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Prof, Duarte: Aula 1 - página 1 
3 Cálculo Numérico – Aula 1 Prof.: Duarte 
 
 
1 – Cálculo de raízes de equações transcendentes 
 
Calcular uma raiz consiste em determinar o(s) ponto(s) onde o gráfico da função corta o eixo x, ou seja, determinar 
f(x) = 0. Esse ponto é chamado de zero da função, pois sua imagem é zero. 
 
 
 
 
 
 
Equações podem ser de dois tipos: álgebras ou transcendentes. 
 
Equações algébricas podem ser expressas na forma de polinômios e sua resolução só envolve operações aritméticas 
básicas. 
Exemplos: f(x) = 2x + 15; f(x) = 5x4 + 12x3 – 8x + 9 
 
Equações transcendentes são equações expressas por funções que envolvem, além das algébricas, funções 
exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, etc.. 
Exemplos: f(x) = x + ex; f(x) = (2x + 3)2 + 4 cos(5x); f(x) = 2x – ln x; f(x) = cos(x) –x 
 
As equações transcendentes e as algébricas que não possuem formas algébricas para sua resolução é necessário 
recorrermos a processos numéricos. 
 
Dada uma função f(x), dizemos que x é a solução exata se 0)x(f  , ou seja, x é o ponto onde o gráfico de f(x) 
intercepta o eixo das abscissas. Se f(x) é função de duas outras funções, por exemplo, f(g) e f(h) então, x vai ser a 
projeção da intersecção dessas duas funções no eixo horizontal x. Veja exemplo abaixo. 
 
 
 
 
 
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1.1 Método da Dicotomia 
 
Este método consiste em isolar um intervalo no qual esteja contida uma única raiz. Através da diminuição sucessiva da 
amplitude do intervalo, vamos localizar a raiz com um erro aproximado , pré-fixado. 
 
 
Para a determinação da primeira aproximação, em geral, usamos o gráfico da função representada pela sua equação. 
Normalmente usamos como primeira aproximação (x0) o ponto médio entre a e b. 
 
 
 
 
Teorema de Bolzano 
 
“Se f(x) é contínua em [a , b] , f (a) e f (b) tem sinais contrários, então existe uma raiz x no intervalo [a , b].” 
Tome sempre a a); 
2 –  é o erro absoluto; 
3 – Paramos os cálculos quando 005,0 (dado do problema); 
4 – Em x usamos as regras de arredondamento; 
5 – No erro  sempre arredondamos para mais, a fim de garantir que o resultado estará dentro do intervalo de erro; 
6 – n = 0, 1, 2..... é o número de iterações; 
7 – Comece determinando o sinal de f(a) fazendo x = a em f(x) e o de f(b) fazendo x = b. Coloque os sinais de a e b na 
tabela. Eles sempre serão contrários. 
No caso f(a) = f(1) é negativo e f(b) = f(2) é positivo. 
8 – Determine o sinal de f(x) substituindo x em x; Obs. coloquei o resultado todo para você ver se fez a conta certa. 
9 – Na iteração seguinte tomamos a ou b como x , o que tiver o mesmo sinal de f(x); 
10 – Use a calculadora em radianos e ajuste o número de casas decimais. Use uma casa decimal a mais que o erro . 
5x3)x(f  
n a ( – ) b ( + ) 
2
ba
x

 
2
ab 
  f(x) 
0 1,0000 2,0000 1,5000 0,500 –0,5 
1 1,5000 2,0000 1,7500 0,250 +0,25 
2 1,5000 1,7500 1,6250 0,125 –0,125 
3 1,6250 1,7500 1,6875 0,063 +0,0625 
4 1,6250 1,6875 1,6563 0,032 –0,0311 
5 1,6563 1,6875 1,6719 0,016 +0,0127 
6 1,6563 1,6719 1,6641 0,008 –0,0077 
7 1,6641 1,6719 1,6680 0,004 # 
 
O erro ficou menor que 0,005. Como o número de casas decimais de x tem de ser o mesmo do erro. 
A resposta é:  xx 005,0668,1x  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2) Ache a raiz da equação 01xxsin  , com 01,0 . 
 
1xxsin01xxsin  ;  
)x(h)x(g
1xxsin  







1x)x(h
xsin)x(g
1xxsin)x(f A raiz x é a projeção no eixo x da intersecção dessas duas funções. 
Para determinarmos a e b devemos fazer o gráfico. 
 
 
Observações: 
1 – Tiramos do gráfico: a = – 1 e b = 0; 
2 – Determinamos o sinal de f(a) e f(b). 
f(a) = f(-1) 0 
3 – Calcule 
2
ba
x0

 ; 
4 – Calcule o erro 
2
ab 
 , (sempre arredonde para mais); 
5 – Paramos de calcular quando 01,0 ; 
6 – Como em f(x) existe uma função trigonométrica use a calculadora em RADIANOS. 
1xxsin)x(f  
n a ( – ) b ( + ) 
2
ba
x

 
2
ab 
  f(x) 
0 -1,000 0,000 -0,500 0,500 +0,0206 
1 -1,000 -0,500 -0,750 0,250 –0,4316 
2 -0,750 -0,500 -0,625 0,125 –0,2101 
3 -0,625 -0,500 -0,563 0,063 –0,0967 
4 -0,563 -0,500 -0,532 0,032 –0,0393 
5 -0,532 -0,500 -0,516 0,016 –0,0094 
6 -0,516 -0,500 -0,508 0,008 # 
 
O erro ficou menor que 0,01. 
 
A resposta é:  xx 01,051,0x  
 
Observação: em f(x) coloquei o resultado todo para você ver se fez a conta certa. 
 
 
 
 
 
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3) Ache a raiz da equação 0xe2 3x  , com 01,0 . 
 
  3x3x xe20xe2
3x x)x(h e e2)x(g   
Gráfico para determinar a e b. 
 
Temos a = 0,5 e b = 1. Então temos: f(a) = f(0,5) > 0 e f(b) =f(1) 0 e f(b) =f(2)aproximações praticamente iguais. 
 
 
 
 
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Exercícios: 
 
5) Resolver a equação 0x2xxln 2  , sendo 001,0 . 
 
0x2xxln 2  
 
x2xxln 2  
 
Então temos: xln)x(g  e x2x)x(h 2  
 
Agora fazemos o gráfico de g(x) e h(x). 
 
 
Tomaremos a = 1 e b = 2. 
 
x2xxln)x(f 2  A derivada é: 2x2
x
1
)x('f  
Observações: 
1 – Use sempre a calculadora em radianos. 
2 – Para x0 adote o ponto médio de [a , b]. Isso não é obrigatório, poderia ser qualquer outro ponto entre a e b, mas é 
o mais simples. 
3 – Vamos convencionar que usaremos )x(f i e )x('f i com uma casa decimal a mais que o erro. Quanto a xi vamos 
usar o mesmo número de casas decimais que o erro. 
4 – Como regra prática paramos quando temos duas aproximações praticamente iguais. 
 



2
ba
x0 


2
21
x0 5,1x0  
 
Cálculo da primeira aproximação (x1). 
 0
2
000 x2xxln)x(f  )5,1(25,15,1ln)x(f 2
0 3445,0)x(f 0  (quatro casas decimais) 
 2x2
x
1
)x('f 0
0
0  2)5,1(2
5,1
1
)x('f 0 6667,1)x('f 0  (quatro casas decimais) 

)x('f
)x(f
xx
0
0
01 


6667,1
3445,0
5,1x1 Com 3 decimais ( 001,0 ) 707,1x1  
 
Cálculo da segunda aproximação (x2). 
 1
2
111 x2xxln)x(f  )707,1(2707,1707,1ln)x(f 2
1 0346,0)x(f 1  
 2x2
x
1
)x('f 1
1
1  2)707,1(2
707,1
1
)x('f 1 9998,1)x('f 1  

)x('f
)x(f
xx
1
1
12 
9998,1
0346,0
707,1x2 Com 3 decimais: 690,1x2  
 
Cálculo da terceira aproximação (x3). 
 2
2
222 x2xxln)x(f  )690,1(2690,1690,1ln)x(f 2
2 0008,0)x(f 2  
 2x2
x
1
)x('f 2
2
2  2)690,1(2
690,1
1
)f'(x 2 9717,1)f'(x2  

)x('f
)x(f
xx
2
2
23 
9717,1
0008,0
690,1x3 Com 3 decimais 690,1x3  . 
Ficou igual a x2, portanto:  3xx 001,0690,1x  
 
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Para a resolução do exercício ficar menor podemos fazer os cálculos e indicar tudo numa tabela. 
 
 x2xxln)x(f 2  2x2
x
1
)x('f  
)x('f
)x(f
xx
n
n
n1n  
x0 = 1,5 3445,0)x(f 0  6667,1)x('f 0  707,1x1  1a aproximação 
707,1x1  0346,0)x(f 1  9998,1)x('f 1  690,1x2  2a aproximação 
690,1x2  0008,0)x(f 2  9717,1)f'(x2  690,1x3  3a aproximação 
 
 3xx 001,0690,1x  
 
6) Refaça o exercício anterior levando em conta que a raiz exata está bem mais próximo de 2 do que de 1. Desse modo 
dá para usar x0 = 1,7. Considerando isso refaça o exercício anterior. Você verá que acha a raiz já na segunda 
aproximação (x2) e o resultado encontrado será o mesmo. O único risco é que se o gráfico não for bem feito não dará 
para fazer avaliação de que xo = 1,7 e, portanto, seria mais garantido usar o ponto médio entre a e b. 
 
 x2xxln)x(f 2  2x2
x
1
)x('f  
)x('f
)x(f
xx
n
n
n1n  
7,1x0  1a aproximação 
1x 2a aproximação 
 
 2xx 001,0690,1x  
 
 
7) Resolver a equação 0xlnxcos2  , sendo 001,0 . 
 
 
 
 0xlnxcos2 xlnxcos2  . 
 
Neste caso temos: 
 
 g(x) = 2 cos x e h(x) = ln x. 
 
O gráfico é: 
 
 
 
 
Tomaremos a = 1 e b = 2. 
 
Para x0 adote o ponto médio de [a , b]. Isso não é obrigatório, poderia ser qualquer outro ponto entre a e b, mas é o 
mais simples. 



2
ba
x0 


2
21
x0 5,1x0  
Como 001,0 vamos usar f(xi) e f’(xi) com quatro casas decimais e xi com três. 
Temos: xlnxcos2)x(f  ; 
x
1
x sen2)x('f  e 
)x('f
)x(f
xx
n
n
n1n  
 
 xlnxcos2)x(f  
x
1
x sen2)x('f  
)x('f
)x(f
xx
n
n
n1n  
x0 = 1,5 2640,0)x(f 0  6617,2)x('f 0  401,1x1  1a aproximação 
401,1x1  0008,0)x(f 1  6850,2)x('f 1  401,1x2  2a aproximação 
 
001,0401,1x  
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8) Determinar a raiz entre 0 e 1 da equação 0x5xe 2x  , sendo   0,0001. Observação, tem outra raiz entre 
2 e 3 que não foi pedida para calcular. 
 
x5xe)x(f 2x  ; 5x2e)x('f x  ; 
)x('f
)x(f
xx
n
n
n1n  
)x(f i e )x('f i com cinco casas decimais e xi com quatro casas decimais. 



2
ba
x0 


2
10
x0 5,0x0  
 
 x5xe)x(f 2x  5x2e)x('f x  
)x('f
)x(f
xx
n
n
n1n  
5,0x0  1a aproximação 
1x 2a aproximação 
2x 3a aproximação 
 
0001,02805,0x  
 
9) Dada a equação 03183,0xx3  ,   0,001, determine qual a raiz entre 0,3 e 0,4. 
 
3183,0xx)x(f 3  ; 1x2)x('f 2  ; 
)x('f
)x(f
xx
n
n
n1n  



2
ba
x0 


2
4,03,0
x0 35,0x0  
 
 3183,0xx)x(f 3  1x2)x('f 2  
)x('f
)x(f
xx
n
n
n1n  
35,0x0  1a aproximação 
1x 2a aproximação 
2x 3a aproximação 
 
001,0368,0x  
 
10) Dada a equação 03x3x3  , determine com   0,001, a raiz entre –2 e –3. 
 
3x3x)x(f 3  ; 3x3)x('f 2  ; 
)x('f
)x(f
xx
n
n
n1n  



2
ba
x0 


2
32
x0 5,2x0  
 
 f(x) = f’(x) = 
)x('f
)x(f
xx
n
n
n1n  
5,2x0  1a aproximação 
1x 2a aproximação 
2x 3a aproximação 
 
001,0104,2x 