). A ideia á fazer o ângulo 
instantâneo Θi(t) variar em função linear do sinal de entrada: 
Θ𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑐𝑐𝑡𝑡 + 𝑘𝑘𝑝𝑝𝑚𝑚(𝑡𝑡) 
No qual o ângulo é dado pela soma das duas partes da equação. O termo 
kp representa a sensibilidade à fase do modulador. O sinal modulado é dado por: 
𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑐𝑐. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑐𝑐𝑡𝑡 + 𝑘𝑘𝑝𝑝𝑚𝑚(𝑡𝑡). 
A outra forma de modulação é chamada modulação em frequência ou FM 
(frequency modulation). Neste tipo de modulação, obtém-se a chamada 
frequência instantânea, dada por: 
𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑓𝑓𝑐𝑐 + 𝑘𝑘𝑓𝑓𝑚𝑚(𝑡𝑡) 
Em que fc é a frequência da portadora e kf é a sensibilidade à frequência 
do modulador. Multiplicando a equação por 2π e realizando a integração, é 
possível obter: 
Θ𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑐𝑐𝑡𝑡 + 2𝜋𝜋𝑘𝑘𝑓𝑓 � 𝑚𝑚(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏
𝑡𝑡
0
 
Que, por sua vez, permite obter: 
𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑐𝑐. cos [2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑐𝑐𝑡𝑡 + 2𝜋𝜋𝑘𝑘𝑓𝑓 � 𝑚𝑚(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏]𝑡𝑡
0
 
Que é o sinal modulado em frequência. 
 
 
14 
Figura 12 – Figura comparativa entre a modulação em amplitude, em fase e em 
frequência 
 
 A figura permite comparar os tipos de modulação. O primeiro sinal é a 
onda portadora. O segundo é o sinal modulante. O terceiro é o sinal modulado 
em AM. O quarto é o sinal modulado em fase. E o último, o sinal modulado em 
frequência. 
4.2 Propriedades da modulação angular 
• Potência de saída constante: como não ocorre modulação em amplitude, 
o sinal modulado tem amplitude constante, portanto, a potência 
transmitida não varia. 
• Não linearidade da modulação: ao contrário da modulação em amplitude, 
as modulações angulares têm caráter não linear, pois violam o princípio 
da superposição. 
 
 
15 
• Irregularidades no cruzamento em zero: é sabido que o sinal modulante 
(informação) terá componentes positivos e negativos. Ao cruzar o eixo 
zero, isto alterará tanto a frequência instantânea quanto o ângulo 
instantâneo, devido às não linearidades da modulação. 
• Visualização da forma de onda modulada: como as modulações em fase 
e em frequência alteram a portadora, sua verificação e sincronização são 
difíceis de visualizar. 
• Melhora da relação sinal-ruído: ruídos alteram menos a fase do sinal 
modulado que na modulação em amplitude. O custo deste benefício é o 
aumento da largura do espectro irradiado. 
4.3 Modulação em frequência 
O sinal modulante é dado por: 
𝑚𝑚(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑚𝑚. cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑚𝑚𝑡𝑡) 
E a frequência instantânea: 
𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑓𝑓𝑐𝑐 + 𝑘𝑘𝑓𝑓𝐴𝐴𝑚𝑚. cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑚𝑚𝑡𝑡) 
𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑓𝑓𝑐𝑐 + Δ𝑓𝑓. cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑚𝑚𝑡𝑡) 
Δ𝑓𝑓 = 𝑘𝑘𝑓𝑓𝐴𝐴𝑚𝑚 
Δf é chamado de desvio de frequência e é proporcional ao sinal modulante 
e independente da frequência modulante. O ângulo instantâneo do sinal FM é 
dado por: 
Θ𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 2𝜋𝜋� 𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑡𝑡
0
= 2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑐𝑐𝑡𝑡 +
Δ𝑓𝑓
𝑓𝑓𝑚𝑚
. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 (2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑚𝑚𝑡𝑡) 
E a razão delta f por fm é chamada de índice de modulação do sinal FM, 
denotada por beta: 
𝛽𝛽 = 
Δ𝑓𝑓
𝑓𝑓𝑚𝑚
 
Θ𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑐𝑐𝑡𝑡 + 𝛽𝛽. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 (2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑚𝑚𝑡𝑡) 
 
 
16 
Pode-se concluir que beta é o desvio de fase do sinal modulante, o que 
tem duas implicações: a chamada FM de banda estreita (narrowband) tem beta 
 que 1 radiano. 
TEMA 5 – MODULAÇÃO EM FASE E EM FREQUÊNCIA 
5.1 Geração de sinais FM 
Para se obter um sinal modulado em frequência FM é preciso de um 
oscilador controlado por tensão VCO (Voltage Controlled Oscilator). A ideia é 
construir um oscilador no qual uma variação da tensão (sinal modulante) atue 
produzindo um desvio da frequência gerada pelo oscilador. Existem diversos 
tipos de osciladores: Armstrong, Hartley, Clapp, Ponte de Wien, Colpits, entre 
outros. O princípio básico de um oscilador pode ser compreendido pelo 
funcionamento de um circuito formado de um capacitor e um indutor em paralelo: 
Figura 13 – Circuito LC em paralelo 
 
 Supondo tanto o indutor (campo magnético) quanto o capacitor (campo 
elétrico) sem energia e movendo-se a chave S1 para a esquerda, o capacitor se 
carregará com o valor da tensão da bateria. Ao se voltar a chave S1 para a 
posição original, as cargas armazenadas no capacitor fluirão em direção ao 
indutor. Toda a energia armazenada no campo elétrico passa para o campo 
magnético. Neste momento, deixa de circular a corrente e o campo magnético 
colapsa, de forma que o capacitor passa a se comportar como um curto circuito. 
A corrente proveniente do indutor tem sentido contrário à da corrente que 
carregou o campo no indutor. Esta corrente se armazenará no capacitor até 
atingir o valor máximo, e o campo magnético no indutor será zero. O capacitor 
então se descarrega novamente sobre o indutor, porém a corrente está no 
 
 
17 
sentido contrário. O indutor mais uma vez terá o valor de seu campo magnético 
ao atingir o máximo e o capacitor se descarregará. 
Um exemplo bastante comum é chamado de oscilador Hartley. Este tipo 
de oscilador é formado por duas bobinas em série, ou uma bobina com center 
tape (derivação central). 
Figura 14 – Circuito LC em malha aberta 
 
 O circuito LC da figura deverá estar no elo de realimentação de um 
amplificador de forma que o sinal de entrada do amplificador seja realimentado. 
Figura 15 – Oscilador tipo Hartley com OP-AMP 
 
 Se no circuito, o capacitor for substituído por um capacitor variável ou por 
um varicap, a frequência do oscilador pode ser ajustada. 
 
 
 
18 
Figura 16 – Capacitor variável 
Crédito: SeDmi/Shutterstock. 
Figura 17 – Diodo varicap 
 
 
Ao variar a tensão contínua sobre o varicap, sua capacitância interna 
varia. 
 
 
 
19 
Figura 18 – Circuito modulador para FM com varicap 
 
Figura 19 – Oscilador tipo Hartley 
 
O circuito da figura nos fornece as condições para determinar a frequência 
do sinal modulado. A frequência de oscilação do circuito é dada por: 
𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 
1
2𝜋𝜋�(𝐿𝐿1 + 𝐿𝐿2).𝐶𝐶𝑡𝑡
 
Substituindo Ct por um capacitor fixo em série com um capacitor variável 
e o sinal modulante por fm, a capacitância pode ser expressa por: 
𝐶𝐶(𝑡𝑡) = 𝐶𝐶0 + Δ𝐶𝐶. cos 2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑚𝑚𝑡𝑡) 
Substituindo: 
𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑓𝑓0[ 1 + 
Δ𝐶𝐶
𝐶𝐶0
cos 2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑚𝑚𝑡𝑡]
−1
2 
Sendo: 
𝑓𝑓0 =
1
2𝜋𝜋�𝐶𝐶0(𝐿𝐿1 + 𝐿𝐿2)
 
 
 
20 
Considerando que a variação da capacitância é pequena em relação a C0, 
pode-se aproximar para: 
𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡) ≅ 𝑓𝑓0[ 1 − 
Δ𝐶𝐶
2𝐶𝐶0
cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑚𝑚𝑡𝑡)] 
Se: 
Δ𝐶𝐶
2𝐶𝐶0
= −
Δ𝑓𝑓
𝑓𝑓0
 
Então: 
𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡) ≅ 𝑓𝑓0 Δ𝑓𝑓 cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑚𝑚𝑡𝑡)] 
Figura 20 – Diagrama em blocos de um gerador em FM 
 
 O circuito pode ser melhorado com a adição de um oscilador com maior 
estabilidade, como o proporcionado por um cristal. 
Figura 21 – Diagrama em blocos de um oscilador a cristal para gerar sinais FM 
 
5.2 Demodulação de sinais FM 
A recuperação do sinal passa por um circuito chamado demodulador. A 
função deste circuito pode ser descrita como o inverso do modulador. Uma 
 
 
21 
possibilidade é realizar um dispositivo que permita, a partir da variação da 
frequência instantânea, um sinal de amplitude variável, o que é denominado 
discriminador de frequência. Outra forma de voltar ao sinal original é por meio de 
um circuito tipo PLL (Phase Locked Loop). 
Um discriminador de frequências é composto por duas partes, a primeira 
é um circuito em rampa (linear) e o segundo é o já conhecido detector de 
envoltória (detecção de AM). Um circuito em rampa deve ser capaz de gerar uma 
resposta linear na faixa de frequências a ser demodulada: 
Figura 22 – Resposta em rampa na faixa do sinal modulado FM 
 
A função de transferência do circuito deve corresponder a: 
𝐻𝐻1(𝑓𝑓) = 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝑗𝑗2𝜋𝜋𝜋𝜋 �𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑐𝑐 +
𝐵𝐵𝑇𝑇
2
� 𝑝𝑝𝜋𝜋𝑟𝑟𝜋𝜋 𝑓𝑓𝑐𝑐 −
𝐵𝐵𝑇𝑇
2
≤ 𝑓𝑓 ≤ 𝑓𝑓𝑐𝑐 +
𝐵𝐵𝑇𝑇
2
𝑗𝑗2𝜋𝜋𝜋𝜋 �𝑓𝑓 + 𝑓𝑓𝑐𝑐 −
𝐵𝐵𝑇𝑇
2
� 𝑝𝑝𝜋𝜋𝑟𝑟𝜋𝜋 −𝑓𝑓𝑐𝑐 −
𝐵𝐵𝑇𝑇
2
≤ 𝑓𝑓 ≤ −𝑓𝑓𝑐𝑐 +
𝐵𝐵𝑇𝑇
2
0, 𝑐𝑐𝜋𝜋𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑡𝑡𝑟𝑟á𝑟𝑟𝑖𝑖𝑐𝑐 
 
Sendo a um parâmetro constante, o circuito sob análise deve produzir 
uma resposta s1(t), em função do sinal FM (sinal modulado) recebido s(t). O sinal 
FM recebido tem por portadora uma frequência fc, e ocupa banda no espectro 
com largura BT. Ainda, o circuito deve proporcionar saída zero fora desta faixa: 
 
 
 
22 
Figura 23 – Figura da resposta de saída do circuito 
 
Tomando por base a equação do sinal FM já apresentada: 
𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑐𝑐 . cos[2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑐𝑐𝑡𝑡 + 2𝜋𝜋𝑘𝑘𝑓𝑓 � 𝑚𝑚(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏]
𝑡𝑡
0
 
E sabendo-se que a frequência da portadora fc é muito maior que a largura 
da banda BT, o sinal de saída pode ser simplificado: 
�̃�𝑠(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑐𝑐 .𝑠𝑠[𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑘𝑘𝑓𝑓 ∫ 𝑚𝑚(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏]𝑡𝑡
0 
�̃�𝑠(𝑡𝑡) é chamado de envelope complexo de s(t): 
Figura 23 – Sinal de saída do circuito 
 
 Chamando agora �̃�𝑠1(𝑡𝑡) como resposta de saída do circuito e tomando a 
transformada de Fourier do sinal, obtém-se: 
�̃�𝑆1(𝑓𝑓) = 
1
2
𝐻𝐻�1(𝑓𝑓). �̃�𝑆(𝑓𝑓) 𝑝𝑝𝜋𝜋𝑟𝑟𝜋𝜋 �𝑗𝑗2𝜋𝜋𝜋𝜋 �𝑓𝑓 +
𝐵𝐵𝑇𝑇
2
 � �̃�𝑆𝑓𝑓 𝑝𝑝𝜋𝜋𝑟𝑟𝜋𝜋 −
𝐵𝐵𝑇𝑇
2
≤ 𝑓𝑓 ≤ +
𝐵𝐵𝑇𝑇
2
0, 𝑐𝑐𝜋𝜋𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑡𝑡𝑟𝑟á𝑟𝑟𝑖𝑖𝑐𝑐 
 
Sabendo que multiplicando a transformada de Fourier pelo termo j2πf é 
equivalente a uma operação de diferenciação, pode-se inferir: 
 
 
23 
𝑠𝑠1� (𝑡𝑡) = 𝜋𝜋[
𝑑𝑑�̃�𝑠(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
+ 𝑗𝑗𝜋𝜋𝐵𝐵𝑇𝑇�̃�𝑠(𝑡𝑡) 
O que leva a: 
𝑠𝑠1� (𝑡𝑡) = 𝑅𝑅𝑠𝑠[𝑠𝑠1� (𝑡𝑡). 𝑠𝑠𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑐𝑐𝑡𝑡 
E que: 
�
2𝑘𝑘𝑓𝑓
𝐵𝐵𝑇𝑇
.𝑚𝑚(𝑡𝑡)�