3 1 Múltiplos e divisores - MDC e MMC

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Múltiplos e divisores: MDC e MMC
Apresentação
Entender as relações numéricas é extremamente importante na matemática, podendo auxiliar na 
resolução de problemas mais complexos. Ao estudar as propriedades dos números inteiros 
destacam-se aqui três tipos de conjuntos muito importantes: o conjunto dos múltiplos de um 
número, o conjunto dos divisores de um número inteiro e o conjunto dos números primos.
A partir dos conjuntos dos múltiplos, é possível definir o mínimo múltiplo comum (MMC) de dois ou 
mais números; e a partir dos conjuntos dos divisores, surge a ideia de máximo divisor comum 
(MDC) de dois ou mais números. Já os números primos, além de serem importantes para a 
decomposição de números inteiros, utilizada para o cálculo do MMC e MDC de forma mais rápida, 
também podem aparecer em problemas aplicados.
Nesta Unidade de Aprendizagem, são definidos os números primos, os conjuntos dos múltiplos e 
dos divisores. Além disso, conceituam-se e calculam-se o MMC e o MDC por meio da resolução de 
problemas.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar as características dos números primos.•
Apontar os múltiplos e divisores de um número.•
Conceituar e calcular o MMC e o MDC.•
Desafio
O MMC e o MDC têm diversas aplicações práticas, mesmo que muitas vezes sejam associados à 
resolução de problemas numéricos puros. No caso do MDC, ele pode ser utilizado quando se 
trabalha com divisões, quando é necessário ter o maior número possível de itens em um 
agrupamento. 
Por exemplo, quando se deseja formar equipes mistas, mas com o mesmo número de pessoas, 
contendo o maior número possível de integrantes em cada equipe, ou quando se deseja cortar um 
tecido retangular em partes iguais, mas que tenha o maior comprimento possível. Já o MMC é 
utilizado quando a aplicação envolve a noção de múltiplos.
Imagine que você é professor de matemática e propõe um desafio aos seus alunos. Você tem 36 
livros e 60 canetas a serem distribuídos pelo maior número de alunos, e cada um, ao final, deverá 
ter a mesma quantidade de cada material. Defina qual é o maior número possível de alunos que irão 
receber a mesma quantidade de livros e canetas e quantos de cada item cada aluno receberá.
Infográfico
Os conceitos de múltiplos, divisores, MMC e MDC estão presentes em inúmeros problemas, tanto 
dentro da própria matemática quanto em outras áreas do conhecimento. Desse modo, 
compreender suas definições e propriedades é fundamental na resolução de problemas.
O Infográfico a seguir reforça as definições de múltiplo, divisor, MMC e MDC e mostra exemplos 
de cada um desses conceitos.
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Conteúdo do livro
Em problemas aplicados frequentemente lida-se com a ideia de múltiplos e divisores, seja para 
analisar dois ou mais fenômenos que ocorrem de tempos em tempos ou mesmo ao realizar a 
divisão de um canteiro para cultivar diferentes espécies de plantas. Nesses casos utilizam-se dois 
conceitos: o MMC e o MDC.
O maior número inteiro que divide dois ou mais números inteiros é chamado de MDC desses 
inteiros. Já o MMC de dois ou mais números inteiros positivos é o menor inteiro positivo divisível 
por ambos.
No capítulo Múltiplos e divisores: MDC e MMC, base teórica desta Unidade de Aprendizagem, 
você vai iniciar o estudo de alguns conjuntos numéricos importantes, como os naturais, inteiros e o 
conjunto de números primos. Em seguida, vai reconhecer os conjuntos dos múltiplos e dos 
divisores de um número inteiro para poder conceituar e calcular o MMC e o MDC de dois ou mais 
números inteiros.
Boa leitura.
FUNDAMENTOS 
DE MATEMÁTICA
Rafael Stefani
Múltiplos e divisores: 
MDC e MMC
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar as características dos números primos.
 � Apontar os múltiplos e divisores de um número.
 � Conceituar e calcular o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor 
comum.
Introdução
Neste capítulo, você aprenderá a relação numérica que classifica núme-
ros inteiros como números primos e estabelecerá suas características e 
implicações.
Aprenderá também sobre múltiplos e divisores de números, bem 
como como essas relações podem ser úteis na resolução de vários 
problemas.
Números primos
Inicialmente, relembraremos um pouco sobre conjuntos numéricos, especifi-
camente o conjunto Z dos números inteiros, no qual estão todos os números, 
inteiros, negativos e positivos.
ℤ = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ... .} 
Entre os elementos dos números inteiros, assim como acontece em outros 
conjuntos numéricos, podemos facilmente separar os números pares dos 
números ímpares. O conjunto dos números pares e o conjunto dos números 
ímpares são subconjuntos dos números inteiros.
Por definição, um número par é aquele múltiplo de 2, inclusive o número 0 
(zero), ou todo número par é divisível por 2. Contudo, todo número ímpar não 
é múltiplo de 2. Assim, o subconjunto de Z formado pelos números pares é:
{... –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6 ...}
Analogamente, o subconjunto de Z composto por números ímpares é:
{... –5, –3, –1, 1, 3, 5 ...}
Outra “classificação” dentro do conjunto dos números inteiros, Z, refere-se 
aos números primos. Um número n inteiro, diferente de 1, é primo se seus 
divisores forem, exclusivamente, ±1 e ± n (LIPSCHUTZ; LIPSON, 2014).
Por exemplo, o número 2 é um número primo, pois somente na divisão por 
±1 e ± 2 temos uma divisão exata. Da mesma forma acontece com os números 
–2, 3, –3, 5, –5, 7, –7, 11, –11, 13, –13.
Entretanto, diversos outros números no conjunto também são números 
primos, como os exemplos descritos a seguir.
Da sequência dos seguintes números, determine qual, ou quais, é ou são 
número(s) primo(s):
27, 32, 41, 73, 89, 109
 � 27 é um número divisível por ±1, ±3, ±9, ±27, portanto não é um número 
primo;
 � 32 é divisível por ±1, ±2, ±4, ±8, ±16 e ±32, portanto não é um número 
primo;
 � 41 é divisível por ±1 e ±41, portanto é um número primo;
 � 73 é divisível por ±1 e ±73, portanto é um número primo;
 � 89 é divisível por ±1 e ±89, portanto é um número primo;
 � 109 é divisível por ±1 e ±109, portanto é um número primo.
Ainda, pode-se determinar diversos outros números em Z que são números 
primos.
Múltiplos e divisores: MDC e MMC2
Existem números primos de diversas ordens. Não há como criar uma “regra” na qual 
somente números com as casas de unidades, dezenas e centenas podem ser primos. 
1.003 e 10.019, por exemplo, também são números primos.
Múltiplos e divisores de um número
Entender as relações numéricas é extremamente importante na Matemática, 
podendo facilitar seu entendimento e a resolução de problemas mais com-
plexos. A partir de agora, você estudará um pouco a respeito dos múltiplos e 
divisores de um número.
Múltiplo de um número é aquele que resulta da multiplicação por um nú-
mero inteiro. Por exemplo, na multiplicação 2 × 5 que resulta em 10, podemos 
afirmar que 10 é múltiplo de 2 e é múltiplo de 5.
Para encontrar um múltiplo entre dois ou mais números inteiros, basta 
multiplicá-los, conforme os exemplos a seguir.
Encontre um múltiplo comum de 15 e 23.
15 × 23 = 345
Logo, 345 é múltiplo de 15 e, ao mesmo tempo, múltiplo de 23. 
Determine um múltiplo comum de 2, 7, 18 e 31:
2 × 7 × 18 × 31 = 7.812
Assim, 7.812 é múltiplo de 2, 7, 18 e 31 ao mesmo tempo.
3Múltiplos e divisores: MDC e MMC
Para o número 7, se fizermos:
7 × 0 = 0
7 × 1 = 7
7 × 2 = 14
7 × 3 = 21
7 × 4 = 28
7 × 5 = 35
7 × 6 = 42
7 × 7 = 49
7 × 8 = 56
7 × 9 = 63
7 × 10 = 70
⋮
Afirmamos que 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70 ⋯ são múltiplos de 7.
Divisores de um número são aqueles que, ao dividirem números inteiros, 
deixam resto igual a 0 (zero) na operação. Por exemplo,3 é um divisor de 12; 
uma vez que a divisão
12 ÷ 3 = 4
é exata, ou seja, o resto é 0 (zero).
De maneira análoga, podemos garantir que 7 é divisor de 21, 28, 42, 49, 
56, 63…, uma vez que todos esses número são múltiplos de 7 e sua divisão 
por 7 sempre resultará em resto igual a 0 (zero).
Uma vez que 7 é um divisor de 42, podemos dizer que 42 é divisível por 
7. E que 12 é divisível por 3 e por 4.
É importante observar que os números primos terão somente dois divisores: 
o número 1 e eles mesmos.
Você já sabe que 3 e 4 são divisores de 12. Existem outros divisores para 
12? Sim, 12 é divisível por 
1, 2, 6 e 12.
Números primos sempre terão dois divisores: são divisíveis por 1 e por eles mesmos.
Múltiplos e divisores: MDC e MMC4
MMC e MDC
O cálculo de múltiplos e divisores de um ou mais números tem, simultane-
amente, muitas aplicações práticas. Ao falarmos de múltiplos e divisores, 
verificamos como podemos determiná-los para um número. Porém, na Mate-
mática, existem métodos para determinar múltiplos e divisores comuns entre 
dois ou mais números de modo paralelo.
Esses métodos determinam o mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois ou 
mais números e o máximo divisor comum (MDC) entre dois ou mais números.
Tanto para o cálculo do MMC quanto do MDC podemos utilizar o método 
de fatoração numérica, que consiste em realizar sucessivas divisões do número, 
ou dos números, por seus divisores. Na fatoração, os números devem ser 
divididos, sucessivamente, pelos mesmos números naturais primos, quando 
possível, colocando-se o quociente da divisão abaixo do dividendo. Isso deve 
ser repetido até que o quociente de todos os números seja igual a 1.
Por exemplo, caso seja necessário fatorar o número 12, procederemos da 
seguinte maneira, trabalhando com seus divisores:
12 2
 6 2
 3 3
 1
Ao fatorar o número 12, você pode observar que é divisível por 2; como 
o 2 se repetiu por duas vezes, é divisível por 4; na primeira divisão por 2, o 
resultado foi 6, também divisor de 12; e, por fim, foi dividido por 3, também 
divisor de 12.
Quando você executar essa fatoração com dois ou mais números, conseguirá 
determinar o MMC entre eles. Por exemplo, em uma soma de frações, cujos 
denominadores são distintos, é necessário colocá-las sob um denominador 
comum para que a realização da soma. Assim, tomando todos os denomina-
dores, é possível obter o MMC para realizar a operação fatorando-os:
Resolva:
8
10
5
32+
2
45+
Devemos, então, proceder à fatoração dos denominadores: 
5Múltiplos e divisores: MDC e MMC
10, 32, 45
5, 16, 45
5, 8, 45
5, 4, 45
5, 2, 45
5, 1, 45
5, 1, 15
5, 1, 5
1, 1, 1
2
2
2
2
2
3
3
5
Assim, ao multiplicar todos os elementos da sua direita, você obterá o 
MMC entre os números fatorados:
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 1.440
Portanto, a soma de frações será resolvida como:
8
10
5
32+
2
45+ = 1.152 + 225 + 64
1.440 =
1.441
1.440
Determinando o resultado da operação:
7
27
+ 5
3
+ 4
9
Procedendo à fatoração:
27, 3, 9
9, 1, 3
3, 1, 1
1, 1, 1
3
3
3
Logo, o MMC entre 27,3 e 9 é igual a 3 × 3 × 3 = 27.
O MDC também pode ser obtido por meio do processo de fatoração. Como 
exemplo, repetiremos a fatoração entre 27,3 e 9. Após finalizada a fatoração, 
a multiplicação dos números que dividiram simultaneamente os três números 
será o MDC.
27, 3, 9
9, 1, 3
3, 1, 1
1, 1, 1
3
3
3
Múltiplos e divisores: MDC e MMC6
Observe que somente a primeira divisão por 3 conseguiu, simultaneamente, 
dividir os três números. Portanto, 3 é o MDC entre 27,3 e 9.
Determinando o MDC entre 72 e 84:
72, 84
36, 42
18, 21
9, 21
3, 7
2
2
2
3
3
71, 7
1, 1
Observe que somente o número 2 dividiu os dois números, simultaneamente, 
por duas vezes e o número 3 dividiu os dois números, simultaneamente, por 
uma vez. Assim, 2 x 2 x 3 = 12 é o MDC entre 72 e 84.
O MDC e o MMC podem ser úteis em aplicações práticas, como nos exemplos a seguir.
 � Suponha que dois carros estejam em fase de teste para venda, ambos com a
mesma capacidade no tanque de combustíveis. O carro A conseguiu realizar 12
voltas com a mesma quantidade de combustível que o carro B utilizou para dar 8 
voltas. Quantos litros de combustível, no mínimo, estavam no tanque de ambos
antes do início dos testes? 
Este problema pode ser resolvido pelo MMC entre 12 e 8, que, se fatorados, resultarão 
da solução de 24 litros em cada tanque.
 � Para uma festa junina, foram comprados papéis coloridos, com folhas medindo 48 
cm × 60 cm. Para cortar bandeirinhas de mesmo tamanho, quadradas, de modo
que a totalidade da folha seja aproveitada, qual deverá ser a sua medida lateral?
Este problema pode ser resolvido utilizando o MDC entre 48 e 60; assim:
48, 60
24, 30
12, 15
6, 15
3, 15
1, 5
1, 1
2
2
2
2
3
5
Nas linhas destacadas, os divisores eram comuns entre os dois números, portanto 2 
× 2 × 3 = 12; as bandeirinhas deverão ser cortadas com a medida de 12 cm × 12 cm.
7Múltiplos e divisores: MDC e MMC
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática discreta. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 
(Coleção Schaum).
Leituras recomendadas
ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: 
Bookman, 2015. AYRES JR., F.; MENDELSON, E. Cálculo. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 
2014. (Coleção Schaum).
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. v. 1.
SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. (Coleção Schaum).
Referência
Múltiplos e divisores: MDC e MMC8
Dica do professor
Os conceitos de MMC e MDC estão presentes em problemas do cotidiano, mas muitas vezes não 
se identifica como eles podem ser utilizados. Por isso, é muito importante conhecer suas definições 
e propriedades para que seja possível reconhecer as situações em que eles podem ser aplicados.
Veja, na Dica do Professor, a definição de MMC e MDC e exemplos de cálculo de cada um deles.
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Exercícios
1) Os números primos são um subconjunto dos números inteiros e são muito úteis no estudo 
do MMC e do MDC.
Considerando esse tema da matemática, a alternativa que apresenta a definição correta e 
alguns exemplos de números primos no conjunto dos inteiros positivos é:
A) Todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por apenas dois números inteiros: 1 
e ele mesmo. Exemplos: 1, 2, 3, 5 e 7.
B) Todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por apenas dois números inteiros: 1 
e ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 e 11.
C) Todo número inteiro positivo maior que 1 que é multiplicável por apenas dois números 
inteiros: 1 e ele mesmo. Exemplos: 1, 2, 3, 5 e 7.
D) Todo número inteiro positivo maior que 1 que é multiplicável por apenas dois números 
inteiros: 1 e ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 e 11.
E) Todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por apenas dois números inteiros: 2 
e ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5 e 21.
2) Conhecer o conjunto dos múltiplos de um número inteiro é muito útil tanto na resolução de 
problemas aplicados como no desenvolvimento de conceitos matemáticos. Nesse caso, o 
MMC, por exemplo, pode ser utilizado como ferramenta na adição e subtração de frações ou 
mesmo na resolução de situações em que dois ou mais números inteiros são comparados.
Ana está estudando sobre múltiplos de um número para aprender, depois, sobre MMC. 
Ajude a Ana a definir o conjunto dos múltiplos do número 6.
A) M(6) = { 0,6,12,18,24,30,36,...}.
B) M(6) = { 6,12,18,24,30,36,42,... }.
C) M(6) = { 1,2,3,6 }.
D) M(6) = { 0,1,2,3,6 }.
E) M(6) = { 6,12,24,48,96,... }.
3) O conjunto dos múltiplos de um número natural é infinito e pode ser obtido pela 
multiplicação desse número, pela sequência dos números naturais. Já o conjunto dos 
divisores de um número natural n é finito, começa no 1 e termina no próprio n, estando 
incluídos entre eles todos os números que m,tal que n/m é inteiro. Considere que Carlos 
tem 50 canetas e deseja dividi-las em grupos, de maneira que não sobre nenhuma.
Assim, ele precisa encontrar os divisores do número 50, que são:
A) D(50) = { 0,50,100,150,... }.
B) D(50) = { 50,100,150,.. }.
C) D(50) = { 2,5,10,25,50 }.
D) D(50) = { 1,2,5,10,25 }.
E) D(50) = { 1,2,5,10,25,50 }.
4) Em situações aplicadas, é comum comparar fenômenos que ocorrem de tempos em tempos, 
mas que em algum período ocorrem simultaneamente. Nesses casos utiliza-se a ideia de 
MMC. Considere que Beatriz pinta seu cabelo de 45 em 45 dias e Sofia pinta de 105 em 105 
dias. Hoje, as duas se encontraram no salão, pois têm a mesma cabeleireira.
Daqui a quantos dias Beatriz e Sofia se encontrarão no mesmo salão?
A) 105 dias.
B) 315 dias.
C) 18 dias.
D) 7 dias.
E) 1 dia.
5) Os múltiplos e divisores de um número são aplicados no estudo do MDC e MMC, que 
facilitam resoluções de problemas cotidianos da matemática e suas aplicações.
Considerando estes cinco tópicos, marque a alternativa correta:
A) Um número é sempre divisor de todos os seus divisores. 
B) O número 1 é sempre o menor múltiplo natural de um número e o maior múltiplo é o próprio 
número. 
C) O máximo divisor comum dos números inteiros positivos a e b é o menor inteiro positivo 
divisível por ambos, a e b. 
D) O conjunto dos divisores de um número é finito, e o zero é o divisor de todos os números.
E) O maior número inteiro que divide dois números inteiros é chamado de MDC desses inteiros.
Na prática
A ideia de número primo pode ser utilizada não apenas na própria matemática para calcular o MMC 
e MDC, mas também em problemas aplicados.
Veja o exemplo a seguir sobre como esse conceito pode ser utilizado na organização de livros em 
uma prateleira.
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Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Múltiplos e divisores (MMC e MDC)
Este vídeo apresenta os conceitos de múltiplos e divisores de um número natural, números primos, 
MMC e MDC. São apresentados os conceitos seguidos de exercícios práticos para visualizar a 
aplicação de cada conceito.
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MDC
Este vídeo apresenta o conceito de MDC a partir da noção da decomposição em fatores primos. 
Inicialmente é calculado um exemplo de MDC de dois números para, na sequência, calcular o MDC 
de três números.
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