Cálculo Diferencial e Integral IV Avaliação Final

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Prova Impressa
GABARITO | Avaliação Final (Discursiva) - Individual
(Cod.:1524009)
Peso da Avaliação 2,00
Prova 109123383
Qtd. de Questões 2
Nota 6,50
Equações diferenciais não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes surgem 
frequentemente na modelagem de sistemas físicos sujeitos a forças externas variáveis, como 
deslocamentos forçados ou variações de temperatura ao longo do tempo.
Considere a seguinte equação diferencial y'' - 6y' + 9y = 3x + 2.
Essa é uma equação não homogênea com segundo membro polinomial. Para resolver esse tipo de 
equação, o procedimento padrão é:
Passo 1: Resolver a equação homogênea associada y'' - 6y' + 9y = 0, obtendo a solução geral yh(x).
Passo 2: Determinar uma solução particular yp(x) da equação completa. Como o segundo membro é 
um polinômio de grau 1 (3x + 2), tenta-se uma solução particular também polinomial da forma: yp(x) 
= Ax + B.
Se algum termo de yp(x) também for solução da homogênea, multiplica-se por x para evitar 
redundância.
Com base nisso, resolva:
a) (2 pontos) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
b) (4 pontos) Determine uma solução particular da equação não homogênea.
c) (1 ponto) Encontre a solução geral da equação completa.
d) (3 pontos) Determine a solução que satisfaz o seguinte problema de valor inicial (PVI), y(0) = 1, 
y'(0) = 0.
Resposta esperada
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Minha resposta
y(0)=1y(0) = 1 y'(0)=0y'(0) = 0 Essas condições foram usadas para determinar os coeficientes da
solução geral, resultando nos valores: c1=59c_1 = \frac{5}{9} c2=-2c_2 = -2 ¿¿¿¿
Comportamento da função Para x0x > 0: O termo e3xe^{3x} domina, fazendo a função crescer rapidamente. Gráfico A
curva azul representa a função y(x)y(x). O ponto verde indica a condição inicial y(0)=1y(0) = 1.
O gráfico mostra crescimento acelerado para valores positivos de xx, devido ao termo
exponencial. Os valores no eixo vertical foram ajustados para facilitar a leitura.
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Retorno da correção
Prezado acadêmico, sua resposta contemplou alguns dos elementos da questão com base nos
materiais disponibilizados, porém, poderia ter explorado mais os conteúdos fundamentais da
disciplina)
Para que uma série de potência represente adequadamente uma função, é essencial determinar em 
qual intervalo ela converge. Isso é feito por meio de testes de convergência, sendo o Teste da Razão 
de D'Alembert um dos mais utilizados. Ao aplicar esse teste, é possível encontrar o raio de 
convergência R, que indica o intervalo centrado no ponto de expansão em que a série tem 
convergência absoluta. Fora desse intervalo, a série diverge; já nos extremos, é necessário realizar 
uma análise individual de convergência. Compreender esse comportamento é fundamental para 
garantir a validade das aproximações fornecidas pelas séries em contextos analíticos e aplicados.
A seguir, estão apresentadas diferentes séries de potência. Para cada uma delas, aplique o Teste da 
Razão e determine:
A. (0,5 ponto para cada item) O ponto em que a série está centrada.
B. (1,0 ponto para cada item) O raio de convergência R.
C. (1,0 ponto para cada item) O intervalo de convergência (sem analisar os extremos).
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Resposta esperada
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Minha resposta
O raio de convergência ¿¿¿¿, que indica a região onde a série converge absolutamente. O
intervalo de convergência, centrado no ponto de expansão. Fora desse intervalo, a série diverge.
Nos extremos, é necessário fazer uma análise separada. (a) Centro: x=0x = 0 Raio de
convergência: R=12R = \frac{1}{2} Intervalo de convergência: (-12,12)(-\frac{1}{2}, \frac{1}
{2}) (b) Centro: x=0x = 0 Raio de convergência: R=3R = 3 Intervalo de convergência: (-3,3) (c)
Centro: x=0x = 0 Raio de convergência: R=8R = \infty Intervalo de convergência: (-8,8) (d)
Centro: x=0x = 0 Raio de convergência: R=eR = e Intervalo de convergência: (-e,e)(-e, e) (e)
Centro: x=0x = 0 Raio de convergência: R=1R = 1 Intervalo de convergência: (-1,1)
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Prezado acadêmico, sua resposta apresentou pouca relação com os objetivos da questão e/ou com
o assunto abordado. Sugerimos que nas próximas vezes você leia atentamente o enunciado da
questão contemplandoo assunto abordado.
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