CalculoIII (1)

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Calculo III
Unidade01 80%
Desafio 01
a)
p=150
y=5
L(p,y)=55p-250-py
L(150,5)=55*150-250-(150*5)
L(150,5)=8250-250-750
L(150,5)=7250
b) 
C=1500
C(p,y)=250+py=>py=1250
R(p)=C=L=>R=1500
Exercício
1.As funções de várias variáveis são uma ferramenta poderosa na descrição de fenômenos naturais que envolvem a relação de dependência entre mais de duas grandezas. Nas situações em que se dispõe da expressão analítica da função e se conhecem valores específicos das variáveis independentes, é possível encontrar o valor da função em um dado ponto.
Nesse contexto, calcule o valor da função a seguir nos pontos (1,–3) e (5,0).
R: 9/4 e 3/5
2. Ao se trabalhar com um funções em problemas teóricos ou aplicados, é preciso atentar-se ao seu domínio de variação. Uma função a nvariáveis é uma função a valores reais f(x1,x2,⋯,xn) cujo domínio é um conjunto de n-uplas (x1,x2,⋯,xn) em Rn. Quando f estiver definida por uma expressão analítica, considera-se seu domínio como sendo o conjunto de todas as n-uplas para os quais f(x1,x2,⋯,xn) fizer sentido. Nesse sentido, descreva escreva o domínio e o gráfico da seguinte função: f(x,y)=V16-x^2-y^2
R: D={(x,y)∈R2:x2+y2≤16} O gráfico é uma semiesfera de raio 4
3.Identificar o domínio de uma função consiste em identificar os valores das variáveis independentes que fazem sentido para a existência da função. Quando há duas variáveis independentes, o domínio é um subconjunto de R³, no caso de três variáveis, o domínio será um subconjunto de R³. A partir disso, determine o domínio da seguinte função:f(x,y,z)=(V3x-2y=z)/x^2y-z
R: D = {(x,y,z) ∈ R3 | 3x – 2y + z ≥ 0 e x2y ≠ z}.
4.As funções de várias variáveis podem ser utilizadas em situações aplicadas em que uma variável dependente possuir uma relação de dependência com duas ou mais variáveis, como, por exemplo, a função T(x, y, z) = x² + y² + z² que determina a temperatura em cada ponto do espaço. No contexto da física, as superfícies isotérmicas são dadas pelas equações em uma certa temperatura constante.
Sendo assim, determine a equação da superfície isotérmica quando a temperatura for igual a 25°.​​​​​​
R: x2 + y2 + z2 = 25.
5. ma forma muito útil de descrever as características principais de uma função de várias variáveis é utilizando um esboço de um mapa de contornos, mostrando curvas de nível, técnica que, além de ser útil no estudo desse tipo de função, também pode ser aplicada em mapas topográficos. Nesse sentido, determine a taxa de variação média de B até C, considerando o seguinte mapa de contorno:
R: C. –0,25.
Unidade02 100%
Desafio02
a) Verifique se é possível determinar o limite por substituição direta.
Não é possível determinar o limite por substituição direta, pois subistituindo x=6 e y=3 na expressão, obtemos a foma indeterminada 0/0.
b) Utilize fatoração e simplificação para determinar a temperatura no ponto (6, 3).
1/3
Exercício
1.O primeiro passo para determinar o limite de uma função é pela substituição direta. Utilize a substituição direta para resolver o limite Lim x^3-4x^2y-3xy^2 (x,y)=(4,-3)
R: 148
2. Utilize o método da substituição direta para determinar o limite da função xy cos(x + 2y) quando (x, y) tende a (2, –1)​​​​​​​:
R:-2
3.Nem sempre é possível determinar o valor do limite de uma função. Em alguns casos, o limite pode não existir. Para verificar que um limite não existe, basta calcular seu valor por caminhos diferentes. Determine o valor de Lim (x^2+y^2)/x^2 (x,y)=(0,0) ou mostre que não existe.
R: ∄
4.Uma das propriedades do limite garante que, ao conhecer o limite de duas funções, é possível determinar o limite do produto entre elas. Utilize tal propriedade para calcular
Lim (f(x,y).g(x,y))(x,y)=(-1,1)Sabendo que lim f(x,y)=-4(x,y)=(-1,1)ELim g(x,y)=15(x,y)=(-1,1) 
R: -60 
​​Utilize o método da substituição direta, isto é, substituir os valores das variáveis x, y, z para determinar o valor do limite abaixo. Lim (x^3-6xy+3yz=xz)/(z-3x^2)(x,y,z)=(1,0,-2)
R:1/5
Unidade03 60%
Desafio03
Custo inicial: aproximadamente R$ 175,84.
Novo custo: aproximadamente R$ 201,85.
Acréscimo aproximado pelo diferencial: R$ 25,13.
Acréscimo exato: R$ 25,88.
Exercício
1.As funções de várias variáveis são uma ferramenta poderosa na descrição de fenômenos naturais.
R: 4 e -3
2. Ao lidar com derivadas parciais, é preciso estar atento à notação, pois existe mais de uma maneira de denotar uma mesma derivada parcial.
R: 
 
3. Assim como as funções de duas variáveis, uma função de três variáveis também tem derivadas parciais.
R: f x= y2- 2z2, f y = 2xy - 2z2 e f z = xy2- 4z
4. No estudo de funções de várias variáveis pode-se calcular tanto derivadas parciais de primeira ordem quanto derivadas parciais de ordens superiores
R: f xy = f yx = 1
5. Assim como nas funções de uma variável, as funções de várias variáveis também podem ser definidas de forma explícita ou implícita.
R: 
Unidade04 80%
Desafio04
(a) O pescador deve seguir na direção do vetor (3,2,−10,8 para que a profundidade aumente.
(b) A profundidade aumenta a uma taxa de 11,26 metros por unidade de distância nessa direção.
Exercício
1.Encontre o vetor gradiente da função f(x,y) = x2 + 2x + y2 – 2y + 2.​​​​​​​
R: ∇f(x,y) = (2x + 2, 2y – 2)
2. Encontre o vetor gradiente da função f(x,y,z) = x2 – y3 + 2z – 2xy + 3yz.​​​​​​​​​​​​​​
R: ∇f(x,y,z) = (2x – 2y, –3y2 – 2x + 3z, 2 + 3y)
3. Determine a direção e a taxa máxima em que a função f(x,y) = 4x2 –2y3 + 2xy cresce mais rapidamente no ponto (2, –3).​​​​​​​
R: (10, –50), 10√26.
4. Determine a direção em que a função f(x,y) = 3ex + y2 – ln xy​​​​​​​ decresce mais rapidamente.
R:
5. Suponha que a temperatura varie em uma certa região de acordo com a função:
Determine a taxa máxima de variação da temperatura no ponto (1,0).​​​​​​​
R: 
Unidade05 80%
Desafio05
a) A fórmula da taxa de variação instantânea do volume em relação ao raio, com altura constante, é:
av/ar=2πrh
b) A fórmula da taxa de variação instantânea do volume em relação à altura, com raio constante, é:
av/ah=πr^2
c) Com h=4h = 4h=4 polegadas e r=6r = 6r=6 polegadas, a taxa de variação do volume em relação ao raio é aproximadamente:
av/ar≈150.8 polegadas cúbicas por polegada
d) Com r=8r = 8r=8 polegadas e h=10h = 10h=10 polegadas, a taxa de variação do volume em relação à altura é aproximadamente:
av/ah= πr^2= π*8^2=201.1 polegadas cúbicas por polegada
Exercício
1. Com base nisso, determine a sensação térmica aproximada para uma temperatura de 25°F com vento de 35 milhas/hora:
R:  7ºF.
2. Uma forma muito útil de descrever as características principais de uma função de várias variáveis é por meio do esboço de um mapa de contornos, mostrando curvas de nível. Essa técnica, além de auxiliar no estudo desse tipo de função, também pode ser aplicada em mapas topográficos e na análise numérica do terreno.Nesse contexto, marque a alternativa que contém a superfície de nível z = x2 + y2, para k = 0, 2, 4, 6, 8​​​​​​:
3. No cálculo há uma variável, a derivada f' (c) que representa a variação da função f (x) em x = c. No caso de uma função de duas ou mais variáveis, não há uma única taxa de variação, pois cada variável pode afetar a função de maneira distinta. Nesse caso, temos as chamadas derivadas parciais, que são as taxas de variação calculadas separadamente para cada variável, tratando as outras como constante. Com base no exposto, calcule as derivadas parciais de f(x, y ) = 9 – x2 – 7y3, fx (3, 1) e fy (3, 1):
R: fx = – 6, fy = – 21.
4. As derivadas parciais podem ser calculadas não apenas para funções de duas variáveis, mas também nos casos de três ou mais. No caso de funções de três variáveis, ao calcular a derivada parcial em relação a x, mantemos y e z como constantes; ao calcular a derivada parcial em relação a y, mantemos x e z como constantes e ao calcular a derivada parcial em relação a z, mantemos x e y como constantes.​​​​​ Com base no exposto considere f(x, y, z) = x3y2z4 + 2xy + z e calcule fz (– 1 , 1 , 2):
R: – 31.
5. No estudo de funções de várias variáveis, as derivadas parciais de ordens superiores de uma função f (x, y) podemser definidas como as derivadas parciais das funções fx e fy. No caso das derivadas parciais de segunda ordem, escrevemos fxx para a derivada em relação x de fx e fyy para a derivada em relação a y de fy. Também podemos ter as derivadas parciais mistas, que denotamos como fxy e fyx com a derivada sendo efetuada na ordem da esquerda para a direita. A partir dessas informações, calcule fxx e fyy de f(x, y) = 3x2y – 6xy4:
R: fxx = 6y
fyy = – 72xy2
Unidade06 80%
Desafio06
a) A taxa de produção do operário às 11h é de 33 unidades por hora.
b) A taxa de variação da taxa de produção às 11h é de -6 unidades por hora², indicando que a taxa de produção está diminuindo naquele momento.
Exercício
1) Quando se deriva uma função f, encontra-se a derivada primeira f'. Se f' for derivável, então sua derivada é denotada por f'′, denominada derivada segunda de f. Nesse contexto, encontre a derivada de segunda ordem da função f(x) = 3x2 + 8x + 1 e assinale a alternativa correta:
f''(x) = 6.
2) Enquanto houver diferenciabilidade em uma função, é possível continuar o processo de derivação para obter as derivadas terceira, quarta, quinta e até derivadas superiores de f. Essas derivadas também são chamadas de derivadas sucessivas. Assim, encontre a derivada de sexta ordem da função f(x) = 3x5 + 8x2 e assinale a alternativa correta:​​​​​​​
f 6(x) = 0.
3) As derivadas sucessivas são chamadas de derivada primeira, derivada segunda, e assim por diante, conforme segue-se com o processo de derivação. O número de vezes que f for diferençável é chamado de ordem da derivada. Nesse contexto, encontre a derivada de segunda ordem da função a seguir e assinale a alternativa correta:
f”(x)=4x-4
4) ​​​​​​​A derivada de segunda ordem de uma função representa a derivada da derivada dessa função e pode ser representada por y'' ou d2ydx2​​​​​​​. Assim, calcule a derivada de segunda ordem da função y = x2(3x + 1) e assinale a alternativa correta:
y'' = 18x + 2. 
5) A derivada de ordem superior pode ser entendida como “a derivada da função derivada”, ou seja, para encontrar, por exemplo, a derivada segunda, basta derivar a função da primeira derivada novamente, e assim por diante. Nesse contexto, calcule a derivada de terceira ordem da função f(x) = (2x + 1) (3x − 2) e assinale a alternativa correta:​​​​​​​
f′′′(x) = 0.
Unidade07 40%
Desafio07
Exercício
1. Sendo y = c1ex + c2e−x  solução geral para y’’ − y = 0, no intervalo (∞, −∞), encontre a solução, tendo os valores iniciais y(0) = 0,  y’(0) = 1.
2)  Determine se as funções f1(x) = x, f2(x) = x2 e f3(x) = 4x − 3x2 são linearmente dependentes ou não dependentes.
Linearmente dependentes com coeficientes c1 = −4, c2 = 3, c3 = 1.
3) Resolva a equação diferencial 2y’’ − 5y’ − 3y = 0.
y = k1e−0,5x + k2e3x
4) Encontre a solução particular para y’' − 5y’ + 4y = 8ex.
5) Considere um circuito LC com e(t) = 0. Determine a carga q(t) no capacitor, se q(0) = q0 e i(0) = 0, sabendo que a equação de malha é 
Unidade08 100%
Desafio08
r(x) = 0,0222.x+5
 Exercício
1) Seja uma função f(x). A reta tangente a essa curva no ponto P é y= 5x+3. Determine a derivada dessa função no ponto P.​​​​​​​
A derivada da função é 5.
2) Determine a derivada da função f(x) = 5x9​​​​​​​. 
F’(x) = 45x8​​​​​​​.
3) Determine a derivada da função f(x)= 4x•(2x²-3).
F’(x) = 24x²-12.
4) Determine a derivada da função f(x)  (3x²+1)/(2x).
f' (x)=  (3x²-1)/2x².
5) Determine a derivada da função f(x) = x³- 4x²+3x+2​​​​​​​.
f' (x)=3x²-8x+3.
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