Geometria Analítica - Resolução - Lista 1

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Geometria Anaĺıtica - MAT/CEAD/UFOP - 2024-02
Cláudia Raquel Martins Corrêa
Resolução - Lista 1 - Coordenadas Cartesianas - 7,0 pontos
1) (1,0 ponto) Até que ponto o segmento AB deve ser prolongado no sentido de A(−7)
para B(−3), para que seu comprimento seja quadruplicado?
Temos que |AB| = | − 7− (−3)| = 4. Assim, queremos obter um ponto C(x) tal que
|AC| = 4 · 4 = 16.
Como |AC| = |x − (−7)| = |x + 7|. Então |AC| = 16 ⇔ |x + 7| = 16 ⇔ x + 7 = 16
ou x+ 7 = −16.
Como o sentido do prolongamento é de A para B, então x = 9.
2) (1,6 ponto) Sejam a e b dois números reais quaisquer. Discuta a posição relativa
dos pontos P e Q.
Podemos supor sem perda de generalidade que a > 0 e b > 0.
Podemos considerar a simetria em relação a uma reta ou a um ponto.
O ponto A é o simétrico do ponto B em relação ao ponto X quando X é o ponto
médio do segmento AB.
O ponto A é o simétrico do ponto B em relação à reta r quando r é a mediatriz do
segmento AB.
a) P (a, b) e Q(a,−b). Simétricos em relação ao eixo x.
1
2
b) P (a, b) e Q(−a, b). Simétricos em realção ao eixo y.
c) P (a, b) e Q(−a,−b). Simétricos em relação à reta y = −x ou simétricos em relação
à origem.
d) P (a, b) e Q(b, a). Simétricos em relação ao ponto médio de PQ. Ou ainda,
simétricos em relação à reta mediatriz do segmento PQ.
3
3) (1,5 ponto) Prove que o ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo é
equidistante dos três vértices.
Sugestão: sem perda de generalidade, considere o triângulo de vértices (0, 0), (a, 0)
e (0, b).
Sejam A(a, 0), B(0, b) e C(0, 0) e consideremos (sem perda de generalidade) que a > 0
e b > 0.
|AB| =
√
a2 + b2.
Seja M o ponto médio de AB. Então M =
(
a
2
, b
2
)
.
Assim |CM | =
√(
a
2
)2
+
(
b
2
)2
=
√
a2+b2
2
= |AM | = |BM |.
4) (1,4 ponto) As diagonais de um paralelogramo ABCD se interceptam no ponto
M(−2, 4). Determine os vértices C e D, sabendo que A(4, 1) e B(2, 3).
Sejam C(c1, c2) e D(d1, d2). Como M é ponto médido de AC, então:
−2 =
c1 + 4
2
⇒ c1 = −8
e
4 =
c2 + 1
2
⇒ c2 = 7
4
M também é ponto médido de BD, então:
−2 =
d1 + 2
2
⇒ d1 = −6
e
4 =
d2 + 3
2
⇒ d2 = 5
5) (1,5 ponto) Em um triângulo ABC são dados o vértice A(2, 1) , M(7
2
, 3) ponto
médio de AB e N(4, 5
2
) ponto médio de AC . Determine o seu peŕımetro.
Sejam B(b1, b2) e C(c1, c2).
Como M é ponto médido de AB, então:
7
2
=
b1 + 2
2
⇒ b1 = 5
e
3 =
b2 + 1
2
⇒ b2 = 5
Como N é ponto médido de AC, então:
4 =
c1 + 2
2
⇒ c1 = −6
e
5
2
=
c2 + 1
2
⇒ c2 = 4
Peŕımetro: |AC| + |AB| + |BC| =
√
42 + 32 +
√
32 + 42 +
√
12 + 12 = 5 + 5 +
√
2 =
10 +
√
2.
5