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Caṕıtulo 3
Álgebra
3.1 Operações e Equações
Neste caṕıtulo introduzimos de maneira mais formal a noção de operação
matemática, que nos motivará a estender o conceito de número.
Operação Binária:
Destacamos que nem toda
operação é binária, existem,
por exemplo, operações
unárias onde associa-se a
cada elemento de um
conjunto um outro elemento
do mesmo conjunto.
Definição 1. Dado um conjunto A podemos associar a este conjunto uma
Operação Matemática Binária, que simbolizamos por □, onde, a cada par de
elementos de A, associamos um único elemento de A. Em śımbolos
Dados a ∈ A e b ∈ A, existe um único c ∈ A tal que □(a, b) = c.
Exemplo 11. Ao conjunto N dos números naturais podemos associar a
operação de adição clássica, que simbolizamos por +. Dessa forma, temos:
+ (3, 2) = 5
+ (1, 1) = 2
+ (7, 9) = 16
Exemplo 12. Podemos associar ao conjunto N a operação de multiplicação,
que simbolizamos por ×. Dessa forma, temos:
× (3, 2) = 6
× (1, 1) = 1
× (7, 9) = 63
apêndice pra definir adição e multiplicação
O leitor deve estar mais acostumado com a notação infixa, onde inserimos o
śımbolo da operação entre os elementos operados:
+(3, 2) → 3 + 2 e × (3, 2) → 3× 2
A partir deste momento, adotaremos sempre a notação infixa.
15
16 CAPÍTULO 3. ÁLGEBRA
A beleza da Álgebra está em usar a abstração para encontrar matemática
onde ela, aparentemente, não existe. Veja o exemplo abaixo.
Exemplo 13. Seja C o conjunto de todas as cores. Definimos a operação ⟲
como o ato de misturar cores. Dessa forma, temos por exemplo:
azul ⟲ vermelho = roxo
verde ⟲ amarelo = oliva
O leitor também pode sentir a liberdade em criar matemática pela primeira
vez por criar sua própria operação.
Exemplo 14 (Operação Corre de PhD). Simbolizamos por ≡λ a seguinte
operação em N:
a ≡λ b = 27 + a+ b
A vantagem de se introduzir o conceito de operações é que agora podemos
falar sobre Equações Matemáticas.
Chamamos de incógnita ao elemento que está sendo operado, mas não sabe-se
seu valor, a priori. Este elemento é comumente denotado pela letra x.
Definição 2. Seja A um conjunto e □ uma operação em A. Chamaremos de
Equação:
a □ x = c
onde a, c ∈ A são conhecidos e x ∈ A é uma incógnita.
Exemplo 15. Seja C o conjunto das cores e ⟲ a operação de misturar as
cores. Considere a equação:
azul ⟲ x = roxo
Resolver uma equação significa determinar o valor da incógnita. No caso do
exemplo anterior, o valor da incógnita x é “vermelho”, pois
azul ⟲ vermelho = roxo
Exemplo 16. A solução da equação
3 + x = 5
é x = 2, pois
3 + 2 = 5
3.2. NÚMEROS INTEIROS 17
Exemplo 17. As equações
3 + x = 1 e 4× x = 2
não possuem solução em N, ou seja, não existe nenhum número natural que
seja solução dessas equações.
O exemplo anterior mostra que nem toda equação possui solução, o que é
bastante limitante. Contudo, se tivéssemos conjuntos numéricos maiores do
que N, pode ser que tais equações possúıssem soluções. Este é o conteúdo do
restante deste caṕıtulo.
3.2 Números inteiros
No caṕıtulo anterior definimos o conjunto N como
N := {1, 2, 3, 4, 5, · · · }
Munimos agora este conjunto da operação de adição, simbolizada por +. E
finalmente fazemos a primeira extensão deste conjunto por incluir o śımbolo 0
(zero), que terá a seguinte propriedade:
n+ 0 = n, onde n ∈ N
ou seja, qualquer elemento de N, quando operador com 0, terá como resultado
o próprio elemento.
Considere todas as equações da forma
n+ x = 0, onde n ∈ N
Não dif́ıcil perceber que nenhuma equação desta forma possui solução em N,
haja vista não existe nenhum número natural x que, ao ser somado com n
retorne 0.
Denotamos por −n o número que possui a seguinte propriedade
n+ (−n) = 0 n ∈ N
Claramente, −n não é um número natural.
Definição 3. Definimos o conjunto dos números inteiros, denotado por Z,
como:
Z := {0} ∪ N ∪ {−1,−2,−3,−4,−5, · · · }
ou analogamente
Z := {· · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · · }
O conjunto dos números inteiros Z, munido da operação de adição, possui as
seguinte propriedade: Dados a, b ∈ Z
18 CAPÍTULO 3. ÁLGEBRA
1. (Comutatividade) a+ b = b+ a
2. (Associatividade) (a+ b) + c = a+ (b+ c)
3. (Elemento Neutro) a+ 0 = a
4. (Elemento Oposto) a+ (−a) = 0
Observação 2. A partir deste momento,Muitos preferem entender
a− b como uma nova
operação matemática
chamada “subtração”,
contudo, por motivos de
estrutura algébrica (i.e.
(Z,−) não forma um grupo)
preferimos entender a− b
como a+ (−b)
denotaremos a+ (−a) da seguinte
maneira mais conveniente:
a+ (−b) → a− b
e o leitor é alertado a pensar em a− b sempre como a+ (−b).
Proposição 1. Dados, a e b números inteiros, toda equação da forma
a+ x = b
possui solução.
Demonstração. Gostaŕıamos que o lado direito da equação fosse 0, para isso,
observamos que 0 = b− b = b+ (−b), graças a propriedade do elemento
oposto. Portanto, iniciamos por adicionar −b a ambos os lados da equação,
obtendo
a+ x+ (−b) = b+ (−b) = b− b = 0
Utilizando a propriedade Associativa no lado esquerdo da equação tem-se
(a− b) + x = 0
e por definição, a solução desta equação será x = b− a, que é um número
inteiro, logo, esta equação sempre tem solução.
Exemplo 18. A solução da equação
5 + x = 0
é x = −5.
Exemplo 19. A solução da equação
−3 + x = 0
é x = 3.
Exemplo 20. A solução da equação
9 + x = 3.
é x = −6.
3.3. NÚMEROS RACIONAIS 19
3.3 Números Racionais
Considere o conjunto Z munido da operação de multiplicação, ×.
Nem toda equação da forma
a× x = 1, a ∈ Z e a ̸= 0
possui solução em Z, ou seja, não existe número inteiro x tal que a× x = 1.
Definição 4. Definimos o número 1
a , a ̸= 0, chamado de fração, como o
número que possui a seguinte propriedade:
a× 1
a
= 1, a ∈ Z, a ̸= 0
Definição 5. Os números racionais, que simbolizamos por Q, são todos os
números da forma
a
b
onde a e b são inteiros e b é diferente de zero
Os números racionais satisfazem as seguintes propriedades: Dados p, q, r ∈ Q
1. (Comutatividade) p× q = q × p
2. (Associatividade) (p× q)× r = p× (q × r)
3. (Elemento Neutro) p× 1 = p
4. (Elemento Inverso) p× 1
p = 1 se p ̸= 0.
Observação 3. Da propriedade Elemento Neutro tem-se a× 1 = a, podemos
então reescrever a expressão a× 1
a como a
a , portanto,
a
a = 1.
Observação 4. A partir deste momento, sempre que estivermos usando
letras para representar números, utilizaremos a justaposição para representar
a multiplicação e deixaremos o śımbolo “×”reservado apenas para
multiplicação entre dois śımbolos numéricos. Assim
a× b passa a ser ab mas, mantemos3× 2
Observação 5. Todos os números inteiros são números racionais pois
qualquer a ∈ Z inteiro pode ser escrito da forma
a
1
e portanto
N ⊂ Z ⊂ Q
isso implica que os números racionais possuem as mesmas propriedades que
os números inteiros com respeito a adição.
20 CAPÍTULO 3. ÁLGEBRA
Proposição 2. Dados p ̸= 0 e q e r números racionais, toda equação da
forma
px+ q = r
possui solução.
Demonstração. Da Proposição 1 temos
px = q − r.
Gostaŕıamos que o lado direito da equação fosse 1, para isso, devemos
multiplicar ambos os lados da equação por 1
q−r e utilizar a propriedade
Elemento Inverso. Porém, cuidado! O número 1
q−r só existe se q − r ̸= 0.
Assim, dividimos a demonstração em dois caso:
Caso 1. Se q − r = 0 então px = 0. Como p ̸= 0 então x = 0.
Caso 2. Se q − r ̸= 0 então multiplicamos ambos os lados da equação por
1
q−r , obtendo
p
q − r
x = 1
e, por definição, a solução desta equação é x = q−r
p , que é um número
racional.
Destacamos abaixo algumas fórmulas para realizar operações com frações.
Proposição 3. Dadas duas frações a
b e c
b , b ̸= 0, temos
a
b
+
c
b
=
a+ c
b
Demonstração. De fato,
a
b
+
c
b
= a
1
b
+ c
1
b
= (a+ c)
1
b
=
a+ c
b
Proposição 4. Dadasduas frações a
b e c
d , b, d ̸= 0, temos
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
Demonstração. A ideia é aplicar a proposição anterior, mas para isso
precisamos garantir que ambas as frações tenham denominadores em comum.
Observe que
a
b
+
c
d
=
ad
bd
+
cb
db
e como queŕıamos, ambas as frações tem o mesmo denominador. Além disso,
como b ̸= 0 e d ̸= 0 também tem-se bd ̸= 0. Portanto, aplicando a proposição
anterior tem-se
ad
bd
+
cb
db
=
ad+ bc
db
3.3. NÚMEROS RACIONAIS 21
Exemplo 21. Calcule 3
2 + 5
2
3
2
+
5
2
=
3 + 5
2
=
8
2
= 4.
Exemplo 22. Calcule − 7
10 + 9
8
− 7
10
+
9
8
= − 7× 8
10× 8
+
9× 10
10× 8
= −56
80
+
90
80
=
−56 + 90
80
=
34
80
=
17
40
.
Exemplo 23. Calcule 2− 7
10
2− 7
10
=
2
1
− 7
10
=
2× 10
1× 10
− 7× 1
10× 1
=
20
10
− 7
10
=
13
10
.
Proposição 5. Dadas duas frações a
b e c
d com b, d ̸= 0, temos
a
b
× c
d
=
ac
bd
Proposição 6. Dada a fração a
b e c ∈ Z, tem-se
c× a
b
=
ca
b
Demonstração. Segue imediatamente da proposição anterior observando que
c = c
1 .
Proposição 7. Dada a fração a
b , b ̸= 0, tem-se
1
a
b
=
b
a
Demonstração. De fato, considere a equação
a
b
x = 1
sabemos que x = 1
a
b
por definição. Por outro lado, 1 = a
b
b
a . Assim, obtemos
a
b
1
a
b
=
a
b
b
a
Como a
b é um fator comum em ambos os lados da equação, tem-se
1
a
b
=
b
a
Proposição 8. Dadas duas frações a
b e c
d com b, d ̸= 0, temos
a
b
c
d
=
ad
bc
22 CAPÍTULO 3. ÁLGEBRA
Demonstração. Podemos reescrever a fração como
a
b
c
d
=
a
b
× 1
c
d
e pela Proposição 7 tem-se
a
b
× 1
c
d
=
a
b
× c
d
=
ac
bd
o que conclui o resultado.
Finalizamos esta seção destacando a relação que existe entre as operações de
adição e multiplicação em Q.
5. (Distributividade) Dados a, b, c ∈ Q tem-se a× (b+ c) = a× b+ a× c
Exemplo 24. Calcule 5(3 + 2).
Temos duas possibilidades. Podemos primeiro resolver a operação dentro dos
parenteses, obtendo assim 5× 5 = 25.
Podemos, por outro lado, utlizar a propriedade distributiva, obtendo assim
5× 3 + 5× 2 = 15 + 10 = 25.
Exemplo 25. Calcule 40× 53.
Observamos que 53 = 50 + 3, portanto, utlizando a propriedade distributiva
temos 40× 53 = 40(50 + 3) = 40× 50 + 40× 3 = 2000 + 120 = 2120
Exemplo 26. Desenvolva x(x− 1).
Utilizando a propriedade distributiva temos x(x− 1) = xx− x = x2 − 1
Exemplo 27. Desenvolva (x− 1)(x− 1).
Pela distributividade temos
(x− 1)(x− 1) = (x− 1)x+ (x− 1)(−1) = xx− x− x+ 1 = x2 − 2x+ 1
3.4 A ordem das operações algébricas
A ordem natural para se realizar operações algébricas é: Primeiro
multiplicação, depois adição. Adicionar uma motivação
Exemplo 28.
3 + 2× 7 = 3 + 14 = 17
Exemplo 29.
12
7
× 5− 10 =
60
7
− 10 =
60
7
− 70
7
= −10
7
Caso seja necessário realizar primeiro a adição e depois a multiplicação,
utilizam-se parenteses para destacar esse requerimento.
3.5. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 23
Exemplo 30.
(3 + 2)× 7 = 5× 7 = 35
Exemplo 31.
12
7
× (5− 10) =
12
7
× (−5) =
12× (−5)
7
=
−60
7
Exemplo 32. Calcule
(3− 7)× 12
9
− 2
(3− 7)× 12
9
− 2 = −4× 12
9
− 2
= −48
9
− 2
= −48
9
− 18
9
=
−58
9
3.5 Potenciação e Radiciação
Nesta sessão definimos duas outras operações matemáticas no conjunto dos
números racionais Q, Potenciação e Radiciação.
Iniciamos definindo a operação de Potenciação e Radiciação em N para,
então, estendê-la para Q
Definição 6. Seja a ∈ Q e n ∈ N, a operação de potenciação, simbolizada
por ∧ é definida como
a ∧ n := a× a× · · · × a, n-vezes
O leitor deve estar mais acostumado com a notação an, que adotamos a
partir deste momento. Apenas usamos o śımbolo ∧ na definição anterior para
ressaltar que tal é também uma operação binária, como adição e
multiplicação.
São propriedades da potenciação:
1. a1 = a
2. an × am = am+n
3. (am)n = amn
4. (ab)n = anbn
24 CAPÍTULO 3. ÁLGEBRA
Até agora, tomamos n ∈ N. Vamos estender a definição anterior para n ∈ Z
de forma a preservar as propriedades listadas anteriormente.
Primeiro, damos um sentido a a0. Gostaŕıamos de definir a0 de tal maneira
que a propriedade 2 acima fosse preservada, ou seja
x0+n = x0xn
ou seja
xn = x0xn
portanto, tomamos a seguinte definição
Definição 7. Para qualquer a ∈ Q com a ̸= 0 definimos
a0 := 1
O motivo de termos exclúıdo o caso a = 0 da definição é a seguinte: Por
definição 0n = 0× 0× · · · × 0 = 0 para qualquer n natural. Isso nos faz pensar
que 00 = 0.Contudo, pela nossa definição de a0 temos também que 00 = 1.
Portanto, por definir a0 = 1 nós não podemos definir de maneira precisa 00.
De fato, para nós 00 é uma indeterminação.
Passamos agora para a extensão de potenciação com expoentes negativos,
sempre mantendo em mente que desejamos preservar as propriedades da
potenciação.
Observe que
1 = a0 = a1−1 = a1a−1
e, por definição, a solução da equação
a1a−1 = 1
é a−1 = 1
a . Com isso, temos que a−n = (a−1)n = 1
an .
Assim, além das propriedades listadas anteriormente, temos adicionalmente a
seguinte propriedade:
5. an−m = an
am
Por fim, estendemos a potenciação para o caso em que n é um número
racional. Para isso, precisamos dar um sentido para a
1
n sem alterar as
propriedades anteriores. Em especial, gostaŕıamos de manter a propriedade 3.
Temos que,
a = a1 = (an)
1
n
portanto, queremos que a
1
n seja o número racional tal que, quando elevado a
n resulte em a.
Para ilustrar, considere os exemplos abaixo.
3.5. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 25
Exemplo 33. Calcule 4
1
2 .
Precisamos determinar um número tal que, quando elevado a 2, resulte em 4.
O leitor deve saber que este número é 2 pois 22 = 4. Outra solução posśıvel é
−2 pois (−2)2 = 4.
Exemplo 34. Calcule 27
1
3 .
Precisamos determinar um número tal que, quando elevado a 3, resulte em
27. Existe um único número com essa propriedade e é 3 pois 33 = 27.
Exemplo 35. Calcule 625
1
4 .
Como nos exemplos anteriores, buscamos um número tal que, quando elevado
a 4, resulte em 625. com um pouco de cálculo o leitor perceberá que este
número é 5. Além disso, o número −5 também é uma posśıvel solução.
Exemplo 36. Calcule (−9)
1
2 .
Precisamos obter um número tal que, quando elevado a 2, resulte em −9.
Bem, 32 = 9 assim como (−3)2 = 9. Portanto, não é posśıvel obter um
número racional que seja solução desta equação.
Observação 6. Dos exemplos anteriores, percebemos que quando n é um
número par, então existem duas soluções para a
1
n . Convencionamos sempre
tomar a solução positiva.
Observação 7. Dos exemplos anteriores também notamos que quando a é
um número negativo, não é posśıvel obter uma solução (ainda!).
Desta maneira, definimos a operação de radiciação da seguinte maneira.
Definição 8. Seja a ∈ Q e n ∈ Z, a operação de radiciação é simbolizada por
∨ e dada por
a ∨ n = a
1
n
O leitor talvez esteja mais acostumado com a seguinte notação:
n
√
a := a
1
n
que adotamos a partir deste momento, apenas adotamos o śımbolo ∨ para
destacar que se trata, novamente, de uma operação binária e é o processo
inverso da potenciação.
Encerramos por destacar algumas propriedades da radiciação, que terão as
demonstrações deixadas a cargo do leitor.
1. n
√
am = a
m
n
2. n
√
a = nm
√
am
3. n
√
ab = n
√
a n
√
b
4. n
√
a
b =
n
√
a
n√
b
26 CAPÍTULO 3. ÁLGEBRA
5. ( n
√
a)m = n
√
am
6. n
√
m
√
a = mn
√
a