3 lista Variável Complexa 2025 1

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UNIVERSIDADE REGIONAL DO CARIRI 
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA 
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
3ª LISTA DE VARIÁVEL COMPLEXA – 2025.1 
PROFESSOR: ANTONIO EDINARDO DE OLIVEIRA 
1) Dada a função w = z2 = u + iv, faça o gráfico das curvas das famílias u(x, y) = c1 
e v(x, y) = c2, para diferentes valores das constantes c1 e c2, e observe que estas 
curvas se cruzam em ângulo reto. 
 
2) Mostre que os zeros de sen z e cos z são dados, respectivamente, por z = nπ e z = 
(n + 1/2) π, n inteiro. Determine os domínios máximos de definição das funções 
tg z, cot z, sec z e csec z. 
 
3) Mostre que sen z e cos z são funções periódicas de período 2π, como no caso real. 
 
4) Demonstre que log (z1/z2) = log z1 – log z2, no sentido de igualdade de conjuntos 
de valores, como no caso de log z1z2. 
 
5) Mostre que log (–1) = (2k + 1)πi e log i = 
4𝑘+1
2
πi, k inteiro. 
 
6) Determine todas as raízes das equações dadas a seguir. 
a) ez = –1 b) ez + 6e–z = 5 c) log z = πi/2 
 
7) Mostre que, uma vez fixado o argumento da constante c ≠ 0, a função u = cz é 
analítica, com derivada (cz)’ = cz log c. 
 
8) Estabeleça as seguintes propriedades da potências. 
a) zazb = za+b 
b) z-a = 1/za 
c) (za)b = zab 
onde z ≠ 0 e a e b são números complexos quaisquer. 
9) Mostre que arctg z = 
ⅈ
2
log 
ⅈ+𝑧
ⅈ−𝑧
, e que (arctg z)’ = 
1
1+𝑧2
. 
10) Calcule todas as determinações das seguintes potências. 
a) (1 + i)i 
b) (√3 + i)i 
 
11) Determine todas as raízes da equação cos z = 3. 
 
12) Para os itens a seguir, calcule a integral de f ao longo do contorno C. 
a) f(z) = |z|, C = {z = reiθ; 0 ≤ θ ≤ π}; 
b) f(z) = z2, C = {z = reiθ; 0 ≤ θ ≤ π}; 
c) f(z) = √𝑧, C = {z = reiθ; 0 ≤ θ ≤ 2π}; 
d) f(z) = 2x – y + ix, ao longo do segmento retilíneo de zero a 1 + i; 
e) f(z) = y – x2 ao longo do segmento da origem ao ponto (2, 0), seguido do 
segmento de (2, 0) a (2, 1); depois ao longo de (0, 0) a (0, 1), seguido do 
segmento de (0, 1) a (2, 1). Verifique que os resultados são diferentes. 
 
13) Prove o que se pede. 
a) Se f1 e f2 são funções contínuas em um contorno C, então 
∫ [𝑓1(𝑧) + 𝑓2(𝑧)] ⅆ𝑧
𝑐
 = ∫ 𝑓1(𝑧) ⅆ𝑧
𝑐
 + ∫ 𝑓2(𝑧) ⅆ𝑧
𝑐
 
b) Se f é uma função contínua em um contorno C e c é uma constante, em geral 
complexa, então 
∫ 𝑐𝑓(𝑧) ⅆ𝑧
𝐶
 = c∫ 𝑓(𝑧) ⅆ𝑧
𝐶
. 
14) Seja C um arco de círculo parametrizado por z = z(θ) = reiθ, α ≤ θ ≤ β. Prove que 
∫ 𝑓(𝑧) ⅆ𝑧
𝐶
 = ir∫ 𝑓(𝑧(θ))ⅇⅈθ ⅆθ
𝛽
𝛼
. 
 
15) Utilizando a definição de integral sobre um arco, mostre que 
 
∫ ⅇⅈ𝑡 ⅆ𝑡
𝑏
𝑎
= 𝑖(eia – eib) e ∫ ⅇⅈ𝑘𝑡 ⅆ𝑡
𝑏
𝑎
=
ⅈ
𝑘
(eika – eikb). 
 
16) Sejam F e f funções analíticas numa região simplesmente conexa contendo um 
contorno C, e tais que f = F’. Use as equações de Cauchy-Riemann, a definição 
de integral sobre um arco e a definição de integral curvilínea para provar que 
 
∫ 𝑓(𝑧) ⅆ𝑧
𝐶
 = F(z2) – F(z1), 
 
Onde z1 e z2 são, respectivamente, os pontos inicial e final do contorno C, por 
onde se vê que a integral só depende dos pontos final e inicial, e não de C. 
 
17) Use o exercício anterior para provar que, se n for um inteiro e C um contorno 
fechado envolvendo a origem uma vez no sentido anti-horário, então 
∮
ⅆ𝑧
𝑧𝑐
= 2𝜋𝑖. 
18) Mostre que ∮ 𝑙𝑜𝑔 𝑧 ⅆ𝑧
𝑐
= 2𝜋𝑖, onde C é um contorno envolvendo a origem uma 
/16vez no sentido positivo. 
 
19) Sem efetuar a integração, mostre que |∮
ⅆ𝑧
𝑧
𝑐
| ≤ 1, onde C é o segmento retilíneo 
que une 1 a 1 + i. 
 
20) Mostre que ∫ ⅆ𝑧
𝐶
/(z2 + 1) ≤ 3π/16, onde C é o arco de círculo situado no primeiro 
quadrante, centrado na origem e de raio 3. 
 
 
 
 
 
BONS ESTUDOS!!!