UN02

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Unidade 2 
Métodos clássicos da análise 
de estruturas hiperestáticas 
 
 
Introdução da Unidade 
 
Olá, alunos(as)! Sejam bem-vindos(as) à disciplina de Mecânica dos Sistemas Estruturais III. 
Nesta disciplina, iremos abordar alguns conceitos da resistência dos materiais utilizadas para o 
dimensionamento de elementos estruturais, seja qual for o material. Para tanto, vamos iniciar 
com os conceitos básicos, passando para os métodos usuais de cálculo de solicitações, em 
especial para as estruturas hiperestáticas. Com isso, vamos unir aos conhecimentos teóricos 
adquiridos até agora, para ter um leque de ferramentas importantes na hora de conceber um 
sistema estrutural, ou até para analisar um sistema estrutural existente. 
Nesta unidade, vamos apresentar os conceitos necessários para solucionar problemas de vigas 
hiperestática, utilizando o método dos esforços. 
Objetivos 
 Introduzir o estudo das análises estruturais de elementos estruturais estaticamente 
indeterminados; 
 Apresentar os conceitos necessários para a resolução de problemas com elementos 
estruturais estaticamente indeterminados; 
 Apresentar os métodos básicos de análise de estruturas estaticamente 
indeterminadas; 
 Comparar alguns pontos convergentes entre as estruturas isostáticas e estruturas 
hiperestáticas. 
 
Conteúdo programático 
Aula 01 – Introdução à análise estrutural 
Aula 02 – Conceitos básicos 
REFERÊNCIAS 
HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 10ª ed. São Paulo: Pearson, 2018. 
HIBBELER, R.C. Análise das estruturas. 8ª ed. São Paulo: Pearson, 2013. 
MARTHA, Luiz F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro: Elsevier, 
2010. 
SORIANO, Humberto L. LIMA, Silvio de S. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. 
Rio de Janeiro: Elsevier, 2010. 
ROSSI, Mariana L., VANALLI, Leandro, SCOARIS, Mario R. APLICAÇÃO DO SOFTWARE SAP2000® 
PARA ANÁLISE DE ESFORÇOS EM ELEMENTOS ESTRUTURAIS DE CONCRETO ARMADO. Artigo 
publicado no XXV EAIC/V EAICJr UEM, Umuarama/PR: 2016. Disponível em: . Acesso em: 6 de setembro de 
2019. 
 
http://www.eaic.uem.br/eaic2016/anais/artigos/1255.pdf
 
 
Aula 1 Introdução à análise estrutural 
 
Para alcançar os objetivos de um projeto estrutural, devem ser respeitadas e elaboradas 
diversas etapas, desde sua concepção inicial até a documentação (projetos, memoriais) que 
habilitam a sua construção. Uma das principais etapas, que dará bases para a continuidade do 
dimensionamento e detalhamento é chamada de análise estrutural. 
É na análise estrutural que é feita a previsão do comportamento de um elemento ou 
de um sistema estrutural seja ele qual for sempre visando que o mesmo cumpra com 
excelência suas condições de segurança e utilização para a qual foi concebido. 
A análise estrutural se baseia na idealização do comportamento de uma estrutura, 
expresso por vários parâmetros como seus campos de tensões, deformações e 
deslocamentos na estrutura. 
Dessa forma, a determinação dos esforços internos e externos (dados pelas reações de 
apoio e cargas), de suas tensões correspondentes, dos deslocamentos e suas 
deformações para a estrutura projetada, em seus possíveis estágios de carregamento e 
solicitações predeterminados, são os objetivos que devem ser alcançados durante a 
análise estrutural. 
Para facilitar a análise estrutural, são formados modelos baseados em estruturas 
reticuladas (estruturas formadas por barras), que é um modelo mais comum de 
estruturas, encontrados em coberturas ou em um sistema estrutural metálico de um 
edifício, por exemplo. 
Em alguns casos, como estruturas de edifícios em concreto armado, mesmo os 
elementos não podendo ser considerados como um sistema de barras, é feita a análise 
de seu comportamento global, ou parcial, utilizando o modelo de barras, com as 
devidas considerações e adequações. 
 
 
 
Leitura Obrigatória 
Para relembrar seus conhecimentos e conceitos sobre a análise de estruturas 
estaticamente determinadas, leia o Capítulo 2 do Livro “Análise das estruturas”, de 
RIBBELER. 
Disponível em: 
 
 
https://bv4.digitalpages.com.br/?page=24&section=0#/legacy/9788581431277
 
 
Nos casos onde as estruturas reticuladas são estaticamente indeterminadas, elas são 
chamadas de estruturas hiperestáticas. Dentre as estruturas hiperestáticas mais 
comuns, podemos citar: 
 Treliças (com todas as barras articuladas em sua extremidade); 
 Pórticos ou quadros (planos e espaciais); 
 Grelhas (estruturas planas, com cargas fora do plano). 
A resolução das estruturas hiperestáticas é geralmente realizada através dos métodos 
clássicos conhecidos como: Método das Forças e Método dos deslocamentos, que 
serão estudados nesta e na próxima unidade, respectivamente. Os métodos 
consideraram apenas as cargas estáticas, admitindo um comportamento linear para a 
estrutura (análise de pequenos deslocamentos e materiais elástico-lineares). 
Além dos assuntos abordados nesta disciplina, é importante que relembremos alguns 
temas da resistência dos materiais e da análise estrutural básica, como: estruturas 
isostáticas, equilíbrio estático, esforços internos, tensões e deformações. 
De acordo com Martha (2010), a análise estrutural trabalha dentro de quatro níveis de 
abstração para analisar uma estrutura, comparando situações reais com modelos 
virtuais, conforme ilustra a Figura 01. 
 
 
 
Figura 01: Os quatro níveis de abstração para uma estrutura em análise. 
 
Fonte: Adaptado de Martha, 2010. 
 
Modelo Real 
Videoaula 1 
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estudos da análise estrutural. 
 
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O primeiro nível de abstração, que considera a Estrutura Real, representa a estrutura 
tal como ela é ou será construída, servindo de parâmetro para análise estrutural. 
 
Modelo Estrutural 
O segundo nível, chamado de Modelo estrutural, que pode ser também chamado de 
modelo matemático, trata-se de um modelo analítico, que representa 
matematicamente a estrutura a ser analisada. 
Este modelo abrange todas as teorias e hipóteses (baseadas em leis físicas). Utilizadas 
para descrever o comportamento da estrutura em análise, de acordo com as diversas 
solicitações a que está submetida. As leis físicas que baseiam as hipóteses no modelo 
estrutural podem ser: as leis constitutivas dos materiais utilizados na estrutura, o 
equilíbrio entre forças e tensões ou as relações de compatibilidade entre deformações 
e deslocamentos. 
A etapa de modelagem estrutural é uma das mais importantes atividades dentro da 
análise estrutural e sua dificuldade está diretamente ligado à complexidade da 
edificação em questão. Quanto maior o número de detalhes ou de especificidades na 
estrutura analisada, mais complexo e trabalhoso é a sua modelagem. 
Estruturas usuais do nosso dia a dia, como prédios residenciais de pequeno porte, 
podem ser modelados de maneira relativamente simples, através de barras que 
representam suas vigas e barras que representam seus pilares. 
Para idealizar o comportamento de uma estrutura real no modelo estrutural, devem 
ser lançadas diversas hipóteses simplificadoras, baseadas em teorias físicas e 
resultados experimentais, dos quais podemos listar: 
 Hipóteses relacionadas à geometria do modelo; 
 Hipóteses relacionadas às condições de apoio e suporte; 
 Hipóteses relacionadas ao comportamento dos materiais empregados; 
 Hipóteses relacionadas às solicitações atuantes na estrutura (os diversos 
carregamentos aplicados à estrutura). 
Para as estruturas reticuladas, devem ser observadas algumas características 
específicas para os modelos estruturais. O modelo baseia-se na afirmação de que os 
elementos estruturais tenham um eixo bem definidos, influenciando o seu 
comportamento de acordo com a solicitaçõesapresentadas. A Figura 02 apresenta um 
exemplo de um modelo estrutural de um pórtico, geralmente utilizados no projeto de 
galpões, comparado com o modelo real da estrutura. 
Figura 02: Estrutura real de um pórtico e seu modelo estrutural. 
 
 
 
Fonte: Adaptado de Martha, 2010. 
No exemplo, é possível verificar que as vigas e colunas do modelo real, são 
representadas apenas por barras indicando os seus eixos, no modelo estrutural. As 
propriedades dos elementos estruturais, como por exemplo, suas dimensões, é 
representada no modelo através de propriedades globais, como por exemplo do 
momento de inércia da seção. 
As outras considerações referentes às hipóteses simplificadoras podem ser muito 
complexas, como o caso da representação de solicitações, que podem ter uma 
simplificação muito diferente ou muito próxima da situação real. O comportamento 
dos materiais, ou a interação com elementos de fundação (chamadas condições de 
apoio), também possuem essa dificuldade na simplificação. 
Tomando a Figura 02 como exemplo, os carregamentos devido ao vento são 
representados pelos carregamentos horizontais. No desenho, eles indicam uma 
direção de atuação, porém, como sabemos, na realidade podem ser considerados em 
diversas orientações. 
Dessa forma, podemos concluir que existem diversas maneiras a ser modelada uma 
estrutura, onde mais do que existir o certo e o errado, existam os modelos que melhor 
ou pior representam a situação real de uma estrutura. O conhecimento do projetista, a 
complexidade da geometria da estrutura e de seus carregamentos são fatores 
preponderantes para uma eficiente modelagem estrutural. 
 
 
Videoaula 2 
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análise estrutural através de modelos 
estruturais. 
 
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Modelo Discreto 
O modelo discreto para análise estrutural é realizado dentro das metodologias de 
cálculo dos métodos de análise. 
Nesta etapa da abstração, substitui-se o comportamento analítico do modelo 
estrutural por um comportamento discreto, onde as soluções analíticas contínuas são 
representadas por valores discretos dos parâmetros adotados. Chamamos de 
discretização a mudança do modelo matemático para o modelo discreto. 
De acordo com o método utilizado para resolver as estruturas hiperestáticas (método 
das forças ou dos deslocamentos), utiliza-se parâmetros diferentes. No método os 
deslocamentos, os parâmetros utilizados são deslocamentos ou rotações, enquanto no 
método das forças, são adotados como parâmetros forças ou momentos. 
 
A Figura 03 apresenta um exemplo de discretização para um pórtico, através do 
método das forças. Por se tratar deste método, adotaram-se como parâmetros forças 
e momentos redundantes (forças e momentos associados a vínculos excedentes da 
estrutura hiperestática), garantindo assim o equilíbrio estático da estrutura. Pode-se 
chamar tais parâmetros de parâmetros hiperestáticos. 
 
Figura 03: Discretização pelo método das forças em um pórtico hiperestático. 
 
Fonte: Adaptado de Martha, 2010. 
 
 
 
Veja que a discretização apresentada na Figura 03 baseia-se na superposição dos 
efeitos das forças aplicadas ao pórtico, considerando cada um deles como pórticos 
isostáticos. No exemplo, foram adotados os hiperestáticos das reações de apoio 𝑀𝐴 e 
𝐻𝐵. 
Cada solução básica isola um parâmetro ou efeito. No exemplo da Figura 03, foram 
isolados: 
 O efeito do carregamento, isolado no caso (0); 
 O efeito do hiperestático 𝑀𝐴, isolado no caso (1); 
 O efeito do hiperestático 𝐻𝐵, isolado no caso (2). 
Ainda na Figura 03, podemos observar uma linha tracejada em cada um dos pórticos. 
Ela representa a configuração deformada do pórtico, em escala ampliada, que pode 
ser chamada de elástica. A elástica é obtida pela superposição dos efeitos de cada 
hipótese básica (no exemplo, os casos 0, 1 e 2). 
Veremos com maiores detalhes o Método das Forças no decorrer de nossa disciplina. 
Já quando se tratar do método dos deslocamentos, para solucionar problemas de 
estruturas reticuladas hiperestáticas, a discretização é feita através de valores de 
deslocamentos e rotações, chamados de deslocabilidades, em cada um dos nós da 
estrutura. Consideramos nós todos os encontros entre barras da estrutura. 
A Figura 04 apresenta o exemplo de um pórtico solucionado através do método dos 
deslocamentos. 
Neste caso, as deslocabilidades adotadas são os deslocamentos horizontais dos nós 
superiores, chamados de Δ𝐶
𝑥 e Δ𝐷
𝑥 , além dos deslocamentos verticais destes mesmos 
nós, chamados Δ𝐶
𝑦
 e Δ𝐷
𝑦
 e as rotações dos nós livres ao giro: 𝜃𝐵, 𝜃𝐶 e 𝜃𝐷. 
Figura 04: Discretização pelo método dos deslocamentos em um pórtico hiperestático. 
 
Fonte: Adaptado de Martha, 2010. 
 
 
 
No exemplo da Figura 04, a configuração deformada da estrutura é representada por 
uma solução contínua do modelo matemático. Os valores das deslocabilidades nodais 
representam a solução discreta deste problema. 
No método dos deslocamentos, a solução contínua pode ser obtida pela interpolação 
dos valores discretos dos deslocamentos e rotações nodais, desde que considerados os 
efeitos da carga distribuída na barra horizontal. 
Em via de regra, a solução obtida por interpolação é igual à solução analítica do 
modelo estrutural, para estruturas reticuladas de barras prismáticas, devido ao fato 
das funções de interpolação que definem a configuração deformada contínua serem 
compatíveis com a idealização matemática do comportamento das barras, feita pela 
Resistência dos Materiais. 
Veremos com maiores detalhes o Método dos Deslocamentos no decorrer de nossa 
disciplina. 
 
Leitura Obrigatória 
Para aprofundar seus conhecimentos sobre os métodos de análise estrutural de 
estruturas estaticamente indeterminadas, leia o capítulo 7 do livro “Análise das 
estruturas”, de RIBBELER. 
Disponível em: 
 
Quando nossa estrutura se tratar de uma estrutura contínua (que não são compostas 
por barras), a forma utilizada para fazer a discretização na análise estrutural é 
chamada de método dos elementos finitos. 
No método dos elementos finitos, o modelo discreto é obtido através da subdivisão do 
domínio da estrutura em subdomínios, denominados de elementos finitos, onde 
temos formas simples e planas (geralmente triângulos ou quadriláteros), denominada 
malha de elementos finitos, junto com os parâmetros que representam a solução 
discreta (valores de deslocamentos nos nós – vértices – da malha). A Figura 05 
apresenta um exemplo de uma estrutura contínua, que possui um furo, discretizada 
pelo método dos elementos finitos. 
Figura 05: Discretização pelo método dos elementos finitos para uma estrutura 
contínua. 
https://bv4.digitalpages.com.br/?page=24&section=0#/legacy/9788581431277
 
 
 
Fonte: Adaptado de Martha, 2010. 
Podemos ver, pelo exemplo da Figura 05, que o método dos elementos finitos para 
estruturas contínuas é bem diferente e muito mais complexo que as discretizações 
para as estruturas chamadas reticuladas, (como as treliças, pórticos ou grelhas), pois 
podemos definir facilmente em uma estrutura formada por barras, onde estão seus 
nós (nos pontos de encontros das barras), enquanto nos modelos de estruturas 
contínuas, estes nós são obtidos pela discretização do domínio da estrutura, em forma 
de uma malha. 
 Apesar de mais complexo, o método dos elementos finitos com a adoção de um 
modelo discreto de elementos finitos é uma aproximação para a solução analítica da 
teoria da elasticidade, enquanto as soluções dos modelos discretos para estruturas de 
barras prismáticas são iguais à solução analítica da Resistência dos materiais. 
 
 
Videoaula 3 
Agora, assista ao vídeo que aborda a 
análise estrutural através de modelos 
discretos. 
 
Utilize o QR Code para assistir!Modelo Computacional 
Atualmente, a utilização de programas para análise estrutural é realizada em 
praticamente todos os escritórios de projetos de estruturas. As primeiras utilizações do 
computador para realizar tal análise foram na década de 1960. 
É claro que precisamos saber os conceitos e como funcionam os métodos clássicos da 
análise estrutural, até mesmo para entender como são realizados tais procedimentos 
através dos computadores, inserindo os dados necessários de forma correta. Porém, 
devido à necessidade de serem feitos cada vez mais cálculos e cada vez mais rápidos, a 
análise estrutural, seja de estruturas reticuladas ou principalmente de estruturas 
contínuas, sem a utilização de softwares computacionais pode ser considerada 
atualmente inviável. 
Diversos são os softwares para análise estrutural através do modelo computacional. O 
SAP 2000 é um dos softwares mais antigos e mais utilizados na atualidade, que possui 
uma interface intuitiva, que facilita o usuário a fazer uma correta análise estrutural, 
para qualquer tipo de estrutura. 
Leitura Obrigatória 
Para aprofundar seus conhecimentos sobre aplicação de software para análise de 
elementos estruturais, leia o artigo “APLICAÇÃO DO SOFTWARE SAP2000® PARA 
ANÁLISE DE ESFORÇOS EM ELEMENTOS ESTRUTURAIS DE CONCRETO ARMADO”. 
Disponível em: 
Indicação de Vídeo 
Assista ao vídeo “SAP2000 - Apresentação do software”, para ter uma pequena noção 
de como atua o software SAP2000 na análise estrutural através de modelos 
computacionais. 
 
Disponível em: , Duração: 3:16. 
 
http://www.eaic.uem.br/eaic2016/anais/artigos/1255.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=MGNJ_2AX9p8
 
 
Aula 2 Conceitos básicos 
Antes de passarmos para o entendimento dos métodos usuais para análise de estruturas 
indeterminadas, vamos abordar alguns conceitos fundamentais para compreensão do 
conteúdo destes métodos. 
Além disso, como dito na aula 01 desta unidade, é importante que sejam relembrados 
alguns assuntos referentes à resistência dos materiais como: definições de tensões e 
esforços internos (momentos fletores e torçores, esforços cortantes e normais), além 
da análise estrutural de estruturas isostáticas (chamadas estruturas estaticamente 
determinadas). 
 
Classificação dos modelos de estruturas reticuladas 
Chamamos de estruturas reticuladas aquelas formadas por barras. Em nossos estudos, 
geralmente vamos encontrar arranjos estruturais em forma de quadros ou pórticos 
planos, que representa uma estrutura tridimensional. 
Podemos utilizar os quadros para representar uma parte de uma estrutura, 
configurando uma simplificação do comportamento tridimensional. Para tanto, as 
estruturas dos quadros devem estar contidas no mesmo plano, assim como suas 
cargas (Planos X, Y e Z). Podemos ver esta afirmação exemplificada na Figura 01, onde 
apresenta-se um quadro plano com seus eixos globais, cargas, reações, deslocamentos 
e rotações. 
Figura 01: Quadro plano e seus eixos globais, cargas, reações, deslocamentos e 
rotações de um quadro plano. 
 
Fonte: Adaptado de Martha, 2010. 
Além disso, podemos observar na Figura 01 a configuração deformada de uma 
estrutura, em escala exageradamente ampliada, representada pela linha tracejada. 
Junto a elas, estão representadas as componentes de deslocamento e rotações dos 
pontos extremos das barras (os chamados nós). 
 
 
Como na simplificação não consideramos deslocamentos na direção transversal do 
plano do quadro, podemos listar os seguintes componentes de deslocamentos e 
rotações: 
 Δ𝑥: deslocamento na direção global do eixo x; 
 Δ𝑦: deslocamento na direção global do eixo y; 
 θ𝑧: rotação em torno do eixo global z. 
Consideramos também para este tipo de modelo estrutural que as ligações entre suas 
barras são rígidas, exceto em casos onde estejam inseridas liberações específicas 
(como articulações, por exemplo). Portanto, duas barras ligadas por um mesmo nó 
possuem deslocamentos e rotações compatíveis em sua ligação. 
Em relação aos esforços internos em quadros planos, estes estão associados ao 
comportamento da estrutura, onde existam apenas três esforços internos em uma 
barra de um pórtico plano, de acordo com as direções dos eixos locais da barra, 
conforme pode ser observado na Figura 02: 
 Esforço interno axial, chamado Esforço Normal, na direção do eixo local 
x; 
 Esforço interno transversal, chamado Esforço Transversal, na direção 
local do eixo local y; 
 Esforço interno de flexão, chamado Momento Fletor, em torno do eixo 
local z. 
Figura 02: Quadro plano, seus eixos locais e esforços internos. 
 
Fonte: Adaptado de Martha, 2010. 
Os esforços internos representam o efeito de forças e momentos entre duas partes de 
uma estrutura reticulada, em um ponto da seção transversal. Dessa forma, os esforços 
internos resultantes em cada lado desta seção, devem ser iguais e com sinais 
contrários, correspondendo à reação de uma ação. 
 
 
No caso de treliças planas (Figura 03), que são estruturas reticuladas com todas as suas 
barras articuladas, são analisadas as cargas atuantes transferidas para seus nós. Desta 
forma, as treliças apresentam apenas os esforços internos axiais: esforços normais de 
compressão ou tração. 
Essa consideração de ligações articuladas em alguns casos trata-se de simplificações na 
análise estrutural, já que podemos encontrar casos sem articulações nos nós das 
treliças. 
Figura 03: Treliça plana e seus eixos globais, cargas, reações e esforços internos 
normais. 
 
Fonte: Adaptado de Martha, 2010. 
As grelhas são estruturas reticuladas planas, com cargas perpendiculares ao seu plano, 
incluindo momentos em torno dos eixos do plano. Geralmente, consideramos os 
planos da grelha com os eixos x e y, e as cargas das reações de apoio no eixo Z. 
Consideramos que as grelhas não apresentam deslocamentos dentro do seu plano, 
conforme podemos verificar na Figura 04, apresentando os seguintes deslocamentos e 
rotações: 
 Δ𝑧: deslocamento na direção do eixo global z; 
 θ𝑥: rotação em torno do eixo global x; 
 θ𝑦: rotação em torno do eixo global y. 
 
Figura 04: Grelha e seus eixos globais, cargas, reações e esforços internos normais. 
 
 
 
Fonte: Adaptado de Martha, 2010. 
Além disso, consideramos também as grelhas com ligações rígidas, possibilitando a 
inclusão de articulações de acordo com a configuração necessária, que pode liberar 
uma ou duas componentes de rotação. 
Os esforços internos existentes em estruturas de grelhas são apresentados de acordo 
com os eixos de convenção, apresentados na Figura 05: 
 Esforço interno transversal, chamado Esforço Cortante (Q𝑧), na direção 
do eixo local z; 
 Esforço interno de flexão, chamado Momento Fletor (𝑀𝑦), na direção 
do eixo local y; 
 Esforço interno de torção, chamado Momento Torçor (T𝑥), na direção 
do eixo local x; 
Figura 05: Grelha, seus eixos locais e esforços internos. 
 
Fonte: Adaptado de Martha, 2010. 
 
 
Comparando os componentes dos tipos de esforços internos, deslocamentos e 
rotações entre quadros planos e grelhas, temos a situação apresentada na Tabela 01: 
Tabela 01: Comparação dos esforços internos, deslocamentos e rotações entre grelhas 
e quadros planos. 
 QUADRO PLANO GRELHAS 
Deslocamento em X Δ𝑥 Δ𝑥 = 0 
Deslocamento em Y Δ𝑦 Δ𝑦 = 0 
Deslocamento em Z Δ𝑧 = 0 Δ𝑧 
Rotação em torno de X 𝜃𝑥 = 0 𝜃𝑥 
Rotação em torno de Y 𝜃𝑦 = 0 𝜃𝑦 
Rotação em torno de Z 𝜃𝑧 𝜃𝑧 = 0 
Esforço normal 𝑁 = 𝑁𝑥(𝑥 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙) N=0 
Esforço cortante 𝑄 = 𝑄𝑦(𝑦 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙) 𝑄 = 𝑄𝑧(𝑧 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙) 
Momento fletor 𝑀 = 𝑀𝑧(𝑧 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙) 𝑀 = 𝑀𝑦(𝑦 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙) 
Momento torçor 𝑇 = 0 𝑇 = 0 
Fonte: Adaptado de Martha, 2010. 
Existe ainda um outro tipo de estrutura reticulada, chamado de quadros ou pórticos 
espaciais, representados naFigura 06, onde cada ponto do quadro pode ter três 
componentes (Δ𝑥, Δ𝑦 , Δ𝑧) de deslocamento e três componentes de rotação 
(𝜃𝑥 , 𝜃𝑦, 𝜃𝑧), além de 6 esforços internos em suas barras, sendo eles: 
 Esforço Normal N (N𝑥), na direção do eixo local x; 
 Esforço Cortante (Q𝑦), na direção do eixo local y; 
 Esforço Cortante (Q𝑧), na direção do eixo local z; 
 Momento Fletor (M𝑦), na direção do eixo local y; 
 Momento Fletor (M𝑧), na direção do eixo local z; 
 Momento Torçor (T𝑥), na direção do eixo local x. 
Figura 05: Quadro espacial, seus eixos globais e cargas. 
 
 
 
Fonte: Adaptado de Martha, 2010. 
 
 
 
Condições básicas 
O objetivo direto da análise estrutural é determinar os esforços internos de uma 
estrutura, de suas reações de apoio, deslocamentos e rotações, além das tensões e 
deformações. 
Para tanto, ao conceber o modelo a ser analisado, devemos utilizar algumas 
ferramentas matemáticas, metodologias de cálculo que resultem na melhor 
interpretação desejada para tal estrutura, satisfazendo as hipóteses adotadas. 
Tais condições matemáticas a serem satisfeitas pelos modelos estruturais que 
representam os comportamentos reais servem como base para os métodos de análise 
estrutural e podem ser classificados como: 
 Condições de equilíbrio; 
 Condições de compatibilidade entre deslocamentos/deformações; 
Videoaula 1 
Agora, assista ao vídeo que aborda a 
classificação dos modelos de análise para 
estruturas reticuladas. 
 
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 Condições referentes às leis constitutivas dos materiais aplicados na 
concepção da estrutura. 
Condições de equilíbrio 
São as condições que garantem o equilíbrio estático de parte ou do todo das 
estruturas analisadas. As condições de equilíbrio atuam através do uso de equações de 
equilíbrio, que fornecem as condições necessárias, porém não suficientes, para 
determinação dos esforços de um modelo estrutural. 
Condições de compatibilidade entre deformações e deslocamentos 
Tais condições estão relacionadas à geometria dos elementos, que devem ser 
satisfeitas para garantir que a estrutura permaneça contínua (sem vazios ou 
sobreposição de pontos) durante sua deformação, de maneira compatível com seus 
vínculos externos. 
Essas condições não estão relacionadas às propriedades de resistência dos materiais, 
sendo expressas através de relações geométricas impostas pelo modelo estrutural, de 
forma a garantir a continuidade no domínio da estrutura real. Podemos classificar as 
condições de compatibilidade em dois tipos: 
 Condições de compatibilidade externa: abrange os vínculos da 
estrutura, garantindo que os deslocamentos e deformações sejam 
compatíveis com as hipóteses adotadas para os suportes ou ligações a 
outras estruturas; 
 Condições de compatibilidade interna: garantem a continuidade interna 
dos elementos estruturais ao se deformar, ou seja, as barras 
permanecem ligadas pelos nós que as conectam. 
 
Condições referente às Leis constitutivas dos materiais 
Leis constitutivas é o nome dado a um modelo matemático que expressa o 
comportamento dos materiais, de forma extrapolada, através de relações matemáticas 
entre tensões e deformações. São as leis constitutivas que definem, através de seus 
parâmetros, os comportamentos dos materiais. 
A Teoria da elasticidade determina que as relações da lei constitutiva são equações 
lineares de parâmetros constantes. Desta forma, é possível afirmar que os materiais 
trabalham em regime elástico-linear, onde as suas tensões e deformações são 
proporcionais. 
Em alguns casos, este comportamento simplificado não é empregável a certos tipos de 
materiais, por exemplo, quando dimensionamentos elementos metálicos ou de 
concreto armado em seu estado limite último, onde os materiais deixam de ter o 
comportamento elástico-linear. 
 
 
Para melhor compreensão dos conteúdos a seguir, vamos trabalhar com a hipótese de 
materiais ideais, onde seu comportamento seja elástico-linear e não haja limite de 
resistência. 
 
Métodos básicos 
Para solucionar problemas com vigas hiperestáticas, deve-se sempre considerar as três 
condições anteriormente analisadas: condições de equilíbrio, condições de 
compatibilidade entre deslocamentos, deformações e condições sobre o 
comportamento dos materiais. 
Quando consideramos uma estrutura hiperestática, podemos incluir valores de cargas 
ou deslocamentos que nos forneçam novas equações de equilíbrio e compatibilidade, 
respectivamente, para solucionar o elemento em questão. E estas cargas ou 
deslocamentos, se analisados separadamente, possuem diversos valores que 
satisfaçam suas equações em separado, porém, só existe uma única solução que 
satisfaça ao mesmo tempo as três condições anteriormente analisadas. 
Para as estruturas hiperestáticas usuais, formadas por muitas barras e carregamentos, 
a resolução se torna um processo bastante complexo, o que compromete seus 
resultados. 
É nessa hora que devemos utilizar métodos básicos de resolução para estruturas 
hiperestáticas, como o método das forças e o método dos deslocamentos. 
 
 
 
Método das forças 
O método das forças utiliza como incógnitas principais dos problemas as forças e 
momentos, tanto provenientes de esforços internos quanto de reações de apoio. 
Outras possíveis incógnitas são traduzidas nos termos das incógnitas principais 
escolhidas, substituídas nas equações de compatibilidade, antes de serem 
solucionadas. 
Videoaula 2 
Agora, assista ao vídeo que aborda as 
condições necessárias para analisar 
estruturas em engenharia. 
 
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Este método é baseado na determinação, dentro do conjunto de soluções em forças 
que possam satisfazer as equações de equilíbrio, a solução que também satisfaça as 
equações de compatibilidade. 
Para realizar o procedimento do método das forças, pode-se seguir o seguinte roteiro 
para introdução das condições básicas: 
1. Utilizar as equações de equilíbrio; 
2. Considerar as leis constitutivas dos materiais; 
3. Utilizar as condições de compatibilidade. 
A metodologia prática para a análise de estruturas hiperestáticas através do método 
das forças faz uma parametrização (ou discretização) do problema em variáveis 
independentes, variáveis essas que são as forças e momentos (no caso do método das 
forças) associadas aos vínculos excedentes à determinação estática da estrutura. 
Chamamos tais forças e momento de hiperestáticos. 
Uma possível solução para estruturas isostáticas através do método das forças é dada 
pela superposição de soluções básicas, como apresentados na Figura 06. 
No exemplo da Figura 06, a solução é obtida através da superposição das soluções 
básicas denominadas (0) e (1), onde se escolheu o hiperestático 𝑋1 = 𝑁1, referente à 
restrição de deslocamento vertical do apoio central. 
Figura 06: Superposição de soluções básicas do Métodos das Forças. 
 
Fonte: Adaptado de Martha, 2010. 
A solução apresenta como estrutura utilizada nas soluções básicas, uma estrutura 
isostática (estaticamente determinada), a qual chamamos de Sistema Principal (SP), 
obtida da retirada do vínculo existente que tornava a estrutura original hiperestática. 
Cada solução básica isola um parâmetro ou efeito no SP: 
 O efeito do carregamento (solicitação externa) é isolado no caso (0); 
 O efeito do hiperestático 𝑋1 é isolado no caso (1). 
 
 
No caso exemplificado, a condição de compatibilidade da estrutura original é violada, 
já que o vínculo eliminado libera o deslocamento vertical do apoio central. Porém, as 
soluções básicas do método das forças satisfazem as equações de equilíbrio da 
estrutura original. 
Podemos expressar matematicamente a equação de compatibilidade para 
superposição dos deslocamentos no vínculo eliminado de cada caso básico: 
𝛿10 + 𝛿11. 𝑋1 = 0 
Onde: 
 𝛿10 = termo de carga (deslocamento vertical noponto do vínculo eliminado no 
caso 0); 
𝛿11 = coeficiente de flexibilidade (deslocamento vertical no ponto do vínculo eliminado 
devido a um valor unitário do hiperestático aplicado isoladamente). 
Com isso, conseguimos determinar o valor do hiperestático 𝑋1 para que o 
deslocamento no ponto do vínculo eliminado seja nulo. Isso é possível devido à 
recomposição da compatibilidade da estrutura original, afetada pela criação da 
estrutura auxiliar (SP) utilizada para sobreposição dos efeitos. 
Na Unidade 03 serão abordados detalhadamente estes conceitos, através de exemplos 
práticos, que contribuirão com a fixação do conteúdo. 
 
Leitura Obrigatória 
Para aprofundar seus conhecimentos sobre o método das forças para análise 
estrutural, leia o capítulo 10 do livro “Análise das estruturas”, de RIBBELER. 
Disponível em: 
 
 
Método dos deslocamentos 
No método dos deslocamentos, as incógnitas principais do problema são os 
deslocamentos e rotações, onde todas as outras incógnitas devem ser expressas em 
função das principais, substituindo-as nas equações de equilíbrio. 
Este método é baseado em determinar, dentro do conjunto de soluções de 
deslocamentos, que satisfaçam as condições de compatibilidade e de equilíbrio. Esta 
forma de determinação é o inverso do proposto pelo método das forças. 
Para realizar a formulação no método dos deslocamentos, também é adotada a ordem 
inversa ao método das forças: 
1. Utilizar as condições de compatibilidade; 
2. Considerar as leis constitutivas dos materiais; 
https://bv4.digitalpages.com.br/?page=24&section=0#/legacy/9788581431277
 
 
3. Utilizar as condições de equilíbrio. 
Para o exemplo da Figura 07, escolhemos como a variável principal o alongamento 𝑑1 
da barra vertical, que corresponde ao deslocamento vertical 𝐷1 do nó inferior da 
estrutura. 
A quantidade de incógnitas disponíveis no método do deslocamento depende da 
quantidade de incógnitas excedentes das equações de compatibilidade. 
Figura 07: Superposição de soluções básicas do Métodos das Forças. 
 
Fonte: Adaptado de Martha, 2010. 
Podemos chamar a estrutura utilizada nas configurações básicas o exemplo da Figura 
07 de cinematicamente determinada, pois conhecemos a sua configuração deformada 
através do vínculo que impede a deslocabilidade 𝐷1. Podemos chamá-la no estudo do 
método dos deslocamentos de Sistema Hipergeométrico (SH). 
Para cada solução básica, isola-se um determinado efeito ou parâmetro do SH. No 
exemplo: 
 O efeito do carregamento é isolado no caso (0); 
 O efeito da deslocabilidade é isolado no caso (1). 
Tais soluções básicas satisfazem as condições de equilíbrio do SH, porém, não 
satisfazem o equilíbrio da estrutura original, já que ela não possui o vínculo inserido 
para impedir o deslocamento 𝐷1. 
Desta maneira, determinamos o valor necessário para que a deslocabilidade 𝐷1 
restabeleça o equilíbrio da estrutura original, superpondo as reações no apoio 
hipotético o SH, para cada caso básico, através da seguinte maneira: 
𝛽10 + 𝐾11. 𝐷1 = 0 
Onde: 
𝛽10 = termo de carga (reação vertical no apoio fictício do caso (0); 
𝐾11 = coeficiente de rigidez (força vertical no apoio fictício do SH necessária para impor 
uma configuração deformada em que 𝐷1 tenha um valor unitário). 
 
 
Nas próximas unidades desta disciplina serão abordados detalhadamente estes 
conceitos, através de exemplos práticos, que contribuirão com a fixação do conteúdo. 
Através da Tabela 01, podemos verificar um comparativo referente ao método das 
forças e o método dos deslocamentos em suas principais características. 
Tabela 01: Comparativo entre o método das forças e o método dos deslocamentos. 
 
MÉTODO DAS FORÇAS MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
Id
ei
a 
b
ás
ic
a 
Determinar, dentro do conjunto 
de soluções em forças que 
satisfaçam as condições de 
equilíbrio, qual a solução que 
também atenda as condições de 
compatibilidade. 
Determinar, dentro do conjunto de 
soluções em deslocamentos que 
satisfaçam as condições de 
compatibilidade, qual a solução que 
também atenda as condições de 
equilíbrio. 
M
et
o
d
o
lo
gi
a 
Superpor uma série de soluções 
isostáticas (estaticamente 
determinadas), que satisfaçam 
as condições de equilíbrio da 
estrutura de forma e também as 
condições de compatibilidade. 
Superpor uma série de soluções 
cinematicamente determinadas 
(configurações deformadas 
conhecidas) que satisfaçam as 
condições de compatibilidade e 
também as condições de equilíbrio. 
In
có
gn
it
as
 
Hiperestáticos: Forças e 
momentos associados à vínculos 
excedentes à determinação 
estática da estrutura. 
 
Deslocabilidades: componentes de 
deslocamentos e rotações notais que 
definem a configuração deformada da 
estrutura. 
 
N
ú
m
er
o
 d
e 
 
In
có
gn
it
as
 
Número de incógnitas 
excedentes das equações de 
equilíbrio, denominado grau de 
hiperestaticidade. 
Número de incógnitas excedentes das 
equações de compatibilidade, 
denominado grau de hipergeometria. 
Es
tr
u
tu
ra
 a
u
xi
lia
r 
u
ti
liz
ad
a 
n
as
 s
o
lu
çõ
es
 b
ás
ic
as
 
Sistema Principal (SP): estrutura 
isostática (estaticamente 
determinada) obtida da 
estrutura original, eliminando os 
vínculos excedentes associados 
aos hiperestáticos. Essa 
estrutura auxiliar viola as 
condições de compatibilidade 
da estrutura original. 
Sistema Hipergeométrico (SH): 
estrutura com configuração deformada 
conhecida (cinematicamente 
determinada) obtida da estrutura 
original pela adição dos vínculos 
necessários para impedir as 
deslocabilidades. Essa estrutura 
auxiliar viola condições de equilíbrio da 
estrutura original. 
 
 
Eq
u
aç
õ
es
 f
in
ai
s 
São Equações de 
Compatibilidade, expressa em 
termos dos hiperestáticos. Essas 
equações recompõem as 
condições de compatibilidade 
violadas nas soluções básicas. 
São Equações de Equilíbrio expressas 
em termos das deslocabilidades. Essas 
equações recompõem as condições de 
equilíbrio violadas nas soluções 
básicas. 
Te
rm
o
s 
d
e 
ca
rg
a 
d
as
 
eq
u
aç
õ
es
 f
in
ai
s 
Deslocamentos e rotações nos 
pontos dos vínculos liberados 
no SP devidos à solicitação 
externa (carregamento). 
Forças e momentos (reações) nos 
vínculos adicionados no SH devidos à 
solicitação externa (carregamento). 
C
o
ef
ic
ie
n
te
s 
d
as
 
eq
u
aç
õ
es
 f
in
ai
s 
Deslocamentos de flexibilidade: 
deslocamentos e rotações nos 
pontos dos vínculos liberados 
no SP devidos a hiperestáticos 
com valores unitários atuando 
isoladamente. 
Coeficiente de rigidez: forças e 
momentos nos vínculos adicionados no 
SH para impor configurações 
deformadas com deslocabilidades 
isoladas com valores unitárias. 
Fonte: Adaptado de Martha, 2010. 
 
Leitura Obrigatória 
Para aprofundar seus conhecimentos sobre o método dos deslocamentos para análise 
estrutural, leia os capítulos 11 e 12 do livro “Análise das estruturas”, de RIBBELER. 
Disponível em: 
 
 
Superposição de efeitos 
O princípio da superposição de efeitos se baseia na afirmação que a superposição dos 
campos de deslocamentos acarretado pela ação de vários sistemas de força atuando 
isoladamente é igual ao campo de deslocamentos promovidos pelos mesmos sistemas 
de forças atuando em conjunto ao mesmo tempo, conforme podemos observar na 
Figura 08: 
Figura 08: Combinação de forças e seus respectivos deslocamentos. 
https://bv4.digitalpages.com.br/?page=24&section=0#/legacy/9788581431277
 
 
 
Fonte: Adaptado de Martha, 2010. 
Este princípio é aplicável desde que se considere a estrutura com comportamento 
linear, ou seja, que o material trabalhe em regime elástico-linear e exista a hipótese de 
pequenos deslocamentos. 
 
Estruturas estaticamente determinadase indeterminadas 
Como já vimos em outras disciplinas, as estruturas podem ser definidas de acordo com 
as condições de equilíbrio de seus esforços internos e externos (reações de apoio). 
Neste contexto, podemos classificá-las conforme a seguir: 
 Estruturas estaticamente determinadas: também chamadas estruturas 
isostáticas, quando seus esforços internos e externos, chamados de 
reações, estão respeitando as condições de equilíbrio; 
 Estaticamente indeterminadas: também chamadas estruturas 
hiperestáticas, são as estruturas que não podem ter seus esforços 
internos e externos determinados apenas pelas condições de equilíbrio. 
Tal classificação é possível de ser identificada na Figura 08, onde o mesmo pórtico é 
apresentado em duas configurações distintas. 
A primeira configuração (a) apresenta uma configuração isostática, onde é possível 
determinar as reações de apoio utilizando apenas as condições de equilíbrio (as 
equações de equilíbrio estático para momento, esforço cortante e esforço normal), 
bem como é possível determinar os esforços internos em qualquer seção da barra, 
utilizando apenas as condições de equilíbrio. 
Já a segunda configuração (b) apresenta um vínculo externo extra, já que existem 4 
componentes de reações de apoio para apenas três equações de equilíbrio global da 
estrutura (somatório dos esforços normais, cortantes e momento fletor nulos). Desta 
 
 
forma, dizemos que se trata de uma estrutura hiperestática, onde deverá ser 
determinado o seu grau de hiperestaticidade. 
 
Figura 08: Quadros isostáticos (a) e hiperestáticos (b) com suas respectivas 
configurações deformadas, reações de apoio e diagramas de momento fletores. 
 
Fonte: Adaptado de Martha, 2010. 
Ao analisar a Figura 08, podemos verificar que, apesar dos quadros possuírem as 
mesmas dimensões e carregamentos, a alteração de sua vinculação influencia em 
alguns aspectos como: 
 Existência de carregamentos horizontais, no pórtico hiperestático, o que 
inexiste no pórtico isostático; 
 Diferença na configuração deformada de ambos os pórticos; 
 Diferença no diagrama de momento fletor resultante para ambos os 
pórticos; 
 Para as estruturas hiperestáticas, existem infinitas soluções que 
satisfaçam as condições de equilíbrio estático (no caso do exemplo, 
existem diversos valores para a carga H que satisfaçam o equilíbrio 
estático). 
 
 
Ainda, de acordo com Martha (2010), a determinação dos esforços de estruturas 
hiperestática é mais complexa do que as isostáticas e, mesmo assim, a maioria das 
estruturas usuais em nosso dia a dia são hiperestáticas, devido aos seguintes fatores: 
 Alguns formatos estruturais são intrinsicamente hiperestáticos (como o 
conjunto de vigas, pilares e lajes em um edifício, a casca de uma 
cobertura, ou uma treliça espacial); 
 Os esforços internos ao longo de uma estrutura hiperestática 
geralmente possuem distribuição otimizada, podendo levar a valores 
menores para os esforços máximos. 
 Existe nas estruturas hiperestáticas maior controle dos esforços internos 
por parte do analista estrutural, considerando a rigidez das barras e 
seus valores de rotações em extremidades, mudando os diagramas de 
momentos fletores de acordo com a rigidez. Nas estruturas isostáticas, 
os diagramas de momentos fletores dependem apenas da geometria da 
estrutura e dos valores de cargas e reações. 
 Os vínculos excedentes nas estruturas isostáticas podem fornecer à 
estrutura uma segurança adicional, onde mesmo que parte da estrutura 
perca capacidade resistente, a estrutura ainda pode manter sua 
estabilidade global, devido à capacidade de redistribuição de esforços 
das estruturas hiperestáticas, que não ocorre nas estruturas isostáticas. 
 
Grau de hiperestaticidade 
Em geral, o grau de hiperestaticidade de uma estrutura pode ser obtido através da 
seguinte fórmula: 
𝑔 = (𝑛º 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠) − (𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑜) 
As incógnitas dependem dos vínculos de apoio da estrutura, onde cada componente 
da reação de apoio apresenta uma incógnita, ou seja, aumenta um grau de 
hiperestaticidade na estrutura. 
 
 
Videoaula 3 
Agora, assista ao vídeo que introduz os 
métodos básicos de análise para 
estruturas hiperestáticas. 
 
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Encerramento 
 
Nesta unidade, abordamos as bases e conceitos necessários para compreendermos os 
métodos de cálculo usuais para estruturas hiperestáticas na engenharia. Relembramos 
conceitos básicos de estruturas isostáticas e hiperestáticas, passando pelos métodos de 
resolução de estruturas hiperestáticas. Nas próximas unidades, vamos estudar 
detalhadamente os métodos das forças e os métodos dos deslocamentos, utilizados como 
métodos básicos para resolução de estruturas hiperestáticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Videoaula Resolução de Exercícios 
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