AULA_REVISÃO DOS CONCEITOS DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

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REVISÃO DOS CONCEITOS DE 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
METROLOGIA E QUALIDADE 
 
 Estatística, para que serve? 
• Ramo da Matemática Aplicada dedicada à análise e 
tomada de decisão com dados observados por meio do 
método científico; 
• Extrai informações dos dados para obter melhor 
compreensão das situações; 
• Embasam decisões mais acertadas; 
• Dispõe de processos apropriados para recolher, 
organizar, classificar, apresentar e interpretar conjuntos 
de dados; 
 Estatística e suas aplicações 
• Análise indutiva (inferência: testes e estimação); 
 
• Verificação (ajustamento, previsão e controle). 
• Técnicas de coleta de dados (amostragem e 
planejamento de experimentos); 
• Apresentação de dados (análise exploratória e 
descrição: tabelas e gráficos); 
• Modelagem (probabilidade e processos estocásticos); 
Variáveis estatísticas 
Variáveis estatísticas 
Variáveis Qualitativas 
• Representam atributos ou qualidades 
 - sexo, estado civil e grau de instrução. 
• Podem ser subdivididas em nominais e ordinais. 
Variáveis não possuem uma ordem natural 
Nominais Ordinais 
Região de procedência 
- Ensino fundamental 
- Ensino médio 
- Ensino superior 
Exemplo: 
- Porto Alegre 
- Bagé 
- Pelotas 
Variáveis apresentam uma ordem intrínseca 
Grau de instrução 
Exemplo: 
Variáveis Quantitativas 
• Representam medidas numéricas 
 - como número de filhos, salário e idade. 
• Podem ser subdivididas em discretas e contínuas. 
Variáveis que resultam de contagens 
Discretas Contínuas 
- Altura 
- Peso 
- Temperatura 
Exemplo: 
- Número de filhos 
- Número de acidentes 
- Número de vitórias 
Variáveis que resultam de uma mensuração 
Exemplo: 
Variáveis estatísticas 
Exemplo de classificação de variáveis 
Fonte: Bussab e Morettin, 2017 
Fonte: adaptado de Bussab e Morettin, 2017 
Variáveis estatísticas 
Distribuições de Frequências 
Distribuições de Frequências 
• São importantes para analisar o comportamento de uma variável; 
• As distribuições de frequências permitem resumir um conjunto 
de dados, fornecendo uma visão global sobre a variável em 
estudo. 
• Existem diferentes formas de apresentar essas distribuições, 
dependendo do tipo de variável. 
 
• Dois exemplos são discutidos a seguir. 
- Tabelas de Frequências 
 
 
 
- Gráficos 
Organizam os dados em categorias ou classes, mostrando a contagem de ocorrências. 
Representações visuais das distribuições, como histogramas e gráficos de barras. 
Distribuições de Frequências 
Tabelas de Frequências 
Fonte: Bussab e Morettin, 2017 
• A tabelas de frequência apresenta contagem (frequência 
absoluta) e a porcentagem (frequência relativa) de cada 
categoria ou classe da variável. 
Exemplo para variáveis qualitativas 
Mostra a distribuição dos funcionários entre os níveis fundamental, médio e superior. 
Tabelas de Frequências 
• A tabela de frequências é semelhante à das variáveis 
qualitativas. 
Exemplo para variáveis quantitativas discretas 
• Cada valor possível da variável é listado com sua 
frequência absoluta e relativa. 
Variáveis discretas 
Distribuições de Frequências 
Tabelas de Frequências 
Exemplo para variáveis quantitativas contínuas 
Variáveis contínuas 
Fonte: Bussab e Morettin, 2017 
• A escolha do número e amplitude das classes é importante para uma 
representação adequada dos dados. 
• É necessário agrupar os dados em classes ou intervalos. 
Distribuições de Frequências 
Gráficos 
• Mais comuns são os gráficos de barras e os gráficos de setores 
(pizza). 
Para variáveis qualitativas 
Usa retângulos com altura proporcional à magnitude a 
ser representada (ni ou fi) de cada categoria. 
Fonte: Bussab e Morettin, 2017 Fonte: Bussab e Morettin, 2017 
Divide um círculo em setores proporcionais às 
frequências relativas. 
Gráficos de barras Gráficos de setores 
Distribuições de Frequências 
Gráficos 
Para variáveis qualitativas 
Fonte: Bussab e Morettin, 2017 Fonte: Bussab e Morettin, 2017 
Gráficos de barras Gráficos de setores 
Características 
- Fácil interpretação 
- Comparação visual rápida 
- Adequado para muitas categorias 
- Menos eficaz para mostrar proporções do todo 
 
Características 
- Ideal para mostrar proporções quando há poucas categorias 
- Difícil comparar setores de tamanho similar ou interpretar 
muitas categorias 
Distribuições de Frequências 
Gráficos 
Para variáveis quantitativas discretas 
• Gráficos de barras ou de dispersão unidimensional. 
• O gráfico de barras é semelhante ao usado para variáveis 
qualitativas. 
Gráficos de dispersão unidimensionais para a variável 
“número de filhos” 
Gráfico em barras para a variável “número de filhos” 
Distribuições de Frequências 
Gráficos 
Para variáveis quantitativas contínuas 
• Os histogramas são gráficos os mais comuns para representar variáveis 
quantitativas contínuas; 
• As barras são contínuas representando intervalos de classe; 
(1) Quando as classes têm amplitudes 
iguais, a altura pode ser simplesmente 
a frequência. 
 
(2) Para classes com amplitudes diferentes, 
usa-se a densidade de frequência para 
manter a proporcionalidade da área. 
A largura das barras deve ser proporcional à 
amplitude das classes 
A altura deve representar a densidade de 
frequência 
Observações 
Fonte: Bussab e Morettin, 2017 
Distribuições de Frequências 
Para variáveis quantitativas contínuas 
A largura das barras deve ser proporcional à 
amplitude das classes 
A altura deve representar a densidade de 
frequência 
Etapas para a construção dos histogramas 
Definir as classes Calcular as frequências Calcular as densidades Construir as barras 
Histogramas 
Fonte: Bussab e Morettin, 2017 
Distribuições de Frequências 
Gráficos 
Gráficos 
Para variáveis quantitativas contínuas 
Histograma dos dados de temperatura 
Existem outros gráficos utilizados para representar variáveis quantitativas, como, por 
exemplo, o Ramo-e-folhas, entre outros. 
Observações 
Gráfico de dispersão unidimensional para os dados de temperatura 
Distribuições de Frequências 
Medidas de posição 
(Tendência central) 
Medidas de posição (Tendência central) 
• As tabelas de frequência e os gráficos fornecem informações 
relevantes sobre o comportamento de uma variável; 
• As medidas de posição são utilizadas para apresentar um ou 
alguns valores que sejam representativos do conjunto de dados; 
• Lembrando que um único valor gera uma redução drástica dos 
dados; 
• As principais medidas de posição (localização) central são 
- Média 
- Mediana 
- Moda 
Medidas de posição (Tendência central) 
Média aritmética 
• É definida pela soma das observações divida pelo número delas. 
𝑋 =
1
𝑛
 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 𝜇 =
1
𝑁
 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1
 
Onde, 
 
 N = é o tamanho da população. 
Onde, 
 
 n = é o tamanho da amostra. 
Amostra População 
Mediana 
• A mediana de um conjunto ordenado de valores é definida 
como sendo o valor que separa o conjunto em dois 
subconjuntos do mesmo tamanho. 
Onde, 
 
 X é a lista ordenada de valores no conjunto de dados 
 n é o número de valores no conjunto de dados 
Medidas de posição (Tendência central) 
𝑚𝑑 𝑋 = 
𝑥 𝑛+1
2
𝑥 𝑛
2
+ 𝑥 𝑛
2+1
2
 
se 𝑛 ímpar; 
se 𝑛 par; 
𝑚𝑑 𝑋 = 
𝑥 𝑛+1
2
𝑥 𝑛
2
+ 𝑥 𝑛
2
+1
2
 
Mediana 
Exemplo 01 
Onde, 
 
X é a lista ordenada de valores no conjunto de dados 
n é o número de valores no conjunto de dados 
Para o conjunto: 15 18 21 32 45 46 49 
A mediana (md) é 32 
n é ímpar 
Para o conjunto: 15 18 21 32 45 46 
n é par 
A mediana (md) é 26,5 
Medidas de posição (Tendência central) 
se 𝑛 ímpar; 
se 𝑛 par; 
Moda 
• Se a variável for qualitativa nominal????? 
• É o valor que mais se repete, mais frequente, de um conjunto de 
valores; 
 
• Existem casos em que pode haver mais de uma moda, ou seja, a 
distribuição dosvalores pode ser bimodal, trimodal, etc. 
Considere o seguinte conjunto de dados: 1 2 2 3 3 4 4 4 7 9 15 
 
A moda é igual a 4. 
Considere os dados de estado civil referentes a um grupo de funcionários de uma 
empresa 
 
 Logo, a moda será o estado civil que mais se repetiu. 
Medidas de posição (Tendência central) 
• Na distribuição de frequência..... 
A moda é igual a 2 faltas. 
• Na distribuição de frequência por classes ou intervalos..... 
A moda é igual a 169,5 cm. 
Medidas de posição (Tendência central) 
Moda 
Medidas de dispersão 
(Variabilidade) 
Desvio médio 
• Utilizado para comparar duas distribuições com igual média e 
saber qual das duas está mais ou menos dispersa; 
• Analisa a dispersão dos dados em torno da média; 
• Representa o afastamento médio dos dados em torno da média 
Amostra População 
i=1 
N 
i=1 
n 
Medidas de dispersão (variabilidade) 
Desvio médio considerando a tabela de frequência 
Amostra População 
i=1 
N 
i=1 
n 
Medidas de dispersão (variabilidade) 
Considerando a seguinte amostra…. 
Qual o valor do desvio médio (DM)? 
i=1 
n 
Exemplo 02 
Medidas de dispersão (variabilidade) 
Desvio médio considerando a tabela de frequência 
Variância 
• É representada por s² (para amostra) e por σ² (para população) 
 
• É definida como sendo “a média aritmética dos quadrados dos 
desvios em relação à média aritmética em termos absolutos”. 
Amostra População 
• A variância mede o quanto os dados estão dispersos em torno 
da média. 
Medidas de dispersão (variabilidade) 
Desvio padrão 
• É uma medida absoluta de dispersão; 
• Descreve o maior ou menor grau de dispersão da distribuição 
com respeito à média aritmética; 
• Permite comparações com a unidade que se está trabalhando; 
• É definido como a raiz quadrada da variância. 
Amostra População 
Medidas de dispersão (variabilidade) 
Calcular a variância e o desvio padrão dos seguintes dados amostrais: 
 
 3 4 0 3 8 6 
Exemplo 03 
𝑋 =
1
𝑛
 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 =
24
6
 =4 
=
3−4 2+ 4−4 2+ 0−4 2+ 3−4 2+ 8−4 2+ 6−4 2
5
 =7,6 
𝑠 = 𝑠2 = 2,76 
Média 
Variância 
Desvio padrão 
Medidas de dispersão (variabilidade) 
Distribuições de probabilidade 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
• Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático 
que relaciona o valor da variável com a probabilidade de 
ocorrência desse valor na população. 
• São fundamentais para modelar e analisar dados de processos 
de qualidade em diversas aplicações industriais e de engenharia. 
Lembrando...... 
Amostra 
População 
Uma coleção de medições selecionadas de alguma fonte ou população maior. 
É um subconjunto da população selecionado para representar a totalidade e 
permitir inferências sobre a população 
Discretas 
Contínuas 
• Existem dois tipos de distribuições de probabilidade. 
Fonte: Montgomery, 2016 
Fonte: Montgomery, 2016 
A variável sendo medida é expressa em uma escala contínua 
Quando o parâmetro sendo medido só pode assumir 
certos valores, como os inteiros 0, 1, 2, 
Exemplo: 
 
A distribuição de probabilidade da espessura da camada de metal 
Exemplo: 
 
Distribuição do número de não conformidades ou defeitos em 
placas de circuito impresso 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
Discretas 
• Existem dois tipos de distribuições de probabilidade. 
Fonte: Montgomery, 2016 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
Definição: Seja X uma variável aleatória discreta. A cada 
possível resultado xi associaremos um número pi = P(X = xi), 
denominado probabilidade da variável aleatória X assumir o valor 
xi , satisfazendo as seguintes condições: 
A função P é denominada função de 
probabilidade. 
Discretas 
• Existem dois tipos de distribuições de probabilidade. 
Fonte: Montgomery, 2016 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
Definição: Dada uma variável aleatória discreta X, definimos 
F(x) a função de distribuição acumulada ou, simplesmente, 
função de distribuição (f.d) de X, dada por: 
Média de uma distribuição de probabilidade 
• É uma medida da tendência central na distribuição, ou sua 
localização; 
• Para o caso de uma variável aleatória discreta com 
exatamente N valores igualmente prováveis 
𝑝 𝑥𝑖 =
1
𝑁
 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
• É o ponto no qual a distribuição exatamente “se equilibra” 
(centro de massa da distribuição de probabilidade) 
Média de uma distribuição de probabilidade 
The mean of a distribution 
Fonte: Montgomery, 2016 
Não é necessariamente o quinquagésimo 
percentil da distribuição (mediana) 
Não é necessariamente o valor mais 
provável da variável (moda). 
A média simplesmente determina a 
localização da distribuição 
Fonte: Montgomery, 2016 
Ou seja, Two probability distributions with different means. 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
• A dispersão, espalhamento ou variabilidade em uma 
distribuição é expressa pela variância σ². 
Variância de uma distribuição de probabilidade 
• Para o caso de uma variável aleatória discreta com 
exatamente N valores igualmente prováveis 
a variância é a distância quadrática média de cada 
membro da população em relação à média 
Neste caso 
A variância é expressa no 
quadrado das unidades da 
variável original. 
Se não há variabilidade na 
população, σ²= 0. 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
Desvio padrão de uma distribuição de probabilidade 
• O desvio padrão é a raiz quadrada da variância; 
Fonte: Montgomery, 2016 
Two probability distributions with the same mean but 
different standard deviations. 
• É uma medida de dispersão ou espalhamento na população 
expressa nas unidades originais; 
• Um desvio padrão maior indica uma maior dispersão dos 
dados em torno da média. 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
Distribuições discretas importantes 
• Várias distribuições de probabilidade discretas surgem 
frequentemente no controle estatístico de qualidade. 
- distribuição hipergeométrica 
- distribuição binomial 
- distribuição de Poisson 
- distribuição Pascal ou binomial negativa. 
São elas: 
É interessante revisar as 
distribuições discretas de 
probabilidade 
Dica 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
(1) Distribuição binomial 
Distribuições discretas importantes 
• Considere um processo que consiste em uma sequência de n 
tentativas independentes. 
• Por ensaios independentes, 
 
- queremos dizer que o resultado de cada tentativa não depende de forma 
alguma do resultado de tentativas anteriores. 
• Quando o resultado de cada tentativa é um “sucesso” ou um 
“fracasso”, as tentativas são chamados ensaios de Bernoulli. 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
(1) Distribuição binomial 
Distribuições discretas importantes 
Se a probabilidade de “sucesso” em qualquer tentativa (p) for 
constante, então o número de “sucessos” x em n tentativas de 
Bernoulli tem a distribuição binomial com os parâmetros n e p 
A distribuição binomial com parâmetros n ≥ 0 e 0 0. A média e a variância de uma 
distribuição binomial são 
e 
A distribuição de Poisson é 
Descrevendo a variação:Distribuições de probabilidade 
(2) Distribuição de Poisson 
Distribuições discretas importantes 
• É uma distribuição discreta útil no controle estatístico da 
qualidade. 
• Uma aplicação típica da distribuição de Poisson no controle 
de qualidade é como modelo do número de defeitos ou não 
conformidades que ocorrem em uma unidade de produto. 
• Qualquer fenômeno aleatório que ocorre por unidade é 
frequentemente bem aproximado pela distribuição de Poisson. 
unidade de área, unidade de volume, unidade de tempo, etc. 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
(2) Distribuição de Poisson 
Distribuições discretas importantes 
À medida que o parâmetro aumenta... 
 
 
a distribuição de Poisson torna-se 
simétrica na aparência. 
Poisson probability distributions for selected values of λ. 
Fonte: Montgomery, 2016 
Tem uma cauda longa para a direita 
Numa distribuição binomial com parâmetros n e p, se deixarmos n aproximar-se 
infinito e p se aproximam de zero de tal forma que np = λ é uma constante, então o 
resultado é a distribuição de Poisson. 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
Distribuições contínuas importantes 
• Várias distribuições de probabilidade são importantes no 
controle estatístico de qualidade. 
- distribuição normal 
- distribuição gamma 
- distribuição lognormal 
- distribuição de Weibull 
São elas: 
É interessante revisar as 
distribuições contínuas de 
probabilidade 
Dica 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
(1) Distribuição Normal 
Distribuições contínuas importantes 
• É provavelmente a distribuição mais importante tanto na 
teoria quanto na aplicação de estatísticas; 
Se x é uma variável aleatória normal, então a distribuição de 
probabilidade normal de x é 
 A média e a variância de uma distribuição normal são 
 e 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
(1) Distribuição Normal 
Distribuições contínuas importantes 
• A distribuição normal é tão usada que frequentemente 
empregamos uma notação especial. 
Indica que x é normalmente distribuído com média µ e variância 𝜎2 
Curva simétrica, unimodal ou em forma de sino 
Fonte: Montgomery, 2016 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
(1) Distribuição Normal 
Distribuições contínuas importantes 
• A distribuição normal acumulativa é definida como a 
probabilidade que uma variável aleatória x é menor ou igual a 
soma do valor a. 
Como essa integral não pode ser avaliada na forma fechada...... 
......utilizando a mudança de variável a avaliação pode ser feita 
independente do µ e 𝜎2 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
Distribuições contínuas importantes 
(1) Distribuição Normal 
Onde, 
 é a função de distribuição normal padrão acumulada 
(média = 0, desvio padrão = 1). 
• A distribuição normal padrão acumulada é disponibilizada 
em tabelas; 
• É geralmente chamada de padronização, porque ela converte 
uma variável aleatória em uma variável 
aleatória 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
Distribuições contínuas importantes 
(1) Distribuição Normal 
A resistência à tração do papel usado para fazer sacolas de supermercado é uma importante 
característica de qualidade. Considerando que tensão (x) é normalmente distribuída com média 
O comprador das sacolas exige que elas tenham uma resistência de pelo menos 35 lb/in². Calcule 
a probabilidade de que as sacolas sejam produzidas deste documento atenderão ou excederão as 
especificações. 
Exemplo 05 
e desvio padrão . 
Solução: 
A probabilidade de que uma sacola produzida com este papel atenda ou exceder a especificação é 
Para avaliar esta probabilidade a partir das tabelas normais padrão, padronizamos o ponto 35 e 
encontramos 
Ou seja, 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
Distribuições contínuas importantes 
(1) Distribuição Normal 
Exemplo 05 
. 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
Fonte: Montgomery, 2016 
Distribuições contínuas importantes 
(1) Distribuição Normal 
Exemplo 06 
. 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
O diâmetro de um eixo de metal usado em uma unidade de disco é normalmente distribuído com 
média 0,2508 pol. e desvio padrão 0,0005 pol. As especificações do eixo foram estabelecidas como 
0,2500 ± 0,0015 pol. Qual fração dos eixos produzidos está em conformidade com as 
especificações? 
Solução: 
Distribuições contínuas importantes 
(1) Distribuição Normal 
. 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
Solução: 
Suponha que possamos recentrar o processo de fabricação, talvez ajustando a máquina, 
para que a média do processo é exatamente igual ao valor nominal de 0,2500. 
Fonte: Montgomery, 2016 
Exemplo 06 
Distribuições contínuas importantes 
(1) Distribuição Normal 
Descrevendo a variação: Distribuições de probabilidade 
Teorema do Limite Central. 
 
A distribuição normal é frequentemente assumida como o modelo de 
probabilidade apropriado para uma variável aleatória. 
Na seleção de uma amostra de uma população qualquer com média µ e desvio 
padrão σ, a distribuição amostral de 𝑥 é aproximadamente normal com média µ 
e desvio padrão 𝜎/ 𝑛 quando n é grande. A distribuição reduzida é dada por: 
pode-se afirmar que a distribuição de erros experimentais tende para a 
normalidade quando n é grande 
Referências 
Partes desta aula foram retiradas das seguintes fontes bibliográficas: 
 
MONTGOMERY, D.C. Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade. Rio de 
Janeiro - RJ: LTC, 2016. 
 
BUSSAB, Wilton de O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística básica. 9. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2017. 554 p., il. Inclui índice remissivo e tabelas. ISBN 978-85-
472-2022-8. 
 
Teoria e prática em estatística para cursos de graduação F. C. W. Sindelar, S. M. 
de Conto, L. Ahlert - Lajeado : Editora da Univates, 2014