Análise de Estruturas

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étodo das Forças e Método dos Deslocamentos Humberto Lima Soriano Silvio de Souza Lima Edição Atualizada EDITORA
Humberto Lima Soriano, D.Sc. Professor titular da Faculdade de Engenharia da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. titular aposentado da Escola Politécnica da Universidade Federal do Rio de Janeiro e da Coordenação dos Programas de Pós-Graduação em Engenharia - - Silvio de Souza Lima, D.Sc. Professor adjunto da Escola Politécnica Universidade Federal do Rio de Janeiro Análise de Estruturas Método das Forças e Método dos Deslocamentos Edição Atualizada não autorizada Copia de 19/2/1998 crime direito EDITORA CIÊNCIA MODERNA
SUMÁRIO Prefácio da segunda edição XI Prefácio da primeira edição XIII Capítulo 1 - Fundamentos 1 1.1 Introdução 1 1.2 Conceitos básicos 2 1.3 Trabalho das forças externas e energia de deformação 10 1.4 Teorema dos deslocamentos virtuais 15 1.5 Teorema das forças virtuais 27 1.6 - Método da força unitária 28 1.6.1 - Efeito de forças externas 28 1.6.2 - - Efeito de temperatura 44 1.6.3 - - Efeito de deslocamento prescrito 47 1.6.4 - Efeito de apoio elástico 49 1.7 - Teoremas de reciprocidade 52 1.8 Estruturas simétricas 57 1.8.1 - Carregamento simétrico 58 1.8.2 Carregamento anti-simétrico 63 1.9 Exercícios propostos 66 Capítulo 2 - Método das forças 75 2.1 Introdução 75 2.2 Sistemática do método das forças 76 2.3 Exemplos de sistemas principais 84 2.4 - Variação de temperatura 86
se Estruturas 2.5 - Deslocamento prescrito 91 2.6 Apoio elástico 97 2.7 Estruturas simétricas 104 2.8 - Forças nodais equivalentes 118 2.9 - Coeficientes de rigidez de barra 125 2.9.1 Barra biengastada 126 2.9.2 Barra engastada e rotulada 127 2.9.3 - Barra engastada e liberada ao esforço cortante 129 2.10 Exercícios propostos 130 Capítulo 3 Método dos deslocamentos 137 3.1 - Introdução 137 3.2 - Sistemática do método dos deslocamentos 138 3.3 - Exemplos de sistemas principais 169 3.4 - Variação de temperatura 171 3.5 Deslocamento prescrito 180 3.6 Apoio elástico 187 3.7 - Estruturas simétricas 192 3.8 - Deformação de esforço normal 201 3.9 - Estrutura com barra inclinada 209 3.10 Exercícios propostos 213 Capítulo 4 Tópicos complementares 219 4.1 - Introdução 219 4.2 Linhas de influência 219 4.2.1 - Linhas de influência de deslocamentos 221 4.2.2 Processo cinemático 225 4.2.3 Método das forças 231 4.2.4 Método dos deslocamentos 235 4.3 Processo de Cross 240 4.4 Exercícios propostos 254 Capítulo 5 - Análise automática de estruturas 257 5.1 Introdução 257 5.2 - Estrutura dos sistemas de análise 258 5.3 Dados de estruturas em barras 258 VIII
Sumário 5.4 - Sistema SALT 263 5.4.1 - Apresentação do Sistema 263 5.4.2 - Análise estática 268 5.4.3 - - Linhas de influência e valores extremos 281 5.5 - Exercícios propostos 287 Respostas dos exercícios propostos selecionados 289 Glossário 299 Bibliografia 303 Notações 305 Índice 307
CAPÍTULO 1 Fundamentos 1.1 Introdução As estruturas são sistemas físicos capazes de receber e transmitir esforços como em pontes, edifícios, torres, antenas etc. Um dos principais objetivos da análise de estruturas é relacionar, em idealizações simplificadoras desses sistemas e utilizando propriedades de material determinadas experimentalmente, as ações externas atuantes com os deslocamentos, reações de apoio e tensões (ou suas resultantes), de maneira a poder identificar eventual deficiência de comportamento do material constituinte e/ou de comportamento da estrutura como um todo e/ou de suas partes. Isso, para elaborar o projeto de uma nova estrutura a ser construída ou estudar o comportamento de uma estrutura já existente. A idealização de uma estrutura conduz a um modelo de análise, regido por equações matemáticas, cujos resultados devem expressar comportamento próximo ao da estrutura. Cabe ao engenheiro a responsabilidade de conceber esse modelo, sob ações externas estabelecidas a partir de códigos de projeto e com as aproximações julgadas cabíveis, e, após a determinação de seu comportamento, fazer análise crítica de sua pertinência. Neste livro, a análise se restringe ao estudo das estruturas em barras, desenvolvendo métodos e processos de determinação de resultantes de tensão (esforços seccionais), deslocamentos e reações de apoio, com ênfase nas denominadas estruturas hiperestáticas. Por simplicidade de expressão, o modelo de análise é também denominado estrutura, assim como a sua representação gráfica. Eficientes sistemas computacionais para a análise automática de estruturas são atualmente disponíveis e indispensáveis nos escritórios de projeto. Contudo, não é recomendável a sua utilização por usuário que não tenha capacidade de avaliação crítica dos resultados obtidos. Para isso, é necessário o conhecimento das potencialidades e limitações dos métodos implementados, e que se tenha "sentimento de comportamento das estruturas". Com o objetivo de propiciar ao leitor esse conhecimento e iniciá-lo no desenvolvimento desse sentimento, este livro apresenta a formulação clássica dos métodos
Análise de Estruturas das forças e dos deslocamentos em análise de estruturas em barras, conduzindo 0 leitor à resolução de um grande número de pequenos modelos de estruturas. A presente abordagem é em terminologia e enfoque adequados à formulação matricial apresentada em outro livro pelo primeiro autor. Neste capítulo são revistos os fundamentos dos métodos de análise das estruturas em barras que em parte são estudados nas disciplinas de Isostática e de Resistência dos Materiais. Destaca-se o método da força unitária de cálculo de deslocamentos, por ser essencial ao método apresentado no segundo capítulo. Por sua vez, esse último método é fundamental para o desenvolvimento do método dos deslocamentos apresentado no terceiro capítulo, que em sua formulação matricial é o método amplamente utilizado nos sistemas computacionais de análise. No quarto capítulo é apresentado o estudo de linhas de influência e do processo de Cross. As linhas de influência são muito úteis no projeto de estruturas com cargas móveis, como pontes rodoviárias, ferroviárias e rolantes. O processo de Cross é uma forma iterativa prática de utilizar o método dos deslocamentos, atualmente pouco utilizado, mas que é apresentado por contribuir ao entendimento de comportamento das estruturas em barras. O quinto capítulo introduz o leitor na análise automática, propiciando-o confrontar os seus resultados manuais dos métodos apresentados neste livro com resultados computacionais, fundamentando-o para adequadamente utilizar análise automática, ao mesmo tempo em que o motiva a progredir em seus estudos. Para isso, fornece informações do Sistema SALT de Análise de Estruturas desenvolvido pelos autores e disponibilizado em versão acadêmica na Internet. Sugere-se ao leitor acompanhar o estudo dos primeiros quatro capítulos com a leitura do quinto capítulo e do uso do Sistema SALT ou de outro sistema de análise de estrutura que venha a ter disponibilidade. 1.2 Conceitos básicos De forma simplificada, as estruturas podem ser classificadas como constituídas de barras (retas ou curvas) e como contínuas. A barra é um elemento estrutural que tem uma dimensão preponderante em relação às demais. São as vigas, colunas, pilares, escoras, tirantes, eixos, nervuras etc., ditos elementos unidimensionais. As estruturas contínuas são constituídas de elemento(s) em que não se caracteriza uma dimensão preponderante, como as chapas, placas, cascas, membranas e blocos, ditos elementos de superfície e de volume, conforme se possam caracterizar duas ou três dimensões preponderantes. Utilizando computador, essas últimas estruturas são usualmente analisadas pelo método de elementos finitos. Com a hipótese das seções transversais de barra permanecerem planas após a sua deformação quando sob ações externas, a barra é idealizada para efeito de análise pelo lugar geométrico dos centróides de suas seções transversais. Esse é o eixo geométrico representado por um segmento de reta ou de curva, dito elemento unidimensional. Considera-se que as seções transversais sejam perpendiculares a esse eixo. Além disso, como os apoios são idealizados como pontuais, a estrutura fica modelada como um conjunto de elementos unidimensionais ligados entre si em pontos e em apoios discretos. Por simplicidade, a representação unidimensional de barra é também denominada barra e qualquer de seus pontos, seção transversal. 2
Capítulo 1 Fundamentos Na Mecânica do Contínuo, em idealização tridimensional e proximidade infinitesimal de "ponto material", o efeito do material de um lado de uma seção infinitesimal sobre material do outro lado desta seção é considerado por meio do vetor de componentes normal e cisalhante. De forma mais simplista, em idealização de barra, esse efeito é considerado em cada seção transversal através de resultantes de componentes de tensão denominadas esforços seccionais ou esforços solicitantes (internos), aplicadas no ponto representativo da seção. A Figura 1.1 ilustra esses esforços em barra utilizando o referencial xyz, em que X coincide com 0 eixo geométrico, e y e z, com eixos principais de inércia da seção transversal em questão. Na parte (a) dessa figura, esforços seccionais N, V e M, que ocorrem no caso plano, representam o efeito da parte em tracejado da barra sobre a parte em traço contínuo da barra. Inversamente, efeito da parte em traço contínuo sobre a parte em tracejado se faz através desses esforços em sentidos contrários. O esforço N, de vetor representativo de mesma direção que eixo X, é denominado esforço ou força normal, de tração ou de compressão. esforço V, de vetor representativo de mesma direção que o eixo y, é denominado esforço ou força cortante, e o esforço M, de vetor de seta dupla representativo de mesma direção que o eixo é denominado momento fletor. A Figura 1.1b ilustra a decomposição tridimensional de esforços seccionais, onde N continua sendo o esforço normal, e V₂ são os esforços cortantes segundo os eixos y e e My e M₂ são momentos fletores segundo esses mesmos eixos, e T é o momento de torção. Seção transversal V M M X N N V Z (a) Caso plano y y Z M₂ X N T My (b) Caso tridimensional y Figura 1.1 Esforços seccionais. 3
Estruturas Uma vez obtidos os esforços seccionais, os componentes de tensão em um ponto qualquer da seção transversal podem ser determinados com os conhecimentos da disciplina Resistência dos Materiais. Também podem ser determinados deslocamentos e rotações de uma seção qualquer da barra através da presente análise de estruturas. A rotação de uma seção-em torno do eixo y (ou z) é igual à rotação da tangente ao eixo geométrico da barra, deformada no ponto representativo da seção, no plano XZ (ou xy). O termo deslocamento é usado em sentido generalizado, incluindo deslocamento linear e deslocamento de rotação. Força tem também sentido generalizado, abrangendo força no sentido estrito da palavra e momento de força. São consideradas apenas ações (externas) estáticas sob as formas de forças aplicadas (concentradas ou distribuídas), de variação de temperatura, de deslocamento prescrito (por vezes, denominado recalque de apoio) e de deformação imposta, também denominada deformação prévia. Diz-se que são ações estáticas por terem aplicação gradual lenta até valores finais constantes, de maneira a poderem ser desprezadas as forças de inércia e de amortecimento. Em edificações, essas ações são estabelecidas pelos códigos normativos de projeto NBR-6120, NBR-6123 e NBR 8681. A menos de efeito de instabilidade elástica, que não é objeto de estudo neste livro, a estrutura está em equilíbrio quando a resultante- força e (em relação a um eixo qualquer) das ações e das reações de apoio são nulas. Decompondo essas resultantes em um referencial cartesiano XYZ, esse equilíbrio é expresso pela nulidade de suas componentes, o que é matematicamente representado pelas equações de equilíbrio da estática que se escrevem: (1.1) Quando essas equações são suficientes para determinar as reações de apoio e os esforços seccionais em todas as seções das barras constituintes da estrutura, diz-se ser uma estrutura isostática. A habilidade em determinar esses esforços nesse tipo de estrutura é pré-requisito neste livro. Apoio é dito vínculo externo por ser imposto pelo meio exterior à estrutura. As denominadas reações de apoio são as componentes no referencial XYZ da reação força e da reação momento que um vínculo pontual exerce sobre a estrutura. A capacidade de uma seção transversal de barra transmitir um determinado esforço seccional à seção que lhe é adjacente é um vínculo interno, por ser efeito de uma parte da barra sobre a outra sua parte, através da seção em questão. Quando os vínculos externos e internos são insuficientes para manter o equilíbrio estático da estrutura e/ou de suas partes, diz-se ser uma estrutura hipostática ou hipoestática, cujo comportamento não é objeto de estudo neste livro. No caso de vínculos externos e/ou internos superabundantes para o equilíbrio estático, diz-se ser uma estrutura hiperestática externa e/ou internamente, estrutura essa que é o objeto primeiro de estudo neste livro. O número de reações de apoio e esforços seccionais superabundantes para esse equilíbrio é denominado grau de indeterminação estática que pode ser externo e/ou interno. A Figura 1.2 ilustra essa classificação de equilíbrio estático em um modelo de estrutura denominado pórtico plano. O pórtico da Figura 1.2a é hipostático porque não tem vínculo que impeça o seu deslocamento horizontal como corpo rígido quando da atuação de forças com componentes horizontais. O pórtico da Figura 1.2b é isostático porque, dado um carregamento qualquer, as reações de apoio são suficientes para impedir os seus 4
Capítulo 1 Fundamentos deslocamentos de corpo rígido, quando então as equações de equilíbrio da estática são também suficientes para o cálculo dessas reações. Além disso, os vínculos internos são suficientes para impedir mecanismos da estrutura e de suas diversas partes. pórtico da Figura 1.2c é hiperestático externamente, com grau de indeterminação estática igual a 1, porque existe uma reação superabundante para impedir os deslocamentos de corpo rígido do pórtico como um todo, quando, então, as equações de equilíbrio da estática não são suficientes para o cálculo das reações de apoio. pórtico da Figura 1.2d é isostático externamente e hiperestático internamente, com grau de indeterminação estática igual a 3, porque, mesmo após o cálculo das reações de apoio (utilizando as equações de equilíbrio da estática), os três esforços seccionais da seção S indicada não são possíveis de serem calculados com equações da estática. É natural que se possa ter também estrutura hiperestática interna e externamente, quando, então, as equações da estática não são suficientes para o cálculo das reações de apoio e dos esforços seccionais em partes fechadas da estrutura. (a) Hipostática (b) Isostática (c) Hiperestática externamente S M N V (d) Hiperestática internamente Figura 1.2 Classificação quanto ao equilíbrio estático. As estruturas podem ter comportamento físico linear ou não linear e comportamento geométrico linear ou não linear. Diz-se comportamento físico linear quando os materiais constituintes das barras da estrutura têm diagrama tensão-deformação linear (vide item 1.3), além de independente do tempo. Comportamento físico não linear, em caso contrário. Diz-se comportamento geométrico linear quando as equações de equilíbrio podem ser escritas, com aproximações julgadas aceitáveis, na configuração não deformada da estrutura (anterior à aplicação das ações externas embora se suponha que essas ações estejam atuando). Trata-se de análise com pequenos deslocamentos em que a tangente de ângulo de rotação é tomada igual ao próprio ângulo em radiano. Diz-se comportamento geométrico não linear, em caso contrário. Em comportamento linear (físico e geométrico) é válido o princípio da superposição dos efeitos, ilustrado na Figura 1.3 com uma viga biapoiada sob duas forças externas concentradas. 5
Análise de Estruturas P₁ P₂ P₁ P₂ = + Figura 1.3 Ilustração do princípio da superposição. Neste livro são estudadas as estruturas em barras de comportamentos lineares, físico e geométrico, sob ações estáticas. As estruturas em barras podem ser classificadas em: viga plana treliça espacial plano pórtico espacial grelha com cabos, escoras e/ou tirantes A viga tem barras retas dispostas seqüencialmente em uma linha horizontal, supostas usualmente apenas com momento fletor e esforço cortante, como ilustra a Figura 1.4a, onde é força externa distribuída por unidade de comprimento. A treliça é formada de barras retas supostas rotuladas em suas extremidades e com forças externas (concentradas) aplicadas apenas nas rótulas, como exemplificado na Figura 1.4b. em barra de treliça tem-se apenas esforço normal. O pórtico plano tem suas barras (retas ou curvas) situadas em um mesmo plano (usualmente vertical), sob ações externas que o solicitam nesse plano, tendo-se apenas esforço normal, esforço cortante de vetor representativo no plano em questão e momento fletor de vetor representativo normal a esse plano, como ilustrado na Figura 1.4c. Em pórtico espacial, sob ações quaisquer, têm- se conjuntos quaisquer dos seis esforços seccionais representados na Figura 1.1b. A grelha tem suas barras situadas em um mesmo plano (usualmente horizontal) e ações externas que provocam apenas momento de torção, momento fletor de vetor representativo no plano em questão e esforço cortante de vetor representativo normal a esse plano, como exemplificado na Figura 1.4d. Viga-balcão é uma grelha de barra curva ou poligonal. O arco pode ser considerado como um pórtico de barra curva, plana ou reversa. Assim, em arco plano sob carregamento em seu plano, têm-se, apenas, esforço normal, um esforço cortante e um momento fletor. O tirante e cabo são elementos unidimensionais que só trabalham à tração, sendo o primeiro retilíneo e segundo curvo em função das forças que lhe são aplicadas. A escora é um elemento unidimensional retilíneo que só trabalha à compressão. A estrutura em barras com cabo, escora e/ou tirante é usualmente mista com um dos modelos descritos anteriormente. É caso de torre estaiada, por exemplo. 6
Capítulo 1 Fundamentos p P p M V N N (a) Viga (b) Treliça plana P₂ P₁ M T V N Y V Y M P X X Z (c) Pórtico plano (d) Grelha Figura 1.4 Exemplos de estruturas em barras. Os esforços seccionais têm duas convenções de sinais, uma clássica e uma dependente de referencial. A Figura 1.5a apresenta a primeira dessas convenções. No caso, esforço normal de tração é positivo e esforço normal de compressão é negativo. Quanto ao momento de torção, não se tem regra única. Neste livro, esse momento é considerado positivo quando o seu vetor representativo tem sentido "de entrar" na seção transversal, e considerado negativo, quando "de sair" da seção. Quanto ao momento fletor, tem-se que escolher uma posição de observação de cada barra para se aplicar a convenção clássica de sinais, identificando-se os seus lados "superior" e "inferior". No caso, o momento fletor é positivo quando provoca flexão na barra com concavidade voltada para o seu lado superior, e é negativo em caso contrário. Diz-se que o momento fletor positivo provoca tração nas "fibras longitudinais inferiores da barra" e que o momento fletor negativo, nas "fibras longitudinais superiores". O esforço cortante é positivo quando proveca "giro no sentido horário" ou, o que dá no mesmo, quando o esforço cortante do lado esquerdo for de baixo para cima, negativo em caso contrário. As aspas foram utilizadas porque o giro se refere ao momento do esforço cortante atuante em uma seção transversal em relação à seção que lhe 7
Análise de Estruturas é adjacente e não ao efeito do esforço cortante que é de provocar deslizamento de uma seção transversal em relação à que lhe é adjacente. y N+ My X T N T V₂ Z (a) Clássica (b) Dependente de referencial Figura 1.5 Convenções de sinais dos esforços seccionais. Em viga, por ser constituída de barra(s) disposta(s) horizontalmente, a posição do observador é natural. Em pórtico plano é usual identificar a posição do observador através de tracejado ao lado de cada barra, como ilustra a Figura 1.4c. Em grelha, escolhida uma representação em perspectiva, tem-se o estabelecimento da posição de observação de cada uma de suas barras, que, contudo, nem sempre se mostra a mais adequada para a convenção do esforço cortante. Assim, optou-se por também no caso de grelha indicar em tracejado o lado de observação de cada barra, como ilustra a Figura 1.4d. Na convenção dependente de um referencial xyz, os esforços seccionais são positivos se coincidentes com os sentidos positivos dos eixos desse referencial, como mostra a Figura 1.5b em que foi representado o efeito da parte não desenhada da barra sobre a sua parte representada em traço contínuo. Essa convenção é necessária em estudo de pórtico espacial por se ter em cada barra flexão em dois planos perpendiculares, e em análise matricial de estruturas por se fazer abordagem geral. Embora esses assuntos não sejam tratados neste livro, essa convenção se faz necessária porque o quinto capítulo aborda a utilização de sistema computacional de análise de estruturas que utiliza formulação matricial. Em barra reta, adota-se um referencial local em que o eixo X coincide com o eixo geométrico da barra e é dirigido de uma de suas extremidades (dita inicial) para a outra sua extremidade (dita final), com os eixos y e Z paralelos aos eixos principais de inércia das seções transversais. Esse referencial contrasta com o referencial adotado para a descrição da estrutura como um todo, dito referencial global. No caso de barra curva, o referencial para a presente convenção se altera de seção para seção, com o eixo X tangente à representação unidimensional da barra no ponto representativo da seção transversal em questão, e com os eixos X e y coincidentes com os eixos principais de inércia dessa seção. Para fazer a convenção dependente de referencial recair na convenção clássica, considera- 8
Capítulo 1 Fundamentos se o eixo y dirigido para a região tida como inferior à barra e o efeito da parte esquerda da barra sobre a sua parte direita. Assim, os esforços N e V são positivos quando de vetores representativos em sentidos contrários aos do referencial, e os esforços M e T são positivos quando de vetores representativos de sentidos coincidentes com os do referencial. Considerando o efeito da parte direita da barra sobre a correspondente parte esquerda, tem- se o contrário. A Figura 1.6 ilustra o cálculo das reações de apoio e as equações dos esforços seccionais em uma viga biapoiada com balanço. A representação gráfica dessas equações ao longo de linhas de referências correspondentes aos eixos geométricos das barras se diz diagramas de esforços seccionais. Por convenção, no Brasil, o diagrama de momento fletor é traçado do lado das fibras longitudinais tracionadas e o diagrama de esforço cortante positivo do lado "superior" de cada barra. Esses diagramas estão ilustrados na referida figura com as identificações DM e DV, respectivamente. Como o esforço cortante é igual à derivada do momento fletor (considerando o eixo X dirigido da esquerda para a direita), o momento fletor máximo ocorre na seção de esforço cortante nula. p X RB y DM Para pe² px² 8 2 2 dM + 8 2 dx DV Para 2 + + Figura 1.6 Diagramas de esforços seccionais. 9
Análise de Estruturas O diagrama de momento fletor costuma também ser traçado a partir da linha de fechamento, que é a linha que une os valores desse esforço nos pontos de transição de suas equações, representada em tracejado na Figura 1.6. Assim, em cada trecho de comprimento de barra sob força externa uniformemente distribuída p, ponto da parábola quadrática desse diagrama na seção média desse trecho é obtido marcando-se a partir da linha de fechamento. Com o conhecimento desse ponto esboça-se a parábola. Devido à simplicidade desse procedimento de "dependurar a parábola" e à sua adaptabilidade ao método da força unitária que será desenvolvido no item 1.6 e largamente utilizado neste livro. Esforço normal e momento de torção não têm regra única de traçado. Neste livro, esses esforços, quando positivos, são traçados do lado "superior" da barra e, quando negativos, do lado "inferior". Para a análise de estruturas hiperestáticas, têm-se dois métodos principais, a saber: o método das forças e o método dos deslocamentos. No método das forças ou da flexibilidade, as incógnitas primárias são reações de apoio e/ou esforços seccionais superabundantes para o equilíbrio estático. Esse método é desenvolvido no segundo capítulo. No método dos deslocamentos, da rigidez ou das deformações, as incógnitas primárias são deslocamentos e rotações em pontos adequadamente escolhidos na estrutura. Esse método é apresentado no terceiro capítulo em formulação clássica. Ambos os métodos são desenvolvidos a partir de teoremas de trabalho que, para estruturas em barras de comportamento linear, são apresentados nos itens 1.4 e 1.5 deste capítulo. 1.3 Trabalho das forças externas e energia de deformação Considere-se uma barra de seção transversal constante sob força axial como ilustra a Figura 1.7a em que l e δ são, respectivamente, o comprimento inicial e o alongamento da barra devido à força P suposta aplicada a partir de zero até seu valor final, sem despertar forças de inércia e de amortecimento. Com material elástico linear, desconsiderando o efeito do tempo, obtém-se o diagrama força-alongamento representado na Figura 1.7b, onde P' e δ' são valores intermediários. Supõe-se que, em compressão, o diagrama força-encurtamento tenha a mesma inclinação que em tração. Devido ao esforço normal P, ocorre o afastamento de duas seções transversais adjacentes e a tensão normal σ=P/A representada na Figura 1.7c, sendo A a área da seção transversal. trabalho mecânico da força P se escreve: (1.2) resultado este que é igual à área sob o segmento linear força-alongamento representado na Figura 1.7b. O termo elástico qualifica o material da barra como tendo a propriedade de retornar à sua configuração inicial com a retirada da força, recuperando-se o trabalho realizado. Isso é uma forma particular do princípio da conservação de energia, por expressar que trabalho da força externa P fica armazenado como trabalho das forças internas da barra no 10
Capítulo 1 - Fundamentos que se denomina trabalho de deformação ou energia de deformação. As forças internas são componentes de tensão multiplicadas por elementos infinitesimais de área, cujas resultantes em cada seção transversal de barra são os descritos esforços seccionais, que, no caso da barra da Figura 1.7, se reduzem ao esforço normal. P e P' W δ δ' δ P dδ' (a) Tração axial (b) Diagrama força-alongamento P a = A σ' U* P a α A δ l (c) Tensão normal (d) Diagrama tensão-deformação Figura 1.7 - Tração em barra de material elástico linear. Logo, a energia de deformação da referida barra se escreve: σ (1.3) onde V é o volume da barra e ε=δ/l é a deformação específica (longitudinal). A equação anterior fornece: (1.4) 11
Análise de Estruturas onde (1.5) é denominado energia de deformação por unidade de volume ou, simplesmente, densidade de energia de deformação. De acordo com a equação 1.4, a energia de deformação é a área sob o diagrama tensão-deformação integrado no volume da barra. No diagrama força-alongamento da Figura 1.7b, dividindo as ordenadas por A e as abscissas por l, obtém-se o diagrama tensão-deformação representado na Figura 1.7d. Dessa figura, tem-se: (1.6) onde E é o módulo de elasticidade (longitudinal) ou módulo de Young, em homenagem a Thomas Young. A equação anterior expressa uma das formas da lei de Hooke, que também se escreve, para estado uniaxial de tensão, sob a forma: Pl (1.7) EA Identifica-se que a área sob o diagrama tensão- deformação da Figura 1.7d é igual à densidade de energia, que se escreve: (1.8) Semelhantemente à tração axial descrita anteriormente, considere-se uma barra de seção transversal circular constante em que se aplica o momento de torção T, como ilustra a Figura 1.8a. Com material elástico linear e aplicação gradual desse momento, obtém-se o diagrama momento de torção-ângulo de torção representado na Figura 1.8b e a realização do trabalho mecânico: (1.9) onde é o ângulo de torção entre as extremidades da barra. Devido à rotação de cada seção transversal em relação à que lhe é adjacente, ocorre tensão cisalhante τ indicada na Figura 1.8b, com distribuição linear na direção do centróide da seção conforme mostrado na Figura 1.8c. Multiplicando as ordenadas do diagrama da Figura 1.8b por sendo J o momento de inércia polar da seção transversal, e r o raio dessa seção, e multiplicando as correspondentes abscissas por r/l, obtém-se o diagrama mostrado na Figura 1.8d, onde: (1.10) é a máxima tensão cisalhante e (1.11) l é a máxima deformação específica de cisalhamento ou distorção. Dessa figura obtém-se: (1.12) 12
Capítulo 1 - Fundamentos onde G é o módulo de elasticidade transversal do material. A equação anterior é outra forma da lei de Hooke. Na equação 1.10, considerando menor do que raio da seção transversal, obtém-se valor intermediário da tensão cisalhante. l T τ r W T X (a) Torção (b) Diagrama momento de torção-ângulo de torção Tr J r U* T α' γ l (c) Distribuição de tensão cisalhante (d) Diagrama tensão cisalhante-distorção Figura 1.8 Torção de barra de seção transversal circular. A área sob diagrama momento de torção-ângulo de torção mostrado na Figura 1.8b é o trabalho realizado pela aplicação desse momento. Analogamente, a área sob o diagrama tensão cisalhante-distorção representado na Figura 1.8d é a densidade de energia de deformação, que se escreve: (1.13) No caso de seção transversal não circular, J é função da forma da seção e se denomina constante de torção ou momento de inércia à torção. A Tabela 1.1 do item 1.4 apresenta expressões de J para as seções mais usuais. Considera-se apenas material cujas propriedades independam de direção, 0 que se diz material isótropo ou isotrópico. No caso, E e G definem de forma completa as propriedades elásticas do material, e tem-se apenas um coeficiente de dilatação térmica. 13
Análise de Estruturas Em aplicação simultânea de várias forças concentradas em uma estrutura de comportamento linear, pelo princípio da superposição dos efeitos e tendo-se em conta a equação 1.2, o trabalho dessas forças se escreve: (1.14) onde é o deslocamento do ponto de aplicação e na direção da i-ésima força, e onde o símbolo Σ indica o somatório dos produtos de 1 até o número total de forças. Essa equação expressa o teorema de B. P. E. Clapeyron. O termo força tem significado generalizado, incluindo momento aplicado, quando então, o correspondente deslocamento é uma rotação. No caso de força distribuída, o trabalho dessa força é a integral do produto da força pelo deslocamento em cada ponto ao longo do comprimento de distribuição da força. Em estado múltiplo de tensões, pelo princípio da superposição dos efeitos e tendo-se em conta as equações 1.5 e 1.13, a densidade de energia de deformação tem a forma: que em notação compacta se escreve: 1 (1.15) A notação σ representa genericamente as componentes de tensão normal e de tensão cisalhante, e a notação E, as componentes de deformação normal e de deformação de cisalhamento. A derivada dessa densidade de energia em relação a uma determinada componente de deformação fornece a correspondente componente de tensão. A derivada da energia de deformação em relação a uma força externa concentrada fornece o deslocamento do ponto de aplicação dessa força e em sua própria direção, constituindo o segundo teorema de Carlo Alberto Pio Castigliano. Alternativamente, a derivada dessa energia em relação a esse deslocamento fornece a força correspondente, constituindo o primeiro teorema de Castigliano. Exemplo 1.1 Faz-se a verificação do segundo teorema de Castigliano no cálculo do deslocamento do ponto e na direção da força P aplicada à treliça representada na Figura Por equilíbrio da articulação A, obtém-se o esforço normal de tração em cada uma das barras da treliça: (a) A partir das equações 1.3 e 1.7, tem-se a energia de deformação de cada barra: 1 Nl = (b) 2 EA 2EA 14
Capítulo 1 Fundamentos Logo, a energia de deformação da treliça se escreve: U=2 2 2EA l = 2EA (c) que fornece: dU Pl (d) dP EA N l N N A A A A δ N P P (a) Configuração inicial (b) Configuração deformada Figura E1.1. Para comprovar que o resultado anterior é o deslocamento do ponto e direção da força P, determina-se a seguir esse deslocamento por projeção do alongamento de cada barra na direção vertical. Assim, com as notações da Figura E1.1b e a lei de Hooke expressa pela equação 1.7, tem-se: l = (e) EA 2 EA Logo, considerando pequenos deslocamentos, o deslocamento vertical procurado se escreve: δ = = (f) cos45° EA verificando o segundo teorema de Castigliano. Sugere-se ao leitor escrever a energia de deformação da treliça anterior em termos do referido deslocamento e comprovar que a derivada dessa energia em relação a esse deslocamento fornece a força aplicada, o que é o primeiro teorema de Castigliano. 1.4- Teorema dos deslocamentos virtuais O teorema dos deslocamentos virtuais se aplica à análise de estruturas em forma geral e é também conhecido como princípio dos deslocamentos virtuais, embora diversas demonstrações sejam encontradas na literatura. No que se segue, ele é demonstrado para o caso particular de estruturas em barras de comportamento linear, a partir do princípio da conservação de energia. 15
Análise de Estruturas Formas rudimentares de conservação de energia foram identificadas na antiguidade entre os helênicos, e foi Jordanus de Nemora na Alemanha, no século XIII, quem iniciou a utilização do princípio dos deslocamentos virtuais. Posteriormente, esse princípio foi reconhecido por Leonardo da Vinci (1452-1519) e por Galileo Galilei (1564-1642), e generalizado por John Bernoulli (1667-1748) para quase todos os sistemas mecânicos. Para demonstração, considere-se uma estrutura em barras de comportamento linear sob forças externas, como a viga representada na Figura 1.9a, por exemplo, em que as forças P₁, provocam em teotia de viga apenas as componentes de tensão e A componente σ, é desconsiderada nessa teoria por ser muito menor do que a componente Na Figura 1.9b têm-se representações unidimensionais dessa viga. Em tracejado está representada a configuração anterior à aplicação das forças externas, e em traço-contínuo, a configuração deformada de equilíbrio com essas forças. A partir dessa última configuração, supõem-se incrementos infinitesimais de forças que conduzem a uma nova deformada de equilíbrio representada em traço-ponto, com incrementos infinitesimais de deslocamentos (transversais) associados a incrementos infinitesimais de deformação e e a incrementos infinitesimais de tensão do, e Genericamente, esses incrementos de deformação e de tensão são denotados, respectivamente, por de e por y P₁ P₂ Pᵢ X (a) Representação bidimensional dP₂ P₁ P₂ Pᵢ (b) Representação unidimensional Figura 1.9 Viga sob forças concentradas. 16
Capítulo 1 Fundamentos No caso do estado uniaxial de tensão, a Figura 1.10 ilustra que incremento de de deformação está associado ao incremento de densidade de energia de deformação. No estado múltiplo de tensões, tem-se 0 incremento de energia de deformação: = (1.16) onde a integração é no volume de todas as barras da estrutura. 1 do de do 2 dU* de U* de Figura 1.10 Diagrama tensão-deformação. De forma semelhante ao incremento anterior de energia, o trabalho dos incrementos infinitesimais dPᵢ das forças externas se escreve: (1.17) Pelo princípio da conservação da energia, esse trabalho é igual ao correspondente incremento de energia de deformação. Logo, em teoria de primeira ordem, quando então produtos de infinitésimos são desprezados frente a infinitésimos, escreve-se a partir das duas últimas equações que: Σ dV (1.18) Pode-se multiplicar a equação anterior por um escalar tão grande quanto se queira e considerar produtos deste escalar por e por de como grandezas finitas, desde que pequenas para se manter em comportamento linear geométrico. Logo, OS deslocamentos virtuais podem ser pequenos. Além disso, como na equação anterior, não ocorrem incrementos das forças que provocaram, no início do desenvolvimento, os incrementos de deslocamentos, podem-se considerar esses incrementos como deslocamentos quaisquer e fictícios, ditos virtuais, definindo deformações virtuais. Nesse contexto, a equação anterior expressa o teorema dos deslocamentos virtuais que se enuncia: supondo em uma estrutura em equilíbrio estático um campo de deslocamentos virtuais, trabalho virtual das forças 17
Análise de Estruturas externas é igual ao trabalho virtual das forças internas. Nas aplicações desse teorema, por vezes interessa trabalhar com deslocamentos virtuais infinitesimais e, outras vezes, com deslocamentos virtuais pequenos. Além disso, como as equações de equilíbrio são escritas na configuração anterior à aplicação das ações externas, os deslocamentos virtuais podem ser tomados a partir dessa configuração. Essas ações podem incluir forças externas, variações de temperatura, deformações prévias de montagem da estrutura e deslocamentos prescritos, por vezes denominados recalques de apoios. Quando da ocorrência desses deslocamentos e as correspondentes reações de apoio não são incluídas na equação do teorema dos deslocamentos virtuais, deslocamentos virtuais devem ser medidos a partir da configuração que atende aos deslocamentos prescritos representada em traço-ponto na Figura 1.11a e denominada configuração original. Nessa figura, representa deslocamento virtual, é deslocamento prescrito e é a correspondente reação de apoio desconhecida. Diz-se, então, que os deslocamentos virtuais atendem às condições geométricas de contorno. P₁ P₂ configuração original configuração virtual deslocamento prescrito R₁ R₂ Rⱼ (a) Não incluindo as reações de apoio configuração original P₁ P₂ configuração virtual δ R₁ onl R₂ Rⱼ (b) Incluindo as reações de apoio Figura 1.11 Deslocamentos virtuais. Supondo conhecidas as reações de apoio, essas podem ser consideradas como forças externas e incluídas na equação do teorema dos deslocamentos virtuais, desde que os deslocamentos virtuais sejam medidos a partir da configuração anterior à imposição de eventuais deslocamentos prescritos representada em tracejado na Figura 1.11b e denominada configuração original. Assim, considerando as reações de apoio como forças 18
Capítulo 1 Fundamentos externas e adotando a barra sobre a notação para indicar grandezas virtuais, escreve-se a partir da equação anterior: dV (1.19) Nessa equação, i varia de 1 até o número total de forças externas, e j varia de 1 até o número total de reações de apoio. No caso de momento externo aplicado, o correspondente deslocamento virtual é uma rotação. No caso de força distribuída aplicada, o correspondente trabalho virtual é o produto desta força pelo deslocamento virtual em cada ponto de aplicação da força, integrado no comprimento de sua distribuição. Considerando um campo de deslocamentos virtuais de maneira a reter na equação do teorema dos deslocamentos virtuais apenas uma reação de apoio, a equação resultante pode ser utilizada para o cálculo dessa reação. Esse procedimento é simples no caso de estruturas isostáticas, quando então o campo de deslocamentos virtuais é de corpo rígido, não se tendo trabalho virtual interno. Exemplo 1.2 Calcula-se a reação no apoio A da viga representada na parte esquerda da Figura E1.2. P A R a b a b Figura E1.2 Considera-se o campo de deslocamentos virtuais mostrado na parte direita da figura anterior, escolhido de maneira a se ter deslocamento virtual nulo no apoio em que não se deseja calcular reação. Logo, o teorema dos deslocamentos virtuais fornece: (a) Da geometria da configuração virtual mostrada na figura anterior, tem-se: δ (b) a b a Substituindo a equação (b) em (a), obtém-se: Pb (c) a a Sugere-se ao leitor utilizar o teorema dos deslocamentos virtuais no cálculo da outra reação de apoio da viga da Figura E1.2. 19
Análise de Estruturas Assim, teorema dos deslocamentos virtuais substitui as equações de equilíbrio da estática. Uma desvantagem, quando do cálculo de reações de apoio, é ter que relacionar deslocamento virtual no ponto e na direção da reação que se deseja calcular com os deslocamentos segundo as demais forças aplicadas. Além disso, quando a estrutura é hiperestática, a configuração virtual é uma configuração deformada, de trabalho virtual interno diferente de zero, dificultando a aplicação do teorema. Contudo, como desenvolvido no quarto capítulo, uma simples interpretação da equação do teorema dos deslocamentos virtuais, incluindo apenas uma reação de apoio, conduz a prático procedimento de determinação de linha de influência desta reação. Como apresentado na introdução deste capítulo, os esforços seccionais, em uma seção transversal de barra, são os esforços que a parte à esquerda desta seção exerce sobre a parte à direita e vice-versa. Na seção, pode-se supor a retirada do vínculo que transmite qualquer desses esforços, desde que o respectivo esforço seja aplicado como par de forças externas de maneira a impedir o deslocamento relativo entre as seções adjacentes onde se retira o vínculo, deslocamento este na direção do esforço em questão. A Figura 1.12 ilustra o caso de momento fletor, em que na seção S se supõe a introdução de uma rótula (articulação que libera a rotação entre duas seções adjacentes, não transmitindo o momento fletor) e ao mesmo tempo se considera a aplicação de um par de momentos M para restituir o comportamento original da barra. M M N S N V V rótula M V M M V M N N V Figura 1.12 Introdução de rótula e par de momentos. Com esse artificio, à semelhança das reações de apoio, o teorema dos deslocamentos virtuais pode ser utilizado para determinar qualquer um dos esforços seccionais. 20
Capítulo 1 - Fundamentos Exemplo 1.3 Determina-se 0 momento fletor e o esforço cortante na seção A indicada na viga da Figura El.3a. P A a/2 a/2 b Figura Para determinar momento fletor na referida seção, considera-se uma rótula nessa seção simultaneamente com a aplicação de um par de momentos (no sentido positivo desse esforço) de maneira a anular a rotação relativa das seções adjacentes à rótula, como ilustra a parte esquerda da Figura E1.3b. Na parte direita da mesma figura, está representado um campo de deslocamentos virtuais com rotações da referida seção no sentido positivo dos momentos aplicados. P 0/2 M M 0/2 a/2 b Figura E1.3b. Logo, teorema dos deslocamentos virtuais fornece: (a) Da configuração virtual, tem-se: (b) 2 Substituindo a equação (b) em (a), obtém-se: Pb (c) 2 que é o momento fletor procurado. Para determinar o esforço cortante na seção A, adota-se o modelo representado na parte esquerda da figura E1.3c onde a restrição oferecida por esse esforço é substituída por um par de forças externas V no sentido positivo do esforço cortante. Na parte direita dessa mesma figura está representado um campo de deslocamentos virtuais com deslocamentos transversais das seções adjacentes à liberação de vínculo no sentido positivo das forças aplicadas. Como se trata de deslocamento relativo apenas de esforço cortante, não deve haver rotação relativa entre as seções adjacentes à liberação, implicando que os dois trechos hipostáticos da viga sejam paralelos. Logo, 0 teorema dos deslocamentos virtuais fornece: (d) 21
Análise de Estruturas 8/2 P V V a/2 a/2 b a/2 b Figura E1.3c. Da configuração virtual representada na figura anterior, tem-se: (e) Substituindo a equação (e) em (d), obtém-se: Pb V (f) a que é o esforço cortante procurado. Sugere-se ao leitor determinar, com teorema dos deslocamentos virtuais, o momento fletor e esforço cortante a um terço do vão da viga da Figura E1.3a. Assim como na determinação de reações de apoio, o procedimento anterior não é prático de ser levado a efeito no caso de estrutura hiperestática, sendo contudo, muito prático em sua adaptação à determinação de linhas de influência como mostrado no quarto capítulo. No caso de barra rígida, segundo membro da equação 1.19 é nulo, recaindo-se no princípio dos deslocamentos virtuais de corpo rígido, quando, então, esse princípio as equações de equilíbrio da estática. Reduzindo esse corpo a uma partícula, recai-se no princípio dos deslocamentos virtuais de partícula, que expressa que somatório das forças atuantes em uma partícula em equilíbrio é nulo. teorema dos deslocamentos virtuais é condição necessária e suficiente de equilíbrio, como verificado no próximo exemplo. A partir desse teorema podem ser obtidos outros importantes teoremas de energia em análise de estruturas. Exemplo 1.4 Aplica-se o teorema dos deslocamentos virtuais à viga em balanço de seção transversal constante, representada na Figura E1.4, com o objetivo de se obter a correspondente equação diferencial de equilíbrio e as condições de contorno. Trabalhando com grandezas virtuais infinitesimais, tendo-se em conta a lei de Hooke e desconsiderando efeito do esforço cortante, a equação 1.18 do teorema dos deslocamentos virtuais toma a forma: (a) 22
Capítulo 1 - Fundamentos p δ X l y Figura E1.4. Considerando a hipótese das seções planas, sabe-se que onde a vírgula como índice indica derivação em relação à variável que lhe segue e onde δ é deslocamento transversal indicado na Figura E1.4. Logo, a equação anterior fornece: (b) onde Ié momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo z. Utilizando a integração por partes: (c) onde f e g são funções de X, as derivações do deslocamento virtual que ocorrem па equação b podem ser transferidas para a variável que lhe precede, como desenvolvido a seguir: (d) Como no presente caso deslocamentos virtuais devem atender às condições de apoio, têm-se e Logo, a equação anterior se simplifica para a forma: (e) Sendo deslocamentos virtuais quaisquer, a equação anterior se cumpre apenas tendo-se: com (f) em X=l (g) em X=l (h) A primeira dessas equações é a equação diferencial de equilíbrio da teoria clássica de viga. A segunda expressa que 0 esforço cortante é nulo na extremidade livre da viga em balanço e a terceira, que o momento fletor é nulo nessa extremidade. Essas duas últimas equações 23
Análise de Estruturas são as condições mecânicas de contorno da viga em questão, em contraste com as condições geométricas de contorno que expressam rotação e deslocamento transversal nulos no engaste. Percorrendo o caminho inverso, a partir da equação diferencial de equilíbrio e das condições mecânicas de contorno anteriores, pode ser obtido o teorema dos deslocamentos virtuais na forma da equação (a) anterior, evidenciando que esse teorema é condição suficiente e necessária de equilíbrio. Sugere-se ao leitor identificar em viga simplesmente apoiada sob carregamento uniforme as condições geométricas de contorno e as condições mecânicas de Na equação do teorema dos deslocamentos virtuais podem ser utilizadas resultantes de tensão sob a forma dos esforços em vez de componentes de tensão, quando, então, as correspondentes deformações são os deslocamentos relativos de seções transversais adjacentes divididos pela distância infinitesimal entre essas seções. A Figura 1.13 ilustra esses deslocamentos relativos com as notações e associadas, respectivamente, aos esforços N, M, V e T considerados como grandezas virtuais. Logo, a equação 1.19 toma a forma: dx (1.20) onde M se refere aos momentos fletores My e M₂ ; V se refere aos esforços cortantes Vy e e a integral é ao longo do comprimento de todas as barras da estrutura, o que é indicado pela letra b no somatório do segundo membro da equação. N N M M X X al y + dx dx (a) Esforço normal (b) Momento fletor V X T y dx X dx (c) Esforço cortante (d) Momento de torção Figura 1.13 Deslocamentos virtuais relativos de seções transversais adjacentes. 24
Capítulo 1 Fundamentos No caso do esforço normal representado na Figura 1.13a, a lei de Hooke expressa pela equação 1.7 fornece 0 deslocamento relativo: (1.21) Quanto ao momento fletor, a correspondente distribuição da tensão σ X é linear ao longo da altura da seção, como ilustra a Figura 1.13b. Logo, pode-se escrever onde b é a largura seção na altura da coordenada y e (bdy) é elemento infinitesimal de área. Assim, tem-se a resultante: (1.22) Daquela mesma figura e da lei de Hooke sob a forma da equação 1.6, tem-se y = Ey dx , que fornece dx Substituindo essa última equação na equação 1.22, obtém-se: onde I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo Logo, essa equação fornece deslocamento relativo: (1.23) EI Supondo constante a tensão cisalhante de esforço cortante em seção transversal de área fictícia A (1.24) escreve-se: V (1.25) Av Av é denominado área efetiva de cisalhamento e f é um escalar denominado fator de cisalhamento. Esse fator é função da forma geométrica da seção transversal real e determinado com a condição da tensão cisalhante constante na seção de área fictícia realizar o mesmo trabalho que a tensão cisalhante tida como exata na seção real. Da Figura 1.13c e da lei de Hooke expressa pela equação 1.12, obtém-se: dx G Logo, a partir dessa equação e da equação 1.25, escreve-se o deslocamento relativo: Vdx (1.26) 25
Análise de Estruturas No caso do momento de torção, a partir das equações 1.10, 1.11 e 1.12, obtém-se o deslocamento relativo: (1.27) GJ A Tabela 1.1 apresenta as propriedades de seção A, Iy, fy , e J para as seções transversais mais usuais. b h Z A=bh 12 32 A=π² Z th h tb y A b A tb th h Z tb 6 y b A A Tabela 1.1 - Propriedades de seção transversal de barra. 26
Capítulo 1 - Fundamentos Substituindo as equações 1.21, 1.23, 1.26 e 1.27 na equação 1.20 e considerando os momentos fletores e esforços cortantes de vetores representativos nas direções dos eixos y e obtém-se 0 teorema dos deslocamentos virtuais sob a forma: dx (1.28) Nessa equação, e são as áreas de cisalhamento em y e z, respectivamente, sendo fy e correspondentes fatores de cisalhamento relativos aos esforços cortantes 1.5 Teorema das forças virtuais Em estrutura de material elástico linear, o teorema das forças virtuais é apenas uma forma alternativa de se escrever 0 teorema dos deslocamentos virtuais. objetivo é agilizar a aplicação desse teorema em casos específicos, como mostrado no próximo item. Pode-se demonstrar que, com material não linear, esses teoremas têm marcantes diferenças entre si. Considere-se uma estrutura em barras de comportamento linear sob ação de forças externas e de deslocamentos prescritos, como a viga contínua representada na Figura 1.14a, por exemplo. Independentemente dessas ações e das condições de apoio dessa viga, considerem-se sistemas de forças externas em equilíbrio, como ilustrado pelas vigas auto- equilibradas da Figura 1.14b. P Pb b Pa a l P₁ P₂ Pᵢ P δ pj P l R, R₂ Rⱼ M M/a M/a a (a) Deformada devido a ações reais (b) Sistemas de forças em equilíbrio Figura 1.14 Viga. 27
Análise de Estruturas Os deslocamentos que definem a deformada da viga original podem ser considerados como deslocamentos virtuais nessas vigas auto-equilibradas. Por outro lado, como aqueles sistemas de forças em equilíbrio são quaisquer, podem ser chamados de virtuais, e esses deslocamentos de reais, escrevendo-se a partir da equação 1.20 que: dx (1.29) onde a barra sobre a notação continua indicando grandeza virtual. Nessa equação, representa deslocamentos prescritos reais onde são arbitradas as forças virtuais e δᵢ representa deslocamentos reais onde são supostas as forças virtuais Pᵢ, em equilíbrio com Rⱼ. Tendo em vista as equações 1.21, 1.23, 1.26 el 1.27, agora sem a notação de virtual, a equação anterior fornece: dx (1.30) Essa equação expressa o teorema ou princípio das forças virtuais que se enuncia: considerando em uma estrutura um sistema de forças equilibradas quaisquer, denominadas forças virtuais, trabalho virtual das forças externas é igual ao trabalho virtual das forças internas. Em se considerando momento como força virtual, o correspondente trabalho é o produto deste momento pela rotação real no ponto correspondente da estrutura. 1.6 Método da força unitária 1.6.1 - Efeito de forças externas método da força unitária é essencial para desenvolvimento do método das forças apresentado no próximo capítulo. Objetiva determinar o deslocamento (no sentido generalizado), em determinada direção, de um ponto qualquer de uma estrutura em barras sob ações quaisquer, como, por exemplo, deslocamento δ do pórtico plano representado na Figura 1.15a. Para isso, considera-se como novo caso de carregamento, na mesma estrutura, uma força virtual unitária no ponto e direção do deslocamento desejado, como ilustra a Figura 1.15b. Logo, a partir do teorema das forças virtuais expresso pela equação 1.30, escreve-se: dx (1.31) Nessa equação, Nu, e representam os esforços seccionais na estrutura com a força unitária; N, M, V e T representam os esforços seccionais na estrutura com o carregamento original, e a integral é ao longo do comprimento de todas as barras da estrutura. 28
Capítulo 1 - Fundamentos P p δ F=1 (a) Estrutura original de esforços (b) Modelo com a força unitária e N,MeV esforços e P P δ δ p mm (c) Estrutura original hiperestática (d) Estrutura original com deslocamento prescrito e esforços N, M e V Figura 1.15 Pórtico plano. Dividindo ambos os membros da equação anterior pela unidade de força (no sentido generalizado), que equivale a considerar um modelo com uma "força virtual unitária adimensional", obtém-se o deslocamento desejado: dx (1.32) Para determinar uma rotação, em lugar de um deslocamento linear, aplica-se um "momento virtual unitário adimensional" no ponto e direção da rotação desejada. A equação anterior expressa 0 método da força unitária ou método de Maxwell- Mohr, em homenagem a James Clerk Maxwell e a Otto Mohr que o desenvolveram em trabalhos independentes, respectivamente, em 1864 e 1874. Como as forças virtuais são independentes das condições de apoio da estrutura, desde que equilibradas, a estrutura em que se deseja calcular deslocamento pode ser hiperestática, e modelo com a força unitária pode ser isostático, obtido pela retirada dos vínculos superabundantes da estrutura hiperestática. Assim, 0 modelo com a força unitária 29
Análise de Estruturas da Figura 1.15b pode ser utilizado para cálculo do deslocamento δ do pórtico hiperestático mostrado no Figura 1.15c. Com essa concepção, o presente método costuma ser denominado teorema de Pasternak. Exemplo 1.5 Calcula-se o deslocamento transversal δ e a rotação da extremidade livre da viga em balanço representada na Figura E1.5a, e avalia-se a influência do esforço cortante frente à influência do momento fletor no cálculo do referido deslocamento. A viga tem vão de 6m, seção transversal retangular de base igual a 20cm e altura igual a 60cm, e material G=E/2,4. Faz-se idêntica avaliação, modificando a altura da seção para 40cm. δ X 0 l y Figura E1.5a. Para determinar do deslocamento δ, considera-se a viga com carregamento original e com carregamento representado na parte esquerda da Figura E1.5b. Com esses casos de carregamento, têm-se OS esforços seccionais: 2 F=1 F=1 X Figura E1.5b. Logo, a equação 1.32 do método da força unitária fornece: δ dx pl⁴ (a) 8EI Para o cálculo da rotação considera-se a viga sob momento unitário como representado na parte direita da Figura E1.5b. Têm-se, então, os esforços seccionais e Logo, o método da força unitária fornece: (b) 6EI 30
Capítulo 1 - Fundamentos No resultado do deslocamento transversal expresso pela equação (a), apenas 0,96% se deve à influência do esforço cortante. Reduzindo a altura da seção transversal para 40cm esse percentual se reduz para 0,427%. Isso evidencia que a influência do momento fletor nos deslocamentos é muito maior do que a influência do esforço cortante e que a primeira aumenta com a diminuição da altura da seção. E por ser pequena a influência do esforço cortante, é usual desconsiderá-la em análise de estruturas por procedimentos manuais. Sugere-se ao leitor refazer este exemplo considerando uma força concentrada aplicada na extremidade livre da viga. Exemplo 1.6 Determina-se deslocamento horizontal do ponto A da barra de pequena curvatura representada na parte esquerda da Figura E1.6 em que e considerando apenas efeito do momento fletor. P=10kN F=1 A A Figura E1.6. A equação de momento fletor da barra com o carregamento original se escreve: M = Pr sin sin = 20 sin (a) A equação de momento fletor da barra com a força unitária, como representado na parte direita da Figura E1.6, se escreve: (b) Em barra de pequena curvatura, pode-se adotar a distribuição de tensões de flexão le barra reta para estender a equação 1.32 ao caso de barra curva, com integração ao longo le seu eixo geométrico. Assim, designando comprimento infinitesimal de arco como ds, em-se: δ EI 1 2 80 EI sin 20π EI δ m (c) Sugere-se ao leitor calcular a rotação no ponto A da barra curva da Figura E1.6. xemplo 1.7 Determina-se, com o método da força unitária, o deslocamento do ponto e direção da força P da treliça do Exemplo 1.1. 31
Análise de Estruturas A equação 1.32 fornece: δ que é o mesmo deslocamento encontrado no Exemplo 1.1. Quando se trabalha com barra de seção transversal constante e de propriedades elásticas constantes, pode-se evitar o desenvolvimento analítico da integral que ocorre na equação 1.32 do método da força unitária, adotando-se o procedimento de A. N. Vereshchagin desenvolvido a seguir. Para isso, considere-se a integral: (1.33) em que Mu é uma função linear em X (resultado da aplicação da força unitária) e M é uma função qualquer dessa coordenada (resultado da aplicação das forças externas reais), como ilustra a Figura 1.16. A função linear se escreve: (1.34) onde a e b são escalares. Substituindo essa equação na que lhe antecede, obtém-se: (1.35) M centróide Área AM X Xc Mu X Figura 1.16 Figuras planas. A primeira integral da equação anterior é a área AM sob a representação gráfica da função M, e a segunda integral é o momento estático dessa área em relação ao eixo vertical, momento este que é igual ao produto dessa área pela coordenada Xc do correspondente centróide. Logo, a equação anterior se escreve: (1.36) Por outro lado, pela equação 1.34 tem-se que a parcela entre parênteses dessa equação é igual à ordenada da função na abscissa correspondente ao centróide de AM, fornecendo: (1.37) 32
Capítulo 1 Fundamento Assim, a integral em questão é igual à área sob o diagrama de M pela ordenada d diagrama de Mu na abscissa correspondente ao centróide da referida área. A Tabela 1. apresenta resultados do referido produto para os diagramas de força concentrada e de forç uniformemente distribuída em um comprimento l de barra. Mb l Mb 2 Mb Mc 6 l Mb Parábola quadrática. Parábola quadrática M, a b Mb Mb Mc 2 Mb Parábola quadrática l Mb Parábola quadrática a b Tabela 1.2 - Integral do produto de funções que definem duas figuras planas. 33
Análise de Estruturas Embora se tenha utilizado notação de momento fletor, a conclusão anterior se aplica também aos demais esforços seccionais. Além disso, nos casos de diagramas de esforços seccionais formados pela soma ou subtração dos diagramas representados na tabela, pode- se fazer a integral do produto de cada uma de suas parcelas separadamente e somar os resultados, como mostram exemplos a seguir. Evidencia-se também que, para a aplicação dessa tabela, é muito adequado procedimento de traçado do diagrama de momento fletor a partir da correspondente linha de fechamento. Exemplo 1.8 pórtico representado na Figura tem viga e colunas de seção transversal de propriedades A=134cm², I=29213cm⁴ e Sendo o material aço de E=205GPa e G=78,5GPa, faz-se o cálculo do deslocamento horizontal do ponto B, com e sem a consideração das deformações do esforço normal e do esforço cortante. Analisa-se a influência dessas deformações. 10kN/m 40kN C 3,0m 4,0m D A 6,0m Figura E1.8a. De acordo com a equação 1.32, deslocamento procurado se escreve: δ i=1 EA dx EI dx + tendo-se: Na Figura E1.8b está representado o pórtico com o seu carregamento original e correspondentes diagramas dos esforços seccionais. Na Figura E1.8c está representado o pórtico com a força unitária e correspondentes diagramas dos esforços seccionais. Utilizando a Tabela 1.2, faz-se, como esquematizado na Tabela ET1.8a, cálculo da integral dx , onde 0 comprimento da i-ésima barra. 34
Capítulo 1 - Fundamentos Reações (kN) DN(kN) + 40 B C 40 - 10 + D A 40 80 40 40 40 DM(kN.m) DV(kN) 240 40 240 + 40 20 + 80 Figura E1.8b. Modelo com força unitária DNu F=1 B C - + D A 0,66667 1 0,66667 0,66667 0,66667 DMu 4 + 4 0,66667 + + 1 Figura E1.8c. 35
Análise de Estruturas Barra 4(m) Nu N(kN) dx AB 4,0 + + 0,66667 40,0 0,66667 4 =106,67 CD 3,0 0,66667 40 3 0,66667. - 40,0 = 80,0 dx 186,67 Tabela ET1.8a. Logo, a parcela de deslocamento devido ao esforço normal se escreve: = EA 1 186,67 cálculo da integral dx está esquematizado na Tabela ET1.8b. Barra 4(m) M(kN.m) dx 1 + 240 AB 4,0 + 4 3 + 20 1 3 6,0 1 BC 4 240 + 3 dx 3306,7 Tabela ET1.8b. Logo, a parcela de deslocamento devido ao momento fletor se escreve: = 3306,7 = cálculo da integral dx está esquematizado na Tabela ET1.8c. 36
Capítulo 1 - - Fundamentos Barra 4(m) V(kN) + 1 80 40 AB 4,0 2 - 40 BC 6,0 0,66667 40 6 = 160 0,66667 Σ VuV dx 400 Tabela ET1.8c. Logo, a parcela de deslocamento devido ao esforço cortante se escreve: = 1 Σ dx = 400,0 m Assim, tem-se 0 deslocamento horizontal do ponto B: com momento fletor, esforço cortante e esforço normal responsáveis, respectivamente, por 97,6%, 2,3% e 0,1% desse deslocamento. Sugere-se ao leitor determinar as rotações nos pontos B e D do pórtico plano da Figura Exemplo 1.9 - Determina-se o deslocamento vertical da extremidade livre da grelha representada na Figura E1.9a em que todas as barras têm a seção circular vazada indicada, com o material aço de E=205GPa e G=79GPa. Z Y Seção 12mm 18kN/m 6kN A C 2,0m 1,0m B 1,5m 0,106m X Figura 1.9a. Utilizando a Tabela 1.1, obtêm-se as propriedades: 37
Análise de Estruturas Na Figura E1.9b estão mostrados os diagramas dos esforços seccionais da grelha sob carregamento original. DM(kN.m) DT(kN.m) DV(kN) 6 6 54 20,25 27 + + 1 20,25 + Figura 1.9b. Na Figura E1.9c está representada a grelha sob força unitária no ponto e direção em que se deseja calcular deslocamento, juntamente com os correspondentes diagramas dos esforços seccionais. Z 2 Y DMu A X F=1 1 1,5 C 1,5 1 DTu + + 1 + Figura 1.9c. 38
Capítulo 1 - Fundamentos Utilizando a Tabela 1.2, cálculo da integral dx está esquematizado na Tabela ET1.9: Barra 4(m) Mu M(kN.m) dx 1 2 54 3 AB 2,0 2 1 6 6 1 1 1 CD 1,0 1,5 20,25 4 Σ 88,391 Tabela ET1.9. Logo, a parcela de deslocamento devido ao momento fletor se escreve: 88,391 =0,11016m De maneira semelhante, calculam-se as parcelas de deslocamento do momento de torção e do esforço cortante: 1 Assim, tem-se deslocamento total: momento fletor, momento de torção e 0 esforço cortante são responsáveis, respectivamente, por 57,7%, 47,0% e 0,3% desse deslocamento, evidenciando mais uma vez a pequena influência do esforço cortante na deformabilidade da estrutura. Sugere-se ao leitor calcular a rotação na extremidade livre da grelha da Figura Exemplo 1.10 - Determina-se a força P que anula 0 deslocamento vertical do ponto A do pórtico representado na Figura E1.10a em que todas as barras têm a mesma seção transversal de e considerando apenas deformação de momento fletor. 39
Análise de Estruturas 18kN/m P A 3,0m 6,0m 4,0m Figura E1.10a. a) A Figura apresenta os diagramas de momento fletor do pórtico com a força de 18kN/m e do pórtico sob uma força unitária no ponto e direção da força P. DM(kN.m) DMu 4 + 81 Figura E1.10b. b) A equação 1.32 e a Tabela 1.2 fornecem deslocamento do ponto A devido à força distribuída de 18kN/m: 1 1 δ'= m (a) 3 c) Cálculo do deslocamento vertical do ponto A devido à força unitária: δ"= 1 3 1 3 1 4-4-4 =8,0808.10⁻³ m (b) d) Condição de nulidade do deslocamento vertical do ponto A: P=12,15kN (d) Essa força P é a reação que ocorreria no ponto A, caso se introduzisse apoio que restringisse deslocamento vertical desse ponto. Logo, a equação (c) pode ser entendida como uma equação de compatibilidade de deslocamento, base do método das forças apresentado no segundo capítulo. Exemplo 1.11 Determina-se a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula C do pórtico plano representado na parte esquerda da Figura El.11a, considerando apenas deformação de momento fletor, com e 40
Capítulo 1 Fundamentos Na parte direita da Figura El.11a está mostrado diagrama de momento fletor devido ao carregamento original e na Figura E1.11b está representado pórtico sob unitária segundo 0 deslocamento que se deseja calcular, juntamente com o correspondente diagrama de momento fletor. 22,5 10kN/m - 11,25 A C D 2,81 DM(kN.m) 4,0m E 3,0m 1,5m 1,5m Figura F=1 A B D C + 2 DMu + 2 E Figura E1.11b. cálculo da integral dx está esquematizado na Tabela ET1.11. Barra 4(m) Mu M(kN.m) EB 5,0 + 2,0 22,5 -75,0 22,5 -45,0 BCD 3,0 2,0 + + +22,5 11,25 -97,5 Tabela ET1.11. 41
Análise de Estruturas Logo, tem-se: -97,5 rad Exemplo 1.12 - A viga Gerber representada na Figura E1.12a é a idealização de sistema estrutural em concreto em que o apoio D é do tipo neoprene fretado. Para calculá-lo é necessário conhecer a reação, 0 deslocamento horizontal e a rotação do apoio. A seguir, determina-se essa rotação com o método- da força unitária, considerando concreto de módulo de elasticidade igual a e apenas deformação de momento fletor. 50kN Seção 30kN/m 20kN/m 20kN.m 60cm A B D C 5,0m 2,0m 3,0m 20cm Figura E1.12a. A Figura E1.12b apresenta a referida viga com suas reações de apoio e o correspondente diagrama de momento fletor. 20 C D 30 30 30 30 50 20 A B C DM(kN.m) 220,0 93.75 15,0 - 20 + 22,5 Figura E1.12b. 42
Capítulo 1 - Fundamentos A Figura E1.12c mostra a viga com a força unitária no ponto e direção em que se deseja calcular deslocamento, juntamente com correspondente diagrama de momento fletor. F=1 C D 1/3 1/3 1/3 A C 7/15 7/15 DMu 2/3 + 1 Figura E1.12c. cálculo da integral dx está esquematizado na Tabela ET1.12. Barra (m) Mu M(kN.m) dx + -104,17 AB 5,0 2/3 220 255,56 20 + -6,67 15,0 2/3 BC 2,0 220 97,78 CD 3,0 + 1,0 + 22,50 22,5 265,0 Tabela ET1.12. Logo, tem-se: , 12 265,0 = =3,5053.10⁻³ rad 75600 43
Análise de Estruturas Exemplo 1.13 Na parte direita da Figura encontra-se o diagrama de momento fletor do pórtico plano hiperestático representado na parte esquerda dessa mesma figura em que todas as barras têm e kN/m². Determina-se a rotação no ponto A, utilizando o método da força unitária na forma do teorema de Pasternak. 20kN/m DM(kN.m) 52,30 37,35 21,11 20kN 2,09 A + + 3,0m 18,90 14,96 19,55 + 18kN/m 18kN/m 12,76 32,09 37,17 3,0m 3,0m 3,0m 3,0m Figura E1.13a. Na parte esquerda da Figura E1.13b está mostrado modelo isostático com um momento unitário no ponto e direção em que se deseja determinar rotação, e na parte direita dessa mesma figura, o correspondente diagrama de momento fletor. F=1 1 A DM, Figura E1.13b. Logo, utilizando a equação 1.32 e a Tabela 1.2, obtém-se a rotação procurada (no sentido horário, por esse o sentido do momento unitário arbitrado): 1 1 = 2 1.6.2 - Efeito de temperatura Variação de temperatura é uma importante ação na maioria das estruturas. Apresenta-se extensão do método da força unitária para a determinação de deslocamentos provocados por essa ação em estrutura isostática de material isótropo, quando então a estrutura pode se expandir sem restrição, não desenvolvendo esforços seccionais. Essa extensão foi concebida por Mohr e será utilizada na análise de estruturas hiperestáticas do próximo capítulo. 44
Capítulo 1 - Fundamentos Considere-se a barra reta de altura h representada na Figura 1.17 em que se impõe a variação de temperatura na "face" superior da barra e a variação de temperatura na "face" inferior, com lei linear ao longo da altura h da seção transversal e T'> A partir dessas variações, tem-se a variação de temperatura T no eixo X, lugar geométrico dos centróides das seções transversais. Considerando barra livre sem vínculos externos e acréscimos de temperatura, a barra se expande longitudinalmente e flete com curvatura voltada para cima, como mostra a Figura 1.17. Logo, sendo coeficiente de dilatação térmica, a deformação de um trecho de comprimento infinitesimal dx dessa barra se deve aos seguintes deslocamentos em duas seções transversais adjacentes: a) Deslocamento relativo dessas seções na direção longitudinal da barra de: (1.38) b) Rotação relativa entre essas seções de: (1.39) h onde é gradiente de temperatura. dδ=αTdx h X de dx h X T' dx Figura 1.17 Variação de temperatura. Considere-se, agora, que o pórtico plano isostático representado na Figura 1.15a (vide página 29) tenha suas barras submetidas a variações de temperatura e que se deseje determinar conseqüente deslocamento δ devido a essas variações. Considerando a força unitária da Figura 1.15b como virtual e substituindo as equações 1.38 e 1.39 na equação 1.29 do teorema das forças virtuais, obtém-se 0 deslocamento procurado: (1.40) onde Nu e Mu são, respectivamente, esforço normal e momento fletor no modelo com a força unitária. 45