LUIZ NAZARENO DE SOUZA - RELATÓRIO DA DISCIPLINA DE RESITÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADO

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Tibau/RN 
2005 
 
 
 
 
LUIZ NAZARENO DE SOUZA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADO 
CENTRO UNIVERSITÁRIO ANHANGUERA PITÁGORAS AMPLI 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
Tibau/RN 
2025 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADO 
Relatório apresentado ao Centro Universitário 
Anhanguera Pitágoras AMPLI, como requisito 
parcial para o aproveitamento da disciplina de 
Resistência dos Materiais Avançado, 4º 
semestre do Curso Engenharia Civil. 
 
LUIZ NAZARENO DE SOUZA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 3 
2 DESENVOLVIMENTO ......................................................................................... 4 
2.1 UNIDADE 1 – SEÇÃO 3 ................................................................................... 4 
2.1.1 Atividade 1 - Diagramas dos esforços internos solicitantes .......................... 4 
2.1.2 Atividade 2 – Continuação - Conferindo resultados ...................................... 7 
2.1.3 Procedimento 1 - Conceitos teóricos de torção no regime elástico em eixos 
de transmissão ............................................................................................................ 9 
2.1.4 Procedimento 2 (Virtual) ............................................................................... 9 
2.2 UNIDADE 2 – SEÇÃO 3 – FLEXÃO EM BARRAS ......................................... 11 
2.2.1 Procedimento Atividade 1 ........................................................................... 11 
2.2.2 Procedimento Atividade 2 ........................................................................... 13 
2.2.3 Procedimento Atividade 1 (Virtual) .............................................................. 16 
2.3 UNIDADE 3 – SEÇÃO 2 – FLAMBAGEM EM BARRAS ................................. 18 
2.3.1 Procedimento Atividade 1 (Físico) .............................................................. 18 
2.3.2 Procedimento Atividade 2 (Físico) .............................................................. 21 
2.3.3 Procedimento Atividade 1 (Virtual) .............................................................. 22 
2.4 UNIDADE 4 – SEÇÃO 2 – CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
DÚCTEIS................................................................................................................... 24 
2.4.1 Procedimento/Atividade nº 1 (Físico) .......................................................... 24 
2.4.2 Procedimento/Atividade nº 2 (Físico) .......................................................... 28 
2.4.3 Procedimento/Atividade nº 1 (Virtual) ......................................................... 32 
3 CONCLUSÃO .................................................................................................... 35 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
1 INTRODUÇÃO 
 A disciplina de Resistência dos Materiais Avançado tem como objetivo 
aprofundar o conhecimento dos estudantes de Engenharia, abordando aspectos 
complexos relacionados às características geométricas, esforços internos e externos 
em estruturas. Neste contexto, a presente aula prática enfatiza a aplicação dos 
conceitos teóricos na determinação e interpretação dos diagramas de esforço cortante 
e momento fletor em vigas isostáticas, utilizando ferramentas computacionais de 
análise estrutural. 
 Para a realização da prática, será empregado o software Ftool, amplamente 
utilizado na Engenharia Civil para a modelagem e análise de estruturas planas 
reticuladas. A infraestrutura disponível compreende o Laboratório de Informática, 
equipado com desktops de alto desempenho (Engenharia Positivo Master D3400), 
garantindo a precisão e eficiência no processamento dos modelos estruturais. 
 A prática será dividida em duas etapas principais. Na primeira, os estudantes 
realizarão a análise de uma viga bi-apoiada de concreto, determinando manualmente 
grandezas fundamentais, como o momento de inércia da seção transversal e os 
esforços internos. Em seguida, os cálculos serão validados por meio do software Ftool. 
Na segunda etapa, a análise será conduzida em uma viga engastada de aço, seguindo 
a mesma metodologia de cálculo manual e posterior conferência via simulação 
computacional. 
 Além da flexão em vigas, a prática abordará conceitos de torção no regime 
elástico em eixos de transmissão, empregando o software MDSolids – uma ferramenta 
educacional voltada para a Mecânica dos Materiais. O foco recairá sobre a relação 
entre torque e tensão de cisalhamento, a influência do momento polar de inércia e a 
distribuição de tensões em eixos circulares maciços e vazados. 
 Ao integrar cálculos analíticos com ferramentas computacionais, esta aula 
prática visa consolidar a compreensão dos princípios avançados de resistência dos 
materiais, preparando os estudantes para desafios estruturais mais complexos. Dessa 
forma, busca-se não apenas aprimorar a capacidade analítica dos alunos, mas 
também capacitá-los para a utilização de softwares de engenharia na modelagem, 
simulação e validação de soluções estruturais. 
 
 4 
2 DESENVOLVIMENTO 
2.1 UNIDADE 1 – SEÇÃO 3 
2.1.1 Atividade 1 - Diagramas dos esforços internos solicitantes 
Para a viga bi-apoiada, apresentada na figura 1, desenhar os diagramas de 
esforço cortante e de momento fletor utilizando o software Ftool e considerar que a 
viga é de concreto. Realize os cálculos manualmente, inclusive do momento de inércia 
da seção transversal, e, após, utilize o software para validar dos resultados. 
 
Figura 1 – Esquema estrutura de uma viga bi-apoiada
 
 
Fonte: adaptado pelo autor (2024) 
 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
�𝐹𝐹𝐹𝐹 = 0 
�𝐹𝐹𝐹𝐹 = −12 − 7 ∙ 3 + 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 + 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = 0 
�𝑀𝑀𝐹𝐹 = −12 ∙ 1,6 − 7 ∙ 3 ∙ 4,7 + 6,2 ∙ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = 0 
 
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = 19,02 𝑘𝑘𝑘𝑘 
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = 13,98 𝑘𝑘𝑘𝑘 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
 
Figura 2 – Estrutura da viga no Ftool 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
 
 
 
Figura 3 - Seção BD: 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
 
 
Figura – 4 Seção DC 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
 
 
Figura 5 - Seção CA 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
 
Centróide: 
 
𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 =
53 ∙ 15 ∙ 26,5 + 12 ∙ 55 ∙ 59
53 ∙ 15 + 12 ∙ 55
= 41,24 𝑦𝑦𝑦𝑦 
 
 
 
 
 
 7 
Momento de inércia: 
 
𝐼𝐼𝐹𝐹 = �55 ∙
123
12
� + (55 ∙ 12 ∙ (59 − 41,24)2) + �15 ∙
533
12
� + (15 ∙ 53 ∙ (41,24 − 26,5)2)
= 574919,608 𝑦𝑦𝑦𝑦4 
 
2.1.2 Atividade 2 – Continuação - Conferindo resultados 
Figura 6 – Exibindo a carga distribuída atuando na barra DB 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
Figura 7 -Diagrama V(kN) 
 
 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 8 
Figura 8 - Diagrama Mf(kN·m) 
 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
Figura 9 - Momento de inércia 
 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
𝐼𝐼 = 5,7492 ∙ 109𝑦𝑦𝑦𝑦4 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟓𝟓 
 
 
 
 
 9 
ATIVIDADE 1 (VIRTUAL) - MDSOLIDS 
 
2.1.3 Procedimento 1 - Conceitos teóricos de torção no regime elástico em eixos de 
transmissão 
 
Cálculo do torque: 
 
𝐽𝐽 =
𝜋𝜋
32
(0,64 − 0,44) = 0,01021 𝑦𝑦4 
𝐶𝐶 =
0,6
2
= 0,3 𝑦𝑦 
𝑇𝑇 = 𝜎𝜎 ∙
𝐽𝐽
𝐶𝐶
= 120 ∙
0,01021
0,3
= 𝟓𝟓,𝟓𝟓𝟎𝟎𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌 ∙ 𝒎𝒎 
 
 
Figura 10 – Eixo de Transmissão 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
Pequena diferença, dado que a inserção do ratio dos diâmetros do manual foi 
de 0,67 o que retorna um valor de diâmetro menor de 40,2 cm. 
 
2.1.4 Procedimento 2 (Virtual) 
Encontrar e determinar o diâmetro interno do eixo de transmissão, sabendo que 
 10 
o motor transmite uma potência de 3 MW ao eixo com velocidade angular de 30 rad/s. 
Sabe-se também queque a tensão de cisalhamento admissível apresenta valor de 80 
MPa. O eixo possui um comprimento de 250mm. 
 
 
𝑇𝑇 =
𝑃𝑃
𝑓𝑓
=
3000 ∙ 1000
(30) = 105 𝑘𝑘 ∙ 𝑦𝑦 
𝐽𝐽
0,125
=
105
80 ∙ 106
→ 𝐽𝐽 = 1,5625 ∙ 10−4 𝑦𝑦4 
1,5625 ∙ 10−4 =
𝜋𝜋
32
(0,254 − 𝐹𝐹4) ∴ 𝐹𝐹 = 0,21934 𝑦𝑦 = 𝟓𝟓𝟐𝟐𝟓𝟓,𝟑𝟑𝟓𝟓 𝒎𝒎𝒎𝒎 
 
 
 
Figura 11 – Resolução no MDSolids 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
 
 11 
2.2 UNIDADE 2 – SEÇÃO 3 – FLEXÃO EM BARRAS 
2.2.1 Procedimento Atividade 1 
Para a viga de concreto (módulo de elasticidade longitudinal igual a 25 000 MPa) bi-
apoiada apresentada na figura 12, determinar o deslocamento vertical da linha elástica 
no ponto C, localizado a 2m do apoio A, e no ponto D, localizado a 3,5m do mesmo 
apoio. Realize os cálculos primeiramente à mão, inclusive do momento de inércia da 
seção transversal, e utilize o software para comparar os resultados. 
 
 
Figura 12 – Viga de Concreto bi-apoiada 
 
Fonte: adaptado pelo autor (2024) 
 
 
 
Resolução 
 
 
Centróide: 
 
𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 = 30 𝑦𝑦𝑦𝑦 
 
Momento de inércia: 
 
𝐼𝐼𝐹𝐹 = �20 ∙
603
12
� = 360000 𝑦𝑦𝑦𝑦4 
 
Reações de apoio: 
 
�𝐹𝐹𝐹𝐹 = 0 
 12 
�𝐹𝐹𝐹𝐹 = −5 ∙ 7 + 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 + 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = 0 
�𝑀𝑀𝐹𝐹 = −5 ∙ 7 ∙ 3,5 + 7 ∙ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = 0 
 
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = 17,5 𝑘𝑘𝑘𝑘 
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = 17,5 𝑘𝑘𝑘𝑘 
 
 
Equação de momento: 
 
𝑀𝑀(𝐹𝐹) = 17,5𝐹𝐹 −
5𝐹𝐹2
2
 
 
Integrando: 
𝜃𝜃(𝐹𝐹) =
17,5𝐹𝐹2
2 − 5𝐹𝐹3
6 + 𝐶𝐶1
𝐸𝐸𝐼𝐼
 
Integrando: 
∆(𝐹𝐹) =
17,5𝐹𝐹3
6 − 5𝐹𝐹4
24 + 𝐹𝐹𝐶𝐶1 + 𝐶𝐶2
𝐸𝐸𝐼𝐼
 
 
 
Condições de contorno C1 e C2= 
 
∆(0) =
17,5𝐹𝐹3
6 − 5𝐹𝐹4
24 + 𝐹𝐹𝐶𝐶1 + 𝐶𝐶2
𝐸𝐸𝐼𝐼
= 0 ∴ 𝐶𝐶2 = 0 
∆(7) =
17,5𝐹𝐹3
6 − 5𝐹𝐹4
24 + 𝐹𝐹𝐶𝐶1 + 0
𝐸𝐸𝐼𝐼
= 0 ∴ 𝐶𝐶1 = −71,46 
 
 
Portanto: 
 
∆(𝐹𝐹) =
17,5𝐹𝐹3
6 − 5𝐹𝐹4
24 − 71,46𝐹𝐹
25000 ∙ 3,6 ∙ 10−3
 
 
 13 
∆(2) =
17,5𝐹𝐹3
6 − 5𝐹𝐹4
24 − 71,46𝐹𝐹
25000 ∙ 3,6 ∙ 10−3
= −𝟐𝟐,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 
 
∆(3,5) =
17,5𝐹𝐹3
6 − 5𝐹𝐹4
24 − 71,46𝐹𝐹
25000 ∙ 3,6 ∙ 10−3
= −𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟑𝟑𝟓𝟓 𝒎𝒎 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 - Ftool 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
2.2.2 Procedimento Atividade 2 
 
Figura 14 – Viga em Balanço 
 
 
 
Fonte: adaptado pelo autor (2024) 
 
 
 
 14 
 
Resolução 
 
Centróide: 
 
𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 =
(40 ∙ 5 ∙ 47,5) + (5 ∙ 45 ∙ 22,5)
40 ∙ 5 + 5 ∙ 45
= 34,26 𝑦𝑦𝑦𝑦 
 
Momento de inércia: 
 
𝐼𝐼𝐹𝐹 = �40 ∙
53
12
� + (40 ∙ 5(47,5 − 34,26)2) + �5 ∙
453
12
� + (5 ∙ 45(34,26 − 22,5)2)
= 104561,9 𝑦𝑦𝑦𝑦4 
 
 
Reações de apoio: 
 
�𝐹𝐹𝐹𝐹 = 0 
�𝐹𝐹𝐹𝐹 = −2 ∙ 3 + 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 
�𝑀𝑀𝐹𝐹 = 2 ∙ 3 ∙ 1,5 = 9 
 
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = 6 𝑘𝑘𝑘𝑘 
 
Equação de momento: 
X até 3 
𝑀𝑀(𝐹𝐹) = −9 + 6𝐹𝐹 −
2𝐹𝐹2
2
 
X de 3 até 5 
𝑀𝑀(𝐹𝐹) = 0 
 
 
Integrando: 
𝜃𝜃1(𝐹𝐹) =
−9𝐹𝐹 + 3𝐹𝐹2 − 𝐹𝐹3
3 + 𝐶𝐶1
𝐸𝐸𝐼𝐼
 
 15 
𝜃𝜃2(𝐹𝐹) =
0 + 𝐶𝐶3
𝐸𝐸𝐼𝐼
 
 
 
Integrando: 
∆(𝐹𝐹) =
−9𝐹𝐹2
2 + 𝐹𝐹3 − 𝐹𝐹4
12 + 𝐹𝐹𝐶𝐶1 + 𝐶𝐶2
𝐸𝐸𝐼𝐼
 
∆2(𝐹𝐹) =
𝐹𝐹𝐶𝐶3 + 𝐶𝐶4
𝐸𝐸𝐼𝐼
 
 
 
Contorno: 
𝜃𝜃(0) =
−9𝐹𝐹 + 3𝐹𝐹2 − 𝐹𝐹3
3 + 𝐶𝐶1
𝐸𝐸𝐼𝐼
= 0 ∴ 𝐶𝐶1 = 0 
 
∆(0) =
−9𝐹𝐹2
2 + 𝐹𝐹3 − 𝐹𝐹4
12 + 𝐹𝐹𝐶𝐶1 + 𝐶𝐶2
𝐸𝐸𝐼𝐼
= 0 ∴ 𝐶𝐶2 = 0 
 
 
𝜃𝜃1(3) = 𝜃𝜃2(3) =
−9𝐹𝐹 + 3𝐹𝐹2 − 𝐹𝐹3
3
𝐸𝐸𝐼𝐼
=
𝐶𝐶3
𝐸𝐸𝐼𝐼
 ∴ 𝐶𝐶3 = −9 
 
∆(3) = ∆2(3) =
− 9𝐹𝐹2
2 + 𝐹𝐹3 − 𝐹𝐹4
12
𝐸𝐸𝐼𝐼
=
−9𝐹𝐹 + 𝐶𝐶4
𝐸𝐸𝐼𝐼
 ∴ 𝐶𝐶4 = 6,75 
∆2(5) =
−9𝐹𝐹 + 6,75
205000 ∙ 1,046 ∙ 10−3
= −𝟓𝟓,𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎𝟓𝟓 𝒎𝒎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
Figura 15 - Ftool 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
Observa-se que em ambos os procedimentos os resultados obtidos no software 
foram os mesmos que os realizados “a mão”. 
 
2.2.3 Procedimento Atividade 1 (Virtual) 
Considere uma viga de concreto, bi-apoiada, de comprimento igual à 4m. Para 
o carregamento da estrutura, será considerado o peso próprio do concreto (25 kN/m³) 
uniformemente distribuído ao longo de todo comprimento da viga. Para esta situação 
serão avaliadas quatro diferentes seções transversais retangulares, de acordo com a 
Tabela 1. 
 
Quadro 1 – Dados da Viga bi apoiada 4 metros 
 
Seção Largura (cm) Altura (cm) 
1 15 20 
2 15 25 
3 15 30 
4 15 35 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
 
 
 
 
 17 
Utilizando: 
 
 𝑞𝑞 = 25 ∙ 𝐴𝐴 
 
 𝑀𝑀𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝑞𝑞 ∙
𝐿𝐿2
8
 
 
 𝐼𝐼 = 𝐹𝐹 ∙
ℎ3
12
 
 𝐹𝐹 = ℎ −
ℎ
2
 
 
 
Quadro 12 – Cálculos por seção 
 
Seção q (kN/m) Mmax (kN·m) I (cm4) Y (cm) σmax (kN/cm2) 
1 0,7500 1,500 10000,00 10,00 0,000015 
2 0,9375 1,875 19531,25 12,50 0,000012 
3 1,1250 2,250 33750,00 15,00 0,00001 
4 1,3125 2,625 53593,75 17,50 8,57143E-06 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
 
 
 
Diagramas de momento fletor (kN·m): 
 
 18 
 
 
 
Resposta da pergunta chave: 
 
Apesar do valor da carga do peso próprio aumentar com o aumento da altura 
da seção transversal, o fator preponderante na resistência à flexão da peça é seu 
momento de inércia que é dependente do cubo da altura portanto podemos observar 
menores tensões em peças com maior altura de seção transversal, dado essa reflexão 
podemos observar perfis do tipo “I”, tipo “W” e tipo “T” que utilizam desse princípio 
para um melhor desempenho na resistência à flexão. 
 
2.3 UNIDADE 3 – SEÇÃO 2 – FLAMBAGEM EM BARRAS 
2.3.1 Procedimento Atividade 1 (Físico) 
Uma coluna com perfil W150x13 é utilizada para suportar uma coberta. O 
comprimento da coluna é 2 m e o modulo de elasticidade do aço é E = 200 GPa e a 
tensão de escoamento é = 250 MPa. Quais são, respectivamente, as cargas críticas 
para a coluna caso ela tenha as seguintes vinculações: 1. Biarticulada; 2. 
Biengastada; 3. Engastada/articulada; 4. Engastada/livre? 
 
 
 
 
 19 
Figura 16 - Rotulada 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
Figura 17 - Engastada 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 20 
Figura 18 - Rotulada/engastada 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
Figura 19 - Livre/engastada 
 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 21 
2.3.2 Procedimento Atividade 2 (Físico) 
Uma coluna de aço A deve suportar uma carga crítica de 1000 kN sem sofrer 
flambagem. Dois tipos de colunas podem ser utilizados: uma barra circular de diâmetro 
100 mm ou um tudo com 
diâmetro de 100 mm e espessura de 12,5 mm. O modulo de elasticidade do 
aço é E = 200GPa e a tensão de escoamento é = 250 MPa. Qual o comprimento 
máximo que cada coluna pode ter para suportar tal carregamento e qual coluna terá 
o maior comprimento máximo? 
 
Figura 20 – Largura máxima coluna 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
Lmáx = 98,435 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
Figura 21 – Largura máxima coluna 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
 
Lmáx: 81,386 m 
 
A seção circular tem a possibilidade de maior comprimento máximo por possuir 
um momento de inércia polar maior. 
 
2.3.3 Procedimento Atividade 1 (Virtual) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23 
Figura 22 – Flambagem da Coluna 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
Figura 23- Gráfico de Flambagem 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
O eixo preferencial de flambagem como mostrado é o eixo Y. 
 
 24 
2.4 UNIDADE 4 – SEÇÃO 2 – CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
DÚCTEIS 
2.4.1 Procedimento/Atividade nº 1 (Físico) 
Figura 24 – Resolução item A 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
 25 
Figura 25 – Verificação de Falha - Tresca 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
Figura 26 – Verificação de Falha Von mises 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 26 
Figura 27 – item B Resolução 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
 
 
 27 
Figura 28 – Verificação de Falhas Tresca 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
Figura 29 - Verificação de falha Von mises 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 28 
Apenas o material do item “A” falha na verificação de Tresca, os demais 
cenários não apresentamvalores de escoamento. 
2.4.2 Procedimento/Atividade nº 2 (Físico) 
Para uma coluna de concreto exibida na figura 30 abaixo, verifique pelo critério 
de Mohr se haverá ruptura do material. Considere um concreto com resistência a 
compressão de 40 MPa e resistência a tração de 4 MPa. 
 
Figura 30 – Coluna de Concreto 
 
Fonte: adaptador pelo autor (2024) 
 
Quadro 3 – Resolução no MDSolids 
Section properties for the shaft are as follows: 
 OD = 1,000 m 
 ID = 0,000 m 
 c = 1,000 m / 2 
 = 0,5000 m 
 Area = π(1,000 m)2 / 4 
 = 0,7854 m2 
 J = π(1,000 m)4 / 32 
 = 0,09817 m4 
 I = π(1,000 m)4 / 64 
 = 0,04909 m4 
 S = 0,04909 m4 / 0,5000 m 
 = 0,09817 m3 
 Q = (1,000 m)3 / 12 
 = 0,08333 m3 
 
For stress element A (on the top of the shaft): 
 
The force Px= -25.000,000 kN creates the following stresses: 
 29 
 
a) A uniformly distributed axial compression normal stress. The magnitude of the normal stress 
is given by: 
 
|σx| = |Nx| / Area 
 = 25.000,000 kN / 0,7854 m2 
 = 31,831 MPa 
 
__________________________________________________ 
 
The concentrated torque Mx = 500,000 kN-m about the x axis creates shear stress. The magnitude 
of the shear stress is given by: 
 
|τT| = |T|c / J 
 = (500,000 kN-m)(0,5000 m) / 0,09817 m4 
 = 2,546 MPa 
 
Sign convention: Generally, the proper shear stress direction is determined by inspection. The 
direction of the stress is shown on the stress element. 
 
__________________________________________________ 
 
Summary for stress element A (on the top of the shaft): The normal stresses for the combined 
loading can be determined by superimposing the individual cases. For stress element A (on the top 
of the shaft), the total normal stress acting on the element is a compression stress of 31,831 MPa. 
The shear stresses for the combined loading act in the positive z direction on the positive x face of 
the element. The magnitude of the shear stress is 2,546 MPa. 
 
The principal stresses for the element are 
 σp1 = 0,2024 MPa 
and 
 σp2 = -32,033 MPa 
 
The maximum in-plane shear stress is 
 τmax = 16,118 MPa 
and the absolute maximum shear stress equals the in-plane shear stress. This condition occurs when 
σp1 and σp2 have opposite signs. 
 
__________________________________________________ 
 
For stress element D (on the +z side of the shaft): 
 
The force Px= -25.000,000 kN creates the following stresses: 
 
a) A uniformly distributed axial compression normal stress. The magnitude of the normal stress 
is given by: 
 
|σx| = |Nx| / Area 
 = 25.000,000 kN / 0,7854 m2 
 = 31,831 MPa 
 
__________________________________________________ 
 
The concentrated torque Mx = 500,000 kN-m about the x axis creates shear stress. The magnitude 
of the shear stress is given by: 
 
 30 
|τT| = |T|c / J 
 = (500,000 kN-m)(0,5000 m) / 0,09817 m4 
 = 2,546 MPa 
 
Sign convention: Generally, the proper shear stress direction is determined by inspection. The 
direction of the stress is shown on the stress element. 
 
__________________________________________________ 
 
Summary for stress element D (on the +z side of the shaft): The normal stresses for the combined 
loading can be determined by superimposing the individual cases. For stress element D (on the +z 
side of the shaft), the total normal stress acting on the element is a compression stress of 31,831 
MPa. The shear stresses for the combined loading act in the negative y direction on the positive x 
face of the element. The magnitude of the shear stress is 2,546 MPa. 
 
The principal stresses for the element are 
 σp1 = 0,2024 MPa 
and 
 σp2 = -32,033 MPa 
 
The maximum in-plane shear stress is 
 τmax = 16,118 MPa 
and the absolute maximum shear stress equals the in-plane shear stress. This condition occurs when 
σp1 and σp2 have opposite signs. 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31 
Figura 31 - Cálculo do círculo de Mohr e tensões principais 
 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
 
 
 
 32 
Figura 32 - Critérios de falha Mohr 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
A peça não falha. 
 
2.4.3 Procedimento/Atividade nº 1 (Virtual) 
 
A estrutura escolhida simula uma laje em balanço que por norma é calculada 
por metro, então podemos representar graficamente como uma barra que concentra 
1 metro de largura desta laje. A carga definida foi de 8 kN/m valor usual da norma 
NBR 6118 para uma laje de concreto maciça em balanço como todos seus 
componentes ( aproximadamente 5 kN/m de concreto+revestimentos+alvenaria e 3 
kN/m de consideração normativa), mais uma alvenaria de 1,2 metros de altura, 0,15 
metros de largura de guarda corpo na ponta (23 kN): 
 
 
 
 33 
Figura 33 – Estrutura de laje em balanço no FTOOL 
 
Fonte: elaborado pelo autor (2024) 
 
 
Tensão normal de maior relevância se trata a gerada pela flexão no ponto de 
engaste da laje. 
Definindo uma seção transversal com uma laje de altura de 0,15 m e largura 
padrão para cálculo de 1 m. Área de armadura estipulada: 1105 mm2 correspondente 
a 9 barras de 12,5 mm por metro. Cobrimento nominal da armadura adotado: 3 cm. 
Aço CA50, Concreto fck= 30MPa. Eaço = 210 GPA, Econcreto = 25 GPA. 
Cálculo da linha neutra através do momento de área (considerando estádio 1 
com toda peça trabalhando à tração e compressão): 
 
 
 
𝐹𝐹 = 7,76 𝑦𝑦𝑦𝑦 
Momento de inércia: 
 
 
 
 
Cálculo da tensão normal máxima de compressão no concreto (material que primeiro 
falha, desconsiderando o concreto tracionado): 
 
100 ∙
𝐹𝐹2
2
− 100 ∙
(15 − 𝐹𝐹)2
2
 −
210
25
∙
1105
102
∙ (15 − 3 − 𝐹𝐹) = 0 
𝐼𝐼 = 100 ∙
7,763
3
+ 100 ∙
7,243
3
+
210
25
∙
1105
100
∙ (12 − 7,76)2 = 29895,08 𝑦𝑦𝑦𝑦4 
 34 
𝑇𝑇𝑐𝑐 = 154,28 ∙ 1000 ∙
0,776
2,99 ∙ 10−4
= 400 𝑀𝑀𝑃𝑃𝐹𝐹 
(Necessidade de armação composta na peça). 
Para cálculo das tensões normais máxima temos em base para essa peça 
apresentando 400Mpa de compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 35 
3 CONCLUSÃO 
 
 A realização da presente aula prática de Resistência dos Materiais Avançado, 
com o suporte dos softwares Ftool e MDSolids, evidenciou a importância da integração 
entre teoria e prática na formação de engenheiros estruturais. A utilização dessas 
ferramentas computacionais permitiu uma abordagem mais interativa e eficiente na 
análise de estruturas complexas, proporcionando aos estudantes uma compreensão 
aprofundada dos conceitos fundamentais e sua aplicabilidade no dimensionamento e 
verificação de elementos estruturais. 
 No contexto da análise de vigas isostáticas, a experimentação prática com o 
Ftool não apenas validou os cálculos manuais, mas também facilitou a visualização 
gráfica dos diagramas de esforço cortante e momento fletor, aprimorando a 
interpretação dos comportamentos estruturais. A análise de vigas de concreto e aço 
ampliou o repertório técnico dos estudantes, preparando-os para enfrentar desafios 
diversificados em projetos reais. 
 Além disso, a abordagem da torção em eixos de transmissão, realizada com 
o MDSolids, aprofundou a compreensão dos fenômenos mecânicos associados à 
torção elástica. Por meio da simulação computacional, os alunos puderam explorar 
conceitos como tensão de cisalhamento, momento polar de inércia e distribuição de 
tensões, visualizando de maneira clara sua manifestação em eixos circulares maciços 
e vazados. 
 A experiência prática proporcionou um aprendizado mais significativo, 
permitindo que os estudantes consolidassem não apenas o conhecimento teórico, 
mas também desenvolvessem habilidades essenciais para a resolução de problemas 
reais na engenharia estrutural. A capacidade de utilizar ferramentas computacionais 
avançadas se destaca como uma competência fundamental, preparando os futuros 
engenheiros para desafios cada vez mais complexos. 
 Dessa forma, a aula prática de Resistência dos MateriaisAvançado, com o 
uso do Ftool e MDSolids, consolida-se como um componente essencial na formação 
de engenheiros altamente qualificados, capacitados para aplicar conceitos estruturais 
avançados e utilizar tecnologias especializadas na modelagem, análise e 
dimensionamento de estruturas. 
 36 
REFERÊNCIAS 
 
ALIC, CARMEN; MIKLOS, CRISTINA; MIKLOS, I. ZSOLT. Interactice and 
Collaborative learning in mechanical engineering using internet. Acta Technica 
Corviniensis-Bulletin of Engineering, ISSN, p. 2067-3809. 
 
 
MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas metálicas com ligações semirrígidas 
utilizando a ferramenta educacional FTOOL. 2021. Tese de Doutorado. PUC-Rio. 
 
POMA TINTAYA, Ever Luis. Aplicación del software MDSolids en el aprendizaje de 
fuerzas internas de las vigas en estudiantes de la Universidad Continental de 
Huancayo. 2018. 
 
 
VEIGA, Janaina; DE ALENCAR CARVALHO, Carlos Vitor; RODRIGUES, Chang Kuo. 
Uma Proposta pedagógica com o software Ftool para apoio ao ensino da estática 
baseado na teoria dos registros de representação semiótica. Revista de Educação, 
Ciências e Matemática, v. 10, n. 1, 2020. 
 
 
 
 
	1 INTRODUÇÃO
	2 DESENVOLVIMENTO
	2.1 UNIDADE 1 – SEÇÃO 3
	2.1.1 Atividade 1 - Diagramas dos esforços internos solicitantes
	2.1.2 Atividade 2 – Continuação - Conferindo resultados
	2.1.3 Procedimento 1 - Conceitos teóricos de torção no regime elástico em eixos de transmissão
	2.1.4 Procedimento 2 (Virtual)
	2.2 UNIDADE 2 – SEÇÃO 3 – FLEXÃO EM BARRAS
	2.2.1 Procedimento Atividade 1
	2.2.2 Procedimento Atividade 2
	2.2.3 Procedimento Atividade 1 (Virtual)
	2.3 UNIDADE 3 – SEÇÃO 2 – FLAMBAGEM EM BARRAS
	2.3.1 Procedimento Atividade 1 (Físico)
	2.3.2 Procedimento Atividade 2 (Físico)
	2.3.3 Procedimento Atividade 1 (Virtual)
	2.4 UNIDADE 4 – SEÇÃO 2 – CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS DÚCTEIS
	2.4.1 Procedimento/Atividade nº 1 (Físico)
	2.4.2 Procedimento/Atividade nº 2 (Físico)
	2.4.3 Procedimento/Atividade nº 1 (Virtual)
	3 CONCLUSÃO
	REFERÊNCIAS