Matemática 4 UFSC

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Inclusão para a vida Matemática D 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 1
AULA 01 
 
REGRA DE TRÊS 
 
1. Grandezas diretamente proporcionais 
 
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando 
aumentando uma delas implicar o aumento da outra na mesma 
razão. 
 
Exemplo: 1 kg de alimento custa R$ 15,00 
 3 kg de alimento custam R$ 45,00 
 5kg de alimento custam R$ 75,00 
 
2. Grandezas inversamente proporcionais 
 
Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando 
aumentando uma delas implicar a diminuição da outra na mesma 
razão. 
 
Exemplo: 2 pessoas constroem 1 obra em 18 dias 
 4 pessoas constroem a mesma obra em 9 dias 
 6 pessoas constroem a mesma obra em 6 dias 
 
3. Aplicações – Regra de Três 
 
3.1. Regra de Três Simples 
 
Regra de Três Simples é um processo matemático mediante o 
qual podemos resolver problemas do cotidiano envolvendo 
“duas” grandezas, sejam elas direta ou inversamente 
proporcionais. Dito processo consiste no seguinte: 
 
 Identificar as grandezas envolvidas no problema. 
 Nas situações dadas (em relação às mesmas) dispô-las 
em colunas. 
 Verificar se são GDP ou GIP. 
 Montar a proporção correspondente. 
 Resolver a proporção. 
 
3.2. Regra de Três Composta 
 
Regra de três composta é um processo matemático mediante o 
qual podemos resolver problemas do cotidiano, envolvendo três 
ou mais grandezas. O processo é semelhante ao caso anterior 
(Regra de três simples), levando em consideração apenas o item 
da verificação quanto a GDP ou GIP, que deve ser feito assim: 
analisar as grandezas duas a duas, sempre em relação à que 
possui a variável. A montagem e resolução da proporção segue o 
mesmo roteiro do caso anterior (Regra de Três Simples). 
 
PORCENTAGEM 
 
4. Porcentagem 
 
As razões cujos denominadores são iguais a 100 são chamadas 
razões centesimais. 
Exemplo: ;
100
27
;
100
13
 etc. 
 
4.1.Noção Intuitiva 
“O índice de analfabetismo da cidade x é de 23% (lê-se 23 por 
cento)”. Significa que, em média, 23 de cada 100 habitantes são 
analfabetos. 
4.2.Cálculo de uma porcentagem 
 
Exemplo: 25% de R$ 80,00 é R$ 20,00” 
 pois 25% = 
100
25
= 0,25 
 Logo 25% de R$ 80,00 = 0,25.80,00 = 20,00 
 
4.3. Definição 
 
Porcentagem é uma razão centesimal que é representada pelo 
símbolo % que significa “por cento”. 
Exercícios de Sala  
 
01) Se 12Kg de um certo produto custa R$ 600,00, qual o 
 preço de 25Kg do mesmo produto? 
 
02) Sabendo que 36 operários conseguem construir uma 
 casa em 30 dias, se dispomos apenas de 12 desses 
 operários, em quanto tempo será construída a mesma 
 casa? 
 
03) Calcular 
 
 a) 60% de 30 b) 30% de 20 
 c) 20% de 300 d) 20% de 20% 
 e) (20%)2 f) %4 
 
04) Numa cidade, 240 000 jovens representam 30% da 
população. Então a população da cidade é de: 
 
a) 500 000 habitantes b) 600 000 habitantes 
c) 700 000 habitantes d) 800 000 habitantes 
e) 900 000 habitantes 
Tarefa Mínima  
 
01) Se trinta litros de um combustível custam R$ 16,95, 
 quantos custarão oitenta litros do mesmo combustível? 
 
02) Se 14 pedreiros levam 180 dias para construir uma 
 casa, quanto tempo levarão para construí-la 10 
 pedreiros? 
 
03) Um acampamento com 80 pessoas tem suprimento 
 para dez dias. Sabendo-se que chegaram mais vinte 
 soldados, pergunta-se: para quantos dias terão 
 suprimentos, considerando-os inalteráveis? 
 
04) Calcular as seguintes porcentagens: 
 
a) 25% de 80 b) 4% de 50 
c) 120% de 200 d) 0,15% de 400 
e) 20% de 30% f) (5%)2 
 g) %49 
 
05) Numa sala de 80 alunos, 24 alunos foram aprovados. 
 A porcentagem de reprovação foi de: 
 
a) 30% b) 40% c) 50% 
d) 60% e) 70% 
 
06) ( UFSC) Ao vestibular de 1982 da UFSC, 
 inscreveram-se 15.325 candidatos, dos quais 14.099 
 concluíram todas as provas. O percentual de abstenção 
 foi: 
Matemática D Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 2
07) Qual o preço de uma mercadoria que custava R$ 80,00 
 e teve um aumento de 40%? 
a) 110,00 b) 112,00 c) 114,00 
d) 116,00 e) 98,00 
 
08) (CESCEM-SP ) 3% de 0,009 vale: 
 
 a) 0,00027 b) 0,0027 c) 0,00009 
 d) 0,009 e) n.d.a. 
Tarefa Complementar 
 
09) ( UNIMEP-SP ) Se dois gatos comem dois ratos em 
 dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são 
 necessários: 
 
 a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos 
 d) 5 gatos e) 6 gatos 
 
10) Dezesseis operários trabalhando seis horas por dia 
 constroem uma residência em cento e oitenta dias. 
 Quantos operários serão necessários para fazer a 
 mesma residência, trabalhando oito horas por dia 
 durante cento e vinte dias? 
 
a) 18 b) 10 c) 19 
d) 20 e) 21 
 
11) Durante 11 dias, 15 cavalos consomem 2200 kg de 
 alfafa. Retirando-se 7 cavalos, 1280 kg de alfafa serão 
 consumidos em quantos dias? 
 
a) 12 b) 13 c) 14 
d) 15 e) 16 
 
12) ( UFSC ) Com uma lata de tinta é possível pintar 50 
 m2 de parede. Para pintar uma parede de 72m2, 
 gasta-se uma lata e mais uma parte de uma segunda 
 lata. A parte que se gasta da segunda lata, em 
 porcentagem, é: 
 
13) ( UFSC ) Pedro investiu R$ 1.500,00 em ações. Após algum 
tempo, vendeu essas ações por R$ 2.100,00. Determine o 
percentual de aumento obtido em seu capital inicial. 
14) ( UFSC ) Um reservatório contendo 120 litros de água 
 apresentava um índice de salinidade de 12%. Devido à 
 evaporação, esse índice subiu para 15%. Determinar, 
 em litros, o volume de água evaporada. 
 
15) ( UFSC ) Assinale a soma dos números associados à(s) 
proposição(ões) CORRETA(S). 
 01. Um investidor tem seu dinheiro aplicado a 2% ao 
 mês. Deseja comprar um bem no valor de R$ 
 100.000,00, que pode ser pago a vista ou em três 
 parcelas de R$ 34.000,00, sendo a primeira de 
 entrada e as outras em 30 e 60 dias. Ele sairá 
 lucrando se fizer a compra parcelada. 
 02. Obter 7 acertos numa prova de 12 questões é um 
 desempenho inferior a obter 6 acertos numa 
 prova de 10 questões, porém superior a obter 5 
 acertos numa prova de 9 questões. 
 04. Duplicando-se o lado de um triângulo eqüilátero, 
 sua área fica também duplicada. 
 08. Se 2 impressoras trabalhando 10 horas por dia 
 levam 5 dias para fazer determinado trabalho, 
 então 3 impressoras (com a mesma eficiência das 
 anteriores) trabalhando 8 horas por dia levarão 6 
 dias para fazer o mesmo trabalho. 
 AULA 02 
 
FATORIAL 
 
 Dado um número natural, denomina-se fatorial de n e indica-se 
por n! a expressão: 
 
 n! = n.(n  1) . (n  2) . (n  3). ......... . 3 . 2 . 1 
 
 Assim temos: 
 
 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 
 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 
 3! = 3. 2. 1 = 6 
 2! = 2. 1 = 2 
 
 1! = 1 e 0! = 1 (conceito primitivo) 
 
Observação: Podemos desenvolver um fatorial até um fator 
conveniente. Veja: 
 
 8! = 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 8. 7. 6. 5. 4! 
 
 4! 
 6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 6. 5! 
 
 5! 
 n ! = n. (n  1).(n  2) ! 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA 
CONTAGEM – FÓRMULA DO ARRANJO 
 
1. Princípio Fundamental da Contagem 
 
O princípio fundamental da contagem, ou princípio 
multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de 
um determinado evento, sem que haja a necessidadede descrever 
todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma: 
 
Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e 
independentes de modo que: 
 
E1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa 
E2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa 
 : 
 : 
En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa 
 
 
Então E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades do 
evento ocorrer. 
 
2. Arranjo 
 
Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}. Vamos 
agora montar os pares ordenados a partir do conjunto K. 
 
 (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3; 4); 
 (2, 1); (3, 1); (4, 1); (3, 2); (4, 2); (4, 3) 
 
Observe que esses agrupamentos diferem 
 
 Pela natureza dos elementos componentes: 
 (2, 3)  (1,4) 
 Pela ordem dos elementos: 
 (1, 3)  (3, 1) 
Inclusão para a vida Matemática D 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 3
A esses tipos de agrupamentos denomina-se ARRANJO de n 
elementos tomados p a p, e é indicado por 
. 
 
 
Definição: Denomina-se arranjo de n elementos tomados p a p 
cada grupo ordenado de p elementos escolhidos entre n 
disponíveis. 
 
FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DO ARRANJO 
 
 ARRANJO COM REPETIÇÃO 
 
 A* n,p = np 
 
Exemplo: Considere o conjunto K = {2, 3, 4, 5, 6}. Quantos 
números de 3 algarismos podemos formar a partir de K ? 
Resolução: A*5, 3 = 53 = 125 
Logo, podemos formar 125 números de 3 algarismos. 
 
 ARRANJO SEM REPETIÇÃO (SIMPLES) 
 
 
 Anp
n 
n p

   
 
 
Exemplo: Considerando o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5}. Quantos 
números de 3 algarismos sem repetição podem ser formados? 
 
Resolução: A5,3 = 
5
5 3
5 4 3 2
2
60

 
   
   
 
Logo, podemos formar 60 números de 3 algarismos distintos. 
 
Exercícios de Sala  
 
01) Calcular o valor de 
 
 a) 
10
8

 b) 11!
11!12!
 
 
02) Resolver as equações: 
 
 a) (n  3) ! = 720 b)   
n
n

 
3
1
20 
 
03) Quatro seleções de futebol (Brasil, Espanha, 
 Portugal e Uruguai) disputam um torneio. 
 Quantas e quais são as possibilidades de 
 classificação para os dois primeiros lugares? 
 
04) Quantas placas para identificação de veículos 
 podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 
 algarismos? (Considere 26 letras, supondo que 
 não há nenhuma restrição.) 
 
05) Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 
 Quantos números com quatro algarismos 
 distintos podemos formar a partir do conjunto K? 
 
 
Tarefa Mínima  
 
01) Calcular 
5
3 2

  . 
 
 
02) Resolver as equações abaixo: 
 
 a) (n - 4)! = 120 b) (4x - 6)! -120 = 600 
 
 c) (n - 2)! = 720 
03) Ache a solução da equação 
 x
x

 
1
3
12

  
 
04) Dum ponto A a um ponto B existem 5 
 caminhos; de B a um terceiro ponto C existem 6 
 caminhos; e de C a um quarto ponto D existem 
 também 6 caminhos. Quantos caminhos existem 
 para ir do ponto A ao ponto D? 
 
 a) 17 b) 30 c) 180 d) 680 e) 4080 
 
05) Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 
 participantes e serão atribuídos dois prêmios, um 
 para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De 
 quantas maneiras poderão ser distribuídos esses 
 prêmios? 
 
 a) 199 b) 200 c) 4.950 
 d) 9.900 e) 10.000 
 
06) Telefones de uma cidade possui 6 dígitos 
 (1ºnunca é zero). Supondo que a cidade 
 passe a ter 7 dígitos. Qual o aumento no número 
 de telefones? 
 
 a) 81.105 b) 8100 c) 90000 d) 90.103 
 
Tarefa Complementar  
 
07) Qual o valor de n que satisfaz a equação 
 
 n n
n
 
 
1
2
5
 
  
 
08) Quantas soluções possui a equação (x – 2)! = 1 
 
09) ( UFPA ) Simplificando 
  
 
n n
n
 

1
2
 obtém-se: 
 a) 
1
2n  b) n + 1 
 c) n+2 d) 
1
1n  
 e) n 
 
10) ( FSBEF-DF ) Sendo 
  
 
m m
m

 
1
2
1
10
 e tendo em 
 vista que m > 0, o valor de m é: 
 
 
 
 
Matemática D Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 4
11) Se (n  6)! = 720, então n é igual a: 
 
12) ( F. Dom Bosco-DF ) A expressão 3! 2! 2! É 
 equivalente à expressão: 
 
 a) 12! b) 7! c) 5! d) 5! e) 4! 
 
13) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 
 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam 
 palpites sobre os países que se classificariam 
 nos três primeiros lugares Se, em cada 
 tampinha, os três países são distintos, quantas 
 tampinhas diferentes poderiam existir? 
 
 a) 69 b) 2.024 
 c) 9.562 d) 12.144 
 e) 13.824 
 
14) ( UECE ) A quantidade de números inteiros 
 compreendidos entre os números 1000 e 4500 
 que podemos formar utilizando somente os 
 algarismos 1, 3, 4, 5 e 7, de modo que não 
 figurem algarismos repetidos, é: 
 
15) ( PUC-SP ) Chamam-se “palíndromos” os números 
 inteiros que não se alteram quando é invertida a ordem 
 de seus algarismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O 
 número total de palíndromos com cinco algarismos é: 
 
 a) 450 b) 1000 
 c) 900 d) 2500 
 e) 5000 
 
 AULA 03 
 
TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE II - 
PERMUTAÇÕES 
 
Quando fazemos arranjos de n elementos tomados n a n, sem 
repetição, estamos montando grupos com todos os elementos 
disponíveis. Dizemos que esse tipo de Agrupamento é 
denominado PERMUTAÇÃO de n elementos, e é indicado por 
Pn. Considere, então, o conjunto K = {1, 2, 3}. As permutações 
com esses elementos são: 
 
(1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2), 
(3, 2, 1). 
 
FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DA PERMUTAÇÃO 
 
 PERMUTAÇÃO SIMPLES 
 
 Pn = n! 
 
Exemplo 1: Quantos números de 4 algarismos 
distintos podemos formar com os números usando-se os 
algarismos { 2, 5, 6, 7}. 
 
Resolução: P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 
 
Logo, pode-se formar 24 números com 4 
algarismos distintos. 
 
Exemplo 2: Calcule o número de anagramas da palavra 
VASCO. 
 
Resolução Cada anagrama é uma permutação das letras V, A, S, 
C, O. Como são 5 letras distintas, o número de anagramas é dado 
por: 
 
 P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
 
Logo, pode-se formar 120 anagramas com as letras 
da palavra VASCO. 
 
 PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO 
 
Vamos considerar um conjunto com n elemento, dos quais um 
dos elementos repete  vezes, outro  vezes e assim por diante, 
até que um elemento repita  vezes. O número de permutações 
possíveis é dado pela expressão: 
 
 Pn ....
n       

   
 
 
Exemplo: Quantos anagramas pode-se formar com as letras da 
palavra ARARA. 
 
Resolução: n = 5  = 3  = 2 
 P53, 2 = 
5
3 2

  =10 
 
Logo, pode-se formar 10 anagramas com as letras 
da palavra ARARA. 
 
TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE III - 
COMBINAÇÕES 
 
Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}. 
 
Vamos montar agora os subconjuntos com dois destes 
elementos. 
{1, 2}; {1, 3}; {1, 4}; {2, 3}; {2, 4}; {3, 4}. 
 
Observe que esses agrupamentos diferem 
 
 Apenas pela natureza dos elementos componentes: {1, 2}  
{1, 4} 
 Mas não diferem pela ordem: {1, 3} = {3, 1} 
 
A esses tipos de agrupamentos denomina-se COMBINAÇÃO de 
n elementos tomados p a p, e é indicado por 
Cn p ou Cn
p . 
 
Definição: Denomina-se combinação de n elementos p a p todo 
subconjunto de p elementos. 
 
FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA COMBINAÇÃO 
 
O número de combinações simples dos n elementos tomados p ap é dado pela expressão: 
 
 Cn p
n 
n p p

    
 
 
Exemplo: Quantas comissões de 3 pessoas podemos formar com 
um grupo de 10 pessoas. 
 
Inclusão para a vida Matemática D 
 
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Resolução: As comissões são subconjuntos de 3 pessoas 
escolhidas entre as 10, logo: 
 
 C10,3 = 
10
10 3 3
10 9 8 7
7 3 21

  
   
     120 
 
Logo, podemos formar 120 comissões de 3 pessoas 
com um grupo de10 pessoas. 
 
Exercícios de Sala  
 
01) Quantos são os anagramas das palavras: 
 
 a) ROMA 
 b) ESCOLA 
 c) BANANA. 
 d) MATEMATICA 
 
02) Quantos são os anagramas da palavra MÉXICO 
 em que aparecem as letra E e X sempre juntas? 
 
03) Quantas comissões de 2 pessoas podem ser 
 formadas com 5 alunos (A,B,C,D,E) de uma 
 classe? 
 
04) Marcam-se 8 pontos distintos numa circunferência. 
 Quantos triângulos com vértices nesses pontos podemos 
 obter? 
Tarefa Mínima  
 
01) Quantos números de 4 algarismos distintos 
 podemos formar com os números usando-se os 
 algarismos { 1, 3, 8, 9}. 
 
02) Quantos números diferentes obteremos, 
 permutando os algarismos do número 336.223? 
 
03) Quantos são os anagramas da palavra SAPO? 
 
04) Determine os número de anagramas da palavra 
 CARCARÁ? (não considere o acento) 
 
05) O valor de x em Cx,3 = 35, é: 
 
a) 12 b) 10 c) 7 
d) 8 e) 9 
 
06) Quantas comissões constituídas por 4 pessoas 
 podem ser formadas com 10 alunos de uma 
 classe? 
 
a) 210 b) 120 c) 240 
d) 100 e) 200 
 
07) Numa circunferência são tomados 8 pontos 
 distintos. Ligando-se dois quaisquer desses 
 pontos, obtém-se uma corda. O número total de 
 cordas assim formadas é: 
Tarefa Complementar  
 
08) Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, 
 sejam as afirmações: 
 
 I. O número total deles é 720. 
 II. O número dos que terminam com a letra A é 
 25. 
 III. O número dos que começam com EN é 24. 
 
 Então apenas: 
 
 a) a afirmação I é verdadeira. 
 b) a afirmação II é verdadeira. 
 c) a afirmação III é verdadeira. 
 d) as afirmações I e II são verdadeiras. 
 e) as afirmações I e III são verdadeiras. 
 
09) ( CEFET-PR ) O número de anagramas da 
 palavra NÚMERO, em que nem as vogais nem 
 as consoantes fiquem juntas, é: 
 
a) 12 b) 36 c) 48 
d) 60 e) 72 
 
10) ( PUC-SP ) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e 
 Ernesto querem formar uma sigla com cinco 
 símbolos, onde cada símbolo, é a primeira letra 
 de cada nome. O número total de siglas 
 possíveis é: 
 
11) Considere um grupo de 3 moças e 4 rapazes. O 
 número de comissão de 4 membros, de modo 
 que em cada comissão figure pelo menos um 
 rapaz, é: 
 
12) Os presentes a determinada reunião, ao final da 
 mesma, cumprimentam-se mutuamente, com 
 aperto de mão. Os cumprimentos foram em 
 número de 66. O número de pessoas presentes 
 à reunião é: 
 
13) ( ACAFE ) Diagonal de um polígono convexo é o 
 segmento de reta que une dois vértices não 
 consecutivos do polígono. Se um polígono 
 convexo tem 9 lados, qual é o seu número 
 total de diagonais? 
 
a) 72 b) 63 c) 36 
d) 27 e) 18 
 
14) ( UFRN ) Se o número de combinações de n + 2 
 elementos 4 a 4 está, para o número de 
 combinações de n elementos 2 a 2, na razão de 
 14 para 3, então n vale: 
 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 
 
 
 AULA 04 
 
NÚMEROS BINOMIAIS 
 
Dados dois números naturais n e p, denomina-se número 
binomial de n sobre p e indicado por 
n
p



 ao número definido 
por: 
 
 



p
n
 = 
p)!(np!
n!
 com n  N, p  N e n  p 
 
Podemos concluir de imediato que: 
 
Matemática D Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 6
a 
n
0
1 b) 
n
1
n c) 
n
n
1 

 



 



  
 
NÚMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES 
 
Dois números binomiais de mesmo numerador são chamados 
complementares quando a soma dos denominadores (classes) é 
igual ao numerador 
 
Exemplos: 
 a)
n
p
 e 
 n
n p



 



 b) 
5
2
 e 
5
3







 
 
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS 
 
1ª) Dois números binomiais complementares são 
 iguais. 
 Então se 
n
k
n
p
k p
ou
k p n



 



 

 



 
 
2ª RELAÇÃO DE STIFFEL 
 
 
n 1
p 1
n 1
 p
n
p





 



 



 
 
 Veja que 
5
3
5
4
6
4



 



 



 
 
 
TRIÂNGULO DE PASCAL 
 
Vamos dispor agora os números binomiais em um triângulo, de 
forma que os binomiais de mesmo numerador fiquem na mesma 
linha, e os binomiais de mesmo denominador fiquem na mesma 
coluna. 
 
 col 0 col 1 col 2 col 3 col 4 col 5 col 6 
l in h a 0 
0
0
 
 
1
0
 
1
1
lin h a 2 
2
0
 
2
1
 
2
2
lin h a 3 
3
0
 
3
1
 
3
2
 
3
3
lin h a 4 
4
0
 
4
1
 
4
2
 
4
3
 
4
4
 
5
0





























































l in h a 
lin h a 5 
1



















































 
5
1
 
5
2
 
5
3
 
5
4
 
5
5
 lin h a 6 
6
0
6
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
 
                                                
 
Substituindo cada binomial pelo respectivo valor, temos: 
 
 
 
PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL 
 
 PRIMEIRA PROPRIEDADE 
Todos os elementos da 1ª coluna são iguais a 1. 
 
 SEGUNDA PROPRIEDADE 
 O último elemento de cada linha é igual a 1. 
 
 TERCEIRA PROPRIEDADE 
Numa linha qualquer dois binomiais eqüidistantes dos 
extremos são iguais. (binomiais complementares) 
 
 QUARTA PROPRIEDADE 
Cada binomial 
n
p



 da linha n é igual à soma de dois binomiais 
da linha (n - 1); aquele que está na coluna p com aquele que está 
na coluna (p - 1). 
 






 

p
n
p 
1n
1p
1n
 
 
 
 
 QUINTA PROPRIEDADE 
 
 A soma dos elementos da linha do numerador n é igual a 2n. 
 
Linha 0 1 = 20 
Linha 1 1 + 1 = 21 
Linha 2 1 + 2 + 1 = 22 
Linha 3 1 + 3 + 3 + 1 = 23 
 
De uma forma genérica podemos escrever: 
 
Exercícios de Sala  
 
01) Calcule A, sendo A = 
4
0
8
2
9
7
10
1



 



 



 



 
 
02) Ache o conjunto solução da equação 
n 


 
3
2
21
 
 
 
03) Calcule o valor de: 
a) 




7
0
7
p p
 b)



10
0
10
p p
 c) 




8
3
8
p p
 
 
 
Inclusão para a vida Matemática D 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 7
 
 
04) Resolva a equação: 









x
15
5
14
4
14
 
 
Tarefa Mínima  
 
01) Calcule E, sendo E = 
5
2
3
3
5
0
7
1



 



 



 



 . 
 
02) ( UECE ) A soma das soluções da equação 
 
18
6
18
4 1



  




 
x
é 
 
 a) 8 b) 5 c) 6 d) 7 
 
03) ( PUC-SP ) A soma dos valores que m pode assumir na 
 igualdade: 
 17
m 1
 17
2m 6



  



 
04) Calcule 
5
0
5
pp



 
 
05) Resolva a equação: 
8
6
8
7
9
3



 



  



x 
 
06) ( Mack-SP ) O valor de 
 
 
7
2
7
3
7
4
7
5
7
6
7
7



 



 



 



 



 



 é: 
 
 a) 128 b) 124 c) 120 d) 116 e) 112 
 
Tarefa Complementar  
 
07) ( Mack-SP ) Considere a seqüência de afirmações: 
 
 . . .                                   
15 15 15 15 15 15
I II III
1 3 2 13 3x 6
 
 
 Associando V ou F a cada afirmação, conforme seja 
 verdadeira ou falsa, tem-se: 
 
 a) F, F, V b) F, V, V 
 c) F, V, F d) F, F, F 
 e) V, V, V 
08) ( Fatec-SP ) Calcule E de modo que E p 1
n 1
n 1
p 1
 





 
 onde p, n  N* e p < n 
 
n
o
n n n
n
n
p
n n


 



 



 



 



 1 2 2 2 ou 
 
p=0
n
 
09) ( U.C.-MG ) O resultado de 
8
2
6
pp



 é igual a: 
 
 a) 216 b) 238 c) 240 d) 247 e) 256 
 
10) ( Unesp-SP ) Seja num número natural tal que 
 
10
4
10
1
11
4



  



 




 
n
. Então: 
 
 a) n = 5 b) n = 4 c) n = 3 d) n = 2 
 
11) ( FGV-SP ) Sabendo-se que 
 
m
p
x e y



 



 




m +1
p +1
 entao 
 m
p +1
 é: 
 
 a) x + y b) x - y c) y - x d) x - p e) y - p 
 
 
 AULA 05 
 
BINÔMIO DE NEWTON 
 
 Observe abaixo os desenvolvimentos: 
 
 (a + b)0 = 1 
 (a + b)1 = 1a + 1b 
 (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 
 (a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3 
 (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 
 (a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5 
 
Observe que: 
O número de termos do desenvolvimento de (a + b)n é 
 n + 1. 
Os coeficientes dos termos do desenvolvimento de (a + b)n 
formam o triângulo de Pascal. 
Os expoentes de a decrescem de n a 0, e os expoentes de b 
crescem de 0 a n. 
A soma dos expoentes de a e b é sempre igual a n 
 
Com base nessas observações podemos generalizar o 
desenvolvimento de (a + b)n. Veja: 
 
  a b n b n b n b n
n
bn n n  

 



 



  





0 1 2
0 1 2 2 0 a a a an n-1
 
Um termo qualquer do desenvolvimento de (a + b)n é dado pela 
expressão: 
 
 Tp 1
n
p a
n p bp  



  
 
Exercícios de Sala  
 
01) Desenvolver o binômio (x + 2)4 
 
02) Determinar o 5º termo do desenvolvimento de 
 (x + 2)6. 
 
 
Matemática D Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 8
03) Determinar o termo independente no desenvolvimento 
 de (2x + 3)4. 
 
04) A soma dos coeficientes do desenvolvimento do 
 binômio (4x  3y)6 
 
Tarefa Mínima  
 
01) Determinar o coeficiente numérico do 4º termo no 
 desenvolvimento de (x + 2)7. 
 
02) Achar o termo independente de x no desenvolvimento 
 de (2x  1)6. 
03) Se a soma dos coeficientes do binômio  a b m 1 é 
 64, então o valor de m é: 
 
04) ( UEL-PR ) Para qualquer valor natural de n, o número 
 de termos do binômio (x + a)n é: 
 
 a) n + 1 b) n c) n - 1 d) par e) ímpar 
 
05) ( UFRN ) A soma dos coeficientes dos termos do 
 desenvolvimento do binômio (x + a)n é: 
 
 a) 2n b) n/2 c) n + 2 d) n2 e) 2n 
 
Tarefa Complementar  
 
06) ( UDESC-SC ) Sendo 125 a soma dos coeficientes do 
 desenvolvimento de (2x + 3y)m. O valor de m! é: 
 
 a) 6 b) 24 c) 120 d) 2 e) 3 
 
07) ( CEFET-PR ) O 4º termo do desenvolvimento de 
 (x + 2)6 é: 
 
 a) 80x3 b) 80x4 c) 40x5 d) 320x3 e) 160x3 
 
08) ( MACK-SP ) Qual a soma dos coeficientes numéricos 
 do desenvolvimento de 3 22
8
x
x


 .? 
09) ( Faap-SP ) O sexto termo do desenvolvimento de 
 ( x + 2 )8 pelo binômio de Newton é: 
 
 a) 48x3 b)10752x3 c) 1792x3 d) 3584x3 
 
10) ( Mack-SP ) O coeficiente x3 do desenvolvimento de 
 3
1 5
x
x


 é: 
 a) -405 b) -90 c) -243 d) -27 e) -81 
 
 
 
 AULA 06 
 
POLINÔMIOS 
 
1. Definição 
 
Dados os números reais a n, a n - 1, ....., a 2, a 1 e a 0, chamamos de 
polinômio na variável x toda expressão da forma: 
 
P(x) = a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0 
 
1.1. Nomenclatura 
 
COEFICIENTES: an, an - 1, .........a2, a1, a0. 
TERMOS: a nxn , a n - 1xn - 1 , ..... a 2x2 , a 1x, a0 
TERMO INDEPENDENTE: a0 
 
n é um número natural e indica o grau do polinômio se an for 
diferente de zero. 
 
Observação: Se P(x) = 0, não é definido o grau do polinômio. 
 
2. Valor Numérico 
 
 Valor Numérico de um polinômio P(x), é o valor que se obtém 
substituindo a variável x por um número  e efetuando as 
operações indicadas. 
 
Observação: Quando P() = 0 dizemos que  é a raiz do 
 polinômio. 
 
Observe que os números 2 e 3 são raízes do polinômio 
P(x) = x2 - 5x + 6, pois P(2) = 0 e P(3) = 0. 
 
3. Polinômios Idênticos 
 
 Dados os polinômios: 
 
P1(x) = a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0 e 
P2(x) = b nxn + b n - 1xn - 1 + ..... + b 2x2 + b 1x + b0 
 
A condição para que P1 e P2 sejam idênticos é que os coeficientes 
dos termos de mesmo grau sejam iguais. 
Indicamos por P1 (x)  P2 (x) 
 
Assim: an = bn ; an - 1 = bn - 1; a2 = b2 ; a1 = b1 ; a0 = b0 
 
Vale ressaltar que se P1 e P2 são idênticos, para qualquer valor de 
x eles assumem o mesmo valor numérico. 
 
Em símbolos: P1 (x)  P2 (x)  P1 (x) = P2 (x) 
 
Exercícios de Sala  
 
01) Encontre o valor numérico do polinômio 
 P(x) = 5x4 + 2x3  x2 + 3x  3 para x =  3. 
 
02) Dado o polinômio P(x) = (a2  4)x2 + (a + 2)x + 3. 
 Determine o valor de a de modo que P(x) seja do 1º 
 grau. 
 
03) Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, e c são 
 números reais. Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e 
 P(2) = 7, calcule P(3). 
 
Tarefa Mínima  
 
01) Dado P(x) = 2x3 + 3x2 – 5, calcule: 
 
a) P(0) b) P(1) c) P(2) 
 
 
02) Considere o polinômio P(x) = mx2 – 5x + 2. Sabendo 
 que P(-2) = - 4 , determine o valor de m. 
 
 
Inclusão para a vida Matemática D 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 9
03) Sabendo-se que 
 P1(x) = ax2 + (b + c)x - 2a - 3x2 + 3cx + 3b + 1 e 
 P2(x) = 10x2 + 158x + 29 são polinômios idênticos, 
 determine o valor da expressão: a+ b + c. 
 
04) O polinômio p(x) = (a - 3)x3 + (b + 2a)x2 + (6b + c)x é 
 identicamente nulo. Calcule o valor de 2(a + b + c). 
 
05) ( Mogi ) Se 
x
x x
A
x
B
x

     
1
2 24 4 62
, então 
 2A + B é igual a: 
 
 a) -3/2 b) 1/2 c) 1 d) 3/2 e) -1 
 
Tarefa Complementar  
 
06) ( FUEM-PR ) Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, e c 
 são números reais. Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e 
 P(2) = 7, calcule P(3). 
 
07) ( PUC-SP ) Efetuando a soma de 
ax b
x
e
c
x

 2 1 1 , 
 obtemos a expressão
x
x x

 
3
1 12   . Os valores de 
 a, b e c são respectivamente: 
 
 a) 0, 1, -3 b) 1, -1, -3 
 c) -1, 1, 1 d) 1, 2, -1 
 e) 2, 1, -2 
 
08) ( ABC-SP ) Num polinômio P(x) de 3º grau, o 
 coeficiente de x3 é 1. Se P(1) = P(2) = 0 e P(3) = 30, o 
 valor de P(1) é: 
 
09) ( UFRGS ) O polinômio do 2º grau p(x), que tem zero 
 como raiz e tal que p(x) - p(x - 1) = 6x - 2, é 
 
 a) 2x2 + 3x – 6 b) 6x - 2 
 c) 6x2 - x d) 3x2 + x 
 e) x2 + 3x 
 
10) ( Londrina-PR ) Sendo F, G e H polinômios de graus 
 4, 6 e 3, respectivamente, o grau de (F + G).H será: 
 
 a) 9 b) 10 c) 12 d) 18 e) 30 
 
 
 AULA 07 
 
DIVISÃO DE POLINÔMIOS 
 
Dados os polinômios P(x) e D(x), com D(x) não identicamente 
nulos, dividir P(x) por D(x) equivale obter os polinômios Q(x) 
(quociente) e R(x) (resto), tais que: 
 
P(x) D(x) 
R(x) Q(x) 
 
 P(x)  D(x) . Q(x) + R(x) 
 gr(R) < gr(D) ou R(x)  0 
 
Onde: 
 
P(x) é o dividendo 
D(x) é o divisor 
Q(x) é o quociente 
R(x) é o resto 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
 O grau de Q(x) é a diferença entre os graus de P(x) e de D(x), 
ou seja gr(Q) = gr(P)  gr(D) 
 Se R(x) for um polinômio nulo, dizemos que P(x) é divisível 
por D(x), dizemos então, que a divisão é exata. 
 
1. Método da chave (algoritmo de Euclides) 
 
O método das chaves é um dos métodos para se obter o quociente 
entre dois polinômios. Para isso, deve-se seguir os seguintes 
procedimentos: 
 Ordenamos os polinômios P(x) e D(x) segundo as potências 
decrescentes de x. 
 Dividi-se o primeiro termo de P(x) pelo primeiro de D(x), 
obtendo o primeiro termo de Q(x) . 
 Multiplica-se o termo obtido pelo divisor D(x) e subtrai-se de 
P(x) 
 Continua-se o processo até que haja um resto de grau inferior 
que o de D(x). 
 
Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão de 
 P(x) = 4x3  2x2 + 6x  10 por D(x) = 2x2 + 3x + 2 
 
Resolução: 
 
 
 
Observe que: 
 
4x3  2x2 + 6x  10 = (2x2 + 3x + 2) . (2x  4) + (14x  2) 
 
 Dividendo Divisor Quociente Resto 
 
2. Método de Descartes 
 
Método de Descartes ou Método dos Coeficientes a determinar é 
um Método que consiste na obtenção dos coeficientes do 
quociente e do resto com o auxílio da seguinte identidade de 
Polinômios: 
P(x)  D(x) . Q(x) + R(x) 
 
 onde gr(Q) = gr(P)  gr(D) e gr(R) < gr(D) 
 
Exemplo: Obter o quociente e o resto da divisão do 
 polinômio P(x) = x4  x3  2x2  x + 3 por 
 D(x) = x3  3x2 + 2 
 
Resolução: O grau do resto é no máximo 2, pois 
 gr(R) < gr(D) e gr(Q) = gr(P)  gr(D) 
 gr(Q) = 4  3 = 1 
 
 Isso nos permite escrever 
 
 R(x) = cx2 + dx + e e Q(x) = ax + b 
Matemática D Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 10
 
 Aplicando a identidade, temos: 
 
 P(x)  D(x) . Q(x) + R(x) 
 
x4  x3  2x2  x + 3  (x3  3x2 + 2) . (ax + b) + cx2 + dx + e 
 
x4  x3  2x2 x + 3  ax4 + (b  3a)x3 + (c  3b)x2 + (2a + d)x + (2b + e) 
 
Daí vem: 
 
a 1 
b 3a 1 
c 3b 2 
2a d 1 
2b e 3

  
  
  
 





 resolvendo o sistema, temos: 
 a = 1, b = 2, c = 4, d =  3, e =  1 
 
Logo: Q(x) = x + 2 e R(x) = 2x2  3x  1 
 
3.Teorema do resto 
 
 O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do 
tipo ax + b é o valor numérico de P(x) para 
x =  b
a
, ou seja P(  b
a
). 
Observe que  b
a
 é a raiz do divisor. 
 
Esse teorema permite que se ache o resto de uma divisão, sem 
que haja a necessidade de aplicar o método das chaves ou o 
método de Descartes. 
Exemplo: Determinar o resto da divisão do polinômio 
 P(x) = 2x2 + 3x + 1 pelo polinômio D(x) = x  3 
 
Resolução: A raiz do divisor é 3, logo para determinarmos 
 o resto da divisão de P(x) por D(x), basta 
 calcular P(3). Daí vem: 
 P(x) = 2x2 + 3x + 1 
 P(3) = 2(3)2 + 3(3) + 1 
 P(3) = 28 
 
4. Teorema de D'alembert 
 
Um polinômio P(x) é divisível por D(x) = ax + b se, e somente 
se, P(  b
a
) = 0. 
Veja por exemplo que o polinômio P(x) = x3  3x + 2 é divisível 
por (x + 2) pois P(2) = 0. 
 
Exemplo: Determinar o valor de m de modo que o 
 polinômio P(x) = x3  x2 + mx  12 seja 
 divisível por x  3 
 
Resolução: Para que P(x) seja divisível por x  3, deve-se 
 ter P(3) = 0. Então 
 
 P(x) = x3  x2 + mx  12 
 P(3) = (3)3  (3)2 + m(3)  12 
 0 = 27  9 + 3m  12 
  6 = 3m 
 2 = m 
 
 Logo para a divisão ser exata devemos ter m =  2 
 
 
5. Teorema das Divisões Sucessivas 
 
 Se um polinômio P(x) é divisível por (x  a) e por 
(x  b), então P(x) é divisível por (x  a).(x  b). 
 Observe que o polinômio P(x) = x4 + 2x3  6x2  5x + 2 é 
divisível por (x + 1).(x  2), uma vez que ele é divisível 
separadamente por (x + 1) e (x  2). 
 
6. Dispositivo de Briot-Ruffini 
 
 O dispositivo de Briot-Ruffini, também conhecido como 
algoritmo de Briot-Ruffini, é um modo prático para dividir um 
polinômio P(x) por um binômio da forma 
ax + b. Vamos apresentar esse processo através de um exemplo. 
 
Determine o quociente e o resto da divisão da divisão de 
P(x) = 2x3  x2 + 4x  1 por (x  3) 
 
Resolução: 
 1º Passo 
Dispõem-se todos os coeficientes de P(x) de forma ordenada e 
segundo os expoentes decrescentes de x na chave. 
 
 2  1 4  1 
 
 
 2º Passo 
Coloca-se à esquerda a raiz do divisor. 
 
 3 2  1 4  1 
 
 
 3º Passo 
Abaixa-se o primeiro coeficiente de P(x) 
 
 3 2  1 4  1 
 
 2 
 
 4º Passo 
Multiplica-se o coeficiente baixado pela raiz, somando o 
resultado com o próximo coeficiente de P(x) e o resultado abaixo 
desse último 
 + 
 
 3 2  1 4  1 
 x 2 5 
 
 
5º Passo 
Multiplica-se o esse último resultado pela raiz e soma-se o 
resultado com o próximo coeficiente de P(x) de forma análoga ao 
último passo, e assim sucessivamente. 
 + 
 
 3 2  1 4  1 
 
 x 2 5 19 
 
 
 + 
 
 3 2  14  1 
 
 x 2 5 19 56 
 
 
Inclusão para a vida Matemática D 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 11
 
Terminando assim o processo, temos: 
 
 raiz coeficientes de P(x) 
 
 2 5 19 56 
 
 coeficientes de Q(x) R(x) 
 
Como gr(Q) = 2 [gr(P)  gr(D)] temos que 
Q(x) = 2x2 + 5x + 19 e resto R(x) = 56 
 
Exercícios de Sala  
 
01) ( FUVEST ) O quociente de 2x4 – 5x3 – 10x – 1 por 
 x – 3 é: 
 
a) 2x3 – 11x2 + 23x – 68 
b) 2x3 – 11x2 + 33x + 109 
c) 2x3 – 11x2 + 33x – 109 
d) 2x2 + x – 7 
e) 2x3 + x2 + 3x – 1 
 
02) Qual o valor de "a" para que o polinômio 
 x5 + 2x4 + 3x3 + ax2  4x + 12 seja divisível por 
 x3 + 2x2  x + 3? 
 
03) ( UFSM ) O resto da divisão de x142 – 1 por x + 1 é: 
 
a) 0 b) – 1 c) – 2 d) 141 e) n.d.a. 
 
Tarefa Mínima  
 
01) ( UFSC ) Determine o resto da divisão do polinômio 
 3x3 + 8x2 + 32 por x + 3. 
 
02) ( UECE ) Se na divisão do polinômio 
 12x4 + 5x3 + 5x + 12 por 3x2 + 2x - 1 o quociente é 
 Q(x), então o valor de Q(3) é: 
 
03) ( UFMG ) O quociente da divisão de 
 P(x) = 4x4 - 4x3 + x - 1 por Q(x) = 4x3 + 1 é: 
 
 a) x – 5 b) x - 1 c) x + 5 
 d) 4x - 5 e) 4x + 8 
 
04) ( UFSC ) Qual o valor de "a" para que o polinômio 
 x5 + 2x4 + 3x3 + ax2 - 4x + 12 seja divisível por 
 x3 + 2x2 - x + 3? 
 
05) ( UFSC ) Determine o valor de m, para que o resto da 
 divisão do polinômio P(x) = x3 + mx2 - 2x + 1 por 
 x + 3 seja 43. 
 
Tarefa Complementar  
 
06) ( UFSC ) Se o polinômio 2x3 - ax2 + bx + 2 é divisível 
 por 2x2 + 5x - 2, então o valor de a - b é: 
 
07) ( Mack-SP ) Um polinômio desconhecido ao ser 
 dividido por x - 1 deixa resto 2 e ao ser dividido por 
 x - 2 deixa resto 1. Então, o resto da divisão desse 
 polinômio por (x - 1) (x - 2) é: 
 
 a) x – 3 b) -x + 3 c) x + 3 
 d) x - 5 e) -x + 5 
08) ( UFBA ) O resto da divisão de 
 P(x) = 3x5 + 2x4 + 3px3 + x - 1 por (x + 1) é 4, se p é 
 igual a: 
 
 a) 5/3 b) -2 c) -3 d) -10 e) -7/3 
 
09) ( FGV-SP ) O resto da divisão do polinômio 
 2x5 - 15x3 + 12x2 + 7x - 6 por (x - 1)(x - 2)(x + 3) é: 
 
 a) x2 - 2x + 5 b) -6 
 c) x - 4 d) 1 e) 0 
 
10) ( PUC-MG ) Os valores de a e b que tornam o 
 polinômio P(x) = x3 + 4x2 + ax + b divisível por 
 (x + 1)2 são respectivamente: 
 
 a) 1 e 2 b) 3 e 2 c) 4 e 5 d) 5 e 2 e) n.d.a. 
 
 
 AULAS 08 
 
EQUAÇÕES POLINOMIAIS 
 
1. Definição 
 
Denomina-se Equação Polinomial toda sentença do tipo 
P(x) = 0, ou 
 
a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0 = 0 
 
 onde an, an - 1, .........a2, a1, a0 são números complexos 
 n é um número natural 
 x é a variável 
 O expoente da equação é o expoente do polinômio P(x) 
 
Denomina-se raiz de uma equação polinomial todo 
número , tal que P() = 0 
 
2. Teorema Fundamental da Álgebra 
 
 Toda equação polinomial de grau n (n  1) tem pelo menos 
uma raiz complexa. 
 Esse teorema foi demonstrado por Gauss em 1799. 
 
3. Decomposição de um Polinômio em 
 um Produto de Fatores do 1º Grau 
 
 Como uma conseqüência do Teorema Fundamental pode-se 
afirmar que todo polinômio de grau n pode ser escrito na forma: 
 
P(x) = an(x  1).(x  2)(x  3)....... .(x  n) 
 
onde 1, 2, 3, ..... n são raízes de P(x). 
 
4. Multiplicidade de uma Raiz 
 
 Denomina-se multiplicidade de uma raiz ao número de vezes 
que essa raiz repete no conjunto solução. 
 Genericamente, pode-se dizer que o número  é raiz de 
multiplicidade n da equação polinomial P(x) = 0 se e somente se, 
P(x) = (x  )n. Q(x), com Q()  0. 
 
5. Teorema das Raízes Complexas 
 
Matemática D Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 12
 Se um número complexo z = a + bi é raiz de uma equação 
polinomial de coeficientes reais, então seu conjugado z = a  bi 
também é raiz dessa equação. 
 
Conseqüências: 
 
 Se a raiz (a + bi) é de multiplicidade k, então seu conjugado 
(a  bi) terá também multiplicidade k. 
 Toda equação polinomial de grau ímpar admite pelo menos 
uma raiz real, pois o número de raízes não reais é sempre par. 
 
6. Relações de Girard 
 
São relações estabelecidas entre os coeficientes e raízes de uma 
equação polinomial. 
 
Sejam x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c = 0. Valem as 
seguintes relações: 
 
x1 x2
b
a
 
x1 x2
c
a
  





 
 
 
Sejam x1 , x2 e x3 as raízes da equação 
ax3 + bx2 + cx + d = 0. Valem as seguintes relações: 
 
 
x1 x2 x3
b
a
 
x1 x2 x3
d
a
x1 x2 x1 x3 x2 x3
c
a
   
 
  





 
  
 
 
EQUAÇÃO DE GRAU n 
 
Sendo 1, 2,........... n as raízes da equação 
a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 1x + a0 = 0, valem as seguintes 
relações: 
 
 
a a an
an
an
a a a a a an a a an an
an
an
a a a an an an
an
an
a a a an
n a
an
1 2
1
1 2 1 3 1 2 3 1
2
1 2 3 2 1
3
1 2 3 1
0
     
        
      
 






  
  
  
 
 
Exercícios de Sala  
 
01) O polinômio P(x) = x3 + 4x2 + 3x pode ser escrito como: 
 
a) P(x) = x(x – 1)(x – 3) b) P(x) = x(x + 1)(x + 2) 
c) P(x) = x(x + 1)(x + 3) d) P(x) = x(x – 2)(x +4) 
e) (x) = x(x – 1)(x + 5) 
 
02) Resolver a equação x3  12x2 + 41x - 42 = 0, 
 sabendo que x = 2 é uma das raízes. 
 
03) Determine a menor raiz da equação 
 x3  15x2 + 66x  80 = 0, sabendo que suas raízes estão 
 em P.A. 
 
 
Tarefa Mínima  
 
01) ( ACAFE-SC ) A equação polinomial cujas raízes são 
 2, 1 e 1 é: 
 
 a) x3 + 4x + x  2 = 0 b) x3  x  2 = 0 
 c) x3 + 2x2  3x  2 = 0 d) x3 + 2x2  x  2 = 0 
 e) x3 + 2x + 1 = 0 
 
02) ( FGV-SP ) A equação 2x3  5x2  x + 6 admite uma 
 raiz igual a 2. Então, as outras duas raízes são: 
 
 a) 3/2 e 1 b) 2 e 1 c) 3 e 1 
 d) 3/2 e 1 e) 3/2 e 2 
 
03) ( UFSC ) Sabendo-se que uma das três raízes da 
 equação 2x3 - 17x2 + 32x - 12 = 0 é igual a 1/2 
 determine a soma das outras duas raízes. 
 
04) ( UDESC) As raízes do polinômio x3 – 6x2 – x + 30: 
 
a) somadas dão 6 e multiplicadas dão 30 
b) somadas dão -6 e multiplicadas dão 30 
c) somadas dão 6 e multiplicadas dão -30 
d) somadas dão -6 e multiplicadas dão –30 
e) são 5, -2 e –3 
f) 
Tarefa Complementar  
 
05) ( Med ABC-SP ) As raízes da equação 
 x3 - 9x2 + 23x -15 = 0 estão em progressão aritmética. 
 Suas raízes são: 
 
 a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 1, 3, 5 
 d) 2, 4, 6 e) 3, 6, 9 
 
06) ( Mackenzie-SP ) Uma raiz da equação 
 x3  4x2 + x + 6 = 0 é igual a soma das outras duas. As 
 raízes são: 
 
 a) 2,  2 e 1 b) 3,  2 e 1 
 c) 2,  1 e 3 d) 1,  1 e  2 
 e) 1, 2 e  3 
 
07) ( MACK-SP ) O determinante da matriz 
 
a a c
b c






0
1 0 1
, onde a, b, e c são raízes da equação 
 x3  5x2 + 4 = 0, é: 
 
08) ( SANTA CASA ) Sabe-se que a equação: 
 4x3  12x2  x + k = 0, onde k  , admite duas raízes 
 opostas. O produto das raízes dessa equação é: 
 
 a)  12 b) 3/4 c) 1/4 d) 3/4 e) 12 
 
09) ( ITA-SP ) Considere a equação x3 + px2 + qx + r = 0 
 de coeficientes reais, cujas as raízesestão em P.G. 
 Qual das relações é verdadeira? 
 
 a) p2 = r.q b) 2p + r = q 
 c) 3p2 = r2 . q d) p3 = r.q3 
 e) q3 = r.p3 
 
 
 
Inclusão para a vida Matemática D 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 13
10) ( UFSC ) Assinale no cartão-resposta a soma dos 
 números associados à(s) proposição(ões) 
 CORRETA(S). 
 
 01. A equação polinomial x3  2x2  4x + 1 = 0 
 possui as raízes a, b e c. Logo, a soma 
 a2 + b2 + c2 é igual a 12. 
 02. O resto da divisão do polinômio x6  x4 + x2 por 
 x + 2 é 52. 
 04. Dado o polinômio 
 p(x) = x4 + 8x3 + 23x2 + 28x + 12 é correto 
 afirmar que 2 é raiz de multiplicidade 3 para 
 p(x). 
 08. Para que o polinômio 
 p(x) = (a + b) x2 + (a  b + c) x + (b + 2c  6) 
 seja identicamente nulo, o valor de c é 4. 
 
AULA 09 
 
MATRIZES 
 
1. Definição 
 
Uma matriz do tipo m x n (lê-se: m por n), m, n  1, é uma 
disposição tabular formada por m.n elementos dispostos em m 
linhas e n colunas. 
As matrizes são representadas através de parênteses ( ), 
colchetes [ ] ou através de barras duplas || || 
 
Exemplos.: 
 
A = 
2 0 3
6 9 5



 A 2 x 3 (lê-se: A dois por três) 
 
A =
3 2 8 7
6 1 0 3






A2 x 4 (lê-se: A dois por quatro) 
 
A = 
60
61
12 
 A3 x 2 (lê-se: A três por dois) 
 
2. Notações 
 
2.1.Notação Explícita 
 
Uma matriz genericamente é representada por letras maiúsculas e 
seus elementos por letras minúsculas. 
Sendo assim, uma matriz Am x n algebricamente pode ser 
representada assim: 
A = 
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
n
n
n
m m m mn
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3



   







 com m e n  N* 
 
2.2.Notação Condensada 
 
Podemos também, abreviar essa representação da seguinte forma: 
 A = [aij] m x n 
 
Os elementos da matriz A são indicados por aij de forma que: 
i  {1, 2, 3,......m} (indicador da linha) 
j  {1, 2, 3, .....n} (indicador da coluna) 
 
3. Classificação de Matrizes 
 
Seja a matriz A = (aij)mxn, lembrando que m e n são 
respectivamente a quantidade de linhas e colunas da matriz A, 
temos: 
 
a) MATRIZ LINHA se m = 1 
 
 Exemplo: A1x3  213 
 
b) MATRIZ COLUNA se n = 1 
 
 Exemplo: A4x1 = 











0
5
2
1
 
c) RETANGULAR se m  n 
 
 Exemplo: A2 x 3 = 



049
132
 
 
d) QUADRADA se m = n 
 
 Exemplo: A2x2 


85
63
 
 
Definição: Diz-se que uma matriz é quadrada se a quantidade de 
linhas for igual a quantidade de colunas. Pode-se dizer então que 
ela é n x n ou simplesmente de ordem n. 
 
Possui duas diagonais 
 
 diagonal principal (quando i = j para todo aij) 
 diagonal secundária (quando i + j = n + 1) , onde n é a ordem 
da matriz. 
 
4. Tipologia 
 
4.1. Matriz Transposta 
 
Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A 
a matriz de ordem n x m obtida, trocando-se de forma ordenada 
as linhas pelas colunas. Representa-se por: At ou A' 
Exemplo A2 x 3 = 



049
132
 At3 x 2 = 
2 9
3 4
1 0





 
OBSERVAÇÃO: Seja uma matriz A de ordem n. 
 
 Se A = At , então A é dita SIMÉTRICA 
 
 Exemplo: A = 








085
813
532
 
 
 
Matemática D Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 14
 Se A =  At, então A é dita ANTISIMÉTRICA 
 (A indica matriz oposta de A que se obtém. 
 trocando-se o sinal dos seus elementos) 
 
 Exemplo: A =










043
401
310
 
 
4.2. Matriz Identidade 
 
Uma matriz A de ordem n é dita identidade, ou unidade se os 
elementos da diagonal principal forem iguais a 1, e os demais 
elementos iguais a zero. 
 Exemplos: I2 = 
1 0
0 1



 I3 = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1





 
 Pode se indicar a matriz identidade por: 
 In = [aij] , aij =
1, para i = i
0, para i j
 
 
Importante: A matriz identidade é neutra na multiplicação de 
matrizes. 
 
4.3. Matriz Nula 
 
Uma matriz é dita nula quando todos seus elementos forem iguais 
a zero. A matriz Nula é neutra na soma de matrizes. 
 
4.4. Matriz Diagonal 
 
É toda matriz de ordem n tal que aij = 0 para i  j. 
Exemplo: A = 
1 0 0
0 4 0
0 0 3





 
 
4.5. Matriz Triangular 
 
É toda matriz quadrada onde aij = 0 para i > j ou/e para i < j. 
 
Exemplos: 

















819
021
004
 
100
740
513
 
 
5. Igualdade de Matrizes 
 
Duas matrizes Amxn e Bmxn são iguais, se os elementos 
correspondentes (elementos de mesmo índice) forem iguais. 
 
6. Adição e subtração de matrizes 
 
É efetuada somando-se ou subtraindo-se os elementos 
correspondentes das matrizes. (válido para matrizes de 
mesma ordem). 
 
6.1. Propriedades: 
 
1) A + B = B + A (propriedade comutativa) 
2) A + (B + C) = (A + B) + C (propriedade 
 associativa) 
3) A + O = A (elemento neutro) 
4) (A + B)t = At + Bt 
 
7. Produto de um número por matriz 
 
Dado um número real K e uma matriz Am x n, denomina-se 
produto de K por A e indica-se por k.A, à matriz que se obtém 
multiplicando-se todo elemento de A por k. 
 
7.1. Propriedades: 
 
Sendo x e y dois números reais e A e B duas matrizes de mesma 
ordem valem as seguintes propriedades: 
 
1) x . (yA) = (xy) . A 
2) x . (A + B) = xA + xB 
3) (x + y) . A = xA + yA 
Exercícios de Sala  
 
01) A é uma matriz 3 por 2, definida pela lei 
 aij = 



ji se
ji sej2i
,3
,
 Então A se escreve: 
 
02) ( UFSC ) Dadas as matrizes: 
 A = 
2 1 3 1
0 4
x y
x z
  




 e B = 
x 0
12 4
1 6





 
 Se A = Bt , o valor de x.y.z é: 
 
 
03) O valor de x.y de modo que a matriz A seja simétrica, 
 é: 
 
 A = 











625
201
1252
x
y
 
 
a) 6 b) 12 c) 15 d) 14 e) 0 
 
Tarefa Mínima  
 
01) Escreva, na forma explícita ,cada matriz abaixo: 
 
a) A = (aij)2x2, com aij = i + j 
b) A = (aij)3x2, com aij = 3i – j2 
c) A = (aij)3x2 , com aij = 
1 se i j
i2 se i j





 
d) A = (aij)2x3 , com aij = 
2 se i = j
2 + j, se i j
 
 
02) ( UFSC ) Dada a matriz A = [aij]2 x 3 definida por 
Inclusão para a vida Matemática D 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 15
 aij = 






ji sej,i
ji se7,
ji sej,3i
2
o valor da expressão 
 2a23 + 3a22 - a21 é: 
 
03) ( UFOP-MG ) Observe a matriz 



y
x
00
40
321
. 
 Determine x e y de tal forma que seu traço valha 9 e x 
 seja o triplo de y. 
 
 
04) Considere as matrizes A = 




 72log3
21
52
x
y 
 e B = 


7165
812
. Determine o valor de x + y de 
 modo que A = Bt 
 
05) Considere as matrizes A = 


03
12 e B = 


 21
30 
 
a) Obter a matriz X tal que A + X = B 
b) Obter as matrizes X e Y tal que: 
 




BYX
AYX 3 
 
Tarefa Complementar  
 
06) Calcule 5x + 2y, de modo que se tenha: 
 
 
 
07) ( FCMSCSP ) Se A é uma matriz quadrada, 
 define-seo TRAÇO de A como a soma dos 
 elementos da diagonal principal de A. Nestas 
 condições, o traço da matriz A = (aij)3 x 3, onde 
 aij = 2i - 3j é igual a: 
 
 a) 6 b) 4 c) -2 d) -4 e) -6 
 
08) Determine a soma dos elementos da diagonal 
 principal da matriz A = ( aij )3 X 3 , onde aij = i + j 
 se i  j ou aij = i  j se i < j. 
 
09) Uma matriz se diz anti-simétrica se At = A. 
 Nessas condições, se a matriz A é anti-simétrica, 
 então, x + y + z é igual a: 
 
 A = 










031
302
zyx
 
 
 a) 3 b) 1 c) 0 d) 1 e) 3 
 
 10) ( LONDRINA-PR ) Uma matriz quadrada A diz-se 
 simétrica se A = At . Assim, se a matriz 
 A = 










234
10
212
zx
y
é simétrica, então x + y + z é 
 igual a: 
 
a) – 2 b) – 1 c) 1 d) 3 e) 5 
 
11) ( U. Católica de Salvador -BA ) Uma matriz 
 quadrada A, de ordem n, se diz anti-simétrica se 
 A = -At, onde At é a matriz transposta de A. 
 Nessas condições, qual das matrizes seguintes é 
 anti-simétrica? 
 
 
 
03-2
301-
2-10
 b 
413
102-
32-1
 a 




))
 
 










031
302
120
 e 
 
323
220
301
 d 
101-
011-
11-1
 c 
 
)
))
 
 
12) Se a matriz quadrada A é tal que At = A, ela 
 é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que M 
 é anti-simétrica e: 
 
 M = 4
2
2 8
12 13
23









a a a
a b a
b c c
. 
 Os termos a12, a13 e a23 valem respectivamente 
 
a) – 4, – 2 e 4 b) 4, 2 e – 4 
c) 4, –2 e – 4 d) 2, – 4 e 2 
e) n.d.a. 
 
13) Sendo A = 





1 7
2 4
e B = 3 1
4 0




, então a 
 
 matriz X, tal que X A X B  
2
2
3
, é igual a: 
 
14) Dadas as matrizes: A =
3 1
2 4







 e B =
2 2
0 4 , 
 o produto dos elementos da segunda linha de 
 1
4
B
1
2
A é: 
 a) 1 b) 1 c) 0 d) 2 e) 2 
 
15) Dadas as matrizes 
 
 A
x y
z w B =
x 6
- 1 2w C =
4 x y
z + w 3











 
 e sendo 3A = B + C, então: 
 
 a) x + y + z + w = 11 b) x + y + z + w = 10 
 c) x + y  z  w = 0 d) x + y  z  w = 1 
 e) x + y + z + w > 11 
 
Matemática D Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 16
AULA 10 
 
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
 
Considere as matrizes A = [aij]m x n e a matriz 
B = [bjk]n x p. O produto de A por B é a matriz 
C = [cik]m x p, de tal forma que os elementos cik são obtidos 
assim: 
 
cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k + .... + ain . bnk 
 
ou seja:

n
j
jkijba
1
 
para todo i  {1, 2, ........, m} e todo k  {1, 2,...,p}. 
 
Exemplo: Considere as matrizes 
 A = 
3 0
2 1



 e B = 
 



1 3
9 2 . Determine A.B 
 
Resolução: O produto AxB é uma matriz obtida da 
 seguinte forma: 
 
 A.B = 
3 1 0 9 3 3 0 2
2 1 19 2 3 12
     
     
   
   



 
 A.B = 
 





3 9
7 4 
PROPRIEDADES 
 
1) A.(B.C) = (A.B).C 2) A.(B + C) = A.B + A.C 
3) (B + C).A = B.A + C.A 4) A.I = I.A = A 
 
Observações: 
 
1) Na multiplicação de matrizes geralmente 
 A.B  B.A. Se A.B = B.A dizemos que A e B se 
 comutam. 
 
2) Na multiplicação de matrizes não vale a lei do 
 anulamento, ou seja podemos ter A.B = 0 mesmo 
 com A  0 B  0. 
 
DETERMINANTES 
 
1. Definição 
 
Dada uma matriz quadrada de ordem n, podemos associar a ela, 
através de certas operações, um número real chamado 
determinante da matriz. 
 
 
Podemos simbolizar o determinante de uma matriz por duas 
barras verticais. Assim se a a
a a
11 12
21 22




 é a matriz A, indicamos o 
determinante de A por det A = 
a a
a a
11 12
21 22
 
 
CÁLCULO 
 
 1ª ORDEM 
 
Seja a matriz A = [a11] , denomina-se o determinante de A o 
próprio elemento a11 e indica-se por: 
 
det A = |a11| = a11 
 
 2ª ORDEM 
 
 
 
 3ª ORDEM 
 
 
Exercícios de Sala  
 
01) Dadas as matrizes A = 







0
3
34
12
1-
5
=B e . 
 Determine: 
 
a) A.B b) B.A c) At.Bt 
d) Bt.At e) A.I2 f) a matriz X, tal que A.X = B 
 
02) ( UFSC ) Sejam A = (aij )4 x 3 e B = (bij)3 x 4 duas 
 matrizes definidas por aij = i + j e bij = 2i + j, 
 respectivamente. Se A.B = C, então o elemento 
 C32 da matriz C, é: 
 
03) Calcule os determinantes: 
 
 a) 
52
43
 b) 
4 2
1 3

 
 
 
04) Calcule o determinante: 
163
341
202


 
Tarefa Mínima  
 
01) ( UEL-PR ) Sobre as sentenças: 
 
 I. O produto de matrizes A3x2 . B2x1 é uma matriz 3x1. 
 II. O produto de matrizes A5x4 . B5x2 é uma matriz 4x2. 
 III. O produto de matrizes A2x3 . B3x2 é uma matriz 
 quadrada 2 x 2. 
 
 É verdade que 
 
a) somente I é falsa 
b) somente II é falsa 
c) somente III é falsa 
d) somente I e III são falsas. 
e) I, II e III são falsas 
 
Inclusão para a vida Matemática D 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 17
02) Se 
3 2
1 4




a
b
1
2



 = 
5 7
5 9



 , então a + b 
 é igual a: 
 
03) Dadas as matrizes A = 
1 1
0 0



 e B = 
0 1
0 1



 , 
 para A.B temos a matriz: 
 
 
04) ( UCMG ) O valor de x, para que o produto das 
 matrizes: 
 A = 




2
3 1
x
e B = 
1 1
0 1



 seja uma matriz 
 simétrica, é: 
 
05) ( UFSC ) Dada a equação matricial: 
 
4 2
1 3 0
4 2
3
1
4
2
3
x
y
z x
y






 





  





 O valor da 
 expressão 5x + 4y + z é: 
 
06) Calcule os seguintes determinantes: 
 
 a) 
16
34

 b) 
13
25

 
 
 c) 
432
314
523
 
 
 
07) ( MACK-SP ) Sendo A = ( aij ) uma matriz quadrada 
 de ordem 2 e aij = j - i2, o determinante da matriz A é: 
 
 
08) ( UFSC ) Obtenha o valor do determinante da 
 matriz A = (aij)2 x 2, onde aij = 



ji sej,i
ji se0,
 
 
09) O valor de x na equação 15
102
1
132
xx é: 
Tarefa Complementar  
 
10) ( CESCEM ) O produto M.N da matriz M = 
1
1
1





 pela 
 matriz N =  1 1 1 : 
 
 a) não se define 
 b) é a matriz identidade de ordem 3 
 c) é uma matriz de uma linha e uma coluna 
 d) é uma matriz quadrada de ordem 3 
 e) não é uma matriz quadrada 
 
11) ( FEI-SP ) As matrizes abaixo se comutam. 
 
a a
a 2



 e 
0 3
3 3



 O valor de a é: 
 
 
12) ( UFSC ) Determine o produto dos valores de x e y que 
 satisfaçam a equação matricial 
 
4 3
5 4
1
2
4 2
7 3









 
 



x
y 
 
13) ( UFSC ) Dadas as matrizes: A = 
1 0 2
0 1 3
4 1 2







 ; 
 B = 
2 1 1
0 3 0
4 2 1





 ; C = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1




 e seja 
 P = (2A - C).B. Determine a soma dos elementos 
 da diagonal principal da matriz P. 
 
 
14) ( UFSC ) Considere as matrizes A = 
1 0
2 1
1 2





 
 B = 
2 0 1
1 1 3



 Sejam M = ( A + B
t ).(At  B ) 
 onde At e Bt são matrizes transpostas de A e B, 
 respectivamente. O produto dos elementos mij 
 com i = j da matriz M é: 
 
15) Se A = 
1 2
4 3



 , então A
2 + 2A  11 I, onde I é a 
 matriz identidade de ordem 2, é igual a: 
 
 
16) ( UFSC ) Determine o valor de x para que o 
 determinante da matriz C = A x Bt seja igual a 602, 
 onde: 
 A = 
1 2 3
4 1 2



 , B = 
x  





1 8 5
2 7 4 e B
t é 
 a matriz transposta de B. 
 
 
17) ( UFSC ) Em R,a solução da equação 
 
2 3
2 4
1 3
x
x
x
 

= 175 é: 
 
Matemática D Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 18
 
18) ( MACK ) O conjunto solução de 
1
1 1
1 1
1
1 1
1
x
x
x é: 
 
a) { x  R| x  1} b) { 0,1 } 
c) { 1 } d) { -1} e) { 0 } 
 
 
19) ( MACK-SP ) Sejam as matrizes 
 A = 1 2
3 4 e B =
3 4
1 2








, 
 e seja X uma matriz tal que X.A = B. Então, 
 det X vale: 
 
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 
 
AULA 11 
 
PROPRIEDADES DE DETERMINANTES 
 
1ª PROPRIEDADE 
 
 Casos onde o determinante é nulo 
 
1º Se uma matriz possui uma fila de elementos 
iguais a zero. 
 Exemplo: 0 3 9
0 8 3
0 4 1
0  
 
2º Se uma matriz possui duas filas iguais. 
 Exemplo: 
2 8 2
3 5 3
1 6 1
0

 
 
3º Se uma matriz possui duas filas proporcionais. 
 Exemplo: 2 3 5
4 6 10
7 0 3
0

 
 
4º Se uma fila de uma matriz for uma combinação linear de duas 
outras. 
 Exemplo: 3 5 1
0 4 2
3 9 3
0 
 
2ª PROPRIEDADE 
 
Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um número k, o 
determinante da nova matriz fica multiplicado por k. 
 
Exemplo: 
2 4
1 3 2
2 4
1 3 2 10   
5 5
5
   
 
CONSEQÜÊNCIAS 
 
 No cálculo dos determinantes, é possível colocar o fator 
comum em evidência. 
 
-216= 3.(-72) 
143
051
426
 3
143
051
432363
143
051
12618






.
...
 
 (72) 
 
 Se multiplicarmos uma matriz quadrada de ordem n por um 
número k o determinante fica multiplicado pelo número kn. 
 det(k.A) = kn.detA 
 
3ª PROPRIEDADE 
 
Se trocarmos duas filas paralelas de uma matriz o determinante 
muda de sinal. 
 
4ª PROPRIEDADE 
 
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos 
elementos da diagonal principal. 
Exemplo: 
3 9 8
0 4 5
0 0 1
12 
 
5ª PROPRIEDADE 
 ( TEOREMA DE BINET) 
 
Se A e B são duas matrizes de ordem n o determinante do 
produto de A por B é o produto dos determinantes da matriz A 
pelo determinante da matriz B, ou seja: 
 
 det(A.B) = det(A).det(B) 
 
6ª PROPRIEDADE 
 
O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua 
transposta. 
 
7ª PROPRIEDADE 
 ( TEOREMA DE JACOBI ) 
Se somarmos a uma fila de A uma outra fila previamente 
multiplicada por um número real, obtemos uma matriz A', tal que 
det A' = det A 
 
Exemplo: A = 











122
151
214
  det A = 15 
Multiplicando a terceira linha por 2 e adicionando à 
primeira, obtemos A': A' = 
0 3 0
1 3 2
2 2 1






  det A = 15 
 
INVERSÃO DE MATRIZES 
 
Sejam A e B duas matrizes quadradas. 
Se A.B = B.A = I, dizemos que B é a matriz inversa de A. e 
indicamos por A-1. 
 
 Logo: A . A-1 = A . A-1 = In 
 
 
Inclusão para a vida Matemática D 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 19
PROPRIEDADES DA INVERSA: 
 
 (A-1) -1 = A 
 (A.B) -1 = B-1 . A-1 
 det A-1 = 1
det A
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
 Uma matriz só possui inversa se o seu determinante for 
diferente de zero, sendo assim chamada de inversível. 
 Uma matriz que não admite inversa é chamada de singular. 
 Se a matriz A é inversível então ela é quadrada. 
 Se a matriz A é inversível, então a sua inversa é única. 
 
OBSERVAÇÃO 
 
O processo de se obter a inversa de uma matriz muitas vezes é 
trabalhoso, pois recai na resolução de n sistemas de n equações e 
n incógnitas. 
Vamos, agora, apresentar um processo que simplifica esse 
cálculo. 
 
Teorema 
 
Se A é uma matriz quadrada de ordem n e det A  0, então a 
inversa de A é: 
 
A – 1 = .
det
1
A
 A 
 
 
Onde A representa a matriz adjunta. 
 
Matriz Adjunta: É a matriz transposta da matriz dos cofatores 
de A. 
 
Conseqüência 
 
Para calcular um elemento bij da matriz inversa de A, pode-se 
aplicar: 
 
bij = .
det
1
A
 Cji 
 
onde Cji é o cofator do elemento aij 
 
Exercícios de Sala  
 
01) Sabe-se que 2
ifc
heb
gda
. Determine o valor de 
 
ifc
heb
gda
432
432
432



 
 
02) Uma matriz A é quadrada de ordem 4 e seu 
 determinante é igual a 3. Calcule o valor do 
 determinante da matriz 2A. 
03) Determine a inversa das seguintes matrizes: 
 
 a) 
1 5
2 0



 b) 
3 1
5 2



 
 
04) Determine o valor de x de modo que a matriz 
 



9
32
x
 seja singular 
 
Tarefa Mínima  
 
01) Sabendo que 2
ifc
heb
gda
, calcule 
ifc
heb
gda



32
32
32
 
 
02) ( UFRN ) O determinante 
1 72 81
0 2 200
0 0 3
 é igual a: 
 
03) ( UFRGS ) Considere as seguintes afirmações. 
 
 I- O determinante de uma matriz não se altera, quando 
 são trocadas, ordenadamente, as linhas pelas 
 colunas. 
 
 II- O determinante de uma matriz com linhas 
 proporcionais é nulo. 
 
 III- Multiplicando-se uma linha de uma matriz por um 
 número real p,não nulo,o determinante da nova 
 matriz fica dividido por p. 
 
 Quais são as verdadeiras? 
 
 a) I 
 b) II 
 c) I e II 
 d) II e III 
 e) todas são verdadeiras 
 
04) ( Udesc- Ciências da Computação ) 
 A partir da matriz A = |aij| 2 x 2 onde 
 aij = 
 
 

1         
         
se i j
i j se i j calcular o determinante 
 do produto da matriz A pela sua transposta, ou seja: 
 det( At.A ), onde At é a matriz transposta de A. 
 
05) ( Unisinus-RS ) O valor de um determinante é 48. 
 Dividimos a 2ª linha por 8 e multiplicamos a 3ª coluna 
 por 6, então o novo determinante valerá: 
 
06) ( UFRGS ) A inversa da matriz A = 


25
13
 é: 
 
Matemática D Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 20
 




















25
13
 e) 
35
02
 d)
31
52
 c) 
25
13
 b) 
35
12
 a) 
07) O maior elemento da inversa da matriz A = 


51
42 é: 
 
a) 2 b) 5/6 c) 1/5 
d) 1/6 e) 1/3 
 
08) ( U.F. VIÇOSA ) Sejam as matrizes A = 


62
21 
 e M = 




y
x
1
1 , onde x e y são números reais e 
 M é a matriz inversa de A. Então o produto x.y é: 
 
 a) 3/2 b) 2/3 c) 1/2 d) 3/4e) 1/4 
 
09) ( UCSal-BA ) A matriz 
1
1
x
x



 , na qual x é um 
 número real, é inversível se, e somente se: 
 
 a) x = 0 b) x = 1 c) x = -1 d) x   1 
 
10) Considere a matriz A = 


 21
3
x
x . Sabendo que 
 det A- 1 = 0,25, então x : 
 
a) 0 b) – 2 c) 2 d) 4 e) – 1 
Tarefa Complementar  
 
11) ( UECE ) Sabe-se que M é uma matriz quadrada de 
 ordem 3 e que det(M) = 2. Então det (3M) é igual a: 
 
 a) 2 b) 6 c) 18 d) 54 e) 27 
 
12) ( UFSM-RS ) Sejam as matrizes A, de ordem 3 e 
 B = 
2 1 4
1 0 2
0 1 6






 . Se o det A = 6 e C = A.B, o det C 
 vale: 
 
 a) 24 b) 12 c) -6 d) -12 e) -24 
 
13) ( SANTA CASA ) Dadas as matrizes A e B tais que: 
 
 
1 5 1 3 0 0 0
0 2 2 4 3 4 0 0
0 0 3 1 1 2 1 0
0 0 0 4 2 1 3 2
A
                       
-1
 e B =
 
 
O valor do determinante de A.B é: 
 
 a) 192 
 b) 32 
 c) -16 
 d) 0 
 e) n.d.a. 
 
14) ( F.M. Santos-SP ) O determinante 
 
1 0 0 0 0
2 2 0 0 0
3 2 1 0 0
4 2 3 2 0
5 1 2 3 3

 é: 
 
 a) -12 b) 10 c) 9 d) 0 e) n.d.a. 
 
15) ( MACK-SP ) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 
 e I = 



10
01
. Chamam-se auto valores de A as 
 raízes da equação det (A – xI) = 0. Obtenha os 
 autovalores de A = 



32
41
 
16) ( FGV-SP ) Considere as matrizes A = 


pc
nb
ma
4
4
4
 
 e B = 


3
3
3
cp
bn
am
. Se o determinante da matriz A é 
 igual a 2, então o determinante da matriz B é igual a: 
 
a) 3/2 b) 2/3 c) – 3 d) – 3/2 e) – 2/3 
 
17) ( UEPG-PR ) Dada a matriz A = (aij)3x3, onde 
 aij = 



ji se0,
ji se4,
. Então é correto afirmar: 
 
 01. det (A) = 64 
 02. (A).(At) é uma matriz quadrada de ordem 6 
 04. det(2A) = 8 det(A) 
 08. det(A)  det(At) 
 16. A2 = 








161616
01616
0016
 
18) Os valores de k para que a matriz A = 



31
31
101
k
k 
 não admita inversa são: 
 
 
a) 0 e 3 b) 1 e – 1 c) 1 e 2 
d) 1 e 3 e) 3 e – 1 
 
19) ( UFPB ) Se a matriz 
2 5
5
x x
x
 
 



 não é 
 invertível, então o valor de x em módulo é: 
 
 
 
 
Inclusão para a vida Matemática D 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 21
20) ( ESAG-SC ) Seja a matriz A = ( aij ) 3 x 3 definida por 
 aij = 
  
 
 


1
0
i j para i j
para i j
o determinante de A-1 é: 
 
 
 AULAS 12 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
1. Definição 
 
Denomina-se Sistema Linear todo conjunto de m equações 
lineares com n incógnitas. 
 
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
   
   
   








    
 
 
Se b1, b2, ......, bn = 0 dizemos que o sistema é homogêneo. 
 
Solução de um Sistema Linear 
 
Denomina-se solução de um sistema a seqüência de números 
reais (1, 2,..........., n) que satisfaz simultaneamente todas as 
equações do sistema. 
 
Sistemas Equivalentes 
 
Dois Sistemas são ditos equivalentes se e somente se: 
 São Possíveis e admitem as mesmas soluções, ou 
 São Impossíveis. 
 
Classificação de um Sistema Linear 
 
Um Sistema Linear pode ser classificado de acordo com o 
número de soluções que ele apresenta. Sendo assim ele pode ser: 
 
 DETERMINADO 
 (1 solução) 
  POSSÍVEL 
 
 INDETERMINADO 
 (infinitas soluções) 
 
  IMPOSSÍVEL Não Admite Solução 
 
2. Regra de Cramer 
 
A Regra de Cramer consiste num método para se resolver 
sistemas Lineares de n equações e n incógnitas. 
 
 Seja o sistema 
 
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
n n nn n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
   
   
   








     
 
Para obtermos a solução para esse sistema vamos fazer alguns 
cálculos. Acompanhe: 
 
 
 
 det S 
 
Determinante associado a matriz formada pelos coeficientes das 
incógnitas. 
 
det S = 
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
11 12 1
21 22 2
1 2


  

 
 
 det Xi 
 
 Determinante associado a matriz obtida a partir de S, trocando 
a coluna dos coeficientes de Xi, pela coluna dos termos 
independentes do sistema. 
 
det X1 = 
b a a
b a a
b a a
n
n
n n nn
1 12 1
2 22 2
2


  

 det X2 = 
a b a
a b a
a b a
n
n
n n nn
11 2 1
21 2 2
1


  

 
 
det Xn = 
a a b
a a b
a a bn n n
11 12 1
21 22 2
1 2


  

 
 
A solução do Sistema é dada por: 
 
x1   det Xdet S x
det X
det S
 x det X
det S
1
2 
2
n
n 
 
Veja que só é possível aplicar a Regra de Cramer em sistemas n 
x n em que det S  0. Esses sistemas são denominados normais. 
 
3. Discussão com base na regra de Cramer (2x2) 
 
1) Quando det S  0, o sistema é possível e determinado. 
2) Quando det S = det X1 = det X2 = ...= 0, o sistema é 
 possível e indeterminado 
3) Quando det S = 0 e pelo menos um dos demais 
 determinantes for diferente de zero, os sistema é 
 impossível 
 
O sistema homogêneo é sempre possível. 
Exercícios de Sala  
 
01) Usando a regra de Cramer, resolva os seguintes 
 sistemas: 
 
 a) 




152
1134
yx
yx 
 
 b) 




622
3
yx
yx
 
 
 c) 




233
1
yx
yx
 
 
 
Matemática D Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 22
02) Dado o sistema de equações lineares 
 
x y z
x y z
x y z
  
  
   




 1
1
 com ,   R, então o sistema é 
 determinado se: 
 
 a) se   -1 b) se  = -1 e   1 
 c) se   1 d) se  = -1 e  = 1 
 e) se  = -1 e  = -1 
 
03) ( FGV-SP ) O sistema linear 






0
0
02
zyx
zyx
zyx  
 admite solução trivial, se: 
 
a)  = - 2 b)   - 2 
c)  = 2 d)   2 e)   
 
Tarefa Mínima 
 
01) ( USF-SP ) Resolvendo o sistema 
 
x y z
x y z
x y z
  
  
  



9
2 11
1
, obtém-se y igual a: 
 
02) ( UFRGS ) Dado o sistema de equações lineares sobre 
 R 
2 4
3 2 4
4 0
x y z
x y z
x y z
   
   
  



 os valores de x, y e z que 
 constituem sua solução: 
 
 a) formam uma progressão geométrica 
 b) formam uma progressão aritmética 
 c) são iguais entre si 
 d) não existem 
 e) têm uma soma nula 
 
03) ( FGV -SP ) O sistema de equações 
2 5 10
2 3
x y
x y
 
   

 é 
 equivalente a: 
 
2 5 10 10
) . ) .
1 2 3 3
10 10
) . )
3 3
x x
a b
y y
x x
c d
y y
                                     
                                
-2 -5
 
1 2
2 -1 -2 1
 
5 -2 -5 2
 
 
 
04) ( UFSC )Para que o sistema abaixo sejaimpossível, o 
 valor de a é: 
 
x y z
x y az
x y z
  
  
  



3 4 1
2
2 3
 
 
05) ( UFSC )Determine o valor de m para que o sistema, 
 abaixo, admita infinitas soluções: 
 
mx y z
x my z
x y
  
  
 



2 0
2 0
3 2 0
 
 
 
 
Tarefa Complementar 
 
06) ( UEPG-PR ) O sistema linear 
 






b4z2y3x
2zyx
33zyax
é: 
 
 01. impossível para a 2 e b = 5 
 02. impossível para a = 2 e b  5 
 04. possível e determinado para a = 2  b  R 
 08. possível e indeterminado para a = 2 e b = 5 
 16. possível e determinado para a  2 
 
07) ( UFSCar - SP ) Dado o sistema linear 
 
x ay z
ax y az
x ay z
  
  
  



0
0
0
 
 assinale a alternativa correta: 
 
 a) O sistema admite uma infinidade de soluções 
 para qualquer a real. 
 b) O sistema não admite solução de a = 1. 
 c) O sistema admite uma única solução se a = 3. 
 d) O sistema admite somente a solução trivial. 
 e) O sistema admite uma única solução se a = 1. 
 
 
08) ( FEI-SP ) Se o sistema 
3 2 1 0
4 2 2 0
2 3 2 0
x y z
mx y z
x my z
   
   
   



 
 admite uma única solução, então: 
 
 a) m   6 b) m   2 
 c) m   8 d) m   4 
 e) m   3 
 
09) ( UFSC ) Considere o sistema S1: 



06y-2x-
03yx
 
 determine a soma dos números associados à(s) 
 proposição(ões) VERDADEIRA(S). 
 
01. O par ordenado (15,5) é uma solução do 
 sistema S1. 
 02. O sistema S1 é possível e determinado. 
 04. A solução do sistema S1 é uma reta que não passa 
 pela origem. 
 08. O sistema S2: 



030y-10x-
06y2x
é equivalente ao 
 sistema S1. 
 
10) ( UFSC ) Assinale a soma dos números associados às 
proposições VERDADEIRAS 
 01. O número de elementos de uma matriz quadrada de 
 ordem 12 é 48. 
 02. Somente podemos multiplicar matrizes de mesma 
 ordem. 
 04. A soma das raízes da equação 
x44
xx4
xxx
 = 0 é 8. 
Inclusão para a vida Matemática D 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 23
 08. Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes 
 inversas. 
 
 16. O sistema 



0yx
02y3x
 é indeterminado. 
 
11) ( UFSC ) Assinale a soma dos números associados às 
proposições VERDADEIRAS 
 01. A matriz 








0213
1845
1524
0321
 não possui inversa. 
 02. Se um sistema de equações é indeterminado, 
 então não se pode encontrar solução para ele. 
 04. Uma pequena indústria produz três tipos de 
 produto que indicamos por x, y, z. As unidades 
 vendidas de cada produto e o 
 faturamento bruto da empresa em três meses 
 consecutivos são os dados na tabela abaixo. 
 Então, os preços dos produtos x, y e z só podem 
 ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00 
 e R$ 3.000,00. 
 
 
Mês 
Unidades 
de x 
vendidas 
Unidades 
de y 
vendidas 
Unidades 
de z 
vendidas 
Faturamento 
bruto 
1 1 5 3 R$ 
35.000,00 
2 4 1 2 R$ 
15.000,00 
3 5 6 5 R$ 
50.000,00 
 
 08. A solução da equação 0
213
42
142
x é x = 1 
 
 
12) ( UFSC ) Assinale as proposições CORRETAS. 
 
 01. O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do 
 sistema 



276y3x
92yx
 
 
 02. A matriz A = (aij)13, tal que aij = i –3j é 
 A =  852  . 
 
 04. A soma dos elementos da inversa da matriz 
 


10
11
 é igual a 2. 
 
 08. Uma matriz quadrada A se diz anti-simétrica se 
 tA = -A, sendo tA a transposta da matriz A. 
 Nessas condições pode-se afirmar que a matriz 
 








001
000
100
 é anti-simétrica. 
 
 16. Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as 
 listadas a seguir, para que PQ – R seja uma 
 matriz nula, o valor de x deve ser 2. 
 








2
1
3
,  53x , 

 
x20
116
, 


6
19
 
 
 32. A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais 
 que A = 5B. Nestas condições pode-se afirmar 
 que det(A) = 5det(B), sendo que det(A) e 
 det(B) designam, respectivamente, os 
 determinantes das matrizes A e B. 
 
13) ( UFSC ) Marque a(s) proposição(ões) 
 CORRETA(S). 
 
 01. Dada uma matriz A, de ordem m x n, e uma matriz 
 B de ordem n x p, a matriz produto A.B existe e é 
 de ordem m x p. 
 
 02. Se um sistema de equações possui mais equações 
 do que incógnitas, então ele é incompatível 
 (impossível). 
 
 04. A terna (2, 1, 0) é solução do sistema 
 
x y z
x y z
x y z
x y z
  
  
  
  





2 3 4
2 2 3
3 7
6 2 2 14
 
 
 08. Três pessoas foram a uma lanchonete. 
 A primeira tomou 2 (dois) guaranás e comeu 1 
 (um) pastel e pagou R$ 4,00. A segunda tomou 1 
 (um) guaraná e comeu 2(dois) pastéis e pagou R$ 
 5,00. A terceira tomou 2 (dois) guaranás e comeu 
 2(dois) pastéis e pagou R$ 7,00. Então, pelo 
 menos, uma das pessoas não pagou o preço 
 correto. 
 
 
14) ( FUVEST ) O sistema linear 
 
 




ayx
ayx
9log4log
3log2log 
 
a) tem solução única se a = 0 
b) tem infinitas soluções se a = 2 
c) não tem solução se a = 3 
d) tem infinitas soluções se a = 4 
e) tem solução única se a = 9 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática D Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 24
GABARITO – MAT D 
 
AULA 1 
 
1) R$ 45,20 2) 252 
3) 8 dias 
4) a) 20 b) 2 c) 240 d) 0,6 e) 0,06 f) 0,0025 g) 70% 
 
5) e 6) 08 7) b 8) a 9) a 10) a 11) a 
12) 44 13) 40 14) d 15) 02 
 
AULA 2 
 
1) 15 2) a) 9 b) 3 c) 8 3) 05 
4) c 5) d 6) a 7) 04 8) 02 
9) d 10) 08 11) 12 12) e 13) d 14) 60 
15) c 
 
AULA 3 
 
1) 24 2) 60 3) 24 4) 210 5) c 6) a 7) 28 
8) e 9) a 10) 30 11) 35 12) 12 13) d 14) a 
 
AULA 4 
 
1) 19 2) b 3) 13 4) 32 5) 04 6) c 
7) c 8) Cn, p 9) b 10) d 11) c 
 
AULA 5 
 
1) 280 2) 01 3) 37 4) a 5) e 6) a 
7) e 8) 01 9) c 10) a 
 
AULA 6 
 
 
1) a) – 5 b) 0 c) 38 2) – 4 3) 66 
4) 66 5) d 6) 00 7) d 8) 66 9) d 10) a 
 
AULA 7 
 
1) 23 2) 35 3) b 4) 11 5) 07 6) 04 
7) b 8) e 9) e 10) d 
 
AULA 8 
 
1) d 2) d 3) 08 4) c 5) c 6) c 7) 00 
8) b 9) e 10) 03 
 
AULA 9 
 
1) 
2 1 1 1
2 3 2 4 5
5 2 4 1
3 4 3 2 5
8 5 9 9
a b c d) ) ) )
                        
 
 
2) 34 3) 6 e 2 4) 36 
5) a) 2 2
2 2
X
     
 b) 3 0
4 1
X     
 3 3
5 1
Y     
 
6) 12 7) e 8) 12 9) d 10) e 11) b 
12) b 13) 9 17
10 12




 14) a 15) b 
AULA 10 
 
1) b 2) 05 3) 



00
00
 4) 01 5) 56 
6) a) 14 b) 11 c) 15 7) 03 8) 08 
9) 05 10) d 11) 01 12) 40 13) 32 14) 80 
15) 
0 0
0 0



 16) 56 17) 19 18) e 19) b 
 
AULA 11 
 
1) – 12 2) 6 3)c 4) 121 5) 36 6) a 7) b 
8) a 9) d 10) e 11) d 12) d 13) a 14) a 
15) 5 e – 1 16) d 17) 05 18) c 19) 05 20) ½ 
 
AULA 12 
 
1) 03 2) b 3) a 4) 02 5) 02 6) 26 7) a 
8) a 9) 09 10) 04 11) 09 12) 18 13) 13 14) c