FUNÇÃO - MATEMATICA

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1. 
Utilizamos a regra da cadeia quando temos uma composição de função. Considere a 
função f(x, y=3x2+ xy –2y2.A função fdepende das variáveis x, y, que dependem de t: 
x = 2t2–1 
e 
y = 2 –t2 
Dessa forma, determine dfdt. 
RESPOSTA: dfdt=2t(11x+6y) 
 
2. 
Considere a composição de funções z(t)=z(x(t),y(t)), em que z=x2+y2, x=e2t e y=e−2t. Para determinar a 
derivada dzdt, é possível efetuar composição de função para, então, derivar z(t), ou derivar z(x, y) pela 
regra da cadeia. Utilize os dois métodos para determinar dzdt. 
 
 
 
 
3. 
Uma forma de determinar a fórmula da regra da cadeia para uma função de várias variáveis é utilizando o 
diagrama de árvore. Considere a função f (x, y, z) = xy + yz + zx. Determine ∂f∂s quando t = 0 e s= 2, 
sabendo que x = s cost, y = s sent e z = s + t. 
B. 4. 
 
 
Resposta correta. 
A. 
–1,1. 
 
 
 
5. Utilize o diagrama de árvore para expressar a derivada ∂f∂r da função de três variáveis f(x, y, z), em 
que x(r, s, t), y(r, s, t) e z(r, s, t). 
 
 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
1. 
A otimização é um conceito que pode ser utilizado tanto no caso de uma variável quanto para várias 
variáveis. Os valores máximos e mínimos de uma função são denominados valores extremos e são 
obtidos analisando os pontos em que todas as derivadas parciais são nulas ou que pelo menos uma 
delas não existe. 
 
Nesse contexto, determine os extremos da função f(x,y) = x2 + xy + y2 + 3x - 3y + 4, identificando se é ponto 
de máximo, de mínimo ou de sela. 
A. 
f(- 3,3) = - 5, mínimo local. 
 
2. 
No estudo de funções, os extremos são os pontos mais baixos ou mais altos de seu gráfico e o processo 
de determinar tais valores extremos é conhecido como otimização. Seu cálculo envolve o conceito de 
derivadas de primeira e de segunda ordem e pode ser aplicado tanto para funções de uma ou de várias 
variáveis, mas para o segundo tipo de função, precisa-se calcular todas as derivadas parciais. 
Com base no exposto, determine os extremos da função f(x,y) = x2+ xy + 3x + 2y + 5, identificando se é 
ponto de máximo, de mínimo ou de sela. 
C. 
( -2,1), ponto de sela. 
3. 
Encontrar os extremos de uma função é determinar os valores mais altos ou mais baixos dessa função. 
Tanto no caso de uma variável quanto de várias variáveis, os extremos ocorrem nos pontos críticos da 
função, ou seja, onde as derivadas são nulas ou não existem. 
Nesse sentido, determine os extremos da funçãof(x,y) = 2xy -x2 -2y2 + 3x + 4, identificando se é ponto de 
máximo, de mínimo ou de sela. 
B. 
f(3,32)=172, máximo local. 
4. 
A modelagem matemática é uma ferramenta poderosa em problemas aplicados, pois possibilita 
descrever determinada situação de forma analítica, dando subsídios para uma tomada de decisão. Uma 
vez encontrada a função, podem-se aplicar as técnicas de otimização para determinar seus extremos, 
caso o interesse seja encontrar um custo mínimo ou um volume máximo, por exemplo. 
Nesse contexto, determine os extremos da função f(x,y) = 6x²-2x³+ 3y²+ 6xy, identificando se é ponto de 
máximo, de mínimo ou de sela. 
 
A. 
f(0,0) = 0, mínimo local e (1, -1) ponto de sela. 
 
5. 
Em muitas aplicações, é importante encontrar o valor de máximo ou de mínimo de uma função. Por 
exemplo, um comerciante pode estar interessado em ter custo mínimo e lucro máximo com a venda de 
determinado produto. Tanto para o caso de maximização quanto de minimização, a ideia envolvida é a de 
derivada. 
Nesse contexto, considere que uma caixa retangular de papelão sem tampa deve ser feita com 12m² de 
papelão. Determine o volume máximo de tal caixa. 
 
B. 4m3. 
 
1. 
No estudo de funções, o processo de otimização consiste em encontrar seus valores extremos, podendo 
estar sujeita ou não a uma restrição. Caso tenhamos restrição, a otimização pode ser realizada por um 
método denominado "multiplicadores de Lagrange". 
Nesse sentido, determine os extremos da função f(x , y)=x² – y² sujeita à restrição x² +y² = 1. 
B. Máximo f (± 1, 0) = 1 e mínimo f (0, ± 1) = –1. 
 
2. 
Frequentemente, no estudo de funções, é comum deparar-se com situações em que se necessita 
encontrar os seus extremos, ou seja, os maiores ou os menores valores no gráfico de uma função. Esse 
processo é realizado utilizando o conceito de derivadas, caso se tenha restrição, será necessário o 
cálculo do vetor gradiente. 
A partir disso, determine os extremos da função f(x, y)=x²y sujeita à restrição x² + 2y² = 6. 
D. Máximo f = 4 e mínimo f = –4. 
 
3. 
No estudo de funções, muitos conceitos definidos para funções de uma variável têm seu análogo para o 
caso de múltiplas variáveis, como, por exemplo, as derivadas ordinárias em uma variável e as derivadas 
parciais em várias variáveis. O mesmo ocorre para o processo de otimização, que é realizado por meio de 
derivadas, tanto para o caso de funções de uma variável quanto para funções de várias variáveis. 
Com base no exposto, determine os extremos da função f(x,y,z)= 2x+ 6y+ 10zsujeita à 
restrição x² +y² +z² = 35. 
C. Máximo em f (1, 3, 5) = 70 e mínimo em f (–1, –3, –5) = –70. 
 
4. 
O processo de otimização consiste na determinação dos valores extremos de uma função e pode ser 
realizado por meio do conceito de derivadas, tanto para o caso de funções de uma variável quanto para 
funções de várias variáveis. É preciso atentar-se, pois algumas situações envolvem restrições; nesse 
caso, deve-se utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. 
Diante disso, determine os extremos da função f(x,y,z) = xyz sujeita à restrição x² + 2y² + 3z² = 6. 
 
 
5. 
Frequentemente, situações aplicadas podem ser modeladas por meio de funções, o que permite utilizar 
as ferramentas inerentes a esse conceito para melhor analisá-las, como é o caso de problemas que 
envolvem otimização. A otimização pode ser aplicada, por exemplo, em uma fábrica de embalagens, se é 
preciso obter o volume máximo de uma caixa com uma quantidade de matéria prima predefinida para a 
sua produção. 
A partir desse contexto, considere que uma caixa retangular de papelão sem tampa deve ser feita com 
48m² de papelão. Determine o volume máximo dessa caixa. 
E. 32m3. 
 
Derivadas parciais 
1. As funções de várias variáveis são uma ferramenta poderosa na descrição de fenômenos naturais. 
C. ∂f∂x(1,−1)=4e∂f∂y(1,−1)=−3 
 
2. Ao lidar com derivadas parciais, é preciso estar atento à notação, pois existe mais de uma maneira de 
denotar uma mesma derivada parcial. 
 
 
3 . Assim como as funções de duas variáveis, uma função de três variáveis também tem derivadas 
parciais. 
 
 
4. No estudo de funções de várias variáveis pode-se calcular tanto derivadas parciais de primeira ordem 
quanto derivadas parciais de ordens superiores. 
 
 
5. Assim como nas funções de uma variável, as funções de várias variáveis também podem ser definidas 
de forma explícita ou implícita. 
 
 
Derivadas direcionais 
1. As derivadas direcionais são utilizadas em problemas em que há interesse em calcular a taxa de 
variação de uma função em um ponto dado e em uma direção especificada por um vetor unitário. 
 
A partir disso, considere um ponto sobre a superfície de equação f(x, y) = 2xy – y³ no ponto P(5, 5). Ao 
deslocar esse ponto ao longo da superfície, é possível observar que ele se move em taxas de valores 
diferentes, dependendo da direção do deslocamento. 
 
Com base no exposto, determine a taxa na qual o ponto se desloca na direção do versor: 
u⃗=(35,−45) 
 
C. 58. 
 
2. 
As derivadas parciais indicam as taxas de variação de uma função de várias variáveis na direção dos 
eixos coordenados. Já a derivada direcional indica o quanto a função varia em uma dada direção, ou seja, 
indica a taxa de variação da função nessa direção dada. 
 
Nesse contexto, determine a taxa variação da função f(x, y, z) = xy + yz + zx no ponto P(1,-1, 2) e na direção 
do vetor: 
v⃗=(3,6,−2) 
Resposta correta. 
A. 3. 
3. 
Dado um ponto no espaço definido por uma função, existem infinitas direções nas quais é possível deslocar e 
determinar a taxa cuja função varia naquela direção. Entretanto existe, em um dado ponto, uma única direção na 
qual a função cresce mais rapidamente, essa direção é denominada gradiente da função e, também, pode ser útil 
no cálculo da derivada direcional. 
 
Nesse sentido, encontre a direção na qual a função f(x, y) = x²+ xy + y² aumenta mais rapidamente no ponto (-1, 
1) e encontre a derivada direcional de f(x, y) nessa direção: 
 
 
 
4. 
No estudo de funções, é comum haver interesse em analisar crescimento e decrescimento a fim de avaliar suas 
taxas de variação. Dada uma função, pode-se determinar a direção na qual ela apresenta a menor variação 
possível. Tal direção é unicamente determinada, juntamente com a taxa mínima de variação. 
 
Diante disso, encontre a direção na qual a função 
f(x,y,z)=xy−yz 
diminui mais rapidamente no ponto (4, 1, 1). Encontre a derivada direcional de f(x, y, z) nessa direção: 
 
 
5. 
No estudo das funções de várias variáveis, o vetor gradiente fornece a direção em que a função cresce 
mais rapidamente, o que pode ser muito útil em problemas aplicados. 
 
Suponha que a temperatura varie em certa região de acordo com a função T(x, y) = x³- y³+ xy. 
 
Determine a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente no ponto (2,1):